Estudio de los movimientos

INSTITUTO TECNOLOGICO DE MINATITLAN
BANCO DE APUNTES – LABORATORIO DE FISICA
ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS
INTRODUCCION
La descripción matemática del movimiento constituye el objeto de
una parte de la física denominada cinemática. Tal descripción se
apoya en la definición de una serie de magnitudes que son
características de cada movimiento o de cada tipo de movimientos.
Los movimientos más sencillos son los rectilíneos y dentro de éstos
los uniformes. Los movimientos circulares son los más simples de
los de trayectoria curva. Unos y otros han sido estudiados desde la
antigüedad ayudando al hombre a forjarse una imagen o
representación del mundo físico.
«Vamos a establecer una ciencia nueva sobre un tema muy antiguo.
Tal vez no haya en la naturaleza nada más antiguo que el
movimiento y acerca de él son numerosos y extensos los volúmenes
escritos por los filósofos. Sin embargo, entre sus propiedades
encuentro muchas que aun siendo dignas de ser conocidas, todavía
no han sido observadas ni demostradas hasta ahora. Se ha fijado la
atención en algunas que son más directas e inmediatamente
observables, como por ejemplo, que el movimiento natural de caída
de los cuerpos se acelera continuamente; pero, sin embargo, no se
ha hallado, hasta ahora, en qué proporción tiene lugar esta
aceleración... Se ha observado que los cuerpos lanzados, es decir,
los proyectiles, describen una línea curva de cierto tipo, pero nadie
ha puesto en evidencia que dicha curva es una parábola. Yo
demostraré que esto es así, y también otras cosas dignas de ser
conocidas; y lo que es más importante, dejaré abiertos la puerta y el
acceso a una vasta e importantísima ciencia cuyos fundamentos
serán estas mismas investigaciones. Otras mentes más agudas que
la mía penetrarán después en ella hasta alcanzar mayores
profundidades.»
GALILEO GALILEI (1564-1642)
La observación y el estudio de los movimientos ha atraído la
atención del hombre desde tiempos remotos. Así, es precisamente

en la antigua Grecia en donde tiene su origen la sentencia «Ignorar
el movimiento es ignorar la naturaleza», que refleja la importancia
capital que se le otorgaba al tema. Siguiendo esta tradición,
científicos y filósofos medievales observaron los movimientos de los
cuerpos y especularon sobre sus características. Los propios
artilleros manejaron de una forma práctica el tiro de proyectiles de
modo que supieron inclinar convenientemente el cañón para
conseguir el máximo alcance de la bala. Sin embargo, el estudio
propiamente científico del movimiento se inicia con Galileo Galilei. A
él se debe una buena parte de los conceptos que aparecen
recogidos en este capítulo.
EL MOVIMIENTO Y SU DESCRIPCIÓN
Se dice que un cuerpo se mueve cuando cambia su posición
respecto de la de otros supuestos fijos, o que se toman como
referencia. El movimiento es, por tanto, cambio de posición con el
tiempo.
El carácter relativo del movimiento
De acuerdo con la anterior definición, para estudiar un movimiento
es preciso fijar previamente la posición del observador que
contempla dicho movimiento. En física hablar de un observador
equivale a situarlo fijo con respecto al objeto o conjunto de objetos
que definen el sistema de referencia. Es posible que un mismo
cuerpo esté en reposo para un observador -o visto desde un sistema
de referencia determinado- y en movimiento para otro.
Así, un pasajero sentado en el interior de un avión que despega
estará en reposo respecto del propio avión y en movimiento respecto
de la pista de aterrizaje. Una bola que rueda por el suelo de un
vagón de un tren en marcha, describirá movimientos de
características diferentes según sea observado desde el andén o
desde uno de los asientos de su interior.
El estado de reposo o de movimiento de un cuerpo no es, por tanto,
absoluto o independiente de la situación del observador, sino
relativo, es decir, depende del sistema de referencia desde el que se
observe.

El concepto de cinemática
Es posible estudiar el movimiento de dos maneras:
a) describiéndolo, a partir de ciertas magnitudes físicas, a saber:
posición, velocidad y aceleración (cinemática);
b) analizando las causas que originan dicho movimiento (dinámica).
En el primer caso se estudia cómo se mueve un cuerpo, mientras
que en el segundo se considera el porqué se mueve.
La cinemática es la parte de la física que estudia cómo se mueven
los cuerpos sin pretender explicar las causas que originan dichos
movimientos.
El concepto de trayectoria
Para simplificar el estudio del movimiento, representaremos a los
cuerpos móviles por puntos geométricos, olvidándonos, por el
momento, de su forma y tamaño.
Se llama trayectoria a la línea que describe el punto que representa
al cuerpo en movimiento, conforme va ocupando posiciones
sucesivas a lo largo del tiempo. La estela que deja en el cielo un
avión a reacción o los raíles de una línea de ferrocarril son
representaciones aproximadas de esa línea imaginaria que se
denomina trayectoria
Según sea la forma de su trayectoria los movimientos se clasifican
en rectilíneos y curvilíneos. Un coche que recorra una calle recta
describe un movimiento rectilíneo, mientras que cuando tome una
curva o dé una vuelta a una plaza circular, describirá un movimiento
curvilíneo.
LA POSICIÓN Y LOS CAMBIOS DE ...
La definición de la posición de un cuerpo móvil se efectúa con la
ayuda de las matemáticas. Aun cuando pudiera parecer que la
distancia a un punto fijo constituye una buena medida de la posición
de un cuerpo, esto no es siempre cierto. Basta imaginar, por
ejemplo, el movimiento de una noria. Todos sus carricoches

equidistan del punto central; no hay por tanto variación de la
distancia al centro y, sin embargo, hay cambio de posición, es decir,
existe movimiento.
En los movimientos rectilíneos
La definición de la posición y de sus cambios en los movimientos
rectilíneos puede hacerse asignando a cada punto un número real,
que representa la distancia a otro punto fijo 0 tomado como origen.
Si el punto 0 se sitúa en un extremo de la trayectoria, todos los
números o coordenadas x de posición serán positivos. Tal es el caso
del kilómetro cero situado en la Puerta del Sol de Madrid, de donde
parten todas las carreteras de España. Los postes kilométricos
reflejan, por ello, únicamente números positivos.
Es posible, no obstante, fijar el origen 0 de coordenadas en un punto
central de la recta trayectoria; en tales casos las posiciones a la
izquierda de 0 se representarán mediante números negativos y las
situadas a la derecha mediante números positivos. En los
movimientos vibratorios o de vaivén el origen 0 se suele situar en el
punto central, lo que da lugar a la aparición tanto de coordenadas
positivas como negativas.
Los cambios de posición o desplazamientos pueden calcularse
como diferencias entre las coordenadas correspondientes.
Utilizando el símbolo de incremento o diferencia, el
desplazamiento que experimenta el móvil en un intervalo de tiempo
t = t - to determinado vendrá dado por la expresión x = x - xo,
donde x representa la coordenada correspondiente al instante final t
y xo es la coordenada del punto móvil en el instante inicial to.
Cuando todas las coordenadas son positivas el desplazamiento x
representa simplemente la distancia entre los puntos inicial y final.
En los movimientos curvilíneos
Los movimientos curvilíneos se dan en el plano o en el espacio, son,
por tanto, movimientos bi o incluso tridimensionales. Ello hace que
para expresar la posición sea necesario especificar algo más que un
sólo número. Así, para definir la posición de un avión en pleno vuelo
se requieren tres números o coordenadas que indiquen la latitud, la
longitud geográfica y la altitud respectivamente. Los dos primeros

establecen la posición del punto sobre el globo terrestre y el
segundo informa sobre la altura a que se encuentra sobre la vertical
trazada sobre el punto determinado por las dos primeras
coordenadas. En el caso más sencillo de que la trayectoria sea una
curva contenida en un plano, serán suficientes dos coordenadas
para definir la posición.
Del mismo modo que en los movimientos rectilíneos o
unidimensionales el origen 0 representa el punto fijo, que se toma
como referencia, en los movimientos planos o bidimensionales el
sistema de referencia queda representado por un conjunto de dos
ejes perpendiculares X e Y y la posición del punto móvil P respecto
de dicho sistema vendrá dada por sus correspondientes
coordenadas x e y, es decir, P(x,y). En estos movimientos más
complejos el desplazamiento se puede medir por el segmento que
une los puntos inicial P1 y final P2 y su cálculo se efectúa a partir de
los valores de sus coordenadas.
No obstante lo anterior, si se conoce de antemano la trayectoria de
un movimiento, aun cuando éste sea curvilíneo, podrá expresarse la
posición del punto móvil mediante un número, como si fuera
realmente rectilíneo, siempre que la trayectoria esté coordenada.
Así, cuando se indica por radioteléfono que un coche está averiado
en el punto kilométrico 86,300 de la carretera nacional Madrid-
Burgos, a pesar del carácter curvilíneo de ésta, la posición queda
definida sin ambigüedad. En general, pues, el espacio s -o distancia
recorrida por el móvil sobre una trayectoria conocida cualquiera y
medido a partir del origen-, determinará la posición del móvil y
permitirá, por tanto, el estudio y descripción de los movimientos,
incluso de los curvilíneos, como si fueran rectilíneos.
FORMAS DE DEFINIR LA POSICIÓN Y SUS CAMBIOS
Se puede definir la posición de un cuerpo móvil de tres maneras:
Escalarmente. Sí la trayectoria es conocida y está coordenada de
modo que el origen 0 se toma en un punto extremo de la misma el
espacio recorrido por el punto móvil P indicará cuál es su posición.
Conforme transcurre el tiempo, s crece y por tanto su variación s

para cualquier intervalo de tiempo será siempre positiva. Esta
definición de la posición y de sus cambios es puramente escalar,
puesto que no informa sobre el sentido del movimiento.
Pseudo escalarmente. Es posible coordenar la trayectoria conocida,
fijado el origen 0 en un punto intermedio. En tal caso la coordenada s
puede ser negativa, cuando el punto P está a la izquierda de 0, y
positiva cuando está a su derecha.
Si el punto móvil P se dirige de izquierda a derecha el valor de la
coordenada s aumenta en cualquier caso y por tanto s es positivo. Si
el punto P se dirige de derecha a izquierda el sentido del movimiento
corresponde al de los valores decrecientes de s, tanto si el móvil está
en la parte negativa de la trayectoria como si está en la parte positiva.
Ello significa que s es entonces negativo. Por consiguiente el signo de
s indica, en estos casos, el sentido del movimiento que será de la
parte negativa hacia la parte positiva de la trayectoria si s es positivo
y opuesto cuando s sea negativo.
Vectorialmente. Las coordenadas x e y de un punto P que se mueve
en un plano permiten fijar la posición sin necesidad de conocer la
trayectoria. Esta forma de definir la posición y sus cambios en un
movimiento es la más general y puede expresarse también mediante
un segmento orientado o vector, que tenga como origen el origen 0 del
sistema de ejes XY y como extremo el punto móvil P. Dicho vector se
denomina vector de posición y se representa en la forma r. La línea
descrita por el extremo o flecha del vector de posición durante el
movimiento es precisamente la trayectoria.
Los cambios o variaciones de la posición se representan en la forma
r y describen el desplazamiento del móvil en el intervalo de tiempo
t que transcurre entre las posiciones extremas r1 y r2
correspondientes. Este vector r que se denomina vector
desplazamiento constituye, por tanto, el vector diferencia de los
vectores de posición inicial y final, es decir, r = r2 - r1.
LA VELOCIDAD

La descripción de un movimiento supone el conocer algo más que
su trayectoria. Una característica que añade una información
importante sobre el movimiento es la rapidez. En general, cuando
algo cambia con el tiempo se emplea el término de rapidez para
describir su ritmo de variación temporal. En cinemática la rapidez
con la que se produce un movimiento se denomina velocidad y se
define como el espacio que recorre el móvil sobre la trayectoria en la
unidad de tiempo.
Velocidad constante
Decir que un cuerpo se mueve con velocidad constante es lo mismo
que decir que la rapidez de su movimiento no varía, es decir, que va
recorriendo la trayectoria y ganando espacio siempre al mismo ritmo.
Los movimientos de los trenes o los de los coches en una autopista
se aproximan bastante en algunos tramos a movimientos de
velocidad constante. En dos intervalos de tiempo cualesquiera de
igual duración el cuerpo cubrirá la misma distancia. El móvil recorre,
por tanto, espacios iguales en tiempos iguales, lo que significa que
cuando la velocidad es constante el espacio s que recorre el cuerpo
móvil sobre la trayectoria y el tiempo t que emplea en recorrerlo son
magnitudes directamente proporcionales.
La anterior relación de proporcionalidad se expresa
matemáticamente en la forma:
s = v · t (2.1)
siendo v constante.
Dividiendo por t los dos miembros de esta ecuación resulta la
expresión de v:
La unidad de medida de la velocidad es el cociente entre la unidad
de medida de espacio o distancia y la unidad de tiempo. En el
Sistema Internacional (SI) es el metro/segundo (m/s) o ms-1. Sin
embargo, resulta muy frecuente en la vida diaria la utilización de una

unidad práctica de velocidad, el kilómetro/hora (km/h), que no
corresponde al SI. La relación entre ambas es la que sigue:
o inversamente
1 m/s = 3,6 km/h
Velocidad media
La prensa diaria publica, de vez en cuando, la velocidad media de
circulación en automóvil característica de las grandes ciudades. En
Madrid, por ejemplo, se cifra en 20 km/h. Ello no significa que los
coches se desplacen por las calles siempre a esa velocidad.
Tomando como referencia un trayecto de 10 km, el coche puede
alcanzar los 60 o incluso los 70 km/h, pero en el trayecto completo
ha de frenar y parar a causa de las retenciones, de modo que para
cubrir los 10 km del recorrido establecido emplea media hora. La
velocidad del coche ha cambiado con el tiempo, pero, en promedio,
y a efectos de rapidez el movimiento equivale a otro que se hubiera
efectuado a una velocidad constante de 20 km/h.
El cociente entre el espacio s recorrido por un móvil en un intervalo
de tiempo y el valor t de dicho intervalo se denomina velocidad
media vm, es decir:
Si se representa el tiempo o instante inicial medido por un
cronómetro como to y el final mediante t, las distancias al origen,
correspondientes a ambos instantes, se podrán escribir como so y s
respectivamente, de modo que la expresión anterior equivale a esta
otra:

Si el instante inicial to se toma como origen de tiempos y el punto en
el que se halla el móvil en ese instante se considera como el punto
O u origen de espacios sobre la trayectoria, entonces to = 0, so = 0 y
la ecuación anterior se convierte en:
La comparación entre las ecuaciones (2.2) de la velocidad constante
y (2.5) de la velocidad media indica que el valor de ésta puede
considerarse como el de una velocidad constante equivalente.
Velocidad instantánea
En general, la velocidad con la que se mueve un coche, un avión o
una motocicleta, por ejemplo, varía de un instante a otro. Ello queda
reflejado en el movimiento de la aguja de sus respectivos
velocímetros. El valor que toma la velocidad en un instante dado
recibe el nombre de velocidad instantánea.
Aun cuando la noción de instante, al igual que la noción de punto,
constituye una abstracción, es posible aproximarse bastante a ella
considerándola como un intervalo de tiempo muy pequeño. Así, la
lectura del velocímetro se produce en centésimas de segundos y
ese tiempo puede ser tomado en el movimiento de un coche como
un instante, ya que durante él la velocidad prácticamente no cambia
de magnitud.
La letra griega empleada habitualmente para representar
incrementos o diferencias equivale a la D mayúscula, así que
variaciones muy pequeñas se podrán expresar, utilizando un
símbolo análogo, mediante la d minúscula. Un intervalo de tiempo
muy pequeño, equiparable a un instante, se representará entonces
como dt y la correspondiente variación del espacio medido sobre la
trayectoria vendrá dado por ds. De modo que la velocidad
instantánea v se podrá escribir en la forma:

Aun cuando esta expresión tiene un significado matemático preciso
que permite su manejo en cálculos y operaciones complicadas, su
significado físico corresponde al cociente de dos incrementos o
variaciones muy pequeñas y, además, relacionadas entre sí.
LA ACELERACIÓN
En los movimientos ordinarios la velocidad no se mantiene
constante, sino que varía con el tiempo. En tales casos es posible
definir una nueva magnitud que describa la rapidez con la que se
producen tales variaciones de la velocidad. Dicha magnitud se
denomina aceleración. Se define como lo que varía la velocidad en
la unidad de tiempo y representa, por tanto, el ritmo de variación de
la velocidad con el tiempo.
Una de las características que definen la potencia de un automóvil
es su capacidad para ganar velocidad. Por tal motivo, los fabricantes
suelen informar de ello al comprador, indicando qué tiempo (en
segundos) tarda el modelo en cuestión en alcanzar los 100 km/h
partiendo del reposo. Ese tiempo, que no es propiamente una
aceleración, está directamente relacionado con ella, puesto que
cuanto mayor sea la rapidez con la que el coche gana velocidad,
menor será el tiempo que emplea en pasar de 0 a 100 km/h. Un
modelo que emplee 5,4 s en conseguir los 100 km/h habrá
desarrollado una aceleración que puede calcularse del siguiente
modo:
Lo que significa que ha aumentado su velocidad en 5,1 m/s en cada
segundo.
Aceleración constante
Un cuerpo que se mueva con aceleración constante irá ganando
velocidad con el tiempo de un modo uniforme, es decir, al mismo
ritmo. Eso significa que lo que aumenta su velocidad en un intervalo
dado de tiempo es igual a lo que aumenta en otro intervalo posterior,
siempre y cuando las amplitudes o duraciones de ambos intervalos
sean iguales. En otros términos, el móvil gana velocidad en

cantidades iguales si los tiempos son iguales y la velocidad resulta,
en tales casos, directamente proporcional al tiempo.
Del mismo modo que para definir la velocidad es necesario poner la
atención en la relación entre espacio y tiempo, para definir la
aceleración es preciso pensar sólo en términos de velocidad y
tiempo. La relación de proporcionalidad análoga a la (2.1) se
expresa ahora para las magnitudes v y t en la forma:
v = a · t (2.6)
siempre y cuando a sea constante y el móvil parta del reposo.
Dividiendo por t ambos miembros de la ecuación (2.6) resulta la
expresión de la aceleración constante:
La unidad de medida de la aceleración en el SI es el cociente entre
las unidades correspondientes a las magnitudes velocidad y tiempo,
es decir, m/s/s que se expresa en la forma m/s2 o m · s-2.
Aceleración media
La aceleración media representa lo que por término medio varía la
velocidad en cada unidad de tiempo. Aun cuando la velocidad de un
móvil cambie de un modo irregular, o no uniforme, es posible
considerar otro movimiento equivalente al anterior, en lo que a la
ganancia de velocidad respecta, que aumente su velocidad lo mismo
y en el mismo tiempo, pero sólo que a un ritmo constante. La
aceleración de ese movimiento equivalente, pero de aceleración
constante es, precisamente, la aceleración media.
Por analogía con la ecuación (2.3) la expresión de la aceleración
media am resulta ser:

una rapidez, la rapidez con la que durante el intervalo t varía lo que
se pone a continuación de este símbolo. En la
que variaba el espacio s. En la ecuación (2.8) am representa, por
tanto, la rapidez con la que varía la velocidad.
Si se expresa ahora la velocidad en el instante final t como v y la
correspondiente al instante inicial to como vo, la ecuación (2.8)
puede escribirse en la forma:
En la cual el numerador representa lo que ha ganado el móvil en
velocidad y el denominador representa el tiempo que ha necesitado
para ello.
Aceleración instantánea
Es la aceleración referida a un intervalo de tiempo lo suficientemente
pequeño como para poder considerar despreciable la variación de la
velocidad del móvil durante él. Aun cuando los automóviles no
disponen de acelerómetro o medidor de aceleración, su fabricación
sería relativamente sencilla y permitiría la lectura instantánea de la
magnitud aceleración. Que en un momento dado la columna
luminosa de un acelerómetro marcase 7 m/s2 significaría que, de
mantenerse constante el ritmo de progresión del movimiento leído
para ese instante, el automóvil ganaría velocidad a razón de 7
metros por segundo en cada segundo.
Recurriendo a la representación de variaciones o incrementos muy
pequeños mediante la letra d es posible escribir la expresión de la
aceleración instantánea en la forma:

Deceleraciones
Aun cuando las variaciones de velocidad consideradas hasta ahora
han sido únicamente aumentos, un móvil puede también disminuir
su velocidad con el tiempo. En tales casos, los valores de la
velocidad posteriores en el tiempo son menores que los anteriores,
por lo que su variación es negativa y, por tanto, su aceleración,
según las ecuaciones (2.9) o (2. 10), también lo es. Esta aceleración
negativa es característica de los movimientos de frenado y recibe el
nombre de deceleración.
La deceleración es un tipo particular de aceleración, por lo que ha
de considerarse como tal. Sólo el signo menos indica que está
asociada a un movimiento cuya velocidad disminuye con el tiempo.
LAS GRÁFICAS CINEMÁTICAS
La representación gráfica de un movimiento y de sus características
permite extraer una información valiosa sobre dicho movimiento.
La trayectoria es una primera descripción gráfica del movimiento; en
ella no se recoge (explícitamente) la variable tiempo, sino que se
representa únicamente las posiciones del punto móvil, o lo que es lo
mismo, la relación entre sus coordenadas a lo largo del movimiento.
Es, por tanto, una gráfica espacial.
Las gráficas en las que se refleja la variación de diferentes
magnitudes con respecto al tiempo son gráficas temporales y por sí
mismas proporcionan una buena descripción de las características
del movimiento considerado. En todas ellas el tiempo t se representa
en el eje horizontal o de abscisas y la magnitud cinemática elegida -
como el espacio s, la velocidad v o la aceleración a- se representa
en el eje vertical o de ordenadas. La variación con respecto al
tiempo de cada una de estas magnitudes da lugar a la
correspondiente gráfica o diagrama cinemático.
Gráficas espacio-tiempo (s-t)

La gráfica s-t es la gráfica cinemática fundamental, pues representa
la relación entre las dos variables básicas en todo movimiento. El
espacio s, medido sobre la trayectoria, podría identificarse con el
resultado de la lectura del cuentakilómetros de una moto que
describiera la trayectoria considerada y el tiempo t sería el resultado
de la correspondiente lectura de un cronómetro.
La interpretación de una gráfica s-t se efectúa a través del
significado de su pendiente. La pendiente m de una gráfica
constituye una medida de su inclinación y viene dada por el cociente
entre una variación de la magnitud representada en ordenadas y la
variación que le corresponde de la magnitud representada en
abcisas. Es, por tanto, el ritmo de variación de una variable con
respecto a la otra. En el caso de la gráfica s-t, la expresión de la
pendiente será entonces del tipo
Así, una gráfica s-t que sea una recta paralela al eje horizontal o de
tiempos indica que no existe movimiento; el móvil se encuentra
parado a una distancia so del origen o línea de salida y no existe
variación de s con respecto de t. Una recta oblicua que pasa por el
origen indica que s varía con t y, además, que lo hace a un ritmo
constante, pues la pendiente es siempre la misma. Se trata en este
caso de un movimiento de velocidad constante en el cual el espacio
recorrido es directamente proporcional al tiempo empleado en
recorrerlo. Si la recta corta al eje s a una distancia so está
coordenada representa la distancia que separa al móvil del origen 0,
medida sobre la trayectoria, en el instante inicial. Una gráfica s-t
curvilínea, o de pendiente variable, representará un movimiento de
velocidad variable en el tiempo.
Aun cuando en la gráfica s-t se represente el espacio, no es una
gráfica espacial, es decir, no se trata de algo que pueda verse
durante el movimiento, sino de una representación matemática que
permite visualizar la forma en la que las variables s y t están
relacionadas.
Gráficas velocidad-tiempo (v-t)
Al igual que en las gráficas s-t la interpretación de una gráfica v-t
presupone el conocimiento del significado de su pendiente. La

pendiente de la gráfica v-t, como medida del ritmo de variación de la
velocidad con respecto al
Así una gráfica v-t rectilínea y paralela al eje de tiempos representa
un movimiento de velocidad constante. Es decir, que la pendiente de
la recta correspondiente sea nula indica que la aceleración es cero.
Si se tratara de un cuerpo en reposo (velocidad nula), entonces la
gráfica v-t se confundiría con el propio eje horizontal. Si la gráfica es
una recta ascendente, y por tanto de pendiente constante y positiva,
se tratará de un movimiento de aceleración constante y positiva. Si
por el contrario la recta es descendente, es decir, de pendiente
negativa, el movimiento será decelerado o retardado. Una gráfica v-t
curvilínea o de pendiente variable representará un movimiento de
aceleración variable.
El hecho de que la pendiente de la gráfica s-t represente la
velocidad v, indica que las gráficas s-t y v-t deben estar
relacionadas. La gráfica v-t es, en efecto, la representación de cómo
varía la pendiente de la gáfica s-t con el tiempo; de ahí que la s-t sea
fundamental, pues a partir de ella, calculando sus pendientes en
diferentes instantes sucesivos y representándolas gráficamente
frente a t, se puede obtener indirectamente la v-t.
Que una gráfica s-t o v-t sea rectilínea no significa que el
movimiento que describe sea también rectilíneo. La descripción que
aportan estos diagramas cinemáticos no hacen referencia alguna a
los cambios de dirección u orientación en el espacio del punto móvil.
De ahí que a partir de ellos no se puede sacar ninguna información
sobre la forma de la trayectoria, la cual precisamente recoge esos
cambios de orientación.
VECTORES PARA LA CINEMÁTICA
Cuando se pretende estudiar un movimiento de la forma más
completa posible, es necesario considerar las magnitudes cinemáticas
tales como el desplazamiento, la velocidad o la aceleración de modo
que recojan los aspectos direccionales del movimiento, es decir, los
cambios de orientación del punto móvil en el espacio y sus
consecuencias. Para ello se recurre a los vectores, esos elementos

matemáticos que permiten describir los aspectos relativos a la
dirección y al sentido.
El vector velocidad
El vector velocidad representa la rapidez con la que cambia la
posición del cuerpo en el movimiento cuando se considera ésta como
un vector. Al igual que en el caso de la velocidad escalar, se podrá
definir un vector velocidad media vm en la forma:
o cociente entre el desplazamiento r considerado como un vector y
el intervalo de tiempo t correspondiente. Dicho cociente representa
lo que varía el vector posición en la unidad de tiempo. Puesto que t
es un número, vm tendrá la misma dirección y sentido que el vector
diferencia r entre las posiciones final r e inicial ro.
Cuando se consideran intervalos de tiempo cada vez más pequeños
se advierte que el vector desplazamiento correspondiente tiene una
dirección que se acerca cada vez más a la trayectoria, de modo que
para intervalos de tiempo suficientemente breves como para ser
aceptados como instantes, la dirección de r y, por tanto, del vector
velocidad será tangente a la trayectoria. El vector velocidad
instantánea, expresado mediante la ecuación:
es, por tanto, tangente a la trayectoria.
coincide prácticamente con la correspondiente porción de ella, es
decir, con ds. Eso significa que el módulo del vector velocidad
instantánea coincide con la velocidad instantánea escalarmente
considerada, pues:

En resumen, el vector velocidad instantánea por ser tangente a la
trayectoria recoge la dirección u orientación del movimiento en cada
instante y por coincidir en módulo con la velocidad escalar contiene,
además, información sobre la rapidez del movimiento. Esto demuestra
que la descripción en términos de vectores es más complicada que la
escalar, pero también más completa.
El vector aceleración
El vector aceleración representa la rapidez con la que el vector
velocidad de un cuerpo móvil cambia con el tiempo. Si el intervalo de
tiempo considerado es amplio se define el vector aceleración media
am en la forma:
o cociente entre la variación que experimenta el vector velocidad
durante un intervalo de tiempo t y la amplitud de dicho intervalo. De
acuerdo con su definición, el vector aceleración media representa lo
que por término medio varía el vector velocidad en cada unidad de
tiempo.
Si el intervalo de tiempo t se puede considerar reducido a un
instante, el vector aceleración media se convierte en el vector
aceleración instantánea a y se expresa en la forma:
donde d representa, de nuevo, una variación muy pequeña.
A diferencia del vector velocidad v, el vector aceleración a es, salvo en
los movimientos rectilíneos, no tangente a la trayectoria. Ello es
debido a que, de acuerdo con su definición, tiene la misma dirección
que v o dv, es decir, que la diferencia de dos vectores velocidad.
Dado que tales vectores sucesivos son tangentes a la trayectoria, su
diferencia no puede ser también tangente a la trayectoria, a menos

que ambos vectores velocidad tengan igual dirección, lo que sucede
únicamente en los movimientos rectilíneos.
ESTUDIO DE LOS MOV. RECTILÍNEOS
Los movimientos rectilíneos constituyen un tipo particular de
movimientos cuyo estudio presenta un especial interés. En primer
lugar, son los movimientos más sencillos, de modo que su
comprensión permite una generalización posterior a situaciones más
complejas. Estos movimientos más complicados pueden ser
estudiados como la composición de movimientos rectilíneos
elementales. Tal es el caso, por ejemplo, de los movimientos de
proyectiles. La trayectoria parabólica de una piedra que es lanzada
desde un acantilado, apuntando en dirección horizontal, resulta de la
composición de un movimiento rectilíneo horizontal debido al
impulso recibido en el momento de lanzamiento y un movimiento
rectilíneo vertical por el efecto aislado de la fuerza peso. En segundo
lugar, una buena parte de las conclusiones que se obtienen al
estudiar los movimientos rectilíneos pueden extenderse a los
movimientos curvilíneos si se prescinde de lo relativo a los cambios
de dirección. Finalmente, estos movimientos, aunque son simples,
se ajustan dentro de una buena aproximación a bastantes
movimientos que se dan en la naturaleza.
Movimiento rectilíneo y uniforme
El movimiento rectilíneo y uniforme fue definido, por primera vez, por
Galileo en los siguientes términos: «Por movimiento igual o uniforme
entiendo aquél en el que los espacios recorridos por un móvil en
tiempos iguales, tómense como se tomen, resultan iguales entre sí»,
o dicho de otro modo, es un movimiento de velocidad v constante.
Debido a que en este tipo de movimientos la velocidad no varía con
el tiempo, la velocidad instantánea tendrá el mismo valor en cada
instante y será igual, por tanto, a la velocidad media vm, es decir:

Si se considera el instante inicial to = 0 y la posición so del móvil en
ese instante como origen, so = 0º, se puede escribir la anterior
ecuación en la forma:
que es la expresión fundamental de este tipo de movimientos de
velocidad constante. Despejando sucesivamente s y t se obtienen
las siguientes ecuaciones equivalentes:
Si para to = 0 el móvil dista del origen un espacio so no nulo, de
acuerdo con la
ecuación (2.11) se tiene entonces:
s = so + v · t (2.15)
El hecho de que la gráfica s-t sea una recta oblicua indica que existe
una proporcionalidad directa entre ambas variables en este tipo de
movimientos.
La gráfica v-t es una línea horizontal, pero además el área
comprendida entre ella y el eje de los tiempos tiene un significado
especial. Sea un movimiento uniforme de v = 10 m/s. El área situada
bajo la gráfica para los 30 primeros segundos corresponde a la de
un rectángulo cuyo valor numérico vendrá dado por:
Base x altura = 30 s x 10 m/s = 300 m
Aun cuando en este caso el área no esté expresada en m2, su valor
coincide numéricamente con el espacio total recorrido por el móvil
durante esos 30 s:
s = v · t = 30 · 10 = 300 m

A partir del diagrama v-t es posible calcular el espacio recorrido
utilizando procedimientos gráficos, es decir, midiendo el área
contenida bajo la gráfica. Esta propiedad no es exclusiva de este
tipo de movimientos y su aplicación puede ser generalizada a otros,
cualquiera que sea la forma de su gráfica v-t.
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es un tipo de
movimiento frecuente en la naturaleza. Una bola que rueda por un
plano inclinado o una piedra que cae en el vacío desde lo alto de un
edificio son cuerpos que se mueven ganando velocidad con el
tiempo de un modo aproximadamente uniforme, es decir, con una
aceleración constante.
Galileo, que orientó parte de su obra científica al estudio de esta
clase de movimientos, al preguntarse por la proporción en la que
aumentaba con el tiempo la velocidad de un cuerpo al caer
libremente, sugirió, a modo de hipótesis, lo siguiente: «¿Por qué no
he de suponer que tales incrementos (de velocidad) se efectúan
según el modo más simple y más obvio para todos?... Ningún
aditamento, ningún incremento hallaremos más simple que aquél
que se sobreañade siempre del mismo modo.» Este es el significado
del movimiento uniformemente acelerado, el cual «en tiempos
iguales, tómense como se tomen, adquiere iguales incrementos de
velocidad».
La relación entre v, a y t:
En el movimiento uniforme lo que crece a ritmo constante es el
espacio s y ese ritmo de aumento es la velocidad v. En el
uniformemente acelerado lo que crece a ritmo constante es la
velocidad y ese ritmo de aumento es la aceleración a. Sobre la base
de esta analogía entre las magnitudes es posible establecer una
analogía entre las fórmulas. Así, sustituyendo en la ecuación (2.15)
s por v y v por a resulta:
v = vo + a · t (2.16)

que relaciona la velocidad final v, la aceleración a y el tiempo t en un
movimiento uniformemente acelerado supuesta conocida la
velocidad inicial vo.
La anterior expresión de v en función de t es de la forma y = mx + b
que corresponde a la ecuación de una recta de pendiente m y
ordenada en el origen b. La variable y se corresponde con v, la x con
la t, la constante m con la aceleración a y la b con la velocidad inicial
vo. Así pues, la gráfica v-t de este tipo de movimientos es una línea
recta porque su pendiente, la aceleración, es constante y
únicamente pasará por el origen cuando parta del reposo (vo = 0).
La relación entre s, a y t:
El espacio s recorrido por un móvil con movimiento uniformemente
acelerado puede determinarse recurriendo a su interpretación como
el área contenida bajo la gráfica v-t. Si la velocidad inicial vo es
distinta de cero, dicha superficie tiene la forma de un rectángulo más
un triángulo rectángulo añadido, es decir:
Área total = Área rectángulo + área triángulo
Área rectángulo = Base x altura = (t - 0) · (vo - 0)
luego:
pero según la ecuación (2.16) v - vo, = a · t, luego sustituyendo
dicho valor en la ecuación anterior resulta:
Ésta será, entonces, la expresión del espacio s recorrido por el móvil
en t segundos

Si el móvil parte del reposo vo = 0 y la anterior ecuación cinemática
toma la forma:
La expresión matemática que relaciona s con t es, en tal caso, de la
forma y = mx2, cuya gráfica corresponde a una parábola. Por tanto,
la gráfica s-t es una línea parabólica cuyo vértice coincidirá con el
origen de coordenadas siempre que el móvil parta del reposo y
tenga, por tanto, una velocidad inicial vo nula.
La relación entre s, v y a:
A partir de las ecuaciones (2.16) y (2.18), características del
movimiento uniformemente acelerado, es posible obtener otra
ecuación cinemática útil que relaciona espacio, velocidad y
aceleración. El procedimiento consiste en un ejercicio algebraico de
eliminación de la variable tiempo de las ecuaciones anteriores.
Despejando t de la primera:
y sustituyendo su valor en la segunda:
Quitando ahora paréntesis y desarrollando el cuadrado de una
diferencia se tiene:

semejantes:
resulta finalmente:
o expresado en otros términos:
Si el móvil parte del reposo vo = 0 y la ecuación anterior se reduce a
la siguiente:
es decir:
que permite calcular la velocidad final v a partir del espacio s
recorrido por el móvil y de la aceleración constante a.
La relación entre s, v y t:
Un procedimiento de eliminación semejante al anterior puede
seguirse para encontrar una nueva ecuación cinemática en la que el
valor de la aceleración no aparece de forma explícita. Se trata, por
tanto, de eliminar a de las ecuaciones
Despejando a de la primera:

sustituyendo su valor en la segunda,
y reordenando, resulta:
Pero dado que una diferencia de cuadrados es siempre igual a la
suma por la diferencia, se tiene:
Es decir:
Esta ecuación de la velocidad obtenida para los movimientos
uniformemente acelerados pone claramente
cualquier situación o problema, siendo válida únicamente para
movimientos uniformes.
Movimiento rectilíneo uniformemente retardado
En los movimientos uniformemente decelerados o retardados la
velocidad disminuye con el tiempo a ritmo constante. Están, pues,
dotados de una aceleración que aunque negativa es constante. De
ahí que todas las fórmulas cinemáticas deducidas para los
movimientos uniformemente acelerados sirvan para describir los
movimientos uniformemente retardados sin más que considerar a
con su signo, que es, en este caso, negativo.

Si se considera la deceleración en valor absoluto, el signo menos
debe preceder al valor de a en las anteriores ecuaciones, que se
convierten entonces en las siguientes:
Según la primera ecuación, la velocidad final resulta menor que la
inicial, pues a ésta se le resta at. La segunda indica que el espacio
que recorre el móvil al frenar es menor que vo t, que es el espacio
que recorrería si mantuviera su velocidad inicial vo durante todo el
tiempo t. La tercera muestra de nuevo, a través de otras variables,
que la velocidad final es menor que la inicial, pues la diferencia de
sus cuadrados es negativa.
En los movimientos uniformemente acelerados tanto la gráfica s-t
como la v-t son crecientes, es decir, de pendiente positiva. En los
movimientos uniformemente decelerados las formas de las gráficas
resultantes son las mismas, es decir, la gráfica s-t sigue siendo una
línea parabólica y la v-t una recta, pero su posición en el diagrama
cambia. En el caso de la gráfica s-t el vértice de la parábola cambia
de lugar y la rama parabólica invierte su orientación respecto de la
que correspondería a un movimiento acelerado. Ello indica que el
espacio va creciendo con el tiempo, pero a un ritmo cada vez menor;
su pendiente, aunque es positiva, va disminuyendo
progresivamente. Este hecho se traduce en la gráfica v-t y da lugar a
que ésta sea decreciente o de pendiente negativa.
Movimiento de caída libre
El movimiento de los cuerpos por la acción de su propio peso es un
ejemplo de movimiento que se da en la naturaleza y que puede ser
descrito como rectilíneo uniformemente acelerado. En este caso el
espacio s se mide sobre la vertical y corresponde, por tanto, a una
altura que se representa por la letra h. En ausencia de un medio

resistente como el aire, es decir en el vacío, el movimiento de caída
es de aceleración constante, siendo dicha aceleración la misma para
todos los cuerpos, independientemente de cuales sean su forma y
su peso. La presencia de aire frena ese movimiento de caída y la
aceleración pasa a depender entonces de la forma del cuerpo. No
obstante, para cuerpos aproximadamente esféricos, la influencia del
medio sobre el movimiento puede despreciarse y tratarse, en una
primera aproximación, como si fuera de caída libre.
La aceleración en los movimientos de caída libre, conocida como
aceleración de la gravedad, se representa por la letra g y toma un
valor aproximado de 9,8 m/s2. Si el movimiento considerado es de
descenso o de caída, el valor de g resulta positivo como
corresponde a una auténtica aceleración. Si por el contrario es de
ascenso en vertical el valor de g se considera negativo, pues se
trata, en tal caso, de un movimiento deccierado.
Las fórmulas características de estos tipos de movimientos, al igual
que sus gráficas cinemáticas, coinciden con las deducidas para los
movimientos uniformemente acelerados y uniformemente
retardados. Se escriben en la forma:
En ellas se considera g con signo + cuando el movimiento es de
descenso y con signo cuando es de ascenso.
En el aire, la aproximación consistente en suponer despreciable la
influencia retardadora del rozamiento sobre el movimiento sólo es
válida para velocidades no muy grandes, del orden de las que puede
alcanzar un cuerpo cayendo desde una altura de unas pocas
decenas de metros.

La ley de que los cuerpos caen en el vacío con una aceleración que
es la misma para todos ellos e independiente de sus pesos
respectivos fue establecida por Galileo Galilei y comprobada
mediante un experimento espectacular. Desde lo alto de la torre
inclinada de la ciudad italiana de Pisa, y en presencia de profesores
y alumnos de su Universidad, Galileo soltó a la vez dos balas de
cañón, una de ellas diez veces más pesada que la otra. Con este
experimento Galileo planteaba una pregunta directamente a la
naturaleza y ella se encargó de responder que, dentro del error
experimental, ambos cuerpos, a pesar de las diferencias entre sus
pesos, caen a la vez, es decir, recorren el mismo espacio en el
mismo tiempo.
El resultado del experimento de la torre de Pisa, que fue
ampliamente contestado en la época de Galileo, resulta
pues iguales alturas darán
lugar a idénticas velocidades finales si se acepta que la aceleración
g de caída es la misma para todos los cuerpos. Inversamente, la
demostración experimental de Galileo de que a igualdad de alturas h
cuerpos de diferentes pesos alcanzan la misma velocidad v,
equivale a demostrar que la aceleración de caída es independiente
del peso de los cuerpos.
APLICACIÓN DEL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS DE CAÍDA
Los movimientos de los cuerpos sometidos a las fuerzas del peso
constituyen un ejemplo de movimientos de aceleración constante e
igual a 9,8 m/s2 cuando se desprecia la acción del rozamiento. Si el
movimiento es de descenso dicho valor se tomará como positivo, pues
el cuerpo gana velocidad con el tiempo. Si el cuerpo asciende como
consecuencia de un impulso o velocidad inicial, su velocidad
disminuye con el tiempo y la aceleración de la gravedad se
considerará negativa. La determinación de magnitudes cinemáticas
tales como velocidad, altura o tiempo se podrán determinar, en tales
casos, con la ayuda de las fórmulas correspondientes.

Así, si se lanza verticalmente hacia arriba una bola de acero con una
velocidad inicial de 10 m/s cabe preguntarse a qué altura llegará. Se
dispone del valor de vo = 10 m/s, del valor de la aceleración g = 9,8
m/s y también del valor de la velocidad final, puesto que la bola, al
perder progresivamente velocidad, terminará por pararse, iniciando a
continuación un movimiento de descenso. Se trata entonces de
identificar una fórmula del movimiento uniformemente decelerado que
relacione las magnitudes v (dato), g (dato) y h (incógnita). Dicha
expresión es:
Despejando h y sustituyendo se tiene:
El tiempo que ha empleado el cuerpo en alcanzar esta altura máxima
puede, asimismo, determinarse a partir de los datos iniciales. Se trata
en este caso de identificar una fórmula que relacione v, g y t, siendo v
y g conocidas; dicha expresión es
Despejando t y sustituyendo resulta:
Otra cuestión de interés en este tipo de movimientos es averiguar con
qué velocidad volverá a caer. En el punto más alto de su trayectoria el
cuerpo carece de velocidad, de modo que iniciará el movimiento de
descenso partiendo del reposo, vo = 0. El espacio que recorre al subir
es el mismo que el que recorre al
pero considerando ahora g con valor positivo resulta:

v2 = 2 · 9,8 · 5,1 = 10 m/s
En ausencia de rozamientos, los movimientos de ascenso y descenso
son perfectamente simétricos, de modo que el cuerpo emplea el
mismo tiempo en subir que en bajar, y vuelve al punto de lanzamiento
con idéntica velocidad con la que partió de él.
Es, asimismo, interesante saber calcular la altura que alcanzaría en la
mitad del tiempo de ascenso. Como paso previo se han de identificar
con claridad las nuevas incógnitas, así como los datos disponibles. Se
conoce el tiempo t = 1,0/2, la aceleración g = 9,8 m/s2 y la velocidad
inicial vo = 10,0 m/s y se desea averiguar la altura h; la ecuación que
relaciona tales magnitudes es:
Sustituyendo los valores numéricos se obtiene:
De acuerdo con este resultado en la primera mitad del tiempo total, el
cuerpo recorre más de la mitad del espacio total, lo que indica que el
movimiento no es uniforme.
ESTUDIO DE LOS MOV. CIRCULARES
La descripción de los movimientos rectilíneos uniformes y
uniformemente acelerados puede extenderse a movimientos de
trayectoria no rectilíneo, si no se tienen en cuenta aquellos aspectos
del movimiento relacionados con el cambio de orientación que sufre
el móvil al desplazarse a lo largo de una trayectoria curvilínea.
Por tanto, un movimiento circular uniforme o uniformemente
acelerado, se puede estudiar recurriendo a las relaciones entre s, v,
t y a, deducidas a propósito de los movimientos rectilíneos. Sin
embargo, la posibilidad de describir el desplazamiento del punto
móvil mediante el ángulo barrido por uno de los radios, abre un
nuevo camino para su estudio, exclusivo de los movimientos

circulares, empleando magnitudes angulares y no magnitudes
lineales, es decir, utilizando magnitudes referidas a ángulos y no a la
línea trayectoria.
Magnitudes lineales y magnitudes angulares
La magnitud fundamental es el ángulo barrido por el radio que une el
punto móvil con el centro de la trayectoria circular, ángulo que se
expresa en radianes (rad). Un radián es la unidad SI de medida de
ángulo plano y se define como el ángulo central (con vértice en el
centro de una circunferencia) cuyo arco correspondiente tiene una
longitud igual al radio. Dado que la longitud de la circunferencia es
igual a 2 veces el valor del radio, el ángulo central completo
medirá 2 rad.
A partir de la definición de radián se puede establecer una relación
entre la longitud del arco, que en términos cinemáticos coincide con
el espacio s, y el ángulo . Así, expresar el ángulo en radianes
equivale a decir cuántas veces el radio R está contenido en la
porción de arco s correspondiente, lo que en términos matemáticos
se expresa en la forma:
Utilizando la notación de incrementos se tiene:
Si para describir un movimiento circular se elige la opción angular,
es decir, en términos de variación del ángulo con el tiempo, se
hace necesario introducir otras magnitudes angulares que
desempeñen el mismo papel que la velocidad y la aceleración en la
descripción lineal. Así se define la velocidad angular media m como
el cociente entre el ángulo barrido y el tiempo empleado
y representa la rapidez con la que por término medio varía el ángulo
a lo largo del intervalo de tiempo t.

El valor instantáneo, o referido a un instante, se expresa
análogamente como:
De acuerdo con su definición, la unidad SI de medida de será el
rad/s.
Dado que la velocidad angular puede variar con el tiempo, es
necesario introducir una magnitud que dé idea de la rapidez con la
que dicha variación tiene lugar; esto es, lo que se entiende por
aceleración angular. Al tratarse de una rapidez se habrá de distinguir
entre el valor medio m
y el valor instantáneo
Las unidades SI para esta nueva magnitud son, de acuerdo con su
definición, rad/s/s, es decir, rad/s2 o rad · s-2.
Dado que todo movimiento circular puede describirse, bien en
función de magnitudes lineales, bien en función de magnitudes
angulares, ambas descripciones equivalentes están relacionadas
entre sí. La relación fundamental viene dada por la ecuación (2.27)
que puede escribirse de nuevo en la forma
donde se indica que multiplicando el valor del ángulo en radianes
por el radio se tiene el valor del arco o espacio s medido sobre la
trayectoria. Así, conociendo el espacio que recorre una bicicleta y la
longitud del radio de sus ruedas, es posible averiguar el ángulo
descrito, o lo que, es lo mismo, el número de vueltas que ha dado.
En general se verifica:

de modo que:
La relación descrita por la ecuación (2.27) se puede extender a las
otras magnitudes angulares como la velocidad y la aceleración .
De modo que, en general, la relación de paso entre magnitudes
lineales y magnitudes angulares en un movimiento circular puede
escribirse como:
Para las velocidades la relación es, por tanto:
En efecto:
donde:
pues R es constante. Sustituyendo en la ecuación (2.32) de partida,
se tiene:
Para la magnitud aceleración la relación es análoga:

y, por tanto:
es decir:
Movimiento circular uniforme
La analogía existente entre las magnitudes lineales y las angulares
en un movimiento circular asegura la existencia de una analogía en
la forma de las ecuaciones correspondientes. En un movimiento
circular uniforme, la ecuación fundamental del movimiento referida a
magnitudes lineales:
se puede expresar en función de magnitudes angulares.
Sustituyendo en ella los valores de s y v dados en las ecuaciones
(2.27) y (2.31) resulta:
es decir:
que es la ecuación fundamental del movimiento circular uniforme
descrito en función de magnitudes angulares.
Movimiento circular uniformemente acelerado
Siguiendo un procedimiento análogo se obtienen las ecuaciones
cinemáticas que describen este tipo de movimiento. Así, partiendo
de la ecuación:

v = vo + at
y tomando en cuenta las ecuaciones (2.31) y (2.33), resulta
y dividiendo por R se obtiene la ecuación análoga a la de partida,
pero expresada en función de magnitudes angulares:
La ecuación
se beneficia del mismo tratamiento; considerando ahora la relación
entre espacio s y ángulo resulta:
es decir:
Lo mismo sucede para la ecuación
que se convierte, aplicando idéntico procedimiento, en la forma:
Finalmente la ecuación

se convierte en:
es decir:
Las anteriores ecuaciones características del movimiento circular
uniformemente acelerado pueden aplicarse también al movimiento
uniformemente retardado sin más que considerar la aceleración
como la deceleración, esto es, con signo negativo.
APLICACIÓN DEL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS CIRCULARES
La descripción de un movimiento circular puede hacerse bien en
función de magnitudes lineales ignorando la forma de la trayectoria,
bien en función de magnitudes angulares. Ambas descripciones están
relacionadas entre sí mediante el valor del radio de la circunferencia
trayectoria.
Un coche que circula a 72 km/h frena en un instante dado y consigue
detenerse tras recorrer una distancia de 40 m. Sus ruedas poseen un
radio de 25 cm y se pretende estudiar el movimiento circular de éstas
en términos lineales y en términos angulares, calculando su
aceleración de frenado y el tiempo que tarda en pararse.
El cálculo de la deceleración del coche se puede efectuar a partir de la
fórmula que relaciona las variables a (incógnita) con vo (dato) y s
(dato). Dicha expresión es
por tanto:

Dado que el coche termina parándose, la velocidad final v será cero.
Antes de sustituir los datos en las fórmulas es preciso expresarles en
unidades del Sistema Internacional:
R = 25 cm = 0,25 m
s = 40 m
por tanto,
Si las ruedas no se bloquean, ésta será también la aceleración lineal
del movimiento circular descrito por un punto de su superficie, ya que
el movimiento de traslación o de avance del coche es el desarrollo del
movimiento de rotación de las ruedas. El valor de la aceleración
angular correspondiente se podrá calcular dividiendo el anterior valor
por el del radio:
El cálculo de puede efectuarse de un modo alternativo convirtiendo
inicialmente los datos en sus correspondientes cantidades angulares y
utilizando después las fórmulas del movimiento circular. En tal caso:

La determinación del tiempo que tarda en pararse puede calcularse a
partir de la expresión
en donde se ha de tomar con su signo, que es, en este caso,
negativo:
El cálculo del ángulo descrito por uno de sus radios se podrá efectuar
a partir de la fórmula
es decir:
LA ACELERACIÓN EN LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS
En los movimientos curvilíneos la dirección cambia con el tiempo. Eso
significa que la velocidad considerada como vector v podrá variar
cuando varíe sólo su dirección, su módulo o, en el caso más general,
cuando varíen ambos.
La aceleración asociada a los cambios en dirección
Desde un punto de vista Sectorial, un movimiento circular uniforme es
un movimiento acelerado, aun cuando el móvil recorra la trayectoria a

ritmo constante. La dirección del vector velocidad, que es tangente a
la trayectoria, va cambiando a lo largo del movimiento, y esta variación
de v que afecta sólo a su dirección da lugar a una aceleración.
Cuando en un movimiento circular uniforme se determina gráficamente
el vector diferencia v, se advierte que está dirigido hacia el centro de
la trayectoria. De acuerdo con la definición del vector aceleración a, la
dirección de esta magnitud coincide con la dirección de la variación
del vector velocidad v. Así que en el movimiento circular uniforme el
vector aceleración está dirigido en cada instante hacia el centro de la
trayectoria según la dirección del radio. Por este motivo, se le
denomina aceleración centrípeta ac, que significa dirigida hacia el
centro y da idea de la rapidez con la que cambia la dirección del
movimiento.
Puede demostrarse que la aceleración centrípeta ac es tanto mayor
cuanto más rápido es el movimiento y cuanto más cerrada es la curva
trayectoria, siendo su expresión:
donde v es la rapidez o velocidad escalar y R el radio de la trayectoria
circular.
Esta componente del vector aceleración, relacionada con los cambios
en dirección del vector velocidad, está presente en todos los
movimientos curvilíneos, sean o no circulares.
La aceleración asociada a los cambios en módulo
Además de variar en dirección, el vector v puede variar también en
módulo en los movimientos curvilíneos. La aceleración asociada a tal
variación recibe el nombre de aceleración tangencial at, porque es
tangente a la trayectoria. Es el único tipo de aceleración presente en
los movimientos rectilíneos y coincide en módulo con la aceleración
que se considera en el estudio puramente escalar del movimiento
circular.

La aceleración total
La aceleración total en un movimiento curvilíneo es, entonces, un
vector que puede considerarse como la suma de dos componentes,
Una, la aceleración centrípeta ac, que es perpendicular a la
trayectoria, y da idea de la rapidez con la que el móvil cambia de
orientación; la otra, la aceleración tangencial at es tangente a la
trayectoria y representa la rapidez con la que varía en módulo el
vector velocidad, Si la primera componente no es nula eso significa
que el movimiento es curvilíneo; si la segunda tampoco lo es quiere
decir que no es uniforme.

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