Exp morales losas_01

Ing. Roberto Morales Morales
RECTOR UNI - PERU
ANALISIS Y DISEÑO DE LOSAS

Losas en una DirecciónLosas en una Dirección
Las losas armadas en una dirección son panelesLas losas armadas en una dirección son paneles
de piso de concreto para los cuales la relaciónde piso de concreto para los cuales la relación
de luz mayor a la luz menor es igual o mayor quede luz mayor a la luz menor es igual o mayor que
2.0. Cuando esta relación es menor que 2 el2.0. Cuando esta relación es menor que 2 el
panel de piso llega a ser una losa en dospanel de piso llega a ser una losa en dos
direcciones.direcciones.
Una losa en una dirección es diseñada como unUna losa en una dirección es diseñada como un
paño de viga de ancho de 1m usando el mismopaño de viga de ancho de 1m usando el mismo
procedimiento de análisis y diseño que el deprocedimiento de análisis y diseño que el de
vigas con refuerzo simple.vigas con refuerzo simple.

En el diseño de losas, normalmente se asume unEn el diseño de losas, normalmente se asume un
espesor.espesor.
Las losas normalmente para cargas típicas noLas losas normalmente para cargas típicas no
requieren de refuerzo por corte.requieren de refuerzo por corte.
L
n
t
b b b b b
L
n
L
n
L
n
1 m

Refuerzo transversalRefuerzo transversal
Astemp = 0.0020 bt para fAstemp = 0.0020 bt para fyy = 2800, 3500 kg/cm2= 2800, 3500 kg/cm2
= 0.0018 bt para f= 0.0018 bt para fyy = 4200= 4200
s < 5t, 45 cms < 5t, 45 cm con y = 0.35%con y = 0.35%
Ast 0.0018 bt
4200
fy
0.0014 bt= ≥
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟

Aplicación:Aplicación:
Diseñar la losa simplemente apoyada reforzadaDiseñar la losa simplemente apoyada reforzada
en una dirección, que se muestra en la figura.en una dirección, que se muestra en la figura.
Considere:
f'c = 280 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
wD = 0.56 t/m2
wL = 0.50 t/m2
Dimensionar la losa para una cuantía de 0.004

Solución:
Considerando un ancho de 1mConsiderando un ancho de 1m
wuwu = 1.2= 1.2 wwDD + 1.6+ 1.6 wwLL = 1.2 * 0.56 + 1.6 * 0.5 = 1.472 t/m= 1.2 * 0.56 + 1.6 * 0.5 = 1.472 t/m22
MuMu == φφ f'f'cc bdbd22 ωω(1(1--0.590.59 ωω))
2.38 * 102.38 * 1055 = 0.9 * 280 * 100 d= 0.9 * 280 * 100 d22 * 0.060 (1* 0.060 (1--0.59 * 0.060)0.59 * 0.060)
3.60
Mu u
2
8
1.47 *
3.602
8
2.38 t m= = = −w
L
ω ρ
fy
f c
0.004 *
4200
280
0.060=
′
= =

Usar:Usar: h = 16 cm d = 16h = 16 cm d = 16 -- (2 + 0.635) = 13.36 cm(2 + 0.635) = 13.36 cm
ΡΡmaxmax = 0.75= 0.75 ΡΡbb = 0.0213 > 0.004........... Conforme= 0.0213 > 0.004........... Conforme
ΡΡminmin == ΡΡtemptemp = 0.0018 < 0.004 ….....…= 0.0018 < 0.004 ….....… ConformeConforme
Diseño:Diseño:
a = 2 cma = 2 cm d = 13.36 cmd = 13.36 cm
d 12.77 cm h d
2
12.77 2
1.27
2
15.4 cm= ⇒ = + + = + + =r
φ
( )
d
a
2
12.36 cm As
Mn
fy d
a
2
2.38 * 105
0.9 * 4200 12.36
− = ⇒ =
−
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟φ
As 5 cm2 a
As fy
0.85 f c b
5.09 * 4.2
0.85 * 0.28 * 100
0.90 cm= ⇒ = = =.
'
09

CONFORME
Usar:
φ 1/2" @ 0.26 Respuesta
d
a
2
12.91 cm As 4.88 cm2 a 0.86 cm− = ⇒ = ⇒ =
ρ As / bd
100 * 13.36
0.00365
4.88
= = =
φ
= φ ⇒ = = = = =
b 1 A 1.27
A nA s 0.26ms n n A /m 4.88s

Refuerzo transversal
Ast = 0.0018 bt = 0.0018 * 100 * 16 = 2.88 cm2 /
m
Usar: φ 3 / 8" @ s
0.71
2.88
0.25 m= =
f 1/2” @ 0.26
f3/8”@0.25
0.16
f 3/8” @ 0.25
f 1/2’’ @ 0.26

Diseño de una Losa Maciza
Diseñar la losa maciza por flexión reforzada en
una dirección. Considere: espesor = 14 cm, s/c
= 600 kg/m2, f'c = 210 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2.
Solución:
P.P. = 0.14 * 1 * 2.4 * 1.2 = 0.40
acab = 0.10 * 1.2 = 0.12
S/C = 0.60 * 1.6 = 0.96
wu = 1.48 t/m

S/C = 600 kg/m2
f'c = 210 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
1/24
1/14
3.40 3.70
1/14
1/9 1/24
1
24
0.71 t m a 0.40 cm As 1.68 cm2⇒ − ⇒ = ⇒ =
∴ 3 / 8" @ 0.42φ
1
9
2.07 t m⇒ −
1
24
0.84 t m a 0.47 cm As 2.00cm2⇒ − ⇒ = ⇒ =

Diseño:
Mu = 2.07 t-m a = 2 cm
3 / 8" @ 0.36 m∴ φ
1
14
1.22 t m a 0.69 cm A
s
2 cm2⇒ − ⇒ = ⇒ = .93
3 / 8" @ 0.24 m∴ φ
1
14
1.45 t m a 0.83 cm As 3.51 cm2⇒ − ⇒ = ⇒ =
∴ 3 / 8" @ 0.20 mφ
⇒
d 14 2
1.27
2
11.37 cm= − + =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

As = 5.09 cm2 a = 1.20 cm Conforme
Usar
As
2.07 *105
0.9 * 4200 11.37
a
2
5.28 cm2=
−
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⇒ =
′
=a
As fy
0.85 f c 100
1.24 cm
⇒
φ 1/ 2" @
1.27
5.10
0.25 m=

2.07 t-m ............... 1.20 cm
Mu ........................ x
As min = 0.0018 bd = 0.0018 * 100 * 11.37 = 2.05 cm2
φ 3/8" @ 0.35
s < 3t, 45 cm = 42, 45 cm Conforme
f 3/8” @ 0.24
f 3/8” @ 0.42
f 1/2” @ 0.25
f 3/8” @ 0.36
f 3/8” @ 0.20

Líneas de fluencia
Los términos "Líneas de Fluencia Positiva" y
"Líneas de Fluencia Negativa" son usados para
distinguir los asociados a tracción en la parte
inferior de la losa y tracción en la parte superior
de la losa respectivamente.
P
Línea de Fluencia Positiva
Línea de Fluencia Negativa
PLANTA

Las orientaciones para establecer los ejes de rotación y
líneas de fluencia son:
1. Las líneas de fluencia son generalmente rectas.
2. Los ejes de rotación generalmente se encuentran a
lo largo de las líneas de apoyo, las cuales pueden
ser rótulas reales o líneas de fluencia que actúan
como rótulas plásticas.
3. Los ejes de rotación pasan por los puntos de apoyo
(como las columnas).
4. La línea de fluencia comun a dos porciones de losa
pasa por el punto de intersección de los ejes de
rotación de dichas porciones.
5. Las deformaciones en la estructura plastificada se
producen alrededor de un eje de rotación y se hallan
concentradas en las líneas de fluencia. Las
porciones limitadas por ellas permanecen planas

Apoyos simples en todos los lados
Apoyo Apoyo

Formas típicas de línea de fluencia:
Apoyos no paralelos
Apoyos simples
en todos los lados
21
3
4
1
2

4 Apoyos
simples
3 Apoyos
simples
Borde
libre 2 Apoyos
empotrados
2
1
1
2
3
Borde Libre

Eje de rotación
Borde
libre
3 Apoyos
empotrados
2
1
3

Columna
2 apoyos empotrados
Apoyo simple
Libre

Métodos de análisis
a) Análisis por el método de equilibrio
A partir de una configuración aproximada de las líneas
de fluencia puede encontrarse la verdadera,
considerando el equilibrio de las porciones de la losa.
Cada porción considerada como cuerpo libre, debe
estar en equilibrio bajo la acción de las cargas
aplicadas, momentos flectores a lo largo de las líneas
de fluencia y reacciones o fuerzas cortantes a lo largo
de las líneas de apoyo.
Debe notarse que los momentos de fluencia son
momentos principales, por lo tanto los momentos de
torsión son nulos a lo largo de las líneas de fluencia y
generalmente las fuerzas cortantes son también nulas.

Métodos de análisis
b) Análisis por el método de los trabajos
virtuales
En base a una configuración de líneas de
fluencia se le da al sistema un conjunto de
desplazamientos virtuales compatibles con la
configuración supuesta, siendo posible
calcular las rotaciones correspondientes.
Igualando el trabajo exterior con el trabajo
interior, se encuentra la relación entre las
cargas aplicadas y los momentos últimos de
la losa.

Losas isotrópicas y ortotrópicas
Si una losa es reforzada idénticamente en
direcciones ortogonales, los momentos
resistentes últimos son los mismos en esas dos
direcciones y a lo largo de cualquier otra
dirección. Estas losas son llamadas
Isotrópicamente reforzadas.
Si una losa es reforzada diferentemente en dos
direcciones ortogonales, la losa es llamada
anisotrópica u ortotrópica.

Momentos últimos en ejes no
perpendiculares a las armaduras
El problema es calcular el momento último en
una dirección cualquiera si se conocen los
momentos últimos resistentes en dos direcciones
perpendiculares.
mq
1
q
q
senq
cosq
mx
my

mq, mx ,my : momentos últimos por unidad de longitud.
Tenemos:
En caso de losas isotrópicas
(Los momentos últimos son iguales en cualquier dirección)
m (mx cos ) cos (my sen ) senθ θ θ θ θ= +
m mx cos2 my sen2
θ θ θ= +
⇒ =mx my
∴ = +m mx cos2 mx sen2
θ θ θ
m mx myθ = =

Ejemplos de Aplicación
a) Métodos de Equilibrio
Aplicación Nº 01:
Se tiene una losa continua uniformemente
cargada como se muestra en la figura
adjunta. La losa tiene una luz de 3 m y está
reforzada para proveer una resistencia a
flexión positiva de 0.70 t-m/m. A flexión
negativa tiene una resistencia de 0.70 t-
m/m en la sección A y de 1.05 t-m/m en C.
Hallar la capacidad de carga límite de la
losa..

Solución:
Considerando un metro de ancho tendremos:
w t/m
A
B
C
3-xx
1 m
PLANTA
3.00

Analizando cada parte de la losa como cuerpo
rígido:
……….. …….(1)
………..(2)
De (1) .......................(3)
MA
wx2
2
0.70 0.70 0∑ = − − =
MC
w (3 x)2
2
0.70 1.05 0∑ =
−
− − =
w
2.8
x2
=

Aplicación Nº 02:
Se tiene una losa cuadrada simplemente
apoyada en sus cuatro lados e
isotrópicamente reforzada. Determinar el
momento resistente límite por metro lineal
requerido para sostener una carga
uniformente distribuida de W t/m2.

Solución:
Tenemos la configuración de falla
L
L

Considerando una de las cuatro partes iguales y
su equilibrio alrededor de su eje de rotación.

La carga distribuida concentrada en el centro de gravedad
será:
La proyección de los momentos sobre el eje de rotación
será:
Luego:
Pe
wL2
4
=
Mp MBC cos mL
2
2
2
2
mL
2
= = =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟α
MEJE
wL2
4
1
3
L
2
mL
2
mL
2
0= − − =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⇒ = −m
w L2
24
t m m/

Aplicación Nº 03:
Para la losa que se muestra simplemente
apoyada, determinar el momento resistente
último para una carga límite uniformemente
distribuida w (t/m2). La losa es isotrópicamente
reforzada.
1
2
2
6.0
x
1.5
3.01

Solución:
Zona 1:
La carga concentrada será: Pe w
3x
2
=
m
3.0
m
Pe
x/3
Eje de rotación
x

Considerando el equilibrio en el eje tendremos:
De aquí:
........................(1)
MEJE
3wx
2
x
3
3m 0= − =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
m
wx2
6
=

Zona 2:
Las cargas concentradas considerando las
secciones mostradas serán:
m
m
m
x 6-2x x
1.50
0.5
0.75
Pe2
Pe
1
Pe
1
Eje de Rotación
6.00

Tomando momentos respecto al eje de rotación:
6m + 1.5wx - 6.75w = 0 …………....………………. (2)
(1) en (2)
Pe1 wx
1.5
2
=
Pe2 w(6 2x) 1.5= −
MEJE 0∑ =
( )6 m 2 wx
1.5
2
0.5 w(6 2x) 1.5 (0.75) 0− − − =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
6
wx2
6
1.5 wx 6.75w 0 x 1.95 m
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
+ − = → =

t-m/m
b) Método de Trabajos Virtuales
m
wx2
6
m 0.634 w= ⇒ =
0.70 0.70 1.05
A B C

Aplicación Nº 04:
Se tiene una losa continua uniformemente
cargada. La losa tiene una luz de 3 m y está
reforzada para proveer una resistencia a flexión
positiva de 0.70 t-m/m y a flexión negativa de
0.70 t-m/m en A y 1.05 t-m/m en C. Determinar la
capacidad de carga última de la losa.

Solución:
Tenemos las rotaciones:
θA
1
x
= θ θ θ θ θB B1 B2 A C= + = +
⇒ = +
−
θB
x x
1 1
3
θC
1
3 x
=
−
1/21/2
W (t/m )
2
w(3-x)wx
A
B
C
CA
qB1 qB2
x 3 - x
3 3

Cuando tenemos una deflexión unitaria en B, se
desarrolla un trabajo externo de:
Y un trabajo interno de:
WE wx
1
2
w (3 x)
1
2
= + − =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
2
w
W M 0.70
1
x
0.70
1
x
1
3 x
1.05
1
3 xΙ = ∑ = + +
−
+
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟αθα
= +
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
14 175
3
. .
x x

Igualando:
Si: WI = WE
........................................... (1)
Para determinar el valor mínimo de w diferenciamos (1)
con respecto a x, e igualamos a cero:
∴ +
−
=
1.4
x
1.75
3 x
3w
2
w
0.933
x
1.167
3 x
= +
−
( )
dw
dx
0
0.933
x2
1.167
3 x
2
0= ⇒ − +
−
=

Resolviendo:
2.046 x = 2.898
En (1)
w = 1.39 t/m2
0 966 108
3
. .
x x
=
−
x m= 142.

Aplicación Nº 05:
Para la losa que se muestra en la figura adjunta
determinar el momento último resistente para
una carga límite uniforme w t/m2. La losa es
isotrópicamente reforzada.
1.5
3.0
x
6.0

Solución:
Considerando un desplazamiento virtual de D =1
de la linea de fluencia paralela a los lados
mayores.
2A
11
D=1
2A
2B
X
3.0
m

Tendremos:
051.0
Pe2A
/3
2x/3
D/3
e1
P
x/3
D=1.0
Zona 1:
Pe2B
D/ 2
Zona 2A:
0.5 0.5
Zona 2B:
We1 Pe1 3
w
3x
2
1
3
wx
2
= = =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∆

¨¨
Igualamos el trabajo exterior al trabajo interior para el
total de la losa:
We2A Pe2A 3
x
1.5 w
2
1
3
wx
4
= = =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∆
We2B Pe2B 2
(6 2x) 1.5 w
1
2
4.5 w 1.5 wx= = − = −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∆
Wi M= ∑ θ
Wi 3 m
L
x
6 m
L
1.5
= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
( )2
wx
2
4
wx
4
2 4.5 w 1.5 wx 2
3 m
x
6 m
1.5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+ + − = +
− + = +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟wx 9 w m
6
x
8

..................................................... (1)
Para hallar el momento último tenemos que diferenciar
con respecto a x e igualar a cero.
simplificando:
x2 + 1.5x - 6.75 = 0
Que viene a ser la misma ecuación que se obtuvo
usando el método de equilibrio. En (1)
t-m/m
m
w (9 x)
6
x
8
=
−
+
( )
dm
dx
(9 x) ( 1)
6
x
8
2
6x 2 1
6
x
8
1
0= − − + − − + − +
−
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⇒ = → =x m m w195 0 634. .

Aplicación Nº 06:
Para la losa exagonal inscrita en un círculo de
diámetro 8.80 m determine el valor de la carga
uniforme última t/m2. La losa tiene 20 cm de
espesor y está reforzada con φ1/2" @ 0.15 en
cada sentido (inferior). Está simplemente
apoyada en sus bordes. Considere f'c = 210
kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2.

Solución:
Por simetría la hipótesis de falla corresponde a
las líneas de fluencia que pasan por las
bisectrices. Las zonas delimitadas son iguales.
1.27
8.80
C
A B
G
4.40 Eje de Rotación
3
2
3 81L .m m

Por metro de Losa:
As =
a = 1.99 cm
m = 8.45 * 4.2 (0.167 - 0.001) = 5.58 t-m
m = 5.58 t-m/m
1
0.15
* 1.27 8.45 cm2 / m=
a = ⇒
8 45 4 2
0 85 0 21 100
. * .
. * . *
m A f d
a
s y= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2

a) Método de Equilibrio
5.58 * 4.40 - 0.5 * 4.40 * 3.81w * 1.27 = 0
w = 2.31 t/m2
b) Método de Trabajo Virtual
∆M = 1.0
WE :
Wi :
MAB 0=∑
6 * 4.40 * 3.81 * 0.5 W
1
3
16.76 W=
6 * 5.58 * 4.40 *
1
3.81
38.66
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
WE Wi w 2.31 t / m2= ⇒ =

Aplicación Nº 07:
La losa de la figura adjunta tiene sus cuatro
bordes simplemente apoyados. Ignorando los
efectos de esquina, complete la configuración de
las líneas de fluencia y determine el valor de la
carga uniformemente repartida que corresponde
a esta hipótesis de falla. El espesor de la losa es
15 cm y tiene refuerzo de φ 3/8" @ 0.20 en cada
sentido (malla inferior) considere.

f'c = 210 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
45°
45° 30°
30°
5.0
5.0
45°
45°

As = 5 * 0.71 = 3.55 cm2/m
dp=h-(r+f)
dp = 15 - (2 + 0.95) = 12.05 cm
a
3.55 * 4200
0.85 * 210 * 100
0.84 cm= =
( ) 1.73t m / m
a
m A f d 3.55 * 4.2 0.1205 0.0042s y 2
= −= − = −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
d1
d2

Si damos al punto F un desplazamiento virtual
encontramos los desplazamientos de los otros
puntos por relaciones geométricas.
∆F 1=
∆E
1.10
1.80
0.61= =
∆IB
1.00
1.85
0.54= =
∆ 3A
0.95
1.80
0.53= =
∆ ∆
∆
IA 4
E
3
0.203= = =
∆ ∆ ∆2 3B
1
3 F
1
3
= = =

Luego:
WE:
(1) (IA):
(IB):
(2)
(3) (3A):
(3B):
1
2
* 5 * 1.20 * w * 0.203 0.61 w=
1
2
* 4.5 * 1.30 * * 0.54 1.58w w=
1
2
* 5 * 1.85 *
1
3
1.54 w=
1
2
* 4.10 * 0.50 * w * 0.53 0.54 w=
1
2
* 6.83 * 1.80 * w *
1
3
2.05 w=

(4)
∑= 6.52 w
WI:
(1)
(2)
(3)
(4)
∑ = 17.68 t-m WE = WL
6.52 w = 17.68 w = 2.71 t/m2
1
2
* 1.83 * 1.10 * w *0.203 0.20 w=
5 *1.73 *
1
1.85
4.68 t m= −
5 *1.73 *
1
1.85
4.68 t m= −
6.83 * 1.73 *
1
1.80
6.56 t m= −
1.83 * 1.73 *
0.61
1.10
1.76 t m= −
⇒

Efectos de esquina en líneas de
fluencia
En el estudio anterior se ha considerado que las
líneas de fluencia llegan hasta los ángulos entre
dos lados que se cortan. Otra posibilidad es que
las líneas de fluencia se bifurquen antes de
llegar al ángulo, como se muestra en la figura
adjunta. a
b
c

Efectos de esquina en líneas de
fluencia
Si el ángulo de la losa está anclado ocurre que el eje de
rotación es a-b y la línea ab se convierte en una línea de
fluencia. Lo que quiere decir que la zona abc no se
deforma.
Las distribuciones de las líneas de fluencia con líneas
bifurcadas en los ángulos conducen a una menor
capacidad de la losa, que aquellas que no presentan
estas características. Sin embargo frecuentemente se
ignora en el análisis correspondiente, debido a que el
error que se comete ignorando el efecto de esquina
usualmente es pequeño y el incluirlo conduce a un
análisis complicado.

Análisis del ejemplo de losa cuadrada con carga
uniforme repartida.
Por equilibrio:
m’
a
a
m
c
b
m
Pe
h
Mab 0∑ =
( )m m' a
1
2
a h w
1
3
h 0+ − =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

….......................… (1)
Se tiene:
Si: h < 1/2 diagonal Hay efecto de esquina
Si: h > 1/2 diagonal No hay efecto de esquina
Si la esquina no está anclada el elemento triangular abc
giraría alrededor del eje ab levantándose de los apoyos.
m' = 0 En (1):
Donde:
m = Momento Unitario positivo
( )m m' a
1
2
a h w
1
3
h 0+ − =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
→
→
h
6 m
w
=

Aplicación Nº 08:
Calcular la carga uniformemente repartida que produce la
falla de una losa cuadrada de 4 m de lado, continua en
sus cuatro bordes y reforzada en dos sentidos con φ 3/8"
@ 0.25 m en la cara inferior y φ 3/8" @ 0.20 m en la cara
superior.
f'c = 210 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
t=0.15
4.0
4.0

Solución:
Calculamos los momentos positivos y negativos por unidad
de longitud.
m: As = 1/0.25 * 0.71 = 2.84 cm2
m': As = 1/0.20 * 0.71 = 3.55 cm2
a = 0.84 cm
m’ = 1.73 t-m/m
a
2.84 * 4200
0.85 * 210 *100
0.67 cm= =
( )dprom 15 2
2
2
15 2 0.95 12.05 cm= − + = − + =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
φ
0.0067m 2.84* 4.2 0.1205 1.40 t m/m
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= − = −
⇒

a) Sin considerar efectos de esquina
w = 4.70 t/m2
( ) ( )4 1.4 1.73
1
2
4 2 w
1
3
2 0+ − =
m’
m
m
1
1/3
A B
2.0
4.00

b) Considerando efectos de esquina:
Tomando un valor de: WE = 0.9w = 0.9 * 4.70 =
4.23 t/m2. En (1):
Luego es posible que se bifurquen las líneas de
fluencia.
( ) ( )h
6 m m'
WE
6 1.40 1.73
4.23
2.11 m
diag
2
=
+
=
+
= 〈
diag
2
2
2
L=

∆ o 1= ∆P
1.76
2.00
* 1.0 0.88= =
b
Eje de giro
supuesto
2.36 d/2<
0.50
0.71/2
0.71
2.11 =1
A
B
P
o
a c
1.76
2.00
3.00

El triángulo abc trabaja como un apoyo más, ya
que no se deforma, por eso no se considera para
efectos de energía.
WE :
(A)
(B)
Wi :
(A)
( )
1
2
* 0.71 * 2.11 * w *
1
3
0.88 0.220 w=
( )
1
2
* 4 * 2 * w *
1
3
1.00 1.333 w=
( ) ( )A achurado w *2* 0.5 0.258 w
1
*1.76
2
= − = −
WE
4
1.295 w=
( )1.40 1.73 * 0.71 *
0.88
2.11
0.927 t m+ = −

(B)
WE = Wi we = 4.34 t/m2
Con respecto al valor sin considerar efectos de esquina
da:
WE = 0.92 w t/m2
Verificando:
wA = 4.21 t/m2
wB = 4.37 t/m2 (Conforme)
Para fines prácticos se podrá diseñar sin considerar
efectos de esquina tomando una seguridad
disminuyendo el valor de W en un 10% a 15%.
( )140 173 3 0
1
2 0
4 695. . * . *
.
.+ = −t m
∴ ⇒
Wi t m
4
5 622= −.

Losas Armadas en dos Direcciones
Consideraciones sobre los Procedimientos
de Diseño:
El capítulo 13 del Código ACI 318-05 trata de
manera especial los sistemas de losas en dos
direcciones. Sus disposiciones son aplicables a:
Losas apoyadas sobre vigas, losas planas,
placas planas y losas con viguetas en dos
direcciones (losas reticulares).

Losas Armadas en dos Direcciones
Se hace referencia específica a dos métodos:
Uno semiempírico, el Método de Diseño Directo
y un análisis elástico aproximado, conocido
como el Método del Pórtico Equivalente.
Las disposiciones específicas de ambos
métodos están limitadas en su aplicación a
pórticos ortogonales sometidos a cargas debidas
sólo a la gravedad. En el caso de fuerzas
sísmicas lo recomendable es combinar los
resultados del análisis sísmico con el análisis
bajo cargas de gravedad.

Losas Apoyadas sobre vigas Losas Planas
Placas Planas Losas con Viguetas en dos Direccione

Tipos de Losas Armadas en Dos Sentidos:
Vista Planta - Vista Frontal:
Vigas
(a) Vigas y Losas (b) Losas Planas
Abaco
Capitel
(c) Losa con ábacos y columnas con capitel (d) Losas Nervadas

L /22
Ib
L /22 L /22
Ib
Is
Is
Viga Exterior
Figura 2. Secciones de losas y vigas consideradas para
el Cálculo de la expresión
Viga Interior
Vista Planta - Vista Frontal:

Criterio para elCriterio para el DimensionamientoDimensionamiento
de Losas Armadas en dos Sentidosde Losas Armadas en dos Sentidos
1.1. Espesor mínimo de losaEspesor mínimo de losa
El código ACI propone espesores mínimos de losa
que garantizan que sus deflexiones no sean
excesivas. Si los esfuerzos de corte son elevados,
dicho espesor debe ser incrementado. Esta situación
suele presentarse en sistemas de losas con vigas.
El espesor mínimo de losas con vigas entre apoyos,
es funcion de am el cual es igual al promedio de los
valores de a correspondientes a las vigas que limitan
el paño. El parámetro a se determina a través de la
expresión (ACI-13.0):

Donde:Donde:
Ecb: Módulo de elasticidad del concreto d las vigas.
Ecs: Módulo de elasticidad del concreto d la losa.
Ib : Momento de inercia de la sección bruta de la viga
respecto a su eje centroidal.
Is : Momento de inercia de la sección bruta de la losa
respecto a su eje centroidal cc
α =
E
E
cb b
cs s
Ι
Ι

Si vigas y losa constituyen un sistemaSi vigas y losa constituyen un sistema
monolítico, se considerará que las vigas incluyenmonolítico, se considerará que las vigas incluyen
una porción de losa a cada lado, la cuáluna porción de losa a cada lado, la cuál serasera
igual a la proyección de la viga sobre o porigual a la proyección de la viga sobre o por
debajo de la losa, la que sea mayor y no deberádebajo de la losa, la que sea mayor y no deberá
superar cuatro veces el espesor de la losa (figurasuperar cuatro veces el espesor de la losa (figura
1). En la1). En la figura 2 se muestra las secciones de
vigas y losas a ser consideradas en la expresión
1.

SiSi aam < 0.2, la rigidez de las vigas es practicamente nula
y por lo tanto su presencia no se considera.en este caso,
los espesores de losa se determinan haciendo uso de la
tabla.
Para losas con abacos h> 10cm.
Para losas sin abacos h> 12.5cm.

LLnn/34/34LLnn/34/34LLnn/31/31LLnn/31/31LLnn/31/31LLnn/28/2852505250
ConCon
v igasv igas dede
bordeborde
SinSin
v igasv igas dede
bordeborde
ConCon
vigasvigas dede
bordeborde
SinSin
v igasv igas
dede
bordeborde
PaPaññoo
interiorinterior
PaPaññoo exteriorexteriorPaPaññoo
interiorinterior
PaPaññoo exteriorexterior
ConCon abacosabacosSinSin abacosabacosEsf uerzoEsf uerzo
dede
f luenciaf luencia
del acerodel acero
fyfy
(kg/cm(kg/cm22))
ConCon
v igasv igas dede
bordeborde
SinSin
v igasv igas dede
bordeborde
ConCon
vigasvigas dede
bordeborde
SinSin
v igasv igas
dede
bordeborde
PaPaññoo
interiorinterior
PaPaññoo exteriorexteriorPaPaññoo
interiorinterior
PaPaññoo exteriorexterior
ConCon abacosabacosSinSin abacosabacosEsf uerzoEsf uerzo
dede
f luenciaf luencia
del acerodel acero
fyfy
(kg/cm(kg/cm22))

Si : 2.0 >Si : 2.0 > aam > 0.2 , el espesor de losa estará
dado por la expresión:
Si : am > 2.0 , el espesor mínimo estará dado
por la expresión:
h
L
f
cm
n
y
m
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ −
>
0 8
14000
36 5 0 2
12 5
.
( . )
. .
β α
h
L
f
cm
n
y
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
>
0 8
14000
36 9
9 0
.
. .
β

El parámetro b es igual a la relacion entre la
mayor y menor luz lebre de la losa.
En los extremos discontinuos, la losa debera
proveerse una viga de borde con un valor de a
no menor que 0.8 o si no la hay, el peralte sera
igual al espesor determinado con las dos
expresiones anteriores incrementado en un 10%.

2. Ábacos o paneles
Los dimensiones de los ábacos deberán
satisfacer las condiciones presentadas en la
figura 3. (ACI-13.3.7)
h
>h/4
>Ib/6>Ia/6
Ia Ib
Al ejeAl eje
Figura 3. Provisiones para el dimensionamiento de ábacos

2. Ábacos o paneles
Para el cálculo del refuerzo negativo sobre la
columna, el espesor del ábaco por debajo de la
losa no se considerará mayor que un cuarto de
la distancia entre la cara de la columna o capitel
y el borde del ábaco. Si el espesor del ábaco es
mayor, no se tomará en cuenta.

3. Capiteles
Los capiteles reducen la luz libre de los paños de la losa,
sin embargo, para el diseño, esta reducción es limitada a
un mínimo de 65% de la luz entre ejes de apoyos. Para
el cálculo de los momentos de la losa, las dimensiones
de las columnas no se considerarán mayores que las
definidas por la intersección del mayor cono circular o
pirámide recta que se pueda inscribir entre el capitel y la
superficie inferior de la losa del ábaco si es que existe y
cuyos lados están inclinados 45° respecto al eje de la
columna. La figura 4 muestra esta consideración más
claramente.

3. Capiteles
Los capiteles también incrementan la resistencia
al punzonamiento de la unión losa-columna pues
aumentan el perímetro de la columna
Ancho Efectivo del Capitel
Losa
Abaco
Capitel
Columna
45º 45º
Figura 4. Ancho Efectivo de una columna provista de capitel

Diseño de losas Armadas en dos
Direcciones según e Joint Comitee
ASCE-ACI 1940:
Este método solo es aplicable a losas armadas en dos
sentidos apoyadas en vigas o muros. Se definen los
siguientes parámetros:
Ls: luz menor del paño analizado medida centro a
centro de los apoyos o luz libre mas dos veces el
espesor de la losa, el que sea menor.
LI: luz mayor del paño analizado medida centro a
centro de los apoyos o luz libre mas dos veces el
espesor de la losa, el que sea menor.
wu: carag amplificada uniforme por unidad de area.
m: cociente de la luz menor del paño entre la luz
mayor, m= Ls/LI.

ASCE-ACI 1940:
La losa se considera dividida en franjas medias y franjas
de columna como se muestra en la fig. La sección critica
para el maximo momento negativo se ubica en la cara de
las vigas y para el máximo positivo, en el centro de los
paños. Los momentos, en la dirección mayor y menor, se
calculan a través de la siguiente expresión:
M = CwuLs
2
El parámetro C depende de las condiciones de apoyo de
la losa y se indica en la tabla 2.

ASCE-ACI 1940:
El momento por unidad de ancho obtenido a traves de la
expresion anterior corresponde a la franja media. El
momento de la franja de la columna sera 2/3 del
calculado
para la franja media. Si el momento negativo a un lado
de la viga es menor qu el 80% del momento en su otro
lado, los 2/3 de la diferencia se reparten a ambos lados
proporcionalmente a las rigideces de las losas.
El calculo de los momentos en las vigas se efectua
haciendo uso de las siguientes cargas uniformes,
equivalentes a las cargas triangulares o trapezoidales:

ASCE-ACI 1940:
El calculo de los momentos en las vigas se efectúa
haciendo uso de las siguientes cargas uniformes,
equivalentes a las cargas triangulares o trapezoidales:
Viga paralela a la luz Ls : wequiv= wLs/3
Viga paralela a la luz LI : wequiv= wLs/3*(3-m2)/2
El calculo de las fuerzas cortantes se efectúa empleando
la distribución real de la carga sobre la viga.
Por su simplicidad este método resulta muy útil para el
diseño de losas apoyadas en muros y vigas.

Franja Media
Franjas de Columna
L /4s
Ls/2
Ls/4
Ls/4Ls/4
L Ls I<
Ls
LI
Franjas medias y franjas de columna según el
Método del Joint Comitee ASCE-ACI

Tabla 2.Tabla 2.
Coeficientes para el Cálculo de los Momentos de diseñoCoeficientes para el Cálculo de los Momentos de diseño
de losas apoyadas en vigasde losas apoyadas en vigas

A) Método de Diseño Directo
Es un procedimiento simplificado que permite
determinar los momentos de diseño de losas
armadas en dos direcciones. Los elementos
diseñados haciendo uso de este procedimiento
satisfacen los requerimientos de resistencia de la
estructura y también la mayor parte de las
condiciones necesarias para un adecuado
comportamiento bajo cargas de servicio.
El Método de Diseño Directo consta de tres
pasos fundamentales como se muestra a
continuación:

A) Método de Diseño Directo
Donde:
wu: carga última factorizada total por unidad de
área
Ln: luz libre en la dirección de análisis de los
momentos
L2: luz perpendicular a la dirección de análisis
1. Determinación del momento estático factorizado total
(ACI-13.6.2) igual a la suma del momento positivo al
centro de la luz entre apoyos y la semisuma de los
momentos negativos en ellos.
M
w L L
o
u n= 2
2
8

Luz externa
M (-)u M (-)u
M (-)uM (-)u
M (+)u
M (+)u
Luz interna
2. Distribución del momento estático total Mo a las
secciones críticas para flexión positiva y negativa (ACI-
13.6.3).

Distribucion del Momento Estatico Total
para un Tramo Extremo
3. Distribución de los momentos factorizados negativos y
positivos en las franjas de columna e intermedias y en
las vigas, si las hay (sección 13.6.4 a la 13.6.6).
Losas sin vigas entre los apoyos
interioresBorde
exterior sin
restricción
Losa con
vigas entre
todos los
apoyos Sin viga de borde
Con viga de
borde
Borde
exterior
totalmente
restringido
Momento
negativo interior
0.75 0.70 0.70 0.70 0.65
Momento
positivo
0.63 0.57 0.52 0.50 0.35
Momento
negativo exterior
0 0.16 0.26 0.30 0.65

Porcentaje de Momento Positivo y Negativo
que Corresponden a la Franja de Columna
l2/l1 0.5 1.0 2.0
Momento negativo interior
α1l2/l1 = 0 75 75 75
α1l2/l1 ≥ 1.0 90 75 45
Momento negativo exterior
βt = 0 100 100 100
α1l2/l1 = 0
βt ≥ 2.5 75 75 75
βt = 0 100 100 100
α1l2/l1 ≥ 1.0
βt ≥ 2.5 90 75 45
Momento positivo
α1l2/l1 = 0 60 60 60
α1l2/l1 ≥ 1.0 90 75 45

Requisitos para la aplicación del
método:
1. Debe haber un mínimo de tres luces continuas en cada
dirección.
2. Los paneles deben ser rectangulares con una relación
de las luces largas a las cortas dentro de un panel no
mayor que 2.
3. Las longitudes de las luces sucesivas en cada dirección
no deben diferir en más de un tercio de la luz más larga.
4. Las columnas pueden correrse con respecto a cualquier
eje de columnas sucesivas un máximo del 10% de la luz
respectiva en la dirección del desplazamiento.
5. Las cargas las genera únicamente la gravedad, y la
carga viva no debe exceder 2 veces la carga muerta.

Requisitos para la aplicación del
método:
Si se utilizan vigas en los ejes de columnas, la rigidez
relativa de las vigas en las dos direcciones
perpendiculares, determinada por la relación
a1L12/a2L22, debe estar entre 0.2 y 5.0.

Franja de columna para L2 < L1:
Franja central
Franja de columna
Franja de columna
1/2 Franjacentral
equivalenteequivalente
interior
exterior
Pórtico
interior
Pórtico
exterior
L2L2
L/22L/22L/22
L/42L/42L/42
L1

Aplicación Nº 01:
Análisis y Diseño de una Losa Armada en dos
direcciones apoyada sobre Vigas
Usando el Método de Diseño Directo, se
determinará los momentos de diseño en las dos
direcciones, además de diseñar los paneles de
losa, para un piso intermedio de un edificio de
concreto armado.

V-B(0.35x0.70)
5.00
4.55
V-B(0.35x0.70)
6.50
6.05
0.454.55
5.225
0.45
V-I(0.35x0.50)
V-B(0.35x0.70)
V-B (0.35x0.70)
6.05
6.725
0.45 0.45
V-I (0.35x0.50)
V-B (0.35x0.70)
6.725
6.05
V-I (0.35x0.50)
V-I(0.35x0.50)
V-B (0.35x0.70)
0.45
V-I (0.35x0.50)
V-B(0.35x0.70)
0.45
5.225
4.55
V-I(0.35x0.50)
V-B(0.35x0.70)
0.45
V-I(0.35x0.50)
V-I (0.35x0.50)
0.45
V-B (0.35x0.70)
V-B(0.35x0.70)
V-I(0.35x0.50)
V-I (0.35x0.50)
V-I(0.35x0.50)
V-I (0.35x0.50)
V-B (0.35x0.70)V-B (0.35x0.70)
D
C
B
A
1 2 3 4
S
N
EW

Altura de piso = 3.7 m
Dimensiones de las vigas de borde = 35*70 cm²
Dimensiones de las vigas interiores = 35*50 cm²
Dimensiones de las columnas = 45*45 cm²
Espesor de la losa = 15 cm
Carga viva de servicio = 500 kg/m²
f'c = 280 kg/cm² (Para todos los elementos, concreto
de peso normal)
f y = 4200 kg/cm²

Cálulos y Discusiones
1. Diseño preliminar para el espesor de la losa h:
a) Control de la deflexión:
Elemento torsional
35 cm
55 cm (h ≤w
=55 cm
=15 cm
)4hf
hw
hf
Viga de borde:
Ib = 1482624.44 cm4
Figura 5.1a Porción de losa que debe incluirse con la viga de borde

Viga interior:
Ib = 585247.40 cm4
Figura 5.1b Porción de losa que debe incluirse con la viga interior
+8h
Elemento torsional b=35 cm
105 cm w+2h(b b≤
=15 cm
=35 cmhw
hf
f)

Franja de columna:
El Código del ACI divide los paños en franjas para
facilitar la distribución de los momentos en ellos. La
franja de columna es una franja con un ancho a cada
lado del eje de las columnas igual al menor valor entre
L1/4 y L2/4, donde L1 y L2 son las longitudes centro a
centro del paño de la losa.
Ancho de franja = 1.25 m
L
m1
4
5
4
125= = .
2L 6.5
1.63m
4 4
= =

Para las franjas de losa:
En este caso es el ancho entre las líneas
centrales de los paneles a cada lado de la viga
Para un ancho de 3.475 m (Viga de borde
exterior NS):
6 50
2
0 45
2
3 475
. .
.+ =
Ιs cm= =
347 5 15
12
97734 38
3
4. *
.

Para un ancho de 6.5 m (Viga interior NS):
exterior EW):
Ιs cm= =
650 15
12
182812 50
3
4*
.
5 0.45
2.725 m
2 2
+ =
Ιs cm= =
272 5 15
12
76640 63
3
4. *
.

Para un ancho de 5 m (Viga interior EW):
Ιs cm= =
500 15
12
140625
3
4*

Rigidez Relativa de la Viga y de la
Losa (a)
Vigas de borde (NS):
Vigas de borde (EW):
α =
E
E
cb b
cs s
Ι
Ι
α = =
1482624 44
97734 38
1517
.
.
.
α = =
1482624 44
76640 6
19 35
.
.
.

Losa (a)
Vigas interiores (NS):
Vigas interiores (EW):
α = =
585247 4
182812 5
3 20
.
.
.
α = =
585247 4
140625
416
.
.

Losa (a)
Puesto que a > 2.0 para todas las vigas utilizamos la
expresion para este caso:
h = 13.87 cm
Ln: longitud de la luz libre en la dirección larga medida
cara a cara de las columnas
Ln = 6.5 - 0.45 = 6.05 m
Usando 15 cm de espesor de la losa
h
L
f y
n
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
0 8
14000
36 9
.
'
β
∴

2. Momento factorizado en la losa:
Dirección N-S, ejes 1 y 4, considerando la franja
de diseño en el borde del edificio.
Carga muerta factorizada:
wD = 1.2 * (360 + 132.95) = 591.54 kg/m².
(Es el peso del alma de la viga por metro,
dividido por l2)
0 35 0 55
2400
6 5
2
0 45
2
132 95 2. * . *
. .
. /
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= kg cm

Carga viva factorizada:
wL = 1.6*(500) = 800 kg/m²
Luego: wu = wD + wL = 591.54 + 800.0 =
1391.54 kg/m²
wu = 1.39 t/m²⇒

a) Momento factorizado total por tramo:
Mo = 12.50 t-m
M
w L L
o
u n= 2
2
8
M t mo = = −
139 3 475 4 55
8
12 50
2. * . * .
.
⇒

Se verificará las limitaciones de la sección 13.6.1.6 para
la rigidez relativa de las vigas en dos direcciones
perpendiculares.
Para el panel interior:
0.2 < 1.76 < 5.0 .................... OK!
Para el panel exterior:
0.2 < 0.38 < 5.0 .................... OK!
α
α
1 2
2
2 1
2
2
2
1517 3 475
416 5 0
176
L
L
= =
. * .
. * .
.
α
α
1 2
2
2 1
2
2
2
1517 3 475
19 35 5 0
0 38
L
L
= =
. * .
. * .
.

b) Momento factorizado negativo y positivo:
De la tabla 4-1.7, las relaciones de momento que
deben aplicarse para obtener los momentos exteriores
negativo, positivo y el momento negativo interior son
respectivamente: 0.16, 0.57 y 0.70.
Luz interior:
Momento negativo = 0.65Mo = 8.13 t-m
Momento positivo = 0.35Mo = 4.38 t-m
Luz extrema:
Momento negativo exterior = 0.16Mo = 2.00 t-m
Momento negativo interior = 0.70Mo = 8.75 t-m

3. Distribución de momentos
factorizados en las franjas de columnas
centrales:
Porcentaje del momento total negativo y positivo
en la franja de columna.
La franja de columna tiene un ancho de (5/4 +
0.45/2) = 1.475 m
L
L
L
L
2
1
2
1
6 5
5
130 130= = ⇒ =
.
. .
α α1
2
1
1
2
1
1517
6 5
5
19 72 19 72
L
L
L
L
= = ⇒ =. *
.
. .

3. Distribución de momentos
factorizados en las franjas de columnas
centrales:
De la tabla 4-1.1 (Momentos en la franja de
columna como porcentaje del momento total en
la sección crítica), interpolando linealmente
tenemos:

Momento negativo:
La franja de columna toma el 66% del momento
negativo, o sea 5.37 t-m, de los cuales las vigas
toman el 85%, o sea 4.56 t-m y la losa toma el
resto o sea 0.81 t-m. Los 2.76 t-m restantes se
asignan a la franja central de la losa.
X1 = 35 cm X2 = 15 cm X1 = 35 cm X2 = 15 cm
Y1 = 55 cm Y2 = 90 cm Y1 = 70 cm Y2 = 55 cm
C1 = 470910.42 cm
4
C2 = 90618.75 cm
4
C1 = 685285.42 cm
4
C2 = 51243.75 cm
4
∑C = 470910.42 + 90618.75 = 561529.17 cm
4
∑C = 685285.42 + 51243.75 = 736529.17 cm
4

Momento positivo:
positivo, o sea 2.89 t-m, de los cuales las vigas
toman el 85%, o sea 2.46 t-m y la losa toma el
resto o sea 0.43 t-m. Los 1.49 t-m restantes se
La constante torsional para la viga de borde se
encuentra a partir de la siguiente ecuación para
una forma rectangular de 35*70 cm² con un ala
sobresaliente de 15*55 cm². De la figura 5.1a
tenemos:

Momento positivo:
Donde:
x: dimensión menor
y: dimensión mayor
La restricción relativa proporcionada por la resistencia
torsional de la viga de borde transversal efectiva se
refleja mediante el parámetro bt.
C
x
y
x y
= ∑ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
1 0 63
3
3
.

Momento positivo:
Donde:
Is = 182812.5 cm4
bt = 2.01
βt
cb
cs s
E C
E
=
2 Ι
Ιs
L h
= 2
3
12
Ιs cm= =
650 15
12
182812 5
3
4*
.
β t = =
73652917
2 182812 5
2 01
.
* .
.

Momento negativo exterior:
negativo exterior, o sea (2.00) * 0.73 = 1.46 t-m,
de los cuales las vigas toman el 85%, o sea 1.24
t-m y la losa toma el resto o sea 0.22 t-m. Los
(2.00) * 0.27 = 0.54 t-m restantes se asignan a la
franja central de la losa.

Momento positivo:
positivo, o sea (7.13)*0.66 = 4.71 t-m, de los
cuales las vigas toman el 85%, o sea 4.00 t-m y
la losa toma el resto o sea 0.71 t-m. Los
(7.13)*0.34 = 2.42 t-m restantes se asignan a la

Momento negativo interior:
negativo interior, o sea (8.75) * 0.66 = 5.78 t-m,

Dirección N-S, ejes 2 y 3, considerando
la franja de diseño en el eje interior de
las columnas.
wD = 1.2*(360 + 45.23) = 486.28 kg/m²
(Es el peso del alma de la viga por metro, dividido por L2)
wL = 1.6*(500) = 800 kg/m²
Luego: wu = wD + wL = 486.28 + 800 = 1286.28 kg/m²
wu = 1.29 t/m2
0 35 0 35
2400
6 5
45 23 2. * . *
.
. /= kg cm
⇒

Dirección N-S, ejes 2 y 3, considerando
la franja de diseño en el eje interior de
las columnas.
Mo = 21.70 t-m
M
w L L
o
u n= 2
2
8
M t mo = = −
129 6 5 4 55
8
2170
2. * . * .
.
⇒

Se verificará las limitaciones de la sección
13.6.1.6 para la rigidez relativa de las vigas en
dos direcciones perpendiculares.
Panel interior:
a1 = 3.20 L2 = 6.5 m
a2 = 4.16 L1 = 5.0 m
0.2 < 1.30 < 5.0 .......... CONFORME
α
α
1 2
2
2 1
2
2
2
3 20 6 5
416 5 0
130
L
L
= =
. * .
. * .
.

Panel exterior:
a1 = 3.20 L2 = 6.5 m
a2 = 19.35 L1 = 5.0 m
0.2 < 0.28 < 5.0 ........... CONFORME
Con L2/L1 = 6.5/5 = 1.30, a1L2/L1 = 3.20 * 6.5/5 = 4.16 y
bt = 736529.17/(2*182812.5) = 2.01, el momento
factorizado total se repartirá a las secciones de momento
negativo y positivo de acuerdo con la tabla 4-1.7 y se
distribuirá lateralmente a través del ancho de las
secciones críticas a momento con la ayuda de la tabla 4-
1.1.
α
α
1 2
2
2 1
2
2
2
3 20 6 5
19 35 5 0
0 28
L
L
= =
. * .
. * .
.

Dirección E-W, ejes A y D, considerando
la franja de diseño en el borde del
edificio.
wD = 1.2* (360 + 169.54) = 635.45 kg/m²
(Es el peso del alma de la viga por metro, dividido por L2)
wL = 1.6*(500) = 800 kg/m²
Luego: wu = wD + wL = 635.45 + 800.0 = 14.35.45 kg/m²
wu = 1.44 t/m²
0 35 0 55
2400
5
2
0 45
2
169 54 2. * . *
.
. /
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= kg cm
⇒

Mo = 17.95 t-m
M
w L L
o
u n= 2
2
8
M t mo = = −
144 2725 6 05
8
17 95
2. * . * .
.
⇒

a) Momento factorizado negativo y positivo:
De la tabla 4-1.7, las relaciones de momento que
deben aplicarse para obtener los momentos
exteriores negativo y positivo y el momento negativo
interior son respectivamente: 0.16, 0.57 y 0.70.
Luz interior:
Momento negativo = 0.65Mo = 11.67 t-m
Luz extrema:
Momento negativo exterior = 0.16Mo = 2.87 t-m
Momento positivo = 0.57Mo= 10.23 t-m
Momento negativo interior = 0.70Mo = 12.57 t-m

Los momentos factorizados en las franjas de
columna y franjas centrales se resumen como
sigue:

columnas y franjas centrales se resuemn como
sigue:

Distribución de momentos factorizados
en las franjas de columnas y centrales:
Porcentaje del momento total negativo y positivo
en la franja de columna.
La franja de columna tiene un ancho de (5/4 +
0.45/2) = 1.475 m
L
L
2
1
5
6 5
0 77= =
.
.
α1
2
1
19 35
5
6 5
14 88
L
L
= =. *
.
.

Distribución de momentos factorizados
en las franjas de columnas y centrales:
De la tabla 4-1.1 (Momentos en la franja de
columna como porcentaje del momento total en
la sección crítica), interpolando linealmente
tenemos:

Momento negativo:
Que la franja de columna toma el 82% del
momento negativo, o sea 9.57 t-m, de los cuales
las vigas toman el 85%, o sea 8.13 t-m y la losa
toma el resto o sea 1.44 t-m. Los 2.1 t-m
restantes se asignan a la franja central de la
losa.

Momento positivo:
Que la franja de columna toma el 82% del momento
positivo, o sea 5.15 t-m, de los cuales las vigas toman el
85%, o sea 4.38 t-m y la losa toma el resto o sea 0.77 t-
m. Los 1.13 t-m restantes se asignan a la franja central
de la losa.
De la franja de columna en la dirección N-S, tenemos: C
= 736529.17 cm4
La restricción relativa proporcionada por la resistencia
torsional de la viga de borde transversal efectiva se
refleja mediante el parámetro βt.

Momento positivo:
Donde:
β t
cb
cs s
E C
E
=
2 Ι
Ιs
L h
= 2
3
12
Ιs cm= =
500 15
12
140625
3
4*
βt = =
73652917
2 140625
2 62
.
*
.

Momento negativo exterior:
momento negativo exterior, o sea (2.87)*0.82 =
2.35 t-m, de los cuales las vigas toman el 85%, o
sea 2.00 t-m y la losa toma el resto o sea 0.35 t-
m. Los (2.87)*0.18 = 0.52 t-m restantes se

Momento positivo:
momento positivo, o sea (10.23)*0.82 = 8.39 t-m,

Momento negativo interior:
momento negativo interior, o sea (12.57)*0.82 =
10.31 t-m, de los cuales las vigas toman el 85%,
o sea 8.76 t-m y la losa toma el resto o sea 1.55
t-m. Los (12.57)*0.18 = 2.26 t-m restantes se

Dirección E-W, Ejes B Y C,
Considerando la Franja de Diseño
en el Eje Interior de las Columnas.
wD = 1.2*(360 + 58.8) = 502.56 kg/m²
(Es el peso del alma de la viga por metro,
dividido por L2)
0 35 0 35
2400
5
58 8 2. * . * . /= kg m

wL = 1.6*(500) = 800 kg/m²
Luego: wu = wD + wL = 502.56 + 800 = 1302.56
kg/m²
wu = 1.30 t/m²⇒

Mo = 29.74 t-m
M
w L L
o
u n= 2
2
8
M t mo = = −
130 5 6 05
8
29 74
2. * * .
.
⇒

Con L2/L1 = 5/6.5 = 0.77, α1L2/L1 = 4.16*5/6.5 = 3.20
y βt = 736529.17/(2*140625) = 2.62, el momento
factorizado total se repartirá a las secciones de
momento negativo y positivo de acuerdo con la tabla
4-1.7 y se distribuirá lateralmente a través del ancho
de las secciones críticas a momento con la ayuda de
la tabla 4-1.1.
1. Puesto que α1L2/L1 > 1.0, las vigas deben
proporcionarse una resistencia del 85 % del
momento en la franja de columna de acuerdo
con la sección 13.6.5.1 del Código ACI.
2. La porción del momento factorizado no resistida
por la franja de columna, se asignará a las dos
medias franjas centrales.

sigue:
Momento Momentos e n las
Factorizado Momento Momento en la Viga Momento en la dos medidas
(t-m) (t-m)
1
(t-m) losa (t-m) franjas centradas
(t-m)²
Luz extrema:
Negativo
Exterior
0.16 Mo = 2.87 82 2.35 2.00 0.35 0.52
Positivo 0.57 Mo = 10.23 82 8.39 7.13 1.26 1.84
Negativo
Interior
0.70 Mo = 12.57 82 10.31 8.76 1.55 2.26
Luz interior
Negativo 0.65 Mo = 11.67 82 9.57 8.13 1.44 2.1
Positivo 0.35 Mo = 6.28 82 5.15 4.38 0.77 1.13
%
Franja de columna

sigue:
Momento Momentos en las
Factorizado Momento Momento en la Viga Momento en la dos medidas
(t-m) (t-m)1
(t-m) losa (t-m) franjas centradas
(t-m)²
Luz extrema:
Negativo
Exterior
0.16 Mo = 4.76 82 3.90 3.32 0.58 0.86
Positivo 0.57 Mo = 16.95 82 13.9 11.82 2.08 3.05
Negativo
Interior
0.70 Mo = 20.82 82 17.07 14.51 2.56 3.75
Luz interior
Negativo 0.65 Mo = 19.33 82 15.85 13.47 2.38 3.48
Positivo 0.35 Mo = 10.41 82 8.54 7.26 1.28 1.87
Franja de columna
%

4. Momento factorizado en las
columnas:
Analizando para la dirección N-S, ejes 2 y 3,
tenemos:
a) Columnas interiores
Con luces iguales en la dirección de
análisis y luces iguales en la dirección
transversal.
M w L Lu L n= ⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟0 07 0 5 2
2. .

Mu = 0.07[0.5 (1.7 * 0.50) * 6.5 * 4.55²] = 4.0 t-m
Mu = 4.0 t-m
Con el mismo tamaño de la columna y longitud
sobre y debajo de la losa.
Este momento se combina con la carga axial
factorizada (para cada piso) para el diseño de las
columnas interiores.
M t m M t mc c= = − ⇒ = −
4 0
2
2 0 2 0
.
. .
⇒

b) Columnas exteriores:
El momento negativo exterior total de la losa-
viga es transferido a las columnas exteriores;
con el mismo tamaño de la columna y
longitud sobre y debajo del sistema de losa:
M t m M t mc c= = − ⇒ = −
3 82
2
191 191
.
. .

5. Resistencia al corte:
a) Vigas:
Puesto que α1L2/L1 > 1.0 para todas las
vigas, deben resistir el cortante total (bw = 35
cm, d = 44 cm).
Se verificará sólo las vigas interiores, porque
ellos transportan fuerzas cortantes mucho
más altas que las vigas de borde.

W
S
E
N
L = 6.5 m2
L = 5.0 m1
L /2 L - L L /21 2 1 1
Figura 5.1c Áreas tributarias para cálculos de
cortante

Vigas NS:
Vigas EW:
V w L
L w L
u u
u
= =
1
2 2 41
1 1
2
( )V w
L L
w L L
L
u u u= + −
1
2 2 2
2
2
1 1
2 1
1
( ) ( )V
w L
L L L
w L
L Lu
u u= + − = −1
1 2 1
1
2 1
4
2 2
4
2

Vigas NS:
Vu = 8.88 t
φVc = 0.75 * 0.53 * * 35 * 44/1000 = 10.24 t
φVc = 10.24 t > Vu = 8.88 t .......... OK!
V
w L
u
u
= 1
2
4
V tu = =
142 5 0
4
8 88
2. * .
.
V f b dc c w= 0 53. '
280
⇒

Sólo se requiere refuerzo mínimo de corte
Vigas EW:
Vu = 14.2 t
φVc = 10.24 t < Vu = 14.2 t ..........CONFORME
( )V
w L L L
u
u
=
−1 2 12
4
( )V tu =
−
=
142 5 2 6 5 5
4
14 2
. * * .
. ⇒

La resistencia requerida al corte, será
proporcionada por el refuerzo de corte
b) Losas: (bw = 100 cm , d = 12 cm)
( )V
V V
s
u c
=
− φ
φ
( )V ts =
−
=
14 20 1161
0 75
3 45
. .
.
.
V
w L
u
u= 5
2
1

φVc = 0.75 * 0.53 * * 100 *12/1000 = 7.99 t
φVc = 7.99 t > Vu = 3.55 t ..........CONFORME
La resistencia al cortante de la losa es adecuada
sin el refuerzo por corte
V tu = =
142 5
2
3 55
. *
.
V f b dc c w= 0 53. '
280

7. Las vigas de borde deben diseñarse para
resistir el momento no transferido a las
columnas exteriores por las vigas
interiores, de acuerdo con la sección 11.6
del Código ACI.
Diseño de una Losa Armada en dos
direcciones y con vigas de borde

Aplicación:
Un sistema de piso armado en dos direcciones
para un edificio de concreto armado está
compuesto por paneles de losa con dimensiones
6 * 7.5 m2 en planta, apoyados en vigas
peraltadas en los ejes de columnas y vaciadas
monolíticamente con la losa, como aparece en la
figura. Utilizando concreto con f'c = 280 kg/cm2 y
acero con fy = 4200 kg/cm2, diséñese un panel
exterior común para soportar una carga viva de
servicio de 600 kg/m2, además del propio peso
del piso.

Figura, losa de piso armada en dos direcciones
con vigas en los ejes de columnas:; (a) Sección
X-X (la sección Y-Y es similar); (b) Planta parcial
del piso.
50 50
35 35 35 35
17.5 17.5
(a)

(b)
7.5 m 7.5 m 7.5 m
6 m
6 m
Y
6 m
PANEL EXTERIOR
COMUN PANEL INTERIOR
X X
Y

Solución:
El sistema de piso satisface todos los límites establecidos en
el Método de Diseño Directo del código ACI. Con propósitos
ilustrativos, se diseñará únicamente un panel exterior común
como se ilustra en la figura. Los límites de espesor que
indica el código ACI, se utilizarán como guía para obtener el
espesor deseado de la losa. Para utilizar las ecuaciones que
indica el código (referidas al espesor) se introducirá un valor
tentativo de h=17.5 cm y se supondrán las dimensiones de
las vigas en 35 * 50 cm2 como en la figura. La proyección
efectiva del ala más allá de la cara de las almas de las vigas
es la menor de 4hf o h - hf, que en este caso es igual a 32.5
cm. Los momentos de inercia de las vigas T, se
determinarán con respecto a su centro de gravedad.

Viga de Borde (Exterior)
50
35 32.5
17.5
Ib cm= 492446 35
4
.

Viga Interior
100
17.5
35
Ib cm= 575656 37
4
.

Franja de Columna
El código del ACI divide los paños en franjas para facilitar
la distribución de los momentos en ellos. La franja de
columna es una franja con un ancho a cada lado del eje
de las columnas igual al menor valor entre L1/4 y L2/4,
donde L1 y L2 son las longitudes centro a centro del paño
de la losa.
∴ Ancho de franja = 1.5 m
L1
4
7.5
4
1.875m= =
L1
4
6
4
1.5m= =

Para las Franjas de Losa
En este caso es el ancho entre las líneas
centrales de los paneles a cada lado de la viga.
exterior):
Ιs
393 *17.53
12
175519.53 cm4= =

Para las Franjas de Losa
Para un ancho de 6 m:
Para un ancho de 7.5 m:
Ιs
600 *17.53
12
267968.75 cm4= =
Ιs
750 *17.53
12
334960.94 cm4= =

Rígidez relativa de la Viga y de la
Losa (α)
Para la viga de borde:
α =
Ecb b
Ecs s
Ι
Ι
α = =
492446.35
175519.53
2.8

Rígidez relativa de la Viga y de la
Losa (α)
Para las dos vigas de 7.5 m de largo:
Para la viga de 6 m de largo:
α =
575656.37
267968.75
2.1=
α = =
575656.37
334960.94
1.7

Rígidez Promedio (αm)
αm
2.8 2.1 1.7
3
2.2=
+ +
= ⇒ am = 2.2

Relación entre la luz libre en
dirección larga y la luz libre en la
corta (β)
Luz larga = 750 - 35 = 715 cm
Luz corta = 600 - 35 = 565 cm
b = 1.27β = =
715
565
1.27 ⇒

Espesor mínimo de la losa
0.2 < αm < 2 m
h > 12.5 cm
Donde:
Ln: Luz libre en dirección larga en cm
Ln = 750 - 35 = 715 cm
h
Ln 0.8
fy
14000
36 9
=
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
β

El espesor mínimo no debe ser menor que el
determinado por la ecuación.
⇒ h = 16.58 cm
h
Ln 0.8
fy
14000
36 9
=
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
β
h
715 0.8
4200
14000
36 9 *1.27
16.58 cm=
+
+
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

y el limite necesita no ser mayor que el valor de
la ecuación:
⇒ h = 21.85 cm
h
Ln 0.8
fy
14000
36
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
h
715 0.8
4200
14000
36
21.85 cm=
+
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

*Para losas con vigas de borde rígidas
relativamente altas, con valores de αm ≥ 2, la
ecuación que controla es:
De donde:
h = 16.58 cm (mínimo)
El limite de 9 cm de la ecuación si αm ≥ 2 ⇒ 9
cm (mínimo).
h
Ln 0.8
fy
14000
36 9
=
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
β

Evidentemente no controla en este caso y el
espesor tentativo adoptado de 17.5 cm será la
base para los demás cálculos.
Sea:
wc = 2400 kg/m3 (peso específico del concreto)
Para una losa de 17.5 cm la carga muerta
es:
wD
17.5
100
* 2400 420
kg
m2
= =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
wD
17.5
100
* 2400 420
kg
m2
= =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

Carga viva:
wL = 600
Si se aplican los coeficientes de carga usuales
para obtener las cargas de diseño, se obtiene:
wu = 1.2wD + 1.6wL
wu = 1.2 * 420 + 1.6 * 600 = 1464 kg/m2
⇒ wu = 1.464 t/m2
kg
m2

Momento estático total para cargas
mayoradas
Donde:
Ln: Se define como la luz en la dirección del
análisis de los momentos
L2: Se define como la luz en la dirección
transversal
M
wuL2Ln
2
8o =

Para la dirección de la luz corta considerando
la franja de losa y viga centrada en el eje
interior de columnas, el momento estático
total de diseño es:
⇒ Mo = 43.81 t-m
Esto se distribuye de la siguiente manera:
Momento Negativo de Diseño = 43.81 * 0.65 =
28.48 t-m
2
1.464 * 7.5 * 5.65
M 43.81t - m
o
8
= =

Momento Positivo de Diseño = 43.81 * 0.35 =
15.33 t-m
La franja de columna tiene un ancho de 2 * 6/4 =
3 m
L 7.52 1.25
L 6
1
= =
L 7.52 1.7* 2.13
1 L 6
1
α = =

Tabla, factores de distribución aplicados al
momento estático Mo para calcular momentos
positivos y negativos en la luz extrema.V

Tabla, momentos en la franja de columna como
porcentaje del momento total en la sección
crítica.

Los factores de distribución para el momento de
la franja de columna, se obtendrá a partir de la
tabla.
Interpolando linealmente tenemos:

Momento Negativo
Que la franja de columna toma el 67.5 ≈ 68% del
momento negativo, o sea 19.37 t-m, de los
cuales las vigas toman el 85%, o sea 16.46 t-m y
la losa toma el resto o sea 2.91 t-m. Los 9.11 t-m
losa.

Momento Positivo
momento positivo, o sea 10.42 t-m, de los cuales
losa.

Un análisis similar se realiza para la dirección
de luz corta, teniendo en cuenta la franja de
losa y viga en el borde del edificio, con base
en un momento estático total de diseño igual
a:
⇒ Mo = 22.96t -m
M
1.464 * 3.93 * 5.652
8
22.96 t mo = = −

Del cual el 65% se asigna a la sección de flexión
negativa y el 35% a la sección de flexión
positiva, como antes:
Momento Negativo de Diseño = 22.96 * 0.65 =
14.24 t-m
Momento Positivo de Diseño = 22.96 * 0.35 =
8.72 t-m
En este caso:
L 7.52 1.25
L 6
1
= =
L 7.52 2.8* 3.5
1 L 6
1
α = =

Momento Negativo
momento negativo, o sea 9.68 t-m, de los cuales
losa.

Momento Positivo
momento positivo, o sea 5.93 t-m, de los cuales
losa.

Momento estático total de diseño en la
dirección larga del panel exterior, es:
⇒ Mo = 61.65 t -m
Este se repartirá a las secciones de momento
negativo y positivo de acuerdo con la tabla y se
distribuirá lateralmente a través del ancho de las
secciones criticas de momento con la ayuda de
la tabla.
= = −
2
1.464 * 6 * 7.5
M 61.76 t m
o 8

De la tabla, las relaciones de momento que
deben aplicarse para obtener los momentos
exteriores negativo y positivo y el momento
negativo interior son respectivamente: 0.16, 0.57
y 0.70.
La constante torsional para la viga de borde se
encuentra a partir de la siguiente ecuación para
una forma rectangular de 35 * 50 cm con un ala
sobresaliente de 17.5 * 32.5 cm.

50
17.5
35 32.5
C
x
y
x y
= −∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1 0 63
3
3
.

Donde:
x: dimensión menor
y: dimensión mayor
⇒ C = 437816.28 cm4
C 1 0.63 *
35
50
353 * 50
3
= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1 0.63 *
17.5
32.5
17.53 * 32.5
3
= 437816.28 cm
4

En este caso:
L2
L1
6
7.5
0.8
L2
L1
0.8= = ⇒ =
α α1
L2
L1
2.1*
6
75
1.7 1
L2
L1
1.7= = ⇒ =

La restricción relativa proporcionada por la
resistencia torsional de la viga de borde
transversal efectiva se refleja mediante el
parámetro βt.
En el problema:
βt
Ecb C
2Ecs s
=
Ι
βt
437816.28
2 * 267968.75
0.82= =

Momento Negativo Exterior
El factor de distribución para el momento de la
franja de columna, se obtendrá a partir de la
tabla.
momento negativo exterior, o sea (61.76 * 0.16) *
0.93 = 9.19 t-m, de los cuales las vigas toman el
85%, o sea 7.81 t-m y la losa toma el resto o sea
1.38 t-m. Los (61.76* 0.16) * 0.07 = 0.69 t-m
losa.

Momento Positivo
momento positivo, o sea (61.76 * 0.57) * 0.81 =
28.51 t-m, de los cuales las vigas toman el 85%,
o sea 24.23 t-m y la losa toma el resto o sea
4.28 t-m. Los (61.76 * 0.57) * 0.19 = 6.69 t-m
losa.

Momento Negativo Interior
momento negativo interior, o sea (61.76 * 0.70) *
0.81 = 35.02 t-m, de los cuales las vigas toman
el 85%, o sea 29.77 t-m y la losa toma el resto o
sea 5.25 t-m. Los (61.76 * 0.70) * 0.19 = 8.25 t-m
losa.

Refuerzo de la losa
Es conveniente tabular el refuerzo de diseño de la
losa.
En la dirección de 7.5 m, las dos medias
franjas de columna pueden combinarse con
el propósito de realizar los cálculos en una
sola franja de 265 cm de ancho.
En la dirección de 6 m, la media franja de
columna exterior y la media franja de
columna interior generalmente son diferentes
y se tratan en forma independiente.

Refuerzo de la losa
Los momentos de diseño determinados con base
en las distribuciones anteriores se resumen en la
columna 3 de la tabla.
Primero se colocará el acero positivo en la
dirección corta, seguido de las barras positivas
en la dirección larga. Si se deja una distancia
libre de 2 cm por debajo del acero y se utilizan
barras de φ1/2", el espesor efectivo en la
dirección corta será de 15 cm mientras que en la
larga será de 14 cm; una situación similar se
obtiene para el acero superior.

Refuerzo de la losa
Después de calcular los momentos de diseño por
metro de franja de losa (columna 6); debe
encontrarse el espesor efectivo mínimo de losa
que se requiere por razones de flexión.
Para las resistencias de los materiales utilizados,
la máxima cuantía determinada de acero es:
0.75ρb = 0.02125

Donde:
ρb = 0.02833 ⇒ 0.75ρb = 0.02125
ρ β
b
0.85 1
f'c
fy
*
6000
6000 fy
=
+
ρ
b
0.85 * 0.85 *
280
4200
*
6000
6000 4200
002833=
+
=

Luz de 7.5 m:
Luz de 6 m:
b
600
4
35
2
* 2 265 cm= − =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
b
600
4
35
2
132.5 cm= − =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

Obsérvese que debe proveerse una área mínima
de acero igual a 0.0018 veces el área bruta de
concreto para control del agrietamiento por
temperatura y retracción de fraguado.
Para una franja de losa de 100 cm el área
correspondiente es:
0.0018*17.5*100 = 3.15 cm2
Expresado en términos de la cuantía de acero
mínima para los espesores efectivos reales, se
obtiene:

En dirección de 7.5 m:
En dirección de 6 m:
ρ
min
3.15
14 *100
0.0023= =
ρ
min
3.15
15 *100
0.0021= =

Estos requisitos controlan en los sitios indicados
en la tabla el área total de acero en cada franja.
Se obtiene fácilmente a partir de la cuantía de
acero y está determinada en la columna 8.
Finalmente se obtiene la cantidad necesaria de
barras. Obsérvese que en dos sitios, la cantidad
exigida de barras la controlan los requisitos de
espaciamiento máximo de 2 *17.5 = 35 cm.
La capacidad a cortante de la losa se verifica con
base en las áreas tributarias. A una distancia d de
la cara de la viga larga.

La resistencia a cortante de diseño de la losa
es:
Donde:
bw = 100 cm d = 15 cm
φVc = 0.85 * 0.53 *100 * 15/1000 = 9.98 t
Vu = 3.92 t < φVc = 9.98 t CONFORME
0.35
V 1.464 3 0.15 3.92 t
u 2
= − − =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
φ =V 0.75 * 0.53 f' b d
c c w
280

Tabla, diseño del refuerzo de la losa.
(*)corresponde a: cuantía de acero controlada por los requisitos de retracción de
fraguado y temperatura.
(**)corresponde a: cantidad de barras controlada por los requisitos de espaciamiento
máximo

B) Método del Pórtico Equivalente
Descripción del Método:
Es un procedimiento para el análisis de sistemas
de losas armadas en dos direcciones más
elaborado que el método directo, el cual
considera un análisis elástico para la
determinación de momentos. En este método la
estructura se divide, para efectos analíticos, en
pórticos contínuos centrados en los ejes de
columnas y extendiéndose, tanto longitudinal
como transversalmente.

Descripción del Método:
Este método se basa en la transformación de la
estructura tridimensional en una serie de
sistemas bidimensionales denominados pórticos
equivalentes (ver figura 3.1), centrados en los
ejes de las columnas o de los apoyos, con cada
pórtico extendiéndose hasta la altura total de la
estructura. El ancho de cada pórtico equivalente
está limitado por los ejes centrales de los
paneles adyacentes, además de que estos son
capaces de reproducir el comportamiento del
conjunto si se toman algunas previsiones en la
determinación de sus propiedades.

Figura 3.1 Sistema de pórticos bidimensionales

El pórtico equivalente, está constituido por tres
elementos básicos los cuales se presentan en la
figura 3.2 y son:
1. Las franjas de losa limitadas por las líneas
centrales de los paños adyacentes al eje en
estudio. Las vigas dirigidas en la dirección
del pórtico se consideran parte de ellas al
igual que los ábacos que pudieran existir
sobre las columnas.

2. Las columnas u otros soportes verticales
alineados a lo largo del eje analizado. En caso
de que la losa sea sostenida por capiteles, se
considera que éstos forman parte de la
columna. La longitud de la columna es evaluada
al eje de las losas de niveles consecutivos.
3. Los elementos de la estructura que transmiten
los momentos de la losa a la columna, son
transversales a la dirección de análisis y se
extienden a todo lo ancho de la franja de losa.
Son denominados también elementos de rigidez
torsional.

Vigay losa
2
A
L2
L1
L2
L1
Kct
Kcb
Kct
Kcb
L /22
L /22
c1
Figura 3.2 Elementos que constituyen el pórtico equivalente

Consideraciones para la Aplicación
del Método:
1. Debe considerarse que la estructura está
constituida por pórticos equivalentes a lo largo de
ejes de columnas tomadas longitudinal y
transversalmente a través de la estructura.
2. Cada pórtico debe consistir en una hilera de
columnas o apoyos y franjas de viga-losa limitadas
lateralmente por el eje central de la losa a cada
lado del eje de las columnas o los apoyos.

del Método:
3. Debe suponerse que las columnas o apoyos están
unidos a las franjas de viga-losa mediante elementos
torsionales (ACI-13.7.5) transversales a la dirección del
tramo para el cual se están determinando los
momentos, extendiéndose hasta los ejes centrales de
las losas laterales a cada lado de la columna.
4. Los pórticos adyacentes y paralelos a un borde deben
estar limitados por dicho borde y el eje central de la
losa adyacente.

del Método:
5. Se permite el análisis de cada pórtico equivalente en su
totalidad. Alternativamente, para cargas
gravitacionales, se permite un análisis de cada piso o
techo con sus extremos lejanos considerados como
empotrados.
6. Cuando las vigas-losa son analizadas separadamente,
se permite determinar el momento en un apoyo dado
suponiendo que la viga losa esta empotrada en
cualquier apoyo distante dos vanos del considerado,
siempre que la losa continué más allá de dicho punto.

Figura 3.3 Franjas de diseño del pórtico equivalente
Franjacentral
Franjadecolumna
Franjadecolumna
1/2Franjacentral
equivalenteequivalente
interior
exterior
Pórtico
interior
Pórtico
exterior
L2 L2
L /22L /22 L /22
L /42L /42 L /42
L1

Cálculo del Momento Total en
ambos sentidos de la Losa:
Definida la geometría y las rigideces efectivas de
la franja de la viga losa y de los apoyos, el
análisis del pórtico equivalente puede llevarse a
cabo mediante el método de distribución de
momentos. En general el pórtico se analiza en su
totalidad, sin embargo, si sólo se consideran
cargas de gravedad, es posible analizar cada
nivel por separado. En este caso, se asume que
los extremos de las columnas del nivel
correspondiente se encuentran empotrados en
los extremos opuestos a la losa.

Una vez determinados los momentos de diseño
positivos y negativos, falta distribuirlos a lo ancho de
las secciones críticas. Para fines de diseño, el ancho
total de la franja se divide en franjas de columna y
medias franjas centrales adyacentes, definidas
previamente y los momentos se suponen constantes
dentro de los límites de cada una de ellas. La
distribución de momentos a las franjas de columna y
a las franjas centrales se realiza utilizando los
mismos porcentajes determinados con relación al
Método de Diseño Directo. Estos se resumen en la
tabla 4-1.1 del capítulo IV.

La distribución de momentos y cortantes a vigas
en los ejes de columnas, si éstas existen, se
realiza también según los procedimientos del
Método de Diseño Directo. La restricción Nº 6
para la aplicación del Método de Diseño Directo,
relacionada con la rigidez relativa de vigas en los
ejes de columnas en las dos direcciones,
también es aplicable en este caso si se utilizan
estas relaciones de distribución.

En apoyos interiores, la sección crítica para el
momento negativo factorizado (tanto en la franja de
columna como en las franjas intermedias) se debe
tomar en el borde de los apoyos rectilíneos, pero a
no más de 0.175L1 del centro de la columna. En los
apoyos exteriores provistos de ménsulas o capiteles,
la sección crítica para el momento negativo
factorizado en el tramo perpendicular a un borde,
debe considerarse situada a una distancia del borde
del elemento de soporte no mayor de 1/2 de la
proyección de la ménsula o capitel más allá de la
cara del elemento de apoyo (ver figura 3.4).

Figura 3.4 Sección crítica para la determinación del momento negativo de diseño

A través de las tablas 4-2.1 hasta la 4-2.6 del
capítulo 4 se obtienen los coeficientes de
rigidez, factores de transporte y los coeficientes
de momento de empotramiento para las
diferentes geometrías y configuraciones de
carga. Una amplia gama de proporciones de
tamaño-luces de columna en ambas direcciones
longitudinales y transversales es abarcado en las
tablas.

La tabla 4-2.1 puede usarse para placas planas y
losas en dos direcciones con vigas. Las tablas 4-
2.2 hasta la 4-2.5 se proponen que sean usados
para losas planas y losas reticulares con varios
paneles deprimidos (cabeza sólida). La tabla 4-
2.6 cubre el caso excepcional de una placa plana
combinado con una losa plana. Los coeficientes
de momento de empotramiento se proveen para
cargas uniformes y parcialmente uniformes.

Los coeficientes parciales de carga han sido
desarrollados para cargas distribuidas sobre la
longitud del tramo igual a 0.2L1. Sin embargo, las
cargas que actúan sobre las porciones más
largas del tramo pueden ser consideradas
sumando los efectos de las cargas que actúan
sobre cada intervalo de 0.2L1. Por ejemplo, si la
carga parcial se extiende sobre 0.6L1, entonces
los coeficientes que corresponden a los tres
intervalos consecutivos de 0.2L1 serán
agregados.

Para cargas concentradas, una carga parcial de
alta intensidad puede ser considerada para una
situación apropiada, y se asume que será
distribuido sobre 0.2L1. Para valores del
parámetro entre aquellos listados, la
interpolación puede hacerse. Se muestran los
diagramas de rigidez en cada tabla. Con un
criterio adecuado por parte del diseñador, las
condiciones de tramos diferentes pueden ser
consideradas con la ayuda de la información
dada en las tablas.

Columnas:
Los tipos comunes de columna y condiciones de
apoyo en los extremos para los sistemas de
losas se muestran en la figura 3.5. La rigidez de
las columnas está basada en la longitud de
éstas (Lc) desde la mitad del espesor de la losa
superior hasta la mitad del espesor de la losa
inferior.
Los diagramas de rigidez de las columnas
pueden usarse para determinar la rigidez a
flexión de la columna, Kc. Los diagramas de
rigidez están basados en las consideraciones
siguientes:

a) El momento de inercia de la columna, exterior al nudo
losa-viga se basa en la sección transversal bruta del
concreto. La variación del momento de inercia a lo
largo de los ejes de la columnas entre los nudos de
viga-losa se tiene en cuenta. Para columnas con
capiteles se asume que el momento de inercia varía
linealmente desde la base del capitel al fondo de la
losa-viga, (13.7.4.1 y 13.7.4.2).
b) El momento de inercia es asumido infinito desde la
parte superior de la losa hasta la parte inferior de la
conexión losa-viga. Como en los elementos de la losa-
viga, el factor de rigidez Kc para las columnas no
pueden basarse en la suposición de miembros
prismáticos uniformes (13.7.4.3).

La tabla 4-2.7 del capítulo IV puede usarse para
determinar la rigidez de la columna real y factores de
transporte.
Elementos Torsionales
El cálculo de la rigidez de los elementos torsionales
requiere varías suposiciones simplificatorias. Si no
existen vigas que formen pórticos con la columna, se
supone como viga efectiva una porción de la losa
igual al ancho de la columna o capitel. Si existen
vigas que lleguen a la columna, se asume un
comportamiento de viga T o viga L, con alas que se
prolongan a cada lado de la viga una distancia igual a
la proyección de la viga hacia arriba o hacia debajo
de la losa

Elementos Torsionales (continuación)
Pero no mayor de cuatro veces el espesor de la
losa. Además se supone que no ocurre ninguna
rotación por torsión en la viga sobre el ancho del
apoyo.
Estos elementos transmiten los momentos de la
losa hacia los apoyos lo cual genera torsión en
ellos. La sección de los elementos torsionales
se asumirá constante a lo largo de su luz. El
Código recomienda considerar, para el análisis,
la mayor de las tres secciones propuestas a
continuación (ACI-13.7.5):

1. La porción de losa con un ancho igual al de la
columna, consola o capitel en la dirección en la
cual se están determinando los momentos.
2. En construcciones monolíticas, la porción de
losa anteriormente definida incluyendo,
además, la sección de la viga perpendicular a
la dirección de análisis sobre y por debajo de la
losa.
3. La sección de la viga perpendicular a la
dirección de análisis considera el aporte de la
losa.

Los elementos torsionales para las conexiones
comunes de losa-viga se muestran en la figura
3.6. El primer criterio se aplica a losas sin vigas
entre apoyos mientras que el segundo y el
tercero se utilizan cuando existen vigas en la
dirección perpendicular al eje en estudio.
La rigidez Kt de los elementos torsionales es
calculado por la siguiente expresión:
K
E C
L
c
L
t
cs= ∑
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
9
12
2
2
3

Donde la sumatoria es aplicable al caso común
cuando hay vigas de borde a ambos lados de la
columna.
El término C es una sección transversal
constante que define las propiedades torsionales
de cada elemento torsional que conforma la
conexión:
Donde x es la dimensión menor e y es la
dimensión mayor de una parte rectangular.
C
x
y
x y
= ∑ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
1 0 63
3
3
.

El valor de C es calculado dividiendo la sección
transversal de un elemento torsional en partes
rectangulares separadas y sumando los valores de C
para las componentes de los rectángulos.
Es apropiado subdividir la sección transversal de una
manera que en lo posible resulte valores grandes de C.
Cuando las vigas forman pórticos con las columnas en la
dirección del tramo para el cual se determinan los
momentos, la rigidez torsional Kt debe multiplicarse por la
relación entre el momento de inercia de la losa con esta
viga y el momento de inercia de la losa sin ella.
K
K
ta
t sb
s
=
I
I

Fondo de la
Superficie de
unión losa-viga
la losa-viga
Sistema de losa
con abacos de la columna
Diagrama de rigidez
lc IE
I=∞
ccc
I=∞
sin vigas
Sistema de losa Diagrama de rigidez
de la columna
lc
I=∞
cE Icc
I=∞
I=∞
I=∞
de la columna
Diagrama de rigidez
con vigas
Sistema de losa
Il Ec cc c
I=∞
I=∞
Diagrama de rigidez
de la columna
Sistema de losa con
capiteles de columna
cl ccE cI
Figura 3.5 Secciones para calcular la rigidez de la columna Kc.

Donde:
Kta: Incremento de la rigidez torsional debido a la
viga paralela (note que la viga paralela se
muestra en la figura 3.2).
Is: Momento de inercia del ancho de losa igual al
ancho total entre las líneas centrales del
panel, l2, excluyendo esa porción del alma de
viga que se extiende sobre y debajo de la
losa (note la parte A de la figura 3.2).
Isb: Momento de inercia de la sección de la losa
especificada por Isb que incluye esa porción del
alma de la viga que se extiende sobre y
debajo de la losa (para la viga paralela mostrada
en la figura 3.2, Isb es para la sección total T
que se muestra).
Is
L h
= 2
3
12

La Columna equivalentes (R13.7.4)
Con la publicación del ACI 318-05, el concepto de
la columna equivalente de definir un elemento de
una sola rigidez consistiendo de columnas reales
sobre y debajo de la losa-viga más un elemento
torsional transversal agregado se eliminó del
Código. Con el uso creciente de las
computadoras para el análisis de losas en dos
direcciones por el Método del Pórtico Equivalente,
el concepto de combinar rigideces de columnas
reales y elementos torsionales en una sola rigidez
ha perdido mucho de continuidad.

La columna equivalente, sin embargo, se retuvo
en el comentario hasta la edición del Código de
1989, como una ayuda de análisis dónde la losa-
viga para diferentes niveles de pisos son
analizados separadamente para cargas de
gravedad, especialmente cuando se usa la
distribución de momentos u otros procedimientos
de cálculo manual para el análisis.

Figura 3.6 Criterios para la determinación de la sección transversal de los elementos torsionales.

Mientras el concepto de la columna equivalente
todavía se reconoce por R13.7.5, los detalles del
procedimiento contenidos en el comentario
desde la edición '83 para calcular la rigidez de la
columna equivalente, Kec, se eliminó de R13.7.5
del Código '95.
Los ejemplos 5.2.1 y 5.2.2 utilizan el concepto de
la columna equivalente con la distribución del
momento para el análisis por carga de gravedad.

El concepto de la columna equivalente modifica
la rigidez de la columna para tomar en cuenta la
flexibilidad torsional de la conexión losa-columna
lo cual reduce su eficiencia para la transmisión
de momentos.
La columna equivalente consiste de columnas
reales sobre y debajo de la losa-viga, más
elementos torsionales "agregados" a cada lado
de la columna y que se extiende hasta los ejes
de los paneles adyacentes y como se muestra
en la figura 3.2.

Note que para un pórtico exterior, el elemento
torsional agregado está en un sólo lado. La
presencia de vigas paralelas también influirá en
la rigidez de la columna equivalente.
La rigidez a flexión de la columna equivalente Kec
es dado en términos de su inversa, o flexibilidad,
como sigue:
1 1 1
K K Kec c t
= +
Σ Σ

Para propósitos de cálculo, el diseñador puede
preferir que la expresión anterior se dé
directamente en términos de las rigideces como
sigue:
Las rigideces de las columnas reales, Kc y
elementos torsionales, Kt deben cumplir con la
sección 13.7.4 y 13.7.5 del Código ACI.
Después de que los valores de Kc y Kt son
determinados, se calcula la rigidez de la columna
equivalente Kec. Usando la figura 3.2 para la
ilustración del procedimiento, se tiene:
K
K x K
K Kec
c t
c t
=
+
Σ Σ
Σ Σ

Donde:
Kct: Rigidez a flexión en la superficie de la
columna inferior que conforma la conexión.
Kcb: Rigidez a flexión en la base de la columna
superior que conforma la conexión.
Kta: Rigidez torsional de cada elemento
torsional, uno en cada lado de la columna,
incrementado debido a la viga paralela (si la
hubiera).
( ) ( )K
K K K K
K K K Kec
ct cb ta ta
ct cb ta ta
=
+ +
+ + +

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