Grafos

Teoría de Grafos
UCR – ECCI
CI-1204 Matemáticas Discretas
Prof. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

UCR-ECCI CI-1204 Matemáticas Discretas
Teoría de Grafos 2
Grafos Dirigidos
 Un grafo dirigido G consiste en un conjunto de vértices V y
un conjunto de arcos A  G = (V,A).
 Los vértices se denominan también nodos o puntos.
 Los arcos pueden llamarse arcos dirigidos o líneas dirigidas.
 Un arco es un par ordenado de vértices (v,w); donde v es la
cola y w es la cabeza del arco.
 El arco (v,w) se expresa a menudo como v → w, y se
representa como:
 Se dice que el arco v → w va de v a w, y que w es adyacente a
v.

Teoría de Grafos 3
Grafos Dirigidos (cont.)
 Los vértices de un grafo dirigido pueden usarse para
representar objetos, y los arcos para representar relaciones
entre los objetos.
 Un camino en un grafo dirigido es una secuencia de vértices
v1, v2, …, vn, tal que v1 → v2, v2 → v3, …, vn-1 → vn son arcos.
 Este camino va del vértice v1 al vértice vn, pasando por los
vértices v2, v3, …, vn-1.
 La longitud de un camino es el número de arcos en ese
camino, en este caso, n – 1.
 Como caso especial, un vértice sencillo v, por sí mismo denota
un camino de longitud 0 de v a v.

Teoría de Grafos 4
 En el grafo G = (V,A), donde V = {1,2,3,4} y A = {(1,2),(1,3),
(2,4),(3,2),(4,3)}, la secuencia 1, 2, 4 es un camino de longitud
2 que va del vértice 1 al vértice 4.

Teoría de Grafos 5
 Un camino simple es un camino en donde todos los vértices,
excepto tal vez el primero y el último, son distintos.
 Un ciclo simple es un camino simple de longitud por lo menos
uno, que empieza y termina en el mismo vértice.
 En el grafo G anterior 3, 2, 4, 3 es un ciclo de longitud 3.
 Un grafo dirigido etiquetado es un grafo cuyos arcos están
etiquetados con una letra o un valor numérico.

Teoría de Grafos 6
Representación de Grafos Dirigidos
 Una representación común para un grafo dirigido G = (V,A) es
la matriz de adyacencia.
 La matriz de adyacencia para G es una matriz A de dimensión
n x n, de elementos booleanos, donde A[i,j] es verdadero si y
sólo si existe un arco que vaya del vértice i al j.
 Con frecuencia se exhibirán matrices adyacencias con 1 para
verdadero y 0 para falso.

Teoría de Grafos 7
Representación de Grafos Dirigidos (cont.)
 Otra representación, relacionada con la anterior, para un grafo
dirigido G = (V,A) es la matriz de adyacencia etiquetada.
 La matriz de adyacencia etiquetada para G es una matriz A de
dimensión n x n, donde A[i,j] es la etiqueta del arco que va del
vértice i al j.
 Si no existe un arco de i a j debe emplearse como entrada para
A[i,j] un valor que no pueda ser una etiqueta válida.

Teoría de Grafos 8
 La ventaja de usar una matriz de adyacencia es que el tiempo
de acceso requerido a un elemento es independiente del
tamaño de V y A.
 La desventaja de usar una matriz de adyacencia es que
requiere un espacio (n2) aun si el grafo tiene menos de n2
arcos.
 Sólo leer o examinar la matriz puede llevar un tiempo O(n2).
 Para evitar esta desventaja, se puede utilizar otra
representación común para un grafo dirigido G = (V,A)
llamada representación con lista de adyacencia.

Teoría de Grafos 9
 La lista de adyacencia para un vértice i es una lista, en algún
orden, de todos los vértices adyacentes a i.
 Se puede representar G por medio de un arreglo CABEZA,
donde CABEZA[i] es un apuntador a la lista de adyacencia del
vértice i.
 La representación con lista de adyacencia de un grafo dirigido
requiere un espacio proporcional a la suma del número de
vértices más el número de arcos.
 Se usa bastante cuando el número de arcos es mucho menor
que n2.
 Una desventaja potencial es que puede llevar un tiempo O(n)
determinar si existe un arco del vértice i al vértice j.

Teoría de Grafos 10

Teoría de Grafos
Grafos No Dirigidos
 Parte de la terminología para grafos dirigidos es aplicable a los
no dirigidos.
 Un grafo no dirigido G consiste en un conjunto finito de
vértices V y un conjunto de aristas A  G = (V,A).
 Los vértices se denominan también nodos o puntos.
 Las aristas es un par no ordenado de vértices; la arista (v,w) =
(w,v)
 Los vértices v y w son adyacentes si es una arista (v,w).
 Se dice que la arista (v,w) es incidente sobre los vértices v y w.
11

Teoría de Grafos
Grafos No Dirigidos (cont.)
 Un camino en un grafo no dirigido es una secuencia de
vértices v1, v2, …, vn, tal que (v1,vi+1) es una arista para 1 ≤ i <
n.
 Un camino simple es un camino en donde todos los vértices,
excepto tal vez el primero y el último, son distintos.
 La longitud del camino es n – 1, el número de aristas a lo
largo del camino.
 Un grafo es conexo si todos sus pares de vértices están
conectados.
12

Teoría de Grafos
 Sea G = (V,A) un grafo con conjunto de vértices V y conjunto
de aristas A. Un subgrafo de G es un grafo G’ = (V’,A’)
donde:
 V’ es un subconjunto de V.
 A’ consta de las aristas (v,w) en A tales que v y w están en V’.
 Si A’ consta de todas las aristas (v,w) en A, tal que v y w están
en V’, entonces G’ se conoce como un subgrafo inducido de
G.
13

 En el grafo G = (V,A), donde V = {a,b,c,d} y A = {(a,b),(a,c),
(b,c),(b,d),(c,d)}, y uno de sus subgrafos inducidos G’
definido por el conjunto de vértices V’ = {a,b,c} y A’ = {(a,b),
(b,d)}.

Teoría de Grafos
 Un componente conexo de un grafo G es un subgrafo conexo
inducido maximal, es decir, un subgrafo conexo inducido que
por sí mismo no es un subgrafo propio de ningún otro
subgrafo conexo de G.
 El grafo no dirigido anterior es un grafo conexo que tiene sólo
un componente conexo, y es él mismo.
 El siguiente grafo no dirigido tiene dos componentes conexos.
15

Teoría de Grafos
 Un ciclo simple de un grafo G es un camino simple de
longitud mayor o igual a 3, que conecta un vértice consigo
mismo.
 No se consideran ciclos los caminos de la forma v (camino de
longitud 0), v,v (camino de longitud 1), o v,w,v (camino de
longitud 2).
 Un grafo cíclico contiene por lo menos un ciclo.
 Un grafo acíclico algunas veces se conoce como árbol libre.
 El grafo anterior muestra dos árboles libres.
16

Teoría de Grafos
 Los árboles libres tienen dos propiedades importantes:
 Todo árbol libre con n ≥ 1 vértices contiene exactamente n – 1
aristas.
 Si se agrega cualquier arista a un árbol libre, resulta un ciclo.
17

Representación de Grafos No Dirigidos
 Los métodos de representación de grafos dirigidos se pueden
emplear para representar los no dirigidos.
 Una arista no dirigida entre v y w se representa simplemente
con dos aristas dirigidas, una de v a w, y otra de w a v.
 Los métodos son:
 Una representación con matriz de adyacencia. Esta matriz es
simétrica.
 Una representación con matriz de adyacencia etiquetada.
Esta matriz es simétrica.
 Una representación con lista de adyacencia.

Representación de Grafos No Dirigidos (cont.)

Teoría de Grafos
Representación de Grafos No Dirigidos (cont.)
 La matriz de incidencia es otra forma de representar grafos.
 Sea G = (V,I) un grafo no dirigido, donde v1, v2, ..., vn son los
vértices y e1, e2, ..., em son las aristas. La matriz de incidencia
es de orden nxm, donde mij = 1 si la arista conecta con el
vértice.
20
a b c d e
1 1 0 0 0 0
2 0 1 0 0 0
3 0 0 1 0 0
4 1 1 1 1 0
5 0 0 0 1 1
6 0 0 0 0 1

Teoría de Grafos
Grafo Completo
 Un grafo completo Kn es un grafo simple donde cada par de
vértices está conectado por una arista
 Un grafo completo de n vértices tiene n(n-1)/2 aristas
 Es un grafo regular con todos sus vértices de grado n-1
 La única forma de hacer que un grafo completo se torne
disconexo a través de la eliminación de vértices, sería
eliminándolos todos
 Un grafo simple que al menos un par de vértices no están
conectados por una arista se llama no completo
21

Teoría de Grafos
Grafo Completo
22

Teoría de Grafos
Grafo Ciclo
 Un grafo ciclo o simplemente ciclo Cn es un grafo que se
asemeja a un polígono de n lados, con n vértices
 Consiste en un camino cerrado en el que no se repite ningún
vértice a excepción del primero que aparece dos veces como
principio y fin del camino
 El número de vértices en un grafo Cn es igual al número de
aristas, y cada vértice tiene grado par, por lo tanto cada vértice
tiene dos aristas incidentes
23

Teoría de Grafos
Grafo Ciclo
 Propiedades:
 https://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_ciclo
24

Teoría de Grafos
Grafo Rueda
 Un grafo rueda Wn, o simplemente rueda, es un grafo con
n vértices que se forma conectando un único vértice a todos
los vértices de un ciclo-(n-1)
 Los grafos rueda son grafos planos, y como tales pueden ser
"incrustado" en un plano
 Todo gráfico rueda es un grafo de Halin
 Son auto-duales: el dual de cualquier grafo rueda es un grafo
isomórfico
 En un grafo rueda siempre hay un ciclo hamiltoniano,
habiendo n2-3n+3 ciclos en Wn
25

Teoría de Grafos
Grafo Rueda
26

Teoría de Grafos
Grafo Hipercubo (n-cubo)
 El grafo hipercubo Qn es un grafo regular con 2n vértices, que
corresponden a los subconjuntos de un conjunto de n
elementos
 Cada vértice de Qn es incidente a exactamente n aristas (por lo
tanto, el grafo es n-regular) y por eso el número total de aristas
es 2n-1n.
27

Teoría de Grafos
Grafo Hipercubo (n-cubo)
28
Q1
2n-1
n = 20
*1 = 1 arista
2n
= 21
= 2 vértices
n = 1 arista incidente en cada vértice
Q2
2n-1
n = 21
*2 = 4 aristas
2n
= 22
= 4 vértices
n = 2 aristas incidentes en cada vértice
0 1
00 01
10 11
Q3
2n-1
n = 22
*3 = 12 aristas
2n
= 23
= 8 vértices
n = 3 aristas incidentes en cada vértice
100
000 001
110 111
011
101
010

Teoría de Grafos
Grafo Bipartito
 Un grafo bipartito (o bipartido) es un grafo G = (N,E) cuyos
vértices se pueden separar en dos conjuntos disjuntos U y V,
de manera que las aristas sólo pueden conectar vértices de un
conjunto con vértices del otro
 Los grafos bipartitos suelen representarse gráficamente con
dos columnas (o filas) de vértices y las aristas uniendo vértices
de columnas (o filas) diferentes
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Teoría de Grafos
Grafo Bipartito
 Los dos conjuntos U y V pueden ser pensados como un
coloreo del grafo con dos colores: si pintamos los vértices
en U de azul y los vértices de V de verde obtenemos un grafo
de dos colores donde cada arista tiene un vértice azul y el otro
verde
 Un grafo bipartito con la partición de los vértices en U y V
suele denotarse G = (U, V, E)
 Si |U| =|V|, esto es, si los dos subconjuntos tiene la misma
cantidad de elementos o cardinalidad, decimos que el grafo
bipartito G es balanceado
30

Teoría de Grafos
Grafo Bipartito Completo

31

Teoría de Grafos
Grafo Bipartito Completo
32

Grafos Isomorfos
 Un isomorfismo entre dos grafos G y H es una biyección f
entre los conjuntos de sus vértices f:V(G) → V(H) que
preserva la relación de adyacencia.
 Es decir, cualquier par de vértices u y v de G son adyacentes si
y solo si lo son sus imágenes, f(u) y f(v), en H.
 Dos grafos son isomorfos si tienen el mismo número de:
 Vértices y aristas
 Componentes conexos
 Sucesión de sus grados igual

Grafos Isomorfos
 Si dos grafos son isomorfos sus complementarios también lo
son
 Se debe analizar las matrices de adyacencia de los dos grafos
 https://www.youtube.com/watch?v=ybwRY2zzTvY

Teoría de Grafos
Grafos Isomorfos
35

Teoría de Grafos
Grafos Isomorfos
36
a b c d e f g h
a 0 0 0 0 1 1 1 0
b 0 0 0 0 1 1 0 1
c 0 0 0 0 1 0 1 1
d 0 0 0 0 0 1 1 1
e 1 1 1 0 0 0 0 0
f 1 1 0 1 0 0 0 0
g 1 0 1 1 0 0 0 0
h 0 1 1 1 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 1 6 8 3 5 2 4 7
1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0
2 1 0 1 0 0 1 0 0 6 0 0 0 0 1 1 0 1
3 0 1 0 1 0 0 1 0 8 0 0 0 0 1 0 1 1
4 1 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 1 1
5 1 0 0 0 0 1 0 1 5 1 1 1 0 0 0 0 0
6 0 1 0 0 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 0 0 0
7 0 0 1 0 0 1 0 1 4 1 0 1 1 0 0 0 0
8 0 0 0 1 1 0 1 0 7 0 1 1 1 0 0 0 0

Teoría de Grafos
Circuito de Euler o Euleriano
 Un circuito que contiene todas las aristas de G recibe el nombre de circuito
de Euler o euleriano
 Trayectoria que empieza y termina en el mismo vértice y recorre cada
arista exactamente una vez
 Teorema. El grafo G contiene un circuito euleriano sí y solo sí:
 G es conexo
 Todos los vértices de G tienen grado par
37

Teoría de Grafos
Trayectoria de Euler
 Una trayectoria de Euler o euleriana en un grafo G es un camino que
recorre cada arista una sola vez
 Teorema. Sea G un grafo conexo cuya suma de los grados de todos sus
vértices es par y hay un número par de vértices impares
 Si el número de vértices impares es mayor que dos, el grafo no se
puede recorrer (pasando dos veces por alguna arista)
 Si el número de vértices impares es cero, el grafo se puede recorrer.
Podemos además elegir por qué vértice empezar, y el camino siempre
será cerrado (termina donde empezó)
 Si el número de vértices impares es dos, el grafo se puede recorrer,
pero el camino ha de empezar en uno de los dos vértices impares y
terminar en el otro
38

Teoría de Grafos
Euler
39

Teoría de Grafos
Circuito de Hamilton o Hamiltoniano

40

Teoría de Grafos
Trayectoria de Hamilton o Hamiltoniana
 Una trayectoria de Hamilton o hamiltoniana en un grafo G es un camino
que recorre cada vértice una sola vez
 Teorema. El grafo G contiene un circuito hamiltoniano sí y solo sí:
 G es conexo con n vértices (n ≥ 3)
 Si la suma de los grados de cada par de vértices no adyacentes es
mayor o igual a n
41

Teoría de Grafos
Hamilton
42

Teoría de Grafos
Grafos planares o planos
 Un grafo planar o plano, es una representación de un grafo en
la cual ninguna de sus aristas interseca con otra.
 Aplicaciones:
 Diseño de circuitos, para que ninguna conección choque.
 Diseño de caminos, para conectar ciudades sin que choquen
caminos.
43

Teoría de Grafos
Grafos planares o planos (cont.)
 G es un grafo planar simple con:
 e aristas
 v vértices
 r regiones
 Donde r = e − v + 2
 Corolarios
 Si v ≥ 3, entonces e ≤ 3v − 6.
 El grado de vértice de G no es mayor que 5.
 Si v ≥ 3 y no hay circuitos de 3, entonces e ≤ 2v − 4
44

Teoría de Grafos
Grafos planares o planos (cont.)
 Teorema de Kuratowski
 Este teorema dice que un grafo es no planar si contiene un
subgrafo homeomorfo a K3,3 o K5.
45

Teoría de Grafos
Grafos Coloreados
 La coloración de grafos es un caso especial de etiquetado
de grafos; es una asignación de etiquetas llamadas colores a
elementos del grafo
 Una coloración de los vértices de un grafo tal que ningún
vértice adyacente comparta el mismo color es llamado vértice
coloración
 Una coloración de arista asigna colores a cada arista tal que
aristas adyacentes no compartan el mismo color
 Una coloración de caras de un grafo plano a la asignación de
un color a cada cara o región tal que caras que compartan una
frontera común tengan colores diferentes
46

Teoría de Grafos
Grafos Coloreados
 La convención de usar colores se origina de la coloración de
países de un mapa, donde cada cara es literalmente coloreada.
 En general se puede usar un conjunto finito como conjunto de
colores
 La naturaleza del problema de coloración depende del número
de colores pero no sobre cuales son
47

Teoría de Grafos
Grafos Coloreados
 La vértice coloración (o simplemente coloración) es la
asignación de los vértices de un grafo con colores tal que dos
vértices que compartan la misma arista tengan colores
diferentes
 Un grafo con bucles no puede ser coloreado, y solo se
consideran grafos simples
48

Teoría de Grafos
Grafos Coloreados
 Una coloración que usa a lo más k colores se llama k-
coloración (propia)
 El menor número de colores necesarios para colorear un grafo
G se llama número cromático y se denota como χ(G)
 Un grafo que puede ser asignada una k-coloración (propia) es
k-coloreable y es k-cromático si su número cromático es
exactamente k
49

Teoría de Grafos
Grafos Coloreados
 Un subconjunto de vértices asignados con el mismo color se
llama una clase de color
 Cada clase forma un conjunto independiente
 Una k-coloración es lo mismo que una partición del conjunto
de vértices en k conjuntos independientes, y los términos k-
partito y k-coloreable tienen el mismo significado.
50

Teoría de Grafos
Grafos Coloreados
 El polinomio cromático cuenta el número de maneras en las
cuales puede ser coloreado un grafo usando no más que un
número de colores dado
 El polinomio cromático es una función P(G,t) que cuenta el
número de t-coloraciones de G
 Como el nombre lo indica para un grafo G la función es un
polinomio en t
51

Teoría de Grafos
Grafos Coloreados
 Una arista coloración de un grafo, es una coloración de las aristas,
denotada como la asignación de colores a aristas tal que aristas incidentes
tengan un color distinto
 Una arista coloración con k colores es llamada k-arista-coloración y
es equivalente al problema de particionar el conjunto de aristas en k
emparejamientos
 El menor número de colores necesarios para un arista coloración de un
grafo G es el índice cromático o número cromático de aristas
 Una coloración Tait es una 3-arista-coloración de un grafo cúbico. El
teorema de los cuatro colores es equivalente a que cada grafo cúbico
sin puentes admite una coloración Tait.
52

Teoría de Grafos
Árboles
Terminología
 Padre
 Hijo
 Hermanos
 Ancestro
 Descendiente
 Hoja
 Interno
 Subárbol
53

Teoría de Grafos
Árboles
 Un árbol raíz es un árbol n-ario si cada vértice interno no tiene
más de n hijos.
 Un árbol es llamado n-ario completo si cada vértice interno
tiene exactamente n hijos.
 Ejemplo: Un árbol n-ario con n = 2 es un árbol binario.

Teoría de Grafos
Árboles
 Contar los vértices en un árbol n-ario lleno.
 La n significa que esa es la cantidad máxima de hijos que cada nodo
padre puede tener en un árbol enraizado.
 Que sea lleno significa que cada nodo es una hoja o posee n hijos.
 Un árbol con n vértices tiene n-1 aristas.
 Es un grafo conexo, por ende todos sus vértices estarán unidos, de ahí
que hayan n-1 aristas.
 Un árbol n-ario lleno con i vértices internos contiene n = m*i +1 vértices.
 Cada vértice, excepto la raíz, es el hijo de un vértice interno. Cada
uno de los i vértices internos tiene m hijos, hay m*i vértices en el
árbol excluyendo la raíz.
 Por ende, el árbol contiene n = mi +1 vértices, siendo n el numero
total de vértices en el árbol.

Teoría de Grafos
Árboles
 Un árbol n-ario lleno con:
 n vértices tiene i = (n – 1)/m vértices internos y l = [(m – 1)n + 1]/m hojas.
 i vértices internos tiene n = mi + 1 vértices y l = (m – 1)i + 1 hojas.
 l hojas tiene n = (ml – 1)/(m – 1) vértices y i = (l – 1)/(m – 1) vértices
internos.
 Donde n representa la cantidad de vértices, i es la cantidad de vértices
internos y l el número de hojas en el árbol.
 Una vez que uno de n, i o l es conocido, se aplica la propiedad anterior para
hallar los otros dos mediante la cantidad ya encontrada.

Teoría de Grafos
Árboles
 Un árbol 3-ario lleno con:
 m = 3 hijos por nodo y n = 13 vértices en total
 i = (13 – 1)/3 = 4 vértices internos
 l = [(3 – 1)13 + 1]/3 = 9 hojas

Teoría de Grafos
Árboles
 Un árbol n-ario balanceado:
 Es deseable usualmente usar árboles que estén balanceados,
para que así los subárboles de cada vértice contengan
aproximadamente el mismo tamaño.
 El nivel de un vértice v en un árbol enraizado es el tamaño del
camino único desde la raíz hasta este vértice.
 El nivel de una raíz es 0.
 La altura de un árbol enraizado es el máximo de niveles de los
vértices, o sea el camino más largo desde la raíz hasta un
vértice.

Teoría de Grafos
Árboles


Teoría de Grafos
Algoritmos de Grafos Dirigidos
 Algoritmos de determinación de los caminos más cortos:
 Algoritmo de Dijkstra.
 Algoritmo de Floyd-Warshall.
 Algoritmos de recorrido o búsqueda:
 Algoritmo de búsqueda en anchura.
 Algoritmo de búsqueda en profundidad.
 Bosques abarcadores.
60

Teoría de Grafos
Algoritmos de Grafos Dirigidos –
Algoritmo de Dijkstra
 El algoritmo de Dijkstra, también llamado algoritmo de
caminos mínimos, es un algoritmo para la determinación del
camino más corto dado un vértice origen al resto de vértices
en un grafo dirigido y con pesos en cada arco.
 Su nombre se refiere a Edsger Dijkstra, quien lo describió por
primera vez en 1959.
61

Teoría de Grafos
Algoritmo de Dijkstra (cont.)
 La idea subyacente en este algoritmo consiste en ir explorando
todos los caminos más cortos que parten del vértice origen y
que llevan a todos los demás vértices.
 Cuando se obtiene el camino más corto desde el vértice
origen, al resto de vértices que componen el grafo, el
algoritmo se detiene.
 El algoritmo es una especialización de la búsqueda de costo
uniforme, y como tal, no funciona en grafos con aristas de
costo negativo.
62

Teoría de Grafos
 Descripción detallada:
 Sea G=(V,A) un grafo dirigido y etiquetado.
 Sean los vértices a  V y z  V; a es el vértice de origen y z el
vértice de destino.
 Sea un conjunto C  V, que contiene los vértices de V cuyo
camino más corto desde a todavía no se conoce.
 Sea un vector D, con tantas dimensiones como elementos tiene
V, y que “guarda” las distancias entre a y cada uno de los
vértices de V.
 Sea, finalmente, otro vector, P, con las mismas dimensiones
que D, y que conserva la información sobre qué vértice
precede a cada uno de los vértices en el camino.
63

Teoría de Grafos
 El algoritmo para determinar el camino de longitud mínima
entre los vértices a y z es: C  V.
1. Para todo vértice i  C, i ≠ a, se establece Di  ∞ ; Da  0.
2. Para todo vértice i  C se establece Pi = a.
3. Se obtiene el vértice s  C tal que no existe otro vértice w ∈ C
tal que Dw < Ds.
 Si s = z entonces se ha terminado el algoritmo.
4. Se elimina de C el vértice s: C  C−{s}.
5. Para cada arista e ∈ A de longitud l, que une el vértice s con
algún otro vértice t ∈ C,
 Si l + Ds < Dt, entonces:
 Se establece Dt  l + Ds.
 Se establece Pt  s.
6. Se regresa al paso 4.
64

Teoría de Grafos
 Al terminar este algoritmo, en Dz estará guardada la distancia
mínima entre a y z.
 Por otro lado, mediante el vector P se puede obtener el camino
mínimo: en Pz estará y, el vértice que precede a z en el camino
mínimo; en Py estará el que precede a y, y así sucesivamente,
hasta llegar a ESTADO DE ENLACE.
 Aplicación Web del algoritmo:
 http://neo.lcc.uma.es/evirtual/cdd/applets/distancia%20corta/E
xample2.html.
65

Teoría de Grafos
 Ejemplo:
 Encontrar los caminos más cortos entre el vértice 1 y todos los
demás del siguiente grafo dirigido.
66

Teoría de Grafos
Iteración S w D[2] D[3] D[4] D[5]
Inicial {1} --- 10  30 100
67

Teoría de Grafos
Inicial {1} --- 10  30 100
1 {1,2} 2 10 60 30 100
68

Teoría de Grafos
Inicial {1} --- 10  30 100
1 {1,2} 2 10 60 30 100
2 {1,2,4} 4 10 50 30 90
69

Teoría de Grafos
Inicial {1} --- 10  30 100
1 {1,2} 2 10 60 30 100
2 {1,2,4} 4 10 50 30 90
3 {1,2,4,3} 3 10 50 30 60
70

Teoría de Grafos
Inicial {1} --- 10  30 100
1 {1,2} 2 10 60 30 100
2 {1,2,4} 4 10 50 30 90
3 {1,2,4,3} 3 10 50 30 60
4 {1,2,4,3,5} 5 10 50 30 60
71

Teoría de Grafos
 Pseudocódigo del algoritmo:
72

Teoría de Grafos
Algoritmo de Floyd
 El algoritmo de Floyd-Warshall intenta resolver el problema
de encontrar el camino más corto entre todos los pares de
nodos o vértices de un grafo.
 Esto es similar a construir una tabla con todas las distancias
mínimas entre pares de ciudades de un mapa, indicando la ruta
a seguir para ir de la primera ciudad a la segunda.
73

Teoría de Grafos
Algoritmo de Floyd (cont.)
 Esto puede verse de la siguiente manera:
 Sea G=(V,A) un grafo en el cual cada arco tiene asociado un
costo no negativo. El problema es hallar para cualquier par de
vértices (v,w) el camino más corto de v a w.
 G=(V,A), V={1,...,n} y C[i,j] es el costo del arco que va de i a j.
 El algoritmo calcula la serie de matrices
 Ak[i,j] significa el costo del camino más corto que va de i a j y
que no pasa por algún vértice mayor que k.
 El objetivo es calcular An[i,j].
74

Teoría de Grafos
 El algoritmo se modifica para agregar una matriz que guarde
los caminos más económicos entre los vértices.
 Al algoritmo se le agrega una matriz P, donde P[i,j] tiene el
vértice k que permitió encontrar el valor más pequeño de
A[i,j].
 Si P[i,j] = 0, e camino más corto de i a j es directo, siguiendo
el arco entre ambos.
 La versión modificada del algoritmo almacenará los vértices
intermedios apropiados en P.
75

Teoría de Grafos
 Ejemplo:
 Encontrar los caminos más cortos entre todos los vértices del
siguiente grafo dirigido.
76

Teoría de Grafos
77





















0
60020
100
500
10030100
5
4
3
2
1
543211 2 3 4 5
















00000
00000
00000
00000
00000
5
4
3
2
1
54321
A0[i,j] P

Teoría de Grafos





















0
60020
100
500
10030100
5
4
3
2
1
54321
78





















0
60020
100
500
10030100
5
4
3
2
1
54321
















00000
00000
00000
00000
00000
5
4
3
2
1
543211 2 3 4 5
A1[i,j] PA0[i,j]
1 2 3 4 5

Teoría de Grafos
79




















0
60020
100
500
1003060100
5
4
3
2
1
54321
















00000
00000
00000
00000
00200
5
4
3
2
1
54321
A2[i,j] P





















0
60020
100
500
10030100
5
4
3
2
1
54321
A1[i,j]
1 2 3 4 51 2 3 4 5

Teoría de Grafos
80




















0
30020
100
60500
703060100
5
4
3
2
1
54321
















00000
30000
00000
30000
30200
5
4
3
2
1
54321
A3[i,j] P




















0
60020
100
500
1003060100
5
4
3
2
1
54321
A2[i,j]
1 2 3 4 51 2 3 4 5

Teoría de Grafos
81




















0
30020
100
60500
603050100
5
4
3
2
1
54321
















00000
30000
00000
30000
40400
5
4
3
2
1
54321
A4[i,j] P




















0
30020
100
60500
703060100
5
4
3
2
1
54321
A3[i,j]
1 2 3 4 51 2 3 4 5

Teoría de Grafos




















0
30020
100
60500
603050100
5
4
3
2
1
54321
82




















0
30020
100
60500
603050100
5
4
3
2
1
54321
















00000
30000
00000
30000
40400
5
4
3
2
1
54321
PA4[i,j]
1 2 3 4 51 2 3 4 5
A5[i,j]

Teoría de Grafos
83




















0
30020
100
60500
603050100
5
4
3
2
1
54321
















00000
30000
00000
30000
40400
5
4
3
2
1
543211 2 3 4 5
A P

Teoría de Grafos
84

Teoría de Grafos
 Pseudocódigo para imprimir los vértices intermedios del
vértice i hasta el vértice j:
85

Teoría de Grafos
 En algunos casos podría ser importante saber sólo si existe un
camino de longitud mayor o igual a 1 que vaya desde el
vértice i al vértice j.
 El algoritmo de Floyd puede especializarse para este
problema; el algoritmo resultante, que antecede al de Floyd, se
conoce como el algoritmo de Warshall.
 Con el algoritmo de Warshall se desea obtener la matriz A tal
que A[i,j] = 1 si hay un camino de longitud igual o mayor que
1, y 0 en caso contrario.
 Esta matriz A se conoce como cerradura transitiva de la
matriz de adyacencia.
86

Teoría de Grafos
87
















00000
10100
10000
10100
11110
5
4
3
2
1
54321
Cerradura Transitiva

Teoría de Grafos
 Pseudocódigo del algoritmo de Warshall:
88

Teoría de Grafos
 El algoritmo de Floyd se utiliza, aparte de hallar los caminos
más cortos entre todos los vértices, para determinar el vértice
más central de un grafo dirigido.
 Para encontrar el centro de un grafo dirigido G se necesita:
 La excentricidad de v, la cual es el valor máximo de las
longitudes de los caminos más cortos de w a v.
 Después de encontrar la excentricidad de cada vértice, se
obtiene el centro de G, el cual es el vértice de mínima
excentricidad.
 Así, el centro de un grafo dirigido es un vértice más cercano al
vértice más distante.
89

Teoría de Grafos
 Para encontrar el centro de un grafo dirigido G se hace lo
siguiente:
 Aplicar el algoritmo de Floyd para obtener la matriz de los
caminos más cortos entre todos los pares.
 Encontrar el costo máximo de cada columna i, esto da la
excentricidad del vértice i.
 Encontrar el vértice con excentricidad mínima, este es el centro
del grafo G.
90

Teoría de Grafos
91




















0
30020
100
60500
603050100
5
4
3
2
1
543211 2 3 4 5
max     60

Teoría de Grafos
Algoritmo de Búsqueda en Anchura
 Búsqueda en anchura (BFS o Breadth-first search en inglés)
es un algoritmo para recorrer o buscar elementos en un grafo
(usado frecuentemente sobre árboles).
 Intuitivamente, se comienza en la raíz (eligiendo algún nodo
como elemento raíz en el caso de un grafo) y se exploran todos
los vecinos de este nodo.
 A continuación para cada uno de los vecinos se exploran sus
respectivos vecinos adyacentes, y así hasta que se recorra todo
el árbol.
 Su nombre se debe a que expande uniformemente la frontera
entre lo descubierto y lo no descubierto. Llega a los nodos de
distancia k, sólo tras haber llegado a todos los nodos a
distancia k-1.
92

Teoría de Grafos
Algoritmo de Búsqueda en Anchura (cont.)
 Formalmente, BFS es un algoritmo de búsqueda sin
información, que expande y examina todos los nodos de un
árbol sistemáticamente para buscar una solución.
 El algoritmo no usa ninguna estrategia heurística.
 El peso de los arcos para ejecutar BFS debe de ser de IGUAL
costo.
 Si las aristas tienen pesos negativos se aplica el algoritmo de
Bellman-Ford en alguna de sus dos versiones.
93

Teoría de Grafos
 Dado un vértice fuente s, se explora los vértices de G para
“descubrir” todos los vértices alcanzables desde s.
 Se busca desde s a todos los vértices alcanzables.
 Después produce un árbol BF con raíz en s y que contiene a
todos los vértices alcanzables.
 El camino desde s a cada vértice en este recorrido contiene el
mínimo número de vértices. Es el camino más corto medido en
número de vértices.
94

Teoría de Grafos
 Durante un recorrido en anchura, cuando se recorren ciertos
arcos, llevan a vértices sin visitar.
 Los arcos que llevan a vértices nuevos se conocen como arcos
de árbol y forman un bosque abarcador en anchura para el
grafo dirigido dado.
95

Teoría de Grafos
 Además de los arcos de árbol, existen dos tipos de arcos
definidos por una búsqueda en anchura de un grafo dirigido,
que se conocen como:
 Arco de retroceso: Es el arco que va de un vértice a uno de
sus antecesores. Un arco que va de un vértice hacia si mismo
se considera un arco de retroceso.
 Arco cruzado: Es el arco que va de un vértice a otro que no es
ni antecesor ni descendiente.
96

Teoría de Grafos
 Ejemplo:
 Realizar el recorrido en anchura (siga el orden alfabético) y
encontrar el bosque abarcador del siguiente grafo dirigido.
97

Teoría de Grafos
98

Teoría de Grafos
99

Teoría de Grafos
Algoritmo de Búsqueda en Profundidad
 Un recorrido en profundidad (en inglés DFS - Depth First
Search) es un algoritmo que permite recorrer todos los nodos
de un grafo o árbol de manera ordenada, pero no uniforme.
 Su funcionamiento consiste en ir expandiendo todos y cada
uno de los nodos que va localizando, de forma recurrente, en
un camino concreto.
 Cuando ya no quedan más nodos que visitar en dicho camino,
regresa, de modo que repite el mismo proceso con cada uno de
los hermanos del nodo ya procesado.
100

Teoría de Grafos
Algoritmo de Búsqueda en Profundidad (cont.)
 Arcos DF:
 Si en tiempo de descubrimiento de u tenemos el arco (u,v):
 i. Si el estado de v es NO_VISITADO, entonces (u,v) ∈ DF.
 ii. Si el estado de v es VISITADO, entonces (u,v) es un arco
hacia atrás.
 iii. Si el estado de v es TERMINADO, entonces (u,v) es un arco
de cruce o arco hacia delante. Será de cruce si d[v]<d[u]; y será
hacia delante si d[v]>d[v].
101

Teoría de Grafos
 Durante un recorrido en profundidad, cuando se recorren
ciertos arcos, llevan a vértices sin visitar.
 Los arcos que llevan a vértices nuevos se conocen como arcos
de árbol y forman un bosque abarcador en profundidad
para el grafo dirigido dado.
102

Teoría de Grafos
 Además de los arcos de árbol, existen tres tipos de arcos
definidos por una búsqueda en profundidad de un grafo
dirigido, que se conocen como:
 Arco de retroceso: Es el arco que va de un vértice a uno de
sus antecesores. Un arco que va de un vértice hacia si mismo
se considera un arco de retroceso.
 Arco de avance: Es el arco que va de un vértice a uno de sus
descendientes.
 Arco cruzado: Es el arco que va de un vértice a otro que no es
ni antecesor ni descendiente.
103

Teoría de Grafos
 Ejemplo:
 Realizar el recorrido en profundidad (siga el orden alfabético)
y encontrar el bosque abarcador del siguiente grafo dirigido.
104

Teoría de Grafos
105

Teoría de Grafos
106

Teoría de Grafos
Algoritmos de Grafos No Dirigidos
 Algoritmos de determinación de los caminos más cortos:
 Algoritmo del camino más corto.
 Algoritmos de árboles abarcadores de costo mínimo:
 Algoritmo de Prim.
 Algoritmo de Kruskal.
 Algoritmos de recorrido o búsqueda:
 Algoritmo de recorrido en pre-orden, orden y post-orden
 Algoritmo de búsqueda en anchura.
 Algoritmo de búsqueda en profundidad.
 Bosques abarcadores.
107

Teoría de Grafos
Algoritmos de Grafos No Dirigidos –
Algoritmo del Camino Más Corto
 Este algoritmo busca el camino más corto entre dos vértices.
 Recibe como entrada el grafo no dirigido G, el vértice inicial y
el vértice final.
 El algoritmo es el siguiente:
1. D[a] = 0, si x ≠ a  D[x] = . Se tiene el conjunto de vértices
T.
2. Si z  T  terminar y D[z] es la distancia más corta entre a y
z.
3. Escoja v  T donde D[v] es el valor mínimo. T = T – {v}.
4. Si x  T y es adyacente a v  D[x] = min{D[x],D[v]+c(v,x)}.
5. Pase al paso 2.
108

Teoría de Grafos
Algoritmo del Camino Más Corto (cont.)
 Ejemplo:
 Encontrar el camino más corto entre los vértices a y h.
109

Teoría de Grafos
110









][
][
][
][
][
][
][
0][
},,,,,,,{
hD
gD
fD
eD
dD
cD
bD
aD
hgfedcbaT

Teoría de Grafos
111









][
][
1][
][
][
][
2][
0][
},,,,,,{
hD
gD
fD
eD
dD
cD
bD
aD
hgfedcbT





1}10,min{][
2}20,min{][
a
fD
bD
aAdyacente

Teoría de Grafos
112









][
6][
1][
][
4][
][
2][
0][
},,,,,{
hD
gD
fD
eD
dD
cD
bD
aD
hgedcbT





6}51,min{][
4}31,min{][
a
gD
dD
fAdyacente

Teoría de Grafos
113









][
6][
1][
6][
4][
4][
2][
0][
},,,,{
hD
gD
fD
eD
dD
cD
bD
aD
hgedcT








6}42,min{][
4}22,4min{][
4}22,min{][
a
eD
dD
cD
bAdyacente

Teoría de Grafos
114
5][
6][
1][
6][
4][
4][
2][
0][
},,,{









hD
gD
fD
eD
dD
cD
bD
aD
hgedT





5}14,min{][
6}34,6min{][
a
hD
eD
cAdyacente

Teoría de Grafos
115
5][
6][
1][
6][
4][
4][
2][
0][
},,{









hD
gD
fD
eD
dD
cD
bD
aD
hgeT
 6}44,6min{][a eDdAdyacente

Teoría de Grafos
116
5][
6][
1][
6][
4][
4][
2][
0][
},{









hD
gD
fD
eD
dD
cD
bD
aD
geT
 6}65,6min{][a gDhAdyacente

Teoría de Grafos
117
5][
6][
1][
6][
4][
4][
2][
0][
},{









hD
gD
fD
eD
dD
cD
bD
aD
geT

Teoría de Grafos
Árboles Abarcadores de Costo Mínimo
 Sea G = (V,A) un grafo conexo en donde cada arista (u,v) de A
tiene un costo asociado c(u,v).
 Un árbol abarcador de G es un árbol libre que conecta todos
los vértices de V, su costo es la suma de los costos de las
aristas del árbol.
 Se quiere obtener el árbol abarcador de costo mínimo para G.
 Una aplicación típica de los árboles abarcadores de costo
mínimo tiene lugar en el diseño de redes de comunicación.
 Un árbol abarcador de costo mínimo representa una red que
comunica todas las ciudades a un costo minimal.
118

Teoría de Grafos
Árboles Abarcadores de Costo Mínimo (cont.)
 Hay diferentes maneras de construir un árbol abarcador de
costo mínimo.
 Muchos métodos utilizan la propiedad AAM.
 Sea G = (V,A) un grafo conexo con una función de costo
definida en las aristas.
 Sea U algún subconjunto propio del conjunto de vértices V.
 Si (u,v) es una arista de costo mínimo tal que u  U y v  V-U,
existe un árbol abarcador de costo mínimo que incluye (u,v)
entre sus aristas.
119

Teoría de Grafos
Algoritmo de Prim
 El algoritmo de Prim es un algoritmo de la teoría de los
grafos para encontrar un árbol abarcador de costo mínimo en
un grafo conexo, no dirigido y cuyas aristas están etiquetadas.
 En otras palabras, el algoritmo encuentra un subconjunto de
aristas que forman un árbol con todos los vértices, donde el
peso total de todas las aristas en el árbol es el mínimo posible.
 Si el grafo no es conexo, entonces el algoritmo encontrará el
árbol abarcador de costo mínimo para uno de los componentes
conexos que forman dicho grafo no conexo.
120

Teoría de Grafos
Algoritmo de Prim (cont.)
 El algoritmo fue diseñado en 1930 por el matemático Vojtech
Jarnik y luego de manera independiente por el científico
computacional Robert C. Prim en 1957 y redescubierto por
Dijkstra en 1959.
 Por esta razón, el algoritmo es también conocido como
algoritmo DJP o algoritmo de Jarnik.
121

Teoría de Grafos
 El algoritmo comienza cuando se asigna a un conjunto U un
valor inicial (un vértice del grafo), en el cual “crece” un árbol
abarcador, arista por arista.
 En cada paso localiza la arista más corta (u,v) que conecta los
vértices, y después agrega u en U. Este paso se repite hasta
que U = V.
 Ejemplo en el Web:
 http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/Kruskal%5
Fprim/applet.htm.
 http://students.ceid.upatras.gr/~papagel/project/prim.htm.
122

Teoría de Grafos
 Ejemplo:
 Encontrar el árbol abarcador de costo mínimo del siguiente
grafo no dirigido utilizando el algoritmo de Prim.
123

Teoría de Grafos
124
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T v V U V-U
 --- {1,2,3,4,5,6} {1} {2,3,4,5,6}

Teoría de Grafos
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T v V U V-U
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{(1,3)} 3 {1,2,3,4,5,6} {1,3} {2,4,5,6}

Teoría de Grafos
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T v V U V-U
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{(1,3)} 3 {1,2,3,4,5,6} {1,3} {2,4,5,6}
{(1,3),(3,6)} 6 {1,2,3,4,5,6} {1,3,6} {2,4,5}

Teoría de Grafos
127
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T v V U V-U
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{(1,3)} 3 {1,2,3,4,5,6} {1,3} {2,4,5,6}
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Teoría de Grafos
128
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T v V U V-U
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{(1,3)} 3 {1,2,3,4,5,6} {1,3} {2,4,5,6}
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{(1,3),(3,6),(6,4),(3,2)} 2 {1,2,3,4,5,6} {1,2.3,4,6} {5}

Teoría de Grafos
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T v V U V-U
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{(1,3)} 3 {1,2,3,4,5,6} {1,3} {2,4,5,6}
{(1,3),(3,6)} 6 {1,2,3,4,5,6} {1,3,6} {2,4,5}
{(1,3),(3,6),(6,4)} 4 {1,2,3,4,5,6} {1,3,4,6} {2,5}
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{(1,3),(3,6),(6,4),(3,2),(2,5)} 5 {1,2,3,4,5,6} {1,2,3,4,5,6} {}

Teoría de Grafos
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T v V U V-U
 --- {1,2,3,4,5,6} {1} {2,3,4,5,6}
{(1,3)} 3 {1,2,3,4,5,6} {1,3} {2,4,5,6}
{(1,3),(3,6)} 6 {1,2,3,4,5,6} {1,3,6} {2,4,5}
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{(1,3),(3,6),(6,4),(3,2),(2,5)} 5 {1,2,3,4,5,6} {1,2,3,4,5,6} {}

Teoría de Grafos
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Teoría de Grafos
132

Teoría de Grafos
Algoritmo de Kruskal (cont.)
 El algoritmo de Kruskal es un algoritmo de la teoría de
grafos para encontrar un árbol abarcador de costo mínimo en
un grafo conexo y ponderado.
 Es decir, busca un subconjunto de aristas que, formando un
árbol, incluyen todos los vértices y donde el valor total de
todas las aristas del árbol es el mínimo.
 Si el grafo no es conexo, entonces busca un bosque abarcador
de costo mínimo (un árbol abarcador de costo mínimo para
cada componente conexa).
 Este algoritmo fue escrito por Joseph Kruskal.
133

Teoría de Grafos
 Funciona de la siguiente manera:
 Se crea un bosque B (un conjunto de árboles), donde cada
vértice del grafo es un árbol separado.
 Se crea un conjunto C que contenga a todas las aristas del
grafo.
 Mientras C es sea vacío:
 Eliminar una arista de peso mínimo de C.
 Si esa arista conecta dos árboles diferentes se añade al bosque,
combinando los dos árboles en un solo árbol.
 En caso contrario, se desecha la arista.
134

Teoría de Grafos
 Al acabar el algoritmo, el bosque tiene una sola componente,
la cual forma un árbol abarcador de costo mínimo del grafo.
 Ejemplo en el Web:
 http://students.ceid.upatras.gr/~papagel/project/kruskal.htm.
135

Teoría de Grafos
 Ejemplo:
 Encontrar el árbol abarcador de costo mínimo del siguiente
grafo no dirigido utilizando el algoritmo de Kruskal.
136

Teoría de Grafos
137
Costo Aristas
1 (1,3)
2 (4,6)
3 (2,5)
4 (3,6)
5 (1,4) – (2,3) – (3,4)
6 (3,5) – (5,6)

Teoría de Grafos
138
Costo Aristas
1 (1,3)
2 (4,6)
3 (2,5)
4 (3,6)
5 (1,4) – (2,3) – (3,4)
6 (3,5) – (5,6)

Teoría de Grafos
139

Teoría de Grafos
Algoritmo de Recorrido en Pre-Orden
 Algoritmo que se usa para recorrer sistemáticamente cada
vértice de un árbol ordenado en pre-orden.
 El recorrido inicia en la raíz y luego se recorre en pre-orden
cada unos de los sub-árboles de izquierda a derecha.
 Considerando un árbol T con una raíz r.
 Si T únicamente consta de su raíz, entonces r es el recorrido en
pre-orden de T.
 De otra forma, supongamos que T1, T2, ..., Tn son los sub-
árboles de r de izquierda a derecha. El recorrido en pre-orden
comienza en r, continua en T1, luego en T2 y así
sucesivamente hasta Tn.
140

Teoría de Grafos
Algoritmo de Recorrido en Pre-Orden
141

Teoría de Grafos
Algoritmo de Recorrido en Orden
vértice de un árbol ordenado en orden.
 El recorrido inicia en el primer sub-árbol, luego se recorre la
raíz y al final se recorre en orden los demás sub-árboles.
 Se recorren los sub-árboles de la izquierda, se continúa con la
raíz r, y se completa con los sub-árboles de la derecha.
142

Teoría de Grafos
Algoritmo de Recorrido en Orden
143

Teoría de Grafos
Algoritmo de Recorrido en Post-Orden
vértice de un árbol ordenado en post-orden.
 El recorrido inicia en cada uno de los sub-árboles y al final se
recorre la raíz.
 Si T únicamente consta de su raíz, entonces r es el recorrido en
post-orden de T.
 Se recorren los sub-árboles de la izquierda, se completa con los
sub-árboles de la derecha y por último se recorre la raíz r.
144

Teoría de Grafos
Algoritmo de Recorrido en Post-Orden
145

Teoría de Grafos
Algoritmo de Búsqueda en Anchura
 Búsqueda en anchura (BFS o Breadth-first search en inglés)
es un algoritmo para recorrer o buscar elementos en un grafo
(usado frecuentemente sobre árboles).
 Intuitivamente, se comienza en la raíz (eligiendo algún nodo
como elemento raíz en el caso de un grafo) y se exploran todos
los vecinos de este nodo.
 A continuación para cada uno de los vecinos se exploran sus
respectivos vecinos adyacentes, y así hasta que se recorra todo
el árbol.
 Su nombre se debe a que expande uniformemente la frontera
entre lo descubierto y lo no descubierto. Llega a los nodos de
distancia k, sólo tras haber llegado a todos los nodos a
distancia k-1.
146

Teoría de Grafos
 Formalmente, BFS es un algoritmo de búsqueda sin
información, que expande y examina todos los nodos de un
árbol sistemáticamente para buscar una solución.
 El algoritmo no usa ninguna estrategia heurística.
 El peso de las aristas para ejecutar BFS debe de ser de IGUAL
costo.
 Si las aristas tienen pesos negativos se aplica el algoritmo de
Bellman-Ford en alguna de sus dos versiones.
147

Teoría de Grafos
 Durante un recorrido en anchura, cuando se recorren ciertas
aristas, llevan a vértices sin visitar.
 Las aristas que llevan a vértices nuevos se conocen como
aristas de árbol y forman un bosque abarcador en anchura
para el grafo no dirigido dado.
 Además, existen un tipo de arista definido por una búsqueda
en profundidad de un grafo no dirigido, que se conocen como:
 Aristas cruzadas: Es la arista que existe entre un vértice a
otro, pero que se llama de manera indirecta, pero el vértice no
es antecesor del otro.
148

Teoría de Grafos
 Ejemplo:
 Realizar el recorrido en anchura (siga el orden alfabético) y
encontrar el bosque abarcador del siguiente grafo no dirigido.
149

Teoría de Grafos
150

Teoría de Grafos
151

Teoría de Grafos
Algoritmo de Búsqueda en Profundidad
 Un recorrido en profundidad (en inglés DFS - Depth First
Search) es un algoritmo que permite recorrer todos los nodos
de un grafo o árbol de manera ordenada, pero no uniforme.
 Su funcionamiento consiste en ir expandiendo todos y cada
uno de los nodos que va localizando, de forma recurrente, en
un camino concreto.
 Cuando ya no quedan más nodos que visitar en dicho camino,
regresa, de modo que repite el mismo proceso con cada uno de
los hermanos del nodo ya procesado.
152

Teoría de Grafos
 Durante un recorrido en profundidad, cuando se recorren
ciertas aristas, llevan a vértices sin visitar.
 Los arcos que llevan a vértices nuevos se conocen como
aristas de árbol y forman un bosque abarcador en
profundidad para el grafo no dirigido dado.
 Además, existen un tipo de arista definido por una búsqueda
en profundidad de un grafo no dirigido, que se conocen como:
 Aristas de retroceso: Es la arista que existe entre un vértice a
otro, pero que se llama de manera indirecta, que es su
antecesor.
153

Teoría de Grafos
 Ejemplo:
 Realizar el recorrido en profundidad (siga el orden alfabético)
y encontrar el bosque abarcador del siguiente grafo dirigido.
154

Teoría de Grafos
155

Teoría de Grafos
156

Teoría de Grafos
Árbol de Expansión
 Dado un grafo G, el árbol de expansión es un sub-grafo de G
que conecta todos los nodos de este mismo sin formar un
ciclo.
157

Referencias Bibliográficas
 Aho, Hopcroft & Ullman. “Estructuras de Datos y
Algoritmos”. Pearson – Addison Wesley Longman, Primera
Edición, 1998.
 Wikipedia. URL: http://es.wikipedia.org.

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