green (1).ppt
- 1. Esbozo de demostración del Teorema de Green para una región suave. C R M L Ldx M dy dxdy x y Ñ Permitida su reproducción, libre y sin fines de lucro
- 2. x y a b R y1(x) y2(x) Sea C la curva cerrada que determina la frontera de la región R. C1 C2 Se forma la curva C1, descrita por la función y1( x ); y la curva C2 descrita por la función y2( x ). Proyectaremos la región R sobre el eje X
- 3. x y a b R y1(x) y2(x) C1 C2 C1 está definida por 1( ); y x a x b C2 está definida por 2 ( ); y x a x b
- 4. x y a b R y1(x) y2(x) C1 C2 Vamos a calcular la integral ( , ) R L x y dxdy y 2 1 ( ) ( ) ( , ) y x b a y x L x y dy dx y ( , ) R L x y dxdy y 2 1 ( , ( )) ( , ( )) b a L x y x L x y x dx 2 1 ( , ( )) ( , ( )) a b b a L x y x dx L x y x dx 2 1 C C Ldx Ldx Ñ Ñ C Ldx Ñ ( , ) C R L x y Ldx dxdy y Ñ
- 5. x y c d R x1(y) x2(y) Sea C la curva cerrada que determina la frontera de la región R. D1 D2 Se forma la curva D1, descrita por la función x1( y ); y la curva D2 descrita por la función x2( y ). Ahora proyectaremos la región R sobre el eje Y
- 6. D1 está definida por 1( ); x y c y d D2 está definida por 2 ( ); x y c y d x y c d R x1(y) x2(y) D1 D2
- 7. x y c d R x1(y) x2(y) D1 D2 Vamos a calcular la integral ( , ) R M x y dx dy x 2 1 ( ) ( ) ( , ) x x d c x x M x y dx dy x ( , ) R M x y dx dy x 2 1 ( ( ), ) ( ( ), ) d c M x y y M x y y dy 2 1 ( ( ), ) ( ( ), ) d c c d M x y y dy M x y y dy 2 1 D D M dy M dy Ñ Ñ C M dy Ñ ( , ) C R M x y M dy dxdy x Ñ
- 8. x y R C De este modo obtenemos el famoso teorema de Green C R M L Ldx M dy dxdy x y Ñ ( , ) C R L x y Ldx dxdy y Ñ ( , ) C R M x y M dy dxdy x Ñ