Mate financie f03
- 2. Matemáticas financieras Semestre 3 Matemáticas financieras
- 3. Matemáticas financieras Semestre 3 Tabla de contenido Página Introducción 1 Conceptos previos 1 Mapa conceptual fascículo 3 2 Logros 2 Tasas de interés 2 Tasa de interés efectiva 5 Tasa de interés nominal 5 Tasa de interés periódica 6 Relaciones y cálculos entre tasas efectivas, nominales y periódicas 6 Equivalencias entre tasas vencidas y tasas anticipadas 12 Otras tasas de interés 15 Ecuaciones de valores equivalentes 16 Actividad de trabajo colaborativo 20 Resumen 21 Bibliografía recomendada 22 Nexo 22 Seguimiento al autoaprendizaje 23 Créditos: 3 Tipo de asignatura: Teórico – Práctica
- 4. Matemáticas financieras Semestre 3 Matemáticas financieras Copyright©2008 FUNDACIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Universidad Abierta y a Distancia, “Educación a Través de Escenarios Múltiples” Bogotá, D.C. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación. La redacción de este fascículo estuvo a cargo de CARLOS FERNANDO COMETA HORTÚA Tutor Programa Administración de Empresas Sede Bogotá, D.C. Revisión de estilo y forma; ELIZABETH RUIZ HERRERA Directora Nacional de Material Educativo. Diseño gráfico y diagramación a cargo de SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825 Bogotá, D.C., Octubre de 2009.
- 5. 1 Fascículo No. 3 Semestre 3 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Introducción Tal vez uno de los temas de mayor complejidad en el estudio de las Matemáticas Financieras, lo constituye las equivalencias de las tasas de interés. Estas relaciones, que se desprenden de esquemas de trabajo de interés compuesto, han sido objeto de diversas intenciones didácticas para su presentación, sobre todo en el uso de las tasas nominales, que son utilizadas más por una tradición comercial que por una necesidad real. El empleo correcto de los conceptos básicos de las conversiones de tasas de interés, es un factor determinante para la gestión del responsable de las finanzas en una organización, que no puede incurrir en imprecisiones imperdonables como pretender que un 3% es equivalente a un 36% Efectivo Anual, cuando en realidad es equivalente a un 42,576% E.A. y una decisión derivada de ello, puede marcar la diferencia entre el éxito o el fracaso empresarial. Por último, el cálculo de valores equivalentes es esencial para trasladar conjuntos de obligaciones en el tiempo, situación que se presenta muy a menudo en el ejercicio de reconversión de Pasivos mediante la aplicación del factor de acumulación a interés compuesto (1+i)n . Conceptos previos El estudiante deberá manejar con suficiencia los conceptos y principios del interés compuesto, ejercitándose en el despeje de todas las variables que intervienen en este tipo de transacciones.
- 6. 2 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 Tasas de Interés Vencidas Interés Compuesto Tasas de Interés Anticipadas Ecuaciones de Valores Equivalentes A partir del Segeneran equivalencias de Que apoyan las Operaciones financieras complejas y otras ia ipai ip Mapa conceptual fascículo 3 Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en capa- cidad de: Comprender y resolver todo tipo de relaciones entre diferentes tasas de interés en las operaciones que comprenden la gestión financiera. Entender y construir ecuaciones de valores equivalentes, así como dia- gramas de tiempo y valor que permitan expresar correctamente las dimen- siones del dinero en el tiempo. Evaluar la trascendencia del desarrollo de competencias en manejo de tasas de interés, para incursionar con responsabilidad en escenarios finan- cieros complejos. Familiarizarse con las cuantías de las tasas que se manejan en el mercado financiero y con los indicadores más importantes en el lenguaje económico del país. Tasas de Interés Las tasas de interés normalmente se expresan en forma anual. De hecho si la tasa se expresa sin mencionar período alguno de capitalización, se LogrosLogrosLogros
- 7. 3 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 Dos tasas son equivalen- tes cuando producen los mismos intereses, con dife- rentes períodos de capital- zación. entiende que este es anual y además, que opera bajo esquemas de interés compuesto. No obstante, en ocasiones la naturaleza de la transacción exige un número de capitalizaciones diferente al año, por lo cual se deben expresar las tasas en períodos como meses, trimestres, semestres, etc. Estas conversiones de tasas en Interés Simple, se realizan dividiendo las tasas anuales, o multiplicando las tasas de períodos inferiores a un año. En Interés Compuesto, en cambio, se requiere el uso de fórmulas para hallar las equivalencias entre tasas de interés. Por ejemplo, la tasa de interés que se reconoce en una cuenta de ahorros normalmente se expresa en forma anual, pero es posible que se capita- licen intereses en forma mensual o trimestral, para lo cual es necesario hallar el equivalente mensual o trimestral de esa tasa anual. De igual manera, las tasas de interés a las que se otorgan los créditos bancarios, usualmente se publican en su expresión anual, pero si las amortizaciones son mensuales o semestrales, se debe hallar la equivalencia de la tasa anual a ese período establecido. En el fascículo 2 se planteó como conclusión del Ejemplo 9, que una tasa de interés del 1% mensual es equivalente a un 12,682503% efectivo anual.1 La explicación de esto es que cada mes se produce una capitalización del 1% sobre el valor acumulado (capital + interés) del período anterior, hasta llegar a incrementarse en un 12,682503% en un año. Ahora se comprobará esta equivalencia mediante un ejemplo de inversión en el que se emplean las dos tasas (mensual y anual): Ejemplo 1 Un capital de $5.000.000 es invertido durante 12 meses a una tasa del: 1 Esta afirmación contradice la suposición de la mayoría de las personas, de que 1% mensual es equivalente a 12% anual. Esto es válido solamente para el Interés Simple.
- 8. 4 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 a. 1% mensual b. 12,682503% efectivo anual Hallar el Valor Futuro de estas transacciones. Solución A. Se resuelve el problema con la tasa mensual. Los datos son: P = $5.000.000; n = 12 meses i = 1% mensual F = P (1+i)n F = 5.000.000 (1+0,01)12 F = 5.634.12515 Solución B. Se resuelve el problema con la tasa anual. Los datos son: P = $5.000.000; n = 1 año i = 12,682503% anual F = P (1+i)n F = 5.000.000 (1+0,12682503)1 F = 5.634.12515 De esta manera queda comprobado que una tasa de interés del 1% mensual es equivalente a un 12,682503% efectivo anual. La complejidad de estas equivalencias ha llevado a distinguir tres tipos de tasas de interés, cuando se aplican esquemas de Interés Compuesto; no obstante, las tasas que se utilizan en las fórmulas son las efectivas y las periódicas. Respuesta: El Valor Futuro (F) es de $5.634.12515 Respuesta: El Valor Futuro (F) es de $5.634.12515
- 9. 5 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 Frecuencia de conversión (m) cantidad de veces que se capitaliza una tasa de interés en un año. Tasa de Interés Efectiva (i) Es la tasa de rendimiento que se obtiene al cabo de un año. Esta tasa de interés permite comparar otras tasas bajo una base común (año). De hecho la tasa de interés efectiva es el instrumento apropiado para medir y comparar el rendimiento de distintas alternativas de inversión. Se ha convenido entre algunos especialistas que la denominación “Efectiva”, se reserve para las tasas anuales y NO para tasas que se capitalizan en períodos menores a un año. Es usual expresar las tasas de Interés Efectivas, así: 24% Efectiva Anual 20,1% Efectiva 21,52% Anual 16,3% E.A. 18,5% E. 14,2% A. 28% Capitalizable anualmente Tasa de Interés Nominal (j) Es la tasa de interés que se expresa en forma anual, pero se capitaliza varias veces al año. Estas tasas siempre van acompañadas de unas letras que indican que deben dividirse en un número de períodos (entre la frecuencia de conversión). La cuantía de estas tasas no refleja el verdadero rendimiento de intereses. Suele utilizarse para hallar la tasa que debe capitalizarse en cada período (aunque hay métodos más sencillos). Es usual expresar las tasas de Interés Nominal (j), así: 29% nominal anual capitalizable mensualmente ó 29% C.M. 16,25% convertible trimestralmente ó 16,25% C.M. 32% capitalizable bimestre vencido ó 32% B.V.
- 10. 6 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 De esta manera, la frecuencia de conversión (m) de una tasa nominal convertible mensualmente es m = 12; y la frecuencia de conversión (m) de una tasa nominal capitalizable trimestralmente es m = 4. Tasa de Interés Periódica (ip) Es la tasa que se capitaliza en cada período menor a un año. Así, en el ejemplo 1 de este fascículo, el 1% corresponde a una tasa de interés periódica mensual (ip). Es usual expresar las tasas de Interés periódicas (ip), así: 1,8% mensual 3,44% trimestral 12% semestral 1,1% quincenal 3% bimensual 0,8% semanal A juicio de algunos autores, las tasas nominales no cumplen una función necesaria en el mercado financiero y contribuyen a generar confusiones entre los usuarios de la información. Esto se sustenta en que las conversiones de tasas efectivas-periódicas, pueden realizarse sin hacer esta transición, que además, prolonga sin necesidad la operación. De hecho, las tasas nominales no se deben utilizar en la ejecución de las fórmulas. Cuando en la información recibida se encuentra una tasa nominal, simplemente se convierte a la tasa periódica y se aplica en la ecuación. Para efectos de lograr una comunicación efectiva entre el público, lo más pertinente es expresar todas las tasas en términos de “Efectivo Anual”, para facilitar las comparaciones y la toma de decisiones. Relaciones y cálculos entre tasas efectivas, nominales y periódicas Para convertir una tasa nominal (j) a una tasa periódica (ip), basta con dividir la tasa nominal (j) entre la frecuencia de conversión (m):
- 11. 7 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 mipj * m j ip (Fórmula 3.1) Donde: ip = Tasa de Interés Periódica j = Tasa de Interés Nominal m = Frecuencia de conversión Observe ahora algunos ejemplos de estas relaciones (tabla 3.1) Frecuencia de Conversión (m ) Operación realizada 21% C.M. 12 0,21 / 12 1,75% mensual 24% C.Semestral 2 0,24 / 2 12% semestral 18% T.V. 4 0,18 / 4 4,5% trimestral Tasa Periódica (ip )Tasa Nominal (j ) Tabla 3.1 Conversión de tasas nominales a periódicas. En sentido contrario (si se requiere), para convertir una tasa periódica (ip) a una tasa nominal (j), se multiplica la tasa periódica (ip) por la frecuencia de conversión (m): Observe ahora algunos ejemplos de estas relaciones (tabla 3.2) Frecuencia de Conversión (m ) Operación realizada 2% mensual 12 0,02 * 12 24% C.M. 3,5% bimensual 6 0,035 * 6 21% C.B. 9,8% semestral 2 0,098 * 2 19,6% S.V. Tasa Periódica (ip ) Tasa Nominal (j ) Tabla 3.2 Conversión de tasas periódicas a nominales. Es importante descifrar las relaciones entre las tasas nominales y perió- dicas, pero de mayor importancia es la relación entre las tasas efectivas y las tasa periódicas, ya que son estas las que se aplican en las fórmulas y sobre las cuales se establecen las equivalencias en la realidad.
- 12. 8 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 Tasa Periódica Tasa Efectiva Anual Para hallar la tasa Efectiva Anual (i) equivalente a una Tasa Periódica (ip) se aplica la siguiente fórmula: 1)1( m ipi (Fórmula 3.2) Donde: i = Tasa de Efectiva Anual ip = Tasa de Interés Periódica m = Frecuencia de conversión Con esta fórmula también es posible hallar equivalencias entre tasas de interés periódicas a otras tasas periódicas con mayores períodos de capitalización. Por ejemplo, convertir una tasa mensual a una trimestral o convertir una tasa bimensual a una tasa semestral. Para ilustrar esta fórmula, se presenta el siguiente ejemplo: Ejemplo 2 Se conoce una tasa del 2% mensual y se requiere hallar su equivalente a) Anual; b) Semestral; c) Trimestral Solución A. Tasa de interés Efectiva Anual i = (1+ip)m -1 i = (1+0,02)12 -1 i = 0,26824179 Respuesta: Un 2% mensual es equivalente a un 26,824179% anual Solución B. Tasa de interés Semestral. i = (1+ip)m -1 iSemestral = (1+0,02)6 -1 iSemestral = 0,12616242
- 13. 9 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 Respuesta: Un 2% mensual es equivalente a un 12,616242% semestral Solución C. Tasa de interés Trimestral. i = (1+ip)m -1 iTrimestral = (1+0,02)3 -1 iTrimestral = 0,061208 Respuesta: Un 2% mensual es equivalente a un 6,1208% trimestral. Ahora se comprobará que estas tasas halladas son equivalentes entre sí. De acuerdo con lo ya anotado “Dos tasas son equivalentes cuando producen los mismos intereses, con diferentes períodos de capitalización”. La demostración se realizará invirtiendo un capital de $100.000 durante dos años y se realizará la comparación del Valor Futuro (F). La fórmula es: F = P (1+i)n Veamos: Tasa y Tiempo Despeje de la Fórmula Valor Futuro Mensual (24 meses): F = 100.000 (1+0,02)24 = 160.84372 Trimestral (8 trimestres): F = 100.000 (1+0,061208)8 = 160.84372 Semestral (2 semestres): F = 100.000 (1+0,12616242)4 = 160.84372 Anual (2 años): F = 100.000 (1+0,26824179)2 = 160.84372 Como se observa, todos los resultados son los mismos, luego las tasas son equivalentes. Sólo se ha aplicado la tasa respectiva y el tiempo expresado en la misma unidad de la tasa de interés. Tasa Efectiva Anual Tasa Periódica De igual manera, para hallar la Tasa Periódica (ip) equivalente a una tasa Efectiva Anual (i), se utiliza la misma estructura y solamente se invierte la frecuencia de conversión (m), que se aplica como 1/m, así: 1)1( /1 m iip (Fórmula 3.3)
- 14. 10 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 Con esta variación de la fórmula también es posible hallar equivalencias entre tasas de interés periódicas a otras tasas periódicas con menores períodos de capitalización. Por ejemplo, convertir una tasa semestral a una tasa trimestral o convertir una tasa bimensual a una tasa mensual. Ahora, se analizarán las conversiones de tasas cuando se cuenta con la Tasa Efectiva Anual: Ejemplo 3 Se conoce la Tasa de Interés del 36% E. A. y se requiere establecer su equivalente: a) Semestral; b) Bimensual; c) Mensual. Solución A. Tasa de interés Periódica Semestral. ip = (1+i)1/m -1 iSemestral = (1+0,36)1/2 -1 iSemestral = 0,16619038 Respuesta: Un 36% E.A. es equivalente a un 16,619038% semestral Solución B. Tasa de interés Periódica Bimensual. ip = (1+i)1/m -1 iBimensual = (1+0,36)1/6 -1 iBimensual = 0,05258332 Respuesta: Un 36% E.A. es equivalente a un 5,258332% bimensual Solución C. Tasa de interés Periódica Mensual. ip = (1+i)1/m -1 iMensual = (1+0,36)1/12 -1 iMensual = 0,02595483
- 15. 11 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 EFECTIVA ANUAL NOMINAL VENCIDA PERIÓDICA VENCIDA i j ip mipj * m j ip 1)1( m ipi 1)1( /1 m iip 1)1( m m j i mij m *1)1( /1 Respuesta: Un 36% E.A. es equivalente a un 2,595483% mensual Con el fin de comprobar que estas tasas de interés son equivalentes entre sí, se realizará una inversión por valor de $200.000 durante tres años y se realizará la comparación del Valor Futuro (F). La fórmula es: F = P (1+i)n Veamos: Tasa y Tiempo Despeje de la Fórmula Valor Futuro Anual (3 años): F = 200.000 (1+0,36)3 503.091 Semestral (6 semestres): F = 100.000 (1+0,16619038)6 503.091 Bimensual (18 bimestres): F = 100.000 (1+0,05258332)18 503.091 Mensual (36 meses): F = 100.000 (1+0,02595483)36 503.091 Como se observa, todos los resultados en Valor Futuro son los mismos, luego las tasas son equivalentes. Ahora se presenta una figura que registra las relaciones entre las tasas Periódicas-Nominales-Efectivas y las fórmulas que las articulan: Figura 3.1 Equivalencias entre tasas efectivas-nominales-periódicas.
- 16. 12 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 Semestral Trimestral Bimensual Mensual 21% 9% 3,20% 1,80% 5% Tasas Periódicas VencidasEfectiva Anual 3.1 Diligencie el cuadro con las equivalencias respectivas: Equivalencias entre tasas vencidas y tasas anticipadas El modelo general del interés compuesto parte de la idea de una proporción del capital inicial, conocida como interés. Sin embargo, hay situaciones en las que se debe determinar esta proporción, calculada sobre el monto final ya establecido, hacia el presente, la cual se conoce como descuento. Las tasas empleadas en estas modalidades de descuento son llamadas Tasas Anticipadas (ia) y si se trata de tasas con periodicidad menor a un año, para conservar la línea de nomenclatura manejada hasta ahora, las llamaremos Tasas Periódicas Anticipadas (ipa). Por medio del ejemplo que se detalla a continuación, se ilustran las relaciones entre estas tasas anticipadas y las tasas vencidas. Ejemplo 4 Una deuda contraída hace algún tiempo fue garantizada mediante un pagaré que vence dentro de 18 meses, por valor total de $40.000.000. Hoy se desea cancelar la obligación y se pacta una tasa anticipada del 1,6% mensual. ¿Cuánto dinero se debe pagar el día de hoy? La fórmula que se utilizará para esta operación es una variante de la de Valor Presente a Interés Compuesto, donde se incorpora la variable “Tasa Anticipada”, así:
- 17. 13 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 i i ia 1 P = F (1-ia)n P = 40.000.000 (1-0,016)18 P = 29.920.700,92 Respuesta: Para cancelar la obligación hoy, luego de la operación de descuento, se deben pagar $29.920.70092 Luego de resolver esta transacción, surge la inquietud por establecer cómo se relacionan las Tasas Anticipadas (ia) con las Tasas de Interés Vencidas (i). Pues bien, existen unas fórmulas que permiten realizar con- versiones entre estas tasas de interés, las cuales se exponen a conti- nuación: Tasa Vencida (i) Tasa Anticipada (ia) Conociendo una Tasa Vencida es posible hallar su equivalente Anticipada, así: (Fórmula 3.4) Tasa Anticipada (ia) Tasa Vencida (i) Igualmente, conociendo una Tasa Anticipada es posible hallar su equivalente Vencida, así: a a i i i 1 (Fórmula 3.5) Ejemplo 5 Con base en la información del ejemplo 4, hallar la tasa vencida mensual equivalente y probarla por medio de la fórmula de Valor Futuro. La fórmula a utilizar es la 3.5, es decir: a a i i i 1
- 18. 14 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 a a i i i 1 016,01 016,0 i 01626016,0i Respuesta: Una tasa del 1,6% mensual anticipada es equivalente a una tasa del 1,626016% mensual vencida. Ahora se procede a probar que estas tasas son equivalentes, aplicando la tasa vencida en una operación de Valor Futuro, con la información resultante del ejemplo 4, así: F = P (1+i)n F = 29.920.700,92 (1+0,01626016)18 P = 40.000.000 Obsérvese que al invertir los $29.920.70092 que habría que pagar hoy, a razón del 1,626016% mensual vencida, se obtiene de nuevo el Valor Futuro de $40.000.000. Veamos otras relaciones interesantes entre tasas vencidas y anticipadas, por medio de un ejemplo típico. Ejemplo 6 Hoy recibo prestados $10.000.000 durante 3 meses y me anuncian que el pago de intereses es al 5% trimestral por anticipado. ¿Qué tasa de interés trimestral vencida aplica en la transacción? Aplicando la fórmula para convertir la tasa anticipada (ia) a una tasa vencida (i), se tiene: a a i i i 1 05,01 05,0 i 05263158,0i
- 19. 15 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 Captación: Proceso mediante el cual el sistema financiero reco- ge recursos del público ahorrador y los utiliza co- mo fuente del mercado fi- nanciero. http://www.businesscol.co m/productos/glosarios/eco nomico Respuesta: Una tasa del 5% trimestral anticipada es equivalente a una tasa del 5,263158% trimestral vencida. Otra forma de calcular la tasa es considerar las variables de la transacción y deducirla. Al recibir el dinero me liquidan el 5% de intereses que equi- valen a $500.000 y no me entregan los $10.000.000, sino solamente $9.500.000. No obstante, dentro de 3 meses debo pagar los $10.000.000 completos (ya los intereses se encuentran cancelados). Con esta información se puede reducir la operación a una de Valor Futuro donde se despeja la Tasa de Interés (i), con los siguientes datos: P = $9.500.000 F = $10.000.000 n = 1 trimestre 1 /1 n P F i 1 000.500.9 000.000.10 1/1 05263158,0 Se confirma la respuesta que señala, que una tasa del 5% trimestral anticipada es equivalente a una tasa del 5,263158% trimestral vencida. Otras Tasas de Interés En el contexto financiero colombiano es frecuente el uso de otras tasas de interés que regulan y orientan el quehacer económico y comercial. A continuación se enuncian algunas de las más relevantes en el país. Respecto de las operaciones de captación y colocación de recursos de los intermediarios financieros, existen dos tipos de tasas de interés: Las tasas pasivas o de captación son las que los intermediarios financieros reconocen a los clientes por el dinero que reciben de estos; y las tasas activas o de colocación, son las que cobran los intermediarios financieros a los clientes por concepto de créditos, en sus diferentes modalidades.
- 20. 16 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 El IPC es un indicador que mide la variación de precios de una canasta de bienes y servicios representativos del consumo de los hogares del país. http://www.dane.gov.co Para calcular la tasa de usura se toma la tasa de interés bancario corriente certificada por la Superin- tendencia Financiera y se incrementa en un 50% (es decir, se multiplica por 1,5). Una tasa de interés muy importante en la economía colombiana es la DTF. Esta tasa se ha convertido en la principal referencia del costo de los recursos del país. De acuerdo con el Banco de la República, la DTF es “el promedio ponderado de las tasas de interés de los CDT de captación a 90 días ofrecidas por el sistema financiero colombiano”. La tasa de inflación, por su parte, refleja la variación del Índice de Pre- cios al Consumidor (IPC), que en Colombia es medido por el Departa- mento Administrativo Nacional de Estadística (DANE). Estos incrementos en el nivel general de precios afectan el poder adquisitivo del dinero frente a la canasta de bienes y servicios. A la tasa a la cual se ha descontado el efecto de la inflación se le conoce como tasa de interés real. Respecto del límite para el cobro de intereses en las operaciones comer- ciales y financieras, en Colombia existe la Tasa de Usura. Su función principal es evitar que se cobren intereses excesivos a todos aquellos quienes solicitan créditos. La Tasa Interna de Retorno es un indicador de evaluación financiera para proyectos de inversión que analiza la rentabilidad de los flujos de fondos. Así mismo, se define como la tasa de interés que hace que el Valor Presente Neto sea igual a cero. Esta tasa se estudiará con detalle en el fascículo 8. Ecuaciones de Valores Equivalentes Una vez abordados los problemas financieros a interés compuesto, donde normalmente interviene un Valor Presente (P), una Tasa de Interés (i) y un tiempo (n), surgen situaciones un poco más complejas donde convergen varias transacciones que es preciso resolver en una sola operación, con el fin de igualar y resolver un conjunto de derechos y obligaciones, pactando nuevas condiciones de pago.
- 21. 17 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 Fecha Focal: Es la fecha que se elige para hacer coincidir el va- lor de las diferentes opera- ciones, dicho de otra ma- nera es la fecha que se escoge para la equiva- lencia. 0 6 F.F $ 8.000.000 $ 15.000.000 HOY 4 5 X 1 2 3 Estas comparaciones en el tiempo tienen lugar en un momento denominado “Fecha Focal” (F.F.), concepto que tiene aplicación en el manejo de las matemáticas financieras tradicionales y en ejercicios de evaluación financiera de proyectos de inversión. La fecha focal supone que los valores que se encuentran en diferentes momentos en una línea de tiempo, deben ser trasladados a un solo momento, que puede ser en el futuro o en el presente, para que esas cantidades representen su equivalencia frente a las obligaciones existentes. Con el fin de ilustrar el planteamiento de ecuaciones de valor, se presentan los siguientes casos: Ejemplo 7 Se han adquirido dos deudas respaldadas por letras de cambio que tienen vencimientos así: La primera letra de cambio vence hoy por un valor total de $8.000.000, y la segunda vence dentro de 2 meses por un valor total de $15.000.000. Se acuerda con el acreedor, ampliar el plazo de las dos obligaciones y realizar un solo pago dentro de 6 meses, para lo cual se ha pactado una tasa de interés del 2,5% mensual. Se desea establecer el valor del pago final. Figura 3.2 Representación del ejemplo 7. Para resolver este acuerdo, se ha de precisar que la fecha focal se ubica en el sexto mes, ya que es allí donde se ha pactado el pago total de la obligación. Luego se resolverá por medio de este planteamiento:
- 22. 18 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 0 6 F.F $ 8.000.000 $ 15.000.000 HOY 4 5 X 1 2 3 El valor del pago (en el sexto mes) es igual a: el Valor Futuro de la primera obligación (6 meses después), más el Valor Futuro de la segunda obligación (4 meses después). Es decir: Valor Pago = Valor Futuro Obligación 1 + Valor Futuro Obligación 2 Figura 3.3 Planteamiento de solución del ejemplo 7. Al trasladar esta proposición a una ecuación quedaría: X = 8.000.000(1+0,025)6 + 15.000.000(1+0,025)4 X = 9.277.547,35 + 16.557.193,36 X = 25.834.740,71 Respuesta: El valor del pago final es de $25.834.74071 Obsérvese que el pago se ubica a un lado del igual y las deudas se ubican al otro lado. Además se utilizó la fórmula de Valor Futuro (F) para trasladar los valores en el tiempo F = P(1+i)n . Lo que se logró fue hallar el valor equivalente de cada una de las deudas, en el sexto mes, a una tasa del 2,5%. Al hacerlo, es posible sumar las cantidades para establecer el valor del pago en esa fecha. De no hacerlo, sería equivocado sumar las cantidades, ya que al encontrarse en períodos diferentes sus capacidades de pago no serían equivalentes. Ahora se analiza un caso contrario en el tiempo:
- 23. 19 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 0 1 2 3 4 5 6 7 128 9 10 11 X $ 48.000.000 $ 10.000.000 $ 25.000.000 F.F Ejemplo 8 El Gerente Financiero de la empresa recibe un crédito con una tasa de interés muy baja y decide cancelar el día de hoy, tres Pagarés con su proveedor, cuyos montos y vencimientos son: 1. Valor total de $25.000.000 con vencimiento dentro de 9 meses 2. Valor total de $10.000.000 con vencimiento dentro de 5 meses 3. Valor total de $48.000.000 con vencimiento dentro de 1 mes Acuerda con el proveedor el pago inmediato de las obligaciones, cancelando el equivalente a la fecha y pactando una tasa de interés del 2,5% mensual para establecer las equivalencias de las deudas el día de hoy. Se requiere hallar el valor del pago. Figura 3.4 Representación del ejemplo 8. En primer lugar se establece la fecha focal para resolver el problema, que de manera natural, por la coincidencia del pago, se ubica el día de hoy. Esto quiere decir que los pagarés que estaban ubicados en el futuro deberán ser trasladados hacia atrás en el tiempo, cada uno en la cantidad de meses que corresponda y a la tasa de interés pactada. Un planteamiento general del problema sería: Valor Pago Hoy = V.P. primer pagaré + V.P. segundo pagaré + V.P. tercer pagaré
- 24. 20 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 0 1 2 3 4 5 6 7 128 9 10 11 X $ 48.000.000 $ 10.000.000 $ 25.000.000 F.F Figura 3.5 Planteamiento de solución del ejemplo 8. En términos matemáticos y utilizando la fórmula de Valor Presente, la ecuación será: X = 48.000.000(1+0,025)-1 + 10.000.000(1+0,025)-5 + 25.000.000(1+0,025)-9 X = 46.829.268,29 + 8.838.542,88 + 20.018.209,04 X = 75.686.020,21 Respuesta: El valor del pago el día de hoy es de $75.686.02021 . Esto indica que las tres deudas inicialmente convenidas, son equivalentes en su conjunto, a un pago por este valor el día de hoy, a la tasa de interés pactada. 3.2 Plantee y resuelva un caso de valores equivalentes en una transacción con el sector bancario, donde además se incluya una conversión de tasas de interés. Socialícelo con el tutor. En grupos de tres estudiantes formulen una hoja de cálculo en Excel, de tal manera que se puedan realizar todas las posibles conversiones de tasa de interés (efectivas, nominales y periódicas – vencidas y anticipadas) de manera automática, solamente ingresando las variables. Realicen las pruebas necesarias de esta herramienta financiera, con los ejemplos ya desarrollados y con los ejercicios propuestos en los textos guía.
- 25. 21 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 La complejidad del interés compuesto se representa en el manejo de sus tasas de interés, que requieren de fórmulas específicas para resolver sus equivalencias y poder aportar en la solución de situaciones empresariales en el área financiera. Estas equivalencias se conciben como la cualidad de producir los mismos rendimientos con períodos de capitalización diferen- tes. En estas operaciones se reconocen principalmente las tasas efectivas (con capitalización anual) y las tasas periódicas (con capitalizaciones menores a un año). La fórmula genérica 1)1( m ipi permite hallar cualquier equivalencia entre tasas vencidas, solamente modificando (cuando sea necesario) la frecuencia de conversión (m). Igualmente, ante la necesidad (no tan frecuente) de convertir tasas anticipadas (ia) en vencidas (i), se utiliza la fórmula a a i i i 1 y en caso contrario, para convertir tasas vencidas (i) en tasas anticipadas (ia) se utiliza i i ia 1 Por otra parte, cuando se presentan situaciones de reconversión de deudas o de pagos, y sea necesario replantearlas en otros términos, se deberán construir ecuaciones que permitan representar los valores en sus respectivas dimensiones en el tiempo, bajo una igualdad que se puede expresar así: Pagos = deudas. Esto, en una fecha focal donde se realizan las comparaciones y a una tasa de interés dada.
- 26. 22 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 AYRES, Frank. Matemáticas financieras. Primera edición. México D.F.: Mc Graw Hill, 2001. BACA CURREA, Guillermo. Matemática financiera. Tercera edición. Bogotá D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto guía). CANOVAS, Roberto. Matemáticas financieras: fundamentos y aplicaciones. Primera edición. Mexico: Trillas, 2004 CISSELL, Robert. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.: CECSA, 1999. (Texto guía). DÍAZ, Alfredo. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.: Mc Graw Hill, 1997. GARCÍA, Jaime. Matemáticas Financieras con ecuaciones de diferencia finita. Cuarta Edición. Bogotá D.C.: Pearson Educación de Colombia Ltda. 2000. (Texto guía). PORTUS, Lincoyán. Matemáticas Financieras. Cuarta edición. Bogotá D.C.: Mc Graw Hill, 1997. SÁNCHEZ, Jorge E. Manual de matemáticas financieras. Segunda edición. Bogotá D.C.: Ecoe Ediciones, 1999. En el fascículo 4 se retomarán los conceptos de tasas equivalentes y de ecuaciones de valores equivalentes para aplicarlos al tema de Series Uniformes o “Anualidades”, por medio de casos financieros reales.
- 27. 23 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 SeguimientoalautoaprendizajeSeguimientoalautoaprendizajeSeguimientoalautoaprendizaje Matemáticas Financieras - Fascículo No. 3 Nombre_______________________________________________________ Apellidos ________________________________ Fecha: _________________ Ciudad __________________________________Semestre: _______________ Resuelva las siguientes preguntas de selección múltiple con única respuesta, con el fin de evaluar su proceso de autoaprendizaje: 1. Se ha concedido un crédito bancario a una tasa del 24% E.A. Se requiere construir el plan de pagos trimestrales, para lo cual es necesario hallar la tasa trimestral equivalente. La ecuación que se plantea para establecer la equivalencia de tasas, en este caso es: A. ip = (1 + 0,24)1/4 -1 B. i = (1 + 0,24)4 -1 C. ip = (1 + 0,02)1/4 -1 D. i = (1 + 0,02)4 -1 2. El gerente requiere de un crédito para financiar la compra de una maquinaria. Existen dos alternativas en el mercado: una tasa del 2,5% mensual vencido y una tasa del 2,5% mensual anticipado. En relación con el costo, la decisión del gerente debe ser: A. La tasa vencida del 2,5% B. La tasa anticipada del 2,5% C. Es indiferente porque las dos tienen el mismo valor D. Es indiferente porque las dos tasas son equivalentes 3. Una deuda que debía ser cancelada hoy, por valor de $12.000.000, se ha convenido pagarla en tres cuotas iguales a 1, 2 y 3 meses. La tasa de interés pactada es del 2% mensual. La ecuación de valor para hallar el monto de cada uno de los pagos es: A. 12.000.000 = X(1+0,24)-1 + X(1+0,24)-2 + X(1+0,24)-3 B. 12.000.000 = X(1+0,24)1 + X(1+0,24)2 + X(1+0,24)3 C. 12.000.000 = X(1+0,02)-1 + X(1+0,02)-2 + X(1+0,02)-3 D. 12.000.000 = X(1+0,02)1 + X(1+0,02)2 + X(1+0,02)3 4. Un televisor cuyo precio de venta es de $1.600.000, se propone pagarlo así: Una cuota inicial del 40% y el saldo en 3 meses. Si la tasa de financiación es del 2,7% mensual, entonces el valor del pago en el mes 3, será de:
- 28. 24 Matemáticas financieras Matemáticas financieras Fascículo No. 3 Semestre 3 A. $ 1.250.42850 B. $ 1.039.87842 C. $ 886.25746 D. $ 1.037.76000 5. Llene los cuadros con los valores correspondientes Semestral Trimestral Mensual Semestral Trimestral Mensual 18,5% 9% 4,25% 1,60% 8,20% Efectiva Anual Tasas Periódicas VencidasTasas Periódicas Anticipadas