Expanding Notions of "Learning Trajectories" in mathematics Education
- 1. Mathematical Thinking and Learning Expanding Notions of “Learning Trajectories” in mathematics Education. Eric Weber, Candace Walkington & William McGalliard ANTÓN GRUESO, MIRIAM INVESTIGACIÓN EN PENSAMIENTO MATEMÁTICO AVANZADO (2017-2018)
- 2. Expanding Notions of “Learning Trajectories” in mathematics Education 1. Introducción 2. Progresiones de aprendizaje 3. Trayectorias de aprendizaje 4. Trayectoria hipotética de aprendizaje 5. Tres perspectivas teóricas sobre aprendizaje 6. Principios y perspectivas 7. Ejemplo 8. Discusión e implicaciones 2 ÍNDICE
- 3. 1. Introducción 3 Últimos 20 años mayor importancia en investigación Representaciones del aprendizaje Dependencia de la teoría para describir trayectorias
- 4. 1. Introducción 4 ¿De qué manera una definición particular de aprendizaje afecta a la construcción, la interpretación y el uso de una trayectoria o progresión de aprendizaje? ¿Qué cuenta como aprendizaje en una trayectoria o progresión de aprendizaje? El documento pretende responder a estas preguntas:
- 5. 2. Progresiones de aprendizaje 5 Duschl, Maeng y Sezen (2011) distinguen: validación y evolución Validación y progresión (niveles de logro) Representaciones del aprendizaje basadas en puntos de referencia
- 6. 3. Trayectorias de aprendizaje 6 Duschl, Maeng y Sezen (2011) distinguen: validación y evolución Evolución y trayectoria Representaciones del aprendizaje que detalla el surgimiento del conocimiento matemático en aulas, entrevistas y otros
- 7. 4. Trayectoria hipotética de aprendizaje 7 4 principios Simon & Tzur, 2004 Generación basada en la comprensión del conocimiento de los estudiantes Tareas matemáticas proporcionan herramientas para promover el aprendizaje y son una parte clave del proceso de instrucción Es un vehículo para planificar el aprendizaje de conceptos matemáticos Por su naturaleza hipotética, el docente participa regularmente en la modificación de cada aspecto 1 2 3 4
- 8. 5. Tres perspectivas teóricas sobre aprendizaje La mayoría de los estudios se centran en el aprendizaje desde la perspectiva constructivista radical La adopción de una teoría particular ignora otros aspectos del proceso de aprendizaje Se describen tres perspectivas teóricas: constructivismo radical, ciencia cognitiva y aprendizaje situado Proporcionan contrastes interesantes y son muy utilizadas en la investigación educativa 8
- 9. 5. Tres perspectivas teóricas sobre aprendizaje Basada en la noción más general de constructivismo de Piaget Von Glasersfeld: asimilación y acomodación (equilibrio) Aprendizaje: desarrollo de interpretaciones de la experiencia basadas en la asimilación y acomodación Conocimiento: estructuras cognitivas (esquemas) con los que el individuo interpreta y da sentido a su experiencia Trayectoria de aprendizaje: se centra en el desarrollo de esquemas e instrucción, en las tareas y pensamiento del estudiante, y en cambios sutiles de la comprensión y pequeños aspectos 9 Constructivismo radical
- 10. 5. Tres perspectivas teóricas sobre aprendizaje Marco de conocimiento-aprendizaje-interacción (KLI) (Koedinger, Corbett y Perfetti, 2012) Aprendizaje: adquisición y modificación de los componentes del conocimiento Procesos: (1) de creación de memoria y fluidez, (2) de inducción y refinamiento y (3) de comprensión y creación de sentido Componentes del aprendizaje sólido: (1) que se retiene en el tiempo, (2) que se transfiere a otros contextos, y (3) que se prepara para el aprendizaje futuro Conocimiento: red modular interconectada de unidades cognitivas que se ubica en la mente de un individuo Trayectoria de aprendizaje: conjunto de puntos de referencia derivados del análisis de tareas cognitivas que permita a los estudiantes interactuar con objetos matemáticos en formas cada vez más abstractas y generalizables para apoyar el aprendizaje sólido en los tres tipos de procesos 10 Ciencia cognitiva
- 11. 5. Tres perspectivas teóricas sobre aprendizaje Bowers, Cobb y McClain (1999) identificaron tres aspectos que se desarrollan en el aula de matemáticas: (1) las normas sociales, las expectativas generales de participación negociadas por docentes y estudiantes (2) normas sociomatemáticas (3) prácticas matemáticas, o "medios para simbolizar, argumentar y validar en situaciones específicas de tareas” Aprendizaje: situado dentro de las prácticas de una comunidad de aprendices Conocimiento: normas y prácticas de la comunidad Trayectoria de aprendizaje: conjeturas sobre el desarrollo matemático colectivo de la comunidad del aula 11 Aprendizaje situado
- 12. 6. Principios y perspectivas 12 Principio Constructivismo radical Ciencia cognitiva Aprendizaje situado La generación de una HLT se basa en la comprensión del conocimiento actual de los estudiantes involucrados. Las HLT se enfocan en crear un modelo de lo que un estudiante sabe sin considerar ese modelo como "correcto" porque esa determinación no está dentro de los límites del constructivismo radical. Estos modelos generalmente se enfocan en un estudiante "epistémico", alguien a quien se asigna ciertas formas de pensar. El investigador usa literatura existente y / o trabaja con una muestra de estudiantes para identificar esquemas que parezcan comunes. Este modelo ayuda a predecir las asimilaciones y adaptaciones que pueden ocurrir durante el proceso de aprendizaje. La generación de la HLT tiene en cuenta tanto los estados de conocimiento actuales de los estudiantes, como los modelos teóricos y empíricos de la actuación de expertos y novatos (a partir de análisis de tareas cognitivas). Esta trayectoria se usa como una guía sobre cómo mover a los alumnos desde el nivel principiante hasta el experto. También se considera la complejidad e interactividad de los componentes de conocimiento en cuestión. Al desarrollar una HLT, las conjeturas sobre el desarrollo colectivo de la comunidad matemática se toman en cuenta al enfocarse en las prácticas compartidas en el aula. Estas prácticas son un punto de partida para desarrollar nuevas normas. Estas nuevas normas pueden ser las que comparte una comunidad más amplia de profesionales de las matemáticas. Sin embargo, las "matemáticas escolares" representan su propio sistema cuyas normas, estándares y prácticas son diferentes a las de otros contextos. 1
- 13. 6. Principios y perspectivas 13 Principio Constructivismo radical Ciencia cognitiva Aprendizaje situado Una HLT es un vehículo para planificar el aprendizaje de conceptos matemáticos particulares. Las HLT se construyen a partir de los esquemas iniciales de los estudiantes para proponer y evaluar cómo se desarrollan esos esquemas hasta varios niveles de sofisticación. El desarrollo tiene en cuenta las asimilaciones y adaptaciones para explicar los cambios detallados en el conocimiento de los estudiantes, así como los cambios globales en su comprensión. Las HLT se centran en planificar secuencias que permitan a los alumnos captar abstracciones matemáticas flexibles y portátiles que se transfieren, se conservan a lo largo del tiempo y se preparan para el aprendizaje futuro (es decir, se centran en resultados de aprendizaje sólidos). Aquí el aprendizaje de los conceptos particulares no es todo: la HLT planificada debería permitir la transferencia y buscar preparar a los estudiantes para el aprendizaje futuro promoviendo comportamientos metacognitivos productivos. Las HLT se crean a partir de prácticas grupales iniciales y se tiene en cuenta que las prácticas evolucionarán a través de la participación en la actividad. Las HLT involucran una trayectoria de prácticas de participación (normas sociales, normas sociomatemáticas y prácticas matemáticas) como miembros de una comunidad, o las formas en que la participación en la actividad contribuye al crecimiento como estudiante y la participación futura en otros sistemas de actividad de valor para el estudiante. 2
- 14. 6. Principios y perspectivas 14 Principio Constructivismo radical Ciencia cognitiva Aprendizaje situado Las tareas matemáticas proporcionan herramientas para promover el aprendizaje de conceptos matemáticos particulares y son, por lo tanto, una parte clave del proceso de instrucción. Las tareas matemáticas están destinadas a fomentar el desarrollo de esquemas existentes, a medida que se desarrollan para formar una HLT. En algunos casos, los esquemas de los estudiantes serán lo suficientemente sofisticados como para que el alojamiento no tenga lugar. En otros, la tarea crea la necesidad de un cambio en los esquemas existentes. Las tareas matemáticas deben diseñarse para promover y evaluar los diferentes tipos de aprendizaje: memoria / fluidez, inducción / refinamiento y comprensión / creación de sentidos. Esta perspectiva también acentúa el coste de tiempo de diferentes métodos de instrucción, señalando compensaciones importantes entre la cantidad de aprendizaje y el tiempo de instrucción gastado. Las tareas de matemáticas actúan como herramientas que respaldan el surgimiento de prácticas de participación que estarían basadas en formas cada vez más sofisticadas de actuar sobre ideas matemáticas. Las comunidades tienen el poder de moldear lo que cuenta como matemática, incluido el significado de terminología, conceptos y principios, y cómo pueden aplicarse. 3
- 15. 6. Principios y perspectivas 15 Principio Constructivismo radical Ciencia cognitiva Aprendizaje situado Debido a la naturaleza hipotética el docente participa regularmente en la modificación de cada aspecto de la HLT. El rol del docente es actuar como un facilitador que respalda el uso y la discusión de tareas a medida que se desarrollan los esquemas de los estudiantes para desarrollar una idea matemática. El docente es sensible a los estudiantes en el momento en que toman sentido, y toman decisiones. El papel del docente no está bien definido en este marco. Sin embargo, en general, la función del docente es facilitar la adquisición por parte del alumno de los contenidos que representan el dominio de interés. El docente facilita la trayectoria del desarrollo de los contenidos, al mismo tiempo que utiliza el sentido común y la experiencia profesional para adaptarse a cualquier problema específico que surja y que la trayectoria no pueda abordar. El docente puede asumir funciones que van desde la de un facilitador hasta la de una autoridad en prácticas comunitarias. El maestro es un miembro de la comunidad conocedor que apoya el desarrollo de prácticas matemáticas. Los estudiantes y los maestros co-construyen prácticas matemáticas a través de la interacción continua. 4
- 16. 7. Ejemplo 16 Día 1 Sarah dibuja 1/4 dividiendo un rectángulo en 4 partes y sombreando una de ellas El profesor pregunta cuántos octavos hay en un cuarto Sarah divide cada parte por la mitad Paul dice 2/8 y la clase está de acuerdo El profesor pregunta si entonces 1/4 y 2/8 son equivalentes Sarah se calla porque no parece muy convencida Otros compañeros explican que agregar líneas no cambia la cantidad, por lo que son equivalentes Sarah asiente
- 17. 7. Ejemplo 17 Día 2 El profesor pide que resuelvan 5/9 = ¿?/90 sin usar diagramas Sarah pregunta a Joe Joe le dice que las 5 piezas sombreadas se tienen que dividir en 10 partes cada una Sarah le dice que cada una de las 9 tiene que ser dividida en 10, al igual que cada una de las 5 Joe anuncia a la clase lo que han descubierto El profesor pregunta si entonces 5/9 y 50/90 son equivalentes Todos dicen que sí Sarah explica por qué
- 18. 7. Ejemplo 18 Día 3 El profesor pide que resuelvan 5/9 = ¿?/18 y 5/9 = ¿?/54 sin usar diagramas y que describan el procedimiento general para encontrar fracciones equivalentes Sarah dice que en el primer caso cada pieza se dividirá en 2 y el numerador será 10. En el segundo caso se dividirá en 6 y el numerador será 30 Escribe que se pueden generar fracciones equivalentes calculando en cuantas piezas debe dividir cada pieza El profesor le pregunta cómo sabría en cuántas piezas tiene que dividir cada parte Joe dice que se tienen que comparar los dos denominadores Carole dice que se ha dado cuenta de que el número por el que multiplicas la parte de abajo es por el que multiplicas la parte de arriba El profesor pregunta a la clase si están de acuerdo Sarah dice que no entiende por qué Carole habla de multiplicación cuando se está dividiendo una forma Algunos de la clase también están confusos y otros están de acuerdo con Carole, piensan que es muy buena en matemáticas
- 19. 7. Ejemplo 19 Análisis desde la perspectiva del constructivismo radical Adaptaciones y asimilaciones sutiles La dependencia de la comparación de áreas sombreadas posteriormente se internaliza Una trayectoria de aprendizaje podría comenzar con la forma de pensar existente e identificar el esquema que comprende ese significado Se considera clave la identificación de perturbaciones que conducen a la reorganización del esquema existente
- 20. 7. Ejemplo 20 Análisis desde la perspectiva de la ciencia cognitiva Sarah parece tener fluidez realizando cálculos pero su respuesta es más lenta cuando se quita el apoyo del diagrama No proporciona un algoritmo numérico general como Carole, su explicación permanece estrechamente ligada al contexto específico (malentendido con la multiplicación) Su aprendizaje aún no es sólido Una progresión de aprendizaje podría comenzar con generar fracciones equivalentes usando modelos concretos (imágenes). A medida que Sarah avanza por etapas, debería depender menos del andamiaje de lo visual, siguiendo un enfoque de formalización progresiva
- 21. 7. Ejemplo 21 Análisis desde la perspectiva del aprendizaje situado Evidencias que justifican los cambios en las identidades de los estudiantes, las prácticas matemáticas y normas de clase (se debería hacer referencia a todos) Cambio potencial en la identidad de Sarah Una trayectoria de aprendizaje podría comenzar con los estudiantes que consideran los problemas de forma independiente y no están dispuestos a participar en una discusión o debate y, a medida que la trayectoria de aprendizaje evoluciona, se prestará especial atención a cómo los estudiantes comienzan a negociar su lugar dentro de la comunidad y cómo desarrollan y adoptan conjuntamente las prácticas matemáticas
- 22. 8. Discusión e implicaciones Cinco sugerencias para investigadores: 1. Describir completamente una perspectiva teórica clara sobre el aprendizaje 2. Aclarar la trayectoria de aprendizaje o progresión del aprendizaje 3. Definir el propósito del estudio en el que aparece una trayectoria o una progresión 4. Articular el desarrollo de la trayectoria o progresión inicial 5. Explicar la evaluación de la trayectoria o progresión 22
- 23. 8. Discusión e implicaciones Futuras líneas de investigación sobre las siguientes cuestiones: (a) Trayectorias de Aprendizaje y Progresiones de Aprendizaje, ¿hay sólo una? (b) Trayectorias de Aprendizaje y Progresiones de Aprendizaje, ¿son complementarias? (c) Conexiones con los estándares nacionales, ¿son más representativos de una trayectoria o de una progresión? ¿Qué perspectivas teóricas sobre el aprendizaje son más frecuentes en ellos? ¿Cuáles son las implicaciones en la enseñanza?… Se espera que las sugerencias ayuden a construir una base de conocimiento clara y coherente en la investigación en educación matemática 23