Factorizaciones
- 1. PRECALCULO.<br />3.6. Leyes de los exponentes enteros para la división<br />Lo siguiente indica una regla para simplificar expresiones de la forma <br />Se puede apreciar que podemos restar los exponentes para encontrar el exponente del cociente. Por lo que para cualquier número real a excepto el 0 (cero), y para cualquier par de números completos m y n<br />Ejemplo:<br />Al simplificar las siguientes expresiones tenemos:<br />Por si el exponente mayor está en el denominador, es decir si n es mayor que m entonces:<br />Ejemplo:<br /> o bien <br />Ejemplo:<br /> o bien <br />Tenemos que para todo número real a excepto el 0, y para todo número completo m <br />Ejemplo:<br />Como en el caso:<br /> Ya que el exponente solo afecta a b<br />Sabemos que cualquier número diferente de cero dividido entre sí mismo es igual a 1. Por ejemplo . Si utilizamos la regla anterior, encontramos que <br />Podemos establecer la siguiente definición: a0=1, para cualquier número real excepto el cero.<br />p0=1 30=1<br />3.9. Factorización<br />Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.<br />La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.<br />Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.<br />Factorización<br />Multiplicación<br />Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos . En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos <br />Al factorizar el número 20, tendremos o .<br />Advierte que y no están factorizados por completo. Contienen factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera factorización , de modo que mientras que la segunda factorización , de modo que , en cualquier caso la factorización completa para 20 es .<br />De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera no factorizamos 20 como .<br />Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas.<br />3.9.1. Factor común.<br />Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.<br />Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: . Cuando factorizamos .<br />Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común, . Aquí tenemos como hacerlo:<br />Máximo factor común (MFC).- El término , es el MFC de un polinomio sí:<br />a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y <br />n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio. <br />De este modo para factorizar , podríamos escribir <br />Pero no está factorizado por completo por que puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los términos es . De esta manera la factorización completa es . Donde es el MFC.<br />Ejemplo:<br />Factorizar <br />Ejemplo:<br />Factorizar <br />Ejemplo:<br />Factorizar <br />Ejemplo:<br />Factorizar <br />Ejemplo:<br />Factorizar <br />Ejemplo:<br />Factorizar <br />Ejemplo:<br />Factorizar <br />3.9.2. Diferencia de cuadrados.<br />Aquí tenemos un producto notable podemos utilizar esta relación para factorizar una diferencia de cuadrados. <br />Ejemplo:<br />Factorizar <br />Ejemplo:<br />Factorizar <br />Ejemplo:<br />Factorizar <br />3.9.3. Trinomios con término de segundo grado.<br />Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.<br />Los trinomios , son trinomios cuadrados porque son cuadrados de un binomio.<br />Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.<br />Dos de los términos deben de ser cuadrados y <br />No debe haber signo de menos en o en <br />Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término 2AB o su inverso aditivo -2AB. <br />¿Es un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número.<br />Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:<br />Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible.<br />3.9.5. Por Agrupación.<br />Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro términos. Consideremos . No hay ningún factor diferente de 1. Sin embargo podemos factorizar a y por separado:<br /> <br />Por lo tanto . Podemos utilizar la propiedad distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1<br />Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método.<br />Ejemplo:<br />Ejemplo:<br />Factorizar<br />Ejemplo:<br />Factorizar<br />Ejemplo:<br />Factorizar<br />