Euler 3 siglos despues
- 1. Lecturas Matem´aticas Volumen 28 (2007), p´aginas 41–45 Euler. Tres siglos despu´es Diego Pareja Heredia Universidad del Quind´ıo, Armenia, Colombia Abstract. Short note on the life and works of L. Euler. Key words and phrases. Euler, Biography, History of Mathematics. 2000 AMS Mathematics Subject Classification. 01A50, 01A70. Resumen. Bosquejo de la vida y obra de L. Euler Leonhard Euler1 es un matem´atico cuya vi- gencia parece no tener l´ımite. Gauss recomend- aba a sus disc´ıpulos leer a los maestros, y nom- braba al matem´atico suizo, como uno de los grandes. Este a˜no, cuando se cumple el tercer centenario de su nacimiento, naci´o el 15 de abril de 1707 en Basilea, hay una amplia gama de even- tos conmemorativos, en varias partes de Europa y de Am´erica, que buscan destacar la enorme im- portancia de las contribuciones de Euler a las matem´aticas y a las ciencias. El liderazgo en estas celebraciones lo tiene la ciudadan´ıa de Basilea, su ciudad natal, con el apoyo de instituciones como la Confederaci´on Suiza, los Cantones de Basilea– Stadt y Basilea–Landschaft, la Universidad de Leonhard Euler 1707–1783 Basilea, la Academia Suiza de Ciencias, la Sociedad Suiza de Naturalistas y la Sociedad Matem´atica Suiza. El sitio: http://www.euler-2007.ch/en/komitee.htm ofrece amplia informaci´on sobre las actividades a realizarse durante este a˜no para recordar y destacar la magn´ıfica obra de este portento de las matem´aticas. 1Se pronuncia Oiler
- 2. 42 Diego Pareja Heredia Como el siglo de las luces, el siglo de la raz´on o el siglo del iluminismo o de la ilustraci´on, se conoce al siglo xviii. Destacarse como el m´as grande matem´a- tico de este siglo, cuando surgieron tantas figuras importantes en las ciencias, las artes, la literatura y la filosof´ıa, dice mucho del sitial de honor que ocup´o Euler en su tiempo. Turgot, contralor general de Luis xvi, lo calificaba como el ”famoso Leonhard Euler” en 1774, cuando el matem´atico de sesenta y siete a˜nos y ya ciego, estaba en el pin´aculo de su inagotable producci´on mate- m´atica. Tanto escribi´o de matem´aticas y ciencia, que la Academia de Ciencias de San Petersburgo, tuvo material para seguir publicando su obra in´edita, aun cincuenta a˜nos despu´es de su muerte. La producci´on de Euler es monumental. Hasta hace unos a˜nos se segu´ıa publicando su Opera Omnia, ¡m´as de ochenta vol´umenes! Es como imaginarse la Gran Enciclopedia Espasa convertida solo a las matem´aticas. En 1910 el n´umero de sus publicaciones alcanz´o la cifra de 866, incluyendo 25 vol´umenes dedicados a ´areas espec´ıficas que van desde ´algebra y an´alisis, pasando por geometr´ıa, teor´ıa de n´umeros, mec´anica y ´optica, hasta llegar a la filosof´ıa y a la m´usica. Basilea es la cuna de una pl´eyade de grandes matem´aticos. Adem´as de Eu- ler, figura la familia de los Bernoulli, cuyos troncos mayores fueron Jacob y Johann, sucedidos por Daniel y Nicol´as y al menos por cinco nombres m´as, que hacen de este n´ucleo familiar un caso ´unico en la historia de las matem´ati- cas. Adem´as, Basilea dio dos matem´aticos, que aunque no tan conocidos como los anteriores, s´ı fueron muy destacados: Nicol´as Fuss (1755-1826) y Jacob Hermann (1678-1733). Fuss fue secretario de Euler en San Petersburgo, por siete a˜nos, y en cierto modo coautor de mucha de la producci´on matem´atica de Euler en ese per´ıodo, puesto que ayud´o a preparar doscientos cincuenta de sus art´ıculos para publicaci´on, lo que es mucho decir. La prestancia hist´orica de Basilea en el aspecto matem´atico, se reconoce al descubrir que el famoso Premio Bordin de la Academia de Ciencias de Par´ıs, fue otorgado en veintiocho ocasiones a matem´aticos de esa ciudad, entre ellos, por supuesto, a Euler en doce oportunidades. Las matem´aticas se enriquecieron con las contribuciones de Euler, no ´uni- camente por sus contenidos, sino tambi´en por su metodolog´ıa y presentaci´on. Con peque˜nas diferencias, los textos que Euler escribi´o, tienen la presentaci´on que hoy vemos en los libros donde aprendimos c´alculo, ecuaciones diferenciales o inclusive ´algebra. Mucho de esto se debe a que Euler introdujo una simbolog´ıa que pas´o a ser est´andar en las matem´aticas, como por ejemplo: la constante γ = l´ımn→∞ 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n − log n = 0, 57721 . . . de Euler, e (de Euler) para designar la base de los logaritmos naturales, i para designar a la unidad imaginaria, f(x) para denotar una funci´on, sin x, cos x
- 3. Euler. Tres siglos despu´es 43 y tag x,2 para las funciones trigonom´etricas seno, coseno y tangente, ∆ para el incremento de una funci´on y para denotar suma, entre otros muchos s´ımbolos y denominaciones, que se usan todav´ıa en la literatura matem´atica actual. M´as a´un, la obra de Euler podemos leerla pues est´a impresa casi toda o se conserva en los archivos. Curiosamente a´un se traducen del lat´ın o el alem´an a otros idiomas algunos de sus libros de capital importancia hist´orica y cient´ıfica. Este es el caso de los Elementos de ´algebra, publicados inicalmente en alem´an por la Academia de San Petersburgo (1770), traducidos al franc´es en el siglo xviii, y en 1840 del franc´es al ingl´es como Elements of Algebra, por John Hewlett. Esta traducci´on es la que publica la editorial Springer, con pr´ologo de C. Truesdell, en 1984. Por otra parte, es f´acil constatar el n´umero de t´ıtulos de libros que est´an en circulaci´on y a los cuales podemos acceder y cerciorarnos de qu´e tan vigente sigue Euler en nuestros d´ıas. Euler fue part´ıcipe de una ´epoca heroica en el acontecer matem´atico del siglo de las luces. Me refiero a la creaci´on de dos grandes academias de cien- cias: la Academia de San Petersburgo y la Academia de Berl´ın, creadas en cierto modo, a imagen de las ya reconocidas e influyentes, Academia de Par´ıs y la Real Sociedad de Londres. Invitado por Daniel Bernoulli, uno de los convocados por Pedro el Grande para conformar la reci´en creada Academia de San Petersburgo, Euler lleg´o a ser su secretario y su figura m´as represen- tativa. Posteriormente pasar´ıa a hacer parte de la Academia de Ciencias de Berl´ın, creada por sugerencia de Leibniz y con el patronazgo de Federico II, emperador de Prusia, monarca, muy relacionado con las esferas cultas del humanismo europeo. Figuras como Voltaire y D´Alambert, por ejemplo, estuvieron relacionadas con el famoso emperador. La relaci´on de Euler y el emperador, sin embargo, no fue muy cordial. Tampoco hubo empat´ıa con Voltaire. Euler despu´es de algunos a˜nos volvi´o a San Petersburgo, hasta su muerte en 1783. El tiempo que permaneci´o en Rusia, unido a la gran pro- ducci´on matem´atica lograda all´a, explica porqu´e los matem´aticos rusos, tengan a Euler, como a uno m´as de los suyos. En Euler tenemos suficiente motivaci´on para emprender cualquier aven- tura matem´atica, tanto en las matem´aticas elementales ligadas a la teor´ıa de n´umeros, como en las matem´aticas avanzadas en conexi´on con el an´alisis ma- tem´atico o la topolog´ıa, por ejemplo. En teor´ıa de n´umeros encontramos fasci- nantes relaciones descubiertas por Euler. Para s´olo citar dos, empecemos con la ley de reciprocidad cuadr´atica que relaciona, la soluci´on de congruen- cias cuadr´aticas con n´umeros primos. Este aspecto de la teor´ıa de n´umeros lo culmina Gauss en sus famosas Disquisitiones Arithmeticae. En el an´alisis matem´atico las funciones beta, gama y zeta tienen su origen en trabajos de Euler. Posteriormente, ellas dar´ıan pie para estudios profundos. Este es el caso de la funci´on zeta (v´ease m´as adelante la ecuaci´on (2)), estudiada despu´es 2Abreviaturas de las palabras latinas sinus, cosinus y tangens, respectivamente. De all´ı deriva el uso en espa˜nol de las expresiones sen x, cos x y tg x.
- 4. 44 Diego Pareja Heredia por Riemann, quien conjetur´o que todos los ceros no triviales de esta funci´on en el plano complejo caen en la recta x = 1/2. A prop´osito, esta conjetura est´a en la galer´ıa de los Problemas del milenio del Instituto Clay, que promete un premio de un mill´on de d´olares para quienes los resuelvan.3 Euler ten´ıa un estilo de trabajo poco cercano a los est´andares actuales (en su ´epoca el c´alculo y an´alisis no se hab´ıan sometido al rigor impuesto por Cauchy y Weierstrass), lo que le permiti´o deambular libremente por senderos donde la intuici´on y la imaginaci´on forman un tel´on de fondo que propicia m´etodos no convencionales de aproximaci´on a problemas muy profun- dos. Un ejemplo, digno de menci´on es su acercamiento a la funci´on zeta a trav´es de una igualdad, que para los c´anones actuales no tiene sentido: ∞ n=1 1 n = p 1 − 1 p −1 , (1) donde p, en el producto de la derecha, recorre el conjunto de todos los n´umeros primos {p ; p = 2, 3, 5, . . .}. Tanto la serie como el producto divergen, y as´ı: ¿c´omo pueden ser iguales, dos cosas que van a infinito? La serie arm´onica de la izquierda “ser´ıa el valor de la funci´on zeta de Riemann ζ(s) = ∞ n=1 1 ns , donde s = σ + ti , σ > 1 . (2) en s = 1.” Al producto de la derecha llega Euler, al interpretar la serie ∞ i=0 aixi como un polinomio “de grado infinito” que podr´ıa factorizarse en t´erminos de sus ra´ıces: 1 − x r1 1 − x r2 1 − x r3 · · · . Ilustrativo de esta manipulaci´on formal euleriana es tambi´en el caso de la funci´on 1 − sen x, que expresada como polinomio infinito e igualando los coefi- cientes de x que resultan en el producto dado arriba, encuentra que π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 + · · · , valor que previamente hab´ıa hallado Leibniz, aunque por diferente camino. Aun hoy, despu´es de m´as de doscientos a˜nos de su muerte (en 1783), seguimos hablando de sus sorprendentes resultados y recorriendo los caminos abiertos por ´el en busca de nuevas aventuras y nuevos enfoques matem´aticos. No es ´unica- mente la celebraci´on del tricentenario, lo que en este a˜no vamos a compartir. Es adem´as, la gran variedad de literatura relacionada con Euler que tendremos a disposici´on. Empezando con lo inmediato: lo que circula en la red. Una p´agina en Internet que funciona desde hace algunos a˜nos es la del profesor Edward Sandifer,4 con un nombre muy sugestivo: ¿C´omo lo hizo Euler? En febrero 3Detalles de estos problemas pueden verse en http://www.claymath.org/millennium/ 4http://www.maa.org/
- 5. Euler. Tres siglos despu´es 45 de 2007 dedic´o esta p´agina a los diez grandes exitazos matem´aticos de Euler, entre los cuales figuran f´ormulas como ´estas: V − E + F = 2, donde V , E y F, representan el n´umero de v´ertices, aristas y caras, respectivamente, de un poliedro convexo. eπi + 1 = 0. Aqu´ı i es la unidad imaginaria y π el ´area del c´ırculo de radio 1. Esta f´ormula llama la atenci´on porque en ella aparecen juntos cinco n´umeros muy especiales: π, e, i, 1 y 0. p 1 p = ∞ (l´ease, la serie diverge), donde la suma se toma sobre to- dos los n´umeros primos. Consecuencia de esto, es el hecho de que el conjunto de los n´umeros primos es infinito.5 Esta es la primera prueba alternativa de la infinitud de los primos que encuentra Euler despu´es de la dada por Euclides, dos mil a˜nos antes, en la Proposici´on 20 del libro ix de los Elementos. ζ(2) = ∞ n=1 1 n2 = π2 6 . Esta evaluaci´on de la funci´on ζ de Riemann en 2 se conoce como el problema de Basilea.6 Mucho hay que ver y decir sobre la obra de Euler. Para empezar, bueno es visitar la columna de Sandifer, citada arriba, en el portal de la MAA, y si queremos conocer el Archivo Euler visitar http://math.dartmouth.edu/∼euler/ y as´ı darnos cuenta de cu´anto m´as podemos aprender de este prol´ıfico mate- m´atico. Agradecimientos. El autor agradece las valiosas observaciones hechas por el editor, que han contribuido a dar al presente art´ıculo, su presentaci´on final. (Recibido en enero de 2007. Versi´on final en marzo de 2007.) Diego Pareja Heredia Departmento de Matem´aticas Universidad del Quind´ıo Armenia, Colombia e-mail: depehache@yahoo.es 5El hecho de que la serie diverge se prueba f´acilmente usando el criterio de la integral. Teniendo esto, si la cantidad de primos fuese finita la suma de sus rec´ıprocos ser´ıa tambi´en finita. Esta contradicci´on muestra que la cantidad de n´umeros primos es infinita. 6Llamado as´ı pues, como problema por resolver, el c´alculo del valor de esta serie estuvo circulando en Basilea entre los Bernoulli. S´olo en 1735 Euler le dio soluci´on en forma poco convencional.