informe de poligono.docx
- 1. Polígonos Curso: Geometría plana y herramientas tecnológicas Carrera: Pedagogía en Matemática y Computación Profesor: Claudio del Pino Ormachea Integrantes: Kromitsh Zúñiga Sánchez Moisés Hernández González
- 2. Contenido Introducción............................................................................................................................3 Programas de Matemáticas del MINEDUC ..........................................................................4 Mapas de progreso del aprendizaje.........................................................................................5 Pre-requisitos ..........................................................................................................................7 Definiciones............................................................................................................................8 Geogebra y la temática .........................................................................................................15 Construcciones......................................................................................................................16 Guía de ejercicios .................................................................................................................17 Taller.....................................................................................................................................19 Bibliografía ...........................................................................................................................20
- 3. Introducción La palabra geometría está formada por las raíces griegas: "geo", tierra, y "metrón", medida, por lo tanto, su significado es "medida de la tierra". Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la naturaleza nacieron -en forma práctica- a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto. Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las inundaciones periódicas. Pero el verdadero motivo era que las clases altas conocían de esta manera cuánto sembraban sus súbditos para luego... saber cuánto debían cobrarles de impuestos. Para medir las tierras los egipcios aprendieron a calcular el área de los rectángulos y de los triángulos. Para medir los triángulos usaban cuerdas. LOS BABILONICOS Este pueblo conocía las áreas de los triángulos y los rectángulos, ya que tenían que resolver problemas de herencia para poder repartir las tierras que se heredaban. También conocieron las áreas de los pentágonos, hexágonos y heptágonos y especialmente estudiaron mucho los círculos. De lo babilónicos hemos heredado el sistema sexagesimal que es la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos, así que nuestra manera de contar el tiempo viene de ellos. (Salazar) En esta ocasión veremos un importante e interesante tema sobre geometría de figuras planas, la naturaleza esta compuestas de formas y la mayoría de las cosas que podemos ver y que no vemos se le puede asemejar con un polígono, que es nuestro tema, dando nuestro enfoque didáctico con el uso de Geogebra para estudiantes de enseñanza media con el objetivo de emplear actividades y talleres con la intensión de mejorar ciertas habilidades matemáticas en los estudiantes.
- 4. Programas de Matemáticas del MINEDUC Mapa de Progreso de Geometría Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Geometría progresan, considerando cuatro dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada: Comprensión de la forma: Se refiere a la capacidad de caracterizar formas geométricas y sus transformaciones, a partir de un lenguaje básico de la geometría. Esta dimensión progresa desde la caracterización y establecimiento de relaciones en figuras simples como rectángulos y triángulos, en los niveles iniciales, hasta la comprensión de figuras geométricas en tres dimensiones, planos y rectas representadas en un sistema de coordenadas, en los niveles superiores. Medición: Se refiere a la capacidad de comparar, medir y estimar magnitudes de formas de una, dos y tres dimensiones. Progresa desde el uso de unidades arbitrarias y estandarizadas para responder preguntas como: ¿cuál es más larga?, ¿cómo copiar esa longitud? o estimar cuántos pasos o cuartas mide una determinada longitud –en el nivel 1–, hasta la medición y determinación de perímetros, áreas y volúmenes de figuras tridimensionales en diversos contextos, en niveles superiores. Descripción de posición y movimiento: Se refiere a la capacidad de describir la ubicación relativa y la variación de posición de figuras y cuerpos geométricos, así como la capacidad de utilizar coordenadas y vectores para representar posición y movimiento. Esta dimensión comienza en el nivel 4 del Mapa, y progresa desde la comprensión y aplicación del concepto de transformaciones isométricas hasta la comprensión de homotecias de figuras planas en nivel 6 del Mapa. Razonamiento matemático: Se refiere a las habilidades relacionadas con la imaginación espacial, la formulación, verificación o refutación de conjeturas en casos particulares y la búsqueda de regularidades en las formas geométricas, así como la capacidad de resolver problemas geométricos, demostrar teoremas y argumentar sobre sus procedimientos y resultados.
- 5. Mapas de progreso del aprendizaje Nivel 1 Caracteriza figuras planas en términos de sus elementos básicos y las relaciones de paralelismo y perpendicularidad, utilizándolos para describir y representar formas presentes en el entorno. Comprende el concepto de medición, estima y mide longitudes, usando unidades de medidas informales y estandarizadas, e interpreta información referida a longitudes en diferentes contextos. Formula y verifica conjeturas, y resuelve problemas relacionados con formas que se generan a partir de transformaciones y yuxtaposiciones de figuras planas y prismas rectos, y con la determinación de longitudes. Nivel 2 Comprende los conceptos de perímetro y área, y emplea cuadrículas para estimar y medir áreas de superficies que se pueden descomponer en rectángulos. Formula y verifica conjeturas relativas a la posibilidad de construir cuerpos a partir de distintas redes. Resuelve problemas relacionados con el cálculo de áreas y perímetros de figuras que pueden ser descompuestas en rectángulos. Nivel 3 Mide ángulos expresando sus resultados en unidades sexagesimales y determina áreas en triángulos y paralelogramos. Formula conjeturas relativas a medidas de ángulos en polígonos y a cambios en el área de paralelogramos al variar uno o más de sus elementos. Resuelve problemas que implican la elaboración de procedimientos para calcular ángulos en polígonos regulares y calcular áreas de triángulos, paralelogramos y formas que puedan descomponerse en estas figuras, y argumenta sobre la validez de sus procedimientos. Nivel 4 Comprende el teorema de Pitágoras. Calcula longitudes de figuras bidimensionales. Construye ángulos, triángulos y sus elementos secundarios, y polígonos regulares. Formula conjeturas relativas a cambios en el perímetro de polígonos y resuelve problemas relacionados con estas variaciones.
- 6. Nivel 5 Caracteriza ángulos entre elementos lineales asociados a la circunferencia, comprende los conceptos de congruencia y semejanza, conoce los teoremas respectivos y los aplica como criterios para determinar congruencia y semejanza de figuras planas. Calcula la medida de ángulos en la circunferencia y de segmentos de figuras planas. Comprende el concepto de transformación en el plano cartesiano, y utiliza la representación vectorial para describir traslaciones y homotecias de figuras geométricas en el plano. Formula y verifica conjeturas en relación a los efectos de la aplicación de una transformación a una figura en el plano cartesiano. Demuestra teoremas relativos a relaciones entre trazos en triángulos y en la circunferencia y a trazos y ángulos en ella, y los aplica en la resolución de problemas. Nivel 6 Caracteriza puntos, rectas y planos en el espacio, describe cuerpos generados por traslaciones y rotaciones de figuras planas. Formula conjeturas en relación a la forma de los cuerpos generados a partir de traslaciones de figuras planas en el espacio. Nivel 7 Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y procedimientos de distintas áreas de la matemática. Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos geométricos, acorde a las características del problema. Conjetura sobre la base de exploraciones realizadas con herramientas tecnológicas y verifica proposiciones geométricas mediante axiomas y demostraciones directas e indirectas. (Unidad de curriculo, 2010)
- 7. Pre-requisitos Triángulos 1. Tipos de triángulos a. Según sus lados: equiláteros, isósceles y escaleno. b. Según sus ángulos: oblicuángulo (acutángulo, obtusángulo) y recto. 2. Perímetro y áreas de triángulos a. Calculo de áreas según sus i. Lados (perímetro y área) ii. Base y altura (área) 3. Propiedades 4. Teorema de Thales 5. Teorema de Pitágoras
- 8. Definiciones Poligonal Una poligonal es una serie de líneas consecutivas cuyas longitudes y direcciones se han determinado a partir de mediciones en el campo. El trazo de una poligonal, que es la operación de establecer las estaciones de la misma y hacer las mediciones necesarias, es uno de los procedimientos fundamentales y más utilizados en la práctica para determinar las posiciones relativas de puntos en el terreno. Tipos de Poligonales. Hay dos tipos básicos de poligonales: la cerrada y la abierta. En una poligonal cerrada: 1) las líneas regresan al punto de partida formando así un polígono (geométrica y analíticamente) cerrado, o bien, 2) terminan en otra estación que tiene una exactitud de posición igual o mayor que la del punto de partida. Las poligonales cerradas proporcionan comprobaciones de los ángulos y de las distancias medidas, consideración en extremo importante. Se emplean extensamente en levantamientos de control, para construcción, de propiedades y de configuración. Una poligonal abierta (geométrica y analíticamente), consiste en una serie de líneas unidas, pero que no regresan al punto de partida, ni cierran en un punto con igual o mayor orden de exactitud. Las poligonales abiertas se usan en los levantamientos para vías terrestres, pero, en general, deben evitarse porque no ofrecen medio alguno de verificación por errores y equivocaciones. En las poligonales abiertas deben repetirse las medidas para prevenir las equivocaciones. A las estaciones se las llama a veces vértices o puntos de ángulo, por medirse generalmente en cada una de ellas un ángulo o cambio de dirección.
- 9. Polígonos En geometría, un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. Elementos de cualquier polígono Elementos lineales – Lado. Cada uno de los segmentos que configuran la forma poligonal; por ejemplo, AB y CD, en la figura 1. Sus intersecciones definen los vértices del polígono, puntos A, B, D... – Diagonal. Es el segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono. Su número, en un polígono de n lados, viene dado por la fórmula n (n – 3) / 2. – Apotema. Es el segmento perpendicular a un lado trazado desde el centro del polígono (Fig. 2). En los polígonos regulares, su valor coincide con el radio de la circunferencia inscrita en el polígono. – Radio. Es el segmento trazado desde el centro a uno de los vértices. En los polígonos regulares es igual al radio de la circunferencia que lo circunscribe. – Altura. Es la distancia de un vértice al lado opuesto o la distancia entre dos lados paralelos, dependiendo del tipo de polígono (Fig. 3). – Perímetro. Es el contorno formado por el conjunto de todos sus lados. Numéricamente es igual a la suma de las longitudes de los lados.
- 10. Elementos angulares – Ángulo interior. Es el determinado por dos lados consecutivos: ángulo _ de la figura 4. En un polígono convexo de n lados su suma es 180º · (n – 2). – Ángulo exterior. Es el formado por un lado y la prolongación del contiguo: ángulo `. Cada ángulo interior y el exterior correspondiente son suplementarios. – Ángulo central. Tiene el vértice en el centro del polígono y los lados pasan por dos vértices consecutivos: ángulo a de la figura 4. En un polígono regular de n lados su valor es 360º / n. Para Para Para Para (Casado, Padrol, & Romagosa, 2015) Un concepto de gran importancia en la construcción de pentágono regular es la proporción áurea. Número Áureo La proporción aurea la podemos hallar a través de un segmento de largo 𝑎 + 𝑏 como muestra la figura, considerando la proporción “𝑎 𝑒𝑠 𝑎 𝑏,𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎 + 𝑏 𝑒𝑠 𝑎 𝑏” 𝑎 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 = 1 + 𝑏 𝑎 Asignamos 𝜙 = 𝑎 𝑏 , así la igualdad queda:
- 11. 𝜙 = 1 + 1 𝜙 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑟 𝜙 𝜙2 = 𝜙 + 1 𝑑𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝜙2 − 𝜙 − 1 = 0 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜,𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝜙 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 , 𝑎 = 1, 𝑏 = −1, 𝑐 = −1 𝜙 = 1 ± √12 − 4(1)(−1) 2 ∙ 1 𝜙 = 1 ± √1 + 4 2 𝜙 = 1 ± √5 2 Pero como estamos en el contexto de mediciones, solo tomaremos la raiz positiva: 𝜙 = 1 + √5 2 ≈ 1,61803398874… …
- 12. Clasificación de los polígonos (Casado, Padrol, & Romagosa, 2015)
- 13. Según su forma Un polígono convexo es un polígono en el que cada uno de los ángulos interiores miden a lo sumo 180 grados o π radianes. Un polígono cóncavo es un polígono en el que alguno de sus ángulos es mayor de 180° Según el número de sus lados Los polígonos regulares según el número de lados que tenga obtendrán en base de algunas propiedades de polígonos regulares, fórmulas para los siguientes elemento que se muestran a continuación Propiedad o elemento Formula Medida de cada ángulo externo 𝛽 = 360° 𝑛 Suma de ángulos externos 𝛽𝑡 = 360° Medida de cada ángulo interno 𝛼 = 180°(𝑛 − 2)/𝑛 Suma de ángulos internos 𝛼𝑡 = 180°(𝑛 − 2) Diagonales por cada vértice 𝐷 = n − 3 Diagonales totales 𝐷𝑡 = 𝑛(𝑛 − 3) 2 Donde n es el número de lados del polígono, 𝛼: Medida de cada ángulo interno 𝛽: Medida del ángulo externo. Cada subíndice t indica que es un total referente a la abreviatura,
- 14. Los datos según números de lados de polígonos regulares. Lados Nombre Ángulo externo Suma de ángulos externos Ángulo interno Suma de ángulos internos Diagonales por vértice Diagonales totales 3 Triangulo 120° 360° 60° 180° 0 0 4 Cuadrado 90° 360° 90° 360° 1 2 5 Pentágono 72° 360° 108° 540° 2 5 6 Hexágono 60° 360° 120° 720° 3 9 7 Heptágono Aprox. 51.43° 360° Aprox. 128.57° 900° 4 14 8 Octágono 45° 360° 135° 1080° 5 20 9 Eneágono 40° 360° 140° 1260° 6 27 10 Decágono 36° 360° 144° 1440° 7 35 Polígonos regulares Los Polígonos Regulares son un tipo de Polígonos en los que todos sus lados miden lo mismo y todos sus ángulos también miden igual. Es decir, los polígonos regulares son aquellos que son equiláteros y equiángulos al mismo tiempo. Son ejemplos de polígonos regulares el triángulo equilátero o el cuadrado. Propiedades de un polígono regular. Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida. Los polígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida. Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia. Polígonos irregulares En geometría, se le llama polígono irregular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores no son iguales entre sí. Sus vértices podrían no estar inscritos en una circunferencia.
- 15. Geogebra y la temática En el tema de Polígonos, los elementos principales de las construcciones de estos en Geogebra son: Puntos, puntos de intersección, rectas, segmentos y circunferencias. Y sus derivados que son esenciales para las construcciones: Mediatriz, punto medio, recta perpendicular y recta paralela. Las opciones que otorga Geogebra para la temática que resulta una gran ventaja en la realización de actividades de polígonos son: Crear herramienta nueva… Casilla de control. Cambiar color de elementos geométricos visibles. Protocolo de construcción. Mostrar etiquetas de medidas de segmentos, áreas y ángulos. Texto con opciones de escritura en formato Latex. Deslizador.
- 16. Construcciones Construcción de polígonos regulares desde 3 a 30 lados, dada una circunferencia construcciones geometricascontruccion de poligonos regulares dada una circunferencia.ggb Construcción de polígonos regulares según un segmento dado. Construcción de polígonos regulares inscritos a una circunferencia dada. i. Triángulo equilátero a. contruccion de triangulo equilatero dado un segmento.ggb b. contruccion de triangulo regular dado una circunferencia.ggb ii. Cuadrado a. contruccion de cuadrado dado un segmento.ggb b. contruccion de cuadrado dado una circunferencia.ggb iii. Pentágono regular a. contruccion de pentagono dado un segmento renovado.ggb b. contruccion de pentagono regular dado una circunferencia.ggb iv. Hexágono regular a. contruccion de hexagono regular dado un segmento.ggb b. contruccion de hexagono regular dado una circunferencia.ggb
- 17. Guía de ejercicios 1. Número de diagonales de polígono. Usando Geogebra, construya polígonos de lados 4, 5 y 6 y todas sus diagonales. Verifique usando geogebra con el siguiente enlace: 04-diagonales.ggb Completar la siguiente tabla: Números de lados del polígono Número de diagonales 4 5 6 A partir de esta tabla establezca una conjetura para el número total de diagonales que tiene un polígono, en función del número de lados. 2. Construya polígonos de 3, 4, 5 y 6 lados utilizando Geogebra, mida todos los ángulos de cada polígono. Números de lados del polígono Suma de los ángulos interiores obtenida en cada polígono. 3 4 5 6 A partir de esta tabla establezca una conjetura para la suma de los ángulos interiores que tiene un polígono, en función del número de lados.
- 18. 3. En la siguiente actividad de parte con un triángulo equilátero: Etapa 1: Al triangulo inicial coloque los puntos medios de cada lado segmento del triángulo y una dichos puntos formando 4 sub triángulos, siendo el central retirado quedando 3: Etapa 2: a cada uno de los 3 triángulos resultantes se les realiza la misma operación quedando un total de 9 triángulos pequeños. Y así sucesivamente. Trazar con Geogebra la figura obtenida en esta etapa y la siguiente. Calcule la dimensión del fractal en la segunda y tercera etapa. Explica.
- 19. Del ítem 4 al 9, son ejercicios de reforzamiento de las siguientes construcciones, con Geogebra. 4. Construir un pentágono regular que tenga como lado el segmento AB. 5. Construir un pentágono inscrito en la circunferencia dada. 6. Construir un cuadrado regular que tenga como lado el segmento AB. Apara Para 7. Construir un cuadrado inscrito en la circunferencia dada. 8. Construir un hexágono regular que tenga como lado el segmento AB. 9. Construir un hexágono inscrito en la circunferencia dada. Taller 1. El fractal denominado “copo de nieve de Koch” es una figura geométrica creada a través de triángulos equiláteros como se muestra en la siguiente imagen. Construya
- 20. en Geogebra este fractal como en la cuarta figura de la imagen y determina su dimensión. Recomendación: utilizar “crear herramienta” para crear las hélices. 2. En Geogebra, dada una circunferencia de radio 5, inscriba los siguientes polígonos regulares: 3 lados 4 lados 6 lados 8 lados 12 lados 16 lados Luego de las construcciones, complete la siguiente tabla: Número de lados perímetro área 3 4 6 8 12 16 En el caso hipotético se sigue trabajando con polígonos inscritos con un número mucho mayor de lados inscritos en la misma circunferencia ¿Qué relación tienen con la circunferencia? Recomendación: usar la misma circunferencia para cada construcción para tener ventaja en las construcciones con mayor número de lados y por el tiempo. Bibliografía Casado, C., Padrol, J., & Romagosa, M. (2015). www.editorialcasals.com. Obtenido de www.editorialcasals.com/secundaria/public/es/7_Plastica_visual_y_audiovisual_y_ dibujo_tecnico/net_dibujo1ba_sample.pdf Salazar, A. (s.f.). geogebra.org. Obtenido de https://www.geogebra.org/m/TSpyHAK9
- 21. Unidad de curriculo, U. (abril de 2010). Mapas de progreso del aprendizaje de geometría. Santiago, Chile.