Gradiente de un campo escalar
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Este documento describe el gradiente, divergencia y rotacional de funciones escalares y campos vectoriales en tres dimensiones. El gradiente de una función escalar f es un vector que apunta en la dirección de máxima pendiente y su magnitud es igual al valor de la derivada direccional. La divergencia de un campo vectorial F convierte un campo vectorial en escalar, mientras que el rotacional convierte un campo vectorial en otro vectorial. Se proporcionan ejemplos y propiedades clave de estas operadores.
Gradiente de un campo escalar
- 1. Gradiente de un campo escalar Sea f:U⊆R3⟶Run campo escalar, y sean ∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z las derivadas parciales de f (es decir, derivar respecto a una variable manteniendo las otras como constantes). Entonces, el gradiente de f es: grad(f)=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z) Observemos que el gradiente de f es un vector, aunque fsea un campo escalar. Hay que tener en cuenta que: El gradiente apunta en la dirección en la que la derivada direccional de la función f es máxima, y su módulo en un punto es el valor de ésta derivada direccional en ese punto. Se anula en los puntos de inflexión de la función f. El gradiente convierte un campo escalar en un campo vectorial. Ejemplo f(x,y,z)=x2⋅y−z3⋅z grad(f)=(2⋅x⋅y−z3,x2,3⋅z2⋅x) f(x,y,z)=x⋅sin(y)⋅e5⋅z grad(f)=(siny⋅e5⋅z,x⋅cosy⋅e5⋅z,x⋅siny⋅5⋅e5⋅z) f(x,y,z)=x2+y2+z2−−−−−−−−−−√ grad(f)=(xx2+y2+z2−−−−−−−−−−√,yx2+y2+z2−−−−−−−−−−√,zx2+ y2+z2−−−−−−−−−−√) Divergencia de un campo vectorial Sea F:U⊆R3⟶R3,F=(F1,F2,F3)un campo vectorial. Entonces, la divergencia de F es: div(F)=∂∂xF1+∂∂yF2+∂∂zF3 Ejemplo
- 2. F(x,y,z)=(x3⋅y,2⋅z⋅sinx,cosz) div(F)=∂∂x(x3⋅y)+∂∂y(2⋅z⋅sinx)+∂∂z(cosz)=3⋅x2⋅u+0−sinz F(x,y,z)=(−2⋅x⋅y,y⋅sinz+y2+z,cosz) div(F)=∂∂x(−2⋅x⋅y)+∂∂y(y⋅sinz+y2+z)+∂∂z(cosz)= =−2⋅y+sinz+2⋅y−sinz La divergencia convierte un campo vectorial en un campo escalar. Rotacional de un campo vectorial Sea F:U⊆R3⟶R3,F=(F1,F2,F3)un campo vectorial. Entonces, el rotacional de F es: rot(F)=(∂F3∂y−∂F2∂z,∂F1∂z−∂F3∂x,∂F2∂x−∂F1∂y) o también se puede calcular como el siguiente determinante, (teniendo en cuenta que i,j,k son la coordenada a la que corresponden): ∣∣∣∣∣i∂∂xF1j∂∂yF2k∂∂zF3∣∣∣∣∣ Ejemplo F(x,y,z)=(4⋅x⋅ey,x⋅lnz,y) rot(F)=(∂(y)∂y−∂(x⋅lnz)∂z,∂(4⋅x⋅ey)∂z−∂(y)∂x,∂(x⋅lnz)∂x−∂(4⋅x⋅ey)∂y) =(1−xz,0−0,lnz−4⋅x⋅ey) Propiedades del gradiente, divergencia y rotacional Si f es un campo escalar y F un campo vectorial, entonces siempre se cumple que 1. rot(grad(f))=0 2. div(rot(F))=0 3. rot(f⋅F)=grad(f)×F+f⋅rot(f) 4. div(f⋅F)=f⋅div(F)+grad(f)⋅F donde ⋅ es el producto escalar y × el producto vectorial.