Funciones vectoriales

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Cálculo III - Funciones vectoriales de una variable real 1
FUNCIONES VECTORIALES DE UNA
VARIABLE REAL
Prof. Isabel Arratia Z.
[Versión preliminar]

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Una función vectorial es cualquier función que tiene
como imagen (rango) un conjunto de vectores de .n
ℜ
r(t)t
D:r n
→
ℜ→ℜ⊆
Es decir, para cada número t de D, r(t) es un único vector de que
lo podemos escribir r(t) = (f1(t), f2(t), . . . . , fn(t)). Por esta razón, es
habitual que la función r se denote r = (f1, . . . . , fn), donde las
funciones reales fi son llamadas funciones componentes de r.
n
ℜ
Ejemplos:
1. r(t) = (t, 3t), , se expresa también con las ecuaciones
paramétricas x = t, y = 3t. La imagen o trayectoria de r es una
recta en el plano .
ℜ∈t
2
ℜ

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2. F(t) = (cos t, sen t), . En este caso, la trayectoria de F
es la circunferencia centrada en (0, 0) de radio 1?
]2,0[t π∈
]2,0[t π∈3. ¿Cuál es la trayectoria de G(t) = (sen t, cos t), con ?

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Ejercicio: Con la ayuda de calculadora, describa la curva en el
espacio que definen las siguientes funciones vectoriales:
a) r(t) = (1 – t, 2 + 4t, 3 + 2t)
b) r(t) = (sen t, 3, cos t)
c) r(t) = (2cos t, 2sen t, t)
Ejercicio: Determine el dominio de la función vectorial definida
por )t-1,t),t(ln()t(r 2
=

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Limites y continuidad
Sea r : D , r = (f1, ….., fn) función vectorial, to un punto
de D y L = (a1, ….., an) . Entonces,
n
ℜ
n
ℜ∈
L-r(t)t-t0:00,
0L)t(rlimL)t(rlim
o
tttt oo
ε<⇒δ<<>δ∃>ε∀⇔
=−⇔=
→→
Teorema:
siempre que todos los límites de la derecha existan.
n....,2,1,i,a)t(flimL)t(rlim ii
tttt oo
=∀=⇔=
→→
Ejercicio: Calcule, si existen, los siguientes límites,
),),t(sen(r(t)si)t(rlim)b
),,e(r(t)si)t(rlim)a
t
t5sen
t
t3t
0t
t
1e
t
et
0t
3
tt
+
→
−−
→
π+=
=

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Sea r : D , r = (f1, ….., fn) función vectorial y to un
punto de D. La función r es continua en to si y sólo si
n
ℜ
)t(r)t(rlim o
tt o
=
→
r continua en to
n2,....,1,i,tencontinuaf
n....,2,1,i,)(tf)t(flim
oi
oii
tt o
=∀⇔
=∀=⇔
→
Ejemplos:
Observe que,
1. f(t) = (3t, 1/t) es continua en to,
2. r(t) = (t, et, arcsen t) es continua en [-1, 1].
3. r(t) = (sen t, cos t, tan t) no es continua en
}0{to −ℜ∈∀
.t
2o
π=

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Derivadas e integrales
Sea r = (f1, ….., fn) función vectorial. La derivada de r en t es:
siempre que este límite exista.
h
)t(r)ht(r
lim
dt
dr
)t('r
0h
−+
==
→
Interpretación geométrica:
Sea C una curva en el espacio dada
por la función vectorial r, es decir, C
está formada por la punta del vector en
movimiento r(t). El vector r(t+h)-r(t) tiene
la misma dirección que . Si
h tiende a cero, este vector se acerca a
uno que está en la recta tangente a la
curva en el punto P determinado por r(t).
3
ℜ
r(t+h)-r(t)
))t(r)ht(r(
h
1 −+
r(t)
r’(t)
P

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El vector r’(t), cuando existe y es distinto de cero, se
llama vector tangente a la curva C en el punto P. Y
el vector se llama tangente unitario.
)t('r
)t('r
T =
La recta tangente a C en P es la recta que pasa por P y es paralela
al vector tangente r’(t) ; su ecuacion (vectorial) es:
Pr(t)donde,)t('r)t(rw =λ+=
Teorema: Sea r = (f1, . . . , fn) función vectorial. Si f1, . . . , fn
son derivables en to, entonces r también lo es y se tiene que
r’(to) = (f1’(t), . . . , fn’(t))
Ejercicio: Grafique la curva plana dada por
el vector posición f(1) y el vector tangente f’(1).
,j)t2(it)t(f −+=
,0t ≥

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Ejercicio: Encuentre las ecuaciones paramétricas y la
ecuación vectorial de la recta tangente a la curva definida por
en el punto P(0, ¼, 1).)4tt,sen2tt,cos2t()t(r ππ=
Teorema: Sean u, v funciones vectoriales derivables.
)t('f))t(f('u))]t(f(u[)6
)t('vu(t))t(v)t('u)]t(v)t(u[)5
)t('v)t(u)t(v)t('u)]t(v)t(u[)4
realfunc.f),t('v)t(f)t(v)t('f)]t(v)t(f[)3
k),t('uk)]t(uk[)2
)t('v)t('u)]t(v)t(u[)1
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
=
×+×=×
•+•=•
+=
ℜ∈=
+=+

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Ejercicio: Si r es una función vectorial tal que r(t) r(t) = C,
con C constante, demuestre que r(t) r’(t) = 0.•
•
Sea r = (f1, . . . , fn) función vectorial. Si f1, . . . , fn
son continuas en [a, b], entonces
( )






=
=
∫∫∫
∫∫∫
dt)t(f,......,dt)t(fdt)t(r
dt)t(f,......,dt)t(fdt)t(r
b
a n
b
a 1
b
a
n1
Integración
El teorema fundamental del cálculo asegura que
donde R es una antiderivada de r, es decir, R’(t) = r(t).
)a(R)b(Rdt)t(r
b
a
−=∫

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Longitud de arco
Supongamos que la curva C en el espacio tiene la ecuación
vectorial r(t) = (f(t), g(t), h(t)), , donde f’, g’, h’ existen y
son continuas en el intervalo [a, b]. La longitud de arco de C en
[a, b] es:
Una curva C puede representarse mediante funciones vectoriales
de diversas maneras según sea la elección del parámetro. Por
ejemplo,
ππ= 2es2t
bta ≤≤
∫∫ =++=
b
a
b
a
222
dt(t)r'dt))t(h())t('g())x('f(s
Por ejemplo, la longitud de arco de la hélice dada por,
)tb1,tsenb,tcosb()t(r 2
−= entre t = 0 y
2lnw0);e,e,(e(w)ry2t1);t,t,t()t(r 3w2ww
2
32
1 ≤≤=≤≤=
representan la misma curva; los parámetros se relacionan por t = ew.

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Para el movimiento a lo largo de una curva, el parámetro
más conveniente es el tiempo t. Sin embargo, para el
estudio de las propiedades geométricas de las curvas,
el parámetro adecuado es el “parámetro longitud de
arco s”.
Definición: Sea C una curva suave dada por la función
vectorial r(t) en un intervalo [a, b]. La función longitud de arco s
es,
es decir, s(t) es la longitud de la parte de C entre r(a) y r(t).
La longitud de arco s se denomina parámetro longitud de arco.
Y el teorema fundamental del cálculo asegura que,
)t('r
dt
ds
=
∫=
t
a
du(u)r')t(s

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t2du1ucosusendu)u('r)t(s
t
0
22t
0
=++== ∫∫
Reparametrización en función del parámetro “s”
Consideremos la hélice dada por r(t) = (cos t, sen t, t).
Reparametricemos r(t) con respecto a la longitud de arco medida
desde el punto donde t = 0. En este caso, r’(t) = (-sen t, cos t, 1)
y la función longitud de arco s es:
Y la reparametrización de r es
stt2s
2
1=⇒=
Teorema: Si C es una curva suave representada por r(s),
donde s es el parámetro longitud de arco, entonces
Además, si t es cualquier parámetro para r tal que,
entonces t debe ser el parámetro longitud de arco.





= s),ssen(),scos()s(r
2
1
2
1
2
1
1)s('r ====
1)t('r ====

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Curvatura
Sea C una curva suave. La curvatura
de C mide cuán rápidamente cambia la
curva de dirección en un punto.
Sea C una curva suave dada por la función vectorial r. La
curvatura de C es
donde T(t) es el vector tangente unitario. Es decir, la curvatura es
la magnitud de la razón de cambio del vector tangente unitario con
respecto a la longitud de arco.
)t('r
)t('T
)t('rds
dT dt
dT
dt
ds
dt
dT
====κ
Ejercicio: Calcule la curvatura de la curva C definida por
r(t)=(2t, t2, -t3/3), en cualquier punto y en (0, 0, 0).

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Teorema: Si C es una curva suave dada por la función
vectorial r, la curvatura de C es
3
)t('r
)t(''r)t('r ××××
====κκκκ
Ejercicio: Muestre que la curvatura de una circunferencia de
radio a es 1/a.
Observaciones:
1) El número es el radio de curvatura; indica que la curva,
en el punto, esta curvada como un circulo de radio centrado
en el punto.
2) Si C es la gráfica de una función y = f(x) (curva plana), dos
veces diferenciable, podemos describir a f como r(x) = (x, f(x)) y
su curvatura se expresa
κ
=ρ 1
ρ
( ) 2
3
2
))x('f(1
)x(''f
+
=κ

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Vector normal y binormal
Sea C una curva suave dada por la función vectorial r(t),
En un punto dado de C existe una infinidad de vectores
ortogonales al vector tangente unitario T(t); uno de ellos es T’(t).
Definimos el vector normal
unitario a lo largo de C como,
El vector B(t) = T(t) x N(t) se llama
binormal unitario a lo largo de C.
Observe que en cada punto de C, los
vectores T, N, B son unitarios y
ortogonales entre sí.
)t('T
)t('T
)t(N ====
.It ∈
Triedro de Frenet

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Planos normal, osculante y rectificante
El plano determinado por los
vectores N normal y B binormal, en
el punto P sobre la curva C se
llama plano normal de C en P y
está formado por todas las rectas
que son ortogonales al vector
tangente T.
El plano determinado por los vectores tangente T y normal N,
se llama plano osculante de C en P. Es el plano que está tan
cerca que contiene la parte de la curva que está cerca de P.
El círculo que está en el plano osculante de C en P (que tiene
la misma tangente que C en P), está en el lado cóncavo de C
(hacia donde apunta N) y tiene radio ; se llama círculo
osculante o círculo de curvatura de C en P.
κκκκ
====ρρρρ 1
P•

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El círculo osculante es el que mejor describe la forma en que
C se comporta cerca de P; comparte la misma tangente, normal y
curvatura en P.
El plano determinado por los
vectores tangente T y binormal B,
se llama plano rectificante de C
en P.
Ejercicio: Determine las
ecuaciones de los planos normal,
osculante y rectificante de la hélice
circular r(t) = (2cos t, 2sen t, t) en
el punto )2,(0,P
2
π=

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Torsión
Sea C una curva suave. La torsión de C mide el
grado de torcedura de la curva, mide el desvío de la
curva respecto del plano osculante.
Definición: Sea C es una curva suave dada por la función
vectorial r. La torsión de C es el número,
2
)t(''r)t('r
(t)''r'))t(''r)t('r(
)t(
××××
••••××××
====ττττ
Ejercicio: Determine T, N, B, curvatura, torsión y las ecuaciones
de los planos normal, osculante y rectificante de la curva dada por
r(t) = en el punto P(2, 3, 4).)t3t,3t,t-(3t 323
+

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Movimiento en el espacio: Velocidad y aceleración
Supongamos que una partícula se mueve en el espacio de
manera que su vector posición en el tiempo t es r(t). El vector
h
)t(r)ht(r −+
proporciona la velocidad promedio, sobre un intervalo de tiempo
de longitud h, de la partícula. El vector velocidad v(t), en el
tiempo t, es
)t('rlim)t(v
h
)t(r)ht(r
0h
==
−+
→
La rapidez de la partícula, en el tiempo t es la magnitud del
vector velocidad, es decir, || v(t) ||, que es igual a || r’(t) ||.

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La aceleración de la partícula, en el tiempo t es la derivada de la
velocidad v(t), es decir,
a(t) = v’(t) = r’’(t)
Ejercicio: Determine la velocidad, aceleración
y rapidez de una partícula con vector de
posición r(t) = ( t2 , et , t et )
Ejercicio: Determine los vectores velocidad y
de posición de una partícula que tiene
aceleración a(t) = (0, 0, 1), velocidad inicial
v(0) = (1, -1, 0) y posición inicial r(0) = (0, 0, 0).

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