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- 1. MEDIDAS DE DISPERSION ING: LAUDENCIO BENAVIDES ANTELO
- 2. Parámetros estadísticos que indican cómo se alejan o se acercan los datos respecto de la media aritmética. Estas medidas deben acompañar a las medidas de tendencia central. Juntas, ofrecen información más cercana a la realidad, que se pueden utilizar para comparar y, si fuera preciso, tomar decisiones. Para interpretar la información más precisa de un conjunto de datos, muestra, o población, sacar conclusiones y tomar decisiones. RANGO VARIANZA DESVIACIÓN ESTÁNDAR O DESVIACIÓN TÍPICA
- 3. Las Medidas de Tendencia Central (MTC) tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo: Media, Mediana y Moda. En cambio, las Medidas de Dispersión (MD) son parámetros (medidas descriptivas de toda una población) estadísticos que indican cuánto se alejan los datos respecto de la media aritmética. Es decir, indican la variabilidad de los datos. Las MD nos dicen hasta qué punto las MTC son representativas como síntesis de la información. Contraste entre MTC y MD En cambio, las Medidas de Dispersión (MD) son parámetros (medidas descriptivas de toda una población) estadísticos que indican cuánto se alejan los datos respecto de la media aritmética. Es decir, indican la variabilidad de los datos. Las MD cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central: μ (media poblacional). En general, mientras más cercano a 0 (cero) sea el valor de la MD, más representativas serán las MTC Además permiten identificar la homogeneidad de una muestra o población de datos
- 4. El rango es un valor numérico que indica la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de una población o muestra estadística. Fórmula para calcular el rango Se simboliza R 𝑅 = 𝑀á𝑥𝑥 − 𝑀í𝑛𝑥 Donde • R es el rango. • Máx es el valor máximo de la muestra o población. • Mín es el valor mínimo de la muestra o población estadística. • x es la variable sobre la que se pretende calcular esta medida.
- 6. La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media. Formalmente se calcula como la suma de los residuos al cuadrado divididos entre el total de observaciones. Su fórmula es la siguiente: Se simboliza 𝜎2 𝑆2 Donde: •X → Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza •xi → Observación o dato número i de la variable X. i puede tomará valores entre 1 y n. •N → Número de observaciones o datos. •𝑥→ Es la media de la variable X. 𝜎2 = 1 𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑁
- 7. La desviación típica es otra medida que ofrece información de la dispersión respecto a la media. Donde: •X → Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza •xi → Observación o dato número i de la variable X. i puede tomará valores entre 1 y n. •N → Número de observaciones o datos. •𝑥→ Es la media de la variable X. Su cálculo es exactamente el mismo que la varianza, pero realizando la raíz cuadrada de su resultado. Es decir, la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Se simboliza 𝜎 𝑆 𝜎2 = 1 𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑁
- 9. Ejercicio Calcular la varianza y la desviación estándar de los siguientes datos: 2, 4, 6 y 8 sabiendo que corresponden a una población. Solución: Nos indican que estos datos forman una población, por lo tanto, usaremos las fórmulas de varianza y desviación estándar para la población, teniendo en cuenta que tenemos 4 datos, es decir, N = 4. Empezamos calculando la media poblacional Ahora calculamos la varianza poblacional:
- 10. El valor de la varianza poblacional, es de 5. Ahora calculamos la desviación estándar, teniendo en cuenta que es la raíz cuadrada de la varianza.
- 11. Ejemplo: Calcular la varianza y la desviación estándar de los siguientes datos: 10, 12, 13, 16, 9, 8, 12, 8, 6, 16 sabiendo que corresponden a una población. En este caso, como tenemos muchos datos, recurriremos a una tabla para mantener el orden. Colocaremos los valores de los elementos de la población (xi) y sumaremos los valores. Teniendo en cuenta que tenemos 10 datos (N = 10), calculamos la media:
- 12. Con el valor de la media, vamos en busca de la varianza poblacional: Agregamos 2 columnas más a nuestra tabla para llegar a la forma de la varianza:
- 13. Reemplazamos los valores en la fórmula: La varianza tiene un valor de 10,4. Finalmente calculamos la desviación estándar:
- 15. Ejemplo: Calcular la varianza y la desviación estándar de una población de niños a partir de la siguiente tabla:
- 16. Solución: En este caso, nos dicen que los datos pertenecen a una población de niños, por lo tanto, usaremos las fórmulas de la población. Primero calculamos el número de elementos de la población N: Con ayuda de la tabla, calculamos la suma de las frecuencias fi.
- 17. Como segundo paso, calcularemos las marcas de clase. Recordemos que la marca de clase xi, es el punto medio del límite inferior y el límite superior de cada intervalo. Se calcula con la siguiente fórmula: Agregamos una columna más a nuestra tabla para la marca de clase xi:
- 18. Como tercer paso, calculamos la media poblacional µ: Agregamos una columna más a nuestra tabla, dónde colocaremos los valores de xi・fi:
- 19. Aplicamos la fórmula: La media poblacional µ tiene un valor de 4 años. Como cuarto paso, calculamos la varianza de la población:
- 20. Agregamos más columnas a nuestra tabla, buscando la forma de la fórmula de la varianza: Aplicamos la fórmula de la varianza de la población:
- 21. Recuerda que la varianza queda expresada en unidades al cuadrado, por ello, nos queda en años al cuadrado. Como último paso, calculamos la desviación estándar, recordando que es la raíz cuadrada positiva de la varianza.
- 22. Varianza y desviación estándar de datos agrupados de variable discreta
- 23. Ejercicio Calcular la varianza y la desviación estándar de las edades de una población de niños que asisten a una fiesta infantil.
- 24. Para calcular la varianza y la desviación estándar, empezamos calculando el número de elementos de la población: En la tabla, sumamos las frecuencias fi:
- 25. A continuación, calculamos la media poblacional partiendo de su fórmula: En la tabla de frecuencias agregamos la columna xi · fi
- 26. A continuación, recordamos la fórmula de la varianza de la población: Ahora sí, calculamos la media poblacional:
- 27. En la tabla, agregamos 3 columnas más, para buscar la expresión de la fórmula:
- 28. Usamos la fórmula: El valor de la varianza de esta población es de 1,8 (años)2. Ten en cuenta que la varianza queda expresada en las unidades originales elevadas al cuadrado, por ello, nos quedaría en (años)2. Finalmente calculamos la desviación estándar, teniendo en cuenta que es la raíz cuadrada positiva de la varianza
- 29. El coeficiente de variación mide la homogeneidad de un conjunto de datos, ya que tiene en cuenta el valor de la media aritmética, para establecer un número relativo, que hace comparable el grado de dispersión entre dos o más variables. El coeficiente de variación (C.V.) es el cociente entre la media aritmética y el desvío estándar. Si las medidas se calculan sobre una muestra, el coeficiente se dice muestral, y si es sobre una población, poblacional Coeficiente de variación: X S X CV → Desviación estándar → Media aritmética
- 30. Coeficiente de Variación 0 1 Datos menos dispersos (más homogéneos) Datos más dispersos (más heterogéneos) Homogéneo: Uniforme, semejante, similar, idéntico. Heterogéneo: Diverso, variado, mezclado, distinto. Observación: En la mayoría de las distribuciones de datos el coeficiente de variación toma valores desde 0% al 100%.
- 31. Ejercicio en clase 1.- Si el conjunto de datos formado por 1, 3, 5 y 7 corresponde a una población, calcular la varianza y la desviación estándar. Respuesta: 𝜎2 = 5 ; 𝜎 = 2,236. 2. Calcular la varianza y desviación estándar de las edades de una población de niños a partir de la siguiente tabla: Respuesta: 𝜎2 = 0,6 (𝑎ñ𝑜𝑠)2 𝖠 𝜎 = 0,77 𝑎ñ𝑜𝑠
- 32. Ejercicio en clase El alcalde de la municipalidad del torno , ha presentado una propuesta para incluir a las familias de las comunidades A y B en las ferias regionales y distritales para la venta de sus productos. A partir de los datos recopilados sobre el número de hijos de 20 familias encuestadas, de cada comunidad, se seleccionará a la comunidad que participará en la feria regional y a la que participará en la feria distrital. Determina la comunidad que participará en la feria regional, teniendo encuenta que sus datos estadísticos sean los más homogéneos. A B