![4
Integrales
f y g integrables en [a,b] !
! b
a c f = c
! b
a f , c"R;
! b
a [ f +g] =
! b
a f +
! b
a g .
m# f #M en [a,b] ! m(b−a)#
! b
a f #M(b−a) . f #g en [a,b] !
! b
a f #
! b
a g .
""
! b
a f
""
#
! b
a |f | . Si f es impar
! a
a f = 0 . Si f es par
!a−
a f = 2
! a
0 f .
! b
a f =
! c
a f +
! b
c f
#
para a,b,c cualesquiera si
! a
a f =0 e
! b
a f =−
! a
b f
$
.
f continua a trozos en [a,b] ! f integrable en [a,b] ! F(x)=
! x
a f continua en [a,b] .
Si adem´as f es continua en x"(a,b) entonces F es derivable en x y F%(x)= f (x) .
Si f es continua en [a,b] y f =g% ( g primitiva de f ) es
%b
a .
! b
a f = g(b)−g(a) & g
Si f continua y a,b derivables, H(x)=
! b(x)
a(x) f ! H%(x)= f [b(x)]b%(x)−f [a(x)]a%(x) .
!
f (x)g%(x)dx= f (x)g(x)−
!
f %(x)g(x)dx ;
%b
a−
! b
a f (x)g%(x)dx= f (x)g(x)
! b
a f %(x)g(x)dx .
!
f (g(x))g%(x)dx =
!
f (u)du
""
u=g(x) ;
! b
a f (g(x))g%(x)dx =
! g(b)
g(a) f (u)du
& P(x)
Q(x) dx , P , Q polinomios. Si gr P'grQ, PQ
=C+ RQ
#
x2+cx+d
. Si Q=(x−a)m ···
$n
se descompone en fracciones simples RQ
= ···+ Aj
(x2+cx+d)k +··· , 1# j#m
(x−a) j +···+ Bkx+Ck
1#k #n .
!
R(ex)dx , funci´on racional de ex , se convierte en racional con el cambio u = ex .
!
R(sen x,cos x)dx , se hace racional con:
u=cosx , si R(−sen x,cosx)=−R(sen x,cosx) ;
u=senx , si R(senx,−cosx)=−R(sen x,cosx) ;
u=tan x , si R(−sen x,−cos x)=R(sen x,cosx) ;
'
%
u=tan sen x= 2u
, cosx= 1−u2
!
, dx= 2du
(siempre). #
($
1+u2 1+u2 1+u2
R
x,n ax+x2
b
(n ! dx se convierte en racional haciendo u = ax+b ;
#
R
x,($
x2+a
! dx se convierte en racional haciendo u = x+(x2+a ;
R
#
x,(a2−x2
$
dx se convierte en trigonom´etrica haciendo x = asenu .
! !
a f = l´ım
! b
a f ,
b)!
!b−
! f =l´ım
a)−!
! b
a f ,
! b
a+ f = l´ım
t)a+
! b
t f ,
! b−
a f = l´ım
t)b−
!ta
f , si los l´ımites existen.
Si 0# f (x)#g(x) para x'a ,
! !
a g converge !
! !
a f converge, e
! !
a f #
! !
a g .
f ,g'0 y f (x)
g(x) ) x)!
c<!, entonces: Si c>0 ,
! !
a g converge *
! !
a f converge.
Si c=0 ,
! !
a g converge !
! !
a f converge.
! !
a |f | convergente !
! !
a f convergente.
'
An´alogos para
! b
a+ , . . .
%
.
! !
1
dx
xs
converge si s>1
diverge si s#1
! !
1 eaxdx converge si a<0
diverge si a'0
! b
a+
dx
(x−a)s
converge si s<1
diverge si s'1
Si { fn} converge uniformemente hacia f en [a,b] entonces
! b
a f = l´ım
n)!
! b
a fn .
f (x)= !"
n=0
anxn !
! x
a f (t)dt= !"
n=1
anxn+1
n+1 = a0x+a1x2+··· , para |x|<R .
A´ rea comprendida entre las gra´ficas de f y g en el intervalo [a,b] :
! b
a |f −g| .
A´ rea de la regio´n acotada por ! =" , ! =# y la curva r= f (!) , f (!)'0 : 1
2
! #
"
'
f (!)
%2d! .
Longitud de la gr´afica de f en el intervalo [a,b] : L=
! b
a
(
1+[ f %(x)]2 dx .
1
Preliminares
2 d = a1+an
Progresi´on aritm´etica: a1 , a2=a1+d , . . . , an=a1+(n−1)d . Su suma: S = na1+n(n−1)
2 n .
Progresi´on geom´etrica: a1 , a2 = a1r , . . . , an = a1rn−1 . Su suma: S = a1
1−rn
1−r = a1−anr
1−r .
#n1
Binomio de
Newton: (a+b)n=an+
$
an−1b+
#n2
$
an−2b2+···+
# n
n−1
$
abn−1+bn,
$
= n!
#nk
k!(n−k)!=n(n−1)···(n−k+1)
k!
a<b ! a+c < b+c , a−c < b−c a < b , c < d ! a+c < b+d , a−d < b−c
a<b , c>0 ! ac < bc , a/c < b/c a < b , c < d ! ac < bd , si a,b,c,d>0
a<b , c<0 ! ac > bc , a/c > b/c a/c < b/d * ad < bc , si a,b,c,d>0
1<a! a<a2 ; 0<a<1! a>a2 a<b * 1/a>1/b, a2<b2, (a <(b , si a,b>0
|x|=(x2 =
)
x , x'0
−x , x#0 |x|#a * −a#x#a .
|x|<a * −a<x<a .
|x+y | # |x|+|y| (desigualdad triangular);
|x|−|y|#|x−y|#|x|+|y| ;
""
|x|−|y|
""
# |x−y| .
A+R esta ´acotado superiormente si existe k "R tal que a#k para todo a"A . s"R es el
supremo de A si es la menor de sus cotas superiores. M"A es elmaximo ´de A si a#M, ,a"A .
Todo conjunto no vac´ıo de numeros ´reales acotado superiormente posee extremo superior.
Entorno es B(a, r)={x : |x−a|<r} . a"A+R es interior a A si existe r>0 tal que B(a, r)+A .
A es abierto si todos sus puntos son interiores. p es punto de acumulacion ´de A si en todo entorno
de p existen infinitos puntos de A . A es cerrado si contiene a todos sus puntos de acumulacion.
´f es inyectiva en A+R si f (x)= f (x-) ! x=x-, ,x,x-"A , o sea si, x=.x- ! f (x)= .f (x-) .
Si f es inyectiva en A existe la funcion ´inversa f −1 : f (A))A ; y= f (x) * x= f −1(y) .
f estrictamente monotona ´en A! f inyectiva en A . f es par
impar si f (−x)=±f (x) .
log x&ln x&
! x
1
dt
t , x>0 . log(a·b)=loga+logb , logab
=loga−logb , log (ac)=c loga , a,b>0 .
ex es la inversa de lnx . bx & ex logb , b>0 , ,x . b0=1 , bx+y= bxby , b−x = 1
bx , (bx)y= bxy .
xb & eblog x , x>0
'
si m,n"Z, xm/n=(n xm
%
. shx = ex−e−x
2 , chx = ex+e−x
2 , thx = sh x
chx , ,x .
$/3.14, (2 /1.41, (3 /1.73, (5 /2.24, e/2.72, e2/7.39, e−1/0.37, ln2/0.69, ln3/1.10, ln5/1.61,
6!=720, 7!=5040, 8!=40320, 9!=362880, 27=128, 28=256, 29=512, 36=729, 37=2187, 38=6561.
sen (k$)=cos
# $
2+k$
$
=tan (k$)=0 , sen
# $
2+2k$
$
=cos(2k$)=1 , sen
#
− $
2+2k$
$
=cos[(2k−1)$]=−1 ,
sen $
6 =cos $
3 =12
4 =cos $
4 = (2
2 , sen $
3 =cos $
6 = (3
2 , tan $
6 = (3
3 , tan $
4 =1 , tan $
3 =(3 .
, sen $
sen2x+cos2x=1 , 1+tan2x= 1
cos2x , sen(a±b)=senacosb±cosasenb , cos(a±b)=cosacosb0senasenb ,
tan (a±b)= tana±tanb
10tanatanb , sen2a=12
[1−cos2a] , cos2a=12
2 cos A+B
2 ,
[1+cos2a] , senA−senB=2sen A−B
senasenb = cos(a−b)−cos(a+b)
2 , cosacosb = cos(a+b)+cos(a−b)
2 , senacosb = sen(a+b)+sen(a−b)
2 .
2
ch
! arccos
!/2
arctan
–1 1
-!/2
!/4
arcsen
ch
sh
th
logx
ex
1
1
Derivadas.
z=f , g derivables " (f±g)' = f'±g' ; (f.g)' = f ' g+fg' ; (1/g)' = –g' /g2 [g#0] .
g derivable en a y f derivable en g(a) " fog derivable en a y (fog)' = f'[g(a)].g'(a) .
f derivable en f–1(b) y f'[f–1(b)]#0 " f–1 es derivable en b y (f–1)'(b) =
1
.
f'[f–1(b)]
[ log|x|]'=
1
, x#0 | [ex] '= ex , $x | [xb ] '= bxb–1
x , x>0 | [bx] '= blogb , b>0, $x
x
[sh x]'= ch x , [ch x]'= sh x 1
, [th x]'=
=1–th2x $x
ch2x
x]'= !
x]'= | tanx]'=
1
2!
[sen cos x = sen(x+
) , [cos –sen x , $x [= 1+tanx , x#
+k!
2
cos2x
2
[arcsen x]'= 1
, [arccos x]'= – 1
1
, x'(–1,1) | [arctanx]'=
, $x
&%&1&–x2
&%&1&–x2
1+x2 Si f posee un extremo local en un x interior y f es derivable en x " f'(x)=0 .
Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) y f(a)=f(b) " (c'(a,b) con f'(c)=0 .
Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) " (c'(a,b) tal que f'(c) =
f(b)–f(a)
.
b–a
si R=0, la si R=Si f es continua en [a,b] y f")0 (f"*0) en (a,b) " f es + (,) en [a,b] .
Si f es continua en a y f' tiene límite cuando x-a " f'(a) = lím
x-a
f '(x) .
2
3
Series, Taylor y límites indeterminados.
! arccos
/
/
.
r n
1
=
si | r |<1 .
[bn–bn+1] = b1
– lím
bn
1–r
n-/
n=0
n=1
.an es convergente " an-0 .|an| convergente " .an /
).
0 1 /
criterio
Sea f(x)>0 y decreciente si x1. Entonces f(n) converge integral:
1 n=1
/
/
El error está acotado por 1 f(x)dx * S–k+1 Sk * 1 f(x)dx .
k .
criterio de
comparación por
Si 0*an*bn , entonces .bn converge " .an converge y desigualdades:
criterio de
comparación
)an
Si c>0, .an converge 0 an,bn0 , lím
= c</ . Entonces:
por límites:
n-/
bn
Si c=0, .bn converge " criterio de
{an})0 decreciente y lím
an = 0 " .(–1)
Leibniz:
n-/
f(x)g(x) = a0b0 + (a0b1+a1b0)x + (a0b2+a1b1+a2b0)x2 + … si |x|<min(n+1an = a1–a2+… converge
y el error absoluto |S–SN| < aN+1 (primer término que se omite).
.
ei (!") s −.
criterio del
cociente: Sea lím
n-/
| an+1|
|an|
= r . Entonces: si r<1, .an converge y si r>1, .criterio de
la raíz: Sea lím
n
&%&&
|an| = r . Entonces: si r<1, .an converge y si r>1, .n-/
.
{fn} converge uniformemente hacia f en I si $2>0 (N tal que si n)N " |f(Si las fn son continuas en un intervalo I y {fn}- f uniformemente en I " |fn(x)|*Mn $x' I y .Mn convergente " .fn converge uniformemente A cada serie de potencias está asociado un radio de convergencia R si R=0, la serie converge si x=0 ; si R'(0,/), converge para |x|<R y diverge si R=/ converge $x . Si 0<x0<R , la serie converge uniformemente f(x)= .
/
anxn , |x|<R " f'(x)= .
n=0
/
nanxn–1 , |x|<R.
n=1
/
anxn si |x|<Rf , g(x)= .
f(x)= .
n=0
/
bnxn si |x|<Rg " f(x)+g(x) =.
n=0
/
n=0
!/2
arctan
–1 1
-!/2
!/4
arcsen
sh
th
logx
ex
1
1
Derivadas.
f , g derivables " (f±g)' = f'±g' ; (f.g)' = f ' g+fg' ; (1/g)' = –g' /g2 [g#0] .
g derivable en a y f derivable en g(a) " fog derivable en a y (fog)' = f'[g(a)].g'(a) .
f derivable en f–1(b) y f'[f–1(b)]#0 " f–1 es derivable en b y (f–1)'(b) =
1
f'[f–1(b)]
.
[ log|x|]'=
1
x
, x#0 | [ex] '= ex , $x | [xb ] '= bxb–1
, x>0 | [bx] '= bx logb , b>0, $x
[sh x]'= ch x , [ch x]'= sh x , [th x]'=
1
ch2x
=1–th2x $x
[sen x]'= cos x = sen(x+
!
2
) , [cos x]'= –sen x , $x | [tanx]'=
1
cos2x
= 1+tan2x , x#
!
2
+k!
[arcsen x]'= 1
&%&1&–x2
, [arccos x]'= – 1
&%&1&–x2
, x'(–1,1) | [arctanx]'=
1
1+x2 , $x
Si f posee un extremo local en un x interior y f es derivable en x " f'(x)=0 .
Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) y f(a)=f(b) " (c'(a,b) con f'(c)=0 .
Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) " (c'(a,b) tal que f'(c) =
f(b)–f(a)
.
Series, Taylor .an criterio
integral:
Sea El .
criterio de
comparación por
desigualdades:
criterio de
comparación
por límites:
criterio de
Leibniz:
{.
criterio del
cociente: criterio de
la raíz: Sea .
{fn} converge Si las fn son continuas |fn(x)|A a+ib=r(cos! +isen!)=rei! , r=|z|=(a2+b2 , tan! =ba
, |ei! |=1 ; z =a−ib , |z|2=z ·z .
Si w=c+id=s ei" , z ·w = (ac−bd)+i (ad+bc) = rsei (!+") , zw
= (a+ib)(c−id)
c2+d2 = r
zn = rn ein! . (n z =(n r ei% =(n r (cos% +i sen%) con % = !+2k$
n , k=0, . . . ,n−1 .](https://image.slidesharecdn.com/formul-141105164504-conversion-gate02/85/Formul-1-320.jpg)
![2
Sucesiones, l´ımites y continuidad
l´ım
n)!
an= a si para todo &>0 existe N "N tal que para todo n'N es |an−a| < & .
{an} diverge hacia +! (−!) si ,K 1N tal que ,n'N se cumple an'K
#
an#K
$
.
{an} convergente ! {an} acotada. {an} mon´otona y acotada ! {an} convergente.
Sean {cn})0 , {bn})b , {pn}*) +
p > 0 , {qn})q < 0 , {an} acotada * , +
{in})!* . Entonces:
+
{an±in})± !, {cn an})0 ,
an
in
)0 , {pn in})!, {qn in})−!,
in
pn
)!,
in
!qn
)−,
*
pbn n
+
) pb ,
*
i pn n
+
)! ,
*
iqn
n
+
)0 ,
*
pin n
+
)
*! si p>1
0 si 0<p<1 ,
*
(1+cn)1/cn
+
)e .
l´ım
x)a
f (x)=L si ,&>0 1' >0 tal que si x cumple 0<|x−a|<' entonces |f (x)−L|<&
* toda sucesion ´{an}+dom f−{a} con {an} n) a satisface )!
{ f (an)} ) L .
n)!
l´ım
x)a+ f (x)=L [ l´ım
x)a−
f (x)=L ] si ,&>0 1'>0 tal que si 0<x−a<' [ 0<a−x<' ] ! |f (x)−L|<& .
l´ım
x)!
f (x)=L
'
l´ım
x)−!
f (x)=L
%
si ,&>0 1M tal que si x>M [ x<M]!|f (x)−L|<& .
l´ım
x)a
f (x)=! [−!] si ,K 1' >0 tal que si 0<|x−a|<' ! f (x)>K [ f (x)<K ].
f continua en a interior al dom f si l´ım
x)a
f (x)= f (a)*,&>0 1' >0
,
|x−a|<' !|f (x)−f (a)|<& .
f continua en [a,b] ! f toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b) .
f continua en [a,b] ! existen los valores m´aximo y m´ınimo de f en [a,b] .
Derivadas
f , g derivables ! ( f ±g)%= f %±g% ; ( f g)%= f %g+f g% ; (1/g)%=−g%/g2 [ g.=0 ].
g derivable en a y f derivable en g(a) ! f 2g derivable en a y ( f 2g)%= f %[g(a)]g%(a) .
f derivable en f −1(b) y f %[ f −1(b)].=0 ! f −1 derivable en b y ( f −1)%(b)=1/ f %[ f −1(b)] .
[log |x|]%=1x
, x.=0 ; [ex]%=ex, ,x ; [xb]%=bxb−1, x>0 ; [bx]%=bx logb , b>0 , ,x ;
[shx]%=chx , [chx]%=shx , [th x]%= 1
ch2 x =1−th2x ,x ;
[sen x]%=cosx=sen
#
x+$
2
$
, [cosx]%=−sen x , ,x ; [tan x]%= 1
cos2x =1+tan2x , x.=$
2+k$ ;
[arcsen x]%= 1 (1−x2 , [arccos x]%=− 1 (1−x2 , x"(−1,1) ; [arctan x]%= 1
1+x2 , ,x.
f es C1(I) , I intervalo abierto, si f es derivable ,x"I y f % es continua en I .
Si f posee un extremo local en un x interior y f es derivable en x ! f %(x)=0 .
f continua en [a,b], derivable en (a,b) y f (a)= f (b) ! 1c"(a,b) con f %(c)=0 .
f continua en [a,b] y derivable en (a,b) ! 1c"(a,b) tal que f %(c)= f (b)−f (a)
b−a .
Si f es continua en a y f % tiene l´ımite cuando x)a ! f %(a)= l´ım
x)a
f %(x) .
f continua en [a,b] y f %%'0 [ f %%#0 ] en (a,b) ! f es ! ["] en [a,b] .
La gr´afica de f (x)+c es la de f trasladada c unidades hacia arriba (c>0) o abajo (c<0).
La de f (x+c) es la de f trasladada c unidades a la izquierda (c>0) o derecha (c<0).
La de c f (x) con c>1 ( 0<c<1 ) es la de f estirada (comprimida) verticalmente.
La de f (cx) con c>1 ( 0<c<1 ) es la de f comprimida (estirada) horizontalmente.
La de −f (x) [ f (−x) ] es la reflexi´on de la gr´afica de f respecto a y=0 [x=0 ].
La de |f (x)| se obtiene reflejando hacia arriba las partes de la de f (x) bajo y=0 .
La de f (|x|) es la parte de la gr´afica de f para x'0 m´as su reflejo respecto a x=0 .
Todo polinomio Pn(x) de grado n posee n ra´ıces (reales o complejas). Una ra´ız de Pn es
m´ultiple si y s´olo si es ra´ız tambi´en de P%n
. Una ra´ız entera de Pn , si existe, se encuentra
entre los divisores del t´ermino independiente. Si r es el n´umero de ra´ıces positivas de Pn y s
el n´umero de cambios de signo en la sucesi´on de sus coeficientes, s−r es un n´umero par.
3
Series, Taylor y l´ımites indeterminados
!"
n=0
rn= 1
1−r si |r|<1
!"
n=1
[bn−bn+1]= b1− l´ım
n)!
bn
!"
n=1
1
ns converge si s>1 y diverge si s#1
"an convergente ! an )0 . "|an| convergente ! "an convergente.
Criterio
integral:
Si f (x)'0 y decreciente si x'1 , entonces
!"
n=1
f (n) converge*
! !
1 f (x)dx converge.
Error acotado por
! !
k+1 f (x)dx # S−Sk #
! !
k f (x)dx .
Criterio de comparaci´on
por desigualdades: Si 0#an#bn , entonces "bn converge ! "an converge y
!"
n=1
an#
!"
n=1
bn
Criterio de
comparaci´on
por l´ımites:
an,bn'0 , l´ım
n)!
an
bn
=c<!. Entonces:
Si c>0 , "an converge * "bn converge.
Si c=0 , "bn converge ! "an converge.
Criterio de
Leibniz:
an'0 decreciente y an ) n)!
0 !
!"
n=1
(−1)n+1an = a1−a2+a3−··· converge.
El error absoluto |S−SN| # aN+1 (primer t´ermino que se omite).
Criterio del
cociente: Sea l´ım
n)!
|an+1|
|an|
= r . Entonces: Si r < 1 , "an converge (absolutamente).
Si r > 1 (´o r = !) , "an diverge.
Criterio de
la ra´ız: Sea l´ım
n)!
n (
|an|= r . Entonces: Si r < 1 , "an converge (absolutamente).
Si r > 1 (´o r = !) , "an diverge.
(n n)1 logn 3 na, a>0 3 bn, b>1 3 n! 3 nn
{ fn}) f uniformemente en A si ,&>01N tal que n'N ! |f (x)−fn(x)|<& , ,x"A .
Si |fn(x)−f (x)|<an ,x"A y an)0 entonces fn(x)) f (x) uniformemente en A .
fn continuas en un intervalo I y { fn}) f uniformemente en I ! f continua en I.
|fn(x)| # Mn ,x"A y "Mn convergente ! " fn(x) converge uniformemente en A .
A cada serie de potencias est´a asociado un radio de convergencia R tal que: si R=0 , la serie
s´olo converge en x=0 ; si 0<R<!, la serie converge si |x|<R y diverge si |x|>R ; si
R = !, la serie converge ,x . Si 0<x0<R , la serie converge uniformemente en [−x0,x0] .
f (x)= !"
n=0
anxn, |x|<R ! f %(x)= !"
n=1
nanxn−1, |x|<R . g(x)= !"
n=0
bnxn , |x|<R- y |x|<m´ın(R,R-) :
f (x)+g(x) =
!"
[an+bn]xn , f (x)g(x)=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+···
n=0
2! [x−a]2+···+ f (n)(a)
Si f "Cn+1([a,x]) [´o [x,a] ], f (x)= f (a)+f %(a)[x−a]+ f %%(a)
n! [x−a]n+Rn,a(x)
con Rn,a(x) = f (n+1)(c)
(n+1)! [x−a]n+1 para alg´un c"(a,x) si x>a [´o c"(x,a) si x<a ].
ex = !"
n=0
xn
n! , senx = !"
n=0
[−1]nx2n+1
(2n+1)! , cosx = !"
n=0
[−1]nx2n
(2n)! , shx = !"
n=0
x2n+1
(2n+1)! , chx = !"
n=0
x2n
(2n)! , ,x"R
log (1+x) = !"
n=0
[−1]nxn+1
n+1 , arctanx = !"
n=0
[−1]nx2n+1
2n+1 , [1+x ]r = 1+rx+r(r−1)
2! x2+··· , |x|<1
#
xn$ '
f (x)=o
f "Cn+1 en un entorno de 0 ! f (x) = Pn(x)+o
#
g(x)
$
, x)a , si f (x)
0
g(x) )x)a
%
.
Si f (x),g(x))x)•
0
#
´o )x)•±!
$
y existe el l´ım
x)•
f %(x)
g%(x) ! l´ım
x)•
f (x)
g(x) = l´ım
x)•
f %(x)
g%(x) .
xa logx ) x)0+0 , (log x)b
0 , xb
xa ) x)!
eax ) x)!
0 , a,b>0 . l´ım
x)!
f (1x
)= l´ım
x)0+ f (1x
t)0+ f (t) , l´ım
)=l´ım
t)!
f (t) .](https://image.slidesharecdn.com/formul-141105164504-conversion-gate02/85/Formul-2-320.jpg)
Formul
- 1. 4 Integrales f y g integrables en [a,b] ! ! b a c f = c ! b a f , c"R; ! b a [ f +g] = ! b a f + ! b a g . m# f #M en [a,b] ! m(b−a)# ! b a f #M(b−a) . f #g en [a,b] ! ! b a f # ! b a g . "" ! b a f "" # ! b a |f | . Si f es impar ! a a f = 0 . Si f es par !a− a f = 2 ! a 0 f . ! b a f = ! c a f + ! b c f # para a,b,c cualesquiera si ! a a f =0 e ! b a f =− ! a b f $ . f continua a trozos en [a,b] ! f integrable en [a,b] ! F(x)= ! x a f continua en [a,b] . Si adem´as f es continua en x"(a,b) entonces F es derivable en x y F%(x)= f (x) . Si f es continua en [a,b] y f =g% ( g primitiva de f ) es %b a . ! b a f = g(b)−g(a) & g Si f continua y a,b derivables, H(x)= ! b(x) a(x) f ! H%(x)= f [b(x)]b%(x)−f [a(x)]a%(x) . ! f (x)g%(x)dx= f (x)g(x)− ! f %(x)g(x)dx ; %b a− ! b a f (x)g%(x)dx= f (x)g(x) ! b a f %(x)g(x)dx . ! f (g(x))g%(x)dx = ! f (u)du "" u=g(x) ; ! b a f (g(x))g%(x)dx = ! g(b) g(a) f (u)du & P(x) Q(x) dx , P , Q polinomios. Si gr P'grQ, PQ =C+ RQ # x2+cx+d . Si Q=(x−a)m ··· $n se descompone en fracciones simples RQ = ···+ Aj (x2+cx+d)k +··· , 1# j#m (x−a) j +···+ Bkx+Ck 1#k #n . ! R(ex)dx , funci´on racional de ex , se convierte en racional con el cambio u = ex . ! R(sen x,cos x)dx , se hace racional con: u=cosx , si R(−sen x,cosx)=−R(sen x,cosx) ; u=senx , si R(senx,−cosx)=−R(sen x,cosx) ; u=tan x , si R(−sen x,−cos x)=R(sen x,cosx) ; ' % u=tan sen x= 2u , cosx= 1−u2 ! , dx= 2du (siempre). # ($ 1+u2 1+u2 1+u2 R x,n ax+x2 b (n ! dx se convierte en racional haciendo u = ax+b ; # R x,($ x2+a ! dx se convierte en racional haciendo u = x+(x2+a ; R # x,(a2−x2 $ dx se convierte en trigonom´etrica haciendo x = asenu . ! ! a f = l´ım ! b a f , b)! !b− ! f =l´ım a)−! ! b a f , ! b a+ f = l´ım t)a+ ! b t f , ! b− a f = l´ım t)b− !ta f , si los l´ımites existen. Si 0# f (x)#g(x) para x'a , ! ! a g converge ! ! ! a f converge, e ! ! a f # ! ! a g . f ,g'0 y f (x) g(x) ) x)! c<!, entonces: Si c>0 , ! ! a g converge * ! ! a f converge. Si c=0 , ! ! a g converge ! ! ! a f converge. ! ! a |f | convergente ! ! ! a f convergente. ' An´alogos para ! b a+ , . . . % . ! ! 1 dx xs converge si s>1 diverge si s#1 ! ! 1 eaxdx converge si a<0 diverge si a'0 ! b a+ dx (x−a)s converge si s<1 diverge si s'1 Si { fn} converge uniformemente hacia f en [a,b] entonces ! b a f = l´ım n)! ! b a fn . f (x)= !" n=0 anxn ! ! x a f (t)dt= !" n=1 anxn+1 n+1 = a0x+a1x2+··· , para |x|<R . A´ rea comprendida entre las gra´ficas de f y g en el intervalo [a,b] : ! b a |f −g| . A´ rea de la regio´n acotada por ! =" , ! =# y la curva r= f (!) , f (!)'0 : 1 2 ! # " ' f (!) %2d! . Longitud de la gr´afica de f en el intervalo [a,b] : L= ! b a ( 1+[ f %(x)]2 dx . 1 Preliminares 2 d = a1+an Progresi´on aritm´etica: a1 , a2=a1+d , . . . , an=a1+(n−1)d . Su suma: S = na1+n(n−1) 2 n . Progresi´on geom´etrica: a1 , a2 = a1r , . . . , an = a1rn−1 . Su suma: S = a1 1−rn 1−r = a1−anr 1−r . #n1 Binomio de Newton: (a+b)n=an+ $ an−1b+ #n2 $ an−2b2+···+ # n n−1 $ abn−1+bn, $ = n! #nk k!(n−k)!=n(n−1)···(n−k+1) k! a<b ! a+c < b+c , a−c < b−c a < b , c < d ! a+c < b+d , a−d < b−c a<b , c>0 ! ac < bc , a/c < b/c a < b , c < d ! ac < bd , si a,b,c,d>0 a<b , c<0 ! ac > bc , a/c > b/c a/c < b/d * ad < bc , si a,b,c,d>0 1<a! a<a2 ; 0<a<1! a>a2 a<b * 1/a>1/b, a2<b2, (a <(b , si a,b>0 |x|=(x2 = ) x , x'0 −x , x#0 |x|#a * −a#x#a . |x|<a * −a<x<a . |x+y | # |x|+|y| (desigualdad triangular); |x|−|y|#|x−y|#|x|+|y| ; "" |x|−|y| "" # |x−y| . A+R esta ´acotado superiormente si existe k "R tal que a#k para todo a"A . s"R es el supremo de A si es la menor de sus cotas superiores. M"A es elmaximo ´de A si a#M, ,a"A . Todo conjunto no vac´ıo de numeros ´reales acotado superiormente posee extremo superior. Entorno es B(a, r)={x : |x−a|<r} . a"A+R es interior a A si existe r>0 tal que B(a, r)+A . A es abierto si todos sus puntos son interiores. p es punto de acumulacion ´de A si en todo entorno de p existen infinitos puntos de A . A es cerrado si contiene a todos sus puntos de acumulacion. ´f es inyectiva en A+R si f (x)= f (x-) ! x=x-, ,x,x-"A , o sea si, x=.x- ! f (x)= .f (x-) . Si f es inyectiva en A existe la funcion ´inversa f −1 : f (A))A ; y= f (x) * x= f −1(y) . f estrictamente monotona ´en A! f inyectiva en A . f es par impar si f (−x)=±f (x) . log x&ln x& ! x 1 dt t , x>0 . log(a·b)=loga+logb , logab =loga−logb , log (ac)=c loga , a,b>0 . ex es la inversa de lnx . bx & ex logb , b>0 , ,x . b0=1 , bx+y= bxby , b−x = 1 bx , (bx)y= bxy . xb & eblog x , x>0 ' si m,n"Z, xm/n=(n xm % . shx = ex−e−x 2 , chx = ex+e−x 2 , thx = sh x chx , ,x . $/3.14, (2 /1.41, (3 /1.73, (5 /2.24, e/2.72, e2/7.39, e−1/0.37, ln2/0.69, ln3/1.10, ln5/1.61, 6!=720, 7!=5040, 8!=40320, 9!=362880, 27=128, 28=256, 29=512, 36=729, 37=2187, 38=6561. sen (k$)=cos # $ 2+k$ $ =tan (k$)=0 , sen # $ 2+2k$ $ =cos(2k$)=1 , sen # − $ 2+2k$ $ =cos[(2k−1)$]=−1 , sen $ 6 =cos $ 3 =12 4 =cos $ 4 = (2 2 , sen $ 3 =cos $ 6 = (3 2 , tan $ 6 = (3 3 , tan $ 4 =1 , tan $ 3 =(3 . , sen $ sen2x+cos2x=1 , 1+tan2x= 1 cos2x , sen(a±b)=senacosb±cosasenb , cos(a±b)=cosacosb0senasenb , tan (a±b)= tana±tanb 10tanatanb , sen2a=12 [1−cos2a] , cos2a=12 2 cos A+B 2 , [1+cos2a] , senA−senB=2sen A−B senasenb = cos(a−b)−cos(a+b) 2 , cosacosb = cos(a+b)+cos(a−b) 2 , senacosb = sen(a+b)+sen(a−b) 2 . 2 ch ! arccos !/2 arctan –1 1 -!/2 !/4 arcsen ch sh th logx ex 1 1 Derivadas. z=f , g derivables " (f±g)' = f'±g' ; (f.g)' = f ' g+fg' ; (1/g)' = –g' /g2 [g#0] . g derivable en a y f derivable en g(a) " fog derivable en a y (fog)' = f'[g(a)].g'(a) . f derivable en f–1(b) y f'[f–1(b)]#0 " f–1 es derivable en b y (f–1)'(b) = 1 . f'[f–1(b)] [ log|x|]'= 1 , x#0 | [ex] '= ex , $x | [xb ] '= bxb–1 x , x>0 | [bx] '= blogb , b>0, $x x [sh x]'= ch x , [ch x]'= sh x 1 , [th x]'= =1–th2x $x ch2x x]'= ! x]'= | tanx]'= 1 2! [sen cos x = sen(x+ ) , [cos –sen x , $x [= 1+tanx , x# +k! 2 cos2x 2 [arcsen x]'= 1 , [arccos x]'= – 1 1 , x'(–1,1) | [arctanx]'= , $x &%&1&–x2 &%&1&–x2 1+x2 Si f posee un extremo local en un x interior y f es derivable en x " f'(x)=0 . Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) y f(a)=f(b) " (c'(a,b) con f'(c)=0 . Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) " (c'(a,b) tal que f'(c) = f(b)–f(a) . b–a si R=0, la si R=Si f es continua en [a,b] y f")0 (f"*0) en (a,b) " f es + (,) en [a,b] . Si f es continua en a y f' tiene límite cuando x-a " f'(a) = lím x-a f '(x) . 2 3 Series, Taylor y límites indeterminados. ! arccos / / . r n 1 = si | r |<1 . [bn–bn+1] = b1 – lím bn 1–r n-/ n=0 n=1 .an es convergente " an-0 .|an| convergente " .an / ). 0 1 / criterio Sea f(x)>0 y decreciente si x1. Entonces f(n) converge integral: 1 n=1 / / El error está acotado por 1 f(x)dx * S–k+1 Sk * 1 f(x)dx . k . criterio de comparación por Si 0*an*bn , entonces .bn converge " .an converge y desigualdades: criterio de comparación )an Si c>0, .an converge 0 an,bn0 , lím = c</ . Entonces: por límites: n-/ bn Si c=0, .bn converge " criterio de {an})0 decreciente y lím an = 0 " .(–1) Leibniz: n-/ f(x)g(x) = a0b0 + (a0b1+a1b0)x + (a0b2+a1b1+a2b0)x2 + … si |x|<min(n+1an = a1–a2+… converge y el error absoluto |S–SN| < aN+1 (primer término que se omite). . ei (!") s −. criterio del cociente: Sea lím n-/ | an+1| |an| = r . Entonces: si r<1, .an converge y si r>1, .criterio de la raíz: Sea lím n &%&& |an| = r . Entonces: si r<1, .an converge y si r>1, .n-/ . {fn} converge uniformemente hacia f en I si $2>0 (N tal que si n)N " |f(Si las fn son continuas en un intervalo I y {fn}- f uniformemente en I " |fn(x)|*Mn $x' I y .Mn convergente " .fn converge uniformemente A cada serie de potencias está asociado un radio de convergencia R si R=0, la serie converge si x=0 ; si R'(0,/), converge para |x|<R y diverge si R=/ converge $x . Si 0<x0<R , la serie converge uniformemente f(x)= . / anxn , |x|<R " f'(x)= . n=0 / nanxn–1 , |x|<R. n=1 / anxn si |x|<Rf , g(x)= . f(x)= . n=0 / bnxn si |x|<Rg " f(x)+g(x) =. n=0 / n=0 !/2 arctan –1 1 -!/2 !/4 arcsen sh th logx ex 1 1 Derivadas. f , g derivables " (f±g)' = f'±g' ; (f.g)' = f ' g+fg' ; (1/g)' = –g' /g2 [g#0] . g derivable en a y f derivable en g(a) " fog derivable en a y (fog)' = f'[g(a)].g'(a) . f derivable en f–1(b) y f'[f–1(b)]#0 " f–1 es derivable en b y (f–1)'(b) = 1 f'[f–1(b)] . [ log|x|]'= 1 x , x#0 | [ex] '= ex , $x | [xb ] '= bxb–1 , x>0 | [bx] '= bx logb , b>0, $x [sh x]'= ch x , [ch x]'= sh x , [th x]'= 1 ch2x =1–th2x $x [sen x]'= cos x = sen(x+ ! 2 ) , [cos x]'= –sen x , $x | [tanx]'= 1 cos2x = 1+tan2x , x# ! 2 +k! [arcsen x]'= 1 &%&1&–x2 , [arccos x]'= – 1 &%&1&–x2 , x'(–1,1) | [arctanx]'= 1 1+x2 , $x Si f posee un extremo local en un x interior y f es derivable en x " f'(x)=0 . Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) y f(a)=f(b) " (c'(a,b) con f'(c)=0 . Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) " (c'(a,b) tal que f'(c) = f(b)–f(a) . Series, Taylor .an criterio integral: Sea El . criterio de comparación por desigualdades: criterio de comparación por límites: criterio de Leibniz: {. criterio del cociente: criterio de la raíz: Sea . {fn} converge Si las fn son continuas |fn(x)|A a+ib=r(cos! +isen!)=rei! , r=|z|=(a2+b2 , tan! =ba , |ei! |=1 ; z =a−ib , |z|2=z ·z . Si w=c+id=s ei" , z ·w = (ac−bd)+i (ad+bc) = rsei (!+") , zw = (a+ib)(c−id) c2+d2 = r zn = rn ein! . (n z =(n r ei% =(n r (cos% +i sen%) con % = !+2k$ n , k=0, . . . ,n−1 .
- 2. 2 Sucesiones, l´ımites y continuidad l´ım n)! an= a si para todo &>0 existe N "N tal que para todo n'N es |an−a| < & . {an} diverge hacia +! (−!) si ,K 1N tal que ,n'N se cumple an'K # an#K $ . {an} convergente ! {an} acotada. {an} mon´otona y acotada ! {an} convergente. Sean {cn})0 , {bn})b , {pn}*) + p > 0 , {qn})q < 0 , {an} acotada * , + {in})!* . Entonces: + {an±in})± !, {cn an})0 , an in )0 , {pn in})!, {qn in})−!, in pn )!, in !qn )−, * pbn n + ) pb , * i pn n + )! , * iqn n + )0 , * pin n + ) *! si p>1 0 si 0<p<1 , * (1+cn)1/cn + )e . l´ım x)a f (x)=L si ,&>0 1' >0 tal que si x cumple 0<|x−a|<' entonces |f (x)−L|<& * toda sucesion ´{an}+dom f−{a} con {an} n) a satisface )! { f (an)} ) L . n)! l´ım x)a+ f (x)=L [ l´ım x)a− f (x)=L ] si ,&>0 1'>0 tal que si 0<x−a<' [ 0<a−x<' ] ! |f (x)−L|<& . l´ım x)! f (x)=L ' l´ım x)−! f (x)=L % si ,&>0 1M tal que si x>M [ x<M]!|f (x)−L|<& . l´ım x)a f (x)=! [−!] si ,K 1' >0 tal que si 0<|x−a|<' ! f (x)>K [ f (x)<K ]. f continua en a interior al dom f si l´ım x)a f (x)= f (a)*,&>0 1' >0 , |x−a|<' !|f (x)−f (a)|<& . f continua en [a,b] ! f toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b) . f continua en [a,b] ! existen los valores m´aximo y m´ınimo de f en [a,b] . Derivadas f , g derivables ! ( f ±g)%= f %±g% ; ( f g)%= f %g+f g% ; (1/g)%=−g%/g2 [ g.=0 ]. g derivable en a y f derivable en g(a) ! f 2g derivable en a y ( f 2g)%= f %[g(a)]g%(a) . f derivable en f −1(b) y f %[ f −1(b)].=0 ! f −1 derivable en b y ( f −1)%(b)=1/ f %[ f −1(b)] . [log |x|]%=1x , x.=0 ; [ex]%=ex, ,x ; [xb]%=bxb−1, x>0 ; [bx]%=bx logb , b>0 , ,x ; [shx]%=chx , [chx]%=shx , [th x]%= 1 ch2 x =1−th2x ,x ; [sen x]%=cosx=sen # x+$ 2 $ , [cosx]%=−sen x , ,x ; [tan x]%= 1 cos2x =1+tan2x , x.=$ 2+k$ ; [arcsen x]%= 1 (1−x2 , [arccos x]%=− 1 (1−x2 , x"(−1,1) ; [arctan x]%= 1 1+x2 , ,x. f es C1(I) , I intervalo abierto, si f es derivable ,x"I y f % es continua en I . Si f posee un extremo local en un x interior y f es derivable en x ! f %(x)=0 . f continua en [a,b], derivable en (a,b) y f (a)= f (b) ! 1c"(a,b) con f %(c)=0 . f continua en [a,b] y derivable en (a,b) ! 1c"(a,b) tal que f %(c)= f (b)−f (a) b−a . Si f es continua en a y f % tiene l´ımite cuando x)a ! f %(a)= l´ım x)a f %(x) . f continua en [a,b] y f %%'0 [ f %%#0 ] en (a,b) ! f es ! ["] en [a,b] . La gr´afica de f (x)+c es la de f trasladada c unidades hacia arriba (c>0) o abajo (c<0). La de f (x+c) es la de f trasladada c unidades a la izquierda (c>0) o derecha (c<0). La de c f (x) con c>1 ( 0<c<1 ) es la de f estirada (comprimida) verticalmente. La de f (cx) con c>1 ( 0<c<1 ) es la de f comprimida (estirada) horizontalmente. La de −f (x) [ f (−x) ] es la reflexi´on de la gr´afica de f respecto a y=0 [x=0 ]. La de |f (x)| se obtiene reflejando hacia arriba las partes de la de f (x) bajo y=0 . La de f (|x|) es la parte de la gr´afica de f para x'0 m´as su reflejo respecto a x=0 . Todo polinomio Pn(x) de grado n posee n ra´ıces (reales o complejas). Una ra´ız de Pn es m´ultiple si y s´olo si es ra´ız tambi´en de P%n . Una ra´ız entera de Pn , si existe, se encuentra entre los divisores del t´ermino independiente. Si r es el n´umero de ra´ıces positivas de Pn y s el n´umero de cambios de signo en la sucesi´on de sus coeficientes, s−r es un n´umero par. 3 Series, Taylor y l´ımites indeterminados !" n=0 rn= 1 1−r si |r|<1 !" n=1 [bn−bn+1]= b1− l´ım n)! bn !" n=1 1 ns converge si s>1 y diverge si s#1 "an convergente ! an )0 . "|an| convergente ! "an convergente. Criterio integral: Si f (x)'0 y decreciente si x'1 , entonces !" n=1 f (n) converge* ! ! 1 f (x)dx converge. Error acotado por ! ! k+1 f (x)dx # S−Sk # ! ! k f (x)dx . Criterio de comparaci´on por desigualdades: Si 0#an#bn , entonces "bn converge ! "an converge y !" n=1 an# !" n=1 bn Criterio de comparaci´on por l´ımites: an,bn'0 , l´ım n)! an bn =c<!. Entonces: Si c>0 , "an converge * "bn converge. Si c=0 , "bn converge ! "an converge. Criterio de Leibniz: an'0 decreciente y an ) n)! 0 ! !" n=1 (−1)n+1an = a1−a2+a3−··· converge. El error absoluto |S−SN| # aN+1 (primer t´ermino que se omite). Criterio del cociente: Sea l´ım n)! |an+1| |an| = r . Entonces: Si r < 1 , "an converge (absolutamente). Si r > 1 (´o r = !) , "an diverge. Criterio de la ra´ız: Sea l´ım n)! n ( |an|= r . Entonces: Si r < 1 , "an converge (absolutamente). Si r > 1 (´o r = !) , "an diverge. (n n)1 logn 3 na, a>0 3 bn, b>1 3 n! 3 nn { fn}) f uniformemente en A si ,&>01N tal que n'N ! |f (x)−fn(x)|<& , ,x"A . Si |fn(x)−f (x)|<an ,x"A y an)0 entonces fn(x)) f (x) uniformemente en A . fn continuas en un intervalo I y { fn}) f uniformemente en I ! f continua en I. |fn(x)| # Mn ,x"A y "Mn convergente ! " fn(x) converge uniformemente en A . A cada serie de potencias est´a asociado un radio de convergencia R tal que: si R=0 , la serie s´olo converge en x=0 ; si 0<R<!, la serie converge si |x|<R y diverge si |x|>R ; si R = !, la serie converge ,x . Si 0<x0<R , la serie converge uniformemente en [−x0,x0] . f (x)= !" n=0 anxn, |x|<R ! f %(x)= !" n=1 nanxn−1, |x|<R . g(x)= !" n=0 bnxn , |x|<R- y |x|<m´ın(R,R-) : f (x)+g(x) = !" [an+bn]xn , f (x)g(x)=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+··· n=0 2! [x−a]2+···+ f (n)(a) Si f "Cn+1([a,x]) [´o [x,a] ], f (x)= f (a)+f %(a)[x−a]+ f %%(a) n! [x−a]n+Rn,a(x) con Rn,a(x) = f (n+1)(c) (n+1)! [x−a]n+1 para alg´un c"(a,x) si x>a [´o c"(x,a) si x<a ]. ex = !" n=0 xn n! , senx = !" n=0 [−1]nx2n+1 (2n+1)! , cosx = !" n=0 [−1]nx2n (2n)! , shx = !" n=0 x2n+1 (2n+1)! , chx = !" n=0 x2n (2n)! , ,x"R log (1+x) = !" n=0 [−1]nxn+1 n+1 , arctanx = !" n=0 [−1]nx2n+1 2n+1 , [1+x ]r = 1+rx+r(r−1) 2! x2+··· , |x|<1 # xn$ ' f (x)=o f "Cn+1 en un entorno de 0 ! f (x) = Pn(x)+o # g(x) $ , x)a , si f (x) 0 g(x) )x)a % . Si f (x),g(x))x)• 0 # ´o )x)•±! $ y existe el l´ım x)• f %(x) g%(x) ! l´ım x)• f (x) g(x) = l´ım x)• f %(x) g%(x) . xa logx ) x)0+0 , (log x)b 0 , xb xa ) x)! eax ) x)! 0 , a,b>0 . l´ım x)! f (1x )= l´ım x)0+ f (1x t)0+ f (t) , l´ım )=l´ım t)! f (t) .