Estática elasticidad

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIRIA
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
Curso: FISICA I CB 302U 2010 II
Profesor: Lic. JOAQUIN SALCEDO jmst5060@gmail.com
Tema: Estática elasticidad

Si la resultante de fuerzas sobre un cuerpo es
nula

F 0

¿Se puede decir que esta en reposo?

Tipler -Mosca, Serway-Beichner, Sears-Semansky, Benson, Lea-Burke, Ohanian-Markert
http://es.wikipedia.org/


Estática
Ponemos atención al CM

Si a=0 el cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación (puede estar en
movimiento pero a velocidad…………..)

Si 0 se encuentra en equilibrio de rotación.

En el caso especial que el cuerpo se encuentre en reposo se dice que está en
equilibrio estático.

Si un CR en equilibrio de traslación la fuerza neta es nula.

F 0 Fx 0, Fy 0, Fz 0
Si un CR esta en equilibrio de rotación el torque neto es nulo.

0
Cuando el CR solo puede girar alrededor de un eje fijo. (Llamemos z)

z 0
Nota no olvide que la suma es vectorial, luego es necesario dar un signo al sentido
de la rotación. Y dejar indicado en el grafico del ejercicio.

Centro de gravedad. (CG)

Imagine que en parque hay un sube-baja y un niño quiere subir contigo ¿es posible?
…………………………

Para hallar el CG buscamos un punto con una propiedad:
Una fuerza aplicada en ese punto puede reemplazar a varias fuerzas aplicadas en
diferentes puntos.

La suma de los torques en el cuerpo producido por un conjunto de fuerzas paralelas
es

i ri xFi ˆ
r i Fi xn (*)

El torque equivalente será

. i rC x Fi rC ˆ
Fi xn (*)

Aplicando: transitividad y la propiedad AxB CxB A C


r i Fi
rC Fi r i Fi rC
Fi
Si las fuerzas son pesos de cuerpos en el sistema

r i mi gi
r CG mi gi r i mi gi r CG
mi gi
Si los valores de g no varían la expresión anterior se transforma en ¿…?

Centro de Masa CM

r i mi rdm
r CG r CG
mi dm
Si las masa es homogénea, tenemos el centro ……………..llamado también
………….. en geometría analítica.

Receta.
1. En el CR a estudiar identifique todas las fuerzas externas que actúan sobre él.
DCL
2. Elija u sistema de coordenadas y descomponga las fuerzas en él
3. Elija un eje conveniente (reducir incógnitas) para la evaluación de los
torques e indique el sentido que toma positivo.

Fx 0, Fy 0, z 0

4. Escriba las relaciones de equilibrio
5. Algebra
6. Analiza y comenta

* Una escalera de longitud l y peso W se apoya en un piso rugoso y contra una
pared sin fricción. Si s 0.6 Halla
a) el valor máximo del ángulo para que no deslice
b) la fuerza ejercida por la pared.



Fx N2 f1 0 N2 f1
Fy N1 W 0 N1 W

Aplica torques en la base y el apoyo
L
a W sen f1 L cos N1 Lsen 0
2
L
b W sen N1 L cos 0
2
Justo antes del deslizamiento la fuerza de fricción estática debe ser máxima
f1 s N1
sen 2 S cos 0 tan 2 s 50.2o
N2 f1 s N1 W
s

Un cilindro de peso W y radio R se va levantar un escalón de altura h con una
cuerda enrollada a su alrededor jalando horizontalmente.
Asumiendo que el cilindro no desliza. Halle la fuerza F mínima para subir el cilindro y
la fuerza de reacción en P ejercida por el escalón sobre el cilindro

Cuando esta a punto de levantarse la reacción en el punto del piso se anula.


Ahora solo hay tres fuerzas. W, F y la reacción en P.
Calculamos el brazo de palanca del peso respecto a P

d R2 ( R h)2 2Rh h2 h 2R h
El brazo de palanca de F respecto a P
2R h
Luego el momento de torsión neto sobre el cilindro respecto a P
Wd F (2R h) 0
W h
W h 2R h F (2R h) F
2R h
Para hallar la fuerza de reacción en P

Fx F n cos 0 n cos F
Fy n s en W 0 n s en W
W
tan n W 2 F2
F
La locomotora tiene 90 000kg y el puente es una viga de hierro uniforme de
900 000kg ¿Cual es la carga sobre c/ pilar?

(4.7, 5.0) x10 6 N

¿Cuál es la tensión del músculo?
El bíceps está conectado en un a unos 4cm del punto que actúa como pivote.
Si la mano sostiene un peso de 50N
¿Cuál es la tensión del músculo? Compara con el peso
La fuerza ejercida por el músculo actúa a 10° con la vertical

Modelo: el antebrazo es una barra horizontal uniforme que pesa 15N y tiene 30cm de longitud.



Tomamos torque respecto al codo (para eliminar las fuerzas V y H)
L
0 T cos d WB L 0 WA
2
T cos10º (0.04) 15(.15) 50(0.3) 0
T 438 N
La fijas?

Una masa de 6 kg se sostiene en la mano formando el brazo y el antebrazo un
ángulo de 90°.


El bíceps ejerce una fuerza Fm cuyo punto de aplicación dista 3,4cm del punto
pivote O, en la articulación del codo.
Modelo: el antebrazo, una barra uniforme de masa 1 kg
a) ¿Cuál es el módulo de Fm si la distancia al punto pivote es 30 cm?
b) Hallar la fuerza ejercida sobre la articulación del codo


Una persona de 60kg está parada sobre las puntas de sus pies con el peso igualmente
distribuido entre ellos. El músculo que causa el giro del pie está conectado a 4cm del tobillo
y ejerce una fuerza vertical
¿Cuál es la tensión del músculo?

Palancas

F' l
Fl F 'l ' 0
F l'



Poleas

No hay ganancia de ventaja mecánica, el único beneficio es que permite jalar de
manera cómoda

Polipasto
Arreglo de muchas poleas. Proporciona una ganancia de ventaja mecánica
En el esquema siguiente
¿Cual es la ventaja?
F'
¿Un diseño que proporcione F ?
5




Algunas aplicaciones

Relación entre fuerzas y desplazamientos



Una palanca transmite el trabajo que se suministra en un extremo ala carga en el otro
extremo.
F x F ' x'
¿Cuál tiene mayor ventaja mecánica?

En estos dispositivos (cabrestantes y cortatornillos compuesto)
¿Qué fuerza se debe aplica a la manija?
¿Cuál es la ventaja mecánica?



Par de fuerzas
Dos fuerzas iguales y opuestas que actúan en diferentes líneas tienden a producir
una rotación, aunque su fuerza resultante es nula
La figura muestra un par de las fuerzas F1 y F2, separadas por la distancia D

El torque producido por este par r respecto a un punto arbitrario O es
F1 F2 , F1 F
=r 1 xF1 +r 2 xF2 =r 1 xF1 -r 2 xF1 = (r 1 -r 2 )xF
¡No depende de la elección del punto O.!
El módulo de este momento es

Demuestre que =DF
90º 180º =90º-
= (r1 -r 2 )xF1 = (r1 -r 2 ) Fsen (r1 -r 2 ) Fsen(90º- )

(r1 -r 2 ) cos F DF
F módulo de la fuerza
D es la distancia entre sus líneas de acción.

El torque producido por un par de fuerzas es el mismo respecto a cualquier punto del
espacio.


Elasticidad

Hasta ahora hemos supuesto que los cuerpos permaneces indeformables al ser
sometidos a fuerzas externas.

Los cuerpos pueden ser deformados es decir cambiar su deforma aumentar o
disminuir una de sus dimensiones a cambio de disminuir o aumentar el otro.

Analizamos estas deformaciones en función de los conceptos deformación y
esfuerzo

Esfuerzo. (E) Fuerza externa por unidad de área de sección transversal
Deformación. Cambio en las dimensiones respecto a su dimensión original
Deformación unitaria ( u ). Razón de la deformación a su dimensión original.
Experimento: para esfuerzos suficientemente pequeños el esfuerzo es
directamente proporcional a la deformación.
La constante de la proporcionalidad (modulo elástico=me) depende del material y de
la naturaleza de la deformación.

E dp u E me u
Son tres tipos de deformación. El modulo elástico será diferente en cada caso

Modulo de Young (Y) mide la resistencia de un solidó a un cambio en su longitud


Modulo de corte o cizalladura (MC ) Mide la resistencia al movimiento paralelo a la
dimensiona afectada.

Modulo volumétrico. ( ) Mide la resistencia en sólidos o líquidos al cambio en su
volumen

Elasticidad en la longitud. Young
Sea una barra de longitud L0 y sección transversal S al que se somete a
alargamiento pasando a su nueva longitud L.

Aplicando la relación general tenemos
F L
E me u Y
A L0
Y modulo de Young


Esta relación se utiliza para caracterizar una barra o alambre sometidos a esfuerzo
ya sea por tensión o compresión.
Los experimentos muestran que existen dos zonas claramente definidas (análogo
resorte)

Elástica. Se caracteriza por volver a su estado original al cesar la fuerza.

Plástica. El material queda permanentemente deformado. No pudiendo cumplir sus
funciones anteriores.
De aumentar el esfuerzo se produce la ruptura.

Al estirar o comprimir un objeto se usa el mismo Y para materiales homogéneos.

Ohanian-markert 447


Un alambre de acero de 1.60 de largo y 0.2cm de diámetro Halle la tensión si se ha
alargado 0.3cm
A r2 (0.001)2 3.1x10 6

F L L 0.003
Y F Y A 22 x1010 ( )3.1x10 6
1200 N
A L0 L0 1.6

Elasticidad de la forma. Modulo de corte
La deformación es el cambio en la longitud paralelo a la línea de aplicación de la
fuerza sobre el espesor de la muestra

FC x
E me u MC
A L
MC modulo de cizalladura
Exprese la relación anterior en función del ángulo
Esta relación es muy importante en el movimiento de fluidos … pero debe
modificarse


Elasticidad de volumen. Modulo volumétrico
F V
E me u p
A V0
Modulo volumétrico
Ahora el esfuerzo es la presión que se trasmite por los fluidos
El signo menos es necesario por cuando la acción de la presión es reducir el
volumen

* Un alambre de 2 m de largo y área transversal 0.1cm2 soporta una carga de 100kg.
Si el alambre se estiro 0.2cm.
a) Halle el esfuerzo, la deformación y el modulo de Young.
b) Probablemente esta hecho de …………. o ………….

F mg 100(9.8) N
E 9.8 x108 2
A A 0.1x10 4 m
L 0.2 x10 2
u 1.0 x10 3
L0 2
N
9.8 x108
E m2 N
Y 3
9.8 x1011
u 1.0 x10 m2
Pregunta
¿Por qué las vigas metálicas tienen la forma que tienen?

¿Cómo puede aplicar la elasticidad al cuidado de su salud?

¿Buscar ejemplos de lesiones deportivas relacionados con la elasticidad?

¿Cuanto aumenta de tamaño una cadena de acero de 50 metros colgada por un
extremo?



resilina (proteína flexible parecida al caucho que se encuentra en los artrópodos)

El tendón de un saltamontes tiene longitud inicial 0, 75mm, diámetro 0,13 mm. Si
una carga de 2,4gr lo alarga hasta 1,39 mm
Halla E , u , Y
F mg 2, 4 x10 3 (9.8) N
E 1, 77 x106
A D
( )2 0,13 x10 3 2 m2
( )
2 2
L (1,39 0, 72)
u 0,93
L0 0, 72
E 1, 77 x106 N
Y 1,9 x106
u 0,93 m2

Cambios colaterales
Al estirar o comprimir un objeto también se producen alteraciones en las otras
dimensiones. La relación para materiales isotrópicos homogéneos es.
Para un paralepipedo

a b L
a b L0
σ es el coeficiente de Poisson (recopile datos a su plagio)

El módulo de Young y el coeficiente de Poisson especifican en forma completa las
propiedades elásticas de un material homogéneo.

Una barra de sección rectangular longitud 1m, ancho 0,4m y espesor 0,6m módulo
N
de Young 7, 0 x1010 2 , 0, 4 coeficiente de Poisson
m
N
Si el esfuerzo de tensión es 3, 5 x108
m2
Hallar las variaciones de sus dimensiones.



L L E L 3,5 x108
E Y 0, 05
L0 L0 Y L0 7, 0 x1010
L
0, 4(0, 05) 0, 002
L0
a L
a 0,5(0, 002) 1 cm
a L0
b L
b (0, 6)(0, 002) 1, 2 cm
b L0
L 5cm
Serway 25-31
N
a) Suponga para un hueso Y 1,5 x1010 y se fractura si se ejerce más de
m2
N
1,5 x108 de esfuerzo
m2
a) ¿cuál es la fuerza máxima que puede ejercerse sobre el hueso fémur en la pierna
si esta tiene un diámetro efectivo mínimo de 2.5cm?
b) si esta gran fuerza se aplica comprensivamente .¿cuanto se acorta un hueso de
25cm de largo?

1 a) Halla el área luego aplica la relación del esfuerzo con la fuerza y el área.
d2 (2,5 x10 2 ) 2 4
A 4,91x10
4 4
F
E
A
F EA 1,5 x108 (4,91x10 4 ) 73 600 N
b) usamos la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria

l El 1, 5 x108 (25 x10 2 )
E Y l 2, 5mm
l Y 1, 5 x1010

Serway 31-12
N
1atm 1, 01x105
m2
Cuando el agua se congela se expande cerca de 9% ¿cuál es el aumento de
presión dentro del monoblock del motor de un automóvil si el agua en él se congelara?
N
hielo 2, 0 x109
m2



V 0.9V N
p p 2, 0 x109 1,8 x109
V V m2
p 1800 atm ???
*El cable de levantamiento de acero de la grúa (diámetro 5.0cm)¿Cuánto se estira?
t= 1 000kg


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