Matematicas dos primer parte

~
Indice
Prólogo ..' , '," ~ .11
Notación. . , , . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! . . . . .'. . . . '.' . ... . . 13
Instruc~iones para el alumno. . . . . . . . . . . . . . ! , . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
UNIDADV.PosteriordesarrollQdelosnúmerosreales ,... .17
Introducción' , .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .... ... ..... ... . .... ... ....19
Objetivos generales. . . : . . . .'. ... . . . '.' . . . . . . . . ..' . . . . . .'. . . . . . . . . . . ! . . . . . . . . . 20
Diagranla tenlático estructural. . . . . . . . ; . . . . . . . .'. . . . . .. . .''. . . . . . . . . . ... . . . . . '.21
Glosario. . . . , . . . , . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . ; . . . . ~ . . . . ~. . . . ; . . . . . . . . . . . . 22
Módúfo 1 '. . . .'. . . , . , ... . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . ...'. . 25
Objetiv~~ especificos . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . ... '.' . . . . . . . . . '.. . . . . . . . . 25
Esq,uenla resumen. . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . . '.' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2~
1.1 Postulados de orden' : , 26 '
Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Módulo 2 . .!, . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . '.' . . . . . . . . ., . . ' : . . . . . . . . . . ! . . 31
Objetivos especificos, . . . . . ~. . . . . . . . . . . . , . . . . . . ; . . . ... . . '.. . . . 31
Esqueritaresumen ',' ,: , , ".,.. .,"31
2,1 OrdenamÍ!;:mtode los enteros, . . " . . . . . . . : . . . . . . . . .'. . . . . .', . , . , . . , . 32
2,2 Núnleros'racionales. Densidad. . . , . . . . ¡ . . . . . . .. . . ',' . . . . . ',' . ': . . . 33
Reactivos de autoevaluación ... , . . . . . .' , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . ... : . . . , 35
Módulo 3 . . . . . . . . . . . . . : . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . '.' . . . . . . . . . 37
Objetivos especificos .-. . . . . . . . . . '.' '.' . . , . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . ... . ..' 37
Esquema resumel1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . ~ . .'. : . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Representación geométrica de los números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Valpr absolut<? . . . . . , , . : . . . . . . . . . . . . , . . . . . '.. . ',' . . . .'. . . . . . . . ... .40
Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . .'. . . . . . . . , , . . . . . ..42
Módulo 4 . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . , . . . . , . . . . , . . . . , . , , , .45
Objetivos especificos . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . , . . . . :. . . . ...'. ~. . . .:. 45
Esquema resunlen . . . . . . . . . . , , . . . . . . , ". . . . . . , , . . . , . , . . . . . . . . . . , . , ,4S
. 4.1 Gráfica de un conj,unto numérico : . ..',' .... .... .,... .... ... ....46
Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . , : . . . . , . . . . . . . . . . . .47
Paneles de verificación. . . . . . '.' . . . , . . . . . . . , . . . . . . . . . , , . . , . .-. . . . . . . , . . . '.' ,49
UNIDADVI.Exponentesyradic~les , . . , :.. ........ ..61
Introducción. . . . . . . . . , . . , , , . . . , l. . . . . , . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . , . . . . . . . 63
Objetivosgenerales, ,...,.! , . . . . ". . . . . . ',' . . . . . . . . . . . :.".'. . , . . . . .64
Diagrama.temático estructural" ; ' ~....................,.65
Glo!lario . . , . . , . . . ',' , . . , . . . : . . , , .'. , . . , . . . . } , . . :, . . . . . . ! ' . . . . . . . .~'. , , . . . .66
Módulo S ,.,' ,., ,', , . , .,.. ,,..,.... .. ... . ,,..., :.,.........;...67.
Objetivos especificos . . . . . , . . . . . . ... . . . . , . ; . '.' . , . .'. . . . . . . . ... '. . . . . . . . ~7
;'

Esquem~resumen. .'... . .' ...67
5.1 Exponentes enteros y exponente' cero. Leyes de los exponentes. .' . . . . . .68
Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . .. . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ',' 72
. Módulo 6 . . . . '. . . . . .'. . . . . . . . . . . .'. . . , . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . .73
Objetivos especificos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . .'... . . . . . . . . . . . . . . 73
Esquema resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1 Radicales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Reactivos de ~utoevaluación .. . . . , . . : . . . . . . . .. ,. . , . . . . . . , . . . . . . . . , ..78
Módulo7 J ...................,..........79
Objetivos especificos . " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Esquema resumen. . . . . , .'. ~. . . . . , . . . . . . . . . . , . . . . , . . . . , , . 79
7.1 Isomor-fismode dos ~onjuntos. Exponentes racionales. . . . . . . . . . . . . . 80
Reactivosde autoevaluacion ............,.....86, '
Módulo'8 . . . . . . . . . . . . . . . . .:. . . . . . . . . .'. . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
Objetivos espe~íficos ¡ . . . . . . . . .'.. . . . . . . . . . . . . . . . . .,89
Esquemaresumen. . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . ; , , . , . : . . . . . . . . ., . .89
8.1 Leyes' de 'los radicales. Simplificación, de t:adicales. Multiplicación y di-
visión. ,..., "., '. , :. . . . . . . ... . . . 9O
,8.2 Suma y resta de los r,adicales . . . . ; ..~ . . .. . . ',' . . . . , . . . . . . . . . . . . . .94 '
Reactivos de auto'evaluación . '. . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . ~ . . . ~. . .: . . . . . . . , 9S
Paneles de' verificación. . . . '. . ". .;. . . . . '. . . . . . . . . . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . . . ... . .. .. 99,
UNIDAD VII. Aplicaciones'. . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r . . . 107
Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. 109
Objetivos generales, . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . , . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 109
Diagrama temático estructural. . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . , . . . . . 'nI
Glqsario . . . . . . . . . . . . . . , . . . :. . . . . . . , . . . . . . . . ~ . . . . . , ; . . . . '. . . . . .. . . . : . . . . 112
Módulo 9. . . . ¡ . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . ' . . . .'. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 113
Objetivos especificos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . 113
Esquema resumen. . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.1 Planteo de problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :. . . ; . . 114
ReactivQs de autoeval t,lación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ':' . . . . . . . . . . . . '. . . . . 118
Módulo 10 . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Objetivos .específicos.. . , . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , . . . . . , .121
Esquemaresumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . , , , , . . , , . . . , . . . ',' . , .121
10.1 Soluci6n de ecuaciones ' , 122
Reactivos de autoevaluación ',~.. .. .':. . .. '" . . .. . .. . ... .'"125
Módulo 11 . . . . . . . . " , . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . 127
Obje~ivos especificos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . :. .'. . . . . . . ',' 127
Esquema resul!1en .: . . . . . . . . '. . . . . . . . . ~ . . . . . . . . : . . . . . ... . . . . . . . . . . 127
11.1 Solución de desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 128
11.2 Ecuaciones fraécio~arias . . . . . .. . . . . . . . . . .'.. . .. . . .. . . . . . . . .'. . . 129
'Reactivos de autoevaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Módulo 12 . .'. . . . . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~'.133 '

Objetivos especificas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '.' . . . . . . . . .'133
Esquema resumen. . . . . . . . . .., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . '.. . . . . .. . 133
12.1 Problemas de planteo; . .. . ... .. . .... ..~ . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 /""
Reactivos de autoevaluaci6n ... ... .... .. . .. ... ... ... . .... .. . ..138/
Panelesde verificaci6n .. . . . . . . . . . . ~ , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .~ ~.,;;14~
UNIDAD VIII. Funciones, relaciones y gráficas. . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . .j . .. .. . .... . 159
. Introducción ' , : .'.. .~~..~,~ .161
Objetivos generales. . . " . .. . . . ¡ . .. . ... .'... .... . ..:. ; . . . . . . . . . I . . . . . . . . . . 162
. Diagrama temático estrUctural. .... . .~ .. .. . ... .. . .... . . . . . . . '.' . . . . ... . ..'.. 163
Glosario... .'. .' . . . . . '.' . . . . . . ... .. .. .., . . . . . . . . . . . . . . '.' . . . , . . . , . . . . . . . . . 164
Módulo 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . .'. . ',' . . . . . .165
Objetivos especificos ...... I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . 165
Esquema resu~en ' ~.....'............~'.' . ;-. . . I ...¡ ...,....165
13.1 Funciones. Notación. I . . . .'. . . . . . . . . .'.; .....................,...1~
13.2 Relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . .. . . . . . . . 174. .
Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . .,. . . . . . . . . .... . . . . . . . . . 175
M6dulo 14 . . . . . .'. ... . . . . . '. . . . . " . . . . ~ . . :. . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Objetivos especificos . . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . I . . . .... . . .. . . 1'77
Esquema resumen. . . . . . . . . .. . . , ... . . . . . . . . . ; . . . . . I . ¡ . . . . . . . . . . . . . 177
14.1 Sistemas de coordenadas en dos dimensiones. . . . , . . . . . . . . .., . . . . . 178
Reactivos de autoevat'uaci6n .... .. .. .. ... . ....'... . ',' .. .,'. . ... .. . . 181
, M6dulo 15 . . . . . . . . , . . . . , ,'. . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . '.' . . . 182
O b jeti vos especificos '. . . , . . . . . . . . . . . . A . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . ; Us2
EsquerI}a.resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 182
15.1 P.ráficadefuncionesyreJaciones .183
Reactivos de au~oevahiaclón. . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . . , . . . ... . . . . , . . . . . . 187
Mód ulo 16 . . .. . . . . . . .'. . . '. . . . . . . . .'. . ... . . . . . . . . . . . . 1,.. . . . . . . . . : . . . . . . . . 189
Objetivos especifico$ . . . . , . . . . . .'. . . . . . . . '. , . . . . , . . , . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Esquema resumen' . . . . . . . . . . . . . , . '.' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . 189.
16.1 Cartas de flujo, ' , .'. l.. , ... .190
Reactivos de autoeval uact6n .. " : . . . . ',' . . .. . .... ........ ... . ... .. : ... 194
Paneles de verificacl6n . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
-'

Instrucciones para .el alumno
, '
El presente texto ha si40 estructurado tomando en cuenta los diferentes aspectos que
caracterizal1 a los alumnos que estudian en la modalidad de enseflanza abierta.
, El libro est~ dividido en cuatro unidades, que corresponden a cuatro .grandes temas de la
Matemática; están marcadas con números romanos. A su vez. las unidades se dividen en
mÚdulos. El total de módulos de las cuatro unidades. es decir. dellibr<? completo. suma 16. La
división en tl1ódulostiene por objeto repartir la carga de estudio. calculando que cada módulo
pucda ser estud'iado. aproximadamente. en una semana. Además. esta ,divisi~n le permite a
ustcd. alumno. darse cuenta del avance que ha logrado en el estudio de la materia. . .
I Al principiodel libro se encontrará una Notaciónque son las explicacionesrelacionadas
con la simbología empleada.
l. En cada unidad encontrará:
Introducción. Que es una visión general y anticipada de lo que se tratará en esa
unidad.
Objetivos generales. Son las metas que d~berá alcanzar usted cuando termine de
estudiar la unidad. Sj analiza esos objetivos con detenimientó verá que están' formulados'
de manera amplia y general. de tal forma que usted mismo pueda hacer una apreciación
personal para comprobar si. efectivamente. aprendió los tem'as presentados.
Diagrama temático estructural. Es una presentaci6n esquemática del contenido total
de la un'idad. 'Su funci6n es básicamente de enlace. o sea. cómo se relacionan los difer'entes
teli1astratados en cada uno de los módulos que componen la unidad.
Glosario. Le indica. el significado de los términos técnicos empleados en el desa-
1'1'0110de la unidad.
Bibliografía. Al final de cada unidad encontrará los libros recomendados para'
ampliar o profundizar el tema de la unidad.
11,1n ...,¡,daIIIÚdtilo CnCl)nlraráIpssiguie.ntcs clementos:
Objetivos específicos. Son el desglose de los objetivos generales de la unidad. Res-
ponden a la pregunta ¿qué debp ser capaz de hacer cuando termine de estudiar este módulo?
EStlUt'ma resumcn. Prescnta el contcnido de cadO! módulo en forma sinÓpticéL
A. Ira1€'s-d~1 desanollo del tema usted encontrará las siguientes 'caracterís1kH~:
Idcus ~uía. Ubkttda~ cn Ins m{tI'gcnc~ d.c la~ h(,jas. Son pcqu'eñísimos resúmenes que
lil'nL'III.'pll1plillalidad I'acilitarlc la situaciÓn de un l'Onccpto. la fijación OPuna información o la
I't'édi}l,a~:ió'f(k ~In 'l'pa~n mll~' rá pidiJ. .
La ligura ,~ Se encuentra localizada en los márgenes de ¡las hojas.
Signitica "toma tu lápiz" e indica alguna actividad que usted debe realizar como práctica en
,us ejercicios de aprendizaje.
13

Réactivos de autoevaluación. Al final de cada módulo se dan una serie de preguntas
de autocomprobación. para que pueda veriticar por usted mismo en qué grado ha logrado
)os objetivos (propuestos al principio del módulo). Las respuestas' correctas las encontrará
al final de cada unidad, en los Paneles de verificación.
¡.
14
Guías y exámenes para
Evaluarse correo
mv1980@live.com.mx
WhatsApp 55 91038543

Notaci6n
Un fa~tor importante para la comprensión de cualq~ier texto de. mat~mática es la correcta
interpretación de los símbolos, pues en textos de autores diferentes es posible que a un ,mismo
sín,1bolose l~ den significados distintos; por tal razón se ofrece una lista d~ los símbolos
Iempl~adosen estecursoy su interpretación.Ellos son presentados' en el orden de aparición
en ellibro.
SIGNIFICADO
, Es un elementode. . .
No es un elemento de. . .
Conjunto'
Es igual a
Tal que
Símbolo de la operación suma
C:ardinalidad del conjunto A
Y'así sucesivamente
Conjunto universal
Conjut:1tovacío'
Conjunto de Íos números natural~s
Símbolo de la operación multiplicación
No es igual a
Subconjunto de,. . .
No es subconjunto de . . .
Subconjunto propio'de
Es mayor que
Es menor que
Es menor 0ligual que
Es may()r o igual que
Unióncon .
Int.ersección con
Complemento de
No es subconjunto propio de
Símbolo de implicacIón
Símbolo de la operación diferencia o resta
No es mayor que.
No es n1enor que .
Símbolo para expresar la operación división: (también se usa.
elsímbolo- comoen ~
)
I
b ~
15
SIMBOLO
E
9t
{ }
-
I
.+
n(o)
, , ,
JJ.
cf>
N
( e
l >.--
<
<:
>
lJ
n
e
-
:1>
<t

<=>
~
4:
R
E
O
D'
1t
V
%
16
Doble implicaci6n o equivalencia
No, es falso que
Tri.ángulo.
Angulo
Conjunto de los números reales
Conjunto de los números enteros
Conjunto de los racionales
Conjunto de los inacionales
3.14159...
Sintbolo de la operaci6n raiz cuadrada
Tanto por ciento

UNIDAD'V
POSTERIOR DESARROLLO.. .
DE LOS- NUMEROS REALES.

../
Introducci6n
Al llegar al.nivel de Preparatoria ya hemos aceptado y utilizado el orden entre los números
enteros y aun entre los racionales, generalmente de una manera ip.tuitiva, ahora
fundamentamos ~quellos conocimientos y los extend~mos a los númer~s reales aplicando l?a;a
lograr este aprendizaje las técnicas de la Unidad 111,es decir, ]a justificación de cada paso a
cada cambio en una expresión algebraica.
'Ahora, empezaremos a 'manipular expresiones algebraicas en que intervienen las
desigúaldades, ya que hasta aqu1 sólo hemos resuelto las llamadas ecu~lones. Estableceremos
la correspondencia entre los números reales y los puntos que forman .una linea recta, para así.
introd-ucirnos a los sistemas coordenados en los cuales se graflcan los conjuntos numérf~os.
técnica esta'importantisima dada la aplicación y divulgación tan extendida de las gráficas en el
mundo moderno, como "lenguaje," visual.
19
....

,Objeti.Yos generales
Al terminar de estudiar esta u~idad. el alum.no:
1. Aplicará los postulados de orden entre los números reales ~n la resoluci6n de
. desigualdades.
2. Utilizará los teorem~s básicos sobre desigualdades en la si~plificaci6n de expresiones
numéricas.
3. Calculará valores absolutos de diferentes distancias.
4. Graficará conjuntos nu'méricos. utilizando como instrumento la recta numérica.
20

Reglas
de inferencia
Número
racional
Correspondencia
biuuívoca
Disyunci6n
/
.Dlagram'a tem'ático es~ructural
Definici6n de números
positivos y negativos
Postulados
de orden ~,.
Teoremas 5-1 a 5-6
Ordenamiento de los
enteros y racionales
Sistema coordenado
lineal
Valor absoluto
Distancia éntre,
dos puntos'
Intervalos
Inducción'
matemática
, Densidad
Media
, aritmética
Gráfica 'de
intervalos
21

Glosario.
Campo. Todo sistema matemático cuyos elementos cumplan con los seis postulados de campo
acuerdo para dosoperaciones~ '
Campo ordenado. Es todo campo cuyos elementos pueden ordenarse y compararse de
a ese'orden. ,
Postulados de orden. Son las propiedades que posee un determinado conjunto para ordenar y
comparar sus elementos.
Propiedad de trlcotoDÚa. Si x, y E R entonces s6lQ una' de las proposiciones siguientes
es verdadera:
x> y' 6 x<y 6 x=y
Postulado transltlvo. Si un nú~ero real es mayor que un segundo, número, y eOstemayor ,que
un tercero, entonces el primer número es mayor que el tercero.
, ' x, y, ZE R,' x > y y> z .x > ,. I
Inecuaclón. Son proposiciones abiertas en que intervienen los signos de las desigualdades
, >,<;:;1:.. " , '
Postulado aditivo. Si un número real es máyor que otro, la desigualdad no St)altera al sumar
un mismonúmerorealenambQsladosde ia desigualdad. "
Si x,y, z E R, y x > Y. x + z > y + z
Postulado 'multlpllcatlvo. Si un número,real es,mayor que otro, la desigualdad no se altera ~l
multiplicar por un mismo número real positivo en ambos lados de la desigualdad.
Si x, y, z E R, Y z > O Y x > O
Si x > y .xz > yz
Número racional. 'Es el elemento numérco que se puede representar PQr'el coCiente de' dos
enteros ycuyo denominador es diferente ,decero. '
, a '
, D ={x I x =b" a, b E E, b 1= O}., D E R
Densidad. Es la propiedad de los números raciónales en cuanto al orden, y dice que entre dos
números ,racionales siempre'hay otro número racional.
Inducción matemática. ,Proceso por el cual después de aceptar un caso particular por
inducci6n se generaliza a cualquier caso "n'; para demostrar deductlvamente que si se
cumple para "n" se cumplirá para "n+1", concluyendo ,que se cumple siempr~~
Orientación gráfica. Sentido de referencia p~ra la localización del orden de los números sobre
una rect~. ' ,
, Sistemacoordenadolineal., Es la correspondenciabiunivocaentre los puntos de una recta y
los elementos de R.
Valor absoluto. Es el número de unidades que separan dos puntos sin importar 'el signo de
referencia en un sistema coo'rdenado lineal. ' ,
Distancia entre dos puntos. .Esel ~úmero de unidadés que se encuentran entre dos puntos.
22

Recta numérica. Es la recta con cuyos puntos se asocia el conjunto de números reales,
"también se llama sistema c.L.
Gráfica de un número. Es el punto de una rel'ta numérica con la 'que se asocia el número.
Coordenada. Esel,valornuméricoéonelquese asociaa un p~ntode larectanumérica. ..
Intervalo. Es la -Wáticade un conjunto numérico expresado en valor absóluto'y -menor que o
su cÓnjunciÓ'nequivalente. .
Intervalo-abierto. Es cuand'b en la gráfica no se incluyen los valores extremos. [a,b ]
Intervalo cerrado. Es aquel en el que en la gráfica se jncluyen los valores extremos.'
,.
23

M6dulo 1
OBJETIVOS ESPECI~ICOS
Al terminar de estudiar este módulo, el alumnQ:
, l. Definirá con sus palabras nú~ero positivo y número negativo.
2. Explicará porqué el conjunto de los nÚtperos reales forma un campo ordenado;
3. Mencionará cuáles son los postulados de orden.
4: e oncluirá el valor de verdad de proposiciones dadas utilizartdo las definiciones de "mayor
que" y "~enor que". '.
S. Aplicará los postulados de orden (tricotomia, transitivo, aditivo, multiplicativo), en l~justifi-
cación,de implicaciones y.en la demostración de teoremas.
6. Demostrará algunos teorema~ de orden aplicando los postulados correspondientes.
7.Mencionarácuálessonlasinecuacione!i., .
R.Resolverá d:e$.igualdactesjustifican~o cada uno de los pasos.
ESQUEMA RESUMEN
Tricotomía
POSTULADOS DE, ORDEN
Postulado transitivQ
Postulado aditivo
Postulado multiplicativo
Algunos teoremas
importantes
a > b<==:::>-a< -b
a > b <===:>a-b €,P
(definición de "maypr que")
a < b<==7>b-~ €:.p
(definición de "menor que")
DESIGUALDADES
E -
INECUACIONES'
Teoremas
básicos
{
.
Si a > b Y e < O => ae < be
Si a > b Ye > d .=> a + e >. b + d
.a,b, .e,d > O,a > b y.e > d ~ ae> bd
25

Elconjunto de
los n6meros
reales es
un _campo
Campo'
ordenado es...
1.1 Postulados.de orden
Existen proposiciones er! las que comparamos valores, medidas,
etcétera; decimos por ejemplo: Juan es mayor que Pedro, una hectárea es
mayor que media hectárea, un octavo es menor' que ciento treinta
milésim~; ¿cómo podemos estar convencidos del valor de verdad de
dichas proposiciones? los postulados de c~mpo, las propiedades ,de la
igualdad y la equivalencia nos sirven para justificar que existe diferen-
.cia pero no nos permiten o justifican el sentido d.e esta diferencia.
Los elementos que manejamos son n6meros reales y hemos demos-
trado que forman 10 que l1a~amos un caínpo, necesitamos ahora de-
mostrar que se pueden ordenar y comparar de acuerdo con ese orden,
para demo~trar en los casos de desigualdad cuál eS mayor o cuál es
menor, es decir, que el conjunto d'e los números reales' forma un ~po
ordenado.
Definición:.
Campo ordenado es todo conjunto cuyos elementos cumplen con los se~s
postulados de campQ para dos, operaciones y además guardan un orden
al compararse entre ellos.
¿Cómo se orde- Considerandoque vamosa acomodar')o~números uno después de
nan los n6meros otro. empezaremospor acom>dary definir a tres conjun,tosdisj,untos
realeguatda.com/cmx.p6...1 cuyauni6nformaeíconjuntoR..
1. Sea P. el conjunto de números positivos.
2. {x I - x E P}. El conjunto de números negativos que definimos
usando ~l conjunto P, como aquel10s números cuyo inverSo es
positivo. Siendo Xnegativo -x es positivo.
3. {O} Este conjunt.o complementa la uni6n de los dos anteriores y
. tiene un solo elemento. por el teorer:na 3-11. sabemos qu~ el eer~ es
.unnúm'ero cuyo inverso es él mismo.
lV e~orden El orden.de los tres conjuntos definid()s lo establecemos usando,las
se .establece...? siguientes .'
Definiciones:
e
26
x É R Y x >. o ~ x E P
x E R Y x < O ~ -x E P
De acuer40 con las definiciones cualquier número positivo e~may~r
que Oy cualquier número negativo es menor que 9. Usando la regla de
inferencia de la cadena (Unidad II, Módulo 8), deducimos que cualquier
númerbpositivoesmayorquecualquiernú~ero negativo. .

Postulados de orden
Postulado5-1.Trlcotomí~. Si x, y E R entonc~s s610un,ade las ¿Qué postulados
proposicionessiguientesesverdadera. x > y o x < y o x =y nos ordenan los
númer.os
reales...1Postulado S..2.Transltlvo. Si un número real es mayor que un segundo
número, y éste mayor que un tercer ~úmero, entonces el primer nú-
mero es mayor que el tercero.
x, y, z E R, x > y y y > z =>x > z
Postulado 5..3.Aditivo.
x, y, z E R, x > y =>x + z > y '+ z
Postulado5..4.MuItlpllcatlvo.
x, y, z E R, z > O Y x > Y ~ xz > yz
A diferencia del postulado multiplicativo para la igualdad, éste tiene
una condici6n más, el factor (z) debe ser positivo o mayor que O. Ahora
. estableceremo-s ydemostraremos algUnosteoremas que nos serán de gran.
utilidad, tanto para ordenar los elementos de R como para resolver
proposiciones abiertas en las que intet:Vienen' desigualdades. Las
demostraciones siguen la técnica de dos columnas, pero en las justifica-
ciones. s610 escribiremos las que correspondan a este libro, pues se
supone que usted recordará las que corresporidan a la teoría de campo y
s610se recomienda que esté seguro de recordarlas; con esto se pretende'
recortar dichas demostraciones para hacerlas más interesantes; recuerde.
.que siempre que no se mencione otra cosa el conjunto de reem-
plazamiento esR.
A las proposiciones abiertas en que intervienen' desigualdadés
también se les llama Inecuaclones.
Teorema 5- t . a > b <=>-a < -b
Demostración:a > b ~ -a < -b
, a> b
(-a) + (-b) E R
a + [.(-a) + (-b)] > b + [(-a) + (-b)]
Teoremas para
proposiciones
abiertas...
Dado
Cerradura
Postu-
lado 5-3.
-a < ~b => a > b
-a < -b
a+b.ER
-a + (a+ b) < - b + (a + b)
o :+-(.-b) > (-'a) + O
-a < -b
O+b<a+O
a>b
J;jemplo: Si 100 > 10 entonces - 100 < - "10
..
27

Demostración:
a>b=>a-bEP
a > b Dado'
a + (-b~ > b + (-b) Postulado5-3
a-b>O
a~bEP
¿Cómd defini-
mos mayor qué?
¿Para definir
, ,menor que....
Teoremas
básicos sobre
desigua~dades
Teorema5.2. a > b si y sólo si a - b, es positivo
A ~ste teorema también se le llama de la definición de Q1ayor
que
a>b~a-bEl?
a-bEP=>a>b
a-b EP
a-b>b
Definiciónde
elemento'de P
. Dado
Definiciónde núme-
to positivo
(a - b) + b > ,O+ b Postulado 5-3
a>b
Teorema 5.3. a b - a E:P
Demostración:
a<b===::>b-a E:P b-aE:P~a O....' ,. l.. ........................
Teorema 5.4 a > ~'y e < O, ===> ac < be
, Este teorema nos indica qLJea difere~cia del postulado 5.4
multipHca.tivo; si el factor que se agrega es negativo, el sentido (le la
desigualdad se invierte. La'demostraci6n está escrit~ en el problema 6 de
los Reactivos de autoevaluaci6n correspondientes ~.estem6dulo para qne
lajustifiqueelalu~no. I
.Teorema 5.5 a > b Y e > d, ===::>a + c:.>b + d '
Dos desigualdades del mismo sentído p'ueden sumarse miembro a,'
miembro y resulta una desigualdad con el mismo sentido. La
demostra~i6n es muy semejante a la del teorema anterior y se propone
como el problema 7de los reactivós.,
Teoreliu~5.6 a, b, e, d > O, a > b Y e > d =>ac > bd
Aplicaciónd~' Si.todoslos números en do~desigualdadesdel mismo sentidó son
teo~emas 'sobre positivosse pu~den multiplicar miembro a miembro,y resulta otra
desigualdades desigualdadconelmismosentido.
Ejemplos: Teore~a 5.4
á) 15 > 9 Y -2 < O
15 (--2) < 9 (-2)
-30 < -18
28
b) -2 > '--:-5-120
( - 2) (-1) < (- S') (- 1)
2 <.5

TeoremaS.S a) 4 > ,3 Y 8 > 7
. 4 + 8'> 3 + 7
12 > 10
b) 7 < 11 Y 10,< 15
7 + 10 <' 11 + 15
17 < 26
TeoremaS.6 a) 6 > 4. Y 3 > 2
6 3>4;.2
18 > 8
b) 3 < 5 Y 7 < 9.
3 . 7 < 5 ' 9
21 < 45
Con.1a idea de tener presente la d~ferencia entre el inverso de un
númerQ dado ysu reciproco, se incluye la siguiente actividad complementaria.
10Escriha el inverso aditivo de los siguientes nÚmeros:
a)-3 . b)_A c)a+b d).L e)-l
b .¡i-b 4 7"
20 Escriba el I'ecíproco' (inv~rso multiplicativo) de cada número de los
incisos anteriores,
'En caso de'duda consulte la Unidad 111.
REACTIVOS DE AUTOEV ALUACION
1. Demuestre que el producto de dos. números reales ambos positivos o
.ambos negativos, siempre es positivo.
Demuestre que si a E R, a =pO =>a2 >. O
Utilice' la definición de menorque, para deducir una conclusión de cada
una de las proposiciones siguientes. La conclusión debe deducirse de la: .
.Proposicióndada sin tomar en cuenta el valor de verdad.
a) 6< 9 c) -2 - (-4)EP e} -3 - (-1) EP
b) -5 < -1 d) 5 - 8 E P f) 14 - 7 E P
Aplique en el problema anterior, la definición de mayor que. IQvierta
las desigualdades de los incisos a) y b). '
Justifique cada una de las siguientes implicaciones considerándola verda-~ .
dera, cQmplétela cuando no tenga conclusión escrita. .
a) -a < O ~ a E P g) 3 <' 10 y 10 < 50 => 3 < 50
b) 3EP=>3>0 h) 5>xyx>0=>5x>x2
c) a =p.b Y a: i) a es positivo y b + 2 es positiyo,
d) 3';;:. 1 =>3 - 1 E P entonces a(b + 2) es positivo.
2.
3.
4.
5.
.29

e) 5 < 3 Y 5 "4=3 ~
f) x no es mayor ,que O y x
no es menor que O ~ ~.
Justifique los pasos dados en la cemostración del Teor~ma 5-4.
a > b y 1:'< O ~ ac'< bc
1. á > b
2. e < O ~ - e :> O
3. a(-e) > b(-e)
4. -ae > -be
5. áe < be
Demuestre el Teore.ma 5-5.
Demuestre .el Teorema 5-6.
Resuelva las siguientes desigualdades justificando sólo 108 pasos en que
aplique postulados o teoremas de este capítulo.
I 2x + 1 ,> 3
Solución': . 2x + 1 > 3
(2x + 1) + (-1) > 3 + (-.1)
2x > 2
(f) 2x >- (f) 2
x > 1
. {x E R Ix> 1}
2x - f >.3x + ¡
~:':.2 < 1-3
6.
7.
8.
9
10
11.
12. .
13.
- 4x < 3x + 7
::. > -5x + !2 3
14. Complete la solución'
2x - ~ > -3 .
2x > _.
2x > -
->..:
- > ~
. {x E R Ix> 2}
15. Resuelva:4 - 3x > 4
30
n. 'x < y y y < z + 3 ., x < z + 3
Postulado S.3 aditivo
Postulado 5-4 multiplicativo
Postulado 5-3
Postulado 5-4
.-

M6dulo 2
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Al terminar de estudiar este m6dulo, el alumno:
1. Demostrará el ordenamiento de los enteros por medio del postJ.llado aditivo.
2. Explicará'cuálessonlosnúmerosracionales
3. Dará un ejemplo de densidad.
4. Ordenará números reales de menor a mayor y de mayor a menor.
S. Demostrará la densidad de los números racionales.
6. Calculará promedios de dos.números dados.
7. DemQstrará el teorema sobre fracciones iguales a cero.
8. Demostraráelteoremaw, x, y, Z ER y, z > O
x ,w
> -<===:;> x Z' > W y
Zy
ESQUEMA RESUMEN
ORDENAMIENTO DE LOS ENTEROS - Iriducci,6nmatemática
"
.
{
Características
NU'MEROS RACIONALES - Campo orden~do
Densidad
TEOREMA SOBRE UNA FRACCION IGUA.L A CERO
Si x, y f:..E; y =1=O
31

¿Cómo
ordenamos
los enteros?
Razonamiento
matemático
32
2.1 Or.denami'entode los enteros
TeoremaS-7. 1 > O
Demo$tración:
l>OóJ<Oó
I 1.* O
1 < '0
1 = O Tricotomía
Postulado de ide.ltidad inciso c)..
Hipótesis. Si llegamos a un absur-
do o contradicción. nuestra hipó-
tesis será falsa y la disyunción nos
señalará la verdad. Método in-
directo.
Defmición de .número negativo.
Postulado 5-4.
Contradicción entre la hipótesis,y
la' conclusión por lo que la hipó--
tesis es falsa.
1 < O =>-1 > O
=>(-1) (,...1) > O (-1)
=>1>0
1 <t O, 1 * 0=>1 > O
Corolario: Como 1 E.N Y 1 E P entonces si,x E N ~ 'x E P
Si a. 1 > O le aplicamos el postUlado' 5-3 aditivo sumándole la
unidad a cada lado tendremos: 1 'T 1 > O + 1 y por sustitución
2 > 1, aplicai1do el mismo postulado a este resultado y así
<,ul.'l'sivamentea lo que resulte. tendremos un orden establecidó para lo~
delllentos de Njllst~ticado por el postulado t~ansitivo: .
O < f < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
.
Si después de comprobar unos cuantos casos aceptamos que
N e P, es 'decir. que todos los números naturales son mayores
que O y que por tanto sus inver~os serán los números enteros
negativos o menores que O.
4 < -3 < -2 < -1 < O
¿Qué tipo,de razonamiento estamos empleando? debemos recordar
q,ue con este tipo de razonamiento las conclusiones no son necesaria- ,
mente válidas pues es un razonamiento inductivo, por lo que después
de demostrar que se cumplen 'en' un caso particular. para un número
n E.E. hábrá qué demostrar deductivamente que se cumplen para el
siguiente número n + 1, para entonces sí aceptar como conclusión que
se cumplirán para todos los elementos de E.
A este procedimiento se le llama inducción matemática o también
criterio de la inducción y su aplicación requiere mucha más experiencia

de parte del estudiante que la que hasta aqui haya obtenido. Por 10
pronto aceptaremos que N C P.
2.2 Números racionales.Densidad
En la Unidad III deltexto anterior hemosdefinido al conjunto de .
números enteros y una razon para ampliar este conjunto fue que ningún
. entero multiplicado por 8 da 4, podemos observar que eso significa.
que los elementos de E no tienen ~n inverso para la multiplicación o
reciproco en el mismo conjunto, por lo cual E no es un eoqJunto cerrado
para la multiplicación. de modo que atinq.ue E es'un conjunto ordenado,
no es un campo ya que sus elementos no cumplen con los postulados de
cerradura ~inversos. Un conjunto mucho más "rico" que E, cuy~
. elenlentossí cumplen con.los p~stuladosde campo, es el conjuntoD de
los números racionales.
Definición:
Número racional es el que se puede representar
dos 'enteros, denominador 4iferente de O. ,. .
p ={x Ix =.¡" a, b E E, b :#= O},
por et cociente de
DCR
Los números
racionales sr
forman un
.campo
Este conjunto es, entonces; un campo y el teorema. . . . . . . . . : . . . .
3-20(1- =~~ ad =bc) ju~to con los dos siguientes nos permitirá orde- '
nar sus elementos,conlo cualD formará un campoordenado.
T~rema 5-8. x,.v E E, Y *' O ~ =. O ~ x = O Una fracciQn es
El
. . d
)'
d ' '
b' . igual a cero si...enuncia o para este teore_ma po fla eSCfl Irse, como sigue: . .
"Una fracciÚn es' Igual a cero. si y sólo si s~ numerador es cero"
Este tCH'CJ1Hadquiere gran importa!1cia en la solución de
ecuaciones con fracciones, y puede l:1acerseextensivo ~.Iosnúmeros reales
si considct:amos x, y E R.
Demostración:
=-=O~y.O=xy .
~ O ='x
Definición de la di-
visión (observe que
es doble implica-
ción.=- = O.~
y x=O
El teorema siguiente condiciona que los denominadores ~e las
fracciones sean. números positivos. Podria condicionarse que ambos
. denominadores fueran negativos con el mismo'resultado, pero de ningún
modo pueden tener signos diferentes.
Teorema 5-9
w, x, y, z ER;. y, z > O;=- > w ~ xz > wyy z.
~
Los números
racionales
forman un
campo
ordenado
~

21 17
a) 4' "3
4
b) -3'
4
-3
Densidad
-34
7
7"""5
-4
--
3
Una fracción es mayor que otra si y sólo si, el producto en cruz de
numerado~es y denominadores da una desigualdad en el mismo sentido.
Las fracciones mencionadas pueden, interpretarse como námeros
racionales. . .
Eaemplos: Establecer sentido de de$igualdad entre:
21 . 3 . 63, - 17 . 4 = 68
63 < 68
21' 17
-<-4 3
4 7 -7
--,--=-3 5 5
(-4 )5
7
--
-5
= -20, (~7)3= -21
-20 > -21
-.4 -7
->-3 S.
4 - 7-
->---3 S
Estos teoremas. 3-20, S-8.y 5-9,-justifican que podemos rcferirnos al
conjunto D como un campo brdenado, además entre los elementos de
este conj.unto existe _unapropiedad muy importante a la 9ue llamamos
densidad. . .
Definición:
, -
'Eatredosnúmerosracionalesslempréhayotronúmero
racional.
El número conocido como promedio c;le dos
aritmética es una prueba de la propiedad densidad.
[Mediaaritmética: a, b E::.D~ a ~ b C D' .
o como media
I

Ejemplos:
a)Entre Sy 6 la media aritmética es s + 6
2
11
=2
11
b)Entre Sy111amediaari~méticaes. .S + 2
2 == 21/4
2
yse puede continuar indefinidamente loc~lizando un número entre S y la
.media aritmética que resulte.
El problema 3 de los siguientes Reactivos de. autoevaluación
presenta simbólicamente esta propiedad a la que haremos referencia en
el tema "Gráfica de un conjunto numéricQ" .

REACTIVOS DE AUTOEVALUACioN
L Ordene el siguienteconjunto de númerosde menor a mayor «)
{5.2, ~ 2.8, - 1:, - f, - t, .¡, 7.6}
Ordene el siguienteconjunto de númerosde mayor a menor (»
{.t, O, ril, 1, .12, .123, .012, .123S}
Si a > b, dem~estreque a > a ;.b > 'b. Esta notación represent~ la con-
junción a > a ; b Y a ; b > b, que demuestra. la propiedad de los'
números racionales llamada densidad. a ; b se llama la media arltmé-
2.
3.
4.
tlca de a y b.
Demuestre que: t < :¡< 1
5. Encuentrela media aritméticaentre:
a) 2 y 7
b) -3 Y 5
c) -3.6 Y 2.5
d) - .! y .!2 4
e) i y 3
6. Demuestre el Teorema 5-9. w, x, y, z E R, y, z > O'
~ > w * xz > wyy % .
Llene el espacio entre .los números con el símbolo Que haga verdadera
la proposición, escogiendo entre <, =,' ~ .
a) .:::2- O e) .=!.-5 3
f) !7
g) ...!!--12
h) .::.!.-5 '
i) -3.002
7.
o
.!
5
~
3
-s----
7,
- 3~020
35
b) 1.301 1.300J
) -7
9C -
. 42
d) -'.!
.1
3 4

M6dulo 3
OBJETIVOS ESPECIFICaS
Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:'
1. SeAalarAen qué consiste una recta numérica.
2. Explicar' la orientaci6n positiva y negativa dt; una recta numérica.
.3. Explicará cuáles SOfllos llamados n6meros racionales.
.4. Duda una serie de pU,ntos.determinará sus coordenadas.
S. Dadtl Untlserie c;lecoordenadas. graticará los puntos correspondientes.
, 6. Mcn~ionaráen quéconsisteelvalorabsoluto. '
7. Ob~cndrá valores absolutos de diferentes puntos de la recta numérica.
~.Definirá el concepto de distanCia entre dos pu.ntos
9. Resolverá problemas relativos a la distancia entre dos puntos.
ESQUJMA RESUMEN
Representaci6n geométrica de los n6m~ros reales:
La recta numérica'
}
Orientación positiva
Orientaf=ión'negativa
sistema coordenado lineal
Valor absoluto
, Distanciaentre dospuntos enla rectanumérica.
Detiniciones de valor absoluto.
a~c E:R Y c > O
la 1= c<=:>a= c 6 a = -c
Ial> e<=>a > e 6 a < -c
la I < c<::>-c < a < c
37

, Elconjunto de
punto.ssobre
una recta
3.1 Representacióngeométrica de los números reales
Hemos utilizado el criterio de 'inducción o inducción matemática
para establecer un orden entre los eJementos del conjunto E, que a su vez
nos ha servido, junto con los teoremas 5-8 y5-9, para establecer un orden
entre 10; elementos del conjunto D. Si.consideramosqueun.aUnearecta
es un conjunto de puntos que cumplen con UJ;1acondici6n y llamamos a
ese conjunto A, podemos es~ablecer una correspondencia biunivoca entre
los elementos de R y los de A, empezando por establecer la
correspondencia entre un elemento' 'de A y el elemento O de R.
Podemos escribir los números enteros en. el orden definido, es:
cribiendo el uno a la derecha del cero o a la izquierda deLcero antes de
establecer la correspondencia; en el primer caso, decimos que se le da
orientación positiva yen el segundo caso, orientación negativa. La orien-
tación positiva es la aCQstumbrada y será la que consideraremos nos-
otros, de modo que los números positivos quedan a la derecha del,
cero y los números negativos a la izquierda y cualquier número a la
derecha de otro es mayor que él. ' '
Los números
Irracionales en
la recta
38
Las cabezas de flecha indican lo mis~o que los puntos suspensivos
en los c~>njuntos,es decir, que se sigue hasta infinito, ,
Si dividimos el espacio entre Oy 1 o entre dos enteros consecutivos
cualesquiera en "q" divisiones iguales, podemos estable~er la correspon-
dencia entre un punto de la recta A y cualquier número racional, !!.., y
q
siguiendo este procedimiento nos encontraremos de que aun con la
propiedad densidad de los números racionales, nos quedan muchisimos
"huecos" en la recta, á menos que tomemos en cuenta a los elementos del
conjuntoD' ,los Irraclonales, que vendrian a "llenar esos huecos" corno se
ve en la gráfica anterior con los números Irraclonales ../2, y fr.
Al conjunto .de puntos qúe forman la rect~ (A) 10 llamamos recta
numérica y al punto én correspondencia con el número O,por habernos
.servido de base' para la correspondencia, 10 llamamos origen. De este
modo cualquier 'puntoP, estará en' correspondencia con un número n y
decimos de ellos 10siguiente:
"P es la gráfica o representaci6n geométrica del número nU o también
queUnes la coordenada deP" 10 cual simbolizamos P(n), que se lee
"P en n"
.,..
(-) ... I (+)
3 1 1
R ={ -4, -3, -2, 2 -1,. ,- 2 0, "2 1,.J2 2. 3, fr, 4.. .}
* * * * * * * * *, * * * * '*
A = {. . . . . . . , , , O , . O ,. , }
T O A 1M

b) La coordenada de T es - .!2
entonce!i ! (-.¡ ) T
A= +-1
-2
M(3),se lee M en 3 y significa
q~e 3 es la coordenada de M o
. también que M es la gráfica
del 3.
.
-1 o
c) B (~2).. El punto B se puede situar ~eométricamentecomo se
muestraen'eldibujo.
Todos los números reales pueden escribirse en su forma decimal
(los irracionales tendrán una parte decimal infinita y no peri6dica), y .
esta forma nos permite localizar, en forma aproximada; la posici6n de la
gráfica de cualquier número real sin necesidad de construcciones
geométricas dificiles y engorrosas. Por 10anterior, podemos decir que: A
cada número real le corresponde un punto en la recta numérica y a cada
punto le corresponde uno y sólo un número real.
~emp.o:
Localice n = 2.743..., número irracional'
1<2<3
39
emplos:
a) M
A: , I I I . )
O 3

A =. ;/ I I
1 B 2o

2.6 < '2.7 < 2.8 2 3
2.7 < 2.74 < 2.8 2.6
2.74 < 2.743 < 2.75 .
2.7
ti
+-t
2.74 2.7S
.
2.8
Se puede observar que la exactitud de la gráfica de n depende del
número de subd'lvisiones que baga~os y consecuentemente del tamai'io
del dib1:1jo,el error entre la gráfica y el valor exacto de la coordenada
puede hacerse tan pequefto como se desee. escogiendo la escala lo
suticientemente grande
DeOnlclón:
Sistema
COordenado
Unear
A esta correspondencia uno a uno o biunivoca entre los puntos de A y los
elementos de R le llamaremos sistema ceordenado lineal.
Valores.
absolutos en la
recta numérica
3.2. V~lorabsoluto
. En la recta numérica las coordenaaas de cada punto nos 10sitúan, a
una determinad~distancia del origen, a la derecha, si el número es
positivoo a la izquierda. si es negativo,por ejemplo: La gráfica del
número 6 está 6 unidades a la derec::hadel O,en cambio la gráfica de
-6 está a 6 unidadesa la izquierdadel O.En amboscasosdecimosque l~
distanciaentrecualquierade losdos puntos y el origen,es de 6 unidades
y aqui no nos interesa el signo. que sólo nos sirvió pal'asaber en qué
sentidomedIrla dIstancia,en otras palabras. al hablar de distancia nos
interesaelvalórsinconsiderarelsigno.otambiénpodemosdecirque nos
interesaqueelvalorsiemprelIeapositivo;la coordenadanosda entonces
el valorde la distanciaal origeny.no tomamosen cuenta su signo,pero
cuando consideramosla dlltucla entre dos puntos cualquiera,la ntta -
de sus coordenadas nos)proporciona ese valor, perotampocodebemos
considerarelsigno.Ejemplo:La distanciaentre A(6) y B(-2) nos la
da la resta, (6) - (-2) = 8 6 (-2) - (6) = -8, en donde el valor
es 8. Para evitar el, inconveniente del signo o el de buscar la coorde-
40

nada mayor para testarle la menor y obtener. un resultado siempre
.positivo. se ba inventado lin :término que aclara la situaci6n; .aIor
.lOlúto; el simbolo para representado son dos lineas verticales una a
cada lado del número o de la expresi6n que 10 represente. Ejemplos:
. 'a), 1x Ise lee el valorabsolutode x.
b) 1(6-) - (-2).1se lee el valor absoluto de la .testá.
e) 1(- 2) - (6) I se lee el valor absoluto de la resta.
La definición del valor absoluto de cualquier númeró real nos dice
que es el mismo número cuando éste sea positivo o' que tomemos el
inverso del número en caso de que sea negativo ,o que es cero si éste es .
cero. En pocas palabras, el valor absoluto siempre' es positivo; las
disyunciones que esttlblece la definici6n las simbolizamos. con el
~orchete = {
{
5 .
lilemplo: x = -1 x es igual 115 nes igual a
3. -1 ()-l'Sigunl a 3
/r
/
//
El valor abs?lut~ de un númer9 realx,.esxsi el número es po~itivo o es - x
I
,11valor absoluto
siel númeroesnegatitooesOsielnúmeroeselO. '. de un nQmero
e8...
{
X, si x > O
;t e R,Ix I = -x, si .t < o
x, si x = o
Ejemplos:
a) 13 1=3, porque 3 > -o
b) 1-3 I =- (-3)=3.porque-,3 <: o tomamos su inverso
,
{
X"':' 1, si'(x - 1) > O
e) Ix-tl= -(X-l),~(x.-l)<O
. O, SI (~- 1)=O .. .
d). Si Ixl =3 entonces x .= 3 Ó x ==--3 'por incisos a) y b)
anteriores. .
e) Ix-l'I=5 ~ x-l=S~x-1.=-.5
x-l=5' ::::::::>x=6
x-l=-5 ===:»x=-4
Ix-ll=5 ~ x=6 6 %=-4
Ix ~ > 7 ~ x> 7 6 x <:-7, Lasegundaproposici6n
de la disyunci6n (x < -7) la desigualdadestá invertida ¿porqué?
V~rteorema 5.1 . ,
o
41

.~
g) Ixl < 7 =:::> ...?....................
De los ejemplos anteriores podemos deducir las siguientes defi.
niciones:
4, e E R Y e > O (Recuerde que a, e pueden ser expresion~s algebraicas)
Ia I = c* a =e ó a =- e
lal>c*a>c ó a<-c
Ial" < e * - e < a < e
e < a < e ,esuna forma de escribir la conjunciónde a > -e '
ya<c
Usando la definición de valor absoluto diga si la siguiente
proposici6n es falsa o verdadera y explique. Ixl < - l. 111
3.3. Distanciaentre dos puntos en la recta numérica.
La distancia de cualquier punto'P(x) al origen será Ixl , ya que
I'x-Ol = Ixl
La distaricia entre dos puntos cualquiera A (~) y B(y) será el va'or
absoluto de la resta de sus coordenadas en el orden que se prefiera,
Ix -y I =IY - x l.
El concepto de valor absoluto nos evita inconvenientes con los signos.
en el manejo de la distancia en el sistema coordenado line8;1.
Ejemplos:
a) Distancia entre A(6) y B(-3)
AB =I(6) - (-~) I = 1(-3) - (6) I La recta sobre las letras AB
= 16 + 31 == I - 3 - 6 I significao representa: longitud
~ 191 = I - 91 del segmento de recta entre
= 9 .A Y B.
b) Distancia,entreC(- .!) YD(- .!!.) .2 5-
CD'= I- .! - (- .!!.)I= I - .! + !.!.I = I -5-+22I = I~ I =".!!
2 5 ~'5 10 ' 10 10
REACTIVOS DE AUTOEVALUACION
1. Si las coordenadasde los puntos A y B son respectivamente2 y 6 de.
muestre que la coordenadadel punto medio P, es la-media aritmética
/ de las coordenadas de los extremos. (También se le llama promedio).
A(2) Y B(6) ~ P(4)
*Por definici6n, ningún valor absoluto es neeativo, de donpe Ixl. < .1 esuna propo.
sici6n falsa. '
42

2. Encuentre las coordenadas de los 'puntos medios entre
a) 3 y -3 b} 2.1 Y - 5.1.
Escriba el valor numérico más simple para x.
a) x = -112 I b) x =1-121
d) x =1 .!. - ! I e) x =1 .!. I - I - ! I.3 3 I 3 .3 ,
Demuestreque para todo a E R, - la 15. a 5. 1al. Indicación:Use la
definición de valor absoluto.
c) .7 Y 3.4
3.
c) x =- 1- 12I
4.
5. Escriba con sus palabras la interpretación geométrica de las siguientes
expresiones:
a) x > y Solución: Geométricamente o 10 que es 10 mismo sobre
la recta numérica x es un número a la derecha de y.
b) la - 61 ~ 1 c) 1al> 5 d) 1a - 21 = 4 e) la I < 5
f) 3.14 < 1T< 3.15 . g) 1a + 3 I > '1 11) a > O
6. Demuestre que Ia + b I ~ Ia I + 1b I
7. Efectúe las operacionesindicadas.
a) 5 + 1- 31 b) 161 + 141
d) 1-31. I -41 e) 171 -1 -21
c) I-41 + I4 - 5 I
8. Determineel valor de x en las expresiones:
a) 1xl =2 ' b) Ix - 21 =5
d) 1x + 5 I > 2 e) Ix + 5 I < 2
g) I5x + rl 5. 2
c) 13 -xl = 6
f) I 3 ~ 2x I ~ 5 .
9. Determinar las distancias entre cada par de puntos dadas sus coordenadas.
a) A (3), B (7) b) M (-2), N (4)
43

M6dulo 4
Al terminar de estudiar este m6dulo. el alumno:
1. Explicará qué es un intervalo.
2. Explicará a qué se le llama intervalo abierto.
3. Explicará a'qué se le llama intervalo cerrado.
4. Graticará conjuntos numericos.
5. Diferenciará intervalos abiertos y.cerrados después de resolver una lista de desiguald~des
6. Explicará la diferencia entre intervalo abierto e intervalo cerrado.
'7. Identificará .en un gráfico un intervalo abiert~,Y un intervalo cerrado.
8. Indicará un in~ervalocerrado utilizando los'conceptos de igualdades ydesigualdades.
"
.ESQUEMA RESUMEN
GRAFICA DE UN CONJUNTO NUMERICO
¡-
ÁBIERTO
INTERV ALO -
'. CERRADO
L. .
45

Intervalo
x<6~
46
4..1 'Gráfi'ca de un conjunto numérico
Hemos dicho que la gr~ca de unnÚDIero real e¡ un punto en el
sistema coordenado lineal, por tanto la gráfica de un conjunto de
nÚmeros será un conjunto de puntos.
Algunos conjuntos numéricos pueden expresarse simbólicamente
utilizando el valor absoluto.
Por ejemplo:
a) Ixl =3, -seinterpretará como~lconjuntode puntos que están a
3 unidades de origen. 1X 1 =3 <=> X =3 Ó X =- 3
Solución: {3} U {-3} = {3, -3}
GrMica.
~. 1 , I t " . ..
-3 O 3
b) ,1X + .1 ,= 5. se puede inter.pretar como el conjunto 4e pun.-
tos que están a S unidades de -1. IX + 11 =1X - (-1) 1=5
Ix+l=s<=>x+l=s óx+l=-s
Solución:
{x I 1x - (-1)'1 = S} ={x Ix + 1 = 5 es x + 1.= ~5} = {4, "","ó}
Grática: ~
-6
r I I 1 I I I I ., I ..O 4
Deftnlclón:
Ala gl'át1ca de un conjunto numérico, expresado con el valor absoluto y
menor que, o su collunción equivalente, se le llama un Intervalo.
c) 1x + 1 1 < 7 seinterpretacomoel conjuntod~'puntoscuya'
distanciaal punto'de coordenada-1 es menor de 7' unidades.
{x I Ix - (- 1)I < 7}
1x + 11 < 7 <=>-7 < X + 1.< 7
<=>- 8 < X < 6 Postulado 5.3
Solució~:{x1-8 < x. < 6} = {x1-8 < x} (j {xx < 6}
El conjunto es 'infinito. incluye a todos los números reaIés mayores
que .8 en un caso, y a los menores que 6 en el otro, pero no 'incluyen a
esos números (-8 y 6).
Gráfica
~-8
O
O
.-o6
..
-x>~
o
Los puntos correspondientes al -8 y al 6 se dibujan "huecos" para
indicar que no forman parte del conjunto de puntos.

A los Intervaloscomoeldel ejemploc), que no inc1uyeillosextremosse
les nombra Intervalos abiertos, ya que por la propiedad de densidad
siempre encon~raremos otro número entre el6 y el menor más próximo a
Óqu~ se nos pueda ocurrir, lo mismo sucede en cuanto al extremo en-8.
Intervalo
abierto
d) Ix -2 I $. 3. Reeuerdeque $. es la disyunción' <. ó = .Esta
proposición se puede interpretar como el conjunto de puntos cuya
distancia a 2 es'01enor o ig~al a 3 unidades. ' {x I 1x - 2 I ~ 3}
Ix-21$.3*x-2~3 y 2~-:-3
* x$.5 y x~-l
Solución: {x 1x $. 5 Y x ~ .- 1} ={x Ix$. S} () {x 1x. ~ - 1}
En este caso los extremos del intervalo, el S y el-l si están incluidos
por el signo = y en la gráfica aparecerán "llenos".
Intervalo
cerrado
A los interva~oscomo el del.ejemplo d), en los que los extremos están
incluidos se les nombra intervalo cerrado.
Los conceptos Intervalo abierto, Intervalo cerrado adquieren un
valor extraordinario en el estudio del cálculo en unidades posteriores.
1. Determine todos los valores posibles para x en las expresiones siguientes,
escríbalos como conjunto solución y grafíquelos.
a) . 1x I = 10
d) 1x + 4 I < 1
b) Ix - 1r=3
e) I3 -x I =:= 6
c) Ix + 41 > 1
f) 12-xl S. 2
-2. Determinelos conjuntos solucióno de verdad de los conjuntosque Se.
dan y dibuje su gráfi~a en' 'Ia recta numérica. .Considere el c~mjunto
de reemplazamiento in~icado en cada problema.
,47
Gráfica
. X 5....
.x> -1.
. .. . ' ...
51-1 o

'-
a) {x E El - 3 < x < I} Respuesta. En el conjunto so-
{x E E Ix> -3 Y x < 1} = {-2, -l,"'O} lución sólo tendremos ente-
ros por lo que sólo hay 3 I
, elementos en el conjunto.. ..
-3 -2 -1 o
b) {x E R ,1x < 2 Y x < 6}
d) {x ~ R Ix < 2 ó x < 6}
f) {x E R Ix> 3 Y X < - I}
c) {x E E I - 2. < x < .!}2, 4
e) {x E R Ix> - 1 Ó X < 3}
g) {x E R I Ix + 3 I 5 l}
3.
, .'
De ,acuerdo con las definiciones dadas, al final del tema valor a.bsoluto,
emplee los postulados y teoremas sobre desigualdades para resolver las
siguientesdesigualdades.Diga si la gráficaes Q no' un Intervalo,en caso
afirmativo 'si es cerradoo abierto.
'a) I2x +- 6I > 4
c) I3 - 2x I < 1
b) I5x - l I 5 9
d) 15 + 3xl < 3
4. Use. los postulados de orden, definiciones y te~remas necesarios para
¡:esolver las siguientes desigualdades. .
GraOqaeen el sistema coordenado line~lel conjunto solución que en- .
cuentre, no es necesario justificar. ' "
a) -2x > 4 b) 3x + 5 < 7x + 4 - . c) . 3x -3 .$. 4
d) 3y -5 > 4 - (v - 1) e) 6(z - 2)'? 2(z - 4) ...
1) Ix - 1I > 8 g) 14'- YI ~ 6 h) 1 > 3x;7
BIBLIOGRAFIA D~ ESTA UNIDAD
"ALGEBRA" Recs. Sparks. Ed. Reverte. 1973. "
..ALGEBRA". Florence Lovaglia. Meritt Elmore, Donald Conway. Ed. Harla. ~973.
./
48

Paneles de verlflcacl6n
MODULO 1 -VALlDACION
ó o < o y b < o => ob >' oJ
Dado. o < O Y b < O
Postulado 5-4 b < O=>"-b > O
0(- b) < O(- b)
-ob < O
ob> O
l. Si o > O Y b >.O
o>Oyb>O
o.b> O..b
ob >'0
2.
T~orema 5-1
Postulado 54
Teorema 5-1
aE R Y o =1= O =>02 > O Cualquier número real diferente de O multi-
plicado por si mismo da un producto positivo.
Dado .
Tricotom ía y o =1=O'
Hipótesis
Postulado 5-4
oEk
o>O'óo~O
o> O
a.o>O.o'
02 > O
0<0
0.0>0'0
02 > O
Hipótesis
Teorema 5-4
5. a)
b)
c)
d)
e)
t)
g)
h)
i)
Definición de númerOs negativos.
Definición eJe.númerospositi~os
o =1= b Yo b. TricotOInÍa.
''Teorema 5-2 o definición de "mayor que".
-S < 3 Y ~ =1= 3 =>5 > 3. Tricotomía.
x > O Y x < O =>x =O. Tricot<;>mía.
Postulado 5-2_.Transitivo.
Postulado 5-4. Multiplicativo.
Problema 2. La conclusiób obtenida en este problema se puede enun-
ciar como sigue; "El conjunto P es cerrado para la multiplicación"
Postulado 5-2. Transitivo.' .
49
3. a) 9 - 6 E P .ó 9 - 6 > O d) 8 < 5.
b) (-1) -""(-S)EP (-1) - (-5) > O e) -1 < -3
c) -4 < -2 f) 7 < 14
{
. , 4. a) 6 - 9 E P d) 5 > 8
b) (-5) - (-l).E P e).-3>.-1
c) - 2> .....4 f) 14 > 7

Teorema 54. a > b Y e < O ~ ae < be .
. a > b, e < O Dado'..
e < O~ -e > O Definiciónde númeronegativoó Teorema5-1
a(-e) > b(-e) . Postulado 5-4
-ae > -be
ae <' be Teorema 5-1
6.
7. a.> b, e > d ~. a + e > b + d
Dado
. Postulado 5-3
Dado. .
Postulado 5-3
Teorema S-S.
a > b
a+e'.> b+e,
,e > d
b+e> b+d
a+e>b+e>b+d.
a+e> b+d Postulado 5-2 transitivo
8. Teorema5-6. a,b, e,d E P a > b, e > d ~ ae > bd
.a > 1:1,e > O Dado
ae > be Postulado 54
e > d, b > O Dado.
be > bd Postulado5-4
ae > be > bd
ae> bd . Postulado 5-2
9. 2x + 1 > 3 Resueltoen el texto.
10.. 2x - .! > 3x + !
. 2, 3
(2x '- 1.) + 1. > (3x + !) + .!2 2 3 2
2x>3x+2.
'6
7
2x + (-3x) > (-3x) + (3x -+ -)6
-x > 2.6
X < - 2.'6
. .
11. 3x-+37< 1
(-3)' 3X_~7 > (-3) 1
3x + 7 > -3
(3x + 7) + (-7) > -3 + (-7)
3x > -10
50
Postulado 5-3
Postulado 5-3
Teorema 5-1
Teorema 54
Postulado 5-3

(1) 3x > (1) (-10)3 3
x>-..!!
3
Postulado 5.4'
.12. -4x < 3x + 7
-4x +.(-3x) .<,(-3x) + (3x + 7)
. -}x <- 7
tI'
(- -) (-7x) > (- -) 777,
X >,-1
Postulado 5.3
Teorema 5.4
13.,' ~ > - 5x + !2 3
2 .~ > 2(- 5x + .!)2 3
X > -10x + i
3
Postulado 5-4
,/
x + 10x > 10x + (-'10x + i)3 Postulado 5.3
MODULO 2 .1VALlDACION
1. Empezamos por ordenar s~paradamente los negativos y los positivos, des-
pués 'de escribirlos en forma de fracción.
2 8 - 28 .
7' - 76 - 52
- --- 6-- 52--. 10" 10" 10
- 28 < - .!! : E > - 2.
10 S. 5' 2
(-28)5 t (-12)10 (-12)2 t (-7)5
':"140< -120 -24 > ':"35
- 28 > - 2. -' ~ < - i10 2 5 4
(-28)2 t' (-7)10 (-12)4 t (-3)5
- 56 > - 70 - 48 < - 1~
1. < g <. 76 - 1. < - 28 < - .!! < - !
8 10 10 . 2 10 5 4
S 1
.6 '
{ 7 12 3 7
}oUCln. - 2"' - 2.8,- s' - ¡, i" 5.2, 7.6.
2. 1- 1 O1 - 1
12 - 12
123 - 123
. - 10" - 100" - 100" - 1000
012 - 12 1235 - 1235
. - '1000' . - ""iOOOO
51'

Siempre que sea práctico úsese un ~IGmuhdenominador antes de com,parar.
1235 120' 1230 1200 100 .1000'
10000' 1000'0' .0000' 10000' 10000' 10000
Solución: {l, .1235, .123, .12, .~, .012" .01, O}
3. a> b ~ a> a + b > b ~ d > á +.b Y ~ > b2 .: . 2 2
(1 > b Dado
a + a > a + b Postulado S-3
i ... 2a > i (a + b) Postulado 5.4
a > a + b
2
u > b
a+b>b+b
! (a + b) > 1. . 2b22
a +b > b
2
4. 1 3 .
-<-<12, 4
1 < 2
:!. . l < ! '. 22 2
1. < 1
2
! < Il Y ~ < l2 4 4
Orden de los enteros
Postulado 5.4
.1. + I
.! < 1..- < 1
2' 2
3
1. <',! < 1
2 . 2
Problema 3 anterior
, 5. 2 < ~?: < 72 . .
media aritmética .U 2. = .?
2 2
a)
b) -3 + 5 = 1.2
- 3.6+ 2.S. = ~ = - !!
2 2 ' 20e)
- d) .'
I 3 -2+3
-,... +- -
2 4 - 4. - 1
2 - ~- - "8
,! '+ 3 !!
3 -- = .2. = l!.
'2 2 6e)
52 .

6. Teorema5.9. w.X,y, z e R y, z > o; =- > ~ .. xz .> wyv . z
xz > YW, y, Z > o '
) 'z>O.!. .!.>O
, y , z
. .
( »0y ,
(xz)(! ..!.) > (yw) (1. ..!.) Postulado5-4, y '.-' y.
x..!.:>w..!.
y, z .
=->~
, z
)
-7 O -7' 7
P 7
O . 7
Pa - > porque- = - e y - - =-e-s. -s s s ~
b). 1.301 > 1..30011porque 1.3010 - 1.3001=0.0009 e P
e) -27< - ¡, porque (-7)4 == - 28 < (-9)2 =-18, -18 ~. (~28) =10 E 'p
d) - 1- < -¡ porque(-;-1)4= - 4 < (- 1)3= - 3, - 3 - (- 4) = 1E P
e) _35- < O porque =!. =_! y O - (- !) ='! 'e P, 3 3' 3 , 3
f) ~ > t porque 5. 5 > 7. 3, 25 - 21 =4 e.p'
)
16 -4 .'
g -12 =, 3" porque, (- 16)3 =- 48 ~ (-4)12 .
h) -3 . -s. -3 3 3 S
) (
3 S P.--'.- > -- Porque - =- Y - - (- - =. - + -) E; -5 ,7' -s ss - 7 S 7 .
i) , -3.002 > - 3.020 porque -3.002 - (-.3.020) =0.Ol8 E P
=->~ Y z>O
y z' I
Y . z > .0'
yz . =-> yz . -~y z
.xz:: yw
7.
Dado . I
Problema 6 inciso i) de losProblemas V.I
Postulado 5-4
Dado
Cerradura de P
, MODULO 3 -VALlDACION
Comprobación
AP =BPpor ser P el punto medio
AP = I 2 - 4 1:= 2
BP= I 6 - 41 = 2
53
1. ler. Mé.todo
2 < 6
2<<6 2
2<4<6

.
o.
.A(2)
AP=2=BP
12-x 1= 2 Y 2 =16-xl
{x I2 - X = 2 ó 2 - x = - 2} n {x.I6 - x = 2 ó 6 - x = -2}
{xIx = Oó x = 4} n {x Ix =4 ó x =:~}
. l' I . .- ' {O,4} n {4, 8}
P(x) B(6) {4}
2<x<6 x=4
Comprobación: I 2 - (4) I = 2 Y 2 = I 6 - (4) I
20. Método
AB=12-61=4
1 - 1-.AB= -.4=22 2. l.
2. .a)' A(3) y B(-3) x = 3 + (-3)
2
~a p(x) el punto medio ~ .¡ =O
Solución P(O). Compruéb.ela".. .
b) P{x):
Problema 1
{ Teorema 5-8
x = 201 + (-5.1)
2
= .=!:,.o- - 3
2 - - "2
Problema 1
SoluciónP(- t)
c) P(x): x = 7 +23.4 = 10~4 = 5.2
Soluciónp(5.2). Compruébela
3. a) x = -"}2 b) x =. 12
)
. - 1- 5 I - I 4
l. - 4
d x -1.- - - - -"!-3 ' '3 3
c) x = -12
e) x =.! - ! - - 4.3 . 3 - "3
4. - Ia I ~ (1~ Ia I es la conjunción-1 a I ~ a y a ~ Ia I
Para esta demostraciónusamoscasi exclusivamentela defmiciónde valor
. absolutoen. donde tenemosa E R - la I ~ O. .
Demostrar: a' ~ Ia I
la. parte
.a ~ O - a =Ia..1
2a. parte
Definición de valor absoluto
a<Oylal~O
a<O~lal,
a < la I PO$tulado. 5-2 (
;
Conclusión: Para todo a E R, a ~ Ia I
54

De11l0strar:- la I 5 a .
la. parte
a ~ O=>'I a I = a y -a < O
- 1a I = -a
-lal<05a.
"- 1al < a
Definición de va10r absoluto
PO'stulado 5.2
2a. parte
a < O~ IaI =-a
-la 1= a
Conclusión:Para todo a E R, - la 1 5 a
Definici6n de valor absoluto
5. a) Resuelto en el texto.
b) Ia - 6 I = l. La distanciaentre a y el punto de coordenada6 es 1.
c) "1al> 5. a es un punto cuya distancia' al origen es mayor que S,.
"d) la - 2 I =4. La distancia entre a y el punto de coordenada 2 es 4.
e) la I < 5. a es un punto cuya distancia al origen es menor que 5."
f) 3.14 < 1f< 3.15. 1f es, la coordenada de un punto entre los de
, coordenada 3.14 y 3.15.
g) Ia + 3 I > l. La ~istancia entre a y - 3 es mayor que la unida4.
h) a). O. a es un punto a la derechadel origen.
6. Demostrar: Ia + b"1~ 1a I + 1b 1
.1a. parte
De acuerdo con :el problema 4 anterior
- la 1 5' a 5 I'a 1
-Ibl~ b 51bl--
- (Ial + Ibl) ~ a+b 51al + Ibl Teorema 5.5
2a. parte.
Por definición de valor absoluto debemos demostrar las dos posibilidades
'a+b~Oya+b<O
a+b~O~la+bl=a+b
la+bl 5 lal + Ibl Primera parte de esta demostra.
ción y sustitución de la igualdad
a -+ b < O ~" 1 a + b I = - (a + b)
-(Ial +lbl)5a+b Primera parte de esta de.
mostración
Ia 1 + Ib 1~ - (a + b) Teorema 54
Ia + b 15 1á I + Ib I Sustituciónde la igualdad
55

-'
7. a) 5+1':"31=5+3=8 b) 161+141=6+4= 10
e) 1-41+ I4 - 5 1='4.+ 1~ 1 1:::4 + 1 = 5 . .
d) 1- 3 I.I-4 1 = 3. 4 = 12, e) I7 1-1 - 2 I =7.- 2 ~ 5
8. a) Ixl = 2 ~ x =2 ó x =-2
{-2,.2}
b) '1x - 2 1= 5 ~ x - 2 =5 ó ;x- 2 = -5
x "=7 ó x = -3 '
{-3,7} .
e) I3 -x I = 6 ~ 3 : x = 6 Ó 3 - x = -6
x ::: -3 Ó x =9
{-3,9}
d) 1x + 5 I :> 2 ~ x + 5 > 2 ó x + 5 < - 2
. x > -3 Óx < -7
{x E R Ix> 3 ó x < - 7}
e) 1XI+ 5 I < 2 ~ x + 5 < 2 Y x + 5 > - 2
x < -3 Y x > -7 .
. . - {x E R I -7 < x < - 3}
f) 13- ZxI :2 5 ~ 3 - 2x L 5 Ó 3 - 2x $. -5
-2x ~ 2 Ó -2x $. -8
x$.-lóx~4
{x E R Ix.$. 1 Ó x '~4} .
g) 15x + 11 $. 2 ~ 5x + 1 $. 2 Y 5x + 1 ~ ~ 2
5x ~,1 Y 5x ~ - 3
1 . 3
x~s y x~-s
, 3 1
{X E R 1 - - < x < - }
- . s - - s
a) AB =.7 - 31 = 14 1= 4
b) MN'=! 4-(~2)I'= 4+21=6
, " e) AB " 1~- ~ 1
=1 30 - 7,
I
=~ I
= ~
. 7 ' 2' I 14 ! 14, 14
- -1 _..:.-~
I
=,
1
-8 -9
1
- I- ~
I
~ ~
d) TS - I 3 4 ,12. ~ I 12 - 12
el AB =1- : -51= -3;20'1 = .2:
f) MN=
I
-~-
(-,~
)I
=I
i-~+~ I
=
--~
I
= ~
" 4 . . 7 4 7 28 .28
MODULO 4 - VALlDACION

9.
1. a) Ixl =..10{x 1x = 10ó x =-lO} ::: {lO, - lO} .. I . I " I . I 1".
-10 O 10
56

b) 1x - 11 ;::: 3 {X Ix - t =3 ó x - 1 =.-3} =={x Ix = '4 ó ::¡= -2} = {4,- 2}
-+---
-2
f-
O
...
4
c) Ix +41> l' {xlx',+4 > 1 ó x +4 < -l} = {xix> -3 ó x < -5}
~
-s -3
.O
d) Ix + 41 < 1 {x I - 1 < x +-.4 <. 1} ={x I ~ 's < x < -3}
e. . e-5- -3 ~
O
e) 13- x 1,=6 {x I3 - x = 6 Ó3 - x = -6} = {x Ix = -3 óx =9} ::;:.{-3, 9}
4-t
-3
+ t f
O
+---,--¡ .......
9
o I2 -:x I.~ 2 {x I - 2 ~ 2 - x .$.2} ~ {x I -4 $..- x ~ O}={x I4 ~ x ~ Ol
~. -..---.
o 2
4
3
. ....
4
2. a) Resuelto en el texto
b) {x E R Ix < 4 y x < 6
{x Ix < 2} n {x Ix < 6}
El cOfljunto solución es infinito, por lo
que queda definido por las condiciones.
x < 2...
x< 6'4-
{x Ix < 2} ~:
e) {X E E I - 2. < x < ! }. . 2 . 4
.{x Ix> -.2., x E E} n {x Ix < !, x E E} = {-'3, -2, - 1.O, 1, 2}2 . " 4 .
-7/2 9/4
+-J-,-.-... . .'. I .-4 -3 O 2
~
d) {x E R Ix < 2 ó x < 6}
{x IX <i 6}
57.
o
O
.
.:; I I I I I ....
o 2 6
x<2 -{).
x<6 O
---t . . Q I I la-
- o 2 4 6 8

.e) {x E R Ix> - 1 ó x < 3}
x< 3 ~
R ... .4
-2
o
~ x > -1o--:
.
-1'
. .'.
3
,O {x E R Ix> 3 Y x < - 1} {x Ix> 3} n {x I x < - 1} = l/J '
o.
.,
2
x < -i~ o. -x>3
I I I I 1..
-i o 1 2 3
g) {x E R I Ix + 3 l' ~ 1} I Conjunto solucióninfinito
{x I - 1 ~ x +3 ~ 1} = {xl - 4 ~ x ~ - 2}
3, a) I 2x +' 6 I > 4
2x + 6, > 4 ó 2x + 6 < -4
2x > -2 2x < -lO,
x :> -1 ó x < '-5
,' b) I 5x - 11 ~ 9
5x - .1 ,~ 9 Y Sx- 1 ~ - 9
5x ~ 10 '5x ~ - 8
8
x~2 y x.~-s
.¡
c) I 3 - 2x I < 1
3 - 2x < 1 Y 3 - 2x > -1,
-2x < -2 -2x > -4
,~>1 Y x<2.
'. d) I 5 + 3x I < 3
5 + 3x < 3 Y 5 + 3x > -3
3x < -2 3x > -8
2 8
x<-'3 y x>-'31 , ,
8 . 2
--<x<--
3, 3
58
No es intervalo,
{x Ix> - 1, ó x < -S}
Si es intervalo y. es cerrado
{x I~$ 2 Y x ? -'¡ }
{x I ! . < x. < 2},, s - - ,
Si es intervaloy es abierto
{xIx> 1 Y x < 2}
{x I 1 < x ~ 2}
Si es 'intervalo y es abierto
8 '2
{x I - -:- < X < - -}3 3
x -2. .
. ... x -4
.. t. 4' I I 1"
-4 -3 -2 -1 o

Ix-ll > 8
. x -1 > 8 Ó ' x -1 < -8
x > 9 Ó ',x < - 7
{x E R Ix). 9} U {x E R Ix < - 7)
4. a) -2x > 4
, (- +)(-2x) < (- +)4
x < -2 ,
{x,E R Ix < - 2}
) ...
-2 -1 o
e) 3x - 3,~ 4
3x~4+3
x < 2
- 3
{x I x ~ ~}
4---i
7/3
I f I I I ..
1 2 3 4, o
e) 6(z - 2) ~ ~(z - 4)
6z -, 12 ~ 2z - 8
6z - 2z ~ -8 + I2
4z ~ 4
z 2: 1 '
{z Iz ~ 1}
f)
....
8h
2
--e
o J
~
,3 '
.I t }) I
-7
, '
g) I4 - Y I ~ 6
4-y~6y 4-Y~-6
-y ~ 2 -y ~ -10
, Y 2:'- 2 Y.$ 10
{y E RI y ~ - 2} n {y ,E R Iy ~ IO}
--e
-2 o -
8-+
10
'b) 3x + 5 < 7x + 4
3x - 7x < 4 - '5
- 4x < -1
4x > 1
x > 2-4
{x Ix> .¡}
El
o 2.
4
.
d) 3y.- 5 > 4 - (y - 1)
3y - 5 > 4 - Y + 1
3y + y > 5 + 5
'4y :>10
> ,5
Y -2
{y'y>f}
. I I , O
O 1 2 5/2/
~, I I la;'
o 9
h) 1 3x + 7
>- 3
3>3x+7
3 - 7 > 3x '
3x < -4
x < - ~
3
{x.E R Ix < - 4/3}
~ . ]-+
-4-2 -' -1' O
3
.'
~
~
-
. 59

, . UNIDAD' VI.
I EXPONENTES Y ,RADICALES
~ __1
..
/
, I
'.

Int,oducción
.
En la Unidad IV hablamos de potencias y definimos al exponente como un f4número de
veces", eso '10 limitaba a ser un número natutal y limitaba también la flexibilidad de las
operaciones con potencias. En esta unidad, extendemos la idea de exponente hasta l~s
números racionales, yconseguimos establecer la correspondencia uno -auno entre las potencias
con los racionales como exponentes y los radicales, mediante ellsomorDsmo, facilitando ast las
op~raciones y la simplificaci6n de expresiones algebraicas.
- El concepto de Isomorfismo ha sido de gran utilidad para la misma matemática
simplificandooperaciones como en esta unidad lo presentamos al -conseguir operar con
potencias en lugar -de radicales cuando astconviene; también se ha conseguido aplicar la
matemática en otras áreas del conoCimiento, algunas como en la música, en donde no se veta
relaci6n alguna, gracias al estudio comparativo de las estructuras que establece el concepto-de
isomorfismo.
, ,

/ ,
63
> ,
I ~I

,Objetivos generales
1.
, Al terminar de estudiar esta unidad. el alumno:
Simpliticará expresiones algebraicas con exponentes mediante la aplicaci6n de las leyes de
los exponentes.
Srmpliticaráexpresionesalgebraicasconradicales. ,
Resolverá operaciones con exponentes y radicales. utilizándo el isomorfismo de 'dos
conjuntos. " ' .
Resolverá Qperaciones de suma. resta. multiplicaci6n y divisi6n con exponentes y radicales.
2.
3.
,.4.
64

Potencia
a (R=:>a:l>O_.
Diagrama temático ~structural
Exponentes enteros.
Leyesde los exponentes
Rad¡cales
Raíz principal
Isomorfismo
ExponeIJtes racionales.
Leyes de los radicales
Simplificación de radicales
OperacIOnes c~n radicales(+, -, .,.;.}
Rac'ionaJización
Modelos
m~temáticos .
65

Glo..rlo
PQtencia: Es la representaci6n de un producto de factores iguales y se indica x. x .:t ...= xn' ..
Base. Al factor que ha de multiplicarse por s1mismo.
Exponente. Es el nÚmero de veces que ha de multiplicarse el factor cuando es pOlldvo Y'el
nÚmero de veces que ha de multiplicarse' el recfp~o cuando es negadvo. ."
Exponente cero. Una forma de potencia para representar a la unidad XO =1
Radical. Es elsimpolo ~ que,nos representa la operaci6n de obtener una-ra1z enésima.
~aiz enésima. Si n es un entero positivo y si a y b f:: R y.satisfacen la ecuaci6n an =b,
entoncessedice queaesuna raiz enésimadeb.
.Raizenésima principal. Se dice que a es la raiz enésima 'principal d,é'b si y s610si an = b y si
nf::N, .
lndice del radical. Es el nÚmero que indica laraiz q~e hay que obtener del factor o.exprésión.
Radicando. Es la expresión o factor que se encuentra dentro delradical.
. Sistema matemático. Está cOl)stituido por un conjunto de eiementos y la definición 'de Un, o
másoperacionesconesoselementos. .
Correspóndencia biunivoca. Es la reÍación uno a uno entre los elementos de dos conjuntos.
Isomorfis'mo. Cuando existe correspondencia biunívoca en~re los eleu1entos de los conjuntos y
esta correspondencia se conserva al efectuar una o más operaciones entre los elementos (sin
que deban ser las mismas operaciones)"se dice que esos dos conjuntos tienen la mism" forma
~ existe isomorfisl1)oentre ellos para esas operaciones.
Modelo matemático. Es una representaci6n pc;>rmedio de simbolor matemáticos abstractos de
. un fen6meno fisico o de una retaci6n de ideas cU,alesquiera.
,.
.I
66

M6dulo 5 .
Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:
1. Obtendrá números reales mediante la aplicaCión de las' leyes de los exponentes.
1 .
2. Aplicará las d~finiciones aO = 1 Y a-n . an en la obtención de expresi~nes algebraicas
enteras. . .
3. Aplicarálas leyesde los exponentesen la simplificaciónde expresionesalgebraicas.
4. Aplicará las leyes de los; exponentes en I~ evaluación de expresiones algebraicaS.
, EsaUEMA RESUMEN,
'EXPONENTÉSENTEROSYEX~ONENTECERO
. Definiciones:
Para todo a E R,. a =1=O, aO =' 1
. 1 .
Para todo a E R~ a =1=O, a-." = an
LEYES DE LOS EXPONENTES:
.~
. Para todo a, b E R, a =1=O Ytodo n, In E R y bases 'diferentes de Opara exponentes ne.
gativos o cero.
A)
. B)
C)
D)
am .an ;: am +n '
(amya = am . n
(a . bya = an . bn
am
a1t = am - n
67

Exponentés
enteros
Exponente
ce~oy ,
exponente
negativo
68
5.1 E"ponentes enteros y exponente cero.
Leyesdeexponentes. '
. ..
En el tema Multiplicación de expre~ionesalgebraicas de la Unidad
IV, definimos una potencia (aff)como la representaci6n del. producto
de un factor repetido (a), al que llamamo~ base de la potencta y al
número en la parte superior. derecha (n), exponente de la potencia que
nos indica las veces que se repetia la base como factor.
Ejl'mplo:
x2 = X . x, (a + 3)3 = (a + 3) (a + 3) (a + 3).
Obtendremos muchas ventajas si el'número natural del exponente lo
consideramos un número entero cualquiera, n E E, y probamos que
los teoremas demostrados para multiplicar y dividir potencias, (donde
Il E N), se .cumplen igualmente al tomar n E E. .Recordemos la
parte del Teorema 4-4 que d~ce
am. '.
an = 1,SI m =n, a =1=o.
y si la escribimos en la forma tradicional de las implicaciones. Si
afn
m = n ~ - =a1U-n = aO =1, a '* Oa'"
esto no es posible ya que m no puede ser igual a 1,:1.pero vodemos usar esta
relación y la ecuación ~ para justificar las siguientes definiciones:
tr-n
.,Definlción: Para todo a E R, a =1=O, 0° = 1
I Definición: Para todo a E R, a =1=O, n 'E E, a-11= 1-an .
, Está segunda definición nos seftala que el signo negativo en.ei expo-
nente, es una forma de ind~carque se debe t~mat el reciprocode esa
potencia.
. :&templos:
a) So = 1; (2 xyH)o = 1; (x~+ 2)o = 1
1 2 ,1 1
b). 2x-H=12 x8 = xs; (2x)-:J,= (2X)8 = 8x3
.' . 1 l..
(3 2)-2 - 1 ,- ~
e) (x:.!+3)- = x2+ 3 ' xy - (3xy2)2 - yx2 y4
'1, 2. 1
( x) -:.!- 1 = _2
d) -x- = -'x2' - - (-:-X);2 ,x

"
Con las dos definiciones, )as cuales son consistentes con respecto a,
nuestros postul~dos y definiciones anteriores podemos ,probar, que
" nuestros' teoremas acerca de multiplicación y división de potencias se
cumplen y aun sesimplifican al considerar n, m' E E.
Teorema6.1. Leyes de los exponentes. i
~. " '
'Para- todo a, b E R, a =1= O Y todo n. m E E Y basesdife-
rentes de O para' exponentes neg~tivos o cero.
Leyes de los
exponente~
La, demostra~ión de este teorema al que llamamos Leyes' de los
exp.onentes, ,puede hacerse usando las detiniciones de potencias de lá .
Unidad IV y las dos definiciones aqui prese~tadas. En los ejemplos
siguientes se expresan las potencias eliminando exponentes cero o
negativos. identifique con cúidado' lo que representa a la baR én las'
potencias. sobre todo cuando hay. signos negativos para que no se
equivoque al obtener el número. '
t;iemplos:
a)
b)
. "1
(X')2 =x6 , {X2)-2 ::: ~-4 = x4
I . 1 1-
(3xy2)3= 33x3y6 = 27x3y6,(2x3y}-2 = 2-2x-6y-2 = 22'X6y2= 4X6'y2
c)
. d).
En la manipulación de las expresiones algebtaicas unas veces es
deseable escribirlas usando exponentes negativos y cero p~ra que no
aparezcan fracciones. pero en otras ocasiones convendrá. más usar sólo
'exponentes positivos ~lInque tengamos que vérnoslas co~ las fracci(;mes;
la experiencia y habilidad en el manejo de las expresiones algebraicas y
EX'ponentes
negativos
y cero
69
A) , a .an = am +n
B) (am)n= am.n , '
C) (a .b)n = an .bn
D)
am- = am.-n
an '
E) (!. = an-
b bn

.."
70
las leyes de .,101exponentes, nos seftalarán la forma más conve~iente de
usar estas ideas en cada caso.
&templos: Simpíifique las'siguientes expresiones y escriba los resultados
sin exponentes cero o negativos.
1) 5x'y-a
3x-'
(Usaremos dos métodos; el alumno escogerá el que le parezca'-más
prácticosegúnelproblema).
1er. Método
= 5x4
3.yO fa
. - 5x4
- 3y'
aO= 1 Y
4Y D
20. Método
5 ' 1
S,xay-3 - X 'y3
'3x-2 ¡-3. -
, X2
5X2
! = y3
3
"72
(¡-n = l
. an
Ley A
Cualquiera que sea el método, el resultadopnal.debe ser el mismo y
en ambos, al aplicar la definicfón de a-n = an' cambiamosel número
del numerador al denominador o viceversa, s610que debe observar que
esto es válido únicamente con factores. El cambio simultáneo de un fac-
tor al denom~n~dor y ~l signo de su expon~nte no cambian ~l valor d~'la
expresión.
2) =- = xy-t .=--.!- = ~y, x-Iy X-I

1er. ldétodo
Leyes B Y e
~Recuerdt:, si el exponente es,cero
o negativo la base debe ser
'diferente de cero.
1
a-n = an
1
=~4
x"
- x" '
- 4"y 2
'En el ejemplo siguiente se pr~(ende resa1ta~el hecho de que cambia-
mos. de numerador a. denominador o viceversa. s610 faetores.'
Ejemplo: x-a + y-a X + y- =1=
DesarroUol
X-'2 + y-2
x-I +Y-,I
x2 + y2
x2y2
X + y
xy
- x2 + y2 xy
- .x2y2 . X + y =
X2+y2
xy
- x2 + ya
- xY (X + y)
1
x+y
-
71

REACTIVOS DE AUTOEYALUACION
. .
Evalúe cada uno de los problemas siguientes. Use las leyes de,los exponentes para obte-
n~r un número real sin exponentes negativos o cero. . ,
En los prpblemas siguientes escriba una expres~6n equivalente' sin usar fracciones.
SimpUfique...
5
16. J(3
1
17'5
8x2
18. 2x5
19. 4x3y-2
3x-1y3
20. pn + 1
p2 n +3
. 21. am + 3
am-I
Simplifique las fraccion~s que sé dan en seguida de modo que en el resultado no existan
exponentes negat~voso cer.o.Factorice cuando sea necesario. " ,
Evalúe el siguiente problema. Encuentre el numeral ,que representa la expresión.
27: (- 3)2(- 2x)~!I
(x+ 1)-2 ,para x ='2
28~ 3a~(-2~)-1 para a = -2
32p
3pq + q . - para p = 5 Y q = 329. - 32q .
30. 3°x-1+ 4X-2 para x = 3r4 '
72
1. 25 7. 4-3
'13. (2.)-2
2. (2x)3 8. (103)0
S
,3. (- 2y)2 9. xy . 4Y 14. (! r3 (! r"" 3 2
4. (-4X)-2 10. (4 . 103)(3 . 10-5) (6 . lO")
5. (2y-I)-1 . 11. 35 + (-3)-2 15. ()_I2-3
6. -I x2y-4 12. 50 . 5-2
2-2X-3y3
22. a-I + b-i 23. (a + b)-I 24. x-2 - y-2
x-2 . y-2
25. xn -yn 26. ab-2 + a-2b
x3n - y3n a-I + b-I

~/
/
Módulo 6
Al término del estudio de este m6dulo, el 'alumno:
1. Explicará cuál.es la raiz enésima de un número.
2. Explic.ará por qué no.se pueden obtener ratees cua4radas o pares de números negativos.
3. Explicará cuál es la raíz prmcipal enésima de un número positivo o negativo.
4. Señalar.á de una raíz cuál es el radical y su indice, y cuál el ~adicando.
5. Mencionará la utilidad del valor.absoluto en operadones con radicales.
6. Obtendrá la raíz principal de una serie de expresiones dadas.
ESQUEMA RESUMEN
RADICALES - DEFINICIONES Si a, b E: R
.. I
"1
I
Si n es un entero positivo y si a y b son E: R y satisfacen la ecuaci6n an =. b,
entonces se dice que aes una raiz enesima de b'. .
n E:N y tin = b ==> a ~slaraizenésimadeb .'
Sib E: Pexiste otro número positivoúnico"a" tal que an = b. Este númeto se llama lá
. raíz principalenésimadeb yserepresentacomo:
tf --{fFi =a
Si b< Oy n es' impar, existe .otro número negativo único "a" tal que an == b
Ese número se llama ia raiz principal eriésima de b,se repres*,nta como lb=a ~ donde
tanto a comob son negativos. I
a es la raii enésima principal de b si y s610 si an =b y si n E: N .y es par entonces'
a, b E: P. '.
, n E: N Y ,lb'=.a <=:::> af1 =b Y (n es par==> a, b E: P)

6.1 Radicales
. En. el m6dulo anter.ior ampliamos nuestrás definiciones de
exponentesa exponentesnegativosynulos; ahora las generálizaremosa .
exponentes racionales. ya que como hemos visto antes los números reales
tienen diferentes formas de representarse. Los exponentes racionales nos
conducen a.una. de ellas. U_amadaforma radical. 'muy generali2;ada y su
utilidad se manifiesta para representar los núme,ros irracionales. El
término ralz tien~ un significado muy especial en matem~ticas. como
podemos ver en la siguiente definici6n.
Rarz
enéslma
Deftnlclónl .
Si n es un entero positivo y si a y b son E R y satisfacen 1a ecuaci6n
an = b, entonces se I djce que. a es una raiz enéstma de b.
.n E N y.an:::: b ~ a esla raizenésimad.e.b .
De acuerdo con la definici6n ánterior podemos decir- que:
22 =4. y el exponente 2 E N, entonces2 es una .raízcuadrada de 4
pero. (- 2)2 = 4 Y el exponente 2 E N,. entonces -2 también es una I'IÚZ
cuadrada de 4. ' .
En .lamisma forma podemosconsiderar q~e siendo 34 = 81 y
(-3)4 = 81 en~onces3y-3 sonambosraícescuart. de 81..
¿Quénúmeroelevadoa la sextapotencianosda 64?
¿Cuáles serán entonces las raices sextas de 64?
26 = 2 . 2 .2 . 2 .2 .2 = 64 (__2)6 = (- 2)(- 2)(- 2) (- 2)(- 2)(- 2) = 64
¿Qué núnier~.elevado al'cuadrado nosda-9?
El t~orema 3-13 (-aX-b) = ab. nos dice ,que el producto de dos
negativos o de dos inversos de dos números 'es positivo o el producto de
los números respectivamente. y los otros teoremas de esa ~ecci6n nos
llevaron a 10 que lIamamos las "reglas de los signos' en la.
multiplicaci6n".¿Qué conclusiones podemos deducir como consecuencia
de la respuesta a la. pregunta ¿qué número real al cuadrado nos da -9?
32 = 9 ,1 (-3)2. = 9
No hay núméro real que multiplicado por si mismo o elevado al
cuadrado dé un número negl:'tlvo,de donde se deduce que siempre que el
.exponente sea par, el res~ltado e.s positivo por lo que no .podemos
encontrar raíces cuadradas Undice 2) de números negativos.
¿Cuál es la raíz cúbica de -8? '1 es equivalente a preguntar ¿cuál es el
núme~oqueeleva~oal cubonosda-8? Respuesta:~2 . J
Exponentes
pares
74

(-'2)' = (-2) (-2) (-2) = - 8
¿Y la raíz cúbica de-64? (-4)
(-4)' =(-4) (-:-4)'(-4) = -64
Por tOdos los ejemplos anteriores y la defiftici6n de raíz enésima de
un número concluimos que:
De un número positivo se obtienen dos raíces reales, o s610 una,
dependiendo de que n sea par o' impar ~espectivamente y que de un
número negativo se obtiene una raíz negativa o ninguna dependiendo de
<lue n sea impar o par respectivamente.
Porque
, E1.templos: '.
a) Sea 64 E P, las raíces cuadradas (n par) serán 8 y -8 porque
82 =(-8)2 = 64.
b) Sea 8 E P, la raíz'cúbica (n impar) es 2 porque es el único número
real,que al cubo da,8.
c) ...27 ~,P, la úni~a ra-ízcúbica es -3 ,porque(- 3)3.= - 27;
3' =1=- 27 .
d) -64 f/: P, la raíz cuadrada no existe en el conjunto, de los números
reales (n par).
En general se puede decir que existen exactamente n raíces
enésimas de cualquier número real, s610que no todas son números reales
y quedan fuera del ca~po que estamos estudiando, por lo tanto es muy
conveniente que cuando esté trabajando con números reales tenga
muy presente la siguiente:
Definición:
Si b E P existe otro número único ~'a" tal que a" = bó Ese
número se llama la raíz principal enésimade b y se representa como- ,
CVZ;',= a.
Ejemplo: ~. La rJÚzprlnc'pal cuarta de 16 es un !1úmero.positi-
vo que elevado a la' cuarta potencia' da 16, es decir 2. Cuando--2 se eleva
a la cuarta potenCia también da 16; pero siendc;>un número negativo no
lo podemos llathar la raíz principal de 16, de ese m~do cuando usamos
radicales representamos a números únicos.
Definición:
Si b < O yn esimpa~,existeotro número negativoúnicQ"a" tal que'
an =b. Ese número se llama raíz principal enés'ima de b,
se repres~nta como ~ =a, donde tanto a como b son negativos.
Rafcesde
números
positivosy
negativos
Rafz
principal
Rafz
principal
enésima
75

/
j
I '
76
Ejemplo: ,/ - 27 = - 3 que es' la raiz principal de -27
Ya vimos antes',como siendo b negativo y n par la raiz enésima de b
no existe.. ,
(~. no exis,te cuando n es par yb < .o).
1.
Ejemplos:
</- 27 es el número que elevado al cubo da - 27, es decir (- 3).
{/-27 = -3.
! :16 no existe entre los elementos de R ya que n es par~2.
Todo lo anterior se puede sintetizar diciendo :,
Definición:
, a es la raiz enésinla principal de b
n E N y par entoncesa, b E P.
n E'N y !!b =a ~ an' =b
si y sólo si a? =b y si
y (n es par =*a, bEP)
;En donde ..¡- se llama radical.
Al número n se le llama 6ullce del radical y no se acostumbra
escribirlo cuando es el 2.
A b o a la expresión debajo n contenida en el radical la llaJ;I1amos
radicando.
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
J9 = 3, se lee raíz cuadrada(n = 2) de 9 igual a 3.
~ = 3, raíz cuarta'(n = 4) de 81 iguala 3.
J:'4 no existe,raíz cuadradade -4 no existe.
<f::s = - 2, raíz cúbica, de - 8 igual - 2.
Como consecuencia 'o conclusión deducida de nuestra definición de
raíz principal de indice par, en el sentido de que ésta es siempre un
número posi'tivo,situación similar a la del valor de una distancia para la,
que se introdujo el concepto de valor absoluto, podemos emplear ese
concepto para a~egurarnos de tomar ia raiz principal cuando usamos
literales. Consideremos la detinición de nlíz enésima de b.
fYb = a ~ an =b y (n 'es par =>a¡b E 'p)
Podemos c:teducirque cuando b =xn la doble implicación queda
en la forma siguiente;
~ '= a <=>an = xn y (n es par =>rI,X E P)

De la igualdad de potencias an =xn concluimos que las bases
son iguales. a = x, sólo qJe si n es'par. ¿cómo asegurarnos de que se
cumpla c'on: (n es par ~ a, x E P)? Sabemos que xn E: P porque n ,
es par, ¿p~ro el número X'!
. Una forma de asegurarnos de que se' cumpla será escribir
a =Ix' yentonces .
/
~=Ixl
E.jemplo:
x = -5 ~ x2 = (- 5)2= 25
'x2 E P pero' x ~P
Entonc~s v(- 5)2=',1-.5 I = S. " .
La raíz cuadrada de - 5 al cuadrado es el
valor absoluto de - S
r
x, si x >- O
- x, si x < O
l O, si x = O'
Sea x E R => .JX2 =
En otras palabras ../Xi =rx I
, :&templos:,'
a)V8la2 = I9a 1, de este modo a puede rllpresentar un número posi-
tivo o negativo y de cualquier mÓdo nuestra proposición es verdadera.0"
va2 + 2a + 1,~ V(a + 1)2= Ia + 11
~ -= V(3X2)2= 3x2' No t'ue necesario tomar el
valor absoluto ¿por qué?
h)
c)
d) Este es un caso semejante al .
ejemplo anterior: siendo X2 un
. número siempre positivo por su
:exponente faro no es necesario
considerar al valor absoluto.
e) Si.suponemos que ..¡;;. =X (sin tomar.~l valor ab~oluto), par~. todo
X E R, cuando x ==-1 tendríamos: .
V.(_1)2==-1 es decir v(- ¡j2'= V(-l) (-1) = 'vI = -1
cnto~ces tendríamos dos raÍ<.:,esprincipales para 1;-1 Y1 lo oual es falso
pues cóntradice nuestra det1nición: n es par ' ~ a. pE P. aquí
a = -1 y -1 ~ P. .
77

f) J (a ,.. 3)2 = la:" 3 I Y Ia - 3 I =1=a - 3
'para algUnosvalores de a.
g) a > 3, v(a - 3)2 = a '...;3. Una vez ,condicionados los va.
lóres de a de modo que. a.3
sea positivo, no es necesario
tomar elvalorabsoluto. '
"
h) . ~ =x
i) . ~ =24S
j) {/(x - 2y)4 = Ix - 2y.1 ' . ~
1. ¿Qué entiende por la raíz enésitnade un número? ¿Y por la raíz cua.
drada? ¿Y por la cúbica? . .
2. . ¿Cuál es la raíz enésimaprincipal,de un número? Explique.
. .
En los problemas del 3 al 22 escriba la . rafzprincipal de.la expresión
que se da. Recuerdeque es un número' único.
3. v'T6 13. v-42
H
" 14. . -27x3
4.
1S., v64x'
5. . .
, I
16. Vx4 y2
¡¡¡
17. 427a3b'
6.
64 18. va4kb2k, k e N
7. v(-4)2 19.. -8{J'kb3kC9k, k e N
8. v-64 ! 20. v(x - 2)2, X 2
9. -32
21.' v(x - 2)2,.x < 2'
10. v 16a2 22. va2 + 4a + 4', a E R
11.
12.
78

r
M6dulo 7
f'
Al terminar de estudiar este mddulo. el alumno:
1. Detinirá 10que es un sistema matemático.
2. Explicará a qué se refiere el isomorfismo de dos conjuntos.
3. Explicará qué es un modelo matemático.
4. Explicará el concepto de exponentes racion,ales. .
S. Explicará la ampliación de la leyde exponentes. .
6. Aplicará el conocimiento sobre exponentes racionales. en la obtención de expresiones alge-
braicas equivalentes con radicales.
7., Simplificará ~xpresiones algebraicas con exponentes racionales y radicales usando las leyes
de los exponentes.
ESQUEMA RESUMEN
-Isomorfismo de dos conjuntos
-Modelo matemático
. -Exponentes racionales
-Ampliación de la-leyde los exponentes
Para todo -a, b E: R a, b :::/: O Y m~ n f.=1):
79
am.. an = am+n
(am )n = am.n
(ab)n = anbn
am , =am-n-
a"
(-r-::

Isomor-
fismo '.
Modelo .
.maten16tiQo
80
7.1 Isomorfismode dos conjuntbs. Exponentes racionales
.Un conjuntode elementos~la definici6nde una o más operaciones
con esoS elementos nos sirve para constituir lo que se llama un sistema
'"atemático; existen infinidad de sistemas mátemáticos y a muchos d.e
ellos s~ les ha encontrado una aplicaci6n práctica, ya sea en la.tisica, la.
quimica, la economia, la lingUistica, la informática, etc~, aun en las
artes hay aplicaci6n de los sistemas matemáticos, y a E;SOSe debe la
importancia' de estudiar la estructura de esos sistemas matemáticos y
poder así eS~ábl.ecercomparaci6n con los conjuntos de fen6menos tlsi-
cos. o de elementos artísticos y de ahí el descubrÍlpiento de catres.
pondencia entre los elementos de esos conjuntos y l~s elementos del
conjunto de números reales. Así se descubri6 que a cada sonido le corres-
ponde un núme~o y viceversa, po~ ejemplo al sonido Do le corresponde el .
número 256 que son las vibraciones por ~egundo que nuestro oído
registra con e:;anota m~sical. Dos sonidos simultáneos como el Do yel.
MI se corresponden con el número ~,que es ht r~laci6n da sus
frecuencias. Del mismo modo seestableci6 tina correspondencia entre los
elementos de la.pintura, el color básicamente, y los números reales, pues
a cada color le corresp0!ldt>lIna frecuencia. s610que ahora la percibe la
. vistaen lugardeloido.
Deflnic~ón:
Cuando existe correspondencia blunívoca o uno a uno entre los
elcmentQs dé dos conjuntos y esta correspondencia se conserva al efec-
tuar una o ~ás operaciones entre los elementos, (sin que deban ser las
mismas operaciones), se diCe que esos d.os conjuntos .tienen la misma
forma para esas operaciones o que existe isomorfismo entre ellos para
esas operaciones.
Lo anterior significa que un conjunto cuyos el~ment<?s.son fáciles .de
manejar en una operaci6n nos puede servir como mo4~lo del otro e~iel
que la operaci6n correspondiente pudiera ser muy dificil' o inclusive;
pudiera ser imposible provocar la operaci6n.8 voluntad, por ejem(Jlo: .
pode.mos trabajar con números reales y creaJ,"-arte,pues las operaciones
válidas que efectuemos con los números tienen resultados que se
:complen en ~u conjunto isomoño sea mf¡sica o pin'tura y decimos que
trábajamos 'con un modelo matemático de una realidad ártistica.
Esto hace de las'matemáticas instrumento formidable para el físico
. que en muchas ocasiones no puede p'roducir un modelo real para
comprobar una teoria o.tiene q~e e~perar años a que la naturaleza h; .
produzca. en cambio los modelos matematieos SOl)prácticos. económicos
yaccesibles~
Aun 'entre los mi;;¡rtlOssistenUts matemáticos el isomorfi's~o de
diferentes conjuntos nos permite simplitkar las operaciones en on

co~iunto, efectuando otras má:~simples en un conjuntollo8lorfo, (en el
tem~ Representación geométrica de los números reales, sin saberlo
aplicamos el isomorfismo entre R yA para "visualizar las operaciones
( I , , I , I , I I } L
. .
t
.
graficándolas -4-3 -2 -I o I 2 3 4 as operaciones con po encuts o
.radicales presentan muchas dificultades y es conveniente buscar el
Isomorftsmo con otro conjhnto que nos permita simplificar el manejo de
esoselementos. Consideremos pues los siguientes conjuntos:
M: conjunto 4e potencias enteras de x, x un valor.indeterminado.
E: conjunto de enteros.
M = {...,x-3, x-2 ,x-I, xo, xl, x2, xl,u.}
. t't t ~ t t t
E = {ui,-3, -2, -1, O, 1, 2, 3,H'}
Analizándo la córrespondencla biunívoca entJ;e los elementos de
M y E y dos operaciones definidas en cada uno de ellos, podremos
establecer si existe IsomorOsmo entre ellos.
En el conjunto M están d@tinidasdos operacIOnes de acuerdo con el .
teorema Leyes de los Exponentes, la multiplicación y la elevaCión de
potencias'.xm . xn = xm+n;(xm)n = xm..n (m, n, E: E)
La elevación,de potencias la simbolizamos con * (léase estr~lla) de
mododeescribii-(xm)ncomoxm * xn = xn =xnl.n (m, n, € E)
M es cerrado para esas dos ope'3:ciones.
Como ya sabemos E es cerrado pa~a la suma y la multiplicación,
observemos entonces que hay correspondencia de e.s operaciones con
las dos mencionadas para M.
81

Es decir que la operación de sumar enteros corresponde a
In d~ multiplicat potencias enteras de un~ 'misnla base..
M
, .
.y lu de multiplk'ur cnteros 'corl'esponde a la de elevar a
UIH'potcllciaentera laspptenciasenterasdex. '
~
+ E
111 M
E
Snbcl110spor el estud'io de 1Lestructura del conjunto E que las
ol'crnciullt:~ vistas cun1plen cpn todos los postulados de campo, excepto
el de inversospara la multiplicación.razón por la-cual se ampli6 este
cl''i11junto.formando el conjuntu D de los númerns racionales con cuyos
~Lcl11entossiempre son posibles las cuatro operaciones ,fundamentales.,
Entonces ampliemos también nuestro conjunto Mi considerando ahora
éx~ol1entesracionales para las potencias de X y formando asi el conjunto
a ,
que llamaremos 1 =={xi" la, b E E}. Verifiquemossi se conservael
Isomorfismoentre los conjuntos l y D para las operaciones ya discutidas.
1 3 1 3 3
, x-2 .
~i '" x-i '. .' '1. xi = x'
¿ 3 1 1 3
~ 3
. -2 -i -1 -i o i ¡ 1 i
{..., , ...,x , ...,x , ...,x , ...,x , ...,X , x , x , ..., ,1 = ...,.x2, }
3 , 12 - --.,...,- ,D = {...,-
~
' ..., -
I --
-2 + -i = - 2
1 3
...., - -, _u 1 3
~,2"'" 2, ...}_.i_3
2 2 - -,-4
~ .
, Ambos conjuntos son campos porque siendo 1 de la misma forma
que D y D un campo, entonces' J también 10 es, y para cada elémento
existe un inverso en las operacÍones correspondientes. '
En D n + (~n) = O; n'" -~- = 1 n E D, n =f=.O.n
En 1 n E D, n =1=O
1
El elemento inverso para ~a elevación de potencias (*) es x n de
modo que siendo estrella (*>una operación conmutativa, ([ es un campo),
podemos escribjr: , '
82

es decir
xn * xn = xn * Xn.
1
Xn * Xn ='(X;)n = Xl por la definición de *.
elevado a la potencia n nos pa x H.
Compare la expresi6n anterior con las definiciones de raíz enésima.
"2 elevado a la sexta potencia da 64" por 10tant.02 es la.raíz sexta
de 64.
2 = {/64
. ..aelevad(~a la pot~nda n nos da b". por lo tanto, a es la raíz
ené'i.imade b. . nr;-
a = vb.
Complete usted la siguiente implicación:
. 1
HSi .Xn elevado a la potencia n nos da x, entoncés...H
1
De su conclusi6n poden1Osdecir que ~Jn~m~ro xn ..existe. es.r~al y
es único /y que utilizando el Isomorfismo podernos considerar las
operaciones con los ele!11entosde 1en lugar de las operaciones con los
radicales.
Denniciones:
.~.
xn ='~, x. E R, n E N Y si 11es par ~ x 2: O
m
X)j- =: !!Ix';' = (zy;-)m, X E R, ~ E D Y si n es Par,::;>x > O
n -
Ejemplos:
I
a) 273 = .ifij = 3
I
b)' 162 = v'16= 4
I
(-16)4 == V-16
quc no está definido porque siendo n un
número par la base de la potencia o radicando
es negativo.c)
Como-los números racionales tienen un número infinito de repre-
sentacionés que podemos cpnocer 9 encontrar aplicando el teorema
3-19 (~=/x~ debemos tener'cuidado de cumplir exactamente conlasy yr .
'
83
2
d) 83 = = ()2
= .v64 = (2)2
= 4

definiciones, en el sentido de que la base de la P9tencla debe ser un
número positivo para poder aplicar el teorema 3-19, ya que se' corre, el
riesgo de cometer, errores al cambiar la representaci6n del exponente
c0J!10se muestra en los ejemplos siguienteS':
1)
I I ~ ~
(-16)2 =1= (-16)2 . '2 = (-16)4 El numerador del exponente cambi6 de impar
- a par. siendo la base un número negativ.o. ' '
Correcto
=', ~ 256 6(númeroqueno existe)~
= 4, I
ono existe ese número real. Incorrecto
I 1 2
2) - (- 27)3 =1=(- 27)3' . 2"= (- 27)2/6. 'El denom~ador cam1;>i6de impar a par,
, siendq la base negativa.
Podemos ver entonces que la aplicaci6n' del' teorema 3-19 al expo-;,
nente nos cortduce de una respuesta única, a una disyunci6n en la que
no se dice cuál de ,las proposici6nes es la verda~era y en ocasiones l~
disyunción es falsa como en el ejemplo 2.
Una 'conclusi6n que podemos dedl1cir del Isomorfismo entre los
conjuntos 1 y D, es la ampliaci6n de ¡as Leyes de los Exponentc.; o
Teorema 6-1. considerando a m y n números racionales en lugar de
elementos de E. '
Para todo a, b ~ R, tl-,.b =1=O Y m; 17E D
am . an = am + n'
(am)n
(ab)n
= am. n
=
a~
an = am - n.
'(~ )
n
'b
= an
bn '
84
I ,
(- 27)3 = .J - 27 = .,-3. Correcto
(27)21f1 = {I(-27)2 Ó ({I(:- 27)Y
= {l729 Ó (númeroqueno existe)2
= 3 Ó' no existe ese número real. Incorrecto

Al igual que se indicó con los, exponentes negativos y cero, en el
manejo de expresiones algebraicas unas veces'es conveniente el I¡lsode,
racUcalesy otras, su equivalente con exponentes racionales, 'equivalencia
demostrada con el isomorfismo e~tre los conjuntos 1 yD.
Eaemplos: '
, Cambie laexpre!ión de modo qu~ no te~.a exponentes fracclonarlOl
o negativos yencuentre el valor más simple para ella: '
12 ' ,
1) (2 )
2/3
2
_- 1
-6 = 3 >=2-4 = -
, 24
(~ - ¡ = {125i = 12S2/~
,
= (~2, = ~', = 25
125) 87 8213,' (eI8)2 '22 4
1 .
3) (22,+ 34)2= v22 + 34 = ':';4+ 81 = J85
2)
. 1
, 1 1 '1
NOTA: (22 + 34)2~* (22)2 + (34)2

Cambie la expresión de'modo que no contenga radicales. .
, 1
4) V8 = 82
5)
6)
7)
.' , 1 1 l'
~81a3 = (81a3)4= (81)~(a3)4= 3a3/4, ,
..¡a2 + ,b4 = (a2 + b4f 12
1 1 I I
~(a3-+ b,3)C3= [(a3+ b3)C3f' = ~a3 + b3)i'(C3)i '::¡: ~a3 + b')ic
. Cambie la expresión de modo que toda s~a un rádlcandO del, indice
queseda. Consideresólovalorespositivosparalas v~lables. .
8) lndice 2
. 1 2 '
~) 2t = (2X)1 = (2~)2 = ..¡(2x )2 = ..¡4x2
'22 r-r- ~
b) 3r2/3= (3ri)! = "(3riy = 'J 9ri
f I I
= 'J (5X2~2 + 2(5xí) (2x)312+ [(~X)3/2]2
,', .j52 x21'¿+' 2(5) (2X)2/:l (xl¡:,~)'{2~)1::.!+. (2x~3 =
=:. y25x + 2(5) (2) X(X)l/2 .(2X)1.:.!+ 83X3= y25x + 20xy2x2 + 8x3 .
85

2 '
d)' a + 2 =(a + 2)2 = v(a + 2)2l'
= Ja2 + 4a + 4
9) Indice 3
3 ' ,
a) 3a =(3a)3 = {/(3a)3 ~ {/27a3
. 1 3 3r-r:- ~~
b) 3.JX = (3xi)3 '= {¡ (3xi)3 = ¡ 27xi
3 - ,
, c) x + 2 = (x + 2)3 = {I(x. + 2)3 =' ~ + 6x2 + 12x + 8
~. .REACTIVOS DE AUTOEVALUACION.
~,
Escriba en lo~ problemas' del 1 al 6 tin~ expresión equivalente usando
radicales, toda la expresión debe ser radicando. '
6. (256)1/8
En los problemas del 7 al 11, escriba una' expresión equivalente que no
contenga radicales ni .fnicciones.'. '
En los problemas siguientes, efectúe' l~s/ op.eraciones indic~das y simpli-
fique usando las leyes de, los exponentes ya generalizada a exponentes raclo-
n¡¡)es. Considere. que todas las variables son números positivos y no debe
dejar exponentesnegativos,cero o fracclonarlosen la respuesta.
8 - 1..
(
4a3X
)-¡
12. ~ 27) 3 1S. ax-1 ~
13. (.01)3/2
'14. (100)0I
2~3
1 . 3 1
16. xi. xi .xi
2 I
17. x3yi
_!. 3
X 3 yi
86
I
1. xi 3. 4a3/4
2
,2. 33 4. (2b)' 1'3'
7. ifi2 ;¡¡;; {O, a2- .42'
8. . vx2 + ya /
11.''::¡xay'-
.Jx2 ya ,
. 2xy29.

I 1 1 '1' . .
24. (aZ - b2) (a1-+ b2)
I
19. (8r3s~)(2r- 2S2)
,. l' f I I 2
25. (aj.:. bj-)(é" + 03 bi + b3)
.,0 3r~ .,S"I
.. . - + .:::-
S ' r-2
5
21. 4x-1- X'
5
2'7. (x2 + I)"¡ (x2 + 1)0 (x2 + 1)3
I
22. (1602 b4)2 (20-2).
I 2,'
23 . (2x .,. b¡ C)3
.
.

87

,-
, M6dulo'8
Al terminar de estudiar'este m6dulo, el alumno:
l. Demostrará, algunas leyes de los radicales.
2. Utili~ará las leyes anteriores en la simplificaci6n de expresiones con radicales.
3., Resolverámultiplicacionesconradicalessimplificandoel resultado. '
4. Definirá las condiciones para la simp"tificaci6nde radicales.
s. Resolverá divisiones C1eexprc::sionescon radicales, simplificando el resultado.
6. Racionalizará denominadores en;cualquier fracci6n simplificando los resultados.
7. Obtendrá expresiones' equiv~lentes con indices propuestos a expresiones con radica-
les dados.
8. Simplificaráelindi,cede radicalesd,dos. ,
9. Resolverásumasyrestas de expresionesconradicales,simplificandoel resultado. .
ESQUEMA RESUMEN
LEYESpE LOS RADICALES
. .
A) Vb"'= b
B) yra¡; " (ab) l/n = al!n bl/n = ~ V'b
'
*a V'il
C) . -.= -"Ir';b-l-. O
, b ;¡b. -r-
D) iVD 'myr;-
COIldiciones
1
1. Todos ~osfactores con potencias enésimas exactas o m6ltiplos de n, deben
para la eliminarse del r~dicando. .
simplificación 2. El indice del radical debe ser el minimo posible. I
de radicales 3. No debe háber fracciones en el radicando" es decir que su 'denominador
, debé ser racionalizado., . ' '"
I
OPERACIONES J
CONRADICALES .l
Suma
Resta
M ultiplicaci6n
Divisi6n
-~ ---- - ~-'"

LEYES DE LOS RADICALES
Si a,bt::. R, n,t::.N' Yningún radicando es negativo si n ~s par:
, -"¡;::;- n I
A) ."r¡jñ= b Demostración:Vb" = b"I",'como ~ = '1=> b1= byu , n '
B) Iiib = 10 {lb Demostración: /iib = (ab)1m= al/"bl:"= {la lb
ff
..."¡-;;-'
E
'.
( )
n
,a va. " a a 1/" al/ti .f'(r
C) '! - = -"/L;b =1= o, Demostración: -= - = - ==-
, b ' v b "b - b , bI/" lb
D) ~ = "W"" Demostración:
~ = (al/")l/m=' al/"'l/m= al/m."= ~
A c(~ntinuaci6n las leyes de los radicales s'e usan en casos n.uméricos para observ~r su fun-
l'iolHl111icnto.
Ejemplos:
.yI(x - 1)2 = Ix- II (J~ecordar detini~i6n de ~alor absoluto en la
Ul1icl~d V M6dulo 3 y su relaci6n ,COb los
ntdicales en esta unidad al ti"nalde] M6dulo 6.
B) V'54= ij27 . 2 = W Y2=,3 Y2 '
~X:4yi'= WW
C) a '(x' + 1).:i - /(x+ ) ):1 - (x + 1):I/:i - (x + 1)
(y - 2)6 - ~(y - 2)" - (y - 2)'6/8- (y- 2):4
D) ',M-' ~
90
- - ------- ,--

8.1. Leyes de lós radicales. Simplificac ión de radicales.
Multiplicación y división
Lns expresiones de la forma.tfb ~os representan a un número únlcf';a,.
al que l1amamos raíz principal enésima de' b y como se menciona ante~
hay casos en los que es más ventajoso expresar la cantidad con un radical
en lugnr de usar exponentes fraccionarios; .
Las leyes de los ra~icales se desprenden de las leyes de los exponentes
(TcOl'en1a6-1) ya. generalizadas. yes necesario tenerlas presentes al
trabajar con radicales. Recuerde que
. . 1
nr:- -
V b = bn y ~i n es par:;' b ~ O.
Como una actividad complementaria proporciona, las justificaciones
enlasdemostracionesdelasleye~B.CyD. . . .
Ap'()vechan~o estas leyes de los radicales puede cambiarse la forma
rUQicalde las siguientes maneras:
n) Q~itar del radlcal1do las potencfas múltlplo' del indlce, para lo cual
factorizamos antes.
l. .~, se factociza ~ se separan los fáctore.s que. seancubos perfectos
~22 y se aplic~n las le)'es B y A.!
~ = ~23 . 22= if23if22= 2.v4
2.
. b). Reducir el indlce del radical, sin olvidar que el radicando debe
ser positivo.
1.
. I
~2Sx6 = ~(SX3)2= (SX3)2/6= (SX3)3= if5X3. Un segundo método
podría ser:
~2Sx6 =3 '~2Sx6 =.J V(SX3)2 .= ~
c) Racionalizar el denominador. Racionalizar slgnlflca reemplazar la
expresiónpor una equivalentesin radicalen dondeseIndlqu~. .
1.
Se busca un factor (z) tal que haga que el radicando en el denominador
tenga un exponente múltiplo del índice del radical Y'usando el teorema
=- = XY, seefectúael-producto.y yz
. 91

.g'a
.,- =2
,X
- ~
i'4 =.X
, W".
..~
(X)4/4
~
- -
(x)1
-'
X
7a'JY
:!
4/~
8x:J b6
~7aJyl =
{(ax'b' .
4/Ia1yl ~~ =
2Ix'b' 2xb' ,
. (7a'Y') (2xb2)
24X4b'
= ~14d3 b' Xy'
~(2xb2)4
~ 14a~ b~ Xy'
2xb2
=
En algunos problemas lo conveniente puede ser 1araclonallzacl6n del
,numerador 'para lo c.ual.seguirá el mismo método. buscando entonces
.que sean las potencias en el numerador múltiplos del indice: La raclo-
,.nallzaclón, ya sea del numerador o del denominador nos simplifica una
divisi6n de radicales. pu~s s610se busca una raiz y se efectúa la divisi6n
en lugar de buscar dos raice~y luego hacer la divisi6n.
Simplificaci6n.
de radicales
Decih10s qLe un radical está en su forma más simple o que ha sido slm-
pllnca~o cuando se cumplen las siguientes tres condiciQnes: . .
1. Todos los factores con .potencias enésimas exactas ó múltiplos de n.
. han sido eliminados eJelradicando como en los ejemplos del inci-
so a) anterior. I
2. El indice del radical es el minimo posible, simplificándolo como
en el ejemplo del inciso b).
3. -No hay fracciones en ~Iradicando, es decir que su denominador 'fue
racionalizado, ejemplos en el jnciso c).
Una vez que los radicaÍes están en su forma m~ simple, se procede a
efectÜar las operaciones con ellos. aunque no es condici6n indispensable
haberl~s simplificado. En las 'operaciones de multiplicar y dividir
radicales sé consideran dos casos: l)radicales con igual indice, 2) ra-
dicales con indice diferente., .
92
-- - - - 011:'

Multipliéaci6n caso 1.
o La operaci6n se.efectúa aplicando la ley de radicales B.
Ejemplos:
a) (2{14)(3{!¡6) = 2. 3~.ifi6 = 6~ = o6~ = 6. 4 = 24
b) ~o v'4Sa2xy3 = v'(1Sax~)(4Sa2xy3) = .
= v{15 .' 15 . 3) (a. a~) (xa. x) (ya) = y(151,+1) 3(a1+2) (X3+1) (y8) -
-o y152 . 3aa x4 ya = VlS2 . x4 y3a3 y3 =
= (1S2/2'. X4/2) v'3a:i y3 = I'S .X2 v'3a.3 y3
a)
b)
Multiplica~i6n caso 2.
L~loperaci6n se et'ectúa aprovechando el isomorfismo, con los expo-
nentes racionales ysus leyes para cambiar a radicales con indlces I~ales.
&templos: o
J I 2 3
o.ys .J2 =si 22 = Si .2' = .fSi . .:.rF=o{/2So.. 8, = {/200
J J
o
v'6x' ~4x4 y2 =(3. 2X')2 (22 x4 y2)i =(3. 2x' )316 (22 x4 y2 )216
División caso J.
'Esta operaciónseefectúa usando la leyde.radicales.C.
F
n ..
a ~
n b = ~ y se simplificausando el teorema ~ = ;: '
División caso 2.
Al igual que en la multiplicaci6n buscamos cambiar a radicales
conel mismoíndice,usandolos exponentesracionales.
.
93
- -- .

1
b) lf3a = (3a)3_1
(/48a (48a)4
=
4
(3a)12
(480)3/12
~
= -y
El problemade la raclona8zaclo~de radicales en una fraccIónpu~de
~er en algunos casos bastante complicado y es necesario que vea en
seguida algunos problemas de los tipos de raclonallzaclón más
frecuentes. .
Ejemplos:
Racionalización 4
de radicales a) ~ r=
5 - vS
El factor que agreguemos deDe ser tal que la
potencia del radicando iguale al indice. pero
que no deje otro radical en el otro término. ~n
este caso usamos los binomios conjugados.
~ = ~. S+~=
: s-.J5 . S-~ St.J5
(5 - JS) (S'+ JS) = 25 - 5.
4(5~.JS) = 4(5 .+JSr = 5+.JS
52-(.JS)i 25...5 5
e)
b)
.JX+T-x- i
-x
. Radicales
semejantes
8.2 Suma y resta de radicales
. Se dice qu.e 2 o más radicales son se.-aeJantes, cuando tienen el mismo
índice y el QÜsmor.dlcando.
La suma algebraica de rádicales se reduce a -combinar todos los
radicales semejantes en un solo térmlnQ.
- - ~ - -
1
.J2+ 2./3 t
1 .Ji 2./3 .Ji-2./3 = .Ji - 2./3 ;:: .Ji-2.J3=
.Ji+2J3.
=
.Ji-2.Ji ()2 _(2./3)2 . 2 - 4.3 -10
v'X+T
1+ JX+l
= v'x + 1 '. . 1- v' x+1 = Yx + 1 - (v' x + 1)2 = .Jx+ 1 -(x + 1) =
1+JX+l. l-v'x+l (1)2 - (vX+T)2 . 1 -(x + 1)

~emploll
ar JT8 + ~ - J72 Ninguno de estos radicales es seme.
, jante. por lo que q'ebemoscambiar su
forma osimpliflcarlos. ,
=J972 + J2"S"72- "3672 = 341+ S~ - 6~
" =(3+S,-6)J2
= 2~
b) 4v'T2+SJ8-~-7J48
,4y'¡:3 +5,#2-~-7~ = 8v'j + 10J2 -S ~ -28 J"j
= lOv2- SJ2 + 8'v'j -28v'j
= (lO-S)v'2 + ,(S-2S)v3
= sJ2 - 20J3
e) .Jj + {I8i - .Ji7 + S~
, =.J3 + ~27.3 - ~ + S~ = v'j, + 3~ -3v'j' + S~'
= -2J3 + S~
= 6~ - S.~ + * ~,
= (6-S +l)~4
= 1~4.
.,
Demuestrela ley de radicalesc.
n~ ='ifi' b ~ o'
lb' ~' -t-
2. Demuestrela'ley de ,radicalesD.
mrm--' m.nr
" va = va
/
95

. "
En los problemas del"3 al 16 reduzca el radical a la forma más simple.
Recuerde ,que: )X2 = Ixl
9.
6. V32'
Jt +;.
12~ x- 25
.JX+S
3.. .if8O
7. J192 a"b7
4. S~243
(
1o. ~64x'Y:;- 11. 'la .Ja2 +"60+ 9
Efectúe las mul~iplicacionesy simplifiqueel resultado.
17. {14~ 18". .J,X2_y2.JX-Y' 19. (v6 +v3) (J6-2v3)
20. (J;. +JY)2 - 21. ~ ~27x4 22. ~.ifX ~
23. (2+.v3)(2--V3) 24. (.Jx+y-z) (v'xty+z)
Efectue las divisiones y simplifique el resultado. " ,
25. 4ffi 26. . 10v6 ..
3.J7 5../2
,27. .J3 + 4.J2 - Sv8
.J2
NOTA: (x+.y = ~ + 1. )z z z ot.. 28. {/24a' b
{/8ab' .'
29. Jab2
~
Racio1)alice los denominadores y sim'PlifiQ~e.
30. 2.J3 31'. 2-V3
, 4J54{15
33. 1+.J2 "' '"34. ~
1-.J2 x+JY
32. -1--
2+.Jj
35. 1. ~erelProble.
~ +~ ma de VI-3
96

x+.JX
36. (a+b+c = [a+b]+c)
1+JX+x .
37. aVb-bv';
aJb +bva
39. l-JX+l
1+JX+l
Convierta los radicales dados a otros de índice 12.
40. if5 41. JXY 42. if¡¡. 43. ~.
Simplif1queel índice de los radicales dados.
44. {[9 45. 1~8a3b'
Efectúe laS operaciones indicadas y simpiifique'
47. 3J8 + 2v'18
50. {12+.{Il6- {f54
48. {I8i - {f2¡ 49. 5.Ji - V'64+ 2~
5.1. Y4(x+y):-' 2Y9(x+y) + 3Yx+y
53.
55.' vI+ 1 y 108 - ~ .
.4+
56. 2 +../5
3
5+2../5
. BIBLIOGRAFIA DE ESTA UNIDAD'
Dolciani. Mary. Berman. Simón, Woaton. WiJliam. "ALGEBRA MODERNA Y TRIGONO-
METRIA ". Ed. Publicaciones Cultural. México. 1967.
Cárdenus. Luis, Raggi. Tomás. "TEMAS I. ALGEBRA". Ed. Sociedad Matemática.
México. J97.0.
97

Panele. de verlllcac'6n
MQDULO & -VALlDACION
1. 32
1 1
4 - =-. (-4X)2 16x2
1 1
7. . 4' = 64
2. 8xl
5. -.1. = l:.
2:y-. 2
8. (1000)0= 1 9. x'Y 10. 4,3.6.102 = 7200 .
12
"
1
1 1
. . 52 = 2S
3S
11. -(-3)-2 = 3'. (-3)2 = 35,.32 = 3'
.
16. Sx-3 17. 5-1 19. 4.3-1 x4 y"S
21. a4
18. 4x-3
20. p(n+1)-(2n+3) = p"'o2 = p-(n+2)
22. ! + ! = a +b
a b ab
1
23. a +b
25. xn - yn
(xn_. yn) (x2n + xnyn +y2n) X2n + xnyn + y2n
- a2-ab +b2
- ab
27. 9(X+1)2 = ~(3)2 = 9.9 =-!!(-2X)' -4)' -64 64
99

3a2 (-2a)-1
1
3a2-
'-2a
8+.a
3a2
-2Q" .
8+a
3
- - (-2)2
- 8+ (-2)
3
--a2
- 8+a28. -
3 ' 1
-6"-'2
29.
- 3p-q= 35-3 = 32 =: 9
30. 3°x-1+4r2
,r4
-
- 9 (3+ 4) == 63
.
,
MODULO'6 -VALlDACION
1. Se entiende por rllÚ eDéslm~ de un número, otro núme~o tal que ele-
vado a la' potencia n se obtenga el número dado. La raíz cuadrada de
un número es otro número que elevado al 9uadrado da el. primero y la
raíz cÚbica es otro número que al elevado al cubo da el ,primero..
2. La rlÚz principal enésima de un número es, como se define en el pro-
blema anterior, otro' número que elevado a la potencia n da el ptimer
número sólo que si el primer número es positivo, la raíz principal tam-
bién. lo es y si es negativo. la raíz principal sólo existe-cuando el índice
es impar, y también es un número negativo.
3. .J16 = 4 {4,- 1
4. .Y23 - S
5. ~i7 = 3
_3fT - 1
6. V1;¡ - 4
9. ~-32 =-2
7'. v'(-4)2.= 1-41 = 4 8.. .J-64 No existe
10. v'16a2 =14al 1-1. fu = 2
. 19_.1
12. , Va2 - lal
13. .J=42 No existe- 14. ~-27x3 = -3x
- ----- - - ~- - -- -- --

15. v'64x' = 8x4
18. v'a4kb2k = la2kbkl (Se toma valor absoluto porque k puede ser im.
par y b negativo)
20. .J(X 2)2, x;;.2 = x-2
. 22. va~+40+4 =.v'(o +2)2 =10+2121. V(X-2)2,x <2 =lx-21
MODULO 7 -V ALlDACION
1.
I
- ,r-x' = vx
= 1
(
- !
. ---,. = XI+yl) 1
(xl +y2)' '
1
12. (2
8
7f i = (_21)i= 27~= ~. = 1
.s -si JJ8 2
! 1!' 1 1 =-1-=-1-
13. (.01)2 = (100)2 = 100"2 = (v100)' 10' 1000
14.,(00)0 - 11 ---
. 2x'i 2.ifX
, ! 1 .
17. x' yi. 1,
X- i y3/2
!+! !_! . X
= X3 , .y2 2 = xy-I ==-
y '.
101
_5 . l.
4. (2b)'i {/(2b)' '= "32b5" 5. (270'}'28 = (270'),4, = .270"
1 ' 2.
6. (256)'125 = (256)8 = 256 7. ifii .Jb8 ;= oibi

/
. .
18. 2S-¡ = (Sir i = ~ = i"- SI,,S., s., S.I S-
a a . . r:
19. (Srls")(2r- i Si) = 16r'-i s-'+I= 16riS-.= ~ s.
'. I
23. (2x~ ibi c)' = 2' x.abl c' = 8bl c'
X
. a .. . .
24. (ai- bi)(ai+ 'bi) =,(ait - (bi)1 = a -b
. . I 'l' I ' 1 .
. 25. (ai- bi) (ai +aibl +bl) ~ (al)' - (bi)' =a-b
.
26. vx+y (x+y) ~ (x +y)i (x+y) ~ (x+y)8I1 = V(x+y)'
3: ~'= "8.10 = ~ == 2~ 4. S~243=5"27.9=S~3'.9=lSQ9
S. aV9b.c'=aV3Ib.c.c'= 3ab'~ 6. ~32 -= ~ = 2~
102
1.
4f 3 (:)fi 2. =
1 1
(a;;);;¡
, -
. . .
aii = ,¡a.;;;= --=-.
bii -L...
= a"'"
,*=- lfQ Wi =,m.'b --:rb . '

..
8. ~81z4 x' yS = =
. 9 "¡.1- + ..1 = ..¡ 4 + 9. = .,fj3 ',,;,.L v'i3. 9 4 36 6 6
10. ~64x'7y" = ~(4Sx~Y")x =.4x~y.a qx 11. ia.Ja2+60+9~ 2a.J(a+3)2
=~alp+31
12.- x-2~ = (x:"'25)(~5) = '(x-25)(~-5) = ./X-5
.JX+S (v'X+S)(JX-5)x-25
}3. .J12x4-36x2y2'+27y4 ;:; ~3(4X4-12x2y2+9y4);:; J3(2x2-3yl)1t '
;:;
I I Z
14. ~anb2nc3n+1 dn+2 ;;: lanb2ne3n+ dnH)ñ = ab2 c3en ddñ ;;: abZ e3d ~edz
Método Alterno
~ w;.
-..
~
--
~
---
~
-_.
3 S S- '3a ;-:= ss s-= SS)---=='; S)S--=
x'~x'~xa;:; ~X6 .xa~xz = ~x8~lx2;:; if~.xa;:; ~a6'(
J7~ .lf4~l26 = ~4. 26 :: ~la~. 13 ;:; 2~13
18. ..JX'L'"!y2..J,X-Y= 'v'(X'a_yll)(x"-y) ;:: v'(x+y)(X-y)2 ;:; J,x-yl v'x+y
I
20. (v'X + ..Jy)a = x+ 2 JXY + y.
, 103

23. (2 +lf3) (2 - ~3) = (2)2- (~3)2= 4 - ~ .
24. (.../x+y - z)(.../:-+y + z) ==(.../X'+y)2- (z)~ =x+y - Z2
25. 4~' = 4"'/28'1 = 4.../4.72= 4.2.7 = ~
3.J7 3.7 3.7 3.7 3
26. .lO,!! =.2 If = 2.../3
Sv2 . V2
27. _fl+4J2-=J.J-S ='V3+4.J]-Sv'"S. ~=
.J2 .J2' .Ji"
.J6+4J4'- 5.Ji6 =
2
.J6 + 4~10= 1v'"6-62 2
, 28, _V'24a'b = .:J24a'b = .J3;'= 1 v'Ja'b', ~8ab3 8ab3 V ~ b

30. 2v'3 = 1 /3 J""i= 2.JIT = ~
4../5 . 4.J5.J5 4.5 10
, ..
2~ 2 ifj if52 2if75 ~Pf531, - = = - = --
. 4.v5. 4.ifSif52 4.5 10'
32. ---L = 3(2 /3L = 3(2 /3) = 3(2-../3) = p - 3 V3
2+../3 (2)2_(~)2 4-3 .
33. 1+.Ji =' i.L!.ffi2 = -(1 + V2)2
1-.J2 (1)2_(v2)2
34. ~_.- = x(x- JY)
x+~ x2-y
2 I I 2
X3-x3y" + y3:
X+y
. 104

;:7
36. x +JX = x+JX .- =
1+ JX+x (1+x) +vX
37. aJb - bJ; = (aJb- bJ;) (a.Jb- b Ja).==a +b -2 Jáb.
'aJb +bva (aJb)2 _(bvQ)2 a-b
38. - ~ - =. 1.t(~+v'3)-v'S] == .J2+.J3-.J5
[(.J2+v'3)+v'5][(v'2+v'3)-v'S] (..fi+../3)2- (v'S)2
== .J2+.J3-'~. = v'f2+.¡¡g~J30 ==1 J3+1 Ji- --LV3Q.
2J6 2.6 6 4' 12
39. 1-~ = (l-JX+l)2
1+v'X+}. (-(x + 1)
2+x-2JX+l==
-x
1 6
41. .¡xy= (xy)2 ==-(xy)i2 = ~x~ y6
1 2
44. ~ = (32)4==:F ==.J3 .
. 2 1
46. ~x2 +2xy+y2 == ~(:k+y)2 == (x+y)i = (X.+y)4 = ~x+y
47.' 3vi + 2v'I8 = 6.J2+6v'2==12.J2
48. ~ - 6 ==3~ - 2{!3 = ~.. ,
49~ 5.J2- {164.+ 2.J32= ¡,.J2- vi + 2J32 ==5.J2~ 1.12+ 8v'"2'= 11.J2I
.SO. ~ +{!¡6 - ~ = ~ +{/8.2 - {/27.2 = ~ + 2~ - 3'~ = O
51. v4(x-t:y)- 2v'9(x+y) + 3vx+y ==2v'x+y - 6vx+y +.3vx+y = - ~x+y
52.. 2a~27x3y + 3b~8xSy - 6c~y = 6ax~ + 6bx~ -.6c(-x)~
= 6x(a+b+c) ~ .
.105
,

'.~
. :
I
SS . 11+ 1"'/108- ~ =1.J3+ 1.6J3-J3 =(1 +9-1 ).J3 = 25"3. V3 2 3 2 3 3 .
56. ~ + 3 '= 4(2-.JS) + ,3(S-~JS) =-4(2-Js)+ .!(S-2~)
2+JS S+2.JS 22- S 52- 20 . S
=-8+4vS+3-! .JS
S'
=.!!.JS-S
S
106
~-- --'--"--~"-'-'-'"

, UNIDAD VII
. . APLICACIONES
.,

Introduccl6n
EÍt las unidades anteriores J1em'oscompletado nu~sttas nociones fundamenta'es de la
. estructura del conjuntode.númerosrealesy de ia manipulaciónde las expresion,es.algebraicas-
que los representan. Es muy importante que se haya adquirido suficiente habilidad y destreza
en la. manipulación de las expresiones algebraicas antes de iniciar esta unidad, para poder
concentrarnosen lostemasqueaquí trataremos. .
En esta unidad presentamos quizá la parte más dificil en la solución de problemas. el planteo
en lenguajealgebraico. '. '
. Veremoscomotraducir el lenguaje ordinario que usamos al pro¡»onerlos problemas o las
situaciones reales', al lenguaje matemático que I1:0Sfacilitará I~ simplificacion o la so.luciQnde
dichos problemas; las expresiones algebraicas resultantes pueden ser lo que llamamos
ecuacioneso inecuaciones. .'
. Los reactivosde autoevaluaciónse agrupan según el temá considerado como proble~as
sobre mediciones, digitos, comerciales, de mezclas,' de movimiento, trabajo, etcétera, y en la
misma forma se presentarán cuando vayamos a practicar con nuevas técnicas algebraicas o
nuevos conceptos matemáticos, procurando mantener una relación lo más estrecha posible.
entre los temas abstractos y su aplicación a la realidad. .
.'
109

Objetivos ge'neraJes'
Al tenninar de estudiar esta unidad, el alumno:
1. Tr~ducirá a expresiones algebraicas las condiciones de problemas plant~ados en lenguaje
co~ún. I .
2. Resolverá ecuaciones de primer grado con una incógnita.
3.. Resolverá desigualdades que contengan una variable.
4. Res()lverá equaciones fraccionarias que contengan una variable.
S. Planteará Y,resolverá problemas en ténninos de ecuaciones.
110

M6dulo 9
. Alterminar de estudiarestem6dulo,elalumno:
1. Traducirá al lenguaje matemático expresiones de~espaflol.
2. Reescribirá problemas utilizando lenguaje matemático.
ESQUEMA RESUMEN
LENGUAJE COMUN LENGUAJE ALGEBRAICO .
ESPAROL - ALGEBRA
Ejemplo:
El doble de un número
es 25 - 2x=25
113

. .Usodel
,álgebra
Ellenguaje
ma~emático
114
9.1 Planteo'deproblemas.
.
Una vez cúmprendidús 1.05pústulad~s de campú y de .orden. y despué~
de haber practicadú su aplicaci6n así cúmú la aplicaci6n de.lús teúremas
que se derivarún de lús pústuladús. el trabajú cún lús elementús del
cúnjuntú11.. es decir cún lús númerús reales'.empieza a mecanizarst;y!
cúmú 'en lús depúrtes aquellús que más pra~tiquen llegarán a dúminar
mejúr esas mecanizaciúnes. Llega un múmentú en que ~e preguntan
¿para qué me sirve esta habilidad en el maneJú de lús símb.ol.osy de las
expresiúnes algebraicas? ¿C6mú aplico estú a la vida real si en ~na n.o
encuentrú esas expresiúnes algebraic2s productú de la mente humana?
Bien. -para cúntestar a éstaS: y .otras preguntas 'de quienes estudian
materias abstractas cúnsideremús las siguientes reflexiúnes:
H~mús aprendidú un nuevo idioma, otro lengu~e; el de la Ciencia
MaÚ~mática; n.osservirá para desarrúl1ar más esa misma ciencia si,esú
nús atrae; perú también utilizaremúsen las demás cie9,ciasesta fúrma de
expresamús; el razúnamientú matemáticú nús cúnduce sin dud~s .o
. desviacionesa la verdad.yestú es muyimportante aun en lúsprúblemas
de la vida diaria. pues es necesariú tener lacerteza de que. aplicandú
cúrrect<imente nuestrús pústulados y teúremas. llegam.os siempre a u~a
cúnclusión válida .o verdaderá; perú lús problemas- de las ciencias
experimentales y lús de la vida diaria lús encúntramos .olús planteamús
enellenguajeúrdinariúy aquí está realmente el prúblema más dificil.
necesitamús traducir al idiúmamatemáticú para poder usar nuestr.os
conocimientús y habilidades matemáticas y encúntrar c.on certeza la
'eJ:'dad.
Como en la traducci6n de un idi.oma a .otroéualquiera es necesariú. en
primer lugar. comprend~r totalmente la proposici6n. interpretando
correctamente lús términQs y 'modismQs. que pudieran utilizarse; en
~egllndo lugar. debemos estar farriiliari1.adoscon las formas,de expresi6n
y mOd,lsmnsdel ()tro idioma para traducir corre~tamente.
Ej,-'mpln: Debemos anterpretar correctamente .la .oraci6n en ~nglés
~hat ls up? Pu~s la traducci6n literal no nQSdice gran cosa en espaftol,
sobre todQ no dice 1.0que realme"te se pretende decir. E.s necesario
conócer ambQs idiomas para darle la fQrma más fácilmente compren..
sible. Literalmente seria ¿qué está arriba? y la traducci6n correcta es
¿Qu~sucede? .-
Lo mismo tenemQS que hacer para traduCir del espaflQl al lenguaje
matemático;' primero debemos asegurarnQs de ..comprender las condi..
dones de un problema para después escribir las expresiones a~gebraicas
que ~digan."lo mismo. -
:0 ~-- "41"8 -

Ejemplos:
ESPAÑOL
a) Encontrar dos números reales.
b) El doble de un número es 25.
c) La suma ~e.dos nútperos. "
d) La suma de dos números dividida entre'
su producto.
e) UI)número es el triple de otro~
f) El triple de la suma de dos números.
. g) El perímetro de un cuadrado es 20 (aquí
son necesarios'conocimientos geométri-
cos además de algebraicospara interpre-
tar el ténnino cuadrado).
h) El área de un rectángulo es de 25 unida-
des cuadradas (igu31que en el anterior,. ~
rectángulo qebe estar defmido como el
área de esa figurageométrica).
i) EI,cincopor ciento de un número.
j) Las dos terceras partes de una c.antidad.
k)' La parte menor de 50 sila mayor esx.
. 1) El producto de dos niímeros es como
.mínimo 230;
m) La suma de dos números es mayor que 12.. .
n) La gananciamáxima es de 20 pesos.. ,
o) Un número es8 unidades menor que otro.
p) En un rectángulo el largo es 20 unidades
más que el ancho. .
q) ¿~uá~to cuest~ n artícu~osde20 centa-
vos c/u? (Aquí es necesario conocer las
unidades monetarias)
r) ¿Cuántos pesos cuest~ n artículos de 5
centavos'cada uno?
ALGEB~A
Sean x, Y. E. R...
2x =25
x+y
ctL
xy
Traducci6n -
I del español
al lenguaje
matemático
x=~'
~+~
~~w.
x .y =25
5
100 .x 6 .05x
2 .
3x
50-x
xy ~ 230
x + y> 12
G'~20',
X'=y-8
..c= a + 20
20 n centavos
".05n pesos
115

Como puede ver en los ejemplos anteriores las exp~esiones en espaflol
se pueden traducir a expresiones algebraicas en don!ie es o ser se traduce
como =..como máximo se traduce.s;:, como mínimo se trad':lce >, una
cantidad y otra se traducen x-y, etc.; pero la traducción en muchos
casos no es posible hacerla directamente de la expresi6n verbal o '~scrita
que nos dan y' es necesario. cambiár la- fonp.a ó aplicar- otros
conocimientos para interpretar correctamente esa expresi6n, y 'en
algunos casos tendremos que reescrlblr las condiciones de un problema
para poderlas comprender y después traduclrl.. al lenguaje simb6lico o
matemático.
. Cuando un 'problema es fácil y la condici6n o condiciones son claras,
nos es posible traducirlas a si.mbolos matemáticos sinvacilaci6n.
. Fdemplos:
1. Encuentre dos cantid~des cuya suma sea 13 y cuyo producto s~a '24.
ESPA~OL . . ALGEBRA
Dos cantidades...
...cuya suma sea 13...
...cuyo producto sea 24
x, y
x + y = 13
X .,Y = 2~
2. Encuentre las dimensiones de un terreno rectap.gular con un perímetro
. . de 540 metros, si sabemos que el largo mide 30 metros .más que
elancho. -
ESP A~OL ALGEBRA
Encuentre las dimensiones de un terreno rec~
tan guiar con...
...un perimetro de 54q metros,
si sabemos 'queel largo mide 30 m más que el
ancho
largo::: X
ancho = y
2x + 2y =; 540
x = 30 + y, .
'(el conocimiento' del término rectangular, nos dice qu~ tiene dos dimen~
siones) (tonocimiento de perimetro)
.116.
- -~ -~..,- ---
s) El precio de un articulo.si dos articulos 25
cuestan25 2
t) El precio de n articulos si tres articulos 15
cuestan15 3 . n
'"
u) DosnúmerosquesumenSO x, 50 - x

En los dos ejemplos anteriores las condiciones son proposiciones muy
claras y es posible traducirlas de inmediato a símbolos matemáticos. En'
. loscasos.más dificiles las proposiciones no dan con mucha claridad las
condiciones y es entonces cuando se necesita ~l conocimiento del idioma
espaftol para concentramos más én el significado de las proposiciones
que enlas palabras mismas y así poder reescrlblr el problema utilizando
otras palabras, términos o modismos que sean fá,cilmente traducibles a
símbolos.Ejemplos: . ,
1. Encontrar un número enterp menor q1:le100 que sea 12 unidades
mayor que S veces la suma de sus dígitos. El cuadrado de la suma de
sus dígitos es 39 unidades menor que el triple del entero inmediato
mayor. '
ESP At'tOL
Encontrar un entero menor qu~ 100
Sereescribe: I "
Encontrar un número de dos ttigltos
comomáximo '
El número es...
, 12unidades mayor que Sveces la
suma de sus dígitos
Se reescribe:
S veces la suma de sus dígitos
más 12 unidades
ALGEBRA
x dígito de las decenas
y dígito de las unidades
10x + y (valor de posi..
ción. de los dígitos)
S(x + ,)
5(x + y) + 12
5(x +y) + 12=lOx + ynQsdan, el número
El cuadrado de la suma de sus dígitos
es 39 u'nidades menor que el triple del
entero,inp¡ediato mayor
Se reescribe:
El e~teró inmediato mayor, (lOx + y) + 1
tres veces 3( 1Ox + y + 1)
menos 39 unidades 3(1Ox + y + ,1) :-. 39
I nos dan el cuadrado de la suma de sus (x + y)2'
dígitos 3(1Ox + y + I) - 39 ::: (x + y)2
- 2.¡Encontrarel lado de la base y la altura 'de un prisma recto de base
cuadrada, si su superficie tiene un área de 96 cm 2y su volumen es de
60 cOl3

..-
-
x - lado deJa base
y - altura
y
I
I
II
I
. !
I
iI"L..---..--
x
ESP~OL ALGEBRA
Encontrar el lado de la base y .la
altura de un prisma recto de base
cuadrada si su superficie tiene un área
de 96 cm2
Los conocimientos .geome..
tricos no.spermiten "visua-
lizar" la .figura, observan-
, do que tiene dos b~es y
sus lados son rectángulos
Se re-escribe:
El área de una base
más el de la otra base
y el área de cada uno de los 4-
lados rectangulares(ancho por largo) .
nos SUIlJanun área de 96 cm2
,X2
.2x2
. . 4
4xy
2x2 + 4xy =96
Su volumen es de 60 cm3
Se re-escribe: .
El área de una base'
por la altura
nos dan un volumen'de 60 cm3
X2
x2y
x2y =60
Los ejemplos nos dan una idea de la traducci6n del espafíol alle~-
guaje simb6lico o matemático y, podemos .observar que .no es fácil;
s610 la práctica que obtengamos nos ayudará, y como sucede con los
idiomas que si se abandona la práctica, se olvidan fácilmente los vo-
cablos y modismos, así la falta de práctica hace que se nos olviden
los símbolos y expresiohes algebraicas.
REACTIVOSDE AUTOEVALUACION
. Exprese las siguientes proposiciones en símbolos algebraicos, no se intenta
resolverproblemas, s610plantearlos.
1. 2 unidad~smás que S'vecesun cierto número.
118.1

2. La parte menor de 100 si la mayor es x.
3. Las dos partes que fonnan 100.
4. Tres enteros cOQsecutivos.
S.. Los dos nÚmeros cuya diferencia es 10..
6. Cualquier número impar.
7. 'Tres números impares consecutivos. - .
8. La cantidad que 5 veces un número excede de 60.
9. La cantidad Que 75 excede de tres veces un númerO.
10. Si 21l repres.~nta al primer número' ~ntero ¿cómo representa al tercer
nÚJuero,entero?
11. Si 2n representa al primer número entero), ¿cómo representa la suma
de los primeros cuatro números enteros?
j2. El númerode centavosen pesos.
13. El cuadrado de, cualquier.entero.
14. Tres veces el en'tero inmediato mayor.
)S. ~o que excede el cuadrado de un ,número a su doble..
16. La diferencia de los cuadrados de dos enteros consecutivos.
17. El costo en centavos.de n articulos si' tres se adquieren con 10 centavos.
18. El costo en pesos de " articulas si dos valen 15 centavos.
19. La fracción cuyo denominador es 4 unidades mayor que el doble ~l
. cuadrado del numerador.
20. El perímetro de un rectángulo si un lado es 3 cm iuás corto que el triple
del otro lado:. ,
21. El perímetro y el área de un rectángulo si un lado es 4 metros mayor
que el doble. del otro lado. ' ,
22. Los litros de alcohol contenidos en un tanque A que tiene x litros de
una mezcla de 40010dé alcohol.- ,
23. El total de litros de alcohol si juntamo~los del tanque .4 del problema
anteriora los de un tanqueB que tieney litros de mezcalal 20%.
24. La suma de dos númeroses 21 y un númeroes el trple del otro..
25. El producto de dos enterO$consecutivoses 72.
26. La suma de un número y su recíproco es 34/15.
27. Ha~ 10 aftosJuan tenia cuatro'vecesla edadde Memo:ahorala edad
de Juan s610.duplicala de Memo.
Plantee la expresi6nque nos llevea la solución.
28. Un papa'es 24 arios mayor que su hija. ,Dentrode 8 anos el papá ten-
drá ~l doble de aios que su hijo, Escribauna expresiónque nos lleve
a la solución. .
. 29. Cuando se uumenbm4 metros a cada lado de un área cÜadrada,el area
awnenta 64 metros cuadrados. ¡,Cuáles son las qimensiónes del área
original'?S6lo planteélo. . --- /
30, La longitudde un rectánguloes el triple de su ancho.Si el anc1;lose,dis-
minuye en un metro y se aumentan 3 metros aJ largo, el área será de
.
119

...
120
1.
72 metros cuadrados. ¿Cuáles son las' dimensiones del rectángulo ori-
ginal? S610plal1teélo. .
El perímetro de un triá!1gulois6sceles es de '84 centímetros y la longitud
de uno de sus lados iguales es dos tercios de la longitud de la base.
Encuentre la longitud de la base del triángulo.
_.--- ~.- ----- » -- -'

M6dulo 10t
Al terminar de estudiar este módulo. el alumno:
1. Detini~á el término ecuación.
2. Despejará la inc6gnita que se señale de cualquier f6rmula.
3. Resolverá ecuaciones de primer grado con una inc6gnita.
ESaUEItIA RESUMEN
SOLUCION DE ECUACIONES:
J. Despejar una incógnita.
2. Resolu~ión de la ecuación.
3. Fórmulas.-Ecuaciones que expresan una ley.
121

Las ecuaciones
incluyen
srmbolos
deigualdad
122
10.1 Solución de ecuaciones
En la traducción del idioma ordinario al lenguáje simbólico, hemos
visto que el planteamiento n()~conduce con trecuencia a expresiones en
las que se incluyc el símbolo de la 19ual.d. Estas expresiones las
definimos en el tema de la Unidad' 111con el nombre de ecuaclonea;
dijimos que una ecuación es una Igualdad 'condicionada para ciertos
valores de la variable. Encont~ar esos valores que forma~ el conjunto
solución es el proceso de resolver la ecuación o como.también se le llama,
. elprocesode despejarlavariableo incógnita.. ,
COI11<)recordaremos, el proceso 'de resolver una ecuación o cleapeJar
una incógnita consiste .enir paso a paso transformando la ecuación dada
en otra equivalente, utilizando para ello las propledades.de la Igualdad,
postulados y teoremas ya,den1ostrados. Por ejemplo:
4x + 6 = 2x + 18 =o2x + 6 = 18
(Agregamos -2x a cada lado
de la,igualdad)
Con la misma propiedad adldva deJa lau"dacI podemos transform(ir
laexpresión .
2x + 6 =1S =o 4x + 6 =2x + 18
(Agreganos 2x a cada lado de
la igualdad)
Es decir que podenos usar la doble ImpUcaclón
4x + 6 =2x + 18 2x + 6 =18
por lo que ambas expresiones son equivalentes o significan lo mismo
y por 10tanto podemos estar' seguros de que tienen el mismo conjunto
, soluciónparax. .
2x + 6 = 18 .. 2x = 12
2x = 12 X = 6
(Agregando-6)
(Propied~dnultiplicativa~y
teorenade ladivisión) 2
por10tanto 4x'" 6 =2x + 18.. X = 6
. Regla de Inferenc:lade la c:aclena
?
. Comprobaclólu-4(6) + 16 =2(6).+ 18
?
24 + 6 = 12 + 18
30 '!=30
- -- ."¡,,,--- -

Por supuesto que la mecanización del proceso, nos permite saltar
más o menos pasos de acuerdo con la destreza adquiridá en el mane-
jo delasexpresionesalgebraicas. ,
. El noml?redespejarla incógnitaprovieneprincipalmentede.la
solúción de ecuaciones literales, es decir, ecuaciones en las que ade-
más de la variable se utilizan otras letras para representar números
reales, de modo que la solución no es numérica sino úna expresión
algebraica y la letra que representa a la variable de la expresión pue-
de cambiar en cada ocasión que seusa esa expresión, dependiendo de
las cantidades que se conozcan; a esas expresiones se les conoce en
las diferentes especialidades'con el nombre de f6nnulas, y son ecua-
ciones que expresan una ley, una regla o un principio general. '
Ejemplos: a)F=ma; esta fónnulaexpresa una ley físicaen dondeF
representa el valor de una fuerza,m elvalor deuna maSaya'representá
el valor de una aceleración. .'
La fónnula se lee: Fuerza igual a masa por aceleración y'cuando se
conoce el valor de m y de a, se sustituyen p,araencontrar el valor de F;
pero algunas veces nos interesa conocer "elvalor de a ya que conocemos
los valores ~e F y m, por lo que a es ahora la viriable o in<;ógnita y
debemos resolver para a, o despejar a
F
F=ma <=> a=-m
(propiedad multiplicativa ~
y 'Teorema de la división)
otambiénF=.ma ~ m= f
b) . 8 -n[2a1 + (n - 1)el]
n, 2
Esta fórmula se usa en las progresiones aritméticas en donde 8 n
(8 índice n) representa la ~umade n 'ténninos de una progresión, al
representa el valor del primer ténnino y d la diferencia común entre
ténninos consecutivos de una progresión; se lee, la suma de n térmi-
nos de una progresión es igual al número de términos n por la suma
del doble del primero, más el número de ténninos menos uno, por
la diferencia común, todo dividido entre dos.
Supongamos que conocemos los valores de 8n, n y d, en tal caso,
la incógnita seráal, el primer término y debemos despejaral o resol-
v~paraal' .
8 n[2al + (n - l)el]
n . 2
n
8n = ;- [~1 + (n - l)el]
Despejar
la inc6gnit8
123

Suitltuclón
124
7Sn = 2a. + (n - 1)dn
. 2S!! - (n - 1)d = 2a.n
2Sn - n(n - l)d = 2a..n .
~ 2Sn - n (n .,..I)da. - 2n
(Multiplicamos ambos laQospor
. n
~lreciproco de "2)
(Agregamos el inverso de
(n - l)d)
(Efectuamos la resta. en el
miembroizquierdo.dela ecua.
ción)
(Multiplicamos por el reciproco
de 2 y la propiedad simétrica de
la igualdad).
Ahora sabe~os el valor li~eral de a1 y será cuestión de 8U1dt1ilr.los
valores de las demás literales para obtener un valor nu~érico. - .
Algunas veces las ecu~ciones pueden contener fracciones y en tales
casos es conveniente principiar la solúción.con los pasos que nos lleven a
una ecuación equivalente sin fracciones o quebrados y para eso, podemos
aplicar la propiedad multiplicativa de la igualdad usa~do como factor el
minimo común múltiplo (MCM) de todos los denominadores y luego
proseguir en la forma ya explicada. .
Eilempl08: a) 4x-9==- 4
4(4x - 9) = 4(=-)4
16x '- 36 =x
oo.
b)- 3 - ix = x - is 7
35(3 - lx) = 35(x - i)S 7 .
l05- 7x = 35x - 5
...
e) 2a - a + 4 = 6'- a ... 2
3 2 2
6(~ - a + 4) = 6(6 - a - 2 )3 . 2. 2
4a- 3(a+ 4) :;: 36 - 3(a- 2)
... - ...
-- - --- J- --
MCM = 4
oo.
MCM = 35
MCM=6
~--...-

Resuelva las,
'~ 11..
1. 2(x + 3) =3(x.- 1)
2.. 3y - 2(y- 1)=4(y + 2)
3. 2y + 3 =7y - 10
4. 7x + .J3= 2
5. 9,- 2[a- 3(a- 4) - 5] =1 ~ 5(a - 2)
6. 3 +'1 x. 1 =4
7. 5 - 1x + 3 1 =6.
8. 114x - 971~ - 8
9. t 3'- xl =6
10. .../(2 - X)2= 4
11. .../(x - 4)2= -1 '
. I"
ecuaciones y compruebe la solución en' 1ps problemas del 1
En las fórmulas,siguientesresuelvapara 1&variableque se indica.
12. A = 1fra, despeje:r
13. °F = ~ °C +' 32, despeje °C «Cse lee grados centígrados y' °F' ,se
lee 'grados farenheit
14. P:;::2a + 2b, resuelvapara b
15.. 4. = I (bl + ba), re~uelva para b1
16. V = IR, despejeR
17. d = Vot + fat2, despejea
Resuelva las siguientes ecuaciones que ahora contienen fracci9nes.
18. 8x + 1; =tx - 7
19. 2: ~ .¡ = 2
I
. 1 ' 5
20. 7 - "3(6x - 3) = "2 (2x + 4)
"1 2a - ~= 6 - ti :..2
¿'. 3 2 . 2
1 1
22. 3 - SX = x - .,
125

23 ..!!...!-!. = !
.. 15 3
24 !..:..! - ! :..! - r ~ 3 - = .O. 2 3 2
126
- - - -. - ~
-.~.. -.,...

M6dulo 11
OBJI;TIVOS ESPECIFICOS
Al témíino del estudio de este módulo, el alumno:
1. Resolverádesigualdadese inecuaciones que contengan una variable.
2. Graficaráen la recta numérica el conjunto solución de una desigualdad.
3. Resolveráecuacionesfraccionarias. !
4. Explicará con sus propias palab~asqué es una ecuación fraccion~a.
ESQUEMA RESUMEN
Pesigualdades ~ Conjunto solución
,1 Gráfica en la recta numérica
Ecuaciones fraccionarias ~ Solución.
I Comprobación
127

Las
inecuaciones
incluyen
desigualdades
11.1 Solución de desigualdades
En el tema anterior nos concentramos en la soluci6n de ecuaciones
para poder resolver los problemas que al simbolizarse contienen
igualdades, pero como vimos antes del planteo de los problemas. resultan
también expresiones qu~ contienen desigualdades o combinación de
igualdades con desigualdades. El proceso para encontrar el conjunto
'sólución o sencillamente la soluci6n para expresiones con desigualdades,
también llamadas inecuaclones, es' muy semejante. al ,que'. hemos
empleado para la ecuaciones, sólo que ahora las Justiftcaclones para las
transformaciones sqn tos postulados de orden y los teorema sobre
desigualdades ya demostrados eQ~Itema de la Unidad V.
En la Unidad V vimos la diferencia en las gráficas del conjunto
soJución, cuándo se trataba de una ecuac.ión, y cuándo se trataba de una
inecuación; en la ecuación, el conjunto soluci6n puede ser vado o tener
varios valores, por lo que su gráfica es ningún punto o varios puntos. En
la in~uaclón ° desigualdad, el coqJunto. solución' generalmente es
infinito y si el conjunto de reemplazamiento o universo son los números
r~ales, la gráfica de los nÚlnel!ossuc~lvos es un segmento de la recta
numérica llamado intervalo que puede ser cerrado o abierto, según que
sus extremos estén o no definidos respectivamente.
Ejemplós: a) 4x + 5 > 2x + 9
Solución: 2x + 5 > 9
2x > 4
x > 2 .
Gráfica
(Agregamos -2x en ambos miembros)
(Agregamos -5) .
(Agregamos el factor.!. qtle es mayor que O). 2 .
-1
t
o
.,..
2
.$ ..
b) 2x + 7 ~ 5x - 8
Solución: -3x + 7 ~ - 8
-3x < -15
-15x> -- -3
.128
(Agregamos - 5x)
(Agregal11os -7)
1
(Agregamos el factor - '3 que por ser
- .!. < O obliga a cambiarel sentido de3 . .
la desigualdad de menor quea mayor que).
x~5
.
o
+ I , I . ,.
2 3 4 5 6
~
-2 ~1
.
,=-~- ---

11.2 Ecuacionesfraccionarias
He~os resuelto ecuaciones que contiene~ fracciones, pero un tipo
muy especial de éstas son las que tienen por lo menos en algún
denominadora la variablecuyoconjuntosoluci6nse está buscando, las
llamamosecuacionesfraccionarla:s. '
En este tipo de ecuacionesalgunas operacionesno dan ecuaclones "
equivalentes.Por ejemplo: .
, Sea la ~cuaci6n fraccionaria ~ = ] - 2x, - 7
x-3 x-3
(x - 3) (x ~ 3) = (x- 3)
1 =(x 3) - (x -3)
1=x-3~2x+7
x=3
estas ecuacionesno son equivalentesa la óriginal, porque el conjunto
soluci6n es {3}para ambas, pe~o no para laecuaci6n original qu~
entonces seria t/J. '
Sustituyendo tenemos """'~ = 1 - 2 (3) - 7 Y vemos que
, (3) - 3 (3) ...3
,con ese valor para x los números quedan indefinidos:
el MCM =x - 3
(1-~
)x - 3
2x -7
x-3
1 -1- ='1 - -
.0' O
En o~as palabras, podemos decir que en las ecu~ones fraccio.
'narias el Universo para la variable ya no IOn todos.1os números reales y
deben excluirse aqueDos valores que J;tagan que 1:111denominador
cualquiera sea O;' en nuestro ejemplo excluiriamos al número 3
escribiendo la ecuaci6n'como sigue:
{x Ix =1= 3}
con lo que 'indicamos que ese valor no puede pertenecer al conjunto
soluci6n; generalmente al plantear la ecuación ,no se excluyen números
de su conjunto de reemplazamiento, considerándose tentativa~ente que
son todos 'los ~úmeros reales y ya obtenido un conjunto soluci6n, se
prueban sus elementos en la ecuaci6n original excluyéndose los que no
satisfacena laecuaci6n.,Ejemplo~ ' ,
Encontrar el conjunto soluci6n para x.'
2x - 11 ~ 1 - -2
x-2 x-2
Universo de
las ecuaciones
, fraccionarias
,129 .

(
2x-11
) (
.7
)
(x - 2) -- = (x - 2) 1 - -x!...2 .' x-2
2x -11 = (x - 2) - (7)
2x-11 =x-9.
x -'11 = -9
x = 2
Comprobación: 2(2) - 11 = 1 - --2
(2) - 2 (2) - 2
-7 7
- = 1- -'
O O
1- - .
Con el elemento 2 la igualdad tiene un valor de verdad indefinido y
sie.ndo21a única solución encontrada, la solución a la ecuación original
será { J.w. .
REACTIVOS. DE AUTOEVALUACION'J
-Resuelva las deslpaldades o Inecuaclones siguientes, gra8q..e en la recta numérica el
conjunto solución y diga cuando se trate de un Intervalo si éste es abierto o cerrado.
1. Sx - 7 < 9x
2. 2(x,+ 3) > 3(x - 1) + 6
3. 7x'- 6 ~ 4.+ 17(x- S)
4. ~ + ! < 2x - !
4 3 3 6'
5. !x - 1. > ~x538
6 1 1
4
l-. - y - - < - - y3 2 ~ 6
7. 7(3x - 1) ~ 4 + 5(2x + 1) "
8. a-3 l-a-->-S 4
9.. Ia + 11 > 3
10. 12a + 11 < 3
130

En los problem~s siguientes rf~suelva las inecuaciones en coDJtID~clóno disyunción.'
Recuerde qu~ a < x x > a y x a + 2 Ó 3a '+ 1 > 8
12. Sx + 7 < 2 Y 3x - 4 > 8
13., - 1 < x + -2 < '6
14. -3' < 3x + 2 < -1
1S. Sx + 7 < 2 Ó 3x - 4 :> 8
Encuentre el collanto solución de los siguientes problemas:
16. x - 5--
2
18 ! '- l - 1. x 2x - I
19. .!..+...!- = ~
x 2x x - .1
20. .!. =8
y
3
Y
4
Y(3Y - f)
- . 22.
23. ~ = ~ + 4x-3 x-3
24. L.::.!- - S = ~2y - 8 3y - 12
NOTA: Algunas expresiones son polinomios de 20. grado. sin embargo. los problemas
están diseftados de 'modo que la solución es posible con los conocimientos hasta aqui
adquiridos. "
131

25. 4)1 .+ 2 = 2y -S + ~---2
2y - l' Y + 2 2y 2 + 3y - 2
26. . 2 3 . + 4 2 =Ok +k-6 3-Sk-2k
27. 3 - x
X 2 +7- 2
2x -4 + X - 1
3 -2x -X2 X2 + 5x + Ó
=
. ,
132 .
--oa ---M: -- :_-- '8'_-'$
INDICACION: Anfes de factorizar
para buscar el MCM déle a las ex-
presiones la forma polinomial.

M6dulo 12
1. Planteará problemas en términos de ecuaciones.
2. Resolverá los problemas planteados.
3. Aplic&rálos conceptos sobre problemas de.planteo a diferentes ~r~as de la ciencia.
ESQUEMA RESUMEN
PROBLEMAS DE PLANTEO:
Una cantidad es igual a la raz6n por la base tomada
C=RXB
~
~~ .6:0.----
133

Pasos para
resolver
problemas
de planteo'
134
12.1 Problemas ~e planteo
Ya hemos visto y practicado'la forma.de plantear un prob.lema real
en lenguaje algebraico y también, aprend'imos ya,a resolver los diferentes
tipos de ecuaciones o inecuaciones que nos pre~enta. el lenguaje
algebraico utilizando en ello los postulados de la igualdad, de campo y de
orden, as! como los teoremas que nos han permitido una cierta.
mecanizaci6n en las operaciones (>manipulaci6n de las expresiones
algebraicas. Completaremos lo anterior concent~ándonos ahora en la
solu~i6nde los problemas propuestos en el lenguaje ordinario usando las
técnicas algebraicas.
Existen en el lenguaje ordinario expresiones que utilizamos con
mucha frecuencia y que 'serefieren a una fracción o.razón, la cual es muy
importan~e que sep~mos identificar. Me refiero a términQs como el de:
'. . kitometros metros .
velocidad que se refiere a la fraccl6n h ., seoundo etc. Vqueora I!' ,
mencIOnamos como kil6metros por hora, metros por 'segundo, etc. dando
la apariencia 'de un producto. Precio unlt8rloz que se refiere a
pe,sos , ce"~av(I)" t etc. y que Íeemos como pesos por un articulo"urtlculo artlcu () .
centavos por un' articulo, etc., o también pesos por-kilo, pesos por litro, etc.
~ara el tratamiento de los problemas en donde intervenga algún tipo
de razón podemos utilizar como una fórmula la siguie.nte proposición:
r;;nac8nt1dad~I~ alarazónparlabase~"'" e== R ')( B
Ejemph,s: ,
a) . Cantida{¡ ,;.' kil6metros=raz6n en kilómetrospor hórax las horas
("I~tancla) (velocidad) (tiempo)
b) Ca~tidad de dinero=raz6n en pesos por unidad x las unidades
(Costo) ,(precio unitario) (uñidades)
.c) Cantidad de trabajo desarrollado=raz6n en trabajo hecho cada dia
x dias trabajados.
En la soluci6n de los problemas de planteo vamos a considerar los
siguientes pasos:, .
l. Interpretar correctamente el significado de la expresi6n hablada o
- escrita, asignandoa las variableso incógnitaslas últimas letras del
alfabeto(x,y,z). '
2. Escribir la expresi6n o expresiones algebraicas procu,rando referir
todas las variables a una sola que pudiera llama.rse x .E:sta restric-
ci6n es temporal mientras aprendamos a resolver expresiones con
más de una variable).,
3. Relacionar la informaci6n ya: simbolizada para establecer una
ecuaci6n o una inecuad6n.

4. Resolverla ecuacióno inecuación. .'
S. Interpretar ta solución alge~raica en términos del lenguaje ordinario'
comprobando que satisface l~s condiciones estipuladas.
~emplos: ,
1. Encuentre las dimensiones de un terreno rectangular con un períme-
tro de S40 metros, si sabemos que el largo m~de30 metr~s más que el
ancho. Este es el ejemplo 2-del tema Planteo de problemas, s610que
ahoradebemossimbolizarusandosolamenteunavariable}. '
Largomide 30 metros más que el ancho
y el perímetro es de 540 metros
perímetr~= 2 vecesel largo + 2 vecesel ancho 2x + 2(x -. 39) =540
largo=x ancho'=x - 30
Ecuación:
Solución:
2x + 2(x - 30) = 540
2x + 2x - 60 = 540
4x =600
x = 150
Interpretación:
.largo =150 'metros' . ancho = 120 metro,s
C,?mprob.ación.: .
.Perímetro'= 2(150) + '2(120)= 300 + 240 = 540 metros
2. Si hi suma de dos números es 21,y un. número es el triple del otro.
. ¿Cuáles' son esos dos números? .
Dos números cuya suma es 21
uno es el triple del otro
Ecuación: 21 - x = 3x
Sdlucjón: 21 = 4x
x = ~- 4
x, 21 -. x
I (21 - x) == 3x
Interpretación: un número = 2: y el atto = (3) 2: = 6:
Comprobación:
21 + 63 = 84 = 21
4 . 4 4
135
l'

I
136
. 3. El digito de las decenas de lin cierto número de dos digitos es 4 uni- -
dades mayor que el digito de las unidades y es una unidad menor
que el doble del digito de las unidadeS. ¿Cllál es ese número?
Dígito de .las decenas
es '4 unidades mayor que el
dígito de las unidades
el doble' del dígito de las unidades
menos 1 es el dígito de las decenas
x
x-4
2(x--- 4)
2(x - 4) - 1 = x
2(x - 4) -1 = x
2x-8-1=x
2x-x=9
x=9
Interpretación: dígito de ¡as decel!as'= '9
dígito de las unidades = 9 - 4 = 5
Número 95
Comprobación: x es una unid~d menor que el doble de 5
2(5) - 1 = 10 - 1 =9
Ecuación:
Solución:
4. ¡,Que bonificaci6n recibe un empleado si cobra $ 1,496.00 después
de deducirle 15%de impuestos?
Bonificación
Impuestos
La bonificación menos
I
x~
,10Ox
.x
.15x
impuestos da 1,496.00
.15x = 1,496.00
15x = 149,600
85x = 149,600
x = 149,600 = 1 760.00
85 '
5. Dos corred~res recorren una pista circular de un kil6metro en 6 y io
minutos respectivamente, Si arrancan al mismo tiempo del mismo
lugar y en la misma dirección ¿en cuántos minu~os pasará el má~ rá-
pido al más lento~ .
e =R x D, en este caso la fórmula será:
distancia=velocidadx tiempo
d = V.t
El más rápido será el que hace menos tiempo y lo llamaremos A ,
su velocidad = di~tancia=' 1 k~ V = 1. km/min.tiempo 6 mln. A 6
El más lento lo Uamaremos B y su velocidad J.B = ..!.. km/min.10

-/
Para que A alcance a B tiene que recorrer un kilómetro más de lo
que lleve B es decir. la diferencia es de 1 km,o una vuelta más a la pista.
.-' '- distancia recorrida por A./ - ..distancia recorrida por B./= 1 km
d = Vt .Y¡t . ~ . ~t. = 1 .
1. t -' ...!..t = 1
6 10
1 1. .
I 30(- t - ~ t) =30. 16 10
5t - 3t =30
2t = 30
t = 15 minutos
MCM = 30
Comprobációp
distancia recorrida por B en 15 minutos ds = 1~ (15) = 1.5 km
distancia recorrida por A en 15 minutos dA = ¡(15) = 1: km'= 2.5km
6. Un obreroA efectúa un trabajo en 3 días y un obrero B tarda para el
mismo trabajo 6 días ¿en cuántos días harán e,setrabajo entre los
.dos? .
. !
Fórmula: C' =R x B
Ahora:
.Cantidadde trabajo desarrollado: tr'ab~johechocada díaX número de
dias.
Si llamamos X al número de días cuando trabajan juntos .yla cantidad de
~rabajo e.~ 1",A que tarda 3 días trabaja a ~azón-de t (R = ~) y B
a razón de 1.
6
La razón R trabajando juntos' será, t + ¡
Solución:
C=RxB
1 = (i + 1.) .x3 6
6 .1 = 6(1. + ~)x3 6 . .
6 =:: 2x + x
x = 2 día,s
.C = R x B
l=(t~¡).x
Ecuación:
Comprobación
A efectúa: t x 2 = ~ del trabajo
137

,~- 8"III:IIt<- --
B efectúa: 1. x 2 = .! = -3
1, de}. trabajo
6 6
~ + t = 1 trabajo 'terminado
7. ¿Cuántos kilos de nuez criolla que cuesta $ 20.00 el kilq, deben méz-
darse con 30 kilos de nuez de castilla que cuesta $ 38.00 el kilo para
obtener una mezcla que se vende a $ 26.00 el kilo?
kilos, de nuez de castilla
kilos de nuez criolla,
kilos de mezcla resultante
30
x
30 + x
Fórmula:' C' =R x' B que ahora nos representa~
valor total = precio unitario x número de unidades'
Valor de nuez de castilla = 38 .30 = 1,140.00
Valor de nuez criolla = 20 .x .= 20x
Valor de la mezcla = 26 . (30 + x)
Ecuación: Valor de nuez de castilla + valor nuez criolla = valor mezcia
1,140 + 20x = 26(30 + x)
I 1,140 - 780 = 26x - 20x
x = 360 = 60 kilos
6
Solución:
, Comprobación:
30 kilos a 38.00 ~lo = 1,140.00
60 kilos a 20.00 kilo = 1,200.00+
90 kilos a 26.00 kilo = 2,340.00
, "PROBLEMAS SOBRE MEDICIONES
1. Si al aumentar 4 metros a cada lado de un cuadrado el área aumenta
64 metros cuadrados ¿cuáles eran las medidas del cuadrado original?
2. El perímetro de un triángulo isósce-Ieses de 84 centímetros y la longi-
tud de uno de los lados iguales es dps tercios de la longitud de la base.
Encuentrela longitud de la base. ,
3. Si la lectura en grados fahrenheit de temperatura equivalen a .¡. de los
~ados centígrados más 32. ¿A qué te'mperatura las mediciones o lec-
turas serán iguales?
138
"- -~~~,-. .~- --- ~ ~ ~

PROBL~AS NUMERICOSABSTRACTOS
4. El numeradorde cierta fraccióntiene 5 unidadesmás que el denomina-
dor. ¿Cuál será esa fracciónsi al restar 9 unidadesal numeradory su-
marle 1 al denominadorla fracciónresulta sert7
5. La suma de dos números es 37. Si el mayor se divideentre el menor
el cociente es trés y el residuo 5. Encuentreesos números.
6. La mita~fde cierto número es 10 unidade! mayor que ¡ del mismo.
¿Cuál es ese número 7
,PROBLEMAS CON DIGITOS
7. La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 10. Si los dígit()s
se escriben en orden inverso el nuevo número es una unidad menor que
él doble' del nÚl')ero original. Encuentre el. número original.
. 8. En .un número' de dos dígitos, el de las decenas excede en 3 unidades,
al de las unidades. y l~ sUma de los dos es t del número que forman.
¿Qué número forman 7
"
PROBLEMAS COMERCIALES
9. El Sr. Pérez invirtió S4,000.00; una parte al 5% y el resto al 3cv.de in-
terés simple.Al afto recibióun total de S168.00'comopago de intereses.
¿Cuánto invirtió al 5evoy cuánto al 3%7
10. Si a un comerciante le cuesta un mueble SI,200.00 y es su política ofre-
. cer un 20% de descuento sobre el precio de lista. ¿Cuál debe ser el
precio de lista de modo que la utilidad aún con el descuento sea de 25cv.?
11. La recaudacióntotal de ,una peleade box fue de S9,778.00.Los boletos' .
para caballero se vendieron a S15.00 y los de damas ti S8.50. ¿Cuán-
tos bol_etos de caballero y cuántos de dama se vendieron si en total
se vendieron 755 boletos?
PROBLEMASSOBREMOVIMIENTO
12. Dos automóvilesA y B separados 280 km promeaian.velocidadesde
30 y 40 km/hr. respectivamente.Si a las 3:00 p.m. empezarona acer.
carse ¿a qué hora y lugar se encontrarán?
13. Un automóvilviajandoal Norte sale al mismo tiempo que un aviónque
Viajaal Sur. Si la velocidad del avión es 2 t veces la 'del automóvil y des.
pués de 1 hora 15 minutos los sepa:ran 210 km, ¿cuáles son las veloci-
dades üe cada uno? ~
14. Una lancha de carreras que alcanza 60 millas por hora. persigue a otra
lancha que corre a 32 millas por hora. Si a los 45 minutos la lancha más
,'
139

140
rápida sobrepasaa la más lenta ¿cuántasmillasla adelanta 15 minutos
despuésde haberla alcanzado?
PROBLEMASSOBRE MEZCLAS "
15. Un tanque contiene 20 litros de una mezcla de alcohol yagua con 40%
de alcohol por volumen. ¿Cuántos litros de mezcla deben S1stituirse.por
agua para que la mezclaresultante tenga 25% de alcohol? ,
16. Dos cantidades de minerales contieaen '40% y 25% de manganeso (Mn)
respectivamente. ¿Cuántas toneladas de cada mineral deben mezclarse para
'obtener 100 ton de mezcla con ~5% de manganeso? Lo~ porcentajes
son por peso. ,
PROBLEMAS SOBRE TRABAJO
17. Dos' obreros A y B trabajando juntos terminan una tarea en 6 días. A
trabaja dos veces' más rápido que B. ¿Cuántos días tardará A en hacer'
el mismo trabajo'~ ¿Cuántos le tomaría a B?
Una persona cobra durante su turno $18.00 por cada hora. que trabaja
y $3.00 por cada hora que pierde en trasladarse.¿Cuántashoras perdió
en trasladarse si después de 40 de labores cobró $540.00.
En la apertura de una carretera un tI:actor pequefto niveló un kilómetro
en 6 días. Usando un tractor más/ grande se redujo el tiempo por el
mi'smo trabajo a 3 días. ¿Cuánto tiempo les' tomará el misrpo trabajo si
se usan los dos tractores simultáneamente?.
Se usan tres tuberías pará llenar un aljibe con agua.Con la tubería más'
grande sola se tardán 20 mino si se J.1sala mediana sola se lleva 30 mi.
nutos y si se usa la más pequeña tarda 60 minutos., ¿En cuántos mi.
nutos se llena usando las tres tuberías? .
l8..
19.
20.
.
-~--- ~~

Paneles de verlflcae.6n
1, Consideramos que x es ése ciert.o número
5 veces cierto número será: 5x
y dos unid~des más: 5x + 2
2. La parte mayor x
Las dos son 100
La parte menor será: 100 - x
3. Las dos partes que founan 100
una puede ser x, la otra. será,: 100 - x
de modo que ambasx. + (100.- x) = 100
4. Si el primer entero es y
.el segundo será: y + 1
y el tercero será: y + 2
5. Uno. de .los números es x, el otro será x + 10
NOTA: Recuerde que las soluciones o respuestas no son únicas, su res.
puesta puede ser diferente y ser válida. Compruebe.
6. 2n + 1, n E E porque' siendo n entero 2n siempre es par luego al
sumarle 1 será impal
7. La diferenci~'entre números imparesconsecutivoses 2.
, Si 2x + 1 es el primer .impar,,entonceslos tres serán
2x + 1, 2x + 3, 2x + 5
8.
9.
10.
11.
12.
13.
1~.
Si 'el número es x la respuesta será 5x - 60
Si el.número es n la respuesta será 7S - 3n.
211es el primero, 2"' + 1 el segundoentonces 2n + 2 será el tercero.
8n + 6. (211),+(2n + 1) + (211+ 2) + (211+ 3).
1 peso = 100 centavos,entonces x pesos = 100 x centavos.
Si el entero es x. x2 .
Si el entero es n, el inmediat.omayor es n + 1, por 10tanto 3(n + 1)
es lá respuesta. .
El cuadrado de un numero: x215.
141

El doble de' un número; 2x
respuesta: x2 - 2X
'16. Si un entero'es y el otro y + 1
y2 - {y+ 1)2 Ó {y+ 02 -y2
-2y~1 2y+l
17. Un artículo cuesta 1: centavos lueg~ n artículos cuestan 1~" centavos.
'18. .Un' artículo vale 1: centavos luego n artículos vaien ,152"centavos pero
1 centa~o =I~O,pesosy x centavos=f~ pesos 1~~ centavo's serán
15" 1 ' - 15"
-'2 . 100 - 200 pesos.
-.
19. El numeradores x, el doble del cuadrado del numerador 2x2
Eldenominador4 unidadesmayor que 2x2 es decir 2x2 + 4
La fracciónes: x
2x2 + 4
20. El perímetro es la suma de los cuatro lados, si un lado es n cms., el .
otro 'será (3n - 3) cms. y el perímetro 2;' + 2(3n ..,. 3) =,2n +611 -6
= 8n -6 centímetros. '
21. Perímetro =2n + 2(2n + '4) =6n + 8 metrQs
Area =n(2n, + 4)
22. x litros de mezclaal 40% (portentaj~ por volumen)
Cantidadde alcC?holen el tanqueA =.4x '
23. Alcoholen tanque A =.4x
. Alcoholen tanque B =.2y
Totalde alcohol=; .4x + .2y
24. Si un número es x el otro será 3x y la suma:-
, x + 3x =21
, 25. Un entero es n el otro es n + 1 y el producto: -
n(n + 1) = 72 I
26. Un número n, ,su recíproco.! y la suma:"
n + 1. = 34" 15

27., Sea x la edad presente de Me~o y 2x la edad actual de Juan de manera
que h~ce 10 afios: .
La edad de Juan =. 4 veces la de Memo
2x - 10 = 4(x - 10)
28. Edad .de~ hijo: x
Edad del padre: x + 24
8 afios de.spués:
(x + 24) + 8 = 2(x +8)
29. Un lado del' cuadrado es x' el ár~a es x2
Se aumenta el lado a: x + 4 la nueva área = (x + 4)2
El áre'a aumenta 64, es decir (x +. 4)2 - x2 .= 64 Y este i11timoplantea-
, miento no~ sirve para encontrar la solución.
30. Ancho' =x,' x - 1. Area = (x - 1) (3x + 3) = 72
Largo = 3x, 3x.+ 3
De la expresión (x - 1) (3x + 3) == 7~ podemosdespejarx para encon-
trar las dimensiones originales. '
31. , Si ,el triángulo es isósceles dos de' sus lados son iguales, por tanto si Ul)
lado de los iguales es x y. el lado desigual es la base, será.:'84 - 2x Y
entonces tendremos x =:=.~(84 - 2x) de donde podremos obtener el va.
lor de x. 'Y de ahí la medida de la base.
MODULO 10 - VALlDACION
1. 2(x + 3) =3(x -~1)
.2x+6=3x-3
...2x - '3x = - 3 - 6
-x = -9
x = 9
"3y- 2(y - 1) = 4(y + 2)
3y - 2y + '2 = '4y + 8
y - 4y =.8 - 2
- 3y ~ 6
.
Y
- 6 - 2- --3
2y + 3 == 7y - 10
2y - 7y = 10 - 3
-:-5y = -13
Y =. .!!s
Cqmprobación: ¡
2( 1:) + 3 = 7es3) ~ 10
26 + 3- = 9'1 - fos S
26 + ..!..! = ~ - so.s s s s
~=.!.I
s s
Comprobación:
2(9 + 3)',= 3(9 - 1)
2 . 12 = 3 .8
24 = 24
2.' Comprobación:
3(-.2)- 2[(-2)- 1] =4[(-2} + 21]
- 6 - 2(-3) = 4 . O
-6 + 6 = O
O = O
3.
143

-
4. 7x + ../j = 2
7x = 2 - .J3
2 - J3
7
x =
Comprobación:
7(2 - 7./j) + ./j =2 .
(2 - Y"J)+ ~ =2
2 =2
9 - 2[a - 3(a - 4) - 5] = 1- 5(a - 2)
9 - 2[a - 3a + 12 - 5] = 1 - 5a + 10
. 9 - 2(-lo + 7) == -5a +' 11
9 + 40 - 14 =-5a + 11
40, -:..5 = - 5a + 11
40 + 5a = 11 + 5
9a = 16
a = ~
9
5.
Comprobación:
[
1'6 16
) ] (
16
)9 - 2 - - 3(- - 4 - 5 ::; 1 - 5 -.- 299' 9
16 16 80
9 - 2 (- - - + 12- 5) = 1 - - + 10
9 3' 9
9 - 2 ( -32 + 7) = - 80 + 119 9
9 + 64 - 14 = 11 - 80
9 9
64 - 5 = 11 - 80
9 9
64 - 4S = 99 - 80'
9 9 9 9
~=~9 9
6. 3+.lxl=4
Jxl.=4-3
Ix 1= 1
x=1 ó x=-1
{-:-1,1}
7. 5-lx+31=6
-lx+31=6-5
-lx+31=1
.'1::+31=-1
Por definiciónde valor
8. I14x - 97 1= - 8
144
Comprobación:
x =. 1
3+111=4
3+1=4
. ~ = -1
3+1-11=4
3 + 1 = 4
{
X, si x > O
Ixl =-x'. si x < ~.
. O,si x = O
absoluto ningún número cumple la proposiciót:l.
Igual que en el problema an.terior no existe solución~

Comprobación:
13 - (-3) I = 6
13+31=6
16,1= 6
13-xl=6
3 - x = 6 ó 3 -' x = - 6,
x = -3 ó x = 9
{ ), 9}
12-xl=4
2 - x = 4 ó 2 - x = -4
x = -2 ó x = 6
{-2, 6}
11. .J(x - 4)2:;::-1
10. ..j~2 - X)2.= 4
12. A = 11r2
r2 = ~11
r= ~;
13. °F =. ~ .0(: + 32
°F- 32 = ! o(:. s
! (oF- 32) =! (! OC) 9 9 S
! (oF - 32) = o(:9
o(: = !' (oF- 32)9
14. P = 2a + 2b'
2b =P - 2a
P - 2ab' =---:---
2
15. A =
.24 = h(b~ + b2)
24
- = b 1 + b2
h
13 - 91 = 6'
1-'61 = 6
Un valor equivalente al valor absoluto dijimos
que era como sigue:
Ixl=~
No.existe solución de acuerdo con la definición del proble-
ma anterior ya que no existen valores absolu~osnegativos.
Esta es la f6rmllla para .el área de un. círculo de radio r.
Fórmula para convertir' temperaturas. Grados fabr-
enheit igual a t de los. grados centígrados + 32
Grados' Centígrados igual. a ! de la dife-, . 9
rencia grados fahrenheit y 32.
Fórmula para el perímetro de un rectángulo.
ó b = P
2" - a
Fórmula para el área de un trapecio donde h es
la altura y b 1, b2 . las bases.
145

y16.
R --
-1
Fórmula para electricidad
. . Voltaje'Resistencia= eorriente
Fórmula para obtener dis~ancia "d"
I
17. d = vot + "2at2
I .
-at2= d - Vo t.2
at2 =2(d-.vot) .
a = 1.. (d - Vot),2 ,
conocidos: 'Vo - velocidadin.icial
t - tiempo
a - aceleración'
f 18. 8x+.!!=!x-73 s
15(8x + .!!) = 15(! x - 7)3 '5
120x+ 55 = 3x - lOS
120x- 3x = -lOS ...:SS.
1l7x = -160
. 160
x.= -- 117
{- 160}117
MCM = 15
19 2,)' - ~ =' 2. 3 6
1,)",)' ,
6(- - -) = 123 6
4y - Y = 12
3,Y == 12
y=4
{4}
MCM=6
20. 7 - 1-(6x - 3) =~ (2x + 4)
7 - 2x + 1 =5x + 10
-2x - 5x = 10 - 8
-7x =2
x=-1.. 7
MCM = 6, pero los sumandosson
múltiplos del factor afuera del pa-
réntesis, luego el desarrollo nos da-
rá enteros.
{- 1.}7 I
21. 141 - 41 + 4 = 6 - a -2
3 2 2
MCM=6
146
-~ ~ ~ ~ -- --.-

4a - 3(iz+ 4) = 36 - 3(a - 2)
4a - 3a - 12 = 36 - 3a + 6
4a =54
,a = 54 =17
4 2
22. 3 - fx =x -, t
105 - 7x = 35x - 5
42x =110
MCM = 35
x = 55
21
23. .!~ =~
15 3
9a + 1 = 10
'9a =9
a = 1
{l}
MCM = 15
24. !:..:..!.-!..:1. -.!:..!.1. =O.. 2 3 2
3(r -' 1) - '2(r- 2) - 3(r + 3) = O
, 3r-.3 - 2r + 4 - 3r - 9 = O
-2r - 8 = O
2r=-8
r.= .-4
{-4}
25. t(3y - 4) - t(y - 6) = ¡(y - 6)-
..! (3y - 4) - .! (y - 6) - .! (y - 6) =O2 3 6
t (3)1 - 4),-, ¡ (y - 6) = O
3(3y -4) - 5 (y - 6) =O
9v - 12 - 5y + 30 =.O
MCM=6
NOTA: Podemos reducir tér-
minos semejantes:
MCM=6
147

4y = -18
y=_.!' 2
{- !}2
MODULO ,,- VALlDACION
1. sx - 7 < 9x
Sx - 9x < 7
- 4x < 7
x > - !4
t
-2
7
4
4IJ ....
-1
.-x
o
148
2. 2(x + 3) > 3(x - 1) + 6
2x+6> 3x-3+fí
4-x > -3 .. I I I a -x
o 1 2 3
X < 3
3. 7x - 6 4 + 17(x - S)
7x - 6 4 + 17x - 85 15
75 < IOx 2-
... I I I r I ,. . I . x
75 2 3 4 S 6 7 8 9 10x> -- 10
X >
- 2
4.
x 2 2x 1
-+-<---
4 3 3 6
3x + 8 < 8x - 2 ... I l' a I .x
- Sx < - 10 o 1 2 3
X > 2
s. !x-.!.>.ix MCM = 23 .3 .5 == 120s - 3 8
48x - 40 > 75x .. I .J .... I I ax
-40 > 27 -2 3 -1 O
, X < - 40
2
27
6. 1.y - 1. < 4 - .!.y MCM = 6
3 2 - 6 I I I .el - ..y3y 27 6 ;1 8 9
Y 9

. .
7. 7(3x' - 1) ~ 4 + 5(2x+'1)
21x - 7 ~ 4 + 10x + S
11x ~ 16 .
x > .!!
- 11
.....- 1 J 111 1.
16
11
.
o
10. 1 2a + 11 < 3 .
2a + 1 < 3 Y 2a + 1 > - 3
..
a < 1 a > -2 -3
-2 < a < 1
Sí es intervalo r es abierto
.. . . I l..a
-2 -1 O 1 2
1
a'> "2
"
12. 5x + 7 < 2 Y 3x - 4 > 8
SX.<-s 3x > 12
x < -1 Y x > 4
-1 > x.> 4. .
~
1-3. -1 < x + 2 < 6
-3 < x < 4
No existe un valor que cumpla las dos
desigualdades como lo pide la conjunción
-3 o
.. a , .
Sí es intervalo y es abierto
.x
14. ~3 < 3x'+ 2 < -1
- S < 3x < -.3
- ! < x < -13 '
..
5'
3
1.., ~
- 2 -1 o
S í es intervalo y es abierto
.x
149
8.
a- 3 1-.a
MCM =20->-5 4 17/9
, . ..a4(a - 3) > 5(l - a) ..... , , , Q
4a - 12 > S - Sa -1 o 1 2
9a > 17
. 17
a> "9
9. .la+ll>3
. I I I 1 I . . a
a + 1 3 '6 a + 1 < .;.. 3
,.
-4 -3 -2 -1 o 1 2
a > 2 a <-4
11. 5a>a+2 ó 30+1>8 1 7
4a> '2 . 3a> 7 2 1"
.. I <1 I ; . ..a
IJ.;.! 6 a > :!.. o I ...lo
2 3

15. 5x + 7 < 2 ó 3x - 4 > 8 . Las desigualdadesson del problema 12
5x < -5 3x > 12 cambiandoa disyunción.Ahora si exis.
.x, < -1 ó x > 4 te solución:' .
x-.!.:::¡,=-_x-s8 4 2
8x - 1 :.;::2x - '4(x- 5)
8x - 1 = 2x - 4x + 20
IOx= 21
x=.!!tO
16. .
.. ~ lB
-1
G
4
x
o
MCM = 8 "
17; el; 4 -.7 = 3 - el: 2
4(a + 4) - 140 =60 - 5(a + 2)
4a + 16 - 140 = 60 - 5a - 10
9a =174
a =.!!i9
{ 1.~4}
. 3. 1 118. - - - =-. x 2x 2
6 - 1J='x Y x::/::O
. x=5 y x::/::O
{5} () {x Ix::/:: O}
{5}
'
19. .!. + ..!..=--Lx 2x x - 1
, 2(x - 1) + (x - 1) ~ 2x
2x-2 + x- 1 =2x
x =3
{3}
150
, - l1li"
MCM =20
MCM =2x
Esta c;oDjubclónes equivalente a la ecua-
ción original ,
La soluciónes la intersecciónde los con-
juntos solucióncomo ya vimos en lógica,
pero esto se va mecanizandoy en el fu-
turo 10haremosmentalmente.
MCM =(x -1)2x
y x ::/::O" x ::/::.1
y x ::/::O, x ::/::1 Ya sea que .la intersección
se hagamentalmente o que
se pruebe la solución 3
en la ecuaciónoriginalpa-
ra comprobar si es tam.
bién soluciónde ella..

f ' 3
20. - = 8 - -)1 )1
1 = 8y ~ 3
8y = 4
'y = .!.2
{.!.}2
6 í ' 4
21. - - -, = -
3)1 - 1 )1
,y =1=O
6y - (3y - 1) = 4, Y =1=O, Y =1=1
~y = 3
y'= 1
{l}
22. 2x + 1 - ~ = ~
X2 - 4 x + 2 x - 2
2x + 1 1 - 1
(x + 2) (x - 2) - x + 2 - x - 2
2x + 1 - (x - 2) = x + 2
x+3=x+2
O' = -1
x = <P
{}
23. ~ = ~ + 4x-3 x-3
3x' = 9 + 4(x - 3)
'3x = 9' + 4x ~,12 ,
-x =-3
x=3 y x =1=3
{ }
24. ..l :...!.. , ' S = -2
2)1- 8 3y - 12
)1-2 -S=~
2()I - 4) 3(y ,- 4)
3(y- 2) - 5[6{y- 4)] = 2 .S,
3y - 6 - 30y + 120 = 10
-27y :::: -104
y = 10427
MCM = y
MCM = y(3y - 1)
MCM = (x + 2) (x - 2)
Esta proposicióne~falsa.
Una inconsistencia, un absurdo de-
bido a que la expresión original
no es ecuación, es decir no es vá-
lida para ningún' número real.
MCM = (x'- 3)
.'
M~lvf= 6(y - 4)
Y =1=4 ,
151

" 25. 4y +:2 = 2y - S + -~2y - 1 Y + 2 2y2 + 3y - 2
4y + 2 - 2y ,- S " 3'
2y - 1 - --y:f2 + (2Y - 1) (y + 2)
(4y + 2) (y + 2) = (2y - 5) (2y - 1) + 3, y =F"- 2, i
MCM = (2y - 1) (y + 2)
~y2 + lOy + 4 = 4y:l- 12y + 5 +.3
22y = 4
2
Y =-'11
26. 2 3. + 4:1 ~ O Al segundo.denominador le damos la .
k + k - 6 3 - Sk - 2k ,forma polinomial en k y cambiamos
~ + -4 - O el signo al ~umerador para que el
k2 + k - 6 2k:l + 'Sk - 3 - primer término quede positivo, faci-
3: -4 litándose la factorización.
(k + 3) (k - 2) + (2k - l)(k + 3)= O
3(2k - 1) + [-4(k - 2)] = O
,6k-:-3-4k+8=O
2k = -5
s ." 1
k = - - k...J--3 - 22' -r '2'
"{- ~}2
'27. ¡3-x = .2x-4 + ~X2 +x -2 3 - 2x-- X2 x2 + Sx + 6
-(x - 3) - 2(x - 2) x - 1- +-
x2 + x - 2 ~(x:l:+2x - 3) >:2+ Sx + 6
-(x - 3) = -2(x-.2) x - 1 MCM= ( + 3) ( + 2) ( - 1)(x + 2) (x - 1) (x -+3) (x - 1) + (x + 3) (x +2) x X x
- (x - 3)(x + 3) = - 2(x - 2) (x + 2) + (x - 1) (x - 1)
-(x:l - 9)= -2(x2 -,4) + (x2 - 2x +'1)
-x2 + 9 = - 2x2 + 8 + x2 - 2x + 1
9 =::-2x+9
2x = O
x = O , x =1=-3, -2,1 {O}
152
~ :::: --- - - --=5jjI

MODULO 12-VAUDACIO".
1. Lado = x Area = x2
Nuevo lado..= x +.4 Nueva área ==(x + 4)2
Nueva área - área = 64
(:t + 4)2 - x2= 64
x2 + 8x + 16 - x2 = 64
8x + 16 = 64
x+2=8
. SOlución x =:= 6 mts.
Cadalado igual mide x cms.
La base medirá: 84 - 2x cms.
x = 1. (84 - 2x)3
3x = 168 - 4x
7x .= ,168
x = 24
Base= 84 - 2(24)
= 36 centímetrosr
3. °F = .!. OC+ 32s
°F = o(: en lectura x esdecir
XOF= x et('
x = .!.x +: 32s
5x = 9x + 160
x = 160
. -4
-400F' = -400c
x = -400
4. Denominador= x (x + 5) - 9 = ..!.
x + 1 2 MCM. = 2(x + 1)
Fracción ::; ~.
x
Fracción = ~
9
2(x - 4) = x + 1, .x ::;:. -1
x=9
s.
El número menor = x, entQncesel mayor es.37 -x
Dividendo .
t + Residuo
= COClene .
Divisor Divisor
~=3+.!
'x x
37 -. x = 3x + 5, x::f= O
x= 8 .
MCM=x
Los números.son 8 y 29
. 153

6. Seaxel número buscado, f será la mitad que es igual a: ¡ + 10
~ = ~ + 1026"
3x=x+60
x =" 30
MCM=6
7. Sea ~ un dígito, el otro será 10 - x
Si el primero es el dígito de las decenas el número que forman es:
1<lx'.+ (10 - x) I
Al revés 10(10 - x) + x
, , El número formado al revés es igual al doble del original menos 1
10(10 - x) + x =2(lOx+ 10-x) -'1 .
100 -9x = 18x + 19
x=.!!.=327
Él número originales 10(3) + (lO - 3) =30"+ 7 =37
8. x + (x ~ 3) =t [lOx + (x -3)]
número que .forman = 10x + (x -3) 2x - 3 =t (11x -:3)
Solución 63 x = 6
decena~ =x
unidades=x - 3
. 9. Consideremosque la cantidad.invertida al SOloes x
4000 - x =cantidad invertida al 3%
interés de' la inversión al 5% + interés de la inversión al 3% = 168
'.05x + .03(4000-x) ,= 168
Para manejar números más fáciles o con los que te'nemosmás expe-
riencia que son los enteros,multipliquemosla ecuaciónpor 100
Sx + 3(4000-x) = 16800 '
. x = 2,400
Solución:al 5% - $2,400.00
al 3010- $1,600.00 ; ,
10. Precio de lista Xi utilidad 25% del precio de venta
Precio de venta x - .20x= .8Ox
Utilidad = precio de venta - costo
.25(.80x) ,= .80x.- 1,200 ~
.25(.8Ox) - .8Ox =' - 1,200
154

.8Ox- (.25)(.8Ox) =' 1,200
.8Ox(1 - .25) = 1,200
. .8Ox(.75) = 1,200
.6x = 1,200
x = 1,200
.6 = 2,000.00
Precio de lista $2,000.00
11. Sea x el número de boletos de caballero
boletos de dama 755 -x
La recaudación total =recaudación x caballeros
9,778.00 = ~15x+ 8.5(755 - x)
9,778.00 = 15x + 6,417.5 - 8.5x
6.Sx =3,360.5
x = 3,360.5= 517
6.5
+ recaudaciónx damas
Boletos de caballero 517
Boletos de dama 238
12. Llamemos' t al tiempo transcurrido hasta' encontrarse
Distancia=velocidadx tiempo .
Distanciarecorridapor A + Distanciarecorridapor B = 280
30t + 40t = 280
70t =. 280 .
t = 4 horas
Se encuentran a las 7:00 p.m. .
A una distancia de la posición inicial de A de 1.20 km ó si se mide de
la posición de B serán 160 km
13. velocidad del auto = x .
velociaad del élvión=2.5x
Distancia =velocidad x tiempo
Distanciaque recorre el auto +
como 15 mino = ¡ hora
t =, 1.25 horas
distancia que recorre el avión = 210 k~.
1.25x + 1.25(2.5x) = 210
. .
Muchas veces es más rápido oper~r con fracciones que .con decimales
probaremosahora .
. 155
-0-.--~.~...,¡.--~,~------
A- 120km-I 160km .B
I . . I
enculentro
-1I . 280 km

!x + ! (!x) =2104 4 2
!x+25x=21048'
lOx + 25x :;: 1,680
x =48
velocidad del automóvil =48 km/hr.
velocidad del avión = 120 km/br.
. 14. La informaciónde 45 minutos para que la lancha rápida alcance a la
lenta no es necesariaya que 80S preguntanla diferenciaque se esta.
blece en 15 minutos. .
Distancia =velocidad x tiempo
Distancia de adelanto .= Distancia recorrida por lancha. rápida -
Distancia recorrida por lancha lenta.
Tiempo := 1S .minutos = ¡ hora
Distancia de adelanto =.¡ (60)
=15 - 8
=7 millas
- .¡ (32)
.
1s. Sea x el volumenpor sustituir de.400/0
Volumenque queda 20 -x
El volumenI de alcohol en los 20 litros al 25%es el mismo que el' de
la soluciónque quedaal 40% .
.25(20) = .40 (20 - x)
x == 7.5 litros
16. Toneladas con 40% de Mn =x Contenido =. Porcentaje x' Tonelaje
. Toneladascon 25%de Mn=100 -x .
Contenido de Mn ,al 40% + Contenido de Mn al 25% =Contenido to..
tal de Mn al 35% '
.4Ox + . .25(100 - x) = .35(100)
. x =67 tonelaoasal 40% 100-x ::¡:: 33 ton. al 25"
'17. Para hacer una tarea A requiere~ días mientrasB necesita2x días.
Tarea=rapidezdiariax númerode días
La rapidez de A =.!. de tarea/díax
156
,.., ~-~---~----

La rapidez de-'B =_21 de tarea/día, x
En 6 días.
Tarea de A +' Tarea de B =Tarea Total o terminada
1. .6' + -L .6 0= 1x 2x
6(1. .+ .J..) = 1x 2x
X = 9 días
A necesita '9 .días
B necesita 18 días
18. Horas perdidas en traslado =x
Horas trabajada~. = 40 - x
Cantidad gan~da en traslado +
3x +
3x +
Cantidad = Razón x base
Cantidad. aanada trabajando
18(40-x) = 540
720 -- 18x = 540
- 1:5x= -180
. x = 12 horas
= 540.00
19. Rapidez d~ trabajo del tractor pequeño = ¡ km/día
Rapidezde trabajo del tractor grande =t km/día
Tiempo necesario usando ambos tractores =x días
Cantidad de trabajo del tractor pequeño + Cantidad de trabajo' del
tractor grande = 1 km.
1
¡.x + 1
"3 x = 1
1.x=12 .
x=-2 días
20. Tiempo requeridopor las tres tuberías =t minutos
En un. minuto una llena 2~ de aljibe (esta es la razón) otra 3~ y la
más pequeña 6~
~---_..-....
157

158 .
Cantidad ==razón x base
..!. .t + J.. . t + ..!. .' t = 1. aljibe lleno
20 . 30 60
1 1 1t'--+-+- =1
20 30 60
t. = 10 minutos
Jr'-- - --- - .

"
UNIDADVIII .
,FUNCIONES, RELACIONES
.y GRAF_CAS

Introducci6n
Los sistemas matemáticos com~ el que forman los números reales sirven de ,modelo a sis-
temas de la vida real, sean éstos los complicados sistemas sociales o los menos complicados
sistemas fisicos de nuestro ambiente, de ahi la gran importancia que le damos al aprendizaje y
comprensión de postulados, definiciones y teoremas, acerca de la estructura de los números
reales.
En todos los sistemas se establecen relaciones entre conjuntos de individuos, objetos,
números o ideas, según que el sistema sea social, flSico o matemático, por lo tanto hemos de
continuar nuestro estudio de los números reales con los conceptos acerca de las reIaeIo... entre
los subconjuntos de n{¡meros reales, de manera que su comprensión facilite el desarrollo de
c"nceptos y habilidades que nos conduzcan a un ,mejor conocimiento de nuestra sociedad asi
como del uso y abuso de la tecnologia y de las ciencias en general.
La Revoluci6n Industrial se empequeftece ante la promesa de grandes y rápidQS cambios en
. nuestro desarrol1o con la aplicaci6n del procesamiento de datos y la computaci6n electrónica;
aprovechamos los t~mas de ]a presente unidad para dar al estudiante una idea de los métodos y
técnicas de estas áreas del conocimiento que pudieran despertar inquIetudes que los inclinen al
estudio en esas direcciones de gran actualidad y futuro.
161

ObJetivo. gene,ale.
Al terminar de estudiar esta unida4, el alumno:
1. Diferenciará entre relaciones yfunciones de varios pares de conjuntos.
2. Dada la regla de correspondencia, determinará los elementos de una función o relación.'
3. Utilizará el sistema de coordenadas para gt'aficar.pares ordenados.
4. Dada la regla de correspondencia poorá graficarla en un sistema de coordenadas rec.,
tangulares. " I
S..Dada una serie de instrucciones podrá dibujar una carta de flujo.
6. Dada una carta de flujo podrá interp~tarla. .
162

Dlagr.ma temático estructura'
Radicales
Valor absoluto
Dominio y recorrido
de relaciones
Notaci6n de funciones
y relaciones
Sistema
coordenado lineal
Coordenadas
rectangulares
Gráfica de funciones
y relaciones
163

'G108ar10
Funci6n. Es la correspondencia que se establece entre los elementos dedos conjuntos y asocia a
cada elemento del primer conjunto (x) con un elemento (mico del segundo conjunto
[yof(x)]. . . .
ó Funci6n. Una función es un conjunto 'de pares ordenados en el que dos pares distintos no
coinciden en el primer elemento.. , ' .
Dominio. Es el conjunto formado con los primeros elementos .t'y se le conoce también ,co~o
variable independiente.
Recorrido o contradominio. Es el formado por los elementos del segundo conjunto Y y se le co-
noce también como variable dependiente. '
Reglade ¡;:ofl'espondencia.Es la relación que se establece entre el dominio (x) y el contrado-
minió (y J. ':
Pares ordenadós. Es la relación uno a uno que se establece entre los elementos del dominio y
los elementos del contradominió.
Conjunto de,reemplazamiento. Son los números reales que al sustituirlo en la variable..r ha<.~en
verdadera I.afunción. . I .
Relación. Es una correspondencia entre los elementos ~e dos conjuntos que aso~ia a cada ele-
mento del primer conjunto X cor. un elemento cualquiera del. s~gundo conjunto y"
Sistema de coordenadas. Este sistema se fotma usando dos re'ctas numéricas perpendicuia-
res entre si. yque se intersectan en sus origenes.
Modelo geo~étrico. Es la representación gráfica de un conjunto de números reales.
Origen. Los ejes x yy (abscisa y ordenada). Es el punto dond~ se intersectan las rectas del sis-
temac<;>ordenadoycoincidenconelelemento O. ,
Abscisa. Es la 'coordenada de un númerQ real sobre' el eje de las x (horizontaD.
Ordenada. Es' la coordenada de un número sobre el eje y (vertical).
Proyección perpendicular. Es.el proceso de trazar una linea desde la gráfica a uno de los ejes.
Cuadrante. Es el sisfema coordenado. La intersección de dos rectas divide al plano en cuatro
partes siendocada una de ellaslosc~adrantes. J
, Diagrama de flujo. Es una represe~tación esquemáticl¡l de un conjunto de operaciones. indi-
'Jcando'su secuencia en forma lógica con el objeto de facilitar'su visualización.
Algoritmo. Es una lista de instrucciones o secuencia de <;>peracionesque debe seguirse para re-
solverun problema,efectuarun cálculooun trabajo. ' .
Información de entrada. Son los datos que introducimos en un algoritmo para encontrar una
soluci~ndel problema. . '
Simulación de modelos. Es un proceso por medio del cual se efect'úan pruebas dentro del la-
boratoria de fenómenos reales, considerando ciertas variables.
164

Módulo 13 .
Al término del estudio de este módulo, el alumno:
]. Definirá el concepto de función.
2.Explicaráen quéconsisteun par ordenado. .
3. Explicara cuál es el dominio y contradominio de una función.
4.DefInirá el concepto de relación.
S. Mencionará las diferencias y semejanzas entre función y relJlci6n.
6. De una lista dada de prob'~mas seftalará las expresionesque sean funcionesy las que
Sean relaciones. .
7. De una lista de ecuaciones seftalará cuál es el dominio y cuál el contradominio.
ESQUEMA RESUMEN
FUNCION: '
-Simbología
-Dominio
-Regla de correspondencia
¡. x ~ y;' x =>Y. jtx) =y. (x. [(x»)
-Contradominio o recorrido
'IGUALDAD DE PARES ORDENADOS
(x, y) = (z, w) ~ x = z y y = w
XVal',iahlcindependiente.
y Variable dependiente.
RELACIONES
165

FuncI6n
mlt,m6tlcl
Ejemplos
de funciones
Corresponden-
cia entre dos
conjuntos
.166
13.1 Funciones.Notlcl6n
El cQnceptode funciÓn es de gran importancia en las ciencias en
general y aun en nuestra vida cotidiana. Aunqie con frecuencia se mal
interpreta o se confunde con el verbo funcionar, es necesario distinguir la
diferencia, pues cuando hablamos de aI80 que funciona o no funciona
nos referimos al verbo funcionar" es decir, hablamos del actuar .0 del
desempefto que tiene ese aJao sea una persona, un~ máquina o un ler
cualquiera. Función en matemática tiene un significado muy especial y
no es exclusivo de la t:n~temáticn como ya dijimos, pues lo encontramos
en todas las ciencias.
Antes de .dar una definición precisa y formal del conc~pto de función
intentaré mediante ejemplos prácticos dar la idea que nos ayude a
comprender esa definici6n.
En nuestra vida diari~ el concepto está muy ligado al concepto de
variación, y asi decimos por ejemplo, que en muchos objetol el peso varia
con el volumen, si aumenta el volumen ~umenta el peso, li disminuye el
volumen disminuye el peso. eKpresamos enton~es la nlu16ft que
~G A
existe entre el peso y el volumen. estableciendo que el peso elt' en
función del volumeny que a un valor del peso le correipond'eun valor
únicodevolumen. ..
En las flguras geométricas,'por ejemplo. un cuadrado de lado l.
tiene un áreaA que varfa al cambiar la medida del lado l. si aumenta l
aumenta A. si di~minuyeI disminuyeA; en otras palabras A elt' en
función de 1;existe una relación entre el valor de A y el valo~ de I y a UD.
valorde Isólolecorrespondeun valordeA.
En los dos ejemplos anteriores encdntramos una
relación de correlpondencta entre los elementos de dOl
colfuntol' en el primer ejemplo son. el conjunto de valores de peso y el de
valores de volumen, en el segundo ejemplo son. el conjunto de valores de
área y el conjunto de valores dellado¡ para poder identificar cuáles Ion
los elementos que están en correspondencia puesto que son elementol
únICOI,necesitamos conocer cómo 11 nlaclonan elOl COlfuntol' en el
primer ejemplo necesitamos saber cómo varia el peso según el material y
I

forma de] objeto y en e] segundo ejemplo necesitamos saber cómo varia el
área según ]a figura de que se trate, Existe pues una regla para cada.
problema en particular qué nos da ese cómo.
Cuando hablamos de función intervienen siempre tres cosas, dos
conjuntos y la regla que establece la corréspondencla entre los elementos
de cada con,lunto. de manera que a un elémento d,e un conjunto se ]e
pueda identificar e] elemen~ único del otro conjunto que ]e corresponde.
Existen muchas actividades h,umanas que pueden ser descritas
m~diante esas tres cosas mencionadas arriba, ~os con.Jun~s cualquiera y
una regla de correspondencia.
Reglasde
correspondencia
Ejemplos:
En medicina: .
A puede ser' un conjunto de síntom~s
B un conjunto de' epfermedades
f la regla llamada diagnóstico que
relaciona 1m síntoma con una
enfermedad,
f
I f
En física:
A p,uede ser un conjuntp de valores de tiempo.. .
B un conjunto de valores de/ posición (Ti empo
f la regla llamada fórmul.. que nos relaciona
para cada valor de tiempo con una posición.
Asi podriamos relacionar también. un conjunto de valores de distancia
coró el conjunto de valores de pasajes. y podriamos seguir con más
ejemplos o también podriamos generalizar cualquier actividad por medio
de] álgebra hablando en términos abstractos de los conjuntos A yB, y de
]a regla de correspondencia f.sin especificar qué elementos forman esos
conjúntos, sencillamente diriamos "si x es un elemento de A entonces en
B existe un .e]emento y, asociado a X por medio de ]a regla de
correspondencia f'; en diagramas de Venn esquematizariamos como
sigue:
A
B
Una práctica generalizada es la de representar a uI)a función por la
letra! o t~mbién por g. h ó r,'EI hecho de que tasocia cada elemento de
Representación
simbólica de
una función
167
..!1: --.:8' -'

A con un elemento único de B se representa simb6licamente en varias
formas,a saber. .
.1' x ~ y, x ~ y, f(x) =y, (x, [(x))
De las cuatro formas de simbolizar esta relaci6~ la tercera y la cuarta
son las más conluneS y se leen: f{x) =y "¡ de x es igual ay ': El parén-
tesis no Indica multiplicaci6n, señala o destaca el elemento al que se le.. '
busca su correspondiente usando la regla de correspondencia y que está
representado precisamente por t(x) ó por y. -
.(XI Ax) ó (x, y) ",y., f(x)" Ó "x, y'.'. Forman un par de números o
elementos al que se le llama par ordenado.
El orden es de gran importancia ya que se estableci6 de manera de que
el primer elemento sea siempre al que se le busca su correspondiente por
medio de .la regla de ~orrespondencia y el IqUIIdo elemento es
precisamente el que le corresponde y se representa por tTx)o por y.
La relación de correspondencia se establece entonces entre los
elementos representados por x y los representados por y, de modo que:
Relación de
l
A cada elementp X le corresponde un valor único y, de acu~rdo con
correspondencia la regla de correspondenciaf.
168
Pero a un valor de y le pueden corresponder uno o más de un valor de
x; formando pares ordenados podemos simbolizar cual<juier relaci6n de
correspondencia, por ejemplo; podemos convenir que. en un par de
nombres el primero sea un alumno. de la Preparatoria Abierta y el
segundo su Tutor en la misma, entonces (Pedro, José) (Juan, Tomás)
(Javier, José)... forman un conjunto de pares ordenados y sabemos sin
Jugar a dudas que Pedro es un alumno de la Preparatoria Abierta y José
e~su tutor, que Javier también es alumnoy Josées su tutor y que de todos
Jos pares el primero es un alumno y el segundo es su tutor; pero, y aqui
tenemos algo muy importante, ese conjunto de pares ordenados sólo será
. función si para cada alumno sólo' hay un tutor, ~unque U11tutor le
corresponda a varjo~alumnos, .la correspondencia así es univoca. ¿~uál
seria la regla que relaciona estos nombres? ¿C6mo se sabe que a Juan le
corresponde como tutor Tomás?
Normas para designar
-tutores

I
Esto lo decidi6 un organizador 'del sistema educativo mencionado y
posiblemente no haya seguido ~na regla especifica sino varios factores
como:.Jugar de residenda, lugar d~ trabajo, etc. Esto nos e~sefIa que una
función es un concepto, una idea, y no como con frecuencia se confunde,
una regla o una ec~aci6n; no confundir entonces a la función, que está
formada por dos conJuntos y un. regla de correspondencia, con la misma
regla de correspondencia qu'e muchas veces se representa por una
ecuaci6n. .
/ .
. Definición:
1. Una función es una correspondencia entte.loselementos de -dos
conjuntos, que asocia a cada elemento del primer conjunto (x.) con un
elemento único del segundo conj1,Into (y Ó [(x))
Al primer conjunto se le llama Dominio de la fún~ló8 y al segundo
Recorrido o,Contradomlnlo de la función.
. Dominio y
contradominio
Regla de
--:--.-
correspondencia
2. Una función es un. conjunto de pares ordenados en el que dos parei
distintos no coinciden en el primer elemento. Al conjunto formado con
los primeros elementos se le llama el Dominio y al que forman loa
segundos elementos el Recorrido o Contradominlo. :
En la segunda definici6n hablamos de P.es ordenados distintos y
. nunca antes los hablamos comparado, por lo que definiremos la igualdad
. de pares ordenados co~o sigue: .'
Dos pares ordenados (x ,y)( z, w) son iguales si y s610si x = z y y -= w.
(x,y) = (z, w) ~ x = z y y = w
Ejemplos:
(2,3) = (2,3) (4,2) =1=(2;4) (a,b) = (2,5) ~ a = 2 Y b:.: 5.
De los ejemplos anteriores vemos que no basta que los pares tengan los
mismos números, además es necesario que tengan el mls~o or~en.
De acuerdo con las definiciones dadas para el concepto de función
comprcndcremos que la regla de correspondencia por'sí sola no define a
.una función y que es importante conocer los conjuntos Dominio y
La regla de
correspondencia
no define
una función
169

Recorrido y'comprobar que con la .regla dada a un elemento del dominio
le corresponde un único elemento del recorrido.
&templos:
, a)SupongamosqueX es el conjuntode habitantes de una:ciudad y Y es
"elconjunto de números naturales {t, 2,3,...)y f una regla que dice, ca-
da elemento de X lo asociamos con su ,edad en aftos cumplidos~ que
será un elemento de Y. La función está definida puesto que tenemos
dos conjuntos y la regla de correspondencia que asocia a cada ele-
mento de X con un elemento único de Y, porque a cada persona le
corresponde una edad y no más de una, ya que una persona no puede
tener dos edades.
X = {Juan Pérez, José Talavera, Javier García',.oo}
"".~' .
y = {l, 2, 3, 4, 5,.6, 7,oo.} .
Como no s~ria.práctico escribir todos los elementos de cada conj~nto
usamosla notaciónpara construirconjuntos: .
{(x, y) I caaa persona (x) ,se asocia coh su edad (y))
Que se, lee.: El conjunto de pares ordenados (x, y) tales' que a cada
persona se -asociacon su edad (y).
b) Sean los conjuntos X = {lO, 20, 3D}Y Y =={lS, 25, 35} Y
la regla de correspondencia h: x <:y.
Escribimosun conjuntode pares ordenados (x, y) si x E X, Y E Y
/ Ydeben cumplir con h. . .
H = {(x, y) Ix < y} =
= {(lO..1.5),(lO, 2S)~(lO, 35),(20,25), (20,35), (30, 3S)}
Diga si el conjuntoH de par~s ordenados represénta o no una funci6n.
La respúesta correcta se expl,ica observando la correspondencia que
se esta~lece en seguida. .
X = {1~ 2p~ 30}
. t~ll
y = {lS, 25, 3S}
Dominio
Recorrido
AltO, elemento del dominio vemos que le corresponden 3 elementos
(15'; 25, 35) del recorrido, por lo timto, H no es una funCi6n.
Ya vimos como 'usando la notaci6n de construir conjuntos podemos
escribir una funci6n, veamos ahora un ejemplo ~ás frecuente en
matemática.
170

c) Consideremos primero la proposición abierta, 2x + y = 3, ya qúe
convenimos no escribirlo, recuerde que el conjunto de reemplaza-
miento son los números reales, es decir que las variablesx,y repre-
sentan números reales. Si le asignamos a x el valor 1, para que la
proposición sea verdaderay debe valer 1, es decir a x = 1, le co-
rrespondey = 1, el par ordenado será: (1, 1).
Ahora le asignamosa x elvalor 3 y el valor dey debe ser:
2(3) + y =3 = => y = 3 - 2(3)
y=-3
el par ordenado será: (3, -3)
A los pares ordenados que así se obtienen les llamamossohtciones
de la ecuación.
Diga silos siguientespares son o no solucionesdelaecuación dada.
(2,-1) (~,-7) (-2,7) (7,-2)
Los tres primeros pares ordenados son solución de la ecuación por-
que la satisfacen, o hacen verdadera ala proposición abierta, en cambio
el último, aunque tiene los mismos elementos del tercerpar,nolostiene .
en el mismo orden'y como el primer elemento es un valor de x y el se-
gundo un valor de y, entonces, x = 7 Yy'= -2Yla proposición quedará:
.2(7) + (-2) =3 falsa
Todas las soluciones de la ecuación con dos variables forman un
conjunto infinito, por lo que esta relación se escribe ~sando la nota-
ción para construir conjuntos, c.Qmoel conjunto de pares que cumplen
. o satisfacenla ecuación,y podemos representadopor una letra;
H ={(x, y) I 1M + y = 3}. Se lee H es el conjunto de pares orde-
nados x, y que 'cumplen la regIa h: 2x +y =3.
Si en la relación H'encontramos' que para cada valor de x sólo,le
corresponde un valor de y ~ntonces decimos que H es una función y
que la ecuación es la reglade correspondencia. Podemos observarque
es más fácil determinar el valpr de y correspondiente al valor de x
que escogimos,si primeroresolvemosla ecuación(2x + y = 3) para'
y y escribimos
'y =3 - 'be,asíparax =-3
Y = 3 .:-2(-3) = 9 (-3, 9)
por 10 anterior la función H se puede "defmir" por la regla de corres-
podenciah, lo que simbolizamosh(x) = 3 - 2.~ '
Yasí para.x = -3escribimos h(.3) = 3- 2(-3)
que se le.e"h en -3 es igual a 9". h(-3) = 9
condos
variables
Conjunto
de pares
ordenados
infinito
111

Variable
independiente
y variable
dependiente
t72
y los pU,J'CSordcnadosque vimosantes (2, -n, (5, -7)1 (-2, 7) sig-
niticán usando la notaci6n para co.nstruirconjuntosque: ,
'11(2) = -1 ' h(5) = -7 h(-2) ~ 7
(Ol1siclCI'(;'I1WS Hhe)J'H 1II'u"nci6n F = t(2,3) (3,5) (4,7)J
de acuerdo con la definici6n de función el
Dominio será {2, 3,4}
el Recorrido !ie,rá {3, 5, 7}
es decir [(2) = 3. f(3) = 5 Y fl4) = 7 en otraspalabra.sal 2'le
corresponde el 3. al 3 el S y al 4 el 7.
Si la funci6n' es un conjunto d~lpares ordenad<?sinfinito entonces la
escribimos usando la notaci6n antes dada, ejemplo: .
g= {(x, y) I Y == ] + x2, x E R} I
observe que ya nos dan los valores de x es decir, e1'dominio de la funci6n
que esR. i
Para x':.O, y= 1 Ycomo x2 ~ Olos 'valores de y siempre serán positivos y
.entonces el Recorrido serán los 'números reales positivos, y ~ 1,
Dominiode g = {x IxE R'}
Recorrido de g = {y Iy ~' 1}
Los valores de 'X representan elementos' del dominio y los de ~
elementos del recorrido. Otra forma de nombrarlos son: x variable
Independiente, y variable dependiente porque su valor depende del valor
escogidopara X .
En álgebra es frecuente el uso de 'valores literales para las variables,
por lo qu~ es importante haber comprendido las detlnlclones y notación
de las funciones, para no tener dificultaqes con este tipo de problemas.
Ejemplo: .
d) Sea la regla de correspondencia r: r(x) = x2 + 2x, ,
r(2) = 22+ 2(2)= 8
r(a) = a2 + 2a,
. r(a + 1) = (a + 1)2 + 2(a + 1)
= a2.+ 2a + 1 + 2a + 2
==~2 + 4a + 3,
(2,,8)
(a, a2 + 2a)
'(á.+ r. a2 + 4a + 3)
El,dominio, el recorrido y la regla de correspondencia definen una,
función; antes dijimos la funci6n definida por 2x+y=3' ¿nos estamos
contradiciendo? no es así realmente. lo que sucede, es que por razones
prácticas el dominio y el recorrido no se explican J' ,sólo se da la regla de
cOI'resl>OIul('l1ria.con"iiccrando que dc antcmano se aclar6 que trabaja-
mos cn el' campo de los nÚmeros reales. qc n~ancra que quien "lec" la
~. '

reglu de correspond~nciapuede de aht.'determIDarel dominio y el reco.
rrldo, Ulll1quccslo 110sicmpre es fácil. En estos casos ~edice que ambos.
dominio y recorrido están in'pltcitos en la regla de cprresponde~cia
~emptol
e) 2x + y = 3 Ó y = 3 2x
,El v,ulO!'de x debe ser un n{¡mero real al cual le corresponderá otro
n{¡meroreal. Si observamos la expresión delladó derecho de la iguaJdad.
observamos que la instrucción o proposición que representa nos dice que
,al número 3 s'e le reste el producto 2x, como estas operaciones son
binarias en R, siempre obtendremos otro el~mento de R si x 'R, es
decir yER, luego el dominio está formado por todo R y el r~orrldo'
también seráR.
f)
Cualquier n{¡meroreal para xnos da otro real para y, lue~o el
dominioesR. perocomox2~ 0, el recorridoserán n{¡merospositivoso
cero.
3 - 2x
g) y = (x - 1) (x - 2)
En el numerador o en el.denominador cualquier n{¡mero real para x
nos da otro n{¡mero r~al, pero como la división entre Ono está definida
'los valores 1 y 2 para x, y en general los va'loresde x que hagan Oa un
denominador no encuentran n{¡mero real que ,les corresponda y
entonces no son elementos del dominio, ejemplos: '
- 3 - 2(i) -y--- . -
(1 - 1) (i.' - 2)
v~;;: 3 -: 2(2)
. (2 -1) (2 - 2)
3 - 2 .1
O .(1 - 2) = O = indefinido
3-4 -1
(2 - 1) . o. =,0 ='indefinido
=
por lo. anterior, sabremos que en el dominio no enco~tl'aremos esos
números; x =1=1, x =1= 2
1. -, 3 -2(3) =- ~
y =[(3) = (3.- 1) (3 -2) 2
2: x
173

RelaciónV
. funciónno Ion
conceptol
equivalente.
174
13.2 Relacione.
Ya vimos que una flmol6.. e. una relacl6a de oo"",oadlllola muy
particular, pues exige que a un elemento del dominio le cO":,lponda 1610
un elemento del recorrido.
Cuando no se cumple esta exigencia, no tenemol función, y entonces
e~ una ,relación .cualquiera, como veremol en el ejemplo li8uiente:
. h) h(x) = ~ . .
Pór 10visto en la Unidad VI, sabemol que al8unol valorel de %no
pertenecerAn al dominio, porque no encontrarAn n6mero real que les
correlponda, ejemplQI:
h(3)= J2=3 =J=1
h(4)~ J2:4 = .J:2
no exilte
no existe
Bntonces para qu.e el radical reprelente I un n6mero real debe ser
mayoroigualqueO; I .
2 -x ~ O .x So 2 Y Dominio de h 11 {x Ix So.2}
el rec9rrido lerAR ya que le conlideran todol 101valorea pOllbles '1en
.01101le toman tanto 101,olltl,ol como 101 al.ol, el decir. que para
un valor de x en el dominio de l. relación obtendremol dOI ,alorel
para" .
h(l) =. y2- (1) = VI'
= :J:: 1
h(1) == 1 6 h(l) = -1
Dennlel6nl
1. Una relación el una correlpondencia entre lo. elementO. di dos
conjuntol que .socia a cada elemento del primer conjunto (~. oonun
elemento cualquiera delle,undo Qonjunto ()')
2. U~a relaciÓnes cualquier conjunto de pare. orde~ado.,
Compare lal det1nicionelanteriorel con l.. de funol6n'1ver' qUI
cualquierlunel6n.. una nlul6n. pero110cullquler nIaoI6a . faaaI6a.
ElconjuntoHdel ejemploanterior e. una relacl6n,
Relacl6n1fuel6n no IOn,UII coIIH' al'aI.....
....

REACTIVOS DE AUTOEVAL.UACIOr,l
.~
En los problemas del 1 al 12 diga cuálesconjuntos'describenuna fun-
. ción y cuálesuna relacióncualquiera.Explique.
1. {(1, 2) (3,4) (2,3)}
2. {(1,3) (4,6) (7,9) (lO, 12)}
3. {(1, 2) (2,4) (t. 3)}
4. {(4,4) (3,4) (2,4) (1, 4)}
'5. {(t,4) (3,4) {4,1) (4,3)}
6. {(1, 2) (1, 3) (2,4)}
7. {(x.y) Iy = 2x + 4}
8.. {(x.y) IY = Ix - 11, x E R}
9. {(x~y) Ix + y2= I.}
10. {(x, f(x») IJ(x) = 'x2" X E R}
11. {(x, y) Ix2,+ y2 = 1, =.l:S.X.:S. 1}
12. {(x,g(x) Ig(x) = ~, x ~ 'O}
En los problemasdel 13 al 20 indique el -dominioy el recorridode las
funcionesdadas usando la notaciónde conjurttos.
13. g(x) == v4 -x2 .
14. /(x) =x
15. y = -1-. x - 2
16. Y = -.-!-. x2- 1-
17. Y = JX2+1
. t
18. ~x) ~ '(x - 1)(x + 2)
x + '2
19. h(x) = x2.- 4x + 4
x2 - 6x - 7
20.. Y = x2 + 6x 7
.En los problemas 21 y 22 además del dominio y el. recorrido escriba
la reglli de correspondencia como una ecuación. Use la notación de funciones
en la regla de correspondencia.
21. H= {(-4,"2) (~2, 4) (0,6) (2,,8)}
22. F = {(-2, .4)(...:1,3) (O; 2) (1, 1) (2, O) (3, -I)}
23. Considerando el conjunto G = {(x,g(x» Ig(x) =.3x2- x + 1}
.,ncuentre. .
a) g(-1)
b) g(3)
c) g(0)
d) g(o), o ~R
e) g(o,+ 1), o E R
f) g(.!.) + g(1)
,,2 . ..
¡ - g) g(o + 1) -,g(o), o E R
h) g(o + 1) - g(o) , o .E R
(o + 1) - (a) .
175

24. Considere las siguientes dos funciones "definidas" por las ecuaciones.
I{x) = x + 1 g(x) = ~X - 1
""
a) ¿Cuál es el dominio de f y cuál es el de g?
¿Podemossimplificarla fracciónen 81 .
hága19y conteste la siguientepregunta: .
b) ¿Cuál es la diferencia entre las funciones f y g?
..
.176

Modulo 14"
Al término del' estudio de Cfstemódulo, el alumno:
1. Explicará en qué consiste el sis~emacoordenado cartesiano.
2. Mencionar~ cuáles son los ejes delsistc;ma coordenado cartesiano.
3. Mencionará la orientación positiva o negativa que tienen los ejes del sistema coordenado
cartesiano. "
"4. De una li~ta de pares ordenados diagramará los puntos resultantes (proyección per-
pendicular en un sistema coordenado cartesiano.
S. De una gráfica con varios puntos en un sistema coordenado cartesiano escribirá los pares
ordenados correspondientes a cada punto. .
ESQUEMA RESUMEN
-Sistema coordenado lineal, medio para obtener un modelo geométricll
-Sistema coordenado en 2 dimensiones o "
.
cartesiano
J
" "
abscisa
proyección perpendicular
ordenada
. 177

. Sistema
Coordenado
Lineal
Sistema
Coordenado
Cartesiano
Cuadrantes
178
14.1 Sistema de coordenadas en dos dimensiones'
En la Unidad V introdujimos el sistema coordenado lIDeaIque nos
permitió obtener un modelo geom~co del conjunto de los númer,?s
. reales; definimos la gráfica de un número real como UD punto, y la
gráfica de un cOQjuntode números como UDIntervalo, de modo que la
. solución de uná ecuación o una meeuaclón. con una ¡variable pudo
graficarse como ~n punto o como UDIntervalo; sin embargo. -aun cuando
la utilidad de este sistema coordenado lineal es muy limitada. ya que lo
usamos sólo cuando las expresiones tienen una sola variable, nos sirve
como punto de partida par~ obtener modelos para los conceptos
.definidos eI1los temas anteriores como las funciones y las relaciones en
general, modelos que nos proporcionan~ quizá, la forma. más clara, útil y
práctica de ilustrar tales relaciones.
Una de lél~definiciones de función (y de relación en general),-lios
habla. de un conJunto de pares ordenados, es decir, dos conjuntos de
números y una reláción de correspondencia o dependem;ia entre ellos; en,
consecuencia,el concepto del sistema cdordenado lineal Sepuede ap1i~ar
. con cada conjunto y la asociación se logra fortnartdo lo que.se llama un
sistema coordenado rectangular o slltema coordenado cartee o en
honor del matemático fráncés que 10 inventó. René Descartes (1637).
Este sistemase formausandodos netas numéricas,.,...dI~
entre si, a las que se denomina. eJes coordenados y que le Intenectall .,
sus origene~. punto al que se n a slmpl"mente el 'origen clel.slltema
que generalmJ'nte se represeli~ por la letra '0.
r
Generalmente uno de los ejes se dibuja
horizontal y en él, los nÚlDe- pOsltl.os
quedan a 1a derecha y los neaatl.os a la
Izquierda del origen, el otro eje o recta
numérica qúeda entonces .ertical y los
nÚlb..- positl.os están hacia arriba y
los negad... hácla ab&lodel oi'laen.
Las unidades de longitud usa4as en las rectas numériéas ,que en
adelante I1amaremosejes ooordenados, por lo general sonigualesen .
.ambos ejes perp en algunos casos puede. tomarse una panel eJe.
horiZontal y otra diferente para el eje vertical.
El plano en el que se dibujan los ejes coordenados queda. dividido en
cuatro partes que se denominaR cuadrantes, y que se.numeran como se
. hluestra en la grática anterior empezando por el s~perior derecho en
sentido contrario a las manecillas del reloj. . '
lJ ¡ 3
f 2
t-3 -2 -1
-1 o 1 2 3
IU -2 . IV
-3

Con este sistema de coordenadas rectangulares se puede establecer
la correspondencia uno a uno o biunívoca entre cada punto del plano
y un par ordenado de números reale.s(x,y).
.Lo acostumbrado es considerar el eje horizontal como el corres-
pondiente al dominio, por 10 cual se le conoce como eje de las x, o
t~bién, eje de' las abscisas, nombre que también se da a los elemen-
tos del dominio; al eje vertical én el cual se representan los ~lementos
del recorrido le llamamos' eje de las y, o también eje de las ordenadas,
entonces" en un par ordenado, los elementos se ~aman' a~scisa y
ordenada respectivamente, y estos nombres son p:lás usados que pri-
mero y segundo elemento.
Definición:
Si el par ordenado (x,y) se asocia con un punto M'podemos decir
"M es la gráfica de (x,y)" o también "(x,y) son las coordenadas
de M", 10que s~bolizamosM(x,y) que sele~M enx,Y.
Considerando el punto M en un sistema de coordenadas rectan-
gulares sus coordenadas se loc;tlizan trazando una recta perpendi-
cular al eje horizontal para localizar la abscisa x, a este punto se
le llama proyección perpendicular de M al eje x. Después encontra-
mos la proyección perpendicular de M al eje de las y, con lo que
localizamos~aordenada de M. "
El punto en que se cortan las perpen-
diculareslevantadas en las coordenadas es""
la gráfica del par ordenado.
Ejemplos:
a) !" A(2, 3); A es la"gráfica de (2, 3)
(2, 3) son las coordenadas de A,
abscisa2, en eje de lasx.
ordenada 3, en eje de 1as y
b) B.(3,2)
'
}
-.., A(Z.3I
t +'",.(all.
I ¡ i
Eje de las x
y eje de las y
J
.lY~~--,M
i
180; X
Observe que dos pares ordenados diferentes Üenyn como gráfica
dos puntos diferentes, y si los pares ordenados son iguales la ,grá-
'fica es unmism~ punto. .
j !
179

Vertical
~
y
A'. -2 5
B - ~ 15
2 4
11
e --112
180
c) Grafiqueel conjunto siguiente:
{(-4, -1) (-2, O) (-1. 2) (O, 3) (2, 1)}
y .,
llamemos a.la gráfica de
. cada par A, B~e, D,E
reSpectivamente.
C{-I,2),.- --+2
-4 -2
o
-3
,
~- - B(-2,O)
A(-4,-I)- - - - - - - -t -1
D(O,3)
1-- - -- - .,E(2, 1)
I
2
-2
Una forma práctica de presentar los conjuntos de pares ordenados
. antes de graficarlos es 10que se llama 'una tabla de pan8 ordeaado. que
puede ser horizontal o vertical, según convenga. El ejemplo que sigue DOS
da idea de estaforma. .
FJemplo: Graficar el conjunto de ~ares ordenados
{(-2. S )(- ~ ,1: )( - ~, 1 )(O, ~)( 1, O)( ~ ,- ~ )}
Tabla de Parés Ordenados
Horizontal Gráfica
y
A '
1
5
:B 15
~r-- :.;¡¡
I I
I I
I I
: :'C 1
! !r- D 1 3/2
-2..3/rlh ---~--.
:.* F
x.
. I
I
D o -2
E ] o
3 3
F
24
A B e D E F
-=2
3 1
1
3
x
2 -2" o '2
,y 5
15
. 1 1 o
3
4 ' 2" 4

1.

Diagrame los puntos 'siguientes~
a) abscisa2, ordenadá -1
b) abscisa ¡ , ordenada t
e) (2, - 2)
d) (O,3)
e) (- ¡, t)
f) (~3,0)
g) (O,Ó)
h) (-3, -5)
2. ¿Cuál es 1&abscisade los puntos situadosen el eje de 1as)1? ¿Cuáles
)a 'ordenadade los puntos en el' eje de las x?
3. Indique ,el cuadrante en que se encuentra cada uno de los, siguientes
puntos. No,el necesariodiagramar. '
P(~ 1,6) Q(4, -2) R(~, 2) S(-3, -~)
4. Graficar los siguientes cOnjuntosescribiendo la tabla de pares ordenados.
a) {(-2, -.1) (-1, O), (0,1) (1,2)}
{
3 '. 12
}b) (2,2)' (-1, -l) (1.5,3) (O,- 3)
, e), {(-1.6, ,-1.5) (-0,.8, -0.3) (-0.2, O) (O,0.5) (0.2, 1.2)}
S. Escribapara, cada incisodelproblema 4 anterior la palabra faDctóno lapalabra
nI8cIÓD seg6n corresponda.' '
181

M6d~lo 18
OBJETIVOSESPECIFICOS
1. Explicará el1qué consiste la gráfica de ~na relación. ,
: 2: Dada una lista de relaciones, el alumno determinará los valores para el dominio y el
contradominio. .
3. Determinará de la gráfica obtenida si los p:untos representan una función o sólo una
relaci.ón. . .
4. Dada una ecuación elaborará una gráfica.
S. Dada una función la graficará y determinará la tendencia.
ESQUEMAAESI,JMEN
GRAFICA DE FUNCIONES Y RELACIONES
-Gráfica de la ecuación
l. muestra
Tendencia de una línea
182

-y = lx -2, el dominio dado es E, por lo
que el número de pares ordenados es infinito de
modo que escogeremos para graficar s610 una
parte, digamos los entetos en el intervaio
--3 ~ x ~ 2; puede graficár la parte que le
interese por alguna razón .en particular,en este
caso vamos a buscar los elementos del recorrido
entre los limites que hemos escogido; si.
f(x) = 3x - 2 podemos' escribir la tabla
cálculando f(-3) f{-2) etc. x y
,
(-3, -11)
(-2, -8)
(- 1,- 5)
(O. I~2)
(1, 1)
2 - -4
16.1 Gr6ficade funciones y relaciones
Hemos visto ya cOmo los modelos matemaítlcos ayudan en la
soluclon de problemas .reales de una manera práctica y económica, sin
embar20, el planteamiento simbólico es algunas vecescomplicado y no se
aprecian todos sus aspectos, es en estos casos en lbs que un modelo
geométrico o grá8ca del problema, o de la expresión matemática nos da
una visión más amplia, de gran utilidad.
Como antes mencionamos, muchas de las actividades humanas o de
los problemas que los humanos '110Splanteamos se describen como una
faIIelón o como .una relación. en general; precisamente en el tema
anterior vetamos'cómo puede graficarse un c~njunto de pares ordenados
y.de ahi la importancia del sistema de coordenadas rectaDgufares, ya que
una relación es un conjunto de pares ordenados.
La grá8ca de . una relación es el collunto de puntos cuyas,
eoordeaadas tx,y') cumplea o satisfacen la regIá de co1'rellpondencla, y así
como se acostumbra definir una función o relación por la regla de
córrespondencia cuando ésta es una ecuación también se acostumbra
decirla aráflcadela ecuación. .
l3e~pjosl
a) Graficar la siguiente fun.ci6n {(x, y) I3x - y =2, x, y E E}
Vamos a determinar los elementos, o sea lds pares ordenados que
formanelconjunto,para locual'necesitamoseldominiode laJunciÓ4 y
ya vimos la conveniencia de resQlverla ecuación para y.
)1
-. -. -1 o
1 l' -1
I I I -2
I :' -3
~': -4
.I 1 1. -5I 1
1 -6
I I
i I -7
I -8
I
i -9
I -10
. ~- - - -11
f{ - 3) = 3(-3) - 2 = - 9 - 2 = - 11;
f{-2) = 3(-2) - 2 = -6 - 2 = - 8;
f( - 1) = 3(- 1) - 2 = - 3 - 2 = - 5;
f{Q) = 3(0)-- 2 = O- 2 = -2;
f( 1) = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1;
(...(-3, -11) (-2, -8) (-1, -5) (O,-2) (1, I)...}
Modelo
matemático
. y modelo
. geométrico
Gráfica
de una relación
183

b)
Como se mencion6, los pares ordenados se encuentran escogiendo
arbitrariamente elementos del domin~o, que sustituidos en la regla de
correspondencia, nos dan los elementos del recorrido.
Graficar {(x, y) Ix - y = 2, x, y E R, -1 ~ x ~ 3}
En e~tecaso p..ocedemos como ,en el ejemploanterior,y = x '"- 2,
dominio = {x E R -1 ~ x So3} , J(-l) = -1 --2 =-3
recorrido= {y E R I- 3 S. Y ~ 1} J(3) = 3 - 3 = 1
El dominio está limitado entre- 1 Y 3,pero como se trata de
, , elementos de.R esto constituye 10 que definimos como un intervalo'
c~rrado, de cualquier modo, sabemos que en ese intervalo existen' un
número infinito de valores para X y habrá un número infinito de pares
ordenados. Escogeremos s610algunos valores enteros por ser fáciles de
calcular; ejemplo:
- 1, O, 1, 2, 3 '
1(-1) = -3:
/(0) = O -2
1(1) = 1 -2
ft2) = 2 -2
1(3) = 1;
= -2;
= -1;
== O;
Muestra
de pares
184
Co~o en el e]emplo anterior ahora también consideramos s610unos
cuantos valoresde X una especiede muestra, y la experiencia en el
trazado de gráficasnosdirá cuántas "muestras" sonsuficiente.sy c1áles
son las más fáciles para calcular el valor que les corresponda, pues por la
propiedad de densidad entre dos cualesquiera siempre habrá un número
infinito, por lo que siendo imposible graficar todos de ,una manera
exacta, s610 graficaremos los del muestreo como se muestra en la primera
figura,y después se aproximan los puntos intermedios uniendo los que se
. grafic~ron, como se muestra en la segunda figura.
Ecuación: x ~ y = 2
A B e D E
x -1 o 1 2 3
Y -3 -2 -1 'O 1
Y-r y
2
-lo- - - - - u.. E
II D;?j--2
-1 t i i
x I I
i'
3
: "-1- e
-2 -1 1 /2 3
aX
I
I
! B -2
I
I
A ---3 A

c) Grafique la relación siguiente:
{(x, y) Iyl =x}
Al despejar y ten<1remos y = ..¡;
Dominio = {x Ix ~ O}
Recorrido = {y IY E R}
Este es un problema semejante al ejemplo anterior, pues el conjunto
ae reemplazamiento (que no se menciona, tal como convenimos), és el de
los números reales, de manera que procederemos igual que en el anterior
con un muestreo, uniendo después los puntos con una liDea.
. - Después con la regla de correspondencia. buscamos los elementos
del recorrido que correspondan, s610que en este ejemplo en que se trata
de una relaci6n, a cada valor del.dominio le corresponden 2 del recorrido
(excepto en x =O)Ytendremos 11 puntos.
y
A
~:i~ ~.~.~-~.~-~---~~.~--~ ~~~H-. u-- ~ ---FB
e
D
E.
F
G
H
./
J
K
Observando una gráfica podemos. darnos cuenta. si corresponde a
una fuDclóno a una relaclon; cuando se trata de! primer caso unas liDeas
verticales imaginarias s61~cortan la gráfica en un punto, indicándonos
que para un valor de x s610le corresponde uno dey, como en el ejemplo '.
b), en cambio en el ejemplo c), podemos damos cuenta que cualquIer
vertical en un valor x del dominio, corta cJosveces la gráfica indicando
que al valor del dominio le corr~sponden dos del recorrido.
Además de lo anterior, una gráfica nos proporciona mucha
información acerca de la función o relación de que se trata, como en el
ejemplo anterior c).en que vemos que nunca-hay valores negativos de x y
el valor minimo es el O.
d) Graflquemos el con~unto cuya regla de correspoQdencia es
r y - y ==1
I -
I
I
,I
I
I
I
I
I
I
j4
LagréflC8
muestra si se
trata de una
función o de
una relación
185
x y
O O
1 1
4 2
1 .1
4 2
1 1
1 -1
2 1.4.1...
2 -1.41
3 1.73...
3 -1.73.
4 2
4 -2

Al unir los puntos para aproximar el resto de los 'pares .ordenados
vemos que la linea no puede cruzar las verticaleS en 1 y -1. ¿Entonces
-c6mo unir B conC 6 E conF?
E~los casos en que el dominio de una función ,o una relación tiene
vacíos, sean ~lo puntos como en este ejemplo, o 'lDtervalot mayores, no
podemos unir 10~puntos que estén en lados contrarios y nos damos
cuenta que nuestro muestreo fue insuficiente, debemos. considerar más
valores de x en la'5proximidades de esos vados del dominio para analizar
la tendencia que seguirán los otros puntos. Consideraremos oti.'Qsdos.
pumos antes y otros dos después.
Podemos ahora unir con una linea
suav~, es decir, sin quiebres, los puntos A.,
B, H., 1 de un 'lado y los J, K, e, D, E por el
ptro lado~ .
Con 10graficado podemos aproximar el
resto de los valores de acuerdo a las.
tendencias a cada lado de las lineas, ltneas
que no pertenecen al dominio, y hacer 10
mismo para las gráficas a los lados de la
¡inea en x=1. De la r~gla de correspondencia notamos que ningún valor
real ue x pueae hacer que la fUnción o v8l'labl~ dependiente y, valga O.
~ecuerdeelteoremaquediceque ~ = O * X .= O XY e R
y, ' ,
¿Qué información acerca de la función y puede obtenerse de la
gráfica?
G 2
186 .
H
J
J
K
x y
-1.3 1.44
-1..2 2.27
-.8 ' ,-2:77
-.7 -1.96

Trazarla gráfica decadaun'ade lasrelacione~cuyaregladecorrespondenciase da. Escoja
el intervalo adecuado para graticar, cuando no se . mencione alguno. Recuerde que si el .
dominio es un conjunto infinito en el intervalo escogido; se unen los puntos escogidos
como mue.treo.
1. y =2x -1
2. Y =6 -. 3x
, %2
3. Y =16
4. {(x,y) Iy =6,x e R}
S. . {(x,y) 1 x =-:-2,.ye R}
6. {(x,y) IY = Ix - 11}
7. Y = - x2 + 2
8. Y =' - ..j4 -x2, Ixl $. 2
- 9. f(.,,<)=3 ;... 2x - X 2
10. f(x)'= x2 - 2x - 8
En los problemas 11al,14establezcala correspondenciaentre cada re~aci6ny la gráfica
correcta. .
11: {(x,y) Iy =Ix 1, ~2 ~xS2} U {(x, y) fy = 2,-2 < x < 2}
12. ,{(x,y) Iy =x, -2 Sox ~ 2} U {(x;y) Iy = - x, -2 ~ ~ ~ 2}
13. {(x~y) Iy =2, x e R}
14. {(x,y) 1Y =2 -Ixl, -2 S x S 2}
o, e,
." ., ." .,
. ,"1 . I I
Enlosproblemasdel 15al 20digacuál grá,ficarepresentauna funci6ny cuál una relaci6n.
Recuerde las gráfica de l?s interv'alospa~a una interpretación correcta (V.4).
y
15. 16.
y
-.-<1l'
-,,"- oI
%
x
187

y.
17.
lo
2
y
18.
x
19.
20.
21. Gra~icar las siguientes relaciones en los intervalos que se indican. seflalando según sea -el
dominio si la gráfica continúa o no con puntas de flecha.
a) y = x2 ~ 2x - 8; - 5 ::; x ::; 6
b) y = 3 - 2.r - X2; - 5 ::; x ::; 4
e) y = xa + 2X2- 7x - 3; -4 ::; x ::; 3
. .
d) X2+ y2 = 16; - 5 ::; x ~ 5 .

I
Al términar de estudiar este m6dulo, el alumno:
1"; Explicará en qué consiste uJ.1acarta de flujo.
2. Explicará qué entiende por algoritmo. .
3. Dada una lista de instruccioitt~sdibujará una carta de flujo.
4. Dada una regla de correspondencia para una relaci6n la traducirá.en una carta de.flujo.
S. Dada una carta de flujo ,para una relaci6n, escribirá unaecuaci6n o regla de
correspondencia equivalente.
ESQUEMA RESUMEN
, Carta de flujo o diagrama de flujo:
algoritmo ','
, .
189

16.1 Cartal de flujo
A trav6s'de las diferentes 6pocas de la historia de la humanidad el
hombre siempre ha intentado simplificar los trabajos tanto ftslcol como
mentales; un producto de estos esfuerzos es la computadora electrónica y
todo el equipo perlf~rico para utilizarla eflclentemente.
Son necesariasvarias operacionesen un orden o secuencia
establecido para comunicarnos con la computadora y, de la necesidad de
asegurarnos de seguir el procedimiento correcto para, 'darle Instruc-
ciones a la máquina se cre6 un m~todo simb6lico llamado C8I't8I o
dlalrama de0"'0. . . .
los dlegramas Las cartas de flujo proporcionan un medio para simplificar y
deflujo establecen lwganb:ardiversasoperacioneso cálculos que requieren una secuencia
la'secuencia dctinida, no s610para dar ins~ruccionesa una computadora, tambl6n se
a seguir en un ha extendidosu usopara programar el trabájo que va a deaempeftarun
trabajo individuoo un equipo, actualmentese'considera a las carta de flqto o .
dlalramal de 0"'0 como la forma más conveniente de escribir un
algoritmo. para efectuaralguna tarea l1tllo alg6ncálculo.
. En seguidapresentamoslas cartal de flujocomoun m6todode
escribir instrucciones, para lo cual usaremos formas ¡eom6trlcas
diferentespara diferentestipos'de Instruccl6n,la forma ov~lse Usapara
dar 6rdenes como(arrancarj y ~, la forma rectan¡ularpara'
instruccione.s'comoI sl:1ma1, r eleva al cubo 1, Gscrlbe lila forma de .
rombo 'o diamante cuando se debe tomar una d'clil6n entre si.y no, o
entre falso y verdadero con respecto a la proposición encerrada por la
tigura. .'
slmbologfa de los
diagrama.
de flujo
En el m6dulo 14 Unidad IV se presenta el algo'ritmo. de la división
de expresiones polinomiales, despu6s de estudiar los slgulentei ejemplo!
. Algoritmoes una lista de instruccioneso secuenciade operaciones
quedeben seguirsepara resolverun problema,efectuar un
cálculoo un trabajo cualquierli.
190

de cartas deflujó dibuje una carta de flujo que contenga el algoritmo de
la división.
a)
b)
Leer un simpolo
del.mensaje
Compare
el simbolo
Par~r
Estudiar la
Unidad VIII -'
'Repasar los objetivos ..
No
I
,1
lea y escriba la clave
del símbolo
Verdadero.
Presentar exaJ.11enUnidad VIII
j
191

. c)
d)
192
Las proposiciones' algebraicas que utilizamo~ en los primeros proble-
mas del módulo anterior son las reglas de correspondencia de relaciones,
es decir, son las instrucciones para que usando un valor de "x" se en-
cuentre el valor de "y" correspondiente. En los eje'mplosc) y d) siguientes
damos las instrucciones de los reactivos de autoevaluación del módulo 15
en forma de carta de fluJo,la información de entrada en el inciso c) serán
los elementos del dominio de la función dada por: y =. 2x - 1, asi
para cada valor de éstos y siguiendo las instrucciones en la carta de flujo
obtendremos el elemento del recorrido que ~orresponda.
y :;;;, 2x - 1
Leerun
elemento M uItiplicar
por2
Restarlela
umoad
Escribir
4el dombtio
Si escogemos los,enteros en el intervalo cerrado [-2, 2]como se hizo
en aquel problema encontraremos la siguiente correspondencia:
x = {-2, -1, O,
. ~ t ,~
y. = {-5, -3, -1,
2}
t
3}
1,
~
1,
Leerun
elemento
del dominio
Elevar
al
cuadrado
Tomar en
inverso
Sumar
Escribir
2
¿Qué fundón se está calculando? Escriba la regla de correspon-.
dencia.
.'Tomar un valor de x, elevado al cúadrado, x2 tomar 'su inverso,
:..x2y sumarIe 2; ¡claro!, se trata de la regla d~ correspondencia dada
en el problema 7 y = -x:.!+ 2 .
Las cartas de flujo tienen, gran aplicación en la ingeniería industrial
para la simulación de modelos como la simulación de separaciones en
una tinea de producción que se muestra en seguida.

Seleccionar
un número
de máquina
Determinar e1tiempo
de máquina parada
para su reparaci6n
Sumar el tiempo que
dure.1a reparaci6n al
tiempo acumulado
No Si
Quitar el tiempo
en espera de
.mecanico
Leer el número
de máquiná
Anotar tiempo
de mecánico en
espera
Actualizar el tiempo
.'acumu lado del
mecánico.: tiempo de
reparacfón+ tiempo
en,espera
,.
193

1. Escriba unacarta de fluto para encontrar los elementos de un conjunto intersecci6n. de
otros dos A y B cuyos elementos se dan.' ..
2. Escriba una carta de flujo describiendo las operaciones pára determinar valores de una
función cuya ecuación o regla de correspondencia seda en seguida. -
a) y = 2x - 5 b)' y' = x3 - x + 3 e) y = (2x~+ 3)x
3. C()n las siguientes cartas de flujo ~criba las ecuaciones que definen a la fúnci6n.
a)
b)
194
Leerun ele.
mentodel
dominio
Leer un ele-
mento d'el
.dominió
levadoal
,b'uadrado
Multiplicar
por 3
Multiplicar
por 2
Sumar el
elemento
Multiplicar
por el ele-
mento.
No~
.~

. 4.
5.
6.
,7.
, 8.'
l. Función.
, ,
Paneles de verlflcaclon
MODULO13 - VALlDACION
Es UDconjunto de pares ordenados donde en dos pares di.
ferentes NO se repite el primer elemento.
Igual que en problema anterior.
(I, 2) -=1=(1, 3) sin embargo, el primer elemento se repite, lo
que,indica que al 1 le corresponqen-dos elementos,el 2 y 3.
(4, 1) =1=(4, 3) ,
(1, 2) =1=(1, 3)
A un valor de x sólo le correspondeuno de y.
Misma razón que en problema anterior, sólo que en estos
, casos de valor absoluto luego hay dudas, porque a dos valores
4e x les corresponde el mismo valor de y; por ejemplo:
x = 3; Y = 2 Y para x =- 1, Y =2 .
Y = 13- 11 = 121 = 2 Y I -1 -11 =1 -2 I = 2
(3,2) (-1,2)
Relación. Si resolvemos para y la regla de correspondencia, tendremos
y = ~ y con cada valor de x obtendremos 2 de y que
satisfacen la conqición:
14. ,f(x) =x
1
15. Y = x - 2
10. Función.
11~ Relación. y = v' 1:- x2, - 1 ~ x .$ 1
12. Relación.
13. g(x) =v'4 - x2 Dominio: 4 - x2 ~ O
,x2 .$ 4
Ixl f. 2
{x I- 2 .$ x .$ 2}
Recorrido: Resolvemos para x
2.
3.
Función.
Relación.
Función.
Relación.
Relación.
Función.
Función.
9.
recuerde que
JX2=lxl
x =' J 4 - [g(x)P
{y1-2 .$g(x) S 2}
Dominio: xER
x - 2 = O
x = 2
Recorrido: f(x) E' R .
{x Ix=/;: 2}Dominio:
195

Recorrido: xy-2Y=1
x = 1+ 2y
y {y Iy *O}
1
16. Y = X2 - 1
Dominio: {x Ix *- 1, 1}x2 - 1 = O
x' = :1:1
, 1
Recorrido: y = -;--x - 1 {y IY *.O}
17. Y = Jx2 + 1 ,Dominio: x2 + 1 ~ O
xER
Recorrido: y E R
18. f(x) = --.! Dominio: = {x Ix *1, -2}
Recorrido: = {y IY * O}
19. h(x) = - x + 2 '
"
h(x) = ~ Dominio: = {xIx' * 2}
Recorrido: = y E R-
, X2 - 6x - 7
20. Y = X2 + 6x - 'J ,
(x - 7) (x + 1)
y = (x + 7) (x - 1)
Dominio: = {x Ix * -7, l}
Recorrido: = y E R
~1. h(x) = x + 6, x = 2k, k E E, -3 < k < 2
22. f(x) = 2 - x, x E E, - 3 < x < 4
23. a) g(-1) = 3(-1)2 - (-1) +.1
= 3 + 1 + 1
g(-I) = S
b) g(3) = 3(3)2 - (3) + 1,
= 27 -13 + 1
, g(3),= 2S
c) g(O) = 3(0)2 ~ (O) + 1
=0-0+1
g(O) ==1
d) g(o) == 3(0)2 - (o) + .1
g(o) = 302 - o + 1
196'

e) g(a + 1) = 3(0+ 1)2- - (a + 1) + 1
=3(aI + 2a + 1) - a - 1 + 1
g(a + 1) = 3a2+ Sa+ 1
o g(.!) '+ g( 1) = (3(.!)2- (.!) + 1] + [3(1)2-2 2 2,
.' 3 i
= (¡ - 2" + 1) + {3 -,.} + 1)
g(.!) + g(1) = .!!2 4
+ 1]
g) -,I(a + 1) - g(a) = [3(a+ 1)2-. (a + 1) + 1] - [3ta)2- a + 1]
. = (3a2+ Sa+ 1) - (3a2 ...;. a + 1)
g(a + 1) - g(a) = 6a+-2 .
h) g(a + 1) - g(a) = 6a = 6a
(a + 1) - (a) 1
Dominio de g = {x Ix =F 1}'24. a) Dominio de f = x E'R
.g(x) = X2- 1. = (x + 1)(x - 1)x-l x-l
(x + 1) (~ - O = x + 1x - 1
" J
b) La diferenciaentre f y g es únicamentela diferencia en sus'domi.
'nios' es decir f(x) = [g(x) y x =F1]. .
Recuerde que laconjuncióq es verdadera sólo si se cumplen ambas
proposiciones.
MODULO14 '- VALlDACION
1. a) y b)
~2
2
x
I
I
I
u ~ (2, -1)
y
1 (.!, .!)
,42
I
,
I
. I
,I
,
x
1
4
197

c)
y y
3f (0.3)
2-
1.
d)
1. 2
x
-1
:...2" 4 (2. -2)
o
y
(-3. O)
x
l' l'-- --
2 4
-2 -1'-3
, g)
y
h)
-3
y
-1
-2.
(O. O)
-3
(-3. -5)
I
I
I
I
..-- - - - -- ~ -5
-4
2. La abscisa de -los puntos sobre el eje de las y es O.
. La ordenadade los punt?~sobreel eje de las x es O.
3. P es un punto de segundo'cuadrante
Q es un punto de cuarto cuadrante
R es un punto de primer cuadrante
S es un punto de tercer cuadrante
198
x
x
x

y
:ü- --- -1fC.r
I
2t 'A
I
l.
I
1
. -1
I
I
I
~ - - +D
B --+-1
1 2
x
1.2
t
;E '
I
D 0.5
-;¡6 1-0.8.0. ¡
-2 I -llo tO.l
I B
I
I
I
- - - - +-1.5
A .
x
-2'
5. a) Función.No se repit~ el primer elemento en ningún par ordenado.,
b) ,Relación. Los puntos A y ecorrespondena dos pares ordenadosdiferentespero con
el mismo primer 'elemento.
c) Funci6n. Lo mismo que en inciso a). .
199
, 4.
a)
* t y
A -2' -1
- -1tO
I
B -1 O
e l'
- -,2 -1 . . :
e O I 1 I
B
x
- I 1 2
D 1 I 2
A"----- -1
b)
-ifA 2. . 2
B -1 1-1
C-sDDO' 2-
.J
c)
KIBICIDIE
x -1.6 -0.8 -0.2 o I 0.2
Y . -1.5 -0.3 o 0.5.11.2

1. Dominio = x E R
" -2 ~ x' ~ 2
2. Dominio = x E R
3. Dominio= x E R
-4 ~ x ~ 4
/'
200
y = 2x - 1
x
y = 6 - 3x
x
-3
X2,
Y = 16
L
MODULO 15- VALIDACION
'. t
A -2 -5-
B -1 -3
C O -1
D ], ]
E 2 3
x y
A -1 9
B O 6
C 1 3
D 2 O
E 3 -3
x y
A -4 1
B -2 1/4
c- a a
D '2 1/4
E 4. 1
I
I - I ,
I
I
I
1-
I
I
.x-4 -2 e 2 4

"
y=lx-lI
- - -- 2- - ".G
I
I .
I
I
-3 E 1 2-2 -1
x
3
201
4. . Dominio = i E R
-25.x5.2 . , , t , 1 . Y = 6
x IL -1
I +5
I
A -2 I 6 I- I
;-4
B -1 I 6
+3- I I
e o '6
I I
+2
D 1 6
I
ti
I I
I I IE 2 6 I I
I
x
-2 -1 I 1 2
5. Dominio = x = -2
Recorrido= y E R AY
-2$.Y$.2 1 x =-2
X ,Y
A -2 -:2 E ...- -- - - -+2
B -2 -1
. DE-r
e -2 o -X...- e- '-2 -1
D -2 I rl B ;..- - - - -"-1-
E -2 I 2 A ..-- - -- -+ -2-
6. 'Dominio = x E R
4Y
-3x$.3'
x y
A '-3' 4
B -<2 3
.
e -1 2
D o 1
E 1. o
F' 2 1
;
G 3 2

7. Dominió =x E R
Dominio = x E R .
La factorización
de la función'
ayuda algunas
veces a encon-
trar más fácil-
m.ente sus
valores
-4 $..x $. 2
'Ejemplo: - (- 4 + 3) (-4 - 1)
- (- 1) .(- S)
202
y =-x2 +2
x
-2- - - -
-7- - - - - 'F'
y
E
2
Observe que las
líneas no tienen
cabeza de flecha
porque ahí ter-
minan.
A
4
f(x) ,= 3 -- 2x - x2
1
-41
I
------- G
-5
x y.-- -
A -2 -2
B -1 1
e o 2
D 1 1
E 2 2
F '3 -7
8. Dominio=Ixl $. 2
A -2 O-
B -:11-../3 A-
-2
-2 $.x$.2 D 1 -.J3'
E. 2 O
x y
A -4 ,-S
B -3 O
e -2 3
D -1 4
E O 3
F 1 O
G 2 -s
.

10. Dominio=x E R
f(X) =(x -4) (x + 2)
-3s.x~S
11. La gráfica"c"
12. La gráfica"a"
13. La gráfica"d",
14. La gráfica "b"
y ¡(x) =x2 -2 x -8
-7- - -- - - - - - -- -1 "
I
l'
I
" I
I
x
-3
15. Función. Porque líneas imaginariasverticales tocan la gráfica en un
sólo punto.
16. Función.
1.7. Relación. En x =O una verticaltocaría la gráficaen dos puntos.
18. Relación.
19. Función.
20. .' 'Relación.
203
x y
A -3 7
B -2 .o
e -1 -s
D O .-8
E 1 -9
F '2 -8
G 3 -s
H 4 O
I S 7

x
y
~}- -"'- - - - --
25
21. a) f(x) = x2 - 2x - 8
Dominio = R, p.or
lo tanto uniremos
loso-puntosdel "muestreo". 20
-------
15
10
x
y
b) f(x') = 3 - 2x - x:!; Dominio = R
4
I
I 204
x -5 ,.-4. -3 -2 -1 O 1 2 3- 4
Y -12 -5 O ' 3 4 3 O -5 -12 -21

. e) f(x) = x:l + 2x:! - 7.'(.- 3;
-Dominio = R
I
1.
I
I
16~x:! ~ O
. J6 .2:: x:!
x:! < 16
VX2~ v'f6
x ~ 4
1(-4) = y'T6- (-4)2
= V16 - 16 = O .
f( - 3) = v'T6- (- 3).2
= VT6-9 =' V7
-4
Dominio = {X.ER -4 ~ x ~ 4}
La Tabla no debe incluir números
fuera del Dominio
4
-4
205
x -4 -3 -2 -1 O. 1 2 3
Y -7 9 1,'1 5 ---3 7 -1 21
x -4 -3 -1 O 1 3 4
O j:y7 :t: 4 , X: viS :t:y7 Oy ::t:VI5 J

a)
b)
2.
Elevar
al
cubo
3. a) b) y = (3x + 2) x
206
c) .

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