F II.pdf
- 1. SESIÓN 05 Oscilaciones amortiguadas. Oscilaciones forzadas. Resonancia. Foro de discusión relacionado con una herramienta TIC.
- 2. Logros esperados • Resuelve problemas sobre oscilaciones amortiguadas. • Analiza y resuelve problemas sobre oscilaciones forzadas. • Establece las condiciones necesarias de resonancia
- 3. Las oscilaciones o vibraciones mecánicas no deseadas pueden perjudicar el correcto funcionamiento de máquinas o estructuras. Esto conlleva a gastos de mantenimiento o deterioro temprano del material. Actividad previa
- 4. • En un sistema masa-resorte real hay fuerzas de fricción debido al aire u otro fluido donde oscila la masa. • En este caso la energía mecánica del sistema “masa-resorte” disminuye con el tiempo, y se dice que el movimiento es amortiguado. La figura muestra un tipo de sistema de suspensión para automóviles, en el que un amortiguador se coloca dentro de un muelle (resorte) helicoidal en cada rueda. Oscilaciones amortiguadas
- 5. Amortiguamiento viscoso ሶ 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣𝑥 • La fuerza de amortiguamiento viscoso es proporcional a la velocidad instantánea, 𝑓𝑑,𝑥 = −𝑏𝑣𝑥. • 𝑏 es la constante de amortiguamiento 𝑁.𝑠 𝑚 y 𝑣𝑥 es la velocidad del objeto. • Por segunda ley de newton, 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎,𝑥 = 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 −𝑏𝑣𝑥 − 𝑘𝑠𝑥 = 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 + 𝑏 𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑘𝑠 𝑚 𝑥 = 0 Ecuación (diferencial) del oscilador libre amortiguado viscosamente 𝑏 = 0 → 𝑀𝐴𝑆 Ecuación diferencial del oscilador amortiguado
- 6. Amortiguamiento viscoso Pulsación del oscilador 𝝎′ 𝝎′ = 𝜔0 2 − 𝑏 2𝑚 2 𝝎𝟎 = 𝑘𝑠 𝑚 Donde: Frecuencia angular NATURAL Para sistemas críticamente amortiguado y sobreamortiguado no hay oscilación. Solamente oscilan sistemas subamortiguados.
- 7. Amortiguamiento viscoso https://physics.bu.edu/~duffy/HTML5/mass_ on_spring_damped.html Ingrese al enlace compartido y compruebe que el movimiento oscilatorio corresponde al caso SUB- AMORTIGUADO; es decir, 𝑏 2𝑚 < 𝑘𝑠 𝑚 .
- 8. 𝑏 2𝑚 = 1 𝑁. 𝑠/𝑚 2(2 𝑘𝑔) = 0.25 𝑁. 𝑠 𝑘𝑔. 𝑚 = 0.25 1 𝑠 𝝎𝟎 = 𝑘𝑠 𝑚 = 2 𝑁/𝑚 2 𝑘𝑔 = 1 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ¡¡Cumple!! Ingrese al enlace compartido y compruebe que el movimiento oscilatorio corresponde al caso SUB-AMORTIGUADO; es decir, 𝑏 2𝑚 < 𝑘𝑠 𝑚 . Enunciado
- 9. Amortiguamiento viscoso Solución de la ec. diferencial (caso subamortiguado) • Para el caso 𝜔0> 𝑏 2𝑚 , la solución de la ecuación es, 𝒙 𝑡 = 𝑨𝒆 − 𝒃 𝟐𝒎 𝒕 cos(𝝎′𝑡 + 𝜙) • Donde, 𝝎′ es la pulsación del oscilador 𝝎′ = 𝜔0 2 − 𝑏 2𝑚 2 = 2𝜋 𝝎′
- 10. El sistema de suspensión de un automóvil de 2000 kg se hunde 10.0 cm cuando el chasis es ubicado sobre él. Además, la amplitud de la oscilación decrece un 50.0% en cada ciclo. Estime los valores de: (A) La constante 𝑘𝑠 de cada resorte, (B) constante de amortiguamiento 𝑏. Asuma que cada llanta soporta el peso de una masa de 500 kg (la cuarta parte del total). EJEMPLO 05
- 11. El sistema de suspensión de un automóvil de 2000 kg se hunde xi = 0.100 m cuando el chasis es ubicado sobre él. Además, la amplitud de la oscilación decrece un 50.0% en cada ciclo. Estime los valores de: (a) La constante 𝑘𝑠 de cada resorte, (b)constante de amortiguamiento 𝑏. Asuma que cada llanta soporta el peso de una masa de m = 500 kg (la cuarta parte del total). Enunciado Datos: 𝑚 = 500 𝑘𝑔 xi = 0.100 m Obtención de 𝒌𝒔 𝑘𝑠𝑥𝑖 − 𝑚𝑔 = 0 𝑘𝑠 = 𝑚𝑔 𝑥𝑖 = 49050 𝑁/𝑚 𝜔0> 𝑏 2𝑚 𝐴 𝑡 = 𝐴𝑖𝑒 − 𝑏 2𝑚 𝑡 𝐴 𝑇′ = 𝐴𝑖 2 Obtención de 𝝎′ 𝝎′ = 𝜔0 2 − 𝑏 2𝑚 2 Aproximaciòn 𝑘𝑠 𝑚 ≫ 𝑏 2𝑚 2 = 𝜔0= 49050 𝑁/𝑚 500 𝑘𝑔 = 9.90454 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Obtención de 𝑻′ 𝑇′ = 2𝜋 𝜔′ = 0.63437 𝑠 Obtención de 𝒃 𝐴 𝑇′ = 𝐴𝑖𝑒 − 𝑏 2𝑚 𝑇′ 𝐴𝑖 2 = 𝐴𝑖𝑒 − 𝑏 2𝑚 𝑇′ 1 2 = 𝑒 − 𝑏 2𝑚 𝑇′ 𝐿𝑛 1 2 = − 𝑏 2𝑚 𝑇′ 𝑏 = − 2𝑚 𝑇′ 𝐿𝑛 1 2 𝑏 = 1086 N ∙ s m = 1.09 × 103 N ∙ s m
- 12. Movimiento oscilatorio forzado armónicamente • Sea una masa (sistema) cuyos entornos son los siguientes: un resorte (unido a la masa), un amortiguador (unido a la masa) y un agente que produce un fuerza externa impulsora de la forma: 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝐹0cos(𝜔𝑡) • Por segunda Ley de Newton (para la masa): −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣𝑥 + 𝑭𝟎 cos 𝝎𝑡 = 𝑚𝑎𝑥 𝑚 𝑑𝟐 𝑥 𝑑𝑡𝟐 + 𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑘𝑥 = 𝐹0cos(𝜔𝑡)
- 13. Movimiento oscilatorio forzado armónicamente 𝑚 𝑑𝟐 𝑥 𝑑𝑡𝟐 + 𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑘𝑥 = 𝐹0cos(𝜔𝑡) • En un inicio la solución de esta ecuación es transitoria. • Sin embargo, la solución decae y puede ignorarse después de cierto tiempo. 𝒙(𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝝋) (Solución estacionaria) 𝑨 𝝎 Signo (-) indica que la respuesta del sistema está atrasada respecto a la fuerza impulsora
- 14. Movimiento oscilatorio forzado armónicamente Amplitud de oscilación forzada 𝑨(𝜔) = 𝐹0 𝑚2 𝜔0 2 − 𝜔2 2 + 𝑏2𝜔2
- 15. EJEMPLO 06 Un bloque de 𝒎 = 𝟐. 𝟎𝟎 𝐤𝐠 es adherido a un resorte que tiene una constante de fuerza 𝒌𝒔 = 𝟐𝟎. 𝟎 𝐍/𝐦. El bloque se mueve sin fricción (𝒃 = 𝟎) y es impulsado por una fuerza externa 𝑭 = (𝟑. 𝟎𝟎 𝐍) 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅 𝐫𝐚𝐝 𝐬 𝒕 , donde 𝑭 está en newtons y 𝒕 en segundos. A. Calcula la frecuencia angular natural del sistema. B. Reconoce la frecuencia angular de la fuerza impulsora. C. Calcula la amplitud del movimiento en el estado estacionario.
- 16. Enunciado Un bloque de 𝒎 = 𝟐. 𝟎𝟎 𝐤𝐠 es adherido a un resorte que tiene una constante de fuerza 𝒌𝒔 = 𝟐𝟎. 𝟎 𝐍/𝐦. El bloque se mueve sin fricción (𝒃 = 𝟎) y es impulsado por una fuerza externa 𝑭 = (𝟑. 𝟎𝟎 𝐍) 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅 𝐫𝐚𝐝 𝐬 𝒕 , donde 𝑭 está en newtons y 𝒕 en segundos. Calcule: (a) la frecuencia angular natural del sistema, (b) la amplitud del movimiento en el estado estacionario. Datos: 𝑚 = 2.00 𝑘𝑔 𝑘𝑠 = 20.0 𝑁/𝑚 𝑏 = 0 𝐹0 = 3.00 𝑁 𝜔 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠 = 6.28 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Obtención de 𝝎𝟎 Estado estacionario 𝝎𝟎 = 𝑘𝑠 𝑚 = 20.0 𝑁/𝑚 2 .00𝑘𝑔 𝝎𝟎 = 3.16 rad s Obtención de 𝑨(𝜔) 𝑨 6.28 𝑟𝑎𝑑 𝑠 = (3.00 𝑁) (2.00 𝑘𝑔)2 10 𝑟𝑎𝑑 𝑠 − 6.28 𝑟𝑎𝑑 𝑠 2 2 + 0 𝑁. 𝑠 𝑚 2 6.28 𝑟𝑎𝑑 𝑠 2 𝑨 6.28 𝑟𝑎𝑑 𝑠 = 0.0509 m
- 17. • Un sistema que oscila tiene una frecuencia angular natural de oscilación 𝜔0. • La resonancia se produce si el sistema funciona con una frecuencia angular externa 𝜔 que coincide con esta frecuencia natural. • Esto produce una gran amplitud de oscilación. • Verifique el efecto de la resonancia en el link compartido. https://youtu.be/OKNiDklOgoo Resonancia
- 18. Amplitud estacionaria y resonancia Resonancia 𝑨(𝜔) = 𝐹0 𝑚2 𝜔0 2 − 𝜔2 2 + 𝑏2𝜔2 • Si 𝜔 = 𝜔0 y 𝑏 = 0, la amplitud crece sin límites en resonancia (colapso del sistema): 𝑨𝒎𝒂𝒙 = infinito. • Si 𝑏 es pequeño, la máxima amplitud ocurre cerca a la resonancia (𝜔 ≈ 𝜔0) y A es muy alta. 𝑨𝒎𝒂𝒙 = 𝐹0 𝑏𝜔0 • Si 𝑏 no es cero, la máxima amplitud ocurre con una frecuencia menor a la de resonancia. 𝜔0 𝑨𝒎𝒂𝒙
- 19. La amplitud de un oscilador armónico amortiguado alcanza el valor de 𝟐𝟑. 𝟕 𝐅𝐨 𝐤𝒔 para una frecuencia de resonancia de 𝐟𝟎 = 𝟑𝟖𝟐 𝐇𝐳. Para una masa de 𝐦 = 𝟏. 𝟓𝟎 𝐤𝐠, ¿Qué valor posee la constante de fuerza del resorte (𝐤𝒔) y la de amortiguamiento (b)? 𝐹0cos(𝜔𝑡) b EJEMPLO 07
- 20. La amplitud de un oscilador armónico amortiguado alcanza el valor de 𝟐𝟑, 𝟕 𝐅𝐨 𝐤𝐬 para una frecuencia de resonancia de 𝐟𝟎 = 𝟑𝟖𝟐 𝐇𝐳. Para una masa de 𝐦 = 𝟏, 𝟓𝟎 𝐤𝐠, (a)¿Qué valor posee la constante de fuerza del resorte (k) y la de amortiguamiento (b)? 𝐹0cos(𝜔𝑡) b Enunciado Obtención de 𝒌𝒔 𝑓 = 𝑓0 𝑓 = 𝑓0 = 𝜔0 2𝜋 = 𝑘𝑠 𝑚 2𝜋 (Resonancia) 2𝜋𝑓0 = 𝑘𝑠 𝑚 (2𝜋𝑓0)2 = 𝑘𝑠 𝑚 𝑘𝑠 = 𝑚(2𝜋𝑓0)2 Obtención de 𝒃 𝐀𝐦𝐚𝐱 = 𝐹0 𝑏𝜔0 (Resonancia) 𝐛 = 𝐹0 𝐀𝐦𝐚𝐱𝜔0 𝐛 = 𝐹0 𝟐𝟑. 𝟕 𝐅𝐨 𝐤𝐬 (2𝜋𝑓0) = 𝑘𝑠 23.7(2𝜋𝑓0) → 𝐛 = 151.90 … N ∙ s/m = 152 N ∙ s/m = 8641272,91 … N/m = 8.64 × 106 N/m
- 21. Cierre • Se ha resuelto problemas sobre oscilaciones amortiguadas. • Se ha analizado y resuelto problemas sobre oscilaciones forzadas. • Se ha establecido las condiciones necesarias de resonancia. No se olvide que en cada semana hay un trabajo colaborativo obligatorio.
- 22. Bibliografía del Curso Referencias Básicas ▪ SERWAY RAYMOND, JEWETT JOHN W. Física para la Ciencias e Ingeniería. Volumen I. 7a Edición. México. Thomson. 2009. LIBRO TEXTO ▪ TIPLER PAUL, MOSCA GENE. Física para la ciencia y la tecnología. VOLUMEN 1. Mecánica/Oscilaciones y ondas/Termodinámica. Sexta Edición. Barcelona. Reverte. 2010