![1.3. Potencial eléctrico 17
Los campos eléctricos que crea cada carga en el punto de observación serán
~
E1 = K
8q
(a2 + b2)3/2
(ax̂ + bŷ) , ~
E2 = −K
q
b2
ŷ
y el campo total, por superposición,
~
E = ~
E1 +~
E2 = Kq
8a
(a2 + b2)3/2
x̂ +
8b
(a2 + b2)3/2
−
1
b2
ŷ
.
La condición para que se anule el campo en la dirección vertical será
8b
(a2 + b2)3/2
=
1
b2
⇒ (a2
+ b2
)3/2
= 8b3
.
Si operamos en la expresión anterior
(a2
+ b2
)3/2
= (2b)3
⇒ a2
+ b2
= (2b)2
que se reduce a
a2
= 3b2
⇒ b =
a
√
3
.
(b) El trabajo W para trasladar la carga Q desde el punto A al B puede expresarse
como
W = Q[V(A) − V(B)]
donde el potencial eléctrico en cualquier punto, V(P), es la suma de los potenciales
creados por cada carga individualmente. Para este cálculo, debemos entonces notar
que
V1(A) = K
8q
b
V1(B) = K
8q
(a2 + b2)1/2
V2(A) = −K
q
(a2 + b2)1/2
V2(B) = −K
q
b
lo que nos lleva a
W = Q
V1(A) + V2(A) − V1(B) − V2(B)
= KqQ
8
b
−
1
(a2 + b2)1/2
−
8
(a2 + b2)1/2
+
1
b
= KqQ
9
b
−
9
(a2 + b2)1/2
.
Si tenemos ahora en cuenta que b = a/
√
3, la expresión anterior puede escribirse
como
W = 9KqQ
√
3
a
−
1
a(1 + 1/3)1/2
=
9KqQ
a
√
3 −
√
3
2
=
9
√
3
2
KqQ
a
.
FLML Física 2](https://image.slidesharecdn.com/fisica2-220816122224-7fbc257c/85/Fisica2-pdf-25-320.jpg)
−1/2
, ~
E(0, y, 0) = [q/(2π0)]y(y2
+ a2
)−3/2
ŷ.
1.4: Tres cargas puntuales de igual valor, q, se encuentran dispuestas en los vértices de un
triángulo, como se indica en la figura. Calcúlese: a) el campo eléctrico y el potencial generado
por las tres cargas en puntos del segmento que une los puntos (0, 0) y (0, h); b) la fuerza
ejercida por las dos cargas que se encuentran sobre el eje X sobre la carga situada en (0, h).
q
q
q
( )
l/2,0
( )
0, h
(- )
l/2,0
y
x
Sol.: a) V(0, y) = Kq[2((l/2)2
+ y2
)−1/2
+ (h − y)−1
],~
E(0, y) = Kq[2y((l/2)2
+ y2
)−3/2
− (h − y)−2
] ŷ.
b) ~
F = Kq2
2h[(l/2)2
+ h2
]−3/2
ŷ.
Física 2 FLML](https://image.slidesharecdn.com/fisica2-220816122224-7fbc257c/85/Fisica2-pdf-40-320.jpg)
N/C.
Sol.: a) ~
F = [q2
/(4π0L2
)](1 − 1/
√
8)(x̂ + ŷ) N.
q
-q
-q
q
L
L
Y
X
1.6: El potencial electrostático en cierta región del espacio está dado por V = 2x2
− y2
+ z2
,
donde x, y, z se expresan en metros y V en voltios. Determinar: a) la componente del campo
eléctrico en el punto (1, 2, 3) a lo largo de la dirección dada por la recta que pasa por dicho
punto y por el punto (3,5,0) [Nota: Tenga en cuenta que ~
E = −(∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)]; b) el
trabajo que realizaría el campo sobre una carga puntual q = 2 C que se desplazase desde el
punto (1, 2, 3) hasta el (3, 3, 3).
Sol.: a)
√
22 N/C; b) −22 J.
1.7: Sobre los planos x = 0 y x = 4 existen densidades de carga de valor σ1 = 10−8
C/m2
y σ2 =
−10−8
C/m2
respectivamente. Determinar: a) la fuerza que actúa sobre una carga puntual
q = 1 pC situada en el punto (1,0,0); b) el trabajo realizado por el campo para transportar
dicha carga hasta el punto (3,2,0); c) la d.d.p. entre los puntos (1,0,0) y (8,0,0).
Sol.: a) 36π · 10−11
x̂ N; b) 72π · 10−11
J; c) 1080π V.
1.8: Una gota de aceite cargada de masa 2,5×10−4
g está situada en el interior de un con-
densador de placas paralelas de área 175 cm2
. Cuando la placa superior tiene una carga de
4,5×10−7
C, la gota de aceite permanece estacionaria. ¿Qué carga tiene esta gota?
Sol. Q = 8,43×10−13
C.
1.9: (*) Determinar el campo eléctrico y el potencial en todos los puntos del espacio en dos
casos: a) Esfera conductora de radio R y carga Q; b) Esfera no conductora de radio R con
densidad volumétrica de carga uniforme de valor ρ (nota: elegir potencial cero en el infinito
en ambos casos).
Sol.: a) r R: ~
E(r) = Q/(4π0r2
) r̂, V(r) = Q/(4π0r); r R: ~
E = 0, V = Q/(4π0R); b) r R:
~
E(r) = R3
ρ/(30r2
) r̂, V(r) = R3
ρ/(30r); r R: ~
E(r) = rρ/(30) r̂, V(r) = ρ(R2
− r2
/3)/(20).
1.10: (*) Una esfera no conductora de radio R tiene una densidad volumétrica de carga ρ = Ar,
donde A es una constante y r la distancia al centro de la esfera. Determinar: a) la carga total
de la esfera (considere que el diferencial de volumen viene dado por dV = 4πr2
dr); b) el
campo eléctrico y el potencial en cualquier punto del espacio (nota: elegir potencial cero en
el infinito).
Sol: a) Q = πAR4
; b) r ≤ R: ~
E(r) = Ar2
/(40)r̂, V(r) = −Ar3
/(120) + AR3
/(30); r R: ~
E(r) =
Q/(4π0r2
)r̂, V(r) = Q/(4π0r).
1.11: (*) Demuestre que el campo eléctrico fuera de un conductor cilíndrico rectilíneo de
radio R, longitud infinita y densidad de carga superficial σ es equivalente al campo debido a
una línea infinita cargada con la misma cantidad de carga por unidad de longitud (es decir,
si λ = 2πRσ).
1.12: (**) Determinar el potencial y el campo eléctrico en el eje de un anillo circularde radio
R con una densidad de carga lineal uniforme λ que está situado en el plano XY y tiene su
centro en el origen de coordenadas.
Sol.: V(0, z, 0) = [λ/(20)]R(z2
+ R2
)−1/2
, ~
E(0, z, 0) = [λ/(20)]Rz(z2
+ R2
)−3/2
ẑ.
1.13: (**) Dos anillos circulares de radio R coaxiales y con sus centros separados una distancia
R
a
l
-l
a están cargados con densidades de carga lineal λ y −λ respectivamente. Hallar el trabajo
que hay que realizar para situar una carga prueba, q, en los puntos siguientes: a) centro del
anillo cargado positivamente; b) punto del eje equidistante de ambos anillos; c) centro del
anillo cargado negativamente (nota: en los tres apartados, suponer que la carga q se trae
desde el infinito al punto considerado).
Sol.: a) W = [qλ/(20)]{1 − R(R2
+ a2
)} ; b) W = 0; c) W = [qλ/(20)]{R(R2
+ a2
) − 1}
FLML Física 2](https://image.slidesharecdn.com/fisica2-220816122224-7fbc257c/85/Fisica2-pdf-41-320.jpg)
![54 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua
La respuesta en cualquier elemento de un circuito lineal que con-
tenga dos o más fuentes es la suma de las respuestas obtenidas
para cada una de las fuentes actuando separadamente y con to-
das las demás fuentes anuladas.
Para demostrar este teorema podemos partir del sistema de ecuaciones
que nos da el método de análisis de mallas,
[ξ] = [R][I] , (2.45)
o, equivalentemente,
[I] = [R]−1
[ξ] . (2.46)
Si ahora consideramos una descomposición de las fuentes, de manera que
[ξ] = [ξ]1 + [ξ]2 , (2.47)
tendremos entonces que existe una descomposición análoga para la inten-
sidad,
[I] = [R]−1
[ξ] = [R]−1
[ξ]1 + [R]−1
[ξ]2
= [I]1 + [I]2 . (2.48)
La ecuación anterior muestra que toda combinación lineal de fem corresponde
a una combinación lineal de intensidades.
Ejemplo 2.4 Aplicar el teorema de superposición para calcular la intensidad Ib en
el circuito de la parte (a) de la figura.
El cálculo de la corriente Ib mediante la aplicación del teorema de superposición
requiere la descomposición de la excitación provocada por las dos fuentes en dos
excitaciones distintas debidas a cada una de las fuentes actuando por separado. De
esta manera
Ib = Ib,1 + Ib,2 ,
y, por tanto, debemos resolver dos problemas más simples según muestra la par-
te (b) de la figura. Para calcular Ib,1, tenemos que resolver el siguiente sistema:
ξa = IaRa + Ib,1Rb
Ib,1Rb = IcRc
Ia = Ib,1 + Ic .
Asimismo para calcular Ib,2, se resolverá
ξc = IcRc + Ib,2Rb
Ib,2Rb = IaRa
Ic = Ib,2 + Ia .
Aunque el ejemplo anterior no muestra ninguna ventaja de cálculo en la
resolución del circuito, existen múltiples situaciones en las que la aplicación
de este teorema puede ser muy beneficioso para simplificar los cálculos. Una
situación en la que este teorema muestra su utilidad se encuentra cuando
tengamos en un mismo circuito fuentes de corriente continua y de corriente
alterna. Algún ejemplo de esta situación se mostrará en el tema de corriente
alterna.
Física 2 FLML](https://image.slidesharecdn.com/fisica2-220816122224-7fbc257c/85/Fisica2-pdf-62-320.jpg)
![58 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua
única función cuya derivada es proporcional a ella misma es la función expo-
nencial. En este sentido podemos comprobar que la solución a la ecuación
(2.52) es
Q(t) = Q0e−t/RC
, (2.53)
donde Q0 es precisamente el valor de la carga en el condensador en el ins-
tante t = 0 [Q(0) = Q0].
La expresion anterior nos dice que la carga en el condensador va decre-
ciendo de forma exponencial, siendo el factor τ = RC, denominado constante
de tiempo, el que rige el ritmo de decrecimiento. Podemos comprobar que
para tiempos t 4τ la carga del condensador es prácticamente desprecia-
ble y podemos considerar, a efectos prácticos, que el condensador ya se ha
descargado.
Para calcular la intensidad de la corriente que fluye en el proceso de
descarga simplemente debemos derivar la expresión (2.53) para obtener
I(t) = I0e−t/RC
, (2.54)
donde I0 es el valor de la intensidad de la corriente en el instante t = 0,
I(0) = I0 = Q0/RC.
Actividad 2.10:
Explique brevemente por qué la carga del condensador empieza
a fluir después de que interrruptor de la Fig. 2.5 se cierre.
¿Por qué el voltaje de un condensador que se descarga va a cero?
Describa las diferencias entre una ecuación algebraica y una di-
ferencial. En Física usamos mayoritariamente ecuaciones diferen-
ciales (por ejemplo, la segunda ley de Newton), ¿puede explicar
por qué?
Verifique que para t 4τ la carga de un condesador en su proceso
de descarga se ha hecho prácticamente nula.
En un proceso de descarga RC, ¿cómo podría obtener la energía
total disipada en la resistencia? ¿Tiene que ser igual al valor de la
energía inicial almacenada en el condensador? Demuestre si esto
es así.
Carga de un condensador
El proceso contrario a la descarga del condensador será precisamen-
te la carga de dicho condensador. En este proceso debemos contar con un
generador de fuerza electromotriz, ξ, que nos proporcione la energía sufi-
ciente para llevar a cabo este proceso. Consideremos el circuito mostrado
en la Fig. 2.6. Si en el instante t = 0 cerramos el interruptor del circuito y
Física 2 FLML](https://image.slidesharecdn.com/fisica2-220816122224-7fbc257c/85/Fisica2-pdf-66-320.jpg)
![82 Tema 3. Magnetostática
Sol.: a) B(r) =
µ0n1I1 ± µn2I2 si r R2
µ0n1I1 si R2 r R1
0 si r R1
donde r es la distancia al eje de los solenoides y el signo más/menos se toma si ambas
intensidades circulan en igual/opuesto sentido; b) I2 = −n1I1/n2.
3.13: Dos conductores filiformes, rectilíneos y de longitud infinita son perpendiculares al
plano XY y cortan a dicho plano en los puntos (0, a, 0) y (0, −a, 0). Por dichos conductores
circulan las intensidades I1 e I2 respectivamente. Calcular el campo magnético generado por
ambas corrientes en cualquier punto del espacio (nota: la solución del problema debe ser
válida para cualquier sentido de las intensidades por los conductores).
Sol.:
~
B(P) =
µ0
2π
(a − y)I1
x2 + (a − y)2
−
(a + y)I2
x2 + (a + y)2
x̂ +
xI1
x2 + (a − y)2
+
xI2
x2 + (a + y)2]
ŷ
,
donde las intensidades se consideran positivas si van en el sentido positivo del eje z y nega-
tivas en el caso contrario.
3.14: Un alambre de longitud l se arrolla en una bobina circular de N espiras. Demostrar que
cuando esta bobina transporta una corriente I, su momento magnético tiene por magnitud
Il2
/(4πN).
Física 2 FLML](https://image.slidesharecdn.com/fisica2-220816122224-7fbc257c/85/Fisica2-pdf-90-320.jpg)
![4.3. Inductancia 93
Las unidades de inductancia en el SI se denominan henrios (H), de modo
que Unidad de inductancia
1 henrio (H)
1 H = 1
T m2
A
. (4.30)
Usando razonamientos que no serán discutidos aquí encontraríamos que
la relación entre el flujo Φ12 que atraviesa el circuito 1 debido a un campo
~
B2 producido por una intensidad I2 que recorriese el circuito 2 vendría dada
por la misma razón de proporcionalidad, esto es,
Φ12 = MI2 . (4.31)
Ejemplo 4.2 Flujo magnético que atraviesa una espira rectangular debido al cam-
po de un hilo recto e infinito recorrido por una intensidad I.
En el plano z = 0 donde se sitúa la espira rectangular, el valor del campo mag-
I
a
c
dS b
y
z
x
nético creado por el hilo recto e infinito viene dado por
~
B(x) =
µ0I
2πx
ẑ .
En el presente caso, el diferencial de superficie puede expresarse como d~
S = dxdy ẑ,
por lo que el diferencial de flujo magnético, dΦ, a través de esta superficie es
dΦ = ~
B · d~
S = |~
B|dS =
µ0I
2πx
dxdy .
El cálculo del flujo total requiere la integración de la expresión anterior en la su-
perficie de la espira rectangular, de modo que
Φ =
Z b
0
dy
Z a+c
a
dx
µ0I
2πx
=
Z b
0
dy
µ0I
2π
ln
a + c
a
=
µ0I
2π
ln
a + c
a
Z b
0
dy =
µ0Ib
2π
ln
a + c
a
.
La expresión anterior muestra que la inductancia mutua en el presente caso es
M =
Φ
I
=
µ0b
2π
ln
a + c
a
.
Actividad 4.4:
¿Puede dar alguna razón que justifique la proporcionalidad que
existe entre el flujo magnético a través de una espira dada y la
corriente que fluye en otra espira de corriente adyacente? [Con-
sidere que el campo magnético producido por una espira de co-
rriente es proporcional a la corriente que fluye por dicha espira.]
¿Depende la inductancia mutua de la cantidad de corriente que
fluye? Justifique su respuesta.
A partir de la definición de henrio (H) dada en (4.30), obtenga las
unidades de µ0 en función de H.
FLML Física 2](https://image.slidesharecdn.com/fisica2-220816122224-7fbc257c/85/Fisica2-pdf-101-320.jpg)
![4.8. Problemas propuestos 107
uniforme y estático, ~
B, como se indica en la figura. a) Calcule la fem inducida en el circuito
así como la corriente inducida indicado su sentido; b) ¿Qué fuerza está siendo aplicada a la
barra para que se mueva a velocidad constante?; c) Realízese un balance entre la potencia
aplicada y la energía consumida. Nota: Despreciar el autoflujo del circuito.
Sol.: a) ξ = −|~
B|l|~
v|; b) ~
Fa = Il|~
B|x̂; c) Pot. aplicada=Fav = Pot. consumida=I2
R.
4.3: Determinar el coeficiente de inducción mutua entre le circuito rectangular de la figura y
el conductor recto infinito.
Sol: M =
µ0c
2π
ln
a + b
a
.
a
b
c
4.4: Un conductor rectilíneo e infinitamente largo está recorrido por una intensidad I(t). Una
R x
a
b
I t
( )
x t
( )
espira rectangular de lados a y b y resistencia R es coplanaria con dicho conductor y varía su
posición de acuerdo con una ley de movimiento x(t) conocida. Calcule: a) el flujo magnético,
Φ(t), que atraviesa la espira; b) la fem inducida en la espira, indicando que parte de la misma
se debe al movimiento y cuál a la variación temporal del campo magnético; c) el valor de la
corriente inducida en el instante t si I(t) = I0 y x(t) = vt (v 0). Nota: Despreciar el autoflujo
del circuito.
Sol.: a) Φ(t) =
µ0bI(t)
2π
ln
a + x(t)
x(t)
;
b) ξ(t) = −
µ0b
2π
dI(t)
dt
ln
a + x(t)
x(t)
−
aI(t)v
x(t)(a + x(t))
;
c) Iind =
abµ0I0
2πR(at + vt2)
en sentido horario.
4.5: Un circuito rectangular de 2 Ω de resistencia se desplaza en el plano YZ en una zona
donde existe un campo magnético ~
B = (6 − y)x̂ T. Las dimensiones del circuito son de 0,5 m
B v
X
Y
Z
de altura por 0,2 m de anchura. Suponiendo que en el instante inicial (t = 0) el lado izquierdo
del circuito coincidía con el eje Z (según puede verse en el dibujo), calcule la intensidad
inducida en el circuito en los casos siguientes: a) se desplaza a velocidad uniforme de 2 m/s
hacia la derecha; b) transcurridos 100 s, si se mueve aceleradamente hacia la derecha con
a = 2 m/s
2
(supóngase que el circuito partió del reposo). c) Repita los apartados anteriores
suponiendo que el movimiento es ahora paralelo al eje Z. Nota: en todos los casos considere
despreciable el autoflujo.
Sol.: a) 0.1 A; b) 10 A; c) 0 A en los dos casos, ya que no hay variación del flujo magnético.
4.6: Un conductor rectilíneo infinito está recorrido por una intensidad I. Otro conductor en
forma de U es coplanario con el primero, su base es una resistencia, R, y mediante un puente a
v
v
R
R
I puente
móvil
l
l
a
a)
b)
I
móvil, que se mueve a velocidad v, forma una espira rectangular de área variable (véase
figura). Se consideran los casos en que R es paralela o perpendicular al conductor rectilíneo
infinito [casos a) y b) en la figura adjjunta]. Determine en cada caso la intensidad de corriente
inducida y la fuerza que es necesario aplicar al puente móvil para que se mueva a velocidad v.
Nota: en ambos casos considere despreciable el autoflujo del circuito en U.
Sol.: a) Iind =
µ0Ilv
2πR(a + vt)
, F =
v
R
Iµ0l
2π(a + vt)
2
;
b) Iind =
µ0Iv
2πR
ln
a + l
a
, F =
v
R
µ0I
2π
ln
a + l
a
2
.
4.7: En la figura se muestra un campo magnético uniforme y variable en el tiempo,
~
B(t) = (2 + 0,5t2
) ẑ T (t en segundos). En la región donde existe dicho campo se ha dispuesto
B( )
t
v
X
Y
Z
R
A
C
un circuito formado por un conductor en forma de U, que contiene una resistencia R = 10 Ω,
y que junto con la barra conductora móvil AC, de longitud l = 1 m y masa m (en kg), forma
una espira rectangular de área variable. Si la ley de movimiento de la barra AC es y(t) = 3t2
m,
calcule: a) el flujo magnético a través del circuito; b) la fem inducida en el circuito; c) la in-
tensidad inducida, indicando su sentido; d) la fuerza debida al campo magnético que actúa
sobre la barra en dirección y; e) la fuerza que hemos de aplicar a la barra móvil para que
satisfaga la mencionada ley de movimiento. Nota: Considere despreciable el autoflujo en el
circuito.
Sol.: a) Φ(t) = 6t2
+ 1,5t4
weber; b) ξ(t) = −(12t + 6t3
) V; c) Iind(t) = 1,2t + 0,6t3
sentido horario;
d) ~
Fmag(t) = −(2,4t + 1,8t3
+ 0,3t5
) ŷ; e) ~
Faplic(t) = (6m + 2,4t + 1,8t3
+ 0,3t5
) ŷ.
FLML Física 2](https://image.slidesharecdn.com/fisica2-220816122224-7fbc257c/85/Fisica2-pdf-115-320.jpg)
![5.6. Balance de potencia 127
Potencia media consumida
Pmed =
1
2
I0V0 cos ϕ = IefVef cos ϕ . (5.76)
Es interesante observar que, desde un punto de vista operativo, la po-
tencia media podría haberse calculado igualmente mediante la siguiente ex-
presión:
Pmed =
1
2
Re Ṽ˜
I
∗
=
1
2
Re Ṽ∗˜
I
. (5.77)
Si tomamos las expresiones fasoriales correspondientes a la intensidad y
tensión consideradas,
Ṽ = V0 (5.78)
˜
I =
Ṽ
Z
= I0e−jϕ
(5.79)
podemos comprobar que efectivamente (5.77) nos dice que
Pmed =
1
2
Re
V0I0e−jϕ
=
1
2
I0V0 cos ϕ . (5.80)
Actividad 5.8:
Explique las razones que nos han llevado a emplear la “potencia
media” en vez de la “potencia instantánea.”
Lleve a cabo los pasos detallados para obtener (5.76) a partir de
(5.75).
Demuestre que la expresión (5.77) para el cálculo de la potencia
media es equivalente a (5.76).
Deduzca las condiciones que hacen que la potencia media sea nu-
la. ¿Puede encontrar las razones físicas para ello?
5.6.2. Factor de potencia
En la expresión (5.76) de la potencia media podemos apreciar que junto
al producto de las amplitudes de la tensión e intensidad aparece un factor
cos ϕ denominado factor de potencia. Este factor de máxima importancia
práctica es determinante en el consumo/suministro de potencia en el siste-
ma puesto que su valor está comprendido en el intervalo [−1, 1]. Por ejemplo,
en la resonancia donde el desfase entre la tensión y la intensidad es nulo,
el factor de potencia es uno y consecuentemente el consumo de potencia es
máximo. Por el contrario si el desfase entre la tensión y la intensidad fuese
de π/2 el consumo de potencia sería nulo.
FLML Física 2](https://image.slidesharecdn.com/fisica2-220816122224-7fbc257c/85/Fisica2-pdf-135-320.jpg)
![5.7. Problemas propuestos 131
tendremos que calcular la impedancia equivalente de las tres ramas en paralelo
resultantes tras cortocircuitar la fuente de fem; esto es,
1
ZTH
=
1
4,6 − j2
+
1
1,2 + j1,6
que tras operar nos da
ZTH = 1,43 + j0,95 = 1,72 ej0,588
.
Para obtener el fasor de tensión Thevenin, ṼTH, notemos que debido a que las
tres ramas están en paralelo
ṼTH = ṼAB = ZAB˜
I = 8,6 e−j0,349
donde ZAB = 5,8 e−j0,069
ya fue obtenido en el primer apartado de este problema.
ṼTH también podría haberse obtenido si consideramos que
ṼTH = ξ̃ − (1,2 + j1,6)˜
I .
4. Para calcular la energía instantánea almacenada en la bobina debemos usar la
siguiente expresión:
Um(t) =
1
2
LI2
(t) ,
que al operar nos da
Um(t) =
1
2
1,6
100π
[2,43 cos(100πt + 0,069)]2
= 0,015 cos2
(100πt + 0,069) J .
5.7. Problemas propuestos
5.1: Una bobina de 200 vueltas posee un área de 4 cm2
y gira dentro de un campo magnético.
¿Cuál debe ser el valor del módulo de este campo magnético para que genera un fem máxima
de 10 V a 60 Hz?
Sol. 0,332 T.
5.2: Calcular el valor eficaz y la amplitud de la corriente de un secador eléctrico de una
lavandería que proporciona 5,0 kW eficaces cuando se conecta a una red de a) 240 V eficaces
y b) 120 V eficaces.
Sol.: a) Ief = 20,8 A, I0 = 29,5 A ; b) Ief = 41,7 A, I0 = 58,9 A.
5.3: Un determinado dispositivo eléctrico es recorrido por 10 A eficaces y consume una po-
tencia media de 720 W cuando se conecta a una línea de 120 V eficaces y 60 Hz. a) ¿Cuál es
el módulo de la impedancia del aparato? b) ¿A qué combinación en serie de resistencia y
reactancia es equivalente este aparato? c) Si la corriente se adelanta a la fem, ¿es inductiva
o capacitiva la reactancia?
[Recuerde que f(x − a) con a0 es una función adelantada una cantidad a a f(x).]
Sol.: a) |Z| = 12 Ω ; b) R = 7, 2 Ω, X = 9,6 Ω ;c) Capacitiva.
5.4: Para la la función armónica f(t) = 7,32 cos(3,8πt + π/6), determine su amplitud, periodo
y fase inicial. Represéntela gráficamente.
5.5: Obtenga la expresión dual de los siguientes números complejos: z1 = 3 + j4, z2 = 4,6ejπ/3
.
5.6: Para los números complejos del problema anterior, realice las siguientes operaciones:
z1 + z2, z1z2, z1/z2, z3
2, ez1
, z
z2
1 .
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![156 Tema 6. Ondas Electromagnéticas
el resultado de la serie geométrica en (6.61) puede expresarse como
Sg =
1 − ejNφ
1 − ejφ
=
ejNφ/2
ejφ/2
e−jNφ/2
− ejNφ/2
e−jφ/2 − ejφ/2
=
sen(Nφ/2)
sen(φ/2)
ej(N−1)φ/2
,
por lo que
Ey(P, t) = E0
sen(kN∆r/2)
sen(k∆r/2)
e−j[k(r+ N−1
2
∆r)−ωt]
. (6.62)
La expresión anterior puede reescribirse como
Ey(P, t) = EP e−j(kR−ωt)
, (6.63)
donde
R = r +
N − 1
2
∆r
es la distancia desde el centro de la rendija al punto P y
EP = E0
sen(kN∆r/2)
sen(k∆r/2)
(6.64)
es la amplitud resultante de la componente y del campo eléctrico en P. Da-
do que esta amplitud varía en cada punto de la pantalla, también lo hará
la intensidad de la onda, formando lo que se conoce como un patrón de
difracción:
Imed(θ)
Imax
med
=
sen2
(Nk∆r/2)
sen2(k∆r/2)
. (6.65)
Claramente existe un mínimo en la intensidad de la perturbación cuando
EP → 0, esto es, cuando el numerador de (6.64) sea cero,
sen(kN∆r/2) = 0 ,
es decir, cuando el argumento verifica que
kN∆r/2 = mπ . (6.66)
Según se puede deducir de la Fig. 6.6(b) (si N ):
N∆r ≈ (N − 1)∆r = b sen θ ,
por lo que la condición de mínimo (6.66) para EP puede reescribirse como
2π
λ
b sen θ
2
= mπ , (6.67)
o equivalentemente
b sen θm = mλ m = 1, 2, ... (6.68)
Condición de intensidad nula en la
difracción por una rendija
Física 2 FLML](https://image.slidesharecdn.com/fisica2-220816122224-7fbc257c/85/Fisica2-pdf-164-320.jpg)
![164 Tema 6. Ondas Electromagnéticas
6.5: Cierto pulso de campo electromagnético puede asimilarse a una onda plana cuyos cam-
pos son ~
E(x, t) = E0e−(x−ct)2
ŷ (V/m) y ~
B(x, t) = B0e−(x−ct)2
ẑ (T). Demostrar que ambos campos
verifican la ecuación de onda y obtener la relación entre E0 y B0 sabiendo que de acuerdo
con la ley de Faraday debe cumplirse que ∂Ey(x, t)/∂x = −∂Bz(x, t)/∂t.
Sol.: E0 = cB0.
6.6: La antena de un receptor radioeléctrico es equivalente a una barra conductora de 2 m de
altura y está orientada paralelamente al campo eléctrico de la OEM que se desea sintonizar.
Si la tensión eficaz entre los extremos de la antena al recibir la onda es de 4 mV, determínen-
se las amplitudes de los campos eléctrico y magnético de la onda sintonizada, así como la
potencia media por unidad de área transportada por la onda.
Sol.: Ee = 2×10−3
V/m; Be = 0,666×10−11
T, I = 10−8
W/m2
.
6.7: En la superficie de la Tierra,el flujo solar medio aproximado es de 0,75 kW/m2
. Se desea
diseñar un sistema de conversión de energía solar a eléctrica para que proporcione una po-
tencia eléctrica de 25 kW que permita cubrir las necesidades de una casa. Si el sistema tiene
una eficacia del 30 %, ¿cuál será el área necesaria de los colectores solares, supuestos que
son absorbentes perfectos?.
Sol. 111 m2
.
6.8: Un pulso de láser tiene una energía de 20 J y un radio de haz de 2 mm. La duración
del pulso es de 10 ns y la densidad de energía es constante dentro del pulso. a) ¿Cuál es la
longitud espacial del pulso? b) ¿Cuál es la densidad de energía dentro del mismo? c) Hallar
los valores de la amplitud de los campos eléctrico y magnético.
Sol.: a) 3 m; b) 5,31×105
J/m3
; c) E0 = 3,46×108
V/m, B0 = 1,15 T.
6.9: El campo eléctrico de una onda electromagnética oscila en la dirección z, viniendo su
vector de Poynting dado por
~
S(x, t) = −100 cos
2
[10x + (3×10
9
)t] x̂ W/m
2
donde x está en metros y t en segundos. a) ¿En qué dirección se propaga la onda? b) Calcular
la longitud de onda y la frecuencia. c) Hallar los campos eléctrico y magnético.
Sol.: a) sentido negativo de x ;b) λ = 0,620 m, f = 4,77×108
Hz ;
c) ~
E = 194 cos[10x + (3×109
)t]ẑ V/m, ~
B = 0,647×10−6
cos[10x + (3×109
)t]ŷ T.
6.10: El campo eléctrico de una onda electromagnética armónica plana tiene la expresión
~
E(z, t) = 3×10−3
cos(kz − 2π×108
t)ŷ (V/m). Determínese: a) la longitud de onda, frecuencia,
periodo y número de onda; b) el campo magnético, ~
B, así como el vector de Poynting, ~
S, y la
intensidad de onda, I.
Sol.: a) λ = 3 m, f=100 MHz, T=10 ns, k = 2π/3 m−1
;
b) ~
B(z, t) = −0,01 cos(2πz/3 − 2π×108
t)x̂ nT,
~
S(z, t) = 0,0239 cos2
(2πz/3 − 2π×108
t)ẑ µW/m2
, I = hSi = 0,01195 µW/m2
.
6.11: Una OEM armónica plana de longitud de onda λ = 6 m se propaga en el sentido negativo
del eje de las X siendo su campo magnético~
B(x, t) = 2×10−10
cos(ωt+kx+π/4)ŷ T. Determínese:
a) el número de ondas, la frecuencia y el periodo de la onda; b) las expresiones del campo
eléctrico, ~
E, y del vector de Poynting, ~
S, así como la intensidad de onda, I.
Sol.: a) k = π/3 m−1
, f = 50 MHz, T = 20 ns;
b) ~
E(x, t) = 60×10−3
cos(π×108
t + kx + π/4)ẑ V/m,
~
S(x, t) = −(30/π) cos2
(π×108
t + kx + π/4)x̂ µW/m2
, I = hSi = 15/π µW/m2
.
Constantes: c = 3×108
m/s, µ0 = 4π×10−7
H/m, 0 = 8,854×10−12
F/m.
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- 1. Apuntes de FÍSICA 2 UNIVERSIDAD de SEVILLA 1º Curso Ingeniería de la Salud Francisco L. Mesa Ledesma
- 2. ii Copyright ©2012 by Francisco L. Mesa Ledesma; esta información puede ser copiada, distribuida y/o modificada bajo ciertas condiciones, pero viene SIN NINGUNA GARANTÍA; ver la Design Science License para más detalles. DESIGN SCIENCE LICENSE TERMS AND CONDITIONS FOR COPYING, DISTRIBUTION AND MODIFICATION Copyright ©1999-2001 Michael Stutz <stutz@dsl.org>Verbatim copying of this document is permitted, in any medium. 0. PREAMBLE. Copyright law gives certain exclusive rights to the author of a work, including the rights to copy, modify and distribute the work (the reproductive,adaptative,.and "distribution- ights). The idea of çopyleftïs to willfully revoke the exclusivity of those rights under certain terms and conditions, so that anyone can copy and distribute the work or properly attributed derivative works, while all copies remain under the same terms and conditions as the original. The intent of this license is to be a general çopyleft"that can be applied to any kind of work that has protection under copyright. This license states those certain conditions under which a work published under its terms may be copied, distributed, and modified. Whereas "design scienceïs a strategy for the development of artifacts as a way to reform the environment (not people) and subsequently improve the universal standard of living, this Design Science License was written and deployed as a strategy for promoting the progress of science and art through reform of the environment. 1. DEFINITIONS. "License"shall mean this Design Science License. The License applies to any work which contains a notice placed by the work’s copyright holder stating that it is published under the terms of this Design Science License. "Work"shall mean such an aforementioned work. The License also applies to the output of the Work, only if said output constitutes a "derivative work.of the licensed Work as defined by copyright law. .Object Form"shall mean an executable or performable form of the Work, being an embodiment of the Work in some tangible medium. "Source Data"shall mean the origin of the Object Form, being the entire, machine-readable, preferred form of the Work for copying and for human modification (usually the language, encoding or format in which composed or recorded by the Author); plus any accompanying files, scripts or other data necessary for installation, configuration or compilation of the Work. (Examples of "Source Dataïnclude, but are not limited to, the following: if the Work is an image file composed and edited in PNG format, then the original PNG source file is the Source Data; if the Work is an MPEG 1.0 layer 3 digital audio recording made from a WAV format audio file recording of an analog source, then the original WAV file is the Source Data; if the Work was composed as an unformatted plaintext file, then that file is the Source Data; if the Work was composed in LaTeX, the LaTeX file(s) and any image files and/or custom macros necessary for compilation constitute the Source Data.) .Author"shall mean the copyright holder(s) of the Work. The individual licensees are referred to as 2 ou." 2. RIGHTS AND COPYRIGHT. The Work is copyrighted by the Author. All rights to the Work are reserved by the Author, except as specifically described below. This License describes the terms and conditions under which the Author permits you to copy, distribute and modify copies of the Work. In addition, you may refer to the Work, talk about it, and (as dictated by "fair use") quote from it, just as you would any copyrighted material under copyright law. Your right to operate, perform, read or otherwise interpret and/or execute the Work is unrestricted; however, you do so at your own risk, because the Work comes WITHOUT ANY WARRANTY – see Section 7 ("NO WARRANTY") below. 3. COPYING AND DISTRIBUTION. Permission is granted to distribute, publish or otherwise present verbatim copies of the entire Source Data of the Work, in any medium, provided that full copyright notice and disclaimer of warranty, where applicable, is conspicuously published on all copies, and a copy of this License is distributed along with the Work. Permission is granted to distribute, publish or otherwise present copies of the Object Form of the Work, in any medium, under the terms for distribution of Source Data above and also provided that one of the following additional conditions are met: (a) The Source Data is included in the same distribution, distributed under the terms of this License; or (b) A written offer is included with the distribution, valid for at least three years or for as long as the distribution is in print (whichever is longer), with a publicly-accessible address (such as a URL on the Internet) where, for a charge not greater than transportation and media costs, anyone may receive a copy of the Source Data of the Work distributed according to the section above; or (c) A third party’s written offer for obtaining the Source Data at no cost, as described in paragraph (b) above, is included with the distribution. This option is valid only if you are a non-commercial party, and only if you received the Object Form of the Work along with such an offer. You may copy and distribute the Work either gratis or for a fee, and if desired, you may offer warranty protection for the Work. The aggregation of the Work with other works that are not based on the Work – such as but not limited to inclusion in a publication, broadcast, compilation, or other media – does not bring the other works in the scope of the License; nor does such aggregation void the terms of the License for the Work. 4. MODIFICATION. Permission is granted to modify or sample from a copy of the Work, producing a derivative work, and to distribute the derivative work under the terms described in the section for distribution above, provided that the following terms are met: (a) The new, derivative work is published under the terms of this License. (b) The derivative work is given a new name, so that its name or title cannot be confused with the Work, or with a version of the Work, in any way. (c) Appropriate authorship credit is given: for the differences between the Work and the new derivative work, authorship is attributed to you, while the material sampled or used from the Work remains attributed to the original Author; appropriate notice must be included with the new work indicating the nature and the dates of any modifications of the Work made by you. 5. NO RESTRICTIONS. You may not impose any further restrictions on the Work or any of its derivative works beyond those restrictions described in this License. 6. ACCEPTANCE. Copying, distributing or modifying the Work (including but not limited to sampling from the Work in a new work) indicates acceptance of these terms. If you do not follow the terms of this License, any rights granted to you by the License are null and void. The copying, distribution or modification of the Work outside of the terms described in this License is expressly prohibited by law. If for any reason, conditions are imposed on you that forbid you to fulfill the conditions of this License, you may not copy, distribute or modify the Work at all. If any part of this License is found to be in conflict with the law, that part shall be interpreted in its broadest meaning consistent with the law, and no other parts of the License shall be affected. 7. NO WARRANTY. THE WORK IS PROVIDED .AS IS,.AND COMES WITH ABSOLUTELY NO WARRANTY, EXPRESS OR IMPLIED, TO THE EXTENT PERMITTED BY APPLICABLE LAW, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY OR FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. 8. DISCLAIMER OF LIABILITY. IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR OR CONTRIBUTORS BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF THIS WORK, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE. END OF TERMS AND CONDITIONS Física 2 FLML
- 3. Índice general 1. Electrostática 1 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Campo eléctrico de una distribución de cargas . . . . . . . . 2 1.2.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3. Campo eléctrico de cargas puntuales . . . . . . . . . 4 1.2.4. Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga 6 1.2.5. (*) Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Conductores en un campo electrostático . . . . . . . . . . . 19 1.4.1. Campo eléctrico de un conductor cargado en equilibrio electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2. Conductor neutro en un campo eléctrico externo . . . 21 1.5. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.1. Capacidad de un conductor . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.2. Influencia entre conductores . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6. Energía Electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.1. Trabajo para trasladar una carga puntual . . . . . . . . 26 1.6.2. Energía en un condensador de placas paralelas . . . . 27 1.7. Dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2. Circuitos de Corriente Continua 35 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2. Vector densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Conductividad, Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1. Conductividad eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 iii
- 4. iv ÍNDICE GENERAL 2.3.2. Ley de Ohm circuital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.3. Efecto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4. Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.1. Potencia suministrada por el generador . . . . . . . . 47 2.5. Reglas de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5.1. Regla de Kirchhoff de las tensiones . . . . . . . . . . 48 2.5.2. Regla de Kirchhoff de las intensidades . . . . . . . . . 50 2.6. Resolución de circuitos de corriente continua . . . . . . . . . 51 2.6.1. (*) Método de las corrientes de malla . . . . . . . . . . 52 2.6.2. (*) Teorema de superposición . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6.3. (*) Teorema de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.6.4. Balance de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.7. Circuito RC. Carga y descarga de un condensador . . . . . . . 57 2.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3. Magnetostática 63 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2.1. Movimiento de una carga puntual en presencia de un campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.2. Efecto Hall (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3. Fuerzas magnéticas sobre conductores . . . . . . . . . . . . . 70 3.3.1. Fuerza magnética sobre un hilo . . . . . . . . . . . . . 70 3.3.2. Momento de la fuerza sobre una espira de corriente . 71 3.4. Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5. Ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.1. Campo magnético producido por un hilo infinito y rec- tilíneo de radio R recorrido por una intensidad I . . . . 77 3.5.2. Campo magnético en un solenoide . . . . . . . . . . . 78 3.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4. Inducción electromagnética 83 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2. Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.1. Fuerza electromotriz de movimiento . . . . . . . . . . 84 4.2.2. Fuerza electromotriz inducida . . . . . . . . . . . . . . 87 Física 2 FLML
- 5. ÍNDICE GENERAL v 4.3. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3.1. Inductancia mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3.2. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3.3. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.4. Transitorios en circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.5. Energía magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.6. Ley de Ampère-Maxwell (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.7. Ecuaciones de Maxwell (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5. Circuitos de Corriente Alterna 109 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.2. Generador de fem alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3. Aspectos generales de funciones armónicas . . . . . . . . . . 111 5.3.1. Valores eficaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.3.2. Análisis fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.4. Relación I ↔ V para Resistencia, Condensador y Bobina . . 115 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.5.1. Expresiones fasoriales para resitencia, condensador y bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.5.2. Reglas de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.5.3. Circuito RLC serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.5.4. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.5.5. (*) Análisis de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.6. Balance de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.6.1. Potencia media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.6.2. Factor de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.6.3. Consumo de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6. Ondas Electromagnéticas 135 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.2. Nociones generales de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.2.1. (*) Ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.2.2. Ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 FLML Física 2
- 6. vi ÍNDICE GENERAL 6.3. (*) Ecuación de Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . . 141 6.4. Ondas electromagnéticas planas armónicas . . . . . . . . . . 143 6.5. Intensidad de la onda electromagnética . . . . . . . . . . . . 144 6.6. Interferencia de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.6.1. Superposición de dos ondas electromagnéticas planas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.6.2. Focos incoherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.6.3. Focos coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.7. (*) Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.8. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.9. Espectro electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.10. Fuentes de las Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . . 162 6.11. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 A. Análisis vectorial 165 A.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 A.1.1. Notación vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 A.1.2. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 A.1.3. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 A.1.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A.1.5. Productos triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 A.1.6. Diferencial y derivada de funciones de una sola variable 169 A.1.7. Teorema fundamental del cálculo . . . . . . . . . . . . 169 A.1.8. Diferencial y derivada parcial de una función de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 A.1.9. Operador gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 A.1.10. Integral de camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 A.1.11. Teorema fundamental del gradiente . . . . . . . . . . 172 A.2. Integral de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 A.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Física 2 FLML
- 7. Prefacio La presente colección de notas sobre Electromagnetismo, Circuitos, Ondas y Fundamentos de Semiconductores pretende ser una ayuda al estudiante en la asig- natura cuatrimestral Física 2 de la titulación de Ingeniería de la Salud que se imparte en la E.T.S. de Ingeniería Informática de la Universidad de Sevilla. Aunque estas no- tas han sido inspiradas por diversas fuentes (permítaseme destacar y agradecer la importante contribución de los profesores de la ETS de Ingeniería Informática del Departamento de Física Aplicada 1 de la Universidad de Sevilla), cualquier defecto o error sólo es atribuible al autor de estos apuntes. Es importante resaltar que estas notas no pueden ni deben sustituir a otros textos más elaborados sobre la materia. El propósito principal de la materia aquí presentada es dotar al alumno de algu- nos de los fundamentos físicos elementales en los que se basa el funcionamiento de los dispositivos eléctricos, electrónicos y opto-electrónicos usados en la tecnología actual. Dado que la Electrónica consiste básicamente en el control del flujo de los electrones en materiales conductores y semiconductores, es evidente la necesidad de estudiar en primer lugar el comportamiento general de las cargas y corrientes eléctricas. Este estudio se llevará a cabo mediante una serie de temas dedicados al Electromagnetismo básico y a la Teoría de Circuitos de corriente continua y alterna. Por otra parte, dada la relevancia de las ondas electromagnéticas en las comunica- ciones actuales, se llevará a cabo un estudio general de las ondas para acabar con una descripción y análisis elemental de las ondas electromagnéticas. Por último me gustaría acabar estas líneas recordando una máxima muy antigua atribuida a Confucio, y que creo que resume con mucha precisión la naturaleza del proceso de aprendizaje. Lo escuché y lo olvidé... Lo vi y lo recordé... Lo hice y lo aprendí. Con estas palabras solo deseo motivar a los posibles lectores de estos apuntes con la idea de que únicamente su esforzada labor personal podrá guiarles adecuada- mente por el camino de un aprendizaje provechoso. Francisco L. Mesa Ledesma Sevilla, enero de 2020 vii
- 8. viii ÍNDICE GENERAL Física 2 FLML
- 9. Tema 1 Electrostática 1.1. Introducción Dado que uno de los objetivos de esta asignatura será el estudio bá- sico de los principales fenómenos electromagnéticos y buena parte de es- tos fenómenos están relacionados con la interacción entre cargas eléctricas, empezaremos este tema con el estudio de las interacciones de cargas eléc- tricas en reposo. La parte del Electromagnetismo que aborda esta materia se denomina Electrostática. La carga eléctrica es una propiedad fundamental e intrínseca de la ma- teria (al igual que la masa) que tiene las siguientes propiedades: Presenta dos polaridades: positiva y negativa. Cantidades iguales de am- bas polaridades se anulan entre sí. La carga total del universo (suma algebraica de todas las cargas exis- tentes) se conserva, esto es, la carga no se puede crear ni destruir. No obstante, debe notarse que esto no imposibilita que los efectos de las cargas positivas y las negativas se anulen entre sí. Además de esta propiedad de conservación global, la carga también se conserva localmente. Esto quiere decir que si cierta carga desaparece en un sitio y aparece en otro, esto es porque ha “viajado” de un punto a otro. La carga esta cuantizada: cualquier carga que existe en la naturaleza es un múltiplo entero de una carga elemental qe. Esta carga elemental co- rresponde a la carga del protón. La unidad de carga en el Sistema Internacional es el culombio (C) y equivale Unidad de carga eléctrica 1 culombio (C) a la carga de 6,2414959×1018 protones, o lo que es lo mismo, la carga del protón es qe = 1,60218×10−19 C. Es interesante hacer notar que de las cuatro interacciones fundamenta- les de la naturaleza: nuclear fuerte, electromagnética, nuclear débil y gra- vitatoria, la interacción electromagnética (o electrostática cuando es entre cargas en reposo) es la segunda más fuerte. De hecho la interacción eléctrica 1
- 10. 2 Tema 1. Electrostática entre dos electrones (de carga e igual a −qe) es aproximadamente 1039 ve- ces más fuerte que su correspondiente interacción gravitatoria. Esto da una idea de la magnitud tan importante de las fuerzas eléctricas. No obstante, en la naturaleza hay muchas situaciones en las que la interacción eléctrica no se manifiesta debido a la compensación tan precisa que ocurre en la mate- ria entre cargas positivas y negativas. De hecho los agregados de materia se presentan generalmente en forma neutra y por ello las interacciones entre grandes cantidades de materia (planetas, estrellas, etc) es fundamentalmen- te de carácter gravitatorio. No obstante, esto no implica que la interacción entre cargas eléctricas sea irrelevante sino que por el contrario, estas in- teracciones están en la base de multitud de fenómenos fundamentales, por ejemplo: la formación y estabilidad de los átomos, las fuerzas moleculares, las fuerzas de rozamiento, las tensiones mecánicas, las fuerzas de contacto, etc. Actividad 1.0: ¿Es la forma geométrica una propiedad intrínseca de la materia? Explique la diferencia entre el “principio de conservación de la carga” y el “principio de conservación local de la carga.” Describa algunas consecuencias de la “cuantización” de la carga eléctrica. Enumera algunos ejemplos simples y prácticos donde la interac- ción electrostática es la principal fuerza involucrada. Dé también algunos ejemplos donde esta interacción está ausente. 1.2. Campo eléctrico de una distribución de cargas 1.2.1. Ley de Coulomb El estudio de la Electrostática se iniciará mediante la ley de Coulomb, ley experimental que describe la interacción entre dos cargas puntuales en reposo en el vacío (esto es, no existe ningún medio material entre ellas). El concepto de carga puntual es una idealización por la que se considerará que cierta carga está localizada estrictamente en un punto. Aunque en principio, esta idealización pudiera parecer poco realista, la experiencia demuestra que es una aproximación muy precisa en múltiples situaciones. De hecho, la carga uniformemente distribuida de cuerpos esféricos o incluso cuerpos cargados considerados a distancias lejanas se comporta muy aproximada- mente como cargas puntuales. Física 2 FLML
- 11. 1.2. Campo eléctrico de una distribución de cargas 3 La ley de Coulomb (∼ 1785) establece que la fuerza,~ F, que ejerce una car- q Q r F r ga fuente q sobre una carga prueba Q, viene dada por la siguiente expresión: ~ F = 1 4π0 qQ r2 r̂ ≡ 1 4π0 qQ r3 ~ r , (1.1) donde 0 es una constante llamada permitivad del vacío cuyo valor en el S.I. es 0 = 8,85 × 10−12 C2 Nm2 1 4π0 = 9 × 109 Nm2 C2 . (1.2) y ~ r = |~ r|r̂ (r ≡ |~ r|) es el vector que va desde la carga fuente hasta la carga prueba siendo r = |~ r| su módulo y r̂ =~ r/r su vector unitario asociado. ~ r es el vector posición que va des- de la carga fuente a la carga prueba Vea el Apéndice A para un breve repaso de vectores y tenga en cuenta que en las figuras del presente texto usaremos tipo de letra negrita para denotar a los vectores, de modo que~ u ≡ u. Además los vectores unitarios se denotarán en letra negrita con el signoˆ encima, de modo que û debe leerse como “vector unitario en la dirección y sentido de~ u”. Asimismo el módulo del vector ~ u se denotará indistintamente como |~ u| o bien simplemente como u. Algunas propiedades destacables de la ley de Coulomb, expresión (1.1), son: La fuerza va dirigida según la línea que une las dos cargas (fuerza central), estando su sentido determinado por el signo del producto qQ. Por tanto, la fuerza entre dos cargas será atractiva para cargas de signo opuesto o bien repulsiva para cargas del mismo signo. +q F +Q La fuerza decrece con el cuadrado de la distancia. No obstante, a distan- +q F -Q cias cortas esta interacción crece extraordinariamente. La fuerza que ejercería la carga prueba sobre la carga fuente sería −~ F +q F -F +Q (principio de acción y reacción). Actividad 1.1: ¿De dónde viene la ley de Coulomb? Explique con palabras el significado de ~ r en la Ec. (1.1). ¿Por qué tenemos dos expresiones para la fuerza en (1.1)? ¿Cuál es la dirección de la fuerza eléctrica entre dos cargas pun- tuales? Represente gráficamente la magnitud de la fuerza entre dos car- gas puntuales en función de la distancia entre dichas cargas. Ob- tenga algunas conclusiones relevantes de esta gráfica. FLML Física 2
- 12. 4 Tema 1. Electrostática 1.2.2. Principio de superposición La ley de Coulomb describe el efecto de una única carga puntual fuente, q, sobre la carga prueba, Q. El efecto de un conjunto de cargas sobre cier- ta carga prueba viene determinado por el principio de superposición. Este principio de superposición establece que La interacción entre dos cargas es completamente inde- pendiente de la presencia de otras cargas. Esto significa que para calcular el efecto de un conjunto de cargas fuente sobre cierta carga prueba, se puede proceder calculando el efecto de cada q1 q2 qN F1 F2 F FN r1 r2 rN Q una de las cargas fuentes sobre la carga prueba para obtener el efecto total como la suma de los efectos parciales (esto es, ~ F = ~ F1 +~ F2 + · · · ). De este modo, la fuerza que produce el conjunto de cargas fuentes, {q1, q2, · · · , qN}, sobre la carga prueba Q situada en el punto P puede calcularse como ~ F(P) = N X i=1 ~ Fi = 1 4π0 N X i=1 qiQ r2 i r̂i (1.3) = Q 4π0 N X i=1 qi r2 i r̂i . (1.4) 1.2.3. Campo eléctrico de cargas puntuales En la expresión de la fuerza dada por (1.4) puede apreciarse que el su- matorio depende exclusivamente de la configuración de cargas fuente, por lo que podemos escribir ~ F(P) = Q~ E(P) , (1.5) donde el vector ~ E(P) se denomina campo eléctrico producido por las cargas fuente en el punto P, viniendo éste dado por ~ E(P) = 1 4π0 N X i=1 qi r2 i r̂i ≡ 1 4π0 N X i=1 qi r3 i ~ ri . (1.6) Campo eléctrico de una distribución de cargas puntuales La introducción de este vector ~ E permite definir una magnitud vectorial que varía punto a punto y que sólo depende de las cargas fuentes. De este modo se consigue dotar a cada punto del espacio de una propiedad vectorial tal que el producto del valor de una carga prueba situada en ese punto por el valor de dicho vector en ese punto proporciona la fuerza que ejercerá la configuración de cargas fuentes sobre dicha carga prueba. En este sentido, el campo eléctrico, ~ E, puede, por tanto, definirse como la fuerza por unidad de carga y sus unidades son consecuentemente N/C. Es interesante obser- Unidad de campo eléctrico: 1 N/C var que el campo eléctrico “recoge” de alguna manera la información sobre las cargas fuentes, “escondiendo” la disposición particular de esta configu- ración y mostrando únicamente su efecto global. Física 2 FLML
- 13. 1.2. Campo eléctrico de una distribución de cargas 5 Tal y como se ha introducido el campo eléctrico podría pensarse que este campo es únicamente un ente matemático útil para calcular la fuerza pero sin significado físico concreto. No obstante, tal y como se verá en temas posteriores,~ E posee por sí mismo una realidad física clara y por tanto desde este momento es conveniente considerar al campo eléctrico como un ente real (con el mismo grado de realidad física que la fuerza o el momento lineal) independiente de que exista o no una carga prueba. A partir de la expresión (1.6), el campo producido por una carga puntual + situada en el punto O en el punto de observación P (~ r ≡ OP) vendrá dado por ~ E(P) = 1 4π0 q r2 r̂ . (1.7) Una forma de visualizar dicho campo es dibujando el vector ~ E en ciertos puntos del espacio. No obstante, es más conveniente describir el campo me- diante las líneas de campo, que son aquellas líneas tangentes en cada uno de sus puntos al vector campo. Para un sistema de dos cargas idénticas en magnitud, una positiva y otra negativa, las líneas de campo salen de la car- ga positiva y acaban en la carga negativa según el patrón que se muestra en la figura. Este hecho particular es una propiedad del campo electrostá- + - tico, esto es, las líneas de campo salen de las cargas positivas y acaban en las negativas o van al infinito. Dado que las cargas eléctricas son las úni- cas fuentes del campo electrostático, siempre que existan cargas eléctricas descompensadas espacialmente (cuando no se anulen unas a otras en cada punto), existirá campo electrostático. Actividad 1.2: ¿De dónde proviene el principio de superposición? Explique cómo el principio de superposición nos puede ayudar a calcular la fuerza que tres cargas puntuales ejercen sobre una cuarta. ¿Cuáles son los ventajas de ascribir una magnitud vectorial (cam- po eléctrico) a los puntos del espacio? La magnitud del campo eléctrico siempre decrece como el inver- so de la distancia al cuadrado. ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta. Dibuje de forma aproximada la forma de las líneas de campo en una configuración con tres cargas puntuales donde dos de ellas son positivas y la tercera negativa. FLML Física 2
- 14. 6 Tema 1. Electrostática Ejemplo 1.1 Calcular el campo en el punto P debido al efecto de las tres cargas señaladas en el dibujo. Para calcular el campo eléctrico en el punto P aplicaremos el principio de su- perposición, por lo que primero debemos obtener el campo producido por cada una de las cargas. Antes de calcular este campo, debemos identificar el vector que va desde cada una de las cargas hasta el punto de observación P. Según el dibujo adjunto tendremos que ~ r1 = 1 2 x̂ + 1 2 ŷ , ~ r2 = 1 2 x̂ − 1 2 ŷ , ~ r3 = − 1 2 x̂ + 1 2 ŷ , siendo el módulo de los tres anteriores vectores idéntico y de valor |~ ri| ≡ D = p 1/2 . El campo en P viene dado por ~ E(P) = 3 X i=1 1 4π0 qi r3 i ~ ri , por lo que tras sustituir el valor de~ ri obtenido anteriormente tenemos que ~ E(P) = 1 4π0 q D3 h ( 1 2 x̂ + 1 2 ŷ) + 2( 1 2 x̂ − 1 2 ŷ) − 3(− 1 2 x̂ + 1 2 ŷ) i = 1 4π0 q D3 (3x̂ − 2ŷ) = 2 √ 2q 4π0 (3x̂ − 2ŷ) . 1.2.4. Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga Aunque el carácter discreto de la materia (naturaleza atómica) es bien conocido, en multitud de situaciones prácticas, este carácter discreto puede “obviarse” y considerar que la materia puede describirse como un continuo. Desde un punto de vista matemático, esto implica que la materia se descri- birá como una superposición de elementos diferenciales infinitesimales, por ejemplo para calcular su masa: m = R dm (en vez de describir la materia como un agregado de partículas individuales, donde: m = PN i mi). Esta con- sideración del continuo para la masa de la materia también es extensible a su carga, de modo que en múltiples situaciones la carga se considerará como una distribución continua. En este caso, la carga total q de una distribución de carga se obtendrá como q = Z dq . (1.8) Para obtener el campo eléctrico producido por la anterior distribución de carga en un punto P, se considerará que la contribución de cada elemento diferencial de carga, dq, al campo eléctrico en P, d~ E(P), puede asimilarse al campo eléctrico producido por una carga puntual de valor dq (notemos aquí la similitud geométrica que existe entre el problema de una carga puntual y un diferencial de carga; es decir, el volumen ocupado por un carga diferencial Física 2 FLML
- 15. 1.2. Campo eléctrico de una distribución de cargas 7 tiende a cero). La expresión del campo diferencial producido por la carga diferencial puede, por tanto, expresarse en similitud con (1.7) como d~ E(P) = 1 4π0 dq r2 r̂ (1.9) donde el vector~ r va desde la posición de dq hasta el punto P. dq P x r dE r El campo total producido por toda la distribución de carga se obtendrá usando el principio de superposición, tal y como se hizo para cargas discre- tas en (1.6), al sumar las distintas contribuciones infinitesimales: ~ E(P) = Z d~ E(P) = 1 4π0 Z dq r2 r̂ ≡ 1 4π0 Z dq r3 ~ r . (1.10) dq P x r dE r En la práctica, para calcular el campo producido por las distribuciones de carga se introduce el concepto de densidad de carga, que relaciona la cantidad de carga existente en cada elemento diferencial con el volumen, superficie o longitud de dicho elemento. Si la geometría del problema es muy sencilla, entonces es posible que la integral (1.10) pueda hacerse de forma analítica (es decir, encontrando la primitiva correspondiente). En general, la integral anterior puede obtenerse mediante procedimientos numéricos En función del carácter geométrico del elemento diferencial de carga pueden distinguirse tres tipos distintos de distribuciones de carga y expresar el campo en cada uno de los casos según: Distribución lineal de carga λ: dq = λdl ~ E(P) = 1 4π0 Z línea λ r̂ r2 dl . (1.11) Distribución superficial de carga σ: dq = σdS ~ E(P) = 1 4π0 Z superficie σ r̂ r2 dS . (1.12) Distribución volumétrica de carga ρ: dq = ρdV ~ E(P) = 1 4π0 Z volumen ρ r̂ r2 dV . (1.13) Debe notarse que en las integrales anteriores, la región de integración está extendida únicamente a la región donde existen cargas. FLML Física 2
- 16. 8 Tema 1. Electrostática Ejemplo 1.2 (*) Campo de una distribución de carga lineal finita Con referencia en la figura adjunta, el diferencial de campo en el punto P viene dado por d~ E(P) = 1 4π0 dq r2 r̂ = 1 4π0 λdx r2 r̂ , (1.14) donde ~ r = −xx̂ + Rŷ r̂ = − x r x̂ + R r ŷ = − sen θx̂ + cos θŷ . Para expresar tanto dx como r en función del ángulo, debe considerarse que x = R tan θ dx = R sec2 θ dθ r = R sec θ y reescribir por tanto (1.14) como d~ E(P) = 1 4π0 λR sec2 θdθ R2 sec2 θ (− sen θx̂ + cos θŷ) = λdθ 4π0R (− sen θx̂ + cos θŷ) . (1.15) Para obtener el campo eléctrico se integrará la expresión anterior, de modo que Ex(P) = λ 4π0R Z θ2 θ1 (− sen θ)dθ = λ 4π0R (cos θ2 − cos θ1) (1.16) Ey(P) = λ 4π0R Z θ2 θ1 cos θdθ = λ 4π0R (sen θ2 − sen θ1) , (1.17) donde θ1 y θ2 son los ángulos que determinan los bordes inferior y superior de la distribución lineal de carga (nótese que los ángulos son medidos en sentido anti- horario). Para el caso de un hilo infinito, se tiene que θ1 = −π/2 y θ2 = π/2, por lo que las componentes del campo eléctrico al sustituir en (1.16) y (1.17) son Ex = 0 Ey = λ 2π0R . Teniendo en cuenta la simetría cilíndrica que presenta el problema, el campo para E ..... ..... R el hilo infinito se puede expresar finalmente como ~ E(P) = λ 2π0R R̂ . (1.18) Física 2 FLML
- 17. 1.2. Campo eléctrico de una distribución de cargas 9 1.2.5. (*) Ley de Gauss La ley de Gauss (∼ 1867) dice que el flujo del campo eléctrico debido a una distribución de carga a través una superficie S es igual a 1/0 veces la carga total, Qint, encerrada en el interior de la superficie S, esto es, I S ~ E · d~ S = Qint 0 (1.19) Ley de Gauss Aunque las expresiones (1.11)-(1.13) son suficientes para calcular el cam- po en cualquier punto supuestas conocidas las distribuciones de carga (tal como se ha mostrado en el Ejemplo 1.2), este procedimiento de cálculo no es trivial incluso para los casos más simples. Afortunadamente la ley de Gauss nos permitirá obtener fácilmente el campo eléctrico en una serie de situa- ciones con alta simetría. Para justificar la ley de Gauss, considérese el campo producido por una carga puntual: q r E r ~ E = 1 4π0 q r2 r̂ . Es interesante notar que la expresión (1.7) dice que el campo en una su- perficie esférica de radio r centrada en la posición de la carga q puede ex- presarse como ~ E = |~ E(r)|r̂ , (1.20) esto es, el módulo del campo sólo depende del radio de dicha esfera y va siempre dirigido según la normal exterior a dicha esfera en cada punto (este campo presenta, por tanto, simetría esférica). Si se realiza la siguiente integral (ver sección A.2): q r E dS I superf. ~ E · d~ S , (1.21) que se conoce con el nombre de flujo del campo eléctrico, Φ, para el campo producido por la carga puntual en una superficie esférica de radio r centrada en la carga q se tiene que Φ = I superf. ~ E · d~ S = |~ E(r)| I superf. r̂ · d~ S , (1.22) dado que |~ E(r)| permanece constante al integrar sobre la superficie esférica. Teniendo ahora en cuenta que r̂ · d~ S = dS (r̂ || d~ S) , la integral (1.21) puede escribirse para el presente caso como Φ = |~ E(r)| I superf. dS = |~ E(r)| × (Area esfera) = 1 4π0 q r2 × 4πr2 = q 0 . (1.23) FLML Física 2
- 18. 10 Tema 1. Electrostática Es interesante notar que el flujo Φ no depende del radio de la esfera y es igual al valor de la carga encerrada en la esfera dividido por 0. Si se considera, por tanto, una esfera centrada en el mismo punto y de distinto radio, se obtendrá que el flujo seguirá siendo el mismo. Parece entonces razonable suponer que el flujo a través de cualquier superficie cerrada que q incluya a la carga y comprendida entre ambas esferas concéntricas venga también dado por q/0. Dado que el número de líneas de campo que atraviesa cualquiera de las anteriores superficies es el mismo, el flujo del campo eléctrico a través de estas superficies podría interpretarse como una “medida” del número de lí- neas de campo que las atraviesa. En este sentido, si el número de líneas de campo que atraviesa una superficie cerrada es cero (esto es, entran tantas lí- neas como salen), parece razonable suponer que el flujo del campo eléctrico a través de dicha superficie sea igualmente nulo. Podría por tanto escribirse para una superficie cerrada arbitraria, S, que el flujo de un carga puntual a través de dicha superficie es q q S S Φ = I S ~ E · d~ S = q o si q ⊂ S 0 en otro caso . (1.24) En el caso de que se tenga una distribución de cargas puntuales, por el principio de superposición, se obtiene que Φ = I S ~ E · d~ S = I S X i ~ Ei ! · d~ S = X i I S ~ Ei · d~ S = X i Φi , (1.25) esto es, el flujo de la distribución a través de la superficie S es igual a la suma del flujo asociado a cada una de las cargas individualmente. Dado que el flujo asociado a una sola carga ya fue obtenido en (1.24) se puede concluir que I S ~ E · d~ S = Qint 0 , donde Qint representa la carga total encerrada en el interior de la superfi- cie S. La expresión anterior también se aplica en el caso de una distribución continua de carga. Ejemplo 1.3 Calcule el flujo de~ E que atraviesa S en la figura adjunta. En la situación mostrada en la figura, la carga en el interior de la superficie S es q1 q2 q3 S justamente Qint = q1 + q2 , por lo que el flujo a través de dicha superficie, según (1.19), será Φ = I S ~ E · d~ S = q1 + q2 0 . Física 2 FLML
- 19. 1.2. Campo eléctrico de una distribución de cargas 11 Aunque la ley de Gauss (1.19) es válida para cualquier tipo de distribución de carga y superficie, ésta sólo es útil para obtener el campo en situaciones de alta simetría. Estas situaciones se dan cuando exista una superficie de Gauss, SG, tal que, en aquellas partes donde el flujo sea distinto de cero (superficie que se denominará S0 G), la integral del flujo se pueda realizar de modo que el módulo del campo sea constante sobre dicha superficie, esto es, cuando se pueda proceder de la siguiente manera: Ley de Gauss útil en situaciones de alta simetría Φ = I SG ~ E · d~ S = |~ E| I S0 G dS . (1.26) Aplicaciones de la ley de Gauss Algunas de las situaciones donde es útil aplicar la ley de Gauss se deta- llan a continuación: Campo de un hilo recto infinito cargado. Este campo ya fue obtenido en el Ejemplo 1.2 mediante integración direc- ta. Ahora se obtendrá siguiendo la ley de Gauss. Para ello puede notarse que debido a la simetría cilíndrica del problema puede deducirse que ~ E = |~ E(R)|R̂ . Este hecho implica que se puede escoger como superficie de Gauss, una superficie cilíndrica cuyo eje coincida con el propio hilo. De este modo SL R dS S - h S + l se tendrá que el flujo a través de las superficies superior e inferior (ta- paderas del cilindro) es nulo dado que ~ E ⊥ d~ S en dichas superficies y en la superficie lateral, el módulo del campo será constante, esto es, I SL+S++S− ~ E · d~ S = I SL ~ E · d~ S = |~ E(R)| SL . El flujo debe ser igual al valor de la carga en el interior de la superficie cerrada y ésta incluye un trozo de hilo de altura h, por lo que Qint = λh. Por otra parte, como SL = 2πRh obtendremos que |~ E|2πRh = λh 0 , de donde se deduce que el módulo del campo viene dado por |~ E(R)| = λ 2π0R . Campo de una distribución uniforme esférica de carga Sea una esfera de radio R con una distribución uniforme de carga ρ. Dado que en esta situación el campo eléctrico presenta simetría esférica, esto es, ~ E = |~ E(r)|r̂, se tiene que dΦ = ~ E · d~ S = |~ E(r)|r̂ · d~ S = |~ E(r)|dS FLML Física 2
- 20. 12 Tema 1. Electrostática y, por tanto, el flujo a través de una superficie de radio r y área 4πr2 será Φ = I S dΦ = |~ E(r)| I S dS = |~ E(r)| (4πr2 ) = Qint(r) 0 . Debe notarse que la carga total encerrada por la superficie sólo depende del radio de esta superficie y por tanto sólo debe considerarse aquella carga en el interior del volumen de la esfera de radio r, esto es, Qint = Z V ρdV = ρ Z V dV = ( ρ4 3 πr3 si r R ρ4 3 πR3 ≡ Q si r ≥ R . A partir de los resultados de las expresiones anteriores puede fácilmente deducirse que el campo en cualquier punto viene dado por ~ E = ρ 30 rr̂ si r R Q 4π0r2 r̂ si r ≥ R . Campo de un plano infinito cargado uniformemente (SG 6= S0 G) Un plano infinito con una densidad de carga superficial uniforme σ provoca un campo eléctrico del tipo ~ E = |~ E(y)|ŷ . El módulo del campo no presenta dependencia respecto a las variables x y z debido a que cualquier punto con la misma coordenada y es total- mente equivalente (es decir, desde cualquier punto del plano y = Cte se observa la misma distribución de cargas). Con respecto a la dirección del campo, por simetría cualquier componente que no sea vertical es perfec- tamente cancelada dado el carácter infinito del plano. Eligiendo como superficie de Gauss una superficie cilíndrica como la mos- trada en la figura, se tiene que I SL+S++S− ~ E · d~ S = Z S+ ~ E · d~ S + Z S− ~ E · d~ S = 2|~ E|S e igualando el flujo al valor de la carga encerrada en el interior de la superficie, Qint = σS, se obtiene 2|~ E|S = σS 0 ⇒ |~ E| = σ 20 y, por tanto, el campo será ~ E = σ 20 sign(y)ŷ . (1.27) Es interesante notar que el campo, por ejemplo para y 0, no depende de la altura sobre el plano y por tanto es constante en todos los puntos (puede sorprender que incluso no decrezca con la distancia). Física 2 FLML
- 21. 1.3. Potencial eléctrico 13 Actividad 1.3: Explique las razones que hacen que el cálculo del campo eléctrico creado por una distribución continua de carga sea más difícil que el creado por una distribución discreta. ¿Hay situaciones en las que el cálculo del campo eléctrico produ- cido por una distribución de carga sea simple? Justifique su res- puesta. Para puntos de observación lejanos de una esfera carga uniforme- mente, ¿existe alguna diferencia entre el campo eléctrico produci- do por dicha esfera y el que produciría una carga puntual situada en el centro de la esfera anterior? ¿Cómo calcularía el campo creado por una carga puntual q si- tuada a una distancia d de un plano cargado uniformemente con densidad de carga σ? Obtenga la expresión para dicho campo en cualquier punto del espacio. 1.3. Potencial eléctrico Si se realiza la integral de camino del campo eléctrico,~ Eq, producido por una carga puntual, q, entre dos puntos A y B, a través de una curva Γ, se A q B E r dl G obtiene que CB A = Z B A,Γ ~ Eq · d ~ l = Z B A,Γ 1 4π0 q r2 r̂ · d ~ l = q 4π0 Z B A,Γ r̂ · d ~ l r2 . (1.28) El numerador de la integral anterior puede expresarse como r̂ · d ~ l = dl cos α = dr y por tanto se encuentra que CB A = q 4π0 Z rB rA dr r2 = q 4π0 1 rA − 1 rB . (1.29) Es interesante observar en (1.29) que: La integral de camino es independiente del camino tomado para ir desde A B G U el punto A hasta el punto B, Z B A,Γ ~ Eq · d ~ l = Z B A,Υ ~ Eq · d ~ l . (1.30) La integral de camino a través de cualquier curva cerrada es nula, I Γ ~ Eq · d ~ l = 0 . (1.31) FLML Física 2
- 22. 14 Tema 1. Electrostática Para una distribución discreta/continua de carga, la integral de camino del campo eléctrico entre los puntos A y B puede calcularse, teniendo en cuenta el principio de superposición, como Z B A ~ E · d ~ l = Z B A X i ~ Ei(~ r) ! · d ~ l = X i Z B A ~ Ei(~ r) · d ~ l . (1.32) Dado que esta magnitud se ha podido expresar como superposición de las circulaciones relacionadas con cargas puntuales, la circulación del campo de una distribución arbitraria de cargas presentará las propiedades (1.30) y (1.31) expuestas anteriormente. En particular la propiedad (1.31) (la circula- ción del campo a lo largo de una curva cerrada es nula) nos dice que el campo electrostático es conservativo. Esta propiedad, cuya forma matemática viene descrita en (1.31), implica que necesariamente la integral de camino de cualquier campo electrostático en- tre un punto A y otro B a lo largo de una curva arbitraria Γ pueda escribirse como Z B A ~ E · d ~ l = V(A) − V(B) , (1.33) donde la función V es cierta función escalar que se denomina potencial eléc- trico. Las unidades del potencial eléctrico serán el producto de la unidad de campo eléctrico por la de longitud, esto es: Nm/C en el SI. Esta unidad de potencial recibe el nombre de voltio (V). Usualmente, la unidad de campo eléctrico se expresa como V/m. Unidad de potencial eléctrico: 1 voltio (V) Introduciendo en (1.33) la expresión para el campo eléctrico de una carga puntual y observando (1.28) podemos concluir que el potencial producido por una carga puntual en el punto P situado a una distancia r de dicha carga vendrá dado por Potencial producido por una carga puntual V(P) = q 4π0r . (1.34) Para una distribución continua de carga, debido al principio de super- posición y siguiendo el mismo procedimiento que para el campo, se tendrá que Potencial producido por una distribución de cargas V(P) = 1 4π0 Z dq r = 1 4π0 Z región de cargas ρ r dV . (1.35) Física 2 FLML
- 23. 1.3. Potencial eléctrico 15 Actividad 1.4: Enumere algunas conclusiones relevantes que pueda extraer de la expresión (1.29) referente a la integral de camino del campo electrostático producido por una carga puntual. Trate de entender qué nos dice la identidad (1.31) para el caso de un campo eléctrico uniforme y un camino cerrado. Encuentre las razones matemáticas que hacen que esta integral de línea sea nula en este caso. ¿Es la expresión (1.34) la definición general del potencial eléctrico? Justifique su respuesta. ¿Puede tomarse la expresión (1.33) como la definición general del potencial eléctrico? Justifique su respues- ta. Escriba una expresión general para el potencial eléctrico cuando conocemos el campo eléctico. Escriba otra expresión para el caso en que conozcamos la densidad de carga eléctrica. Algunas veces decimos “potencial eléctrico en el punto P”. No obs- tante, esta aseveración es incorrecta. Justifique por qué. Ejemplo 1.4 Calculo del potencial eléctrico producido por un plano cargado infini- to. Teniendo en cuenta la expresión (1.27) para el campo producido por un plano infinito con densidad de carga σ, encontramos al aplicar (1.33) que esta expresión se reduce a V(y) − V(0) = − Z y 0 σ 20 sign(y) dy = σ 20 sign(y) y = σ 20 |y| . Ejemplo 1.5 Halle la diferencia de potenical entre dos puntos A y B en una región donde existe un campo eléctrico uniforme~ E0. Haciendo uso de la definición de diferencia de potencial dada en (1.33), encon- x x tramos para el presente caso que V(A) − V(B) = Z B A ~ E0 · d ~ l = ~ E0 · Z B A d ~ l donde el campo eléctrico puede sacarse de la integral debido a que no varía a lo largo del camino de integración desde A hasta B. Notemos ahora que la integral Z B A d ~ l = ~ AB donde ~ AB es el vector posición que va desde A hasta B. Finalmente obtenemos que V(A) − V(B) = ~ E0 · ~ AB . FLML Física 2
- 24. 16 Tema 1. Electrostática Energía potencial El trabajo, WE, que realiza el campo electrostático para mover una carga prueba puntual Q desde el punto A hasta el punto B, vendrá dado por WE = Z B A,Γ ~ F · d ~ l = Q Z B A,Γ ~ E · d ~ l . (1.36) Aplicando los resultados de la sección anterior podemos ver que la inte- gral (1.36) no depende del camino y, por tanto, la fuerza es conservativa. Para fuerzas conservativas es sabido que el trabajo realizado por dichas fuerzas puede escribirse como la variación (con signo negativo) de la energía poten- cial, esto es, WE = −∆U = − U(B) − U(A) . (1.37) Este hecho queda patente al escribir el trabajo en (1.36) en términos del potencial eléctrico (ver (1.33)) como WE = QV(A) − QV(B) (1.38) e identificar la energía potencial de la carga Q en el punto P como U(P) = QV(P) . (1.39) Energía potencial eléctrica de una carga puntual Si ahora tenemos en cuenta (según el teorema de las fuerzas vivas) que el trabajo es igual al incremento de la energía cinética del sistema, esto es: WE = ∆Ec; podemos escribir al igualar ∆Ec con (1.37) que ∆Ec + ∆U = ∆(Ec + U) = 0 . (1.40) Dado que la energía mecánica, Em, del sistema se define como Em = Ec + U , entonces podemos establecer que la energía mecánica de la carga Q en el campo electrostático se conserva. Ejemplo 1.6 Trabajo del campo de cargas puntuales. x Para la situación de cargas mostrada en la figura, (a) calcular la distancia b para que el campo creado por ambas cargas,~ ET, en el punto P ≡ (a, b) vaya dirigido úni- camente según la dirección x. (b) Calcular el trabajo que realiza el campo total para llevar una tercera carga Q desde el punto A ≡ (0, b) al punto P bajo las condiciones del apartado anterior. (a) Si denominamos carga #1 a la carga de 8q y carga #2 a la carga q, tenemos que los vectores posición que van desde estas cargas al punto P son ~ r1 = ax̂ + bŷ , ~ r2 = bŷ. Física 2 FLML
- 25. 1.3. Potencial eléctrico 17 Los campos eléctricos que crea cada carga en el punto de observación serán ~ E1 = K 8q (a2 + b2)3/2 (ax̂ + bŷ) , ~ E2 = −K q b2 ŷ y el campo total, por superposición, ~ E = ~ E1 +~ E2 = Kq 8a (a2 + b2)3/2 x̂ + 8b (a2 + b2)3/2 − 1 b2 ŷ . La condición para que se anule el campo en la dirección vertical será 8b (a2 + b2)3/2 = 1 b2 ⇒ (a2 + b2 )3/2 = 8b3 . Si operamos en la expresión anterior (a2 + b2 )3/2 = (2b)3 ⇒ a2 + b2 = (2b)2 que se reduce a a2 = 3b2 ⇒ b = a √ 3 . (b) El trabajo W para trasladar la carga Q desde el punto A al B puede expresarse como W = Q[V(A) − V(B)] donde el potencial eléctrico en cualquier punto, V(P), es la suma de los potenciales creados por cada carga individualmente. Para este cálculo, debemos entonces notar que V1(A) = K 8q b V1(B) = K 8q (a2 + b2)1/2 V2(A) = −K q (a2 + b2)1/2 V2(B) = −K q b lo que nos lleva a W = Q V1(A) + V2(A) − V1(B) − V2(B) = KqQ 8 b − 1 (a2 + b2)1/2 − 8 (a2 + b2)1/2 + 1 b = KqQ 9 b − 9 (a2 + b2)1/2 . Si tenemos ahora en cuenta que b = a/ √ 3, la expresión anterior puede escribirse como W = 9KqQ √ 3 a − 1 a(1 + 1/3)1/2 = 9KqQ a √ 3 − √ 3 2 = 9 √ 3 2 KqQ a . FLML Física 2
- 26. 18 Tema 1. Electrostática Actividad 1.5: ¿Podemos afirmar que el trabajo realizado por cualquier fuerza para desplazar una partícula entre dos puntos es menos el cambio de la energía potencial? Justifique su respuesta. ¿Podemos afirmar que el trabajo realizado por cualquier fuerza para desplazar una partícula entre dos puntos es el cambio de la energía cinética? Justifique su respuesta. ¿Es la Ec. (1.39) una definición de la energía potencial de una car- ga puntual en un campo electrostático? ¿Puede aplicarse la ex- presión anterior al caso de una distribución arbitraria de cargas? Justifique su respuesta. ¿Se conserva siempre la energía mecánica de una distribución ar- bitraria de cargas en un campo electrostático? Justifique su res- puesta. Describa algunas razones por las que la conservación de la energía mecánica resulta tan útil. Ejemplo 1.7 Energía de una carga q en el interior de un condensador plano Si entre las placas de un condensador plano se establece una diferencia de potencial V0 (ver figura adjunta), entonces el campo en el interior del condensador V=V0 V=0 y E será ~ E = V0 d ŷ . Dado que el potencial es la integral de camino del campo eléctrico, esto es, Z y 0 ~ E · d ~ l = V(0) − V(y) y como V(0) = V0, se tiene que V(y) = V0 − Z y 0 E(y)dy = V0 1 − y d . La energía potencial, U(y), de una carga q en el interior del condensador será por tanto U(y) = qV0 1 − y d . Una partícula de carga positiva que parta del reposo (Ec = 0) en la placa del condensador a potencial V0, se desplazará hacia zonas de menor energía potencial a la vez que irá aumentando su energía cinética. Debido a la conservación de su energía mecánica, la energía cinética al llegar a la otra placa, según (1.40), toma un V=V0 V=0 a) b) U =qV (0) 0 U d = ( ) 0 E = c(0) 0 E d = mv c( ) 1/2 2 valor de Ec(d) = 1 2 mv2 = qV0 , Física 2 FLML
- 27. 1.4. Conductores en un campo electrostático 19 por lo que la partícula adquirirá una velocidad al llegar a dicha placa dada por v = r 2qV0 m . (1.41) El hecho de que una diferencia de potencial entre dos electrodos aumente la energía cinética de las cargas es usado muy a menudo para acelerar partículas car- gadas. En la práctica, la placa final puede ser sustituida por una rejilla metálica que deje pasar las partículas. 1.4. Conductores en un campo electrostático Es bien conocido que la materia está formada por partículas elementa- les cargadas y neutras. Las partículas de carga positiva (protones) forman parte de los núcleos de los átomos y por consiguiente están fijas en pro- medio en los sólidos. En ciertos materiales llamados dieléctricos, las cargas negativas (electrones) pueden considerarse igualmente fijas. No obstante, en otros materiales denominados conductores, algunos de los electrones no están ligados a átomos en particular sino que forman una especie de “gas de electrones” que vaga por todo el sólido. En esta sección conside- raremos un modelo ideal de conductor en el cual existen infinitas cargas móviles que pueden desplazarse libremente. Dicho modelo se denominará conductor perfecto. 1.4.1. Campo eléctrico de un conductor cargado en equilibrio elec- trostático En general, los conductores aparecen de forma natural como sistemas neutros (igual número de cargas negativas que positivas). No obstante, aña- diendo o quitando cargas libres al conductor, éste quedará cargado. Si se define equilibrio electrostático como aquella situación en la que todas las cargas libres están en reposo, y se tiene en cuenta la definición de conductor perfecto dada anteriormente, podemos derivar las siguientes conclusiones acerca del campo eléctrico: El campo eléctrico es nulo en el interior del conductor. Si el campo eléctrico no fuese nulo en el interior del conductor daría lugar a movimientos de las cargas libres, lo cual estaría en contradicción con la condición de equilibrio electrostático. Si el campo eléctrico es nulo en el interior del conductor, al calcular la integral de camino del campo entre dos puntos A y B en el interior del conductor obtenemos que Z B A ~ Eint · d ~ l = V(A) − V(B) = 0 ⇒ V ≡ Cte , (1.42) esto es, el conductor es equipotencial y en particular la superficie del Conductor es equipotencial mismo es una superficie equipotencial. FLML Física 2
- 28. 20 Tema 1. Electrostática La carga en exceso se localiza en la superficie del conductor. Si el campo en todos los puntos del interior del conductor cargado es nulo es porque no existe carga neta en el interior. Q = 0 in t SG Este hecho puede también justificarse utilizando la ley de Gauss. Si exis- tiese carga neta en el interior, eligiendo una superficie de Gauss que la envolviese, el flujo del campo eléctrico a través de la misma sería pro- porcional a la carga encerrada. Esto estaría en contradicción con el hecho de que el flujo debe ser cero puesto que el campo en el interior es nulo. Por tanto, la carga en exceso debe localizarse en la superficie. El campo eléctrico en la superficie es normal a ésta y de valor σ/0. Dado que el potencial es constante en todo el conductor, para dos puntos cercanos A y B sobre la superficie se verificará que A B E dl dV = lı́m A→B V(A) − V(B) = lı́m A→B ∆V = 0 y, por tanto, se tiene que ~ E · d ~ l = 0 , donde d ~ l ≡ lı́mA→B ~ AB. Esto implica que el campo en la superficie, ~ ES es perpendicular a d ~ l y, puesto que d ~ l es tangente a la superficie, podemos concluir que ~ ES = En̂. (1.43) (*) Si se aplica ahora la ley de Gauss a una superficie en forma cilíndrica E Eint=0 S + S - tal como muestra la figura, se tiene que I ~ E · d~ S = Qint 0 |~ E|∆S = σ∆S 0 , de donde obtenemos finalmente que ~ ES = σ 0 n̂ . (1.44) Física 2 FLML
- 29. 1.4. Conductores en un campo electrostático 21 Actividad 1.6: Todos los electrones de un conductor perfecto tienen la libertad de moverse dentro de los límites geométricos de dicho conductor. ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta. En los materiales dieléctricos se forma una nube de electrones por la contribución de ciertos electrones de cada átomo del material. ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta. ¿Bajo qué condiciones el campo eléctrico en el interior de un con- ductor es nulo? Si un conductor está cargado, el campo eléctrico en su interior puede ser no nulo. ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta. En un conductor neutro, el campo eléctrico en los puntos de su superficie es normal a dicha superficie. ¿Verdadero o falso? Justi- fique su respuesta. Halle el valor del campo eléctrico y el potencial eléctrico en todos los puntos del espacio creado por un conductor esférico de radio R cargado con una carga neta Q. Halle los valores del potencial y campo eléctrico en todos los pun- tos del espacio creados por una distribución de carga consistente en una carga puntual q localizada en el origen de coordenadas y una esfera cargada superficialmente con una carga Q y cuyo cen- tro está en (0, 2R, 0). 1.4.2. Conductor neutro en un campo eléctrico externo Si un conductor inicialmente descargado (esto es, con una compensación perfecta de cargas eléctricas positivas y negativas) se somete al efecto de un campo eléctrico externo, la carga móvil del conductor se redistribuye de manera que se establezca la condición de equilibrio electrostático ~ Eint = 0. (Este proceso ocurre típicamente en un tiempo del orden de 10−14 s para un conductor de cobre.) La redistribución de la carga provoca la aparición de Eint=0 Eext + + + + + + + + + - - - - - - - - - una densidad superficial inhomogénea de carga que a su vez da lugar a un campo en el interior del conductor que anula justamente al campo externo, provocando así la anulación punto a punto del campo total en el interior. Es interesante observar que el proceso de redistribución de carga fru- to del equilibrio electrostático puede considerarse como si ocurriese única- mente en la superficie, sin que eso implicase cambio alguno en el interior del conductor. Es más, si parte del material conductor del interior es extraído, Eint=0 Eext + + + + + + + + + - - - - - - - - - con la consiguiente aparición de un hueco, se daría la misma redistribución de carga en la superficie exterior del conductor y, por tanto, el campo segui- FLML Física 2
- 30. 22 Tema 1. Electrostática ría siendo nulo en todo el interior del conductor, incluyendo al hueco.1 Esto quiere decir que para un conductor con un hueco, el interior está comple- tamente aislado del exterior y, en consecuencia, los campos del exterior no afectarían a un dispositivo sensible al campo eléctrico (por ejemplo, circui- tos electrónicos) situado en el interior del conductor. Este fenómeno se usa para diseñar jaulas de Faraday que aíslen los sistemas eléctricos. Una simple carcasa metálica (o un plástico conductor) aislaría, por ejemplo, los sistemas electrónicos del interior de un ordenador con respecto a posibles influencias eléctricas externas. Actividad 1.7: Los materiales dieléctricos se usan para aislar eléctricamente a dispositivos sensibles a las interferencias eléctricas externas. ¿Verdadero o Falso? Justifique su respuesta. Describa algunas razones que expliquen la inhomogeneidad de la distribución de carga en la superficie de un conductor sometido a un campo eléctrico externo. Si un conductor tiene dos huecos en su interior. ¿Estarán ambos huecos eléctricamente aislados de posibles interferencias eléctri- cas externas? ¿Y entre ellos? Justifique su respuesta. 1.5. Condensadores 1.5.1. Capacidad de un conductor Si se añade cierta carga Q a un conductor inicialmente descargado, esta carga se redistribuye en la superficie del conductor creando una densidad de carga superficial σ y consecuentemente un potencial, V, cuyo valor viene dado por la siguiente integral: V(P) = 1 4π0 Z σdS r , P ∈ S. (1.45) El principio de superposición nos dice que, si se aumenta la carga to- tal, Q = R σdS, en un factor β, este hecho simplemente se traduzca en un 1 Una manera alternativa de comprobar que el campo es nulo en el interior pasa por notar que la integral de camino del campo eléctrico entre dos puntos arbitrarios, A y B, situados en la superficie interna del hueco será nula, V(A) − V(B) = Z B A ~ E · d ~ l = 0 , debido a que dicha superficie es una equipotencial. La única manera de que se verifique la anterior expresión para puntos arbitrarios es que el campo eléctrico en el interior del hueco sea nulo. Física 2 FLML
- 31. 1.5. Condensadores 23 aumento proporcional de la densidad superficial de carga; esto es, si Q −→ Q0 = βQ ⇒ σ(S) −→ σ0 (S) = βσ(S) podemos concluir que V −→ V0 = βV . En la situación descrita anteriormente, encontramos que el cociente en- tre la carga y el potencial es siempre el mismo, Q V = Q0 V0 ≡ βQ βV , lo que implica que la relación entre la carga y el potencial en un conduc- tor es una magnitud independiente de los valores concretos de Q y V. Esta magnitud se conoce como capacidad, C, del conductor y se define como Capacidad de un conductor C = Q V . (1.46) La capacidad del conductor determina la carga que este “adquiere” para un potencial dado; es decir, a mayor capacidad mayor carga, siendo C un pará- metro puramente geométrico que sólo depende de la forma del conductor. La unidad de capacidad es el faradio (F), definida en el sistema interna- Unidad de capacidad: 1 faradio(F) cional como 1 F=1 C/V. Ejemplo 1.8 (*) Capacidad de un conductor esférico de radio R Por simetría esférica, el campo en el exterior del conductor será del tipo ~ E = |~ E(r)|r̂ y, por consiguiente, al aplicar la ley de Gauss a una superficie esférica concéntrica con el conductor se obtiene que I ~ E · d~ S = Q 0 (1.47) |~ E(r)| I dS = |~ E(r)|4πr2 = Q 0 , (1.48) de donde se obtiene que el campo en el exterior del conductor es ~ E = Q 4π0r2 r̂ . (1.49) El potencial en un punto arbitrario se obtiene como V(r) = Z ∞ r ~ E · d ~ l = Q 4π0 Z ∞ r dr r2 = Q 4π0 h − 1 r i∞ r = Q 4π0r , por lo que en la superficie de la esfera, el potencial será simplemente V(R) = Q 4π0R (1.50) y la capacidad: C = Q V = 4π0R . (1.51) FLML Física 2
- 32. 24 Tema 1. Electrostática Como puede verse, la capacidad sólo depende de la geometría (el radio) de la esfera conductora. Si el radio de la esfera fuese R = 1m, la capacidad del conductor sería C ≈ 111 × 10−12 F ≡ 111 pF . 1.5.2. Influencia entre conductores Si un conductor cargado con una carga Q, que suponemos positiva, se introduce en el hueco interior de otro conductor inicialmente descargado, esto origina una redistribución de cargas en el conductor inicialmente neu- tro (ver figura). Esta redistribución es consecuencia del establecimiento de la condición de equilibrio electrostático en ambos conductores (~ Eint = 0). Si la superficie exterior del conductor neutro se conecta a tierra (almacén infinito + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + - - de cargas libres), suben tantos electrones desde tierra como sean necesa- rios para compensar las cargas positivas, dando lugar todo este proceso a la aparición de una carga neta −Q en dicho conductor. La situación anterior se conoce como influencia total dado que los dos Condensador: sistema de dos conductores en influencia total conductores tienen la misma carga pero de signo contrario. Todas las líneas de campo que parten de un conductor acaban en el otro. (Esta situación se encuentra estrictamente en la práctica cuando un conductor está encerrado en el interior de otro). Dos conductores en influencia total forman un sis- tema que se conoce como condensador, definiéndose la capacidad de un condensador como C = Q ∆V , (1.52) donde Q es el valor de la carga en módulo de cualquiera de los dos conduc- tores y ∆V es la diferencia de potencial en módulo existente entre los dos conductores. Algunos ejemplos típicos de condensadores se presentan a continua- ción: (*) Condensador esférico Para calcular la diferencia de potencial entre los dos conductores esfé- ricos se parte de la expresión del campo en la zona intermedia entre los dos conductores, donde R1 R2 ~ E = Q 4π0r2 r̂ y, por tanto, ∆V = Z R2 R1 ~ E · d~ r = Q 4π0 Z R2 R1 dr r2 = Q 4π0 h − 1 r iR2 R1 = Q 4π0 R2 − R1 R1R2 . La capacidad del sistema viene entonces dada a partir de (1.52) por C = 4π0 R1R2 R2 − R1 . (1.53) Física 2 FLML
- 33. 1.5. Condensadores 25 Es interesante notar que la capacidad del condensador esférico puede llegar a ser mucho más grande que la de un conductor esférico del mismo tamaño, dado que R1R2 R2 − R1 R1 . Condensador de placas paralelas Para calcular la diferencia de potencial entre las placas paralelas, este condensador se tratará suponiendo que las dimensiones de dichas pla- cas son mucho mayores que la distancia entre ellas y, por tanto, éstas se modelarán por dos planos infinitos cargados. Teniendo en cuenta la expresión (1.27) para el campo producido por un plano cargado uniforme- mente, en el caso de dos planos infinitos cargados con distinta polaridad, -Q Q y E( ) Q E(- ) Q E(- ) Q E( ) Q E( ) Q E(- ) Q por superposición se tiene que ~ E = σ 0 ŷ , si 0 y d 0 , en otro caso . (1.54) Obsérvese que el campo eléctrico es uniforme en el interior del conden- sador y nulo fuera de éste. El condensador plano suele usarse general- mente para producir campos uniformes e intensos. Para calcular la diferencia de potencial entre las placas del condensador, se procede realizando la integral de camino del campo eléctrico dado por (1.54) entre una y otra placa. Dado que el campo eléctrico es uniforme, -Q Q y E puede escribirse que ∆V = Z d 0 ~ E · d ~ l = |~ E|d (1.55) = σ 0 d . (1.56) Puesto que la carga de cada uno de las placas finitas viene dada por Q = σS, la capacidad del condensador de placas paralelas será muy apro- ximadamente C = σS σ 0 d = 0 S d . (1.57) Capacidad de un condensador de placas paralelas FLML Física 2
- 34. 26 Tema 1. Electrostática Actividad 1.8: Dos conductores, un cubo y una esfera, tienen la misma carga y voltaje. ¿Pueden tener la misma capacidad? Justifique su respues- ta. Si su respuesta es afirmativa, explique cómo es ello posible. Explique la diferencia entre la “capacidad de un conductor” y la “capacidad de un condensador.” ¿Qué características relevantes tiene la capacidad de un conden- sador de placas plano-paralelas? ¿Cómo incrementaría la capacidad de un condensador plano da- do? 1.6. Energía Electrostática 1.6.1. Trabajo para trasladar una carga puntual En una región del espacio donde existe un campo ~ E, planteemos la si- A E dl B guiente cuestión: ¿cuál es el trabajo necesario para mover una carga prueba puntual Q desde un punto A a un punto B?. La respuesta a esta pregunta nos la proporciona el cálculo de la integral de camino de la fuerza externa ejercida sobre la carga entre ambos puntos, esto es, W = Z B A ~ Fext · d ~ l . (1.58) Dado que la fuerza que ejerce el sistema de cargas sobre la carga prueba es de tipo electrostático y puede expresarse según (1.5) en función del campo eléctrico, la fuerza externa mínima que debemos ejercer nosotros para po- der desplazar la carga deberá ser justamente la que contrarreste a la fuerza electrostática; esto es,~ Fext = −Q~ E (si hiciéramos una fuerza mayor aumenta- riamos la energía cinética de la carga, lo cual no es necesario para trasladar la carga de A → B). Por tanto, la expresión del trabajo viene dada por W = −Q Z B A ~ E · d ~ l = Q V(B) − V(A) (1.59) que, obviamente, es independiente del camino debido a las propiedades ya discutidas de la integral de camino del campo eléctrico. Teniendo en cuenta la definición de energía potencial dada en (1.39), la expresión (1.59) para el trabajo puede identificarse con el incremento de la energía potencial, ∆U, del sistema, es decir W = ∆U . (1.60) Es interesante observar que la expresión (1.59) ofrece la posibilidad de interpretar la diferencia de potencial entre dos puntos como el trabajo por Física 2 FLML
- 35. 1.6. Energía Electrostática 27 unidad de carga que debemos ejercer para desplazar una partícula cargada entre dichos puntos. En el caso de que la partícula venga desde el infini- to (donde usualmente se supone que está el origen cero de potencial), el trabajo que debemos realizar para situar la partícula en el punto P puede expresarse como W = Q V(P) − V(∞) = QV(P) . (1.61) Ahora podemos observar claramente que el potencial eléctrico puede identificarse con la energía po- tencial (trabajo para crear el sistema) por unidad de carga. 1.6.2. Energía en un condensador de placas paralelas Para obtener una expresión general de la energía electrostática de un sistema arbitrario de cargas se analizará el caso particular del proceso de +q V(q) E -q + - - Bateria carga de un condensador de placas paralelas para después generalizar (sin demostración) las expresiones que se obtengan a cualquier sistema. En el proceso de carga de un condensador plano (inicialmente los dos conductores son neutros), el efecto de la batería conectada a las placas del condensador será el de extraer carga negativa de una de las placas y trans- ferirla a la otra, de modo que ambas placas se van cargando dando lugar a la aparición de un campo eléctrico entre las placas y, consecuentemente, a una diferencia de potencial, V(q) = q/C, que va creciendo en el proceso. Para aumentar en un dq la carga sobre el condensador, la batería debe realizar un trabajo diferencial que a partir de (1.59) (adaptando la expresión válida para cargas puntuales a cargas diferenciales) podrá expresarse como dW = dq∆V . (1.62) Si ahora consideramos que ∆V ≡ V(q) = q/C, entonces el trabajo diferencial podrá expresarse como dW = qdq C . (1.63) Según (1.60) este trabajo equivale justamente al aumento de la energía po- tencial electrostática del condensador, esto es: dW ≡ dU. Para cargar el condensador con una carga final Q, el trabajo total realizado (o equivalente- mente el aumento total de la energía potencial del sistema) se obtendrá al integrar la expresión (1.63), de modo que W ≡ ∆U = Z Q 0 q C dq = 1 2 Q2 C . (1.64) Dado que el aumento de la energía potencial del sistema es precisamente la energía almacenada en el condensador, podemos identificar esta ganancia de energía potencial con la energía electrostática del sistema, UE, por lo que podemos escribir que UE = 1 2 Q2 C = 1 2 CV2 = 1 2 QV . (1.65) FLML Física 2
- 36. 28 Tema 1. Electrostática En el caso particular del condensador plano, se encontró que V = |~ E|d y C = 0 S d , por lo que al introducir estas expresiones en (1.65) obtendremos UE = 1 2 CV2 = 1 2 0 S d |~ E|2 d2 = 1 2 0|~ E|2 Sd = 1 2 0|~ E|2 V . (1.66) Si se define la densidad de energía en un campo electrostático, uE, como la energía eléctrica por unidad de volumen; es decir, dUE = uEdV , (1.67) de la expresión (1.66) se deduce que la densidad de energía eléctrica en el condensador plano viene dada por uE = 1 2 0|~ E|2 . (1.68) Es interesante observar que la energía electrostática del condensador plano puede expresarse tanto en términos de la carga, expresión (1.65), co- mo del campo eléctrico, expresión (1.66). Estas dos expresiones dan cuenta de la posible ambigüedad que encontramos al definir dónde se almacena la energía potencial del sistema. Según la expresión (1.65), esta energía esta- ría almacenada en las cargas y según la expresión (1.66) estaría asociada al campo eléctrico. Aunque considerar que la energía está en el campo pudiera parecer “artificial”, esta concepción es la más conveniente para situaciones más generales2 . Antes de que existiera campo eléctrico entre las placas, la energía electrostática en esa región del espacio era cero y después, cuan- do se ha establecido un campo eléctrico, la energía alcanza cierto valor. Por tanto, parece congruente asociar la energía potencial electrostática con la presencia del campo eléctrico. Aunque el resultado (1.68) se ha obtenido para un caso particular, cálcu- los más elaborados demuestran que este mismo resultado coincide con la expresión general válida para la densidad de energía electrostática de cual- quier sistema cargado. En consecuencia, la energía electrostática de un sis- tema puede escribirse como Energía electrostática UE = Z todo el espacio 0|~ E|2 2 dV . (1.69) 2 Por ejemplo, al estudiar la energía asociada a una onda electromagnética (ver Tema 6) Física 2 FLML
- 37. 1.7. Dieléctricos 29 Ejemplo 1.9 (*) Energía electrostática de una esfera conductora. El módulo del campo en el exterior de la esfera conductora con carga Q viene q R E r Q dado por |~ E(r)| = Q 4π0r2 r ≥ R . Antes de calcular la energía de este sistema aplicando la expresión (1.69) de- bemos calcular dV. Para ello tengamos que cuenta que dado el volumen total de una esfera de radio r viene dado por V = 4/3πr3 , por lo que el volumen diferen- cial dV = (dV/dr)dr puede escribirse como dV = 4πr2 dr. La energía de la esfera conductora de radio R será por tanto UE = Z todo el espacio 0|~ E|2 2 dV = 0 2 Q2 16π22 0 Z ∞ R 4πr2 dr r4 = Q2 8π0 Z ∞ R dr r2 = 1 2 Q2 4π0R = 1 2 Q2 C . Actividad 1.9: Explique las razones por las que el incremente de energía poten- cial en el proceso de carga de un condensador viene dada por ∆Ep = 1 2 QV en vez de simplemente ∆Ep = QV. ¿Por qué es más conveniente asociar la energía electrostática con el campo eléctrico en vez de con la carga y el potencial? 1.7. Dieléctricos Hasta ahora sólo hemos venido estudiando los diferentes fenómenos electrostáticos en el vacío o bien en conductores perfectos. En este sentido, al estudiar, por ejemplo, el campo creado por una carga puntual en el Apar- tado 1.2.3 suponíamos que no existía medio material alguno en el espacio que rodeada a la carga puntual. Para introducir el efecto de un posible me- dio material no conductor en esta ley, debemos considerar que estos medios denominados dieléctricos (ver Apartado 1.4) están formados for átomos/mo- léculas neutros eléctricamente donde el centro de las cargas positivas (pro- tones) coincide con el de las cargas negativas (electrones). No obstante, bajo la influencia de un campo eléctrico externo, el centro de las cargas negativas puede desplazarse con respecto al de las positivas, es decir los átomos/mo- + + Eext Eex t=0 - - - - - átomo neutro átomo polarizado léculas constitutivos del medio material pueden polarizarse. Este fenómeno de polarización dará lugar a un nuevo campo eléctrico de polarización que se opondrá al campo original, manifestándose este efecto globalmente en que el campo original queda parcialmente reducido, como si fuese originado por una carga puntual de menor cuantía. FLML Física 2
- 38. 30 Tema 1. Electrostática El mismo efecto global anterior se produciría igualmente en un conden- sador plano, donde se observa experimentalmente que la introducción de un material dieléctrico homogéneo e isótropo entre sus placas aumenta la capacidad de dicho condensador en cierta constante que depende exclusi- vamente del material. Para entender este efecto observemos el condensador descargado de la Fig. 1.1(a), entre cuyas placas se ha colocado cierto mate- Q0 -Q0 -Qp Qp E0 d S Ep + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - (a) (b) Figura 1.1: (a) Condensador descargado entre cuyas placas existe un material dieléctrico. (Las esferas representan los átomos neutros constituyentes del dieléctrico.) (b) Condensador cargado con una carga Q0 que es contrarrestada por una carga Qp proveniente de la polarización de los átomos constituyentes del dieléctrico. rial dieléctrico (madera, papel, agua, plástico,...). Si ahora este condensador es cargado con una carga Q0 en una placa (y −Q0 en la otra), entonces apare- cerá un cierto campo ~ E0 entre las placas del condensador. Este campo eléc- trico provocará la polarización de los átomos del material dieléctrico dando lugar a una situación microscópica tal como la descrita en la Fig. 1.1(b). Ob- servemos que en el interior del material dieléctrico las cargas positivas y negativas se compensarán mutuamente, quedando sin embargo una carga descompensada de valor Qp justamente en los extremos del material adya- centes a las placas del condensador. Esta carga originará un campo eléctrico ~ Ep que al superponerse al campo original ~ E0 da lugar a un nuevo campo ~ E, cuyo modulo puede expresarse como |~ E| = E0 r , (1.70) donde r es una constante adimensional positiva mayor que la unidad (r ≥ 1) que dependerá del material y que se conoce como permitividad relativa del material. Si la capacidad del condensador de placas paralelas en vacío (es decir, sin material dieléctrico entre sus placas) venía dada por C0 = Q0 V0 = 0 S d , Física 2 FLML
- 39. 1.7. Dieléctricos 31 (siendo V0 = E0d la diferencia de potencial entre las placas), podemos ob- servar que al introducir el material dieléctrico se reduce el valor del campo entre las placas del condensador y, en consecuencia, también se reducirá la diferencia de potencial entre las mismas, que vendrá ahora dada por V = |~ E|d = V0 r . (1.71) Dado que la introducción del dieléctrico no modifica la cantidad de carga inicial depositada en las cargas (la carga en el material dieléctrico aparece en los bordes de éste, no en las placas metálicas), tenemos que la capacidad del condensador con dieléctrico será C = Q0 V = Q0 V0/r = rC0 = 0r S d , (1.72) explicándose así el aumento de capacidad del condensador observado ex- perimentalmente. Observemos además que, globalmente, el efecto de introducir el mate- rial dieléctrico homogéneo e isótropo ha quedado reflejado en la sustitución de 0 ←→ r0 (1.73) en la expresión de la capacidad. De este modo podemos escribir que la ca- pacidad de un condensador de placas paralelas viene dada por C = S d (1.74) donde = 0r (1.75) es la permitividad dieléctrica del material. Permitividad dieléctrica Se cumplirá que ≥ 0 , siendo la permitividad relativa de algunos ma- teriales usuales la siguiente: Permitividad Material relativa (r) Vacío 1 Aire 1.00059 Agua (200 C) 80 Papel 3.7 Porcelana 7 Vidrio 5.6 Neopreno 6.9 Poliestireno 2.55 Podemos observar que la permitividad relativa del aire es muy próxima a la del vacío. Esto hace que, a efectos prácticos, consideremos que el compor- tamiento eléctrico del aire es equivalente al del vacío. La anterior discusión sobre el efecto de la inclusión de dieléctricos ho- mogéneos e isótropos en condensadores planos podría extenderse al es- tudio de otras magnitudes y situaciones, obteniéndose que las expresiones FLML Física 2
- 40. 32 Tema 1. Electrostática obtenidas anteriormente en este tema para el vacío quedan simplemente modificadas por la sustitución de la permitividad dieléctrica del vacío por la correspondiente permitividad dieléctrica del material. Así obtendríamos, por ejemplo, que la densidad de energía eléctrica de una región del espacio donde hay un material dieléctrico de permitividad vendrá dada por Energía electrostática en un medio material UE = Z todo el espacio |~ E|2 2 dV . (1.76) Actividad 1.10: Escriba la ley de Coulomb para cargas puntuales sumergidas en agua (dieléctrico homogéneo). Describa los efectos principales que surgen al ternes dos cargas sumergidas en agua. Dé las razones físicas que expliquen los anteriores efectos. Para un voltaje dado entre las placas de un condensador plano, deduzca si la introducción de un dieléctrico entre dichas placas aumenta o disminuye la carga almacenada en las placas. Deduzca la expresión de la capacidad total C de un conductor for- mada por la asociación de dos condensadores de capacidades C1 y C2 cuando estos se conectan en serie y en paralelo. 1.8. Problemas propuestos 1.1: Calcule la fuerza de repulsión electrostática entre dos partículas α (cada partícula α está compuesta por dos protones) y compárela con la fuerza de atracción gravitatoria entre ellas (para el protón: m = 1,67 × 10−27 kg, q = 1,60 × 10−19 C). Sol. Felect ≈ 3×1035 Fgrav. 1.2: ¿Cuál es el valor del módulo del campo eléctrico en un punto situado a 30 cm de una carga puntual de 10 µC. Sol. E = 106 N/C. 1.3: Dos cargas puntuales iguales de valor q están situadas en los puntos (−a, 0, 0) y (a, 0, 0). Calcular el potencial y el campo eléctrico debido a dichas cargas en los puntos del eje Y. Sol.: V(0, y, 0) = [q/(2π0)](y2 + a2 )−1/2 , ~ E(0, y, 0) = [q/(2π0)]y(y2 + a2 )−3/2 ŷ. 1.4: Tres cargas puntuales de igual valor, q, se encuentran dispuestas en los vértices de un triángulo, como se indica en la figura. Calcúlese: a) el campo eléctrico y el potencial generado por las tres cargas en puntos del segmento que une los puntos (0, 0) y (0, h); b) la fuerza ejercida por las dos cargas que se encuentran sobre el eje X sobre la carga situada en (0, h). q q q ( ) l/2,0 ( ) 0, h (- ) l/2,0 y x Sol.: a) V(0, y) = Kq[2((l/2)2 + y2 )−1/2 + (h − y)−1 ],~ E(0, y) = Kq[2y((l/2)2 + y2 )−3/2 − (h − y)−2 ] ŷ. b) ~ F = Kq2 2h[(l/2)2 + h2 ]−3/2 ŷ. Física 2 FLML
- 41. 1.8. Problemas propuestos 33 1.5: Las cuatro cargas del dibujo están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L. a) Hallar el valor, sentido y dirección de la fuerza ejercida sobre la carga situada sobre el vértice inferior izquierdo por las cargas restantes. b) Demostrar que el campo eléctrico total en el punto medio de cualquiera de los lados del cuadrado es paralelo al lado considerado, está dirigido hacia la carga negativa vértice de dicho lado y su valor es E = [2q/(π0L2 )](1− √ 5/25) N/C. Sol.: a) ~ F = [q2 /(4π0L2 )](1 − 1/ √ 8)(x̂ + ŷ) N. q -q -q q L L Y X 1.6: El potencial electrostático en cierta región del espacio está dado por V = 2x2 − y2 + z2 , donde x, y, z se expresan en metros y V en voltios. Determinar: a) la componente del campo eléctrico en el punto (1, 2, 3) a lo largo de la dirección dada por la recta que pasa por dicho punto y por el punto (3,5,0) [Nota: Tenga en cuenta que ~ E = −(∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)]; b) el trabajo que realizaría el campo sobre una carga puntual q = 2 C que se desplazase desde el punto (1, 2, 3) hasta el (3, 3, 3). Sol.: a) √ 22 N/C; b) −22 J. 1.7: Sobre los planos x = 0 y x = 4 existen densidades de carga de valor σ1 = 10−8 C/m2 y σ2 = −10−8 C/m2 respectivamente. Determinar: a) la fuerza que actúa sobre una carga puntual q = 1 pC situada en el punto (1,0,0); b) el trabajo realizado por el campo para transportar dicha carga hasta el punto (3,2,0); c) la d.d.p. entre los puntos (1,0,0) y (8,0,0). Sol.: a) 36π · 10−11 x̂ N; b) 72π · 10−11 J; c) 1080π V. 1.8: Una gota de aceite cargada de masa 2,5×10−4 g está situada en el interior de un con- densador de placas paralelas de área 175 cm2 . Cuando la placa superior tiene una carga de 4,5×10−7 C, la gota de aceite permanece estacionaria. ¿Qué carga tiene esta gota? Sol. Q = 8,43×10−13 C. 1.9: (*) Determinar el campo eléctrico y el potencial en todos los puntos del espacio en dos casos: a) Esfera conductora de radio R y carga Q; b) Esfera no conductora de radio R con densidad volumétrica de carga uniforme de valor ρ (nota: elegir potencial cero en el infinito en ambos casos). Sol.: a) r R: ~ E(r) = Q/(4π0r2 ) r̂, V(r) = Q/(4π0r); r R: ~ E = 0, V = Q/(4π0R); b) r R: ~ E(r) = R3 ρ/(30r2 ) r̂, V(r) = R3 ρ/(30r); r R: ~ E(r) = rρ/(30) r̂, V(r) = ρ(R2 − r2 /3)/(20). 1.10: (*) Una esfera no conductora de radio R tiene una densidad volumétrica de carga ρ = Ar, donde A es una constante y r la distancia al centro de la esfera. Determinar: a) la carga total de la esfera (considere que el diferencial de volumen viene dado por dV = 4πr2 dr); b) el campo eléctrico y el potencial en cualquier punto del espacio (nota: elegir potencial cero en el infinito). Sol: a) Q = πAR4 ; b) r ≤ R: ~ E(r) = Ar2 /(40)r̂, V(r) = −Ar3 /(120) + AR3 /(30); r R: ~ E(r) = Q/(4π0r2 )r̂, V(r) = Q/(4π0r). 1.11: (*) Demuestre que el campo eléctrico fuera de un conductor cilíndrico rectilíneo de radio R, longitud infinita y densidad de carga superficial σ es equivalente al campo debido a una línea infinita cargada con la misma cantidad de carga por unidad de longitud (es decir, si λ = 2πRσ). 1.12: (**) Determinar el potencial y el campo eléctrico en el eje de un anillo circularde radio R con una densidad de carga lineal uniforme λ que está situado en el plano XY y tiene su centro en el origen de coordenadas. Sol.: V(0, z, 0) = [λ/(20)]R(z2 + R2 )−1/2 , ~ E(0, z, 0) = [λ/(20)]Rz(z2 + R2 )−3/2 ẑ. 1.13: (**) Dos anillos circulares de radio R coaxiales y con sus centros separados una distancia R a l -l a están cargados con densidades de carga lineal λ y −λ respectivamente. Hallar el trabajo que hay que realizar para situar una carga prueba, q, en los puntos siguientes: a) centro del anillo cargado positivamente; b) punto del eje equidistante de ambos anillos; c) centro del anillo cargado negativamente (nota: en los tres apartados, suponer que la carga q se trae desde el infinito al punto considerado). Sol.: a) W = [qλ/(20)]{1 − R(R2 + a2 )} ; b) W = 0; c) W = [qλ/(20)]{R(R2 + a2 ) − 1} FLML Física 2
- 42. 34 Tema 1. Electrostática 1.14: (**) Un cilíndrico de longitud infinita y radio b con una cavidad cilíndrica en su interior de radio a posee una densidad volumétrica de carga ρ, según se indica en la figura. Calcúlese: a) la carga total del cilindro por unidad de longitud; b) el campo eléctrico en todos los puntos del espacio; c) la fuerza sobre una carga puntual, q, situada en el punto de coordenadas (b, b, 0), así como la componente de dicha fuerza en la dirección dada por el unitario n̂ = (1/ √ 3, 1/ √ 3, 1/ √ 3); d) la diferencia de potencial entre los puntos (b, b, 0) y (2b, 2b, 2b). Sol.: a) π(b2 − a2 )ρ ; b) si r ≤ a~ E = 0 , si a r ≤ b~ E = (r2 − a2 )ρ 2r0 r̂ , si r b~ E = (b2 − a2 )ρ 2r0 r̂; c) ~ F = q(b2 − a2 )ρ 40b (1, 1, 0), ~ Fn = q(b2 − a2 )ρ 2 √ 30b n̂; d) V(b, b, 0) − V(2b, 2b, 2b) = (b2 − a2 )ρ ln 2 20 . 1.15: a) ¿Cuál es la capacidad de un sistema de dos placas plano-paralelas de área 1 mm2 separadas 1 mm?. b) ¿Cuánto trabajo realizaríamos para carga el anterior condensador con una carga de 10−3 C ?. c) ¿Cuál sería la fuerza entre las placas?. Sol.: a) C = 8,05 nF; b) W = 62,1 J; c) F = 5,65×104 N. 1.16: a) ¿Qué cantidad de carga será necesario añadir a una esfera conductora aislada de radio R1 = 10 cm para que ésta alcance un potencial de 500 V?. b) Si la anterior carga es compartida con otra esfera conductora aislada de radio R2 = 5 cm de radio (ambas son co- nectadas mediante un fino hilo conductor), ¿cuál será la carga y el potencial final en cada esfera conductora?. Sol.: a) Q = 5,6×10−9 C; b) Q1 = 3,74 nC, Q2 = 1,86 nC, V1 = V2 ≈ 336,6V. 1.17: Cinco condensadores idénticos de capacidad C0 están conectados en un circuito puente a b C0 C0 C0 C0 C0 tal como indica la figura. a) ¿Cuál es la capacidad equivalente entre los puntos a y b?. b) Calcular la capacidad equivalente si la capacidad entre a y b cambia ahora a 10C0. Sol.: a) Cequiv = 2C0; b) Cequiv = 11C0; 1.18: Un condensador de 1 µF se ha cargado a 10 V. Determínese: a) la carga acumulada y el trabajo que fue necesario realizar; b) la densidad de energía eléctrica en el interior del con- densador sabiendo que puede asimilarse a un condensador ideal de placas plano paralelas separadas una distancia de 10 cm; c) el trabajo necesario para aumentar la carga del conden- sador al doble de la que posee. Compárese con el trabajo calculado en el apartado a) (Dato: 0 = 8,854 × 10−12 F/m). Sol.: a) Q = 10 µC, W = 5 × 10−5 J; b) ρE = 4,427 × 10−8 J/m3 ; c) W = 15 × 10−5 J. 1.19: (*) Se consideran los condensadores planos esquematizados en la figura. Determinar d d er2 er1 S d er1 er2 S/2 S/2 a) b) la capacidad de cada uno de ellos. Sol.: a) C = C0(r1 + r2)/2; b) C = C0r1r2/(r1 + r2), siendo en ambos casos C0 = 0S/d. Física 2 FLML
- 43. Tema 2 Circuitos de Corriente Continua 2.1. Introducción En el tema anterior se ha introducido la Electrostática como el estudio de la interacción entre cargas en reposo. No obstante, cabe señalar que, en general, la Electrostática puede aplicarse a situaciones en las que la distri- bución de cargas permanece invariable en el tiempo. El estudio de las cargas en movimiento se iniciará en el presente tema. Estas cargas en movimiento, o lo que es lo mismo, un flujo de partículas cargadas, dan lugar a una corrien- te eléctrica, de la misma manera que moléculas de agua en movimiento dan lugar a una corriente de agua. En función del tipo de movimiento que lleven las cargas se clasificará la corriente eléctrica en corriente continua y corriente variable en el tiempo. La corriente continua (CC) es aquélla en la que el flujo de cargas permanece invariable en el tiempo (por ejemplo, cuando los electrones en un cable se mueven a velocidad constante).1 Cuando el flujo de cargas que varía en el tiempo lo hace de forma armónica (es decir con una variación temporal de tipo seno o coseno), entonces se denomina corriente alterna (CA). El objetivo final del presente tema será el análisis de los circuitos de corriente continua, tanto por su propia importancia en la tecnología actual como por ser un primer paso para el estudio y comprensión de los circuitos electrónicos más complejos. Los circuitos de corriente continua se resuelven a partir de las reglas de Kirchhoff, que serán deducidas en este tema como una consecuencia de las leyes de la Electrostática y de la ley de conserva- ción de la carga. Tras la deducción de estas reglas, se hablará de las fuentes de alimentación de estos circuitos y, en particular, se discutirá el concep- 1 Es interesante notar que si el flujo de cargas permanece invariable en el tiempo (corriente continua), esto implica que la carga por unidad de tiempo que atraviesa cualquier super- ficie no aumenta ni disminuye y, por tanto, la distribución de cargas permanece invariable en el tiempo. Esto implica que, a pesar de que las cargas se muevan, todavía se pueda seguir aplicando la Electrostática. No obstante, las cargas del interior del conductor ge- neralmente no generan campo eléctrico dado que existe una compensación precisa entre cargas positivas y negativas. 35
- 44. 36 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua to de fuerza electromotriz. Posteriormente se mostarán algunos ejemplos y procedimientos para la resolución de circuitos de corriente continua. Final- mente, y como complemento al presente tema, discutiremos los transitorios de carga y descarga en condensadores. Aunque estos transitorios implican variaciones en el tiempo de la corriente, aquí se estudiará la situación inter- media entre dos estados que no dependen del tiempo. 2.2. Vector densidad de corriente Una “medida” de la corriente eléctrica es proporcionada por la intensi- dad de la corriente, I. Esta magnitud se define como Intensidad de la corriente I = dQ dt (2.1) esto es, la carga total por unidad de tiempo, Q, que atraviesa cierta superficie S. La unidad de intensidad de la corriente eléctrica en el S.I. es el amperio (A), definido como Unidad de intensidad: 1 amperio (A) 1 amperio = 1 culombio 1 segundo ; 1 A = 1 C/s . La definición de la intensidad de corriente como el ritmo temporal con que la carga atraviesa “cierta” superficie S establece una dependencia de esta magnitud con el flujo de carga a través de dicha superficie que debe dS S J especificarse. Este hecho sugiere la conveniencia de expresar la intensidad como el flujo de un vector (ver Apéndice A.2), que se denominará vector den- sidad de corriente~ J, a través de una superficie S: I = Z S ~ J · d~ S . (2.2) Evidentemente las unidades de~ J son de intensidad partido por superficie, esto es: A/m2 ; representando el módulo de esta magnitud la cantidad de carga que pasa por unidad de superficie y por unidad de tiempo a través de un elemento de superficie perpendicular al flujo. Para obtener una expresión explícita del vector densidad de corriente en función de las características del flujo de partículas cargadas, considera- remos la situación mostrada en la figura adjunta. En esta figura se muestra la contribución a la corriente, ∆I, de la parte de carga, ∆Q, que atraviesa el área ∆S (la carga por unidad de tiempo que atraviesa la superficie completa será I). Claramente, la carga que atraviesa ∆S en la unidad de tiempo ∆t es aquélla comprendida en un volumen de área transversal ∆S y de longitud l igual al recorrido de una de las cargas en el tiempo ∆t; siendo, por tan- to, l = |~ va|∆t, donde |~ va| es el módulo de la velocidad de arrastre de las partículas cargadas. Supuesto que existen n partículas cargadas móviles por unidad de volumen y que la carga de cada una de las partículas es q (luego la carga por unidad de volumen es nq), se tiene que ∆Q = nq∆V = nq∆S|~ va|∆t . Física 2 FLML
- 45. 2.2. Vector densidad de corriente 37 La carga que atraviesa el elemento de área ∆S por unidad de tiempo ∆t, será por tanto ∆I = ∆Q ∆t = nq|~ va|∆S . Si se tiene en cuenta que en el caso analizado previamente, el área consi- derada estaba orientada perpendicularmente al movimiento, la expresión anterior ofrecía directamente el valor del flujo que atravesaba dicha área. Si el área considerada, ∆S, presenta otra orientación, entonces el flujo debe expresarse en términos del producto escalar de la velocidad de las partícu- las por el vector área (al igual que ya se hizo para el flujo del campo eléctrico) y por tanto, en general, ∆I = nq~ va · ∆~ S . (2.3) Tomando ahora el límite de la expresión anterior para áreas infinitesimales, ∆S → 0, (2.3) puede reescribirse como: dI = nq~ va · d~ S , (2.4) de donde se deduce que la intensidad que atraviesa el área total S vendrá dado por I = Z S dI = Z S nq~ va · d~ S . (2.5) Comparando ahora (2.5) con (2.2), obtenemos la siguiente expresión para el vector densidad de corriente en el caso de que exista un único tipo de por- tadores: Vector densidad de corriente ~ J = nq~ va . (2.6) En aquellas situaciones en las que haya más de un tipo de portadores, la expresión (2.6) puede generalizarse y escribirse como ~ J = X i niqi~ vd,i . (2.7) Es interesante observar (según muestra la figura adjunta) que si tenemos cargas positivas y negativas fluyendo en el mismo sentido, la corriente res- + - vd J J pectiva estará dirigida en sentidos opuestos. Actividad 2.1: ¿Podemos tener corriente en un segmento finito de un hilo con- ductor? Justifique su respuesta. Explique las razones que hacen que la definición de la intensidad de la corriente dada en (2.1) sea incompleta. ¿Por qué es más con- veniente definir la intensidad como el flujo del vector densidad de corriente? Trate de obtener las condiciones que debe satisfacer una CC a par- tir de la definición de~ J dada en la Ec. (2.6). Partiendo de la Ec. (2.6), deduzca la expresiónde~ J para una CC que fluya a través de la sección de un hilo. FLML Física 2
- 46. 38 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua Ejemplo 2.1 Cálculo de la velocidad de arrastre de los electrones en un cable de Cu (densidad ρ = 8,93 g/cm3 y masa atómica A = 63,55 g) de radio 0.8 mm que trans- porta una corriente de intensidad 20 mA. Es interesante primero notar que para el caso de corriente continua en un cable (que generalmente presenta una sección transversal invariante), la expresión de la intensidad se reduce a I = Z S ~ J · d~ S = Z S |~ J|dS = |~ J| Z S dS = |~ J|S , (2.8) donde se ha supuesto que~ J k d~ S y que |~ J| permanece constante en toda la sección transversal (n no varía en la sección y la velocidad de las cargas es la misma en toda la sección). Puesto que |~ J| = nq|~ va|, de la expresión (2.8) se deduce que la velocidad de arrastre de las cargas móviles puede escribirse como |~ va| = I nqS . Dado que la intensidad, la carga elemental q y la sección transversal pueden calcularse a partir de los datos del problema, |~ va| quedará determinada si conoce- mos el valor de n. Para calcular el número de electrones libres por m3 en el cobre, supondremos que cada átomo de cobre aporta un electrón libre al metal, por lo que el número de éstos coincidirá con el número de átomos de Cu por m3 , na. Para ob- tener na puede calcularse el número de moles por m3 , χ, y multiplicar este número por el número de átomos en un mol, NA = 6,02×1023 , esto es: na = χNA. A su vez, el número de moles por m3 puede obtenerse como χ = masa de 1m3 masa de un mol = ρ A , por lo que n puede obtenerse a partir de la siguiente expresión: n = NA ρ A . Para el caso del Cu, A = 63,55g y ρ = 8,93 g/cm3 , por lo que n = 6,02 × 1023 8,93×106 63,55 = 8,46 × 1028 electrones/m3 . La velocidad de arrastre será por tanto: |~ va| = 20×10−3 8,46×1028 · 1,6×10−19 · π(0,8×10−3)2 = 7,43×10−7 m/s . Obsérvese el valor tan pequeño de velocidad que se obtiene para el desplazamiento de los electrones en el interior del cable, aunque esta velocidad de desplazamiento tan pequeña no implica que haya que esperar un largo tiempo para que se inicie la corriente eléctrica. Algo similar ocurre en una columna de soldados respondiendo a la voz de “marcha”, aunque la velocidad de desplazamiento de los soldados pueda ser pequeña, la columna se pone en marcha de forma casi instantánea. Física 2 FLML
- 47. 2.2. Vector densidad de corriente 39 Ecuación de continuidad de la carga El principio de conservación local de la carga (ver Apartado 1.1) exigía que si cierta carga desaparecía de un lugar, esta misma carga debía haber viajado y aparecer posteriormente en otro lugar. Dado que la carga viajando constituye una corriente eléctrica, este principio puede expresarse en tér- minos de dicha corriente eléctrica como La intensidad de corriente que atraviesa la superficie ce- rrada de un recinto es igual a menos la variación temporal de la carga móvil en su interior. Esta ley simplemente dice que si en cierto recinto entran, por ejemplo, 5 cargas por segundo y salen 2 cargas por segundo, entonces la carga en el interior del recinto aumenta a un ritmo de 3 cargas por segundo. En forma matemática, el principio anterior se conoce como ecuación de continuidad para la carga y puede expresarse como I S ~ J · d~ S = − dQ dt , (2.9) donde el signo menos delante del segundo miembro sólo indica que un flu- jo positivo (es decir, carga saliendo del recinto) está relacionado con una J -dQ/dt disminución de la carga en su interior. Dado que la carga en el interior del recinto puede expresarse en términos de la densidad de carga volumétrica en su interior: Q = R V ρdV, la expresión (2.9) puede reescribirse como I S ~ J · d~ S = − d dt Z V ρdV = − Z V ∂ρ ∂t dV . (2.10) Para el caso de corriente continua, donde no existen variaciones tempo- rales de carga móvil en el interior de los conductores (dado que la carga por unidad de tiempo que atraviesa cualquier superficie es siempre la misma), se cumple que ∂ρ ∂t = 0 , por lo que la ecuación de continuidad establece que Ecuación de continuidad en régi- men estacionario I S ~ J · d~ S = 0 , (2.11) esto es, el flujo de corriente a través de un recinto cerrado es nulo; o lo que es lo mismo, la misma cantidad de carga que entra en el recinto sale de él. FLML Física 2
- 48. 40 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua 2.3. Conductividad, Ley de Ohm 2.3.1. Conductividad eléctrica El modelo más elemental de lo que sucede en un conductor real2 su- pone que las cargas móviles del conductor responden a la aplicación de un campo eléctrico externo acelerándose, pero que esta ganancia continua de E + energía cinética es compensada por una pérdida equivalente de energía de- bida a las continuas colisiones que sufren las cargas móviles (generalmente electrones) con los restos atómicos fijos del material conductor. Este pro- ceso simultáneo de aceleración debido al campo eléctrico y desaceleración debido a las continuas colisiones es equivalente a un movimiento promedio en el que la velocidad de los portadores de carga permanece constante.3 El complicado proceso interno puede simularse globalmente conside- rando que el resultado de las colisiones puede modelarse mediante el efec- to de una fuerza disipativa del tipo ~ Fd = −λ~ va que se opone al movimiento. Según este sencillo modelo, la ley de movimiento de una de las partículas cargadas en el interior de un conductor real vendría dada por m d~ va dt = q~ E − λ~ va . (2.12) En la situación estacionaria en la que la velocidad de arrastre de las cargas permanece constante (esto es: d~ va/dt = 0), ésta podrá expresarse, según (2.12), como ~ va = q λ ~ E o equivalentemente como ~ va = µ~ E (2.13) donde se pone de evidencia la relación lineal que existe entre la velocidad de arrastre y el campo eléctrico aplicado mediante el parámetro µ conocido como movilidad de las cargas (sus unidades en el S.I. son m2 /(Vs)). Teniendo ahora en cuantq que~ J = nq~ va, el vector densidad de corriente puede escribirse como ~ J = nqµ~ E , (2.14) o bien ~ J = nq2 λ ~ E . (2.15) La anterior expresión manifiesta la existencia de una relación lineal entre el vector densidad de corriente y el campo eléctrico aplicado que puede 2 Es muy importante distinguir el presente caso de un conductor real con el caso de un conductor perfecto que ya estudiamos en el Apartado 1.4. Debe recordarse que en el caso de un conductor perfecto no existía campo eléctrico en el interior del conductor. En el presente caso de un conductor real sí existirá campo en el interior de dicho conductor. 3 Una situación análoga se da en la caída de las gotas de agua de la lluvia. Cada gota de agua es acelerada por el campo gravitatorio y, a su vez, desacelerada en los choques que sufre con las moléculas de aire que se encuentra en su caída. El resultado global es que las gotas de agua caen a velocidad aproximadamente constante. Física 2 FLML
- 49. 2.3. Conductividad, Ley de Ohm 41 expresarse como4 ~ J = σ~ E , (2.16) siendo σ un parámetro asociado al material que se conoce como conduc- Ley de Ohm para~ J y ~ E tividad eléctrica y que vendrá dado por Conductividad eléctrica σ = nq2 λ , (2.17) o bien por σ = qnµ . (2.18) La conductividad eléctrica mide el grado de conducción eléctrica de los materiales, siendo mayor para aquellos materiales en los que la corriente eléctrica fluye con más facilidad (nótese que σ es inversamente proporcional al parámetro λ). Es interesante notar que independientemente del signo de la carga, dado - + vd vd E J J que ésta aparece al cuadrado en (2.17), el sentido de la corriente es siempre el mismo que el del campo eléctrico aplicado. Actividad 2.2: Describa y explique las principales diferencias entre conductores perfectos y reales. Encuentre situaciones prácticas comunes donde un movimiento a velocidad constante es causado por la acción balanceadas de dos fuerzas que se oponen. De algunos razones de por qué es razonable esperar que σ ∝ n y σ ∝ λ−1 . Un conductor perfecto es el caso límite de un conductor real cuan- do la conductividad eléctrica tiende a infinito (σ → ∞). Explique por qué pueden existir corrientes en un conductor perfecto aun- que ~ Econd = 0. ¿Es el sentido de~ J siempre el mismo que el de ~ E? ¿Es el sentido de ~ va siempre el mismo que el de ~ E? Justifique sus respuestas. 2.3.2. Ley de Ohm circuital Si un conductor filiforme dotado de cierta conductividad σ se sitúa en una región donde existe un campo eléctrico ~ E, este campo eléctrico pene- tra en el conductor (a diferencia de un conductor perfecto donde ~ Eint = 0) y “afectará” a las cargas móviles dando lugar a una corriente eléctrica. Se- gún (1.33), la integral de camino del campo eléctrico entre dos puntos del 4 En general esta ley también será válida para campos eléctricos no electrostáticos. FLML Física 2
- 50. 42 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua conductor será justamente la diferencia de potencial entre esos dos puntos, esto es, Z 2 1 ~ E · d ~ l = V(1) − V(2) ≡ V12 . Esta diferencia de potencial entre dos puntos es usualmente denominada E 1 2 J l tensión eléctrica, o simplemente tensión. Dado que el campo eléctrico puede relacionarse con la densidad de corriente mediante la ley de Ohm (2.16), se tiene que V12 = Z 2 1 ~ J σ · d ~ l . (2.19) Supuesto que en el conductor filiforme de sección transversal S, el vector densidad de corriente pueda escribirse como ~ J = I S û (2.20) (siendo û el vector unitario en la dirección del conductor), el cálculo de la integral de camino (2.19) será entonces V12 = Z 2 1 ~ J σ · d ~ l = I σS Z 2 1 û · d ~ l = I σS Z 2 1 dl = l σS I , (2.21) donde l es distancia entre los puntos 1 y 2. Obsérvese que se ha obtenido una relación lineal entre la diferencia de potencial entre dos puntos del conductor y la intensidad de la corriente eléc- trica que circula por él. Esta relación se puede escribir de forma genérica como Ley de Ohm circuital V = RI (2.22) que se conoce como ley de Ohm circuital (enunciada por G.S. Ohm en 1827), donde el parámetro R, denominado resistencia del material, es para el con- ductor filiforme Resistencia de un conductor filiforme R = l σS . (2.23) La resistencia es una característica de cada conductor que depende de su constitución material (a través de σ) y de su geometría. La unidad de resistencia en el SI es el ohmio (Ω), siendo Unidad de Resistencia: 1 ohmio (Ω) 1 ohmio = 1 voltio 1 amperio , 1 Ω = 1 V/A . A diferencia de lo que ocurre en un conductor perfecto, que es equipoten- cial, la presencia de una resistencia (esto es, la existencia de una pérdida de energía de los portadores de carga móviles debido a las colisiones con los restos atómicos fijos) se manifiesta en una caída de potencial, o tensión, a lo largo del conductor real si éste es recorrido por una corriente. A partir de (2.23) podemos deducir que las unidades de conductividad Unidad conductividad eléctrica: 1 (Ωm)−1 σ son inversamente proporcional a la resistencia y longitud, por lo que las unidades de conductividad suelen darse en (Ωm)−1 . La conductividad eléc- trica es una de las magnitudes que más varían de un material a otro: des- de 10−15 (Ωm)−1 para materiales muy poco conductores (dieléctricos) hasta Física 2 FLML
- 51. 2.3. Conductividad, Ley de Ohm 43 108 (Ωm)−1 en metales muy buenos conductores como el cobre o la plata. Puesto que la conductividad de los metales suele ser muy alta y, por tanto, su resistencia muy baja, en múltiples situaciones prácticas (por ejemplo, en la mayoría de los circuitos) se considera que no hay caída de potencial en los conductores metálicos sino que toda la caída de potencial se da en unos elementos específicos de menor conductividad llamados resistencias. R V =V 12 AB A B 1 2 Actividad 2.3: ¿Podemos tener una diferencia de potencial a lo largo de un con- ductor perfecto? Justifique su respuesta. ¿En qué situaciones prácticas no podemos despreciar la diferen- cia de potencial a lo largo de hilos conductores? ¿Cuáles son las suposiciones más relevantes que hemos hecho para derivar la ley de Ohm? Trate de encontrar un ejemplo práctico donde esta ley no sea aplicable. 2.3.3. Efecto Joule En los apartados anteriores se ha discutido que la presencia de corrien- te eléctrica en un conductor real lleva aparejado un proceso disipativo de energía fruto de las continuas colisiones de los portadores móviles con los restos atómicos fijos. Este proceso disipativo implica una pérdida de ener- gía cinética de los portadores de carga en forma de calor que se transmite al material conductor y a su entorno. La presencia de una caída de potencial en un conductor real (cuando éste es recorrido por una corriente eléctrica) provoca que para desplazar un diferencial de carga, dq, desde el punto de potencial V1 al punto de potencial V2, el campo eléctrico externo deba reali- E V1 dq V2 zar un trabajo. Si la diferencia de potencial entre estos dos puntos se expresa de forma general como V = V1 −V2, este trabajo viene dado, según (1.61), por dW = dq(V1 − V2) = dqV . Teniendo ahora en cuenta que el elemento de carga, dq, es parte de una corriente I que circula por el conductor, podremos escribir que: dq = Idt; por lo que el diferencial de trabajo realizado por el campo podrá expresarse como dW = IVdt . (2.24) En consecuencia, el ritmo temporal con el que se realiza este trabajo, que coincidirá con la potencia, P = dW/dt, disipada en forma de calor en la re- sistencia, vendrá dado por Ley de Joule P = IV = I2 R = V2 /R . (2.25) Esta ley para la potencia disipada en una resistencia fue deducida experi- mentalmente por J.P. Joule sobre 1841. FLML Física 2
- 52. 44 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua Actividad 2.4: Explique las razones que hace necesario que, en general, deba haber un agente que realice un trabajo externo para mover una carga entre dos puntos de un conductor real. ¿Es la potencia dada en (2.25) lineal con la corriente y la diferencia de potencial? Justifique su respuesta. Describa cuándo es conveniente usar cada una de las tres expre- siones dadas para la potencia. Ejemplo 2.2 Dos conductores de la misma longitud y el mismo radio se conectan a través de la misma diferencia de potencial. Si uno de los conductores tiene el doble de resistencia que el otro, ¿cuál de los dos conductores disipará más potencia? Si la resistencia del conductor 1 es R1 = R y la del conductor 2 es R2 = 2R, enton- ces, de acuerdo con la expresión (2.25), las potencias disipadas en cada conductor son: P1 = V2 R1 = V2 R P2 = V2 R2 = V2 2R , por lo que: P1 = 2P2 . Esto quiere decir que, supuesta igual la diferencia de potencial en los conductores, aquel conductor con menor resistencia es el que disipa mayor cantidad de potencia. ¿Qué ocurriría si los conductores anteriores fuesen recorridos por la misma intensidad? 2.4. Fuerza electromotriz Antes de analizar cómo puede mantenerse en la práctica un una corrien- te eléctrica continua, detengámonos un momento en el análisis de una “co- rriente continua de masa”. En el dibujo adjunto se muestras bolitas que se mueven en el interior de un tubo cerrado sobre sí mismo. La cuestión es: ¿puede existir un flujo constante de masa en la situación anterior?. Obvia- mente, bajo el efecto único del campo gravitatorio, una bolita que sale de la parte superior no podrá llegar a un punto más alto que aquél desde el cual ha partido y, por tanto, no puede producir un movimiento circular continuo (es decir, la bolita no puede alcanzar un punto de potencial gravitatorio ma- yor que el de partida). No obstante, si además consideramos la presencia inevitable de rozamiento, habrá una perdida adicional de energía cinética Física 2 FLML
- 53. 2.4. Fuerza electromotriz 45 transformada en calor que provocará que la bolita no alcance el punto teó- rico de máxima altura sino uno de menor altura. En resumen, la bolita en el dispositivo anterior no podrá realizar un movimiento circular mantenido sino que realizará un movimiento oscilatorio que desaparecerá tras unas cuantas oscilaciones. Por tanto, podemos afirmar que el campo gravitatorio, que es conservativo, no es capaz de mantener por sí mismo una corriente continua de masa. Para conseguir una corriente continua de masa debe añadirse al sistema anterior un elemento que proporcione el “empuje” adicional nece- sario a las bolitas para que puedan continuar su movimiento. Claramente, este elemento adicional debe producir un campo de naturaleza distinta al gravitatorio (esto es, no conservativo). La misma cuestión puede ahora plantearse respecto a si un campo elec- trostático puede mantener una corriente continua de cargas eléctricas. En este caso, y debido a la naturaleza conservativa del campo electrostático, la respuesta sigue siendo NO, por razones análogas a las del caso anterior. En otras palabras, el trabajo por unidad de carga que realiza el campo electros- tático, ~ Eels, en un recorrido circular de la carga es nulo, W q = I ~ Eels · d ~ l = 0 , debido al carácter conservativo de ~ Eels (ver la expresión (1.31)). Dado que en cualquier situación real siempre existe una pérdida de energía debido al efecto Joule, para mantener un flujo continuo de cargas debemos intro- ducir un elemento externo que proporcione a las cargas móviles el “impul- so externo” necesario para compensar esta perdida constante de energía. El agente de este impulso externo a las cargas no puede ser claramente un campo electrostático pues éste proporcionaría siempre una energía nula por ciclo. Puesto que el impulso sobre los portadores móviles puede estar locali- zado en una parte concreta del circuito o bien distribuido a lo largo de éste, lo que importa es la integral a lo largo de todo el circuito de la fuerza por unidad de carga, ~ f, que origina este impulso. La circulación de esta fuer- za por unidad de carga se conoce como fuerza electromotriz, ξ, (denotada usualmente como “fem”): Fuerza electromotriz (fem) ξ = I circuito ~ f · d ~ l , (2.26) esto es, la fuerza tangencial por unidad de carga integrada sobre la longi- tud del circuito completo (esta cantidad es igual a la energía por unidad de carga suministrada en cada ciclo por el agente externo). Debe notarse que la denominación de “fuerza” electromotriz es un poco desafortunada, dado que ξ no tiene unidades de fuerza sino de fuerza por unidad de carga (o sea, de campo eléctrico) y por longitud, que son precisamente unidades de potencial eléctrico (recuérdese que, según (1.33), la diferencia de potencial se define como la integral de camino del campo electrostático). Por consi- guiente, las unidades de fuerza electromotriz son voltios. No obstante, es Unidad de fem : 1 voltio (V) importante aclarar que la fuerza electromotriz NO es una diferencia de po- FLML Física 2
- 54. 46 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua Figura 2.1: (a) Esquema físico de la acción de un generador de fuerza electromotriz. (b) Representación circuital del esquema anterior. tencial, ξ 6= ∆V , puesto que el agente de fem no puede ser un campo electrostático,~ Es (cam- po de circulación nula), sino un campo de naturaleza no electrostática que llamaremos campo electromotor, ~ Em. El agente físico concreto responsable de este campo electromotor puede ser muy diverso, por ejemplo: fuerzas de origen químico en una batería, fuerza mecánica en un generador de Van der Graaff, la luz en una célula fotoeléctrica, la presión mecánica en un cristal piezoeléctrico, etc... Podemos, por tanto, establecer que la existencia de una corriente eléc- trica continua en un circuito requiere la acción de un agente externo, usual- mente denominado generador de fem (o también, fuente de tensión), que proporcione el campo electromotor necesario para “empujar” las cargas positivas/ne- gativas hacia potenciales crecientes/decrecientes en contra del efecto del campo electrostático. Este hecho queda de manifiesto en la parte (a) de la Fig. 2.1, donde al realizar la circulación del campo eléctrico total suma del campo electrostático más el electromotor, ~ ET = ~ Es +~ Em, ξ = I ~ ET · d ~ l = I ~ Es · d ~ l + I ~ Em · d ~ l = Z 2 1 ~ Em · d ~ l (2.27) se obtiene que la fuerza electromotriz es justamente la integral de camino del campo electromotor entre los puntos 1 y 2 (recuérdese que la circulación del campo electrostático es nula). En términos circuitales, la representación de la situación anterior se muestra en la parte (b) de la figura. Física 2 FLML
- 55. 2.4. Fuerza electromotriz 47 Actividad 2.5: Si tiene una pelota elástica en su mano, ¿qué tendría que hacer si quiere que, tras el rebote de la pelota en el suelo, ésta alcance una altura superior que la inicial? Ahora, explique esta acción en términos físicos e identifique las fuerzas involucradas en el fenó- meno así como su naturaleza conservativa o no. ¿Puede un campo electrostático producir una corriente continua? Justifique su respuesta. Un campo electrostático no puede mover cargas de un punto a otro. ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta. Encuentre y explique cuál de las siguientes frases es verdadera o falsa. • La fem es la fuerza producida en el interior de las baterías. • Las unidades de la fuerza electromotriz son newtons. • Un campo no electrostático da lugar a una diferencia de po- tencial. • Un campo electrostático puede ser la causa de una diferencia de potencial. • No hay ninguna relación entre la fem y la diferencia de poten- cial en un circuito. • Una fuente de tensión no es siempre necesaria para tener una CC en un circuito. 2.4.1. Potencia suministrada por el generador El trabajo que realiza el generador (en concreto, el campo electromotor, ~ Em) para mover un diferencial de carga dq vendrá dado por dW = dq I ~ Em · d ~ l = dqξ . (2.28) El trabajo total, Wξ, que puede realizar este generador estará limitado por la cantidad total de carga, QT, que puede poner en movimiento. Por tanto, tras integrar (2.28) (note que la fem es independiente de la carga sobre la que actúa), obtenemos que Wξ = QTξ . (2.29) En condiciones ideales, este trabajo debería ser igual a la energía almacena- da en la batería, Uξ. En consecuencia concluimos que la energía almacenada en la batería puede expresarse como Uξ = QTξ . (2.30) FLML Física 2
- 56. 48 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua Por otra parte, teniendo en cuenta el hecho de que el diferencial de carga considerado forma parte de una corriente, tendremos que dq = Idt y por tanto dW = Iξdt . (2.31) De la expresión anterior podemos deducir que la potencia, P, suministrada por el generador es Potencia suministrada por el generador de fem P = Iξ . (2.32) Actividad 2.6: Deduzca que la expresión (2.28) puede interpretarse como el tra- bajo diferencial proporcionado por una fuente de tensión para mover un diferencial de carga a lo largo de un camino cerrado de un circuito dado. ¿Por qué es la fem independiente de la cantidad de carga sobre la que actúa? Halle la cantidad de energía almacenada en la batería de su te- léfono móvil (mire en las especificaciones escritas en la batería). Calcule ahora cuánto tiempo puede durar esta bateria. ¿Qué principio fundamental se ha usado para deducir (2.30)? 2.5. Reglas de Kirchhoff 2.5.1. Regla de Kirchhoff de las tensiones Si calculamos la integral de camino del campo total,~ Et, entre los puntos 1 y 2 de la rama (asociación de elementos en serie recorridos por la misma intensidad) mostrada en la figura adjunta, tendremos que Z 2 1 ~ ET · d ~ l = Z 2 1 ~ Es · d ~ l + Z 2 1 ~ Em · d ~ l . (2.33) Ahora bien, según la expresión (2.16), el primer miembro de la expresión anterior se puede reescribir como Z 2 1 ~ ET · d ~ l = Z 2 1 ~ J σ · d ~ l . (2.34) Suponiendo válida la expresión (2.20) y operando obtenemos que Z 2 1 ~ ET · d ~ l = Z 2 1 ~ J σ · d ~ l = Z 2 1 I σS dl = IR . (2.35) El sentido de la intensidad se supone inicialmente fluyendo en el sentido de recorrido del punto 1 al punto 2. Física 2 FLML
- 57. 2.5. Reglas de Kirchhoff 49 El primer término del segundo miembro en (2.33) es justamente la inte- gral de camino del campo electrostático entre los puntos 1 y 2; esto es, la diferencia de potencial entre ambos puntos (o tensión): Z 2 1 ~ Es · d ~ l = V12 . Dado que el segundo término es, por definición, la fuerza electromotriz del generador, la expresión (2.33) puede reescribirse como IR = V12 + ξ , (2.36) o bien: V12 = IR − ξ . (2.37) Es interesante notar que si entre los puntos 1 y 2 sólo existiese el generador de fuerza electromotriz (R = 0), de acuerdo con la ecuación anterior, la caída de tensión V21 sería numéricamente igual al valor de la fuerza electromotriz del generador (V21 = ξ). Esta misma igualdad se daría también si no circulase intensidad por la rama aunque R 6= 0. Si en vez de una sola resistencia y generador tenemos una rama con varios de ellos, entonces, la aplicación del anterior razonamiento nos dice que V12 = I(R1 + R2 + R3) − (−ξ1 + ξ2) , que de forma general se puede escribir como V12 = I X j Rj − X ξi , (2.38) donde el signo de la correspondiente ξi se toma según el siguiente criterio: sign(ξ) = ( + si sentido ~ Em = sentido recorrido 1 → 2 − si sentido ~ Em 6= sentido recorrido 1 → 2 . En un caso todavía más general como el que se muestra en la Fig. 2.2, donde tenemos varias ramas recorridas por diferentes corrientes, el cálculo Figura 2.2: Diversas ramas recorridas por distintas intensidades. de la integral de camino entre los puntos 1 y 2 nos dice que V12 = I1R1 − I2R2 + I3(R3 + R4) − (−ξ1 + ξ2) , donde el signo de la intensidad, Ij, se toma de acuerdo al siguiente criterio: sign(Ij) = ( + si sentido Ij = sentido recorrido 1 → 2 − si sentido Ij 6= sentido recorrido 1 → 2 . FLML Física 2
- 58. 50 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua En general, la expresión anterior se puede expresar como V12 = X j IjRj − X i ξi , (2.39) (donde Rj es la resistencia total de la rama j recorrida por la intensidad Ij) Regla de Kirchhoff para la tensión y se conoce como regla de Kirchhoff para la tensión. 2.5.2. Regla de Kirchhoff de las intensidades Si la expresión (2.11) se aplica a un trozo de un cable tal como se muestra en la figura adjunto, ésta dice que I S ~ J · d~ S = Z S1 ~ J · d~ S + Z S2 ~ J · d~ S =~ J ·~ S1 +~ J ·~ S2 = −I + I = 0 . Para el caso de tres ramas de un circuito que confluyen en un nodo, al aplicar J dS2 dS1 J1 J2 J3 dS2 dS3 dS1 (2.11) obtenemos: I S ~ J · d~ S = Z S1 ~ J · d~ S + Z S2 ~ J · d~ S + Z S3 ~ J · d~ S =~ J1 ·~ S1 +~ J2 ·~ S2 +~ J3 ·~ S3 = −I1 + I2 + I3 = 0 , donde los valores de las distintas intensidades serán negativos (si la carga entra en el recinto) o positivos (si la carga sale del recinto). Si la expresión anterior se generaliza para un nodo con N ramas, se ob- tiene la regla de Kirchhoff para las intensidades: Regla de Kirchhoff para las intensidades N X i=1 Ii = 0 , (2.40) que establece que la suma de todas las intensidades en un nodo es nula. Física 2 FLML
- 59. 2.6. Resolución de circuitos de corriente continua 51 Actividad 2.7: ¿Ha notado que existen diferentes combinaciones de mallas que nos “cubren” todo el circuito? ¿Cómo afecta la elección particular que hagamos al resultado final? ¿Puede explicar la diferencia entre una regla y una ley? ¿Podemos estudiar circuitos con condensadores y/o bobimas con las reglas de Kirchhoff enunciadas anteriormente? Justifique su respuesta. Describa y explique qué leyes previamente estudiadas han sido usadas para derivar las reglas de Kirchhoff (2.37) y (2.40). ¿Por qué es tan importante recordar el criterio de signos emplea- do en Eq. (2.37)? 2.6. Resolución de circuitos de corriente continua Denominaremos circuito de corriente continua (cc) a la interconexión de un número arbitrario de resistencias y generadores de cc. La interconexión puede tener cualquier topología, siendo la más simple la mostrada en la figura adjunta. La aplicación de las dos reglas de Kirchhoff anteriores con- ducirá, en general, a un sistema de ecuaciones, cuya resolución nos dará los valores de las magnitudes buscadas. Para el caso simple de la figura adjun- ta, tendremos que solo existe una intensidad, I, que recorre el circuito. La aplicación de la regla de Kirchhoff (2.37) para la tensión al anterior circuito (recorrido en el sentido horario desde el punto 1 hasta él mismo) dice que V11 = 0 = IR − ξ , por lo que la intensidad será I = ξ/R . Para un circuito más complejo como el mostrado en la Fig. 2.3, tomamos Figura 2.3 como incógnitas las intensidades que recorren cada rama: Ia, Ib e Ic. Las re- glas de Kirchhoff dan lugar al siguiente sistema lineal de tres ecuaciones: FLML Física 2
- 60. 52 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua IaRa + IbRb = ξa − ξb (2.41a) IcRc + IbRb = ξc − ξb (2.41b) Ib = Ia + Ic , (2.41c) que tras sustituir Ib queda como Ia(Ra + Rb) + IcRb = ξa − ξb (2.42a) IaRa + Ic(Rb + Rc) = ξc − ξb . (2.42b) La resolución del anterior sistema por cualquiera de los métodos conocidos permitirá obtener las intensidades en cada una de las ramas. 2.6.1. (*) Método de las corrientes de malla Existen algunas métodos que permiten resolver los circuitos lineales (circuitos cuyos componentes muestran una relación lineal entre la inten- sidad y la tensión) planteando de forma sistemática un sistema de ecuacio- nes para ciertas variables auxiliares. Uno de estos métodos es el conocido como método de las corrientes de malla. Este método simplemente “reorga- niza” las expresiones resultantes de la aplicación de las reglas de Kirchhoff, de modo que las variables incógnitas son las denominadas intensidades de malla. Antes de presentar el método, es conveniente determinar con preci- sión el significado de ciertas denominaciones: Rama: Conexión en serie de componentes. Nodo: Punto en el que concurren tres o más ramas. Red: Conjunto de nodos y ramas. Malla: Recorrido de una red, tal que partiendo de un punto se vuelve a él sin pasar dos veces por un mismo nodo. En la aplicación del método, se debe empezar identificando un núme- ro mínimo de mallas que recubra completamente el circuito. En el caso del circuito de la Figura 2.3, podemos comprobar que el circuito es recubierto por al menos dos mallas, siendo su elección más trivial, la malla de la iz- quierda (malla 1) y la de la derecha (malla 2). Para cada una de estas mallas definiremos su intensidad de malla respectiva (con su sentido) como aquella intensidad que recorre la malla: I1 e I2; de modo que I1 es la intensidad que recorre la rama a y parcialmente la rama b. Por su parte, la intensidad de la rama b vendrá dada por Ib = I1 + I2 . En general, el sistema planteado para las intensidades de malla, Ij, es el siguiente: ξi = N X j=1 RijIj (i = 1, ... , N) , (2.43) Física 2 FLML
- 61. 2.6. Resolución de circuitos de corriente continua 53 donde N es el número de mallas; ξi es la fem total de la malla, tomando el signo de cada f.e.m. parcial po- sitivo si el campo electromotor va en el mismo sentido que la intensidad de malla, y negativo en otro caso; Rij es la resistencia total común de la malla i y j, cuyo signo será sign(Rij) = ( + si sentido Ii = sentido Ij − si sentido Ii 6= sentido Ij . Si aplicamos la técnica anterior al circuito de la Figura 2.3, obtendremos el siguiente sistema en forma matricial: ξa − ξb ξc − ξb = Ra + Rb Rb Rb Rb + Rc I1 I2 (2.44) Ejemplo 2.3 Obtenga el sistema de ecuaciones para las intensidades de malla del siguiente circuito de tres mallas En el circuito de la figura adjunta definimos una intensidad para cada una de las mallas señaladas, tomando el sentido de esta intensidad tal y como se muestra en la figura. Siguiendo los criterios de signos ya señalados para las resistencias y fuerzas electromotrices, encontramos que el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial que caracteriza al circuito es el siguiente: −ξ1 − ξ4 ξ3 + ξ4 ξ2 = R1 + R2 + R8 −R8 −R2 −R8 R5 + R6 + R7 + R8 −R5 −R2 −R5 R2 + R3 + R4 + R5 I1 I2 I3 Actividad 2.8: ¿Cuáles son las ventajas de usar el método de las corrientes de malla? Resuelva los ejercicios 2.7 al 2.18. 2.6.2. (*) Teorema de superposición En aquellos circuitos en los que existe más de una fuente es a menudo útil el teorema de superposición, que dice FLML Física 2
- 62. 54 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua La respuesta en cualquier elemento de un circuito lineal que con- tenga dos o más fuentes es la suma de las respuestas obtenidas para cada una de las fuentes actuando separadamente y con to- das las demás fuentes anuladas. Para demostrar este teorema podemos partir del sistema de ecuaciones que nos da el método de análisis de mallas, [ξ] = [R][I] , (2.45) o, equivalentemente, [I] = [R]−1 [ξ] . (2.46) Si ahora consideramos una descomposición de las fuentes, de manera que [ξ] = [ξ]1 + [ξ]2 , (2.47) tendremos entonces que existe una descomposición análoga para la inten- sidad, [I] = [R]−1 [ξ] = [R]−1 [ξ]1 + [R]−1 [ξ]2 = [I]1 + [I]2 . (2.48) La ecuación anterior muestra que toda combinación lineal de fem corresponde a una combinación lineal de intensidades. Ejemplo 2.4 Aplicar el teorema de superposición para calcular la intensidad Ib en el circuito de la parte (a) de la figura. El cálculo de la corriente Ib mediante la aplicación del teorema de superposición requiere la descomposición de la excitación provocada por las dos fuentes en dos excitaciones distintas debidas a cada una de las fuentes actuando por separado. De esta manera Ib = Ib,1 + Ib,2 , y, por tanto, debemos resolver dos problemas más simples según muestra la par- te (b) de la figura. Para calcular Ib,1, tenemos que resolver el siguiente sistema: ξa = IaRa + Ib,1Rb Ib,1Rb = IcRc Ia = Ib,1 + Ic . Asimismo para calcular Ib,2, se resolverá ξc = IcRc + Ib,2Rb Ib,2Rb = IaRa Ic = Ib,2 + Ia . Aunque el ejemplo anterior no muestra ninguna ventaja de cálculo en la resolución del circuito, existen múltiples situaciones en las que la aplicación de este teorema puede ser muy beneficioso para simplificar los cálculos. Una situación en la que este teorema muestra su utilidad se encuentra cuando tengamos en un mismo circuito fuentes de corriente continua y de corriente alterna. Algún ejemplo de esta situación se mostrará en el tema de corriente alterna. Física 2 FLML
- 63. 2.6. Resolución de circuitos de corriente continua 55 2.6.3. (*) Teorema de Thevenin Este teorema puede enunciarse de la siguiente manera: En un circuito de CC que contenga resistencias y fuentes de fem del cual salen dos terminales, éstos pueden ser considerados a efectos de cálculo como los terminales de un circuito que contie- ne una única fuente de tensión, ξTH, de valor igual a la diferencia de potencial que aparece entre los terminales, y una única re- sistencia, RTH, equivalente a la que aparece entre los terminales cuando se anulan todas las fuentes de fem del circuito. Figura 2.4: Red compuesta por múltiples fuentes de fem y resistencias junto con su circuito equivalente Thevenin. El contenido del teorema puede interpretarse diciendo que todo circuito lineal activo con terminales de salida A y B puede sustituirse por una fuente de tensión en serie con una resistencia (ver Fig. 2.4). Los valores concretos de esta fuente de tensión y de la resistencia se determinan según el proce- dimiento descrito por el propio teorema. Ejemplo 2.5 Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura Para aplicar el teorema de Thevenin, debemos calcular el valor de la resistencia y de la fuente de tensión de Thevenin. En primer lugar calcularemos RTH, para lo cual debe obtenerse la resistencia equivalente cuando se anula (cortocircuita) la fuente. En primer lugar obtenemos la resistencia paralelo, Rk, debido a las resistencias de 60Ω y 40Ω: A 26W 60W 40W B 1 Rk = 1 40 + 1 60 , de donde Rk = 24Ω. La resistencia Thevenin será simplemente RTH = Rk + 26 = 50Ω . Para obtener la fuente de tensión Thevenin, obtendremos la diferencia de po- tencial entre los terminales A y B dado que ξTH = VAB. La intensidad, I, que recorre el circuito será I = 200 V 60Ω + 40Ω = 2 A . FLML Física 2
- 64. 56 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua Teniendo en cuenta que por las ramas A o B no circula intensidad, tenemos que: VAB = VA0B0 y por tanto ξTH = 40I = 80 V . A A’ B B’ 2.6.4. Balance de potencia En los apartados 2.3.3 y 2.4.1 se ha discutido la potencia disipada en una resistencia y la proporcionada por una fuente de tensión. En un circuito com- puesto de varias fuentes de tensión y resistencias resulta evidente, a partir del principio de conservación de la energía, que la potencia total (energía por unidad de tiempo) disipada en todas las resistencias debe coincidir con la potencia suministrada por el conjunto de todas las fuentes. En otras pala- bras, si tenemos N fuentes de tensión, cada una de ellas suministrando una potencia dada por P(ξn) = Inξn (siendo In la intensidad de la corriente que circula por la fuente ξn) y M re- sistencias, disipando cada una de ellas una potencia P(Rm) = ImVm (siendo Vm e Im respectivamente la caída de tensión y la intensidad en la resistencia Rm), entonces debe cumplirse que Potencia suministrada por todas las fuentes de tensión debe ser igual a potencia consumida en todas las resistencias N X n=1 P(ξn) = M X m=1 P(Rm) , (2.49) o equivalentemente, N X n=1 Inξn = M X m=1 ImVm = M X m=1 I2 mRm = M X m=1 V2 m/Rm . (2.50) Actividad 2.9: ¿Tiene el “balance de potencia” algo que ver con el principio de conservación de la energía? Justifique su respuesta. Si tenemos dos bombillas cuyas resistencias equivalentes son R1 y R2, ¿cómo deberíamos conectarlas entre sí y posteriormente a un generador de CC para obtener máxima luminiscencia? La corriente que fluye por un resistor de alta resistencia, ¿aumenta o disminuye en función del valor de dicha resistencia? Responda a la pregunta anterior si ahora tenemos dos resistores en serie en vez de uno solo. Justifique su respuesta. Si la respuesta a la anterior cuestion es que la corriente no cam- bia, entonces ¿qué es lo que “cambia” en los resistores? Física 2 FLML
- 65. 2.7. Circuito RC. Carga y descarga de un condensador 57 2.7. Circuito RC. Carga y descarga de un condensador Un circuito RC será aquel formado por resistencias, condensadores y ge- neradores de fuerza electromotriz. La principal diferencia con los circuitos con generadores y resistencias que hemos visto hasta ahora reside en el he- cho de que el condensador sufre procesos temporales de carga y descarga, lo que hace que la corriente que fluya por el circuito sufra una variación tem- poral, denominada transitorios, hasta que se alcanza finalmente un régimen estacionario. Descarga de un condensador Veamos lo anteriormente expuesto en el proceso de descarga de un con- densador. Supongamos que el condensador de capacidad C ha sido cargado previamente, adquiriendo una carga final Q0. Si como muestra la Fig. 2.5 el interruptor se cierra en el instante t = 0, entonces empezará a fluir carga desde una placa a otra del condensador a través del circuito con la resisten- Figura 2.5: Esquema de la descarga de un condensador a traves de un circuito con una resistencia. cia R. Ciertamente este proceso continuará hasta que se anule la carga en las placas del condensador (y consecuentemente la diferencia de potencial entre dichas placas). La ecuación que rige el anterior proceso viene dada por la regla de Kirchhoff de las tensiones, que nos dice que VC = VR . (2.51) Teniendo en cuenta que VC = Q/C y que VR = RI = −RdQ/dt,5 la ecuación anterior puede reescribirse como Q C = −R dQ dt =⇒ dQ dt + Q RC = 0 . (2.52) Notemos que la anterior ecuación es una ecuación diferencial, lo que signi- fica que los distintos términos de la ecuación relacionan cierta función con sus derivadas. En otras palabras debemos encontrar la función Q(t) cuya de- rivada sea igual a ella misma multiplicada por 1/RC. Es fácil reconocer que la 5 Téngase en cuenta que, en este caso, debemos escribir I = −dQ/dt para que esté de acuer- do con el hecho de que si disminuye la carga en la placa (+) del condensador, entonces la intensidad de la corriente “sale” del condensador (es decir, que tendrá el mismo sentido que el que hemos supuesto inicialmente en nuestro esquema del circuito). FLML Física 2
- 66. 58 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua única función cuya derivada es proporcional a ella misma es la función expo- nencial. En este sentido podemos comprobar que la solución a la ecuación (2.52) es Q(t) = Q0e−t/RC , (2.53) donde Q0 es precisamente el valor de la carga en el condensador en el ins- tante t = 0 [Q(0) = Q0]. La expresion anterior nos dice que la carga en el condensador va decre- ciendo de forma exponencial, siendo el factor τ = RC, denominado constante de tiempo, el que rige el ritmo de decrecimiento. Podemos comprobar que para tiempos t 4τ la carga del condensador es prácticamente desprecia- ble y podemos considerar, a efectos prácticos, que el condensador ya se ha descargado. Para calcular la intensidad de la corriente que fluye en el proceso de descarga simplemente debemos derivar la expresión (2.53) para obtener I(t) = I0e−t/RC , (2.54) donde I0 es el valor de la intensidad de la corriente en el instante t = 0, I(0) = I0 = Q0/RC. Actividad 2.10: Explique brevemente por qué la carga del condensador empieza a fluir después de que interrruptor de la Fig. 2.5 se cierre. ¿Por qué el voltaje de un condensador que se descarga va a cero? Describa las diferencias entre una ecuación algebraica y una di- ferencial. En Física usamos mayoritariamente ecuaciones diferen- ciales (por ejemplo, la segunda ley de Newton), ¿puede explicar por qué? Verifique que para t 4τ la carga de un condesador en su proceso de descarga se ha hecho prácticamente nula. En un proceso de descarga RC, ¿cómo podría obtener la energía total disipada en la resistencia? ¿Tiene que ser igual al valor de la energía inicial almacenada en el condensador? Demuestre si esto es así. Carga de un condensador El proceso contrario a la descarga del condensador será precisamen- te la carga de dicho condensador. En este proceso debemos contar con un generador de fuerza electromotriz, ξ, que nos proporcione la energía sufi- ciente para llevar a cabo este proceso. Consideremos el circuito mostrado en la Fig. 2.6. Si en el instante t = 0 cerramos el interruptor del circuito y Física 2 FLML
- 67. 2.7. Circuito RC. Carga y descarga de un condensador 59 C R C R Q +Q - I t ( ) t ( ) t ( ) ε ε Figura 2.6: Esquema de la carga de un condensador a traves de un circuito con una resistencia R y un generador de fuerza electromotriz ξ. suponemos el condensador inicialmente descargado Q(t = 0) = 0, entonces a partir de dicho momento el generador provoca un movimiento de cargas entre las placas del condensador que sólo cesará cuando la diferencial de potencial entre las placas del mismo se iguale al valor de la fuerza electro- motriz. Aplicando la regla de Kirchooff de las tensiones al circuito tenemos que ξ = VC + VR , (2.55) ecuación que podemos reescribir como ξ = Q C + R dQ dt =⇒ dQ dt + Q RC = ξ R . (2.56) Esta ecuación diferencial es muy similar a (2.52) excepto en el miembro no nulo de la derecha. La solución es similar a la de (2.52) aunque ahora debe- mos añadir un término más, y así obtendremos que Q(t) = Cξ + Q0 e−t/RC . (2.57) El coeficiente Q0 podemos obtenerlo a partir de la condición inicial para la carga, que nos decía que Q(t = 0) = 0. Aplicando esta condición a (2.57) obtenemos que Cξ + Q = 0 =⇒ Q0 = −Cξ , lo que nos permite escribir finalmente que Q(t) = Cξ 1 − e−t/RC . (2.58) Notemos que el proceso de carga viene caracterizado por una función monótonamente creciente, de manera que el tránsito de carga dura apro- ximadamente un tiempo t ≈ 4τ. Dependiendo de los valores de R y C este intervalo de carga (y también el de descarga) puede durar desde tiempos casi infinitesimales hasta tiempos del orden de segundos. FLML Física 2
- 68. 60 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua Actividad 2.11: ¿Por qué necesitamos una fuente de tensión para cargar un con- densador? ¿Es esta fuente necesaria en el proceso de descarga de dicho condensador? Explique las diferencias. Intente razonar por qué necesitamos añadir un término extra en la solución de la ecuación (2.56) para tener en cuenta que el miem- bro de la derecha no es nulo. Halle Q(t) en el proceso de carga de un condensador conectado en serie con una resistencia R que inicialmente estaba cargado con la mitad de la carga final, Q(0) = Qf /2. Encuentre Q(t) en el proceso de carga de dos condensadores co- nectados en serie con una resistencia R. Encuentre igualmente los valores de Q1(t) y Q2(t). Repita el cálculo anterior si C1 y C2 se conectan en paralelo. 2.8. Problemas propuestos 2.1: En un tubo fluorescente de 3 cm de diámetro pasan por un punto y por cada segundo 2×1018 electrones y 0,5×1018 iones positivos (con una carga +qe) ¿Cuál es la intensidad de la corriente en el tubo?. Sol. 0,4 A. 2.2: Para saber la longitud del cable que ha sido arrollado en una bobina se mide la resis- tencia de este cable, encontrándose un valor de 5,18 Ω. Si la resistencia de una longitud de 200 cm de este mismo cable es de 0,35 Ω, ¿cuál era la longitud inicial del cable en la bobina?. Sol.: l = 2960 cm. 2.3: a) ¿Cuál es el valor del módulo del campo eléctrico en el interior de un conductor de cobre de resistividad ρ = 1,72×10−8 Ωm si éste está recorrido por una corriente eléctrica de densidad de corriente |~ J| = 2,54×106 A/m2 . b) ¿Cuál sería la diferencia de potencial entre dos puntos separados 100 m?. Sol.: a) |~ E| = 43,7 mV/m; b) ∆V = 4,37 V. 2.4: Cierto dispositivo mueve una carga de 1.5 C una distancia de 20 cm en una región del espacio sometida a un campo eléctrico uniforme de módulo |~ E| = 2×103 N/C. ¿Qué fuerza electromotriz desarrolla el dispositivo?. Sol.: ξ = 400 V. 2.5: ¿Cuánto calor produce en 5 minutos una resistencia eléctrica de hierro recorrida por una intensidad de 5 A y sometida a una diferencia de potencial de 120 V?. Sol. Calor ≈ 1,8×105 J. 2.6: Dos conductores de la misma longitud pero distinta área de sección transversal se co- nectan en serie y en paralelo. ¿Qué conductor de la combinación disipará más calor si ambas son sometidas a la misma diferencia de potencial?. Sol. Serie: el conductor con menor área; Paralelo: el conductor con mayor área. Física 2 FLML
- 69. 2.8. Problemas propuestos 61 2.7: En el circuito de la figura, determine: a) la corriente en cada resistencia; b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b; y c) la potencia suministrada por cada batería. Sol.: a) I4 = 2/3 A, I3 = 8/9 A, I6 = 14/9 A; b) Vb − Va = −28/3 V; c) 8 W suministradas por la batería de la izquierda, 32/3 W suministrados por la otra. 2.8: Se dispone de dos baterías, una con ξ1 = 9 V, r1 = 0,8 Ω y otra con ξ2 = 3 V, r2 = 0,4 Ω. a) Cuando las baterías se conectan entre ellas en serie y paralelo, calcule la intensidad que pasaría por una resistencia que puede tomar dos valores, R = 0,2 Ω y R = 1,5 Ω. b) ¿Cómo deben conectarse las baterías en los casos anteriores para dar la máxima intensidad a traves de R? Sol.: a) serie: I0,2 = 8,57 A, I1,5 = 4,44 A; paralelo: I0,2 = 28,85 A, I1,5 = 3,39 A. b) En paralelo para R pequeño, en serie para R grande. 2.9: Los condensadores del circuito de la figura están inicialmente descargados. a) ¿Cuál es el valor inicial de la corriente suministrada por la batería cuando se cierra el interruptor S? b) ¿Cuál es la intensidad de la corriente de la batería después de un tiempo largo? c) ¿Cuáles son las cargas finales en los condensadores? Sol.: a) 3,42 A; b) 0,962 A; c) Q10 = 260 µC, Q5 = 130 µC. 2.10: En el circuito de la figura se conecta entre los puntos A y B una batería de 10 V y de re- sistencia interna 1 Ω. Determínese: a) la corriente por la batería; b) la resistencia equivalente entre A y B; c) la diferencia de potencial entre las placas de un condensador que se conectase entre los nodos C y D. Sol.: a) 32/7 A; b) 1,18 Ω; c) 4/7 V. 2.11: En el circuito de la figura, obtenga: a) la intensidad en cada rama, b) la d.d.p. entre a y b por todos los caminos posibles, c) la carga del condensador d) la potencia suministrada por las fuentes y la consumida por las resistencias. Sol.: a) 0 A, 4/3 A, 4/3 A; b) 4 V; c) 12 µC; d) suministradas: P(ξ = 4V) = 0 W, P(ξ = 8V) = 10,67 W; consumidas: P = 10,76 W. 2.12: Determine las corrientes en el circuito de la figura. Sol.: 1.1 A, 0.87 A, 0.73 A, 0.36 A, 0.15 A y 0.22 A. 2.13: En el circuito de la figura: a) determine las corrientes; b) obtenga el balance de potencia. Sol.: a) 7 A, 2 A y 5 A; b) suministrada: 560 W; consumidas: P(R = 10) = 490 W, P(R = 5) = 20 W, P(R = 2) = 50 W. 2.14: Obtenga la corriente por R = 6 Ω por dos métodos: a) utilizando las leyes de Kirchhoff; b) mediante el equivalente de Thévenin. Sol.: a) iR=6 = 1 A ; b) VTh = 22/3 V y RTh = 4/3 Ω, iR=6 = 1 A. 2.15: En el circuito de la figura, determine la potencia consumida en la resistencia de carga R y encuentre el valor de dicha resistencia para el cual la potencia antes calculada es máxima. Complete el estudio anterior representando gráficamente la función potencia consumida en R en función del valor de R. Sol.: P(R) = ξ2 R(R + Rg)−2 ; P(R) es máxima si R = Rg. FLML Física 2
- 70. 62 Tema 2. Circuitos de Corriente Continua 2.16: En el circuito de la figura, calcule la intensidad que circula por la resistencia R = 3 Ω utilizando dos técnicas diferentes: a) leyes de Kirchhoff; b) aplicando sucesivamente el equi- valentes de Thévenin, primero entre los puntos A y B y seguidamente entre los puntos C y D. Sol.: a)=b) iR=3 = 21/29 A. 2.17: Plantee las ecuaciones de Kirchhoff para el circuito de la figura. Una vez planteadas, considérese ahora que R5 = R3 y bajo esta hipótesis elija un posible conjunto de valores para las fuentes de tensión de forma que la intensidad que circula por la fuente ξ1 sea nula. Sol.: Una posible solución sería ξ1 = 1 V, ξ2 = 0 V y ξ3 = 2 V. Obsérvese que existen infinitas soluciones. 2.18: En el circuito de la figura, encuentre la relación entre las resistencias R1, R2, R3 y R4 para que la intensidad por la resistencia R sea nula. Sol.: R1R4 = R2R3. 2.19: Tenemos un condensador de capacidad C conectado en serie a un resistencia R y ali- mentado por un generador de CC. a) Halle el intervalo de tiempo necesario para que la carga en el condensador alcance el 50 % de su valor final. b) Una vez que el condensador alcanza su máxima carga Q0 (digamos en t = 0), procedemos a descargar este condensador mediante la sustitución del generador por un cortocircuito. En dicho proceso, halle la cantidad de energía que suministra el generador pasado un tiempo t. ¿En qué se transforma dicha energía? Sol.: a) t = RC ln 2; b) ∆U = Q2 0 2C h 1 − e−2t/(RC) i . 2.20: Teniendo en cuenta el comportamiento de un condensador en el inicio (t = 0) de su proceso de carga y al final del mismo, a) halle la corriente que suministra el generador en el circuito de la figura para t = 0 y una vez que el condensador se ha cargado. b) Si el proceso anterior se repite ahora con un generador distinto de manera que la carga final en el con- densador resulta ser de 9 µC, halle la fem del generador y también las corrientes al inicio y al final del proceso de carga. Sol.: a) 50 mA, 30 mA, 3 µC; b) 4, 5 V, 150 mA; 90 mA. Física 2 FLML
- 71. Tema 3 Magnetostática 3.1. Introducción En los temas precedentes se han estudiado las interacciones entre dis- tribuciones de carga invariantes en el tiempo (Tema 1) así los flujos de carga en circuitos de corriente continua (Tema 2). Todas las posibles interaccio- nes y fenómenos pudieron ser descritos en función de campos y potenciales eléctricos y sus efectos sobre las cargas. Desde muy antiguo es también conocido que existe en la naturaleza una fuerza cuyo origen no está ligado a las cargas eléctricas estáticas pero que sin embargo tiene efectos sobre las cargas eléctricas en movimiento. Esta nueva interacción es conocida con el nombre de interacción magnética y se manifiesta, por ejemplo, en las fuerzas de atracción y repulsión entre imanes y/o cabes que transportan corrientes, en la atracción de trozos de hierro (y otros metales) por imanes o bien en la orientación permanente de una aguja imantada hacia el Norte magnético de la Tierra. El estudio de esta nueva in- teracción (tal como se hizo en el caso de la Electrostática) se llevará a cabo mediante la introducción de un campo vectorial llamado campo magnético ~ B. Esto nos permitirá estudiar la interacción magnética obviando las fuentes que la producen. En el presente tema sólo estaremos interesados en estu- diar los campos magnéticos que no varían en el tiempo, es decir, los campos magnetostáticos y, en consecuencia, este tema se denomina Magnetostáti- ca. 3.2. Fuerza de Lorentz Supuesta una región del espacio donde existe un campo magnético~ B, ex- perimentalmente se encuentra que sobre una carga prueba, q, que se mueve a una velocidad ~ v (medida en el mismo sistema de referencia donde se ha medido ~ B) actúa una fuerza, ~ Fm, con la siguientes características: La fuerza es proporcional al producto q|~ v|. Esto implica que esta fuerza q B B v Fm 63
- 72. 64 Tema 3. Magnetostática no actúa sobre partículas neutras o bien sobre partículas cargadas en reposo. La fuerza también es proporcional al módulo del campo magnético |~ B|. La dirección de la fuerza es normal al plano formado por los vectores ~ v y ~ B, siendo nulo su módulo cuando ~ v es paralelo a ~ B y máximo cuando ~ v ⊥ ~ B. Los anteriores resultados experimentales pueden ser descritos en forma ma- temática por la siguiente expresión: ~ Fm = q~ v × ~ B . (3.1) El producto vectorial (ver Apéndice) de q~ v por ~ B determina completamente la fuerza magnética sobre una carga móvil. A partir de la anterior expresión puede deducirse que las unidades de campo magnético en el SI, llamadas teslas (T), vendrán dadas por Unidad de campo magnético 1 tesla (T) 1 T = 1 N/C m/s . (3.2) La unidad de campo magnético es una unidad relativamente grande, esto es, es difícil conseguir campos magnéticos del orden de los teslas o mayores. De hecho, el campo magnético terrestre es del orden de 10−4 T. Por esta razón suele usarse como unidad de campo magnético el gauss (G), de modo que 1 T = 104 G . (3.3) Si en una región del espacio, además del campo magnético ~ B, existe un q F E B v Fm Fe campo eléctrico ~ E, el físico H.A. Lorentz (1853-1928) propuso que la fuerza total sobre una carga puntual q, o fuerza de Lorentz , podía escribirse como la superposición de la fuerza eléctrica, ~ Fe = q~ E, más la fuerza magnética, ~ Fm = q~ v × ~ B, esto es, ~ F = q ~ E +~ v × ~ B . (3.4) Actividad 3.1: Describa las posibles ventajas que nos aporta el definir un campo magnético para estudiar la interacción magnética. Hipotéticamente, ¿podríamos haber definido la fuerza magnética en (3.1) usando un producto escalar en vez de un producto vecto- rial? Justifique su respuesta. Enumere las principales diferencias entre la fuerza magnética y la eléctrica cuando dichas fuerzas actúan sobre una carga puntual. ¿Podría anticipar algunas consecuencias físicas del hecho de que la fuerza magnética haya sido definida en función del producto vectorial de los vectores velocidad y campo magnético? Física 2 FLML
- 73. 3.2. Fuerza de Lorentz 65 3.2.1. Movimiento de una carga puntual en presencia de un campo magnético Antes de tratar la fuerza magnética, es importante recordar que la re- sultante de las fuerza externas, ~ F = P ~ Fext, que actúa sobre una partícula puede descomponerse en dos partes, una tangente al movimiento,~ Fτ , y otra F v Ft Fn normal, ~ Fn: ~ F = ~ Fτ +~ Fn = Fτ τ̂ + Fnn̂ . En consecuencia, la ecuación de movimiento m d~ v dt = X ~ Fext puede reescribirse (teniendo en cuenta que ~ v = |~ v|τ̂) como m d dt (|~ v|τ̂) = m d|~ v| dt τ̂ + m|~ v| dτ̂ dt = m d|~ v| dt τ̂ + m |~ v|2 r n̂ = Fτ τ̂ + Fnn̂ , o equivalentemente, Fτ = m d|~ v| dt (3.5) Fn = m |~ v|2 r , (3.6) siendo r el radio de curvatura de la trayectoria. Una vez que hemos visto las anteriores características generales de la ecuación de movimiento, centrémonos en el caso de una partícula de masa m y carga q en el seno de una región donde existe un campo magnético ~ B. En esta caso, la ecuación de movimiento viene dada por m d~ v dt = ~ Fm = q~ v × ~ B (3.7) donde podemos observar que la fuerza magnética es una fuerza normal, da- do que~ Fm es perpendicular a~ v (debido a la presencia del producto vectorial). Fuerza magnética es una fuerza normal Consecuentemente, podemos deducir que Como la componente tangencial de ~ Fm es nula (Fτ = 0), según (3.5) tene- mos que d|~ v|/dt = 0; es decir, la fuerza magnética no cambia el módulo de la velocidad sino simplemente su dirección (|~ v| = cte). La fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula con velocidad ~ v. Si tenemos en cuenta que el diferencial de trabajo a lo largo de la trayectoria de la partícula, dado por el producto escalar ~ Fm · d ~ l, puede reescribirse como~ Fm ·~ vdt (d ~ l = ~ vdt), entonces comprobamos que es nulo al ser ~ Fm ⊥ ~ v. FLML Física 2
- 74. 66 Tema 3. Magnetostática Puesto que Fn = |~ Fm|, (3.6) y (3.7) nos dicen que m |~ v|2 r = q|~ v||~ B| sen θ , (3.8) (siendo θ el ángulo formado por~ v y ~ B) por lo que el módulo de la veloci- dad será |~ v| = q|~ B|r m sen θ . (3.9) Si el vector velocidad se expresa como suma de dos componentes, una paralela a ~ B y otra perpendicular: ~ v = ~ v|| +~ v⊥ , la fuerza magnética puede expresarse como ~ Fm = q~ v × ~ B = q~ v⊥ × ~ B . Dado que ~ Fm carece de proyección a lo largo de ~ B, podemos escribir las si- guientes ecuaciones para las velocidades ~ v|| y ~ v⊥: m d~ v|| dt = 0 (3.10) m d~ v⊥ dt = ~ Fm = q~ v⊥ × ~ B . (3.11) Estas ecuaciones nos dicen que la componente de la velocidad paralela a ~ B no cambia por efecto del campo magnético (~ v|| = Cte), y que la com- ponente perpendicular, ~ v⊥, es afectada por una fuerza normal a ésta que únicamente cambia su sentido. Estos hechos dan lugar a que el movimiento B de la partícula pueda descomponerse en un movimiento uniforme a lo largo de la dirección marcada por ~ B (supuesto que~ v|| 6= 0) junto con un movimien- to circular en un plano perpendicular, es decir, la trayectoria de la partícula es de tipo helicoidal a lo largo de un eje dirigido según ~ B. En el caso particular de que la velocidad inicial de la partícula no tuviese componente paralela al campo magnético,~ v|| = 0, el movimiento de ésta en la región donde existe ~ B será un movimiento circular puro. El radio R del círculo recorrido por la partícula puede deducirse a partir de (3.8) (θ = π/2): m |~ v|2 R = q|~ v||~ B| , esto es, R = m|~ v| q|~ B| . (3.12) Recordando la relación entre la velocidad angular ~ ω y la velociad lineal ~ v, tenemos que |~ ω| = |~ v|/R = 2π/T y, por tanto, el periodo de este movimiento vendrá dado por T = 2π m q|~ B| . (3.13) Física 2 FLML
- 75. 3.2. Fuerza de Lorentz 67 Actividad 3.2: ¿Cuáles son las consecuencias más relevantes del hecho de que la fuerza magnética sea siempre normal a la trayectoria de la par- tícula cargada? Explique las razones por las que el campo magnético nunca rea- liza trabajo sobre partículas cargadas en movimiento. ¿Significa esto que el campo magnético no ejerce ninguna acción sobre la partícula? Justifique su respuesta. Describa las condiciones que hacen que la trayectoria de una par- tícula cargada en una región con un campo ~ B sea helicoidal. ¿Cuándo se hace dicha trayectoria circular? Deduzca el periodo de este movimiento y explique cómo podríamos incrementar su valor. Ejemplo 3.1 Determinar la masa de una partícula de carga q = 1,6 ×10−19 C que al penetrar en una región con un campo |~ B| = 4000 G describe un círculo de radio R = 21 cm, habiendo sido previamente seleccionada su velocidad con una disposi- ción como muestra la figura con |~ E| = 3,2×105 V/m. En el selector de velocidades, se cumplirá que sólo aquellas partículas para las que se verifique |~ Fe| = |~ Fm| ⇒ |~ E| = |~ v||~ B0| pasarán a la región II. En consecuencia las partículas que llegan a esta región ten- drán una velocidad: |~ v| = |~ E| |~ B0| = 3,2×105 0,4 m/s = 8,05×106 m/s . Una vez en la región II, las partículas por efecto de la fuerza magnética normal a la trayectoria describirán un círculo de radio: R = m|~ v| q|~ B| FLML Física 2
- 76. 68 Tema 3. Magnetostática y por tanto su masa será m = qR|~ B| |~ v| = 1,6×10−19 × 0,21 × 0,4 8,05×106 = 1,67×10−27 kg . Dada la carga y masa de la partícula, se puede concluir que ésta es un protón. 3.2.2. Efecto Hall (*) Se conoce como efecto Hall a la aparición de una diferencia de poten- cial entre los extremos transversales de un conductor por el que circula una corriente cuando éste es sometido a un campo magnético externo. Este fenómeno es fácilmente detectable para el caso de un conductor en forma de paralelepípedo (por ejemplo, una cinta conductora) y con un cam- po magnético aplicado normal al conductor. Nótese que para los casos de corriente eléctrica sostenida por cargas positivas y negativas mostrados en la figura 3.1(a) y (b) respectivamente, y dado que q~ v tiene el mismo sentido B I I B EH EH Fm Fm qv a) b) qv Figura 3.1: Corriente eléctrica hacia la derecha sostenida por (a) cargas positivas y (b) cargas negativas en ambos casos, la fuerza magnética~ Fm = q~ v ×~ B hace que los portadores de carga móviles deriven hacia la cara inferior de la cinta conductora, acumu- lándose allí. Debido a la neutralidad de la carga en el interior del conductor, el exceso de carga en esta cara de la cinta es compensado por la aparición de una carga igual pero de sentido contrario en la otra cara de la cinta conduc- tora. La existencia de esta separación de cargas da lugar a la aparición de un campo ~ EH de origen electrostático y, por tanto, a la existencia de una fuer- za eléctrica ~ Fe que se opondrá a ~ Fm. Este proceso de deriva de portadores libres de carga tiene lugar hasta que la fuerza magnética es estrictamente compensada por la fuerza eléctrica, esto es, cuando |~ Fm| = |~ Fe| q|~ v||~ B| = q|~ EH| , por lo que el campo eléctrico Hall que se instaura alcanza finalmente un valor |~ EH| = |~ v||~ B| . (3.14) La presencia de esta campo eléctrico Hall da lugar a una diferencia de po- tencial entre los extremos de la cinta de anchura w dado por VH = |~ v||~ B|w . (3.15) Física 2 FLML
- 77. 3.2. Fuerza de Lorentz 69 Esta diferencial de potencial se conoce voltaje Hall, VH, y ha sido obtenida suponiendo que el campo ~ EH puede considerarse uniforme en el interior de la cinta conductora. Dado que el módulo de la velocidad de los portadores puede deducirse de I = |~ J||~ S| = (nq|~ v|)(wh) , esto es, |~ v| = I nqwh , el voltaje Hall puede expresarse como Voltaje Hall VH = RH I|~ B| h , (3.16) donde RH = 1/nq se conoce como coeficiente de Hall. Es interesante destacar que mientras que el sentido de la corriente no aporta ninguna información sobre el signo de los portadores de carga móvi- les, la medida del voltaje Hall permitiría distinguir el signo de la carga móvil, tal y como se hace patente al comparar las figuras 3.1(a) y (b). A finales del siglo pasado, el efecto Hall permitió comprobar que la corriente en los bue- nos conductores metálicos, como Au,Ag,Cu,Pt,... , estaba efectivamente sos- tenida por portadores de carga negativa, esto es, electrones. No obstante, analizando otros conductores (y algunos semiconductores) como Fe,Co,Zn,... , se descubrió sorprendentemente que la corriente eléctrica parecía estar sostenida en estos materiales por cargas positivas. Este hecho no encontró ninguna explicación en aquel momento y hubo que esperar hasta el desa- rrollo de la teoría cuántica de los electrones en sólidos (Teoría de Bandas) para hallar una explicación satisfactoria a este fenómeno. Además del uso del efecto Hall para determinar el signo de los portado- res (así como la densidad de éstos, supuesta conocida su carga), éste suele utilizarse en la construcción de teslámetros, esto es, medidores de campo magnético. Para medir el campo magnético puede construirse una sonda Hall en la que RH es conocido y por la que se hace pasar una intensidad de- terminada. Si se mide el voltaje Hall, el valor del campo magnético puede obtenerse fácilmente a partir de la expresión (3.16). Ejemplo 3.2 En una región donde existe un campo magnético de 1,5 T, una tira con- ductora de cobre de espesor 1 mm y anchura 1,5 cm transporta una corriente de 2 A, produciéndose un voltaje Hall de 0.22µV. Calcular la densidad de portadores de carga y comparar con el resultado para este dato que ya se obtuvo en el Ejemplo 2.1. Dado que el voltaje Hall viene dado por la expresión VH = I|~ B| nqh , FLML Física 2
- 78. 70 Tema 3. Magnetostática la densidad de portadores será n = I|~ B| qhVH = 2 × 1,5 1,6×10−19 × 0,001 × 0,22×10−6 ≈ 8,45×1028 electrones/m3 . Puede comprobarse que este dato es muy similar al número de átomos por m3 que se obtuvo en el Ejemplo 2.1. Esto permite verificar que efectivamente cada átomo de cobre contribuye con un solo electrón de conducción. 3.3. Fuerzas magnéticas sobre conductores 3.3.1. Fuerza magnética sobre un hilo La expresión (3.1) describía la fuerza que ejercía un campo magnético ~ B sobre una carga prueba q con una velocidad~ v respecto al campo magnético. A partir de esta expresión puede obtenerse fácilmente la fuerza que ejerce el campo magnético sobre un hilo conductor recorrido por una corriente I. Para ello consideremos que sobre cada elemento diferencial de carga móvil del hilo conductor, dq, se ejercerá una fuerza de valor d~ Fm = dq~ v × ~ B . (3.17) Dado que el elemento diferencial de carga móvil forma parte de la corriente I, éste puede expresarse como dq = Idt y, por tanto, escribir dq~ v = I~ vdt = Id ~ l , donde d ~ l = ~ vdt es un vector cuyo módulo es un diferencial de longitud a lo largo del hilo y su sentido es el de recorrido de la corriente eléctrica. Sustituyendo ahora dq~ v en (3.17) tenemos que d~ Fm = Id ~ l × ~ B (3.18) y, consecuentemente, la fuerza total sobre un hilo recorrido por una inten- sidad I vendrá dada por la siguiente expresión: ~ Fm = Z d~ Fm = Z hilo Id ~ l × ~ B . (3.19) En aquellas situaciones en las que tanto I como ~ B no varíen a lo largo de Fuerza magnética sobre un hilo todo el hilo, la expresión anterior puede reescribirse como ~ Fm = I Z hilo d ~ l × ~ B = I ~ l × ~ B , (3.20) donde~ l es un vector cuyo módulo es la longitud total del hilo y su sentido coincide con el de la corriente eléctrica. Física 2 FLML
- 79. 3.3. Fuerzas magnéticas sobre conductores 71 Actividad 3.3: ¿Qué cargas intervienen en la corriente eléctrica que fluye por un hilo conductor? Explique cómo se deduce (3.17) a partir de (3.1). Describa las condiciones bajo las que la Ec. (3.20) es válida. Si una porción de un hilo de corriente es curvada, pinte el vector~ l asociada a esta porción. ¿Qué ocurre si el hilo de esta porción se cierra sobre sí mismo y se convierte en una espira? 3.3.2. Momento de la fuerza sobre una espira de corriente En el caso de una espira de corriente (conductor filiforme cerrado sobre sí mismo) recorrida por una intensidad I, la fuerza magnética sobre ésta, de B dl I acuerdo a la expresión (3.19), viene dada por ~ Fm = I I espira d ~ l × ~ B . (3.21) Si se considera ahora el caso particular y usual en el cual el campo ~ B es uniforme en la región donde está inmersa la espira, entonces dado que ~ Fm = I I espira d ~ l × ~ B siendo I espira d ~ l = 0 , observamos que no se ejerce fuerza magnética neta sobre la espira. No obs- tante, el hecho de que no haya fuerza total resultante no implica que la es- pira no se mueva, sino simplemente que la espira no tendrá movimiento de traslación. La espira podría “moverse” realizando un movimiento de rotación supuesto que el momento de la fuerza en la espira fuese no nulo. Para calcular el momento dinámico de la fuerza consideraremos la es- pira rectangular mostrada en la Figura 3.2. La fuerza sobre los lados 1 y 3 es una fuerza de deformación que generalmente está compensada por la resistencia a la deformación del material conductor. Por el contrario, la dis- posición de las fuerzas sobre los lados 2 y 4 puede reconocerse como un par de fuerzas aplicado sobre la espira. El cálculo del momento dinámico, ~ M, de este par de fuerzas viene dado por ~ M = ~ b ×~ F , (3.22) donde ~ b es el brazo de la fuerza. La dirección de ~ M es perpendicular a ~ b y a ~ F (~ M presenta la misma dirección y sentido que ~ F3) y su módulo: |~ M| = |~ b||~ F| sen θ . (3.23) FLML Física 2
- 80. 72 Tema 3. Magnetostática B F4 F3 F2 F1 B B B b I Il1 Il2 Il3 Il4 l Figura 3.2: Fuerzas magnéticas sobre cada uno de los lados de una espira rectangular recorrida por una intensidad I Teniendo ahora en cuenta que, para este caso, |~ F| = Il|~ B|, al sustituir en la expresión anterior tenemos que |~ M| = |~ b|Il|~ B| sen θ = IS|~ B| sen θ , (3.24) donde S = |~ b|l es el área de la espira. Dado que |~ M| viene dado por (3.24) y su dirección es idéntica a la de ~ F3, el momento de la fuerza fuerzas puede expresarse como B m I ~ M = ~ m × ~ B , (3.25) donde ~ m = NI~ S (3.26) es un vector que se conoce como momento dipolar magnético (o simplemen- te momento magnético), cuyo módulo es |~ m| = NI|~ S| (N numero de arrolla- mientos de la espira) y su dirección y sentido coinciden con las de la normal a la superficie de la espira (el sentido de ~ m viene determinado por el sen- tido de recorrido de la corriente siguiendo la regla de la mano derecha). Es importante notar que aunque la expresión (3.25) se ha deducido para el caso particular de una espira rectangular, esta expresión es válida para cualquier tipo de espira (supuesto que ~ B sea uniforme). El momento de la fuerza sobre la espira recorrida por una corriente eléc- trica provoca entonces un giro de la espira sobre su eje tratando de alinear ~ m con ~ B. La aparición de este momento de la fuerza de origen magnético cons- tituye el fundamento físico del funcionamiento de los motores eléctricos. Un esquema elemental de un motor eléctrico es precisamente una espira recorrida por una intensidad que, en presencia de un campo magnético, su- fre un par de fuerzas que da lugar a un movimiento de rotación. Dado que la espira tratada anteriormente no giraría de forma continua (el momento del par de fuerzas tendería más bien a hacer oscilar la espira), habría que diseñar un dispositivo que hiciera cambiar el sentido del par de fuerzas en el momento adecuado. Si la espira es fijada a algún rotor, se conseguiría trans- formar energía eléctrica/magnética en energía cinética de rotación, que pos- teriormente puede transformarse mediante los mecanismos adecuados en energía asociada a cualquier otro tipo de movimiento. Física 2 FLML
- 81. 3.3. Fuerzas magnéticas sobre conductores 73 Actividad 3.4: Encuentre ejemplos de movimiento rotacional en los que la fuerza neta que actúa sobre el sistema es nula. Explique el mecanismo de operación del motor de CC mostrado en la figura anterior. En particular, explique la necesidad de cambiar el sentido de la corriente a medida que gira la espira para así hacer que siempre exista un momento de fuerza sobre ella que provoque un giro en el mismo sentido. Ejemplo 3.3 Una espira de corriente de forma triangular transporta una corriente en sentido antihorario de valor I = 1 A. Dicha espira está localizada en el plano z = 0 y su lado sobre el eje x mide a = 60 cm mientras que su lado sobre el eje y mide b = 80 cm. Si en esta región hay un campo magnético uniforme ~ B = 0,2ẑ T, a) dibuje y halle el valor de la fuerza magnética sobre cada lado de la espira y verifique que su suma es nula; b) obtenga el valor del momento de la fuerza sobre la espira. I x y z a) Si el campo magnético es uniforme, la fuerza que dicho campo ejerce sobre una porción de hilo recorrido por una intensidad I viene dado por ~ Fm = I ~ l × ~ B donde~ l es el vector que va desde el inicio al final del hilo siguiendo el sentido de la corriente. En el presente caso, teniendo en cuenta la notación usada en la figura adjunta, encontramos que I x y z a b (1) (2) (3) ~ l1 = ax̂ ~ l3 = −bŷ ~ l2 = −~ l3 −~ l1 = bŷ − ax̂ . Teniendo en cuenta la anterior expresión para la fuerza, obtenemos que ~ F1 = I ~ l1 × ~ B = Iax̂ × B0ẑ = −IaB0ŷ = −0,12ŷ N ~ F3 = I ~ l3 × ~ B = −Ibŷ × B0ẑ = −IbB0x̂ = −0,16ŷ N ~ F2 = I ~ l2 × ~ B = I(−ax̂ − bŷ) × B0ẑ = IaB0ŷ + IbB0x̂ = (0,12ŷ + 0,16x̂) N y, por tanto, ~ F = 3 X i=1 ~ Fi = ~ F1 +~ F2 +~ F3 = 0 . b) Para obtener el momento de la fuerza usamos la expresión (3.25) (válida para campos uniformes). Para ello, debemos notar que el momento magnético de la es- pira es ~ m = I~ S = ISẑ = Iab/2ẑ por lo que el momento de la fuerza será ~ M = ~ m × ~ B = Iab/2ẑ × B0ẑ = 0 dado que ~ m es paralelo a ~ B. FLML Física 2
- 82. 74 Tema 3. Magnetostática 3.4. Ley de Biot-Savart Hasta ahora se han discutido algunos efectos del campo magnético~ B sin referirnos a las posibles fuentes de este campo. Una posible fuente de campo magnético conocida desde muy antiguo son los imanes permanentes. Estos imanes son trozos de ciertos materiales (por ejemplo, la magnetita) que tie- nen entre sus propiedades más aparentes la de atraer fragmentos de hierro. Una carga prueba móvil en presencia de un imán sufre igualmente el efecto de una fuerza magnética que está perfectamente definida por la expresión (3.1). A pesar de que los imanes son conocidos y usados desde hace mucho tiempo, un estudio realista del origen del campo magnético producido por estos imanes sólo puede ser llevado a cabo en el marco de la Física Cuántica y, por tanto, no se abordará esta tarea en el presente tema. Los experimentos de H. C. Oersted (∼ 1820) demostraron que los efectos sobre cargas móviles e hilos de corriente (recogidos en las expresiones (3.1) y (3.19)) producidos por campos magnéticos originados por imanes eran per- fectamente reproducidos cuando estos imanes son sustituidos por cargas en movimiento o bien hilos de corriente. Esto implica que, en general, las car- gas eléctricas en movimiento son fuentes del campo magnético. Dado que en el presente tema sólo estamos interesados en campos magnetostáticos, en este apartado estudiaremos únicamente las fuentes que producen este tipo de campos constantes en el tiempo. Experimentalmente se encuentra por tanto que las fuentes del campo magnetostático son las co- rrientes eléctricas invariantes en el tiempo. La forma concreta en que estas corrientes estacionarias crean campos magnéticos viene dada por la ley de Biot y Savart (∼ 1830) que estable- ce que el campo magnético en el punto de observación, P, producido por un elemento diferencial de corriente, Id ~ l, que forma parte de una corriente continua viene dado por d~ B(P) = µ0 4π Id ~ l × r̂ r2 ≡ µ0 4π Id ~ l ×~ r r3 , (3.27) donde~ r es el vector que va desde el elemento diferencial de corriente hasta el punto P donde se evalúa el campo y µ0 es una constante conocida como permeabilidad del vacío de valor µ0 = 4π×10−7 T · m A . (3.28) Obsérvese que la expresión (3.27) es similar a la obtenida en (1.9) que nos daba el campo electrostático producido por un elemento diferencial de carga. Ambas expresiones muestran la misma dependencia respecto a r, esto es, r−2 . No obstante, una importante diferencia entre ambas expresiones es que la dirección del campo es distinta en una y otra. Si, para el caso electros- tático, la dirección del campo eléctrico venía determinada por el radiovector Física 2 FLML
- 83. 3.4. Ley de Biot-Savart 75 que unía el punto fuente con el punto de observación, para el campo mag- netostático la dirección de d~ B viene determinada por el producto vectorial Id ~ l × r̂ , por lo que la dirección de d~ B en el punto de observación siempre será per- pendicular a su radiovector asociado (esto es, d~ B ⊥ r̂). Esta dirección puede obtenerse por la regla de la mano derecha haciendo apuntar el dedo pulgar derecho en la dirección del elemento de corriente, el dedo índice coincidien- do con~ r y el dedo corazón marcando la dirección del campo. Así, por ejem- plo, las líneas de campo producidas por un elemento diferencial de corriente serían circunferencias concéntricas a un eje dirigido según el elemento de corriente. La discusión anterior indica que las líneas de ~ B no tienen principio ni fin, pudiendo ser, como en este caso, líneas cerradas. El campo total producido por la corriente continua que circula en una espira podrá, por tanto, escribirse como la integral de (3.27) a lo largo de los diferentes elementos diferenciales de corriente, Campo magnético debido a una es- pira de corriente continua ~ B(P) = µ0 4π I espira Id ~ l ×~ r r3 . (3.29) Actividad 3.5: Usando las expresiones que nos dan los campos diferenciales electrostático d~ E y magnetostático d~ B en función de sus fuentes elementales, haga un dibujo de cómo serán dichos campos. Expli- que las similitudes y las diferenciales principales entre ellos. ¿Por qué es la dirección de d~ B siempre perpendicular al elemento de corriente Id ~ l que lo produce? ¿Tiene sentido hablar del campo magnetostático producido por un segmento finito de un hilo de corriente que forma parte de una espira? ¿Tiene sentido hablar del campo magnetostático producido por un segmento finito de un hilo de corriente que no forma parte de una espira? ¿Puede encontrar algún caso donde sea fácil llevar a cabo la inte- gración que aparece en (3.29)? Justifique su respuesta. FLML Física 2
- 84. 76 Tema 3. Magnetostática Ejemplo 3.4 (*) Cálculo del campo magnético en cualquier punto del eje de una es- pira circular de radio R. En la figura adjunta puede apreciarse que d ~ l ⊥ ~ r y por tanto el módulo de d~ B para el presente caso viene dado por |d~ B(P)| = µ0 4π Idl r2 . Dada la simetría del problema, únicamente las componentes de ~ B a lo largo del eje z se suman mientras que las perpendiculares a este eje se anulan entre sí. Conse- cuentemente sólo nos interesa dBz: dBz(P) =|d~ B(P)| cos θ = µ0 4π Idl r2 cos θ = µ0 4π IRdl r3 (nótese que cos θ = R/r). Para obtener el campo total hay que integrar la expresión anterior y dado que tanto r como R permanecen constantes al recorrer la espira, se tiene que Bz(P) = I espira dBz = µ0 4π IR r3 I espira dl = µ0 4π IR r3 2πR = µ0 2 IR2 r3 = µ0 2 IR2 (R2 + z2 ) 3/2 . 3.5. Ley de Ampère La ley de Ampère (∼ 1830) para el campo magnetostático nos dice que I Γ ~ B · d ~ l = µ0 Z S(Γ) ~ J · d~ S = µ0IΓ , (3.30) esto es, la circulación del campo magnetostático, ~ B, a lo largo de una curva arbitraria Γ es µ0 veces el flujo de la densidad de corriente,~ J, que atraviesa una superficie S(Γ) cuyo contorno es la curva Γ. El sentido de recorrido de la curva Γ determina igualmente el sentido de d~ S (siguiendo la ley de la mano derecha) y por tanto el signo del flujo a través de la superficie. El flujo de la densidad de corriente que atraviesa la superficie S(Γ), IΓ, es obviamente el valor de la intensidad de la corriente “interceptada” por la superficie. En la figura adjunta, la aplicación de la ley de Ampère para la curva Γ1 establece que I Γ1 ~ B · d ~ l = µ0 (I1 + I2 − I3) , dado que I3 tiene sentido contrario a I1 e I2, mientras que I4 no atraviesa la superficie apoyada en la curva. Para el caso de la curva Γ2, tendremos que I Γ2 ~ B · d ~ l = 0 , Física 2 FLML
- 85. 3.5. Ley de Ampère 77 puesto que la misma intensidad atraviesa en los dos sentidos la superficie apoyada en la curva.1 Es interesante notar que la ley de Ampère es siempre válida cuando se aplica al campo magnetostático pero que sin embargo no siempre es útil. Es- ta ley es particularmente útil para calcular el campo magnético en aquellos casos en los que es posible encontrar una curva Γ tal que la circulación de ~ B a lo largo de esa curva pueda expresarse como I Γ ~ B · d ~ l = |~ B| I Γ dl . Esta situación se encuentra generalmente en situaciones de alta simetría Ley de Ampère siempre válida para campos magnetostáticos y útil pa- ra cálculo del campo en situacio- nes de alta simetría. donde es posible predecir la forma de las líneas de campo de ~ B y por tanto encontrar una curva que sea tangente a las líneas de campo y donde éste sea constante en módulo. 3.5.1. Campo magnético producido por un hilo infinito y rectilíneo de radio R recorrido por una intensidad I En el presente caso, la simetría del problema indica que el módulo del campo magnético sólo puede depender de la distancia al hilo (puntos con la J r B B z x x y y z R misma distancia ρ al hilo “ven” exactamente las misma disposición de fuen- tes del campo magnético, por lo que el módulo del campo será el mismo). Con respecto a la dirección del campo, ésta puede deducirse de ley de Biot y Savart (3.27). En la figura puede observarse que la dirección del campo es siempre tangente a una circunferencia centrada en el hilo (puesto que d ~ l ×~ r tiene esa dirección). Por tanto, podemos escribir que ~ B = |~ B(ρ)|τ̂ , (3.31) siendo las líneas de campo circunferencias centradas en el hilo, donde ade- más el módulo del campo es constante (τ̂ es el vector unitario tangente a la circunferencia centrada en el hilo). Este hecho sugiere aplicar la ley de Ampère en estas curvas para obtener el valor del campo, obteniendo que I Γ ~ B · d ~ l = |~ B| I Γ dl = µ0IΓ , (3.32) (~ B ·d ~ l = |~ B|τ̂ ·dlτ̂ = |~ B|dl) donde IΓ es la corriente que atraviesa la superficie interior a Γ. Dado que la intensidad total de corriente, I, que recorre el hilo de radio R es uniforme, la densidad de corriente vendrá dada por ~ J = I πR2 ẑ 1 Debe notarse que el hecho de que la circulación de ~ B a lo largo de Γ2 sea cero no implica que ~ B sea nulo. De hecho, para el campo electrostático se encontraba que H Γ ~ E·d ~ l = 0 para toda curva Γ. Esto simplemente quería decir que el campo electrostático “derivaba” de un potencial. Dado que para el campo magnetostático, la circulación de éste no es siempre nula, ~ B no puede expresarse, en general, como el gradiente de un potencial escalar. FLML Física 2
- 86. 78 Tema 3. Magnetostática y, por tanto, IΓ vendrá dada por (d~ S = |d~ S|ẑ) IΓ = Z S(Γ) ~ J · d~ S = ( Jπρ2 si ρ ≤ R I si ρ R . Al introducir la anterior expresión en (3.32) se tiene que B2πρ = µ0 ( Jπρ2 , si ρ ≤ R I , si ρ R de donde se puede obtener finalmente que ~ B = µ0I 2πR2 ρτ̂ , si ρ ≤ R µ0I 2πρ τ̂ , si ρ R . (3.33) Para el caso particular de un hilo cuyo radio pueda considerarse despre- ciable, el campo magnético producido por este hilo recto infinito en cual- quier punto viene dado por ~ B(P) = µ0I 2πρ τ̂ . (3.34) Actividad 3.6: Calcule la fuerza magnética de ejerce una corriente I1 que circula por un hilo recto infinito sobre la corriente I2 que circula por otro hilo recto infinito paralelo al anterior. Deduzca si esta fuerza es atractiva o repulsiva según el sentido de las corrientes (paralelas o antiparalelas). 3.5.2. Campo magnético en un solenoide Un solenoide es básicamente un cable arrollado de manera compacta en forma de hélice o, equivalentemente, una superposición de espiras muy jun- tas. Un solenoide esbelto (más largo que ancho) se usa generalmente para crear campos magnéticos intensos y uniformes dado que el campo magné- tico en el interior de los solenoides tiene estas características. En este sen- tido, el solenoide juega el mismo papel respecto al campo magnético que el condensador plano para el campo eléctrico. Dado que una deducción teórica de la forma de las líneas del campo ~ B producido por un solenoide es relativamente complicado, usaremos argu- mentos experimentales para determinar la forma de estas líneas. Los expe- rimentos demuestran que las líneas de campo son aproximadamente líneas Física 2 FLML
- 87. 3.5. Ley de Ampère 79 rectas paralelas al eje del solenoide en el interior de éste cerrándose por el exterior de modo que la magnitud del campo magnético exterior se reduce a medida que el solenoide se hace más esbelto. Para el caso de un solenoi- de infinitamente largo, que puede servir como un modelo aproximado de un solenoide esbelto, el campo magnético será nulo en el exterior. Dado que las líneas de campo son paralelas al eje del solenoide y por simetría no pueden variar a lo largo de la dirección paralela al eje (desde cualquier punto de una misma línea el solenoide se ve invariante), la aplicación de la ley de Ampère a la curva ABCD mostrada en la figura nos dice que I ABCD ~ B · d ~ l = Z AB ~ B · d ~ l ya que ~ B ⊥ d ~ l en los tramos de curva BC y DA y ~ B = 0 a lo largo de CD. Por la forma de las líneas de~ B en el interior del solenoide y teniendo en cuenta que el sentido de ~ B está marcado por el sentido de recorrido de la intensidad, obtenemos que Z AB ~ B · d ~ l = |~ B|l siendo l la longitud del segmento AB. Por otra parte, la intensidad intercep- tada por el rectángulo interior a la curva ABCD será Z S(ABCD) ~ J · d~ S = NI esto es, intercepta N espiras cada una de ellas transportando una intensidad de corriente I. Teniendo en cuenta los resultados de las dos últimas expre- siones y la dirección del campo, podemos concluir según la ley de Ampère que ~ B(P) = ( µ0nIû , en el interior del solenoide 0 , en el exterior del solenoide (3.35) siendo n = N/l el número de espiras por unidad de longitud en el solenoide y û el vector unitario en la dirección del eje del solenoide. Notemos que el campo magnético es uniforme en el interior del solenoi- de, de forma similar al campo electrostático en el interior de un condensador de placas plano-paralelas. FLML Física 2
- 88. 80 Tema 3. Magnetostática Actividad 3.7: Explique cuándo la ley de Ampere es válida y cuándo es útil. ¿Cúal es significado preciso del término IΓ en la Ec. (3.30)? Si la integral de camino de ~ B a lo largo de un camino cerrado Γ es nula, ello significa entonces que el campo magnetostático es nulo también. ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta. Explique por qué la Ec. (3.34) no es válida para el caso de un hilo recto finito. Describa en qué situación el campo magnético producido por un solenoide no viene dado por la expresión (3.35). 3.6. Problemas propuestos 3.1: ¿Cuál es el radio de la órbita de un protón de energía 1 MeV en el seno de un campo magnético de 104 G? Sol. R = 14,4 cm. 3.2: Una partícula de carga q entra a velocidad v en una región donde existe un campo mag- Región de campo v B a q d nético uniforme (dirigido hacia el interior de la página). El campo desvía a la partícula una distancia d de su trayectoria original al atravesar la región del campo, como se muestra en la figura. Indicar si la carga es positiva o negativa y calcular el valor de su momentum de la partícula, p, en términos de a, d, B y q. Sol.: es positiva; p = qB(a2 + d2 )/(2d). 3.3: Un alambre conductor paralelo al eje y se mueve con una velocidad ~ v = 20 x̂ m/s en un campo magnético ~ B = 0,5 ẑ T. a) Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza magnética que actúa sobre un electrón en el conductor. b) Debido a esta fuerza magnética, los electro- nes se mueven a un extremo del conductor, dejando el otro extremo positivamente cargado hasta que el campo eléctrico debido a esta separación de carga ejerce una fuerza sobre los electrones que equilibra la fuerza magnética. Calcular la magnitud y dirección de este campo eléctrico en estado estacionario. c) Si el cable tiene 2 m de longitud, ¿cuál es la diferencia de potencial entre sus dos extremos debido a este campo eléctrico?. Sol.: a) ~ F = 1,6×10−18 N ŷ ; b) ~ E = 10 V/m ŷ ; c) V = 20 V.; 3.4: Una cinta de metal de 2 cm de ancho y 1 mm de espesor lleva soporta una corriente 1 mm 2 cm 20 A 2,0 T de 20 A. La cinta está situada en un campo magnético de 2 T normal a la misma. En estas condiciones se mide un valor del potencial Hall de 4,7 µV. Determinar la velocidad media de los electrones de conducción de la cinta así como la densidad de dichos electrones. Sol.: v = 1,07 × 10−4 m/s, n = 5,85 × 1028 m−3 . Física 2 FLML
- 89. 3.6. Problemas propuestos 81 3.5: (**) Un conductor cilíndrico de longitud infinita es macizo siendo b el radio de su sección transversal. Por dicho conductor circula una intensidad, I, uniformemente distribuida en su sección transversal. a) Determinar el campo ~ B en cualquier punto del espacio; b) repetir el apartado anterior suponiendo que ahora el cilindro posee una cavidad cilíndrica en su inte- rior de radio a (a b). Sol.: a) B(r) = µ0Ir 2πb2 si r b µ0I/(2πr) si r b ; b) B(r) = 0 si r a µ0I(r2 − a2 ) 2πr(b2 − a2) si a r b µ0I/(2πr) si r b . En ambos apartados, las líneas de campo son circunferencias con centro en el eje del con- ductor y contenidas en planos perpendiculares al mismo. a b b a) b) 3.6: (*) Una placa metálica de espesor despreciable y extensión infinita está situada en el plano z = 0. Por dicha placa circula un corriente eléctrica en sentido positivo del eje X. Si dicha intensidad está uniformemente distribuida a razón de~ J = Jx̂ (A/m) (J representa en este problema la corriente que atraviesa un segmento perpendicular al eje X y de longitud 1 metro), calcular el campo ~ B en todo punto del espacio (nota: utilizar el teorema de Ampère). Sol.: si z 0, ~ B = −µ0J/2ŷ; si z 0, ~ B = µ0J/2ŷ. 3.7: (*) Repetir el problema anterior si, además de la citada placa, se coloca en el plano z = −d una nueva placa idéntica a la anterior pero que cuya densidad de corriente tiene sentido contrario, esto es, J = −Jx̂ (A/m). Sol.: Entre ambas placas (esto es, 0 z −d), ~ B = µ0J ŷ ; para el resto de los puntos (esto es, z 0 o z −d ), el campo es nulo. 3.8: (*) Un conductor recto infinitamente largo y circulado por una intensidad I se dobla en R I I r la forma indicada en la figura. La porción circular tiene un radio R = 10 cm con su centro a distancia r de la parte recta. Determinar r de modo que el campo magnético en el centro de la porción circular sea nulo. Sol. r = 3,18 cm. 3.9: Dos conductores filiformes rectos y paralelos entre sí de longitud 90 cm están separados una distancia de 1 mm. Si ambos conductores son recorridos por una corriente de 5 A en sentidos opuestos, ¿cuál es la magnitud y el sentido de las fuerzas entre ambas corrientes?. Sol.: 4,5 mN, siendo una fuerza repulsiva. 3.10: Por un conductor rectilíneo de longitud infinita circula una corriente de 20 A, según se X Y Z A 20 A 5 cm 10 cm 2 cm 5 A B C D indica en la figura. Junto al conductor anterior se ha dispuesto una espira rectangular cuyos lados miden 5 cm y 10 cm. Por dicha espira circula una corriente de 5 A en el sentido indicado en la figura. a) Determinar la fuerza sobre cada lado de la espira rectangular así como la fuerza neta sobre la espira; b) calcular el flujo a través de la espira del campo ~ B creado por el conductor rectilíneo. Sol. a) lado AB: −2,5 × 10−5 N ŷ, lado BC: 10−4 N x̂, lado CD: 2,5 × 10−5 N ŷ, lado DA: −2,85 × 10−5 N x̂, ~ Fneta = 7,15 × 10−5 N x̂; b) Φ = 5,01 × 10−7 weber. 3.11: El cable coaxial de la figura transporta una intensidad I por el conductor interno y la I I misma intensidad pero en sentido contrario por el externo. Utilizando la ley de Ampère, cal- cular el campo magnético entre ambos conductores y en el exterior del cable. Sol.: Entre los conductores B = µ0I/(2πr), donde r es la distancia al eje del cable, y siendo las líneas de campo circunferencias con centro en el eje del cable. En el exterior el campo es nulo. 3.12: Un solenoide esbelto de n1 vueltas por unidad de longitud está circulado por una in- R1 I1 I2 R2 tensidad I1 y tiene una sección transversal circular de radio R1. En su interior, y coaxial con él, se ha colocado un segundo solenoide de n2 vueltas por unidad de longitud y de sección transversal circular de radio R2 (R2 R1). Si este segundo solenoide está circulado por una intensidad I2, determinar: a) el campo magnético en todos los puntos del espacio; b) la mag- nitud y sentido que debería tener I2 para que, fijada I1, el campo en el interior del segundo solenoide sea nulo. FLML Física 2
- 90. 82 Tema 3. Magnetostática Sol.: a) B(r) = µ0n1I1 ± µn2I2 si r R2 µ0n1I1 si R2 r R1 0 si r R1 donde r es la distancia al eje de los solenoides y el signo más/menos se toma si ambas intensidades circulan en igual/opuesto sentido; b) I2 = −n1I1/n2. 3.13: Dos conductores filiformes, rectilíneos y de longitud infinita son perpendiculares al plano XY y cortan a dicho plano en los puntos (0, a, 0) y (0, −a, 0). Por dichos conductores circulan las intensidades I1 e I2 respectivamente. Calcular el campo magnético generado por ambas corrientes en cualquier punto del espacio (nota: la solución del problema debe ser válida para cualquier sentido de las intensidades por los conductores). Sol.: ~ B(P) = µ0 2π (a − y)I1 x2 + (a − y)2 − (a + y)I2 x2 + (a + y)2 x̂ + xI1 x2 + (a − y)2 + xI2 x2 + (a + y)2] ŷ , donde las intensidades se consideran positivas si van en el sentido positivo del eje z y nega- tivas en el caso contrario. 3.14: Un alambre de longitud l se arrolla en una bobina circular de N espiras. Demostrar que cuando esta bobina transporta una corriente I, su momento magnético tiene por magnitud Il2 /(4πN). Física 2 FLML
- 91. Tema 4 Inducción electromagnética 4.1. Introducción En el Tema 3 se vio que las corrientes eléctricas son fuentes de campos magnéticos, en concreto sobre 1820 H.C. Oersted comprobó que un cable re- corrido por una intensidad de corriente continua produce un campo magne- tostático en su entorno (detectado por ejemplo por el efecto que tiene sobre una aguja imantada). Dado que las corrientes eléctricas producen campos magnéticos, cabe plantearse igualmente si se produce el fenómeno inverso, es decir, si campos magnéticos pueden producir corrientes eléctricas. En es- te sentido se llevó a cabo una intensa labor experimental que parecía negar esa posibilidad. No obstante, los experimentos elaborados por M. Faraday (1791-1867) alrededor de 1830 permitieron establecer que la generación de corriente eléctrica en un circuito estaba relacionada con la variación en el tiempo del flujo magnético que atravesaba dicho circuito. En consecuencia, campos magnetostáticos nunca producirían corrientes eléctricas en circui- tos fijos. Conviene recordar (según se discutió en el Tema 2) que debido al efecto Joule existe una disipación de energía en las resistencias presentes en todos los circuitos reales, lo que implica que para mantener una corriente eléctrica en el circuito es necesario un aporte continuo de energía. La pérdida de ener- gía de los portadores de carga móviles en los choques con los átomos del material resistivo debe ser compensada por una “fuerza externa impulsora” sobre estos mismos portadores. Dado que el impulso sobre los portadores móviles puede estar localizado en una parte del circuito o bien distribuido a lo largo de éste, la magnitud relevante es la integral de esta fuerza a lo largo de todo el circuito. De esta manera, se definió la fuerza electromotriz (fem), E, como la fuerza tangencial por unidad de carga en el cable integrada sobre la longitud del circuito completo, esto es, ξ = I ~ f · d ~ l . (4.1) En consecuencia, la presencia de una intensidad de corriente eléctrica en un circuito estará relacionada con la existencia de una fuente de fem que 83
- 92. 84 Tema 4. Inducción electromagnética la mantenga. El origen de la fem puede ser diverso, de origen químico en baterías y pilas, de origen mecánico en el generador de Van der Graff, de or- gien óptico en las células fotovoltaícas, etc. De forma general podemos decir que el efecto de un generador de fem es transformar algún tipo de energía en energía eléctrica. En el caso de los experimentos realizados por Faraday, el mecanismo de generación de fem está directamente involucrado con las variaciones del flujo del campo magnético. Esta fem inducida por el campo magnético tendrá unas consecuencias importantísimas, tanto conceptuales como tecnológicas, estando en la base de la generación de energía eléctrica en las centrales eléctricas, en el funcionamiento de los circuitos de corriente alterna y en la generación de las ondas electromagnéticas. Actividad 4.1: ¿Por qué es necesario tener un agente externo que suministre energía al circuito para mantener una corriente eléctrica? ¿Podemos tener una resistencia R en un hilo conductor perfecto? Justifique su respuesta. Deduzca las unidades en el S.I. de la fuerza electromotriz a partir de su definición en (4.1). ¿Puede entender las razones por las que la fem asociada a las variaciones temporales del flujo magnético se le conoce como fem inducida? 4.2. Ley de Faraday 4.2.1. Fuerza electromotriz de movimiento Una forma posible de generar una fem en un circuito sería hacer uso de la aparición de una fuerza magnética sobre los portadores de carga móviles en una región donde exista un campo ~ B. Por ejemplo, el movimiento de un conductor en el seno de un campo magnético dará lugar a lo que se conoce como fem de movimiento. En particular, considérese la situación mostrada en la figura adjunta donde la región sombreada indica la presencia de un campo magnético ~ B uniforme (producido, por ejemplo, por un imán) dirigi- do hacia el papel y un circuito moviéndose con velocidad ~ v = |~ v|x̂ hacia la derecha. En esta situación, las cargas móviles del segmento ab experimen- tarán la siguiente fuerza de Lorentz por unidad de carga: ~ fmag = ~ Fmag q = ~ v × ~ B , (4.2) cuyo efecto global es justamente impulsar las cargas desde a hasta b. Este impulso dará lugar a una corriente en el circuito (en el mismo sentido que Física 2 FLML
- 93. 4.2. Ley de Faraday 85 esta fuerza) debida a la aparición de una fem de valor ξ = I ~ v × ~ B · d ~ l , (4.3) que puede reducirse en el presente caso a ξ = Z b a ~ v × ~ B · d ~ l = Z b a |~ v||~ B|dl = |~ v||~ B| Z b a dl = |~ v||~ B|l , (4.4) donde l es la longitud del segmento ab, siendo nulas las contribuciones a la fem de los segmentos paralelos al desplazamiento dado que la fuerza impulsora es aquí perpendicular al hilo (~ fmag ⊥ d ~ l). La intensidad, I, que circula por el circuito de resistencia R será por tanto I = ξ R = |~ v||~ B|l R . (4.5) Aunque la fem de movimiento ha podido deducirse a partir de la fuerza de Lorentz sobre los portadores de carga móviles, es interesante notar que el valor de la fem de movimiento también se habría podido obtener como me- nos la variación temporal del flujo del campo magnético, Φm, que atraviesa el área del circuito; esto es, mediante la expresión ξ = − dΦm dt . (4.6) Para comprobar este hecho, tengamos en cuenta que el flujo magnético se obtiene como Φm = Z S ~ B · d~ S ; (4.7) recuérdese que d~ S = dSn̂, donde dS representa un diferencial de superficie y n̂ es el vector unitario normal a la superficie. Dado que en el presente caso tenemos que ~ B es paralelo a d~ S: ~ B · d~ S = |~ B|dS, podremos escribir que Φm = Z S |~ B|dS = |~ B| Z S dS = |~ B|S = |~ B|ls , (4.8) siendo ls el área del circuito situada en la región donde el campo magnético no es nulo. La variaciones temporales de flujo magnético vendrán entonces dadas por dΦm dt = d dt |~ B|ls = −|~ B|l|~ v| , ya que |~ v| = −ds/dt (esto es, el módulo de la velocidad es positivo cuando s decrece), lo que da lugar a la misma fem que la obtenida en (4.3) cuando se integra directamente la fuerza de Lorentz por unidad de carga. FLML Física 2
- 94. 86 Tema 4. Inducción electromagnética Actividad 4.2: ¿Qué tipo de transformación de energía ha tenido lugar en la si- tuación anteriormente descrita? ¿Habría fuerza electromotriz en el caso anterior si el circuito no estuviese cerrado? Justifique su respuesta. Trate de obtener por sí mismo los resultados mostrados en (4.4) y (4.8). Se recomienda encarecidamente que se esfuerce en enten- der los pasos que haya llevado a cabo a tal efecto. Si el resistor en el caso anterior analizado fuese una bombilla, ¿se comportaría esta bombilla de forma diferente si la hubiésemos alimentado con una batería? ¿Puede encontrar alguna conexión entre los dos procedimientos mostrados para obtener la misma fem? (*) Balance de potencia Es interesante notar que si el campo magnético ha dado lugar a una fem que genera una corriente, la velocidad de los portadores de carga móviles en el segmento ab será la composición de un movimiento hacia la derecha más otro hacia arriba, esto es, la velocidad total, ~ w, de los portadores será ~ w = vx̂ + uŷ , (4.9) por lo que la fuerza por unidad de carga que afecta a una de las cargas mó- viles vendrá dada por ~ fmag = −|~ u||~ B|x̂ + |~ v||~ B|ŷ . (4.10) Evidentemente sólo la parte de la fuerza dirigida según y es responsable de la aparición de la fem de movimiento (causando una corriente en la misma dirección que esta fuerza). La componente x de ~ fmag da cuenta de la fuerza que ejerce el campo magnético sobre la corriente. Dado que esta fuerza por unidad de carga es ~ fx = −|~ u||~ B|x̂ , (4.11) la fuerza total sobre el conductor ab será el producto de (4.11) por la carga total de este conductor, esto es, ~ Fx = −nqAl|~ u||~ B|x̂ , (4.12) siendo n el número de electrones por unidad de volumen y A el área trans- versal del conductor. Puesto que la intensidad de la corriente que recorre el circuito es I = nqA|~ u| , Física 2 FLML
- 95. 4.2. Ley de Faraday 87 ~ Fx puede expresarse como ~ Fx = −Il|~ B|x̂ , (4.13) expresión que coincidiría con la aplicación directa al presente caso de la expresión (3.20): ~ F = I ~ l × ~ B. La existencia de esta fuerza sobre el conductor ab implica que para que éste se mueva a velocidad constante, ~ v = vx̂, un agente externo debe com- pensar dicha fuerza ejerciendo una fuerza, ~ Fext, de igual módulo y sentido opuesto, esto es, ~ Fext = I|~ B|lx̂ . (4.14) La potencia, P, suministrada por el agente externo al circuito vendrá dada por P = ~ Fext ·~ v = I|~ B|l|~ v| , (4.15) que puede reescribirse, teniendo en cuenta la expresión (4.5), como P = E2 R = I2 R . (4.16) Esta potencia es precisamente el valor de la potencia Joule disipada en la resistencia, por lo que podemos concluir que la potencia suministrada por el agente externo que mueve el circuito es justamente aquélla disipada en la resistencia por efecto Joule. 4.2.2. Fuerza electromotriz inducida La discusión de la situación analizada en la sección 4.2.1 ha mostrado que la aparición de una fuerza electromotriz en el circuito móvil podía atribuirse a la existencia de una fuerza de Lorentz. Ahora bien, si consideramos que el circuito permanece quieto y es el agente que crea el campo magnético (por ejemplo, un imán) el que se mueve hacia la izquierda, es razonable suponer que también aparecerá una fem de igual magnitud y sentido que en el caso anterior puesto que lo que debe importar, según el principio de relatividad, es el movimiento relativo entre el campo ~ B y el circuito y no cuál de ellos se mueve. Los experimentos muestran que efectivamente la suposición anterior es cierta. No obstante, si analizamos el caso del circuito fijo y el imán movién- dose según nuestra teoría, dado que las cargas móviles en el circuito estarán ahora en reposo, no existirá fuerza de Lorentz que impulse a las cargas. Por tanto, si no hay fuerza de Lorentz actuando sobre las cargas, ¿de dónde pro- viene la fem inducida en el circuito?. Podemos responder que la causa que crea ahora la fem debe ser la aparición de un campo eléctrico, que eviden- temente no puede ser un campo electrostático (ver discusión en el Apartado 2.4) sino un nuevo tipo de campo eléctrico que debe estar relacionado con las variaciones temporales del campo magnético. El punto en común de los dos fenómenos equivalentes descritos ante- riormente se encuentra en que en ambos casos existen variaciones tem- porales del flujo magnético que atraviesa el circuito. Este hecho no es una coincidencia sino que M. Faraday encontró experimentalmente (∼ 1830) que FLML Física 2
- 96. 88 Tema 4. Inducción electromagnética La fuerza electromotriz ξ inducida en un circuito viene da- da por la variación temporal del flujo magnético, Φ, que atraviesa dicho circuito. En forma matemática, esta ley puede expresarse como ξ = − dΦ dt , (4.17) donde el signo menos está relacionado con el sentido de la fem inducida. Ley de Faraday Teniendo en cuenta que el origen de la fem es la aparición de un campo~ E no electrostático, la ley de Faraday puede también expresarse en forma integral como I Γ ~ E · d ~ l = − d dt Z S(Γ) ~ B · d~ S , (4.18) donde la curva Γ es precisamente el recorrido del circuito. El signo menos de la ley de Faraday queda ahora completamente determinado ya que el sentido de recorrido de la integral de camino a la largo de Γ está relacionado con el sentido de d~ S según la regla de la mano derecha. La expresión (4.18) pone claramente de manifiesto que la fem inducida está, en general, distribuida a lo largo de todo el circuito.1 Una manera muy útil y sencilla de determinar a veces el sentido de la fem y de la intensidad inducida lo proporciona la ley de Lenz. Esta ley establece que La fem y la corriente inducida poseen una dirección y sentido tal que tienden a oponerse a la variación que las produce. La ley de Lenz no hace referencia a la causa (o causas) concreta que provoca la variación y que da lugar a la aparición de la fem inducida sino simplemente sugiere que la reacción del sistema genera una fem y corrien- te inducidas que siempre actuará en contra de la variación que las provoca. Este hecho parece congruente pues de lo contrario el circuito favorecería la causa que provoca la corriente inducida, intensificando su efecto indefini- damente. A efectos prácticos, la deducción del sentido de la fem y corriente in- ducidas puede hacerse considerando el carácter de la variación (creciente o decreciente) del flujo magnético con respecto al tiempo (este carácter lo da el signo de su derivada temporal). Si, por ejemplo, el flujo es creciente en cierto instante de tiempo, entonces la fem y corriente inducidas deben tener un sentido tal que originen un campo magnético que contrarreste la variación (esto es, el crecimiento) del flujo; lo contrario debe ocurrir si el flujo es decreciente. 1 Al contrario de lo que ocurriría, por ejemplo, en una pila, donde la fuerza electromotriz (y por tanto el campo electromotor) estaba confinada exclusivamente a la región interior de la batería. Física 2 FLML
- 97. 4.2. Ley de Faraday 89 Veamos el efecto de la ley de Lenz en el circuito móvil mostrado en la B I v Fmag figura. En este ejemplo, la barra móvil se desplaza hacia la derecha con una velocidad ~ v debido a la acción de un agente externo. Según se ha discutido en el apartado 4.2.1 y de acuerdo a ley de Lenz, el sentido de la corriente in- ducida en el circuito es tal que la fuerza magnética que actúa sobre la barra móvil, ~ Fmag = Il × ~ B, se oponga al movimiento impuesto externamente. Si la corriente inducida fuese en sentido opuesto al mostrado en la figura, la fuerza magnética sobre la barra móvil favorecería el movimiento hacia la de- recha de la barra de modo que ésta se aceleraría continuamente, causando un aumento incesante de energía cinética que obviamente no tiene sentido. Hemos encontrado, por tanto, que siempre que exista una variación de flujo magnético en un circuito aparecerá una fem inducida en dicho circuito. En consecuencia, algunas de las causas que provocarían la aparición de una fem inducida son: Movimiento de un circuito o deformación de su área en una región donde existe un campo magnético constante en el tiempo. Movimiento del agente que produce el campo magnético (por ejemplo un imán) de modo que un circuito fijo intercepte un flujo magnético variable en el tiempo. Por ejemplo, el movimiento de aproximación y alejamiento de un imán daría lugar a una fem inducida en el circuito. Variación de la corriente que pasa por un circuito primario de modo que V I t ( ) el flujo interceptado por un circuito secundario próximo varíe en el tiem- po. Combinación simultánea de algunas de las causas anteriores. En el caso de una corriente variable en un circuito primario que indu- ce una corriente en un circuito secundario, es importante observar que esta corriente inducida se ha generado sin que exista contacto eléctrico entre los circuitos. Desde un punto de vista energético, la energía asociada a la co- rriente inducida en el circuito secundario debe ser obviamente suministra- da por la fuente de fem del primario. Dado que no ha habido contacto físico entre ambos circuitos, la única explicación de la aparición de una energía en el secundario es que ésta haya sido transmitida desde el primario hasta el secundario por el campo electromagnético a través del espacio. Esto indica que el campo es un agente capaz de transmitir energía y por tanto debe ser considerado como un ente con realidad física propia. FLML Física 2
- 98. 90 Tema 4. Inducción electromagnética Actividad 4.3: ¿Puede deducirse la ley de Faraday a partir de la fuerza de Lorentz? Justifique su respuesta. Un campo magnetostático no puede generar una corriente indu- cidad. ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta. A la vista de (4.18), ¿por qué el campo eléctrico producido por un campo magnético no puede ser de naturaleza electrostática? Dé un ejemplo donde la ley de Lenz explique la dirección de la corriente inducida. Encuentre ejemplos adicionales a los dados donde la ley de Fara- day explique la aparición de una corriente inducida en un circuito. ¿Tiene la ley de Faraday algo que ver con el funcionamiento de los cargadores “wireless” para los teléfonos móviles? ¿Cómo es posible que la energía (o bien datos) pueda ser transfe- rida entre dos dispositivos distantes mediante sistemas inalám- bricos si no hay nada material que los una? Ejemplo 4.1 Obtener el sentido y el valor de la intensidad inducida en el dispositi- vo mostrado en la figura. Datos. Barra móvil: σ = 108 (Ωm)−1 , b = 10 cm, r = 2 mm, v = 5 m/s; i = 200 mA, a = 20cm. En la situación mostrada en la figura, dado que la barra vertical se mueve, el flujo magnético que atraviesa el circuito (debido al campo magnético del hilo recto infinito) varía en el tiempo, por lo que se inducirá una ξ en el circuito. Dado que el circuito muestra una resistencia, R (debida a la conductividad finita de la barra móvil), la intensidad que circula por él vendrá dada por I = ξ R . (4.19) Según los datos que nos da el problema, la resistencia de la barra móvil será R = b σS = 0,1 108 · π(2 × 10−3)2 = 10−3 4π Ω . Antes de calcular la ξ inducida notemos que, en el plano z = 0 donde se sitúa el circuito móvil, el valor del campo magnético creado por el hilo recto e infinito viene dado por ~ B(x) = µ0I 2πx ẑ . (4.20) Puesto que al moverse la barra móvil hacia la derecha, el flujo magnético del circuito crece, aplicando la ley de Lenz, tenemos que la reacción del circuito generando una corriente inducida debe ser la de contrarrestar la acción que la produce. En con- secuencia, la corriente inducida, I, en el circuito debe ser tal que genere un campo magnético, ~ Bind que contrarreste el campo externo. Esta corriente debe ir dirigida, Física 2 FLML
- 99. 4.2. Ley de Faraday 91 por tanto, según el sentido mostrado en la figura de modo que el sentido de~ Bind sea el opuesto al de (4.20). Dado que hemos determinado el sentido de la corriente, nos preocuparemos a continuación únicamente por el módulo de la ξ y de la intensidad inducidas. La ξ inducida puede calcularse en este caso por dos procedimientos: Fuerza de Lorentz. Dado que las cargas de la barra vertical se mueven en una región donde existe un campo magnético, encontraremos una fuerza magnética por unidad de carga, ~ fm = ~ v × ~ B, sobre las cargas móviles. Al aplicar la expresión (4.3), esta fuerza magnética provoca la aparición de una ξ en el circuito dada por ξ = Z 2 1 ~ v × ~ B · d ~ l = Z 2 1 |~ v||~ B|dy = |~ v||~ B|b . Teniendo en cuenta la expresión (4.20) del campo magnético, y admitiendo que la posición de la barra móvil viene dada por x(t) = a + vt , (4.21) tenemos que la ξ puede escribirse como ξ(t) = µ0Ivb 2π(a + vt) . (4.22) Ley de Faraday. Para aplicar la ley de Faraday dada por la expresión (4.17) debemos calcular pri- mero el flujo magnético Φ. Dado que el diferencial de superficie puede escribirse como d~ S = dxdy ẑ, el diferencial de flujo magnético, dΦ, a través la superficie del circuito será dΦ = ~ B · d~ S = |~ B|dS = µ0I 2πx dxdy . Para calcular el flujo hay que integrar la expresión anterior en la superficie total del circuito, de modo que Φ = Z b 0 dy Z x a dx µ0I 2πx = Z b 0 dy µ0I 2π ln x a = µ0I 2π ln x a Z b 0 dy = µ0Ib 2π ln x a . (4.23) Como la ξ es la derivada temporal del flujo magnético, debemos derivar con respecto al tiempo (4.23). Si hacemos esto tenemos que dΦ dt = µ0Ib 2π d dt ln x a = µ0Ib 2π dx/dt x(t) = µ0Ib 2π v x(t) . Para aplicar la ley de Lenz observamos que el signo de dΦ/dt en la expresión anterior es siempre positivo, por lo que la corriente inducida debe generar un campo magnético que se oponga a este crecimiento. Este campo debe tener di- rección −ẑ y, consecuentemente, debe estar generado por una corriente dirigida en sentido horario (tal como se dedujo anteriormente). Teniendo en cuenta la forma de x(t) el módulo de la ξ podrá escribirse como ξ(t) = µ0Ib 2π v a + vt , (4.24) expresión que coincide con la obtenida previamente en (4.22). FLML Física 2
- 100. 92 Tema 4. Inducción electromagnética Finalmente el valor de la intensidad inducida será I(t) = ξ(t) σS b = µ0IσS 2π v a + vt . (4.25) Tras un minuto de movimiento, la intensidad toma el siguiente valor: I(60) = 4π × 10−7 · 0,2 · 108 · 4π2 × 10−6 2π 5 0,2 + 5 · 60 ≈ 2,6µA . 4.3. Inductancia 4.3.1. Inductancia mutua Si calculamos el flujo magnético, Φ21, que atraviesa la superficie del cir- cuito 2 (véase la figura adjunta), debido al campo magnético, ~ B1, generado por la corriente, I1, que circula a través del circuito 1, encontraríamos que V I1 B1 1 2 Φ21 ∝ I1 , esto es, el flujo magnético es proporcional a la intensidad. Este hecho puede explicarse fácilmente si se considera que, según la ley de Biot y Savart, el campo magnético ~ B generado por una corriente I en el punto P viene dado por ~ B(P) = µ0 4π I espira Id ~ l ×~ r r3 , (4.26) lo que implica que ~ B1 puede escribirse como ~ B1(P) = I1 ~ β1(P) , (4.27) donde ~ β1(P) es una función que depende de la posición y de la forma geo- métrica del circuito 1. El flujo magnético Φ21 se obtiene como Φ21 = Z S2 ~ B1 · d~ S , donde al sustituir la forma de ~ B1 dada por (4.27), se tiene que Φ21 = I1 Z S2 ~ β1 · d~ S . (4.28) La expresión anterior nos confirma que existe una relación de proporciona- lidad entre el flujo magnético y la intensidad. Al factor de proporcionalidad entre el flujo magnético en un circuito debido a la intensidad que recorre otro se le denomina inductancia mutua y se denota como M. En nuestro ca- so tendríamos que Φ21 = MI1 . (4.29) Física 2 FLML
- 101. 4.3. Inductancia 93 Las unidades de inductancia en el SI se denominan henrios (H), de modo que Unidad de inductancia 1 henrio (H) 1 H = 1 T m2 A . (4.30) Usando razonamientos que no serán discutidos aquí encontraríamos que la relación entre el flujo Φ12 que atraviesa el circuito 1 debido a un campo ~ B2 producido por una intensidad I2 que recorriese el circuito 2 vendría dada por la misma razón de proporcionalidad, esto es, Φ12 = MI2 . (4.31) Ejemplo 4.2 Flujo magnético que atraviesa una espira rectangular debido al cam- po de un hilo recto e infinito recorrido por una intensidad I. En el plano z = 0 donde se sitúa la espira rectangular, el valor del campo mag- I a c dS b y z x nético creado por el hilo recto e infinito viene dado por ~ B(x) = µ0I 2πx ẑ . En el presente caso, el diferencial de superficie puede expresarse como d~ S = dxdy ẑ, por lo que el diferencial de flujo magnético, dΦ, a través de esta superficie es dΦ = ~ B · d~ S = |~ B|dS = µ0I 2πx dxdy . El cálculo del flujo total requiere la integración de la expresión anterior en la su- perficie de la espira rectangular, de modo que Φ = Z b 0 dy Z a+c a dx µ0I 2πx = Z b 0 dy µ0I 2π ln a + c a = µ0I 2π ln a + c a Z b 0 dy = µ0Ib 2π ln a + c a . La expresión anterior muestra que la inductancia mutua en el presente caso es M = Φ I = µ0b 2π ln a + c a . Actividad 4.4: ¿Puede dar alguna razón que justifique la proporcionalidad que existe entre el flujo magnético a través de una espira dada y la corriente que fluye en otra espira de corriente adyacente? [Con- sidere que el campo magnético producido por una espira de co- rriente es proporcional a la corriente que fluye por dicha espira.] ¿Depende la inductancia mutua de la cantidad de corriente que fluye? Justifique su respuesta. A partir de la definición de henrio (H) dada en (4.30), obtenga las unidades de µ0 en función de H. FLML Física 2
- 102. 94 Tema 4. Inducción electromagnética 4.3.2. Autoinducción Si consideramos ahora el caso en el que tenemos un solo circuito por el que circula una intensidad i, un cálculo similar al del apartado anterior nos muestra que el flujo magnético, Φ, que atraviesa este circuito es igualmente proporcional a la intensidad que lo recorre: Φ ∝ i . Cuando el flujo magnético que atraviesa un circuito se debe únicamente a la corriente que circula por el propio circuito, este flujo se conoce como au- toflujo y el parámetro de proporcionalidad entre el autoflujo y la intensidad se conoce como autoinducción y se denota como L (las unidades de esta inductancia son obviamente henrios). En consecuencia podemos escribir Φ = Li . (4.32) Ejemplo 4.3 Cálculo de la autoinducción de un solenoide esbelto de N = 100 vuel- tas, longitud l = 1cm y r = 1mm. Para un solenoide esbelto de N vueltas y longitud l, el campo magnético en el B dS i interior del solenoide puede escribirse según (3.35) como ~ B = µ0n i û , donde n = N/l es la densidad lineal de espiras y û es el vector unitario según el eje del solenoide. Dado que el diferencial de superficie de las espiras viene dado por d~ S = dSû, el flujo que atraviesa las N espiras del solenoide será Φ = N Z S ~ B · d~ S = N Z S |~ B|dS = N|~ B| Z S dS = µ0 N2 l iS , de donde se deduce que la autoinducción L es L = µ0 N2 l S = µ0n2 lS = µ0n2 V (4.33) siendo V el volumen del solenoide. Sustituyendo ahora los datos del problema L = 4π×10−7 104 10−2 π×10−6 ≈ 3,95 µH . Actividad 4.5: ¿Depende la inductancia de una espira de la corriente que fluye por ella? Justifique su respuesta.¿Podemos hablar de la inductan- cia de una espira en el caso de que no haya corriente que fluya por ella? Cuando un solenoide se introduce en un circuito, explique por qué decimos que la inductancia del circuito es justamente la del sole- noide introducido. ¿Es válida la expresión (4.45) para solenoides con partes móviles? Justifique su respuesta. Física 2 FLML
- 103. 4.3. Inductancia 95 4.3.3. Caso general En el caso más general mostrado en la figura adjunta en el que tengamos que circule corriente tanto por el circuito 1 como por el circuito 2, el flujo I i B1 B2 1 2 total, Φtot, que atraviesa la superficie del circuito 2 puede expresarse como Φtot = Φ21 + Φ22 = Φext + Φaut , (4.34) donde Φext es el flujo que atraviesa el circuito 2 debido a los agentes ex- ternos, en este caso, el campo generado por la intensidad, I, que recorre el circuito 1 y Φaut es el autoflujo del circuito 2. Dadas las relaciones de propor- cionalidad entre los flujos y las intensidades vistas en las expresiones (4.29) y (4.32), el flujo total puede escribirse como Φtot = MI + Li . (4.35) Según la ley de Faraday y teniendo en cuenta (4.34), la fem inducida en el circuito 2 vendrá dada por ξ = − d dt (Φext + Φaut) . (4.36) En el caso frecuente de que la autoinducción y la inducción mutua no varíen en el tiempo (esto es, si la forma de los circuitos no cambia en el tiempo), ξ puede escribirse como ξ = −M dI dt − L di dt . (4.37) El cálculo de la fem inducida en el circuito 2 según (4.37) no es trivial dado que esta fem depende de las variaciones temporales de i, pero esta misma intensidad depende a su vez del valor de la fem inducida. Afortuna- damente, existen muchas situaciones prácticas en las que las variaciones temporales del autoflujo son mucho menores que las correspondientes al flujo externo, por lo que la fem inducida en el circuito puede obtenerse muy aproximadamente como ξ = − dΦext dt . (4.38) No obstante, existen otras situaciones donde el autoflujo no puede despre- ciarse. Un caso particularmente importante se encuentra cuando cuando las Valor de la ξ si autoflujo es despreciable variaciones del flujo externo son nulas (por ejemplo cuando I = 0). En este caso la fem inducida debe calcularse como Valor de la ξ si flujo externo nulo ξ = − dΦaut dt . (4.39) FLML Física 2
- 104. 96 Tema 4. Inducción electromagnética Actividad 4.6: ¿Cuáles son las razones que nos hacen separar el flujo total a tra- vés de un circuito en flujo externo y autoflujo? Expliqué cuándo podemos usar la expresión (4.38) y por qué. Re- pita la explicación para la expresión (4.39). 4.4. Transitorios en circuitos RL Una situación práctica donde el único flujo que atraviesa el circuito es el autoflujo se muestra en la figura adjunta, donde tenemos una batería de fem ξB que mediante un conmutador alimenta una bombilla (o cualquier otro dispositivo). Desde un punto de vista circuital, la bombilla puede con- siderarse como una resistencia de valor R. Aplicando la ley de Kirchhoff de las tensiones a la configuración anterior tendremos que la suma de las fem existentes en el circuito debe ser igual a la caída de tensión en la resistencia. Dado que existen dos fuentes de fem, una debida a la batería, ξB, y otra fem inducida, ξind, debida a las variaciones temporales del autoflujo, la ley de Kirchhoff dice que ξB + ξind = Ri . (4.40) Dado que en el presente caso podemos escribir que ξind = −L di dt , (4.41) la ecuación (4.40) puede reescribirse como ξB − L di dt = Ri . (4.42) Para obtener el valor de la intensidad i(t) que circula por el circuito debemos resolver la ecuación diferencial anterior. Según esta ecuación, la fem induci- da puede considerarse que actúa como una fuerza “contralectromotriz”, en el sentido de que actúa contra la fem de la batería intentando contrarres- tar (según determinaba la ley de Lenz) los cambios de flujo magnético en el circuito. El efecto de esta fuerza contrelectromotriz se notará en que la co- rriente que circula por el circuito no cambiará bruscamente desde 0 hasta un valor de ξB/R tal como ocurriría si se despreciase el efecto de la inducción electromagnética. Aunque la expresión (4.42) proporciona una buena interpretación física de los fenómenos que suceden en el circuito, es usual reescribir esta ecua- ción como ξB = Ri + L di dt (4.43) = VR + VL . (4.44) Física 2 FLML
- 105. 4.4. Transitorios en circuitos RL 97 Escrito en esta forma, la Teoría de Circuitos interpreta que la fem generada por la fuente de tensión (la batería) es igual a la caída de tensión en la re- sistencia, VR = Ri, más una caída de tensión, VL, debida a la autoinducción L. El efecto distribuido de la fem inducida en el circuito puede modelarse, i t ( ) L VL por tanto, como una caída de potencial en un elemento de circuito, denomi- nado genéricamente inductor, caracterizado por la inductancia L (ver figura adjunta): VL = L di dt . (4.45) De este modo, los efectos de inducción electromagnética relacionados con el campo magnético variable se supone que están localizados en los induc- tores. Estos inductores son comúnmente elementos puestos a propósito en los circuitos para aumentar los efectos de inducción electromagnética, por ejemplo, solenoides o bobinas. Dado el alto valor del campo magnético en el interior de los solenoides y la posibilidad de miniaturizarlos, estos ele- mentos son parte fundamental de los circuitos eléctricos y electrónicos. En este sentido, consideraremos a la autoinducción o bobina como otro elemento del circuito donde se produce una caída de tensión al igual que en la resistencia; aunque obviamente la dependencia de V con la intensidad que recorre el elementos es distinto en la resistencia y en la bobina. Desde un punto de vista circuital, el circuito que debemos resolver se muestra en la figura adjunta, donde la intensidad i(t) que circula por este circuito será la solución de (4.43) o, equivalentemente, di dt + R L i = ξB L . (4.46) La solución de esta ecuación diferencial viene dada por i(t) = I0e−R L t + ξB R , donde la constante I0 se determina en función del valor de i(t) en t = 0. En el presente caso dado que i(0) = 0 (esto es, la intensidad era nula antes de conmutar), se encuentra que I0 = −ξB/R y por tanto i(t) = ξB R 1 − e−R L t . (4.47) La forma de i(t) claramente muestra que esta intensidad no cambia brus- camente sino que el valor final ξB/R se alcanza aproximadamente tras un tiempo ts ≈ 4L/R. Si L tiene un valor alto (esto es, si los efectos de induc- ción electromagnética son importantes) el valor final de la corriente tarda más tiempo en alcanzarse. FLML Física 2
- 106. 98 Tema 4. Inducción electromagnética Si ahora consideramos la situación opuesta a la anterior, haciendo que el conmutador abra el circuito en t = 0, entonces i(0) = ξB/R y dado que el segundo miembro de la ecuación (4.46) desaparece, la solución para i(t) en este caso será i(t) = i(0) e−R L t (4.48) = ξB R e−R L t . (4.49) Podemos observar que, en este caso, la corriente no desciende a cero brus- camente sino que tardaría aproximadamente un tiempo ts en alcanzar este valor. Actividad 4.7: Explique las principales diferencias que podríamos observar en el montaje con la batería y la bombilla si hubiésemos despreciado el efecto del flujo magnético a través del circuito. ¿Por qué se ha preferido considerar la fem inducida en el circuito como una caída de potencial en una bobina? Halle i(t) en el proceso transitorio que nos llevó a (4.47) si en la bobina hubiese circulado una corriente inicial que fuera la mitad de su valor final. Halle i(t) en el proceso transitorio si tenemos dos bobinas en se- rie/paralelo de inductancias L1 y L2. 4.5. Energía magnética En el apartado anterior se ha visto que la evolución de un circuito serie RL tal como el mostrado en la figura adjunta venía regida por la ecuación ξ = Ri + L di dt . (4.50) Multiplicando ambos términos de esta ecuación por la intensidad, i, obtene- mos ξi = Ri2 + Li di dt (4.51) donde el primer miembro de (4.51) nos da, según (2.32), la potencia suminis- trada por el generador de fem y el segundo miembro debe ser, por tanto, la potencia “entregada” al circuito. Dado que el primer término del segun- do miembro, Ri2 , es la potencia disipada en la resistencia por efecto Joule –ver (2.25)–, podemos concluir que el segundo término, Lidi/dt, estará aso- ciado con la autoinducción. Dado que el fenómeno de autoinducción lo que hay es una “transferencia” de energía más que una “disipación en forma de Física 2 FLML
- 107. 4.5. Energía magnética 99 calor”, este segundo término puede entonces interpretarse como la energía por unidad de tiempo que se almacena en el campo magnético del induc- tor (recuérdese que en el circuito se ha supuesto que los efectos del campo magnético están localizados en este elemento). Si designamos por UB a la energía magnética almacenada en el inductor, entonces la razón con la que se almacena esta energía en el tiempo puede escribirse como dUB dt = Li di dt = d dt 1 2 Li2 . (4.52) En consecuencia, la energía magnética almacenada en el inductor vendrá dada por Energía almacenada en el inductor UB = 1 2 Li2 . (4.53) Ejemplo 4.4 Calcular el calor disipado en la resistencia R2 cuando el conmutador pasa de la posición 1 a la 2. Supuesto que en t = 0 se realiza el cambio del conmutador de la posición 1 a la 2, podemos afirmar que el valor de la intensidad en este instante era I0 = ξ R1 + R2 , supuesto que el conmutador estuvo en la posición 1 por un tiempo suficiente en el que se alcanzó el estado estacionario —ver expresión (4.47). Para t 0, la intensidad que recorre el circuito R2L será, según (4.48), i(t) = I0e− R2 L t . Dado que el calor disipado en la resistencia R2 por unidad de tiempo viene dado por PR2 = dW dt = i2 R2 , el calor total disipado en esta resistencia, W, puede calcularse como W = Z ∞ 0 PR2 dt = Z ∞ 0 i2 R2dt = Z ∞ 0 I2 0e− 2R2 L t R2dt = I2 0R2 Z ∞ 0 e− 2R2 L t dt . Si en la integral anterior se introduce el siguiente cambio de variable t = (L/2R2)α se tiene que W = I2 0R2 L 2R2 Z ∞ 0 e−α dα = 1 2 LI2 0 . Hemos obtenido entonces que el calor disipado en la resistencia R2 es justamente la energía magnética que estaba almacenada en el inductor. La energía almacenada en el inductor podemos decir que está “conteni- da” en el campo magnético presente en este elemento y, consecuentemente, UB puede identificarse como la energía del campo magnético. Para hacer este FLML Física 2
- 108. 100 Tema 4. Inducción electromagnética hecho más evidente, consideremos que el inductor es un solenoide esbel- to (cuya autoinducción fue obtenida en (4.33) en el Ejemplo 4.3), por lo que podemos escribir que UB = 1 2 µ0n2 Vi2 = 1 2µ0 µ2 0n2 i2 V . (4.54) Dado que el módulo del campo magnético en el interior de un solenoide se encontró que era |~ B| = µ0ni, la expresión anterior puede reescribirse como UB = |~ B|2 2µ0 V (4.55) siendo V = Sl el volumen del solenoide. Finalmente podemos deducir que en este inductor la densidad volumétrica de energía magnética, uB, viene dada por uB = |~ B|2 2µ0 . (4.56) Aunque el resultado anterior se ha obtenido para un caso particular, cálcu- Densidad de energía magnética los más rigurosos demostrarían que este resultado es válido en general. Actividad 4.8: ¿Por qué el término Lidi/dt ha sido identificado con el ritmo de cambio temporal de la energía magnética? ¿Dónde se “almacena” la energía magnética? ¿Almacena una bobina energía eléctrica? ¿Almacena un conden- sador energía magnética? Justifique su respuesta. Ejemplo 4.5 (*) Cálculo de la autoinducción por unidad de longitud de una cable coaxial de radio interior a = 1 mm y radio exterior b = 3 mm. Dado que un cable coaxial la corriente I que circula por el conductor interno retorna por el conductor externo, la aplicación de la ley de Ampère al presente ca- so nos dice que el campo magnético producido por ambas corrientes fuera de los conductores será ~ B = µ0I 2πρ τ̂ si a ≤ ρ ≤ b , 0 si ρ b . (4.57) La densidad volumétrica de energía magnética en el interior del cable coaxial ven- drá entonces dada, según (4.56), por uB = µ0I2 8π2ρ2 , (4.58) de donde podemos obtener la energía magnética almacenada en un conductor coaxial de longitud l como UB = Z volumen uB dV . (4.59) Física 2 FLML
- 109. 4.6. Ley de Ampère-Maxwell (*) 101 Teniendo en cuenta que en el presente caso y debido a la simetría cilíndrica del problema podemos escribir dV = dS dl = 2πρdρdl , la energía magnética se calculará como UB = Z l 0 dl (Z b a µ0I2 8π2ρ2 2πρdρ ) = Z l 0 dl ( µ0I2 4π Z b a dρ ρ ) = µ0I2 l 4π ln b a . Considerando ahora que la energía magnética almacenada en el inductor viene da- da por (4.53), tenemos que UB = 1 2 LI2 = 1 2 µ0 2π ln b a l I2 , por lo que la autoinducción por unidad de longitud del cable coaxial será L l = µ0 2π ln b a . (4.60) Sustituyendo ahora los valores de a y b obtenemos el siguiente valor numérico: L l = 4π×10−7 2π ln 3 ≈ 0,22 µH/m . (4.61) 4.6. Ley de Ampère-Maxwell (*) La ley de Ampère tal como se escribió en el Apartado 3.5 sólo era válida, en principio, para campos magnetostáticos y corrientes continuas. Esta ley básica establecía que2 I Γ ~ B(~ r) · d ~ l = µ0 Z S(Γ) ~ J(~ r) · d~ S , (4.62) es decir, la circulación del campo magnetostático a través de una curva Γ es igual a µ0 veces la intensidad de la corriente continua que atravesaba la superficie S(Γ). La constante µ0 = 4π×10−7 H/m se denominó permeabilidad magnética del vacío. Para generalizar la ley de Ampère, es tentador extender esta ley inicial- mente formulada para campos estáticos a campos variables en el tiempo y escribir I Γ ~ B(~ r, t) · d ~ l ? = µ0 Z S(Γ) ~ J(~ r, t) · d~ S . (4.63) 2 En la expresión (4.62) y en lo que queda de tema, indicaremos que cierto campo ~ A sólo depende de las variables espaciales expresando éste en la forma ~ A(~ r). Si dicho campo también dependiese del tiempo, entonces lo expresaremos como ~ A(~ r, t). FLML Física 2
- 110. 102 Tema 4. Inducción electromagnética Si queremos comprobar la validez de la expresión (4.63) basta considerar el proceso de carga de un conductor recorrido por una intensidad I(t), donde la curva Γ rodea al conductor y la superficie S(Γ) es tal como se muestra en la figura adjunta. Al tomar el límite cuando la curva Γ se hace tender a cero, la superficie S(Γ) cierra el conductor obteniéndose que lı́m Γ→0 I Γ ~ B(~ r, t) · d ~ l = 0 , (4.64) puesto que el valor del campo magnético en los puntos de la curva Γ tiende a cero en el límite Γ → 0.3 Ahora bien, supuesta cierta (4.63), la expresión (4.64) también implicaría que lı́m Γ→0 Z S(Γ) ~ J(~ r, t) · d~ S = I S ~ J(~ r, t) · d~ S = 0 , (4.66) es decir, el flujo de~ J a través de la superficie cerrada es nulo. Esto es cla- ramente incorrecto en nuestro caso puesto que observamos que entra una intensidad I(t) en la superficie S(Γ). Teniendo en cuenta la ecuación de continuidad de la carga, discutida en el Apartado 2.2: Ecuación de continuidad de carga I S ~ J(~ r, t) · d~ S = − d dt QS(t) , (4.67) que establece que la variación por unidad de tiempo de la carga encerrada en una superficie cerrada S, QS(t), es igual al flujo total de densidad de co- rriente que atraviesa dicha superficie, observamos una clara contradicción entre lo que dice la ecuación de continuidad de la carga (4.67) y la expresión (4.66) derivada directamente de la ley de Ampère al aplicarla a campos va- riables en el tiempo. Dado que no cabe discusión acerca de la validez de la ecuación de continuidad de la carga (ésta no es más que la expresión local del principio de conservación de la carga), tenemos que concluir que la ex- tensión de la ley de Ampère, tal y como se expresó en (4.62), NO es válida para situaciones no estacionarias. Siguiendo el razonamiento de James C. Maxwell (∼ 1860) debemos asu- mir que (4.62) debe modificarse para hacerla compatible con la ecuación de continuidad de la carga. Así, si consideramos que la expresión de la ley de Gauss para campos estáticos (ver Apartado 1.2.5) sí puede extendderse a campos variables en el tiempo, I S ~ E(~ r, t) · d~ S = QS(t) 0 , 3 Recuérdese que en el Apartado 3.5.1 se mostró que el campo magnetostático en el interior de un conductor cilíndrico rectilíneo de radio R recorrido por una intensidad I venía dado por ~ B(~ r) = µ0I 2πR2 rτ̂ . (4.65) Física 2 FLML
- 111. 4.6. Ley de Ampère-Maxwell (*) 103 la ecuación de continuidad de la carga puede reescribirse como I S ~ J(~ r, t) · d~ S = − d dt I S 0 ~ E(~ r, t) · d~ S = − I S 0 ∂~ E(~ r, t) ∂t · d~ S , (4.68) o bien I S ~ J(~ r, t) + 0 ∂~ E(~ r, t) ∂t · d~ S = 0 . (4.69) A la vista de la expresión anterior, es claro que reescribiendo la ley de Ampère de la siguiente forma: Ley de Ampère-Maxwell I Γ ~ B(~ r, t) · d ~ l = µ0 Z S(Γ) ~ J(~ r, t) + 0 ∂~ E(~ r, t) ∂t · d~ S (4.70) y siguiendo el mismo procedimiento de paso al límite de la curva Γ, entonces esta ley es ya congruente con la ecuación de continuidad de la carga. En el segundo miembro de (4.70) aparecen dos términos que podemos relacionarlos con corrientes de naturaleza distinta. Corriente de conducción Es la corriente que hasta ahora se ha estudiado y que podemos identifi- car con el movimiento neto de las cargas eléctricas, y por ello se define como el flujo del vector densidad de corriente~ J. Claramente esta corrien- te aparece donde haya un movimiento neto de cargas, por ejemplo, en el interior de un conductor recorrido por una corriente eléctrica. Corriente de desplazamiento Es un término de corriente que no está directamente relacionado con el movimiento de cargas (aunque puede ser consecuencia de ello). Se de- fine como el flujo del vector densidad de corriente de desplazamiento, ~ JD = 0 ∂~ E ∂t . Este término debemos asociarlo exclusivamente a las varia- ciones temporales del campo eléctrico. (Recuérdese que una corriente estacionaria que recorre un conductor no da lugar a campo eléctrico al- guno.) El origen de esta corriente podemos explorarlo en el paso de la ecuación (4.67) a (4.69) y relacionar la existencia de este tipo de corrien- te con la mera presencia de una carga eléctrica variable en el tiempo. En consecuencia, la densidad de corriente de desplazamiento existirá en todos los puntos del espacio donde haya un campo eléctrico variable en el tiempo. Es interesante hacer notar que en el caso de que no haya corriente de conducción, la ley de Ampère-Maxwell se escribiría como I Γ ~ B(~ r, t) · d ~ l = µ00 Z S(Γ) ∂~ E(~ r, t) ∂t · d~ S . (4.71) FLML Física 2
- 112. 104 Tema 4. Inducción electromagnética La ecuación anterior establece la existencia de un campo magnético asociado a la existencia de una campo eléctrico variable en el tiempo. Ejemplo 4.6 (*) Cálculo del campo magnético en el interior de un condensador de placas circulares de radio R alimentado por una corriente I(t) El campo eléctrico en el interior de un condensador de placas paralelas de den- sidad superficial de carga σ viene dado por ~ E = σ 0 û donde û es el vector unitario que va desde la placa cargada positivamente a la cargada negativamente. Expresando ahora la densidad superficial de carga σ en función de la carga total en la placa Q(t) se tiene que ~ E(t) = Q(t) 0πR2 û , y obviamente esto implica la existencia de una corriente de desplazamiento,~ JD(t), en el interior del condensador que viene dada por ~ JD(t) = 0 ∂~ E ∂t = I(t) πR2 û . Aplicando ahora la ley de Ampère-Maxwell según (4.71), esto es, I Γ ~ B(~ r, t) · d ~ l = µ0 Z S(Γ) ~ JD · d~ S . nos encontramos con un problema muy similar al del cálculo del campo magne- tostático en el interior de un conductor cilíndrico rectilíneo (Apartado 3.5.1), con la diferencia de que en dicho problema la corriente era de conducción. Consecuentemente usando la expresión (4.65) se llegaría a que en el interior del condensador ~ B(~ r, t) = µ0I(t) 2πR2 ρτ̂ (r ≤ R) 4.7. Ecuaciones de Maxwell (*) Tanto en el presente tema como en los temas anteriores se han visto una serie de leyes (la mayoría extraídas directamente de la experimentación) que determinan el comportamiento de los campos eléctrico y magnético. Entre las múltiples leyes y expresiones que se han visto, puede escogerse un con- junto de cuatro de ellas que forman la base del Electromagnetismo y de donde se pueden derivar todos los fenómenos electromagnéticos. Estas le- yes fueron recogidas por James C. Maxwell (∼ 1860) en una labor que ha sido reconocida como una de las síntesis más fructíferas de toda la historia de la Física 2 FLML
- 113. 4.7. Ecuaciones de Maxwell (*) 105 Física. Además de esta labor recopilatoria, Maxwell notó además una incon- sistencia en la ley de Ampère que solucionó añadiendo a esta ecuación un término adicional relacionado con un nuevo tipo de corriente que denominó corriente de desplazamiento. Las ecuaciones de Maxwell son cuatro ecuacio- nes diferenciales o integro-diferenciales (aquí se optará por presentarlas en forma integro-diferencial) que compendian toda la información que hemos adquirido sobre los campos eléctricos y magnéticos y su relación con las fuentes que los producen. Maxwell realiza una revisión de las leyes del campo eléctrico y el magné- tico, extendiéndolas a campos eléctricos y magnéticos variables en el tiem- po. Sus aportaciones pueden resumirse tal como sigue. Ley de Gauss para el campo eléctrico Maxwell extendió la validez de la ley de Gauss (que en su forma inicial (1.19) sólo era aplicable a campos eléctricos constantes en el tiempo; es decir, a campos electrostáticos) a campos eléctricos que varían en el tiempo, ~ E = ~ E(~ r, t). De este modo, la ley de Gauss para el campo eléctrico puede escribirse, en general, como Ley de Gauss para ~ E(~ r, t) I S ~ E(~ r, t) · d~ S = QS(t) 0 , (4.72) donde QS(t) es la carga total (que ahora puede variar en el tiempo) ence- rrada en el interior de la superficie S y 0 = 8,85×10−12 F/m. Ley de Gauss para el campo magnético Dado que experimentalmente se encuentra que las líneas de campo mag- nético no divergen ni convergen en ningún punto del espacio (es decir, no existen cargas magnéticas), Maxwell propuso la siguiente ley para cam- pos magnéticos variables en el tiempo, ~ B = ~ B(~ r, t): I S ~ B(~ r, t) · d~ S = 0 . (4.73) El flujo del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es Ley de Gauss para ~ B(~ r, t) siempre nulo. Ley de Faraday-Maxwell La ley de inducción electromagnética según fue establecida por Faraday estaba directamente ligada a la presencia de conductores, de modo que en la expresión (4.18), la curva Γ coincidía estrictamente con el recorrido del circuito. Maxwell notó que la identidad matemática expresada por (4.18) no tenía por qué ligarse a la existencia de conductores; esto es, no hay nada en (4.18) que exija que la curva Γ deba coincidir con el recorrido del circuito. Con esta concepción en mente, la ley de Faraday-Maxwell: I Γ ~ E(~ r, t) · d ~ l = − Z S(Γ) ∂~ B(~ r, t) ∂t · d~ S (4.74) establece que la circulación del campo eléctrico a través de una cur- Ley de Faraday-Maxwell FLML Física 2
- 114. 106 Tema 4. Inducción electromagnética va arbitraria, Γ, es igual a menos la variación del flujo magnético que atraviesa una superficie S(Γ) cuyo contorno se apoya en Γ. Esta reinter- pretación de la ley de Faraday dice mucho más que la ley original pues establece la existencia de un campo eléctrico en cualquier punto del espa- cio donde exista un campo magnético variable en el tiempo. Ecuación de Ampére-Maxwell Tal como se ha discutido en el Apartado 4.6, la ley de Ámpere se generali- zaba al caso de campos y corrientes variables en el tiempo de la siguiente forma: Ley de Ampère-Maxwell I Γ ~ B(~ r, t) · d ~ l = µ0 Z S(Γ) ~ J(~ r, t) + 0 ∂~ E(~ r, t) ∂t · d~ S (4.70) Una de las más importantes consecuencias que puede extraerse de las anteriores ecuaciones surge al combinar la ecuaciones de Faraday-Maxwell con la ecuación (4.71) de Ámpere-Maxwell para el caso del vacío (es decir, en ausencia de cargas y corrientes eléctricas), I Γ ~ E(~ r, t) · d ~ l = − Z S(Γ) ∂~ B(~ r, t) ∂t · d~ S (4.74) y I Γ ~ B(~ r, t) · d ~ l = µ00 Z S(Γ) ∂~ E(~ r, t) ∂t · d~ S . (4.71) Una lectura de dichas ecuaciones sugiere la existencia de una perturbación electromagnética que puede autosustentarse en el vacío. La ecuación (4.74) nos dice que la presencia de un campo magnético variable en el tiempo pro- voca la aparición de un campo eléctrico, pero a su vez la ecuación (4.71) esta- blece que la presencia de un campo eléctrico variable en el tiempo da lugar a la aparición de un campo magnético. En consecuencia, la existencia de una campo magnético variable en el tiempo generaría otro campo magnético que a su vez generaría otro.... (igualmente ocurriría con campos eléctricos varia- bles en el tiempo). Tenemos, por tanto, una situación en la que los campos electromagnéticos se autosustentan ya que serían ellos mismos su propia causa y efecto. En el próximo tema sobre ondas veremos que este fenómeno es precisamente el origen de las ondas electromagnéticas. 4.8. Problemas propuestos 4.1: En el interior de un solenoide de 600 vueltas, el flujo magnético cae de 8,0×10−5 Wb a 3,0×10−5 Wb en 15 ms. ¿Cuál es la fem media inducida? (1 Wb = 1 Tm2 .) Sol.: ξ = 2 V. 4.2: Una barra metálica se desplaza a velocidad constante, v, sobre dos varillas conductoras unidas por una resistencia R en sus extremos izquierdos. Se establece una campo magnético Física 2 FLML
- 115. 4.8. Problemas propuestos 107 uniforme y estático, ~ B, como se indica en la figura. a) Calcule la fem inducida en el circuito así como la corriente inducida indicado su sentido; b) ¿Qué fuerza está siendo aplicada a la barra para que se mueva a velocidad constante?; c) Realízese un balance entre la potencia aplicada y la energía consumida. Nota: Despreciar el autoflujo del circuito. Sol.: a) ξ = −|~ B|l|~ v|; b) ~ Fa = Il|~ B|x̂; c) Pot. aplicada=Fav = Pot. consumida=I2 R. 4.3: Determinar el coeficiente de inducción mutua entre le circuito rectangular de la figura y el conductor recto infinito. Sol: M = µ0c 2π ln a + b a . a b c 4.4: Un conductor rectilíneo e infinitamente largo está recorrido por una intensidad I(t). Una R x a b I t ( ) x t ( ) espira rectangular de lados a y b y resistencia R es coplanaria con dicho conductor y varía su posición de acuerdo con una ley de movimiento x(t) conocida. Calcule: a) el flujo magnético, Φ(t), que atraviesa la espira; b) la fem inducida en la espira, indicando que parte de la misma se debe al movimiento y cuál a la variación temporal del campo magnético; c) el valor de la corriente inducida en el instante t si I(t) = I0 y x(t) = vt (v 0). Nota: Despreciar el autoflujo del circuito. Sol.: a) Φ(t) = µ0bI(t) 2π ln a + x(t) x(t) ; b) ξ(t) = − µ0b 2π dI(t) dt ln a + x(t) x(t) − aI(t)v x(t)(a + x(t)) ; c) Iind = abµ0I0 2πR(at + vt2) en sentido horario. 4.5: Un circuito rectangular de 2 Ω de resistencia se desplaza en el plano YZ en una zona donde existe un campo magnético ~ B = (6 − y)x̂ T. Las dimensiones del circuito son de 0,5 m B v X Y Z de altura por 0,2 m de anchura. Suponiendo que en el instante inicial (t = 0) el lado izquierdo del circuito coincidía con el eje Z (según puede verse en el dibujo), calcule la intensidad inducida en el circuito en los casos siguientes: a) se desplaza a velocidad uniforme de 2 m/s hacia la derecha; b) transcurridos 100 s, si se mueve aceleradamente hacia la derecha con a = 2 m/s 2 (supóngase que el circuito partió del reposo). c) Repita los apartados anteriores suponiendo que el movimiento es ahora paralelo al eje Z. Nota: en todos los casos considere despreciable el autoflujo. Sol.: a) 0.1 A; b) 10 A; c) 0 A en los dos casos, ya que no hay variación del flujo magnético. 4.6: Un conductor rectilíneo infinito está recorrido por una intensidad I. Otro conductor en forma de U es coplanario con el primero, su base es una resistencia, R, y mediante un puente a v v R R I puente móvil l l a a) b) I móvil, que se mueve a velocidad v, forma una espira rectangular de área variable (véase figura). Se consideran los casos en que R es paralela o perpendicular al conductor rectilíneo infinito [casos a) y b) en la figura adjjunta]. Determine en cada caso la intensidad de corriente inducida y la fuerza que es necesario aplicar al puente móvil para que se mueva a velocidad v. Nota: en ambos casos considere despreciable el autoflujo del circuito en U. Sol.: a) Iind = µ0Ilv 2πR(a + vt) , F = v R Iµ0l 2π(a + vt) 2 ; b) Iind = µ0Iv 2πR ln a + l a , F = v R µ0I 2π ln a + l a 2 . 4.7: En la figura se muestra un campo magnético uniforme y variable en el tiempo, ~ B(t) = (2 + 0,5t2 ) ẑ T (t en segundos). En la región donde existe dicho campo se ha dispuesto B( ) t v X Y Z R A C un circuito formado por un conductor en forma de U, que contiene una resistencia R = 10 Ω, y que junto con la barra conductora móvil AC, de longitud l = 1 m y masa m (en kg), forma una espira rectangular de área variable. Si la ley de movimiento de la barra AC es y(t) = 3t2 m, calcule: a) el flujo magnético a través del circuito; b) la fem inducida en el circuito; c) la in- tensidad inducida, indicando su sentido; d) la fuerza debida al campo magnético que actúa sobre la barra en dirección y; e) la fuerza que hemos de aplicar a la barra móvil para que satisfaga la mencionada ley de movimiento. Nota: Considere despreciable el autoflujo en el circuito. Sol.: a) Φ(t) = 6t2 + 1,5t4 weber; b) ξ(t) = −(12t + 6t3 ) V; c) Iind(t) = 1,2t + 0,6t3 sentido horario; d) ~ Fmag(t) = −(2,4t + 1,8t3 + 0,3t5 ) ŷ; e) ~ Faplic(t) = (6m + 2,4t + 1,8t3 + 0,3t5 ) ŷ. FLML Física 2
- 116. 108 Tema 4. Inducción electromagnética 4.8: A través de un hilo conductor rectilíneo muy largo circula una corriente que varía con el tiempo según la expresión I(t) = at, donde a = 0,7 A/s. En las proximidades del hilo, y en un plano que contiene a éste, se encuentra una espira de radio b = 5 mm y resistencia R = 0,2 mΩ. Esta espira se aleja del hilo con una velocidad constante v, estando situada en el instante inicial (t = 0) a una distancia r0 del hilo. Obtenga a) la expresión del flujo magnético que atraviesa la espira; b) la expresión de la fuerza electromotriz inducida; c) la intensidad inducida en la espira en el instante inicial, indicando su sentido. Nota: debido al pequeño tamaño de la espira, podemos considerar —a efectos de cálculo— que el campo magnético creado por el hilo es uniforme en el interior de la espira e igual a su valor en el centro de la misma). Sol: a) Φ(t) = µ0b2 at 2(r0+vt) ; b) ξ(t) = µ0b2 ar0 2(r0+vt)2 ; c) I(0) = 4,39 µA, sentido antihorario. 4.9: En la figura se muestra un solenoide esbelto de longitud l1 y un total de N1 espiras. N1 I1 Corte para ver el interior N2 Dentro del mismo y coaxial con el se ha dispuesto una bobina de radio R2 y un total de N2 espiras. Calcule: a) el coeficiente de inducción mutua entra ambos bobinados; b) la fem inducida entre los extremos de la bobina pequeña cuando por el solenoide esbelto circula una intensidad I1(t) = I0cos(ωt). c) Repita los dos apartados anteriores suponiendo ahora que el eje de la bobina pequeña forma un ángulo θ con el del solenoide. Sol.: a) M = µ0πR2 2N1N2 l1 ; b) ξ = MωI0sen(ωt); c) en este caso, los resultados anteriores se multiplican por cos(θ). 4.10: Determine la fem autoinducida en un solenoide de inductancia L = 23 mH cuando: a) la corriente es de 25 mA en el instante inicial y aumenta con una rapidez de 37 mA/s; b) la corriente es cero en el instante inicial y aumenta con una rapidez de 37 mA/s; c) la corriente es de 125 mA en el instante inicial y disminuye con una rapidez de 37 mA/s; d) la corriente es de 125 mA y no varía. Sol.: en los tres casos a), b) y c), ξ = 851×10−6 V, salvo que la polaridad es diferentes. Así, dado que la polaridad de fem autoinducida es tal que se opone a las variaciones de la inten- sidad, en los apartados a) y b) la polaridad es la misma (ya que en ambos casos la intensidad aumenta), siendo en c) contraria a los apartados anteriores (ya que en este caso disminuye); d) ξ = 0. 4.11: La intensidad que circula una bobina de inductancia L varía de acuerdo con la expresión i(t) = I0(1−e−t/τ ), donde τ es una constante. Halle: a) la corriente inicial (t = 0) y final (t = ∞) en la bobina; b) las expresiones temporales de la energía magnética en la bobina y de la potencia recibida por la misma; c) el instante de tiempo, t, en el cual la potencia recibida es máxima; d) la energía final almacenada en la bobina (esto es, para t = ∞). Sol.: a) i(0) = 0, i(∞) = I0; b) Um(t) = Li2 (t) 2 , P(t) = LI0e−t/τ i(t) τ ; c) t = τln2; d) Um = LI2 0 2 . 4.12: En la figura se ha representado un solenoide esbelto de longitud l y área de sección transversal S, que posee un total de N1 espiras. Por dicho solenoide circula un intensidad i(t) = I0sen(ωt). Rodeando dicho solenoide se ha colocado una bobina rectangular de N2 es- piras. Calcule: a) el campo magnético, B(t), en el interior del solenoide; b) el coeficiente de autoinducción, L, del solenoide; c) la diferencia de potencial, V1(t), entre los extremos del so- N1 I1 N2 lenoide; d) el flujo magnético que atraviesa la bobina rectangular, Φ2(t), así como la fuerza electromotriz inducida, ξ2(t), entre los bornes de dicha bobina. Sol.: a) B(t) = µ0N1I0 l sen(ωt); b) L = µ0N2 1 S l ; c) V1(t) = LωI0cos(ωt); d) Φ2(t) = µ0I0N1N2Ssen(ωt)/l, ξ2(t) = −µ0I0N1N2Sωcos(ωt)/l. Física 2 FLML
- 117. Tema 5 Circuitos de Corriente Alterna 5.1. Introducción Dado que en el Tema 4 se han establecido las leyes físicas que rigen el comportamiento de los campos eléctrico y magnético cuando éstos son va- riables en el tiempo, en el presente tema estamos ya preparados para tratar circuitos con corrientes variables en el tiempo y así extender los conceptos de circuitos de corriente continua (Tema 2) al caso de circuitos de corriente alterna. Entre las infinitas posibles dependencias temporales de la corriente I(t) en los circuitos, en este tema estudiaremos únicamente aquélla cuya varia- ción es armónica, esto es, del tipo I(t) = I0 cos(ωt + ϕ) (5.1) (en el Apartado 5.3 se hará una descripción de las funciones armónicas). Las razones fundamentales para estudiar este tipo de corriente variable en el tiempo, denominada de forma genérica corriente alterna (CA), son dos: 1. Relevancia tecnológica. Desde un punto de vista tecnológico, el uso de la corriente alterna es muy conveniente debido a que ésta es muy fácil de generar y su transporte puede realizarse fácilmente a altas tensiones (y pequeñas intensidades) minimizando así las pérdidas por efecto Joule (posteriormente, por in- ducción electromagnética, la corriente alterna puede fácilmente trans- formarse a las tensiones usuales de trabajo). Estas características junto con su fácil aplicación para motores eléctricos hizo que, a partir de fina- les del siglo XIX, la corriente alterna se impusiera para uso doméstico e industrial y que, por tanto, la tecnología eléctrica se haya desarrollado en torno a esta forma de corriente (en Europa la frecuencia de la corrien- te alterna es de 50 Hz). Una característica adicional de esta corriente es que su forma armónica se conserva cuando la corriente es modificada por el efecto de elementos lineales, a saber: resistencias, condensado- res, bobinas, transformadores, etc. 109
- 118. 110 Tema 5. Circuitos de Corriente Alterna 2. Relevancia matemática. Debido a que cualquier función periódica puede expresarse como la su- ma de diferentes armónicos (teorema de Fourier), el estudio de la co- rriente alterna constituye la base para el análisis de señales variables en el tiempo en redes lineales. 5.2. Generador de fem alterna Anteriormente se ha señalado que una de las propiedades más desta- cadas y que hacen más útiles el uso de la corriente alterna es su fácil ge- neración. El generador de fem alterna basa su funcionamiento en la ley de inducción electromagnética de Faraday (ver Apartado 4.2.2), transformando energía mecánica en energía electromagnética (en una forma opuesta a lo que hace el motor eléctrico, ver Apartado 3.3.2). Un esquema básico de un generador de fem alterna se muestra en la Fig. 5.1, donde podemos observar que el flujo magnético que atraviesa la espira giratoria viene dado por Figura 5.1: Esquema básico de un generador de fuerza electromotriz alterna. Φ = Z S ~ B · d~ S = |~ B|S cos α (5.2) donde se ha supuesto que el campo magnético es uniforme en la región donde se mueve la espira y que S = R S |d~ S| es el área de la espira. Si el movimiento que se le imprime a la espira es un movimiento angu- lar uniforme caracterizado por una velocidad angular ω constante (como por ejemplo el que produciría un chorro de vapor constante dirigido a unas as- pas conectadas con la espira), dado que α = ωt + α0, el flujo magnético que atraviesa la espira puede expresarse como Φ(t) = |~ B|S cos(ωt + α0) . (5.3) Haciendo uso de la ley de inducción de Faraday (4.17), la fem ξ(t) inducida en un conjunto de N espiras similares a la de la figura anterior será ξ(t) = −N dΦ dt = N|~ B|Sω sen(ωt + α0) (5.4) Física 2 FLML
- 119. 5.3. Aspectos generales de funciones armónicas 111 esto es, se ha generado una fem alterna que puede expresarse en general como ξ(t) = ξ0 cos(ωt + ϕ) (5.5) donde, en el presente caso, ξ0 = N|~ B|Sω y ϕ = α0 − π/2. Actividad 5.1: Describa otros tipos de funciones variables en el tiempo que no sean de tipo armónico. ¿Por qué una CA puede ser expresada de forma general como I(t) = I0 cos(ωt + ϕ)? ¿Por qué se requiere que las espiras del alternador giren a una velocidad angular constante para generar una CA? ¿Cuáes son las ventajas de usar una espira con múltiples vueltas en un alternador? 5.3. Aspectos generales de funciones armónicas Tal como se ha señalado, una función armónica f(t) es aquella que varía en el tiempo de la forma genérica: f(t) = A cos(ωt + ϕ) (5.6) donde A es la amplitud, ω la frecuencia angular y ϕ el desfase. La amplitud determina el rango de variación de la señal dado que −A ≤ f(t) ≤ A . La frecuencia angular está relacionada con la frecuencia f a través de ω = 2πf = 2π T (5.7) donde T es el periodo de la señal, esto es, aquel intervalo de tiempo en el que la señal armónica se repite: f(t) = f(t+T). La frecuencia f = 1/T puede, por tanto, interpretarse como el número de “repeticiones” de la señal armónica en un segundo. El desfase ϕ viene determinado el origen del tiempo; esto es, por el valor de la función en el instante t = 0: f(0) = A cos ϕ . Es interesante recordar algunas relaciones trigonométricas de las fun- ciones seno o coseno, a saber: sen(a ± b) = sen a cos b ± cos a sen b cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b de donde puede deducirse, por ejemplo, que cos(ωt + ϕ − π/2) = sen(ωt + ϕ) . (5.8) FLML Física 2
- 120. 112 Tema 5. Circuitos de Corriente Alterna 5.3.1. Valores eficaces El valor eficaz, Ief, de una corriente alterna dada por I(t) = I0 cos(ωt + ϕ) (5.9) se define como la raíz cuadrada del valor cuadrático medio hI2 (t)i de la co- rriente, es decir, Ief = p hI2(t)i (5.10) donde el valor medio de una función periódica, F(t), de periodo T se define como hF(t)i = 1 T Z T 0 F(t)dt . (5.11) El valor eficaz de la corriente, al igual que otras magnitudes circuitales que varíen armónicamente, tiene mucha importancia práctica dado que es precisamente el valor que miden los polímetros analógicos. Siguiendo la de- finición (5.10) y teniendo en cuenta (5.11) se tiene que I2 ef = hI2 0 cos2 (ωt + ϕ)i = 1 T I2 0 Z T 0 cos2 (ωt + ϕ) dt = I2 0 2 por lo que el valor eficaz se relaciona con la amplitud, I0, de la corriente mediante la siguiente expresión: Valor eficaz de la corriente alterna Ief = I0 √ 2 . (5.12) Análogamente, el valor eficaz de cualquier otra magnitud que varíe armóni- camente en el tiempo se define como la amplitud de dicha magnitud dividida por √ 2.1 1 El valor eficaz, Ief, de una corriente alterna, I(t) = I0 cos(ωt+ϕ), que recorre una resistencia R es justamente el valor de la intensidad de la corriente continua que produce el mismo efecto Joule durante un periodo de tiempo T. La energía WCA disipada por efecto Joule en una resistencia R por una corriente alterna durante un periodo de tiempo T puede calcularse como WCA = Z T 0 P(t)dt (5.13) donde P(t) es la potencia instantánea disipada en la resistencia, que viene dada por el producto de la intensidad por la tensión, esto es: P(t) = I(t)V(t) . (5.14) Dado que según (5.32) la caída de tensión en la resistencia es V(t) = RI(t), la energía disipada por la corriente alterna en esta resistencia puede escribirse como WCA = I 2 0R Z T 0 cos 2 (ωt + ϕ)dt = I 2 0R T 2 = I 2 efRT (5.15) que es precisamente el valor de la energía disipada por efecto Joule durante un periodo de tiempo T en dicha resistencia R si esta fuese recorrida por una corriente continua de valor Ief; esto es, WCC = I 2 efRT . (5.16) Física 2 FLML
- 121. 5.3. Aspectos generales de funciones armónicas 113 5.3.2. Análisis fasorial En la resolución de ecuaciones de segundo grado, es frecuente encon- trarse con soluciones que implican tomar la raíz cuadrada de un negativo, por ejemplo √ −9. No obstante, es fácil notar que no existe ningún núme- ro real (esto es, que pertenezca al conjunto R) tal que su cuadrado sea −9. Para solucionar esta cuestión se introducen los números imaginarios, que pueden formarse a partir de la definición de la unidad imaginaria, j: j = √ −1 (5.17) de modo que √ −9 = √ −1 × 9 = √ −1 × √ 9 = j3 . Los números que tienen tanto parte real como imaginaria se conocen como números complejos y pueden definirse como z = a + jb (5.18) donde a = Re(z) se dice que es la parte real de z y b = Im(z) la parte imagi- naria de z. Usualmente los números complejos se representan en un plano de modo que sobre el eje vertical se sitúa el eje imaginario y sobre el eje horizontal el eje real. De este modo, el número z queda caracterizado por un punto (como se muestra en la figura adjunta) que está a una distancia |z| dada por |z| = √ a2 + b2 (5.19) que se conoce como módulo de z, y con un ángulo ϕ medido en sentido antihorario a partir del eje real dado por ϕ = arctan b a (5.20) que se denomina argumento de z. Es fácil observar en la figura anterior que el número complejo z puede escribirse como z = |z| cos ϕ + j |z| sen ϕ = |z|(cos ϕ + j sen ϕ) y dado que la identidad de Euler nos dice que ejϕ = cos ϕ + j sen ϕ (5.21) se tiene que el número complejo z puede también escribirse como z = |z| ejϕ . (5.22) Esta manera de escribir los números complejos es muy conveniente puesto que nos proporciona de una forma directa la información sobre su módulo y su argumento. FLML Física 2
- 122. 114 Tema 5. Circuitos de Corriente Alterna Teniendo en cuenta la identidad (5.21) es válida igualmente para argu- mentos que sean funciones; esto es, ejφ(t) = cos φ(t) + j sen φ(t) (5.23) es fácil notar que la función armónica f(t) = A cos(ωt + ϕ) puede también escribirse como f(t) = Re Aej(ωt+ϕ) = Re Aejϕ ejωt (5.24) sin más que identificar φ(t) = ωt + ϕ. Si ahora definimos el fasor, f̃, de la función f(t) como f̃ = Aejϕ (5.25) se tiene finalmente la función armónica puede expresarse como f(t) = Re f̃ejωt . (5.26) La identidad (5.26) permite establecer una relación biunívoca entre las funciones armónicas y sus fasores asociados, de modo que a toda función armónica se le puede asociar un fasor; esto es, f(t) ↔ f̃ . (5.27) Siguiendo las propiedades más elementales del cálculo de números com- plejos, pueden demostrarse fácilmente las siguientes propiedades: f1(t) + f2(t) ↔ f̃1 + f̃2 (5.28) αf(t) ↔ αf̃ (5.29) siendo fi(t) = Ai cos(ωt + ϕi) y α un número real. Una propiedad adicional de fundamental importancia práctica es df(t) dt ↔ jωf̃ . (5.30) Esta última propiedad puede deducirse como sigue: df(t) dt = − ωA sen(ωt + ϕ) = −ωA cos(ωt + ϕ − π/2) =Re −ωAej(ωt+ϕ−π/2) = Re −ωAejϕ e−jπ/2 ejωt =Re jωAejϕ ejωt = Re jωf̃ejωt (5.31) de donde se deduce que el fasor asociado a df/dt es precisamente jωf̃. Física 2 FLML
- 123. 5.4. Relación I ↔ V para Resistencia, Condensador y Bobina 115 5.4. Relación I ↔ V para Resistencia, Condensador y Bo- bina Resistencia. Según se discutió en el Apartado 2.3.2, en corriente continua la relación que existía entre la tension V y la intensidad I en una resistencia carac- terizada por R venía dada por la ley de Ohm, esto es: V = RI. Experimen- talmente puede verificarse que la ley de Ohm sigue siendo válida para I t ( ) R V t ( ) + - corrientes alternas y, por tanto, puede escribirse que2 I(t) = V(t) R . (5.32) Condensador. En la expresión (1.52) se definió la capacidad C de un condensador como la relación entre la carga Q de las placas y la diferencia de potencial V entre éstas, esto es, C = Q V . (5.33) Esta relación se cumple igualmente para corriente alterna, de donde pue- de deducirse que la carga variable en el tiempo, Q(t), puede escribirse como Q(t) = CV(t) . (5.34) Al derivar la expresión anterior respecto al tiempo obtenemos la siguien- te relación entre la intensidad I(t) y la tensión entre las placas V(t): I(t) = C dV(t) dt . (5.35) Esta relación indica que la derivada temporal de la diferencia de poten- I t ( ) C V t ( ) + - cial entre las placas está relacionada linealmente mediante el parámetro C con la intensidad que llega al condensador. Bobina. Tal y como se expresó en (4.45), el efecto de autoinducción electromag- nética de una bobina caracterizada por una inductancia L y recorrida por una intensidad I(t) podía considerarse como una caída de tensión en la I t ( ) L V t ( ) + - bobina, V(t), dada por V(t) = L dI(t) dt . (5.36) La bobina puede considerarse, por tanto, como un elemento de circuito que relaciona linealmente, mediante el parámetro L, la derivada temporal de la intensidad que circula por ella con la caída de tensión en la misma. 2 Los signos más y menos en la resistencia y en otros elementos en los circuitos de corriente alterna indican los puntos de potencial más alto y más bajo en dichos elementos cuando la corriente tiene el sentido supuesto en la correspondiente figura. FLML Física 2
- 124. 116 Tema 5. Circuitos de Corriente Alterna Actividad 5.2: ¿Cuál es la principal diferencia entre la relación I(t) ↔ V(t) en un resistor y las que tenemos para un condensador y una bobina? ¿Cuáles son las principales diferencias entre las relaciones I(t) ↔ V(t) en un condensador y en una bobina? Trate de entender las principales implicaciones matemáticas del hecho de que la relación I ↔ V en condensadores/bobinas sea a través de derivadas temporales en el voltaje/corriente. 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA Dado que el estudio de la corriente alterna implica el tratamiento de fun- ciones con una dependencia temporal de tipo armónica, la introducción de los fasores asociados a estas funciones simplificará enormemente el cálcu- lo matemático necesario. Tal y como se explica en el Apartado 5.3.2, a una función armónica I(t) = I0 cos(ωt + ϕ) se le hace corresponder un fasor Ĩ: I(t) ↔ ˜ I que viene dado por Fasor ˜ I asociado a I(t) = I0 cos(ωt + ϕ) ˜ I = I0ejϕ (5.37) de modo que I(t) = Re ˜ Iejωt (5.38) e igualmente dI(t) dt ↔ jω˜ I . (5.39) 5.5.1. Expresiones fasoriales para resitencia, condensador y bobina Haciendo uso de las relaciones fasoriales apropiadas es posible expresar las relaciones fundamentales para resistencias, condensadores y bobinas en la siguiente forma: Resistencia. La relación (5.32) puede expresarse en forma fasorial simplemente como ˜ I = Ṽ R (5.40) o bien como Ṽ = R˜ I . (5.41) Física 2 FLML
- 125. 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA 117 Condensador. Para el condensador, haciendo uso de la propiedad (5.39), la relación (5.35) puede expresarse como ˜ I = jωCṼ (5.42) o equivalentemente Ṽ = 1 jωC ˜ I . (5.43) La expresión anterior suele también escribirse como Ṽ = −jXC ˜ I (5.44) donde XC = 1 ωC (5.45) se denomina reactancia capacitiva y se expresa en ohmios (Ω). Esta mag- nitud depende de la frecuencia tendiendo a cero para frecuencias muy altas y a infinito para frecuencias muy bajas. Esto se manifiesta en el he- cho de que para frecuencias bajas el condensador se comporta como un elemento que apenas deja fluir la corriente mientras que a frecuencias altas casi no impide la circulación de la corriente. Bobina. La relación (5.39) para la bobina puede expresarse en forma fasorial como Ṽ = jωL ˜ I . (5.46) Si se define la reactancia inductiva, XL, como XL = ωL (5.47) la expresión fasorial (5.46) puede también escribirse como Ṽ = jXL˜ I . (5.48) La reactancia inductiva viene dada en ohmios y es un parámetro que de- pende linealmente con la frecuencia, de modo que tiende a cero para frecuencias bajas y a infinito para frecuencias altas. Podemos afirmar en- tonces que la bobina se comporta como un elemento que se opondría al paso de la corriente a medida que la frecuencia de ésta aumenta. Es interesante observar que las relaciones tensión/intensidad para el condensador y la bobina fueron expresadas en el Apartado 5.4 mediante ex- presiones diferenciales han podido ser ahora reescritas como simples ex- presiones algebraicas mediante el uso de sus fasores asociados. Es más, se ha encontrado que el fasor Ṽ siempre puede relacionarse linealmente con el fasor ˜ I mediante un parámetro genérico Z, Ṽ = Z˜ I (5.49) FLML Física 2
- 126. 118 Tema 5. Circuitos de Corriente Alterna que denominaremos impedancia y que, en general, es un número complejo (notar que no es un fasor): Z = R Resistencia −jXC Condensador jXL Bobina . (5.50) Impedancia de una resistencia, condensador y bobina Actividad 5.3: Enumere las principales ventajas que proporciona el uso de faso- res al tratar circuitos de CA. ¿Cuáes son las unidades de impedancia en el S.I.? ¿Cuáles son las unidades en el S.I. de ωL y ωC? ¿Es el concepto de impedancia útil en circuitos de CC? Explique las posibles ventajas prácticas de su uso en circuitos de CA. ¿Por qué una bobina se comporta como un circuito abierto para CA de alta frecuencia? Trate de relacionar este hecho con el valor de la impedancia de la bobina y dé alguna razón física para ello. ¿Por qué un condensador se comporta como un cortocircuito para CA de alta frecuencia? Trate de relacionar este hecho con el valor de la impedancia del condensador y dé alguna razón física para ello. 5.5.2. Reglas de Kirchhoff Las reglas de Kirchhoff junto con las relaciones tensión/intensidad en los distintos elementos que constituyen los circuitos nos permitirán deter- minar el comportamiento de las magnitudes eléctricas en corriente alterna. Las reglas de Kirchhoff fueron introducidas en el Tema 2 para los circuitos de corriente continua, donde suponíamos que se había establecido una si- tuación estacionaria (es decir, las magnitudes no variaban en el tiempo). En los circuitos de corriente alterna supondremos que las reglas de Kirchhoff siguen siendo válidas para cada instante de tiempo.3 En consecuencia po- demos expresar las reglas de Kirchhoff de la siguiente manera. 3 Básicamente estamos admitiendo que en cada instante de tiempo se alcanza una situación estacionaria. Física 2 FLML
- 127. 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA 119 I Regla de Kirchhoff para la tensión V12(t) = X j Vj(t) − X i ξi(t) (5.51) donde Vj(t) es la caída de potencial en el elemento j-ésimo y ξi(t) es la i-esima fem del recorrido. En el ejemplo mostrado en la figura adjunta, la regla (5.51) nos dice que V12(t) = V1(t) − V2(t) + V3(t) + V4(t) − −ξ1(t) + ξ2(t) . I Regla de Kirchhoff para las intensidades N X i=1 Ii(t) = 0 (5.52) esto es, en cada instante de tiempo, la suma de todas las intensidades que llegan y salen de un nudo es cero. Las anteriores reglas pueden también expresarse en forma fasorial, adop- tando entonces la siguiente forma: Regla de Kirchhoff fasorial para la tensión Ṽ12 = X j Ṽj − X i ξ̃i (5.53) o, equivalentemente, Ṽ12 = X j Zj˜ Ij − X i ξ̃i (5.54) donde Zj es la impedancia del elemento j-ésimo recorrido por la intensi- dad fasorial ˜ Ij. En el ejemplo de la figura (siguiendo los criterios de signos ya explicados para los circuitos de corriente continua), al aplicar (5.54) obtenemos Ṽ12 = Z1˜ I1 − Z2˜ I2 + (Z3 + Z4)˜ I3 − h −ξ̃1 + ξ̃2 i . Regla de Kirchhoff fasorial para las intensidades N X i=1 ˜ Ii = 0 (5.55) es decir, la suma de todas las intensidades fasoriales que llegan y salen de un nudo es cero. FLML Física 2
- 128. 120 Tema 5. Circuitos de Corriente Alterna Actividad 5.4: A la vista de las reglas de Kirchhoff expresadas en el dominio del tiempo y en forma fasorial, describa las principales ventajas que proporciona el uso de fasores para el estudio de circuitos de CA Si tenemos fuentes de voltaje de CC y de CA en el mismo circuito, ¿serían las reglas de Kirchhoff válidas en esta situación? Justifique su respuesta. ¿Puede ver alguna relación entre las reglas de Kirchhoff (2.39), (2.40) presentadas en la Sec. 2.5 y estas reglas ahora presentadas en forma fasorial en (5.54),(5.55)? 5.5.3. Circuito RLC serie Debemos observar que las reglas de Kirchhoff tal como han sido estable- cidas en (5.54) y (5.55) son “idénticas” a las reglas (2.39) y (2.40) establecidas para corriente continua, considerando que ahora tenemos fasores e impe- dancias en vez de números reales y resistencias. Como un ejemplo sencillo de aplicación de las leyes de Kirchhoff fasoriales consideraremos a conti- nuación un circuito RLC serie en corriente alterna. Si el generador de fem alterna proporciona una ξ dada por ξ(t) = ξ0 cos(ωt + θ) (5.56) cuyo fasor asociado es ξ̃ = ξ0ejθ (5.57) al aplicar la ley de Kirchhoff de las tensiones (5.51) al circuito de la figura tendremos que ξ(t) = VR(t) + VC(t) + VL(t) (5.58) o bien en forma fasorial: ξ̃ = ṼR + ṼC + ṼL . (5.59) Teniendo ahora en cuenta las expresiones fasoriales (5.41),(5.44) y (5.48), se tiene que ξ̃ = R + j(XL − XC) ˜ I (5.60) = Z˜ I (5.61) donde la impedancia, Z, del circuito RLC serie será Impedancia de un circuito serie RLC Z = R + j(XL − XC) (5.62) esto es, la suma de las impedancias de cada uno de los elementos del cir- cuito. Esta impedancia puede también expresarse en forma módulo y argu- mento como Z = |Z|ejα (5.63) Física 2 FLML
- 129. 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA 121 donde |Z| = p R2 + (XL − XC)2 (5.64) y α = arctan XL − XC R . (5.65) Despejando en la expresión (5.61), el fasor intensidad puede calcularse como ˜ I = I0ejϕ = ξ̃ Z . (5.66) Sustituyendo ahora (5.57) y (5.63) en la expresión anterior, ˜ I puede reescri- birse como ˜ I = ξ0 |Z| ej(θ−α) de donde concluimos que la amplitud y fase del fasor intensidad vienen da- dos por I0 = ξ0 p R2 + (XL − XC)2 (5.67) y ϕ = θ − arctan XL − XC R . (5.68) Obviamente, la expresión temporal de la intensidad puede obtenerse al sus- tituir las expresiones anteriores para I0 y ϕ en I(t) = I0 cos(ωt + ϕ). Actividad 5.5: Obtenga la ecuación diferencial para la corriente en el circuito se- rie RLC. A la vista de esta ecuación, ¿puede ver las ventajas que proporciona el uso de fasores e impedancia? ¿Son las reglas de Kirchhoff válidas para cualquier circuito y va- riación temporal de la corriente? Justifique su respuesta. En el circuito serie RLC, ¿cuáles son las implicaciones de tener XL = XC? 5.5.4. Resonancia Si la amplitud de la intensidad para el circuito serie RLC, según se ha obtenido en (5.67), se expresa explícitamente como una función de la fre- cuencia, obtendríamos que I0(ω) = ξ0 r R2 + ωL − 1 ωC 2 (5.69) FLML Física 2
- 130. 122 Tema 5. Circuitos de Corriente Alterna o, equivalentemente, I0(ω) = ξ0 r R2 + L2 ω2 ω2 − 1 LC 2 . (5.70) Definiendo la frecuencia ω0 como ω2 0 = 1 LC (5.71) podemos reescribir (5.70) como I0(ω) = ωξ0 p ω2R2 + L2 (ω2 − ω2 0) 2 (5.72) donde puede observarse en la figura que la amplitud de la intensidad en el circuito serie RLC depende claramente de la frecuencia y presenta un máxi- mo absoluto para un valor de frecuencia ω = ω0. Este fenómeno se conoce en general como resonancia y aparece en múltiples situaciones prácticas (por ejemplo, en los osciladores forzados). La frecuencia, ωr, a la que aparece el máximo de amplitud recibe el nombre de frecuencia de resonancia, siendo para el circuito serie RLC: ωr = ω0; cumpliéndose además a esta frecuencia que XL = XC, por lo que, según (5.65), la impedancia es puramente real. Los fenómenos de resonancia tienen múltiples aplicaciones prácticas; por ejem- plo, si el circuito serie RLC se utiliza como el circuito de sintonía de una radio, la capacidad del condensador puede variarse de modo que la frecuencia de resonancia vaya cambiando, sintonizándose así las diferentes emisoras (es- to es, la emisora que emita con frecuencia igual a la de resonancia es la que se recibiría con más intensidad). Figura 5.2: Amplitud de la intensidad frente a la frecuancia en un circuito serie RLC. Física 2 FLML
- 131. 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA 123 Actividad 5.6: ¿Puede encontrar alguna razón para explicar que la amplitud de la corriente en un circuito serie RLC dependa de la frecuencia de la fuente de tensión de CA? Dibuje I0 frente a ω de acuerdo con la Ec. (5.72). ¿Qué ocurriría si R → 0? Demuestre que en resonancia la amplitud de la tensión en la bo- bina o bien el condensador puede ser mucho mayor que el valor de la amplitud de la fuente de tensión de CA. Obtenga una expresión para la amplitud de la intensidad de la co- rriente si la fuente de tensión está en paralelo con el condensador, la bobina y el resistor. ¿Hay resonancia en este caso? 5.5.5. (*) Análisis de mallas La resolución del circuito RLC serie en corriente alterna ha puesto de manifiesto que mediante el uso de los fasores y de la impedancia asociada a cada elemento, la resolución de un circuito de corriente alterna es equiva- lente a la de uno de corriente continua en la que las magnitudes intensidad y tensión son ahora fasores y las impedancias juegan el papel de resistencias. De este modo, todas las técnicas introducidas en el Tema 2 para la resolución de circuitos de corriente continua pueden ser ahora aplicadas a la resolu- ción de circuitos de corriente alterna, teniendo en cuenta las equivalencias antes mencionadas. Como ejemplo, un circuito como el mostrado en la Figura 5.3 puede re- solverse mediante la aplicación del método de las corrientes de mallas. De- finiendo los fasores intensidades de malla en cada una de las tres mallas del circuito según se muestra en la figura y teniendo en cuenta el valor de las impedancias de cada uno de los elementos implicados, la ecuación para las Figura 5.3: Circuito de tres mallas FLML Física 2
- 132. 124 Tema 5. Circuitos de Corriente Alterna intensidades de malla puede escribirse como ˜ ξ1 0 0 = Zij ˜ I1 ˜ I2 ˜ I3 donde la matriz de impedancias viene dada por Zij = j(XL1 − XC1) 0 jXC1 0 R1 + j(XL2 − XC2) −jXL2 jXC1 −jXL2 R2 + j(XL2 − XC1) . Para los cálculos en los ejercicios es siempre conveniente trabajar con números sustituyendo las expresiones algebraicas por sus valores numéri- cos concretos antes de resolver el correspondiente sistema de ecuaciones. Ejemplo 5.1 En el circuito de la figura, determine las intensidades fasoriales, ˜ I1, ˜ I2 e ˜ I3 y las instantáneas, i1(t), i2(t) e i3(t). Datos: ξ(t) = 20 sen(4×104 t)V, R1 = 8Ω, R2 = 4Ω, L = 0,2mH y C = 3,125µF . Lo primero que podemos hacer es obtener la frecuencia angular, ω, de la fuente; esto es, ω = 4×104 rad/s . Para obtener el fasor fuerza electromotriz notemos que ξ(t) = 20 sen(4×104 t) V = 20 cos(4×104 t − π/2) V y, por tanto, su correspondiente fasor asociado es ξ̃ = 20e−jπ/2 = −j20 V . Para obtener las impedancias de la bobina y los condensadores, debemos cal- cular primero las reactancias inductivas y capacitivas: XL = ωL = 4×104 · 2×10−4 = 8Ω XC = 1 ωC = 1 4×104 · 3,125×10−6 = 8Ω por lo que el circuito equivalente que debemos resolver es el mostrado en la figura adjunta. Las ecuaciones para las intensidades fasoriales de malla, ˜ I1 e ˜ I2, son −j20 0 = 8 − j8 −j8 −j8 4 ˜ I1 ˜ I2 o bien simplificando al dividir por 4: −j5 0 = 2 − j2 −j2 −j2 1 ˜ I1 ˜ I2 . Las intensidades de mallas pueden ahora calcularse usando, por ejemplo, el método de sustitución. Así de la segunda ecuación obtenemos ˜ I2 = 2j˜ I1 Física 2 FLML
- 133. 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA 125 que al sustituir en la primera ecuación, nos lleva a que −j5 = (2 − j2)˜ I1 − j2j2˜ I1 = (2 − j2 + 4)˜ I1 = (6 − j2)˜ I1 . Despejando tenemos que ˜ I1 = −j5 6 − j2 = −j5(6 + j2) (6 − j2)(6 + j2) = −j5(6 + j2) 5 · 8 = −j6 + 2 8 = 1 − j3 4 y sustituyendo ahora este valor para obtener ˜ I2, obtenemos ˜ I2 = 2j(1 − j3) 2 · 2 = 3 + j 2 . Para calcular ahora el fasor ˜ I3, asociado a i3(t), debemos tener en cuenta que ˜ I3 = ˜ I1 − ˜ I2 por lo que ˜ I3 = 1 − j3 4 − 3 + j 2 = 1 − j3 − 6 − j2 4 = −5 − j5 4 . Antes de obtener las expresiones de las intensidades instantáneas es conve- niente expresar los fasores anteriores en forma módulo y argumento: ˜ I1 = √ 10 4 ej arctan(−3) = √ 10 4 e−j1,249 ˜ I2 = √ 10 2 ej arctan(1/3) = √ 10 2 ej0,291 ˜ I3 = 5 √ 2 4 ej arctan(−1/−1) = 5 √ 2 4 ej5π/4 . (Notar que ˜ I3 se encuentra en el tercer cuadrante, por lo que su fase será π + π/4 = 5π/4). Finalmente las intensidades instantáneas vienen dadas por i1(t) = √ 10 4 cos(4×104 t − 1,249) A i2(t) = √ 10 2 cos(4×104 t + 0,291) A i3(t) = 5 √ 2 4 cos(4×104 t + 5π/4) A . Actividad 5.7: La única manera efectiva de familiarizarse con el análisis de cir- cuitos de CA es resolver tantos problemas como sea posible. Se aconseja, por tanto, que resuelva los problemas propuestos en la Sec. 5.7 y muchos más que pueda encontrar en diferentes libros de texto y otras fuentes. FLML Física 2
- 134. 126 Tema 5. Circuitos de Corriente Alterna 5.6. Balance de potencia 5.6.1. Potencia media Consideremos una rama de un circuito de CA caracterizada por una impe- I t ( ) Z V t ( ) dancia Z = |Z|ejϕ donde los valores de la tensión e intensidad instantáneas vienen dados por V(t) = V0 cos ωt I(t) = I0 cos(ωt − ϕ) siendo −ϕ el ángulo de desfase entre la tensión y la intensidad (en el pre- sente caso se ha tomado, por sencillez, la fase inicial de la tensión igual a cero, aunque este hecho no afecta a las conclusiones y resultados del pre- sente apartado). La potencia instantánea, P(t), consumida en dicha rama vendrá dada por la siguiente expresión: P(t) = I(t)V(t) = I0V0 cos ωt cos(ωt − ϕ) (5.73) donde debemos observar que dicha potencia es una función variable y pe- riódica en el tiempo (T = 2π/ω). Debido al carácter variable y periódico de esta magnitud, la idea de “potencia consumida en el sistema” puede rela- cionarse más convenientemente con la potencia media en un periodo, Pmed, cuya expresión será Pmed = hP(t)i = 1 T Z T 0 P(t)dt . (5.74) La potencia media es justamente el valor que usualmente se proporciona al referirnos al consumo de cualquier aparato eléctrico. Esta magnitud nos da una idea clara de cómo se comporta el sistema puesto que lo que ocurre en el intervalo “natural” de tiempo en el sistema (esto es, el periodo T) deter- mina el comportamiento del sistema en cualquier otro intervalo de tiempo mayor —dado que este comportamiento será simplemente una repetición de lo que sucede en uno de los periodos. Así, por ejemplo, la energía, ∆E, consumida en el sistema durante un intervalo de tiempo ∆t T puede calcularse como ∆E ' Pmed∆t . Usando (5.73) en (5.74) para obtener la potencia media tenemos que Pmed = 1 T I0V0 Z T 0 cos(ωt) cos(ωt − ϕ) dt = 1 T I0V0 cos ϕ Z T 0 cos2 (ωt) dt + sen ϕ Z T 0 cos(ωt) sen(ωt) dt (5.75) y dado que la segunda integral se anula mientras que la primera es 1 2 T, po- demos concluir que Física 2 FLML
- 135. 5.6. Balance de potencia 127 Potencia media consumida Pmed = 1 2 I0V0 cos ϕ = IefVef cos ϕ . (5.76) Es interesante observar que, desde un punto de vista operativo, la po- tencia media podría haberse calculado igualmente mediante la siguiente ex- presión: Pmed = 1 2 Re Ṽ˜ I ∗ = 1 2 Re Ṽ∗˜ I . (5.77) Si tomamos las expresiones fasoriales correspondientes a la intensidad y tensión consideradas, Ṽ = V0 (5.78) ˜ I = Ṽ Z = I0e−jϕ (5.79) podemos comprobar que efectivamente (5.77) nos dice que Pmed = 1 2 Re V0I0e−jϕ = 1 2 I0V0 cos ϕ . (5.80) Actividad 5.8: Explique las razones que nos han llevado a emplear la “potencia media” en vez de la “potencia instantánea.” Lleve a cabo los pasos detallados para obtener (5.76) a partir de (5.75). Demuestre que la expresión (5.77) para el cálculo de la potencia media es equivalente a (5.76). Deduzca las condiciones que hacen que la potencia media sea nu- la. ¿Puede encontrar las razones físicas para ello? 5.6.2. Factor de potencia En la expresión (5.76) de la potencia media podemos apreciar que junto al producto de las amplitudes de la tensión e intensidad aparece un factor cos ϕ denominado factor de potencia. Este factor de máxima importancia práctica es determinante en el consumo/suministro de potencia en el siste- ma puesto que su valor está comprendido en el intervalo [−1, 1]. Por ejemplo, en la resonancia donde el desfase entre la tensión y la intensidad es nulo, el factor de potencia es uno y consecuentemente el consumo de potencia es máximo. Por el contrario si el desfase entre la tensión y la intensidad fuese de π/2 el consumo de potencia sería nulo. FLML Física 2
- 136. 128 Tema 5. Circuitos de Corriente Alterna El factor de potencia puede expresarse en términos de la impedancia Z de la rama, que venía dada por Z = |Z|ejϕ . Dado que en el presente caso la fase del fasor Ṽ es nula, la fase del fasor intensidad ˜ I será la opuesta a la fase de la impedancia, ˜ I = I0e−jϕ = Ṽ Z = V0 |Z|ejϕ = V0 |Z| e−jϕ de donde obtenemos que I0 = V0 |Z| . (5.81) En la figura anterior podemos observar que cos ϕ = Re(Z) |Z| (5.82) y, consecuentemente, la potencia media puede también expresarse como Pmed = IefVef cos ϕ = Ief|Z|Ief Re(Z) |Z| = I2 ef Re(Z) (5.83) o expresiones equivalentes (en función de Vef). Actividad 5.9: ¿Cuando encontramos el máximo de potencia consumida en un circuit RLC serie? Justifique su respuesta. ¿Cuando encontramos el máximo de potencia consumida en un circuit RLC paralelo? Justifique su respuesta. ¿Podemos tener un circuito con resistores, condensadores y bo- binas en el que el consumo de potencia sea nulo? Justifique su respuesta. Demuestre que un ejemplo de tal circuito es un resis- tor en serie con un paralelo LC. 5.6.3. Consumo de potencia La expresión (5.83) indica que la potencia media consumida puede rela- cionarse directamente con la parte real de la impedancia. Si el sistema bajo estudio fuese un circuito “serie”, entonces la parte real de la impedancia vendría dada simplemente por la suma de las resistencias pero si el circuito fuese de otro tipo, la presencia de las partes reactivas del circuito (conden- sadores y bobinas) aparecerán explícitamente en la parte real de la impe- dancia. Evidentemente, el consumo de potencia sólo se lleva a cabo en las Física 2 FLML
- 137. 5.6. Balance de potencia 129 resistencias (únicos elementos en los que tiene lugar efecto Joule) y no en las bobinas y condensadores. No obstante, esto no quiere decir que estos últimos elementos no influyan en el consumo de potencia, más bien habría que decir que la potencia se disipa en las resistencias pero que la presen- cia y disposición de bobinas y condensadores determina ciertamente cuánta potencia es disipada en estas resistencias. En el caso de un circuito alimentado por una fuente de tensión (ver figura adjunta), un análisis similar al del Apartado 5.6.1 nos dice que la potencia instantánea suministrada por el generador de fuerza electromotriz ξ(t), que proporciona una corriente I(t), viene dada por P(t) = ξ(t)I(t) (5.84) por lo que la potencia media suministrada por dicho generador será Potencia media suministrada por un generador de fem P gen med = 1 T Z T 0 ξ(t)I(t)dt = 1 2 Re ξ̃˜ I ∗ . (5.85) Dado que las potencias medias (5.85) y (5.76) representan físicamente la energía por periodo proporcionada por la fuente y la consumida en el circuito respectivamente, debe cumplirse que la suma de las potencias medias suministrada por los gene- radores debe ser igual a la suma de las potencias medias di- sipadas en las resistencias. Ejemplo 5.2 En el circuito de la figura, verifique que la potencia media suministrada por la fuente es igual a la suma de las potencias medias consumidas en las resis- tencias. Teniendo en cuenta que ξ̃1 = 8 y ξ̃2 = 4 , tras resolver el circuito para obtener las intensidades fasoriales de rama obtendríamos que ˜ I1 = 1 + j mA = √ 2 ejπ/4 mA ˜ I2 = 1 − j mA = √ 2 e−jπ/4 mA ˜ I3 = 2 mA . Los fasores tensión en las resistencias se obtienen simplemente multiplicando los correspondientes fasores intensidad por el valor de la resistencia, de modo que Ṽ2kΩ = 2 √ 2 ejπ/4 V Ṽ4kΩ = 4 √ 2 e−jπ/4 V . FLML Física 2
- 138. 130 Tema 5. Circuitos de Corriente Alterna La potencia media, Pmed, consumida en cada una de las respectivas resistencias puede obtenerse según (5.77), resultando Pmed(R = 2kΩ) = 2 mW Pmed(R = 4kΩ) = 4 mW . Análogamente la potencia media suministrada por cada una de las fuentes de fem será Pmed(ξ1) = 1 2 Re ˜ I1ξ̃ ∗ 1 = 4 mW Pmed(ξ2) = 1 2 Re ˜ I2ξ̃ ∗ 2 = 2 mW . Obtenemos que la potencia media total suministrada por las fuentes (6 mW) coincide con la potencia media total consumida en las resistencias (6 mW). Ejemplo 5.3 En el circuito de la figura, calcule: (1) la intensidad (instantánea y efi- caz) que circula por el generador; (2) la potencia media consumida por el circuito; (3) el equivalente Thevenin entre los puntos A y B; y (4) la energía almacenada por la bobina de reactancia inductiva XL = 1,6 Ω en un instante t. 1. Para calcular el fasor intensidad, Ĩ , que circula por el generador podemos, en primer lugar, calcular la impedancia, Z, en serie con dicha fuente. Para ello no- temos que 1 ZAB = 1 6 + j8 + 1 3 − j4 = 0,18 + j0,08 = 0,2 ej0,418 por lo que ZAB = 4,6 − j2 = 5 e−j0,418 y, por consiguiente, encontramos que Z = (1,2 + j1,6) + (4,6 − j2) = 5,8 − j0,4 = 5,8 e−j0,069 . Ahora podremos calcular el fasor intensidad a partir de ˜ I = ξ̃ Z = 10 √ 2 5,8 e−j0,069 = 2, 43 ej0,069 de donde finalmente obtenemos que i(t) = Re ˜ Iejωt = Re 2, 43 ej0,069 ej100πt = 2,43 cos(100πt + 0,069) A . El valor eficaz de la corriente será, por tanto, Ief = I0/ √ s = 1,72 A . 2. Teniendo en cuenta que la potencia media consumida en el circuito será idéntica a la proporcionada por la fuente de fem, usando la expresión (5.85), tenemos que Pmed = 1 2 Re ξ̃˜ I ∗ = 10 × 1,72 × cos(0,069) = 17,16 W . 3. Para calcular el equivalente es conveniente dibujar el circuito original en la for- ma mostrada en la figura adjunta. Así, para calcular la impedancia Thevenin, ZTH, Física 2 FLML
- 139. 5.7. Problemas propuestos 131 tendremos que calcular la impedancia equivalente de las tres ramas en paralelo resultantes tras cortocircuitar la fuente de fem; esto es, 1 ZTH = 1 4,6 − j2 + 1 1,2 + j1,6 que tras operar nos da ZTH = 1,43 + j0,95 = 1,72 ej0,588 . Para obtener el fasor de tensión Thevenin, ṼTH, notemos que debido a que las tres ramas están en paralelo ṼTH = ṼAB = ZAB˜ I = 8,6 e−j0,349 donde ZAB = 5,8 e−j0,069 ya fue obtenido en el primer apartado de este problema. ṼTH también podría haberse obtenido si consideramos que ṼTH = ξ̃ − (1,2 + j1,6)˜ I . 4. Para calcular la energía instantánea almacenada en la bobina debemos usar la siguiente expresión: Um(t) = 1 2 LI2 (t) , que al operar nos da Um(t) = 1 2 1,6 100π [2,43 cos(100πt + 0,069)]2 = 0,015 cos2 (100πt + 0,069) J . 5.7. Problemas propuestos 5.1: Una bobina de 200 vueltas posee un área de 4 cm2 y gira dentro de un campo magnético. ¿Cuál debe ser el valor del módulo de este campo magnético para que genera un fem máxima de 10 V a 60 Hz? Sol. 0,332 T. 5.2: Calcular el valor eficaz y la amplitud de la corriente de un secador eléctrico de una lavandería que proporciona 5,0 kW eficaces cuando se conecta a una red de a) 240 V eficaces y b) 120 V eficaces. Sol.: a) Ief = 20,8 A, I0 = 29,5 A ; b) Ief = 41,7 A, I0 = 58,9 A. 5.3: Un determinado dispositivo eléctrico es recorrido por 10 A eficaces y consume una po- tencia media de 720 W cuando se conecta a una línea de 120 V eficaces y 60 Hz. a) ¿Cuál es el módulo de la impedancia del aparato? b) ¿A qué combinación en serie de resistencia y reactancia es equivalente este aparato? c) Si la corriente se adelanta a la fem, ¿es inductiva o capacitiva la reactancia? [Recuerde que f(x − a) con a0 es una función adelantada una cantidad a a f(x).] Sol.: a) |Z| = 12 Ω ; b) R = 7, 2 Ω, X = 9,6 Ω ;c) Capacitiva. 5.4: Para la la función armónica f(t) = 7,32 cos(3,8πt + π/6), determine su amplitud, periodo y fase inicial. Represéntela gráficamente. 5.5: Obtenga la expresión dual de los siguientes números complejos: z1 = 3 + j4, z2 = 4,6ejπ/3 . 5.6: Para los números complejos del problema anterior, realice las siguientes operaciones: z1 + z2, z1z2, z1/z2, z3 2, ez1 , z z2 1 . FLML Física 2
- 140. 132 Tema 5. Circuitos de Corriente Alterna 5.7: Usando fasores, calcule la función resultante u(t) = u1(t) + u2(t) si u1(t) = 3 sen(2πt) y u2(t) = −2 cos(2πt). 5.8: Obtenga el fasor asociado a la derivada de la función armónica f(t) = 3,2 cos(2,5t + π/4). 5.9: En un nudo de una red concurren cuatro ramas. Las intensidades que recorren tres de ellas son: i1(t) = 3 cos(ωt) A, i2(t) = 4 cos(ωt + π/4) A e i3(t) = 2 cos(ωt + 5π/4) A. Utilizando la técnica de fasores, determinar la intensidad, i4(t), en la cuarta rama. Sol.: i4(t) = 4,414 cos(ωt + 0,31) A. i t 1( ) i t 2( ) i t 3( ) i t 4( ) 5.10: En el circuito de la figura, determinar la d.d.p. entre los extremos de R2 cuando se conecta entre los terminales a y b: a) una fuente de continua de 100 V; b) una fuente de alterna de valor eficaz 100 V y frecuencia f = 400/π Hz. Sol.: a) 50 V; b) V(t) = 79,05 √ 2 cos(800t − 0,3217) V. 5.11: En el circuito de la figura, se conecta entre los terminales A y B una fuente de alterna de valor eficaz 500 V y frecuencia 50 Hz. Determinar: a) la impedancia total entre A y B; b) la intensidad, i(t), que circula por la fuente; c) la capacidad del condensador y la inductancia de la bobina; d) la potencia media consumida en el circuito. Sol.: a) ZAB = (100/41)(121 + 18j) Ω; b) i(t) = 2,37 cos(100πt − 0,1477) A; c) C = 12,73 µF, L = 1,273 H; d) P = 828,8 W. 5.12: En el circuito de la figura determinar: a) la impedancia de cada elemento y la admitancia del conjunto; b) la intensidad i(t) que circula por la fuente; c) las intensidades complejas por las ramas de la resistencia y de la bobina, dibujando, además, el diagrama fasorial de intensidades; d) el valor de la capacidad, C, que conectada en serie en el punto M hace que la intensidad que circula por la fuente esté en fase con la tensión de la misma. Sol.: a) R = 20 Ω, ZL = 4j Ω; b) i(t) = 56,09 √ 2 cos(ωt − 1,3734) A; c)e IR = 11 √ 2 A,e IL = −55 √ 2 j A; d) C = 650 µF. 5.13: Una bobina de 0.1 H está conectada en serie con una resistencia de 10 Ω y con un con- densador. El condensador se elige de forma que el circuito esté en resonancia al conectarlo a una fuente de alterna de 100 V (voltaje máximo) y 60 Hz . Calcular el valor del condensador utilizado así como la d.d.p. entre los extremos del condensador (VC(t)) y de la bobina (VL(t)). Sol.: C = 70,4 µF, VC(t) = 120π cos(120πt + π/2)V, VL(t) = 120π cos(120πt − π/2)V. 5.14: Un receptor de radio se sintoniza para detectar la señal emitida por una estación de radio. El circuito de sintonía –que puede esquematizarse como un circuito RLC serie– utiliza un condensador de 32.3 pF y una bobina de 0.25 mH. Calcular la frecuencia de emisión de la estación de radio. Sol.: 1.77 MHz. 5.15: Un método para medir autoinducciones consiste en conectar la bobina en serie con una capacidad y una resistencia conocidas, un amperímetro de ca y un generador de señales de frecuencia variable. La frecuencia del generador se varía y se mantiene constante la fem hasta que la corriente es máxima. Si C = 10 µF, ξmax = 10 V, R = 100 Ω, siendo la intensidad máxima para ω = 5000 rad/s, calcular cuánto vale L e Imax. Sol. L = 4 mH, Imax = 100 mA. 5.16: En el circuito de la figura determinar: a) la impedancia Zab; b) la intensidad, i(t), que atraviesa la fuente; c) la potencia media suministrada y la potencia media consumida (veri- ficar el balance de las mismas); d) el elemento que debe conectarse entre los puntos a y b para que la intensidad y tensión en la fuente estén en fase. Sol.: a) Zab = 5 + 5j Ω; b) i(t) = 44 cos(400t − π/4) A; c) Pact = PR = 4840W; d) un condensador de 250 µF. 5.17: En el circuito que se muestra en la figura, calcular: a) las intensidades (expresiones tem- porales y fasoriales) y representar el diagrama fasorial de las mismas; b) la potencia media suministrada y consumida. Sol.:e I1 = −10(1 + j)/3 A,e I2 = 5 A, i1(t) = 10 √ 2/3 cos(ωt − 3π/4) A, i2(t) = 5cos(ωt) A; b) fuente(1) consume 50/3 W, fuente(2) suministra 50 W, resistencia consume 100/3 W. Física 2 FLML
- 141. 5.7. Problemas propuestos 133 5.18: Se desea diseñar un dispositivo RLC serie destinado a funcionar conectado a una fuente de frecuencia angular ω y resistencia de salida Rs. Determinar los valores de R, L y C (en función de ω y Rs) para que el dispositivo cumpla las tres especificaciones siguientes: 1) la tensión eficaz entre los bornes de R debe ser igual a la que exista entre los bornes de L; 2) el dispositivo debe ser globalmente resistivo, esto es, debe equivaler a una resistencia; 3) la potencia consumida en la resistencia de salida de la fuente debe ser igual a la consumida en el dispositivo. Determinar también la intensidad que circularía en el circuito si la fuente utilizada tuviese amplitud máxima V0. Sol.: R = Rs, L = Rs/ω y C = 1/(ωRs); i(t) = V0 2Rs cos(ωt) 5.19: En el circuito de la figura: a) obtener las intensidades fasoriales y temporales en las ramas, representado el diagrama fasorial; b) calcular las potencias medias suministradas y consumidas; c) encontrar el equivalente Thévenin entre los terminales A y B, obteniendo, además, la intensidad que circularía entre dichos terminales al conectar entre ellos un con- densador de 50 nF. Sol.: a)e I1 = 2 + 6j mA,e I2 = 2 mA,e I3 = 4 + 6j mA, i1(t) = √ 40cos(104 t + arctan(3)) mA, i2(t) = 2cos(104 t) mA, i3(t) = √ 52cos(104 t + arctan(3/2)) mA; b) Suministradas fuentes: P1 = 8 mW, P2 = 16 mW, consumida resistencias: PR1 = 20 mw, PR2 = 4 mW; c) e VTh = 8j, ZTh = (2 + 2j) kΩ, iC(t) = 4 cos(104 t − π/2) mA. FLML Física 2
- 143. Tema 6 Ondas Electromagnéticas 6.1. Introducción Una de las características fundamentales de una onda es que es capaz de transmitir energía sin que ello implique un transporte neto de materia. Usualmente, las ondas consisten en la propagación de alguna perturbación física a través de algún medio material, por ejemplo: olas en el agua, va- riaciones de presión en el aire (sonido), etc. No obstante, existe un tipo de fenómeno ondulatorio que no requiere la presencia de medios materiales para su propagación (esto es, la perturbación se puede propagar en el vacío o espacio libre) aunque ciertamente también puede propagarse en presencia de medios materiales. Estas ondas son las ondas electromagnéticas (OEM), que consisten en la transmisión de campos eléctricos y magnéticos a una velocidad v ≤ c; siendo c la velocidad de propagación en el vacío. El origen de estas ondas puede entenderse como una consecuencia de que un campo magnético variable en el tiempo, ~ B1(x, t), puede ser la fuente de un campo eléctrico variable en el tiempo,~ E1(x, t), y éste a su vez puede ser la fuente de un campo magnético variable en el tiempo, ~ B2(x, t), y así sucesivamente: ~ B1(x, t) ⇒ ~ E1(x, t) ⇒ ~ B2(x, t) ⇒ ~ E2(x, t) ⇒ ~ B3(x, t) ⇒ · · · De este modo, los campos eléctrico y magnético se generan mutuamente dando lugar a una onda electromagnética que se propaga en el espacio li- bre a una velocidad c = 1/ √ µ00 ≈ 3×108 m/s. (Evidentemente si el campo primario fuese uno eléctrico, en vez de uno magnético, también se produci- ría una onda electromagnética). Esta hipótesis teórica deducida por James C. Maxwell (∼ 1860) fue confirmada experimentalmente por H. Hertz en 1888. Adicionalmente, el hecho de que la velocidad de propagación de las OEM fuese justamente la velocidad medida experimentalmente para la propaga- ción de la luz fue el primer indicio claro de que la luz no era otra cosa que una onda electromagnética. Las ondas electromagnéticas, además de constituir uno de los fenóme- nos físicos más predominantes en la naturaleza, tienen una importancia tec- nológica fundamental en el campo de las comunicaciones. Podría decirse 135
- 144. 136 Tema 6. Ondas Electromagnéticas que la mayoría de las comunicaciones actuales se sustentan en la transmi- sión de ondas electromagnéticas, ya sea a través del espacio libre: radio, televisión, teléfonos móviles, redes inalámbricas, satélites,... o bien a través de medios materiales: telefonía convencional, televisión por cable, trans- misión por fibra óptica, redes locales de ordenadores, etc. Existen muchas razones para justificar este extendido uso pero, entre otras, cabe destacar: la posibilidad de que las ondas electromagnéticas se propaguen en el vacío; el desarrollo de antenas (emisoras y receptoras) que permiten la trans- misión y recepción de estas ondas involucrando muy poca energía; la posibilidad de “guiar” estas ondas mediante diversos sistemas de trans- misión: linea bifilar, cable coaxial, guías de ondas metálicas, fibras ópti- cas, etc; el hecho de poder usar señales portadoras de muy alta frecuencia que permiten grandes anchos de banda; la facilidad de tratamiento de las señales electromagnéticas, por ejemplo su modulación/demodulación en fase, amplitud o frecuencia, que permi- te usar estas señales como soporte de información tanto analógica como digital; y la fácil integración de los equipos de generación/recepción con la circui- tería electrónica. 6.2. Nociones generales de ondas En la naturaleza existen muchos fenómenos físicos en los que una per- turbación física viaja sin que ello lleve aparejado un desplazamiento neto de materia. Un ejemplo de esto puede ser la ola que se produce en el agua tras arrojar una piedra. En este fenómeno se observa el desplazamiento de una “ondulación” en la superficie del agua con la particularidad de que las partículas individuales de agua no se trasladan sino que realizan un simple movimiento de vaivén vertical (movimiento oscilatorio). Otro ejemplo, es la propagación del sonido, que básicamente es un desplazamiento de un cam- bio de presión en el aire pero sin que ello implique que las partículas de aire viajen desde el lugar donde se originó el sonido hasta el receptor; más bien cada partícula transmite su movimiento oscilatorio a la siguiente antes de volver a su posición original. Otro ejemplo bastante visual de este tipo de fenómenos se produce al agitar una cuerda por uno de sus extremos. En este caso se observaría claramente el desplazamiento de un pulso en la cuerda, siendo también evidente que cada segmento de cuerda no viaja junto a este pulso. En todos los ejemplos anteriores una perturbación física se desplaza a través de un medio (agua, aire y cuerda, respectivamente) sin que las partí- Física 2 FLML
- 145. 6.2. Nociones generales de ondas 137 culas de este medio hayan sufrido un desplazamiento neto.1 Estos ejemplos son casos concretos de un tipo general de fenómenos físicos denominados ondas, las cuales pueden definirse como Propagación de una perturbación física sin que exista un transporte neto de materia. Debe notarse que la propagación de la perturbación en la onda implica el transporte de cierta energía y momento lineal (y/o angular). En este sen- tido, el comportamiento ondulatorio debe discernirse claramente del com- portamiento de las partículas, puesto que estas últimas siempre transportan energía y momento asociado a un transporte neto de materia. Entre las posibles formas de clasificar a las ondas, a continuación se presentan dos de ellas: Naturaleza física de la perturbación • Ondas mecánicas: cuando la perturbación física involucrada es de na- turaleza mecánica, por ejemplo: desplazamiento, velocidad, presión, torsión, etc. • Ondas electromagnéticas: cuando la perturbación es un campo elec- tromagnético. Dirección relativa de la perturbación y el desplazamiento ondulatorio perturbación perturbación propagación propagación • Ondas longitudinales: cuando la dirección de la perturbación físi- ca y de la propagación ondulatoria coinciden, por ejemplo: onda de sonido. • Ondas transversales: cuando la perturbación física se realiza en un plano transversal a la dirección de propagación de la onda; por ejem- plo: el desplazamiento de un pulso en una cuerda, ondas electromag- néticas planas en el espacio libre, etc. Cuando se trata de caracterizar una onda, algunos conceptos usuales son: Foco: es el recinto donde se produce la perturbación inicial. Superficie/Frente de Onda: es el lugar geométrico de los puntos en que han sido alcanzados simultáneamente por la perturbación. Velocidad de Fase: velocidad con la que se propagan las superficies de onda. Los conceptos anteriores pueden clarificarse si los concretamos en el caso de la propagación del sonido. En este caso, el foco sería el lugar donde se 1 Debe notarse que la ausencia de un desplazamiento neto no implica la existencia de mo- vimiento nulo. El movimiento oscilatorio de una partícula en torno a un punto fijo es un claro ejemplo de movimiento en el cual no existe traslación neta. FLML Física 2
- 146. 138 Tema 6. Ondas Electromagnéticas emiten los sonidos (por ejemplo la boca de alguien), la superficie de onda serían superficies aproximadamente esféricas centradas en el foco, y la ve- locidad de fase sería la velocidad a la que se viaja el frente de ondas, esto es, la velocidad del sonido ∼ 340 m/s. 6.2.1. (*) Ecuación de ondas Del mismo modo que existe una ecuación diferencial general que deter- mina el momento lineal, ~ p, de una partícula (o conjunto de ellas) en función de la fuerza externa, ~ F, ~ F = d~ p dt (6.1) (o bien F = md2 x/dt2 para el caso de movimiento monodimensional), exis- te también una ecuación diferencial, denominada ecuación de ondas, que se aplica a todos los fenómenos ondulatorios. La ecuación que describe el comportamiento ondulatorio de una perturbación física, descrita matemá- ticamente por la función u(x, t), que se propaga con velocidad constante v sin distorsión (onda no-dispersiva) a lo largo del eje x viene dada por Ecuación de ondas no dispersiva monodimensional ∂2 u ∂x2 − 1 v2 ∂2 u ∂t2 = 0 . (6.2) Para mostrar que, desde un punto de vista matemático, la ecuación ante- rior describe apropiadamente el fenómeno ondulatorio analizaremos la pro- pagación de un pulso en una cuerda (dado que este ejemplo ofrece una ima- gen visual muy clara). En este caso, la perturbación que se propaga, u(x, t), es justamente el desplazamiento vertical de cada trocito de cuerda. La for- ma del pulso para un instante arbitrario, que podemos tomar como t = 0, se muestra en la Figura 6.1(a), esto es, la forma matemática de la onda en ese instante de tiempo viene completamente descrita por la función f(x). Si tras un tiempo t, el pulso viaja sin distorsión hacia la derecha una distancia a, el perfil de la cuerda será como el mostrado en la Figura 6.1(b), pudiéndose describir matemáticamente por la función f(x − a). Ahora bien, si el pulso está viajando a una velocidad v, entonces la distancia recorrida por el pulso puede escribirse como a = vt y, consecuentemente, la expresión matemática de la onda en el instante t será u(x, t) = f(x − vt) . (6.3) Evidentemente, el pulso podría haber viajado igualmente hacia la izquierda, en cuyo caso, la expresión matemática de la onda viajera en la cuerda sería u(x, t) = f(x + vt) , (6.4) de modo que, en general, un movimiento ondulatorio sin distorsión en la cuerda podría ser descrito por la función u(x, t) = f(χ) siendo χ = x ± vt , (6.5) Física 2 FLML
- 147. 6.2. Nociones generales de ondas 139 f f Figura 6.1: Evolución del pulso en una cuerda en dos instantes que representaría una onda que puede viajar tanto hacia la izquierda como hacia la derecha. Una propiedad muy importante de la ecuación general de ondas es que ésta es lineal, lo que implica que si u1(x, t) y u2(x, t) son soluciones indivi- duales de la ecuación de ondas, entonces la superposición lineal de ambas, u(x, t) = αu1(x, t) + βu2(x, t), también lo es. Esta propiedad de linealidad de la ecuación de ondas simplemente expresa en forma matemática el siguiente principio físico conocido como principio de superposición de ondas: Principio de superposición de ondas la perturbación ondulatoria resultante es igual a la suma de las perturbaciones coincidentes. 6.2.2. Ondas armónicas Según se ha explicado en el apartado anterior, la expresión matemática general de una onda monodimensional no-dispersiva venía dada por (6.5). De entre las posibles formas matemáticas que puede tener este tipo de on- das, hay una especialmente interesante conocida como onda armónica. La forma de una onda armónica es una curva tipo senoidal (seno/coseno), cuya instantánea en t = 0 puede venir dada por la siguiente expresión matemáti- ca: u(x, 0) = A cos 2π λ x . (6.6) La constante A es la amplitud de la onda y representa el valor máximo de la perturbación, λ es la longitud de onda o periodo espacial, esto es, la distan- cia en la que se repite la perturbación (por ejemplo, la distancia entre dos mínimos sucesivos). Si la onda se mueve hacia la derecha con cierta veloci- dad v, la función de onda en cualquier instante de tiempo t posterior vendrá dada por u(x, t) = A cos h2π λ (x − vt) i . (6.7) FLML Física 2
- 148. 140 Tema 6. Ondas Electromagnéticas El tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda se conoce t vt como periodo T, por lo que v = λ T o’ λ = v T . (6.8) El periodo T corresponde igualmente al tiempo empleado por la perturba- ción en realizar una oscilación completa en un punto fijo. Teniendo en cuenta que v/λ = 1/T, u(x, t) puede escribirse como u(x, t) = A cos 2π x λ − t T . (6.9) La expresión anterior indica claramente que la onda armónica muestra una doble periodicidad, tanto en el espacio como en el tiempo: u(x, t) = u(x + nλ, t + mT) . (6.10) Esta doble periodicidad es una consecuencia de la periodicidad temporal de la perturbación en el foco (x = 0), que se refleja en una periodicidad espacial.2 La función de onda armónica puede expresarse en una forma más con- veniente si se definen las dos siguientes cantidades: k = 2π/λ (6.11) ω = 2π/T , (6.12) donde k corresponde a la frecuencia espacial o número de ondas y ω a la frecuencia angular. Combinando las expresiones (6.11) y (6.12) junto con (6.8), obtenemos la siguiente relación para la frecuencia angular y el número de ondas de una onda armónica: ω = vk . (6.13) La frecuencia angular ω suele expresarse comúnmente en términos de la frecuencia temporal, f (siendo ésta la inversa del periodo: f = 1/T) mediante ω = 2πf . (6.14) La frecuencia temporal representa por tanto el número de oscilaciones rea- Unidad de frecuencia: 1 hercio (Hz ≡ s−1 ) lizadas por unidad de tiempo, siendo su unidad el hercio (Hz). Teniendo en cuenta las definiciones dadas en (6.11) y (6.12), la función de onda armónica que viaja en el sentido positivo de las x puede reescribirse como u(x, t) = A cos(kx − ωt) = A cos(ωt − kx) . (6.15) La expresión anterior es un caso particular que impone que la pertur- bación en el origen e instante inicial sea justamente u(x = 0, t = 0) = A. En general, tendremos la siguiente expresión: Expresión matemática de la onda armónica viajando en el sentido positivo de las x 2 De manera análoga a como un pastelero soltando pasteles cada tiempo T en un extremo de una cinta transportadora (periodicidad temporal en el foco) que se mueve con veloci- dad v da lugar a una periodicidad espacial en dicha cinta; esto es, los pasteles aparecen distanciados una distancia que equivaldría a la “longitud de onda”. Física 2 FLML
- 149. 6.3. (*) Ecuación de Ondas Electromagnéticas 141 u(x, t) = A cos(ωt − kx − ϕ) , (6.16) donde el argumento completo del coseno se conoce como fase de la onda y la constante ϕ como fase inicial (que se introduce para posibilitar que en t = 0 la perturbación en el foco, x = 0, pueda tomar un valor arbitrario: u(0, 0) = A cos ϕ). Una onda armónica viajando en el sentido negativo de las x tendrá la siguiente forma general: u(x, t) = A cos(ωt + kx − ϕ) . (6.17) Es importante notar que el carácter viajero de la onda en sentido positivo/- negativo del eje x lo determina la desigualdad/igualdad entre los signos que acompañan a ωt y kx en la fase. Para facilitar las operaciones con ondas armónicas, éstas suelen expre- sarse en forma de exponencial compleja, de manera que la onda armónica dada en (6.16) se escribirá usualmente como Expresión matemática compleja de la onda armónica u(x, t) = Ae−j(kx+ϕ) ejωt (6.18) (ver Apartado 5.3.2 para un repaso de los fasores). Debemos considerar que u(x, t), tal como se ha expresado en (6.16), es solamente la parte real de (6.18); esto es, u(x, t) = A cos(ωt − kx − ϕ) = Re Ae−j(kx+ϕ) ejωt . (6.19) No obstante, en lo que sigue del tema, cuando tratemos con ondas armóni- cas usaremos por simplicidad la notación compleja dada en (6.18), debién- dose sobreentender que la expresión matemática correcta sería la parte real de la expresión compleja correspondiente. 6.3. (*) Ecuación de Ondas Electromagnéticas Según se discutió en el Apartado 6.2.1, la expresión matemática de cual- quier magnitud física que represente a una onda debe satisfacer la ecuación de ondas (6.2). En este sentido, aparte de la idea cualitativa obtenida en el anterior apartado acerca de que Variaciones temporales del campo eléctrico ~ E ⇒ ⇐ Variaciones temporales del campo magnético ~ B , es fundamental comprobar si los campos ~ E y ~ B en el vacío satisfacen la ecuación de ondas para verificar así que efectivamente estos campos son ondas. Por simplicidad en nuestro tratamiento, supondremos campos eléc- tricos/magnéticos del tipo ~ E = ~ E(x, t) ; ~ B = ~ B(x, t) , (6.20) es decir, campos variables en el tiempo cuya dependencia espacial es úni- camente a lo largo de la dirección x. FLML Física 2
- 150. 142 Tema 6. Ondas Electromagnéticas Si estos campos representaran a una onda electromagnética (OEM), és- ta sería una onda electromagnética plana, dado que la perturbación físi- ca (campos ~ E y ~ B) tomaría los mismos valores en los planos definidos por x = Cte; es decir, su frente de ondas serían planos normales al eje x. y z x Si operásemos a partir de las ecuaciones de Maxwell (cuestión que que- da fuera del alcance de este Manual) podríamos demostrar que , efectiva- mente, se satisfacen las siguientes ecuaciones de onda monodimensiona- les para campos eléctricos y magnéticos del tipo ~ E = 0, Ey(x, t), Ez(x, t) y ~ B = 0, By(x, t), Bz(x, t) : Ecuaciones de onda monodimensionales para los campos eléctrico y magnético ∂2~ E ∂x2 − 1 c2 ∂2~ E ∂t2 = 0 (6.21) y ∂2~ B ∂x2 − 1 c2 ∂2~ B ∂t2 = 0 . (6.22) La solución de estas ecuaciones de onda son precisamente OEM planas que se propagan en la dirección x a velocidad c y cuyos campos asociados tienen direcciones normales a la dirección de propagación. En consecuencia puede establecerse que las ondas electromagnéticas planas en el vacío son ondas transversales. También puede demostrarse que el campo eléctrico y el magnético se propagan en el vacío conjuntamente a una velocidad c ≡ v cuyo valor viene dado por c = 1 √ µ00 . (6.23) Al sustituir los valores numéricos de µ0 y de 0 en la expresión anterior se obtiene que c = 2,99792×108 m/s . Dado que la velocidad a la que se propaga el campo electromagnético en el vacío (obtenida de forma teórica mediante manipulaciones en las ecuacio- nes de Maxwell) era muy próxima a la velocidad medida experimentalmente para la luz, esta sorprendente coincidencia sugería que la luz era simple- mente una onda electromagnética. Debe notarse que en el momento en que se dedujo teóricamente la velocidad de propagación del campo electromag- nético se admitía que la luz era una onda pero se discutía sobre la naturaleza de esta onda. Así, por ejemplo, se postulaba que la luz, en analogía con las ondas mecánicas, podía ser una vibración de las partículas de un medio que “impregnaba” todo el universo denominado éter. Esta y otras teorías fueron desechadas a la vista de los trabajos teóricos de Maxwell y a la verificación experimental de las ondas electromagnéticas realizada por Hertz. Por últi- mo cabe señalar que si la onda electromagnética se propaga en un medio homogéneo material de constante dieléctrica relativa, r, entonces la veloci- dad de propagación de la onda electromagnética (es decir, de la luz) en ese medio será v = 1 √ µ00r = c n , (6.24) Física 2 FLML
- 151. 6.4. Ondas electromagnéticas planas armónicas 143 donde n = √ r es un parámetro del medio material que se denomina índice de refracción. 6.4. Ondas electromagnéticas planas armónicas Ya se indicó en el Apartado 6.2.2 que una solución particularmente im- portante de la ecuación de ondas era la solución armónica. Para el caso de ondas electromagnéticas planas, un campo eléctrico~ E(x, t) de tipo armónico que satisfaga la ecuación de ondas (6.21) puede ser descrito por la siguiente expresión: ~ E(x, t) = E0 cos(ωt − kx − ϕ)ŷ . (6.25) El campo magnético asociado a este campo eléctrico armónico en la onda electromagnética puede calcularse a partir de las ecuaciones de Maxwell, lo que nos diría que dicho campo campo viene dado por ~ B(x, t) = B0 cos(ωt − kx − ϕ)ẑ , (6.26) donde B0 = E0 c . (6.27) A la vista de la forma de los campos~ E y~ B dados en (6.25) y (6.26) podemos establecer para la onda electromagnética plana armónica mostrada en la Fig.6.2 que los campos eléctrico y magnético están en fase (es decir, su fase es la misma); y ~ E, ~ B y ~ c (siendo ~ c el vector velocidad de la onda; en el presente caso ~ c = cx̂) forman un triedro rectángulo, es decir, cada uno de estos vectores es perpendicular a los otros dos. E B c x Figura 6.2 Las dos anteriores conclusiones junto con la relación (6.27) pueden ser expresadas matemáticamente mediante la siguiente relación vectorial que cumplen los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética plana armónica: ~ E = ~ B ×~ c . (6.28) FLML Física 2
- 152. 144 Tema 6. Ondas Electromagnéticas Ejemplo 6.1 Una onda electromagnética plana armónica de frecuencia f = 3 GHz viaja en el espacio libre en la dirección x. El valor máximo del campo eléctrico es de 300 mV/m y está dirigido según el eje y. Calcular la longitud de onda de esta onda así como las expresiones temporales de sus campos eléctrico y magnético. Dado que f = 3 GHz, la longitud de onda asociada a esta frecuencia será λ = c f = 3×108 3×109 = 10 cm . Asimismo, el número de ondas, k, y la frecuencia angular, ω, de esta onda serán ω = 2πf = 6π×109 rad/s y k = ω c = 6π×109 3×108 = 20π m−1 . Si el campo eléctrico, ~ E, de la onda plana armónica que viaja según x está diri- gido según y, este campo vendrá dado por la siguiente expresión: ~ E(x, t) = E0 cos(kx − ωt)ŷ , donde E0 representa la amplitud del campo que coincide con el valor máximo de éste, luego E0 = 0,3 V/m. Dado que no nos han especificado nada acerca de la fase inicial, por simplicidad tomamos ésta de valor nulo (ϕ = 0). Según se ha visto en el presente apartado, la expresión correspondiente para el campo magnético de esta onda será entonces ~ B(x, t) = B0 cos(kx − ωt)ẑ , siendo, según la expresión (6.27): B0 = E0 c = 3×10−1 3×108 = 10−9 T . Finalmente, las expresiones temporales de los campos~ E y ~ B de esta onda elec- tromagnética serán ~ E(x, t) = 0,3 cos(20πx − 6π×109 t) ŷ V/m ~ B(x, t) = 10−9 cos(20πx − 6π×109 t) ẑ T . 6.5. Intensidad de la onda electromagnética Una de las propiedades más significativas de la OEM es que transporta energía a través del espacio libre. Así, la onda electromagnética que trans- mite la luz de una estrella (que ha viajado durante muchos millones de ki- lómetros antes de llegar a la Tierra) tiene todavía suficiente energía como para hacer reaccionar a los receptores de nuestros ojos. Cuando estamos tratando con ondas, la magnitud relevante para caracterizar el contenido energético de las mismas es su intensidad, I (no confundir con la intensi- dad, I, de una corriente eléctrica, que aunque tiene el mismo nombre es una magnitud completamente diferente). Física 2 FLML
- 153. 6.5. Intensidad de la onda electromagnética 145 La intensidad de una onda se define como la energía que fluye por uni- dad de tiempo a través de una superficie de área unidad situada perpendi- cularmente a la dirección de propagación. Si u es la densidad volumétrica de energía de la onda (esto es, la energía por unidad de volumen contenida en la región donde se propaga la onda) y c la velocidad de propagación de la onda, la intensidad I de la onda puede escribirse como Intensidad de la onda I = uc , (6.29) cuyas unidades son (ms−1 )(Jm−3 )=Js−1 m−2 =Wm−2 ; es decir, potencia por uni- dad de área. A la vista de la anterior expresión, para calcular la intensidad de la onda electromagnética debemos obtener en primer lugar la densidad volumétrica de energía asociada con esta onda. La energía del campo eléctrico y del mag- nético ya se discutió en en el Tema 1, donde se obtuvieron las expresiones (1.68) y (4.56) respectivamente. Concretamente se obtuvo que uE = 1 2 0|~ E|2 densidad de energía eléctrica (6.30) uB = |~ B|2 2µ0 densidad de energía magnética , (6.31) por lo que la intensidad (también denominada intensidad instantánea: Iinst) de la onda electromagnética vendrá dada por Iinst = (uE + uB)c . (6.32) Intensidad instantánea de una onda electromagnética Para OEM planas armónicas, encontramos que la relación entre los mó- dulos de los campos eléctrico y magnético de la onda verificaban que |~ E| = c|~ B|. Esto nos permite escribir la densidad volumétrica de energía almace- nada en el campo magnético como uB = |~ B|2 2µ0 = |~ E|2 2µ0c2 = 1 2 0|~ E|2 , (6.33) donde se ha tenido en cuenta que c2 = 1/µ00. FLML Física 2
- 154. 146 Tema 6. Ondas Electromagnéticas Hemos obtenido, por tanto, que para una onda plana electromagnética armónica, la densidad de energía almacenada en el campo magnético es idéntica a la almacenada en el campo eléctrico, esto es, Igualdad de las densidades de energía eléctrica y magnética en una OEM plana armónica uE = uB . (6.34) La anterior igualdad nos permite escribir las siguientes expresiones para la densidad de energía de dicha onda electromagnética, uEB: uEB = uE + uB = 1 2 0|~ E|2 + 1 2 0|~ E|2 = 0|~ E|2 = |~ B|2 µ0 = |~ E||~ B| µ0c , (6.35) y, consecuentemente, podemos expresar la intensidad instantánea de dicha onda como Iinst = uEBc = c0|~ E|2 = c |~ B|2 µ0 = |~ E||~ B| µ0 . (6.36) En el espacio libre, la energía de la OEM plana armónica viaja en la di- rección de propagación de la onda, esto es, en una dirección perpendicular tanto a~ E como ~ B. Por otra parte, para este tipo de ondas, la intensidad de la onda se puede expresar, según (6.36), en función de los módulos de los cam- pos eléctrico y magnético de la onda. Todo ello nos sugiere la introducción de un vector ~ S, denominado vector de Poynting, que caracterice energéti- camente a la onda electromagnética y que tendrá por dirección la dirección de propagación de la energía y por módulo la intensidad instantánea de la OEM. A la vista de las expresiones anteriores, para una onda electromag- nética plana armónica, este vector vendrá dado por el siguiente producto vectorial: Vector de Poynting ~ S(~ r, t) = ~ E × ~ B µ0 . (6.37) Aunque la expresión anterior del vector de Poynting se ha obtenido para el caso concreto de una onda plana armónica, cálculos más elaborados mues- tran que la expresión (6.37) tiene validez general para cualquier tipo de onda electromagnética. Para la onda plana armónica discutida en el apartado anterior, el vector de Poynting puede escribirse como ~ S(x, t) = c0E2 0 cos2 (ωt − kx − ϕ)x̂ = cuEBx̂ , (6.38) por lo que la intensidad instantánea de esta onda será Iinst(x, t) = c0E2 0 cos2 (ωt − kx − ϕ) . (6.39) Tal y como se comentó en el Apartado 5.6, los valores instantáneos de mag- nitudes energéticas armónicas no tienen mucho interés práctico dado que estas magnitudes suelen variar muy rápidamente (por ejemplo, del orden de 1015 veces en un segundo para la luz). Es, por tanto, más significativo ob- tener el promedio de la intensidad, Imed, en un periodo de tiempo, para lo Física 2 FLML
- 155. 6.6. Interferencia de Ondas 147 cual debemos promediar temporalmente (6.39): Imed = hIinst(x, t)i = c0E2 0 1 T Z T 0 cos2 (ωt − kx − ϕ) dt = c0E2 0 2 = 1 2 E0B0 µ0 . (6.40) Intensidad promedio de una onda electromagnética armónica Ejemplo 6.2 Sabiendo que la amplitud del campo eléctrico de la radiación solar que llega a la superficie terrestre es de aproximadamente E0 = 850 V/m, calcule la potencia total que incidiría sobre una azotea de 100 m2 . Para calcular la potencia promedio que incide en una superficie S debemos primero obtener el valor de la intensidad promedio, Imed, de la OEM. En este caso dado que conocemos el valor de la amplitud del campo eléctrico, esta intensidad vendrá dada por Imed = 1 2 c0E2 0 = 3×108 × 8,85×10−12 2 × (850)2 ≈ 959 W/m2 . Una vez calculada la intensidad promedio, la potencia promedio, Pmed, que in- cide sobre la superficie será simplemente Pmed = ImedS = 959 · 100 ≈ 9,6×104 W . Aunque esta potencia es realmente alta, debe tenerse en cuenta que está dis- tribuida en una área grande y que su aprovechamiento total es imposible. De hecho con placas solares típicas se podría transformar en potencia eléctrica aproxima- damente el 10 % de la radiación solar, debiéndose tener en cuenta además que los datos dados en el problema se refieren a las horas de iluminación de días soleados. 6.6. Interferencia de Ondas Cuando dos o más ondas coinciden en el espacio en el mismo instante de tiempo se produce un fenómeno que se conoce como interferencia. El principio de superposición de ondas establece que cuando dos o más ondas coinciden en un punto y en un instante de tiempo, la perturbación resultante es simplemente la suma de las perturbaciones individuales (este principio ya fue relacionado en el Apartado 6.2.1 con la linealidad de la ecuación de ondas). En consecuencia, la perturbación resultante en un punto P y en un instante de tiempo t, u(P, t), debido a la coincidencia de N ondas ui(x, t) se obtendrá mediante la siguiente expresión: u(P, t) = N X i=1 ui(P, t) . (6.41) FLML Física 2
- 156. 148 Tema 6. Ondas Electromagnéticas 6.6.1. Superposición de dos ondas electromagnéticas planas armó- nicas Para estudiar los aspectos cuantitativos de la interferencia considerare- mos la superposición de dos ondas electromagnéticas planas armónicas de la misma frecuencia pero distinta amplitud y fase inicial en cierto punto P, cuyos campos eléctricos vienen dados por P F1 F2 r1 r2 ~ E1(~ r, t) = E0,1 cos(ωt − kr − ϕ1)ŷ y ~ E2(~ r, t) = E0,2 cos(ωt − kr − ϕ2)ŷ . Si r1 y r2 son las distancias desde los focos respectivos (F1 y F2) al punto P, usando el principio de superposición, la componente y del campo eléctrico resultante vendrá dada por Ey(P, t) = Ey1(r1, t) + Ey2(r2, t) . (6.42) Si hacemos uso de la notación compleja introducida en (6.18), la perturba- ción total en el punto P puede obtenerse como la siguiente suma: Ey(P, t) = E0,1e−j(kr1−ωt+ϕ1) + E0,2e−j(kr2−ωt+ϕ2) , que puede reescribirse tras definir εi = kri + ϕi (6.43) como Ey(P, t) = h E0,1e−jε1 + E0,2e−jε2 i ejωt =E0(P)e−jε(P) ejωt , (6.44) donde E0(P) y ε(P) representan respectivamente la amplitud y la fase de la componente y del campo eléctrico resultante en el punto P. Operando en (6.44) encontramos que E0(P)e−jε(P) =E0,1e−jε1 + E0,2e−jε2 = E0,1 cos ε1 − jE0,1 sen ε1 + E0,2 cos ε2 − jE0,2 sen ε2 = E0,1 cos ε1 + E0,2 cos ε2 − j E0,1 sen ε1 + E0,2 sen ε2 , (6.45) de donde obtenemos que la amplitud puede ser calculada como sigue: E2 0(P) = E2 0,1 cos2 ε1 + E2 0,2 cos2 ε2 + 2E0,1E0,2 cos ε1 cos ε2+ E2 0,1 sen2 ε1 + E2 0,2 sen2 ε2 + 2E0,1E0,2 sen ε1 sen ε2 = E2 0,1 + E2 0,2 + 2E0,1E0,2 cos(ε1 − ε2) , esto es, E0(P) = q E2 0,1 + E2 0,2 + 2E0,1E0,2 cos δ(P) , (6.46) Amplitud interferencia de 2 ondas armónicas de igual frecuencia Física 2 FLML
- 157. 6.6. Interferencia de Ondas 149 siendo δ(P) = kr1 − kr2 + ϕ1 − ϕ2 = k∆r + ∆ϕ . (6.47) En la expresión anterior, δ(P) se denomina diferencia de fase, ∆r = r1 − r2 se conoce como diferencia de camino entre el recorrido de las dos ondas al propagarse desde los focos respectivos hasta el punto P y ∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 es la diferencia de fase inicial entre las dos ondas. El último término de la expresión anterior, 2E0,1E0,2 cos δ(P) , se denomina usualmente término de interferencia puesto que es el respon- sable de que la amplitud de la interferencia dependa de la diferencia de camino hasta el punto P. En concreto, si notamos que −1 ≤ cos δ(P) ≤ 1 encontraremos que la amplitud en un punto podrá tomar en general valores comprendidos entre (E0,1 − E0,2) ≤ E0(P) ≤ (E0,1 + E0,2) . (6.48) Para obtener la intensidad resultante de la superposición de las dos on- das electromagnéticas planas armónicas de igual frecuencia en el punto P, debemos tener en cuenta que, según (6.39), la intensidad de dichas ondas depende del cuadrado de la amplitud (I ∝ E2 0). En consecuencia, a partir de (6.46), podemos deducir que la intensidad resultante será I(P) = I1 + I2 + 2 p I1I2 cos δ(P) . (6.49) 6.6.2. Focos incoherentes En el apartado anterior observamos que la amplitud resultante en el punto P oscilaba entre dos valores dependiendo del valor concreto de δ en dicho punto. No obstante, en la práctica ocurre frecuentemente que la dife- rencia de fase no es constante en el tiempo sino que δ = δ(t). Esto puede ser causado por una posible variación temporal de las condiciones de emisión de los focos (usualmente en tiempos característicos menores que 10−10 s) debida, por ejemplo, a que 1. La frecuencia de los focos no es estrictamente constante sino que pre- senta pequeñas fluctuaciones arbitrarias que provocan que el número de ondas (y equivalentemente la longitud de onda) oscile ligeramente en torno a cierto valor promedio, hki k(t) = hki + ∆k(t) . FLML Física 2
- 158. 150 Tema 6. Ondas Electromagnéticas 2. Las fases iniciales de los dos focos presentan fluctuaciones al azar de modo que las funciones ϕ1(t) y ϕ2(t) no están correlacionadas de ninguna manera, dando lugar a que la diferencia de fase inicial sea una función del tiempo, ∆ϕ = ϕ1(t) − ϕ2(t) = f(t) , que varía igualmente al azar. Cuando nos encontramos con alguna de las condiciones anteriores decimos que los focos son incoherentes. Debido a esta rápida variación arbitraria en el tiempo de la diferencia de fase, el término de interferencia se anula en promedio durante el intervalo de observación debido a que el valor medio del coseno de un argumento que varia al azar es cero: hcos δ(t)i = 1 T Z T 0 cos δ(t) dt = 0 . Esto hecho implica que la intensidad promedio en el punto P, hI(P)i = Imed, venga dada por Imed = Imed,1 + Imed,2 focos incoherentes. (6.50) Notemos que en el presente caso de focos incoherentes, la anulación en promedio del término de interferencia hace que la intensidad de la pertur- bación no dependa de la posición del punto de observación. Este hecho pro- voca que aunque podamos, en un sentido estricto, hablar de interferencia, ésta no será observable y usualmente diremos que “no existe interferencia”. A menudo cuando se habla de un único foco también podemos decir que este foco es “incoherente”. En este caso, en realidad estamos queriendo decir que este único foco tiene cierta extensión espacial, y que las distintas partes del foco (asimilables a diversos focos puntuales) no son coherentes entre sí. 6.6.3. Focos coherentes Cuando la frecuencia de los focos es constante y sus fases iniciales están completamente correlacionadas, de modo que ∆ϕ = ϕ1(t) − ϕ2(t) 6= f(t) , manteniendo una diferencia de fase inicial constante, se dice que los dos focos son coherentes. En el caso de que ∆ϕ = 0, δ sólo dependerá de la diferencia de camino (en general ∆r), δ = k∆r = 2π∆r/λ , (6.51) dando lugar así a una interferencia que sí podría ser observable debido a que el término de interferencia no se anula ahora en promedio. En las circunstancias anteriores, podemos distinguir dos casos de inte- rés, dependiendo de si cos δ es 1 o’ -1, esto es, si E0(P) adquiere su valor Física 2 FLML
- 159. 6.6. Interferencia de Ondas 151 máximo (interferencia constructiva) o bien su valor mínimo (interferencia destructiva). Por tanto, si δ = ( 2nπ ⇒ E0(P) = E0,1 + E0,2 Interferencia Constructiva (2n + 1)π ⇒ E0(P) = E0,1 − E0,2 Interferencia Destructiva. (6.52) Teniendo en cuenta (6.51), la condición de interferencia constructiva o des- tructiva para ∆r en P vendrá dada por ∆r = nλ Interferencia Constructiva (2n + 1) λ 2 Interferencia Destructiva ; (6.53) es decir, si la diferencia de camino es un múltiplo entero/semientero de la longitud de onda, entonces tendremos interferencia constructiva/destruc- tiva. Desde un punto de vista práctico, una forma usual de producir focos coherentes es generar dos focos secundarios a partir de la misma fuente primaria, asegurando así que la diferencia de fase inicial en los dos focos se- cundarios es una constante. Uno de los primeros experimentos que mostró el fenómeno de interferencia con luz es el experimento de la doble rendija de Young mostrado en la Figura 6.3(a), constatando así de forma convincen- te que la luz tenía naturaleza ondulatoria. En este experimento la luz (u otra Figura 6.3: Experimento de la doble rendija de Young perturbación ondulatoria) proveniente de un foco primario S se hace pasar por una pantalla en la que se han realizado dos ranuras S1 y S2 separadas una distancia d. Las rendijas se comportan como dos focos coherentes de luz cuyas ondas interfieren en el semiespacio derecho. Este fenómeno provoca un patrón de interferencias en la pantalla SD donde aparecen regiones som- breadas (dibujadas en negro) junto a regiones más iluminadas tal y como se muestra en la Figura 6.4. En este experimento tenemos que la amplitud de FLML Física 2
- 160. 152 Tema 6. Ondas Electromagnéticas Figura 6.4: Patrón de interferencia resultante en el experimento de la doble rendija de Young las ondas que interfieren es idéntica, esto es, E0,1 = E0,2 . Si además consideramos que la pantalla SD se coloca a una distancia de las rendijas tal que D d y admitimos que θ es muy pequeño, entonces, según muestra la Fig. 6.3(b), encontramos que la diferencia de camino en un punto de la pantalla de coordenada y viene dada por ∆r = d sen θ ≈ d tan θ ≈ d y D . (6.54) En consecuencia, el patrón de interferencia obtenido en la pantalla SD mos- trará franjas de interferencia constructiva o bien destructiva según se cum- plan las siguientes condiciones: Interferencia constructiva, y = yM: k∆r = 2nπ ⇒ 2π λ d yM D = 2nπ , (6.55) de donde se deduce que las franjas y = yM de interferencia constructiva verifican yM = n D d λ , (6.56) siendo la intensidad media de la onda en estas franjas: Imed = 4Imed,1. Interferencia destructiva, y = ym: k∆r = (2n + 1)π ⇒ 2π λ d ym D = (2n + 1)π , (6.57) de donde se deduce que las franjas y = ym de interferencia destructiva verifican ym = 2n + 1 2 D d λ , (6.58) siendo la intensidad de la onda en estas franjas Imed = 0. Física 2 FLML
- 161. 6.7. (*) Difracción 153 Nótese que la diferencia ∆y entre un máximo y un mínimo consecutivo es ∆y = D d λ 2 . (6.59) Esta expresión nos proporciona adicionalmente un procedimiento muy sen- cillo para determinar el valor de la longitud de onda a partir de la medida de la distancia entre franjas de interferencia constructiva y destructiva. Es interesante notar que en las franjas de interferencia constructiva se ha obtenido que la intensidad media es cuatro veces (y no dos) el valor de la intensidad media proporcionada por cada uno de los focos. Esto parece violar el principio de conservación de la energía, aunque tal hecho no se produce puesto que la energía de la onda no se distribuye homogéneamente en la pantalla SD sino que, debido a la interferencia, existen puntos donde la energía es mayor que la suma de las energías provenientes de los focos pero también existen otros puntos donde la energía es menor (incluso cero) que la proveniente de los focos. Ejemplo 6.3 Un foco de luz amarilla (λ = 600 nm) incide sobre dos rendijas sepa- radas una distancia d, observándose la interferencia de la luz proveniente de estas rendijas en una pantalla situada a una distancia de 3 m. Obtener la separación d entre las rendijas para que la distancia entre máximos y mínimos consecutivos del patrón de interferencia luminoso sea mayor que 5 mm. Según la teoría expuesta anteriormente, la distancia entre máximos y mínimos consecutivos en el experimento de la doble rendija de Young viene dado por ∆y D d λ 2 . Al despejar en la expresión anterior d encontramos que d Dλ 2∆y = 3 · 6×10−7 2 · 5×10−3 = 1,8×10−4 m = 180 µm . El resultado anterior nos muestra que la separación entre rendijas debe ser muy pequeña (y aún menor si ∆y se quiere mayor) por lo que en la práctica no es fácil llevar a cabo este experimento. 6.7. (*) Difracción Uno de los fenómenos ondulatorios más característicos es el conocido como difracción. Este fenómeno se produce cuando una onda es distorsiona- da en su propagación por un obstáculo, aunque también se llama difracción a la interferencia producida por muchos focos coherentes elementales. Des- de el punto de vista físico, la difracción no se diferencia básicamente de la interferencia puesto que ambos fenómenos son fruto de la superposición de ondas. La difracción es, por ejemplo, la causa de la desviación de la luz de una trayectoria recta, explicando así por qué la luz llega a puntos que, en FLML Física 2
- 162. 154 Tema 6. Ondas Electromagnéticas principio, no debería alcanzar si su propagación fuese estrictamente rectilí- nea. Un ejemplo de difracción puede verse en la Fig. 6.5(b), que muestra el patrón de sombras cuando una fuente de luz coherente ilumina una esquina recta. En la Fig. 6.5(a) se muestra esta misma sombra cuando no se produce difracción (por ejemplo, cuando la fuente de luz es incoherente). Intensidad Intensidad Distancia Distancia Sombra geométrica Borde Borde a) b) Figura 6.5: Sombra producida por una esquina recta iluminada por una fuente de luz cuando: (a) no se produce difracción, (b) sí se produce difracción En el presente estudio de la difracción, consideraremos únicamente la denominada difracción de Fraunhofer, que se presenta cuando las ondas in- cidentes pueden considerarse planas y el patrón de difracción es observado a una distancia lo suficientemente lejana como para que solo se reciban los rayos difractados paralelamente. Por ello consideraremos que la onda inci- dente es una onda electromagnética plana armónica cuyo campo eléctrico está dirigido en la dirección y (de forma similar a como hemos hecho en apartados anteriores). Para obtener la perturbación resultante haremos uso del principio de Huygens, que explica la propagación ondulatoria suponien- do que cada punto de un frente de ondas primario se comporta como un foco de ondas esféricas elementales secunda- rias que avanzan con una velocidad y frecuencia igual a la onda primaria. La posición del frente de ondas prima- rio al cabo de un cierto tiempo es la envolvente de dichas ondas elementales. Siguiendo este principio, cuando un frente de onda alcanza una pantalla en la que existe una rendija de anchura b, tal y como se muestra en la Figura 6.6, sólo aquellos puntos del frente de ondas coincidentes con la rendija se convierten en focos emisores secundarios, de modo que la perturbación ondulatoria en cualquier punto a la derecha de la rendija puede calcularse como la superposición de las ondas originadas en cada uno de estos focos secundarios (ver Figura 6.6b). En este sentido, y a efectos de cálculo, supondremos que existen N focos Física 2 FLML
- 163. 6.7. (*) Difracción 155 (a) (b) S1 SD P b S2 SN r R q ( ) N-1 r D Intensidad x Figura 6.6: (a) Difracción de Fraunhofer de una rendija rectangular; (b) Cada punto de la rendija se comporta como un foco puntual emisor de ondas secundarias. puntuales equiespaciados en la rendija. El camo eléctrico de la onda electro- magnética resultante, Ey(r, t), en cierto punto P de una pantalla SD (situada a una distancia D d) será fruto de la interferencia de un gran número de fuentes equiespaciadas de igual amplitud y fase inicial, esto es, Ey(P, t) = N X n=1 E0e−j(krn−ωt) , (6.60) donde rn es la distancia desde el foco secundario n-ésimo hasta el punto P y E0 la amplitud constante de cada onda elemental. Notemos que, bajo la presente aproximación, todos los rayos que llegan a P se consideran parale- los. Si llamamos r a la distancia desde el foco 1 hasta P y ∆r a la diferencia de camino entre la perturbación que llega a P desde un foco y el siguiente, rn puede escribirse como rn = r + (n − 1)∆r . La perturbación en P según (6.60) puede entonces expresarse como Ey(P, t) = E0 h e−jkr + e−jk(r+∆r) + e−jk(r+2∆r) + ... i ejωt = E0 h 1 + e−jφ + e−2jφ + ... + e−(N−1)jφ i e−j(kr−ωt) , (6.61) donde φ = k∆r, lo que nos lleva a identificar la suma entre corchetes como una serie geométrica, Sg, de razón q = e−jφ. Dado que la suma de la siguiente serie geométrica viene dada por 1 + q + q2 + ... + qN−1 = 1 − qN 1 − q , FLML Física 2
- 164. 156 Tema 6. Ondas Electromagnéticas el resultado de la serie geométrica en (6.61) puede expresarse como Sg = 1 − ejNφ 1 − ejφ = ejNφ/2 ejφ/2 e−jNφ/2 − ejNφ/2 e−jφ/2 − ejφ/2 = sen(Nφ/2) sen(φ/2) ej(N−1)φ/2 , por lo que Ey(P, t) = E0 sen(kN∆r/2) sen(k∆r/2) e−j[k(r+ N−1 2 ∆r)−ωt] . (6.62) La expresión anterior puede reescribirse como Ey(P, t) = EP e−j(kR−ωt) , (6.63) donde R = r + N − 1 2 ∆r es la distancia desde el centro de la rendija al punto P y EP = E0 sen(kN∆r/2) sen(k∆r/2) (6.64) es la amplitud resultante de la componente y del campo eléctrico en P. Da- do que esta amplitud varía en cada punto de la pantalla, también lo hará la intensidad de la onda, formando lo que se conoce como un patrón de difracción: Imed(θ) Imax med = sen2 (Nk∆r/2) sen2(k∆r/2) . (6.65) Claramente existe un mínimo en la intensidad de la perturbación cuando EP → 0, esto es, cuando el numerador de (6.64) sea cero, sen(kN∆r/2) = 0 , es decir, cuando el argumento verifica que kN∆r/2 = mπ . (6.66) Según se puede deducir de la Fig. 6.6(b) (si N ): N∆r ≈ (N − 1)∆r = b sen θ , por lo que la condición de mínimo (6.66) para EP puede reescribirse como 2π λ b sen θ 2 = mπ , (6.67) o equivalentemente b sen θm = mλ m = 1, 2, ... (6.68) Condición de intensidad nula en la difracción por una rendija Física 2 FLML
- 165. 6.8. Ondas estacionarias 157 El primer mínimo (o mínimo de primer orden) ocurre para m = 1, verifi- cándose entonces que sen θ1 = λ b . (6.69) Puede observarse que si λ b, θ1 ≈ 0, por lo que apenas se observará patrón de difracción, es decir, la zona de sombra aparece bien definida tal como ocurriría si la onda se propagase en línea recta. A medida que el co- ciente λ/b crece, el ángulo θ1 aumenta, haciéndose, por tanto, más evidente el fenómeno de difracción. En general, los fenómenos de difracción son más apreciables cuando las dimensiones de la rendija son del orden de la longi- tud de onda de la perturbación ondulatoria (no obstante, debe tenerse en cuenta que el análisis efectuado para obtener la expresión (6.68) es sólo vá- lido si λ b, puesto que de otro modo el seno sería mayor que uno para todo valor de m). Ejemplo 6.4 Hallar la anchura de la franja central del patrón de difracción produ- cido en una pantalla situada a una distancia de 5 m de una rendija de anchura 0.3 mm por la que se ha hecho pasar una luz laser de 600 nm. La anchura de la franja central puede obtenerse a partir del ángulo θ1 que nos da el primer mínimo en el patrón de difracción. Según la expresión (6.69), este ángulo viene dado por sen θ1 = λ b = 6×10−7 m 3×10−4m = 2×10−3 . Dado que sen θ1 , tenemos que sen θ1 ≈ tan θ1 y, por tanto, la anchura de la franja central será 2a = 2D tan θ1 ≈ 2 · 5 · 2×10−3 = 20 mm . 6.8. Ondas estacionarias Observemos que cuando una perturbación viaja hacia la izquierda por una cuerda, al llegar al extremo, ésta se refleja de la forma mostrada en la u x,t 1( ) onda incidente x= 0 u x,t 2( ) onda reflejada figura adjunta. Este fenómeno ondulatorio también se dará para ondas elec- tromagnéticas cuando dichas ondas son reflejadas por “espejos”. Conside- remos entonces una onda electromagnética plana armónica viajando hacia la izquierda con un campo eléctrico dado por (suponemos, por simplicidad, que la fase inicial de la onda es nula, ϕ = 0) ~ E1(x, t) = E0,1 cos(ωt + kx)ŷ . Al llegar al punto x = 0, la onda se refleja en un espejo dando lugar a otra onda armónica viajando hacia la derecha cuyo campo eléctrico vendrá dado por ~ E2(x, t) = E0,2 cos(ωt − kx)ŷ . FLML Física 2
- 166. 158 Tema 6. Ondas Electromagnéticas Dado que las dos ondas viajeras anteriores se encuentran en una misma región del espacio darán lugar a un fenómeno típico de superposición o in- terferencia. Puesto que en el punto x = 0 la amplitud del campo electromagnético debe ser nula para cualquier instante de tiempo (por hipótesis ésta es la condición de reflexión “ideal” en un espejo), tendremos que la componente y del campo resultante en este punto cumlirá Ey(0, t) = E0,1 cos(ωt) + E0,2 cos(ωt) = (E0,1 + E0,2) cos ωt = 0 , (6.70) de donde se deduce que E0,1 = −E0,2. Como las dos ondas electromagnéticas anteriores coinciden simultánea- mente en la misma región del espacio, la superposición de ambas (usando notación compleja) hará que la componente y del campo eléctrico de la onda electromagnética resultante venga dada por Ey(x, t) = −E0,2ej(ωt+kx) + E0,2ej(ωt−kx) = E0,2(−ejkx + e−jkx ) ejωt = E0 sen(kx)ej(ωt−π/2) (6.71) (donde E0 = 2E0,2 y −j se ha escrito como e−jπ/2 ), cuya parte real puede finalmente escribirse como Ey(x, t) = E0 sen kx sen ωt . (6.72) Nótese que en la expresión (6.72) no aparecen explícitamente expresiones del tipo f(ωt±kx), lo que indica que esta perturbación no puede identificar- se ya simplemente con una onda viajera, sino que constituye un nuevo tipo de onda conocido como onda estacionaria. En este tipo de perturbación ya no podemos decir que la energía viaja de un punto a otro sino que, como muestra la Fig. 6.7, esta onda estacionaria corresponde a una situación en Figura 6.7: Instantánea de la onda estacionaria en t = t0. Los nodos están separados una distancia λ/2. la que cada punto del espacio está sometido a un campo eléctrico caracte- rizado por una oscilación armónica simple cuya “amplitud” es una función de x, E0(x), pudiéndose escribir entonces que Ey(x, t) = E0(x) sen ωt , (6.73) Física 2 FLML
- 167. 6.8. Ondas estacionarias 159 siendo E0(x) = E0 sen kx . (6.74) Observemos que en la situación anterior podemos encontrar puntos deno- minados nodos donde el campo eléctrico es nulo para todo instante de tiem- po. Estos puntos son aquellos que verifican que E0(x) es cero, es decir, aque- llos que satisfacen la siguiente condición: kx = nπ ⇒ xnodo = n λ 2 , (6.75) siendo la distancia entre dos nodos sucesivos una semilongitud de onda (recuérdese que la longitud de onda está determinada por la frecuencia y la velocidad de propagación de la onda: λ = c/f). Si ahora imponemos al problema anterior una segunda condición con- sistente en colocar un segundo espejo en el punto x = L, entonces ha de verificarse igualmente que Ey(L, t) = 0 , lo cual requiere que sen kL = 0 ⇒ kL = nπ . (6.76) La condición anterior implica que tanto el número de ondas como la longi- tud de onda de la onda electromagnética estacionaria resultante sólo pue- den tomar ciertos valores discretos (fenómeno conocido como cuantización) dados por kn = n π L = π L , 2π L , 3π L , ... (6.77) λn = 2L n = 2L, 2L 2 , 2L 3 , ... (6.78) Vemos entonces que la imposición de (6.76) ha limitado los valores de las longitudes de onda de la onda electromagnética en la región del espacio limitada por los dos espejos a aquellos valores que cumplan la condición (6.78). De forma análoga, las frecuencias permitidas serán aquéllas que cum- plan ωn = ckn = c nπ L . (6.79) En consecuencia podemos concluir que tanto las longitudes de onda como las frecuencias permitidas están cuantizadas y que esta cuantización es fruto de la imposición de condiciones de contorno en las fronteras de cierta región del espacio. FLML Física 2
- 168. 160 Tema 6. Ondas Electromagnéticas Ejemplo 6.5 En el montaje de la figura se genera una onda estacionaria en la región entre la bocina emisora y la pantalla metálica (espejo). Supuesto que el detector de campo eléctrico nos dice que la distancia mínima entre los mínimos de amplitud de campo están situados a 15 cm, determine la frecuencia de la onda emitida por la bocina. Osciloscopio Generador de microondas Bocina Detector Teniendo en cuenta que la distancia entre mínimos de amplitud de campo eléc- trico viene determina por la expresión (6.75), y que la distancia entre dos nodos sucesivos es ∆ = λ/2, tenemos entonces que la longitud de onda será λ = 2∆ = 2 · 0,15 = 0,3 m . Considerando ahora la relación existente entre la frecuencia y la longitud de onda (λ = cf) tendremos que la frecuencia emitida es f = λ c = 0,3 3×108 = 1 GHz . Finalmente observemos que en la región limitada por los espejos, ca- da una de las ondas electromagnéticas estacionarias permitidas posee un campo eléctrico cuya componente y responde a la siguiente expresión: Ey,n(x, t) = E0,n sen(knx) sen(ωnt + ϕn) , que se denominan genéricamente como armónicos. Estos armónicos pre- sentan la importante propiedad de que cualquier perturbación electromag- nética queen pueda existir en dicha región puede expresarse como una su- perposición de ellos, esto es, Ey(x, t) = ∞ X n=1 E0,n sen(knx) sen(ωnt + ϕn) = ∞ X n=1 E0,n sen(nk1x) sen(nω1t + ϕn) , (6.80) siendo k1 = π L , ω1 = v π L y E0,n la amplitud del n-ésimo armónico (esta amplitud será distinta en cada caso particular). El resultado anterior puede considerarse como una conclu- sión particular de un teorema más general, llamado teorema de Fourier, que básicamente dice que una función periódica puede expresarse como la su- ma de senos/cosenos cuyas frecuencias son un número entero de veces la frecuencia original del problema (un tratamiento detallado de este teorema puede encontrarse en cualquier libro de Cálculo). Física 2 FLML
- 169. 6.9. Espectro electromagnético 161 10 3 10 3 10 0 10 -3 10 -6 10 -9 10 -12 10 6 1 MHz - 1 kHz - - 1 km - 1 m - 1 cm - 1 nm - 1 m m 1 GHz - 1 THz - Frecuencia ( Hz) Longitud de onda (m) 10 9 10 12 10 15 10 18 10 21 - 1 A Ondas de Radio TV, FM Microondas Infrarrojo Visible Ultravioleta Radiofrecuencia Rayos Gamma Rayos X Figura 6.8: Espectro electromagnético 6.9. Espectro electromagnético Uno de los aspectos más interesantes de las ondas electromagnéticas es que distintos fenómenos ondulatorios aparentemente inconexos como la luz, las ondas de radio, las microondas, los rayos X, los rayos gamma, etc, son todos ellos ondas electromagnéticas que se diferencian simplemente por su distinta frecuencia y longitud de onda. Todos los fenómenos anteriores son básicamente campos eléctricos y magnéticos oscilantes a determinada frecuencia. En el espacio libre, la relación entre la frecuencia f y la longitud de onda λ viene dada por λ = c f . (6.81) El conjunto de todas las radiaciones electromagnéticas se conoce espectro electromagnético, distinguiéndose en él las distintas denominaciones que toman las ondas electromagnéticas en función de la frecuencia, tal como se muestra en la Fig. 6.8. A lo largo de este tema hemos visto cómo la longitud de onda y la fre- cuencia determinan fundamentalmente las propiedades de la onda. En este sentido se vio en el Apartado 6.7 que los fenómenos de difracción dependían básicamente de la relación entre la longitud de onda y el tamaño físico de los objetos donde se producía la difracción. Esto justificaba que los efectos de difracción de la luz sean apenas perceptibles debido a la corta longitud de onda de la luz visible (400 . λ(nm) . 700) y que, por tanto, la luz pueda ser considerada en muchas situaciones prácticas como un rayo. La misma explicación sirve para entender por qué grandes obstáculos como edificios o montes no afectan drásticamente a la propagación de ondas de radio lar- FLML Física 2
- 170. 162 Tema 6. Ondas Electromagnéticas gas (107 . λ(m) . 102 ). La interacción de la onda electromagnética con la materia también depende básicamente de la longitud de la onda y así, la pequeña longitud de onda de los rayos X (10−12 . λ(m) . 10−8 ) es la que explica por qué estos rayos pueden atravesar fácilmente muchos materiales que son opacos para radiaciones de mayor longitud de onda. Igualmente, al estar la longitud de onda de las ondas generadas en los hornos de mi- croondas (λ ∼ 15 cm) dentro del espectro de absorción de las moléculas de agua se explica que esta radiación sea considerablemente absorbida por las moléculas de agua que contienen los alimentos y, consecuentemente, se calienten. 6.10. Fuentes de las Ondas Electromagnéticas Hasta ahora hemos estado estudiando algunas de las características de las ondas electromagnéticas pero todavía no sabemos dónde y cómo se ori- ginan estas ondas. Dado que las ondas electromagnéticas son simplemente campos eléctricos y magnéticos oscilantes y las fuentes de estos campos son las cargas eléctricas estáticas y/o en movimiento, es razonable suponer que estas cargas serán las fuentes de las ondas electromagnéticas. No obs- tante, debemos notar que estamos hablando de las fuentes de los campos “primarios” puesto que, como se ha discutido anteriormente, una vez que se han generado estos campos primarios, son precisamente los propios cam- pos los responsables de la generación de los subsiguientes campos. Ahora bien, para que los campos primarios generen otros campos, éstos debían ser campos variables en el tiempo por lo que ni cargas estáticas ni las cargas en movimiento uniforme de una corriente estacionaria puede producir ondas electromagnéticas.3 Consecuentemente solo las cargas eléctricas aceleradas (único estado de movimiento no considerado hasta ahora) originarán estos campos primarios y, por tanto, podemos concluir que las cargas eléctricas aceleradas son fuentes de las ondas electromagnéticas. Cargas eléctricas oscilando a una determinada frecuencia ω serán los focos de ondas electromagnéticas de esa misma frecuencia y con una longitud de onda en el espacio libre dada por: λ = 2πc/ω. Normalmente la oscilación de una única carga produce una onda cuya intensidad es prácticamente indetectable, por ello las ondas electromag- néticas suelen originarse en la práctica cuando un número importante de cargas están oscilando conjuntamente. Este hecho se produce, por ejemplo, en las antenas, que no son, en su forma básica, más que dos varillas conduc- toras alimentadas mediante un generador de corriente alterna. El generador de corriente alterna provoca que los electrones de las varillas conductoras 3 Recordemos que las cargas estáticas son las fuentes de campos eléctricos estáticos y las cargas en movimiento uniforme en un conductor (esto es, las corrientes eléctricas conti- nuas) son las fuentes de los campos magnéticos estáticos. Física 2 FLML
- 171. 6.11. Problemas propuestos 163 viajen desde un extremo a otro de las varillas realizando un movimiento oscilatorio que viene determinado por la frecuencia del generador. Este ti- po de antenas es el comúnmente usado para generar ondas de radio y TV (MHz . f . GHz). Las ondas de la luz visible que oscilan a una f ∼ 1015 Hz son originadas por el movimiento oscilatorio de las cargas atómicas y las radiaciones de mayor frecuencia por rápidas oscilaciones electrónicas y nu- cleares. El mismo mecanismo que justifica que los electrones en movimiento en un conductor originan ondas electromagnéticas, esto es, forman una antena V emisora, también explica por qué este mismo dispositivo (sin el generador) sería una antena receptora. Los campos eléctricos que llegan a la antena ejercen una fuerza sobre las cargas móviles del conductor (electrones) que las hacen oscilar a la misma frecuencia que la onda electromagnética inci- dente. Claramente, el movimiento de estas cargas, que simplemente sigue el patrón de la radiación incidente, produce una corriente eléctrica oscilante que puede ser detectada por algún dispositivo adecuado. De esta manera el patrón de variación temporal que se produjo en el generador de la antena emisora es ahora “recogido” en el detector de la antena receptora. (Los elec- trones de la antena receptora se mueven tal como lo hacían los electrones de la antena emisora, sólo que cierto intervalo de tiempo después; justa- mente el necesario para que la onda recorra la distancia entre las dos ante- nas). De esta manera se ha transmitido información desde un sitio a otro del espacio usando como intermediario a la onda electromagnética. Esta mane- ra de transmitir información es muy eficaz ya que pone en juego muy poca energía y permite transmitir información entre puntos muy lejanos entre sí (incluyendo comunicaciones con satélites y vehículos espaciales). 6.11. Problemas propuestos 6.1: Demostrar por sustitución directa que la siguiente expresión: Ey(x, t) = E0 sen(kx − ωt) = E0 sen k(x − ct) , donde c = ω/k, satisface la ecuación de ondas. 6.2: Hallar la longitud de onda de a) una onda de radio de AM típica con una frecuencia de 100 kHz, b) una onda de radio de FM típica de 100 MHz; c) la frecuencia de una microonda de 3 cm y d) la frecuencia de unos rayos X con una longitud de onda de 0,1 nm. Sol. a) λ = 3 km ; b) λ = 3 m ; c) f = 10 GHz; d) f = 3×1018 Hz. ; 6.3: Una onda electromagnética (OEM) plana se propaga en el vacío. Sabiendo que su fre- cuencia es de 98.4 MHz y su amplitud de campo eléctrico es de 20 mV/m, calcúlese: a) la am- plitud del campo magnético; b) la intensidad de onda (potencia media por unidad de área). Sol.: a) B0 = 0,66×10−10 T; b) I = 0,53 µW/m2 . 6.4: Una OEM plana se propaga a lo largo del eje X con una longitud de onda de 3 cm, trans- portando una potencia media por unidad de área de 6 µW/m2 . Determínense las expresiones completas de los campos ~ E y ~ B sabiendo que el campo eléctrico está dirigido según el eje Y. Sol.: ~ E(x, t) = 67,26×10−3 cos(2π×1010 t − 200πx/3 + φ) ŷ V/m, ~ B(x, t) = 22,42×10−11 cos(2π×1010 t − 200πx/3 + φ) ẑ T. FLML Física 2
- 172. 164 Tema 6. Ondas Electromagnéticas 6.5: Cierto pulso de campo electromagnético puede asimilarse a una onda plana cuyos cam- pos son ~ E(x, t) = E0e−(x−ct)2 ŷ (V/m) y ~ B(x, t) = B0e−(x−ct)2 ẑ (T). Demostrar que ambos campos verifican la ecuación de onda y obtener la relación entre E0 y B0 sabiendo que de acuerdo con la ley de Faraday debe cumplirse que ∂Ey(x, t)/∂x = −∂Bz(x, t)/∂t. Sol.: E0 = cB0. 6.6: La antena de un receptor radioeléctrico es equivalente a una barra conductora de 2 m de altura y está orientada paralelamente al campo eléctrico de la OEM que se desea sintonizar. Si la tensión eficaz entre los extremos de la antena al recibir la onda es de 4 mV, determínen- se las amplitudes de los campos eléctrico y magnético de la onda sintonizada, así como la potencia media por unidad de área transportada por la onda. Sol.: Ee = 2×10−3 V/m; Be = 0,666×10−11 T, I = 10−8 W/m2 . 6.7: En la superficie de la Tierra,el flujo solar medio aproximado es de 0,75 kW/m2 . Se desea diseñar un sistema de conversión de energía solar a eléctrica para que proporcione una po- tencia eléctrica de 25 kW que permita cubrir las necesidades de una casa. Si el sistema tiene una eficacia del 30 %, ¿cuál será el área necesaria de los colectores solares, supuestos que son absorbentes perfectos?. Sol. 111 m2 . 6.8: Un pulso de láser tiene una energía de 20 J y un radio de haz de 2 mm. La duración del pulso es de 10 ns y la densidad de energía es constante dentro del pulso. a) ¿Cuál es la longitud espacial del pulso? b) ¿Cuál es la densidad de energía dentro del mismo? c) Hallar los valores de la amplitud de los campos eléctrico y magnético. Sol.: a) 3 m; b) 5,31×105 J/m3 ; c) E0 = 3,46×108 V/m, B0 = 1,15 T. 6.9: El campo eléctrico de una onda electromagnética oscila en la dirección z, viniendo su vector de Poynting dado por ~ S(x, t) = −100 cos 2 [10x + (3×10 9 )t] x̂ W/m 2 donde x está en metros y t en segundos. a) ¿En qué dirección se propaga la onda? b) Calcular la longitud de onda y la frecuencia. c) Hallar los campos eléctrico y magnético. Sol.: a) sentido negativo de x ;b) λ = 0,620 m, f = 4,77×108 Hz ; c) ~ E = 194 cos[10x + (3×109 )t]ẑ V/m, ~ B = 0,647×10−6 cos[10x + (3×109 )t]ŷ T. 6.10: El campo eléctrico de una onda electromagnética armónica plana tiene la expresión ~ E(z, t) = 3×10−3 cos(kz − 2π×108 t)ŷ (V/m). Determínese: a) la longitud de onda, frecuencia, periodo y número de onda; b) el campo magnético, ~ B, así como el vector de Poynting, ~ S, y la intensidad de onda, I. Sol.: a) λ = 3 m, f=100 MHz, T=10 ns, k = 2π/3 m−1 ; b) ~ B(z, t) = −0,01 cos(2πz/3 − 2π×108 t)x̂ nT, ~ S(z, t) = 0,0239 cos2 (2πz/3 − 2π×108 t)ẑ µW/m2 , I = hSi = 0,01195 µW/m2 . 6.11: Una OEM armónica plana de longitud de onda λ = 6 m se propaga en el sentido negativo del eje de las X siendo su campo magnético~ B(x, t) = 2×10−10 cos(ωt+kx+π/4)ŷ T. Determínese: a) el número de ondas, la frecuencia y el periodo de la onda; b) las expresiones del campo eléctrico, ~ E, y del vector de Poynting, ~ S, así como la intensidad de onda, I. Sol.: a) k = π/3 m−1 , f = 50 MHz, T = 20 ns; b) ~ E(x, t) = 60×10−3 cos(π×108 t + kx + π/4)ẑ V/m, ~ S(x, t) = −(30/π) cos2 (π×108 t + kx + π/4)x̂ µW/m2 , I = hSi = 15/π µW/m2 . Constantes: c = 3×108 m/s, µ0 = 4π×10−7 H/m, 0 = 8,854×10−12 F/m. Física 2 FLML
- 173. Apéndice A Análisis vectorial A.1. Vectores En la naturaleza existen magnitudes físicas que están completamente determinadas por su valor y sus unidades. De forma genérica puede decirse que estas magnitudes son escalares. Ejemplos de estas magnitudes son la masa, la distancia, la temperatura, etc. Por el contrario, existen otras magni- tudes que además de su valor y unidades están “dotadas” de una propiedad adicional: su dirección. Este tipo de magnitudes se conocen con el nombre de magnitudes vectoriales e incluyen a magnitudes tales como la posición, la velocidad, la fuerza, el campo eléctrico, etc. Para expresar las magnitudes vectoriales se hace uso de los vectores y por tanto se hace imprescindible el álgebra de vectores. A.1.1. Notación vectorial Usualmente las magnitudes vectoriales suelen denotarse en los textos impresos mediante letras minúsculas o mayúsculas en tipo negrita,~ v,~ V, de- jándose usualmente la notación con una flecha/raya encima de dichas le- tras, ~ v,~ V, para la escritura manual de los mismos. No obstante en el texto de estos apuntes y con la idea de evidenciar más si cabe el caracter vecto- rial de las magnitudes usaremos la notación con una flechita encima de las variables. En las figuras aparecerán sin embargo los vectores denotados en tipo negrita. Para especificar los vectores se usan frecuentemente varios tipos de no- tación. x y z v vz vx vy Mediante una terna de números que son las componentes del vector en los ejes cartesianos x, y, z, ~ v = (vx, vy, vz) . (A.1) Geométricamente, las componentes del vector son las proyecciones de este vector en los ejes cartesianos. 165
- 174. 166 Apéndice A. Análisis vectorial El vector ~ v puede también expresarse en función de su módulo y de su vector unitario. El módulo del vector ~ u suele denotarse como v o bien |~ v| y viene dado según el teorema de Pitágoras por v v ^ |~ v| ≡ v = q v2 x + v2 y + v2 z . (A.2) El vector unitario asociado con el vector ~ v se define como aquel vector Módulo del vector ~ v de módulo unidad que tiene la misma dirección y sentido que ~ v. Dicho vector se denotará de forma genérica como v̂, pudiéndose expresar como v̂ = ~ v v = (vx, vy, vz) p v2 x + v2 y + v2 z . (A.3) Obviamente el vector ~ v puede escribirse como: ~ v = vv̂. Vector unitario de ~ v Expresando el vector como suma de las componentes del vector por los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados. Los vectores unita- x y z v rios a lo largo de los ejes x, y, z se denotaran como x̂, ŷ, ẑ respectivamente. Otras notaciones frecuentes para estos vectores unitarios son i, j, k o bien ex, ey, ez. Usando esta notación, el vector ~ v se escribirá como: ~ v = vxx̂ + vyŷ + vzẑ . (A.4) A.1.2. Suma de vectores La suma de vectores se realiza sumando sus componentes. De este modo si a b c ~ a = axx̂ + ayŷ + azẑ ~ b = bxx̂ + byŷ + bzẑ , el vector~ c suma de los dos anteriores será por tanto: ~ c = ~ a + ~ b = (ax + bx)x̂ + (ay + by)ŷ + (az + bz)ẑ . (A.5) A.1.3. Producto escalar El producto escalar de dos vectores ~ a y ~ b, denotado como ~ a · ~ b es un escalar fruto de la siguiente operación: ~ a · ~ b = axbx + ayby + azbz (A.6) = ab cos α , (A.7) siendo α el ángulo formado por los dos vectores (es independiente si este ángulo se mide en dirección horaria o antihoraria ya que cos(π−α) = cos α). El producto escalar ~ a ·~ b puede interpretarse geométricamente como la pro- yección de uno de los vectores sobre el otro (salvo factores numéricos). Este Física 2 FLML
- 175. A.1. Vectores 167 hecho se manifiesta claramente en el producto escalar de ~ a por uno de los vectores unitarios según los ejes coordenados, esto es, ~ a · x̂ = ax , donde se ve claramente que ~ a · x̂ es justamente la proyección del vector ~ a sobre el eje x. Algunas de las propiedades del producto escalar son: El producto escalar es conmutativo: ~ a · ~ b = ~ b · ~ a . (A.8) El producto escalar es distributivo respecto a la suma de vectores: ~ a · (~ b +~ c) = ~ a · ~ b + ~ a ·~ c . (A.9) El producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo: ~ a · ~ b = 0 ⇒ ~ a ⊥ ~ b . (A.10) El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado del módulo de dicho vector: ~ a · ~ a = a2 . (A.11) A.1.4. Producto vectorial El producto vectorial de dos vectores ~ a y ~ b, denotado como ~ a ×~ b, es un vector definido como ~ a × ~ b = ab sen α v̂ , (A.12) siendo α el ángulo más pequeño formado por los dos vectores y v̂ el vector unitario normal exterior al plano que contiene a los vectores ~ a y ~ b. Puesto que el plano tiene dos normales (cada una con distinto sentido), el vector v̂ que aparece en (A.12) siempre se refiere a la normal que apunta según la regla de la mano derecha. Esta regla dice que usando la mano derecha y apuntando el dedo índice en la dirección de ~ a y el dedo corazón en la de ~ b, el dedo pulgar indicará la dirección de v̂1 . Geométricamente, el módulo del producto vectorial, |~ a ×~ b|, es igual al área del paralelogramo generado por los vectores ~ a y ~ b. A partir de la definición del producto vectorial (A.12) pueden deducirse las siguientes propiedades: El producto vectorial es anticonmutativo: ~ a × ~ b = −~ b × ~ a . (A.13) 1 Esta regla también se conoce a veces como regla del tornillo cuando dice que considerando el giro que va desde ~ a hasta ~ b por el camino más corto, si este giro se aplica a un tornillo, el sentido de avance o retroceso del tornillo indica hacia donde se dirige la normal. FLML Física 2
- 176. 168 Apéndice A. Análisis vectorial El producto vectorial es distributivo respecto a la suma de vectores: ~ a × (~ b +~ c) = ~ a × ~ b + ~ a ×~ c . (A.14) El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo: ~ a × ~ b = 0 ⇒ ~ a k ~ b . (A.15) Multiplicación por un escalar α: α(~ a × ~ b) = α~ a × ~ b = ~ a × α~ b . (A.16) Teniendo en cuenta la definición (A.12) y las propiedades (A.13)–(A.15), el producto vectorial de ~ a por ~ b puede obtenerse como ~ a × ~ b = (axx̂ + ayŷ + azẑ) × (bxx̂ + byŷ + bzẑ) = = (aybz − azby)x̂ + (azbx − axbz)ŷ + (axby − aybx)ẑ . (A.17) Usando la definición del determinante, la expresión anterior puede escribir- se como ~ a × ~ b =
- 182. x̂ ŷ ẑ ax ay az bx by bz
- 188. . (A.18) A.1.5. Productos triples Dado que el producto vectorial de dos vectores es otro vector, este vector puede a su vez multiplicarse escalar o vectorialmente para formar lo que se conoce como productos triples. Producto triple escalar: ~ a · (~ b ×~ c). Desde un punto de vista geométrico, este producto triple escalar puede interpretarse como el volumen del paralelepípedo generado por los tres c a b vectores ~ a, ~ b y~ c dado que según la figura adjunta |~ b ×~ c| es el área de la base y |a cos α| es la altura (α es el ángulo entre ~ a y ~ b ×~ c). Usando esta interpretación geométrica es fácil deducir que ~ a · (~ b ×~ c) = ~ b · (~ c × ~ a) = ~ c · (~ a × ~ b) . (A.19) Es interesante notar que en la expresión anterior se ha preservado el “orden alfabético”. El productor triple escalar puede también obtenerse a partir del siguiente determinante: ~ a · (~ b ×~ c) =
- 194. ax ay az bx by bz cx cy cz
- 200. . (A.20) Física 2 FLML
- 201. A.1. Vectores 169 Producto triple vectorial: ~ a × (~ b ×~ c). Este producto triple vectorial puede también obtenerse como ~ a × (~ b ×~ c) = ~ b(~ a ·~ c) −~ c(~ a · ~ b) . (A.21) Nótese que el vector (~ a × ~ b) ×~ c = −~ c × (~ a × ~ b) = −~ a(~ b ·~ c) + ~ b(~ a ·~ c) (A.22) es un vector completamente diferente al definido en la expresión (A.21). A.1.6. Diferencial y derivada de funciones de una sola variable Dada una función de una sola variable f = f(x), se define la derivada de la función f(x) con respecto a x como df(x) dx = lı́m ∆x→0 f(x + ∆x) − f(x) ∆x = lı́m ∆x→0 ∆f ∆x (A.23) y expresa geométricamente el valor de la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el punto x. El concepto de diferencial de f(x), denotado genéri- camente como df, expresa la variación infinitesimal de la función f(x) entre x y x + dx, esto es, df(x) = f(x + dx) − f(x) . (A.24) Desde un punto de vista matemático, este diferencial viene dado por el si- guiente producto: df(x) = df dx dx . (A.25) Debe notarse que df/dx no expresa un cociente entre df y dx sino que por el contrario debe entenderse como la acción del operador d/dx sobre la función f(x). Este hecho se pone de manifiesto con otras notaciones que prefieren expresar la derivada de la función f(x) con respecto a x como Dxf(x), donde Dx ≡ d/dx es precisamente el operador derivada. A.1.7. Teorema fundamental del cálculo El teorema fundamental del cálculo establece la siguiente relación entre las operaciones de integración y diferenciación de la función f(x): Z b a df dx dx = f(b) − f(a) . (A.26) Una posible manera de “deducir” la expresión anterior pasa por tener en cuenta que df(x) = df dx dx, y por tanto Z b a df(x) = f(b) − f(a) . (A.27) FLML Física 2
- 202. 170 Apéndice A. Análisis vectorial A.1.8. Diferencial y derivada parcial de una función de varias varia- bles Es muy frecuente que en la naturaleza las magnitudes dependan de más de una variable, así la temperatura de una habitación depende de la posi- ción del punto donde se mide, esto es, de las tres coordenadas espaciales del punto. Este hecho se manifiesta matemáticamente diciendo que la tem- peratura es función de x, y y z y se denota como T = T(x, y, z). Similarmente al concepto de derivada introducido en la sección ante- rior para funciones de una sola variable, puede ahora definirse el concepto de derivada parcial. Esta derivada hace referencia a la variación de cierta función con respecto a una sola de las variables cuando las demás perma- necen constantes. Así, se define la derivada parcial de la función f(x, y, z) con respecto a x como ∂f ∂x = lı́m ∆x→0 f(x + ∆x, y, z) − f(x, y, z) ∆x (A.28) y análogamente para las restantes variables. A partir del concepto de deri- vada parcial, puede deducirse que una variación infinitesimal de la función f(x, y, z) cuando dicha función varía entre los puntos x y x + dx podrá expre- sarse como df|x = ∂f ∂x dx . (A.29) La variación infinitesimal de la función f(x, y, z) cuando ésta varía entre los puntos (x, y, z) y (x + dx, y + dy, z + dz) podría obtenerse, por tanto, sumando las variaciones parciales a lo largo de cada una de las coordenadas. De este modo, puede escribirse que df = ∂f ∂x dx + ∂f ∂y dy + ∂f ∂z dz . (A.30) A.1.9. Operador gradiente Es interesante notar en la expresión (A.30) que el diferencial de la función f(x, y, z), df, puede expresarse como el siguiente producto escalar: df = ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂f ∂z · (dx, dy, dz) . (A.31) Definiendo el operador vectorial ~ ∇ como Operador ~ ∇ ~ ∇ ≡ ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z (A.32) ≡ x̂ ∂ ∂x + ŷ ∂ ∂y + ẑ ∂ ∂z , (A.33) Física 2 FLML
- 203. A.1. Vectores 171 al aplicarlo a la función f(x, y, z) se obtiene el gradiente de f, ~ ∇f, que es evidentemente una magnitud vectorial: ~ ∇f(x, y, z) = ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂f ∂z (A.34) = ∂f ∂x x̂ + ∂f ∂y ŷ + ∂f ∂z ẑ . (A.35) Esta definición permite escribir el diferencial de la función f como el si- Definición de gradiente de f guiente producto escalar: df = ~ ∇f · d~ r , (A.36) donde d~ r = (dx, dy, dz). Usando la definición de producto escalar, df también puede escribirse como df = | ~ ∇f| |d~ r| cos α , (A.37) lo que permite deducir que la máxima variación de la función f(x, y, z) se produce cuando α = 0, esto es, cuando d~ r es paralelo al gradiente de f, ~ ∇f. Consecuentemente, la dirección del vector ~ ∇f marca la dirección de máxima variación de la función en el punto (x, y, z). A.1.10. Integral de camino Dado un campo vectorial ~ F (esto es, una magnitud vectorial cuyas com- ponentes dependen de la posición espacial), la integral de camino de~ F entre dos puntos A y B a lo largo de la curva Γ se define como la siguiente integral: CB A = Z B A,Γ ~ F · d ~ l = lı́m Pi+1→Pi(Γ) X i ~ F(Pi) · PiPi+1 . (A.38) La integral anterior puede interpretarse como la superposición infinitesimal del producto escalar~ F ·d ~ l para cada elemento diferencial de la curva Γ entre los puntos A y B (El vector d ~ l es un vector que tiene por módulo la longitud de un elemento diferencial de la curva y por dirección la de la tangente a la curva en dicho punto). Las integrales de camino son muy usuales en Física, A B F dl definiendo, por ejemplo, el trabajo que realiza cierta fuerza entre dos puntos a través de cierta trayectoria. En general, la integral de camino depende del camino que se elija para ir desde A hasta B. Algunas de las propiedades más importantes de las integrales de camino son: Z B A,Γ ~ F · d ~ l = − Z A B,Γ ~ F · d ~ l . Si A0 es un punto intermedio de la curva Γ entre A y B, se tiene que Z B A,Γ ~ F · d ~ l = Z A0 A,Γ ~ F · d ~ l + Z B A0,Γ ~ F · d ~ l . FLML Física 2
- 204. 172 Apéndice A. Análisis vectorial A.1.11. Teorema fundamental del gradiente De forma similar a como se hizo para funciones de una sola variable en (A.26), se verifica que Z B A ~ ∇f · d ~ l = f(B) − f(A) , (A.39) donde la integral en la expresión anterior es una integral de camino. La expresión (A.39) puede “justificarse” considerando la definición del diferencial de f dada por (A.36). A partir de esta definición, la integral en (A.39) puede verse como una superposición infinitesimal de las variaciones de la función entre los puntos A y B, y esto es precisamente f(B) − f(A). Dos importantes corolarios se pueden extraer de la expresión (A.39) (i): Z B A,Γ ~ ∇f · d ~ l = Z B A,γ ~ ∇f · d ~ l (A.40) esto es, R B A ~ ∇f · d ~ l es independiente del camino tomado entre los puntos A y B. Debe notarse que, en general, la integral de camino CB A = R B A,Γ ~ F·d ~ l sí depende del camino (considérese, por ejemplo, el trabajo realizado por un coche para desplazarse entre dos puntos siguiendo distintas carrete- ras). (ii): I Γ ~ ∇f · d ~ l = 0 . (A.41) La integral de camino anterior a través de cualquier curva cerrada, Γ, es nula. A.2. Integral de flujo Una integral muy útil que aparece en Física es la integral de flujo. El flu- jo de un campo vectorial ~ A a través de una superficie S se define como la siguiente integral de superficie: Φ = Z S ~ A · d~ S (A.42) donde S es una superficie arbitraria y d~ S es el vector diferencial de superficie, definido como d~ S = dS n̂ (A.43) que tiene por módulo el área del elemento diferencial y por dirección y sen- tido el del vector unitario normal exterior a la superficie, n̂. Por ejemplo, para el caso del plano z = Cte, el diferencial de superficie será d~ S = dxdyẑ. Física 2 FLML
- 205. A.3. Problemas propuestos 173 A.3. Problemas propuestos 1. Expresar el vector (9, 8) como combinación lineal de los vectores (3, 1) y (1, 2) y representar gráficamente el resultado. Sol.: (9, 8)=2(3, 1)+ 3(1, 2). 2. Encontrar el unitario en la dirección dada por los puntos de coordenadas (3, 2, 0) y (6, 8, 2). Sol.: n̂=(3/7, 6/7, 2/7). 3. Calcular el vector unitario perpendicular al plano determinado por los puntos (0, 0, 0), (1, 2, 3) y (3, 3, 1). Sol.: (−7, 8, −3)/ √ 122 4. Encontrar el ángulo formado por los vectores (3, 6, 2) y (8, 6, 0) utilizando dos técnicas diferentes (producto escalar y vectorial). Sol.: α = 31,003o . 5. Utilizando el concepto de producto vectorial, determinar el área del triángulo cuyos vér- tices son los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (4, 5, 2) y (3, 1, 2). Sol.: Área= √ 117/2. 6. Encontrar los vectores unitarios radial (r̂) y tangente (t̂) en los puntos (x, y) de una cir- cunferencia de radio R que se halla en el plano XY y tiene su centro en el origen de coordenadas. Repetir lo anterior suponiendo ahora que la circunferencia tiene su centro en el punto (3, 2). Sol.: centro en (0, 0): r̂ = (x/R, y/R), t̂ = (−y/R, x/R); centro en (3, 2): r̂ = ((x − 3)/R, (y − 2)/R), t̂ = (−(y − 2)/R, (x − 3)/R). 7. Indicar cuales de las siguientes expresiones tienen sentido y cuales no: a) (~ a · ~ b) ·~ c; b) ~ a · (~ b ×~ c); c) ~ a(~ b ·~ c); d) (~ a · ~ b) ×~ c. Sol.: correctas: b), c); incorrectas: a) y d) . 8. Utilizando el hecho de que |~ v|2 = ~ v ·~ v, demostrar que |~ a + ~ b| = q |~ a|2 + |~ b|2 + 2~ a · ~ b . 9. Encontrar la componente del vector (7, 5, 2) en la dirección dada por la recta que une los puntos (5, 4, 3) y (2, 1, 2). Sol.: (6, 6, 2). 10. Descomponer el vector ~ A = (1, 5, 5) en sus componentes paralela y perpendicular a la dirección dada por el unitario n̂=(0, 3/5, 4/5). Sol.: ~ A = ~ Ak + ~ A⊥, siendo ~ Ak=(0, 3/5, 4/5) y ~ A⊥=(1, 21/5, 28/5). 11. Las coordenadas de una partícula móvil de masa m = 2 kg en función del tiempo son ~ r(t) = (3t, t2 , t3 ) m (t en segundos). Determinar: a) la velocidad y aceleración de la partícula; b) la fuerza que actúa sobre la misma en el instante t = 1 s, así como las componentes de dicha fuerza en la dirección perpendicular y tangente a la trayectoria. Sol.: a) ~ v(t) = (3, 2t, 3t2 ) m/s, ~ a(t) = (0, 2, 6t) m/s2 ; b) ~ F = (0, 4, 12) N; ~ F⊥ = (−6, 0, 6) N, y ~ Fk = (6, 4, 6) N. 12. Calcule el gradiente de la función φ(x, y, z) = 2xy/r, siendo r = √ x2 + y2 + z2. Sol. ~ ∇φ = r−3 2y(r2 − x2 )x̂ + 2x(r2 − y2 )ŷ − 2xyzẑ FLML Física 2