[Maths] algebra

Mathematics
Algebra
02
 cbxax
a
acbb
x
2
42


22
))(( axaxax 
...
00
)( 1












 
yx
n
x
n
yx nnn

Algebra. History
Bagdag, 830 A.C.
Mahammed ben Mussa al Jwarizmi
(hoy Uzbequistan 780-850 A.C.)
“Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala”
(Precisiones sobre el cálculo de al-jabr y al-muqabala)
Diophantic equations
Diophantus (Alexandría, 200-284 A.C.):
Linear, quadratic and cubed equations
Niccolo Fontanna Tartaglia (Italy, 1499-1557)
Gerolamo Cardano (Italy, 1501-1576)
2 3 2 3
3 3
2 4 27 2 4 27
n n m n n m
x       

Algebra.
WHY TO LEARN ALGEBRA?
•Algebra is a powerfull tool for all branchs of Mathematics and
Science.
•Algebra is a kind of scientific language you must learn to take
advantage in other disciplines
•Understanding Algebra helps people to abstract your mind and
stablish new patterns into your brain.
•Exercises your brain muscle as learning an instrument or doing
puzzles or some video games.
• Albebra is the universal brain builder (It is like build a railway into
your brain).

Algebra. Monomials
a coefficient
n exponent / power
x variable
n
ax4
2
2
x
3
4
5
x
1
2
2x
0
x
1


1
x
3 2
x y
5
y

Algebra. Monomials
Operations Examples
Addition
Substration
Multiplication
Division
222
853 xxx 
222
253 xxx 
422
1553 xxx 
2
3
2332
22
132
23
5
3
53
5
3
53
5
3
5
3
53
5
3
53
xz
y
zxyx
xx
x
xxx
xxx





    343324
1523 zyxzxxy 
?...53 2
 xx

Algebra. Polynomials
terms each monomial
x variable
n degree
an xn leading term
ai xi the ith degree term
ao constant term
an principal coeficient
ai the ith degree coeficient
1 2 1
1 2 1 0( ) ...
; 0
n n n
n n n
n
P x a x a x a x a x a
n a
 
 

     
 

ℕ  ℤ  ℚ  ℝ  ℂ 3

Addition & substration
We define the polynomials: P(x) = -3x4-5x2 +1,
Q(x) =3x4-4x3 -5x2 +6 ,
R(x) = -x3 +6x +4.
Calculate P(x) + Q(x) - R(x)
P(x) -3x
4
-5x
2
1
Q(x) -3x
4
-4x
3
-5x
2
6
-R(x) x
3
-6x -4
Add -6x
4
-3x
3
-10x
2
-6x 3

Multiplication
We define the polynomials:
Calculate
1532)( 23
 xxxxP
324)( 2
 xxxQ
)()( xQxP 
2x
3
-3x
2
+5x -1
4x
2
-2x 3
+6x
3
-9x
2
+15x -3
-4x
4
+6x
3
-10x
2
+2x
+8x
5
-12x
4
+20x
3
-4x
2
8x
5
-14x
4
+32x
3
-23x
2
+17x -3

Division
Calculate
Quotient 1/2x -1/2
Remainder 11/2 x + 1/2
1532)( 23
 xxxxP
324)( 2
 xxxQ
)()( xQxP 
2x
3
-3x
2
+5x -1 4x
2
-2x +3
-2x
3
+x
2
3/2 x 1/2 x -1/2
0 -2x
2
13/2 x
-2x
2
-x +3/2
0 11/2 x ½

Division
Calculate
4x5 – 2x4 + 6x3 – 2x2 + 4x – 3 2x2 – 4x
-4x5 + 8x4 2x3 +3x2 + 9x + 17
6x4+ 6x3 – 2x2 + 4x – 3
- 6x4 +12x3
18x3 – 2x2 + 4x – 3 Quotient 2x3 +3x2 + 9x + 17
- 18x3+36x2 Remainder 72x – 3
34x2 + 4x – 3
- 34x2 +68x
72x – 3
342624)( 2345
 xxxxxxP
xxxQ 42)( 2

)()( xQxP 

Algebra. Useful products
Distributive x(y + z)= xy + xz
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Squared binomial (x + y) 2 = x2 + 2xy + y2
Cubed binomial (x + y) 3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Squared trinomial (x + y + z) 2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
Difference of
squares
x2 - y2 = (x + y) (x – y)
x2 + y2 cannot be factorised
Difference of cubes x3 – y3 = (x – y)( x2 + y2 + xy )
Addition of cubes x3 + y3 = (x + y)( x2 + y2 - xy )
Forth difference x4 – y4 = (x + y)(x – y)( x2 + y2 )
Binomio de Newton
)(1 ba
ab
ba



01122110
1
....
210
)( ba
n
n
ba
n
n
ba
n
ba
n
ba
n
ba nnnnnn































 

Factorising
PARADOJA Demostrar que 1=2
Encuentra, si lo hay, el fallo en la siguiente paradoja algebraica:
Consideremos dos números x e y cualesquiera tales que
x = y Multiplicando ambos miembros por x
x2 = xy restamos y2
x2 - y2 = xy - y2 sacando factor común y por los productos notables,
(x - y)(x + y) = y(x - y) dividámoslo todo por (x - y)
(x + y ) = y y puesto que x = y
2 x = x y simplificando o dividiendo por x
¡2 = 1 !!!
¡Busca donde está el error!

Numbers:
1 is equal to 2
PARADOJA Demostrar que 1=2
Encuentra, si lo hay, el fallo en la siguiente paradoja algebraica:
Consideremos dos números x e y cualesquiera tales que
x = y Multiplicando ambos miembros por x
x2 = xy restamos y2
x2 - y2 = xy - y2 sacando factor común y por los productos notables,
(x - y)(x + y) = y(x - y) dividámoslo todo por (x - y)
(x + y ) = y y puesto que x = y
2 x = x y simplificando o dividiendo por x
¡2 = 1 !!!
¡Busca donde está el error!

Numbers:
a is equal to b
Si a > b entonces a = b.
Dado que a > b, supongamos c> 0 tal que a = b + c.
Multipliquemos los dos miembros de esta igualdad por (a-b)
a ( a-b) = (b + c)(a - b)
a2 - ab = ab + ac - b2 - bc
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc
a ( a - b - c ) = b (a - b - c ) y simplificando por (a - b - c) quedará
a = b
¿Dónde se encuentra el error en esta demostración?

Solving word problems.
Strategies
Polya’s four step process
• Familiarize with or understand the problem. Write down
the ideas you have.
• Devise a plan. Draw a picture. Look for different strategies.
Choose the best. Estimate the solution. translete the word
problem into algebraic equations.
• Carry out your plan, I mean, solve the equation.
• Look back over the results. Revise the process and deduce
consequences.

Solving word problems.
Our 6 steps strategy
1 Read the problem, take your time, be still, until you are sure to understand the
meaning perfectly. Look for valid information which can help you.
3 It it is possible, it is really useful to draw a diagram and label it.
2 Identify the variables and choose the letters x, y, z,.. to assign the unkwown values
you to want to find out. Be careful, because sometimes you can deduce a letter from
others
4 Write the equation.
5 Solve the equation
6 Check, discuss, compare with your estimations and interpret the solutions.

Solving equations
1 If there are some roots, get rid of them squaring boths sides of equation.
3 Multiply out any brackets
2 Get everything off the bottom of the fractions.
4. Collect all subject terms on one side of the “=“ and non-subject terms on the other.
5 Combine together like terms and solve the equation.
• If it is a linear equation Ax = B, you have to make x the subject sliding A
underneath the B.
• If it is a quadratic (or higer) equation you can use three methods:
• by formula (always you can transform it into a (bi)quadratic equation)
• by factors
• by non linear methods (iteration, e.g. Newton-Raphson)
6.2
15
39
39154104518445184104
)52(9)4()52(2
9
52
4
23
52
4
23
52
4
2 2
2





















xxxxxxxx
xxx
x
x
x
x
x
x

The bread
Un gran bollo de pan
pesa lo mismo que ¾
partes del bollo más ¾
de kg. ¿cuánto pesa el
bollo?

The bread
3 3
3 3 4 ...
4 4
... 3 4 3 3 3
x x x x
x x x x
     
         

The object
Por un objeto se paga 9€
más que la mitad de lo
que vale.
¿Cuánto vale?

The object
1
9 18 2 18 2 18
2
x x x x x x x         

Pythagoras
Se cuenta que en una ocasión
se le preguntó a Pitágoras
cuál era el número de
alumnos que tenía, a lo que
él respondió:
“La mitad estudia aritmética,
la cuarta parte oratoria, la
séptima parte medita en
silencio y tres alumnos más
no estudian”
¿Cuántos alumnos tenía
Pitágoras?

Pythagoras
1
Aritmetica
2
1
Oratoria
4
1
medita
7
3 no estudian
1 1 1
3 14 7 4 84 28
2 4 7
84
84 28 25 84 3 28
3
x
x
x
x x x x x x x x
x x x x









         
      

The math examination
Para un examen final de
Matemáticas, las 3/5 partes
del total de los alumnos
aprueban por curso y no
tienen que presentarse; los
3/8 del resto, que debían
realizar el examen, ya no se
presentan y los 20 alumnos
restantes aprueban todos la
convocatoria.
Calcular el número total de
alumnos de Matemáticas.

The math examination
es el numero total de alumnos
3 2
aprueban; luego el resto es
5 5
3 2
no se presentan
8 5
20 aprueban
3 3 2 3 6
20 20
5 8 5 5 40
24 6 40 800 10 800 80
x
x x
x
x x x x x x
x x x x x





     


 
         
 
       

Diophantus’ biography
En la lápida de la tumba del matemático Diofanto
reza el siguiente epitafio:
“¡Caminante!, aquí fueron sepultados los restos de
Diofanto y los números pueden mostrar ¡oh
milagro! cuán larga fue su vida, cuya sexta
parte constituyó su hermosa infancia. Había
transcurrido además una duodécima parte de
su vida cuando de vello cubriose su barbilla. Y
la séptima parte de su existencia transcurrió en
un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más
y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso
primogénito, que entregó su cuerpo, su
hermosa existencia, que duró tan solo la mitad
que la de su padre, a la tierra. Y con profunda
pena descendió a la sepultura, habiendo
sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.
Escribir la biografía de Diofanto.

1 1 1 1
5 4 14 7 12 42 756 84
6 12 7 2
756
756 84 75 9 756 84
9
x x x x x x x x x x
x x x x
            
      
Duración vida de Diofanto x
Infancia 1/6 x
Adolescencia 1/12 x
Matrimonio esteril 1/7 x
Nacimiento hijo 5 años
Vida del hijo 1/2 x
Sobrevivió al hijo 4

Duración vida de Diofanto x 84 años
Infancia 1/6 x 14 años
Adolescencia 1/12 x 6 → 21 años
Matrimonio esteril 1/7 x 12 → 33 años
Nacimiento hijo 5 años 5 → 38 años
Vida del hijo 1/2 x 42 → 80 años
Sobrevivió al hijo 4 4 → 84 años

The hens and the rabbits
Una granja tiene gallinas
y conejos. Si sumamos
el número de patas
resultan 140, pero si
sumamos las cabezas
son solo 40. Calcular
cuantas gallinas y
cuántos conejos tiene la
granja.

The hens and the rabbits
 2 40 4 1402 4 140
40 40
80 2 4 140 2 60 30
40 30 10
y yx y
x y x y
y y y y
x
       
  
      
       
   
     
Cabezas Patas
Nº Gallinas x 2x
Nº conejos y 4y

The horse and the donkey
Un caballo y un mulo
caminaban juntos llevando
sobre sus lomos pesados
sacos. El caballo se
lamentaba de su pesada
carga a lo que el mulo le
dijo: “¿De qué te quejas? Si
yo te tomara un saco, mi
carga sería el doble que la
tuya, en cambio si te doy
uno de mis sacos, nuestras
cargas serían iguales”.
¿Cuántos sacos llevaba
cada uno?

The horse and the donkey
   1 2 1 2 2 32 3 5
2 5 2 71 1
y x x xy x x
y x yy x
             
    
           
Nº sacos del caballo x
Nº sacos del mulo y

The number
La suma de las dos cifras de un
número es igual a 10;
además, si invertimos el
orden de las cifras, se obtiene
otro que es el triple del
primero, disminuido en dos
unidades.
¿Cuál es el número de partida?

The number
 
 
10 10
10 3 10 2 10 30 3 2 29 7 2
29 10 7 229 7 2 290 29 7 2
10 8 2
288
288 36 8
36
x y x y
y x x y y x x y x y
y yx y y y
x
y y
     
  
            
 
  
       

   
  
   
Sean ‘x’ e ‘y’ las cifras de las decenas y la de las unidades respectivamente del
número pedido

St.Peter and Paul
Pedro dice a Pablo :
“Tengo dos veces la edad que
tenías cuando yo tenía la
edad que tienes, y cuando
tengas la edad que tengo,
la suma de las dos edades
será de 63 años”.
¿Cuáles son las edades
actuales?

St.Peter and Paul
 
2(2 ) 4 2 2 3
(2 ) 63 3 63 3 63
189
2 9 189 7 189 272 3 3 63
7
3 27 63 18
y y x y y x x y
x y x x y y x
x x x xx x
y
      
  
        

         
   
      
Hoy Cuando yo
tenía la edad
que tu tienes
Cuando tu
tengas la edad
que yo tengo
St Peter x y x+(x-y)=2x-y
St Paul y y-(x-y)=2y-x x
2(2 )y y x  (2 ) 63x y x  

Palms, birds and fish
En ambas orillas de un río crecen
dos palmeras, una frente a la
otra y separadas por una
distancia de 50 pies. La altura
de una es 30 pies y la de la
otra 20 pies. En la copa de
cada palmera hay un pájaro.
Súbitamente los dos pájaros
descubren un pez que
aparece en la superficie del
agua, entre las dos palmeras.
Los pájaros se lanzan a la vez
y alcanzan el pez también al
mismo tiempo.
¿A qué distancia de la palmera
mayor apareció el pez?

Palms, birds and fish
 
2 2 2
22 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
30
50 20
900
2500 100 400
900
...
900 2900 1002900 100
100 2000 20
900 900 20 1300 36,05
y x
y x
y x
y x x
y x
xy x x
x x
y x
  

   
 

    
  
 
    
 
 
  
     



The taps
Un grifo tarda 3 horas en
llenar un depósito.
Mientras que otro solo
tarda 2 horas en
llenarlo.
¿Cuánto tardarán en
llenar el depósito los dos
grifos a la vez?

The taps
1 1 5
1 1 ...
3 2 6
6 1
... horas 1 1 hora y 12minutos
5 5
x x
x horas
 
     
 
   
Lleno en 1 hora
Grifo A 3 horas 1/3 3(1/3)=1
Grifo B 2 horas 1/2 2(1/2)=1
Grifos A +B X horas 1/3 + 1/2 x(1/3 + 1/2)=1

Mother and son
Una madre es 21 años mayor
que su hijo y en 6 años el
niño Será 5 veces menor
que ella. Calcula la edad
del hijo

Mother and son
   
21
6 5 6 21 6 5 30
4
3 4
3
y x
y x x x
x x
   
 
       

 
 
   

Operations
BASIC OPERATIONS
+ Addition / plus
- Substration / minus
* Multiplication
/ Division
^ Exponentiation; power
square root; cube root3

Numbers: Powers, surds and logarithms
Powers Surds Logarithms
mnmn
xxx 
 yxxy loglog)log( 
mn
m
n
x
x
x 
 yx
y
x
logloglog 





  nmmn
xx 
nmn m
xx  xnxn
loglog 
10
x
xx 1
1log bb
n
n
x
x
1

nmn
yxyx )(  nnn
yxyx 
n
n
n
y
x
y
x






 n
n
n
y
x
y
x

nn
xx 
1
n mn
m
xx 
x
n
xn
log
1
log 
n nn yxyx  b
x
x
a
a
b
log
log
log 
10log b
11 x

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