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DISEÑOS DE INVESTIGACIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS ANÁLISIS DE DISEÑOS DE DOS GRUPOS MUESTRAS RELACIONADAS TEMA 4

Muestras independientes Sujeto Grupo v.d. 1 Experimental X 1 2 Experimental X 2 3 Experimental X 3 4 Experimental X 4 5 Experimental X 5 6 Control X 6 7 Control X 7 8 Control X 8 9 Control X 9 10 Control X 10

Muestras relacionadas !No se refiere a los sujetos, sino a las puntuaciones! Dos muestras relacionadas de puntuaciones Sujeto Grupo Experimental Grupo Control 1 X e1 X c1 2 X e2 X c2 3 X e3 X c3 4 X e4 X c4 5 X e5 X c5 6 X e6 X c6 7 X e7 X c7 8 X e8 X c8 9 X e9 X c9 10 X e10 X c10

Las muestras relacionadas tienen una ventaja sobre las independientes: nos ayudan a reducir la varianza de error, de manera que cuanto mayor sea la relación entre ambas muestras (de puntuaciones), menor será la varianza de la distribución muestral de las diferencias , obteniendo por lo tanto un estadístico de contraste mayor (lo que nos permitirá rechazar H 0 –test significativo- más fácilmente).

CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE DOS MEDIAS Ahora vamos a contar con dos medias y ello implica que la distribución muestral es diferente, por lo que comenzaremos este apartado con un breve ejemplo para comprender la distribución muestral de las medias en este caso.

Supongamos que tenemos una población compuesta por 4 sujetos a los que medimos la variable dependiente antes y después de una terapia. !Puntuaciones relacionadas! Sujeto Antes Después 1 7 3 2 6 5 3 4 6 4 10 8

Ahora no trabajaremos directamente con las puntuaciones sino con sus diferencias. Diferencia = Antes – Después Sujeto Antes Después Diferencia 1 7 3 4 2 6 5 1 3 4 6 -2 4 10 8 2

La población sobre la que vamos a trabajar está formada por las diferencias entre los pares de puntuaciones relacionadas Diferencias = {-2, 1, 2, 4}

Diferencias = {-2, 1, 2, 4} Calculamos los estadísticos básicos de esta población de diferencias.

Sobre la población de diferencias {-2, 1, 2, 4} tomamos todas las muestras de un determinado tamaño y las medias de todas ellas formarán la distribución muestral de las diferencias.

Por ejemplo, para muestras de tamaño n=2, los resultados de todas las muestras con reposición es: -2 1 2 4 -2 1 2 4

Por ejemplo, para muestras de tamaño n=2, los resultados de todas las muestras con reposición es: -2 1 2 4 -2 {-2, -2} Media = -2 1 2 4

Por ejemplo, para muestras de tamaño n=2, los resultados de todas las muestras con reposición es: -2 1 2 4 -2 {-2, -2} Media = -2 {-2, 1} Media =-0.5 1 2 4

Por ejemplo, para muestras de tamaño n=2, los resultados de todas las muestras con reposición es: -2 1 2 4 -2 {-2, -2} Media = -2 {-2, 1} Media =-0.5 {-2, 2} Media = 0 1 2 4

Por ejemplo, para muestras de tamaño n=2, los resultados de todas las muestras con reposición es: -2 1 2 4 -2 {-2, -2} Media = -2 {-2, 1} Media =-0.5 {-2, 2} Media = 0 {-2, 4} Media = 1 1 2 4

Por ejemplo, para muestras de tamaño n=2, los resultados de todas las muestras con reposición es: -2 1 2 4 -2 {-2, -2} Media = -2 {-2, 1} Media =-0.5 {-2, 2} Media = 0 {-2, 4} Media = 1 1 {1, -2} Media = -0.5 {1, 1} Media =1 {1, 2} Media = 1.5 {1, 4} Media = 2.5 2 {2, -2} Media = 0 {2, 1} Media = 1.5 {2, 2} Media = 2 {2, 4} Media = 3 4 {4, -2} Media = 1 {4, 1} Media = 2.5 {4, 2} Media = 3 {4, 4} Media = 4

Por lo que la distribución muestral de las diferencias está formada por los valores: {-2, -0.5, 0, 1, -0.5, 1, 1.5, 2.5, 0, 1.5, 2, 3, 1, 2.5, 3, 4 } -2 1 2 4 -2 -2 -0.5 0 1 1 -0.5 1 1.5 2.5 2 0 1.5 2 3 4 1 2.5 3 4

{-2, -0.5, 0, 1, -0.5, 1, 1.5, 2.5, 0, 1.5, 2, 3, 1, 2.5, 3, 4 } La media y varianza de la distribución muestral de las diferencias para n = 2 son:

{-2, -0.5, 0, 1, -0.5, 1, 1.5, 2.5, 0, 1.5, 2, 3, 1, 2.5, 3, 4 } En este caso, se cumple la observación ya familiar:

Población Muestras Distribución muestral N = 2 {-2, 1, 2, 4} {-2, -0.5, 0, 1, -0.5, 1, 1.5, 2.5, 0, 1.5, 2, 3, 1, 2.5, 3, 4 } Sujeto Antes Después Diferencia 1 7 3 4 2 6 5 1 3 4 6 -2 4 10 8 2 -2 1 2 4 -2 {-2, -2} Media = -2 {-2, 1} Media =-0.5 {-2, 2} Media = 0 {-2, 4} Media = 1 1 {1, -2} Media = -0.5 {1, 1} Media =1 {1, 2} Media = 1.5 {1, 4} Media = 2.5 2 {2, -2} Media = 0 {2, 1} Media = 1.5 {2, 2} Media = 2 {2, 4} Media = 3 4 {4, -2} Media = 1 {4, 1} Media = 2.5 {4, 2} Media = 3 {4, 4} Media = 4

Podemos apreciar como el contraste de hipótesis sobre dos medias relacionadas es muy parecido al de una sola media. Aunque ahora partimos de dos muestras, al estar relacionadas, en último lugar trabajamos con una única variable (las diferencias entre cada par de puntuaciones).

La semejanza puede verse si comparamos el estadístico de contraste de ambas:

Conocida la varianza poblacional de las diferencias Ejemplo 4.1 . Un psicólogo escolar está interesado en estudiar si la presión de los padres para el rendimiento escolar es igual en chicos y en chicas. Toma una muestra aleatoria de 36 parejas de hermanos (chico y chica), y mediante un test que proporciona medidas en una escala de intervalo mide la variable “presión para el rendimiento escolar” en todos los individuos.

Conocida la varianza poblacional de las diferencias Ejemplo 4.1 . La media para los chicos (Grupo 1) fue igual a 21 y para el grupo de chicas fue igual a 19. Suponemos que conocemos la varianza de las diferencias y que es igual a 64. A un nivel de confianza del 99%. ¿Es igual la presión para el rendimiento escolar en chicos y chicas?

Dos muestras dependientes POBLACIÓN Variable X = Nivel de presión, Intervalo MUESTRAS DM de las puntuaciones diferencia Hermano (1) Hermana (2)

Condiciones y supuestos Las muestras de chicos y chicas están relacionadas dado que están compuestas por parejas de hermanos. Conocemos la varianza de las diferencias en la población, la variable dependiente está medida a un nivel de intervalo, y no sabemos si la población de diferencias se distribuye normalmente, pero la muestra supera las 30 observaciones.

Condiciones y supuestos En general, los supuestos son: Variable dependiente con un nivel de medida de intervalo o razón. Población de diferencias normalmente distribuida o n ≥ 30. Varianza poblacional de las diferencias conocida.

Hipótesis El psicólogo no tiene una hipótesis previa sobre las diferencias debidas al género en la variable “presión para el rendimiento escolar”, por lo que planteamos un contraste bilateral.

Estadístico de contraste El estadístico de contraste se distribuye normalmente.

Mediante la tabla de curva normal del apéndice deducimos que la probabilidad de encontrar valores superiores a una puntuación típica de 1’5 es igual a: 0’0668.

Regla de decisión Si el nivel de confianza es del 99% entonces Y como es bilateral: Al nivel de confianza del 99%, los valores críticos que delimitan la zona en la que mantenemos H 0 son: z = ±2’58.

Regla de decisión Los valores críticos serán aproximadamente +/- 2.58:

Valores críticos = +/- 2.58 Estadístico de contraste = 1.5

Conclusión Al nivel de confianza del 99% no existen diferencias significativas entre las medias de chicos y chicas, puesto que el estadístico de contraste (Z = 1.5) se encuentra comprendido en el intervalo que definen los valores críticos (región de aceptación de H 0 ), por lo que mantenemos la hipótesis nula.

Interpretación del resultado Según los datos que manejamos, no existen diferencias en cuanto a la presión para el rendimiento escolar entre chicos y chicas.

Desconocida la varianza poblacional de las diferencias. Al igual que comentábamos en temas anteriores, lo más habitual en un caso práctico es que desconozcamos la varianza de la población, siendo el proceso muy parecido al que acabamos de ver. Simplemente tenemos que sustituir por el estimador de la varianza ( la cuasivarianza de las diferencias) en la muestra que se distribuye según t de Student con n - 1 grados de libertad.

Ejemplo 4.2 Ejemplo 4.2 . Un psicólogo que trabaja en una empresa imparte un curso sobre asertividad. El objetivo del curso consiste en fomentar esta habilidad en los directivos que forman parte de su departamento. Antes del curso mide la asertividad mediante un test que proporciona medidas en una escala de intervalo y en el que las puntuaciones altas indican un comportamiento asertivo.

Con un nivel de confianza del 95%. ¿Podemos decir que el curso realizado por el psicólogo ha incrementado la asertividad de los directivos?

Al finalizar el curso el psicólogo aplica de nuevo el test de asertividad a los asistentes. Sujeto Antes Después 1 18 24 2 24 23 3 25 34 4 24 22 5 27 34 6 30 40 7 24 35 8 31 31 9 24 27 10 28 30

Calculamos las diferencias. Sujeto Antes Después Diferencia 1 18 24 -6 2 24 23 1 3 25 34 -9 4 24 22 2 5 27 34 -7 6 30 40 -10 7 24 35 -11 8 31 31 0 9 24 27 -3 10 28 30 -2

También necesitaremos los cuadrados para calcular la media y la cuasivarianza insesgada. Sujeto Antes Después Diferencia Diferencia 2 1 18 24 -6 36 2 24 23 1 1 3 25 34 -9 81 4 24 22 2 4 5 27 34 -7 49 6 30 40 -10 100 7 24 35 -11 121 8 31 31 0 0 9 24 27 -3 9 10 28 30 -2 4

Media: Sujeto Antes Después Diferencia Diferencia 2 1 18 24 -6 36 2 24 23 1 1 3 25 34 -9 81 4 24 22 2 4 5 27 34 -7 49 6 30 40 -10 100 7 24 35 -11 121 8 31 31 0 0 9 34 27 7 49 10 28 30 -2 4

Cuasi- varianza Sujeto Antes Después Diferencia Diferencia 2 1 18 24 -6 36 2 24 23 1 1 3 25 34 -9 81 4 24 22 2 4 5 27 34 -7 49 6 30 40 -10 100 7 24 35 -11 121 8 31 31 0 0 9 34 27 7 49 10 28 30 -2 4

Dos muestras dependientes POBLACIÓN Variable X = Asertividad MUESTRAS DM de las puntuaciones diferencia Antes Después

Condiciones y supuestos La variable dependiente está medida a un nivel de intervalo. Hemos de suponer que la población de las diferencias sigue una distribución normal porque la muestra es pequeña y no conocemos su varianza.

Condiciones y supuestos En general se tendrá que cumplir: Variable dependiente con un nivel de medida de intervalo o razón. Población de diferencias que se distribuye normalmente o bien n ≥ 30. Varianza poblacional de las diferencias desconocida.

Hipótesis El psicólogo tiene la idea de que su curso incrementará las puntuaciones en asertividad, o sea, que la media en esta variable será menor antes del curso (grupo 1) que después del curso (grupo 2), por lo que podemos plantear un contraste unilateral.

También podemos referirnos en las hipótesis directamente a la población de diferencias:

Estadístico de contraste El estadístico de contraste se distribuye según la t de Student con n-1 grados de libertad:

Para averiguar el nivel crítico, buscamos en la tabla t de Student entre que valores se encuentra el estadístico de contraste.

T = 2.821 -> 0.990 (1-0.990 = 0.01). T = 3.250 -> 0.995 (1-0.995 = 0.005). 0.01 > P(T=-3) > 0.005

Los grados de libertad del ejemplo son n – 1 = 9. En la tabla t de Student, el valor crítico que delimita cuando mantenemos o rechazamos la hipótesis nula es -1’833.

Conclusión A un nivel de confianza del 95%, rechazamos la hipótesis nula puesto que el estadístico de contraste es más extremo que el valor crítico, por lo que concluimos que la media en asertividad de los directivos es inferior antes que después del curso.

Interpretación El curso realizado por el psicólogo ha obtenido los resultados esperados, demostrando su utilidad para fomentar la asertividad en los directivos de su departamento.

Intervalo de confianza Se calcula mediante:

En nuestro caso (obsérvese que la t ahora es bilateral):

A un nivel de confianza del 95% podemos asegurar que la media en asertividad es menor antes del curso, observándose un aumento después del mismo, que oscila entre 1’107 y 7’893 puntos en la puntuación media del test.

TEST DE WILCOXON Cuando se incumplan uno o más de los supuestos de los tests paramétricos podremos utilizar como procedimiento alternativo el test de Wilcoxon para dos muestras relacionadas debido a que sus supuestos son menos estrictos.

Ejemplo 4.3 Un investigador está interesado en el efecto del ruido ambiental sobre la comprensión lectora. Dispone de seis estudiantes a los que somete a dos condiciones experimentales, una con ruido y otra sin ruido. Las condiciones se contrabalancean aleatoriamente entre sujetos (es decir, la mitad de las sujetos pasan primero la condición sin ruido y viceversa).

Con un nivel de confianza del 95%. ¿Disminuye el ruido ambiental las puntuaciones en comprensión lectora? Sujeto Sin ruido Con ruido 1 76 60 2 89 49 3 65 75 4 95 91 5 98 22 6 35 50

Condiciones y supuestos Puesto que todos sujetos pasan por dos condiciones experimentales, tenemos dos muestras relacionadas. El tamaño de la muestra es muy pequeño (N = 6) y no sabemos cómo es la distribución de las diferencias en la población, por lo que utilizamos una prueba no paramétrica, aplicando el test de Wilcoxon.

Condiciones y supuestos En general, los supuestos necesarios son: La variable dependiente está medida al menos a un nivel ordinal. La distribución de las diferencias de los rangos es simétrica.

Hipótesis De acuerdo con el enunciado (“ efecto del ruido ambiental sobre la comprensión lectora ”), planteamos un contraste unilateral derecho, en el que la hipótesis alternativa especifica que la mediana de la población de la que procede el Grupo 1 (condición sin ruido) es mayor que la mediana de la población de la que procede el Grupo 2.

Estadístico de contraste W Este estadístico también utiliza las diferencias entre cada par de puntuaciones observadas, calculando posteriormente los rangos de los valores absolutos de dichas diferencias (utilizando los rangos promediados en el caso de que hubiesen empates y eliminando cualquier diferencia nula disminuyendo el valor del tamaño de la muestra).

Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias 1 76 60 16 2 89 49 3 65 75 4 95 91 5 98 22 6 35 50

Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias 1 76 60 16 2 89 49 40 3 65 75 4 95 91 5 98 22 6 35 50

Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias 1 76 60 16 2 89 49 40 3 65 75 -10 4 95 91 5 98 22 6 35 50

Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias 1 76 60 16 2 89 49 40 3 65 75 -10 4 95 91 4 5 98 22 6 35 50

Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias 1 76 60 16 2 89 49 40 3 65 75 -10 4 95 91 4 5 98 22 76 6 35 50

Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias 1 76 60 16 2 89 49 40 3 65 75 -10 4 95 91 4 5 98 22 76 6 35 50 -15

Rangos {4, 10, 15, 16, 40, 76} { 1 2 3 4 5 6 } Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias Rango de las diferencias en valor absoluto 1 76 60 16 2 89 49 40 3 65 75 -10 4 95 91 4 5 98 22 76 6 35 50 -15

Rangos {4, 10, 15, 16, 40, 76} { 1 2 3 4 5 6 } Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias Rango de las diferencias en valor absoluto 1 76 60 16 4 2 89 49 40 3 65 75 -10 4 95 91 4 5 98 22 76 6 35 50 -15

Rangos {4, 10, 15, 16, 40, 76} { 1 2 3 4 5 6 } Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias Rango de las diferencias en valor absoluto 1 76 60 16 4 2 89 49 40 5 3 65 75 -10 4 95 91 4 5 98 22 76 6 35 50 -15

Rangos {4, 10, 15, 16, 40, 76} { 1 2 3 4 5 6 } Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias Rango de las diferencias en valor absoluto 1 76 60 16 4 2 89 49 40 5 3 65 75 -10 2 4 95 91 4 5 98 22 76 6 35 50 -15

Rangos {4, 10, 15, 16, 40, 76} { 1 2 3 4 5 6 } Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias Rango de las diferencias en valor absoluto 1 76 60 16 4 2 89 49 40 5 3 65 75 -10 2 4 95 91 4 1 5 98 22 76 6 35 50 -15

Rangos {4, 10, 15, 16, 40, 76} { 1 2 3 4 5 6 } Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias Rango de las diferencias en valor absoluto 1 76 60 16 4 2 89 49 40 5 3 65 75 -10 2 4 95 91 4 1 5 98 22 76 6 6 35 50 -15

Rangos {4, 10, 15, 16, 40, 76} { 1 2 3 4 5 6 } Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias Rango de las diferencias en valor absoluto 1 76 60 16 4 2 89 49 40 5 3 65 75 -10 2 4 95 91 4 1 5 98 22 76 6 6 35 50 -15 3

Rangos Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias Rango de las diferencias en valor absoluto Rangos con signo 1 76 60 16 4 4 2 89 49 40 5 5 3 65 75 -10 2 -2 4 95 91 4 1 1 5 98 22 76 6 6 6 35 50 -15 3 3

Rangos Sujeto Sin ruido Con ruido Diferencias Rango de las diferencias en valor absoluto Rangos con signo 1 76 60 16 4 4 2 89 49 40 5 5 3 65 75 -10 2 -2 4 95 91 4 1 1 5 98 22 76 6 6 6 35 50 -15 3 -3

Si H 0 es verdadera, la mediana de las diferencias poblacionales sería cero y esperaríamos encontrar que la suma de rangos que procede de puntuaciones positivas sería parecida a la suma de los rangos que procede de las puntuaciones negativas. Sin embargo, si observamos un alejamiento suficientemente elevado de esta expectativa en los datos, se dudaría de la veracidad de H 0 .

Finalmente, el estadístico W para dos muestras relacionadas se calcula como el valor más pequeño de los dos sumatorios de rangos. En nuestro caso: W = 5 (el mínimo de 5 y 16).

Regla de decisión Trabajando con un nivel de confianza del 95% y para un contraste unilateral, acudimos a la tabla de Wilcoxon con α = 0’05 (el más cercano es 0.047) y n = 6, en la que obtenemos un valor crítico igual a w 0’05, 6 = 2.

Conclusión Dado que el estadístico de contrate (W= 5) supera al valor crítico, es decir: 5 > 2 (en general, W > w 0’05, 6 ), no podemos rechazar la hipótesis nula al nivel de confianza del 95%. 2 < W < 19

Interpretación Con los datos de los que disponemos, no podemos afirmar que el ruido ambiental disminuya las puntuaciones en comprensión lectora. No obstante, la muestra utilizada es muy pequeña, por lo que quizás sería conveniente comprobar la hipótesis de partida en una muestra mayor.

Muestras grandes En el caso de que tengamos más de 30 sujetos, no podríamos utilizar la Tabla del estadístico de Wilcoxon para obtener los valores críticos. En este caso, la Ley de los Grandes Números nos permite utilizar una aproximación para tamaños muestrales superiores a 20 utilizando la distribución normal tipificada Z.

Aplicándolo a nuestro caso (aunque no sea apropiado) :

Z= -1.15 Nivel p-crítico = 0.1251 > 0.05

CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE DOS PROPORCIONES EN MUESTRAS RELACIONADAS Emplearemos este contraste de hipótesis cuando tengamos una muestra con una variable dependiente dicotómica o dicotomizada que medimos en dos momentos temporales distintos, que en general llamaremos “Antes” y “Después”.

Ejemplo 4.4 Un empresario, antes de introducir en el mercado un determinado producto “X”, toma una muestra aleatoria de 500 sujetos de la población a la que quiere dirigirse y les pregunta si comprarían o no dicho producto.

Ejemplo 4.4 A continuación les muestra las posibles ventajas que aporta el producto “X” y les vuelve a preguntar si lo comprarían. ¿Podemos afirmar al nivel de confianza del 99% que, la demostración del producto “X” ha sido eficaz?

En este contraste nos interesan los sujetos que han cambiado de opinión tras la presentación de “X” (casillas “b” y “c”), en general, aquellos sujetos cuya puntuación es diferente en los dos momentos en los que medimos la variable dependiente.

La pregunta teórica es si el número de cambios es el mismo en las dos direcciones ( hipótesis nula ) o si, por el contrario, la mayor parte de los sujetos que cambian de opinión lo hacen en una dirección determinada (hipótesis alternativa).

Supongamos que en nuestro ejemplo han cambiado de opinión 100 sujetos pero 50 de ellos que inicialmente no comprarían “X” si lo harían después de la demostración mientras que también 50 sujetos cambian de opinión pero de forma opuesta. En este caso el número de personas que compraría “X” es el mismo antes y después, por lo que no habría sido eficaz la demostración llevada a cabo por el empresario.

En la Tabla apreciamos que 60 sujetos han cambiado de opinión en la dirección que pretendía el empresario puesto que declararon que no comprarían “X” antes de la demostración y sí después.

Por otro lado, tenemos 40 sujetos que han cambiado de opinión en la dirección contraria. Se trata de comprobar si el primer grupo de sujetos supera estadísticamente al segundo.

Condiciones y supuestos Contamos con 100 observaciones independientes y una variable dicotómica, donde definimos el éxito como: “No antes, Sí después” y el fracaso como “Sí antes, No después”. En general tendremos: Variable dependiente dicotómica o dicotomizada Muestra con “ b+c” observaciones independientes, donde b+c > 25 .

Hipótesis La hipótesis nula especifica que la proporción de éxitos es igual o menor que la de fracasos, y la alternativa que la proporción de éxitos es superior a la de fracasos.

Estadístico de contraste Podemos utilizar dos estadísticos de contraste diferentes. El primero de ellos se distribuye normalmente

P-crítico = 1- 0.9772 =0.0228 < 0.05

Este contraste lo podríamos haber realizado con los conocimientos adquiridos anteriormente (Tema 2). Si consideramos que tenemos una única muestra de 100 observaciones, podemos plantear las siguientes hipótesis:

En este caso aplicaríamos el estadístico:

También podemos aplicar el test de McNemar, donde el estadístico de contraste se distribuye según Chi-Cuadrado con un grado de libertad:

Valor crítico 3.8415 < 4 Rechazamos H 0

El nivel crítico es mayor para Chi cuadrado que para Z, por lo que será más difícil rechazar la hipótesis alternativa con el segundo.

Hemos planteado un contraste unilateral, lo que podemos hacer si utilizamos el estadístico Z, con el que podríamos realizar tanto contrastes unilaterales como bilaterales, pero si empleamos el estadístico Chi-cuadrado sólo podremos plantear una hipótesis bilateral, puesto que al estar elevado al cuadrado no nos informa de la dirección de las diferencias.

En el test de chi-cuadrado no tiene sentido rechazar H 0 si obtenemos un valor muy pequeño, lo que nos indicaría que el número de sujetos que cambian de opinión en ambas direcciones son muy parecidos.

Si b = c, entonces el estadístico valdrá cero cuando que es precisamente lo que postula la hipótesis nula.

Regla de decisión Buscando en las tablas correspondientes los valores críticos al nivel de confianza del 99%, para los estadísticos Z y Chi-cuadrado (con un grado de libertad) tenemos que:

Conclusión Al nivel de confianza fijado por el empresario, no podemos rechazar la hipótesis nula al nivel de confianza del 99%, no obstante, si como podemos apreciar al calcular el nivel crítico, los resultados sí son significativos al nivel de confianza del 95%.

Interpretación Si bien podemos afirmar que los resultados son significativos (con un nivel de confianza del 95%), no superan el nivel de confianza fijado de antemano (99%). El empresario del ejemplo debería considerar si es rentable la campaña publicitaria que ha diseñado, puesto que en total, tan sólo se incrementa en 20 personas el número de posibles clientes que ganaría tras la demostración del producto “X”.

Jokes Dos grupos de estudiantes de una universidad van en el mismo tren a una convención de matemáticos e informáticos. Todos los matemáticos han comprado su billete, pero los informáticos han comprado sólo uno, así que los matemáticos están preparandose para reírse a su costa.

En esto, uno de los informáticos grita "REVISOR", y todos los informáticos se meten en el cuarto de baño. El revisor llega, les pide los billetes a los matemáticos, y al llegar al cuarto de baño llama a la puerta y dice "BILLETE, POR FAVOR". Entonces los informáticos pasan el billete por debajo de la puerta. Después, cuando el revisor ha pasado, los informáticos vuelven a sentarse y se ríen de los matemáticos.

Al acabar la convención, todos los estudiantes se vuelven a encontrar en la estación del tren y los matemáticos deciden usar el mismo truco, así que compran un sólo billete para todos ellos, pero cuando suben al tren se encuentran con que los informáticos no han comprado ni un sólo billete, así que de nuevo se preparan para gozar de su venganza...

Al cabo de un rato, alguien grita "REVISOR", y entonces todos los informáticos se dirigen a un cuarto de baño y todos los matemáticos a otro. Al cabo de unos segundos, los informáticos abren su puerta y uno de ellos asoma su cabeza y mira cuidadosamente a su alrededor; luego sale del cuarto, se dirige al cuarto de baño de los matemáticos, llama a la puerta y dice: "EL BILLETE, POR FAVOR"

… more investigators than Rutherford were involved in this experiment. The widespread practice of elevating a single scientist to the position of sole investigator, which seldom is the case, too often denies the involvement of other investigators. There's substance to the saying, " There are two things more important to people than sex and money -> recognition and appreciation ."

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