GALECIO SALINAS.pdf

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ALGEBRA
570 PROBLEMAS RESUELTOS
540 PROBLEMAS PROPUESTOS
ING. Ms. Sc. GALECIO SALINAS J.
DOCENTE DE MATEMATICA
AREA DE CIENCTAS BASICAS FACULTAD DE MECANICA
SI]PE,RIOR
ESPOCH
RIOBAMBA. ECUADOR
201 1

ALGEBRA SUPERIOR
José Galecio Salinas Jaramillo
Producido y Editado por:
José Galecio Salinas Jaramillo
Registro de Autor:
No. 025063
ISBN: 97 8-9942-03-7 49-7
Álgebra Superior
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra
por cualquier medio, sin autorización escrita del autor
Dirección General:
Ciudadela laPaz- Carondelet No 3, entre Almagro y Morona
Riobamba - Ecuador
Pedidos A:
i gsalinas@.latirunail.com
Teléfonos:
(03)294s-331
493557367
Tiraje:
PrimeraEdición
500 Ejemplares ,
Septiembre 20 del201l
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Editorial
Soluciones Gráficas
Quito - Ecuador

PROLOGO
El ::: ¡--slto de este libro es dar al estudiante que desea ingresar a la Facultad de Mecánica y otras especialidades
:; 'a
ESPocH' asi como a las diferentes universidades ! Escuelas Politécnicas del país, una fuente directa de
:::sulta puefo que en el presente trabajo se encuentran temas cómo: Lógic4 con;uátos, Nn.eros Reales,
Fua:iones, Polinomios y-Nú1e1o¡ complejos que corresponden al curso de Algebra superior del primer nivel
que
'e
aplica en la EIM Facultad de Mecánica de la ESpOCH.
El libro comprende 6 capítulos:
En los capítulos I y 2 se trata de: Lógica, Conjuntos y sus aplicaciones.
EI capítulo 3 se relaciona a números reales, en el cuál encontramos desarrollados los temas de: Ecuaciones,
Inecuaciones de diversos tipos, Aplicaciones al valor Absoluto y su representación gráfica
"";i .j; numérico.
El capítulo 4 detalla las
.funciones en general, en el mismo se ha incluido-: EcuacioneJ, ln"cra"ior.s
Exponenciales y Logarítmicas. Además se ha considerado el método gráfico paru r"solvÉ. Ecuaciones,
Inecuaciones y su representación gráfica en el plano cartesiano.
El capítulo 5 abarca los Polinomios y sus operaciones; Productos y cocientes Notables, Regla de Ruffini,
Algoritmo de la División y Aplicaciones; también se ha tomado en cuenta: la descomposi.ioi.n Fracciones
Parciales, Potenciación, Radicación y Racionalización. Temas fundamentales para iniciai
"l "rtu¿io
del Análisis
Matemático.
En el capítulo 6 se expone los Números complejos y relaciona las definiciones de: cantidad Imaginaria, Número
Complejo (a + bi), representación Geométrica y Trigonométrica de (a + bi) y ,r, op".uáones. Además
Potencia y Raíz de un Número Complejo, Función Exponencial, r'órmula de Euler y Forma Exponencial del
Número Complejo. En este mismo capítulo se expone- brevemente las coordena¿ur poru.", y-iu ro*u pu.u
construir algunas gráfi cas.
En todos los capítulos encontramos un gran número de problemas resueltos y propuestos, para que el aprendiz
desarrolle los procesos e instrumentos del conocimiento matemático, urí^.orno la potenciación de sus
capacidades intelectuales, con la finalidad de que los alumnos se vuelvan aprendices autónomos,
interdependientes, autorregulados, capaces de aprendei a aprender.
Deseo que el estudio de esta obra, le proporcione al estudiante suficiente destreza en el lenguaje y en las ideas
fundamentales del Álgebra para continuai con las técnicas más avanzadas del cálculo, yu quE rrá ,i¿" concebido
para ser empleado como libro de texto o como complemento práctico de los cu.rsos de matemáticas básicas. Esa
es la razón para que baya 570 problemas resueltoi y más áe 540 problemas propuestos .on ,u. respecti.".as
respuestas. Pero que, al desarrollarlo, al mismo tiempo se convierta en un desafiá, pr..to que: ..euerer
aprender
y saber pensar son las condiciones personales básicas que permiten la adquisición de nuer.os conocimienros l. la
aplicación de lo aprendido de forma efectiva cuando se necésita,,.
DesafoÍunadamente la información que se basa en demostraciones eminenremeflt. rir¡rir-&S. poco aporta al
estudiante que busca aplicaciones p.áciicas a su carrera_ .a que esra r.roda. ia_r ,-iencias ,leben ser r.ivenciadas
por el educando r orientadas por su maestro.
Erpreso mí profunda era¡itud a lr,s es¡rCie:-r:es Je la Elf. .:,¡s
sugerencias que a fu:uro se me has- _-:,:.i:.J.r.
en general. por la acogida y
1I-'I4:,R.

CONTENIDO
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, :.i Notación....... ......... 1
, l.l Valor de Verdad......... ................. 1
-: Cc,nectivos Lógicos ...............l
i .i.1 Negación...... .........2
1.3.2 Conjunción... .........2
1.3.3 Disyunción... .........3
1.3.4 Bidisyunción (Disyunción Exclusiva) .............3
1.3.5 Condicional o Implicación ..........1
1.3.6 Bicondicional oEquivalencia.................. ..........4
1.3.1 Conjunción Negativa ..................4
1.3.8 Cuadro de los valores de verdad de los Conectivos Lógicos ........................5
I
, 2.77.5 Diferencia Simétrica .................2j
2.12 Leyes del Algebra de Conjuntos ................27
2.12.1 Problemas Resueltos sobre Conjuntos ................ ..................30
2.13 Problemas Propuestos.... ..............,.............40
CAPITULO 3
Nirv¡nos REALES...... ...............42
i.l Los Reales como un Campo ...................... -13
3.2.1 Axiomas de Igualdad ................l-l
3.2.2 Axiomas de la Suma .............. .. +_:
i.2.i Axiomas del Producto. ........... -1-:
1.1.1 Axiomas de Orden ............. -i-:
-1 -1.1 Inecuaciones de Primer Grado........... -1
.- -i I lnecuaciones de Otros Tipos............ -'

3.6.1 Definición .............56
3.6.2 Propiedades.. .........56
3.6.3 Problemas Resueltos ..................58
3.6.4 Problemas Propuestos: ...............85
CAPITULO 4
RELACIONES Y FUNCIONES................... .........87
4.3 Dominio de laFunción .........92
4.4 Función Biyectiva...... .........-'96
4.5 Función Inversa.......... ...-.......101
4.6 Función Constante ....-......... 105
4.7 Funciones Crecientes y Decrecientes.................... ...'......105
4.8 Funciones Pares e Impares......... ....'...--.'-..106
4.9 Función Valor Absoluto..'....'........" .....'..-. 107
4.9.1 Construcción de Gráficas de las Funciones que contienen valor Absoluto........................110
4.10 Función Sign X.......... ..........1l5
4.1 I Función Característica o Indicatriz... ..'..'..1l5
4.12 Función Parte Entera de X.............. .-...-..-. 116
4.13 Operaciones con Funciones ................... ...........'.'....-.---.- 121
4.14 Función Compuesta ..........-.124
4.15 Función Lineal ........... ----.-.-127
4.16 Función Cuadnitica.... -..-...-128
4.17 Función Exponencial ..-.--.-.-132
4.18 Función Logarítmica.. -......-. 136
4.18.1 Propiedades de los Logaritmos.............. .......142
4.18.2 Fórmula de paso de un Sistema de Logaritmos en Base a, a otro de Base b.......................146
4.18.3 Problemas Propuestos "........'.'. 152
4.18.4 Ecuaciones Exponenciales y Logaritmicas ............... ..........153
4.18.5 lnecuaciones Exponenciales y Logaritmicas................ ......' 165
4.18.6 Problemas Propuestos .'...........182
4.19 Método Gráfico para Resolver Inecuaciones .'............... t 89
4.19.1 Resolver Mediante el Método Gráfico las siguientes Ecuaciones,
Inecuaciones y Sistemas.... ....-.194
4.19.2 Representación Gráfica de Inecuaciones.................. .-.........200
4.19.3 Representar Gráficamente los siguientes Sistemas: .'..........204
4.19.4 Problemas Propuestos ...........'.206
CAPITULO 5
5.1 Definiciones Básicas......... '....................'.208
5.2 Símbolos de Agrupación................... .....-.208
5.2.1 Definición de Po1inomios.................... .'........208
5.2.2 Función Polinomial ....'........'...208
5.2.3 Ecuación Polinomial .......'.......209
5.3 Operaciones con Po1inomios.................. ......'.....-'.......-..209
5.3.1 Suma de Polinomios... .............200
5.3-2 Resta de Polinomios... .............200
5.3.3 Multiplicación de Polinomios ................ .......209
5.3.4 División de PoIinomios................... .........-'.-.210
5.4 Productos Notables -...--.-----2ll
5.5 Cocientes Notables -.-...-..-..212
5.6 Ecuaciones de Cuarto Grado que se reducen a Ecuaciones de Segundo Grado........... ....................216
5.6.1 Ecuación Bicuadrada... .......---..216
5.6.2 Estudio de las Raíces de la Ecuación Bicuadrada ......---......217
5.7 Ecuaciones que se reducen a Cuadráticas ............'..... .--...-'...........'.....-21 8
5.8 Ecuación de Cuarto Grado cuya solución se transforma en una de Segundo Grado
por medio de la separación del Trinomio.....'........-... ..-.-219
5.g Ecuaciones Reciprocas -.----219
5.10 Condiciones por medio de las cuales la Ecuación axo + bx3 * cx2 + dx + e : 0,
a + 0, b + 0; Se Transforma en una de Segundo Grado-...'...... .....-.-..'.220
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I

:.1 I Ecuación del Tipo (x + a)(x + b)(x + c)(x.+ d) : rn............... .............221
5.12 Ecuaciones de la Forma (x + a)o + (x + b)a : c................ ....................222
5.13 Ecuación de la Forma * * b* : "
2 ) .-.......,............, ¿¿¿
px +nx+q px- +mx+q
5.14 Regla de Ruffini ................223
5-14.1 Primer Caso Especial .................... ................224
5.14.2 Segundo Caso Especia1.................... .............225
5.14.3 Tercer Caso Especial ..............225
5.15 Algoritmo de la División .........................226
5.15.1 División por Coeficientes Indeterminados.............. ............227
5.16 Teorema del Residuo y del Factor.. .........22g
5.16.1 Teorema del Residuo ..............219
5.16.2 Teorema del Factor..... ........-...ZZO
5.17 Descomposición en Fracciones parciales ......................232
5.18 Problemas Propuestos.... ..........................241
5.19 Potenciación y Radicación. ......................242
5.19.1 Potencia ............233
5.19.2 Radicación ........243
5.20 Transformación de Radicales Dobles en Radicales Simples .....-.........244
5.21 Descomposición en Radicales Simples el Radical de la Forma:
^le+
Je +.,8+"6 = Ji+^f, +^li .......................246
5.22 Racionalización................. .........-............24g
5.23 ProblemasPropuestos....
CAPITULO 6 'oLU).............-... .............260
NÚMERos coMPLEJos ...........263
6.1 Cantidad Imaginaria ..........263
6.2 Definición de Número Complejo...... .......264
6.3 Representación Geométrica de los Números Complejos. ....................265
6.3.1 Forma Trigonométrica del Número Complejo...... ..............265
6.4 Operaciones con Números Complejos..... ......................267
6.4.1 Suma de Números Complejos.... ...................267
6.4.2 Multiplicación de Comp1ejos.................. ......268
6.4.3 División de Complejos ............271
6.5 Potencia y Raíz de un Número Complejo...... ................275
6.6 Radicación de Números Complejos dados en Forma Trigonométrica........ ...............276
6.7 Función Exponencial con Exponente Complejo y sus propiedades .............. ............2g0
6.8 Formula de Euler
6 e Forma Expon.,.i;r';;i,ü;; ó;;l;j; ...:......:................::.::................ ............... .........f.........:;:l
6.10 Problernas Propuestos.... .............:............2g4
6.1 1 Ccrordenada: Po1ares.......... ......................2g5
6"1i.1 Relacion con ia: Coordenadas Cartesianas .........................2g6
6.1 I.l Grai-ica: de E;uaciones en Coordenadas polares..... ...........2g7
6.1 1.-r Prob,lemm PrLlpu::tLrs ............_2991
C {PITLI-O
RESPL EST{S 2s2
CAPITL,LO 8
BIBLIOGRAFIA .....3 I 4

CAPITULO I
LGGICA }IAT.E
1.1 DEFINICIÓN
: a iógica es la ciencia que enseña a raciocinar con exactitud, estructura el pensamiento y conduce a la razón
racia la verdad. Es decir es el estudio de los procesos validos del razonamientá humano.
1.2 PROPOSICIÓN
-{cción que propone algo que puede ser verdadero o falso pero no ambos al mismo tiempo.
Ejemplos:
1) Juan León Mera escribió el Himno Nacional.
l) t1+2+3...)">1
-l) Todo número diferente de cero es divisible por cero.
+) ¿ Que es el tercer mundo ?
5) El área de un cuadrado de lado 4 es mayor o igual que el área de la mitad del mismo.
6) ¡ Que frío !
Son proposiciones 1" ,2",3",5o , mientras que las expresiones 4o, 6o no son proposiciones ya que no afirman
ni niegan nada.
1.2.1 Notación
A las proposiciones se les representa con las letras minúsculas p, q, r, s,1,...
Ejemplos:
1) "El General Eloy Alfaro hizo la revolución liberal de l g95 ,,.
se escribe:
p: "El General Eloy Alfaro hizo Ia revolución liberal de l g95 ,,
se lee:
p eslaproposición"ElGeneralEloyAlfarohizolarevoluciónliberal delg95,,.
2) " n + I es un número impar si n es par,,.
se escribe:
q: " n + I es un número impar si n es par ,,.
se lee:
q es la proposición ,,
n + 1 es un número impar si n es par ,,.
-i, "3 l<2 i".
se escribe:
s: " 3 + 1<2-3".
se Iee:
1.:,1 Valor de Verdad
:: . ::ta ialor de r:rdai d: ur:
. :::rli:l ¡u -,
al¡r de .,:ri:i ¡: :=
ia ':r:e,i : ¡¡lsedai
1", .- ;. ::..: .l .,:
le su ;.,r.leril,:. Si una proposición
: j: r 3ttlf, ;S '', ,: I = F.
:' :.: :.ri:i3nt3n a una prOpOSiCión.

" Todos los números primos son divisibles por I ". V(p): V
" sen 45o < cos 60" ". V(q ): F
" Riobamba es capital de Chimborazo ". V(r )
" log x:l para todas las x >0 ". V(s ): F
I.3 CONECTIVOS LOGICOS
ián partículas gramaticales ( y, o, no, si, etc.), que tienen un carácter enlazante y permiten la formación de
propásiciones compuestas. Serepresentan mediante símbolos estandarizados, que son los siguientes:
Ñeia.ión,,NO ", Conjunción " Y ",Disyunción " O " Inclusiva,Bidisyunción" O" Excluyente,Condicional
" sí..., entonces", Bicondicional " sí y sólo sí".
1.3.1 Negación
La negación es un operador lógico que cambia el valor de verdad de una proposición'
^-p en cualquier caso se lee: " no p ". Por definición se tiene: sí V(p): V, V(-p )
: F'
Tabla de verdad.
pr
q:
r:
S:
2)
4)
F
F
1)
2)
3)
4)
,,2":(x+y)o"
" l-2,2le R "
I
"2"+(x*y)""
"L-2,21ÉP. rr
" (a + b)i tiene un número finito de elementos "- F
I
"(a+b): notieneunnúmerofinitodeelementos ". V
,(1+1+l+l+l+...)':il.n)* v, "(1+1+1+l+l+...)-+(l.n)' F-
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1.3.2 Conjunción
Relaciona dos proposiciones simples para formar una proposición compuesta a través del operador "Y".
Susímboloes:"¡',.Así pnqleemos "p y q", lamismaqueesverdaderaúnicamentecuandolasdos
proposiciones p y q también lo son y falso en los demás casos.
Tabla de Verdad.
Ejemplos:
1) p: "X.X.X...X: Xn "'
q: "X+X+X+... +X: nX ".
p n q: "X.X.X...X: X' Y X+X+X+...*X : nX "
Se tiene
V(p): V, v(q): V, luego V ( P n q ): V
3) t: "sen245" + cos245o -- tg45" " .
,," I >o cuandoa<0"-
A'
t¡ u : " sen'45" + cos245o :tg45' Y
I
--.-;
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Se tiene
V(0:V, V(") : F, luego V ( t n u ): F
r:"log*0=1".
s:"lne:1".
rns:"log*0:I Y lne:1".
Se tiene
VG) : F, V(s): V, luego V (r r. s): F
v: "1'00 es divisible por l0 ".
w: " 10 es divisible por 2 " .
v A w : " 100 es divisible por
.10
Y
l0 es divisible por 2 " .
Se tiene
V(v): V, V(w): V,
luego V (v n w): V
p q DAO
V
V F F
F V F
F F F
>0 "
Lógica Matemática

f .3.3 Disyunción
Relaciona dos proposiciones simples para formar una proposición compuesta a través der operador ,,
o ,, su
;'#::f#''.
Así p v q se ree" p óq",;;ir.u que es verdad.rasiar menos una",.,r".dud".uy farsasilas
Tabla de Verdad.
Ejemplos:
l)
lr
.2
p:" 2' =256"
q: "para todo número rear . - : es ula bisectriz que pasa por er primero y tercer cuadrante,,.
ful¿lunr.:,.
:--'ó tr paral:,ir:-:;er¡¡eal X..:Xesunabisectrizquepasaporelprimeroytercer
Se tiene
tnr F . -
',P', .._:- _.
r: "J,:l- - '' = -'
:: :::::-:- :--:=: :;= lr. . ..:i.¡e : - 1 < 0 ,,.
. : : = - :::::: j:,número real X, setiene X2+ l < 0,,.
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_ _. :i r...-::: , r I :i irrrCiOnal..
. t-- --- ;
:-- - - ;:
I r-r r'l'j - es un entero"
.-:;"1---,--.^ .;...
. .. r.urrsro Vl es un irracional o es un entcro..
-aior de verdad .(r):V, V(s):F entonces: V(rV s):V
Ejemplos:
i) p: ''Una persona - c! :_r:---_:::-.
q: "Una persona X.-: in_::,:..
p v q : "Lrna per>ona. .... :-.=.
Valor de r.erdad V1p.¡ : '. 'i q r = F
Entonces: V(p v q) : '.
3) t: "Un número entero n+l par^.
u: "Un número entero n*l impar',
tvu:"Unnúmero
varor de verdad
",;1l;:"fii+i'.X';:::.uencia: (t ,., , ¡:1,
observación'- La o incl.usiva incluye el valor de r erdad. cuando tanto D como n can r¡p..r^r^-^- - .
o exclusiva no admite ri.rlár"iauá;1" *;;;:'; I ;:*"
o son verdaderos, mientras que la
p q DVO
v V
v F V
F V
F F F
Algebra Superior

1.3.5 Condicional ó Implicación
Se llama implicación de las proporciones p, q a la proposición -p v q, se nota: p -) q, se lee ..si p, entonces q,,
ó "p implica q".
Tabla de Verdad
Ejemplos:
I
l) ,;"7§:a2 ",
ce1 4
-1»
Y.
I
(p -+ q ): "sí ?á
Valor de verdad
v(p): v
v(q): F "
: a2, entonces2a =2"
V(p-+q) -F
2) r: "loguN: f,". V(r) : V
s:"a* :N". V(s):V
(r -+ s): "si loguN: X, entonces a*: Nl,.
Valor de verdad V(r -+s) -Y
3) t: "Pedro es estudiante sobresaliente". V(t): V
u: "María es feliz". v(u) = V
(t + u) : "Si Pedro es estudiante sobresaliente, entonces María es feliz,,.
Valor de verdad V(t -+ u) : V
1.3.6 BicondicionalóEquivalencia
Se llama equivalencia de p, q a la proposición (p+q)
^
(q+p), se nota: p<->q se lee "p es equivalente a q,, ó
"p, si sólo si q" (pssiq).
Tabla de Verdad,
Ejemplos:
l') p: "La tierra es habitable".V(P)=V
q: "El sol da calor". v(q):v
(p e q): "La tierra es habitable, si sólo si el sol da calor,'
Valor de verdad V(peq):V.
r:"aXz + bX + c :0 tiene raíces reales ".
I
s:"(b2-4ac;7 >0".
(res) :"aXz +bX + c:0 tiene raíces reales, sí sólo sí (b'-+ac¡* ¿ g,,.
Valor de verdad V(r <+s; : Y
t: "X2+ Y? : 4 es la ecuación de la circunferencia de radio 2,,. V(t): V.
u: "X2 + Y2 : 5 es la ecuación de la circunferencia de radio 5',. Viu) : F.
(teu): "x2 +Y2:4 es laecuación de lacircunferenciade radio 2, síy sóro sí X2+y2:5 es la
ecuación de la circunferencia de radio 5".
Valor de verdad V(tou) : F.
1.3-7 ConjunciónNegativa
Se nota: p J q, se lee ni p, ni q o (no py no q).Laproposición compuestaes verdadera únicamente cuando p y
q son falsas. La conjunción negativa es equivalente a: plq <+ -p
^ -q.
2)
3)
p q D-)q
V V V
F F
F V v
F F V
p q DoO
V F F
F F
F F V
Lógica Matemática

Tabla de Verdad-
Ejemplos:
-
tt-
r) p,"JJJ. =ffi'.
q: "1:(-1)-r".
. f t _
(P J q ): "ni lJJu = Vi. ni l=(- l)-r"
Valor de verdad V(plqfF.
2) r: "Juan es estudiante de la F.I.I. de la Espoch ,,. V(r): V
s: "Juan es estudiante de la F.L.L. de la U.T.L.',. V(s): F
(r J s) :
*Ni Juan es esrudiante de la F.LM. de la Espoch, ni Juan es estudiante de la F.L.L. de la U.T.L.,,
Valor de verdad V(r i sl = f
3) t: "El perímetro de un riá¡eulo rectán-sulo isósceles de catetos ,.r,,
está formado por un número entero,,.
v(t): F.
3
u,*I(x¡-20)2 =1-.6. Six.:i.r;:10 y x::15,, V(u)=F.
i=t
(t J u) : "Ni el perímetro cie un :r:á¡oulo rectángulo isósceles de catetos ..r,,
está formado por un número
3
entero, ni )(*, -10): = l:i, . Sr r : ¡. x-: l0 y x::15,,.
i=l
Valor de verdad '(t y u r : ,'.
1.3.8 cuadro de los Yalores de Verdad de los Conectivos Lógicos
I..I POLINO}IIOSBOOLE{OS
Definición.-
p r
F
F
F
F
F
F
E
F
Una
posibilidad
v(p): v
v(q) = F
j
q
F
F
:-
r.
F
F
F
Dos
posibilidades
Cuatro
posibilidades
p q pJq
V V F
F F
F V F
F F
Algebra Superior

I.5 TABLAS DE VERDAD
Es la forma simple y concisa de indicar er varor de verdad de los polinomios.
Ejemplos:
Desanollar las tablas de verdad de los siguientes polinomios
(p, q) J -q
(Pvq) J -q
VFV V F
VVF F V
F VV F F
FFFFV
-(pv-q)nr r -+(q v -p)
-) (q
-p)
F
F
F
F
V
V
V
V
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- (P v-q)
FVVF
FVVF
FVVV
FVVV
VFFF
VFFF
FFVV
FFVV
V
V
F
F
V
V
V
FV
FF
FV
FF
VV
FF
FV
FF
t
V
F
V
F
V
F
V
F
v
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
t
1.6 ORDEN DE LOS OPERADORES
Se necesita mantener cierto jerarquía u orden en el desarrollo de las tablas de verdad de los polinomios.
1'uRegla'- si la proposición compuesta esta encerrada en símbolos de agrupación, la ubicación de estos nos
indican cual es Ia conectiva predominante.
Ejemplo:
[(- p ¡ q) --> (q + p)]
^-q.
La conectiva predominante es la conjunción.
- [(p v -q) n r]. La conectiva predominante es la negación.
(p -+ q) v - (p
^
-g).La conectiva predominante es I-a disyunción.
2do Regla'- Si la proposición compuesta- esta expresada literalmente con signos de puntuación, estos deben ser
reemplazados por símboros de agrupación y el polinomio quedaá
"oro
án lu t-.; R;;ü.
Ejemplos:
a) 4-t--6 y l_3:2, o 3:4y3_1=2.
Simbolizamos los enunciados con variables.
py q o ryt.Elpolinomioqueda (p r, q)v (rnt).
b) Noesverdad qtre, 2+l:6 y 3>5
Simbolizando queda: _ (p,.' q),
c) No es verdad que: "Ecuador es un país capitalista o Colombia esta en América del Norte,,,
entonces Ecuador y corombia son países en vías de desarroflo.
Simbolizando queda: _ (p v q) +( p ¡ q).
3'u Regla'- s.i
3n .la
proposición compuesta no es posible aplicar las regras anteiores se debe considerar el
siguiente orden: -, v, -), +>.
Ejemplos:
p
^
-q v-r -+s. El orden es el siguiente:
[(p
^
-q) v -r] -»s, también podría ser: [p ¡ (_q v _r)] +s
p
^
q +> -q. El orden es el siguiente:
(p¡q)o-q.
a)
b)
Lógica Matemática

F
¡,
¡,
l,
,D
,,
¡,
3
I'
-
AD
,
Z
FI
F
F
b
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D
F
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ll
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¡t
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rl
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l)
I}
!l
p
Q=:jiz:- -- ---:. - -::-.
Reallzar ,a disrun"-ión: p,, q
^
p,^ . J -p. El polinomio queda expresado así:
p.. [q .rp ,.rt]+-pl.
l.- T{r roI-ocÍr y coNtRaorcclóN
Ln pllin-'mio representa una tautología si la última columna de la tabla de verdad es verdadera para cualquier
r erdacierr- o falso. en caso contrario es una contradicción.
Ejemplc,-.:
tr
Tautología
Contradicción
ti
Tautología
b) I(p -)q)
^ pl
^ -q
V VV VV FF
V FF FV FV
FVVFFFF
F VF FF FV
lv q
VV
VF
VV
VF
a) I- (p +> q) -) -q
F V V V VF
V V F F VV
V F F V FF
F F V F VV
-) q) ¡ (r -+-q)l -+ - (p
^
r)
V V F V FF VF V V V
V V V F VF VV V F F
F F F V VV VF V V V
F F F F VV VV V F F
V V F V FF VV F F V
V V V F VF VV F F F
V F V V VV VV F F V
V F V F VV VV F F F
c) tfu
V
V
V
V
F
F
F
F
:¡ (p
^
q) A - (p v q)
VVVFFVVV
V F F F VV F F
F F V F VF F V
F F F F VF F F
l¡
IT
Contradicción
I

r.8 EeurvALENCrAErMpLrcACróN ¡_ócrc,l
Equivalencia.- Dos polinomios son lógicamente equivalentes sí:
a) Al desarrollar las tablas de verdad de los polinomios, y en la última columna de ésta tabla de izquierda a
derecha se observa que coinciden.
b) Al desarrollar el bicondicional entre los dos polinomios se obtiene una tautología.
Símbolos: <), =.
Ejemplos:
a) Demostrar que:
Desarrollando el bicondicional:
vqe>[(pJq)JtuJq)]
VV V FVVVFV
VF VFFVVFF
VV F FVVFFV
FF F VFFFVF
lr
rl
Columnas idénticas.
pvq<)[(pü0ü(pJq)]
VVVVVFVVVFV
VVFVVFFVVFF
FVVVF FVVFFV
FFFVF VFFFVF
p
F
F
e [(p + Q) ,r (o -+ p)1
VVVVVVVV
VVFFFFVV
VFVVFVFF
V F V F VF V F
p
V
F
F
psq:[(R+q;"(9-+p)1
VVVVVVVVVV
VFFVFFFFVV
FFVFVVFVFF
F V F F V F VF V F
b) Demostrar que:
L=-____l
Columnas idénticas.
a)
b)
c)
Ejemplos:
Denrostrar que: (p n q) n r
= p n (q n r)
Demostrarnos a través <iel literal a)
p=q
p+q
-pvq
p^-q
Es una tautología.
Es una tautología.
Es una contradicción.
-c)
F
V
F
b) -(p n q) v (-p ü
.F VVV V F V
VVF F V F F
VFFV V VF
VFFF V VF
a) (p,r q)n r-+ p n (q,^, r)
V VV VVV V V V V V
VVVFFVVF VF I,-
V F F FVV V F F }- V
V F F FF V V F F F F
FFVFVVFFVVV
F F V FF V F F V F F
F F F FVV F F F F V
F F F FF V F F F F F
Demostrar que: p n q + -p J -q
Demostramos por medio del literal b)
Es una tautología
tr
t
Es una Tautología.
Desarrollando el bicondicional :
eq
VV
FF
FV
VF
t1
Es una Tautología.
trmplicación Lógica'- un polinomio implica lógicamente a otro, si cumple con cualquiera de las siguientes
condiciones:
Es una tautología
Lógica Matemática

t
b
f
ü
t
t
r
t
t
a
a
a
a
t
a
aü
a)
ü
a
t
a
a
I,
a
t
a,
a
a
a
a
e
a
t
t
a
a
,
t
a
a
a
;
a
r,
t
;
,
gn")
1.9 LE-ES DEL ALGEBRA DE LAS PROPOSICIONES
1*r Leyes de ídem potencia
Pvp<+p
pnp<+p
3*) Leyes asociativas
(pve)vR<+pv(evR)
. (P¡Q)¡Rc>pn(ea.R)
5'") Leyes de identidad
-pvF e-p
-PvVe V
P¡F <> F
p¡Vc> p
1*") Leyes de Morgan
-(PvQ)<>-Pn-e
-(PnQ)o-pv-e
Leyes Básicas
Pv Qe(PvQ),^.-(pne)
p.l ee-p^-e
P-+Qe-pve
P<+Qc+(p-+e)n(e-+p)
pe[(qvp)n(p,^,q)]
p<+[(pvq)n(paq)]
p+'l[{pvq) "pJnql
pe(ir¡q)
[p -+ (p ¡ q)] ¡ [(p
"
q) -+ p]
[-p . tp . q)] ¡ [-(p "
q)., p]
--.l -ip . qil .,[p I (p,r q)]
.-.. -i q)l .rp"q)
-: I lrl [-ip qi,(p.q)]
.-.: : :1
-. ; _
.._ _
; . + -e--q,
-: i, i-Fy-qr
-.¡ j, ,-,-lr -t-.1 rl
-ip'ql - ip-q)
-
20") Leyes conmutativas
PvQoevp
P.rQeQ^.P
4") Leyes distributivas
pr(enR)e(pve),r(pvR)
. p,r(evR)e(pne)v(pnR)
6t") Leyes de complemento
pv-p<+V
Pn-p<+F
-(-p) e p
-V €)F
8"u) Leyes de.absorción
Pn(pve)<:>p
pv(pae)ep
10*") Extremos y medios
(-P v - Q) ¡ p v e) <) (-p n e) v (_e,r p)
(-P n - Q) v (p
^ e) <3 (-p v e),^. (_e v p)
e -pvq
<+ -pvq
o "'pvq
§ -pvq
<> -pvq
<) -pvq
<> -pvq
€) -p/q
€,-p q
=-;,r
=-ii
t:
Todas estas leyes son equivalencias lógicas y se demuestran mediante tablas de verdad.
Ejemplos:
Sirnplificar:
(p-+q)¡"'(q np)
(-pvq) n^,(p nq)
"-;9,;llJ-o'
-PVF
-p
Demostrar que:
{lEebra Superior

Demostrar la siguiente tautología:
Demostrar que:
Simplificar:
p)¿qe(p n^,q)
[(p,, q)
^ - (p
^
q)] +> (p
" -q)
[(p v q)
^
(-p v -q)] +> (p
" -q)
[(-p v -q) n (p v q)] e (p n -q)
[(-p n q) v (^.q
^
p)] +> (p ,r -q)
[(-p "
q) v (p n -q)] e (p,r -q)
Hacemos un cambio de variable
M: (-p
^
q), N: (p
^
,q)
(MvN)<+N
[(MvN)-+N]n§-+(MvN)l
[-(M v N) v N] a [-N v (M v N)]
lt-M ¡ -N) v Nl
^ [(-N v N) v M]
[(N v -M) n (N v -N)] ,r (V v M)
[(Nv-M)nV]nV
(Nv^"M)nV
Nv-M
-MvN
-(-pnq)v(pn-q)
[-(-p)v-q]v(pn-q)
(pv-q)v(p¡-q)
pv[-qv(-q^p)]
pv-q
(p"q)=(peq)
(p"q)-+(peq)
-(p"q)v(p+>q)
-(p ¡ q) v [(p + q) ¡ (q -+ p)]
-(p ¡ q) v [(-p v q) ¡ (-q v p)]
-(p ¡ q) v [(-p
^ -q) v (p n q)]
[-(p ¡ q) v (p ¡ q)] v (-p ¡ -q)l
Vv(-p n-q)
Vv-(pvq)
p v q€) [-(p n q) v-(p v q)],r t(p v q) v -(-p v -q)l
p v q <> [-(p
"
q) v -(p v q)] n [(p v q) v (p n q)]
p v q €) [-(p v q) v -(p
^
q)] n [(p v q) v (p,^. q)]
p v q <+ [-(p, q) n (p n q)] v [-(p n q) n (p v q)]
p v q<) [(-p n -q) n (p n q)] v [-(p ¡ q) ¡ (p v q)]
p v q <+ [(-p n p)
^
(-q
^
q)] v [(p v q) n -(p n q)]
p v q €) (F n F) v [(p v q) n ^,(p,r q)]
pvq<+ F v[(pvq)n-(pnq)]
pvq<> (pvq)^ -(p^q)
pyqe(qlp)J(p-+q)
p)¿q+>-(qJp)^-(p+q)
pyq+>-(-p"-q)¡-(-pvq)
p l¿ q +> [-(-p) v-(-q)] ¡ [-(-p) ,r .'q]
pvq+>(p,rq)n(p¡-q)
pl¿q<->1tO.rq)npln-ql
l0 Lógica Matemática

-
a,
f,
¡;
f
;
a|
I'
t
t
t
t
t
t
t
t
1'
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l,
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t
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t
t
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t
t
t
t
t
)
t
f
i
,
'¡
i
i
)
Demostrar que:
Simplificar:
€)peq
€)peq
c)peq
<>peq
c)psq
€)psq
c)peq
<]peq
e)peq
<>peq
<:)peq
<>peq
<)peq
<]peq
clpeq
[(pvq)^(-pv-d]J(pvq)
- tle
"
q) n (-p v -q)l n -(p ¡¿q)
-] t(n
"
q) n (-p v -q)l v f p,r 0f
-l
!Ío "
q) n (-p v -q)l v [(R v q¡ n -(p a q)]l
-l ltn
v a) n ¡1-O r -q) ,,, -(p n q)l I
-1l(p v 9) n [1^, v -q) v (-p v -ql] i
-[(pvq)n(-pv-q)]
-[(-pv-q)¡(pvq)]
-[(-p¡q)v(-qnp)]
-(-p¡q)r-(p¡-q)
[-(-p) v -q ] r [-p v -(-q)]
(p., -q)l
^
(-p v q)
(-pvq)l^(^,qvp)
(p -+q)^(q-+p)
(peq)
(pedlq
-(peq)¡-q
^[(p++q)^q]
-jltp -- q) n (q -+ pll ', q !
,-f [(^pvq)n(*qvpr] ,, ql
-ltl-pvq)vql
^ [(p -q), q]
-l [(-p v q) n [p ', r-q , qt] ,
-[(-p v q) n (p'z -)]
-[(-pvq) n-]
-(-p ,, q)
-(-P) " -q
p .-q
Demostrar:
[(p v -q)., (-q ,., p)J , 1p.. o,
[(p v -q).", (p.^. q]l n I (p,^ _q),. (p . q]j
[(p
"
q) v (p v _q1] r. [p a 1q .i _q r]
j t(p
"
q)
"
p1
" -q i .n'ip ,^,'{-¡
(pv-q)^p
p
^(-qvp)
p^(q+p)
Demostrar la siguiente tautología:
<rp^(q_+p)
<iprr(q+p)
<=pn(q-+p)
epn(q-+p)
e p,r (q -+ p)
epr.(q+p)
opzi(q-+p)
f"
E
l?
[-(peq)+_q]vq
[--(p ++ q) v _q] v q
(p+>q)v(_qvq)
(peq)vV
V
I,1O APLICACIONES
.-
:: Je las aplicaciones rnás importantes del cálculo proposicional, es a la teoría de los circuitos.
. : , ::uiro consta de las siguientes panes:
: -.=:le de electricidad, Hilo conducár y un Interruptor.
u
i.g;Lrra Superior

Hilo conductor
r?
-
J
é
é
c
J
é
J
J
é
é
é
é
é
En forma esquemática
A.- Interruptor
S.T.- Hilo conductor.
Si el intemrptor A esta cerrado y
intemrptor esta cerrado su estado es
Analicemos el siguiente circuito:
Sr}T
1/
la fuente esta cargada entonces por S.T circula electricidad;
V, y si esta abierto su estado es F.
cuando el
I
r!
II
r!
g
rI
l!
e
I
f
I
r;
r!
r,
í
!
í
!l
!
r!
I
!
J
t,
'T
!
!
;
rt
t
!
r!
tl
ü
b)
L.- Lámpara. Si esta prendida su estado es V y si esta apagada su estado es F.
Circuito en Serie
Estados de un circuito en serie.
a)l
Los intemrptores A y B est¿in cerrados, entonces L esta prendida.
El interruptor A esta cerrado y B abierto, L esta apagada.
El intemtptor A esta abierto y B esta cerrado, L esta apagada.
c)
d)
A B L
V v v
A B L
V F F
A B L
F V F
A B L
F F F
t2
Los interruptores A y B están abiertos, L esta apagada.
Lógica Matemática

t
It
It
l'
t
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I
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t
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i
I
t
i
I
I
i
a)
:' 3:rr'¡pamos los cuatro estados del ci¡cuito en una sola tabla, vemos que coresponde a la tabla de verdad de la
:,:riunción.
L=A¡B
Circaito en Paralelo
Estados del circuito en paralelo
Los intemrptores A y B están cerrados, L esta prendida.
b) El intemrptor A esta cerrado y B abierto, L esta prendida.
-: ::t: :t .::tr- r B cerrado. L esta prendida
lr
f
I
!
!
f
!
!
I
I
It
rl
+.:. .--.
--
1
t3
A B L
V V V
V F F
F F
F F F
A B L
V
A B L
F V
{--:=b- Super:t-rr

d) Los intemrptores A y B están abiertos, consecuentemente L esta apagada.
Agrupando los cuako estados en una tabla, observamos que es análoga alatablade verdad de la disyunción.
L=AvB
lnt errupt or C o mp I em ent ar i o
Este intemrptor tiene posiciones opuestas. Si A esta cerrado, entonces A, esta abierto.
,, t ,]-r'
"-a- 'E
+ .-rn'..,|
El circuito complementario es análogo a la negación.
Los intemrptores se designan con las mismas variables de los polinomios p, q, r, t, s, etc.
Ejemplos:
l) Simplificar el circuito representado en la figura.
(p
"
q) v (p n r) en virtud de las leyes de Ia lógica ésta próposición es equivalente a: p n (q v r).
A B L
F F F
A B L
V V
V F V
F
F F F
A A' L
V F V
14
Lógica Matemática

S:mplificar el circuito representado en:
3) Simplificar el circuito de Ia figura
(p¡q) v[(pvr)¡-q]
(p
"
q) v [(p n -q) v (rn -q)]
[(p
"
q) v (p n -q)] v (r n -q)
lpn(q v-q)lv(r^-q)
(p¡V)v(rr,-q)
pv(rr,-q)
1-<
[p', (-p ¡ -q)] v (p ,r -q)
[(p v -p) n (p v -q)] v (p r -q)
I V ¡(pv-q)]v(p^-q)
(pv-q) v(p¡-q)
(pv[-qv(p¡-q)]
pv-q

4) Construir el circuito correspondiente al siguiente polinomio p <+ q.
p+>q€)(p-+q)^(q-+p)
p+>q<)(-prrq)n(-qv p)
5) Escribir el polinomio que corresponde al siguiehte circuito.
[(pv-q)v(qn-r)]v-p
Escribir el polinomio que corresponde al siguiente circuito.
{itG
"^,q)vrl
¡ (p ¡ q)f v(-rvp)l v ¡1q^ -p)v(-r ¡ -q)I
6)
l.ll
1.
PROBLENIAS PROPUESTOS
p:3 > 1; q: I 'r- 3:5; r:2+ 1:3
Enuncie con palabras las siguientes proposiciones.
a) (pe q)n (q + r)
b) (-p¡q)v-(pvq)
c) (q-+r)¡(q¡p)
d)
e)
(qvr)n-p
-[p r. (q v -r)]
l6 Lógica Matemática

Determinar el valor de r.erdad de los problemas anteriores.
Escriba con simbolos ias proposiciones siguientes, si se conoce que:
ñ.< 1-, .. l
H.- j .y.r ¡ _.r j-: _{:s:-l-l:5
!'
U' l-J-+
, _- l-. --j-; !-.
. - _:_ J;_
ri! I 1
-
_
- -J -
i:
+- t:5"-
-1 -i:5"
Determinar el valor de verdad de q, sí v(p) : v, en ras siguientes proposiciones.
b) V[-q -+ (p ¡ -p) ] -- F
d) V(q -+ -p) : V
Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas sí: V(p) : V, V(q) : F-, V(r) : V
Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a) -(p¡q)e(pvq)
c) (p J 0'(-p J q)
a) V(p-+q)=V
c) V(p n -q): V
a) (.'paq)-+r
c) (p .n ,q) e (-r v q)
b) -p e (p.r -q)
d) [(-p+ q) n -q] + p
b) -q+-r
d) (-pnr)nq
b) (pJq)v(pvq)
d) [(pvq)^ (-pv-q)].L rp
" q)
9' cuales de las siguientes.proposiciones son tautologías y cuales son contradicciones, (use tablas).
a) (p¡q)-+(-pJ-q) b) _(p¡q)v(peq)
c) [(p +q)vp l')[(pnq)^-(pvq)] d) t(pvq)^-(p^dln t(p+q),^,1q_+p)l
l0. use tablas y demuestre cuares son equivarencias v cuales son impricaciones.
a) [(p-+q)^p]3q
b) (p".q)+-(pvq)el_pv[-qv_(q"p)]l
c) (-p¡ q)-> (rv p)= [_(q vr)_+p]
d) [-p v -(p +> q)] <:> -(p
"
q)
i l. Realice los siguientes,ejempros usando únicamente las leyes de proposiciones.
a ) "simplificar: j l-f p .- q) -+ -ql , q I *, _p
b) Demostrarque: i-pv -[_(p e q),n _(p ¡ q)]l<+p -+ q
c) Denruestre lasiguientetautología: [p _+ (p v q) ]
^
(_p ,rq) + p J _q
d) Demostrar que: [(p _+ q) ,n (q v p)] j _(p
^
q) <] q + _p
- Escriba los circuitos correspondientes a los siguientes polinornios.
a) (p+q)n(q-+r)
c) (p¡q)+(p+>q)
17

CAPITULO 2
Tn;i::.ji,:;.:i
2.1 CONJUNTO DEF'INICION
Conjunto es una colección de objetos que están bien definidos de tal manera que se pueda afirmar sí cualquier
objeto dado esta o no en la colección. Con frecuencia se usan letras mayúsculas como A, B, C, para representar
conjuntos.
Ejemplo:
A: { 1,3,s,7 | B: {2,4,6}
Cada objeto en un conjunto, se denomina elemento o miembro de un conjunto. Simbólicamente:
I e A significa " I es un elemento del conjunto A "
2 e A significa" 2 no es elemento del conjunto A "
NOTACION
Un conjunto se puede notar de dos formas: por extensión y por comprensión.
- Un conjunto se define por extensión o tabulación sí en el se indican todos y cada uno de los
elementos que forman el conjunto.
Ejemplo:
A : { a, e, c,r,t } Se lee, el conjunto A está formado por las letras a, e, c, r, t.
Ejemplo:
A= {X i X son letras de la palabra matemáticas }
Un elemento forma parte de un conjunto, sí y sólo sí al remplazar dicho elemento en la función
proporcional convierte esta en una proposición verdadera.
Ejemplo:
B:{XeR/X2+3X+2:01
Los elementos del conjunto B se determinan resolviendo la ecuación: X2 + 3X + 2: 0
X2+3X+2=0 <)(X+2)(X+1):0
<:> X+2:0 v X+1:0
o X:-? v X:-l
Por lo tanto B : { -2, -l }
C:{XeR/X3-8X2-x+8:0}
Se determinan los elementos del conjunto C
x3-8x2-x+8:o <= xr(x-8)- (x_8):o
(} (x-8)(x'-l):0
<r (X-8)(x-l )(X+1):0
€) X-8:0 v X-l:O v X+l:0
<+ X:8 v X:l v X:-1
Entonces C: { -1, 1,8 }
2.2 CONJUNTO FINITO E INFINITO
Es aquel cuyo número de elementos esta determinado , es decir se puede contar hasta él ultimo elemento por
cualquier método en caso contrario el conjunto será infinito.
Un conjunto se define por comprensión si en él constan la o las propiedades que deben cumplir
los objetos para ser elementos del conjunto.
18 Teoría de Conjuntos

¡t
tt
t
t
a
t
t
t
t
t)
?
4
q
rl
n
t
t
rn
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t
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f
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)
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f
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,
s
)
,
)
?
)
;
s
;
)
t
¡
j t. -. - , i Conjunto finito
: .:- >ra ,i¡ número impary menor que l00l ) Conjunto finito
,- ,-., .:a 1as estrellas ) Con¡unio lnfinito
. --:. -,r. -1. -1, 0, 1,2,3,4,... ) Conjunto Infinito
:J COJLTOYACIO
-'- :'.:-'urro sin ningún eremento , se denomina conjunto vacío o nulo. se denota por 0: {}.
:-;::plr:
.{={XeR/X+4:X+1 }
. B={XeR/X2+t<g¡
C = {X / X sean hombres de 5m de estatura }
2.1 CONJUNTO UNIVERSO
Es el conjunto formado de todos los elementos de los conjuntos que estemos considerando, se representa por u.
F-iemplo:
A: {X e Z I -5 < X < -l }. El conjunto universo es :
-s,-1,-3,-2,-tI o U:lXe Z-|
los conjuntos:
U:
Sean
B- ,^,1,t",r,,,:),: j':r:.0:!,.8: r9_):?:10, 3,6,e,r5 ].Er conjuntouniversoes:
u-{0, 1,2,3,4,5,6,7,s,e, l0,rá,ts'i ó u:i"ó,i,-;,';,i,;,';,";5}:ffi1i1.:?;:,:, 14, l5}
2.5 SUBCONJUNTO
;:*
o y B dos conjuntos no vacíos' A es subconjunto de B si sólo si, cada elemento de A pertenece también a
Simbólicamente AcB síVX e U,X e A+X e B o Ac B +> ( VX e A)(X e B )
El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto.
Ejemplo:
A : {X / X es múlripto de 12 }
B : {X / X es múltiplo de 3 }
DemostrarquéAcB
Si X e A' entonces X es múltiplo de 12 ,luego puede escribirse en la forma x:l2p para algún entero
I; !'Xr"l*lffijrtfi:reemplazando
aP por i, se tiene que X:3r pero r € z es ¿ecir X es múrtipro
C:{X eZt-3<X <0},D:{X eZ/_3<x<3}
C cD+>(VX e C)(x e D) iodosbr;;;;;'de C están contenidosenD.
].6 CONJUNTOS IGUALES
T'.::?$:1,*Jrr"#:isuales
si tienen exactamente los mismos erementos (er orden del listado no riene
o A:B <+(VXeA)(XeB),r (VXeB)(XeA)
..= tl.l.3.2l
3= lt.a.-r.J)
- = sean letras de la palabra curso )= { c, u, r, o, s }
--)
= | sean Ierras de la palabra ,u..o i: i ., ,, ., o, , ¡
.t:B<+AcB n BcA
: --.-'

SUBCONJUNTO PROPIO
AessubconjuntopropiodeB,siysólosi,AessubconjuntodeByalgunooalgunoselementosdeBno
pertenecen a A, y se nota por: E
AgB <)AcB ¡ A+B
AgB <)VXeA,Xe B n lXeB,X eA.
Sean A:{X eZlX2:a} y B:{X eZ/-4<X <4},entoncesAcB peroA;eB.
En lo posterior no se determinará explícitamente si un conjunto es o no subconjunto propio de otro conjunto, esto
nos permitirá utilizar indistintamente la notación A c B.
Ejemplo:
B:{X eZl-4<X<l
C:{XeZ/-4<X<4
B c C puesto que B: 3,-2,-7,0, 1 ) y C: { -4, -3,-2,-1,0,1,2,3,4
Otrservación 1
Los símbolos € , c tienen significados diferentes.
Enefecto,A:{a,b}, entonces aeA o beB, peronoesciertoque: acA o bcA. Encambio
las siguientes afirmaciones son verdaderas {a} c A o {b} c A.
Se concluye que a la izquierda de e hay un elemento y a la derecha un conjunto, pero a la izquierda y a
la derecha de c hay un conjunto.
Obseruación 2
Todo subconjunto propio es subconjunto, pero no todo subconjunto es subconjunto propio.
AgB+ACB V
AcB-+AgB F
2.7 CONJUNTOS COMPARABLES
DosconjuntosnovacíosAyBsoncomparables,siysólosiAessubconjuntodeBoBessubconjuntodeA.Es
decirA yB son comparablessí: A cB o B cA.
Ejemplo:
A:{ 1,3,5} AyBsoncomparables AcB
B: { 1,3,5,7 } CyAsoncomparables CcA
C: { 1,3,5 } DyAnosoncomparables DeA
D:{3,7} DyBsoncomparables DcB
2.8 CONJUNTO DE CONJUNTOS
Cuando los elementos de un conjunto son también conjuntos, por ejemplo:
A : {{0}, {0,11, 12,3}, {4, 5}, {5,6,7}}
B: {{a}, {a, b}, {a, b, c}, {c, d}}
C: {{a, e, i}, {a, e, i, o, u}}
2.9 CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTES
Este conjunto está constituido por todos los subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un
conjunto y se nota por:
P(A):{x.rxcA}
Ejemplos: I
a) Hallar el conjunto de partes de A = {0}
Los subconjuntos son O, {0}. Luego el conjunto de partes es: p(A): { O, {0}}

c)
b)
e
ü
t
t
t
t
t
t
t
t
f
a
)
t
t
t
t
,
,
t
t
,
,
,
)
,
)
)
?
,
¡
¿
)
)
¡
¿
,
)
)
)
l
t
i
,
I
)
)
)
)
)
II
Hallarel conjuntodepartesdeB: {X e R /2X2+7X+5:0 }
Primeramente hay que tabular el conjunto B.
2X2+7Y+5=0 .=
l^
; Ilzx)'+t12X¡ + 1g ¡ 1= s
¿
I
- [ (2X+sx2x+2)l:0
¿-
2X+5:g .', X+1:g
§
x:-J v X:_l
2
Entonces B: {-
5
, -t }
2
Los subconjuntos son: O, {-
+ }, {_l }, t -
i ,_r, , por to tanto
P(B) = { a. | -+ }, {-r}. , i ._, ,}
Hallarel conjunto de partes de C: {a, e, i }
Los subconjuntos son: O, {a}, {e}, {i}, {á, e}, {a,i}, {e, i}, {a, e, i}
por lo tanto
P(C) : { o, {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}
El número de subconjuntos de un conjunto se determina por ra expresión2,,siendo n er
número de elementos del conjunto.
Hallar el número de subconjuntos de:
(}
Ejemplos:
a)
c)
I) BcC V
2) CeA V
3) QcA V
4) DcA F
Determinar cual de los siguientes conjuntos son iguales
a, {0}, {a}, {}.
Soniguales @=1¡
Sean los conjuntos
A={u,e,{a,e},{i,o}};B:{a,e}; s:{e,a};D:{i,o};E:{{a,e}};F:{{i,o}}; G:{"}.
Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas.
^- tj
B:{l}
c: {1,2}
D = {1,2,3}
E: {1,2,3,4}
20: l,
2t:2
12-¡
23 :8
21:16
5) BeA V
6) GcC V
7) FcA V
8)' DeA V
Aclaración del ejemplo b) literales 1) y 12).
elementos a, e de A que están sin llaves.
Demostrar qué B c {B}<+ B : O
Pordefinición B : Oe B c- A n O c. B
c>Ac_ O ¡Ac_ B
9) GeE F
l0) FeA F
1l) AeA F
12) CcA V
Son verdaderos porque se a tomado los
PortantoB:O

Cuales de las siguientes inclusiones son verdaderas.
i) {r,2} c {1,2,3,4} v
ii) {3} c {1,2,3,4) V
iii) {{4}} c {r,2,3,4) F
iv) {1,{2}} c. {1,2,3,4 F
Determine P( P (P ( P (O »)) sí B : O
Solución P(q=P(B):{o}
Sustituimos por C:P(B)
P(c): {o ,{a}}: P( P(B) ):P( P( o) )
Sustituimos por D:P(C)
p(D) : { a,{a}, {{a }, {o . { o }}'i : p(p(c)) : p(p(p(o)»
Sustituimos por E:P(D)
p(E) : p(p(D)) : p(p(p(c») : p(p(p(p(B»))
P(E) : P(P(P(P(O)))) este conjunto tiene l6 elementos.
Demostrar qué (6) c (2)
(6) : { )VX:6n, n e Z} y (2) : {X/X:2n,n e Z}
Sea X e 6n, entonces X es múltiplo de 6
X:6n
X:2(3n)
X:2r , reZ
Es decir X es múltiplo de 2, y por lo tanto (6) c (2)
Equivalencia Lógica del conjunto de partes
XeP(A)<aXcA
{a}e P(A)<+aeA
Observación.- Es obvio que O e P(A) y A e P(A), entonces:
OeP(A)<>Ac:A
AeP(A)<+AcA
Dado el conjunto A: {{3}, {4, 5}, 6} . Determine:
¿Cuales de las siguientes expresiones son verdaderas o falsas?.
a) {3} c P(A) F s) 6eA V
b) {4. 5} e P(A) F h) @eA F
c) OcP(A) V i) A e P(A) V
d) {4,5} cA F {3}, 6} e P(A) V
e) {{3}, 6}c P(A) F k) {{4.5.{3}}cA V
O OeP(A) V l) {4.5}c A F
Para poder contestar hay que formar el conjunto de partes
. P(A): {{{3}}; {{+, s}}; {6}; {{3}, {+,5}};{{:}, 6}; {$,5},6}; {{3}, {4, 5},e;al
2.IO DIAGRAMAS DE VENN _ EULER
Consiste en representar el conjunto por medio de una área plana, limitada por una curva cerrada la misma que
puede tener distintas formas. Los objetos que se encuentran dentro de la línea cerrada pertenecen al conjunto y
cualquier objeto fuera de ella no pertenece al conjunto.
e)
Ejemplo:
A:{XeR/-2<X <4}
B : {X / X sean las 5 primeras letras del alfabeto }
Entonces A: {-2, -1,0, 1,2,3 } y B: {a, b, c, d, e }
22
OÑ
A B
Teoría de Conjuntos

I
t
t
t
I
't
)
I
t
t
t
s
s
s
;
,
I
;
s
s
t
s
,
t
t
;
t
)
t
)
t
)
)
t
t
)
)
:.II OPER{CIONES CON CONJUNTOS
:.11.1 Intersección
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que se forma con los elementos comunes de A y B. se
ien".tapor: AnB
Interpretación Gráfica
A¡^,B= {XD(eAnXe B}
x2 -1=o
Por tanto:
Sean:
Sí A n B : o . Los conjuntos A y B no tienen erementos comunes y se laman disjuntos.
La intersección .o.r"rpond. u ta .ár¡urclá;l{;".
Ejemplos:
1) Sean:
A:{XeP.t2X2+5X-7:0} y B:{XeR/X2_l=0}
Tabulemos los conjuntos A y B.
2X2+sX_7=0 €), ¡1ZXf+s12X)_t4l:0
<+ t l(2X+7)(2X-2)l :0
2
<) 2X+7:g , X-1:0
<) X:-7 v X:l
2
<+ (x - lxx+l)
e X-l:0 v X+1:g
eX:1 v X:-l
A/rB:{1}
123
-4X+3:g¡
-i-8:0 {r x,(x_2)_4(X_2 ):0
<= r _2 )( X: I ):0
.- ( x_l )( _2 )( _t r 0
= , -l r: r _li- 0
=,-lr---r-r --l _i)
D: {X e R/-3 <X<4 }
a)
a,
t
1
2
7l
a,
,
a,
Algebra Superior
C,^D:{-

F
3) Sean:
E : {X e R D( < 3}={...,-2,-1, 0, 1,2} y F:{X e R/X>0} : {1, 2,3,4,5, 6,...}
4)
E
^F
= {r,2}
Sean:
G:{a,{b,c},{a,b,c}} M: { {a}, { {b, c }}, {a b, {c} }}
G
^M:O
PROPIEDADES DE LA INTERSECC]ON
Si A, B y C son subconjuntos del conjunto Universo entonces.
{{b, c}}
{a, b, {c}
l'u) AalA=A ídem potencia p^p<+p
2") AAB:B.A Conmutativa p^q€)q^p
3'u) A^(B^C):(A/-rB)r)C Asociativa p^(q^r)e(pne)¡r
4") Ar)(BuC):(ArB)u(ArCi Distributiva p,^,(qvr)e(pnq)v(pnr
s'') eu(enc)=GuBtñ (AuB) Distributiva
6tu) A( O:A Leyes de Identidad p¡F<+F
7"*) A^U:A Leyes de Identidad p¡Vc+p
8"") A
^
(AuB):A Leyes de Absorción p¡(pvq)<+p
9nu) A.(A 1- B.¡ =4 Leyes de Absorc
PV(p^q)e>D
l0'") A cB<+ AnB:e trs consecuencia pl qsísolosí pAq<+D
l1*) A f) BcA Es consecuencia directa de p^q-) p
l2uu A f) BcB Es consecuencia directa de p^q-) q
2.11.2 Unión
se llama unión o reunión de los-conjuntos A y B al conjunto que se forma con los elementos que pertenecen a A
o a B, o simultáneamente a ambos y se denota por A U B, es decir:
Ejemplos:
AUB:{XiXeAv X€B}.
Gráficamente
l) Sí A:{XeRtX2-g:0}: {_3,3} y B:{XeR/X2*4X+3:0}: {1,3}}
24
AUB:{-3,1,3}

h
tr
ir
f
¡1
¡r
:t
I
ri
a
ti
t
a
q
á
s
;
e
a
á
4
t
I
t
?
?
?
I
?
t
t
,
t
?
t
t
?
?
1'
)
'?
t
)
)
I
t
)
I
l) sí c={XeRtx2+4:6x_5} y
Tabulando los conjuntos se tiene:
c:{3} y D:{1,2} ... cuD:{1,2,3}
G:{XeR/-4<X<0} v
Tabulando los conjuntos se tiene:
G:{-4,-3,-2,-r} v H:{_1,0, I}
G u H : { -4, -3, -2, -1, 0, I }
D:{XeR/X:_3X+:=g1
3)
1)
sí E: {x /xesunestudiantejoven } v F = {x/Xtienemásde 30años }
E uF: {XlXes un estudiantejoven o tiene más de30 años }
H:{XeP.t-2<X<l}
PROPIEDADES DE LA LINIO]V
Si A, B y C son subconjuntos del conjunto U, entonces:
2.11.3 Diferencia
Sean Ay B subconjuntos de U. LadiferenciadeAyB que se nota O_O.E,el subconjuntode U constituido
por aquellos elementos que representan a A pero no peftenecen a B, es decir:
A-B:{Xi Xe A nXeB}
Ejemplos:
l) A:{X _l<<t} B - { = [-+. -+] r X sean impares ]
I'u) AuA=A
AuB:BuA Conmutativa
3'") Au(Buc)=GuB)ut Asociativa v (qvr)(:)(pvq)vr
4") ew a-Á
A cAuB
Ta A cB=,AuB- sísolosípvq€)
.{lgebra Superior
A B = { -+. _2.0. 2.1 ,
25

2)
3)
C:{XlXeZ} y
C-D : {XlXeZ*}
E: {u, b, c, d} y
E-F :{b,c}
G: { {1}, {2,3, {4,sl}
G-H : {{2,3), {4,5}}
H-G : {0, {1,2,3}}
D:{XlXeZ )
F: {a, d, e, f}
H: {0, {1}, {1,2,3} }
!J //¡/..¡ J,/
| {2.31 1
4)
PROPIEDADES
1'u) (A-B)cA
2du) (A-B) C B:O
3'u) (A-Il) n (A ñ B):U,
4'') Au B:(A-B)..;(A ñ B)u(B-A)
5'u) A-a : A
6'u) o-A:o
7*u) Si A f) B:O, entoncesA-B=A
2.11.4 Complemento
Si U es el conjunto universo y A unaparte deU (A c U ). Se llama complementario de A en U al conjunto
notadopor: A': U-A: {XlX e U,nX e A }
Representación Gráfi ca:
Otras notaciones Á, A" , Cuo
Ejemplos:
l) Sí U:{XeR/-5<X<5}
A',: {-2,A,2}
Sí U:{XeR/ 0<X<10}
B':U_B:{0, 1,2,3,4,5
2)
-541
-45 3
-3 -l
26
B:{XeRiX>5}

3) Sí. U : {XeR / X sean números enteros del I al 20 }
primos del I al 19 )
C' : U - C : { l, 4, 6, g, g, lO, 12, 14, 15, 16, 1g,20 }
2,4.6,8. r0. t:. 14.28 l
17,19.2t.23.2s i
2, 4,6,9, 10, 12, 14, 17, 1g,21,23,25,251
y C:{XeR/ Xseannúmeros
PROPIEDADES: Sean A, B y C subconjuntos de U, entonces
2.11.5 Diferencia Simétrica
Sean A y B subconjuntos del conjunto universo u. Se denomina diferencia simétrica de A y B al conjunto
( A -B ) u ( B -A ). La diferencia simétrica se representa por:
A^B:(A_B)u(B_A)
Representación Gráfi ca:
Ejemplos:
r) Sí A:
A-B:
B-A=
AAB=
{XeR/X númerospares positivos, menores que30 } y B : {X/16 <X <26}
PROPIEDADES:
1'") a¡n:(aua)-tans.)
2"") AAB:B^A
3") A'A BJ= A A B
+'") (a¡e)ra:ATGAC)
f1 A^o:Á
6'u) AAA--o
2.12 LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUN'TOS
Leyes de idem potencia:
A nA:A
AuA=A
Leyes Asociativas:
An(BnC):(AnB)nC
Au(BuC)=(Au B)uC
¡;.:!///./-r,a
t4'41s
l') A-B=A rlB'
(AuB)':A'a B' A r)B)': A'u, B'
8"u) A -Á€rB;;T
A-(BuC) =(A_B) ñ(A_C
Algebra Superior
27

Ejemplos:
Simplificar
1)
2) AAB
Leyes Conmutatiyas:
AuB= BuA
A nB: BnA
Leyes Distributivas:
Au(BnC):(AuB)n(AuC)
An(BuC):(AnB)u(AnC)
Leyes de Identidad:
An@:A
AwA: A
A uU:U
A nU:A
Leyes del Complemento:
AnA':O
At-¡A': U
(A')' : A
U,:A
@':IJ
AnB' : A-B
Leyes de Morgan:
(A n B)' : A'LJ B'
(A u B)' : A'n B'
Leyes de Absorción:
An(AuB)=4
Au(AnB):A
:U
:U
-U
:U
:U
5) AAo =A
(A-?)u(o-A)
(An0')u(OnA')
(AnU)uo
(AnU)
A
(AuB)u[An(C uB)]
Realizamos un cambio de variable
AUB=M y CUB:N
(A u B)u [A n (C uB)] : Mu (A nN)
: (MuA)n(Mu,N)
: (A r_.,8 t-.r A) n [(A u B) u (C u B)]
: [(A u A) u B] n [(A u C) u (B r._.,8)]
: (AuB)n[(AuC)uB]
: (AuB)n[(AuB)uC]
: (AuB)
(A uB)-(A nB)
[(AuB)-A]u[(AuB)-B]
[(A uB) n A' ] u [(A u B) n B' ]
[(A nA' )u (B.A' )] u [( An B' ) u ( B nB')]
[ou(BnA'»u [(AnB') u o]
BnA')u(AnB')
AnB')u(BnA')
A-B )u(B-A )
AAB
3)
4)
(A n B) u (A n B' ) u ( A' n B) u ( A'nB' ) : ¡
[(A n B) u ( AnB' )] v [(A' n B) u ( A'nB' )]
[A n (B t-,r B'» v [(A'n (BuB')]
(An U)u(A'nU)
(A r-,rA')
U
A'AB' : AAB
(A'-B')u(B'-A') :AAB
A'o(B')' uB'.r(A')' :AAB
(A'nR)u(B'nA) :AAB
(AnB') u(BnA') :AAB
(A-B)u(B*A) :AAB

6r (AnB)n(AnB') :A 7)
(AnA)n(BnB') :A
A¡A :O
o:o
(AnB)-C:(A^B)-(AnC)
(An B)-C : [(AnB)_A]u[(AnB)_c]
= [(A n B) n A'] u [ (A nB) n C,]
: [(A nA' ) nB] u [ (A nB)n C, ]
= (A^B)u[(AnB)nC,]
: Aw [(AnB)nC,]
: (AnB)nC'
: (AnB)-C
También podemos demostrar
(AnB)-(AnC) = (AnB)_C
: (AnB)nC'
: [(AnB)nC']uOl
: [(A nB )n C'] u IA'n(A nB)]
: [(A nB )n C'] u [(AnB) nA']
: (A n B) n (C'u A')
: (AnB)n(An C)'
= (AnB)-(AnC)
(A-B) = A-(A nB)
= An(AnB)'
= An(B'uA,)
= (AnA') u (AnB')
: @ w (AnB')
: (AnB')
= (A-B )
AuB : (A-B)u(AnB )u(B_A )
: (AnB')u(AnB)u(BnA,)
: (A nB,)u ( A nB )l u (A,nB )
: [An(B'uB)]u(A,nB)
: (AnU)u(A'nB)
: Au(A,nB)
: (AuA')n(AuB)
: Un(AuB)
= (AuB)
AnB: A-(A-B)
: A_(AoB')
: An (A n B'),
: An(A'u(B')'
: (An(A,uB)
: (AnA')u(AnB)
-- Ow (AoB)
: AnB
También podemos demostrar:
A-(A
^B)
: (A-B)
: (AnB,)uO
: (AnB')u(AnA,)
: An(B,uA,)
= An (AnB),
= A-(AnB)
También podemos demostrar:
A-(A-B):AnB
: (AnB')uO
: (AnB')ut_{^A,
: An(B'uA,)
: An (,r-¡Bl,
=A-(A¡Bt
(A nB)u (A n B') :A
An(BuB,)
AnU
A
:A
:A
8)
e)
l0)
t1)
?9

t2) A' n C : t C - ( A uB )l u [(B n C)-(AnB n C)l
: t C - (A u B )l u {(B n C)- KB n C)n Al}
: t c -(A uB )l u {[(B^C)-(B n C)] u [(B n C)*A]]
: t C - ( A uB )l w {ow[(B n C)-Al]
:tc-(AuB)lu[(BnC)-A]
: I C n( AUB )'] u[(B n C) nA,]
: I C n (A' nB' )] u t(B n C) nA'l
: I A'rr (B'n C )] u [A'n (B n C) )]
:A'n[(B'nC)u(BnC)]
:A'.rICu@'nB)]
=A'n(CwO
:A'nC
lA-(B u C)l u(B-A ): t(AuB) n(B nA)'l n [(Cn A)'Á (B u C,)]
t(A-B)^(A-c)lu(B-A)
[(A nB')n(AnC')] u (B n A') =
[(AnA)n(B'nC')]u(A'nB) :
[A n (B'.r C')] u (A'n B )
[A u (A'n B )] n[(B'n C') u (A'n B )]
[(A u A') n (A uB )] n {[(B'u (A'n B )] n t C'u (A'n B»]
I U n(A uB )] n {[(B'uA)n (B' uB )] n [(C' uA')n (C' uB»]
(A uB ) n {t( A'rr B') n Ul n [(A' uC') n (B u C' )]]
(A uB ) n {( A'u B') n [(A n C)'n (B r.-.,C')]]
(A uB ) n ( A n B)' n (A n C)' n (B u C' )
[(A uB ) n ( B n A)'] n [(C n A)' n (B u C' )]
[(A u B) u (B n A)]' u{[(A n B) u (B u, A)]n[ (A n B) u (A r._, B)]']ut(A u B) n (B n A)l
:(A u B)'t-., (A n B)
{[(A u B) u (B n A)]' u [(A n B) u (B u A)]] n {[(A u B) r_., (B n A)]' u
[(A n B) u (A u B)]'] u [(A u B) n (B nA)]:
{U n [(A uB)u (B n A)]'] u [(A uB) n (B n A)]
[(A u B) u (B n A)]'u [(A u B) n (B n A)]
[(A u B)'n (B n A)'] u [(A u B) n (B n A)]
[(A u B)'u (B n A)] n [(B ñ A),u (A u B)]
[(A u B)'u (A n B)] n [(A'u B ') u (A u B)]
[(A u B)'u (A n B)] n [(A'u A ) u (B 'u B)]
[(AuB)'u(AnB)]n(UuU)
l3)
l4)
[(A u B)'u (A n B)] n U
[(A u B)'u (A n B)]
(A u B)'u (A n B)
2.12.1 Problemas Resueltos sotlre Conjuntos
1) Determine los elementos del conjunto A, si se conoce que:
6eA
3eA
f , § - ^
t!rJ, L 1r
A -: {1,5}
{l, s} c {1,5, 10} c A
A + {4,7,8}
Luego A: {1,2,5,6, 10}

"t Encuentre los elementos del conjunto B sí:
B+A
ByAsoníntersecantes
ByCsoncomparables
A : {u, b, c, ch, d}
C:{a,b,c,g,h}
deB, cheB, eÉB
{b,d,g}cB
Luego el conjunto B : {a, b, c, ch, d, g, h}
3) Dados los conjuntos grafiquelos con un diagrama de Venn.
A={2,4,6, 8, t0}, B:{2,6,8}, C={2, 4,6,12, 16,20}, D:{12,14,16. t8)
4)
5)
Grafique los siguientes conjuntos
E:{a, b, c, ch, d, e}, F:{b, c, d}, G:{ch, e, C, h}
En un curso.del prepolitécnico de la EIM en la Espoch, estudian
se comprobó lo siguiente:
Solución:
Vamos a suponer que los conjuntos
28 Alumnos olte cnmhrañ.ta- r-.,i.
35 eru.nn'lXff:::iliffiill?lü,,i1,,.,.,"
33 Alumnos que comprend", ÁlÉ"u.u
15 Alumn
g Alum
los que comprenden Química y Trigonometría
e A'um;::;xI::ili::lÍ!lff#;",i.f,,f,T**."
7 Alumn É
{l final ¿.1 ,.*.rt." l;;;".t :[:-prenden
Química' Trigonom-etría v Álgebra
a) Cuantos alumnos no sabían nada?
b) Cuanros alumnos aprobaron ,áio t.igonor.t.iuZ
c) Cuantos alumnos alrobaron ,Olo qrjri."z
d) Cuantos alumnos aprobaron ,oi" iü.u.":
100 alumnos. Al realizar una encuesta
. B. C son respecti.amente euímica. Trigonometna y Álgebra.
U
U
U
U
U
Algebra Superior
3l

Respuestas:
a) 29 alumnos no sabían nada
b) l8 alumnos aprobaron sólo Trigonometría
c) 12 alumnos aprobaron sólo euímica
d) 23 alumnos aprobaron sólo Álgebra
En un colegio de 500 alumnos se tiene que:
U
6)
329 Juegan fútbol
186 Juegan básquet
295 Juegan ping - pong
83 Fútbol y ping - pong
217 Fútbol y básquet
63 Básquet y ping - pong
45 No practican ningún deporte
Pregunta: a)
Solución:
Cuantos alumnos practican los tres deportes?
Necesitamos determinar I,I n N n O : X
I, U, III son regiones
M = 329
N - 186
o :295
MnO :83
MnN :217
NnO =63
Con lo que se obtiene:
M nN:217 *X MnO:83-X
149+x
oril
NnO:63-X
vamos anombraral conjunto M = futbol,N: básquet y o: ping-pong, conocemos además que:
M u N u O : 500 alumnos, menos 45 que no practican ningún deporte.
500 - 45 :455 alumnos
Determinamos la región I:
Cómo N : 186, la región I del diagrama tendrá:
186 -U217 * X )+ x + (63 _ X )l :
186 -217 + X-X -63 + X : - 94 + X
Para obtener la región II apricamos er mismo razonamiento que en ra región I:
Cómo M:329, entonces
32e _ [(217 _ X )+ X + (83 _ X )] :
329 -217 +X -X- 83 + ¡ : 29 +X
La región III se obtiene de Ia misma manera que ras regiones anteriores:
Cómo O :295, entonces.
295 - [(83 - X )+ X + (63 - X » = 295 _ 83 + X _ X _ 63 + X = 149 + X
Finalmente:
455 :X + 29 +149+ X+X - 94 + Zll_X+ 83 - X+ 63 _X+X
455 :X + 447
8:X
Respuesta: 8 alumnos practican los tres deportes.
utilice un diagrama de venn y raye la superficie correspondiente a los conjuntos.
7)
-tl
Teoría de Conjuntoi

T
I
rD
I
I
t
I
D
D
I
,
t
,
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
,
,
I
,
I
,
,
,
)
l
)
)
)
)
l
l
)
)
)
I
I
(AuBucuD)_(Auc)
ICu(A^B)]-(AnC)
A'-[(BnC)-D]
9^rnC)u(AnCnD)
{[(B n C) u (C^ D)]-(B n C nD)] u (A n B nD)
(BuD)-(AuC)
(A u B u C uD)-[(A nB) u (A nD) u (B n D) u (B nC)u(CnD)l
{t C - (A u B)l u [( A n B)_ c ]],
(A uB u C)' u t(B n C)_A I u [(A n B)_C ] u t(A n C)_B l
ir::bra Superior

8) Determinar los elementos de los conjuntos A, B y C sí:
(AuB)n(BuC) : Í3,4,5,6,7,8,9, 13, l5 )
(AuB)n(AuC) : {1,2,3,4,5,6,7,8,15
(AnC)uB'
Bn(AuC)
(B'u C' )'
BUC'
U
- {1,2,6,7,8,10, ll,12,14 }
= {3,4,5,7,8, ls }
: {5,7,8, 15 }
: {1,2,3,4,5,7,8,9,11, 13, 15 }
: {1,2,3,4, 5, 6,7,8,9, 10, 11,12, 13,14, l5 }
Indicaciones:
1.- Graficamos cada operación y numeramos las regiones.
2.- Indicamos las operaciones mediante el rayado.
3.- Sacamos las regiones rayadas de cada conjunto.
4.- Determinamos los elementos tachando uno por uno.
Solución:
I:
T
III
IV
VI
(AnC)uB'
Bn(AuC)
lt, 2, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14
: {3,4,5,7,8, 15}
(AuB)n(BuC)=Bu(AnC) : {3,4,5,6,7,8,9,13, 15}
(AuB)n(AuC):Au(BnC) : {1,2,3,4,5,6,7,8, l5}
(B'ur C')'= [(B r.lC)'] ': B n C {5, 7, 8, 15}
B u C' : {1,2,3,4,5,J,8,9, ll, 13, 15}
r er
^do
I y ¿ pasos
Graficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayado.
I II TTT
.1..
V VI
34
Gráfica que corresponde a la solución (8)

e)
_. Paso
Regiones rayadas de los conjuntos
I : Rr, &, Rs, Rz, Rs,
II : &, Rs, Ro
III : &, R:, &, Rs, Rr
IV : Rr, Rz, &, Rs, &,
V =Rs,R6
VI : Rl, Rz, R3, R5, R6, Rg
4to paso
Ubicamos los elementos tachando uno por uno.
I e I, IV y vI' Las regiones comunes de esos conjuntos son Rr, R5 , debe quedar una sola región, las
restantes se eliminan en los conjuntos que no intervienen para ese ele;ento.
1 está en R1 así cómo el 2.
6 e I, III, IV. Regiones comunes &, Rr, se elimina R5. 6 esta en Ra.
7 e l,ll,III, IV, V y VI Regiones comunes R5, en esta misma región esta el g.
10 e I' Regiones comunes R,, R¿, Rs, Rr, Rs, de estas queda R7 (Las otras regiones se eliminan en II, ,,I,
IV, V, VI).
l0 está en R7 así cómo 12 y 14.
3 e II, III, IV y VI. Regiones comunes Rz, Rs, R6, queda R2.También esta en R¿ el 4.
5 e II, rI, IV, v y vI- Regiones comunes Rs, &, queda R6.En esta misma región esta er 15.
9 e III, vI. Regiones comunes Rz, R:,Rs, R6, queda R3.En esta misma región esta er 13.
1 1 e I, VI. Regiones comunes Rr, Rs, R3, queda Rg
Ver gráfica de la solución (pagina anteriorj
Finalmente los conjuntos son:
A : {t,2,3,4,6,7,8}
B : {3,4,5,7,8,9, 13, t5 }
C : {5,6,7,8,10,12,14,15 }
NorA'- se debe hacer una gráficaadicional para ir ubicando los elementos que se van determinando.
Determinarlos elementos de A, B y C si se conoce queB c A c C.
[(A nB)'n (A n B')']' : {2,5,6,7,8,9, 10, 11}
[(AuB)'uB]' : {9, 10, 1l}
[C'u(AuB)]' : {12,13}
Solución:
I :(A.,8)'l'u[(AnB')],=(AnB)u(AnB')=An(BuB,):AnU:A : {2,s,6,7,8,g,10,11}
II : [(A uB)'l'n B,:(Ar-,B)nB':(A u B)_B : {9, l0, tr}
III :[c'u(AuB)],:(c,)'n(AuB)':cn(AuB),:c_(AuB)
={12, t3}
I "' y 2do pasos
Graficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayado
ItI
III
@ m
W
t-5
{lgebra Superior

,@
Gráfica que coresponde a la solución (9)
3"'paso
I :Rz,R,
il :Rz
III :RI
4ro paso
Ubicamos los elementos tachando uno por uno y relacionándolos con los conjuntos y las regiones
comunes, se tiene:
2 e l- Las regiones comunes son : R2, & ; queda R3, en esta misma región se ubican 5, 6, 7 y g.
9 e I, II. Regiones comunes R2, también en esta misma región están 10 y I l.
12 e lll. Regiones comunes R, , en esta misma región esta el 13.
Ver gráfica de la solución.
A : {2,5,6,7,8,9, 10, ll}
B = {2,5,6,7,8)
c : {2,5,6,7}
10) Determinar los elementos de los conjuntos A, B y C . Si :
[(A n B)'n (B n C)'n (A
^
C)']'
A n ( B' ,.r C')'
[(B n C)'n A'l '
[(A nB)'n C]'
[(A u C)'n B]'
Solución:
I : [(A^B)']'u [(B n C)']'u [(An C)]':(AnB)u(BnC)u(An C ) : {3,4,5,6}
II :An(B't.rC)':An(BnC) : {5}
il} :
[8:;]:i::5:[::;]:5 r l1:,,];,t, ?1,,
v : [(A u C)' ]'u B' : (A u C) ur B, : 11,2,3, 4, 5,0, S, S]
i er ado
I y ¿ pasos
I 1I III
: {3,4,5,6}
: {5}
: {5,6,7,8,9}
: {1,2,3,5,7,9)
: {1,2,3,4,s,6,8, e}
@
[r8

+-:
Gráfica que corresponde a la
solución (10)
1l)
-' Pas.r
Regiones raladas de los conjuntos
I : R:, &, Rs, Rr
II :R:
m : Rr, Rr, &, Rz, &
IV : Rr, Rz, R3, R5, Rg
V : Rr, Rz, &, Rs, Re, Rz, R,
-l'o paso
Determinamos los elementos.
3 e I, IV y V. Regiones comunes R2, R5 : R2
4 e I y V. Regiones comunes R2, &, Rr, Ru I R,
5 e I, II, III, IV y V. Regiones comunes R.
6 e I, Ill y V. Regiones comunes Rs, R* -&
7 e Ill y IV. Regiones comunes R¡, Rs, R¡ : Rr
8 e lll y V. Regiones comunes Rs. Rr, Re : Rz
9 e III, IV y V. Regiones comunes R5, R3 : Rg
1,2 e lY , V. Regiones comunes Rr, Rz, R5, Rs = R,
Ver gráfica correspondiente de la solución
A : {1,2,3,4, s}
B : {3,5,6,7}
c : {4,5,6,8}
Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C y D . Si :
DcC
AnC
B y D no ínter secantes
(B-A)-c
(C'u B)'
U-D
(A'-B)'
(B'- c)'
B'u C'
U
Solución:
:a
= {b, c, d}
: {l e,l, m}
:
{u,b,c, d, e, f, g, h, i,j, k, n}
: {a, b, c, d, e,j, k, n}
: {a, b, c, d, e, f g, j, k,l, m}.
: {a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n}
: {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n}
I
II
III
IV
VI
: (B - A) - C : (B n A') n C, : B n (A, n C, ) : B n (A. y C), : B _ (A u C) : {b, c, d}
: (C'uB)':(C'),nB':CnB,:C_B :{lg,l,m}
: U_D:D'
: (A' - B)' - (A, n B, ), : (A, ), u (8, ), : (A u B) : IX;
j,
i;
j;
!;rl f; |'rt'
;, *,',
: (B'-C)':(8,^C,),:(B,),u(C,),:(BuC) : iu,U,
",a,r',í,g,;,l, r, 11
: B'u'C':(BnC), :i",U,.,a,.,ii,í,i,f,_,r,
lgebra Superior
3/

l"'y 2do pasos
I¡
Iv
V
Gráfica que corresponde a la solución (11)
3"'paso
I:&
II : Rs, Rr
III : Rr, Rz, R:, Rq, Ro, Rr
IV :RI, Rz, R¡, R¿
V : Rz, &, R+, Rs, Ro
VI : Rr, Rz, Rr, R5, R6, R7
4to paso
d, c, b e I, III, IV, V, VL Regiones comunes R3
g, f e II, ru, V, VI. Regiones comunes Rg
m, I e II, V y VI. Regiones comunes Rs, Re : Rs
e, a e III, IV, V, VI. Regiones comunes Rz, R¡ : Rz
i, h e III, VI. Regiones comunes Rr, Rz, R:, Ru, Rz : Rr
k, j e III, IV, V. Regiones comunes Rz, R:, & : &
n e III, IV, VI. Regiones comunes Rl, R.2, R: : Rr
Los elementos de los conjuntos se extraen de la gráfica del conjunto sorución
A:{a,e,n}
B : {a, b, c, d, e,j, k}
C : {i g, j, k,l, m}
D:{l,m}

F
It
¡D
¡r
t
¡t
tt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
,
'
')
)
)
)
)
)
I
-l ¡
I
II
ilI
IV
V
Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C . Si :
BcA
BnCcA
Y-1 ={8,9,10,71,12,13,14,Is,16}
A t-, C : {t.2,3, 4, s. 6, z. ró, r i I
-' "
(B u C) uA' = {1,2,:,1,
1,g,7,s,g, to, tt, tZ, 13,14, 15, l6}
lJ-c^ = {1,2,3,8,s,12,13"tq,l,iz¡
BuC' :{1 ')
¡,, o,3,4, 5, g, g, 12, 13, 14, 15, 16}
Solución:
:
Y-A_:A' : {8,9, 10,11,12,13, 14, 15, 16}
:AuC : {1,2,3,4,5,6,7,10,f 11
'
:(B uC)uA' = {1,2,1, 4,s,6,7,8,s, t0, tt, 12, 13, 14, ts, t6 }
=Y-c^:c' : {r,2,1,l,e, tz,n,ru,ts,io t
=B uC' : U,2,3,4,5,8,5,t2,t1,1'q,15, t6]
f'y_2do pasos
Graficación, numeración de regiones e indicación de ras operaciones mediante er rayado.
Gráfelgue corresponde a la solución ( I2)
r paso
Regiones rayadas de cada conjunto.
I =Rs,Re
II : Rr, Rz, R¡, &, R,
III = R:, R:, &, Rs, &
IV = Rr, Rz, &
' : Rr, R2, Rr, R,¡
II
llgebra Superior
39

4to paso
16, 15,14,13,12,9,8 e I, III, IV, V. Regiones comunes R.6
11, 10 e I, IL III. Regiones cornunes Rs
3,2,7 e II, III, IV, V. Regiones comunes R2
5,4 e II, III, V. Regiones comunes Rz, Rr = R¡
7,6 e ll, III. Regiones comunes Rz, &, &, Rs : &
Los elementos de los conjuntos son:
Ver gráfica correspondiente a la solución
A : {1,2,3,4,5,6,7}
B : {1,2,3,4,51
C : {4,5,6,7,10,11}
2.13 PROBLEMASPROPUESTOS
1) Sean: A: { d, f, h,j, l} , B: {., C, e, i} y C: {d, e, c, k}
2) Utilizando las leyes del álgebra de conjuntos demostrar que:
a) (/ruC)n(AuB)n(A,^B')' :Au(BnC)
b) An[(B-c)u(c-B)] :[(AnB)_A]ut(A^B)_clu[(A^c)_(AnB)]
c) [(BnC)-(BuC)]nA :o
-d) Au[(C-B)u(B-C)] :(AvCuB)n(A'nBnC)'
e) (A-B)nC :(AnC)-(B^C):(AnC)_B:(A*B)n(C_B)
0 An(B-c) :(AnB)_(A^c):(A_c)nB:(AnB)_(BnC)
3) Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C, D, sí :
AyB, AyC, ByC soníntersecantes
DyC, AyD, ByD sonnoíntersecantes.
(A'u B)' = {a, e}
(A n B)t-,, (B nC) u (A n C) : {b, c, d, e, f}
4) Determinar los elementos de A, B y C sí:
An(BuC)
BUC
B-C
Un(BnC)'
Un(AuBuC)'
U
40
c) (A-c)-B
h) (A-B)u(B-c)
i) (A-B)n(B-A)
j) (AnB)aB
k) (A n B)'u C
l) (AurC)'-A
: {a, b, c, d, e, f, i,j, k, l}
.:{a,b,c,d,e,f,i}
- {a. b. c, d, e. g, h}
: {k, r}
: {a, b, c, e, f, g, h, i,j, k, l}
: {a, b, c, d, e, f, g, h, i,j, k, l}
:{1,4,5,1t}
= {t,2, 3, 4,s, 6, 7, 8,9, 10, 1l}
:14,7,8,9,10,11)
: 11,2,3,4,7,8,9, 10, 11, t2,13, 14, l5)
: {14, r5}
: {1,2,3, 4,s, 6,7,8,9, 10, 1 1, 12, 13, 14, 15}
Hallar:
a) AnB
b) AuB
c) Buc
d) (AnB)nC
e) (Ar.-,,C)nB
O C-A
U-D
AuB
AuD
(AuBuCuD)'
U-(AnBnC)
U

:I Encontrar los elementos de A, B, C y D sí :
A cD; B cD; C cD; AyB; B y C son intersecantes.
Ay Csondisjuntos.
B u (A uC)' : {3,4,5,6,12,13,14,16,17,18,19,20,21,22,23}
U-D:A
C u (A u B)' : {9, 10, 14,15,17,18,19,20,21,23}
A uB : {1,2,3,4,5,6,7,9,11,12,13,14,16,17,22}
A uB' : {1,2,3,4,7,8,9, 10, 11,12, 15,19,19,20,21,23}
Du(AuBuC)' :{1,2,3,4,5,6,7,9,9,10, 11,12,13,14,15,16,17,1g,1g,20,21,22,23}
Determinar los elementos de los conjuntos A, B y C sí :
AyBsoníntersecantes
AyC;ByCsondisjuntos.
(A nB)' : {2,3,4, 5,8, 9, 10, tt, t2, t3}
c' -- {2,3,4,5,6,7,9,9}
A'r-i B : {6,7,8,9, 10, 11,12,13}
A uB' : {2,3,4,5,6,7,10,11,12,13}
6)
.11

CAPITULO 3
3.1 DEFINICIONES
La noción acerca de los números surgió en la antigüedad ampliiindose y generalizándose con el tiempo. Los
números l'2'3,4," aparecieron debido a Ia necesiád a.
"ortu.
o¡i"t* de diferentes conjuntos. Esta sucesión
de números se llama Números Naturales y se nota por: N .
Es decir N : {1, 2,3,4,...), si se agregi a este conjunto el cero se obtiene el conjunto de los números entero
positivo_s, que se designan por Z*: {0, l, 2,3,4,...}:
Las deficiencias de los números enteros positivos pueden ser remediadas en parte extendiendo este sistema al
conjunto de los enteros que se notan por:
La medición de diferentes magnitudes n,r" f".r{r*'";3i,;1'.1'";í;}; l" ros números enreros e introducir los
númerosracionales; notadospor: Q:{A ¡* ez ¡ nez,n+0},unnúmeroracionalpuedeescribirseen
forma de fracciones diferentes cómo:
!:?:7 :y
3 6 2r iottt''
.3630300
':i=,--=-etc.;
Cómo el uso de los números es ilimitado. por ejemplo ar resorver Ia ecuación x2 * 2:0 = x= Jr , se tiene que
Ji r Q' surge entonces la necesidad de un sistema más amplio que incruya este tipo de números. Los números
decimales indeflnidos no periódicos se llaman irracionales y se notan por: I = {xlx son números decimales
indefi nidos no periódicos)
El con'iunto de números racionales e irracionales se denominan reales y están representados por: R : {xlx es
raciorial o x es irracional), es decir:
R:QuI.
Los números reales pueden ser expresados por medio de puntos en el eje numérico. Se llama eje numérico a una
recta infinita en la cual están definidos:
_ [Jn punto cero que se denomina origen.
- Una dirección positiva que se indicá con una flecha.
- Una escala para medir longitudes.
En general el eje numérico se dispone en posici-ón horizontal, considerando positivo la dirección a la derecha del
punto 0.
cómo en la matemática la res-olución de problemas es infinita, y particularmente al resolver Ia ecuación x.+ 1: g
cuya solución no pertenece al campo de los reales, ya que no existe un número cuyo cuadrado sea negativo, por
talrazónsurgeunnuevosistemailamadoconjuntodenúmeroscomplejosysenotapor:C={a+bilaefr¡b
e 9r, i : ./-l ) . a, er siguiente diagrama se irustra er conjunto de números.
-2. -4 -20
_:-= , =_etc.
JÓ30
012
Números
Racionales
o
Números
Enteros
Z
Números
Reales
R
Números
Complejos
C
Números
Irracionales
I
42
Números Reales

f ] LOS RE.{LES COMO UN CAMPO
ii.l Axiomas de Igualdad
Propiedad Reflexiva
Propiedad Simétrica
Propiedad Transitiva
Propiedad de la suma de igualdad
Propiedad Multiplicativa
Axioma de Clausura ..
Asociativa
Conmutativa,
Idéntico Aditivo
Inverso Aditivo
a:a
Sía:b+b:a
Sía=b y b=c=a:c
Sía:b yc=c=)a*s=611.
Sía:byc:c= a.c:b.c
1
:
J
3.2.2 Axiomas de la Suma
(V a, b e R) (l c e R) (a+ 6 =";
(V a, b, c e R) [(a+b) + c :a+(b + c)]
(Va,beR)(a+b:b+a)
(VaeR)(lX:0)(a+Q:¿;
(V a e R) [3 (-a) e R] [a+ (-a) = 0]
El conjunto.que cumpla con ros axiomas de clausura, asociatividad, idéntico aditivo e
esrructura algebraica llamada grupo, y si cumple con el axioma de conmutatividad se
-beliano.
3.2.3 Axiomas del producto
inverso aditivo forma una
llama grupo conmutativo
6
7
8
9
t0
(V a, b, c e R)(! c e R)(a. b :")
(V a, b, c e R) [a.( b .c ): (a. b) .c]
(Va,beR)(a.b:b.a)
(V a e R)(l X: 1)(a. I :1. a)
(v a e R) (r x=+) r"(
*l= 11t.q
I os reales forman un grupo ya que cumplen con los axiomas de clausura, asociatividad, idéntico Multiplicativo e
rn erso Multipricativo, y si cumple con el axioma de conmutativid;á fo,,,un un grupo Aberiano.
Clausura
Asociatividad
Conmutatividad
Idéntico Multiplicativo
Inverso Multiplicativo
l1 Distributividad
(V a, b, c e R) [a.(b + s;: a.b + a.c]
Este axioma relaciona la suma y la multiplicación.
h:il)nffireales
cumpltn ton los I I axiomas anteriores por lo que constituyen una estrucrura algebraica
3.2.J Axiomas cle Orden
( V x,v e R)(X+y) e R*, X.y e R*
XeR*v-XeR vX:0
0eR'
t :s srrnL'olos que representan Ias relaciones de orden son:
> fa1,or o igual que
< fenor o igual que
- la¡ or que
_: fenor que
,>'+>(X-y)eR*
>Y<+y<X
.13

3.2.5 Teoremas
Teorema I
Teorema 2
Teorenia 3
Teorema 4
Teorema 5
Teorema 6
Teorema 7
Teorema 8
Teorema 9
Teorema l0
Teorema l1
Teorema 12
Vx,v,z eR
Vx,veR, VzeR+
Vx,v,zeR
Vx,veR,Vz eR*
Vx,veR,Vz eR
Vx,veR,Vz eR-
Vx,y,a,b eR
Vx,v,a,b eR
Vx,Y,a,b eR*
Vx,y,a,b eR
Va,c eR Vb,d eR-{0}
Ley de Transitividad
Vx,Y,zeR
X<YnY <Z-+X<Z
X>Y¡Y>Z-+X>Z
Ley de Reflexividad
VxeR
X:X
X<Y+ (X+Z)<(Y +Z)
X <Y ¡ Z> 0 -+X.Z<Y.Z
X>Y-+(X+Z)>Y+Z
X>Y¡Z>0-->X.Z>Y.Z
X<YnZ<0-+X.Z>Y.Z
X>Y¡ Z<0-+X.Z<Y.Z
X<Y¡a<b-+(X+a)<(y+b)
X>Y¡a>b-+(X+a)>(Y+b)
X<Yna<b->a.X<Y.b
X>Y¡a>b-->a.X>Y.b
ac +> a.d : b-c
bd
ac
-< - ->ad<b.c
hd
Ley de Tricotomía
Vx,veR
X>YvX<YvX=Y
X>Y+>(X-Y)eR*
X<Y<+(Y-X)eR.
X:Ye(x-Y):0
Va,c eR, Vb,d eR*
3.3 INTERVALOS
Definición: Seanqb e R y a<b.
1) Intervalo Cerrado
sellamaintervalocerradodeextremosa y b,al conjuntodelasX e Rtalesque: a<X<b.
Se nota:
[a,b]: {X e Ria<X<b}
Gráficamente en el eje numérico
2) Intervalo Abierto
Se llama intervalo abierto de extremos ay b, al conjunto de las X
Se nota:
la,b[:{XeR/a<X<b}
3) Intervalo Semiabierto a derecha
Se llama intervalo semiabierto a derecha al conjunto de las X e R tales que: a < X < b.
Se nota:
[a,b[:{XeR/a<X<b}
4) Intervalo Semiabierto a izquierda
Se llama intervalo semiabierto a izquierda al conjunto de las X
Se nota:
la,bl:{XeRia<X<b}
Y¡%'¡FWZ?¿ _- __,- _ =
do
eRtalesque:a<X<b.
,.,- -.-.--..-'-__. --
dD
w4 ,_
ab
+_---->
ab
-_
gr?,f."Wv¡...'.4 ,_
eRtalesque:a<X<b.
ab
_ W¡:ir:.lW%L ,_
44 Nirmeros Reales

ll Interyalos Infinitos
a) [q*[:{XeRlX>u¡
a
@
a
c) ]-"o,al={XeRlX<u¡ d)
<-
:
ft-.-
a
§ a
6) Otros Intervalos
la,-[:{XeRlXru¡
,-
a;
a
%
a
l--,a[:{XeR lX<a}
<-
a
ñ a
,l . L
b)
b) [a,a] :{X.R/a<X<a}:{a} , l
c) l-co, m[ : R ,l
Operaciones con intervalos .
Entre intervalos realizamos todas ras operaciones que se ejecutan con ros conjuntos.
Sean A y B dos intervalos cualesquierá de R. Se tiene entónces:
AnB :{XeR/XeAaXeB}
AuB :{XeR,D(eAvXeB}
A-B :{XeRiXeAr.XeB}
A' :{X.RD(ÉA}=R_A
A+B :(A-B)u(B-A)
Ejemplos:
Hallar:
a) 12, a[ o]3,6[
d) 12,41n[3,4[
c) 12,3t'
j) [], 5[ u ]4, 5l
m) {2} wl2,3l
Solución:
a) 12,4[ r-t)3,6[ : ]3, 4[
b) l0, e[ n ]1,81 c)
e) 12,3[ o p, af 0
h) [0,6] - 10,4t . i)
k) l-*,2[n [0, +oo[ t)
12,3[ ol3,4l
l--, 1['
[1, 5] u 15, 6l
l-10, m['
02
12, 3[ n ]3, a[ =a
b) lo, 9[ n ]1, 8l = ll, Bl
0.1
)2,4)np,af : t3]
c)
e)
§§
zzAiJ
l,/ _r _§_
0 2 3 4
[2,3[o[3,4[ :A
ts§l
ZZ.N
a 23 4
d)
0
4
=R-l-o. 1[-[1.:.[
igebra Superior
+5

c) 12,31', : R - 12, 3[ : ]-*, 2l u [3, co[ h) [0, 6] - 10, 4[ : [0,0] u [4,6 ]
0 23
[, 5] u l5, 6l : [1, 6]
01 56
)-*,2[ n [0, +"o[ : [0,21
i)
0
[,5[ u ]4,5l
01
]-10, co['
45
= R - l-10, m[: ]-oo, -l0l
r)
m) {2} v12,3)
3.4 INECUACIONES
3.4.1 Inecuaciones de Primer Grado
Son inecuaciones de primer grado las siguientes:
1) aX+5>6
2) aX+6>g
3) aX+6<6
4) aX+b<0 dondea,b,X e R,a+0
Una inecuación está resuelta cuando al reemplazar los valores reales de X se satisface la desigualdad.
Ejemplos:
Resolver las inecuaciones siguientes:
a) 2X-5>0
b) 3X+2>6
c) -x+2<o
d) 5X-2<3+2X
e) 2+x _ 2(x-l) > -5x+ 7
_ 3(x+t)
37-3.1
0 2x2+7y<x(2x+l)+3x-2
Solución:
a) 2X-5>-0 <)2X>5
€x>:
2
EI conjunto solución es:
s:{x.R lx>!}:t!,*t
))
b) 3X+2>g e3X>-2
<>Xr-2
f
k)
46
: u,5l
46
Números Reales

El conjunto solución es:
s:{x.Rlxr-?}=l- , "O[
2
;
J
Ir
3
c) -x+2<0 c)-X<-2
<>X>2
S: {x . R lx >_2} =12,a[
d) 5X-2<3+2X <+5X_2X<3+2
<33X<5
<+x< 5
J
s:{xen.lx.l}:l--,
J
2 ¡X_ 2ü-t)_-5X-7 l(X Ft)
7(2 + X)- 6(X - 1) > 7(_5X + 7) _ 9(X +
14 + 7y- 6X + 6> - 35X + 49 _ 9X_ 9
x + 20 >- 44X+ 40
r)
<> 45X> 20
<+X> 20
45
<.)x>1
9
s:{xuRlx>1}:11,*t
99
2x2+!-X<X(2X+l)'JX-2
1
2X2+ 7
X<2X2+ **rr-,
3t
7 x<16 x- 2 ^7
-)
<, 13
l5
<3 13X > 30
<>x> 30
13
s:{x.Rlx,*l:119,*t
13 13
3.1.2 Inecuaciones de Otros Tipos
P: i medio de las propiedades de los números reales, se puede resolver las siguientes inecuaciones.
{ax-b)(cx+d) >g ./ ,
ia.x - b) (cx + 61 ;' g
,ax-b)(cx+d)<0
,ar-b)(cx*d)<0
,ar-t)(cr-d)(ex+¡>g
e)
0
x- 16 x<-2
5
x>2
_-.-r._.-
0
{:g=b= Superior

ax +b < 0 etc.
cX +d
Ejemplos:
Resolver las siguientes inecuaciones:
a) (2x-3)(4-x)>0
c) (2X+4)(9-X)<0
e) (4X-5)(x-2)(X+3)>0
c) X-2
=u
X+2
b) (3x-t)(x-2)>0
d) (l-x)(3x-s)<0
0 (l-2x)(x+3)(x_l)<0
h) (X - r)fX + 3)
-(U
2X-l
Solución:
a) (2x-3)(4-x)>0
Para resolver esta inecuación utilizaremos la siguiente propiedad:
a.b>0<+
Análisis de
2X-3>0¡
* f "
L,,r
I u'o
Iu.o
I
,.,b>0
v Entonces: (2X - 3) (4 - X) > 0
¡b<0
2X-3>0 n 4-X>0
V
2X-3<0 ¡.4-X<0
Sr={XeR/1<x<4}:11,+¡
22
Sl: A
,tr4
inecuación que no sea lineal, es a través de una tabla y
.0
(2x-3) (4-x)
Análisis de II.
2X*3<0¡4-X<0
4-X>0 é2X>3 ¡-X>-4
<)X> 3 n X<4
2
<] I :, cc[ n ]-co, 4[
2
= ] 3,4[
2
<>2X<3 n-X<-4
€>X< 3 zrX>4
2
<+l-*, 1[n]a,coI
2
oZ
La solución total es: Sr = Sr J Sn : ) 1,4[
2
Existe una manera abreviada de resolver una
consiste en lo siguiente:
Si X > 0, se conserva los signos de la recta numérica.
Si X < 0, se invierten los signos de la recta numérica.
2X-3:0 v 4-X:0
X:1 v X:4
2"
1') Igualamos a cero cada factor.
2o) ordenamos las raíces de cada factor en foram ascendente haciendo pertenecer cada raíz a una
columna de la Tabla.
3") Ubicamos los factore.s en el casillero de la primera columna de la izquierda, antes de (-co).
4') Ubicamos los ceros de cada factor y analizamos los signos antes y dispués del mismo.
l')
3')
Resolvemos el ejemplo anterior por este método (2X - 3) (4 - X) > 0
0
2') --; 4 a:
-@
_¡
2
(2x 3) (4-x)
48
Se observa que la solución es: ] ] , +[
4')
Números Reales

-co +
1
2q
iix- 1)(x-2)>0
p.f:(3X-1)(X-2)
(2X+4)(9-X)<0
-ó-)qM
2x+4
9-x
d) (1 -X)(3X-5)<0
-@1+o
e) (4X-5)(X-2)(X+3)>0
-o-3 | z ü
Luego la solución:
S= {X . R lX< 1vX>2} = l-*. ll,, IZ,-t
3 -
l" L
2X+4:0 v 9-X:0
x: -2 v X:9
S : {x . R lx < -2vX >9}: l-*, -2lu [9, co[
3X-t:0
x:1
J
x-2:A
X=2
v 3X-5:0
v X::
J
v X-2:0
v X:2
c)
1-X:0
x:1
4X-5:0
X::
1
-- I
2
S:{X e R lx. I vX>
l}:l--, tlul l,-[
v X+3:g
v X:-3
S:{X e Rl -3<X< 5 vx>2}:t_3,:lu[2,cc[
44
os2
4
(l -2x)(x+3)(X_ l)<0 l-2X:0 v X+3:0
v X:-3
S:{XeR -3< X<l v
2
S : l-3, i ¡u 1t,-¡
2
v X-l=0
v X:l
x ,l)
o 15
{igebra Sup:rior
t9

h)
a
a
!
a
I
a
a
a
a
a
a
I
e
a
e
J
e
e
.l
c)
a- I
X+l
x- 1 .-l
X+l
( zx-n l9- 2x
|
--+=-<
)x
)42
I zx*ts x-l x
>
--+_
1353
I 1r-r< 3x-1
l1
l"
1 *-l rxn1
112 4
Ixrz-x)<x(x-r.)
f xt-tox'+zlx-18 > o
l.
LX',-t lx'+38x-40 < 0
_ 19-2X
t+ _-- > 0
x'-2x-ls
Y_?
" ">0
X+2
-ú -2
(x-lxx+3)
-<o
2X-r
S : {X . R lX <-2 vX> 2} :l-*, -2lw 12, a[
x-2:0
x:2
x-l:0
x:t
v X+2=g
v X:-2
v X+3=6
v X:-3
2X-l:0
x:f2
Resolver Ias siguientes inecuaciones:
Solución:
a) 2. 1 <>
X+l
()
qJ
Determinamos las raíces de los factores
2X+1:6 v X+l:0
S: {X e n lx<-3 v
i.^.1} =l--.-:¡u1 1, r¡
- X+l I
X+3 3
r)
.xl? < L¿{
X-3 X
12X2 +4X+2XX+.j)
-. --_' --- . ,<0
X+6
a)
c)
e)
b)
d)
-l
_<2
x-l
2X-j .19X 12 . 2X+1 I
3 5 t5 3 5
(t-x ^ j+4x
L -i<--4J
ls
l;X+51a-X)<2(4-X)
IJ
0
h)
c)
i)
k)
^1
¿<_<o
X+1
2(X+l)-l
r<0
X+1
2X+2-l
_-__<0
X+l
2X+1
--.-<0
X+l
x=-1
2
1-
,16
-o -3
50
rz X:-l
Números Reales

-*-1-á6
_1 0
2
_I
<) ' -2<o
x-l
<) -1-2(X_l) <0
x-I
-1-2X+2
(_) --<o
x-l
t-2x
€) _<0
x-l
Determinamos las raíces de los factores
I - 2X:0
x:l2
-"o!tco
L - /
x-1
se excluye el valor de X der denominador ya que la división por cero no esta definida.
S= {x. R l-t <x<-1 } =l-1,-1 t
2z
b) -l
_<2
x-t
v X- l:0
v X:1
c) _- I
x_-- < _l €)
X+l
E
rt
rt
ri
rl
D
t
rt
Determinamos las raíces de los factores:
X:o v X+2:g
X:O v X=-2
-$-2-1 0 rc
2X-7 l9x 12
3 5 ls
5(2X-7) +3(l9X)+ t2
l0x - 35 + 51X+ 12
67X - t0x
57X
X
v X+1:g
v X:-1
S : { X e R/X <-2v-l <X < 0 }:l _-, _2
[ u ]_1, 0[
2X+l I
>
--+_
35
> 5(2X+l)+3
> lOX+5+3
> 8+23
>31
> 3l
57
S:{X eR Ix l}:l-*, 1lull,*t
22
I
X- - +1<0
X+l
X(X+l)-l+X+l
-<0
X+l
X2+X+X
.'--.-<0
X+l
X2 +2X
.-<0
X+1
X(2+X)
-<0
X+l
^ -: r:-,1r

e)
s:{x.Rlx=11:tl-|,*t
57 57
0 :r
51
Solución de los sistemas de inecuaciones
( zx-tl rs-2x
l--+--<2x
l2X+15 X-l x
> _+_
t353
La solución de cualquier sistema de inecuaciones, es la intersección de las soluciones 51 n 52 ¡. sr etc.
Determinamos 31 Determinamos S,
o (t-x - ir4X
) , -t. -l--*
)s
[;x*st+-x)
< 2(4- x)
er) zx-ll t9-2X <2X
42
2X-tt+z(19_2X) <8X
2X-11+38-4X <8X
-8X-2X <_27
_l0x <_27
tOx >27
x >27
l0
S,:{XeRlx .4l:l!,*t
10 l0
51: S¡ n 32
Sr:{Xe R,X> !):)!,*¡
l0 10
Determinamos S¡
fr) 7 -x
2
5(7-x)-30
35-5X-30
-5X+5
-5X - 8X
-13X
l3x
X
e) 2X+15 X-l X
_---__:_ >
-.-.+_
353
5(2X+15) >3(X_1)+sx
lOX+75 >3X-3+5X
10X+75 >8X-3
lox _ 8x > _75 _3
2X > _78
x >49
Sz: {X e n lx>-39} :l-39,
"o[
Determinamos 52
f.) s
_. _x +5(4*XI < 2(J*X)
3
5X+15(4-X) <6(4_X)
5X+60_l5x <24-6X
60 - lOx <24 _ 6X
-l0X + 6X <24 - 60
-4x <-36
4x >36
X >9
S::{XeRlX>9}:l9,coI
3+4X
< -4
5
<2(3+4X)-40
<6+8X-40
<8X-34
<-34-5
< -39
>39
>39
t3
s,:{X.Rlx>3}:l3,co[
51: S¡ n 52
Sr:{XeR/X>9}:l9,co[
g) ll*-r.¡x-1
)2 3
1 x-r 7
l_>X+
112 4
[-xrz-xr<x(x-¡]
52
Números Reales

Determinamos S¡
9,) 5-, ^
-x- I
2
15X _ t2
15X _ 18X
-J,
3X
X
B:) x(2 - X)
2-X
_2X
2X
x
Determinamos 52
<3x-1
3
<18X-2
<12-2
<10
> -10
l0
3
S, : {X e R,& > -10/3} : l-10/3, co[
Determinamos Sj
S, : {X e R/)( < -2} :l--, -2[
8z) x-1
D
x-1
x-12X
-1lX
X
rx+1
4
> l2X+ 21
>21 +1
>22
<-2
<x(x-1)
<x-1
:-J
>3
>1
2
h)
S.-{XeR/X>11:[1,*[
22
Sr:Srn52nS3
Sl= A
-3. 11!. 1 Es decir
X+3 3
Determinamos S1
h,) X+l
_-+ 3 > 0
X+l+3(X+j)
-_.......-=-- > l,
-
X+l+3X+9 ^
-_ _>o
X+3
4X+19=9 v
x:_10 v
4
Sr:{X e R,l)( < -3 vX > -2.5}= l-o,_3[ u ]_2.5,co[
Determinamos S,
-co -3 -2.5 o
-6 -3
3 (x+3 )
X+l
_ >_l
^
+J
X+i I
X+3 3
X+l
_>_.t I
^+J
¡'
ri
¡l
-
4
1
4
!
!
I
t
!
!
hz) X+t I
X+3 3
4X+10
--_-> 0
X+l
X+3:g
x: -3
S, : {X e RA3. X <0} :l-3, 0[
Sr: {X e R/-2.5.X.0} : l_2.5, 0t
4
á
1
1
-3 -2.5
_<j

7'
f x'- tox'+27x- l8>0
lx'- ilx2 F38X-40<0 +
Buscamos St y Sz a través de la tabla
-aaJbó
-co245co
S2:{X e RiX < 2 v 4 <X < 5}: l-*, 2lw14, 5l
Como se observa la solución esta sólo en el
denominador, ya que 3X2 - 5X + 3 tiene
raíces imaginarias, para cualquier relación de
orden > ó <. Por tanto no se debe tomar en
cuenta puesto que, no afecta al resultado
-603a
Se debe, a que (X - 2)' ,0 VX e R - {2},
entonces la solución esta en el denominador.
O se puede resolver tomando en cuenta todos
los factores, aplicando la tabla. Si la
multiplicidad de Ias raíces es par. entonces
antes y después del cero es positivo; y si es
impar, antes del cero es negativo y después
positivo.
-.ó -3 5 co
f tx- rl(x-3)(x-6)>o
Itx-zl(x-4)(x-5)<o
i)
S¡ :{X e R/l < X <3 vX > 6}=11, 3[u ]6, o[
Sr:Sr n52:11 ,2[
Sr={X e R/1 <X<2:11 ,2Í
X+2 l-2X
x-3 x
X+2 l-2X
___.-<()
X_3 X
X+2 2X-1
"-+__<0
X-3 X
X(X + 2)+ (2X - IXX -3) <
(x-3)x
X2 +2X+2X2 -6x-x+3
(x-3)x
lx2 -5x +3
<0 <a
(x-3)x
S:{XeR/0<X0
x'-2x-15
x2 -2x-15+1g-2x
<0
k)
>0
(x-s)(x +3)
x2 _ 4x+4
.--..-=-->0
(X-5)(X+3)
(x-22
>o
(X-5XX+3)
54
S-{XeR/X<--ivX>5}
Números Reales

r)
PROBLEMAS PROPUESTOS
Resolver las siguientes inecuaciones
a) 3X+2>X-1
b) x+2<-x+9
Como (X + l)' < 0 (S : {-l}), entonces se
resuelve sólo la equivalencia indicada
-co -6 -3
<0
0
c)
d)
e)
0
c)
h)
i)
i)
k)
1)
ll)
m)
nl
., 1
:,
3X+1<4X-3
l-x>3x-5
3X+ 4>X-7
5X -2 <2X+ 5
(x-1)(2X+1)>0
(2X+3)(3X-2)<0
3x2-5x+2>0
.(2X+s)(X+1)(2-3X)>0
(3X+7)(3-X)(x_4)<0
2X2+¡-3a6
l
<4
x
5
:x-l > 3
l
Y_l
X+l
-5
12X
x-r 3
q)
r)
s)
u)
v)
w)
x)
v)
z)
Observación:
.1r+!x+c<0 ->
Raíz real única: S = A; g- 1j2 <0
Raizimaginaria: S=A; x2 +2x+3<0
- I Rarz real n .u. 5:{rl: (x - l)r < 0
axr+bx+c<0 +{
[-Rri, i.aginaria.. S: e; x, + 2x + 3 < 0
I Raiz real única: S =R, {r}; (x - t), > 0
ax-+bx+c>0 +{
[-Raizimaginaria: S-R: xz+2x r3>0
ax2+bx+c)0 -+
Raíz real, todo el eje numérico:
S:R; (x-l)'?>0
Raíz imaginaria: S = R; x2 +2x+ 3 > 0
:;l:.L > -tr3nor
(x + 3)(2 -X)

2) Resolver por cualquier método las siguientes inecuaciones
a) x-2 > 1x L 3X+1 x
x+4- x_2 b)
;;.ñ
c) x-1 < 2X
-
x r l-x3
' x -X+l x_1 d) x+i+3x.0
e) .-". X+8 A X+4 x. 2
-s) -l-= =X-3 L .X'+4X+4
x2 -4
X¿ +4- X2 +X+4 h) ,
= '1!, l
XX
i) I:2 x2 X2 +2X +3
" X*2'X, *2 J)
->l-X
3.6 VALORABSOLUTO
3.6.1 Definición
SeaX e R. elvalorabsolutodeX sedenota lXl yest¿definidopor:
, , f x;paraX>o . (x,o"r.;ilo
lxl-jo;paraX-o o lxl=j
L -X ;paraX<O L_X ,paraX<0
i-sl:s, lsl:s, lol =0, l6l =0"t".
3.6.2 Propiedades
l") El valor absoluto de un número, es un número no negativo lX I > O.
2')
T];i'_T ii;i]*t
de un número negativo, es igual at valor absoruto der mismo con signo contrario
3") Cualquier número ¡eal X, es menor o igual que su módulo X 0esiguala Iadobleinecuación -a<X<a.
5') Lainecuación lXl rr, para a>0esiguala: X<_a v X>a,
6) El valor absoluto de la suma algebraica de,varios números reales, es menor ó igual que la suma de los
valores absolutos de sus suman¿os lx + y I < lx I * lyf.
-
Demostración sí X + y > 0 entonces
lx *yl :x
porranto l><ill i"ifiT'i?,RroRiedadx<
lxl vv < lvl'
SíX iY<0, entonces
I x * Yl . - X - y,Rorlapropiedad(3
)setiene que:
-x< l-Xlcomo l-xl='lxl
- '
-y< l-ylcomo l-vi,: i,"i,.r,on."s _X_ys lxl* lvl.
Finatmente ix* yl< lxl+ lvl
-
Esta propiedad se demuestrg para cualquier número de sumandos
lX¡ f X:rX: F,...+X"t< lx,l, lxrl, lx,l_...+ lx"l.
7") El valor absoluto de la diferencia de dos números, no es menor que la diferencia de los varores
absolutosdetminuendoysusrraendo
lX _Vl > lXl _ lrf-
Demostración:
Sea t: X - Y despejemos X : y+ t
Sí
lxl= ly, tl < lvl , lrl pu.uroralprimernriembro lvl,lxllvl< l,l
Ixl lvl s ix-yl " lx-il;'lrr ryr queesroquequeríamosdemosrrar.
El valor absoluto del nroclucto. es igual al producto de los valores absolutos de sus flactores.
lx.v.zl -lxl ivI lzr
56
Números Reales

E
Fr
E
F
E
l"
h
P
tsi
|,,,
it
á
r,
r,
I}
¡,
rt
IJ
?
n
I
I
?
a
)
1'
I
q
t
,
t
t
i
s
t
t
;
)
)
-__l
Ei I alor absoluto del cociente, es igual al cociente de los valores absolutos del dividendo y del divisor.
lxllxl
ivl
-
Itl
El valorabsoluto¿" I lxl - lvl I < lx_vl
Demostración
i*l= l(4-y)+yl< lx-vl* lvl
lxllvl< lx-yl
de Ia misma manera con y
lYl= l(y-41*Xl< lv-xlo lxl
Ivl- lx,l
=.
lv-xlp..o l;,:x¡':'l_1x_v)l
enronces lvl- lxl<'l x_vl ' rr
si en Ia inecuación 12) s¿mfi¿rnss de signo
lx-vl= lvl- lii
-lx-vl= lxllvl
Finalmenre de (l) y (3)
-Íx-vl< lxl- lv'l i lx-ylqu.esetresultadode
Jx': lxl
lxl':r'
IX | . ¡y I e X2 < y, (Cuando se trabaja con valores positivos)
(l)
(2)
(3)
llxl- lvll< lx-vl
ll')
1l')
l:lo)
Demostración
lxl. lyl e lxl lxi. lxl lvl
I txt txl . lxl lvl
It"ttvl,lxllvl
(
J l*l lxl.lxllvi
_
1r I sumando
t -l"l lvl._lxllvl
<+ lxllxl.lvllvl
c) lxl,.lyl,
€> x2 <y2
l-1'r IXI:, <+ X:-a v X:a
Geomérricamentl en lT I :" iepresenta la distancia entre X y cero; es decir
cur,a distancia a cero es igual a a
" lxl lvl. ¡vllvl
En forma recíproca
X'.Y' .? lXlr. ¡y¡,
<) lx l, - ly'I,.
' '
<> (lxi- lvl) (lxl u
<) lxllxl ,-lxllvl_
c) lxl,- lyl,.o
€) lxl . lvi
lv l). o
lxllvl-lvllvl.o
lxl:u,Xesnúmero
---a -+ S:A
i, >-a-->S:fr
a
<= X:-Y rz Y='

3.6,3 ProblemasResueltos
l) Resolver:
a) lx-:l:s
b) [x-: I .s
c) o. lx-:l <s
d) lx-¡l's
Solución:
a) Geométricamente en lX - : I se representa la distancia entre
X es un número cuya distancia a 3 ei igual a 5.
X y 3;esdeciren lX_:l:S;
J
J
I
t
J
t
I
I
t
t
t
t
lx-:l:s
Gráficamente
<) X-3:-5
<+ X: -2
x-3:5
x:8
5
Geométricamente en lx - s | <5, X es unnúmero cuyadistanciaa3 es menorque 5.
lx-:l.s €) -5<x-3<s
c) 3-5<X<5+3
<+ -2<X<8
b)
c)
d)
0
' Ix - : I ' 5, significa que X es un número cuya distancia a 3 es menor que 5, pero X no
puede seriguaia3 esdecir: O. lX_: I <S, Xr.3
Gráficamente
Geométricamente en
5.
lx-:lrs €)
c)
Gráficamente
v X-3>5
v X>8
)BX
lX - ¡ | > 5, significa queX es unnúmero cuyadistanciaa3 esmayorque
x-3<-5
x<-2
2)
a)
c)
e)
c)
i)
k)
m)
o)
q)
b)
d)
0
h)
i)
r)
n)
p)
r)
NorA'- Los números 2 y 8 no son elementos de los intervalos que se discuten en los casos b, c y d
R'esolver:
lx'-:l:z
lzx - rl
_,
lx+rl
-'
llx-rl-zl:r
lx-rl*lz*3xl:z
lx'-zl:q*zx
lx*ll,-:lx+rl-+:o
I I -:xl *:xl :+
x2 + 4x+ 3l * lzx, *./x+ sl : r _x,
l:x-¿l:1
2
lx*lx+1ll:s
l-x'+zx-31 : t +2x
lzx*rl-lx-31:rs
lz*xl :r-zx
lx'+tl:lzx-:l
lsx*zl : r -x
x'-slxl+o:o
x'- lxl-o:o
58
Números Reales

Solución:
a) lx'-:l:z
b)l
' I.;x -41= '
t"'- 'l- 2 e
La solución es: S :
e) llx-rl-zl=r
<) x2-3:-2
e) X2= 1
- I-
Resolvemos las ecuaciones I y II
I) X2:l e lxl:t é
D X2:5 <+ lxl:Js .-'
Portanto la sclución es: S : {_J5, _1, l, J5}
v X2-3:2
v X2:5
u-
X:-I V
X:- J5 V
X:1
x: J5
3x-4 = 1
2
q
3X =:
2
2
3X-4=-l
2
3x=1
2
x=7
6
lt 3l
IA''I
2X-r
<_> =-l
X+l
__-r-
I) 2x-l
--=_l
X+1
Resolvemos las ecuaciones I. IT
I) 2x*1
,
-.-
= _1
X+l
II) 2x-l
_*t
X+l
II) 2x-t
,
--=t
X+l
v X+ lx*t l=s
" lx+rl:s-x
_--il.-
<-) 2x-1 :_x_l
+> 3X :0
X :O
t, lx-rl-z:-l v
e lx+tl- r v
I
s 2X-l :X+l
<-> X :2
d)
La solución es: S : {0, 2}
lx' ¡¡.,,¡ ¡--, *-, xn lx.rl--s
lx*r ¡: -, - ,
-___Tl-
I) lXnl I : -5 - x : -(5 + X) (por definición no es posible)
II) lx*tl:5-¡ .-, x+l :-5+x v X+t:5_*
<-> 1=-5 v 2X:4
A v x:2
Consecuentemente la solución es: S : {2}
lx-r I -z= r
lx-rl::
II
Resolvemos las ecuaciones I y II
<+ X- l:-l
+> X:0
x-l:l
X:2
t.J=:ra Superior
t) lx-rl-l
59

r) Ix-rl=: <+ X-1:-3
x: -2
v X-1:3
v X=4
Por tanto la solución es: S : {_2, 0,2, 4}
l-x'-rzx-31 , : r+zx
l-«x'-2X+3¡l :l+zx
lx'-zx*tl : I*zx +> x2-2x+3:-t_2x v
+> X2+4:6 v
+> X2 =-4 v
+> imposible v
xz - 2x +3 :1+2X
x2 -4x + 2 :o
(x-3,4XX_0,6):0
X=3,4; X:0,6
La solución es: S : {0,6 ; 3,4}
c) lx-rl*lz-zxl=z
Para resolver esra ecuación hacemos lo siguiente:
1) Eliminamos los_valores absolutos por medio de una tabla.
', |;',:T*"mos
las regiones en la iabla, y
"**";;;;; ri, ,igno, de ros sumandos en cada
3) Se resuelve la ecuación en cada región.
Solución:
I') 2") Las regiones son:
)-*,?); ¡?,r1;¡r, *¡
r--,
;r, lx- r I :-G- r); lz-:xl
t3',1, l, - , | :-G- r); lz -:xl
tr,*[, lx _ I I : +(x _ r); lz -:x I
3o) Resolvemos las ecuaciones de cada región.
En ]-"o,
2
] se tiene:
3 En [3, lJ se tiene;
-X+l+2-3X:2 3
-4X :-l -X+l-2+3Y:2
x=l
2X:3
4x=l
1 -. 2
pero
;
é t
í
. 1 I, por tanto la solución en esta región es Z
En [1,co[ se tiene:
x_ I _2+3X =2
4X :5
x =¡
Finalmente la sorución ., ru,Írio, de los puntos obtenidos en cada región, es decir:
.: Il 5l
" 14'71
h) lzxntl - lx-:l - rs
I")
-ó i 1co
-- -+ 3 c¡
2")
l--. =l
I. I zx*l I : -tzx* r lr I x_: I
2
t],:1, lzxn tl :zx+ l; lx -: I
2
[3, *[, lzx*11 :zx+r; lx-:l
:2-3X
= -(2 _ 3x)
:-(2-3X)
: -(x-3)
=-(x-3)
:x-3
60
Números Reales

3')
En]-co, _t1
2
-2X-1+X-3:15
-x :19
x :-19
En [3, oo[
2X+1-X+3 :15
X : l1
La solución total es: S : {- I 9, I I }
l:x'*2x-81 - lzx'+7X-51 : 1
l1:X.¡' + 2(3X). 24 (2X2+7(2X)+l0i
I 3- ,-,- - i-t -'
l"i)l
lr3X+órr3x-{¡j r(2X+5X2X+2)r
i l-l , l='
l1x+z¡(3x-4)l - ltzx+s)(x+1)l :r
1') Eliminamos los valores absolutos
utilizando la tabla
xl=-1, Xz= -2, X¡: -1,
-co -+ -2 -1 1 oo
Z1
x+1
Pr:(X+2)(3X_4)
P2: (2X + 5) (X + 1)
3") Resolvemos la ecuación en cada región.
.En R, : ]--, -i ]
(x
I 2)(3x - 4) - (2x 15)(x + l):
3X'f2X-g-{2{,+7X+5)
3X' ,2X -g-2x'_7X_ 5
x2-5x-13-l
x2-5x-14
(x-7)(x+2)
x--2,x=7
La solución es el conjunto vacío, ya que
ninguna de estas raíces pertenecen al
intervalo l--, -i l.
l- 1, :1 entonces la solución en esta región es el conjunto vacío.
2
En [-1,3]
2
2X+t+X-3
3X
X
=15
=17
:17
;J
l7e
J
x^:!
J
2")
l-*,]1, lp, | :p,; lp,l :p,
2
L*-1, -zj, lp, I :P,; lP,l :-p,
2-
l-2, -11, lp, I : -Pr; lP,l :-p,
,r,
1,,
lp, I : -pr; lp, | : p,
t1.-t. lp,l:P,; lP:l =p,
4
En Rr: l-* ,-zl
(x+ 2¡(3X-4) + (2X +5)(X + tt= I
3X'+2¡-8+2X2+7X+5 =l
5X2+9¡-3 : I
I
:l
:l
:0
:0
=0
5X2+9Y-4 =0
,_ -qtJsr*so = 2l.u/iet _ -s t12.6
l0 t0 10
,_ -9r 12.ó - -9-12.0
, ^=.----
10 10
x:0,36 , x:-2,17
ilgebra Superior
En esta región 0.i6 e [-= . -f ]
61

En&:L-2,-1)
-(x 1z'¡
(3x - 4) + (2¡ + 5) (X + l)
-(3X'+2X-8)+2X2+7X+5
4X¿-2X+8+2X2+7X+5-l
-x2+5x+12
x2 - 5x- 12
(x - 6,77) (X + 1,77)
X:6,77 ; X: -1,77
En esta región 6,77 e l-2, -l)
En Ro: t-1,+ l
-3x2-2x+B-2x2-jx-5 = I
-5x2-9x+3-l :o
-5x2-9X+2 :o
5X2 +9y-2 : o
(5X)2+9(5X)-10
5
(5X + 10) (5X _ l)
5
x: -2 , x: +:0.2
Pero -2 e t-r,]J
En la figura se observa que: -
lx'-zl=q*zx
lx'-zl:q*zx
1 -2X> 0 t [2+X : -(l -2X) v2 + ¡=+(l _2X)]
-2X>-1
^f2+X:- t + 2X v 2+X: f _jXl
I
^rr^(-X:-3v3X:_t)
I
*=;n(X-:"x=-]t
, -
l*,;],entonces
la solución *, r :{-;}
En R5: [1,-[
3X2+2Y-8-2X2-7X-5
x2-sx-t:
x2-5x-14
(x-7)(x+2)
X:7 , X:-2
pero -2 e t1,*t
La solución total es:
S : {-2.17; -1.77; 0.2:
=l
:l
:0
-0
:0
=0
:l
:l
=0
:0
=0
=0
7l
jl lz *¡l:l*zx
lznxl =t- 2x e
_1
3
I I 1l
l=.1--'r] '
k)
4+2X > 0
2X>-4 ¡
X>-2 A
X>-2 A
X>-2 A
I JX'-2=-t++ 2X)vX2- 2-- r(4rZX)l
[X' 2--4-2x v X2-2=412X1
(X'+2X+2:0 v X2- 2X*6 :O
(No tiene solución en R v (X + l.6XX _ 3.6)
(X: -1.6 v X:3.6)
Ambas raíces pertenecen a la región, es decir {-1.6, 3.6} e n_2, *,f, entonces:
s : {-1.6, 3.6}
lx'+ll= lr*-31. s.aplicalapropiedad: l.l : lbl e u:-b v a:b
lx'.11-lzx:l -r: ;i=:i;;"rj ,,x,-'r :,1ix_:j
c> X: t 2X-2 =0 v X2 2X+q-_O'
<> (X + 2.73)(X - 0.73): 0 v No tiene solución
e X--2.73 v X:0.73
s: {-2.73,0.73}
62
Números Reales

n) l:x*zl:r-x
lsx*zl :r-x <+ l-X>0 n (3X +2-_1+X v 3X+z:1_x)
é -X>-l n (2X:-3 v 4X:-1)
c) X<t n1X:-1 v X=-lt
2 4'
s = f_l _]J
l2 4)
I I r -:xl -:xl =¿
<3
I) lt*¡xl::x-¿
o)
Ix- r l'-:lx+ tl -+:0. sí lx* r I :t,entonces
r-3t-4=0
(t-4Xt+1):0
t:4 v t: -l
lx*ll=a,rlx+rl:-r,
lX+1¡ =4 a X r-¡:-4 v X +t:4
eX:_5 v X:3
s : {-5, 3}
jr +:xl -3x:-4, lr+3xl -3x=4
I t +:xl :-¿*:x,
_l
i" jit :l.rx
I ---L.---
<+ 3X-4> ¡ (l+3X:-3X+4 v l+3X:3X_4)
<)3X>4 n(6X:3 vt=-4)
¿-1
<+ X> - "tX=- v F)
l)
c> X> 1 ^ ,*-l '
a ,)
lX * I I : -1 No riene solución
+3X=q+3X)
14
23
II)
St: A
It*3¡l :q*3X e 4+3x>0 n (l +3X:-4_3X v I
<+ 3X>-4 n (6X=_5 v l:4)
.<] x--+^(x:-: v F)
36
€) x=-1 ,'' (X---5r
3 6',
_5
6
I' sl
1- uJ'
entonces la solución total es:
= J 5l
tel
_1
3
Su=
S=S¡ u, S11
63

p) x'-slxl+o:o
x'-slxl *6:o e -slxl: -6-x,
e slxl:e +x'
lSXl:O+X' <+ 6+X'>0 n (5X:-6-X2 v 5X:6+X2)
€) R n(X2+5X+6:0 v-X'+5X-6:0)
<) R n ((X+3Xx+2):0 v (X-3XX-2):0)
<+ R ^(X:-3vX=-2 v X:3vX:2)
S: {-3, -2,2,31
El mismo ejemplo se puede resolver al considerar lX l': X'
lxl'-slxl+a:o
rlxl -¡x lxl -zr:o
lx I : : " lx I : z. Al resolver en forma simultánea las dos ecuaciones se obtiene:
X:-3 v X:3 v X---2 v X:2; portanto S:{-3,-2,2,3
lx' + +x+ 3 I - lzx' -7x+ 5l : r -x,
l6+:¡x+l) l- l(zx-5XX-1) l:r-x,
Estructuramos una tabla con las raíces de cada sumando, para luego resolver por regiones
-o-3-1 15/z*
En R, : [-1, l]. Es el resultado de la primera región; X : € R¡ .'. sn,: f¿I
UlJ
EnR": I -X2
q)
En R1 :l-*, -3], X2+4X +3 *2Xz +7X-5 : I -X2
-X2+llX_ 2-l_X2
llx :3
x=1e n, Snr:Z
ll
En R, : [-3, -l], -x2 - 4x -3 _ 2X2 + 7X-5 : I -X2
-2*+3x-9:o
2x2 - 3x + 9: o
No tiene solución en R :. Sp2: A
"-
Sn+: O
€ Rs .'. Sp5: Z
-)
11
¡,;],
x2 +4X + 3 + 2x2 *7x+ 5 =
r)
4X2 _ 3X+ 7 :0. No tiene solución en R
a- r
En R, - I l. -l Es el resultado de la primera región: X - 3
-
L2 L -- '- r---'--'-'-D'--" . I I
Finalmente la solución total es:
S : S*, U S¡2 t-t S¡¡ J S¡a t-.,Sns - 11)
Lltl
x'- lxl-o:o
x'.- lxl-o=o <+ (lxl-:x lxl*z'l:o
e lxl-::o " lxlnz:o
<r lxl:: v lx I :-z
<) X: -3 v X :3 v No tiene solución
s : {-3, 3}
3) Resolver:
.,
-<J
lxl
Iz*llrr
txt
lx-zl
c)
b)
e)
h)
a)
d)
c)
lr-rl= u
13 I
lx-rl
t_t <4
lx+21
Iá* rl, ,
12 I
I:x*+l=s
lx+ l-xll.z
> 1/10
64
lsx - zl
l_l >l
lX+6 |
Números Reales

flx+al< e (
r) I sx-z k) )
I x.e't
1
m) lzx-:l<t-zx n)
p) lx*:lrzx q)
Solución:
l*'-,1 . ,
lx+zl
4
--<0
x-2
lx'+zl.:x
-x'-3lxl*r
Estos ejemplos se resuelven por medio de las propiedades
ll-J.e e-6 =L -z=o
l: l-' 3
l) lz*:xl.x*t
o) lx*sl )3X+1
<o 0 x'+zlxl -+<o
lxl." y lxl ''a siendoa>0.
S: l-12,241
a)
<+-6 + z<L <o+z
3
<+-+ -3.1.l
lxl x
Aquí apareció un sistema de inecuaciones.
Solución de I)
l
-:-+3>0
x
3+3X
_>0
X
Sr: l--, -lI u ]0, cc[
51 :51 nS¡1
Sr:l--,-1[u]l,cc[
1
:_J<0
Y
I -3x
=..-<0
x
-a0
s : l-4, 1r
J
["
]'-:
t,, f.:
Solución de II)
-r-i0¡
-i.- +
3 + ii.
.{leebra Superior
Srr : ]-"o, 0[ u ]1, co[
65

d) llll= 4 <-> -4=
X-l
=
o
lX+ 2l X+2
Escribimos en forma de sistema.
frl X-1,-*
I x+z
1rl X-r.4
L X+2
Solución de I)
x-l
_> _4
X+2
x-l
_+4>0
X+2
X-l+4X+8
->0
X+2
5X+7
->0
X+2
Solución de II)
x-1
-<4
X+2
x-l
____4<0
X+2
x-l-4x-8
_<0
X+2
-3X-9
_<o
X+2
-iX+9
_>0
X+2
Solución de II
lxl <z-X <+ -2+
[-z+xlX (impos
I 2-X>X ." 2
Ix
Sr: l-"o, -2lw [_!,al
5
-ó 31
e)
Su: ]--, -31 u l-2, co[
51: S1 n S¡
Sr:l--,-3lu[-{,"o[ _1
-5
lx* l-xll.z
lx* ¡¡ll <z
lx* ¡¡l I <z <+ -2<x+ lxl <z
<+ -z-xslxl.z_x
Escribimos en lorma de sistema.
a
l,rl lxl>-Z -X (imposiblepordefiniciónypropiedad 5o,severificaVX e R)
I
[ru lxl<z-x
x<
ible )
>2X
<l
X < 2 - X. Tenemos otro sistema:
-+ co
5
-q -2
66
S: ]-co, 1]
Números Reales

ft - 5 l2X+51
:+-t>t++ i>l
xi i x l-
:X+51 - 2X+5
-l
¿l (-l rz
xl x
I
Solución de I)
2X+5
_<_l
x
2X+5
_+l<0
x
2X+5+X
_<0
x
3X+5
_<0
x
Solución de II)
2X+5
-.->l
x
2X+5
__l>0
x
2X+5-X
-->0
x
X+5
_>0
X
Solución de I )
5X-2
--<_1
X+6
5X-2
-+l<0
X+6
5X-2+X+6
<0
X+6
6X+ 4
_-<0
X+6
2X+5
_->l
x
II
Sr: ,0[
Su : l-.o, -51 u 10, co[
r-:
J
c) l¡
2
Sa: S1 u S¡
Sr : l-"o, -51 u ¡-5, 0[ u ]0, co[
-1
+ll>z <+ x+7 <-2
2
x <_g
2
x<-18
S : l-*, -18[ u ]-10, oo[
Isx-zl 5Y-)
I__l >[++"_. -<_l v
I x+ó I X+6
- I-
-6-50co
x+7>2
2
x >-5
2
x>-10
-18 -10
h) 5X-2
--->l
Solución de II )
5X-2
-->1
X+6
5X-2
__l>0
X+6
sx -2-x -6
..-.
---__-.-->0
X+6
4X-8
-->0
X+6
iige'ora Superior
61

-a
-co -b -á o
')
S,:l-6, -i I
3
Sr: Sr u Sn
Sr : l-"o, -2/31- l-6 u 12, o[
lx-zl> I <)x-2<-1
l0 10
+> X<2-lv
l0
e x<19 v
l0
S:l-ó,9l..rt ?1,*l
10 l0
El sistema inicial se ha transformado en:
Solución I)
x+4 >-g
x >- 13
S¡ : l-13, co[
Solución de III)
5X-2
_>l
X+6
§Y-)
X+6
5X-2-X-6
X+6
4X-8
_>0
X+6
Sr:Sr n S¡ nS¡1
Sr:l-13, -6[w]2,sf
Sn: l-@, -6[ u ]2, co[
-6
x-2> 1
10
X >2+
x >21
l0
_2 0
3
I
10
1,9 27
10 10
i)
flx,a¡.0 l-o<X+4<e
lsx-2,, " '1 5x-2>l
LX+O [X+6
f»
tIt,
x+4>-g
x+4<g
5X-2
-->l
X+6
Solución II)
x+4 <g
x <5
S¡¡ : ]-co, 5[
>0 Frac.
68
Snr : l-@, -6[ u ]2, co[
Números Reales

k) /
I lr, -,1
I l____t _l
X+2
x2 -l +l>0
X+2
x2 -l+x+2
-_>0
X+2
X2 +X+l
-_--->0
X+2
Solución de II)
x2 -l
_<l
X+2
x2 -l
__l<0
X+2
x2 -1-x-2
--<0
X+2
x2 -x-3
---<0
X+2
(X+0.3XX-3.3)
:-__-i-t_____ < 0
X+2
Solución de III)
4
_-<0
x-2
Sr: St n S¡ n S¡¡
sr: l-0.3, 2[
r)
r)
nr)
x2 -l
_>_l
X+2
x2 -l
_<l
X+2
4-
_<0
x-2
-úJ -2 ó
Ya que X2 + X + 1 > 0, Vx e R, entonces:
S1: l-2, co[
-q -2 *0.3 3.3 co
x + 0.3
x - 3.3
x+2
Su: l-.o, -2[ u ]-0.3, 3.3[
-@ 2 m
S¡1 : ]-co, 2[
l) l2+3xl
lz +:x I
<x+ I
<x+l <) x+l>0
<) X>-1 ¡
<) X>-1 ¡
€) X>- l n
a[-(X+1)<2+3X<(X+lX
(-X-l<2+3X<X+l)
lz+zx<X +l
Iz+:x > -x-l
{zx<-t
l+x , -:
iieebra Superior
69

r
<f X>-l ¡
l*.-1
)2
lr, -l
l+
I _3
4
_1 0
2
m) lzx-zl <r-zx
lzx-:l <r-2x é
<+
t: {r.*,-1.*.-;}
l*2x>0
-2X > -1
x=-!
2
x=1
2
,= f
2
a
¡ [-(l -2X)<2X-3
n (-l + 2X<2X-3
lzx-z < l-2x
" tr*-3>-1+2X
n {+x<+
|.-3r-l
¡A
[-3x<x2+2<3x]
[xz +z <sX
lx2+z>-:x
fx'-:x +2 <o
lx2+:x+2>0
I
f(x-2Xx-t)<o
ulfx+2Xx+l)>o
Tabla II
< +(t _ 2x)l
<1-2X
n)
S=A
lx'+ zl . sx
lx'+zl.¡x €) 3X>0 ¡
X >0 n
X >0
X >0 A
Tabla I
-óL2@
-2 -l
S-{X eR/l<X<2}
lx*sl>3X+1
lx*sl >3x+1 e X+5< -(3x+1) v
() X+5<-3X-l v
e 4X<-6 v
<] X < -l ',
2
S:{XeR/X<2}
-6 2-l
o)
x+5 > 3X+l
-2X> -4
x<2
x<2
70 Números Reales

p) lx*:l
lx+3 i
>2X
>2X €)
.g
a
S:{XeR/X<3}
-x'-:lxl+t<o
-x'-:lxl+t<o
l:xl > l-x2 <+
9
.,
9
9
Tabla I
-o -0.3 3.3 o
x - 3.3
x + 0.3
S:{Xe R/X<-0.3v X>0.3}
x2+zlxl-+<o
x'?+zlxl-+<oe>
lzxl aa-y' ;
<> [-2,2] n
Tabla I
-ú -3-2 L-2 @
x+3.2
S:{XeR/-t.2<X<1.2}
X+3<-2XvX+3>2X
3X<-3 v -X>-3
X<-l v X<3
c> -3lXl<-r+x'
c> 3lxl > r-x,
3X< -(1-X') ''r 3X>l_X2
3x<x2-1 v 3X+x2_1>0
-x1*:x+l<o v X2+3x-1>o
x2-3x-l >o v X2+3x_l;ó
(X-3.3XX+0.3)>0 v (X +3.3XX_0.3)>0
' ,rbl" 1Ir
q)
r)
zlxl <q
4-x2 >
(2 * xx2
[-2,2) t
-x2
0 ,^. [-(a _ xr) < 2X + (4 _x1]
+X)>0 a (-4 +X2<2X<4-Xr)
[zx<+-x,
[zx > -++x,
t [tx+].2Xx -t.2)<o
¿ '-
tt [1x -:.2.¡1x + 1.2) < o
Tabla II
-o -3.3 0.3 o
x + 3.3
w -.2 J-/ @
Y- ? a
x+7.2
pf
i,geb'ra Superior

Observación.- Cuandoseaplicalaspropiedades: lXl :u, lXl.uV lXl >aparaa>0,se
debe considerar lo siguiente:
Aclaración para los ejemplos q) y r)
-X2-3lXl*f <0. Pordefinición lXl':X2, entonceslainecuaciónsetransformaen:
- I x I ' - ¡ I x I + 1 < 0, introduciendo una variable auxiliar I X I : t, luego:
I rl
It+'l>1.8 cr t*j.-1.8 v t+1rr.8
1 ?l ) ')
| -l
-t2_ 3-t+l<o
t2 + 3t* 1
(,.;)'
I ¡2
It+- |
I )l
I :l
It+- >
)l
>0
_! =,
4
13
>_
4
,ril
t-
+
S-{XeR/X<-0.3 v X>0.3}
xz+zlxl-¿
l¡1,+zlxl
entonces
f2+2t-4<0
(t+l)2-5<0
(t+l)2 <5
It*rl<Jl
S:{XeR/-1.2<X<1.2}
Resolver:
Solución:
a) lx-zl.:lx+zl <+
c> -3.2 <t< 1.2
It <t.z
* 1; , _;, reemplazando t = ll
X I
t'- "'-
[lx l< r.z
[|xl>-:.2
[l x l< r.z
Hln
.+ lxl<r.z
€)t<-3.3v't>0.3
e lxl <-:.: ., lxl >0.:
e a v lxl>o.s
e lxl>0.:
<> X<-0.3 v X>0.3
10. Aplicando el mismo razonamiento del ejemplo anterior (q)
-4<0, si lxl: t. lt*tl<2.2e-2.2<t+t<2.2
4)
a) lx-zl<:lx+zl b) lzx-sl .lx*+l
c) zlzx-:l.lx+rol d) zlx+olrl:x-rl
Estas inecuaciones se resuelven usando la propiedad ( 13' )
lxl.lYl<->x2<Y2
lx-zl. l:x*ztl
(x-2)2<(3X+21)'z
X2-4X+1 <9X2+126X+441
-8X2 - 130X - 437 <0
8x2+t3ox+437>o
(X + 4.75) (x + 11.5) > 0
I
I
I
I
I
I
x
X
X
x
X
x
x
x
: a. Cuando a> 0y además constante
:a c) X:-a v X:a
: a,. Cuando a,2 0 y además es variable
:& <3 &,)0 n (X:-a" v X:a,)
<a. Cuando a>0 y ademásconstante
<a (3 -a<X<a
< a,. Cuando a" > 0 y además es variable
<a., <+ a, >0 n (-a,,<X<
Xl>a. Cuando a20 y ademásconstante
Xl >a <>X<-a v X>a
lx | , u,. Cuando a,2 0 y además es variable
lxl ru" <+ X<a, v X>a,
Se aplica indistintamente sólo la propiedad, como
si fuese constante
)l 10
24
x + ll q
72 Números Reales

b) lzx-:l.lx
zlzx-tl
l+x-o I .
+al<+ 1zx-s¡'<(x+4)2
é 4x2-2ox+25 < x2+gx+16
c>3X2-28X+9<0
., (¡x)'-zs(¡x)*zz.o
J
e (3X-27XX_l)<o
3
<)(X-9)(3x-1)<0
<+(x-9)(3x-1)<0
.lx*rol
lx+¡6¡€ (4x - 6)2 < 1x + t6¡2
€) l6x2-4gx+J6 < X2 r20x+ I00
<+l5X2-6gx-64<0
<)(x+0.8)(X-5.3)<0
S : l-*, -l1.5[ u ]-4.75, al
-co -0.8 5.3 o
-q -2.2 13 q
':ri,,r
c)
d)
-0.8 0
s : l_0.8, 5.3[
zlx+ al ,l:x- ll crl¡x- rl .zlx ,ol
<+l:x-rl.l2x+t2l
e (3X - t)2 <(zx+ tz)z
<> 9x2-6X+1 < 4X2+43¡a1 14
<>5X2_54X_143<0
€) (X _ 13) (X + 2.2) <0
l) Resolver:
a) lr-xl- lzx n¡l
c) lx'-¡x-zl rlx
e) lr-xl-lzx+31
Solución:
s:1-2.2, 131
z- lxl* lx+zl,¿
lzx-sl-lx'ql*lq-xl,z
<7
+41<s
+ lx+zl.s
b)
d)
a) lr-xl-lzx*:l<z
1') E.liminamos los valores absolutos a través de la tabla_
1
-€ -- I 6
)-
r-"1*14-r
2x + 3 I -o t I * l
___ t. I
_o1
3
9co
/1

2) Sacamos las regiones con sus respectivos signos, para reemplazarlos en la inecuación en
el tercer paso.
l-*, ll -+ lr
2
-xl :r -x; lzx+sl : -ex+3)
t],rl -) ll-xl:l-X; lzx*zl :zx*:
2
[r,-[ -) I r -xl :-(t -x); lzx+El -- zx*t
3") Resolvemos la inecuación en cada región.
En R1 :l--, :31; I -X+ 2X +3 <7
2..
Este resultado lo intersecam",
"",
J;¿rvalo de la región.
s,:l-*, -3I
2
En R2: tl, ll
2
1-X-2X-3 <7
-3X <9
x >-3
s2 - [-3t2, 1]
En R3 : [1, co[
-1 +X -2X-3<7
-X
x
53 : [1, co[
< 11
> -11
b)
La solución total es launión de las soluciones, es decir 31 : Sr u S, u S,
Sr: l-oo, :]l r., [], t] u [1, co[: R
))
z- lxl * lx +21>+ *-lxl + lx+21>2
l') 2")
-q-20o
)-*.-2[;lxl :-x: lx+zl
l-2. o[;lxl :-x; lx*zi
lo, *[; lxl : x; lx*zl
3) En R, : l-*, -2[
x-x-2>2
0 > 4 absurdo
St: A
En R, : l-2, 0[
x+x+2> 2
2X> 0
x>0
:-(x+2)
=X +2
=X+2
74
sr: o
Números Reales

c)
En R3 : ]0, co[
-x+x +2>2
2 > 2 absurdo
St: A
Sr=Sru52US¡:A
lx'-:x+zl+ lx++l
1")
<: <+ lG - 2Xx - l)l
2")
lx+¿l<s
l-*, -+l; lP I
t-a, tl; lPl
I t, zl; lPl
I Z,
"o[; lf I
:-(x+4)
:X+4
:X+4
:X+4
=P;
=P;
= -P;
=P;
lx*+l
lx*+l
lx*¿l
lx++l
P:(x-2)(x- l)
3o) En R1 : l-co, -4]
x2-3x +2-x-4 <5
x2-4x-7 <o
(x + 1,3) (X - 5,3) < 0
-4 -1.3 0
St: A
En R2: [-a, l]
x2-3x+2+X+4 <5
x2 -2x+ 6
x2 -zx+ |
(x-lF
A esta inecuación verifica el intervalo [], l]
Sr: [, 1] n [-a, l]: [1, l]
En &:U,21
-x2+3X -2+X+4 <5
-X2+4X-3 <0
x2-4x+3 >o
(x-3)(x- l) >0
Sj : [1, l]
En Ra: [2, co[
x2-3x +2+x+4 <5
x2-2x+l <o
(x-l)' <0
I <X< 1 (Propiedades de intervalos)
St= A
Sr : Sr r.-r 52 r.-r S-, ur S¿ : A w fl,1l v [, w A= tl, I'l
-co -1.3 5.3 co
-co 7
x-3
<0
<0
Aleebra Superior 75

d) lzx-sl - [x* ql + lq-xl 'z
l")
2")
l-*, -41; lzx - s I
[-4,5/2];lzx-sl
l5/2,41; lzx-sl
[4, *[; Jzx - s I
: -(2x- s); lx + + I
= -(2x- s); lx + + I
:2X-5; lx*+l
:2X-5; lx*+l
=-(x++l; l+-xl
- x+4; l+-xl
- r+4i l+-xl
- r+4; l+-Xl
:4-X
:4-X
-4-X
:-(4-X)
3') En R¡:l-co,-4[
-2X+5+X+4+4-X>2
-2X> -ll
ll
x<-
2
Sr = ]-"o, -4[
En nr: ]-4, I I
)
-2X+5 -X-4+ 4-X>2
-4X > -3
4X <3
x< -
4
Sz : l_4,
En &=l1,+[
2
2X-5-X-4+4-X>2
-5 > 2 absurdo
St: O
En &:la,-[
2){-5-X-4-4+X>2
2X>15
x >15
2
s,=l
f .*t
Sr : Sr u 52 r-.r S: u S¿ = l-*, -a[ w]-4,3141w A w,
f , *,
Sr: l-ú, -4[ u ]-4, 3ta[w]
],-t
lr-xl- lzx*:l+ lx+zJ.s
1)
-q-2 J 1 m
2-
;t
-4§
?
e)
I a oo
-ú -4
76
Números Reales

2')
l-2,1t; lr-xl
2
I:1,It; lr-xl
2
11, *[; lr - xl
3o) En R1 :]-oo,-2[
I -X+2X+3-X-2<5
2<5
Sr:Rr
En & :1-2,
-1[
2
l-X+2X+3+X+2<5
2X<-l
x.-l 2
S, = l-2, -1 t
2
En R3 = I -1, lt;
2
l-X-2X-3+X+2<5
-2X<5
2X >-5
2
Sr:l_;,tt
En &=ll,-[;
-l +x-2x-3+ X+2<5
-2<5
Sa: ]1, co[
Sr : Sr u 52 u 33 tr Sr: Rr -/
Sr: R
Resolver:
7'*,-21; lr-xl lzx*:I
lzx *: I
lzx +: I
;lzx*:l
-(2X + 3);
-(2x + 3;'
2X+3;
2X+ l;
:1-X ;
:t-X;
:t-X;
=-l+X
lx*zl
lx*zl
lx+zl
lx*zl
-(x + 2)
x+2
x+2
(x-2)
6)
R2uR3ufu
lx -zl-:
a)
d)
px-zl-lo-xl _"
_:J
r-lx-rl
trH#>lx+zl
b) It-xl+l:+zxl > 2 c) llxl .lr * ,l
l_lx_ll , ,
Solución:
a) px-zl-lo-xl _ ,
-i,
r*lx - rl
1') Determinamos los valores que reducen a cero al denominador, puesto que la división por
cero no esta definida.
r-lx-ll*o o-lx-ll*-r
silx-rl:r :
li,']]r1'',
x-r:r
<> X:0 v X:2
e) lx+rl'+lx+rl-o<o 0 lx-:1'?+olx-:l+s>16
{igebra Superior
77

Lueso:
l-[x-ll+o eX+o¡X+2
3") Sacamos las regiones y los términos con sus signos, para reemplazarlos en Ia inecuación
en el siguiente paso.
:-(3x-zt;
lo-xl :(6*x); l*-,1 =-(x-r)
=3X-2; lu-*l :(6-x); lx-rl:-ir-,t
=3x-2; lo-xl :io-xl' ix-ri :i-r
:3x-2; lo-xl :-(6-x); lx-rl:(x-1)
haciendo intersección con el intervalo ]--, ? I - {O }
-"o-| o o
f
-o086
<0
_4 0 z
53
!u
2") Eliminamos los valores absolutos a través de la tabla.
l-oo,2/31 - {0}; llX-z
[2t3,1]; lzx - z
tr,6l - {2}; lsx-z
[6, -[; ltx-z
En R¡ :l-oo, ?l - tOl
-)
-3X+2-6+X -.
--:J
l+X-l
-3X+2-6+X
-3<0
x
-3X+2-6+X-3X
x
-5X-4
-.--<o
x
5X+4
_>0
x
Buscamos S¡1,
Snr = l-oo, -11 u 10, 21
53
EnRr:[2,1]
3
3X-2-6+X _.
---SJ
1+X-l
4X-8
X
4X-8
-_J<0
X
4X-8-3X
-_<0
x
x-8 <0
x
Buscamos S¡2, haciendo intersección con el intervalo I
1
S*r:['.ll
,
78
Números Reales

:; R.: Li,6l - {Z};
r - 2 - 6 + X
-
<1
l-X+l
.tx-8 1J
2-X
4X-8
é- i s u
2-x
4X-8-6+3X-,.,
2-X
?X - 14
<U
2-x
-'1t2-X) ^
<U
2-x
-7 <0
Cómo la proposición es verdadera, por tal razón la solución es Ia región:
Sn: : &rr = Il, 6l - {2}
En R":[6, -[
3X-2+6-X -"
l-X+1
2X+4 ,-
---<
J
2-X
2X+4 _.J2
lx - zl-r
1") Determinamos los valores que reducen a cero al denominador'
lx-zl-3+o <> lx-zl+¡
ri lx-zl -¡ <= X-2-3 v x'2=3
<.> X: -1. v X:5
Luego:
lx-zl -3+o <+ X*-1
02 2
5
b)
,r X+5
2") A través de la tabla eliminamos los valores absolutos '
-- -: t 2 co
-co Z 2cñ
ilgebra Superior
,19

3")
ff;:*
las regiones; con los signos de los sumandos para reemplazarlos en el siguiente
l-a, -312[;
l-3t2,1[;
11,2f;
12, co[ - {s};
:l-X;
=l-X;
: -(1 - X);
= -(l - x);
En R, :]-"o,
-
3
1
2-
t-x -3- 2X
=__....--->?
-X+2-3
-3X-2 ,
-l-x
_ lt¿ _,
-l-x
-3X-2+2+2X
_l_x
-x
--->0
-1-X
x
_->0
l+X
S*, = l-m, -3 ¡
2'
en Rr:1:1, l¡
2'
l-X+3+2X
>?
-X+2-3
X+4
>7
-l-x
X+4
__2 >0
-t-x
X+ 4+2X+2
.....->0
-l-x
3X+6
'-.->0
-l -x
3X+6
--.-<0
X+l
:l(3*zxl; lx-zl =-(x-2)
=3+2X: Jx_z,l =_6_2)
= j3'2x): lx_2[ =_Á_2)
=3+2Xi lx_zl =X_2
l-xl
I -xl
l-xl
1-xl
l:*zxl
3 +2Xl
3+2Xl
3+2Xl
En R3:11,2[
-l+X+3+2X
- --- r )
-X+2-3 "
3X+2
-ó-1 0 m
-6 -2 -1
Sn::]
3X+2+2X+2
-i .,,
-l_x
5X+ 4
--->0
-l-x
5X+4
.--<0
X+l
-+ -
-co -l
80
>0
Números Reales

c)
#=x.r¡*fr-lx+zl<o
Sn::Z
En Ra:12, *[ - {5)
-l+X+3+2X
_> I
x-2-3
3X+2
x-5
-@-72 5 o
-a. -2
>2
o zlxl-lx + zl(r -lx - rl).
o
I -Jx-rl
e lx-ll+t
<) X- I =-l v X- l:1
<+ X:0 v X:2
<+X*0 ¡X+2
3X+2-2X+10
>0
x-5
X+12
_->0
x-5
S¡a: ]5, co[
Sr: Snr u S¡2 u Sq3 u S¡*
Sr:l-.o, -
3 [r.r] _ 3 ,-1[u]5,m[
22
3X+2
__) >()
x-5
l')
t-lx-tl,.o
si lx-rl:r
Luego:
l-lx-rl+o
3") Sacamos las regiones.
2") La inecuación se a transformado en:
zlxl- lx + zl+ lrx , zxx - lil
. o
r-lx-4
Hacemos la tabla:
l--, -21;
l-2,01;
10, 1l;
[1, co[ -{2};
l1x+:.¡(x- t)l
lix+21(x- r)l
l1x*z¡1x- rrl
Itx*zr(x- l)l
lxl
lxl
lxl
lxl
:-x; lx+zl :-1x+2); lx-
=-x; lx+21 :(x+2); lx-
=x; lx+zl :tx+2); lX-
=x: lX+21 (x+2); lx-
: -(x - l);
: -(X - l);
:-(x- l);
=X-1;
: (x+2)(x-r)
:-(x+2)(x-1)
:-(x+2)(x-1)
: (x+2) (x - l)
{lgebra Superior
4o) Resolvemos la inecuación en cada región.
81

En R1 :]-co, -2]
-2X+X+2+(X+2XX-t)-n
I+X-1
-X+X2 +X-2+2
.<0
<0
En R, =[-2,0[
-2X-X-2-(X+2XX-l) .n
1+X-l
-2x-x-2-x2 -x+2 <0
x
-x2 -4x
_<0
x
X2+4X >0
x
XIX+4)
. , >0
x
X+4>0
x >-4
En R3:10, l]
2X-X-2-(X+2xX-t) <0
l+X-l
2X-X-2-X2 -I'+2
___x_ < 0
-x2
_ <0
x
X2+4X
-->0
x
-x<0
x>0
Sru :10, 1l
En Rq:[,.o[ - {2}
2X-X-2+(X+2XX-l)
<0
l-X+l
2X-X -2+X2 +X-2' <0
2-X
X2 +2X-4
<:---
2-X
(X+3.2Xx-1.2)
2-X
Sn¿ : [1; 1.2] w 12, af
3.2
Sr: S¡ u SR2 u S¡3 U Spa
: I--,-21u [-2,0[ u ]0, 1l u [], 1.2] u 12, co[
:)-a,1.2)- {0} ul2,oo[
-ú -1 2 1 ) )
1 1.2
<0
X2
x
x
-4
SR : [-2, 0[
-2
<0
<0
82
Números Reales

d)
x - tl- lx +.¡l
', '
">
lx+zl
3-lx+ll I
l')
:-lx+tl+o
silx+tl::
lx+tl+¡
X+l:-3 v
x:-4 v
X*-4 A
_J
x+l
X:2
X+2
Luego:
:-lx+ll+o <>
2")
-co -3 -2 -7 1 co
3")
l-co, -31 -{-4}
l-3, -21
l-2, -rl
[-1, I ]
[1, "o[
- {2}
:-(x-1)
:-(x-1)
:-(x- 1)
:-(x- 1)
: (x- 1)
:-(x+3)
:(x+3)
:(x+3)
:(x+3)
:(x+3)
:-(x+l)
:-(x+t)
:-(x+1)
:(x+l)
:(x+l)
:-(x+2)
=-(x+2)
: (X+2)
: (x+2)
= (x+2)
;lx+zl
;lx*zl
;lx+zl
;lx+zl
;lx+zl
;lx+
;lx+
;lx+
;lx +
;lx+
;lxn:l
;lx*:l
;lx*:l
; lx+: I
;lx+:l
; lx-
; lx-
; lx-
; lx-
; lx-
X+4
X2 +6X+12
X+4
4o) Resolvemos la inecuación en cada región.
En R1 :l-co, -31 - {- 4}
-X+l+X+3 >-x-2
3+X+1
A
' +X+2 >0
4+X
4+X2 +6X+8
Si el numerador tiene raíces imaginarias, para cualquier
relación de orden, ya sea para ) o ( que cero.
Entonces la solución está en el denominador
-co -4
X'+6X+
x+4
-3
t¡l , ¡,, ¡
^fa^Ío
>0
>0
S¡1 : ]-4, -3]
En R2:[-3, -2]
-X+l-X-3
3+X'+l
-2X-2 (X+2
4+X
-2X-2+X2+6X+8
X+4
X2+4X+6
X+4
-4
>-(X+2)
>0
>0
>0
.{lgebra Superior 83

S¡2 = [-3, -2]
En R3 = l-2, -t)
-X+ 1-X-3
3+X+l
Sn¿: Z
-2X-2
.--(X F2) >0
4+X
-2X-2-(X+4XX+2)
>U
X+4
-2X-2:X2 _6X_8
> o
X+4
- x2 -8x- lo
X+4 >o
X2+8X+10
X+4 <o
(X+ l.5XX+6.4t
X+4
sR3: [_2, _1,5]
En P.a:[-1, 1]
-X + 1-X -3
3-X-l
-2X-2
,-x
-)v_,
:,'::'-(x + 2)
¿-x
-2X-2_12_xxx+2)
2_x
-2X-2-4+X2
2_x
x2 -2x-6
(X-3.6Xx+r.6)
2_x
-6 -6.4 -4 -1.5 6
x + 6.4
x+4
-o-1 .6 2 3.6q
Frac -
x - 3.6
x + 1.6
>(X+2)
<0
>X+2
>X+2
>0
>0
>0
>0
>0
En R5:[, co[
x-t-x-3
3-X-1
-4
* -(X+ZI
-4+X2 -4
2-X
x2 -8
2-X
>(X+2)
>0
>0
>0
_lN
+-- |
§ .72v
=a_wL/12_Za-44, I I Lr_]_ -_
_1.6_1 0123.6
-ú 2.8 2 2.8 o
tx-z,t?xx+zJil'>f)
2-X
SR5 : 12, 2.81
Sr- Snr u SR2 u S¡, u S¡a ur So,
84
Números Reales

<-3 n Ix+rlra
e) Ir+rlr*lx+ll-e<0. si lx*rl:t
t'+t-6<0 <> (t+3Xt_2)<0
(+ (l >-3 n t<2) v (t<-3 ¡ t>2)
<+(lX*¡l >-3,' lx+ll <zl "l'lx* rl
<+ (R n lxnrl s2) v @ " lx+ll >2)
e lxrll<2 v a
<, lx +11 <z
ó -2<X+ 1<2
<r -3<X<1
lx-:l:r
+9>16. Si
(t + :)'> t6
l,*:l>¿
llx-:l*
lx-: |
":
Ix-:J <-
a
lx-:l>r
x-3 <-l
x <2
g = [_3, 11
lx-:l'+olx-¡l
t2+6t+g>16 €)
1'
9
S : l-*, 2l u [a, co[
Problemas Propuestos
lx+: l:z
2
x'?-sl:ro
zlxl-rol:3
-2x2 - 5x+: I :2X +:
x-zl+ lz-sxl:z
3x-11-lx-zl:r
2x2+X-:l+ l3X2+7y¡21
3X-ll<3
r-+x'l<z
lx-:l +3 >4
lx-:l >r
lx-:l>r
: I >+
<-4 v
7v
v X-3 > 1
v X >4
t7.
18.
19.
20.
21.
22.
z) -
24.
25.
26.
27_
28.
29.
3.6.4
{zx
n:, -r
I lx'- sx + 61 <z
Ilzx+r¡.,
1tx-tl
lx2 -5x++>o
=6
<8
2
-(l
-
lx+zl
l:x*zlrs
lz-:x'lr:
lzx - rl
l--l < r
lsx + 3l
z-lx+tl
lxl- zl: - xl
I I I l- ¡
-a+
r-lxl
lxi-l? xl
. tx+.¡r
r-lxl ' I
lx+tl
--r---r- > lxl
2-lx-31
l,-r,l-lxl -
-2J
3-lx+21
l+.'l
' ,>]
11*-,1-"
l) |
fl*'-ol .,
1
Lx'<+
f lI-zl.¡
Lx''o - x
t4.
15.
16.
: Recordar: ,
lxlr-" : á
lxl.-u =o
3x-2l.lx-:l
X+llr lzx-:l
4x+31 < lr-zxl
2-xl+ll*xl.z
x-rl-l+-xl>:
x-ll-z+l:+oxl
Algebra Superior
85

30.
31.
32.
JJ.
34.
35.
36.
38.
39.
40.
41.
42.
lx+ll'-slx*ll-o:o
l*]-rI +zl + l2x,+5x- zl =¡x+ I
tx'- 4l :4 -X
-x'+2lxl+r:o
Ix,+:l: lzx*rl
It*:xl:l*x
l:x*zlrzx
I lzx * sl *21-xl I <s
lx*:l> lx-rl
lz-:x I
, ,<5
X+2
lz+xl
, r>5
lxl-: -"
lx*zl'-alx+zl+s<o
lx'* :x l + x'-zr o
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
'53.
-6<0
x'-+lxl+:=o
lr-xl=l+x+rl
llz-xl-:lxll
lr-:xl.x*l
lzx*:l.r-x
lx*sl>lx*ll
lr -xl'+ ll -xl
It-x'l.x*z
lz*xl<lr+xl
=4
, X .'?
Ir-x I -
Ir¿-T I
t"''l
lxl'*zlxl * r r+
lz+xl-z
!-<4
lx+s l-l
observación: Ar resolver la inecuación
lzx
2
+:x + tl-
lx, + x - zi < t . n, ra región desde l_co, -21, se obtiene
la inecuación x2 +2x+2<0.Yal sustituirlos valores como: G3)o (3) laproposición es siempre fálsa, por
tanto 51 : a' Pero si fuese verdadera al remplazar los mismos valores.en la inecuación, entonces la solución
seria la región.
54.
55.
86
Números Reales

CAPITULO 4
4.I RELACIÓN
una relación de A en B, es un subconjunto del producto cartesiano Ax B; que indica una correspondencia entre
los elementos del conjunto A llamado dominio con los elementos del conjunto B llamado .".ooiao o rango; tal
que, a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos en el recorrido.
Ejemplo:
Sea:A:{ o, l, l6,25lyB:1 0,-1, l, -4,4,-5,5 l.Unarelación deAenBestádadapor:
I (o,o), ( l,- I ), ( 1, I ), ee,-+¡, (1 6,4), (25,'-s¡, tis,s) |
Notación A--r+B ( r-denotarelación )
A--L-+B
X----> + JX
A--r+B : { (o,o), (1,-1), (1,1), (16,-4), (16,4), (2s,_s), (25,s) I
una relación se puede representar fácilmente mediante un diagrama
y establecer un apareamiento natural entre los elementos <L los
conjuntos A y B.
A -i-* B
0
1
l6
25
-+0
->l
+-l
-r4
'> -4
-'5
-+_5
4.2 FUNCIÓN
una función es una relación, con la restricción de que a cada elemento del.dominio le corresponde, uno y sólo un
elemento del recorrido' El conjunto A se denomina conjunto de sarida de f o dominio ¿. i ,á r"i"'.omo Dom(f).
El conjunto B se denominl cgnjunto de lregada de f o iecorrido, se nota Rec(f).
si (x'Y) es un elemento de f. se dice quá Y
".
la imagen d; )i;";6-se escribe y:f(x), lo cual se lee ..y es
igualafdeX".
Notación.
f: A +B
X -+Y
o A---I-rn
X-----+ f(X)
El recorrido o rango de Ia función se puede definir como, el conjunto constituido por todos los elementos de B
que están asociados con los de A.
Rec(f) :{ y . s/Y : f(x), X e A I
La variable X recibe el nombre de variable independiente. La variabre y recibe el nombre de variable
dependiente.
En general una variable se ha definido como un símbolo que puede ser sustituido por cualquier elemento del
conjunto universal.
Ejemplos:
1. SeanA:1 u,",i I y B:l r,:,S,2 I
a. Una función f de A en B esta dada por:
r :1 (a,l), (e,3), (i,7) |
Haciendo uso de la definición de una función escribimos:
I : f(a) .-. 1 es la imagen de a por f
3 : f(e) .'. 3 es la imagen de e por f
7: f(i) ... 7 es la imagen de i por f
Dom(f):l u,.,i I y Rec(f)={ l,:,7 i -.i 5l
.f
A-->B
Álgebra Superior
87

b- Un1
fun_ción
g de A en B esra dada por:
8: I (a.5), (e,3), (i,t) |
e5B
Sea h el subconjunto de
h
A--+B
u
g./
i-
,7
¡J
5
,7
l. El dominio es el subconjunto del eje X, constituido oor
recta vertical u"r"J" p"Ii
"án"
l" gráfica.
r los puntos X tales que, una
II' El recorrido o rango tt
"l
ru¡"onjulto d"r .;. y, constituidos por los puntos y, tales
que, una recta horizontal trazadapor y corteia g.¿i*;.,.
Ir' y.?i"T?[**:'"]ffi!]",'":*; "l "",".-,,'"".l.ilpu.ur"ru ar eje y, esta corra ra
Indique cuales de las siguientes expresiones son funciones.
a) f:R+R
X+3X2+l
d) f:R-+R
b) f:R-+R
x -+ lx7
e) f:R-{ o l-+R
f:[0,4]-+R
X-+2
b) rñ) = lxt
c) fiR+R
X-+3+X
0 f:R-+R
X- I
vt'-'
x+l*2
c) h)
Dom(O : R
Rec1fl :R* u{0}
Es una función.
x + /p:$
f:R+R
X -++
Solución:
a) f(X):3X2 + I
Dom(f¡ = P
Rec(f):Il,co[
Es una firnción ya que cualquier paralela
al eje Y, corta la gráficaen un sóio punto.
por definición :
5:g(a) A _-_c_+ B g: A _+ B
1r
J_g(e, z _-s 5 a _) 5
l:g(i) e _+ 3 e _> 3
l-+1
Dom(g):A,Rec(g):s_{zl -+ I
AxB dado po.l h : { 1a,:¡, 1u,s;, (e,l), (i,7) |
3: h(a)
5: h(a)
I : h(e)
7 : h(i)
Observamos que el elemento a tiene asignados dos valores del
conjunto B lo cual dice que h no es frrr;;;.'"
:;::J::i*::.
er siguiente .¡.*pL n"üiturno, ru, siguienres
88
Relaciones y Funciones

c) f(X): 3 + x
Dom(f) : R
Rec(f) : R
Es una función.
f(x): +.X+o
x'
d) (x): {G:X)
Dom(f) -- [ 0, 4 ]
nec(0 :l2 I
Es una función.
0
e)
Dom(f): ]-*,+]
Rec(f.¡ : R
Es una Relación.
f(x):+
Jk,_ r)
Dom(f):l-"o, - Jl tw) Ji,*Í
Rec(f) :n- j O I
Es una Relación.
f(x):2
Dom(f):n-{ o I
Rec(f) :R.-l0l
Es una función.
c) f(x) : r h)
Dom(Q=l-.o,-llrf]
2' '2
Rec(f.¡ = B
Es una relación.
r^.s-bra Superior
,co I
89

3. Cuales de los siguientes conjuntos representan una fünción.
Escriba la notación de función-pa.u .udu caso y construya su gráfica.
a) f : I (x,y). nÍx:y,i. il e:16,v¡ e nÍry:x2+xl
c) h= jG,Y) eF/x'-y2:01 di í: j.f*,", e R2/X2 +y2<ql
e) ,:jG,De R'xy:ll i *:l6,v)eR2,x2_y2=11
c) ,:l(x,v).rúr [xl+ kr: rl il x:]or,De n,¡ ñ-l* r"t=r^ x,+y2<41
i) p=1(X,v) eR2/y* lxl=ol j; lG,ge R2/xz+yr<4".x2+yr>rl
Solución:
a) r:1 (x,y) e R2 ix = y2 |
X: Y2 <> Y2: X
<+ Jv, = Jx
<+y:t Jx
b) s:l1x,v¡ e nÍry:x2+xl
Y:X2+X13f(X):X2+X
f: [0, co[ -+ R
x -+t Jx
Es una Relación.
c) tr:{6,v¡eR2,D(2-y, :ol
x2-Y2:0<>Y2:X2
o Jv'=Jt'
c) lvl : lxl
<.l y =tlxl
g:R+[-114,aI
X+X2+X
Es una función
v:R-i ol +R-l
x+ 1
X
Es una función.
h: R +R
x -+tlx I
Es una relación
d) u:J(x,y) e R2/x2+yz<41
X' + Y'< 4 . Es Ia ecuación de la circunferencia
con centro (0, 0) y r = 2
e) , :11x,v1 E R, /xy : r i
0l
X-++
Es una relación
4-x2
90

iv:JG,Y)€R2D(2-y':tl
X2 - Y': i' e> -y2 = | _ X2
<+ y2 :X2- I
<+ y :t J;, -l
f =Jtx.,vt e R2/ | x l+ I vl: li
lxl+ lyl= I <+ lvl= r _ lxi'
c>y:t( r _lxl I
g)
h)
u:l-oo,-l]u[l,co[-+R
X-->+
Es una relación
x={6,9e R2/ lxl+ lvl>2¡X2+y2<ql
z;l-1,1 I -+ [-1, I ]
X++(r_lx D
Es una relación
p:{ü,v)en3/y+ lxl=oi
v+ lxl =o <+ v:- lxl
p:R+]- co,0l
x-+ - lxl
Es una función
i)
La solución es el área rayada,que resulta
de la intersección de soluciones .
lü,Y) . R2 / x2 + y2 < 4 ¡x2 + y2 > I i
La solución es el área rayada,que resulta
de la intersección de soluciones .
Deten{inar cuales de los siguientes conjuntos representan una función sí:
A:11,2,3,41 y B= jt,u,r,*i
+.
a)
b)
c)
d)
e)
r, : { ( 1 ,0, (2,u), (3,v), (a,w) |
f, = 1r r.r). (2.r). 11.1¡, 14.r)l
r, - i tt,ul, (2,v), (4,wt I
q- l1t.vr. (2.t¡.1:,yu¡ 14.r,¡
f,, - 1( l.l ). (2.r). (3.v). t4.w) |
Álgebra Superior
9l

Solución:
a)
Función Función
Función Relación
4.3 DOMINIO DE LA FUNCIÓN
Para determinar el dominio de la función es necesario recordar lo siguiente:
1o) Expresiones que se encuentran en un denominador, no pueden tomar el valor de cero.
2o) Expresiones afectadas por una raizpar,deben ser no negativas.
Ejemplos:
l) Hallar el dominio de (X):
c)
Relación
2) Hallar el dominio de (X):
Dom(f): R. u {0}
3) (X):2X2 - 3X + s
Dom(f): R
Jx
l+X
Solución:
x2-l>o
(x-lxx+t)>0
-ó1-1 6
bom(f.¡: I - *, -lI u [], co I
4) ry): J€x+r-.fú-li)
La solución del sistema es el dominio de la función l"--+
-
t'= +
2X+3>0
1-2X>0
Dom(f):l-1,11
22
01
I
2
J
4
;t
>u
92

,i) (x) --!G;,+r¿x'-20 +¿
J-x+1
f -ex'+tzx-20 >o
| -X+t>O <)
S, : Ay Su : I - *, 1[, Portanto:
Dom( f ): S¡ n S¡ :O
EJxl
6) f(X): .l , ,
li X+1
4_lxl
_-- > 0 , Resolvemos esta inecuación aplicando
X+l
En R1 : l-m, 0l
4+x
-->u
x+1
-o*4 -1 a
-1 0
Sr : l-6 -al u l-1,01
Dom(f): l- co, -41 u l-1, 4l
7) f(x): x+l
x-1
Dom(fl:R- {l}
Í tl o* - t2x+20 <o
1ut x-1<o
-co-1 4 o
-6-5 1 m
I-*, -51 ull, co I
Dom(f):R
la definición de valor absoluto.
En R2: [0, co[
4-X
_>0
x+1
8) rrxl:/¡+a¡¡--f--
l¡2r 2X_31
X2 + 4x - 5 >0
(x+5)(x_1)>0
x2 +2x-3 +0
(X+3Xx-1)+0
X + -3 ¡' X * I son valores que se deben excluir, por lo tanto Dom(f):
rtxl: -L
Jx'* t
X2 + I > 0. Se verifica V X e R, entonces: Dom(f) :R
Determinar el dominio y el recorrido de: y = -1 -
l+1
,*Ñ
Solución:
*,_ -l _ -1 _ -l -lxl-r
,*.-! r+ lxl - lxl+r+fi
-rltl,r
t *
trr lxl+ t lxl+ t
Para determinar el recorrido se debe despejar el I X I
e)
10)
-lxl-r
v- I I
' -
¡x'!L
lgebra Superior
-+ Y(2 lxlnr)--lxl-l
93

zvlxl+y :- lxl - I
zvlxl*lxl =-i-v
lxl tzv+ r)=-r -y
lxl = -r-Y
2y +l
Luego el recorrido se determina al considerar que:
-1- Y
ñ>
0 (Pordefinición devalorabsoluto lxl > Ol.
Se debe tomar en cuenta que hay dos regiones: para X < 0,
.'. Rec(f): [-,,-+[
y: -x1 y parax>0, y_- -X-l
-¿x+t 2X+l
X -J 1
I
Y -0.57 -0.6 -0.66
(x< 0) 0 I 2 .,
Y I -0.66 -0.6 -0.57
(x>0)
-3-2-10
%
t
-1
il) Determinar el Recorrido de: Y = 2
l-x2
Para determinar el recorrido se debe resolver
Dominio
Y(l -x1:2
Y-YX2 -2:0
-YX2+Y_ 2:O
YXz-Y +2:o
YXz:Y -2
. Y-?
X respecto a Y, para luego aplicar las mismas reglas del
Y= X
X2 +l
12) Determinar el Recorrido de:
Y(X'?+ l): X
YX2+Y X:0
Yx?-X+y:0
En consecuencia:
Y*2
-->0
Y
*co02a
Luego: Rec(f) = l-*, 0[ u [2, m[
Y : 0 .es una asíntota horizontal
ElDom(f)=n-J-r, rl
De donde X: -l y X: I son
asíntotas verticales
En consecuencia
r) [r-4y2>o
rI¡l v+ o
I) (1-2YXt +2Y)>0
Y-2
Y
I
2
@
94

Luego Rec(f) :
[-i, i]- t o], y : 0 es una asíntota horizontal; el Dom(f) : R
li) Determinar el Recorrido de:
Y(X + l): X2
YX+Y-X2 :0
-x2 +Yx +Y: o
xz-YX -y : o
r--:-
y+{yr +4y
2
-,2
Y=^
X+l
En consecuencia
Y2+4Y >0
Y(Y+4)>0
-co-4 0 m
Luego Rec(f) : ]-*, -41 u [0, co[, Dom(f) : R- {-1}; X : -l es una asíntotavertical
tlr Determinarel Recorrido 0",, =fr
r'.,&t+r : r
v:1xr + 1;: 1
Y:X2+Y2=1
':Xr = 1-Y2
I -Yl
- -_
Y-
En consecuencia
r) f t-Y'?>o
il)1 Y+ o
I) l-Y2>0
(1-YXr +Y)>0
1 6
r.
t Jl-Y'
Y
95

Luego Rec(f) = t-1, ll - {0}, y: 0 es asíntota horizontal; Dom(fl = ¡
l5) Determinar el Recorrido de:
Y(x- l):X+ I
!.x-Y:X+ 1
YX-Y-X_ t:0
YX*X:Y+ I
X(Y-l):y+1
x =I11
y-l
X+l
I ==--
x-l
En consecuencia Rec(l) - R - { l}
Dom(fl: R-{t}
4.4 FUNCIÓN BIYECTIVA
4.4.1 Definición.- Sea f una función
siguientes:
de A en B, f se dice biyectiva si cumple con las dos propiedades
a) Si fes inyectiva
b) Si fes sotreyectiva
4.1.2 Función Inyectiva._ Sea f una función ,
erementos: i,, x,, A; (X,): r6,j,l;;,f"il!1i:T," tñ[::"j:,i;,[ili"", sí para
f
todo par de
También podemos decir que una función es inyectiva, si a elementos
diferentes de B. Es decir: V X¡, Xz e A; X, *ir] qr,l + (Xr)
Inyectiva
Gráficamente se puede distinguir cuando una función es inyectiva, si se
cortar la gráfica en un sólo punto.
96
diferentes de
a --tt
A corresponden imágenes
B
No es Inyectiva
trazan paralelas al eje de las X, estas deben
A-j-B

F.iemplos:
f es Inyectiva
(x): I - 3x
Por definición:
(x,) : f(xr -+ X1 : X2
1-3Xr: l-3X2
-3Xr =-3X2 -+ Xr:Xz
Todos los elementos de B son
fes sobrey'ectiva
f(A)=B
h no es inyectiva
c(X): X2 - I
Por definición
g(Xr) : g(Xz) -+ Xr = Xz
(x, )' -l : (xz)' -1
(*,)' : (x,)2
l,,l = l.,l
(x,:-xr)v(x¡ : x2)
no hay solución única
A-)B
1-
3-
5-
:u
>e
>i
También se dice que f es sobreyectiva, si no existe en B elementos que no sean imágenes de algún elemento de A.
A
f es Inyectiva
l.{.3
lu:lci.ón
Sobreyectiva._ Una función es sobreyectiva
X de A, tal que (X): y..
g no es inyectiva
o sobre si, "todo y e B es la imagen de al ¡nenos un
No todos los elementos de B son imágenes de A
g no es sobreyectiva
f(A) E e
i:s¡L'ra Superior
imágenes de A
97

Otra manera de indicar una función sobreyectiva es: f : A
al conjunto de llegada).
A
-> B cuando Rec(| = g : f(A). (Recorrido de f es igual
Rec.(f): B
f es sobreyectiva
A ht B
h es sobreyectiva i no es sobreyectiva
yaquebyceBno
son imágenes de A
una función es sobreyectiva, si altrazar paralelas al eje X; estas deben cortar Ia
A ------> B
g no es sobreyectiva
puestoque aeBno
es imagen de ningún
elemento de A
Gráficamente se puede distinguir si
grafica al menos en un punto.
No es sobreyectiva Es sobreyectiva No es sobreyectiva
Ejemplos:
a)
b)
f: R--+ R
X -+Y-2X+3
Verificamos que (X): Y
cómof(X) :Y : 2X+3 -+ X - Y-3
.
2
f(x)-r(Y:3;-21Y-l¡*3
22
(X): Y por tanto f es sobreyectiva.
g:R-+R-u{0}
X+Y:X2
Ya que (X): Y: X2 -+ X: + J?
(x):r(r J7t= rG): r(-Jv) v r(x):rtJIl
/ _i
> r(x): (- J?f = y v rrxr= (Jl|: v
98
portanto g es sobreyectiva.

Gráficamente una función es biyectiv4 cuando cualquier paralela al eje de las x esta corta la grafica en un sólo punto.
En los si*suientes diagramas ilustramos funciones biyectivas
a
b
c
-'l
>9
- ll
Biyectiva
AB
FHI
Liltil
No es biyectiva
Ejemplos:
i. Sea i R* u {0} + 10, 1l una función definida por f(X): -'i probar que es biyectiva
x'+l -
Biyectiva
Lo mris práctico es graficar la función
Si trazamos una paralela al eje de las X, esta corta la gráfica en un sólo punto.
La función es biyectiva.
Sea f: R -+ R probar si es biyectiva
X -+ (x): X2 - 4x
Graficamos Ia función.
f no es inyectiva: por tanto la función no
es biyectiva. Pero podemos convertirla
en biyectiva si se restringe el dominio.
Consideramos:
f,:l--,21-+[-4, oo I y
X-+x2-4x
f2:12, a [-+ [-4, co I
X +x2-4x
De esta manera hemos obtenido dos funciones biyectivas.
0
-1
-1,
a
-4
fi(X):*-+x
0
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
-3,5
-4
-4,5
f, (x): x2 - 4x
.{lgebra Superior
99

Escriba las funciones biyectivas que encuentre en la siguiente relación.
h:[-2,2] -+L-2,21
x-, JF-',)
En esta relación encontramos 4
h1: [0, 2] -+ 10,21
x -+ +rfi-¡J
h3: [-2, 0] --; [-2,01
x-, -JF:F)
funciones biyectivas.
h2: l-2,01-+ 10,2)
X -++ JF:y,)
ha:[0,2) -+ [-2,0]
x + -JF-r)
4.
Cualquier paralela al eje X corta la gráfica en un sólo punto.
Analice las funciones biyectivas que encuentre en:
g:[-2,2] --» t-:. -1 I
5
X --+ f(X)= -j-
x'tl
r00

tt
F
rt
rt
b
b
Lt
f'
at
1
q
q
4
4
á
4
4
4
a
It
¡
D
,r
¡t
E,
¡}
e
a
D
b
D
E
I
I
!
-
4
1
;
,
1
4
1
;
1
1
a
Et: l-2,01 -+ t-:, - J
I
X -+ f(X) = -:-
x'fl
0
-1
-2
directa (f).
f:A-+B
s:10,2) - t-r, -ll
1
^--)- x2+1
4.s. ruNcróN TNvERSA
4.5.1 Definición.- Sea f : A -; B unafunción biyectiv4 es decirque v y eB, f X eA, tal que
Y: f(X); locualpermitedefinirunanuevafunción g de B-+A,delasiguieniemanera: Vye B,
c(Y):X e Y=(x).
Teorema.- si f esunabiyeccióndeAenBy g lafuncióndeB enA definidapor:
c: {(Y, x),r.:(x),xeA}.
Entonces g define una función inversa de f. Se nota f -r
, es decir que g: f -r.
observación'- La notación t ' *
i
. designa una función cuyo conjunto de salida es el conjunto de llegada de la
x + Y: (X) Y+ f
-r(Y):
X
Si la correspondencia inversa a la dada también es función, entonces se cumple que:
r'[flx)]--t[fr(x)]-x.
En un mismo sistema de coordenadas cartesianas rectangulares las curvas Y : (X) y y : f -r1X)
son simétricas
respecto a la bisectriz que pasa por el primero y tercer cuadrante y: X.
Aclaración de:
r'If(x)]:f tr1(x)l:x
Ejemplo:
Si y : 3x + 4 directa y y: *;4
inversa
Entonces:
/ . +)
f -r
13x+4): rl l::l
3)
I x-a
3t _ t+4: x
[3)
f-r:B+A
Y=f(X)
Y=f-1 (x>
Aclaración de:
f'' [(x)]-f tf 1(x)l:x
Ejemplo:
Si a* directa y
y: logu x inversa
Entonces:
f.
-' (a^) f ( log" x) -
ulogux:"
(f) despejar X y resolver respecto de y, o
Para determinar la inversa de una función es necesario de la directa
intercambiando variables para nuevamente despejar y.
Ejemplos:
I. Y:2X-3
DespejamosX,2X:Y+3
¡: Y+3
2
Álgebra Superior
l0l

¡-rg;:I11
Si intercambiamos variables.
X : 2Y * 3 para nuevamente despejary
x+3
I --
2
f(x): x u3
2
Portantoy=2X-3 directa , f-l(y)= xll inversa
2
En general si, Y : aX + b directa. La inversa se determina al considerar:
nuevamenteY, entonces Y: X-b es lainversa
a
Gráfica
Y=2X-3
X : aY + b. Despejamos
Gráfica
J.
f: [0, 2] + [0,4]
X + Y:X2
Determinamos la inversa de:
Y: X2
X:Y2
Jv2:Jx
lvl= Jr
Y=rJx
En consecuencia f-l: [0, a] -+ [0, 2]
Y -+ r-t(y) = Jx
f: R-+R
X -+Y :X3 -2
Determinamos la inversa de:
Y :X3 -2
X :Y3-2
Y3:X+2
Y: vi;t
Por tanto: f -l:
R -+ R
Y+f-'(Y):t8.2
f(x): x3 - 2
4.
f-'(x):'"'Ei
Halla¡ las funciones inversas de f: R -+ R
X-+y:x'-4x+3
Graficamos (X) , para lo cual es necesario los siguientes pasos:
a) Determinar los interceptos con el eje X (I.)
b) Determinar los interceptos con el eje y (I,)
c) Determinar las coordenadas del vértice
X 1
0 I 2
Y l0 -J a
6
X -10 -3 n
I 6
Y l
1 0 I 2
ta2

Solución:
a) Ix-- Interceptos X, y: 0,
X'-4x+3:o
(x-3xx-l):0
X-3:0 v X-l=0
X:3 v X:l
: (2, -1)
ly.-InterceptosY X:0, y:3
,t :(
*'É#g-') tco-a"nadas del vérrice)
( c -ts+tz
=l-;'
' 1
b)
c)
Así tenemos:
fi: I - *,21-+ [-1, co I
X -+ Y :X2-4X+3
y f2:f2, * [+[-t, * [
Si Y: X2 - 4X + 3 directa, entonces la inversa es:
X:Y'z - 4Y + 3; para poder despeja. y-"o-pt"turno.
"l
cuadrado.
Puesto que: fr V ü son biyectivas, en
rnversa.
Determinamos las inversas
ü-': [-1, o [ -+ [2, co I
X + Y: X2-4x+3
consecuencia tienen
X:Y2-2.(4t2)y+4+3-4
X = (Y2 - 2.14t2)y + 4) -l
x=(Y -2)2 -1
X+1:U-42
(Y-2)2:x+l
lv-zl
Y-2
Y = 2tJET1) entonces lás inversas son:
Yr+fr'(y):z+ rtfi+[
fz'':z+ JEl,
=Jkl,
=rrt[;r)
fr': [-1, .o[ + ]- *,2)
Yr+fr-'(y):2- rtfi;l)
Para graficar necesitamos algunos pares ordenados.
fi':2- {il,
Gnífica
Cómo esta función no es biyectiva debemos restringir el
dominio para obtener dos funciones que separadamente
cumplan las condiciones de función inversi.
X I 0 2 ., 4
Y z 0.6 0.3 0 .0.23
x I 0 I 2 J 4
Y 2 J 3-4 5-t 4 4.2
Algebra Superior
103

4.6 FUNCIÓN CONSTANTE
La función X-l.)f o f fi): K se llama función constante. Donde K es una constante arbitraria, todo elemento X
de R se aplica sobre un mismo número K.
Se podría definir de otra manera
f;A+R
X-+f(x):K
1)otz/e-4 c4 l1¿-,?
En la notacíón se ve que Dom(Q : A , Rec(f) : {K}.
Ejemplos:
1) f:l-4,4-+2 2) SeaA=[-1,5] y f(x):-2,V Xe[-1,5]
AY
AX
3)
t
;
;
t
;
e
q
a
e
a
a
,
t
q
t
?
e
t
I
e
t
I
a
t
,
)
,
a,
;
;
e
q
4'
1'
a
;
a
n
x -+ f(x):2
f: [0,3'l -+ 0
X -+ f(x):0
4.7 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
a) Una función real f, es creciente en un subconjunto A de R, si para todo X¡, X2 e A, Xt < X2 implica que
(X,) < f(Xr).
También se define una función creciente a través de sus incrementos, cómo se ilustra en la figura.
M1 es un punto frjo, M2 es un punto móvil, sus coordenadas son M1 (Xr, Yr), Mz (Xz, y2) respectivamente.
Y=f(X)
AX - X2 - X¡ incremento X
AY: Y2 - Y1 incremento Y
La función es creciente porque sus incrementos tienen signos
iguales, entonces la
tgü:
tgo>0, sio'<nlZ
A.lgebra Superior 105

b) Una función es decreciente, si para
incrementos tienen signos opuestos.
todo X,, )iu e A, Xr < Xz implica que f(X1) > (Xr) o cuando sus
Ejemplos:
1) Sean (X): -3X + 1,
AY
tgc¿:-
"^x
tg cr < 0, si a> nl2
cü):3x - 1,
Y=f(X)
h(x):3
f Decreciente g Creciente h Creciente
NOTA.- La función constante es creciente
4.8 FUNCIONES PARES E IMPARES
una función cuya gnífica es simétrica con respecto al origen de coordenadas se denomina función impar, es decir
(-x) = -(x)
€(-X)=-
Ejemplo:
(x): x'
"
f(-x): cxf : -x,
106

Una función cuya gráfica es simétrica con respecto al eje vertical se denomina función par.
Es decir fCX): (X)
Ejemplo:
(x):x'
(-x): cxF: x',
Nota.- la función constante es
f(-X)=f(X)
par
I x s¡xro
{ix)-lxl-i 0 siX:0
L -x .ix.o
4.9 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Definición.- La función de R en R definida por (x): lX I se denomina función valor absoluto.
Dom(f) :RyRec(f -R*u {0}, yaque Ix I > o
Es par f(-X) : l-x I
: lx I
Gráfica
I X, siparaX>0
o (X):lxl:l
L-X. s¡paraX<0
Ejemplos:
Graficar las siguientes funciones:
a) fix)- | ? x* ll
-)
b) f(x):-¡xu ] ¡ +z
, 2,
c) f(x):2lx+rl- lx+:l
Álgebra Superior
+ lz-xl
t07

d)
e)
(x):.1,^-xl: lz-xl- l:-xl- l+-xl
(x): Ix'+xl -z
Solución:
a) f(x):l?x+11
b) (x):- 1x+ )l +z
I lX+1, si X>-3 :0,
l¡ ;
t-
t,
l-zx-l,si X<-3
[.t ,
{
2X+1, si 2X+1>0
33
0, si zX+1:0
3
-2X- l,si 2 X+l<0
33
x+ 1 >g
2
X+: -0
2
X+: <0
2
x>--
2
x:- 3
2
x.-3
2
r(x):-lx *; ,-r-l
¿t
I
t
-(X+ : )+2
2
')
X+: +2
2
- l" i
.*''
l.. i.,
x>-:
2
X:_:
2
x<-'
2
: l-3, -11
:-2(X+l)-X-3+2-X
= -2X-2-X-3 +2-X
:-4X-3
-x+ 1 .
2
2
x+7
2
c)
Ixl:rlx+rl - lx+:l + lz-xl
Para graficar este tipo de funciones eliminamos los valores absolutos a través de una tabla.
-ó -3 -1
Resolvemos la función en cada región.
Rr : l- *, -31
(X) :-2(X+ l)+X+ 3+2-X
:-2X-2+X+3+2-X
: -2X+ 3
R2
f(x)
108

R,
(x)
: l-r,2)
:2(X+l)-x-3+2_X
:2X+2-X-3+Z*X
:1
Gráfica
& =]2,-[
f(x) :2(X+ t)-x- 3-2+x
:2X+2-X-3 -2+X
=2X-3
::I I
-s -rlo a
d)
l1r:-l r -xl - lz-xl - l: -xl - l+-xl
Eliminamos los valores absolutos por medio de la tabla.
-6 l234co
Resolvemos la función en cada región.
Rr :]- -,1]
(X) :-l +X -2+X-3+X -4+X
:4X _ l0
& :12,3)
(x) :l-x+2-X-3+X_4+X
:.4
R5 :la,aÍ
(x) :l-x+2-x+3_X+4_X
:-4X+ t0
Gráfica
& :lt,2l
(X) :l-X-2+X-3+X_4+X
:2X_8
& -13,41
f(x) =t-x+2_X+3_X _4+X
: -2X+2
e) (x): lX'+xl -z
Hay que resolver la inecuación X2 + X > 0
x2+x>0 <> x(x+l)>o
Desde l- co, -ll y [0. co[
(x) : x'+x-z
f(-3) : (4), + G3) -2 = 4
f(-2) : (-4, +(2)-2:0
(-1) : (-l)'?+ (-l) -2: -2
Para graficar f vamos a aplicar la definición de furrción valor absoluto
f X2'X-2. X2+X>0
(x) =l
L-x'-x -2, x2+x<o
-ó-1 O o
-{lgebra Superior
109

(0) : -2
(l) :1+l-2:0
(2) : 4+2-2:4
En el intervalo l-1, 0[,
(x) : -x2 -x-2
(-1): -2
f(-1/2): -(U4) + (U2) - 2: -(7/4): _1,7s
f(0) : -2
Gráfica
4.9.1 Construcción de Gráficas de las Funciones que contienen valor Absoluto
Existen 3 casos:
1)Y
2") Y
3) lvl:
Y=f(lxl)
Y=f(X)
Ejemplos:
Graficar las siguientes funciones: Y : Jt¡,":á,Y :l xl +r,y : y2 -t1x1+z .
(lxl)
lml
(x)
PrimerCaso.- Para construir la gráfica de Y: flxl es suficiente analizar la función y: f(X), las partes de la
curva que se encuentran a la derecha del eje vertical, es decir para X > 0 permanecen inalterables,
mientras que, para X < 0 se trasladan al lado contrario
"n
io..a siméirica con relación al ejé
vertical, por cuanto y = fl X I es par.
Paragraficar Y :X2- : lXl + Z
Interceptos Ix, Y:0
x2-3x+2 =o
(x-2)(x-l)=0
X:2 v X=l
110
, es suficiente que analicemos
Iv,X=o
Y:X2 -3x+2.
b -h2 + 4ac
c.v.:(__. " ).
2a 4a
3 -9+8
: (_.-.-.) .
24
: iJ.5, - 0.25j
Y:2

Y:X2-:lxl+z
segundo caso'- Para construir la gráfica de Y : l(X) | , es suficiente analizar y: (x) sin ninguna restricción.
Las partes de la curva donde_y > 0 permanecen inarterables;
p..r9 l.ar partes de la gráfica donde y< 0 se invierten
slmetncamente respecto al eje de las X. Es decir toda la
gráfica se encuentra sobre el eje de las X
Y: l(x)l
Ejemplos:
Graficar:
Y:lx3-11, v:lx-rl, y:lx,_6x+sl
-
-
a,
,)
a,
a,
2
1'
,
1'
,
a
a
e
a
Algebra Superior
lll

Tercer Caso.- Para construir la grírfica de lV |
: (X), es suficiente analizarY: (X). Las partes de la curva en la
que f(X) > 0 se invierten simétricamente respecto al eje de las X , pero las partes de la gráfica
donde (X) < 0 se eliminan.
Se observa que lV I
: «Xl tiene doble signo es decir Y = * (X) es una relación
lvl:«xt
Ejemplos:
Graficar:
Ejemplos:
a) lvl: I
lvl : x+4,
I Yl =
-!-,
x'+ l
lvl:xr+t.
lYl:x2-5x+4
lvl:
lYl:x2+2,
lv l- '
l¡l-,,
I
x
lYl=x2-sx*r
a graficar en caden4 es decir primero
I « lxl) L v u este resultado se le aptica et
Si en una tunción se tiene I v l: | ( lx ll I . Se procede
Y : ( | X I ), a este resultado se le aplica el segundo caso y :
rertercaso lvl : l«lx ll I
X2
X]
-l
X2
(+
-slxl+ol
b)
c)
d)
112
lr - !r
y= --=1-
lx-
lvl: lx *lxl-ol
zl l:-xl
Y :(x

:olución:
ar lvl: lx'-slxl+al
Graficamos primero Y: X2 -
lx, Y :0 (interceptos x)
x2-5x+6 :o
(x - 3) (x -2)= 0
X:3 v X:2
s lx I + 6, pwalo cual es necesario analizary: X2 - 5x + 6
Iy, X:O(interceptos y) coordenadas del vértice
Y:6 c.r.:{-!,-* J.1N ¡
: (2.s, - 0.2s )
Y:x2-slxl+a
A este resultado le aplicamos el segundo caso
Y: lx'-slxl+ol
Finalmente a este resultado le aplicamos el tercer caso.
{lgebra Superior
lvl- lx'-slxl+ol
l13

b)
l: - lxll
y: l=__1,_ll
llxl-rl
En este ejemplo hay dos casos, se resuelve en cadena.
Eliminamos los valores que reducen a cero al denominador.
3-lxl
Y =
--l--l
lxl-r
lxl-r*o
sr lxl:r
lxl+r
<+ lxl*t
<+ X:-l v X:1
<+ X+-l n X+1
=3 +Y
:3 +Y
Las rectas verticales X : -l y X: 1, se llaman
asíntotas verticales.
Para obtener las asíntotas horizontales
resolvemos para X
Y : l: ' j (En base al primer caso)
x-1
Y(x-1) :3-X
xY-Y :3-X
XY-Y-3+X:0
XY+X
x(Y+ 1)
3+Y
x:-- Y+l
La recta horizontal Y : - I es una asíntota horizontal.
A este resultado le aplicamos el segundo caso.
-b2 +4ac
Y:X2+ lxl-o
lvl : lx'" lxl -o I
4a
: (- 0.5; - 6.2s)
c) lvl: lx'+lxl-ol
Graficamos primero:
Y:X2+ lxl-o -+
Ix, Y:0
x2+x-6:o
(x+3)(x-2):0
X: -3 o X:2
Y:x2+X* 6
IY, X :0
Y: -6
CV. :4.
2a
l14
Y: lx'+ lxl-o I

ri I
,]
/
f=
V
d) Y:(x*z) l:-xl
Por definición
Y:(x+2) lr* I :{
{
(x+2x3-X)
0
-(x+2x3-x)
-x2+x+6
0
x'- x -6
3-X>0
3-X:0
3-X<0
x<3
x:3
x>3
4.10 FUNCIóN srcNo x
Esta función esta definida y notada por:
Y: Siglt(x)
si X<0
si X:0
siX>0
{.11 FUNCIÓN CARACTERÍSNCI O INDICATRIZ
Si A es rm subcoqjunto no vacío de R, la función f de R en R definida por:
{i
Ir,sixea
(x)-{ ó
Lo..i x e e
Se llama función característica de A
Ejemplos:
[.t,six.a
f(x):l
Lo..ixeR-A
r) Sea A: [-2, 2]
f-t, sixee
f(x) =-{
[0. 'ix*n
{leebra Superior 115

2)
,sl
,si
,si
fx'
rtxt: i o
| -x'- +x -:
3) l*'
(x): i
l-lxl *o'
4) (-:-,
I X'+l
(x): i
I-lxl *:,
(.
X e [0,oo]
X e [-3,0]
X e ]-co, -3]
si X e [-2,2]
siX e [-2,2f
siX e [-3,3]
siX e l-co, -3[u]3,co[
siX e [-3,3]
si X e l-4, -31 u [3, a[
siX e l-7, -alw[a,7[
siX e l-9, -7)v17,9[
si X e l-co, -91 u [9, "o[
s) -lx I *:
0
-lxl*+
-3
-lxl*o
(x):
-6
116 Relaciones y Funciones

J.I] FT}CION PARTE ENTERA DE X
Si = Rel enteron,talque n<X<n*l sedenominaelmayorenteromenoroigualqueX,ysedenotacon[X],
{¿e :e lee pa¡te entera de X, se tiene ademas que [X] . X . [X] * 1.
E¡tonces 1a función f de R en R defrnida por f(x) : [x], se llama fi¡nción parte entera de X.
Esa función es creciente y no es biyectiva. Para graficar cualquier función parte entera de X asignamos valores a la
¡¿nción para obtener los valores de las abscisas.
txl: 0 <3 0<X< 1
txl:lé1<x<2
ixl:2 <> 2<X< 3
txl:3 €) 3<X< 4
txl:-1 <+-l<X< 0
lx):-2c)-2<x<-1
txl:-3 <>-3<x<-2
Ejemplos:
a) (x): tx - 4l c)
0
b)
e)
(x): x + [x]
lxl
f(x):ii
f(x): txl - x
(,.)=ffi
d) f(x): x [x]
c) 1(x): lx I xl
Solución:
a) (x): tx - 4l
[x-4]:0 <+
[x-4]:1 <+
[x-a]:2 <+
[x - 4]:3 <>
[x-4]:4 <+
[x-4]=s <>
[-a]=-1 <+
fx-41:-2 e
[x-4]:-3 <>
[x - 4]: -4 <>
0<x-4<l
4<X<5
1<X- 4 <2
5 <X<6
2<X- 4 <3
6<X<7
3<X-4<4
7<X<g
4<X-4<5
8<X<g
5<X-4<6
9<X<10
-1 <X-4<0
3<X<4
-2<X-4<-1
2<X<3
-3<X-4<-2
1 <X<2
-4<X-4<-3
0<x<l
b) f(x): x + [xl
[X]:0 <3 0<X<1,
[X]: I <> l<X<2,
lxl:2 c> 2<X<3,
[X]:3 <+ 3<X<4,
[x]- 4 <> 4<X<5,
(x):x, (l,l)
(x):x+1, (2,3)
(x): x + 2, (3, 5)
f(x):x+3, (4,7)
(x): x + 4, (5, e)
117
Y
H
H
H
1234X
-1
-t
H
H
J
4
3
a
1
H
tl-..-O
H
tH
H
t234567A910
._o
H
H
Álgebra Superior

txl:-l <+-l<X<0,
txl:-2 o-2<X<-1,
[X]: -3 €) -3 < X<-2,
txl:-4 <+-4<x<-3,
(x):x- l,
f(x):x - 2,
f(x)=x-3,
f(x): x - 4,
( 0, -1)
cl, -3)
(-2, -5)
(-3, -7)
Los valores que hemos asignado a cada función es el extremo derecho de su respectivo intervalo.
c) f(x): [x] -x
txl :0 €) 0 < x < 1, f(x): -X
lxl:l c>l<X<2, f(X):l-X
lxl:2 c>2<X<3, (X):2-3
txl:3 <)3<x<4, f(X):3-x
lxl:4 <>4<X<5, f(X):4-X
lxl:-l €)-l <X<0, (X)--l -X
lxl: -2 c) -2< X < -1, (X): -2 - X
lxl : -3 <>-3 <x< -2, f(x) : -3 - x
[x]: -4 <> -4 < X < -3, (X): -4 - X
NOTA.- En esta tabla hemos asignado a X el extremo derecho de su respéctivo intervalo.
-6 -5 -4 -3 -? -1 12345
d) f(x):xlxl
[X]:0 <)0<X<1,
txl.: I <:) I <X <2,
IXI:2 c)2<X<3,
[x]:3 <>3<X<4,
[X]:4 <+4<X<5,
El--1 <>-1<X<0,
[x]: -2 <> -2< x < -1,
lxl:-3 <>-3<x<-2,
[x]:-4 (]-4<x<-3,
(x): 0
f(x): x
(x):2x
(x):3x
(X):4X
(x): -x
(x):-2x
(x): -3x
(x): -4x
0
2
6
12
20
0
2
6
12
I
2
3
4
5
0
-1
a
-3
d
./
v
J
7
J
6
5
4
3
¿
I
12345
v
a'
I
/

lxl
e) f(x) =
Ig"
.X
t-
I lxl'
ry):]
lx
Im'
-- x v-
"-Itl'^'
[X]:0 <+ 0 <
txl:l €)l<
lxl=2 a2<
IXI:3 <+ 3 <
txl:4 €4<
siX>0
siX<0
-., :{
l,
0
x.< l,
x<2,
x<3,
x<4,
x<5,
V,: X
'0
Yr: X
Y,: I2
Y,: X
J
x
I¡-
-4
No esta
2
-)
4
5
definido
2
J
,
4
;J
t
4
Yr=."".X<0
- txl.
txl:-l <)-l<X<0, yz:X
lxl:-2 <>-2<X<-1, Yr: I
'2
txl:-3 <>-3<X.-2, Yr:L
-3
txl:-4 c)-4<X<-3, yr: I
-4
txl:-5 c>-5<X.-4, yr: {il
f(x) :
(x) :
0
-1
1
-3
-4
Y2
0
_1
2
2
_;
J
J
-¡
_!
5
E]
lxl
llxl
JX,
I t*l
[-
si X >0
, Xe,
{
-1
leebra Superior
, siX<0
il9

r
Y,= Irl, si X > o
lxl:0 <+0<X<1,
[X]:1 <]1<X<2,
[X]:2 e2<X<3,
txl:3 <+3<X<4,
[X]:4 <+4<X<5,
[x]:5 <+5<X<6,
Y,:4, siX<o
[X]:-l <+-l<X<0, Yz:
lxl=-2 e-2<X<-1, Yr=
tXI: -3 €> -3 < X<-2, Yr:
[X]:-4 <]-4<X<-3, Y2:
[X]:-5 <]-5<X<-4, Yr:
Yr= 0
Y,: f
X
Y,: 2
,x
Y,: 3
,x
4
Y,:
Í
5
Yr= -
x
I
x
2
X
J
x
4
X
5
X
c) (x): lx lrxt
xtxl, x > 0
-XH], X<O
l, x>0
<+0<X<1, Yr:0
<f l<X<2, Yr: X
<+2<X<3, Yt:2X
<)3<X<4, Y1 -3X
<>4<X<5, Y¡:4X
(x)
Yr:
txl =
lxl =
txl:
txl:
txt:
Yr:-XlXl, X<0
[X]:-1 <;-l<X<0, Yz: X
lxl:-2 <)-2<X<-1, Y2:2X
txl: -3 <r -3 < X<-2, Yz:3X
[X]:-4 <]-4<X<-3, Y2:4X
[X]:-5 <+-5 <X<-4, Y2:5X
11
4
/
.f
a
{
XE
0
I
2
.,
4
I
2
J
4
5
0
2
6
12
20
Yz
0
..>
-6
-12
-20
0
-l
a
-3
-4
0
1
,
?
J
J
1
4
=
)
¡
6
J
-a
_!
J
-:4

obsen'ación.- Las tablas que coresponden a las funciones: d, e, f y g pertenecen al extremo derecho de
cada intervalo.
.I.13 OPERACIONES CON F'UNCIONES
Sean f ¡' g funciones reales de A en R.
1.13.1 suma de Funciones.- se llama suma de f con g a la función de A en R definida por:
tf- sxx) : f(x) + g(X). V x e A.
Eldominiode f+g o de f-g, eselconjuntodetodosloselementosXquesoncomunesalosdominiosdefyg;
es decir:
Dom(f+ g): Dom(f) n Dom(g) o Dom(f - g): Dom(f) n Dom(g).
Ejemplos:
1) f:R-{-l}-+R y g:R-{2}+R
I
x-+
X+l
x-+ I
x-2
La suma de f con g esta definida por:
(f+g)(x):(x) + e(X)
ll
X+l X-2
X-2+X +l
g: R-+ R
x- lxl
:-x+ lxl
siX20
, siX<0
r) f:R -+ R
X-+ -X
(f + gxx):
(f + g)(x):
f: [-3,3] -+
X -->
-tr;,)EA
f(x) + g(x)
f(-3) + g(-3)
f(-2) + g(-2)
f(-1) + g(-l)
f(-1Q + 91-1lr;
v
(x) + g(x)
[-x*x,
)
L
-* *,-*,
Io'
L-r.,
Ry
tJx
siX>0
siX<0
-rl g: [-3,3] + R
X+-X2
:l/x -x'
- V-: -C:l' : -r0,4
- 'Ji -tzt' - -s,2
- 3/-¡ -1-t)': - -2
: rE-f-1)' --,
z z)
2X-l
i,:e'lra Superior
121

(f+g)(O)
(f+eXlá)
(f+eXl)
(f+gXz)
(f+eX3)
= 0,5
:0
- a1
= -7,s
Graficar: Y: sign (¡ + ZD + lX I
Aplicando Ia definición de sign X se tiene:
l-r* ¡¡¡'
Y:signt:+zx)+lxl :1 o*lxl,
Lr*¡1¡
0
iE (r',
vl - (lr
'Ji -e),
'Ji -e)'
4)
l,*
:1 0+
I
Il+
lxl ,
lxl ,
lxl ,
3+2X <0
3+2¡:9
3+2X >0
x<-:
2
X: -:
2
x>-'
2
4.13.2 Producto de F unciones.- Se llama producto de f con g, a la función de A en R def¡rida por:
(f .s)(X):(X).g(x)paracadaX e A.
En el producto se multiplican los valores de las funciones. Dom(f.g): Dom(f) n Dom(g).
Ejemplos:
1) f: [-2,2] -+ R y
x-+X2- 1
El producto (f.gXx) : (x) .efi)
: (x'- lxx + 1)
: X3+x2-x-l
'-r
-2-
-3-
-4-
t2 x
g: [-2, 2] -+ R
X-+X+ I
x Y
1 -J
0
-0.5 -0.375
0 I
0.5 1.125
0
2 9

lr Sean las funciones:
f: [-a, a] -+ R y g: l-4,4)-+
X+-X X -->
(f.eXX)
x(x+ l), x>0
x<0
(f.e)C+)
(r.e)C3)
(r.e)C2)
(r-e)Cl)
(f.eXo)
(f.eXl)
(f.eX2)
(f.eX3)
(r.gX4)
R
*
64
27
8
I
0
-l
-8
-)1
-64
3) Sea f(x): lx I y e(X): (x + l)
El producto es: (f.g)(X) = (X) .g(X)
(f.eXx): lX | (X + 1)
(r.rXD:{
-x(x+ l),
4) Sean las funciones:
f: R-+R g:R+R
X -+ l*X X-+ sign X
El producto es: (f.g) X : f(X) . g(X)
(f.e) G): (1 -X) sign X
(r -x) G1), X < 0
(l -x) (0) , x:0
(l-x)(1), x>0
x-1,x<0
0 ,x:0
l-x, x<0
4.13.3 División de Funciones.- Sean f, g funciones reales definidas sobre A.
Sedenne ratunción
i *. (i),")=H, vx e A, g(X)+ 0.
Ejemplos:
l) Seanf:R-+R, g:R--> R
X+X2 X-+-X3
x2 l
-x' x
*-[:)=R-{o}
{
{
Elcociente ll)r*l=Úl
( e.J*
-' c(x)
Algebra Superior
t23

2) Seaf:R-+R g:R+R
X-+-4X X-+>3++
pt cocientell) ,*l: t(*)
= - 4x
e/,. c(x) 4+X2
,o-ll): *
(e
'/
3) Seaf:R-+R, g:R-+R
X-+2 X-+4-X2
Ercocienre l!.],*,- lgl = -]-
(.eJ' ' e(x) 4-x2
,"*ftj : R- {-2,2}
l.l
b./
4.14 nuNcróN coMpuESTA
Sean los conjuntos A, B, C, y las funciones:
Silogismo, razonamiento deductivo que consta
de tres proposiciones la última de las cuales se
deduce de las otras dos
La función h definida por h(X): g[(x)], se denomina función compuesta de g con f , h: g o f
o(Y)=o [r<x>l
LJ
Enel diagramaobservamos que lafunciónf trasformaalpuntoX e A en f(X):y e B,ylafuncióng trasformaal
puntof(X) e B eng[(X)] e C.EsdecirqueX e Asetransformaeng[f(x)] e C,atravésdelafunción h, en laque
intervienen f y g .h se denomina función compuesta.
De la definición de función compuesta tenemos que (g o 0ü): glry» V X e A
Para definir h, se debe tener presente que el conjunto de llegada de f , tiene que ser el conjunto de salida de g.
Observación.- La composición de funciones no es conmutativa
gof+fog
f: A-+B
g:B-+C
h:A+C
Y= f(X)

:Y2 +3Y +2
t----------- ---
= l(x-r)'+:/(x -r)+z
sof :lx-rl+:rtfi-l+z
f(x) :'.'tr*t
etrü)l : e(v)
-l " )'
(v+tJ
/.-r3
I 'r/X+l I
IVx+r *rJ
^ X+l
aot
" f./x.r *rf
f(x) :3X2 + t
etr(x)l : e(Y)
: lv*zl
: l:x'+t+zl
gof : l:x'*:l
4) Dada la función compuesta g o f :3X + 2
Hallar (X)
Solución:
sof : et(x)I
cü) : Y2 -3
'Y2 -3 : 3x+2
Y2 3X+5
fog
v s(x)
{e(x)l
fog
Por definición
La función g con variable Y
Función compuesta
cq) :(*)'
rle(x)l : f(g)
= 1/c.t
c(X):)f +3X+2
Pordefinición f o g es:
rtg(x)l : (e)
: f,(F,-
: Jtr;';']
ros = Jtr.3x{
Fjemplos:
Determina¡gof y fog si:
1 r flx): J8-:¡-
Pordefinición g o fes:
ctrCx» : c(Y)
2)
)) : lx+zl
: (e)
:3s2 + I
=:Tx+ 2ll,+r
=: lx + 2lt'+ t
y g(X): X2 - 3.
fit+3x'+3X+l
(X+1)
y cG):i/x. Haturr(x)
§)
: +/pÍTs)
(x) : +f§l+s)
Dada la función compuesta g o f: J2x + 2.3x + I
Solución:
s o f ct(x»
cü) : vY
V? 32x +2.3x+l
Y (3'* + 2.3* + l)'
(X) : (3'*+2.3x+1)3
Dada Ia función compuesta g o f= aX2 + bX + c
g o f clf(x)l
lYl
cG) - 2lzl
!
221 - aX2+bX+c
6)
Por definición
La función g con variable Y
Función compuesta
Por definición
Función g con variable Y
Función compuesta
y c1x):rlll. r.,."oinar r(x)
Algebra Superior 125

EI
log2(aXz+bX+c)
2log2(aX2+bX+c)
+ 2 log r(aX2 + bX + c¡
+2logr(ú'+bX+c)
7)
lvl
Y
(x)
,rry
Dada Iafunción compuesta g o f: X2 - 2X + S y g(x) : X2 + 3X + l. Determinar f(X)
gof :Ct(X» Pordefinición
g(Y) : Y2 + 3Y + I Función g con variable Y
Y2 + 3Y + I : X2 - 2X + 5 Función compuesta
,z+3.( T¡* 9 +l- 9:*-2X+5, secompletael cuadradoeny
244
tY+( 1)1',- I : x2-2X+s
1n
[Y+(1)l' = x2-2x+5+ 5
24
tY+(:)l'
2
: x2 -2x+ 25
4
1".11
l2l
Y
Y
f (x)
X]
XO
2
t J4x' - 8x' + 25
J
)
-31,,,[;'-g¡a25
2
-3sJa¡'-s¡alJ
2
8) Determinar g(X), si se conoce que:
Solución:
gof:2X2 +3X+ 4 y (X):X- I
Sea g(X): AX2 + BX + 6 Esta función debe ser del mismo grado de g o f
sof:ctffi)l
g(Y)-2x2+3x+4
AY2 + BY+ C:2X2 + 3X +4 Es unafunción enY con coeficientes indeterminados, es decir es la
tunción g con variable Y. (Y: f(X): X-1).
A{X2-2X+l)+BX-B+C : 2X2+3x+4
AX2-2AX+A+BX-B+C : 2X2+3x+4
Ax2+(-2AX+BX)+A-B+C : 2X2+3x+4
AX2+(-2A+B)X+(A-B+C) : 2X2+3X+4
Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de X para formar un sistema de ecuaciones.
x'I A:2
_24+B :3 _+ B : 3+2A : 3+4 __
7
A-B+C:4 -+ C:4+B-A :4+7-2:9
e)
Entonces g(X) : AX'? + BX + C = 2X2 + 7X + g
Determinar g(X),siseconocequego f :ZX-3 y f(X):X
Solución:
c(X) : Ax+B
sof : clf(x»
s(Y) : 2x-3
AY+B : 2X-3 (función g convariable y)
AX+B: 2X-3 -+ A:2 y B:-3
por tanto g(X) : 2X - 3
-8X+25
-8X+25

r 1)
t2)
13)
t4)
Sí f(X- 1) :X -2 y (eof)(X + 2) : 2Ir2-X. Calcular g(X)
Solución;
Se necesita determinar f(X). Ya que (X - l) : X - 2 --> f(X) : (X + 1) _ 2 : X _ I
(go0(x +2):2X2 -X -+ (g"0(x):2(x_2)2_(x_2):2x2_9X+ ro
Ya se puede determinar g(X).
(g o 0(X) :2X2 - 9X + 19
c(f(x»=2x2-9X+¡g
C(X- l):2X2-9X+ 10 -+ s(X):2(X+ 1f -9(X+ l)+ l0 =2X2_5X+3
Sí f(X+ 1) : 3x + l, s(x) :2X-3. Haltar(fo g)(X+ l)
Solución:
Si f(X+ l):3X+ I + f(X) :3(X_ t) + 1 :3X_2
Luego se determina la función compuesta
(f o g)(x) : (g(x)) : f(e) : 3 e - 2 : 3(2x - 3) - 2 : 6x - I 1
Entonces (fo g)(X + l)= 61¡ + 1)- 11 =6X -5
Sí (f o g)(X - 1): X' -2X y C1y): X + 3. Determinar
Solución:
(f o g)(X - 1): X' -2X -+ (f o gXX): (X + 1), - 2(X +
(foeXX):X2-1
f(e(X))=x2-l
f(x+3):X2- 1 -+ f(X):(x-3f - t:X2-6X+9* 1:X2-6x+ 8
Sí f(2X+3):4X+l y C(X):X2+3. Determinar(fogXX) y (go0(X)
Solución:
f(2X+3):4x+ 1 + f(X):4= + I =2(x-3)+ 1 :2X-6+ 1 : zX- s
2
Luego
(f o g)(X) : fG) : 2e - 5 : 2(X2 + 3) - 5 : 2X2 + 6 - 5 : 2X2 + t
(g
" 0(X): Cü): Y2 + 3 : (2X_5)2 + 3 : 4x2 _ 20X+25 +3:4X2 - 20X+2g
Sí (go0(X):X+2 t f(X):X3+6X2+12X+8. Hallar g(X)
Solución:
(g
" 0ü) :X+2
s(f(X» =X+2
g(X+2)3:x+2 + c(x):*(Jx-z): Vx- 2+2:1lx
Comprobación
sí (x) : X3 + 6X2 + l2X+ 8 y g(x): ,Jx . Determinar: (go 0(X)
Solución: (go0(X):c(Y): 3JV : :X+2
{.I5 FUNCIÓN LINEAL
Una función polinomial real de primer grado se denomina función lineal.
fiX) : aX + b lraratodo X e & donde 4 b e Ry a+ 0.
si a - 0. (X) - rü + b es creciente
si a < 0, (X): aX + b es decreciente
Dom(f): R, Rec(f): R
Esta función tiene un único cero, o lo que es lo mismo la ecuación aX + b: 0 tiene una única solución, X :
^h
decir f ( - : ) : 0 es el punto de intersección con el eje X. Ademas cómo f(0) = b, es el punto de intersección con el
a
;ie Y en b.
Los puntos (-bla 0) y (0, b) son suficientes para trazar la línea recta de f.
(x)
1) : x' + 2x+ 1-zx_ 2:x2 - 1
_!. p,
a
(X+2)3
.lgebra Superior
127

La expresión Y = aX * b, se denomina una ecuación de la recta, donde a pendiente, y mide la inclinación de la recta
con respecto al eje X.
Ejemplos:
l) f(x): -3x + 4
siX=6, X:1
3
Y=4, y:0
2) f(x):2x + I
siX=O, X:-1
2
siY: I, y:0
3) (x):
x= 9
2
Y:O
x3
32
si X:0,
Y: -4"
2
4.16 FUNCIÓNCUADRÁTICA
una función polinomial real de segundo grado se denomina función cuadrática.
(x):{'+bx+ c, paratodoX e R. Dondea,b, c e Ry a+ 0. cómoa+0 sepuedecompletarel cuadraiJo
f(X):aX2+bX+c
: u[*'*l!')**9-1
L (a)' a)
:
^l(*,*?!r*-4)*e-
b' I
Ll 2a- 4a2) a a"')
:
"[l**a)'*
+ac-b2.1
-[t '' z"J 4a2 ]
= u(* *a)' * 4ac-b2
[ 2a) +u
128

si x=-4. Y=
2a'
-b2 +4ac
4a
.--e -.n las coordenadas del vértice. au - [- u
-
- u' + +u..]
(2u 4a )
?:-.a determinar donde crece o decrece f, es suficiente estudiar el comportamiento de la expresión
"[".*]'
',1 :no el cuadrado de un número no puede ser negativo
[,
-
*]' =
|
,, cuando X: - (bt2al
[..*]'= ]
[
[-**]'>0,
cuando x+-(b/2a)
0, VxeR seconcluye:
P: r medio del coeficiente a podemos juzgar si la función tiene m¿iximo o mínimo.
cuando a > 0, la función tiene mínimo en el
( a - h2 + 4ac )
punto
[-; _. J
La parábola se abre hacia arriba.
l-, cuando a < 0, la función tiene m¿Lrimo en [- u
-
- u'z + +ac
)
[ ,u' 4a )
La parábola se abre hacia abajo.
Car¿cterísticas de las raíces por medio de Discriminantes
f . .) . I
fi,mo f(xl=al|,**a]- *-b'+4ac I
L 2a ) 4a2 ,l
:¡xt=0
b ): _ b2 +4a.
'.-rJ .-:¿_:::=n
-,- b)t-b2-4ac
)a) 4a
, -
o ',1
-b2
-4ac
t-
-¿ . 4a'
E'1*
t__
+o'
..ibt - 1o,
1-
',1
vD - +ac
__i _a
---:-
que es la formula general, y la expresión b2 - 4ac: a, se llama discriminante
129

Para a> 0
I) Si
^>0,
f1*12
la función tiene raíces reales y distintas
- -b*J6,-4*J
,t - --=Za-
- -b-J6t-*)
lr-<
-2a
La parábola corta el eje de las X en 11 ) 12
il) Si A : 0, las raíces de la función son iguales r1 : 12
La parábola corta el eje de las X en un sólo punto.
III) Si
^
< 0, ia función no tiene raíces reales.
Paras<0
I) Si A > 0, la función tiene raíces reales y distintas r¡ + 12
La parábola no corta en el eje de las X.
II) Si A:0, la función tiene raíces iguales r1 : 12
[II) Si A < 0, la función no tiene raíces reales
130

?a=
=rafrcar
u¡a función cuadrática es necesario lo siguiente:
'''
T§#rTfl-:11#iptosX(Ix)'ParalocualY:0,entoncesax2+bx+c:0.eueseresuelvefacrorandoopor
l=, htermina¡nos interceptos y (Iy). para lo cual X : 0, entonces y: b.
l' r Determinar coordenadas del vértice.
F-iemplos:
Grafica¡ las siguientes funciones
a) f(X):x,+X+1
d) f(x): -x, _ 6x _ s
Solución:
a) f(X):X'z+X+ I
1) Interceptos (Ix): y:0, X2 + X + I
2) Interceptos (Iy): X: 0, y: I
3) cv -( --b ,-b' +qu"):.u
=l-'
l2a 4a I - I t
/ -
4) (-1)=l -l+ 1 : I Puntoadicional
cv=f.:L.-u'*¿u')
(.2, 4a -)
b) (x):x,-6X+e
e) (X):-X'+4x-4
c) f(X¡=¡z+X-6
0 (x):_x,+3X-5
:0 No existen raíces reales.
-1+4
, , l: (-0.s.0.75)
+)
b) f(x):x,-6X+e
1) Interceptos(Ix): y:0, >3_OX + g :0
(x_3xx_3):o
2)-Interceptos(Iy): X:0, y:9
X'z :3
3) cv =[,],-u2 ++ac]:cv
=lg lo*:o)
''-t,zu'--u .,l--n={.r' + ]: (3'o)
4) (4) : 16 - 24 + 9: 1 punto adicional
c) (X): X'+ X - 6
1) Interceptos(Ix): y:0, x2+x-6 :0
(x+3xx-2) :0
X+3:g '', X-2:¡
X: -3 v X:2
2) Interceptos (ly): X:0, y : -6
3) cv=(*r*l:", =(;1f)
: (-0.5, _6.25)
Algebra Superior
l3l

d) (x): -x'- 6x-5
l) Interceptos(Ix):Y:0, -X2-6X-5 :0
X2+6x+5 :0
(x+sxx+ l) :0
X+5:0 v X+1:6
X:-5 v X:-1
2)
3)
Interceptos(Iy): X:0, Y:-5
., =
[*,.qt*) = ., =(+,-.yl : c,,,r
e) (x):-x'+4x-4
l) Intercept'os (Ix): Y:0, -X2 + 4X- 4 = 0
xz-4x+4 :o
ÍX-3§-'r 13
2) Interceptos (Iy): X :0, Y: -4
Xr z :2
3) cv=(*+*)=." =(=-.#l :,,.0,
4) f(4):-16+ 16*4= -4. Puntoadicional
(x): -x'+ 3x - 5
1) Interceptos(Ix):Y:0,
#:*;::;
3tE Noexisten raíces reales.
2)
3)
4)
Interceptos (Iy): X : 0, Y = -§
.u = [-q, - o'.* ou.) :.u =
(- ¡. - g * zo']
[zu' 4a )"'-_2' 4 )
f(3):-9+9-5:-5 puntoadicional
= (1.5,-2.7s)
4.r7 ruxcróNExpoNENCIAL
La función (X) : a*, a e R, a > 0 ¡ a + I se llama exponencial.
Dom(f): R, Rec(f1: R..
Propiedades
1) La ñrnción exponencial es positiva para cualquier valor de X, la gráfica esta dispuesta por encima del eje de las
x.
2") Si la base a , es mayor que uno, la función es creciente.
3) Si Ia base esta entre 0 < a < 1, la función es decreciente.
4) Para cualquier base positiva a' : 1 cuando X : 0; por lo tanto, la función exponencial tiene un punto
característico que es (0, l).
t32

c) f(x) = 2lxl*'
0 f(X¡ = 2-x'z
i) r(x) : (j) ,Y *,
r) r( x ) : [-!
'1 *'-''*
'- '
(zJ
,,*', = l1)"
lrl
L '/
b) n",=
[;)
e) f(X) = -2x
h) f(x)= (i),:
k) f(x)=-22x
b)
F.iemplos:
a) f(X; = 2x
d) ,,*, = l1)l"l
' t)l
. /
g) f(x)=l-3x-'
1x
ll f(x) = --: -
1 +2^
Solución:
a) f(X) = 2x
, x<0
, x>0
, X:0
, x<0
X > 0 z-x+t
c) f(X): 2lxl+'
f 2**'
r(x) ={ 2l
[2-** '
?X+ I
x 1
I 0 I 2
Y 4 2 I
2
I
¡
x a
0 1 2
Y I
4
t
2
2 4
I J-)
lsebra Supeúor

x>0
X:O
x<0
[(;).
:
I (;)'
Lt+)
'
>0
d) r,r,=[])' '
r(x) = (i)'''
[i).,
*
r1x;: t-:x-3
e)
h) r(x) = lr) ,i
121
r I ) -'- x<0
lrl
x --l a 1
Y
I
t
1
¡
I
,
X 2 3
Y I
2
I
4
I
I
f (X¡ = 2-x'z
X a
0 I 2
Y
I
lo
I
, I
1
,
I
16
f(X) = -2x
X 1
0 2
Y _l
4
I
_, 1
1 -4
X 1
1 0 2 3 4 5
Y 0.04 0.0s 0.08 0.1 r 0.l6 0.23 0.33 0.41
X -2 I 0 I 2 f
Y 0.99 0.98 0.96 0.88 0.66 0
134

X a 1 0 1 2
Y 1.1r 1.16 1.23 1.33 1.47
rrxr = 1.2
J
x-l
T+t i)
1X
f(x) = --:-
l+2^
k) (x):2"
La función f(X) : e' , donde e = 2,718281 es número irracional.
Una aproximación de esta función es el polinomio:
- x2 Y3 Xn
e^:l+X+" +"
21 3! n!
Esta función tiene una característica propia, su gráfica forma con el eje de las X en el punto (0, l) un
ringulo de 45". Ademris con esta ñ.mción se definen otras que aparecen en la matemát;ca eleÁeátal.
"X
_
"_X
oX _ -*X
como: Shx=" ' Chx=s rs
22
Y: ex
Notación Y: lx es una función constante.
, v2-rLr
rr rrxr:11i""-''*'-r
2)
Si se elimina el valor absoruto, la función queda y = f ^L)-'-'-- , completando el cuadrado:
2)
x: - 2x - I : (x - 1)' -2, entonces
"
= f 1l
--
''
-'
, .n consecuencia el vértice de esta parábola
¿)
x a -l 0 I 2 -l
Y 0.2 0.33 0.5 0.6 0.8 0.88
i.eet'É Superior
135

. . _)
/1 '
es: x:1,
"=[';J
=4,como X:lesejedesimetríadelaparábola,portantoessuficiente
dar valores a la izquierda y derecha de ese punto.
z. r x2-2lxr-l
"=[;l
Nota: Esta función es par
4.I8 FUNCIÓNLOGARÍTMICA
La inversa de 'la función exponencial se llama logarítmic4 si Y : a' direct4 entonces la inversa será: X = ay .
Y:log"Xdonde, a>0ya+l
Propiedades:
1
- La función loguX esta definida vx > 0, su gráfica se encuentra a la derecha del eje de ordenadas.
2.- Para a > l. log" X es creciente.
3.- Para 0 < a < 1, log"X es decreciente
4.- La función logarítmica tiene un punto característico (1, 0).
Ejemplos:
a) (X): log2X
b) f(X): togsX3
c) (X): log2lx * r I
d) f(X): log2
VFlll
lr
e) ftx¡ - ltog ,1x
* + j
l. I
0 l16ll:loe,ll-xl
c) (X): log I VE-:,
2
h) (X): log3 (3 - x)
136
i)
i)
k)
D
m)
(x):
(x):
(x):
(x)=
f(x):
logr(X2 + 2X)
log2(X2-4X+5)
ln (1 + X2;
tog,lt-lxll
2
/ -¡
tog,lx2 -:lxl+l )
)l
X Y
-l 1
¡
0 2
1 4
2 2
3 I
4

X Y
I
4
a
1
,
0
2 t
4 2
8 3
Solución:
a) Y: log2X, Dom(f)= ¡ ¡ 6
2Y: X Forma exponencial
b) Y: logsX3, Dom(f): 10, *[
8Y =X3
-F_
Vg' :x
2Y :X Formaexponencial
c) Y = Iog2l x + r l. Dom(f)-- R- {-t}
2"- lx r ll Formaexponencial
lX*f l=2Y<+X+l :-2Y v X+l :2Y
<+x :-ZY -l v x :2Y -l
Hemos obtenido dos funciones X, : -(2Y + t) v Xr:Zv - 1
x":2v
d) v : tog,
/{ Dom(f): R - {-1}
?Y : Jx;if Forma exponencial
(r'I = Jii+l'
2:' = lx*tl
J' : lxnrl
x +l
x1 _1
4
J
-, a -J -5 -9
Y 1 I 0 I 2 J
x2
J
-1 _1
2
0 3 7
Y 1 I 0 2 J
lgebra Superior t37

lx"rl:4Y <»
9
X+1:-4v
X=-4Y- I
X+1:4v
X:4Y - I
Xr:-(4Y+l)
xr -17
l6
.:
4
1
-5 t7
Y
.|
-l 0 I 2
e) v:
lr"s,{x*+)l
aouri^-ostansólo y: tog,(x+4)
OD)v : (X+4) porma exponencial, Dom(f):l-4,
"o[
x: ll)'-¿
2)
lvl=togrlt-xl Dom(f):l_co,0 jwl2,
alvl = lr - xl Forma exponencial
lt-xl=4Y <+ l-X:-4Y v l_X:4Y
€) -X :_4Y_l v _X :4y_l
<] Xr =4Y+l v Xz:l-4Y
Hemos analizado la función v = logrlt _ Xl
X,:(4Y+ t¡
coI
Xz: l- 4
Xz:4Y - |
x2 _15
l6
_1
4
0 1 l5
Y a
I 0 t 2
x 0 1 -3 _7
2
_15
4
Y .)
I 0 2
XI
17
l6
I
4
2 5 l7
Y a
1 0 I a
x2
l5
16
1
4
0 -J l5
Y 1
I 0 I 2
138

c) Y=losr lx{
1
[;)" = vt{
lf']" =r-, <>
8/
Dom(f):l1,* [
,=(f)".,
h) Y = toe:(3-x)
3t :3-X
3"-3 :-x <)
Dom(f):3-X>0
Forma exponencial
X:3 - 3Y
v = tog, (x'? + zx)
2Y :X2 + 2X
2Y :X2 *2'2 x*t-l
2
Z" = (X+ t;2_t
2Y+l:1x + 1;2
llft.rf =Jl+r'
lx+rl =Jl+r <+ X+l =-[+r'
xr = -rll*2" -t
Dom (f):X2 +2X > 0
:x(x+2)>0
Dom (f.¡: ] --, -2lwl 0, * [
Completamos el cuadrado para despejar X
X+1=.[./
€Xr =-ú+2t -l v x, =d;i-t
x 64 8 2 z
8
65
64
Y .,
0
.l
2
x 2.88 2.66 2 0 -7
Y a I 0 I 2
x, -2.1 aa -2.4 -2.7 -J.L -4
Y a I 0 2 J
x2 = ',ll+21 -1
X¡ 0.1 0.2 0.4 0.7 t.2 2 3.1
Y .., 0 I 2 J ,4
Algebra Superior 139

i)
"
= tosr(x'-+x+s)
2r:(Xr_4X+5)
).t
2, = (X, _;x +4) _4 +s
2v : 1X -Z¡2+t
2Y-t :(x-2),
Dom (f): R , Rec(f): R- u {0}
Completamos el cuadrado para despejar X
lx-zl
xr
éXr x2
x2
=2-.JY a
=Jz'-t ex-2=-JrY I v X-2=Jr' j
=z-Jz" -t v =2¡^12'j
=2a,{¡ -1
k) Y: ln(1+X2)
e" :1t+x)
e"-1 =x2
Dom (f): R , Rec(f): R. u {0}
G"-r=¡x¡ €) xr=-SY{ X, =JJJ
r) v=r"r,lr-lxll
2
Solución:
El dominio de esta función es: R - { -1, I }
flog,lr-xl. x>o
Y = tos , lt-lxll = l. ,
-; ,,' llog,ll+Xl,x<0
2l
L2
Para X >0
Y :tog,lr-Xl
2
[r"
x, 2 1.56 1.35 I 0.3 -0.6
Y 0 0.25 0.5 I 2 J
x2 2 2.43 2.6 J 3.t 4.6 5.8
Y 0 0.25 0.5 2 J 4
X, 0 -0.5 -0.8 1.3 -2.5 -4.3
Y 0 a.2s 0.5 I 2 J
x" 0 0.5 0.8 1.3 2.5 4.3 7.3
Y 0 0.25 0.5 I 2 3 4
140
=ll -xl

Resoh'iendo esta ecuación
z- rY
r-xl=fl)' ., r-X=-lt)"
2) z)
c? -, = _ll)" _,
2)
€) x, =ll)'*,
' 2)
'-'=(;)"
-, =(*)'-'
Xz =1-(r'
Para X< 0 trasladamos ésta curva simétricamente respecto al eje vertical (revisar sección 4.9.1)
Eliminar los
valoresdeX<0
Eliminar los
ValoresdeX>0
Uniendo estos resultados se tiene
v=tog,it-lxll
2
X 5
a
J 2 1.5 t.2s
Y I
0 2
X, -3 0 0.5 0.75
Y 1
0 2
lgebra Superior
141

t " ,,xt*ll
m) f(X): logr[X' - 2 )
Si se elimina el valor absoluto la función toma la forma: y=log:(x'-:x*l).r-"
determinar el eje de simetría de la curva es necesario completar el cuadrado.
Y = I"c,
[[x -;]' - -]l , en consecuencia el vértice de esta parábola está en: *:1 , y
-2 .
-L ¿) 4)
Forma Exponencial: 2Y = [t', - :)' . ]l
at:¿ =L[^-r)-¡)
2'- t
=l,"-1)'
4 2)
v X, =1+
'2
Rec (fl: z" -1> o
4
1
:2Y>!
4
- oY: I -2
_ L
'L
: Y>-2
: [-2, -[
-1.18.t Propiedades de los Logaritmos
lr Ellogaritmodeuno,esigualacero logul=0, a0=l
l) Ellogaritmodelabase,esigualauno logua=1, al=a
It Si log,X¡=log"Xz = Xr=Xz
-i) X=¿loB"X , 1,=uloguY , 3=21ogrl ,5:7logf
j ) El logaritmo de un producto de dos o varios números positivos, es igual a la suma de los logaritmos de
sus factores.
logu b.c = logu b + logu c
Demostración
, Ios^b los-c
D=a "" ;C=a ""
b.c: ulo8ub.ulogu" - b.c: ulogub+loguc
Si en esta igualdad tomamos logaritmos en base a , se tiene:
F==l*-¿l
v +l2l
xr 1.5 2 2.3 2.8 3.4
Y ", 0 2
x2 1.5 I 0.6 0.3 -0.5
Y 1
0 2

log" b.c = log" u'o'"
b+logu c
logu b.c = (log" b + logu c)log" a
log, b.c = Iog" b + loga c
Logaritmo de un cociente. Es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
.b
,o*"; logub-log"c
Demostración
, loq" b
D=a --
los" c
c=a -*
, Ios- b
D a"
c ulo8u "
b los ^ r, -tn.
--a
"^ .u'-ou - Tomandologaritmosenbasea
.b
logu : = log, u'ot'
b-log u c
c
ht
Iog, i=tog, b-log, .)tog
"
u
C
h
logu
-=logub-loguc
1 Logaritmo de una Potencia.-Es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
logu b" = c log, b
Demostración
b = ¿lo* u b
Elevamos a la potencia c ros dos miembros de la igualdad
bc - a
clos a b
Tomamos logaritmos en base a
logu b" = logu u "'o* "
o
log" b" = c logu b.logu a .
logu b" = c logu b
s I Logaritmo de una raíz'- El logaritmo de una raíz de un número positivo, es igual al logaritmo del
radicando dividido por el índice d,e laraí2.
1
tog, Vb = llogu b
c
I':nplos:
t'''; :;¡ ett.forma logarítmica
1 x = fJ;.b.c
.l-
{(a+b[a-b)]
-.___.-=¡+
Va
x=
X=
x=
2.
4.
I 4a ..la.b
l-
l su Vu'u
-
^ luo Ju.u
ilb'?ñ
log" (a + f)roe "
(a+u¡
)t
-
r
:
¡
r
r
I
r- _:-:- Superior
X= 6.
143

Solución:
r. x: fJ;b.c
logX loe2 . Va-b-c
= tos2 + rog(a.b.c)l
= log2 + l tog a.b.c
J
log2 +
] {,"*" + Iogb + logc)
= log2* 1 logu *1logb*1tog"
2. x=
logX - Ios @
! su Vuru
loeX = f rorqalai
- 2 "s¡Va2u
rogX ] (,* aa Jli- rog 5b il6 )
* [,*-
+ roga *
]{,o*u
+ rosr))-
[,"r,
+ rogb *
](r"e,,
. ,"*rr]]
! l.,eq * llosu* lrogu * f togu - lu,es- lrog¡ - llogu -1 rogu
! beq* aroeu - lrogu - l,,ss
logz -1togs * alogu - alogu
logX
logX
logX
logX
rogX=
*,**,8
rogX=
*[,**.,"*f)
rog X =
* l(,"r,
- rog(a rl"
,,
,*
l)l
rog X =
*[F'* a - rog b)+
]
(r"s u - r"s
")]
log X =
*[(-,* a - rog b)+ 1,og u - 1 lo, u]
144

rogX = *(- j.-" - i.*o)
logX = -lto*u --]-logu
4. x- ,/u'J3-u
! u, {/u"
5.
rt
logX = j[r.s r' fi - rog u, t/uc]
rogX = 1[,* "-
+ rog(u.r)] - (r"s u, . ,"* tu Oi)]
rogX = 1[0,",
u *
)Q,ru+
rogb)-(r.* o*
](rosu..r.rl
rogX = 1[0,",
u * L,,ru*1loeu -2tosu-]roeu-i"r"]
rogX = i[i,* u -l,,ea- i,*.]
logX= 2beu-Lrcra-1tog"
logX= lloru -Lbea-Lu,e"
logX =
rog 1fJiu{u-uf - togu}
j [r.*(" * o) * rog(" - u)' ]- 1ro, u
logX = i,"*("
+ u)+ ltog(a-b)- lroeu
x = log, (a + 6)loe "
(a+u)
log X = log log" (a + b)los "
(u*u)
log X = log"(a+ b)log.log"(a+ b)
logX: log(togu(a+U))'z
logx= 2loglog"(a+u)]
logX =
logX =
logX =
Es c r ib ir en forma exponencial
I.
2.
6.
rogX = *[i.-,"-ol-],"*"]+3 rog(a+b)
IogX = 1[,"r"
*]{ro*u*zroe.)] -[oe¡+4 log(c+a)-log(a+b)]
rogX :
][r,"r{" -b)+2log(a+b)-aloga]
(a+uXa-¡)3
Va
.*JGa#:lL
Alsebra Superior
145

Solución:
t.
los,N
loe.N= "'
logna
El factor - I
log oa
logaritmos de base
146
2.
logX =
logX =
logX =
logX=
logX =
logX =
logX:
logX =
logX=
#B.tt" - ul-
Jr"e"]
+ 3 rog(a + b)
*,*F+rog(a+b)3
,o-
'ffi + log(a + b)3
r"s,ÍF.(a+b)3
ffi.(a+b)3
i[,*". it os u + z tos
")] - [og b + a tog(c + a)- log(a + b)]
1(rog u*log ú7)- [rog o* rog (c+a)a - rog (a+b)]
i(,"'"ú7)-bc#
'o*i[i6e -,"*oiÍ'#
,onffi
" b_td1
(a+b)
üT;7 (a+b)
b.(c+a)a
] t, ,"r{" - b)+ 2 |og(a + b) - 4 log a]
][.* t" - bf + log (a + b)2 - rog u' ]
|["* t" - bf .1a + u¡'? - rog aa ]
logX =
IogX=
logX=
logX=
logX=
4.18.2 Fórmula de paso de un sistema de Logaritmos en Base a, a otro de Base b
o log,*:r]=tog6N O
rogba
se llama módulo de paso de un sistema de logaritmos de base a, a otro sistema de
b.
(a-bI.(a+b)'?

Demostración
Consideremos log.N=X -) ax=N
Tomando logaritmos en base b.
logoax =
Xlogsa =
log6N
logoN
logoN
log ra
Por tanto log
"
N =
logoN
logoa
Si N: b, entonces la fórmula de paso se transforma en log
"
b =
#;
I
log *N=^log"N
log,N log6N
loguoN=;aft o logu¡N=
l*lt"u_ l+logoa
Demostraciónde @ y @
La formula @ se demuestra utilizando @
rog *N:-f - =
I I
= fron N
log*aK Klogra K
La formula @ se demuestra haciendo cambio de base
r^^ r IoguN loguN loguN
_ t=_
loguab logua+logub l+logub
La relación entre logaritmos decimales y naturales esta dada por:
. log"N
log . l0
Ejemplos:
l. Calcular log 2 5 .log , l0.log ,o 16
Pasamos toda la expresión alabase 2.
rog,5ffi#tr# = rosz16 = tog222=4
2. Calcular log ,7.log ,49 .log 0n243
Pasamos la expresión a la base 3.
tog,7
fi# tr# = .,st243 - ros,35=s
3. Dadolog2:a y log5:b
Determinar log ,r 40
Convertimos log rr40 abase l0
los,.40_ log40 _log 5.8 _ log 5+log8
log 25 log 52 2 log 5
o
@
log 5+3log2 3a+b
2log 5 2b
Áleebra Superior
147

4. Dado logro3=a y log
Pasamos log ,o
g a base 2.
r^_ "
logrg 3log12
rog 2 30 log ,2.3.5
Necesitamos determinar log ,3
Como logr63=a luego
Como logro5:b luego
365=b. Encontrar log 3s 8
log22+log
y log r5
logr3
,3+logr5 l+logr3+log]
l+log r3+log r5
log25
l+log 25
,3+log
(1)
=a y
=b
log
Iog
log
log
log
log
log
log
,:=a[+log23+logr5)
,l=(a+alogr3+alogrs)
2 3 (1-a)= a+atog , 5
,5=![+tog ,3+tog r5) e)
, s=(b+blog 2 3+btog ,5)
, s(t-u)= b+btog r 3
- b+blogr3
' (t-u)
a+aloe .5
2J=- ,- --;-
0 -r)
Reemplazamos log 2 3 en el resultado de Ia ecuación
tog,5=u[r* u*l't-* rt +log,sl
( l-u )
(2)
log 25=O(f -u+a+alog 25+log r5-alogrr)*
log r5=bl.l+loe.s) I
" " 'l-a
Iogr5= (O*btogrr+
l-a
logrs(t-a) = 6*Ulogr5)
log r5(t-a-U)=U
b
log,)=-
(t-a-b)
Este valor reemplazamos en el resultado de (l)
b
a+a=--
-
N.log"N+log"N.log"N=
y diferentes de 1.
log,3:- l,-e-o -a(l-a-u)+au _ a-a)-ab+ab a
- (r-u) (r-a[r_u_b) -Tr;Xr_;:b)-=[_"_-ü
Por tanto
Iogrr8=
l+log r3+log r5 ab +=_-
l-a-b 1-a-b
=3(l-a-b)
Demostrar que:
log"N.log6N+logo
N, a, b, c mayores que 0
.,
=-
l-a-b+a+b
l-a-b
loguN. logoNlog"N
log u6" N
Donde
148

FI
h
lt
h
FD
h
tt
tt
h
b
b
i"
l"
!}
lr
rt
a
I'
7'
a
4
D
a
¡t
D
¡,
t
1
¡?
¡t
t
!
B
1
;
)
,
a
a
4
,
a,
a
a)
t
s
al
,
Solución:
6.
log u N. log o N + logo N. log
"
N + log u N. log
"
N :
11l
logNa.log*b log*b.log"c logNa.log*c
log*c+log*a+log*b
_ log*abc
log * a.log * b.log¡i - Gg - "
j"g,.., b l"g.
"
loguN.logoN.log"N
_
loguo"N
I
calcular: * =
'EG'*roe"1
r25
zt
Convertimos los términos del exponente a una base común
ll
5l"gr3 = lo8¡5
log 06125 = log
^ ,(S)' = log
,* ,53
l2zz 3 2
Por tanto
f rlJIogss*!rog,,
I / r 15 -- 5
x = lF-'F I
L]
x=(:fl l'"',,
x : (:f ir.c, s
X: (3)r'e '
s-s
_1
X=5 5
1
Vs'
Calcular: X=23-tog t3 *r2tog72+l
13
X = ---'- +72l"ct z .,
2t'E
q t
*: 8
-1log14
n--.;-;-+/ -,..7
2"2'
8
x=.--+.1 .7
:los , l
22 ''
8
x=_---+29
,tog 2Zl
x={-+za
.,/3
X:32.6
)
=3log 55 =3alos,5
.; 5 --
8.
6
-los,-5
5 "'
Por propiedad (4 )
Calcular: X=3ltlos ¡4 + 2log23-2
v ".logr4
2log27
^=J.J
+--i
2'
X=3.a+1
4
x=
.lgebra Superior

9.
a)
b)
c)
d)
e)
0
c)
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones
I
(log2 + log5 + log300 - log:).: 5be, :
(o.z¡ 1('t* o' 2 - 3 tos s 7 4)
log., 2.log o 3.log, 4.log 6 5.
fr
72tos ,li ,"* ,r'J2 * lorog 2
lOi,orr-,orro
toc2
.7toc aJl2i
P+(:o r-r"e e2 +4e-.r,u)
logr9'
log r 6.lo9.7
tT)
h)
i)
i)
k)
1 3-log a3 , 12los1Z+l
[,", ,.f
+ 6 ,og
i(})
-,,*
*(i)]*,og ¿ '6
ros ,
[ros]
(i) - ,.- , Jr * rf
,.r,, (*'Jr).,"*,,
[+). "*,,,(+)
m) (o.t) : r"e1o r;-r'srog(0 r). (o.r)
-( tosg+z-roe2o)
Solución;
a) (log z + tog 5 + Iog 300 - rog :) .3
ñh
- iorr+ tog5 +1os22.52 .3-tog3 ) : ,*r,.
(ogz + tog5 + tog22 +log52 +log3-log:).: r*rtrÉ
(tog2 + log 5 + 2tog2 + 2tog5 + log 3 _ tog 3).
516
(: tog z + : tog s) .5J1
(togs.rzs).'.,6
( tog r ooo) .
5Jt
log 103,V5
3.vt
b) 1o.z¡i(n'.c622-3rog624)
(o.z¡'l(|* 62 zo -tog 62 +r)
Í. zo)
1o'z¡
il'"'o'
'; '1
(o'z¡ it"'o' "
)
1
(0'2) t"c 0222
3
21
150

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