Formula de flexión
- 1. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila FÓRMULA DE FLEXIÓN Una viga constituye un miembro estructural que se somete a cargas que actúan transversalmente al eje longitudinal, como se explicó anteriormente. Las cargas originan acciones internas, o resultantes de esfuerzos en forma de fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Aquí se estudian y deducen las relaciones entre el momento flexionante y los esfuerzos normales por flexión que se producen, y entre fuerzas cortantes verticales y los esfuerzos cortantes, y asimismo, diversos temas de importancia práctica en el diseño de vigas. Se consideran únicamente vigas que tienen inicialmente ejes longitudinales rectos. Para obtener estar relaciones se hacen las hipótesis siguientes: La secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas. 1. El material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke. 2. El modulo elástico es igual a tensión que a compresión. 3. La viga es inicialmente recta y de sección constante. 4. El plano en el que actúan las fuerzas contiene a uno de los ejes principales de la sección recta de la viga y las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de aquella. Deducción de la fórmula de la flexión. Los esfuerzos normales producidos por el momento flexionante se llaman esfuerzos por flexión y las relaciones entre esfuerzos y momento flexionante se expresan mediante la fórmula de la flexión. Para su deducción se sigue el mismo procedimiento que se desarrolló para deducir la fórmula de la torsión, es decir, las deformaciones elásticas junto con la ley de Hooke determinan la forma de la distribución de esfuerzos, y mediante las condiciones de equilibrio se establece la relación entre esfuerzos y las cargas.
- 2. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila La figura 5-1a muestra dos secciones adyacentes ab y cd separadas una distancia dx. Debido a la flexión producida por la carga P, las secciones ab y cd giran una con respecto a la otra un pequeño ángulo dθ, como se ve en la figura 5-1b, pero permanecen planas y sin distorsión de acuerdo con la hipótesis 1 de la sección anterior. La fibra ac de la parte superior se acorta y la fibra bd se alarga. En algún punto entre ellas existe una fibra, tal como ef, cuya longitud no varía. Trazando la línea c’d’ por f, paralela a ab, se observa que la fibra ac se ha acortado una longitud cc’ y esta, pues, comprimida, mientras que la fibra bd se ha alargado la longitud d’d y está sometida a tensión. El plano que contiene todas las fibras como ef se llama superficie neutra, ya que tales fibras no varían de longitud y, por tanto, no están sujetas a esfuerzo alguno. En seguida veremos la superficie neutra pasa por los centros de gravedad de las secciones transversales de la viga. Consideremos ahora la deformación de una fibra cualquiera gh situada a una distancia y de la superficie neutra. Su alargamiento hk es el arco de circunferencia de radio y ángulo dθ y viene dado por: La deformación se obtiene dividiendo el alargamiento entre la longitud inicial ef de la fibra: Llamando ρ (letra griega rho) al radio de curvatura de la superficie neutra, la longitud ef es igual a ρ dθ, por lo que la deformación unitaria vale
- 3. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila Suponiendo que el material es homogéneo y obedece la ley de Hooke, hipótesis 2, el esfuerzo en la fibra gh viene dado por: Ecua. A Esta expresión indica que el esfuerzo en cualquier fibra es perpendicularmente proporcional a su distancia y a la superficie neutra, ya que se ha supuesto que el modulo elástico es igual a tensión que a compresión, hipótesis 3, y el radio de curvatura ρ de la superficie neutra es independiente de la ordenada y de fibra. Ahora bien, los esfuerzos no deben sobrepasar el límite de proporcionalidad, pues en caso contrario dejaría de cumplirse la ley de Hooke en la que se ha basado la determinación de la forma de distribución de los esfuerzos. Para completar la deducción de la formula de la flexión se aplican las condiciones de equilibrio. Como se ha visto en la sección 4-3, las fuerzas exteriores que actuan a un lado de la sección en estudio quedan equilibradas por la fuerza cortante y el momento flexionante resistentes. Para que se produzca este equilibrio, un elemento diferencial cualquiera de la sección de exploración esta sometido a las fuerzas que indican la figura 5-2. La intersección de la superficie neutra con la sección se llama eje neutro, abreviatura E.N. Para satisfacer la condición de que las fuerzas exteriores no tengan componentes según el eje X, hipotesis 5, se tiene, En donde σx equivale a σ de la ecuación (a). Sustituyendo σx por su valor Ey/ρ y resulta
- 4. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila Los términos E y ρ, constantes, se han sacado fuera del signo integral. Como y dA es el momento estático del área diferencial dA respecto de E.N., la integral ∫ 𝑦 𝑑𝐴 es el momento estático total del área. Por tanto, Sin embargo, como solamente Ῡ en esta expresión puede ser nulo, se deduce que la distancia a E.N., eje de referencia, del centro de gravedad de la sección recta debe ser cero, es decir, que la línea neutra pasa por el centroide del área de la sección transversal. La condición ΣY = 0 que da V = Vr, conduce a la fórmula del esfuerzo cortante, cuya deducción se deja para más adelante. De momento, se hace observar solamente que la fuerza cortante resistente V, es la suma de todas las fuerzas cortantes τxy dA, es decir, Vr = ∫ 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝐴. La condición ΣZ=0 conduce ∫ 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝐴 = 0. Puesto que las fuerzas exteriores no tienen componente según el eje Z, en el sistema de fuerzas cortantes τxy dA esta en equilibrio. Consideremos ahora la condición ΣMy=0. Las fuerzas exteriores no producen momento con respecto al eje Y, ni tampoco las fuerzas cortantes interiores. Por tanto,
- 5. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila Sustituyendo σx por Ey/ρ, resulta, La integral ∫ 𝑧𝑦 𝑑𝐴 = 0 es el producto de inercia Pxy, que es nulo si Y y Z son ejes de simetría o ejes principales de la sección. Esto constituye la justificación de la hipótesis 5. La última condición de equilibrio ΣMz =0 requiere que el momento flexionante sea equilibrado por el momento resistente, es decir, M=Mr. El momento resistente con respecto a E.N., de un elemento cualquiera es y (σx dA) y, por tanto, Sustituyendo σx por Ey/ρ, resulta, Puesto que ∫ 𝑦2 𝑑𝐴 = 0 es el momento de inercia I del área con respecto al eje de referencia, que en este caso es E.N., que pasa por el centro de gravedad, se obtiene finalmente, ( ) Esta se utilizara para hallar la deformación de las vigas. Puesto que la curvatura es el reciproco del radio de curvatura, la ecuación ( ) indica que la curvatura es directamente proporcional al momento flexionante. Igualando la relación E/ρ deducida de ( ) con el valor de la ecuación (a) se obtiene Que conduce directamente a la fórmula de la flexión, también llamada “formula de la escuadría”:
- 6. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila Esta expresión indica que el esfuerzo debido a la flexión en cualquier sección es directamente proporcional a la distancia del punto considerado a la línea neutra. Una forma más común de la fórmula de la flexión se obtiene sustituyendo y por la distancia c del elemento más alejado de la línea neutra. Con esto se obtiene el esfuerzo máximo: El cociente I/c se llama módulo de resistencia de la sección o simplemente, módulo de sección, y se suele designar por S, por lo que la fórmula de la flexión adquiere la forma: Esta fórmula es muy empleada en vigas de sección constante, y muestra como es esfuerzo máximo se produce en la sección de momento flexionante máximo. En la tabla se dan los valores del módulo de resistencia de las fórmulas más comunes de sección recta.
- 7. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila Un análisis muy interesante, análogo al que se emplea en el estudio de las vigas de concreto armado es el de la variación de esfuerzos de flexión en una sección rectangular, como se indica en la figura. Dado que la suma de las fuerzas horizontales en la sección debe ser nula, la fuerza total de compresión C, en la mitad superior de la recta, ha de ser igual a la fuerza total de tensión T en la mitad inferior. Por tanto, el momento resistente Mr, está constituido por el par que forma las fuerzas C y T iguales y opuestas. La magnitud de cada una de estas fuerzas es igual al producto del esfuerzo medio del
- 8. Resistencia de los Materiales Prof. Gauddy Arcila área. Por consiguiente, como el esfuerzo medio en una distribución lineal es la mitad del esfuerzo máximo, se tiene: Las fuerzas C y T actúan en el centro de gravedad de la carga triangular a una distancia k de E.N., y como 2 3 𝑐 = 2 3 ( ℎ 2 ), el brazo del par resistente es 𝑒 = 2𝑘 = 2 3 ℎ. Igualando el momento flexionante al momento resistente resulta: