LMF-T5: Resolución proposicional

LMF Tema 5: Resolución proposicional

Lógica matemática y fundamentos (2011–12)
Tema 5: Resolución proposicional

José A. Alonso Jiménez
María J. Hidalgo Doblado

Grupo de Lógica Computacional
Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
Universidad de Sevilla

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1. Lógica de cláusulas

2. Demostraciones por resolución

3. Algoritmos de resolución

4. Reﬁnamientos de resolución

5. Argumentación por resolución

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Lógica de cláusulas


Sintaxis de la lógica clausal
Semántica de la lógica clausal
Equivalencias entre cláusulas y fórmulas
Modelos, consistencia y consecuencia entre cláusulas
Reducción de consecuencia a inconsistencia de cláusulas




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Un átomo es una variable proposicional.
Variables sobre átomos: p, q, r , . . . , p1 , p2 , . . ..
Un literal es un átomo (p) o la negación de un átomo (¬p).
Variables sobre literales: L, L1 , L2 , . . ..
Una cláusula es un conjunto finito de literales.
Variables sobre cláusulas: C , C1 , C2 , . . ..
La cláusula vacía es el conjunto vacío de literales.
La cláusula vacía se representa por .
Conjuntos finitos de cláusulas.
Variables sobre conjuntos finitos de cláusulas: S, S1 , S2 , . . ..

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Una interpretación es una aplicación I : VP → B.
El valor de un literal positivo p en una interpretación I es I(p).
El valor de un literal negativo ¬p en una interpretación I es
1, si I(p) = 0;
I(¬p) =
0, si I(p) = 1.
El valor de una cláusula C en una interpretación I es
1, si existe un L ∈ C tal que I(L) = 1;
I(C ) =
0, en caso contrario.
El valor de un conjunto de cláusulas S en una interpretación I es
1, si para toda C ∈ S, I(C ) = 1
I(S) =
0, en caso contrario.
Prop.: En cualquier interpretación I, I( ) = 0.
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Cláusulas y fórmulas
Def.: Una cláusula C y una fórmula F son equivalentes si
I(C ) = I(F ) para cualquier interpretación I.
Def.: Un conjunto de cláusulas S y una fórmula F son
equivalentes si I(S) = I(F ) para cualquier interpretación I.
Def.: Un conjunto de cláusulas S y un conjunto de fórmulas
{F1 , . . . , Fn } son equivalentes si, para cualquier interpretación I,
I(S) = 1 syss I es un modelo de {F1 , . . . , Fn }.
De cláusulas a fórmulas
Prop.: La cláusula {L1 , L2 , . . . , Ln } es equivalente a la fórmula
L1 ∨ L2 ∨ · · · ∨ Ln .
Prop.: El conjunto de cláusulas
{{L1,1 , . . . , L1,n1 }, . . . , {Lm,1 , . . . , Lm,nm }} es equivalente a la
fórmula (L1,1 ∨ · · · ∨ L1,n1 ) ∧ · · · ∧ (Lm,1 ∨ · · · ∨ Lm,nm ).

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De fórmulas a cláusulas (forma clausal)
Def.: Una forma clausal de una fórmula F es un conjunto de
cláusulas equivalente a F .
Prop.: Si (L1,1 ∨ · · · ∨ L1,n1 ) ∧ · · · ∧ (Lm,1 ∨ · · · ∨ Lm,nm ) es una
forma normal conjuntiva de la fórmula F . Entonces, una forma
clausal de F es
{{L1,1 , . . . , L1,n1 }, . . . , {Lm,1 , . . . , Lm,nm }}.
Ejemplos:
Una forma clausal de ¬(p ∧ (q → r )) es {{¬p, q}, {¬p, ¬r }}.
Una forma clausal de p → q es {{¬p, q}}.
El conjunto {{¬p, q}, {r }} es una forma clausal de las fórmulas
(p → q) ∧ r y ¬¬r ∧ (¬q → ¬p).
Def.: Una forma clausal de un conjunto de fórmulas S es un
conjunto de cláusulas equivalente a S.
Prop.: Si S1 , . . . , Sn son formas clausales de F1 , . . . , Fn , entonces
S1 ∪ · · · ∪ Sn es una forma clausal de {F1 , . . . , Fn }.
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Def.: Una interpretación I es modelo de un conjunto de cláusulas
S si I(S) = 1.
Ej.: La interpretación I tal que I(p) = I(q) = 1 es un modelo de
{{¬p, q}, {p, ¬q}}.
Def.: Un conjunto de cláusulas es consistente si tiene modelos e
inconsistente, en caso contrario.
Ejemplos:
{{¬p, q}, {p, ¬q}} es consistente.
{{¬p, q}, {p, ¬q}, {p, q}, {¬p, ¬q}} es inconsistente.
Prop.: Si ∈ S, entonces S es inconsistente.
Def.: S |= C si para todo modelo I de S, I(C ) = 1.

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Prop: Sean S1 , . . . , Sn formas clausales de las fórmulas
F 1 , . . . , Fn .
{F1 , . . . , Fn } es consistente syss S1 ∪ · · · ∪ Sn es consistente.
Si S es una forma clausal de ¬G, entonces son equivalentes
1. {F1 , . . . , Fn } |= G.
2. {F1 , . . . , Fn ¬G} es inconsistente.
3. S1 ∪ · · · ∪ Sn ∪ S es inconsistente.
Ejemplo: {p → q, q → r } |= p → r syss
{{¬p, q}, {¬q, r }, {p}, {¬r }} es inconsistente.

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Demostraciones por resolución



Regla de resolución proposicional




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Regla de resolución
Reglas habituales:

p → q, p {¬p, q}, {p}
Modus Ponens:
q {q}
p → q, ¬q {¬p, q}, {¬q}
Modus Tollens:
¬p {¬p}
p → q, q → r {¬p, q}, {¬q, r }
Encadenamiento:
p→r {¬p, r }
Regla de resolución proposicional:
{p1 , . . . , r , . . . , pm }, {q1 , . . . , ¬r , . . . , qn }
{p1 , . . . , pm , q1 , , . . . , qn }

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Regla de resolución
Def.: Sean C1 una cláusula, L un literal de C1 y C2 una cláusula
que contiene el complementario de L. La resolvente de C1 y C2
respecto de L es
ResL (C1 , C2 ) = (C1 {L}) ∪ (C2 {Lc })
Ejemplos: Resq ({p, q}, {¬q, r }) = {p, r }
Resq ({q, ¬p}, {p, ¬q}) = {p, ¬p}
Resp ({q, ¬p}, {p, ¬q}) = {q, ¬q}
Resp ({q, ¬p}, {q, p}) = {q}
Resp ({p}, {¬p}) =
Def.: Res(C1 , C2 ) es el conjunto de las resolventes entre C1 y C2
Ejemplos: Res({¬p, q}, {p, ¬q}) = {{p, ¬p}, {q, ¬q}}
Res({¬p, q}, {p, q}) = {{q}}
Res({¬p, q}, {q, r }) =∅
Nota: ∈ Res({p, q}, {¬p, ¬q})
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Ejemplo de refutación por resolución
Refutación de {{p, q}, {¬p, q}, {p, ¬q}, {¬p, ¬q}} :
1 {p, q} Hipótesis
2 {¬p, q} Hipótesis
3 {p, ¬q} Hipótesis
4 {¬p, ¬q} Hipótesis
5 {q} Resolvente de 1 y 2
6 {¬q} Resolvente de 3 y 4
7 Resolvente de 5 y 6

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Ejemplo de grafo de refutación por resolución
Grafo de refutación de {{p, q}, {¬p, q}, {p, ¬q}, {¬p, ¬q}} :

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Demostraciones por resolución entre cláusulas
Sea S un conjunto de cláusulas.
La sucesión (C1 , . . . , Cn ) es una demostración por resolución de
la cláusula C a partir de S si C = Cn y para todo i ∈ {1, ..., n} se
veriﬁca una de las siguientes condiciones:
Ci ∈ S;
existen j, k < i tales que Ci es una resolvente de Cj y Ck
La cláusula C es demostrable por resolución a partir de S si
existe una demostración por resolución de C a partir de S. Se
representa por S Res C
Una refutación por resolución de S es una demostración por
resolución de la cláusula vacía a partir de S.
Se dice que S es refutable por resolución si existe una refutación
por resolución a partir de S. Se representa por S Res

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Demostraciones por resolución entre fórmulas
Def.: Sean
S1 , . . . , Sn formas clausales de las fórmulas F1 , . . . , Fn y
S una forma clausal de ¬F
Una demostración por resolución de F a partir de {F1 , . . . , Fn } es
una refutación por resolución de S1 ∪ · · · ∪ Sn ∪ S.
Def.: La fórmula F es demostrable por resolución a partir de
{F1 , . . . , Fn } si existe una demostración por resolución de F a partir
de {F1 , . . . , Fn }. Se representa por {F1 , . . . , Fn } Res F .
Ejemplo: {p ∨ q, p ↔ q} Res p ∧ q
1 {p, q} Hipótesis
2 {¬p, q} Hipótesis
3 {p, ¬q} Hipótesis
4 {¬p, ¬q} Hipótesis
5 {q} Resolvente de 1 y 2
6 {¬q} Resolvente de 3 y 4
7 Resolvente de 5 y 6
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Adecuación y completitud de la resolución
Prop.: Si C es una resolvente de C1 y C2 , entonces {C1 , C2 } |= C .
Prop.: Si ∈ S, entonces S es inconsistente.
Prop.: Sea S un conjunto de cláusulas.
(Adecuación) Si S Res , entonces S es inconsistente.
(Completitud) Si S es inconsistente, entonces S Res .
Prop.: Sean S un conjunto de fórmulas y F es una fórmula.
(Adecuación) Si S Res F , entonces S |= F .
(Completitud) Si S |= F , entonces S Res F .
Nota: Sean C1 y C2 las cláusulas {p} y {p, q}, respectivamente.
Entonces,
{C1 } |= C2 .
C2 no es demostrable por resolución a partir de {C1 }.
La fórmula de forma clausal C1 es F1 = p.
La fórmula de forma clausal C2 es F2 = p ∨ q.
{F1 } Res F2 .
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Algoritmos de resolución




Algoritmo de resolución por saturación
Algoritmo de saturación con simpliﬁcación



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Algoritmo de de resolución por saturación
Def.: Sea S un conjunto de cláusulas.
Res(S) = S ∪ ( {Res(C1 , C2 ) : C1 , C2 ∈ S}).

Entrada: Un conjunto ﬁnito de cláusulas, S.
Salida: Consistente, si S es consistente;
Inconsistente, en caso contrario.
S := ∅
mientras ( ∈ S) y (S = S ) hacer
S := S
S := Res(S)
fmientras
si ( ∈ S) entonces
Devolver Inconsistente
en caso contrario
Devolver Consistente
fsi
Prop.: El algoritmo de resolución por saturación es correcto.
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Ejemplo de grafo de resolución por saturación
Grafo de {{p, q}, {¬p, q}, {p, ¬q}, {¬p, ¬q}} :

Traza:
Paso S S
0 {1, 2, 3, 4} ∅
1 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} {1, 2, 3, 4}
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 20 / 37


Prop.: Si S1 ⊆ S2 y S2 es consistente, entonces S1 es consistente.
Prop.: Una cláusula es una tautología syss contiene un literal y su
complementario.
Prop.: Sea C ∈ S una tautología.
Entonces S es consistente syss S {C } es consistente.
Def.: La cláusula C subsume a la cláusula D si C ⊂ D (es decir,
C ⊆ D y C = D).
Prop.: Si C subsume a D, entonces C |= D.
Prop.: Sean C , D ∈ S tales que C subsume a D.
Entonces S es consistente syss S {D} es consistente.
Def.: El simpliﬁcado de un conjunto ﬁnito de cláusulas S es el
conjunto obtenido de S suprimiendo las tautologías y las
cláusulas subsumidas por otras; es decir,
Simp(S) = S − {C ∈ S : (C es una tautología) ó
(existe D ∈ S tal que D ⊂ C )}
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Algoritmo de resolución por saturación con simplificación:

Entrada: Un conjunto finito de cláusulas, S.
Salida: Consistente, si S es consistente;
Inconsistente, en caso contrario.
S := ∅
mientras ( ∈ S) y (S = S ) hacer
S := S
S := Simp(Res(S))
fmientras
si ( ∈ S) entonces
Devolver Inconsistente
en caso contrario
Devolver Consistente
fsi
Prop.: El algoritmo de resolución por saturación con simplificación es
correcto.
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Grafo de resolución por saturación con simpliﬁcación
Resolución de {{p, q}, {¬p, q}, {p, ¬q}, {¬p, ¬q}} :

Traza:
Paso S S
0 {1, 2, 3, 4} ∅
1 {5, 6, 7, 8} {1, 2, 3, 4}
2 {9} {5, 6, 7, 8} 23 / 37


Grafo de resolución por saturación con simpliﬁcación
Resolución de {{p}, {¬p, q}, {¬q, ¬r }} :

Traza:
Paso S S
0 {1, 2, 3} ∅
1 {1, 3, 4, 5} {1, 2, 3}
2 {1, 4, 6} {1, 3, 4, 5}
3 {1, 4, 6} {1, 4, 5, 6}
Modelo: I(p) = 1, I(q) = 1, I(r ) = 0.
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Reﬁnamientos de resolución





Resolución positiva
Resolución negativa
Resolución unitaria
Resolución por entradas
Resolución lineal

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Def.: Un literal positivo es un átomo.
Def.: Una cláusula positiva es un conjunto de literales positivos.
Def.: Una demostración por resolución positiva es una
demostración por resolución en la que en cada resolvente
interviene una cláusula positiva.
La cláusula C es demostrable por resolución positiva a partir del
conjunto de cláusulas S si existe una demostración por resolución
positiva de C a partir de S. Se representa por S ResPos C .
(Adecuación) Si S ResPos , entonces S es inconsistente.
(Completitud) Si S es inconsistente, entonces S ResPos .

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Grafo de resolución positiva
Grafo de {{p, q}, {¬p, q}, {p, ¬q}, {¬p, ¬q}} :

Traza: Paso S S
0 {1, 2, 3, 4} ∅
1 {4, 5, 6} {1, 2, 3, 4}
2 {5, 6, 7, 8} {4, 5, 6}
3 {9} {5, 6, 7, 8}

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Def.: Un literal negativo es la negación de un átomo.
Def.: Una cláusula negativa es un conjunto de literales negativos.
Def.: Una demostración por resolución negativa es una
interviene una cláusula negativa.
La cláusula C es demostrable por resolución negativa a partir del
conjunto de cláusulas S si existe una demostración negativa por
resolución de C a partir de S. Se representa por S ResNeg C .
(Adecuación) Si S ResNeg , entonces S es inconsistente.
(Completitud) Si S es inconsistente, entonces S ResNeg .

28 / 37


Def.: Una cláusula unitaria es un conjunto formado por un único
literal.
Def.: Una demostración por resolución unitaria es una
interviene una cláusula unitaria.
La cláusula C es demostrable por resolución unitaria a partir del
conjunto de cláusulas S si existe una demostración por resolución
unitaria de C a partir de S. Se representa por S ResUni C .
Prop.: (Adecuación) Sea S un conjunto de cláusulas.
Si S ResUni , entonces S es inconsistente.

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Existen conjuntos de cláusulas S tales que S es inconsistente y
S ResUni .
Dem.: S = {{p, q}, {¬p, q}, {p, ¬q}, {¬p, ¬q}}
Def.: Una cláusula de Horn es un conjunto de literales con un
literal positivo como máximo.
Ejemplos: {p, ¬q, ¬r }, {p} y {¬p, ¬q} son cláusulas de Horn.
{p, q, ¬r } y {p, r } no son cláusulas de Horn.
Prop.: Si S es un conjunto inconsistente de cláusulas de Horn,
entonces S ResUni .

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Def.: Una demostración por resolución por entradas a partir de S
es una demostración por resolución en la que en cada resolvente
interviene una cláusula de S.
La cláusula C es demostrable por resolución por entradas a partir
del conjunto de cláusulas S si existe una demostración por
resolución por entradas de C a partir de S. Se representa por
S ResEnt C .
Prop.: (Adecuación) Sea S un conjunto de cláusulas.
Si S ResEnt , entonces S es inconsistente.
Existen conjuntos de cláusulas S tales que S es inconsistente y
S ResEnt .
Dem.: S = {{p, q}, {¬p, q}, {p, ¬q}, {¬p, ¬q}}
Prop.: Si S es un conjunto inconsistente de cláusulas de Horn,
entonces S ResEnt .
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Resolución lineal

Resolución lineal
Sea S un conjunto de cláusulas.
La sucesión (C0 , C1 , . . . , Cn ) es una resolución lineal a partir de S
si se cumplen las siguientes condiciones:
1. C0 ∈ S;
2. para todo i ∈ {1, . . . , n}, existe un B ∈ S ∪ {C0 , . . . , Ci−1 } tal
que Ci ∈ Res(Ci−1 , B).
La cláusula C0 se llama cláusula base, las Ci se llaman cláusulas
centrales y las B se llaman cláusulas laterales.
La cláusula C es deducible por resolución lineal a partir de S si
existe una deducción por resolución lineal a partir de S,
(C0 , . . . , Cn ), tal que Cn = C . Se representa por S ResLin C .
(Adecuación) Si S ResLin , entonces S es inconsistente.
(Completitud) Si S es inconsistente, entonces S ResLin .

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Resolución lineal

Resolución lineal
Ejemplo: Resolución lineal de
{{p, q}, {¬p, q}, {p, ¬q}, {¬p, ¬q}}
1 {p, q} 2 {¬p, q} 3 {p, ¬q} 4 {¬p, ¬q}

5 {q}

6 {p}

7 {¬q}

8

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Argumentación por resolución






Formalización de argumentación por resolución
Decisión de argumentación por resolución

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Problema de los animales: Se sabe que
1. Los animales con pelo o que dan leche son mamíferos.
2. Los mamíferos que tienen pezuñas o que rumian son ungulados.
3. Los ungulados de cuello largo son jirafas.
4. Los ungulados con rayas negras son cebras.
Se observa un animal que tiene pelos, pezuñas y rayas negras.
Por consiguiente, se concluye que el animal es una cebra.
Formalización:
{ tiene_pelos ∨ da_leche → es_mamífero,
es_mamífero ∧ (tiene_pezuñas ∨ rumia) → es_ungulado,
es_ungulado ∧ tiene_cuello_largo → es_jirafa,
es_ungulado ∧ tiene_rayas_negras → es_cebra,
tiene_pelos ∧ tiene_pezuñas ∧ tiene_rayas_negras }
Res es_cebra

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1 {¬ tiene_pelos, es_mamífero} Hipótesis
2 {¬ da_leche, es_mamífero} Hipótesis
3 {¬es_mamífero, ¬tiene_pezuñas, es_ungulado} Hipótesis
4 {¬es_mamífero, ¬rumia, es_ungulado} Hipótesis
5 {¬es_ungulado, ¬tiene_cuello_largo, es_jirafa} Hipótesis
6 {¬es_ungulado, ¬tiene_rayas_negras, es_cebra} Hipótesis
7 {tiene_pelos} Hipótesis
8 {tiene_pezuñas} Hipótesis
9 {tiene_rayas_negras} Hipótesis
10 {¬es_cebra} Hipótesis
11 {es_mamífero} Resolvente de 1y7
12 {¬tiene_pezuñas, es_ungulado} Resolvente de 11 y 3
13 {es_ungulado} Resolvente de 12 y 8
14 {¬tiene_rayas_negras, es_cebra} Resolvente de 13 y 6
15 {es_cebra} Resolvente de 14 y 9
16 Resolvente de 15 36 / 37
y 10

Bibliografía

Bibliografía
1. M. Ben–Ari, Mathematical logic for computer science (2nd ed.).
(Springer, 2001).
Cap. 4: Propositional calculus: resolution and BDDs.
2. C.–L. Chang y R.C.–T. Lee Symbolic Logic and Mechanical
Theorem Proving (Academic Press, 1973).
Cap. 5.2: The resolution principle for the proposicional logic.
3. N.J. Nilsson Inteligencia artiﬁcial (Una nueva síntesis)
(McGraw–Hill, 2001).
Cap. 14: La resolución en el cálculo proposicional.
4. E. Paniagua, J.L. Sánchez y F. Martín Lógica computacional
(Thomson, 2003).
Cap. 5.7: El principio de resolución en lógica proposicional.
5. U. Schöning Logic for Computer Scientists (Birkäuser, 1989).
Cap. 1.5: Resolution.
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