Matematicas uno

, .
Guías y exámenes para
Evaluarse correo
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INDICE GENERAL
Prólogo, . . .
Instrucciones para el alumno
Notación.
UNIDAD I
CONJUNTOS
Introducción
Obletlvos generales
Diagrama temático estructural
Glosario
M6dulo 1
Obletlvos especfflcos .
Esquema resumen. .
Contenido: Conjuntos. Notación. Oraciones abiertas, va-
r~ables,conjuntos de reemplazamiento, conjuntos de .
verdad '
Problemas para autoevaluaclón
M6dulo 2
. Objetivos especfflcos .
~ Esquema resumen
Contenido: Cardlnalldad. Conjuntos finitos e infinitos.
. Conjunto universal. Conlunt~ vacfo. Conjuntos equi-
valentes. Conjuntos Iguales .
M6dulo 3
Objetivos especfficos
Esquemaresumen ,
Contenido: SubconJuntos. Algunos subconiuntos Impor-
tantes de N
Módulo 4
"()bietivosespecfficos
Esquema resumen
Contenido: Operaciones con conjuntos. Complemento.
Gráfica de un conjunto Vde las operaciones con con-
Juntos. Uniónde conjuntos. Intersección de coniuntos.
Conjunto'Complemento'
11
. 13
15
19
20
21
.22
.24 .
24
25
.28
29
29
30 .
32 I
34
34.
35
38
39
39
40

t'"
I
Problemas para autoevaluación
Paneles de verificación
UNIDAD 11 .
ELEMENTOS DE LOGICA MATEMATICA
Introducción
Objetivos generales
Glosario
M6dulo 5
Módulo 6
Módulo 7
M6dulo 8
Objetivos especificas i
Esquema resumen
Contenido: Induccl6n y deducci6n. Proposiciones simples
y abiertas. Gráfica de proposiciones
Problémas para autoevaluaci6n .
Objetivos especiflcos
Esquema resumen. .
Contenido: Proposiciones compuestas. Conjuncl6n. Dis-
yunci6n' .
Problemas para autoevaluaci6n
Ob~etivosespecíficos
Esquema resumen
Contenido: Negacl6n. Negación de proposiclon~s com-
puestas. Cuantlficadores
Problemas para.autoevaluaci6n
Objetivos especificos
Esquema resumen
Contenido: Implicaci6n. Equivalencia lógica. Variantes de
lalmpllcac16n. SlIogismos. Demostraciones
Problemas para autoevaluaci6n
Paneles de' verificaci6n
UNIDAD 111
LOS NUMEROS REALES
Introducci6n
Objetivos Generales
Glosario
44
46
55
56
57
58
59
59
60
63
'64
64
65
69
70
70
71
78
79
79
81
.91
. 94
107
108
109'
110

Módulo 9
. Obletlvosespecfficos . 112
. Esquemaresumen 112
Contenido: Sl~tema matemático V operaciones binarlas.
El conlunto de los números reales. Propiedades de la
iguaIdad . .
Problemas para autoevaluaclón'
113
" 117
Módulo 10
/'
Objetivos especfflcos
Esqu~maresumen .
Contenido: Postulados de campo. Algunosteoremas im-
portantes
118
118
119
. 129
, M6dulo 11
Objetivosespecificos
Esquema resumen
Contenido: Algunos teoremas Importantes sobre los in-
versos. La resta
. Problemas para autoevaluacl~n
133
133
134.
137
. Módulo 12 . .
Objetivos especfflcos
Esquema resumen.
Contenido: La división.Teorema sobre fracciones
Problemas para autoevaluaci6n .
Paneles de veriflcacl<?n
, .
139
139
- 140
143
145
UNIDAD IV .
APLlCACION ES
Introducción
Obletivos generales
Dlagra.matemático estructural
Glosc2rlo
M6dulo 13
161
162
163
164
. Objetivos especfficos
Esquema, resumen . .
Contenido: Terminologfa. Suma IV resta de expresiones
algebraicas . . 166
Problemas.para autoevaluacl6n 179
165
165
Módulo14 .
. Objetivosespecfficos
Esquema resumen
171
171
~.- ---

Contenido: M41tipllcaci6nde expresiones algebralcas..
Expqnentes. Divisiónde expresiones algebralcas. Poli-
nomios
Problemas para autoevaluaci~n
172
180
,,6dulo 15
Obletlvos especlflcos
Esquema resumen
Contenido: Productos notables. Factorlzaclón
. Pr~lemas para autoevaluaclón
. M6clulo1.
182
1.
183
189
Obletlv08 especfflcos
Esquema resumen .
Contenido: Simplificación de fracciones. Suma de frac.
clones. Multlpllcacl6n y división de fracciones. Slmpll.
flcaclón de fracciones complelas
. Problemas para autoevaluaci6n
Paneles de verificación
180
190
191 .
199
-203

Instrucciones para e' alumno
, ~
El presente texto ha sido elaborado tc;>mandoen cuenta los diferentes-
aspectos que car.acterlzan a los alumnos de Sistemas Abiertos de ,Ense-
~m~ - ~
Eltexto ~a sido estructurado de tal forma que le facilite al máximosu
estudio. Cuenta con varias unidades,-cada una de las cUQlescontiene:
1) Obl~lvos generales:,que le informanacerca dé to que se pretende
lograr con er estudio de dicha unidad.. .
2) Una Introducción:independientemente de la que aparece dedicada
al texto. . '
.3) Un glosario: que le indica el significado de los términos técnicos
, .empleados en el desarrollo de la unidad.
4) Notación: en los textos referentes a las ciencias naturales y for-
males, tales como la Matemática, se encontrarán explicaciones
relacionadas con la simbología empleada (f6rmulas, tablas, sím-
bolos, ete.).' .
Para el estudio del curso la unidad se ha divididoen partesUamadas'
módulos. Cada texto consta siempre de 16 m6dulos.'De esta manera,
estimamos que es posible aprobar las asignaturas del plan de estudios
de un semestre,en las 18semanas. El m6dulode cada asignatura está
programado para que lo estudie en un tiempo promediode 3 a 4.30 horas
por semana. Sin embargo, se le recomiendo que dedique a cada m6-
dulo, el tiempo que usted considere necesario, de acuerdo con sus posi!"
. bllldades~
El m6dulocuenta con:
1.)Obletlvos especHlcos: que desglosan el obietivo general de la
unidad.
2) Esquema-resumen: donde se le presenta el contenido de cada
m6dulo,en formasinóptico. .
3) Contenido: se refiere al desarrollo del tema o de los temas.'
4) Actividadescomplementarias: le servirán de refuerzo en el apten-
dizajede una unidado un m6dulo~específico. .
5) Problemas para autoev'aluaclón:al.finaldecada m6dulo se le da"n
una serie de preguntas 'de autocomprobaci6n,' para que pueda
verificar por sf mismo, en qué grado ha logrado los obietivos
(propuestos al principiodel m6dulo).Las respuestas correctas las
encontrará al final de cada unidad o. en otros casos, al final del
libro. '
13

En la parte final' del libra, podrá~encontrar, cuando se estime nece-
sario, apéndices que le ayudarán o lo ampliación y profundizaclón de
algún temo. ,". .
, Además, se 'le da en las unidades o al final del texto. una bibliografia
,con la que puede' complementar sus estudios o ampliar su horizonte cul-
tural, de acuerdo con sus inquietudes.
ADVERTENCIA: ,
Le recomendamos la lectura cuidadosa y lo' comprensi6n de'los obje-
tivos específicos oí empezar coda módulo, para que tenga, presente lo
que se espera de usted, con el trabajo que relice con cada uno de ~lIos.
,.
14

. Noble.6n
. Un factor importantepara la comprensi6nde cualquiertexto de ma-
tem6tica es la correcta interpretacipn de los srmbolos. pues en textos de
autores diferentes es posible que a un mismo sfmbolose le den significa-
dos distintos: por tal raz6n se ofrece esta lista de los sfmbolos empleados
en este curso y su interpretacl6n. Ellos son presentados en el orden de
. aparlcl6nen el libro.
SIMBOLO SIGNIFICADO
.
:p
e
.g;
e
>
<
'S
~
U
n,
e:
f}-I
+
n(a) .
es un elemento de ...
. No es un elemento de ...
Conlunto
Es Igual a
Tal que . .
Sfmbolo de la operacl6n suma
Cardlnalldad del conlunto A
.Vasf sucesivamente
Conjunto universal
Coniunto vacfo ' I
Coniunto de los números naturales
Sfmbolo de la operacl6n .multipllcacl6,n
No es Iguala .
Subconlunto de ...
No es subconlunto de. ~.
Subconiunto propio de
Es mayor que
. ,Es menor que
Es m~nor.o Igual que
Es mayor"o Igual que
Unl6n con
Intersecci6n con
Complemento de .
No es subconiunto .proplo de
Sfmbolode .Implicación .
Sfmbólpde la operacl6n diferencia o. resta
No es mayor que' .
No es menor que .,
. Sfmbolopara e.xpresar la operación divlsi6n:(también se usa
- á'
el sfmbolo ~ comoen -). b.
Doble implicaci6no equivalencia
No. es falso que
"triángulo
Angulo
Q:
=>
»
<t::
+..
15

R
E
D
D'
7t
V
%
16
Conjunto de los.números reales.
Conjunto de los números enteros
Conjunto de los racionales
Conjunto de los ¡rraclonales
3.14159. ..
Símbolo de la operación rafz cuadrada
Tanto,por ciento'

Introducci6n
I

"Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hom-
bre primitivo y ambas nos conducen a los números", Haciendo marcas
en los troncos de los árboles lograban los primeros pueblos la medición-
del tiempo y el conteo de los bienes que poseían; así surgió la aritmética., - .
Después de muchos siglos el hombre alcanzó un concepto r1'1ásabstracto.
de los números y de los relaciones entre ellos, y fue hacia fines del siglo
XIX cuando Georg Cantor creó la Teoría de Conjuntos, pero no fue sino
hasta casi los años. veinte del presente siglo cuando se desarrolló como
fundamento para el enfoque moderno de la matemótica, por Gottob Freg,e,
siendo Bertrand Russell quien completó, desarrolló y dio amplio publicidad
a las aplicaciones de esta teoría. .
Lo idea de conjunto o como también se le llama "clase" o "agre-
godo", es en sí., intuitivq y muy antiguo. En esta unidad conoceremos los
principios generales de lo teoría de conj'untos y es muy importante su
comprensión pues nos sirve como base pata unificar y dar cohesión 01
estudio de las unidades posteriores, proporcionando un medio intuitivo
y gráfico par9 la introducción de conceptos abstractos y un "lenguaje"
paro el ,estudio de la Unidad 11.No se espera la memorización de los
ideas principales de lo teoría sino mós bien la comprensión y aprecio de
su importancia a medida que las vayan aplicando. .
19

ObJetl~os lenera~es
Al'término de esta unidad el alumno:
1.' Aplicará el lenguaje simbólico que se requiere en el trabajo y estudio
de conjunt9s.. '
.
.2. '~epresentar.á gráfica,menteconjuntos, mediante'diagramas de Venn.
3. Efectuará operaciones'con los conjuntos usando las representaciones
enumerativay descriptiva. '
4. Graficará, mediafite diagramos de Venn, operaciones combinada.s de
conjuntos. '
20

..
Números naturales
4 operaciones aritméticas.
Conjuntos.
Variable.
Notación para construir conjuntos.
Coniunto de verdad.
Cardinalidad.
Conjuntos finitos e infinitos. .
Igualdad y equivalencia de conjuntos.I
Subconjuntos.
Números primos. Múltiplos de un número.
Divisibilidad.
Operaciones con conjuntos. Conjuntos
complementos. .
Diagramas de conjuntos.
biagramas de las operacionescon éonjuntos.
21

Glosario
, .
.Coniunto. Col'ección o ,agregado de ideas u 'Qbjetos de cualquier especie
. siempre y cuando estos ,ideas u objetos estén tan cl~Hosy definidos
.como para decidir si pertenecen o ,no al' conjunto.-
Elemento. Las ideas u objetos que forrllan un conjunto se denominan
elementos del conjunto.
Oración abierta. Es toda oración en la que intervi~ne alguna variable.
I
Coniunto de reemplazamiento. Conjunto que nos proporqiona los elemen-
tos para r~emplazar a la variable en una ora'ción abierta, . '
Coniunto de verdad. Los elementos del conjunto de reemplazamiento que
hacen que la oración sea verdadera forman un conjunto que llamamos
coni,unto de verdad. .
Variable. Una variable es una letra usada para representar a cualquier
elemento de un conjunto..
Cardinalidad. El núm'ero de elementos contenidos en un conjunto deter-
mina la cardinalidad del conjunto.
Coniunto finito. Es ,aquel en que es posible determinar el' número de ele-
mentos que a él pertenecen, no obstante la dificultad que pueda
presentarse., .
Coniunto infin'lIo.Es aquel, en que no es posible terminar de enumerar 'a
sus elementoS. . . ' .' '
Naturales. Conjunto de los números enteros que nos sirven para contar
(N =1,2,3. . .) ,
Coniunto universal. Conjunto formado por la totalidad de los elementos
considerados para una determinado operación. Es equivalente 01con-
junto de reemplazamiento'. ,.,.
Coniunto vacío. Conjunto que no tiene elementos, también se le llama
'conj'unto nulo. '
.Coniuntos equivalentes. ,Son aquellos que poseen la misma cardinalidad,
aunque sus elementos sean diferentes.
Conluntos iguales. Dos conjuntos son iguales, si son equivalentes y, ade-
mós, 19s 'elementos de uno son también los elementos del otro.
22

Subconiunto. Dados dos coniuntos A y B en que todos los elementos de A
pertenecen al coniunto B. entonces.decimos qUé el coniunto A es
.subcon;untode B.
. Subconlunto propio. Dados dos coniuntos A y B.'decimos que A es sub.
conjunto.pr-opiode B, si A es subconjunto de B y existe a lo menos'
un elemento de B que no pertenece al conlunto A.
. .
Número primo. Todo número natural que admite s610 dos divisores (la
. unidad y él mismo), se denomina natural primo.
Múltiple;»de un número. SI K e: N entonces, el contunto de los múltlplos
de K será: M = {K, 2K. 3K, 4K, 5K, . . . } Cada elemento del conlunto
M es un múltlplo de K. ..
Número compuesto. Es aquel natural que admite por lo menos dQsdivi-
sores primos. Puede ser uno solo repetido: (EJ: 4 = 2.2).
Correspondencia blunivoea entre dos conluntos. SI los elementos de dos
conjuntos equivalentes pueden aparearse tal que a cada elemento'de
cad.aconjunto se le haga corresponder uno y s610un elemento del
- otro conjunto,entonc.esdiremosqueexisteunacorrespondenciabiu-
nívoco (o uno a uno) entre .Ioselementos de esos.contuntos.
.Unlón'entre conluntos. Sean A y B dos conjuntos, entonces:
A U B = {x Ix e: A 6 x e: B}.
Intersección. Sean AI Y B dos conjuntos, entonces:
A () 8 = {x Ix e: A V x e: B}
Conlunto complemento. Sea U el conlunto universal y S un sub.conlunto
cualquiera'de U. El conjunto de los elementosque faltan a S para com-
pletar U, es el "complemento de S", ($').. .
Diagrama de Venn. Son figuras cerradas en el plano que nos sirven para
esquematizar o'peraclones entre - conluntos. Se considera que cada
figura encierra a los elementosdel conlunto al cU.alrépresenta.
. Conluntos dlsluntos. A dos'conjuntos A y B se les denomino "dlsluntos" si
no tienen element~ en c()mún,es decir: .
A n B = ~.
23

M6dulo 1
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Al terminar el estudio de este módulo Ud:
1. Explicará con sus propias palabras, la idea de conluntos.
2. Determinaró si un elemento pertenece o no a un conlunto dado.
3. Discriminará entre una lista de "conluntos" dados a aquellos que est~n
bien determinadoso definidos. .
-4. Construiró conluntos usando la tormo enumerativa o clescrlptlva en su
notación.
ESQUEMA RESUMEN
Conjunto
- Noción Intultlva.
...;...Definición. .
- Oraciones abiertas.
- Conjunto de reemplazamiento.
- Conluntodeverdad.. .
Notación.
24

Conlunto8
Desde sus origenes la sociedad humana ha tenido la idea de agrupacIo-
nes o conjuntos: la familia, los clanes, las tribus fueron los primeros con-
iuntos humanos, y sus bienes, sus armas, fueron conjuntos de satisfactores
de sus necesidades. . ,
Todos estamos acostumbrados a tratar con conjuntos: así, escribimos
.usando un conlunto de .letras llamado abecedario, efectuamos operacio-
nes de conteo y medición usando un conlunto de números, participamos
socialmente en conluntos llamados clubes, ete., sin embargo, el significado
del término conlunto no es fácil de explicar o entender pues generalmente
en el Intento usamos términos que a su vez han de ser definidos. El cuento
de nunca acabar.
Para nuestros fines podemos considerar un conjunto como la
colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie,
siempre y cuando estas ideas u objetos estén tan claros y defi-
nidos como para' decidir si pertenecen o no al conjunto.
.
Los ideas u obietos que forman un conjunto se denominan elementos
del coniunto. '
Elemplos de Conluntos:
o) Los Estadosde la República Mexlca'na.
,b) Los dios de la semana.
c) Los alumnos de la preparatoria abierta.
d) Los artfculos de la Constitución Mexicana.
e) Losautoresde estelibro. .
f) . Lasvocalesdel alfabeto.
. Notación
Generalmente usamos las letras mayúsculas para denotar conjuntos y las
'. minúsculaspara sus elementos.Enel ejemplo b) podemosllamar A al con.
lunto dfas de la semana y x 01dfa lunes. ,
Para 'simbolizar que un objeto es elemento de un conjunto escribimos
x e: A que se lee "x es elemento del conjunto A" o por el contrario m g A
que se lee "m no es elemento del conjunto A".' '
Otra forma utilizada para denotar un conjunto es la de escribir los
nombres de los elementos que lo forman entre un par de llaves o corche-.
tes, por eiemplo el mismo inciso b).
{lunes, martes, miércoles, jueves. viernes', sábado. domingo}
forma conocida con el nombre de enumeratlva, .0' de extensión, aunque
este último nombre no parece muy significativo.
25

También se usa en algunas ocasiones otro formo, que para algunos
coniuntos es la única posible,se llama por descripción o también por com-
prensión: en esta forma se encierro entre los llaves o ~orchetes lo con-
dición para pertenecer al conjunto o la descripción de los elementos que
lo forman, en el primer caso un ejemplo es: {pers'onas mayores de 18 años}
el ejemplo b) quedaria, {dios de la semana}. ' - ,
Observe que las 'llaves y corchetes simbolizan un conjunto y lo qu~
encerramos con ellas son sus elementos o uno descripción de ell~s,
Oraciones abiertas, variables, conluntos de reemplazamiento' y conluntos
de verdad. ," " ,
" .
Otra notación para los conjuntos es uno variación de la formo llamado,
I pordescrlpcl6n,y que llamaremosla notacl6n para construir conluntos, ésta.
-nos permitirá más adelante abreviar lo representación de los conjuntos o
enumerar los elementos que los forman (rozón del nombre que le hemos
dado),' ' . .
Ejemplo: ' . ,-
El conjunto de las estaclone$ del año.
Lo podemos representar-por lo letra mayúscula E, pero esto sirve de
muy poco cuando se trate dé Identificar los elementos de E por lo que
usamosla siguientenotación:'
E = {x Ix sea Una.de las e'staclonesdel año}
Lo anterior se lee "E ~s Igual 01conjunto formado por elementos x,
. tal que x 'sea una de las esta.clonesdel año'''.'La Ifneavertical se lee "tal
.que", " .
La letra x se ha utilizado para determinar cua,quler elemento que
satisfaga la condlcl6n dada, es decir, representa a cualquiera de los:
nombresprimavera, verano, otoño; Invierno,por consiguiente podrá variar
en este caso cuatro veces. Por---to anterior' a la letra x empleada en este
ejemplose le llama variable. ' - ,
, Lacondlcl6n"x seaunad,elasestaclone$deláño",enqueinterviene
la variable la llamamos una oraci6n abierta en virtud de que es una.
oración que tanto puedeser falsa-como verdadera, dependiendodel nom-
bre con q~e se reemplace a la variable x.
Una oracl6n abierta es, pues, toda oraci6n en'la que interviene
alguno variable y al conjunto que nos proporciona los elementos
para reemplazar a lo variable lo,llamamos el conluntode reem-
plazamiento.
Eiemplo:
SeaE-= {x I x..es una de las estacionesdel año} y el conjuntode
r~emplazamiento para 'x el conjunto M:, "
M = {Prtmavera, verano, otoño, invierno, lunes, abrií~ frio} .
~
"
--- ----

entonces sólo elementos de M se pueden usar para reemplazar a la va..
riable x de la oración abierta. .
x es uno de las estaciones del año
Pri~avera es una de las estaciones dél año
Verano es una de las estaciones del año
Otoñoes }lna de las estaciones del año
Inviernoes unQde las estaciones del año
Lunes es una de las estaciones del año
Abril es una de las estaciones del año
Frío es una de las estaciones del año
Observamos que algunos elementos de M al reemplazar a la variable
. x forman una oración verdadera y otros una oración falsa.
Los elementos d~1coni~nto de reemplazamientoque hacen que
la oracióh sea verdadera, forman un conjunto.que llamamos el
coniunto de verdad.
Notación para construir conjuntos: E = {A ~ M Ix es una estación del año}
Conjunto de reemplazamiento M =' {primavera, verano, otoño" Invierno,
lunes, abril, frío} - ,
Conjunto de verdad E = {primavera, verdno, otoño, invierno}
Es conveniente observar que al considerar una oración abierta de-
bemos cOQocer previamente. el conjunto de reemplazamiento para poder
determinar el coniunto d~ verdad. - .
Ejemplo: . .
P = {x.eA I~ sea un.númerq}.
. .
para determinar el conjunto de verdad P es necesario conocer los .elemen-
tos que forman el conlunto de reemptazomiento A, así, si A = {botón, 3,
papel, -2} entQnces P = {3, 2} - - .
27
--- - ----

'
PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION 1-1
1. ,Completar los espacios $iguientes con la palabra adecuada.. '
a) A un conjunto de jugadores de beisbol se le llamaE e f: 1-'.
b) A un conjunto formado por tres guitarristas se le lIama:.z:.......
.c) A un conjunto de monedas antiguos se.le llama (nI p'e r I .~'T'.
d) ~rngr~;>1'd~~a~u~~osl'~~~termina Una carrera profesional se ,deno-
e) Una sala que reúne una gran variedad de libros forma un~
f) La reunión de soldados de un país forma,n un ~ . .
2. Marque en la casilla correspondiente su respuesta' .
F = {Clavel. rosa, perfume. violeta. gardenia}
. Sí No
a) ¿Es "margarita" un elemento de F? . Ll !SI
b) ¿Pertenece "clavel" al conjunto F? GJ O
. c) ¿Es "perfume" un ~Iemento de F? tEI c.;
. d) ¿Es "hermosa" un elemento de F? D.E!J
e) ¿Está bien definido el conjunto F? O BJ
3. Expliquepor qué considera que el conjunto F está bien definido.
4. Sea J = {x Ix sea únaflor.}
Sí No I
a) ¿Es a e: J? , O ~
b) ¿Es "aroma" elemento de J? D D
c) ¿Es "gardenia" elemento de J? .121' D
d) ¿Es "margarita" EJ? . ~ O D
e) ,¿Está bien definido el conjunto? . t:J D
5. Sea R el conjunto de los meses del año que tienen la letra "r" en su
nombre. Marque la casilla que indique la 'respuesta correctQ.
. I Si No
a) Mayoe: R o I:J
b) Abril E R D D
c) Diciembre E R . D D
d) Agosto e: R D EZJ
e)' Febrero e:. R. lE) D
6. Sea M = {1. 2,3. 4. 5. 6} el conjunto de reemplazamiento. Determine
el conjunto de verdad que corresponda a cada conjunto que se da
en la notación para construir 'conjuntos o descripción. Use .10formo
enumerativa. r
a) S = {xe: M Ix es. menor que 5} ~ - , 1:
b) L = ;{xe: M Ix + 1 -es igual a 5} 1",
c) T ={x§='.M Ix +'es mayorque 4} .; .
d) U =.{xE M rx es diferente de 2}"" ,.. '1.,. ~
7. En los siguientes problemas se dan conjuntos usando 10 formo enU-
merativa, cámbielos a la forma descriptiva usando sus palabras para
la condición. .
a) A ={Tamaulipas.Vera9ru~.Tabasco. Campeche, Yucatán, Quin-
tana Roo} ( .~ - "Í J t .' --
b) E = {1. 2. 3, 4. 5, 6} '"
,..'
28

,
M6dulo 2
Al concluir el estudio de este módulo,el alumno:
, .
1. Encontrará .Ia cardin'alidadde ,unconiunto finito.
2. Reconoceró coniuntos finitos e infinitos de una lista dé conjunto,s '
dados. ' ,
3. Dará"eiemplos que muestren al coniunto universo.
4. Dará eiemplos que muestren fJlconiunto vacío.,
5. Dados dos coniuntos, mediante el uso de locorrespondenciCfbiunívoca
establecerá la relación>, = o < para -las cardinafidades de esos
coniuntos. '
6. Expresará simbólicamente la iguQldadde coniuntos.
7. Distinguiráentre ,igualdady equivalenciaentre coniuntos.
ESQUEMA RESUMEN
, ,Cordincílidad
Correspondencia biunívopa
Coniuntos equivalentes,
Coniuntos iguales
Coniuntos finitos
, Coniuntos infinitos
Conlunto u'niversaI
Conjunto vacfo
29

Cardinalidad
El,número de elementos contenidos en un conjunto determina la cardina-
lidad del, coníuntQ.
En el coso del conjunto
V = {a, e, i, o, u}
.su cardinalidad seró 5 y la expresamos n(V) = 5 que se lee cardinalidad
de V igual a 5. '
En el conjunto P: P = '{1,2, 3; 4, 5, 6l
,la cardinalidad será 6 y la expresamos co'mo n(P) = 6.
Conluntos finitos e infinitos
En los ejemplos anteriores hemos podido determinar con precisión el nú.
mero de los elementos que los integran, pero en otros casós no será fácil
esto; sin embargo, cuando, no obstante la dificultad que se presente, sea
posible determinar el número de elementos de un conjunto, diremos que
se trata de un conjunto finito.
Por ejemplo: r ,
Los conjuntos formados por los astros que forman el sistema solar;
el número de ediciones que se han hecho de "El Quijote de la Mancha",
son conjuntos que..como los primeros que hemos menciQnado, son finitos,-
ya que están formados por Un número preciso de elementos, aun cuando
no sea fócil determinar su número.~Si no cumple con esta condición decj-
,mosque el conjunto es infinito.
Por ejemplo:l:.o~ números naturales que son aquellos números ente- ,
ros que nos sirven para contar, y formar un conjunto, el número de ele.,
mentos de este conjunto es infinito, ya que,no es posible terminar de .
enumerarlos, ,puesto que siempre podremos añadir uno más al que consi-
deramos como último elemento. . . .
Otros conjuntos como el de los puntos contenidos en una recta, el
de los fracciones en que puede dividirse la unidad, tienen un número de
elementos que tampoco es posible terminar de enumerar, por eso se deno-
minan conjuntos Infinitos.
Estos conjuntos generalmente se mencionan usando las oraciones
abiertas, y para presentarlos en forma enumerativa escribimos únicamente
algunos de sus primeros elementos y a continuación tres puntos suspen-
sivos que debemos entender como la sucesión de elementos que cumplen
el modelode los pri.~eros. Así, si tenemos A '= {1, 3, 5, .7,, . .}
se nos está expresando el conjunto de números naturales impares, que
es un conjunto infinito: {Números naturales impares}
Si se da: B = {5, 10, 15, ...}
se ha querido expresar una serie ordenada de números que van aumen--
I 30

1" '" ~
, Ji.) l' .
tando de cinco en cinco a partir del cinco,.y la cual es también un con
junto Infinito.Convenimos, pues, que los puntos suspenslvos después de
algunos elementos en un conjunto, representan lo continuacl6n con un
m~smopatrón hasta el Inflnlt,o.
Conlunto universal.
La tQtdndad-de los elementos considerados para"'determinada operacl6n
se denomina conlunto universal.
Asi,el conjunto de los números enteros formaró el conlunto universal.
para.las operaciones que tengan lugar con ellos: el conlunto'de los libros
de una biblioteca será el conjunto universal poro las agrupaciones que se
hagan de los mismos; la población mundial será el conlunto universal
para cualquier relación humana que s~ produzca. Por su deflnlcl6n.enton-
oes, el conlunto universal equivale. al conlunto d.' reemplazamiento, es.
decir, significanlo mismo.Su sfmboloes U.. I
~
.
Conlunto8vacfo8 -
De gran utilidaden las operaciones con conluntos es ei'concepto del con-
. junto que no tiene elementos.
Los conjuntos para los cuales ningún elemento satisface la condlcl6n
dada. se conocen.camo'c9nluntosnuloso vacfo8y se representan por 4-
. o bien po~{}.Porelemplo,el conluntode mexicanosque han Idoa la.Lu-
no, el de las-ciudades mexicanos con una población superior' a lOs-diez
millonesde habitantes, el de los meses del año cuyo nombre comienza con
e, son. conluntos vac(08.'La éardlnalldad d. ... O.pc)rconsiguiente n(+)
=O.Es Importante hacer '.notarque los términos conlunto vaclo y nCamero
cero son dos cosas totalmente diferentes y que se considera que el con-
lunto vacfo es finito.
Conluntos equivalentes
SI dos conluntos poseen 'la misma card~nalldad,se dice que son conluntos
equivalentes. ya que tienen 'el mismo número de elementos, y puede .esta-
blecerse entre ambos una correspondencia d. uno a uno. o blunlvoca. Son
conjuntos equivalentes el conlunto de sillas de una clase y el del nCamero
de alu_mnos~si todas las sillas están ocupadas y no hay alumnos de pie.
Asflos conluntasC ={verde,blanco, rolo}y
.' F ={5,4, 3,} .
.
son equivalentes, ya que se puede establecer la correspondencia blunfvoca
"' {verde, bla,nco,rolo}
.. t t i
{5, 4, 3 }
Conluntos Iguales
Se dice que los conjuntos ~ y e son Iguales cuando cada elemento d, A
es a la vez elemento de B y cada elemento de B es también elemento de
31

A. En'otras palabras A y B son dos representaciones distintos del mismo
conjunto. Se simboliza A = B que se lee "A es Igua,lo BU.
Ejemplo:
A represento 01conjunto formado por los letras o, ,o, e, u, i. .
B represento al conjunto de vocales del alfabeto
A = {o, e, i:o, u} o también {o, o, e, u, i} .B
esdecirA = B 6 {o, o, e, u, i} = {o, e, i, o, u} .
Observe que el orden en que se enumeran o enllstan los elementos
no tiene importQn.cio poro comparar los conjuntos.
Es muy importante que se entiendo lo.diferencio entre conluntos
iguales y coniuntos equivalentes; dos conjuntos son equivalentes
'cuando tienen lo mismo cordinolidad aunque sus elementos $e(.1n
diferentes, mientras que dos conjuntos iguales siempre son tam-
bién equivalentes, pues teniendo los mismos elementos tendrán
lo mismo cordinolidad. ' ,
PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION 1-2 ,
1 . Si lIam,amQs N' 01 conjunto. de números ~aturales
.
a) ¿Es N un conjunto infinito? ¿Por qué? .~'e,t
b) Si P= (x E: N Ix es menor 'qué 9}¿E~P un conjunto finito? ¿Por qué?
c) La cordinolidad de P será n{P) = ')
2. Poro codo conjunto que se nombro marque el cuadro correspondiente
según seo finito o infinito. .
o) Los puntos de una recto,
b) Los islas de todo el mundo
c) Los pelos de un gato
d) El conjunto de los números enteros impares
mayores de 5'
e) El conjunto de los números enteros
Finito Infinito
D GJ
.~ D
EJ ~
D
D
,3
W
3. Seo R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Exprese en formo enumeratlva
los elementos.de los conjuntos que se proponen ,o continuación.
~,
a) Seo M ={x e: R Ix menor que 1} = ~" ~,
b) S = {x E: R Ix, x = 64} =
)( c) T = {x E: R Ix + 7 = 25} = '.
d) V . fx E: R Ix + 3 = 7} = ,'~'
32

4. Señale en la casilla correspondiente si el conJuntopropuesto es o no
vacío.
Vacío No Vacío
a) El coniunto de los- números impa~es que
terminan en 2 -
b) El conjunto de los.,números parés
c) {xe:NI7,x='12}
d) {a,e,i,o,u} -
- e) El coniunto de números pares comprendidos
en {1, 2, 3,5, 7}
f) {O}
g) El conjunto .p
lE
CiJ.
ls:J
o
o
D-
o
D.
Ud'
G3l
¡:¡;l'
o
5. Mencione la cardlnalidad de los siguientes conj',mtos completando los
espacios
a) Á ={2, 3, 6, 5} nCA)- - j-
b) , B = {11, 12}' n(8) .=
c) C = {O} - n(C) = .
d)D = {.p} n(D) = +
e) E = { } n(E) = ~
- 6. ConsiderandoqueA-= {1,2,3l. 8 = {2,3, S}YC = {3, 1,2}
Complete la oración llenando el espacio en blanco con el símbolo co-
rrecto, escogiendo entre -:-' =1=(igual, diferente).
a) A ~ 8 b) B I C
d) B t. {5, 2, 3} e) c::-- A
J, '- .1'
'c) {2,5.3}j' A
----

¡;;,
M6clulo 3
OBJETIVOS ESPECIFIC~S'
Al concluir este módulo, el alumno:
{
1~ Aplicará la simbologia. de ¡hclusión o contención a conjuntos.
2. Construirásubconjun,tospropiosde unconjuntodado. .
3.' Identificará al conjunto de los números naturales!
. 4. Defini'rá número primo; .'
5. Definirá múltiplo.de un número.
6., ' Reconoceráa los números,primos de un conjunto dado.
7.' 'Construirá el conjunto de los múltiplos de un natural arbitrario k.
8., Desc,ompondráun número compuesto en sos 'factores primos;' es
. decir, realizará una factorización completa. .
.
ESQUEMA RESUMEN
Subconjuntos importantes de N
.
múltiplo de un número
divisibllidad entre un número
, ,conjunto de lo~ múltiplos de K; con ke: N
, número natural primo" '
conjunto de ,los números primo$
... ..
,34

Subconiuntos
Al conjunto R que estó forma.do por elementos que también per-
tenecen al conjunto P se le llama un subconlunto de P.
Considerem9s el conjunto P como un patio de estacionamiento de
automóviles en el que se encuentran coches de diversos modelos, marcas
y colores, y como conjunto R todos los coches rojos estacionados en ese
patio. Podremos decir qÜe R es un subconiunto de P.
El símbolo e se lee "es subconjunto de. . ." y ~ "no es subconjunto
de...".
Entonces R e P.
. Otros subconjuntos de. P pOdrían ser W,.si W,es el conjunto de Volks-
wagen estacionados en el patio; o S, si S es el conjunto de coches modelo
setenta estacionados. ahí mismo.
Así podremos escribir W e P y S e P.
Cuando décimos que un conjunto es subconjunto de otro, estamos
da~do la idea de pertenencia o también la de partición, por ejemplo:
A ~. B significa A es subconjunto deB o también A pertenece a B; A estó
incluido en B.
Esta idea es muy útil pues nos conduce a la conclusión de que si un
elemento pertenece al conjunto A debe, por esa razón, pertenecer tam-
bién al coni.unto B.' Pue~e también considerarse que toGo conjunto es un
subconjunto de sí mismo, e igualmente el conjunto vacío seró un subcon-
junto de cualquier otro conjunto A e A, f/J e A.
Ejemplifiquemos con algunos conjuntos que nos son familiQres. Sea
V = {vocales del alfabeto} y A, = {todas las letras del alfabeto}
podemos decir que: V e A .
es decir, cualquiera vocal es elemento del alfabeto, pero: A ~ V porque
en .el alfabeto hay letras que no son vocales y por tanto no son elementos
d~V. . . .
Con lo anterior podemos precisar lina idea mós adecuada de pertenen-
cia o partición. .
Sien.do V e A péro A tiene además elementos que no pertenecen
a V; se dice .que V es un subconlunto propio de A. :No s610 V
estó incluido en A síno que es-sólo unq parte d~ él, nunca tiene
la misma caréiinalidaCl. .
Ejemplo:. Sea M' = {a, ~, c,.dJ
{b, c, d, a} e M"pero no es subconjunt~ propio
35
.

{a} ~ M pero como M.tiene además otros elementos, entonces {a} es
subc,onluntopropio de M, esto lo representamos asf c. {a}c: M.
Escribe.todos los subconluntos propios que tenga M (deben ser 15):
La idea de subconlunto propio nos sirve también para establecer entre.
los oonjuntos Ips.Ideasde ~'mayorque" y '~menorque" pues si el conjunto
Ves subconjunto-prop'lo.deA (Ve A).entonces Vestá contenldosn A,y A
tiene por lomenos un elemento más y podemosdecir con seguridad que..el
conjunto A es mayor que el conjunto V.lo.cual slmbollzamosA> V o tam-
bién que el c.onjuntoV es menor que el conjunto A (V< A)., - .
. Dijimostambién que .10cardinalidad nunca e~ la misma entre dos con-
juntos relacionados por la idea de subc;onjuntopropio~con lo que podemos
también acaptar que n(A)> n(V)6 n(V)< n(A).Siendo las cardlna'l1dades
nú~eros naturales estamos estableciendo el sentido de la' desigualdad
entre los números naturales, ejemplo:
Sean M = {a, b, c, d} y L = {a, b, c} dos conjuntos; 4 y.3 respectlva-
me,nteserran sus cardinalidades L e M por lo tanto n(l) < n(M)es decir
,3 < 4
/
¿C6mo podrfamos comparar dos conjuntos con elementos totalmente
diferentes? No podemos decir que~uno sea un subconjunto del otro.
Sean K ={r, s, t} y.M ={a.,b, c,d} los dos conjuntos.,
En estos casos podemos emplear la correspondencia blunfvoca entre
los conjuntos '. .
..
n(M)= 4
M = {a, b,-c, d.}
. ;;;;
K ={r~,s, t},
n(K) =3
de este modo nos damos cuenta de que aunque K Q:M existe un elemen,to
de M que no encuentra 'su correspondiente en' K, n(K) <. n(M-),en otras
palabras. cuando al establecer la correspondencia blunfvocáexiste 0'1me~
nos un elemento .de un conjunto que no tiene correspondiente entré los
, elementos de un segundo conjunto, el primer conjunto es más grande que
el segundo,.10cardlnalldad del primero es mayor que la del segundo. .
.' . . t
Algunos subconluntos Importantes de N
Hemos definido ya el conjunto de números naturales N como el conlunto
de números enteros que nos sirven paroconfar. A partir de 'aqufusaremos
. .Ialetra N,excluslvament~ para designar a ,esté conlunto.
. N ={1, 2,,3; 4¡'5, '}
,
Observemos ahora algunos subconjuntos Impor.tantes .de N, éean: a)
. El conjunto de mÚltlplos de kJ siendo k e: N. b) El conjw,to de .núméros
primos y c) El conjunto de números compuestos. . .
38 . ,

a) Conlunto de mCaltlplosde k.
SI k e: N entonces, M,= {k,2k, 3k, 4k, 5k" ..}seráel con~untode los
mCaltlplosde ~" , ' , " ..' '. . .
Elemplo:El conlunto de múltlplos.de 7-será: {7,14,21',28,35,. . ..}. .
. Se dice que un'número es divisibleent.reotro cuando su cociente es .
un nCameroentero y el residuo es' O.Siempre que un número.es múltiplo
de otro, es divisible'entre éste;asf, .15que e~ múltlplode 3 y de 5,.por lo
tanto es dlvls.rbleentre 3 y entre .5. '.
b) El coolunto de nCamerosprimos.
'.
P ={2, 3,5, 7, 11, 13, 17,.., .}. .
Estos elementos pueden defln,lrsecomo aquellos números que no tie-
nen mós divisores que ellos mismos y la unidad.
Debemosobservar que el número 1'no se define como número primo,
para evitar tener que hacer excepciones en estudios matemótlcos de más
alto nlv,el. .
c) Elconlunto de númerds compuestos;
e :::¡:(4, 6, 8J), to, 12,14, 15, 16, 18,. . .}
Este conluntoestá formado por números que no son primos.Se excep-
tCaael 1. ,
'. '.
JLos números compuestos son múltiplosde
i 3" aquellos que son sus factores; asr, 12es un
. i': : .J ",últ~plo de 2..de ~, de 4 y de 6, ya que es-, 4::
(
tos ntlmeros'están contenidos exactamel"-
, I6 I I I te 'en 12, como podemos observar en la'
figura.
También podemos decl.r que 2,-S, 4 ,y 6' SOl')factores de '1~.
Se d,ce que se factorlza un número, cuando se expresa como producto
de SLlSfactores. Una factorlz~cl6n se considera comple~a cuando s610 te-
nemosfactoresprimos,en su factorlzac,16n. .' ' '
En cambio 5,7,8,9 no son ~ '11 ~ . .factores de 12 Vaque nlngu. . -. .. LLLI" I I r
no de ellos estO contenido ,un I I I l. [!]:::[]:I::::::-_:::::.:~J.nCameroexac to de veces en ----..-----------,. I I I I I ItI I I I I
12 como se Ve en la figura . J
,. . . I I I D:.I:I:iIaJ I I I l. .
I.
37
--~ -

PROBLEMAS P~RA AUTOEV!'LUACIQN 1-3
. .
1. Considerando el conjunto M = {a. b. c dJ forme un conjunto con todos
los subconluntos de M que tengan:
a) Cardinalidad 4' y lIámelo T.
b) Cardinalidad 3 y lIámelo U.
c) Cardinalidad O y lIómelo S.
.d) Cardinalidad 1'.y lIámelo W.
2. Si A = {O. 2. 5. 7} .decimos que 5 e: A. o que {5} e A; pero no se
puede decir que 5. e A porque 5 es un elemento. Aclarado lo anterior.
diga cuáles de las siguientes oraciones son verdaderas y cuáles falsas:
a) 4>e:A' e) 7 ~ A
b) Oe: A f) 7 e A
'.c) {O.5} e A g) Oe:.4>
d).2e:A
3. Considere como A = {1. 2. 3}, B = {1. 3. 5. 6} Y C .' {1. 2. 3. 4, 5. 6}..
Complete la 0~aci6n llenando el espacio en blanco con el símbolo
correcto. escogiendo entre e 6 ct:
a) B . C . e) A B
b) {2. 3. 1} ~A. f) B ..B
c)' A ,C g) {3. 2. 1} A
d)" 4>" B
4. d) ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto W del .problema17 1
b) ¿y la del conjunto S7
c) Compare la cardinalidad .de W con la de S.Use símbolo adecuado
(>. <) en caso de desigualdad.
d) Compare n(T) éon o(S).. '
e) Compare n(W) con n(U).
5. Establezca la correspondencia biunfvoca entre dos conjuntos de modo
que demuestre que la cardinalldad del conjunto días de la semana D.
es mayor que la del conjunto de estaciones del año E. .
6. Escriba si los números siguientes son primos o compuestos y si son
. compuestos escriba de qué número son, múltiplos.
a) 37 1" b) 21 ~ . c) -19!1' d) 72 'i
e) 27 ~ f) 15~"~ g) 51 f
7.. Realice la factorizaci6n completa, es decir, descomponga en sus fac-
tores primos los siguientes números:
a) 18 'b) 21 c) 34
e) 36 f) 64 g) 75
d) '100
~ ,..,~ ;.
:-' '1-1 JII.
J
.-¡ .
i ~,'t I~' i j > 1 1

~-
M6dulo 4
. OBJETIVOS ESPECIFICaS
- . Al concluir el estudio de este módulo, el Qlumno:
I
1. Definirácon palabras y simbólicamente la unión entre dos conluntos.
2. Encontrará el-conjunto que resulta de la unión de dos conluntos.
3. Representarágráficamente'un conjuntoconsideradoal conjuntouni. -
. verso. .'. , '
4. Representará gráficamente (mediante diagramas de. Venn) la unión
entre conjuntos. . , . .
5. 'Definirá con palabras y simbólicamente la Intersección de dos con-
juntos. . . '
6. Encontraróel.conjunto que resulta de la intersecci6n de dos coniuntos.
. 7. Representarógróficamente-mediante diagramasde Venn~ -lainter-
sección de dos conjuntos cualesquler.a.
8. Expresará-con palabrasy en lenguajesimbólico- complementode ~
un conjunto arbitrario, dado su conjunto universo. .
9. Encontrará el complemento de. un conjunto arbitrario dado su con-
lunto universal. , .,' ,
10. Representará gráficamente el complemento de un conjunto dado.
1,.. Rep~esentará gráficamente la relación e inclusióny operaciones com-
binadasentre conjuntos. '
ESQUEMA...RESUMEN
Operaciones con conluntos:' .
Unión de conjuntos. '
Intersecci6n de coniuntos.
Conluntos dlsluntos! ". . " ,
Representación gráfica de un conjun10y d.elas op~raclones
con conjuntos. I .
Conlunto complemento'de un conlunto dado.
39
,/

Operaciones con conluntos
Si reunimos los elementos de un conjunto A con los elementos
de otro conjunto B obtendremos un tercer conjunto y la opera-
ción efectuada la llamaremos unión; los elementos de este
tercer conjunto pertenecerán al conjunto A, al conjunto B o bien,
a ambos.
Elemplo a):
. Si A es un conjunto de canicas azules y B ,es un conjunto de canicas'
blancas y efectuamos la unión de A con B reuniendoestas canicas, habre-
mos producido un tercer conjunto de canicas que serán azules o .blancas.
(Recuerda que no hay canicas que sean azules y blancas, es decir,ude co-
lores m'ezclados, de modo que los elementos del' conjunto formado con la
. unión serán canicas, o azules o blancas).
. La unión de dos conjuntos se señala con el símbolo" U" de manera
. que podremosdefinir: A U B =. {x E A 6 x E B} que leeremos: "x sea ele-
mento de A o sea elemento de B". .
Elemplq b):
p = {1,2,3, 4, }
Q = {3, 4, 5, 6, 7}
P U Q = {1, 2,3,4,5,6, 7}
I .Como ve.mos, cualquiera de los elementos de la unión podría ser ele-
mento de P, elemento de Q ó bien elemento de ambos, .como el 3 y el 4.
Si en lugar de reunir los conjuntos A y B de nuestro primer ejemplo,
b.uscamos ahora los elementos comunes a ambos, estaremos. efectuando
la Intersección de. los conjuntos.
Una intersección se señala con el símbolo" ntI, y se'-define co-'
mo la operación entre dos conjuntos para obtener un tercero,
cuyos elementos son los que simultáneamente pertenecen a 10$
dos conjuntos dados.
En el caso de nuestras canicas azules y blancas, diremos que nues-
tra intersección es el conjunto vacfo porque nuestros conjuntos no tienen
elementos comunes. Cuando dos conjuntos no tienen elementos co-
munes se denominan conjuntos dlsluntos. Su intersecci6n es un conjunto
vacío (~). .
40

" En el casq del ejemplo b, la intersección fa formará el conjunto {'3, 4},
formado por element9s que pertenecen tanto a P como a a. .
Podemos entonces definir esa int~rsección como sigue:
p n a ~ {x E: P Y x E: a} = {3, 4}
Elemplo c):
sea V = {a. e. i. o. u}
sea M.= {a, b, C,d. e, f}
V n M = {a, e} I
~omplemento
,Hemos dicho antes (pág. 31) que en las operaciones con conjuntos la
totalidad de los elementos que participan forma un coniunto llamado
conlunto Ur:-iversalo de reemplazamiento (U) del cual todos' los demás
son subconjuntos. o I ' ' ,
Un conjunto muy útU en las operaciones con conjuntos es el comple-
mento 'de un ~ubconjunto S cualquiera. ,
, Si consideramos S e U el conjunto formado por los elerrrentosque a
S le faltan para completar-U es el complemento de,$ y lo señalaremos
comó' S', que se lee "S prima" o "complemento de S".
'Otra manera de definir a S' sería decir que es el' conjunto formado
por los elementos de U que no: están en S,' '
, Ejemplo:,SeaU = {todasI,asletrasdel alfabetof y V = {vocalesdel alfa-
beto}, V e U.
.' V',= {consonantesdel Qlfabeto}, '
po~que son 'las letras del alfabeto que no están en V o también las letras
que a V le faltan para completar el universo U. ~
, Nptese que por definición cualquier conjunto y su complemento
son disluntos, (Vo,n V' = cp)y t!:Iue la unión da por resultado el universo
(VU V' = U). ' I I
.Gráfica de,un conlunto y de las operaciones con' coniuntos'
Es muy útil ilustrar las relaciones entre conjuntos mediante diagramas o
figuras cerradas q.ue indican que los elementos comprendidos dentro de
esas áreas pertenecen al conjunto. "
A estos diagramas se les conoce como Diagramas de Venn, en honor
del matemático inglés John Venn (1834-1883).: Nosotros los emplearemos'
y también usaremos algunas variantés, aunque'los llamaremos en general
DlagrCimas de Venn. o ,
Elemplo: El rectángulo nos indica el conjunto universal o de reem-
plazamiento, los círculos A y S muestran coniuntos disiunt~s ya que no
tienen elementos'comunes. Los elementos 1. 2, 3 son elementos de A:
4, 5, 6, 7 ,son elementos de S y 8, 9, 10 no son de A ni de S, pero sí son
del universo. '
41

8
Unión de conlunto8
. .
Los conjuntos Vy M Que se presentan en la siguiente figura están for-
mados por: V - {l.~JN. A. E} .
. . M - {A. e: B. evG. C. F} .: luego,V U.M :;:: ll. O. W. A/E'. a. D. G. c.. F} y en el.'diagrama,se.presenta
.V U M. somt;>reando el área. corre~pondiente.' .' .
VUM:'
.
1
Intersección de conluntos
Con íos mismos conjuntos V y M present<;Jmosel siguiente diagrama que
representa la intersección; de .los conjunlo$ V n.M.
Su intersección será la zona superpuesta que encierra a los..elemen-
tos que pertenecen a ambos simultáneamente y que aparece sombreado.
V n M =. {A. E}. . .' . , '.
u
~ Conlunto complemento
El conjunto S está indicado por el círculo. S' seró su complemento que,
como hemos definido antes, será el conjunto de todos los elementos. d~1
42

¡I.~universoque no están comprendidos en S. La parte sombreado nos re-
o presenta a S'. Los diagramas de Venn presentan upa gran.ventaia para
representar los conjuntos de' verdad, porque a través, de ellos podemos
"ver" los conjuntos de verdad, es por esta razón qu~ los empleamos como
"Lenguaje" ,pues como se aprecia en Iq figura sigui~nte no es necesario
enumerar los elementos.
Ejemplos:
u .
'OO.
... A
u
I
I .J,'"
I I
a) La figura en ,la izquierda nos habla de dos
conjunto~ A V B que claramente se ve q~e
son disjuntos sin necesidad de saber qué
elementos los forman.
b) Ahora tenemos. ,~resconjuntos A, B V C. La
int~rsección entre A y B 'forma un conjunto
, que se representa sombreado V la unión de
I ese conjunto resultanfe con e se representa
, por el área ence~~a~a con la 'línea gruesa.
Cuando se combinan más de dos conlunt6s como en el' eiemplo an-
terior. .se hace necesario señalar el orden en que se efectuaron las ope-
raciones V para ello se .usan los .símbolos llamados paréntesis,así del
ejemplo b tendrfamos .
(A n B) U e
primero obtuvimos la intersección A con B V ese conjunto se unió con C.,. '., t
-43

A ,-, B e)~IAU J3j.n (8 n C).10. S$form6 el conlunto de
lb unlon'de A con '8 y en la gráfica se 80m- .
bre6 horizontalmente; 20. se form6 el conlunto
de la Intetseccl6n de 8 con C, Vse sombre6
verticalmente y 30. se busca la Interseccl6nen-
tre dichos conjuntos resultando ser el área'
cuadriculada. .
,
PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION 1-4
1. Tome el conjunto U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} como el conlunto
universal y si "
A = {1,'2,3.,4, 5,6} C = {4,5, 6,7} .
8, =. {2, 3, 4, 5} .D = {7,8, 9,10}
determine los conjuntos que se indican y represente .10operación grá-
ficamentesombreando el resultado,
a) A U O' e) A U 8' i) '(OUD)'
b)D U B f) B U ~ DO'U (A n D)
e) B n O g) c' n D -~) (B n D) U (B -n C)
d) A n D h) (A n B)' 1)(O U D) n (A U 8)
'- .
2. Utilice una figura' como la que se muestra en seguida'y sombree. úni-
camente el área que represente al conjunt9 que se da. En caso de
que sea conjunto vacío no sombree y escriba por un lado su sfmbolo.
a) A U B
b) B n O
c)(A n '8) U 'O
d) A' n, B' .
"
. I . ,.
.3. 'Escriba con palabras la'descripción del conjunto que se da y repre-
séntelo con un diagrama de Venn: considere que ,U = {x es un estu-
diante}. A = {x E: U.I x estudia matemáticas} y B = {x e: U Ix estudia
ffsica}. Además Qceptamos que A n B '* 4>(es decir que no son
disjuntos): . . '. ~
".
a) A n 8 b)' (AU B)'
4. Explique.cuóles son las condiciones necesarias que deben~cer
los conjuntos D y E para que se cumpla la igualdad que se propone'"
en cada inciso de los siguientes: '
44

a) D n e = D
b) D U E = U
c) D n E = 4>
d) D U E = D
5. Dlbule un diagrama s;leVenn de manerade que se cumplan las condi-
ciones dadas.en cada Inciso.
a) A e B, e e B, A nO = 4-.
b) A S;e, A :p e, B n e = 4> .
c) A e (B n C)..C e B, C -:1=B, A -:1=C
6. SeanlosconluntosU = {1, 2, 3, 4, 5, 6~7, 8,9, 10}: A = {x e: U Ix
múltlplo de 3}; B = {x e: U I x es númeropar}: C = {x "e:.U I'x < 7}
Escriba una operacl6n en que participen cualquiera de los conjun-
tos A B C o sus complementosde maneraque el conjunto solución o res'ul-
tante sea el que se da, unas veces en la forma enumeratlva y otras con
diagrama. de Vehn.Slmpllflque al máximo su respuesta, el diagrama pa-
tr6n es el que se da en seguida.
~{6} c)
e) "
A B
{2, 3,4, 6, 8. 9, 10}
f) {2, 3, 4, 6} ,
e
RESUMEN
Esta unidad en la que se exponen ios elementos fundamentale.s de .10
Teorfa de Conluntos nos sirve para unificar y darle cohesión a todas las
unidades posteriores apoyándonos en las Ideas y conceptos de dicha
teorfa, de los cuales no se espera que los memoricen,s'lno más bien que'
los vayan comprendiendoy apreciando su importancia a medida que los
van utilizando.
De todos los términos empleados es verdaderamente importante lo
c~mprensi6n de: "
Conjunto
Elemento
Variable'
Conjunto de verdad
Conjuntos iguales
Conjuntos equivalentes.
, Conjunto vacfo
Correspondenciablunivoca
Subconjunto propio
Oración abierta
Conjunto de reemplazamiento
Conjunto universal
" Número primo. ,
Múltiplo de un número
Unión de conjuntos
Intersección de conjuntos
Conjunto complemento
. Diagrama de Venn
45
-,-
a) {3, S"} , b)
d) I A B
.e

Paneles de verlflcacl6n
CONJUNTO DE' PROBLEMAS 1-1
1. a) A un conjunto de j'ugadores de beisbol se le llama Novena.
b) A un conjunto formado por tres guitarristas se le llama Trío.
, c) A un conjunto de monedas antiguas se le llama Colección.
d) A un grupo de alumnos que termina una carrera, profesional se le
denomina Generación. .
e) Una sala que reúne una gran variedad de libros forma una Biblio-
teca.. .
f) La reunión de soldados de un país forma un Eiército.
Sí No
2. a) O [8] .
. b) IR! D
. c) I&J D
, d) D !El
e) I&J D
3. Porque lo~ elementos que lo forman están enumeradQs.,
Sí No
O 1&]
O ~
IBJ D
~ D
~ D
Sí No
5. a) D ' ¡g]
b) ., ~ D
c) ~ D
d) D I&J
a) [&J O
6. a)S={'.2.3.4} 'c) T={2,3.4.5.6}
b) L= {4} . d) U = {1.3.4.5.E$}
7. a) A = {Estados de la República Mexicana 'en la' costa del Golfo de
México}
b) E'= {Números nat,urales menorés que 7}
4. a)
b)
e)
d)
e)
CONJUNTO DE PROBLEMAS 1-2
1 . a) Es inf'initoporque no importo qué ton grande sea el número hasta
el que contemos, siempre le seguirá otro. .
46

b) Es un eoniulito finito, porque podemos contar los ele~ñtos que
lo forman.
e) n(P) :;:: 8.
2. ,a)
b)
e)
d)
e)
3. a)M'=,p={}
Finito
O
IKI'
l5iI
O
O
b) S ={8}
Infinito
liiJ
CJ
D-
6iI
'IR)
.'
'e) T =,p d) V ={4}
Vacío No Vacío
4. a) 1m O
b) o' ria, '
e) , [8JD
d)' O ~,'
5. a) ,n(A).=, 4'
e)
f)
. g):
Vacío NoVacío
.0 1m
O 6iJ
tia O
b) n(B) =2 " e) n(C) =1
d) n(D) = 1 e).n(E) =O '
.
En el inciso e) el eoniuntó tiene' un solo elemento que..es el O.En el
inciso d) el conjunto tiene,un solo elemento,que es él eoniunto vacío.
6. a) A :¡é:B b)'B :¡é:e
d) B = '{5,2, 3} (eJ orden no .se considera)
e) {2, 5,' 3} :¡é:A
e) C .-:A
CONJUN,TODE PROSLEMAS 1-3
, ,,-
1. a) T =Ha, b, e, d}1 ' ..
b) U =_{{a,b, e}, {a, b, d}, lb, e"d}, (e, d, o}JCada eoniunto de eordi-
, 1'; -' nolidod 3 es un elemento
, " del, eonlunto U
e) S ={4>} ,
, d) W = {{aL lb}, {e},',{d}}
2. a) Falsa
b) Verdadera
e) Verdadera
d) Ver~adero '
e) Falsa
f) Falsa
g) Fol~a
3. a) B cC
b) {2, 3; 1} Q:A
e) A e e
d) ,pe B
4. a) n(W)= 4
d) n(T)= n(5)
- e) A ct:B ,
. f) B Q: B(E1 símbolo' e significa
subeoniunto propio)
g) {~, 2, 1} Q:A
b) n(5) =1, e} n(W) > n(5)'
e) n(U) =n(W)
47

5. D = {lunes, martes, miércoles, jueves,' viernes, sábado, dor:ningo}
~ ~ ~ ~ ,+ J. +
E = {primavera, verano, otoño, invierno}
n(D) > n(E)
T 6. 0),37 es número prilT)o,sólo es divisible entre sí mismo o ,lo unidad.
b) 21 es número compues~o, sus factores primos son 3; 1'.
c) 19 es número primo. '
d)'72 compuesto; factores primos son 3. 2. Existen mós factores paro
formar 72, pero son números compuestos como 9, 36, 4, 6, etc."
, e) 27 'compuesto; factores primos 3.
f) 15 compuesto; factores pri.mos 3, 5.
g) 51 compuesto; factores primos, 3, 17., ,
1, o) 18 = 2 .3 .3 = 2 .32
'b) 21 = 3 . 7
c) 34 = 2 .'17 '
d) 100 = 2 . 5 . 2 . 5 = 22. 52
e) 36 = 2 . 2 . 3 . 3 = 22. 32
f) 64 = 2 " 2 ~2 . ~ . 2 . 2 = 26
g) 75'= 3 . 5 . 5 :;::: 3 .52
. '
1. o) 'A U e = {1, 2, 3, 4~5, 6, 7}
,VVI~ ~')
U'
.
4
2 S~.
.
7
3 6
A ' 'C
AUC
, b) D U B = 1{2,3, 4, 5, 7, 8,'9, 10}
}.JiH'O'"'
8B
DUB
D
c) ,B n e = {4,5}'
In "r"''O(úor"
U
([)
.. 6
S '
3 7
B. C
48
~ -

d) A n D = { }
u
~', t~
El> A U 8' ={1,2,3,4,5',e, 7,8,9, 10}
=u .
f) ,8 U</>= B
g} c' n D = {S,9, 10}
h) (A n 8)' == {1, e, 7, 8, 9, 10}
1) (C U D)' = {1, 2, 3}'
., U
01 2 3
(8'7 8 9
4 5 10
6 ,
A "D
u
8B
j) 9 U (A n D}=C U</>= e
u
D
AnD
A U B',
~
BU</>
c' n D
(An B)',
A ,.
~ ,
."
'49

, ,
~) (B n D) U'(B n C) = q,'U {4,5} = {4~5}
BnD=q", ,
B n C =={4,5} '~
'u
n (C U D) n (A U B)
, C U D '= {4, 5, 6, 7, 8, 9" 10}
AUB=A
{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n A =={A,5,,6}
~
2. a),
A
~B e
c)
AUB'
~e
BnC
d)
An B=~ ..
C=~'
@j
A'= ~
~
B'~ ~
Todo lo I
,~ que tenga,
A~ n B' = '~ cuadrfcula.
(A n B) U e lodo lo sombrea~o .
3. ,a) A n-B =' {x..~ U'¡,x estudia matemáticás}' () , {x-e: Ú Ix estudia
, "ffsicaf - ,".. , '
'- {x. e:. l:J I x. estudia matemáticas V física}
~
u
B
~

b) (A U B)' en este caso conviene primero dibujar el diagrama.
{x E: U Ix no estudia matemáticas ni física}.
También {x E: U I es falso que x éstudia .
matemáticas o física}
c) A' U B' =Todo lo sombreado con cualquier rayado.
B
{x E: U Ies falso que x estudie ambas,
matemáticas y física} "
A
. .
4. a) Para que la intersección nos dé ese resultado es
necesario que: De E es decir que Desté conte-
nido en E
I U
8
" .
.
D I bl Para que la unión de dos C~':Iiuntos.cualquiera
E produzca el Universo es suficiente que un c.on-.
junto sea complemento del otro . .
D=~6E=~ .
. I
e) En este caso los conj~ntos deben ser disjuntos.
d) Como en el inciso a) s610que ahora es E el subconjunto
propio de D . .
el CuandoE= U 65.
5. a)
51

b) . De 1asdos primeras condlc.lones
se saQa'en conclusl6n que. la In';'
formacl6n completa seria A c;:: e
. .
6.
c,) .
a) A n e v b) A n B
d) ~
ArJ5::)B .Aai:)B
.. 'V (AUB)nc V .e - e .
. c) AU B
~n~nc
f) (AU Sr n e
52
-
-

.. UNIDADII
ELEMENTOS DE LOGICA
. MA TEMA TICA . .
,
_.a ~

'Introduccl6n
-,
Por muchOs'años el estudio de' la lóg'ica se consideró i'ndependiente de
'10 matemática, siendo .así-que los lógicos eran. incapaces de simbolizar ,o
seguir unraionamiento .simbólico y losmate~áticos ajenqs totalmente
a. la ius~ificación de las técnicas que iban aprendiendo: los lógicos se
remitían al estudio de los antiguos griegos Y ,los matemáticos a estudios
de las ciencias. .
. .Afortunadamente para todos, la evolución de ambos estudios ha lIe-
o.gado.a tin punto en el que es imposible distinguir una frontera entre am-
, bos,. separar lo que sería solamente lógica de lo que sería solamente'
matemática, a este respecto Bertrand Russell nos propone decidir,' en qué
punto de las sucesivqs definiciones y' deducciones de su obra "Principia
Mathematica" acaba la lógica y empieza la' matemática, siendo evidel1te
que cualquier .respuesta. sería completamente arbitraria.. ' ,
Podemos considerar entonces a esta unidaq Gomo el primer y más
importante paso en el estudio 10rmal d,e los fundamentos de la matemá..
tica, au.nque para cumplir nuestros' objetivos no profundicemos demasiado
por ese camin,o. '.' .
55

Objetivos generales
.,1
/
. Al término de esta unidad, el alumno:
,.
1. - Distinguirá los principales métodos de la lógica.
2. Utilizará el lenguaje de conjuntos -visto en la unidad anterior-o para
representar simbólica. y gráficamente las proposiciones del lenguaje
ordinario. .
3. Simbolizará proposiciones dadas en el lenguaje común.
4. Traducirá proposiciones-en len~uOjesimbólico al °l~nguajecomún.
5. Aplicará los conectivoslógicos en las operaciones de la 16gica.
t
6. Interpretará.el valor de verdad de proposiciones compuestas con ayu-
da de diagramOasde Vet:'ln. .
56
"""'- --

57
.Razonamiento- deductivo Razonamiento
inducti,vo
Oración gramatic.al
ProposiciónY sus partes
Gráfi9a .de prop.
, simples-
Coniuntos y Diagramas Gróflca de proposición
de Venn Abierta
I
Operaciones con con- Conjunción, disyunción
juntos y conjunto com- negación , I
plemento
Leyes de DeMorgan
Cuantiflcadores
Negación de proposición
con cuantificadores
Equivalencia lógica
Implicación
Conversa
Contra positiva Inversa
Doble Implicación
Silogismo Reglas de
inferencia
Demostración a dos
columnas.

Glosario
.. - l'
. Razonaml~mto Inductlvo. Es ~I proceso de encontrar un principio genera1
. basándoseen la presentación de hechos o casos especificos. '
Razonamiento deCIuctlvo. Es el proceso mediante el cual se hace uso de
un principio general, aceptado como verdadero, para obtener una,
conclusi6n en un.hecho.0 caso particular. ..' .
Postulado. Proposición acerca de obietós. bi~n definidos, la cual se acepta
como verdadera. Los .postulados iunto a fas definiciones son los pi-
'lores y puntos de partida de una teoria. . , .
Proposicl6n~ Es la oración gramatical cuyo significado forzosamente ha
de ser: "verdadero o falso". pero no ambos. a la vez..
Proposlcl6n simple. Es aquella que no, puede separ:(]rse en otras propo-
siciones ,un'idas por uno o más conectivos 16glcos. . .
Proposición abierta. Es el. tipo de proPOsici6n que -contiene alguna varia-
ble y un coniunto de reemplazamiento para ella.
Valor de verdad. Es la propiedad que tiene toda proposición: esto es: ser
verdadera o bien, ser falsa. SI la proposlcl6n es verdadera decimos
quesu valor de verdades 1, y, si es falsa.su valor de verdades.O.
Conlunto de verdad.' Coniunto tomado por los elementos del conlunto de
reemplazamientpde una proPOslci6nabiert(J y que la hacen verda-
dera. . .'
Conectlvos í6gleos.Sirven para asociar dos o más'proposiciones. Estos
coneqtlvosson "y", "0", "si. .. entonces". . . ,
Proposlcl6n compuesta.' Es una proposición form~da por dos o más 'pro...
posicionesunidaspor.conectivos. '.'
Conluncl6n.'Proposici6n compuesta formada por 'dos proposiciones aso-
claaas por elconectivo "y". '
Dlsyuncl6n. Proposición compuesta formada por dos pro'posiclonesaso-.
cladas por el. conectlvo'''o''.,
Cuantlflcador universal. Expresl6n "paro todo x", que se apll~a a propo-
siciones abiertas que con~lenenla variable x para Indicar referencia
a una totalidad de suletos.
Cuantlflcador exlstenclal. Expresi6n "existe un x tal que", que se aplica
a proposiciones abiertas que contienen la variable x. para afirmar la
exl~tencia de algún suleto... . . .
Hipótesis. Es una'proposici6n que se toma como punto de partida de una..
. prueba. .', '
, Prop~slclones equivalentes. Son aquellasque tienen el mismovalor de
verdad o el mismo coniunto de verdad.
Conversa. Si cambiamos el orden. de las pr9PQsiclonesd$lando en su
lugar al conectivo, formamos una variante de la Implicación, a la
. que llamamos "conversa".
Contra positiva. -q => -p es ,la "contraposltiva" de p => q.
Inversa.,...,p => ,...,q es la "'inversa"de p => q. ,
Doble Impllcacl6n.OperaciQn binaria la cual con'ecta dos proposiciones
. por el conectivo 16glco"si y s610sf". Es decir, es lo mismo que una
proposicl6n "Implica a la otra y-es implicada por ella". '
~

M6dul~ &
. OBJETIVOS ESPECIFiCaS
Al concluir el estudio de este módulo, el alumno: :
1. Disti.nguirá entre razonamiento en que se empleen los métodos induc-
tivo Vdeductivo. .
Definirá con sus palabras la idea de proposición.
Distinguirá entre un conjunto de oraciones dadas cuáles son propo-
siciones. '.
Construirá proposicio'nes 'simples V proposiciones abiertas dando su
valor de verdad o conjunto de verdad. .
Graficará, mediante diagramas de Venn, proposiciones simples V
abiertas identificando su valor de verdad o conjunto de verdad.
2.
3.
4.
5,
ESQUEMA RESUMEN
Método~ de la lógica:
. - Inductivo.
- Deductivo.
-:- AnaI6gico.'
Proposiciones simples V' abiertas:
- Proposiciones simples.
- Valor de verdad. .
- Proposicionesabiertas.
- Conjunto de verdad.
- Gráficas de proposiciones.
59

Induccl6n y deduccl6n
t ,
La lógica tiene por obleto facilitarnos el camino para llegar a la verdad,
utilizando para ello el método raciona'l que procede en dos formas, la
formaInductlvay la formadeductlva.' ,
Lá forma Inductlva es el proceso de encontrar un principio general~
basándose en la presentación de hechos o casos especfflcos; tiene' su
aplicación principalcomo método de descubrimi,ento.por elemplo: Eduardo
fue enviado a la Dirección de la Escuela durante cuatro dios seguidos
por llegar tarde a clase~Cuando llegó tarde el quinto dfa concluyó: "me.
enviarán a la DlreccI6n".Usó un razonamiento Inductlvo al concluir que
lo enviarfan a la Dirección por el hecho de que asf .habfa sido .durante
cuatro dios. es decir. que basado en hechos. generalizó que asf sucederfa
siempre. . '
Sin embargo, eLrazonamiento Inductlvono siempre Qonducea resul.
todos exactos y debe usarse con precaución; toma siempre como base una
suposición por lo que. aunque sus conclusiones representan 'un.razona.
miento.Inteligente, no son conclusiones probadas.
. La formadeductivoes el proceso medianteel cual una persona usa
un principio general. aceptado como verdadero.para obtener una con.
clusión en un caso o hecho particular: algunas veces a la conclusl6n
misma se le llama deducción; elemplo: Es principiogeneral aceptado que
a todo alumno que llega tarde a clase se le envio a la Dirección de"la
Escuela: en un caso particular. Eduardo llega tarde a clase por 1.0que
conCluye:"me van a enviar a la DlreccI6n".Ahora usó un .razonamlento
deductlto, pues aceptando el 'prlnclplo como verdadero. razoo6 a partir
de él 'para sacar una conclusión en su .caso particular.,
"Deducir es razonar en Matemática". Efectivamente. el' razonamiento
matemático es eminentemente deductivo y los principios en los que se
apoya son de dos tipos: los.Postulados y las Deflnlclon,.. Tanto los POI-
tulados como las Definiciones son Principios Generale. que aceptamos
comoverdaderos. . .
Proposicionessimplesy abiertas. . .
En matemática,al Igual que en el lenguale coman,tenemosque tratar
conoracionesen lasqueexistela posibilidadde decidirsi sonverdaderas
. Q son falsas. Paraque esto sea posible,las orQclonesusan términoso
sJmbolosque tienen un significado Canlcoy bien definido; cuando' se trata
de un~ oraciónabierta, como se definióantes en conluntos.la oracl6n
debese.ro falsa o verdadera,péro no ambascosas,con cada valorque
s~ asignea la variabletomadode su conluntode reemplazamiento.A las'
oracionesde lasquesepuededecirsl.sonverdaderaso sonfalsas.'abler.
tos o ne, se les.lIamaproposlclor.es.Ejemplode oracionesque 80n pro-
posiciones: ",
1.' '~xes un.número Impar:x E:N".Es proposiciónporquecon cadanCl.
mero naturalque se reemplacea la "x" la oracl6nseró, o falso-o
, verdadera. . .
m

/
i'.
2. Un triángulo equllátero es Isósceles. (Falsa).
3. 3 + 9 = 6x~x e: N: (.proposición),por lo mismo que en el ej..No.l~
4. 9 es un factor de 27. (Verdadera)Proposición.
5. Mont,rrey es' un estado de la República Mexicana: (Falsa}.. '"
Elemplode oracionesqu_eNO Ion proposiciones porq,ueno se puededecir'
de ellas que sean falsas o verdaderas.,~ ,.' ,
a) 2x'+ 5 = x - 1: (No. se da conlÚnto de reemplazamiento para 'la-va-
. rlable por lo que no hay modo de decidir cuándo sea falsa o cuándo
sea verdadera). -,
b) Juan tiene 21 años. (No se define' de qué Juan se trata, por lo que no
se puede decidir si es falsO o verdadero). , .
c) "y" es un número Impar. (No se da conlunto de ~emplazamlento para
la variable "y".
Observando los elemplos anteriores, podemos clasificar a las propo-
sl.clones e,n dos tipos. " .
A aquellas proposiciones de las que Inmediatamente se puede
decir si son verdaderas,o son falsas las UamaremosProposlclo-
nel Slmplelr De e,lIasse dice que tienen un valor de verdad,
Verdaderoo Falso.' ,.
El otro tipo de'proposición es aquella que tiene arguna variable
y un conl'untode reemplazamientopar(l ella. A éstas las llama-
remos.Propollclonel Ablertal, y de ellas se dice que tienenun
conlunto de verdad, el cual es un subconlunto de su conjunto de
reemplazamiento.El conlun.o de verdad lo forman los elementos
que,hacen que,la proposición sea verd~dera.
De acuerdo con lo anterior, a cualquier proposición abierta se le con-
vierte én' proposición simple al asignar para la variable un elemento del
conlunto de reemplazamiento.
Elemplo: . .. ,
"x es un n~mero Impar; x e: N". Esta es una Proposlcl6n abierta y
tiene un conlunto de,verdad q4e es,el de los n~meros Impares,el cual es
un subconlunto del conlunto de .Ios números naturales, su conjunto,de
reemplazamiento.SItomamos de "N'~el número7 para 'reemplazarla x, la
proposlcl6nqueda como "7 es un númeroImpar" de la que Inmediatamente
podemosdecir que es Verdadera.SI tomamosel 28,dlrfa "28 es un namero
'Impar". Falsa. - . - ' . , ",
NOTA:Númeroparesaquelqueal dtvldlrloentredosda residuo= O. .-
NúmeroImpar,es aquelqueaJdlvldlrloentredosda un residuo= 1. '
Gr6tlca de propollclone. ,-
Los proposiciones simplesson oraciones declara~lvasque tlenén un sujeto'
. y un predicado,.No tienen'componentesunidos por conlunclones'como"V",
"0", "sl .. ,.entonce.s", Yfgeneralmente usan el verbo ser:: esto último
facilita que se puedan re-escribir o modificar 'para decl,rque un 'suje~o,es
81

o no' es, elemento de cierto conjunto, y representar esto por medio de un
diagrama de Venn. Es decir, podemos emplear el lenguaje de conjuntos
tonto simbólico como grófico visto en lo Unidad I poro nuestros proposi-
ciones en el lenguaje ordinOrio. . .
Eiemplo a): "6 es "unnúmero por" puede reescribirse
como "6 es un elemento del conjunto de números
, pares" y. graficar lo. proposición como se muestro
en lo figuro.
Eiemplob): "Todo hombre es mortal" se. re-escribe
como "El conjunto de todos los hombres es un sub-
conjunto del conjunto de todos los mortales".
Lo gráfico de lo proposición abierto es el diagrama de Venn repre-
sentando 01 conjunto de reemplazamiento y su subconj'Unto el coniunto
de verdad; también llamado conlunto solución.
Elemplo a): "x es un número por; x E: N'
62
Elemplo b):-/Ix es un múltiplo de 4; x e: N".
-- - -- '...

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION H-5
. Use el razonamiento inductivo para establecer un principio general,:
. 1..Un estudiante de nuevo ingreso observó duranté varios lunes conse-
cutiv()s que se teunfa a todos los alumnos para hacer el saludo a la
Bandera . . .
, conCIUSI~n:~ ('1,:./~~"~, '. : ~ ~. ,. . ','... .
. r 1. rJtO..f.,~ .. 011-. ~ .~.' . i" ; . ) , . .. '. ¡ <
Use el razonamiento deductivo para establecer un princif)ioparticular:
2.. Todos los iugadoresde las Ligas Mayorestienen buen salario. Si
Garcfa es un iugador de Liga Mayor entonces.
." Conclusl6n: ( f L...~Ct . .. _t'
En.Io~siguiente's problemas diga si la conclusión se obtuvo por Induc-
cióno por deducción: . .'. .
3. Hoyes marte$,mañana será miércoles.el c:..l_.. ~ I ..
4. Lloverá esta Navida~, p'lesto que cinco años con~ec.utivos ha llovido
en Navidad. I '. 1"
5. Si el perfmetro de un cuadrado m,
ide 4ccm, cada lado mide un cm.
.. . C~ el ~C . '-i ~ -
. En los siguientes elercicios clasifique IQsoraciones. diciendo si son o
no, proposiciones y en caso afirmativo, si éstas son simples o abiertas
dando su valor de verdad o su conlunto de verdad según sea el caso.. .
8. "5' es un número Impar"..
7. "2x+ 1 =5".
8. "3 + 9 =2x; x e: N". . '.
9. "x es un número par; )Ce: Ñ.":
Utilicéel lenguale de conluntos para modificar las siguientes proposi-
c,io~esy.asf pod~r graficarlas. . ' .' . '
10. "Todos los múltiplos de 8 sOfJnúmeros pares".
11. "3 < 5". I .
r ...,.,
,,1
63

M6dulo 6
.'
Al concluir .el estudio de este módulo, el alumno:
1. Dada una lista de proposiciones qiscrlminará las simples de las
compuestas. .'
2. Dará ejemplos de prbposicion~s expresadas en lenguaje común, uni-
das por el correctivo conjunción.
'3. Encontrará el valor de verdad o conjuhto solución en la conjunción
de p~oposiciones simples o abiertos respectivamente.
4.' R'epresentará mediante diagrQmasde Venn el conjunto de verdad de
la conjunción de dos proposiciones. "
5. Distinguirá entre IQ disyunción inclusivo y la exclusiva:
6. Encontrará el valor de verdad o conjunto solución en la disyunción
de dos. proposiciones dados.
7. Representará, mediante diagramas de Venn el conjunto solución de la
disyunción de dos proposiciones abiertas.
8. Graficará, utilizando, diagramas de Venn, proposiciones compuestas
que llevan los "conectivos lógicos": y, o, encontrando el coniunto
, de verdad de ellas.
ESQUEMA RESUMEN' .
ProposIciones-compuestas. .
Conectivos lógicos:
- Conju~ción.
- Valor de verdad o conjunto de verdad.
- Representacióngráfico mediante diagrómas de Venn.
- Disyunción inclusivo:
- Disyunción-exclusiva.
- Valor de verdad o conjunto de verdad.
- Re'presentacióngráfica mediante diagramas de Venn.
64

1/ .~ .'
" c.,
Proposiciones compuestas -...
t 'f' .
I"" ,.,
..
Las proposiciones simples, y abiertas son los elementos básicos en el ma1-
nejo de nuestro lenguaje, y partiendo de 'ellas .pueden"cc;mstruirseotras r
cada vez más complejas, asociándolas mediante conectivos que llamare-
mos eonectlvós lógicos. Estos conectivos son: "y", "o", "si . . . entonces".
Usaremos también la partícula ".no" aunque hablando eón propiedQd no
es un conectivo ya que sólo afecta a una proposición. A las proposiciones
así asociadas las. llamaremos Proposiciones Compuestas y su valor de
verdad o su conJunto de verdad dependerá de los valores de verdad o
,conluntos de verdad de .las proposicionea componentes. .
Conlunción '
Si' asociamos dos proposiciones usando el.conectivo lógico "y",
formamos una proposición compuesta llamada proposición eon-
, luntiv~o simplemente coniunclón.
La co'nlunciónde dos proposiciones simples es verdadera sólo si am-
bas proposíciones sonverdaderas, -ya,que 'estamos afirmando las dos
declaraciones; si una de ellas es falsa o si ambas lo son, entonces la
conluneión es falsaó .' . '. '
D~bemos tener presente que ,una proposición simple tiene un valor' de
verdad (verdadero o falso) ,.mientras que una proposición abierta tiene un
,conlunto 'de verdad o coniunto solución formado por los 'elementos del'
conjunto universal O' de reemplazamiento que hacen de .10 proposición
abierta una proposición simple y verdadera. Por lo anterior la coniunción'
de dos proposiciones simples' tiene un valor de ~rdad como vemos ep los
siguientes ejemplos: '" ' ,
'. Elemploa): "4 es '1;.10.número par y 4 es numero natural". Vp.rdadera,
ambas proposiciones lo son. , ,
Elemplo b): "3 es un número natural y 3 es un número par". Falsa,
- porque Ja segunqa proposición "3 es número par" es falsa.
Elemplo e): "Yo soy alumno del ITESMy no sé leer". Falsa, la segunda
proposición "Yo no sé leer" es falsa. '. . ' "
La conlunción de dos proposiciones abiertas es sólo ver:daderapara
aquellos elementos del c:bnjunto de reemplazamieñto que hagónque
ambas proposiciones ,abiertas sean verdaderas; si un elemento hace
que alguna de las proposici,ones o que ambas sean falsas, la conjunción
se'rá,falsa para ese elemento. " ,
Como ,cada proposición abierta tiene su conjunto de verdad tendre.;
mos dos conjuntos de verdad y el conjunto de verdad de la conjunción lo
formarán los elementos comunes., es decir, los que pertenezcan a Id inter-
sección de los dos conjuntos de. verdad.
Elemplo: "x >- 5 Yx es un número par; x 'E:N". Esta eonluneión sólo
será verdadera para elemen~os de N que siendo números pares sean a la
65

vez mayores que 5. El conjunto solución o de verdad se 'podría escribir
como: ¡ .
. {x e:'N Ix> 5 Y x ~s par}. Este conjunto c~)rrespondea la intersec-
ci6n 'del conjunto A = fx e: N Ix> 5} con el con;unto B = {x e: N Ix es
par}. '
N A B
En estos casos es partic~larmente útil la'
gráfica con los diagramas de Venn. donde N
es el,conjunto universal o de reemplazamiento
y la',solución de la proposición coniuntiva que-
da graficada p~r la intersección de A y B.
En'las siguientes coniunciones encuentre el valor de verda,d o el con-
¡unto solución con su gráfica. según sea la coniunción de proposiciones
simples o abiertas respectivamente. . .
1.' Cinco veintes hacen un peso y dos veintes hacen un tostón.
2. x es un número par y x es menor que'5; x E: N.. .
Si sus respuestas son acertadas siga adelante.
Respuestas' '. .
1.. Falsa. La segunda proposición es falsa lo que hace falso a 'la coniun-
ción. ' ,
2. Conjunto solución = {x e: N Ix < 5 Y x es par} = {4. 2}.
'
N
Disyunción,
Cuando dos proposiciones I se asocian con el conectivo lógico
"o". la proposición compuesta que se forma s.ellama proposición
disyuntiva o disyunción.' ,
. ,
. En español el conectivo lógico "0" tiene dos significados. uno es el
llamado "0 exclusivo') que se entiende como "0 uno o el otro. pero NQ
ambos"; y -el otro se llama el "0 Inclusivo'" que se entiende como "0 uno d
el otro. o ambos". En Matemática. como en la Lógica. es este último signl-,
ficado el que se utiliza siempre.
.. Ladisyunción de dos proposiciones simples es verdadera si cualquiera
de las proposiciones es verdadera y sólo será falsa cuando ambas sean
falsas. pues er:"este caso se afirma cualquiera de las proposiciones.
Ejemplo a): "6 es factor de 35 o 6 + 2 = 8". Verdadera; porque la se-
gunda es verdadera. aunque 1<:1primera "6 es factor de 35" es fals~.
66
II

, Eiemplob): "Yoestudio preparatoria o tengo más de 10años". Verda-
dera; .ambas proposiciones son verdaderas., - '
Eiemplo e): "Monterret estó en FranciQ o estó en Brasil". Falsa: am-
bas proposiciones son falsas. . ~
Lq disyunci,6nde dos proposiciones abieatos es verdadera paJa los
elementos del coniunto de reemplazamiento que hagan verdade~a a cual-
quiera de las dos proposiciones abiertas que la,componen, o para aquellos
elementos que hagan verdaderas a las dos. Esto en coniuntos corresponde
a la unión de los dos conjuntos solución.
Elemplo:"x> 5 o x es un número
par: 'XE: N". Esta disyunción es verda-'
dera poro elementos de N que cumplan
una cualquiera de las dos afirmaciooes,
es decir que dichos elementos perte-
necen ,al conjunto solución de x> 5 0
pertenecen al coniunto ,solución de x
es por, o pertenecen a ambos. Puede
D u El: observarse por lo antes dicho que lo
Gráficade laDisyunción solución corresponde Q la unión de un
, , conjunto D ={x E: N Ix> 5} con un
conjunto E = {x e::: N Ix es par}. La grófica de las proposiciones abiertas
en un"mismo conjunto de reemplazamiento nos da una, mejor y mós clara
ideo'de la solución. Sólo 1, 3, 5 no pertenecen a la solución. '
En las siguientes disyunciones encuentre el valor de verdad'o el con-
junto solw;;ióncon su grófica, según corresponda:
1. El número 9 es primo o el número 9 es impar. ,
2." x es me.norque 6 o.x es por: x e: N.
Si sus respuestas son correctos sigo adelante, coso contrario repose
la disyunción., '
Respuestas:
1,. Ve~dadera; aunque la primera proposiQión,es falsa la segunda es '
ver~adera.
N D E
N
2. {xe: N Ix < 6 o.x es par} =
{1,2,3,4,5,6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}
Las proposiciones pomp'uestas que hemos analizado son las mós ele-
mentales ya que los formamos al conectar dos proposiciones simples o
dos proposiciones abiertas, pero en muchas ocasiones conectamos pro-
posiciones simples con proposiciones compuestas o aún mós"conectamos
dos proposiciones compuestas haciendo que la proposición resÜltantesea
coda vezmós, compleja y por lo mismo más difícilpara determinar su valor
de verdad'o su conjunto de verdad, pero siempre será posibledeterminarlo
si procedemos'metódicamente como en los ejemplos que siguen: '
Elemploa) "El 7 es un número nqtural primo y además es impar".
67
¡;¡:f' a~.----

En este caso tenemos tres proposiciones ~imples en conluncl6n que
podemos simbolizar usando letras minúsculas: '
p: El 7 es número natural
q:. El 7 es número primo
r: El 7 es número i~par
(p y q)' y r
El valor de verdad es verda~ero, porque siendo p verdqdera y q tam-
bién, suconiunción es verdadera; como r es verdadera la conjunción de la '
conjuncion p y q con r será también verdadera. .
Eiemplo b)
Considerando U-' '{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} co~o universo de la va-
riable ¿cuál' será~el conjunto de verdad de "x es un múltiplo de 2 menor
que 9 o es un número divisible entre 3 mayor que 5"7
Primero necesitamos saber' cuántas proposiciones diferentes de (as
llamadas básicas tenemos y vamos a simbolizarlas.
a: '''x es múltiplo de. 2" c) "x es 'divisible entre 3"
b: "x -<,9" d) "x > 5" .
Identificamos en seguida los conjuntos .de verdad de cada proposición
considerando que U es el conjunto de reemplazamiento.
, A ={2, 4, 6, 8, 10} , '
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, a}
e = {3, 6, 9l
D = {6, 7, 8, 9, 10}
Ahora simbolizaremoslas relaciones entre las proposiciones; a, b'for-
man una conjunción aunque podemos observar 'que no se mencionó el
conectivo "y" Este se encuentra rmplícitoal decir que'''x es múltiplode 2
menor que 9" (a y b) , .
. e, d también están en conjunción (c y d)
y las dos, eonrunciones forman una disyunción
(a y b) o (c y d)
'- Po~lo que el conjunto de verdad de esta compleja proposición será:
/
a y b; A nB {2,4,6,8}
c y d; C nD C
CID
D
6 7
3 8
9 '10
{5,'9}
'(a y b) o (c y d); (A n B) U (C n D)
{2, 4, 6, 8} U {6,9} = {2, 4, 6, S, 9}
68
- - -- -

i
PROBLEMAS PARA AUTOEV ~LUACION 11-6
'Use el lenguaje de conjuntos p~'rp .reescrittir las siguientes oraciones:
1. Todos los múltiplos de 6 son números pares.
2. 3 es un número impar. . '
3. x es un número natural y es menor que 4..
,4. El triángulo T es equilátero.
5.8. Los problema's 5, 6,'7.y 8 grafíquelos. Utilice los primeros cuatro res-
pectivamente. - .
En los problemas siguientes ilu,stre con diagramas de Vef1n, los pro-
posjciones simples que se dan, considerando al conjunto N como el
. conjunto universal. . '
9. El conjunto de todos los números primos mayores que 2 es un sub-
conjunto del conjunto de números impares.
10. Todos los múltiplos de 2 son números pares.
11. Ningún número primo es múltiplo de ~
Para los problemas siguientes considere que M = {1. 2. 3, 4, 5,6,7,
8,' 9, 10} es el conjunto de reemplazamiento. .
12. Con las siguientes proposiciones .forme la disyunción y escriba una
lista de los elementos que pertenezcan al. conjunto solución, HX es
- menor que 8"" "x es múltiplo de 3", .
13. Forme Jadisyunción de ,"x es múltiplo de 3" con la disyunción entre
','x es número par" y "x es menor que e-". Escribo una listo de los
elementos del conjunto solución. .
14. Con cualquiera de las proposiciones utilizadas en el problema ante-
rior forme una proposición compuesta cuyo conjunto solución es
{3, 6}. Indicación: Puede formar la proposición compuesto usando
otras ya compuestos como en el problema anterior.
.15. . Con las proposiciones usadas en los problemas .anteriores forme una
,que tenga como conjunto solución {2, 3, 4, 6}. .-
Sean A,-B, C los conjuntos solución 'de tres proposiciones abiertas
o, b, c, respectivamente. (Ninguno de los tres es conjunto disiunto).
Dibuje los diagr.amas de Venn para las siguientes proposiciones com-
puestas, sombreando 'el área que representa la solución de la pro-
posición compuesto.
16. o o b -.
17. b Ye -
18. (b Y e) o a
19. b Y (c o a) '
20. . b Y (c y Q)
89
-~ ~ -~-

M6dulo '7
Al concluir el estudio de este módulo~ el alumno:
1.
2.
3.
4.
5.
Expresará ,la negación de una proposición dada.
Enqontrará, graficará el conjunto de verdad de la negación de una
proposición.
Construi.rá la negación de una coniunción~
Construirá la negación de una disyunción. I
Representará gráficamente utilizando diagramas de Venn y aplicando
la3 leyes de De Morgan la negación de proposiciones conjuntivas o
disyuntiyas. ' '
Discriminará entre un cuantificador uni.versal y un (fuantificador exis-
tencia!. ' '
Construirá proposiciones con cuantificadores.
Negará proposiciones con cuantificadores.
Representará gráficamente mediante diagramas de 'Venn la negación
de' proposiciones que cont,engan un cuantificador universal o el cuan-
tificador existencial.
6.
7.
8.
9.
ESQUEMA RESUMEN
Negación de proposiciones:
- Negación de una proposición abierta.
~ Conjunto de verdad.' ,
- Representacióngráfica mediante diagramas de Venn.
- Negaciónde,proposicionescompuestas..
- Negación qe una conjunción.
- Conjuntode verdad. . .
- Representacióngráfica mediante diagramas de Venn.
- Negación de una disyunción.
- Conjunto'de verdad.'
- Representacióngráfica mediante'diagramas de Venn.
- Leyes de DeMorgan.
. Cuantificadores lógicos:
- Cuanttficador univer~al, y su negación. .
- Cuantificador existencial, y su negación.
- Representación. gráfica mediante diagramas de Venn.
.,
70

Negación'
Ya mencionamosque aunque la partícula "no" afecte sólo a una propo- ,
sición, consideraremos qu~ la negación de una proposiqión datfa forl11a
una propo~ició{l compuesta. El'valor de verdad de la proposición así com-
puesta..es el opuesto del valor de verdad de la proposición dada.
Eiemplo: Al pensar 'la negación de la
oración "Hoyes un, día nublado". Escribi-
mos~"Es falso que hoyes un día nubl'ado"
'o también "Hoy no es un día nublado".
Puedeobservarseque si la proposición da- .
da' es verdadera 'entonces la negacit,Snes
falsa, y viceversa. La representación, de
la proposición dada en ~n ,diagrama
de Venn se mue~tra a la izquierda; eh él
se observa que la solución o representa-
.ción'gráfica de la negación es precisamen-
te el conjunto complem.ento.
Si la proposiciórí dada es abierta. los di"agramas de Venn so~ todavía'
más valiosos, para determinar el conjunto de verdad' de la negación. En el
ejemplo siguiente tenemos la proposiciól1 "x es múltiplo de .4;x 'E N". cuya.
y~~ negación sería "es falso que x sea múltiploN . de 4; x E N".o "x no es, múltiplo de 4; x E N".
De acuerdo a lo antes dicho la proposición
es verdadera para los elementos del conjun-
. to de reemplazamiento que hagan falsa a la
proposición original. En seguida presentamos.,
el diagrama de V~nn. La parte sombreado re-
presenta la solución.
,Un error muy común es el,de considerar que la negaciQn .de una pro-
posición es otra pfo~osición, que afirma al'go Conjuntos de todos los días ~
contrario o algo diferente. Por ejemplo algu- ~ .-
nos pretenden negar la proposidón "Hoyes 100 W ... ~,lunes", diciendo "Hoyes ,jueves". " ~ ~ ...%'/!-%~r~
El diagrama de Venn para" "Hoyes lu- .~'~-¡§§ ~~ ~~,~~~~ t
, nes", ~i el conjunto ~e ree~pI9z<:J"!1ientoes .§~1~.~~.~~'E~~~~
el conlunto de todos los diOS, sena el que ~ ~ ~~ ~~ ~'~o~~~.s
se muestra a la derecha; e"l él se pyede no- :~:~:~:~:~:¡~...
tar que el complemento sena el con'luntode' .g%c0c~c~.§~c~.gmartes, miércoles
,
' jueves, viernes, S
.
ábadoS ~t~~~~~~~~~~ .y domingos. Por lo que la negación consi':. 0L"///~/~//h:
dera que hoy pOdría ser uno cualquiera de los otros días de fa- semana.
Se sqmbrea la negación.' - .
El error antes mencionado es más frecu~nte cu~ndo la proposición es
Conjuntos de todos los' días
Conjuntos
de todos
losdías.
nublados
Conjuntos
, de todos
los días
claros
71
~ ...'- - - ..; -

abierto. Por ejemplo, Jo. negación de
"x > 5;x E: N" seríax ::t>5;x e: N"o
también ",es falso que x :> 5; x e: N",
pero' muchos escriben o interpretan lo
negaCióncomo "x < 5;x e: N".Los dia-
gramos de Venn nos proporcionan un
método más sencillo de acertar en la
.solución. Usando el ejemplo anterior'
.tendremos el diagrama que se muestro
paro. la proposición dada. en él se som- , ". .
brea la' solución para la. negación y como se ve es e,l complemento; SI
A = {x E: N 1.x > 5}. la negación será A' = {x'e: N Ix ::t>5}.- .
Negación'de proposiciones compuestas .
. Hasta aquí hemos tratado sólo con la negación:de' una proposición. Con-
sideraremos ahora, la negación de Ilroposiciones compuestas, y para ha-
cerlo empezaremos por analizar la misma, negación./ "
Eiemplo: Al pensar la negación de la proposición compuesta "x no es
número impar; x e: N" cuyo conjunto solución es
, el que se muestra sombreado en lo figuro; la ne-
gación de lo proposición dada serp "Es falso que
x no es número impar; x e: N" y su gráfica será
sombrear el complemento, de la gráftca ',dado,
lo que significa que la proposición es, equiva-
lente a decir /Ix es J:1úmeroimpar; x e: N". De
todo esto podemos deducir que la negación
de lá negación de una, proposidón es, la pro-
posición misma o también que negar una propo-,
sición negativa es igual' a' enuric1ar la proposi-
ción afirmativa.
Analicemos ahora la negación de una coniunclón o través de otro
ejemplo.' .
a) Sea "~ > 3 Y x < 10; x e: N" cuyo conjunto solución se muestra
en .el primer dia~rama dé esta página y que en ellenguaie de coniu.ntos es
la inter.sección de {x e: N Ix> 3'}con {x e: N Ix < 10}.La negación de la
proposicióriconjuntiv.aserá entonces"Es falso que x,> 3 Yx< 10;x e: N". ,
Yel conjunto solución es el complemento del conjunto solución de la pro-
posición original. como 'se Ve ~n el siguiente diagrama deVenn. Este
diagrama nos sugiere otra forma de escribir la negooión utilizando, los
complementos de cada conjunto solución; como puede comprobarse, en
los diogramas de Venn la unión de los complementos es igual 01comple-
mentó de laeintersección. (A' U B') = (A n B)' entonces lo negación que-
daríacomo{xe: N Ix ::t>3} unido,con {x e: N Ix <t:10}queenellenguaie'
comúnsería{xe:,N Ix ::t> 3,0 x <t 10} ,
"
'~
Gráfica de
conjunción
N A B
EE72
,;¡,,---~--

..
. /
. Gráfica de la
negación de la .
conjunción" .
(A nB)'
/
.. /.'-'-
A'
l' ---/...,
X < 10 B'
Lo combinaciónde los dos.cuadros.
anteriores en' uno solo nos sugiere el
resultado de negar uno conjunción y
también nos da un método poro manipu-
lar los proposiciones compuestos usan- A' U B'
do diferentes sombreados poro determi-
nar un resultado finalde loco~posi.ción~
b) Escribo lo negaéión de "x e$ n(¡meropor yx es menor que 5;'x E: N"
Yencuentre su conjunto de verdad. Utilizando lo notación de conjuntos
obtenemos y graficamos ,el conjunto solución ~e lo conjunción dada
{x.e: N Ix es por}n {xe: N Ix < 5} ={2,4}. El'conjunto complemento
del anterior es igualo lo unión del complemento de codo conjunto solu-
ción. Lonegación será pues "x no es poro x no es menor que 5; x e: N".
N
"x no es par" "x no es menor que Stt
73
N
'/7f.
,//
x. >
.... '//,
x< 10
I

Conjuntos de todos los días
~ ~2
~"x no es por. o x no es menor que S"
Analicemos ahora la negaci6n de una dIs-
yunción y su diagrama de Venn. "Hoyes iueves
o es I:Jn día nublado". La negaci6n de la propo-
sición será "Es falso que hoy sea iueves o esté
nublado". El diagrama de esta proposición será
el compl~mento del diagrama de la disyunción
dada.
. '
Si consideramos la negación de cada uno de las proposiciones que
forman la disyunción anterior ¿cuál 's~r¡a la proposición compuesta
que tenga el mismo coniunto soluci6n?Llcime "a" a la primera proposición
y "b" a la segunda. A y B serán los coniuntos soluci6n de' cada una res-
pectivamente. Si puede acertar en su respuesta significa que ha cQptad9
perfectamente la' idea de la negación de las proposiciones compuestas,
en caso contrario repásela de nuevo.' .
Respuesta
Sea la' proposición compuesta~ a o 'b cuyo diagrama se muestra en
seguida sombreando el complemeoto. .
Conjuntos
de todos
los días (AU B)'
I ..
Con.siderando la negación de o y de b los coniuntos solución serian A'
y B' respectivamente. La combinación que me dará la misma área som-.
breada que tenía, será el área cuadriculada que corresponde a la Intersec-
ción de A' y-8', por lo tanto la soluci6n es: no o y no b: "Hoyno es 'iueves
. .Yno es un día nubladO". (A U B)' = A' n B'... . I
- EI:-IK74 ~ A'nB'.,.
- :.........

Después de acertar en el problema anterior puede entender perfecta-
mente las Leyes de De Morgan que nos dicen:
¡ .
.10. La negación de una. conjunción, es la disyunción de las n,e-
gciciones.
20. La ~egación de 4na disyunción, es la coniunción de las ne-
.gaclones. . l. .
En otros palabras para negar una conjunción cambiamos el conecti'lo
lógico "y" por un "o" y negamos las proposiciones componentes; para
negar una disyunción cambiamos el conedtivo "0" por un ".v", negando las
proposiciones componentes.
. Eiemplos:.
a .
a) - =c y b =1=O
b.
b) ab:f:- ac 6.0 = O
a
Negación:- =1=c o b =O
b
Negación: ab =ac yo =1=- O
Cuantificado res
H.emos considerado un tipo de proposiciones simples en las que se men-
ciona la cantidad de suietos que intervienen, como por ejemplo "Todos los
múltiplos de 6 son números pares", al decir todos estamos cuantificando,
es decir, hablamos de cantidad de múltiplos en este ejemplo. Para grafi-
car una proposición de este tipo usamos el lenguaje de conjuntos diciendo.
.que el conjunto de sujetos es 'un subc()niunto del conjunto que formo el
predicado. Ejemplo: "El conjunto de todos los múltiplos de 6 es un subcon-
lunto del conjunto de los números pares".
Diagrama de
universal af"mnativo
¿C6mo consideraría el cuantificador ninguno?
Dibuie la gráfica de la siguiente proposición: "'Ningún múltiplo de 6 es.
número par".
La gráfiéa de la proposición nos sugiere la modificación de lo propo-
sici6n..diciendo "Todos los mÚlti'plosde 6 no son números pares", que en
75

el lenguaje de' Qonjuntos. quedaría como "El conjunto de todos los múl-
tiplos de 6 es disiunto del conjunto de números pares".
La gráfica se muestra en seguida para que
compruebe su resultado.. . .
Por lo anterior podemos decir 'que "n'ingu-
.no" es equivalente a: "todos.. .no. . .".
Diagrama de universal negativo
Todos y ninguno son. entonces cuantificadores que considera.n la, to.
tolidad de los sujetos, y los llamamos cuantificadores. universqles, sólo que
el primero es afirmativo y el segundo es negativo. . .
.la negación de este tipo de proposiciones simples es un caso parti-
cular y muy frecuente en Matemática, razón por la que lo consideramos
separadamente. la negación de "A. es subconiunto de B" sería "A no es
subconiunto de S", que de acuerdo con la definición de subconiunto, "aquel'
." cuyos elementos (todos) lo son también del
otro conjunto", se puede escribir o interpretar
como "por lo menos un elemento de A no es
elemento de, S,". Estas proposiciones en los
que no se consideran' la totalidad de los suje-
tos emplean cuantificadores lIa'mados particu-
loro existencia l. Ejemplo: Escriba la negación
y dibuje la gráfica de "Todos los hombres son
mortóles". La proposición se podría modificar:
Diagramade particularnegativa "el conjunto' de todos los hombres ,es subcon-
, ju~to del' conjunto de los mortales" y 19nega-
ción será decir que no es subconjunto, lo cual escribimos como "Por lo .
menos un hombre no es mortal". Su diagrama de V,enn se presenta a lo
izquierdo. . <1
I Al negar la. proposición universal afirmativa
hemos obtenido una proposición particular nega-
tiva, (por lo menos uno. . ,no es. . .) el ~antifico-
dor particular lo encontramos también, como,
. algunos o algún. ¿La négación de la proposición
Diagramadeparticularafirmativaparticular. negativ,a, <?uál sería? Y la' dé .1,0univer-
. sal negativa?Otroelemplo de la nega~lon, negar
8 8
"Por lo menos un nÚmero entero es racional". Esto
. '. es una propos.iciónparticular afirmativa y modifi-
Enteros RaclOno/es cándola al lenguaje de conjuntos sería, "el conjun-
, to de números enteros no es disiunto del conjunto
. . . de números racionales" y su diagrama está a lo iz-
DUIglamadeuniversalnegativa quierda. Lo negació'nsería decir que es disjunto,
y en el lenguaje común es "NingÚn número entero es racional" cuyo dia-.
grama se dibuja en la página anterior y que correspon.de al universal ne-
- gativo. ' ,
El valor de verdad de la negación de una proposición es verdadero si
la proposición 8$falsa, y viceversa, esto se aplica a las proposicionescon'
76

los cuantificaqores universal o particular, pues son proposiciones 'simples.'
¿Podría escribir unas regios para la negación de las proposiciones con
cuantificadores? . . .
. Complete la lista con los tres reglas que faltan.
1.
2.
3.
4;
Lal.negaCiÓnde la universal afirmativa es. la particu.
lar ne-
gatrva. . .~La negación de la universal negatiya es la , oA.¡
La negación de la particular afirmativa es 'f ,."'¡hve.f CA)
La negación de I~ particular f'egativa es la ll1h .reu~
Estas reglas nos muestran a nosotros que' la negación, tanto en la
Lógica como eh la Matemótica, es la contradicción móxima ya qÜe aparte
denegar lo que se afirma. o sea .cambiar la calidad de la proposición. tam-
bién se cambia la cantidad. si es universal. a. particular y si es particular
ti universal. .
1
!'
77

, PROBLEMAS DE AUTOEVALUACION 11'-7
En los siguientes problemas escriba la 'negación, de las propo$iciones
que sean simples y dé' su valor de verdad. Dibuj.e .el diagrama de Venn,
sombreando 10 negación en las que sean proposiciones abiertas.
,1. 11 es un número pr,imo. ,,
2. x + 3 = 10;x e: N
3. 6 < 8
4. No es verdad que 3 < 5
5. x es un múltiple.de 3; x e: N
6. Hoyes sóbado;hoyes un día de la semana.
En los problemasdel 7 al 10,dibuje los diagramas de Venn y sombree
el conjunto solución para la negación.Aplique las leyes de DeMorgan para
escribir dich~ negación. '
7. "x es por o x > 5; x e:- N"
8. "Hoy es martes y 'es un día lluvioso", Hoy e: Conjunto de todos los días
9. "x > 3 y x < 10; x E: N",
10. "2x = 6 o x =FO;x E: N" ,
" En los siguientes problemas escribo .10negación y dibuje el diagrama
de Venn. Observe el cumplimiento de los reglas de negación para los pro-
'posiciones con cuontificadores.
11: El conjúnto de números primos no es subconjunto del, conjunto de nú-
meros impares; ,U = conjunto de números racionales.- . . ,
12. Todos los húmeros naturales son enteros. U = racionales.
13. Los rectos paralelos no se corta,n. U= conjunto de todos los rectas.
,14. Por lo menos un r:¡úmeroentero no es raciQnal. U = conjunto de nú- , '
,meros reales. ' ,
15. Algunos triángulos equiláteros no son isósceles. U = coniunto de todas
las figuras geortlétricas. ' ,
16. Ningún día lluvioso es claro. U = conjunto de todos los días.
En el diagrar:na de lo izquierda tenemos
tres conjuntos solución de tres proposiciones
. o, b, c, que son: A = conjunto de múltiplos
de 3; 8 = conjunto de números'porás, y C =
conjunto de mÚltiplos de 5, respectivamente.
, En un dibujo igual al mostra~o escriba el nú-
Múltiplos
)
mero de la proposición en el órea adecuada
de para que la proposición sea verdadera.
, ,,- 5 , Ejemplo: 1) Es falso que 45 no sea~m(jl-
. tiplo de 3 o no sea n;túltiplo de 5. Usando
Leyes de DeMorgon lo proposición quedo: 45 esmúltiplo de 3 y es múl-
tiplo de 5. ','
17. 2) 40 es múltiplo de 5 y es número par, pero no es múltiplo de 3.
16. 3)' 30 es número par y. múltiplo de 3 y también múltiplo de 5.
19'. 4) 28 no es múltiplo de 5 ni de .tres, pero es por. ,
20. 5) 45 es múltiplo de 3 y 5, Y es número impar.' ,
21. . 6) es falso que 121 es. múltip'lo de 3 o múltiplo de 5 o número par..
. .
78
-. - -- - -- 8'

M6dulo 8 -
Aí concluir el estudio de este m9d~lo, el alumno:
1. Identificará la suposición o hipótesis de la implicación y la conclusión
de ella. - -',
2. Determina-ráel valor de verdad de una implic,aciónconociendo el valor
de verdad o conjunto de verdad de su hipótesis y el de su conclusión.
3. Identificará las proposiciones equivalentes mediante sus coniuntps,de
~~d .-
4. Graficará, mediantediagramasde Venn,el coniunto de verdad de una
impllcacI6n-. . "
5. Expresará en diferentes formas una implicación. ' -
'6. Obtendrá la conversa de una implicación y determinará su valor, de -
verdad. -
7. Hará una lista de formas diferentes de expresar una doble implicación.
. 8. ~raflcará el coniunto de I verdad de una - pror;!osici6n blcondicional
(doble implicación). '.
~9. Determinará el valor de verdad de la contrapositiva, la inversa de
una Implicaci6n.- . "
10. Distinguirá las partes de un silogi'smo~ .
11. Graficará utilizando diagramas de Venn, un silogismo válido. .
12. Expresará con sus propias palabras lo que es inferenciaJ6gica.
13. Aplicará en ca~os sencillos las reglas de inferencias más usuales.
14. Diferenciará entre pensamiento cotidiano y el pensamiento matemá-
tico.
, ,
ESQUEMA RESUMEN
Implicácl6n.
, ,
Estructura y significado de la implicación.
, El conectivo lógico "si. .. entonces..."
Formas de expresar una implicación:
, Notación.
Valor de verdád.
Equivalencia lógica,"
Proposiciones equivalentes.
Valor de verdad.,
Representación gráfica.
79

'Vqriantes de la implicación.
Proposición conversa.
Conjunto de verdad.
Doble implicación.
Conjunto de verdad.
Contrapositiva de una proposición.
.' Representación gráfica y valor de verdad.
, ,
Silqgismo.
'Estruc.tura d,eun silogismo.
Reglas de la inferencia.
I Representación gráfica, utilizando diagramas de Venn, para mostrar
la validez de un silogismo. ' .
Demostraciones a problemas.
/
i ,
80
-- MI- - -- . -- 11: "
{

Implicación. Equivalencia Iógica
Cuando asoci(Jmos, dos proposiciones utilizando el conectivológico "si. . .
entonces. . .", formamos la proposición compuesto más .importante en f.o
Matemática. Esta proposició.n compuesta se llama Implicación y se con-
sidera formada en dos portes: la primera es la proposición que se precede
~ . por lo partícula "si" y..Iollamaremos suposición o hipótesis de la implica-
ción, la segunda porte está" constituida por .10otra p'roposición precedida
por la palabra "entonces" y la l'Iamaremos la conclusión de la implicación. .
Hay muchos. modos diferentes de expresar una implicación y en 01-.
guoos de ellos no aparece el cone~f¡vo lógico "si. .. entonces" razón por
'10 que se debe desarrollar ha.bilidad para expresar tales implicaciones
en la forma en que se expresa el conectivo;. en seguida se ven algullos'
de las formas. más frecuentes, entre las que se incluye el símbolo o nota-
, .ción aceptado en la r;1(Jyoríade. los. text9s; considerando que "p" repre-
senta la suposic'ión y "q" la conclusión. tendríamos: ."
si p entonces q.
. ,¡ ,
P'=> q.(La forma simbólica que se lee como "si p entonces q"),, .
P 's610 si q..
p implica q.
q si 'p. (Esta forma es frecLiente y debemos observar que la
hipótesis y la conclusión aparecen en orden invertic;to.razón
de .frecuentes errores)..,'
.!
. Veamos algunos ejemplos. en donde se cambiQ a la formo tradicional,
si p entonces q. .
a) "x > ~ Implicax > '4". I
"si x > 5 entonces x > 4".
b) "x = 1 si '3x - 1 = 2x" (Esta, es la. forma q'si p)
"~I3x'- 1 =2x entonces x. =;= 1". .
c~ IIDos círculos con radios iguales.'tienen áreas iguales".
"Si d<?scirculos tienen radios iguales entonces tienen áreas iguales".
d) "Todos los ángulos rectos tienen .10misma' medida". ,
"SI los ángulos. 'so.n rectos entonces- tienen.,.10'misma medida"
El últimoejemplo nos da una forma de proposición con.cuantificado-
81

res; sabemos que ese tipo de proposiciones son simples y se les puede
asignar un valor de verdad de inmediato, lo que nos sugiere la idea de
considerar a las implicaciones como otra forma especia1 de las proposi-
ciones simples, sÓlo que su hipótesis y su conclusión pueden ser propo-
siciones abiertas. Atialicemo~ otro ejemplo: "Si x es múltiplo de 2, enton-
ces es un Qúmero par; x e: N"; .en el lenguaje de conjul1tos quedaría como
"x es elemento del conjunto 'de múltiplos de 2, y x es elemento del con-
junto de números pares"; esto, como se púede observar, es ,una conjun-
ción,. por lo que x pertenece a ambos conjuntos, lo que significa, que el
conjunto de todos los múltiplos de 2 es un subconiunto del conjunto de
números pares; "es decir que "si al pertenecer al primer conjunto entonces
,pertenece al segundo", el primer, conjunto debe necesariamente estar
contenido en el segundo, y como ya vimos antes, decir" A es un subcon-
junto de B" es una proposición simpl y su valor de verdad se puede ex- '
presar de inmediato. ,
De acuerdo con lo anterior, podemos decir entonces que e!, valor de
verdad de una Implicación puede da,rse de inmediato,' y sólo es verdadera
si el conjunto', de verdad de su hipótesis es subconjunto del conjunto de
verqad de su' conclusión; de otro modo la implicac~ón será falsa. También'
pOdemos observar de lo ,anterior que las siguientes proposiclQne$ son
fo;mas diferentes de decir una misma cosa. ' '
, Todos los áng'ulos rectos son de la misma medida..
Si los ángulos son rectos entonces tienen la mi'sma medida.
El conjunto de ángulos rectos es un subconiunto del conjunto de án-
gulos con la misma medida. ' ,
Tenemos entonces tres proposiciones que' por decir lo mismo tienen'
el mismo valor de verdad o, el mismo conlunto de verda~.
Las proposiciones G1uetienen el mismo valor de verdad o el mis-
mo conlunto de verdad las llamamos pr~posiéiones equivalentes.
, Una proposición universal afirmativa es entonces lógicamente equl- .
vale~te a' una implicación.
, Eiemplos:
'a) "S'i x < 6, entonces x < 10, xe: conjun'to de números enteros';. Para
determinar su valor de verdad recurrimos al lenguaje de conjuntos ,y
sus ,diagramas. La proposición equivalente seria "El conjun.t~ de nú-
, meros enteros menores que 6 <8Ssubconlunto del conjunto de núme-
ros enteros menores que 1'0". U = Conjunto de núm~ros enteros.
A ={1,2;3,4,5}
B ={1,2,3,4,5,E?, 7,8,9}
A~B
82'
I

Enteros
Gráfica de Implicaci6n Verdadera
Compare esta gráfica con la del universal afirmativa
b.) "Si ,una figu.r.a eS.ijn cuadrado, entonces ea un paralelogra.mo". Con-
junto de. cuadrados es' subconjunto del conjunto de paralelogramos,
conjunto de reemplazamiento el conjunto de todas las figuras geo-
métricas. Se cumple lo que se afirma, por lo que la implicación es
verdadera.
t
Todas msFtgUrQS geométricas
Gráfica de Imp~cación Verdadera
c) "Si una figura es un triángulo, entonces es un triángulo equilátero".
El conjunto de tpdos los triángulos es un sub- .
conjunto del conjunto de triángulos equiláteros.'
Conjunto de reemplazamiento el conjunto. de to-
das las figuras geométricas. Podemo~ ver en la .
figura que esta última afirmación no se cumple
por lo que la implicación es falsa.
Gráfica de la implicación 83

, A B
(])'~ ...
.x
A nB
( d) "Si x és un elemento de' A n S, entonces' -
x es un elemento de S". Esta propoSición
ya e$tó en el lenguaje de conjuntos, y en
el diagrama. de Venn se, muestra que el
conjunto A n S es un subconjunto del con-
junto S, luego la implicación es verdadera.
e) "Todos los .rnúltiplos de 15 son múltiplos de 5". Como se había hecho;
, notar, las proposiciones con cuantificadores
son una 'de las formas de decir que un conjunto
es subco'njunto de otro, al igual que las implica-
ciones, por lo que puede escribirse la proposi-
ción lógicamente equivalente "Si un número es
múltiplo de ,15,entonces es un m,últiplo de 5", o
en ,lenguaje de,conjuntos, "El conjunto de múl-'
tiplos de 15 es un subconjunto del conjunto ,de
, m,últiplos de 5". La implicación es verdadera como se muestra en la,figura.,
Para comprobar la valiQez de nuestra afir-
mación, usamos lo que se liorna un "'contra-
oejemplo": es -decir, un ejemplo que no cum-
pla la implicación, es decir, en este caso
una figura que siendo trióhgulo no sea equi-
lótero. "Trióngulo isósceles" es elemento de
,la suposición o hipótesis, pero no es -ele-
oment-o.de la conclusión y su figura' se mues-
tra a la izquierda. El conjunto de la hipótesis
no es subconiunto de la conclusión y la im-
plicación es falsa. 'x representa un triángulo lsósceles
-Variantes de la implicación
La Implicación da lugar al mayor problema en la búsqueda de la verdad,
ho solamente por el hecho de que existen tantas y tan diferentes formos
de enunciar una implicación,' pues aun usando' el conectivo lóg:ico ".'si
. . . entonces. . .", pequeños cambios en las proposiciones o en el orden
en que se dicen, cambian el valor de verdad de la implicación. ,
, Si cambiamos el orden de las proposiciones Cteiandoeo su lug~r al
conectivo, formamos una variante de la implicación, a la que llamamos
Conversa o recíproca de lo implicación. Ejemplo: Cambiemos el orden de
las proposiciones de la siguiente implicación "si un número entero es
84

, I
múltiplo de 8, entonces es número par".' "Si un
, número entero es-par, entonces es múltiplode 8".
Considerando el diagrama de Venn para la
implicación dada,' podemos apreciar que es ver-
dadera, ya que el conjunto de múltiplos de 8 es sub-
conjunto del de números pares, pero no sucede lo
mismo con las proposiciones invertidas; por lo que
la conversa es falsa. Contra-ejemplo: el 4 es par
pero np es múltiplo de 8. Por lo anterior podemos
. concluir lo siguiente: "Aun cuando una implicación
sea verdadera su conversa puede no serio". En
otras palabras, de la verdad de una implicación no se puede concluir la
. verdad de .10conversa de.Ja implicación. Sin embargo, puede darse el caso
de que la, conversa también sea verdaderCJ. Ejemplo. "Si todos los 6ngu-
los de un triángu10 son iguales, entonces el triángulo es equilátero"; su pro-
posición c'onversa "Si ,un triángulo es equilátero, entonces todos sus án-
gulos son iguales" Ambas proposiciones son verdaderas, es decir, el con--
junto de triángulos con sus ónglJlos iguales es subconjunto del de trión-
gulos equiláteros, y viceversa; por lo tanto, se trata de conjuntos iguales, -
y se dice qu.e las proposiciones representan esencialmenté lo mismo. Es-
tas proposiciones cuyo coniunto de verdad o val.orde verdad es el mismo,
ya vimos que son proposiciones equivalentes; cu"ando se trata de una im-
plicación y su conversa se pueden combinar en una proposición más
. compleja usando el conectivo "y", con lo que se forma una doble impli-
cación, cuyo 'símbolo es ,la flecha con. doble punta. Ejemplo: . .
"Si 7 -. 2' = 5, entonces 5 + 2 = 7". Simbolizada esta implicación
quedaría: "(7 - 2 = 5) ::::::) (5 + 2 = 7)". Loaproposición conversa sería
"(5 + 2 = 7) ::::::) (7 ~ 2 = 5)". Con nuestros conocimientos de esos nú-
meros pOdemos comprobar que ambas proposiciones son Verdaderas y
combinadas en una doble implicación quedan, "(7 - 2 =5) <=:)(5 + 2 =7)"
que se lee "7 - 2 = 5 si y sólo si 5 + 2 = 7". Siendo su conjunto
de verdad ,el mismo, ambas son verdaderas o ambas son falsas, demos-
trando una, se demuestra también a '10otra. Veamos otro ejemplo.' -
"Si un tnáng~lo es rectángulo, entonces el cuadrado de su lado ma-
yor es igual a la s~ma de los cuadrados dej,sus otros dos lados".
. Conversa: "Si el cuadrado del lado mayor de u'n triángulo es' igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonce$ el triángulo es rec-
tángulo". ' . .
Combjnadas en una proposición conjuntiva las dos implicaciones ante- .
riores<dirí.an"Un triángulo es rectángulo, si y sólo si.el cuadrado de su lado
mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados". (Teo-
rema de Pitágoras). '. .
Cuando 'enuncial1Jos una implicación estamos diciendo que un deter..
minado conjunto es subconjunto de otro. Existe una modificación al intro- .
ducir la negaciÓn en las proposiciones componentes que no cambia el
valor de ve.rdad de la implicación dada: nos da una proposición equivalente'
y la llamamos la Contrapositiva de la implicación.. esta variante es muy
útil en las demostraciones. ' .
Veamos con un ejemplo el' valor de verdad de una implicación y de su
contrapositiva. "Si una figura geométrico es un rectángulo, 'entonces es
f
85

.. unparalelogramo."Enlenguajede conjun-
Todaslasfigurasgeométncas .1 tos diríamos: "Si una figura geométrico
es elemento del conjunto de rectángulos,
entonces es elemento del conjunto de po-
ralelogramps!'; en seguida se. muestra el
diagrama de Venn donde se ve .que lo im-
plicación es verdadero.' . :
Formemos lo contrapositivo de ICJim-
plicación poro lo cual formamos primero'
lo converso y luego negamos los propo-
siciones, quedándonos ,"Siuno 'figurageo-
métrico no .es un paralelogramo, entonces
no es un r.ectángulo". Haga un diagrama
de Venn poro esto último proposición y
'. demuestre que son equivalentes.
Consideremos dos proposiciones "p" y "q" formando uno implicación,
y llamemos P y a o sus conjuntos de verdad respectivamente; tomando la
implicación como verdadera repasemos la implicación y sus variantes uti-
.lizando sólo símbolos. El símbolo" "," ante~. de uno proposición indico su
negación. .
Implicación: p ==> q es verdadero siempre que
, como se muestro en el
diag'ramade Venn,P e a.
. Convetsa: q ==>p su valor de ,verdad no se
deduce del valor de ver-
dad de lo implicación.
Doble implicación: p <=) q es verdadera siempre que P = a yo que se
formó con lo conjunción de una 'implicación
y sU conversa (p ==> q) y (q ==> p). ' .
Contrapositi~a: Nq ==> --p .es una proposición equivalente a la implica-
I ción por lo cual tiene el mismó valor de ver-
dad P e a equivalente o a' e PI.
esta proposición es equivalen~ede la cO,nver-
so, 'rozón por lo que no es muy frecuente su
aplicación. .
Inversa: '- p ==> -- q,
Silogismos. Demostraciones
. En cualquier sistema matemático los postplados y las definiclo.nes son las
.bases para las demostraciones~En álgebra se hacen ciertas suposiciones
acerca de las propiedades de lo igualdad,de la desigualdad y del conjunto
de los números 'reales; estas suposiciones se aceptan como verdaderos y
forman los postulados con los que.s'e construye un conjunto,de conclusio-
nes acerca de los números paro formar el sistema matemático. utilizando
para el-loel razonamiento deductivo. Los conclusiones o deducciones se .
expresan generalmente en lo forma de implicaciones usando .el "si'. . .en-
tonces. . .", y sus enunciados constituyen lo que conocemos comúnmente
con el nombre de Teoremas, los que una vez demostrados. sirven también
86
..-- - -~--- --

¡untocon los postulados y definiciones, como bases' para nuevas construc-
ciones y nuevas demostraciones. Los teoremas son generalmente expre-
sados en.la forma ."si . . .entonces..." por lo que la implicación es una,
parte importante en el proceso de razonamiento deductivo. , ' '
La hipótesis la constituimos con' postulados o' definiciones, y las rela-
ciones ~ógicamente vólidas que establecemos entre diferentes proposicio-
nes simples o compuestas, nos lIeyan a admitir la validez de la conclusión
al aceptar. la hipótesis; esto es Lbqlle constituye una demostración. Estas
relaciones también llamadas argumentación, toman el nombre de Reglas
de Inferencia o Siloglsmos, según su estructura.'
Las reglas de inferencia,son argumentaciones válidos en la forma de
impUcaciones y existen infinidad de ellas', por lo que sólo mencionarem'os
una de las de mó~ frecuente aplicación, conocida como la ,Regla de la Ca-
o dena. ' '
Elemplo: Tómensedos implicaciones. ,
a) Si x es elemento del conjunto R, entonces x es elemento del conjunto
S. Simbólicamente (r ==> s)., .
b) Si x es elemento del conjunto S. entonces x es elemento del conjunto
T. Simbólicamente (s => t). '
En la primera implicación decimos que' R ,c S, y en la segunda que
S c T, po'r lo, tanto cualquier elemento de R lo es también de S, y por
to tanto también de T. En el lenguaje de conjuntos la, conclusión q~e
obtendríamos con las do's implicaciones verdaderas
sería "Si x es elementode R,entonces x es elemen- '
to de T" (r => t). Esta sería una conclusión válida
como se puede ver en el diagrama de Venn que se
presenta a la izquierda.
Regla de la cadena en' símbolos:
í(r =>s) y (s => t) ~ '==> í (r ==>'t) ~
.- ~ . hipótesis j tconclusión'j
I '
El silogismo es ,la otra unidad básica en las demostraciones, se forma
con tres proposiciones. La primera, llamada 'Premisa mayor es una implica- .
cl6n aceptada como verdadera. .La segunda, llamada Premisa menor, es
una proposición también aceptada como verdadera y nos, dice en. un tér-
mino, algo que es elemento del conjunto que se menciona en la hipótesis
de la premisa mayor; a éste se le llama término medio porque inter~iene
en ambas premisa$ o proposiciones pero nU,ncaaparece en la conclusión
del silogismo. La tercera proposición o conclusión se forma suprimiendo
el término medio, conjunto que aparece en ambas premisas y tomando el
término de la premisa menor como elemento del confunto de la premisa
mayor. . .
Silogismo' simbolizado
p ==>q Premisa mayorP e Q ,
x. e: p Premisa menor P es el término medio.
'x E! Q Conclusión.
87

, El diagrama de Venn paro un silogismo válido o correcto presenta
la gráfica de dos conjuntos. el .de lo hipótesis P y el de lo conclusión a. el
primerosiemprees subconjuntodel segundo (P e a)-; presento también 01
elemento x del término medio el que por estor contenid.o-en P forzoso~ente
estará contenido en a. Ejemplo: ' '
, '
Premisa Mayor:Si un nÚmero es ry,1últiplode 6, entonces es
mOltiplode 2. '
{múltiplos de 6} e {múltiplos de 2}
Premisa Menor: 18 es múltiplo de, ,6
18 e: {múltiplos de 6} ,
Conclusión e18 es múltiplo de 2 "
18 e: {múltiplbs de 2}
G
. ,
El siiogismo ant~rior' 'está ~imboJizado usond9 el lenguaje' de con-
juntos..Qtraforma es lo siguiente:, '
Premisa Mayor: Si, x es elemento del conjunto de múl-
tiplos de 6. entonces x es elementod~1 conjunto de
múltiplos de 2. .
Premisa Menor:.18 es elemento del conjunta de múltiplos,
de 6. '
Conclusión:,18, es elemento del conjunto de' múltiplos'
de 2. . Diagramadelsilogismo
Tanto en 'las reglas de inferencia como en los silogismos la validez no
depende del valor de verdad de los proposiciones componentes. sino de la
forr:na en que se emplean. pues si no se siguen los reglas de 1,0lógico.
la conclusión no seró uno deducción de las premisas; y del razonamientó
o argumentación se dice' que no tléne validez o que es falaz.
Lo anterior significa que lo conclusión .puede' ser verdadera o falsa. :
pero su valor de' verdad depende de una informaci(m diferente o adicional
a la 'que' proporcionan las premisas. '
Ejemplos:
a)
P '. ( Si un '
animal es un oso entonces' le gusto la miel
remisas t A mi animal preferido le gusta la miel
Conclusión:....
Este silogismo es ,invólldo independientemente de que la conclusión
pueda ser verdadera o falso porque de lo que se afirma en las premi~as
no se puede obtener una conclusión. ya que no se (lfirma que sólo a los'
osos les guste la miel por lo que mi, animal preferido pudiera ser un oso
o pudiera no serio. '
88
---

'"
b)
P '. (:~i un'númeroes múltiplo de 4 entonces es divisible entre dos
remisos t El número 14 es divisible entre dos. ..
Conclusión: El número 14 es múltiplo de 4. .
Lo conclusión es notoriamente falso, el silogismo es Invólido pues no
siguió los reglas de lo lógico. .
c) "
P '.. ( Si un número es múltiplo de 4'entonces es divisible entre dos
remisos t El número 16 es divisible entre 2 ' .
Conclusión: El número 16 es múltiplo de 4
Ahora lo conclusión es verdadero,. pero el silogismo sigue siendo Invá-
lido, el valor de verdad de lo conclusión lo obtengo de conocimientos de
los relaciones entre los números, diferentes de los que se proponen en las
premisa$.Lo conclusión entonces no se deduce de los premisas.
En los demostraciones se utilizan uno o va.rios silogismos, r,)rinciplando
con los hechos enunciados o dados por el problema., o por hechos yo cono-
cidos. como los postulados, hasta llegar o nuevos hechos o conclusiones;
siempre usando el razonamiento deductivo. Lo 'demostración matemático
exige apoyar ~on uno o varios razones caQa afirm'Qci6n que se hago. esto
I rozón puede ser un postulado, uno definici6n o lo conclusión de un teo-
rema que ya fue demostrado.
Para este.tipo de demostraciones utilizaremos dos col,umnas,
uno para los hechos dados en el problema y los afirmaciones
que iremos deduciendo .hasta llegar o lo conclusión que se quiere
demostrar. y la otro columna en donde darem.os los razones de
cado. afirmación que. se hago.
Ejemplo: Supongamos que ya conocemos que los siguientes hechos
son verdaderos; "Si un número es múltlplo de 9 y también de 5. entonces
es múltiplo de 45". "Si lo' suma de los dígitos que formQn un número es :
múltiplo de 9, entonces el número es múltlplo de 9". "Si un número tert1)i-
no en Oo.en 5. entonces es múltiplo de .5.".
.Pruebeque 33.210es múltiplo de 45.
Proposiciones
33,210es múltiplo de ti
3 +.3 + 2 + 1 + 0=9
33,210 es 'múltiple de 9
CQnciusi6n:
33,210es múltiple de 45 (Si un n~meroes múltiplo de 9 y tam-
bién de 5 entonces es múltiplo de 45).
Razones
(Si un número termino en O) => (es
mÚltiplo de 5).
Hechos de lo sumo.
(Si lo su'ma de los dígitos de un nú-
mero es múltiplo de 9) => (el número
es múltiplo de 9).
89

-',
, ).
'En ía demostración ante~lor hemos utilizado tres slloglsmos durante
nuestros razo.namlento~,sólo:que por razones prácticas no los escribimos
en la,forma como los definimos y que a continuación se presenta. y en'su
. lugar utilizamos las dos columnas. omitiendo la ,premisa menor'quegene-
ralmente'es evidente. '
¡
Premiso Mayor: (La razón que justifica nuestra afirmaciÓn). Si
un número termina en 0:0 en 5, entonces es múltiplo de':5.
Premisa Menor: (Omitida) 33;210 termina en -O. '.
Conclusión: (~uestra afirmación) 33,210 es múltlplo de.5., .
1
Premisa Mayor: Si la,suma de
.
d
.
igitos que forman un número
, es múltiplo de 9, entonces.el número es.múltiplo de 9.
Premisa Menor: Los digitos que forman el número 33,210 su-
manunmúltiplo de 9. (No omitida). '
Conclusión: 33,210es múltiplode 9. ' .
,
¡
pr
o
~";isa Mayor: ',~i
.
~n nú~ero es múltiplo de 9 y también
.
de
'5, entonc~s es multlplo de 45. .
Premisa Menor: 33,210 es múltiplo de 9-y de 5. " .
Co~clusión: 33,210 es' múltiplo de 45. .
, Con el ejemplo ante~ior, se ve lo práctico que resulta el uso de las
dos co.lumnas 'en las demostraciones, por lo que a lo largo de este' curso
continuará empleándose. La prem'isa menor se omite para simplicidad ya
'que general.mente es una información dada o consegu.tda en el mismo
:problema. .. .'.
.~. .
" .
I '.
90

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION 11.8
En los siguientes problemas diga cuál es la suposición y cuál es la
conclusión. y reescriba la proposición usando la forma "si. . . entonces. . .",
si corresponde. .
1~ Si llueve,entoncesse pospondráel juego.eo r ~,-'
2. Un número enter~ es múltiplo de 8 sólo si es par.
1
3. Para toda x > O,x > - , x e: N.
'x .

4. Que x sea .múltiplo de 9 implica que sea múltiplo de 3; x e: N.
5. El equipo gana si Pablo iuega.
6. Si se acepta como verdadera la proposición "si a = 5. entonces
02 = 25".
¿Cuál de las cuatro proposiciones siguientes es una deducción co-
. rrecta? . ,
a) Si 02 = 25,entonces a = '5 c) Si 02=1=25,entonces a =1=5
b) Si a =1=5, entonces 02,=1=25 d) 02 = 25. sól~ si a = 5
7. En los problemas que siguen dibuje el 'diagrama' de Venn después de
reescribir la proposición en lenguaje de conjuntos, de modo que se
vea que la implicación es verdadera. . .
0), "Si un número es divisible entre 6, entonces es número par".
b) "Si ~ < 10, entonces x < 15; x e: N".
8'. Usando las dos proposiciones que se dan, forme una ir:nplicación ver-
dadera. '
a x2 = 4: x = 2.
b) Triángulo isósceles; triángulo equilátero.
9. Reescriba las siguientes implicaciones usando el lenguaje de con-
¡untos. Use diagramas de Venn para demostrar ~i la .implicación es
o no verdadera.
a) Si un número es divisible entre 4, entonces es un número par. .
b) Si x es un número entero que no es menor que 10, entonces no
es menor que 6. .
10. Cambie la proposición universal verdadera que se da, por su equiva-
lente lógica. una implicación en donde use primero el conectlvo lógico
"si. . .entonces. . ." y luego escríbdla usando "sólo si" para observar
la impresión que se produce eñ el valor de verdad que no se ha
'cambiado. '
. a) Todos los días lluviosos son nublados.
b) Todos los múltlplos de 6 son múltiplos de 3.
91
-=-- ""- - ---.-

Considerandoo n > 5 como "p", y a n = 4 como "q", 'escriba los
siguientes implicaclones en lo forma "si... entonces. . .", recuerde, que
,el símbolo-.- representa la negación y también que n E R.
11. p=>q . 12. q=:>.-p 13. q==>p
14. .- q => , p ,15. ; 'p => -".q 16. -.; p => q
Diga qué variante de la ,implicaciónrepresentan los símbolos.
17. q =>p
18.' ,...,q=>.- p
19. .- P=>,..., q
20. Utilicelos diagramas de Venn para determinar el valor de verdad'en
~os ejercicios del 11 01 16,. ' ,
21. ¿Cuál de las propoSiciones siguiéntes es equivalente a "si r, enton-
ces s"? " ,
t1) r, s610si ~ b) s, sólo si r c) r, si sólo si s
22. Complete las siguientes oraciones de, modo que el significado no
cambie y que el valor de verdad sea Verdadero. -
a) -Dador =>~s;' sólo si
b) Dado p => q; si -
c) Cuando p =>q y q ==>p son implicaciones verdade'ras, a "p" y
"q" se les llama proposiciones.
"
'.
. ,
En los problemas del 23 al 28, compruebe si los silogismos que se
don son o no válidos, explicando por 'qué. Dibuje un diagrama de Venn
para cada problema. Recuerde que no estamos analizando la validez de
coda atrrmación. -,
23: Si un número es mÚltiplo de 10, entonces es múltiplo de 5. 20 es
múltiplo de 10. '
Por lo tanto, 20 es un múltiplode 5.
24. Si una ciudad está ~n Nuevo León, entonces está en América. Mon..
terrey está en América. -
Por lo tanto, Monte.rreyestá en Nuevo .León.
25. Si un número es múltiplode 10,entonces es múltiplode 5. 75 es múl-
tlplo'de 5.
Entonces, 75 es múltiplode 10.
26. Todo burro tiene orejas.
Tú tienes orelas.
Por lotanto, tú eres un burro. ,
27. Dos ángulos de un triángulo són iguales, si y sólo si los lados opues-
tos o esos ángulos son 19uales.
~ASC, (léase triángulo.ASC)AS = BC
Entonces, el ángulo C es igual al ángulo 'A.
28. Todos lo,sángulos rectos tienen igual medida.
Los'óngulosAy S son rectos. '
Por lo tanto, el ángulo A es Igualal ángulo B.
92

29. Si aceptamos como postulado la" siguiente propostcióri "Los ángulos
opuestos por el vértice tiÉmen,la mismo medida" ¿Cuáles de las
siguientes proposiciqnes se pueden "deducir" de este postulado y ,
por qué?' , ",
a) Dos 'ángulos que no tienen la misma medida no pueden ser 'án-
gulos opuestos por el vérticé. ,
b) Algunos ángulos que tienen la misma medida, son ángulos opues-
tos por el vértice. '
c) Dos ángules que tienen la misma medida son opuestos por el
vértice, , ,
d) Dos ángulos que no son opuestos por el vértice, no pueden' tener
la misma medida., ' , '.. '
Escriba una conclusión basada en la información que' se da. '
30'. 'El Sr. González recibirá un ascenso si termina su preparatoria. .
El Sr. González termina su preparatoria.., . '
31. .Todo número pares divisible .entre dos, x es un número par.
RESUMEN
Hemos utilizado los términos que ,se introdujeron en la unidad anterior. y
han sido una gran ventaja, no sólo por facilitarr:tos la sirnbolizaci6n de
nuestro lenguaje ordinario siho también porque nos han permitido expre-
sarnos d~ una forma más clara y precisa, evitando así las amb.gü~d(]des
propias del lenguaje ordinario. ' " , ..
En esta Unidad 11definimos nuevos términos para precisar aún m6s
nuestras expresiones e ideas, así como también nuestras argumentacio,;.
fles o demostraciones, los más importantes son: '
Deducción Silogismo ' .
Valor de verdad Proposici.6n sj'mpl~ '
Negación, Conjunción
Cuantificador particu'lar Leyes de DeMorgan
Equivalencia ,lógica Implicación,
Conversa de una implicación Cuantiflcador univer.sal
Demostración a dos columnas 'Doble implicación .
Proposición abierta. Contrapositiva d~ una imp'licación
Disyunción '.
93

"
Panele. de verlflcacl6n.
CONJUNTO DE PROBLEMAS. 11-5
1. Todos los lunes se lleva a cabo el saludo a la bandera.
2. García obtiene un bueo salario.
. 3.. Deducción: al aceptar que es martes. I
4. Inducción: se generalizó lo sucedido cinco años consecutiv.os.
5. Deducción: al aceptar que los cuatro lados iguales midan 4 cm. de-
dujo la medida de cada lodo.. .
6. Sí; proposición simple, verdadera. ,
7. No tie.neconjunto de reemplazamientopor lo tanto, no es proposición.
8. Sí; proposición abierta {6}.
9.. sr; proposición abierta {x e: N I x es par}.
10. "EI conjunto de los múltiplos de 6 es subconjunto
del de 'númerospares".
11. "3 es elemento del conjunto de números
menores que 5"
1. El conjunto de múltiplos.de 6 es un .subconjuntodel conjunto de nú-
meros pares.
2. 3 es un elemento del conjunto de números impares.
3. x es elemento del conjunto de números naturales y del conjunto de , .
números menores que 4.
4. El triángulo T es,un elemento del conjunto de triángulos equiláteros.
5. 6. 7.
.
B. Impares
". 3
I
94

8. 9.
11 N
10.
N N
12. Disyunción
, '''x < 8" o "x esmúltiplode3" x e: M
Conlunto de verdad
{1, 2, 3. 4, 5, 6. 7} U {3, 6, 9} ={1, 2, 3, 4,5,6, 7, 9}
13 . Disyun~ión '
"x es múltiplo de 3" o "x. es número par o es menor que 8". x e: M
'Coniuntosolucl6n_, ' -, ,
{3.6. 9} U [{2.4, 6. 8,.10} U {1,2. 3, 4, 5. 6, 7}] = '
= {3. 6. 9} U ,{1, 2, 3, 4. 5, 6. 7. 8, 10}
= {1. 2. 3, 4,~. 6, 7.8. 9. 10} = M
, 14. Primer paso
"x es mÚltiplo,de 3" A = {3, 6; 9}
"x es par",' B ::;: {2, 4. 6. 8. 10}
"x es menor' que 8" . e = '{1.2-,3. 4, 5. 6,7} . .
' " M = {1. 2. '3.4,5, " 7, 8, 9, 10}
I
I
Segundo paso.
M '
BA
95
, '

Resp~esta. "A n c" "x es' múltipl~ <;te3 y es menor que 8"
15. Wsando los pasos 1 y 2 del problema anterior buscamos ahora. la
operaQión entre los conjuntos que nos dé {2, 3, 4, 6}
Solución
(A U B) n e que corresponde a:
"x es múltiplo de 3 o es par" y "x es menor que 8"
Sean A, B, e no disiuntos
16.
aób b'yc
,. A AB
19. b Y(c ó a).
(bYe) ó a
A B.
20. b Y (e Ya)
A lB
CONJUNTO DE PROBLEMAS 11.7
A
1. Es una proposición slmpre.
Negación. 11TlOes un número primo.Falsa.
~
LA
2. .Proposiciónabierta. Negación. x + 3 =1= 10; x e: N.
El área sombreado contiene los
elementos que cumplen con la negación. .
3. Proposición simple. .
Negación. 6 4: 8. Falsa.
96
- - -- - - -- - - .

4. Proposición simple
N'egación. 3 <. 5. Verdadera
. ..
5. Proposición abierta. - .
Ne.gación. "x no es un múltiplo de 3; x e:. N"
6. Proposición simple. .
Negación. "Hoy no es só.bado". Valor de verdad contrario del -que
tengo la afirm.ación. .
7. Negación. 20. Ley de DeMorgdn.
Todos los días
8. .Negacló",.
10. Ley de DeMorgan
"Hoy no es martes o no es un d(a lluvioso.
r
N
9. Negación.
"x :t>3 Óx <t 10, x E: N"
Esta ne9ación es equivalente a:
".x~ 3o x ~ 10,XE: N"
N
10. Negación. .
"2x =F6 Yx =O; X E: N"
11. El cohjunto de números primos ,e~
subconjunto del de números ;mpares
Racionale~
97

12. Algunos númerqs naturales no son enteros.
13. En este problemó se afirmo que los rectos p~rdlelas no se corta'n, V
aunque no se menciono el cuantificador no se da lugar a' excepciones
, por lo que se considero que se afirmo que todas los r89tas paralelas
no se cortan. Este es el lenguaie. ordinariamento empleado, por lo que
. debemos desarrollar capacidad poro transformár ~o que se nos dice
a lo formo simbólico que aquí aprendemos a manipular- (esta trans-,
, formación se puede hacer sólo mentalmente) poro así comprender V
asimilar el significado o semántica de lo que' se nos dice.
Negación: Algunos rectos paralelos se cor-
tan. Observar que esto formo de simbolizar
nos permite eliminar un error frecuente dé la
negación 01.trotar de negar lo proposición en
lo formo siguiente: .
Los rectos paralelos se cortan.
Formo equivocada y además frecuente.
14. Todos los números enteros son ra~iona~es.
15. Todos los tri~ngulos equiláteros son is6sceles.
16.. Algunos días lluviosos son claros.
98
,
Reole.
Figura. Geom~triCtl.
Todo. 10.' dÚl'

A = {múltiplos:de 3}
B ={pares}
e =,{múltiplos de ~}
17.
18.
20.'
2) 40 es múltiplo de-5 y es par,
pero no es r{1últiplode 3.
,19.
21. Falso que (121 múltiplo de 3 o
mÚltiplo de 5) o par.
Es falso que (121 múltiplo de 3
o múltiplo de 5) y no es par.
(121 no es múltiplo de 3 y no
es múltiplo de 5) y no es par.
99

CONJUNTO DE PROBLEMAS 11.8
1.. Suposición: Que llueva.
Conclusión: Posponer el ju~go.
2. Suposición: Ser número entero múltiplo de 8. .
Conclusión: Ser par. . ..'
Implicación: Si un número entero es múltiplo de' 8. entonces es par.
3. Suposición:x > O. x e: N
1
1Conclusl6n:x > -,. X E: N .
x
1
Implicación: Si x > O,entonces x > -, x e: N
- x
.4. Suposición: x mÚltiplo de 9.
Conclusión: x múltiplo de 3.
Impllcacl6n: si x es múltiplo de 9. entonces es múltiplo de 3; x e: N.
5. Suposición: Que.Pgblo juegue. '
Concl.usI6n:El equipo gana. .
Impllcacl6n: Si Pablo juega. entonces el equipo gana.
6~ a)' 02= 25=> a = 5 Incorrecto porque a podrfa ser - 5.'
b) a#-5 => 02,* 25 Incorrecto por la,'mlsma razón que antes.
c) Si 02'* 25.entonces a '* 5 Correcto porque si no .se cumple la
conclusión. no se cumple tampoco la hipótesis. .
d) 02= 25 =>a = 5 Incorrecto es la misma proposición que en in-
ciso a) pero en.otra forma.
7. a) Si un número es 'divisible entre '6,' enton-.
. ces es par. "
'El conjunto de números divisibles entre 6
es subconjunto del conjunto de números
pares. '
100

b) SI x < 10. entonces' x < 15. x e: N. El con-
lunto de números naturales menores que.
10 es subconlunto del coniulito de núm9-
ros naturales menores que 15.
8. al Xl= 4: x = 2. x e: N. Impllcaci6n x = 2 => x2==40
b) 6. Is6sceles, 6. equilóteroo '1l'J1Pllcoci6n.Si un 6. es equilátero ==>
'es Is6sceles. '
8. a) El conluntoJ de números divlsibles entre 4 es subconiunto de los
pares.
Por definicl6n "Los números divisibles.
por 4 son múltlplos de 4"
El 4 es múltlplode 2 .
Por tanto es par '
Todos los múltlplos de 4 son pares
Verdadera
b) El.conlunto' de números enteros no menores que 10 es subconjunto
del conlunto de números ~nteros no menores que 6.
A ={Conlunto'de "número~ no menores que 10}= {10, 11, 12, 13. 14,.. . o}
B ={Conluntode números no menores que 6}={6, 7, 8. 9, 10,11,12, o. o}.
ACB
Verdadera
10. -a) "SI un dIo'es lluviosoentonee. es nublado".
b) "Un .dIoes lluviosos610si es nublado".
c) "SI un número es múltlplode 6. entonces es múltlplode 3".
HUn,número es múltlplode 6 s610si es múltiplode 3"0
Analice detenidamente estas impllcaolonesy compárelas con las orl..
glnales. Las tres f()rmas nos dicen exactamente lo mismo. pero no
siempre nos damos cuenta, el lenguale ordinario nos presenta mu..
chas dificultades para encontrar la verdad Vesto es una oportunidad
de analizar lo que decimos o nos dicen para poder luzgar.
, 11. SI n > 5. entonces n = 4 n e: N (p => q). .
12. SI n = 4. entonces n :J>5 n e: N (q=> - p)o
13. SI n = 4. entonces n > 5 n e: N (q => p).
101

14. -Si n:# 4, entonces' n )::-5 n E: N (-- q =:) -- p).
15. Si n ,)::-5, entonces n :# 4 n E: N (-- p =:) -- q).
16. Si n:1>5, entonces n =4 n E: N (~p =:) q).
17. La proposición q =:) p es lo conversa.
18. La proposición ~ q =:) -- P es la contrapositiva.
,19. La proposición ,~, p ==> ~ q eS la invérsa. '
20. Una proposición .equivalente a n)::-5 sería n <,5; (n)::-5 <=>n < 5)
en muchos casos esm6s conveniente usar el diagrama de u!napro-
posición afirmativa en lugar de la proposición negativa como lo'ha-
remos,en al'gunos de los.problemas.que siguen. '
Sombre'aremos las hipótesis con rayado a la dere~ha
y las conclusiones con rayado a la izquierda
1. Implicación falsa 2~Implicación verdadera
s
4. Implicación falsa S. ImpUcaclón faba.
21. a) r s610 si s, equivale a r::::) s.
3. Implicación falsa
6. Implicación falsa
, 22. a) r => s; r s610 si' 8
b). P => q; q si p' ,
c) Cuando p => q y.q => p son Implicaclonesverdaaeras, a "p" y
"q" s~ le~ lIam~proPoSiciones.equivalente.,
102
- -.- --
.:>-n'<"'S
(
4

23. Diagrama del Silogismo
-{múltiplos de 10}c {múltiplos de 5}
. 20 E: {múltiplos de 10} ,
20 E: {múltiplos de5}
Razonamiento Válido
24. {ciudades. de Nuevo León} e {ciudades de América}
. MonterreyE: {ciudades de América} - 7 -- I .
, ~MonterreyE: {ciudades de Nuevo León}.
, Razonamiento ',Inválido
Independientemente de que lo conclusión seo
verdade-ra. . .
25. {múltiplos de 10}e {múltlplos de 5}
75 E: {múltiplos de '5} -7
; 15 E: {r.núltiplosde 10}
Inválido
26. "Todo burro tiene orejas" es equivalente o
"Si es burro => tiene orejas" V o
{burros} e {ani'males con orejas}
Tú E: .{an.malescon orejas} -?
Tú ~ {burros} -' .
I
Inválido
27. {Triánguloscon dos ángulos iguales} = {trián-
gulos'con dos Iodos .iguales} .
~ ASC.E: {triánguloscon dos Iodos-igualés}
~ ASC E: {triánguloscon dos ángulos iguales}
Observación: No se pretende demostrar los pre-
'misas, sino que se aceptan como verdaderos,
sólo verificamos que lo conclusión se derive
de o esté contenidoen los premisas.
Válido
7'rl41wu1o.
COIIdo, ~
/IutIln
1rl4".u1o ASO.
trliíngulo, 'COIIdo.
bloI igwJ",
103

Válido
" 28. {ángulos rectós} c{ ángulos con igual medida}
<r A y <r B E {ángulos rectos}
<rA=<rB
29. a) Esta proposiciónes equivalente a la proposición dada porque es la
contrapositiva. ' ' "
b) Esta proposición es la particular afirmativa que se' puede deducir
del' Universalafirmativo que nos dan "Todos los ,ángulos opuestos
I por el vértice tienen la misma medida". "
c) Esta proposición es la conversa' por. lo que no se "d~duce" de la
implicación. .
d) Esta proposición es la conversa equivalente a la conversa del in-
ciso anterior. '
30. Cambiamos a la forma si . . .entonces.. . .de modo que identifiquemos
, sin error la hipóte,sis y la conclusión. '
" ,
{
Si termina su preparatoria el Sr. GonzÓlezentonces recibirá. un
,Premisas ascenso. ' .
. El Sr. Gonzáteztermina su preparatoria. (
Conclusión: El Sr. ,González recibirá un ascenso
31. Si un número es par entonces es divisible entre dos; x es número par., '
Conclusíón: x es' divisible entre dos.
104

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