Matrices matemáticas

COLEGIO “AMELIA GALLEGOS DÍAZ “
TRABAJO DE MATEMÀTICAS

REALIZADO POR:
WALTER GADVAY

CURSO:
SEGUNDO DE BACHILLERATO “D”

PROFESOR:
LCDO. RAÚL MONCAYO

Matrices
Definición: una matriz es un conjunto de números dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas.

Tipos de matrices

Matriz rectangular: es aquella que tiene distinto número de filas que de
columnas, es decir m≠n

Matriz fila: es una matriz 1xn, ósea con una sola fila (de n elementos).

Matriz columna: en toda matriz rectangular con una sola columna, de dimensión mx1

Matriz nula: es una matriz con todos sus elementos igual a 0. Se denota por 0.

Matriz triangular superior: es toda matriz cuadrada en la que todos los términos
situados por debajo de la diagonal principal son 0.

Matriz triangular inferior: es toda matriz cuadrada en la que todos los términos
situados por encima de la diagonal principal son 0.

Matriz diagonal: es toda matriz cuadrada en la que todos los términos no situados en la
diagonal principal son 0.

Matriz escalar: es toda matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal
principal son iguales y los demás elementos 0.

Matriz unidad o identidad: es la matriz escalar en la que todos los elementos
de la diagonal principal 1 y 0 en las demás posiciones.

Matriz transpuesta: se llama transpuesta de una matriz A de dimensión m≠n, a la
matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por columnas o las columnas por filas. Se
representa por At y su dimensión nxm.

Matriz simétrica: es toda matriz cuadrada A que coincide con su traspuesta, esto es
A=At. En una matriz simétrica cualquier par de elementos son simétricos, respecto a la
diagonal principal son iguales.

Matriz anti simétrica: es toda matriz A que coincide con la opuesta de su
transpuesta, esto es, A=-At. Es una matriz anti simétrica cualquier par de
elementos simétricos respecto a la diagonal son opuestos.

Suma de matrices: para poder sumar matrices deben tener el mismo orden ambas
matrices, es decir deben tener el mismo número de filas como de columnas.
Definición de suma: si A m≠n B=m≠n, entonces su suma es A+B=m≠n.

Propiedades
1: Es asociativa

2: Es conmutativa:

3: Elementos neutro:

Producto de un escalar por una matriz: si KA=K(ij)nxm debo multiplicar el escalar por
cada numero de la matriz.

Multiplicación de matrices: para multiplicar matrices debemos revisa el número de filas
por columnas si tiene más filas en la matriz que en la otra no es posible operar.

Matrices inversas: en la teoría de matrices sola mente sientes matrices cuadradas tiene
inversa multiplicativa a diferencia de algebra común donde cada número real diferente
de o tiene el inverso b. la matriz identidad tiene a y 0 en las otras propiedades.

Matrices transpuestas: es la matriz que obtenemos al cambiara las filas por las
columnas la transpuesta de A la representamos por At.

Matrices adjuntas: es una matriz cuadrada de mxm y B es la matriz de sus confectores
entonces la adjunta de A denotamos por AD, (A) que es la transpuesta de la matriz
BNxN.

Inverso de una matriz: es una matriz cuadrada de orden n, existe una matriz B tal que
AB=inversa =BA entonces B se llama inversa de A y se denomina A-1. Si A es matriz
cuadrada y tiene una inversa, decimos que A es inversa, si a no es una matriz cuadrada

no es posible invertirla si si el determinante de A no es o el inverso

mult iplicante es:

PROGRESIONES

SUCESION: Es un conjunto ordenado de números que se deducen unos de
otros mediante una regla definida.

Progresiones Aritméticas
Una progresión aritmética (p.a) es una sucesión en la cual todos los
términos, posteriores al primero se deducen al primero se deducen del
anterior añadiendo un numero constante que se llama razón de la
progresión.
Por ejemplo 3,7711.11, 15,19……….es una progresión aritmética ya que cada
termino se obtiene sumando 4 unidades al anterior.
En la progresión a aritmética 50.45.40……. ala razón es 45-50= a 40-45=-5
Formula de las progresiones aritméticas.
El termino enésimo, o el ultimo: 2=a+(n-1) de
La suma de los n primeros términos: s=n/2 (a+l)=n/2{2a+(n-1)d}
Siendo a = primer término; b= razón
N=numero de términos: 2=términos enésimo o ultimo termino;
s=suma de los n primeros términos

EJEMPLOS
Consideremos la progresión aritmética 3, 7,11,………., siendo a=3 y d=7-3=11-7.el
sexto termino es L=a+(n-1)d=3+(6-1)y=23
La suma de los seis primeros términos
s= n/2(a+l) =6(3+23) =78 o s= n/2{2a+(n-1)d}=6/2{2(3)+(6-1)4}=78

NOTACION; El signo de una progresión aritmética es y entre termino y
termino se escribe un punto (.) ejemplo 3.7.11.15.19………
Deducción de la fórmula del término enésimo (ultimo)
Sea: a.b.c.d.e,……….u
A= 1° termino
R=razón
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.
Una progresión geométrica es una sucesión en la cual todos los términos
posteriores al primero se deducen del anterior multiplicando por u1n3a constante
que se llama razón de la progresión.

Formula de las progresiones geométricas
El término enésimo o último término.

La suma de los n 1º términos

Siendo a=1ª termino r= razón; n=numero de términos; l=termino enésimo o ultimo
termino; s= suma de los n 1ª términos.

Problemas propuestos.
Hallar el término enésimo a la suma de los primeros términos de la sucesión y para
el valor de n que se indica.

Determinar la media geométrica entre:

PROGRESIONES ARMÓNICAS.

Hallar el octavo término de la armónica.
Hallar el octavo termino de la progresión armónica

Problema diversos sobre progresiones armónicas y geométricas.

Hallar el numero de términos que se debe sumar de la p.a, 9.11.13…, para que
la suma sea igual a la de los nueve 1ros términos de la p.g, 3.-6.12.-24…

Hallar la media armónica entre las pares de números siguientes.

METODO DE KRAMER

El método de Kramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

MÉTODO DE GAUSS – JORDAN
Consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de
forma que éste sea escalonado.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA

Como resolver ecuaciones cuadráticas puras.

Tenemos que igualar las ecuaciones o poner todos las x a un solo lado y los números al
otro lado. Realizamos las operaciones necesarias. Sacamos las raíces del resultado si es
posible.

Como resolver por descomposición en factores.
Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio y se separan
estas raíces por los signos del segundo término. El binomio así formado, que
es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por el mismo o se eleva al
cuadrado..

Formando un cuadrado perfecto.
Se escribe en un miembro los términos con la incógnita y se pasa al término
independiente al otro miembro. Sumando a ambos miembros, el primero se transforma
en un cuadrado perfecto.

Aplicando la formula general.
Multiplicamos por 4ª. Sumando a los dos miembros. Pasando 4ac al 20miembro.
Descomponiendo el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto. Extrayendo la
raíz cuadrada a los dos.

Gráficamente.
Representamos estos valores y correspondemos a las que hemos dado a x,
obtenemos de serie de puntos que aparecen señalados en el grafico. Uniendo
estos puntos por una curva suave se obtiene, la parábola ABC que es la
representación grafica del primer miembro de la ecuación dada.

Como resolver la suma y el producto de raíces.
Suma de lar raíces. Sumando las raíces tenemos: luego, la suma de las raíces
es igual al coeficiente del segundo término de la ecuación con el signo
cambiado partido por el coeficiente del primer término.

El carácter de las raíces.
Suponiendo que el carácter de las raíces de la ecuación de segundo grado su
discriminante es

Hallar una ecuación cuadrática de coeficiente (si es posible) cuyas raíces sean las
indicadas.

HALLAR EL VALOR DE LA CONSTANTE P EN LAS ECUACIONES SIGUIENTES PARA QUE
SE SATISFAGA LA CONDICION QUE SE INDICA.

ECUACIONE S DE SEGUNDO GRADO CON DOS INCÒGNITAS

La forma general de una ecuación de segundo grado, seguida por dos
incógnitas o variable es:

ax2 + bxy + cy2 - dx + ey + f = 0
siendo a, b, c, d, e, f constantes y a, b, c distantes de cero a, b, c, ≠ 0

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