Geometría intrínseca (4)

Cap´
ıtulo 4

Geometr´ intr´
ıa ınseca.

Todos los elementos b´sicos de la geometr´ de superficies en R3 tienen la propiedad
a ıa
de ser invariantes por movimientos r´ıgidos del espacio, es decir, si S es una superficie y
φ : R3 → R3 es un movimiento r´ ıgido, entonces las geometr´ de S y de φ(S) coinciden.
ıas
Imaginemos la situaciń al rev´s:
o e

Si S1 , S2 son dos superficies en R3 y φ : S1 → S2 es una aplicaciń, ¿qu´ tenemos
o e
que imponerle para que φ se extienda a un movimiento r´ ıgido de R3 ?

Veremos que el Teorema de Bonnet (1867) nos da la respuesta: φ debe conservar la longitud
de las curvas en ambas superficies y sus segundas formas fundamentales. Para entender
mejor esto, pensemos que las superficies estń hechas de un material flexible pero inex-
a
tensible. De esta forma, toda deformaciń de una superficie conservar´ las longitudes de
o ıa
curvas. Pero ¿podemos deformar una superficie de manera que tambiń se conserven las
e
curvaturas de todas sus secciones normales? La respuesta es no, a menos que la deforma-
ciń consista en simplemente mover la superficie por movimientos r´
o ıgidos en R3 .
As´ que la clase de transformaciones que conservan las longitudes de curvas y las
ı
segundas formas fundamentales coincide con la clase de los movimientos r´ ıgidos de R3 .
Si ahora s´lo pedimos que se conserven las longitudes de curvas, ¿crece mucho la clases
o
de transformaciones con esta propiedad? En lenguaje actual, una aplicaciń diferenciable
o
φ : S1 → S2 con la propiedad de conservar las longitudes de curvas es una isometr´ local,
ıa
es decir, para todo punto p ∈ S1 , dφp es una isometr´ vectorial entre los planos tangentes
ıa
Tp S1 y Tφ(p) S2 , ambos dotados de las m´tricas eucl´
e ıdeas dadas por las primeras formas
fundamentales:
dφp (v), dφp (w) = v, w , ∀p ∈ S1 , v, w ∈ Tp S1 .
Este mismo concepto, en los tiempos de Gauss, se expresaba diciendo que S1 es desarro-
llable sobre S2 , en el mismo sentido que los top´grafos trazan un mapa y que un cilindro o
o
medio cono menos su v´rtice pueden desarrollarse sobre un plano. Volviendo al ejemplo de
e

73

74 CAP´
ITULO 4. GEOMETR´ INTR´
IA INSECA.

los mapas, ya en tiempos de Euler se sab´ que es imposible trazar un mapa sin introducir
ıa
distorsiones en las medidas de las longitudes. Tambiń se sabe que la esfera tiene curvatura
e
positiva, mientras que el plano la tiene idńticamente nula. As´ que una cuestiń natural
e ı o
es:

¿Hasta qu´ punto las isometrias locales conservan parte de la geometr´ de las
e ıa
superficies?

La respuesta la dar´ el Teorema Egregium de Gauss (1827): la curvatura de Gauss K
a
tambiń se conserva. Es decir, K no s´lo es invariante por la clase de los movimientos
e o
r´
ıgidos de R 3 , sino por una clase mucho m´s grande, la de las isometr´
a ıas locales entre
superficies. Para probar esto, veremos c´mo K puede calcularse sin usar la aplicaciń de
o o
Gauss, y en este sentido usamos el t´rmino “geometr´ intr´
e ıa ınseca”: K no depende de c´moo
pongamos la superficie dentro del espacio R o 3 , s´lo depender´ de las longitudes de curvas
a
(o equivalentemente, de la primera forma fundamental).
Veremos un tercer resultado fundamental relacionado con los dos anteriores: es impo-
sible deformar una esfera preservando las longitudes de las curvas (teorema de rigidez de
la esfera, probado por Liebmann en 1838). De hecho, este resultado de rigidez puede ex-
tenderse a superficies compactas con curvatura positiva (llamadas ovaloides, Cohn-Vossen
1927).
Terminaremos el cap´ ıtulo estudiando los objetos fundamentales de la geometr´ intr´
ıa ınse-
ca: las geod´sicas, curvas en una superficie que juegan el papel de las rectas de la geometr´
e ıa
Eucl´ıdea. Estas geod´sicas son el punto de partida del estudio de la geometr´ intr´
e ıa ınseca
en abstracto, y pueden generalizarse a “superficies abstractas” (es decir, sin tener que
estar embebidas en R3 e incluso a “superficies de dimensiń arbitraria”, llamadas varie-
o
dades, s´lo requiriendo que en cada punto de las mismas tengamos una m´trica eucl´
o e ıdea
definida sobre el espacio tangente, que cambia suavemente de punto a punto. Este es el
punto de partida de la Geometr´ Riemanniana, que no veremos en esta asignatura pero
ıa
que podr´ cursarse como materia optativa.
a

4.1. Isometr´
ıas.
Sea φ : R3 → R3 un movimiento r´ ıgido, esto es φ(p) = Ap + b donde A ∈ O(3) es una
matriz ortogonal y b ∈ R 3 un vector. Si S ⊂ R3 es una superficie, entonces S = φ(S)

tambiń es una superficie de R3 , y la restricciń F = φ|S : S → S cumple:
e o

1. F es un difeomorfismo.

2. La diferencial de F en cualquier punto p ∈ S es una isometr´ vectorial:
ıa

dFp (v), dFp (w) = v, w , ∀v, w ∈ Tp S.

4.1. ISOMETR´
IAS. 75

3. F conserva (salvo el signo) las aplicaciones de Gauss, es decir si N : S → S2 es una
aplicaciń de Gauss para S, entonces N = A ◦ N ◦ F −1 es una aplicaciń de Gauss
o o
para S. Derivando, dNF (p) ◦ A = A ◦ dNp para cada p ∈ S, lo que implica que F
conserva las segundas formas fundamentales asociadas a N y N : Para cada p ∈ S,

σF (p) (dFp (v), dFp (w)) = σp (v, w), ∀v, w ∈ Tp S.

En particular, las curvaturas de Gauss y media se conservan tambiń: K ◦ F = K,
e
H ◦ F = H.

Definiciń 4.1.1 Una aplicaciń diferenciable F : S → S entre dos superficies se llama
o o
isometr´ local si su diferencial en cada punto de S es una isometr´ vectorial (es decir, 2
ıa ıa
se cumple). Si adem´s F es un difeomorfismo, diremos que F es una isometr´ y en tal
a ıa,
caso, S y S se dicen superficies isom´tricas
e 1.

Por tanto, la restricciń de un movimiento r´
o ıgido φ a una superficie S ⊂ R3 es una
isometr´ entre S y φ(S). Este caso particular de isometr´ se llaman congruencias.
ıa ıas
Como una isometr´ vectorial entre dos planos vectoriales es un isomorfismo, deducimos
ıa
que toda isometr´ local es un difeomorfismo local. La composiciń de isometr´ locales
ıa o ıas
es una isometr´ local. La inversa de una isometr´ es una isometr´ y el conjunto de
ıa ıa ıa,
isometr´ de una superficie en s´ misma es un grupo con la composiciń. Por el teorema
ıas ı o
de la funciń inversa, si F : S → S es una isometr´ local, dado p ∈ S existen entornos
o ıa
abiertos U de p en S y p en S tales que F (U ) = U y F |U : U → U es una isometr´ ıa.
Por ejemplo, Sea Π = {(x, y, z) | z = 0} y C = {(x, y, z) | x2 + y 2 = 1}. Entonces, la
aplicaciń F : Π → C dada por F (x, y, 0) = (cosx, sinx, y) es una isometr´ local, y si la
o ıa
restringimos a la banda abierta S = {(x, y, z) ∈ Π | 0 < x < 2π} entonces F |S : S → S es
una isometr´ sobre el abierto C − ({(1, 0)} × R).
ıa

Proposiciń 4.1.1 Sean S, S dos superficies y X, X : U → R3 parametrizaciones respec-
o
tivas de S y S definidas en el mismo abierto U de R2 . Si los coeficientes de la primera
forma fundamental de S respecto a X coinciden con los de S respecto a X, entonces
X ◦ X −1 : X(U ) → X(U ) es una isometr´
ıa.

Demostraciń. F := X ◦ X −1 : X(U ) → X(U ) es un difeomorfismo, as´ que s´lo queda
o ı o
probar que dado p ∈ X(U ), dFp es una isometr´ de espacios vectoriales. Esto equivale a
ıa
que dFp (v) 2 = v 2 , para cualquier v ∈ Tp S. Fijemos v ∈ Tp S. Sea q el unico punto de
´
U tal que X(q) = p, y sea w = (a, b) ∈ R2 el unico vector tal que dX (w) = v. Vimos en la
´ q
1
“Ser isom´trica a” es una relaciń de equivalencia en el conjunto de las superficies de R3 . Por ello,
e o
siempre que S sea isom´trica a S, tambiń S ser´ isom´trica a S. Esto nos permite decir simplemente que
e e a e
ambas superficies son isom´tricas, sin explicitar el orden.
e

76 CAP´
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demostraciń del Lema 2.4.1 que las coordenadas de v respecto a la base {Xx (q), Xy (q)}
o
son (a, b) (aqu´ (x, y) son las coordenadas en U ⊂ R2 ). Por tanto,
ı
2 2
v = dXq (v) = a2 E(q) + 2abF (q) + b2 G(q),

donde E, F, G son los coeficientes de la primera forma fundamental de S respecto a X.
Por otro lado, dFp (v) = d(X ◦ X −1 )p (v) = dXq (w) tiene coordenadas (a, b) respecto a
la base {Xx (q), Xy (q)} de TX(q) S = TF (p) S, luego

2
dFp (v) = a2 E(q) + 2abF (q) + b2 G(q),

donde E, F , G son los coeficientes de la primera forma fundamental de S respecto a X.
Como por hip´tesis tenemos E = E, F = F , G = G deducimos que F es una isometr´ 2
o ıa.
Veamos una aplicaciń de la proposiciń anterior. Consideremos la parametrizaciń
o o o

X(θ, z) = (cos θ cosh z, sin θ cosh z, z)

de la catenoide, definida en U = (0, 2π)×R. Los coeficientes de la segunda forma fundamen-
tal son E(θ, z) = cosh2 z = G(θ, z), F (θ, z) = 0. Ahora consideremos la parametrizacińo
X(x, y) = (y cos x, y sin x, x), (x, y) ∈ (0, 2π) × R del helicoide. Haciendo el cambio de
par´metros x = θ, y = sinh z (definido en U ), obtenemos
a

X(θ, z) = (cos θ sinh z, sin θ sinh z, θ).

Los coeficientes de la primera forma fundamental del helicoide respecto a X son E(θ, z) =
cosh2 z = G(θ, z), F (θ, z) = 0. Por tanto, la catenoide y el helicoide son localmente
isom´tricos (no son isom´tricos porque la catenoide es topol´gicamente un anillo y el
e e o
helicoide es topol´gicamente un plano).
o
El siguiente resultado caracteriza a las isometr´ locales e interpreta geom´tricamente
ıas e
las mismas.

Proposiciń 4.1.2 Sea F : S → S una aplicaciń diferenciable entre dos superficies.
o o
Entonces, F es una isometr´ local si y s´lo si F conserva la longitud de las curvas, es
ıa o
decir: Para toda curva diferenciable α : I ⊂ R → S y todo subintervalo [a, b] ⊂ I, se tiene
L(F ◦ α)b = L(α)b .
a a

Demostraciń. Sea α : I → S una curva diferenciable y [a, b] ⊂ I. Entonces,
o
b
L(F ◦ α)b =
a (F ◦ α) (t) dt.
a

4.1. ISOMETR´
IAS. 77

Si F es una isometr´ local, entonces (F ◦ α) (t) = dFα(t) (α (t)) = α (t) de donde
ıa
L(F ◦α)ab = L(α)b . Rec´
ıprocamente, sea p ∈ S y v ∈ Tp S. Si v = 0, la igualdad dFp (v) =
a
v se da trivialmente. Supongamos v = 0 y tomemos una curva diferenciable α : (−ε, ε) →
S con α(0) = p, α (0) = v. Por continuidad de α podemos suponer que α es regular.
Entonces, dado t ∈ (0, ε),
t t
(F ◦ α) (s) ds = L(F ◦ α)t = L(α)t =
0 0 α (s) ds,
0 0

luego derivando en t y aplicando el teorema fundamental del c´lculo, (F ◦ α) (t)
a =
α (t) . Evaluando en t = 0 obtenemos dFp (v) = v . 2
Nuestro pr´ximo objetivo es probar el Teorema de Bonnet. Para ello necesitamos dos
o
resultados previos. El primero de ellos s´lo se usar´ para n = 3, pero lo enunciamos en
o a
general ya que la demostraciń es la misma en este caso.
o
Lema 4.1.1 Sea φ : O → O un difeomorfismo entre abiertos de Rn , tal que dφx ∈ O(n)
para cada x ∈ O y O se supone conexo. Entonces, φ es la restricciń a O de un movimiento
o
ıgido de Rn .
r´

Demostraciń. Por hip´tesis dφx (u), dφx (v) = u, v para cualesquiera x ∈ O, u, v ∈ Rn .
o o
Tomando como u, v los vectores de la base usual, deducimos
∂φ ∂φ
, = δij en O.
∂xi ∂xj
Derivando y aplicando la igualdad de Schwarz,
∂2φ ∂φ ∂2φ ∂φ ∂2φ ∂φ ∂2φ ∂φ
, =− , =− , = ,
∂xi ∂xj ∂xk ∂xi ∂xk ∂xj ∂xk ∂xi ∂xj ∂xk ∂xj ∂xi
∂2φ ∂φ ∂2φ ∂φ ∂2φ ∂φ
= , =− , =− , ,
∂xj ∂xk ∂xi ∂xj ∂xi ∂xk ∂xi ∂xj ∂xk
de donde
∂2φ ∂φ
, =0 en O, ∀i, j, k = 1, . . . , n.
∂xi ∂xj ∂xk
∂φ
Fijando i, j y usando que { ∂xk | 1 ≤ k ≤ n} es una base ortonormal de Rn en cada punto
de O, deducimos que
∂2φ
= 0 en O, ∀i, j = 1, . . . , n.
∂xi ∂xj
Integrando dos veces (o desarrollando en serie) y usando que O es conexo, llegamos a que
φ es la restricciń a O de una aplicaciń af´ φ(p) = Ap + b, donde A ∈ Mn (R) y b ∈ Rn .
o o ın,
Por tanto, dφp = A luego A ∈ O(n) y φ es la restricciń a O de un movimiento r´
o ıgido. 2

78 CAP´
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Lema 4.1.2 (Existencia de entornos tubulares) Sea p0 un punto en una superficie
S ⊂ R3 . Entonces, existe un entorno abierto orientable V de p0 en S y un n´mero δ > 0
u
tal que el conjunto
T (V, δ) = {p + tNp | p ∈ V, |t| < δ},
(donde N : V → S2 es una aplicaciń de Gauss) cumple
o

1. T (V, δ) es un abierto de R3 .

2. La aplicaciń E : V × (−δ, δ) → T (V, δ) definida por E(p, t) = p + tNp es un difeo-
o
morfismo.

En estas condiciones, a T (V, δ) se le llama entorno tubular de V de radio δ.

Demostraciń. Como el resultado es local, podemos suponer que S es orientable y que
o
N: S → S 2 es una aplicaciń de Gauss para S. La aplicaciń E : S × R → R3 dada por
o o
E(p, t) = p + tNp es diferenciable (en el sentido de que lo es fijando cada una de sus
variables por separado). En estas condiciones, se puede calcular la diferencial de E en
(p, t) ∈ S × R en analog´ a las derivadas parciales, actuando sobre (v, 0), (0, 1) ∈ Tp S × R,
ıa
sin m´s que derivar la composiciń de E con curvas que representen a esos vectores:
a o

d d
dE(p,t) (v, 0) = E(α(s), t) = α(s) + tNα(s) = v + tdNp (v),
ds s=0 ds s=0

d d
dE(p,t) (0, 1) = E(p, t + s) = (p + (t + s)Np ) = Np .
ds s=0 ds s=0

donde α : (−ε, ε) → S es una curva diferenciable tal que α(0) = p, α (0) = v. As´ dE(p,0)
ı,
es un isomorfismo de espacios vectoriales. El Teorema de la Funciń Inversa (que tambiń
o e
es v´lido en esta situaciń) nos da la existencia de un entorno V de p en S y un δ > 0
a o
tales que E|V ×(−δ,δ) : V × (−δ, δ) → E(V × (−δ, δ)) = T (V, δ) es un difeomorfismo. 2
Sabemos que ciertos abiertos del plano Π = {(x, y, z) | z = 0} y del cilindro C =
{(x, y, z) | x2 + y 2 = 1} son isom´tricos. Esta isometr´ no puede ser la restricciń de un
e ıa o
movimiento r´ ıgido (porque un movimiento r´ ıgido lleva planos en planos), luego existen
isometr´ entre superficies que no conservan sus segundas formas fundamentales. Como
ıas
adelantamos, el que una isometr´ entre superficies conserve las segundas formas funda-
ıa
mentales es algo muy restrictivo:

Teorema 4.1.1 (Bonnet) Sean S, S ⊂ R3 dos superficies orientables, con S conexa. Si
F : S → S es una isometr´ local que conserva las segundas formas fundamentales de S y
ıa
ıgido de R3 , es decir, S y S son
S , entonces F es la restricciń a S de un movimiento r´
o
congruentes.

4.1. ISOMETR´
IAS. 79

Demostraciń. Por hip´tesis, existen aplicaciones de Gauss N, N en S, S respectivamente,
o o
con segundas formas fundamentales asociadas σ, σ , tales que σF (p) (dFp (v), dFp (w)) =
σp (v, w) para cualesquiera p ∈ S, v, w ∈ Tp S. Fijemos un punto p0 ∈ S. Como F es una
isometr´ local, el Teorema de la Funciń inversa asegura que existen entornos abiertos V
ıa o
de p0 en S y V de F (p0 ) en S tales que F (V ) = V y F |V : V → V es una isometr´ ıa.
Aplicando el Lema 4.1.2, podemos tomar V, V suficientemente pequeõs como para que
n

T (V, δ) = {p + tNp | p ∈ V, |t| < δ}, T (V , δ) = {p + tNp | p ∈ V , |t| < δ}

sean entornos tubulares de V, V respectivamente de cierto radio comń δ > 0. Ahora
u
definimos la aplicaciń φ : T (V, δ) → T (V , δ),
o

(4.1) φ(p + tNp ) = F (p) + tNF (p) , ∀p + tNp ∈ T (V, δ).

Queremos aplicarle a φ el Lema 4.1.1, para concluir que φ es la restricciń a T (V, δ) de
o
un movimiento r´ ıgido de R 3 . Para ello, debemos probar que φ es un difeomorfismo y que

dφx ∈ O(3) para cada x ∈ T (V, δ).
Por definiciń de entorno tubular, T (V, δ) y T (V , δ) son abiertos de R3 y las aplica-
o
ciones
E : V × (−δ, δ) → T (V, δ), E(p, t) = p + tNp ,
E : V × (−δ, δ) → T (V , δ), E (p , t) = p + tNp ,
son difeomorfismos. Adem´s, (4.1) se traduce en que φ ◦ E = E ◦ (F × 1R ), luego φ
a
es un difeomorfismo. Dado x = E(p, t) ∈ T (V, δ), la regla de la cadena nos dice que
dφx ◦ dE(p,t) = dE(F (p),t) ◦ (dFp × 1R ). Evaluando en (v, 0), (0, 1) ∈ Tp S × R, obtenemos
respectivamente

(4.2) dφx (v + tdNp (v)) = dFp (v) + tdNF (p) (dFp (v)),

(4.3) dφx (Np ) = NF (p) .

Por otro lado, como F conserva las segundas formas fundamentales,

dNF (p) (dFp (v)), dFp (w) = −σF (p) (dFp (v), dFp (w)) = −σp (v, w) = dNp (v), w

para cualesquiera v, w ∈ Tp S. Como F es una isometr´ local, el miembro de la derecha
ıa
de la ultima expresiń es dFp (dNp (v)), dFp (w) . Variando v, w ∈ Tp S obtenemos
´ o

(4.4) dNF (p) ◦ dFp = dFp ◦ dNp .

Sustituyendo (4.4) en (4.2) queda

dφx (v + tdNp (v)) = dFp (v) + tdFp (dNp (v)) = dFp (v + tdNp (v)), ∀v ∈ Tp S.

80 CAP´
IA INSECA.

Usando que v ∈ Tp S → v + tdNp (v) = dE(p,t) (v, 0) es un isomorfismo de espacios vecto-
riales, queda

(4.5) dφx (w) = dFp (w), ∀w ∈ Tp S.

Como F es una isometr´ local de S en S , (4.5) nos dice que la restricciń de dφx al plano
ıa o
Tp S es una isometr´ vectorial en el plano TF (p) S . Por otro lado, (4.3) nos dice que la
ıa
restricciń de dφx al subespacio ortogonal de Tp S en R3 es una isometr´ vectorial sobre
o ıa
el subespacio ortogonal del plano TF (p) S . Por tanto, dφx es una isometr´ vectorial para
ıa
cada x ∈ T (V, δ).
Aplicando el Lema 4.1.1, existe un movimiento r´ ıgido φ = φp0 : R3 → R3 tal que
φ|T (V,δ) = φ. En particular, φ|V = F |V . Ahora un argumento de conexiń de S nos
o
asegura que los movimientos r´ıgidos φ p0 no dependen del punto p ∈ S, lo que termina la
0
demostraciń.
o 2

Corolario 4.1.1

1. Sean Π, Π ⊂ R3 dos planos afines y F : U → Π una isometr´ local, donde U es un
ıa
ıgido de R3 .
abierto conexo de Π. Entonces, F es la restricciń de un movimiento r´
o

2. Sean S, S ⊂ R3 dos esferas del mismo radio. y F : U → Π una isometr´ local, donde
ıa
U es un abierto conexo de S. Entonces, F es la restricciń de un movimiento r´
o ıgido
de R 3.

Demostraciń. Por el teorema de Bonnet, en ambos casos basta comprobar que F con-
o
serva las segundas formas fundamentales. En el caso 1 esto es trivial porque ambas son
cero. En el caso 2, la umbilicidad de las esferas hace que la segunda forma fundamental
sea proporcional a la primera, con factor de proporcionalidad el inverso del radio de la
esfera. Como ambas esferas tienen el mismo radio, F tambiń conserva las segundas formas
e
fundamentales en este segundo caso. 2

4.2. El teorema egregium de Gauss.
Sea S ⊂ R3 una superficie y X : U ⊂ R2 → R3 una parametrizaciń de S. Consideramos
o
Xu ×Xv 3 . Siguiendo la idea que se us´ con las
la base B = Xu , Xv , N ◦ X = Xu ×Xv de R o
ecuaciones de Frenet para curvas, a continuaciń estudiaremos la variaciń de esta base
o o
respecto de los par´metros u, v de la carta. N´tese que dado v ∈ R3 , tenemos v = aXu +
a o

4.2. EL TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS. 81

bXv +c(N ◦X), donde a, b, c ∈ R y v, N ◦X = c. Si tomamos v como Xuu (resp. Xuv , Xvv ,
el coeficiente c correspondiente es e (resp. f, g), ver (3.7). As´
ı,

Xuu = Γ1 Xu + Γ2 Xv + e(N ◦ X),

 11 11
Xuv = Γ1 Xu + Γ2 Xv + f (N ◦ X),


12 12


Xvu = Γ1 Xu + Γ2 Xv + f (N ◦ X),


(4.6) 21 21

 Xvv = Γ1 Xu + Γ2 Xv + g(N ◦ X),
22 22
 (N ◦ X)u = a11 Xu + a12 Xv ,



(N ◦ X)v = a21 Xu + a22 Xv ,


donde Γk , aij son funciones diferenciables en el abierto U ⊂ R2 . A las funciones Γk se
ij ij
les llama los s´
ımbolos de Christoffel de la parametrizaciń. Como Xuv = Xvu , deducimos
o
que los s´ımbolos de Christoffel Γk son sim´tricos en i, j, y podemos eliminar la tercera
ij e
ecuaciń de (4.6). Veamos que los s´
o ımbolos de Christoffel pueden obtenerse derivando los
coeficientes de la primera forma fundamental:
1 1 2
Eu = Xu u
= Xuu , Xu = Γ1 E + Γ2 F,
11 11
2 2
1
Fu − Ev = ( Xu , Xv )u − Xu , Xuv = Xuu , Xv = Γ1 F + Γ2 G,
11 11
2
que podemos ver como sistema de dos ecuaciones lineales en las inc´gnitas Γ1 , Γ2 . Re-
o 11 11
solvemos el sistema:
1
2 GEu − F Fu + 1 F Ev EFv − 1 EEv − 2 F Eu
1
Γ1 =
11
2
, Γ2 =
11
2
.
EG − F 2 EG − F 2
De forma an´loga pero usando las ecuaciones 2,3,4 en (4.6) se obtienen expresiones que
a
prueban que
Los s´
ımbolos de Christoffel se obtienen a partir de los coeficientes de la primera
forma fundamental y sus primeras derivadas parciales.
Volvamos a (4.6). Derivando respecto a v en la primera ecuaciń y respecto a u en la
o
segunda:

Xuuv = (Γ1 )v Xu + Γ1 Xuv + (Γ2 )v Xv + Γ2 Xvv + ev (N ◦ X) + e(N ◦ X)v ,
11 11 11 11

Xuvu = (Γ1 )u Xu + Γ1 Xuu + (Γ2 )u Xv + Γ2 Xuv + fu (N ◦ X) + f (N ◦ X)u .
12 12 12 12

Como Xuuv = Xuvu , podemos igualar los miembros de la derecha en las dos ultimas ´
ecuaciones. Son dos combinaciones lineales de vectores donde aparecen Xu , Xv , N ◦ X que
forman base. Eliminamos el resto de vectores sustituyendo (4.6):

(Γ1 )v Xu + Γ1 Γ1 Xu + Γ2 Xv + f (N ◦ X)
11 11 12 12

82 CAP´
IA INSECA.

+(Γ2 )v Xv + Γ2 Γ1 Xu + Γ2 Xv + g(N ◦ X)
11 11 22 22

+ev (N ◦ X) + e (a21 Xu + a22 Xv )
= (Γ1 )u Xu + Γ1 Γ1 Xu + Γ2 Xv + e(N ◦ X)
12 12 11 11

+(Γ2 )u Xv + Γ2 Γ1 Xu + Γ2 Xv + f (N ◦ X)
12 12 12 12

+fu (N ◦ X) + f (a11 Xu + a12 Xv ) .
Ahora s´ podemos identificar coeficientes: Para Xu ,
ı

(Γ1 )v + Γ1 Γ1 + Γ2 Γ1 + ea21 = (Γ1 )u + Γ1 Γ1 + Γ2 Γ1 + f a11 ,
11 11 12 11 22 12 12 11 12 12

para Xv ,
2
(4.7) Γ1 Γ2 + (Γ2 )v + Γ2 Γ2 + ea22 = Γ1 Γ2 + (Γ2 )u + Γ2
11 12 11 11 22 12 11 12 12 + f a12 ,

y para N ◦ X,
Γ1 f + Γ2 g + ev = Γ1 e + Γ2 f + fu .
11 11 12 12

S´lo usaremos (4.7) en lo que sigue. Primero calculamos aij en funciń de los coeficientes
o o
de la primera y segunda forma fundamental:

−e = − N ◦ X, Xuu = (N ◦ X)u , Xu = a11 E + a12 F

y an´logamente, −f = a11 F + a12 G. Resolviendo este sistema de dos ecuaciones lineales
a
con inc´gnitas a11 , a12 se obtienen
o
f F − eG F e − Ef
a11 = , a12 = .
EG − F 2 EG − F 2
Razonando an´logamente con la ultima ecuaciń de (4.6) deducimos que
a ´ o
gF − f G F f − Eg
a21 = , a22 = .
EG − F 2 EG − F 2
Ahora sustitu´
ımos en (4.7) y pasamos todos los s´
ımbolos de Christoffel a un lado:

eg − f 2
(Γ2 )v − (Γ2 )u + Γ1 Γ2 + Γ2 Γ2 − Γ1 Γ2 − (Γ2 )2 = E
11 12 11 12 11 22 12 11 12 = E · (K ◦ X),
EG − F 2
donde K es la curvatura de Gauss de S. Esto nos da una expresiń la curvatura de Gauss
o
que s´lo depende de los s´
o ımbolos de Christoffel, sus primeras derivadas y E. Por lo obtenido
antes, K podr´ expresarse unicamente en t´rminos de los coeficientes de la primera forma
a ´ e
fundamental y sus derivadas parciales hasta el orden 2. A partir de aqu´ es trivial probar
ı
el siguiente resultado:

4.3. TEOREMA DE RIGIDEZ DE LA ESFERA. 83

Teorema 4.2.1 (Teorema Egregium de Gauss) Sea F : S → S una isometr´ local ıa
entre dos superficies de R 3 , con curvaturas de Gauss K, K . Entonces K ◦ F = K, esto

es: las isometr´ locales conservan la curvatura de Gauss.
ıas

Una consecuencia directa del Teorema Egregium de Gauss es que un abierto de esfera
no puede ser isom´trico a un abierto del plano, es decir, no podemos trazar mapas sin
e
distorsionar las distancias, por pequeã que sea la porciń de tierra a representar.
n o

Corolario 4.2.1 Sean S, S ⊂ R3 dos esferas y F : U → S una isometr´ local, donde U
ıa
ıgido de R3 .
es un abierto conexo de S. Entonces, F es la restricciń de un movimiento r´
o
En particular S, S tienen el mismo radio.

Demostraciń. Por el Corolario 4.1.1, basta probar que ambas esferas tienen el mismo
o
radio. Esto se deduce del Teorema Egregium de Gauss, ya que la curvatura de una esfera
es el inverso del cuadrado del radio. 2

4.3. Teorema de rigidez de la esfera.
Hemos visto dos resultados de rigidez (Corolarios 4.1.1 y 4.2.1) donde se ve´ la im-
ıa
posibilidad de llevar una esfera en otra conservando las longitudes de curvas, ni siquiera
localmente. En esta secciń extenderemos este resultado al caso en que la segunda super-
o
ficie es arbitraria. A cambio, el resultado deber´ ser global en vez de local.
a

Teorema 4.3.1 (Rigidez de las esferas) Sea F : S2 (r) → S una isometr´ local entre
ıa
una esfera de radio r > 0 y una superficie conexa S. Entonces, F es la restricciń de un
o
movimiento r´ıgido de R3 (en particular, S es otra esfera de radio r).

Demostraciń. Por el Corolario 4.2.1, basta probar que S es una esfera. Como F es conti-
o
nua y S2 (r) compacta, su imagen F (S2 (r)) es un cerrado de S. Como F es un difeomorfismo
local, es una aplicaciń abierta luego F (S2 (r)) es un abierto de S. Como S es conexa, debe
o
ser F (S 2 (r)) = S luego S es compacta. Por otro lado, el Teorema Egregium de Gauss

asegura que la curvatura de Gauss de S es constante. En estas condiciones, el Teorema de
Hilbert-Liebmann nos dice que S es una esfera. 2
La rigidez de las esferas significa que la geometr´ global de una esfera est´ comple-
ıa a
tamente determinada por la de su primera forma fundamental. Esta propiedad de rigidez
no es exclusiva de las esferas: tambiń la tienen las superficies compactas con curvatura
e
positiva (ovaloides), pero la demostraciń es mucho m´s complicada (ver por ejemplo las
o a
p´gs. 214–219 del libro de Montiel y Ros, Curves and Surfaces, Graduate texts in
a
Mathematics 69, AMS-RSME 2005). Sin embargo, existen superficies compactas que no

84 CAP´
IA INSECA.

Figura 4.1: Dos superficies isom´tricas pero no congruentes.
e

son r´
ıgidas, incluso de revoluciń: en la Figura 4.1 se muestran dos superficies isom´tricas,
o e
donde la isometr´ local fija un abierto no trivial de las superficies (luego no puede ser la
ıa
restricciń de un movimiento r´
o ıgido).

4.4. Geod´sicas.
e
Seguimos estudiando propiedades intr´ ınsecas de las superficies, en el sentido de que se
conserven por isometr´ (locales). El primer ejemplo de cantidad conservada por este tipo
ıas
de aplicaciones ha sido la curvatura de Gauss. Es l´gico pensar que si las isometr´ locales
o ıas
conservan la longitud de las curvas, entonces deber´ conservarse las curvas de longitud
ıan
m´ınima uniendo dos puntos (caso de que existan), una clara generalizaciń de lo que ocurre
o
en el plano con las rectas. Cuando una curva en una superficie tenga esta propiedad de
minimizaciń de longitudes de curvas uniendo sus mismos extremos, se la llamar´ geod´sica
o a e
minimizante. Es claro el inter´s de determinar las geod´sicas minimizantes sobre la Tierra,
e e
por ejemplo para trazar cartas de navegaciń a´reas. Desde luego, para calcular las curvas
o e
que minimizan la longitud entre sus extremos, primero deben minimizar la longitud de
entre curvas pr´ximas con los mismos extremos. Esto nos lleva de forma natural al concepto
o
de variaciń propia de una curva dada.
o

Definiciń 4.4.1 Sea α : [a, b] → S una curva diferenciable sobre una superficie S ⊂ R3 .
o
Una variaciń de α es una aplicaciń diferenciable F : [a, b] × (−ε, ε) → S tal que F0 (t) :=
o o
F (t, 0) = α(t) para cada t ∈ [a, b], ver Figura 4.2.
Las curvas longitudinales de la variaciń son Fs : [a, b] → S, Fs (t) = F (t, s), ∀s ∈
o
(−ε, ε). As´ la curva central de la variaciń es F0 = α. Las curvas transversales de F son
ı, o
Ft : (−ε, ε) → S, Ft (s) = F (t, s), ∀t ∈ [a, b]. La variaciń se dice propia en a si Fs (0) = a
o

´
4.4. GEODESICAS. 85

Figura 4.2: Variaciń de una curva α en una superficie.
o

∀s ∈ (−ε, ε), y se dice propia si es propia en a y en b simultńeamente (es decir, fija los
a
extremos de α).
El campo variacional de F es la aplicaciń diferenciable V : [a, b] → R3 dada por
o
∂F
V (t) = (t, 0), t ∈ [a, b].
∂s
Claramente, V (t) ∈ Tγ(t) S, ∀t ∈ [a, b]. Esto es, V es un campo tangente a S.

Si la variaciń es propia, su campo variacional se anular´ en los extremos. A continuaciń
o a o
veremos una especie de rec´ ıproco de la construcciń anterior: los campos tangentes a lo
o
largo de una curva pueden ser integrados, y si se anulan en los extremos de la curva, la
variaciń que lo integra puede elegirse propia.
o

Proposiciń 4.4.1 Sea α : [a, b] → S una curva diferenciable sobre una superficie S ⊂ R3
o
y V : [a, b] → R3 una aplicaciń diferenciable tal que V (t) ∈ Tα(t) S para cada t ∈ [a, b].
o
Entonces, existe ε > 0 y una variaciń F : [a, b]×(−ε, ε) → S de α cuyo campo variacional
o
es V . Adem´s, si V (a) = V (b) = 0, la variaciń F puede elegirse propia.
a o

Demostraciń. Dado t ∈ [a, b], el Lema 4.1.2 nos permite tomar un entorno abierto orien-
o
table Vt de α(t) en S y un n´mero δt > 0 tal que
u

T (Vt , δt ) = {p + tNp | p ∈ Vt , |t| < δt }

es un entorno tubular de Vt de radio δt . Moviendo t en [a, b] y usando la compacidad de
α([a, b]), podemos tomar δt := δ > 0 independiente de t y encontramos un abierto W
de S conteniendo a α([a, b]) tal que T (W, δ) es un entorno tubular de W de radio δ. En
particular:
1. T (W, δ) es un abierto de R3 que contiene al compacto α([a, b]).

86 CAP´
IA INSECA.

2. La aplicaciń E : W × (−δ, δ) → T (W, δ) dada por E(p, t) = p + tNp es un difeo-
o
morfismo. Llamemos π = π1 ◦ E −1 : T (W, δ) → W , π(E(p, t)) = p, donde π1 es la
proyecciń sobre el primer factor. Claramente, π es diferenciable.
o

La primera condiciń anterior implica que existe ε > 0 tal que si p ∈ R3 cumple
o
dist(p, α([a, b])) < ε , entonces p ∈ T (W, δ). Llamemos

ε
M := m´x{ V (t) : t ∈ [a, b]},
a ε= .
(1 + M )

Dado (t, s) ∈ [a, b] × (−ε, ε), se tiene

dist(α(t) + sV (t), α([a, b])) ≤ dist(α(t) + sV (t), α(t)) = sV (t) < εM < ε

luego α(t) + sV (t) ∈ T (W, δ). Ahora podemos definir F : [a, b] × (−ε, ε) → S mediante

F (t, s) = π (α(t) + sV (t)) ,

que es claramente diferenciable. Es fćil ver que F es una variaciń de α, cuyo campo
a o
variacional viene dado por

∂F d d
(4.8) (t, 0) = (dF )(t,0) (0, 1) = F (t, s) = π (α(t) + sV (t) ) = dπα(t) (V (t)).
∂s ds 0 ds 0

Ahora calculamos la diferencial de π. Dado (p, t) ∈ W × (−δ, δ) y v ∈ Tp S,

v = (dπ1 )(p,t) (v, 0) = d (π ◦ E)(p,t) (v, 0) = dπp+tNp dE(p,t) (v, 0) = dπp+tNp (v + tdNp (v)) ,

luego tomando t = 0 tenemos dπp (v) = v, ∀p ∈ W y v ∈ Tp S. Sustituyendo en (4.8),

∂F d
(t, 0) = (dF )(t,0) (0, 1) = F (t, s) = V (t),
∂s ds 0

luego el campo variacional de F es V . Por ultimo, es inmediato comprobar que cuando
´
V (a) = V (b) = 0, la variaciń F as´ definida es propia.
o ı 2

Definiciń 4.4.2 Sea F : [a, b] × (−ε, ε) → S una variaciń de una curva diferenciable
o o
α : [a, b] → S sobre una superficie S ⊂ R3 . Se define la funciń longitud de la variaciń F
o o
como LF : (−ε, ε) → R,
b
∂F
LF (s) = L(Fs ) = longitud(Fs ) = (t, s) dt.
a ∂t

´
4.4. GEODESICAS. 87

Es claro que para la definiciń anterior no necesitamos que la curva Fs sea regular, ya que la
o
longitud es invariante frente a reparametrizaciones. Pero para poder derivar el integrando
anterior respecto a s necesitamos que s ∈ (−ε, ε) → ∂F (t, s) sea diferenciable en s
∂t
para cada t ∈ [a, b]. Como F es diferenciable, lo anterior se tendr´ por composiciń si
a o
∂F
aseguramos que ∂t (t, s) no tiene ceros en [a, b], ∀s ∈ (−ε, ε). Una forma de conseguir esto
es suponer que α es una curva regular, es decir ∂F (t, 0) = α (t) = 0 para cada t ∈ [a, b].
∂t
Por compacidad de [a, b] y continuidad de ∂F (t, s), podemos tomar ε > 0 suficientemente
∂t
pequeõ como para que ∂F (t, s) no tenga ceros en [a, b] × (−ε, ε). En estas condiciones,
n ∂t
un resultado de derivaciń de integrales de funciones reales de variable real dependientes
o
de un par´metro nos asegura que LF = LF (s) es derivable en s ∈ (−ε, ε) y su derivada se
a
calcula integrando la derivada del integrando anterior, es decir:
b b ∂ 2 F ∂F
∂ ∂f ∂t∂s , ∂t
(4.9) LF (s) = (t, s) dt = ∂F
(t, s) dt.
a ∂s ∂t a ∂t
Si suponemos que α est´ p.p.a., entonces
a
b
∂ 2 F ∂F
(4.10) LF (0) = , (t, 0) dt.
a ∂t∂s ∂t
Teorema 4.4.1 (Primera f´rmula de variaciń de la longitud) Sea α : [a, b] → S
o o
una curva diferenciable con valores en una superficie S ⊂ R3 . Sea F : [a, b] × (−ε, ε) → S
una variaciń diferenciable de α con campo variacional V . Entonces,
o
b
(4.11) LF (0) = − V (t), α (t) dt + V (b), α (b) − V (a), α (a) .
a

Demostraciń. Usando (4.10) y el Teorema fundamental del C´lculo,
o a
b b
∂ ∂F ∂F ∂F ∂ 2 F
LF (0) = , (t, 0) dt − , (t, 0) dt
a ∂t ∂s ∂t a ∂s ∂t2
b
∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂ 2 F
= , (b, 0) − , (a, 0) − , (t, 0) dt
∂s ∂t ∂s ∂t a ∂s ∂t2
b
= V (b), α (b) − V (a), α (a) − V (t), α (t) dt.
a
2
Gracias a la primera f´rmula de variaciń de la longitud podemos caracterizar los pun-
o o
tos cr´
ıticos de la longitud para variaciones propias. Antes introducimos algo de notaciń:
o
Dado p ∈ S y v ∈ R3 , podemos descomponer v de forma unica como
´
v = v T + v, Np Np ,
donde Np es un vector unitario perpendicular a Tp S.

88 CAP´
IA INSECA.

Corolario 4.4.1 Sea γ : [a, b] → S una curva regular en una superficie. Son equivalentes:

1. Para toda variaciń propia F de γ, la funciń longitud LF de F cumple LF (0) = 0.
o o

2. La componente tangencial (γ )T de la aceleraciń γ de γ es colineal con γ , es decir
o
(γ )T × γ = 0 en [a, b].

Demostraciń. Primero veamos que la condiciń (γ )T × γ = 0 es invariante frente a
o o
˙ ˙
reparametrizaciones: si β(s) = γ(h(s)) es una reparametrizaciń de γ, entonces β = hγ (h)
o
yβ ˙ ¨ ¨ ˙ ¨ ˙
¨ = hγ (h) + (h)2 γ (h), luego (β)T = h(γ (h))T + (h)2 (γ (h))T = hγ (h) + (h)2 (γ (h))T
¨
y
¨ ˙ ¨ ˙ ˙ ˙
(β)T × β = hγ (h) + (h)2 (γ (h))T × hγ (h) = (h)3 ((γ )T × γ )(h),

lo que implica que la condiciń 2 es invariante frente a reparametrizaciones. Tambiń la
o e
condiciń 1 lo es, claramente. As´ en lo que sigue supondremos que α est´ p.p.a., luego
o ı, a
α es ortogonal a α . Esto nos dice que (γ )T × γ = 0 si y s´lo si (γ )T = 0 (de hecho, es
o
inmediato probar que si γ est´ parametrizada proporcionalmente al arco, esta equivalencia
a
se mantiene).
Supongamos primero que γ est´ p.p.a. y (γ )T = 0 en [a, b]. Entonces, dada una
a
variaciń propia F de γ, la primera variaciń de la longitud nos dice que
o o
b b
LF (0) = − V (t), γ (t) dt = − V (t), [γ (t)]T dt = 0.
a a

Rec´ıprocamente, supongamos que 1 se da. Tomemos una funciń derivable h : [a, b] → R
o
que se anule en a y b y que sea estrictamente positiva en (a, b). Definimos V : [a, b] → R3
mediante V (t) = h(t)[γ (t)]T . La Proposiciń 4.4.1 asegura que existe una variaciń propia
o o
F de γ con campo variacional V . Llamemos LF a la funciń longitud de F . La primera
o
f´rmula de variaciń de la longitud y la hip´tesis 1 implican
o o o
b b
0 = LF (0) = − h (γ )T , γ dt = − h (γ )T 2
dt.
a a

Como el integrando anterior es no negativo en (a, b) y su integral es cero, deducimos
que h (γ )T 2 = 0 en [a, b]. Como h > 0 en (a, b), debe ser (γ )T = 0 en (a, b), y por
continuidad tambiń en [a, b].
e 2

Definiciń 4.4.3 Sea S ⊂ R3 una superficie. Una curva diferenciable γ : [a, b] → S se
o
dice geod´sica si su aceleraciń γ (t) es perpendicular a S:
e o

γ (t) ⊥ Tγ(t) S, ∀t ∈ [a, b].

´
4.4. GEODESICAS. 89

Toda geod´sica est´ parametrizada proporcionalmente al arco, ya que
e a
d 2
γ (t) = 2 γ (t), γ (t) = 0.
dt
En particular:

1. Las unicas reparametrizaciones de una geod´sica que siguen siendo geod´sicas son
´ e e
aquellas donde el cambio de par´metro es af´ h(t) = at + b con a = 0. Esto nos
a ın,
dice que la propiedad de que una curva sea geod´sica no s´lo depende de su traza,
e o
sino de c´mo se recorre ´sta. Desde luego, las curvas constantes son geod´sicas, pero
o e e
´stas no son interesantes.
e

2. Si γ es una geod´sica de S, entonces (γ )T = 0, luego por el Corolario 4.4.1, γ
e
es punto cr´
ıtico de la funciń longitud para toda variaciń propia de γ (pero no
o o
necesariamente un m´ ınimo). Rec´ ıprocamente, si γ : [a, b] → S es una curva regu-
lar parametrizada proporcionalmente al arco y γ es un punto cr´ ıtico del funcional
longitud para toda variaciń propia de γ, entonces el Corolario 4.4.1 asegura que
o
(γ )T × γ = 0 en [a, b]. Como γ est´ parametrizada proporcionalmente al arco,
a
entonces (γ )T = 0 en [a, b], es decir, γ es una geod´sica. En resumen:
e

Una curva parametrizada proporcionalmente al arco γ : [a, b] → S es una
geod´sica si y s´lo si es un punto cr´
e o ıtico del funcional longitud para toda
variaciń propia de γ.
o

Incluso antes de ver ejemplos, mostraremos que el concepto de geod´sica es natural para
e
estudiar Geometr´ intr´
ıa ınseca de superficies.

Proposiciń 4.4.2 Sea F : S → S una isometr´ local entre dos superficies y γ : [a, b] → S
o ıa
una curva diferenciable en S. Entonces, γ es una geod´sica de S si y s´lo si F ◦ γ es una
e o
geod´sica de S.
e

Demostraciń. De la definiciń de geod´sica se deduce que este concepto es puramente
o o e
local, y por tanto nos podemos restringir al caso de que F sea una isometr´ Entonces F y
ıa.
su inversa conservan longitudes y variaciones propias, luego conservan los puntos cr´
ıticos
de las correspondientes funciones longitud. Como tambiń conservan la propiedad de que
e
una curva est´ parametrizada proporcionalmente al arco, la proposiciń est´ probada. 2
e o a
Veamos algunos ejemplos de geod´sicas.
e

1. Dados p, v ∈ R2 , la curva γ : R → R2 dada por γ(t) = p + tv es una geod´sica.e
Adem´s, γ(0) = p, γ (0) = v. Rec´
a ıprocamente, en R 2 (o en cualquier plano af´
ın) no
hay m´s geod´sicas que ´stas.
a e e

90 CAP´
IA INSECA.

Figura 4.3: Geod´sicas en un cilindro.
e

2. Dados p ∈ S2 = S2 (1) y v ∈ Tp S2 = p ⊥, v = 0, la curva γ : R → S2 dada por
v
γ(t) = cos( v t)p + sin( v t)
v

es la geod´sica que pasa por p en t = 0 con velocidad v. La traza de γ es un c´
e ırculo
m´ximo de S
a 2.

3. Dado un punto p = (x, y, z) en el cilindro C = {x2 + y 2 = 1}, el vector v =
(−ay, ax, b) es tangente a C en p, para cualquier (a, b) ∈ R2 − {(0, 0)}. La curva
γ : R → C dada por

γ(t) = (x cos(at) − y sin(at), y cos(at) + x sin(at), bt + z)

es la geod´sica que pasa por p en t = 0 con velocidad v. La traza de γ es una
e
circunferencia horizontal si b = 0, una recta vertical si a = 0 y una h´lice circular si
e
ab = 0,ver Figura 4.3.

En los dos ultimos ejemplos hemos dicho que γ es la geod´sica y no una geod´sica que
´ e e
pasa por p en t = 0 con velocidad v. Esto exige que no haya m´s de una con estas
a
condiciones iniciales, lo que ser´ cierto en general (Teorema 4.4.2). no obstante, no es
a
dif´ probar directamente que ´stas son las unicas geod´sicas, sin usar este resultado
ıcil e ´ e
general (Ejercicios 3 y 4).

Teorema 4.4.2 (Existencia y unicidad de geod´sicas) Sea p0 un punto en una su-
e
perﬁcie S ⊂ R 3 y v ∈ T S. Entonces, existe ε = ε(p , v) ∈ (0, ∞] y una unica geod´sica
´ e
p0 0
maximal γ(·) = γ(·, p0 , v) : (−ε, ε) → S tal que γ(0) = p0 y γ (0) = v.

´
4.4. GEODESICAS. 91

Demostraciń. Sean V un entorno abierto orientable de p0 en S y δ > 0 tales que T (V, δ) =
o
{p + sNp | p ∈ V, |s| < δ} es un entorno tubular de V , siendo N : V → S2 una aplicaciń de
o
Gauss (todo ello dado por el Lema 4.1.2). As´ T (V, δ) es un abierto de R3 y la aplicaciń
ı, o
E : V × (−δ, δ) → T (V, δ) dada por E(p, s) = p + sNp es un difeomorfismo. Consideremos
la aplicaciń diferenciable π = π1 ◦ E −1 : T (V, δ) → V , π(p + sNp ) = p, donde π1 es la
o
proyecciń sobre el primer factor.
o
Sea G : T (V, δ) × R3 → R3 la aplicaciń diferenciable dada por
o

G(x, y) = − y, d(N ◦ π)x (y) (N ◦ π)(x),

y G : T (V, δ) × R3 → R3 × R3 dada por

G(x, y) = (y, G(x, y)),

tambiń diferenciable. Ahora se considera el sistema de ODE de primer orden
e

(4.12) (x (t), y (t)) = G(x(t), y(t)) = (y(t), G(x(t), y(t)) ,

que es equivalente a

(4.13) x (t) = G(x(t), x (t)).

Aplicando a (4.12) resultados de existencia y unicidad y de dependencia diferenciable de
soluciones de un sistema de ODE en funciń de las condiciones iniciales, conclu´
o ımos que

1. Dada una condiciń inicial (a, b) ∈ T (V, δ) × R3 , existe ε = ε(a, b) ∈ (0, ∞] y existe
o
una aplicaciń ga,b : (−ε, ε) → T (V, δ) × R3 tal que
o

ga,b (t) = G(ga,b (t)) ∀t ∈ (−ε, ε),
( )
ga,b (0) = (a, b).

2. ga,b es maximal, en el sentido de que no puede definirse como soluciń del problema
o
de valores iniciales ( ) en un intervalo sim´trico mayor.
e

3. ga,b depende diferenciablemente de a, b, en el sentido de que el conjunto

D = {(t, a, b) | T (V, δ) × R × R3 | |t| < ε(a, b)}

es abierto (de R7 ) y la aplicaciń Γ : D → T (V, δ) × R3 dada por
o

Γ(t, a, b) = ga,b (t)

es diferenciable.

92 CAP´
IA INSECA.

Volvamos a las condiciones iniciales p0 ∈ S, v ∈ Tp0 S del enunciado. Como (p0 , v) ∈
T (V, δ) × R3 , tenemos un ε = ε(p0 , v) > 0 y una soluciń g = gp0 ,v : (−ε, ε) → T (V, δ) × R3
o
de ( ). Si denotamos por g(t) = (x(t), y(t)), entonces x : (−ε, ε) → T (V, δ) es diferenciable
y cumple (4.13) junto con x(0) = p0 , x (0) = y(0) = v. Veamos que t → x(t) es la geod´sica e
buscada.
Primero veamos que t → x(t) est´ valuada en S. Usando el difeomorfismo E asociado
a
al entorno tubular, tendremos
(4.14) x(t) = p(t) + s(t)Np(t) = E(p(t), s(t)),
para ciertas aplicaciones diferenciables t → p(t) ∈ V y t → s(t) ∈ (−δ, δ). Entonces,
p0 = x(0) implica que p(0) = p0 y s(0) = 0. Adem´s, derivando en (4.14) obtenemos
a
x (t) = p (t) + s (t)Np(t) + s(t)dNp(t) (p (t)),
de donde
(4.15) s (t) = x (t), Np(t) ,
en particular s (0) = v, Np0 = 0. Derivando en (4.15),
s (t) = x (t), Np(t) + x (t), dNp(t) (p (t))
(4.13)
= G(x(t), x (t)), Np(t) + x (t), dNp(t) (p (t))
= − x (t), d(N ◦ π)x(t) (x (t)) + x (t), dNp(t) (p (t)) = 0
para todo t, luego s es una funciń af´ Como s(0) = s (0) = 0, deducimos que s(t) = 0
o ın.
y as´ x(t) = p(t) ∈ S para todo t ∈ (−ε, ε). Para ver que t → x(t) es una geod´sica,
ı, e
calculamos
T
[x (t)]T = G(x(t), x (t)) = 0,
Luego t → x(t) es una geod´sica. Rec´
e ıprocamente, si γ(t) es una geod´sica con γ(0) = p y
e
γ (0) = v, entonces por definiciń γ (t) es perpendicular a S en γ(t), es decir
o
γ (t) = λ(t)Nγ(t) ,
para cierta funciń λ = λ(t) que viene dada por
o
λ = γ , Nγ = − γ , dNγ (γ ) .
As´
ı,
γ = − γ , dNγ (γ )Nγ = − γ , d(N ◦ π)γ (γ ) (N ◦ π)(γ) = G(γ, γ ),
es decir, t → γ(t) es una soluciń de (4.13). Esto nos dice que las geod´sicas de S son
o e
exactamente las soluciones de (4.13) cuyas condiciones iniciales son un punto de S y un
vector tangente a S en ese punto. Ahora el teorema se deduce de las propiedades 1,2,3
anteriores. 2

´
4.5. COORDENADAS GEODESICAS POLARES Y ENTORNOS NORMALES. 93

Lema 4.4.1 (Lema de homogeneidad) Con la notaciń del Teorema 4.4.2, se tiene
o
1
que para cada λ > 0, ε(p, λv) = λ ε(p, v) y

1 1
γ(t, p, λv) = γ(λt, p, v), ∀t ∈ − ε(p, v), ε(p, v) .
λ λ

Demostraciń. Se deduce directamente de que al reparametrizar proporcionalmente al
o
arco una geod´sica volvemos a obtener una geod´sica, y de la unicidad de las geod´sicas
e e e
a partir de sus condiciones iniciales. 2

4.5. Coordenadas geod´sicas polares y entornos normales.
e
El siguiente resultado es consecuencia directa de la dependencia diferenciable de las
geod´sicas en t´rminos de sus condiciones iniciales.
e e

Teorema 4.5.1 Dado un punto p en una superficie S ⊂ R3 , existen ε, δ > 0 tales que si
B(0, δ) ⊂ Tp S es la bola de centro el origen y radio δ, entonces la aplicaciń F : (−ε, ε) ×
o
B(0, δ) → S dada por
F (t, v) = γ(t, p, v)
es diferenciable (estamos usando la notaciń del Teorema 4.4.2).
o

Del Lema de homogeneidad se deduce fćilmente que existe2 ε1 > 0 tal que si v ∈ Tp S
a
tiene v < ε1 entonces ε(p, v) > 1 luego tiene sentido definir

expp (v) := γ(1, p, v).

A esta aplicaciń expp : B(p, ε1 ) → S la llamaremos la exponencial en el punto p. Por la
o
dependencia diferenciable de las geod´sicas respecto a sus condiciones iniciales (es decir,
e
el Teorema 4.4.2), la aplicaciń exponencial es diferenciable donde est´ definida. Adem´s,
o e a
su diferencial en 0 ∈ Tp S est´ dada por
a

d d d
(d expp )0 (v) = expp (tv) = γ(1, p, tv) = γ(t, p, v) = v, ∀v ∈ Tp S,
dt t=0 dt t=0 dt t=0

(hemos tomado t > 0 en la l´ ınea anterior), luego d(expp )0 = 1Tp S . Por el Teorema de la
Funciń inversa, existe un entorno abierto U ⊂ B(0, ε1 ) de 0 tal que
o

expp : U → V = expp0 (U )
2
ε1 puede definirse as´ elegimos λ ∈ (0, ε) y definimos ε1 = λδ, donde ε, δ > 0 vienen dados por el
ı:
Teorema 4.5.1.

94 CAP´
IA INSECA.

es un difeomorfismo. Al abierto V ⊂ S se le llema entorno normal de p.
Con la notaciń anterior, si δ1 > 0 cumple B(0, δ1 ) ⊂ U , entonces a B(p, δ1 ) :=
o
expp (B(0, δ1 )) ⊂ S lo llamaremos bola geod´sica de centro p y radio δ1 . Observemos que
e
expp : B(0, δ1 ) → B(p, δ1 ) es un difeomorfismo. Dado r ∈ 0 < t < δ, a la imagen difeom´rfi-
o
ca S 1 (p, r) por exp de S1 (0, r) = {v ∈ T S | v = r} se le llama el c´ ırculo geod´sico de
e
p p
centro p y radio r. Adem´s dado v ∈ B(0, δ1 ), la geod´sica
a e

t → expp (tv)

est´ definida al menos en [−1, 1], tiene su traza contenida en B(p, δ1 ), y une p (para t = 0)
a
con expp (v) (para t = 1). Por eso, a t ∈ [0, 1] → expp (v) se le llama geod´sica radial en p.
e
Veamos algunos ejemplos.

1. El plano R2 .
Como las geod´sicas de R2 son las rectas afines parametrizadas proporcionalmente
e
al arco, tenemos γ(t, p, v) = p + tv para cualesquiera p, v ∈ R2 y t ∈ R. As´ para
ı,
cada p ∈ R2 la exponencial expp est´ definida en todo R2 y vale
a

expp (v) = γ(1, p, v) = p + v, ∀v ∈ R2 .

Como expp es la traslaciń de vector p en R2 , que es un difeomorfismo de R2 en
o
s´ mismo, conclu´
ı ımos que el mayor entorno normal de cualquier punto de R2 es todo
el plano, y que las bolas geod´sicas existen para cualquier valor del radio y coinciden
e
con las bolas m´tricas de R2 para la distancia usual.
e

2. La esfera S2 = S2 (1).
v
Ten´
ıamos γ(t, p, 0) = p y γ(t, p, v) = cos( v t)p + sen( v t) v si v = 0. Como estas
geod´sicas estń definidas para todo t ∈ R, tenemos que dado p ∈ S2 la exponencial
e a
expp est´ definida en todo el plano tangente Tp S1 = p ⊥ , y
a
v
expp (v) = cos v p + sen v , ∀∀v ⊥ p.
v

Para ver cu´l es el mayor entorno normal de p en S2 , empezamos estudiando los
a
ıticos de expp , que son los vectores v ∈ p ⊥ tales que ker(d expp )v = 0.
puntos cr´
Como (d expp )0 es la identidad, podemos suponer v = 0. Dado w ∈ Tv (Tp S2 ) = Tp S2 ,

d d v + tw
(d expp )v (w) = expp (v + tw) = cos v + tw p + sen v + tw
dt 0 dt 0 v + tw

v, w v, w sen v sen v
=− sen v p + cos v − v+ w.
v v 2 v v

4.6. LEMA DE GAUSS Y TEOREMA DE MINDING. 95

Como p ⊥ v y p ⊥ w, obtenemos

⊥
v, w sen v = 0 (∗),
ker(d expp )v = w∈ p v,w sen v .
v cos v − v v + sen v w = 0 (∗∗)

Supongamos que w ∈ ker(d expp )v − {0}. Entonces, (∗) implica v, w = 0 ´ bien o
sen v = 0. En el primer caso, (∗∗) implica sen v = 0, luego esta ultima ecuaciń
´ o
es cierta en cualquier caso, y por tanto v = kπ, k ∈ N, y de nuevo (∗∗) nos dice
que v, w = 0. Por tanto, ker(d expp )v ⊆ {w ∈ Tp S2 (1) | v, w = 0}. De hecho,
la expresiń general de (d expp )w obtenida arriba nos dice que se la la igualdad en
o
la inclusiń anterior. Tambiń deducimos que expp es un difeomorfismo local en
o e
B(0, π) = {v ∈ Tp S2 | v < π}. Cuando aplicamos expp a esta bola del plano
tangente, estamos recorriendo las geod´sicas radiales en S2 (1) que parten de p hasta
e
llegar al punto ant´ıpoda −p, pero sin tomar este valor. Es geom´tricamente claro
e
que estos medios c´ırculos m´ximos no se cortan, de donde conclu´
a ımos que expp es
inyectiva en B(0, π). Por tanto,

El mayor entorno normal de p ∈ S2 (1) es B(p, π) = expp (B(0, π)) =
S2 (1) − {−p}.

4.6. Lema de Gauss y Teorema de Minding.
Lema 4.6.1 (Lema de Gauss) Sea p un punto en una superficie S ⊂ R3 y v ∈ Tp S tal
que la exponencial expp est´ definida en v. Entonces:
a

(dexpp )v (v), (dexpp )v (w) = v, w , ∀w ∈ T pS.

En particular, las geod´sicas radiales partiendo de p son ortogonales a los c´
e ırculos geod´si-
e
cos centrados en p.

Demostraciń. Si v = 0, la f´rmula es evidente. Supongamos entonces que v = 0. Como
o o
la f´rmula es lineal en w, basta probarla en los casos w v y w ⊥ v. Supongamos primero
o
que w = λv, λ ∈ R. Entonces,
2 2
(d expp )v (v), (d expp )v (w) = λ (d expp )v (v) = λ γ (1, p, v)
2 2
= λ γ (0, p, v) =λ v = gp (v, w).
Ahora supongamos gp (v, w) = 0. Por tanto, podemos ver w como vector tangente al
ırculo S1 ( v ) ⊂ Tp S en el punto v ∈ S1 ( v ). As´ existe una curva diferenciable v =
c´ ı,
v(s) : (−ε, ε) → S1 ( v ) tal que v(0) = v, v(0) = w. Como la exponencial expp est´ definida
˙ a

96 CAP´
IA INSECA.

en v, y su dominio de definiciń en un abierto de Tp S, podemos elegir ε > 0 suficientemente
o
ε ε
pequeõ como para que v(−ε, ε[) est´ contenido en el dominio3 de expp . Como v([− 2 , 2 ])
n e
es un compacto contenido en el dominio de expp , existe δ > 0 tal que tv(s) tambiń e
ε ε
cae en dicho dominio ∀(t, s) ∈ (−δ, 1 + δ) × (− 2 , 2 ). As´ tiene sentido expp (tv(s)) para
ı,
todo (t, s) ∈ (−δ, 1 + δ) × (−ε, ε) luego podemos considerar la aplicaciń diferenciable
o
ε ε
f : (−δ, 1 + δ) × (− 2 , 2 ) → S dada por

f (t, s) = expp (tv(s)).

Notemos que ∂f (t, s) = du u=0 expp ((t + u)v(s)) =
∂t
d d
du u=0 γ(t + u, p, v(s)) = γ (t, p, v(s))
por el Lema de Homogeneidad. Por tanto,
T
∂2f
(t, s) = γ (t, p, v(s))T = 0.
∂t2

Adem´s,
a
2
∂f 2 2
(t, s) = γ (t, p, v(s)) = v(s)
∂t
que es constante, luego
T
∂ ∂f ∂f ∂ 2 f ∂f ∂f ∂ 2 f ∂2f ∂f ∂f ∂ 2 f
, = , + , = , + ,
∂t ∂t ∂s ∂t2 ∂s ∂t ∂t∂s ∂t2 ∂s ∂t ∂t∂s

2
∂f ∂ 2 f 1 ∂ ∂f
= , = = 0.
∂t ∂t∂s 2 ∂s ∂t

Como lo anterior es cierto ∀t, s, tenemos que para s arbitrario, ∂f , ∂f no depende de t.
∂t ∂s
Si vemos que ∂f , ∂f (0, s) = 0 para s arbitrario, entonces tendremos
∂t ∂s

∂f ∂f
(4.16) , =0
∂t ∂s
para cualesquiera t y s. Evaluando (4.16) en t = 1 y s = 0 tendremos

(d expp )v (v), (d expp )v (w) = 0,
3
Tal y como hemos definido nosotros expp , su dominio es una bola de Tp S luego este paso es innecesario:
v(s) puede tomarse como una parametrizaciń del c´
o ırculo S1 ( v ); pero hay textos que no definen expp
sobre una bola de Tp S sino sobre su dominio maximal de definiciń, que sigue siendo abierto de Tp S por
o
el Teorema 4.4.2.


que es lo que quedaba para deducir el lema de Gauss. As´ que todo se reduce a probar que
ı
∂f ∂f
∂t , ∂s (0, s) = 0. Esto se deduce de que

∂f d
(0, s) = expp (0 · v(s + λ)) = 0.
∂s dλ λ=0
2
La existencia de entornos normales junto con el lema de Gauss nos permite demostrar algu-
nos resultados interesantes. El primero nos prueba que las geod´sicas localmente minimizan
e
la longitud. Diremos que una curva α : [a, b] → S valuada en una superficie S ⊂ R3 es
diferenciable a trozos si α es continua en [a, b] y existen a = t0 < t1 < . . . < tk = b tales que
α|[ti−1 ,ti ] es diferenciable, para cada i = 1, . . . , k. En particular, existen α (a+ ) ∈ Tα(a) S,
α (b− ) ∈ Tα(b) S y α (t− ), α (t+ ) ∈ Tα(ti ) S, ∀i = 1, . . . , k − 1, aunque no tiene porqu´ darse
i i e
+ +
α (ti ) = α (ti ). Cuando esta igualdad no sea cierta, diremos que ti es un v´rtice de α.
e

Teorema 4.6.1 Sea B(p, r) una bola geod´sica de radio r > 0 centrada en un punto p de
e
una superficie S ⊂ R 3 . Dado q ∈ B(p, r), sea v el unico vector de B(0, r) ⊂ T S tal que
´ p
expp v = q. Llamemos γ(t) = γ(t, p, v) = expp (tv), 1 ≤ t ≤ 1. Entonces:
1. L(γ)1 = v .
0

2. Si α : [0, 1] → S es una curva diferenciable a trozos con α(0) = p, α(1) = q, entonces
L(γ)1 ≤ L(α)1 , con igualdad si y s´lo si α es una reparametrizaciń no decreciente
0 0 o o
de γ.

Demostraciń. 1 es claro. Veamos 2 discutiendo dos casos sobre la curva α.
o

Caso I: Supongamos α([0, 1]) ⊂ B(p, r).
Sea β = exp−1 ◦α, curva diferenciable a trozos en B(0, r) con la misma particiń de v´rtices
p o e
que α y con β(0) = 0, β(1) = v. Entonces existe t ∈ (0, 1] tal que β(t) = 0 y β(t) = 0 para
todo t ∈ (t, 1]. En (t, 1]∗ = (t, 1] − {v´rtices de α}, podemos descomponer
e
β β
β = β, + β⊥,
β β

donde β ⊥ es ortogonal a β. Por tanto en (t, 1]∗ se tiene

β β
α = (d expp )β (β ) = β , (d expp )β + (d expp )β (β ⊥ )
β β
y
2
β β
α 2
= β, 2
(d expp )β + (d expp )β (β ⊥ ) 2
β β

98 CAP´
IA INSECA.

β β
+2 β , (d expp )β , (d expp )β (β ⊥ ) .
β β
Como α = exp ◦β, podemos usar el Lema de Gauss en los sumandos primero y tercero.
Como β ⊥ β ⊥ , el tercer sumando se anula. As´ obtenemos
ı

β (A) β
α 2
= β, 2
+ (d expp )β (β ⊥ ) 2
≥ β, 2
.
β β
Y de aqu´
ı,
(B) 1 1 (C) 1
β β
L(α)1 ≥ L(α)t =
0
1
α dt ≥ β, dt ≥ β, dt
t t β t β
1
(∗)
= ( β ) dt = β(1) − β(t) = v = L(γ)1 ,
0
t
donde (A),(B),(C) se usarń al discutir la igualdad, y (∗) se obtiene aplicando la regla de
a
Barrow en cada componente de (t, 1]∗ . Si se da la igualdad, entonces se dar´ la igualdad en
a
(A),(B),(C) anteriores. De (A) se deduce que β ⊥ = 0 o equivalentemente, β = β , β β β
β
β
en (t, 1]∗ . Esto implica β = 0 en (t, 1]∗ , luego para cada componente I de (t, 1]∗ existe
β
cI ∈ S1 (1) ⊂ Tp S tal que β = cI en I. De la igualdad en (B) se tiene α ≡ p en [0, t].
β
Por ultimo, la igualdad en (C) implica 0 ≤ β ,
´ β = β , cI en I, luego β|I recorre de
forma no decreciente en norma un segmento dentro de la semirrecta R+ cI . Como β es β
una curva continua en (t, 1]∗ , todos los cI deben ser el mismo. Como β(t) = 0 y β(1) = v,
tenemos que β|(t,1] recorre el segmento 0, v ⊂ Tp S de forma no decreciente en norma.
Ahora s´lo hay que componer con expp para obtener lo que busc´bamos.
o a
Caso II: Supongamos α([0, 1]) ⊂ B(p, r).
Tomemos t ∈ (0, 1] tal que α(t) ∈ B(p, r) en [0, t), α(t) ∈ ∂B(p, r) (esta frontera es
topol´gica, no tiene porqu´ ser una esfera geod´sica). Tomemos una sucesiń {tk }k ⊂ [0, t)
o e e o
convergiendo a t. Aplicando el caso I a α|[0,tk ] tenemos L(α)tk ≥ vk , donde vk es el unico
0 ´
t = l´ tk
vector de B(0, r) ⊂ Tp S con expp vk = α(tk ). Por tanto, L(α)0 ımk L(α)0 ≥ l´ k vk .
ım
Veamos que vk → r: Podemos suponer tras pasar a una parcial que { vk }k tiene l´ ımite
l ≤ r. Si l < r, entonces una parcial de vk converger´ a un vector v∞ ∈ B(0, r), luego
a
expp v∞ = l´ k expp (vk ) = l´ k α(tk ) = α(t), de donde α(t) ∈ B(p, r), contradicciń. As´
ım ım o ı,
l = r luego L(α)0 1 ≥ L(α)t ≥ l = r > v = L(γ)1 y hemos terminado (la igualdad no
0 0
puede darse en este caso II). 2
La segunda consecuencia que daremos del lema de Gauss ser´ la construcciń de pa-
a o
rametrizaciones con buenas propiedades en toda superficie. Esta ser´ la herramienta fun-
a
damental para probar el Teorema de Minding.


Proposiciń 4.6.1 (Coordenadas polares geod´sicas) Sea B(p, r) una bola geod´si-
o e e
ca de radio r > 0 centrada en un punto p de una superficie S ⊂ R 3 . Sea {e , e } una base
1 2
ortonormal de Tp S. Entonces, la aplicaciń X : (0, r) × (0, 2π) → S dada por
o

X(t, θ) = expp (t cos θe1 + t sin θe2 )

es una parametrizaciń de S alrededor de p y cumple:
o
1. E = Xt 2 = 1, F = Xt , Xθ = 0, y por tanto la primera forma fundamental
est´ determinada por la funciń G = Xθ 2 .
a o
√ √
2. ( G)tt + (K ◦ X) G = 0, donde K es la curvatura de Gauss de X.
√ √
ım G(t, θ) = 0 y l´ ( G)t (t, θ) = 1, para todo θ ∈ (0, 2π).
3. l´ ım
t→0 t→0

Demostraciń. Notemos que para θ ∈ (0, 2π) fijo, γ(t) := X(t, θ) es la geod´sica radial
o e
en p con velocidad inicial γ (0) = cos θe1 + sin θe2 = eiθ . As´ E = Xt 2 = γ (t) 2 =
ı,
γ (0) 2 = 1. Por otro lado,
d
(4.17) Xθ (t, θ) = expp (teiθ ) = (d expp )teiθ iteiθ ,
dθ
(4.18) Xt (t, θ) = (d expp )teiθ eiθ ,

luego el Lema de Gauss nos dice que

F (t, θ) = Xt , Xθ (t, θ) = eiθ , iteiθ = 0,

lo que prueba el apartado 1. En cuanto al apartado 2, recordemos de (3.8) que K viene
dada por la ecuaciń
o
eg − f 2 eg − f 2
K ◦X = = ,
EG − F 2 Xθ 2
donde e, f, g son los coeficientes de la segunda forma fundamental σ de S respecto a la
parametrizaciń X. Calculamos estos coeficientes:
o

e = σ(Xt , Xt ) = − (N ◦ X)t , Xt = N ◦ X, Xtt , f = N ◦ X, Xtθ , g = N ◦ X, Xθθ ,
Xt ×Xθ
donde N = Xt ×Xθ es una aplicaciń de Gauss de S. Por otro lado,
o

√ Xtθ , Xθ
( G)t = ( Xθ )t = ,
Xθ
Xtθ ,Xθ
√ ( Xtθ , Xθ )t Xθ − Xtθ , Xθ Xθ −3 2 2
( G)tt = 2
= Xθ ( Xtθ , Xθ )t Xθ − Xtθ , Xθ
Xθ

100 CAP´
IA INSECA.

Luego
√ √ √
( G)tt + (K ◦ X) G = G−3/2 ( Xtθ , Xθ )t G − Xtθ , Xθ 2
+ (eg − f 2 ) G

(4.19) = G−3/2 ( Xtθ , Xθ )t G − Xtθ , Xθ 2
+ (eg − f 2 )G2

Derivando en Xt 2 = 1 respecto a θ obtenemos Xtθ , Xt = 0 luego Xtθ no tiene compo-
nente en la direcciń de Xt al expresarlo en combinaciń lineal de la base {Xt , Xθ , N } de
o o
R3 . Por tanto,
Xtθ = µXθ + f N,
donde µ = Xtθ , Xθ /G, diferenciable. Por otro lado, como t → X(t, θ) es geod´sica de S,
e
entonces Xtt va en la direcciń de N y por tanto, Xtt = Xtt , N N = eN . As´
o ı,

Xttθ , Xθ = (eN )θ , Xθ = eθ N + eNθ , Xθ = e Nθ , Xθ = −e N, Xθθ = −eg,

luego
2 2
(4.20) ( Xtθ , Xθ )t = Xttθ , Xθ + Xtθ = −eg + µXθ + f N = −eg + µ2 G + f 2 .

Sustituyendo esto en el corchete de (4.19) tenemos

( Xtθ , Xθ )t G− Xtθ , Xθ 2 +(eg−f 2 )G2 = (−egG+µ2 G2 +f 2 G)−(µG)2 +(eg−f 2 )G2 = 0,

lo que prueba el apartado 2.
Por ultimo, (4.17) implica
´

l´ Xθ (t, θ) = l´ (d expp )teiθ iteiθ = (d expp )0 (0) = 0,
ım ım
t→0 t→0
√
luego l´ t→0
ım G(t, θ) = l´ t→0 Xθ (t, θ) = 0, y
ım
√ Xtθ , Xθ Xθ
(4.21) ( G)t = ( Xθ )t = = Xtθ , .
Xθ Xθ

Pero (4.18) nos da

(4.22) l´ Xtθ (t, θ) = l´ Xt (t, θ)
ım ım = l´ (d expp )teiθ (eiθ )
ım = eiθ = ieiθ .
t→0 t→0 θ t→0 θ θ

Usando ahora (4.17),

Xθ (d expp )teiθ (iteiθ ) (d expp )teiθ (ieiθ ) ieiθ
(4.23) l´
ım = l´
ım = l´
ım = = ieiθ .
t→0 Xθ t→0 (d expp )teiθ (iteiθ ) t→0 (d expp )teiθ (ieiθ ) ieiθ

√
Sustituyendo (4.22) y (4.23) en (4.21) tenemos l´ t→0 ( G)t = ieiθ , ieiθ = 1.
ım 2
Los apartados 2 y 3 de la Proposiciń 4.6.1 nos permiten calcular expl´
o ıcitamente la
funciń G (y por tanto, la primera forma fundamental) de una superficie de curvatura
o
de Gauss constante. Recordemos que el Teorema de Hilbert-Liebmann caracterizaba a
las esferas como las unicas superficies compactas y conexas con K constante. Ahora no
´
necesitaremos la hip´tesis global de compacidad para describir las superficies con K = c
o
constante: √ √
La ODE del apartado 2 de la Proposiciń 4.6.1 es ( G)tt + c G = 0, cuya soluciń
√ o o
general es G(t, θ) = aSc (t)+bCc (t)+φ(θ), donde a, b ∈ R, φ ∈ C ∞ (0, 2π), y las funciones
Sc , Cc viene dadas por

t si c = 0,


√ 1 si c = 0,

1
√ sin( ct)
 √
Sc (t) = si c > 0, Cc (t) = cos(√ ct) si c > 0,
 √1 c √
sinh( −ct) si c < 0, cosh( −ct) si c < 0.
 
−c

√ √
Como 0 = l´ t→0
ım G(t, θ) = b + φ(θ) tenemos G(t, θ) = aSc (t), luego
√
1 = l´ ( G)t (t, θ) = aSc (t) = a l´ Cc (t) = a.
ım ım
t→0 t→0

Por tanto,

t2

si c = 0,
2

1 2 √
(4.24) G(t, θ) = Sc (t) = csin ( √ct) si c > 0,
sinh2 ( −ct) si c < 0.
 1
−c

Este control de la primera forma fundamental cuando la curvatura de la superficie es
constante tiene como consecuencia el siguiente resultado.

Teorema 4.6.2 (Minding) Sean S, S ⊂ R3 superficies con la misma curvatura de Gauss
constante, y p ∈ S, p ∈ S. Entonces, existen entornos abiertos de p en S y de p en S que
son isom´tricos. Concretamente, si I : Tp S → Tp S es cualquier isometr´ vectorial, y r > 0
e ıa
cumple que B(p, r) es una bola geod´sica de S y la exponencial expp y B(p, r) son bolas
e
geod´sicas en S, S respectivamente, entonces φ := expp ◦ I ◦ (expp )−1 : B(p, r) → B(p, r)
e
es una isometr´ıa.

Demostraciń. φ es C ∞ y biyectiva por composiciń. Fijemos q ∈ B(p, r) y veamos que
o o
dφq es una isometr´ vectorial. Basta entonces probar que
ıa

(4.25) dφq (w) = w ,

102 CAP´
IA INSECA.

para cada w ∈ Tq M . Como B(p, r) es bola geod´sica, existe un unico v ∈ B(0, r) ⊂ Tp S
e ´
tal que expp v = q. Consideremos la geod´sicas p.p.a.
e

v v
γ(t) = expp t en S, γ(t) = expp tI( ) en S,
v v

ambas definidas al menos en [0, v ]. Notemos que las trazas de γ, γ estń contenidas
a
respectivamente en B(p, r), B(p, r). Adem´s,
a

γ(0) = p, γ( v ) = q,
v
γ = φ ◦ γ, γ(0) = p y γ (0) = I( v ).

Probaremos (4.25) considerando dos casos.
Caso I: w, γ ( v ) son linealmente dependientes.
Pongamos w = λγ ( v ), λ ∈ R. Entonces, dφ(w) = λdφq (γ ( v )) = λ(φ ◦ γ) ( v ) =
λγ ( v ). Tomando normas, dφq (w) = |λ| = w .
Caso II: w, γ ( v ) son ortogonales.
Escribamos v = v (cos θ0 e1 + sin θ0 e2 ) en combinaciń de la base usual de R2 . Notemos
o
que puede suponerse v = 0 (en caso contrario, q = expp 0 = p, luego dφq = dφp = I que es
una isometr´ vectorial por hip´tesis). As´ que v > 0. Por el Lema de Gauss, podemos
ıa o ı
ver w como vector tantente en q al c´ ırculo geod´sico S(p, v ). Consideremos la curva
e
v = v(θ) : (θ0 − ε, θ0 + ε) → Tp S dada por v(θ) = v (cos θe1 + sin θe2 ). As´ v(θ0 ) = v y
ı,

(expp ◦v) (θ0 ) = (d expp )v [ v (− sin θ0 e1 + cos θ0 e2 )] ∈ Tq S,

que es una base de la recta tangente al c´ ırculo geod´sico (p, v ) en el punto q. Por
e
homogeneidad de (4.25) en w, podemos suponer w = (expp ◦v) (θ0 ).
Ahora consideramos coordenadas polares geod´sicas en cada superficie alrededor de
e
p, p. Es decir, X : (0, r) (0, 2π) → S, X : (0, r) (0, 2π) → S dadas por

v(θ)
X(t, θ) = expp (t cos θe1 + t sin θe2 ) = expp t ,
v

I(v(θ))
X(t, θ) = expp t = [expp ◦I ◦ (expp )−1 ](X(t, θ)) = φ(X(t, θ)).
v
As´ X( v , θ0 ) = expp (v) = q,
ı,

d d
Xθ ( v , θ0 ) = X( v , θ) = expp (v(θ)) = (expp ◦v) (θ0 ) = w,
dθ θ=θ0 dθ θ=θ0

´
4.7. GEODESICAS ESTABLES. TEOREMA DE BONNET. 103

y
Xθ ( v , θ0 ) = (φ ◦ X)θ ( v , θ0 ) = dφX( v ,θ0 ) (Xθ ( v , θ0 ) = dφq (w),
√
luego (4.25) estar´ probada si vemos que G( v , θ0 ) = G( v , θ0 ), donde G = Xθ 2 y
a
G = Xθ 2 . Como S, S tienen la misma curvatura constante (pongamos c ∈ R), entonces
(4.24) nos dice que G(t, θ) = Sc (t)2 = G(t, θ) para todos t y θ, y ya s´lo queda evaluar en
o
(t, θ) = ( v , θ0 ). 2

Corolario 4.6.1 Dos superficies con la misma curvatura de Gauss constante son local-
mente isom´tricas.
e

4.7. Geod´sicas estables. Teorema de Bonnet.
e
Sabemos que las geod´sicas son curvas diferenciables con aceleraciń intr´
e o ınseca nula
en una superficie, y que minimizan localmente la longitud. Pero ¿hasta dńde minimiza
o
la longitud una geod´sica? Para responder a esta pregunta estudiaremos un poco m´s de
e a
c´lculo de variaciones de geod´sicas.
a e
Si una geod´sica γ : [a, b] → S en una superficie S ⊂ R3 minimiza la longitud entre
e
todas las curvas diferenciables a trozos que tiene los mismos extremos que γ, entonces
dada una variaciń propia F : [a, b] × (−δ, δ) → S se tiene que
o

LF (s) = L(Fs ) = longitud(Fs ) ≥ L(γ) = LF (0), ∀s ∈ (−δ, δ),

y por tanto LF (0) = 0 (cosa que ya sab´ ıamos por el apartado 1 del Corolario 4.4.1) y
LF (0) ≥ 0. N´tese que para este argumento no necesitamos que γ minimize la longitud
o
entre todas las curvas con sus mismos extremos, sino s´lo entre las curvas “pr´ximas a γ”
o o
con sus mismos extremos, al menos entre las curvas longitudinales de la variaciń propia F .
o
Una forma de construir variaciones propias de γ es la siguiente: supongamos que γ
est´ parametrizada por el arco. Trasladamos el par´metro de γ para que est´ definida
a a e
en [0, L], donde L = L(γ). Sea N : S → S 2 (1) una aplicaciń de Gauss para S, a la que
o
supondremos orientable de ahora en adelante. Llamamos

B(t) = γ (t) × Nγ(t) ∈ Tγ(t) S, t ∈ [0, L].

As´ {γ (t), B(t)} es una base ortonormal de Tγ(t) S y {γ (t), Nγ(t) , B(t)} es base ortonormal
ı,
positiva de R3 para cada t ∈ [0, L]. Dado t ∈ [0, L], la exponencial expγ(t) estar´ definida
a
en un abierto de Tγ(t) S que como m´ ınimo contiene a una bola B(0, ε(t)) ⊂ Tγ(t) S. Adem´s,a
ε(t) depende continuamente de t por la dependencia continua de las geod´sicas respecto
e
a las condiciones iniciales. Esta continuidad de ε(t) y la compacidad de [0, L] nos permite
elegir ε > 0 tal que expγ(t) est´ definida en B(0, ε) ⊂ Tγ(t) S para cada t ∈ [a, b]. Ahora
a

104 CAP´
IA INSECA.

tomemos una funciń f ∈ C ∞ ([0, L]). Sea M = 1 + m´x |f | > 0, que existe por ser f
o a
continua en el compacto [0, L]. Entonces, la aplicaciń
o

(4.26) F (t, s) = expγ(t) (sf (t)B(t))
ε
est´ definida y es diferenciable en [0, L] × (−δ, δ) donde δ =
a M > 0, ya que sf (t)B(t) =
|sf (t)| < |s|M < ε. Adem´s:
a

1. F es una variaciń de γ, ya que F (t, 0) = expγ(t) (0) = γ(t), t ∈ [0, L].
o

2. Si elegimos f de forma que f (0) = f (L) = 0, entonces Fs (0) = expγ(0) (0) = γ(0) y
Fs (L) = expγ(L) (0) = γ(L) para cada s, luego la variaciń es propia.
o

Por lo anterior, si γ minimiza la longitud entre curvas con sus mismos extremos, entonces
tenemos LF (0) ≥ 0. A continuaciń calcularemos esta segunda derivada en t´rminos de γ,
o e
f y de la geometr´ de S. Para est´ segunda derivada no precisaremos que f (0) = f (L) = 0.
ıa a

Proposiciń 4.7.1 (Segunda f´rmula de variaciń de la longitud)
o o o
Sea γ : [0, L] → S una geod´sica p.p.a. en una superficie S, y f : [0, L] → R una funciń
e o
C ∞ . Consideremos la variaciń F : [0, L] × (−δ, δ) → S dada por (4.26). Entonces,
o
L
LF (0) = f (t)2 − (K ◦ γ)(t)f (t)2 dt,
0

donde K es la curvatura de Gauss de S.

∂F
Demostraciń. Derivando respecto a s en s = 0 la f´rmula (4.9) y usando que
o o ∂t (t, 0) =
γ (t) tiene norma 1, tenemos
L L
∂ ∂ 2 F ∂F ∂ 2 F ∂F ∂ ∂F
LF (0) = ∂t∂s , ∂t dt − ∂t∂s , ∂t (t, 0) ∂t dt
0 ∂s s=0 0 ∂s s=0

L L L
∂ 3 F ∂F ∂2F 2 ∂ 2 F ∂F 2
(4.27) = ,
∂t∂s2 ∂t
(t, 0) dt + ∂t∂s (t, 0) dt − ∂t∂s , ∂t (t, 0) dt.
0 0 0

2
Claramente, ∂F (t, 0) = γ (t) luego ∂ F (t, 0) = γ (t) = γ (t), Nγ(t) Nγ(t) donde hemos
∂t ∂t2
usado que la parte tangente de γ (t) a S es cero por ser γ una geod´sica. Por otro lado,
e
de (4.26) se deduce que el campo variacional de F es

∂F
V (t) = (t, 0) = f (t)B(t),
∂s

´

luego

(4.28) V = f B + f B = f B + f σγ (γ , B)Nγ ,

donde hemos usado el Ejercicio 6.
El siguiente paso es comprobar que

∂2F
(4.29) (t, 0) = f (t)2 σγ(t) (B(t), B(t))Nγ(t) , t ∈ [0, L].
∂s2
Para ello consideremos, ﬁjado t ∈ [0, L], la geod´sica radial en γ(t) dada por s → Ft (s) =
e
˙ ˙
expγ(t) (sf (t)B(t)). La velocidad de Ft en s = 0 es Ft (0) = f (t)B(t), luego Ft = |f (t)|,
constante (en s). Si f (t) = 0, entonces Ft es constante γ(t) luego (4.29) se cumple tri-
vialmente. Supongamos ahora que f (t) = 0. Reparametrizamos Ft por el arco, deﬁniendo
Γt (u) = Ft ( f u ) = expγ(t) (uB(t)) (el cambio de par´metro es u = sf (t)). Como Γt es una
(t) a
geod´sica parametrizada por el arco, podemos aplicarle el Ejercicio 6 para concluir que
e

d2 Γt dΓt dΓt
= σΓt , NΓu .
du2 du du

Por la regla de la cadena, ∂F
∂s (t, s) = ∂F du
∂u (t, u(s)) ds = f (t) dΓt (u(s)), y derivando de nuevo
du

∂2F d2 Γt dΓt dΓt
2
(t, s) = f (t)2 2 (u(s)) = f (t)2 σΓt (u(s)) (u(s)), (u(s)) NΓt (u(s)) .
∂s du du du

Evaluando en s = 0,

∂2F dΓt dΓt
(t, 0) = f (t)2 σΓt (0) (0), (0) NΓt (0) = f (t)2 σγ(t) (B(t), B(t)) Nγ(t) ,
∂s2 du du

lo que prueba (4.29).
Calculamos ahora la primera integral de (4.27):
L
∂ 3 F ∂F
,
∂t∂s2 ∂t
(t, 0) dt
0

L L L
∂3F ∂2F ∂2F
= ∂t∂s2
(t, 0), γ (t) dt = ∂s2
(t, 0), γ (t) − ∂s2
(t, 0), γ (t) dt.
0 0 0
Usando (4.29) en cada uno de los dos sumandos del miembro de la derecha anterior el
primero se anular´ y el segundo queda
a
L L
− f 2 σγ (B, B) Nγ , γ dt = − f 2 σγ (B, B)σγ (γ , γ ) dt.
0 0

106 CAP´
IA INSECA.

La segunda integral de (4.27) es
L L L
∂2F 2 2
∂t∂s (t, 0) dt = V dt = (f )2 + f 2 σγ (γ , B)2 dt,
0 0 0

donde hemos usado (4.28). Por ultimo, la tercera integral de (4.27) es
´
L L
∂ 2 F ∂F 2
− ∂t∂s , ∂t (t, 0) dt =− V , γ dt,
0 0

cuyo integrando se anula idńticamente por (4.28). Resumiendo,
e
L
LF (0) = (f )2 − f 2 σγ (B, B)σγ (γ , γ ) − σγ (γ , B)2 dt,
0

y ahora s´lo queda comprobar que K ◦ γ = σγ (B, B)σγ (γ , γ ) − σγ (γ , B)2 , lo cual se
o
deduce directamente de que {γ (t), B(t)} es una base ortonormal de Tγ(t) S, para todo
t ∈ [0, L]. 2
La Proposiciń 4.7.1 y el desarrollo anterior a ´sta sugiere la siguiente definiciń para
o e o
expresar la propiedad de que una geod´sica minimize localmente la longitud.
e

Definiciń 4.7.1 Sea γ : [0, L] → S una geod´sica p.p.a. en una superficie S ⊂ R3 . γ se
o e
dice estable si para toda funciń f ∈ C ∞ ([0, L]) se cumple
o
L
f (t)2 − (K ◦ γ)(t)f (t)2 dt ≥ 0.
0

Claramente, una geod´sica γ que minimize la longitud entre sus extremos es siempre
e
estable, aunque el rec´
ıproco no tiene porqu´ ser cierto.
e
Aplicaremos lo anterior para estimar el di´metro de una superficie a partir de su
a
curvatura. En lo que sigue, s´lo consideraremos superficies conexas. En un espacio m´trico
o e
(X, d), el di´metro se define como
a

diam(X, d) = sup{d(x, y) | x, y ∈ X}.

El di´metro anterior no tiene porqu´ alcanzarse en un par de puntos (el ´
a e ınfimo anterior
no tiene porqu´ ser un m´ximo), como ocurre en el caso de R
e a n con la distancia usual

du (x, y) = x − y , que tiene di´metro infinito, o en el caso de una bola abierta de Rn con
a
la distancia inducida por du , donde el di´metro es finito pero s´lo se alcanza por puntos
a o
del borde de la bola, que no estń en el espacio m´trico considerado.
a e
En el caso de una superficie conexa S ⊂ R3 , tenemos dos posibles distancias a consi-
derar; en primer lugar, la restricciń a S de la distancia usual du sobre R3 , es decir,
o

du (p, q) = p − q , p, q ∈ S.

´

Sabemos que du (p, q) es la menor longitud de curvas diferenciables a trozos en R3 que unen
p y q (esta longitud m´ ınima es alcanzada por el segmento rectil´ ıneo que une p y q). La
otra nociń natural de distancia consiste en considerar el ´
o ınfimo de longitudes de curvas
que unan p y q y que estń contenidas en la superficie:
e

(4.30) ınf{L(α)1 | α : [0, 1] → S curva C ∞ a trozos, α(0) = p, α(1) = q},
d(p, q) = ´ 0

donde L(α)L = Longitud(α)L . Para que el ´
0 0 ınfimo anterior tenga sentido, necesitamos el
siguiente
Lema 4.7.1 Dado dos puntos p, q en una superficie conexa S ⊂ R3 , existe una curva C ∞
a trozos que empieza en p y termina en q.

Demostraciń. Como S es conexa y localmente arcoconexa, S es arcoconexa4 . Por tanto,
o
existe una curva continua ∃β : [0, 1] → M con β(0) = p y β(1) = q. Sea

A = {t ∈ [0, 1] | ∃αt curva C ∞ a trozos que empieza en p y termina en β(t)}.

A es abierto, sin m´s que considerar una parametrizaciń X : U ⊂ R2 → R3 de S alrededor
a o
de un punto β(t0 ) con t0 ∈ A, de forma que U sea convexo en R2 (por ejemplo, U puede
ser una bola B(0, δ) ⊂ R2 ). A es cerrado, ya que si {tk }k ⊂ A converge a t∞ ∈ [0, 1],
entonces tomamos una parametrizaciń X : U = B(0, δ) ⊂ R2 → R3 de S alrededor del
o
punto β(t∞ ) ∈ S. Por continuidad de β, tenemos β(tk ) ∈ X(U ) a partir de un natural, y
ahora no hay m´s que unir β(tk ) con β(t∞ ) dentro de X(U ) (podemos, por convexidad de
a
U ) y usar que tk ∈ A para deducir que t∞ ∈ A. Como A = Ø y [0, 1] es conexo, deducimos
que 1 ∈ A. 2
Aunque d : S ×S → R est´ ya bien definida, ań no sabemos si es realmente una distancia.
a u
Proposiciń 4.7.2 Dados p, q, x ∈ S, se tienen
o
1. d(p, q) ≥ 0.

2. d(p, q) = d(q, p).

3. d(p, q) ≤ d(p, x) + d(x, q) (desigualdad triangular).

Demostraciń. 1 es trivial. 2 se deduce de que existe una biyecciń que conserva las longi-
o o
tudes, del conjunto de curvas diferenciables valuadas en S que empiezan en p y terminan
en q en el conjunto de curvas diferenciables valuadas en S que empiezan en q y terminan
4
Esta es una propiedad de espacios topol´gicos: si X es un espacio topol´gico conexo y localmente
o o
arcoconexo, y C es una componente arcoconexa de X, entonces C es abierta. Como X se escribe en uniń
o
disjunta de sus componentes arcoconexas y ´stas son abiertas, entonces caso de haber m´s de una se
e a
contradir´ la conexiń de X.
ıa o

108 CAP´
IA INSECA.

en p. Para 3 basta conectar curvas que empiezan en p y terminan en x con curvas que
comienzan en x y terminan en q, y luego comparar los ´ınfimos de las longitudes de estas
curvas conectadas con todas las que comienzan en p y terminan en q. 2
La siguiente proposiciń mostrar´ que d : S × S → R es una distancia. Antes definire-
o a
mos, dado un punto p en una superficie conexa y un radio geod´sico en p (es decir, expp
e
est´ definida en B(0, r) ⊂ Tp S y en un difeomorfismo sobre su imagen), el conjunto
a

B(p, r) = exp(B(0, r)),

que es un entorno normal de p. N´tese que ań no sabemos si B(p, r) = {q ∈ S | d(p, q) < r}
o u
(veremos esto en la Afirmaciń 4.7.2).
o

Proposiciń 4.7.3 Sean p, q puntos distintos en una superficie conexa S ⊂ R3 . Entonces,
o
d(p, q) > 0. En particular, d es una distancia sobre S, y la topolog´ que genera coincide
ıa
con la topolog´ subyacente de S, inducida por la topolog´ usual de R3 .
ıa ıa

Demostraciń. La propiedad de no degeneraciń de d ser´ consecuencia de la siguiente
o o a
afirmaciń. Fijemos un punto p ∈ S.
o

Afirmaciń 4.7.1 Si B(p, r) es una bola geod´sica en S centrada en p y q ∈ S − B(p, r),
o e
entonces d(p, q) ≥ r.

Demostraciń de la Afirmaciń 4.7.1. Basta ver que toda α curva C ∞ a trozos uniendo p y
o o
q tiene longitud al menos r. Fijemos una curva α de este tipo y veamos que su longitud L(α)
cumple L(α) ≥ r. Sea r ∈ (0, r). Como α es continua, α(0) ∈ B(p, r ) y α(q) ∈ S −B(p, r ),
existir´ un t0 ∈ [0, 1] tal que α(t0 ) ∈ ∂B(0, r ) = expp (∂B(0, r )) = S(p, r ) (c´
a ırculo
geod´sico). Llamemos x ∈ ∂B(0, r ) al unico vector de B(0, r) que se aplica en α(t0 ) por
e ´
expp . Como x ∈ B(p, r), el Teorema 4.6.1 implica que L(α)t0 ≥ r , luego L(α) ≥ r . Como
0
esto es cierto ∀r ∈ (0, r), tenemos L(α) ≥ r y la Afirmaciń est´ probada.
o a
Ahora d ya es una distancia, luego genera sobre S una topolog´ Td de forma que una
ıa
base de Td es la familia de bolas m´tricas Bd (p, R) = {q ∈ S | d(p, q) < R} con p ∈ S y
e
R > 0. Sea Tu la topolog´ usual en S, es decir, la topolog´ inducida en S por la topolog´
ıa ıa ıa
usual de R3 . Se trata de ver que Td = Tu .
Fijado p ∈ S, Td tiene por base de entornos de p a {Bd (p, R) | R > 0}, mientras que
Td tiene por base de entornos de p a {B(p, r) = expp (B(0, r)) | r es radio geod´sico en p}.
e
Por tanto, Td coincidir´ con Tu si comprobamos la siguiente propiedad:
a

Afirmaciń 4.7.2 Sea p ∈ S. Si B(p, r) es una bola geod´sica, entonces B(p, r) =
o e
Bd (p, r).

´

Demostraciń de la Afirmaciń 4.7.2. La Afirmaciń 4.7.1 implica que Bd (p, r) ⊂ B(p, r).
o o o
ıprocamente, si q ∈ B(p, r) entonces existe v ∈ B(0, r) tal que q = expp v. Por el
Rec´
Teorema 4.6.1, d(p, q) = v < r luego q ∈ Bd (p, r). 2
Como la distancia est´ constru´ a partir de longitudes de curvas, es claro que las
a ıda
isometr´ entre superficies conservan la distancia. Por la propia definiciń se tiene que
ıas o
du (p, q) ≤ d(p, q) para cualesquiera p, q ∈ S. En particular, el di´metro de una superficie
a
cumple
diam(S, (du )|S ) ≤ diam(S, d).
Una aplicaciń sofisticada de la existencia de entornos totalmente normales es el fa-
o
moso Teorema de Hopf-Rinow. En el Apńdice podr´s encontrar detalles sobre entornos
e a
totalmente normales y sobre la demostraciń de este teorema. De momento s´lo enun-
o o
ciaremos la parte del Teorema de Hopf-Rinow que usaremos para dar una estimaciń del
o
di´metro de una superficie en t´rminos de su curvatura de Gauss, con el que cerraremos
a e
este cap´
ıtulo.

Definiciń 4.7.2 Una superficie S ⊂ R3 se dice completa si el espacio m´trico (S, d) es
o e
completo (toda sucesiń de Cauchy es convergente).
o

Notemos que si S ⊂ R3 es una superficie cerrada (como subconjunto de R3 ), entonces
S es completa: Consideremos las distancia d sobre S definida en (4.30). Sea {pk }k ⊂ S
una sucesiń de Cauchy respecto a d. Como du (p, q) = p − q ≤ d(p, q), tenemos que
o
{pk }k es de Cauchy en el espacio m´trico (R3 , du ), que es completo. Por tanto, {pk }k
e
ser´ convergente en (R3 , du ) a un punto p∞ ∈ R3 . Este punto p∞ tiene que estar en S
a
por ser ´sta cerrada, luego {pk }k ⊂ S. Como la convergencia de sucesiones no depende
e
de la distancia que genera la topolog´ sino de la topolog´ misma, tenemos que {pk }k es
ıa ıa
convergente (a p∞ ) en S, luego S es completa.

Teorema 4.7.1 (Hopf-Rinow) Sea S ⊂ R3 una superficie conexa. Son equivalentes:

1. S es completa.

2. Para todo punto p ∈ S, expp est´ definida en todo Tp S.
a

3. Existe un punto p ∈ S tal que expp est´ definida en todo Tp S.
a

4. La familia de compactos de S coincide con la familia de cerrados y d-acotados.

Adem´s, cualquiera de los apartados anteriores implica que para cualquier par de puntos
a
p, q ∈ S existe una geod´sica minimizante5 que une p con q.
e
5
Es decir, una geod´sica cuya longitud es d(p, q).
e

110 CAP´
IA INSECA.

Teorema 4.7.2 (Bonnet) Sea S ⊂ R3 una superficie cerrada (como subconjunto de R3 )
1
cuya curvatura de Gauss cumple K ≥ R2 para cierto R > 0. Entonces, S es compacta y
su di´metro cumple
a
diam(S, d) ≤ πR.

Demostraciń. Sean p, q ∈ S. Probemos que d(p, q) ≤ πR y tendremos diam(S, d) ≤ πR.
o
Por ser S cerrada, es completa. Por el Teorema de Hopf-Rinow, existe una una geod´sica
e
p.p.a. γ : [0, L] → S con γ(0) = p, γ(1) = q y L = d(p, q). Consideremos la variaciń propia
o
F : [0, L] × (−δ, δ) → S de γ dada por (4.26), donde B = γ × N y f es una funciń C ∞o
en [0, L] a determinar, con f (0) = f (L) = 0. Aqu´ N es una aplicaciń de Gauss para
ı, o
S (estamos suponiendo que S es orientable6 ) y la exponencial necesaria para definir la
variaciń F (t, s) est´ definida en todo Tγ(t) S por completitud de S y por el Teorema de
o a
Hopf-Rinow.
Sea LF la funciń longitud asociada a F . Entonces LF (0) = 0 por ser γ geod´sica
o e
(Corolario 4.4.1) y la Proposiciń 4.7.1 asegura que
o
L
LF (0) = f (t)2 − (K ◦ γ)(t)f (t)2 dt ≥ 0,
0

donde la desigualdad se ha deducido de que γ es estable por minimizar la longitud entre
1
sus extremos. Como K ≥ R2 tenemos
L
1
(4.31) 0≤ f (t)2 − f (t)2 dt,
0 R2

para cualquier f ∈ C ∞ ([0, L]) con f (0) = f (L) = 0. Ahora tomamos f (t) = sin π
Lt , que
cumple f (0) = f (L) = 0. Sustituyendo en (4.31),
L
π2 π 1 π
0≤ 2
cos2 t − 2 sin2 t dt
0 L L R L
L L
π2 t L 2πt 1 t L 2πt π2 L
= 2 2
+ sin − 2 2
− sin = − ,
L 4π L 0 R 4π L 0 2L 2R2
de donde deducimos que d(p, q) = L ≤ πR.
Como p, q son arbitrarios en S, tenemos diam(S, d) ≤ πR. As´ S es acotada y por ser
ı,
completa, ha de ser compacta (Teorema de Hopf-Rinow). 2

6
En realidad, no hace falta suponer oriantabilidad para S: toda superficie conexa y cerrada S ⊂ R3
separa ´ste en dos componentes conexas cuya frontera comń es S (Teorema de Jordan-Brouwer, ver por
e u
ejemplo Teorema 4.16 en el libro de Montiel-Ros), y por tanto oroientable.

4.8. EJERCICIOS. 111

4.8. Ejercicios.
1. Sean S, S ⊂ R3 dos superficies y X : U × R3 → R3 , X : U → R3 parametrizaciones
de S, S con el mismo dominio. Probar que si los coeficientes de la primera forma fun-
damental en dichas parametrizaciones coinciden, es decir E = E , F = F , G = G con
la notaciń de (3.6), entonces X ◦ X −1 es una isometr´ de X(U ) en X (U ).
o ıa

2. Aplicar el problema anterior para probar que hay una isometr´ de un abierto helicoide en
ıa
un abierto de la catenoide: Se consideran la parametrizaciń X : R2 → R3 del helicoide
o
{(x, y, z) | x sin z = y cos z} dada por

X(u, v) = (v cos u, v sin u, u),

y la parametrizaciń X : (0, 2π) → R3 de la catenoide {(x, y, z) | x2 + y 2 = cosh2 z}
o
dada por
X(u, v) = 1 + v 2 cos u, 1 + v 2 sin u, arg sinh v .

Demostrar que X ◦ X −1 es una isometr´ de X((0, 2π) × R) en X ((0, 2π) × R).
ıa

3. Sea γ : [a, b] → S2 (p0 , r) una curva p.p.a. con valores en la esfera de radio r > 0 y
centro p0 ∈ R3 . Demostrar que γ es una geod´sica si y s´lo si r2 γ + γ − p0 = 0 en
e o
[a, b]. Integrar esta EDO para deducir que
v
γ(t) = p0 + cos( v t)p + sin( v t) ,
v

donde p ∈ S2 (p0 , r) y v ∈ Tp S2 (p0 , r) − {0}.

4. Sea γ : [a, b] → C una curva p.p.a. con valores en el cilindro C = {(x, y, z) | x2 +y 2 = 1}.
Demostrar que γ es una geod´sica si y s´lo si
e o

x + [1 − (z )2 ]x = 0, y + [1 − (z )2 ]y = 0, z =0 en [a, b],

donde α(t) = (x(t), y(t), z(t)). Integrar esta EDO para deducir que

γ(t) = (x0 cos(at) − y0 sin(at), y0 cos(at) + x0 sin(at), bt + z0 ) ,

donde (x0 , y0 , z0 ) ∈ C y (a, b) ∈ S1 (1) ⊂ R2 .

5. Probar que todo meridiano (convenientemente parametrizado) de una superficie de re-
voluciń es una geod´sica. Por meridiano se entiende la imagen de la curva generatriz
o e
por un giro alrededor del eje de rotaciń. Demostrar tambiń que un paralelo (es decir,
o e
la circunferencia obtenida al girar un punto p0 de la curva generatriz) es una geod´sica
e
si s´lo p0 est´ a distancia cr´
o a ıtica al eje de giro.

112 CAP´
IA INSECA.

6. Triedro y ecuaciones de Darboux.
Sea S ⊂ R3 una superficie orientable con aplicaciń de Gauss N : S → S2 y segunda
o
forma fundamental asociada σ. Dada una geod´sica p.p.a. γ : I → S definida sobre un
e
intervalo I ⊂ R, se definen

T =γ, Nγ = N ◦ γ, B = T × Nγ .

As´ T, Nγ , B : I → S2 son aplicaciones diferenciables y {T, Nγ , B} forman una base
ı,
ortonormal positiva de R3 (llamada triedro de Darboux) con T (t), B(t) ∈ Tγ(t) S para
cada t ∈ I. Probar las siguientes igualdades (ecuaciones de Darboux):

 T = σγ (T, T )Nγ ,
(Nγ ) = −σγ (T, T )T − σγ (T, B)B,
B = σγ (T, B)N.


7. (A) Sea p un punto de una superficie orientable S ⊂ R3 y v ∈ Tp S, v = 1, tal
que σp (v, v) = 0, donde σ es la segunda forma fundamental de S asociada a una
aplicaciń de Gauss N . Supongamos que la geod´sica γ : I → S con condiciones
o e
iniciales γ(0) = p, γ (0) = v es plana, es decir existen p0 , a ∈ R3 , a = 1, tales
que
γ(t) − p0 , a = 0,
para todo t ∈ I. Usar las ecuaciones de Darboux para probar que γ × Nγ = ±a
en I y que dNp (v) es paralelo a v (es decir, v es un vector propio de dNp ).
(B) Probar que si todas las geod´sicas de una superficie conexa son curvas planas,
e
entonces la superficie es totalmente umbilical, esto es, es un abierto de un plano o
de una esfera.

8. Demostrar que dado un punto p = (x, y, z) en el cilindro C = {x2 + y 2 = 1}, la
exponencial expp viene dada por expp : Tp C = {(−ay, ax, b) | (a, b) ∈ R2 },

expp (−ay, ax, b) = (x cos a − y sin a, y cos a + x sin a, b + z) .

Demostrar expp es un difeomorfismo sobre U = {(−ay, ax, b) ∈ Tp C | − π < a < π} y
que el correspondiente entorno normal V = expp (U ) es V = C − {(−y, x, λ) | λ ∈ R}.

9. Poner ejercicios sobre campos de Jacobi.

Geometría intrínseca (4)

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