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Formación para la Investigación
Escuela de Física, Facultad de Ciencias
Universidad Industrial de Santander
Construimos Futuro
1. Estudio del M.A.S. del sistema masa –
resorte y análisis de las oscilaciones con
Cassy-M
Andrea Melissa Castañeda Acuña - 2220314 - ingeniería industrial.
Franco Smith Medina Ávila. 2212048 - ingeniería civil.
Kevin Albeiro Rodríguez Perea-2202957 – ingeniería Metalúrgica.
Si buscas resultados distintos, no hagas siempre lo mismo.
Albert Einstein
Resumen
Se llevó a cabo una investigación sobre el movimiento armónico simple en un sistema de masa-resorte
utilizando el programa Cassy-Lab para su análisis. En la primera parte, se agregaron masas de diferentes
tamaños y combinaciones al aportar pesas para medir la elongación que cada una producía. Luego, se
mantuvo una elongación inicial y se varió el período utilizando diferentes combinaciones de masas.
Finalmente, se utilizó una masa constante para medir la velocidad, aceleración y amplitud en diferentes
elongaciones mediante el programa Cassy-Lab. Los resultados obtenidos demostraron que la fuerza y el
período están relacionados con la masa y la constante de elasticidad del resorte. En las dos primeras
fases se determinó la constante de elasticidad utilizando dos métodos diferentes y las gráficas generadas
por Cassy-Lab permitieron observar el comportamiento de la aceleración, velocidad y amplitud en
diferentes elongaciones y con masa constante.
INTRODUCCIÓN
El presente informe tiene como objetivo dar a conocer los resultados obtenidos en el estudio del
movimiento armónico simple (M.A.S.) del sistema masa-resorte, realizado mediante el uso del programa
Cassy-M para el análisis de las oscilaciones.
1

Construimos Futuro
El sistema masa-resorte es un modelo ideal para el estudio del M.A.S. y es de gran importancia en la
física, ya que su comportamiento oscilatorio se encuentra presente en diversos fenómenos naturales y
tecnológicos. El análisis de las oscilaciones en este sistema puede realizarse mediante la medición de
variables como la elongación, velocidad y aceleración, lo que permite determinar la relación existente
entre la fuerza y el período con la masa y la constante de elasticidad del resorte.
Por otra parte, en el estudio de un movimiento oscilatorio en situaciones ideales, un modelo simple es el
sistema masa-resorte. Este modelo consiste en un objeto unido a un resorte, el cual se deforma una
distancia x desde su posición de equilibrio y aplica una fuerza de magnitud equivalente, pero en dirección
opuesta, tratando de restaurar el resorte a su magnitud. Esta fuerza está dada por la ley de Hooke
La relación entre la fuerza recuperadora F y la constante restauradora del resorte K es lineal y
proporcional a la deformación del resorte. Si el sistema experimenta una fuerza recuperadora, su
movimiento se vuelve armónico simple, y aplicando la segunda ley de Newton se puede expresar como:
La función x(t) que satisface la ecuación diferencial de segundo orden es:
El desplazamiento x de la masa acoplada al resorte en un movimiento oscilatorio está determinado por
la amplitud A, la frecuencia angular ω y el desfase φ. La elongación se refiere a la posición de la masa en
relación con el punto de equilibrio.
El tiempo en hacer una oscilación completa es el período que está dado por la ecuación:
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OBJETIVOS
1. Realizar el estudio del movimiento armónico simple para un sistema masa-resorte.
2. Determinar experimental y teóricamente la constante del resorte K mediante la ley de Hooke.
3. Comprobar la dependencia existente entre el periodo de oscilación de un sistema masa- resorte
usando la masa y la constante del resorte.
4. Determinar el valor de la constante de amortiguamiento para el caso masa-resorte donde se
considera la fricción.
5. Estudiar las funciones de desplazamiento, velocidad y aceleración de un sistema masa-resorte con
ayuda del software Cassy-M.
METODOLOGÍA
Para la realización de este informe el cual está divido en tres partes, se siguió el siguiente
procedimiento:
Parte A y B: Para esta primera parte se utilizó un sistema masa resorte en donde la masa que se
encuentra suspendida en el resorte debía variar. Este sistema tenía que sufrir una pequeña
deformación para que pudiera oscilar por lo que primero se debía procurar que la masa
estuviera en equilibrio para luego estirarla un poco y así poder ver el movimiento que producía.
Se registró el tiempo que tardó el sistema en dejar de oscilar y la amplitud
Parte C : Se usó el mismo sistema masa-resorte con la diferencia de que este sistema se
encuentra conectado al sistema Cassy Lab para observar el comportamiento que tiene durante
las primeras 5 oscilaciones, gracias a este programa se puede tomar los datos de la primeras
3

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cinco amplitudes y su tiempo correspondiente, esta parte está dividida en 3 casos, cada caso
cuenta con una amplitud inicial y masas diferentes.
Figura 1. Gráfico del montaje realizado en el desarrollo del experimento
Fuente: Proyecto de investigación, estudio del MAS del sistema masa-resorte y análisis de las
oscilaciones con Cassy-M , recuperado de :
https://drive.google.com/file/d/1SiuHO-7VN19ll5A_GeMfmY1-nG5795-3/view
TRATAMIENTO Y ANÁLISIS DE DATOS
Parte A
Durante la primera parte de la práctica experimental se tomaron datos de elongación [m] y
periodo [s] para el sistema masa-resorte, haciendo variaciones en la masa que se encontraba
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suspendida en el resorte, aumentando 5 [g] en cada medición. Estos datos se pueden observar a
continuación en la tabla 1.
Masa[kg] Peso[N] Elongación Δ [m]
𝑥 T[s]
0,06 0,588 0,035 0,970
0,065 0,637 0,052 1,005
0,07 0,686 0,071 1,039
0,075 0,735 0,087 1,070
0,08 0,784 0,104 1,105
0,085 0,833 0,121 1,135
Tabla 1. Datos del sistema masa-resorte
Para el sistema masa- resorte trabajado en el laboratorio, se debe tener en cuenta que la fuerza
que actúa sobre el sistema es únicamente el peso, por lo tanto, para hallar la constante de
elasticidad del resorte para cada masa, se utilizaran los datos de la tabla 1 y se realizará una
gráfica de fuerza vs elongación, donde la pendiente encontrada corresponderá a la constante de
elongación, esto se hará considerando que un sistema masa-resorte se encuentra regido por la ley
de Hooke.
F = kx (1)
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Donde F, es la fuerza existente en el sistema, que para este caso corresponde a los valores del
peso, K es la constante de elasticidad del resorte y X es la elongación que sufre el resorte.
Gráfica 1. Fuerza vs Elongación
Como el sistema masa-resorte está regido por la ley de Hooke, la ecuación (1) se puede ver como
una función lineal tal y como se muestra en la gráfica 1 en donde la pendiente representará la
constante elástica, para hallar esta constante se toman dos puntos de la recta y se efectúa lo
siguiente:
(2)
𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
Los puntos que se van a tomar para hallar la pendiente son : P1(0,035 / 0,588) y P2(0,052
/ 0,637) estos puntos provienen de la tabla 1. Al reemplazar estos valores en la ecuación
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2 se obtiene que el valor de la pendiente el cual hace referencia a la constante elástica es
k= 2,847 [N/m]
➔ Para hallar el promedio de la constante k, se debe hallar la constante elástica para
cada masa, esto se hace mediante la ecuación del periodo de un péndulo simple
(3)
𝑇 = 2π
𝑚
𝑘
➔ De la ecuación 3 se despeja la constante k pues es la variable que se desea conocer,
con esto se obtiene:
(4)
𝑘 =
4π
2
𝑇
2 𝑚
T= Periodo m = masa k = constante elástica
➔ Con los datos de la tabla 1 se reemplaza en la ecuación 4 y se tiene como resultado
la siguiente tabla:
Masa [kg] T [s] K [N/m]
0,06 0,970 2,517
0,065 1,005 2,540
0,07 1,039 2,559
0,075 1,070 2,586
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0,08 1,105 2,586
0,085 1,135 2,604
Promedio 2,565
Tabla 2. Valor promedio k
Parte B
➔ La siguiente gráfica muestra el comportamiento del periodo con respecto a la masa
Gráfica 2. Periodo vs Masa
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➔ Para poder obtener la constante k se debe linealizar la gráfica 2 para ello se debe
recordar la ecuación 3 , se debe dejar el periodo en función de la masa, para esto se
eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación para destruir la raíz quedando de la
siguiente manera:
(5)
𝑇
2
=
4π
2
𝐾
𝑚
➔ Así se logró obtener el periodo en función de la masa, esta ecuación toma la forma
de la función y=mx+b , en donde la pendiente será igual a m=
4π
2
𝑘
➔ A partir de la ecuación 5 se realiza la gráfica vs
𝑇
2
𝑚
Gráfica 3. 𝑇
2
𝑣𝑠 𝑚
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➔ Para poder hallar el valor de la constante k , se necesita conocer el valor de
la pendiente por lo que se realizará el mismo proceso con la ecuación 2, de
tomar dos puntos de la recta y reemplazar en la ecuación:
P1(0,06 / 0,94 ) y P2(0,065 / 1,01)
con esto se obtiene que m=13,93
➔ Una vez teniendo el valor de la pendiente se puede hallar el valor de la
constante k experimental con la expresión:
m=
4π
2
𝑘
➔ Se despeja k , quedando de la siguiente forma:
𝑘 =
4π
2
𝑚
𝑘 =
4π
2
(13,93)
[N/m]
𝑘 = 2, 894
➔ Por último se compara el valor de k promedio, que vendría representando el
valor teórico con la k experimental por medio del porcentaje de error:
%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =
2,894−2,565
| |
2,565
𝑥100
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%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 12, 82%
Parte C
➔ Distancia de 0,07 [m] :
Con los datos obtenidos en el laboratorio a través del programa Cassy M, se construyó la
siguiente tabla con una distancia de 0.07:
Tabla 3.Valores de tiempo y amplitud para una distancia 0,07 [m]
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➔ La siguiente gráfica muestra la relación que hay entre la amplitud y el tiempo de los datos
de la tabla 3
Gráfica 4. Amplitud vs Tiempo para una distancia 0,07 [m]
Por teoría, se conoce que la expresión que define la amplitud de un movimiento amortiguado está
dada por:
(6)
𝐴 = 𝐴0
𝑒
−𝑦𝑡
Con el objetivo de linealizar la ecuación se utilizó el logaritmo natural (ln) a ambos lados de la
ecuación.
𝐿𝑛(𝐴) = 𝐿𝑛(𝐴0
𝑒
−𝑦𝑡
)
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Ahora, al aplicar propiedades de logaritmos se separó el logaritmo de un producto en la suma de
los logaritmos
𝐿𝑛(𝐴) = 𝐿𝑛(𝐴0
) + 𝐿𝑛(𝑒
−𝑦𝑡
)
Posteriormente, se canceló el último término. Por lo tanto, la ecuación linealizada toma la
siguiente forma:
𝐿𝑛(𝐴) =− 𝑦𝑡 + 𝐿𝑛(𝐴0
)
Donde (− y) es la pendiente de la recta y 𝑙𝑛(𝐴𝑜) el corte con el eje.
➔ La nueva gráfica de amplitud vs tiempo queda de la siguiente manera:
Gráfica 5. Ln(A) vs T para una distancia de 0,07 [m]
Por medio de la gráfica y la ecuación dada por excel se encontró el valor de la pendiente
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[m/s]
𝑦 =− 0, 0791
Para encontrar la constante de amortiguamiento se tuvo en cuenta la siguiente expresión, donde b
es la que representa la constante de amortiguamiento:
(7)
𝑦 =
𝑏
2𝑚
Se despeja la variable que se desea conocer, en este caso la constante de amortiguamiento,
obteniendo:
(8)
𝑏 = 𝑦 * 2𝑚
Se reemplaza valores en la ecuación 8 , la variable m hace referencia a la masa con la que se
trabajó, en este caso la masa es de 0,075 [kg]
La constante de amortiguamiento da como resultado:
𝑏 = (− 0, 0791) * 2(0, 075)
[kg/s]
𝑏 = − 0, 0118
Este procedimiento se repite para cada distancia que viene a continuación, es decir la distancia de
0,078 [m] y 0,053[m]
➔ Distancia 0,078 [m]
Con los datos obtenidos en el laboratorio a través del programa Cassy M, se construyó la
siguiente tabla con una distancia de 0.078 :
14

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Tabla 4. Valores de tiempo y amplitud para una distancia 0,078 [m]
de la tabla 4
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Se linealiza la gráfica siguiendo el proceso descrito para la distancia anterior y se obtuvo
lo siguiente:
La pendiente de la gráfica, como se observa en la ecuación proporcionada por excel es:
𝑦 =− 0, 0781
Por lo tanto, la constante de amortiguamiento b es igual a:
𝑏 =− 0, 010
➔ Distancia 0,053 [m]
Con los datos obtenidos en el laboratorio a través del programa Cassy M, se construyó la tabla y
la gráfica con una distancia de 0.053 :
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Construimos Futuro
Tabla 5. Valores de tiempo y amplitud para una distancia 0,053 [m]
de la tabla 5
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Construimos Futuro
Se linealiza la gráfica siguiendo el proceso descrito para la distancia anterior y se obtuvo
lo siguiente:
La pendiente de la gráfica, como se observa en la ecuación proporcionada por excel es:
𝑦 =− 0, 1068
Por lo tanto, la constante de amortiguamiento b es igual a:
𝑏 =− 0, 170
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Construimos Futuro
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Construimos Futuro
CONCLUSIONES
1. El periodo se mantiene constante independientemente de los cambios en la longitud.
2. Se comprobó que si se incrementa la masa colgada en el resorte, también se aumenta la
elongación producida, lo que resulta en un aumento del periodo del movimiento oscilatorio.
3. El periodo de las oscilaciones en el sistema de resorte está directamente relacionado con la masa
que se coloca en él, lo que significa que cuanto mayor sea la masa, mayor será el periodo.
4. Con la ayuda del programa Cassy-M se obtuvieron datos que permitieron realizar cálculos y
análisis para determinar la constante de amortiguamiento del sistema. Además, se observó que
la constante de amortiguamiento disminuye a medida que la deformación del sistema aumenta.
REFERENCIAS
● RADI,H., & RASMUSSEN, J.(2013). PRINCIPLES OF PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS,
Springer
● SERWAY, R. A. (1992). PHYSICS FOR SCIENTISTS & ENGINEERS WITH MODERN PHYSICS /
RAYMOND A. SERWAY
● Francés, A. P. (1971). Vibraciones y ondas. México: Limusa.
● Halliday, D., Resnick, R. y Walker, J. (2010). Fundamentos de física (Vol. 1). México: Limusa.
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ANEXOS
anexo 1: tabla de datos
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