Funciones trigonometricas
- 1. UNIVERSIDAD ABIERTA PARA ADULTOS UAPA ESCUELA DE POST GRADO MAESTRIA EN GESTION DE LA TECNOLOGIA EDUCATIVA ASIGNATURA: EVALUACIÓN DE LOS RECURSOS DIDÁCTICOS Y CURSOS ON-LINE. MGE-212 UNIDAD 2: DISEÑO Y PRODUCCIÓN DE MATERIALES EDUCATIVOS TEMA: LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PRESENTADO POR: MARIA CRISTINA CABRERA 2019-03358 FACILITADORA: SOLANLLY MARTÍNEZ FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE 13, 2020
- 2. Tema: Las Funciones Trigonométricas Las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Estas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones, porque nos ayudan a resolver triángulos rectángulos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo, el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
- 3. Definiciones respecto de un triángulo rectángulo Para definir las razones trigonométricas del ángulo α:, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será: La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo α. El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo αTodos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango: 1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: Sen α= opuesto = a Hip h El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes. 2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: Cos α= adyacente = b Hip h 3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente: tang α= opuesto = a adyac b
- 4. 4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto: Cotangente α= adyacente = b opuesto a 5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente: Secante α= hipotenusa = h adyacente b 6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto: Cosecante α= hipotenusa = h opuesto a Funciones trigonométricas de ángulos notables En la actualidad para obtener el valor de una razón trigonométrica a partir de un ángulo dado, simplemente se utiliza una calculadora en la cual se introduce el valor del ángulo dado y se evalúa en la relación trigonométrica requerida. Los valores de estas razones también se pueden obtener utilizando triángulos rectángulos, cuyos ángulos serán a los que se les quiere encontrar sus razones trigonométricas. En ocasiones este método es muy engorroso, ya que para crear los triángulos se deben realizar bastantes operaciones. Sin embargo, existen ángulos en los que es muy fácil; a estos ángulos se les conoce como ángulos notables.
- 5. En las matemáticas y específicamente en la trigonometría, la palabra “notable” se utiliza para referirnos a procesos o valores que están bien definidos o muy comunes, y por ende, se reconocen y memorizan fácilmente. En este sentido, los ángulos notables son aquellos que tienen valores que aparecen muy seguido en la vida cotidiana. Estos ángulos son los de 30°, 45° y 60° y, en segundo lugar, los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°. Estos últimos, aunque no están definidos como 'notables', también son muy comunes. Para los 3 ángulos notables podemos encontrar las razones trigonométricas — seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante— sin conocer las medidas exactas de los triángulos que los contienen, pues estos ángulos están contenidos en dos triángulos muy especiales e importantes en geometría, a saber: los triángulos isósceles rectángulos y los triángulos equiláteros. Obtención de las funciones trigonométricas para ángulos de 30° y 60° Antes de encontrar el valor para las funciones trigonométricas de los ángulos notables de 30° y 60°, vamos a originar dichos ángulos a partir de un triángulo equilátero. El triángulo equilátero que requerimos es aquel cuyos tres lados tienen una longitud de 1 unidad; además, cada uno de sus ángulos mide 60° (como siempre es el caso en un triángulo equilátero). Ya que se tiene el triángulo equilátero, de éste se formarán dos triángulos a partir de su altura. Estos nuevos triángulos estarán compuestos por un ángulo de 30° y 60°. Finalmente para obtener el valor de una relación trigonométrica, ya sea para 30° o 60°, sólo hay que utilizar sus definiciones.
- 6. Obtención de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45° Para encontrar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo notable de 45° utilizaremos un triángulo rectángulo isósceles. En dicho triángulo, se cumple que dos de sus lados tienen la misma longitud, digamos x. Además, como el triángulo es rectángulo, uno de los ángulos es de 90°, por lo que los otros dos medirán 45° (recuerda que los triángulos isósceles siempre tienen dos ángulos idénticos). Por conveniencia asignaremos a la hipotenusa el valor de 1 unidad. A continuación podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de sus catetos. Finalmente, para obtener el valor de las funciones trigonométricas solo hay que utilizar sus definiciones. Múltiplos de ángulos notables A partir de que ya obtuvimos los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables de 30°, 45° y 60°, podemos obtener también los valores para funciones que representan los múltiplos de dichos ángulos. Para encontrar estas razones trigonométricas, vamos a utilizar los valores que ya hemos encontrado en un triángulo rectángulo. Estas definiciones las plantearemos tomando como base la circunferencia unitaria (es decir: una circunferencia de radio 1), por lo que es útil recordar algunas definiciones:
- 7. El seno se define como la razón entre el valor de la coordenada Y del segmento que forma el ángulo con el eje X y la longitud de dicho segmento. En la circunferencia unitaria, el segmento es el radio y mide 1 unidad, por lo que el seno es igual al valor de la coordenada Y Ejercicios: Realizar los siguientes ejercicios interactivos: https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/trigonometria/ejercicios- interactivos-de-angulos-notables.html También aquí encontrarás encontraras ejercicios para resolver aplicando las razones trigonométricas de ángulos notables. 1.- Calcular: E = (sen30º + cos60º) tg37º a) 1 b) 2 c) 1/4 d) 3/4 e) 4/3 2.- Calcular: E = (sec245º + tg45º) ctg37º – 2cos60º a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 3.- Calcular: “x” 3xsec53º – tg45º = sec60º(sec45º + sen45º)csc30º a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
- 8. 4.- Calcular: E = (tg60º + sec30º – sen60º)sec60º a) 25/12 b) 25/24 c) 49/12 d) 49/24 e) 7/18 Ejercicios Resueltos Nota previa: para simplificar los cálculos, aproximaremos las razones trigonométricas con dos o tres decimales por redondeo o por truncamiento. Como consecuencia, los resultados pueden ser no exactos. ________________________________________ Problema 1 Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura con un cable que parte de la parte superior del mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 30º. Calcular el precio del cable si cada metro cuesta 12$. Solución Sustituimos el ángulo y el lado: Luego el cable debe medir 40 metros y su precio es de 480$:
- 9. Problema 2 Calcular cuánto mide la mediana de un triángulo equilátero (los tres ángulos son de 60 grados) cuyos lados miden 12cm. Ayuda: la mediana es la distancia del segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a éste. Solución Del triángulo conocemos tres ángulos: uno mide 60º, otro 30º y el otro 90º. También conocemos su hipotenusa h=12cmh=12cm. Utilizamos el seno para calcular la mediana mm: Sustituimos los datos: Luego la mediana mide 10,392 centímetros.
- 10. Problema 4 Escribir una fórmula para calcular la longitud de la mediana de un triángulo equilátero de lado dd. Ayuda: la fórmula se puede obtener rápidamente a partir del problema anterior. Solución Como los lados del triángulo miden dd en lugar de 12cm, sólo tenemos que cambiar 12 por dd en el problema anterior ya que los ángulos son iguales. La fórmula es O bien, si aproximamos el seno, Glosario Abscisa: La abscisa es el valor de la coordenada x de cualquier punto con coordenadas (x,y), en el plano cartesiano. Abscisa al origen: La abscisa al origen es el valor de la coordenada x del punto de intersección entre una recta y el eje X. Binomio: Un binomio es una expresión algebraica conformada por dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras es una expresión formada por la suma de dos monomios. Ejemplo: a + b x – 3 Cateto: En un triángulo rectángulo, son los lados que conforman el ángulo recto de 900
- 11. Circuncentro: Es el punto de intersección de las mediatrices de cuerdas de una misma circunferencia. Circunferencia: Una circunferencia es el conjunto de puntos (x,y) que tienen igual distancia a un punto determinado conocido como el centro de la circunferencia. Cociente: El cociente es el resultado que se obtiene al realizar una división. Coeficiente: Un coeficiente es un factor o valor constante por el cual se multiplica una expresión. Conmutativo: Una operación es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo, independiente del orden en que se encuentran los elementos que la conforman. Cosecante: La función cosecante es la razón trigonométrica inversa del seno: csc (α) = 1/sen (α) Coseno: el coseno es una función par y continua con periodo, además una función trascendente. Su nombre se abrevia cos. En trigonometría, el coseno de un ángulo de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa. Cotangente: La cotangente, abreviado como cot, cta, o cotg, es la razón trigonométrica inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo Eje de las abscisas: El eje de las abscisas es el eje X o eje horizontal en el plano cartesiano. Eje de las ordenadas: El eje de las ordenadas es el eje Y o eje vertical en el plano cartesiano. Exponente: El exponente, en el contexto de la operación potenciación, es el número que señala la cantidad de veces que la base debe multiplicarse por sí mismo. Hipotenusa: En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado mayor, que se encuentra opuesto al ángulo recto. Secante: En trigonometría, el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateo opuesto co y la hipotenusa hip Tangente en trigonometría: La tangente es una función impar y es una función periódica de periodo con indeterminaciones en, y además una función
- 12. trascendente de variable real. Su nombre se abrevia tan. En trigonometría, la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente. Nota: En el siguiente enlace de Google Site se puede visualizar esta información en mejor detalle https://sites.google.com/site/ingmariacristinacabrera/