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Este documento resume los conceptos fundamentales de las redes cristalinas. Explica que los cristales tienen un orden atómico de largo alcance y que existen diferentes tipos de sólidos dependiendo del orden. Describe las redes de Bravais y cómo estas definen la posición de los átomos en el cristal a través de vectores primitivos. Finalmente, introduce la celda primitiva y la celda de Wigner-Seitz para representar la simetría del cristal.
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- 1. Física del Estado Sólido REDES CRISTALINAS Dr. Andrés Ozols Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires 2009 Dr. A. Ozols 1
- 2. ÁTOMOS EN SÓLIDOS Dr. A. Ozols 2
- 3. ORDEN CRISTALINO y FORMA René Just Hauy (1743-1822): la morfología de un mineral es un reflejo de su orden interno Niels Stensen (1669): ley de Steno Los ángulos entre las caras equivalentes de los cristales de un mismo mineral son constantes Bravais: ley de Bravais la frecuencia con aparece la cara de un cristal es proporcional al números de átomos de cristal Dr. A. Ozols 3
- 4. ORDEN ATOMICO Rangos de ALCANCE Estructura de corto alcance (Orden local) estructura amorfa Estructura de alcance intermedio Estructura de largo alcance estructura cristalina Dr. A. Ozols 4
- 5. TIPOS de SOLIDOS: clasificación de acuerdo al orden atómico AMORFOS: orden atómico corto alcance átomos o moléculas distribuidos al azar o aleatoriamente obtenidos por enfriamiento rápido del material fundido (103-107 ºK/s) Superficie metálica solidificada rápidamente bombardeada con haz electrónico Dr. A. Ozols 5
- 6. TIPOS de SOLIDOS: clasificación de acuerdo al orden atómico MONOCRISTALINOS (de un solo cristal) orden atómico o molecular alto en todo el material Átomos o moléculas distribuidos regularmente en planos atómicos. Forma macroscópica típica de un crista provisto de elementos de simetría notorios El sólido crece como cristal muy lento y en condiciones de equilibrio termodinámico Ej. Crecimiento de monocristales de Dr. A. Ozols Si para las obleas semiconductoras, 6 o superconductores.
- 7. TIPOS de SOLIDOS: clasificación de acuerdo al orden atómico POLICRISTALINOS: formado por granos o monocristales orden atómico o molecular de largo alcance en cada grano o monocristal bordes bordes observado por microscopio borde de grano grano Ej. La mayor parte de los materiales de uso cotidiano son policristalinos (cerámicos, Superficie pulida de acero metálicos) Dr. A. Ozols 7
- 8. CRISTALES PERFECTOS ≡ libres de defectos Iones enlazados en una superficie metálica Defectos cristalinos: •contaminación (átomos extraños) •maclas (planos atómicos adicionales) •vacancias (falta aleatoria de átomos) •dislocaciones (variaciones locales de distancias interplanares) •fallas de apilamiento (discontinuidades del orden entre planos) Dr. A. Ozols 8
- 9. REDES de BRAVAIS Dr. A. Ozols 9
- 10. RED CRISTALINAS: REDES de BRAVAIS a) Una red de Bravais es un arreglo infinito de puntos discretos con un ordenamiento y orientación, que parece exactamente la misma, desde cualquier punto de observación. b) La red 3-D de Bravais consiste de todos los puntos con vectores posiciones de la forma: R= n1 a + n2 b + n3 c a, b, c: vectores primitivos n1, n2, n3: números enteros Dr. A. Ozols 10
- 11. REDES de BRAVAIS en 2-D Todos los puntos pueden escribirse como una combinación lineal de los vectores primitivos. P = a1+ 2 a2 Q = -a1+ a2 Dr. A. Ozols 11
- 12. REDES de BRAVAIS en 2-D Los vértices del panal de abejas non forman una red de Bravais. Los puntos. La distribución de puntos tiene aspecto similar observada desde A o B. Sin embargo, es distinta desde C, que está rotada en 180º. C A B Dr. A. Ozols 12
- 13. REDES de BRAVAIS en 2-D: CELDA PRIMITIVA (Ejemplos) Existen varias elecciones de pares de vectores primitivos. º º º º º º º º º º Celda Primitiva TP Primitiva 1 átomo por celda DP Triple º º º º º b 3 átomos P Primitiva por celda doble º º º 2 átomos º º por celda a Dr. A. Ozols 13
- 14. CELDA PRIMITIVA en 2-D (Ejemplos) Existen varias elecciones de celdas primitivos: El volumen de espacio que trasladado a traveés de todos los vectores de la red de Bravais cubre todo el espacio sin producir superposiciones ni dejar huecos. Un punto de la red por celda Dos elecciones de celdas primitivos La elección debe representar mejor las simetrías de la red Dr. A. Ozols 14
- 15. REDES de BRAVAIS en 3-D: CELDA PRIMITIVA (Ejemplos) Sitios de la red de Bravais cúbica centrada A A en el cuerpo ≡ dos redes cúbicas simples superpuestas con sitios A y B como centros A de red anterior B A B A La red cúbica simple está generada por los B vectores primitivos: B B B ax by cz B B BCC, body centered cubic) La red cúbica centrada en el cuerpo (BCC, body centered cubic) generada por los vectores primitivos: a3 a a1 a1 = ax a2 = by a3 = ( x + y + z ) 2 a2 Dr. A. Ozols 15
- 16. REDES de BRAVAIS en 3-D: CELDA PRIMITIVA (Ejemplos) La red cúbica centrada en las caras (FCC, face FCC, face centered cubic centered cubic) generada por los vectores primitivos: a a a a1 = ( x + z ) a2 = ( x + z ) a3 = ( x + y) 2 2 2 a1 a2 a3 La expresión de los puntos de la red en la base de los vectores primitivos: P = a1 + a2 + a3 Q = 2a1 R = a2 + a3 S = −a1 + a2 + a3 Dr. A. Ozols 16
- 17. ELECCION de la CELDA PRIMITIVA La elección de la celda primitiva recae en la celda de simetría completa: CELDA de WIGNER SEITZ La región del espacio que es más próxima aun dado punto que a cualquier punto La construcción de la celda de WIGNER SEITZ: Los 6 lados de la celda bisectan las líneas que unen el punto central con los 6 vecinos más próximos Dr. A. Ozols 17
- 18. REDES en 3-D Los 3 vectores primitivos ai se toman perpendiculares entre sí a3 a2 a1 Dr. A. Ozols 18
- 19. REDES de BRAVAIS en 3-D Existen 14 formas de ordenar puntos en el espacio 3-D, manteniendo las mismas relaciones entre éstos ≡ sistemas de Bravais Ángulos de referencia 1. SISTEMA CUBICO a = b = c α = β = γ =90º Dr. A. Ozols 19
- 20. REDES de BRAVAIS 2. SISTEMA HEXAGONAL a = b ≠ c α = β = 90º; γ =120º 3. SUB- SISTEMA ROMBOHÉDRICO (TRIGONAL) a=b=c α=β=γ ≠ 90º< 120º Dr. A. Ozols 20
- 21. REDES de BRAVAIS 4. SISTEMA TETRAGONAL a = b ≠ c α = β = γ = 90º 5. SISTEMA ORTOROMBICO a ≠ b ≠ c α = β = γ =90º Dr. A. Ozols 21
- 22. REDES de BRAVAIS 6. SISTEMA MONOCLINICO a≠b≠c α = γ ≠ 90º ≠ β 7. SISTEMA TRICLINICO a≠b≠c α≠β≠γ Dr. A. Ozols 22
- 23. ELEMENTOS de SIMETRIA Dr. A. Ozols 23
- 24. ELEMENTOS de SIMETRIA Las relaciones geométricas entre las caras planas de los cristales permitió su agrupación y su clasificación de acuerdo a elementos de simetría u operaciones de simetría. Las operaciones de simetría son transformaciones matemáticas que llevan a un objeto en congruencia (en coincidencia) con sí mismo, manteniendo invariantes las dimensiones del objeto: objeto simétrico ⇔ invariante por una transformación Dr. A. Ozols 24
- 25. TIPO DE OPERACIÓN DE SIMETRÍA realizada por un operador Básicas • Traslación • Reflexión (simetría de espejo) No pueden descomponerse en más • Rotación elementales • Inversión • rotación + inversión (Eje roto-inversión) • rotación + traslación (Eje helicoidal del ADN) Compuestas • reflexión + traslación (Plano de deslizamiento en la deformación de un metal) …. etc. Dr. A. Ozols 25
- 26. OPERACIONES DE SIMETRÍA TRASLACIÓN Situación inicial Situación intermedia Situación final Celda primitiva a R z R vector desplazamient vector z R’=R+ a o coincidente desplazamiento con un punto coincidente con un de la red punto de la red y x x Dr. A. Ozols 26
- 27. OPERACIONES DE SIMETRÍA REFLEXIÓN (simetría de espejo) Plano de simetria Dr. A. Ozols 27
- 28. OPERACIONES DE SIMETRÍA INVERSIÓN produce un objeto invertido respecto al centro de inversión El trazado de segmentos lineales desde puntos del objeto, pasando por p el centro de inversión, hasta una extensión igual del otro lado del centro. centro de inversión p Dr. A. Ozols 28
- 29. OPERACIONES DE SIMETRÍA ROTACIÓN . Operación de simetría ≡ rotación que deja invariante al objeto por una rotación respecto al eje de simetría (único punto fijo de la transformación) ∞ . ROTACIÓN EN 2-D (el eje de rotación es Rotación de orden n 6 . perpendicular al plano) (n = número de rotaciones para completar 2π) 4 . Cada rotación de 2π/n radianes 3 . conduce a una situación equivalente o indistinguible de . la anterior 2 Dr. A. Ozols 29 1
- 30. OPERACIONES DE SIMETRÍA ROTACIÓN 2º orden Ejes de rotación de orden n rotación de 180º 4º orden 3º orden rotación de 120º rotación de 90º Dr. A. Ozols 30
- 31. OPERACIONES DE SIMETRÍA c ROTACIÓN EN 3-D 3 ejes a, b, c ortogonales entre c sí. b Estos pasan por el centro de la a celda primitiva y son paralelos b a sus caras a triclínico hexagonal monoclínico c cúbico rómbico b a tetragonal Dr. A. Ozols 31
- 32. CRISTALES Dr. A. Ozols 32
- 33. ESTRUCTURA CRISTALINA RED CRISTALINA CRISTAL BASE + = arreglo periódico Átomos, iones o sólido con un arreglo de puntos periódico de átomos o molécula +al que se le asocia la base = moléculas (sistema físico) (abstracción matemática) Dr. A. Ozols 33
- 34. ESTRUCTURAS CRISTALINAS (ejemplos) ESTRUCTURA del DIAMANTE ≡ FCC + Base de 2 átomos z Átomos compartidos a a ( x + 3 y + 3z ) ( x + y + 3z ) 4 a Átomos internos 4 ( x + 3y + z ) 4 a ( 3x + y + z ) y 4 x a Base de 2 átomos 0, ( 3x + y + z ) 4 Dr. A. Ozols 34
- 35. ESTRUCTURA HAXAGONAL SIMPLE Vectores primitivos z x a = az 3 a1 600 x a1 y a2 600 y a2 = ay y a1 = asen ( 60 ) x + a cos ( 60 ) y ⎛1 3 ⎞ a1 = a ⎜ x + ⎜2 y⎟ ⎝ 2 ⎟⎠ Dr. A. Ozols 35
- 36. APLILAMIENTO HEXAGONAL COMPACTO (HCP, Hexagonal Compact Packing) Capa de átomos adicionales a la estructura hexagonal simple a3 1 Vectores primitivos ( a1 + a2 + a3 ) 3 a1 a2 Dr. A. Ozols 36
- 37. ESTRUCTURA HEXAGONAL COMPACTA Apilamiento por capas H.C.P. Capas ABAB…. Dr. A. Ozols 37
- 38. EMPAQUETAMIENTOS CUBICOS CUBICO de CARAS CENTRADAS (F.C.C. Face Centered Cubic) CÚBICO de CUERPO CENTRADO (B.C.C. Body Centered Cubic) Capas ABAB….. Capas ABCABC….. Dr. A. Ozols 38
- 39. ESTRUCTURA de los METALES METALES FCC METALES HCP Co, Fe, Ni, Cu, Ag, Au, Pt, Al,.. Zn, Cd, Mg, ... METALES BCC Cr, Fe, V, K... Dr. A. Ozols 39
- 40. ELEMENTOS con ESTRUCTURA CRISTALINA CUBICA DE CARAS CENTRADAS (Ejemplos) Elemento a (A) Elemento a (A) Elemento a (A) Ar 5.26 Ir 3.81 Pt 3.92 Ag 4.09 Kr 5.72 Pu 4.64 Al 4.05 La 5.30 Rh 3.80 Au 4.08 Ne 4.43 Sc 4.54 Ca 5.58 Ni 3.52 Sr 6.08 Ce 5.16 Pb 4.95 Th 5.08 Co 3.55 Pd 3.89 Xe 6.20 Cu 3.61 Pr 5.16 Yb 5.49 Dr. A. Ozols 40
- 41. ELEMENTOS con ESTRUCTURA CRISTALINA CUBICA DE CUERPO CENTRADO (Ejemplos) Elemento a (A) Elemento a (A) Elemento a (A) Ba 5.02 Li 3.49 Ta 3.31 Cr 2.88 Mo 3.15 Tl 3.88 Cs 6.05 Na 4.23 V 3.02 Fe 2.87 Nb 3.30 W 3.16 K 5.23 Rb 5.59 Dr. A. Ozols 41