Expresiones Algebráicas

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

UNIDAD 2

EXPRESIONES ALGEBRAÌCAS

En álgebra se emplean letras para representar números. Mediante letras y símbolos matemáticos
las proposiciones verbales se reducen a proposiciones algebraicas muy cortas. Ejemplo: Siete
veces un numero restado del mismo numero es igual a seis veces dicho numero 7n  n  6n , es
decir, 7n equivale a “siete veces un numero”.
Pasar las proposiciones verbales a algebraicas es de suma importancia en la modelación
matemática, a continuación se enuncian algunas palabras que denotan operaciones.

 ADICIÓN: suma, mas, ganar, aumentar, elevar, expansionar, más que, mayor que, más
grande que, agrandar, crecer e incrementar.
 SUSTRACCIÓN: diferencia, menos, perder, disminuir, bajar, más bajo que, menos que,
menor que, más pequeño que, acortar, depreciar y decrecer
 MULTIPLICACIÓN: multiplicado por, veces, producto, dos veces, doble, triple, cuádruple y
quíntuplo.
 DIVISIÓN: divido por, razón, cociente y mitad.

Expresiones algebraicas: Es una combinación de números y letras relacionados con operaciones
de suma, resta, multiplicación, división y a veces también por medio de potenciación, radicación, y
logaritmación.

2 x2  4 xy ; 7a 2b  b ;  2x  y 
2
; c3b

Dos o más expresiones algebraicas unidas con un signo + ó – reciben el nombre de términos. Dos
o más expresiones algebraicas unidas por una multiplicación reciben el nombre de factores.
Ejemplo:
3ab − (a  b)(a  3ab)
  
 

Primer término segundo término
Tres factores dos factores

Todo término presenta las siguientes partes:

Coeficiente: El que precede a la parte literal.
Parte Literal: Está representada por una o varias letras.
Exponente: Indica cuantas veces se toma como factor la parte literal.


Exponente

 3x 5
Parte literal

Coeficiente

De acuerdo al número de términos las expresiones algebraicas pueden ser:

x2  y2
MONOMIO: tiene un término Ej. 5x 2 y z 4 ;
ab

BINOMIO: tiene dos términos Ej. 7 xy  y5 ; pq

TRINOMIO: tiene tres términos Ej. x 2  3x  5

POLINOMIO: tiene más de dos términos Ej. 3x3  2 x2  x  12

Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros por el
signo positivo (+) o el negativo (−).

Grado de un término

Es la suma de los exponentes del factor literal

Ejemplo:

En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x)

En el término 4x2y3 tiene grado 5 (2 + 3, la suma de los exponentes)

Grado de una expresión

Es el grado mayor de sus distintos términos.

Ejemplo:

En la expresión 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo termino)


2 3 3 2 7
En el término 4x y – 4b y z tiene grado 12 (por el grado del segundo término)

Términos semejantes: Dos términos son semejantes si la variable contiene el mismo exponente,
3
por ejemplo los términos 2x y 5x3 son semejantes, este concepto se puede extender a
2 3 2 3
términos que tienen más de una variable, como por ejemplo: ½ x y ; 6x y ; 3 x2 y3 ;
x2 y3 son términos semejantes

Reducción de términos semejantes.
Para reducir términos semejantes se suman los coeficientes numéricos de todos los términos
semejantes y a continuación se escribe la parte literal común.

3x 2  2 xy  xy 2  x 2  4 xy 2  6 xy  21
Ejemplo:
 3  1 x2   2  6  xy  1  4  xy 2  21
Reduciendo: 2 x2  4 xy  5xy 2  21

Se llama término independiente a aquel que no contiene la variable. En el ejemplo anterior −21
es el término independiente

Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado con respecto a las potencias crecientes de una
de sus letras cuando ésta figura en cada término con un exponente mayor o igual que en el
anterior.

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS

Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones de adición,
sustracción, multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y aprender un poco más de
ellas.

1. Suma y Resta

En Álgebra, a la hora de efectuar las operaciones de adición y sustracción es de particular
importancia la identificación de los llamados términos semejantes.

 Cuando es una suma de monomios

Ejemplo: Sumar:  5x 2 y 7 x Observa que, como los términos
no son semejantes la suma se
deja indicada


Solución:  5x 2  7 x  5x 2  7 x

 Cuando es una suma de polinomios
3 2 1 7 2
Ejemplo: Sumar: x  y x  3x
4 3 8
Indicamos la operación de los dos
 3 2 1  7 2  binomios agrupando cada uno entre
Solución:  x     x  3x   paréntesis
4 3  8 

Eliminamos los paréntesis, como el signo
3 2 1 7 2
x   x  3x  que los precede es positivo, no se afecta
4 3 8 ningún término

3 2 7 2 1
 x  x    3x  Agrupamos los términos semejantes
4 8  3

Extraemos la variable con su respectivo
3 7  1 exponente como factor dejando los
   x 2  3x  
4  coeficientes dentro del paréntesis.
 8  3 Observe que estos nos indican una suma
de fracciones con diferente denominador

Luego el polinomio resultante es:

13 2 1
x  3x 
8 3

 Cuando es una resta de polinomios
Ejemplo


3 2 7 1 1 5
Sea A  x  6x  y B  x3  x2  x  determinar: A – B
5 4 5 2 6

3 2 7  1 1 5
A B  x  6x    x 3  x 2  x  
5 4  5 2 6

Si eliminamos el paréntesis:

3 2 7 1 1 5
A B  x  6 x   x3  x 2  x 
5 4 5 2 6

Agrupamos los términos semejantes:

3 1   1   7 5
A  B   x 2  x 2    6 x  x   x3     
5 5   2   4 6

Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes y ordenando el polinomio en
forma descendente, tenemos:

4 2 11 31
A  B   x3  x  x
5 2 12

2. Multiplicación

Para multiplicar expresiones algebraicas, debes observar los siguientes pasos:

1º Multiplicar los signos ( ley de los signos para la multiplicación )
2º Multiplicar los coeficientes numéricos.
3º Multiplicar las letras (multiplicación de potencias de igual base).

 Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicación en álgebra; esto es, monomios
por monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios

Ejemplos:
monomios por monomios monomios por polinomios polinomios por polinomios

2a  3b3a  7b 
( -4a5b4)•( 12ab2)= 4 3 3
7 a b • ( 2 a – a b + 5 b )=
6a2 –14ab –9ab + 21b2 =
7 5 2 4 4
–48 a6b6 14 a b – 7 a b + 35 a b 2 2
6a –23ab +21b


 2 2 a 3   5 a 1 5 5a 
x  2x 2  2 x  4 
( 6 m5n-3p-4) • ( 5 mn-1p2)=  m    m  m  
 5   4 2 
6 –4 –2
30 m n p 1 3a  4 x3+2x2 +4x–2x2 –4x –8=
m  m 7 a 3
2 x3 –8

 3 4   2 3 1 5 4 ( a x + b y – c z ) • (− x y )= m 2

 2mn  8n 2 m3  3m2  2 
 a b    ab   a b
4  3  2 2 2
– ax y – bxy + cxyz
¡Hazlo tú!

3. División

Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un polinomio es como
un grupo de números enteros descompuestos en una adición de muchos sumandos. Los
polinomios se disponen como en la división de números y ordenados por sus potencias de
mayor a menor. Los términos del cociente se obtienen en varios pasos, parecidos a la división
numérica.

Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y “divisor”, se
debe buscar otra cantidad llamada “cociente” que multiplicada por el “divisor” nos resulte el
“dividendo”. Vamos a explicarlo por medio de un ejemplo:

Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso:

 3x 2
 10 x3  4 x5  x  6    x2  1  2 x 

Se ordenan los dos polinomios tomando en
cuenta los exponentes de la variable (x) en
orden decreciente y completando con 4 x5  0 x 4  10 x3  3x2  x  6 x2  2x  1
coeficiente cero (0) la potencia faltante.

Se divide el primer término del polinomio 4 x5  0 x 4  10 x3  3x2  x  6 x2  2x  1
dividendo entre el primer término del divisor

Para efectuar esto se divide el coeficiente 4 x 5  0 x 4  10 x 3  3x 2  x  6 x 2  2x  1
del dividendo entre el del divisor y con la
variable se aplica la regla de potencia de un
cociente de igual base. 4x3


4 x5 4 x5 Este es el primer término del cociente
2
 2
 4 x 5  2   4 x 3
x 1x

Se multiplica el primer término del cociente 4 x5  0 x4  10 x3  3x2  x  6 x2  2 x  1
por todos los términos del divisor, a estos
productos se les cambia el signo y se
ordenan debajo del dividendo según el  4 x5  8 x 4  4 x3 4x3
exponente de la variable.

Estos productos se resta del dividendo 4 x5  0 x4  10 x3  3x2  x  6 x2  2 x  1

 4 x5  8 x 4  4 x3 4x3

8x4  14 x3  3x2  x  6

Se repite todo el procedimiento 4 x5  0 x4  10 x3  3x2  x  6 x2  2 x  1
considerando que ahora el primer término
del nuevo dividendo es 8x4
 4 x5  8 x 4  4 x3 4 x3  8 x 2

8x4  14 x3  3x2  x  6
4 4
8x 8x
  8 x 4  2   8 x 2
x 2
1 x2  8x4  16 x3  8x2

2 x3  5 x 2  x  6
Continuamos ahora dividiendo los demás términos

4 x5  0 x4  10 x3  3x2  x  6 x2  2 x  1

 4 x5  8 x 4  4 x3 4 x3  8 x 2  2 x  1

8x4  14 x3  3x2  x  6

 8x4  16 x3  8x2

2 x3  5 x 2  x  6

 2 x3  4 x 2  2 x

 x 2  3x  6


x2  2x  1

 5x  7

El cociente de la división es : 4 x  8x  2 x  1
3 2

Y el residuo:  5x  7 (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede
continuar dividiendo por lo que la división es inexacta)

VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los
términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.

Veamos un ejemplo:
Hallar el valor numérico de la expresión: 5x y  8xy  9 y considerando x = 2;
2 2 3
y = –1

No olvidar:

1º Reemplazar cada variable por el valor asignado.
2º Calcular las potencias indicadas
3º Efectuar las multiplicaciones y divisiones
4º Realizar las adiciones y sustracciones

Veamos el ejemplo propuesto: 5x y  8xy  9 y
2 2 3

5x 2 y  8xy 2  9 y 3  5  2 2   1  8  2   1  9   1
2 3

= 5  4  (1)  8  2  1  9  (1) 

=  20  16  9  27
Es el valor
numérico


UNIDAD 3

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES

Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos
conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla
cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de
productos notables.

Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación.


Los productos notables se repiten con mucha frecuencia en el cálculo algebraico, por lo que resulta
muy conveniente conocer su resultado de memoria para poder operar con rapidez.

Algunos de ellos son los siguientes:

1. Cuadrado de un Binomio

Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio. El
producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. El desarrollo de
un cuadrado de binomios siempre tiene la misma estructura.

Tenemos dos casos.

 El cuadrado de la suma de dos cantidades
 El cuadrado de la diferencia de dos cantidades

En ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de este
hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cuadrado del binomio:

“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del
producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”

La estructura que representa esta fórmula es:

( a  b )2  a 2  2ab  b2

Algunos ejemplos:

 p  2b   p 2  2( p)(2b)   2b   p 2  4 pb  4b2
2 2


 5x  y    5x   2(5x)( y)   y   25x 2  10 xy  y 2
2 2 2



2. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

Consideremos el producto de la suma de dos términos “ a  b ” por su diferencia “ a  b ”. Al
desarrollar el producto podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

( a  b )( a  b )  a 2  b2

Es decir, la suma de dos términos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadrados
de los términos. La fórmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue:

“El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término
menos el cuadrado del segundo”

Algunos ejemplos:

 ( 2 p5  6q4 )( 2 p5  6q4 )  (2 p5 )2  (6q4 )2  4 p10  36q8
2
1 2  1 2 1
 
2 1
  3x   3x      3x   9 x4
2

 4  4   4 16

3. Cubo de un binomio

Consideramos también dos casos:

 Cubo de la suma de dos cantidades
 Cubo de la diferencia de dos cantidades

En ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de este
hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cubo de un binomio:


“El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más (o menos) el triple del producto del
cuadrado del primer término por el segundo más el triple del producto del primer término por el
cuadrado del segundo más(o menos) el cubo del segundo término”

La estructura que representa esta fórmula es:

( a  b )3  a3  3a2b  3ab2  b3

Algunos ejemplos:

5a b  3a  3 3
 (5a 2b)3  3(5a 2b)2 (3a3 )  3(5a 2b)  3a3   (3a3 )3
2 2


= 125a6b3  225a7b2 135a8b  27a9

  2x  y 
2 3
  2 x   3(2 x)2 ( y 2 )  3(2 x)  y   ( y 2 )3
3 2

= 8x3  12 x2 y 2  6 xy 2  y 6

4. Multiplicación de Binomios con un Término Común

Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma “ a  b ” por “ a  c ”.
Al desarrollar el producto se observa que la estructura es la siguiente:

a  b a  c  a 2  b  ca  bc

La fórmula para el producto de binomios con un término común se enuncia como sigue:

“Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término
común y más el producto de los términos distintos”


Ejemplos:

3  2  5
  x  3   x  2  x2  3  2 x  3(2)  x 2  5x  6 , observa que 
 3 2  6

  a  8   a  7   a 2   8  7  a  8(7)  a 2  a  56 , observa que
 8  (7)  1

 8  (7)   56

COCIENTES NOTABLES

Existirán algunos casos en los cuales podemos dividir dos polinomios fácilmente pues sus
respuestas son conocidas

Definición: Son aquellos cocientes que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritos
por simple inspección. Los cocientes notables son cocientes exactos.

a. Primer caso: a  b  n n
  a  b
En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número impar.
Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x 5 + y5) ÷ (x + y)
Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por
x5-1 = x4 A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).
En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x 3), pero
además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x3y.

Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que
este desaparezca) y se irá incrementando el grado del exponente del segundo término.

(x5 + y5) ÷ (x + y) = x4 -x3y + x2y2 -xy3 +y4

b. Segundo caso: a  b  n n
  a  b
En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es un número par
o impar.
Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x 6 - y6) ÷ (x - y)


La mecánica es prácticamente la misma que en el caso (a), con la única diferencia que en la
respuesta todos los términos se estarán sumando (es decir todos los signos serán más).

(x6 + y6) ÷ (x + y) = x5 +x4y + x3y2 +x2y3 +xy4+y5

c. Tercer caso: a  b n n
  a  b
En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número par.
Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x 4 - y4) ÷ (x + y)
Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por
4-1 3
x = x A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).
2
En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x ), pero
2
además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x y
Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que
este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.

(x4 - y4) ÷ (x + y) = x3 -x2y + xy2 -y3

UNIDAD 4

FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

FACTORIZACION

Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.
Cuando realizamos las multiplicaciones:

2 3 2
1. 2x(x – 3x + 2) = 2x – 6x + 4x

2. (x + 7)(x + 5) = x 2 + 12x + 35

Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones
a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.


CASOS DE FACTORIZACIÓN

1. FACTOR COMUN

1.1 Factor común monomio: Con este método buscamos el factor común de todos y cada uno
de los términos del monomio. Es decir, cuando tenemos una expresión de dos o más expresiones
algebraicas y se presenta un término común; se debe sacar como factor común.

Ejemplo 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y − 24z?

Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6∙2x + 6∙3y − 6∙ 4z = 6(2x + 3y − 4z)

2
Ejemplo 2: ¿Cuál es el factor común monomio en: 5a − 15ab − 10ac?

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a (el de
menor

grado), por lo tanto

5a2 − 15ab − 10ac = 5a∙a − 5a∙3b − 5a · 2c = 5a(a − 3b − 2c)

2 2 2 2
Ejemplo 3: ¿Cuál es el factor común en 6x y − 30xy + 12x y ?

El factor común es “6xy “porque

6x2y − 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x − 5y + 2xy)

1.2 Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión.

En este método se busca el factor común de todos y cada uno de los términos de un polinomio.
Pero el resultado será otro polinomio.

Ejemplo 1: 5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y)

- Factor común "(x − y)", el otro factor será lo que queda del polinomio. (5x2 + 3x + 7)


2
Entonces se obtiene como resultado: (x − y) (5x + 3x +7)

Ejemplo 2:

Factoriza 2a (m − 2n) − b (m − 2n) =

Existe un factor común que es (m − 2n) → 2a (m − 2n) − b (m - 2n) = (m − 2n) (2a − b)

1.3 Factor común por agrupación de términos: En este caso de factorización hacemos
uso de los dos métodos anteriores.
4 3 2
Ejemplo: 5x y + 3x y −9xy −15xy :

Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así:

1º 5x4y − 15xy2 = 5xy (x3 − 3y)

2º 3x3y − 9xy = 3y (x3 −3y)

Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así:

5xy (x3 −3y) +3y (x3 −3y): Después se aplica el factor común polinomio.

Entonces el resultado será el siguiente: (x3 −3y) (5xy +3y)

2. FACTORIZACION DE TRINOMIOS

2.1 Trinomio cuadrado perfecto

Para que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada y
el segundo término debe ser el doble producto de las bases de los dichos términos.
Ejemplo:

Factorizar 9 x2  30 x  25

2
1 Halla la raíz principal del primer término 9x ; 3x · 3x


2 Halla la raíz principal del tercer término 25 con el signo del segundo término; −5 · −5

luego la factorización de 9 x  30 x  25   3x  5 3x  5   3x  5 
2 2

2.2 Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:

En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se
pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: m 4  10m 2 n 2  9n 4

Resolviéndolo queda:

m 4  10m 2 n 2  9n 4  4m 2 n 2  4m 2 n 2

m 4  6m 2 n 2  9n 4  4m 2 n 2

m 2
 3n 2   2mn
2 2

Aplicamos diferencia de cuadrados:

 m2  3n2    2mn   m2  3n2    2mn 
  

2.3 Trinomio de la forma: x 2n  bx n  c

El trinomio de la forma x
2n
 bxn  c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante
el siguiente proceso:


Ejemplo 1:

Descomponer x2  6 x  5

1 Hallar dos factores que den el primer término x ·x

2 Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”

1 y 5 ó -1 y - 5

Pero la suma debe ser +6 luego serán  x  5 x  1
 x2  6 x  5   x  5 x  1

Ejemplo 2:

Factorizar x4  4 x2 y  12 y 2
4 2 2
1º Hallar dos factores del primer término, o sea x : x ·x

2º Hallar los divisores de 12y2, estos pueden ser: 6y · −2y ó −6y · 2y

4y · −3y ó −4y · 3y

12y · −y ó −12y · y

Pero la suma debe ser +4, luego servirán 6y y −2y, es decir:

x 4  4 x 2 y  12 y 2   x 2  6 y  x 2  2 y 


2.4 Trinomio de la forma ax2n  bx n  c

Ejemplo:

Factorizar 2 x 11x  5
2

1º El primer término se descompone en dos factores 2x · x

2º Se buscan los divisores del tercer término 5 ·1 ó -5 · -1

3º Parcialmente la factorización sería (2x + 5) (x + 1)

Pero no sirve pues da: 2x2 + 7x + 5

Se reemplaza por (2x - 1) (x - 5)
2
y en este caso nos da: 2x - 11x + 5

Por lo tanto, 2 x2  11x  5   x  5 2 x  1

Vale aclarar que este no es el único método. En la presentación se aplica el método que sugiere
Baldor.

3. FACTORIZACION DE BINOMIOS

3.1 Diferencia de dos cuadrados:

Ejemplo:

Factorizar 9 x 2  16 y 2

Raíz cuadrada del primer término 9 x 2  3x


Y raíz cuadrada del segundo término 16 y 2  4 y

Luego la factorización de 9 x2  16 y 2   3x  4  3x  4 

3.2 Cubo perfecto de un binomio

Ejemplo:
a3  3a 2  3a  1
Factorizar

Todos los signos de los términos son positivos

3
a3  a : Raíz cubica del primer término del cuatrinomio.

3
1  1 : Raíz cubica del cuarto término del cuatrinomio.

 
3 a 2 1  3a 2 Triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer término por la raíz cubica del cuarto:

Igual al segundo término del cuatrinomio.

3a 1  3a Triplo de la raíz cubica del primer término del cuatrinomio por el cuadrado de la raíz
cubica

del cuarto término: igual al tercer término del cuatrinomio.

Por lo tanto:

a 3  3a 2  3a  1 Desarrollo de un cubo perfecto de binomios.

a 3  3a 2  3a  1  a  1
3

3.3 Suma o diferencia de cubos perfectos


3.3.1 Diferencia de cubos: a3  b3   a  b   a 2  ab  b2 

Ejemplo: 8  x3   2  x   4  2 x  x 2 

3.3. 2 Suma de cubos: a3  b3   a  b   a 2  ab  b2 

Ejemplo: 27a3  1   3a  1  9a 2  3a  1

FRACCIONES ALGEBRAICAS

DEFINICIONES
Fracción algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la forma
p( x)
donde el polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica, con q(x) ≠0.
q( x)
Ejemplos:

x5 8  3
(a) ( x  3) (b) x   
x 3 2x  3  2
2x  3 y 3x  4
(c ) (d ) 2 ( x  4, x   2)
7 x  2x  8

Simplificación de fracciones algebraicas

Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente reducida a su mínima
expresión, o sea, una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su
denominador se pueden dividir por un mismo factor.


Una fracción después de simplificada se dice que es irreducible.

 Para simplificar una fracción cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el
denominador por sus factores comunes hasta lograr que la fracción sea irreducible.
 Para simplificar una fracción cuyos términos sean polinomios se descomponen en
factores los polinomios y se suprimen los factores comunes en el numerador y el
denominador hasta lograr que la fracción sea irreducible.

Ejemplos

Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

24a3b3 8a 2  3ab3 8a 2
(a)  
21ab5 7b 2  3ab 3 7b 2

x 2  7x  12
(b)
x 2  16
Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:

x 2  7x  12  ( x  4)( x  3)
x 2  16  ( x  4)( x  4)

Luego:

x 2  7 x  12 ( x  4)( x  3) x 3
 
x  16
2
( x  4)( x  4) x4

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas

La operación de reducir las fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en
convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menor
posible.

Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus
factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso
el de mayor exponente


Ejemplo:

Reducir al mínimo común denominador
x 3 2x x3
, 2 , 2 ,
x  5 x  6 x  6 x  9 x  3x  2 x  2
2

Al factorizar los denominadores obtenemos:

( x  2)( x  3), ( x  3)2 , ( x  2)( x  1), ( x  2) ; m.c.m. = ( x  2)( x  3) 2 ( x 1)

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

En las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan en
aritmética para el cálculo de fracciones numéricas.

1. Suma y Resta
Reglas:
 Se simplifican las fracciones, si es posible.
 Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador
 Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores y cada cociente lo
multiplicamos por su respectivo numerador.
 Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por el
denominador común.
 Se reducen términos semejantes en el numerador, si los hubiere.
 Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo:
5a  9b 7a  2b 8a  5b (5a  9b)  (7a  2b)  (8a  5b) 4a  6b
   
2a  3b 2a  3b 2a  3b 2a  3b 2a  3b

Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:

2(2a  3b)
2
(2a  3b)

5a  9b 7a  2b 8a  5b
Entonces:    2
2a  3b 2a  3b 2a  3b


2. Multiplicación
Reglas:
 Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.
 Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto
resultante se divide por el producto de las expresiones que queden en los denominadores.
Ejemplo:

m2  5m  6 m3  m 7m  21
m 9
2
m  2m  8m 7m2  7
3 2

Factoricemos y simplifiquemos

(m  3)(m  2) m(m2  1) 7(m  3)
  
(m  3)(m  3) m(m  2m  8) 7(m 2  1)
2

(m  3)(m  2) m(m  1)(m  1) 7(m  3) 1
  
(m  3)(m  3) m(m  4)(m  2) 7(m  1)(m  1) m4

Entonces:

m2  5m  6 m3  m 7m  21 1
 3  
m 9
2
m  2m  8m 7m  7
2 2
m4

3. División
Reglas:
 Se multiplica el dividendo por el divisor invertido
 Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.

Ejemplo:

2x  4 y 6 xy  12 y 2 2 x  4 y 15 x  45 y
  
5 x  15 y 15 x  45 y 5 x  15 y 6 xy  12 y 2



2( x  2 y ) 15( x  3 y ) 1
 
5( x  3 y) 6 y( x  2 y) y

2x  4 y 6 xy  12 y 2 1
Entonces:  
5 x  15 y 15 x  45 y y

4. Operaciones combinadas

Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar
aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen
prioridad.

Ejemplo:

 3x  3 y 6x  6 y  x2  y 2
 2    2
 x  2 xy  y 2 x  2 y  x  xy  y 2
2

Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos.

3( x  y ) 2( x  y ) x2  y2
 
( x  y ) 2 6( x  y ) x 2  xy  y 2


3( x  y) 2( x  y ) ( x  y )( x  y ) x y
  2  2
( x  y) 6( x  y ) x  xy  y
2 2
x  xy  y 2

Entonces:
 3x  3 y 6x  6 y  x2  y 2 x y
 2   2  2
 x  2 xy  y 2 x  2 y  x  xy  y x  xy  y 2
2 2

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