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Manual de uso del ábaco japonés Soroban, http://es.geocities.com/abacosoroban

Manual de uso
del
ábaco japonés

Soroban
De Fernando tejón

Editerio krayono
Ponferrada - españa
2006
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Manual de uso
del ábaco japonés

Soroban

算盤の教科書
穴熊フェル、スペイン

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Título:
Manual de uso del ábaco japonés Soroban.

Autor:
Fernando Tejón.
krayono@yahoo.es

Editorial:
Editerio Krayono, Claveles 6, B; E-24400 Ponferrada – España.

Año:
2006

Licencia:
Este libro esta acogido a la licencia Creative Commons. Se
permite la copia, modificación y difusión no comercial citando
literalmente todos los datos incluidos en esta página.

http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/es/

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Indice

Tema 1: Introducción................. 7

Tema 2: Cifras y notación............ 9

Tema 3: La suma....................... 13

Tema 4: La resta....................... 19

Tema 5: La multiplicación............ 29

Tema 6: La división.................... 39

Tema 7: Las potencias................ 45

Tema 8: Raíces cuadradas............ 47

Tema 9: Otras operaciones........... 55

Tema 10: Ejercicios.................... 63

Tema 11: Informaciones útiles...... 111

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Tema 1:
Introducción
Un ábaco no sólo es un instrumento para facilitar los cálculos matemáticos, que serían de
gran complejidad, o incluso imposibles, mentalmente. Además del uso matemático para
realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, cálculo de raíces y
potencias, en pleno siglo XXI el ábaco, lejos de ser un obsoleto instrumento de cálculo,
presenta innumerables ventajas: su uso habitual fomenta la habilidad numérica, mejora la
capacidad de concentración, de razonamiento lógico, la memoria, la agilidad mental, el
procesamiento de información de forma ordenada y la atención visual. Se podría considerar
que el uso del ábaco es una excelente forma de ejercitar el cerebro, manteniéndolo activo y
ágil a cualquier edad. Por si fueran pocas ventajas, en muchos casos los cálculos
matemáticos con el ábaco son más rápidos que con una moderna calculadora electrónica...

Ya en la antigua Grecia se utilizaron rudimentarios ábacos, que
simplemente eran tableros espolvoreados con finas capas de arena,
sobre los que se escribían símbolos numéricos con el dedo, o con una
vara de madera. Posteriormente se utilizaron los tableros de
recuento, que eran tablas de madera o de mármol, en las que sobre
líneas paralelas pintadas o vaciadas se desplazaban cuentas para
Abaco Romano efectuar los cálculos. Estos tableros eran llamados por los griegos
abakion, y por los romanos, abacus. Las cuentas que se utilizaban
eran simplemente pequeñas piedras redondeadas; llamadas en latín calculus, palabra que da
origen a la moderna cálculo. En la Edad Media se usaba en Europa la mesa de ábaco, que era
una mesa sobre la que se ponía un paño en el que se dibujaban líneas con una tiza, aunque a
veces se empleaban paños con las líneas bordadas. Sobre estas líneas se movían las cuentas.

El ábaco actual es en esencia un marco de madera o
plástico en el que se insertan un número no fijo de varillas por
las que deslizan cuentas perforadas. Hoy se utilizan
principalmente tres tipos de ábaco, que se diferencian
principalmente en el número de cuentas o bolas por varilla.
Ello no afecta a su capacidad de cálculo, que sólo depende del
Suan-pan Chino número de varillas que posea el ábaco.

El ábaco chino, o Suan-pan, está formado por cuentas toroidales, que se deslizan a lo
largo de varillas tradicionalmente de bambú. Cada una de las varillas tiene dos cuentas sobre
la barra central y otras cinco bajo ella (disposición 2-5). Se lleva usando desde hace más de
mil años.

El ábaco japonés, o Soroban, tiene su origen en el
siglo XVI. Inicialmente tenía una disposición de
cuentas 2-5 como en el Suan-pan chino, del que
deriva. Posteriormente se le eliminó una de las
cuentas superiores, quedando en disposición 1-5. A Soroban Japonés
principios del siglo XX perdió una de las cuentas
inferiores quedando en la actual disposición 1-4 que es la más adecuada al sistema decimal
usado actualmente. Las cuentas del Soroban son de pequeño grosor y tienen los cantos vivos.
Con esta forma se mejora notablemente la rapidez en los movimientos, y como consecuencia
de los cálculos. Es, sin duda, el ábaco más evolucionado y con el que se realizan los cálculos
con mayor rapidez.

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El ábaco ruso, o Schoty, está formado por varillas horizontales, con
diez cuentas o bolas en cada una de ellas. En algunos modelos las dos
cuentas centrales son de diferente color para facilitar el manejo.

En la América precolombina los Mayas también utilizaban un ábaco
para cálculos principalmente calendáricos, constituido por una
cuadrícula hecha con varillas, o dibujado directamente en el suelo; y
Schoty Ruso se utilizaban piedrecillas o semillas para representar los números. Este
ábaco recibía el nombre de Nepohualtzintzin. El manejo era similar al del ábaco japonés
Soroban, pero usando el sistema vigesimal en vez del decimal. En la parte superior de cada
varilla tiene tres cuentas, cada una de ellas con valor de cinco unidades, y en la parte
inferior cuatro cuentas, cada una de ellas con valor de una unidad.

Como ejemplo de las potencia de cálculo del ábaco está la famosa
competición patrocinada por el periódico del ejército americano, Stars
and Stripes (barras y estrellas) ocurrida en Tokyo el día 12 de
Noviembre de 1946, entre el japonés Kiyoshi Matsuzaki del Ministerio
Japonés de comunicaciones utilizando un Soroban y el americano
Thomas Nathan Wood de la armada de ocupación de los E.U.A. con una
calculadora electromecánica. El vencedor fue Matsuzaki usando el
Soroban, que resultó vencedor en cuatro de las cinco pruebas, sólo Nepohualtzintzin
perdiendo en la prueba con operaciones de multiplicación con números
grandes.

Problema Nombre Prueba 1 Prueba 2 Prueba 3 Puntos
Matsuzaki 1m 14.8s 1m 16s 1
Sumar 50 números Vence Vence -
de 3 a 6 cifras Wood 2m 0.2s 1m 53s 0
Pierde Pierde -
1m 0.4s 1m 0.8s 1m 0s
Restas: 5 Matsuzaki 5 bien 4 bien 5 bien 1
problemas con Vence Nulo Vence
números de 6 a 8 1m 30s 1m 36s 1m 22s
cifras Wood 5 bien 4 bien 4 bien 0
Pierde Nulo Pierde
1m 44.6s 1m 19s 2m 14.4s
Multiplicación: Matsuzaki 4 bien 5 bien 3 bien 0
5 problemas con Pierde Vence Pierde
números de 5 a 12 2m 22s 1m 20s 1m 53.6s
Vence Pierde Vence
1m 36.6s 1m 23.4s 1m 21s
Divisiones: Matsuzaki 5 bien 4 bien 5 bien 1
5 problemas con Vence Pierde Vence
números de 5 a 12 1m 48s 1m 19s 1m 26.6s
Pierde Vence Pierde
Sumar 30 números 1m 21s
de 6 cifras, tres Matsuzaki 5 bien
restas de números Vence - - 1
de 6 cifras, tres
productos y tres
divisiones de 1m 26.6s
números de 5 a 12 Wood 4 bien
cifras. Pierde - - 0
Puntos Matsuzaki - - - 4
totales Wood - - - 1

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Tema 2:
Cifras y notación
El Soroban tiene un número variable de varillas por las que deslizan las cuentas,
generalmente con trece es suficiente para operaciones comunes de suma y resta, pero puede
quedarse pequeño para multiplicaciones y divisiones con números grandes. En este manual se
usará un Soroban de 17 varillas etiquetadas con las letras del alfabeto latino de derecha a
izquierda, para facilitar la anotación de los movimientos.

Cada varilla se divide en dos partes por una barra horizontal. En la parte superior hay una
cuenta con un valor de cinco unidades, mientras que en la inferior hay cuatro cuentas con un
valor de una unidad cada una de ellas. Las cuentas sólo tienen valor cuando se encuentran
desplazadas hacia la barra central.

Cuando todas las cuentas están alejadas de la barra central el Soroban muestra la cifra
cero en cada varilla. Para anotar las distintas cifras se debe poner el Soroban sobre una
superficie horizontal y mientras se sujeta con la mano izquierda se anotan las cifras que
componen el número con el que se desea hacer un cálculo con la mano derecha. Las cuentas
inferiores se acercan a la barra central con el dedo pulgar. Con el dedo índice se alejan de la
barra las cuentas inferiores y se hacen todos los movimientos de la cuenta superior. Si se
acercan a la vez a la barra, o se alejan a la vez, la cuenta superior y alguna de las inferiores
se usan ambos dedos simultáneamente, el pulgar para las cuentas inferiores y el índice para
la superior.

De momento asumiremos que la varilla A representa las unidades, la B las decenas, la C
las centenas, la D las unidades de millar, y así sucesivamente. En realidad se puede tomar
como varilla de las unidades cualquiera de ellas, como veremos más adelante al tratar con
números decimales.

Anotemos el número 9.876.543.210. Los números se escriben en el soroban de izquierda
a derecha.
Para anotar la cifra 9 en la varilla que marca las unidades de millar de millón se acercan a
la barra la cuenta superior con el dedo índice y las cuatro cuentas inferiores con el dedo
pulgar simultaneamente en la varilla J. La notación de este movimiento será J +5 +4.

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Anotaremos la cifra 8 en la varilla que marca las centenas de millón, acercando a la barra
la cuenta superior con el dedo índice y sólo tres cuentas inferiores con el dedo pulgar
simultaneamente en la varilla I. Notación: I +5 +3.
Se anotará la cifra 7 en la varilla que marca las decenas de millón, acercando a la barra la
cuenta superior con el dedo índice y sólo dos cuentas inferiores con el dedo pulgar
simultaneamente en la varilla H. Notación: H +5 +2.
De modo similar se anotará la cifra 6 en la varilla que marca las unidades de millón,
acercando a la barra la cuenta superior con el dedo índice y sólo una cuenta inferiores con el
dedo pulgar simultaneamente en la varilla G. Notación: G +5 +1.
Para anotar la cifra 5 en la varilla que marca las centenas de millar, simplemente
acercaremos a la barra central la cuenta superior con el dedo índice en la varilla F. Notación:
F +5.
Se anota la cifra 4 en la varilla que marca las decenas de millar, acercando a la barra
central las cuatro cuentas inferiores con el dedo pulgar en la varilla E. Notación: E +4.
Se anota la cifra 3 en la varilla que marca las unidades de millar, acercando a la barra
central tres cuentas inferiores con el dedo pulgar en la varilla D. Notación: D +3.
Para anotar la cifra 2 en la varilla que marca las centenas, se acerca a la barra central dos
cuentas inferiores con el dedo pulgar en la varilla C. Notación: C +2.
Anotamos la cifra 1 en la varilla que marca las decenas, acercando a la barra sólo una
cuenta inferior con el dedo pulgar en la varilla B. Notación: B +1.
Por último se anota la cifra 0 en la varilla que marca las unidades, simplemente no
acercando a la barra ninguna cuenta en la varilla A. Notación: ninguna ya que no hemos
movido ninguna cuenta.

Anotemos ahora el número 189.700.162. Mientras se anota en el soroban el número se
debe ir leyendo en voz alta correctamente, en este caso: ciento ochenta y nueve millones
setecientos mil ciento sesenta y dos. En ningún caso lea como hacen los principiantes: uno –
ocho – nueve - siete – cero – cero – uno – seis – dos. Es precisa la lectura correcta para la
perfecta situación mental de los números. Acostúmbrese a hacer bien las cosas desde el
principio, es mejor progresar lentamente pero del modo adecuado que tratar de eliminar
posteriormente vicios de uso debidos a un apresurado y deficiente aprendizaje.

I +1 H +5 +3 G +5 +4 F +5 +2 C +1 B +5 +1 A +2

Otro ejemplo: 762.503.755

I +5 +2 H +5 +1 G +2 F +5 D +3 C +5 +2 B +5 A +5

Y otro: 186.040.177.024

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L +1 K +5 +3 J +5 +1 H +4 F +1 E +5 +2 D +5 +2 B +2 A +4

Un último ejemplo: 500.035.100

I +5 E +3 D +5 C+1

Ejercicios

Escriba en el soroban los siguientes numeros, leyéndolos a la vez correctamente en voz
alta mientras los escribe. Cuando el número esté escrito en el soroban léalo y compruebe si
se ha equivocado en alguna cifra. Escriba todos los números siguientes tantas veces como sea
necesario, hasta que pueda hacerlo con soltura.

89.539.407 28.994.935 7.701.028 49.424.198
90.493.862 15.922.784 18.097.721 67.991.683
3.695.349 52.130.291 5.823.524 91.183.046
78.103.893 50.513.187 51.764.218 89.195.326
35.000.002 40.000.548 123.456.789 61.194.219
10.000.000 5.314.735 3.002.658 43.513.079
53.968.799 84.879.578 65.610.000 89.012.907
59.000.001 61.280.009 505.105.001 18.652.601
10.000.111 14.899.393 48.831.148 59.766.666
4.587.930 1.355 86.229.981 200.001
35.2001.911 458.665 1.025.327 12.222.977
6.251.028 1.223.588 694.009 3.581.117
633.999 32.154 31.999.158 3.654.663
98.789.308 18.770.809 21.545.654 3.845.484
893.871 9.999.222 14.556.093 32.455.002

Puede también practicar escribiendo los números de la factura de compra del supermercado,
números de teléfono de su agenda o del listín telefónico, precios de artículos de folletos
publicitarios, etc. La práctica debe ser regular, dedíquele de 10 a 15 minutos diarios a esta
práctica durante varios días hasta poder anotar números en el soroban y leerlos sin dudar. No
pase al tema siguiente antes de dominar la anotación y la lectura de números en el soroban.

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Tema 3:
La suma
Este tema es de capital importancia. Comprender perfectamente los mecanismos de la
suma le permitirán no sólo sumar, también restar (operación inversa), multiplicar (sumas
repetidas) y dividir (restas repetidas). Por lo tanto el estudio de este tema debe ser ordenado
y en profundidad; no se debería pasar al tema siguiente sin poder hacer cualquier suma con
soltura y seguridad por compleja que pueda llegar a ser.

• Sumas sencillas
Sumas sencillas son aquellas en las que al sumar cada cifra en su varilla correspondiente el
total es igual o inferior a 9. La gran ventaja del Soroban es que al anotar un número sobre
otro que ya está anotado se realiza la suma por si misma.

Ejemplo: 1.231 + 115 + 5.100 = 6 .446

En primer lugar ponga el Soroban a cero, separando todas las cuentas de la barra central
deslizando sobre ella a la vez los dedos pulgar e índice. Anote 1.231, leyendo el número al
anotarlo. Al acercar a la barra una cuenta inferior en la varilla D, debe decir a la vez “mil”,
al acercar a la barra central dos cuentas inferiores en la varilla C debe decir a la vez
“doscientos”, etc. Hágalo siempre del modo correcto.

D +1 C +2 B +3 A +1

Sobre el número anterior se suma 115, y se obteniene 1.346:

C +1 B +1 A +5

Sobre el subtotal anterior se añade 5.100 y se obtiene el resultado total de la suma:
6.446:

D +5 C +1

Mueva las cuentas según el método indicado en el tema anterior. Al anotar las cifras de los
sumandos léalas correctamente.

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Ejercicios de sumas sencillas

Haga las siguientes sumas tantas veces como necesite, no menos de diez, hasta que se
realicen con rapidez y seguridad. No haga otro tipo de sumas hasta hacer con fluidez estas
sumas sencillas.

123.456 216.800 111.111 150.812 172.110 550.250 12.300
155.011 100.006 200.560 100.071 100.666 102.102 650.001
100.011 10.000 555.111 24.000 17.110 36.626 111.021
+510.510 +511.020 +120.107 +605.111 +500.000 +201.020 +106.561
888.988 837.826 986.889 879.994 789.886 889.998 879.887

• Sumas complejas
A veces al intentar sumar una cifra en una varilla del Soroban no se pueden acercar a la
barra central el número de cuentas deseado, pero la solución está en la siguiente tabla que
nos permitirá sumar en cualquier varilla la cifra deseada como una combinación de sumas y
restas.

sumar es lo mismo que
1 sumar 5 y restar 4 sumar 10 y restar 9
5 sumar 5 sumar 10 y restar 5
6 sumar 10, restar 5 y sumar 1 sumar 10 y restar 4

Como aplicación se sumarán los números 137.564 y 244.438 cuya suma es 382.002. En
primer lugar anotamos el número 137.564:

F +1 E +3 D +5 +2 C +5 B +5 +1 A +4

Sumamos 2 (doscientos mil) en la varilla F con el dedo pulgar:

F +2

Ahora deberíamos sumar 4 (cuarenta mil) en la varilla E, pero no se pueden acercar cuatro
cuentas a la barra central directamente. Tras observar la tabla de sumas complejas se
comprende que para sumar 4 puedo sumar 5 y restar 1. Para ello se acerca a la barra central
la cuenta superior con el dedo índice y a la vez se aleja de la barra con el pulgar una cuenta
inferior:

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E +5 –1

Para sumar 4 (cuatro mil) en la varilla D se deberían acercar cuatro cuentas a la barra o
bien, como en el caso anterior, acercar la cuenta superior (+5) y alejar una de las inferiores
(-1), pero ninguna de esas dos opciones es posible. La tabla de la suma nos ofrece la
solución: sumar 4 es lo mismo que sumar 10 y restar 6. Para ello sumo 10 en la varilla D, esto
es, sumar 1 en la varilla que está a la izquierda de la varilla D, o sea en la varilla E, y
posteriormente restamos 6 en la varilla E, separando de la barra central una cuenta superior
con el dedo índice y a la vez se separa una cuenta inferior con el dedo pulgar:

E +1 D –5 –1

Sumar cuatro (cuatrocientos) en la varilla C y tres (treinta) en la varilla B es sencillo ya
que disponemos de cuentas en la varilla donde sumamos:

C +4 B +3

Finalmente deberíamos sumar 8 en la varilla A. No es posible hacerlo directamente, así
que intentaríamos sumar 10 (sumar 1 en B) y restar 2 en A según la tabla de sumas. Tampoco
ello es posible ya que en la varilla inmediatamente a la izquierda de A está escrita la cifra 9.
La solución en estos casos es sencilla. Busque la primera varilla a la izquierda de la varilla A
que no tenga un 9. Esa varilla es en este caso D. Sume en ella 1 (el “10” que deberíamos
haber sumado en B), ponga a cero todas las varillas con 9 entre D y A (las varillas B y C). Por
último reste 2 en A:

D +1 C –5 –4 B –5 –4 A –2

•D+1 se efectúa con el dedo pulgar.
•C –5 –4, B –5 –4 se efectúan a la vez, alejando de la barra central las cuatro cuentas
inferiores de C y B con los dedos índice y medio, que inmediatamente se usarán para
alejar las dos cuentas superiores.
•A –2 se efectúa con el dedo índice.

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En el ejemplo anterior se pueden ver todos los tipos de suma. Practíquelo varias veces
hasta que lo realice con fluidez.

Como resumen de la suma se podría hacer un esquema explicativo. Cuando se quiere
sumar una cifra en cualquier varilla, genéricamente etiquetada X, se intentará hacer lo que
indica el primer punto, si ello no es posible pasaremos al punto siguiente y así sucesivamente
hasta encontrar un punto aplicable:

1. Sumamos las cuentas directamente en la varilla X.
2. Sumamos 5 y restamos el excedente en la varilla X.
3. Sumamos 1 (“10”) en la varilla situada a la izquierda de la varilla X, y restamos el
excedente en la varilla X.
4. Sumamos 1 en la primera varilla a la izquierda de la varilla X que no tenga un 9.
Ponemos a cero las varillas con 9 entre la varilla en la que hemos sumado 1 y la varilla
X. Finalmente restamos el excedente en la varilla X.

Ejercicios de sumas complejas

A pesar de que los siguientes ejercicios le puedan parecer monótonos por ningún motivo
deje de hacerlos ya que aunque no parecen ser muy útiles son la base imprescindible en el
buen aprendizaje de la suma.

9.999 9.999 9.999 9.999 9.999 9.999 9.999
+9.999 +8.888 +7.777 +6.666 +5.555 +4.444 +3.333
19.998 18.887 17.776 16.665 15.554 14.443 13.332

9.999 9.999 8.888 8.888 8.888 8.888 8.888
+2.222 +1.111 +8.888 +7.777 +6.666 +5.555 +4.444
12.221 11.110 17.776 16.665 15.554 14.443 13.332

8.888 8.888 7.777 7.777 7.777 7.777 7.777
+3.333 +2.222 +7.777 +6.666 +5.555 +4.444 +3.333
12.221 11.110 15.554 14.443 13.332 12.221 11.110

6.666 6.666 6.666 5.555
+6.666 +5.555 +4.444 +5.555
13.332 12.221 11.110 11.110

Sume ahora diez veces 111.111 para obtener 1.111.110. Haga lo mismo para los números
222.222, 333.333, etc. hasta 999.999 para dar 9.999.990. Ahora sume diez veces 123.456.789
para obtener 1.234.567.890. Haga lo mismo para el número 987.654.321 para obtener
9.876.543.210. Estos dos últimos ejercicios son ideales para obtener agilidad en el cálculo.
Practíquelos frecuentemente.

Más ejercicios:

47.626.371 16.751.135 36.077.301
94.493.374 97.043.382 36.447.527
26.242.464 87.450.467 49.548.323
+59.816.753 +64.523.585 +37.377.548
228.178.962 265.768.569 159.450.699

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123 741 111 251 477 455
456 852 222 514 491 594
789 963 333 64 910 214
123 741 444 863 412 570
456 852 555 253 218 326
789 963 666 350 970 773
123 741 777 134 155 537
456 852 888 6 85 861
+789 +963 +999 +266 +344 +799
4.104 7.668 4.995 2.701 4.062 5.129

Sume los números de la factura de la compra en el supermercado, los números telefónicos
de su agenda, etc., o escriba números al azar y súmelos. La práctica diaria es la clave del
éxito en el aprendizaje.

• Sumas abreviadas
Seguramente ya se habrá dado cuenta de que algunas sumas son mucho más fáciles de
hacer de modo indirecto. Por ejemplo, si queremos sumar 1.237 + 9.999 = 11.236 se puede
hacer más fácilmente en el Soroban sumando 10.000 y restando 1 en vez de sumar
directamente 9.999, así: 1.237 + 10.000 – 1 = 11.236. Otro ejemplo: 2.368 + 198 = 2.566 se
puede hacer mucho más fácilmente sumando 200 y restando 2 en vez de sumar 198, así:
2.368 + 200 – 2 = 2.566.

Pruebe a hacer las sumas anteriores en el Soroban de ambas formas. Cuando conozca
perfectamente la resta entonces podrá abordar las sumas abreviadas, de modo provechoso.
Tras adquirir la soltura que le permita hacer cualquier suma que se le presente por compleja
que sea, podrá pasar al tema siguiente.

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Tema 4:
La resta
Esta operación es justo la contraria de la suma, por lo que en vez de acercar las cuentas a
la barra central, para restar las separaremos.

• Restas sencillas
Una resta es sencilla si en cada una de las varillas del Soroban la cifra del minuendo es
mayor que la del sustraendo y se puede hacer la resta con un simple movimiento de los dedos
índice y pulgar alejando las cuentas necesarias de la barra central.

Ejemplo: 68.279 – 56.163 = 12.116

Tras poner el Soroban a cero anote el número 68.279:

E +5 +1 D +5 +3 C +2 B +5 +2 A +5 +4

Ahora restamos fácilmente 56.163:

E –5 D –5 –1 C –1 B –5 –1 A –3

A pesar de que en las varillas D y B hemos tenido que mover dos cuentas a la vez, la resta
es sencilla ya que en ambos casos sólo hemos movido cuentas en una varilla.

Ejercicios de restas sencillas

Repita las siguientes restas hasta hacerlas con fluidez:

21.658 82.891 34.569 68.984 92.353 14.993
-11.502 -51.790 -13.057 -55.582 -71.251 -11.861
10.156 31.101 21.512 13.402 21.102 3.132

• Restas complejas
Una resta es compleja cuando no se puede efectuar simplemente separando cuentas de la
barra central en cada varilla y debemos usar combinaciones de sumas y restas en varias
varillas para llevarlas a cabo. Como en el caso de las sumas complejas se resumirán en una
tabla todas las operaciones para efectuar restas en cualquier varilla, sea cual sea el valor del
sustraendo.

19


restar es lo mismo que
1 restar 5 y sumar 4 restar 10 y sumar 9
5 restar 5 restar 10 y sumar 5

Aclaremos el uso de la tabla con el ejemplo: 7.828.300 – 2.471.006 = 5.357.294

Lo primero que se hace es anotar en el Soroban el minuendo:

G +5 +2 F +5 +3 E +2 D +5 +3 C +3

Se restan 2 millones:

G -2

Ahora restamos 4 en la varilla F (cuatrocientos mil). Como no se pueden separar
directamente 4 cuentas de la barra central acudimos a la tabla de la resta, en la que vemos
que restar 4 es lo mismo que restar 5 y sumar 1:

F –5 +1

Para restar 7 en la varilla E (setenta mil) también debemos acudir a la tabla. En este caso
se debe restar 1 en F y sumar 3 en E, con ello se han sumado 10 unidades en E (separando
una cuenta de la barra central en F) y sumado 3 unidades en E, lo que equivale a restar 7
(-10 + 3 = -7):

F –1 E +5 –2

20


Para restar 1 en la varilla D (mil) simplemente separaremos una cuenta de la barra
central:

D –1

Por último debemos restar 6 de la varilla de las unidades A. No se puede hacer
directamente en la varilla A, ni tampoco usando la tabla de la resta y restando 1 en B y
sumando 4 en A (-10 + 4 = +6) porque la varilla B está a cero. En estos casos la solución es
sencilla:

•A la izquierda de la varilla donde se está efectuando la resta se busca la primera varilla
con alguna cuenta sobre la barra central, en nuestro ejemplo es la varilla C.
•Se resta en esa varilla uno (C – 1).
•Se ponen en nueve todas las varillas que entre las dos anteriores estaban a cero, en
nuestro ejemplo sólo ponemos a nueve la varilla B:
B +5 +4
•Finalmente se suma 4 en la varilla inicial A (A +4).

Lo que se ha hecho para sumar 6 es simplemente: -100 + 94 = +6 porque no hemos podido
hacer lo más sencillo: +6 ó –10 + 4 = +6:

C –1 B +5 +4 A +4

En el Soroban podemos leer la solución de la resta: 5.357.294

Otro ejemplo: 35.000 – 17 = 34.983

E +3 D +5

D –5 +4 C +5 +4 B +5 +4

21


B –1 A +3

¿Se comprende perfectamente cada uno de los pasos?

Como en el caso de la suma se podría hacer un esquema explicativo para la resta. Cuando
se quiere restar una cifra en cualquier varilla, genéricamente etiquetada X, se intentará
hacer lo que indica el primer punto, si ello no es posible pasaremos al punto siguiente y así
sucesivamente hasta encontrar un punto aplicable:

1. Restamos las cuentas directamente en la varilla X.
2. Restamos 5 y sumamos lo que falta en la varilla X.
3. Restamos 1 (“10”) en la varilla situada a la izquierda de la varilla X, y sumamos lo que
falta en la varilla X.
4. Restamos 1 en la primera varilla a la izquierda de la varilla X que no tenga un 0.
Ponemos a nueve las varillas con 0 entre la varilla en la que hemos restado 1 y la varilla
X. Finalmente sumamos lo que falta en la varilla X.

Ejercicios de restas complejas

Como ejercicios de restas tomaremos los ejercicios de sumas del tema anterior y tras
anotar en el Soroban el resultado de la suma se le irán restando sucesivamente los sumandos
hasta llegar al resultado final: cero. Un excelente ejercicio es efectuar la suma e
inmediatamente la resta, con lo que además de practicar ambas operaciones se comprueba
fácilmente si se han cometido errores si el resultado final no es cero.

• Restas abreviadas
Como ya ocurría en las sumas, algunas restas se pueden hacer de modo indirecto con
mayor facilidad y por lo tanto con mayor rapidez. Por ejemplo, si se desea restar 989 de
3.578 se puede hacer indirectamente restando mil y luego sumando once: 3.578 – 989 = 3.578
– 1.000 + 11 = 2.589. Otro ejemplo: 2.366 - 198 = 2.168, se puede hacer con mayor rapidez
restando 200 y luego sumando 2 en vez de restar directamente 198, así: 2.368 - 200 + 2 =
2.168

Haga las restas anteriores en el Soroban directa e indirectamente. Acostúmbrese a pensar
en el número que va a restar, y decida en cada caso cómo hacer la resta, directa o
indirectamente, para hacerla lo más rápidamente posible. Sólo la práctica continua permite
progresar, por lo que debe realizar sumas y restas a diario para aumentar la habilidad y
disminuir el tiempo empleado en el cálculo.

• Restar del minuendo un sustraendo mayor
Seguro que ya se ha preguntado si es posible con un Soroban hacer restas en las que el
sustraendo es mayor que el minuendo, es decir, las que dan como resultado un número
negativo. La respuesta es: sí. Este tipo de problemas surgen diariamente por ejemplo al
pagar la cuenta en un supermercado, ya que habitualmente se entrega una cantidad de
dinero mayor que la solicitada, esperando la devolución del excedente o cambio.

22


Veamos un ejemplo: Un cliente compra varios objetos, por los que debe pagar en total
8,73 euros (873 céntimos de euro). El cajero tiene anotado en su Soroban 873 tras sumar los
precios de los artículos. Si el cliente paga lo comprado con 10,00 euros (1.000 céntimos de
euro), el cajero calcula el excedente a devolver al cliente de modo inmediato:

Se mira en el Soroban el número de cuentas que no se han acercado a la barra central en
cada una de las varillas, en otras palabras, qué cuentas no tienen valor. En nuestro ejemplo,
en la varilla C hay 1 cuenta sin valor. En la B hay 2 cuentas sin valor. En la última varilla, la
A, hay 6 cuentas sin valor (la cuenta superior tiene valor cinco). El número obtenido, 126, es
el “complemento a 9” de 873 ya que ambos suman 999. Ahora la técnica es sencilla. Sume
mentalmente uno al “complemento a 9” y ya se tiene la respuesta: 126 + 1 = 127. Como esta
solución la hemos obtenido basándonos en “el complemento a 9” se debe entender el
resultado como un número negativo: 873 – 1.000 = -127, por lo que el cajero debe devolver al
cliente 127 céntimos de euro (un euro y veintisiete céntimos). Lo más importante es que se
ha calculado la cantidad a devolver al cliente simplemente mirando el Soroban y sumando
mentalmente 1, sin siquiera mover una cuenta. Ninguna calculadora electrónica puede dar la
respuesta más rápidamente.

En este caso hemos podido hacer el cálculo de modo tan simple porque el sustraendo está
formado por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el minuendo. De no ser así aún se
podría hacer con inmediatez si el sustraendo es un número múltiplo de 10, por ejemplo, si el
cliente hubiera pagado con un billete de 20 euros el cambio debería ser 1,27 euros (según el
ejemplo anterior) + 10 euros = 11,27 euros.

Si lo que se quiere hacer es restar al minuendo un sustraendo cualquiera mayor, el
proceso ya no será inmediato, pero tampoco complicado. Como norma general para restar un
número con "n" cifras de otro número menor, antes de efectuar la resta se añadirá al número
menor un número extra formado por un uno seguido de "n" ceros. El resultado de la resta será
el "complemento a 9", con "n" cifras, del numero mostrado finalmente en el Soroban.

Como aplicación práctica veamos la resta: 5 - 32 = -27

En primer lugar anotamos 5 en el Soroban. Seguidamente se tendría que restar 32 del
número anterior, pero no es posible hacerlo directamente. Se suma como número extra un
uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el sustraendo, en este caso el sustraendo (32)
tiene dos cifras, por lo que al 5 anotado inicialmente se le añade 100 (un uno seguido de dos
ceros). En el Soroban se muestra 105:

A +5 C +1

Ahora ya se puede restar 32. Tras la resta, en el Soroban se muestra el número 73.

23


C –1 B +5 +2 A –5 +3

Pero lo que nos interesa son las cuentas sin valor, las que no están apoyadas en la barra
central, es decir, el “complemento a 9” (dos cifras). En la varilla B hay 2 y en la A 6. Se
suma mentalmente 1 a 26 y se obtiene la respuesta: 26 + 1 = 27. Luego 5 - 32 = -27.
Abreviadamente: 5 – 32 = [comp ( 5 + 100 - 32)] + 1 = -27. Como C+1 y C-1 se anulan
mutuamente, se pueden hacer mentalmente, sin mover cuentas en el Soroban, agilizandose
así el cálculo.

A veces interesa calcular la suma de varios números positivos y negativos (sumar un
número negativo es restarlo positivo). Cuando en dicho cálculo se deba sumar un número
negativo (restar el positivo) y no sea posible, entonces seguiremos la metodología
anteriormente mostrada, añadiendo antes de la resta un uno seguido de los ceros necesarios.
Es posible que en una posterior resta debamos añadir otro número extra, en ese caso
conviene que el nuevo número extra añadido, sumado con el añadido anteriormente de como
resultado una potencia de diez (100, 1.000, 10.000, etc.). Operando de esta manera el
resultado final se obtiene directamente.

Pueden darse dos casos al finalizar la suma:

1. El número final mostrado en el Soroban es mayor que el número extra total añadido:
Para obtener el resultado final de la suma se debe simplemente restar del número
mostrado en el Soroban el número extra total añadido en el proceso de la suma.
2. El número final mostrado en el Soroban es menor que el número extra total añadido:
En este caso el resultado final es el "complemento a 9" del número mostrado en el
Soroban más 1. El "complemento a 9" tendrá tantas cifras como ceros tiene el número
extra total añadido.

Para aclarar la metodología descrita se calculará la suma de varios números positivos y
negativos (restas), mostrandose los resultados parciales que se obtienen con cada número
añadido y lógicamente también el resultado final: 63 - 81 + 45 - 654 + 822 = 195
Lo primero es anotar 63 en el Soroban:

B+5+1 A+3

Ahora debemos restar el número de dos cifras 81, que es mayor que el 63 anotado. Se
añade a 63 un uno seguido de dos ceros (100) y posteriormente se resta 81. En el Soroban se
puede ver el resultado parcial de la suma: 63 - 81 = -18 (complementario más uno de 82).

[ C+1 C-1 ] B+2 A-1

24


El siguiente sumando es 45, que se suma al "82" (realmente -18) que se observa en el
Soroban. Tras esta suma en el Soroban se muestra 127. Si no se debieran sumar más números
entonces según el caso 1 se tendría que restar de 127 el número extra añadido anteriormente
(100) y el resultado sería 27 (63 - 81 + 45 = 27). En nuestro caso la suma continúa, por lo que
podemos restar el 100 extra añadido o bien hacerlo en el resultado final de la suma. Elegimos
la segunda opción.

C+1 B-5-1 A+5

Seguidamente debemos restar 654 (o sumar -654). Es evidente que no es posible hacerlo
directamente. Al ser 654 un número de 3 cifras deberíamos añadir como número extra 1.000
(un uno seguido de tres ceros), pero como en un paso anterior ya añadimos un número extra,
100, ahora conviene añadir 900 en vez de 1.000; así, el 100 añadido anteriormente con el 900
que añadiremos ahora suman 1.000, que es un número extra total conveniente (potencia de
10). Tras las operaciones en el Soroban se muestra el número 373, pero si quisieramos saber
la suma parcial obtenida deberíamos fijarnos en su complemento a 9, como se indica en el
caso 2 (63 - 81 + 45 - 654 = -627).

D+1 C-1 D-1 C+4 C-1 B+5 A-5+1

El último sumando es 822, que se suma sin dificultad:

D+1 C-2 B+2 A+5-3

En el Soroban se muestra el número 1.195, que es mayor que el número extra total
añadido (1.000), por lo que para obtener el resultado final de la suma simplemente debemos
restar de 1.195 el número extra 1.000, obteniéndose el resultado final 195.

D-1

Resultado final: 63 - 81 + 45 - 654 + 822 = 195

25


Ejercicios de restas con complementos

45 – 100 = -55 (leyendo el complemento a 9 y sumando 1).
654 – 1000 = -346 (leyendo el complemento a 9 y sumando 1).
45 – 123 = [comp (45 + 1000 – 123)] + 1 = -78
752 – 1268 = [comp (752 + 10000 – 1268)] + 1 = -516
124 - 520 + 450 + 620 - 512 = 162
25 - 80 + 120 - 726 = -661
483 - 500 - 712 + 407 = -322
190 - 234 + 523 - 1.589 + 310 = -800

• Restar sumando
Con el uso de los complementos a 9 cualquier resta se puede trasformar en una suma
fácilmente. El método es el siguiente:

•Sume al minuendo el complemento a 9 del sustraendo.
•Reste al resultado el número formado por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el
sustraendo.
•Sume uno al resultado.

El resultado se muestra en el Soroban. Veamos un ejemplo que aclarará la metodología a
seguir: 4.535 – 2.781 = 1.754

Anotamos en el Soroban el minuendo, en este caso 4.535:

D +4 C +5 B +3 A +5

Ahora sumamos al número anterior el complemento a 9 de 2.781, que es 7.218 ya que
ambos suman 9.999.

E +1 D –3 C+2 B+1 B +5 -4 A –5 +3

Ahora debemos restar el número formado por un uno seguido de tantos ceros como cifras
tiene el sustraendo, que en este ejemplo tiene cuatro cifras. Luego debemos restar 10.000:

E -1

26


Para finalizar, siguiendo el método, se suma 1:

A +1

En el Soroban se puede leer la solución: 1.754. Realmente lo que hemos hecho es 4.535 –
2.781 = 4.535 + 7.218 – 10.000 + 1 = 1.754.

En el caso de que el sustraendo sea mayor que el minuendo simplemente se debe sumar al
minuendo el complemento a 9 del sustraendo, leyendo en el Soroban las cuentas sin valor (el
complemento a 9), que son las que no están desplazadas hacia la barra central. Como
ejemplo se hará la resta 234 – 317 = -83. En primer lugar se anota en el Soroban el número
234:

C +2 B +3 A +4

Se suma el complemento a 9 de 317, que es 682:

C +5 +1 C +1 B –2 A +5 -3

En el Soroban se muestra 916, pero en este caso nos interesa la lectura de su
complemento a 9, que son las cuentas sin valor: 083. Al haber leído las cuentas sin valor el
número 83 se entiende como negativo, -83. En forma abreviada se podría escribir: 234 – 317 =
comp (234 + 682) = comp ( 234 + comp 317) = -83.

Ejercicios de restas sumando

Haga los siguientes ejercicios según lo explicado y también según los métodos descritos
con anterioridad.

2.168 8.791 6.142 6.002 7.108
-1.371 -2.678 -4.627 -4.078 -5.583
797 6.113 1.515 1.924 1.525

1.354 1.475 3.000 2.777 6.200
-2.623 -2.982 -7.624 -7.627 -8.952
-1.269 -1.507 -4.624 -4.850 -2.752

27


5.479 6.542 7.613 7.376 5.765
-1.145 -2.813 -2.096 -6.666 -1.013
4.334 3.711 5.517 710 4.752

8.825 5.732 2.243 2.401 1.890
-9.365 -6.071 -8.313 -6.247 -6.647
-540 -339 -6.070 -3.846 -4.757

Es imprescindible dominar la suma y la resta en el Soroban antes de iniciarse con
operaciones más complejas. No intente comenzar el estudio de un tema en ningún caso hasta
dominar el tema anterior. El aprendizaje sin orden es una lastimosa forma de perder
inútilmente el tiempo sin lograr nada de provecho.

28


Tema 5:
La multiplicación
Multiplicar es simplemente sumar repetidas veces el mismo número de modo abreviado. Es
imprescindible el conocimiento a la perfección de la tabla de multiplicar siguiente:

multiplicador
 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 01 02 03 04 05 06 07 08 09
2 02 04 06 08 10 12 14 16 18
multiplicando

3 03 06 09 12 15 18 21 24 27
4 04 08 12 16 20 24 28 32 36
5 05 10 15 20 25 30 35 40 45
6 06 12 18 24 30 36 42 48 54
7 07 14 21 28 35 42 49 56 63
8 08 16 24 32 40 48 56 64 72
9 09 18 27 36 45 54 63 72 81
Cualquier número de una cifra por otro también de una cifra da como resultado un número
de dos cifras, de las que la primera puede ser cero. Piense siempre así mientras dure el
aprendizaje de la multiplicación, lo que le permitirá situar sistemáticamente en el Soroban
los resultados parciales de la multiplicación.

Existen varias formas diferentes de multiplicar en el Soroban, de las que se mostrarán
tres. La primera es la forma común utilizada en Japón, la segunda es una variante que
permite multiplicaciones de varios factores y por ello es muy útil para calcular potencias y la
tercera es otra variante útil en facturación y contabilidad para hacer varias multiplicaciones
y sumar los resultados de todas.

• Método estándar Japonés
Este método es el más empleado actualmente y es el que se enseña a los niños en las
escuelas en Japón.
Para multiplicar dos números se anota el multiplicando en la parte izquierda del Soroban,
dejando algunas varillas de separación con el multiplicador que se anotará en la parte
derecha del Soroban dejando a su derecha tantas varillas a cero como cifras tiene el
multiplicando más una. Posteriormente se van multiplicando las cifras del multiplicando por
la cifra de las unidades del multiplicador y sumando los resultados. Se borra la cifra de
unidades del multiplicador y se repite el proceso con la cifra de las decenas y así
sucesivamente hasta completar la operación. En el Soroban se lee finalmente el
multiplicando y el producto, ya que el multiplicador desaparece en el cálculo.

Ejemplo: 316 x 74 = 23.384

Anotamos 316 a la izquierda del Soroban, por ejemplo en las varillas L, K y J. Ahora se
anota el multiplicador, 74, dejando a su derecha 4 varillas a cero ya que el multiplicando
consta de tres cifras y hay que dejar a cero una más. Por ello 74 se anota, el 7 en F y el 4 en
E. En este caso se han dejado tres varillas a cero entre el multiplicando y el multiplicador, se
pueden dejar las que se quieran, pero no conviene dejar sólo una porque podrían confundirse
el multiplicando y el multiplicador:

29


L +3 K +1 J +5 +1 F +7 E +4

Alguien se podría preguntar a la vista del Soroban ¿cómo se sabe que se debe multiplicar
316 x 74 y no 3.160 x 74? La respuesta está en las varillas a cero a la derecha de 74. En el
segundo caso habríamos dejado cinco varillas a cero a la derecha del multiplicador y no
cuatro. Anotar el multiplicador de esta manera permite colocar el multiplicando dónde se
desee, y poder leer el resultado final sin ninguna duda.

Se comienza la multiplicación con las cifras del multiplicando de izquierda a derecha
actuando sobre la cifra de unidades del multiplicador (4):
3 x 4 = 12 que se suma inmediatamente a la derecha de la varilla en la que está anotado
el 4, es decir, en D y C:

D +1 C +2

A partir de ahora la varilla en la que hemos anotado la segunda cifra del producto será la
primera en la que anotaremos el siguiente. Seguimos multiplicando:

1 x 4 = 04 sumándose el 0 en C y el 4 en B. Lógicamente el 0 no se suma realmente, se
ha mostrado para que se vea el orden de anotación de la metodología usada. Obsérvese que
el producto anterior se sumó en D y C, y éste en C y B:

B +4

6 x 4 = 24 que se anota en B y A:

B +5 –3 A +4

Ya se han efectuado todos los productos sobre la unidad (4) del multiplicador, por ello se
borra el 4 del Soroban:

30


E -4

Ahora se repite el proceso con la cifra de las decenas del multiplicador (7):

3 x 7 = 21 que se suma inmediatamente a la derecha de la varilla en la que está anotado
el 7 (F), es decir, se suma el 2 en E y el 1 en D:

E +2 D +1

1 x 7 = 07 que se suma en D y C:

C +5 +2

6 x 7 = 42 que se suma en C y B:

D +1 C –5 –1 B +2

Para finalizar se borra del Soroban la cifra de las decenas del multiplicando, el 7, de la
varilla F:

F –5 -2

El resultado de la multiplicación se puede leer fácilmente: 23.384

De haber querido efectuar el producto de dos números con cifras decimales, por ejemplo
3,16 x 0,74 la metodología es exactamente la misma, multiplique 316 x 74 y el resultado
(23.384) se leerá como 2,3384 que tiene cuatro cifras decimales (dos de 3,16 y las otras dos
de 0,74). Si lo desea, para no tener que memorizar el número de cifras decimales, se puede
anotar en una varilla libre a la izquierda del Soroban, por ejemplo en la varilla Q. Así, en el

31


caso de multiplicar 3,16 x 0,74 = 2,3384 el Soroban mostraría tras las operaciones (las
mismas que en el ejemplo anterior) el aspecto que muestra la siguiente imagen. Obsérvese
que en Q está anotado 4, por lo que los valores anotados en las varillas D, C, B y A son cifras
decimales, y en E se encuentra la cifra de unidades del número, que se debe leer
simplemente como 2,3384.

Si el multiplicando o el multiplicador tienen alguna cifra 0 sólo se debe recordar que
cualquier número de una cifra por 0 es “00”, lo que nos permite seguir con el orden correcto
de anotación.

Ejercicios de multiplicaciones estándar

Realice las siguientes multiplicaciones primero en el orden mostrado y posteriormente en
el inverso. El resultado será el mismo en ambos casos porque el producto de números tiene la
propiedad conmutativa, pero de esta manera podrá hacer un número doble de ejercicios.

25 91 20 79 61 56 87 98 49
x 37 x 17 x 50 x 30 x 35 x 39 x 96 x 31 x 78
925 1.547 1.000 2.370 2.135 2.184 8.352 3.038 3.822

954 636 890 613 798 643 809
x 49 x 71 x 89 x 27 x 987 x 762 x 390
46.746 45.156 79.210 16.551 787.626 489.966 315.510

633 307 164 732 12,3 1,24 6,88
x 18 x 59 x 99 x 101 x 1,2 x 0,27 x 1,23
11.394 18.113 16.236 73.932 14,76 0,3348 8,4624

• Método multifactorial
El método anterior tiene la desventaja de que el producto está colocado algunas varillas a
la derecha del multiplicador, por lo que si se desea multiplicar el producto obtenido por otro
número, no habrá varillas libres a la derecha para hacerlo. El método multifactorial permite
hacer multiplicaciones sucesivas, de dos factores, y también de más de dos factores, porque
los productos de cada multiplicación se obtienen sobre el lugar donde está anotado el
multiplicador, manteniendo la colocación de unidades, decenas, centenas, etc., por lo que
es un método ideal para calcular factoriales, potencias, y cualquier multiplicación con varios
factores.

Para ver la metodología a seguir se efectuará el producto de los números 25 x 473 cuyo
resultado es 11.825. Se anota a la izquierda del Soroban el multiplicando al que se le resta
siempre una unidad y a la derecha el multiplicador. Obsérvese que en las varillas Q y P se ha
anotado 24 (25 –1) y en las varillas C, B y A el número 473:

32


Q +2 P +4 C +4 B +5 +2 A +3

Ahora se multiplican las cifras del multiplicando por cada una de las del multiplicador de
izquierda a derecha, sumando el resultado sobre el mismo multiplicador. En primer lugar se
multiplica la primera cifra de 24 por la primera de 473: 2 x 4 = 08. Como el multiplicando
(25) tiene dos cifras se anota sumando la cifra de las decenas de 08 (el “0”) dos varillas a la
izquierda del 4 que está anotado en C, es decir, en la varilla E, y a continuación el 8 sobre
D:

D +8

El “0” lógicamente no se suma, sólo se muestra en el ejemplo para comprender la
metodología en la colocación de los productos.
La segunda de las varillas donde se suma cada producto es la primera varilla para sumar el
producto siguiente. El siguiente producto se forma multiplicando la segunda cifra de 24 por
la primera de 473: 4 x 4 = 16, que se suma en las varillas D y C:

D +1 E +1 D –5 –4 C -4

Ahora se hacen los productos de las cifras del multiplicando por la segunda cifra por la
izquierda del multiplicador, que en este ejemplo es el 7 de la varilla B: 2 x 7 = 14, que se
suma en las varillas D y C:

D +1 C +4

4 X 7 = 28 que se suma en C y B:

C +5 –3 C +1 B -2

33


Por último se hacen los productos de las cifras del multiplicando por la tercera cifra por la
izquierda del multiplicador, que es el 3 de la varilla A: 2 x 3 = 06, que se suma en las varillas
C y B:

C +1 B –5 +1

4 x 3 = 12 que se suma en B y A:

B +1 A +5 -3

En el Soroban se puede leer a la izquierda el multiplicador, y a la derecha la solución del
producto de los factores 25 y 473, que es 11.825.

Realmente lo que se ha multiplicado es 24 (25 – 1) por 473, pero como el resultado se le
suma al multiplicador que ya estaba anotado en el Soroban, el resultado es el esperado si se
hubiese multiplicado directamente los factores 25 y 473:

24 x 473 + 473 = (24 + 1) x 473 = 25 x 473 = 11.825

Ejemplo: Calcule del área de un triángulo cuya base mide 12,7 cm. y la altura 8,5 cm.
Solución: El área de un triángulo es la mitad del producto de la longitud de la base por la
de la altura. En vez de dividir entre 2 se puede multiplicar por 0,5 obteniéndose el mismo
resultado, por lo que el área pedida será: 0,5 x 8,5 x 12,7. En el Soroban el cálculo se
realizará multiplicando 5 x 85 x 127 teniendo en cuenta que en el resultado final las tres
cifras de la derecha son decimales.

Anotamos 3 en la varilla Q para recordar que el resultado final tendrá 3 cifras decimales.
En una varilla a la izquierda del Soroban, por ejemplo en la L se anota el 5, pero tras restarle
una unidad realmente se anota 4. Finalmente se anota el multiplicador, 127, en las varillas
C, B y A.

Q +3 L +4 C +1 B +2 A +5 +2

Se comienza la multiplicación:

4 x 1 = 04 y se suma en las varillas D y C (C +5 –1).
4 x 2 = 08 y se suma en las varillas C y B (C +1, B -2).
4 x 7 = 28 y se suma en las varillas B y A (B +2, B +1, A –2).

34


Se borra el 4 de la varilla L y se anota el factor que queda por multiplicar, el 85, pero
anotamos 84, una unidad menos, en las varillas M y L. Seguimos multiplicando:

8 x 6 = 48 y se suma en las varillas E y D (E +4, D +5 +3).
4 x 6 = 24 y se suma en las varillas D y C (E+5–4, D–5–3, D+1, C–5–1).
8 x 3 = 24 y se suma en las varillas D y C (D +2, C +4).
4 x 3 = 12 y se suma en las varillas C y B (C +5 –4, B +5 -3).
8 x 5 = 40 y se suma en las varillas C y B (C +4).
4 x 5 = 20 y se suma en las varillas B y A (B +2).

Teniendo en cuenta, como se ve en la varilla Q, que las tres cifras de las varillas C, B y A
son decimales, el resultado (el área del triángulo) se puede leer como 53,975 cm 2.

Ejercicios de multiplicaciones multifactoriales

32 x 51 x 68 5 x 59 x 453 55 x 56 x 57 38 x 69 x 527
= 110.976 = 133.635 =175.560 = 1.381.794

0,35 x 1,55 x 3 1,96 x 32 x 0,055 75 x 63 x 1,8 23,8 x 1,1 x 59
= 1,6275 = 3,4496 = 8505 = 1544,62

- Se compra un lote de 25 piezas a 8,5 euros cada unidad. Si se debe abonar además un
16% de impuestos, ¿qué cantidad se debe pagar por el lote? (Solución: 25 x 8,5 x 1,16 = 246,5
euros).

- Una habitación de una casa mide 5,5 m de largo, 4,7 m de ancho y 2,4 m de altura.
Calcule el volumen de la habitación. (Solución: 5,5 x 4,7 x 2,4 = 62,04 m 3).

- Un círculo tiene de radio 24cm. Calcule el área de dicho círculo.(Solución: el área del
círculo es el producto del cuadrado del radio por π ≈ 3,142, luego: 24 x 24 x 3,142 =
1.809,792cm2).

- Calcule el cubo de 72. (Solución: 72 x 72 x 72 = 373.248).

• Método de multiplicaciones acumuladas
A veces es necesario sumar los resultados de varias multiplicaciones de números escritos
en un papel. El método a usar es el “método multifactorial”, ya visto anteriormente, pero
modificado de manera que los factores no se anotarán en el Soroban y por ello al
multiplicando no se le restará una unidad. Como ejemplo se determinará el importe a pagar
en un supermercado tras la compra de varios artículos con un descuento debido a una oferta
especial:

35


- 12 litros de leche a 0,85 euros/litro
- 2 cajas de galletas a 2,15 euros/caja
- 1 paquete de azúcar a 1,20 euros/paquete

Sobre el total el supermercado nos hace un descuento del 5%.
Los precios los pondremos en céntimos de euro y así no habrá problema con los decimales.
Por otro lado, aplicarle un descuento del 5% a una cantidad implica pagar sólo el 95% del
total. Las operaciones a realizar serán: 12 x 85 + 2 x 215 + 120 y al resultado de la suma se le
multiplicará por 0,95 obteniéndose el total a pagar.

Para multiplicar 12 x 85 siguiendo el método multifactorial modificado se harían los
productos:

1 x 8 = 08 que se suma en las varillas D y C (C +5 +3).
2 x 8 = 16 que se suma en las varillas C y B (C +1, B +5 +1).
1 x 5 = 05 que se suma en las varillas C y B (D +1,C –5 –1, B -5).
2 x 5 = 10 que se suma en las varillas B y A (B +1).

En el Soroban se puede leer el resultado parcial 1.020:

La siguiente multiplicación, 2 x 215, se efectúa de forma similar sumando los productos
sobre el resultado anterior:
2 x 2 = 04 que se suma en las varillas D y C (C +4).
2 x 1 = 02 que se suma en las varillas C y B (B +2).
2 x 5 = 10 que se suma en las varillas B y A (B +5 -4):

En el Soroban se puede leer el resultado parcial 1.450:

Se suma ahora 120 sobre el subtotal anterior y se obtiene el total a pagar: 1.570 (sin
aplicar aún el descuento).

C +5 –4 B +2

Para aplicar el descuento del 5% se multiplica el valor mostrado en el Soroban por 0,95
(realmente por 95 y en el resultado se consideran 2 cifras decimales) por el método
multifactorial obteniéndose el resultado final:

36


En el Soroban se puede leer:

- 2 en la varilla Q , que indica que el resultado final tiene dos cifras decimales,
- 94 (95 –1) en las varillas M y L,
- 149150 en las varillas de la F a la A.

El resultado se debe leer como 1.491,50 céntimos (con dos cifras decimales) o como
14,915 euros.

Ejercicios de multiplicaciones acumuladas

Los mejores ejercicios en este caso son las facturas de las compras habituales porque se
usa el Soroban en cálculos reales.

Otros ejercicios:

12 x 15 + 25 x 14 = 530 35 x 12 + 72 x 25 + 10 x 3 = 2.250

123 x 28 + 142 x 27 = 7.278 120 x 8 + 455 x 16 + 1.230 = 9.470

0,23 x 20 + 1,5 x 42 =67,6 635 x 15 + 48 x 18 + 9 x 12 = 10.497

Antes de pasar al tema siguiente, la división, se debe dominar la multiplicación y las
operaciones anteriores. Aplique sus conocimientos de cálculo en el Soroban para realizar
operaciones comunes de la vida real, como ya se ha hecho con el ejemplo de factura de
compra.

37


38


Tema 6:
La división
Si multiplicar era simplemente sumar repetidas veces, seguro que se comprende que
dividir es restar repetidas veces un número (el divisor) de otro (el dividendo) anotando
cuántas veces se hace (el cociente), pero se usará también la multiplicación para reducir el
número de restas a efectuar.

• Método estándar Japonés
En el Soroban se anotará el divisor en la parte izquierda y el dividendo en la central,
quedando el cociente entre los dos anteriores y el resto de la división, si lo hay, a su
derecha. El lugar de anotación del dividendo es importante. A medida que avanza el proceso
de la división, el dividendo va desapareciendo sustituido por el cociente. Observe las varillas
en las que está anotado el dividendo, de ellas empezando a contar desde la derecha hacia la
izquierda tantas como cifras tiene el divisor más una serán ocupadas por la parte decimal del
cociente, y a su izquierda la parte entera. Se puede ver como ejemplo la colocación de 5.196
como dividendo y de 24 como divisor:

Obsérvese 24 anotado en las varillas Q y P y 5.196 en las varillas J, I, H y G. Como el
divisor, 24, tiene dos cifras, tres (2+1) de las varillas del dividendo, de derecha a izquierda,
serán ocupadas por la parte decimal del cociente: I, H y G, mientras que la parte del
cociente anotada en la varilla J y en las de su izquierda serán su parte entera. Es común
anotar el dividendo en el Soroban de modo que sea siempre la misma varilla la que indica el
inicio de la parte decimal del cociente (en este ejemplo la varilla I), y así se evita usar la
memoria para recordar en cada división la varilla de inicio de la parte decimal del cociente.

Una vez correctamente anotados en el Soroban el divisor y el dividendo ya se puede iniciar
el proceso de la división que será repetir los siguientes pasos hasta que desaparezca
totalmente el dividendo en las divisiones exactas o hasta lograr el número de cifras
decimales que se deseen en el cociente:
1. Seleccionar un grupo desde la izquierda del dividendo con tantas cifras como tiene el
divisor de manera que el grupo sea mayor que el divisor. Si ello no es posible se
seleccionará un grupo con una cifra más que el divisor que desde luego ya es mayor que
él.
2. Se anota el número de veces que se puede restar el divisor del grupo seleccionado, que
será una de las cifras del cociente, a la izquierda del dividendo dejando una varilla libre
si el grupo tiene tantas cifras como el cociente o inmediatamente a la izquierda si el
grupo tiene una cifra más que el divisor.
3. Se multiplica la cifra del cociente anotada según el paso anterior por el divisor y el
producto se le resta al grupo seleccionado del dividendo.

Si tras restar el producto obtenido según el paso 3, el grupo seleccionado del dividendo
sigue siendo mayor que el divisor es que la cifra del cociente elegida es demasiado pequeña.
La fácil solución es simplemente restar al grupo seleccionado 1 (o más) vez el divisor y
sumar 1 (o más) a la cifra del cociente. Recuérdese que la división es una serie de restas
repetidas y el uso de la multiplicación es un modo de abreviar el proceso.

39


Siguiendo con la división (5.196 / 24) se selecciona desde la izquierda un grupo de dos
cifras del dividendo “51”, que es mayor que el divisor. Del grupo seleccionado se le pueden
restar 2 veces el divisor (24). El 2 se anota en la varilla L. Multiplique 2 por 24 y reste el
resultado, 48, de 51 quedando 03 que ya es menor que el divisor. También se puede hacer la
multiplicación y la resta paso a paso (se supone que ya se conocen perfectamente las
operaciones tratadas en los temas anteriores):

2 x 2 = 04 que se resta de K y J
2 x 4 = 08 que se resta de J y I

J -5 +1 J -1 I +2

El resultado se puede ver en el gráfico anterior.

Seguidamente se selecciona un nuevo grupo del dividendo, el “39” que también es mayor
que el divisor. De 39 se puede restar una vez 24, por lo que se anota 1 en la varilla K y se
resta 24 x 1 = 24 de 39 quedando el grupo reducido a 15. Paso a paso se podría hacer:

1 x 2 = 02 que se resta de J y I
1 x 4 = 04 que se resta de I y H

I -2 H -4

Obsérvese cómo el cociente avanza de izquierda a derecha a medida que el dividendo va
desapareciendo.

El nuevo grupo a seleccionar de dos cifras “15” es menor que el divisor, por lo que se debe
seleccionar un grupo con una cifra más, “156”, del que se puede restar el divisor 6 veces, por
lo que anotaremos 6 en J, inmediatamente a la izquierda del dividendo según indica el punto
2 del método. Se multiplica 6 por 24 (6 x 24 = 144) y se resta el producto, 144, del grupo
seleccionado, 156, quedando el grupo reducido a 12.

Paso a paso se podría hacer también:

6 x 2 = 12 que se resta de I y H
6 x 4 = 24 que se resta de H y G

I -1 H -5 +3 H -2 G -5 +1

40


Como en el caso anterior el nuevo grupo a seleccionar de dos cifras “12” es menor que el
divisor, por lo que de nuevo se debe seleccionar un grupo con una cifra más, 3, que el
divisor, en este caso “120”. A este grupo se le pueden restar exactamente 5 veces 24 (5 x 24
= 120) por lo que se da por terminada la división al haberse eliminado totalmente el
dividendo. Se anota 5 en I y se hace la resta. Paso a paso se efectuaría:

5 x 4 = 20 que se resta de G y F

H -1 G -2

El resultado de la división se lee como 216,5 ya que la varilla I es la primera (y en este
caso la única) de la parte decimal del cociente. Como el dividendo desapareció por completo
el resto es cero. Resumiendo: 5.196 / 24 = 216,5 con resto cero.

Otro ejemplo: 362 / 451 = 0,8026607...

Se anota 451 en Q, P y O y 362 en H, G y F, dejando la varilla I como primera cifra de la
parte decimal del cociente.

Como el divisor tiene tres cifras seleccionamos el primer grupo de tres cifras del
dividendo, “362”, pero al ser menor que el divisor se debe seleccionar un grupo de 4 cifras,
“3620”. De este grupo se puede restar 451, el divisor, 8 veces. Se anota 8 en I,
inmediatamente a la izquierda del dividendo, y se procede a hacer las multiplicaciones y las
restas:

8 x 5 = 40 que se resta de G y F
8 x 1 = 08 que se resta de F y E

Ahora se selecciona como grupo “1200”, ya que el grupo “120” es menor que el divisor. De
1200 se puede restar 2 veces el divisor, 451, por lo que se anota 2 en G y se hace como en el
paso anterior las multiplicaciones y las restas:

2 x 4 = 08 que se resta de F y E
2 x 5 = 10 que se resta de E y D
2 x 1 = 02 que se resta de D y C

41


Del siguiente grupo “2980” se puede restar 6 veces el divisor, 451, luego se anota 6 en F y
se hacen las restas:

6 x 4 = 24 que se resta de E y D
6 x 1 = 06 que se resta de C y B

Por último se selecciona el grupo “2740” del que se puede restar 6 veces el divisor. Se
anota 6 en E y como en el paso anterior se hacen las restas:

6 x 5 = 30 que se resta de C y B
6 x 1 = 06 que se resta de B y A

El resultado de la división se lee en las varillas de la I a la E, recordando que I es la varilla
donde está anotada la primera cifra decimal del cociente: 362 / 451 = 0,80266. Incluso se
podría asegurar que la siguiente cifra del cociente sería un 0, quedando el cociente como
0,802660. ¿Puede ver la causa de ello sin hacer ninguna operación?

A veces algunas divisiones se pueden simplificar antes de efectuarse utilizando potencias
de 10, por ejemplo: 5,196 / 2,4 = 5.196 / 2400 pero esta división es simplemente hacer 5.196
/ 24 = 216,5 y correr la coma decimal dos lugares a la izquierda: 2,165. Otras veces se
pueden hacer divisiones por medio de multiplicaciones, por ejemplo, dividir un número por 2
es lo mismo que multiplicarlo por 0,5, lo que es multiplicar por 5 y dividir el resultado por 10
(correr la coma decimal un lugar a la izquierda); dividir un número por 5 es multiplicarlo por
2 y luego dividirlo por 10, etc. El uso continuo del Soroban hará que el usuario descubra por
sí mismo métodos abreviados para las divisiones más comunes, apoyándose
fundamentalmente en la multiplicación.

42


Ejercicios de divisiones

Exactas No exactas Simplificables
2.139 / 23 = 93 782 / 147 = 5,3197 800 / 24 = 33,3333
1.798 / 31 = 58 12.100 / 79 = 153,16 0,04 / 0,007 = 5,7142
2.664 / 72 = 37 9.372 / 107 = 87,588 97,5 / 4,2 = 23,214
1.176 / 8 = 147 13.000 / 71 = 183,09 23,6 / 11,4 = 2,0701
15.688 / 148 = 106 498 / 599 = 0,83138 6,973 / 0,8 = 8,7162
22.356 / 207 = 108 17 / 2.143 = 0,0079328 1.297 / 5 = 259,4
16.920 / 94 = 180 355 / 113* = 3,14159 248 / 24 = 10,3333

*El cociente 355 / 113 es una excelente aproximación del número π.

- Un grupo de 34 personas se reparten un premio de 50.099 €. ¿Cuánto debe recibir cada
uno de ellos? (Solución: 50.099 / 34 = 1.473,5).

- El marco de un Soroban es un rectángulo de lados 28 y 8 cm. Calcule sus dimensiones en
pulgadas sabiendo que una pulgada equivale a 2,54 cm. (Solución: 28 / 2,54 = 11,02’’ y 8 /
2,54 = 3,149’’).

- Si por tres kilogramos de pescado debemos pagar 15,6 € en la pescadería, ¿cuánto se
debería pagar por 8 kilogramos del mismo tipo de pescado? (Solución: 15,6 x 8 /3 = 124,8 / 3
= 41,6 €)

- Cinco cajas iguales pequeñas y una grande pesan en total 3.150 g. Calcule el peso de
cada caja si la grande tiene peso doble que una pequeña. (Solución: 3.150 / 7 = 450 g pesa
cada una de las cajas pequeña; 2 x 450 = 900 g pesa la caja grande).

43


44


Tema 7:
Las potencias
El método que se utilizará para el cálculo de potencias de números es simplemente el
método multifactorial de multiplicación ya visto en el tema 5. Ello es consecuencia directa
de que cualquier potencia entera de un número no es más que ese número multiplicado por
si mismo varias veces.

Usar el método multifactorial para el cálculo de potencias tiene varias ventajas
importantes:

1. Ya es conocido por haber sido estudiado con anterioridad en el tema 5.
2. No es necesario memorizar fórmulas, como las del binomio de Newton, ni hacer cálculos
mentales como sí se deben hacer siguiendo otros métodos.
3. El único límite del método es el número de varillas disponibles en el Soroban.

Por ejemplo, si se desea calcular el cuadrado del número 35 sólo es necesario multiplicar
35 x 35 = 1.225. Primero se anotan los factores en el Soroban siguiendo el método
multifactorial:

Q +3 P +4 B +3 A +5

Y ahora se efectúa la multiplicación:
3 x 3 = 09 que se suma en DC
4 x 3 = 12 que se suma en CB
3 x 5 = 15 que se suma en CB
4 x 5 = 20 que se suma en BA

Tras efectuar la multiplicación se lee en el Soroban el resultado, 1.225.

Si se desea calcular 35 3 se calcula primero 35 x 35 = 1.225 y posteriormente se multiplica
35 x 1.225 = 42.875. La ventaja es que los factores ya están anotados en el Soroban. El
resultado, 42.875, es el cubo de 35:

353 = 42.875

45


Multiplicando ahora 35 x 42.875 se obtendría 1.500.625, la cuarta potencia del número 35.

354 = 1.500.625

Y así se podría seguir hasta agotar las varillas disponibles en el Soroban.

Ejercicios de potencias

1282 = 128 x 128 = 16.384
4.5732 = 4.573 x 4.573 = 20.912.329
573 = 57 x 57 x 57 = 3.249 x 57 = 185.193
253 = 25 x 25 x 25 = 625 x 25 = 15.625
1203 = 120 x 120 x 120 = 14.400 x 120 = 1.728.000

También se puede hacer como:

1203 = 123 x 103 = 12 x 12 x 12 x 103 = 144 x 12 x 103 = 1.728 x 103 = 1.728.000

Otro ejercicio:

624 = 62 x 62 x 62 x 62 = 3.844 x 62 x 62 = 238.328 x 62 = 14.776.336

También se podría hacer:

624 = 622 x 622 = (62 x 62) x (62 x 62) = 3.844 x 3.844 = 14.776.336

Un último ejercicio:

78 = 74 x 74 = (72 x 72) x (72 x 72) = (49 x 49) x (49 x 49) = 2.401 x 2.401 = 5.764.801

Problemas sencillos:

- Calcule el volumen de un cubo de lado 1.6 m. (Solución: 1,6 3 = 1,6 x 1,6 x 1,6 = 16 x 16 x
16 x 10-3 = 256 x 16 x 10-3 = 4.096 x 10-3 = 4,096 m3 ).

- Calcule el volumen de un hangar de 4,5 m de ancho, 4,5 m de alto y 45m de largo.
(Solución: 4,5 x 4,5 x 45 = 45 x 45 x 45 x 10-2 = 2.025 x 45 x 10-2 = 91.125 x 10-2 = 911,25 m3 ).

46


Tema 8:
Raíces cuadradas
Existen varios métodos para calcular la raíz cuadrada de un número, de los que se
muestran dos. El “método Chino” no exige cálculo mental pero es lento; el “método
algebraico” si exige cálculo mental pero es muy rápido.

• Método estándar Chino
Se debe seguir la siguiente metodología:

1. El radicando se anota en la parte derecha del Soroban, dejando entre el radicando y el
borde derecho del Soroban el doble de varillas libres que cifras decimales deseamos
obtener en el número raíz. Separe mentalmente el radicando en grupos de 2 cifras
comenzando por el punto decimal de derecha a izquierda.
2. Se anota la cifra 1 en una varilla de la parte izquierda del Soroban. Al número anotado se
le llama “número raíz” y se resta del grupo situado más a la izquierda del radicando o
grupo activo.
3. Se suma 2 al número raíz y se resta el nuevo número raíz obtenido al grupo activo del
radicando. Este proceso, sumar 2 al número raíz y restar el nuevo número raíz obtenido al
grupo activo se repite las veces necesarias hasta que el grupo activo sea menor que el
número raíz. Obsérvese que en cada paso el número raíz aumenta y el grupo activo
disminuye.
4. Seguidamente el grupo activo presente y el siguiente grupo de dos cifras del radicando
forman el nuevo grupo activo. Al número raíz se le multiplica por 10 y se le suma 11, y se
resta el valor obtenido del nuevo grupo activo. Se repite el proceso del punto 3 hasta que
de nuevo el grupo activo sea menor que el número raíz. En ese caso se aplica de nuevo el
punto 4 hasta que el radicando desaparezca o se tengan las cifras decimales deseadas.
5. A veces tras añadir el siguiente grupo de dos cifras a un grupo activo para formar el
nuevo grupo activo, éste sigue siendo menor que el número raíz. Entonces al número raíz
se le multiplica por 100 (no por 10) y se le suma 101 (no 11) y al grupo activo se le
añaden dos cifras más. Tras ello se sigue con la método según los puntos 3 y 4.
6. Finalizadas las restas se le suma 1 al número raíz final y al resultado se le multiplica por 4
sumando el producto sobre el número raíz, es decir, multiplicar por 5 según el método
multifactorial. El resultado es la raíz cuadrada del radicando con tantas cifras decimales
como se indicó en el punto 1.

Ejemplo 1: 784 = 28

Como no sabemos si la raíz cuadrada de 784 es exacta o no, anotamos 784 en el Soroban
en las varillas G, F y E, dejando libres las cuatro varillas D, C, B y A para calcular dos cifras
decimales si fuera necesario.
Separamos mentalmente el número anotado en grupos de dos cifras comenzando desde la
coma decimal, según el punto 1: 7-84-00-00. Hay 2 grupos a la izquierda de la coma decimal,
por lo que el resultado de la raíz cuadrada será un número de dos cifras (unidades y decenas)
y con dos cifras decimales (por los dos grupos 00) si las hubiera.

G +5 +2 F +5 +3 E +4

47


Como indica el punto 2 se anota la cifra 1 en una varilla a la izquierda del Soroban, por
ejemplo en L y se resta del grupo activo “7”:

L +1 G -1

Aplicando el punto 3 se suma 2 al número raíz (1 + 2 = 3) y el resultado obtenido se resta
del grupo activo:

L+2 G –5 +2

Si se sumase 2 al número raíz, éste ya sería mayor que el grupo activo, por lo que
aplicando el punto 4 se multiplica el número raíz por 10 y se le suma 11, y el resultado, 41,
se resta del nuevo grupo activo “384” quedando el nuevo grupo activo como “343”

L +1 K +1 F –5 +1 E –1

De nuevo se suma 2 al número raíz y se resta la suma del grupo activo. Esto se hace varias
veces hasta que se llega a la posición siguiente:

En esta posición tras sumar 2 al número raíz y restar el resultado del grupo activo el
radicando desaparece por completo, por lo que la raíz cuadrada de 784 es un número entero,
sin decimales:

K +5 –3 F –5 E –5

Según indica el punto 6 se le suma 1 al número raíz (55 + 1 = 56) y se multiplica el
resultado por 4 sumando el producto sobre el número raíz:

48


K +1
4 x 5 = 20 que se suma a M y L
4 x 6 = 24 que se suma a L y K

El resultado se lee en las varillas M y L: 784 = 28

Ejemplo 2: 37 = 6,08

Como en el ejemplo anterior dejamos libres las varillas D, C, B y A para hacer el cálculo
con dos cifras decimales. Según el procedimiento se anota 37 en F y E y 1 en la varilla L.
Seguimos las instrucciones del punto 3 hasta que el grupo activo sea menor que el número
raíz.

Ahora el grupo activo debería ser “100”, al número raíz se le debería multiplicar por 10 y
sumarle 11 obteniéndose 121, pero este nuevo número raíz sería mayor que el grupo activo,
por lo que aplicando el punto 5 el grupo activo es “10000” y el nuevo número raíz será 11 x
100 + 101 = 1.201, menor que el grupo activo. Se resta 1.201 de 10.000 y se sigue el
procedimiento del punto 3 hasta que el grupo activo sea menor que el número raíz:

Como indica el punto 6 se suma 1 al número raíz y se le multiplica por 4 sumando el
producto sobre el número raíz:

El número 37 sólo tenía un grupo de dos cifras, por lo que el resultado de la raíz tendrá
una cifra entera “6” y dos cifras decimales “08”, luego 37 = 6,08 .

49


• Método algebraico
Este método es una adaptación al Soroban del método manual usado en las escuelas. La
metodología es la siguiente:

1. El radicando se anota en la parte derecha del Soroban, dejando a la derecha de la coma
decimal del radicando un número de varillas que será el doble del número de decimales
que tendrá el resultado. Se separa mentalmente el radicando en grupos de dos cifras
comenzando por el punto decimal de derecha a izquierda.
2. Se anota de la parte izquierda del Soroban el número de una cifra más grande cuyo
cuadrado sea menor o igual que el grupo de dos cifras del radicando que está más a su
izquierda, o "grupo activo". Al número anotado se le llama "número doble". Se resta del
"grupo activo" del radicando el cuadrado del "número doble". Seguidamente duplique el
"número doble".
3. El residuo del "grupo activo" anterior del radicando seguido del siguiente grupo de dos
cifras forman el nuevo grupo activo. En la varilla inmediatamente a la derecha del
"número doble" se anota un número de manera que el nuevo "número doble" así formado
multiplicado por el número de una cifra recién anotado (la última cifra del nuevo
"número doble") sea el mayor posible que se pueda restar del "grupo activo" del
radicando. Hágase la multiplicación y la resta.
4. Duplique la última cifra del "número doble".
5. Síganse aplicando los puntos 3 y 4 hasta haber usado todos los grupos necesarios de dos
cifras del radicando.
6. Finalmente la raíz cuadrada del radicando se obtiene calculando la mitad del "número
doble". Se puede hacer mentalmente con facilidad o también se puede multiplicar por 0.5
según el método multifactorial, tal como se hace en el punto 6 del “método Chino”. La
parte entera del resultado está formada por tantas cifras como grupos de dos cifras tenía
el radicando a la izquierda de su coma decimal, el resto de cifras forman la parte decimal
del resultado.

Ejemplo 1: 784 = 28

Se anota 784 en el Soroban en las varillas G, F y E, dejando libres las cuatro varillas D, C,
B y A para calcular dos cifras decimales si fuera necesario. Separamos mentalmente el
número anotado en grupos de dos cifras comenzando desde la coma decimal, según el punto
1: 7-84-00-00. Hay 2 grupos a la izquierda de la coma decimal, por lo que el resultado de la
raíz cuadrada será un número con dos cifras en su parte entera (unidades y decenas) y las
demás cifras, si las hubiera, serán decimales.

G +5 +2 F +5 +3 E +4

El grupo activo del radicando es 7. El número 2 es el mayor cuyo cuadrado (4) es menor o
igual que el “grupo activo”. Según indica el punto 2 se anota 2 en la varilla L formando el
primer “número doble” y se resta su cuadrado (4) del “grupo activo”: 7; inmediatamente se
duplica el 2 anotado en L:

50


L +2 G -5 +1 L +2

Según el punto 3 el nuevo “grupo activo” es 384. Ahora se trata de buscar un número, que
anotaremos en K, el cual formará con el 4 anotado en L el nuevo “número doble”, de tal
manera que al multiplicarlo por lo anotado en K se obtenga el máximo producto que se pueda
restar del “grupo activo” 384. Si se anotase 9 en K el nuevo “número doble” sería 49, que
multiplicado por 9 da como resultado 441 que no se puede restar del “grupo activo”.
Anotamos 8 en K, así el nuevo “número doble” formado es 48 que multiplicado por 8 da como
producto 384 que sí se puede restar del “grupo activo”. De hecho el “grupo activo”
desaparece totalmente, por lo que la raíz cuadrada es exacta. La multiplicación 48 x 8 se
puede hacer también paso a paso:

K +5 +3
8 x 4 = 32 que se resta de G y F (G -3 F -2)
8 x 8 = 64 que se resta de F y E (F -5 -1 E -4)

Ahora se aplica el punto 4 y se obtiene el número doble final:

L +5 -4 K -2

Finalmente se calcula la mitad del número doble, según indica el punto 6. En este caso es
muy sencillo hacerlo mentalmente: 56 / 2 = 28. Ese es el resultado de la raíz cuadrada de
784: 784 = 28

Ejemplo 2: 352 = 18,761

La raíz cuadrada de 352 será un número con dos cifras en su parte entera. Se anota 352 en
las varillas G, F y E:

G +3 F +5 E +2

51


El grupo activo es “3”, por lo que el “número doble” es 1, que se anota en L. Se resta el
cuadrado del “número doble” del “grupo activo” y seguidamente se duplica el “número
doble”:

L +1 G -1 L +1

Se forma el nuevo “número doble” anotando 8 en K. El “número doble” así formado “28”
se multiplica por 8 y se resta el resultado 224 del “grupo activo”. Si esta multiplicación, en
vez de hacerse mentalmente, se hace paso a paso puede ocurrir que alguna vez el número
anotado sea excesivamente grande o pequeño. En cualquier caso no es difícil deshacer las
operaciones hechas y escoger el número adecuado.

K +5 +3
8 x 2 = 16 que se resta de G y F ( G -2 F +4)
8 x 8 = 64 que se resta de F y E (F -5 -2 E +5 +1)

Se duplica la última cifra del “número doble”:

L +1 K -2

El nuevo “grupo activo” es, según el punto 3, el grupo 2800. Anotamos 7 en J formándose
así el nuevo “número doble” 367. Este número se multiplica por 7 y se resta el resultado,
2569, del “grupo activo”. Seguidamente se duplica la última cifra del “número doble”.

J +5 +2
7 x 3 = 21 que se resta de F y E ( F -2 E -1 )
7 x 6 = 42 que se resta de E y D ( E -5 D +5 +3 )
7 x 7 = 49 que se resta de D y C ( D -5 C +1 )
K +1 J -5 +2

52


El nuevo “grupo activo” es 23100. Anotamos 6 en la varilla I, formándose el número 3746
que es el nuevo “número doble”. Multiplicamos 3746 por 6 y se resta el producto del “grupo
activo”. Seguidamente se duplica la última cifra del “número doble”:

I +5 +1
6 x 3 = que se resta de E y D ( E -2 D +5 -3 )
6 x 7 = 42 que se resta de D y C ( D -5 C +5 +3 )
6 x 4 = 24 que se resta de C y B ( C -3 B +5 +1 )
6 x 6 = 36 que se resta de B y A ( B -5 +1 A +4 )
J +5 -4 I -5 +1

Finalmente se calcula mentalmente la mitad del “número doble” 3752 y se obtiene
“1876”. La raíz cuadrada de 352 será entonces 18,76. Además, sin necesidad de hacer más
cálculos, se puede ver fácilmente en el Soroban que la siguiente cifra decimal es un 1, por lo
que aún podemos dar un resultado más exacto : 352 = 18,761

Con un poco de práctica, siempre se puede calcular mentalmente la última cifra del
número doble, y así se consigue dar una cifra decimal más en el resultado sin más cálculos.

Ejercicios de raíces cuadradas

Haga las siguientes raíces cuadradas según los métodos descritos anteriormente:

324 = 18 441 = 21 17 = 4,123 180 = 13,41
1.296 = 36 11.236 = 106 35 = 5,916 5.308 = 72,85
2
- Una finca de forma cuadrada tiene de área 268,96 m . Calcule la longitud de sus lados.
(Solución: 268,96 = 16,4 m )

- Una caja con forma de ortoedro tiene de altura 10 cm. y de volumen 202,5 cm 3.
Calcule las medidas de los lados de la base si son iguales.
202,5
(Solución: = 20,25 = 4,5 cm)
10

53


54


Tema 9:
Otras operaciones
Este tema simplemente tiene la intención de mostrar algunas de las posibilidades del
Soroban para cualquier tipo de cálculos, por complejos que sean.

• Logaritmos
Si se cuenta con unas tablas de logaritmos el Soroban permite hacer prácticamente
cualquier cálculo. Para ello es preciso conocer qué es un logaritmo, sus propiedades, así
como las propiedades de las funciones exponenciales:

Funciones exponenciales Funciones logarítmicas

a b × a c = a b +c Log(a × b ) = Loga + Logb
ab a
= a b-c Log  = Loga − Logb
a c b
c
a b = a b×c Log(a b ) = b × Loga
c c
Log b a c = × Loga
b
a =ac b
b

Ejemplo 1: 2516 = 2,32 x 1022

Se aplica la función logaritmo al número y tras simplificar mentalmente la expresión
calculando los logaritmos de 2,5 y de 10 con la tabla, se hace la multiplicación final con el
Soroban:

Log (2516 ) = 16 × Log 25 = 16 × Log (2,5 × 10 ) = 16 × (Log 2,5 + log 10 ) =
= 16 × (0,3979 + 1) = 16 × 1,3979 = 22,3664
Luego : 2516 = 10 22,3664 = 10 22 × 10 0,3664 = 10 22 × 2,32 = 2,32 × 10 22

Ejemplo 2: 51,4 = 9,52

Como en el caso anterior:

Log (51,4 ) = 1,4 × Log 5 = 1,4 × 0,6990 = 0,9786
Luego : 51,4 = 10 0,9786 = 9,52

Ejemplo 3: 5
17 = 1,76

1 1 1
Log 5 17 = × Log17 = × (Log 1,7 + Log 10 ) = × (0,2304 + 1) =
5 5 5
1
= × 1,2304 = 0,2460 Luego : 5
17 = 10 0,2460 = 1,76
5

55


Ejemplo 4: Log3(8,31) = 1,927

Log (8,31) 0,9196 9196
Log3 (8,31) = = = = 1,927
Log 3 0,4771 4771

• Trigonometría
Como en el caso de los logaritmos, si se dispone de tablas adecuadas el Soroban permite la
resolución de cualquier problema en el que se utilicen las razones trigonométricas.

Ejemplo 1: Dos de los lados de un triángulo miden 15,5 cm. y 24,3 cm., y el ángulo entre
ellos es 36º 23’. Calcule el área del triángulo.

(Solución: El área de cualquier triángulo se puede
calcular multiplicando 0,5 por las longitudes de dos lados
y por el seno del ángulo entre ellos. En este caso el área
se calcularía: 0,5 x 15,5 x 24,3 x sen (36º 23’).
Primeramente se calcula con ayuda de las tablas la razón
trigonométrica: sen (36º 23’) = 0,5925 + 0,0007 = 0,5932 y
ahora se procede a las multiplicaciones en el Soroban,
multiplicando 5 x 155 x 243 x 5.932 con siete cifras
decimales. Finalmente el valor del área del triángulo que
se puede leer en el Soroban es 111,7143900 cm 2, valor que
se puede redondear, incluso mientras se realizan las
multiplicaciones en el Soroban, a 111,7 cm2.)

Ejemplo 2:

Calcule sec (78º 51’).

(Solución :
1 1 10.000
sec (78º51' ) = = = = 5,17
cos (78º51' ) 0,1934 1.934
Usando la tabla : cos (78º51' ) = 0,1937 − 0,0003 = 0,1934)

Ejemplo 3:

Desde el punto más alto de un poste vertical de 3,1 m de altura se tiende un cable de
sujeción que forma 48º 30’ con la horizontal. Calcule la longitud del cable.

(Solución :
3,1 3,1 31.000 3.100
= = = = 4,138 m
sen (48º 30' ) 0,7490 7.490 749
Usando la tabla : sen (48º 30' ) = 0,7490)

• Máximo común divisor MCD y mínimo común múltiplo MCM.
El método a utilizar será el algoritmo de Euclides, por el que simplemente utilizando la
resta se obtendrá el MCD de dos números anotados en el Soroban. Para dos números
cualesquiera a y b se cumple siempre que: MCM (a, b) x MCD (a, b) = a x b, por lo que el
cálculo posterior del MCM es sencillamente una división exacta y un producto.

56


Anote uno de los números en la parte derecha del Soroban y el otro en la parte izquierda.
Reste el menor de ellos del mayor tantas veces como sea posible (puede apoyarse en la
multiplicación para reducir el número de restas). Ahora tiene anotados en el Soroban uno de
los números iniciales y otro, que ahora es el menor. Repita el proceso de restar el menor del
mayor las veces que sea posible hasta obtener otra nueva pareja de números. Prosiga con
esta metodología hasta que uno de los dos números se convierta en 0. El número que queda
es el MCD de los números anotados inicialmente. Si es 1 se dice que los números anotados
inicialmente son primos entre sí, ya que no tienen más divisores comunes que el 1. Si ahora
desea calcular el MCM deberá dividir uno de los números, por ejemplo a entre el recién
calculado MCD. La división es exacta. El cociente de la división se multiplicará por b. El
resultado es el MCM de a y b.

Ejemplo 1:

Cálculo del MCD y MCM de 150 y 125:

Anotamos los números en el Soroban: 125---150. Tras restar 125 de 150 una vez el
resultado es: 125---25. Ahora se resta 25 de 125 las veces que sea posible (5): 0---25. Uno de
los números ya se ha convertido en 0, el otro, 25, es el MCD de 150 y 125. Ahora divida uno
de los números iniciales entre el MCD y el resultado multiplíquelo por el otro de los números
iniciales:

125
× 150 = 5 × 150 = 750 = MCM
25

Luego: MCD (125, 150) = 25 y MCM (125, 150) = 750

Si desea calcular el MCD de más de dos números, primero calcule el MCD de dos de ellos,
luego calcule el MCD del siguiente número y del MCD calculado en el paso anterior, y así
sucesivamente. Para hallar el MCM deberá dividir uno de los números iniciales entre el MCD
total y el cociente lo multiplicará por los restantes números iniciales.

Ejemplo 2:

En una carretera hay señales kilométricas cada 1.000m y teléfonos de emergencia cada
4.250m. ¿Cada cuántos kilómetros coincide una señal kilométrica y un teléfono de
emergencia?

Solución: Simplemente hay que calcular el MCM de 1.000 y 4.250. Anotamos en el soroban
los números anteriores: 4250---1000. Siguiendo con el método descrito anteriormente
tendremos: 250---1000, 250---0. Luego el MCD es 250. Ahora se calcula el MCM:

1000
× 4250 = 4 × 4250 = 17000 = MCM
250

Cada 17.000m (17 kilómetros) coinciden una señal kilométrica y un teléfono de
emergencia.

57


Tabla de logaritmos decimales I

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 4 9 12 17 21 25 29 33 37
11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 4 8 11 15 19 23 26 30 34
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 4 7 10 14 17 21 24 28 31
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 3 7 10 13 16 19 23 26 29
14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 3 6 9 12 15 18 21 24 27
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014 3 6 9 12 14 17 20 22 25
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279 3 5 8 11 13 16 18 21 24
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 3 5 8 10 12 15 17 20 22
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765 2 5 7 10 12 14 16 19 21
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989 2 5 7 9 11 14 16 18 20
20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201 2 4 7 9 11 13 15 17 19
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404 2 4 6 8 10 12 14 16 18
22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598 2 4 6 8 10 12 14 15 17
23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784 2 4 6 8 9 11 13 15 17
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962 2 4 5 7 9 11 13 14 15
25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133 2 3 5 7 9 10 12 14 16
26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298 2 3 5 7 8 10 12 13 15
27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456 2 3 5 6 8 10 11 13 14
28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609 2 3 5 6 8 9 11 12 14
29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757 1 3 4 6 7 9 10 12 13
30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 1 3 4 6 7 9 10 12 13
31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038 1 3 4 6 7 8 10 11 13
32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 1 3 4 5 7 8 9 11 12
33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 1 3 4 5 7 8 9 10 12
34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428 1 3 4 5 6 8 9 10 11
35 5441 5453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551 1 2 4 5 6 7 9 10 11
36 5563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670 1 2 4 5 6 7 8 10 11
37 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786 1 2 4 5 6 7 8 9 11
38 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899 1 2 3 5 6 7 8 9 10
39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010 1 2 3 4 6 7 8 9 10
40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117 1 2 3 4 5 6 8 9 10
41 6128 6138 6149 6160 6170 6180 6191 6201 6212 6222 1 2 3 4 5 6 7 8 10
42 6232 6243 6253 6263 6274 6284 6294 6304 6314 6325 1 2 3 4 5 6 7 8 9
43 6335 6345 6355 6365 6375 6385 6395 6405 6415 6425 1 2 3 4 5 6 7 8 9
44 6435 6444 6454 6464 6474 6484 6493 6503 6513 6522 1 2 3 4 5 6 7 8 9
45 6532 6542 6551 6561 6571 6580 6590 6599 6609 6618 1 2 3 4 5 6 7 8 9
46 6628 6637 6646 6656 6665 6675 6684 6693 6702 6712 1 2 3 4 5 6 7 8 8
47 6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803 1 2 3 4 5 6 6 7 8
48 6812 6821 6830 6839 6848 6857 6866 6875 6884 6893 1 2 3 4 5 5 6 7 8
49 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6981 1 2 3 4 4 5 6 7 8
50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067 1 2 3 3 4 5 6 7 8
51 7076 7084 7093 7101 7110 7118 7126 7135 7143 7152 1 2 3 3 4 5 6 7 8
52 7160 7168 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 7235 1 2 3 3 4 5 6 7 7
53 7243 7251 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 7316 1 2 2 3 4 5 6 7 7
54 7324 7332 7340 7348 7356 7364 7372 7380 7388 7396 1 2 2 3 4 5 6 6 7

58


Tabla de logaritmos decimales II

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
55 7404 7412 7419 7427 7435 7443 7451 7459 7466 7474 1 2 2 3 4 5 6 6 7
56 7482 7490 7497 7505 7513 7520 7528 7536 7543 7551 1 2 2 3 4 5 5 6 7
57 7559 7566 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627 1 2 2 3 4 5 5 6 7
58 7634 7642 7649 7657 7664 7672 7679 7686 7694 7701 1 1 2 3 4 4 5 6 7
59 7709 7716 7723 7731 7738 7745 7752 7760 7767 7774 1 1 2 3 4 4 5 6 7
60 7782 7789 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846 1 1 2 3 4 4 5 6 7
61 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7917 1 1 2 3 4 4 5 6 6
62 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 7980 7987 1 1 2 3 3 4 5 6 6
63 7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 8055 1 1 2 3 3 4 5 6 6
64 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116 8122 1 1 2 3 3 4 5 5 6
65 8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 8176 8182 8189 1 1 2 3 3 4 5 5 6
66 8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 8241 8248 8254 1 1 2 3 3 4 5 5 6
67 8261 8267 8274 8280 8287 8293 8299 8306 8312 8319 1 1 2 3 3 4 5 5 6
68 8325 8331 8338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382 1 1 2 3 3 4 4 5 6
69 8388 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445 1 1 2 3 3 4 4 5 6
70 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 8506 1 1 2 2 3 4 4 5 6
71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567 1 1 2 2 3 4 4 5 5
72 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627 1 1 2 2 3 4 4 5 5
73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686 1 1 2 2 3 4 4 5 5
74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745 1 1 2 2 3 4 4 5 5
75 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802 1 1 2 2 3 3 4 5 5
76 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859 1 1 2 2 3 3 4 5 5
77 8865 8871 8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 8915 1 1 2 2 3 3 4 5 5
78 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 8971 1 1 2 2 3 3 4 4 5
79 8976 8982 8987 8993 8998 9004 9009 9015 9020 9025 1 1 2 2 3 3 4 4 5
80 9031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 9079 1 1 2 2 3 3 4 4 5
81 9085 9090 9096 9101 9106 9112 9117 9122 9128 9133 1 1 2 2 3 3 4 4 5
82 9138 9143 9149 9154 9159 9165 9170 9175 9180 9186 1 1 2 2 3 3 4 4 5
83 9191 9196 9201 9206 9212 9217 9222 9227 9232 9238 1 1 2 2 3 3 4 4 5
84 9243 9248 9253 9258 9263 9269 9274 9279 9284 9289 1 1 2 2 3 3 4 4 5
85 9294 9299 9304 9309 9315 9320 9325 9330 9335 9340 1 1 2 2 3 3 4 4 5
86 9345 9350 9355 9360 9365 9370 9375 9380 9385 9390 1 1 2 2 3 3 4 4 5
87 9395 9400 9405 9410 9415 9420 9425 9430 9435 9440 0 1 1 2 2 3 3 4 4
88 9445 9450 9455 9460 9465 9469 9474 9479 9484 9489 0 1 1 2 2 3 3 4 4
89 9494 9499 9504 9509 9513 9518 9523 9528 9533 9538 0 1 1 2 2 3 3 4 4
90 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 9586 0 1 1 2 2 3 3 4 4
91 9590 9595 9600 9605 9609 9614 9619 9624 9628 9633 0 1 1 2 2 3 3 4 4
92 9638 9643 9647 9652 9657 9661 9666 9671 9675 9680 0 1 1 2 2 3 3 4 4
93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727 0 1 1 2 2 3 3 4 4
94 9731 9736 9741 9745 9750 9754 9759 9763 9768 9773 0 1 1 2 2 3 3 4 4
95 9777 9782 9786 9791 9795 9800 9805 9809 9814 9818 0 1 1 2 2 3 3 4 4
96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 9850 9854 9859 9863 0 1 1 2 2 3 3 4 4
97 9868 9872 9877 9881 9886 9890 9894 9899 9903 9908 0 1 1 2 2 3 3 4 4
98 9912 9917 9921 9926 9930 9934 9939 9943 9948 9952 0 1 1 2 2 3 3 4 4
99 9956 9961 9965 9969 9974 9978 9983 9987 9991 9996 0 1 1 2 2 3 3 4 4

59


Tablas trigonométricas I

senos naturales 0º - 45º diferencias a sumar
º 0’ 10’ 20’ 30’ 40’ 50’ 60' º 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’
0 0000 0029 0058 0087 0116 0145 0175 89 3 6 9 12 15 17 20 23 26
1 0175 0204 0233 0262 0291 0320 0349 88 3 6 9 12 15 17 20 23 26
2 0349 0378 0407 0436 0465 0494 0523 87 3 6 9 12 15 17 20 23 26
3 0523 0552 0581 0610 0640 0669 0698 86 3 6 9 12 15 17 20 23 26
4 0698 0727 0756 0785 0814 0843 0872 85 3 6 9 12 14 17 20 23 26
5 0872 0901 0929 0958 0987 1016 1045 84 3 6 9 12 14 17 20 23 26
6 1045 1074 1103 1132 1161 1190 1219 83 3 6 9 12 14 17 20 23 26
7 1219 1248 1276 1305 1334 1363 1392 82 3 6 9 12 14 17 20 23 26
8 1392 1421 1449 1478 1507 1536 1564 81 3 6 9 12 14 17 20 23 26
9 1564 1593 1622 1650 1679 1708 1736 80 3 6 9 11 14 17 20 23 26
10 1736 1765 1794 1822 1851 1880 1908 79 3 6 9 11 14 17 20 23 26
11 1908 1937 1965 1994 2022 2051 2079 78 3 6 9 11 14 17 20 23 26
12 2079 2108 2136 2164 2193 2221 2250 77 3 6 9 11 14 17 20 23 26
13 2250 2278 2306 2334 2363 2391 2419 76 3 6 8 11 14 17 20 23 25
14 2419 2447 2476 2504 2532 2560 2588 75 3 6 8 11 14 17 20 23 25
15 2588 2616 2644 2672 2700 2728 2756 74 3 6 8 11 14 17 20 22 25
16 2756 2784 2812 2840 2868 2896 2924 73 3 6 8 11 14 17 20 22 25
17 2924 2952 2979 3007 3035 3062 3090 72 3 6 8 11 14 17 19 22 25
18 3090 3118 3145 3173 3201 3228 3256 71 3 6 8 11 14 17 19 22 25
19 3256 3283 3311 3338 3365 3393 3420 70 3 5 8 11 14 16 19 22 25
20 3420 3448 3475 3502 3529 3557 3584 69 3 5 8 11 14 16 19 22 25
21 3584 3611 3638 3665 3692 3719 3746 68 3 5 8 11 14 16 19 22 24
22 3746 3773 3800 3827 3854 3881 3907 67 3 5 8 11 13 16 19 21 24
23 3907 3934 3961 3987 4014 4041 4067 66 3 5 8 11 13 16 19 21 24
24 4067 4094 4120 4147 4173 4200 4226 65 3 5 8 11 13 16 19 21 24
25 4226 4253 4279 4305 4331 4358 4384 64 3 5 8 10 13 16 18 21 24
26 4384 4410 4436 4462 4488 4514 4540 63 3 5 8 10 13 16 18 21 23
27 4540 4566 4592 4617 4643 4669 4695 62 3 5 8 10 13 15 18 21 23
28 4695 4720 4746 4772 4797 4823 4848 61 3 5 8 10 13 15 18 20 23
29 4848 4874 4899 4924 4950 4975 5000 60 3 5 8 10 13 15 18 20 23
30 5000 5025 5050 5075 5100 5125 5150 59 3 5 8 10 13 15 18 20 23
31 5150 5175 5200 5225 5250 5275 5299 58 2 5 7 10 12 15 17 20 22
32 5299 5324 5348 5373 5398 5422 5446 57 2 5 7 10 12 15 17 20 22
33 5446 5471 5495 5519 5544 5568 5592 56 2 5 7 10 12 15 17 19 22
34 5592 5616 5640 5664 5688 5712 5736 55 2 5 7 10 12 14 17 19 22
35 5736 5760 5783 5807 5831 5854 5878 54 2 5 7 9 12 14 17 19 21
36 5878 5901 5925 5948 5972 5995 6018 53 2 5 7 9 12 14 16 19 21
37 6018 6041 6065 6088 6111 6134 6157 52 2 5 7 9 12 14 16 18 21
38 6157 6180 6202 6225 6248 6271 6293 51 2 5 7 9 11 14 16 18 20
39 6293 6316 6338 6361 6383 6406 6428 50 2 4 7 9 11 13 16 18 20
40 6428 6450 6472 6494 6517 6539 6561 49 2 4 7 9 11 13 15 18 20
41 6561 6583 6604 6626 6648 6670 6691 48 2 4 7 9 11 13 15 17 20
42 6691 6713 6734 6756 6777 6799 6820 47 2 4 6 9 11 13 15 17 19
43 6820 6841 6862 6884 6905 6926 6947 46 2 4 6 8 11 13 15 17 19
44 6947 6967 6988 7009 7030 7050 7071 45 2 4 6 8 10 12 15 17 19
º 60’ 50’ 40’ 30’ 20’ 10’ 0’ º 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’
cosenos naturales 45º - 90º diferencias a restar

60


Tablas trigonométricas II

senos naturales 45º - 90º diferencias a sumar
º 0’ 10’ 20’ 30’ 40’ 50’ 60’ º 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’
45 7071 7092 7112 7133 7153 7173 7193 44 2 4 6 8 10 12 14 16 18
46 7193 7214 7234 7254 7274 7294 7314 43 2 4 6 8 10 12 14 16 18
47 7314 7333 7353 7373 7392 7412 7431 42 2 4 6 8 10 12 14 16 18
48 7431 7451 7470 7490 7509 7528 7547 41 2 4 6 8 10 12 13 15 17
49 7547 7566 7585 7604 7623 7642 7660 40 2 4 6 8 9 11 13 15 17
50 7660 7679 7698 7716 7735 7753 7771 39 2 4 6 7 9 11 13 15 17
51 7771 7790 7808 7826 7844 7862 7880 38 2 4 5 7 9 11 13 14 16
52 7880 7898 7916 7934 7951 7969 7986 37 2 4 5 7 9 11 12 14 16
53 7986 8004 8021 8039 8056 8073 8090 36 2 3 5 7 9 10 12 14 16
54 8090 8107 8124 8141 8158 8175 8192 35 2 3 5 7 8 10 12 13 15
55 8192 8208 8225 8241 8258 8274 8290 34 2 3 5 7 8 10 12 13 15
56 8290 8307 8323 8339 8355 8371 8387 33 2 3 5 6 8 10 11 13 14
57 8387 8403 8418 8434 8450 8465 8480 32 2 3 5 6 8 9 11 12 14
58 8480 8496 8511 8526 8542 8557 8572 31 2 3 5 6 8 9 11 12 14
59 8572 8587 8601 8616 8631 8646 8660 30 1 3 4 6 7 9 10 12 13
60 8660 8675 8689 8704 8718 8732 8746 29 1 3 4 6 7 9 10 11 13
61 8746 8760 8774 8788 8802 8816 8829 28 1 3 4 6 7 8 10 11 12
62 8829 8843 8857 8870 8884 8897 8910 27 1 3 4 5 7 8 9 11 12
63 8910 8923 8936 8949 8962 8975 8988 26 1 3 4 5 6 8 9 10 12
64 8988 9001 9013 9026 9038 9051 9063 25 1 3 4 5 6 8 9 10 11
65 9063 9075 9088 9100 9112 9124 9135 24 1 2 4 5 6 7 8 10 11
66 9135 9147 9159 9171 9182 9194 9205 23 1 2 3 5 6 7 8 9 10
67 9205 9216 9228 9239 9250 9261 9272 22 1 2 3 4 6 7 8 9 10
68 9272 9283 9293 9304 9315 9325 9336 21 1 2 3 4 5 6 7 9 10
69 9336 9346 9356 9367 9377 9387 9397 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9
70 9397 9407 9417 9426 9436 9446 9455 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9
71 9455 9465 9474 9483 9492 9502 9511 18 1 2 3 4 5 6 6 7 8
72 9511 9520 9528 9537 9546 9555 9563 17 1 2 3 3 4 5 6 7 8
73 9563 9572 9580 9588 9596 9605 9613 16 1 2 2 3 4 5 6 7 7
74 9613 9621 9628 9636 9644 9652 9659 15 1 2 2 3 4 5 5 6 7
75 9659 9667 9674 9681 9689 9696 9703 14 1 1 2 3 4 4 5 6 7
76 9703 9710 9717 9724 9730 9737 9744 13 1 1 2 3 3 4 5 5 6
77 9744 9750 9757 9763 9769 9775 9781 12 1 1 2 3 3 4 4 5 6
78 9781 9787 9793 9799 9805 9811 9816 11 1 1 2 2 3 3 4 5 5
79 9816 9822 9827 9833 9838 9843 9848 10 1 1 2 2 3 3 4 4 5
80 9848 9853 9858 9863 9868 9872 9877 9 0 1 1 2 2 3 3 4 4
81 9877 9881 9886 9890 9894 9899 9903 8 0 1 1 2 2 3 3 3 4
82 9903 9907 9911 9914 9918 9922 9925 7 0 1 1 2 2 2 3 3 3
83 9925 9929 9932 9936 9939 9942 9945 6 0 1 1 1 2 2 2 3 3
84 9945 9948 9951 9954 9957 9959 9962 5 0 1 1 1 1 2 2 2 2
85 9962 9964 9967 9969 9971 9974 9976 4 0 0 1 1 1 1 2 2 2
86 9976 9978 9980 9981 9983 9985 9986 3 0 0 1 1 1 1 1 1 2
87 9986 9988 9989 9990 9992 9993 9994 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1
88 9994 9995 9996 9997 9997 9998 9998 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1
89 9998 9999 9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
º 60’ 50’ 40’ 30’ 20’ 10’ 0 º 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’
cosenos naturales 45º - 90º diferencias a restar

61


62


Tema 10:
Ejercicios
• Ejercicios para practicar
Sumas y restas, nivel principiante.

900 423 301 41 836 831
374 69 - 286 179 717 459
184 98 880 235 634 777
- 311 464 - 87 663 - 16 - 993
262 - 689 120 248 - 428 266
336 931 198 426 88 397
1 745 1 296 1 126 1 792 1 831 1 737
741 447 839 221 325 801
483 918 386 641 580 872
108 466 233 909 310 70
248 125 - 135 - 783 - 92 249
- 479 907 - 317 847 - 607 840
- 24 - 914 - 765 - 280 624 711
402 778 153 562 938 228
- 168 515 - 34 - 792 581 974
952 - 619 85 - 21 208 - 103
196 41 509 107 949 695
2 459 2 664 954 1 371 3 816 5 337
540 130 364 81 612 419
489 825 577 263 702 77
349 809 331 945 472 369
21 - 188 992 45 - 801 922
219 - 480 - 975 600 - 284 298
- 477 - 331 - 418 371 390 - 756
540 663 21 782 278 511
- 63 - 591 148 - 742 513 82
- 188 791 64 - 143 459 - 804
663 308 122 16 556 879
2 093 1 936 1 226 2 218 2 897 1 997
55 367 776 864 806 786
456 956 666 205 601 756
187 997 600 348 411 601
- 508 - 565 137 769 447 - 873
- 168 - 60 329 - 438 - 610 399
972 - 146 893 - 865 276 - 329
141 651 170 659 998 754
885 67 992 - 755 352 - 15
- 779 787 702 - 616 - 100 993
856 515 856 537 289 250
2 097 3 569 6 121 708 3 470 3 322

63


441 794 181 120 37 875
454 329 404 337 380 383
737 79 996 982 668 13
827 816 - 651 - 581 716 - 115
950 169 614 - 490 757 - 582
- 880 495 680 761 - 719 820
231 299 456 297 280 301
635 - 130 331 - 116 366 704
700 364 248 - 457 - 213 789
696 343 219 415 665 133
4 791 3 558 3 478 1 268 2 937 3 321
830 607 12 349 584 451
421 702 156 381 164 311
496 138 548 644 323 624
937 997 - 75 - 426 698 538
638 - 73 - 50 - 447 387 - 901
- 97 - 290 - 93 - 63 - 320 - 905
320 551 479 708 247 792
545 298 - 849 - 969 681 292
- 408 - 146 116 389 - 422 269
153 501 433 936 821 757
3 835 3 285 677 1 502 3 163 2 228
820 344 435 656 94 249
983 351 625 72 733 675
141 665 459 885 279 805
901 - 274 952 608 723 - 313
- 342 231 - 315 - 899 62 740
- 110 118 - 983 940 305 887
10 225 924 274 286 365
279 - 162 - 465 - 320 - 905 - 978
538 924 - 410 212 138 - 56
766 219 554 886 364 511
3 986 2 641 1 776 3 314 2 079 2 885
49 674 325 723 165 908
853 135 819 759 203 812
980 996 117 216 383 455
527 970 - 136 14 - 669 346
- 261 93 - 254 629 885 - 105
- 626 159 - 481 127 720 - 394
78 647 34 411 435 748
372 - 570 218 926 - 105 - 163
462 976 663 732 - 351 - 596
443 575 853 29 399 518
2 877 4 655 2 158 4 566 2 065 2 529

64


312 38 821 804 158 872
561 370 668 348 340 831
85 91 155 62 533 864
- 239 521 - 740 - 283 369 - 512
804 158 23 - 153 - 489 224
- 822 484 613 - 845 916 385
86 113 598 756 379 97
- 583 254 - 307 - 834 661 - 69
- 406 - 745 - 870 691 422 - 754
435 61 532 900 282 819
233 1 345 1 493 1 446 3 571 2 757
282 726 936 179 623 511
532 458 894 635 634 574
892 54 571 75 146 800
169 - 992 - 513 - 11 646 - 677
391 64 766 - 352 291 - 707
- 920 - 357 - 926 904 948 - 88
564 615 935 843 783 762
711 - 734 - 952 180 449 270
- 420 - 225 - 130 - 302 965 492
935 502 869 714 977 473
3 136 111 2 450 2 865 6 462 2 410
910 472 936 373 408 325
34 975 589 280 243 601
246 285 469 382 441 567
- 431 670 - 97 793 - 782 - 85
- 561 - 831 - 519 583 780 971
- 495 489 894 - 616 - 179 630
153 938 243 866 674 303
938 450 - 488 - 393 705 940
- 215 - 217 - 677 - 472 - 443 881
703 483 987 74 133 749
1 282 3 714 2 337 1 870 1 980 5 882
995 868 954 901 940 655
180 342 316 842 291 362
981 447 257 274 660 759
- 778 665 748 361 218 - 456
201 - 366 - 928 - 845 362 356
151 - 494 785 853 - 590 124
692 343 394 765 469 185
459 853 556 - 833 295 - 626
458 409 461 - 24 - 127 295
310 648 936 235 263 413
3 649 3 715 4 479 2 529 2 781 2 067

65


152 642 86 575 853 347
435 347 65 460 229 115
960 270 294 606 886 801
- 939 148 - 863 - 438 86 306
938 - 995 346 912 187 - 457
- 167 - 252 734 - 637 - 439 - 452
904 458 313 377 724 192
428 459 873 - 344 - 500 226
- 501 - 454 22 824 - 549 - 997
84 39 100 80 26 351
2 294 662 1 970 2 415 1 503 432
940 508 923 588 955 80
843 873 956 230 73 684
660 258 323 546 708 232
445 - 126 - 869 - 175 524 - 91
223 518 436 597 - 784 - 532
120 185 717 211 - 515 - 601
369 823 504 103 674 984
- 242 139 735 670 - 686 568
- 448 237 454 761 335 - 85
101 857 728 96 232 790
3 011 4 272 4 907 3 627 1 516 2 029
284 791 946 294 581 448
126 128 74 853 236 363
422 896 200 777 565 718
- 79 326 602 - 693 62 689
505 - 391 - 993 871 - 647 - 866
769 - 125 - 758 566 - 612 379
619 789 700 15 335 28
- 39 - 632 843 87 872 489
598 - 540 263 911 - 53 467
886 328 853 982 531 302
4 091 1 570 2 730 4 663 1 870 3 017
151 343 290 680 624 674
263 320 274 453 354 537
723 130 451 788 276 310
875 - 31 - 236 62 547 - 758
586 720 438 522 - 485 - 519
- 730 - 482 - 351 135 - 274 10
9 955 516 526 288 19
888 - 370 59 464 683 769
- 216 970 - 366 381 644 883
294 35 620 566 620 829
2 843 2 590 1 695 4 577 3 277 2 754

66


528 558 471 314 385 432
161 170 135 86 741 472
136 341 84 566 866 223
755 373 615 - 210 390 - 437
78 264 - 960 834 - 386 346
583 726 - 729 250 - 242 322
167 793 502 529 204 768
- 392 - 434 185 - 940 - 440 - 735
- 685 - 888 766 741 612 - 729
200 554 263 394 251 741
1 531 2 457 1 332 2 564 2 381 1 403
162 622 664 487 65 155
295 673 489 438 202 13
289 747 758 181 613 696
- 293 - 218 - 182 480 315 178
864 - 599 210 - 273 534 - 960
302 - 680 - 426 - 26 - 244 - 769
433 27 956 340 112 174
- 546 618 - 476 - 105 201 870
- 568 669 - 210 113 542 410
641 68 297 70 723 93
1 579 1 927 2 080 1 705 3 063 860
679 521 441 238 875 100
286 399 636 294 940 837
491 412 893 30 528 767
- 107 657 - 444 - 909 - 341 919
698 - 815 352 41 - 11 143
- 840 981 - 777 173 - 608 580
314 795 752 757 332 766
961 - 175 78 - 193 879 - 732
- 558 67 251 587 - 84 928
921 627 906 377 650 967
2 845 3 469 3 088 1 395 3 160 5 275
543 196 507 379 341 571
151 48 633 47 536 924
366 760 20 964 332 784
- 877 25 - 50 288 460 649
499 963 624 994 681 - 576
638 - 97 - 793 - 177 260 - 547
20 122 848 848 589 348
13 - 922 886 - 536 - 962 - 461
- 462 821 405 - 91 506 - 487
632 727 497 649 819 181
1 523 2 643 3 577 3 365 3 562 1 386

67


984 67 644 762 423 626
465 218 980 425 43 745
558 321 370 583 501 975
197 - 106 - 871 - 860 457 - 731
178 697 929 971 - 38 624
- 885 - 695 - 45 - 640 171 - 412
261 207 297 789 109 841
382 400 - 700 424 - 84 - 39
892 858 - 80 - 733 297 11
307 828 611 192 570 297
3 339 2 795 2 135 1 913 2 449 2 937
927 502 36 503 27 488
492 444 973 187 374 655
543 188 849 919 972 251
- 611 - 492 - 349 - 251 837 - 353
- 934 489 879 - 264 316 62
- 350 - 549 72 219 - 162 43
530 305 242 578 467 710
398 - 732 193 - 668 987 199
292 184 - 305 152 288 - 966
995 749 504 392 827 205
2 282 1 088 3 094 1 767 4 933 1 294
623 946 314 168 655 220
267 429 267 469 648 67
168 541 995 120 347 90
282 962 50 - 731 99 363
- 720 - 550 346 844 - 814 617
- 94 - 168 - 761 786 - 167 283
139 135 834 528 812 940
799 415 - 434 - 956 563 - 790
- 872 - 684 - 506 471 - 436 161
517 555 836 335 558 943
1 109 2 581 1 941 2 034 2 265 2 894
60 95 831 617 985 993
40 394 199 796 25 27
536 664 902 821 123 704
412 - 872 97 - 139 - 179 335
400 397 - 724 - 107 380 - 295
- 432 939 - 978 474 - 22 79
85 709 158 237 514 97
- 201 - 648 - 821 - 126 620 - 38
276 876 - 328 599 - 414 - 425
527 416 480 75 516 955
1 703 2 970 - 184 3 247 2 548 2 432

68


579 714 534 446 551 343
538 282 210 424 216 954
55 938 874 150 884 39
- 500 - 604 - 837 898 102 - 891
129 772 534 - 858 359 312
530 700 - 318 925 - 957 - 444
544 222 73 588 902 14
- 876 - 426 - 493 591 - 881 - 460
- 376 - 249 - 489 - 591 - 470 991
132 95 933 56 124 31
755 2 444 1 021 2 629 830 889
291 638 244 510 163 283
180 990 297 261 947 753
635 664 892 776 317 376
- 448 - 23 434 940 - 157 - 192
- 392 - 626 - 607 898 829 28
213 430 - 166 888 - 148 567
694 145 791 495 597 958
- 616 293 266 - 629 349 - 697
966 694 - 821 58 776 385
484 760 544 699 549 647
2 007 3 965 1 874 4 896 4 222 3 108
102 857 46 782 905 237
465 344 803 89 337 427
192 832 118 799 923 674
944 195 240 - 644 25 970
12 - 577 989 - 211 80 - 452
- 138 - 860 - 828 - 654 - 432 - 26
181 260 684 915 603 196
- 667 - 471 - 824 590 828 - 643
757 - 507 485 439 - 313 912
545 805 148 188 678 274
2 393 878 1 861 2 293 3 634 2 569
202 54 157 810 72 624
893 291 328 782 590 982
620 641 847 331 342 306
- 860 188 225 - 177 - 135 917
- 255 - 737 516 - 76 749 14
- 679 697 845 53 - 521 - 343
512 705 78 422 362 672
142 - 589 117 - 356 519 - 808
732 - 142 - 487 566 - 9 - 334
143 643 722 907 410 462
1 450 1 751 3 348 3 262 2 379 2 492

69


883 460 120 350 475 879
14 513 856 678 812 845
124 758 456 432 496 921
- 899 452 927 741 445 - 647
- 598 327 176 426 569 927
200 - 124 - 998 - 525 - 91 - 837
826 292 177 317 974 309
507 - 179 - 576 - 966 779 54
- 986 857 - 76 - 638 525 279
469 164 829 511 715 366
540 3 520 1 891 1 326 5 699 3 096
368 731 755 168 145 462
633 970 816 492 76 858
388 405 364 919 503 706
419 56 977 266 511 - 695
387 - 10 - 715 781 - 43 30
- 533 - 247 143 - 743 645 502
696 340 989 866 602 672
597 - 658 - 349 - 254 - 12 - 543
- 732 207 - 417 - 829 432 624
616 202 479 588 78 891
2 839 1 996 3 042 2 254 2 937 3 507
382 369 801 229 99 234
62 764 - 738 218 465 420
836 514 113 788 411 - 108
589 120 - 747 740 - 470 641
- 631 886 - 454 499 436 66
116 831 - 965 971 152 915
- 611 - 417 138 628 - 731 - 584
441 223 996 39 943 20
959 534 323 492 256 899
909 400 - 441 14 51 284
3 052 4 224 - 974 4 618 1 612 2 787
227 152 691 - 215 - 423 866
218 361 - 471 - 754 - 733 717
584 - 986 256 40 742 394
301 339 - 371 231 734 - 777
11 459 188 972 629 269
199 917 34 394 159 537
325 - 23 - 765 233 - 998 851
- 964 - 939 885 - 363 408 489
169 187 - 599 - 587 864 277
426 949 184 - 604 60 351
1 496 1 416 32 - 653 1 442 3 974

70


Sumas y restas, nivel medio.

3 666 8 054 7 584 7 482 8 463
7 876 4 868 469 6 666 4 144
9 657 4 467 5 090 7 257 8 185
2 674 - 6 525 8 858 - 2 201 4 969
- 420 5 672 5 793 2 724 - 3 101
3 622 - 8 257 1 181 - 4 890 - 914
6 603 562 9 674 885 9 702
5 761 591 - 6 849 - 9 121 - 2 934
- 5 808 1 687 6 674 - 4 378 9 372
7 033 9 945 2 294 4 367 1 357
40 664 21 064 40 768 8 791 39 243
9 933 359 153 9 002 5 308
3 519 9 101 2 915 853 1 595
5 450 7 758 1 938 6 174 9 151
- 9 008 - 7 654 - 7 210 3 036 2 279
5 133 5 676 8 777 - 4 889 4 142
8 926 5 366 7 486 2 641 - 4 945
6 478 3 486 915 1 601 6 987
7 290 2 477 - 2 560 - 4 393 - 8 476
- 9 225 - 1 688 - 3 959 3 686 - 504
6 467 2 158 1 849 1 714 5 283
34 963 27 039 10 304 19 425 20 820
1 951 6 687 9 558 3 178 5 648
4 149 2 093 8 693 5 124 3 368
9 395 4 002 961 1 378 9 680
1 778 - 5 681 3 685 7 359 - 7 203
6 554 - 717 - 4 437 - 7 504 - 7 820
- 1 224 6 829 9 693 - 2 623 6 615
7 054 1 975 2 031 4 314 2 209
3 806 1 926 6 455 - 6 249 - 8 025
9 410 - 4 404 - 7 307 5 524 2 062
9 600 2 619 8 589 9 131 9 445
52 473 15 329 37 921 19 632 15 979
6 433 3 742 153 8 045 5 612
9 053 7 421 6 529 3 071 5 641
4 837 837 3 276 6 363 6 193
- 9 982 9 424 - 1 602 5 771 - 8 409
- 5 208 - 9 691 5 033 8 275 6 740
- 7 182 2 827 8 432 - 8 688 - 6 765
8 106 5 473 3 870 5 290 2 726
- 2 640 - 9 613 4 732 1 428 - 7 826
8 356 9 948 922 7 527 3 257
1 801 5 641 3 930 7 392 2 318
13 574 26 009 35 275 44 474 9 487

71


8 137 7 458 3 821 2 164 9 401
3 012 2 470 5 963 7 903 5 874
5 117 904 6 419 9 257 7 536
- 2 287 - 9 472 - 8 480 - 3 860 - 3 156
- 6 588 574 - 9 099 - 8 545 501
- 3 584 - 3 052 8 300 5 710 - 9 323
8 964 672 5 210 917 8 963
1 968 4 703 3 054 787 8 166
4 379 - 550 7 847 3 364 941
8 095 6 126 1 004 7 967 7 894
27 213 9 833 24 039 25 664 36 797
2 505 829 8 168 7 021 8 633
9 293 8 420 9 882 2 317 2 566
5 766 5 311 5 483 7 260 1 527
9 768 3 350 9 882 - 6 816 - 9 287
4 973 - 1 512 1 384 - 4 882 - 3 072
4 784 - 6 620 6 509 8 845 - 379
3 945 4 836 5 292 1 718 4 558
- 1 600 - 7 682 3 349 8 106 - 4 683
- 7 969 - 5 084 - 6 175 5 205 - 1 968
8 013 1 855 4 225 9 317 5 776
39 478 3 703 47 999 38 091 3 671
8 118 977 6 327 3 704 3 672
4 686 6 788 1 915 3 821 1 752
6 391 6 028 1 935 248 3 923
- 5 086 8 722 - 1 393 3 610 9 973
8 479 1 282 2 871 - 2 971 - 8 901
2 930 - 5 129 - 8 433 9 536 - 8 320
8 991 1 736 5 496 7 780 3 193
1 193 - 4 120 - 8 514 2 602 - 8 933
- 2 347 2 002 4 690 - 7 026 - 1 788
4 649 7 999 6 801 612 1 444
38 004 26 285 11 695 21 916 - 3 985
1 807 9 121 2 755 8 020 621
6 751 1 060 1 938 3 460 3 361
7 280 5 577 1 193 3 206 682
5 497 - 9 631 - 1 367 2 775 - 5 509
- 4 504 3 847 - 1 680 - 3 215 - 8 692
- 8 642 8 556 9 453 3 722 1 045
9 059 288 7 297 8 279 8 927
1 746 5 395 - 2 325 - 1 028 2 257
- 8 316 - 2 762 1 235 - 3 050 3 617
7 407 5 310 5 769 4 842 7 845
18 085 26 761 24 268 27 011 14 154

72


2 864 9 937 585 6 335 1 208
2 624 2 814 8 145 3 905 4 700
9 477 8 341 3 871 3 173 2 480
- 9 259 3 026 - 679 7 217 1 987
1 828 - 6 274 1 604 - 5 010 - 5 086
409 - 9 585 6 089 - 9 639 8 576
5 838 2 765 4 786 3 312 1 360
2 454 7 661 4 556 662 - 5 120
9 529 3 793 8 724 - 4 047 1 760
7 892 2 712 6 761 9 708 7 387
33 656 25 190 44 442 15 616 19 252
6 589 9 935 9 558 7 569 3 982
9 312 6 376 2 123 2 917 1 575
1 710 3 262 1 948 1 670 3 759
- 7 143 6 680 - 8 218 - 209 3 942
- 2 314 402 3 796 5 306 - 6 833
4 179 5 151 6 292 8 771 7 518
5 099 1 188 8 010 9 493 2 843
- 1 334 - 5 888 2 208 7 339 - 5 000
3 971 6 832 - 5 572 7 703 - 2 311
9 365 2 498 609 9 807 3 035
29 434 36 436 20 754 60 366 12 510
5 087 5 876 6 532 303 7 923
6 112 907 756 8 767 5 646
7 035 5 179 9 421 5 780 7 468
- 3 404 - 303 - 9 936 - 1 134 5 416
1 856 6 251 4 154 735 - 4 771
- 7 001 - 928 - 602 5 053 9 225
8 954 6 555 8 496 1 925 8 741
8 086 7 928 6 741 - 6 796 8 527
6 713 - 3 139 7 090 - 9 885 - 1 612
8 398 5 060 2 840 4 222 9 198
41 836 33 386 35 492 8 970 55 761
3 641 8 075 5 268 7 000 824
4 412 3 444 4 732 2 042 1 372
8 445 4 770 934 3 401 8 764
987 - 8 055 5 934 2 760 - 3 485
6 038 7 372 7 754 - 4 046 6 845
- 828 943 - 351 - 1 937 4 357
3 000 4 190 9 158 3 394 3 769
6 172 - 2 012 - 4 739 - 6 061 - 4 296
- 9 331 - 7 817 - 1 692 7 729 760
9 758 1 053 9 498 6 265 3 373
32 294 11 963 36 496 20 547 22 283

73


4 562 803 1 459 7 811 1 268
134 8 337 563 4 963 3 552
9 078 7 842 6 331 7 647 6 626
8 660 3 218 - 4 421 - 3 582 - 5 742
- 9 740 9 229 2 375 - 1 553 216
- 4 591 - 810 - 1 839 6 842 1 430
7 931 1 015 8 018 8 846 7 318
8 485 - 6 357 - 4 790 5 240 7 124
- 9 223 - 5 642 - 852 - 6 159 3 648
1 988 1 731 6 925 737 7 264
17 284 19 366 13 769 30 792 32 704
837 8 041 3 938 7 528 9 292
3 106 2 591 110 8 015 2 436
9 564 9 342 8 219 1 569 1 499
- 8 088 - 8 882 8 364 - 9 006 2 911
- 2 629 - 2 214 - 6 041 - 5 538 - 5 773
460 - 2 112 - 9 449 4 312 3 521
200 2 458 7 240 3 648 4 385
- 3 642 - 2 985 - 767 6 576 - 7 548
6 111 2 940 6 659 - 2 514 - 5 921
4 059 1 472 1 525 5 788 7 676
9 978 10 651 19 798 20 378 12 478
6 957 7 423 4 776 3 723 3 140
9 901 1 879 4 894 971 2 780
5 354 3 763 8 884 3 328 9 174
- 6 050 1 007 - 1 712 9 138 7 235
7 124 - 7 029 - 965 - 4 494 - 5 627
3 079 9 338 542 3 814 - 2 721
4 900 626 4 347 1 964 8 696
1 675 4 041 - 5 120 - 8 684 4 052
- 1 074 - 2 302 - 7 166 5 286 - 6 282
6 632 927 2 666 903 4 645
38 498 19 673 11 146 15 949 25 092
6 584 7 906 6 986 6 911 5 834
521 2 183 8 280 8 572 8 345
5 062 7 431 3 850 4 076 7 474
2 384 - 6 593 - 8 107 - 8 311 - 9 025
- 160 6 759 - 2 790 - 159 5 875
7 343 8 432 9 914 2 888 6 095
8 480 6 824 7 825 2 560 5 188
590 7 029 - 473 - 448 - 3 264
- 7 981 - 2 185 9 944 7 525 7 092
3 928 2 268 1 091 3 006 4 099
26 751 40 054 36 520 26 620 37 713

74


1 513 3 654 7 323 6 052 6 878
1 976 7 233 8 348 6 609 7 301
539 931 3 052 220 5 715
- 5 222 1 914 2 631 - 2 847 7 988
6 971 - 5 415 6 810 - 9 196 5 735
3 926 9 063 - 917 - 5 817 - 3 636
5 375 6 208 8 420 106 7 447
- 603 - 6 028 - 4 641 3 005 - 5 005
- 758 3 271 - 9 233 - 3 001 - 8 081
2 573 1 689 1 670 7 259 6 253
16 290 22 520 23 463 2 390 30 595
3 652 6 649 827 9 062 8 693
8 347 1 313 937 9 633 1 406
2 504 8 623 1 036 7 581 4 317
8 175 5 378 4 526 - 8 908 5 310
- 212 1 333 - 5 794 8 064 - 6 711
- 5 407 - 4 839 - 606 5 051 7 127
6 556 5 904 5 926 3 841 5 537
3 136 2 501 5 470 4 373 5 207
- 9 520 5 735 - 8 765 - 8 102 7 398
5 789 2 490 486 6 780 1 029
23 020 35 087 4 043 37 375 39 313
1 329 6 411 9 784 8 268 583
4 353 8 967 1 382 6 252 2 475
8 247 6 908 7 729 7 325 5 224
- 3 544 - 9 321 6 072 6 467 - 557
- 6 006 - 4 231 6 063 3 762 - 1 554
- 9 783 750 1 000 1 266 - 7 694
7 698 6 852 8 093 813 5 163
- 3 582 - 7 070 - 4 122 9 406 - 2 101
6 364 - 5 966 1 869 7 858 - 5 654
3 296 6 274 7 064 2 138 4 418
8 372 9 574 44 934 53 555 303
5 751 4 782 1 850 5 604 1 431
2 462 6 025 3 576 6 197 6 946
1 875 2 545 8 046 873 1 383
1 495 - 3 422 - 3 873 - 5 911 - 7 295
- 4 852 - 4 879 6 386 2 464 1 779
- 1 681 - 8 320 5 252 - 1 632 8 720
7 060 2 314 4 231 7 226 5 671
8 017 2 366 1 891 - 2 179 7 560
- 4 742 6 917 7 840 - 6 616 6 912
4 329 3 422 4 910 6 313 4 190
19 714 11 750 40 109 12 339 37 297

75


440 1 942 6 582 363 9 849
7 304 7 068 2 391 3 532 7 172
3 828 7 896 8 028 6 469 8 344
3 105 4 028 - 5 799 7 108 6 743
4 127 - 3 947 3 496 8 645 8 496
- 7 942 679 365 9 453 - 5 869
5 832 3 311 1 685 4 054 1 572
- 5 407 - 6 762 9 062 4 010 9 951
4 484 - 9 777 9 207 1 325 - 4 732
6 827 4 803 1 114 171 6 631
22 598 9 241 36 131 45 130 48 157
3 462 1 403 2 366 2 919 5 491
9 114 3 956 6 291 4 337 5 926
6 812 7 901 6 142 8 157 553
3 266 3 888 9 638 - 7 176 8 138
- 4 392 6 414 1 345 - 1 568 - 4 060
- 9 647 1 554 3 163 - 8 407 - 8 250
931 2 688 9 126 1 608 1 660
7 274 - 8 267 6 717 - 7 198 - 9 213
- 5 869 - 1 989 5 469 5 237 - 2 978
5 311 9 769 551 2 360 8 347
16 262 27 317 50 808 269 5 614
9 757 9 931 1 918 9 818 6 106
7 063 9 841 3 115 5 532 6 753
1 040 480 3 174 2 675 5 983
- 1 936 - 4 128 - 9 590 5 213 - 6 404
3 427 8 630 - 1 200 - 2 539 3 825
142 6 363 9 304 3 696 5 674
1 675 6 633 1 510 9 193 895
- 5 141 - 8 347 - 3 676 3 171 - 5 034
- 5 547 - 5 257 - 8 145 4 016 - 4 246
2 217 8 089 1 525 2 808 7 991
12 697 32 235 - 2 065 43 583 21 543
2 180 4 081 5 224 8 864 4 189
1 509 7 230 5 726 9 248 1 739
6 123 7 640 2 302 3 601 540
- 2 357 - 9 230 1 129 - 4 665 - 7 314
457 1 516 8 857 5 293 - 9 692
- 2 393 9 899 1 267 - 5 041 - 2 510
7 231 1 298 5 208 2 792 9 390
- 3 558 8 529 7 923 - 9 480 - 6 147
- 6 707 - 9 363 - 7 739 204 4 659
216 6 014 7 485 4 427 8 110
2 701 27 614 37 382 15 243 2 964

76


2 745 3 651 245 3 082 9 890
513 3 175 8 543 4 948 724
4 103 7 042 9 637 1 352 533
- 8 274 - 7 226 1 057 685 4 433
- 1 493 5 359 3 663 4 443 9 669
- 9 561 7 306 - 5 648 8 657 - 2 529
3 281 9 896 8 769 2 163 5 812
- 996 6 896 - 961 8 367 - 6 181
9 749 126 - 7 954 5 637 - 3 333
7 183 9 892 5 877 1 166 2 436
7 250 46 117 23 228 40 500 21 454
9 211 4 023 1 085 7 470 7 939
6 227 6 548 7 911 6 751 2 021
846 4 801 3 283 5 097 6 752
- 6 784 - 3 026 1 364 - 3 929 9 933
1 947 2 795 - 9 823 - 8 952 590
1 289 - 600 5 538 6 456 - 5 956
4 283 4 212 6 393 8 161 3 743
6 228 - 3 620 5 398 2 440 8 151
- 1 259 7 762 - 1 786 911 - 3 586
639 5 420 9 552 5 840 7 995
22 627 28 315 28 915 30 245 37 582
5 317 7 121 3 731 5 774 138
6 023 9 108 4 917 6 469 8 631
1 596 2 892 9 197 1 234 6 330
6 506 - 8 319 - 707 - 3 266 - 9 355
- 8 229 - 7 110 3 329 - 3 394 5 453
- 7 213 - 8 439 - 2 967 7 181 9 371
5 214 6 933 8 896 7 903 1 880
9 148 5 076 887 - 3 077 - 2 772
8 199 5 528 - 5 754 6 036 - 8 289
9 845 7 142 2 889 8 731 1 393
36 406 19 932 24 418 33 591 12 780
191 6 011 7 685 458 6 110
4 211 280 8 576 2 469 8 671
9 209 3 308 1 268 4 270 6 292
3 618 - 7 525 2 041 - 1 687 - 2 721
2 457 8 201 7 107 1 160 - 697
- 6 942 - 1 299 6 108 1 811 - 2 996
7 285 1 185 7 608 4 160 8 642
7 024 - 920 625 - 1 125 5 767
369 7 470 7 402 8 616 8 489
8 673 9 331 8 333 1 462 8 677
36 095 26 042 56 753 21 594 46 234

77


4 820 1 523 2 572 567 994
957 2 376 4 252 3 828 4 234
6 319 3 696 6 615 6 575 8 375
- 1 247 2 034 8 248 - 3 526 6 968
- 9 560 - 5 842 6 780 - 6 883 - 4 004
7 425 - 9 257 - 1 919 - 6 578 5 142
8 970 7 310 448 1 675 6 062
2 659 4 225 8 235 2 109 411
- 6 683 6 006 5 395 - 8 660 - 5 718
8 890 6 286 1 025 9 424 4 480
22 550 18 357 41 651 - 1 469 26 944
2 135 3 735 7 519 4 862 4 394
8 686 8 397 6 635 3 650 2 538
2 005 1 891 9 144 6 857 6 549
- 1 391 658 - 7 967 8 977 589
2 145 - 5 622 1 320 2 632 - 8 807
374 4 072 5 026 6 004 - 2 424
2 813 8 350 4 604 2 060 6 206
- 3 668 7 726 - 4 861 9 156 - 4 871
- 9 209 5 538 - 2 197 - 8 880 - 1 863
701 6 683 3 668 8 405 6 270
4 591 41 428 22 891 43 723 8 581
6 065 - 2 568 - 8 417 8 015 7 682
4 303 6 866 310 84 3 003
3 273 1 122 484 - 952 9 721
593 5 198 - 3 861 8 754 8 959
- 7 662 8 109 667 4 697 7 647
6 125 8 302 3 546 3 697 1 154
9 815 8 874 6 371 2 770 5 839
- 8 914 1 111 3 467 - 7 030 1 660
- 4 502 3 436 4 248 - 5 103 - 4 183
4 765 - 6 480 - 7 245 4 220 1 689
13 861 33 970 - 430 19 152 43 171
- 487 9 852 - 1 755 9 490 2 243
4 811 9 650 - 9 362 8 236 - 796
2 933 - 9 702 1 691 - 3 153 6 367
- 8 356 4 339 - 4 359 8 141 4 856
4 380 1 732 3 034 - 8 815 - 2 715
3 079 - 3 397 1 934 643 7 647
9 142 - 2 601 - 4 553 630 4 352
- 5 034 1 778 6 587 2 540 9 671
3 409 2 699 - 7 949 - 214 - 6 783
5 178 - 5 917 - 7 305 - 1 917 - 7 912
19 055 8 433 - 22 037 15 581 16 930

78


Sumas y restas, nivel avanzado.

44 519 76 521 221 092 573 011 669 891
665 498 140 693 308 907 416 120 485 553
903 110 - 731 543 449 214 - 28 040 805 718
66 278 512 542 - 328 035 981 093 - 588 436
493 314 468 114 33 515 71 326 - 116 633
457 621 - 966 219 845 807 850 744 50 466
480 708 - 82 276 - 753 862 579 289 840 228
747 315 160 765 - 836 497 920 937 261 044
- 402 043 425 311 847 000 785 137 641 054
613 439 200 400 437 395 743 552 410 732
4 069 759 204 308 1 224 536 5 893 169 3 459 617
230 095 802 136 417 808 552 009 715 206
615 464 384 964 765 496 77 752 21 714
557 658 948 746 899 395 - 348 400 437 780
- 117 135 - 208 168 215 064 499 645 756 934
- 440 962 - 733 581 273 236 - 606 365 173 437
- 225 837 599 456 396 820 678 486 498 352
185 234 36 759 - 186 015 743 620 597 752
585 567 - 61 315 857 136 - 254 338 846 218
- 964 531 144 474 752 945 611 858 676 570
615 357 238 322 396 139 783 793 736 933
1 040 910 2 151 793 4 788 024 2 738 060 5 460 896
359 799 731 914 437 585 584 878 574 179
307 766 762 247 959 082 145 077 10 189
136 474 - 675 197 322 949 220 737 - 106 959
- 871 599 912 565 - 748 086 757 131 505 583
- 668 984 737 252 - 460 588 - 913 092 365 703
265 004 - 59 193 - 483 700 356 103 479 580
598 644 512 642 - 303 628 - 644 350 76 662
698 363 - 193 861 599 276 364 870 530 975
- 648 980 935 040 687 785 218 124 410 955
305 103 814 835 986 845 862 322 787 338
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79


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80


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81


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82


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- 896 259 - 132 656 - 582 997 164 258 203 077
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49 255 - 699 887 - 296 404 624 231 561 251
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32 577 - 839 923 997 321 951 083 393 108
- 202 932 761 050 - 650 898 - 810 194 742 397
625 744 794 345 975 193 255 999 755 294
59 084 97 546 147 943 590 382 698 590
3 069 772 1 891 624 2 147 614 4 090 689 5 004 732

83


439 068 833 933 332 014 208 761 403 285
669 327 808 611 672 417 974 535 697 785
885 419 607 818 537 349 - 609 892 - 204 653
- 566 968 - 274 905 - 639 613 610 630 236 070
96 239 - 618 648 881 014 599 980 - 727 104
653 083 706 796 613 087 468 349 417 728
940 278 - 305 985 476 364 - 150 649 767 935
777 869 204 184 - 202 054 659 149 100 849
- 56 247 894 193 346 250 906 372 468 286
598 981 600 533 897 442 420 284 519 866
4 437 049 3 456 530 3 914 270 4 087 519 2 680 047
991 438 630 095 833 191 594 046 134 141
292 218 692 516 452 661 90 395 728 407
882 664 - 921 089 513 207 765 298 - 968 668
238 894 791 166 148 263 923 275 856 204
433 645 334 442 482 028 108 744 - 553 235
- 261 924 686 865 730 899 452 079 589 762
142 650 786 265 - 579 545 744 925 816 359
- 150 212 777 479 - 208 606 - 633 293 472 622
264 095 804 275 621 753 99 556 531 118
17 174 599 480 941 171 639 282 820 504
2 850 642 5 181 494 3 935 022 3 784 307 3 427 214
884 268 255 001 168 443 880 372 747 012
147 745 688 551 22 394 497 099 538 959
688 872 - 589 043 188 085 350 273 - 614 713
- 773 516 233 941 866 002 362 162 581 731
- 407 380 728 878 519 705 175 261 474 445
- 71 682 419 612 - 736 702 479 485 - 499 923
894 001 - 567 140 28 984 618 285 813 185
699 053 764 852 - 844 768 - 393 068 980 963
- 858 378 805 458 186 066 558 979 377 153
72 840 338 386 842 243 218 356 465 803
1 275 823 3 078 496 1 240 452 3 747 204 3 864 615
385 702 782 682 801 183 949 855 578 650
274 258 398 761 919 539 777 373 351 173
717 710 - 816 646 41 732 - 726 612 730 996
- 858 598 732 306 25 150 945 650 - 508 080
147 426 - 747 404 858 316 73 582 - 593 739
350 045 97 155 219 446 926 745 - 125 402
29 672 - 81 373 - 904 966 522 244 113 871
- 378 046 877 883 442 987 352 093 649 672
410 873 428 819 940 736 287 376 903 776
564 845 999 612 324 162 854 698 667 922
1 643 887 2 671 795 3 668 285 4 963 004 2 768 839

84


268 715 490 954 770 921 516 039 376 744
729 374 391 998 718 488 247 057 405 599
567 212 - 731 139 571 593 - 876 928 649 842
883 924 622 045 345 313 129 410 724 170
352 889 991 879 594 818 - 795 653 - 140 539
- 715 039 - 941 759 685 564 772 642 - 560 598
539 905 124 580 - 706 377 790 458 757 108
- 990 912 - 82 266 903 090 - 444 675 693 051
- 276 542 358 202 726 124 190 041 240 632
904 674 468 260 323 830 272 045 148 131
2 264 200 1 692 754 4 933 364 800 436 3 294 140
133 020 19 497 837 291 386 384 740 125
617 571 440 761 125 973 45 906 224 300
462 282 469 216 700 907 - 423 391 129 409
- 960 199 - 701 402 175 052 163 073 574 066
- 491 556 - 710 086 88 879 - 235 681 547 133
658 144 858 229 - 298 216 402 628 389 677
150 486 - 640 458 234 837 185 146 513 094
878 489 41 085 - 811 926 277 583 28 456
- 965 336 477 309 519 283 109 660 316 586
159 359 38 719 420 050 869 923 623 007
642 260 292 870 1 992 130 1 781 231 4 085 853
390 237 805 281 519 160 648 922 303 142
257 661 573 779 209 151 471 716 260 233
82 312 - 40 228 847 140 545 644 - 591 223
575 982 987 244 - 827 530 234 942 - 27 024
23 567 271 736 109 925 - 699 620 - 231 978
77 068 - 557 961 663 470 348 844 - 132 766
435 907 - 693 541 926 375 - 635 011 358 361
320 643 163 166 - 523 222 558 554 42 875
456 740 255 298 861 072 843 252 358 838
178 974 632 584 43 727 265 770 768 898
2 799 091 2 397 358 2 829 268 2 583 013 1 109 356
789 277 904 275 406 772 419 441 169 377
814 601 617 143 288 265 964 954 288 533
39 571 214 406 672 674 - 568 235 340 597
583 836 187 263 99 748 54 182 910 537
- 340 331 - 607 972 289 681 - 527 040 285 534
529 379 261 565 - 916 519 122 634 - 750 508
345 022 - 955 364 - 982 852 578 666 502 818
- 710 313 - 751 421 118 713 - 990 221 86 621
548 062 407 633 814 132 347 683 324 191
165 750 826 068 388 992 119 491 72 114
2 764 854 1 103 596 1 179 606 521 555 2 229 814

85


276 705 673 084 132 458 355 537 604 331
996 470 157 543 40 404 32 601 121 786
218 842 - 879 764 841 483 - 438 535 - 169 984
984 021 594 605 - 711 707 360 131 672 230
583 639 998 219 - 754 850 - 248 796 - 567 267
482 506 19 108 - 534 707 994 323 - 975 284
38 870 - 369 559 - 259 915 - 910 765 570 228
628 666 - 222 685 - 507 175 - 377 849 803 492
956 083 955 564 940 501 936 566 828 894
472 751 416 448 981 799 953 216 821 790
5 638 553 2 342 563 168 291 1 656 429 2 710 216
231 364 504 824 111 753 278 261 431 360
211 216 985 166 641 734 439 920 209 278
339 280 - 79 636 159 662 128 188 116 908
752 994 - 852 813 - 900 127 712 473 679 916
627 998 - 205 276 - 370 297 - 905 528 210 954
769 132 792 478 - 221 311 390 105 597 359
405 756 - 618 851 43 020 - 941 453 641 396
216 701 - 372 612 268 921 - 307 464 803 792
813 977 883 178 574 491 266 106 801 535
596 213 330 356 101 356 854 426 415 843
4 964 631 1 366 814 409 202 915 034 4 908 341
321 446 767 848 708 540 952 465 55 183
839 814 237 470 882 963 671 483 456 946
158 792 781 196 207 468 - 280 034 - 32 260
- 279 938 - 24 815 153 991 125 192 901 748
960 241 192 313 976 570 955 380 - 872 259
514 362 - 799 105 - 892 649 60 988 987 539
27 519 - 21 875 635 054 43 708 448 217
- 25 404 668 117 - 333 676 - 826 903 432 667
- 124 321 814 910 377 115 36 778 176 340
113 143 107 588 93 823 871 321 354 824
2 505 654 2 723 647 2 809 199 2 610 378 2 908 945
- 497 958 - 929 004 567 264 647 052 - 134 662
286 768 257 105 270 388 813 651 504 323
637 255 937 092 418 180 689 899 - 15 679
510 972 - 818 539 598 936 - 987 981 - 36 556
854 369 - 832 093 - 623 145 192 455 24 003
- 232 623 55 022 - 259 182 - 601 663 - 37 298
822 036 - 739 192 918 164 433 799 745 364
823 989 63 084 - 13 887 787 965 - 399 015
607 407 - 111 479 877 595 324 078 324 927
- 768 247 - 638 080 913 499 722 146 651 716
3 043 968 - 2 756 084 3 667 812 3 021 401 1 627 123

86


Multiplicaciones, nivel principiante.

89 x 14 = 1 246 40 x 41 = 1 640
46 x 72 = 3 312 88 x 66 = 5 808
29 x 53 = 1 537 96 x 42 = 4 032
29 x 61 = 1 769 57 x 53 = 3 021
45 x 52 = 2 340 14 x 74 = 1 036
9 x 61 = 549 35 x 74 = 2 590
74 x 24 = 1 776 65 x 79 = 5 135
94 x 12 = 1 128 98 x 12 = 1 176
86 x 13 = 1 118 81 x 54 = 4 374
86 x 19 = 1 634 17 x 38 = 646
18 x 87 = 1 566 88 x 93 = 8 184
86 x 20 = 1 720 86 x 83 = 7 138
31 x 27 = 837 28 x 94 = 2 632
82 x 25 = 2 050 61 x 11 = 671
95 x 29 = 2 755 52 x 93 = 4 836
53 x 15 = 795 92 x 93 = 8 556
69 x 27 = 1 863 61 x 36 = 2 196
20 x 90 = 1 800 85 x 45 = 3 825
20 x 96 = 1 920 32 x 78 = 2 496
50 x 93 = 4 650 17 x 13 = 221
49 x 96 = 4 704 68 x 76 = 5 168
45 x 56 = 2 520 48 x 66 = 3 168
36 x 59 = 2 124 42 x 43 = 1 806
20 x 75 = 1 500 92 x 38 = 3 496
74 x 73 = 5 402 15 x 55 = 825
39 x 81 = 3 159 75 x 77 = 5 775
13 x 18 = 234 75 x 78 = 5 850
48 x 74 = 3 552 73 x 96 = 7 008
36 x 64 = 2 304 94 x 85 = 7 990
39 x 49 = 1 911 80 x 79 = 6 320
71 x 21 = 1 491 61 x 37 = 2 257
74 x 26 = 1 924 73 x 94 = 6 862
33 x 17 = 561 45 x 63 = 2 835
89 x 29 = 2 581 11 x 41 = 451
64 x 66 = 4 224 13 x 83 = 1 079
21 x 74 = 1 554 92 x 75 = 6 900
74 x 13 = 962 34 x 59 = 2 006
77 x 79 = 6 083 40 x 86 = 3 440
82 x 73 = 5 986 86 x 34 = 2 924
39 x 14 = 546 98 x 77 = 7 546
23 x 98 = 2 254 38 x 86 = 3 268
75 x 23 = 1 725 90 x 58 = 5 220
30 x 50 = 1 500 79 x 88 = 6 952
72 x 78 = 5 616 70 x 81 = 5 670
36 x 95 = 3 420 17 x 83 = 1 411
60 x 51 = 3 060 54 x 15 = 810
47 x 71 = 3 337 66 x 46 = 3 036
52 x 24 = 1 248 15 x 46 = 690
63 x 22 = 1 386 90 x 72 = 6 480
9 x 42 = 378 26 x 64 = 1 664

87


Multiplicaciones, nivel medio.

467 x 24 = 11 208 599 x 94 = 56 306
730 x 43 = 31 390 71 x 24 = 1 704
245 x 58 = 14 210 333 x 69 = 22 977
234 x 95 = 22 230 847 x 93 = 78 771
645 x 64 = 41 280 940 x 55 = 51 700
829 x 89 = 73 781 512 x 21 = 10 752
811 x 79 = 64 069 523 x 23 = 12 029
483 x 41 = 19 803 682 x 55 = 37 510
282 x 97 = 27 354 657 x 74 = 48 618
290 x 87 = 25 230 804 x 55 = 44 220
836 x 48 = 40 128 72 x 87 = 6 264
202 x 45 = 9 090 266 x 75 = 19 950
926 x 53 = 49 078 462 x 77 = 35 574
155 x 51 = 7 905 292 x 21 = 6 132
330 x 96 = 31 680 809 x 51 = 41 259
180 x 63 = 11 340 186 x 39 = 7 254
21 x 83 = 1 743 787 x 67 = 52 729
304 x 46 = 13 984 528 x 44 = 23 232
514 x 48 = 24 672 127 x 21 = 2 667
397 x 74 = 29 378 914 x 88 = 80 432
621 x 49 = 30 429 531 x 25 = 13 275
867 x 37 = 32 079 321 x 24 = 7 704
482 x 10 = 4 820 671 x 89 = 59 719
162 x 38 = 6 156 505 x 40 = 20 200
663 x 41 = 27 183 853 x 42 = 35 826
988 x 37 = 36 556 894 x 25 = 22 350
205 x 67 = 13 735 91 x 61 = 5 551
613 x 68 = 41 684 55 x 38 = 2 090
445 x 10 = 4 450 618 x 49 = 30 282
260 x 42 = 10 920 647 x 43 = 27 821
536 x 33 = 17 688 341 x 41 = 13 981
976 x 45 = 43 920 55 x 70 = 3 850
475 x 54 = 25 650 65 x 75 = 4 875
558 x 66 = 36 828 972 x 97 = 94 284
440 x 77 = 33 880 71 x 36 = 2 556
119 x 70 = 8 330 979 x 43 = 42 097
51 x 91 = 4 641 880 x 11 = 9 680
128 x 51 = 6 528 375 x 22 = 8 250
658 x 95 = 62 510 678 x 96 = 65 088
437 x 16 = 6 992 278 x 73 = 20 294
327 x 44 = 14 388 21 x 74 = 1 554
444 x 43 = 19 092 799 x 72 = 57 528
936 x 64 = 59 904 899 x 58 = 52 142
570 x 44 = 25 080 680 x 51 = 34 680
829 x 37 = 30 673 560 x 70 = 39 200
381 x 31 = 11 811 690 x 45 = 31 050
649 x 51 = 33 099 256 x 90 = 23 040
192 x 17 = 3 264 199 x 77 = 15 323
547 x 36 = 19 692 491 x 12 = 5 892
590 x 11 = 6 490 170 x 46 = 7 820

88


462 x 480 = 221 760 311 x 565 = 175 715
842 x 475 = 399 950 225 x 316 = 71 100
597 x 435 = 259 695 408 x 148 = 60 384
551 x 868 = 478 268 804 x 692 = 556 368
187 x 250 = 46 750 124 x 748 = 92 752
262 x 144 = 37 728 927 x 798 = 739 746
186 x 460 = 85 560 815 x 422 = 343 930
147 x 283 = 41 601 756 x 270 = 204 120
713 x 489 = 348 657 851 x 834 = 709 734
203 x 450 = 91 350 772 x 677 = 522 644
293 x 186 = 54 498 292 x 899 = 262 508
65 x 949 = 61 685 775 x 720 = 558 000
280 x 380 = 106 400 246 x 479 = 117 834
104 x 363 = 37 752 220 x 216 = 47 520
904 x 180 = 162 720 118 x 622 = 73 396
442 x 691 = 305 422 689 x 756 = 520 884
841 x 771 = 648 411 852 x 411 = 350 172
389 x 603 = 234 567 719 x 566 = 406 954
90 x 631 = 56 790 883 x 395 = 348 785
109 x 142 = 15 478 407 x 619 = 251 933
130 x 268 = 34 840 963 x 290 = 279 270
642 x 780 = 500 760 314 x 980 = 307 720
153 x 801 = 122 553 379 x 174 = 65 946
204 x 507 = 103 428 891 x 891 = 793 881
410 x 580 = 237 800 453 x 395 = 178 935
83 x 852 = 70 716 312 x 539 = 168 168
968 x 533 = 515 944 317 x 453 = 143 601
20 x 419 = 8 380 788 x 443 = 349 084
726 x 119 = 86 394 673 x 811 = 545 803
492 x 405 = 199 260 670 x 374 = 250 580
756 x 161 = 121 716 370 x 162 = 59 940
812 x 261 = 211 932 255 x 248 = 63 240
943 x 760 = 716 680 219 x 398 = 87 162
87 x 345 = 30 015 484 x 971 = 469 964
470 x 169 = 79 430 883 x 612 = 540 396
772 x 662 = 511 064 608 x 514 = 312 512
600 x 673 = 403 800 320 x 547 = 175 040
396 x 827 = 327 492 881 x 134 = 118 054
577 x 323 = 186 371 53 x 621 = 32 913
990 x 334 = 330 660 537 x 828 = 444 636
832 x 726 = 604 032 355 x 136 = 48 280
132 x 893 = 117 876 471 x 170 = 80 070
219 x 709 = 155 271 286 x 447 = 127 842
451 x 906 = 408 606 721 x 311 = 224 231
671 x 817 = 548 207 122 x 99 = 12 078
960 x 866 = 831 360 232 x 633 = 146 856
706 x 965 = 681 290 992 x 560 = 555 520
188 x 589 = 110 732 929 x 902 = 837 958
472 x 422 = 199 184 499 x 429 = 214 071
888 x 338 = 300 144 722 x 292 = 210 824

89


Multiplicaciones, nivel avanzado.

19 570 x 47 913 = 937 657 410
7 278 x 16 747 = 121 884 666
8 130 x 64 564 = 524 905 320
20 728 x 39 726 = 823 440 528
74 004 x 52 590 = 3 891 870 360
97 143 x 89 933 = 8 736 361 419
47 476 x 88 031 = 4 179 359 756
61 383 x 44 549 = 2 734 551 267
84 955 x 85 779 = 7 287 354 945
66 946 x 36 609 = 2 450 826 114
38 982 x 3 208 = 125 054 256
73 506 x 9 041 = 664 567 746
1 625 x 39 239 = 63 763 375
56 020 x 44 352 = 2 484 599 040
19 349 x 63 602 = 1 230 635 098
92 626 x 83 577 = 7 741 403 202
9 879 x 16 217 = 160 207 743
68 067 x 54 494 = 3 709 243 098
41 241 x 38 301 = 1 579 571 541
62 826 x 67 461 = 4 238 304 786
66 623 x 16 718 = 1 113 803 314
78 600 x 42 539 = 3 343 565 400
25 205 x 55 025 = 1 386 905 125
48 768 x 9 144 = 445 934 592
95 358 x 83 278 = 7 941 223 524
82 338 x 26 893 = 2 214 315 834
74 655 x 4 896 = 365 510 880
28 376 x 11 034 = 313 100 784
32 882 x 10 051 = 330 496 982
94 688 x 43 932 = 4 159 833 216
41 770 x 70 888 = 2 960 991 760
75 023 x 60 458 = 4 535 740 534
20 706 x 20 751 = 429 670 206
65 280 x 7 369 = 481 048 320
91 322 x 49 288 = 4 501 078 736
45 111 x 30 914 = 1 394 561 454
71 786 x 46 111 = 3 310 124 246
60 026 x 89 560 = 5 375 928 560
11 145 x 81 454 = 907 804 830
70 591 x 95 834 = 6 765 017 894
26 941 x 40 978 = 1 103 988 298
12 451 x 37 270 = 464 048 770
37 583 x 49 031 = 1 842 732 073
34 980 x 29 256 = 1 023 374 880
77 356 x 99 445 = 7 692 667 420
53 252 x 90 105 = 4 798 271 460
86 668 x 78 702 = 6 820 944 936
17 397 x 96 769 = 1 683 490 293
78 448 x 35 009 = 2 746 386 032
16 552 x 15 550 = 257 383 600

90


Divisiones, nivel principiante.

761 / 8 = 95,125 570 / 5 = 114,000
193 / 7 = 27,571 838 / 7 = 119,714
992 / 7 = 141,714 469 / 3 = 156,333
11 / 4 = 2,750 670 / 8 = 83,750
403 / 7 = 57,571 474 / 3 = 158,000
859 / 7 = 122,714 997 / 2 = 498,500
352 / 8 = 44,000 623 / 6 = 103,833
723 / 5 = 144,600 443 / 6 = 73,833
418 / 5 = 83,600 668 / 8 = 83,500
899 / 7 = 128,429 242 / 3 = 80,667
226 / 7 = 32,286 63 / 5 = 12,600
463 / 4 = 115,750 464 / 3 = 154,667
745 / 2 = 372,500 665 / 2 = 332,500
453 / 9 = 50,333 687 / 7 = 98,143
73 / 4 = 18,250 596 / 9 = 66,222
281 / 5 = 56,200 430 / 7 = 61,429
422 / 3 = 140,667 778 / 7 = 111,143
137 / 9 = 15,222 79 / 6 = 13,167
687 / 7 = 98,143 94 / 4 = 23,500
702 / 2 = 351,000 932 / 4 = 233,000
926 / 3 = 308,667 112 / 9 = 12,444
948 / 8 = 118,500 96 / 5 = 19,200
753 / 9 = 83,667 927 / 8 = 115,875
444 / 6 = 74,000 86 / 6 = 14,333
240 / 4 = 60,000 82 / 4 = 20,500
322 / 8 = 40,250 955 / 7 = 136,429
146 / 3 = 48,667 413 / 5 = 82,600
426 / 6 = 71,000 320 / 8 = 40,000
301 / 2 = 150,500 249 / 8 = 31,125
257 / 5 = 51,400 32 / 9 = 3,556
147 / 6 = 24,500 695 / 5 = 139,000
258 / 2 = 129,000 65 / 6 = 10,833
369 / 3 = 123,000 34 / 3 = 11,333
789 / 7 = 112,714 789 / 9 = 87,666
256 / 9 = 28,444 478 / 4 = 119,500
247 / 5 = 49,400 542 / 5 = 108,4
898 / 4 = 224,500 305 / 6 = 50,833
569 / 9 = 63,222 603 / 8 = 75,375
227 / 2 = 113,500 540 / 9 = 60,000
365 / 3 = 121,666 123 / 5 = 24,600
846 / 8 = 105,750 969 / 6 = 161,500
654 / 9 = 72,666 874 / 3 = 291,333
666 / 7 = 95,142 254 / 7 = 36,285
478 / 2 = 239,000 569 / 4 = 142,250
554 / 6 = 92,333 595 / 5 = 119,000
302 / 4 = 75,500 598 / 6 = 99,666
300 / 6 = 50,000 555 / 8 = 69,375
730 / 2 = 365,000 980 / 5 = 196,000
269 / 5 = 53,800 308 / 7 = 44,000
56 / 9 = 6,222 999 / 8 = 124,875

91


Divisiones, nivel medio.

782 / 19 = 41,158 381 / 13 = 29,308
155 / 53 = 2,925 550 / 21 = 26,190
454 / 90 = 5,044 13 / 31 = 0,419
764 / 9 = 84,889 383 / 70 = 5,471
363 / 53 = 6,849 396 / 80 = 4,950
611 / 86 = 7,105 295 / 47 = 6,277
927 / 56 = 16,554 352 / 53 = 6,642
96 / 31 = 3,097 686 / 33 = 20,788
477 / 26 = 18,346 398 / 14 = 28,429
492 / 54 = 9,111 531 / 54 = 9,833
646 / 69 = 9,362 163 / 75 = 2,173
416 / 61 = 6,820 698 / 23 = 30,348
825 / 63 = 13,095 541 / 87 = 6,218
59 / 65 = 0,908 71 / 80 = 0,888
979 / 20 = 48,950 544 / 27 = 20,148
916 / 75 = 12,213 569 / 71 = 8,014
806 / 50 = 16,120 451 / 90 = 5,011
677 / 33 = 20,515 612 / 98 = 6,245
998 / 18 = 55,444 925 / 19 = 48,684
478 / 86 = 5,558 25 / 21 = 1,190
378 / 72 = 5,250 75 / 76 = 0,987
442 / 80 = 5,525 588 / 28 = 21,000
490 / 59 = 8,305 596 / 75 = 7,947
339 / 32 = 10,594 358 / 19 = 18,842
470 / 77 = 6,104 887 / 20 = 44,350
298 / 71 = 4,197 94 / 70 = 1,343
320 / 48 = 6,667 103 / 88 = 1,170
498 / 73 = 6,822 482 / 94 = 5,128
496 / 27 = 18,370 48 / 26 = 1,846
357 / 98 = 3,643 321 / 20 = 16,050
147 / 23 = 6,391 369 / 69 = 5,347
365 / 54 = 6,759 145 / 47 = 3,085
578 / 78 = 7,410 478 / 55 = 8,690
654 / 14 = 46,714 555 / 60 = 9,250
233 / 69 = 3,376 621 / 15 = 41,400
259 / 55 = 4,709 151 / 32 = 4,718
201 / 21 = 9,571 220 / 65 = 3,384
759 / 32 = 23,718 984 / 92 = 10,695
147 / 15 = 9,800 760 / 48 = 15,833
998 / 78 = 12,794 829 / 43 = 19,279
855 / 14 = 61,071 884 / 25 = 35,360
554 / 91 = 6,087 320 / 14 = 22,857
698 / 30 = 23,266 333 / 17 = 19,588
993 / 68 = 14,602 970 / 26 = 37,307
981 / 47 = 20,872 994 / 34 = 29,235
452 / 55 = 8,218 639 / 56 = 11,410
223 / 60 = 3,716 338 / 97 = 3,484
189 / 14 = 13,500 251 / 43 = 5,837
509 / 19 = 26,789 784 / 52 = 15,076
200 / 67 = 2,985 554 / 16 = 34,625

92


Divisiones, nivel avanzado.

92 986 / 213 = 436,554 53 834 / 639 = 84,247
21 788 / 580 = 37,566 29 388 / 596 = 49,309
99 134 / 505 = 196,305 53 199 / 616 = 86,362
59 026 / 731 = 80,747 48 222 / 917 = 52,587
29 925 / 786 = 38,073 41 278 / 996 = 41,444
78 226 / 404 = 193,629 21 773 / 194 = 112,232
8 882 / 355 = 25,020 53 907 / 857 = 62,902
22 282 / 621 = 35,881 47 796 / 627 = 76,230
18 249 / 516 = 35,366 70 736 / 369 = 191,696
91 356 / 893 = 102,302 33 387 / 326 = 102,414
41 352 / 302 = 136,927 96 791 / 128 = 756,180
72 204 / 918 = 78,654 10 831 / 626 = 17,302
59 545 / 213 = 279,554 23 226 / 296 = 78,466
61 927 / 487 = 127,160 4 300 / 788 = 5,457
24 504 / 979 = 25,030 34 569 / 532 = 64,979
32 223 / 733 = 43,960 75 719 / 638 = 118,682
21 108 / 244 = 86,508 74 110 / 144 = 514,653
53 010 / 882 = 60,102 28 280 / 602 = 46,977
38 257 / 438 = 87,345 3 420 / 475 = 7,200
73 928 / 939 = 78,731 23 113 / 105 = 220,124
63 991 / 765 = 83,648 61 952 / 900 = 68,836
86 037 / 268 = 321,034 27 090 / 547 = 49,525
60 895 / 169 = 360,325 18 216 / 305 = 59,725
60 339 / 905 = 66,673 28 939 / 973 = 29,742
83 550 / 515 = 162,233 37 507 / 971 = 38,627
58 759 / 221 = 265,878 12 142 / 738 = 16,453
40 158 / 953 = 42,139 86 791 / 99 = 876,677
99 697 / 333 = 299,390 95 924 / 136 = 705,324
93 591 / 618 = 151,442 20 092 / 409 = 49,125
54 831 / 551 = 99,512 12 920 / 876 = 14,749
26 255 / 265 = 99,075 21 428 / 548 = 39,102
41 378 / 478 = 86,564 72 747 / 655 = 111,064
14 784 / 589 = 25,100 68 078 / 749 = 90,891
57 695 / 699 = 82,539 5 940 / 978 = 6,073
92 569 / 675 = 137,139 70 259 / 523 = 134,338
53 042 / 116 = 457,258 91 890 / 443 = 207,426
28 779 / 735 = 39,155 43 059 / 701 = 61,425
38 998 / 749 = 52,066 13 264 / 855 = 15,513
49 460 / 594 = 83,265 58 428 / 461 = 126,741
82 263 / 483 = 170,316 88 414 / 337 = 262,356
34 512 / 815 = 42,346 25 312 / 123 = 205,788
83 725 / 123 = 680,691 75 081 / 809 = 92,807
24 113 / 301 = 80,109 93 134 / 473 = 196,900
72 619 / 479 = 151,605 82 623 / 829 = 99,665
40 123 / 126 = 318,436 54 611 / 632 = 86,409
72 360 / 349 = 207,335 77 128 / 310 = 248,800
51 177 / 177 = 289,135 91 113 / 901 = 101,124
68 792 / 262 = 262,564 70 168 / 117 = 599,726
35 936 / 954 = 37,668 82 129 / 677 = 121,313
72 127 / 103 = 700,262 91 687 / 638 = 143,710

93


Potencias y raíces cuadradas.

7 ^ 9 = 40 353 607
44 ^ 7 = 319 277 809 664
81 ^ 7 = 22 876 792 454 961
30 ^ 2 = 900
61 ^ 4 = 13 845 841
78 ^ 4 = 37 015 056
60 ^ 5 = 777 600 000
37 ^ 5 = 69 343 957
29 ^ 3 = 24 389
85 ^ 6 = 377 149 515 625
295 ^ 3 = 25 672 375
219 ^ 3 = 10 503 459
303 ^ 2 = 91 809
490 ^ 3 = 117 649 000
567 ^ 3 = 182 284 263
1 420 ^ 3 = 2 863 288 000
812 ^ 3 = 535 387 328
723 ^ 3 = 377 933 067
1 104 ^ 3 = 1 345 572 864
1 201 ^ 3 = 1 732 323 601

√¯¯ 54 = 7,3485 √¯¯ 92 = 9,5917
√¯¯ 34 = 5,8310 √¯¯ 28 = 5,2915
√¯¯ 47 = 6,8557 √¯¯ 50 = 7,0711
√¯¯ 22 = 4,6904 √¯¯ 42 = 6,4807
√¯¯ 18 = 4,2426 √¯¯ 28 = 5,2915
√¯¯ 158 = 12,570 √¯¯ 377 = 19,416
√¯¯ 427 = 20,664 √¯¯ 171 = 13,077
√¯¯ 691 = 26,287 √¯¯ 403 = 20,075
√¯¯ 762 = 27,604 √¯¯ 902 = 30,033
√¯¯ 817 = 28,583 √¯¯ 152 = 12,329
√¯¯ 7 585 = 87,092 √¯¯ 2 482 = 49,820
√¯¯ 8 495 = 92,168 √¯¯ 7 389 = 85,959
√¯¯ 4 247 = 65,169 √¯¯ 1 031 = 32,109
√¯¯ 2 041 = 45,177 √¯¯ 2 611 = 51,098
√¯¯ 3 240 = 56,920 √¯¯ 4 328 = 65,787
√¯¯ 6 530 = 80,808 √¯¯ 6 291 = 79,315
√¯¯ 10 541 = 102,669 √¯¯ 5 933 = 77,025
√¯¯ 25 387 = 159,332 √¯¯ 28 111 = 167,663
√¯¯ 61 323 = 247,634 √¯¯ 19 284 = 138,866
√¯¯ 86 709 = 294,463 √¯¯ 99 871 = 316,023

94


• Ejercicios oficiales para la obtención de Licencia de Calculista en Japón

1. Grado Ocho

Grupo A
(1 columna / minuto, o grupo completo en 10 min. con 70% aciertos)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
62 35 71 20 86 14 90 57 82 49
15 70 45 38 92 20 26 69 54 80
40 29 36 92 50 97 -83 32 -73 21
71 86 50 13 29 65 59 70 -38 68
84 43 -92 56 -74 28 42 31 10 32
26 58 -27 90 51 73 -15 46 29 14
97 10 83 84 63 41 -60 18 76 95
80 64 19 47 -30 56 47 94 -61 70
39 17 -60 75 -48 30 31 25 40 53
53 92 84 61 17 89 78 80 95 76
567 504 209 576 236 513 215 522 214 558

Grupo B Grupo C
(70 % ac. 10 min.) (70% ac. 10 min.)
(1) 45 x 8 = 360 (1) 72 / 2 = 36
(2) 73 x 4 = 292 (2) 135 / 5 = 27
(3) 52 x 2 = 104 (3) 246 / 3 = 82
(4) 38 x 7 = 266 (4) 126 / 9 = 14
(5) 94 x 3 = 282 (5) 413 / 7 = 59
(6) 15 x 6 = 90 (6) 300 / 4 = 75
(7) 86 x 9 = 774 (7) 744 / 8 = 93
(8) 67 x 5 = 335 (8) 288 / 6 = 48
(9) 21 x 8 = 168 (9) 183 / 3 = 61
(10) 79 x 6 = 474 (10) 435 / 5 = 87
(11) 134 x 3 = 402 (11) 8 829 / 9 = 981
(12) 509 x 2 = 1 018 (12) 420 / 4 = 105
(13) 876 x 8 = 7 008 (13) 2 634 / 6 = 439
(14) 623 x 4 = 2 492 (14) 752 / 2 = 376
(15) 258 x 9 = 2 322 (15) 4 336 / 8 = 542
(16) 480 x 6 = 2 880 (16) 4 050 / 5 = 810
(17) 942 x 5 = 4 710 (17) 1 906 / 2 = 953
(18) 715 x 7 = 5 005 (18) 2 124 / 3 = 708
(19) 301 x 4 = 1 204 (19) 1 068 / 4 = 267
(20) 697 x 3 = 2 091 (20) 4 368 / 7 = 624

95


2. Grado Siete

Bloque 1, Grupo A

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
45 63 87 31 56 94 26 79 70 12
78 95 60 19 27 70 98 16 45 60
30 59 31 40 68 19 -20 84 61 85
59 -80 48 95 90 51 -57 40 13 -32
61 -43 24 -87 31 35 41 62 90 -78
96 78 12 -28 47 60 93 97 24 45
20 51 39 30 82 89 -65 23 57 90
83 -27 50 72 43 46 10 95 38 76
52 82 67 16 10 18 74 60 47 -53
17 90 29 -57 24 42 58 35 96 10
93 -64 15 20 93 37 -89 21 80 34
40 -37 98 65 51 68 -13 74 12 -89
62 10 54 -43 80 27 30 83 35 -71
81 46 70 -64 69 50 76 18 26 94
74 12 36 98 75 23 42 50 89 67
891 335 720 207 846 729 304 837 783 250

Grupo B Grupo C
(70 % ac. 10 min.) (70% ac. 10 min.)
(1) 7 832 x 6 = 46 992 (1) 402 / 2 = 201
(2) 4 096 x 7 = 28 672 (2) 6 776 / 7 = 968
(3) 6 348 x 8 = 50 784 (3) 3 282 / 6 = 547
(4) 1 573 x 4 = 6 292 (4) 2 430 / 3 = 810
(5) 8 105 x 9 = 72 945 (5) 5 536 / 8 = 692
(6) 2 619 x 3 = 7 857 (6) 1 380 / 4 = 345
(7) 5 980 x 6 = 35 880 (7) 3 180 / 6 = 530
(8) 3 467 x 5 = 17 335 (8) 7 101 / 9 = 789
(9) 9 024 x 9 = 81 216 (9) 3 408 / 8 = 426
(10) 2 751 x 2 = 5 502 (10) 865 / 5 = 173
(11) 3 647 x 6 = 21 882 (11) 3 896 / 4 = 974
(12) 9 502 x 4 = 38 008 (12) 966 / 7 = 138
(13) 6 138 x 3 = 18 414 (13) 1 184 / 2 = 592
(14) 8 420 x 9 = 75 780 (14) 4 830 / 6 = 805
(15) 4 975 x 2 = 9 950 (15) 807 / 3 = 269
(16) 1 769 x 8 = 14 152 (16) 2 250 / 5 = 450
(17) 7 081 x 4 = 28 324 (17) 2 468 / 4 = 617
(18) 2 153 x 2 = 4 306 (18) 682 / 2 = 341
(19) 5 304 x 5 = 26 520 (19) 5 648 / 8 = 706
(20) 8 296 x 7 = 58 072 (20) 7 407 / 9 = 823

96


Bloque 2, Grupo A
(70% ac. 10 min.)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
61 47 21 86 34 53 95 78 16 41
72 16 90 47 68 61 59 40 83 68
30 28 64 91 -50 42 10 61 -24 90
84 60 -39 20 -37 90 -46 35 -70 42
12 59 -70 35 64 57 -89 84 25 37
89 32 94 58 15 32 71 27 93 56
93 75 18 24 40 18 20 95 41 27
10 39 56 10 -83 25 64 50 -67 10
56 40 -82 73 29 70 -23 32 80 96
34 18 25 69 71 64 87 19 35 53
59 83 43 26 97 86 30 94 78 39
67 71 80 49 -21 39 15 87 -46 28
75 50 -67 18 -60 80 -78 23 -59 70
20 94 -71 30 58 74 -62 16 90 14
48 26 53 75 92 91 34 60 12 85
810 738 215 711 317 882 187 801 287 756

Grupo B Grupo C
(70 % ac. 10 min.) (70% ac. 10 min.)
(1) 2 604 x 3 = 7 812 (1) 4 077 / 9 = 453
(2) 5 219 x 7 = 36 533 (2) 2 667 / 7 = 381
(3) 8 045 x 5 = 4 0 225 (3) 1 612 / 2 = 806
(4) 1 573 x 6 = 9438 (4) 2 810 / 5 = 562
(5) 3 987 x 2 = 7 974 (5) 882 / 3 = 294
(6) 6 820 x 4 = 27 280 (6) 5 096 / 7 = 728
(7) 9 751 x 9 = 87 759 (7) 680 / 4 = 170
(8) 7 406 x 8 = 59 248 (8) 957 / 3 = 319
(9) 4 132 x 3 = 12 396 (9) 7 240 / 8 = 905
(10) 9 368 x 7 = 65 576 (10) 3 882 / 6 = 647
(11) 6 972 x 6 = 41 832 (11) 5 481 / 7 = 783
(12) 3 285 x 3 = 9 855 (12) 2 100 / 6 = 350
(13) 5 049 x 2 = 10 098 (13) 6 246 / 9 = 694
(14) 1 856 x 4 = 7 424 (14) 1 195 / 5 = 239
(15) 8 391 x 8 = 67 128 (15) 3 488 / 4 = 872
(16) 4 703 x 9 = 42 327 (16) 435 / 3 = 145
(17) 2 168 x 4 = 8 672 (17) 1 054 / 2 = 527
(18) 9 027 x 3 = 27 081 (18) 900 / 5 = 180
(19) 7 430 x 7 = 52 010 (19) 7 744 / 8 = 968
(20) 6 514 x 5 = 32 570 (20) 832 / 2 = 416

97


3. Grado Seis

Bloque 1, Grupo A

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
35 64 9 017 781 29 83 459 6 082 54 207
409 5 013 928 350 67 962 104 94 592 18
852 937 241 19 8 024 38 -76 350 9 364 173
14 790 -58 28 71 5 093 -395 71 -108 14
3 267 28 -703 974 -438 126 7 201 259 -46 3 059
198 576 342 6 831 -92 40 68 37 15 86
41 102 96 402 684 57 890 25 687 542
620 58 430 56 305 814 24 68 30 69
93 4 681 73 98 586 71 16 1 704 879 250
8 065 25 16 34 90 2 708 -73 219 13 67
47 872 65 2 097 -1 632 345 -248 73 205 938
971 34 -809 516 -741 96 -3 091 854 -36 8 401
53 609 -7 521 45 -53 607 67 380 -4 071 97
702 91 -86 27 910 54 582 69 -728 45
86 43 54 603 57 219 35 146 92 623
15453 13 923 2 085 12861 7 867 11 313 5 563 10 431 6 942 14 589

Grupo B Grupo C
(70 % ac. 10 min.) (70% ac. 10 min.)
(1) 46 x 754 = 34 684 (1) 1 288 / 56 = 23
(2) 703 x 13 = 9 139 (2) 1 568 / 98 = 16
(3) 28 x 972 = 27 216 (3) 1 554 / 21 = 74
(4) 159 x 69 = 10 971 (4) 1 505 / 35 = 43
(5) 82 x 407 = 33 374 (5) 4 030 / 62 = 65
(6) 514 x 18 = 9 252 (6) 4 324 / 47 = 92
(7) 37 x 230 = 8 510 (7) 2 573 / 83 = 31
(8) 950 x 51 = 48 450 (8) 1 102 / 19 = 58
(9) 64 x 805 = 51 520 (9) 1 406 / 74 = 19
(10) 821 x 36 = 29 556 (10) 8 004 / 92 = 87
(11) 798 x 84 = 67 032 (11) 516 / 43 = 12
(12) 45 x 289 = 13 005 (12) 918 / 27 = 34
(13) 172 x 52 = 8 944 (13) 5 472 / 72 = 76
(14) 630 x 65 = 40 950 (14) 1 302 / 14 = 93
(15) 84 x 906 = 76 104 (15) 3 936 / 89 = 41
(16) 209 x 47 = 9 823 (16) 4 930 / 58 = 85
(17) 51 x 743 = 37 893 (17) 5 963 / 89 = 67
(18) 306 x 19 = 5 814 (18) 899 / 31 = 29
(19) 97 x 308 = 29 876 (19) 3 640 / 65 = 56
(20) 63 x 261 = 16 443 (20) 2 592 / 54 = 48

98


Bloque 2, Grupo A
(70% ac. 10 min.)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
586 41 873 268 184 725 92 308 657 468
93 705 345 981 510 86 743 96 14 274
610 539 62 705 61 97 10 473 280 59
139 285 204 -53 647 830 451 89 906 412
304 129 583 -178 79 15 -809 21 45 160
78 -450 691 94 803 957 -65 140 -12 358
42 -683 78 360 52 401 586 897 -138 907
175 -42 306 412 923 648 31 205 -879 13
762 801 452 -29 490 312 708 34 923 76
407 93 18 -506 735 60 -342 516 498 802
863 217 790 -635 96 502 -74 925 60 35
51 -964 29 840 318 243 -623 650 327 791
920 -78 145 27 574 89 290 874 -705 623
98 360 67 491 26 173 968 731 -46 580
245 76 910 73 208 694 157 62 531 49
5 373 1 029 5 553 2 850 5 706 5 832 2 123 6 021 2 461 5 607

Grupo B Grupo C
(70 % acc. 10 min.) (70% ac. 10 min.)
(1) 403 x 73 = 29 419 (1) 888 / 74 = 12
(2) 26 x 208 = 5 408 (2) 782 / 23 = 34
(3) 589 x 74 = 43 586 (3) 3 953 / 59 = 67
(4) 81 x 861 = 69 741 (4) 476 / 17 = 28
(5) 170 x 49 = 8 330 (5) 7 990 / 85 = 94
(6) 68 x 617 = 41 956 (6) 2 576 / 46 = 56
(7) 945 x 14 = 13 230 (7) 6 643 / 91 = 73
(8) 307 x 32 = 9 824 (8) 1 558 / 38 = 41
(9) 69 x 506 = 34 914 (9) 5 518 / 62 = 89
(10) 72 x 985 = 70 920 (10) 945 / 27 = 35
(11) 34 x 194 = 6 596 (11) 4 335 / 85 = 51
(12) 512 x 83 = 42 496 (12) 3 570 / 42 = 85
(13) 49 x 508 = 24 892 (13) 882 / 14 = 63
(14) 301 x 27 = 8 127 (14) 2 652 / 68 = 39
(15) 758 x 91 = 68 978 (15) 7 068 / 93 = 76
(16) 93 x 609 = 56 637 (16) 5 586 / 57 = 98
(17) 206 x 35 = 7 210 (17) 783 / 29 = 27
(18) 87 x 402 = 34 974 (18) 994 / 71 = 14
(19) 65 x 253 = 16 445 (19) 1 512 / 36 = 42
(20) 124 x 76 = 9 424 (20) 684 / 19 = 36

99


4. Grado Cinco

Bloque 1, Grupo A

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
576 8 294 603 3 918 702 423 186 307 9 684 237
2 089 435 481 706 9 318 357 534 1 273 509 7 815
961 3 108 894 327 529 4 108 129 918 763 592
846 912 5 021 986 437 689 9 705 134 -2 157 346
417 593 372 8 031 -654 1 594 671 8 059 -406 954
6 752 237 9 140 795 -231 380 830 462 -813 5 081
408 1 689 975 641 -3 048 516 -3 284 391 6 045 478
7 813 860 256 4 823 197 7 634 -157 4 907 526 643
359 7 046 -417 590 6 851 290 5 021 746 270 9 075
9 210 572 -8 306 254 960 825 789 598 3 481 380
783 904 421 1 085 -893 2 067 -493 7 610 934 162
5 034 745 6 359 143 -2 786 942 -7 260 852 -317 6 239
192 8 061 -738 562 402 8 759 -948 625 -8 059 170
624 753 -2 069 476 1 975 301 6 402 583 298 601
305 621 -847 7 209 064 176 365 2 064 172 4 928
36369 34830 12045 30546 18823 29061 12490 29529 10930 37701

Grupo B Grupo C
(70 % ac. 10 min.) (70% ac. 10 min.)
(1) 601 x 138 = 82 938 (1) 9 180 / 108 = 85
(2) 247 x 375 = 92 625 (2) 8 232 / 42 = 196
(3) 5 630 x 87 = 489 810 (3) 50 934 / 653 = 78
(4) 415 x 746 = 309 590 (4) 49 282 / 82 = 601
(5) 879 x 213 = 187 227 (5) 15 141 / 309 = 49
(6) 358 x 601 = 215 158 (6) 28 917 / 51 = 567
(7) 926 x 950 = 879 700 (7) 66 822 / 74 = 903
(8) 104 x 594 = 61 776 (8) 26 236 / 937 = 28
(9) 72 x 8 062 = 580 464 (9) 7 550 / 25 = 302
(10) 983 x 429 = 421 707 (10) 30 784 / 416 = 74
(11) 459 x 946 = 434 214 (11) 14 196 / 39 = 364
(12) 703 x 217 = 152 551 (12) 8 333 / 641 = 13
(13) 198 x 683 = 135 234 (13) 5 508 / 204 = 27
(14) 942 x 825 = 777 150 (14) 70 590 / 78 = 905
(15) 61 x 3 901 = 237 961 (15) 45 568 / 512 = 89
(16) 205 x 472 = 96 760 (16) 51 085 / 85 = 601
(17) 862 x 730 = 629 260 (17) 9 280 / 16 = 580
(18) 3 807 x 69 = 262 683 (18) 65 016 / 903 = 72
(19) 174 x 504 = 87 696 (19) 22 372 / 47 = 476
(20) 536 x 158 = 84 688 (20) 31 850 / 325 = 98

100


Bloque 2, Grupo A
(70% ac. 10 min.)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
1 063 274 319 4 657 530 6 841 805 956 728 4 059
542 8 029 753 208 3 714 265 154 7 209 156 236
951 367 8 406 431 862 1 079 7 061 567 4 809 941
674 3 510 837 -1 629 495 682 142 498 237 1 308
8 502 781 264 -370 7 023 236 869 3 015 416 179
349 -608 1 472 593 971 8 903 237 947 6 038 897
175 -2 153 950 8 042 839 579 9 740 572 345 2 610
928 -467 3 029 416 9 506 713 -392 1 086 -293 798
6 730 892 145 359 648 2 054 -128 621 -9 507 562
481 9 046 581 6 283 187 928 -5 093 835 184 8 205
7 209 431 936 107 2 368 435 817 2 690 451 386
856 584 7 620 -925 240 197 6 284 723 7 069 463
293 -5 670 814 -768 571 4 780 356 134 -273 5 017
4 018 -239 6 095 -5 890 124 305 -3 479 408 -690 423
367 915 728 174 6 059 146 -605 8 341 -5 182 574
33138 15692 32949 11688 34137 28143 16768 28602 4488 26658

Grupo B Grupo C
(70 % ac. 10 min.) (70% ac. 10 min.)
(1) 723 x 815 = 589 245 (1) 51 874 / 74 = 701
(2) 38 x 4 079 = 155 002 (2) 45 301 / 509 = 89
(3) 901 x 687 = 618 987 (3) 14 118 / 26 = 543
(4) 467 x 942 = 439 914 (4) 42 151 / 691 = 61
(5) 235 x 351 = 82 485 (5) 7 585 / 37 = 205
(6) 6 702 x 14 = 93 828 (6) 8 676 / 482 = 18
(7) 149 x 530 = 78 970 (7) 29 056 / 908 = 32
(8) 584 x 603 = 352 152 (8) 3 302 / 13 = 254
(9) 816 x 296 = 241 536 (9) 37 060 / 85 = 436
(10) 950 x 728 = 691 600 (10) 68 482 / 706 = 97
(11) 257 x 498 = 127 986 (11) 11 856 / 624 = 19
(12) 183 x 532 = 97 356 (12) 40 356 / 57 = 708
(13) 49 x 6 705 = 328 545 (13) 52 136 / 931 = 56
(14) 802 x 103 = 82 606 (14) 33 615 / 405 = 83
(15) 716 x 789 = 564 924 (15) 59 512 / 86 = 692
(16) 364 x 217 = 78 988 (16) 2 856 / 14 = 204
(17) 9 408 x 31 = 261 648 (17) 26 274 / 302 = 87
(18) 521 x 856 = 445 976 (18) 8 428 / 28 = 301
(19) 390 x 264 = 102 960 (19) 77 104 / 79 = 976
(20) 675 x 940 = 634 500 (20) 6 885 / 153 = 45

101


Bloque 3, Grupo A
(70% ac. 10 min.)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
741 2 908 456 1 063 601 397 8 509 516 907 371
6 102 847 321 759 2 738 206 971 4 089 132 653
819 758 9 604 3 941 573 421 128 934 8 021 492
4 057 3 416 259 528 697 1 035 613 5 129 346 6 104
938 673 512 709 528 647 2 760 761 238 589
692 -105 7 364 247 7 089 531 597 830 -176 4 068
8 720 -369 947 5 482 316 785 381 6 208 -2 759 815
143 -5 280 396 620 -8 172 4 190 435 792 -681 7 920
9 567 721 4 018 135 -450 928 -7 043 831 3 460 9 173
285 954 130 8 062 849 6 273 -816 627 594 258
306 -1 470 685 594 9 403 806 564 7 283 -815 304
928 -536 8 207 317 -961 5 469 9 308 345 -5 092 167
5 034 182 793 486 -245 714 -726 590 4 978 5 049
476 6 093 278 901 -3 016 852 -4 952 1 054 703 726
315 942 1 850 6 873 254 3 098 -240 476 564 832
39123 9734 35820 30717 10204 26352 10489 30465 10420 37521

Grupo B Grupo C
(70 % ac. 10 min.) (70% ac. 10 min.)
(1) 415 x 948 = 393 420 (1) 55 647 / 81 = 687
(2) 952 x 852 = 811 104 (2) 56 870 / 605 = 94
(3) 381 x 176 = 67 056 (3) 7 599 / 149 = 51
(4) 64 x 6 307 = 403 648 (4) 36 868 / 52 = 709
(5) 890 x 219 = 194 910 (5) 2 808 / 216 = 13
(6) 167 x 563 = 94 021 (6) 67 200 / 75 = 896
(7) 523 x 490 = 256 270 (7) 8 289 / 307 = 27
(8) 7 048 x 75 = 528 600 (8) 41 495 / 43 = 965
(9) 279 x 184 = 79 236 (9) 28 952 / 94 = 308
(10) 306 x 301 = 92 106 (10) 5 376 / 128 = 42
(11) 675 x 369 = 249 075 (11) 18 666 / 306 = 61
(12) 1 948 x 54 = 105 192 (12) 7 605 / 15 = 507
(13) 403 x 890 = 358 670 (13) 30 848 / 64 = 482
(14) 21 x 4 701 = 98 721 (14) 7 884 / 219 = 36
(15) 906 x 548 = 496 488 (15) 72 071 / 743 = 97
(16) 587 x 132 = 77 484 (16) 82 156 / 92 = 893
(17) 862 x 607 = 523 234 (17) 34 983 / 507 = 69
(18) 359 x 286 = 102 674 (18) 57 024 / 81 = 704
(19) 730 x 913 = 666 490 (19) 8 136 / 452 = 18
(20) 124 x 725 = 89 900 (20) 7 790 / 38 = 205

102


5. Grado Cuatro

Bloque 1, Grupo A

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
629 7 084 13 472 8 563 698 40 615 293 5 471 90 386 3 257
3 167 653 4 081 795 5 907 123 6 748 186 419 60 382
82 036 3 471 958 6 041 654 7 850 913 42 305 3 504 935
578 49 680 65 412 359 3 761 584 1 095 -627 927 78 106
9 247 -8 163 7 504 7 261 80 342 1 609 78 932 -6 741 4 036 -679
15 402 -794 963 50 178 531 90 476 689 20 567 71 285 -1 538
139 162 80 721 98 432 4 270 6 398 17 504 492 598 -82 041
8 576 27 905 3 852 -7 510 65 492 213 9 827 91 058 32 960 467
30 951 8 741 139 -42 087 789 27 064 451 -9 683 4 187 50 219
745 91 036 26 598 -623 10 928 947 82 076 -539 651 -4 983
2 810 56 327 9 605 39 401 5 163 54 801 1 463 -31 870 14 706 -759
71 684 209 437 896 73 095 1 326 60 852 5 324 3 542 27 130
493 -852 70 216 -8 304 817 37 892 3 174 908 80 269 6 814
4 508 -30 915 8 647 -712 1204 935 52 630 3 216 723 4 096
60 392 -2 548 390 26 945 42 386 8 752 405 80 947 5 871 425
291357 201996 292995 179653 296037 279585 317052 201014 314064 141831

Grupo B Grupo C
(70 % ac. 10 min.) (70% ac. 10 min.)
(1) 4 321 x 607 = 2 622 847 (1) 130 977 / 567 = 231
(2) 9 108 x 938 = 8 543 304 (2) 440 700 / 975 = 452
(3) 7 685 x 452 = 3 473 620 (3) 336 226 / 341 = 986
(4) 2 934 x 120 = 352 080 (4) 81 624 / 456 = 179
(5) 5 017 x 543 = 2 724 231 (5) 622 800 / 720 = 865
(6) 8 652 x 789 = 6 826 428 (6) 67 402 / 134 = 503
(7) 3 476 x 204 = 709 104 (7) 502 854 / 802 = 627
(8) 1 809 x 671 = 1 213 839 (8) 90 746 / 289 = 314
(9) 6 523 x 316 = 2 061 268 (9) 294 240 / 613 = 480
(10) 7 940 x 895 = 7 106 300 (10) 724 584 / 908 = 798
(11) 2 463 x 271 = 667 473 (11) 821 215 / 851 = 965
(12) 6 289 x 613 = 3 855 157 (12) 99 144 / 408 = 243
(13) 3 045 x 492 = 1 498 140 (13) 493 425 / 675 = 731
(14) 8 251 x 507 = 4 183 257 (14) 77 089 / 127 = 607
(15) 7 836 x 324 = 2 538 864 (15) 31 968 / 296 = 108
(16) 5 970 x 749 = 4 471 530 (16) 248 992 / 502 = 496
(17) 9 012 x 830 = 7 479 960 (17) 84 940 / 310 = 274
(18) 4 758 x 186 = 884 988 (18) 567 207 / 963 = 589
(19) 8 617 x 905 = 7 798 385 (19) 136 090 / 439 = 310
(20) 1 394 x 658 = 917 252 (20) 667 968 / 784 = 852

103


Bloque 2, Grupo A
(70% ac. 10 min.)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
4 068 371 93 416 8 506 74 289 1 903 6 081 25 937 813 56 209
975 30 142 6 904 75 243 315 246 943 3 216 51 402 392
43 106 5 489 21 586 759 1 082 36 152 3 257 64 108 2 769 60 528
1 279 901 7 843 60 138 471 580 87 109 967 80 624 137
50 813 6 492 397 -7 865 16 208 29 365 548 -7 091 6 157 7 630
497 72 054 6 052 -971 4 539 5 078 20 816 -459 47 098 -293
7160 -523 87 931 1 084 293 8 914 9 457 620 834 -8 145
9 582 -64 370 728 32 416 90 614 57 681 872 30 415 3 571 -94 028
251 -7 865 240 -9 302 5 367 409 5 139 732 18 290 3 684
86 304 218 5 072 -615 86 970 1 853 726 -54 803 419 10 957
629 45 806 53 419 -48 127 9 156 60 729 43 065 -1 278 2 365 479
20 374 -9 762 805 793 304 498 2 493 -564 942 -4 851
8 735 -689 70 693 6 540 762 7 031 76 340 8 925 6 087 -713
281 10 935 2 581 924 8 045 247 629 90 183 356 5 046
95 346 8 317 164 20 398 57 823 46 372 15 084 7 846 79 503 81 762
329400 97516 357831 139921 356238 257058 272259 168754 301230 118794

Grupo B Grupo C
(70 % ac. 10 min.) (70% ac. 10 min.)
(1) 9 634 x 426 = 4 104 084 (1) 346 800 / 850 = 408
(2) 2 761 x 593 = 1 637 273 (2) 64 390 / 274 = 235
(3) 4 508 x 180 = 811 440 (3) 419 152 / 536 = 782
(4) 7 985 x 867 = 6 922 995 (4) 89 027 / 701 = 127
(5) 3 120 x 305 = 951 600 (5) 80 850 / 165 = 490
(6) 6 842 x 751 = 5 138 342 (6) 250 158 / 482 = 519
(7) 1 076 x 918 = 987 768 (7) 130 472 / 347 = 376
(8) 8 453 x 472 = 3 989 816 (8) 586 112 / 608 = 964
(9) 5 917 x 609 = 3 603 453 (9) 787 319 / 923 = 853
(10) 3 209 x 234 = 750 906 (10) 95 559 / 159 = 601
(11) 6 013 x 801 = 4 816 413 (11) 368 193 / 623 = 591
(12) 3 497 x 487 = 1 703 039 (12) 26 520 / 195 = 136
(13) 9 084 x 712 = 6 467 808 (13) 216 832 / 308 = 704
(14) 4 526 x 206 = 932 356 (14) 603 880 / 974 = 620
(15) 8 761 x 658 = 5 764 738 (15) 140 322 / 546 = 257
(16) 2 905 x 923 = 2 681 315 (16) 666 462 / 831 = 802
(17) 5 430 x 165 = 895 950 (17) 88 665 / 257 = 345
(18) 1 258 x 594 = 747 252 (18) 402 047 / 409 = 983
(19) 3 872 x 370 = 1 432 640 (19) 326 876 / 782 = 418
(20) 7 619 x 439 = 3 344 741 (20) 469 090 / 610 = 769

104


Bloque 3, Grupo A
(70% ac. 10 min.)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
2 819 314 80 593 4 295 63 017 7 694 579 18 024 9 072 798
15 038 2 639 921 50 973 4 361 853 4 106 9 132 265 34 019
946 708 1 650 391 25 703 4 081 95 248 389 21 403 5 628
71 405 4 512 789 -8 406 892 725 134 65 708 561 60 937
571 98 056 6 432 -829 7 210 28 139 3 079 -8 421 70 134 146
2 795 67 321 958 37 146 982 4 506 18 620 -968 8 372 -4 503
346 -485 29 076 1 065 80 124 13 472 493 90 614 45 031 -654
49 630 -7 249 513 94 752 6 873 956 7 851 2 837 483 -52 890
7 512 -30 967 71 408 218 58 907 2 780 89 315 -756 2 917 7 652
86 057 8 293 4 817 -15 630 764 91 352 407 -36 571 596 21 345
983 51 420 43 160 -728 9 658 6 041 1 986 -4 720 13 609 761
6 108 -137 5 249 -6 203 435 467 50 732 945 4 928 -1 803
729 -6 905 763 871 42 059 36 908 276 51 092 86 745 -472
20 463 584 67 024 60 534 913 219 6 023 7 653 680 97 081
8 234 10 876 2 385 9 487 1 546 70 583 42 568 304 7 859 8 293
273636 198980 315738 227936 303444 268776 321417 195262 272655 176338

Grupo B Grupo C
(70 % ac. 10 min.) (70% ac. 10 min.)
(1) 1 975 x 419 = 827 525 (1) 93 063 / 463 = 201
(2) 4 702 x 165 = 775 830 (2) 653 650 / 850 = 769
(3) 6 819 x 382 = 2 604 858 (3) 45 310 / 197 = 230
(4) 8 431 x 674 = 5 682 494 (4) 141 360 / 304 = 465
(5) 3 587 x 503 = 1 804 261 (5) 546 336 / 672 = 813
(6) 1 064 x 926 = 985 264 (6) 894 132 / 918 = 974
(7) 5 293 x 708 = 3 747 444 (7) 102 910 / 205 = 502
(8) 7 648 x 853 = 6 523 744 (8) 72 954 / 386 = 189
(9) 9 320 x 497 = 4 632 040 (9) 337 608 / 521 = 648
(10) 2 056 x 201 = 413 256 (10) 267 393 / 749 = 357
(11) 3 674 x 159 = 584 166 (11) 213 852 / 502 = 426
(12) 7 831 x 840 = 6 578 040 (12) 74 889 / 471 = 159
(13) 9 502 x 765 = 7 269 030 (13) 756 286 / 943 = 802
(14) 1 425 x 238 = 339 150 (14) 199 080 / 316 = 630
(15) 2 368 x 406 = 961 408 (15) 694 848 / 704 = 987
(16) 5 093 x 687 = 3 498 891 (16) 97 552 / 268 = 364
(17) 8 956 x 924 = 8 275 344 (17) 498 261 / 921 = 541
(18) 2 709 x 173 = 468 657 (18) 84 525 / 805 = 105
(19) 6 147 x 302 = 1 856 394 (19) 524 286 / 657 = 798
(20) 4 081 x 591 = 2 411 871 (20) 37 674 / 138 = 273

105


6. Grado Tres

Grupo A
(Grupo completo en 10 minutos con 70% de aciertos)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
20 139 954 638 7 524 37 258 406 725 6 208 872 5 930 18 357
826 360 728 780 241 301 492 1 630 157 37 461 46 237 20 718 9 041
432 501 46 170 2 516 59 710 849 075 54 860 801 537 695 018 463 802 378 260
96 317 8 397 37 690 834 26 914 3 746 972 79 561 549 56 834
4 620 27 816 -8 215 6 185 -604 132 760 912 -42 796 6 409 -87 056 672
81 453 819 605 -496 507 720 943 -98 206 538 -194 083 84 357 -109 867 29 138
708 319 3 547 -21 365 62 397 715 28 301 -8 615 360 172 97 385 710 953
5 492 64 052 619 958 3 854 804 139 23 590 483 8 476 5 280
975 573 84 035 36 270 179 038 6 852 314 51 290 714 429
67 154 945 610 7 283 917 846 43 927 19 026 260 475 3 625 689 502 69 704
849 560 8 324 209 714 513 -879 497 7 132 976 108 -54 923 804 519
2 738 21 496 -95 480 6 905 -50 186 96 813 -56 084 741 -361 235
683 952 -347 80 673 -2 937 570 289 -392 29 083 -1 274 1 627
58 027 102 873 57 981 654 812 564 31 794 904 875 4 539 246 013 48 706
907 614 38 109 430 692 28 041 624 105 2 435 69 581 508 412 93 251 963 415
3236418 2449206 989495 2885103 1010740 2787084 1810175 2846907 1372859 3097170

Grupo B Grupo C
(70 % ac. 10 min. (70 % ac. 10 min.
Calcule problemas 1-10 a la milésima; y Calcule problemas 1-10 a la milésima; y
11-20 a la unidad.) 11-20 a la unidad.)
(1) 2 931 x 819 = 2 400 489 (1) 172 894 / 631 = 274
(2) 6 052 x 235 = 1 422 220 (2) 0.20592 / 3.96 = 0.052
(3) 84.67 x 90.7 = 7 679.569 (3) 361 444 / 829 = 436
(4) 9 234 x 572 = 5 281 848 (4) 76.296 / 408 = 0.187
(5) 70 496 x 86 = 6 062 656 (5) 50.735 / 0.073 = 695
(6) 1 507 x 0.461 = 694.727 (6) 186 296 / 584 = 319
(7) 218 x 1 059 = 230 862 (7) 212.795 / 26.5 = 8.03
(8) 0.3875 x 6.48 = 2.511 (8) 0.47693 / 0.917 = 0.520
(9) 5 689 x 3.24 = 18 432.36 (9) 639 184 / 7 024 = 91
(10) 0.4103 x 0.073 = 0.030 (10) 11 526 / 15 = 768.4
(11) ¥6 379 x 108 = ¥688 932 (11) ¥324 563 / 463 = ¥701
(12) ¥2 014 x 0.429 = ¥864 (12) ¥185 / 0.625 = ¥296
(13) ¥1 493 x 963 = ¥1 437 759 (13) ¥646 919 / 7 109 = ¥91
(14) ¥9 584 x 0.875 = ¥8 386 (14) ¥455 / 0.547 = ¥832
(15) ¥765 x 504.8 = ¥386 172 (15) ¥341 105 / 85 = ¥4 013
(16) ¥2 301 x 637 = ¥1 465 737 (16) ¥66 / 0.176 = ¥375
(17) ¥40 678 x 91 = ¥3 701 698 (17) ¥78 196 / 90.4 = ¥865
(18) ¥5 896 x 20.5 = ¥120 868 (18) ¥282 048 / 312 = ¥904
(19) ¥8 125 x 0.736 = ¥5 980 (19) ¥1 820 / 2.08 = ¥875
(20) ¥3 207 x 214 = ¥686 298 (20) ¥602 196 / 938 = ¥642

106


7. Grado Dos

Grupo A

(1) (2) (3) (4) (5)
1 289 307 483 971 3 029 176 62 501 478 974 362
675 243 81 602 459 15 849 729 360 4 265 103
90 428 165 5 871 304 436 250 3 968 251 58 130 279
17 436 -90 562 20 754 318 91 087 86 341
7 360 294 -264 918 8 109 567 -46 083 529 679 854
6 548 -6 738 095 3 291 -857 901 1 502 463
874 310 10 947 283 97 846 5 340 782 7 318
48 039 152 306 947 521 738 19 648 80 264 597
2 157 896 54 732 70 983 462 654 270 392 086
93 405 7 086 529 1 240 573 -2 593 18 759
526 781 -32 169 840 612 984 -9 145 806 2 840 915
3 185 069 -7 615 54 601 -36 714 76 051 432
43 972 9 520 736 9 072 345 20 794 136 419 687
54 702 631 64 187 865 913 1 283 097 23 590
951 820 815 023 65 378 024 476 835 3 705 241
210 352 029 77 482 141 181 175 937 39 732 401 229 362 027

(6) (7) (8) (9) (10)
537 641 312 650 8 029 137 86 374 80 625 749
7 241 930 1 287 094 79 630 821 10 342 569 79 853
35 082 469 64 238 948 675 493 720 5 986 072
697 508 40 175 982 52 149 6 205 917 395 846
-4 803 621 3 674 -2 407 536 8 253 10 793
-28 159 5 214 803 -163 904 274 068 9 753 261
-90 154 682 793 165 60 245 817 31 679 148 507
763 240 83 620 941 74 396 7 052 841 73 062 918
17 563 19 576 5 720 681 54 189 302 2 814 730
2 058 374 6 048 239 819 570 924 516 2 684
-386 019 852 497 -6 438 8 760 193 490 172
-9 785 41 056 -31 057 294 17 245 36 405
10 964 827 9 536 718 -98 763 536 980 41 205 396
8 435 719 27 418 305 4 502 698 3 875 421 6 897 013
70 296 907 523 381 052 90 641 835 541 628
-29 512 699 176 296 461 126 671 061 183 440 913 222 051 027

107


Grupo B Grupo C
(70 % ac. 10 min. (70 % ac. 10 min.
Calcule problemas 1-10 a la milésima; y Calcule problemas 1-10 a la milésima; y
11-20 a la unidad.) 11-20 a la unidad.)
(1) 60 937 x 2 154 = 131 258 298 (1) 8 485 074 / 2 754 = 3 081
(2) 42 618 x 7 309 = 311 494 962 (2) 44 080 524 / 5 436 = 8 109
(3) 804 752 x 962 = 774 171 424 (3) 0.2059086 / 0.7068 = 0.2913
(4) 18 509 x 0.5817 = 10 766.6853 (4) 52 622 371 / 61 403 = 857
(5) 93.125 x 6.048 = 563.22 (5) 0.6793975 / 9.371 = 0.0725
(6) 76 084 x 8 539 = 649 681 276 (6) 2 984 785 / 482 = 6 192.5
(7) 0.20436 x 470.6 = 96.1718 (7) 1 709.6483 / 3 592 = 0.4760
(8) 8 741 x 39 281 = 343 355 221 (8) 5.74902 / 0.0615 = 93.48
(9) 31 597 x 1.475 = 46 605 575 (9) 12 426 698 / 1 987 = 6 254
(10) 0.52963 x 0.0623 = 0.0330 (10) 610.42124 / 82.09 = 7.436
(11) ¥47 512 x 8 063 = ¥383 089 256 (11) ¥11 393 544 / 3 918 = ¥2 908
(12) ¥90 386 x 0.7421 = ¥67 075 (12) ¥641 / 0.0784 = ¥8 176
(13) ¥2 975 x 508.96 = ¥1514156 (13) ¥12 945 709 / 287 = ¥45 107
(14) ¥76 128 x 0.4375 = ¥33 306 (14) ¥2 187 / 0.4306 = ¥5 079
(15) ¥38 604 x 2 869 = ¥110 754 876 (15) ¥52 899 / 5.496 = ¥9 625
(16) ¥65 093 x 0.0942 = ¥6 132 (16) ¥6 593 836 / 1 637 = ¥4 028
(17) ¥17 249 x 3 517 = ¥60 664 733 (17) ¥1 131 / 0.8125 = ¥1 392
(18) ¥504 831 x 658 = ¥332 178 798 (18) ¥59 415 129 / 92 403 = ¥643
(19) ¥49 625 x 1.024 = ¥50.816 (19) ¥360 804 / 70.25 = ¥5 136
(20) ¥81 307 x 7 391 = ¥600 940 037 (20) ¥51 693 213 / 6 591 = ¥7 843

Grupo D
Cálculo Mental
(80 % ac. 2 min.)
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
58 130 61 987 83 704 32 501 23 436
716 97 389 19 206 16 284 48 741 28
65 681 24 870 45 860 91 17 308 510
901 458 85 21 731 29 105 930 49 67
45 76 150 36 52 487 53 376 85 940
234 802 93 603 417 72 314 29 132 79
82 37 704 546 180 918 790 862 64 12
320 26 417 89 94 63 85 75 250 386
79 940 52 405 39 590 67 409 96 807
143 59 236 72 625 35 426 68 71 95
2 643 3 306 2 211 3 648 2 472 3 774 2 247 3 315 2 319 3 360

108


8. Grado Uno

Grupo A

(1) (2) (3) (4) (5)
52 089 461 432 186 075 9 135 842 4 170 326 958 247 013 589
7 153 820 8 145 903 267 304 827 196 9 852 036 5 928 376
3 045 861 297 9 247 183 96 705 12 493 870 36 740 218
179 625 408 -62 098 541 2 036 754 981 -736 981 425 27 190
43 162 -762 309 1 408 273 -572 908 1 029 846 753
81 904 753 -5 280 931 764 83 927 654 1 630 857 3 507 461
9 286 041 3 679 452 702 149 836 6 058 249 731 574 268 109
7 306 154 289 24 805 691 5 368 071 93 175 648 61 930 548
8 479 503 901 326 785 6 520 743 189 567 903 412 459 862
297 580 364 4 270 516 49 386 527 -2 647 103 8 702 164 539
165 937 71 058 934 610 945 -3 901 728 564 6 382 047
64 327 810 -358 712 640 9 017 254 368 -28 157 496 418 079 635
4 710 698 325 -6 450 839 168 032 579 845 069 273 92 543 718
5 732 649 1 097 534 628 2 571 460 24 019 1 605 923
923 517 086 83 917 50 492 813 4 615 380 7 350 291 864
16 692 619 905 4 981 140 355 18 952 760 439 7 093 253 688 18 530 789 832

(6) (7) (8) (9) (10)
2 709 658 341 7 421 630 921 376 048 6 194 873 314 726 905
5 182 069 65 049 6 347 208 195 804 725 361 2 645 718
890 246 753 4 086 739 215 -70 153 264 16 249 59 832 067
-731 482 615 908 743 -694 503 30 954 187 8 031 276 549
-46 029 378 27 851 409 162 980 375 1 054 678 932 694 783
-9 017 486 523 9 372 586 3 015 467 928 7 240 156 3 501 624
3 592 710 7 251 094 863 7 935 681 201 536 498 968 135 470
109 264 538 36 281 597 84 029 135 871 250 25 840 391
72 503 694 548 617 320 3 748 256 76 109 382 6 401 279 835
65 871 3 946 075 -456 102 987 5 192 783 604 7 453 102
-1 874 305 8 905 173 246 -8 561 740 8 459 736 46 087 921
-380 516 924 639 182 -2 609 845 317 420 368 915 172 943 058
5 024 387 196 4 280 951 27 439 69 547 023 5 318 960
61 740 935 92 314 708 7 890 251 9 043 182 567 69 287
8 961 247 170 523 864 93 014 862 5 073 829 7 890 421 356
-561 035 258 21 760 230 438 7 498 320 359 16 921 742 562 23 930 227 026

109


Grupo B Grupo C
(80 % ac. 10 min. Calcule problemas 1-10 (80 % ac. 10 min. Calcule problemas 1-10
a la milésima; y 11-20 a la unidad.) a la milésima; y 11-20 a la unidad.)
(1) 432 159 x 68 194 = 29 470 650 846 (1) 9 373 655 025 / 48 237 = 194 325
(2) 751 083 x 95 036 = 71 379 923 988 (2) 59 530 739 332 / 70 652 = 842 591
(3) 628 407 x 23 871 = 15 000 703 497 (3) 0.1271344371 / 2.14863 = 0.05917
(4) 0.97815 x 80.6253 = 78.86364 (4) 52 274 789 792 / 56 104 = 931 748
(5) 360 798 x 0.17409 = 62 811.32382 (5) 40.87907525 / 0.13807 = 296.075
(6) 584 162 x 75 382 = 44 035 299 884 (6) 330 085.21078 / 69 018 = 4.78260
(7) 23.6054 x 40.617 = 958.78053 (7) 7 534 346 391 / 35 769 = 210 639
(8) 8 079 231 x 3 925 = 31 710 981 675 (8) 0.4164695782 / 0.07391 = 5.63482
(9) 127 496 x 5.4178 = 690 747.8288 (9) 80 233 503 322 / 9 254 = 8 670 143
(10) 0.603945 x 0.02649 = 0.01600 (10) 624.88295605 / 84.925 = 7.35806
(11) ¥576 183 x 42 817 = ¥24 670 427 511 (11) ¥3 931 366 928 / 15 896 = ¥247 318
(12) ¥862 054 x 0.06759 = ¥58 266 (12) ¥635 615 / 0.98013 = ¥648 501
(13) ¥3 915 478 x 5 603 = ¥21 938 423 234 (13) ¥44 731 890 / 63.125 = ¥708 624
(14) ¥740 625 x 0.84512 = ¥625 917 (14) ¥7 643 415 038 / 37 142 = ¥205 789
(15) ¥184 397 x 739.24 = ¥136 313 638 (15) ¥254 071 068 / 296.71 = ¥856 294
(16) ¥902 871 x 0.28196 = ¥254 574 (16) ¥46 113 / 0.06459 = ¥713 934
(17) ¥451 063 x 92 031 = ¥41 511 778 953 (17) ¥52 348 910 242 / 58 067 = ¥901526
(18) ¥273 509 x 54 768 = ¥14 979 540 912 (18) ¥37 108 174 071 / 4 057 = ¥9146703
(19) ¥68 192 x 360.875 = ¥24 608 788 (19) ¥174 669 / 0.83424 = ¥209 375
(20) ¥390 246 x 13 904 = ¥5 425 980 384 (20) ¥39 176 554 843 / 729 803 = ¥53681

Grupo D
Cálculo Mental
(80 % ac. 2 min.)
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
321 5 680 759 6 014 495 8 720 147 3 098 254 9 413
2 038 173 9 370 397 8 150 479 6 250 917 8 190 126
716 3 527 164 4 680 -243 6 093 863 1 340 -436 2 780
1 542 8 601 -527 251 -3 961 158 -235 654 -5 021 837
653 912 2 843 7 406 518 7 826 4 012 2 801 617 586
9 704 485 682 5 937 2 074 613 9 581 579 4 203 7 105
285 7 034 4 105 873 1 632 2 760 729 465 3 568 954
5 410 298 -3 524 695 -925 594 -1 936 7 602 -937 4 270
869 6 940 -913 1 208 784 3 408 -348 8 937 784 6 098
4 937 796 8 061 982 6 307 951 5 704 286 1 592 369
26475 34446 21020 28443 14831 31602 24767 26679 12 814 32 538

110


Tema 11:
Informaciones de interés
Para aprender a usar el Soroban

Takashi Kojima:
"The japanese Abacus, its use and theory", ISBN-0804802785.
"Advanced Abacus Japanese Theory and Practice", ISBN-0804800030.
Dave Bernazzani:
http://www.gis.net/~daveber/Abacus/Abacus.htm
Totton Heffelfinger:
http://webhome.idirect.com/~totton/soroban/
Oscar Zúñiga Morelli:
http://es.geocities.com/sorobanyabacos/zumor/index.html
Jaime García Serrano:
http://es.geocities.com/sorobanyabacos/soroban/index.html
Stephen Utti:
http://www.uitti.net/stephen/soroban/soroban_sheets.pl

Foros de aficionados al Soroban

http://groups.yahoo.com/group/SorobanAbacus/
http://groups.yahoo.com/group/abacosoroban/

Páginas de información general

The Art of Calculating with the Beads:
http://www.ee.ryerson.ca:8080/~elf/abacus/
Torsten Reincke:
http://www.typoscriptics.de/soroban/links.html
Jörn Lütjens:
http://www.joernluetjens.de/sammlungen/abakus/abakus-en.htm
The League of Japan Abacus Assoc.:
http://www.syuzan.net/english/index.html
The Abacus: A History:
http://fenris.net/~lizyoung/abacus.html

Fabricantes y vendedores

Tomoe Soroban, http://www.soroban.com
Maruho Soroban, http://www.maruho-soroban.co.jp/
Unshudo Soroban, http://www.unshudo.co.jp/soroban/
eBay (subastas en Internet), http://www.ebay.com/

Simuladores de Soroban

André Luis Azerêdo:
http://www.sorobanbrasil.com.br/
Jorge Meletti:
http://geocities.yahoo.com.br/sorobandigital/index.html
Aristoteles Araujo:
http://abacolivre.codigolivre.org.br
Todos los tipos de ábaco:
http://www.tux.org/~bagleyd/java/AbacusAppJS.html

111


El autor

Fernando Tejón, krayono@yahoo.es . Para saber algo sobre sus aficiones, además del
ábaco japonés Soroban, visite sus otras páginas de Internet: http://es.geocities.com/krayono
y www.publikaji.tk

Editerio Krayono / Fernando Tejón, krayono@yahoo.es , Ponferrada – España), edita y
distribuye las diferentes versiones del presente “manual de uso del Soroban” sin ánimo de
lucro, simplemente con fin divulgativo. El autor y la editorial permiten que este curso sea
copiado, modificado en su contenido, y distribuido de cualquier forma y en cualquier formato
siempre que se respete la licencia Creative Commons:

http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/es/

Si usted cree haber encontrado errores o desea corregir o ampliar el curso, le ruego que
envíe por correo electrónico al autor las sugerencias que crea convenientes, que siempre
serán bienvenidas y en su caso adoptadas.

Este manual de uso del Soroban, y las sucesivas versiones corregidas o ampliadas estará
disponible en la página de Internet: http://es.geocities.com/abacosoroban

Los gráficos del Soroban empleados han sido realizados, con permiso del autor (André Luis
Azerêdo), con el programa SOROCALC: http://www.sorobanbrasil.com.br/

Los ejercicios para la obtención de Licencia de Calculista se han tomado del libro “Advanced
Abacus Japanese, Theory and Practice” de Takashi Kojima; ISBN 0-8048-0003-0.

112

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