![vni Contenido
8.10 .11 Matriz inversa 417
8.10 .12 Inversa de una matriz triangular 419
8.11 Transform aciones elementales 427
8.11.1 Transform ación elemental fila 0 columna 427
8.11.2 Matriz escalonada 428
8.11.3 Matrices equivalentes 429
8.11.4 R ango de una matriz 430
8.11.5 Matrices elementales 431
8.11.6 Inversa de una matriz por el método de las matrices
elementales (Método de G a u ss - Jordán) 434
8.12 Sistem as de ecuaciones lineales 440
8.13 R a n go de un sistem a de ecuaciones lineales 449
8.14 Sistem as hom ogéneos de ecuaciones lineales 456
□
D ETERM IN AN TES 465
9.1 Definición 465
9.2 Propiedades de los determinantes 466
9.3 Existencia de los determinantes 473
9.3.1 M enor de una componente 474
9.3.2 Cofactor de una componente 475
9.4 Cálculo de determinantes de cualquier orden 479
9.5 Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 499
9.5.1 Regla de Sarrus 499
9.5.2 Cálculo de determinates mediante la reducción a la forma
escalonada 501
9.5.3 Propiedades multiplicativas 511
9.5.4 R ango de una matriz 516
9.5.5 Adjunta de una matriz 523
9.5.6 Inversa de una matriz 525
9.5.7 Matrices no singulares 538
9.5.8 Resolución de sistem as de ecuaciones en dos variables 543
9.5.9 Resolución de sistem as de ecuaciones de tres variables 544
R e sp u e sta s a los ejercicios p ro p u e sto s 552
Bibliografía 572
A] VECTORES
Eíl El PUMO
' o — ^
(l.1 j C O O R D E N A D A S R E C T A N G U L A R E S____________________
El propósito de esta sección e s el de definir el concepto de par ordenado de
elementos, introducir una notación para representar tales pares y definir y estudiar
operaciones algebraicas sobre pares ordenados de núm eros reales. Em pecem os
entonces a definir el producto cartesiano de dos conjuntos.
DEFINICION 1.1 El producto cartesiano de dos conjuntos
Si A y B son dos conjuntos dados, entonces el producto car
tesiano de A y B , denotado por A x B , es el conjunto de todas las posibles
parejas ordenadas {a ,b) para las cuales la primera componente es un elemento
de A y la se gu n da componente es un elemento de B. En sím bolos escribim os :
A x B = { (a , b)a e A , b e B }
V _________________________________
Por ejemplo , s i A = { 2 , 3 , 5 } y B = { a , & } , entonces
A x B = { (2 , a) , (2 , b ), (3 . a ) , (3 , b) , (5 , a ) , (5, b ) }
El producto cartesiano con el que trataremos en este libro es R x R, denota
do mediante R 2, que se define com o el conjunto infinito de parejas ordenadas de
núm eros reales. En sím bolos :
R x R = { (x , y) | x e R . y e R }
A sí com o el conjunto R de los núm eros reales es representado geométricamente por
una recta real, el conjunto R 2 se representa geométricamente mediante un plano
llamado plano real.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-7-320.jpg)
![6 Capítulo I: Vectores en el plano
DEFINICION 1.4 Multiplicación de un número real por un par ordenado
Si A = (at , a,) e s un elemento de R 2 , y r es un número real
(llamado escalar), definimos su producto com o
rA = (ra ,, rtí,)
A la operación que hace corresponder a cada número real y cada par ordenado
su producto escalar la llamaremos multiplicación de un número real por un par
ordenado.
Por ejemplo, si A = (-2 , 6) y r = 3/2 , entonces :
r A = y (-2 , 6) = ( y (2), y (6)) =(-1,9)
O bsérvese que, según estas definiciones, tanto la sum a de pares com o la
multiplicación de un escalar por un par ordenado, son nuevam ente elementos de R 2.
Por ello se dice que estas operaciones son cerradas en R 2.
Estas dos operaciones gozan de propiedades m uy importantes que se indi
can en el siguiente teorema.
TEOREMA 1.2 Propiedades de los pares ordenados
D ados los pares ordenados A, B, C e R 2y los escalares r, s e R, se
cumplen las siguientes propiedades para la adición de pares ordenados y la multipli
cación de escalares por pares ordenados.
A, :Si A, B e R : ■=* (A + B) e R 2 (Clausura)
A 2 :Si A, B e R : => A + B = B + A (Conmutatividad)
A 3 :Si A, B, C € R 2 <=> (A + B) + C = A + (B + C) (Asociatividad)
A 4 :Propiedad del elemento identidad para laadición de pares
3 ! 0 e R 2|A + 0 = 0 + A = A , V A e R : (0 = (0 ,0))
A s : Propiedad del elemento inverso para la adición de pares
3 ! - A 6 R 2 1A + (-A) = (-A) + A = 9 , V A e R 2
M, : Si r g R y A e R 2 <=> r A e R 2 (Clausura)
M 2 : 3 l e R I l A = A , V A e R 2 (Existencia del elemento neutro)
D, :r (A + B) = r A + r B , V r e R , V A , B e R 2 (Ley distributiva)
D 2 :(r + s)A = rA + sA , V r , s e R , V A e R 2 (Ley distributiva)
D 3 :r(sA) = (rs)A , V r , s e R , V A e R 2 (Ley distributiva)
S e deja al lector la demostración de cada una de estas propiedades haciendo uso
de las propiedades respectivas de los núm eros reales.
Sección 1.2: R: como espacio vectorial 7
DEFINICION 1.5 El espacio vectorial
El espacio vectorial V es un conjunto de elementos, llamados
vectores, junto con un conjunto de elementos, llam ados escalares, con dos ope
raciones llam adas adición vectorial y multiplicación cscalaraes que para cada
par de vectores A y B en V y para todo escalar r, un vector A + B y un vector iA
están definidos de tal forma que las propiedades del Teorem a 1.2 se satisfacen.
El Teorem a 1.2 nos demuestra que el conjunto R 2 e s un espacio vectorial
sobre R. denotado por V,. Por tanto a los pares representados por ( x , y) también los
llam aremos vectores.
DEFINICION 1.6 Vectores en el plano
Un vector en el plano es un par ordenado de núm eros reales
de la forma <x . y), donde x e y son las componentes del vector.
Para denotar vectores se utilizan letras en negritas tales com o A, B, C, a, b,
—) —)
c, v, x, y, z. En la escritura a m ano se usan los sím bolos com o A , a , de tal forma que
un vector A de com ponentes escalares x e y se escribirá A = (x , y), para distinguirlo
del punto A(x , y). Para denotar los núm eros o escalares, se usarán letras m inúscu
las tales com o a, b, c, r, s, t, x, y, z, com o contraste con los vectores.
Dado dos vectores en V,, A = (x, , y,> y B = ( x , , y , ) , podem os definir
1. Si A = B <=> (x, = x,) a (y, = y,) (Igualdad de vectores)
2. A + B = (x, + x , , y, + y,) (Definición 1.3)
3. r A = (r x, , r x,) (Definición 1.4)
Ejemplo 1 ] Si A = (-2 , 3) y B = (4 , -1), hallar el vector V = 2A + 3B
Solución. Si V = 2(-2 , 3) + 3(4 , - 1) <=> V = (-4 , 6) + (12 , -3) (Def. 1.4)
= ( - 4 + 1 2 , 6 - 3 ) (Def. 1.3)
= (8 , 3) ■
1 Ejemplo 2 j Hallar el vector x en la ecuación
2(-1 , 2) + 3x = (4 , -5)
Solución. Su p on ga m os que x = (x, , x,), entonces en la ecuación dada :](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-10-320.jpg)
![8 Capítulo l: Vectores en el plano
2<-l , 2) + 3<X, . x2> = (4 , -5)
=> (-2 , 4) + <3x, , 3x,) = <4 , -5) (Def. 1.4)
«=* <-2 + 3x, , 4 + 3x,) = <4 , -5) (Def. 1.3)
Por la igualdad de vectores : -f - + ^x i - 4 ^ x i - -
*- 4 + 3x, = -5 <=> x, = -3
Por tanto, el vector buscado es : x = (2 , -3) ■
Cjcmplo 3 J Hallar todos los núm eros reales r y 4 tales que
r (4 , -6) + 4 (5 , -2) = <7 , 6>
Solución. <4r , -6r) + <54 , -2ó> = <7 , 6> (Def. 1.4)
<4r + 54 , -6r - 24> = <7 , 6> (Def. 1.3)
Por la igualdad de vectores : -f 4r + 54 _ 7
l -6r * 24 = 6
Resolviendo el sistem a obtenem os los núm eros : r = - 2 , 4 = 3 ■
EJER C IC IO S: Grupo 2
1. D ados A = (3 , -4), B = (8 , -1) y C = (-2 , 5), hallar el vector V. s i :
a) V = 3 A - 2 B + C c) V = 2 (A - B) + 3C
b) V = 4 A + 1 ( B - C ) d) V = 2(A + C ) + 1 ( B - 2 C )
2. Hallar el vector X en las siguientes ecuaciones :
a) 3 <0 , -2) + 2 X - 5 <1 , 3) = (-3 , -5>
b) <15 , -12) + 2[ (-6 , 5) + X] = 4(1 ,-2)
c) 2 X - 3 <1 , -2) = 5 <-1 , 3) - X
3. En las siguientes relaciones hallar, si existen, todos los núm eros reales r y s
a) r <-2 , 3) - s (8 , 1) = <16 , 15) c)r <-2 , 3) + s <4 , -6) =<0 , 2)
b) r <5 , 1) + s <-3 , 5) = <-2 , 8) d) r <4, 3) + s <-1 ,2) = <2 , -26)
4. Si <1 , 5) + 2x = <7 , -3), hallar r y t , tales que (-3 , 2) = r x + t<2 , -4)
5. Si A = <n , m ), B = <1 , -2), C = <-1 , -3) y m A + n B - C = <0 , m2) , hallar el valor
de 3m + 2n
6. Si A = (m , n ) . B = <2 , -3) y C = <-1 , 1), hallar m y n para que se cumpla
m A + nB + C = 2n<1 , 0)
Sección 1.3: Representación geométrica de un vector en el plano 9
7. Si A = <2 , 3 ), B = <3 , -2) y C = <4 , -1), resolver la ecuación
2A - 3( — (B - 3C) + ^ X ] = l x + 3C
2 4 4
8. Hallar los elementos del conjunto
V = { <m , n) e R : I <12m - 1 |, 12m + 1 |) = <5 , 9)}
9. D ado s los vectores A = <3x - 5 , x - 2y + 2) y B = (x - y - 2 , 3 - 2 y ) , hallar x e y
tales que 3 A = 4 B
10. Si A = <2m - 3n , 4n - m) y B = <2 , -3), hallar los valores de m y n que hacen que
A = 5B.
1-3 ) REPRESEN TACION GEO M ETRICA DE UN V EC TO R EN EL PLANO
Geométricamente, cualquier par de puntos distintos S y T en el plano deter
minan un segmento de recia orientado ST de S a T. Si representam os este segm ento
de recta por un vector V = <x , y ) , mediante una flecha, éste se llama vector geomé
trico cuyo punto inicial es S (x ,, y,) y tiene com o punto final T(x + x, , y + y t). De este
m odo un vector V e R : puede interpretarse com o una traslación descrita por un par
de núm eros reales (x , y ) , la primera componente indica un desplazam iento paralelo
al eje X y la segunda componente un desplazamiento paralelo al eje Y. La Figura 1.5
ilustra seis representaciones del vector V = <x , y). En cada caso , V traslada el punto
(x^, y ) en el punto (xt + x , y + y). Si am bos puntos , el inicial y el final son el origen
, entonces a V se le llama vector cero y se denota mediante O = <0 , 0).
r
Yi
■N
J * -
>
j
>
■y'U A
A
.Vi
T Ji'
r
s( J w
V Vy
O
A
V I T /
>
>
k
p,
v —
p S
0
V
FIGURA 1.5 FIG URA 1.6
El segm ento de recta dirigido O P que va del origen al punto P(x , y) es una
representación ordinaria del vector V = (x , y) y se dice que la flecha o vector tiene
posición ordinaria o estandar. Por esta razón, el vector V se llama vector de posición
o radio vector del punto P(x , y).](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-11-320.jpg)
![10 Capítulo I: Vectores en el plano
DEFINICION 1.7 Vector Localizado
Un vector localizado en R : e s una pareja de puntos P t y P,
que se indican con P P, para los cuales P, e s el punto inicial o de partida y P, es
el punto final o de llegada (Figura 1.6). S i una flecha tiene com o punto inicial a
p ,(x , . >',) Y a p2(xr ’ >'i) com o punto final, entones la flecha P,P, es una represen
tación geométrica del vector V = (x . y ) , donde :
<x J > = <; - 1 (1)
Si consideram os a P l y P, com o vectores de posición de los puntos ?! y P,
entonces, según la Definición 1.7 :
V = p p = p - p
12 *2 *1
de donde :
i'v + p, = «*.) (2)
Esta ecuación nos permite conocer analíticamente el punto final P, del vector V co
nociendo, desde luego, el punto inicial y las com ponentes del vector V.
I O B S E R V A C IO N 1.1 Un vector en R : puede ser considerado com o una función
cuyo dominio y rango e s el conjunto de puntos en el plano.
En efecto, si V es el vector que traslada el punto P, en el punto P, escribim os V(P,) =
—>
P,. A sí si P,(x, , y,) es el punto de partida y V = (x , y) e s el vector localizado PtP„
entonces
V (P.) = (x, + x , y, + y) = P2
i i
Dominio Rango
D ebem os notar que si V (P,) = P, <=> V = (0 , 0)
Cjemplo 1 ] Hallar V (P l). dados P, = (-2 , 1) y V = (3 , 4). Graficar P,P,
Solución. Se gú n la ecuación (2):
V (P,) = P, <=> P2= (x, + x , y, + y)
= (-2 + 3 , l + 4)
= d . 5 )
La gráfica de P,P, se muestra en la Figura 1.7
Sección 1.3: Representación geométrica de un vector en el plano 11
E j e m p lo 2 ^ | Hallar el vector localizado de P ,P 2 si P, = (5 , -2) y P 2= (2 , 3).
Interpretar geométricamente el resultado.
—)
Solución. Se g ú n la Definición 1.7 : V = P,P, = P, - P,
= < 2 ,3 > -< 5 ,-2 >
= ( 2 - 5 , 3 - (-2)) = (-3 , 5)
La gráfica de P,P, se muestra en la Figura 1.8, en ella se puede observar la equiva
lencia del vector localizado P,P: y del vector de posición V = P, - P, ■
E j e m p lo 3 ] Un vector que va de A(3 , 5) a B(x , y) representa al mismo
vector que va de B(x , y) a C (8 , 1). Hallar B(x , y)
Solución. Se a n : V = A B = B - A = <x , y) - (3 ,5) = (x - 3 , y - 5)
W = B C = C - B = <8 , 1> - (x ,y) = <8 - x , 1 - y>
r X - 3 = 8 - X <=> X = 11/2
Si V = W <=> <x - 3 , y - 5) = <8 - x , 1 - y> c=* |
Por tanto, el punto buscado es B (1 1/2 , 3)
y - 5 = 1 - y ■=> y = 3
Ejemplo 4 } En la Figura 1.9, se tiene :
O P = x3 y O Q = x2y . ,
Si b = (y3 + 19 , 6 + xy2) y a = b , hallar el valor de x + y.
—> —>
Solución. Las com ponentes del vector a son O P y O Q
■=> a = < x*, x2y)
r x’ = y J + 19 <=> xJ - y- = 19 (1)
L u e g o , si a = b <=> < , , , ,, ,
I x :y = 6 + xy- «=> x*y -xy- = 6 (2 )
Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas obtenem os : x =3 ,
y = 2 ó x = -2 , y = -3. D ado que en la Figura 1.9, O P y OQ
f
p
k
i
/
’o ^
/
A
f
c
FIGURA 1.9
son negativos, descartam os la primera alternativa. Por tanto : x + y = -5](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-12-320.jpg)
![20 Capítulo I: Vectores en el plano
I j Q M U L T IP L IC A C IO N DE UN E S C A L A R PO R UN V E C T O R
Dado un vector V = (x , y) € R 2 y un escalar r e R, el producto del escalar por
el vector es otro vector rV para el cual
rV = r(x , y) = (rx , ry)
La magnitud de rV e s 11rV 11 = I r I . 11 V i I y su dirección es la m ism a que la de V,
aunque su sentido puede ser opuesto, e s decir, los vectores V y rV son paralelos.
I Nota. Al vector rV se denomina múltiplo escalar de V
R E P R E S E N T A C IO N G R A F IC A . Se gú n que r se a positivo o negativo la gráfica de
rV puede ser
TEOREMA 1.5 Propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector
Si A y B son vectores en R 2 y r, s e R (escalares), se cumplen las
siguientes propiedades
M, : i A e R ; Clausura
Sección 1.6: Multiplicación de un escalar por un vector 21
M 2 : (r s) A = r (sA) Asociatividad
M 3 : 1A = A Neutro multiplicativo
M 4 : i A = 0 <=> r = 0 ó A = 0 Cero multiplicativo
M 5 : - 1 A = -A Inverso multiplicativo
D, : r(A + B) = rA + rB Distribuidad respecto a la adición de vectores
D 2 : (r + s)A = rA + sA Distribuidad respecto a la adición de escalares
M 6 : llr A ll = | r l . Il A ll Magnitud respecto a múltiplos escalares
Demostración de D,. Si r e R y A , B e R : , tales que A = (x, , y,) y B = (x2 , y,)
dem ostrarem os que : r (A + B) = rA + rB
En efecto : r (A + B) = r «x, , y,) + <x2 , y,))
= r «x, + x2 , y, + y 2» (Adición de vectores)
= <r (x, + x 2) , r (y, + y 2)>
= (rx, + rx , , r y, + r y 2> (Múltiplo escalar)
= <r x, + r y,) + (r x, + ry 2) (Adición de vectores)
= r <x, , y,) + r <x, + y 2> (Múltiplo escalar)
= rA + rB
Demostración deD 2. Si r , s e R y A e R 2, tal que A = (x , y), dem ostrarem os que:
rA + sA = (r + s)A
En efecto : rA + sA = r <x , y) + s (x , y)
= <r x , r y> + (s x , s y> (Múltiplo escalar)
= <rx + s x , r y + s y ) (Adición de vectores)
= ( ( r + s ) x , ( r + s)y > (Distribuidad en R)
= (r + s) <x , y) (Múltiplo escalar)
= (r + s)A
í EJEMPLOS ILUSTRATIVOS^
Ejemplo 1 ) Dem ostrar que V A e R 2 :-(-A) = A
Demostración. En efecto, según la propiedad A s :
V A e R 2, 3! -A e R 21A + (-A) = 0 (1 )
y para el vector - A s R : , 3! [-(-A)] I (-A) + [-(-A)] = 0 (2)
En (2), por la propiedad A 2, se tiene : [-(-A)] + (-A) = 0 (3)
Por (1) y (3) y la unicidad del inverso aditivo se sigue que :
-(-A) = A ■](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-17-320.jpg)
![22 Capítulo 1: Vectores en el plano
C jc m p lo 2 ^ Dem ostrar que s i : A = B c=> A + C = B + C , V C e R :
Demostración.Por la propiedad A 4se sabe que
3! O e R 11B = B + O , V B e R 1
Por hipótesis : A = B , entonces , A = B + O (1 )
Por la propiedad A 5 : 3! (-C) e R-1 C + (-C) = O ', V C e R : (2)
Sustituyendo (2) en (1 ) se sigue que :
A = B => A = B + [C + (-C)]
<=> A = (B + C) + (-C) (A 3)
<=> A - (-C) = (B + C) + [(-C) - (-C)]
c=> A + C = (B + C) + 0 (Ejemplo 1 y A 5)
A = B <=> A + C = B + C , V C € R ! ■
Ejemplo 3 J Se a x un vector tal que (3 , -4> = x + (1 , -6>.
Si (3 , -2) = tx + r(-2 ,1), hallarel valor de 3r + 6t
Solución. En la primera ecuación se tiene :
<3 * *4) • <1 , -6) = X + [ <1 , -6) - (1 , -6) ]
<=> (3 - 1, -4 - (-6)) = x + O (Definición 1.11 y A 5)
<=> (2 , 2) = x
Luego, si (3 , -2) = t<2 , 2> + r <-2 , 1>
= (2t , 2t) + <-2r , r) (Múltiplo escalar)
= (2t - 2 r , 2t + r> (Adición de vectores)
De la igualdad de vectores se sigue que : 3 =2t - 2ry -2 = 2t + r
Resolviendo el sistem a obtenem os : r =-5/3 , t= - 1/6
3r + 6t = -6 ■
E je m p lo 4 j Resolviendo una ecuación vectorial *
D a d o s : A = <-2 ,2), B = (3, -2) y C = (-1 ,1 >, resolver la ecuación
3 A - 2 [3(B - 2C) + 2Aj + 3 X = 2 C + X
Solución. Restando 2C + X a cada extremo de la ecuación dada se tiene :
3A - 6(B - 2C) - 4 A + 3X - (2C + X) = (2C + X) - (2C + X)
<=> (3 - 4)A - 6B + 12C + (3 - 1)X - 2C = O
=> -(A + 6B - 10C) + 2X = O
<=> (A + 6B - 10C) - (A + 6B - 10C) + 2X = (A + 6B - 10C)
■=> 2X = A + 6B - 10C = (-2 , 2) + 6(3 , -2) - 10<-l . 1>
= (-2 , 2) + (18 , - 12) + (10 , -10)
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 23
= ( - 2 + 1 8 + 1 0 , 2 - 1 2 - 10)
= (26 , -20) •
X = (13 , -10)
Ejemplo 5 J Mediante segm entos orientados demostrar la propiedad A 3 :
(a + b) + c = a + (b + c)
Demostración. Se an los segm entos orientados
PT = a , T S = b , SR = c ,
Haciendo uso de la ley del paralelogramo para
la sum a de vectores se tiene :
En el APTS : S = PT + T S = a + b
E n e lA T S R : T R = T S + SR = b + c
En el APSR : PR = PS + SR
■=> x = (a + b) + c (1 )
En el APTR : PR = PT + TR
<=> x = a + (b + c) (2) FIGURA 1.23
Por lo tanto, de (1) y (2) se sigue que : (a +b) + c = a + (b + c)
PR = X (Figura 1.23)
r
>
/ 'p
V J
I Ejemplo 6^ j Se a n los vectores A = (-2 , 3) y B = (4 ,-3). Un segm ento diri-
O I . . .
gido que representa a -| A - B tiene p or punto inicial
O O
S (5 , -3/2), hallar el punto final.
—>
Solución. S e a T (x , y) el punto final del segm ento ST
Si S T = | A - 1 B => T - S = -I (-2 , 3> - 1 (4 , -3> = (-2 , 5/2)
3 6 3 6
S r X - 5 = -2 =
Entonces, si : (x - 5 , y + = (-2 , -y) o -1^ ^ ^
Por tanto el punto final e s T(3 , 1).
x - 5 = -2 t=> x = 3
5
2y + -f = ? ■=> y = i
Ejemplo 7 J S e tie n e : 2(2 , -3) + C = (3 , -5) + (a , 7) y C está sobre la recta
CJ ’ : y = x + 2. Si A(3 , 5) y B(-2 , 6) , hallar el punto P tal que
P C = -AB.
Solución. S e a C = ( x , y ) y s i C e W- : y = x + 2 e=> C = ( x , x + 2)
En la ecuación dada : 2(2 , -3) + (x , x + 2) = (3 , -5> + (a , 7)](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-18-320.jpg)
![24 Capitulo I: Vectores en el plano
de donde : (x , x + 2) = (a - 1 , 8)o -f X ü '
^ x + 2 = 8=> x = 6
Luego .C = <6 , 8>. S i P = (x ,, y,)y K ! = -A B => C - P= -(B - A) = A - B
==> <6 - x, , 8 - y,) = (3 + 2 , 5 - 6) <=> {
Por tanto, el punto buscado es : P(1 ,9)
6 - x, = 5 <=> x, = 1
-y, = -i => y, = 9
I € j c m p lo 8 J L o s vectores A , B y C e R 2, cum plen que : A + 2 B = C y
A - 3 B = 2C. Si A es un vector unitario, hallar la norma de B + C.
Solución. De las ecuaciones dadas se tiene : A = C - 2B (1 )
A = 2C + 3B (2)
Luego , s i : C - 2B = 2C + 3B <=> C = -5B
Sustituyendo en (1) obtenem os : B = - J r A = > C = ^ A
=> B + C = y A , implica que : 11 B + C 11= -^ 11A 11
Com o A es un vector unitario , entonces : 11 B + C11 = ■
Ejemplo 9 ) En la Figura 1.24, se tiene :
||A ll = 3 . Il B || = 2 ||C || = 2 V ÏÔ
Si T g a = 1/3 y T gp = 3, hallar el valor de m de modo que
m A + 3B = nC
t=> S e n a = 1/VTÔ y C o sa = 3/vlO
> Se n p = 3/VTÔ y C osP = 1/VTÔ
c=> A = 3(1 , 0)
Yi
.............
/
v
A >"
j
FIGURA 1.24
Solución. Si T ga = 1/3
TgP = 3 c
Un vector unitario en el sentido de A e s (l ,0)
B = 11 B 11 (-C o sa - Se n a ) = 2VTÔ (-3/VTÔ, -1/VÏÔ) => B = {-6 , -2)
C = 11 C 11 (C osP , Senp) = VTÔ ( 1/VTÔ, 3/VÏÏj) => C = (1 , 3)
r 3m - 18 = n
Luego, si m(3 , 0) + 3(-6 , -2) = n(I , 3) <=>
'- 0 - 6 = 3n <=> n = -2
Sustituyendo el valor de n en la primera ecuación obtenem os : m = 16/3
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 25
Ejemplo 10J Se a el exágono regular de lado
a , mostrado en la Figura 1.25.
Al sum ar los segm entos orientados BA, AC, D C y
—►
A E se obtiene un vector S, hallar la norma de S.
Solución. S i r es el radio de la circunferencia cir
cunscrita al exágono regular, entonces :
f:b= r = a y t }= r V3 , esto es , 11A C 11 = 11A E 11 = <zn'3,
por ser lados de un triángulo equilátero.
T rasladam os los vectores indicados a un sistem a
bidimensional con origen en A, cuyo eje X siga la
dirección de A D (Figura 125a). Ahora, aplicando la
ecuación (5) tenem os :
B A = I Ib a || ( C o s 240", Se n 2 40°)= a(-
D C = IID C II (C os 120° , Se n 120°) = a <’ 7 -
A C = 11A C 11 ( C o s 30° , Se n 30° ) =
rV3
<W5<f , l > = « < 2 . f >
A E = II A E !! ( C o s 330°, Se n 330° ) = aV3 = a (J- , - - Ç )
Por tanto, si S = B A + A C + D C + A E = (2a , 0) <=> 11S 11 = 2 a
( Ejemplo 11 ] Puntos de trisección de un segmento
Dem ostrar que si P, * P 2entonces los puntos P y Q que trise
can al segm ento que va de P, a P 2 tienen por vectores de posición a :
P = 1 ( 2 P , + P,) y Q = 1 ( P , + 2P,)
Demostración. En efecto, si P y Q son los puntos
—>
de trisección de P,P2, entonces:
f } = i p ) , c * 3 (P -P ,) = P ; -P ,
=> 3 P - 3 P , = P ; -P ,
de donde : P = -L (2P, + P,)
1.
—7 9
P,Q= 3 P,P: => 3(Q - P,) = 2(P, - P.)
=> 3 Q -3 P , = 2 P : -2 P ,
c * Q = 1 ( P , + 2P:) FIGURA 1.26](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-19-320.jpg)
![26 Capítulo I: Vectores en el plano
E j e m p lo 1 2 ^ En la Figura 1.27, el triángulo
O A B e s isósceles con O A = A B
y PH es perpendicular a O B y mide 6 unidades. Si
11AQ 11 = 2 11QB 11, hallar el módulo de PQ.
Solución. S e a O H = x <=> P(x , 6)
A M
A O M A = AO H P
PH
OM
OH
8 2 3
=> t ~ =* x=4 -
6 x 2
Luego, si P(3/2 , 6) entonces :
PA = A - P = <2 , 8) - (3/2 , 6> = (1/2 , 2)
Adem ás : Á B = B - A = (4 , 0) * (2 , 8) = (2 , -8)
Por lo que,s i : 11A Q 11 = 2 11Q B 11
2^/-> _ov — 1
FIGURA 1.27
A Q = A B = -=- (2 , -8)
C om o : PQ = PA + A Q = (1/2 , 2> + 4 ( 2 , -8) = 1 (11 , -20)
i o
=* IIp a II = ¿-V (ll)2+ (-20)- = V52I
Ejemplo 1 3 ^ En la Figura 1.28, si P es tal que
el área del triángulo A P C es el
doble del área del triángulo C P B , hallar 11C P 11.
Solución. Por la geometría plana se sabe que :
a(AA PC ) = A P x P C _ A P
a(ACPB) PB x PC PB
Com o, a (AAPC) = 2a(ACPB) = 2
x + 4 = 2(2 - x) «=> x = 0
de donde : A P = 2PB => P - A = 2(B - P)
c=> (x + 4 , y - 2) = 2 (2 - x , 10 - y) « í
J l y - 2 = 2 ( 1 0 - y) = > y = 22/3
Luego : CP = P - C = (0 , 22/3) - (2 , 2) = -| (-3 . 8)
II CP II = ¿V (-3 ): + 8- = |V73
EJERCICIOS ; Grupo 5 27
: Ejemplo 1 4 ] En el rombo de diago
nales D y d es tal como
se indica en la Figura 1.29, hallar la norma
del vector
v = v 1+ v 2+ v 3+ v 4
donde los vectores V, , V 2 , V 3 y V 4 llegan a
los puntos m edios de los lados del rombo.
Solución. C onsiderando un sistem a carte
siano con su s ejes X e Y sobre
—) —>
las diagonales PR y SQ, respectivamente, te
nem os :
V, = R F = F - R = , 0 ) = ( - | D , £ )
v , = p o = q - p = < § . 4 > - < - f ' ° > = < l D - 4 >
V, = Q E = E - Q = <- f . - | > - < 0 , 4 > = < - f '
V 4= 0 H = H - Q = ( £ , - | ) - ( 0 , | > = < £ , - j d )
Luego : V = V, + V, + V, + V 4= (0, - d) => 11V11 = d
EJERCICIO S : Grupo 5
En los ejercicios 1 al 5, si A. B, y C son vectores en R :, demuestre la validez de
cada afirmación.
1 . A + B = B + A (A2 : Propiedad conmutativa)
2. A + (-A) = (-A) + A = O (As : Inverso aditivo)
3. Si A + B = C A = C - B
4. Si A + B = B <=> A = O (Unicidad del idéntico aditivo)
5. Si A + B = O *=> A = -B (Unicidad del inverso aditivo)
6. Mediante segm entos orientados demuestre la propiedad A 2 : A + B = B + A
7. S e a P Q una representación del vector A. Q R una representación del vector B y
—> —> —> —>
R P una representación del vector C. Probar que si PQ, Q R y R P son los lados
de un triángulo, entonces A + B + C = O](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-20-320.jpg)
![34 Capitulo 1: Vectores en el plano
Se n (a + 60°) = S e n a Cos60° + C o sa Sen60" = (JL) (JL) + = (i + 2V3)
Luego, en (1): u = ( ^ ( 2 - V3) , ^ (1 + 2Í3))
Ahora, si PS = 11PS 11 u => S - P = 2>/5 (y | (2 - V3) , ^ - ( 1 + 2nÍ3)>
=> S = (-3 , 1) + (2 - V3 , 1+ 2Í3> = (-! - V3 , 2 + 2V3>
es el vector de posición del vértice S <=* S(-l - V3 , 2 + 2V3)
C om o SR = PQ = (4 ,2 ) <=>R - S = (4 , 2)
■=> R = (-1 - >/3 , 2 + 2V3) + (4 , 2) = (3 - V3 , 4 + 2Í3)
Por lo que : R (3 - Í3 ,4 + 2V3)
y¡5
ejemplo 1 1 J Si M (1 1/2 , 7/2), N(8 , 6). P(9/2 ,13/2) y Q (2 , 4) son los puntos
m edios de los lados del trapecio A B C D y 11DC11 = vTo , hallar
los vértices del trapecio.
Solución. Q N = N - Q = (8 , 6) - (2 , 4) = (6 , 2)
Un vector unitario en la dirección de
de Q N es u =
Q N (6 ,2 ) (3 ,1 )
IIq n II V3o Vio
C om o D C II Q N ==> D C = 11D C 11 11 = (3 ,1 )
DP = 1 D C «=> P - D = (3/2 , 1/2)
«=> D = P - (3/2 , 1/2) = (3 , 6)
D Q = Q A ■=> Q - D = A - Q <=> A = 2Q - D
Análogam ente: FIGURA 1.39
A M = M B c=> B = 2M - A = 2(11/2 , 7/2) - ( 1 , 2 ) = (10 , 5)
Ñ C = BN «=» C = 2N - B = 2(8 , 6) - (10 , 5) = (6 , 7)
Por lo tanto, los vértices del trapecio son :
A(1 , 2) , B(10 , 5) , C(6 , 7) y D(3 , 6)
EJERCICIOS : Grupo 6
1. Determine si los siguientes pares de vectores son paralelos. C uáles tienen el
m ism o sentido y cuáles sentido opuesto.
a) A = (-8 , -7), B = (32 , 28) c) A = (-3/2 , 3 ), B = (1/3 , -2/3)
EJERCICIOS : Grupo 6 35
b) A = (3 , 2 ), B = (2 , 4/3) d) A = (4 , -2), B = (-1 , 1/2)
2. Dem ostrar que s i A Ü C , B i C y C ? t O <=> A l B
3. Dem ostrar que para vectores no nulos A , A, , B y B,
A II A, . B l l B , y A II B «=* A,||B,
4. Dem ostrar que si A y B tienen la m ism a dirección y sentido entonces
I IA + B l l = II A11 + 11 B 11
5. S i A = (2 , 2m - 3) y B = (1 - m , -5), determinar los valores de m de modo que
A y B sean paralelos.
6. Si A = (m , 5) + (3 , 3 ), B = 4(-m , -3) - 2(1 , 2) y A 11 B , hallar el valor de m.
7. D a d o s los vectores A = (a , 3m) y B = (-2m , b), hallar a +b tales que A + B =
(8 , -4) y se a A 11 B.
8. Se a n los vectores A y B, tales que : A = (a , 2a) , A - B = (2a , p) , A B y la
norma de A - B es 112. Hallar la norma de B.
9. El vector A = (x , y) es paralelo al vector B = (2 , 4), tal que u = (x/5 , y/ 5) es
un vector unitario paralelo a ambos. Hallar el vector A.
10. Se a n A y B dos vectores en R 2, tales que B es el inverso aditivo de A. Si B tiene
el m ism o sentido que el vector C = (-1/3 , 1/4) y 11 A 11 = 5 , hallar X = A + 2B,
11. Hallar la norma de la sum a de los vectores unitarios u y v . s i u A y v i B
sabiendo que A = (4 , -3) y B = (-5 , 0)
12. L o s vectores A y B son tales que A e s del m ism o sentido que B = (1 , 3) y
A _ / X Y . Um IIm . a| tiolnr Ov _ J
= (-]==■, ; hallar el valor de 2x - y
A V40 V40 2
13. El punto P(2 , -3) es extremo del vector PR, el punto Q(1 , -2) alineado con P y
R, dista de P la quinta parte de 11P R 11. Hallar R.
14. S i A = (a , b) y B = (1/2, - 4/3) son dos vectores en R hallar a +b sabiendo que
11A11 = V73/3 y que A y B tiene sentidos opuestos.
15. El vector C = (2 , -1) es expresado com o C = A + B , donde los vectores A y B
son paralelos a X = (3m , 4m) e Y = (-3n , -n), respectivamente, siendo m # 0 y
n * 0. Hallar A - B.
16. D a d o s los vértices consecutivos de un paralelogram o A(7 , -1) , B(-3 , 1) y
—>
C (-5 , 5); determinar el cuarto vértice y la longitud de la diagonal BD.
17. En la Figura 1.40, sea O la intersección de las diagonales de un cuadrado
A B C D . Si O es el baricentro del triángulo isósceles A P D con 11AP 11 = 11 PD 11,
—>
hallar el vector NQ.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-24-320.jpg)
![38 Capítulo I: Vectores en el plano
Por ejemplo, si A = <1/2 , -3) y B = (-2 , -1/3), entonces según (10)
A • B = (l/2)(-2) + (-3)(-l/3) = -1 + 1 = 0
Com o A y B no son nulos, entonces A 1 B
DEFINICION 1.13 El vector A x
Para cada vector A = (a, , a,) e R :, definimos un correspon
diente vector A 1 e R 2 , que se lee ortogonal a A. mediante
A 1 = <-a2 . a x) (12)
Geométricamente el vector A x se obtiene haciendo
rotar el vector A, sobre su punto inicial, un ángulo
de 90a en dirección contraria a las agujas del reloj.
S e verifica luego que si A ± A x >=* A • A x = 0
En efecto, A • A x = (al , a:) • <- a1 , a )
= - a ta : +a:a {= 0
TEOREMA 1.7 D ados los vectores A = (al , a} y B = (b] , b,),am bos diferentes
de O, se tiene que :
A 1 B => A l l B 1 (13)
Demostración. En efecto, si B = (6, , b,) , B * O c=> * o y b,* 0
Su p on gam os que b{* 0
A 1 B <=* A • B = ( a , , a 2) • (b ,, b2) = a p x+ a2b2= 0 <=> a, = - a
Por lo que : A = h . a2, a 2) '= <- b2 , bt)
2
i “i
A= - f Bx = r B x => A l l B 1
b
TEOREMA 1.8 Sean A y B dos vectores en R :, am bos diferentes de O, entonces
A | | B <=> A • B x = A x • B = 0 (14)
La demostración se deja como ejercicio.
Sección 1.8: Producto escalar de vectores 39
TEOREMA 1.9 Desigualdad de Cauchy - Schwartz
Sean A y B vectores en R 2 , entonces se cumple
1. IA - B I < II A II II B II
2. IA - B | = IIA 11 II B II ^ A | | B
Demostración.
1. S i A = 0 ó B = 0 , entonces se nota claramente que el teorema es válido.
Supongam os que A * O y B * O y considerem os la función para un número r e R
/(r) = 11 A + r B 112= (A + r B) • (A + r B) (1)
y ocurre que /(r) > 0 , V r e R
Desarrollando (1) nos dá el polinomio de segundo grado :
/(r) = (B • B )r2+ 2(A • B)r (A • A)
Com pletando el cuadrado para r se tiene :
/(r) = (B - B) r « ^ 5 1 r + - < * ! § > : ♦ (A • A)
n l ' 'L ( B - B ) ( B - B ) ¡ J ( B - B )
= ( B . B ) ( r + A l | ) ‘ + ( A - A ) ( B - B ) - . ( A - B );
v 7V B • B / B • B
o- u / v A • B ,/ , (A • B )(B • B) - (A • B )2/ox
Si hacem os ( g = - => / ( g = i------------ bT~¿ -------
C om o /(r()) > 0 y B * B = | | B | | 2> 0 , implica que
(A •A )(B • B) - (A • B )2> 0 => (A • B )2 < (A • A )(B • B)
<=> I A • B |2 < 11A 112 11 B 112
=> I A - B | < || A II llB||
2. I A - B I = 11 A 11 II B || A | | B
Probarem os que s M a « B | = | | a ||||B|| ■=> A 11 B
En efecto, si I A • B I = 11 A 11 11 B 11 => (A • B )2= 11A 112 11 B 112
■=> (A • B )2= (A • A)(B • B)
Sustituyendo en (2) ocurre que : / (rj = ;A + r0B I = 0
=> A + r,B = A - ( A l | ) B = 0 => A = r B ^ A ||B
Probarem os ahora que si A 11 B = > | A * B | = ||A|| 11 B I
En efecto, si A 11 B ^ A = i B
Luego, IA • B I = I (r B) - B | = |r(B - B) | = Ir I II B I I 2
= lr| 11 B 11 11 B 11 = ||rB|| ||B||
= l l A l l II B || ■](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-26-320.jpg)
![40 Capítulo 1: Vectores en el plano
TEOREMA 1.10 Desigualdad triangular
Se a n A y B vectores en R :, entonces
I IA + B l l < IIA || + IIB ||
M á s aún : ||A + B|| = ||A|| + | lB | | s iy sólo si un vector es un múltiplo escalar
no negativo del otro.
Demostración. En efecto :
11 A + B 112= (A + B) • (A + B)
= ||a I I 2+ 2 A * b + ||b I|2 .
< | | A | | 2 + 2 | A - B | +|| B ||2 ( A • B < |A • B |)
Por la desigualdad (1) del teorema de Schwartz. se sigue que
11 A + B 112< 11A 112 + 2|I A 11 II B II + 11 B 112
< ( l l A l l + 11 B 11)2
Extrayendo la raíz cuadrada en am bos miembros obtenemos lo deseado, esto e s :
IIa + b II í 11a 11+ IIb II ■
-í EJEM PLOS ILUSTRATIVOS )
1
E j e m p lo 1 ] Dem ostrar que :| | A + B | | 2 = ||A||2 + | B | | 2 +2 A * B
Demostración. En efecto : 11 A + B 112= (A + B) • (A + B) (PE4)
=A •(A +B) + B •(A +B) (PE,)
= A * A + A * B + B * A + B * B (PE,)
= A * A + B * B + 2 A * B (PE,)
||a + b I|2= ||a ||2 + ||b ||2+ 2 A * b ■ (p e 4)
E j e m p lo 2 J Dem ostrar que A + B y A - B son ortogonales <=> 11A11 = I !B11
Demostración. Dem ostrarem os primero la ortogonalidad
En efecto, por hipótesis : 11A11 = 11 B I = *| | A | | 2 = ||b H 2
<=>IIa I|2-I|b I|2=o
=> (A + B) • (A + B) = 0
Por tanto, según (11), A + B y A - B son ortogonales.
Ahora dem ostrarem os la igualdad de las magnitudes.
En efecto, por hipótesis , A + B y A - B son ortogonales
Sección 1.8: Producto escalar de vectores 41
c * (A + B) • (A - B) = 0
o A * A - A * B + B * A - B * B = 0
c * ||a ||2-||b ||2= o ^ Il A I I 2 =
Il A l l = II B II
[ Ejemplo 3 j Dem ostrar que : (A + B )x = A 1 + B x
Demostración. En efecto, sean : A = (a, , a,) y B = (bt , b2)
Entonces: A + B = (a, + 6, , a, + ¿>2>
Por la definición 1.12 : (A + B)x = <- a, - 6,, a, + bt)
= (r a2,a l) + (-b2,b l)
(A + B)1 = A 1 + B x
( Ejemplo 4 ] Dem ostrar que si A, B y C son vectores en R :, entonces el
vector V = (B x • C )A - (Ax • C )B es paralelo al vector C.
Demostración. Por el teorema 1.8 sabem os que A 11 B <=>A 1 * B = A * B J- = 0
=> V x •C = [ (B1 • C )A - (A-1 • C ) B ] 1 • C
= [ (B 1 • C )A X - (A1 • C )B X] • C (Ejemplo 3)
= (B x • C )(A X • C) - (Ax • C )(B X •C) (PE,)
Por lo tanto, s i V x * C = 0 t = > v | | C ■
[ Ejemplo 5 J Si i = (1 , 0) y j = (0 , 1), resolver la ecuación
2( (1/2 , 6) + ix - x ) = j x - 2 x x
Solución. S e a el vector x = (x, , x2) , entonces
2( (1/2 , 6>+(1, 0>x- (x, , x 2> ) =(0, 1>X -2(x, , x /
c=> (1 , 12) + (0 , 2> - 2(x, , x,) = ( - 1 , 0 ) - 2 ( - x , , x,)
=> (2, 14) = 2(x, , x,) - 2(- x 2 , x,)
<=> (1 ,7 ) = (x + x , , x, - x ) <=> * X| + X-’
1 7 = x, - x,
Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : x, = -3 , x, = 4
x = (- 3 , 4) • ■
[ Cjemplo 6 j Se an A , B e R:,demostrar que si 2 A X - B = 2 B X - A, entonces
A + B es ortogonal a A - B.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-27-320.jpg)
![42 Capítulo I: Vectores en el plano
Demostración. En efecto, si 2A X - B = 2 B X - A <=> A - B = 2(BX - A 1) (1)
Aplicando el ortogonal a cada miembro de (1) se tiene :
(A - B)1 = 2(BX - A Y ; pero com o , (A + B)1 = A x + B 1 y (A 1)1 = -A
<=> A 1 - B x = 2(-B + A ) , de donde : 4(A - B) = 2(AX - B 1) (2)
Sum ando (1) y (2) obtenem os : 5(A - B) = O «=> A - B = 0
Por lo tanto, (A + B) • (A - B) = (A + B) • O = 0 => (A + B ) _ L ( A - B ) ■
E j e m p lo 7 ] Hallar la norma del vector B = (- 3m , m), sabiendo que ha sido
descom puesto en el vector A = <- 5 ,3) y en otro vector paralelo
al vector C = <1 , 1)
Solución. Si B = m(- 3 , 1> <=> I B 11 = I m I V(-3)2+ (l)2= I m IV ÍO (1)
y si B = A + r C <=> m<-3 , 1) =-<-5 , 3) + r <1 , 1)
Multiplicando escalarmente, cada miembro por (1 , l)1 , se tiene :
m(-3 , 1) • <-1 , 1) = (-8 , 3) • <-1 , 1) + r <1 , 1> • <-1 , 1>
<=> m(3 + 1) = (5 + 3) + r(0 ), de donde : m = 2
Por tanto, en (1), se obtiene lo deseado : 11 B I = 2V k I ■
E j e m p lo 8 ^ j S i A = (-6 ,15), B = (-2 , 9) y C = <- 2m , 3m ) y se sabe que
X + Y = A , X II B e Y II C ; hallar X • Y x
Solución. Si X 11 B => X = t<-2 , 9), y si Y 11C «=> Y = m<-2 , 3)
Luego si X + Y = A => t<-2 , 9> + m<-2 , 3) = (-6 ,15) (1)
U sarem os un método m ás directo para calcular i y m.
Para calcular t , multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por <-2 , 3)x
t<-2,9> • < -3 ,-2 > + m (0 )= < -6 , 15) • <-3, 2) » t = = 1
Para calcular m , multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por (-2 , 9)x
t(0) + m(-2 , 3) • <-9,-2> = <-6, 15) • (-9 ,-2 ) => m = 9~-2) = 2
Luego , X = <-2 , 9) y Y = (-4 , 6) «=> X • Y x = (-2 , 9) • (-6 , -4) = -24 ■
E j e m p lo ~ ^ T ) S i A + B + C = O y| |A l| = 2 , 1i B 11 = 5 , 11C11= 8; hallar A - B
Solución. A + B + C = O => A + B = -C <=> A + B l = 11-C 11
Elevando al cuadrado am bos m iem bros se tiene :
||A||J + 2 A - B + |lB||: = ||C||: c=>4 + 2 A - B + 25 = 64
<=> A • B = 35/2 ■
Sección 1.8: Producto escalar de vectores 43
Ejemplo 1 0 ] D ados tres vectores unitarios a . b y c que satisfacen la condi
ción a + b + c = O. Hallar el valor d e a * b + b * c + a * c
Solución. Si a + b + c = O >=> (a + b + c)2= O-
c=> 11a 112+ 11b 112+ 11c 112+ 2a •b + 2b •c +2a •c = 0
Com o a, b y c son unitarios >=> i + i + l + 2 ( a * b + b * c + a * c ) = 0
< = > a * b + b * c + a * c = - 3 / 2 ■
Ejemplo 11 ] Dado vector B = (2 , 3) y la función f :R:=* R /(P) = P • B. El
vector A es tal que /(A) = -16 y A11C = (1,2). Calcular11A11.
Solución. Si /(P) =P • B <=> /(A) = A • B t=» A • B = -16
A 11C <=> A = r C = r ( l ,2) <=> 11 A 11 = |r| V5 (1)
A • B = -16 c=> r (1 , 2). <2 , 3) = -16 <=> r(2 + 6 )= -1 6 r = -2
Por lo tanto, en (1): 11A 11 = 2V5 ■
Ejemplo 12 J D ados los vectores A = (m , 3p) y B = <-2p , n) , calcular la
norma de A - B 1 , sabiendo que A + B = (8 , -4) y A • B 1 = 0.
„ , ,, , . . . . . r m - 2 p = 8 c = > m = 2p + 8 (1)
Solucion. Si <m , 3p) + <- 2p , n) = (8 , -4) K ^
L 3p + n = -4 <=> n = -3p - 4 (2)
y si A • B 1 = 0 «=> (m , 3p) • <-n , -2p) = 0 <=>-m n - 6p: = 0 <=> m n = - 6p: (3)
Sustituyendo (1) y (2) en (3) se tiene : (2p + 8) (-3p - 4) = - 6p2 , de donde , p = -1
Luego, en (1) y (2) obtenem os : m = 6 y n = 1, entonces , A = (6 , -3) y B = (2,-1)
Por tanto , A - B A = <6 , 3) - <1 , 2) = <5 , -5) => 11 A - B x 11 = 5Í2 ■
[Ejemplo 13 J Si a y b son vectores tales que 11a 11 < 1 y llb ll <1.dem ostrar
que V t g [0 , 1] , 11a + t (b - a) 11 < 1
Demostración. En efecto , si 11a + t(b - a) 11 = 11(1 - t)a + i b !| ,entonces por la
desigualdad triangular:
lla + t(b-a)|| < 11(1 -t)a II + llt b ll
=> 11a + t(b - a) 11 < 11 - 1 1 11a 11 + 11 1 11 b 11
Com o t e [0 , 1] , esto es , t > 0 => 111 = t ,
0 < t < l - l < - t < 0 ^ o ^ l - t < l => 11 - 11 = 1 - 1 ,
Por hipótesis : | | a | | < l <=> ( l - 1) 11a 11< I - 1 , con t * I
11b 11 < 1 <=> t| | b | | < t, con t * 0
Por lo tanto , en (1) podem os escribir
11a + t(b - a) 11 < ( I - 1) + t <=> 11a + t(b - a) 11 < 1 ■](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-28-320.jpg)
![46 Capítulo 1: Vectores en el plano
=> x = O B • (OB + BC) + O A • Ó B - O A • (ÓB + BC)
-I|6b I|- +6b - bc +óa*ób- óa*6b -6a *bc
=11OB112+ BC• (Olí - ÓA) =11<5b 112+ BC• ÁB
Como BC1AB c=* BC•AB=0
.% x = 11OB 112= (3)2= 9 ■
FIGURA 1.46
Ejemplo 19 J S e a A B C D un rectángulo, una de cu yas diagonales tiene por
extremos A(-6 , 1) y C(-2 , 8). S i los lados de m ayor longitud
tienen elm ism o sentido del vector S = (2 ,1 ), hallar los vértices B y D.
Solución. Á C = C - A ■=> A C = <-2 , 8) - <-6 , 1> = <4 ,7)
Si Á B || S c=> Á B = r<2 , I>
lie 11 S x => BC = t<-l , 2)
Dado que : A C = A B + BC
■=> <4.7> = r<2, l)+ t < -l ,2)
De donde obtenem os : r = 3 y t = 2
—►
Luego, s i : A B = 3<2 , l) = <6 , 3), entonces
B = A + A B = (-6 , I) + (6 , 3> = (0 , 4)
B"C = Á D = 2(-l , 2) = (-2 , 4)
B (0 , 4)
Ejemplo 20 ] En la Figura 1.48 , los triángu
los O C B , P B S y R S T son to-
—)
dos ellos semejantes. Hallar R T si P y R son puntos
—) —)
m edios de O B y PS, respectivamente.
Solución. La Figura 1.48 m uestra tres triángulos
rectángulos isósceles, en donde :
11O B 11 = 4>/2 y II S i l = V(2'2)2 + (2V2)2 = 4
Un vector unitario en el sentido de O B es :
u = J£^4> V2
4^ y • '
Luego : PB = 2V2 u = 2(1 , I ) , BS = 2V2 u1 = 2<-l , 1)
Sección 1.8: Producto escalar de vectores 47
Si PS = PB + BS c=> PS = 2<1 , 1) + 2<-l , 1) = <0 , 4)
Un vector unitario en el sentido de PS es : v = — = <0 , 1)
Entonces : R S = 2 v = (0 , 2) y S T = 2 v 1 = (-2 , 0>
Ejemplo 21 ] En la Figura 1.49, A B C D es
un cuadrado y A B E un trián
gulo equilátero. Si A(4 , 9) y C ( 6 , -5), hallar el vector
V = D E + A B
Solución. Si C A = A - C = <4 , 9> - <6 , -5)
=> C A = (-2 , 14)
I I c a I I = V(-2)2+ (14)2= 10V2
II D A || = 11CA || C o s 45° = 10V2 (1/V2) = 10
—)
Un vector unitario en el sentido de C A e s :
u = — = — ’ l4^ = ¿ J - lI} ^ „ í - ¿ L id } FIGURA 1.49
| | ¿ a || I0V2 5^/2 5>/2
-^ 1
M es punto medio de C A <=> M = -y (A + C) = <5 , 2>
M D = ||MD|| ir1 = 5^2 (' 7 ’ = ( - 7 , - 1 ) <=> D = M + (-7 , -1 ) ^ D = (-2 , 1>
5V2
Tam bién: M = -± -(B + D) ==> B = 2 M - D = 2(5 , 2) - <-2 . 1) c=> B = <12 , 3>
Á B = B - A = <12 , 3> - <4 , 9) = <8 , -6>
Un vector unitario en el sentido de A B es : v = —
l l A B l I 10 5
11PE 11 es la altura del triángulo equilátero A E B c=> 11PE 11 = 1 0 (V3/2) = 5^3
Luego : PE = 11PE 11 v 1 = 5VJ = V3 <3 , 4)
P = -i- (A + B) = <8 , 6) => E = P + Í3<3 , 4) = <8 + 3>/3 , 6 + 4>/3)
D E = E - D = <8 + 3V3 , 6 + 4Í3) - <-2 , l> = <10 + 3>/3 , 5 + 4V3>
V = D E + Á B = <18 + 3^3 , -1 + 4^3)](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-30-320.jpg)
![48 Capítulo I: Vectores en el plano
Ejemplo 22 ] En la Figura 1.50, A B C D
es un trapecio, el A A D B
es isósceles ( 11AD 11 = 11 B D 11) y el A B D C
es rectángulo en D y tiene la hipotenusa B C
de longitud 10V2 unidades. Si el ángulo B C D
mide 379 (considerar T g379 = 3/4), B(-2 , 4) y
—>
D(4 , -2), hallar el vector AC.
Solución. B D = D - B = (4 , -2) - (-2 , 4) = <6 , -6)
II BD II = '(6):+ (-6):= 6V2
r
Yi k
Bo —
/ ^
— — 37°V ^
k X f Wy
/ '°i
A
D
V J
FIGURA 1.50
Un vector unitario en el sentido de B D e s : u =
<6 , - 6) <1 , - 1) <1 . O
6-ñ V2
En el triángulo rectángulo B D C : 11 D C II = 11 B D 11 Cotg 37° = 6 2 (4/3) = 8V2
DC = 11DC 11 ux = 8>/2 ( ) = 8(1 , 1)
Si D C = <8 , 8) <=> C - D = <8 , 8) <=> C = <4 , -2) + <8 , 8) = <12 , 6)
B C = C - B = <12 , 6) - <-2 , 4) = 2<7 , 1)
B C 2<7,1) < 7,1 )
Un vector unitario en el sentido de B C es : v = . - _ -
II B C II 10^2
El A A D B es isósceles , entonces : 11A D 11 = 11 B D 11 = 6V2
y com o A D 11 B C => A D = 11A D 11 v = 6V2 = j <7 , 1)
A D = D - A => A = D - Á D = <4 , -2) - y <7 , 1) = <-22/5 , -16/5)
5^2
A C = C - A = <12 , 6) - <-22/5 , -16/5) = <82/5 , 46/5)
EJER C IC IO S: Grupo 7
1. Sean A y B vectores en R :. Utilizando las propiedades del producto escalar
dem ostrar:
a) ||a + b ||2 -||a - b I|2 = 4 A * b
b) ||a + b ||2 + ||a - b ||2 = 2 ( I | a I|2 + ||b ||2 )
2. Demostrar que los vectores A y B en R ! son ortogonales, si y sólo si
11A + b I|2= ||a||2 + IIb ||2
3. D ados los vectores A y B en R : , demostrar que :
Ejercicios de ¡a Sección 1.8 49
a) (Ax)x = - A c) A 1 • B 1 = A • B
b) A 1 • B = - A • B 1 . d) 11A 1 11 = IIA II
4. D ados los vectores A y B en R : , demostrar que :
a) A • B = - I IA || II B II <=> A y B tienen sentido opuestos
b) 11 A + Bl I = 11A 11 + 11 B I « A y B tienen el m ism o sentido
5. Deducir de la desigualdad triangular que si A y B están en R 2, entonces
I l l A l l - 11 B 111 £ II A + B II <11 A II + 11 B 11
(Sugerencia : escribir A = B - (B -A) y aplicar la desigualdad triangular)
6. Dem ostrar que si A y B son vectores paralelos en R 2 , entonces
| A - B | = 11A 11 II B II
7. S i A y B son vectores en R 2 , demostrar que
a) lA -B ^ -l < ||A II II B II
b) | A - B X I = II A || II B || <=> A 1 B
8. Dem ostrar m ediante un contraejemplo que A • B = B • C no implica ni que
A = C , ni que A = O
A • B
9. Dem ostrar que el vector V = B - „ . A , es perpendicular al vector A
IIA I I 2
10. Dem ostrarqueA + B y A - B son perpendiculares si y sólo si 11A 11 = 11B 11.
11. Si A = <2 ,-3), B = <-2 , 1) y C = <3 , 2 ), hallar un vector unitario ortogonal al
vector V = 5 A - 3 (B + C).
12. Si A = <4m , m - 3) y B = <2 , m + 3), hallar los valores de m tales que A sea
perpendicular a B.
13. Si u y v son, vectores unitarios y paralelos , hallar la norma de ir1 + v
14. S i a , b y a + b son vectores unitarios , hallar la norma del vector a - b
15. Si A = <1 , x ) , B = <2x , x) y C = <2x , -1), en donde x es un número real; hallar
la sum a de los elementos del conjunto M = {(x , y) I (A - C) • B = A • C - 1}
16. Se a n A , B e R 2 , am bos unitarios, demostrar que 11 A + B 11 < 1
17. S i m e R y u = ( m - 2 , 5 - 3m) es un vector unitario, hallar elvalor de
11m (u + 2 u1) + 2 u 1 11
18. Se a n los vectores A = <x , x + 4), B =<5x - 5 , x - 4). Six > 0 y A •B = -1 0 , hallar
la norma de A + B.
19. Se a n los vectores A . B y C tales que 11A 11 = V26 , 11 B 11 = 3V2 y B • C = 12.
S i A = B - C , hallar la norma de C.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-31-320.jpg)
![50 Capítulo 1: Vectores en el plano
20. S i 11 A 11 = V2 , 11 B 11 = 2 y A • B = 1/4 , hallar las longitudes de los vectores
2 A - 3 B y 4 A + B.
21. Se a n los vectores A = <m2 - 3 , m - 1), B = (4/m2 , 4/m) , donde m * 0 es un
número real positivo. S i A y B son ortogonales , hallar V = 9 B - 4 A
22. Si ¡ = <1 , 0) y j = <0 , 1), resolver para x
3(-2 , -3)x + 1 [ x + L - <3 , -1) ]x = (5 , 2)1 - 2X1
23. Sean los vectores A , B y C tales que A = B + C , I i A II = 5 ,11B I i=2^5 y
B * C = 1 0; hallar ||C ||.
24. Si A = (2 , x ) . B = <x , -2x) y C = (x - 2 , x + 1), donde x > 0 y si (A +B) • C =
A • B + 1, hallar el vector V = A + B + C.
25. Hallar los valores de m para que los vectores
A = (m + 3 , 2m - 4} y B = (m - 1 , m + 1> sean paralelos.
26. S e a O A B el triángulo cuyos vértices son O = <0 , 0 > , A = (-8 , 0) y B = (0 , 6). Si
—> —>
O M es la altura relativa al vértice O, hallar el vector OM.
27. S e a el rectángulo A B C D de área 48 u2 y cuyos dos vértices consecutivos son
A(-2 , 5) y B(2 ,1). Si la diagonal A C tiene el m ism o sentido del vector v = <5,1 >,
hallar los vértices C y D.
28. Se a n A(3 , 2) y C(10 , 6) vértices opuestos de una paralelogramo A B C D . Si se
sabe que 11B D II = V5 y 111 B D 11- 11(-2 , 4) 111 = 11B D + <2 , -4) 11,hallar los
vértices B y D.
—) —) —> —>
29. En el cuadrilátero P Q R S , sean a = P Q , b = Q R , c = R S y d = SP . Hallar c • d,
si se sabe que :11a + b 11 = 7 , ||c|| = 3 y ||di| = 5
30. Si A = (-3 , 5) yB = (4 , -3), hallar la norma del vector C , s i :
a) C = (A + B) • (A - 2 B ) B X ' b) C = (A • B)BL - (A 1 • B )C
31. Si u es un vector unitario y A . B son vectores cualesquiera, demostrar que :
(A • u)(B • u) + (A • ux)(B • ir1) = A • B
( Sugerencia : considerar u = (C o sa , Se n a ) . A = (a} ,a 2) y B = (b, , b2) )
-4
32. S e a A(6 , 2) uno de los vértices de un A A B C . Si A B tiene la m ism a dirección y
—>
sentido que el vector (1 , -2) y A C tiene la m ism a dirección y sentido que el
vector (3 , 4) tal que 11A B 11 = 3 5 y 11A C 11 = 1 0 . Hallar el vector A M , si A M es
la m ediana del triángulo trazada desde el vértice A.
Sección 1.9: Angulo entre dos vectores 51
r RELACIONES ENTRE VECTORES
>
f 1.9) ANGULO EN TRE DOS VECTORES
S e a n A y B d o s vectores no nulos que tienen el m ism o origen y se a
9e [0 , 7C] el m enor de los án gu lo s positivos form ado por s u s respectivos vectores
de posición normales, com o se ilustra en la Figura 1.51. El teorema siguiente m ues
tra com o calcular este ángulo mediante el producto escalar.
TEOREMA 1.11 Angulo entre dos vectores
Si 0 es el ángulo entre dos vectores no nulos A y B, entonces
C o s 0 = ----- ------------
11A 1111B II
Demostración. En efecto , los vectores A , B y r
la diferencia A - B forman un y
triángulo cuyos lados miden 11A 11 , 11 B 11 y
* y
||A - B 11. y V 8
Por la ley de los co se n o s , tenem os /
||A -B ||2= ||A||2+ ||B||2-2||A||||B||Cos0 (1) -----------------------i b
U sando propiedades del producto escalar, po
O A
dem os reescribir el primer miembro com o FIGURA 1.51
11A - B 112= (A - B) • (A - B) = (A - B) • A - (A - B) • B
= a - a - b * a - a - b + b - b = ||a||2- 2 A * b + I|b II2
que sustituido en (1) nos lleva a
||a||2 - 2A * b + ||b||2 = ||a||2 + ||b||: - 2 ||aI| I I b licose
C o s 0 =
A » B
Il All IIB II
(15)
I Nota. Si se conoce el ángulo entre dos vectores, entonces reescribiendo el Teorema 1.11
en la forma
A • B = I A B :¡ C o s0 (16)
obtenemos una forma alternativa para calcular el producto escalar.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-32-320.jpg)
![52 Capítulo 1: Vectores en el plano
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS^
Ejemplo 1 J Hallar el valor del ángulo que forma el vector A que va de P(4 ,
5) a Q(6 , 4), con el vector B que va de S(-3 ,1 ) a T(-2 , -2).
Solución. A = PQ = Q - P = (6 , 4) - (4 , 5>= (2 , -l> => ||A i| = 5
B = S T = T - S = <-2 , -2> - <-3 , l> = <1 , -3> «=> II B || = nTÍÓ
Luego , por la fórmula (15): C o s 8 = * 11 ’ = 1 ± J = _ L
(V5)(nOÓ) 5V2 V2
En consecuencia , 0 = 45° ■
Ejemplo 2 j Hallar el norma del vector D , sabiendo que A y-B forman un
ángulo de 609 . D = A + B , 11A 11 = 3 y 11 B 11 = 5. ‘
Solución. S ¡ D = A + B < = > | | d | | = | | A + B | |
=> IId ||2=||a ||2+ 2 A -b + ||b ||2
Ahora, usando la forma alternativa del producto e sc a la r, se tiene :
IId ||:=||a II:+2||a || 11b 11 C o s0 +||b ||2
= (3)2 + 2(3)(5)(l/2) + (5)2 = 49
IID|| =7 ■
Calcular A • B. donde A y B
son vectores de la Figura
1.52, para los cuales. 11A 11 = 4 y 11 B 11 = 23
S o lu c ió n . S i 0 e s el ángulo que forman am bos
vectores, entonces :
0 = 90°- (12°+ 18°) = 60°
Luego, haciendo uso de la fórmula (16) se tiene :
A * B = | | a || I I b II C o s 0 = (4) (3V3)Cos 60°
A • B = 4V3 ■
Ejemplo 4 J Los vectores A y B forman entre si un ángulo de 309 y la norma
de A es 48. Hallar la norma de B sabiendo que A - B es per
pendicular al vector A.
Sección 1.9: Angulo entre dos vectores 53
Solución. Si (A - B) 1 A => (A - B) • A = 0
=> A - A - B - A = 0 <=> 11 A 112= A • B
U sando la forma alternativa del producto escalar tenem os :
|!A 11- = 11A 11 ||B || C o s 30° «=> I IA II = I I B || C o s 30
Por lo que : 4^3 = 11 B I (V3/2) «=> 11 B 11 = 8 ■
Ejemplo 5 J Los vectores A y B forman un ángulo de rc/6 radianes. Sabien
do que 11 A11 = 3 y 11 B 11 = 1 , hallar el ángulo entre los vecto-
res U = A + B y V = A - B.
Solución. Haciendo uso de la fórmula (16) tenem os :
A •B = 11 A 11 11 B 11 C o s 30° = (VJ) (1) (V3/2) = 3/2
U • V = I| U II II V ilC o s 0
=* (A + B) • (A - B) = 11 A + B 11 11A - B 11 C o s0
■=> 11A 112 -1 1B 112 = V 11A + B 112 11A - B 112 CosQ ____________________
^ (V3)2- (l)2 = n/( 11A 112 + 2A • B + 11 B 112) ( 11A 112 - 2A • B + 11 B 112) C os0
c=> 2 = V[ 3 + 2(3/2) + 1] [ 3 - 2(3/2) + I] C os0
de donde : C os0 = 2/V7 => 0 = are Cos(2/V7) ■
i Ejemplo 6 J Lo s vectores A . B y C form an d os a d osun ángulo de 6 0 9 ,
sabiendo que [IA 11 = 4 , 11B I = 2 y !I C 11= 6 , deter
norma del vector V = A + B + C.
Solución. S i V = A + B + C <=> ||V||2= |ÍA + B + C |2
i=>||v ||2 = ||a ||2 + I|b ||2+ ||c I I 2 + 2 A * b + 2 A * c + 2 B * c
C om o el ángulo entre los vectores A y B . A y C . B y C e s d e 60°, entonces
1IvI|2=||aI|2+||b||2+||c||2+2(IIa|| 11b11 +I|aII 11c114-11bII IIC11)Cos60°
= 16 + 4 + 36 + 2 ( 4 x 2 + 4 x 6 + 2 x 6 ) (1/2)= 100
I I V I I = 10 ■
Ejemplo 7 J Los vectores A y B tienen igual longitud y forman un ángulo de
60®. Si la longitud de A + B es 4 unidades m ayor que la longitud
de uno de ellos, hallar la longitud de A.
Solución. Si A - B =||A|| ||B|| C os0 y 11A 11 = 11 B 11 c=> 2 A • B = 11A 11-(1)
Adem ás :||A + B|| = 4 + 11A 11 , elevando al cuadrado se tiene
||a ||2+ 2 A * b + ||b ||2 = 16 + 8 II A II + 11A 112](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-33-320.jpg)
![54 Capítulo J: Vectores en el plano
Teniendo en cuenta (1) , resulta que: 3 I IA I I 2= 16 + 8
de donde : H a I|2 -4 | | a I|-8 = 0 « 11A 11 = 2 ± 4 + 8
/. II A || = 2 + 2^3
C jc m p lo 8 ) Si el vector A = <- 8 , 50> gira
45s en el sentido horario, se
determina el vector B = (x , y). Hallar x + y
Solución. Com o ||B|| = ||aI| <=> Vx: + y ’ = 8 + 50
S i:
C o s 45° =
A - B
Il A ll I I B I I
c=> x: + y 2= 58
V2 _ <-2V2 , 5V2) • (x , y)
(58) (V58)
de donde obtenemos : y = -i (2x + 29) (2; FIGURA 1 53
que sustituido en (1) da : x : + 4x - 21 = 0 <=> x ='-7 ó x = 3
Elegimos x = 3 por cuanto el lado terminal de B está en el primer cuadrante. Luego,
en (2) se tiene : y = 7
x + y = 10 ■
[ Ejemplo En el cuad rado de la Figura
1.54, el lado mide a unidades.
Hallar el valor del ángulo 0, si P y T son puntos que
trisecan los lados del cuadrado.
Solución. C om o P y T son puntos de trisección ,
entonces : OP = (a ,a/3) y O T = (al3 ,a)
L u e g o : 11OP11 = 11ÓT11 = Va2 + (a/3): = f K)
O P • Ó T = (a , a/3) • (al3 , a) = 2a:/3
Si CosG = — = P P
O T
IIOPlI IIOTlI
<=> C o s0 =
2a73
(a^W3)- 5
0 = are C o s (3/5)
FIGURA 1.54
ejemplo 1 0 j Sean A y B vectores unitarios en R :. Dem ostrar que la sum a es
un vector unitario si y sólo si el ángulo formado por dichos vec
tores es de 1209
Sección 1.9: Angulo entre dos vectores 55
Demostración. (<=>) Probarem os primero que ¡' A + B i = 1
En efecto, por hipótesis 0 = 120° es el ángulo entre los vecto
res A y B. Entonces :
llA + B ||2= ||a II2+ IIb I|2+ 2 A * b
=IIa II2+ I|b | | 2+ 2|Ia II I I b I I CosG
= 1 + 1 + 2 (1)(!)(-1/2) = 1
11A + B 11 = 1
(<=) Dem ostrarem os ahora que A y B forman un ángulo de 120°
En efecto, por hipótesis : llAll = ||B|| = | | A+ B
Si 11A + B 11: = 1 «=> 11A 112+ 2A • B C o s0 + 11 B 112= 1
■=> (1)2 + 2 11A 11 II B II C o s0 + (I)2= 1
1 + 2(1)(1) C osG + 1 = 1 => CosG = - 1/2
[ Cjemplo 11 ] Se a n A y B vectores en R 2 , A e s un vector unitario, la sum a de
los com ponentes de B es 31 y el máximo valor de A • B es 41;
hallar los vectores A y B.
Solución. Se a n los vectores A = (x, , y,) y B = < x ,, y,>
S i A - B = 11A11 ||B|| C o s0 ,y c o m o | | A11 = I y C o s 0 e [-1 ,1 ], el valor
de A • B será máximo cuando C o s0 = 1 , luego :
A • B = 11 B 11 *=> 41 = V x,2+ y,2 (1)
A d e m á s, x, + y, = 31 ^ y, = 31 - x 2 (2)
Sustituyendo (2) en (1) se tiene : 41 = Vx,2 + (31 - x,)2
de donde obtenem os : x,2 - 31x, - 360 = 0 <=> x, = 40 ó x, = -9
Por lo que, y, = 9 óy, = 40 <=> B = <40 , -9) ó B = <-9 , 40)
D ado que el vector A e s unittario entonces :x,2+ y,2= 1 (3)
4 0 x , - 9 y , = 4 l (4)
y si A . B = 41 ■=> x, x, + y, y, = 41 =>
9x, + 40y, = 41 (5)
De (3) PI (4) se tiene A = <40/41 , -9/41), y de (3) fl (5) : A = <-9/41 , 40/41 ) ■
! Cjemplo 1 2 J S e a n A y B y C vectores en R J. Su p o n e r que 11 A 11 = 1 ,
^ ’ 11B 11 = 1 y l l c l l = 4 . Si 11A - B + C 11 = 11A + 2 B + C 11 y el
ángulo entre A y B mide 459, hallar el coseno del ángulo entre vectores B y C.
Solución. Si A • B = 11A 11 11 B 11 C o s0 = * A • B = (1) (1) C o s 45° = V2/2
Desarrollando los cuadrados I! A - B + C |: = l¡A + 2 B + C l| 2, tenemos:](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-34-320.jpg)
![62 Capítulo I: Vectores en el plano
Ejemplo 2 J En la Figura 1.62 se tiene :
f p l l O X y ||Ó P II = 8
—> —> —►
Si O T = m O P + n O P 1 , hallar el valor mn.
Solución. Ó P = 11O P 11 <Cos30°, Sen30°> = 4 (V J , 1>
Las com ponentes de O T son (x , x ) , pues
y = x. La ordenada de P es y = 11OP 11 Sen30° = 8(1/2) = 4
=> Ó t = <4 ,4) = 4(1 , 1)
Com o Ó T está expresado com o una combinación lineal de vectores ortogonales ,
usarem os la ecuación (19) para calcular los escalares m y p , esto es
Ó T • Ó P 4(1 , 1> * 4(^3 , 1)
11O P 112
Ó T 'Ó P 1
(4V3 + 1y
4(1 , 1) » 4 (-l ,V 3 ) _ 1
(4/3 + 1): •
} mn 8
Ejemplo 3 J En la Figura 1.63 se tiene los
vectores A y B con 11A 11 =
23. Si B = s A + t A 1 , hallar el valor de s + t.
Solución. A = 11A 11 (C os 60° , Se n 60°) = (V3 , 3)
Las com ponentes de B son ( - y , y ) , pues
y = -x y com o y A = y B = 3 , entonces B = <-3 , 3).
Luego, usando los escalares de la ecuación (19) ten
drem os :
<-3 , 3) • <V3 , 3> 3 -V 3
s =
t =
B • A
11A 11;
B • A J
(V3 T 9y
(-3 , 3) • (-3 . n/3)
(V3 + 9 ):
4
3 + V3
f ' y4
£ .á
V J
}
FIGURA 1.63
Ejemplo 4 ] Se a n los vectores de la Figura
1.64, dondeII A|| = 2 y11C11 =8.
Si C = m A + nA-1 , hallar el valor de m - 3 n
Solución. El ángulo de dirección del vector A es
a = 180° - (90 + 30°) = 60° , luego , si
FIGURA 1.64
Sección 1.10: Descomposición de vectores 63
A = 11A 11 (Cos60° , Sen60°) <=* A = <1 , n/3) y A x = (-V3 ,l>
Si C = (0 , 8), los escalares de C = m A + n A 1 son :
m = C -A = <0.8> • <1 .V3) = 2 = . C - A 1=(0 , 8) ■(-V5 . I) _ ,
11A 11- (2)! ' ’ 1 1A 112 (2)’
m - 5 n = 2V3 - >Í3(2) = 0 ■
IO B S E R V A C IO N 1.7Sabem os, por la Definición 1.15. que cualquier vector V e R 1
puede expresarse de manera única com o
V = s A + t B (1)
Si ocurre que los vectores A y B no son ortogonales, los escalares s y t pueden
calcularse tom ando los productos escalares V • A 1 y V • B x , puessi A •A x = 0 y
B • B 1 = 0 , entonces en (1) se tiene :
A . A 1 = 0 + tB • A x c=> t = V - A ^ ; V • B 1 = 0 + s A .B x ■=>s = _¥_!_B^
B • A 1 A • B 1
Por consiguiente en (1) : j^V = ( a T § x ) A + [ q ‘~ ^ i) B ) (20)
[ Ejemplo 5 j En la Figura 1.65 se muestran los
vectores A, B y C, donde 11A 11=
3 , 1! B || = 2 , 11C 11 = 6 y a = 309. S i C = m A + n B ,
hallar m + 3n.
Solución. Las com ponentes de los vectores m ostra
dos s o n :
A = (3 , 0> , B = 2<Cos 30° , Se n 30°) = <V3 , 1)
y C = 6(C os 120° , Se n 120°) = <-3 , 3>/3)
Si C = m A + n B , los escalares m y n lo obtenem os a
partir de la ecuación (24), esto e s :
m = C * B X = (-3.3V 3) • (-1 ,V3) = 3 + 9 =
A - B 1 (3 .0 ) • <-1 , V3> *3
n = C • A± = (-3 , 3n/3) • (0 ,3 ) _ 9V3 _ , ^
B • A 1 (n/3 , 1) . (0 , 3) 3
Ejemplo 6 j Los segmentos orientados y la combinación lineal
FIGURA 1.65
m + 3 n = 5 ■
En la Figura 1.66 , A B C D es un paralelogramo. Si A F = J- A D y
O](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-38-320.jpg)
![68 Capítulo I: Vectores en el plano
Com o la C om pBA < 0 , la ProyBA y B tienen sentidos opuestos.
____________ - 2 V 5 "
La norma de la proyección ortogonal es : 11ProyBA I i = V(-4/5): + (2/5)- = —j -
C om pBA = - 11 ProyBAl I
P R O P IE D A D E S D E L A C O M P O N E N T E E S C A L A R
1. C om p c(A + B) = C om pcA + C om p cB
2. C om p B(rA) = r C om pBA
-------------f EJEM PLOS ILUSTRATIVOS]------------- ^
E je m p lo 1 ^ ) Lo s lados de un triángulo son los vectores A , B y A - B. Si
----------------------- || A II = 5 , II B II = 3 y C o m p BA = -5/2, hallar la longitud del
lado A - B.
Solución. Si C om pBA = - | => TT^TT = * 7 ’ de donde A . B = - 15/2B
y s i| | A - B ||2= IIa | | 2- 2 A - B + M b ||2= (5)2- 2(-15/2) + (3) = 49
11A - B 11- = 7
Ejemplo 2 ] Lo s lados de un triángulo son los vectores A , B y A + B. Si
----------------------- | | a I I = 5 , 11 B 11 = 2 V2 y 11A + B 11 = n53 , hallar:
2C om pBA - C om p A(A + B)
Solución. Si I !A + B l = V53 <=> A + 2 A • B + 11B i I = 5.-1:V53 <=> II A 112+ 2
c=£ (5y + 2 A •
/ A - - 9 ( j m
Ml B ll)
— ¿
(A + B) * A A I I - + B - A _ 2 5 + 1 0 _ 7
Com pA(A + B) = |[A|— = ----------5 5 -
2 Comp A - CompA(A + B) = 5V2 - 7
Sección 1.11: Proyección ortogonal 69
f Ejemplo 3 ) S i A + B + C + D = 0 , | | A + B | | = a , | | C | | = 6 y | | D | | = c ,
hallar la Com pcD
Solución. Si A + B = - (C + D) => 11A + B 11 = 11- (C + D) 11 c=> a = 11C + D 11
Elevando al cuadrado se tiene : a2= 11 C 112+ 2 C • D + 11 D 112
Luego , a2= b2+ 2 C • D + c2 , de donde : C • D = (a2- b2+ c2)
• '• Com p' D = ^ = ¿ (a ;- i: + c ! ) ■
Ejemplo 4 ] Si el vector B forma un ángulo de 309 con el semieje positivo
de las x , 11B 11= 2 , C om p BA = -2 y C o m p B A = 2^3 ; hallar el
rector A.
Solución. Si B = 11 B 11 <Cos 30°, Se n 30°) =* B = ( V I , 1)
Por la ecuación (21): A = ProyBA + ProyB±A
<=> A = ( CompBA ) + (Com pBlA) = (-2) + (2VT) <1*
1 A = (-2V3 , 2) ■
( Ejemplo 5 ] Si A = (-2 , 12) y B = (-3 , 3), hallar el ángulo formado por los
vectores A y ProyBi A
Solución. S e a el vector C = P ro y B A = ( B x
* II B x ||2 *
0 c ° [ —
Si A U y C 11V , entonces : U = <-1 , V3> y V = (1 , V3>
El ángulo entre U y V es el mism o entre A y C , por lo que :
C o s 9 = U ~ V = <-'■ >5) - (I ■ V3) = 1 ^ 9 = 60- .
I l u l l l l v l l (2) (2) 2 ~ "
i j e m p l o 6 ) D ado los puntos A (-1 , 3 ), B(5 , 6) y C (7 , 5 ); si P divide al
segm ento A B en la razón A P : P B = 2 , hallar la proyección del
vector A P sobre el vector BC.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-41-320.jpg)
![70 Capítulo 1: Vectores en el plano
Solución.S e a el punto P(x , y). Si ^ = 2 ■=> A P = 2 P B
«=> P - A = 2 (B - P)
r x + 1= 10 - 2x ■=> x = 3
« < x + l , y - 3 > = 2 < 5 - x , 6 - y > o | y . 3 = 12 - 2y « y = 5
Luego , P(3 , 5) => A P = P - A = <3 . 5) - <-1 , 3> = (4 , 2)
B C = C - B = <7 , 5) - (5 , 6> = <2 , -1 >
Ahora : ProyBCÁ P = ( A P * B C = ( (4 ’ 2)_ L Í-2 ’ (2 , -1)
/BC M l B C l l 2' ' (V4T T ) j '
ProyB-cA P = f < 2 , - l > ■
[ E j e m p lo 7 J SiA. B y C son vectores no paralelos con C * O, dem ostrar que
a) 11 Proyc(A + B) 11 < i C om pcA I + I C om p cB !
b) Proy sC(rA + B) = r ProycA + ProycB , V r , s e R , s * 0
Solución. En efecto, de la definición de proyección ortogonal se sigue que :
a) Proyc(A + B , = C = ( - ^ C ) C ♦ ( J ^ ) C
_ /A • C + B •C C
llc l l 1 lie II
O bsérvese que el paréntesis del segundo miembro es un número real y que es
coeficiente de un vector unitario; luego, si norm alizam os am bos m iem bros de
esta igualdad obtendremos :
11 Proyc<A + B) || =
Ahora, si aplicam os al numerador del segundo miembro la desigualdad triangular
para núm eros reales, tendremos :
l|Pro^ ( A + B ) l l s 1 W + 1 W
|| Proyc(A + B) || < C om pcA + C om pcB
» * - r (A; ? i ; r v
= O c + ( ^ ) c
= r ProycA + ProycB ■
Sección 1.11: Proyección ortogonal 71
Ejemplo 8 J Se an los vectores A = (k , -2) y B = (2k , k + 2 ), donde k e R.
Hallar los valores de k de modo que ProyBA y B tengan senti
dos opuestos.
Solución. S i ProyBA y B tienen sentidos o p u e sto s, entonces C om pBA < 0, esto es,
A - B
< 0 , pero com o 11 B [I > 0 , implica que : A . B < 0
IIB
Luego : (k , -2)•<2k , k + 2) < 0 => 2k- - 2(k + 2) < 0 <=> k: - k -2 < 0
=> (k +1)(k - 2) < 0 « (k + 1 < 0 a k - 2 > 0) v ( k + l > 0 a k - 2 < 0)
<=> (k < •1 a k > 2) v (k > -1 a k < 2 )
» (0) v (-1 < k < 2) <=> k e < -1 , 2 > ■
[ E je m p lo 9 ^ ] Se an los vectores no nulos A. B e R : y r * 0. Establecer el valor
de verdad de las siguientes afirmaciones
1. 11 A x + B 11 = I I a - b M I
2. ProyA(ProyBA) = ProyB(ProyAB) .=> A 11 B 1 ó 11 A 11 = 11 B 11
3. |C om pA(Ax + B) | < 11 B 11
4. S i r > 0 ■=>C o m p g iA = - C om p^A -1
5. Si A + B 1 = A 1 + B «=> A = B
Solución.
1. Dado que 11 A 11 = 11A x 11 •=> 11A 1 + B 11 = 11(A 1 + B)1 !!
= 11(A A)X + B x 11
= I I - A + B M I = ll(-l) (A - B x) 11
= |(-1)| II A - B^ || = 11A - B x 11
Luego , la afirmación e s verdadera
2. ProyA(ProyBA) = Proy8(ProyAB) « *] A = [ - ^ 7 ° ] B
r t A - B X B - A ) , f ( B . A ) ( A ; B)l B
I I b I I : I I a I I : 11a1 12 11b 11-
La igualdad (1) se cumple si y sólo si
A • B = 0 => A 1 B = * A | | B X
A • B * 0 <=> A = B , luego 11A11 = || B iI
Por tanto , la afirmación de verdadera.
3. Por la desigualdad de Cauchy - Schw artz se sabe que :](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-42-320.jpg)
![72 Capítulo 1: Vectores en el plano
A • B I < I I a I I 11 B 11 « J A l B j < || B 11 <=> ' A - A ^ A - B l < | |B
Il A l l
A • (A 1 + B)
I I A II
Luego , la afirmación es verdadera
< 11 B i I <=> C om p A(A x + B) |< 11B 11
4. C om pBiA = jy~TT * per0 11 01 i I = I B y A . B x = - A 1 . B
B II B x II
A i . R A x • (r B)
Luego : C o m p B A = -t com o r > 0 => C o m p B A = - 11 r B j y
<=> C om p 0iA = - C om p iBA x
Por tanto , la afirmación e s verdadera.
5. Si A + B x = A x +B ■=> A -B = A x - B x
«=> (A - B) • (A - B) = (A - B) •(Ax - B x)
o (A - B) • (A - B) = (A - B) •(A - B)x(A•A x=0)
=> (A - B) • (A - B) = 0 (A • A = 0 <=> A = O)
<=> A - B = O c=> A = B
Luego , la afirmación es verdadera. ■
C j c m p lo 1 0 j Dado el vector A = (-4 , 2) y ProyBiA - (-3 , 3 ), supuesto que
C om pBiA es positivo , hallar la C om pBA.
Solución. Si A = ProyBA + Proya±A
«=> (-4 , 2) = ProyBA + (-3 , 3)
c=> ProyBA = <-l , *l>
Dado que . C om pBA = ± 11 ProyBA I , entonces :
C om pBA = ± + (*l); = ± >/2
En la Figura 1.78 se observa que B y ProyBA tienen
sentidos opuestos , por lo que : C om p0A = - V2 ■
Prov„ A
FIGURA 1.78
E j e m p lo 1 1 } Dado el exágono regular de lado a (Figura 1.79), hallar la pro
yección ortogonal de F C sobre BE.
Solución. FC = 11 r c 11 <Cos60°, Sen60°)
= 2a (1/2 , V3/2) = a (1 . V3>
Sección 1.11: Proyección ortogonal 73
BE = 11 B E 11 (C o s 300°, Se n 300°) = 2a (1/2 , - Í3/2) B E = a <1 , - V3)
L u e g o . Proy.-FC = ( ^ # ) B E = ( a <' ■ ' ^ > ) a <, .. V5)
a /BE ' 11 B E I I 2' V a ! ( i í T + 3 ) ! 1
ProyB-EF C = - | ( l , - V 3 >
Ejemplo 12 J En la Figura 1.80 . C es un vector unitario tal que Cotg a = 3 3.
Si A + V = A x , hallar la C om pvC.
Solución. Dado C o tga = 3V3 y a en el IV cuadrante , entonces
Se n a = - — U y C o s a =
2V7 2V7
Si C = (C o s a , S e n a ) c=> C = ^ | <3^3 , -1)
Sen 75° = Sen(45° + 30°) = Se n 45° C o s 30° + Se n 30° C o s 45° = ^ ( 1 + V3)
C os 75° = Cos(45° + 30°) = C o s 45° C o s 30° - Se n 45° S e n 30° = ^ (Í3 - 1)
t=> A = 11A 11 (C os 75° , Se n 75°) = ^ | I A 1 1 <V3 - 1 , V3 + 1) = r <V3 - 1 , >/3 + 1)
Luego , si V = A x - A => V = r (-VJ - 1 , V3 - 1) - r <V3 - 1 , Í3 + 1) = 2r (-V3 , -1)
Com p C =
C . V
II V il
(3V3 , - 1) . 2r (-V3 , -1)
2r V3 + 1
2V7
7
Ejemplo 1 3 ] En la Figura 1.81 se tiene : 11 A11 = 2 , A •B = 2 11 B11. Se a V
un vector tal que B x + V = B y a el ángulo entre A y B. Hallar
ProyvA.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-43-320.jpg)
![84 Capitulo J: Vectores en el plano
Ejemplo 3 ) S e dan los puntos A(3 , -2), B(-3 , 2) y C(2 , 7). S i P divide al
segm ento B C en la razón B P : P C = 2 : 3 ; hallar el área del
triángulo A P C .
Solución. S e a P(x , y). Si 3 BP = 2 PC , entonces
3<x + 3 , y - 2) = 2<2 - x , 7 - y)
r 3x + 9 = 4 - 2x <=> x = -I i , ..
<=> i r ■=> P(-i , 4)
L 3y - 6 = 14 - 2y y = 4 J
Luego , si
U = A P =* U = P - A = (-1 , 4) - (3 , -2) = (-4 , 6>
V = A C <=* V = C - A = <2 , 7) - (3 , -2) = <-1 , 9)
S = l l u - v 1 ! = -j l<-4 , 6) • <-9,-1)1 = 15 u: ■
Ejemplo 4 j Los vértices de un triángulo son A(2 , -1), B(4 , 2) y C e =
{ (x, ) ly = x - 2}. Si su área es 5 u2 , hallar la sum a de las
ordenadas de todos los posibles valores del vértice C.
Solución. Si C(x , y) e <5? <=> C(x , x - 2)
Se a n : U = A B = B - A = <2 , 3)
V = A C = C - A = ( x - 2 , x O
s = -i-1 V - U-1-1 <=> 10 = |<x - 2 , x - 1) • <-3,2)|
de donde : 14 - x I = 1 0 o 4 - x = 10 ó 4 - x = -10
<=> x = -6 ó x = 14
H ay dos soluciones : C(-6 ,-8) ó C( 14 , 12)
Por tanto , la sum a de las ordenadas es :
y, + y, = 4
r q B
"N
u /
S
A
v
v !'Pe
J
FIGURA 1.102
C je m p lo 5 ] En la Figura 1.103 : a (A O P R ) =
10 u2 ,11A 11 = 5 y a = 309. Si B =
<m , n ) , hallar el valor e m + v^ n .
Solución. A = 11A 11 <Cos 30°, Se n 30°) = ¿.(< 3,1)
B = 11B 11 <Cos 60°, Se n 60°)
=» <m , n) = m : + n-’ ( 1 , ^ )
Sección 1.12: Area del paralelogramo y del triángulo 85
Igualando las primeras com ponentes se tiene :
m = -i- m : + n : , de donde : n = V3 m (1)
Si a(AO PR) = 10 <=> -i-1 A 1 • B | = 10 .=> <-1 , <Í3)-<m , n) = 10
=> -m + V3 n = 8 (2)
Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas , obtenem os : m = 4 y n = 4/3
/. m + V 3n = 4 + V J (4VJ) = 16 ■
f ”ejemplo |a Figura 1.104, O A C B es un paralelogramo. Si O C = (5 , 3)
^ M —)
y B A = <-1 , 5 ), hallar el área del triángulo O AB.
Solución. Se a n los vectores : U = O A y V = O B
En el A O B A : B A = U - V
E n e lA O A C : O C = U + V
De este sistem a de ecuaciones obtenem os
U = JL (ÓC + B Á ) y V = (ÓC - BÁ)
Luego , U = <2 , 4) y V = <3 , -1) => V x = <1 , 3)
fl(AOAB) = i I U •V x | = 1|<2 , 4) • <1 , 3)1 = 7 u2
[ Cjemplo Hallar el área del polígono
de vértices en A(-2 , 3) ,
B(2 , 7 ), C (8 , 2) , D (6 , -2) y E(2 , -5).
Solución. La Figura 1.105 muestra el polígono
dividido en tres triángulos de áreas
S, , S, y S,. Tom ando el vértice A com o punto
inicial de los vectores R . T , U y V , se sigue que:
R = A B = <2 , 7) - <-2 , 3) = <4 , 4)
T = A C = <8 ,2 )-< -2 , 3) = <10,-1)
U = A D = <6 , -2) - <-2 , 3) = <8 , -5)
V = Á E = <2 , -5) - <-2 , 3) = <4 , -8)
FIGURA 1.105](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-49-320.jpg)
![96 Capítulo I: Vectores en el plano
A h o r a . S ¡ : A = 2 B , - 3 B ; « A = 2 ( - Ì A , - f A s) - 3 (. A A , + ¿ A ;)
< = > A = — A + — A
13 ' 13 -
(m , n) = (20/13 . 2/13) => m - n = 18/13
Ejemplo 7 J Halle las fórm ulas del cam bio de b ase , siendo A t = B, - B 2 ,
A = 3 B, - 5 B 2 , y determine las coordenadas del vector A
respecto de la base P’ = { B, , B 2} , si respecto de la base p = {A , , A 2} son (2 , -1).
Solución. Resolviendo el sistem a de ecuaciones para B, y B, obtenem os las fór
m ulas del cambio de base , esto es :
R - — A - 1 A B = — A - — A
' “ 2 1 2 2 ’ 2_ 2 1 2 2
Si (2 , -1) son las coordenadas de A respecto de la base p = { A I , A,} , entonces
A = 2 A, - A,
Se a n (s , t) las coordenadas de A respecto de la base p’ = {B , , B,}
=» A = s B(+ t Bj = s ( | A , - Í A , ) + t ( | A, - i A,)
r 2 = Jr ( 5 s + 3 t ) « = > 5 s + 3 t = 4
<=> 2 A, - A, = -y (5 s + 3 t)A, - y (s + l)A, <=> -J
L -1 = - -i- (s + t) => s + t = 2
De donde obtenem os : s = -1 y t = 3 , luego (-1 ,3) son las coordenadas del vector
A respecto de la base p’ = { B t , B,}. ■
Ejemplo 8 ) Los puntos P(-3 , 4) , Q(1 , 2) y S(-5 , -1) son vértices de un
paralelogramo P Q T S , siendo P y T vértices opuestos.
a) Mostrar que los vectores U = T S y V = Q T forman una base deR 2.
b) Expresar el vector A = <1 ,5 ) com o combinación de U y V.
Solución. S e a C el centro del paralelogramo , entonces
C = -j (Q + S) = y <-4 , 1> = <-2, 1/2)
También C = -L(P + T) <=> T = 2 C - P = (-4 , 1) - (-3 , 4) = (-1 , -3>
a) U = T S = S - T = ( - 5 , - l) - ( - l , -3> = (-4 , 2>
V = Q T = T - Q = (-1 , -3) - <1 , 2) = <-2 , -5)
Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 97
<=> (-4 s - 2 1, 2 s - 5 t) = O o {
Si U y V forman una base de R 2, m ostrarem os que:
i) U y V son vectores linealmente independientes.
En efecto , según la Definición 1.14
s U + t V = 0 t=> s (-4 , 2) + t (-2 , -5) = O
-4 s - 2 1= 0
2 s - 5 t = 0
Resolviendo el sistem a obtenem os , s = t = 0 ,
por lo que : U y V son L. I.
ü ) U y V generan a R 2
En efecto , se a C = (x , y) un vector del plano
=> B . t e R I C = s U + 1V
«=> (x , y> = s(-4 , 2) + t<-2 , -5> <=> { X 4S ”l } ^ s = - y ~ , t = -
l y = 2 s - 5 t J 24 . 12
Com o x . y e R <=> 3 t , s e R ¡ C = s U + t V , por lo que U y V generan a R 2.
En consecuencia , de i) y ¿ í) , se sigue que U y V forman una base de R 2.
b) Si A = r U + t V <=> (1 , 5) = r (-4 , 2) + t(-2 , -5}
r l.= - 4 r - 2 n
l 5 = 2 r -5 t J
c
p
/
■>
k
^fc>Q
s< . /
I
F ig u ra 1.114
<1 , 5> = <-4 r - 2 1, 2 r - 5 1> <=> <=* r = — , t = - —
24 ’ 12
A = ^ < - 4 , 2 > - jj< -2 .- 5 >
[ C je m p lo 9 ] El vector A = (-5 , 2) se descom pone en A, IIX y A ? |[Y.
El vector B = <2 , 1/2) se descom pone en B, 11X y B 2¡|Y.
Si X = (2 , 1) e Y = (-2 , -3), hallar el valor de (A, + B 2) • (A 2 + B 2)
Solución. S i A = m X + n Y
=> (-5 , 2) = m<2 , 1) + n<-2 , -3) <=> ( ' 5 = 2 m ' 2 n
2 =
de donde obtenem os : m = -19/4 y n = -9/4 <=* A ( = - J-2. < 2,1) y A, = - -2. (-2 , -3)
2 = m - 3 n
19
4
Si B = r X + i Y «=> (2, 1/2) = r(2 , 1) + t(-2 , -3) <=> { 2 = 2 r - _ t
l 1/2 = r - 3t
de donde se tiene : r = 5/4 y i = 1/4 => B, = ¿ ( 2 , 1) y B, = j ( - 2 , -3)
Por lo tanto : (A, + B , ) . (A, + B,) = (- 1 ) (-2) ( 2 , 1 ) . (-2 . -3) = - 49](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-55-320.jpg)
![98 Capítulo I: Vectores en el plano
Ejemplo 10 J En la Figura 1.115 se tiene el paralelogram o A B C D . S i P es
punto medio de C B , Q D = 7 Q B y si P Q se escribe com o una
combinación lineal de D C y A D , calcular la sum a de los escalares.
PQ = s DC + t A D
_ 1 rñi . 1En el A Q B P : PQ = PB - Q B = ^ C B - -y Q D
(1)
B D=> PQ = y (- AD) * y ( | BD) = - Í A D - I
= - y Á D - l( - D B ) = - -y Á D + | ( Á B - Áí>)
Com o A B = C D ■=> PQ = ^ D C - ¿ A D
c -
D
C
p v
A
V
B
>
FIGURA 1.115
Se gú n (1): s D C + t A D = I D C - | A D « (s - D C + (t + | ) A D = O
Dado que D C y Á D son linealmente independientes , entonces :
s - 1/8 = 0 y t + 5/8 = 0 <=> s = 1/8 , t = - 5/8 => s + t = - 1/2
[ Ejemplo 11 ] En el paralelogramo de la Figura 1.116 : A E = -^ A C , D F = -^-DC
S i É F = m Á B + nÁD, hallar el valor de m + n.
Solución. En el cuadrilátero A D F E se tiene :
■=> m A B + n A D = j A B + -j A D
«=* (m - l/4)ÁB + (n - 3/4)ÁD = O
C om o Á B y Á D son linealmente independientes ■=> m - 1/4 = 0 y n - 3/4 = 0
m + n = 1
Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 99
Ejemplo 12 J S e tiene el cuadrilátero A B C D . Sabiendo que A E = ^ A B y F y
G son puntos de trisección de C D y M es punto medio de EF. Al
expresar A M com o una combinación lineal de A B , B C y C D , hallar la sum a de todos
los escalares.
Solución. Se a n m , n y r los escalares tales que :
A M = m A B + n BC + rC D
En el A A E M ; Á M = Á É + É M = Á B + ÉF
= 1 Á B + i- (ÉB + B C + CF)
= 4 A B + 4 ( 4 A B ■i
3
+ B C + y C D )
= -| A B + ^ B C + -2-CD
ó ¿ O
Luego , s i : m A B + n BC + rC D = 4 a B + B C + -^ C D
=* (m - 2/3)Á B + (n - 1/2)BC + (r - 1/6)CD = O
Com o A B , B C y C D son linealmente independientes , entonces
m - 2/3 = 0 , n - 1/2 = 0 , r - 1/16 = 0 <=> m = 2/3 , n = 1/2 , r = 1/6
m + n + r = 4/3
Ejemplo 13 J En el paralelogramo de la Figura 1.118 , P y Q son puntos m e
dios de B C y A B respectivamente , R D = 3 AR. Si R C se expre
sa com o una combinación lineal de P Q y P A , hallar el producto de los escalares.
Solución. Se a n m , n e R los escalares tales que
R C = m PQ + n PA
En el A R D C se tiene :
R C = R D + D C = 4 Á D + D C = 4 B C + Á B
4 4
= -J- (2 BP) + 2 Á Q = y (QP - Q B) + 2 Á Q
= | (QP - ÁQ ) + 2 Á Q = | Q P + ± Á Q
= - 4 PQ + t (PÁ + PQ) = - PQ + T PÁ
Luego , s i : m PQ + n PA = - PQ + y PA](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-56-320.jpg)
![108 Capítulo I: Vectores en el plano
Análogam ente : B C = 2BÑ => c - b= 2(n - b) co n = -L(b + c)
Dado que M N = n - m <=> M N = 4 (b+ c) - -ÿ(a + b)
<=> M N = -J¡-(c - a) <=> M N = Í A C
Por lo tanto , M Ñ 11Á C y IIMÑil = I Á C 11
Ejemplo 3 ] Dem ostrar que los puntos m edios de los lados de un cuadrilá
tero son los vértices de un paralelogramo.
Demostración.
Hipótesis. A B C D es un cuadrilátero , M , N ,T y S
son puntos m edios de los lados.
Tesis. Probarem os que M N 11ST y M S 11N T
En efecto, A M = A B ■=> m = (a + b)
B N = 4 B C <=> n = (b+ c)
M N = n - m= (b+ c) - -JL(a+ b) = ÿ (c -a)
_ I
Luego , M Ñ = 4-A C «=> M Ñ IIÁ C (1)
A sí m ism o : Á S = -i- A D <=> s = -i- (a + d) ; C T = y C D t = (c + d)
y com o : ST = t- s = |(c + d )- -^-(a + d) = i ( c - a) = ± Á C S T lIÁ C
De (1) y (2) se deduce que : M Ñ 11ST y 11M Ñ 11 = 11S T 11
Análogam ente se dem uestra que : M S liN T y 11 M S 11 = IIN T 11
Por lo tanto , el cuadrilátero M N T S es un paralelogramo.
(2)
! Ejemplo 4 j Dem ostrar que en todo trapecio el segm ento de recta que une
los puntos m edios de las d ia go n a le s, es igual a la semidiferen-
cia de las bases.
Demostración.
Hipótesis. A B C D es un trapecio , M y N son puntos m edios de las diagonales A C y
B D respectivamente.
Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental 109
Tesis. S e vaa dem ostrar que : M Ñ = -i- (Á D - BC)
En efecto , si A M = | A C <=> m = {a+ c)
BÑ = y B D ■=> n = l ( b + d)
Ahora , M N = n - m «=> M N = 4"(b + d) - 4p(a + c)
<=> M Ñ = -i- (d- a) - i- (c - b) = i (ÁD) - | (BC)
M N = -i- (Á D - BC)
Ejemplo 5 JSe a n M , N y R los puntos m edios de los lados de un A A B C y
se a P un punto exterior al triángulo. Dem ostrar que :
P M + PÑ + P R = P Á + P B + P C
Demostración.
Hipótesis. S e a el A A B C ,M , N y R puntos m edios de
su s lados y P un punto exterior. Entonces :
m = -±-(a + b) , n = ^-(b + c) , r = { a + c)
PM + PN + PR = (m- p) + (n - p) + (r - p)
= - p) + (b + C .p) + ( a ^ c , p) FIGURA 1.142
= i.(a-p + b-p) + -±.(b-p + c-p) + ¿(a -p + c -p)
= (a - p) + (b - p) + (c - p)
/. PM + PÑ + P R = PÁ + PB + r c ■
Ejemplo 6 j Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendicula
res.
Demostración.
Hipótesis. S e a el rombo A B C D
Tesis. Probarem os que A C 1 B D
En efecto , en el A A B C : Á C = Á B + B C (1)
y en el A B C D : B D = B C + C D => B D = B C - D C](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-61-320.jpg)
![112 Capítulo I: Vectores en el plano
E j e m p lo 1 0 J Demostrar que en un tetraedro , las líneas que unen los puntos
medios de los lados opuestos se bisecan mutuamente.
Demostración.
Hipótesis. S e a el tetraedro O A B C y sean PQ y R T
dos líneas que unen los puntos m edios
de dos lados opuestos.
Tesis. Probarem os que M = N
En efecto , tomando el vértice O com o origen , la
expresión vectorial que define el punto medio de
M de PQ e s :
m = 1 (ÓP + Ó Q ) = i [ i (Ó Á + Ó B ) + I ó C ]
1 FIGURA 1.146
m = -L (Ó Á + Ó B + ÓC) (1)
A sí m ism os , para el punto medio N de R T se tiene :
n = I (ÓR + ÓT) = 1 [ ~ (ÓB + ÓC) + I Ó Á ] => n = 1 (Ó Á + Ó B + Ó C) (2)
De (1) y (2) se sigue que : m = n <=> M = N. ■
E j e m p lo 1 1 } Demostrar que la sum a de los cuadrados de las diagonales de
un paralelogramo es igual a la sum a de los cuadrados de sus
lados.
Demostración. Se a el paralelogramo A B C D
S i B D = Á D - Á B
<=> Il B D II = 11Á D - Á B II
c=> ||B D 112= 11Á D I I 2+ 11A B 112- 2 Á D • Á B (1)
y si : Á C = Á D + D C = BC + D C
c=> | | á c I | 2 = I | b c | | 2 = | | d c II: + 2 B C * d c (2 )
Sum ando (1) y (2) se tiene :
11 B D 112+ 11Á C 112= 11Á D 112+ 11Á B 112+ 11B C 112+ 11D C II2 + 2(BC • D C - Á D *'Á B)
Dado que : Á B = D C y Á D = BC (lados opuestos del paralelogramo)
« Il B D II2 + II Ä C l M = II Ä D II1 + IIÄ B l l * + Il BC 111 + U D O II2 ■
Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental 113
Ejemplo 1 2 J Dem ostrar que las tres alturas de un triángulo se interceptan
en un punto llamado ortocentro.
Demostración. Considerem os el triángulo A B C
en el cual trazam os las alturas
correspondientes a los vértices A y C los cuales
se interceptan en el punto O. Para facilitar los cál
culos suponem os que este punto e s el origen de
coordenadas. Al unir O con el vértice B , la propo
sición quedará dem ostrada si probam os que Ó B
es perpendicular a AC.
En efecto , si O A 1 B C <=> a • (c - b) = 0 (1)
Ó C 1 Á B => c - ( b - a ) = 0 (2)
Ahora , sum ando (1) y (2) nos da
a * c - a * b + c * b - c * a <=> b • (c - a) = 0
==> Ó B • Á C = 0 » Ó B 1 ÁC. ■
I Ejemplo 1 3 j Dem ostrar que las m ediati
ces de los lados de un trián
gulo se cortan en un punto llamado excentro.
Demostración. En el A A B C trazam os las me-
diatrices de los lados A B y BC,
las cuales se interceptan en el punto O. Unim os O
con P , punto medio de ÁC. Para dem ostrar la pro
posición bastará probar que O P es perpendicular
a ÁC.
En efecto , por definición de mediatriz.
Ó Ñ 1 B C ■=> Ó Ñ • B C = 0 y Ó Ñ 1 1 A B <=> Ó M * Á B = 0
En el A O M P : Ó P = Ó M + M P
=* Ó P • Á B = Ó M • Á B + NÍP • Á B <=> Ó P • Á B = M P • Á B (1)
En el A O N P : Ó P = Ó Ñ - PÑ
<=> Ó P * B C = Ó Ñ * B C - P Ñ * B C ■=> Ó P * B C = -PÑ • B C (2)
La sum a de (1) y (2) da : Ó P • (Á B + BC) = M P • Á B - PÑ • B C
Dado que , M P = y B C y PN = 4 A B , (Ejemplo 2 ), entonces
Ó P . Á C = i - ( B C . Á B ) - i - ( Á B . B C ) = 0 => Ó P 1 Á C ■](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-63-320.jpg)
![114 Capítulo I: Vectores en el plano
E j e m p lo 1 4 ] S ¡ A , B , C y D son vértices de un cuadrilátero , dem ostrar que
Á B + Á D + C B + C D = 4 PM
de donde P y M son puntos m edios de las
diagonales A C y BD.
Demostración. En efecto ,
PM = PÀ + Á B + B M
PM = P À + Á D + D M
PM = PC + C B + B M
PM = PC + C D + D M
Su m an d o ordenadam ente estas cuatro
igualdades obtenem os :
4PM = ÁB + ÁD + CB + CD + 2(PÀ + PC) + 2 (BM + DM)
Ahora , com o : PC = - PÂ y D M = - B M , entonces
4 P M = Á B + Á D + C B + C D
Ejemplo 1 ^ ) Se an los puntos no colineales A , B , C y D. S e a O un punto tal
que Ó A = a , Ó B = b , O C = c , O D = d. Si se verifica que b - a =
2 (d - c ) , dem ostrar que el punto de intersección de los segm entos A D y B C e s punto
de trisección de estos segmentos.
Demostración.
Hipótesis. A , B , C y D son puntos no colineales y b - a = 2 (d - c)
Tesis. Probarem os que s i :
r = PB l = A P ^
C B y A D
r = t = -
En efecto , en el A A P B : PB = A B - A P = A B - t A D
c=> pb = (b- a) - 1 (d-a)
= 2(d-c) - 1(d-a) (Hipótesis)
Por el artificio de sum ar y restar t c se tiene :
PB = 2 (d-c) -1(d-a) + (tc-1c)
= 2(d -c) - 1(d-c) + t(a-c)
= (2-1)(d*c) + t(a -c)
Si PB = rC B <=> PB = r(b - c) = rb - r e ,
de la hipótesis : b= a+ 2d-2c
(1)
c
r-
Z d
/b
A i
FIGURA 1.151
«=> PB = r(a + 2d - 2c) - re = r(a - c) + 2r(d - c) (2)
Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental 115
De (1) y (2) se sigue que : (2 - 1) (d - c) + t(a - c) = r(a - c) + 2 r(d - c)
<=> (2 - 1 - 2 r) (d - c) + (t - r) (a - c)= O
—> —> y
Dado que los vectores C D y C A son linealmente independientes
=> (2 - 1 - 2 r = 0) a (t - r) = 0
Resolviendo el sistem a obtenem os : t = r = 2/3 ■
EJERCICIOS : Grupo 13
1. Dem ostrar que las diagonales de un rectángulo son de la m ism a longitud.
2. Dem ostrar que las diagonales de un cuadrado son perpendiculares.
3. Dem ostrar que el punto m edio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
equidista de los tres vértices del triángulo.
4. Dem ostrar que las diagonales de un trapecio y la recta que une los puntos
medios de los lados paralelos, se cortan en un m ism o punto.
5. Dem ostrar que el segm ento de recta que une los puntos m edios de los lados no
paralelos de un trapecio es paralelo a las b ase s , y su longitud es igual a la
mitad de la sum a de las longitudes de las bases.
6. Dem ostrar que las m edianas de los lados iguales de un triángulo isósceles son
de la m ism a longitud.
7. Dem ostrar que los puntos m edios de dos lados opuestos de un cuadrilátero y
los puntos m edios de su s diagonales son vértices de un paralelogramo.
8. Dem ostrar que si las rectas que contienen a dos lados opuestos de un cuadri
látero se interceptan en un punto S , y las rectas que contienen a los otros dos
lados del cuadrilátero se interceptan en un punto T , entonces el punto medio
del segm ento S T es colineal con los puntos m edios de las diagonales del cua
drilátero. (Sug. Coloque el origen en uno de los vértices del cuadrilátero).
9. Dem ostrar que la sum a de los cuadrados de las distancias de un punto cual
quiera del plano a dos vértices opuestos de un rectángulo e s igual a la sum a de
los cuadrados de las distancias del punto a los otros dos vértices.
10. Dem ostrar la igualdad vectorial O A + ( ^ + Ó C = Ó P + Ó Q + O R , siendo O un
punto cualquiera interior al A A B C y P , Q y R los puntos m edios de los lados AB,
B C y C A , respectivamente.
11. Dem ostrar que la sum a de los cuadrados de los lados de cualquier cuadrilátero
excede a la sum a de los cuadrados de las diagonales en cuatro veces el cua
drado de la línea que une los puntos m edios de las diagonales.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-64-320.jpg)
![116 Capítulo I: Vectores en el plano
12. D ado s los puntos A , B , C , D , E y F ; s i P , Q , R y S son los baricentros de los
triángulos A B C , A B D , D E F y C E F , demostrar que P , Q , R y S son los vértices
de un paralelogramo.
13. Dem ostrar que las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo se intersecan
en un punto llamado incentro.
14. Dem ostrar que la sum a de los cuadrados de las longitudes de las tres m edianas
de cualquier triángulo e s 3/4 de la sum a de los cuadrados de los tres lados.
15. Si en la Figura 1.152 , A B C D e s un paralelogram o , donde M y N son puntos
m edios de A B y B C respectivamente , probar que los segm entos D M y DN
trisecan a la diagonal AC.
16. En la Figura 1.153, A B C D es un paralelogram o, tal que P , Q , R y S son puntos
que dividen a los lados Á B , B C , C D y D A , respectivamente , en la razón 2/1.
Dem ostrar que P , Q , R y S son vértices de un paralelogramo.
17. Dado un triángulo cualquiera , demostrar que existe otro triángulo cuyos lados
son iguales y paralelos a las m edianas de aquel.
18. En el triángulo AB C , sea D el punto medio de BC. Demostrar, usando vectores,
q u e: 11A B 112 + 11A C 112 = 2 11AD 112 + ± 11 B C 112
(1.15) LOS VECTORES Y LA FISICA_____________________ .____________
El empleo de vectores en la Física es frecuente , la fuerza , la aceleración y
la velocidad se representan mediante vectores en las que la dirección del vector
está dada por la dirección de la cantidad física , en tanto que la magnitud del vector
e s igual a la magnitud física , en las unidades apropiadas.
C uando se trabaja con velocidades debem os tener en cuenta que , en un
movimiento que es la com posición de varios movimientos , el vector de velocidad es
Sección 1.15: Los vectores y la Física 117
la sum a vectorial de los vectores de velocidad de cada movimiento.
Otra aplicación se refiere a las fuerza que actúan sobre una partícula en el
espacio ; en este caso , a las diversas fuerzas que actúan sobre una partícula se les
representa mediante vectores : F , , F2 , F 3 ........... Fn , entonces la segunda ley de
Newton , establece que el movimiento de una partícula está descrita por la ecuación
vectorial
m a = F, + F2 + F 3 + ......... + Fn
donde m es la m asa de la partícula y a la aceleración. En esta ecuación la m asa m
es un e sc a la r, en tanto que la aceleración a es un vector.
Si es el caso de que la partícula está en reposo la sum a de los vectores de las
fuerzas es cero , esto es
F i + F2 + F 3 . . . . + Fn = 0
,--------------- EJEMPLOS ILUSTRATIVOS )-------------- ,
I
[ E j e m p lo 1 ^ ] Un hom bre salta desde un automóvil en m archa de m anera
que si el coche hubiese estado quieto , su velocidad habría
tenido magnitud 10 km/h y habría formado un ángulo de 6 02 con la dirección al frente
del automóvil. Si el coche avanza a 30 km/h , con qué velocidad sale el hombre del
automóvil.
Solución. S e a V, , el vector velocidad del co
che y V , , el vector velocidad que le
correspondería al hombre si el coche hubiese
estado quieto.
Entonces la velocidad real del hombre e s :
v = v l + v 2
Luego , V, = 30 <Cos 0o , Se n 0o) = 30 <1 , 0)
V, = 10 (C o s 240°, Se n 240°) = 5 <1 , -V3>
Por lo q u e, V = 30(1 ,0) + 5<l , -V3>= 5 (7 , -V3>
es el vector velocidad que desea tener y cuya magnitud es
II V|| = 5 V49 + 3 = 10 VTJkm/h. ■](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-65-320.jpg)
![lis Capitulo 1: Vectores en el plano
Ejemplo 2 j Un aeroplano vuela hacia el noreste con una velocidad de 400
millas/h y el viento hacia el sureste a una velocidad de 100
millas/h. Cuál es la velocidad resultante del aeroplano , con respecto a la tierra , y
que curso debe seguir el piloto.
Solución. Representem os por V, el vector velocidad
dad del aeroplano y por V, el vector velo
cidad del viento.
La velocidad resultante del aeroplano con respecto a
la tierra es : V = V, + V,
Luego , si V, = 400 (Cos 45°, Sen 45°) = 200Í2 0 , 1)
V , = 100(Cos 315° , Se n 315°) = 50/2 (1 , -l>
==> V = 50 <2 (4 + I , 4 - 1) = 50 2 (5 , 3>
La dirección de la velocidad resultante es
_ _ V _ = (5 ,3 )
IIV || " /34
esto es , si Tg a = j = °-6 =* a = 31°
En consecuencia , el vector velocidad resultante forma un ángulo con la dirección
Este de 31°, es d e c ir, su dirección y sentido resultan definidos p o r : Este 31° Norte ,
curso que debe seguir el piloto. ®
Ejemplo 3 ] Una avioneta pequeña vuela a 150km/h si hayquietud en el
' aire. Q ué curso tendrá que seguir elpiloto cuando hay viento
de 25 km/h que sopla desde el suroeste , y que tiempo tardará en llegar a su destino
situado a 200 km al norte.
Solución.S e a V I el vector velocidad de la avioneta y
V,el vector velocidad del viento . Entonces :
V , = 150(0, 1) = 2 5 (0 ,6 >
V, = 25 (C os 45° , Se n 45°) ^2)
La velocidad resultante de la avioneta es
V = V, + V, = ^ (2 , 12 + V2)
12 + 2
y su dirección : Tg a = — -j=— -
Luego , p = 90° - 63° 14’ = 6o 46’
= 9.46 => a = 63° 14’
Sección 1.15: Los vectores y la Física 119
Por lo tanto , el curso que debe seguir el piloto e s : Norte 6o 46’ Oeste.
Si I !V = =p V(V2): + (12 + 2): = 25 ^37 + 6V2 = 25(6.7) km/h , el tiempo que tardará
en llegar a su destino es :
t =
200 8
II V il 25(6.7) 6.7
= — = 1.2 horas
Cjemplo 4 ] Un automóvil recorre 3 km hacia el Norte y luego 5 km hacia el
Noreste. Representar y hallar el desplazamiento resultante del
recorrido.
Solución. En la Figura 1.157 :
—>
A P = a representa el desplazamiento de 3
km hacia el norte.
PQ = b representa el desplazamiento de 5 km hacia el
noreste
—>
AQ = c representa el desplazamiento resultante del re
corrido , es d e c ir: c = a + b
Las com ponentes de cada vector son :
a = 3 (C os 90°, S e n 90°) = 3(0 , 1) = (0 , 3)
b= 5 (C os 45° , Se n 45°) = -| (>/2 , S2)
C = ( ¿ V2 , 3 + 4 2 ) = (5V2 , 6 + 5^2)
=> 11c 11 = i- V (5 2 ): + (6 + 5V2)2 = V 3 4 + 15V2 = 7.43 km.
La dirección de la resultante está dada por Tg a = -6 * = 1.846 *=> a = 61° 35’
5V2
Luego , la dirección del vector c queda definido p o r :
Este.61° 35’ Norte. ■
Cjemplo 5 ^ A un maratonista que recorre hacia el Sur-Este a 20 km/h , le
parece que el viento sopla hacia el Este ; pero a un ciclista que
va hacia el Este a 40 km/h , le parece que el viento sopla hacia el Sur. Hallar la
componente de la velocidad del viento en la dirección de un vector que señala la
trayectoria del maratonista.
Solución. Las representaciones de las velocidades se ilustra en la Figura 1.158 ,
donde](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-66-320.jpg)
![120 Capítulo I: Vectores en el plano
V = (x , y) es la velocidad del viento
V m = Velocidad del maratonista
V c = Velocidad del ciclista
Entonces V m= 20 (C o s 45°, -Se n 45°) = <10V2 , -10^2)
V c = 40 (C o s 0o , S e n 0°) = (40 , 0)
Ahora , teniendo en cuenta que : V = V m+ V <paftrti
=> (x , y) = <102 , - I0V2) + 11ÁB 11 (1 , 0) => y = -10V2
Análogam ente :
V . V m <40 , - 10V2) •( I0V2 , - 10V2)
FIGURA 1.158
V = V e + V aparon«e => < X , >') = (40 , 0) + I I B C || (0 , -1 ) x = 40
Luego : C om pV(nV =
11V m11 V ( 10V2): + (-10V2)3
CornpVmV = 10(1 + 22)
Ejemplo 6 J Sobre un sólido puntual en P actúan tres füerzascoplanares
que se muestra en la Figura 1.159. Hallar la fuerza necesaria
que se debe aplicar en P para mantener en reposo al sólido.
Solución. Las com ponentes de cada fuerza son :
F, = 200 (C o s 30° , Se n 30°) = 100 (V3 , 1)
F, = 150 (C os 0o , Se n 0°) = 150 (1 , 0)
F, = 100 (C os 270° , Se n 270°) = 100 (0 , -1)
La resultante es la sum a de estas fuerzas , esto e s :
R = F, + F, + F, = 50 (3 + 2^3 , 0)
t=> 11 R 11 = 50(3 + 2V3) = 323 kg.
Com o se puede o b se rva r, el sentido de R es el m is
mo que F, ; luego la fuerza que se debe aplicar al
sólido puntual para mantenerlo en reposo es - R . es
d e c ir, el vector opuesto a R o a F, ■
FIGURA 1.159
Ejemplo 7^) S e da el siguiente sistem a de fuerza : F, de 50 kg. que actúa
de A(1 , 5) a B(-3 , 8) y F 2 de 65 kg. que actúa de C(-3 , -5) a
D(2 , 7). Hallar la resultante R del sistem a y el trabajo realizado por R al desplazarse
de P(4 , 3) a Q (9 , 5).
Sección 1.15: Los vectores y la Física 121
Solución. A B = B - A = (-3 , 8> - (1 , 5) = (-4 , 3) c=> 11Á B 11 = 5
C D = D - C = (2 , 7) - (-3 , -5) = (5 12> «=> 11CD 11= 1 3
Luego , si F, = rÁ B «=> 11 F, 11 = r||ÁB|| <=> 50 = r (5) « r = 10
F2 = tC D <=> l l F j l = 1 1|C D 11 <=> 65 = t (13) <=> t = 5
Por lo que : R = F, + F, = 10(-4 , 3) + 5 <5 , 12) = 15 (-1 , 6>
El trabajo W realizado por una fuerza F al recorrer un espacio S está definido por la
ecuación : W = F • S (O bsérvese que W e s escalar)
Por lo tanto , si S = P Q = (9 , 5) - (4 , 3) = (5 , 2)
<=> W = 15 (-1 , 6) • (5 , 2) = 105 unidades de trabajo ■
Ejemplo 8 j Un S ó lid o de 100 kg. de p e so
está su sp e n d id o por el centro
mediante una cuerda , tal com o se indica en la Figura
1.160. Hallar la tensión T en la cuerda.
Solución. Se a n 11T, 11 = 11T, 11 = 11T11 , donde las
tensiones y el peso W expresados en fun
ción de su s com ponentes son :
T, = 11T I l (C o s 30°, Se n 30°) = 11T11 (VJ/2 , 1/2)
T, = 11T11 (C o s 150°, S e n 150°) = 11T 11(-V3/2 , 1/2)
W = 100 (C os 270° , Se n 270°) = 100 (0 , - 1)
El sistem a de fuerzas estará en equilibrio si
T, + T, + W = O
«=> 11T 11(V3/2 , 1/2) + 11T 11(-V3/2 , 1/2) = -100 (0 , -1)
de donde: 11T11 (0 . 1) = 100 (0 , 1) I|T|| = lOOkg.
FIGURA 1.160
[ Ejemplo 9 ] Sobre un cuerpo que d es
cansa en un plano inclina
do , actúan tres fuerzas : la gravedad G , una
fuerza N de reacción que es perpendicular al pla
no y una fuerza F de fricción que se dirige hacia
arriba en la dirección del plano. S e define coefi
ciente de fricción u , com o la razón de 11F 11 a
i N I cuando el ángulo i de inclinación es tal
FIGURA 1.161](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-67-320.jpg)
![126 Capílulo 2: Recias en el plano
correspondiente P = (x , y). S i P está sobre W , el vector P - P, e s paralelo al vector
a = P . - P , , entonces podem os escribir
P P ^ t ^ - P . )
o bien
5 ’ : P = P 1 + t ( P 1 - P l) , t e R (1)
El escalar t e s llamado parámetro , por ello a esta ecuación se le llama , ecuación
paramétrica vectorial ordinaria de la recta que pasa por P, y P r
Eje m p lo 1 ) Hallar la ecuación paramétrica vectorial de la recta 2? que pasa
por P,(-3 , 1) y P 2(1 , 4). Trácese un diagrama.
Solución. Un dibujo previo del ejercicio se muestra
en la Figura 2.3. Luego , si
P, = <*3 , 1) y Pj = (1 . 4)
=> P , - P , = <1 ,4 )-< -3 , 1> = <4 , 3)
Por tanto , la ecuación paramétrica vectorial de & ,
según (1 ) es
2?: P = (-3 , 1) + t (4 , 3>, t e R ■
—
-3 0
-
1 '
>
FIGURA 2.3
| O B S E R V A C IO N 2.1 Ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta__________
Si se escribe la ecuación (1) en términos del parámetro t y
de las coordenadas de P ( y P. tenem os
& : (x , y) = ( x , , y,) + t ( ( x , , y,) - ( x , , y ,))
= < x ,, y,> + t<x2-x , , y 2-y,>
= <x, + t ( x , - x , ) , y, + t(y 2-y ,))
Esta ecuación vectorial equivale a las ecuaciones
r x = x + t (x, ■ x )
$ : { , 1 6 «
L y = y, + t (y,- y,)
J
(2)
E stas ecuaciones reciben el nombre de sistem a de ecuaciones paramétricas carte
sianas de la recta que pasa por P, y P,
Ejemplo 2 J O bten er el siste m a d e e c u a c io n e s p a ram étricas c a rte s ia n a s de
la recta que pasa por los puntos P,(-2 , 3) y P 2(5 , 1).
Sección 2.2: Segmentos de recta 127
Solución. S e g ú n la ecuación (2) : x = -2 + t (5 + 2) , y = 3 + t (1 - 3)
r x = -2 + 7 1
de donde ; ¿2?: ^ 2t
son las ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta pedida.
( 2 .2 J S E G M E N T O S D E R E C T A
Si el conjunto de valores permitidos de t se restringe a un intervalo cerrado
[a , b ] , entonces la gráfica de la ecuación (1) es un segmento de recta. En particular
s i :
t = 0 <=> P(x , y) = P ,(x ,, y,)
t = 1 => P(x , y) = P ;( x , . y,)
Por tanto, com o se indica en el Figura 2.4 , a
medida que t recorre el intervalo [0 , 1 ] , el pun
to P(x , y) recorre el segm ento de recta desde
P ,(x,, y,) hasta P ,(x ,, y , ) , de m odo que el s e g
mento de recta P, P, queda definida por la ecua
ción
P,P: = { P € R : |P = P, + t ( P , - P i) , 0 < t < l } (3)
FIGURA 2.4Los dem ás puntos de la recta corresponden a
valores de t tales que , t < 0 y t > 1
Se puede emplear la ecuación (1 ) para calcular las coordenadas de un punto P que
está sobre el segm ento P (P. y que está a una distancia r dada de P, sobre la medida
del segm ento P , P , , esto es
P = P, + r (P, - P f) , 0< r< 1 (4)
Así , en la Figura 2.5 se observa que a medida que r crece de r = 0 a r = I , con
intervalos de longitud 1/5 , los puntos P = P, + r (P, - P :) se desplazan de P, a P, con
la siguiente representación vectorial
A = P, + T ( P : - P . ) C = P, + y ( p , - P,)
b = p i + -t (p 1 - p i) d = p , + t <p . - p .)](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-70-320.jpg)
![128 Capítulo 2: Rectas en el plano
r = 0 r= 1/5 r = 2/5 r = 3/5 r«= 4/5 r = 1
V
P, A R C f) P.
FIGURA 2.5
De esta m anera se pueden ubicar puntos que dividen al segm ento [P ( , P ] en n
partes iguales.
E je m plo 3 } Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del se g
mento de recta cuyos extremos son P,(-3 ,7) y P 2(4 , 1).
Solución. Su p on gam os que S y T sean los puntos de trisección del segm ento P,P„
y que P, - P, = <4, I) - <-3 , 7) = (7 , -6), entonces los vectores de posición
de los puntos de este segm ento*están representados por
r = 1/3 r = 2/3
P = (-3 , 7) + r (7 , -6), r e [0 , I ] o ■ -o o — o
P, S T P:
Para r = 1/3 ^ S = (-3 , 7) + y <7 , -6) = (-2/3 , 5>
y para r = 2/3 <=> T = (-3 , 7> + y < 7 , -6) = (5/3 , 3)
Por lo tanto , los puntos buscados son S(-2/3 , 5) y T(5/3 , 3) ■
^ Eje m p lo 4 ^ Dem ostrar que los puntos ^ p ^ l p j y ^ l p i + £ p j
trisecan al segm ento P ,P 2.
Demostración. En efecto , por definición de segm ento de recta :
P^P: = { P = P i + r (P ;- P i) | r e [ 0 1 1]} (1)
Su p ón ga se q u e : S = y P , + y P , y T “ y P , + y P ,
Luego , podem os e scribir:
S = p, + i - p ; - | p , => S = P 1 + 1 ( P , - P , ) , l s [0, I] (2)
T = p . + T P ; " f P , ~ t = P, + t (P ^ P , ) ' T 6 1 0 ’11 (3)
--^
Entonces , por (1), S y T pertenecen al segm ento P,P,
Sección 2.3: División de un segmento en una razón dada 129
Adem ás de (2) : <7(P,, S) = 11S - P,11 = y 11 P, - P,
3
d(Pt , T) = 11T - P,11 = y l l P j - P ,y de (3):
Por consiguiente , S y T trisecan al segm ento P,P,
y IIP, p,I
} IIP, -p,II
2.3 J D IV IS IO N DE UN S E G M E N T O EN U N A R A ZO N DADA
S e a P un punto cualquiera sobre una recta 2? que pasa por los puntos P, y
P. y que divide al segm ento P,P, en la razón m/n , esto es
P . P _ m
P P, n
Entonces , la ecuación vectorial que define al punto P es :
P = (— ?— ) P, + (— !2L-) P, , m * - n
m + n/ 1 m + n l 2 '
(1)
En efecto , de (1) : P, P = ( ™ ) P P, ■
= ( " ) ( P T P . - m
de donde : (m + n) P.P = m P,P, <=> (m + n) (P - P () = m (P. - P ()
t=> (m + n)P - (m + n)P, = m P , - m P ]
P = (— 2— ) P. + í - ^ 11- ) P, , m * - n
m + n/ 1 m + n/ 1
O B S E R V A C IO N E S 2.2
1 . Si m y n tiene el m ism o signo , es decir ™ > 0 , entonces P es interior al
(5)
segm ento P P,.
2. Si m y n tiene signos diferentes, esto es ™ < 0 , entonces el punto P es exterior](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-71-320.jpg)
![136 Capítulo 2: Rectos en el plano
gráfica de % , 111 es la distancia que separa P, de C
P (Figura 2.12)
En e fecto:
</(P1 ,P ) = l | P - P 1ll = II t a II = l t l lla l l
y com o 11 a 11 = 1 ■=> d(Pt , P) = 11 1
FIGURA 2.12
E je m p lo 5 J Dada la recta V : P = (-1 , 6) + t (1 , 4 ), obtener las coordena
das de los puntos de CJ que están a 2Y7 unidades de distan
cia del punto S(1 , 14).
Solución. En primer lugar veam os de S(l , 14) está sobre c£.
Efectivamente , S - P, = <1 , 14) - <-1 ,-6> = <2 , 8)
«=* (S - P,) •a1 = (2 , 8) •(-4 , 1) = -8 + 8 = 0 . Luego , el punto S está sobre rJ:.
O 4)
Ahora , un vector unitario en la dirección de a es , u = x ’
V17
Com o S € 2', otra ecuación de W e s P = <1 , 14) + t / -J — , - 4 =
'V 17 1 7 '
S e desea hallar las coordenadas de los puntos P(x , y) tales que
Itl = 2 T7 « t = 2 V Í7 O t = -2 VF7
Para t = 2 V17 t=> (x, , y,) = (1 , 14) + 2 V i7 {^7= » = ^
Parat=-2V7=><x,,y!)=<l , I4>-2Í7(-J_ , 4=) =(-1,6)
Por lo tanto , P,(3 , 22) y P,(-l , 6) son los puntos buscados. ,, ■
EJERCICIOS : Grupo 16
En los ejercicios 1 - 3 , diga si el punto S está o no sobre la recta 7' cuya
ecuación paramétrica vectorial se da.
1. S ( 2 , - 1 ) , P = (1 ,2) + t(-1 ,3 ). te R
2. S (3 , 2 ), £ : P = (1 , 1) + 1 (2 . -3), t e R
3. S(-1 . 1), SB : P = <-2 . -3> + 1<1 , 4> . t e R
Sección 2.5: Pendiente de una recta 137
En los ejercicios 4 - 7 , identificar cada uno de los conjuntos en R : dado.
4. {(x , y) I x = 2t + 1 , y = -3t + 4 , t e R } 6. {(x , y) I (-2 , 1) *(x + 3 ,y -4) = 0 }
5. {(x , y) |(1 , 2) + t (1 , 1), t € [ 0 , 1 ] } 7. {(x , y) I <-1 , -5) • <x - 2 ,y) = 0}
8. Hallar la ecuación normal de las rectas
r x = 3 1 c x = -1 + 2 t
a) !B : J , t e R b) c£ : J , t e R
y = 1 + 5t *- y = -3t
En los ejercicios 9 - 1 1 , determinar si las ecuaciones vectoriales dadas corres
ponden a la m ism a recta o no.
9. P = (2 , 1) + t (3 , -1), t e R ; P = <2 ,1) + t <-3 , 1), t e R
10. P = (-1 , -2) + t (-2 , 4 ), t e R ; P = <1, 0) + t <1 , -2) , t e R
11. P = < 2 ,3 ) + t<-1 ,2 ), te R ; P = <1 , 5) + t <2 ,-4 ), t e R
12. Una recta rf pasa por el punto A(2 k -1 ,3) y e s ortogonal al vector v = (2, k + 2);
hallar los valores de k tales que B(7 k , k - 2) esté sobre T.
13. Una recta r£ p asa por el punto S (2 k , 3) y e s paralela al vector v = (3 , - 4/k),
k * 0 ; "hallar los valores de k tales que el punto 24) pertenezca a J2?.
En los ejercicios 1 4 -1 5 , hallar las coordenadas de los puntos P, y P, que están
sobre la recta cuya ecuación paramétrica vectorial se da y que están a la distan
cia dada del punto S dado.
14. Sobre V : P = (4 , -2) + t (1 , 1), t e R ; 3 2 unidades de S(4 , -2)
15. Sobre ÍC : P = (-3 , 2) + 1<2 , -1), t € R ; 2 5 unidades de S(1 , 0)
2.5 J P E N D IE N T E DE U N A R EC T A
Matemáticamente sabem os que el cociente de la altura y la base de un
segmento recibe el nombre de pendiente del segmento. Si designam os esta pendien
te por m , se tendrá entonces que
m = 5«ura
base
Si a = (h , k) es el vector de dirección de una recta 5Pque contiene al punto
P,(x, , y , ) , entonces C1 tiene por ecuación vectorial
V : P = P, + t <h , k) , t e R
Si se le asigna a t el valor de I , vem os que las coordenadas de otro punto P ,(x,, y,)](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-75-320.jpg)
![140 Capítulo 2: Rectas en el plano
Com o 2?, = SP2 <=> Q e &2, y por el Teorem a 2.1 :
Q e £ x <=> ( Q - P ,)lla
Q e X 2 « (Q - P,) 11b
En consecuencia , por transitividad : a 11 b
(<=) Ahora probarem os que si a b «=> .2?, = .2?,
En efecto , siendo Q e .2?, <=> (Q - P.) 11a
ii Y =* Q e %■
<=> ( Q - P . ) l l b J
Por tanto , & x= S&2
. s.
TEOREMA 2.3 S i : P = P, + ta , t e R y «2?2: P = P 2+ s a , s e R : entonces
P ,e .2?. o 5?, =
_________________________ :___ !_____ !____:_______________________ /
Demostración.
(■=>) Probarem os que si P, e J5?, o %x= .5?,
En efecto ,en el Ejemplo 3 de la Sección 1.7 , dem ostram os que si
D = B + C y B 11 A => D 11A <=> C 11A (1)
Luego , partiendo de la siguiente identidad
P P, = (P 2" P |) + ( P - P , )
D B C
y com o por hipótesis P, e r£ => (P, - P,) 11a , por (1 ) implica que
(P - P,) 11a » (P - P,) 11a (2)
Ahora ,siP e .2?, ( P - P , ) lia , y por (2)
<=> (P - P,) 11a => p € á ?2
En consecuencia : <2?, = 5?,
(*=>) S i $ . = $ 2 => P, e £ . . Trivial ■
TEOREMA 2.4 Se a n las rectas 2', : P = P ( + t a , t e R y 2?, : P = P 2+ s b , s
e R , entonces : f£x= 2*, <=> P 2e 2', y a :b
Demostración.
( <=$ ) Probarem os que si SPX= f , => P . e l ', y a I b
En efecto , si .2?, = 2 y dado que P, e .2?, <=> P, e £PX (Teor. 2.3)
Sección 2.5: Pendiente de una recta
I
141
Luego , la ecuación de S¡PXse puede e scribir, & x : P = P 2 + t a , t e R y s i
com param os con la ecuación de J ? , : P = P, + s b , s e R , y aplicando el
Teorem a 2.2 , llegam os a la conclusión de que a !I b.
(<=■) Probarem os que si P, e ,2?, y a 11b ■=> 2?, = .2?,
En efecto , P. e .2?, y el Teorem a 2.3 implican que <#x: P = P2+ t a , t e R
Com parando esta ecuación con la de J2?,: P = P, + sb , usando el Teorem a 2.2
y el hecho de que a 11b , obtenem os : 9! x- f £ , ■
C jcm p lo 3 ) Si r£ xcontienen al punto P,(1 , -5), .2?2contiene a P,(-2 , -3) y 2?
y 2'2tienen am bas al vector a = ( 3 , 2 ) com o vector de dirección.
Coinciden am bas rectas?
Solución. Si SBXy tienen el m ism o vector de dirección entonces son paralelas.
Coinciderán si y sólo si P, y P. están sobre am bas rectas ; esto es
# , = .% , si (P2- P,) II a (P: - P , ) - a x = 0
Entonces : ((-2 , -3) - (1 , -5» • (-2 , 3> = (-3 , 2> • (-2, 3> = 12 * 0
Por lo tanto , 2?, y .2?, no coinciden , es d e c ir, .2? * Z&2 ■
C jem p lo 4 J Determinar la pendiente de las siguientes rectas paralelas
<£y : P = ( x , , x2) + 1(2 , b ) , t e R , b > 0 ;
5?2 : (3 ,-2b)* [P - (-1 , 5)] = 0
Solución. Si a, = <2 , b) es el vector de dirección de (3 X ■=> m = -y
n = (3 , -2b) es el vector normal de 5?,.
S y t 11&2 = * a, • n = 0 <=> (2 , b) •(3 , -2b) = 0
c=> 6 - 2b: = 0 <=> b = V3 ó b = -V3
Por definición de S£x, elegim os b = V3
En consecuencia , la pendiente de las rectas 2?, y &2es , m = V3/2 ■
E je m p lo 5 J Determinar el valor de m + n para que las rectas
^ ^ ^ ^0) + t ( m , 1)1 te R } y 2?z = {(1/m , 0) + s (-2 , n)| s e R}
sean coincidentes.
Solución.Por el Teorem a 2.4 , si & x= <2?, <=> P, e .2?, y a, lia.
Si P, e <£x <=> (P, - P,) • a x = 0 (Corolario del Teorem a 2.1)](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-77-320.jpg)
![142 Capífulo 2: Rectas en el plano
=> « I/m , 0) * <2, 0» •(-1 , m) = 0 <=> - 2 , 0>* <-1 , m) «=> m = 1/2
Si a, ' I a, => a,• a ,-1 = 0 «=> <m , 1) • <-n , -2) = 0
<=> -m n - 2 = 0 , de donde n = - 4
m + n = - 7/2
Ejemplo 6 ] D adas las rectas SPy= {<x + 1 , 4x -1 ) + t(x2+ x , -3x2- 2x + 1)}
y í£2= {<2x + 2 , -2x + 1> + s <-2x2 , 2 x 2 + 2 x ) } . Hallar x € R tal
que 2', y Sf2no sean coincidentes.
Solución. Se a n at = (x: + x , - 3x*' - 2x + 1) y a, = (-2 x *, 2x + 2x) los vectores de
dirección no nulos de y 2>
S i a , * 0 <=> (x(x + l) , ( - 3 x + l)(x + 1)> * ( 0 , 0 ) , implica que : x * - l
a, * 0 <=> <-2x: , 2x (x + 1)> * < 0 , 0>, implica que : x * 0
O sea , no existen 7 y 2*, para x = -1 y x = 0
Su p on gam os que ¿2?, y St sean coincidentes , esto es ,
<¡ex= .2?, <=> P ( € S f y a, II a 2
(P, - P,) • a,x = 0 a a, • a / = 0
Si (P. - P,) •a,x = 0 => (x + 1 , -6x + 2) •(-2x 2- 2x , -2x2>= 0
de donde : x (x - 1) (5x + 1) = 0 ; com o x * 0 x = l ó x = -1/5
Si a, •a,x = 0 =* <x(x + l) , ( - 3 x + l) ( x + l))*<-2x (x + 1) ,-2x 2) = 0
de donde obtenem os : 4x 2(x + 1) (x - 1) = 0 ; com ox* 0 y x * -1 ^ x = l
Luego , (x = 1 ó x = - 1/5) a (x = 1) <=> x = 1
Por lo que , .2? y ,2', son coincidentes si x = 1
En consecuencia, y .2-, son no coincidentes si x e R - {-1 , 0 , 1} H
Eje m p lo 7 J Hallar la ecuación normal de la recta SB cuyos puntos equidis
tan de las rectas 5?, = {(0 , 1) + 1 (4 ,2 ), t € R } y SP2= {(0 , -5) +
r (4 , 2 ), r e R}.
Solución. O bsérvese que a, = a, = 2 <2 , 1)
Luego , si a es el vector de dirección de 7' <=> a = (2 , 1>
Com o S£ es la paralela media de 2? y 2?,, y si P, €2?, , P, e 2?, y Q e 2'
•=> o = y (P, + P :) = y 1(0 » 1) + (0, -5)] = (0 , -2)
Por lo que , la ecuación normal de la recta buscada es SB : ax • (P - Q) = 0
J2?:(-1 ,2) •(P - (0 ,-2» = 0 ■
Sección 2.5: Pendiente de una recta 143
Ejem plo 8 j Establecer el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
1. Existe por lo m enos un k e R tal que «2?, = {(2 ,3) + t (6 k , j - 3 k)} sea paralela
a la recta SP2 : x = 0
2. Si Y a>, = « 3 , - 1 ) + s < - 2 , 2 » => 2 , = 2 ,
3. Existe por lo m enos u n k e R para que S¡C = {{1 , 2) + r(k , 3)} y
Sí = {(7 , 5) + s <1 , - Tj-k)} son paralelas.
4. Se a SBy- {P, + 1 a} un recta no vertical. Si Q, g f , y SB2 = {Q, + s a } , entonces
2?, fl SB2* 0
Solución.
1. Dado que «2?, es una recta vertical , entonces para que .2?, sea paralela a .2?, es
necesario que <2?, se a vertical, esto es
<6 k, 4 -- 3k) II <0, 1) <=> <6 k , -j - 3 k ) •(-1 , 0) = 0 , de donde : k = 0 e R
Luego , la afirmación es verdadera
2. Si i2P, = {(1 , l) + t(l .-1)} y SBZ= {(3 , -1) + s<-2 , 2 » .entonces
SBx= se, « (P, - P,) • a ,-1 = 0 y a,||a,
<=> (2 , -2) • (1 , 1> = 2 - 2 = 0 y a, = -2(1 , -1> = r a, => a 211 a,
Se cumplen am bas condiciones , luego la afirmación es verdadera.
3. Si II .2?, <=> m, = m , e s d e c ir: • ¿ - = - 4 - k < = > k : = - 6 = ^ é k e R
K L
Por lo que 2?, |f ,2'2; luego , la afirmación es falsa.
4. Com o Q, e 2-, , las rectas dadas son paralelas y no coincidentes.
Luego , .2?, D SB, - 0 , por lo que la afirmación e s falsa. ■
Ejem plo 9 ) Se a n los conjuntos : SBy= {P = <-2 + 3 1 ,3 - 1) 11 e R } y
SB2= {(1 , 3) • (P - <1 , 2 » = 0 I P e R 2}Dem ostrar queSByy 2'2
representan rectas y que SBy = SB2
Demostración. En efecto , el conjunto SBXse puede escribir de la forma
2? : P = <-2 , 3) + t(3 , - 1), l e R , que por definición es una recta que
pasa por P ((-2 , 3) y cuyo vector de dirección es a = <3 , - 1)
El conjunto (J es la forma normal de la ecuación de una recta cuyo punto de paso es
P,(l , 2) y cuyo vector de dirección es
b = <l ,3 >-l = ( - 3 , I) => .2?,: P = (1 , 2) + s(-3 , 1), s € R](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-78-320.jpg)
![144
Capítulo 2: Rectas en el plano
O bsérvese que a = -b , esto es , á?, 11 2?,
Ahora debem os verificar que P, 6 y P, e •#,
En efecto , si P, € <=> (P, - P,) * n, = <3 , - 1) •(1 , 3) = 3 - 3 = 0
Entonces , (P, - P,) 11b , luego P , 6 f J t o sea que .2?, c
Si P e <=> (P, - P ;) • n, = <-3 , 1> •<1 , 3> = -3 + 3 = 0
Entonces . (P, - P,) lia . luego P, e , o sea : ^ c ^ ,
En consecuencia , si rl y c 5?, => 5?, = í?, ''■ *
--- -------- ---------------- ----- -----
Definición 2.4 Rectas ortogonales__________________________________________ _ j
D o s rectas en el plano SPt : P = P, + t a , t e R
y CJ P = Q, + r b , r e R , se dice que son ortogonales si y sólo si su s vectores
de dirección son ortogonales. Esto es
ÍJ i ^ , « a i b
l___________________ _________ ____________________' - ; ^ ]
Si m, y m ,son las pendientes de 2 y , entonces su s vectores de dirección
tienen la forma , a, = <1 , m,) y a, = (1 , m ;) . Luego , si
a, 1 a, «• (1 , m,) •<1 , m,> = 0 » l +m, m, = 0
de donde : m, = - ¿ - ó m : = - ^
Entonces , dos rectas no verticales sonperpendicularessiy sólo s i , la pendiente j
de una es el negativo del recíproco de la pendiente de la otra.
^ E j e m p lo 1 0 ^ Dem ostrar que la recta r£ yque contiene a los puntos Q(-1 , -2)
y R(2 , 2) es perpendicular a la recta $ 2 que contiene a los
puntos S(-5 , 7) y T(3 , 1).
Demostración. En efecto , sea a, el vector de dirección de 3?,, entonces
a, = Q R = R - Q = (2 , 2) - (-1 , -2) = <3 , 4)
S e a a, el vector de dirección de 3?,, entonces
a, = S T = T - S = <3 , 1) - (*5 , 7) = <8 , -6>
Puesto que, a, •a, = <3, 4) •<8 , -6> = 2 4 -2 4 = 0 => a, l a , ~ 3?, 1 3?, ■
Eje m p lo 1 1 Sean las rectas : P = P, + 1a ,t e R y 7'2:P - P 2+ r b , r e R,,
donde a = (4 - k , k + 3 ) y b = ( k - 3 , k + 2 ) . S i ^ , 1 7 2y si
Sección 2.5: Pendiente de una recta 145
v = a - ^ b ; hallar la norma de v.
Solución. S i 2 1 3?, o a •b = 0 <=> (4 - k , k + 3) •(k - 3 , k + 2) = 0
<=* (4 - k) (k- 3) + (k + 3) (k + 2) = 0
de donde obtenem os , k = 1/2 . Luego :a = ^4 - J- , -i + 3^ = -y <1 , 1)
b = < I ' 3 ' í +2> = l < '1’ 1>
Por lo que : v = a * y b = y ( l , !)• y { - | , I ) = <7 , 0) «=> ||v|| = 7 ■
Ejem plo 1 2 ] Hallar la ecuación vectorial de la mediatriz del segm ento
R S - {<-1 , 3) + 1<6 , -2), t e [0 ,1 ]}
Solución. C om o el punto P t biseca al segm ento R S
=> P, = <-1 » 3) + -y <6 , -2) = (2 , 2)
El vector de dirección de R S es :
b = (6 , -2) = 2 <3 , - 1)
La mediatriz 3? 1 R S <=> a = b 1 = (1 , 3)
Por lo tanto , su ecuación vectorial es
3?: P = (2 , 2) + t(l , 3), t € R
Ejem plo 1 3 J Hallar la ecuación de larecta c£ que p asa por el baricentro del
triángulo de vértices A(-2 , 3), B(7 , 4) y C(4 , -1) y es perpendi
cular de la recta .5?, = {P, + s(-1 , -2) I s e R}. En qué punto intercepta 3? al eje X ?
Solución. En la Figura 2.15, B D es una mediana
del triángulo A B C , en donde
D = I ( A + C ) = Í < 2 , 2 > = <1 , I)
Si D G = t D B t=> G = D + t (B - D)
es la representación vectorial del baricentro.
Para t = 1/3 (propiedad de las m edianas) tendre
mos que. G = ( l , 1 > + 1 < 6 ,3 > = (3,2> => G(3 , 2)
Si 3* 1 i?, <=> a 1 b ■=> a = (-l , -2>x = (2 , -I)
Por lo tanto , la ecuación vectorial de la recta buscada es](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-79-320.jpg)
![146 Capítulo 2: Rectas en el plano
& : P = (3 ,2) + 1(2, - I ) , t e R
Ahora , com o : <x , y) = (3 + 2 1 , 2 - 1), si y = 0 => 2 - 1 = 0 c=> t = 2
y para t = 2 , se tiene : x = 3 + 2(2) = 7 = > X - in t e r s e c c ió n = (7 ,0 )
Ejemplo 14 J Los puntos P( 12 , 3) y Q (4 , 9) son d os vértices de un cuadrado
P Q R S y también de un triángulo equilátero P Q T , tal como se
muestra en la Figura 2.16. Hallar la ecuación vectorial de la recta RT.
Solución. El problema se reduce a calcular el punto,
de paso R y el punto T.
Luego , si Q P = P - Q => Q P = <12 , 3) - <4 , 9)
= <8 .-6) _
R Q 1 Q P <=> Q - P = Q P 1 <=> R = Q - Q P 1
o. R = <4 , 9) - <6 , 8) = <-2 , 1)
Punto medio de Q P : M = (1 r ^ )
Lado del cuadrado y del triángulo equilátero
M (8 ,6)
llQPlI = V8J+(-6):= 10
Altura del triángulo equilátero : 11MT 11 = 53
QP _ (8 . -6)
1 llQ P II '0
Si M T = T - M =* T = M + 11M T 11 u.
FIGURA 2.16
<=> u, = u ,1 =
<3,4)
=> T = <8 , 6) + (5V3) = <8 + 3V3 , 6 + 4V3)
R T = T - R = <8 + 3>/3 , 6 + 4V3) - <-2 , 1) = <10 + 3V3 , 5 + 4^3)
Por lo tanto , la ecuación vectorial de R T es
R T : L = <-2 , 1) + t <10 + 3V3 , 5 + 4>/3) , t € R
EJERCICIO S : Grupo 17
En los ejercicios 1 - 4 determinar si las rectas cuyas ecuaciones vectoriales se
dan , son : a) paralelas , b) coincidentes , c) perpendiculares , d) oblicuas.
1. i2?1 : P = < 3,-5 ) + t ( 2 f - 3 ) , t e R , : P = <-1 , 1) + r <-6 , 9 ), r € R
2. 2?,: P = <2 , -1) + t (-2 , 6), t e R , % 2 : P = <0 , 1) + r <13 , -39), t e R
EJERCICIOS : Grupo 17 147
3. <2?,:P = <1 , - 2 ) + t < - 2 , - 3 ) t e R , P = <9 , 2 )+ r<4 ,-3), re R
4. : P = <4 , 7) + t <-19 , 5 7), t e R , : P = <3 , 0) + r <51 , 17), r e R
5. Determinar la pendiente de las rectas paralelas
= {P, + 1 <a , 6) 11 € R , a < 0 } y iZ?2 : < 3 a , -2) • (P - <2 , -1 )) = 0
6. Determinar el valor de a + b para las rectas : P = <-1 , 0) + t <-a , 1) y
c/ : P = <1/b , 0) + a <-3 , b) sean coincidentes
7. Hallar la ecuación normal de la recta r/ ' cuyos puntos equidistan de las rectas
^ , = {<-1 , 5) + t <3 , -6) 11 e R } y 2?j= {<5 , -9) + r <7 , -14) |r e R}
8. Sean A(2 , 3) y B(-4 , 7) dos puntos de R :. C uántas de las siguientes expresio
nes vectoriales representa a la mediatriz del segm ento ÁB.
a) P = <2t + 1 ,8 + 3 t ) , t € R c) P = <5 + 2 t , 1 4 + 3 t ) , t e R
b) P = < 2 t - 3 , 4 + 3 t ) , t e R d) P = < 2 t-1 , 5 + 3 1), t e R
9. Hallar la ecuación vectorial de la mediatriz del segm ento
Á B = {<-2 , 3) + t <6 , -4), t e [0 , 1 ]}
10. Los extremos de una de las diagonales de un rombo son S(2 , -1) y T(14 , 3).
Hallar la ecuación vectorial que contiene a la otra diagonal.
11. Determinar el valor de m + n para que las rectas á?,: P = <-1 ,2 ) + 1<m , 2), t € R
y <?2 ={<1/n, 0) + r <3 , - n ) , r e R } , sean coincidentes.
12. Hallar la pendiente de la recta que p asa por el origen y por elbaricentrodel
triángulo de vértices : A(-1 , -4), B(1 , 5) y C(5 , -2)
13. Si 5?, = {<a3 + 3 , - 7 ) + t<1 - a 2 ,a )| te R } y = {<a , 3a - 7) + s<a- 5, 8-3a)
!s e R}, hallar a e N tal que 7!yy (I ’2seanrectas coincidentes.
14. Hallar la ecuación vectorial de la recta quepasa por (-3 , 1) y es tangente a la
circunferencia 7 '= {P e R 2| |f P || = 2 2}
15. Se a n A ( -3 , 2), B , C(-1 , 13) y D los vértices de un rectángulo, tal que Á C es una
de las diagonales y A B es ortogonal al vector v = <4 , -3). H allar:
a) La ecuación vectorial de la recta que contiene a BD. b) Proyf-uÁ C
16. El triángulo A B C está dado por las coordenadas de su s vértices , A(2 , -2) ,
B (6 , 1) y C(-2 , 0). S e necesita :
a) Escribir la ecuación vectorial del lado AB.
b) Escribir la ecuación vectorial de la altura C D y calcular h = 11CD 11
c) Hallar el ángulo 0 entre la altura C D y la m ediana B M
d) Escribir la ecuación de las bisectrices (I y de los ángulos interior y
exterior en el vértice A.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-80-320.jpg)
![UN Capítulo 2: Rectas en el plano
( E C U A C IO N E S C A R T E S IA N A S P E LA RECTA )
2.6 j F O R M A G E N E R A L DE LA E C U A C IO N DE U N A RECT A
La forma general de la ecuación de una recta es
te ; Ax + B y + C = 0
donde al m enos uno de los coeficientes reales A o B es diferente de cero.
En efecto, cualquier vector no nulo que sea per
pendicular al vector de dirección de una recta £
es un vector normal a 2'. En la Figura 2.17 , se
m uestra a una recta Se que contiene al punto
P ,(x,, y,), así com o al vector n = ( A . B ) , normal a
£., donde A y B e R . uno de los cuales es dife
rente de cero. Un punto P(x , y) está sobre 2' si y
sólo si P - P, es paralelo a £, es decir, si sólo si
P - P, es perpendicular a n. Entonces una ecua
ción de íe e s :
(P <=* P . n - P. • n = 0 <=> p . n = P, • n (10)P , ) . n = 0
Puesto que P = (x , y ) , P, = (x ,, y,) y n = <A , B ) , la ecuación se puede escribir de la
forma
(x , y) •(A , B) = (x, , y,) •(A , B) <=> A x + By = Ax, + By,
Dado que x , ,y , , A y B son constantes , el número Ax, + B y , , es también constante,
y podem os denotarlo por -C . S e tendrá entonces que
A x + B v + C = 0 (11)
Com o la ecuación (1 1 ) no contiene vectores se le denom ina también , ecuación
escalar de ZC.
I Nota. Si n = (A , B) es un vector normal a una recta 7, entonces a = (-B , A) es un vector de
dirección de 5?. Por consiguiente la pendiente de iT está dada por
m = - — , si B * 0
B
Ejemplo 1 J Hallar la ecuación general de la recta que contienen al punto
R(-3 , 2) y que tiene a a = (1 , -2) com o vector de dirección.
Solución. U sarem os dos m étodos para resolver el problema
1. Dado que a = (I ,-2) ■=> n = a1 = (2 , 1)
Ecuaciones cartesianas de la recta 149
Si P(x , y) es el punto genérico de la recta 2-, entonces
( P - R ) « n = 0 o [<x , y) -<-3 , 2>] •<2 , 1) = 0
« (x + 3 , y - 2) *(2 , 1) = 0
de donde obtenem os , J2?:2x + y + 4 = 0
2. Si a = (-1 , 2) => n = (2 , 1) = (A , B) <=> A = 2 y B = 1
Entonces en la ecuación (11), W : 2x + y + C = 0
Com o R(-3 , 2) e SP <=> 2(-3) + (2) + C = 0 <=> C = 4
<e: 2x + y + 4 = 0 ■
| O B S E R V A C IO N E S 2.5
a) Puesto que los vectores n, = (A , B) y n, = (-B , A) son perpendiculares, y si son
respectivamente norm ales a las rectas .2?, y .2?,, se tiene que las ecuaciones de
la forma
A x + B y + C = 0
- B x + A y + k = 0 (12)
donde A o B es diferente de cero , son ecuaciones generales de dos rectas que
son perpendiculares.
b) Si n = (A , B) es un vector normal a una recta .2?, entonces e s también normal a
cualquier otra recta paralela a <£. Esta propiedad se indica por las ecuaciones
A x + B y + C = 0
A x + B y + k = 0 (13)
donde A o B e s diferente de cero.
Ejemplo 2 ] Hallar la ecuación general de la recta que pasa por A(1 , 3) y
es perpendicular a la recta 2?, : 2x - 5y + 7 = 0
Solución. La ecuación (12) establece que la recta buscada tiene por ecuación
<£: 5x + 2y + k = 0
Como A(l , 3) €te <=> 5(l) + 2(3) + k = 0 , de donde obtenem os : k = -11
s e : 5x + 2y -11 = 0 ■
Ejemplo 3~} Hallar la ecuación general de la recta que pasa por S (-6 , 2) y
es paralela a la recta 5?, : 5x + 6y - 9 = 0
Solución. Por la ecuación (13), la recta buscada tendrá por ecuación
JZ'; :5 x + 6y + k = 0 (1 )
Ahora , si S (-6 , 2) e => 5(-6) + 6(2) + k = 0 , de donde , k = 18
Por lo que , en (1), tendremos , 2?,: 5x + 6y + 18 = 0 ■](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-81-320.jpg)
![152 Capítulo 2: Rectas en el plano
se obtiene
y ' 0 = (¡jT j)(* ' a) ** bx + ay =ab
Dividiendo am bos m iembros entre a b resulta
Esta es la ecuación abscisa y ordenada al origen de la recta r/'.
Eje m p lo 7 ] Hallar la ecuación de la recta cuya a b scisa y ordenada al
origen sum an -1 , y que pasa por el punto S(2 , 2)
2 . 1 0 I F O R M A S I M E T R I C A
(1)
Solución. S e a la recta buscada , 9} : — + = l
a b
Si S (2 , 2) e 9 <=> -=‘ + _ r = I <=> 2a + 2b =a ba
Dado que a +b = -1 , entonces : b = -1 - a (2)
Resolviendo (1 ) y (2) obtenem os : a, = -2 , a , = l ; b{= 1 , b, = -2
Por tanto , hay dos soluciones : + -y = 1 ó y + - ^ - = l
<=> ,2?,: x - 2y + 2 = 0 ó 22?,: 2x - y - 2 = 0 ■
D ada la ecuación paramétrica vectorial de una recta
9 : P = P ( + ta , i e R
las com ponentes h y k del vector de dirección a = (h , k) recibe el nom bre de
números directores de 'I'.
Si P,(x, , y,) es un punto de 9 , entonces una ecuación paramétrica vectorial de la
recta es :
<x , y) = <x, ,y,> + t< h , k>, t e R
de donde se obtienen las ecuaciones param étricas cartesianas
x = x, + Ih , y = y ( + tk
despejando t de cada una de estas ecuaciones obtenem os
x - x, y - y,
(18)
La ecuación (18) recibe el nombre de forma simétrica de la ecuación de una recta.
Ecuaciones cartesianas de la recta 153
Ejem plo 8 J Hallar la ecuación de la recta 9-, en su forma simétrica que
pasa por los puntos S(-1 , 3) y T (4 , -3)
Solución. Un vector de dirección de 9' e s a = S T
c=> a = <4 , -3) - (-1 , 3) = (5 , *6)
Por lo que el par de núm eros directores son : h = 5 y k = -6
Sustituyendo a x, e y , , en la ecuación (18), por las coordenadas del punto S o T , se
tiene:
x + 1 _ >’ ~ 3 • x - 4 _ y + 3
5 -6 5 - 6
Se puede verificar que cada una de estas ecuaciones representa a la m ism a recta
reduciéndolas a su forma general. ■
| O B S E R V A C IO N E S 2.6 D ada una ecuación general para una recta 9 1se puede
escribir una ecuación equivalente en forma simétrica iden
tificando un punto P,(x, , y,) que está sobre la gráfica de 9 :A x +B y + C = 0 , y
notando que el vector a = <-B , A) es un vector de dirección de lagráfica.Por lotanto,
se tiene que la ecuación de á? en forma simétrica es
x - x, = y - y ,
-B A
(19)
E je m plo 9 J Hallar la ecuación en su forma simétrica que sea equivalente
a la ecuación r£ : 2x + 5y -1 0 = 0
Solución. R esolvem os la ecuación 2x + 5y - 10 = 0 asignándole un valor a x , por
ejemplo , x = -5 , se obtiene : 2(-5) + 5y - 10 = 0, de donde , y = 4 ; luego
P(-5 ,4) e s un punto de la gráfica de la ecuación dada. Com o A = 2 y B = 5 ,e l vector
a = (-5 , 2) es un vector de dirección de 9'. Por tanto , la ecuación en su forma
simétrica es
cp • x + 5 _ y - 4 uj, . $ - 2
| O B S E R V A C IO N 2.7 S e puede emplear los núm eros directores h y k deuna recta
9 para determinar otra formasimétricaenfuncióndelos
ángulos directores a y p (Figura 2.20).
En efecto , recordem os que la pendiente m = k/h , entonces a se puede determinar
a través de la ecuación
t 9 « = !
y com o a= (h , k) = (-B , A) es el vector de dirección de la recta 9': Ax + By + C = 0,](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-83-320.jpg)
![154 Capítulo 2: Redas en el plano
entonces si B * 0 , el ángulo de dirección a está
dado por T g a = - - § - , 0 ° < a < 1 8 0 °
B
Si en la ecuación (14) sustituimos m = T q a = ^ en “
s C o s a
tendremos
y - y , = Ü ^ < *-*,>C o s a
Pero com o p = 90 - a «=> C o s p = C o s (90 - a) = S e n a
Por lo que :
C o s p
y ' y ’ = c ^ ( x - x ' ) ~
9 :
X - X,________ y - y.
C o s a C o s p
(20)
Ejemplo 10 ^ Hallar la ecuación simétrica de la recta que pasa por S(-5 , 3),
y cuyo ángulo de dirección a se a 60°.
Solución. Si a = 60° => p = 30°, luego , los co se n o s directores de la recta 7' son:
C o s a = 1/2 y C o s p = V3/2
Por lo tanto , si sustituimos las coordenadas de S en la ecuación (20) obtendremos
<j? : x± 5 = y i 3 . m
1/2 V3/2
----{ M IS C E L A N E A DE E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S ) —
Ejemplo 1 J D ados los puntos P ,(-2 , 3) y la recta 2?: 3 x - 4y + 8 = 0 , hallar
a) El punto P que es la intersección de ^ c o n la recta que
p asa por P, y es perpendicular a 2'.
b) El punto P2tal que el punto P divide al segmento orientado P,P, en la razón r = 3/2.
Solución, a) S e a <2?, la recta que pasa por P, y es perpendicular a 7'. S i n = <3 , -4)
e s la normal a íC, entonces n, = (4 , 3) es la normal a 7 , por lo que
su ecuación general lo obtenem os a partir de la ecuación (10) , esto e s :
P * n , = P, * n, => (x , y> •(4 , 3) = (-2 , 3) •<4 , 3)
<=> 4x + 3y = -8 + 9 <=> : 4x + 3y - l = 0
$ D 7 = (3x - 4y + 8 = 0) fl (4x + 3y - l = 0) = P(4 , 5)
Miscelánea de ejemplos ilustrativos 155
b) Si = — = | ^ p = (— 0— ) P, + ( - H L _ ) p. (Ec. (5))
' p p , n 2 'm + n ' 1 'm + n ' 2
= > < 4 . 5 > - ( j | i )<-2,3> + (t | i ) P ,
de donde obtenem os P, = (8 , 19/3) <=> P ,(8 , 19/3)
Ejemplo 2 J C alcular el área del triángulo form ado por la mediatriz del
segm ento A B = {<-1 , -1) + r <6 , -4) , r [0 , 1]} y los ejes
coordenados.
Solución. El punto de paso de la mediatriz es el punto medio del segm ento A B ,
esto e s : M = (-1 , -1) + y (6 , -4) = (2 ,-3)
Un vector paralelo a la mediatriz es (6 , -4y- = 2 (2, 3), luego su ecuación vectorial es,
SP : P = <2, -3> + 1(2 , 3>, t € R => & : (x , y> = <2 , 2 t , -3 + 3t>
La abscisa en el origen lo obtenem os haciendo -3 + 3 1= 0 « t = 1
Entonces , para este valor de t : a = 2 + 2(1) = 4
La ordenada en el origen lo obtenem os haciendo : 2 + 2t = 0 <=> t = -l
c=> b = -3 + 3 (-l) = -6
Por lo tanto , si S = a (A A B C ) = 4 -ab <=> S = (4) (-6) | = 12 u2 ■
1 Ejemplo 3 ] Em plee el método expuesto en el Ejemplo 5 de la Sección 2.4
para calcular las coordenadas de los vértices del triángulo
cuyos lados tienen los puntos m edios R(-3 , 1) , S(2 , 3) y T(1 , -1).
Solución. Recuerde que el segm ento cuyos extremos son los puntos m edios de
los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado del triángulo , y que
su longitud e s la mitad de la longitud del tercer lado.
Luego , si T S = S - T = <2 , 3) - (1 , -1> = (1 , 4)
un vector unitario en la dirección de T S es
= T S (» .4)
TS llT S H V 17
y s i A B Ü T S ■=> A B = r ( l ,4)
Una recta que contienen a los vértices A y B es
S?,: P = R + r u TS = (-3 , l> + r
Dado que I r i es la distancia que separa a A de R FIGURA 2.21
(1)](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-84-320.jpg)
![Capítulo 2: Rectas en el plano
EJER C IC IO S: Grupo 18
1 . Hallar los valores de k para que la recta fl?: (4 ,1) • [P - ( , 4)] = 0 , forme
con los ejes coordenados un triángulo de área S = 8 u2.
2. Em plee el método expuesto en el Ejemplo 5 de la Sección 2.4 para calcular las
coordenadas de los vértices del triángulo cuyos lados tienen los puntos me
dios R(0 , 5), S(2 , 3) y T(-3 , -3).
3. Calcular el área del triángulo formado por la mediatriz del segm ento
A B = {<-1 , 3) + r <6 , -2), r e [0 , 1j } y los ejes coordenados.
4. C alcular el área del triángulo O A Q si 11 O A 11 = 5 , : P = r <4 , 3 > , r e R ,
7'2: Q = (2 , 5) + s (4 , 3), s e R ; donde O es el origen de coordenadas . A y Q
puntos del primer cuadrante sobre las rectas y respectivamente.
5. D a d o s los puntos m edios de los lados de un triángulo : R (2 , 1 ) , S (5 , 3) y
T(3 , -4) , hallar las ecuaciones cartesianas de su s lados.
6. Se a el triángulo A B C , donde el lado A C mide 3 1 0 unidades y se encuentra
sobre la recta rI ‘ : x + 3y + 2 = 0 . S i el ortocentro del triángulo es H(3 , 5) y
ProyA0BH = ^ (7 , 1), hallar los vértices del triángulo.
7. A , B y C son vértices de un triángulo de área 16 u2. A(-2 , -1), B(5 , 2) y C está
sobre la recta r£ y: (1 ,1 ) • [ P - <2 , 1)] = 0. Hallar el vértice C.
8. D ados los vértices de un triángulo A (1 , -1 ), B (-2 , 1 ) y C(3 , 5), hallar la ecuación
vectorial de la perpendicular bajada desde el vértice A a la m ediana , trazada
desde el vértice B.
9. D ados dos vértices de un triángulo A(-10 , 2) y B (6 , 4 ), cuyas alturas se cortan
en el punto H(5 , 2 ), hallar: a) La ecuación de la recta A C , b) El vértice C.
10. El área de un triángulo es S = 4 u2 ; dos de su s vértices son los puntos A(2 . 1)
y B ( 3 , -2), el tercer vértice C está situado en el eje X. Hallar la ecuación normal
de la mediana que pasa por C.
11. El área de un triángulo es S = 8 u2 , dos de su s vértices son los puntos A(1 , -2).
B(2 . 3) y el tercer vértice C , de ordenada positiva , está en la recta 7 : 2x +
y - 2 = 0. Hallar la ecuación vectorial de la recta que por C y es perpendicular
a la recta 7.
12 . Se a n las rectas 7 - {(x , y) e R-|2x - y = 5} y 7'2= {C + t <11 , 2)} ; A(9 , 13) e
fJ , C(25 , -3) y el punto B e 7 D 7'2. Hallar la ecuación vectorial de la recta 7
que contiene a la bisectriz del ángulo A B C
n p u c n c i o n »
D E ( f l R E C T A
2 A ) D IST A N C IA DE UN PUNTO A U N A RECT A DADA
D ada la recta cuyo vector de direc
ción es a , y dadas las coordenadas de P y de
algún punto P, sobre S£, entonces la distancia
de P a la recta J2?, denotada por d[P , 3 !), e s la
norma de la proyección del vector P - P, en la
dirección de la normal n. (Figura 3.1) Esto e s :
d{P ,£ ) = II Proyn(P - P.) 11 = I C om pn(P - P,) I
d{P , SB) =
I(P - P,) • n I
(1)
yj
— ^
kn _X)
/
oc
FIGURA 3.1
La distancia que separa a P de 7' no depende de la elección de un punto
particular P, de 5?. En efecto , tom em os dos
puntos P, y P, sobre SB. En la Figura 3.2 se
observa que
P - P 1= (PI - P I) + ( P .P 2)
Multiplicando escalarmente am bos m iem bros
por n se tiene :
(P - P,) • n = (P, - P,) • n + (P - P2) • n
= 0 + (P - Pj) • n
. (P -P .)-n (P - P2) * n
llnll
FIGURA 3.2](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-88-320.jpg)
![164 Capítulo 3: Rectas en el plano
Ejemplo 1 ) Hallar la distancia que separa al punto P(4 , -2) de la recta $
que pasa por T(5 , -3) y cuya pendiente e s 1/2.
Solución. Si m = 1/2 ■=> a = <2 , 1) es el vector direccional de 2?, y n = a1 = <-I , 2)
es su normal.
El vector que va de P a T es : PT = <5 , -3) - (4 , -2) = <1 , - 1)
Luego , por la fórmula (1):
|(1,-1>«(-1,2>| _ I -1 - 2 1 _ 3 -
V5
d (P , £) =
11<-1 , 2) 11 V5
i Nota. Para hallar una fórmula que permita calcular la d(P , 7) cuando la ecuación de 2 está
dada en la forma general Ax + Bx + C = 0 , se procede de la siguiente manera.
Sup ongam os que P(x0, y0) y P ,(x,, y,) => P - P, = <x0- x, , y0- y,>, y n = <A , B).
Si sustituimos las com ponentes de estos vectores en la fórmula (1) se tiene :
,kp o> = U xq -x, ,y 0- y , ) - { A , B)| = l A x 0- Ax, + B y 0- By, l
A : + B 2 VA 2+ B 2
I A x 0 + B y0 - (Ax, + By,) I
VA2+ B 2
Com o P,(x, ,y ,)€ 5? ■=> Ax, + By, + C = 0 <=> C = - (Ax, + By,)
d(P,SB) =
A x 0+ B y n + C
V A 2+ B :
(2)
Ejemplo 2 ) Hallar la distancia del punto P(-2 , 5) a la recta r£ :5x - 12y - 8 = 0
Solución. Dado que A = 5 , B = -12 y x0= - 2 , y n= 5 , haciendo uso de la fórmula (2)
tendremos :
//(p _ l 5(-2) - 12(5) - 8 1 _ 1 -1 0 -6 0 -8 1 u
V(5)2+ (-12)2 13
Ejemplo 3 J Hallar el valor de k tal que el puntoP(2 , k) se a equidistan
te de las rectas cu y a s e cu a cio n e s so n á?, : x + y - 2 = 0 y
3% : x - 7y + 2 = 0
Solución. S e debe verificar que d (P , #',) = d[P , .5?,)
Entonces , por la fórmula (2) se sigue que :
Sección 3.1: Distancia de un punto a una recta dada 165
12 + k - 2| _ |2 - 7k + 2 I I k | _ 14 - 7k
<=>
V l T l V T + 4 9 V2 5Í2
=> 5 1k I = 14 - 7k I <=> k = 1/3 ó k = 2
Ejemplo 4 ] Obtener las ecuaciones de las rectas que sonparalelas a la
recta r£ : 3x - 4y + 10 = 0 y que están a 5 unidades de .2?.
Solución. El problema se puede resolver por dos m étodos
Método 1. Por familia de rectas paralelas, que en este caso tienen la forma
¿ : 3 x - 4 y + k = 0 (1)
Como todos los puntos de Sí' equidistan de t , podem os elegir un punto cualquiera
de 2?, dando una solución para 3x - 4y + 10 = 0.
Por ejemplo , para x = 2 i=> 3(2) - 4 y + 1 0 = 0<=> y = 4; luego P(2 , 4) e í£
Entonces , si d(P , 2?) = 5 <=> ■ t ^ ^ = 5
de donde obtenem os : I k - i o l = 2 5 <=> k = 35 ó k = -15
que sustituidas en (1 ) obtenem os las ecuaciones buscadas , esto es
f : 3x - 4y + 35 = 0 ó ( : 3x - 4y - 15 = 0
Método 2. E s el método directo , que consiste en lo siguiente :
D adas dos rectas paralelas : A x + By + C, = 0 y SC : A x + By + C, = 0
d ( 7 , = 1 C ,_ C :i
V A 2+ B1
(3)
L u e g o , si S£: 3x - 4y + 10 = 0 y t. : 3x - 4y + k = 0 son d os rectas paralelas , entonces
por la fórmula (3) : ^k ~ 10* = 5 c=> | k - 1 0 1 = 2 5 <=* k = 35 ó k = -15
V32+ 42
f : 3 x - 4 y + 35 = 0 ó / : 3 x - 4 y - 15 = 0 ■
Ejemplo 5 ) Los puntos A ( x , , y,) y B (x2 , y 2) sobre la recta
r£ : 5x - 12y + 15 = 0 , distan 3 unidades de la recta
: (3 ,4 ) • [ (x , y) - < 0 ,3 ) ] = 0 . Hallar el valor de x, + x2
Solución. En r£ xse tiene : n = <3 ,4) y P ,(0, 3). Si P(x , y) e S£ <=> d(P, c£ ) = 3
0 s e a : l i P l P . ) : ni . 3 ^ l ( x . y - 3 ) - < 3 . 4 ) | . 3
11 n I V á Ñ T 2](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-89-320.jpg)
![166 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta
de donde obtenem os : 13x + 4y - 1 2 1 = 15 <=> 3x + 4y - 12 = 15 ó 3x + 4y - 12 = -15
o 3 x |+ 4 y , = 27 ó3 x ,+ 4y, = -3 (1)
Com o A , B e '21 ■=*5x, - 12y, = -15 ó 5 x ,-1 2 y 2= -15 (2)
Eliminando y, ey, del sistem a de ecuaciones (1) y (2) obtenem os
x, = 33/7 y x, = - 12/7 => x, + x 2= 3 M
E je m plo 6 ] Hallar el perímetro del triángulo equilátero A B C , si A(-1 , 3)
sabiendo que el lado B C está contenido en la recta
2 ?= {(-2 ,-4 > + t ( 4 , 3 ) | t e R }
Solución. En un triángulo equilátero
Perímetro del A A B C : 2 p = 3 P. <=> 2 p = 2V3h (1)
h - w . j ) - l< A ' P il ; n l
IIn II
S í A = (-1 , 3>, P, = <-2, -4) y n = <4,3>± = <-3,4>
^ h . K l . 7 ) - ( - 3 . 4 > j =5
V(-3)2 + 4*
Por tanto , en (1), el perímetro es : 2 p = 10 V3 ■
Eje m p lo 7 J Las rectas y 2'2son paralelas , siendo a el ángulo de incli
nación. S i p asa por P,(a , b) y p asa por P2(h , k ) , hallar la
distancia entre las rectas en términos de a y los puntos dados , si
Solución. La pendiente de am bas rectas es
m = Tg a = | ® í i a
a C o s a
L u e g o ,si a = ( C o s a . S e n a ) e s el ve c to r
direccional , e ntonces el vector norm al e s
n = (-Sen a , C o s a). El vector que va de P, a P,
e s V = P J- P 1 = ( h - a , k - ¿ )
Por lo que : d(HP , =I Com p V I = -,7- -
d( CI , á?,) =
I (h - a , k - b) •(-Sen a , C o s a) I
'S e n :a + Cos-'a
d( 5?, , 2>,) = I (a - h) Se n a + (k - b) C o s a I
FIGURA 3.4
Sección 3.1: Distancia de un punto a una recta dada 167
Ejem plo 8 J Hallar el punto simétrico al punto Q(-2 , -9) respecto de la
recta f£ : P = (4 , 6) + 1(5 ,.-2), t e R
Solución. De la ecuación de la recta T se tiene : P ,(4 , 6) y a = (5 , -2).
Un vector unitario en la dirección de la normal n = a 1 = (2 , 5) es :
n (2 ,5 )
u =
Il n II V29
Si V = QP, ==> V = (4 , 6) - (-2 , -9) = 3 (2 , 5>
«=> d(Q , &) = = |3(2 ’ "--Z i =^-— = 3V29
11n 11 V29
QP = P - Q c=* P = Q + Q P = Q + 2d{Q , 2') u
P = <-2,-9> + 6 V 2 9 ( - ^ = ¿ ) = (10,21>
Por lo tanto , el punto buscado e s P(10 , 21) ■ FIGURA 3.5
Ejem plo 9 ^ D a d a la recta X : P = (-4 , -10) + t (5 , 12), t 6 R , y el punto
A ( 7 + 12 n3 , 1 6 ' ) , hallar dos puntos B y C sobre í ? , que
que unidos con A formen un triángulo equilátero. Calcular el área de dicho triángulo.
Solución. Si a = (5 , 12) es el vector direccional de
X , entonces n = (-I2 , 5) es el vector
normal y si P, (-4 , -10) es el punto de p aso , su
ecuación general lo obtenem os de
P •n = P, • n <=> (x ,y> . (-12, 5) = (-4 ,-10). (-12,5)
<=> 5?: 1 2 x - 5 y - 2 = 0
La altura del triángulo es : h = d(A , 2')
16(7 + 12V3)- y (16 - 5 V 3 )- 2| _ o V 3
h _ V(12)~+(-5y ~ ~ 2 ~
y com o: h = => / = 1 3
Un vector unitario en la dirección de 2' e s : u = —
(5, 12)
13
Luego: A H = ||A H II ir1 c=> H = A + h u x = A + ( 1 ^ 5 ) = ( j , 8>
H C = 11 H C llu <=> C = H + (-y) “ = < T . 8> + ( y ) ^ - j T ^ = <6 • l4>](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-90-320.jpg)
![170 Capitulo 3: Aplicaciones de la recta
«=» B ’= <11 , 5) - 2 (3V5) = <5 , -7)
5
Ecuación cartesiana de A B ’ : y - 5 = - 1) <=> Á B ’ : 3x + y - 8 = 0
(x + 2y - 6 = 0) D (3x + y - 8 = 0 ) = T (2 , 2) ■
EJER C IC IO S: Grupo 19
1. D esde el punto P (1 ,2 ) se trazan dos lados de un triángulo equilátero cuya
base se halla en la recta V - {<0 , 1> + 1<-3 , 1>| te R }. Hallar el perímetro de
dicho triángulo.
2. Si 2?, : 2 x - 5 y + 7 = 0 , 0 2 : P = <1 ,3> + t<-1 ,4 ), te R , Z'3= {P I<x - 2 , y + 1>*
<-3 , 1) = 0} y si d, =d{O , 7) ,d 2=d(O . 7 2) y d3=d (0 , 7' 3) , hallar el valor de
3. Hallar el valor de k tal que el punto P(k , 4) se a equidistante de las rectas
: 13x - 9y - 10 = 0 y : x + 3y - 6 = 0
4. La distancia del punto P(7 , 1) a la recta <B= {<2 , 1> + 1 a I te R } e s 2. Hallar
la pendiente de .5?, sabiendo que es positiva.
5. S e a k un número real diferente de cero , P,(2 , 1) un punto y
5?,: k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 , x - 2ky + 7 = 0 , rectas ortogonales. Hallar
</(P,. ^ M í p , , * , ) .
6. Se a n las rectas rJ : 2x + 3y + 4 = 0 y 7 Z : 3x + 4y - 6 = 0. Hallar los puntos de
7‘ que distan 2 unidades de c£ 2.
7. Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a <J.’ : <3 , 4) • [P - <3 , -1>] = 0 ,
distantes 2 unidades de ésta.
8. Hallar el simétrico del punto Q(4 , 8) con respecto de la recta 7 ' : x - y +2 = 0
9. S e a A B C un triángulo isósceles de lados iguales A C y BC. Si A(5 , 2 ), B(13 , 8),
2’ = {P, + t a 11 e R } contiene a los puntos m edios de los lados A C y B C ,
11 A C I i = 5 5 ; hallar la distancia de P,(-12 , -9/2) a la recta que contiene al
lado B C del triángulo.
10. D e sd e el punto A(2 , -3) se traza una perpendicular a la recta 7 ' : 3x - 4y = 0.
A qué distancia se halla dicha perpendicular del punto P (6 , 5).
11. Dem ostrar que la distancia entre las rectas paralelas 7 : A x + B y + C, = 0 y
Sección 3.2: Intersección de rectas 171
7 2 : A x + B y + C = 0 e s ;
12. Hallar los valores de k de modo tal que la distancia del punto P(-3 , 2) a la recta
7' 5x - 12y + 3 + k = 0 sea igual a 4 unidades.
13. Hallar la ecuación vectorial de la recta 7 cuyos puntos se encuentran a un
tercio de la distancia entre las rectas : 2 x - y + 9 = 0 y 72 2x - y + 3 = 0 , si
la distancia es medida desde la recta 7', .
14. Hallar dos puntos A y B de la recta 7 x + y -8 = 0, tales que si C (6 + 3'3,2 + 33),
el triángulo A B C resulta equilátero , y encontrar su área.
15. S e a el cuadrado A B C D , donde B y C pertenecen a la recta
7 : <-3 , 4) • [P - <3 , 9>1 = 0 y A(2 . 2). Hallar las coordenadas de los otros
vértices si se sabe adem ás que xc < xB y xB < xA.
16. Jaimito tiene que ir desde un punto A(1 , 6) hasta el punto B(5 , 10) pero
pasando por el río que se halla en la recta 7': P = <1 ,2) + 1(3 ,1 >, t e R ; ubicar
un punto T en la orilla del río de m anera que Jaimito recorra la mínima distan
cia.
17. Las rectas : P = (1 0 ,2 0 ) + 1<1 , a ) , t e R ; # 2 : P <10 , 20) + r (1 , -a ), r € R
intersecan al eje X en los puntos A y B respectivamente. Si la distancia entre
A y B es 30 , hallar la distancia del punto A a la recta 7 r
{ 3 . 2 j IN T E R SE C C IO N DE RECTAS
Sa b e m o s que si 7 y 7 son dos rectas no paralelas en R : , entonces se
intersectan en uno y solamente un punto.
En efecto , sean las rectas no paralelas
5?, = {P, + l a !t e R } y 7- {Q, + sbIs e R }
Si 7. y 7 no son paralelas implican que a
y b no son paralelos. Entonces existen nú
meros t y s tales que
Q P = Q P + PPi i i
O sea
P, -Q, = s b+ t a t=> P - 1 a = Q, +s b
D * . . » n o ^ U FIGURA 3.10
Por tanto , el punto P = P - i a = Q 1 + sb
pertenece tanto a 7 como a 7 , y es el punto de intersección de 7 y 7](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-92-320.jpg)
![174 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta
Eje m p lo 5 ) Se a A B = {P e R J|P = <3, -5) + 1<-6, 4 > , t [0 ,1 ]}. Determinar el
punto de la recta = {(1 ,-3> + t<-7,2>|te R } que equidiste de
los puntos A y B.
Solución. Los puntos que equidistan de A y B se encuentran en larecta 7 , , me-
diatriz del segm ento AB. Luego , el punto pedido I se halla enla inter
sección de 7 con la recta dada SP.
El punto medio del segm ento A B es : M = (3 , -5) + (-6 , 4) «=>M (0 , -3)
El vector normal al segm ento A B es n = (-6 , 4)1 = (-4 , -6) = -2(2 , 3)
Com o el vector direccional de la mediatriz a , es paralelo a n <=>a= <2 , 3)
Por lo que , la ecuación vectorial de la mediatriz es 2?l = {<0 ,-3) + s <2 , 3) I s e R}
Si I e .7- D <5?, <=> 3 l , s e R , tales que
I = <l ,-3 > + « -7 ,2 > = <0,-3> + s<2,3> (1)
=* t(-7 , 2) - s (2 , 3) = (-1,0)
=> t(*7 , 2>- (-3 , 2) = <-1 , 0>- (-3 ,2) t = 3/25
Sustituyendo en (1): i = <i , -3) + J L <-7 t 2) =* I (4/25 , -69/25) ■
C jem plo 6 ) Sean las rectas 7 : P = (1 , 2) + 1(1 . -2), t e R ; T 2 : P = (a ,2a) +
s b . s e R . S i ^ 2± 5?,y(5?2n 7) f| (Eje Y) * 0 , hallar tí.
Solución. S i =2?, _L 2? => se2: P = (a , 2a) + s<2 , 1>, s e R
En 2?,: (x , y) = (l , 2) + t(l , -2) <=> { y l '» - ^ t
Si x = 0 <=> l + t = 0 «=> t = -l ; luego , y = 2 - 2(-l) = 4
Por tanto , 7't intercepta al eje Y en el punto P(0 , 4)
Dado que , (J2?, f| 2 ) f| (Eje Y ) * 0 <=> P ((), 4) e 7
=0 (0 ,4) = (a , 2a) + s(2 , 1)
Multiplicando escalarmente am bos m iem bros de esta ecuación por <2 , I)-1 obten
drem os lo deseado , esto es
(0 , 4) •(-1 , 2) = (a , 2a) • (-1 , 2), de donde : a = 8/3 ■
E je m plo 7 J En la Figura 3.11 se tiene la recta : x + 2y - 16 = 0 y la recta
7 2 que es perpendicular a 7 y que corta al eje X en el punto
A(1 , 0). Hallar el área del triángulo AB C .
Sección 3.2: Intersección de rectas 175
Solución. La familia de rectas que son perpen
diculares a Z tiene la forma
<1,: 2x - y + k = 0
Como A( 1 , 0) 6 <=> 2 (1) - (0) + k = 0 <=> k = -2
7 : 2x - y - 2 = 0
En .7 , si y = 0 <=> x = 16 => C (1 6 ,0)
7, D rS, = (x + 2y = 16) D (2x - y = 2) = B(4 , 6)
k t
A .
r
kJ
f
FIGURA 3.11
Entonces . A B = B - A = (3 , 6) y B C = C - B = (12 , -6)
a (A A B C ) = lÁ B - B C M = 1 1(3 , 6>*(6 , I2> = 45 u:
Ejem plo 8 J D a d a s las rectas 7 , = {(3 , 6) + 1<1 , 2)! te R y 7 = {(0 ,3) +
I s <1 , -1) I s e R }. Hallar la ecuación vectorial de la recta que
pasa por<7 f| 7 y que forma con los ejes coordenados positivos un triángulo de
área 4 u2.
Solución. S i P, e (2?, D 2 ) «=> 3 1 , s e R , tales que
P, = <3 , 6) + t(l , 2) = (0 , 3) + s<l , -1> (1)
«=> t(l ,2 > -s< l ,-l> = <-3,-3>
c=> t(l , 2) •<1 , 1) = (-3 , -3) •(1 , 1> <=> l = -2
Sustituyendo en (1) se tiene P,(l , 2)
Sea la recta buscada , SP: — + — = (2)
a b
Si P (4 ,2) 6 !?'■=> — + — = 1 <=> 2a + b =ab (3)
a b
i
’V
kY
A
b
Y
“ Tí >----------- » xti
V J
uaao que a ^ A U b ) = 4 ■=> ao = ?> <=> « » = « o uu=-r> FIGURA3.12
Com o a y b son positivos => a b = 8 (4)
Resolviendo (3) y (4) obtenem os , a = 2 y b = 4
Luego , en (2): = 1 <=> 7 : 2x + y - 4 = 0 <=> m = -2
Por tanto , haciendo uso de la ecuación (9), 7 : P = (I , 2) + t (1,-2), t e R
E je m plo 9 ) Hallar el área del triángulo determinado por las rectas J ? , , 7'2
y 7 , sabiendo que 7 pasa por el punto (1 , 4) y es ortogonal
al vector ( 3 , 5 ) ; 72p asa por el punto (6 , 1) y es paralela a la recta 7 ': 5x - 2y = 3 ;
2 3 p asa por el punto (8 , 6) y es perpendicular a una recta de pendiente -7/2.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-94-320.jpg)
![17S Capítulo 3: Aplicaciones de ¡a recta
Solución. Si P,(k - 1 , 5k - 6) es el punto de p aso y
a = (k - 3 , 1) es el vector direccional de 7 ,
entonces
P~M 11 a <=> P (M • a1 = 0
(2k + 2 , k + 6) •(-1 , k - 3) = 0
de donde obtenem os : k-’ + k - 20 = 0 <=> k = 4 ó k = -5
D ado que k > 0 , se elige k = 4
Para este valor de k se tiene : M (13 , 24) f i^ i i r a h í
* > { < 3 , 14)+ 1(1 , 1)|te R } , SU, = {(-16 , 2) + s(12 , 5)1 s e R }
Si {A } e ^ f l ^ j ^ B t . s e R , tales que
A = (3, 14) + t(l , 1) = (-16 , 2) + s (12 , 5)
<=> t(l , I ) - s (12 , 5) = (-19 , -12)
=> t(l . I) •(-5 , 12) = (-1 9,-12 ). (-5 , 12), de donde :t = -7
Sustituyendo en (1): A = (3, 14)-7(1 , 1) => A(-4 , 7)
M es punto medio de A C => M = i ( A + C) c = 2 M - A
<=> C = (26 , 48) - (-4 , 7) <=> C(30 ,41)
Com o r=> ^ , = {(13 , 24) + r(-l , l)| r e R >
Si {D } e => 3 s , re R , tales que
D = (-1 6 ,2 ) + s (12,5) = (13, 24) + r(-l , 1)
«=> s(12 , 5) - r(-l , 1) = (29 , 22)
s (12 , 5) •(-1 , -1) = (29 , 22) •(-1 ,-1) s = 3
Reem plazando en (2): D = (-16 , 2) + 3 (12 , 5) ^ D(20 , 17)
También : M = -^(B + D) => B = 2 M - D = (26 , 48) - (20 , 17) => B (6 ,3 !)
Area del rombo : S = I Á B - B C X | = 1(10 , 24)»(-10 , 24)1 =* S = 4 7 6 u :
(1)
(2)
EJER C IC IO S: Grupo 20
1. Se an 7 y U dos rectas ortogonales tales que 7 p asa por (3 , 2) y (2 , 5) y 72
pasa por (2 , 1). Hallar la intersección de am bas rectas.
2. Se an las rectas 5? : P = <1 ,0 ) + s(2 . 1>, s e R ; &2: P = (a , 2a) + tb , t e R. Si
7 J_ %‘2 y <Byn 7'2H (Eje Y) * 0 , hallar el valor de a.
3. Hallar la ecuación de la recta 7 que p asa por la intersección de las rectas
,J, = i( 3 ,2) •(P - (0,2)) = 0 } , 7‘2 : P = (1 , 0) + 1(6 ,2 ), t e R ,sabiendo que 7 I !i.
EJERCICIOS : Grupo 20
4. D adas las rectas SP. : S ^ , 7'2 : (-12 , 3) • (P - (0 , 3)) - 0 y 7'3:^a ,b) +
L y = 2 r
t i ,t e R. Hallar la ecuación de la recta que pasa por rJ fl &2y sea perpendicular
a * , -
5. D ados los vértices consecutivos de un cuadrilátero A(-3 , 1), B(3 , 9) , C(7 , 6)
y D(-2 , -6) , hallar el punto de intersección de su s diagonales.
6. Hallar la ecuación vectorial de la recta que p asa por el punto P,(2/5 , 4/5) y
por el punto de intersección de las rectas : P = (4 , -3) + t (1 , 2 ), t e R y
j5?2 : P = (2 , 1) + r (-3 , 4), r e R.
7. Si SL : (5 , 3 ) * [ P - (0 ,1)] = 0 , hallar la ecuación de la recta 2?, tal que (7 ,0) e 7
y { ( 4 , k ) } 6 ^ n « r
8. Hallar el perímetro del triángulo determinado por las rectas
: P = (5 , 4) + 1(-3 , -4), t € R ; 72: Q = (5 , 0) + s(0 , 4), s e R y el eje X.
9. Hallar el punto de la recta 7 : P = (-2 ,0 ) + 1(4 , 3) que está m ás cercano al punto
Q ( 3 ,5).
10. Hallar la ecuación normal de la recta 7'2de pendiente entera negativa , que no
pase por el tercer cuadrante : sabiendo adem ás que 7 1 2', en A , B e ( D 7),
C e (# ', fl 2%) , la a b sc isa de A e s 3 , 7 , : 3x - y - 5 = 0 , !! B C 11 = 5 1 0 y
a (A A B C ) = 60 u2.
11. S e a T una recta que p asa por la intersección de : x + 2 y -1 = 0 y 7'2 : 5x -
3y - 18 = 0 , y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área igual
a 6 u2. Halle la ecuación de 7' en su forma simétrica.
12. S e a A B C D un rombo tal que A(-2 , 1) y la diagonal B D mide 2 l 3 unidades y
está contenida en la recta r/ ‘ : 2x - 3y + 6 = 0. H a lla r:
a) El área del rombo.
b) Las pendientes de las rectas que contienen a los lados del rombo.
13. La recta <£: P = (0 , 3) + 1(2 , 3), t € R contiene a un lado de un paralelogramo,
y la recta 7 : P = (0 , 4) + r(1 ,5) contiene a una de su s diagonales. Si el punto
A(3 , -3) e s un vértice del paralelogramo , halle la ecuación vectorial de la recta
que contiene a la otra diagonal.
14. La distancia que separa a una recta 7 , que p asa por la intersección de 7 1:
x - 2y + 3 = 0 y 7j2: x - y - 5 = 0 , del punto Q(1 , 4) es de 4 unidades. Hallar la
ecuación de esta recta. (D os soluciones)](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-96-320.jpg)
![Capítulo 3: Aplicaciones de la recta
Ejemplo 7 ] El ángulo 0 entre las rectas á?1: P = A + t a , t € R y J 2 ? 2 : P = C +
s b , s e R , mide 45°. Si {B } = f| 2 2, estando B en el segundo
cuadrante , C ( 0 , 5), A B + B C = (1 , 7), y la pendiente de 2, e s -3 ; hallar la ecuación
vectorial de la bisectriz del ángulo 0.
Solución. -Si A e 2', c=* A B .! m, , esto es : A B = r(l , -3)
Á B + B C = (1 , 7) => Á B + (C - B) = <1 , 7>
=> Á B - B = (1 , 7 ) - ( 0 , 5 ) t=» Á B - B = <1 ,2) (1)
Si B = (x , y ) , al multiplicar escalarmente (1) por <1 , -3)1
se tiene :
Á B - <3 , 1> - <x . y > -<3 , 1> = <1 . 2>-<3 , 1>
0 - (3x + y) = 3 + 2 <=> 3x + y = -5 (2)
m ,-m . , m, + 3
T g 45° =
m, = rn
+ m. • m I + 3 m,
c * m, = - 1/2
y - 5
>=> x + 2v = 10 (3)
FIGURA 3.27
2 X - 0
Resolviendo (2) y (3) obtenem os
x = -4 , y = 7 => B(-4 , 7)
Luego. Á B = (1 , 2) + <-4 , 7) = 3<-l , 3 )y B C = (4. -2) * 2(2 ,-1)
Entonces los vectores unitarios en las direcciones de 7 y 7 sonrespectivamente:
u = , v = c=> v - u = 4 = (1 + 2^2 , -3 - V2>
vlO 5 vTo
es el vector que sigue la dirección de la bisectriz 7', por tanto ,su ecuación es
2' : P = (-4 , 7) + t(I + 2V2 , -3 - V 2 ), t e R. ~ ■
Ejemplo 8 ^ Hallar la ecuación de la recta que p asa por Q (5 , 3) y forma
un triángulo isó sce le s con las rectas 2', : x - y • 1 = 0 y 7‘2:
x - 7y -1 = 0
Solución. S e a n m , m, = I y m, = 1/7 las p en
dientes de las rectas 2; , 7 y 2
respectivamente. El problema presenta tres ca
so s de solución , dependiendo cada caso de la
ubicación de los lados iguales.
Caso 1. Los lados iguales se encuentran en 7
y 2'
<=> T gA = T g B <=>
m - m, m. - m
I + m • m l + m • m. FIGURA 3.28
Sección 3.3: Angulo entre dos rectas
.. m - 1 1/7 - m
<=>
1 + m “ I + (l/7)m
de donde : 2 m : + 3 m - 2 = 0 <=> m = -2 ó m = 1/2
Hay dos soluciones. 2 : P = (5 , 3) + 1(1 ,-2), t € R
o P = (5 ,3 ) + s(2,1 ),S € R
Caso 2. Los lados iguales se encuentran en 2'* y 2',
-r a> t r* m - mi m, - m-
T g A = T g C <t=> ------------ = -— 1-------
1 + m m : 1 + m ( m
m- 1 1-1/7
- l + m l + l / 7 « m = 7
Existe una solución. 2 ’ : P = (5 , 3) + r (1 , 7), r e R
Caso 3. Los lados iguales se encuentran en las rectas 2 ” y 7
m: - m m, - m :
■=> T g B ” = T g C <=>
1 + m m, 1 + m. m.
0 ...l_/7_-.m_ = 1- 1/7 J7
1 + (l/7)m 1+ 1/7 31
Hay una solución. 2'” : P = (5 ,3) + p (31 ,-17), p e R.
Ejemplo 9 j D esde el punto C(6 , -4) se trazan las rectas 2', y ,2'2 con pen-
pendientes negativas. El ángulo de inclinación de 7 es m a
yor que el ángulo de inclinación de rJ . La recta 7 determina sobre la parte positiva
del eje Y un segm ento de 2 unidades. La recta 2^ determina sobre el eje X un
segmento de 38/7 unidades. Hallar la ecuación de la recta 2", que no cruza el cuarto
cuadrante , tal que forma con 7 y 7’2 un triángulo isósceles , con base en 2 de
área 15 u2.
Solución. El vector direccional de 7 es paralelo a :
a, = (6 , -4) - (0 , 2) = 6 (1 , -1)
y el de 2',, a : a, = (6 , -4) - (38/7, 0) = i . (1 , -7)
por lo que : = {(6 , -4) + t(l , -1)11e R } y
2 = { ( 6 , - 4 ) + s(l , -7)1 s e R}
En el triángulo isósceles AB C , la bisectriz 7 del
vértice C, tiene su vector direccional paralelo a :
, . . < > ^ ♦ £ ¿ > . 6 0 . - 2 )
x l 5'2 5Y2
Luego , el vector de dirección de la recta 2 es
FIGURA 3.29](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-100-320.jpg)
![190 Capítulo.?: Aplicaciones de la recta
Tge = =» 1 = -í j ü -
. I + m: m 1 + 3m
de donde , la pendiente de ? ' es m = 1/2 y su vector de dirección e s a = <2 , I)
Un vector unitario en la dirección de 2' es
u = _ a _ . ^ i >
H a ll V5
En el A B Q A : 11Á B 11 = 2 11Q H 11 =6>5
^ Á B = 11Á B || u = 6V5 ( ^ = ^ ) = <12 , 6>
Si B - A = (12 , 6) => A = <7, 12)-<12 ,6) = <-5,6)
AQ 1 — ___
— = -± => 3 A B = 4 B D <=> 3 (B - A) = 4 ( D - B)
=> D = 1 B - | A = | < 7 , 1 2 ) - | < - 5 , 6 > = <l6,33/2>
En el A B Q A ’ : T g a = — ’ ‘ m- => i = _m’ ~ 3 « m - = .o
1 + m, m ’ i + 3m (
Luego , el vector de dirección de 7-’ es a ’ = (I , -2) => u ’ = ^
y¡5
Por lo que si B A ’ = 11B A ' 11 u ’ => BA' = 65 ( - ’-'2^ = <6 -12>
v V5 '
=> A ' - B = (6 , -12) <=* A ’ = <7, 12) + <6 , -12) = <13 , 0)
Análogam ente , si = 1 ^ D ’ = 1 B - 1 A ' c=> D ’ = <5/2 , 21)
b) Ecuaciones vectoriales de 7 y 2? ’
2 = {<7 , 12) + t<2 , l)| t e R } y 7 ' - {<7, 1 2 )+ s< l , -2 ) | s e R }
EJER C IC IO S: Grupo 21
1. Se a n las rectas 7 : 3x - 4y + 6 = 0 y $ 2 : P = <4. 1> + 1<-2 , 4), t eR ; hallar
a) La distancia del punto A(4 , 1) a la recta 7
b) La tangente del ángulo agudo formado por las rectas
2. D adas las rectas ; 7 X: P = < 3,4 ) + t< 3 ,4 )y 7 ;: P = (0, 14/3) + r<4 , 3),hallar:
a) El punto de intersección de (1 y 7 2
b) La ecuación normal a la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas.
3. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es
paralela a la bisectriz del ángulo que forman los vectores a = <3 , 4) y b = <4 -3)
EJERCICIOS ; Grupo 21 191
4. Las rectas 7 : P = P, + 1a , t e R , 7'2: b • (P - P2) = 0 , se cortan en P 0. Hallar el
ángulo entre <2?, y &2sabiendo que
(p , - p¿ - ( p, - p„)-<p , - p!> = l i p0ll2, y pt, * p , * p*
5. Los puntos P(2 ,4), Q (8 , 6) y R ( 4 , 8) son vértices de un triángulo. Hallar la recta
que e s perpendicular a la bisectriz del ángulo P Q R y que pasa por R.
6. Los vértices de un triángulo son los puntos A , B y C , tales que I A - B ! = a ,
A - C 11 = 2a. Hallar la ecuación de la recta que contiene a la bisectriz interior
del triángulo correspondiente al ángulo A.
7. Los puntos A(4 , 6) , B(8 , 4) y C (6 , 7) son los vértices de un triángulo ABC.
Hallar en el lado B C el punto Q por donde p asa la bisectriz del ángulo A.
8. La b ase A D de un trapecio A B C D está contenida en la recta T : 3x - y + 6 = 0 y
una de su s diagonales A C está contenida en la recta y , : x - y - 4 = 0. Si el
vértice B es el punto (3 , -5), h allar: a ) Los vértices A, C y D ; b) P ro y ^ A C
9. El ángulo 0 entre i ? , = { B + t a 11 € R } y ü-2= { A + s b s e Ri- e s tal que
Tg0 = 5/7. S i { C } = 7 fl 3 2 , siendo C un punto en el IV cuadrante , B(0 , 4),
A C + B C = <5 , -25) y la pendiente de 7' es -1. hallar la ecuación vectorial de la
bisectriz del ángulo 0.
10. Sean las rectas : P = <1 ,-1> + t< 7 ,1 > ,te R y # 2:<1 , - 1 > * [ P - < 2 , 1)] = 0. Hallar
la recta 7 que tiene pendiente positiva , p a sa por Q (0 , -2) y forma con 7'yy
T 2 un triángulo isósceles cuyos lados congruentes están sobre 7 y V2.
11. Hallar la ecuación de la recta que p asa por el origen y e s paralela a la recta
bisectriz , de menor , pendiente del ángulo que forman las rectas
!7: P = <1 , 1) + 1<3 , 4). t e R y : P = <2, -1) + s<4 , 3 ), s € R
12. Los vértices de un triángulo A B C son A(-6 .-2), B(6 , 1) y C (2 , 4). S e traza la
bisectriz del ángulo exterior correspondiente al ángulo interno A C B ; la bisec
triz interior corta a la prolongación del lado A B en el punto Q. Hallar las coorde
nadas del punto Q.
13. D adas las rectas 7 : P = P, + t a , t e R , y # 2 : P = Q, + s b , s e R , no paralelas,
demostrar que las rectas bisectrices de los ángulos que forman 7 y 7 ? son
ortogonales.
14. Un rayo parte del punto A ( -5 , -2) en dirección del vector a = <2 ,3) y se refleja en
un espejo plano sobre el eje X en B y luego sobre el eje Y en C. Cuál es la
abscisa del punto S s i S = B + C + D , donde D está sobre el último rayo
reflejado y tiene ordenada -10.
15. Las rectas y 7' se interceptan en el punto C form ando un ángulo 0 , tal que](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-102-320.jpg)
![192 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta
Tg0 = 1/2. Si C es un punto en el cuarto cuadrante, B(0 , 4 ), A C + B C = <2, -10)
y la pendiente de 7 es -1 ; hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo 0.
16. D adas las rectas CJ : 7x - y - 6 = 0 y 7‘2: x - y + 2 = 0, hallar la ecuación de la recta
.7, de pendiente positiva , que pasa por el punto A(5 , -2) y forma con 7 y 7'2m
triángulo isósceles cuyos lados iguales se encuentran en T yy rJ‘2, respectiva
mente.
17. En el plano R 1 , fijados el punto P. y los vectores A y B no nulos y no paralelos,
se define el conjunto
C = { P e R- P = P 0 + tA + s B , con te [0 , 2] a s e [-1 ,0 ]}
a) Representar gráficamente el conjunto C en el plano R :.
b) Para P 0 = (1 , 1), A = (-2 , 3) y B = (3 , 1), analizar si el punto P(-4 , 29/6)
pertenece al conjunto C . y hallar la ecuación de la recta que contiene a la
bisectriz del ángulo que forman A y B con vértice en P 3 , dados.
18. El ángulo 0 entre las rectas 7 : P = B + 1a , t e R , y ^ : P = A + s b , s e R ,e s
tal que T g0 = 5/7. Si {C } = 7 fl 7'2 , siendo C un punto del cuarto cuadrante,
B(0 , 4) , A C + B C = <5 , -25) y la pendiente de 7 2 e s -1 ; hallar la ecuación
vectorial de la bisectriz del ángulo 0.
19. En el plano R : , sean los puntos A(-6 , -6), B(-1 , 4), C(c , -1), D(2 , 1) y E , tales
que D e B C , E e A B , los segm entos dirigidos D E y A C son paralelos y los
segm entos orientados E B y E C forman un ángulo a . U sando vectores , hallar
C o s a.
4 VECTORES Efl |
J? El ESPACIO l
4.1 ) EL ESPACIO T R ID IM E N SIO N A L _________________________
En la Sección 1.1 definimos el producto cartesiano A x B de los conjuntos
A y B de la siguiente manera
A x B = { ( x , y ) | x e A , y e B }
Si aplicam os una definición similar al producto cartesiano A x B x C de los conjun
tos A , B y C , entonces
A x B x C = {(x , y , z)l x e A , y e B , z g C }
donde el sím bolo (x , y , z) representa una terna ordenada. C om o las ternas orde
nadas de núm eros reales son el elemento del producto cartesiano R x R x R , a este
conjunto se le denota por R ' , e s decir
R ' = {(x , y , z) I x e R .y e R , z e R }
que determina lo que llam arem os espacio tridimensional.
Esto es , queda establecido un sistem a cartesia
no de tres dim ensiones, cuyos ejes son las rec
tas orientadas : X (eje de a b scisa s) , Y (eje de
ordenadas) y Z (cota) , que se cortan perpendicu
larmente en el punto O (origen de coordenadas).
Todo punto en el espacio queda determinado por
la terna (x , y , z ) , donde
x : es la distancia dirigida del punto P al plano Y O Z
y : es la distancia dirigida del punto P al plano X O Z
z : es la distancia dirigida del punto P al plano X O Y](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-103-320.jpg)
![196 Capítulo 4: Vectores en el espacio
Usando vectores para determinar pinitos alineados
Dem ostrar que los puntos A(-2 ,-7 , 7 ) , B(2 , -1 , 3) y C (4 ,2 ,1 )
son colineales.
Demostración. Bastará probar que 11AC i ! = I !A B 11 + 11 B C 11
En efecto
Á C = < 4 ,2 , I> -< -2 ,:7,7> = 3 < 2 ,3 ;-2 ) 9---------------------------------- g------------- g
A B = <2 , -I , 3) - (-2 , -7 , 7) = 2 (2 , 3 , -2>
B C = ( 4 , 2 , 1) - (2 , -1 ,3) = (2 ,3 , -2 )
Luego : 11ÁC 11 = 34 + 9 + 4 = 3;77 , 11Á B 11= 2T7 y 11B C 11 = VT7
Dado que : 3V77 = 2^77 + 'T7 t=> 11Á C 11 =11Á B 11+ 11 B C 11
Por lo tanto , los puntos A , B y C son colineales ■
Cjemplo 4 ] Usando vectores para determinar ¡a naturaleza de un triángulo
Dem ostrar que los puntos A(3 , 5 , 2), B(2 , 3 , -1) y C (6 ,1 ,-1 )
son vértices de un triángulo rectángulo.
Demostración. En efecto , hallem os las co m -' "■
ponentes de los vectores AB.
B C y Á C
Á B = (2 , 3 , -1) - (3 , 5 , 2> = (-1 ,-2 ,-3 )
B C = (6, 1 ,-1 )-(2 , 3 ,-1 ) = (4 ,-2 ,0 )
Á C = (6 , 1 , -1) - (3 , 5 , 2) = (3 , -4 , -3)
Lu e go: ||A B 11 = vi + 4 + 9 = V 14
11B C 11 = 16 + 4 + 0 = V2Ó FIGURA 4.4
11 Á C 11 = '9 + 16 + 9 = V34
Com o (34): = (l4 )2 + (V20)2 => 11Á C 11 ’ = 11Á B 112 + I ! B C 112
S e cumple el Teorema de Pitágoras , por lo que , el A A B C es recto en B. ■
Cjemplo 5 ^ ) Se an los vectores A =(1 , 5 , 3). B = (6 , -4 , -2). C = (0 , -5 , 7)
y D = (-20 , 27 , -35). S e requiere elegir los núm eros r , s y t de
tal m odo que los vectores r A . s B , tC y D formen una línea quebrada cerrada , si el
origen de cada vector sucesivo se hace coincidir con el extremo del anterior.
Solución. Si los vectores r A , > B , tC y D constituyen una línea quebrada cerrada ,
su sum a vectorial debe ser nula , esto es
r A + s B + tC + D = 0 <=> r(l , 5 , 3) + s (6 , -4, -2) + t(0 , -5 , 7) = -(-20, 27 , -35)
Ejemplo 3
Sección 4.2: Vectores en el espacio 197
c * (r + 6 s , 5 r - 4 s - 5 t , 3r - 2 s + 7t) = (20, -27 , 35)
de donde , por igualdad de vectores , obtenem os el sistem a
r + 6 s = 20
5 r - 4 s - 5 t = -27
3 r - 2 s + 7 t= 3 5
Resolviendo por sim ultáneas se tiene lo requerido : r = 2 , s = 3 , i = 5 ■
E je m plo 6 ^ ) Se a el triángulo de vértices A(-1 ,2 ,2), B(4 ,2 ,-3) y C ( 9 ,-3,7).
Por el punto D(2 , 2 , -1) del lado A B se traza una paralela al
lado A C y que corta al lado B C en E. Hallar la longitud del segm ento DE.
Solución. Resolverem os el problema hallando la
razón en que el punto D divide al lado AB.
Esto es , si r = <=> r D B = A D
1 DB
«=> r ( B - D ) = D - A
=* 2r(l , 0 , -1) = 3 (1 ,0 ,-1 ) <=> r = 3/2
Siendo D E I !A C , por el Teorema de Thales :
§ | = | ® 2(E - C) = 3 (B - E)
FIGURA 4.5
de donde : 5 E = 3(4 , 2 , -3) + 2(9 , -3 , 7) => E = (6, 0 , 1)
Por lo que , D E = (6 , 0 , I) - (2 , 2 , -1) = 2(2 , -1 , 1) «=> I! D E 11 = 2>Í6 ■
Eje m p lo 7 J En el trapecio A B C D la razón entre la longitud de la base A D y
de la base B C equivale a r. Suponiendo que A C = a y B D = b .
exprésense los vectores A B , B C , C D y D A por medio de a y b.
Solución. Si = r Á D = r B C (1)
B C __ __ _
t=> A B + B D = r B C
En el A A B C : Á B = Á C - B C (2)
Á B = Á C - 1 (ÁB + BD ) <=> Á B =
r 1+ r
De (2): B C = Á C - Á B = a - <=* B C =
1+ r 1+ r
En el A A C D : C D = A D - A C = r B C - a
«=> C D = r ( a ± b _ a <=> C D = -LiiLJ*.
' I + r ' 1 + r
Finalmente , de (1): D A = - r B C ■=> D A = - — ^— (a + b) ■
I + r](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-105-320.jpg)
![198 Capítulo 4: Vectores en el espacio
Eje m plo 8 J M es el punto de intersección de las m edianas del triángulo
A B C , O e s un punto arbitrario del espacio. Dem ostrar que
Ó M = j (Ó A + Ó B + Ó C )
Demostración. La Figura 4.7 muestra al punto M y
una m ediana BD. Entonces
D = y (A + C)
Por la propiedad de las m edianas
DM = j D B <=> M - D = y ( B - D)
Esto e s : M - i-(A+ C) = | B - 1 ( A + C)
de donde obtenem os : M = (A + B + C)
Restando el vector O a cada extremo se tiene : v----------------------------------------- /
FIGURA 4.7
M - O = y [ (A - O) + (B - O) + (C - O)]
<=* O M = -i(Ó A + Ó B + Ó C ) ■
EJER C IC IO S: Grupo 22
1. A y B son los vectores de posición de los segm entos P Q y R S. Si 2 A = 3 B y
P(3 , - 1 , 2 ) , Q(x , y , z ) , R(-2 , 3 , -3) y S(2 , 5 , - 5 ) ; hállese el vector A.
2. El vector V = (-2 , 2 , 6) es el vector de posición del segm ento Á B , cuyo punto
medio de M (-4 , 3 , 1). Hallar las coordenadas de los extremos del segmento
ÁB.
3. Se a V = (3 , -6 , 1) el vector de posición del segm ento A B y sea C(6 , - 1 , 2 ) el
punto de trisección , m ás cercano de A , de dicho segm ento , hallar las coor
denadas de A y B.
4. Sean A(2 , -1 , 3), B(-4 , 5 , 0 ) , C(4 , -1 , 3) y D(4 , 4, -7). El punto P está a 2/3 de
distancia de A a B y el punto Q está a 3/5 de distancia de C a D . Calcular las
com ponentes del vector V que va de P a Q.
5. Demostrar que los puntos A(6 , 3 , 4), B(2 , 1 ,-2 )y C (4 ,-1 ,10) son vértices de
un triángulo isósceles.
6. Dem ostrar que los puntos A(2 , 0 , -1), B(3 , 2 , -2) y C(5 , 6 , -4) son colineales.
Sección 4.3 : Dirección de un vector en el espacio 199
7. Si A = (3 , 5 , -1), B = (6 , -2 , 3) y C = (-3 , 2 , 0), hallar el vector X que satisfaga
la ecuación 3 X + 6 A - 5 C = 8 B
8. Demostrar que los puntos A(2 , 0 , -1), B(1 , 2 , 1) y C(6 , - 1 , 2 ) son vértices de
un triángulo rectángulo.
9. Sean A = (2 ,-1 , 5), B = (-1 , -2 , 3) y C = (1 ,-1 , 1) tres vectores en R hallar un
vector unitario en la dirección del vector V = A - B + C.
10. Se a n d ados los vértices del triángulo A(3 , - 1 , 5 ) , B(4 , 2, -5) y C (-4 , 0 , 3 ) .
Hállese la longitud de la m ediana trazada desde el vértice A.
11. Determ ínense las coordenadas de los extrem os de un segm ento que está
dividido en partes iguales mediante los puntos C (2 , 0 , 2) y D(5 , -2 , 0).
12. En un espacio están dados los triángulos A B C y A ’B ’C ’. M y M ’ son los puntos
de intersección de las m edianas. Expresar el vector M M ’ mediante los vecto
res A A ’ , B B ’ y C C
13. En un paralelogramo A B C D se d e sig n a n : A B = a , A D = b. Expresar en términos
de a y b los vectores M A , M B , M C y M D , donde M es el punto de intersección
de las diagonales del paralelogramo.
14. Si A , B y C son puntos colineales , hallar el vector A C sabiendo que B se
encuentra entre A y C ; donde A(3 , - 1 , 0 ) , B(4 , 1 , 3) y 11A C !I = 3 1 4
15. El segm ento de una recta limitado por los puntos A(-1 , 8 , 3) y B(9 , -7 , -2), está
dividido en cinco partes ¡guales por los puntos C , D , E y F. Hallar las coorde
nadas de estos puntos.
4.3 j D IR E C C IO N DE UN V EC T O R EN EL ESP A C IO _____________
A cada vector no nulo V = (x , y , z) e R J , le
corresponde una dirección dada por tres ángulos
de dirección a. , (i. y , cada uno de los cuales es el
ángulo determinado por los ejes positivos del sis
tema tridimensional con el vector V en posición or
dinaria (Figura 4.8). Lo s ángulos de dirección se
elige de m anera que su s m edidas estén com pren
didas en el intervalo [0 , tc]
A los cosenos de los ángulos de dirección
de un vector en R ' se les llama cosenos directores y
vienen dados por](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-106-320.jpg)
![204 Capítulo 4: Vectores en el espacio
4.4.1J A N G U LO EN T R E DO S V E C T O R E S EN R*
El ángulo entre dos vectores A y B no nulos
es el ángulo 0 e [0, ti] , entre su s respectivos vecto
res de posición norm ales com o se muestra en la
Figura 4.9 , esto es , 0 es el ángulo de m edida
positiva entre O P y O Q e interior al triángulo deter-
minador por O . P y Q.
C om o A y B no son paralelos entonces los tres
vectores A , B y A - B tienen representaciones
geom étricas que forman un triángulo. Em pleando
la ley de los cosenos se puede demostrar que :
C os0 =
A - B
Il A l l || B ||
(5)
E je m plo 3 J D ados los vectores A = (1 , 2 , 1 ) y B = <2,1 ,-1>, determinar el
ángulo entre A y B.
Solución. A • B = (1 ,2 ,1 )*< 2 , 1,-1) = 2 + 2 - 1 = 3
I A I = Vi + 4 + 1 = V6 y || B || = V4 + 1 + 1 = Vó
Luego , en la fórmula (5) : C o s0 = _ •' _ = - => 0 = 60°
(Vó) (V6) 2
I Nota. Si se conoce el ángulo entre dos vectores , entonces de la fórmula (5)
(6)A • B = ||A || ||B|| C os0
obtenemos una forma alternativa para calcular el producto escalar.
I O B S E R V A C IO N 4.1 Vectores paralelos
La fórmula (5) es también válida si los vectores A y B son
paralelos , puesto que con A = r B se tiene
r B - B r 11 B 112 r
C os0 =
r B B I r I ¡' B !12 r!
Si r > 0 <=> C o s0 = I y si r < 0 <=> C os0 = -1. Entonces los vectores A y B son paralelos
si y sólo si 0 = 0o o 0 = 180°, es d e c ir, si y sólo si C o s0 = ± I. Luego , la fórmula (5)
se puede aplicar para decidir si dos vectores no nulos son paralelos o no.
Sección 4.4.1 : Angulo entre dos vectores en R' 205
Ejemplo 4 j Determinar si los vectores A = (6 , -3 , -9) y B = (-2 , 1 , 3) son
paralelos.
Solución. Resolverem os el problema aplicando dos m étodos
Método 1. Haciendo uso de la fórmula (5)
C o s 0 = (6 , -3 , -9) « ( - 2 , 1 , 3 ) = - 1 2 - 3 - 2 7 = _,
(V36 + 9 + 81) (V4 + 1 + 9 ) ( 3 Ü ) (Ó 4 )
C om o 0 = 180° <=> A |B
Método 2. Escribiendo el vector A en la forma : A = r B
En efecto , A = - 3 ( -2 , 1 , 3) = * A = -3 B
.*. A = r B £=> A11 B ■
1 Ejemplo 5 j Para qué valores de a y b los vectores A = (-2 , 3 , a) y
B = (b , -6 , 2) son colineales?
Solución. U sarem os el método 2 del Ejemplo 4 , esto e s , si
r -2 = rb
A 11B c=> (-2,3, a),= r<6,-6 ,2) <=> J 3= -6r =* r = - 1/2
L „ _
a = 2r
de donde obtenem os : a = -1 y b =4
I O B S E R V A C IO N 4 .2 Vectores ortogonales
D o s vectores A y B son ortogonales , si y sólo si la medida
del ángulo comprendido entre ellos es 90° , esto es , si y sólo si C o s0 = 0. De la
fórmula (5) se obtiene inmediatamente que los vectores A y B en R ' son perpendi
culares si y sólo si A • B = 0
Ejemplo 6 j Dem ostrar que el vector V = (2 , -1 , 3) es ortogonal a los
vectores A = <3 , 0 , -2), B = (1 , 8 , 2) y C = (1 , -4 , -2).
Demostración. En efecto , hallem os el producto escalar de V con cada uno de los
vectores dados
A • V = (3 , 0 , -2) •(2 , - 1 , 3) = 6 + 0 - 6 = 0
B - V = (l ,8 , 2) *(2 ,-1 ,3) = 2 - 8 + 6 = 0
C • V = (I , -4 , -2) •(2 , -1 , 3) = 2 + 4 - 6 = 0
Por tanto , V es ortogonal a los tres vectores dados. ■](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-109-320.jpg)
![214 Capitulo 4: Vectores en el espacio Sección 4.5 : Proyección ortogonal)' componentes 215
J EJEM PLO S ILUSTRATIVOS )-
e je m p lo 1 ] S e d a n los vectores A = (-2 ,1 ,1 ), B - ( 1 , 5 , 0 ) y C = 4¡ + 4j-2k.
Calcular C om p c(3 A - 2 B).
Solución. 3 A - 2 B = <-6, 3, 3> - (2 , 10,0) = <-8 . -7. 3)
Luego , haciendo uso de la fórmula (8) obtenem os
(-8 , -7 , 3) •<4 , 4 , -2) - 3 2 - 2 8 - 6
C om pc(3 A - 2 B) =
16 + 16 + 4
C jcm plo 2 ) Se an los vectores A = ( 5 , 4 , 1 ) y B = (-2 ,6 ,3 ). Hallar un vector
C que e s ortogonal al vector V = (2 , 1 ,0 ) que satisface las
condiciones : A • C = 1 y C om pBC = -2/7
Solución. Se a C = (x , y , z) el vector buscado
Si C J_ V o (x , y , z)*<2 , 1 , 0) = 0 <=> 2 x + y = 0 (1)
A •C = 1 => <5 , 4 , 1) •(x , y , z) = 1 < = > 5 x + 4 y + z = l (2)
Com p C = - 1 => -X -’ y ’ = - -| «=> -2x + 6y + 3z = -2 (3)
V4 + 36 + 9 7 ' '
Resolviendo el sistem a de ecuaciones (1), (2) y (3), obtenem os : x = l , y = -2 , z = 4
C = <1 ,-2 ,4 > ■
Ejemplo 3 ) Calcular la distancia del punto P(3 , 2 , 1)a la recta que pasa
por los puntos A(-3 , -6 , -3) y B(1 , 2 , 9)
Solución. La Figura 4.19 muestra al punto P y la
recta 2' que pasa por A y B. El punto H
es el pie de la perpendicular a la recta % bajada
desde P Si d es la distancia 11 PH 11 , entonces
por el teorema de Pitágoras
d = yíÁP112- 1A H 12 (1)
Á P = P - A = <3 . 2, 1> - (-3 , -6 , -3) = <6 , 8 , 4> FÍGURA4.19
=> 11Á P 11 = 2 9 + 16+ 4 = 2V29 (2)
Á B = B - A = (1 , 2, 9) - (-3 , -6, -3> = 4(1 , 2 , 3)
f " '
p
d
f
><
I B
_34
V Í4
= (3)IÁ H I = C om p-gÁP = « IÁ H | = 2 <3 - 4 ' 2> - 4 < l ' 2 ' 3-)
AB llA B lI 4Vl + 4 + 9
Si se sustituye los valores de (2) y (3) en (1) resulta
d= a/(2V29y - = y 1 8 2
(^ e je m p lo 4 J S e dan los vértices de un triángulo : A(-1 ,-2 , 4) , B(-4 ,-1 , 2)
y C(-5 , 6 , -4). B D es la altura del triángulo trazado por el vértice
B. Hállese las coordenadas del punto D.
Solución. En el A A D B : D B = A B - A D
c=> D B = A B - P ro y ^ A B
ÁB = B - A = (-4 , -1 , 2) - <-1 , -2 ,4) = <-3 , l , -2)
ÁC = C - A =<-5 , 6 , -4>-<-l , -2 , 4 > -4 < -l , 2. -2>
(1)
ProyB-cA B =
<-3 , 1 , -2) •<-1 , 2 , -2>
(-1 ,2 ,-2 )
(Vi + 4 + 4 )2
de donde obtenem os : P ro y ^ A B = <-1 , 2 , -2)
Luego , en (1): D B = (-3 . 1 , -2 )- <-1 ,2 , -2) = (-2 ,-1 ,0 )
r
M ka” ' ñ
V -------------- J
FIGURA 4.20
D = B - D B = <-4 , -1 , 2) - (-2 , -I , 0) = <-2 , 0 , 2)
ejemplo 5 J L o s vértices de un triángulo son A(2 , -1 , -3) , B(1 , 2 , -4) y
C (3 , -1 , -2). Hallar el vector V que e s colineal a la altura
bajada del vértice A al lado opuesto si se sabe que I V 11 = 2 17
Solución. En el A B H A : A H = BH - B A
c=> AH = ProyB- B A - B A
BA = A - B = <2,-1 , -3) - <1 , 2 , -4) = (1 ,-3 ,1 )
B C = C - B = <3 , -1 , -2) - <1 , 2, -4) = <2, -3 , 2)
D- A <1 ,-3 , !)• <2 , -3 , 2)
(1)
ProyB-cB A =
(4 + 9 + 4 ):
< 2,-3 , 2)
= < 2 ,-3 ,2 )
M KB H
V
>
FIGURA 4.21
Entonces , en (1) se tiene : A H = jy (2 , -3 , 2) - <1 , -3 , I) = y y <3 , 4 , 3)
Un vector unitario en la dirección de A H es : u = <3 ,4 , 3)
Í34
3](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-114-320.jpg)
![220 Capitulo 4: Vectores en el espacien
divide por el punto P en la razón A P : P M = 3 :7 . Hallar las coordenadas del vector OP
en la base de las aristas O A . O B y OC.
Solución. S i A E = A ^ AP. _ J_
P M 7 A M 10
En el triángulo O A P , se tiene :
è
O P = O A + A P t=* O P = O A + — A M
Pero, A M = O M - O A
y com o M es punto medio de B C , entonces
Á M = 4- (Ó B + Ó C ) - Ó Á
Al sustituir en (1) obtenem os
O P = Ó A + ] ^ ( y Ó B + y Ó C - Ó A)
“ i7o ° A + To°~B + é °~ c_
Por consiguiente , las coordenadas de O P en la base (3 = 'O A , Ó B , Ó C ’- son
(7/10,3/20,3/20)
( • ~
E je m plo 3 J Sean dados los vértices de un triángulo, A(1 , -1 , -3), B(2 ,1,-2)
y C(-5 , 2 , -6). Calcular la longitud de la bisectriz de su ángulo
interior en el vértice A.
Solución. Se a n u y v los vectores unitarios de A B
y A C respectivamente
Com o A E 11(u + v ) , entonces 3 t > 0 , tal que
4 1 — + 4 P ) (1)
.. A B II l l A C l l '
Por otro lado : A E = A C + C E = Á C + r C B
= Á C + r(Á B - ÁC )
= rÁ B + (1 - r)Á C , r > 0 (2)
Las ecuaciones (1) y (2) representan en si dos descom posiciones del vector AE
según la base formada por los vectores A B y AC. Siendo única la descom posición
de un vector según la base, tenem os
A E = t(u + v) = t ( - 4 1
AP
r =
I A B í = IIÁCll
Sección 4.6 : Combinación lineal de vectores en R' 221
Resolviendo el sistem a obtenem os : t =
Luego, en (1): Á E = ( _ l,1A C l, L - - ) Á B + =
3 a c j. U r / ' a p
llA B lI llA C ll
I I Á Í I I + I I Á C I I
Á B
Il A B II + | | Á C | | ' ' I I Á B II + 11A C 11
S iÁ B = B - A «=> Á B = (2 , I , -2) -<1 , -l , -3> = (I , 2 , 1) => ||ÁB || = 6
ÁC = C - A ■=> Á C = (-5 ,2 , -6) - (1 , -1 , -3) = ( -6 ,3 , -3) => 11 Á C 11 = 36
(3)
A E = j ( l , 2 , I > + ^- (-6 , 3 , -3) = -j (-1 , 3 , 0 ) «=> I IA E I I = ^ 1 0
Ejemplo 4 J Se a n dados los puntos A(2 , 5, 2) y B(14 , 5 , 4 ) ; C es elpunto
[ de intersección del plano coordenado O X Y conuna recta tra
zada por el punto B paralelamente a la recta OA. Hallar las coordenadas de C.
Solución. S e a el punto C (x , y , 0)
En el triángulo O C B se tiene :
OB = O C + C B = (x i + y j) + rO A
=> (14, 5 , 4> = x (l ,0 , 0 ) + y ( 0 , I , 0) + r (2 , 5 , 2)
14 = x + 2r{ 1 — A T
5 = y +
4 = 2r
<=>-< 5 = v + 5 r
■=> r = 2
de donde obtenem os : x = 10 , y = -5 <=> C( 10, -5 ,0)
FIGURA 4.28
Ejemplo 5 J S e d a n los vectores A =(-2 , 0 , 1), B = (1 .-2 , 0 )y C = (1 ,1 ,1).
Hallar la proyección ortogonal del vector A en el plano de los
vectores B y C.
Solución. Trasladam os los vectores A . B y C a un
origen com ún , tal com o se indica en la
Figura 4.29.
Sea V = ProyB CA (Proy. de A en el plano de B y C)
Como los vectores B y C son linealmente indepen
dientes , constituyen una base del vector V , esto es
3 r , t tales que
V = r B + t C = r ( l , -2 ,0 ) + t (1 , I , I) (1)
Adem ás , si V está en el plano de B y C , entonces
r ■
a / i
n
-
A '
cV ^ v >
>
FIGURA 4.29
n = A - V será ortogonal a B y C , e s d e c ir: (A - V) • B = 0 y (A - V) • C = 0](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-117-320.jpg)
![222 Capítulo 4: Vectores en el espacio
A - V = (-2 , 1 ,0) * r(l , -2 , 0) - t(l , 1 , 1) = (-2 - r - 1, 2 r - 1 , I - 1)
=> < - 2 - r - t , 2 r - t , 1 - t ) - ( l ,- 2 , 0 ) = 0 <=> t - 5 r - 2 = 0
(-2 - r - 1 , 2 r - 1 , 1 - 1) •<1 , 1 , 1) = 0 <=> 3 t - r + 1 = 0
Resolviendo el sistem a (2) y (3) obtenem os : r = t = -1/2
Por lo tanto , en (1): V = <-l , l/2,-l/2)
(2)
(3)
EJER C IC IO S: Grupo 26
1.- D em uéstrese que para cualesquiera vectores d ad os A . B y C , los vectores
A + C . B + C y C - A son coplanares.
2. Se a n dados tres vectores no coplanares A , B y C. D em uéstrese que los >
vectores A + 2 B - C . 3 A - B + C . - A + 5 B - 3 C son coplanares.
3. Se an dados tres vectores no coplanares A . B y C. Hallar los valores de X , para 3
los cuales los vectores XA + B + C , A + XB + C , A + B + XC . son coplanares.
4. S e dan tres vectores : A = <3 , -2 , 1), B = <-1 , 1 , -2) y C = <2 , 1t -3). Hallar la
descom posición del vector D = <11 , -6 , 5) en la base p = { A , B , C }.
5. Se a n cuatro vectores: A = <2 ,1, 0), B = (1 , -1 ,2 ), C = <2 ,2, -1) y D s (3, 7, -7). 1
Hallar la descom posición de cada uno de estos vectores tomando por base i
los otros tres.
6. Fuera del plano del paralelogramo A B C D se ha elegido un punto O. En la base .
de los vectores O A , O B y O C hállese las coordenadas
a) del vector O M , donde M es el punto de intersección de las diagonales del
paralelogram o.
b) del vector O K , donde K es el punto medio del lado AD.
7. Si B(6 , -3 , -2) y C(-2 , 3 , 6 ) son puntos de R ' , hallar un vector V que biseca el
ángulo formado por los vectores O B y Ó C , donde O es el origen de coordena
das. (Guía: Ejemplo 3).
8. Se an dados los puntos A(1 , 2, 3), B(2 , -2 , 1), C (3 , 0 . 3) y D(16 , 10 . 18). E e s
un punto de intersección del plano O A B (O es el origen de coordenadas) con
una recta trazada por el punto D paralelamente a la recta Ó C. Hallar las coor
denadas del punto E. (Sugerencia : D esarróllese el vector O D se gú n una
base formada de los vectores O A , O B y OC).
9. S e a dada la terna de vectores no coplanares A, = (1 , 0 , 0 ), A 2 = (1 , 1 , 0) |
y A 3 = <1 , 1 , 1). Calcular las c o o rd e n a d a s del vector A = -2 i - k en la base
P = •A, , A 2 , A J y escribir la descom posición correspondiente según la base.
10. Se dan los vectores A = (1 , -3 , 0 ), B = (1 , -1 , 2) y C = (0 , 1 , -2).Hallarla
proyección ortogonal del vector A en el plano de los vectores B y C.
11. Si A = <1 , 3 , 1 )y B = < 2 ,0 , -1), determinar un vector C tal que {A + B , A - B , C }
sea una base de R
12. Se dan los vectores A = <1 , -2 , 0 ), B = (0 , 1 , 2) y C = <1 , 0 , 1 ) . Hállesela
proyección ortogonal del vector A en el plano de los vectores B y C
¡Sección 4.7: El producto vectorial___________________________________________ 223
4.7 j EL PRO D U CT O V E C T O R IA L___________________________ ¿
En las aplicaciones de los vectores en el espacio es frecuentemente ne-
,cesario construir un vector no nulo que se a ortogonal a d os vectores dados A y B.
En esta sección se estudia un producto que nos conduce a dicho vector. S e le
llama producto vectorial o producto cruz , se le denota por A x B y su definición que
se da a continuación e s puramente algebraica.
DEFINICION 4.2 El producto vectorial
Se a n A y B vectores en R- tales que
A = ü,¡ +a j + a ,k y B =6,1 + fc,j +bM
entonces el producto vectorial de A y B es el vector que se define por
A x B = (a ,b3- a yb2)¡ - {a ,by- a i b,)j + ( a ,b2-a ,b,) k (10)
Por ejemplo, si A = <2,-1 ,3) ■=> a t = 2 , a, = -l , «, = 3
y B = <3 , 1 .-1) => ¿, = 3 , bz= 1 ,b y= - 1
Luego , por la fórmula (10) se tiene
A x B = [(-1)(-1) - (3)( 1)] ¡- [(2)(-1) - (3)(3)] j + [(2)( 1) * (-1 )(3)] k
= (1 - 3 ) ¡ - ( - 2 - 9 ) j + (2 + 3)k
= - 2 i+ 11 j + 5 k
| O B S E R V A C IO N 4.3 C om o resulta com plicado m em orizar la fórmula (10) , se
recomienda el uso de determinantes de segundo orden y
matrices de 2 x 3 ; tem as que serán estudiadas en capítulos posteriores. Pero dada
la utilidad de su em pleo para el cálculo del producto vectorial , e s conveniente
introducir las siguientes ideas](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-118-320.jpg)
![234 Capítulo 4: Vectores en el espacio
momento Mde la fuerza F alrededor del punto O y está definido por
M=ÓPxF
—^ -f
La magnitud o módulo del momento M mide la tendencia del vector OP a girar en sentido
antihorario alrededor de un eje dirigido a lo largo del vector torque M. |
E je m plo 1 5 ^ Una aplicación del producto vectorial
En la Figura 4.38 , un torni
llo en el punto Q se gira al aplicar en el punto P
una fuerza F de 25 Ib. en un ángulo de 70° con
respecto a la llave , la cual mide 8 pulg. de longi
tud. Calcular la intensidad (módulo) del vector
torque generado por la fuerza en el tornillo.
Solución. El vector torque está dado por
M = Q P x F
y la intensidad o módulo p o r : I !M 11 = 11QP
Ahora , por la propiedad 2 del Teorema 4.3 : I i M 11 = 11Q P 11 11 F 11 Se n 70°
= (8) (25) (0.939)
= 187.8
Por lo tanto , la intensidad del vector torque es de 187.8 pulg.-Ib.
Ejem plo 16 j Una aplicación del producto vectorial
-4).
S e da el siguiente sistem a de fuerzas : F, de 30 kg. que actúa
de A(5 , -1 , -6) a B ( 4 ,1 , -4) y F 2de 56 kg. que actúa de C (6 ,3,2) a D (8 ,0 , -4). Hallar
a) La resultante R del sistem a de fuerzas
b) El momento resultante respecto al punto E (6 , -1
Solución. La dirección de la fuerza F l es :
Á B = (4 , 1 , -4) - <5 , -1 , -6) = (-1 , 2 , 2)
y la de F, e s : C D = (8 ,0 , -4) - (6 , 3 , 2) = <2 , -3 , -6)
F,
Luego , si F = rA B
II A B
F,
y si F, = t CD <=> t = — = e -
IICDll
= — = 8
Entonces : F, = I0(-1 ,2 ,2 ) y F, = 8(2 , -3 , -6)
Sección 4.7 : El producto vectorial 235
a) R = F, + F, = 2 (3 , -2 , -14)
b) Desde que F, y F, no son concurrentes , M será la sum a de los dos momentos,
esto es , M = E B x F]+ E D x F.
t=> É B x F, = (-2 , 2 , 0) x 10<-1 , 2 , 2) = 10(4 ,4 ,-2 )
É D x F, = (2 , 1 , 0) x 8(2 , -3 , -6) = 8(-6 , 12, -8)
M = 4(-2 , 34 , -21) ■
Ejem plo 1 7 J S i A , B y C son vectores de posición de los vértices de un
triángulo A B C , demostrar que
A x B + B x C + C x A = 2 S u
donde S es el área del triángulo y u un vector unitario normal al plano del triángulo
| ABC.
Demostración. En efecto , un vector unitario normal
al plano del triángulo A B C es
u = Á g * A C ==> A B x A C = 11Á B x Á C 11u (1)
II A B x A C ||
Por la Propiedad 4 del Teorema 4.3 sabem os que el
área del triángulo es :
S = i 11Á B x Á C 11 => 11Á B x Á C 11 = 2S
Luego , en (1) se tiene : A B x A C = 2S u
Como A . B y C son los vectores de posición de los vértices del triángulo , entonces:
(B - A) x (C - A) = 2S u <=> B x (C - A) - A x (C - A) = 2 S u
<=> B x C - B x A - A x C + A x A = 2 S u
c=> B x C + A x B + C x A + 0 = 2 S u
A x B + B x C + C x A = 2S u
(PV.1)
(PV.1)
(PV.6)
[ Ejem plo 1 8 j El módulo de la sum a de dos vectores es 3 4 , su producto
escalar es 4 y su producto vectorial tiene módulo 3. Hallar :
a) El ángulo que forman dichos vectores
b) El módulo de cada uno de los vectores.
Solución. Se a n A y B los vectores de los cuales se conocen
11A + B 11 = 34 , A • B = 4 , 11 A x B 11 = 3
a) Dado que A x B I = 11A I I I I B I Sene y A * B = | | a I|||B|| C ose
dividiendo miembro a miembro cada una de estas igualdades obtenem os](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-124-320.jpg)
![238 Capítulo 4: Vectores en el espacio
25. Si A , B y C son vectores en R ' , demuestre la identidad de Jacobi
A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) = O
(.Sugerencia : aplique la propiedad P V .8 a cada término).
26. Si A , B y C son vectores en R ’ , dem ostrar que
( A x B ) x C = A x ( B x C ) « B x ( C x A) = O
(Sugerencia : aplique la identidad de Jacobi del ejercicio 25)
27. D ados los vectores A , B , C y D dem uestre que
(A x B) •(C x D) = (A •C )( B •D) - (A • D)(B •C) (Identidad de Lagrange)
28. Demuestre las identidades
a) (A x B) x (C x D) + (A x C) x (D x B) + (A x D) x (B x C) = O
b) (A x B ) 2x (A x C)2 - [ (A x B) x (A x C )] 2 = A 2(A • B • C ) 2
29. Hallar la distancia del punto P a la recta que p asa por los puntos A y B dados
a) P(4 , 6 . - 4 ) , A(2 ,1 ,2 ), B(3 , - 1 ,4 )
b) P(3 , -1 , 5), A(3 , -2 , 4), B(0 , 4 , 6) . 1
30. Los puntos A(1 ,1 ,1 ) , B(4 , 1 , 1 ) , C (4 , 1 + 3 V 3 , 1) , D(1 , 1 + 3 V 3 , 1 ) y
E(5/2 , 1 + 3 3/2 , 5) forman una pirámide de base rectangular A B C D y vértice
E. Determinar la distancia del centro de la base a una arista lateral.
—) —) —)
31. Se an P , Q y R tres puntos no colineales de R ' y sean O P , O Q , O R las
representaciones de posición de los vectores A , B y C , respectivamente.
Demostrar que la distancia del origen al plano determinado por los tres pun
tos está dado por
d _ l A - B x C l
11 (B - A) x (C - A) 11
32. Se a n dadas tres fu e rza s: F, = <2, -1 , -3). F2= <3,2, -1) y F3= (-4 ,1 ,3) aplicadas
al punto A(-1 , 4 , 2 ) . Determinar la magnitud y los co se n o s directores del
momento de la resultante de tales fuerzas respecto al punto B(2 , 3 , - 1 ) .
33. Los vectores A . B . C y D verifican las relaciones
A x B = C x D y A x C = B x D
Demostrar que : (A - D) x (B - C) = O
4 .8 J E L P R O D U C T O M IXTO D E V E C T O R E S
S e denomina producto mixto de una terma ordenada de vectores A , B y C
al número real A • (B x C).
Sección 4.8: El producto mixto de vectores 239
En vista de que se verifica la identidad A • ( B x C ) = ( A x B ) •C ; para el
producto mixto A • (B x C) se emplea la notación abreviada (A B C ). De este modo
(A B C ) = A • (B x C) = (A x B) • C
Si los vectores A , B y C se dan mediante su s coordenadas
A = <a, ,a, ,a x) , B =(bt ,b2,b j , C = (c,,c,,c,)
el producto mixto ( A B C ) se determina por la fórmula
(A B C ) = A • (B x C) =
a, <2, «3
b2 K
C2
(15)
4.8.1) P R O P IE D A D E S DEL PRODUCTO M IXTO DE V E C T O R E S
PM.1 La permutación cíclica (sentido horario) de los vec
tores A , B y C no cam bia la magnitud del producto
mixto , es decir
(A B C ) = (B C A ) = (C A B )
Demostración. En efecto , por las propiedades de
los determinantes sabem os que el valor del determinante
cam bia de signo si se intercambian dos filas. Tras dos de tales intercam
bios , el valor del determinante no se altera , esto es
= (C A B )
a, a, a x c, c2 c3
(A B C ) =
*. b.' b = W a, a, a,
C. C? K b] b>
c,
(C A B ) = a , a, a, = (-l)J c , <V
6, b] 6, a. flj
= (B C A )
.-. (A B C ) = ( C A B ) = (B C A )
PM.2 (A B C ) = A • (B x C) = ( A x B) • C = (C x A ) • B
PM.3 Si V es el volumen de un paralelepípedo construido sobre los vectores A , B
y C , entonces
( A B C ) - ^ V , si la terna (A , B , C) e s derecha
l -V , si la terna (A , B , C) es izquierda
PM.4 Criterio para los vectores coplanares. Si los vectores A , B y C tienen el
m ism o punto inicial , entonces pertenecen al m ism o plano si y sólo si](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-126-320.jpg)
![242 Capitulo 4: Vectores en el espacio
=> (A B C) = O
En consecuencia , los vectores A , B y C son linealmente dependientes. ■
^ C jcm plo 4 ] S i en los vectores A , B y C se verifica la ley asociativa para
el producto ve ctorial, dem ostrar que los vectores A x B . A y
B x C son linealmente dependientes.
Demostración. Dado que en los vectores A , B y C se verifica la ley asociativa
«=* A x (B x C) = (A x B) x C (1 )
Ahora , el producto mixto : [(A x B) A (B x C)] = (A x B) • [A x (B x C)]
En el segundo miembro , por (1) se tiene :
[(A x B) A (B x C)] = (A x B) • [(A x B) xC]
Com o el vector ( A x B ) x C e s ortogonal a (A x B) y a C , entonces
[(A x B ) A ( B x C ) ] =0
En consecuencia los vectores A x B , A y B x C son linealmente dependientes. ■
Ejemplo 5 J Simplificar la expresión
x = (A + B) •(B + C) x (C + A)
Solución. Haciendo uso de la propiedades 1 y 2 del Teorema 4.2 , se tiene :
x = (A + B) • [(B + C) x C + (B + C) x A]
= (A + B) • [(B x C) + (C x C) + (B x A) + (C x A)]
. = (A + B) • [(B x C) + O + (B x A) + (C x A)] (PV.6)
= A •(B x C) + A • (B x A) + A •(C x A) + B •(B x C) + B •(B x A) + B •(C xA)
Por el Teorema 4.3 : A • (B x A) = A • (C x A) = B • (B x C) = B • (B x A) = 0
• => x = A •(B x C) + B • (C x A ) , pero (A B C) = (B C A)
En consecuencia : x = 2 (A B C )
Ejemplo 6 J Dem ostrar que
(A x B) •(B x C) x (C x A) = (A B C )2
Demostración. En efecto , supóngase que
A x B = M , B x C = N , C x A = R
En ton ce s: M • (N x R ) = M • ( N x ( C x A)]
= M •[(N • A) C - (N •C) A]
= M • {[(B x C) • A] C - [(B x C) • Cj A }
= (A x B) • { [A •(B x C)] C - [0] A }
= ( A x B ) * [(A B C )] C
(PV.8)
(Teor. 4.3)
Sección 4.8: El producto mixto de vectores 243
= (A B C) [(A x B) • C] = (A B C)(A B C)
(A x B) • (B x C) x (C x A) = (A B C): ■
Ejem plo 7 } Dem uéstrece que : ! (A B C) I < 11 A B C
En qué caso se verificará el signo de igualdad?
Demostración. En efecto , por definición : (A B C) = A • (B x C)
Por la desigualdad de Schw arz : A • B < I A B
se sigue que : ! (A B C) I < I A B x C : (1)
Por la Propiedad 2 del Teorema 4.3 : B x C 11 = 11B C i I Se n (<£ B . C) I y dado
que |Se n (<$ B , C) I < 1 ' = » | l B x C | | ¿ | l B l l | | C | |
Por lo tanto , en (1) se tiene : I (A B C) I < ! A B I C 11
La igualdad ocurre cuando Se n (<$ B , C) = I , es d e c ir, cuando la medida del ángulo
entre B y C es de 90°, esto es , cuando B ± C ■
Ejem plo 8 j Dem ostrar que : C • (A x [A x (A x B)]) = - 1 A | 2 ( A B C )
Demostración. En efecto , A x (A x B) = (A • B) A - (A • A) B (PV.8)
<=> A x [A x (A x B); = A x [(A • B) A - (A • A) B]
= (A* B) (A x A) - 11A 11- (A x B) (PV.1)
= (A • B) (0) - 11A 11: (A x B) (PV.6)
Por lo tanto: C • (A x [A x (A x B)]) = - 11A | : C * ( A x B )
= - II A I I 2A - ( B x C ) (PM.1)
= - 11A 11- (A B C) ■
Ejemplo 9 J El vector C e s perpendicular a los vectores A yB . el ángulo
form ado por A y B es igual a 30°. Sabiendo que A I = 6 ,
I l B l l = 11 C 11 = 3 , calcular (A B C ).
Solución. Por la propiedad P M .1 : (A B C) = (C A B)
o ( A B C ) = C - ( A x B ) (PM.2)
y por la desigualdad de Schw arz : I ( A B C) I < ! C A x B
Dado que C 1 B y C 1 A , entonces se tiene la igualdad
I (A B C) | =||C|| 11A || II B II Se n 30°
= (3) (6) (3) (1/2) = 27
(A B C) = ± 27 ■](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-128-320.jpg)
![244 Capítulo 4: Vectores en el espacio
E je m plo 1 0 J D ados los vectores A , B , C y D e R 3 , dem ostrar que
(A x B) •(C x D) = (A • C) (B •D) - (A •D) (B •C)
Demostración. Su p ón ga se que A x B = N - N
=> (A x B) • (C x D) = N • (C x D)
Se gú n la permutación cíclica : N • (C x D) = D • (N x C)
«=> (A x B) • (C x D) = D • (N x C) = - D • (C x N)
= - D • [ C x ( A x B ) ]
= - D • [ (C *B ) A - (C * A) B ]
= - (C • B )(D •A) + (C •A )(D •B)
y por la propiedad conmutativa del producto escalar
(A x B) •(C x D) = (A •C )(B •D) - (A • D )(B •C)
E je m plo 1 1 J L o s vectores de posición , con respecto al origen , de los
puntos P, Q y R son A = <3 ,-2, -1 >, B = (1 ,3 ,4) y C = (2 ,1, -2),
respectivamente. Hallar la distancia del punto P al plano O Q R .
Solución. Refiriéndonos a la Figura 4.42 , vem os que
d = 11 ProyNA 11 = I C om pNA I
i—*v ¿y 1A . N| J A •(B xC)|
(1 )
IN II l l B x c l l
3 4
1 -2
i -
1 4
2 -2
i +
1 3
2 1
k = 5<-2 , 2 - 1>B x C =
A . (B x C ) = 5 < 3 ,-2 ,-1 >.(-2 ,2 ,-1 ) = -45
Por lo que , en (1 ) tenem os :
I - 45 I
d =
5 4 + 4 + 1
= 3
Eje m p lo 1 2 J Hallar el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los
vectores A = <3 , -1 , 1), B = <2 , 3, -2) y C = <1 , 4 , 3).
Solución. La medida del volumen del paralelepípedo está dada por
3 -1 1
V = | A • B x C | =
<=> V = 3
3 -2
4 3
( - 1)
2
1
+ 1
Sección 4.8: El producto mixto de vectores 245
= 3(9 + 8) + (6 + 2) + (8 - 3) = 51 + 8 + 5 = * V = 64 iT
Ejem plo 1 3 J Hallar el volumen del tetraedro cuyas aristas son los vectores
A = <2 ,1 , 3), B = <-3 , 0 , 6) y C = <4 , 5, -1)
Solución. Voi. del tetraedro = 4- (base)(altura)
=* V = I ( i | | B x C h I)
Dado que 11 h 11 = Il ProyNA I = i C om pNA
= > v = l ( l l B x C l l ) l , v ‘ B x n l = - M a - B x C
6 l l B x C l l 6
2 l 3
-3 0 6
4 5 I
= J -| -84 I = 14 u’
6
Ejem plo 1 4 } El volumen de un tetraedro es 5 u3 ; tres de su s vértices están
en los puntos A(2 , 1 , - 1 ) , B(3 , O , 1) y C (2 , -1 , 3).Hallar las
coordenadas del cuarto vértice D si se sabe que está en el eje OY.
Solución. S i el vértice D está sobre el eje Y , entonces : D (O , y , 0)
Tom ando el vértice A com o origen , la representación de posición de
las aristas están dadas por los vectores
a = AB = (3 ,0 , 1) - <2 , 1 , -1>= <1 ,-1 ,2)
b = Á C = <2,-1 , 3) - <2 , 1 , - 1) = <0 , - 2 , 4)
c = A D = <0 , y , 0) - <2 , 1 , -1) = <-2 , y - 1 , 1>
1 -1 2
0 - 2 4
-2 y -1 1
c=> 30 = I 1(-2 - 4y + 4) - (-1)(0 + 8) + 2(0 - 4) |
de donde obtenem os : I I - 2y 1 = 1 5 <=> 1 - 2y = 15 ó 1 - 2y = -15
<=> y = -7 ó y = 8
En consecuencia , hay dos soluciones : D(0 , -7 , 0) y D(0 , 8 , 0)
Ahora , si V = -j- I (a b c) I ■=> 5 = 4-6 6
Ejem plo 1 5 ) C on los vectores a . b y c de R ' es posible formar un paralele-](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-129-320.jpg)
![246 Capítulo 4: Vectores en el espacio
pípedo de volumen V. Hallar el volumen del paralelepípedo que se puede formar
con los vectores 2 a - b , 2 a + b , a + 3 c
Solución. Si V = I (a b c ) | = | a - ( b x c ) l = lb - ( c x a ) | = | c -(a x b )|
=> V ’ = I (2 a - b) • [(2 a + b) x (a + 3c)] I
= I (2 a - b) • [(2 a + b) x a + 3(2 a + b) x c)] | (PV.1)
= I (2a - b) • [2a x a + b x a + 6 ax c + 3 b x c )] | (PV.2)
= I (2a - b) • [2(0) + b x a + 6 a x c + 3 b x c ] (PV.6)
= l 2 a * ( b x a + 6 a x c + 3 b x c ) - b * ( b x a + 6 a x c + 3 b x c ) l
Por definición : a • (b x a) = a • (a x c) = 0 y b • (b x a) = b • (b x c) = 0
«=> V ’ = |[2(0) + 6(0) + 6 a • (b x c)] - [(0 + 6 b • (a x c) + 3(0)] |
= 16 a •(b x c ) + 6 b - (c x a) | (PV.4)
= 121(a b c) I = 12 V ■
Ejem plo 1 6 J Los puntos A y H , B y E ; C y F , D y G , son respectivam ente,
vértices opuestos de las caras A B C D y H E F G (opuestos) de
un paralelepípedo. Hallar su volum en , sa b ie n d o que : A (4 , 0 , -1 ), F(x , y , 0),
C P = (-1 , 3 , 7 > , B D = <13 , -1 , -21), P F = ProyA-FC F = < 3 ,-6 , 3).
Solución. La Figura 4.44 muestra el paralelepípe
do de acuerdo a los datos dados.
Si P F = ProyA-FC F = <3 , -6 , 3) => ÁF11 3<1 . -2 , 1)
{
x - 4 = t
y - 0 = -21
1 = t
Luego , x - 4 = 1 -> x = 5 , y = -2 => F(5 , - 2 , 0)
P F = <3 , -6 , 3> <=> P = F - <3 , -6 , 3} FIG U R A4.44 '
=> P = <5 , -2 , 0) - <3 , -6 , 3) = <2 , 4 , -3)
C P = <-1 , 3 . 7 ) C = P -< -l . 3 , 7> = <2 . 4 , -3> - <-1, 3 , 7 ) ==> C = <3 , 1 ,-10)
Si las intersección de las diagonales A C y B D e s M , entonces
M = | ( A + C) = -|<7 , 1 , -1 1 ) c=> M D = 4 B D <=> D = M + i B D
<=* D = i < 7 , 1 , - H ) + I < 1 3 , - l ,-2 I) = <10, 0 ,-16 )
Adem ás , si B D = <13 , -1 , -21) <=> B = D - <13 , -1 , -21)
= < 1 0 ,0 ,-1 6 )- <13,-1 , -21) = <-3 , 1 ,5)
C onocidos los vértices B , C , D y F , podem os hallar la representación de posición
de las aristas mediante los vectores
Sudón 4.8: El producto mixto de vectores 247
a = C D = D - C = <7 , -1 , -6) ,b = C D = B - C = <-6, 0 , 15) ; c = C F = <2 ,-3 , 10)
7 -I -6
V = (a b c) = - -6 0 15 = 1 17 u '
2 -3 10
EJER C IC IO S : Grupo 28
1. Establecer si los vectores A , B y C forman una base en el conjunto de todos los
vectores , s i :
a) A = <2, 3 , - 1 ) , B = <1 , -1 ,3) , C = <1 ,9 ,-1 1 )
b) A = <3 , -2 , 1) , B = <2 , 1 , 2) , C = <3 , -1 , -2)
2. Dem ostrar que para cualesquiera A , B y C en R ' , los vectores A - B . B - C
y C - A son coplanares. Cuál e s el sentido geométrico de este hecho?
3. Determinar el valor de k de modo que los cuatro puntos dados . A(1 , 2 , -1) ,
B(0 , 1 , 5 ) , C(-1 , 2 , 1) y D(k , 1 , 3 ) estén situados en un plano.
4. Dem ostrar las identidades
a) (A + B + C ) * ( A - 2 B + 2 C ) x ( 4 A + B + 5 C ) = 0
b) (A + B) • B x (A + B) = - (A B C)
c) (A - B) • (A - B - C) x (A + 2 B - C) = 3( A B C )
d) V a . f i e R . A * B x ( C + a A + p B ) = ( A B C )
5. D em ostrar que los vectores A = <1 , r , r2) , B = <1 , s , s 2) , y C = <1 , t , t2) ,
donde r , s y t son núm eros reales distintos , son linealmente independientes.
6. Se a n los vectores A = <r -1 ,1 , r ) , B = <1 , r -1 , r - 2) y C = <1 , r , r). Hallar los
valores de r para que A , B y C sean linealmente independientes.
7. D ado s los vectores A = <2 - k , -2 , 3 ), B = <1 , 1 - k , 1) y C = <1 , 3 , -1 - k ) ; qué
valores debe tener k para vectores A . B y C sean linealmente independientes,
y que valores debe tener k para que sean linealmente dependientes?
8. Los vectores de posición , con respecto al origen , de los puntos P , Q y R son
los vectores A . B y C , respectivamente. Hallar la distancia del punto P al plano
O Q R .
a) A = <3 , 4, -4), B = <-5 , 4 , -2), C = <-6 , - 7 , 2 )
b) A = <3 , -1 , -3). B = <1 , 0 , 3). C = <2 , -2 , 3)
9. S i los vectores A , B y C son las aristas de un paralelepípedo , hallar su
volum en , s i A = 6 j - 4 k . B = <4 , -2 , 1 ) y C = 4i + 3 j - 4 k](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-130-320.jpg)
![250 Capitulo 5: Rectas en el espacio
C om o S está sobre la recta 7', entonces según (1) , su ecuación paramétrica
vectoriales <5?: P = <2 , 3 ,-1) + t <3 , -6 , 2) ■
| O B S E R V A C IO N 5.1 Segmento de recta_______________________________________ 1
Tal com o en el c a so de los vectores en R - , si se restrige el
dom inio de t , en la ecuación (1 ) , a un intervalo
cerrado , entonces la gráfica de la ecuación es un
segmento de recta. •
En particular, si 0 < t < 1 , entonces la gráfica es el
segm ento ST.
S e puede identificar a los puntos que están a una
distancia dada de S sobre T eligiendo aproxim a
damente ekparámetrc
FIGURA 5.2
E je m p lo 2 ) Obtener las coordenadas de los puntos que trisecan al seg-
mentó de extremos S (-6 , 1 , 5) y T(3 , 13,-1 ).
Solución. El vector direccional de la recta que pasa por S y T es
a = T - S = (3 , 13 , -1 >- <-6 , 1 , 5) = <9 , 12, -6)
Luego , la ecuación paramétrica vectorial del segm ento S T es
S T : P = (-6 , 1 ,3) + t (9 , 12 , -6), t e [0 , 1]
Para obtener los puntos de trisección B y C , hacem os : t = 1/3 y t = 2/3
Para t = 1/3 «=>B = <-6 , 1 , 3) + 1 < 9 , 12 , -6) = <-3 , 5 , 3>
Para t = 2/3 c=>C = (-6 , 1 , 3) + | < 9 , 12 ,-6) = (0 , 9 , 1)
Conclusión. B(-3 , 5 , 3) y C (0 ,9 ,1 ) son los puntos de trisección del segm ento ST
I O B S E R V A C I O N 5.2 Ecuaciones paramétricas cartesianas de una recta________
Si en la ecuación (1 ) escribim os los vectores P . P, y a en
función de su s com ponentes , entonces
(x , y , z) = ( x ,, y , , z,) + t(fl,b,c)
o bien
<x , y , z) = <x, + tü , y, + t¿>, z, + te)
que equivale a las tres ecuaciones cartesianas
x = x + ta , y = y. + tb , z = z + tc (2)
E stas tres ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones paramétricas cartesianas
de la recta S£.
Sección 5. /. licuación vectorial de una recta en el espacio 251
I O B S E R V A C IO N 5.3 Ecuaciones simétricas de una recta______ __________________
Si despejam os t de cada una de las ecuaciones (2) obtene
m os
Las ecuaciones (3) reciben el nombre de ecuaciones simétricas de la recta 7 . Los
términos a ,b , y c son los núm eros directores de 7 , ya que son las com ponentes
de un vector de dirección de dicha recta.
Si una recta es paralela a un plano , entonces uno de su s núm eros direc
tores es 0. Por lo tanto , no tiene ecuaciones simétricas de la forma (3), puesto que
uno de los denom inadores sería cero. Por ejemplo , si una recta 7 es paralela al
plano X Y , pero no a los ejes X e Y (Figura 5.3), entonces tiene un vector direccional
de la forma (a , b ,0), donde a * 0 y b * 0. Aunque 7 no tiene ecuaciones de la forma
(3), si contienen al punto P^x, , y, , z,) se puede determinar mediante las ecuacio
nes
x - x i _ y-yi
a b ’ 1
Si una recta es paralela a uno de los ejes coordenados , entonces dos de
sus números directores son 0 , y en lugar de las ecuaciones simétricas se tiene
sim plemente las e cu a cion e s que e xp re sa n las d o s co o rd e n a d a s constantes
de cada punto sobre la recta. A s í si la recta 7, que e s paralela al eje Z , p asa por
P,(x, , y, , z,) queda especificada por las ecuaciones
x = x, , y = y,
La recta rf interseca al plano X Y en el punto S(x, , y, ,0 ) com o se indica en la
Figura 5.4](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-132-320.jpg)
![254 Capítulo 5: Rectas en el espacio
3. Para S? y S£ y: a, = <2 , 3 , -4), a, = (1 , -4, 1>
C3= P, - P, = (5 , -1 , 4> - (-3 , -2 , 6>= <8 , 1 , - 10)
2 3 - 4
(3, a, c,) = = 01 - 4 1
8 1 -10
Por lo que , y S£. son rectas concurrentes.
Si P e (.5?, f| SU) >=> 3 t , s e R tales que
(x ,‘y , z> = (-3 , -2 , 6) + t(2 , 3 , -4> = <5,-1 ,-4> + s<l , -4 , 1>
o bien
{
2 1 - s = 8
3 1+ 4 s = 1
4t + s = 10
Resolviendo las dos primeras ecuaciones obtenem os : t = 3 y s =-2
Luego , en (1): <x , y , z> = <-3 , -2 , 6) + 3 <2,3 , -4)«=* P(3 , 7 , -6) e 5?,D
(1)
DEFINICION 5.2 Perpendicularidad de rectas
D o s rectas 2 = { P ( + t a} y SB2= { P, + s b} se dice que son
perpendiculares si lo son su s vectores de dirección , esto es
2 XLSB2 » a l b
Ejemplo 7 J H allar la e cu a ción de la recta S£ que p a sa por el punto
P ^ , 1 , 2 ) y e s perpendicular a las rectas 2't = {<1 , 0 , 2) +
r(1 . -2 ,2 » y 5?2= {(2 , 6 , -3) + s (3 , 0 , -1)}
Solución. Si a, = <1 , -2 , 2) y a, = <3 ,0 , -1), y dado que
SULS( => a l a , , y también S£ 1 S&2 => a _L a.
Por la definición de producto vectorial, el vector a e s perpendicular al plano forman
do a, y a , , entonces
i j k
a = a , x a , = 1 -22= 2 i + 7 j - 6 k
3 0 - 1
Por lo tanto , la ecuación buscada e s , Sf : P = <3 , 1 , 2) + t (2 , 7 , -6), t e R ■
Ejemplo 8 J Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto S(2 ,-1 ,1)
y es perpendicular en el punto de intersección con la recta
Sección 5.2 : Posiciones relativas de rectas en el espacio 255
* , = {<11 , - 3 , 2 ) + r < 2 , 0 , - 1 ) | r e R }
Solución. S e a T e ( * , f| Si,",) y a, = <2 ,0 , -1>
S i á?,: P = (1 , -3 , 2) + r<2 ,0 , -1), r e R
y si T € SL «=> T = <1 + 2 r , -3 , 2 - r)
ST=T-S=<1+2r,-3,2 -r)-<2, -1,1) =<2r-1, -2,1 -r)
ST l a, t=> S T •a ] = 0
«=> <2 r- 1 ,-2 , 1 - r) •(2 , 0 , -1 >= 0
de donde obtenem os , r = 3/5
Luego : S T = <|--1 , -2 , 1 - } > = | <1 ,-1 0, 2)
Como a 11S T *=> a = t <1 , - 10 , 2>.
* = {<2,-1 , l> + t<l , - 1 0 , 2 > | t e R } ■
Ejemplo 9 j Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto S(1 , - 4 , 6 )
y es perpendicular, en el espacio, a la recta = {(3 ,2 , -1) +
r(1 , -1 , 2)l r e R }
Solución. Se a n : P,(3 , 2 , -1), a, = <1 , -1 , 2) y v = SP,
Entonces , v = P, - S = <3 , 2, -1) - <1 , -4 , 6) = <2 , 6 , -7)
Un vector normal al plano formado por los vectores
v y a, e s :
i j k
2 6 - 7 = < 5 ,-1 1 , -8 )
1 -1 2
y un vector normal al plano formado por los vecto
res a ] y n i e s :
i j k
1 -12 = 6 <5 , 3 , -1)
5 -11 -8
Com o n, es paralelo a la recta SP ■=> a = (5 , 3 , -1) FIGURA 5.6
* = { < 1 ,-4 ,6 ) + t < 5 , 3 , - l) | t € R }
n, = v x a, =
a,V
r
----
v /
' _
S
" ^ a r
v
J
Ejemplo 1 0 ^ H allar la e cu a ció n de la recta 7' que p a sa por la in te rse c
ción de la s rectas S¿ = {<5 , -3 , 1) + t <3 , -4 , 7) 11 e R } y
■2*2— •(4 , 2 , -9) + r (2 ,1, -3) I r e R y es perpendicular al plano formado por * , y %](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-134-320.jpg)
![256 Capítulo 5: Rectos en el espacio
Solución. Si P, e (J2?, (1 %2) => 3 t , r e R , tales que
<x,, y , , z,) = <5 , -3 , 1)+ t<3 , -4 , 7> = (4, 2 , -9) + r (2, 1, -3>
r 31- 2r= -1
Entonces : (3t - 2 r , -4t- r , 7t + 3r> = (-1 , 5 , -10) <=> •< -4t - r = 5
L 7t + 3 r = -10
Resolviendo las dos primeras ecuaciones obtenem os ,t = r = -1
Luego , en (1): P, = <5 , -3 , 1) - <3 , -4 ,7 ) = <2, 1, -6>
Si a es el vector de dirección de entonces : a = a ] x a,
¡ j k
3 - 4 7
2 1 -3
.2?= « 2 , 1, -6) + s (5 , 23 , 11>I s e R>
<=> a = = <5 ,23 , 11)
( 1)
E je m plo1 1 ~ } S e a n la s re ctas SB, = {(3 ,4 , 0) + r (1 , 2 , -1) I r e R y
3? = {<1 ,1 , 1) + s (1 , 0 , 2) I s eR}. Hallar laecuación de una
recta que corta a í ^ e n A . a ^ e n B y a l eje X en C , de m odo que A B = B C
Solución. Si A € rl <=> A = (3 + r , 4 + 2 r , -r)
B e se2 =» B = <1 + s , 1 , 1 + 2s)
C e (Eje X) C = <x , 0 , 0)
Dado que A B = B C => B es punto medio de A C
3 + r + x = 2 ( l + s ) <=> r - 2 s + x = -l
{
j + i + x =
4 + 2r + 0 = 2
-r + 0 = 2(1 +
2(1) o r = -1
2(1 + 2s) c=> s == -1/4
Lu e go, A = (2 , 2 , 1 ) y B = <3/4, 1 , 1/2)
El vector de dirección de la recta r£ es
a = B A = A - B = i <5 , 4 , 2)
- {<2 , 2 , 1) + t<5 , 4 , 2) 11 e R }
Ejemplo 1 2 j D ado s los vértices de un triángulo A(1 , -2 , -4), B(3 , 1 , -3) y
C(5 , 1 , - 7 ) , hallar las ecuaciones paramétricas de la altura
bajada desde el vértice B al lado opuesto.
Solución. Considérese el A A B C de la Figura 5.8 , en donde :
H B = Á B - Á H = Á B - ProyA-cÁ B (1)
Sección 5.2 : Posiciones relativas de rectas en el espacio 257
A B = B - A = <3, l , -3) - <1 ,-2 ,-4 ) = <2 , 3, 1)
Á C = C - A = <5 , 1 , -7) - <1 , -2 , -4) = <4, 3-, -3)
á q /(2 , 3 , 1>•<4 , 3 , -3)'
(2)
ProyA-cA B = (-
11<4 , 3 , -3) 112
) <4 , 3 , -3)
= ?.+ 9 ~3 ( 4, 3, -3) = -1 ( 4 - , 3 , -3>(3)
(V16 + 9 + 9 )1 ,7M 1
Sustituyendo (2) y (3) en (1 ), obtenem os :
H B = ^ ( 3 , 1 5 , 1 9 >
Si a es el vector direccional de la altura H B y com o a 11H B ■=> a = (3 , 15 , 19)
Dado que B(3 , 1 , -3) pertenece a la altura H B , su s ecuaciones paramétricas son
x = 3 + 3t , y = 1 + 151 , z = -3 + 191 ■
(^Ejem plo 1 3 ^ D a d o s los vértices de un triángulo A(3 , -1, -1), B(1 , 2, -7) y
C (-5 , 14 , -3). Hallar las ecuaciones simétricasde labisectriz
del ángulo interno del vértice B.
Solución. La Figura 5.9 muestra al A A B C y la repre
sentación de posición de la bisectriz BD.
Entonces
B Á = (3 , -1 , 1)-(1 . 2 , -7) = (2 ,-3 , 6)
B C = (-5 , 14 , -3) - (1 , 2 , 7) = (-6 , 12 , 4)
Los vectores unitarios en las direcciones de B A y B C
son , respectivamente
t ( 2, - 3 , 6) _ (2 , -3 , 6) w _ (-6 ,1 2 , 4) _ <•
j V4 + 9 + 36 7 ’ V 3 6+ 144 + ?6
Luego , un vector en la dirección de la bisectriz B D es
b = u + v = - y (1 ,-3 ,-8 )
Por lo que , los núm eros directores de la bisectriz B D son : 1 , -3 y -8. Si B(l , 2 , -7)
pertenece a la bisectriz , entonces su s ecuaciones simétricas son
3 , 6 , 2 )](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-135-320.jpg)
![278 Capítulo 6: Planos en el espacio
,1/c i> _ I S • n - T * n | _ l ( xl , y l , z l) - ( A , B , C ) - < x , , y , , z ^ - ( A , B , C > l
( ) = — M i ~ = +
I A x ,, B y,, C z, - (A x2, B y2, C z:) I
A : + B : + C 3 ~~
C om o T (x ,, y , , z,) e P «=> Ax, + By, + Cz, +D = O => D = -(Ax, + By, + Cz,)
,/(.Q P) - lAx, , By, ,Cz, + D|
A : + B + C :
(6)
;i en la fórmula (6) sustituimos las coordenadas de S por las del origen , obtene-
(7)
Si
m o s
D i
d(0 , P) = . lu> L ..■■■■
A : + B- + C :
que es la fórmula para calcular la distancia del origen a un plano. Valiéndose de
esta fórmula podem os calcular la distancia cartesiana entre dos planos paralelos,
efecto , sean P : A x + B y + C z + D, = 0 y P , : A x + B y + C z + D , = 0 dos planos ]En
paralelos
Por la fórmula (7) : d{O . P ) = . I P ‘I ------ ^ o , P,) = - ___
V ' 1 n A 3+ B -' + C-2 V A 2+ B- + C-
Luego , d(P, , P,) = d(O , P :) - d(O , P,) o d(P , , P,) = d{O , P,) - d(O , P 2)
D> I
d(P P .= l D | ~ D r l -
; A- + B- + C-’
(8)
E je m plo 1 J Hallar la distancia del punto S(5 , - 2 , 3 ) al plano
P = {(2 , -1 , 6) + t (1 . 0 , 3) + s (2 , -2 , 3) It ;s e R>
Solución. Por simple inspección . un punto sobre el plano P e s T(2 ,-1, 6) y dos
vectores sobre P son , a = <1 , 0 , 3) y b = (2 , -2 , 3)
i j k
o n = a x b = 1 0 3 = ( 6 , 3, - 2)
2 - 2 3
Un vector que va de T a S es : v = (5 , -2 , 3) - (2 , -1 , 6) = (3 , -1 , -3)
Luego , usando la fórmula (5) obtenem os
d{S - P ) = ^ ' , ~l ■° ) , <6 ■3 ■~2)1 _ 21 _ 3 ■
V36 + 9 + 4 7
Sección 6.2: Distancia de un punto a un plano 279
(S~---------------------
Ejemplo 2 J D a d o s los planos paralelos P , : 2 x - 3 y + 6 z - 14 = 0 y P 2 :
4 x - 6 y + 1 2 z + 2 1 = 0 ; determinar si el punto S(3 , - 2 , 5 ) está
entre dichos planos.
Solución. Un punto estará entre dos planos paralelos si su distancia a cada plano
e s menor que la distancia entre am bos planos. Luego , haciendo uso
de las fórmulas (6) y (8) tendremos
12(3) - 3(-2) + 6(5) - 141
7
¿ ( S . P , ) =
d(S , P :) =
'4 + 9 + 36
14(3) - 6(-2) + 12(5)+ 21 105
14
= 7.5
V I6 + 3 6 + 1 4 4
Obsérvese que los coeficientes de las ecuaciones de am bos planos son propor
cionales , entonces para que sean iguales debem os multiplicar la ecuación de P,
por 2 , y a sí a p lic ar, la fórmula (8), esto es , si
I D 2- D,| . J/n ,, x |21-(-28)1
P, , P,) = ^(P, ,P 2) =
A : + B : + C : ' ^ fl6 + 3 6 + 1 4 4
Como d(S , P,) > d(S , P,) > d(P, , P,) , el punto S no está entre am bos planos ■
Ejemplo 3 j Si la base de un tetraedro es un triángulo cuyos vectores son
R(1 , 3 , -3), S(2 , 2, -1) y T(3 , 4 , - 2 ) ; hallar la longitud de la
altura del tetraedro desde el vértice D(2 , 9 , -2) a la base.
Solución. S i a = R T = T - R = (2 , 1 , 1)
y b = R S = R - S = (1 ,-1 ,2)
un vector normal al plano de la base es
i j k
' =3(1,-1,-1)n = a x b = 2 1 1
-1 2
Sin perder generalidad podem os elegir, n = (1
Si v = R D = D - R v = ( 1 , 6 , 1)
Luego , usando la fórmula (5) obtenem os
1 , - 1)
(
1
w
1
v /
* b , ) S
V- T
FIGURA 6.9
h = I V • n I = 1( 1 , 6 , ! ) » ( ! , - 1 , - 1)1 = 2V3
11 n 11 vi + 1 + 1
Ejemplo 4 j Obtener la ecuación del plano que es paralelo al plano
P , : 3 x - 2 y + 6 z - 9 = 0 , y que está a 7 unidades del origen.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-146-320.jpg)
![282 Capítulo 6: Planos en el espado
ejemplo 1 ^ Hallar la ecuación paramétrica vectorial de la recta de inter
sección de los planos P , : x - 2 y + z = 0 y P 2: 3 x + y + 2 z -7 = 0
Solución. Los vectores normales de am bos planos son n, = (I , -2 , l) y n, = (3 ,l , 2)
Entonces un vector de dirección de la recta de intersección es
i j k
a = n ] x n , = l -2 l = (-5 , I , 7)
3 1 2
Com o la coordenada z de a no es cero , la recta r£ no es paralela al plano X Y , y se
puede sustituir a z por cero en las ecuaciones de los planos para obtener el punto
S de intersección de 7 y el plano XY. Esto es , si
z = 0 .=> (x - 2 y = 0) fl (3 x + y = 7) = (2 , 1) => S ( 2 , 1 , 0)
Por tanto , la ecuación paramétrica vectorial de % es
Z ' : P = <2, 1 , 0 ) + t<-5, 1 , 7 ) , l e R ■
O B S E R V A C IO N 6.5 Trazas de un plano
La intersección de un plano P en el espacio con uno de los
planos coordenados recibe el nombre de traza de P en eseplanocoordenado.
Frecuentemente se puede emplear las trazas de un plano parafacilitarel trazado
de su gráfica. En la Figura 6.11 se muestra la parte
de un plano , con ecuación
P : 2 x + 4 y + 3 z - 12 = 0 (1)
que está en el primer octante.
La traza del plano P en el plano X Y se obtiene
haciendo z = 0 en (1). Esto es
2 x + 4 y = 12 =* x + 2y = 6
Haciendo x = 0 en (1) obtenem os la ecuación de la
traza en Y Z , o sea : 4 y + 3 z = 1 2
Finalmente , haciendo y = 0 en (1 ) obtenem os la
ecuación de la traza en X Z : 2 x + 3 z = 12
f >
Zi l
4(
>v
/ o
* x
v -------------------y
FIGURA 6.11
O B S E R V A C IO N 6.6 Ecuación simétrica del plano
Si en la ecuación del plano P : A x + B y + C z + D = 0, ninguno
de los coeficientes A . B, C y D es igual a cero , esta ecuación se puede transformar
a la forma
(9)
Sección 6.3: Intersecciones de planos 283
en donde ,a = - D/A , b = - D/B y c = - D/C son las m agnitudes de los segm entos que
el plano P intercepta en los ejes X , Y y Z respectivamente. La ecuación (9) se llama
ecuación segmentaria o simétrica del plano.
Ejemplo 2 J Las ecuaciones de las intersecciones de un plano P con el
plano X Y y el plano Y Z son las rectas S 1 : 2 x - y - 7 = 0 , z = 0 ,
y S '2 :y + 3 z + 7 = 0 , x = 0 , respectivamente. Hallar la ecuación de dicho plano P.
Solución. Escribiendo las ecuaciones de rl y .2?, en su forma simétrica , tenem os
x
Entonces los vectores de dirección son : a, = <1 , 2 , 0) y a, = (0, -3 , 1)
¡ j k
El vector normal al plano es , n = a x a, <=> n = = <2,-1 ,-3)1 2 0
0 -3 1
Un punto de es P,(0 , -7 , 0) y com o P, e P , entonces si P(x , y , z) es un punto
cualquiera de P , implica que
(P - P,) •n = 0 ■=> (x , y + 7 , z> •<2 , -1 , -3) = 0 <=> P : 2 x - y - 3 z - 7 = 0 ■
[ ejemplo 3 ^ Hallar la ecuación del plano P que es paralelo al plano cuyas
intersecciones con los ejes X , Y y Z son 3 , -1 y 2 respectiva
mente , y que pasa por el punto S(5 , -8 , 3).
Solución. Por la fórmula (9), la ecuación del plano con a = 3 , ¿ = -1 y c = 2 es
P . : f + + 4 = 1 <=> p , : 2 x - 6y + 3 z - 6 = 0
Si P I P , , entonces la ecuación de P tendrá la forma , P : 2 x - 6 y + 3 z + k = 0
Dado que S(5 , -8 , 3) e P <=> 2(5) - 6(-8) + 3(3) + k = 0 , de donde obtenemos , k = -67
/. P : 2 x - 6 y + 3 z - 6 7 = 0 ■
ejemplo 4 J Hallar la ecuación del plano que p a sa por lospuntos
S(-1 , 4 , -1) y T(-13 , 2, -10)y que intercepta a los ejes X y Z
segmentos de igual longitud y diferente de cero.
Solución. Si Ia I = Ic I <=>a =c ó a = -c
X V 7
Para a = c , la ecuación del plano es P : — + v + — = l (a)
a b a](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-148-320.jpg)
![288 Capítulo 6: Planos en el espacio
Solución. Un vector de dirección de la recta c£ es
a = a, xa, = (2 , 1 , -1> x (1 , 1 , l> = <2, - 3, 1)
Para el plano X O Y , n = k = (0, 0 , 1)
S e n a = (2 ’ ,~3 ’ °_— = - L <=> a = are S e n (1/VÍ4)
(V4 + 1 + 9 ) (VT) VÍ4
DEFINICION 6.5 Proyección ortogonal de una recta sobre un plano
S e denom ina proyección orto
gonal de una recta 9P: P = P, + 1 a , sobre un plano
P , de normal n , a la intersección del plano P con
el plano P ] , de ecuación P |= {P | P = P l + ra + sn},
el cual es perpendicular al plano P.
FIGURA 6.14
Ejemplo 6 Hallar las ecuaciones de la proyección de la recta
se
r 5 x
X +
5 x - 4 y - 2 z - 5 = 0
, sobre el plano P : 2 x - y - z - 1 = 0
a = n. x n, =
a. = a x n =
2 z- 2 = 0
Solución. D e la recta SP se tiene , n, = (5 , -4 , -2) y n, = <1 , 0 , 2) y del plano P ,
n = (2 , -1 , 1). Un vector de dirección de la recta SP es
i j k
5 -4-2 • = - 4 ( 2 , 3, - 1)
1 0 2
La normal del plano P, formado por a y n es
i i k
2 3 -1 = ( 2 , - 4 , - 8)
2 - 1 1
Luego , la ecuación del plano que contiene a la recta á ? e s P , : 2 x - 4 y - 8 z + D = 0
Elegim os un punto cualquiera de 5?, tal com o P^O , -7/4 , 1)
Com o P, e P , , entonces : 2(0) - 4(-7/4) - 8(1) + D = 0 , de donde obtenem os D = 1
P , : 2 x - 4 y - 8z + 1 = 0
D ado que 2?, e (P fl P , ) , entonces las ecuaciones de la proyección de c£ sobre el
plano P son
2 x - 4 y - 8z + 1 =0
2 x - y - z - 1 = 0
EJERCICIOS • Grupo 34 289
EJERCICIO S: Grupo 34
1. Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos
3 x - 4 y + z + 6 + k ( 2 x - 3 y + z + 2) = 0
y es equidistante de los puntos S(3 , -4 , -6) y T(1 , 2 , 2 )
2. Hallar la ecuación del plano que pertenece a la familia de planos
1 0 x - 8 y - 1 5 z + 5 6 + k( 4x + y + 3 z - 1 ) = 0
cuya distancia al punto S(3 , -2 , -3) es igual a 7.
3. Determ inar los valores de m y n para que el plano 5 x + m y + 4 z + n = 0
pertenezca al haz de planos : 3 x - 7 y + z - 3 + k ( x - 9 y - 2 z + 5 ) = 0
4. Averiguar si el plano P : 5 x - 9 y - 2 z + 1 2 = 0 pertenece al haz de planos
2 x - 3 y + z - 5 + k ( x - 2 y - z - 7 ) = 0
5. H allar la ecuación del plano que p a sa por la recta de intersección de los
pla n os P , : 5 x - 2 y - z - 3 = 0 y P z :x + 3 y - 2 z + 5 = 0 y e s paralelo al vector
v = < 7 , 9 , 1 7 > .
6. Hallar la ecuación del plano que p asa por la recta de intersección de los
planos 3 x - 2 y + z - 3 = 0 , x - 2 z = 0 y e s perpendicular al plano x - 2 y + z + 5 = 0
7. Hallar la ecuación del plano que p asa por la recta de intersección de los
planos P , : 2 x + y - z + 1 = 0 , P 2 : x + y + 2 z + 1 = 0 y e s paralelo al segm ento
limitado por los puntos S(2 , 5 , -3) y T(3 , -2 , 2)
8. Hallar la ecuación del plano que pertenece a la familia de planos
3 x - 4 y + z + 6 + k (2 x - 3 y + z + 2) = 0
y es equidistante de los puntos M,(3 , -4 , -6), M 2(1 , 2 , 2 ) .
9. Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos
4 x + 1 3 y - 2 z - 6 0 + k (4 x + 3 y + 3 z - 30) = 0
y recorta del ángulo O X Y un triángulo de área igual a 6u2
10. Averiguar si el punto M (3 , 2 , - 1 ) está situado en el ángulo agudo u obtuso
formado por los planos P 1 : x - 2 y + 3 z - 5 = 0 y P a : 4 x - 3 y + 2 z + 5 = 0
11. Hallar la ecuación del plano que divide por la mitad el ángulo diedro formado
por los planos P, : 2 x - y + 2 z - 3 = 0 y P . : 3 x + 2 y - 6 z - 1 = 0 e n que está situado
el punto M(1 , 2 , -3).
12. Hallar en el haz : 2 x - 3 y + z - 3 + k(x + 3 y + 2 z + 1 ) = 0 u n plano que :
a) sea paralelo al eje O X ; b) se a paralelo al eje OZ.
13. Hallar las ecuaciones de las proyecciones de la recta](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-151-320.jpg)
![294 Capítulo 6: Planos en el espacio
Ejemplo 6 ] La posición inicial del punto M (x , y , z) , en un movimiento
uniforme rectilíneo en dirección del vector a = (-2 , 2 , 1 ) es
M 0(15 , -24, *16); la velocidad es v = 12. Tras verificar que la trayectoria del punto M
corta al plano P : 3 x + 4 y + 7 z = 1 7 , h allar: a) el punto P de su intersección , b) la
longitud del segm ento M i 3 , c) el tiempo que se necesita para que el punto M haga
el recorrido desde M 0 hasta P.
Solución, a) La ecuación vectorial de la trayectoria es
<B= {<15 , -24, -16) + 1<-2 , 2 , 1>, t e R }
Si P e X «=> P = (15 - 2 t , -24 + 2 t ,-16 + t) (1)
P e P <=> 3 (15 - 2t) + 4(-24 + 2 t) + 7 (-16 + t) = 17
de donde obtenem os , t = 20
Sustituyendo en (1) se tiene
5 ° n P = P(-25, 16,4)
b) M ¡P = <-25, 16 ,4 )-< 1 5 ,-2 4 ,-1 6 ) = 20 <-2, 2, 1)
El espacio recorrido es , e = 11 M 0P
c) Tiem po empleado : i = 1 = pj- = 5 unidades de tiempo.
= 20 4 + 4 + 1 = 60
Ejemplo 7 J Un rayo lum inoso parte del punto A(-3 , 8 ,5) ysigue la direc
ción de la recta ^ = {<1 , 0 ,1 )+ 1 <-1 , 2 ,1), t e R } , llega al
espejo dado por el plano P : x + y + z = 4. Hallar lá ecuación vectorial del rayo
reflejado.
Solución. La ecuación del rayo lum inoso es
= {<-3 , 8 , 5> + r<-l ,2 , l > , r e R }
Si S e i?, c=> S = <-3 - r , 8 + 2 r , 5 + r) (1)
Tam bién
S e P <=> (-3 - r) + (8 + 2 r) + (5 + r) = 4 <=> r = -3
Luego , en (1 ): .5?, flP = S (0 , 2 , 2)
La ecuación de la recta que pasa por A , perpendi
cular al plano P , es :
J2?,= {< -3 ,8 ,5 > + s< l , 1 , 1), s e R } FIGURA 6.22
Si B e <=> B = <-3 + s , 8 + s , 5 + s) (2)
B e P <=> (-3 + s) + (8 + s) + (5 + s) = 4 « s = -2
Sustituyendo en (2) obtenem os : B = <-5 , 6 , 3)
Miscelánea de ejemplos ilustrativos 295
Como B equidista d e A y C ■=> B = 1 ( A + C) » C = 2 B - A
=> C = 2 < - 5 , 6 , 3 > - < - 3 , 8 , 5 ) = <-7,4, 1)
Dirección del rayo reflejado : v = C S = <0 , 2 , 2) - <-7 ,4 , 1) = <7 , -2 , 1)
Por lo tanto , su ecuación vectorial e s SB= {<0, 2 , 2) + t ( 7 , -2 , 1), t e R } ■
Ejemplo 8 j Hallar la ecuación cartesianadelplano que pasa por el punto
S(1 , 4 ,-2) y dista una unidadde la recta 5? = {<2 , 6, 5) +
t(2 , -4 , 0 ), t e R}.
Solución. S e a la ecuación general del plano
* P : x + B y + C z + D = 0 (1)
Si d{f£ , P ) = 1 <=> = 1 <=> I n •v I = 11n 11
I I n 11
donde : v = S T = (2 , 6, 5) - <1 , 4 , -2) = <1 ,2 , 7>
n = <1 , B , C)
Luego : I <1 , B , C ) •<1 , 2 , 7) I = VI + B ; + C*
=> I 1 + 2 B + 7 C I = 1 + B - + C 3 (2)
Dado que X ± n <=> <2 , -4 , 0) •<1 , B , C) = 0
o 2 - 4 B = 0 «=> B = 1/2
Sustituyendo en (2) se tiene : 192C : + 1 1 2 C + 11 = 0 « C, = - 1/8 ó C, = -11/24
Si S e P => 1 + 4 B - 2 C + D = 0
Luego , para B = 1/2 y C, = -1/8 <=> D, = -13/4
y para B = 1/2 y C : = -11/24 => D, = -47/12
Por lotanto , sustituyendo cada uno de estos valores en (1) obtenem os
P , : 8x + 4 y - z - 26 = 0 ó P 2: 2 4 x + 12 y - l l z - 9 4 = 0 ■
(* ) Nota. En ocasiones en que se hace uso de la ecuación general del plano P :A x +B y +
Cz +D =0, es aconsejable considerar como la unidad a cualquiera de los coeficien
tes A , B , C o D , de preferencia A ; con esto se logra eliminar una incógnita y facilitar todas las
operaciones realizables.
Ejemplo 9 j Hallar la ecuación del plano que p a sa a través de la recta
£' ={(1 , 8 ,1 >+ 1<1 , -3 ,1 ), te R } y forma un ángulo de 60° con
el plano P, : 2 x - y + z = 7](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-154-320.jpg)
![296 Capitulo 6: Planos en el espacio
Solución. S e a el plano buscado P : x + B y + C z + D = O (1)
cuya normal es n = (1 , B , C)
C om o J2? c P «=> (l,.8 , l ) e P = > 1 + 8 B + C + D = 0 (2)
3 ? c P => a * n = 0 =* <1 ,-3, !)•<! , B , C ) = 0
<=> l - 3 B + C = O t = > C = 3 B - l (3)
Sustituyendo (3) en (2) se tiene : D = -1 1 B (4)
Un vector normal al plano P, e s n t = <2 , -1 , 1)
Si P y P forman un ángulo de 60° <=» C o s 60° = n * n ‘
n n.
esto e s - => 2(2 - B + C) = Vó (V I + B 2+ C 2)
2 (VI + B 2+ C : ) (4 + 1 + 1)
Sustituyendo el valor de (3) se tiene
2 (2 * B + 3 B - 1) = 6 (' 1 + B 2+ (3 B - 1)2) , de donde obtenem os
11 B 2- 13 B + 2 = 0 B, = 1 ó B : = 2/11
Luego , en (3) y (4) tenem os : C, = 2 ó C, = -5/11
D, = -11 ó D, = -2
Sustituyendo en (1) cada uno de estos valores , resultan dos soluciones
P , : x + y + 2 .Z -11 = 0 ó P , : 11 x + 2 y - 5 z - 22 = 0
Eje m p lo 1 0 J Hallar la ecuación del plano que pasa por A(1 ,3, 0) y B(4 ,0,0)
y hace un ángulo de 30° con el plano P, : x + y + z - 1 = 0
Solución. S e a el plano buscado , P : x + B y + C z + D = 0 (1)
Si A (1 , 3 , 0 ) 6 P => 1 + 3 B + D = 0 (2)
B ( 4 , 0 , 0 ) e P ■=> 4 + D = 0 <=> D = -4 , luego en (2), B = 1
Por lo que , en (1) se tiene , P : x + y + C z - 4 = 0 = > n = ( l , l , C ) (3)
La normal al plano P, es n ( = (1 , 1 , 1)
^ C o s 30° = ■ ü = < U , C ) . < I , 1 , 1 )
II n || 11n, 11 2 ('l + 1 + C J)(Vl + 1 + 1)
de donde obtenem os : 5 C 2- 16 C + 2 = 0 C = j (8 ± 36)
Por lo tanto , en (3) , las ecuaciones de los planos son
P : 5 x + 5 y + (8 ± 3 V6)z - 20 = 0 ■
Miscelánea ele ejemplos ilustrativos 297
Ejemplo 11 J Hallar la ecuación cartesiana de un plano que contiene a la
recta 7' = {(1 , 2 , -3) + 1(1 , -4 , 2)l t e R } y se encuentra a una
distancia de 8/41 unidades del punto T(2 , -4 , -5).
Solución. S e a el plano buscado P : x + B y + C /. + D = 0 => n = (l , B , C >
Si y c P c=> (1 , 2 , - 3 ) e P «=> 1 + 2 B - 3 C + D = 0
También si í c P t=> <1 , -4 , 2) •<1 , B , C ) = 0 , de donde : B = -j (1 + 2C)
Sustituyendo (3) en (2) se tiene : D = — (4 C - 3)
d(T , P ) = J L => Í 1 l ¿ B o £ + D ] _
41 Vi + B : + C 2 41
Sustituyendo en esta expresión los valores de (3) y (4) resulta la ecuación
180 C 2+ 36 C - 1 1 = 0 C, = 1/6 ó-C. = -11/30
Si C, = 1/6 c=> B, = 1/3 y D, = -7/6 , y si C : = -11/30 => B = 1/15 , D, = -67/30
Luego , en (1) , las ecuaciones de los planos buscados son
P , : 6 x + 2 y + z - 7 = 0 ó P , : 30x + 2 y - 11 z - 67 = 0
(1)
(2)
(3)
(4)
Ejemplo 12 j Dado el plano
P : x - 2 y + 3 z = 0 y l a recta 7 : x + 4 5 - z
, y = - 1 ; ha-
4 3
llar la ecuación de la recta que pasa por A(0 , 2 , -1) , es
paralelo al plano P y corta a la recta 7.
Solución. La normal al plano P es n = <l , -2 , 3>
y !?, = {<-4,-1 ,5) + r<4,0 , - 3) , r e R } .
Si P, e 7 «=* P, = <-4 + 4 r , -1 , 5 - 3 r )
El vector de dirección de la recta 7 es a = AP,
<=> a = (-4 + 4 r ,-1 ,5 - 3 r)-<0, 2 , -l) = (-4 + 4 r ,-3 ,6 - 3r)
Com o V 11 P «=> a •n = 0
«=> (-4 + 4 r , -3 , 6 - 3r) •<1 , -2 , 3) = 0
de donde obtenem os , r = 4 => a = <12 , -3 , -6) = 3 (4, -I , -2)
' 7' = {<0, 2 , - 1 ) + l <4,-1 ,-2), te R }
FIGURA 6.24
Ejemplo 13 J Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que es parale
la a los planos P , :3 x + 1 2 y - 3 z - 5 = 0 y P 2: 3 x - 4 y + 9 z + 7 = 0,
y que corta a las rectas](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-155-320.jpg)
![304 Capítulo 7: Números complejos
z e C <=* z = (a ,b) ,a ,b e R
w e C <=> w = (c ,d) ,c ,d e R
La com binación de los núm eros com plejos con los núm eros reales se
llama sistema de números complejos. Entonces a sem ejanza con el estudio desa
rrollado en forma axiom ática de los núm eros reales com enzarem os por definir
este sistem a en función de los núm eros reales.
f — -— — — a
DEFINICION 7.2 El sistema de números complejos
El sistem a de núm eros complejos e s el conjunto C de todos
los pares ordenados de núm eros reales (a , b) , provistos de una relación de
equivalencia y dos operaciones llam adas de adición y multiplicación . tales
que , para dos elementoscualesquiera (a ,b) e C y {c , d) e C se tiene
1. Igualdad: (a . b) = (c , d) <=>a = c A-b = d
2 . Adición : {a , b) + (c ,d) = (a + c , b +d)
3. Multiplicación : (a , b) (c , d) = (ac - bd , ad + be)
/--------------------------------------------- — -------------
TEOREMA 7.1 Propiedades de la Adición
Para los núm eros complejos z, , z, , z3 e C , se cumple las
siguientes propiedades
A.1 : V z , , z : e C <=> (z, + z,) e (! (C lausura)
A.2 : V z , , z ,e C <=* z, + z, = z, + z, (Conm utatividad)
A.3 : V z , , z , , z, e C r=> (z, + z:) + z, = z, + (z. + z.) (Asociatividad)
A.4 : Existencia y unidad del elemento neutroaditivo z0= (0 , 0)
3 ! z ,e C |V z e C ; z + z(J= z
A.5 : Existencia y unicidad del inverso aditivo
Para cada z e C , existe un único (-z) e C I z + (-z) = z.
Demostración de A .2 : z + z, = z, + z,
En efecto , sean z, = (a , b) y z, = (c , d) dos núm eros complejos
*=$ z, + z, = (a , b) +(c , d) = (a +c , b + a) (Def. de suma)
=(c +a ,d +b) (Conmutatividad en R)
=(c,d) +(a ,b) =z: + z, (Def. de suma)
/. Lasum a de núm eros complejos es conmutativa.
Sección 7. /: El conjunto de los números complejos
Demostración de A .3 : (z, + z ) + z, = z, + (z, + z,)
En efecto, sean : z, = (a ,b) , z, = ( c , d) y z^ = (e , f ) Ia ,b ,c ,d ,e , f e R
*=> (z,+ z:) + z ; = [(íí ,b) +(c ,d)] +(e ,i)
=(a +c ,b +d) +(e ,1) (Definición de suma)
= [ (a +c) +e , [b+d) +f ] (Definición de sum a)
= [ a + (c + e ) , b + (d + f )] (Asociatividad en R)
= (a , b) + [(c + e ) , {d +f)] (Definición de sum a)
= (a ,b) + [(a ,d) + {e ,i)] (Definición de sum a)
= z, + (z, + z,)
La sum a de complejos es asociativa.
Demostración de A.4 : 3 ! z € C I V z € C : z + zu = z
En efecto , sean , z(1= (x , y) y z = (a ,b)
Averiguarem os que valores deben tomar x e y de modo que : z + z,(= z
«=> (a , b) +(x , y) = (a ,b)
(a + x , b + y) = (a ,b) (Definición de sum a)
(a + x = a) a (b +y = b) (Definición de igualdad)
t=> (x = 0) a (y = 0)
Entonces el elemento neutro aditivo es z = (0 , 0). La unicidad de z resulta de la
unicidad de los valores de x e y.
z0 = (0 , 0) es el elemento neutro aditivo de C
Demostración de A.5 : V z e C , 3 ! (-z) e C I z + (-z) = z0
En efecto , sean : z ={a,b)' y -z = ( x , y )
Averiguarem os que valores deben tomar xe y , tales que : z + (-z) = z
o (a ,b) + (x , y) = (0 , 0)
r a + x = 0 = > x = -a
=> (a + x ,¿>+ y) = (0, 0) « { b + y =0 <=> y —-b
Luego , si z = (a ,b) o -z = (-a , -fc)
-z = [-a , -b) es el inverso aditivo u opuesto de z = {u , 6)
Según esta propiedad , se puede definir la resta , z, - z, por la siguiente relación.
z, - z, = z, + (>z;) ) (1)](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-159-320.jpg)
![306 Capítulo 7: Números complejos
TEOREMA 7.2 Propiedades de la Multiplicación
Para z, , z ; . z, e C se cumplen Igs siguientes propiedades
M.1 : V z , , z, e C ==> z, z, e C (Clausura)
M.2 : V z , , z , e C => z z, = z, z, (Conm utatividad)
M.3 : V z , , z 2, z, e C «=> (z. z.)z, = z l(z ,z <) (Asociatividad)
M.4 : Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo
3 ! a) € C , a * z01V z e C : z to = z , donde o> = (1 ,0)
M.5 : Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo
V z e C , z * z , B ! z 1 e C l z z •' = w
, M .6 : V z , , z , , z, e C : z,(z, + z.) = z, z, + z, z, (Propiedad Distributiva)
Demostración de M .2: V z, , z, e C ■=> z, z, = z : z,
En efecto , sean : z, = (a ,¿) y z : = {c ,d)
(1) = > z , z , = (a ,b) (c ,d) = {ac-bd,ad +bc) (Def. de Mult.)
(2) z; z, = (c ,íi) (a ,¿>) = (ca-db,cb +da) (Def. de Mult.)
(3) = [ac-bd ,ad +bc) (Conmutatividad en R)
(4) Luego , de (1) y (3): z, z : = z, z,
El producto de núm eros complejos es conmutativo
Demostración de M .3: (z, z,)z, = z,(z, z,)
En efecto , s e a n : z l =(a ,b) , z, = (c ,d) y z, = (x , y)
(1 ) t=> (z, z :)z? = {ac -bd ,ad +be) (x , y)
(2) = [(ac-bd)- (ad +bc)y , (ac-bd)y +{ad +bc)x]
(3) = (ac x- bd x -a dy- be y , ac y - bdy +adx +bcx)
(4) = ( a c x - a d y - b d x - b e y , a c y +adx -bdy + bcx)
(5) = [f l ( c x - ¿ y ) - 6(cy + Jx) , a(cy + dx) +b{cx-dy)]
(6) = (a ,b) {cx-dy , cy +dx)
(7) = (a , b) [(c ,d)[x , y)] = z,(z, z.)
El producto de núm eros complejos es asociativo
Demostración de M.4: 3 ! ( o e C l V z e C : z a > =z , (o = (1 ,0)
Probarem os que w = (1 , 0), suponiendo que z = (a ,b) y (o = (x , y)
(1) S i z to = z ■=> (a ,b) (x , y) =(a ,b)
(2) f a x - b y =a (a)r ax - o y =
¡=> (ax-by , a y +bx) = (a ,b) <=> ■{
l ay +b =y +by =b (P)
Sección 7.1 : El conjunto de los números complejos 307
(3) Multiplicando(a) p ora : a:x- aby =a
(4) Multiplicando(P) por b : b:x +aby=.b:
(5) Sum ando (3)+ (4) se tiene : (a'- + b2)x =a'- +b:<=> x = 1
(6) Sustituyendoen (p ) : b + a y =b => y = 0 ,luego : to = (I , 0)
. cü = (1 , 0) es el elemento neutro multiplicativo de C
I Nota. El elemento neutro multiplicativo definido en M.4 se llama también unidad compleja o
uno complejo y se denota por I. Esto es to= I = (I ,0)
Demostración de M .5: V z e C , z * z( , 3 ! z 1 e C I z z 1 = co
En efecto . sean z = (a , b) y z 1 = (x , y)
(1) Si z z ' = m <=> (a ,b) (x , y) = (I , 0)
a x - b y = I
¡y-
-(3) Resolviendo el sistem a para x e y obtenem os
a .. -b
(2) (ax - by ,a y +b x) = ( 1 , 0) <=> | a x ^ * 1
L a +bx =0
x =
a: + b:
y =
a2+b2
(4) Luego .si z = (a ,b) y si z 1 = (x , y) => z ' = (— 2— , — >— )
' a - + 6 ; a : + b : '
(2)
es el inverso multiplicativo de z = (a , b) y e s único,
i Nota. El elemento inverso multiplicativo de z = (a , b) definido en M.5 se denomina también
recíproco de z. Es costumbre representar a z-i como y
Según esta propiedad , se puede definir la división de z entre w por la siguiente
relación
z
w = z (w) = z <w> (3)
De esta división se obtiene la regla para dividir dos núm eros complejos :
z =(a ,b) y w = (c ,d)
z_ _ (a , b)
w (c
- 4 = ( a , b) i c, d y = ( ú , 4) ( _ £ _ , _ ^ L . ) = m ± M ,
,d) c +d c-+d-l ' c- +d- C- +(l‘ I
-b) _ / a c +bd be - a d
(C , d) ' C- + d : ’ C: + d 2 >
(4)
Por ejemplo , si z = (5 , 3) y w = (3 , - 1), entonces según la regla (4) para la división
z _ (5 , 3) _ (15 - 3
w (3,-1)
= [ * ' 3 9 + 5 _ /6_ _7
V9 + 1 ’ y + i / 5 ’ 5 /](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-160-320.jpg)
![308 Capitulo 7: Números complejos
7 . 2 ) R C O M O S U B C O N J U N T O DE C
Verem os ahora la relación que existe entre los núm eros complejos y los
núm eros reales.
S e a A = {(a , 0) I a e R c f;} , el conjunto de los complejos de parte imaginaria nula.
S e puede establecer una correspondencia biunívoca entre A y los núm eros reales
de la siguiente manera.
La función / : A •=> R , definida por /[ (a , 0)] = a , asigna a cada complejo real su
primera componente.
/ es invectiva , puesto que si z, = ( a , , 0) y z, = (a ,, 0) y z , * z ,
<=> (a , 0) * (a,, 0) <=> a, * a ,
A d em ás com o, /(z,) = / [(a ,, 0)] =a, y / (z ,)= / [(a ,f 0) ] = a ,
se tiene que : a, * a: /(z,) * /(z,)
/ e s sobreyectiva , pues V a e R , existe [a , ü) e A I f[(a , 0)] = a
Por tanto ,/ es una función biyectiva. Esto e s , V (a , 0) e A le corresponde el
elemento a en los reales , lo cual se indica escribiendo
{a , 0) <=> a , V a e R
Veam os el comportamiento de las operaciones (2) y (3) de la Definición 7.2 en los
conjuntos A y R. Si z, = (a ,. 0) y z , = (a: , 0), entonces
z, + z: = (a ,, 0) + (a ,, 0) = (a, + a , , 0) <=>a, + a,
z, z, = (a ,, 0) (a ,. 0) = (a, a2, 0) <=>a¡ a.
Aplicando / a cada una de estas operaciones se tiene
/ (z, + z,) = / [(a ,, 0) + (a ,, 0)] = /[(a, + a 2. 0)]
= a , + a, = /[(a, , 0)]+ / [ (a 2, 0) ]= / ( z ,)+ / (z J)
/ ( z 1z :) = / [ ( a 1 . 0) ( a , I 0)]= / [ (a |a ,,0)]
= a 1a 2= /[(aI , 0)]/ [(a2,0) ] = / ( z l)/(z,)
C
z, = (a, .0)
z; = (a,,0)
z, + z, = (a, + a , , 0)
zl zj.= (a,tfj ,0)
Esta analogía permite identificar cada complejo real con el real correspondiente
es d e c ir, e s válida la igualdad
Sección 7.3 : Forma cartesiana de un número complejo 309
(a ,0) = a , V a e R
o sea , podem os afirmar que A = R y com o A c C <=> R c C
De aquí se considera que el sistem a de los núm eros com plejos e s una amplia
ción del sistem a de los núm eros reales.
Í7 .3 ) FO R M A C A R T E SIA N A DE UN N U M ER O C O M PLEJO
DEFINICION 7.3 Im unidad imaginaria
El número complejo imaginario cuya segunda componente
es la unidad se denom ina unidad imaginaria y se denota por
i = (0 , 1)
Tiene la propiedad de que si
P = (0 , I) (0 , 1) = (0 - 1 ,0 + 0) = (-l , 0)
y por la analogía de los complejos reales con los reales
¡- = -1 <=> i =
Si p es un número positivo , podem os usar la notación i = , para denotar la raíz
cuadrada principal de -p , representada por V-p , esto e s , si
-p = Vp V^p = i Vp
Ejem plos : a) V^3 = i 3 , b) V^25 = i V25 = 5 i
También podem os usar la rotación i2 = -I para obtener diversas potencias de i.
i ° = i Análogam ente
5= i
ft = -l
7= -i
!*= 1
= I
2= -l
¡> = j‘i = (-l)i = -¡
i4= i 2i 2= (-1)(-D = i
O bsérvese que para cada 4 potencias sucesivas de i se repiten los m ism os resul
tados. Luego , si el exponente de i es n e N , al efectuar la división entre cuatro se
obtiene 4 k + r , donde 0 < r < 4 , entonces
¡n _ ¡4k+ r _ /¡4k¡ i _I" = I = (i4k)i' = (i4)ir = ( 1 ) ir = i r
En consecuencia , in se reduce a uno de los cuatro considerados en primer lugar,
según el valor que tenga r
Ejemplos: 1. ilíS = i = i° = l 3. ¡M= i 4(,,, +2 = i2= -1
2. i25 = i 4(61* 1= i1= i 4. i87 = i 4(2,) +1= P = -1](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-161-320.jpg)
![314 Capítulo 7: Números complejos
— M IS C E L A N E A DE E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S )
Ejemplo 1~~) S e sabe que (3 . 5) (x - 1 , 4) = (y - 2 , 5) + (3 , -1) para ciertos
núm eros complejos. Hallar t y u , tales que :
(5 x - 4 , u + t) = (3 1+ 1-, *5 y -1 9 )
Solución. Si
(3. 5) ( x- 1 , 4) = ( y -2 , 5 ) + (3,-1) o ( 3 x - 3 - 20 , 12 + 5 x - 5) = (y - 2 + 3 , 5 - 1)
r 3 x - 23 = y + 1 >=> 3 x - y = 24
=> (3 x - 23 ,5 x + 7) = (y + 1 ,4) c=> { 5 x + 7 x = .3/5 , y = , l29/5
y si (5x - 4 , u + 1) = (31+ 1 , -5 y - 19) <=> (-3 - 4, U + 1) = (3 t+ 1 , 129-19)
r -7 = 3 1+ 1 <=> t = -8/3
=> (*7 , u + 1) = (3 t + 1 , 110) <=> u + t = l l 0 » u = 338/3 . ■
Ejemplo 2 j Determinar el complejo o ) = 5 z + 2 w 2 + u , sabiendo que
z= (1+i)2++(i1-— • W=TTÍT • u=i75+K1-')'2iJ3i
Solución.Para calcular potencias de 1 + i y 1 - i , tener presente lo siguiente :
(1 + i)2= 1 + 2 i + i2 = 1 + 2 i - 1 = 2 i
(1 -i)2= 1 - 2 í + i2= 1 - 2 i- 1= -2 i
Entonces : (1 + i)4 = [(1 + i)2]2= (2 i): = 4 i2= -4
(1 -i)4= [ ( l - i )2]2= (-2i)2= 4 i2 = -4
-4 - 4 -8Í2 - i) 8Í2 - i) 8 ¡
L u e g o , z . — - . ( 2 t | ) ( 2 ^ . - —
............. . « „ = 1 1 1 1 ] = = -5(|--2^ > = - (2 + i)
1 - 1 - 1 w j + 2 ¡ (l + 2 i) (1 - 2 i) 1 + 4
<=> w 2= (2 + i)2= 4 + 4 i + i2= 3 + 4 i
¡73s ¡4‘ ia * 3 . p = .¡ u = -i + (1 - i)*i: = -i+ ['(1 - i)2]3
<=> U = -i + (-2 i )' = -i - 8 i 5= -i + 8 i = 7 i
a) = 5 z + 2 w 2+ u = -8(2 + i) + 2(3 + 4 i) + 7i = -1 0+ 7 i i
Ejem plo 3 j Hallar la forma cartesiana de z =
(2 + i)2+ (2 - i)2
(1 + i)3
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 315
Solución. Haciendo uso de la identidad (a +b)2+(a -b): = 2(a2+ b2) , se tiene
_ r 2(4 + i2) i 4= / 3 4 _ 81 _ . 81
L2 i (1 +i)-l ' i - K (-2 i)2 ’ 4-2 i (1 + i)-J v i - r (-2 i)
z = - + Oi
4
E je m plo 4 J Dem ostrar la identidad
x4+ 4 = (x -1 - i) (x -1 + i) (x + 1- i) (x + 1+ i)
Demostración. S e sabe que : (1 + i)2= 2i y (I - i)2= - 2i«=> (1 + i)2= -(1 - i)2
Teniendo en cuenta estos resultados podem os escribir
x4+ 4 = x4- (-4) = x4- (2 i)2= x4- [(1 + i)2]2
Factorizando : x 4+ 4 = [x: + (1 + i)2] [x2- (1 + i)2]
= [x2- (1 - i)2] [x2- (1 + i)2]
= (x + 1 - i)(x - 1 + i) (x + 1 + i)(x -1 - i)
Ahora , por lapropiedad conmutativa del producto en C , obtenem os
x4+ 4 = (x - 1 - i)(x - 1 + i)(x + 1 - i) (x + 1 + i)
Eje m p lo 5 J Expresar en la forma binómica : z = 1 +
1 +
1 + '
1 + i
Solución. En estos c a so s conviene expresar los complejos en la forma de par
ordenado y aplicar la regla (4) para la división , esto e s :
Z — 1+ --------'---- = 1+ ---------- í—:-------- = I + 1
(1 , 2) n + 2 2 - 1 ( 3 , 0
(1 , 1) l 2 ’ 2 I
= 1 + - ^ = 1 + _____ i_____ = 1 + _L0j_ = 2(3^4)
( 3, 3) / 9j+3 ^ 3 6(2,1) 3(2,1)
( 3, 1) 10 ’ 10 /
_ 2 /6 + 4 8 - 3 - 4 2
3 V 5 ’ 5 / 33
I Nota. Otras identidades importantes para simplificar operaciones con números complejos
son las siguientes
a) (1 + i V 3)' = (l - i V3)- =-8
b) (V3 + i)3= 8¡ y (V3 - Y = -8 i](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-164-320.jpg)
![316 Capítulo 7: Números complejos
Cjomplo 6 Si z = -^1=f , hallar Im (z2)
' -------------------------' (V3 - i)3
Solución. z = + = ( 2 0 M L Ü ) = 4 i - ( l + i ) s i (1 ;¡)
- 8 ¡ - 8i - 8 ¡ 2 '
L u e g o : zJ= 1 (1 - y = i (-2 i) = - 1 ¡ => Im (z2) = - 1 ■
^ Ejemplo 7 ^ S e a z = ( - j p - j ) 5 . hallar la forma cartesiana de z
Solución. (^ L d -Y = Ü L i V ( 4 i i ) = ( i M ) = . l (3 -2>/3i + i2)
'V3 + i' 'V3 + i' 'V3+i' V8i / 3+1 4
= -i(l -¡V3)
(Lt!V =r 1*=(-2LV = ¡5=¡
Vi - i ) L(I • i ) (1 + i)J Vl + U
.-. z = - i ( 1 - l ^ ) ¡ = - ^ - i i ■
Ejemplo 8 J Expresar en la forma rectangular el complejo
z = (1 + i)n + (1 - i)n
Solución. Veam os los ca so s en que n es un número par o impar
1. S i n es un número par => n = 4 k o n = 4 k + 2 , k € Z*
a) (1 + ¡)" = (1 + i)4k = (2 i)2“= (4 i 2)k = (-4)k
(1 - i)n = (1 - i)4k = (-2 i):k = (4 i -y = (-4)k
=> z = 2(-4)k + 0 i , k e Z *
b) (1 + i)" = (l + i)4k‘ 2= (l + i)- (1 + i)Jk= 2i(-4)k
(1 -i)n = (l - i )4k*2= (l -i)-(l - i)4k = - 2 i(-4)k
<=> z = 0 + Oi
2. Si n es un número im p ar, entonces :n = 4 k + l o n = 4 k + 3 , k e Z*
a) (1 + i)n = (1 + i)n = (1 + i)4k* ' = (1 + i ) ( l + i)4k = (l+ i)(-4 )k
(1 -i)" = (l -i)4k* ‘ = (l - i ) ( I - i)4k= (1 - i)(-4)k
■=> z = 2(-4)k + Oi , k e Z *
b) (1 + i)n = (1 + i)41“ ’ = (1 + i)2 (1 + i) (1 + i)4k
= (2 i) (1 + i) (-4)k= (-2 + 2 i) (-4)k
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 317
(1 -i)" = (l -¡)4I,° = (1 -i)2(l - i) (1 + i)4k
= (-2 0 ( 1 -i) (-4)k = ( -2 -2 0 H ) k
<=> z = (-4)k+l + 0i , k e Z*
E je m plo 9 ] En C definimos la operación binaria * de la siguiente manera:
z * w = z + w + zw , V z . w e C , hallar el valor de z tal que
z * (1 + i) = O
Solución. Aplicando la operación binaria a z * (1 + i) = O , se tiene :
z + (1 + i) + z (1 + i) = 0.
Si z =(x , y) ■=> (x + 1 ,y + 1) + (x , y) (1,1) = (0 ,0)
v , , v r x + 1 + x - y = 0 o 2 x - y + l =0 (1 )
=* ( x + 1 , y + l)+ ( x - y , x + y) = (0 , 0) <=> { '
y + l + x + y = 0 =*x + 2 y + l = 0 (2)
Resolviendo (1) y (2) obtenem os : x = -3/5 , y = -1/5 => z = (-3/5 ,-1/5) ■
e jem p lo 1 0 J . Si w = 2 u + v , v = -u + (1 - i) y u + (1 - i) = 2(1 + i) ; efectuar:
z = v--t 2 w - u + 2 i - 1 + u3 , expresando el resultado en for-
u2 - w
ma de par ordenado.
Solución. S i ü = - (1 - i) + 2(1 -1) = 1 - i ■=> u = 1 + i
v = - u + (1 - i) = - (1 + i) + (1 - i) t=> v = - 2 i
w = 2u + v = 2(l - i ) - 2 i = 2 - 4i <=> w = 2 + 4i
Lüe9° : Z = 2 ' 0 2i V -4(2 + 4 ¡T 0 - 2 ¡) + (1 + ¡);(1 + i)
2i + 4 + 8 i - 1 - i
2 i - 2 - 4 i
- | - 2 l + 2 i ( l + i ) = - | ( l ± l l )
= • I — r T (i— 1} (8 + 20 «=> z = (-6 , -3/2)
eje m p lo 1 1 ^ Se a n w , z e C tales que , w + z y w z son reales. Dem ostrar
que w = z.
Demostración. En efecto
(1) S e a n : w = a + ¿ i y z =c +d i
(2)Entonces ,w +z =(a +c) +(b +d) y w z = (ac-bd) + (ad + bc)
(3) Dado que w + z e s real =* b +d = 0 <=> d = -b](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-165-320.jpg)
![31S Capítulo 7: Números complejos
w z es real <=> ad +be =O >=> a(-b)+be-0 «=> c = a
(4) Luego , de (3) se deduce que z =a- b => z = a + b i
w = z B
m
E je m plo 1 2 ^ ] Dem ostrar que V w , z , v e C . s e cumple :
“ w l m ( z v ) + z l m ( v w ) + v l m ( w z ) = (0 , 0)
Demostración. Se a n : w = (a ,b) , z = (c ,d) y v = (e , f )
■=> w = (a , -b) , z = (e , -d) y v = (e , -i)
Efectuando los productos indicados entre paréntesis , tenem os :
z v = (c , -d) {e , f ) = (ce + di ,ei-de)
vw = (e , -f )(a ,b) =(ae +b i , be-a)
w z = (a , -b) (c ,d) = (ac +bd ,ad-bc)
Luego : w lm(z v) = (a + b i) (cf- de)i = (aei - ade) + (6cf - bdé)Y-
= {bde-¿>cf) + {ac-ade) (1 )
z lm (vw) = (c +d) {be - a i )i = (bce - a c )i + (bde - a d )i:
= (adi-bde) + {bce-ac) (2)
v lm (w z) = {e + fi) (ad-bc) i = (ade -bce)i + (adi - be i )i:
= (bei-adi) +(ade-bee) (3)
Sum ando (1) + (2) + (3), se tiene finalmente que :
w lm (z v) + z lm (v w) + v lm (w z) = 0 + Oi = (0 , 0) I
Eje m p lo 1 3 j Dem ostrar que V w , z e V. , se cumple :
lm (w z) = Re (w) lm (z) + lm (w) R e (z)
Demostración. Por la propiedad C C .6 del Teorem a 7.3 : lm (z) = z -.—
w z - w z 2 w z - 2 w z
<=> lm (wz) = — — = -------p ------
v ' 2i 4i
En el num erador, por el artificio de sum ar y restar 2(w z + w z) se tiene :
. / 2 w z + ( 2w z + 2w z ) - ( 2 w z + w z ) - 2 w z
lm (w z) = --------------------------------------------------------
_ W Z + w z - w z - W Z + W Z - W Z + w z - w z
4 i 4¡
z (w + w) - z (w + w) . z (w - w) + z (w - w)
= ------- Ti------- + Ti
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 319
_ (w + w) (z - z) (w - w) (z + z)
4 i 4 i
/. Im (w z)= Re (w) lm (z) + lm (w) Re (z)
Eje m plo 1 4 ^ Resolver el sistem a : - 2 z, + z 2 = 2 + 3 i
¡ Z , + 2 Z2= 2 +¡
Solución. En la primera ecuación el conjugado de am bos extremos es
- 2 z ) + z: = 2 + 3¡ <=> -2 z, + z 2= 2 - 3 i
Multiplicando por - l se tiene : . 2 z t -z, = -2 + 3i (1 )
Multiplicando por 2 la segunda ecuación : 2 i z ( + z, = 5 + 2 i (2)
De la sum a (1) + (2) , resulta : 2 (1 + i)z, = 3 + 5i z, = 2 + y i
Sustituyendo en la primera ecuación dada obtenem os z, , esto es:
- 2( 2- i- i) + z : = 2 + 3i » z ; = 6 + 2 i «=> C .S = {(2,1/2),(6 , 2)}■
Ejemplo 15 J Resolver en C el sistem a de ecuaciones
(1 - i) z + 5 iw = 2 i - 7
2 z + (3- 4 i)w = 8 - i
y dar las soluciones en forma cartesiana o binómica.
Solución. Multiplicando las primera ecuación por (1 + i) se tiene :
(1 + i)(l - i)z + 5(1 +i ) i w =(1 + i)(2i - 7)
<=* 2 z + (-5 + 5i)w = - 9 - 5 i (1)
El conjugado de am bos miem bros de la se gunda ecuación es
2 z + (3 + 4 i)w = 8 + i (2)
Restando (2) - (1 ) resulta : (8 - i)w = 17 + 6 i <=> w = 2 + i
Sustituyendo w = 2 - i en la segunda ecuación dada obtenem os
2 z + (3 - 4 i)(2 - i) = 8 - i <=> z = 3 + 5i ■](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-166-320.jpg)
![320 Capítulo 7: Números complejos
EJER CICIO S: Grupo 36
1 . Hállense las soluciones reales de las siguientes ecuaciones
a) (1 + i)x + (-2 + 5 i)y = - 4 + 17 i
1
x + y i
= 1 + i
e) x(1 -2 i)z + y(2 + 3i)2 _ 2 M ¡
3 - 2 i
b) (2 - 5¡)x + (1 + 3 i)y - 8 + 9 i = 0
c) (1+ 2i)x + (3 - 5i)y = 1 - 3 i
f) 12 [(2x + i) (1 + i) + (x+ y) (3 - 2 i)] = 17 + 6 i
g) x(3 + 4 i) - y (8 - 3 i)= (2 x i - 10y + 4) + (4 y i - 2x + 7 i)
2. En los ejercicios siguientes , obtener z , dando el resultado en forma de par
ordenado.
a) z = 24(i24 + i19+ i62)3 - 4(1 - i)4+ 3 ( 2 - 3 i)2
b) z =
c) z =
i + i + i
2 - i 4+ i 10+ i 15
ai + 3 a b +b +2a
« ■ - ( « * )
« ■ ■ u w na +bi ai-b
3. En los ejercicios siguientes, ejecútense las operaciones m encionadas, repre
sentado los resultados en forma cartesiana
(— )3'1 + V
c) z =
(1 - i)6- 1
(1 + i)6+ 1
( # * ! ') ■
(3 - i<3?
(V3 + i 3 )12
4. Dem ostrar que :
a) V z , t z2 ,z 3e C : z,(z2+ z3) = z, z2+ z, z 3
b) V a , b e R , V z e C : (a +b)z = a z +bz
5. Dem ostrar que si z y w son dos núm eros complejos diferentes , entonces
Re ( _ L _ ) - Re 1-ÜL-) = 1
v z - w / z - w /
6. Demostrar que si z , w e C , entonces
a> ( r h ¡ ) * (57«) = ’
b) Re (zw) = Re (z) Re (w) - Im (z) Im(w)
7. Siz, = (2,-1) , z2= (1 ,3) y z, z3= 2 z 2 , hallar z3 y z^’
EJERCICIOS . Grupo 36 321
8. Sean z = 2(1 + i) + 3(i - 2) y w= ^ J . .H allar: a) Re (w2) , b) Im ( ^ 7)
9. Se a n los núm eros com plejos, z, = 2 - i , z 2 = 2 + i3 ,2 3 = 5 - 4 i r3. Si
z = 3 z, - z22+ z3 , hallar Im (z)
10. S i z = 1 ( 1 - i v3 ) , hallar: — ---- 1
2 z + 1 z
11. Si z, = (-1 ,3) , z2= (-5/3,1) y z, z3 = 3 z2 , hallar z3 1
12 . Si 3 * 2 l- = 4 i + 8 , hallar z en la forma de par ordenado.
z(2 + i)
13. Si z = 1 (1 - 3¡) , hallar (1 + z )7 en la forma cartesiana.
14. En los ejercicios siguientes , ejecútense las operaciones indicadas , repre
sentando z en la forma binómica.
a) z = --------------------------------- c) z = 5 + 3 i
1 + i ------------ 1^1— ----- 1 + i +
1 - i --------1 ~ ' 1 + i + - ^ 7
1 - ¡ + - # L 1 - 1
3 -1
b) z = (6 + 2 iV3) (7 + 7 i) ( 4V3 + 1 2 i) d) z = (2 + i 3 )2 - iV6 + (- 1 + ¡:f )
15. Q ué relación debe existir entre x e y para que siendo z = x + y i , x e R , y e R ,
se tenga que el cociente tenga parte real nula.
16. La sum a de dos núm eros complejos es 3 + 2 i. La parte real de uno de ellos es
2. Hallar dichos núm eros , sabiendo que su cociente es imaginario puro.
17. D ados los núm eros : w, = 3 + 2 i , w2 = 1 + 4 i y su s afijos M, y M 2 ; se pide
a) La expresión binómica del complejo z = a + b i tal que su s afijos están
alineados con M, y M 2 , y la sum a w2 + z sea imaginario puro.
b) La expresión binómica del número complejo z 1=a, + b1i tal que la resultan
te de la sum a w, + z, , pase por el afijo (-3 , 12)
18. S i z, = (x , -y) * 0 e C , z2 = Y z , z 2= (a,b) ; calcular
a 2+ b2.
7n* ^ - 1
19. Dem ostrar que V z e C - { 1 } , V n e Z * : 1 + z + z2 + ............ + zn = = —— y-1
(Sug. S e a S = 1 + z + z2+ .......+ z n , multiplicar z S , luego restar z S - S)
20. Hallar todos los valores posibles de S = 1 + i + i2 + ........... + in , n € 7/ , n par.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-167-320.jpg)
![326 Capítulo 6: Planos en el espacio
i(l ' 2 í r ) | = lil I 1 - 2i r 1 (VA.7,VA.5yVA.3)
1 + 2 ¡ r I |i + 2ir|
14 z - 3 i I = 1 +2i = 1 . Por tanto , en (1): |z - 1 ¡1 = 1
|1 + 2¡ r| | 4 I 4
Ejemplo 4 J Si w y z son dos núm eros complejos y u = w z , dem ostrar que
z + w - u i + I 2 1 w +u I = Iw I + Iz I
Demostración. Se a E = I z - u I + I + u
«=> E =
z + w - 2 V w z I I z + w + 2 V w z = l | ^ - V w i : + i l ^ + V w l 2
= l ( z - w) (Vz - w ) + l ( z + w) (z + w ) (VA.4)
= | [ (z - n w ) (z - n w ) + (z + w ) (z + w )] (CC.3)
Efectuando las operaciones indicadas obtenem os
, E = 1 1 2 w Vw + 2 Vz Vz ] = |w I + |z |' t=> E = |w | + |z | ■
Ejemplo 5 ^ Dem ostrar que V z e C: a) I z 12> 2 I R e (z) I I Im (z) I
b) 2 Iz l > I Re (z) |+ |Im (z) I
Demostración. En efecto:
a) (1) S e a z = ( x , y ) , donde x = R e (z) , y = Im (z )
(2) Com o ( I x I - 1y I )- > 0 , V x , y e R ■=> I x I : + I y I - > 2 I x II y I
(3) - e=> |z l 3¿ 2 1x l' ty |
(4) c=> |2 r > 2| Re (z) I I Im (z) I
b) Si !z ! = x ? + y-’ =* I z !' = x : + y : = I x I ' + Iy I *
(5) De (3): ■=> | z I ' > 2 I x I I y I <=> 2! z I* > I z I+ 2 1x I Iy I
(6) Luego : 2 I z l 2 > ( I x I + I y I): ■=> V2 I z I > I x I + I y I
(7) Por lo tanto : 2 I z I > I Re (z) I + I Im (z) I
Ej em plo 6 j Dados z , w e C , demostrar que : I z - w l > I Izl - I w l l
Sección 7.5 : Módulo de un número complejo 327
En qué condiciones se cumple la igualdad?
Demostración. En efecto:
(1) I z - w l ' = (z - w) ( z - w ) = (z - w) ( z - w )
(2) = z z - z w - w z + w w = | z | - z w - w z + l w r
(VA.4 y CC.3)
(VA.4)
(3) = i z r + i w r - ( z w + w z )
(4) = l z | : + |w|*, - 2 R e ( z w ) (CC.6)
(5) Pero por V A.2: R e ( z ) < | z | ■=> Re ( z w ) < |z wI >=> -2 Re ( z w ) > -2 1z w
(6) Luego , en (4): |z - w |¿ > I z T + I w I ' - 2 1z I I w |
(7) Com o Iw I = Iw I <=> | z - w l ‘ > ( Iz| - 1 wI ) 2 <=> | z - w | > ||zl - 1w11
Veam os ahora en que condiciones se cumple la igualdad.
S e a n : z = {a , b) y w = (c ,d) <=* I z - w l = V(a -c): + (b - d)2, 1z I= Va - + b1, 1w | = Ve2+ d:
Entonces si : V(a - c): + (b - d) = Va: + b2 + VcJ+ d2
Elevando al cuadrado y luego simplificando términos se llega a la expresión
{ad-bc)2=0 ■=> ad =bc <=> = 4 = k
b d
Por lo tanto , la igualdad se cum ple , si y sólo si, las partes reales y las partes
imaginarias de los com plejos son proporcionales. ■
Ejemplo 7 } Un triángulo rectángulo tiene por vértices los afijos de los
complejos z, = 1 + i y z 2 = 5 - i. S i la hipotenusa mide 5
unidades , hallar el complejo z3 cuyo afijo representa al tercer vértice ubicado en el
primer cuadrante.
Solución. Se an A( l , l ), B (5 , - 1) y C (x , y) los afijos
de los complejos z] , z, y z3 respectiva
mente. Entonces
A B = B - A = z - z, = <4 , -2) = 2(2 , - 1)
Luego , z, - z | = 2 4 + l = 25
Por el teorema de Pitágoras :
■;CA11 = i z, - z | = V(5): + (2 5 ) : = 5
Un vector unitario en la dirección de A B e s :
u = Á B = C ,_ -l)
z - z .
— /|
entonces un vector unitario en la dirección de C A e s : v = - u =- ' ■-L~
5](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-170-320.jpg)
![330 Capítulo 7: Números complejas
V lT T T = ± (2 - i)
Sustituyendo en (1) se tiene : x = (1 + i) ± (2- i) <=> x, = 3 ó x, = - l + 2 i
.-. C. S = {(3 , 0), (-1 , 2)}
EJER CICIO S: Grupo 37
1. Si w = | ± i y z = , hallar I w + z I
2 Siz= (i + í)(V3-í)(-3+_3í) |z|
(1 -i)(3i)(1 -W3)
3. Calcular z2 , sabiendo que z = - 1-1 + i I + i 2
4. Se a n z = 2(1 - i) + 3(i - 2) y w = — -— , hallar I w + z I
1 + 2 1
5. Se a n z = -2 + 4i y w = 1 - i , hállese el valor de I w + 2 + 1 I
I w - z + i I
6. Hallar w y z tales que ,w + z = 4 + i , w z = 5 + 5 i , — = (1 - i) , I z 12= 10.
7. Resolver la ecuación : ¡z I + z = 2 + i , z e C
8. D ados z, = 4 + 6 i y z2 = (1 - i)z, , sabiendo que z , , z2y z3son vértices de un
triángulo equilátero , hallar Z3.
9. D ados z, = 8 + 5 i y z2= (5 , 0), calcular el complejo z = (3 , y) que forma con los
anteriores un triángulo isósceles , de vértice de lados iguales , el z,.
10. Determ inar el com plejo cuyo afijo equidista de los afijos de z, = (-2 , 0) ,
z 2= (3 ,3) y Zg = (0, -2)
11. Si z e C , resolver la ecuación : iz + i I z - z + 1 = 4 - 2 i , R e (z) > 0
12. Un triángulo rectángulo tiene por vértices los afijos de los complejos z, = 1+ 3i
y Zj = 5 - 7 i . Si la hipotenusa mide /T45 unidades , hallar el complejo z3 cuyo
afijo representa al tercer vértice y que unido al afijo de z2 forma la hipotenusa
de dicho triángulo.
13. D ados w t y w2tales que I w r| = I w2l = 1 , w2= i w , , dem ostrar que V e C , se
cumple : z = R e (| -) w, + Re U - ) w2
1 2
14. Si w y z e C , dem ostrar que : I z - w 12 < (1 + Iz |2) (1 + 1w |2)
EJERCICIOS ite las Secciones 7.5 y 7.6 331
15. Si w y z g C , dem ostrar que
I z - w I 4 + lz + w l 4 + 2 lz 2- w2|2 = 4í(z z)2 + (ww )2 + 2 z w z w ]
16. D ados z, , z2 , w, , w2 e C , demostrar que
I z,w2 - z2w, |2 = ( I z, |2 + I z2l 2) ( I w, 12 + |w2 12) - 1z,w, + z2w2l 2
17. Si w,z e C , dem ostrar que : I 1 - w z 12 - I w - z 12 = (1 - 1w 12) (1 - 1z 12)
18. Sean z , , z2 .........zne C, tales que, |z,| = |z2l = ____ = l z j =1. Dem ostrar que
z t + z2 + .......+ ZJ = ± + ± + .......+ 1
Z , Z2 Zn
19. Se a z e C , si se cumple , (z + y ) e R , dem ostrar que : lm(z) = 0 ó I z I = 1
20. Se a n w , z , e C y sean v2 = w z . Dem ostrar que
|w| + Iz l =| v| + | w ± z + v|
21. Demostrar que si para i = 1 , 2 ......n ,ca d a z e s un número complejo, entonces
lz, + z2 + .......+ z j < |z,| + l z 2l + ........+ !znl
22. Sabiendo que z y w son núm eros complejos tales que I z I = I w I = 1 , demostrar
que y T w ’ * *w ) ’ es un ima9 inario Puro-
23. Se a n z, , z 2 e C :
a) Si w = . dem ostrar que : w w = ' Z’ +
1 ‘ Z1 Z2 1 + l z , | 2 |z2|2 - (z,z2 + z2z,)
b) En el caso a ) : si I z 11 < 1 , demostrar que Iw I < 1
24. Hallar z | tz2e C tales que i z, I = I z 21 = I z, + z21 = 1 , z,z2e s un imaginario puro.
25. Sean z, y z2 dos núm eros complejos tales que I z, I = 2 , I z2 1 = 3 y z,z2 = 2 i
. Hallar el valor de I z, + i z2 1.
26. Determinar algebraicamente las raíces cuadradas de los siguientes complejos
a ) z = - 1 5 - 8 ¡ d ) z = -8 + 6¡ g ) z = -2/3 + 2 i
b ) z = 3 - 4 i e ) z = 5 - 1 2 i h ) z = 7 + 24i
c ) z = - 1 1 + 6 0 i f) z = - 8 - 6 i i ) z = - 1 + 4 3 i
27. Resolver las siguientes ecuacionesen C
a) z2 - (2 + i)z + (3 + i) = 0 c) z 2- (3 - 2i)z + (5 - 5 i) = 0
b) z2 - (2 + i)z + (-1 + 7 i) = 0 d) (2+ i)z2- (5 - i)z + (2 - 2 i) = 0
28. Resolver en C : I z + 2 i I - I iz - 2 I = 0](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-172-320.jpg)
![340 Capítulo 7: Números complejos
C om o a >c , la gráfica de I z + I I + I z - 1 1 = 4 e s una elipse cuyo centro está en
Q = 7 (F, + F,) = (0 , 0). Adem ás ,a 2=b: +c2 <=> b: = 4 - 1 = 3
Ecuación de la elipse : — + = l <=> é : — + — = 1
a* b- 4 3
Por lo que la gráfica de R ( es el conjunto de puntos que están en el interior de
la elipse f , incluyendo la frontera (Figura 7.27)
M IS C E L A N E A DE E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S ^
Ejemplo 1 ^ Determinar los conjuntos de puntos del plano complejo que
verifican (z + z') e R
Solución. S e a z = (x , y ) , tal q u e : z * z()= (0 ,0 ) yI z I * 0 <=> x2+ y 2* 0
Luego ,z + z'' = z + - = x + y i + -X- 'N -
z x* + y-
x- + y-/ x + y -/
Si (z + z 1) e R <=> Im (z + z 1) = 0, esto es : y - — T = 0
x- + y*
de donde obtenem os : y(x: + y- - 1) = 0 a x: + y 2* 0
<=> (y = 0 ó x 2+ y : = 1) a (x2+ y 2* 0)
<=> (y = 0 a x2+ y : * 0) v (x2+ y 2= 1 a x2+ y 2* 0)
La gráfica de (z + z 1) e R es la unión de la gráfica de la
circunferencia de radio r = I y centro z0= (0, 0), con la
gráfica del eje real y = 0 , exceptuando el origen. ■ FIGURA 7.28
Sección 7.7: Lugares geométricos en C 341
Ejem plo 2 j Dem ostrar que si c es una constante real positiva , entonces
los afijos de z e C , tales que | |= c representa una cir
cunferencia si c * 1 , y una recta si c = 1.
Demostración. En efecto , sea z = (x , y)
Si | 2 ± I| = c «=> | z + l | 2= c2| z - l l :
I z - 1 I
=> (x + l)2+ y 2= c2 [(x - l)2+ y 2] <=> (c2- l)x 2+ (c2- l)y 2- 2(c2+ l)x + c2- 1 = 0 (1)
Haciendo a =c2- 1 , se tiene : a x 2+ a y 2-2(a + 2 )x + a = 0
2 2
Completando el cuadrado para x resulta : (x - a~* ~ j + y 2= * 1
Tenemos una circunferencia de centro ~ , 0j y radio r = V ( ~ q ~) ~ * s' a * 0
Luego , c2* 1 c * 1
En (1), si c = 1 => -2( 1 + 1)x = 0 ■=> x = 0 , es una recta. ■
Eje m p lo 3 ) Analizar que lugar geom étrico representa los afijos de los
z e d a z z +c z +c z +b = 0 , donde a ,b e R y c e C
Solución. S e a z = x + y i <=> I z 12= z z = x2+ y 2; x = Re (z) = ^ (z + z)
Luego , si a I z I * + c(z + z) +b = 0 <=> a(x: + y 2) + 2c x +b = 0
«x’+2(|)x+y>=.| « (*+£):+r-=£i^
El lugar geométrico es una circunferencia de centro (- ^ , o) y radio r = ^c‘
e je m p lo 4 ) Hallar el lugar geométrico que describe el afijo z cuando
z = 1 + i + — -— , re R
1 + n
Solución, z = l + i + -— 1 ~ ‘— - ■=> z = fl + — 1 — , I - - r --)
(1 + ri) (1 - ri) V 1 + r- 1 + r 2/
1 7 - x
Luego , si x = 1 + -— 7 <=> r- =- — -
a I + r2 x - 1
y = | - T T P = | - r( i T 7 ) y = i - r ( x - i )](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-177-320.jpg)
![346 Capítulo 7: Números complejos
4. La relación Tg0 = y da dos valores para 0 y el ángulo que se eligirá será el que
se determine por los signos de x e y
5. D ados dos complejo en su forma p o la r: z = r C is0 y z, = rt C is 0, , entonces s i :
z = z <=> r = r) A 0 |= 0 + 2 k 7 r , k e Z
E je m p lo 1 j Determinar la forma polar de los siguientes com plejos
a) z = -2 + 2 3 i c) z = 1 + 3 i e) z = 3 - 3 3 i
b ) z = -V 3 -i d) z = -5 + 0 i f) z = 0 - 2 i
Solución.
a) z = -2 + 2V3 i <=* r = I z I = V(-2)a+ (2V3): = 4
Para el argumento principal tenem os ; x = -2 (negativo) , y = 2V3 (positivo) ,
entonces 0 termina en el II cuadrante.
Luego , si Tg 0 = ^ = ^ 5 = - V3 <=* 0 = arcTg (-V3) = 180° - 60° = 120° = 2 n/3
z = 4 Cis(2rc/3)
b) z = - V3 - i => r = |z I = V(-V3):+ (-1): = 2
C o m o x e y so n a m b os negativos , el argum ento principal term ina en el 111
cuadrante. Entonces s i T g 0 = — = = ^ <=> 0 = 180° + 30° = 210° = ln/6
X .>/3 3
z = 2 C is (771/6)
c) z = 1 + VJi => r = |z| = V ( l) : + (V3): = 2 ; Tg0 = = V3
Com o x e y son am bos positivos , el argum entofigura en el I cuadrante.
Luego , si 0 = 60° = n/3 <=> z = C is {n/3)
d) z = -5 + Oi «=> r = I z| = (-5): + (0): = 5
Com o x = -5 (semieje real negativo) e y = 0 ^ T g 0 = 1 = o <=> 0 = 7t
z = 5 C is 71
e) z = 3 - 3>/3i => r = |z| = '(3): + (-3V3)1 = 6
Dado que x = 3 (positivo) e y = -3V I ( negativo), el argum ento 0 termina en el IV
cuadrante. Luego , Tg0 = y = - VT «=> 0 = 360 - 60 = 300° = 5 71/3
z = 6 C is (57t/3)
f) z = 0 - 3 i <=> z = I z I = 0 : + (-3)J = 3
------
Sección 7.8: Forma polar de un número complejo 347
C om o x = 0 e y = -3 (semieje imaginario negativo) ■=> T g 0 = = <*> => 0 = 270°
z = 3 C is (371/2) ■
E je m p lo 2 J Si A = {z e el 1 < Iz l < 4 , -j < a r g ( z ) < 7 i} ; graficare identificar
el conjunto A. -------------------------------------------
Solución. 1<| z I < 4 es un anillo circular forma- A
do por las circunferencias !z 1 = 1 y
I zl = 4 . Entonces , A es un segm ento de dicho / /
anillo que parte de 0 = kJAy termina en 0 = 71. S u
gráfica se ilustra en la Figura 7.33 ■
El siguiente teorema muestra com o determinar
el producto y el cociente de dos núm eros complejos cuando éstos se expresan en
forma polar.
_ x
TEOREMA 7.4 Multiplicación y división de números complejos en laforma polar
S i z, = r,(Cos 0, + i S e n 0,) y z, = r^ C o s 0, + i Se n 0 ;) , donde
r, = I z, i y r; = |z, I , entonces
1. z (z, = r,r, lC os(0, + 0,) + i Sen(0, + 0,)]
2. = i [c<B(e,-e,) + ¡senté,-e,)]
V____________________ :____________ _________________________________________
Demostración de 1.
z, z, = r, r, (CosO, + i Sen0,) (CosO, + i Sen0,)
= r, r, [(Cos0, CosO, - Sen0, Sen0,) + i (Sen0, CosO + CosO, Sen0,)]
= r, r, [Cos(0, + 0,) + i Sen(0, + 0,)]
A sí tenem os que : z, z, = r, r, Cis(0, + 0,)
La dem ostración de la parte (2) es similar y se deja com o ejercicio.
| O B S E R V A C IO N E S
1. El argum ento del producto de d os núm eros complejos es igual a la suma de los
argum entos de cada complejo.
Arg (z,z;) = 0, + 0, = Arg(z,) + Arg(z:)
2. El argum ento del cociente de dos núm eros com plejos e s igual a la diferencia
de los argum entos de cada complejo.
Im ¡
ñ i ? " "
tC O'!
V. _
V
) , w
Re
J
FIGURA 7.33](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-180-320.jpg)
![Capítulo 7: Números complejos
A r g ( | ; ) = 6 , - 9 : = Arg(z,) - Arg(z:)
Se an : z, = - | i y z2 = - 2 + 2 3 i ; efectuar en la forma
polar las siguientes operaciones : a) z,z2 , b) —
*2
Solución. En z , : r, = I z, I = 3 y Tq 0 = X = ■'3/2 = - —
1 x 3V3/2 V3
Com o x es positivo e y negativo , el argum ento principal termina en el IV
cuadrante. Entonces : 0, = are Tg (-1/V3) = 360° - 30° = 330° = 11rc/6
Por lo que :z, = 3 Cis( 11n/6)
En z,: r2= I z J = 4 y T g 0, = ^ = -^ 3
Com o x es negativo e y positivo , el argumento principal termina en el II cuadrante.
Entonces : 0, = are Tg(-Í3) = 180° - 60° = 120° = (271/3 )
Por lo tanto: z, = 4 C is (271/3).
a) z |z, = (3)(4) C is ( ü 71 + -jTc) = 12 C is (^-71) = 12 C is (271+ = 12 C is (7C/2)
z,z; = 12(Cos90° + i Sen90°) = 12 i
b > z7 = Í C ís (l“ 71' n) = I C is ( l n )= C is( |80° + 30°) = | (*C o s30 ° - i Sen30°)
Eje m p lo 4 ) Efectuar: z = ^ 3 ) (CosO + i SenO)
— ---- r i y J 2Í1 - iH C o se - i Senfn2(1 - i) (C os0 - i Sen6)
Solución. Se a n : z, = 1 - i '3 y z, = I - i. Expresando am bos complejos en la forma
polar y teniendo en cuenta que su s argum entos principales terminan
en el IV cuadrante , se tiene.
Para z , : r, = 2 y Tge, = - V3 o 0, = 360° - 60° = 300° => z, = 2 C is 300°
z , : r: = V2 y T g0 ; = -1 <=> 0, = 360a - 45° = 315° => z, = y¡2 C is 315°
Luego , z = 2_C ls -'()() (C|s6) _ V2 c¡S(300o . 3 ,50) c¡s(0 + 0)
22 C is 315° C is(-0) 2
z = [C os (20- 15°) + i Sen(20 - 15°)] = Cis (20- ■
Sección 7.8: Forma polar de un número complejo 349
Ejem plo 5 j Representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos de
los complejos que cumplen con la relación Arg | 2 ' 2l j = 0,
donde z, = 1 + i y z 2 = -1 + 2 i.
Solución. S e a n : z = (x , y) y w = z - z -
Z| ■
« w = ( x - 1) + ( y - 1)i
2 - i
= 1 [(2x - y - 1) + (x + 2y - 3)i]
Si Arg(w ) = are T g = °
=> (x + 2y - 3 = 0) a (2x - y - I > 0)
<=> (x + 2y • 3 = 0) a (y < 2x - 1)
Si C1‘ : x + 2 y - 3 = 0 y 7 : y = 2 x - 1 , entonces los afijos del lugar geom étrico
que cum plen con la relación dada se encuentran sob re la recta .2?, en la región
del sem iplano inferior de la recta r£ , , p u es y < 2x - I. E s de su p o n e r que el
punto P (l , 1)6 á ?,n 2' no pertenece al lugar geométrico (Figura 7.34). ■
Eje m p lo 6 } S i z e C | | z - 1 l = 1 , 0 < Arg(z -1 ) < n ; determinar Arg(z2- z)
en función de Arg(z).
Solución. El lugar geométrico i z - 11 = I es una circun
ferencia concentro en Q (l , 0) y radio r = l.
Entonces , sean : 0 = Arg(z) y a = Arg(z - l ).
El A O Q P es isósceles , pues O Q = Q P = r ; luego
m (<*Q O P) = m (<*O P Q ) = 0
Adem ás , com o a = m (<£ Q O P ) + m ( O P Q ) <=> a = 20
Si Arg(z: - z) = Arg(z) (z - l) = Arg(z) + Arg(z - l )
■=> Arg(z: -z ) = 0 + a = 0 + 20 = 30
A rg (z--z ) = 3 Arg(z) ■
Ejemplo 7 J S il zi| = 8 y Arg[ z(1 + i)] = tc/6 , hallar el número complejo z en
su forma polar.
Solución. S i I z i I = 8 <=> Iz l |i| = Iz l = 8, esto es , I z I = 8
y si Arg[z(l + i)] = ^ Arg(z) + Arg(l + i) =](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-181-320.jpg)
![350 Capitulo 7: Números complejos
c=> Arg(z) + 5 = 7 « Ar9(z ) = - t t
4 6 12
Por consiguiente : z = 8 C is (-71/12) o z = 8 C is(l lrc/12) ■
Ejem plo 8 JHallar la forma polar de cada número complejo z tal que
z 2 - 2 + i = (1 - i)3
Solución. Si (z):= 2 - i + (1 + i):(l - i) = 2- i + (-2i)( 1 - i) <=> (z)- = - 3 i
■=> z= ± VÔT (1)
Se a n w = -3¡ y 1P3Î =c +d¡« c = ± V lw l^ a y d = ± V l w !,- a
D ado que a = 0 , b = -3 y I w I = 3 «=> c = d - ± í3/2
y com o b < 0 , entonces c y d se eligen de distinto signo , esto es
nTJT = ±(V372 -iV3/2)
Luego , en (1) : z = ± (V3/2 - i V3/2) <=> z, = V3/2 - i V3/2 ó z, = - V3/2+ i /372
<=> Z, = V3/2 + i V3/2 ó z, = - V3/2 - i V3/2
La formapolar de cada complejo es
z ,= V 3 C is (71/4) ó z, = V3 C is (57t/4) ■
EJER C IC IO S: Grupo 39
En los ejercicios 1 al 6 , expresar los núm eros complejos dados en su forma
polar
1 . z = 6 3 + 6 i 3. z = -i-(-V3 + i) 5. z = - 4 + 4 f3i
2. z = 3 - 3 V 3 i 4. z = - 5 3 - 5i 6. z = - 2/2 - 2'2 i
En los ejercicios 7 al 10 , realizar la operación indicada y expresar el resultado
en su forma rectangular.
7 (V2 C is 22°) ( 3 C is 84°) (2 C is 27°)
(6 C is 35°) (Cis 183°)
8 (C os 133° + i Se n 767°) (C os 317° + i Se n 223°)
C o s 30° - i Se n 30°
g (C o s 171° + i Se n 729°) (C os 284° + i Se n 1336°)
C o s 330° - i S e n 330°
Sección 7.9 : Potenciación de números complejos 351
in (C os 295° + i Se n 655°) (C o s (-20) + i Se n 700o]
C o s 415° - i S e n 125°
11. Siz, = 6 C is 30° , z 2 = 2 C is 10° y z3 = 3(C o s 20° - i Se n 20°), hallar z,z2/ z 3.
12. Hallar la forma polar de : a) z = i C is (71/3) + 1
b) z = 1 + i Cotg 0 , k < 0 < 371/2
13. Escribir en la forma polar el resultado de : (6 + 2 i '3 ) (7 + 7 i) (4v3 + 12 i)
14. Si z = r C is 0 , representar en forma p o la r: ^ z 2
15. Si I z i I = 4 y Arg [ z (1 + i 3 )] = 7t/4 , hallar el número complejo z en su forma
polar.
16. Si z, = 1 - 2 i y z2 = 2 + i , graficar el lugar geométrico de los afijos de núm eros
complejos que satisfacen la relación : Arg ( z - z ' ) = 0
z, - Z2/
17. Localizar en un plano complejo los afijos que representan a los núm eros
complejos z = x + y i , tales que :
a) 71/6 < Arg(z) < 2rc/3 c) n/8 < Arg(z) < n/2 a |z| < 3
b) n/3 < Arg(z + i) < k d) n/4 < Arg(z) < 371/4 a | z | > 2 a | z | < 4
18. Graficar los conjuntos
a) A = {z e C I z = iw 2 , donde I w I = 1 y Arg(w ) € [71/6 ,71/4]}
b) A = {z e C lz = (i/w2) , |w I > 1 y Arg(w ) e [jc/6,7t/3]}
7.9 J P O T EN C IA C IO N DE N U M E R O S C O M P LEJO S
TEOREMA 7.5 El Teorema de De Moivre
La potencia n-ésim a de un número complejo en su forma po
lar tiene por módulo la potencia n-ésim a de su módulo , y por argumento el
producto de su argumento por n. Esto es , si
z = r C is 0 => zn = r" (C o s n 0 + i S e n n 0) (7)
Demostración. Por inducción completa , se a la proposición
P(n) = {n I zn = r C is n 0 }
(1) Para n = 1 => P ( l ): z '= r'C is0 <=> z = r C i s 0 , es verdadera
(2) Su p on ga m os que para n = h , la proposición](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-182-320.jpg)
![352 Capítulo 7: Números complejos
P (h ): z h = r h C is h 0, es verdadera (Hip. inductiva)
Dem ostrarem os que para n = h + 1 , la proposición
P(h + 1): z h* 1= r h+1C is (h + 1) 9 , es verdadera
En efecto
z h♦1= zh . z = (r Cis 0)h (r Cis 0) = (rh C is h 0) (r Q s 0) (Hip. ind.)
= rhr [Cis (h0 + 0)] = rh* ' [C is (h + 1)0]
(3) Conclusión : S e ha probado que , P(1) e s V a P(h) es V <=> P ( h + l ) e s V .
Ejemplo 1 ) Si z = - ^ + 1 i , hallar R e(z20).
Solución. Expresam os z en su forma polar
y 1/2 iIz l = r = V(W3/2)> + (l/2)= = 1 ,Tge= ¿ = ^ ^
Com o x < 0 , y > 0 , el argumento principal termina en el II cuadrante
o 0 = are Tg (-1/V3) =180° - 30° = 150° = 571/6
Luego , si z = C is0 «=> z = 1 Cis(57i/6) <=> z :o = 1:0 C is 20(571/6) (De Moivre)
<=> z™ = Cis(8 x 271 + -=-7t) = Cos(27i/3) + i Sen(27i/3)
.-. R e(z20) = Cos(2ti/3) = C o s = - Cos ( * ) = - ■
f Ejemplo 2 J U sando el Teorema de De Moivre , demostrar las siguientes
identidades: Se n 3 0 = 3 S e n 0 - 4 S e n 30
C o s 3 0 = 4 C o s30 - 3 C o s 0
Demostración. S e a el complejo unitario : z = C o s 0 + i Se n 0 ( I z ! = 1)
Elevando al cubo obtenem os :
z} = C o s'0 + C o s ’0 Se n 0 + 3 i : C o s 0 S e n :0 + i S e n ’0
= (C o s?0 - 3 C o s 0 Sen-’O) + (3 C o s :0 Se n 0 - Sen'OJi
Por el Teorema de De Moivre : z ’ = (C o s 0 + i Se n 0)'' = C o s 3 0 + i Se n 3 0
Luego : C o s 3 0 + i Se n 3 0 = (C o s’0 - 3 C o s 0 S e n :0) + (3 C o s'0 Se n 0 - S e n '0 ) i
Igualando las partes reales y las partes im aginarias se tiene :
C o s 3 0 = C os'O - 3 C o s 0( 1 - C o s :0) <=> C o s 30 = 4 C o s;0 • 3 C o s 0
Se n 3 0 = 3( 1 - Sen-0) S e n 0 - Se n ’0 =* Se n 3 0 = 3 Sen 0 - 4 Sen'O ■
| O B S E R V A C IO N . Dado un complejo z = r C is 0 y un entero positivo n , se cumple
z " = r nC is(-n0) (8)
Sección 7.9: Potenciación Je números complejos 353
es d e c ir, el Teorema de De Moivre es válido para potencias enteras negativas.
Ejemplo 3 ^ Dado z = 1 - i , hallar z -
Solución. El complejo z en su forma polar es z = V2 Cis(7rc/4)
<=> z 3= (V2)-’ Cis(- 2 17i/4) = - 1 = j^Cos ^ rc) - i Se n ^ njJ
= ñ [ e o s (471 + t n ) - i S e n (471 + | * ) ] = £ [ c o s ( ¿ it ) - i S e n ( | ^ ) ]
= & [e o s (n + i ) - ¡ Se n ( * + £ ) ] = | [■ C o s ( Í- ) + ¡ Se n ( í )]
| O B S E R V A C IO N . Si para un complejo unitario z = C is 0 aplicam os el Teorema de
De Moivre , se cumplen las siguientes relaciones :
z" = C o sn O + i S e n n O y z n = C o sn O - iS e n n O , n e Z
de donde se obtienen
C o s n O = ^ (zn + z " ) S e n n 0 = — (zn - z ") (9)
E sta s d os fórm ulas se utilizan para expresar potencias de S e n o y C o se n o en
función de ángulos múltiples.
Ejemplo 4 ^ Hallar S e n 50 y C o s50 en términos de Se n k 0 y C o s k 0, respec
tivamente.
Solución. En las fórmulas (9), para n = 1 se tiene :
2 C o s 0 = (z + ¿ ) <=> (2 CosO)5= (z + | )5
32 C o s 50 = z5+ 5 z ‘ + l O z ^ l J + 10z: ( l ) + 5 z ( ^ ) +
= (z í+ f ) + 5(2' + ? ) + i0(z + ?)
= (2 C o s 5 0) + 5(2 C o s 3 0) + 10(2 C o s 0)
.-. C o s 50 = ~ (C os 5 0 + 5 C o s 3 0 + 1 0 C o s 0)
16](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-183-320.jpg)
![354 Capítulo 7: Números complejos
Análogam ente: 2 ¡S e n 0 = z - i ■=* (2 i Se n 9)5= (z -
<=> 32 ¡5S e n '0 = z- - 5 z ; + 10 z - — + Ar -
z z ? z '
= (Z ' z>) ' 5(z’' ? ) + l0(z ' í )
= * 32 i S e n ?0 = (2 i Se n 5 0) - 5(2 ¡ Se n 3 0 )+ 10(2 i S e n 0)
S e n ’0 = -1 (S e n 50 - 5 S e n 3 0 + IO Se n 0) ■
16
EJERCICIO S : Grupo 40
En los ejercicios 1 al 12 , utilice el Teorema de De Moivre para hallar la poten
cia indicada. Expresar el resultado en forma cartesiana.
5. (2 - 2 i)10- (2 + 2 i)1
( i ♦i r
3. (1 ± 1 M ) ”
6.
( i - i ' ) '
9.
10.
( ! * H '
4.
13.
14.
7. (V2 + V3 + i y¡2 - V3 Y
g ("i + Í V 3)15 ( - 1 - i ^ ) 15
O. ----—---7TTT--- +
( 1 - i) 2 ( 1 + i) 2
11. (-3V3 + 3 i)3
12. (4V2 - 4/2 i )40
En los ejercicios 13 a 16 , efectuar y expresar el resultado en la forma a + b i
(2 C is 225°)2 (3 C is 140°)3
(V3 C is 2 5 o)4 (V2 C is 6 0 o)2
12 Cis(-30°) (6 C is 135o)2
15.
(v2 C is 4 45 o)2 (V6 C is 140°)4
[2 C is (-130o)]2 (3 C is 3 45o)2
(1 - V3Í)27 /1 V3 :V316 n -'3ir _ n V3¡y
24 Cis(-150°) (V§ C is 105o)2 ‘ (2 + 2 i)18 2 2 /
17. Si z = 2 + V3 + i V2 - V3 , hallar Re (z20)
18. Simplificar (1 + w)n , donde w = Cis(27r/3)
.... /1 + Se n x + i C o s x 6
19. Simplificar: - — -------- — -------
V 1 + Se n x -1 C o s x I
20. Representar mediante un polinomio de primer grado en términos de ángulos
Sección 7.10: Radicación de números complejos 355
múltiplos de x , lo siguiente
a) S e n 4x b) C o s6x c) S e n 7x d) C o s 7x
21. Expresar mediante las potenciasde Se n x y C o s x las siguientes funciones de
ángulos múltiplos de x
a) C o s 5x b) C o s 8 x c ) S e n 5 x d) S e n 7 x
22. Dado n e Z+ , dem ostrar que ( 9 + 1 _q 0s 2 n 0 + i S e n 2 n 0
' Cotg 0 -1 /
23. Si z = C is0 , hallar todos los valores de 0 para los cuales (z + 1)2 es imaginario
puro.
24. R esolver: [(1 + i -'.3)4z ] 2 = (1 - i 3 )3z
25. Calcular z4 en los siguientes ca so s
a) z = (-V3 + i)'1 b) z = 4 = ^ c) z = ---------------------- , a e R a O <o.<2tc
’ ' V 3 - i S e n a + i S e n a
( 7.10 j R A D IC A C IO N DE N U M E R O S C O M PLEJO S______________
Por definición , dado un número complejo z y un entero positivo n , se dice
que el complejo w es raíz n-ésim a de z si y sólo si , w° = z , se escribe
w = z , o bien , w = z l/n
El problem a de calcular w se resuelve fácilmente escribiendo z y w en forma
p o la r, esto e s , si
z = r(C o s0 + i Se n 0 ) y w = R(Cosvj; + i S e n i) (1)
entonces por definición de raíz : w n = z
Por la fórmula de D e Moivre :
R n(C os n vj/+ i Se n n y ) = r(Cos 0 + i Se n 0)
y por la igualdad de núm eros complejos
R n = rA n ij/ = 0 + 2krc ■=> R = r a y = ~ k 71
Luego , en (1):
donde , para k = 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1 , obtenem os los n valores de w , que lo
designarem os por w k , k = 0 , 1 , 2 ......... . n - 1 , respectivamente.
En resum en , se ha dem ostrado el siguiente teorema.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-184-320.jpg)
![356 Capítulo 7: Números complejos
TEOREMA 7.6 Radicación de números complejos___________________________
Todo com plejo no nulo admite n raíces n -é sim as distintas
d ad as por
Wi = V [ c o s ( 8 ± l M ) + ¡ S e n ( e ± í M ) J
donde k es 0 , 1 , 2 , .......... n - 1, r = I z | y 0 = Arg(z)
v____________________________________ _______ ____________________________________
Dado que todas las raíces tienen el m ism o módulo , éstas se encuen
tran sobre una circunferencia de centro el origen y radio V 7 , y difieren en el
argum ento en múltiplos de 2rc/n. Por esta razón , las distintas n raíces de un
complejo no nulo , se identifican geométricamente con los vértices de un polígono
regular inscrito en la circunferencia mencionada.
E je m plo 1 J Determ inar y representar en un plano complejo las raíces
quintas de z = -16 - 16v3 i
Solución, r = i z ! = 1 6 Vi + 3 = 32 , TgB = V3 «=> 0 = 1 8 0 ° + 60° = 240f;
De m odo que s i : - 16 - 16V3Í = 32(C os 240° + i Se n 240°)
del Teorema 7.6 , las cinco raíces quintas están dadas por
r240° + 2k;
w, = "V32 Jc is ( 240° * 2 -k - )] , para k = 0 , 1 , 2 , 3 ,4
Para k = 0 ■=> w(i = 2 C is (48°)
k = 1 ■=> w, = 2 C is (120°)
k = 2 <=> w, = 2 C is (192°)
k = 3 o w, = 2 C is (264°)
k = 4 o w4= 2 C is (336°)
En la Figura 7.36 se muestra los afijos de las raí
ces quintas de z , que son vértices del pentágono
regular inscrito en la circunferencia de radio r = 2
Nótese que la diferencia entre los argum entos de
cada raíz es
(y — - ^ — 360 _ ~i~)o ^
n ~ 5
lm,
W . - —
c'
1
w
V
l - S L I I " Rt;
y T V I ,
J
FIGURA 7.36
tjem plo 2 j Determinar las raíces cúbicas de la unidad.
Sección 7.10: Radicación de números complejos 357
Solución. S i z = l <=> |z | = 1 y 9 = Arg(z) =0 <=> wk= T J^Cis j
«=> wk= C o s + i Se n (— . para k = 0 , 1 , 2
Reem plazando a k sucesivam ente por 0 , 1 y 2 se obtiene
w, = C o s 0o + i Se n 0o = 1
w, = C o s + i Se n = - i + ^ !
w.- = C o s ( ^ ) + ¡ S e n ( f ) = . I . f
I O B S E R V A C IO N E S
(1) Los afijos de las raíces cúbicas de la unidad son
los vértices de un triángulo equilátero inscrito
en la circunferencia de radio I z I = l
(2) Las raíces cúbicas de la unidad se encuentran igualmente espaciadas con
una de ellas un ángulo igual a a = 2rc/3
(3) w, = w. t=> wa + w, + w, = 0 ■
{ l A Q A ) EC U A C IO N ES CU ADRA TICA S CON C O EFICIEN TES CO M
PLEJO S
S a b e m o s que una ecuación cuadrática con coeficientes reales
a x :+bx +c =0 , tiene por raíces
x _ -b i '¿r - 4ac
2 a
En esta sección y , en idéntica forma , trataremos de hallar un proceso que nos
permita resolver una ecuación de la forma
A z : + B z + C = 0 , A , B , C € C y A * 0 (1)
Com pletando el cuadrado se tiene
(2.
R R: 4AP
Sup ongam os que : w = z + ^ y u = 4^
de modo que en (2) tendremos : w : = u (3)
Puede ocurrir entonces que](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-185-320.jpg)
![362 Capítulo 7: Números complejos
luego , la relación : exp(i0) = e18= C o s 0 + i S e n e (11)
es la llamada fórm ula de Euler o exponencial compleja
Siendo la representación de un número complejo
z = r (C o s 0 + i Se n 0 )
la fórmula de Euler da lugar a una representación alternativa de los núm eros
complejos en la forma exponencial
z = r e i9 (12)
donde, r = |z| y 0 = Arg(z)
Ejem plos : z = i = C o s (rc/2) + i Se n (71/2) =» z =<?,(w2)
z = - 1 = C o s 7i + i S e n n <=> z= e'K
z = l = C o s 0 + i Se n 0 <=> z= e i0=e'ZK
z = - i = Cos(37i/2) + i Sen(37t/2) o z = e'<3,K) = e'i{,c/2)
z = - 4 + 4 í3 i = 8 Cis(27t/3) <=> z = 8 e'2™
O B S E R V A C IO N . Si en la fórmula de E u le r: e'° = C o s 0 + i S e n 0
se sustituye 0 por (:0) se obtiene : e~m= C o s 0 - i Se n 0
De estas dos ecuaciones resultan las identidades
C o s 0 = i (cie + <r,e) ; S e n 0 = I (c'e - e '6) (13)
que son de m ucha utilidad en dem ostraciones de identidades trigonométricas.
E J E M P L O . Hallar C o s 30 en función de C o sk 0
Solución. Si C o s © = 4- (eM+ e '*) «=> C o s'0 = 1 (£1,e +3£ziWe',tí +3<?'8e'zi9 + c'*)
2 o
A grupando términos convenientem ente obtenem os
C o s'0 = -j [ 4 (e*® + e ',ie) + 4 (£'" + e’"*)] = -j (C os30 + 3 Cos0) ■
P R O P IE D A D E S D E L A E X P O N E N C IA L C O M P L E J A
EC. 1 : eze"= ez"N EC. 5 : Si y e s real => e» I = l
E C .2 : -^ -= < ?zw EC. 6 : ez = <=> z = 2nrci , V n e Z
ew
EC. 3 : í>z * 0 , V z e C EC. 7 : ez =e” <=> z = w + 2k7ii , V k e Z
EC. 4 : ez I ex , y =Arg(z) , z = x + yi EC. 8 : (ez)n=enz , V n eZ
Demostración de E C . 1 : ez ew = e1* w
(1) Se an : z = x + y i , w = a + ¿>i <=> ez = t?x(C o sy + i S e n y) , = e‘*(Cos b + iSe n b)
(2) <=> ez e* = [e *(C o sy + i Se n y)] [^ (C o s b + i Sen¿>)]
Sección 7.11: La exponencial compleja 363
= ex*a [(C o s y C o s b - Se n y S e n b) + i (C o s y S e n b + Se n y Cos¿>)]
= e'*a [C o s(y +b) + i Se n (y +b)] =ex*aei{y*b)
(5) ez e'M =
Demostración de EC. 4 : ez I = ex , y = Arg(z) , donde z = x + y i
En efecto , por definición : ez =ex(Cos y + i Sen y)
^ / e ' t>eny
Si ez =ex C o s y + i ey S e n y <=> 0 = Arg(z) = ArgTg — ------J = are Tg (Tg y)
ez I = ex v(Cosy)-1+ (Sen y)-’ =e'
e x Se n y ^
ex C o sy
0 = Arg(z) = y .
Demostración de EC. 6: ez = I <=> z = 2n7ii , V n e Z
(1) S e a z = x + y i <=> ez = ex+>‘= ex eiy =ex(C o s y + i S e n y ) = exC o s y + i e 'S e n y
(2) S i e z = l => exC o s y + ie 'S e n y = 1
(3) Por igualdad de complejos : ex C o s y = 1 a e' Se n y = 0
(4) C om o ex * 0 , entonces , Se n y = 0 <=> y = kft , k e Z
(5) Ahora , si y = krc c=> C o s y = C o sk rc = ( - l) k
(6) Luego , en la primera igualdad de (3): e*(-I)k = 1 = ( - i p <=> ex = (-l)k
ex = 1 <=* x = 0
y ;
(8) Por lo tanto, z = x + y i = 2n7ti , V n e Z
(9) Recíprocam ente , si z = 2 n 71i => ez =e2n*' = C o s2 n 7 i + i Se n 2 n rc = 1 + Oi =
(7) Pero e * > 0 < = > k = 2 n - = > - í í
L v = 2n7t
O P E R A C IO N E S EN L A F O R M A E X P O N E N C IA L
Las fórmulas relativas al producto , cociente , potenciación y radicación
de núm eros complejos en la forma polar son sim ilares para dichas operaciones
en la forma exponencial. Esto es :
1. z,z, = (r,e1*') (r,el8;) = r:r, c i<e,* e’J
2 £ l = í l ^ = Í I l U ^ - «
z2 r, ei9: V r, /
3. z n= {re*)n= r"e íne
4. z ,'" = ( r e T = r ,/n^ ík *y n , n e Z y k = 0 , l , 2 ..........n - l](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-188-320.jpg)
![366 Capítulo 7: Números complejos
Solución. Un octógono regular es descrito por los afijos de la raíz octava de un
determinado complejo. Ahora bien , sabe m o s que los argum entos de
cada raíz están igualmente espaciadas un ángulo a = - ^ = = 45°
Entonces , si z = [Cos(-15°) + i Sen(-15°)] , una fórmula que permite calcular los
afijos de cada uno de los vértices del octógono es
z = 2[Cos(-15° + 45°k) + i Sen(-15° + 45°k)] , k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7
Si k = 0 ■=>w„ = 2 Cis(-15°) , k = 4 <=> w, = 2 Cis(165°)
k = 1 w, = 2 Cis(30°) , k = 5 <=> w s = 2 Cis(210°)
k = 2 =* w, Cis(75°) , k = 6 => wh = 2 Cis(255°)
k = 3 i=>w. = 2 Cis(120°) , k = 7 => w 7 = 2 Cis(300°)■
Ejem plo 7 j Determ inar el total de núm eros enteros positivos n de tres
cifras que verifican la igualdad : ( 1 + ^ i) = 1 + i
' i ^
Solución. El complejo z = i + i , en su forma polar es z = Cis(7i/3) = e'm
Luego , si (e"t/,)n = eim <=> ^ ^ + 2krc (Igualdad de complejos)
de donde se obtiene : n = 6k + 1 ; com o n es de tres cifras <=> 100 < n < 999
esto es : 100 < 6 k + 1 <99 9 => 16.5 < k < 166.3 => 17 < k < 166 , k € Z*
D ado que , por cada k existe un n ■=> n = ( 166 - 17) + 1 = 150 ■
Ejem plo 8 J Demostrar que para 0 e [0 , 2k ) y n número natural
( 1 + S e n 0 + i C o s e r e o s ; n( « - e)] + i Sen r n ( £ - e)l
' 1 + Se n e - i C o s e ' 2 n L v2 n
Demostración. Se an : z = 1 + Sene + i C ose y w = I + Se n e - C ose
<=> z = Se n y + Se n e + i Se n - 0) =
= 2 S e n ( 5 + e ) c o s ( í . e ) + 2 i S e n ( i . e ) c o s ( i . e )
Por ser complementarios : C o s ( j + t ) s Se n (j ' t )
Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 367
« z = 2 S e n ( | + | ) C o s ( £ - | ) + 2 i Se n ( 5 - | ) Se n ( f + « )
= 2 S e n ( £ + § ) [ C o s ( J - 1 ) + ¡S e n ( i - 1 ) ] = 2 S e n ( j ♦ | ) [ » * » • « ]
Por un razonamiento similar se dem uestra que
w = 2 Se n ( | + | ) [ e o s - | ) - i S e n ( | - | ) J = 2 Se n [««*"•«»]
Por lo que : = e,n(lt/2’e) = C o s n - ej + i Se n n ^ - e) ■
Eje m plo 9 ) D ado e e R , demostrar que si z + y = 2 C ose , entonces
a) z m+ y ^ = 2 C o s me , m € Z*
b) z m' = 2 i Se n me , m e Z *
Demostración. S e a z = r(Cos6 + i Sene) <=> z l = -j- (C ose - i Sene)
Luego : z + j = (r+ -j-)C ose + i (r - 1 )Sene1
1 e s real *=> Im (z + i
1 ^ 1
Dado que z + ^ e s real ■=> Im (z + 1 ) = o
Esto es , s i : (r- j )Se n e = 0 <=> (r - j- = 0) v (Se n e = 0)
<=> r = 1 v e = 2k7t
Para r = 1 se tiene : z = C o se + i Se n e y z x= C o se - i Se n e
=> z m = C o s me + i Se n me y z m = C o s me- i Se n me
Por lo tanto , sum ando y luego restando los extremos de am bas ecuaciones obte
n e m o s
a) zm + y r = 2C o s me b) z m- —¡ = 2i Se n me ■
Eje m p lo 1 0 J Si Se n a + S e n ¿ + Sene = 0 y C o sa + C o sb + C o s c = 0 ,
demostrar que Sen3a + Sen36 + Sen3e = 3 Sen(a +b +c)
Solución. Se a n : A = C o sa + i Se n a , B = C o s b + i Sen¿> , C = Cose + i Sene
<=* A + B + C = C o sa + C o sb + C osc + i (Sena + S e n ¿ + Sene)
Luego, si A + B + C = 0 ^ [(A + B ) + C ]? = 0 => (A + B)3+ 3(A + B)2C + 3(A + B )C 2+ C 3= 0](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-190-320.jpg)
![368 Capitulo 7: Números complejos
de donde : (A + B)’ + C ’ + 3C(A + B) (A + B + C) = 0 r=> (A + B )' + C ' + 3C(A + B) (0) = 0
De m odo que : (A + B)* + C- = 0 => A ? + B ; + C- + 3 A B (A + B) = 0 (A + B = - C)
==> A , + B ' + C , = 3 A B C
Del Teorema de De Moivre y del producto de complejos si sigue que
(Cos3a + Cos36 + Cos3c) + i (Sen3a + Sen3¿ + Sen3c) = 3[Cos(a +b+c) +i Sen(a +b+c)]
Por igualdad de complejos , lom ando la parte imaginaria obtenem os
Se n 3a + Se n 3 ¿ + Sen3c = 3 Sen(a + b + c) ■
C jem plo 1 1 ^Para z = Cis(7t/4), hallar: a) El módulo y el argumento de (1 + i z)6
b) lm(1 + iz)6 en sum as, usando el Teorema delbinomio de
Newton.
Solución, a) S e a 9 = 71/4 <=> iz = i (C os0 + i SenG) = - Se n e + i C o se
<=> I + i z = (1 - SenG) + i C osG = (Senrc/2 - SenG ) + i Sen(rc/2 - Q)
=2Cos(3 + Í ) S e n ( i - f ) +2 ¡ S e n ( | . | ) c o s ( | . f )
Por ser complementarios : C o s ( y - ®) = Se n ^
« 1+¡z = 2Sen ( f - f ) [cos(f + | ) +iSen(f ♦§)]
Para G = k/4 se tiene : l + iz = 2 Sen(7ü/8) [ Cos(3rc/8 + i Se n (3rc/8)j
<=> (l + iz)6= T S e n h(7t/8) [Cis(97i/4)]
Por lo que : M od( I + iz)ft= 26 ['j 2 ) = (2 - V2)- = 20 - I4 2
Arg(l + iz)6= 971/4 = 225°
b) ( l + i z ) A= X ( k ) (l)k (iz)hk = ¿ (k ) (et*a ei*Y,’k
k =0 k =0
= X (k ) (gi(w:t0))ft' k = X
k s O k =0
lm (r+ iz )A= X (k ) S e n (6 -k ) (ti/2 + G) = ¿ ( k ) c o s ( 6 - k)G
E je m plo 1 2 j Demostrar que si (o19 = 1 y oj * 1 , entonces
1 + 2co + 3o)2+ .......... + 19(o18= 19
CD- 1
Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 369
Demostración. Si (0IV = 1 => (O19- 1 = 0
t=> (co -1 )(ü)ls + (O17+ ........... + (0 + 1) = 0
Por hipótesis w * 1 =* co - 1 * 0 , luego :o)'* + co'7+ ....+ (o + 1 = 0(1)
Representem os p o r : S = 1 + 2(0 + 30^ + ..........f9<olli
t=> (OS = (o + 2Í02+ ......... 18(018+ 19(019
Restando se tiene : S - coS = (1 + <o + co: + . . . .+ co17+ co,s) - 19(0W
Por (1) , la expresión entre paréntesis e s igual a cero , por lo que :
19 (O19 19 m
S(1 -0)) = - 19(0,g <=> S =
c o - 1 ( 0 - 1
Ejemplo 13 ^ Sim plificar : 2 + 3(2)C o sG + (4 )(3 )C o s2G + . . . . +
(20)(19)Cos186 sabiendo que<?19i0 = 1 y e'" / 1
Solución. Se an : A= 2 + (3)(2)CosQ + (4)(3)Cos2G + .......... + (20)(19)CosI 80
B = (3)(2)Sen0 + (4)(3)Sen2G + ...........+ (20)(I9)Senl8G
=> A + Bi = 2 + (3)(2) (C os0 + i Sen0) + (4)(3) (Cos20 + i Sen20) + .......... +
(20)( 19)(C os 180 + i Se n 180)
Tomando el complejo unitario (0 = C o s0 + i Se n 0 , podem os escribir
A + B i = 2 + (3)(3)(0 + (4)(3) (O2+ .......... + (20)( 19) (Ol 8
Llam ando z = A + B i , debem os simplificar la parte Re(z) = A
Esto e s , si z = 2 + (3)(2)<o + (co + (4)(3)co2 + . . . . + (20)(19)(o,s
c=>ü )z= 2(0 + (3)(2)(02+ . . . . + (19)(18)(0IS + (20)(19)(O|y
<=> z - (O Z = 2 + 2 (2) (O + 3 (2) (O’ + ............+ 19(2)(OIK - (20)( 19)Cü,,í
= 2 (1 + 2(0+ 3(0-’ + ...........+ 19(0,s) - (20)( 19)0)19
1Q
Por el Ejemplo 12 , la sum a entre paréntesis e s S = , y (o|y= e19,0= 1
=> (1 -(ú)z = 2 Í - ^ - ) - (20)(19) = - 38 ( ^ 2 = J 8 0 , 38 (1)
(O - 1/ (0-1 I (0-1 ((O -1)- '
(O - 1 = C o s0 - I + iSe n 0 = - 2 Se n 2^ + 2 iSen C o s^ - = 2 i Se n ® (C o s^ - + iSen
(0-1 2 Se n (0/2)
380e-Kwi+«w) 38 g'«**»)
= 2e'm Se n | (eM2) = 2 (se n e W '0™
Luego , en (1): z =
2 Sen(0/2) 4 S e n 2(0/2)
Por lo que :
A _ Re (z) _ 380 Cos(7t/2 + 0/2) _ 38C o s (ti + 0) = _ 380 S e n (6/2) + 38Cos0
2 Sen(0/2) 4 S e n :(0/2) 2 Sen(0/2) 2(1 - C os0)
de donde obtenem os A = 19 ( 1 ■- -Q-s9 - 1) ■
v i - CosB /](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-191-320.jpg)
![370 Capítulo 7: Números complejos
C jcm plo 1 4 ] D ado n e Z’ , convertir a producto las su m as
a) (q) C osn G + ( ^ C o s (n - 1)6 + ( 2 )c o s(n - 2)0 + ____+ ( p )
b) (o ) Se n n 0 + ( i ) Se n (n -1 )0 + (£ ) S e n (n - 2)0 + ... + ( " )
Solución. Se a n :A = (q) C osn 0 + Cos(n - 2)0 + ( " ) C os(n - 2)0 + . . . + ( " )
iB = i(| ])se n n 0 + i ('i')c o s(n - 1)0 + i(^!)Sen(n - 2)0 + . . . i(^ )
=> A +iB = ( (nJ (C osn 0 + iSe n n 0 ) + ( " ) [Cos(n - 1)0 + i Sen(n - 1)0] +
( " ) [Cos(n - 2)0 + i Sen(n - 2)0] + . . . . + (J¡) (1 + i)
= X (k) [Cos(n - k)0+ iSen(n - k)0]
k = 0
Tom ando el complejo unitario z = C o s0 + i Se n 0 <=> z " ' k = C os(n - k) + i Sen(n - k)
Entonces: A + i B = £ (£ ) z " 'k
Ka0
Por el binomio de Newton : ( z + l ) n = X ( k ) z n' k (l)k= X (£ ) z n-k
k= ü k= 0
Esto e s :A + iB = (z + 1)" = ((1 + C os0) + i S e n 0 ]n
= |^2 C o s : ® + 2 i Se n C o s ® J n = j^2 C o s ® ^Cos ^ + i Se n J 0
= 2nC o sn(0/2) [Cos(n0/2) + i Sen(n0/2)]
Por lo tanto: a) A = R e ( z + l) " = 2" C o s" ( ® j C o s (A p j
b) B = Im (z + 1)" = 2n C o s " ( ^ ) S e n ( A p ) , ■
E je m plo 15 j Convertir a producto la sum a
C o sx + ( ^ C o s 2 x + ( 2 ) C o s 3 x + . . . . + C os(n + 1)x
Solución. S e a n : A = X ( £ ) c o s ( k - l ) x y B = X ( k ) s e n ( k + l ) x
k = 0 k = o
o A + Bi = £ (k) [C o s (k + l)x + iS e n ( k + l)x] (1)
Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 371
Considerem os el complejo z = C o sx + i S e n x <=> z* * 1= C os(k + 1)x + i Sen(k + 1)x
Luego, en (1): A + B i = I (J ) z k-' = z Z ( k) (l)n' kz k
k = 0 k = 0
Por el binomio de Newton : A + B i = z (1 + z)"
En el Ejemplo 14 obtuvimos :
(1 + z)" = 2" C o s" ( 4 ) [ e o s p 2 L ) + i Se n ( ^ - ) ] = 2” C o s" (e'nxp-)
<=> Z(1 + z)n = (e")2nC o sn ( y ) (<,’•"v-) = 2nC o s" (4 ) ie,{n*')%n)
A = R e [z( 1 + z)"] = 2" C o s 11 C o s x ■
E je m plo 1 6 J Dado n e Z* , convertir a producto la sum a
C o s2x + C o s23x + C o s 25x + . . . . + C o s 2(2n - 1)x - ^
Solución. B asándonos en la identidad : C o s x = -^ (1 + C o s 2 x) , la sum a dada se
puede escribir
n • n
I C o s :(2k - l)x- H = i ¿ [1 + C os(2k - l)2x]- J1 = *1 + 1 X C o s(2 k - l)2 x - ^
k = 1 / 2 2 k = i ¿
=> X C o s-(2 k - l)x - = A X C os(2 k - l)2x (1)
k = I ¿ L k = I
C onsiderem os el complejo unitario z = C o s 2 x + i Sen 2 x =
n n
y se a n : A = X C o s ( 2 k - l) 2 x y B = X S e n ( 2 k - I) 2 x
k = l k =1
n n n
■=> A + iB = X [C os(2k - l)2x + i Sen(2k - l)2x] = X z :k, = z X z 2(k,>
k = I k = I k = I
Tenem os una serie geométrica de razón z- , luego :
A o / l - z - " r I * C o s2 n (2 x ) - i Sen2n(2 x)"|
A + [ j T ^ l ~ ZL I - Cos2(2 x) - i Sen2(2 x) J
T 2 Se n (2 n x) - 2 i Sen(2 n x) C os(2 n x) "I
“Z L 2 S e n : 2 x - 2 i S e n 2 x C o s 2 x J
T - 2i S e n 2 n x (C o s2 n x + i Se n 2 n x ) ~| = (S e n 2 n x )(C D s2nx + iS e n 2 n x )
L - 2i Se n 2x (C os2x + i Sen2x) J Se n 2 x /
Entonces: A = Re(A + i B) = ( f S g a ) Cos2nx =](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-192-320.jpg)
![372 Capítulo 7: Números complejos
L u e go , en (1): X C o s :(2k - 1) - H = S ®n4x
a ' k . i ' ’ 2 4 Se n 2 x
Ejemplo 17 j Convertir a productos
1 - ( '11)C o s2 x + ( 2 ) C o s 4 x - ( 3 ) C o s 6 x + . . + (-1)" ( " ) C os2nx
Solución. Sean: A = X (-l)k (£ ) Cos2kx, la sum a dada, y B = X (-l)k ( k ) Sen2kx
k = <> k = o
d e m o d o q u e A + iB = X (-l)k ( k ) (C os 2kx + i Sen 2kx) (1)
k = 0
C onsiderando el complejo
z = C o s 2x + i Sen 2x , se tiene que : z k = C o s 2kx+ i S e n 2kx
Luego, en (1): A + i B = X (-l)k(k) zk= X (¡J) (-z)k(1)nk
k = o k =«o
y por el binomiode Newton : A + iB = ( - z + l ) n (2)
Ahora , 1 - z = 1 - C o s2 x - iSe n 2x = 2 S e n 2x - 2 ¡Senx C o sx = - 2 iS e n x (C osx + i S e n x )
=> I - z = 2(e M1) Se n x (<?»*) = 2 Se n x (<?'<x■w:>)
Por lo que , en (2): A + i B = 2n S e n nx (e
A = Re(l - z)n= 2nSe n "x C o s n(x - n/2) ■
E je m plo 1 8 ^ Demostrar que si (n + 1)x = n , con n entero m ayor que uno ,
entonces S e n 2x + S e n 22x + S e n 23x + . . . + S e n 2nx = n * 1
2
Demostración. Según la identidad , Sen-’x =( I - C o s 2 x ), la sum a dada se puede
escribir
n n n
X Sen-’kx = X 1 (I - C o s 2kx) = -£ - Jr X C o s 2kx (1)
k=i k=i 2 2 2 k= i x 7
n n
Se an : A = X C o s2 k x , B = X Se n 2 kx y el complejo unitario z = C o s2 x + i Se n 2 x
k = l k= l
n n n
=> A + ¡B =X (C os2ki + i Se n 2 k x ) = X (z)k = z X z “’1 = z ( * , * zn)
k = I k = ! k= I 1 -Z /
_ 2 / 1 - C o s 2nx - i Se n 2nx _ z / 2 Se n nx - 2 i Se n nx C o s nx
I - C o s 2x * i Se n 2x / V 2 Sen-'x - 2 i S e n x C o s x /
Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 373
f - 2 i Se n nx (C os nx + i Se n nx) ~1 _ M>r Se n nx (en‘x) "l
~ZL - 2i S e n x (C os x + i Se n x) J L L Se n x (e1*) J
= ( e n x ~ ) gKn<l>> ^ A = R e (A + i B ) = ( ^ e n x * ) C o s (n + O x (2)
Por hipótesis : (n + l)x = n <=> nx = 7i - x ■=> Se n nx = Sen(7i - x) = Se n x
Luego , en (2): A = ( ^ f-n-n— ) C o s n = -1
*oGn x •
n i i
Por lo tanto ,en (1): X Sen-’ kx = -y - — (-1)= ■
k = I ¿ -
Ejemplo 19 Calcular: Cos ( l ? ) +2 Cos (t ) +............ * (n' 1) Cos
Solución. S e a el complejo unitario z = C o s x + i Se n x , donde x = 27t/n
Form em os el complejo A + i B en función del complejo z , de modo tal
que s i :
A = C o s x + 2 C o s 2x + 3 C o s 3x + ........+ (n - l )Cos(n - l )x
B = Se n x + 2 Se n 2x + 3 Se n 3x + ...........+ (n - I) Sen(n - l )x
<=> A + i B = z + 2 z ! + 3 z -’+ ........ + (n - I )z" ‘1
z(A + i B) = z2+2 z- + ..........+ (n -2) z n’1+ (n - 1)zn
Restando am bos extremos de las dos igualdades obtenem os
(1 - z) (A + i B) = z + z2+ z- + ....+ z n' 1 - (n - 1)zn
= z(l + z + z 2+ . . . .+ z n 2) - ( n - l)zn = z ' Zz~ ) • (n - l)zn
de donde : A + iB = -r.:- Zy - .~ ^ Z 0 )
(1 - z ) 2 1- z
Para x = 2n/n se tiene que , z n = 1 . Luego , en (1): A + i B = (2)
z - 1 = C o sx - I + i Se n x = - 2 S e n :(x/2) + z i Sen(x/2) Cos(x/2) =
2 i S e n C o s + i Sen J
= 2 (e,K/2) Se n | [í?ix/2] = 2 (S e n A ) <?'<"2•x/2>
Luego , en (2): A + i B = ( — n / ) e'm l* v2)
a w 2 Sen(x/2) I
■■■ A ■ Re(A + 'B>= ( 2 l f e ) Cos ( f + ! ) = ( i s i f e ) (•Sen f ) “ - f ■](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-193-320.jpg)
![374 Capitulo 7: Números complejos
Ejem plo 2 0 J Hallar las su m as : a) 1 - (^ ) + (^ ) - (g ) + ..........
b> ( í ) - ( n3) - ( n5) - ( n7) - - - -
Solución. Se a el número complejo : z = I + i = V2 C is (7t/4)
Por el teorema del binomio : ( l + i ) n = X (k) ( l ) " ‘k (i)n
k = 0
« o ♦ ir- (S)i-♦ (?) ¡♦ (n2) ¡!♦ (",) i’ ♦ (") * (?) i*♦ (n6) i-♦ (?) ¡’ ♦ . . .
■ ..........
=> Re(, + ¡)» - 0 - {» ) ♦ (1) - ( "J ♦ . . .; Im (1 + ¡)"- ( ? ) - (",) ♦ (",) - (<]) +
Pero: Re( 1 + i) = V2 Cos(rc/4) ^ Re( I + i)n = 2 nQ C o s (nn /4)
Im(l + i) = V2 Sen(n/4) => lm(l + i)n = 2n/: Sen(n7t/4)
Por lo tanto : a) 1 * ) + ( " ) - ( " ) + ............= 2n/: C o s (n7ü/4)
b> ( 7 ) ' ( 3) + ( 5) ~ ( 7) + • • • • = í 1"1* Sen (nn/4)
EJER C IC IO S : Grupo 42
1. Escribir en forma exponencial: z = ^ +
(-1 + i3 ) (4 - 4i)
2. Calcular y expresar el resultado en la forma a + bi de z
3. Expresar C o s4x en términos de C o s4 x y C o s2 x
4. Expresar -^ -n-5 - en términos sólo de potencias de C o sx
Sen x
5. Resolver las ecuaciones :
a) z 3 - —J -' 1 = 0
i 3 - 1
b) (z + 1 - i)3= 1
c) (- 4V 3 - 4) + i (4^3 - 4) = ^ _ ¡
d) (i z - 1)2- z2= 0
EJERCICIOS : Gmpo-42 375
6. Si z = re'*’ , dem ostrar que la parte real de z + z es 2 a/r C o s ^ .
k = 0 ,1 , 2 ...........n -1 . Adem ás , hallar la parte real de 1 + h 3 + >/1 - i 3
7. Dem ostrar que cualquiera que se a el complejo unitario z , entonces
l z * 22 l = 2 |Se n ( — )|
8. Dem ostrar que : e‘8(1 -e'u) = ¿""(1 -e ,a)
9. S i |/ e s el ángulo com prendido entre d os vectores que representan a los
complejos z y w , dem ostrar que : z w + z w = 2 | z w | C o s i
10. S e a z = x + y i un número complejo
a) Si z = -1 , dem ostrar que no existe un número real t tal que z = * *!
1 - 11
b) S i z * -1 y I z I = 1 , hallar el número real t tal que z =
1 - 11
11. Si z = 3 + 4i y w = 2 + 6i, hallar el coseno del ángulo comprendido entre (z - w) y z
12. Se a n n e V y a e R ; demostrar que
(1 + C o s a + i S e n a )" = 2 n C o s" |Cos + i Se n ( ^ ) J
13. Analizar la verdad o falsedad de
a) Si (o3 = 1 , ü) * 1 , n e Z <=> o)3n + w 3n* 1+ co3n♦2 = 0
b) Si a) * 1 , co5 = -1 ■=> o)4 - ü)3 + o)2 - ü) + 1 = 0
14. Si z = 1 + i 3 , hallar R e (z20)
15. Si A = {z e C I I z + 2 - 2 3 i I < 2 } ; hallar z, e A de módulo máximo , z2 e A de
argum ento máximo.
16. S e a A = { z e C 11/5< Iz I < 1 ,71/8 < Arg(z) < tc/3} , B = { z € C I z e A}. Graficar
D = { i z e C I z e B} , y determinar la forma polar de z e D de módulo máximo y
argum ento mínimo.
17. Hallar Re(z) , lm(z) , tal que : (z + i)n = i z n , n eZ*
18. Simplificar: (1 + i T gx)n + (1 - i Tgx)n
19. Dem ostrar que todas las raíces de la ecuación ( ^ Z )' = , n e Z*
son reales y distintas.
20. Si z + 1 = 2 C o s , calcular: z 9 +](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-194-320.jpg)
![376 Capitulo 7: Números complejos
21. En base a las expresiones de (1 + ¡)n
a) Dem ostrar que
(S)'+1(?) •(2)-¡(S) ■♦ O*■■• • ' - 2“’ [Cos ( x ) +¡ Sen ( t ) ]
b) U sando lo anterior, calcular: - (1y ) + ( 1g )
22. Dem ostrar que : •
•> (?:K " )
+ 1
(S) + . . . . = 1 |^2n' 1+ 2 n'2 S e n ( ™ ) ]
cr
rod
( ♦ ( i )
1+
("o
) ♦ . . . . = 1 ^2 " . 2n'2 C o s (— ■)]
<=> ( 3n : 1+
( i 1,
) + . . . . = 1 |^2n-1- 2 n/2Se n ( M ) ]
23. Hallar la sum a :
(r!) • K 3) + ^ ( 5 ) * 27 + ( 7 ) + • • • • •
24. Dem ostrar que
a) 1 +
(!!)♦ (S) *[:n9 ) - -
. . = 1 [2- + 2 C o s ( M ) j
*> ( " ! l+ G)l+ l[? ) + (io) +
. . . . - ; [ 2 » + 2 C o s ( n 3 2 ) * ]
«> ( S K )
1+
(S) --------= 1 [2 " + 2 C o s (ü ^ ) j i ]
25. Dem ostrar que :
Se n ( S ± ! ) x S e n (— )
S e n x + S e n 2 x + S e n 3 x + ..........+ S e n n x = ------------------------------- —
Sen(x/2)
26. Dem ostrar q u e :
1 Se n ( ) x
+ C o sx + C o s2 x + C o s3 x + .......... + C o sn x = — - — -= ---------
2 Sen(x/2)
27. Hallar la sum a
Se n a - Sen(a + x) + Sen(u + 2x) - ..........+(-1)n' ’ Sen[a + (n - 1)x]
28. Hallar la sum a
S e n x + ('j’) S e n 2 x + ( 2 ) S e n 3 x + .......... + (n ) ^en(n + 1)x
29. Hallar las su m as :
EJERCICIOS . Grupo 42 377
a) C o sx - ( y ) c o s 2 x + (£ ) C o s3 x - ............. +(*1)n (p ) C os(n + 1)x
b) S e n x - ( " ) S e n 2 x + ( 5 ) S e n 3 x - .......... +(-1)n (¡})se n (n + 1)x
3 0 . Hallar la sum a : S e n 2x + S e n 23x + S e n 25x +
.
+ S e n 2(2n-1)x
3 1 . Dem ostrarque :
. ~ ~ . o n . C o s ( n + l ) x S e n n x
a) C o s 2x + C o s 22x + .......... + C o s2nx = — + ------------— «---------------
c. bGn X
0 , o o __2r*v n C o s (n + l)x S e n n x
b) S e n 2x + S e n 22x + .........+ S e n 2nx = — ------------ — ----------------
¿L c o 6 l*l X
3 2 . Dem ostrar que :
a) C o s 3x + C o s 32 x + ........... + C o s 3nx =
3 C o s ( ü f - ! ) x S e n ( ^ ) C o s ( [ * ¡ ± 1 ) x S e n ( * 2 )
4 Se n (x/2) + 4 Se n (3x/2)
b) S e n 3x + S e n 32 x + ..........+ S e n 3nx =
3 C o s ( ^ ) x Se n ( ^ - ) C o s x Se n ( ¿ M )
4 Se n (x/2) * 4 S e n (3 x / 2 )
3 3 . Dem ostrar que :
a) C o sx + 2 C o s2 x + 3 C o s3 x + .......... + n C o sn x =
(n + 1) C o s n x - n C o s (n + 1) x -1
4 S e n 2(x/2)
b) S e n x + 2 S e n 2 x + 3 S e n 3 x + ..........+ n S e n n x =
(n + 1) C o s n x - n Se n (n + 1)
4 S e n 2(x/2)
3 4 . Hallar la sum a : Se n x - Se n 2x + . . . . + (-1 )"* 1 S e n n x
3 5 . Dem ostrar que :
S e n (í^ - ^ h b ,
a) C o s a + Cos(d +& ) + . . . . + C os(a + ní>) = — - — -f=— — C o s (a +
Sen(o/2) ' ¿ '
S e n í ^ - ^ ) b ,
b) S e n a + Sen(a +b) + . . . . + Sen(a + n¿) = — sen(fe/2)— ^ e n (a +
3 6 . D ado n e Z , demostrar que : 1 + Z (k) (^ os-^ x ) = X (k )2 "-,tC o s f ^ W x
k= l ' C o s kx / k=0 ' 2 '](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-195-320.jpg)
![378 Capítulo 7; Números complejos
I e‘° n
[ Sugerencia : Desarrollar 11 + — — - 1 ]
' u o s 0 •
37. Hallar el valor de la sum a : S = X p (~1)* (k ) ( C os^x*)
[ Sugerencia : eis = Cosx(1 + i Tgx)]
n
38. U sando núm eros complejos , convertir a producto : X
k = 1
n
39. Calcular: X C o s ( 2k7t ] x . (su g e re n c ia : Hacer u =
k= i 2 n + 1 / '
40. Resolver la ecuación en C : ( “ 7 j) + ( * = 2 C o s a , y m ostrar que
todas las raíces son imaginarias puras. ( Sugerencia : Hacer u= ( ^ 7^) )
41. Resolver la ecuación : (1 + z)5 = (1 - z)5
42. Desarrollar en sum as y productos : Rt’(6,ie - i)n
43. Hallar el valor de la sum a : X (-1 ) * C o s 3( ^ ^ - )
k=1 ' 51 /
44. Hallar el valor exacto de
<^f3)” (1° ° ) - (^3)” (1° ° ) + (V3)“ (1° ° ) - ^Í3)” (1° 0 ) + ______ 1
[Sugerencia : Desarrollar (v3 + i)100]
45. Dem ostrar que :
2 " C o s ( ¡ 3 ) = ( g ) . ( " ) (3) + ( J ) (3)= - ( g ) (3)’ + --------+ ( " ) (3r I
siendo n un número entero positivo múltiplo de 4. [Sug. Desarrollar (1 + i3 )n]
46. S e a P(z) = z n - z n 1+ z n' 2 - z n 3 + . . . . -1 , n im p ar, z = CisG , z * -1
Hallar la forma polar de P(z). (Sugerencia : U sar cocientes notables)
47. Transform ar a producto : a) X ( k ) (_1) C o s k 0 b) X ( k ) H )k Se n k 0
k=0 k=0
0 í
48. Dem ostrar que : X Tg(kx) S e c (2 kx) = Se n 2n ~J
M k=i C o s 2 n x C o sx
49. Sin usar inducción matemática , demostrar que : ^X k C o s ( ^ - ^ ) = ^
Sen O r T T )x
2tí
2n + 1 I
1
É ^ 7
379
r
MOTRICES A
8.1 J IN T R O D U C C IO N
La resolución de sistem as de ecuaciones lineales mediante las técnicas
usuales de sustitución y de multiplicación y sum a, se dificulta en la medida en que
aumenta el número de variables y se complica aún más, si e s el caso que el número
de variables difiere del número de ecuaciones que conforman el sistema. Dado que
el conjunto solución de un sistem a se obtiene operando los coeficientes y las cons
tantes numéricas, sin necesidad de reiterar la escritura de las variables, podem os
señalar que el establecimiento de ciertas relaciones aplicables a conjuntos numéri
cos facilitará considerablemente el proceso. En tal sentido el estudio de las matri
ces, com o un concepto del álgebra lineal, nos ofrece la alternativa de resolver los
sistem as lineales aplicando las técnicas que se describen en este capitulo.
8.2 ) D E F IN IC IO N
Una matriz es un arreglo rectangular de núm eros reales ordenados en filas
o columnas.
Son ejemplos de matrices los siguientes arreglos
" 2 -3 V T "
s
2a
0 I -4 , | S e n a C os(i T g a ] , -b
I 10 5 3c](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-196-320.jpg)
![380 Capítulo 8: Matrices
Las matrices se denotan, con letras m ayúsculas, tal com o A , B , C , etc. El conjunto
de elementos o com ponentes de una matriz se encierra entre paréntesis o corche
tes y en los ca so s en que no se use núm eros reales específicos, se denotan con
letras m inúsculas subindicadas : a ,b ,c , es decirij 5 11* 11’
f.
a =(<g
a.,
a «2
a,,
a u
Los subíndices de un elemento indican . el primero la fila en la que está la
componente y el segundo la columna correspondiente ; a s í , el elemento a32 ocupa
la tercera fija y la segunda columna. En general , el elemento a,( ocupa la intersec
ción de la i-ésima fila y la j-ésima columna.
I Nota. S e debe destacar que una matriz es un arreglo y com o tal no tiene un
valor numérico.
8 .3 ) O R D E N DE U NA M A T R IZ
El orden o dimensión de una matriz está dado por el producto indicado m x
n, donde m indica el número de filas y n el número de colum nas. Por ejemplo:
r
A =
B =
1 2 5
1 2 -I 3 )
f 1 *8
4 10
e s una matriz de orden 2 x 3
es una matriz de orden 2 x 2
El conjunto de matrices de orden m x n, con coeficientes en K (K puede ser R o C),
se denotará K :nitn, es decir
K " - " = ( A | A
Así, en los ejemplos anteriores : A e K '1-’ y B e K !,:
Sección 8.4: Igualdad de matrices 381
Ejemplo 1 j Escribir explícitamente la matriz
a) A=[<ge
b) B = [b.j] e K 3*3 |¿t|= m in (i, j)
c) C = [ c j € K 2«4 |c„-=i8 + j
Solución. Escribirem os las com ponentes de cada matriz según el orden que tie
nen y su correspondiente definición dada.
a) a u = 2(1) -1 = 1
an = 2(2) - 1 = 3
b) bu = min(] , I) = I
= min(2 , 1) = 1
6?|= min(3 , 1) = 1
fl,, = 2 (1 )-2 = 0
a,, = 2(2 )- 2 = 2
A =
I 0 -I
3 21
br = min(l , 2) = I
b:: = min(2 , 2) = 2
bn = min(3 , 2) = 2
1 1 1
fl„ = 2(1) - 3 = -1
fl„ = 2 ( 2 ) - 3 = 1
= min(l ,3) = 1
= min(2 ,3) = 2
b}} = min(3 ,3) = 3
.-. B =
c) c M = 12 + I = 2 , c¡2= I 2 + 2 = 3
c:, = 2- + 1 = 5 , c22= 2: + 2 = 6
.-. C =
1 2 2
1 2 3
Cn = l 2+ 3 = 4 , cr = l 2 + 4 = 5
C,, = 2‘ + 3 = 7 , c,4= 2~ + 4 = 8
2 3 4 5
4 6 7 8
8.4 ) IG U A LD A D DE M A T R IC E S
S e dice que dos matrices A y B son iguales si son del m ism o orden y su s
com ponentes correspondientes son ¡guales, es decir, si las matrices son idénticas.
Formalmente
(1)
Si A no e s igual a B se nota : A * B](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-197-320.jpg)
![382 Capitulo 8: Matrices
Ejemplo 2 J Se a n las matrices A = (atJ e K J x í I ü i| = 2 ’-( - 1 ) 1 y
; hallar los valores de x e.y de modo que A = BB =
x - y 1
3x - y 3V. J y
Solución. Determ inem os los elementos de la matriz A
a I1 = 2 '- ( - l ) l = 2 + 1 = 3 ; ar = 2' - (-1): = 2 - 1 = I
a,, = 22- ( - l) l = 4 + I = 5 ; a:: - 22 - (-I)1= 4 - I = 3
Luego , s i : A =
'3 1 ’ f t "vx - y 1
5 3 3x - v 3
<=> (x - y = 3) a (3x - y = 5)
Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : x = 1 , y = -2 ■
8 .5 ^ ) T I P O S D E M A T R I C E S
1. Matriz Rectangular. La matriz de orden m x n, con m ^ n , recibe el nombre de
matriz rectangular.
Por ejemplo, A =
1 1 5
2 0 4
, es una matriz rectangular de orden 2 x 3
2. M atriz Fila. La matriz de orden I x n se denom ina matriz fila o vectorfila. Por
ejem plo:
A = (2 -3 I 4) es una matriz o vector fila de orden 1 x 4
3. Matriz C olum na. La matriz de m filas y una colum na recibe el nombre de matriz
columna de orden m x 1.
Por ejemplo , A = es una matriz colum na de orden 3 x 1
4. Matriz Cero. Una matriz cuyos elementos son todos nulos , e s d e c ir, a ¡f =0 ,
V i , j , recibe el nombre de matriz cero o nula.
Por ejemplo A =
í o 0 o l
0 0 0
es una cero de orden 2 x 3
5. Matriz Cuadrada. La matriz que tiene el m ism o número de filas y colum nas se
llama matriz cuadrada. Esto es ,
Sección 8.6: Suma de matrices 383
A , es cuadrada <=> m = nm x n
En este ca so se dice que A e s una matriz de orden n x n y se le representa por
A n> y al conjunto de matrices cuadradas se le denota por K n.
Por ejemplo , A =
O B S E R V A C IO N 8.1 En una matriz cuadrada, la diagonal principal e s una línea
formada por los elementos
a w * a n > a n .................... a nn
a u «.2
an a23 e s una matriz de orden 3 (A e K ’)
an «33 ,
O B S E R V A C IO N 8.2 Traza de una matriz
La sum a de los elementos de la diagonal principal de una
matriz cuadrada A se llama traza. y se denota por Tr(A). Esto es, si
A = [ a J n => T r(A ) = ¿ a t
u i
8.6 ) S U M A DE M A T R IC E S
D a d a s dos matrices A = [a ij]mxn y B = [b jmxn, se llama sum a de A y B a
otra matriz C = Kn tal que
cij=aU+V Vi •j e {1*2«3...........n>
Esto e s ________________________________________
(2)A + B = [ f l j + [ bti] = [ + &„]
Eje m plo 3 J Se a n las matrices
A =
2x -1 y
, B =
^ 5 - y 2 - x
<
O
II
-2 5 '
co
■
co
x + 1 2 4 -1 ,
Hallar A + C , sabiendo que A = B
Solución. Si A = B <=>
{
2x - 1 = 5 - y => 2x + y =
3 - y = x + I =* x + y =
= 6
2](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-198-320.jpg)
![384 Capítulo 8: Matrices
Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : x = 4 , y = -2
A + C =
7 -2
-i 2
-2 5
4 -I
' 7 + (-2) -2 + 5 ’ 5 3 '
-1 + 4 2 + ( - l) , 3 1
I Nota. La adición de matrices es la ley de com posición interna que hace corres
ponder a d os matrices, del m ism o orden, su suma. S e denota
( A . B ) A + B
P R O P IE D A D E S D E L A A D IC IO N D E M A T R IC E S
Si A , B y C son matrices del m ism o orden, entonces se cumplen las si
guientes propiedades.
A, : A , B e K r’«n , (A + B) e kmxn Clausura
A 2 : A + B = B + A ' Conm utatividad
A 3 : A + (B + C) = (A + B) + C Asociatividad
A 4 : A e K ,n<n, 3 0mxn |A + 0 = 0 + A = A Elem ento neutro aditivo
A 5 : A e K m,n, 3 (-A)e K mxn |A + (-A) = (-A) + A = 0 Elem ento inverso aditivo
I O B S E R V A C IO N 8.3 D o s matrices del m ism o orden se llaman conformables res
pecto a la sum a algebraica.
I O B S E R V A C IÓ N 8.4 Las matrices del m ism o orden o conform ables respecto de
la sum a algebraica, siguen las m ism as leyes de la adición
que sujetan a los elementos que las componen. (Esta característica permite dem os
trar las propiedades de la adición de matrices).
I O B S E R V A C IO N 8.5 Diferencia de Matrices
D adas las matrices A y B del m ism o orden m x n , la dife
rencia entre A y B e s otra matriz C, del m ism o orden, tal que
c = ^ nxn-[bti]mtn = [ai r b,fmxn
Por ejemplo, si A =
7 - 2 5
3 0 1
y b =
-1 4 -2
1 3 3
, entonces
Sección 8.7: Producto de un escalar por una matriz 385
A - B =
7 - ( - l ) - 2 - 4 5 -(-2 )'
r
8 - 6 7
3 - 1 0 - 3 1 - 3
ii
2 -3 -2
8.7 ) PRO D U C T O DE UN E S C A L A R PO R U N A M A T R IZ
D ado s una matriz A y un número k e K , el producto de k por A se define por
(3)k A = k [a u] = [k a (J]
C ada com ponente de A se multiplica por el escalar k
Por ejemplo , si k = -2 y A =
-2 2
-I -5
entonces
k A =
' -2 (-2) -2(2) ' A -A
, -2 (-1) -2(-5), , 2 10,
E je m p lo 4 j Calcular la com binación lineal de las matrices
, si X = (1 + i) A + (1 - i) B
1 i i 1
A =
1 -i
y b =
-i 1
Solución. O bsérvese que los coeficientes de A y B son núm eros complejos, en
tonces, por (3), se tiene :
X = (1 + i)
1 i
+ (1 - i)
i 1 'i + i ¡(1 + i f
+
i (1 - i) 1 - ¡ '
1 -i -i 1 1 + i -i(1 + ¡), k -i(1 - i) 1 - i ,
X =
1+i i-1
+
i + 1 1-i ' ' 2 + 2i 0
, 1+i -i+1 , . - i - 1 1-i j „ 0 2 - 2i >
Eje m p lo 5 J Se an las matrices : A =
8 -1
3 4
, B =
2 3
-1 -2
y c =
-1 2
4 -3
resolver la ecuación 3/2 (X + A) = 2 [X + (2B - C)] + A
S o lu ció n . Multiplicando por 2 ambos extremos de la ecuación dada se tiene:](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-199-320.jpg)
![3X6 Capítulo 8: Motrices
3 (X + A) = 4[X + (2B - C)] + 2A => X = A - 8B + 4C
Luego , por (3) y (2) se tiene:
X =
8 -1 -16 -24 -4 8 -12
-17
+ + => X =
, 3 4 8 16 . 16 -12
r--
CJ
8,
Eje m p lo 1T| Resolver el sistem a de ecuaciones : X - 2 Y = A, 2 X + 3 Y = B,
X , Y e K 2x2t donde. A =
6 -3
y B =
12 8
7 4 -7 8
Solución. Multiplicando por 3 la primera ecuación y por 2 la segunda, se tiene:
3 X - 6Y = 3A
4 X + 6 Y = 2B
de donde obtenem os : X = 1/7 (3A + 2B) y Y = 1/7 (B - 2A)
3A + 2B =
B - 2A =
18 -9 24 16 42 7 ' __K Y —
6 1
2 1 1 2
4*
-14 16 7 28
w A. —
1 4
1 2 8 - 1 2 6 0 14
Y -
0 2
-7 8
+
-14 -8 -2 1 0
—/ i —
-3 0
P R O P IE D A D E S D E L P R O D U C T O D E UN E S C A L A R P O R U N A M A T R IZ
S i A y B € K mxn, y />y q son núm eros reales, entonces
E, : p(q A) = (p q)A
E 2 : (p + q)A = pA + qA
E 3 : p(A + B) = pA + pB
Asociatividad escalar
Distributividad respecto a la sum a de escalares
Distributividad respecto a la sum a de matrices
EJERCICIO S. Grupo 43
1. Escribir explícitamente las siguientes matrices
a) A = [«,,]€ K 3x21a¡j = i + 2 j
b) B = [&M] 6 K 3*3 16,, = 2 1- j
c) C = [ci|] e K 3*4 1c (j = m ax (i, j)
d) D = [</„] e K « U ,i = 2‘-(-1>
Sección 8.8: Multiplicación de matrices 387
2. Se a n las matrices: A =
í ~ >
x-2y x
, B =
' 2 y+4
y c =
' -2/3 -2 '
3 x-y 3 4 -1 0
“s. y
Si A = B, hallar A + 3C.
" 2x+1 2 z-1 3-2y 2 x+y
3. Se a n las matrices A = x+2 -1 2y y b = z+3 -1 z-2x
. y*1
8 x-2z z-5 6 -1
J
hallar el valor .v y z.
4. Si A =
’ 3 5
, B =
-2 7 n 1 '
y c =
-2 1 4 -1 10 5
, resolver la ecuación
2(X - 2B) = 3 [A + 2(X - 2B)J + C
5. Si A =
ecuaciones:
-3 5
2 2
B =
2 3
4 5
y c =
-7 3
2 -1
, resolver las siguientes
a) 3 (X - 2A) = 5 (B - C) + 2(X - A - B)
b) 3(X - A + B) = 2[X - 2 (B + C)] - (X + C)
' 3 1 -2 ' ' 6 7 -5 '
/
6 3 -7 '
6. Si A = -7 1 4 , B = 8 4 -2 y c = 12 5 -6
_ 8 3 6 . -1 9 1 . k -1 14 10 .
resolver la
ecuación:
2(X - 2C) = 3 X - C - 2(A + 2 B - X)
7. Resolver el sistema: 2 X + 3 Y = A, 5 X - 2 Y = B , X , Y s K 2*2
donde, A =
-5 3
y B =
16 -4 0 '
16 -6 21 23
8.8 ) M U L T IP L IC A C IO N DE M A T R IC E S
C on el objeto de comprender mejor el proceso de la multiplicación de dos
matrices, veam os el siguiente ejemplo.
Un fabricante de m uebles produce tres m odelos de escritorios que llevan
tiradores de metal y chapas especificadas por la siguiente tabla:](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-200-320.jpg)
![Capitulo 8: Matrices
DEFINICION 8.1 Multiplicación de matrices
Si A = Kjlmxp y B = [¿ ¡j]pxn* el producto de A X B, en
este orden, es la matriz C = [ct|]mxn cuyos elementos se obtienen de los elem en
tos A y B siguiendo el desarrollo:
cn = «n*i, + a¿2i + - + üiP brt (4 )
Por esta definición cada elemento de ij de C e s la sum a de los productos
form ados al multiplicar cada elemento de la i-ésim a fila de A por los elementos
correspondientes de B, esto es
j-ésima columna de B
i
K
i-ésima fila de
A - * ( a...... a» )
o bien
n
^ij ■*— u’ip ^pj
p= 1
v
1 = 1 , 2 , 3,. .. m ; y = 1 , 2 , 3 , ... , n
y
(5)
I O B S E R V A C IO N 8.6 Si A e K mxp y B e K ,,n, las colum nas de A y las filas de B
son vectores de R p; entonces el elemento ci(de la matriz C
es el producto escalar de la i-ésima fila de A por la j-ésima colum na de B.
I O B S E R V A C IO N 8.7 E! producto de A B está definido si el número de colum nas de
A es igual al número de filas de B. Si el producto A B está
definido se dice que A es conformable con B para la multiplicación. No significa esto
que B sea necesariam ente conformable con A respecto de la multiplicación, toda
vez que B A puede o no estar definido.
E je m plo 1 J S i A = i 2 Y 8 = 4 1 2 ’ hallaF: ^ A B ’ b) B A
Sección 8.8: Multiplicación de matrices 391
Solución. Dado que A tiene dos colum nas y B dos filas, entonces A es conformable
con B y el producto A B está definido.
Em pleando el método del producto escalar se tiene:
a) A B =
( 2 . 3 )
( 1 . 2 )
2(1)+3(4)
1(1)+2(4)
2(-2)+3(1)
1(-2)+2(1)
i
( 2 . 3 ) *
-2
> 4 . 1 -
i
( 1 , 2 ) .
-2
4 1
( 2 . 3 )
( 1 . 2 )
2 (3) + 3(2)
1 (3)+ 2(2)
-1 12 '
y
9 0 7 s
b) En este caso, B tiene tres colum nas y A dos filas, luego B no es conformable
con A respecto de la multiplicación y por tanto B A no está definido. ■
Recordando el desarrollo inicial para establecer la multiplicación de matrices, es
evidente que el último esquem a constituye un procedimiento muy eficaz para calcu
lar el producto de dos o m ás matrices.
if
-1
>
3
r
3
’N
-9 s
Ejem plo 2 J Si A = 4 3 B = 6 12 y c =
4 - 1 5
2 1 1
1
Si.
0
J
0 15
hallar la matriz D =
Solución. S e a E = 2A - — - B =
3
2A - — B
3
r
-2 6
f
CO
V
en
co
V
8 4 + -2 -4 = 6 0
I5
O
0 -5 2 -5
^ J](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-202-320.jpg)
![392 Capítulo 8: Matrices
i 8.9 ) P R O P IE D A D E S DE LA M U LT IP LIC A C IO N DE M A T R IC E S
Si A, B y C son matrices de dim ensiones conform ables respecto de la sum a
y producto, entonces se tiene:
M.1: A (BC) = (AB) C Asociatividad
M.2:
f A (B+ C) = A B + A C
(A + B) C = A C + B C
Distributividad
M.3: A B * B A
M.4: A B = 0 ^ A = 0 ó B = 0
M.5: A B = A C ¿ B = C
M.6: 3 I € K n con la propiedad de que para cualquier A e K n se cum ple que:
<
II
H-«
<
(I es la matriz identidad)
Demostración. M .1: A(BC ) = (AB) C
En efecto, sean A e K pxm, B e K mxn y C e K nxf, definidas por
A = [« J. B = (¿g y C = [ c j
n
S i B C = [ ¿ J => d„ = I (¡y ) (c„)
m
y A B = [eik] => elit = £ (a„) (¿>,k)
¡= i
En consecuencia, si A (B C ) = (/.,] y (A B)C = [f.,]. entonces para cada par de
índices i, t se tiene:
m m n
/« = XK) («y = X (a.¡)X (6(0 (O
i = 1 J= 1k=I
=X X («,) (*,k)(cj
j a l k s I
n m
= 1 1 H«,) (*,«)] (C„)
k = 1 jc |
m n n
= 1 1 K",) M K ) = I (««) (<••»,)
j a l k = I k = I
. • • / , = * „ » A (BC) = ( A B ) C -
Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices 393
Ejemplo _ 3 ^ S i A, B y C son m atrices conform ables para la adición y
multiplicación, dem ostrar que A B + A C = A (B+C)
Demostración. La d em ostración requiere que las m atrices B y C se an
conformables respecto de la adición y las matrices A, B y A, C
respecto a la multiplicación. Entonces, sean: A = [ a j , B = [6k(] y C = [ckj]
De la hipótesis se sigue que:
v n
A B + A C = 2. (i, ) + S (aj (ckl)
k - 1 ^ k = I
n
= X (alk) (b^ +ck|)
k= 1
= ( K J ) (í K + ])
A B + A C = A (B + C) ■
Ejemplo 4 J S e a la matriz B =
' C o s x - S e n x
S e n x C o s x
Si A = B 2,
hallar el valor de a n a22, para x = 2 k/3
Solución. A = B 2 =
C o s x - Se n x
S e n x C o s x
N
C o s x -Sen x
/ S e n x C o s x
C o s 2x - S e n 2x
2 Se n x C o s x
C o s 2x -Sen 2x 1
Se n 2x C o s 2x
-2 S e n x C o s x
C o s 2 x - S e n 2 x
Luego: a u ü22 = (C os 2x) (C o s 2x) = C o s2 (4n/3) = (-1/2)2 = 1/4
Ejemplo 5 J D adas las matrices: A de orden mxn, B de orden nxp y C de
orden rxq. Q ué condiciones satisfacen p, q y r para que las
matrices sean conformables respecto de los productos que se indican y cuál es el
orden de cada una de las matrices siguientes:
a) A B C b) A C B c) A(B+C )](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-203-320.jpg)
![398 Capítulo 8: Matrices
de donde: a2 + be = 0
ab + bd = 0
ac + de = 0
be + d2 = 0
b (a + d) = 0 « b = 0 ó d = -a
c ( a + d) = 0 » c = 0 ó d = -a
Si en la segunda y tercera ecuación, b = 0 y c = 0 tendríam os nuevam ente la
matriz nula, por lo que d = -a.
A=a b
c -a
donde a, b y c son núm eros arbitrarios que'satisfacen la relación a2+ b c = 0
[ ejemplo 12 ^ Dem ostrar la propiedad: £
f n n ' m '
X “ , = 1
U - » i = l k Í= I
Demostración. En efecto, desarrollando la primera sum atoria desde i = 1
hasta i = m, se tiene:
I
¡= i
’ m ' ” n ’ ' n ' n ’ n '
(í, ‘J
=
. 3 a " .
+
. i a
+
I a 3¡
j = *
+ ... +
i «mi
. i =1
= K , + «12 + fl13 + - + a J + K + a 2 2 + <*23 + - + a J +
(«3, + a 3 2 + C l 3 3 + - + a J + ~ + (flm, + «m2 + «m3 + - + O
m m m m
= + Í X + + 5 X
ia| i = | i = 1 i a |
= I
i= I
I a.
ia 1
Ejemplo 13 j Dem ostrar la propiedad: Tr (AB) = Tr (BA)
Demostración. En efecto, sean las m atrices conform ables respecto de la
multiplicación A nxm= [ a, ] y Bmxn = [ b j, de modo que si:
An*n,Bm*n = C n*n = > ^ = I ( « * ) ( & « ) = > C M = I <*ik & k,
k = I k = I
n n
Bmxn x m = ^mxm ^ ^¡j = ^ ^ ¡k) ^k j) ^ ^kk = ^ ^k¡flik
1=1
Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices 399
i (O
= I
n
= I
i = 1
' n
£ <*,k ¿ ,k
k = 1
n
= I
i« i
¿ hA
k a 1
Haciendo uso de la propiedad del Ejemplo 12 se tiene:
T r ( A B ) = I ( I bu au
k = I j a l
= I (</») = Tr (D)
k= I
Tr (AB) = Tr (BA)
ejemplo 14 J Se a n las matrices A =
-1 i
y B =
1 2i
2 4 i 1+i
; hallar:
a) Tr (A + B ) , b) Tr ( A B ) , c) Tr (BA)
Solución, a) A + B =
’ -1 i
+
1 2i _ 0 3i
(M
i 1+i 2+i 5+i
=>Tr ( A +B ) = 5+i
b) A B =
'-1 i ' ' 1 2i ' r -2 -1-i '
2 4
v. > i 1+i 2+4i 4+8i
v y
Tr (A +B) = -2 + 4 + 8¡ = 2+8i
c) B A =
'1 2i ' '-1 i ' "-1+4i 9i '
i 1+i 2 4 2+i 3+4i
k. y
Tr(BA) =(-1+4i) + (3+4i) = 2+8i
O bsérvese que: Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B) y Tr(AB) = Tr(BA)
ejemplo 1 5 ) S i A = [ a. ]4x4 y B = [ b%]4x4, d o n d e
a =
1, si i = j
-1, si i > j , b. = i
0, si i < j
-1, si i = j
1, si i < j
0, si i > j
. Hallar Tr (AB)
Solución. Escribiendo explícitamente cada matriz se tiene](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-206-320.jpg)
![404 Capítulo 8: Matrices
e) Si A =
f 1 0 1 0 '
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1
, hallar A n
23. U na com pañía tiene 4 fábricas, cada una emplea administradores, supervisores
trabajadores calificados en la forma siguiente:
Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4
Adm inistradores 1 2 1 1
Supervisores 4 6 3 4
T rabajadores . 80 96 67 75
Si los adm inistradores ganan $ 350 a la sem ana, los supervisores $275 y los
trabajadores $ 200, cuál es la nómina de cada fábrica.
8.10 ) M A T R IC E S C U A D R A D A S E S P E C IA L E S
C onsiderarem os en las secciones siguientes las matrices cuadradas
que presentan ciertas características que las tipifican, entre otras, destacarem os las
siguientes:
8.10.1 ) M A T R IC E S S IM E T R IC A S
D ada una matriz A = [ a j e K n, si ocurre que [a,t] = [ a M], V i, j
direm os que A es una matriz simétrica. S i designam os con A ’ a la matriz [a(l] y si es
el ca so que A = A ’, la matriz A es simétrica y también, para una constante Á cual
quiera, XA es simétrica:
' 2 2 4 ' f 2 2 4 '
Por ejemplo, si A = 2 -6 0 , se tiene : A ’ = 2 -6 0
. 4 0 8 - v 4 0 8 -
Com o A = A ’, entonces A e s una matriz simétrica y también
XA = (1/2) A =
1
-3
0
e s simétrica
Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 405
-------- -- - - --------
T E O R E M A 8.1 Si A es una matriz cuadrada de orden n la matriz A + A 1
es simétrica.
Demostrador!. S e a la matriz A = [ai; ], entonces A ’ = [a ]. Si llam am os B = [¿>i(] a la
matriz A + A ’ probarem os que B e s simétrica.
En efecto, el elemento de la fila i y la colum na j de A e s a y el correspondiente de A ’
es a , por lo tanto:
h - a*+a* * 1>
El elemento de la fila j y colum na i de A es a y el correspondiente de A ' es at¡, de
modo que:
(2)
De (1) y (2) se sigue que : ¿>,, = 6,
En consecuencia, B = A + A ’ es una matriz simétrica
8.10.2 ) M A T R IZ A N T IS IM E T R IC A
Una matriz cuadrada A = [ a. ] para la cual A ’= [ av] = -A recibe el
nombre de matriz antisimétrica o hemisimétrica.
En una matriz cuadrada A antisimétrica se verifica que
K j ] = [-« „ ). V i j
( 0 2
Por ejemplo, si A =
Com o A ’ = -A , entonces A es una matriz antisimétrica
I O B S E R V A C IO N 8.8 En una matriz antisimétrica los elementos de la diagonal
principal deben ser cero.
r 0 2 -3 '
í 0
-2
3 "I-2 0 -1 ocurre que : A' = 2 0 1
3
X
1 0
>
-3 -1 0
^ T E O R E M A 8.2 Si A e s una matriz cuadrada de orden n, la matriz A -A ’ es
antisimétrica.
__________________________________________________________________________________
Demostración. En efecto, considerando que ( A + B )’= A ’ + B ’ se sigue que
( A - A ’ )’ = A ’- ( A ')’ = A ’- A = - ( A - A ' )
Por lo tanto. A - A ’ es antisimétrica
' 0 1 -2 '
f 0 -1 2 1
Por ejemplo, si A = -1 0 -3 => A ’ = 1 0 3
2 3 0 -2 -3 0](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-209-320.jpg)
![406 Capítulo 8: Matrices
CM
O
0 - 2 4 0 2 - 4
-2 0 -6 y ( A - A ’ )* = 2 0 6 = - -2 0 -6
4 6 0
o
co
4 6 0
de donde, ( A - A’ )’ = - ( A - A’ ) , por lo que, A - A’ e s antisimétrica
T E O R E M A 8.3 Toda matriz cuadrada A se puede descom poner en la
sum a de una matriz simétrica A. = 1/2 ( A + A ’ ) y otra
antisimétrica A = 1/2 ( A - A ’ ).
Demostración . Una matriz A se puede escribir com o
A=A+ —A’-~ A’- (A+A’)+'^“(A-A’) (1)
Dado que : 1/2 ( A + A ’ )’ = 1/2 ( A+ A’) y 1/2 ( A- A’ - 1/2( A - A ’ )
escribiendo, A,= 1/2 ( A + A’) y Aa= 1/2 ( A-A’),entonces A s e s una matriz
simétrica y A a es antisimétrica. En consecuencia, hem os expresado así la matriz
cuadrada Acom o la sum a de matriz simétrica y una antisimétrica, esto es, en (1)
A = A s + A a
1 -2 3 1 1 2 0 -3 1
Por ejemplo : 4 -3 -2 = 1 -3 0 + 3 0 -2
. 1 2 4 k 2 0 4 ( -1 2 0 .
1 i i
A = A s + A a
8.10.3 ) M A T R IZ ID EN T ID A D _____________________________ _
Una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son todos
uno y los otros elementos son todos ceros, recibe el nombre de matriz identidad o
matriz unidad. S e denota generalmente con I n, esto es
I„ = l 5„ ] (6)
A d e m á s : Tr ( I n) = n , ( I n)’ = I„ , A I = IA = A
Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales
407
Ejemplo 1 ^ S i A, B, C y D so n m atrices del m ism o orden tales que
B C = C B = I , A D = D A = I ; hallar usando propiedades
a) (AB) (CD) b) (A +B)2
Solución, a) (AB) (CD ) = A [ B (CD) ]
= A [ (BC) D ]
= A [ ID ]
= A D
.-. (A B)(CD ) = I
c) (A+D) (A-D)
(M.1)
(M.1)
(Dato)
(M.6)
b) (A + B)2 = ( A + B ) ( A + B ) = (A+B) A + ( A +B ) B
= A 2 + B A +A B + B 2
c) (A+D) (A-D) = ( A + D ) A - ( A + D ) D
= A 2 + D A -A D - D 2
= A 2 + I - 1 - D 2
= A 2 - D 2
Ejemplo 2 J
(M.2)
(M.2)
(M.2)
(M.2)
(Dato)
S i A y B = a A + p i son matrices del m ism o orden, donde
a y p son escalares, demostrar que A y B conmutan.
Demostración. D ebem os probar que A B = B A
En efecto, A B = A (a A + p I )
= a A A + p A I
= ( a A + p I ) A = B A
ejemplo 3 ^ Hallar el valor del polinom io/(A) de la matriz A =
si / (x) = 3x2 - 4
Solución. Si / (x) = 3x2- 4 => / (A) = 3 A 2 - 41](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-210-320.jpg)
![408 Capítulo 8: Matrices
Ejemplo 4 I D ada la fòrmula e* = X
* k= 1
Zn
k!
, V z e C, se define
eA= X
k = il
A"
k!
, V A
' 0 1 1
a) Demostrar que el =e I = e b) H a lla rá , si A = 0 0 1
0 0 0
Solución, a) En la definición dada, para A = I se tiene
e‘ = X
/
I n
ii
M*
'
I
= I ¿
✓ V
1
k = (i k!
^
k = o
l k! J k = 0
i k!
Ahora, en la fórmula dada, para z = 1 obtenem os : e' = X
k = 0
Por lo tanto, en (1): e1= I e = e
b) Desarrollando el segundo miembro de la definición se tiene :
k!
e A =
_A°
0! 1!
A 2=
A 3= A A 2 =
2!
0
0
0
A 3
+ ----
3!
1 1
0 1
0 0
1 1
0 1
0 0
A " A 2 A 3
+...+----- = I + A + ----- + ---- +
oo ! 5 6
0 1 1
0 0 1
0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
Luego, en (2) : eA = I + A + — A 2
(1)
(2)
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
= e
1 0 0 0 1 1
s
0 0 1/2 1 1 3/2
(?A = 0 1 0 + 0 0 1 + 0 0 0 = 0 0 1
, 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 /
Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 409
J .
8.10.4 | M A T R IZ D IA G O N A L
Una matriz cuadrada de la forma D = [ k d.] en la que k puede variar
según /', se llama matriz diagonal. S e representa usualmente por
D = diag {du,d22,d33........d j
y tiene la propiedad de que
D n = diag (dau,dn22,dnyi........dnJ
Por ejemplo, si D =
' 3 0 0 '
0 - 2 0
. 0 0 4 ,
D = diag (3, -2, 4)
=> D 2 = diag (9, 4, 16) , D 5 = diag (27, -8, 64)
8.10.5 ] M A T R IZ E S C A L A R _________________
Una matriz cuadrada E = [ k 8 ] = k I n, para cualquier constante k,
recibe el nombre de matriz escalar.
Asi, la matriz E = en la que E = 4 I, es una matriz escalar
Ejemplo 5 ^ S e a D = [di(] tal que : dt|= i, si i = j y dl() = 0, si i * j y A = [ aJ
tal que : = i, si i = k y a k= a, si i * k donde A, D e K n. Hallar
A D n, n e Z
Solución . D e s una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal princi
pal varían según i, esto es: D = diag ( 1. 2, 3, n )
=> D" = diag (1, 2", 3n, n n )
A es una matriz cu yo s elem entos de la diagonal principal varian se gú n i y
los dem ás elementos son todos a , esto es
í 1 a a • • • • • a
a 2 a • • • • • a
a a 3 ••• •• a
A =](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-211-320.jpg)
![414 Capitulo 8: Matrices
| Eje m plo 1 4 ^ Si A y B son matrices involutivas y A B = B A =
hallar la traza de la matriz X = ( A + B )2 .
Solución . X = (A + B) (A + B) = A 2 + A B + B A + B 2 = A 2+ 2 A B + B 2
Com o A y B son matrices involutivas => A 2 = B 2 = I
' 2 0 0 6 12 0. ' 8 12 0 ’
Luego : X = 2 I + 2 A B = 0 2 0 + -4 2 4 = -4 4 4
. 0 0 2 8 6 -10 , , 8 6 -8 ,
T r(X ) = 8 + 4 - 8 = 4
8 . 1 0 . 9 ) M A T R I Z T R A N S P U E S T A
D ada una matriz A de orden m x n, se llama matriz transpuesta de A, se
denota A', a la matriz de orden n x m cuyos elementos se obtienen intercambiando
las filas por las columnas.
2 3
, la transpuesta es A ’ =Por ejemplo, A =
2 1 -4
3 2 5
1 2
-4 5
P rop ie d a d e s . S i A ' y B ! son, respectivam ente, las tra n sp u e sta s de las
m atrice s A y B, c o n fo rm a b le s re sp e c to de la ad ició n y
multiplicación, y X un escalar cualquiera, entonces se cum plen las siguientes pro
piedades.
T.1: (A ')' = A
T.2: (X A ) 1 = X A 1
T.3: ( A + B ) ' = A ’ + B'
T.4: (A B ) 1= B ' A 1
T-5: (In)' = In
Eje m p lo 1 5 J Demostrar la propiedad T.4 : (AB)'= B'A'
Demostración. Se a n A=[a ]una matriz de orden m x n
B= [b¡t ] una matriz de orden n x p
Si hacem os AB= C, entonces C = [cje s una matriz de orden m x p.
El elemento de la fila i y la columna j de ABes
Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 415
V I (o *)« '’,)
k= 1
que también pertenece a la fila j y columna i de (AB)'
Luego, si (AB)' = C ' => cv= £ {a¿ (bk)
k= I
Sup ongam os que B' = [x j tal que [x j = [bJ
y A ' = [ y j tal que [y j = [aJ
Entonces: B ' A ! = ¿ (x jíy ^ ) = I ( U (**) = I (<**) (K)
k= 1 k=1 • k= I
com parando (2) con (1) se concluye que
(AB)' = B' A '
(1)
(2)
1 2 1 1/2 0 0
S e sn las matrices A = 4 0 5 y b = 3 1/5 0
,-3 1 -3 , 0 0 1 ,
Si (A B )' + X = 2 (B ' + A), hallar la traza de la matriz X
Solución. D e la ecuación dada se tiene: X = 2A + 2 B 1- B 1A'
Un elemento cualquiera de la matriz X es
x.,= 2 a H+ 2 b , - ( b |k) ( a^ )
=> x„ = 2a„ + 2b„ - (b1k) ( a J = 2 (1) + 2 (1/2) - (1/2, 0, 0) (1, 4, -3) = 2.5
X?2 = 2 3^ + 2b22 - (b2k) ( a J = 2 (0) + 2 (1/5) - (3, 1/5, 0) (2, 0, 1) = -5.6
X33 = 2333+ 2b22 - (b3k) (ak3) = 2 (-2) + 2 (1) - (0, 0, 1) (1. 5. -2) = 0
.*. Tr (X) = 2.5 - 5 . 6 + 0 =-3.1
E je m plo 17 Se an las matrices A =
' 5 1 5 1 3 1
-3 6 3 y b = -6 -2 0
2 -4 2
. 5
6 -8
Si (A' + B)' = 2 ( X - A 1) + 3B, hallar la sum a de las com po
nentes de la tercera fila de la matriz X.
Solución . Haciendo uso e las propiedades T.3 y T.1 , se tiene :
(A')' + B ' = 2x - 2A ' + 3 B =* X = 1/2 (A + B ' + 2 A ' - 3B)
Luego: x31 = 1/2 (a31 + b 13 + 2 a 13 - 3b3I) = 1/2 [ 2 + 1 + 2 (5) - 3 (5) ] = -1
X32 — 1/2 (a32 + b23 + 2a23 - 3b32) = 1/2 [ -4 + 0 + 2 (3) - 3 (6) ] = -8
X3, = 1/2 ( a * + bM + 2 3 ^ - 3b„) = 1/2 [ 2 - 8 + 2 (2) - 3 (-8) ] = 11
" X3, + X32+ X 33= 2 ■](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-214-320.jpg)
![418 Capítulo 8: Matrices
b) (B-'A-') (AB) = B-’ (A-’A) B (M.1)'
= B 1 ( I ) B (PI.1)
= B-’B (M.6)
= 1 (PI.1)
En consecuencia, de a) y b) se concluye que :
(A B)-’ = B-’A '1 ■
Ejem plo 2 1 J Dem ostrar la propiedad PI.5 : (A ’)* = (A*)’1
Demostración . En efecto, por la propiedad PI.1 : A A ’ = I y por T.5 : 11= I
=> (AA ’)• = I' = I
=> (A ’)' A ' = I
Multiplicando am bos extremos por (A ')'1 se tiene
(A ’)' A ' (A1)’1 = I (A1)’1
Ejemplo 22 ^ Dem ostrar que la inversa de una matriz, si existe, e s única.
Demostración . En efecto, su p o n g a m o s que existe d o s m atrices B y C,
tales que:
A ’ = B y A -’= C, siendo B * C
Entonces por definición : A B = I = B A
A C = I = C A
D e estas dos igualdades se deduceque : A B = A C
esto es, A B - A C = 0 =* A (B • C) = 0
D ado que existe A ’, entonces A * 0 , por lo que : B - C = 0 = > B = C
Lo que contradice la hipótesis. En consecuencia :
La inversa de una matriz es única. ■
Ejemplo 23 ^ Si M = I - X ( X 'X )-’X ' con X = [ x j nx1 , simplificar al máximo
la sum a : S = I + M + M 2 + M 3 + .........+ M p, donde p e Z *
Solución. M 2 = [ I - X ( X ' X )'1X 1] [ I - X ( X* X)-’ X 1]
= I - X ( X ’X )•’ X ' - X ( X 1X) 'X ' + [ X (X' X)-’X'] [X (X' X ) 1X']
M -X (X 'X )-1X' + X [(X'XV'X'] [ X(X* X) ’X ’]
Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 419
= M - X (X'XJ-’X 1+ X [(X'XJ M X’XJKX'XJ-’X 1
= M - X(X' X )'1X 1+ X [ 1 1 (X1X )'1X*
= m - X(X' xj-’x '+ x ( x 'x y ’ x'
Luego : M 2 = M => M 3 = M M 2 = M (M ) = M 2 = M
W = M ?M 2 = (M) (M) = M 2 = M M p = M
.*. S = I + M + M + M + ..+ M = I + pM ■
f8 . 1 0 . 1 IN V E R S A DE U N A M A T R IZ T R IA N G U L A R
Si A e s una matriz triangular inferior y X su inversa, com o por
definición A X = I, entonces
0 0
a _ 021 22
a,. a,„ a.
• • • 0
• • • 0
0• • • •
• a
• • •
• • •
• • •
1 0 0 • • • o
0 1 0 • • • o
0 0 1 • • • 0
0 0 1
Por la multiplicación e igualdad de matrices, el producto de la primera fila de A por la
primera columna de X es 1, esto es
(a„. 0. 0, 0 .............0) • (x„, x21, X3,..................xnl) = 1 =* xn = a „ ’
Ahora efectuando el producto interno de la primera fila A con las colum nas restantes
de X y aplicando la igualdad, resulta que
x ,2 = x ,3 = x h = .................= X ,n = 0
Al multiplicar la segunda fila de A con la segunda columna de X, esto es
(a21,322’^23’.......... 0 )*(0' X22' X32’........... •Xn2^—1 ^22—3^
De igual manera, del producto interno de la segunda fila de A por las otras colum nas
de X se concluye que
X21 = ><23 = ................. = X2n = 0
Reiterando el proceso hasta la n-ésim a fila de A podem os concluir que si una matriz
triangular inferior A es inversible, entonces :
1. T odos los elementos de la diagonal principal deben ser diferente de cero.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-216-320.jpg)
![422
■
Capítulo 8: Matrices
Solución A es una matriz triangular inferior, luego, por la ecuación matricial (8)
se tiene
2 0
4 -1
3 4
2 3
1/2 0 0
S
0
f
1 0 0 0
b ?1 -1 0 0 0 1 0 021
b 3, b 32
1/2 0
=
0 0 1 0
b „ b « b «3 -1 / 6 , > 0 0 0 1 .4 -6
Efectuando el producto escalar de la segunda fila de A por la primera colum na de B
se tiene:
(4,-1, 0 , 0 ) •( 1/2, b2),b 31l b41) = 0 => b21 = 2
Del producto escalar de la tercera fila A por la segunda colum na de B se tiene :
(3, 4, 5, 0 ) • (0, -1, b32, b42) = 0 *32 = 4/5
De la matriz B obtenem os : b33 = 1/5
S = 2 + 4/5 + 1/5 = 3
^ Ejemplo 2 7 J Se a A = [ai(] una matriz triangular superior de orden n, tal que
a = 1 si i < j . De la matriz B = A 3, hallar la sum a de los
elementos b para los cuales:
n
a) i = 2, j = n b) i = 3, j = n-3 c) i = j
Solución . Se gú n la definición construimos la matriz triangular superior
1 1 1 • • •
0 1 1 • • • 1
0 0 1 • • • 1
A = •
•
•
•
•
•
•
•
•
0
k.
•
0 • • •
•
•
•
1
>
Al efectuar el producto A A = A 2, obtenem os :
r
1 2 3 4 • • n-1 1
0 1 2 3 • • n-2 n-1
0 0 1 2 • • n-3 n-2
A 2 = •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
. 0
•
0
•
0
•
0 • •
•
0
•
1
EJERCICIOS : Grupo 45 423
A 3 = A A 2 =
1 3 6 10
0 1 3 6
0 0 1 3
• • •
1/2 (n-1)n 1/2n(n+1)
1/2 (n-2)(n-1) 1/2(n-1)n
1/2 (n-3)(n-2) 1/2(n-2)(n-1)
Luego, para : b = 1 / 2 ( n - 1 ) n
* 3(0-3) = 1/2 (n - 4) ( n - 3 )
2, j = n
3, j = n-3
) =* b,, = 1
S = 1/2 (n - 1) n + 1/2 (n - 4) (n - 3) + 1 = n2 - 4n + 7
EJERCICIOS : Grupo 45
1. Para la matriz A =
1 3
2 1
, verificar que A 2 - 2A - 5 I =6
2. Com probar que la matriz A = e s una solución de la ecuación
3 1
v '1 2
A* - 5A + 71 = 0
3. S e dice que una matriz A es ortogonal, si su inversa es igual a su transpuesta, es
decir, A-' = A '. Com probar que la matriz
C o s x -Sen x
A =
Se n x C o s x
4. S e a A = 1 0
■1 1
es ortogonal. (Sugerencia : Probar que A A ‘ = A 'A = I )
, demostrar que A 2 = 2A - 1 y hallar A n
, hallar X en:5. D a d a s las matrices A =
/• *
1 -3
y B =
f N
4 -1
2 5 2 6
(AB)' + X = 2(B' + A).
6. Hallar el valor del polinomio/ (A) de la matriz A
f 1 2
a) /(x) = x2 - 3x + 1, A =
- 1 3](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-218-320.jpg)
![424 Capítulo 8: Matrices
b) /(x) = 8x3 + 2x2 + x - 3, A =
c) /(x) = x3- 3x2 - 2x + 4, A =
7. Se an :/(x) = x2- x + 3, A =
Í-1 1 1
2 4
2 3
3 -1
' 3 1 '
<
CO
II
1
-2
o
Cl
co
4
y
. Evalu ar/(A +B )
8. D adas las matrices A =
despejar X de la ecuación (A + B + X)' =2 (A1- B)
" 1 5 -3 'l r i -4
2 1
3 0 6
n
m
>
-3 1 -5
-2 1 2 5 2 1
r
-2 1 0 ] 5 0 2 1
9. D adas las matrices A = 1 2 3
<
œ
ii
3 4 2
4 -3 1 1 -1 0
J
hallar la matriz X, si (A + 4 B - 2 X )' = 3 (A '- 2B)
f 1 2 -3 " r 0 -1 1 'I
10. Se an las matrices A = 2 0 4 y B = 3 2 2
-1 3 -2
>
1 5 -4
-/
hallar la matriz X de la ecuación matricial : (A B + 2X)' = 3 A - 2 B '
11. D adas las matrices A =
4 1 2 0
r
i -1 3
N
-2
0 -3 1 2
ii
CO
>
4 2 1 2
1 0 3 -1 5 6 2 0
2 -2 -1 4
y
0 2 1 3
hallar la matriz X, si ( 2A - 3B )' - 2X = B - A
" 2 3 n
f 8
3 *2 1
12. D adas las matrices A = -1 6 3
"<
CD
II
6 1 3
4 -2 5 -2 9 2
y la ecuación 1/2(X - 3A) = (A1- 2B )' + A '; hallar la sum a de las com ponentes de
la segunda fila y la sum a de las componentes de la tercera columna de la matriz X.
y C = (1, -2, 3)
f 3 2 -1 i r X
13. Se a n las matrices A = 2 5 -3 , B = y
-1 0 1
>
z
Si B' A = C, hallar el valor de la suma S = x + y + z.
EJERCICIOS : Grupo 45 425
14. Dem ostrar que las matrices A =
son idempotentes y permutables.
/*
2 -2 -4
/**
-1 2 4
-1 3 4
CD
II
1 -2 -4
, 1 -2 -3 . .-1 2 4 ^
-1 -2
N
‘2 I
-3 -6 2 " f * 5 -8 0 '
Se an A = 1 2 1 , B = 2 4 -1 y c = 3 5 0
-1 -1 0^ v 2 3 0 ^ 1V.
2 -1 ✓
Dem ostrar que las matrices dadas son idempotentes y adem ás permutables dos
a dos, dando en cada caso la tercera.
16. Mostrar que A =
1 -3 - r
-1 3 4 es una matriz nilpotente de índice 2.
1 3 4 y
0 -1 - r ' 4 3 3 '
4 -3 4 y B = -1 0 -1 son matrices involutivas.
3 -3 4 . -4 -4 - 3 .
17. Mostrar que A =
18. Si A y B son matrices involutivas y AB = BA =
hallar la traza de la matriz M = (A + B)2.
19. Si A =
hallar la matriz M = (AB)' - 2C.
-5 -8 0
3 5 0
1 2 -1
2 3 -2 6 2
Si
4 2 1.5 1.5 "
-1 4 3 . B = 0 2 -2 y c = 5 2 2
0 2 1 ^ 3 0 -1 2 7.5 -3.5
3 0 1' 6 3
2 1
Si A = -1 4 1 , B = -2 4 0
2 2 1^ 1 -5 -2 ,
y C = ( B A )' + 2A;
hallar la sum a de los elementos de la segunda fila de la matriz C.
21. S e dice que una matriz A e s ortogonal si A-’ = A'. C om probar si la matriz
' 1 -2 2',
e s ortogonal (Sugerencia : A A 1 = A* A = I).A =
1
-2 1
-2 -2
22. En una página deteriorada de un antiguo texto se encuentra que la matriz
y del producto A 2A ' solo se puede leer la última columna
’ 1 X 0
A = 0 0 y
0 0 z](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-219-320.jpg)
![430 Capítulo 8: Matrices
Explicación. En la primera iteración F 12 se intercambió la segunda fila por la
primera con el objeto de que aparezca el 1 en la nueva primera fila
y que servirá de pivot, para que en las sucesivas iteraciones aparezcan ceros deba
jo del 1. A sí en la segunda iteración F,2(-2) se multiplicacó la primera fila por -2 y
luego se sum o la segunda fila. En la cuarta iteración F 14(-2) ya tenem os tres ceros
debajo del 1 de la primera fila y aparece en la segunda fila (0, 1, *1) el elemento 1
que servirá de nuevo pivot para transformar en ceros los elementos que están deba
jo de él. La quinta y sexta iteración m uestran este proceso. En la sétima iteración se
multiplicó por -1R la tercera fila para obtener (0, 0,1). Finalmente, mediante esta fila
pivot y la octava iteración se logra ceros en la última fila.
En este ejemplo se a logrado una forma escalonada, sin embargo, la matriz
equivalente B obtenida, de este modo, no e s única, toda vez que es posible efectuar
operaciones elementales columna y obtener otra forma escalonada.
I Nota. Una matriz cuadrada A e Kn escalonada es una matriz triangular superior,
pero no todas las matrices triangulares superiores son matrices escalonadas.
Anteriormente hem os visto que una matriz triangular era inversible si sólo si
no existen ceros en la diagonal principal; esta característica es también válida para
las matrices escalonadas cuadradas.
Verem os a continuación las ventajas que ofrece la reducción de una matriz en otra
que tenga forma escalonada.
8.11.4 ) R A N G O DE U N A M A T R IZ
El rango de una matriz es igual al número de filas no nulas que quedan
en la última iteración de las sucesivas transform aciones elementales que se hacen
con la matriz.
S e deduce que para hallar el rango de una matriz e s suficiente transform arla a
su form a escalonada. C o m o d os m atrices equivalentes tienen el m ism o rango,
el rango de dicha matriz se rá igual rango de la matriz escalonada. S i d e sign a
m os por r el núm ero de filas no nulas de la matriz escalonada, entonces el
rango de la matriz se denota
p (A) = r
| Ejem plo 2 J Hallar el rango de la matriz A =
0 2 -4
1 4 -5
3 1 7
0 1 -2
2 3 0
Sección 8.11: Transformaciones elementales 431
Solución. R e a liz a n d o su c e siv a m e n te la s tra n sfo rm a c io n e s ele m e n tales
tendremos:
A : F,
FJ1/2)
1 4 -5 ' 1 4 -5 1 4 -3
0 2 -4 0 2 -4 0 2 -4
3 1 7 F,3(-3) 0 -11 22 F,5(-2) 0 -11 22
0 1 -2 0 1 -2 0 1 -2
2 3 0 2 3 0 0 -5 10
' 1 4 -3 1 4 -3 1 4 -3]
0 1 -2 F23(11) 0 1 -2 0 1 -2
0 -11 22 0 0 0 f24(-D 0 0 0
0 1 -2 F2s(5) 0 1 -2 0 0 0
0 -5 10 0 0 0 0 0 0
=B
La última matriz escalonada B tiene dos filas no nulas, por lo que:
P ( B ) = p ( A ) = 2
Ejemplo 3 J Hallar el rango de la matriz A =
Solución . Por el método de las transformaciones elementales se tiene:
25 31 17 43
75 94 53 132
75 94 54 134
25 32 20 48
A :
F4,(-1)
F,3(-1)
^ ( - 6 )
F?3(-1)
La última matriz escalonada tiene tres filas no nulas, por tanto
p (B) = p (A) = 3
25
75
31
94
17
53
43 '
132 F,2(-3) 25
0
31
1_
17
2
43
3
0 0 1 2 0 1 3 5
l o 1 3 5J *34 l o 0 1 2J
í 25 25 5 25 F,(1/25) í 1 1 1/5 1
0 1 2 3 0 1 2 3
0 0 1 2
f34(-i)
0 0 1 ?
w 0 0 1 2, l 0 0 0 0,
= B
8.11.5) M A T R IC E S E L E M E N T A L E S
La matriz que resulta de aplicar una transform ación elemental de
línea (fila o colum na) a la matriz identidad I (i recibe el nom bre de matriz ele
mental ele línea. L o s sím b o lo s que se em plean para una transform ación ele-](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-222-320.jpg)
![434 Capítulo 8: Matrices
' 1 0 0 ' 1 -1 1 ' 1 -1 1 ’
E,3( - 1 ) - F l2 = F,3(-1) = 0 1 0 0 1 2 = 0 1 2
-1 0 1 1 1 1 0 2 0
: 1 0 o : ■ 1 -1 1 ' : 1 -1 1 :
E 23(-2) . F ,3(-1) = F23(-2) = 0 1 0 0 1 2 = 0 1 2
0 -2 1 0 2 0 0 0 -4
Com o resulta laborioso escribir el producto de matrices correspondientes a cada
operación fila, es conveniente utilizar una notación abreviada em pleando una fle
cha, sobre el cual se indica la matriz elemental adecuada, en base a la cual, las
operaciones se representan com o sigue
í 0
1 2 ] r i -i 1 r i -1 1 r i -1 1
A = 1 -1 1 F „ 0 1 2 F ,3(-1) 0 1 2 F23(-2) 0 1 2
1 1 1 1 iV.
1 / 0V.
2 0 0V
0 -4
8.11.6 ) INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL METODO DE LAS
MATRICES ELEM EN TA LES (Método de G a u ss - Jordán)
El método de G a u ss - Jordan consiste en lo siguiente:
Para la matriz dada A de orden n, se construye una matriz rectangular r A = (A 11)
de orden n x 2n, añadiendo a la derecha de A una matriz unidad. Luego, haciendo
uso de las transform aciones elementales sobre las filas, se reduce la matriz r A a la
forma (l I B), lo que es siempre posible, si A es inversible. En este caso B = A No
es preciso conocer de antem ano si A es inversible. S e puede deducir fácilmente si A
es inversible durante las sucesivas transform aciones elementales para hallar la m a
triz ( II B). Si uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz escalonada
E en (E I B) e s cero, entonces A no e s inversible.
' 1 -1 1 ’ %
Ejemplo 7 Determinar si A = 0 0 1 e s inversible.
1 1 -1
Si así lo fuera, calcular su inversa.
Solución. Primero efectuamos las operaciones con filas para reducir A a una
matriz escalonada E. Em pezam os form ando la matriz r A = (A 11)
'1 -1 1 1 0 o' " 1 -1 1 1 0 o '
(A 11) = 0 0 1 0 1 0 F ,3(-1) 0 0 1 0 1 0
1 1 -1 0 0 1 0 2 -2 -1 0 1
% V. y ^
Sección 8.11: Transformaciones elementales 435
f1 -1 1 1 0 0]
0 2 -2 -1 0 1
0 0 1 0 1 0
Com o A ha sido reducida a la matriz escalonada E =
-1
2
0
1
-2
1
que no tiene
cero en la diagonal principal, la matriz A es inversible.
Continuando con las operaciones elementales con filas, necesarias para reducir la
matriz A a la identidad, se tiene :
f23=
F?(1/2)
A ’ =
r
i 0 1
-1 2 1
. 0 2 0
r
1 -1 1 1 0
X
0 1 0 0 1 / 2 0 1 / 2 '
0 2 - 2 -1 0 1
TI
to
0 2 - 2 -1 0 1
0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0
V
y
1 0 0 1 /2 0 1 / 2 '
s.
f
1 0 0 1 /2 0
y
1/ 2 '
0 1 -1 - 1 / 2 0 1 / 2 f32(1) 0 1 0 - 1 / 2 1 1 /2
0 0 1 0 1 0 ^ 0 0 1 0 1 0
y
= (HB)
Ejemplo 8 j Hallar A ’ para la matriz A =
f 3
4
2
Solución.
(A 11) =
F,2H )
F3,(-2)
F ’(-2/3)
Form am os la matriz r A = (A I I) y empleando el método de G a u ss
Jordán tendrem os :
t
3 2 1 1 0
0 '1 2/3 1/3 1/3 0 0 '
4 5 2 0 1 0 F ,(1/3) 4 5 2 0 1 0
2 1 4 0 0 1 2 1 4 0 0 1
X
r
1 2/3 1/3 1/3 0 O '
/
1 2/3 1/3 1/3 0
y
X
0
0 7/3 2/3 -4/3 1 0 Fj(3/7) 0 1 2/7 -4/7 3/7 0
X
0 -1/3 10/3 -2/3 0 1 0 -1/3 10/3 -2/3 0 1
y
f.
1 0 1/7 5/7 -2/7 0 ' '1 0 1/7 5/7 -2/7 0 '
0 1 2/7 -4/7 3/7 0 F3(7/24) 0 1 2/7 -4/7 3/7 0
0 0 24/7 6/7 1/7 1 0 0 1 -1/4 1/24 7/24
X 4](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-224-320.jpg)
![436 Capítulo 8: Matrices
F3’(-1/7)
F 3j(-2/7)
r
1 0 0 3/4 -7/24 -1/24 '
0 1 0 -1/2 5/12 -1/12
1 0 1 -1/4 1/24 7/24
A ’ =
= (I I B)
1
24
18
-12
-6
-7
10
1
-1
-2
7
1 6 4
Ejemplo 9 I Determinar, si existe, la inversa de A = 2 4 -1
1 2 5
r
1 6 4 1 0 0
Solución . S e a la matriz : F A = (A 11) => (A 11) = 2 4 -1 0 1 0
-1 2 5 0 0 1 4
F,2(-2)
F,3(1)
U sando el método de G a u ss - Jordan se tiene :
1 6 4 1 0 0 ” 1 6 4 1 0
N
0
0 -8 -9 -2 1 0 F23(1) 0 -8 -9 -2 1 0
. 0 8 9 1 0 1 . 0 0 0 -1 1 1 ,
Com o la matriz escalonada E tiene un cero en su diagonal principal, la matriz A no
es inversible. ■
22 -6 -26 17
-17 5 20 -13
-1 0 2 -1
4 -1 -5 3
! Eje m p lo 10 ^ S e sabe que la matriz X = [xi(] satisface la ecuación A X = B,
en donde:
A = 2 B - 1 =
Mostrando en primer lugar que A es inversible, determinar los elementos x24 y x43
de la matriz X.
Solución. Para determinar si A es inversible form amos la matriz F A = (A I I) y
mediante las operaciones elementales tendremos que :
(All) =
CJ
CM
-6 -26 17 1 0 0 0 ' ' 1 0 -2 1 0 0 -1 o '
-17 5 20 -13 0 1 0 0 F3(-1) -17 5 20 -13 0 1 0 0
-1 0 2 -1 0 0 1 0
F,,
22 -6 -26 17 1 0 0 0
k 4 -1 -5 3 0 0 0 1 ,
13
, 4 -1 -5 3 0 0 0 1 ,
Sección 8.11: Transformaciones elementales 437
F42(4)
F43(-5)
F 3(1)
F/(1)
r i 0 -2 1 0 0 -1 0
* 7 0 !
1 0 -2 1 0 0 -1 0
-1 1 0 -1 0 1 0 4 0 1 -2 0 0 1 -1 4
2 -1 -1 2 1 0 0 -5 F,3(-3) 0 -1 3 0 1 0 2 -5
4 -1 -5 3 0 0 0 1 F ,4(*4) 0 -1 3 -1 0 0 4 1
t 1 0 -2 1 0 0 -1 0
F 3’(2)
f 1 0 0 1 2 2 1
*2 1
0 1 -2 0 0 1 -1 4 0 1 0 0 2 3 1 2
0 0 1 0 1 1 1 -1 F32(2) 0 0 1 0 1 1 1 -1
0
0 1 -1 0 1 3 5 F34(-1) 0
0 0 -1
—y
-1 0 2 6
La matriz escalonada E no tiene cero en la diagonal principal, luego, la matriz A
es inversible. Por lo que :
F/(1)
F4(-1)
' 1 0 0 0 1 2 3 4 '
0 1 0 0 2 3 1 2
0 0 1 0 1 1 1 -1
, o 0 0 1 1 0 -2 -6 .
= A ’1
Multiplicando por A •’ am bos m iem bros de la ecuación dada se tiene :
A 1A X = A 1B <=> X = A 1B
Si A = 2B - 1 => B = 1/^(A + I) = 1/2
23
-17
-1
4
-6 -26
6 20
0 3
-1 -5
1 7 1
•13
-1
4
Por tanto: X ?t = (a2i) ’ bi4 = 1/2 (2, 3, 1, 2) • (17, -13, -1, 4 ) = 1
x 43 = K ) ' ’b,3 = 1/2 0 - °- *2 - ' 6 ) • (*2 6 - 2 0 - 3 - *5 ) = -1
Resolver la ecuación matricial A X B = C, sabiendo queEjemplo 11j
'3 -1' ' 5 6 ' '1 4 16'
A =
5 -2
t J
, B =
7 8
h
O
>s
9 10
Solución . Multiplicando por A '1 (izquierda de X) am bos miembros de la ecuación
matricial se tiene :
A '1A X B = A ’ C => X B = A ’C (1)
Multiplicando por B ' (derecha de X ) am bos extremos de (1) obtenemos:](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-225-320.jpg)
![440 Capitulo 8: Matrices
1 2 -3 1 -3 0
15. A X = B, si A = 3 2 -4 y b = 10 2 7
. 2 -1 0 . . 10 7 8
5 3 1 -8 3 0
16. X B = B. si A = 1 -3 -2 y b = -5 9 0
>-5 2 1 , . -2 15 0.
17. Hallar la matriz X que cumple la ecuación: ( X - 2 I ) B + 3 C = D
2 1 5 1 2 1 4 8 3
donde, B = -3 3 0 , c = 3 -1 -4 , D = -1 2 10
. 4 -2 4. . 5 3 1 . , 12 7 5 ,
1 3
'
-1 -2 0 0
Si A = 0 4 1 , B = 3 1 0 , hallar (si existe)X tal que A X B
. 0 0 2 , . 2 1 -1 ,
En los ejercicios 19 a 34, hallar las inversas de las siguientes matrices, empleando
el método de las transformaciones elementales.
19.
22.
25. La matriz X = [x(¡ ] satisface la ecuación X A = B, en donde :
. Mostrar que A es inversible y hallar x23 + x31.
1 a x -z 20. ' 3 3 -4 -3^ 21.
/
0 0 1 -1 '
0 1 b y 0 6 1 1 0 3 1 4
0 0 -1 c 5 4 2 1 2 7 6 -1
0 0 0 1 2 3 3 2 1 2 2 -1
é
. ;
'0 1 2 2 ' 23. '2 4 3 2 24. '1 1 1 1 '
1 1 2 3 3 6 5 2 1 1 -1 -1
2 2 2 3 2 5 2 -3 1 -1 1 -1
2
V.
3 3 3
4
4 5 14 14 1
í
-1 -1 1
A = 7B + I =
2 5 7
6 3 4
5 -2 -3
8.12^ S IS T E M A S DE E C U A C IO N E S L IN E A L E S
Recordando que la resolución de una ecuación implica la búsqueda de
ecuaciones equivalentes m ás sim ples en los que resulta fácil determinar la raíz o
raíces, la aplicación de este criterio a la resolución de sistem as de ecuaciones linea
les sugiere que, el método para hallar el conjunto solución de un sistem a lineal
Sección 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales 441
consiste básicamente en reemplazar el sistem a dado por otro equivalente en el que
se pueda calcular fácilmente las raíces. En tal sentido las transform aciones elemen
tales aplicadas a las matrices simplifican el desarrollo de estas y com o tal, nos
ofrecen la posibilidad de una ventajosa aplicación para resolver un sistem a de
ecuaciones lineales.
En un sistem a de la forma :
a „ x , + a„x„ +
+ a,„x„ = b,
+ a„_ x„ = b„
(1)
am,X,+ am2 X2 + + a x = bmn n n
con las constantes reales de estas ecuaciones se puede establecer el siguiente
arreglo de m x n.
A = (2)
al que llam aremos matriz de coeficientes del sistem a (1).
A los vectores
í X> l í b ’
b2
X = •
<
03
II
•
•
Xn . . bn ^
llamaremos, respectivamente, vector columna de las incógnitas o vector solución y
vector columna de los términos independientes. Por lo que el sistem a (1) se puede
representar del siguiente modo:
A X = B
Al adjuntar el vector columna B a la matriz A. se determina una matriz de m x (n+1),
que designarem os por A', a la cual llam aremos matriz aumentada o ampliada del
sistem a (1) y se escribirá del siguiente modo:](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-227-320.jpg)
![448 Capítulo 8: Matrices
Solución . D esignem os por x , , x2 , x3 y x4 el número de unidades de cada
artículo A, B, C y D respectivamente, que se producen durante una
sem ana de 5 días.
Se gú n la tabla, la 1ra m áquina dedica 7 horas en la producción de una unidad del
producto A, 2 horas en la producción de una unidad del artículo B, etc. C om o en una
sem ana cada m áquina trabaja 5 x 8 = 40 horas, entonces la producción sem anal de
la primera m áquina se rige por la ecuación:
7x, + 2x2 + 4x3 + 3x4 = 40
D ado que las m áquinas deben trabajar simultáneamente, entonces la producción
sem anal estará dada por la solución de las 5 ecuaciones lineales
7 x t + 2 x2 + 4 X 3
+ 3x4 = 40
4 x 1 + 4 X 2
+ 4 X 3
+ Sx4 = 40
10x, +
X
o
+ 4 X 3
+ 7X4 = 40
9x, + 4 X 2
+ 2 x3 + 11x4 = 40
10x, + 5 X 2
+ X 3 + 1 3 x4 = 40
' 7 2 4 3 4 0 '
4 4 4 5 40
La matriz aumentada del sistem a es A ' = 10 0 4 7 40
9 4 2 11 40
J O 5 1 13 40,
D e spu é s de aplicar las transform aciones sucesivas f 35(-i ) , F43(-1) > F,4(-1)
F 3(-2 ), la matriz aumentada se reduce a:
F4s(3/4) ^
F43(-1/4)'
F4(1/4)
1 -4 2 -4 0 1 -4 2 -4 0
4 4 4 5 40 F,2H ) ( 0 20 -4 21 40
-1 -6 -4 -7 -40 F,3(D , 0 -10 -2 -11 -40
2 2 -2 8 0 F 4(-2) 0 10 -6 16 0
l o 5 -3 6 0 J 1> ' *r
l o 5 -3 6 0 J
1 -4 2 -4 0 F,3(2) ( 1 1 -1 2
0
0 5 -3 6 0 Fo4(-2) , 0 5 -3 6 0
0 -10 -2 -11 -40 F?5H ) r 0 0 -8 1 -40
0 10 -6 16 0 F?’(1) r 0 0 0 4 0
l 0 20 -4 21 40 J l 0 0 8 -3 40 J
r 1 1 -1 2 0 ] F?4(*6) , r 1 1 -1 0 0 ]
0 5 -3 6 0 F ,4(*2) 0 5 -3 0 0
0 0 -8 0 -40 F3(-1/8) 0 0 1 0 5
0 0 0 1 0 ■ - » 0 0 0 1 0
Fs(1/8) i
l ü 0 tí 0 40 J 1 0 0 1 0 *> J
Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales 449
f 35 (-1)
F,1 (1)
1 1 0 0 5 1 0 0 0
2 1
0 5 0 0 15 F ¡,(1/5) ( 0 1 0 0 3
0 0 1 0 5 0 0 1 0 5
0 0 0 1 0 F21(-1) ( 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
✓
De la última matriz obtenem os : x, = 2, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 0
En consecuencia, la producción óptima sem anal de la fábrica necesita que se fabri
que 2 unidades del producto A, 3 del producto B, 5 del producto C y ninguno del
producto D. ■
8.13 j R A N G O DE UN S IS T E M A DE E C U A C IO N E S L IN E A L E S
S e a dado un sistem a de m ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo
general :
a t1 x, + a 12 x2 + .................. + a,n = b,
a 21X, + a22 X2 + .................. + a2n = b2 W
x , + am2x2 + ............... + 3 ^ xn = bn
o bien, en la forma matricial
A X = B (2)
donde A = [ a J de orden m x n, X = [ x ] de orden n x 1 y B = [ b ] de orden m x 1. S e
denomina solución del sistem a (1) todo vector colum na de n com ponentes de X que
convierte la ecuación matricial (2) e s una igualdad. Anteriormente hem os visto que
un sistem a se denomina consistente o compatible, si tiene por lo m enos una solu
ción, de lo contrario se denomina inconsistente o incompatible.
Para que el sistem a (1) sea consistente es necesario y suficiente que se
verifique :
P (A) = p (A1)
donde A ' = (AIB) e s la matriz aumnetada o ampliada del sistem a (1).
Suponiendo que p (A) = p (A‘) = r , es decir, el sistem a e s consistente, entonces
puede ocurrir.
1. Q ue el sistem a (1) tenga una solución única. Esto sucede cuando el número
de incógnitas n del sistem a es igual al rango de la matriz aumentada. Esto es,
si el sistem a tiene n incógnitas, tendrá solución única si y sólo si
p (A) = p (A ) = r = n](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-231-320.jpg)
![450 Capitulo 8: Matrices
2. Q ue el sistem a (1) tenga m ás de una solución. En este caso el número de
incógnitas del sistem a es m ayor que el rango de la matriz aumentada. E s
decir, el sistem a (1) tendrá m ás de una solución, si y sólo si
p (A) = p (A') = r < n
C om o r < n, entonces las n - r incógnitas toman valores arbitrarios, y a los que
se las denom ina valores libres o parámetros.
Si ocurre que p(A) * p(A'), entonces el sistem a (1) e s inconsistente.
Ejemplo 7 Investigar la consistencia y hallar la solución del sistem a
2x„x ,
2x,
3x.
3x„
3 x 3 = 2
= 1
x2 + 2x3 = 9
Solución . Reduciendo la matriz aumentada (AIB) a su forma escalonada se tiene:
(A I B ) =
F,'(2)
F,3(-5)
1 -2 3
>
2 F,2(-2) 'i -2 3 2
2 -3 1 1 0 1 -5 -3
.3 -1 2 9 .
F,3(-3) ^o 5 -7 3 .
1 0 -7 -4
f
1 0 -7 -4
0 1 -5 -3 F»(1/18)i 0 1 -5 -3
,0 0 18 18 , .0 0 1 1 ,
= E
O bsérvese que las matrices escalonadas E y E' tienen 3 filas no nulas (r = 3), enton
ces p (E) = p (E ‘) = 3, y com o A = E, A s E', se tiene que p (A) = p (A’) = 3, adem ás
el número de incógnitas del sistem a es n = 3, por tanto, el sistem a dado tiene solu
ción única.
Para determinar esta solución transform amos la última matriz a su forma escalona
da reducida
F3,(7)
Fa2(5)
1 0 0
3
0 1 0 2
. 0 0 1 1 ,
x, = 3 , x2 = 2 , x3 = 1
Luego, el vector columna solución es : X = ( 3, 2, 1 )'
Ejemplo 8 J Resolver el sistem a
x +2y + 3z = -1
x -3y - 2z = 3
2x - y + z = -2
Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales 451
Solución . Investiguem os la consistencia del sistem a reduciendo la matriz aum en
tada ( A I B ) a su forma escalonada, esto es :
( A I B ) =
F ?(-1/5)
F„(-1/5)
r
1 2 3
N
-1
F,2(-1) r
f
1 2 3 -1 '
1 -3 -2 3 0 -5 -5 4
, 2 -1 1 %
F ,3(*2)
, 0 -5 -5 0 .
' 1 2 3 - r ' 1 2 3 -1 '
0 1 1 -4/5 F23(*1) 0 1 1 -4/5
0 1 1 0
'u
0
V.
0 0 4/5
✓
= E 1
Dado que p (E) = 2 y p (E ‘) = 3, entonces p (E) * p (E 1). Por lo tanto, el sistem a es
inconsistente.
1 Ejemplo 9 J Resolver el sistema:
2 x, - x2 + x3 + 2 x4 + 3Xj = 2
6x, - 3x2 + 2x3 + 4x4 + 5xs = 3
6x, - 3x2 + 4Xg + 8 x 4 + 3x5 = 9
4x, - 2x2 + x3 + x4 + 2x. = 1
Solución. Reduciendo la matriz aumentada (AIB) a su forma escalonada se tiene:
( AIB ) =
F?(-1)
F4(-1)
í 2
-1 1 2 3
2 F,2(*3) 2 -1 1 2 3 2
6
6
-3
-3
2
4
4
8
5
3
3
9
F,3(-3) 0
0
0
0
-1
1
-2
2
-4
-6
-3
3
1 4 -2 1 1 2 1 F/(-2) < 0 0 -1 -3 -4 -3 )
2 -1 1 2 3 2 F,’(*1)
/
2 -1 0 0 -1
-1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
2
2
4
-6
3
3 F?3(-1)
0
n
0
n
1
0
2
n
4
-m
3
n
3 4 3 f24(*i), l 0 0 0 1 0 0 J
= E 1
■ v
E
Com o p (E) = p (A I B ) => p ( A ) = p ( A I B ) = 4. por tanto el sistem a e s consistente.
Adem ás p (A) < n, entonces hay m ás de una solución y el número de variables
libres o parámetros es p = n - r => p = 5 - 4 = 1. Transform ando la última matriz
a su forma escalonada reducida se tiene :
FJ-1/10)
F42(-2)
2 -1 0 0 -1 -1 ] í 2 -1 0 0 0 -1)
0 0 1 0 4 3 F32(-4) 0 0 1 0 0 3
0 0 0 0 1 0
F3’(Dr
0 0 0 0 1 0
l 0 0 0 1 0 o j l 0 0 0 1 0 0 J](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-232-320.jpg)
![456 Capítulo 8: Matrices
a) Para analizar la compatibilidad del sistema debemos reducir la matriz amplia
da (AIB) a su forma escalonada, esto es:
(AIB) =
F32(-2)|
FV(-1)
F-(1/5)
S’
1 1 1 1 70 '
r
1 1 1 1 70 "
0 2 1 1 90 F ,3(-2) 0 2 1 1 90
w 2 3 0 1 9 0 , l 0 1 -2 -1 -50 „
f 1 0 3 2 1 2 0 ' r 1 0 3 2 120"
0 0 5 3 190 0 1 -2 -1 -50
k 0 1 -2 -1 -50 j w 0 0 5 3 1 9 0 ,
r 1 0 3 2 120' F 2(2) r 1 0 0 1/5 6 '
0 -1 -2 -1 -50
3 ' 9
0 1 0 1/5 26
. 0 0 1 3/5 3 8 , f 3’(-3) 1 0 0 1 3/5 3 8 ,
= E'
b)
Vemos que p (E) = p(E') = 3 =* p (A) = p (AIB) = 3; por lo que, el sitema es
compatible o consistente, además como el número de incógnitas (n = 4) es
mayor que el rango, entonces existe más de una solución y el número de
variables libres e sp = n- r = 4 - 3 = 1 .
De la última matriz: A + 1/5 D = 6 => D = 5 (6 - A)
B + 1/5 D = 26 => D = 5 (26 - B)
C +3/5 D = 38 =* D = 5/3(38-C)
La designación de D como la variable libre permite ver claramente que
A < 6 , B < 26 , C < 38
El mayor número de cachimbos que se puede invitar ocurre cuando el grupo B
deja de asistir, esto es, si B = O, entonces : D = 5 ( 26 - O ) = 130 ■
8.14 ) S IS T E M A S H O M O G EN EO S DE E C U A C IO N E S L IN E A L E S
Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos
constantes son cero, es decir, si el sistema tiene la forma
Sección 8.14: Sistemas liomogeneos de ecuaciones lineales 457
Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales es consistente, dado que x, = O,
x2 = O, ........ xn = O es siempre una solución. Esta solución se conoce como
solución trivial, si existe otras soluciones, a estas se llaman soluciones no triviales.
A simple vista es posible asegurar que un sistema homogéneo tiene soluciones no
triviales, si es el caso que el sistema tiene más incógnitas que ecuaciones.
Ejemplo 15j Resolver el sistema homogéneo
Solución
(AIO)
x, - 2xz + 3x3+ x4= O
3x, - 5x2+ 4x3+ 2x4= O
4x, - 9x2+ 17x3 + 5x4= O
Transformando la matriz ampliada (AIO) a la forma escalonada se
tiene:
1 -2 3 1
° 1
F ,2(-3) f l -2 3 1
° 1
3 -5 4 ? 0 0 1 -5 -1 0
4 -9 17 5 0^
F ,3(-4)
p 1 ° -1 5 1 0 y
1 -2 3 1 O'] r 1 0 -7 -1
° 1
0 1 -5 -1 0 F 2’(2) 0 1 -5 -1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
= E'
Como p(E) =p (E1) =2 y el número de incógnitas (n = 4) es mayor que el rango, enton
ces existe infinitas soluciones. El número de variables libres esp = n- r = 4- 2 = 2.
El sistema de ecuaciones correspondientes a la matriz E‘es
x, -7x3- x4= O
Xj, -5x3- x4= O
Si desiganmos a las variables libres por x3 = t, y x4 = t2 , el conjunto solución del
sistema es
x, = 7t, + t2 , x2= 5t, + t2 , x3= t, , x4= t2
y la notación vectorial, solución general del sistema, está representado por el vector
columna
X = (7t, + 12 , 5t, + t2 , t1( y *
= t,(7,5,1,0)« + t2(1,1,0, 1)‘B
I O B S E R V A C IO N 8.14 Sea S c K" un conjunto de todas las soluciones de un
sistema homogéneo. Cualquier base en el conjunto S con
siste de n - r vectores e , , e ;
.
e n. f . Un sistema de vectores columna E 1. E 2,](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-235-320.jpg)
![466 Capitulo 9: Determinantes
FIGURA 9.1 FIGURA 9.2
Por ejemplo, si A = su determinante es
D (A) = (2) (4) (-2) +(1) (-4) (3) +(-1) (-3) (5) -(3) (4) (5) - (-3) (-4) (2) -(-1) (1) (-2)
= - 16 -12 + 15 - 60 - 24 - 2 = -91
Hemos visto que el cálculo del determinante de una matriz de orden 3se hace un
tanto laborioso y podemos pensar que la obtención del determinante de una matriz
de orden n ofrece ciertas dificultades; por lo que es conveniente estudiar previa
mente algunas propiedades del determinante considerado como una función sobre
el conjunto de matrices de orden 2.
Se calcula a s í: Uno de los tres sumandos que figuran en el segundo miembro con el
signo más es un producto de elementos de la diagonal principal de la matriz A, cada
uno de los otros sumandos es un producto de elementos situados en la paralela a
dicha diagonal y un elemento opuesto del rincón de la matriz ( Figura 9.1 ) y los
sumandos que figuran en el segundo miembro con el signo menos se construye de
modo igual, pero esta vez respecto a la segunda diagonal ( Figura 9.2 )
(9.2 ) P R O P IE D A D E S DE LO S D E T E R M IN A N T E S
PROPIEDAD 1 j Si A es una matriz cuadrada que tiene una linea ( fila o
columna ) compuesto exclusivamente de ceros, entonces el
determinante de la matriz es cero.
En efecto, si A = D ( A ) = (a,, ) ( 0 ) * ( 0 ) ( a I2 ) = 0
Sección 9.2: Propiedades de los determinantes 467
| P R O P IE D A D 2 j Paridad de las filas y columnas de un determinante.
El valor de un determinante no varía si este se transpone,
es decir, si se cambia cada una de sus filas por la columna del mismo número.
En efecto, sea A una matriz cuadrada y A’su transpuesta:
Si A =
a,2
=> D(A) — a,, a22- a21 a12 "1
a2, a22
✓
y A' =
r a„ a2,' => D(A’) = a,, a22- a,2â21 !
CM
aj"
a22 J
.*. D(A) = D(A')
PRO PIED AD 3 ] Si dos líneas (filas o columnas) de una matriz A son
idénticas, entonces el determinante de la matriz es cero.
En efecto, si A =
a a
b b
D(A) = (a)(b) - (b)(a) = 0
PRO PIED AD 4 J Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, entonces
se cumple :
a) Si B es la matriz que resulta de multiplicar una línea de A por un escalar k,
entonces :
D(B) = kD(A)
En efecto, si A =
a,, a,2
a2i a22
y b =
rka„ a12
ka22 a22
II
' a„
a21
, entonces :
D(B) = kan a22- ka21a12 = k (a,, a22- a21 a12) = k
Según esta propiedad, un factor común de todos los elementos de una línea
de un determinante puede ser separado como factor del determinante.
b) Si B es la matriz que resulta de intercambiar dos líneas de A, entonces
D(B) = -D(A)
En efecto, si A = ' a„ a,2
y B =
a,2 a,,'
, entonces
a21 a22 a 22
V.
a21
= a,2a2, - a22a M — -(a,, a^ - a21 a,2)
.-. D(B) = -D(A)](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-240-320.jpg)
![470 Capitulo 9: Determinantes
Ejemplo 5 Demostrar la identidad
a, + b,x a, - b,x c, a, b, c,
a2 + b2x a2- b2x c2 = -2x a2 b2 c2
a3+ b3x a3- b3x c3 a3 b3 c3
Demostración . Sumando la segunda columna a la primera se tiene :
2a, a, - b,x c, 2a, a, c, 2a, - b,x c,
2a2 a2- b2x c2 = 2a2 a2 c2 + 2a2 - b2x c2
2a3 a3- b3x c3 2a3 a3 c3 2a3 - b3x c3
Por la propiedad 3, el primer determinante es cero. Del segundo determinante ex
traemos los factores 2 y -x de la primera y segunda columnas respectivamente, y
obtenemos :
a, + b,x a, - b,x c, a, b, Ci
a2 + b2x a2- b2x c2 = -2x a. b2 c2
aa + b3x a3- b3x c3 a. b3 c3
Ejemplo 6 j Demostrar que el determinante de la matriz A =
se divide por x - y , x - z , z - y.
1 1 1
x y z
^ x2 y2 z2
Demostración. Bastará probar que el D(A) tiene como factores a x-y, x-z y z-y.
En efecto, efectuando las operaciones C, - C2y C2- C3,obtenemos:
D ( A ) =
0
x-y
x2- y2
0
y-z
y2- z2
= (x - y) (y2- z2) - (x2- y2) (y - z)
= (x - y) (y - Z) (y + z) - (x + y) (x - y) (y - z)
= (x-y) (y-z) [(y + z) - (x + y) ]
= (x - y) (y - z) (z - x)
Ejemplo 7 ] Hallar el determinante de la matriz A =
28 25 38
42 38 65
56 47 83
Solución . La primera columna ( C, ) admite el factor 14, luego, por la propiedad
4a, se tiene :
EJERCICIOS: G rupo48 471
2 25 38
D(A) = 14 3 38 65
4 47 83
Haciendo uso de la propiedad 4d realizamos las siguientes operaciones con las
columnas: -1 2 C ,+ C2 y -14C, + C3
2 1 0 0 1 0
D (A )= 14 3 2 8 -2C2+ C, D(A) = 14 -1 2 8
4 -1 7 6 -1 7
Finalmente, por el desarrollo del determinante de tercer orden obtenemos :
D(A) = 1 4 (0 + 0 + 4 8 - 0 - 0 + 7 ) = 770
EJERCICIO S . Grupo 48
En los ejercicios 1 al 6, calcular el determinante de tercer orden
1. 3 4 -5
8 7 -2
2 -1 8
2. 1 i 1 + i
-i 1 0
1 -i 0 1
3.
4.
Sen a Cos a
Sen p Cos P
Sen y Cos y
5. a2+1 a P a 8
a p p2+1 p 5
a 8 p 8 82+1
a + x X X 6. Sen2a 1 Cos2a
X b + x X Sen2P 1 Cos2p
X X C + X Sen28 1 Cos28
7. Calcular el determinante de la matriz A =
si e = Cos ( 4 n / 3 ) + i Sen (4;t/3).
8. Resolver las ecuaciones:
a)
1 1 1
1 e e2
1 e2 e
3 X -X b) X x + 1 x + 2
2 -1 3 = 0 x + 3 x + 4 x + 5
x + 10 • 1 1 x + 6 x + 7 x + 8
= 0
9. Resolver la desigualdad :
2 x + 2 -1
1 1 -2
5 - 3 x](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-242-320.jpg)
![472 Capítulo 9: Determinantes
a, + b,x a,x + b, c, a, b, c,
10.Demostrar que : a2+ b2x a2x + b2 c2 = (1 * x2) a2 b2 c2
a3 + b3x a3x + b3 c3 a3 b3 c3
1 a a3 1 a a2
11. Demostrar que : 1 b b3 = ( a + b + c ) 1 b b2
1 c c3 1 c c2
(Sugerencia : Muéstrese que la última columna del determinante de partida
puede ser representada en la forma
/ >
a3
f N
a2
/ >
a
✓
1
b3 = ( a + b + c ) b2 - ( ab + ac + be ) b + abe 1
, c3 > > c2. . c > . 1 ,
y hágase uso de esta representación)
12. Demostrar que el determinante
x + y y x2- xy + y2
13. Constrúyase la gráfica de la función : y =
X y x + y
y x +y X se divide por
x + y X y
b - a
X X2 1
a a2 1 , a * b
b b2 1
En los ejercicios 14 al 19. usando propiedades, calcular el valor de cada deter
minante.
14.
15.
24 8 32 16. 67 19 21 18. 108 142 42
47 15 59 39 13 14 128 153 53
53 17 65 81 24 26 138 164 64
3 6 12 17. 66 18 21 19. 245 427 327
35 37 34 42 14 16 1014 543 443
23 26 25 75 23 25 -342 721 621
En los ejercicios 20 al 25, utilizando propiedades, demuéstrece las identidades
dadas.
20. X a 1 21. 1 a a2
a X 1 = (x - a) (x - b) 1 b b2
a b 1 1 c c2
= (a - b)(b - c)(c-a)
Sección 9.3: Existencia de los determinantes 473
22. 1 1 1
a b c =
a3 b3 c3
23. 1 1 1
a2 b2 c2 =
a3 b3 c3
24. 1 a2 a3
1 b2 b3 =
1 c2 c3
25. an + b np + q
bn + c nq + r
en + a nr + p
= (a + b + c ) ( a - b ) ( b - c ) ( c - a )
= (ab + ac + b c ) ( a - b ) ( b - c ) ( c - a )
= ( ab + be + ca )
1 a a2
1 b b2
1 c c2
nx + y
ny + z
nz + x
= ( 1 + n3 )
a p x
b q y
c r z
E X IS T E N C IA DE LO S D E T E R M IN A N T E S
Para demostrar la existencia de los determinantes definidos sobre el con
junto de matrices cuadradas de orden n, K " , introduciremos la idea de sub matriz,
que anotaremos del siguiente modo : Si A = [ aJ es una matriz de orden n x m, sea
A,, la sub matriz de orden (n -1) x (n -1) que se obtiené de A al eliminar la i-ésima fila
y la j-ésima columna.
Veremos inicialmente el caso de los determinantes de las matrices de tercer
orden.
Sea la matriz : A = [ a,, ] =
au
a2j
^31
a22
a32
a,3
a23
a33
Las sub matrices correspondientes a la primera columna vienen dadas por
A,, =
Ao, —
A.., —
a22 a¡
a32 a:
a )2 a
a32 a-
a12 a
a22 a¡
(Matriz obtenida al eliminar la primera fila y la primera
columna)
(Matriz obtenida al eliminar la segunda fila y la primera
columna)
(Matriz obtenida al eliminar la tercera fila y la primera
columna)
Ahora bien, definimos el determinante de la matriz A mediante la fórmula:](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-243-320.jpg)
![476 Capítulo 9: Determinantes
Ahora bien, la fórmula ( 3 ):
D(A) = a n D(A,,) - a2, D (A^) + a31 D(A31)
establece que el determinante de la matriz A es el producto interno de los vectores
( a „ , a , , ) • [ ( - 1 )'*’ D (A „ ), ( - 1 )**' D(AS1) , ( - 1 )’ •' D(A„) ]
donde los elementos del primer vector, son los elementos de la primera columna de
A y los elementos del segundo vector son los cofactores de los elementos corres
pondientes a la primera columna de A. Es evidente que este resultando es cierto
para cualquier fila o columna de A. Podemos afirmar entonces que, el determinante
de una matriz 3 x 3 se puede obtener de 6 maneras diferentes, al tomar las compo
nentes de cualquier fila o columna de la matriz y multiplicar cada una de estas
componentes por su cofactor y sumando los resultados.
Enseguida una generalización para determinantes de matrices de n x n en términos
de determinantes de matrices (n - 1) x (n - 1).
Para cada 1< i < n y cada 1< j < n , se define:
D(A) = (-1)1*1a„ D(A„) + (-1)2*1a2|D(A2|) + .... + (-1)"** an|D(An|)
(Desarrollo por cofactores a lo largo de la j-ésima columna )
Haciendo uso de la anotación correspondiente a las sumatorias para los que i varía
de 1 a n, se tiene
D(A)= 2 (-1 )‘*'aHD(A„)
i=I
(4)
Del mismo modo, se tiene que :
D(A) = (-1y a * D(Aj,) + (-1)U2 al2D(A¡2) + .... + (-1)■♦" a,n D(Aln)
---------------------------------------------------- ---------------- ■ ■- -s
( Desarrollo por cofactores a lo largo de la i-ésima fila )
Expresando en forma de sumatoria, en las que j varía de 1 a n, se tiene :
D ( A ) = ¿ (-1)M afl D(Aq)
¡=i
( 5 )
Cada una de las sumas (4) es el producto escalar de una columna de A con el vector
cuyos elementos son los cofactores asociados.
Cada una de las sumas (5) es el producto escalar de una fila de A con el correspon
diente vector cofactor.
Sección 9.3: Existencia de los determinantes 477
Las fórmulas ( 4 ) y ( 5 ) reciben el nombre de expansión o desarrollo de un determi
nante por menores.
/■
/
2 -1
5
Ejemplo 2 Hallar el determinante de la matriz A = 1 3 1
3V.
4 7 /
3 1 -1 5 -1 5
4 7
- 1
4 7
+ 3
3 1
de dos formas distintas.
Solución . Aplicando la expansión por la primera columna, para j = 1,en la fórmu
la (4), se tiene :
D ( A ) = ¿ (-1)'” a„ D(A„)
i= I
=> D(A) = (-1 )U1 a,, D(A„) + ( -1 )2*1a2, D(A21) + (-1)3*1a3, D(A31)
= 2
= 2 ( 21 - 4 ) - ( -7-20 ) + 3 ( -1 -15 ) = 13
Aplicando la expansión por la primera fila, para i = 1 en la fórmula (5), se tiene:
D ( A ) = ¿ (-1)'*'a,D(A„)
i= •
=>D(A) = ( - i r an D(An) + (-1)1*2 a12D(AI2) + (-1)1*3a,3 D(A,3)
= 2
= 2 (21 -4) + (7-3) + 5 (4 -9 ) = 13
3 1 1 1 1 3
4 7
-(-1)
3 7
+ 5
3 4
Ejemplo 3 j Calcular el determinante de A =
1 -1 1 3
-1 0 2 0
1 1 1 2
2 0 0 2
S olución. Para aprovechar los ceros en la cuarta fila, debemos usar el desarrollo
por filas (5), para i = 4, esto es :
D(A)= £ (-1)*’’a4, D(A«j)
i=i
Como a42 = a43 = 0 => D(A) = ( -1 )4-’ a4, D( A 41) + (-1)4-4 a44 D(A44)](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-245-320.jpg)
![r
478 Capitulo 9: Determinantes
-1 1 3 1 -1 1
= -2 0 2 0 + 2 -1 0 2
1 1 2 1 1 1
Desarrollando el D(A41) por los cofactores de su segunda fila y el D(A44), por los
cofactores de su segunda columna, obtenemos
D(A41) = 2 (-1)**
D(Am) =
= 2 (-2-3) = -10
-1 2
1 1
+ 1 (-1)3
Por lo que, en (1) se tiene : D(A) = -2 (-10 ) + 2 ( -6 ) = 8
= -6
EJER C IC IO S. Grupo 49
En los ejercicios 1 al 12, empleando desarrollos adecuados por filas o columnas,
calcular el determinante de cada una de las matrices dadas.
'1 2 1]
r
1 2) 2 1 -11
1. A = 2 1 -1 2. A = 1 1 3. A = 1 0 2
-1<
1 0 <
0 1 0 -1 4/
' 1 -1 1 ' 1 -1
S
0
f
2 1
N
2
ii
<
2 0 1 5. A = 1 2 6. A = 0 3 -1
U -1 2, V -1 2> . 4 1 1J
f-
1 -2 1 0
f
1 2 0
0
r
-1 1 2 0
7. A =
2
0
0
2
-3
1
0
1
8. A =
0
0
0
0
-4
-1
2
9. A =
0
0
3
4
2
1
1
2
1V
0 0 1^ 0V
-2 1 0 l 3 1 5 7
z'
2 3 -3 4^
/•
3 -1 4 2 1 0 0 0
10. A =
2
6
•1
2
-1
1
2
0
11 A =
5
0
2
2
0
1
1
-3
12 A =
0
0
2
0
-1
3
0
-2
2
V.
3 0 -5
l 6
2 9 8
>
1
0
0
1
0
0
2
0
En los ejercicios 13 al 15, para las matrices A, formar la matriz A - xl, luego,
determinar los valores de x que satisfacen la condición D(A - x I ) = 0
f1 0 0' ' 2 2 1’ r 1 2 1'
n
<
co
1 1 0
ii
<
"3-
Y—
2 2 1 15. A = -i 1 1
0N
0 2 0X
0 1 0V
3 2
_
Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 479
En los ejerciciosn16 y 17, calcular las determinantes, desarrollándolos por la tercera
fila y segunda columna, respectivamente.
16. 2 -3 4 1 17. 5 a 2 -1
4 -2 3 2 4 b 4 -3
a b c d 2 c 3 -2
3 -1 4 3 4 d 5 -4
En los ejercicios 18 al 20, evalúese los determinantes
18. a 3 0 5 19. 1 0 2 a 20. X a b 0 c
0 b 0 2 2 0 b 0 0 y 0 0 d
1 2 c 3 3 c 4 5 0 e z 0 f
0 0 0 d d 0 0 0 g h k u I
0 0 0 0 V
9.4 ) C A LCU LO DE D E T E R M IN A N T E S DE C U A LQ U IER O RDEN
El cálculo del determinante de una matriz de orden n se basa en el método
de reducción del orden del determinante mediante el uso de la propiedad 4d. Los
pasos a seguir son los siguientes:
Paso 1 . Elegir como línea pivot una fila o columna y destacar con un asterisco.
Paso 2 . Haciendo uso de la propiedad 4d, se multiplica cada elemento de la
línea pivot por un número tal que al sumar el resultado con el elemento
correspondiente de otra línea, se obtenga por lo menos un elemento
igual a cero.
Las anotaciones que se destacan en este paso son, por ejemplo :
a F, + F2 o a C, + C2
que indican lo siguiente :Los elementos de la fila o columna 1 se multiplicó
por el factor a y el resultado se sumó a los elementos de la fila o columna 2.
Paso 3 . Se repite el paso 2 tantas veces como sea necesario hasta tener un de
terminante equivalente en que todos los elementos de una misma línea,
excepto uno, sean cero.
Paso 4 . Se desarrolla el determinante obtenido en el paso 3 con respecto de la
línea que tiene sus elementos igual a cero, con excepción de uno de
ellos, obteniendo asi un solo determinante de orden n -1.
Paso 5 . Se repite el procedimiento hasta obtener un determinante de orden 2](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-246-320.jpg)
![482 Capítulo 9: Determinantes
a x x -a a X X
D(A) = 8 (-3) (-8) b y y -b c, + c 3r = 192 b y y
c z z - c c z z
Luego, por la Propiedad 3: D(A) = 192 (0) = 0
Ejemplo 5 j Descomponer en factores el determinante deA =
a b c 'I
a2 b2 c2
a3 b3 c3
Solución . Factorizando a, b y c de la primera, segunda y tercera columnas res
pectivamente, obtenemos:
D(A) = abe
1 1 1 -C3+ C,
= abe
0 0 1
a b c
-c3+ c2(
a - c b -c c
a2 b2 c2 a2- c2 b2- c2 c2
Desarrollando por los cofactores de la primera fila resulta :
a - c b - c
(a+c) (a-c) (b+c) (b-c)
D(A)= abe (-1)’
D(A) = abe (a - c) (b - c)
1 1
a + c b + c
= abe (a - c) (b - c) (b - a)
a b c b+c c+a a+b
Ejemplo 6 ] Si b q r = 5 y A = q+r r+p p+q
X y z .y+z z+x x+y
, hallar D(A)
Solución . En el determinante de A efectuamos la operación: -C2+ C,
D (A) =
b-a c+a a+b C, + C 2 b-a b+c 2b
= q-p r+p p+q
0 , + Co q-p q-r 2q
y-x z+x x+y
wi 1 y-x y+z 2y
b-a b+c b -c3+ c, -a c b
= 2 q-p q+r q ----------* = 2 -P r q
y-x y+z y -C3+ C2( -X z y
Factorizando -1 de la primera columna y por la propiedad 4b, se tiene:
Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 483
D(A) = 2 (-1) (-1)
a b e
P q r
x y z
= 2(5) = 10
Ejemplo 7 j
" x-y-z 2x 2x '
Si A = ’2y y-x-z 2y
2z 2z z-x-y >
, calcular D(A).
Solución . En el determinante de A efectuamos las operaciones:-C, + C2,-C, +C3
=> D (A) =
Factorizando x + y + z de la segunda y tercera columna se tiene :
x-y-z x+y+z x+y+z
2y -x-y-z 0
2z 0 -x-y-z
x-y-z 1 1 • x-y-z 1 1
D(A) = (x + y + z)2 2y -1 0 F, + F3 = (x + y + z)2
>
CJ
0
2z 0 -1 x-y+z 1 0
Desarrollando por los cofactores de la tercera columna obtenemos
D(A) = (x+y+z)2 (-1)u3
2y -1
x-y+z 1
= (x+y+z)3
Ejemplo 8 J Calcular el determinante de la matriz A =
b+c
b
a
a+c
a
b
. c c a+b .
Solución . Sumando la segunda y tercera filas a la primera fila se tiene :
D(A) =
2(b+c) 2(a+c) 2(a+b)
b a+c b
c c a+b
Factorizando 2 de la primera fila y luego efectuando las operaciones elementales
fila: -F2+ F, y -F2+ F3 , obtenemos
c 0 a * c 0 a
D(A) = 2 b a+c b - F, + F2 = 2 b a+c b
» c-b -a a
►
-b -a 0
Desarrollando por los cofactores de la primera fila se tiene :](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-248-320.jpg)
![4S4 Capítulo 9: Determinantes
a+c b
+ 2 a
b a+c
0-a -b -a
D(A) = 2c
= 2c (O + ab) + 2a (-ab + ab + be) = 4abc
Ejemplo 9 ^ Factorizar el determinante de la matriz A =
Solución . Efectuando las operaciones C, - C2 y C2- C 3, se tiene
D(A) =
X y z
X2 y2 z2
yz xz xy
x - y y- z z
x2- y2 y2- z2 z2
yz - xz xz-xy xy
Factorizando x - y e y - z de la primera y segunda columnas respectivamente,
resulta
D( A ) = (x-y) (y-z)
1
x+y
-z
1
y+z
1 0
x + y z - x
-z
=(x-y)(y-z)
= (x-y) (y-z) (z-x)
xy
0
-yz
-C, + C2
-z Cj + C,
z - x xy+xz
z - x -yz
z - x xy+xz
-yz
xy+xz
= (x - y) (y z)
= (x-y) (y-z) (z-x) (xy+xz+yz)
l Ejemplo 10^ Sea la matriz A =
Sen x Cos y Cos x Cos y Sen y
-Cos x Cos y Sen x Cos y Sen y
-Cos y -Cos y 1
calcular el determinante de A para x = y = k /6
Solución . Factorizando Cosy de la primera y segunda columnas se tiene
D(A) = Cos2y
= C o s2y
Sen x
-Cos x
-1
Cos x
Sen x
-1
Sen y
Sen y
1
C 3+ C,
Co+ Co
Sen x+Sen y Cos x+Sen y Sen y
-Cos x+Sen y Sen x+Sen y Seny
0 0 1
Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden
V
485
= Cos2y
Sen x+Sen y Cos x+Sen y
-Cos x+Sen y Sen x+Sen y
= Cos2y (1+2 Sen x Sen y)
Luego, parax = y = 7t/6 => D(A) = (V3 /2)2 [1+2 (1/2) (1/2)] = 9/8
EjemploT T j Si A =
(b+c)2 a2
b2 (c+a)
c2 c2 (a+b)2
, factorizar el D(A).
Solución . Efectuando las operaciones C2- C, y C3- C, , se tiene:
D(A) =
(b+c)2 a2- (b+c)2 a2- (b+c)2
b2 (c+a)2- b2 0
s2C* 0 (a+b)2- c2
Factorizando a + b + c de la segunda y tercera columnas resulta :
F, - (F2+ F3)
(b+c)2 a-b-c a-b-c
D(A) = (a + b + c)2 b2 c+a-b 0
c2 0 a+b-c
2bc -2c -2b
= (a + b + c)2 b2 c+a-b 0
•
c2 0 a+b-c
1 -c -b
= 2bc(a+b+c)2 b/c c+a-b 0
c/b 0 a+b-c
1 0 0
= 2bc(a+b+c)2 b/c a+c b2/c
c/b c2/b a+b
(Factorizamos 2 de la primera
fila y be de la de la primera
columna)
c C, + C2
bC, + C3
= 2bc (a+b+c)
D(A) = 2bc (a + b + c)2 [(a + c) (a + b) - be] = 2abc (a + b + c)3
a+c b2/c
c2/b a+b
! Ejem plo 12 Calcular el determinante de la matriz A =
0 1-i 2+i
1+i 0 3+2i
2+i 3-2i 0](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-249-320.jpg)
![486 Capítulo 9: Determinantes
Solución . Multiplicando la segunda fila por 1-i y la tercera fila por 2-i, se tiene:
0 1 -i 2 + i 0 1 -i 2 + i
(1-i) (2-i) D(A) = 2 0 5 - i -2 F2+ F 3| 2 0 5 - i
5 4 - 7i 0 1 4 - 7i -10 +2i
Efectuando la operación -2F3 + F2f obtenemos.
0 1 -i 2 + i
(1 - i) (2 - i) D(A) = 0 -8 + 14i 25 - 5i
1 4 - 7i -10 + 2Í
Fiinalmente, desarrollando por los cofactores de la primera columna resulta :
(1-i) (2-i) D(A) =
1 -i 2 + i
-8 +14Í 25 - 5i
= (1-i) (25-5Í) - (-8+14i) (2+i) = 50 (1-i)
D(A) =
50
2 -i
50(2+i)
4 - i2
= 10(2+i)
f Ejemplo 13 ^ Si A =
0 x y 0
x 1 0 y
y 0 1 x
0 x y 1 J
, calcular D(A)
Solución . Tomando la cuarta columna como línea pivot, efectuamos las opera
ciones elementales : -x C4+ C2 y -y C4 + C 3
D(A) =
Desarrollando por los cofactores de la primera fila obtenemos
0 X y 0 0 X y
X 1-xy -y2 X
= ( - i r 4
X 1-xy -y2
y -X2 1-xy X y -X2 1-xy
0 0 0 1
D(A) = -x
x -y2 x 1-xy
y 1-xy
+ y y -x2
= -x (x - x2y + y3) + y (-x3- y + xy2)
D(A) = -(x2 + y2)
Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 4^7
Ejemplo 14 Evaluar el determinante de A =
0 1 1 1
1 b+c a a
1 b c+a b
1 c c a+b
Solución . Tomando la cuarta columna como línea pivot, realizamos las operacio
nes : -C4+ C2 y -C4 + C3
D(A) =
0 0 0 1
1 b+c-a 0 a
1 0 a+c-b b
1 c-a-b c-a-b a+b
Desarrollando por los cofactores de la primera fila obtenemos
D(A) = (-1)’-«
b+c-a 0
0 a+c-b
c-a-b 0
= - (-1)2*3(a+c-b)
b+c-a
c-a-b
D(A) = (a -b + c ) [(c -a -b )-(b + c-a)] = -2b (a - b + c)
Ejemploj D S iA =
1 1 1
a 1 1
1 a 1
1 1 a
,descomponer en factores el D(A).
Solución. Tomando la cuarta columna como línea pivot, efectuamos las opera
ciones : -a C4+ C , , -C4 + C2 , -C4 + C3
D(A) =
Factorizando (1-a) de la primera, segunda y tercera columnas, se tiene :
0 0 0 1
1-a a-1 0 1 1-a a-1 0
=
1-a 0 a-1 1 = (-1)U4 1-a 0 a-1
1-a2 1-a 1-a a 1-a2 1-a 1-a
1 -1 0 1 -1 0
D(A) = -(1-a)3 1 0 -1 F3+ F 2 D(A) = (a-1)3 2+a 1 0
1+a 1 1 1+a 1 1
D(A) = (-1)3*3 (a-1)3
1 -1
2 +a 1
= (a - 1)3 (1+2+a) = (a+3) (a-1):](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-250-320.jpg)
![490 Capítulo 9: Determinantes
Ejemplo 1 9 ] Si A =
r a b c d i
-b a -d c
-c d a -b
-d -c b a
, probar que D(A)= (a2+b2+c2+d2)2
Demostración . Multiplicando por -a, -b, -c y -d, la primera, segunda, tercera y
cuarta filas respectivamente, se tiene :
a2 ab ac ad
D(A) = - - i
abcd
b2 -ab bd -be
c2 -cd -ac be
d2 cd -bd -ad
Fi + (F 2+ F3+ F4)
a2+b2+c2+d2 0 0 0
1 b2 -ab bd -be
abcd c2 -cd -ac be
d2 cd -bd -ad
Desarrollando por los cofactores de la primera fila y factorizando b, c y d del determi
nante resultante obtenemos :
n .A. a2+ b 2+ c 2+ d 2
-a d -c
*
1 -d/a c/a
D ( A ) - -d -a b = (a2+ b2+ c2 + d2) -d -a b
c -b -a c -b -a
Tomando la primera columna como línea pivot, efectuamos las operaciones ele
mentales : (d/a) C, + C2 y (-c/a) C, + C3
D(A) = (a2+ b2+ c2+ d2)
= (a2 + b2+ c2+ d2)
1
-d
0
a2+d2
a
cd-ab
0
cd+ab
a
a2+b2
a
(a2+ d2)(a2+ b2) (cd - ab)(cd + ab)
D(A) = (a2+ b2+ c2 + d2)2
Ejemplo 20 ^ Calcular el determinante D5=
' 1 1 1 1 1 '
1 a a2 a3 a4
1 a2 a4 a6 a8
1 a3 a6 a9 a12
l 1 a4 a8 a'2 a16 >
Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 491
Solución. Efectuando las operaciones F, - F2, F2 - F3, F3 - F4, F4- Fs, se tiene:
De =
0 1-a 1-a2 1-a3 1-a4
0 a-a2 a2-a4 a3-a6 a4-a8
0 a2-a3 a4-a6 a6-a9 a8-a12
0 a3-a4 a6-a8 a9-a’2 a12-a’6
1 a4 a8 a12 a16
1-a 1-a2 1-a3
= (-1)5
a(1-a) a2(1-a2)
1-a4
a3(1-a3) a4(1-a4)
a2(1-a) a4(1-a2) a6(1-a3) a8(1-a4)
a3(1-a) a6(1-a2) a9(1-a3) a12(1-a4)
= a.a2.a3(1-a) (1-a2) (1-a3) (1-a4)
Ds = a6(1-a) (1-a2) (1-a3) (1-a4)
1 1 1 1 f , - f 2
1 a a2 a3 f 2- f 3
1 a2 a4 a6
1 a3 a6 a9
LL
O
LL
0 1-a 1-a2 1-a3
0 a-a2 a2-a4 a3-a6
0 a2-a3 a4-cl6 a6-a9
1 a3 a6 a9
Desarrollando por los cofactores de la primera columna se tiene :
D5 = a6(1-a) (1-a2) (1-a3) (1-a4) (-1)4*'
1-a 1-a2 1-a3
a(1-a) a2(1-a2) a3(1-a3)
a2(1-a) a4(1-a2) a6(1-a3)
= - a • a2• a6(1-a)2(1-a2)2 (1-a3)2 (1-a4)
= -a9(1-a)2 (1-a2)2 (1-a3)2 (1-a4)
1 1 1
1 a a2
1 a4
F, • F2
f ? - f '
0 1-a 1-a2
0a-a2 a2-a4
a2 a"1 =>2
= -a9(1-a)2 (1-a2)2 (1-a3)2(1-a4) (-1)*♦'' 1-a 1-a2
a(1-a) a2(1-a2)
= -a10(1-a)3 (1-a2)2 (1-a3)2 (1-a4)
•*• D5 = a10(1-a)4 (1-a2)3 (1-a3)2(1-a4)
1 1
1 a](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-252-320.jpg)
![498 Capítulo 9: Determinantes
35. 1 1 2 3 36. a b b b 37. 1 0 2 a
1 2-x2 2 3 a b a a 2 0 b 0
2 3 1 5 a b b a 3 c 4 5
2 3 1 9-x2 b a a a d 0 0 0
38. Sea la matriz A =
Sen x Cos y -a Sen x Sen y
Sen x Sen y a Sen x Cos y
Cos y 0
a Cos x Cos y
a Cos x Sen y
-a Sen x
Si D(A) = k Sen x, hallar el valor de k.
39. Sea f(x) =
X 1 0 X
0 X X 1
1 X X 0
X 0 1 X
, hallar a e R tal que f(a) = 0
En los ejercicios 40 al 52, usando propiedades de los determinantes, incluyendo
desarrollos por líneas, demostrar las identidades :
40. Cos((a-b)/2) Sen((a+b)/2) Cos((a+b)/2)
Cos((b-c)/2) Sen((b+c)/2) Cos((b+c)/2)
Cos((c-a)/2) Sen((c+a)/2) Cos((c+a)/2)
(Sugerencia : Expandir con respecto a la primera columna)
= 1/2 [Sen(b-a)+Sen(c-b)+Sen(a-c)]
41.
42.
Sen2a Sena Cosa Cos2a
Sen2b Senb Cosb Cos2b
Sen2c Sene Cose Cos2c
= Sen(a-b) Cosa Cosb + Sen(b-c) Cosb Cose
+ Sen(c-a) Cose Cosa
a2+(1-a2Cos <p) ab(1-Cos<p) ac(1-Cos<p)
ab(1-Cos<p) b2+(1-b2)Cos <p bc(1-Cos(p)
ac(1-Cos<p) bc(1-Cos<p) c2+(1-c2)Cos <p
donde a2+ b2+ c2= 1
= Cos2<p
43. CosaCosp - SenaSenpCos0 -SenaCosp - CosaSenpCos© SenpSenÓ
CosaSenp+SenaCospCosG -Sena.SenP + CosaCospCosG -CospSenB
Sena Sen6 Cosa Cos0 Cos0
= 1
(Sugerencia: Expandir en términos de la primera fila)
44. a b c d
a a+b a+b+c a+b+c+d
- a4
a 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+d
— ex
a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 499
En los ejercicios 45 al 52, calcúlense los determinantes de orden n por el método de
correlaciones recurrentes.
45.
47.
49.
51.
0 1 1 1 46. 2 1 0 0
1 a 0 0 1 2 1 0
1
i
0 a n 0 1 ? 0
• •
2
• • • • • •
• • • • • • • •
1 0 0 3n 0 0 0 2
Cosx 1 0 0 48. 1+a, 1 1 1
1 . 2Cosx 1 0 1 1+a2 1 1
0 1 2Cosx ... 0 0 1 2 0
• • • • • • • •
• • • • • • • •
1 0 0 . .. 2Cosx 1 1 1 ... 1+an
3 2 0 0 50. 7 5 0 0
1 3 2 0 2 7 5 0
0 1 3 n 0 2 7 0
• • • • • • • •
• • • • • • • •
0 0 0 3 1 1 1 7
5 6 0 0 0 ..... 0 0 52. 1 2 0 0 0 .... 0 0
4 5 2 0 0 ..... 0 0 3 4 3 0 0 ... 0 0
0 1 3 2 0 ..... 0 0 0 2 5 3 0 ... 0 0
0 0 1 3 2 ..... 0 0 0 0 2 5 3 ... 0 0
• • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • •
0 0 0 0 0 ..... 3 2 0 0 0 0 0 ... 5 3
0 0 0 0 0 ..... 1 3 0 0 0 0 0 ... 2 5
9.5 ) O T R A S A P L IC A C IO N E S Y P R O P IE D A D E S DE LO S
D E T E R M IN A N T E S
9.5.1 REG LA DE SARRU S.
Un método práctico para calcular determinantes de tercer orden, es la Regla
de Sarrus, que consiste en repetir las dos primeras columnas y escribirlas en el mis
mo orden a continuación de la tercera columna. El determinante se calcula suman
do todos los productos de las componentes que están en las flechas que apuntan](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-256-320.jpg)
![50»
Capítulo 9: Determinantes
hacia la derecha y restándolos todos los productos de los componentes que están
en las flechas que apuntan hacia la izquierda.
i
a.. _a.„
D(A)
'•i
**21
■®31
> ' *
a22 3
V
,a„r ?a
*23
32 '3^
A ' * *
(-) i*) i*)
^ a21 a22
' a3V. ^ a32^ ^
*(+ ) (+) '* ( + >
(7)
D(A) = a„ a22a33+ a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 - a„ a23a32 a i2 3 21 a 33
' 1 2 10'
ejemplo 1 Hallar el determinante de la matriz A = 2 3
,4 5
9
11,
Solución . Disponemos el D(A) como indica el esquema (7):
.2
2
2. „10.
V
✓ X
3 .9
5; S i ;
D(A) = (1)(3)(11) + (2)(9)(4) + (10)(2)(5) - (10)(3)(4) - (1)(9)(5) - (2)(2)(11)
= 33 + 7 2 + 100- 1 2 0 -4 5 -4 4 = -4
ejemplo 2 J Calcular el determinante de la matriz A =
X y x+y
y x+y X
x+y X y
S olución. D(A) =
x „ vl ^ X
y " x+y " ^xc " * V v " "
x+y
"• s N
x+y x * ' ^ y * ' "*x+y X
=> D(A) = xy(x+y) + xy(x+y) + xy(x+y) - (x+y)3- x3- y3
= 3xy(x+y) - [x3+3xy(x+y)+y3] - x3- y3
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 501
f 9.5.2 ) C A LC U LO DE D E T E R M IN A N T E S M E D IA N T E LA
R E D U C C IO N A LA FO R M A E SC A L O N A D A
El cálculo de determinantes de ciertas matrices se puede efectuar
haciendo uso de la matriz escalonada, para lo cual se tiene en consideración la
siguiente propiedad.
PRO PIED AD 5^J Si A es matriz triangular (superior o inferior) de orden n,
entonces el D(A) es igual al producto de las componentes que
pertenecen a la diagonal principal, esto es, si
r a
A =
12 13
0 ^ a23
o 0 a„„
a,n
a2n
a3*
D(A) = an a^ a33... ann= (8)
La idea básica de este método consiste en aplicar operaciones elementa
les en las filas de la matriz original A y transformarla a una matriz B que tenga la
forma escalonada.
Puesto que la forma escalonada de una matriz cuadrada es triangular superior o
inferior, el D(A) = D(B) se puede calcular aplicando la propiedad establecida ante
riormente.
! Ejemplo 3 ^ Calcular el determinante de A =
f 1/2 1/2 1 1/2
-1/2 1/2 0 1/2
2/3 1/3 1/3 0
1/3 1 1/3 0
S olución. Factorizando 1/2 de la primera y segunda filas y 1/3 de la tercera y
cuarta filas, obtenemos:](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-257-320.jpg)
![502 Capítulo 9: Determinantes
D(A) = (1/2) (1/2) (1/3) (1/3)
Aplicando la Propiedad 4c intercambiamos la primera y cuarta columnas:
1 1 2 1
-1 1 0 1
2 1 1 0
1 3 1 0
1 1 2 1 1 1 2 1
1 1 0 -1
Fj-F, = -(1/36)
0 0 -2 -2
D(A) = (1/36) (-1)3
0 1 1 2 0 1 1 2
0 3 1 1 0 3 1 1
Intercambiando la segunda y tercera filas se tiene
.1 1 2 1 1 1 2 1
0 1 1 2 0 1 1 2
D (A) = -1/36 (-1)
0 0 -2 -2
-3F2+F4= (1/36)
0 0 -2 -2
0 3 1 1 0 0 -2 -5
ente, aplicando la operación f 3+ f 4 resulta :
1 1 2 1
0 1 1 2
D(A) = 1/36
0 0 -2 -2
0 0 0 -3
Como el determinante de la matriz A tiene la forma escalonada, aplicamos la
Propiedad 5 :
D(A) = (1/36) (1) (1) (-2) (-3) = 1/6 ■
Ejemplo 4 j Hallar el determinante de A =
1 2 3 n
-1 0 3 n
-1 -2 0 n
• • • •
• • • •
-1 -2 -3 0
Solución . Tomando la primera fila como línea pivot, sumamos ésta a todas las
demás filas, y obtenemos
D(A) =
1 2 3 n
0 2 6 2n
0 0 3 2n
• • • •
• • • •
0 0 0 n
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 503
que resulta ser el determinante de una matriz triangular, por lo que :
D(A) = 1 . 2 . 3 n = n!
! Ejemplo 5 ] Sea A = [a ] una matriz tal que a = { 0 si '
* L 1 si i
Demostrar que D(A) = (n-1) (-1) "-1
Demostración . En efecto, construyamos la matriz según la definición dada
A =
/”
0 1 1
N
1
1 0 1 1
1 1 0 1
• • • •
• • • •
• • • •
^ 1 1 1 0
Si tomamos la última fila como línea pivot y le restamos las otras n-1 filas, resulta
D(A) =
••• D(A) = (-1) (-1) (-1)... (-1) (n-1) = (n-1) (-1 y
-1 0 0 ... .... 1 -1 0 0 .... 1
0 -1 0 ... .... 1
F’+F" ,
0 -1 0 .... 1
0 0 -1 .... 1 F2+Fn 0 0 -1 .... 1
• • • • • • • • •
• • • • • • • • •
• • • • • • • • •
1 1 1 0 F„,+F, 0 0 0 .... n-1
¡ Ejemplo 6 ^ Calcular el determinante D,
1 2 3
1 3 3
1 '2 5
• • •
• • •
2 3
2 3
n-1
n-1
n-1
2n-3 n
n-1 2n-1
Solución . Tomando como línea pivot la primera columna efectuamos:
- 2C, + C2, - 3C,+ C3..........-(n -1 )C ,+ CM ,-nC„](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-258-320.jpg)
![504 Capítulo 9: Determinantes
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 0 2 0 0
D =
• • • • •
• • • • •
• • • • •
1 0 0 n-2 0
1 0 0 0 n-1
.-. D =n
1 . 1 . 2 . 3 (n-3) (n-1) = (n-1)!
X a a a
a X a a
a a X a
Calcular: Dn= • • • •
Solución . Sumando a la primera columna las otras n-1 columnas, se tiene:
x+(n-1)a a a .... a 1 a a a
x+(n-1)a X a .... a 1 X a a
x+(n-1)a a x .... a 1 a X a
• • • • = [x + (n - 1) a] • • • •
• • • • • • • •
• • • • • • • •
x+(n-1)a a a X 1 a a X
D =
Restando la primera fila a todas las demás filas, resulta:
Dn= [x + (n-1) a]
i ejemplo 8 j Calcular : D8=
1 a a a
0 x-a 0 0
0 0 x-a 0
• • • •
• • • •
• • • •
0 0 0 x-a
= [x + (n-1) a] (x - a)n°
a a+h a+2h a+7h
-a a 0 0
0 -a a 0
8= • • • •
• • • •
• • • •
0 0 0 -a a
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 505
Solución . Sumando a la primera columna las otras 7 columnas se tiene
D =
+28h a+h a+2h a+7h
0 a 0 0
0 -a a 0
• • • •
• • • •
• • • •
0 0 0 -a a
Desarrollando por los cofactores de la primera columna obtenemos:
D8= 4(2a + 7h)
a 0 0
-a a 0
0 -a a
0 0 -a
0 0 0 0 ....-a a
Efectuando las operaciones : F, + F2, F2+ F3, ...... . F6+ F7, resulta:
a 0 0 0 • 0
0 a 0 0 0
0 0 a 0 0
Dh= 4(2a + 7h) • • • • •
—
•
0
•
0
• •
0 0 - 2
•
a 7
h 1 0 0 ...
hx h -1 0
hx2 hx h 1
Ejemplo 9 ^ Calcular: Dn<1= • •
• •
•
•
•
•
hx" hxn-1 hx" 2 hxn3
Solución . Efectuando las operaciones con las columnnas
■xCj+C,, -xC3+C2, ..... * ÍWl n, se tiene :
h+x -1 0 0 0
0 h+x -1 0 0
0 0 h+x 0 0
Dn.,= • • • • •
• • • h+x •
0 0 0 0 h
Luego, por la Propiedad 5, se sigue : Dn<1 = h (h+x)n
= 4 (2a + 7h) a7](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-259-320.jpg)
![508 Capítulo 9: Determinantes
Por la propiedad (5): D(A) = (1 - zco")"*1 (1)
Dado que, ton= [Cos(2rc/n) + i Sen(2n/n)]n= Cos 2n + i Sen 2n = 1 y 4k = n-1,
entonces en (1): D(A) = (1-z)4k = (1 - Cos a - i Sen a)4k
= [2 Sen2(a/2) - 2i Sen (a/2) Cos (a/2)]4k
= [-2¡ Sen a/2 (Cos a/2 + i Sen a/2)]4k
= (-2)4k i4kSen4ka/2 (Cos 2k a + i Sen 2k a)
Siendo i4k= 1 => Re( IA I) = 16KSen4k (a/2) Cos 2k a .
EJERCICIOS . Grupo 51
En los ejercicos 1 al 6, calcular los determinantes aplicando la Regla de Sarrus
1. 8 2 -1 2. 4 2 -1 3. 1 1 1
-3 4 -6 5 3 -2 4 5 9
1 7 2 3 2 -1 16 25 81
4. 4 -3 5 5. 1 5 25 6. 3 4 -5
3 -2 8 1 7 49 8 7 -2
1 -7 -5 1 8 64 2 -1 8
En los ejercicios 7 al 12, calcúlese los determinantes de las matrices, reduciendo
primero cada matriz a una matriz triangular superior.
7.
f
2 0 -1
3l
1 8.
f
-1 2 1
s
2 9.
t
4 6 8
"N
-6
0 1 0 1 1 2 4 1 0 -3 0 -1
0 1 1 0 2 0 -1 3 3 3 -4 -2
k1 0 1 - 0 [ 3 2 -1 0 -2 3 4 -2 J
10.
/*
1 4 -3 1 11.
s
1 1 1 1 12.
f
2 3 -3
N
4
2 0 6 3 1 -1 2 2 2 1 -1 2
4 -1 2 5 1 1 -1 3 6 2 1 0
1 0 2 4 1 1 1 -1
J
2 3 0 -5
J
En los ejercicios 13 al 36; calcular los determinantes de n-ésimo orden por reduc
ción a la forma triangular.
EJERCICIOS: Grupo 51 509
3 2 2 ..... 2 14. 1 2 2 .... ... 2
2 3 2 ..... 2 2 2 2 ........ 2
2 2 3 ..... 2 - ' 2 2 3 ........ 2
• • • • • • • •
• • • • • • • •
• • • • • • • •
2 2 2 3 2 2 2 .... n
X a a ..... a a 16. 0 1 1 ... ... 1
-a X a .... a a 1 a, 0 ... ... 0
-a -a z .... a a 1 0 a2 ... .. . 0
• • • • • • • • •
• • • • • • • • •
• • • • • • • • •
-a -a -a -a X 1 0 0 an
1 a, a2 .. an 18. 1 x, x2 ... -• Xn-1 Xn
1 a,+b, a2 .. an 1 X x2 ...» ” Xn-1 Xn
1 a , a 2+ b 2 " an 1 x , X x ,n-1 Xn
• • • • • • • • •
• • • • • • • • •
• • • • 1 x . x2 ... X Xn
1 a , a 2 • a +bn n 1 x, X, .. xn-1 X
a a+h a+2h a+(n-1)h 20. 1 2 3 4 n
-a a 0 0 2 1 2 3 n-1
0 -a a 0 3 2 1 2 n-2
• • • • 4 3 2 1 n-3
• • • • • • • •
• • • • • • • •
0 0 0 a n n-1 n-2 n-3 1
n n-1 n -2 3 2 1 22. 0 1 1 1 1
-1 X 0 0 0 0 1 0 X X X
0 -1 X .... 0 0 0 1 X 0 .. X X
• • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • •
0 0 0 -1 0 0 1 X X 0 X
0 0 0 0 -1 X 1 X X X 0](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-261-320.jpg)
![r-
514 Capítulo 9: Determinantes
Por simple inspección, dos submatrices cuadradas de A son
1 1
N
1 ^ X2 X3 X ,
X = x, X2 X3 , Z = x 22
X 2 X 2* 3 * ,
x 2
L i V X 23 > 1
s
1 1
D(X) =
0 0
x2-x, x3-x,
Xa2-*,2 x 32- x , 2
= ( V xi) ( v x,)
= (x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)
Si intercambiamos filas en el determinante de Z, obtenemos el determinante de X,
por lo que:
D(A) = D(X) • D(Z) = (Xg - x,)2(x3- x,)2(x3- x2)2 ■
'1 + a 1 1 1 '
C M 1 1-a 1 1
Ejemplo 4 J Calcular el determinante de A =
1 1 1+b 1
1 1 1 1-b
y
Solución . Efectuando las operaciones F, - F2 y F3- F4, se tiene:
a a 0 0 1 1 0 0
1 1-a 1 1 1 1-a 1 1
D(A) =
0 0 b b
= a b
0 0 1 1
1 1 1 1-b 1 1 1 1-b
F4-F, D(A) = ab
1 1 0 0
1 1-a 1 1
0 0 1 1
0 0 1 1-b
Por la Propiedad 7, se sigue que :
D(A) = ab
1 1
1 1-a
1 1
1 1-b
= ab(1 - a - 1) (1 - b -1 ) = a2b2
P R O P I E D A D 8 ] D E T E R M IN A N TE DE UNA T R A N S P U E S T A
entonces:
Si A es una matriz cuadrada de orden n y A' es su transpuesta,
D(A) = D(A')
EJERCICIOS: Grupo 52 515
En efecto, escribiendo la matriz A como producto de matrices elementales E(, se
tiene:
Por la Propoiedad 6 :
E' E' E'3 *—2 *—1
A = E ,E 2 E3
A' = E’m.......
D(A) = D (E,).D(E2) ....... D (E J y
D(A') = D(E>J....... D(E2‘) . D(E,<)
= D (E,).D (E2) ............D (E J
D(A') = D(A)
Ejemplo 5 ] Si A =
a b c d
-b a d -c
-c -d a b
-d c -b a
, calcular el determinante de A.
Solución . Efectuando el producto A1 A se tiene:
A’A =
a -b -c -d
b a -d c
c d a -b
I, d -c b a ,
a b c d
-b a d -c
-c -d a b
, -d c -b a )
donde X = a2+ b 2+ c 2+ d 2
=> D (A1A) = D(A') • D(A) = X 4
Pero, por la Propiedad 8 : D(A') = D(A) => [D(A)]2 = X*
D(A) = ( a2+ b2+ c2+ d2) 2
EJERCICIOS. Grupo 52
X 0 0 0
0 X 0 0
0 0 X 0
0 0 0 X
En los ejercicios 1 al 3, para las matrices A y B, compruébese Propiedad 6 :
D(AB) = D(A) . D(B)
1. A =
1 2 3 4 -1 -9 -2 3 a b c d
-1 0 -3 -8 -5 5 3 -2 b a d c
2. A = 3. A =
-1 1 0 -13 -12 -6 1 1 c d a b
2 3 5 15 9 0 -2 1 d c b a](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-264-320.jpg)
![518 Capítulo 9: Determinantes
Ejemplo 2 ] Hallar x de modo que el rango de la matriz A =
sea menor que 4.
r 1 2 3 x"i
2 3 4 5
3 x 5 6
-2 3 x -5
Solución. Por definición, si p(A) < 4 => D(A) = 0, luego, calculamos el determi
nante de A efectuando las operaciones: -2C, + C 2, -3C, + C3.
D(A) =
1 0 0 x
2 - 1 - 2 5
3 x-6 -4 6
-2 7x+6 -5
*
-1 -2 5 2 -1 -2
= x -6 -4 6 - X 3 x -6 -4
7 x + 6 -5 -2 7 x + 6
-1 0 0 0 -1 0
= x-6 8-2x 5x-24 - X 2x-9 x-6 8-2x
7 x-8 30 12 7 x-8
8-2x 5x-24 2x-9 8-2x
x-8 30
- X
12 x-8
de donde obtenemos: D(A) = -2x3+ 6x2 + 20x - 48
Si D(A) = 0 => x3 - 3x2- 10x + 24 = 0 *=> (x+3) (x-2) (x-4) = 0
« x = -3, x = 2, x = 4
í Ejemplo 3 ) Hallar para qué valores de t el rango de la matriz
3t 1 2 t+1 a) Es igual a 3
A = 5t 5 5 2t b) No es igual a 3
. 7t 2 3 3t ,
S olución. Como la matriz A es de orden 3 x 4 , existe C 34 C33 = 4 menores de
orden 3 que se pueden obtener de dicha matriz. Estos son:
3t 1 2 3t 2 t+1
5t 5 5 = -15t 5t 5 2t
7t 2 3 7t 3 3t
3t 1 t+1 1 2 t+1
5t 5 2t = t (7t-25) 5 5 2t
7t 2 3t 2 3 3t
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 519
Podemos observar que para t= 0, los tres primeros determinantes son nulos, pero el
cuarto determinante tiene un valor M3= 5 * 0. Por lo que:
a) p (A) = 3, V t e R , b) f¡ t e R, tal que p (A) < 3
Sea la matriz A =[a 1de orden n, donde a = {
"■ 11 1 x si i = j
Hallar los valores de x de modo que 1 < p(A) < n
Solución . Según definición dada, construimos la matriz
r X 1 1 1 1 '
1 X 1 1 1
1 1 X 1 1
• • • • •
• • • • •
• • • • •
1 1 1 .... X 1
1
V
1 1 1 X
Calculemos el determinante de A sumando las n-1 filas a la primera para obtener
x+(n-1) x+(n-1) x+(n-1) .... x+(n-1)
1 X 1 1 1
1 1 X 1 1
• • • •
1 1 1 X 1
1 1 1 1 X
1 1 1 .... 1 1 1 0 0 . . . . 0 0
1 X 1 .... 1 1 1 x-1 0 . . . . 0 0
1 1 X .... 1 1 1 0 x-1 . . . . 0 0
1)
• • •
•
•
•
•
•
= (x+n-1)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
1 1
•
1
•
.... X
•
1
•
1
•
0
•
0
•
.... x-1
•
0
1 1 1 .... 1 X 1 0 0 . . . . 0 x-1
Ejemplo 4 j
=> D(A) = (x + n - 1) (x - I ) " - 1](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-266-320.jpg)
![522 Capítulo 9: Determinantes
12. Sea la matriz A =
( 2 x x x
x 3 x x
x x 4 x
x x x x
Hallar x de modo que el rango de la matriz sea : a) máximo , b) mínimo
3 0 6 3x
13. Hallar el rango de la matriz A, V x e R, si A = X 2 2(x+1) 0
k -2 4 0 2x-2x2,
f
1 X 0 -1 2 3 '
14. Determine el rango de la matriz A = 2 *1 0 X 5 7 para
l 1 0 0 -6 1 2 „
diferentes valores de x.
15. Para qué valores de x el rango de la matriz a toma un valor
a)máximo, b) mínimo, s i :
A =
1 X -1 2
2 -1 X 5
1 1 0 -6 1
1 0 0 0
TEO REM A 9.1 Una matriz cuadrada es inversible si y sólo si su deter
minante es diferente de cero
Demostración.
(=>) Primero demostraremos que si una matriz A es inversible => D(A) * 0
En efecto, supongamos que A es inversible, esto es : A A ' = I
=> D(AA ’) = D (I)
=> D (A ). D(A ') = 1 (Propiedad 6)
Por lo tanto, D(A) * 0
(<=) Demostraremos que si D(A) *o, entonces A es inversible.
En efecto, supongamos que D(A) * 0
Probaremos que A es equivalente por filas a I (es inversible).
Recordemos que si B = A, existe una sucesión finita E,, E2, E3, ....... Emde
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 523
matrices elementales tales que:
A = E, E2 E3 ......... E m B
Por lo que : D(A) = D (E,). D(E2) . D (E J...........D (E J . D(B)
De la hipótesis, D(A) * 0, se sigue que D(B) * 0 y si D(B) * 0 si y sólo
si B es inversible. Puesto que A es inversible si y sólo si B lo es, por tanto,
se ha demostrado el teorema.
Corolario Si A es inversible, entonces : D(A'1) = — -—
D(A)
9.5.5 ) DA JU N T A DE U N A M A T R IZ
Si A= [ai(] es una matriz de orden n, sea
c,= W D(A)
el cofactor i, j de A, entonces la matriz C = [c] se llama matriz de cofactores de A. Es
decir
c = [<g =
c C „ c
r
r A A , A I11 12 in 11 12 1n
c n c A A , A21 22 2n 21 22 2n
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
c c „ c A A Av. ni n2 nn ^ ni n2 nn J
La transpuesta C’de la matriz de cofactores de A se llama Adjunta de A.
Esta matriz se denota por adj(A), y si A = [cj, entonces
adj(A) = (-1 )u| D(A„) (9)
Propiedades . Si A, B, I son matrices no nulas, de orden n, y r es un escalar,
entonces
AD.1 : adj (In) = !n
AD.2 : adj(A') = (adj(A)]’
AD.3 : adj(A") = (adj(A)]"
AD.4 : adj(AB) = [adj(B)] [adj(A)]
A D .5 : adj (rA) = r"’1adj (A)
A D .6 : 1adj (A) I = I A I - 1
A D .7 : adj(A ') = [adj(A)]1=
_A _
IAI](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-268-320.jpg)
![528 Capitulo 9: Determinantes
1
CJ
7 6~
co
<l
O)
oo
D(A) = B => D
Multiplicando (2) por A° (derecha de B), obtenemos:
D
2 - 1 1 3 1 7 6 1_ 3 1
co
CVJ1
4
ci
CVJ
co
00
4
OJ
CVJ
, de donde : D = —
4
! Ejemplo 6 ^ Resolver el sistema: X +
Solución
X +
Restando (1) - (2) obtenemos :
2 -1
Y =
3 2
3 4 5 -1
1 -4
Y =
2 -1 '
, 2 3 4 4
' 1 3 '
Y =
’ 1 3 ’
1 1 1 -5
Sea A =
(2)
11 19
43 25.
(1)
(2)
(3)
Multiplicando la ecuación (3) por A 1(izquierda de A), se tiene:
IY = — —
2 í 1 ' 1
' 1 3
=> Y =
1 -9 '
.-1 1 J , 1 -5, .0 4 ,
, en (1): X =
1 24
2 10 J
ejemplo 7 ^ Dada la matriz A =
a) Determinar X tal que D(A - XI) = 0
b) Hallar la matriz X de orden 2 x 1 tal que AX = XX
c) Hallar B siendo B = [X, X2] y X es la matriz de la parte (b).
S olución.
1 ? í > n 1.1 9
D(A - X I) = X2- 3X
>
II
’ 1 2 X 0
ii
' 1-X 2 '
CVJ
. 0 X, . 1 2-X,
Si D(A) = 0
b) A X = X, X
X (X - 3) = 0 ^ X, = 0 ó X2= 3
= 0
de donde: x = -2y => X, =
x
y ,
*2y
y
x + 2y
x + 2y
= y
-2
1
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 529
AX = X2X
' 1 2 ' X X x + 2 y '
í 3 x l= >
1 2 y
= 3
y
=>
x + 2 y
l 3 * )
de donde obtenemos : x + 2y = 3 x = *x = y = > X : = = y
c) B = [X, X2] = y
-2 1
1 1
B 1 =
D(B) = y(-2 -1) = *3y
y
3y
1 -1' 1 ’ -1 1 '
-1 -2t 3 1 2
Ejemplo Sea P = Sen ° C°S 9 ] .Considerar que P = NAN donde
1 J Cos20 Sen20 J
í 0, si i
i) A = [aj, de segundo orden, tal que: ait= j . g. ._ .
con Xt, X2 raíces de la ecuación D (X I - P) = 0
¡i) N es una matriz de segundo orden, cuyas columnas llamadas Cj *
cumplen la ecuaión matricial: PC ,= X (C j = 1, 2
a) Hallar Pk, K e Z *
b) Demostrar que Tr (P2k) = 1 + Cos2k20
c) Hallar P6(n/8)
Solución .
i) Por la definición dada: A =
X I - P =
X, 0
0 X,
r X 0 ' ’Sen20 Cos20 r X-Sen20 -Cos20 '
0 X Cos20 Sen20 -Cos20 X-Sen20
y
Si D (X I * P) = 0 => (X - Sen20)2- Cos40 = 0
de donde:
X2-2 X Sen20 + Sen40 - Cos40 = 0=>X = Sen20 ±V Sen40 + Cos40 - Sen40
1 0
=> X = Sen20 ± Cos20 <=> X. = 1 ó X = -Cos20 => A =
2 0 -Cos20](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-271-320.jpg)
![530 Capítulo 9: Determinantes
ii) Sea N =
a c
b d
Si PC, = X, C, =>
cuyas columnas C *
Sen20 Cos20 1 a
Cos20 Sen20 b
= 1
a
= a
1 '
, a k 1 ,
de donde : a Sen20 + b Cos20 = a => bCos2 0 = a (1 - Sen2 0) <=> b = a
a Cos2 0 + b Sen20 = b => aCos2 0 = b (1 - Sen20) «=> a = b
Luego, C, =
Si PC2= C2
c Sen2 0 + d Cos20 = -c Cos2 0 = c Sen2 0 - c Cos20 => d = -c <=> c = -d
c Cos20 + d Sen20 = -d Cos2 0 = d Sen2 0 - d Cos2 0 =* c = -d
Sen20 Cos2 0 c
= -Cos2 0
c
kCos20 Sen2 0 y . b , . d,
-d' -1
f
1 -1 K,1 1
✓
1 1
Luego, C2=
, d
= d
1
. Por lo que: N =
1 1
=> N'1= —-
2 -1 1,
a) Si P = N A N'1 P2 = (N A N ’) (N A N°) = (N A) (N'1N) (A N 1)
= N A(I) AN -’ = N A2 N-1
P3 = P P2 = (N A N-’)(N A 2N ’) = N A ÍN '1N) A2 N’1
= NA (I) A2 N’1= N A 3 N '1
Por simple inspección : Pk= N Ak N°
Ahora: A2= A A =
A3= A A2=
(1)
1 0
f >
1 0 1 0
0 -Cos20 _ 0 -Cos20, k 0 Cos220 y
' 1 0 ' 1 0 ' 1 0 '
0 -Cos20
0 Cos220
k 4
0 -Cos320
Por simple inspección: Ak=
1 0
0 (-1)kCosk20
Luego, en (1): P k = —
1 1
' 1 0 ' 1 r
0 (-1)k Cosk20 -1 1
(-1)k*' Cosk20
(-I)“*1 Cosk20
1 1
-1 1
EJERCICIOS: Grupo 54 531
de donde obtenemos : Pk = —
2
1+(-1)k Cosk20 1-(-1)kCosk20
1-(-1)kCosk20 1+(-1)k Cosk20
b) P2k=
1+(-1 )2k Cos2k20 1-(-1 p C o s2^
Cos2k20 l+ í- lp Cos2k20
Tr (P2k) = 1/2 [1+(-1 )* Cos2k20 + 1+(-1 )a Cos2k 20] = 1+(-1 )2k Cos2k20
Tr (P2k) = 1 + Cos2k20
c) P6 (rt/8) =
1 1+Cos6(n/4) 1-Cos6(ti/4) ' 9/8 7/8 '
2 1-Cos6(ti/4) 1+Cos6(n/4) 2 7/8 9/8
P6(rc/8) = —
16
9 7
7 9
EJERCICIO S. Grupo 54
1. Si B es el adjunto clásico de la matriz A =
hallar el valor de la suma S = B^ + B23+ B
2. Si B es el adjunto clásico de la matriz A =
B„ + B„,
2 2 3
0 -2 0
-1 1 -2
-3 0 2
1 3 2
0 1 -2
-1 4 3
2 -1 1
hallar el valor de E =
* B31
3. Sea A =[a1(] una matriz de orden n, tal que D(A) = 0. Demostrar que A •adj(A) = 0.
4. Dada la matriz A =
1 -2
-2 -2
5. Sea la matriz A =
1 1
2 3
, hallar A
, si AX = A', hallar 2/3 X*
6. Hallar la suma de los menores valores que pueda tomar x, si se sabe que la
~ 2Cotg x -Cosx ~
Cosec x Senx
matriz A = no es inversible.
7. Si ABXC = D, donde A, B, C, D, y X son matrices cuadradas del mismo orden,
despejar la matriz X.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-272-320.jpg)
![532 Capitulo 9: Determinantes
8. Dadas las matrices A =
resolver las ecuaciones :
3 Ì R -
l j ’ B -
a) A X B = C
01
2 '
<
G
II
1
CJ
b) B X C = A
1 2 -1 3 3 5 '
9. Resolver el sistema :
, 3 4
X +
-2 1 .
Y =
5 9
1 0 3 - 4 Y = 0 - 2
0 1
X +
2 9 6 4
2 1 6 3
10. Resolver el sistema : 2 X +
3 -1
Y =
k 2 7,
5 1
1 -3
X + 3 Y =
En los ejercicios del 11 al 18
11. X =
3
15
resolver las ecuaciones matriciales
12.
3 -2 -1 2
5 -4. . *5 6,
3 4 ' 2 4 -1 4 3
-1 1
5 6 14 16
13. X
,-2 -4 >
— -1 0 k 2 -1 ,
14.
5 -2,
y
X t 7 8 9 1 0 ,
4 -7 4 2 -12 10 2 1 v -3 2 -2 4
15.
. 3 -6.
X
, 2 -1 = -18 9,
16.
3 2
X
. 5 -3 , 3 -1,
2 5 9
2
-3 -1 3
3
1 v -5 4
17.
1 3
X —
, 4 -3 2 -3
18.
. 2 1. 2 3
A
, 3 -22.
2 5 3 1 0 2 4 5 1
3 1 2 . B = 2 - 1 3 y c = -3 -6 3
, 1 2 1 J , 0 2 3 , . 5 4-14 ,
19. Si A =
E = adj (A) - adj (B) -C‘.
20. Sea la matriz A =
;hallar la matriz
a) Hallar el polinomio P(x) = IA - x II, x e R ,I: matriz identidad
b) Resolver la ecuación P(x) = 0
c) Con las raices x,, x^, hallados en b), determinar las matrices B y C de orden
2x1, tales que: AB = x, B , AC = x2C
21. Determinar la matriz A, triangular superior que satisface:
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 533
A' BA =
1/4 3/2
3/2 13
B'
siendo B una matriz simétrica, inversible, tal que AB = BA
f 1 2 l
22. Si A = ^ ^J , determinar la matriz X en la ecuación (AX!+ A ’)’= 3 A - 1
r ‘ 1 ‘ ------------------------- — ---------
TEOREM A 9.3 Inversa de una matriz cuadrada de orden n
Si A ese uan matriz inversible. entonces
A ’ = — —-• adj(A)
Demostración . En efecto, en el Ejemplo 1 de la Sección 9.5.5 , habíamos demos
trado que
A • adj(A) = IAI • I
Dado que A es inversible, IAI * 0, entonces esta ecuación se puede escribir
IAI
adj (A) = I
Si multiplicamos ambos mienbros de esta igualdad por A -1 obtenemos
/
A ’A
IAI
adj(A) = A 1I => I adj (A) = A-1 I
A 1=
' 1 '
IAI /
adj(A) (11)
TEOREM A 9.4 Propiedades de la inversa de una matriz cuadrada
Sean A, B e K n, matrices inversibles, esto es, D(A) * 0,
D (B )*0 y re R. un escalar, entonces se cumple:
1.1: AA-’ = A ’A = I 1.5: (rA)-’ = r 1 A 1
1.2:
>
11
>
1.6: (In)’1= In
1.3: (A B)1= B ' A’1 1.7: (A")-1= (A ’)"
1.4: (A-)> = (A*’)' 1.8: adj(A ’) = [adj(A)] •](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-273-320.jpg)
![534 Capítulo 9: Determinantes
La demostración del teorema queda a cargo del lector
IN ota. Si B = [tg = A’’ => b = _^i_ .siendo A, = (-1)^' M,,
r 3 4 5
Ejemplo 1 Calcular la inversa de la matriz A = 2 3 1
l 3 5 -1 .
Solución . En primer lugar calculamos el determinante de A, desarrollando por los
cofactores de la primera fila:
D(A) = 3 (-3 -5) - 4 (-2-3) + 5 (10 -9) = 1 * 0 => BA'1
Enseguida, calculamos la adjunta de A
adj(A) =
1
-1
5
-1
5
1
-8 5 1
29 -18 -3
-11 7 1
Luego, haciendo uso de la fórmula (11): A-’ =
-8
5
V. 1
29 -11
-18 7
-3 1J
f _ ' 1 2
X
3
Ejemplo 2 Sea la matriz A = 1 3 4 . Si AX = A', hallar 2X'
'
1 4 3
Solución. El determinante de A, por los cofactores de la primera fila, es:
D(A) = 1 (9 - 16) - 2 (3 - 4) + 3 (4 - 3) = -2
adj(A) =
3 4 1 4 1 3 I
+
4 3 1 3
+
1 4
-7 1 1 '
2 3
+
1 3 1 2 = 6 0 -2
4 3 1 3 1 4
-1 -1 1 /
2 3 1 3 1 2
+
3 4 1 4
+
1 3
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 535
Ahora, por la fórmula (11), se tiene que : A;1 = - —
Si AX = A' => X = A 1A’ => X = -
6 -11
0 -1
-2 1
-7 6 - r 1 1 r
o
' 2 7 14'
1 0 -1 2 3 4 -2 -3 -2
, 1 -2 1 , ,3 4 3. , 0 -1 -4.
2 X’=
-2 2
-7 3
■14 2
r
1 a+b 0
Ejemplo 3 ] Si A = 2 5 a
wb X 3 ,
es una matriz simétrica, hallar A'1.
Solución. Dado que A = A'
1 a+b 0
2 5 a
b x 3
1 2 b
a+b 5 x
0 a 3
f b = 0
<=>< a+b = 2 = *a = 2
I x = a=>x = 2
D(A) =
1 2
2 5
0 2
= 1 (15 - 4) - 2 (6 - 0) = -1
adj(A) =
11
-6
4
-6
3
-2
4
-2
1
' 11 -6
>
4 -11 6
-4
A-’ = -1 -6 3 -2 = 6 -3 2
l 4 -2 1 l -4 2 -1J
[ Ejemplo 4 j Hallar, si existe, la inversa de A =
2 1 0 0
3 2 0 0
1 1 3 4
2 -1 2 3
Solución . La matriz tiene la forma : A =
X 0
Y Z](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-274-320.jpg)
![536 Capítulo 9: Determinantes
=> D(A) = D(X) • D(Z) =
Los elementos de la matriz de cofactores son:
2 1 3 4
3 2 2 3
= (1) (1) =1
A„ = 2
A * = -1
a 31 = o
a 41 = o
A ’ =
A ,2= -3
A22= 2
a 32= o
A,3= 31
A23= -19
A 33= 3
A. =-23
A24= 1 4
A34 = '2
A« s= 0 1
■'í
II
5
<
- A .
_
. A I 3dj(A) =
r
2 -3 31 -23 ' i /■
2 -1 0
''v
0
-1
0
2
0
-19
3
14
-2 =
-3
31
2
-19
0
3
0
-4
l o 0 -4 3 . l -23 14 -2 3 >
i Ejemplo 5 ) Dadas las matrices A. B € K", tales que IAI * 0 y IBI * 0,
demostrar que :
a) adj (AB) = adj (B) •adj(A)
b) adj (A 1) = [adj (A)]-'
c) ladj [adj(A)] I = IAI<"-’>2
Dem ostración.
a) En efecto, por definición de matriz inversa : adj (A) = IAI A'1
=> adj(AB) = IABI (AB)-1
= IAI IBI (B 1A-’) (Teor.9.4: 1.3)
Como IAI y IBI son escalares, podemos escribir
adj (AB) = (IBI B 1) (IAI A 1) = adj (B) • adj (A)
b) En efecto, por definición : adj (A 1) = IA M (A 1) 1
= IAI'1(A 1)“1
= [ IAI(A 1) ]•’ (Teor. 9.4: 1.5)
= [ adj (A) ] ’
c) Efectivamente, si adj(A) = IAI A -1 => adj [adj (A)] =ladj (A)l [adj (A)]1
y por las propiedades AD .6 y AD.7 de la matrizadjunta setiene :
adj [adj (A)] = IAI"0 adj (A 1) = IAI"-1
IAI
= IAI"* A
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 537
Luego, tomando determinantes en ambos mienbros se tiene:
I adj [adj (A)] I = I IAI" 2A I
= (IAIn'2)nIAI = IAIn(n2)IAI = IAI(f"1)2
Ejemplo 6 ) Si A es una matriz de orden n tal que IAI * 0, A3 = -A,
X g { 0 }, demostrar que: X"-1adj (X A4) = I
Demostración . Si A3= -A => A3A = -A A
=> A4= -A2
Como IAI * 0, la matriz A es inversible, por lo que:
A 3A '1= -A A-’ => A2 A A’1 = -I
=* A2 = -I
De (1) y (2), se sigue que: A4 = I
=> adj (X A4) = adj(X I) = IX II (X I) 1
= Xn(X-’ I*1) = X"-’I
/. X1"1adj(X A 4) = X1-" (X"-1!) = I
(1)
(2)
Ejemplo J J Si A -
2 3 11
1 5 1
5 1 1
, hallar la suma de los elementos de
la tercera fila de su inversa.
Solución . El determinante de A por los cofactores de la primera fila es
D(A) = 2(5 - 1) - 3(1 - 5) + 1(1 - 25) = -4
Si B es la inversa de A, entonces
S - b 31 + b 32 + b 33 =
A,3— 13 +
IAI
A«
IAI
+ A33
IAI
-24 -13 7
-4
1
4
r 1 3 3
1
k 1
4
3
3
4
-24+ 13 + 7
-4
= 1
a) La traza de A 1
, hallar :
b) La matriz A. E s A única?
Solución . a) Por definición : adj (A) = IAI A 1](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-275-320.jpg)
![538 Capítulo 9: Determinantes
Tomando determinantes a ambos extremos se tiene
ladj (A)l = IIAl A 'l = lAPIAM = IAI2 (i)
4 3
3 4
= ( 4 t ) i1 (i6 -g) - 3 <4-3) + 3 <3-4)i =64
Luego, en (1): IAI2= 1/64 => IAI = ± 1/8 => A 1 = ± 2
1 3 3
1 4 3
1 3 4
.-. Tr(A’) = ± 2 (1 + 4 +4) = ±18
b) Para determinar la matriz A, aplicamos la propiedad
1 N
(A 1)-1= A A =
lA ’lJ
adj(A ') = I A I adj (A 1)
Calculando la adj(A ') obtenemos finalmente
A - * F <4)
Existe dos soluciones, por tanto A no es única
f 9.5.7 ) M A T R IC E S NO S IN G U L A R E S
' 7 -3
*N
-3
1
= ± o
7 -3 -3 "
-1 1 0 -1 1 0
1-1 0 1
d.
I 1 0 1 ✓
Se dice que una matriz A es no singular si y sólo si el D(A) * 0, es
decir, si admite una inversa.
Se dice que una matriz cuadrada A es singular si y sólo si el D(A) = 0, o en su
defecto, si no admite una inversa.
Ejemplo 9 ^ Si A = , hallar los valores de x de2 Sen 2x 3
Cos 2x Sen 2x
------------------- V
modo que A sea singular.
Solución . Para que A sea una matriz singular se debe cumplir que D(A) = 0
=* D (A) = 2 Sen 2x 3 = 2 Sen22x - 3 Cos 2x = 0
y ' Cos 2x Sen 2x
de donde obtenemos: 2 Cos22x - Cos 2x - 2 = 0 <=> Cos 2x = 1/2 ó Cos 2x = -2
Para la segunda alternativa no existe solución, luego, si
Cos 2x = 1/2 » 2x = 2 k n ± n/3 <=> x = k n ± n/6. k e N
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 539
' 7 23 25 ' 1 3 3 '
Ejemplo 10 j Sesn las matrices AB = 5 16 16 y b = i 4 3
V J
a-1 4a-3 3a-6 . i 3 4,
Si A es una matriz singular, hallar el valor de a
Solución . Sea A =[a ] una matriz singular de tercer orden, tal que D(A) = 0
a,, a2
^ 331 33
3 3 7 23 25
4 3 = 5 16 16
3 4j * fl-1 4a-3 3a-6,
Del producto escalar de la primera fila de A por las columnas de B, obtenemos:
a,
33,
33,
Efectuando transformaciones elementales en la matriz aumentada del sistema, se
tiene :
+ ai2 + ai3 = 7
+ 4a,2 + 3ai3 = 23
+ 3a,2 + 4ai3 = 25
1 1 1
N
7 *3F +F r 1 1 1
N
7 " 1 0 1
5
3 4 3 23
i ¿
-3F.+F,
0 1 0 2 *F 2+ F ,
0 1 0 2
.3 3 4 25. , 3
. 0 0 1 4,
o
o
4,
✓
1 0 0
>
1
an = 1
-f 3+f . 0 1 0 2 = > a i2 = 2
, 0 0 1 4 > • a,3= 4
Del producto escalar de la segunda fila de A por las columnas de B, resulta:
3a„ + 4a,
3a„. + 3a,
+ *>3 = 5
+ 33,3 = 16
- 43,3 = 16
Efectuando opersciones elementsles en Is mstriz sumentsds del sistems, se tiene
s
1 1 1 5 -3F,+F2
f
1 1 1
N
5 ' 1 1 0
4
3 4 3 16
1 ¿
-3F,+F,
0 1 0 1 -F3+F, 0 1 0 1
<3 3 4 16. 1 3 .0 0 1 1,
o
o
1 >
s
1 0 0
>
3 a2 ,= 3
-F2+F1, 0 1 0 1 a22=1
,0 0 1 1> L a23=1
Finslmente, del producto escslsr de Is tercers fils A por Iss columnss de B, obte
nemos:](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-276-320.jpg)
![540 Capitulo 9: Determinantes
®31 + ^32
3a„ + 4a,,
3a, 3a,
+ a3
+ 3a3
+ 4a,
a - 1
Aa - 3
3a - 6
La matriz aumentada del sistema es
' 1 1 1 a-1 -3 F,+ F, 1 1 1 a-1
/*
1 0 1
-1
3 4 3 4a-3 ---- !— i
-3F +F_
0 1 0 a
-■ VF ,.
0 1 0 a
. 3 3 4 3a-6 , 1 3 ,0 0 1 -3 . , 0 0 1 -3 ,
1 0 0 2 ' [
0 1 0 a =>
.0 0 1 ■3 , !
a3, = 2
= -3
r
1 2 4
Luego, A = 3 1 1 => D(A) = 1(-3-a) -2 (-9-2) + 4(3a-2) = 11a + 11
1 2 a -3 ,
= 0 = > 1 1 a + 1 1 = 0 <=> a = -1
X b 1 1 Ì
b X 1 1
Dada la matriz A =
1 1 X b
, 1 1 b x -
, determinar los valores
de x tales que la matriz A sea no singular.
Solución . Para que A sea una matriz no singular es necesario que el D(A) * 0.
Calculamos el D(A) sumando las últimas filas a la primera
x+b+2 x+b+2 x+b+2 x+b+2
D(A) =
b X 1 1
1 1 X b
1 1 b X
1 0 0 0
(x+b+2)
b x-b 1-b 1-b
= 1 0 x-1 1-b
1 0 b-1 x-1
= (x+b+2) (x-b)
CTX
xcr
11
(x +
1 1 1 1
b x 1 1
= (x+b+2)
1 1 X b
1 1 b X
x-b 1-b 1-b
= (x+b+2) 0 x-1 b-1
0 b-1 x-1
-c,+c2
-c,+c3
-c,+c.
1) [(X -1 )2 - (b - 1)2]
= (x + b + 2) (x - b) (x - b) (x + b - 2)
En consecuencia, si D(A) * 0 => x * - ( b + 2), x * b , x * 2 - b
EJERCICIOS: Grupo 55 541
EJERCICIOS . Grupo 55
En los ejercicios del 1 al 12, por el método de la adjunta, hallar la inversa, si existe,
para la matriz A. Comprobar en cada caso que A A 1= I
1. A =
4. A =
7. A =
10. A =
1 -2 1
-2 5 -4
1 -4 6
6 -6 2
-6 8 -3
1 -2 1
-2 3 4
1 1 -2
2 -1 1
1 3 -5
0 1 2
0 0 1
0 0 0
7
-3
2
1
2. A =
5. A =
8. A =
11. A =
-1 2 -3
2 1 0
4 -2 5
1 2 2
2 -1 1
1 3 2
1 2 -3
0 1 2
0 0 1
1 1 1
1 1 -1
1 -1 1
1 -1 -1
3. A =
6. A =
1 -1
2 1
2 -3
2
1
1-1 -1
-1 0
2 -1
A =
12. A =
2 2
1 -1
k-1 2
0 0
0 o
3 4
2 3 )
En los ejercicios del 13 al 16, resolver las ecuaciones matriciales
f
5 3 1 '
f
-8 3 0 ' ' 1 2 -3 '
f
1 -3 0 '
13. X 1 -3 -2 = -5 9 0 14. 3 2 -4 X = 10 2 7
k-5 2 1 , k -2 15 0 . k 2 -1 0. J O 7 8 „
1 1
-1 1 -1 3' ' 2 -3 1 9 7 6 ' 2 0 -2
15. X 2 1 0 = 4 3 2 16. 4 -5 2 X 1 1 2 = 18 12 9
1 -1
f
2
1,
3 4
1 -2 5,
f
2 1
. 5
>
1
-7 3, . 1 1 1 , .23 15 11,
17. Si A -1 1 -4 y b = 2 1 2 son dos matrices.
w 0 -1 2 . 3 2 -1 ,
Hallar la matriz X tal que: A B X + B' = A.
18. Halle la matriz X que satisface la ecuación matricial 3A + AX = B + C, en donde:
f
1 3
N
-2
f
1 -2
1
f
3 12 -5
A = 2 5 -3 , B = 0 1 1 , c = 6 15 -9
1-3 2 -4 -2 0 o j -7 6 -11 y
19. Si A 3 = l, hallar adj(a A 5), a * 0.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-277-320.jpg)
![544 Capítulo 9: Determinantes
Por la fórmula (10), la inversa ded A es : A 1= - ----
11
3
-5
X
r s
3 -4 6 2 2 -2
k y . 11 5 3 -1 11 -33 3
y por la fórmula (12):
Por lo que, el conjunto solución del sistema es
S = {(-2,3)}
R E SO L U C IO N DE S IS T E M A S DE E C U A C IO N E S EN
T R E S V A R IA B L E S
Sea el sistema
a,x + b,y + c,z = dt
a2x + b2y + c2z = d2
83x + b3y + c3z = d3
La ecuación matricial equivalente al sistema es :
que representaremos por:
b, c,
b2 C2
b 3 C 3.
A X = D
donde A, X y D tienen el mismo significado que el dado en la Sección 9.5.8. Enton
ces, si existe A 1y si AX = D, si y sólo si
X = A-’ D (13)
x + 2y - z = 2
Cjcmplo 2 ] Resolver el sistema : 2x - y + 3z = 9
2x - y + z = 3
' 1 2 - r
Solución. Sea la matriz A = 2 - 1 3 => D(A) =1 (-1+3) - 2(2-6) - 1(2+2) = 10
. 2 - 1 1,
545
adj(A) =
' -1 3 2 3 2 -1 X
+
-1 1 2 1
+
2 -1
2 -1 1 -1 1 2
-1 1
+
2 1 2 -1
2 -1 1 -1 1 2+
-1 3 2 3
+
2 -1 y
' 2 4 0 1 2 -1 5
-1 3 5 = 4 3 -5
, 5 -5 - 5 , .0 5 -5 ,
Luego, la inversa de la matriz A es : A '1 = — 1—
10
/ X
X
1
" 10
2 -1 5
/
Según la ecuación (13) : y 4 3 -5
k z . . 0 5 -5,
5
-5
■5J
2
9
3
10
10
20
30
Por tanto, el conjunto solución del sistema es :
S = {(1,2, 3)}
El siguiente teorema establece una fórmula para resolver un sistema de n ecuaciones
en n cógnitas. La fórmula en cuestión se conoce con el nombre de Regla de Cramer.
T EO R EM A 9.4 REG LA DE C R A M ER
Si AX = B es un sistema de n ecuaciones en n incógnitas tal
que D(A) * 0, entonces el sistema tiene solución única y esta dada por
x, = B !
D(A)
. x =
D(AJ
D(A)
x -
" D(A)
donde Aj es la matriz que se obtiene al reemplazar los elementos de la j-ésima
columna de A por los elementos de la matriz.
b,
b..
B =
D em o stra ció n . Sea el sistema :](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-279-320.jpg)
![546 Capítulo 9: Determinantes
a,, X, + a^ Xg
+ amXn = bt
+ a2nXn = b2
a_, x. + annxn = bnn n n
Si D(A) * O, entonces A es inversible y, por la ecuación (12), X = A*1B es la solución
única de AX = B. Luego :
X = A 1B =| — I adj (A) . B =
1
UAI
Í A „ a 21 ....- A„i ] b’ 1
K A * ...- An2 b2
• • • •
• • • •
• • • •
a 2„ Ann
multiplicando las matrices obtenemos
X =
IAI
bi An + b2Aj, +
bi A 12 + b2A^ +
+ bn A n,
+ bnA„2
U , A,n + b2A2n + .... + bnA nn
Por tanto, el elemento de la fila j-ésima de X es
bi A „ + b2A2i + ........ + bnAn,
X , = D(A)
donde el numerador es el desarrollo del determinante de la matriz A obtenida a
partir de A, sutituyendo la j-ésima columna.
' a >, ’
/
bi
• •
• por el vector •
• •
. 3n, . , bn >
En consecuencia, para j = 1, 2, 3 ,...... . n
_____QIA1_
(14)
547
ejemplo 3 ^ Aplicando la regla de Cramer, resolver el sistema :
x, - 2 x 2+ 3x3 = 2
2x, - 3x2+ x3 = 1
x2+ 2 x 3 = 93x,
Solución . La matriz de los coeficientes es
A =
1 -2 3
2 -3 1
3 - 1 2
D(A) = 1(-6 + 1) + 2 (4 - 3) + 3 (-2 + 9) = 1 8
2 - 2 3 1 2 3 1 -2 2
D(A.) = 1 -3 1 = 54 ; D(A2) = 2 1 1 = 36 ; D(A3) = 2 -3 1
9 - 1 2 3 9 2 3 - 1 9
Por lo tanto, haciendo uso de la fórmula (14) obtenemos :
- B > = 3
D(A)
= m > = 2 .
D(A)
x3= m ! =1
3 D(A)
= 18
Obsérvese que la columna
••• S = {(3, 2, 1)}
se desplaza de la primera a la segunda y
después a la tercera columna al resolver para x,, x2 y x3, respectivamente.
I Nota . La resolución de un sistema de n ecuaciones en n incógnitas mediante la
regla de Cramer, implica calcular n+1 determinantes de matrices de or
den n. Debido al gran número de operaciones aritméticas que deben efectuarse, la
regla de Cramer sólo es prática para el cálculo de x,, x2............ xn, cuando n es
pequeño. Cuando n > 4 se prefiere usar la ténica de la eliminación de Gauss.
Ejemplo 4 J Dado elsistema : Xx + y + z = 1
x + Xy + z = X
x + y + Xz = X2
Determinar los valoresde X demodo que el sistema tenga solución única .
S o lu c ió n . El determinante de la matriz de coeficientes es :](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-280-320.jpg)
![552
Re/puesta/ o Ejercicio/ Propue/to/
Grupo 1 J Coordenadas Rectangulares
1. x = 1 , y = 1
6. x = ± 4 ,y = i
9. S = 7 , 10.
, 2. x = 3, y = -1 , 3. x = 3 , 4. x = -1 , 5. x = ± 4 , y = ±2
: 1 , 7 . S = {(2 , 3), (-2 ,-3)} , 8. S = {(-2 ,-3), (3 , 2)}
l(-5/2, 9/2) , 11. x = -2 ó x = 6
R- como espacio vectorialGrupo 2 j
1. a) <-9,-5)
2. a) (1 , -8} ,
s = 3/2 , c)
6. m = 1 , n =
8. V = {<-2 ,-5)
b) (17,-19) , c) (-16,9) , d) <6,-5/3)
b) <1/2,-2) , c) (-2/3,3); 3. a) r = 4 , s = -3 , b) r = 1/2,
flr.s , d) r = -2 , s = -10 ; 4. r = -2 , t = 3/2 ; 5. -2
1/2 ó m = -1 , n = 1/4 ; 7. X = (11/5,3)
,<-2, 4), (3,-5) , <3,4» ; 9. x = 5 ,y =-9/2 ; 10. m = -1,n = -4
Representación geométrica de un vector en el planoGrupo 3 l
1. (3,9); 2. (-6,-2); 3. (-8,3); 4. (3,3); 5. (-4,3); 6. (2,-9)
7. (12,-5); 8. (3,-2); 9. A(3/2 ,0), B(9/2 ,2); 10. -21; 11. A(-3,7), B(4; 1)
12. (8,4) ó (64,2); 13. 8.
r v
Grupo 4 J Magnitud y dirección de un vector en R :
1. V = 2Í2<Cos 135°, Sen 135°); 2. V = 2(Cos 330°, Sen 330°)
3. V = 2(Cos 150°, Sen 150°); 4. V = 2V5<Cos 240°, Sen 240°)
5. V = <5/2, 5% 3/2); 6. V = < 8,±6); 7. V = <-12,9); 8. V = V2<-1 f 2)
9. V = < 9 , ± 3 V 3 ) ; 10. V = < ± 3 , ± 3 3 ) ; 11.
Respuestas a ejercicios propuestos
553
v Grupo 5 I Operaciones vectoriales
8. <-3, 9); 9
13. <-8/17,15/
18. 1 nT85;
. -2; 10. <-1/3,5/3); 11. P(-2,17/2); 12. P(-9,9)
'17); 14. <-4,3); 15. 5/3; 16. <7 al3; 17. -7
19. 2<2 20. <14,0>
| Vectores paralelosGrupo 6
1. a) A II B y
sentido op
8. 2V 7; 9.
13. R(-3 , 2) ó
17. <1/2,-3/2);
20. A(14 , 22)
de sentido opuesto , b) A B y del mismo sentido , c) A11 B y de
jesto , d) A > fB ; 5. m = -1 ó m = 7/2 ; 6. m = 2 ; 7. a + b = 5
A = <±1 , ±2) ; 10. <-4,3); 11. VTÓ/5; 12. 1
R(7,-8); 14. 5/3; 15. -1 (4 8 ,3 1 ); 16. D(5 , 3), 2nT7
18. A(1 ,-4) , B(8,-2) , C(-4,16), D(-3 ,2); 19. B P = (a/3,- aJ3)
B(-12 , -4) , C(24 ,8); 21. 24
Producto escalar de vectoresGrupo 7 ]
11. u = <24/25,
17. 5Ó2VTÓ;
23. 5; 24. <5
28. B(7 , 3) , D
7/25); 12. m = 1 ó m = -9 ; 13. 2; 14. 3 ; 15. 2/3
18. 5; 19. 42; 20. 4 1 y 3 8 ; 21. <19,22); 22. x = <5,4)
,1); 25. m = 5±2>/6; 26. | | < -3 ,4 > ; 27. C(8 , 7), D(4 , 11)
(6,5); 29. -7.5; 30. a) 7 5 , b) 27/2; 32. AM=<9/2,1>
Angulo entre dos vectoresGrupo 8 ]
1. 135°; 2.
9. Vl29 y 7;
13. A = (2'3-1
20. 3; 21. 0 =
v5/5; 3. 45°; 4. 120°; 5. 90°; 6. 135°; 7. -48; 8. 2V3
10. t = - 11A 11 ; 11. VÍ9 y 7; 12. ||A|| =||B||
,2 + '3); 15. m = 1 ; 16. InJQ ; 17. V8 + 2V3; 18. 13/2133
are Cos(2/7); 22. B(14,22) , C(1/2 , 85/4) , D(-7/2 , 53/4).
Descomposición de vectoresGrupo 9 )
4. 1/2 ; 5 l ( 3 + /3 ); 6. 8 V 3 ; 7. V 3 /3 ; 8. 1 (3 - V3)
O 2
9. s = l ( 3 - V 3 ) , t = - 4 - (3 + V3) , I I A - B II = 3 + V 3 ; 10. -1/3
6 o
11. m = 3/7 , n = 4/21 ; 12. 4/5; 13. 1; 14. 2/3; 15. Á E = 2 v + u . B E = 2 v - 2 u](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-283-320.jpg)
![554 Respuestas a ejercicios propuestos
Grupo 1 0 J Proyección ortogonal________________________________ '
2. V V F F ; 3. 5; 4. <3 + V 3 , 1 - V3>; 5. -2V29; 6. -40; 7. 5/2; 8. 14
9. 90/2-1); 10. V69 ; 11. p + q + r; 12. J r (c2- a2 - fe2) ; 13. 5V2; 14. 12/5
2b f
15. F F V V ; 16. VTO; 17. 45°; 18. 12 Cosa + 3 C o sp ; 19. 10; 20. (-2,-2)
21. r =-21/5, s = 14/5; 22. b) ProyBA = <-12/5 , 9/5) , CompAÍB = -2V5
23. A(-3 , 5) , B(5 , 13) , C(7 , -9); 24. (-8/5 ,4/5); 25. | ÁC y - ^ ÁCX
26. 0 0 = ^ u - | v ; 27. 25; 28. 10a; 29. <312 30. 9a/2; 31. 2Sa/2
32.(265 + 53)a ; 33. 85 ; 34. 32 ; 35. A = (-6 ,-3); 36. 4'3/3
37. a) <3,W3) , b) 6<1 ,<3) ; 39. a) B(6 ,2) , b) M(-3 , 1), N(-1 ,-5), R(5 ,3)
! Grupo 11 J Area del paralelogramo y del triángulo
1. 9 u2;2. 24.5 u2 ; 3. 18.5 u2 ; 4. 11 u2; 5. D(5 , -3), 20 u2
6. D(-4 ,-1) , 10 uz ; 7. D(-2 ,-1) ,18 u2; 8. D(4 ,8) , 20 u2; 9. 8 u2
10. 22 u2; 11. 21 u2; 12. 26 u2; 13. 39.5 u2 ; 14. 40 u2 ; 15. 66 u2
16. k = -1ó k = 10 ; 17. 12 u2 ;18. 10u2 ; 19. C(4 , -8) ó C(9/4 , -9/2)
20. A(10 ,3) ó A (4,0) ; 21. 14 u2; 22. 0; 23. -36; 24. P(23/3 ,31/3), B(5, 15)
25. D(-5 ,0) ; 26. <3/2 ,3/2) , 20 u2
Grupo 1 2 J Dependencia e Independencia lineal de vectores
1. m = 0 , m = 1 ; 2. m = -6 ; 3. m = 1 , m = -3 ; 4. m = 7/2
6. a) m e R -{5/9} , b) m e R -{-1 ,7/2}; 7. F F F V ;8. 7; 9. <3,5)
10. <1/5,7/5); 11. F V F ; 12. r = 5/11 , s = 30/11; 14. F V F ; 15. (1,9)
16. 1; 17. 1; 18. 3/2; 19. -4; 20. 5/4; 21. 9/8; 22. 1; 23. a) 10/11
y 4/11 , b) a(AAPD) = 40 u2; 24. m =-2 , n = 1/3 ; 25. b) r = -2 , s = 2
26. (n + 1); 27. m = -1/4 , n = 1 ; 28. M = ^ ÁD + -| ÁB
29. m = -2 , n = 2/3.
Grupo 1 4 J Los vectores y la física
1. 304.1 km , Oeste 25°17’ Norte ; 2. 20.9 m , Oeste 21°30’ Sur
3. 18 km/h , Oeste 56°10’ Norte ; 4. Debe seguir una trayectoria rectilínea
Respuestas a ejerciciospropuestos 555
formando un ángulo de 34°28’ con la dirección de la corriente , t = 1h 25m.
5. (2000/3)m , 36°52'; 6. 20.6m , Este 60°15 S u r; 7. 10°51’ , 16.6 kg
8. R = 7(-18 ,37) , w = 14 unidades ; 9. F, = 50<2/V21 ,1) , F2= 50<-2A21 , 1)
10. F2= 148(0,1), F, = 63(-1 , 0); 11. 150 kg. , 150V3kg.
12. 360 3 kg , 1803kg. ; 13. 245(1 +V3)kg , 200(1 + V3)kg.
Grupo 1 5 J Recta que pasa por dos puntos. Segmentos de recta. División de
un segmento en una razón dada.
1. a) i? : P = <4 ,-2) + 1<0 ,5) ; x = 4 , y = - 2 + 5t
b) <£ : P = <-7, 2) + 1<4 ,-3) ; x = -7 + 4t , y = 2 - 3t
2. a) S(2 ,-1) y T(7 , -8) ; b) S(-2/3 , 5) y T(5/3 , 3)
3. P = <2 , 5) + r<4 , -6) , r e [0 , 1]; 4.P = <-2,4) + r<1 ,3) ,r e [0, 1]
5. P = <4,4) + r<-1 ,3) , re [0, 1); 7.(0 ,0) , (3 , -8), (6 ,-16) y
8. P(-3 , 4); 9. P(9 ,4); 10. P(-7 , 9); 11. 25; 12. D(3/2 , 2); 13. 3/5
14. P(13 , -30); 15. A(-2 ,3) ,B(5 ,8) , C(6,-1); 16.C(2 , 8)
Grupo 1 6 J Puntos que están sobre una recta
1. S e i?"; 2. S í S"; 3. S e ü?; 4. Recta que pasa por P,(1 ,4), paralela al
vector a = <2 ,-3); 5. Segmento de recta de extremos A(1 ,2) y B(2 , 3)
6. Recta que pasa por P,(-3 , 4), paralela al vector a = <-1 , -2)
7. Recta que pasa por P,(2 , 0), paralela al vector a = <5 , -1)
8. a) J2?: (-5, 3) •<x,y -1) = 0 , b) J2?: <3 ,2) •<x + 1 , y) = 0
9. Si; 10. No; 11. Si; 12. k = 1 , k = -8; 13. k = ±4V3/3
14. P,(7, 1) , P2(1,-5); 15. P,(5 ,-2) , P2(-3 ,2)
Grupo 1 7 J Pendiente de una recta
1. Coincidentes ; 2. Paralelas ; 3. Oblicuas ; 4. Perpendiculares ; 5. m = 3
6. -4; 7. ¿2?: <2 ,1 ) •(P- (2 ,-2» = 0 ; 8. Tres; 9. 3) : P = <1 ,1) + 1<2 ,3), te R
10. 2?:P = <8, 1) + t<-1 ,3), te R; 11. 3.8; 12. m =-1/5; 13. a =2
14. <2?:P = <-3,1) + t<1 ,1 )te R ; 15. a) 3 = {<3 , 10) + 1<2 , 1)|te R} , b) <6,3)
16. a) ÁB = {<2 , -2) + 1<4 ,3 )11e R} , b) CD = {<-2 , 0) + s<-3 , 4)| s e R} , h = 4
c) Cos0 = 1/VTÔ , d) J2?, = {<2,-2) + t<4-2V 5,3 + V5)> ,
3 = {<2 , -2) + s<4 + 2V5 , 3 - <5)}](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-284-320.jpg)
![556 Respuestas a ejercicios propuestos
Grupo 1 8 Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos
1. k = -3 ó k =
5. 2x - 3y -18
7. C(-1 ,4) ó
ir*
9. a) AC : x
11. 3?: P = (-1
5; 2. A(-5 ,-1) , B(5 , 11) , C(-1 , -5); 3. S = 8/3 u2; 4. 7 u2
= 0 ,5x + y - 28 = 0 ,7x - 2y -12 = 0 ; 6. A(-5, 1), B(2 ,2), C(4 ,-2)
C(27/5 ,-12/5); 8. 3>: P = <1 , -1) + 1<-1 , 4), t e R
-2y + 6 = 0 , b) C(6 , -6); 10. X : <-1 , 7)* [P - <5 ,0)] = 0
4) +t<2 , 1), te R ; 12. j?*:P = <4,1) + t(1 ,2 ),te R
Distancia de un punto a una recta dadaGrupo 1 9 J
1. 43Ó/5; 2
6. Pi(64,-44)
8. P(6 , 6); S
13. T P =<-2
15. B(-1 , 6), C
. 8/7; 3. k = 19/2 ó k = 8/9 ; 4. m = 1/2 ; 5. 12.8
, P2(4 , -4); 7. :3x + 4y + 5 = 0 , 2'2:3x + 4v -15 = 0
. 10^5; 10. 8; 12. k = -16 ó k = 88
3) + t<1 ,2), te R ; 14. A(3 , 5) , B(9 , -1) , S = 18/3 u2
(-5,1) , D(-2 , -1); 16. T(4 ,3); 17. 24
Intersección de rectasGrupo 2 0 j
1. P(16/5 , 7/5) ; 2. a = -1/8 ; 3. .2? = {<0 , 1>* (P - <14/11 ,1/11)) = 0}
4. .5? ; i •[P - <-3 , 2)] = 0 ; 5. 1(1,3); 6. $ : P = <2/5 , 4/5) + s<4 , -3), s e R
7. <2?, : P = <7 , 0) + 1<9, -10) , t e R ; 8. 12; 9. (18/5,21/5)
10. #2 : <3 , 1). [P - <12 , 1)] = 0 ; 11. x + — - L =1 ; 12. a) 2 u 2 ,
2 -6 ± 6V2 2 ± 22
b) 23/41 y 29/37; 13. r/ '2: P = <3 , -3) + s<5 , -3) ; 14. .^ = {<13,8) +
t<4 , 3 )11e R} ó r£' = {<13 , 8) + s<1 ,0 )ls e R}
Grupo 21 J Angulo entre dos rectas
1. a) 14/5, b) 11/2; 2. a) (8 ,32/3) , b) T : (-1 , 1) •[P - <8 , 32/3)] = 0
3. 2? = {<-1/5 , 7/5) •P = 0} ; 4. 90°; 5. <B: P = <4 ,8) + t<1 - <2, -3 - 2<2)
6. áf?:P = A + t(C + 2 B -3 A ) ; 7. Q(20/3 ,6) ; 8. a) A(-5 ,-9), C(5 , 1), D(1 ,9)
b) <12,6); 9. í 5= {<4 , 20) + r<1/2 + 1/V37 , -1/V2 - 637)}
10. SP: P = <0,-2) + t<2,1),te R ; 11. 2': P = t<-1 , 1), t e R ; 12. Q(18,4)
14. -35/3; 15. V : P = <4 , -8> + t<1 + <2 , W2 - 5 ) ,t e R ; 16. ¿ ? : P = <5,-2) +
t<1 ,2). te R ; 17. b) Si P e C , W P = <1 ,1) + t< -2 V ÏQ + 3 'Ï3 ,3V Ï3 + VÏ3)
t€ R ; 18. 5? : P = (4 , -20) + t<V2 + 37 , -6^2 - 37) ,t e R ; 19. 2/VÏ3
Respuestas a ejercicios propuestos 557
Grupo 2 2 J Vectores en el espacio
1. A = (6, 3 ,-3 ); 2. A(-3 ,2 ,-2 ) . B(-5 ,4 ,4 ); 3. A(5 , 1 . 1) , B(8 ,-5 ,2)
4. V = (6 ,-1 , -4); 7. X = <5 ,-12 , 10); 9. u = <4/5 ,0 , 3/5); 10. 7
11. (-1 .2 ,4 ) , (8 ,-4 ,-2 ); 12. ^ (AA + BB’+ C C ’) ; 13. MA = -MC = - ± (a + 6)
MB = - MD = ^ (a - 6); 14. ÁC = < 3,6,9); 15. C(1 , 5 ,2) , D(3 ,2 , 1),
E(5,-1 ,0), F(7,-4,-1)
Grupo 2 3 J Dirección de un vector en el espacio
1. a) u = 1 (6 , 3 ,2 ), b) u = ^ < -1 2 , 3 ,-4); 2. a = 30° ó a = 150° ; 3. ±9/11
4. V = <3/14 , 3/7 , 1/7); 5. V = <21/5 , -7 , 28/5); 6. X = <± 5 , 5/V2 ,-5h¡2)
7. X = <-5 , 10, 10); 8. X = < 9 ,18,-6); 9. V = <1 , -1 . V2) ó V = <1 ,-1 , -V2)
10. P(± V3 ,± 3 ,± 3 ) ; 11. a) puede , b) no puede , c) puede
12. a) no puede , b) puede , c) no puede.
Grupo 2 4 i E l producto escalar de dos vectores en el espacio
1. -240; 2. Un ejemplo : C = <10, -11 , -3); 3. 2; 4. -13; 5. 20; 6. 13
7. V = n<1 ,1 ,2), n e R- {0 } ; 8. u = ±<6 , 3 , 5)/V7Ó; 9. C = 1<-1 , -1 ,4),
O
D = § <5 ,-1 , 1); 10. A = <12 ,-10, 15); 11. m = - 1 ó m = 2
12. X = <-3 ,3 , 3); 13. 150°; 14. 15/7V85; 15. u = ± i <3 ,4 . 0)
16. B = <-6 , 0 ,-8); 17. 3(2 + 6) ; 19. V =<8 ,4 ,2); 20. X = <-4 , -6 ,-12)
21 • C = ¿ < 2 4 . 0,-18) , D = ^L<51 ,5 ,6 8 ); 22. 5/2; 23. </= ± <o , 1 ,1)
24. V91/14; 25. 135°; 26. V6/6; 27. A = < 2 ,7 ,1 ); 28. m = 1 ó m = 5,
m < f^ó m > 5 , 1 < m < 5 , A = <1 ,3 ,5 ) , B =<-18, 3 ,1 )
30. C=<1 ,0, 1) ó C = <-1/3, 4/3,-1/3)
Grupo 2 5 ^ Proyección ortogonal y componentes
1. 3; 2. 10/3; 3. <16/5,32/5,0); 4. V3; 5. -3; 6. -5; 7. 4422/11
8- ± ^ <-7,-2, 15); 9. 1/9; 10. V = <-2 , 4 , -4); 11.D(-7 , 6 ,-2)](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-285-320.jpg)
![564 Respuestas a ejercicios propuestos
27. {3, I (-1 ± 7¡)>; 28. {¡,-7¡/2}; 30. a) S ic o = 1 => S = | ( n + 1),
si co5* 1 <=> S = , b) Si co = 1 c=> S = ^ (n + 1) (2n + 1), si co * 1
s n2co2 - 2 n(n + 1)co + n(n + 2)
" (co - 1)3
Grupo 42 j Miscelánea de Ejemplos Ilustraíh
1. ^ (e“*'3) ; 2. z = 2'21(-1 + i V 3 ); 3. ~ (Cos 4x + 4 Cos 2x + 3);
4. 16Cos4x -12 Cos2x + 1 ; 5. a) w0= Cis 70° , w, = Cis 190° , w? = Cis 310C
b) w0= i,w, = | + (1 + ^ ) i , w2= - | +(1 - ^ ) i ; c) w0= 2 Cis 100°
w, = 2 Cis 220° , w2= 2 Cis 340°, d) ^ (1 ± i);6. 2 , -2 >Í2 , V2
10. b) t = Tg(|) = a /-1 ‘ Cose . t1 >/5/5 ; 13. a) v , b) v; 14. -2’9
v 1 + Cos 0
17. Re (z) = 1 Cotg ( J L + , im(Z) = - 1 ; 18. 2/p osnx ; 20. -2
w 2 a V4n n / v ' 2 Cos"x
fnn), • 27 C0SI
[a + | IX ] Sen |
( ■ ? )
1 6 J Cos (x/2)
21. b)32 ; 23. 2n s ( nn ; 27. __ t 2 / J_V 2 / s ¡n es par
3 <n- 1V2 * “ “ ‘
Sen [a + x l Cosf-^-)
------------- — ----------------- , sin es impar; 28. 2nCosnfM Sen ) x
Cos (x/2) 2l 2 I
29. a) 2 "Sen"(|) Cos [ nTt' * 2) * ] . b) 2"Sen"(|) Sen [ ( n 2 ) gX ~n,t]
S e n (ü ± ^ )x C o s ( ! f )
30 H . Sen 4x_ . 34 ------ 2 ----------- _2_/ n ¡mpa r.
2 4 Sen 2 x Cos (x/2)
Cos ( 0 | J ) x S e n ( M )
, npar; 37. S = Tg"xCos(3rcn/2); 38. S e n | ^ - j
Cos (x/2)
39. 1/2; 41. 0, ^ , 4 ^ 4 ,co = ei2n/5; 42. X (¡J)Sen(n- k)ü=
(0+1 (O2+ 1 ID-+1 (0+1 k=0
- ) Cos n f — - i )
W 2 / 4 2 /
Sen
46. P(z) = — c (e/2) ~ Cis(^~2~^) ’ 47* a) 2nSenn(0/2) Cos (n8/2), n par,
Respuestas a ejerciciospropuestos 565
2nSenn(0/2) Sen(n0/2) , n impar; b) -2nSenn(0/2) Cos(n0/2) , n par,
2nSenn(0/2) Cos(n0/2) , n impar.-
Grupo 4 3 J Matrices
3 5] ri 0 -1] ri 2 3 4]
/
1. a) A = 4 6 , b) B = 3 2 1 , c) C = 2 2 3 4 , d) D =
15 7J [7 6 5J [3 3 3 4,
f-9 101 ’29 -4'l
[7 -4 J
5. a) X =
>-6 28 J
, b) X =
3 1 3)
5 3 5
9 7 9
U 7 15 17J
6 10.5'
' 3
6. X =
4 7 - 1 '
6 1 6
1 5 0 4, : i ) ■ v ' ( i . : )
Grupo 4 4 J Propiedades de ¡a multiplicación de matrices
' 5 '
1. a) ^ ° j , b) ^5 í 2- fl = 1 , ¿ = -6 , c = 0 , á = -2; 3. 6; 4. 0
,35.
y.*i¿;m ,i¡ a >»
21 -23 15'
-13 34 10
-9 22 25
11. 28; 12. I3; 13. B: 14. 512A; 15. 0; 16. 9 A ; 18. 282
a 2b
19. a) B =
-3b a + 3by
e R, b) B = í a ^ l . a . k R ; 20. -3
J 1-5b a + 9b)
{ a b1 , „ , . , l h 00 x f1 n<0 m fCosna -Senna-]
21. ,a ,b e R . donde a 2+ be = 1 ; 22. a) , b)
Le -a) lo 1 J LSenna CosnaJ
1 n | (n + 1)' ’1 -n a (n -3 )l
c) 0 1 •-n . d) 0 1 -n
.0 0 1 . .0 0 1 ,
, e) 2 A " ' 1
23. [ $ 17,450 $21,5 5 0 $ 14,575 $ 16,450]](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-289-320.jpg)
![566
Respuestas a ejercicios propuestos
Grupo 45^1 Matrices cuadras especiales
4 . Í 1 °j ; 5 . Í12 ' 2° Ì ; 6. a) í’3 2 1. b) f 26 127l,c ) f*4 8 ]; 7 .f1° *7]
l-n 1J 121 -6 J 1-1 -lJ 1254 661J ll2 -16J L35 1oJ
8.
-2 15 -131
14 -3 7
.-8 9 -1
9.
21 8 7' 0 10 1 ' ' 4 -5 -7 3 '
5 18 -2 ; 10. -2 -11 9.5 ; 11. 0.5 -8.5 -9 -5
.4 7 -1 .-9 2.5 -5.5- -4.5
. 4
-3.5
-3
0.5
-2
-3
0,
12. 2 y 23; 13. S = 2; 18. 4; 19. 21,; 20. 16; 22. 4; 26. -A; 27. 2
6 7 -3 ' a" na n-' f(n -1 )t f"-2'
11; 30. 1/4 ; 31. 7 14 5 ; 32. 0 an na"*1
.-3 5 10, .0 0 a n .
'1
-2
0
0 0 0 ' ' 1/2 0 0 0 ' 1 0 0' 'l/2 -2 7/2 -5/6
33.
1
-2
0
1
0
0
; 34.
0
0
-1
0
0
1
0
0
; 35.
0
0
1
0
-1
-1
0
0
; 36.
0
0
1
0
-3/2
1/2
-1/6
-1/6
^6 -1 -1 v-1/4 0 0 1/2, s0 0 0 -1y ^ 0 0 ■0 1/3
Cfupo 4 6 ) Transformaciones elementales
1. <1 1 -1Ì 2. '1 2 4
3 l
3. '1 -1 2 0 Ì 4. '1 0 4 -V
0 1 0 0 1 9 6 0 0 0 1 0 1 3 4
0 0 -1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0
.0 0 0 , .0 0 0 1 lo 0 0 0, lo 0 0 0 J
v ^ ,
7. 2; 8. 3; 9. 3; 10. 2; 11. 3; 12. 2; 13. f -1 -1 Ì; 14. Í3 -2
12 3J 15 -4,
'6 4 5 ' '1 2 3 '
; 17. 115. 2 1 2 ; 16. 4 5 6
.3 3 3 j 8 9
19.
22.
-1 x-ab a&c + a y -ex + 2Ì
0 1 b
0 0 - 1
Lo 0 0
-3 3 - 3 2
3 - 4 4 - 2
-3 4 - 5 3
12 -2 3 - 2
-be - y
c
1
20.
48 -38 75 Ì
72 108 423
-72 82 -75 J
r -7 5 12 191
3 - 2 - 5 8
41 -30 -69 111
1-59 43 99 -159 )
18- 16
21.
23. '-115 110 -64 -18' 24. '1 1 1 1 '
1 50 -60 26 7 1 1 1 -1 -1
5 5 -10 6 2 4 1 -1 1 -1
■ . 10 -10 3 1 J ■1 -1 1.
9 2 -14
1 2 2
20 8 -8
r-1 3 -7 20'
-7 -3 5-10
9 3 - 3 3
13 3 - 3 6
25. 1
Respuestas a ejerciciospropuestos 567
Grupo 4 7 J Sistemas de ecuaciones lineales
1. X = (4 ,3 ,2 )'; 2. X = (2 - 3 r,4 + r ,2 - r , r)‘; 3. X = (-4 - 4 r,5 + 5 r,-1 - 2 r, r)'
4. X = (2 , -1 , 1)*; 5. X = (-1 ,3 ,-2 )'; 6. X = (-1 , 5 ,-2)'; 7. X = (3 ,4 ,-2)'
8. X = (-1 ,2 ,3 )'; 9. X = (-12 ,-18 ,-5)'; 10. X = (-1 , 3 ,-2 ,2)‘
11. X = (r, -13 + 3 r, -7 , 0)'; 12. Inconsistente; 13. Inconsistente
14. X = (2 - s ,3 + 2 s ,-5 + 2s ,s)'; 15. X = (2 ,3,-1 ,-2)’; 16. X = (1 + s,s,3 ,-1 )'
17. X = (-1 ,3,-2, 2)'; 18. X = (3 ,2 , 4 ,-1)'; 19. X = (r,s , r + s -1, 3 ,-1)'
20. X = (1 , 2 r , r,-3 s ,s ) '; 21. Si ( X - 1) (X + 3 ) * 0 => X = (1 ,1 , 1 ,1)'
A + o
f Si X = 3 , inconsistente. Si X = 1 <=> X = (1 - 1, - 12, - 13 ,t,, t2,t3)'
22. Si X = 8 «=> X = (t,,4 + 2 t, - 2 t2 , 3 - 2 12 ,t2) '. Si X * 8 ^ X = (0 ,4 - 2 1,,
3 - 2 t2,t2) '; 23. Si X = -3 , inconsistente , si X = 0 => X = (1 - 1, - 12,t,,t2)'
24. Si X * 0 , el sistema es inconsistente. Si X = 0 <=* X = (-3/2 , -5/2)'
25. X=t,(1 ,0,-5/2, 7/2)' + 12(0, 1 ,5,-7)'; 26. X = t,(1 , 0 ,0 ,-9/4 ,3/4)1+
t^O, 1, 0, -3/2 ,1/2)' + 13(0,0.1,-2,1)'; 27. X = t,(-3,2,1, 0, 0)'+ t2(-5, 3, 0, 0,1)'
28. X = t,(-1 , 1 , 0 ,0 ,0)' + t2(6 , 0 ,-5/2 ,1,3)»; 29.a) a = 2 , X= t,(1 , 0 ,-2)‘
a = -4, X = t2(1 ,-24/5 ,4/5)* , b) a = -1 , X = t,(-5 ,3 , 1/3 , 1)1
30. Las filas de la matriz A no lo forman , mientras que las filas de la matriz B sí. Si
el rango de la matriz de coeficientes de las incógnitas es igual a r , se debe
averiguar que : a) el rango de A (de B ,respetivamente) es igual a 5 - r , b) las
filas de la matriz A (de B respectivamente) constituyen las soluciones del
sistema de partida.
31. X = (1/3,1/3,0,0,0)' + 1,(0, 1 ,1 ,0, 0)' + 12(0,1 ,0,1 ,0)' + yi/3,-5/3,0,0,1)'
32. X = (1/3 ,-1/3 , 0 ,0 ,0 , 0)' + t,(1 , 1 , 0 , 0 , 0 ,0)' + t2(-1 , 0 , 1 ,0 ,0 ,0)' +
y o , 0 ,0 . 1,1 ,o)' + t4(o, o, 0 ,-1 ,0 , 1)'
33. X = (2/3 , 1/6 , 0 , 0 , 0)' + t,(0 , 1/2 , 1 , 0 , 0)' + t2(0 , -1/2 , 0 , 1 , 0 ) ' +
t3(1/3 ,5/6 , 0 , 0 , 1)'
34. X = (1, -1/2, 0, 0, 0)' + t,(0. -3/2, 1, 0, 0)' + t2(0, -2, 0, 1,0)' + 13(0, -5/2, 0, 0, 1)'
35. x = 3 , y = 4 , z = 4
Grupo 4 8 j Propiedades de los determinantes
1. 0; 2. -2; 3. Sen(a - p) + Sen(P - y) + Sen(y- a ) ; 4. abe + (ab + be + ea)
5. a2+ P2+ / + 1 ; 6 . 0 ; 7. 3V3i; 8. a) x = -4±V22,b) x eR ; 9. x 6 (-6 ,-4)
13. Una parábola y = (x - a) (x- b) 14. 32; 15. 273; 16. -43; 17. -252
18. -11,000; 19. -29 x1o5](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-290-320.jpg)
![56« Respuestas a ejercicios propuestos
i Grupo 4 9 j Existencia de los determinantes
1. 6; 2. 2; 3. 1; 4. 2; 5. -5; 6. -20; 7. 8; 8. 4; 9. 45; 10. 48
11. 223; 12. -38; 13. {1,2}; 14. { 1 , 0 , 4 } ; 15. {0,2} ; 16. 8a + 156 + 12c - 19c/
17. 2a- 8b+c + 5d] 18. a b e d ; 19. a b c d 20. x y z u v
! Grupo 5 0 ] Cálculo de determinantes de cualquier orden
1. {-4/3,3}; 2. {3/2,4}; 3. {2,5/2}; 4. {18}; 5. {-3,2,4}; 6. {-10,-3}
7. 0; 8. 6; 9.704; 10. 665; 11. 394; 12. 5; 13. 1; 14. 1; 15. 1/3
16. 100; 17. 2- 2 i; 18. 6; 19. i; 20. 1; 21. 0; 22. Sen(c - a) Sen (c - b)
Sen (a-b)] 23. 0; 24. 3(a - b) (b - c) (c-a) (a + b+c) (ab + ac+bc)
25. (ab + bc +ca) +abc ; 26. (a -b) (b -c) (c -a) (a +b +c) ; 27. -2(x3+ y 3)
28. 1 + a2+ b2+c2; 29. 4(a+b) (a + c) (b + c) 30. 4x2y2z2
31. (a2+ b2+ c2) (b - a) (c - a) (c-b) (a + b + c ) 32. x2 z2; 33. abed
34. (af - be+cd) 2 35. -3(x2-1) (x2- 4); 36. (a+b) (a-b)3; 37. abed
38. k = -a2 ; 39.a = 1/2 ; 45. -a, a2 -----an (^- + + . . . . + J-J ; 46. n + 1
47. Cosn x ; 48. a, a ,
-
an(-1 + + . . . . + 1 - ) ; 49. 2 " +1-1
i 2 " at a2 anj
50. 1 ( 5 " * 1- 2 n+1) ; 51. 9 - 2 n+1; 52. 5(2n' ’) - 4(3n 1 )
O
Grupo 51 ] Cálculo de determinantes mediante la reducción a la form a
escalonada
1. 425; 2. 1; 3. 20; 4. 100; 5. 6; 6. 0; 7. 2; 8. -128; 9. -72
10. 275; 11. -8; 12. 48; 13. 2n + 1 ; 14. -2(n-2)!;15. 1 [(x +a)n+ (x-a)"]
16. .a i V . . . a n( ; l + 3 U -------- - i ) ; 17. b X K - - K
18. (x - x,) ( x -x 2) --- (x - xn) ; 19. £ [ 2a + (n - 1)h] a " ' 1; 20. (-1)n 1 (n + 1)2n 2
21- i r r ( T i ? 1 22- ( n - i ) ( - i r v - * ; 23. .a, ( J . + A + . . . . + ± )
(x-1)2
24. ÍL±1 + 4 ^ 1 ; 25. (-1)n-’x "-2 ; 26. (-1)n [ (x - 1)n- xn]
1 - x (1 - x)2
27. (i, 2 8 . ¡ 29. o - x ^ -
30. (x - 1)n ; 31. (a - (3)n‘2 [Xa + (n -2) X(3- (n - 1)ab] ; 32. n(-1)«<n-’V2
Respuestas a ejerciciospropuestos 569
33. (-1)ní"*1»«(nh)"-,I a + i(n - 1 )]; 34. (a0+ a, + a 2+ .... + a n)xn ; 35. 1
36. 2x3y (x - y)6
Grupo 5 2 J Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
1. 24; 2. 18; 3. (a + b + c + d) (a + b - c - d ) ( a- b+ c - d) ( a - b - c + d) 4. 256
5. 78,400; 6. 64; 7. 210; 8. 220; 9. (be-cd)2
10. (a,a2-b,b2)(c,c2- d yd2)
Grupo 5 3 ) Rango de una matriz
1. 2; 2. 3; 3. 3; 4. 3; 5. 3; 6. 3; 7. P(A) = 2 si k = 0 y P(A) = 3 si k * 0
8. P(A) = 3 , V ke R ; 9. D(A) = 2 ( n- 1)( n-2)n' 1* 0 <=> n > 3
10. D(A) = (3x + 1) (1 - x)3 «=> D(A) = 0 <=> x = -1/3 ,x = 1 ; 11. D(A) = (4x2-1) «=>
D(A) = 0 <=> x = ± 1/2; 12. a) x e R - {0 ,2 ,3} , b) x = 0 ,x = 2 ,x = 3
13. Si x * 0 , P(A) = 3 ;si x = 0 , P(A) = 2 ; 14. Si x = 3 , P(A) = 2 ; si x * 3 , P(A) = 3
15. P(A) = 4 ,Vx e R - {-13 ,3} ;P(A) = 3 ,para x = -13 , x = 3
v Grupo 5 4 J Inversa de una matriz de segundo orden
J; 6. 5ti/3; 7. B ’A*1D C11. S = 4 ; 2.
rt
in
II
LU
±
’ 36 [
8. a) X = i ( 3 4 ]
37 -51J ’
b) X
10.
x = ( s e ) • - t í 3 =
14.
X = ( s 4
]; 15. X
" ( í
18.
X
II
1_A.
r>o¿
] ; 19. E = 2 's
o) B = i [ '2
) ' M i v
); 21.
4/3 -2/3'
>2 -2/3.
; b) x, = 1, x 2 = 4 ;
a— « a](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-291-320.jpg)
![570
Respuestas a ejercicios propuestos
í Grupo 5 5 Inversa de una matriz (Método de la adjunta)
1.
14 8 3'
8 5 2
3 2 1.
-5 2 1
-1 0 1
7 - 1 - 5
1 -4 -3]
1 -5 -3
■1 6
2.
4
10.
'-5 4 -3'
10 -7 6
.8 -6 5.
r 3 2 1
- 1 4 2
U 3 5J
f 1 -3 11 -381
0 1 - 2 7
0 0 1 - 2
0 0 0 1 J
6- 7
8 -1 -3
-5 1 2
110 -1 -4 J
1 7 10
5 10 0
3 - 4 5
n 1 1
1 1 - 1 -
1 - 1 1 -
11 -1 -1
8.
12.
1 2 3' ’6 4 3' -3 2 0 '
W
X
II
4 5 6
n
X
2 1 2 15. X = -4 5 -2 16. X =
.7 8 9. .3 3 3, .-5 3 0.
> 2 2 1
l 4 8
! 6 18 J
ri -2 7
0 1 -2
10 0 1
2 -1 0 01
-3 2 0 0
31 -19 3 -4
1-23 14 -2 3 J
1 1 1'
1 2 3
2 3 1
X - . 1
6
-225 -274 -76 ’ 14 -8 -1'
17. 366 446 122
—L
OO
X
II
-17 10 1 19. an' 1(l4|) 20. S = 10
48 56 20. .-19 11 1.
IA /
21. S = 2 ; 22. S = 5; 23. S = 5.1 ; 24. x
X
9
n
= -2, x = 0 ; 25.
CJ
II
X
II
X
26. x = k7T+ 5 ; 27. x = 1 ,x = 4; 28. 3 A 1V x e R ,A 1= — 1
6x? + 21
5x x2- 9 15'
7 5x -6x
-x x2+ 6 -3,
29. D(A) = (a -b)(a -c)(c -b) ,A ■’ =
' a(b +c) -a -1 '
b(a + c) -b -1
c(a +6) -c -1.
30. fl = 1 I 6 = 2 I d = 1 , í = 2
Grupo 56 J Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
1* {(7,2)}; 2. {(-3,5)}; 3. {(Cos (c - b ) , Sen (c -6)} ; 4. {(16,7)}
5. {(-6 ,-2¿í/3)} ; 6. {(Cosò Cose , Cos¿ Sene')} ; 7. {(2,-3, 1)}; 8. {(2, 6,-2)}
9. {(3,2,1) }; 10. {(2,-2 ,5)}; 11. {(-2 , 3/2 .-1)} ; 12. {(-1 , 3 ,-2)}
13. {(2,-1,1)}; 14. {(3. 1,-1)}; 15. {(be ,ac ,ab)}
16. D(A) = (a - b ) (a - c) (c - b). Si a ,b y c son todos distintos , x = a b c , z = a +b +c
y = -(ab + be + ac). Si entre a , b y c hay dos iguales las soluciones dependen
de un parámetro. Si a = b = c las soluciones dependen de dos parámetros.
17. S(A)=¿>(1 -a). Siè(1 - a ) * 0 , x = ^ ± y = 1 z = 2abjiA t±A
b(a -1) b ' b(a -1)
Respuestas a ejercicios propuestos 571
Si a = 1 ,b = 1/2 , las soluciones dependen de un parámetro. Si b = 0 el sistema
es inconsistente.
18. D(A) = f>(a-1)(a + 2 ) . S i D ( A ) * 0 , x = z = , , y = , , ah + * ' *
(a-1)(a + 2) o(a - 1)(a + 2)
Si a = 1 , b = 1/2 , las soluciones dependen de un parámetro.
Si b = 0 y a = -2 , el sistema es inconsistente.
19. D(A) = a(a - í>). Si D(A) * 0, x = 5 ^ - U , y = , 2 =
b - a a(a-b) a(b-a)
Si a = b = 1 J a s soluciones dependen de dos parámetros.
Si a = 0 , el sistema es inconsistente
20. D(A) = a2(a - 1). Para a = 0 y a = 1 el sistema es inconsistente
21. D(A) = -2a. S i a * 0 , x = 1 - a , y = a , z = 0. S i a = 0 , x = 1 ,z = 0 , y = arbitrario.
22. D(A) = (a - 1)2(a + 1). Si a = 1 , la solución dependen de un parámetro.
Si a = -1 el sistema es inconsistente.
23. D(A) = -m(m + 2). Para m = -2 y m = 0 el sistema es inconsistente.
24. D(A) = a(a - 1)(a + 1). Si a = -1 y a = 1 , el sistema es inconsistente. Si a = 0,
la solución depende de un parámetro.
25. D(A) =3(a + 1)(a - 1)2 . Si a = -1 el sistema es inconsistente. Si a = 1 la
solución depende de dos parámetros.
26. D(A) = (a -1 )(a - 2)(a - 3). Si a = 2 y a = 3 el sistema es inconsistente. Si a = 1,
la solución depende de un parámetro.
27. D(A) =m(m - 1) (m + 2). Si m = 1 , m = -2 , el sistema es inconsistente. Si
m = 0 , la solución depende de un parámetro.
28. D(A) =(a - 1)2(a + 1). Si a = -1 , el sistema es inconsistente. Si a = 1 , la
solución depende de dos parámetros.](https://image.slidesharecdn.com/mb-2-vectoresymatrices-r-150709165654-lva1-app6892/85/Mb-2-vectores-y-matrices-r-f-g-292-320.jpg)
Mb 2-vectores y matrices - r. f. g.
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- 3. Categoría • Administración • Algebra • Análisis Matemático • Anatomía. • Arquitectura • Arte • Artículos • Astronomía. • Atlas • AudioLibros • Automatización • Base de Datos • Biblia • Biología • Bioquímica • Cálculo • Circuitos • Cirugía • Cocina • Comic • Computer Hoy • Contabilidad • De Todo • Derecho • Dermatología • Diarios • Diccionario • Diseño Grafico • Diseño Web • Documentales • Dummies • E-Books • Ecografía • Ecología • Economía. • Ecuaciones diferenciales • Educación Primaria • Ejemplos • Electricidad Enciclopedia Estadística Filosofía Física Fisiología Ganar dinero en internet Geología Geometría Ginecología y Obstetricia Guías HackCrack Hidráulica Historia Ingeniería Ingeniería ambiental Ingeniería Civil Ingeniería de Materiales Ingeniería de Minas Ingeniería Industrial Ingeniería Petrolera Ingles Integrales Inv. Operaciones Leer Online Libros Libros Copyleft Libros Unicef Liderazgo y Motivación Linux Logística Maestra Infantil Manga Manual Manualidades Marketing Matemática Discreta Matemáticas Medicina Metalurgia Mi Novela Favorita Multimedia Noticias Odontología Ofimática Oftalmología Pediatría Procesos Unitarios Programación Psicología Química Radiología Recetas Redes Religión Revistas Rincón Literario Robótica Romántica Salud Seguridad Sexualidad Sistemas Operativos Sobre Escribir Soldadura Solucionario Termodinámica Tésis Topografía Transferencia de Calor Transferencia de Masa Tutorial TuxInfo VideoTutoriales Windows zoología Electrónica Mecánica
- 4. MATEMÁTICA BÁSICA 2 VECTORES Y MATRICES C O N N Ú M E R O S C O M P L E J O S QUINTA EDICIÓN 2005 © Impreso en: Ediciones Jr. Loreto 1696 Breña Telefax: 423-8469 e-mail: ediciones_2@ hotmail.com Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley N° 26905 H E C H O E L D E P Ó S IT O L E G A L N° 1501052001-3466 R A Z Ó N S O C IA L : R IC A R D O F IG U E R O A G A R C IA D O M IC IL IO : Jr. Loreto 1696 Breña Prohibida su reproducción por cualquier medio, total o parcialmente, sin el previo permiso escrito del autor. 0 3 3 X 0 3 Dada la gran acogida que le dispensaron los estudiantes a la ediciones preliminares de esta obra, explica la aparición de esta nueva edición ampliada a nueve capítulos, en la que se han hecho las m odificaciones necesarias con el propósito de hacer m ás asequible su lectura, pues la obra proporciona una excelente preparación para el estudio de cursos superiores com o el Análisis Matemático y sobre todo, el Algebra Lineal. El estudiante que ha llegado a este curso ya tiene conocim ientos del Algebra y la Geometría elemental E s asi que en el primer capítulo se desarrolla la relación que existe entre estos d os grandes cam pos de la matemática, esto es, el estudio de la técnica de los vectores en el plano (sistema bidimensional). En este capitulo, antes de definir un vector bidimensional, se presenta el espacio numérico bidimensional denotado por R J En los capítulos 2 y 3 se estudian, por separado, las rectas en el plano y su s aplicaciones, respectivamente En el capítulo 4 el sistem a bidimensional se extiende al tridimensional, el cual se denota por R : Los capítulos 5 y 6 proporcionan una introducción vectorial a la geometría analítica sólida al estudiar rectas y planos en R 3 En el capítulo 7 se introduce el estudio de los núm eros complejos, que si bien es cierto, tienen gran sem ejanza con los vectores en R no se debe confundir con estos dos conjuntos de pares ordenados que tienen naturaleza cualitativamente diferentes En el capitulo 8 se hace referencia al estudio de las matrices de acuerdo con su dim ensión o tamaño y su s aplicaciones a la solución de ecuaciones lineales. Finalmente, en el capítulo 9 se expone la teoría de los determinantes de particular importancia en la teoría de las matrices y su s num erosas aplicaciones
- 5. IN Prólogo C on este libro se tiene la intensión de desarrollar la capacidad del estudiante y crea en él hábitos de rutina matemática; esto es, la exposición teórica e s acom pañada de num erosos ejemplos ilustrativos y ejercicios con su s respuestas dadas al final del libro, los cuales, indudablemente, ayudarán al estudiante a adquirir destreza y afirmar el dom inio de la materia. Por ello, se recomienda que los ejercicios propuestos se resuelvan sistemáticamente, toda vez que su solución obedece a un criterio de aprendizaje progresivo. Mi reconocimiento a todos los am igos profesores que tuvieron la gentileza de hacerme llegar su s sugerencias y o b se rv a c io n e s a las e dicio n es prelim inares. S u s críticas constructivas hicieron posible corregir, mejorar y ampliar esta n u e va edición. A s í m ism o d e se o e x p re sa r un e sp e cia l reconocimiento a E d ic io n e s R F G cuyo personal no ha escatim ado esfuerzos para resolver las dificultades inherentes a la publicación del texto. El autor V Q CONTENIDO V E C T O R E S EN E L PLANO 1 1.1 C oordenadas rectangulares 1 1.2 R J com o espacio vectorial 5 1.3 Representación geométrica de un vector en el plano 9 1.4 Magnitud y dirección de un vector en el plano 12 1.5 Adición de vectores en el plano 16 1.5.1 Representación gráfica de la sum a de vectores en el plano 17 1.6 Multiplicación de un escalar por un vector 20 1.7 Vectores paralelos 29 1.8 Producto escalar de vectores 36 1.9 Angulo entre dos vectores 51 1.10 Descom posición de vectores 59 1 .1 1 Proyección orotogonal 66 1.12 Area del paralelogramo y del triángulo 82 1.13 Dependencia e independencia lineal de vectores 90 1.14 Los vectores y la geometría elemental 106 1.15 Los vectores y la física 116 G R EC TA S EN E L PLANO 125 2.1 Recta que pasa por dos puntos 125 2.2 Segm entos de recta 127 2.3 División de un segm ento en una razón dada 129 2.4 Puntos que están sobre una recta 133 2.5 Pendiente de una recta 137 2.6 Forma general de la ecuación de una recta 148 2.7 Forma punto pendiente 150 2.8 Forma pendiente y ordenada al origen 151 2.9 Forma abscisa y ordenada al origen 151 2.10 Forma simétrica 152
- 6. Contenido A PLICA CIO N ES DE LA R EC TA 163 3.1 Distancia de un punto a una recta dada 163 3.2 Intersección de rectas 171 3.3 Angulo entre d os rectas 180 V EC T O R E S EN E L ESPA CIO 193 4.1 El espacio tridimensional 193 4.2 Vectores en el espacio 194 4.3 Dirección de un vector en el espacio 199 4.4 Producto escalar de dos vectores en elespacio 202 4.4.1 Angulo entre d os vectores en R 1 204 4.5 Proyección ortogonal y com ponentes 212 4.6 Com binación lineal de vectores en R ' 218 4.7 El producto vectorial 223 4.8 El producto mixto de vectores 238 4.8.1 Propiedades del producto mixto de vectores 239 4.8.2 Interpretación geométrica del producto mixto 240 R EC TA S EN E L ESPA CIO 249 5.1 Ecuación vectorial de una recta en el espacio 249 5.2 Posiciones relativas de vectores en el espacio 254 5.3 Aplicaciones de la recta en el espacio 262 PLANOS EN E L ESPACIO 269 6.1 Ecuación vectorial de un plano 269 6.2 Distancia de un punto a un plano 277 6.3 Intersecciones de planos 281 6.4 Familia de planos que pasan por la intersección de dos planos 285 6.5 Intersecciones de rectas y planos 290 LO S NUM EROS C O M PLEJO S ___________________________301 7.1 El conjunto de los números complejos 301 Contenido VII 7.2 R com o subconjunto de C 308 7.3 Forma cartesiana de un número complejo 309 7.4 Representación geométrica de los núm eros complejos 311 7.4.1 Representación gráfica de la sum a y diferencia 311 7.5 Módulo de un número complejo 312 7.5.1 Propiedades del módulo de un número complejo 323 7.6 La raíz cuadrada de un número complejo 328 7.7 Lugares geom étricos en C 332 7.7.1 La línea recta 332 7.7.2 La circunferencia 333 7.7.3 La parábola 334 7.7.4 La elipse 336 7.7.5 La hipérbola 337 7.8 Forma polar de un número complejo 345 7.9 Potenciación de núm eros complejos 351 7.10 Radicación de núm eros complejos 355 7.10.1 Ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos 357 7.10.2 R aíce s primitivas de la unidad 354 7.11 La exponencial compleja 361 M ATRICES___________________________________ 379 8.1 Introducción 379 8.2 Definición 379 8.3 Orden de una matriz 380 8.4 Igualdad de matrices 381 8.5 Tipos de matrices 382 8.6 Sum a de matrices 383 8.7 Producto de un escalar por una matriz 385 8.8 Multiplicación de matrices 387 8.9 Propiedades de la multiplicación de matrices 392 8.10 Matrices cuadradas especiales 404 8.10.1 Matrices simétricas 404 8.10.2 Matriz antisimétrica 405 8.10.3 Matriz identidad 406 8.10.4 Matriz diagonal 409 8.10.5 Matriz escalar 409 8.10.6 Matriz triangular superior 410 8.10.7 Matriz triangular inferior 410 8.10.8 Matriz periódica 410 8.10.9 Matriz transpuesta 414 8.10.10 Matriz hermitiana 416
- 7. vni Contenido 8.10 .11 Matriz inversa 417 8.10 .12 Inversa de una matriz triangular 419 8.11 Transform aciones elementales 427 8.11.1 Transform ación elemental fila 0 columna 427 8.11.2 Matriz escalonada 428 8.11.3 Matrices equivalentes 429 8.11.4 R ango de una matriz 430 8.11.5 Matrices elementales 431 8.11.6 Inversa de una matriz por el método de las matrices elementales (Método de G a u ss - Jordán) 434 8.12 Sistem as de ecuaciones lineales 440 8.13 R a n go de un sistem a de ecuaciones lineales 449 8.14 Sistem as hom ogéneos de ecuaciones lineales 456 □ D ETERM IN AN TES 465 9.1 Definición 465 9.2 Propiedades de los determinantes 466 9.3 Existencia de los determinantes 473 9.3.1 M enor de una componente 474 9.3.2 Cofactor de una componente 475 9.4 Cálculo de determinantes de cualquier orden 479 9.5 Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 499 9.5.1 Regla de Sarrus 499 9.5.2 Cálculo de determinates mediante la reducción a la forma escalonada 501 9.5.3 Propiedades multiplicativas 511 9.5.4 R ango de una matriz 516 9.5.5 Adjunta de una matriz 523 9.5.6 Inversa de una matriz 525 9.5.7 Matrices no singulares 538 9.5.8 Resolución de sistem as de ecuaciones en dos variables 543 9.5.9 Resolución de sistem as de ecuaciones de tres variables 544 R e sp u e sta s a los ejercicios p ro p u e sto s 552 Bibliografía 572 A] VECTORES Eíl El PUMO ' o — ^ (l.1 j C O O R D E N A D A S R E C T A N G U L A R E S____________________ El propósito de esta sección e s el de definir el concepto de par ordenado de elementos, introducir una notación para representar tales pares y definir y estudiar operaciones algebraicas sobre pares ordenados de núm eros reales. Em pecem os entonces a definir el producto cartesiano de dos conjuntos. DEFINICION 1.1 El producto cartesiano de dos conjuntos Si A y B son dos conjuntos dados, entonces el producto car tesiano de A y B , denotado por A x B , es el conjunto de todas las posibles parejas ordenadas {a ,b) para las cuales la primera componente es un elemento de A y la se gu n da componente es un elemento de B. En sím bolos escribim os : A x B = { (a , b)a e A , b e B } V _________________________________ Por ejemplo , s i A = { 2 , 3 , 5 } y B = { a , & } , entonces A x B = { (2 , a) , (2 , b ), (3 . a ) , (3 , b) , (5 , a ) , (5, b ) } El producto cartesiano con el que trataremos en este libro es R x R, denota do mediante R 2, que se define com o el conjunto infinito de parejas ordenadas de núm eros reales. En sím bolos : R x R = { (x , y) | x e R . y e R } A sí com o el conjunto R de los núm eros reales es representado geométricamente por una recta real, el conjunto R 2 se representa geométricamente mediante un plano llamado plano real.
- 8. Capítulo I: Vectores en el plano El plano real consta de dos rectas perpendiculares entre si, llam ados ejes de coordenadas, y su punto de intersección O se llama origen de coordenadas. Las cuatro regiones en los que los ejes de coordenadas dividen al plano se llaman cua drantes, y se num eran I , II, III y IV com o se muestra en la Figura 1.1. Las distancias desde O a los puntos sobre los ejes son distancias dirigidas, es decir positivas a la derecha y negativas a la izquierda sobre el eje X y positivas hacia arriba y negativas hacia abajo sobre el eje Y. La Figura 1.1 muestra los signos de los com ponentes de cada par (x , y) en los cuatro cuadrantes. f Y i 1 1 i I (+.+) o( III F A IV (+. -) V c Y i y y - k ¡ 1 1 h________ u b s c i s iJ ________ ^ f • >') 1 1 ¡ i o V X J FIGURA 1.1 FIGURA 1.2 Establezcam os ahora una correspondencia biunívoca entre los puntos Pdel plano y los elementos (x , y) de R :. El asociar a cada par ordenado (x , y) un punto P se lleva a cabo com o sigue : 1. Por el punto que corresponda al número x sobre el eje horizontal (eje de absci sa s) se traza una recta paralela al eje vertical. 2. Por el punto que corresponda al núm ero y sobre el eje vertical (eje de ordena das) se traza una recta paralela al eje horizontal. 3. Al punto de intersección P de estas rectas se le asocian las coordenadas (x , y). P se llama “la gráfica de (x , y)” o simplemente “el punto (x , y)”. O bsérvese que todo P del plano determina un par (x , y) de núm eros reales, que son su abscisa y su ordenada, y recíprocamente, todo par (x , y) determina un punto P (Figura 1.2). Este medio de establecer una correspondencia uno a uno (biunívoca) se llama sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas. Debido a que existe esta correspondencia uno a uno, si dos pares ordenados co rresponden al m ism o punto, los pares deben ser iguales. Tenem os entonces la si guiente definición. Sección 1.1: Coordenadas rectangulares 3 DEFINICION 1.2 Igualdad de pares ordenados v_ La igualdad de pares (a , b) y (c , d) se define con {a ,b )-{ c ,d) <=> a =c y b =d Ejemplo 1 ^ Para qué valor o valores de x se tiene que (2x2 - 7 x + 1 . 3x - 1) = (-2 , 8) Solución. De la Definición 1.2 , se sigue que : (2x: - 7x + 1 = -2) a (3x - 1 = 8) de donde : (2x3- 7x + 3 = 0) a (3x - 9 = 0) <=> (x = 3 ó x = 1/2) a (x = 3) El número que buscam os es la solución com ún , esto es, x = 3 ■ Ejemplo 2 J Hallar los elementos del conjunto A = { (x , y) I (2x2 + 7x , 4 y 2 - 19y) = (x , -12) } Solución. Se g ú n la Definición 1.2, se debe cumplir que : (2x: + 7x = x) a (4y: - 19y = -12) <=> (2x2+ 6x = 0) a (4y: - 19y + 12 = 0) <=> (x = 0 óx = -3) a (y = 3/4 ó y = 4) Por lo tanto : A = { (0 , 3/4) , (0 . 4). (-3 , 3/4) , ( - 3 , 4 ) } ■ Una propiedad importante que debe recordarse es que si se emplea una m ism a escala en am bos ejes coordenados, entonces la distancia que separa a dos puntos A ( x ,, y,) y B (x ,, y :) en el plano es. por definición, la longitud del segm ento de recta que los une. El siguiente teorema establece una fórmula de la distancia en términos de las coordenadas de los dos puntos. TEOREMA 1.1 Fórmula de la distancia D ado s dos puntos A (x ( , y,) y B (x ., y,) en el plano, la distancia entre los d os puntos viene dada por la fórmula d ( A , B) = V(x, - x,): + (y, - y, ): .________________________________________________________________ Demostración. La demostración se basa en el teorema de Pitágoras. En efecto, en el triángulo rectángulo A C B de la Figura 1.3 I A"B I -’ = I Á C I - + IC B I = I x 2- x, 1 2+ 1y, - y ,|2 y de aquí obtenem os : d{A , B) = V(x, - x,)- + (y, - y ,)2
- 9. 4 Capitulo 1: Vectores en el plano E j e m p lo 3 ) Dem uestre que el triángulo A B C con vértices A (1 , -3), B (3 , 2) y C(-2 , 4) es un triángulo isósceles. Demostración. La fórmula de la distancia da I A B I = V(3 - 1): + (2 + 3)-’ = Í29 IB C | = V(3 + 2)’ + (2 - 4)- = V29 I A C j = V(1 + 2): + (-3 - 4)- = V58 Dado que I A B I = j B C I , queda probado que el triángulo A B C e s isósceles. Com o I A B I -’ + I B C 12= IA C 1 2 , la recíproca del teorema de Pitágoras implica ade m ás que A B C e s un triángulo rectángulo. ■ EJERCICIOS : Grupo 1 En los ejercicios 1 - 6, determine para qué núm eros reales la ecuación e s válida. Si no existe solución, indíquelo. 1 . (x - 2y , 2x + y) = (-1 , 3) 4. (x2 + 2x , 2 x 2 + 3x) = (-1 , -1 ) 2. (2x + 3y , x + 4y) = (3 ,-1 ) 5. (x2 - y 2 , 4) = (12 , xy * y 2) 3. (x2 - 2x , x2 - x) = (3 , 6) 6. (x2 - xy , 3) = (12 , xy - y 2) 7. Hallar los elementos del conjunto S = {(x , y) I (x2 + 2xy , 3 x2 + 2 y 2) = (16 , 4xy + 6)} 8. Hallar los elementos del conjunto S = {(x , y) I (x3- y3, 6) = (19 , x2y - xy2)} Sección 1.2: R: como espacio vectorial 5 9. Se a n los pares ordenados A = (2x + y - 3 , 5y - x - 8) y B = (x + 3y - 11 , 2x + 3y + 4); si A = B, encontrar el valor de S = 4x + 5y 10 . Determ ínese gráficamente las coordenadas del punto I de intersección de la recta que pasa por A(2 , 3) y B (-1 , 4) y la recta que p asa por C(-1 , 0) y D(-2 , 3). 11. Hallar x de modo que la distancia de A(2 , -1) a B(x , 2) sea 5. 12. Dem uestre que los puntos A(-4 , 4), B (-2 , -4) y C (6 , -2) son los vértices de un triángulo isósceles. 13. Probar que los puntos A(4 , 0), B(2 , 1) y C(-1 , -5) son vértices de un triángulo rectángulo. 14. U sar la fórmula de la distancia para determinar que los puntos A(-2 , -5), B(1 , -1) y C(4 , 3) están sobre una recta. 15. Dem uestre que M ^ t, es punto medio del segm ento cuyos extre m os son los puntos A(a , b) y B(c , d) I^ T ) R 2 C O M O E SP A C IO V E C T O R IA L ________________________ Tom ando al conjunto R de núm eros reales hem os construido el producto cartesiano R x R, al cual sim bolizam os por R- = { (x , y) I x e R , y € R } Un hecho de fundamental importancia en este conjunto es que podem os definir en él dos operaciones entre su s elementos sim ilares a la adición y multiplica ción de núm eros reales. Este hecho hace que tal conjunto tenga una estructura algebraica llamada espacio vectorial y que, por tanto, nos podam os referir a él no solo com o el “el conjunto R 2”, sino com o el “espacio R :”. Las operaciones que defini m os en R 2son : DEFINICION 1.3 Adición de pares ordenados de números reales Si A = (a, , a:) y B = (bl , b2) son dos pares ordenados en R 2, definimos su suma como A + B = (tf, + 6, , az , b2) A la operación que a cada par le hace corresponder su sum a la llamaremos adición de pares ordenados. Por ejemplo, si A = (3 , 5) y B(l , -8), entonces : A + B = ( 3 + l , 5 + (-8)) = (4 , -3)
- 10. 6 Capítulo I: Vectores en el plano DEFINICION 1.4 Multiplicación de un número real por un par ordenado Si A = (at , a,) e s un elemento de R 2 , y r es un número real (llamado escalar), definimos su producto com o rA = (ra ,, rtí,) A la operación que hace corresponder a cada número real y cada par ordenado su producto escalar la llamaremos multiplicación de un número real por un par ordenado. Por ejemplo, si A = (-2 , 6) y r = 3/2 , entonces : r A = y (-2 , 6) = ( y (2), y (6)) =(-1,9) O bsérvese que, según estas definiciones, tanto la sum a de pares com o la multiplicación de un escalar por un par ordenado, son nuevam ente elementos de R 2. Por ello se dice que estas operaciones son cerradas en R 2. Estas dos operaciones gozan de propiedades m uy importantes que se indi can en el siguiente teorema. TEOREMA 1.2 Propiedades de los pares ordenados D ados los pares ordenados A, B, C e R 2y los escalares r, s e R, se cumplen las siguientes propiedades para la adición de pares ordenados y la multipli cación de escalares por pares ordenados. A, :Si A, B e R : ■=* (A + B) e R 2 (Clausura) A 2 :Si A, B e R : => A + B = B + A (Conmutatividad) A 3 :Si A, B, C € R 2 <=> (A + B) + C = A + (B + C) (Asociatividad) A 4 :Propiedad del elemento identidad para laadición de pares 3 ! 0 e R 2|A + 0 = 0 + A = A , V A e R : (0 = (0 ,0)) A s : Propiedad del elemento inverso para la adición de pares 3 ! - A 6 R 2 1A + (-A) = (-A) + A = 9 , V A e R 2 M, : Si r g R y A e R 2 <=> r A e R 2 (Clausura) M 2 : 3 l e R I l A = A , V A e R 2 (Existencia del elemento neutro) D, :r (A + B) = r A + r B , V r e R , V A , B e R 2 (Ley distributiva) D 2 :(r + s)A = rA + sA , V r , s e R , V A e R 2 (Ley distributiva) D 3 :r(sA) = (rs)A , V r , s e R , V A e R 2 (Ley distributiva) S e deja al lector la demostración de cada una de estas propiedades haciendo uso de las propiedades respectivas de los núm eros reales. Sección 1.2: R: como espacio vectorial 7 DEFINICION 1.5 El espacio vectorial El espacio vectorial V es un conjunto de elementos, llamados vectores, junto con un conjunto de elementos, llam ados escalares, con dos ope raciones llam adas adición vectorial y multiplicación cscalaraes que para cada par de vectores A y B en V y para todo escalar r, un vector A + B y un vector iA están definidos de tal forma que las propiedades del Teorem a 1.2 se satisfacen. El Teorem a 1.2 nos demuestra que el conjunto R 2 e s un espacio vectorial sobre R. denotado por V,. Por tanto a los pares representados por ( x , y) también los llam aremos vectores. DEFINICION 1.6 Vectores en el plano Un vector en el plano es un par ordenado de núm eros reales de la forma <x . y), donde x e y son las componentes del vector. Para denotar vectores se utilizan letras en negritas tales com o A, B, C, a, b, —) —) c, v, x, y, z. En la escritura a m ano se usan los sím bolos com o A , a , de tal forma que un vector A de com ponentes escalares x e y se escribirá A = (x , y), para distinguirlo del punto A(x , y). Para denotar los núm eros o escalares, se usarán letras m inúscu las tales com o a, b, c, r, s, t, x, y, z, com o contraste con los vectores. Dado dos vectores en V,, A = (x, , y,> y B = ( x , , y , ) , podem os definir 1. Si A = B <=> (x, = x,) a (y, = y,) (Igualdad de vectores) 2. A + B = (x, + x , , y, + y,) (Definición 1.3) 3. r A = (r x, , r x,) (Definición 1.4) Ejemplo 1 ] Si A = (-2 , 3) y B = (4 , -1), hallar el vector V = 2A + 3B Solución. Si V = 2(-2 , 3) + 3(4 , - 1) <=> V = (-4 , 6) + (12 , -3) (Def. 1.4) = ( - 4 + 1 2 , 6 - 3 ) (Def. 1.3) = (8 , 3) ■ 1 Ejemplo 2 j Hallar el vector x en la ecuación 2(-1 , 2) + 3x = (4 , -5) Solución. Su p on ga m os que x = (x, , x,), entonces en la ecuación dada :
- 11. 8 Capítulo l: Vectores en el plano 2<-l , 2) + 3<X, . x2> = (4 , -5) => (-2 , 4) + <3x, , 3x,) = <4 , -5) (Def. 1.4) «=* <-2 + 3x, , 4 + 3x,) = <4 , -5) (Def. 1.3) Por la igualdad de vectores : -f - + ^x i - 4 ^ x i - - *- 4 + 3x, = -5 <=> x, = -3 Por tanto, el vector buscado es : x = (2 , -3) ■ Cjcmplo 3 J Hallar todos los núm eros reales r y 4 tales que r (4 , -6) + 4 (5 , -2) = <7 , 6> Solución. <4r , -6r) + <54 , -2ó> = <7 , 6> (Def. 1.4) <4r + 54 , -6r - 24> = <7 , 6> (Def. 1.3) Por la igualdad de vectores : -f 4r + 54 _ 7 l -6r * 24 = 6 Resolviendo el sistem a obtenem os los núm eros : r = - 2 , 4 = 3 ■ EJER C IC IO S: Grupo 2 1. D ados A = (3 , -4), B = (8 , -1) y C = (-2 , 5), hallar el vector V. s i : a) V = 3 A - 2 B + C c) V = 2 (A - B) + 3C b) V = 4 A + 1 ( B - C ) d) V = 2(A + C ) + 1 ( B - 2 C ) 2. Hallar el vector X en las siguientes ecuaciones : a) 3 <0 , -2) + 2 X - 5 <1 , 3) = (-3 , -5> b) <15 , -12) + 2[ (-6 , 5) + X] = 4(1 ,-2) c) 2 X - 3 <1 , -2) = 5 <-1 , 3) - X 3. En las siguientes relaciones hallar, si existen, todos los núm eros reales r y s a) r <-2 , 3) - s (8 , 1) = <16 , 15) c)r <-2 , 3) + s <4 , -6) =<0 , 2) b) r <5 , 1) + s <-3 , 5) = <-2 , 8) d) r <4, 3) + s <-1 ,2) = <2 , -26) 4. Si <1 , 5) + 2x = <7 , -3), hallar r y t , tales que (-3 , 2) = r x + t<2 , -4) 5. Si A = <n , m ), B = <1 , -2), C = <-1 , -3) y m A + n B - C = <0 , m2) , hallar el valor de 3m + 2n 6. Si A = (m , n ) . B = <2 , -3) y C = <-1 , 1), hallar m y n para que se cumpla m A + nB + C = 2n<1 , 0) Sección 1.3: Representación geométrica de un vector en el plano 9 7. Si A = <2 , 3 ), B = <3 , -2) y C = <4 , -1), resolver la ecuación 2A - 3( — (B - 3C) + ^ X ] = l x + 3C 2 4 4 8. Hallar los elementos del conjunto V = { <m , n) e R : I <12m - 1 |, 12m + 1 |) = <5 , 9)} 9. D ado s los vectores A = <3x - 5 , x - 2y + 2) y B = (x - y - 2 , 3 - 2 y ) , hallar x e y tales que 3 A = 4 B 10. Si A = <2m - 3n , 4n - m) y B = <2 , -3), hallar los valores de m y n que hacen que A = 5B. 1-3 ) REPRESEN TACION GEO M ETRICA DE UN V EC TO R EN EL PLANO Geométricamente, cualquier par de puntos distintos S y T en el plano deter minan un segmento de recia orientado ST de S a T. Si representam os este segm ento de recta por un vector V = <x , y ) , mediante una flecha, éste se llama vector geomé trico cuyo punto inicial es S (x ,, y,) y tiene com o punto final T(x + x, , y + y t). De este m odo un vector V e R : puede interpretarse com o una traslación descrita por un par de núm eros reales (x , y ) , la primera componente indica un desplazam iento paralelo al eje X y la segunda componente un desplazamiento paralelo al eje Y. La Figura 1.5 ilustra seis representaciones del vector V = <x , y). En cada caso , V traslada el punto (x^, y ) en el punto (xt + x , y + y). Si am bos puntos , el inicial y el final son el origen , entonces a V se le llama vector cero y se denota mediante O = <0 , 0). r Yi ■N J * - > j > ■y'U A A .Vi T Ji' r s( J w V Vy O A V I T / > > k p, v — p S 0 V FIGURA 1.5 FIG URA 1.6 El segm ento de recta dirigido O P que va del origen al punto P(x , y) es una representación ordinaria del vector V = (x , y) y se dice que la flecha o vector tiene posición ordinaria o estandar. Por esta razón, el vector V se llama vector de posición o radio vector del punto P(x , y).
- 12. 10 Capítulo I: Vectores en el plano DEFINICION 1.7 Vector Localizado Un vector localizado en R : e s una pareja de puntos P t y P, que se indican con P P, para los cuales P, e s el punto inicial o de partida y P, es el punto final o de llegada (Figura 1.6). S i una flecha tiene com o punto inicial a p ,(x , . >',) Y a p2(xr ’ >'i) com o punto final, entones la flecha P,P, es una represen tación geométrica del vector V = (x . y ) , donde : <x J > = <; - 1 (1) Si consideram os a P l y P, com o vectores de posición de los puntos ?! y P, entonces, según la Definición 1.7 : V = p p = p - p 12 *2 *1 de donde : i'v + p, = «*.) (2) Esta ecuación nos permite conocer analíticamente el punto final P, del vector V co nociendo, desde luego, el punto inicial y las com ponentes del vector V. I O B S E R V A C IO N 1.1 Un vector en R : puede ser considerado com o una función cuyo dominio y rango e s el conjunto de puntos en el plano. En efecto, si V es el vector que traslada el punto P, en el punto P, escribim os V(P,) = —> P,. A sí si P,(x, , y,) es el punto de partida y V = (x , y) e s el vector localizado PtP„ entonces V (P.) = (x, + x , y, + y) = P2 i i Dominio Rango D ebem os notar que si V (P,) = P, <=> V = (0 , 0) Cjemplo 1 ] Hallar V (P l). dados P, = (-2 , 1) y V = (3 , 4). Graficar P,P, Solución. Se gú n la ecuación (2): V (P,) = P, <=> P2= (x, + x , y, + y) = (-2 + 3 , l + 4) = d . 5 ) La gráfica de P,P, se muestra en la Figura 1.7 Sección 1.3: Representación geométrica de un vector en el plano 11 E j e m p lo 2 ^ | Hallar el vector localizado de P ,P 2 si P, = (5 , -2) y P 2= (2 , 3). Interpretar geométricamente el resultado. —) Solución. Se g ú n la Definición 1.7 : V = P,P, = P, - P, = < 2 ,3 > -< 5 ,-2 > = ( 2 - 5 , 3 - (-2)) = (-3 , 5) La gráfica de P,P, se muestra en la Figura 1.8, en ella se puede observar la equiva lencia del vector localizado P,P: y del vector de posición V = P, - P, ■ E j e m p lo 3 ] Un vector que va de A(3 , 5) a B(x , y) representa al mismo vector que va de B(x , y) a C (8 , 1). Hallar B(x , y) Solución. Se a n : V = A B = B - A = <x , y) - (3 ,5) = (x - 3 , y - 5) W = B C = C - B = <8 , 1> - (x ,y) = <8 - x , 1 - y> r X - 3 = 8 - X <=> X = 11/2 Si V = W <=> <x - 3 , y - 5) = <8 - x , 1 - y> c=* | Por tanto, el punto buscado es B (1 1/2 , 3) y - 5 = 1 - y ■=> y = 3 Ejemplo 4 } En la Figura 1.9, se tiene : O P = x3 y O Q = x2y . , Si b = (y3 + 19 , 6 + xy2) y a = b , hallar el valor de x + y. —> —> Solución. Las com ponentes del vector a son O P y O Q ■=> a = < x*, x2y) r x’ = y J + 19 <=> xJ - y- = 19 (1) L u e g o , si a = b <=> < , , , ,, , I x :y = 6 + xy- «=> x*y -xy- = 6 (2 ) Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas obtenem os : x =3 , y = 2 ó x = -2 , y = -3. D ado que en la Figura 1.9, O P y OQ f p k i / ’o ^ / A f c FIGURA 1.9 son negativos, descartam os la primera alternativa. Por tanto : x + y = -5
- 13. 12 Capítulo I: Vectores en el plano EJER C IC IO S: Grupo 3 En los ejercicios del 1 al 4, hallar V ( P , ) , dados V y P,. S i P 2 = V ( P , ) , graficar P P11*2‘ 1. V = (2 , 6) , P, = (1 ,3) 2. V = <-4 , 1 ), P, = (-2 , -3) 3. V.= (-3 , 5 ), P, = (-5 , -2) 4. V = <5 , -1), P, = (-2 , 4) En los ejercicios del 5 al 8, hallar el punto S(x , y) tal que P Q y R S sean repre sentaciones del m ism o vector 5. P(2 , 5), Q(1 , 6) , R(-3 , 2) 7. P(0 , 3 ), Q (5 , -2), R(7 , 0) 6. P (-1 , 4) , Q (2 , -3), R(-5 , -2) 8. P(-2 , 0 ), Q(-3 , -4), R(4 , 2) 9. El vector V = (3 , 2) e s el vector localizado del segm ento A B cuyo punto m e dio e s C (3 , 1). Hallar las coordenadas de los extremos de AB. 10. Se an los puntos P(5/2 , 5 ), Q(1/3 , 13/4) , R(-16/5 , 7/2) y S (x , y). Si P Q y R S representan el m ism o vector, calcular el valor de 30x + 80y. 11. Se a V = (7 , -6) el vector localizado del segm ento A B y C(5/3 , 3) el punto de trisección m ás cercano de B, de dicho segmento. Hallar las coordenadas de A y B. 1 2 . En la Figura 1.10 se tiene : O P = x3 , O Q = 6 - x Hallar a , si b= (9xy - y 3 , y) y a= b. 13. Se a n A (a , -2) , B(2 , 4 ), C (8 , -3) y D = { (x , y) I y = 2x + 1} Si A B = C D , hallar el valor de a - x 1.4 ) M A G N IT U D Y D IR E C C IO N DE UN V E C T O R EN R2 Para cada vector V e R - , V = (x , y ) , existe un escalar o número llamado norma. módulo o magnitud de V, denotado por 11V 11, tal que : II V|| = V x2+ y: (3) La fórmula (3) es coincidente con la noción intuitiva de longitud de un segm ento deriva del teorema de Pitágoras. La Figura 1.1 1 ilustra esta propiedad. FIGURA 1.11 Sección 1.4: Magnitud y dirección de un vector en R2 13 Cjemplo 1 ^ Hallar la magnitud del vector de extremos A(1 , 3) y B(-2 , 7). Solución. Si V es el vector que va de A a B, entonces V = Á B = B - A = (-2 - 1 , 7 - 3) = (-3 , 4> Luego, según la fórmula (3): 11V11 = V(-3): + (4)- = 5 ■ TEOREMA 1.3 Propie<' des de la norma de un vector en R- V A , B e R : , y V r e R se cumplen las siguientes pro N, : V A e R- , 11A ¡| > 0 N 2 : ||A II = 0 <=> A = O N 3 : V r e R . V A e R - , 11rA 11 = I r 1. 11A11 N 4 : V A ,B e R : , | a + B | | < | | a || + 11 B 11 (Desigualdad triangular) V________________________________________________________________ Demostración de N1: En efecto, si A = (x , y> <=> ! A 11 = ’x: + y2 Si x * 0 y * c=> 11A 11 0 Sa b e m o s que si existe la raíz cuadrada de un número, ésta es positiva, por lo tanto, 11A 11 > 0 Demostración de N2 : (■=>) Si II A II = 0 => 11 A 11 = vx- + y : = 0. La igualdad se cumple si x = y = 0, esto e s , A = (0 ,0) = O ( H Si A = O t=> A = (0 , 0) <=> 11A 11 = '0: + 02= 0 Por consiguiente : I A !I = 0 <=> A = O Demostración de N3: En efecto , si A = (x , y) ■=> r A = (rx , ry) y 11rA 11 = V(rx): + (ry): = r:(x2+ y :) = r 2 . Vx: + y : 11rA11 = I r I Vx: + y : DEFINICION 1.8 Dirección de un vector en R : A cada vector no nulo , V = (x , y) e R 2 , le corresponde una dirección dada por la medida del ángulo a (ángulo de dirección de V) que forma el vector con el semieje positivo de las X, para el cual S e n a = — , C o s a = — -L— = ■ ■ ,x : - (4) 11V 11 V.- + v 2 11V 11 V x: + y y 0 o < m (a) < 360° De las ecuaciones (4) se sigue que V = (x , y) = 11V 11 (C o s a , Se n a ) (5)
- 14. 14 Capítulo 1: Vectores en el plano Por tanto, un vector en R: queda determinado por su magnitud y dirección. I O B S E R V A C IO N 1.2 La dirección m (a) del vector V se obtiene de la manera siguiente Mediante un ángulo de referencia a, y haciendo uso de una tabla de valores se halla el valor de con 0o < mía,) < 90° para el cual Tg a, = |y| . x * 0 Si x > 0 , y > 0 o m (a) = m(a,) (Cuad. I) x < 0 , y > 0 «=* m (a) = 180° - m(a,) (Cuad. II) x < 0 , y < 0 => m(a) = 180° -t- m(a,) (Cuad. III) x > 0 , y < 0 t=> m(a) = 36(T - m (a() (Cuad. IV) D esde luego, si x = 0 pero y * 0, entonces m (a) = para y > 0 ó y < 0. Ejemplo 2 J Hallar la magnitud y dirección del vector V = <-3 , 4) Solución. Se gú n la fórmula (3), la magnitud del vector V e s II V|| = V (-3): + (4)3 = 5 Por las ecuaciones (4) la dirección del vector está dada por S e n a = | y C o s a = - j Dado que S e n a > 0 y C o s a < 0 , entonces a está en el II cuadrante. Angulo de referencia : Tga, = |-|| = -i <=> a, = 5398’ Por lo que : m(a) = 180° - 53°8’ = 126°52’ ■ Ejemplo 3 J Expresar el vector V = (3 , -33) en términos de su magnitud y de su ángulo de dirección. Solución. Se gú n (3): 11V11 = '(3)2 + (-33)2 = 6 y por las ecuaciones (4): S e n a = - ^ y C o sa = ^ Com o S e n a < 0 y C o s a > 0 , entonces a está en el IV cua drante. Angulo de referencia : Tga, = |-¿| = V3 => m(a,) = 60° í YÁ u v u J FIGURA 1.14 90° ó m(a) = 270° respectivamente Sección 1.4: Magnitud vdirección de un vector en R ' 15 Luego, m (a) = 360° - 60° = 300° Por lo que, según la ecuación (5): V = 6(C o s 300°, Se n 300°) DEFINICION 1.9 Vector unitario Dado un vector no nulo V = <x , y), llam am os vector unitario a un vector u que tiene la m ism a dirección de V tal que : u = V / x... _ > ! _ (6) i i vil i i vti i i v i r o bien u = (C o sa , Se n a ) (7) Ejemplo 4 J Hallar un vector unitario que tiene la m ism a dirección y sentido del vector V = <-3 ,V7) Solución. La norma del vector dado e s : 11V i ! = V(-3)’ + (V7): = 4 Por la fórmula (6): u - ^ ^ ) ■ í Ejemplo 5 j Hallar un vector de módulo 10, que tenga la m ism a dirección y sentido opuesto al vector que va de S(4 , 2) a T(1 , 6). Solución. S e a A = ST = T - S = (1 - 4 , 6 - 2) = (-3 , 4) . < - 3 , 4 ) Un vector unitario en la dirección de A es : u = — ^— Luego, el vector buscado e s : V = - 11V I! u <=> V = <6 , -8) ■ (Ejemplo 6 j Hallar un vector unitario en la dirección del vector V de longitud 5, que tiene su punto inicial en (1 , -1 ) y su punto terminal tiene abscisa 4. Solución. S i P,(I , -1) y P, = (4 , y) => V = P,P, = P2- P, = <4 , y) - (I , -l) = <3 , y + i> (1) C om o 11V11 = 5 <=» V9 + (y + I )2 = 5 .=> (y + 1): = 16 <=> y + 1 = 4 ó y + 1 = - 4 <=> y = 3 ó y = -5
- 15. 16 Capítulo I: Vectores en el plano Luego, en (1) : V = (3 , 4) ó V = (3 , -4) EJER C IC IO S: Grupo 4 En los ejercicios del 1 al 4, se dan las coordenadas de los puntos A y B. Expre sar el vector V = A B en términos de su magnitud y de su ángulo de dirección. 1. A(-3 , 4 ), B(-5 , 6) 3. A(5V3„ 4 ), B(V48 , 5) 2. A( 12 , -3), B(V27 , -4) 4. A(3>/5 , - V Í5 ) , B(V20 , -V60) 5. Hallar un vector V cuya magnitud es igual a la del vector A = (4 , -2) y cuya dirección es la m ism a que la del vector B = (1 , 3 ) 6. Hallar un vector de m ódulo 10 que form a un ángulo de 3 7 9 con el eje X positivo. (Sugerencia: U sar C o s 372 = 3/4) 7. Hallar un vector de m ódulo 15 que form a un ángulo de 5 3 s con el eje Y positivo. (Sugerencia : U sar C o s 539 = 3/5) 8. Hallar un vector que tenga la m ism a magnitud del vector que va de A(-2 , 3) a B(-5 , 4) y que tenga el sentido opuesto al vector que va de S(9 , -1) a T(12 , -7). 9. Hallar un vector V de longitud 6 3 y que tiene la m ism a dirección de un vector que forma un ángulo de 309 con el sentido positivo del eje X. 10. Si V = <x , y ) , cuya norma e s 6 e y = 3 x , hallar dicho vector. 11. Hallar un vector unitario en la dirección del vector V de longitud 17, que tiene su punto de apoyo en (3 , -12) y su punto terminal tiene ordenada 3. O P E R A C IO N E S V E C T O R IA L E S F U N D A M E N T A L E S^ 11.5 A D IC IO N DE V E C T O R E S EN R-_________________________ D ados dos vectores A y B en R- tales que A = <x, , y,) y B = ( x , , y,>, defini m os la adición del modo siguiente : A + B = (x, , y,) + <x2 , y,) = <x, + x , , y, + y,) (8) Por ejemplo, si A = (5 , -7) y B = (-3 , 2), entonces : A + B = <5 - 3 , -7 + 2> = <2 , -5) Sección 1.5: Adición de vectores en R2 r TEOREMA 1.4 Propiedades de la adición vectorial Si A , B y C son vectores en R 2, entonces se cumplen las si guientes propiedades A, : Si A y B e R 2 <=> (A + B ) € R Clausura A., : A + B = B + A Conmutatividad A 3 : (A + B) + C = A - ( B + C) Asociatividad A : 3!0 6 R 2 , V A € R 2 I A + 0 = 0 + A = A Elem ento neutro para la adición A 5 : V A e R 2 , 3(-A) € R 2! A + (-A) = (-A) + A = 0 Opuesto de un vector v . . ■J Demostración de A, : En efecto, si A = (x, , y,) y B = ( x , , y , ) , entonces, por (8): A + B = (x, + x ,, y, + y2) Puesto que la adición es cerrada en R «=> (x, + x,) e R y (y, + y,) e R Por lo tanto , (x, + x , , y, + y,) e R 2 «=> (A + B ) e R ! Demostración de A4: Consta de dos partes : Existencia y Unicidad Existencia. Si A = ( x , , y,>, se tiene A + O = <x, , y,) + <0 , 0) = <x, + 0 , y, + 0) = < x ,, y,> = A Análogam ente se dem uestra que : O + A = A Unicidad. S e a O i otro elemento de R 2que también cumple A + 0, = 0 1+ A = A Esta igualdad es cierta VA e R :, en particular se A = O , entonces 0 +0 ,=O,+0 =0 Análogam ente, haciendo A = O , , en A 4se sigue que O,+0 =0 +0 ,=O, Luego, las dos igualdades anteriores prueban que o, =o Por lo tanto, queda dem ostrado que : 3 ! O e R 2 , VA s R 2 A + 0 = 0 + A = A íj.5 .l) R E P R E SE N T A C IO N G R A F IC A DE LA S U M A DE V EC T O R E S EN R 2 __________________________ _ _ Se a n los vectores A y B en R 2, la flecha que representa a la sum a A + B se obtiene del m odo siguiente Representam os una traslación a lo largo de una flecha cualquiera que represente al vector A = (x, , y,) seguida de una traslación del punto final de esta flecha a lo largo de la flecha que representa al vector B = ( x , , y,). La traslación total correspondiente
- 16. 18 Capitulo I: Vectores en el plano al vector A + B. es una flecha que tiene com o punto inicial el del vector A y com o punto final el del vector B (Figura 1.15). La sum a A + B o B + A s e conoce com o el vector resultante y es la diago nal de un paralelogramo que tiene com o lados adyacentes a los vectores A y B. La obtención de la sum a A + B siguiendo este procedimiento recibe el nombre de ley del paralelogramo, que se ilustra en el siguiente ejemplo. C jo m p lo 1 ) D ados los vectores A = (-1 , 4) y B = (3 , 2), hallar A + B y construir una gráfica que muestre las representaciones ordina rias correspondientes a los vectores. Solución. Por definición : A + B = (-1 + 3 , 4 + 2) = (2 , 6) En la Figura 1.17, obsérvese que la flecha que va de S a T representa al vector A y la flecha que va de R a T representa a B (por segm entos de paralelas). ■ DEFINICION 1.10 Negativo de un vector en R- Si A e R :, tal que A = (x , y), se denom ina negativo o inverso aditivo de A al vector -A = (*x , -y) Sección 1.5.1: Representación gráfica de una suma de vectores en R2 Por ejemplo, el negativo del vector A = (-3 , 2) es Y1 ----------------- k -A = (3 , -2). | O B S E R V A C IO N 1.3 Dado el vector A s R : su i i negativo -A e R : e s colineal, de la m ism a m agni 0' r • - A l tud, esto es, 11-A 11 = 11A11, pero de sentido opuesto i que el vector A. Puesto que para cualquier vector V = (x , y) se FIGURA 1.18 tiene q u e : V + (-V) = <x , y> + <-x , -y) = <x + (-x ), y + (-y)> = (0 , 0) = O Esto n os lleva a la definición natural de diferencia de dos vectores. DEFINICION 1.11 Diferencia de vectores D a d o s d o s vectores A , B e R- , tales que A = <x, , y,) y B = <x, , y 2>, definimos la diferencia A - B del m odo siguiente : A - B = A + (-B) = <x, , y,) +.<-x: , -y,) A - B = (x, - x , , y, - y,> (9) ¡Cjem plo 2 J Si A = (4 , 2) y B = <-3,3), hallar la diferencia A - B y trazar una gráfica que muestre la representación ordinaria de los tres vec tores. Solución. Se g ú n la Definición 1.11 : A - B = <4 , 2) - (-3 , 3) = <4 - (-3), 2 - 3> = <7 , -1> ■ La representación ordinaria de cada uno de los vectores se muestran en la Figu- - ra 1.19. D ebem os destacar que el inverso aditivo de (-3 , 3) es <3 , -3) (negativo del vector B), que e s colineal y de la m ism a magnitud que (-3 , 3> , pero de sentido opuesto. La representación geométrica de A - B puede obtenerse aplicando la regla del paralelogram o a la sum a A + (-B). La Figura 1.20 nos muestra otra m anera de representar la diferencia A - B , que consiste en unir los puntos finales de los vectores B y A. | O B S E R V A C IO N 1.4 Si A , B e R 1, entonces la diferencia A - B satisface la con dición B + (A - B) = A, lo que explica porque algunas veces se dice que la diferencia A - B es el vector que va de B a A (Figura 1.20).
- 17. 20 Capítulo I: Vectores en el plano I j Q M U L T IP L IC A C IO N DE UN E S C A L A R PO R UN V E C T O R Dado un vector V = (x , y) € R 2 y un escalar r e R, el producto del escalar por el vector es otro vector rV para el cual rV = r(x , y) = (rx , ry) La magnitud de rV e s 11rV 11 = I r I . 11 V i I y su dirección es la m ism a que la de V, aunque su sentido puede ser opuesto, e s decir, los vectores V y rV son paralelos. I Nota. Al vector rV se denomina múltiplo escalar de V R E P R E S E N T A C IO N G R A F IC A . Se gú n que r se a positivo o negativo la gráfica de rV puede ser TEOREMA 1.5 Propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector Si A y B son vectores en R 2 y r, s e R (escalares), se cumplen las siguientes propiedades M, : i A e R ; Clausura Sección 1.6: Multiplicación de un escalar por un vector 21 M 2 : (r s) A = r (sA) Asociatividad M 3 : 1A = A Neutro multiplicativo M 4 : i A = 0 <=> r = 0 ó A = 0 Cero multiplicativo M 5 : - 1 A = -A Inverso multiplicativo D, : r(A + B) = rA + rB Distribuidad respecto a la adición de vectores D 2 : (r + s)A = rA + sA Distribuidad respecto a la adición de escalares M 6 : llr A ll = | r l . Il A ll Magnitud respecto a múltiplos escalares Demostración de D,. Si r e R y A , B e R : , tales que A = (x, , y,) y B = (x2 , y,) dem ostrarem os que : r (A + B) = rA + rB En efecto : r (A + B) = r «x, , y,) + <x2 , y,)) = r «x, + x2 , y, + y 2» (Adición de vectores) = <r (x, + x 2) , r (y, + y 2)> = (rx, + rx , , r y, + r y 2> (Múltiplo escalar) = <r x, + r y,) + (r x, + ry 2) (Adición de vectores) = r <x, , y,) + r <x, + y 2> (Múltiplo escalar) = rA + rB Demostración deD 2. Si r , s e R y A e R 2, tal que A = (x , y), dem ostrarem os que: rA + sA = (r + s)A En efecto : rA + sA = r <x , y) + s (x , y) = <r x , r y> + (s x , s y> (Múltiplo escalar) = <rx + s x , r y + s y ) (Adición de vectores) = ( ( r + s ) x , ( r + s)y > (Distribuidad en R) = (r + s) <x , y) (Múltiplo escalar) = (r + s)A í EJEMPLOS ILUSTRATIVOS^ Ejemplo 1 ) Dem ostrar que V A e R 2 :-(-A) = A Demostración. En efecto, según la propiedad A s : V A e R 2, 3! -A e R 21A + (-A) = 0 (1 ) y para el vector - A s R : , 3! [-(-A)] I (-A) + [-(-A)] = 0 (2) En (2), por la propiedad A 2, se tiene : [-(-A)] + (-A) = 0 (3) Por (1) y (3) y la unicidad del inverso aditivo se sigue que : -(-A) = A ■
- 18. 22 Capítulo 1: Vectores en el plano C jc m p lo 2 ^ Dem ostrar que s i : A = B c=> A + C = B + C , V C e R : Demostración.Por la propiedad A 4se sabe que 3! O e R 11B = B + O , V B e R 1 Por hipótesis : A = B , entonces , A = B + O (1 ) Por la propiedad A 5 : 3! (-C) e R-1 C + (-C) = O ', V C e R : (2) Sustituyendo (2) en (1 ) se sigue que : A = B => A = B + [C + (-C)] <=> A = (B + C) + (-C) (A 3) <=> A - (-C) = (B + C) + [(-C) - (-C)] c=> A + C = (B + C) + 0 (Ejemplo 1 y A 5) A = B <=> A + C = B + C , V C € R ! ■ Ejemplo 3 J Se a x un vector tal que (3 , -4> = x + (1 , -6>. Si (3 , -2) = tx + r(-2 ,1), hallarel valor de 3r + 6t Solución. En la primera ecuación se tiene : <3 * *4) • <1 , -6) = X + [ <1 , -6) - (1 , -6) ] <=> (3 - 1, -4 - (-6)) = x + O (Definición 1.11 y A 5) <=> (2 , 2) = x Luego, si (3 , -2) = t<2 , 2> + r <-2 , 1> = (2t , 2t) + <-2r , r) (Múltiplo escalar) = (2t - 2 r , 2t + r> (Adición de vectores) De la igualdad de vectores se sigue que : 3 =2t - 2ry -2 = 2t + r Resolviendo el sistem a obtenem os : r =-5/3 , t= - 1/6 3r + 6t = -6 ■ E je m p lo 4 j Resolviendo una ecuación vectorial * D a d o s : A = <-2 ,2), B = (3, -2) y C = (-1 ,1 >, resolver la ecuación 3 A - 2 [3(B - 2C) + 2Aj + 3 X = 2 C + X Solución. Restando 2C + X a cada extremo de la ecuación dada se tiene : 3A - 6(B - 2C) - 4 A + 3X - (2C + X) = (2C + X) - (2C + X) <=> (3 - 4)A - 6B + 12C + (3 - 1)X - 2C = O => -(A + 6B - 10C) + 2X = O <=> (A + 6B - 10C) - (A + 6B - 10C) + 2X = (A + 6B - 10C) ■=> 2X = A + 6B - 10C = (-2 , 2) + 6(3 , -2) - 10<-l . 1> = (-2 , 2) + (18 , - 12) + (10 , -10) EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 23 = ( - 2 + 1 8 + 1 0 , 2 - 1 2 - 10) = (26 , -20) • X = (13 , -10) Ejemplo 5 J Mediante segm entos orientados demostrar la propiedad A 3 : (a + b) + c = a + (b + c) Demostración. Se an los segm entos orientados PT = a , T S = b , SR = c , Haciendo uso de la ley del paralelogramo para la sum a de vectores se tiene : En el APTS : S = PT + T S = a + b E n e lA T S R : T R = T S + SR = b + c En el APSR : PR = PS + SR ■=> x = (a + b) + c (1 ) En el APTR : PR = PT + TR <=> x = a + (b + c) (2) FIGURA 1.23 Por lo tanto, de (1) y (2) se sigue que : (a +b) + c = a + (b + c) PR = X (Figura 1.23) r > / 'p V J I Ejemplo 6^ j Se a n los vectores A = (-2 , 3) y B = (4 ,-3). Un segm ento diri- O I . . . gido que representa a -| A - B tiene p or punto inicial O O S (5 , -3/2), hallar el punto final. —> Solución. S e a T (x , y) el punto final del segm ento ST Si S T = | A - 1 B => T - S = -I (-2 , 3> - 1 (4 , -3> = (-2 , 5/2) 3 6 3 6 S r X - 5 = -2 = Entonces, si : (x - 5 , y + = (-2 , -y) o -1^ ^ ^ Por tanto el punto final e s T(3 , 1). x - 5 = -2 t=> x = 3 5 2y + -f = ? ■=> y = i Ejemplo 7 J S e tie n e : 2(2 , -3) + C = (3 , -5) + (a , 7) y C está sobre la recta CJ ’ : y = x + 2. Si A(3 , 5) y B(-2 , 6) , hallar el punto P tal que P C = -AB. Solución. S e a C = ( x , y ) y s i C e W- : y = x + 2 e=> C = ( x , x + 2) En la ecuación dada : 2(2 , -3) + (x , x + 2) = (3 , -5> + (a , 7)
- 19. 24 Capitulo I: Vectores en el plano de donde : (x , x + 2) = (a - 1 , 8)o -f X ü ' ^ x + 2 = 8=> x = 6 Luego .C = <6 , 8>. S i P = (x ,, y,)y K ! = -A B => C - P= -(B - A) = A - B ==> <6 - x, , 8 - y,) = (3 + 2 , 5 - 6) <=> { Por tanto, el punto buscado es : P(1 ,9) 6 - x, = 5 <=> x, = 1 -y, = -i => y, = 9 I € j c m p lo 8 J L o s vectores A , B y C e R 2, cum plen que : A + 2 B = C y A - 3 B = 2C. Si A es un vector unitario, hallar la norma de B + C. Solución. De las ecuaciones dadas se tiene : A = C - 2B (1 ) A = 2C + 3B (2) Luego , s i : C - 2B = 2C + 3B <=> C = -5B Sustituyendo en (1) obtenem os : B = - J r A = > C = ^ A => B + C = y A , implica que : 11 B + C 11= -^ 11A 11 Com o A es un vector unitario , entonces : 11 B + C11 = ■ Ejemplo 9 ) En la Figura 1.24, se tiene : ||A ll = 3 . Il B || = 2 ||C || = 2 V ÏÔ Si T g a = 1/3 y T gp = 3, hallar el valor de m de modo que m A + 3B = nC t=> S e n a = 1/VTÔ y C o sa = 3/vlO > Se n p = 3/VTÔ y C osP = 1/VTÔ c=> A = 3(1 , 0) Yi ............. / v A >" j FIGURA 1.24 Solución. Si T ga = 1/3 TgP = 3 c Un vector unitario en el sentido de A e s (l ,0) B = 11 B 11 (-C o sa - Se n a ) = 2VTÔ (-3/VTÔ, -1/VÏÔ) => B = {-6 , -2) C = 11 C 11 (C osP , Senp) = VTÔ ( 1/VTÔ, 3/VÏÏj) => C = (1 , 3) r 3m - 18 = n Luego, si m(3 , 0) + 3(-6 , -2) = n(I , 3) <=> '- 0 - 6 = 3n <=> n = -2 Sustituyendo el valor de n en la primera ecuación obtenem os : m = 16/3 EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 25 Ejemplo 10J Se a el exágono regular de lado a , mostrado en la Figura 1.25. Al sum ar los segm entos orientados BA, AC, D C y —► A E se obtiene un vector S, hallar la norma de S. Solución. S i r es el radio de la circunferencia cir cunscrita al exágono regular, entonces : f:b= r = a y t }= r V3 , esto es , 11A C 11 = 11A E 11 = <zn'3, por ser lados de un triángulo equilátero. T rasladam os los vectores indicados a un sistem a bidimensional con origen en A, cuyo eje X siga la dirección de A D (Figura 125a). Ahora, aplicando la ecuación (5) tenem os : B A = I Ib a || ( C o s 240", Se n 2 40°)= a(- D C = IID C II (C os 120° , Se n 120°) = a <’ 7 - A C = 11A C 11 ( C o s 30° , Se n 30° ) = rV3 <W5<f , l > = « < 2 . f > A E = II A E !! ( C o s 330°, Se n 330° ) = aV3 = a (J- , - - Ç ) Por tanto, si S = B A + A C + D C + A E = (2a , 0) <=> 11S 11 = 2 a ( Ejemplo 11 ] Puntos de trisección de un segmento Dem ostrar que si P, * P 2entonces los puntos P y Q que trise can al segm ento que va de P, a P 2 tienen por vectores de posición a : P = 1 ( 2 P , + P,) y Q = 1 ( P , + 2P,) Demostración. En efecto, si P y Q son los puntos —> de trisección de P,P2, entonces: f } = i p ) , c * 3 (P -P ,) = P ; -P , => 3 P - 3 P , = P ; -P , de donde : P = -L (2P, + P,) 1. —7 9 P,Q= 3 P,P: => 3(Q - P,) = 2(P, - P.) => 3 Q -3 P , = 2 P : -2 P , c * Q = 1 ( P , + 2P:) FIGURA 1.26
- 20. 26 Capítulo I: Vectores en el plano E j e m p lo 1 2 ^ En la Figura 1.27, el triángulo O A B e s isósceles con O A = A B y PH es perpendicular a O B y mide 6 unidades. Si 11AQ 11 = 2 11QB 11, hallar el módulo de PQ. Solución. S e a O H = x <=> P(x , 6) A M A O M A = AO H P PH OM OH 8 2 3 => t ~ =* x=4 - 6 x 2 Luego, si P(3/2 , 6) entonces : PA = A - P = <2 , 8) - (3/2 , 6> = (1/2 , 2) Adem ás : Á B = B - A = (4 , 0) * (2 , 8) = (2 , -8) Por lo que,s i : 11A Q 11 = 2 11Q B 11 2^/-> _ov — 1 FIGURA 1.27 A Q = A B = -=- (2 , -8) C om o : PQ = PA + A Q = (1/2 , 2> + 4 ( 2 , -8) = 1 (11 , -20) i o =* IIp a II = ¿-V (ll)2+ (-20)- = V52I Ejemplo 1 3 ^ En la Figura 1.28, si P es tal que el área del triángulo A P C es el doble del área del triángulo C P B , hallar 11C P 11. Solución. Por la geometría plana se sabe que : a(AA PC ) = A P x P C _ A P a(ACPB) PB x PC PB Com o, a (AAPC) = 2a(ACPB) = 2 x + 4 = 2(2 - x) «=> x = 0 de donde : A P = 2PB => P - A = 2(B - P) c=> (x + 4 , y - 2) = 2 (2 - x , 10 - y) « í J l y - 2 = 2 ( 1 0 - y) = > y = 22/3 Luego : CP = P - C = (0 , 22/3) - (2 , 2) = -| (-3 . 8) II CP II = ¿V (-3 ): + 8- = |V73 EJERCICIOS ; Grupo 5 27 : Ejemplo 1 4 ] En el rombo de diago nales D y d es tal como se indica en la Figura 1.29, hallar la norma del vector v = v 1+ v 2+ v 3+ v 4 donde los vectores V, , V 2 , V 3 y V 4 llegan a los puntos m edios de los lados del rombo. Solución. C onsiderando un sistem a carte siano con su s ejes X e Y sobre —) —> las diagonales PR y SQ, respectivamente, te nem os : V, = R F = F - R = , 0 ) = ( - | D , £ ) v , = p o = q - p = < § . 4 > - < - f ' ° > = < l D - 4 > V, = Q E = E - Q = <- f . - | > - < 0 , 4 > = < - f ' V 4= 0 H = H - Q = ( £ , - | ) - ( 0 , | > = < £ , - j d ) Luego : V = V, + V, + V, + V 4= (0, - d) => 11V11 = d EJERCICIO S : Grupo 5 En los ejercicios 1 al 5, si A. B, y C son vectores en R :, demuestre la validez de cada afirmación. 1 . A + B = B + A (A2 : Propiedad conmutativa) 2. A + (-A) = (-A) + A = O (As : Inverso aditivo) 3. Si A + B = C A = C - B 4. Si A + B = B <=> A = O (Unicidad del idéntico aditivo) 5. Si A + B = O *=> A = -B (Unicidad del inverso aditivo) 6. Mediante segm entos orientados demuestre la propiedad A 2 : A + B = B + A 7. S e a P Q una representación del vector A. Q R una representación del vector B y —> —> —> —> R P una representación del vector C. Probar que si PQ, Q R y R P son los lados de un triángulo, entonces A + B + C = O
- 21. 28 Capítulo l: Vectores en el plano 8. D ados los vectores A = (5 , 2 ), B = (-3 , 4) y C = (7 , 4), resolver la ecuación 2 X + 5 A - 3 B = 4 C 9. S e a x un vector en R : tal que : (-5 , 2) = 2 x + <1 , -8) Si <-5 , 3) = t x + r <2 ,-1 ), hallar el valor de 2t + r 10. Resolver la ecuación vectorial: 3 (1 , -2) + 2 x = (2 , -1) - x 1 1 . D ado s los puntos A(5 , 1 ), B(-2 , 3 ), C(-3 , -2) y D(1 , -4), determinar el punto P(x , y) tal que : 3 A B - P D = 3 A P - ^ C D + B C 12. S e tiene : 2( <5 , -1) + C) = 3 <1 , 3) - (-1., a > . S i A(2 , 3) , B(3 , -1) y el punto final del vector C, en posición ordinaria, está sobre el conjunto P = { (x , y) I —) —> —> y = x2 - 1} ; hallar las coordenadas de un punto P tal que : A P + 2 P C = A B 13. Si A = (5 , -2), B = (2 , -5) y C = (-3 , 1), hallar un vectorunitarioen la dirección y sentido de V = 2 A - 3 B + 4 C 14. Se a n A y B vectores en R : tales que B es el opuesto de A. S i B tiene el m ism o sentido que el vector C = <-1/3 , 1/4) y la norm a de A e s 5 , hallar el vector V = 2 B + A 15. En la Figura 1.30 se tiene : O M = 5x/2 y O P = 27/2. S i A = <2x3 , 4 x 2 + 4 y 2) y B = ( i x y2 » ' 4 x y > , hallar x - y de modo que : 2 S = 1 A - 2B o o O 16. En la Figura 1.31, A B C D E F e s un exágono regular de lado a , hallar la norma o 1 ~* 1 —>de S, sabiendo que : S = ^ (AD + D E) + E B 17. D ado el exágono regular A B C D E F (Figura 1.32) , hallar el valor de p + 3 q , —> —> j —>—) —) sabiendo que : B C + C F + ± E F = p A B + q E F 18. En la Figura 1.33, P es un punto tal que el triángulo de área A, e s tres veces el área del triángulo de área Hallar la norma del vector V. 19. En la Figura 1.34 , O A B C es un cuadrado, P , Q , R y S son puntos m edios de Sección 1.7: Vectores paralelos 29 los lados O A , A B , B C y C D respectivamente. Hallar 11S T + BH 11 si T es punto medio de P Q y H es punto medio de'Q R . 20. En la Figura 1.35, si S = A + B + C, hallar S sabiendo que su segunda com po nente e s cero, que 11 B 11 = 20 , 11A 11 = 10V2 y que la primera componente de C es 20, (Asum ir Se n 37 9= 3/5). ( 1.7 J V E C T O R E S P A R A L E L O S D o s vectores A y B, no nulos, son paralelos o proporcionales si y sólo si uno de ellos e s un múltiplo escalar del otro, esto es A || B <=> A = r B , V r e R I O B S E R V A C IO N E S 1.5 a) S i r > 0 y B * O = > A y r B tienen la m ism a dirección y sentido. S i r < 0 y B * O => A y r B tienen la m ism a dirección y sentidos opuestos. B B A = r B A = r B r > 0 r < 0 b) E s conveniente establecer que el vector nulo O es paralelo a todo vector, esto es: 0|| A ó A l l O , V A e R : En efecto, si O 11 A <=> O = r A = 0 A , 0 e R c) Todo vector e s paralelo a si mismo. En efecto, si l e R ■=> A = lA . por lo que A A , V A e R-
- 22. f--------------{ EJEMPLOS ILUSTRATIVOS )---------------* ¡ Ejemplo 1 ^ Determinar si los vectores dados son paralelos 1. A = < 4 ,-1 ) , B = (-1 2 ,3 ) 2. A = <3 , -6), B = <1 , 2) Solución. 1 . Si A|| B => <4 ,-1) = r <-12 , 3)'<=>-f 4 = * I2r = * r = *1/3 L -i = 3 r => r = -1/3 Com o r es único y r < 0 , A y B son paralelos, tienen la m ism a dirección y senti dos opuestos. 2. Si A 11 B = * <3 . -6> = r<l , 2) <=> -T 3 = r =* r = 3 L -6 = 2r t=> r = -3 C om o r no e s único o A K B , e s d e c ir, no existe ningún r e R que cum ple <3 , -6) = r<l , 2), pues esto implicaría que 3 = r = -3 , lo cual es absurdo. ■ ^2____________________________________________ Capítulo I: Vectores en el plano E j e m p lo 2 ) Dem ostrar que si A . B e R : son vectores paralelos y B * O entonces existe un escalar r para el cual se tiene : A = r B. Demostración. Se a n A = <x, , y,) y B = < x,, y , ) , y sean a, y a, los ángulos de di rección de A y B respectivamente. Por las ecuaciones (4) se tiene: S e n a ' = TTXTT ' Cosc<l = í í a TT y Sena, = — , C o s a = — - l l A l l : ||A|| Por hipótesis A es paralelo a B, entonces : m(a,) = m (a2) ó m(a,) = m(a,) ± 180° Si m(a.) = m(a,) c=> = Xl = — l l A l l II B 11 ||A || M B || => y = I M y x - U A Ü x y ' I I B I I ’ I I B I I •• Tam bién , por hipótesis , I B I * 0 , por lo que llAll e s un núm ero real r , entonces: x, = r x , , y, = r y , I I B I I Luego , < x,, y,) = r < x,, y , ) , esto e s : A = r B . ■ Sección 1.7: Vectores paralelos 31 í Ejemplo 3 J Dem ostrar que s iD = B + C y B A , entonces ------------------------- D 11A <=> C 11A Demostración. (<=>) Dem ostrarem os que si D A <=> C ! A En efecto, si D 11A <=> Br e R D = rA Por hipótesis, B | | A = > 3 s e R B = sA Luego, si C = D - B = rA - sA = (r - s)A => C A (<=) Ahora probarem os que s i : C !; A t=> D A En efecto, s i C | A « = > B l e R C = tA Por hipótesis , B l : A <=> 3 s e R B = s A Luego ,si D = B + C = sA + iA = (s + t)A=>DA ® Ejemplo 4 J Si A = <1 - 2m, 1)y B = <-7, m+ 2),hallar los valores de m , de m odo que A sea paralelo a B. Solución. Si A B « = > 3 r e R | A = r B . r 1 - 2m = -7 r (1) ~ < , - 2 m . » = * 7 - . m + 2 > « { i = r(m + 2) (2) Al dividir (1) entre (2) obtenem os la ecuación 2m: + 3 m - 9 = 0 o m = -3 ó m = 3/2 B [ Ejemplo 5 J Si al vector A = <1 ,1 8) lo expresam os como A = X + Y , donde X11 B e Y11C. Si B = <-1 , 4) y C = <2m , 3m), hallar el vector X. Solución. Si X B c=> 3 r e R ! X = r<-1 , 4) Y 11C <=> 3 s e R I Y = s<2m , 3m) = sm<2 , 3) = t<2 , 3) Luego, si A = X + Y => <l , 18) = r<-l , 4) + t<2 , 3) « { ^ Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas obtenem os : r = 3 y t = 2 X = 3<-1 ,4) = <-3 , 12) ■ f Ejemplo 6 ^ Si A = <m , 2 m ), A - B = <2m , p ) , A11 B y la norma de A - B es 20, hallar la norma de B. Solución. Si B 11 A => B = r A = r<m , 2m) => B = rm<l , 2) (1) A - B= <2m , p) <=> (m , 2m) - rm<l , 2) = <2m , p) c=> <m - rm , 2m - 2) = <2m , p) Por la igualdad de vectores se sigue que : m - r m = 2 m , de donde , r = -1
- 23. 32 Capítulo 1: Vectores en el plano Luego, en (1): B = -m(l ,2) => 11 B !| =|-m | V Í T 4 = mV5 (2) Si A - B = (m , 2m) + m(l , 2) = 2m(l , 2) => 11A - B 11 =2mV5 C om o 11A - B 11 = 2 0 ^=> 2m>/5 = 20 => m = 2^5 Por lo tanto, en (2), se tiene : 11 B 11 = (2í5)í5 = !0 ■ E j e m p lo 7 j El vector A = (3 , 0) se descom pone en dos vectores B y C paralelos a los vectores < 2 r, -3r/2) y (p , -3p) respectivamente, donde r * 0 y p * 0. Hallar las longitudes de B y C. Solución. Si B 11 <2r , -3r/2> => B = ^ <4 , -3> = s<4 , -3> C || <p . -3p> => C = p ( l , -3) Si A = B + C «=* (3 ,0 ) = s<4 , -3) + p(l , -3) <=> -f 3 = 4s + P L 0 = -35 - 3p Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenemos, s = 1 y p = - I Luego : B = (4 , -3) ■=> 11B 11 = V(4): + (-3)- = 5 C = -<1 ,-3> = <-l ,3) => ||C II = V(-l)2 + (3)2= VIO ■ Ejemplo 8 J En la Figura 1.36 se tiene un exágono regular cuyo lado mide a unidades. Si II V, II =|| V 2I| = ||V 3|| = 11 V 411 = 11 V s 11 = a , hallar 11S11, donde . S = V 1+ V 2 + V J + V 4 + V 5. Solución. V, = V 4 y V 2= V, por ser paralelos y de la m ism a magnitud, dirección y sentido. Entonces : S = 2 V, + 2 V, + V £ FIGURA 1.36 Trasladando estos vectores a un sistem a de ejes rectangulares (Figura 1.36a) se tiene : V, = a (C o s 90°, Se n 90°) = a <0 , I) V : = a (C o s 60°, Se n 60°) = a (1/2 , V3/2) V 5 = a (C o s 180°, Se n 180°) = a (-1 , 0) Luego : S = 2a (0 , 1> + a (1 , V3) + a (-1 ,0) = a (0 , 2 + V3> => 11S11 = a(2 + Í3) ■ Sección 1.7: Vectores paralelos 33 [ Ejemplo 9 ) S e a el A A B C y se an M (2 , 5) y P(4 ,2) puntos meceos de los lados A B y B C respectivamente. Si A B 11(3 , 1) y C B 11(1 ,4), hallar los vértices del triángulo. Solución. Com o los puntos A, M y B son colineales, en tonces: M B 11A B 11(3 , l) => M B = r (3 , 1) Luego : B - M = r (3 , 1) «=> B = (2 , 5) + r (3 , 1) (1) Análogam ente : PB = s (1 , 4) <=> B = (4 , 2) + s (1 , 4) (2) (1) = (2) = * (2 . 5) + r (3 , 1) = (4 , 2>+ s (1 , 4> c=> (-2 , 3) = s (1 , 4) - r (3 , 1) <=> = Resolviendo el sistem a obtenem os : r = s = 1 -2 = s - 3r 3 = 4s - r r > i OK4.2) r c C J FIGURA 1.37 Entonces, en (1) : B = (2 , 5) + (3 , 1) = (5 , 6) <=> B(5 , 6) —¥ —> —> M e s punto medio de A B <=> A M = M B c=> M - A = B - M => A = 2M - B => A = 2(2 , 5> - (5 , 6) = (-1 , 4> c* A(-l , 4) P es punto medio d e C B <=> C P = PB => P - C = B - P <=> C = 2 P - B >=> C = 2(4 , 2) - (5 , 6) = (3 , -2) = * C(3 , -2) ! Ejemplo 10 J El punto P(-3 , 1) es un vértice del rombo P Q R S , tal que P Q = (4 , 2) y el lado P S se ha obtenido del lado P Q mediante un giro de 609 en el sentido antihorario. Hallar los dem ás vértices del rombo. Solución. S i a e s el ángulo de dirección del vector —» o iPQ = (4 , 2), entonces , T g a = = — 4 L de donde se tiene : S e n a = 1V5 y C o sa = 2/V5 Si PQ = Q - P = (4 , 2) ■=> Q = P + (4 , 2) => Q = (-3 , 1) + (4 , 2) = (1 ,3) es el vector de posición del punto Q, por lo que : Q(1 ,3) Por ser lados de un rombo : 11PS 11= 11PQ 11 = V(4y + (2)2= 2V5 —> S e a u un vector unitario en la dirección de PS cuyo ángulo de dirección e s a + 60°, entonces : u = (C o s(a + 60°), Se n (a + 60°)> FIGURA 1.38 (1) Cos(a +60°) =Cosa CosftO"- Sena Sen60”= A )(4) ' (^=)(^r) =-jf (2- V3)
- 24. 34 Capitulo 1: Vectores en el plano Se n (a + 60°) = S e n a Cos60° + C o sa Sen60" = (JL) (JL) + = (i + 2V3) Luego, en (1): u = ( ^ ( 2 - V3) , ^ (1 + 2Í3)) Ahora, si PS = 11PS 11 u => S - P = 2>/5 (y | (2 - V3) , ^ - ( 1 + 2nÍ3)> => S = (-3 , 1) + (2 - V3 , 1+ 2Í3> = (-! - V3 , 2 + 2V3> es el vector de posición del vértice S <=* S(-l - V3 , 2 + 2V3) C om o SR = PQ = (4 ,2 ) <=>R - S = (4 , 2) ■=> R = (-1 - >/3 , 2 + 2V3) + (4 , 2) = (3 - V3 , 4 + 2Í3) Por lo que : R (3 - Í3 ,4 + 2V3) y¡5 ejemplo 1 1 J Si M (1 1/2 , 7/2), N(8 , 6). P(9/2 ,13/2) y Q (2 , 4) son los puntos m edios de los lados del trapecio A B C D y 11DC11 = vTo , hallar los vértices del trapecio. Solución. Q N = N - Q = (8 , 6) - (2 , 4) = (6 , 2) Un vector unitario en la dirección de de Q N es u = Q N (6 ,2 ) (3 ,1 ) IIq n II V3o Vio C om o D C II Q N ==> D C = 11D C 11 11 = (3 ,1 ) DP = 1 D C «=> P - D = (3/2 , 1/2) «=> D = P - (3/2 , 1/2) = (3 , 6) D Q = Q A ■=> Q - D = A - Q <=> A = 2Q - D Análogam ente: FIGURA 1.39 A M = M B c=> B = 2M - A = 2(11/2 , 7/2) - ( 1 , 2 ) = (10 , 5) Ñ C = BN «=» C = 2N - B = 2(8 , 6) - (10 , 5) = (6 , 7) Por lo tanto, los vértices del trapecio son : A(1 , 2) , B(10 , 5) , C(6 , 7) y D(3 , 6) EJERCICIOS : Grupo 6 1. Determine si los siguientes pares de vectores son paralelos. C uáles tienen el m ism o sentido y cuáles sentido opuesto. a) A = (-8 , -7), B = (32 , 28) c) A = (-3/2 , 3 ), B = (1/3 , -2/3) EJERCICIOS : Grupo 6 35 b) A = (3 , 2 ), B = (2 , 4/3) d) A = (4 , -2), B = (-1 , 1/2) 2. Dem ostrar que s i A Ü C , B i C y C ? t O <=> A l B 3. Dem ostrar que para vectores no nulos A , A, , B y B, A II A, . B l l B , y A II B «=* A,||B, 4. Dem ostrar que si A y B tienen la m ism a dirección y sentido entonces I IA + B l l = II A11 + 11 B 11 5. S i A = (2 , 2m - 3) y B = (1 - m , -5), determinar los valores de m de modo que A y B sean paralelos. 6. Si A = (m , 5) + (3 , 3 ), B = 4(-m , -3) - 2(1 , 2) y A 11 B , hallar el valor de m. 7. D a d o s los vectores A = (a , 3m) y B = (-2m , b), hallar a +b tales que A + B = (8 , -4) y se a A 11 B. 8. Se a n los vectores A y B, tales que : A = (a , 2a) , A - B = (2a , p) , A B y la norma de A - B es 112. Hallar la norma de B. 9. El vector A = (x , y) es paralelo al vector B = (2 , 4), tal que u = (x/5 , y/ 5) es un vector unitario paralelo a ambos. Hallar el vector A. 10. Se a n A y B dos vectores en R 2, tales que B es el inverso aditivo de A. Si B tiene el m ism o sentido que el vector C = (-1/3 , 1/4) y 11 A 11 = 5 , hallar X = A + 2B, 11. Hallar la norma de la sum a de los vectores unitarios u y v . s i u A y v i B sabiendo que A = (4 , -3) y B = (-5 , 0) 12. L o s vectores A y B son tales que A e s del m ism o sentido que B = (1 , 3) y A _ / X Y . Um IIm . a| tiolnr Ov _ J = (-]==■, ; hallar el valor de 2x - y A V40 V40 2 13. El punto P(2 , -3) es extremo del vector PR, el punto Q(1 , -2) alineado con P y R, dista de P la quinta parte de 11P R 11. Hallar R. 14. S i A = (a , b) y B = (1/2, - 4/3) son dos vectores en R hallar a +b sabiendo que 11A11 = V73/3 y que A y B tiene sentidos opuestos. 15. El vector C = (2 , -1) es expresado com o C = A + B , donde los vectores A y B son paralelos a X = (3m , 4m) e Y = (-3n , -n), respectivamente, siendo m # 0 y n * 0. Hallar A - B. 16. D a d o s los vértices consecutivos de un paralelogram o A(7 , -1) , B(-3 , 1) y —> C (-5 , 5); determinar el cuarto vértice y la longitud de la diagonal BD. 17. En la Figura 1.40, sea O la intersección de las diagonales de un cuadrado A B C D . Si O es el baricentro del triángulo isósceles A P D con 11AP 11 = 11 PD 11, —> hallar el vector NQ.
- 25. 36 Capítulo 1: Vectores en el plano 18. S i M (9/2, -3), N(2 ,6 ), P(-7/2 ,9) y Q(-1 , -1) son los puntos m edios de los lados del trapecio A B C D y 11AD 11 = 52, hallar los vértices del trapecio. 19. En la Figura 1.41, A B C D e s un cuadrado de lado 3a y A ' B ’ C ’ D ’ e s un cuadrado —) —► de lado a , si la norma de D 'D es a, hallar el vector B ’P. —> 20. S e a el triángulo A B C y sean M(1 , 9) y N(6 , 2) puntos m edios de los lados A B ~> —> .. -> ,i y B C respectivamente. Si A B M <1 , 1) y B C II <3 , 1), hallar los vértices del triángulo. 21. D ados los vectores A = (2a , 2), B = (6 , n ) , C = (c , 3 n > , si A11 B I C, calcular el valor de an + c. 1.8 ) PRO D U C T O E S C A L A R DE V E C T O R E S D ados los vectores A = (a ,,a,} y B = <6,, 6,), el producto escalar o interno de A y B se denota por A • B y se define p o r : A • B = (a , , a ) • , b2> = a p {+ a p : (10) I O B S E R V A C IO N E S 1.6 1. El producto escalar de vectores es una operación cuyo resultado es una escalar y no un vector. Por ejemplo , si A = (2 , -3) y B = (4 , 1), entonces según (10) A • B = (2) (4) + (-3)(1) = 8 - 3 = 5 2. Si A , B e R " , entonces Sección 1.8: Producto escalar de vectores 37 TEOREMA 1.6 PROPIEDADES DEI. PRODUCTO ESCAIAR Si A, B y C son vectores en R J y r e R e s un escalar, entonces se cum plen las siguientes propiedades : I’E, : A • B = B • A Conmutatividad P E , : r(A • B) = (rA) ♦ B Asociatividad escalar P E . : C • (A + B) = C • A + C • B Distribuidad }(A + B ) - C = A - C B * C P.E4 : A - A = ||A||->0 Magnitud respecto al producto escalar P.EC: A •A =0 « A =O La prueba de estas propiedades son m uy simples, por lo que dem ostrare m os la primera y la cuarta, dejando com o ejercicio las dem ostraciones restantes. Para dem ostrar la primera propiedad, sean A = (a, , a,) y B = (bt , 6,) <=> A • B = a p t + a,b2= bxax+ b,a^ = B • A Para la cuarta propiedad, se a A = (a, , a ,> , entonces A • A = <a, , a 2> • ( a , , a 2> = (a,)2 + (a2)2 = (Va,2+ a22)2= 11A 112 IN T E R P R E T A C IO N G E O M E T R IC A D E L P R O D U C T O E S C A L A R E N R : Se a n A y B dos vectores y A - B (el vector que va de B a A). Si A es perpendicular aB , ocurre que la representación geométrica de los vectores A , B y A - B e s un triángulo rectángulo, para los cuales, por aplicación del teorema de Pitágoras se tiene que : ||a - b ||2 = ||a ||2 + |Ib I|j => (A - B) • (A - B) = 11A 112+ 11 B 112 (P EJ <=> a * a - a * b - b * a + b - b = |Ia ||2+ ||b I|2 (p e ,) = * I|a ||2 - 2 A * b + ||b ||2= ||a I I 2+ ||b I|2 (p e 4) de donde : -2A • B = 0 ■=> A • B = 0 C om o hem os establecido la condición de ortogonali- dad para A y B. entonces podem os dar la siguiente definición. DEFINICION 1.12 VECTORES ORTOGONALES D o s vectores A y B son ortogonales si y sólo si A • B = 0 (El vector nulo O se considera ortogonal al cualquier vector) S i es el caso que A y B son am bos no nulos, entonces se dice que los vectores son ortogonales y anotarem os : A l B <=> A • B = 0 (11)
- 26. 38 Capítulo I: Vectores en el plano Por ejemplo, si A = <1/2 , -3) y B = (-2 , -1/3), entonces según (10) A • B = (l/2)(-2) + (-3)(-l/3) = -1 + 1 = 0 Com o A y B no son nulos, entonces A 1 B DEFINICION 1.13 El vector A x Para cada vector A = (a, , a,) e R :, definimos un correspon diente vector A 1 e R 2 , que se lee ortogonal a A. mediante A 1 = <-a2 . a x) (12) Geométricamente el vector A x se obtiene haciendo rotar el vector A, sobre su punto inicial, un ángulo de 90a en dirección contraria a las agujas del reloj. S e verifica luego que si A ± A x >=* A • A x = 0 En efecto, A • A x = (al , a:) • <- a1 , a ) = - a ta : +a:a {= 0 TEOREMA 1.7 D ados los vectores A = (al , a} y B = (b] , b,),am bos diferentes de O, se tiene que : A 1 B => A l l B 1 (13) Demostración. En efecto, si B = (6, , b,) , B * O c=> * o y b,* 0 Su p on gam os que b{* 0 A 1 B <=* A • B = ( a , , a 2) • (b ,, b2) = a p x+ a2b2= 0 <=> a, = - a Por lo que : A = h . a2, a 2) '= <- b2 , bt) 2 i “i A= - f Bx = r B x => A l l B 1 b TEOREMA 1.8 Sean A y B dos vectores en R :, am bos diferentes de O, entonces A | | B <=> A • B x = A x • B = 0 (14) La demostración se deja como ejercicio. Sección 1.8: Producto escalar de vectores 39 TEOREMA 1.9 Desigualdad de Cauchy - Schwartz Sean A y B vectores en R 2 , entonces se cumple 1. IA - B I < II A II II B II 2. IA - B | = IIA 11 II B II ^ A | | B Demostración. 1. S i A = 0 ó B = 0 , entonces se nota claramente que el teorema es válido. Supongam os que A * O y B * O y considerem os la función para un número r e R /(r) = 11 A + r B 112= (A + r B) • (A + r B) (1) y ocurre que /(r) > 0 , V r e R Desarrollando (1) nos dá el polinomio de segundo grado : /(r) = (B • B )r2+ 2(A • B)r (A • A) Com pletando el cuadrado para r se tiene : /(r) = (B - B) r « ^ 5 1 r + - < * ! § > : ♦ (A • A) n l ' 'L ( B - B ) ( B - B ) ¡ J ( B - B ) = ( B . B ) ( r + A l | ) ‘ + ( A - A ) ( B - B ) - . ( A - B ); v 7V B • B / B • B o- u / v A • B ,/ , (A • B )(B • B) - (A • B )2/ox Si hacem os ( g = - => / ( g = i------------ bT~¿ ------- C om o /(r()) > 0 y B * B = | | B | | 2> 0 , implica que (A •A )(B • B) - (A • B )2> 0 => (A • B )2 < (A • A )(B • B) <=> I A • B |2 < 11A 112 11 B 112 => I A - B | < || A II llB|| 2. I A - B I = 11 A 11 II B || A | | B Probarem os que s M a « B | = | | a ||||B|| ■=> A 11 B En efecto, si I A • B I = 11 A 11 11 B 11 => (A • B )2= 11A 112 11 B 112 ■=> (A • B )2= (A • A)(B • B) Sustituyendo en (2) ocurre que : / (rj = ;A + r0B I = 0 => A + r,B = A - ( A l | ) B = 0 => A = r B ^ A ||B Probarem os ahora que si A 11 B = > | A * B | = ||A|| 11 B I En efecto, si A 11 B ^ A = i B Luego, IA • B I = I (r B) - B | = |r(B - B) | = Ir I II B I I 2 = lr| 11 B 11 11 B 11 = ||rB|| ||B|| = l l A l l II B || ■
- 27. 40 Capítulo 1: Vectores en el plano TEOREMA 1.10 Desigualdad triangular Se a n A y B vectores en R :, entonces I IA + B l l < IIA || + IIB || M á s aún : ||A + B|| = ||A|| + | lB | | s iy sólo si un vector es un múltiplo escalar no negativo del otro. Demostración. En efecto : 11 A + B 112= (A + B) • (A + B) = ||a I I 2+ 2 A * b + ||b I|2 . < | | A | | 2 + 2 | A - B | +|| B ||2 ( A • B < |A • B |) Por la desigualdad (1) del teorema de Schwartz. se sigue que 11 A + B 112< 11A 112 + 2|I A 11 II B II + 11 B 112 < ( l l A l l + 11 B 11)2 Extrayendo la raíz cuadrada en am bos miembros obtenemos lo deseado, esto e s : IIa + b II í 11a 11+ IIb II ■ -í EJEM PLOS ILUSTRATIVOS ) 1 E j e m p lo 1 ] Dem ostrar que :| | A + B | | 2 = ||A||2 + | B | | 2 +2 A * B Demostración. En efecto : 11 A + B 112= (A + B) • (A + B) (PE4) =A •(A +B) + B •(A +B) (PE,) = A * A + A * B + B * A + B * B (PE,) = A * A + B * B + 2 A * B (PE,) ||a + b I|2= ||a ||2 + ||b ||2+ 2 A * b ■ (p e 4) E j e m p lo 2 J Dem ostrar que A + B y A - B son ortogonales <=> 11A11 = I !B11 Demostración. Dem ostrarem os primero la ortogonalidad En efecto, por hipótesis : 11A11 = 11 B I = *| | A | | 2 = ||b H 2 <=>IIa I|2-I|b I|2=o => (A + B) • (A + B) = 0 Por tanto, según (11), A + B y A - B son ortogonales. Ahora dem ostrarem os la igualdad de las magnitudes. En efecto, por hipótesis , A + B y A - B son ortogonales Sección 1.8: Producto escalar de vectores 41 c * (A + B) • (A - B) = 0 o A * A - A * B + B * A - B * B = 0 c * ||a ||2-||b ||2= o ^ Il A I I 2 = Il A l l = II B II [ Ejemplo 3 j Dem ostrar que : (A + B )x = A 1 + B x Demostración. En efecto, sean : A = (a, , a,) y B = (bt , b2) Entonces: A + B = (a, + 6, , a, + ¿>2> Por la definición 1.12 : (A + B)x = <- a, - 6,, a, + bt) = (r a2,a l) + (-b2,b l) (A + B)1 = A 1 + B x ( Ejemplo 4 ] Dem ostrar que si A, B y C son vectores en R :, entonces el vector V = (B x • C )A - (Ax • C )B es paralelo al vector C. Demostración. Por el teorema 1.8 sabem os que A 11 B <=>A 1 * B = A * B J- = 0 => V x •C = [ (B1 • C )A - (A-1 • C ) B ] 1 • C = [ (B 1 • C )A X - (A1 • C )B X] • C (Ejemplo 3) = (B x • C )(A X • C) - (Ax • C )(B X •C) (PE,) Por lo tanto, s i V x * C = 0 t = > v | | C ■ [ Ejemplo 5 J Si i = (1 , 0) y j = (0 , 1), resolver la ecuación 2( (1/2 , 6) + ix - x ) = j x - 2 x x Solución. S e a el vector x = (x, , x2) , entonces 2( (1/2 , 6>+(1, 0>x- (x, , x 2> ) =(0, 1>X -2(x, , x / c=> (1 , 12) + (0 , 2> - 2(x, , x,) = ( - 1 , 0 ) - 2 ( - x , , x,) => (2, 14) = 2(x, , x,) - 2(- x 2 , x,) <=> (1 ,7 ) = (x + x , , x, - x ) <=> * X| + X-’ 1 7 = x, - x, Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : x, = -3 , x, = 4 x = (- 3 , 4) • ■ [ Cjemplo 6 j Se an A , B e R:,demostrar que si 2 A X - B = 2 B X - A, entonces A + B es ortogonal a A - B.
- 28. 42 Capítulo I: Vectores en el plano Demostración. En efecto, si 2A X - B = 2 B X - A <=> A - B = 2(BX - A 1) (1) Aplicando el ortogonal a cada miembro de (1) se tiene : (A - B)1 = 2(BX - A Y ; pero com o , (A + B)1 = A x + B 1 y (A 1)1 = -A <=> A 1 - B x = 2(-B + A ) , de donde : 4(A - B) = 2(AX - B 1) (2) Sum ando (1) y (2) obtenem os : 5(A - B) = O «=> A - B = 0 Por lo tanto, (A + B) • (A - B) = (A + B) • O = 0 => (A + B ) _ L ( A - B ) ■ E j e m p lo 7 ] Hallar la norma del vector B = (- 3m , m), sabiendo que ha sido descom puesto en el vector A = <- 5 ,3) y en otro vector paralelo al vector C = <1 , 1) Solución. Si B = m(- 3 , 1> <=> I B 11 = I m I V(-3)2+ (l)2= I m IV ÍO (1) y si B = A + r C <=> m<-3 , 1) =-<-5 , 3) + r <1 , 1) Multiplicando escalarmente, cada miembro por (1 , l)1 , se tiene : m(-3 , 1) • <-1 , 1) = (-8 , 3) • <-1 , 1) + r <1 , 1> • <-1 , 1> <=> m(3 + 1) = (5 + 3) + r(0 ), de donde : m = 2 Por tanto, en (1), se obtiene lo deseado : 11 B I = 2V k I ■ E j e m p lo 8 ^ j S i A = (-6 ,15), B = (-2 , 9) y C = <- 2m , 3m ) y se sabe que X + Y = A , X II B e Y II C ; hallar X • Y x Solución. Si X 11 B => X = t<-2 , 9), y si Y 11C «=> Y = m<-2 , 3) Luego si X + Y = A => t<-2 , 9> + m<-2 , 3) = (-6 ,15) (1) U sarem os un método m ás directo para calcular i y m. Para calcular t , multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por <-2 , 3)x t<-2,9> • < -3 ,-2 > + m (0 )= < -6 , 15) • <-3, 2) » t = = 1 Para calcular m , multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por (-2 , 9)x t(0) + m(-2 , 3) • <-9,-2> = <-6, 15) • (-9 ,-2 ) => m = 9~-2) = 2 Luego , X = <-2 , 9) y Y = (-4 , 6) «=> X • Y x = (-2 , 9) • (-6 , -4) = -24 ■ E j e m p lo ~ ^ T ) S i A + B + C = O y| |A l| = 2 , 1i B 11 = 5 , 11C11= 8; hallar A - B Solución. A + B + C = O => A + B = -C <=> A + B l = 11-C 11 Elevando al cuadrado am bos m iem bros se tiene : ||A||J + 2 A - B + |lB||: = ||C||: c=>4 + 2 A - B + 25 = 64 <=> A • B = 35/2 ■ Sección 1.8: Producto escalar de vectores 43 Ejemplo 1 0 ] D ados tres vectores unitarios a . b y c que satisfacen la condi ción a + b + c = O. Hallar el valor d e a * b + b * c + a * c Solución. Si a + b + c = O >=> (a + b + c)2= O- c=> 11a 112+ 11b 112+ 11c 112+ 2a •b + 2b •c +2a •c = 0 Com o a, b y c son unitarios >=> i + i + l + 2 ( a * b + b * c + a * c ) = 0 < = > a * b + b * c + a * c = - 3 / 2 ■ Ejemplo 11 ] Dado vector B = (2 , 3) y la función f :R:=* R /(P) = P • B. El vector A es tal que /(A) = -16 y A11C = (1,2). Calcular11A11. Solución. Si /(P) =P • B <=> /(A) = A • B t=» A • B = -16 A 11C <=> A = r C = r ( l ,2) <=> 11 A 11 = |r| V5 (1) A • B = -16 c=> r (1 , 2). <2 , 3) = -16 <=> r(2 + 6 )= -1 6 r = -2 Por lo tanto, en (1): 11A 11 = 2V5 ■ Ejemplo 12 J D ados los vectores A = (m , 3p) y B = <-2p , n) , calcular la norma de A - B 1 , sabiendo que A + B = (8 , -4) y A • B 1 = 0. „ , ,, , . . . . . r m - 2 p = 8 c = > m = 2p + 8 (1) Solucion. Si <m , 3p) + <- 2p , n) = (8 , -4) K ^ L 3p + n = -4 <=> n = -3p - 4 (2) y si A • B 1 = 0 «=> (m , 3p) • <-n , -2p) = 0 <=>-m n - 6p: = 0 <=> m n = - 6p: (3) Sustituyendo (1) y (2) en (3) se tiene : (2p + 8) (-3p - 4) = - 6p2 , de donde , p = -1 Luego, en (1) y (2) obtenem os : m = 6 y n = 1, entonces , A = (6 , -3) y B = (2,-1) Por tanto , A - B A = <6 , 3) - <1 , 2) = <5 , -5) => 11 A - B x 11 = 5Í2 ■ [Ejemplo 13 J Si a y b son vectores tales que 11a 11 < 1 y llb ll <1.dem ostrar que V t g [0 , 1] , 11a + t (b - a) 11 < 1 Demostración. En efecto , si 11a + t(b - a) 11 = 11(1 - t)a + i b !| ,entonces por la desigualdad triangular: lla + t(b-a)|| < 11(1 -t)a II + llt b ll => 11a + t(b - a) 11 < 11 - 1 1 11a 11 + 11 1 11 b 11 Com o t e [0 , 1] , esto es , t > 0 => 111 = t , 0 < t < l - l < - t < 0 ^ o ^ l - t < l => 11 - 11 = 1 - 1 , Por hipótesis : | | a | | < l <=> ( l - 1) 11a 11< I - 1 , con t * I 11b 11 < 1 <=> t| | b | | < t, con t * 0 Por lo tanto , en (1) podem os escribir 11a + t(b - a) 11 < ( I - 1) + t <=> 11a + t(b - a) 11 < 1 ■
- 29. 44 Capítulo 1: Vectores en el plano Dem ostrar que si A + B = ( 11 B 11 , ||A||), entonces A es ortogonal a B. Demostración. Por hipótesis : A + B = ( | | B ! | , | ! a I| ) , entonces multiplicando escalarmente cada miembro por si mismo, se tiene : (A + B) • (A + B) = < 11 B 11, 11A 11) • (||B||,||a ||) <=* 11 A + B •' = 11 B !: + I jA 11: (PE4 y Producto escalar) = * | | a ||2+ 2 A - b + |!b I|: = ||b ||- + ||a ||2 de donde o b te n e m o s: A - B = 0 o A 1 B - ■ Ejemplo 14 J Ejemplo 15 J D ados los vectores A y B tales que A - B * O , dem ostrar que: l l Al l - IIB II l l A - B < l Demostración. Si escribim os ! A ! = || (A-B) + B I , entonces por la desigualdad triangular: | | A | | < | | A - B | | + | | b | | => llAll - IIBII < I I A - B l l C om o I !A - B ;I e s positivo , entonces : B A - B < I De (1) y (2) se sigue que : -1 < A - B <1 o A - B B A - B (1) Análogam ente si escribim os : 11- B 11 = 11- B + A - A 11 y dado que 11- B i I= 11 B 11 => l l Bi l = 11(A - B) + (-A) 11 <=> ||B|| < IIA - B || + ||-A || <=> IIBII - IIA || < || A - B || Multiplicando por -1 se tiene : H a | | - | | B | | > - | | A - B | | <=> ^ A ^ - 11B| I > ^ (2) < 1 ^ Ejemplo 16 ^ En la Figura 1.44, A . C y E son puntos correspondientes a vértices de un triángulo equilátero inscrito y los segm entos AB, —> —> C D y E F son tangentes a la circunferencia tales que _ J| A B | | = 3 , I IC D l l = 4 , I l É F i l = 5 Si S = A B + C D + E F y U = (2 , 2v3> , hallar S • U —^ ^ ^ Solución. Trasladam os los segm entos A B , C D y E F sobre un sistem a cartesiano de modo que su s puntos iniciales coincidan con el origen. Entonces A B = 11A B 11 (C o s 0o , Se n 0°) = 3 (1 , 0) Sección 1.8: Producto escalar de vectores 45 E F = 11E F 11 (C os 120°, Se n 120°) = 5(-1/2 , V3/2) C D = 11C D 11 (C o s 240°, Se n 240°) = 4(-l/2 , -V3/2) Luego : S = (3 , 0> + (-5/2 , 5V3/2) + (-2 , -2V3> = (-3/2 , Í3/2> S • U = i (-3 , V3> • 2(1 , V3> = -3 +3 = 0 Ejemplo 17 ) Un triángulo D E F de encuen tra sobre un plano inclinado co mo se muestra en la Figura 1.45. Hallar el vector D F Solución. En el A D E F : D F = D E + E F (1) IlÓ A ll =V(5)- + (12)’ = 13 —) Un vector unitario en el sentido de O A e s : „= <ii^> 13 Entonces : D E = 3 u = ( y j . -j-^) E F = "> u 1 = 2 /- — . — = /- — — ) ¿ 13 1 3 ' ' 13 ’ 13' Por lo tanto , en (1): D F = (| | . | | ) + (- , | | ) = (2 , 3> r . , k F A A . 2 / , / ^ E 5 r O 12 B > X V. > FIGURA 1.45 Ejemplo 18J En la Figura 1.46 , m (<£A B C ) = 90- y 11O BII de x , si : x = ó b - ó c + ó a - 6 b - ó a * 6 c = 3. Hallar el valor Solución. En la figura dada se tiene : O C = O B + BC
- 30. 46 Capítulo 1: Vectores en el plano => x = O B • (OB + BC) + O A • Ó B - O A • (ÓB + BC) -I|6b I|- +6b - bc +óa*ób- óa*6b -6a *bc =11OB112+ BC• (Olí - ÓA) =11<5b 112+ BC• ÁB Como BC1AB c=* BC•AB=0 .% x = 11OB 112= (3)2= 9 ■ FIGURA 1.46 Ejemplo 19 J S e a A B C D un rectángulo, una de cu yas diagonales tiene por extremos A(-6 , 1) y C(-2 , 8). S i los lados de m ayor longitud tienen elm ism o sentido del vector S = (2 ,1 ), hallar los vértices B y D. Solución. Á C = C - A ■=> A C = <-2 , 8) - <-6 , 1> = <4 ,7) Si Á B || S c=> Á B = r<2 , I> lie 11 S x => BC = t<-l , 2) Dado que : A C = A B + BC ■=> <4.7> = r<2, l)+ t < -l ,2) De donde obtenem os : r = 3 y t = 2 —► Luego, s i : A B = 3<2 , l) = <6 , 3), entonces B = A + A B = (-6 , I) + (6 , 3> = (0 , 4) B"C = Á D = 2(-l , 2) = (-2 , 4) B (0 , 4) Ejemplo 20 ] En la Figura 1.48 , los triángu los O C B , P B S y R S T son to- —) dos ellos semejantes. Hallar R T si P y R son puntos —) —) m edios de O B y PS, respectivamente. Solución. La Figura 1.48 m uestra tres triángulos rectángulos isósceles, en donde : 11O B 11 = 4>/2 y II S i l = V(2'2)2 + (2V2)2 = 4 Un vector unitario en el sentido de O B es : u = J£^4> V2 4^ y • ' Luego : PB = 2V2 u = 2(1 , I ) , BS = 2V2 u1 = 2<-l , 1) Sección 1.8: Producto escalar de vectores 47 Si PS = PB + BS c=> PS = 2<1 , 1) + 2<-l , 1) = <0 , 4) Un vector unitario en el sentido de PS es : v = — = <0 , 1) Entonces : R S = 2 v = (0 , 2) y S T = 2 v 1 = (-2 , 0> Ejemplo 21 ] En la Figura 1.49, A B C D es un cuadrado y A B E un trián gulo equilátero. Si A(4 , 9) y C ( 6 , -5), hallar el vector V = D E + A B Solución. Si C A = A - C = <4 , 9> - <6 , -5) => C A = (-2 , 14) I I c a I I = V(-2)2+ (14)2= 10V2 II D A || = 11CA || C o s 45° = 10V2 (1/V2) = 10 —) Un vector unitario en el sentido de C A e s : u = — = — ’ l4^ = ¿ J - lI} ^ „ í - ¿ L id } FIGURA 1.49 | | ¿ a || I0V2 5^/2 5>/2 -^ 1 M es punto medio de C A <=> M = -y (A + C) = <5 , 2> M D = ||MD|| ir1 = 5^2 (' 7 ’ = ( - 7 , - 1 ) <=> D = M + (-7 , -1 ) ^ D = (-2 , 1> 5V2 Tam bién: M = -± -(B + D) ==> B = 2 M - D = 2(5 , 2) - <-2 . 1) c=> B = <12 , 3> Á B = B - A = <12 , 3> - <4 , 9) = <8 , -6> Un vector unitario en el sentido de A B es : v = — l l A B l I 10 5 11PE 11 es la altura del triángulo equilátero A E B c=> 11PE 11 = 1 0 (V3/2) = 5^3 Luego : PE = 11PE 11 v 1 = 5VJ = V3 <3 , 4) P = -i- (A + B) = <8 , 6) => E = P + Í3<3 , 4) = <8 + 3>/3 , 6 + 4>/3) D E = E - D = <8 + 3V3 , 6 + 4Í3) - <-2 , l> = <10 + 3>/3 , 5 + 4V3> V = D E + Á B = <18 + 3^3 , -1 + 4^3)
- 31. 48 Capítulo I: Vectores en el plano Ejemplo 22 ] En la Figura 1.50, A B C D es un trapecio, el A A D B es isósceles ( 11AD 11 = 11 B D 11) y el A B D C es rectángulo en D y tiene la hipotenusa B C de longitud 10V2 unidades. Si el ángulo B C D mide 379 (considerar T g379 = 3/4), B(-2 , 4) y —> D(4 , -2), hallar el vector AC. Solución. B D = D - B = (4 , -2) - (-2 , 4) = <6 , -6) II BD II = '(6):+ (-6):= 6V2 r Yi k Bo — / ^ — — 37°V ^ k X f Wy / '°i A D V J FIGURA 1.50 Un vector unitario en el sentido de B D e s : u = <6 , - 6) <1 , - 1) <1 . O 6-ñ V2 En el triángulo rectángulo B D C : 11 D C II = 11 B D 11 Cotg 37° = 6 2 (4/3) = 8V2 DC = 11DC 11 ux = 8>/2 ( ) = 8(1 , 1) Si D C = <8 , 8) <=> C - D = <8 , 8) <=> C = <4 , -2) + <8 , 8) = <12 , 6) B C = C - B = <12 , 6) - <-2 , 4) = 2<7 , 1) B C 2<7,1) < 7,1 ) Un vector unitario en el sentido de B C es : v = . - _ - II B C II 10^2 El A A D B es isósceles , entonces : 11A D 11 = 11 B D 11 = 6V2 y com o A D 11 B C => A D = 11A D 11 v = 6V2 = j <7 , 1) A D = D - A => A = D - Á D = <4 , -2) - y <7 , 1) = <-22/5 , -16/5) 5^2 A C = C - A = <12 , 6) - <-22/5 , -16/5) = <82/5 , 46/5) EJER C IC IO S: Grupo 7 1. Sean A y B vectores en R :. Utilizando las propiedades del producto escalar dem ostrar: a) ||a + b ||2 -||a - b I|2 = 4 A * b b) ||a + b ||2 + ||a - b ||2 = 2 ( I | a I|2 + ||b ||2 ) 2. Demostrar que los vectores A y B en R ! son ortogonales, si y sólo si 11A + b I|2= ||a||2 + IIb ||2 3. D ados los vectores A y B en R : , demostrar que : Ejercicios de ¡a Sección 1.8 49 a) (Ax)x = - A c) A 1 • B 1 = A • B b) A 1 • B = - A • B 1 . d) 11A 1 11 = IIA II 4. D ados los vectores A y B en R : , demostrar que : a) A • B = - I IA || II B II <=> A y B tienen sentido opuestos b) 11 A + Bl I = 11A 11 + 11 B I « A y B tienen el m ism o sentido 5. Deducir de la desigualdad triangular que si A y B están en R 2, entonces I l l A l l - 11 B 111 £ II A + B II <11 A II + 11 B 11 (Sugerencia : escribir A = B - (B -A) y aplicar la desigualdad triangular) 6. Dem ostrar que si A y B son vectores paralelos en R 2 , entonces | A - B | = 11A 11 II B II 7. S i A y B son vectores en R 2 , demostrar que a) lA -B ^ -l < ||A II II B II b) | A - B X I = II A || II B || <=> A 1 B 8. Dem ostrar m ediante un contraejemplo que A • B = B • C no implica ni que A = C , ni que A = O A • B 9. Dem ostrar que el vector V = B - „ . A , es perpendicular al vector A IIA I I 2 10. Dem ostrarqueA + B y A - B son perpendiculares si y sólo si 11A 11 = 11B 11. 11. Si A = <2 ,-3), B = <-2 , 1) y C = <3 , 2 ), hallar un vector unitario ortogonal al vector V = 5 A - 3 (B + C). 12. Si A = <4m , m - 3) y B = <2 , m + 3), hallar los valores de m tales que A sea perpendicular a B. 13. Si u y v son, vectores unitarios y paralelos , hallar la norma de ir1 + v 14. S i a , b y a + b son vectores unitarios , hallar la norma del vector a - b 15. Si A = <1 , x ) , B = <2x , x) y C = <2x , -1), en donde x es un número real; hallar la sum a de los elementos del conjunto M = {(x , y) I (A - C) • B = A • C - 1} 16. Se a n A , B e R 2 , am bos unitarios, demostrar que 11 A + B 11 < 1 17. S i m e R y u = ( m - 2 , 5 - 3m) es un vector unitario, hallar elvalor de 11m (u + 2 u1) + 2 u 1 11 18. Se a n los vectores A = <x , x + 4), B =<5x - 5 , x - 4). Six > 0 y A •B = -1 0 , hallar la norma de A + B. 19. Se a n los vectores A . B y C tales que 11A 11 = V26 , 11 B 11 = 3V2 y B • C = 12. S i A = B - C , hallar la norma de C.
- 32. 50 Capítulo 1: Vectores en el plano 20. S i 11 A 11 = V2 , 11 B 11 = 2 y A • B = 1/4 , hallar las longitudes de los vectores 2 A - 3 B y 4 A + B. 21. Se a n los vectores A = <m2 - 3 , m - 1), B = (4/m2 , 4/m) , donde m * 0 es un número real positivo. S i A y B son ortogonales , hallar V = 9 B - 4 A 22. Si ¡ = <1 , 0) y j = <0 , 1), resolver para x 3(-2 , -3)x + 1 [ x + L - <3 , -1) ]x = (5 , 2)1 - 2X1 23. Sean los vectores A , B y C tales que A = B + C , I i A II = 5 ,11B I i=2^5 y B * C = 1 0; hallar ||C ||. 24. Si A = (2 , x ) . B = <x , -2x) y C = (x - 2 , x + 1), donde x > 0 y si (A +B) • C = A • B + 1, hallar el vector V = A + B + C. 25. Hallar los valores de m para que los vectores A = (m + 3 , 2m - 4} y B = (m - 1 , m + 1> sean paralelos. 26. S e a O A B el triángulo cuyos vértices son O = <0 , 0 > , A = (-8 , 0) y B = (0 , 6). Si —> —> O M es la altura relativa al vértice O, hallar el vector OM. 27. S e a el rectángulo A B C D de área 48 u2 y cuyos dos vértices consecutivos son A(-2 , 5) y B(2 ,1). Si la diagonal A C tiene el m ism o sentido del vector v = <5,1 >, hallar los vértices C y D. 28. Se a n A(3 , 2) y C(10 , 6) vértices opuestos de una paralelogramo A B C D . Si se sabe que 11B D II = V5 y 111 B D 11- 11(-2 , 4) 111 = 11B D + <2 , -4) 11,hallar los vértices B y D. —) —) —> —> 29. En el cuadrilátero P Q R S , sean a = P Q , b = Q R , c = R S y d = SP . Hallar c • d, si se sabe que :11a + b 11 = 7 , ||c|| = 3 y ||di| = 5 30. Si A = (-3 , 5) yB = (4 , -3), hallar la norma del vector C , s i : a) C = (A + B) • (A - 2 B ) B X ' b) C = (A • B)BL - (A 1 • B )C 31. Si u es un vector unitario y A . B son vectores cualesquiera, demostrar que : (A • u)(B • u) + (A • ux)(B • ir1) = A • B ( Sugerencia : considerar u = (C o sa , Se n a ) . A = (a} ,a 2) y B = (b, , b2) ) -4 32. S e a A(6 , 2) uno de los vértices de un A A B C . Si A B tiene la m ism a dirección y —> sentido que el vector (1 , -2) y A C tiene la m ism a dirección y sentido que el vector (3 , 4) tal que 11A B 11 = 3 5 y 11A C 11 = 1 0 . Hallar el vector A M , si A M es la m ediana del triángulo trazada desde el vértice A. Sección 1.9: Angulo entre dos vectores 51 r RELACIONES ENTRE VECTORES > f 1.9) ANGULO EN TRE DOS VECTORES S e a n A y B d o s vectores no nulos que tienen el m ism o origen y se a 9e [0 , 7C] el m enor de los án gu lo s positivos form ado por s u s respectivos vectores de posición normales, com o se ilustra en la Figura 1.51. El teorema siguiente m ues tra com o calcular este ángulo mediante el producto escalar. TEOREMA 1.11 Angulo entre dos vectores Si 0 es el ángulo entre dos vectores no nulos A y B, entonces C o s 0 = ----- ------------ 11A 1111B II Demostración. En efecto , los vectores A , B y r la diferencia A - B forman un y triángulo cuyos lados miden 11A 11 , 11 B 11 y * y ||A - B 11. y V 8 Por la ley de los co se n o s , tenem os / ||A -B ||2= ||A||2+ ||B||2-2||A||||B||Cos0 (1) -----------------------i b U sando propiedades del producto escalar, po O A dem os reescribir el primer miembro com o FIGURA 1.51 11A - B 112= (A - B) • (A - B) = (A - B) • A - (A - B) • B = a - a - b * a - a - b + b - b = ||a||2- 2 A * b + I|b II2 que sustituido en (1) nos lleva a ||a||2 - 2A * b + ||b||2 = ||a||2 + ||b||: - 2 ||aI| I I b licose C o s 0 = A » B Il All IIB II (15) I Nota. Si se conoce el ángulo entre dos vectores, entonces reescribiendo el Teorema 1.11 en la forma A • B = I A B :¡ C o s0 (16) obtenemos una forma alternativa para calcular el producto escalar.
- 33. 52 Capítulo 1: Vectores en el plano EJEMPLOS ILUSTRATIVOS^ Ejemplo 1 J Hallar el valor del ángulo que forma el vector A que va de P(4 , 5) a Q(6 , 4), con el vector B que va de S(-3 ,1 ) a T(-2 , -2). Solución. A = PQ = Q - P = (6 , 4) - (4 , 5>= (2 , -l> => ||A i| = 5 B = S T = T - S = <-2 , -2> - <-3 , l> = <1 , -3> «=> II B || = nTÍÓ Luego , por la fórmula (15): C o s 8 = * 11 ’ = 1 ± J = _ L (V5)(nOÓ) 5V2 V2 En consecuencia , 0 = 45° ■ Ejemplo 2 j Hallar el norma del vector D , sabiendo que A y-B forman un ángulo de 609 . D = A + B , 11A 11 = 3 y 11 B 11 = 5. ‘ Solución. S ¡ D = A + B < = > | | d | | = | | A + B | | => IId ||2=||a ||2+ 2 A -b + ||b ||2 Ahora, usando la forma alternativa del producto e sc a la r, se tiene : IId ||:=||a II:+2||a || 11b 11 C o s0 +||b ||2 = (3)2 + 2(3)(5)(l/2) + (5)2 = 49 IID|| =7 ■ Calcular A • B. donde A y B son vectores de la Figura 1.52, para los cuales. 11A 11 = 4 y 11 B 11 = 23 S o lu c ió n . S i 0 e s el ángulo que forman am bos vectores, entonces : 0 = 90°- (12°+ 18°) = 60° Luego, haciendo uso de la fórmula (16) se tiene : A * B = | | a || I I b II C o s 0 = (4) (3V3)Cos 60° A • B = 4V3 ■ Ejemplo 4 J Los vectores A y B forman entre si un ángulo de 309 y la norma de A es 48. Hallar la norma de B sabiendo que A - B es per pendicular al vector A. Sección 1.9: Angulo entre dos vectores 53 Solución. Si (A - B) 1 A => (A - B) • A = 0 => A - A - B - A = 0 <=> 11 A 112= A • B U sando la forma alternativa del producto escalar tenem os : |!A 11- = 11A 11 ||B || C o s 30° «=> I IA II = I I B || C o s 30 Por lo que : 4^3 = 11 B I (V3/2) «=> 11 B 11 = 8 ■ Ejemplo 5 J Los vectores A y B forman un ángulo de rc/6 radianes. Sabien do que 11 A11 = 3 y 11 B 11 = 1 , hallar el ángulo entre los vecto- res U = A + B y V = A - B. Solución. Haciendo uso de la fórmula (16) tenem os : A •B = 11 A 11 11 B 11 C o s 30° = (VJ) (1) (V3/2) = 3/2 U • V = I| U II II V ilC o s 0 =* (A + B) • (A - B) = 11 A + B 11 11A - B 11 C o s0 ■=> 11A 112 -1 1B 112 = V 11A + B 112 11A - B 112 CosQ ____________________ ^ (V3)2- (l)2 = n/( 11A 112 + 2A • B + 11 B 112) ( 11A 112 - 2A • B + 11 B 112) C os0 c=> 2 = V[ 3 + 2(3/2) + 1] [ 3 - 2(3/2) + I] C os0 de donde : C os0 = 2/V7 => 0 = are Cos(2/V7) ■ i Ejemplo 6 J Lo s vectores A . B y C form an d os a d osun ángulo de 6 0 9 , sabiendo que [IA 11 = 4 , 11B I = 2 y !I C 11= 6 , deter norma del vector V = A + B + C. Solución. S i V = A + B + C <=> ||V||2= |ÍA + B + C |2 i=>||v ||2 = ||a ||2 + I|b ||2+ ||c I I 2 + 2 A * b + 2 A * c + 2 B * c C om o el ángulo entre los vectores A y B . A y C . B y C e s d e 60°, entonces 1IvI|2=||aI|2+||b||2+||c||2+2(IIa|| 11b11 +I|aII 11c114-11bII IIC11)Cos60° = 16 + 4 + 36 + 2 ( 4 x 2 + 4 x 6 + 2 x 6 ) (1/2)= 100 I I V I I = 10 ■ Ejemplo 7 J Los vectores A y B tienen igual longitud y forman un ángulo de 60®. Si la longitud de A + B es 4 unidades m ayor que la longitud de uno de ellos, hallar la longitud de A. Solución. Si A - B =||A|| ||B|| C os0 y 11A 11 = 11 B 11 c=> 2 A • B = 11A 11-(1) Adem ás :||A + B|| = 4 + 11A 11 , elevando al cuadrado se tiene ||a ||2+ 2 A * b + ||b ||2 = 16 + 8 II A II + 11A 112
- 34. 54 Capítulo J: Vectores en el plano Teniendo en cuenta (1) , resulta que: 3 I IA I I 2= 16 + 8 de donde : H a I|2 -4 | | a I|-8 = 0 « 11A 11 = 2 ± 4 + 8 /. II A || = 2 + 2^3 C jc m p lo 8 ) Si el vector A = <- 8 , 50> gira 45s en el sentido horario, se determina el vector B = (x , y). Hallar x + y Solución. Com o ||B|| = ||aI| <=> Vx: + y ’ = 8 + 50 S i: C o s 45° = A - B Il A ll I I B I I c=> x: + y 2= 58 V2 _ <-2V2 , 5V2) • (x , y) (58) (V58) de donde obtenemos : y = -i (2x + 29) (2; FIGURA 1 53 que sustituido en (1) da : x : + 4x - 21 = 0 <=> x ='-7 ó x = 3 Elegimos x = 3 por cuanto el lado terminal de B está en el primer cuadrante. Luego, en (2) se tiene : y = 7 x + y = 10 ■ [ Ejemplo En el cuad rado de la Figura 1.54, el lado mide a unidades. Hallar el valor del ángulo 0, si P y T son puntos que trisecan los lados del cuadrado. Solución. C om o P y T son puntos de trisección , entonces : OP = (a ,a/3) y O T = (al3 ,a) L u e g o : 11OP11 = 11ÓT11 = Va2 + (a/3): = f K) O P • Ó T = (a , a/3) • (al3 , a) = 2a:/3 Si CosG = — = P P O T IIOPlI IIOTlI <=> C o s0 = 2a73 (a^W3)- 5 0 = are C o s (3/5) FIGURA 1.54 ejemplo 1 0 j Sean A y B vectores unitarios en R :. Dem ostrar que la sum a es un vector unitario si y sólo si el ángulo formado por dichos vec tores es de 1209 Sección 1.9: Angulo entre dos vectores 55 Demostración. (<=>) Probarem os primero que ¡' A + B i = 1 En efecto, por hipótesis 0 = 120° es el ángulo entre los vecto res A y B. Entonces : llA + B ||2= ||a II2+ IIb I|2+ 2 A * b =IIa II2+ I|b | | 2+ 2|Ia II I I b I I CosG = 1 + 1 + 2 (1)(!)(-1/2) = 1 11A + B 11 = 1 (<=) Dem ostrarem os ahora que A y B forman un ángulo de 120° En efecto, por hipótesis : llAll = ||B|| = | | A+ B Si 11A + B 11: = 1 «=> 11A 112+ 2A • B C o s0 + 11 B 112= 1 ■=> (1)2 + 2 11A 11 II B II C o s0 + (I)2= 1 1 + 2(1)(1) C osG + 1 = 1 => CosG = - 1/2 [ Cjemplo 11 ] Se a n A y B vectores en R 2 , A e s un vector unitario, la sum a de los com ponentes de B es 31 y el máximo valor de A • B es 41; hallar los vectores A y B. Solución. Se a n los vectores A = (x, , y,) y B = < x ,, y,> S i A - B = 11A11 ||B|| C o s0 ,y c o m o | | A11 = I y C o s 0 e [-1 ,1 ], el valor de A • B será máximo cuando C o s0 = 1 , luego : A • B = 11 B 11 *=> 41 = V x,2+ y,2 (1) A d e m á s, x, + y, = 31 ^ y, = 31 - x 2 (2) Sustituyendo (2) en (1) se tiene : 41 = Vx,2 + (31 - x,)2 de donde obtenem os : x,2 - 31x, - 360 = 0 <=> x, = 40 ó x, = -9 Por lo que, y, = 9 óy, = 40 <=> B = <40 , -9) ó B = <-9 , 40) D ado que el vector A e s unittario entonces :x,2+ y,2= 1 (3) 4 0 x , - 9 y , = 4 l (4) y si A . B = 41 ■=> x, x, + y, y, = 41 => 9x, + 40y, = 41 (5) De (3) PI (4) se tiene A = <40/41 , -9/41), y de (3) fl (5) : A = <-9/41 , 40/41 ) ■ ! Cjemplo 1 2 J S e a n A y B y C vectores en R J. Su p o n e r que 11 A 11 = 1 , ^ ’ 11B 11 = 1 y l l c l l = 4 . Si 11A - B + C 11 = 11A + 2 B + C 11 y el ángulo entre A y B mide 459, hallar el coseno del ángulo entre vectores B y C. Solución. Si A • B = 11A 11 11 B 11 C o s0 = * A • B = (1) (1) C o s 45° = V2/2 Desarrollando los cuadrados I! A - B + C |: = l¡A + 2 B + C l| 2, tenemos:
- 35. 56 Capítulo I: Vectores en el plano ||A||2 + H b ||2 + ||C||* + 2 ( - A ’ B + A - C - B - C ) = M a I I : + 4 | !b I I 2 + I I c I I 2+ 2 ( 2 A - b + a * c + 2 B * C ) Simplificando se tiene : ||B||2 + 2 A * B + 2 B * C = 0 =* (1)2+ 2(V2/2) + 2 11 B 11 ||C || C o s0 = => C o s0 = - 1 +- V-2 ■ O E j e m p lo 1 3 ^ En la Figura 1.55 , O A C B e s un pa- ralelogramo. Si O C = (5 , 3 ), B A = —) —) (-3 , 9) y 0 es el ángulo determinado por O A y O B 1 , hallar el coseno de 0. Solución. Si B A = <-3 , 9} => A - B = (-3 ,9) (1) —) —) —> —) —^ O C = O A + AC, pero com o A C = OB, entonces O C = O A + O B = A + B <=> A + B = (5 , 3> (2) De (1) y (2) obtenem os : A = <1 . 6) , B = <4 , -3) -=> B x = <3 , 4) c o s 8 = A ' B1 = < '- 6> ' < 3 ' 4> = - 2 L II A || II B || (Vi + 36 ) (V9 + 16) 5V37 Ejemplo 1 4 j En el paralelogramo A B C D de la Figura 1.56, se tie ne: ||ÁB II = 6 , IIA D II = 4 , m (<A ) = 609; M y N son puntos m edios de los lados A B y B C , respectivamente. Hallar C o s0 , sabiendo que II U || = 6 y II V11 = 4V l3. Solución. A D = 4 <Cos60°, Sen60°) = 2 (1 , V3) Á B = 6 (C osO °, SenO°> = 6 ( 1 , 0 ) Luego, A M = i - Á B = (3 , 0> y BN = -y A D = <1 , f3) D M = A M - Á D = (3 , 0) - <2 , 2^3) = (1 ,_-2V3> Un vector unitario en la dirección y sentido de D M e s : D M O . - 2V3) FIGURA 1.56 u= l yíl311D M 11 Vl3 Análogam ente : A N = A B + BN = 6 (1 , 0) + (1 , V3> = (7 , V3) 2V3> Ejercicios de la Sección 1.9 57 Un vector unitario en la dirección y sentido A N es v= jM - ü = => V = ir v II v= (4VÍ3) =2(7,V3> IIa n II 2^3 2V13 • C oq0 = U • v _ 12(1 ,-2>/3) » <7,V 3) _ j _ IIU lI ||V il a/T3(6) (4VT3) " 2 6 EJERCICIOS : Grupo 8 1. Hallar la medida del ángulo entre los vectores A y B, si A va de P(2 , 5) a Q(4 , 4) y B va de S (3 , -2) a T(2 , 1). —) —> 2. Si A B C e s un triángulo tal que A C = (4 , 1), A B = (-4 , -3), hallar el coseno del ángulo que forma el vector B C con el vector unitario j = (0 , 1). “4 -4 3. En un triángulo A B C se tiene : A C = <-2 , 4) y A B = <3 , -1). Hallar el ángulo que —> forma el vector B C con el vector unitario ¡x. 4. En un triángulo A B C se tiene : A B = (2V6 , 2'2) y A C = (6 , -V2). Hallar la —) m edida del ángulo formado por B C y el semieje positivo de las abscisas. 5. En un plano cartesiano, los puntos A ( r , s ) , B(na + r , nb + s) y C(-m ¿ + r , rrw + s) son diferentes del origen y m ^ O . n ^ O . Hallar la medida del ángulo formado por los vectores A B y AC. 6. Hallar el ángulo que forman el vector A que va de P(-1 , 3) a Q (6 , 4) con el vector B que va de S(5 , -1) a T(2 , -5). 7. Calcular A • B . donde A y B son los vectores de la Figura 1.57 , para los cuales: 11A11 = 8 r Yi k y IIB || = 7 2 B 8. Calcular 11 A + B 11sabiendo que A y B for A m an un ángulo de 1509 y que , 11 A11 = !48 y (J II B II = 6 9. Los vectores A y B forman un ángulo de 609, FIGURA 1.57 sabiendo que ||A|| = 5 ,| | B | | = 8 , hallar I I A + B l l y | | A - B ||. 10. Se a n A , B y C vectores diferentes de O, y supuesto que el ángulo entre A y C es igual al ángulo ente B y C, para qué valor de t es el vector C perpendicular al vector D = II B ||A + tB.
- 36. 58 Capítulo l: Vectores en el plano 11. L o s vectores A y B form an un ángulo de 1209, sa b ie n d o que i í A !I = 3 y 11 B 11 = 5 , determ inar, 11A + B 11 y 11A - B 11. 12. Q ué condición deben satisfacer los vectores A y B para que el vector A + B bisecte al ángulo formado por los vectores A y B. 13. El vector A = (x , y) se obtiene girando 609 al vector B = <-2 , 4) en el sentido horario. Hallar el vector A. 14. S i l l A l l = a y l lB | | = ¿?, demostrar que el vector C = + , biseca el a +b ángulo formado por A y B. 15. Se an A y B dos vectores no nulos tales que 11 A ■I = I i B 11 = m. S i el ángulo entre A y B es n/3 radianes , y la norma de su diferencia es 2 - m ; hallar m. 16. Tres vectores A , B y C e R : satisfacen las siguientes propiedades : I !A !! = I IC l l = 5 , 11 B 11 = 1 y 11A - B + C 11 = 11 A + B + C 11. Si el ángulo que forman A y B e s n/8 , hallar el que forman B y C. 17. D ados los vectores unitarios a , b y c tales que el ángulo entre a y b mide 309 y el ángulo entre b y c mide 60e, graficar el vector a + 2b - 3c y calcular su longitud. 18. En el paralelogramo A B C D de la Figura 1.58 se tienen : |i AB11 = 3 , 11A D 11 = 6 , m (< A) = 609 , P y Q son puntos de trisección de los lados A B y B C respectivamente. Hallar C o s0 sabiendo que 11 U 11 = 4 7 y 11V 11 = 3 19 19. D ados tres vectores no nulos en R : , A , B y C. Supuesto que el ángulo que forman A y C es igual al que forman B y C. Dem ostrar que C es ortogonal al vector 11 B 11A - 1 A B. 20. Los vectores A y B forman entre si un ángulo de 609 y el m ódulo de A es 6. Hallar 11 B 11 para que A - B forme con A un ángulo de 309. 21. Los vectores A y B forman un ángulo de 309 . 11A 11 = v3 y 11 B 11= 1. Hallar el ángulo que forman los vectores A + B y A - B. 22. El punto A(4 , 2) es un vértice de un trapecio isósceles A B C D , cuyas b ase s A B y C D miden 10V5 y 4 5 unidades respectivamente. Si A B e s paralelo al vector U = (1 , 2) y el lado Á D es paralelo al vector V = (-2 , 3 > , hallar los otros vértices del trapecio. Sección 1.10: Descomposición de vectores 59 23. Los ángulos entre los vectores no nulos B y C , A y C , A y B son a , p y y respectivamente , y los vectores U y V están definidos como U = (A • C )B - (A • B )C , V = (A • C )B - (B • C )A Dem ostrar que si U y V son perpendiculares , entonces : C o sp = C o s a C o sy 24. Dem ostrar que si A y B son vectores de igual longitud entonces el vector A + B biseca el ángulo entre A y B y que A - B es ortogonal a A + B. [1.10) D E S C O M P O S IC IO N DE V E C T O R E S ____________________ Se an los vectores A y B en R J. Si desde un punto de vista geométrico un vector V del plano podem os expresarlo, en forma única, com o una sum a de com po nentes vectoriales rA y tB, que son múltiplos escalares de A y B : entonces se dice que se ha efectuado una descomposición del vector V en su s com ponentes vecto riales paralelos a los vectores A y B (Figu ra 1.59), esto es : V = rA + tB El conjunto p = {A , B } se llama base de R :, para cada vector V e R :, y los núm eros r y t se llaman componentes escalares de V en relación a la base p. Si ocurre que los vectores A y B so n uni tarios y ortogonales entonces al conjunto { A , B } se le llama conjunto ortonormal. Definición 1.14 Bases ortonormales S e dice que una base p e R* es una base ortonormal si el conjunto de vectores A y B que la constituyen es un conjunto ortonormal. Así, la base p = { A , B } es una base ortonormal si ocurre que : A • B = 0 ó A • A = l ^------------------- —________ _ _________________________ Por ejemplo , con sid e re m os el conjunto de vectores { A , B } , donde A = <4 , -2) y B = <3 , 6). Este es un conjunto ortogonal (A • B = 0) y e s por lo tanto una base de R :. Sin embargo, no es base ortonormal, pues los vectores A y B no son unitarios. Para obtener una base ortonormal bastará normalizar los vectores A y B. A s í , si
- 37. 60 Capítulo 1: Vectores en el plano A <4, -2) <2, -1) u _ B _ (3 ,6 ) = (1 , 2) ||A || " V J 6 T 4 V5 ’ 2 I IB || V9 + 36 V5 entonces el conjunto { u |f u,} constituye una base ortonormal en R :. Indudablemente existen m uchas b ase s ortonormales en R 2, sin embargo, una base ortonormal de singular importancia lo constituye la base formada por los vectores unitarios ortogonales ¡ = (1 , 0) y j = (0 , 1). Así, fijada la base (3 = - i , j >, llamada base ortonormal canónica, cada vector V = (x , y) en R*. de origen O, se escribe en términos de esta base com o V = xi + yj En efecto : V = (x , y) = <x , 0) + <0 , y) = x <I , 0) + y <0 , 1) = xi + yj que es la expresión analítica del vector V, en la cual los núm eros x e y son su s componentes escalares y los vectores xi e yj componentes vectoriales (Figura 1.60) — Definición 1.15 COMUINACION LINEAL DE VECTORES_____________________ Si (3 = { A . B } es una base de R 2, entonces de dice que cada vector V e R 2 e s una combinación lineal de los vectores de p , si existen los núm eros s y t e R , tales que V = s A + t B v_______________________________________ __________________________ :-----------------------y Se gú n esta definición , si la base p es ortonormal, todo vector V e R 2, puede expresarse mediante una y sólo una combinación lineal de un par dado de vectores unitarios ortogonales u y u±. E s decir, existe una y sólo una pareja de escalares s y t tales que V = s u + t u 1 (17) Los escalares s y t pueden calcularse fácilmen te tom ando los productos escalares V • u y V • u x, pues si u • u1 = 0 y u • u = u 1 • u1 = 1, entonces en (17): V • u = s(u • u) + t(u1 •ti) *=> s = V • u V • u1 = s(u • u x) + t(u1 • u1) => l = V • u1 Luego , en (17) se tiene el siguiente resultado [V = (V » u)u + ( V - u > x) (18) FIGURA 1.61 Sección 1.10: Descomposición de vectores 61 En el ejemplo anterior se vió que p = {u,, u,} , donde (2 , -1) (1 , 2) u = - — --- - v U = - - - V5 V 2 V5 es una base ortonormal en R 2. Escribam os elvector V = (5 , - I) en términos de esta base. Por la ecuación(18), se sigue que : V = (V • u () u, + (V • o,) u = ( f = 4 « , - - i «, V5 1 >¡5 ' También, todo vector V e R : se puede expresar com o una sum a de múlti plos escalares de vectores ortogonales no nulos que no sean unitarios. B B 1 r i En efecto , si u = —— - y ux = —-----— = —— — , entonces en (18) se tiene IIB II IIb -HI II B II v = ( v * — — + ( v» - BX) —B1 . [ II B I K I I B | | I I b I I M I b I I que equivale a : (19) EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1 ( fjcmplo 1 ) Dado los vectores V = (-2 ,2) y B = <3,1), expresar V com o una combinación lineal de B y B 1. Solución. Si B = (3 , 1) ■=> B x = <-1 , 3) y 11B 11 = VTo Luego, si aplicam os la ecuación (19) obtenem os : v " 2) 10<3' 0 ) (3 ■') * (<-2' 2> 1 0 ' 3>) <-' ■3> ^ v = (:ÍL¡ Í Í ) <3' 0 + <-• • 3>= - <3 • I> + y < - l .3 ) Com probación : V = (- y , - y ) + (- — — ) = (-2 , 2) ■
- 38. 62 Capítulo I: Vectores en el plano Ejemplo 2 J En la Figura 1.62 se tiene : f p l l O X y ||Ó P II = 8 —> —> —► Si O T = m O P + n O P 1 , hallar el valor mn. Solución. Ó P = 11O P 11 <Cos30°, Sen30°> = 4 (V J , 1> Las com ponentes de O T son (x , x ) , pues y = x. La ordenada de P es y = 11OP 11 Sen30° = 8(1/2) = 4 => Ó t = <4 ,4) = 4(1 , 1) Com o Ó T está expresado com o una combinación lineal de vectores ortogonales , usarem os la ecuación (19) para calcular los escalares m y p , esto es Ó T • Ó P 4(1 , 1> * 4(^3 , 1) 11O P 112 Ó T 'Ó P 1 (4V3 + 1y 4(1 , 1) » 4 (-l ,V 3 ) _ 1 (4/3 + 1): • } mn 8 Ejemplo 3 J En la Figura 1.63 se tiene los vectores A y B con 11A 11 = 23. Si B = s A + t A 1 , hallar el valor de s + t. Solución. A = 11A 11 (C os 60° , Se n 60°) = (V3 , 3) Las com ponentes de B son ( - y , y ) , pues y = -x y com o y A = y B = 3 , entonces B = <-3 , 3). Luego, usando los escalares de la ecuación (19) ten drem os : <-3 , 3) • <V3 , 3> 3 -V 3 s = t = B • A 11A 11; B • A J (V3 T 9y (-3 , 3) • (-3 . n/3) (V3 + 9 ): 4 3 + V3 f ' y4 £ .á V J } FIGURA 1.63 Ejemplo 4 ] Se a n los vectores de la Figura 1.64, dondeII A|| = 2 y11C11 =8. Si C = m A + nA-1 , hallar el valor de m - 3 n Solución. El ángulo de dirección del vector A es a = 180° - (90 + 30°) = 60° , luego , si FIGURA 1.64 Sección 1.10: Descomposición de vectores 63 A = 11A 11 (Cos60° , Sen60°) <=* A = <1 , n/3) y A x = (-V3 ,l> Si C = (0 , 8), los escalares de C = m A + n A 1 son : m = C -A = <0.8> • <1 .V3) = 2 = . C - A 1=(0 , 8) ■(-V5 . I) _ , 11A 11- (2)! ' ’ 1 1A 112 (2)’ m - 5 n = 2V3 - >Í3(2) = 0 ■ IO B S E R V A C IO N 1.7Sabem os, por la Definición 1.15. que cualquier vector V e R 1 puede expresarse de manera única com o V = s A + t B (1) Si ocurre que los vectores A y B no son ortogonales, los escalares s y t pueden calcularse tom ando los productos escalares V • A 1 y V • B x , puessi A •A x = 0 y B • B 1 = 0 , entonces en (1) se tiene : A . A 1 = 0 + tB • A x c=> t = V - A ^ ; V • B 1 = 0 + s A .B x ■=>s = _¥_!_B^ B • A 1 A • B 1 Por consiguiente en (1) : j^V = ( a T § x ) A + [ q ‘~ ^ i) B ) (20) [ Ejemplo 5 j En la Figura 1.65 se muestran los vectores A, B y C, donde 11A 11= 3 , 1! B || = 2 , 11C 11 = 6 y a = 309. S i C = m A + n B , hallar m + 3n. Solución. Las com ponentes de los vectores m ostra dos s o n : A = (3 , 0> , B = 2<Cos 30° , Se n 30°) = <V3 , 1) y C = 6(C os 120° , Se n 120°) = <-3 , 3>/3) Si C = m A + n B , los escalares m y n lo obtenem os a partir de la ecuación (24), esto e s : m = C * B X = (-3.3V 3) • (-1 ,V3) = 3 + 9 = A - B 1 (3 .0 ) • <-1 , V3> *3 n = C • A± = (-3 , 3n/3) • (0 ,3 ) _ 9V3 _ , ^ B • A 1 (n/3 , 1) . (0 , 3) 3 Ejemplo 6 j Los segmentos orientados y la combinación lineal FIGURA 1.65 m + 3 n = 5 ■ En la Figura 1.66 , A B C D es un paralelogramo. Si A F = J- A D y O
- 39. 64 Capítulo I: Vectores en el plana E D = 5 B E , expresar E F com o combinación li neal de A D y AB. Solución. El objetivo es expresar ÉF en la for m a : E F = m A D + n A B Entonces en el A E F D se tiene : É D = É F + F D ■=> É F = É b - F D (1) Dado que E D = 5 B E => É D = -| B D = -| (Á D - Á B ) Luego , en (1) se tiene : EF = (A D - A B ) - -=- A D «=> E F = 4 -Á D - ¿ A B 6 6 r /IK /A F u v J FIGURA 1.66 EJERCICIOS : Grupo 9 1. Dado los vectores A y B en R ! , demostrar que 11 A 112 B = (A • B )A + (A 1 - B )A A 2. Si A y B son dos vectores en R : , demostrar que : I I a !I2 ||b I I 2 = (A • B )2 + (A 1 • B )2 3. Em plee el resultado del Ejercicio 2 para dem ostrar que : II A 112 || B 112 > (A • B)2 4. En la Figura 1.67 se tiene los vectores A y B . con A 11 = 4. Si B = s A + tA 1 , hallar el valor de s + t. —> —>—> 5. En la Figura 1.68 se tiene (X = 309 y 11O M II = 12. Si O N = m O M + n O M 1 , hallar el valor de m + n. 6. Dado los vectores de la Figura 1.69, hallar el valor de n +V3m sabiendo que m A + n A x = C , siendo A un vector unitario y I i C !I= 8 >C V FIGURA 1.68 FIGURA 1.69 Ejercicios de la Sección 1.10 65 7. En la Figura 1.70 se tiene los vectores A , B y C , donde 11A I = 23. Si C = m A + n B , hallar el valor d e m - n . 8. En la Figura 1.71 se tiene : A B 11OY y 11OA 11 = 4. Si O B = m O A + n O A x , hallar el valor de m - n. 9. En la Figura 1.72 , f/' e s una recta paralela al eje X y se tienen los vectores A y B en R 2 , donde 11 B 11 = 32. Si A = s B + tB 1 , hallar s . t y l l A - B||. FIGURA 1.70 FIGURA 1.71 FIGURA 1.72 10. En un trapecio A B C D , los lad os paralelos A B y C D miden 9 y 3 unidades respectivamente. Si M es punto medio de A B , N e s punto medio de B C y M N = n A B + n A D , hallar el valor de m - n. 11. En la Figura 1.74 se tiene el paralelogramo A B C D donde E es punto de trisec ción de A B , H es un punto tal que 3 D H = 4 HE. Si AH = m A D + n A B , hallar los escalares m y n. 12. En el paralelogramo de la Figura 1.73 se tiene : A E = E C y 4 FD = AF. Si E F = m A D + n C D , hallar el valor de m + n. 13. En la Figura 1.75 se dan los vectores A , B y C , donde 11A 11 = 3 , 11 B 11 = 4 , 11 C 11 = 6 y a = 609. S i C = m A + n B , hallar el valor de m + 2n. 14. S e tiene un trapecio escaleno A B C D , cuya base m ayor A D es el doble de la base menor BC. S e trazan las diagonales A C y B D que se cortan en el punto P. Si B P + C P = m (BC + C D ) + n(C B + B A ) , hallar m + n. 15. S e a A B C D un paralelogram o , tal que d os lados no paralelos son A B = 3u y A D = 6 v , donde u y v son vectores unitarios. Si P es punto medio del lado A D y E e s el punto de intersección de los segm entos A C y B P ; hallar en términos de u y v los vectores A E y BE.
- 40. 66 Capítulo 1: Vectores en el plano íl.1 l) P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L Se a n A y B d os vectores y B * O. la proyección ortogonal o componente vectorial de A sobre B , denotada por ProyBA , es el vector Proy°A = ( i í i T r ) B ■ ° r ° ) Si aplicam os la ecuación (21) a (19) , obtenem os A = ProyBA + ProyB,A (21) (22) Geométricamente esta definición significa que se puede construir un triángulo rec tángulo cuya hipotenusa sea el vector A y cuyos catetos contienen a los vectores ProyBA y ProyBA . (Figura 176). | O B S E R V A C IO N 1.8 Los vectores B y ProyBA son paralelos de tal m odo que si el ángulo 9 entre A y B es agudo entonces B y ProyBA tienen la m ism a dirección y sentido (Figura 1.76), en tanto que si 0 es obtuso entonces B y ProyBA tiene la m ism a dirección y sentido opuestos (Figura 1.77) E je m p lo 1 . S i A = <12 , 5) y B = (-3 , 4 ), hallar la ProyBA Solución. Partiendo de la ecuación (21) se tiene : Proy=A=(<lH(^4)ll=4>) <’3 '4 ) = ( -3 •4> = f <-3 '4> En este ca so vem os que Proy0A y B son paralelos y tienen sentidos opuestos. I Sección l.l l: Proyección ortogonal 67 P R O P IE D A D E S D E L A P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L 1. Proyc (A + B) = ProycA + ProycB 2. ProyB (rA) = r ProyBA Definición 1.12 Componentes Escalares A • B Al número j—^ j■■ se denom ina componente escalar del vector A en la dirección del vector B , siendo B * O y se denota p o r : C om p°A = T í Í Í T (23) D ad o que ProyBA = ( ) — B , se puede establecer la relación B B siguiente entre proyección (un vector) y componente (un número) (V r o y BA = (Com paA ) (24) Si Com psA > 0 , entonces la ProyBA tienen el m ism o sentido de B. del m ism o modo, si Com pBA < 0 entonces la ProyBA tiene sentido opuesto a B (Figura 1.77). Por tanto, la com ponente escalar de un vector es la longitud dirigida u orientada del vec- R tor. Esto es , si - — - es un vector unitario , la ecuación (24) se puede escribir • B Com pBA = ± || Proy A 11 (25) El signo se debe elegir según que B y ProyBA tengan o no el m ism o sentido. A sí para los vectores de la Figura 1.77 se toma : C om pBA = - 1i ProyBA 11 Ejemplo 2. Hallar la proyección ortogonal y la com ponente escalardel vector A = (-3 , -4) sobre el vector B = <4 , -2) Solución. Si B = (4 - 2) B |= V20 , luego , en la ecuación (21) se tiene : Pr°yeA = (-~3- ’ ’ ~2)) (4 . -2> = - 1 (4 , -2) = (-4/5 , 2/5) Obtenem os la componente escalar aplicando (23), esto e s r.nmn a - <~3 , -4) • (4 , -2) _ -12 + 8 _ 2V5
- 41. 68 Capítulo I: Vectores en el plano Com o la C om pBA < 0 , la ProyBA y B tienen sentidos opuestos. ____________ - 2 V 5 " La norma de la proyección ortogonal es : 11ProyBA I i = V(-4/5): + (2/5)- = —j - C om pBA = - 11 ProyBAl I P R O P IE D A D E S D E L A C O M P O N E N T E E S C A L A R 1. C om p c(A + B) = C om pcA + C om p cB 2. C om p B(rA) = r C om pBA -------------f EJEM PLOS ILUSTRATIVOS]------------- ^ E je m p lo 1 ^ ) Lo s lados de un triángulo son los vectores A , B y A - B. Si ----------------------- || A II = 5 , II B II = 3 y C o m p BA = -5/2, hallar la longitud del lado A - B. Solución. Si C om pBA = - | => TT^TT = * 7 ’ de donde A . B = - 15/2B y s i| | A - B ||2= IIa | | 2- 2 A - B + M b ||2= (5)2- 2(-15/2) + (3) = 49 11A - B 11- = 7 Ejemplo 2 ] Lo s lados de un triángulo son los vectores A , B y A + B. Si ----------------------- | | a I I = 5 , 11 B 11 = 2 V2 y 11A + B 11 = n53 , hallar: 2C om pBA - C om p A(A + B) Solución. Si I !A + B l = V53 <=> A + 2 A • B + 11B i I = 5.-1:V53 <=> II A 112+ 2 c=£ (5y + 2 A • / A - - 9 ( j m Ml B ll) — ¿ (A + B) * A A I I - + B - A _ 2 5 + 1 0 _ 7 Com pA(A + B) = |[A|— = ----------5 5 - 2 Comp A - CompA(A + B) = 5V2 - 7 Sección 1.11: Proyección ortogonal 69 f Ejemplo 3 ) S i A + B + C + D = 0 , | | A + B | | = a , | | C | | = 6 y | | D | | = c , hallar la Com pcD Solución. Si A + B = - (C + D) => 11A + B 11 = 11- (C + D) 11 c=> a = 11C + D 11 Elevando al cuadrado se tiene : a2= 11 C 112+ 2 C • D + 11 D 112 Luego , a2= b2+ 2 C • D + c2 , de donde : C • D = (a2- b2+ c2) • '• Com p' D = ^ = ¿ (a ;- i: + c ! ) ■ Ejemplo 4 ] Si el vector B forma un ángulo de 309 con el semieje positivo de las x , 11B 11= 2 , C om p BA = -2 y C o m p B A = 2^3 ; hallar el rector A. Solución. Si B = 11 B 11 <Cos 30°, Se n 30°) =* B = ( V I , 1) Por la ecuación (21): A = ProyBA + ProyB±A <=> A = ( CompBA ) + (Com pBlA) = (-2) + (2VT) <1* 1 A = (-2V3 , 2) ■ ( Ejemplo 5 ] Si A = (-2 , 12) y B = (-3 , 3), hallar el ángulo formado por los vectores A y ProyBi A Solución. S e a el vector C = P ro y B A = ( B x * II B x ||2 * 0 c ° [ — Si A U y C 11V , entonces : U = <-1 , V3> y V = (1 , V3> El ángulo entre U y V es el mism o entre A y C , por lo que : C o s 9 = U ~ V = <-'■ >5) - (I ■ V3) = 1 ^ 9 = 60- . I l u l l l l v l l (2) (2) 2 ~ " i j e m p l o 6 ) D ado los puntos A (-1 , 3 ), B(5 , 6) y C (7 , 5 ); si P divide al segm ento A B en la razón A P : P B = 2 , hallar la proyección del vector A P sobre el vector BC.
- 42. 70 Capítulo 1: Vectores en el plano Solución.S e a el punto P(x , y). Si ^ = 2 ■=> A P = 2 P B «=> P - A = 2 (B - P) r x + 1= 10 - 2x ■=> x = 3 « < x + l , y - 3 > = 2 < 5 - x , 6 - y > o | y . 3 = 12 - 2y « y = 5 Luego , P(3 , 5) => A P = P - A = <3 . 5) - <-1 , 3> = (4 , 2) B C = C - B = <7 , 5) - (5 , 6> = <2 , -1 > Ahora : ProyBCÁ P = ( A P * B C = ( (4 ’ 2)_ L Í-2 ’ (2 , -1) /BC M l B C l l 2' ' (V4T T ) j ' ProyB-cA P = f < 2 , - l > ■ [ E j e m p lo 7 J SiA. B y C son vectores no paralelos con C * O, dem ostrar que a) 11 Proyc(A + B) 11 < i C om pcA I + I C om p cB ! b) Proy sC(rA + B) = r ProycA + ProycB , V r , s e R , s * 0 Solución. En efecto, de la definición de proyección ortogonal se sigue que : a) Proyc(A + B , = C = ( - ^ C ) C ♦ ( J ^ ) C _ /A • C + B •C C llc l l 1 lie II O bsérvese que el paréntesis del segundo miembro es un número real y que es coeficiente de un vector unitario; luego, si norm alizam os am bos m iem bros de esta igualdad obtendremos : 11 Proyc<A + B) || = Ahora, si aplicam os al numerador del segundo miembro la desigualdad triangular para núm eros reales, tendremos : l|Pro^ ( A + B ) l l s 1 W + 1 W || Proyc(A + B) || < C om pcA + C om pcB » * - r (A; ? i ; r v = O c + ( ^ ) c = r ProycA + ProycB ■ Sección 1.11: Proyección ortogonal 71 Ejemplo 8 J Se an los vectores A = (k , -2) y B = (2k , k + 2 ), donde k e R. Hallar los valores de k de modo que ProyBA y B tengan senti dos opuestos. Solución. S i ProyBA y B tienen sentidos o p u e sto s, entonces C om pBA < 0, esto es, A - B < 0 , pero com o 11 B [I > 0 , implica que : A . B < 0 IIB Luego : (k , -2)•<2k , k + 2) < 0 => 2k- - 2(k + 2) < 0 <=> k: - k -2 < 0 => (k +1)(k - 2) < 0 « (k + 1 < 0 a k - 2 > 0) v ( k + l > 0 a k - 2 < 0) <=> (k < •1 a k > 2) v (k > -1 a k < 2 ) » (0) v (-1 < k < 2) <=> k e < -1 , 2 > ■ [ E je m p lo 9 ^ ] Se an los vectores no nulos A. B e R : y r * 0. Establecer el valor de verdad de las siguientes afirmaciones 1. 11 A x + B 11 = I I a - b M I 2. ProyA(ProyBA) = ProyB(ProyAB) .=> A 11 B 1 ó 11 A 11 = 11 B 11 3. |C om pA(Ax + B) | < 11 B 11 4. S i r > 0 ■=>C o m p g iA = - C om p^A -1 5. Si A + B 1 = A 1 + B «=> A = B Solución. 1. Dado que 11 A 11 = 11A x 11 •=> 11A 1 + B 11 = 11(A 1 + B)1 !! = 11(A A)X + B x 11 = I I - A + B M I = ll(-l) (A - B x) 11 = |(-1)| II A - B^ || = 11A - B x 11 Luego , la afirmación e s verdadera 2. ProyA(ProyBA) = Proy8(ProyAB) « *] A = [ - ^ 7 ° ] B r t A - B X B - A ) , f ( B . A ) ( A ; B)l B I I b I I : I I a I I : 11a1 12 11b 11- La igualdad (1) se cumple si y sólo si A • B = 0 => A 1 B = * A | | B X A • B * 0 <=> A = B , luego 11A11 = || B iI Por tanto , la afirmación de verdadera. 3. Por la desigualdad de Cauchy - Schw artz se sabe que :
- 43. 72 Capítulo 1: Vectores en el plano A • B I < I I a I I 11 B 11 « J A l B j < || B 11 <=> ' A - A ^ A - B l < | |B Il A l l A • (A 1 + B) I I A II Luego , la afirmación es verdadera < 11 B i I <=> C om p A(A x + B) |< 11B 11 4. C om pBiA = jy~TT * per0 11 01 i I = I B y A . B x = - A 1 . B B II B x II A i . R A x • (r B) Luego : C o m p B A = -t com o r > 0 => C o m p B A = - 11 r B j y <=> C om p 0iA = - C om p iBA x Por tanto , la afirmación e s verdadera. 5. Si A + B x = A x +B ■=> A -B = A x - B x «=> (A - B) • (A - B) = (A - B) •(Ax - B x) o (A - B) • (A - B) = (A - B) •(A - B)x(A•A x=0) => (A - B) • (A - B) = 0 (A • A = 0 <=> A = O) <=> A - B = O c=> A = B Luego , la afirmación es verdadera. ■ C j c m p lo 1 0 j Dado el vector A = (-4 , 2) y ProyBiA - (-3 , 3 ), supuesto que C om pBiA es positivo , hallar la C om pBA. Solución. Si A = ProyBA + Proya±A «=> (-4 , 2) = ProyBA + (-3 , 3) c=> ProyBA = <-l , *l> Dado que . C om pBA = ± 11 ProyBA I , entonces : C om pBA = ± + (*l); = ± >/2 En la Figura 1.78 se observa que B y ProyBA tienen sentidos opuestos , por lo que : C om p0A = - V2 ■ Prov„ A FIGURA 1.78 E j e m p lo 1 1 } Dado el exágono regular de lado a (Figura 1.79), hallar la pro yección ortogonal de F C sobre BE. Solución. FC = 11 r c 11 <Cos60°, Sen60°) = 2a (1/2 , V3/2) = a (1 . V3> Sección 1.11: Proyección ortogonal 73 BE = 11 B E 11 (C o s 300°, Se n 300°) = 2a (1/2 , - Í3/2) B E = a <1 , - V3) L u e g o . Proy.-FC = ( ^ # ) B E = ( a <' ■ ' ^ > ) a <, .. V5) a /BE ' 11 B E I I 2' V a ! ( i í T + 3 ) ! 1 ProyB-EF C = - | ( l , - V 3 > Ejemplo 12 J En la Figura 1.80 . C es un vector unitario tal que Cotg a = 3 3. Si A + V = A x , hallar la C om pvC. Solución. Dado C o tga = 3V3 y a en el IV cuadrante , entonces Se n a = - — U y C o s a = 2V7 2V7 Si C = (C o s a , S e n a ) c=> C = ^ | <3^3 , -1) Sen 75° = Sen(45° + 30°) = Se n 45° C o s 30° + Se n 30° C o s 45° = ^ ( 1 + V3) C os 75° = Cos(45° + 30°) = C o s 45° C o s 30° - Se n 45° S e n 30° = ^ (Í3 - 1) t=> A = 11A 11 (C os 75° , Se n 75°) = ^ | I A 1 1 <V3 - 1 , V3 + 1) = r <V3 - 1 , >/3 + 1) Luego , si V = A x - A => V = r (-VJ - 1 , V3 - 1) - r <V3 - 1 , Í3 + 1) = 2r (-V3 , -1) Com p C = C . V II V il (3V3 , - 1) . 2r (-V3 , -1) 2r V3 + 1 2V7 7 Ejemplo 1 3 ] En la Figura 1.81 se tiene : 11 A11 = 2 , A •B = 2 11 B11. Se a V un vector tal que B x + V = B y a el ángulo entre A y B. Hallar ProyvA.
- 44. 74 Capítulo I: Vectores en el plano Solución. A = 11A I ! (C os 60°, Se n 60°) = <1 , V3) Si A • B = 11A 11 11 B 11 C o s a , entonces V2 11 B 11 = 2 1! B 11 C o s a , de donde , V2 C o s a = Si B = 11 B || (C o s 105°, Se n 105°) V2 t=> B = llB|| (1 -V 3 , 1 +V3> 4 c=> B i = Í L || B II (-1 -V 3 , 1 - V3> Lu e g o , si V = B - B 1 => V = ^ Il B II <2 . 2>/3> = ^ Il B II (1 , V3> = r (1 , V3) O ■ r ( l (V1+3)* . P r o y A = f - ^ V - W = ( < l ' ^ > m i , ^ ) r < l , V 3 > = <1,V 3) ” Kr°VvA l||v||-/ V r: (V1 + 3)2 1 Ejemplo 14 J En el paralelogramo de la F igu ra 1.82 se tiene : D E = É C , m (3 B A D ) = 609. La altura relativa a la base Á D es h. Si el vector M = A B + A E - B D y V = ProyAl M , hallar la norma de V en función de h. Solución. En la Figura 1.82 se tiene : A E = A D + D E y B D = A D - A B Luego , si M = A B + A E - B D «=> M = A B + (A D + DE) - (A D - A B) = 2 Á B + D É = 2Á B + -y A B = j Á B FIGURA 1.82 M • A D 5 /AB • A D 5 /IlA B II II A D ll C o s 60° II A D ll ~ 2 ' IIÁDlr 2 ||A D l l ' de donde obtenem os : 11V11 = -j 11A B 11 En el A D H C : h = 11DC 11 Se n 60° = 11A B 11 Se n 60° = ••• l l v l l = t ( 2r ) h = 5r h A B II = Sección l.ll: Proyección ortogonal 75 [ Ejemplo 15^ La Figura 1.83 es un trape cio rectángulo en donde : A = (5 , 12) y C = (-2 , 3). Hallar su área. Solución. 11A 11 = V5: + 12: = 13 11 H 11 = Com p iC = — * A 1 l l Al l H|| = (-2 ,3 ) . (-12, 5) _ 13 = 3 r á B A / H ( ¿ ° » V A D|| = C om p C = = .<-2 .3) » (5 , 12) _ Il A l l 13 FIGURA 1.83 B 11 = 11 A 11 - 1| D || = 1 3 - 2 = 11 Area del trapecio = i( | | A || + ||B||)||H|| = | ( 1 3 + ll)(3) = 36u- E je m p lo 1 6 )El triángulo A B C e s isó sce le s , siendo A(4 , 10) y B C el lado desigual. Si Proye-cB A = (3 , -1) y ProyA-cÁ B = f (1 , -7) , hallar los vértices B y C. 5 Solución. Si Proy-cÁ B = j (l , -7) <=> A C 11 (I , -7), esto e s , 3 re R | A C = r(I ,-7) c=> C - A = r(l , -7) <=> C = (4 , 10) + r(l , -7) (1 ) Com o B C = 2BH c* B C = 2 P r o y -B A = 2(3 ,- I) «=> C - B = (6 , -2) <=> B = (4 , 10) + r(l , -1) - (6 , -2) E => 8 = (-2, I2) + r(l , -7) (2) AB = B - A = (-2 , 12) + r(I , -7) - (4 , 10) = (r - 6 , 2 -7r) Adem ás : 11 A B ll= | | A C 11 <=> (r - 6)2+ (2 - 7r)J = r Vi + 49 de donde , r = 1 , que sustituido en (1) y (2) obtenem os : C(5 , 3) y B(-1 , 5) ■ e je m p lo 1 7 7) Se a n A(-3 , 2 ), B , C(-1, 13) y D los vértices de un rectángulo tal que A C es una de s u s diagonales y Á B es ortogonal a (4 , -3). Hallar los vértices B y D. Solución. S i A B 1 (4 , -3) implica que A B 11 ( 3 , 4 ) , entonces un vector unitario en
- 45. 76 Capimio I: Vectores en el plano Á B (3 , 4> la dirección y sentido de A B es: u = ■■■ _ - = — ^— * II A B II 5 A d em ás , si A C = C - A «=> Â C = (-1 , 13) -<-3 , 2) = <2 , 11) En la Figura 1.85 se observa que A B = ProyuA C => Â B = u = (ÂC ‘ u 'l l u l l 27 Luego : Â B = « 2 , 11) • (3/5 , 4/5» (3/5 , 4/5) = (6 ,8 ) C om o B - A = A B => B = A + Â B = (-3 , 2) + (6 , 8) = (3 , 10) Si M es el punto de intersección de las diagonales , entonces : M = l ( A + C ) = (-2, 15/2) Tam bién : M = -y (B + D) ■=> D = 2 M - B = (-7 , 5) Por tanto , los vértices buscados son : B(3 , 10) y D(-7 , 5) FIGURA 1.85 f Cjemplo 1 í T } S e a el cuadrilátero A B C D tal que M(-2 , 4) y N ( 4 , 2) son puntos m edios de los lados Á B y B C respectivamente ; D M e s paralelo al vector S = (1 , 4) y C M es paralelo al vector T = (-3 , 2) y ProyAl)D N = (3 , 2). Hallar los vértices del cuadrilátero. Solución. Si P roy-BD N = (3 , 2) *=> Á B 11(3 , 2), luego 3 r e R I A B = r<3 , 2) D M 11 S => 3 s e R l D M = s(l ,4) M - D = s(l ,4) <í=> D = (-2 , 4) - s(l , 4) (1) D Ñ = N - D = (4 , 2) - (-2 , 4) + s(l , 4) = (6 + s , -2 + 4s) /DN • A B MIÁB II1 ff<3,2>=( Ia b (6 + s , -2 + 4s) • r<3 , 2) ) r (3 , 2) r: ('9 + 4Ÿ de donde obtenem os s = 2 , luego en (1) : D = (-4 , -4) Como M es punto medio de AB <=> AB = 2M B Vi 3 ‘ B ' ° % l 1 / [) V. J FIGURA 1.86 Sección I. / 1: Proyección ortogonal 77 <=> r(3 , 2) = 2(B - M) <=> B = 1 <3r - 4 . 2r + 8) (2) C M 11T <=> M - C = t(-3 , 2) <=> C = (-2 + 3t , 4 -21) (3) N es punto medio de B C ■=> 2N = B + C => 2(4 , 2) = (3r - 4 , 2r + 8) + (-2 + 3t , 4 - 2t) de donde : <16 ,8) = <3r + 6t - 8 , 2r - 4t + 16) r I6 = 3r + 6 t - 8 => r + 2t = 8 <=> -{ 8 = 2r - 4t + 16 r - 2t = -4 Resolviendo el sistem a obtenem os r = 2 y t = 3 , que sustituidos en (2) y (3), respec tivamente , encontram os B = (1 , 6) y C = <7 , -2) Si A B = 2(3 ,2) => B - A = <6 , 4) => A = <1 , 6) - (6 , 4) = (-5 , 2) Por tanto, los vértices del cuadrilátero son : A(-5 , 2), B(1 , 6), C(7 ,-2) y D(-4 , -4) ■ Ejemplo 19 ) En un triángulo A B C , M(-1 , 6) y N(7 , 1) son puntos m edios de los lados A B y B C respectivamente. A B es paralelo al vector V = (2 , 1) y ProyAlgA B = y y ( 4 , 1). Hallar los vértices del triángulo. Solución. Si P r o y - Á B = <4 , -1) => Á Ñ 11(4 , -1) => 3 r e R IÁ Ñ = r(4 , -1) Luego , N - A = r<4 , -1) <=> A = (7 , 1) - r(4 , -1) (1 ) A M 11A B y Á B 11V = (2 , 1) c=> 3 t e R |Á M = t(2 , 1) Por lo que , M - A = t(2 , 1) =* A = (-l , 6 ) - t ( 2 , 1) (2) De (1) y (2) se sigue que : (7, 1) - r (4 , -1) = (-1 , 6) - 1(2 , 1) => t<2 , 1) - r<4 , -1) = (-8 , 5) <=> { 21 ‘ 4r = ' 8 ^ t + r = 5 Resolviendo el sistem a obtenem os r = 3 y t = 2 Para r = 3 , en (1) se tiene : A = (-5 , 4) M es punto medio de Á B => M = -L (A + B) c=> B = 2M - A = 2(-l , 6) - (-5 , 4) = (3 , 8) N es punto medio de BC => N = (B + C) =* C = 2 N - B = 2 (7 , 1) - (3 , 8) = (11 , -6) Por lo tanto , los vértices del triángulo son : A (-5 ,4 ), B(3 , 8) y C (1 1 ,-6) ■
- 46. 78 Capítulo I: Vectores en el plano --------------------------A D = 3AN a) Hallar r y s tales que : M N = r A D jf s AB b) Si adicionalmente los vectores B A y A D for m an un ángulo de 120c y I !A D 11 = 2jJ B A 11 , hallar la proyección ortogonal de M N sobre ÁD. Solución. R _ c r / ^ / l ) n v ---------------------- D FIGURA 1.88 a) Si M D = 4 B M «=> M D = j B D = j (A D - A B ) y si A D = 3AN <=> N D = -j A D E n e l A M N D : M N = M D - Ñ D = ¿ ( Á b - A B ) - ¿ A D « M N = ^ A D - ¿ Por lo que : r = 2/15 y s = - 4/5 b) P o r la igualdad (1): P ro y aT>MN = ^ P r o y lT>A"í> - f P r° y A-DA B _ J _ a d - - ( AB- A D " 1 5 A 5 11a D I I 2' (1) ‘IIÁbll Pero : Á B • Á D = II Á B II II ÁD11 Cos60° = II Á D II 11 Á D 11 (X ) = i- l I A D 11 Luego , en (2) se tiene : ProyA-DM Ñ = Á D - ± (^ ) A D = - ± A D (2) EJERCICIOS : Grupo 10 1. Dem ostrar que : a) P r o y A( B - C) - ProyAB - ProyAC b) ProyA(r B) = r ProyAB c) C om pc(A + B) = C om p cA + C om p cB 2. Se a n A , B y C vectores no nulos en R 2y r , s e R. Establecer si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. a) ProyBA + ProyBi(A - B) = A b) ProyA(A + B) - ProyAB = A c) ProyB(r A + s C) = (r + s) (ProyBA + ProyBC) d) ProyBiA + P ro yA B = O 3. S e a n los vectores A y B lados de un paralelogram o. S i 11 A 11 = 6 11 A 11 = EJERCICIOS ; Grupo 10 79 2 11 B 11 y C om pBA = 10/3 , hallar la longitud de la diagonal A - B. 4. D ados los vectores A = <3 , -1) y B = (3 , V3 ), hallar 2(ProyBA + ProyAB) 5. Se a n A y B d os vectores tales que A = <5 , -2), C om p AB = -58 y I : B ¡! = 2 9 . Hallar C om p BA. 6. Si A es un vector del m ism o sentido que V = (1 ,2 ), tal que 11A ¡I = 50 y 11 B !I = 29 ; hallar C om pBA. 7. Los lados de un triángulo son los vectores A .B y B - A. Si I !A | = 6 , 11B11 = 2 y 11 B - A 11 = 5 ; hallar C om pBA * C om pAB. 8. Los lados de un triángulo son los vectores A .B y A - B, si 11A11 = 10 , 11 B 11 = 6 y C om p BA = -5. Hallar la longitud de A - B. 9. Los lados de un triángulo son A , B y A +B , tales que 11A I =3 ,! B 1!= 2 2 y 11A + B 11 = V53. Hallar 2 C om pBA - C om pA(A + B). 10. Si II A - B II = 4 , II B II = 3 y C om pB(A - B) = 22/3 , hallar la norma de A. 11. S i D = A + B + C , 11A 11 = p , 11 B 11 = q , 11 C 11 = r , A * B = p q , A * C = p r y Com pBC = r ; hallar la norma de D. 12. S i A + B + C = 0 , B * 0 , | | A | | - a , II B II = ¿>, 11 C 11 - c hallar Com pBA. 13. Si ProyBA = <2 , -5), ProyBiA = (-3 , 2) y B = 2 A + A 1 ; hallar 11 B 11. 14. S e a 11 A 11 = V65 , 11 A + B 11 = V Í6 4 , C o m p A(A + B) = ;hallar ^ /A O l l A H Com p8(A - B). 15. Establecer si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Proy0i.A = P ro yA B «=> A = B b) S ¡ A * 0 , B * 0 y ProyBA = ProyAB => Com pBA + Com pAB = 2 11 B Ii c) (ProyBA)-L = P ro y ^ A 1 d) C om pBi (ProyBA) = 0 16. Si A = (5 , -2) y P royBi A = <4 , 1), hallar C o m p BA sabiendo que C om p 0i A e s positivo. 17. Hallar el ángulo formado por los vectores A y ProyBiA , si A = <1 , 2) y B = (1 ,3). 18. Los vectores A y B de longitudes 2 y 3 respectivam ente , forman ángulos de m edidas a y p con el vector C = (1 ,1). Siendo O2 < a < 909 y P < 1809 . Hallar 11 Proyc(A + B) 11 en términos de a y p. 19- SiA=3 (nfri) + 4(Trfrn) yc°mp«iB=2’haiiar|Ai-B| 20. Hallar el vector B sabiendo que I!B I = 2 2 , A = (-4 , 2 ), C om pBA es positivo
- 47. 80 Capitulo I: Vectores en el plano y ProyBi A = (-3 , 3). 21. D ados los vectores A = (3 , -6), B = <3 , 4) y C = <21 , 0 ), hallar los valores de r y s tales que : C = r Proy8A + s P ro y ^ A 22. Los vectores A y B de R : cumplen : 11A11 = 3 5 , B = (-4 , 3), ProyAxB = <-2 , 4) y Com pAB > 0. a) Con los datos dados, en un plano cartesiano, gráficamente ubicar los vecto res A . A x y ProyAB. b) H a lla r, ProyBA y C o m p A B 23. Se a el triángulo A B C y sean Q(1 , 9) y S (6 , 2) los puntos m edios de los lados AB y B C respectivamente. Si A B 11 (1 , 1> y ProyA-gAB = (3 t - 1 ) t hallar los vér tices del triángulo. 24. Se an los vectores A , B e R : , tales que :| A + B|| = 1 7 , | | 2 A - B ! = 2 6 , (B + 2 A) 1 (B - 2 A) y el vector V = 5 A + 3 B tienen la m ism a dirección y sentido que el vector (-2 , 1). Hallar ProyvA. 25. Dado un triángulo isósceles A B C (AB = AC), sean M y N puntos de trisección de la base BC. Si el coseno del ángulo A es 1/4, hallar la proyección ortogonal del vector A M + A N sobre el vector A C y el vector A C 1. 26. Se a n A = 2u + v y B = u - 2 v , donde u y v son vectores unitarios que forman un ángulo de 609 , com o se muestra en la Figura 1.89. Un trapecio isó s celes O P Q R se forma de tal modo que una de su s —> bases es A = O R y uno de su s lados no paralelos es B = OP. a) Con referencia a las posiciones de u y v , graficar cuidadosam ente el trapecio O P Q R . b) H a lla r, en términos de u y v , el vector OQ. 27. Dado el exágono regular A B C D E F de la Figura 1.90, cuyo lado mide 10 unida des y el vector V = B D + F C + B C ; hallar 11 ProyA-pV 11. 28. Dado el exágono regular de lado a (Figura 1.91), en donde G y H son puntos medios de B C y D E respectivamente. Hallar la norma de V, si V = P ro y ^ S A G ) + ProyA-F(9AH). 29. En la Figura 1.92 , A , B y C son tres vectores de R : tales que B es unitario, C es ortogonal a A y A * B = ||A|| (3/2). Hallar la C om p A. EJERCICIOS ; Grupo 10 81 30. En el paralelogramo A B C D de la Figura 1.93 , m (4 B A D ) = 60e , 11A B 11 = a , IIÁDII = 2a , donde a e R - {0}. Si p = 11ProyADÁ C 11 y q = 11PrbyA8Á C 11 .hallar p + q. 31. Se a A B C D un rectángulo (Figura 1.94) tal que 2A~B = Á D y 11A B 11 = a ; sean E y F puntos m edios de los lados B C y D C respectivamente. Si V = Á E + Á C + ÁF, hallar el valor de : Com pA- V + C o m p ^ V . 32. En el rectángulo de la Figura 1.95 , H , P y Q son puntos medio. Á B = 4 F B , O C = 4a , OA - a. Si V = H F + A P + Q C , hallar Com pABV + Com p -.y. FIGURA 1.95 33. Sabiendo que ProyA<ü , b) = <1 , 2) y ProyA(x , y) = (-4 , -8 > , hallar la norma de ProyA(4í2 - x , 4b - y). 34. Los lados de un triángulo son los vectores A , B y A + B. Si ||A I I = 8,||B|| = 6 y ¡ A + B I = 6 8 , h allar: Com pA(A + B) - 3 C om pB(A - B). 35. Hallar el vector A cuya norm a e s 3 5 , sabiendo que B = (-4 , 3 ), Proy iB = (-2 , 4) y C om p AB > 0. 36. E n la Figura 1.96 el A A B C e s equilátero y C H e s altura. S i C H = (2 , 4) y V = (V3 , 1 ), hallar la C om pvCA. 37. En el exágono regular de lado 8 unidades mostrada en la Figura 1.97 , hallar la
- 48. 82 Capítulo I: Vectores en el plano proyección ortogonal de a) M Ñ sobre M B + B Í) b) V = Á C + B D - C Ñ sobre M B 38. En el trapecio P Q R S de la Figura 1.98 se tiene : 11 R Q 11 = 11SP 11 , S(-4 , 2), Q (10 , 4 ), P S • P R = 0 y Proy¿pPR = (8 , 8). Hallar los puntos A , P y R. 39. Los vértices de un rectángulo A B C D son A(-2 , -6), C(2 , 6), D(-6 , -2) y B. Los puntos M e D C , N e A B , R e BC, adem ás P ro y ^ A D = m(1 , -3) y N M + N R = (4 , 14). a) Hallar el vértice B. b) Hallar los puntos M , N y R. A R E A D EL P A R A LE LO G R A M O Y D EL T R IA N G U L O Haciendo uso de la proyección ortogonal de un vector sobre otro, estam os en condiciones de hacer otra interpretación geométrica del producto escalar. Para tal efecto considerem os el paralelogramo de lados A y B (Figura 1.99). Llam em os 11 C11 a la altura que se obtiene mediante la proyección ortogonal de A sobré B x, de modo que : 11 C 11 = 11Proy0iA 11 = I C om p0ÍA I C 11 = A » B J 11 B x | Dado que el área del paralelogramo es igual al producto de su base por su altura , entonces .............................1A • B x |- S = l B C I = I B 11B x 11 S = !A . B xPero com o 11B !I = I B x 11 A sí hem os dem ostrado el siguiente teorema Sección 1.12: Area (leí paralelogramo y del triángulo 83 TEOREMA 1.12 Area del paralelogramo y del triángulo El área S de un paralelogramo , cuyos lados son los vectores A y B , e s igual al producto escalar de uno de ellos por el ortogonal del otro. Esto es : S = |A • B x | = I A 1 • B I (26) En particular, el área del triángulo S, , cuyos ladosconsecutivos son los vecto res A y B está dado p o r : S, = | | A . B X | = i - l A x .B| (27) r EJEMPLOS ILUSTRATIVOS^ í Ejemplo i j Se a n P (-3 ,1 ), Q { 7 , -1) y R ( 5 ,3) tres vértices consecutivos de un paralelogramo. Hallar su área. Solución.Considerem os elvértice Q com o punto inicial de los vectores A y B. Luego, si A = QP =>A = P - Q = <-3 , 1) - <7 , -1>= (-10 , 2) B = QR B = R - Q = (5 , 3) - (7 , -I) = (-2 , 4) Por lo que, si S = |A • B x | <=> S = I <-10 , 2) • <-4 . -2) I = 140 - 4 1 = 36 u- ■ Ejemplo 2 J Hallar el área del paralelogramo sabiendo que su s diagonales están contenidos en los vectores U = <3 , 3) y V = (5 , -1). Solución. S e a el paralelogramo PQ R T m os- trado en la Figura 1.100 En el A P T Q : B = A + V = * B - A = V En el A P Q R : B + A = U De (1) y (2) obtenem os ; A = - L ( U - V ) , B = -L(U + V) Luego , A = (-1 , 2) y B = <4 , 1> ■=> B 1 = S = I A • B x I = I <-1 , 2) • <-1 , 4) I = 9
- 49. 84 Capitulo J: Vectores en el plano Ejemplo 3 ) S e dan los puntos A(3 , -2), B(-3 , 2) y C(2 , 7). S i P divide al segm ento B C en la razón B P : P C = 2 : 3 ; hallar el área del triángulo A P C . Solución. S e a P(x , y). Si 3 BP = 2 PC , entonces 3<x + 3 , y - 2) = 2<2 - x , 7 - y) r 3x + 9 = 4 - 2x <=> x = -I i , .. <=> i r ■=> P(-i , 4) L 3y - 6 = 14 - 2y y = 4 J Luego , si U = A P =* U = P - A = (-1 , 4) - (3 , -2) = (-4 , 6> V = A C <=* V = C - A = <2 , 7) - (3 , -2) = <-1 , 9) S = l l u - v 1 ! = -j l<-4 , 6) • <-9,-1)1 = 15 u: ■ Ejemplo 4 j Los vértices de un triángulo son A(2 , -1), B(4 , 2) y C e = { (x, ) ly = x - 2}. Si su área es 5 u2 , hallar la sum a de las ordenadas de todos los posibles valores del vértice C. Solución. Si C(x , y) e <5? <=> C(x , x - 2) Se a n : U = A B = B - A = <2 , 3) V = A C = C - A = ( x - 2 , x O s = -i-1 V - U-1-1 <=> 10 = |<x - 2 , x - 1) • <-3,2)| de donde : 14 - x I = 1 0 o 4 - x = 10 ó 4 - x = -10 <=> x = -6 ó x = 14 H ay dos soluciones : C(-6 ,-8) ó C( 14 , 12) Por tanto , la sum a de las ordenadas es : y, + y, = 4 r q B "N u / S A v v !'Pe J FIGURA 1.102 C je m p lo 5 ] En la Figura 1.103 : a (A O P R ) = 10 u2 ,11A 11 = 5 y a = 309. Si B = <m , n ) , hallar el valor e m + v^ n . Solución. A = 11A 11 <Cos 30°, Se n 30°) = ¿.(< 3,1) B = 11B 11 <Cos 60°, Se n 60°) =» <m , n) = m : + n-’ ( 1 , ^ ) Sección 1.12: Area del paralelogramo y del triángulo 85 Igualando las primeras com ponentes se tiene : m = -i- m : + n : , de donde : n = V3 m (1) Si a(AO PR) = 10 <=> -i-1 A 1 • B | = 10 .=> <-1 , <Í3)-<m , n) = 10 => -m + V3 n = 8 (2) Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas , obtenem os : m = 4 y n = 4/3 /. m + V 3n = 4 + V J (4VJ) = 16 ■ f ”ejemplo |a Figura 1.104, O A C B es un paralelogramo. Si O C = (5 , 3) ^ M —) y B A = <-1 , 5 ), hallar el área del triángulo O AB. Solución. Se a n los vectores : U = O A y V = O B En el A O B A : B A = U - V E n e lA O A C : O C = U + V De este sistem a de ecuaciones obtenem os U = JL (ÓC + B Á ) y V = (ÓC - BÁ) Luego , U = <2 , 4) y V = <3 , -1) => V x = <1 , 3) fl(AOAB) = i I U •V x | = 1|<2 , 4) • <1 , 3)1 = 7 u2 [ Cjemplo Hallar el área del polígono de vértices en A(-2 , 3) , B(2 , 7 ), C (8 , 2) , D (6 , -2) y E(2 , -5). Solución. La Figura 1.105 muestra el polígono dividido en tres triángulos de áreas S, , S, y S,. Tom ando el vértice A com o punto inicial de los vectores R . T , U y V , se sigue que: R = A B = <2 , 7) - <-2 , 3) = <4 , 4) T = A C = <8 ,2 )-< -2 , 3) = <10,-1) U = A D = <6 , -2) - <-2 , 3) = <8 , -5) V = Á E = <2 , -5) - <-2 , 3) = <4 , -8) FIGURA 1.105
- 50. 86 Capiiulo I: Vectores en el plano S, = y |R •T 1 ! = y l <4 , 4) • <1 , 10)1 = 2 2 u: S ; = -j |T • U 1 != ^ I< 1 0 ,-1 > • <5,8)1 = 21 u- S , = '1 | U - v 1 ! = -i-l<8,-5> • <8,4)1 = 22 li* S = S ) + S, + S, = 65 u- Ejemplo 8^j La Figura 1.106 es un trapecio isósceles , en donde , A = <1 ,3) y B = <5 , -1). Hallar su área. Solución. S e a n : C = R E = ProyAiB , S, = a (Q R EF) y S ,= a (A R E T ). / A x - B A i _ ,f(-3 , l>-<5 , -1> M 1A 1 112' i 10 / S, = I A - C x | = | |<1 , 3).<| , 3>| = 16 u2 S, = 4 - 1B • C x I = 1 (|.)|<5 .-!> .< ! ,3>| = f u - ’ S = S, + 2 S, = 16 + -y- = 19.2 u: Ejemplo 9 J En la Figura 1.107 se tiene : M (0 , 4) , N (5 , 3) , P(2 , *2) y Q (-3 , -1) son puntos m edios de los lados de un trapecio A B C D . Hallar su área sabiendo que 11AB 11 = 2 5 Solución. D ado que Q N es m ediana del tra pecio, entonces ; Q N 11A B 11DC Luego ; Q N = N - Q = <5 , 3) - <-3 , -l) = 4<2 , 1) Entonces , un vector unitario en la dirección de Á M |<2, I) e s : u = - 4 ^ — ■=> Á M =11 Á M II u 11A M 11 «=* AM= V 5 ( ^ - ))= < 2 , 1) r Y1 M ‘ « —__ •_ ✓ i ' ' °l Q f i) V / ■ ■ J FIGURA 1.107 Sección 1.12: Area del paralelogramo y del triángulo 87 => M - A = <2 , 1) <=> A = M - <2 , 1)= <0,4) - <2 , 1)<=> A = <-2 , 3> M = 1 ( A + B) => B = 2 M - A = 2<0, 4)- <-2, 3> = <2 , 5 N = y (B + C) c=> C = 2 N - B = 2<5 , 3> - <2 , 5) = <8 , 1> P = 1 (C + D) =* D = 2 P - C = 2<2 , -2> - <8 , 1) = <-4 , -5) =» Á B = < 2 ,5 > -< -2 ,3 > = <4,2> ; Á C = <8 , 1> - <-2 , 3) = <10 , -2> D A = <-2 , 3) - <-4 , -5> = <2 , 8) Por lo que : S = a (A A D C ) + a (A A B C ) = I D A • ÁC-1! + I Á B • Á C 1 ! = i| < 2 , 8>-<2, 10)1 + l| < 4 , 2 > - < 2 , 10>| = 56 u- ' ■ ( E j e m p lo 1 0 J T re s vé rtice s c o n se c u tiv o s de un re ctá n gu lo A B C D so n A(-8 , 4) , B(2 , -2) y C (5 , 3). S i P e Á B , Q e C D , R e Á D , PQ 11V = <7 , 6) y P Q + P R = <5/3 , 31/3); hallar el vértice D , los puntos P , Q , R y el área del cuadrilátero P R D Q . Solución. C D = B A >=> D = C + (A - B) c=> D = <5 , 3) + <-8 , 4) - <2 , -2> Si PQ 11 V c=>Q - P = r <7 , 6) (1) Á P = tB A P = A + IB A _ P = <-8 , 4) -M <-5 , 3> (2) D Q = s C D =>Q = D + s C D => Q = <-5 , 9) + s<-5 , 3) (3) Restando (3) - (2) obtenem os : Q - P = <3 , 5) + (s - 1) <-5 , 3> Luego , en (1): r <7 , 6) = <3 , 5) + (s - 1) <-5 , 3> « r<7 , 6) + (s - 1)<5 , -3) = <3 , 5> Multiplicando escalarmente por <5 , -3)-Ly luego por <7 , 6>1 obtenem os respectiva- FIGURA 1.108 mente r = 2/3 y s - 1 = - 1/3 «=> PQ = -|<7 , 6> Dado que : PQ + PR = <5/3 , 31/3) <=> PR = <5/3, 31/3) - <14/3 , 4) = <-3 , 19/3) => R - P = <-3 , 19/3) (4) = <-5 , 9)
- 51. 88 Capítulo I: Vectores en el plano A dem ás , A R = k A D ■=> R = A + k A D = (-8 , 4) + k(3 , 5) Restando (5) - (2) se tiene : R - P = k (3 , 5) - 1(-5 , 3) <=> (-3, 19/3) = k <3 , 5) - 1(-5 , 3) de donde obtenem os : k = 2/3 y t = -1 , luego , s = -1 - 1/3 = - 4/3 Por lo tanto : P = <-8 , 4) - l<-5 , 3) = (-3 ,1 ) ; Q = (-5 , 9) - ±<-5 , 3) = <5/3 , 5) R = (-8 , 4) + -j (3 j 5) = <-6, 22/3) Area del cuadrilátero : a(PRD Q ) = a(APRD ) + a(APQ D) c=> a(PRD Q ) = i- | PR • PD1 ! + i |PQ • P D X | (5) = l| < - 3 , J | ).< -8 ,-2 )| + i | < M ,4 ).< -8 ,-2 )| = - ^ u - 85 EJERCICIO S : Grupo 11 En los ejercicios 1 al 4 , hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos dados. 1. A(-5 , 0), B(1 , 3 ), C(-3 , -2) 3. A(2 ,-3 ), B(4 , 2 ). C(-5 ,-2) 2. A(-3, 4 ), B(6 . 2), C(4 , -3) 4. A(-1 , 2 ), B(3 , 5 ), C (5 , 1) En los ejercicios 5 al 8 se dan tres vértices consecutivos de un paralelogramo, hallar las coordenadas del cuarto vértice y el área de cada paralelogramo. 5. A(4 . -5), B(-2 , 3 ), C (-3 , 1) 7. A(-1 , -5), B(2 . 1 ), C(1 , 5) 6. A(-1 , -2), B(0 , 1), C (-3 , 2) 8. A(2 , 4) , B(6 , 2 ), C(8 , 6) En los ejercicios 9 al 12, hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son los vectores dados. 9. U = <-2 , 3 ), V = <6 , -1) 11. U = <11 ,-1 ), V = < -2 ,4 ) 10. U = <5 , -4), V = <-1 , -8) 12. U = <1 , 10), V = < 5 ,-2 ) En los ejercicios 13 al 15, hallar el área de los polígonos cuyas coordenadas de su s vértices se dan. 13. A(2 , 5), B(7 , 1) . C(3 , -4) y D(-2 , 3) 14. A(1 , 5 ), B(-2 , 4 ), C(-3 , -1) , D(2 , -3) y E(5 , 1) 15. A(-5 , -2), B(-2 , 5) , C(2 , 7) , D(5 , 1) y E(2 , -4) 16. Se a n los puntos A(3 , 5) , B(k , 2) y C (5 , 1). Hallar los valores de k tales que dichos puntos son vértices de un triángulo de área 11u2 EJERCICIOS : Grupo II 89 17. D ados los puntos A(2 , -1), B(-2 , 3) y C (4 , 6). Si P(x , y) divide al segm ento B C en la razón B P : P C = -2 : 5 , hallar el área del triángulo PAB. 18. D ados los puntos A(-3 , -5) , B(3 , 1) y C (2 , 5). Si P(x , y) e s el punto de trisección, m ás cercano de A, del segm ento A B , calcular el área del triángulo PCB. 19. Los vértices de un triángulo son A(3 , -5), B(2 , 5) y C e 2? = {(x , y) I y = -2x}. Si su área es de 3.5 u2 , hallar las coordenadas del vértice C. 20. Lo s vértices de un triángulo so n A(x , y) , B(4 , 3) y C(-2 , 6). Si el área del triángulo es 9 u2 y A e .2? = {(x , y) I x - 2y = 4 } , hallar el vértice A. 21. En la Figura 1.109 , O A B C es un paralelogramo. Si O B = <1 , 6) y A C = <9 , -2), hallar el área del triángulo A B C . 22. En la Figura 1.110 ,a( A O P T ) = 15 u2 y I ' A I = 10 . Si B = <m , n ) , hallar el valor de 3m + n. 23. En la Figura 1.111 , a (AO PT) = 12 u2 , II B II = 22. Si ProyB±A = <x , y ) , hallar el valor de xy. 24. S e a V = <-8 , 8) un vector con punto inicial A(13 , 7) y punto terminal B. Si P es un punto situado por encima de la flecha que representa al vector V, tal que el A A P B es isósceles de área 8 u2 , hallar los puntos P y B. 25. S e a el cuadrilátero A B C D de área 57/2 u2 . Si A(-1 ,4 ), B(2 ,3) y C ( 4 , -2); hallar D sabiendo que este punto está en el eje X 26. S e a el trapecio A B C D de la Figura 1.112, donde M (1 1/2 ,7/2), N(8 ,6), P(9/2 ,13/2) y Q (2 , 4) son los puntos m edios de los lados correspondientes. Si 11 DC11 = 10, hallar P ro y ^ P N y el área del trapecio A B C D .
- 52. 1.13j D EP EN D EN C IA E IN D E P E N D E N C IA LIN EA L DE V EC T O R ES 9Q Capítulo 1: Vectores en el plano Definición 1.13 Vectores ¡inealnienle dependientes_________________________ S e dice que dos vectores A y B e R : son linealmente depen dientes (L. D.) si el vector nulo O puede expresarse com o combinación lineal de estos vectores , esto es . s A + t B = O donde por lo m enos un coeficiente e s diferente de cero. Simbólicamente A y B son L. D. <=> B s . t e R l s A + t B = 0 . c o n s * 0 ó t * 0 ________________________________________________________ __________________________ x Por ejemplo , los vectores A = (-1 , 3> y B = <2 , -6) son linealmente dependientes , pues si tom am os s = 2 y t = 1 (s * 0 y t * 0) , entonces 2 (-1 , 3) + 1 <2 , -6) = <0 , 0) El vector nulo O con cualquier otro vector B son siem pre linealmente dependientes, pues si s = 3 , (s * 0) y i = 0 , entonces : 3 0 + ()B = O O bsérvese que A y B son vectores paralelos y com o sabem os, el vector cero O es paralelo a cualquier vector. Esto nos permite caracterizar a d os vectores linealmente dependientes mediante otra definición. S e dice que dos vectores A y B € R- son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro ; e s d e c ir, si A = r B ó B = r A para un escalar r. En consecuencia , A y B son L. D. precisam ente cuando A y B son colineales. A B G-------------- - --------------> ........ O----------------------------------- ► TEOREMA 1.3 D o s vectores A y B e R ; son linealmente dependientes si y sólo si son paralelos. v----------------1------------------------------------------------------------------------------------------------— > Demostración. (<=>) Dem ostrarem os primero si A y B son L. D . , entonces A y B son paralelos. En efecto , si A y B son L. D. <=> 3 s , l e R | s A + t B = 0 , c o n s * 0 ó t * 0 Sup ongam os que s * 0 ■=> A = (- B , lo cual implica que A B Si i * 0 <=> B = (- |-) A , lo que nos dice que B A (<=>) Dem ostrarem os ahora que si A B entonces A y B son L. D. En efecto, si A B o 3 r e R A = i B <=> A - r B = O Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 91 A + (-r)B = O S e ha logrado una combinación lineal de A y B igual a O con coeficientes 1 y *r que son diferentes de cero , por lo tanto , A y B son L. D. Definición 1.14 Vectores linealmente independientes D o s vectores A y B e R- , se dice que son linealmente inde pendientes (L. I.) si toda combinación lineal de A y B que es igual a O implica que su s coeficientes son necesariam ente cero. Simbólicamente : A y B son L.l. <=> s A + i B = 0 <=> s = t = 0 Por ejemplo , los vectores unitarios ortogonales i = (l , 0)y j = <0 ,l) son linealmente independientes , pues si s i +tj = O <=>s(l , 0)+ t(0 , l) = (0 , 0) (s ,0) + <0 , 0 = <0 , 0) (s , t) = (0 , 0) <=> s = 0 y t = 0 Los vectores A = (2 , l) y B = (-1 ,3) son también linealmente independientes,pues si s A + t B = O => s<2, l> + t<-l , 3) = (0 , 0) (2 s - 1 , s + 3 1) = (0 , 0) <=* -f “ S 1 ° 1 o s = 0 y t = 0 l»s + 3 t = 0 J O bsérvese que en este caso A no es paralelo a B. Esto también caracteriza a los vectores linealmente independientes con otra definición. S e dice que d os vectores A y B e R : son linealmente independientes si y sólo si A y B no son linealmente dependientes, esto es, cuando los vectores A y B no son colineales. /---------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------- TEOREMA 1.4 D o s vectores A y B son linealmente independientes si y sólo si A no es paralelo a B. Demostración. (■=>) Dem ostrarem os primero que si A Y B entonces A y B son L. I. En efecto , supongam os que A >T B y que s A + i B = O Al dividir am bos miembros de esta igualdad entre s ó t , tendremos : A = ( - i ) B ó B = ( - ^ ) A <=> A || B ó B I I A (A y B son linealmente dependientes) lo que contradice la hipótesis. Por lo tanto , A y B son linealmente independientes.
- 53. 92 Capítulo I: Vectores en el plano (<=>) Dem ostrarem os que si A y B son linealmente independientes entonces, A j f B En efecto , supongam os que A B , A * 0 y B * 0 c=> 3 r * 0 A = r B t=> A + (-r) B = O S e ha logrado una combinación lineal de A y B igual a O con coeficientes I y -r que son diferentes de cero , lo cual contradice la Definición 1.14. Esto signi fica que A y B son linealmente dependientes , lo que contradice nuevamente la hipótesis. Por lo tanto , A JÍB . TEOREMA 1.5 El teorema de las bases- Si A y B son vectores linealmente independientes del plano , entonces A y B forman una base de los vectores del plano. Demostración. Se a n A = O Q , B = O R y C = OP Por hipótesis A y B son lineal r M -=op mente independientes , entonces O Q y O R no * ^/ son colineales. Por el punto P tracemos parale V /las a Ó Q y Ó R de m odo que intercepten a su s B/ / prolongaciones en M y N respectivamente (Fi ? A "*Q ^gura 1.113). Luego se tiene : J O N = s A y O M = l B FIGURA 1.113 Dado que : OP = O N + NP = O N + O M , entonces C = s A + tB lo que nos permite afirmar que C se representa com o una única combinación lineal de A y B y genera el espacio vectorial R :. En síntesis , dado un par de vectores A y B en R ; , entonces a K b « {A , B •es una base del espacio R 1 La demostración del teorema nos sugiere la siguiente definición. Definición 1.15 D o s vectores A y B constituyen una base de los vectores del plano s i , todo vector C del plano se puede expresar de m ane ra única com o una combinación lineal de A y B. E s decir A y B generan a R : « V C € , 3 s , t e R I C = s A + t B Sección /. 13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 93 Los números s y t pueden calcularse multiplicando escalarmente la igualdad por A 1 y B x , esto es : A 1 • C = l (A1 • B) => t = A -L.Q A x • B I O B S E R V A C IO N E S 1.9 1. Un vector no nulo se puede expresar no solamente com o una combinación lineal de dos vectores ortogonales A y A 1 , sino que A x se puede reemplazar por cualquier otro vector que cum pla la condición de no ser paralelo a A. 2. Los núm eros s y i de la ecuación (28) se denomina coordenadas del vector C en la base (3 = {A , B } . D i , p . 3. En la Figura 1.113 podem os observar que el ve c to r: s A = — — J A es la proyección del vector C sobre el vector A siguiendo la dirección de B. A esta proyección se le denota p o r : fproy.A B)C = ) A _________________ / A sí mismo, el vector B = ^ ) b | e s la proyección de C sobre B siguien do la dirección de A . y se le denota p o r : Proy(B A)C = ( * g ) B j Por lo tanto , en la ecuación (28) se tiene : c = Pr°y,A.8)c + Pr°y,B.A,c (29a) (30)
- 54. 94 Capítulo I: Vectores en el plano Ejemplo 1 J Hállese los valores de k para que los vectores A = (-7 , k + 2) y B = <1 - 2 k ,1 ) sean linealmente indepen dientes. Solución. Sab em os que dos vectores A y B son linealmente dependientes <=> A B, o bien , si A • B 1 = 0 Luego, si (-7 , k + 2) • (-1 ,1 - 2 k) =0 •=> 7 + (k + 2) (1 - 2 k) = 0 <=> 2 k; + 3 k - 9 = 0 <=> k = -3 ó k= 3/2 Por lo tanto , A y B son linealmente independientes si y sólo s i , k * -3ó k * 3/2 , esto es : k e R - {-3 , 3/2 } ■ [ Ejemplo 2 J Sean A y B vectores linealmente independientes. Para qué va lores de k tendremos que C = 3 A - 2 B y D = k A + 4 B son L. I. Solución. D ebem os hallar núm eros s y t , que no sean simultáneamente cero, de modo que s i : s(3 A - 2 B) + t(k A + 4 B) = 0 <=> (3 s + k t)A + (4 1- 2 s)B = O Se gú n la Definición 1.14 , la dependencia lineal de A y B implica que 3 s + k t = 0 y 4 i - 2 s = 0 De la segunda ecuación , s = 2 t , y sustituyendo en la primera ecuación se tiene : 6 1+ k t = 0 <=> t(6 + k) = 0 o t = 0 ó k = -6 C om o s y t no deben ser am bos cero , entonces los vectores C y D son linealmente independientes si k = -6. B j Ejemplo 3 j Se an A y B vectores linealmente independientes y com o ta l, susceptibles de formar una base. Dem ostrar que C = 3 A + 2 B y D = 2 A - 5 B también forman una base. Demostración. En efecto , com probarem os que C y D son linealmente indepen dientes aplicando la Definición 1.14 Si s C + t D = O => s(3 A + 2 B) + t(2 A - 5 B) = 0 <=* (3 s + 2t)A + (2s - 5 i)B = 0 Por hipótesis , A y B son L. I. , luego aplicando nuevamente la Definición 1.14 se tiene: 3 s + 2 t = 0 y 2 s - 5 t = 0 c=> s = 0 , t = 0 Por lo tanto , C y D son linealmente independientes. ■ Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 95 Ejemplo 4) Fijado el vector C e R : , entonces C es expresable en forma ^ única , com o la com binación lineal de los siguientes pares de vectores : a) A = (2/3 , 1/5) y B = (-1 , -3/10) b) A = (3/5 , 1) y B = (-1 , 5/3) Establecer el valor de verdad de cada afirmación. Solución. Sa b em os que V C e R 2 , 3 s , t € R I C = s A + t B <=> A K B Luego, bastará comprobar si cada par de vectores dados son paralelos 2/3 = -r => r = -2/3 1/5 = (-3/10) r c=> r = -2/3 Existe un único r e R , tal que A = r B <=> A B .-.La afirmación es falsa. b) A = r B <=> (3/5,1) = r(-l , 5/3) o / 3/5 = ' r * * r = ' 3/5 l 1 = (3/5) r => r = 3/5 a) A = r B <=» (2/3 , 1/5) = r(-l ,-3/10) <=> j . — (3/5) r => r = 3/5 Luego , J l r e R A = r B a K B / .L a afirmación es verdadera. Ejemplo 5 ) Expresar el vector C = (4 , -5) com o combinación lineal de los vectores A = (-2 , 3) y B = (3 , -1 ), luego hallar Proy(A B>C y pr°y(8.A)C y comprobar la ecuación (30). Solución. Hallem os las coordenadas (s , t) deC según la base {A B . Aplicando la ecuación (28) se tiene: S = ^ ’ 3> * <4 ’ ~5> = 11 . . A x • C _ (-3 , -2) • (4 , -5) 2 * A ( 1 , 3 ) . ( - 2 , 3 ) 7 ’ A-l . B ~ (-'3 ,-2 ). (3 ,-1 ) = t /. C = s A + t B = - y - (-2 , 3) + y (3 , - 1) D a d o q u e : Proy(A B)C = s A = - ü (-2 , 3) y Proy(BA)C = t B = 2 ( 3 , - 1) «=> c = - y - (-2 , 3) + y (3 , -1) = (4 , -5) ■ Ejemplo 6 ) S e a n {A, , A2} , {B , , B J b a s e s de R : y A = 2 B, - 3 B r Si = ‘ . Aj = 3 B t + (1/2)BZy A = m A t + n A 2 , hallar m - n. Solución. Com o (m , n) son las coordenadas de A según la base (A. , A,} , halla rem os las coordenadas de B, y B, según esta m ism a base, esto es, s i : A, = B, - 2 B , <=» B, = A, + 2 B, (-|) A, = 3 (A 1+ 2 B ,) + Í B . => B, = - Í A , t ^ A ¡ (2) Sustituyendo (2) en (1) obtenem os : B |= 1 A : + p A,
- 55. 96 Capítulo I: Vectores en el plano A h o r a . S ¡ : A = 2 B , - 3 B ; « A = 2 ( - Ì A , - f A s) - 3 (. A A , + ¿ A ;) < = > A = — A + — A 13 ' 13 - (m , n) = (20/13 . 2/13) => m - n = 18/13 Ejemplo 7 J Halle las fórm ulas del cam bio de b ase , siendo A t = B, - B 2 , A = 3 B, - 5 B 2 , y determine las coordenadas del vector A respecto de la base P’ = { B, , B 2} , si respecto de la base p = {A , , A 2} son (2 , -1). Solución. Resolviendo el sistem a de ecuaciones para B, y B, obtenem os las fór m ulas del cambio de base , esto es : R - — A - 1 A B = — A - — A ' “ 2 1 2 2 ’ 2_ 2 1 2 2 Si (2 , -1) son las coordenadas de A respecto de la base p = { A I , A,} , entonces A = 2 A, - A, Se a n (s , t) las coordenadas de A respecto de la base p’ = {B , , B,} =» A = s B(+ t Bj = s ( | A , - Í A , ) + t ( | A, - i A,) r 2 = Jr ( 5 s + 3 t ) « = > 5 s + 3 t = 4 <=> 2 A, - A, = -y (5 s + 3 t)A, - y (s + l)A, <=> -J L -1 = - -i- (s + t) => s + t = 2 De donde obtenem os : s = -1 y t = 3 , luego (-1 ,3) son las coordenadas del vector A respecto de la base p’ = { B t , B,}. ■ Ejemplo 8 ) Los puntos P(-3 , 4) , Q(1 , 2) y S(-5 , -1) son vértices de un paralelogramo P Q T S , siendo P y T vértices opuestos. a) Mostrar que los vectores U = T S y V = Q T forman una base deR 2. b) Expresar el vector A = <1 ,5 ) com o combinación de U y V. Solución. S e a C el centro del paralelogramo , entonces C = -j (Q + S) = y <-4 , 1> = <-2, 1/2) También C = -L(P + T) <=> T = 2 C - P = (-4 , 1) - (-3 , 4) = (-1 , -3> a) U = T S = S - T = ( - 5 , - l) - ( - l , -3> = (-4 , 2> V = Q T = T - Q = (-1 , -3) - <1 , 2) = <-2 , -5) Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 97 <=> (-4 s - 2 1, 2 s - 5 t) = O o { Si U y V forman una base de R 2, m ostrarem os que: i) U y V son vectores linealmente independientes. En efecto , según la Definición 1.14 s U + t V = 0 t=> s (-4 , 2) + t (-2 , -5) = O -4 s - 2 1= 0 2 s - 5 t = 0 Resolviendo el sistem a obtenem os , s = t = 0 , por lo que : U y V son L. I. ü ) U y V generan a R 2 En efecto , se a C = (x , y) un vector del plano => B . t e R I C = s U + 1V «=> (x , y> = s(-4 , 2) + t<-2 , -5> <=> { X 4S ”l } ^ s = - y ~ , t = - l y = 2 s - 5 t J 24 . 12 Com o x . y e R <=> 3 t , s e R ¡ C = s U + t V , por lo que U y V generan a R 2. En consecuencia , de i) y ¿ í) , se sigue que U y V forman una base de R 2. b) Si A = r U + t V <=> (1 , 5) = r (-4 , 2) + t(-2 , -5} r l.= - 4 r - 2 n l 5 = 2 r -5 t J c p / ■> k ^fc>Q s< . / I F ig u ra 1.114 <1 , 5> = <-4 r - 2 1, 2 r - 5 1> <=> <=* r = — , t = - — 24 ’ 12 A = ^ < - 4 , 2 > - jj< -2 .- 5 > [ C je m p lo 9 ] El vector A = (-5 , 2) se descom pone en A, IIX y A ? |[Y. El vector B = <2 , 1/2) se descom pone en B, 11X y B 2¡|Y. Si X = (2 , 1) e Y = (-2 , -3), hallar el valor de (A, + B 2) • (A 2 + B 2) Solución. S i A = m X + n Y => (-5 , 2) = m<2 , 1) + n<-2 , -3) <=> ( ' 5 = 2 m ' 2 n 2 = de donde obtenem os : m = -19/4 y n = -9/4 <=* A ( = - J-2. < 2,1) y A, = - -2. (-2 , -3) 2 = m - 3 n 19 4 Si B = r X + i Y «=> (2, 1/2) = r(2 , 1) + t(-2 , -3) <=> { 2 = 2 r - _ t l 1/2 = r - 3t de donde se tiene : r = 5/4 y i = 1/4 => B, = ¿ ( 2 , 1) y B, = j ( - 2 , -3) Por lo tanto : (A, + B , ) . (A, + B,) = (- 1 ) (-2) ( 2 , 1 ) . (-2 . -3) = - 49
- 56. 98 Capítulo I: Vectores en el plano Ejemplo 10 J En la Figura 1.115 se tiene el paralelogram o A B C D . S i P es punto medio de C B , Q D = 7 Q B y si P Q se escribe com o una combinación lineal de D C y A D , calcular la sum a de los escalares. PQ = s DC + t A D _ 1 rñi . 1En el A Q B P : PQ = PB - Q B = ^ C B - -y Q D (1) B D=> PQ = y (- AD) * y ( | BD) = - Í A D - I = - y Á D - l( - D B ) = - -y Á D + | ( Á B - Áí>) Com o A B = C D ■=> PQ = ^ D C - ¿ A D c - D C p v A V B > FIGURA 1.115 Se gú n (1): s D C + t A D = I D C - | A D « (s - D C + (t + | ) A D = O Dado que D C y Á D son linealmente independientes , entonces : s - 1/8 = 0 y t + 5/8 = 0 <=> s = 1/8 , t = - 5/8 => s + t = - 1/2 [ Ejemplo 11 ] En el paralelogramo de la Figura 1.116 : A E = -^ A C , D F = -^-DC S i É F = m Á B + nÁD, hallar el valor de m + n. Solución. En el cuadrilátero A D F E se tiene : ■=> m A B + n A D = j A B + -j A D «=* (m - l/4)ÁB + (n - 3/4)ÁD = O C om o Á B y Á D son linealmente independientes ■=> m - 1/4 = 0 y n - 3/4 = 0 m + n = 1 Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 99 Ejemplo 12 J S e tiene el cuadrilátero A B C D . Sabiendo que A E = ^ A B y F y G son puntos de trisección de C D y M es punto medio de EF. Al expresar A M com o una combinación lineal de A B , B C y C D , hallar la sum a de todos los escalares. Solución. Se a n m , n y r los escalares tales que : A M = m A B + n BC + rC D En el A A E M ; Á M = Á É + É M = Á B + ÉF = 1 Á B + i- (ÉB + B C + CF) = 4 A B + 4 ( 4 A B ■i 3 + B C + y C D ) = -| A B + ^ B C + -2-CD ó ¿ O Luego , s i : m A B + n BC + rC D = 4 a B + B C + -^ C D =* (m - 2/3)Á B + (n - 1/2)BC + (r - 1/6)CD = O Com o A B , B C y C D son linealmente independientes , entonces m - 2/3 = 0 , n - 1/2 = 0 , r - 1/16 = 0 <=> m = 2/3 , n = 1/2 , r = 1/6 m + n + r = 4/3 Ejemplo 13 J En el paralelogramo de la Figura 1.118 , P y Q son puntos m e dios de B C y A B respectivamente , R D = 3 AR. Si R C se expre sa com o una combinación lineal de P Q y P A , hallar el producto de los escalares. Solución. Se a n m , n e R los escalares tales que R C = m PQ + n PA En el A R D C se tiene : R C = R D + D C = 4 Á D + D C = 4 B C + Á B 4 4 = -J- (2 BP) + 2 Á Q = y (QP - Q B) + 2 Á Q = | (QP - ÁQ ) + 2 Á Q = | Q P + ± Á Q = - 4 PQ + t (PÁ + PQ) = - PQ + T PÁ Luego , s i : m PQ + n PA = - PQ + y PA
- 57. 100 Capítulo I: Vectores en el plano => (m + l)PQ + (n - 1/2)PA = O Com o P Q j f P A >=> m + 1 = 0 y n-l/2 = U es m = -I , n = 1/2 m n = -1/2 I Ejemplo 14 J S e a A B C D un paralelogram o , M unpunto sobre el lado BC. Si el área del A A B M es igual a lamitad del área del cuadriláte ro A M C D y A M = r D C + t AD , hallar el valor de r + 3 1. Solución. Si área (A M C D ) = 2 área (A A B M ) t=> área (A B C D ) = 3 área (A A B M ) Luego , (BC) h = | ( B M ) h <=* B M = -| B C En el A A B M : A M = Á B + B M = D C + BC Si r D C + t Á D = D C + | .Á D c=> (r- l)D C + (t - 2/3)ÁD = O Com o D C K A D => r - l = 0 y t - 2/3 = 0 => r = l y t = 2/3 r + 3 t = 3 Ejemplo 15^ En el paralelogramo A B C D de la Figura 1.120 se cumple : A E E D 1 A P 1 n - 1 y A C m Si M = m A P - n A E , dem ostrar que M = A B Demostración. En efecto , en el A A B C : Á B = Á C - B C = Á C - Á D = Á C - ( Á É + ÉD ) = Á C - Á É - E D De las razones dadas : Á C = m .AP y É D = (n - l)Á É =* Á B = m ÁP - Á E - (n - I )Á E = m ÁP - n A E M = Á B ■ Ejemplo 16 ) En la Figura 1.121, el A A B C es equilátero. Si A B = n A C - m HB, donde H es el ortocentro , hallar el valor de : Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 101 Solución. Si A C = A B + B C <=> A B = A C - BC En el A B D C : B C = D C - D B = -i-ÁC - DB Como el A A B C es equilátero , el punto H e s también su baricentro , por lo que : H B = ¿ D B c=> D B = 4 HB Luego , en (2): B C = A C - HB Sustituyendo en (1) se tiene : á b = Á c - ( í á c - 1 lTb ) = I á c + 4 iTb 2 2 ' 2 2 Si n Á c - m iTÍJ = 4-Á C + ¿ Í?B » n = i y m = - | A ± + i . . 4 * 2 - 4 m n 3 3 (1) (2) Ejemplo 17 ^ En la Figura 1.122 , A B C D es un paralelogram o donde M y son puntos tales que D N = ^ D C y M es punto medio de BC. Hallar los núm eros r y s e R , tales que A R = r A C y N R = s NM. Solución. En el A M C N : N M = Ñ C - M C = -i-D C - B C Com o D C = A B y B C = A D =* N M = i- A B - l. A D En el cuadrilátero A D N R se tiene : Á R = Á D + D Ñ + Ñ R = Á D + - | d C + s Ñ M = Á D + - j Á B + s (4- ÁB - 4 Á D ) . ( * + « ) Á 6 + (| . -| )A D Ahora , si A R = r A C <=> A R = r(A B + BC) = r A B + r A D De (1) y (2) se sigue que : ( 4 + -|)a b + (l - 4 ) a d = r AB + r A D (1) (2)
- 58. 102 Capítulo I: Vectores en el plano ■ = > (§ + - § - r ) A B + ( l - - | - r ) A D = 0 C om o Á B K Á D => ( | + -| - r = o) a (l - ■§- r = o) o r = 4/5 , s = 2/5 ■ La Figura 1.123 es una paralelogram o , en elcual M divide al segm ento B C en la razón 1/3 y N divide a A B en la razón 2/3. En que razón divide P a D N y AM. Solución. D esignem os por r y s las razones en f 7 "J que el punto P divide a A M y D N res- AP DP pectivamente , esto es : r = y s - Los vectores Á D , D P y P Á son L. I. , luego : Á D + D P + P Á = 0 (1) Ahora, el objetivo e s e xp re sa r D P y PA. en v FIGURA 1.123 términos de Á D y Á B , dos vectores linealmente independientes. En el A A N D : Á D = AN + N D = A N - D N <=> D N = A N - A D = A B - A D Si s = — => D P = sD Ñ => D P = s ( 4 Á B - Á D ) (2) DN v5 En el A A B M : Á M = Á B + B M = Á B + ^ B C = A B + ^ A D S i r = AP- c=> Á P = r Á M <=> PA = - r A M = - r ÍA B + j A D ) (3) A M H Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene : A D + s (| A B - A D ) - r (AB + j A D ) = O ==> (l - s - -£)ÁD + ( - | s - r ) A B = 0 C om o A D K A B , se sigue que : (l - S - I = °) A ( A S - T = O) f = yj- , s = JJ ■ EJERCICIOS Grupo 12 103 EJERCICIOS : Grupo 12 En los ejercicios 1 al 4 , sean A y B vectores linealmente independientes. Para qué valores de m tendremos que C y D son linealmente independientes. 1. C =3 A + (m + 3)B , D = (m - 4)A - 4 B 2. C =A - 2 B , D = 3 A + m B 3. C = (m + 1)A + B , D = 4 A + (m + 1)B 4. C = 2 A + (m + 2)B , D = 3 A + (m -1 )B 5. Si A y B forman una base en R : , demostrar que los vectores C = 5 A - 2 B y D = 3 A + 4 B también forman una base en R :. 6. Hallar los valores de m para los vectores dados sean L. I. a) A = <m - 5 , 4> , B = <2m , -1} b) A = (2 , 2m - 3) , B = <1 - m , -5) 7. Fijado el vector C en R - , entonces C es expresable y en forma única, com o una com binación lineal de los siguientes pares de vectores a) A = (-5 , 10) , B = <3 , -6) c) A = (V6/2 , -6) , B = <-5/4 , 5^6/2) b) A = (2 , 4) , B = (-1/2 , -1) d) A = (3 , -1/2) , B = (-12 , -2) Establecer el valor de verdad de cada afirmación. 8. D ado s los vectores: A = (1 ,2 ), B = (-1 ,2 ), C = (1 ,1 ), D = (2, -4) y E = (-3, 6). Cuántas b ase s de R- se pueden obtener con ellos. 9. Hallar las coordenadas del vector A = (1 ,2 ) respecto de la base p = { ( 2 , -1), <-1 . 1) }- 10. Halle las coordenadas del vector A = (1 , 3), respecto de la base p = {(-2 , 1), <1 , 2 ) } . 11. S e a { u . v } una base de R : . u = (1 , 3), v = (-5 , 1). Si A = (-2 , 6) y si A = r u + t v , entonces : a) Com p^A = r b) r + t = 5/2 c) u l A 1 Establecer el valor de cada afirmación 12. Si C = 3 u + 5 v. donde {u , v} e s una base de R :, A = 3 u - 5 v , B = - u + — v 5 3 y C = r A + s B , donde J,A . B } es otra base de R : ; determinar los valores de r y s. 13. D ado s los vectores A , B y C , A * B ^ O , se a P = (C ; A , B) el vector que satisface las dos condiciones siguientes : a) P (C ; A . B) e s paralelo al vector A
- 59. 104 Capítulo I: Vectores en el plano b) ProyBiP (C : A . B) = ProyBiC Dem ostrar que : P(C : A , B) + P (C ; B , A) = C 14. Si { A , B , C } c R 2 son vectores no nulos , se afirma : a) S i { A , B } es base de R : =* {P ro yBA . ProyAB } es base de R 2 b) i A , B , C } e s linealmente dependiente c) { A , B } e s base de R 2 >=> A 1 B Determinar el valor de verdad de cada afirmación. 15. Halle las fórmulas del cam bio de base , siendo u, = 3 v, +v 2 , u2= 4 v, - 3v 2 , y determine las coordenadas del vector u respecto dela base P’= {v, ,v 2} si respecto de la base p = {u, , u 2} son (3 , -2). 16. En el triángulo A B C de la Figura 1.124 se tiene,A M : M C = 3 :4. Si B M = r BA + t B C , hallar el valor de r + t. 17. En el triángulo A B C de la Figura 1.125 , las longitudes de los segm entos B D y D C son 3 y 5 respectivamente. Si Á D = m Á B + n A C , hallar el valor de m + n. 18. S i M y N son puntos de trisección del lado B C del triángulo A B C (Figura1.126) y Á Ñ = m Á C + n A B , hallar el valor de ^ . 19. En la Figura 1.127 , A B D C es un paralelogramo, P punto medio de C D , E punto medio de BD. Si C B se expresa com o una combinación lineal de A P y A E , hallar el producto de los escalares. 20. En el cuadrilátero de la Figura 1.128 se tiene : E es punto m edio de A D , F y G son puntos de trisección de B C y M es punto medio de EF. Si A M = a A D + bA B + cB C , hallar el valor de a + b + 3c 21. En la Figura 1.129, A B C D e s un paralelogram o , P C = 3 BP. Si B C = m BG + n AP, hallar el valor de m - n. EJERCICIOS : Grupo 12 105 22. En el paralelogramo A B C D de la Figura 1.130 se tiene : B C = 4 B E y F es punto medio de AC. Si E F = m A C + n A B , hallar el valor de m - n. 23. En la Figura 1.131 , A B C D e s un paralelogramo de 220 u2 de área. ! = ; = o y ^ = § ; a) En qué razón divide P a D N y A M M C ^ N B J b) Calcular el área del triángulo A PD . 24. E n el triángulo A B C de la Figura 1.132 se tiene : A D y C E son m edianas y P M 11 BA. Hallar m y n tales que A P = m P M + n BC. 25. En el plano , se a A B C D un cuadrilátero dado y sean M y N puntos m edios de los lados A B y C D respectivamente , y sean E y F puntos m edios de los lados B C y A D respectivamente. Si M N n É F = {Q } , (ÁB y C D lados opuestos) a) Dem ostrar que Q A + Q B + Q C + Q D es el vector nulo b) Si C D = r M E + s A F , hallar r y s 26. Se a n A , , A 2 ...... A n, n puntos de R :. Si OA, + O A 2+ .....+ O A nse expresa com o combinación de O A l , A ,A 2 , A 2A 3 , ... A^ t A n , hallar la sum a de los escalares. 27. S e a el paralelogram o A B C D de la Figura 1.133. Si P , Q , R y S son puntos m edios de los lados y T es el punto de intersección de O B y P Q , hallar m y n, si A T = m B D + n OC. 28. La Figura 1.134 es un paralelogramo en el c u a l, E divide al segm ento A C en la razón 3/2 , F es punto medio de BC. Expresar M = D E + A F com o combinación
- 60. 106 Capítulo I: Vectores en el plano lineal de A D y AB. 29. En el triángulo A B C de la Figura 1.135 se tiene que P , M y N son puntos m edios —> —> —> de los lados. Hallar m y n s i : n N B + n C M = BO. 1.14j LO S V E C T O R E S Y LA G E O M E T R IA E L E M E N T A L _______ Las relaciones establecidas para los vectores en R : constituyen instrumen tos de singular importancia para el tratamiento de ciertos conceptos de la Geometría Elemental. Algunas veces una apropiada aplicación de m étodos vectoriales facilita rá la interpretación y demostración de proposiciones geométricas. S e debe destacar, sin em bargo que a veces es necesario el uso de las coordenadas cartesianas para facilitar las dem ostraciones. El empleo de un sistem a rectangular es arbitrario en lo que se refiere a la orientación y colocación de los ejes coordenados y esta relación no hace perder generalidad al teorema. r ' r A ^ b-a / a/ aj z ' * A / ■ O C c --------------------------- Jv-------------------------------------------------------- FIGURA 1.137 FIGURA 1.136 E s oportuno resaltar que cuando se usan m étodos vectoriales para la de m ostración de teoremas, no es importante ubicar la figura en una determinada posi ción en el sistem a coordenado; sin em bargo es recomendable tener en considera Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental 107 ción el uso de un vértice cualquiera com o origen de los vectores (Figura 1.136), en otros casos, el vector de posición de cada vértice o punto fundamental de cada figura geométrica. A s í , en la Figura 1.137 , el vector de posición del vértice A será designado por a (en negrita), el segm ento A B por b - a , el segm ento B C por c - b , etc. Los ejemplos siguientes darán una mejor ilustración de lo que se sugiere. Ejemplo 1 J Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. Demostración. Hipótesis. Sea ABCD un paralelogramo M punto medio de la diagonal AC N punto medio de la diagonal BD Tesis. Demostraremos que : M = N En efecto , AM = ^-ÁC «=> m - a = y (c - a) m = 4 (a + c) Análogamente , BÑ = BD n = -l(b + d) Por ser ABCD un paralelogramo ;D C = ÁB «=> c - d = b - a Sumando a + d a ambos miembros de esta igualdadse tiene c - d + (a + d) = b- a +(a +d) >=> a +c = b+d <=> ( a + c) = 4(b +d) Por lo tanto , m = n , esto es : M = N ■ Ejemplo 2 J Dem ostrar que el segm ento de recta que une los puntos m e dios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado , y su longitud e s la mitad de la longitud del tercer lado. Demostración. Hipótesis. S e a el A A B C , donde M y N son puntos m edios de la lados A B y B C respectiva mente. Tesis. Probarem os que MN11 A C y 11MÑ11 = -A-I |A C 11 En efecto, AB = 2 AM => b - a = 2(m - a) <=> m = 4 (a + b) F|GURA 1.139
- 61. 108 Capítulo I: Vectores en el plano Análogam ente : B C = 2BÑ => c - b= 2(n - b) co n = -L(b + c) Dado que M N = n - m <=> M N = 4 (b+ c) - -ÿ(a + b) <=> M N = -J¡-(c - a) <=> M N = Í A C Por lo tanto , M Ñ 11Á C y IIMÑil = I Á C 11 Ejemplo 3 ] Dem ostrar que los puntos m edios de los lados de un cuadrilá tero son los vértices de un paralelogramo. Demostración. Hipótesis. A B C D es un cuadrilátero , M , N ,T y S son puntos m edios de los lados. Tesis. Probarem os que M N 11ST y M S 11N T En efecto, A M = A B ■=> m = (a + b) B N = 4 B C <=> n = (b+ c) M N = n - m= (b+ c) - -JL(a+ b) = ÿ (c -a) _ I Luego , M Ñ = 4-A C «=> M Ñ IIÁ C (1) A sí m ism o : Á S = -i- A D <=> s = -i- (a + d) ; C T = y C D t = (c + d) y com o : ST = t- s = |(c + d )- -^-(a + d) = i ( c - a) = ± Á C S T lIÁ C De (1) y (2) se deduce que : M Ñ 11ST y 11M Ñ 11 = 11S T 11 Análogam ente se dem uestra que : M S liN T y 11 M S 11 = IIN T 11 Por lo tanto , el cuadrilátero M N T S es un paralelogramo. (2) ! Ejemplo 4 j Dem ostrar que en todo trapecio el segm ento de recta que une los puntos m edios de las d ia go n a le s, es igual a la semidiferen- cia de las bases. Demostración. Hipótesis. A B C D es un trapecio , M y N son puntos m edios de las diagonales A C y B D respectivamente. Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental 109 Tesis. S e vaa dem ostrar que : M Ñ = -i- (Á D - BC) En efecto , si A M = | A C <=> m = {a+ c) BÑ = y B D ■=> n = l ( b + d) Ahora , M N = n - m «=> M N = 4"(b + d) - 4p(a + c) <=> M Ñ = -i- (d- a) - i- (c - b) = i (ÁD) - | (BC) M N = -i- (Á D - BC) Ejemplo 5 JSe a n M , N y R los puntos m edios de los lados de un A A B C y se a P un punto exterior al triángulo. Dem ostrar que : P M + PÑ + P R = P Á + P B + P C Demostración. Hipótesis. S e a el A A B C ,M , N y R puntos m edios de su s lados y P un punto exterior. Entonces : m = -±-(a + b) , n = ^-(b + c) , r = { a + c) PM + PN + PR = (m- p) + (n - p) + (r - p) = - p) + (b + C .p) + ( a ^ c , p) FIGURA 1.142 = i.(a-p + b-p) + -±.(b-p + c-p) + ¿(a -p + c -p) = (a - p) + (b - p) + (c - p) /. PM + PÑ + P R = PÁ + PB + r c ■ Ejemplo 6 j Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendicula res. Demostración. Hipótesis. S e a el rombo A B C D Tesis. Probarem os que A C 1 B D En efecto , en el A A B C : Á C = Á B + B C (1) y en el A B C D : B D = B C + C D => B D = B C - D C
- 62. 110 Capítulo ¡: Vectores en el plano C om o D C = A B (lados opuestos de un rom b o), entonces : B D = B C - Á B (2) Multiplicando escalarmente las ecuaciones (1) y (2) se tiene: Á C • B D = (BC + Á B ) • (BC - Á B) = 11 B C 112- 11Á B 112 ; pero , 11 B C 11 = 11Á B 11 Por lo tanto , A C • B D = 0 «=> Á C ± B D ■ Ejemplo 7 J Dem ostrar por m étodos vectoriales , que un triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo. Demostración. Hipótesis. S e a el ABAC inscrito en el semicírculo de centro O (Figura 1.144) Tesis. Por dem ostrar que B A C es un triángulo rec tángulo. Bastará probar que A B 1 A C En efecto , en el A A O B : A B = A O + O B (1) y en el A A O C : A C = A O + O C , pero Ó C = - Ó B « = > Á C = Á b - Ó B (2) Multiplicando escalarmente (1) en (2) se tiene : Á B • Á C = (ÁO + O B) • (Á6 - OB) = Á Ó • Á O - Á O •Ó B + Ó B • Á Ó - Ó B • Ó B = 11Á Ó 112- 11Ó B 112 Pero , 11Á Ó 11 = 11O B 11 por ser radios del semicírculo .-. Á B • Á C = O => Á B ± Á C * ■ f Ejemplo 8 J Dem ostrar que las m edianas de un triángulo se cortan en un punto cuya distancia a cada vértice es los dos tercios de la distancia que separa a la m ediana de dicho vértice. Demostración. Hipótesis. Se a n Á M , BÑ y C P m edianas del A A B C AG BG CG 2 Tesis. Probarem os que - = — = — = - Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental 111 En efecto , si Á M = m - a <=> Á M = -i (b + c) - a = (b + c - 2a) BN = n - b <=> BN = -J¡- (a + c) - b = J_(a + 'c - -b) CP = p - c=> CP = ± (a + b) - c = i (a + b - 2c) Sean : = r , — - = s y — = i , entonces la A M BN C P - expresión vectorial que define al baricentro para cada mediana es AG = r AM <=> g = a + r ÁM = a + (b+ c -2a) (1) BG = sBÑ<=>g = b+ sBÑ = b + -y(a + c-2b) (2) CG = tCP => g = c + tCP = c+ 4-(a + b-2c) (3) Ahora , de (1) = (2), se sigue que :a + -y(b+ c -2a)=b + (a + c - 2b) <=> (2 - 2 r - s)a + (r + 2 s - 2)b + (r - s)c = O Com o a . b y c son linealmente independientes , entonces : 2 - 2 r - s = 0 , r + 2 s - 2 = 0 , r - s = 0 de donde obtenem os : r = s = 2/3 Análogam ente , de (1) = (3) se obtiene : r = i = 2/3 Por tanto , las m edianas se interceptan en el punto G a 2/3 de Á M ,B Ñ y CP. ■ I Nota. Si sustituimos los valores de r , s ó t en las ecuaciones (1), (2) ó (3),respectivamente, se obtiene la ecuación vectorial que define al baricentro de un triángulo , esto es : g = j (a + b + c) Ejemplo 9 j A B C y A ' B ’ C ’ son dos triángulos , G y G ’ son su s baricentros. Dem ostrar que : A A ’ + B B ’ + C C ’ = 3 G G ’ Demostración. En efecto , A A ’ = a’-a B B ’ = b' - b C C ’ = c ’ - c Sum ando se tiene : A A ’ + B B ’ + C C ’ = (a’+ b’+ c ’) - (a + b + c) Por la nota hecha en el ejemplo 8 : A A ’ + B B ’ + CC = 3 g ’ - 3 g Á Á ’ + B B ’ + C C ’ = 3(g’ - g) = 3 G G ’ ■
- 63. 112 Capítulo I: Vectores en el plano E j e m p lo 1 0 J Demostrar que en un tetraedro , las líneas que unen los puntos medios de los lados opuestos se bisecan mutuamente. Demostración. Hipótesis. S e a el tetraedro O A B C y sean PQ y R T dos líneas que unen los puntos m edios de dos lados opuestos. Tesis. Probarem os que M = N En efecto , tomando el vértice O com o origen , la expresión vectorial que define el punto medio de M de PQ e s : m = 1 (ÓP + Ó Q ) = i [ i (Ó Á + Ó B ) + I ó C ] 1 FIGURA 1.146 m = -L (Ó Á + Ó B + ÓC) (1) A sí m ism os , para el punto medio N de R T se tiene : n = I (ÓR + ÓT) = 1 [ ~ (ÓB + ÓC) + I Ó Á ] => n = 1 (Ó Á + Ó B + Ó C) (2) De (1) y (2) se sigue que : m = n <=> M = N. ■ E j e m p lo 1 1 } Demostrar que la sum a de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la sum a de los cuadrados de sus lados. Demostración. Se a el paralelogramo A B C D S i B D = Á D - Á B <=> Il B D II = 11Á D - Á B II c=> ||B D 112= 11Á D I I 2+ 11A B 112- 2 Á D • Á B (1) y si : Á C = Á D + D C = BC + D C c=> | | á c I | 2 = I | b c | | 2 = | | d c II: + 2 B C * d c (2 ) Sum ando (1) y (2) se tiene : 11 B D 112+ 11Á C 112= 11Á D 112+ 11Á B 112+ 11B C 112+ 11D C II2 + 2(BC • D C - Á D *'Á B) Dado que : Á B = D C y Á D = BC (lados opuestos del paralelogramo) « Il B D II2 + II Ä C l M = II Ä D II1 + IIÄ B l l * + Il BC 111 + U D O II2 ■ Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental 113 Ejemplo 1 2 J Dem ostrar que las tres alturas de un triángulo se interceptan en un punto llamado ortocentro. Demostración. Considerem os el triángulo A B C en el cual trazam os las alturas correspondientes a los vértices A y C los cuales se interceptan en el punto O. Para facilitar los cál culos suponem os que este punto e s el origen de coordenadas. Al unir O con el vértice B , la propo sición quedará dem ostrada si probam os que Ó B es perpendicular a AC. En efecto , si O A 1 B C <=> a • (c - b) = 0 (1) Ó C 1 Á B => c - ( b - a ) = 0 (2) Ahora , sum ando (1) y (2) nos da a * c - a * b + c * b - c * a <=> b • (c - a) = 0 ==> Ó B • Á C = 0 » Ó B 1 ÁC. ■ I Ejemplo 1 3 j Dem ostrar que las m ediati ces de los lados de un trián gulo se cortan en un punto llamado excentro. Demostración. En el A A B C trazam os las me- diatrices de los lados A B y BC, las cuales se interceptan en el punto O. Unim os O con P , punto medio de ÁC. Para dem ostrar la pro posición bastará probar que O P es perpendicular a ÁC. En efecto , por definición de mediatriz. Ó Ñ 1 B C ■=> Ó Ñ • B C = 0 y Ó Ñ 1 1 A B <=> Ó M * Á B = 0 En el A O M P : Ó P = Ó M + M P =* Ó P • Á B = Ó M • Á B + NÍP • Á B <=> Ó P • Á B = M P • Á B (1) En el A O N P : Ó P = Ó Ñ - PÑ <=> Ó P * B C = Ó Ñ * B C - P Ñ * B C ■=> Ó P * B C = -PÑ • B C (2) La sum a de (1) y (2) da : Ó P • (Á B + BC) = M P • Á B - PÑ • B C Dado que , M P = y B C y PN = 4 A B , (Ejemplo 2 ), entonces Ó P . Á C = i - ( B C . Á B ) - i - ( Á B . B C ) = 0 => Ó P 1 Á C ■
- 64. 114 Capítulo I: Vectores en el plano E j e m p lo 1 4 ] S ¡ A , B , C y D son vértices de un cuadrilátero , dem ostrar que Á B + Á D + C B + C D = 4 PM de donde P y M son puntos m edios de las diagonales A C y BD. Demostración. En efecto , PM = PÀ + Á B + B M PM = P À + Á D + D M PM = PC + C B + B M PM = PC + C D + D M Su m an d o ordenadam ente estas cuatro igualdades obtenem os : 4PM = ÁB + ÁD + CB + CD + 2(PÀ + PC) + 2 (BM + DM) Ahora , com o : PC = - PÂ y D M = - B M , entonces 4 P M = Á B + Á D + C B + C D Ejemplo 1 ^ ) Se an los puntos no colineales A , B , C y D. S e a O un punto tal que Ó A = a , Ó B = b , O C = c , O D = d. Si se verifica que b - a = 2 (d - c ) , dem ostrar que el punto de intersección de los segm entos A D y B C e s punto de trisección de estos segmentos. Demostración. Hipótesis. A , B , C y D son puntos no colineales y b - a = 2 (d - c) Tesis. Probarem os que s i : r = PB l = A P ^ C B y A D r = t = - En efecto , en el A A P B : PB = A B - A P = A B - t A D c=> pb = (b- a) - 1 (d-a) = 2(d-c) - 1(d-a) (Hipótesis) Por el artificio de sum ar y restar t c se tiene : PB = 2 (d-c) -1(d-a) + (tc-1c) = 2(d -c) - 1(d-c) + t(a-c) = (2-1)(d*c) + t(a -c) Si PB = rC B <=> PB = r(b - c) = rb - r e , de la hipótesis : b= a+ 2d-2c (1) c r- Z d /b A i FIGURA 1.151 «=> PB = r(a + 2d - 2c) - re = r(a - c) + 2r(d - c) (2) Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental 115 De (1) y (2) se sigue que : (2 - 1) (d - c) + t(a - c) = r(a - c) + 2 r(d - c) <=> (2 - 1 - 2 r) (d - c) + (t - r) (a - c)= O —> —> y Dado que los vectores C D y C A son linealmente independientes => (2 - 1 - 2 r = 0) a (t - r) = 0 Resolviendo el sistem a obtenem os : t = r = 2/3 ■ EJERCICIOS : Grupo 13 1. Dem ostrar que las diagonales de un rectángulo son de la m ism a longitud. 2. Dem ostrar que las diagonales de un cuadrado son perpendiculares. 3. Dem ostrar que el punto m edio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices del triángulo. 4. Dem ostrar que las diagonales de un trapecio y la recta que une los puntos medios de los lados paralelos, se cortan en un m ism o punto. 5. Dem ostrar que el segm ento de recta que une los puntos m edios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a las b ase s , y su longitud es igual a la mitad de la sum a de las longitudes de las bases. 6. Dem ostrar que las m edianas de los lados iguales de un triángulo isósceles son de la m ism a longitud. 7. Dem ostrar que los puntos m edios de dos lados opuestos de un cuadrilátero y los puntos m edios de su s diagonales son vértices de un paralelogramo. 8. Dem ostrar que si las rectas que contienen a dos lados opuestos de un cuadri látero se interceptan en un punto S , y las rectas que contienen a los otros dos lados del cuadrilátero se interceptan en un punto T , entonces el punto medio del segm ento S T es colineal con los puntos m edios de las diagonales del cua drilátero. (Sug. Coloque el origen en uno de los vértices del cuadrilátero). 9. Dem ostrar que la sum a de los cuadrados de las distancias de un punto cual quiera del plano a dos vértices opuestos de un rectángulo e s igual a la sum a de los cuadrados de las distancias del punto a los otros dos vértices. 10. Dem ostrar la igualdad vectorial O A + ( ^ + Ó C = Ó P + Ó Q + O R , siendo O un punto cualquiera interior al A A B C y P , Q y R los puntos m edios de los lados AB, B C y C A , respectivamente. 11. Dem ostrar que la sum a de los cuadrados de los lados de cualquier cuadrilátero excede a la sum a de los cuadrados de las diagonales en cuatro veces el cua drado de la línea que une los puntos m edios de las diagonales.
- 65. 116 Capítulo I: Vectores en el plano 12. D ado s los puntos A , B , C , D , E y F ; s i P , Q , R y S son los baricentros de los triángulos A B C , A B D , D E F y C E F , demostrar que P , Q , R y S son los vértices de un paralelogramo. 13. Dem ostrar que las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo se intersecan en un punto llamado incentro. 14. Dem ostrar que la sum a de los cuadrados de las longitudes de las tres m edianas de cualquier triángulo e s 3/4 de la sum a de los cuadrados de los tres lados. 15. Si en la Figura 1.152 , A B C D e s un paralelogram o , donde M y N son puntos m edios de A B y B C respectivamente , probar que los segm entos D M y DN trisecan a la diagonal AC. 16. En la Figura 1.153, A B C D es un paralelogram o, tal que P , Q , R y S son puntos que dividen a los lados Á B , B C , C D y D A , respectivamente , en la razón 2/1. Dem ostrar que P , Q , R y S son vértices de un paralelogramo. 17. Dado un triángulo cualquiera , demostrar que existe otro triángulo cuyos lados son iguales y paralelos a las m edianas de aquel. 18. En el triángulo AB C , sea D el punto medio de BC. Demostrar, usando vectores, q u e: 11A B 112 + 11A C 112 = 2 11AD 112 + ± 11 B C 112 (1.15) LOS VECTORES Y LA FISICA_____________________ .____________ El empleo de vectores en la Física es frecuente , la fuerza , la aceleración y la velocidad se representan mediante vectores en las que la dirección del vector está dada por la dirección de la cantidad física , en tanto que la magnitud del vector e s igual a la magnitud física , en las unidades apropiadas. C uando se trabaja con velocidades debem os tener en cuenta que , en un movimiento que es la com posición de varios movimientos , el vector de velocidad es Sección 1.15: Los vectores y la Física 117 la sum a vectorial de los vectores de velocidad de cada movimiento. Otra aplicación se refiere a las fuerza que actúan sobre una partícula en el espacio ; en este caso , a las diversas fuerzas que actúan sobre una partícula se les representa mediante vectores : F , , F2 , F 3 ........... Fn , entonces la segunda ley de Newton , establece que el movimiento de una partícula está descrita por la ecuación vectorial m a = F, + F2 + F 3 + ......... + Fn donde m es la m asa de la partícula y a la aceleración. En esta ecuación la m asa m es un e sc a la r, en tanto que la aceleración a es un vector. Si es el caso de que la partícula está en reposo la sum a de los vectores de las fuerzas es cero , esto es F i + F2 + F 3 . . . . + Fn = 0 ,--------------- EJEMPLOS ILUSTRATIVOS )-------------- , I [ E j e m p lo 1 ^ ] Un hom bre salta desde un automóvil en m archa de m anera que si el coche hubiese estado quieto , su velocidad habría tenido magnitud 10 km/h y habría formado un ángulo de 6 02 con la dirección al frente del automóvil. Si el coche avanza a 30 km/h , con qué velocidad sale el hombre del automóvil. Solución. S e a V, , el vector velocidad del co che y V , , el vector velocidad que le correspondería al hombre si el coche hubiese estado quieto. Entonces la velocidad real del hombre e s : v = v l + v 2 Luego , V, = 30 <Cos 0o , Se n 0o) = 30 <1 , 0) V, = 10 (C o s 240°, Se n 240°) = 5 <1 , -V3> Por lo q u e, V = 30(1 ,0) + 5<l , -V3>= 5 (7 , -V3> es el vector velocidad que desea tener y cuya magnitud es II V|| = 5 V49 + 3 = 10 VTJkm/h. ■
- 66. lis Capitulo 1: Vectores en el plano Ejemplo 2 j Un aeroplano vuela hacia el noreste con una velocidad de 400 millas/h y el viento hacia el sureste a una velocidad de 100 millas/h. Cuál es la velocidad resultante del aeroplano , con respecto a la tierra , y que curso debe seguir el piloto. Solución. Representem os por V, el vector velocidad dad del aeroplano y por V, el vector velo cidad del viento. La velocidad resultante del aeroplano con respecto a la tierra es : V = V, + V, Luego , si V, = 400 (Cos 45°, Sen 45°) = 200Í2 0 , 1) V , = 100(Cos 315° , Se n 315°) = 50/2 (1 , -l> ==> V = 50 <2 (4 + I , 4 - 1) = 50 2 (5 , 3> La dirección de la velocidad resultante es _ _ V _ = (5 ,3 ) IIV || " /34 esto es , si Tg a = j = °-6 =* a = 31° En consecuencia , el vector velocidad resultante forma un ángulo con la dirección Este de 31°, es d e c ir, su dirección y sentido resultan definidos p o r : Este 31° Norte , curso que debe seguir el piloto. ® Ejemplo 3 ] Una avioneta pequeña vuela a 150km/h si hayquietud en el ' aire. Q ué curso tendrá que seguir elpiloto cuando hay viento de 25 km/h que sopla desde el suroeste , y que tiempo tardará en llegar a su destino situado a 200 km al norte. Solución.S e a V I el vector velocidad de la avioneta y V,el vector velocidad del viento . Entonces : V , = 150(0, 1) = 2 5 (0 ,6 > V, = 25 (C os 45° , Se n 45°) ^2) La velocidad resultante de la avioneta es V = V, + V, = ^ (2 , 12 + V2) 12 + 2 y su dirección : Tg a = — -j=— - Luego , p = 90° - 63° 14’ = 6o 46’ = 9.46 => a = 63° 14’ Sección 1.15: Los vectores y la Física 119 Por lo tanto , el curso que debe seguir el piloto e s : Norte 6o 46’ Oeste. Si I !V = =p V(V2): + (12 + 2): = 25 ^37 + 6V2 = 25(6.7) km/h , el tiempo que tardará en llegar a su destino es : t = 200 8 II V il 25(6.7) 6.7 = — = 1.2 horas Cjemplo 4 ] Un automóvil recorre 3 km hacia el Norte y luego 5 km hacia el Noreste. Representar y hallar el desplazamiento resultante del recorrido. Solución. En la Figura 1.157 : —> A P = a representa el desplazamiento de 3 km hacia el norte. PQ = b representa el desplazamiento de 5 km hacia el noreste —> AQ = c representa el desplazamiento resultante del re corrido , es d e c ir: c = a + b Las com ponentes de cada vector son : a = 3 (C os 90°, S e n 90°) = 3(0 , 1) = (0 , 3) b= 5 (C os 45° , Se n 45°) = -| (>/2 , S2) C = ( ¿ V2 , 3 + 4 2 ) = (5V2 , 6 + 5^2) => 11c 11 = i- V (5 2 ): + (6 + 5V2)2 = V 3 4 + 15V2 = 7.43 km. La dirección de la resultante está dada por Tg a = -6 * = 1.846 *=> a = 61° 35’ 5V2 Luego , la dirección del vector c queda definido p o r : Este.61° 35’ Norte. ■ Cjemplo 5 ^ A un maratonista que recorre hacia el Sur-Este a 20 km/h , le parece que el viento sopla hacia el Este ; pero a un ciclista que va hacia el Este a 40 km/h , le parece que el viento sopla hacia el Sur. Hallar la componente de la velocidad del viento en la dirección de un vector que señala la trayectoria del maratonista. Solución. Las representaciones de las velocidades se ilustra en la Figura 1.158 , donde
- 67. 120 Capítulo I: Vectores en el plano V = (x , y) es la velocidad del viento V m = Velocidad del maratonista V c = Velocidad del ciclista Entonces V m= 20 (C o s 45°, -Se n 45°) = <10V2 , -10^2) V c = 40 (C o s 0o , S e n 0°) = (40 , 0) Ahora , teniendo en cuenta que : V = V m+ V <paftrti => (x , y) = <102 , - I0V2) + 11ÁB 11 (1 , 0) => y = -10V2 Análogam ente : V . V m <40 , - 10V2) •( I0V2 , - 10V2) FIGURA 1.158 V = V e + V aparon«e => < X , >') = (40 , 0) + I I B C || (0 , -1 ) x = 40 Luego : C om pV(nV = 11V m11 V ( 10V2): + (-10V2)3 CornpVmV = 10(1 + 22) Ejemplo 6 J Sobre un sólido puntual en P actúan tres füerzascoplanares que se muestra en la Figura 1.159. Hallar la fuerza necesaria que se debe aplicar en P para mantener en reposo al sólido. Solución. Las com ponentes de cada fuerza son : F, = 200 (C o s 30° , Se n 30°) = 100 (V3 , 1) F, = 150 (C os 0o , Se n 0°) = 150 (1 , 0) F, = 100 (C os 270° , Se n 270°) = 100 (0 , -1) La resultante es la sum a de estas fuerzas , esto e s : R = F, + F, + F, = 50 (3 + 2^3 , 0) t=> 11 R 11 = 50(3 + 2V3) = 323 kg. Com o se puede o b se rva r, el sentido de R es el m is mo que F, ; luego la fuerza que se debe aplicar al sólido puntual para mantenerlo en reposo es - R . es d e c ir, el vector opuesto a R o a F, ■ FIGURA 1.159 Ejemplo 7^) S e da el siguiente sistem a de fuerza : F, de 50 kg. que actúa de A(1 , 5) a B(-3 , 8) y F 2 de 65 kg. que actúa de C(-3 , -5) a D(2 , 7). Hallar la resultante R del sistem a y el trabajo realizado por R al desplazarse de P(4 , 3) a Q (9 , 5). Sección 1.15: Los vectores y la Física 121 Solución. A B = B - A = (-3 , 8> - (1 , 5) = (-4 , 3) c=> 11Á B 11 = 5 C D = D - C = (2 , 7) - (-3 , -5) = (5 12> «=> 11CD 11= 1 3 Luego , si F, = rÁ B «=> 11 F, 11 = r||ÁB|| <=> 50 = r (5) « r = 10 F2 = tC D <=> l l F j l = 1 1|C D 11 <=> 65 = t (13) <=> t = 5 Por lo que : R = F, + F, = 10(-4 , 3) + 5 <5 , 12) = 15 (-1 , 6> El trabajo W realizado por una fuerza F al recorrer un espacio S está definido por la ecuación : W = F • S (O bsérvese que W e s escalar) Por lo tanto , si S = P Q = (9 , 5) - (4 , 3) = (5 , 2) <=> W = 15 (-1 , 6) • (5 , 2) = 105 unidades de trabajo ■ Ejemplo 8 j Un S ó lid o de 100 kg. de p e so está su sp e n d id o por el centro mediante una cuerda , tal com o se indica en la Figura 1.160. Hallar la tensión T en la cuerda. Solución. Se a n 11T, 11 = 11T, 11 = 11T11 , donde las tensiones y el peso W expresados en fun ción de su s com ponentes son : T, = 11T I l (C o s 30°, Se n 30°) = 11T11 (VJ/2 , 1/2) T, = 11T11 (C o s 150°, S e n 150°) = 11T 11(-V3/2 , 1/2) W = 100 (C os 270° , Se n 270°) = 100 (0 , - 1) El sistem a de fuerzas estará en equilibrio si T, + T, + W = O «=> 11T 11(V3/2 , 1/2) + 11T 11(-V3/2 , 1/2) = -100 (0 , -1) de donde: 11T11 (0 . 1) = 100 (0 , 1) I|T|| = lOOkg. FIGURA 1.160 [ Ejemplo 9 ] Sobre un cuerpo que d es cansa en un plano inclina do , actúan tres fuerzas : la gravedad G , una fuerza N de reacción que es perpendicular al pla no y una fuerza F de fricción que se dirige hacia arriba en la dirección del plano. S e define coefi ciente de fricción u , com o la razón de 11F 11 a i N I cuando el ángulo i de inclinación es tal FIGURA 1.161
- 68. 122 Capímio 1: Vectores en el plano que cuerpo está a punto de deslizarse. Dem ostrar que : u = T g i Demostración. En efecto , usando la base ortonormal {5 = {i , j} , con dirección del plano inclinado , se tiene : N = 11 N 11 (C os 90° , Se n 90°) = 11N 11 (0 ,1 ) F = 11F 11 (C os 180°, Se n 180°) = 11 F11 (-1 , 0) G = 11G 11 (Cos(270° + y ) , Sen(270° + y)) = 11G 11 (Sen y , -Cosvy) Estando el cuerpo en reposo , entonces : N + F + G = O *=» IIN || + 11F11<-1 , 0) = - 11 G 11(Sen vj/, -C o s y ) de donde : - 1 F 11 = - 11 G 11 Se n y y 11 N 11 = 11 G 11C o s vji F11 Se n i i en la F<«- Dividiendo estas dos igualdades obtenem os : u = Tg y N C o s y -- E je m p lo 1 0 J Un cuerpo de w = 500 Ib. de peso está suspendido com o se indica en la Figura 1.162. Determinar cada una de las fuerzas que ejercen sobre el punto C. Solución. Se a n W , T y Q las fuerzas que actúan en el punto C , cuyas representaciones son : W = 500 (C os 270°, Se n 270°) = 500 <0 , -l) T = ||T 11 (C o s 150° , Se n 150°) = 11T11 <-^3/2 , 1/2) Q = llQ II <Cos 0o , Se n 0°) = 11Q 11 <1 , 0) Estando las fuerza en equilibrio , entonces W + T + Q = O FIGURA 1.162 ■=> 11T 11 <- 3/2 , I/2) + 11Q 11 (I , 0) = 500 <0 , 1) <=> de donde obtenem os : 11 T11 = 1000 Ib. y I !Q 11 = 500V3 Ib. r f I I t I I + V 4 IITII = llQ ll = 0 500 . EJERCICIOS ; Grupo 14 123 EJERCICIO S : Grupo 14 1. Un avión recorre 200 km. hacia el Oeste y luego 150 km. Oeste 60° Norte. Hallar el desplazamiento resultante , gráfica y analíticamente. 2. A qué distancia y en qué dirección del punto de partida se encuentra una persona que recorre 20m. hacia el Este 30° S u r , 50m. hacia el Oeste ; 40m. hacia el Noreste , y 30m. hacia el O este 60° Sur. 3. Un hombre que se dirige hacia el Su r a 15 km/h observa que el viento sopla del Oeste. Aum enta su velocidad a 25 km/h y le parece que el viento sopla del Suroeste. Determinar la velocidad del viento así com o su dirección y sentido. 4. D o s ciudades A y B están situadas una frente a otra en las dos orillas de un río de 8 km. de ancho , siendo la velocidad del agua de 4 km/h. Un hombre en A quiere ir a la ciudad C que se encuentra a 6 km aguas arriba de B y en la misma ribera. Si la embarcación que utiliza tiene una velocidad máxima de 10 km/h y desea llegar a C en el m enor tiempo posible ; qué dirección debe tomar y cuan to tiempo emplea en conseguir su propósito. 5. Un río tiene 500m. de ancho y fluye a una velocidad de 4 km/h. Un hombre puede remar a una velocidad de 3 km/h. Si parte de un punto A y rema hacia la orilla opuesta, cuál es el punto m ás lejano río arriba que puede alcanzar en la orilla opuesta. En que dirección deberá navegar. 6. Hallar la resultante de los siguientes desplazam ientos : 10m. hacia el Noreste; 20m. hacia el este 30° Norte ; 35m. hacia el Sur. 7. D o s fuerzas de m agnitudes 8 y 10 kg. actúan sobre una partícula a un ángulo de 45°. Hallar la dirección y la magnitud de la resultante. 8. D ad o el siguiente sistem a de fuerzas : F, de 70 kg. que actúa de A(2 , 3) a B(5 , -1) y F2 de 357 kg. que actúa de C(3 , -9) a D(-5 , 6). Hallar la resultante R del sistem a y el trabajo realizado por R al desplazarse de P(5 , -1) a Q (9 , 1). 9. Un peso de 100 kg. esta suspendido de una cuerda flexible de 5m. que a dos soportes separados entre si 2m. Determinar las fuerzas resultantes en cada soporte si el sistem a coordenado se escoge com o se muestra en la Figura 1.163. 10. Un peso de 250 kg. descansa en un plano con inclinación de 30° relativa a la horizontal (Figura 1.164). En él actúan una fuerza F, con una magnitud de 200 kg. que se dirige hacia arriba a lo largo de una recta que forma un ángulo de 20° con el plano ; la fuerza gravitacional F 3 que actúa hacia abajo ; una fuerza de
- 69. 124 Capítulo I: Vectores en el plano reacción F2 que actúa perpendicularmente con respecto al plano y una fuerza F4 que actúa hacia abajo en la dirección del plano inclinado. Hallar las fuerzas F2 y f > 11. Un barril está sostenido sobre un plano inclinado O P por la fuerza F, que actúa paralelamente al plano y por otra fuerza F2 que actúa perpendicularmente a él (Figura 1.165). Si el peso W del barril es de 300 kg. y el plano forma un ángulo de 30° con la horizontal, hallar I F. ¡| y 11 F 2 11. 12. Un cuerpo de 540 kg. de peso está suspendido com o se indica en la Figura 1.166. Determinar la tensión en cada una de las cuerdas C A y C B , si a = 30°. 13. S e levanta un cuerpo de 200 kg. de peso a velocidad constante , com o se indica en la Figura 1.167. Determinar cada una de las fuerzas ejercidas sobre el punto C , si a = 30° y p = 45° 14. Un peso de 100 kg. está suspendido de alam bres com o se indica en la Figura 1.168. La distancia A B es 20 pies . A C mide 1 0 pies y C B = 3 pies. Q ué fuerzas ejercen A C y B C sobre el nudo C ? FIGURA 1.166 FIGURA 1.167 FIGURA 1.168 R E C T A S E l i C l P I M I O 2.1 J R EC T A Q UE P A SA PO R D O S P U N T O S Al hacer el estudio de puntos del plano y su relación con los vectores resulta útil denotar al vector que va del origen a un punto A del plano mediante la letra mayúscula A o m inúscula a, escritas en negrita. E s bien conocido que dos puntos del plano definen una recta. Verem os como se puede emplear este hecho para obtener la ecuación vectorial de una recta 'J . En la Figura 2.1 se muestra la recta r/ ‘ , que contiene a los puntos P^x, , y,) y P,(x,, y , ) , junto con los vectores de posición P, = (x ( , y,) y P, = ( x , , y,). Nótese que el vector a = P, - P, , tiene una representación geométrica que está sobre $ y que por lo tanto es paralelo a dicha recta. r V i 'i* T Í. p > k V p. 7 Y*--- - ► O v FIGURA 2.2 En la Figura 2.2 se muestra la m ism a configuración , excepto que se ha añadido al punto genérico P(x , y) sobre la recta W y se ha trazado el vector
- 70. 126 Capílulo 2: Recias en el plano correspondiente P = (x , y). S i P está sobre W , el vector P - P, e s paralelo al vector a = P . - P , , entonces podem os escribir P P ^ t ^ - P . ) o bien 5 ’ : P = P 1 + t ( P 1 - P l) , t e R (1) El escalar t e s llamado parámetro , por ello a esta ecuación se le llama , ecuación paramétrica vectorial ordinaria de la recta que pasa por P, y P r Eje m p lo 1 ) Hallar la ecuación paramétrica vectorial de la recta 2? que pasa por P,(-3 , 1) y P 2(1 , 4). Trácese un diagrama. Solución. Un dibujo previo del ejercicio se muestra en la Figura 2.3. Luego , si P, = <*3 , 1) y Pj = (1 . 4) => P , - P , = <1 ,4 )-< -3 , 1> = <4 , 3) Por tanto , la ecuación paramétrica vectorial de & , según (1 ) es 2?: P = (-3 , 1) + t (4 , 3>, t e R ■ — -3 0 - 1 ' > FIGURA 2.3 | O B S E R V A C IO N 2.1 Ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta__________ Si se escribe la ecuación (1) en términos del parámetro t y de las coordenadas de P ( y P. tenem os & : (x , y) = ( x , , y,) + t ( ( x , , y,) - ( x , , y ,)) = < x ,, y,> + t<x2-x , , y 2-y,> = <x, + t ( x , - x , ) , y, + t(y 2-y ,)) Esta ecuación vectorial equivale a las ecuaciones r x = x + t (x, ■ x ) $ : { , 1 6 « L y = y, + t (y,- y,) J (2) E stas ecuaciones reciben el nombre de sistem a de ecuaciones paramétricas carte sianas de la recta que pasa por P, y P, Ejemplo 2 J O bten er el siste m a d e e c u a c io n e s p a ram étricas c a rte s ia n a s de la recta que pasa por los puntos P,(-2 , 3) y P 2(5 , 1). Sección 2.2: Segmentos de recta 127 Solución. S e g ú n la ecuación (2) : x = -2 + t (5 + 2) , y = 3 + t (1 - 3) r x = -2 + 7 1 de donde ; ¿2?: ^ 2t son las ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta pedida. ( 2 .2 J S E G M E N T O S D E R E C T A Si el conjunto de valores permitidos de t se restringe a un intervalo cerrado [a , b ] , entonces la gráfica de la ecuación (1) es un segmento de recta. En particular s i : t = 0 <=> P(x , y) = P ,(x ,, y,) t = 1 => P(x , y) = P ;( x , . y,) Por tanto, com o se indica en el Figura 2.4 , a medida que t recorre el intervalo [0 , 1 ] , el pun to P(x , y) recorre el segm ento de recta desde P ,(x,, y,) hasta P ,(x ,, y , ) , de m odo que el s e g mento de recta P, P, queda definida por la ecua ción P,P: = { P € R : |P = P, + t ( P , - P i) , 0 < t < l } (3) FIGURA 2.4Los dem ás puntos de la recta corresponden a valores de t tales que , t < 0 y t > 1 Se puede emplear la ecuación (1 ) para calcular las coordenadas de un punto P que está sobre el segm ento P (P. y que está a una distancia r dada de P, sobre la medida del segm ento P , P , , esto es P = P, + r (P, - P f) , 0< r< 1 (4) Así , en la Figura 2.5 se observa que a medida que r crece de r = 0 a r = I , con intervalos de longitud 1/5 , los puntos P = P, + r (P, - P :) se desplazan de P, a P, con la siguiente representación vectorial A = P, + T ( P : - P . ) C = P, + y ( p , - P,) b = p i + -t (p 1 - p i) d = p , + t <p . - p .)
- 71. 128 Capítulo 2: Rectas en el plano r = 0 r= 1/5 r = 2/5 r = 3/5 r«= 4/5 r = 1 V P, A R C f) P. FIGURA 2.5 De esta m anera se pueden ubicar puntos que dividen al segm ento [P ( , P ] en n partes iguales. E je m plo 3 } Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del se g mento de recta cuyos extremos son P,(-3 ,7) y P 2(4 , 1). Solución. Su p on gam os que S y T sean los puntos de trisección del segm ento P,P„ y que P, - P, = <4, I) - <-3 , 7) = (7 , -6), entonces los vectores de posición de los puntos de este segm ento*están representados por r = 1/3 r = 2/3 P = (-3 , 7) + r (7 , -6), r e [0 , I ] o ■ -o o — o P, S T P: Para r = 1/3 ^ S = (-3 , 7) + y <7 , -6) = (-2/3 , 5> y para r = 2/3 <=> T = (-3 , 7> + y < 7 , -6) = (5/3 , 3) Por lo tanto , los puntos buscados son S(-2/3 , 5) y T(5/3 , 3) ■ ^ Eje m p lo 4 ^ Dem ostrar que los puntos ^ p ^ l p j y ^ l p i + £ p j trisecan al segm ento P ,P 2. Demostración. En efecto , por definición de segm ento de recta : P^P: = { P = P i + r (P ;- P i) | r e [ 0 1 1]} (1) Su p ón ga se q u e : S = y P , + y P , y T “ y P , + y P , Luego , podem os e scribir: S = p, + i - p ; - | p , => S = P 1 + 1 ( P , - P , ) , l s [0, I] (2) T = p . + T P ; " f P , ~ t = P, + t (P ^ P , ) ' T 6 1 0 ’11 (3) --^ Entonces , por (1), S y T pertenecen al segm ento P,P, Sección 2.3: División de un segmento en una razón dada 129 Adem ás de (2) : <7(P,, S) = 11S - P,11 = y 11 P, - P, 3 d(Pt , T) = 11T - P,11 = y l l P j - P ,y de (3): Por consiguiente , S y T trisecan al segm ento P,P, y IIP, p,I } IIP, -p,II 2.3 J D IV IS IO N DE UN S E G M E N T O EN U N A R A ZO N DADA S e a P un punto cualquiera sobre una recta 2? que pasa por los puntos P, y P. y que divide al segm ento P,P, en la razón m/n , esto es P . P _ m P P, n Entonces , la ecuación vectorial que define al punto P es : P = (— ?— ) P, + (— !2L-) P, , m * - n m + n/ 1 m + n l 2 ' (1) En efecto , de (1) : P, P = ( ™ ) P P, ■ = ( " ) ( P T P . - m de donde : (m + n) P.P = m P,P, <=> (m + n) (P - P () = m (P. - P () t=> (m + n)P - (m + n)P, = m P , - m P ] P = (— 2— ) P. + í - ^ 11- ) P, , m * - n m + n/ 1 m + n/ 1 O B S E R V A C IO N E S 2.2 1 . Si m y n tiene el m ism o signo , es decir ™ > 0 , entonces P es interior al (5) segm ento P P,. 2. Si m y n tiene signos diferentes, esto es ™ < 0 , entonces el punto P es exterior
- 72. r 130 Capítulo 2: Rectas en el plano al segm ento P P, , y ocurre que : a) SiI ^ I < 1, entonces P estará m ás cerca de P, I n I 1 b) Si — > 1, entonces P estará m ás cerca de P, l n i 2 Ejemplo 5 ^ D ados los puntos P,(-3 , 3) y P 2(2 , 8) , hallar el punto P que divide al segm ento P ,P ? en la razón 2 : 3 Solución. Si -^ = -r t=> m = 2 , n = 3 y m + n = 5 Com o la razón es positiva , el punto P está en el inte rior del segm ento P,P, Luego , según la ecuación (5): P = -| P, + -| P, => P = | (-3 . 3) + | <2 , 8> = <-1 . 5) P (-l , 5) I Ejemplo 6 ^ D ados los puntos P,(3 , -1) y P 2(1 , 2), hallar el punto P que divide al segm ento P ,P 2 en la razón -3 : 2. Solución. En este caso : — = — • n 2 ■=> m = -3 , n = 2 , m + n = -1 3 Com o la razón es negativa y |- —l > , entonces el punto P es exterior al segm ento P,P, y está m ás cerca de P,. Luego, haciendo uso de la ecuación (5): p = ( ^ ) < 3 . - ¡ > + ( ^ ) ( ', 2 > = -2 < 3 , - I ) + 3(1 ,2) = (-3 , 8) Por lo que el punto buscado es : P(-3 , 8) ■ r Yi k P q ----------» j 1 1 1 1 ■ 1 1 1 “ 1 J 1 I 1 i i 3 O ) 1 i V ) ^ x p, v FIGURA 2.7 Sección 2.3: División de un segmento en una razón dada 131 E jem plo 7 J Se an los puntos P,(-2, 4) y P 2(2, 6), hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento P,P2 en la razón dada 3 : (-5) Solución. Si >=> m = 3 , n = -5 y m + n = - 2 , I 3 I Como la razón es negativa y |- -j j < 1 , el punto P es exterior al segm ento P, P, y está m ás cerca de P,. P = + {— — )P , = - ( - 2 , 4 ) + — (2 , 6) 'm + n ' 1 'm + n ' * -2 -2 = 5<-l ,2 )-3 (1 ,3) = (-8 , 1) ■ Ejemplo 8 } Un triángulo tiene por vértices A(-2 , -3), B(2 , 8) y C(5 , 2). Por el punto D(16/5 , 28/5) que pertenece al lado B C se traza una paralela a A B que corta al lado A C en el punto E. Hallar las coordenadas de E. Solución. Su p ó n g a se que : ™ c=> n (D - B) = m (C - D) <=* n (6/5 , - 12/5) = m (9/5 , - 18/5) de donde : 6n (1 , -2) = 9m (1 , -2) «=> -^ = y Com o D É 11 B A , entonces E divide a A C en la m ism a razón , esto e s , A E : E C = 2 : 3 ■=> m = 2 y n = 3 Luego , haciendo uso de la ecuación (5) se tiene : c t n a m r* _ 3 / -> _ a . 2 /c t _ / EJERCICIO S : Grupo 15 1. Hallar la ecuación paramétrica vectorial y el sistem a de ecuaciones paramétri- cas cartesianas de la recta que contiene a los puntos dados P, y P 2. a) P, (4 , - 2) , P 2 (4 , 3) b) P, (-7 , 2) , P 2 (-3 , -1)
- 73. 132 Capítulo 2: Rectas en el plano 2. Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del segm ento cuyos extre m os son los puntos dados P, y P ?. a) P, (-3 , 6) , P2 (12 , -15) b) P, (-3 , 7) , P 2 ( 4 , 1 ) 3. Hallar la ecuación vectorial del segm ento que une a P,(2 , 5) con el punto medio del segm ento cuyos extremos son A(5 , 1) y B(7 -3) 4. Hallar la ecuación vectorial del segm ento que une el punto medio del segm ento de extremos A(-5 , 2) y B(1 , 6) con el punto que está a 1/3 de la distancia que separa a R(-2 , 6) y T(1 , 9). 5. Obtener la ecuación paramétrica vectorial del segm ento que une al punto que está a 2/3 de la distancia que separa a los puntos A (8 , -2) y B(2 ,7) con el punto que está a una cuarta parte de la distancia que separa a los puntos C(1 , 6) y D(9 , 10). 6. Dem ostrar que las coordenadas (x , y) y (x *, y ’) de los puntos que trisecan el segm ento de extremos P,(x, , y,) y P2(x2 , y 2) están dadas p o r : x = ^ - ( 2x, + x2) , y = - i ( 2y, + y2) ; x’ = -^(x, + 2x2) , y ’ = -|-(yl + 2 y2) 7. D a d o s los puntos P,(-3 , 8) y P 2( 12 , -32) , hallar los puntos que dividen al segm ento P tP 2 en cinco partes iguales. 8. Se an los puntos P,(3 , -2) y P 2(-7 . 8), hallar el punto P que divide al segm ento P ,P 2 la razón 2 : 3. 9. D ado s los puntos P ,(-7 , 6) y P 2(1 , 5), hallar el punto P que divide al segm ento P,P, en la razón (-2): 1. 10. S i P,(2 , -3) y P ?(5 , -7) , hallar las coordenadas del punto P que divide al segm ento P,P. en la razón 3 : (-4). 11. El segm ento de extremos A ( -2 , -4) y B(1 .0) e s dividido por P y Q en las razones (-3): 2 y (-2): 3 respectivamente. Hallar la norma de PQ. 12. Un triángulo tiene por vértices A(-1 , -3) , B(3 , 5) y C (5 , -1). Por el punto E (1 5/4 ,11/4) del lado B C se traza una paralela a A C que corta al lado A B en el punto D. Hallar las coordenadas del punto D. 13. Los vértices de un cuadrilátero son A(-4 , 6) , B(-2 , -1) , C (8 , 0) y D (6 ,11). Hallar la razón m : n = B P : P D en que la diagonal A C divide a B D , donde P es el punto de intersección de las diagonales. 14. Se a n A(-2 , 5) y B(1 , -2) los extremos del segm ento A B y P(x , y) un punto que resulta de prolongar A B por B. Si B P = 4 A B , hallar las coordenadas de P. Sección 2.4: Puntos que están sobre una recta 133 15. En un triángulo A B C , el punto P(4/5 , 5) divide al se gm e n to A B en la razón A P : P B = 2 : 3. El punto Q(27/5 , 22/5) divide al se gm e n to B C en la razón B Q : Q C = 2 : 3. El punto R(14/5 , 3/5) divide al segm ento A C en la razón A R : R C = 3 : 2. Hallar los vértices del triángulo. 16. D os vértices de un triángulo A B C son A(2 ,1) y B(5 , 3). Hallar las coordenadas del tercer vértice C si la intersección de las m edianas e s G (3 . 4). ¿2.4 J PU N T O S Q UE EST A N S O B R E U N A R EC T A _____________ En la Sección 2.1 se vió que la ecuación vectorial , o que el sistem a de ecuaciones paramétricas cartesianas , de una recta W queda determinada si se conocen las coordenadas de dos puntos de r£. Estas ecuaciones también se pueden determinar si se conocen un punto de c£ y un vector de dirección de 7: Efectivamente , considerem os la recta que pasa por el punto P^x, , y,) y que e s paralela al vector no nulo a = (h , k ) , (Figura 2.10). A h o ra , sabem os que un punto cualquiera P(x , y) está sobre SB si y sólo si el vector P - P, es paralelo al vector a , esto es , P - P. = t a o bien ? = { P(x , y) e R 21P = P, + t a } (6) FIGURA 2.10 La ecuación (6) recibe el nombre de ecuación vectorial ordinaria de la recta que pasa por P, y es paralela al vector a. Dado que la ecuación (6) se puede escribir en la forma & : (x , y) = <x, , y ,)+ t(h , k> el sistem a de ecuaciones paramétricas cartesianas correspondientes para </' es x = x. + t h k r X = X. + t f : S ' 1 y = y, + 1 te R (7) Ejemplo 1 J Hallar la ecuación vectorial y el sistem a de ecuaciones para- métricas cartesianas de la recta que p asa por P,(2 , 4) y es
- 74. 134 Capítulo 2: Rectas en el plano paralela al vector que va de S(3 , -1) a T (-1 , 4). Determinar si el punto A(1 , 5) está sobre dicha recta. Solución. S e a ST la representación geométrica del vector a. Esto es , s i : a = S T «=> a = T - S = (-I , 4) - (3 , -1) = (-4 , 5> Luego , según (6), la ecuación vectorial de la rec ta es $ : P = (2 , 4) + t<-4 , 5> , t e R r X = 2 - 4t y por (7). X-. { . l e R l- y = 4 + 5t Si A (1 ,5) € % => 3 ! t € R I A = (2 , 4) + t (-4 , 5> /. r 1 = 2 - 4 1 «=> t = 1/4 <=> ( I , 5) = <2 - 4 t , 4 + 5 t) <=> l 5 = 4 + 5 t => l = 1/5 Por lo tanto ,com o el valor de t no es único , A e % ■ Existe otra manera m ás sencilla para llegar a esta conclusión y que con siste en la aplicación del corolario del siguiente teorema. TEOREMA 2.1 Si & es una recta que p asa por el punto P, y e s paralela al vector a , entonces , s i : P ,e St (P, - P,) I !a ' ------------ !_________________________________________________________________________ / Demostración. En efecto , si f£ tiene por ecuación vectorial % : P = P, + t a , l e R , entonces P, e 5? <=> P. = P, + t a , para algún t e R ^ P, - P, = t a <=> (P, - P,) 11 a Corolario. Si X es la recta que pasa por el punto P, y paralela al vector a, entonces: P ,e J2? <=> (P ,- P.) • ax = 0 Efectivamente , por el Teorem a 2.1 , P, e % « ( P , - P , ) lla y por el Teorem a 1.8: (P, - P,) 11a <=> (P, - P () • ax = 0 C jom plo 2 ) Determinar si los puntos S (8 , 5) y T(-2 , 2) están sobre la recta « . r x = 4 + 2 t y = -1 + 3 t te R Solución. Por simple inspección. 2' : (x , y) = <4 + 2 1 , -1 + 3 1) = <4 , - 1> + t (2 , 3> Sección 2.4: Puntos que están sobre una recta 135 Luego , la recta ¡B pasa por P,(4 , -1) y es paralela al vector a = (2 , 3> Para el punto S : S - P, = (8 , 5) - (4 , -1) = .(4 , 6) ■=> (S - P ^ •a1 = (4 , 6> *(-3 , 2> = -12 + 12 = 0 Por lo tanto , (S - P,) 11a y entonces el punto S está sobre la recta f£. Para el puntoT : T - P, = (-2 f 2) - (4 , -1) = (-6 , 3) = * (T - P ) •a1 = (-6 , 3) •<-3 , 2) = 18 + 6 = 24 * 0 Por lo tanto , (T - P,) Jf a , y entonces el punto T no está sobre la recta 7'. ■ El resultado expresado en el corolario del Teorem a 2.1 se puede utilizar para obtener un sencillo criterio que se enuncia a continuación. Definición 2.1 Ecuación normal de una recta Si a es el vector de dirección de una recta r/ ‘ que contiene al punto P, , entonces un punto P(. , y) está sobre si y sólo si $ : n • (P - P.) = 0 (8) donde n = a1 es el vector normal de 7'. Estaexpresiónse conoce com o la ecuación normal de la recta %. ^ ----------- I--------------------------------------- > Ejem p lo 3 I Hallar la ecuación normal de la recta 9- : / -------------------------* y = 2 - 4 1 Solución. La ecuación vectorial de la recta dada es , 7 : P = (1 ,2) + 1 (3 , -4), t e R Si a = <3 , -4) 11 Sí' ■=> a1 = n = (4 , 3> e s el vector normal a 5? Luego , según (8), 5 ?: <4, 3) • ( <x , y> - <1 , 2 )) o & : <4 , 3> •<x - 1, y - 2) ■ Ejem p lo 4 J U na recta 2' p asa por el punto A(3k , k - 2) y es ortogonal al vector v = (3/k , 3 > , k * 0 ; hallar los valores de k tales que el punto B(5k , k2 - 6) esté sobre Solución. S e a n = v el vector normal de 2?, entonces si B e r£ (B - A) • n = 0 (Def. 2.1) Luego , <2 k ,k : - k - 4) •(3/k , 3) = 0 o k:’ - k - 2 = 0 » k = - l o k = 2 ■ |O B S E R V A C IO N 2.3 Si el vector de dirección a , en la ecuación 7‘ : P = P, + 1 a es un vector unitario , entonces para cualquier punto P sobre la
- 75. 136 Capítulo 2: Rectos en el plano gráfica de % , 111 es la distancia que separa P, de C P (Figura 2.12) En e fecto: </(P1 ,P ) = l | P - P 1ll = II t a II = l t l lla l l y com o 11 a 11 = 1 ■=> d(Pt , P) = 11 1 FIGURA 2.12 E je m p lo 5 J Dada la recta V : P = (-1 , 6) + t (1 , 4 ), obtener las coordena das de los puntos de CJ que están a 2Y7 unidades de distan cia del punto S(1 , 14). Solución. En primer lugar veam os de S(l , 14) está sobre c£. Efectivamente , S - P, = <1 , 14) - <-1 ,-6> = <2 , 8) «=* (S - P,) •a1 = (2 , 8) •(-4 , 1) = -8 + 8 = 0 . Luego , el punto S está sobre rJ:. O 4) Ahora , un vector unitario en la dirección de a es , u = x ’ V17 Com o S € 2', otra ecuación de W e s P = <1 , 14) + t / -J — , - 4 = 'V 17 1 7 ' S e desea hallar las coordenadas de los puntos P(x , y) tales que Itl = 2 T7 « t = 2 V Í7 O t = -2 VF7 Para t = 2 V17 t=> (x, , y,) = (1 , 14) + 2 V i7 {^7= » = ^ Parat=-2V7=><x,,y!)=<l , I4>-2Í7(-J_ , 4=) =(-1,6) Por lo tanto , P,(3 , 22) y P,(-l , 6) son los puntos buscados. ,, ■ EJERCICIOS : Grupo 16 En los ejercicios 1 - 3 , diga si el punto S está o no sobre la recta 7' cuya ecuación paramétrica vectorial se da. 1. S ( 2 , - 1 ) , P = (1 ,2) + t(-1 ,3 ). te R 2. S (3 , 2 ), £ : P = (1 , 1) + 1 (2 . -3), t e R 3. S(-1 . 1), SB : P = <-2 . -3> + 1<1 , 4> . t e R Sección 2.5: Pendiente de una recta 137 En los ejercicios 4 - 7 , identificar cada uno de los conjuntos en R : dado. 4. {(x , y) I x = 2t + 1 , y = -3t + 4 , t e R } 6. {(x , y) I (-2 , 1) *(x + 3 ,y -4) = 0 } 5. {(x , y) |(1 , 2) + t (1 , 1), t € [ 0 , 1 ] } 7. {(x , y) I <-1 , -5) • <x - 2 ,y) = 0} 8. Hallar la ecuación normal de las rectas r x = 3 1 c x = -1 + 2 t a) !B : J , t e R b) c£ : J , t e R y = 1 + 5t *- y = -3t En los ejercicios 9 - 1 1 , determinar si las ecuaciones vectoriales dadas corres ponden a la m ism a recta o no. 9. P = (2 , 1) + t (3 , -1), t e R ; P = <2 ,1) + t <-3 , 1), t e R 10. P = (-1 , -2) + t (-2 , 4 ), t e R ; P = <1, 0) + t <1 , -2) , t e R 11. P = < 2 ,3 ) + t<-1 ,2 ), te R ; P = <1 , 5) + t <2 ,-4 ), t e R 12. Una recta rf pasa por el punto A(2 k -1 ,3) y e s ortogonal al vector v = (2, k + 2); hallar los valores de k tales que B(7 k , k - 2) esté sobre T. 13. Una recta r£ p asa por el punto S (2 k , 3) y e s paralela al vector v = (3 , - 4/k), k * 0 ; "hallar los valores de k tales que el punto 24) pertenezca a J2?. En los ejercicios 1 4 -1 5 , hallar las coordenadas de los puntos P, y P, que están sobre la recta cuya ecuación paramétrica vectorial se da y que están a la distan cia dada del punto S dado. 14. Sobre V : P = (4 , -2) + t (1 , 1), t e R ; 3 2 unidades de S(4 , -2) 15. Sobre ÍC : P = (-3 , 2) + 1<2 , -1), t € R ; 2 5 unidades de S(1 , 0) 2.5 J P E N D IE N T E DE U N A R EC T A Matemáticamente sabem os que el cociente de la altura y la base de un segmento recibe el nombre de pendiente del segmento. Si designam os esta pendien te por m , se tendrá entonces que m = 5«ura base Si a = (h , k) es el vector de dirección de una recta 5Pque contiene al punto P,(x, , y , ) , entonces C1 tiene por ecuación vectorial V : P = P, + t <h , k) , t e R Si se le asigna a t el valor de I , vem os que las coordenadas de otro punto P ,(x,, y,)
- 76. 138 Capítulo 2: Rectas en el plano que está sobre & se puede calcular sum ando h y k a las coordenadas respectivas de P , , esto es x, = x, + h , y, = y, + k Por lo tanto , x, - x, = h y y, - y, = k son la base y altura del segm ento P , P , , y si h * 0 , entonces e s la pendiente de P,P, y de la recta que lo con tiene. (Figura 2.13) Definición 2.2 Pendiente de una recta S i 7 e s una recta tal que uno de su s vectores de dirección e s (h , k> con h * 0 , entonces la pendiente m de la recta X está dada por km = h V. D e esta definición podem os afirmar que si m es la pendiente de una recta ¿2? si y sólo si (1 , m ) , o bien (1 , k/h), es un vector de dirección de T. Esto indica que la ecuación (6) se puede escribir de la forma W ; p = P i + i <i . m) , t e R (9) Eje m p lo 1 } Calcular la pendiente de la recta 5? que p asa por los puntos P,(5 , 3) y P 2(2 , -6), y obtener la ecuación paramétrica vecto rial de la forma de la ecuación (9) que describa esta recta. Solución. El vector de dirección de la recta buscada es a = P ; - P, = (2 , -6) - (5 , 3) = (-3 , -9) Luego , por la Definición 2.2 : m = = 3 Com o P,(5 , 3) e S ' , entonces una ecuación paramétrica vectorial de 2' es <2?: P = <5 , 3 > + t(l ,3) , te R ■ I O B S E R V A C IO N E S 2.4 a) Puesto que un vector de dirección de la recta que pasa por P ,(x ,, y,) y P,(x; , y,) es Sección 2.5: Pendiente de una recta 139 a = P, - P, = <x2- x , , y, *y,> se sigue que de la Definición 2.2 , si x, , entonces la pendiente de la recta c£ está dada p o r : b) S e dice que una recta con un vector de dirección de la forma (h , 0), es una recta horizontal (paralela al eje X) y su pendiente es : m = — = 0 h c) Si una recta tiene un vector de dirección de la forma <0 , k ) , se dice que la recta es vertical (paralela al eje Y ) , y su pendiente m = -jy no está definida. Definición 2.3 Rectas paralelas D o s rectas en el p lano , % x : P = P, + t a , t e R y : P = P, + s b , s e R , so n p arale las si y só lo si s u s vectores de dirección son paralelos ; esto es 7 11 (¡Pz <=> a 11 b Ejem plo 2 J Determinar si la recta 2?, que p asa por P,(3 , 5) y P 2(2 , 8) es paralela a la recta 5?2 que p asa por Q ,(-1 , 9) y Q 2(7 , -15). Obtener la ecuación vectorial de cada una. Solución. El vector de dirección de la recta cí es a = P, - P, = (2 , 8> - (3 , 5) = (-1 , 3> y el de es : b = Q, - Q, = (7 , -15> - (-1 , 9> = (8 , -24> = -8 <-1 , 3> Obsérvese que b = r a => b 11a , por tanto : c£ x11.2?, P, e <5?, => .2?,: P = <3 , 5) + t (-1 , 3) , t e R Q ,e &2 => # , : P = <-1 ,9) + s<-l ,3) , s e R ■ TEOREMA 2.2 Si .5?, : P = P, + t a , t € R y .5?, : P = P, + s b , s e R , entonces: = íí <=> a 11 b Demostración. (=>) Probarem os que si 7 = 3?, o a 11b En efecto: Se a Q e 2?,; tal que Q * P,
- 77. 140 Capítulo 2: Rectas en el plano Com o 2?, = SP2 <=> Q e &2, y por el Teorem a 2.1 : Q e £ x <=> ( Q - P ,)lla Q e X 2 « (Q - P,) 11b En consecuencia , por transitividad : a 11 b (<=) Ahora probarem os que si a b «=> .2?, = .2?, En efecto , siendo Q e .2?, <=> (Q - P.) 11a ii Y =* Q e %■ <=> ( Q - P . ) l l b J Por tanto , & x= S&2 . s. TEOREMA 2.3 S i : P = P, + ta , t e R y «2?2: P = P 2+ s a , s e R : entonces P ,e .2?. o 5?, = _________________________ :___ !_____ !____:_______________________ / Demostración. (■=>) Probarem os que si P, e J5?, o %x= .5?, En efecto ,en el Ejemplo 3 de la Sección 1.7 , dem ostram os que si D = B + C y B 11 A => D 11A <=> C 11A (1) Luego , partiendo de la siguiente identidad P P, = (P 2" P |) + ( P - P , ) D B C y com o por hipótesis P, e r£ => (P, - P,) 11a , por (1 ) implica que (P - P,) 11a » (P - P,) 11a (2) Ahora ,siP e .2?, ( P - P , ) lia , y por (2) <=> (P - P,) 11a => p € á ?2 En consecuencia : <2?, = 5?, (*=>) S i $ . = $ 2 => P, e £ . . Trivial ■ TEOREMA 2.4 Se a n las rectas 2', : P = P ( + t a , t e R y 2?, : P = P 2+ s b , s e R , entonces : f£x= 2*, <=> P 2e 2', y a :b Demostración. ( <=$ ) Probarem os que si SPX= f , => P . e l ', y a I b En efecto , si .2?, = 2 y dado que P, e .2?, <=> P, e £PX (Teor. 2.3) Sección 2.5: Pendiente de una recta I 141 Luego , la ecuación de S¡PXse puede e scribir, & x : P = P 2 + t a , t e R y s i com param os con la ecuación de J ? , : P = P, + s b , s e R , y aplicando el Teorem a 2.2 , llegam os a la conclusión de que a !I b. (<=■) Probarem os que si P, e ,2?, y a 11b ■=> 2?, = .2?, En efecto , P. e .2?, y el Teorem a 2.3 implican que <#x: P = P2+ t a , t e R Com parando esta ecuación con la de J2?,: P = P, + sb , usando el Teorem a 2.2 y el hecho de que a 11b , obtenem os : 9! x- f £ , ■ C jcm p lo 3 ) Si r£ xcontienen al punto P,(1 , -5), .2?2contiene a P,(-2 , -3) y 2? y 2'2tienen am bas al vector a = ( 3 , 2 ) com o vector de dirección. Coinciden am bas rectas? Solución. Si SBXy tienen el m ism o vector de dirección entonces son paralelas. Coinciderán si y sólo si P, y P. están sobre am bas rectas ; esto es # , = .% , si (P2- P,) II a (P: - P , ) - a x = 0 Entonces : ((-2 , -3) - (1 , -5» • (-2 , 3> = (-3 , 2> • (-2, 3> = 12 * 0 Por lo tanto , 2?, y .2?, no coinciden , es d e c ir, .2? * Z&2 ■ C jem p lo 4 J Determinar la pendiente de las siguientes rectas paralelas <£y : P = ( x , , x2) + 1(2 , b ) , t e R , b > 0 ; 5?2 : (3 ,-2b)* [P - (-1 , 5)] = 0 Solución. Si a, = <2 , b) es el vector de dirección de (3 X ■=> m = -y n = (3 , -2b) es el vector normal de 5?,. S y t 11&2 = * a, • n = 0 <=> (2 , b) •(3 , -2b) = 0 c=> 6 - 2b: = 0 <=> b = V3 ó b = -V3 Por definición de S£x, elegim os b = V3 En consecuencia , la pendiente de las rectas 2?, y &2es , m = V3/2 ■ E je m p lo 5 J Determinar el valor de m + n para que las rectas ^ ^ ^ ^0) + t ( m , 1)1 te R } y 2?z = {(1/m , 0) + s (-2 , n)| s e R} sean coincidentes. Solución.Por el Teorem a 2.4 , si & x= <2?, <=> P, e .2?, y a, lia. Si P, e <£x <=> (P, - P,) • a x = 0 (Corolario del Teorem a 2.1)
- 78. 142 Capífulo 2: Rectas en el plano => « I/m , 0) * <2, 0» •(-1 , m) = 0 <=> - 2 , 0>* <-1 , m) «=> m = 1/2 Si a, ' I a, => a,• a ,-1 = 0 «=> <m , 1) • <-n , -2) = 0 <=> -m n - 2 = 0 , de donde n = - 4 m + n = - 7/2 Ejemplo 6 ] D adas las rectas SPy= {<x + 1 , 4x -1 ) + t(x2+ x , -3x2- 2x + 1)} y í£2= {<2x + 2 , -2x + 1> + s <-2x2 , 2 x 2 + 2 x ) } . Hallar x € R tal que 2', y Sf2no sean coincidentes. Solución. Se a n at = (x: + x , - 3x*' - 2x + 1) y a, = (-2 x *, 2x + 2x) los vectores de dirección no nulos de y 2> S i a , * 0 <=> (x(x + l) , ( - 3 x + l)(x + 1)> * ( 0 , 0 ) , implica que : x * - l a, * 0 <=> <-2x: , 2x (x + 1)> * < 0 , 0>, implica que : x * 0 O sea , no existen 7 y 2*, para x = -1 y x = 0 Su p on gam os que ¿2?, y St sean coincidentes , esto es , <¡ex= .2?, <=> P ( € S f y a, II a 2 (P, - P,) • a,x = 0 a a, • a / = 0 Si (P. - P,) •a,x = 0 => (x + 1 , -6x + 2) •(-2x 2- 2x , -2x2>= 0 de donde : x (x - 1) (5x + 1) = 0 ; com o x * 0 x = l ó x = -1/5 Si a, •a,x = 0 =* <x(x + l) , ( - 3 x + l) ( x + l))*<-2x (x + 1) ,-2x 2) = 0 de donde obtenem os : 4x 2(x + 1) (x - 1) = 0 ; com ox* 0 y x * -1 ^ x = l Luego , (x = 1 ó x = - 1/5) a (x = 1) <=> x = 1 Por lo que , .2? y ,2', son coincidentes si x = 1 En consecuencia, y .2-, son no coincidentes si x e R - {-1 , 0 , 1} H Eje m p lo 7 J Hallar la ecuación normal de la recta SB cuyos puntos equidis tan de las rectas 5?, = {(0 , 1) + 1 (4 ,2 ), t € R } y SP2= {(0 , -5) + r (4 , 2 ), r e R}. Solución. O bsérvese que a, = a, = 2 <2 , 1) Luego , si a es el vector de dirección de 7' <=> a = (2 , 1> Com o S£ es la paralela media de 2? y 2?,, y si P, €2?, , P, e 2?, y Q e 2' •=> o = y (P, + P :) = y 1(0 » 1) + (0, -5)] = (0 , -2) Por lo que , la ecuación normal de la recta buscada es SB : ax • (P - Q) = 0 J2?:(-1 ,2) •(P - (0 ,-2» = 0 ■ Sección 2.5: Pendiente de una recta 143 Ejem plo 8 j Establecer el valor de verdad de las siguientes afirmaciones 1. Existe por lo m enos un k e R tal que «2?, = {(2 ,3) + t (6 k , j - 3 k)} sea paralela a la recta SP2 : x = 0 2. Si Y a>, = « 3 , - 1 ) + s < - 2 , 2 » => 2 , = 2 , 3. Existe por lo m enos u n k e R para que S¡C = {{1 , 2) + r(k , 3)} y Sí = {(7 , 5) + s <1 , - Tj-k)} son paralelas. 4. Se a SBy- {P, + 1 a} un recta no vertical. Si Q, g f , y SB2 = {Q, + s a } , entonces 2?, fl SB2* 0 Solución. 1. Dado que «2?, es una recta vertical , entonces para que .2?, sea paralela a .2?, es necesario que <2?, se a vertical, esto es <6 k, 4 -- 3k) II <0, 1) <=> <6 k , -j - 3 k ) •(-1 , 0) = 0 , de donde : k = 0 e R Luego , la afirmación es verdadera 2. Si i2P, = {(1 , l) + t(l .-1)} y SBZ= {(3 , -1) + s<-2 , 2 » .entonces SBx= se, « (P, - P,) • a ,-1 = 0 y a,||a, <=> (2 , -2) • (1 , 1> = 2 - 2 = 0 y a, = -2(1 , -1> = r a, => a 211 a, Se cumplen am bas condiciones , luego la afirmación es verdadera. 3. Si II .2?, <=> m, = m , e s d e c ir: • ¿ - = - 4 - k < = > k : = - 6 = ^ é k e R K L Por lo que 2?, |f ,2'2; luego , la afirmación es falsa. 4. Com o Q, e 2-, , las rectas dadas son paralelas y no coincidentes. Luego , .2?, D SB, - 0 , por lo que la afirmación e s falsa. ■ Ejem plo 9 ) Se a n los conjuntos : SBy= {P = <-2 + 3 1 ,3 - 1) 11 e R } y SB2= {(1 , 3) • (P - <1 , 2 » = 0 I P e R 2}Dem ostrar queSByy 2'2 representan rectas y que SBy = SB2 Demostración. En efecto , el conjunto SBXse puede escribir de la forma 2? : P = <-2 , 3) + t(3 , - 1), l e R , que por definición es una recta que pasa por P ((-2 , 3) y cuyo vector de dirección es a = <3 , - 1) El conjunto (J es la forma normal de la ecuación de una recta cuyo punto de paso es P,(l , 2) y cuyo vector de dirección es b = <l ,3 >-l = ( - 3 , I) => .2?,: P = (1 , 2) + s(-3 , 1), s € R
- 79. 144 Capítulo 2: Rectas en el plano O bsérvese que a = -b , esto es , á?, 11 2?, Ahora debem os verificar que P, 6 y P, e •#, En efecto , si P, € <=> (P, - P,) * n, = <3 , - 1) •(1 , 3) = 3 - 3 = 0 Entonces , (P, - P,) 11b , luego P , 6 f J t o sea que .2?, c Si P e <=> (P, - P ;) • n, = <-3 , 1> •<1 , 3> = -3 + 3 = 0 Entonces . (P, - P,) lia . luego P, e , o sea : ^ c ^ , En consecuencia , si rl y c 5?, => 5?, = í?, ''■ * --- -------- ---------------- ----- ----- Definición 2.4 Rectas ortogonales__________________________________________ _ j D o s rectas en el plano SPt : P = P, + t a , t e R y CJ P = Q, + r b , r e R , se dice que son ortogonales si y sólo si su s vectores de dirección son ortogonales. Esto es ÍJ i ^ , « a i b l___________________ _________ ____________________' - ; ^ ] Si m, y m ,son las pendientes de 2 y , entonces su s vectores de dirección tienen la forma , a, = <1 , m,) y a, = (1 , m ;) . Luego , si a, 1 a, «• (1 , m,) •<1 , m,> = 0 » l +m, m, = 0 de donde : m, = - ¿ - ó m : = - ^ Entonces , dos rectas no verticales sonperpendicularessiy sólo s i , la pendiente j de una es el negativo del recíproco de la pendiente de la otra. ^ E j e m p lo 1 0 ^ Dem ostrar que la recta r£ yque contiene a los puntos Q(-1 , -2) y R(2 , 2) es perpendicular a la recta $ 2 que contiene a los puntos S(-5 , 7) y T(3 , 1). Demostración. En efecto , sea a, el vector de dirección de 3?,, entonces a, = Q R = R - Q = (2 , 2) - (-1 , -2) = <3 , 4) S e a a, el vector de dirección de 3?,, entonces a, = S T = T - S = <3 , 1) - (*5 , 7) = <8 , -6> Puesto que, a, •a, = <3, 4) •<8 , -6> = 2 4 -2 4 = 0 => a, l a , ~ 3?, 1 3?, ■ Eje m p lo 1 1 Sean las rectas : P = P, + 1a ,t e R y 7'2:P - P 2+ r b , r e R,, donde a = (4 - k , k + 3 ) y b = ( k - 3 , k + 2 ) . S i ^ , 1 7 2y si Sección 2.5: Pendiente de una recta 145 v = a - ^ b ; hallar la norma de v. Solución. S i 2 1 3?, o a •b = 0 <=> (4 - k , k + 3) •(k - 3 , k + 2) = 0 <=* (4 - k) (k- 3) + (k + 3) (k + 2) = 0 de donde obtenem os , k = 1/2 . Luego :a = ^4 - J- , -i + 3^ = -y <1 , 1) b = < I ' 3 ' í +2> = l < '1’ 1> Por lo que : v = a * y b = y ( l , !)• y { - | , I ) = <7 , 0) «=> ||v|| = 7 ■ Ejem plo 1 2 ] Hallar la ecuación vectorial de la mediatriz del segm ento R S - {<-1 , 3) + 1<6 , -2), t e [0 ,1 ]} Solución. C om o el punto P t biseca al segm ento R S => P, = <-1 » 3) + -y <6 , -2) = (2 , 2) El vector de dirección de R S es : b = (6 , -2) = 2 <3 , - 1) La mediatriz 3? 1 R S <=> a = b 1 = (1 , 3) Por lo tanto , su ecuación vectorial es 3?: P = (2 , 2) + t(l , 3), t € R Ejem plo 1 3 J Hallar la ecuación de larecta c£ que p asa por el baricentro del triángulo de vértices A(-2 , 3), B(7 , 4) y C(4 , -1) y es perpendi cular de la recta .5?, = {P, + s(-1 , -2) I s e R}. En qué punto intercepta 3? al eje X ? Solución. En la Figura 2.15, B D es una mediana del triángulo A B C , en donde D = I ( A + C ) = Í < 2 , 2 > = <1 , I) Si D G = t D B t=> G = D + t (B - D) es la representación vectorial del baricentro. Para t = 1/3 (propiedad de las m edianas) tendre mos que. G = ( l , 1 > + 1 < 6 ,3 > = (3,2> => G(3 , 2) Si 3* 1 i?, <=> a 1 b ■=> a = (-l , -2>x = (2 , -I) Por lo tanto , la ecuación vectorial de la recta buscada es
- 80. 146 Capítulo 2: Rectas en el plano & : P = (3 ,2) + 1(2, - I ) , t e R Ahora , com o : <x , y) = (3 + 2 1 , 2 - 1), si y = 0 => 2 - 1 = 0 c=> t = 2 y para t = 2 , se tiene : x = 3 + 2(2) = 7 = > X - in t e r s e c c ió n = (7 ,0 ) Ejemplo 14 J Los puntos P( 12 , 3) y Q (4 , 9) son d os vértices de un cuadrado P Q R S y también de un triángulo equilátero P Q T , tal como se muestra en la Figura 2.16. Hallar la ecuación vectorial de la recta RT. Solución. El problema se reduce a calcular el punto, de paso R y el punto T. Luego , si Q P = P - Q => Q P = <12 , 3) - <4 , 9) = <8 .-6) _ R Q 1 Q P <=> Q - P = Q P 1 <=> R = Q - Q P 1 o. R = <4 , 9) - <6 , 8) = <-2 , 1) Punto medio de Q P : M = (1 r ^ ) Lado del cuadrado y del triángulo equilátero M (8 ,6) llQPlI = V8J+(-6):= 10 Altura del triángulo equilátero : 11MT 11 = 53 QP _ (8 . -6) 1 llQ P II '0 Si M T = T - M =* T = M + 11M T 11 u. FIGURA 2.16 <=> u, = u ,1 = <3,4) => T = <8 , 6) + (5V3) = <8 + 3V3 , 6 + 4V3) R T = T - R = <8 + 3>/3 , 6 + 4V3) - <-2 , 1) = <10 + 3V3 , 5 + 4^3) Por lo tanto , la ecuación vectorial de R T es R T : L = <-2 , 1) + t <10 + 3V3 , 5 + 4>/3) , t € R EJERCICIO S : Grupo 17 En los ejercicios 1 - 4 determinar si las rectas cuyas ecuaciones vectoriales se dan , son : a) paralelas , b) coincidentes , c) perpendiculares , d) oblicuas. 1. i2?1 : P = < 3,-5 ) + t ( 2 f - 3 ) , t e R , : P = <-1 , 1) + r <-6 , 9 ), r € R 2. 2?,: P = <2 , -1) + t (-2 , 6), t e R , % 2 : P = <0 , 1) + r <13 , -39), t e R EJERCICIOS : Grupo 17 147 3. <2?,:P = <1 , - 2 ) + t < - 2 , - 3 ) t e R , P = <9 , 2 )+ r<4 ,-3), re R 4. : P = <4 , 7) + t <-19 , 5 7), t e R , : P = <3 , 0) + r <51 , 17), r e R 5. Determinar la pendiente de las rectas paralelas = {P, + 1 <a , 6) 11 € R , a < 0 } y iZ?2 : < 3 a , -2) • (P - <2 , -1 )) = 0 6. Determinar el valor de a + b para las rectas : P = <-1 , 0) + t <-a , 1) y c/ : P = <1/b , 0) + a <-3 , b) sean coincidentes 7. Hallar la ecuación normal de la recta r/ ' cuyos puntos equidistan de las rectas ^ , = {<-1 , 5) + t <3 , -6) 11 e R } y 2?j= {<5 , -9) + r <7 , -14) |r e R} 8. Sean A(2 , 3) y B(-4 , 7) dos puntos de R :. C uántas de las siguientes expresio nes vectoriales representa a la mediatriz del segm ento ÁB. a) P = <2t + 1 ,8 + 3 t ) , t € R c) P = <5 + 2 t , 1 4 + 3 t ) , t e R b) P = < 2 t - 3 , 4 + 3 t ) , t e R d) P = < 2 t-1 , 5 + 3 1), t e R 9. Hallar la ecuación vectorial de la mediatriz del segm ento Á B = {<-2 , 3) + t <6 , -4), t e [0 , 1 ]} 10. Los extremos de una de las diagonales de un rombo son S(2 , -1) y T(14 , 3). Hallar la ecuación vectorial que contiene a la otra diagonal. 11. Determinar el valor de m + n para que las rectas á?,: P = <-1 ,2 ) + 1<m , 2), t € R y <?2 ={<1/n, 0) + r <3 , - n ) , r e R } , sean coincidentes. 12. Hallar la pendiente de la recta que p asa por el origen y por elbaricentrodel triángulo de vértices : A(-1 , -4), B(1 , 5) y C(5 , -2) 13. Si 5?, = {<a3 + 3 , - 7 ) + t<1 - a 2 ,a )| te R } y = {<a , 3a - 7) + s<a- 5, 8-3a) !s e R}, hallar a e N tal que 7!yy (I ’2seanrectas coincidentes. 14. Hallar la ecuación vectorial de la recta quepasa por (-3 , 1) y es tangente a la circunferencia 7 '= {P e R 2| |f P || = 2 2} 15. Se a n A ( -3 , 2), B , C(-1 , 13) y D los vértices de un rectángulo, tal que Á C es una de las diagonales y A B es ortogonal al vector v = <4 , -3). H allar: a) La ecuación vectorial de la recta que contiene a BD. b) Proyf-uÁ C 16. El triángulo A B C está dado por las coordenadas de su s vértices , A(2 , -2) , B (6 , 1) y C(-2 , 0). S e necesita : a) Escribir la ecuación vectorial del lado AB. b) Escribir la ecuación vectorial de la altura C D y calcular h = 11CD 11 c) Hallar el ángulo 0 entre la altura C D y la m ediana B M d) Escribir la ecuación de las bisectrices (I y de los ángulos interior y exterior en el vértice A.
- 81. UN Capítulo 2: Rectas en el plano ( E C U A C IO N E S C A R T E S IA N A S P E LA RECTA ) 2.6 j F O R M A G E N E R A L DE LA E C U A C IO N DE U N A RECT A La forma general de la ecuación de una recta es te ; Ax + B y + C = 0 donde al m enos uno de los coeficientes reales A o B es diferente de cero. En efecto, cualquier vector no nulo que sea per pendicular al vector de dirección de una recta £ es un vector normal a 2'. En la Figura 2.17 , se m uestra a una recta Se que contiene al punto P ,(x,, y,), así com o al vector n = ( A . B ) , normal a £., donde A y B e R . uno de los cuales es dife rente de cero. Un punto P(x , y) está sobre 2' si y sólo si P - P, es paralelo a £, es decir, si sólo si P - P, es perpendicular a n. Entonces una ecua ción de íe e s : (P <=* P . n - P. • n = 0 <=> p . n = P, • n (10)P , ) . n = 0 Puesto que P = (x , y ) , P, = (x ,, y,) y n = <A , B ) , la ecuación se puede escribir de la forma (x , y) •(A , B) = (x, , y,) •(A , B) <=> A x + By = Ax, + By, Dado que x , ,y , , A y B son constantes , el número Ax, + B y , , es también constante, y podem os denotarlo por -C . S e tendrá entonces que A x + B v + C = 0 (11) Com o la ecuación (1 1 ) no contiene vectores se le denom ina también , ecuación escalar de ZC. I Nota. Si n = (A , B) es un vector normal a una recta 7, entonces a = (-B , A) es un vector de dirección de 5?. Por consiguiente la pendiente de iT está dada por m = - — , si B * 0 B Ejemplo 1 J Hallar la ecuación general de la recta que contienen al punto R(-3 , 2) y que tiene a a = (1 , -2) com o vector de dirección. Solución. U sarem os dos m étodos para resolver el problema 1. Dado que a = (I ,-2) ■=> n = a1 = (2 , 1) Ecuaciones cartesianas de la recta 149 Si P(x , y) es el punto genérico de la recta 2-, entonces ( P - R ) « n = 0 o [<x , y) -<-3 , 2>] •<2 , 1) = 0 « (x + 3 , y - 2) *(2 , 1) = 0 de donde obtenem os , J2?:2x + y + 4 = 0 2. Si a = (-1 , 2) => n = (2 , 1) = (A , B) <=> A = 2 y B = 1 Entonces en la ecuación (11), W : 2x + y + C = 0 Com o R(-3 , 2) e SP <=> 2(-3) + (2) + C = 0 <=> C = 4 <e: 2x + y + 4 = 0 ■ | O B S E R V A C IO N E S 2.5 a) Puesto que los vectores n, = (A , B) y n, = (-B , A) son perpendiculares, y si son respectivamente norm ales a las rectas .2?, y .2?,, se tiene que las ecuaciones de la forma A x + B y + C = 0 - B x + A y + k = 0 (12) donde A o B es diferente de cero , son ecuaciones generales de dos rectas que son perpendiculares. b) Si n = (A , B) es un vector normal a una recta .2?, entonces e s también normal a cualquier otra recta paralela a <£. Esta propiedad se indica por las ecuaciones A x + B y + C = 0 A x + B y + k = 0 (13) donde A o B e s diferente de cero. Ejemplo 2 ] Hallar la ecuación general de la recta que pasa por A(1 , 3) y es perpendicular a la recta 2?, : 2x - 5y + 7 = 0 Solución. La ecuación (12) establece que la recta buscada tiene por ecuación <£: 5x + 2y + k = 0 Como A(l , 3) €te <=> 5(l) + 2(3) + k = 0 , de donde obtenem os : k = -11 s e : 5x + 2y -11 = 0 ■ Ejemplo 3~} Hallar la ecuación general de la recta que pasa por S (-6 , 2) y es paralela a la recta 5?, : 5x + 6y - 9 = 0 Solución. Por la ecuación (13), la recta buscada tendrá por ecuación JZ'; :5 x + 6y + k = 0 (1 ) Ahora , si S (-6 , 2) e => 5(-6) + 6(2) + k = 0 , de donde , k = 18 Por lo que , en (1), tendremos , 2?,: 5x + 6y + 18 = 0 ■
- 82. 150 Capítulo 2: Rectas en el plano 2.7 j FO RM A PUNTO P EN D IEN T E En la figura 2.18 se muestra a una rec ta & que pasa por el punto P^x, , y,). Si P(x , y) es un punto genérico de X , entonces un vector direccional de dicha recta es a = P - P, = (x - x , , y - y,) Luego , por la Definición 2.2 , la pendiente m de la recta % está dada por y-y.m = x - x, de donde obtenem os , $ : y - y, = m(. - x () (14) Ejemplo 4 J Hallar la ecuación general de la recta que p asa por P 1(1 , -3) y cuyo vector de dirección es a = (5 , 2) Solución. Si hacem os x, = 1 , y, = -3 y m = 2/5 , en la ecuación (14) se tiene y - (-3) = | (x - 1) <=> <£ : 2x - 5y - 17 = 0 ■ I Nota. Si una recta £■ contiene a los puntos P,(x,, y,) y P,(x, , y ,), con x, * x , , entonces la pendiente m de la recta está dada por Si se sustituye esta expresión de m en la ecuación (14) se obtiene la ecuación equi valente } ' y*= ’ x'> (15) Esta e s la ecuación cartesiana de !£ que pasa por dos puntos dados. E je m plo 5 j Hallar la ecuación general de la recta que p asa por los puntos S(-4 , 3) y T(-2 , -1 ) Solución. Si en la ecuación (15) se sustituye x , , y, por las coordenadas del punto S(-4 , 3), y a x, e y, por las coordenadas del punto T(-2 , -1) obtenem os y - 3 =(-~ ~ j ) (x + 4 « , 2 ? : 2 x + y + 5 = 0 ■ Ecuaciones cartesianas de la recta 151 2.8 j F O R M A P E N D IE N T E Y O R D E N A D A A L O R IG E N En la Figura 2.19 se muestra una recta 5?, no vertical que corta al eje Y en el punto T(0 , b) , b e R. El núm ero b se llama la ordenada en el origen de 7'. S i se sustituye a x, por 0 y a y, por b en la ecuación (14) se obtiene V i ¡ W .h ) X S O' V .......... a ■— ■A J y -6 = m (x-0) es [ig : y = mx + b ) (16) Si en la ecuación general Ax + By + C = 0 , B * 0 , se despeja a y en función de x , se obtiene v = - — x - — y B B Si com param os con la ecuación (16) resulta que : m = - A/B y b = - C/B FIGURA 2.19 Ejem plo 6 J Calcular la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación general es <£ : (k - 2 n + 5)x + (2 k + n - 1)y + (3 + n - 2 k) = 0 sabiendo que pasa por S(-1 , 2) e intercepta al eje X en T(3 , 0). Solución. Si S(-l , 2) e á?<=> (k - 2 n + 5) (-1) + (2 k + n - 1) (2) + (3 + n -2 k) = 0 t=>k + 5 n - 4 = 0 (1) y si T(3 , 0) e <B=> (k - 2 n + 5) (3) + (2 k + n - 1) (0) + (3 + n - 2 k) = 0 => k - 5 n + 18 = 0 (2) Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas obtenem os : k = - 7 , n = 11/5 c£ (-7- ^ + 5 ) x + ( - 1 4 + l ) y + (3 + y + 14) = 0 o f£ : x +2y- 3 = 0 Despejando y enfunción de x se tiene : y = -^ x + -y Luego , por simpleinspección : m = - 1/2 y b =3/2 ■ 2.9 J F O R M A A B S C IS A Y O R D E N A D A A L O R IG E N ___________ En la Figura 2.18 se muestra una recta no horizontal, que intercepta al eje X en el punto S(a,0) ,a e R. El número a recibe el nombre de abscisa al origen de £ Si sustituimos las coordenadas de los puntos S(a , 0) y T(0 , b) en la ecuación (15)
- 83. 152 Capítulo 2: Rectas en el plano se obtiene y ' 0 = (¡jT j)(* ' a) ** bx + ay =ab Dividiendo am bos m iembros entre a b resulta Esta es la ecuación abscisa y ordenada al origen de la recta r/'. Eje m p lo 7 ] Hallar la ecuación de la recta cuya a b scisa y ordenada al origen sum an -1 , y que pasa por el punto S(2 , 2) 2 . 1 0 I F O R M A S I M E T R I C A (1) Solución. S e a la recta buscada , 9} : — + = l a b Si S (2 , 2) e 9 <=> -=‘ + _ r = I <=> 2a + 2b =a ba Dado que a +b = -1 , entonces : b = -1 - a (2) Resolviendo (1 ) y (2) obtenem os : a, = -2 , a , = l ; b{= 1 , b, = -2 Por tanto , hay dos soluciones : + -y = 1 ó y + - ^ - = l <=> ,2?,: x - 2y + 2 = 0 ó 22?,: 2x - y - 2 = 0 ■ D ada la ecuación paramétrica vectorial de una recta 9 : P = P ( + ta , i e R las com ponentes h y k del vector de dirección a = (h , k) recibe el nom bre de números directores de 'I'. Si P,(x, , y,) es un punto de 9 , entonces una ecuación paramétrica vectorial de la recta es : <x , y) = <x, ,y,> + t< h , k>, t e R de donde se obtienen las ecuaciones param étricas cartesianas x = x, + Ih , y = y ( + tk despejando t de cada una de estas ecuaciones obtenem os x - x, y - y, (18) La ecuación (18) recibe el nombre de forma simétrica de la ecuación de una recta. Ecuaciones cartesianas de la recta 153 Ejem plo 8 J Hallar la ecuación de la recta 9-, en su forma simétrica que pasa por los puntos S(-1 , 3) y T (4 , -3) Solución. Un vector de dirección de 9' e s a = S T c=> a = <4 , -3) - (-1 , 3) = (5 , *6) Por lo que el par de núm eros directores son : h = 5 y k = -6 Sustituyendo a x, e y , , en la ecuación (18), por las coordenadas del punto S o T , se tiene: x + 1 _ >’ ~ 3 • x - 4 _ y + 3 5 -6 5 - 6 Se puede verificar que cada una de estas ecuaciones representa a la m ism a recta reduciéndolas a su forma general. ■ | O B S E R V A C IO N E S 2.6 D ada una ecuación general para una recta 9 1se puede escribir una ecuación equivalente en forma simétrica iden tificando un punto P,(x, , y,) que está sobre la gráfica de 9 :A x +B y + C = 0 , y notando que el vector a = <-B , A) es un vector de dirección de lagráfica.Por lotanto, se tiene que la ecuación de á? en forma simétrica es x - x, = y - y , -B A (19) E je m plo 9 J Hallar la ecuación en su forma simétrica que sea equivalente a la ecuación r£ : 2x + 5y -1 0 = 0 Solución. R esolvem os la ecuación 2x + 5y - 10 = 0 asignándole un valor a x , por ejemplo , x = -5 , se obtiene : 2(-5) + 5y - 10 = 0, de donde , y = 4 ; luego P(-5 ,4) e s un punto de la gráfica de la ecuación dada. Com o A = 2 y B = 5 ,e l vector a = (-5 , 2) es un vector de dirección de 9'. Por tanto , la ecuación en su forma simétrica es cp • x + 5 _ y - 4 uj, . $ - 2 | O B S E R V A C IO N 2.7 S e puede emplear los núm eros directores h y k deuna recta 9 para determinar otra formasimétricaenfuncióndelos ángulos directores a y p (Figura 2.20). En efecto , recordem os que la pendiente m = k/h , entonces a se puede determinar a través de la ecuación t 9 « = ! y com o a= (h , k) = (-B , A) es el vector de dirección de la recta 9': Ax + By + C = 0,
- 84. 154 Capítulo 2: Redas en el plano entonces si B * 0 , el ángulo de dirección a está dado por T g a = - - § - , 0 ° < a < 1 8 0 ° B Si en la ecuación (14) sustituimos m = T q a = ^ en “ s C o s a tendremos y - y , = Ü ^ < *-*,>C o s a Pero com o p = 90 - a «=> C o s p = C o s (90 - a) = S e n a Por lo que : C o s p y ' y ’ = c ^ ( x - x ' ) ~ 9 : X - X,________ y - y. C o s a C o s p (20) Ejemplo 10 ^ Hallar la ecuación simétrica de la recta que pasa por S(-5 , 3), y cuyo ángulo de dirección a se a 60°. Solución. Si a = 60° => p = 30°, luego , los co se n o s directores de la recta 7' son: C o s a = 1/2 y C o s p = V3/2 Por lo tanto , si sustituimos las coordenadas de S en la ecuación (20) obtendremos <j? : x± 5 = y i 3 . m 1/2 V3/2 ----{ M IS C E L A N E A DE E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S ) — Ejemplo 1 J D ados los puntos P ,(-2 , 3) y la recta 2?: 3 x - 4y + 8 = 0 , hallar a) El punto P que es la intersección de ^ c o n la recta que p asa por P, y es perpendicular a 2'. b) El punto P2tal que el punto P divide al segmento orientado P,P, en la razón r = 3/2. Solución, a) S e a <2?, la recta que pasa por P, y es perpendicular a 7'. S i n = <3 , -4) e s la normal a íC, entonces n, = (4 , 3) es la normal a 7 , por lo que su ecuación general lo obtenem os a partir de la ecuación (10) , esto e s : P * n , = P, * n, => (x , y> •(4 , 3) = (-2 , 3) •<4 , 3) <=> 4x + 3y = -8 + 9 <=> : 4x + 3y - l = 0 $ D 7 = (3x - 4y + 8 = 0) fl (4x + 3y - l = 0) = P(4 , 5) Miscelánea de ejemplos ilustrativos 155 b) Si = — = | ^ p = (— 0— ) P, + ( - H L _ ) p. (Ec. (5)) ' p p , n 2 'm + n ' 1 'm + n ' 2 = > < 4 . 5 > - ( j | i )<-2,3> + (t | i ) P , de donde obtenem os P, = (8 , 19/3) <=> P ,(8 , 19/3) Ejemplo 2 J C alcular el área del triángulo form ado por la mediatriz del segm ento A B = {<-1 , -1) + r <6 , -4) , r [0 , 1]} y los ejes coordenados. Solución. El punto de paso de la mediatriz es el punto medio del segm ento A B , esto e s : M = (-1 , -1) + y (6 , -4) = (2 ,-3) Un vector paralelo a la mediatriz es (6 , -4y- = 2 (2, 3), luego su ecuación vectorial es, SP : P = <2, -3> + 1(2 , 3>, t € R => & : (x , y> = <2 , 2 t , -3 + 3t> La abscisa en el origen lo obtenem os haciendo -3 + 3 1= 0 « t = 1 Entonces , para este valor de t : a = 2 + 2(1) = 4 La ordenada en el origen lo obtenem os haciendo : 2 + 2t = 0 <=> t = -l c=> b = -3 + 3 (-l) = -6 Por lo tanto , si S = a (A A B C ) = 4 -ab <=> S = (4) (-6) | = 12 u2 ■ 1 Ejemplo 3 ] Em plee el método expuesto en el Ejemplo 5 de la Sección 2.4 para calcular las coordenadas de los vértices del triángulo cuyos lados tienen los puntos m edios R(-3 , 1) , S(2 , 3) y T(1 , -1). Solución. Recuerde que el segm ento cuyos extremos son los puntos m edios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado del triángulo , y que su longitud e s la mitad de la longitud del tercer lado. Luego , si T S = S - T = <2 , 3) - (1 , -1> = (1 , 4) un vector unitario en la dirección de T S es = T S (» .4) TS llT S H V 17 y s i A B Ü T S ■=> A B = r ( l ,4) Una recta que contienen a los vértices A y B es S?,: P = R + r u TS = (-3 , l> + r Dado que I r i es la distancia que separa a A de R FIGURA 2.21 (1)
- 85. 156 Capítulo 2: Rectas en el plano y a R de B , y si I r I = 11f s 11 = VT7 o r = ± l7 Ahora , si A y B e 2* , entonces en (1) se tiene : r = -VT7 «=> A = (-3 , 1)-(1 ,4) = <-4,-3) r = V 17 «=> B = <-3, 1>+ (1 ,4) = (-2 ,5) Análogam ente : R T = T - P = <1 , - 1) - (-3 , l) = <4 , -2) y l iR T il = 2^5 Una ecuación de la recta que contiene a los vértices B y C e s á y p = s + t URt = <2,3> + i ( 2 - j ^ ) (2) Si 11 1 = I i R T 11 = 2 5 , entonces en (2) se tiene : t = -2V5 => B = <2 , 3) - 2 <2, -1) = <-2 , 5) t = 25 c=* C = <2 , 3) + 2 (2 , - 1) = <6 , 1) Por lo tanto , los vértices del triángulo son : A(-4 , -3) . B (-2 , 5) y C (6 , 1) ■ C jcm plo 4 ^ Hallar la ecuación general de la recta cuyos puntos equidistan de las rectas paralelas 7 : P = (0 , 1) + t (-2 , -1 ), t e R y ■^2 : (1 . *2) • (P - (0, -5» = 0. Solución. Recuerde que si : y = m x + bt y V : y = m x + b, son dos rectas paralelas, entonces la ecuación de la recta paralela media a y 2?2 está dada p o r , , ^ : y = m x + ±-(bl + ¿O Luego , si : <x , y) = <-2t, I • t> <=> 1 = ;y = y = y x + 1 2?2:<1 ,-2 > .< x ,y ) = (l ,-2 ).(0 ,-5 ) * * x - 2y = 10 .0,: y = | x - 5 Por lo tanto , T '.y = x + { -5) & % : - 2 y -A =0 es la recta cuyos puntos equidistan de las dos rectas dadas. Eje m plo 5 ^ Se a n : 7' la recta con ecuación 2x + y - 4 = 0, P(2 , 0) un punto de 9 y el punto Q ( 7 , -1). Si A y B son puntos de 2?, cada uno de los cuales dista 5 unidades de P , h a lla r: a) La s ecuaciones cartesianas de las rectas A Q y B Q b) El área del triángulo ABQ . Solución. S i V ': 2x + y - 4 = 0 ■=> n = (2 , 1), luego el vector direccional de rl' e s a = (-1 , 2), entonces un vector unitario en dicha dirección e s : <■1 , 2) U = --------- - V5 Miscelánea de ejemplos ilustrativos 157 PA = || PÁ|| u => A = P + | | P A | | u = <2,0> + V 5 ( ^ - ?= ^ ) = <1 t 2) B P = ||B P || u => B = P - 11B P 11 u = < 2 ,0 > -/5 ( ^ ^ ) =<3,-2> *-> i- -2 a) Ecuación cartesiana de A Q : y - 2 = ( ^ t j ) (x • 1) o A Q : x + 2y - 5 = 0 /-1 + 2 Ecuación cartesiana de B Q : y + 2 = ( 7 _y ) (x - 3) b) Á B = B - A = (3 , -2) - (1 , 2) = (2 , -4) <=> Á B l = (4 , 2) B Q = Q - B = <7 , -1) - <3 , *2) = <4 , I) a (A A B Q ) = y B Q • Á B- = y <4 , 1>•<4 , 2> = 9 u2 ■ Eje m p lo 6 J D ados los vértices A (-2 ,4) y B (6 , -2) de un triángulo A B C , y el punto de intersección H(1 , 3) de su s alturas . h alla r: <—> a) La ecuación de la recta A C b) El vértice C Solución, a) S i H B = B - H = <6. -2> - <1 , 3> = 5<1 . -1) <=> n. = (1 , - 1) es un vector normal a la recta A C cuya ecuación cartesiana lo obtenem os a partir d e : P • n, = A •n, <=> <x , y) *<1 , -1) = <-2 , 4>«<1 , -1> 4-> <=> A C : x - y + 6 = 0 b) Á B = B - A = (6 , -2> - <*2 , 4> = 2 <4, -3> =* n, = (4 , -3) es un vector normal a D C Si P •n, = H • n, <=> (x , y) •<4 , -3) = <1 , 3) •<4 , -3> es D .C : 4x - 3y + 5 = 0 A C D D C = { C } => (x - y + 6 = 0) fl (4x - 3y + 5 = 0) = C( 13 , 19) E je m p lo 7 J Se an A(0 , 0), B y C los vértices de un triángulo ; sabiendo que B + C = <23 , 7 ), 11Á B 11 = 5^5 , 11ÁC II = 13 . B C •<3 , *1) = 0 y
- 86. 158 Capítulo 2: Rectas en el plano B C • (O , 1) > O ; hallar la ecuación vectorial de la recta que p asa por C y es perpendicular al lado AB. Solución. Se a n los vértices B(a ,b) y C (x , y) <=> B C = C - B = <x - a , y - b) D ado B C »(3 , - 1) = 0 => 3x - 3a - y +b = 0 (1) a + x = 23 B + C = (23 , 7) <=> { (2) b + y = 7 Com binando las ecuaciones (2) con (1) obte nem os : y = 3x - 31 , b =3a-31 S i 11Á B 11 = 5^5 => a: +b: = 125 <=> a2+ (3a - 31)-’ = 125 = * 5a2- 93a + 418 = 0 <=> a = 11 ó a = 38/5 o b = 2 ó b = -41/5 Si 11Á C 11=13 <=> x2+ y-’ = 169 =* x2+ (3x - 3 I)2= 169 5x2.-93x + 792 = 0 «=> x = 12 ó x = 33/5 <=> y = 5 ó y = - 56/5 Luego , hay d os posibles soluciones : B( 11 , 2) ó B(38/5 , -41/5) C (12 , 5) ó C(33/5 ,-56/5) Com o B C •(0 , 1) > 0 => (x - a , y -£)• (0 ,1) > 0=> y -b >0 <=> y >b S e cum ple sólo para la primera alternativa (5 > 2). En consecuencia B (1 1 , 2) y C( 12 ,5). Si A B = <11 ,2) => A B X = (-2, 11>, por lo que la ecuación vectorial de la recta pedida es i2?:P =<12,5) + t<-2,11), te R ■ Eje m plo 8 J La recta rI : P = (1 , 3) + 1 (2 , -6) forma con los ejes coordena dos un triángulo de área S,. Si7' 2 rr yy forma con los ejes coordenados un triángulo de área S 2 tal que S,/S2 = 4. Hallar la ecuación vectorial de 2?2. Solución. : P = <1 , 3) + t(2 , -6) ■=> (x , y) = (1 + 2 t , 3 - 6t) Intersecciones de rl con los ejes coordenados. C on el eje X : y = 0 <=> 3 - 6 1 = 0 o t = 1/2 «=» x = i +2(1/2) = 2 A(2 , 0) Con el ejeY : x = 0 ■=> I + 2t = 0 <=> t = - 1/2 => y = 3 - 6(-l/2) = 6 <=> B (0 , 6) Miscelánea de ejemplos ilustrativos 159 Luego , S, = a(A A O B ) = (2)(6) = 6u: Com o l i = 4 t=> S , = | ( 6) = 4 4 - Si 5?,: - + Y = 1 s , = 4 Iab - a b * 2 t=> — = — ab <=>ab = 3 ó ab =-3 2 2 (1) Dado que ü.9, 11 í?, => m 2= m, = -3 , y com o m, - - — se sigue que : b = 3a Sustituyendo en (1): 3a2= 3 ó 3a: = -3 a2= 1 ó a : = -l (No existe solución real) <=> a = 1 y 6 = 3 ó a = -l y b =-3 FIGURA2.25 Por lo tanto , existe dos soluciones <2?:P = <1 ,0> + t(l ,-3 ), te R ó X P = <-1, 0) + 1 <1 , -3), t e R Ejemplo 9 ) D ados el circuncentro D (6 , 1) , el ortocentro H ( 3 , -3), el vértice A(8 ,12) y ProyAl.ÁD = r(1 , -7), r > 0 , de un triángulo A B C ; hallar las ecuaciones vectoriales de las rectas que contienen a los lados del triángulo. Solución. La Figura 2.26 muestra al triángulo A B C al circuncentro D (intersección de las mediatrices) y el ortocentro (intersección de las al turas). Á D = D - A = (6 , 1) - (8 , 12) = (-2, -11) S iP ro y A-cÁ D = r ( l , - 7 > , r > 0 => Á C 11<1 , -7> yAM = ProfeAD = )<1. -7>=f o .-7) Dado que A C = 2 A M <=> A C = 3(1 , -7) = (3 , -21) <=> C = A + (3,-21> = (8 , 12)+ (3 ,-2 1) = (11 ,-9) H~A = A - H = < 8 , 1 2 )-(3 ,-3 ) = 5(1 ,3) H C = C - H = <11 , -9) - <3 , -3) = 2 <4 , -3) Por tanto : Á B ± H C = > A B : P = A + rH C 1 <=>A B : P = (8 , 12) + r<3 ,4) , r e R B C 1 H A t=> B C : P = C + s H A 1 <=> B C : P = (11 , -9) + s<-3 ,1), s e R A C : P = A + t(l , -7) <=> A C : P = (8 , 12) + t<l ,-7), te R ■
- 87. 160 Capítulo 2: Rectas en el plano E je m plo 1 0 ^ En un triángulo A B C , el lado B C mide 5 T o ; la mediatriz del lado A B corta a A C en el punto E(-3, -5) y a laprolongación de B C en D(-15 , -21). Si C es punto medio de B D y P ro y ^ D B = 6(3 , 4 ), a) hallar los vértices del triángulo A B C , b) hallar la ecuación general de la recta 5? que pasa por E y es ortogonal a B C (la abscisa de A es positiva). Solución. La Figura 2.27 muestra al A A B C , junto con la mediatriz D M y el vértice A con abscisa positiva. Luego , si P ro y ^ D B = D M = 6 <3 , 4) ^ 11D M 11 = 6/3: + 4- = 30 C es punto medio de D B => 11D B 11 = 2(57o) = 10V7Ó En el triángulo rectángulo B M D se tiene : I fM B 111 = 11D B 11 - 11 D M 11- = ( ÍOVTÓ)*’ - (30)- = 100 => llM B lI = 11Á M || = 10 D É = E - D = (-3 , -5) - (-15 , -21) = 4<3 , 4) Un vector unitario en la dirección de D E es D É u = — — — = 11 D E II 5 5 a) Cálculo de los vértices del triángulo A B C D M = 11 D M || u <=> M = D + 11 D M 11 u = (-!5 ,-2 1 ) + 3 0 ( ^ - ^ ) = (3 , 3) M B = 11M B 11 ir1 c=> B = M + 11M B 11 u1 = (3 , 3) + 10 = (-5 , 9) Á M = 11Á M 11 ux <=* A = M - 11Á M 11 ux = (3 , 3) - 10 ( ^ - ^ ) = <11 ,-3) D B = B - D = ( - 5 , 9 )-(-1 5 ,-2 1 ) = 10(1 ,3) Un vector unitario en la dirección de D B es : u = — ¡ ü — _ _ _ ' Il D B II Luego , si C B = 11C B I u, C = B - 11C B 11 u, (I ,3) V5 = (-5 , 9) - 5VÎÔ = (-10 ,-6) VIO Por lo tanto , los vértices del triángulo son : A ( 1 1 , -3), B (-5 , 9) y C (-10 , -6) b) El vector normal a la recta W es paralelo a D B , esto e s , si n = (1 ,3),entonces su ecuación normal es : P •n = E • n c * (x , y ). (1 , 3) = (-3 ,-5 )-(1 , 3) de donde obtenem os la forma general 2? : x + 3 y + 1 8 = 0 ■ Miscelánea de ejemplos ilustrativos 161 Ejemplo 1 1 J Hallar la ecuación de la recta de pendiente entera nega- tiva que no p a sa por el tercer cuadrante. Si 2?, X J? 3 en A , fl = B , = C , la abscisa de A es 3 , .5?,: 3x - y - 5 = 0 , 11B C 11 = 5T o y el área del triángulo A B C e s 60 u2. Solución. Si X en A <=> A e <l y si 2?,: 3x - y - 5 = 0 y A(3 , y ) , entonces 3(3) - y - 5 = 0 <=> y = 4 , luego A(3 ,4) Sean a = 11 B C 11 = 5nTo ,6=11 ÁC11 y c = 11ÁB11 a (AABC) = 60 u: ■=> i- be = 60 <=> be = 120 (1) Por el Teorema de Pitágoras a2=b2+c2 «=> b2+ c2=250 ’ (2) Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas obtenem os b = 3VÍÓ ó b = 4 VTo =* c = 4V io ó c = 3 vTo El vector normal a la recta ÍL'Xe s n = (3 , - 1), i=> u = e s un vector unitario en la dirección VIO deAB. Cálculo de los vértices B y C con b = 3V10 y c = 4V Í0 Á B = 11Á B 11 u => B = A + c u = (3 ,4 ) + 4 7 o ( ^ p ) => B = (15 ,0) Á C = ||ÁC||u1 => C = A + ¿i/L = (3 ,4 ) + 3V ÍÓ ( ^ = = p ) *=> C = <6 , 13) Pendiente de : m ,= = ‘ V € Z Por la condición del problema se descarta esta solución. Cálculo de los vértices B y C con b = 4V10 y c = 3V10 Á B = 11Á B 11u => B = A + c u = (3 ,4 ) + 3 > f í Ó ( ^ p ) c=> B = (12 , 1) Á C = ||ÁC|| => C = A + í»aJ-= (3 ,4 ) + 4VÍÓ ( ^ = ^ ) => C = (7, 16) Pendiente de al recta (J : m, = ^ * = - 3 e Z ' <=> n, = (3 , 1) Por lo tanto , la ecuación general de la recta r£ , lo obtenem os a partir de P • n 2= B • n, => ( x , y > - ( 3 , 1) = <12, l) - ( 3 , 1) <=> 5?,: 3x + y - 37 = 0 ■
- 88. Capítulo 2: Rectas en el plano EJER C IC IO S: Grupo 18 1 . Hallar los valores de k para que la recta fl?: (4 ,1) • [P - ( , 4)] = 0 , forme con los ejes coordenados un triángulo de área S = 8 u2. 2. Em plee el método expuesto en el Ejemplo 5 de la Sección 2.4 para calcular las coordenadas de los vértices del triángulo cuyos lados tienen los puntos me dios R(0 , 5), S(2 , 3) y T(-3 , -3). 3. Calcular el área del triángulo formado por la mediatriz del segm ento A B = {<-1 , 3) + r <6 , -2), r e [0 , 1j } y los ejes coordenados. 4. C alcular el área del triángulo O A Q si 11 O A 11 = 5 , : P = r <4 , 3 > , r e R , 7'2: Q = (2 , 5) + s (4 , 3), s e R ; donde O es el origen de coordenadas . A y Q puntos del primer cuadrante sobre las rectas y respectivamente. 5. D a d o s los puntos m edios de los lados de un triángulo : R (2 , 1 ) , S (5 , 3) y T(3 , -4) , hallar las ecuaciones cartesianas de su s lados. 6. Se a el triángulo A B C , donde el lado A C mide 3 1 0 unidades y se encuentra sobre la recta rI ‘ : x + 3y + 2 = 0 . S i el ortocentro del triángulo es H(3 , 5) y ProyA0BH = ^ (7 , 1), hallar los vértices del triángulo. 7. A , B y C son vértices de un triángulo de área 16 u2. A(-2 , -1), B(5 , 2) y C está sobre la recta r£ y: (1 ,1 ) • [ P - <2 , 1)] = 0. Hallar el vértice C. 8. D ados los vértices de un triángulo A (1 , -1 ), B (-2 , 1 ) y C(3 , 5), hallar la ecuación vectorial de la perpendicular bajada desde el vértice A a la m ediana , trazada desde el vértice B. 9. D ados dos vértices de un triángulo A(-10 , 2) y B (6 , 4 ), cuyas alturas se cortan en el punto H(5 , 2 ), hallar: a) La ecuación de la recta A C , b) El vértice C. 10. El área de un triángulo es S = 4 u2 ; dos de su s vértices son los puntos A(2 . 1) y B ( 3 , -2), el tercer vértice C está situado en el eje X. Hallar la ecuación normal de la mediana que pasa por C. 11. El área de un triángulo es S = 8 u2 , dos de su s vértices son los puntos A(1 , -2). B(2 . 3) y el tercer vértice C , de ordenada positiva , está en la recta 7 : 2x + y - 2 = 0. Hallar la ecuación vectorial de la recta que por C y es perpendicular a la recta 7. 12 . Se a n las rectas 7 - {(x , y) e R-|2x - y = 5} y 7'2= {C + t <11 , 2)} ; A(9 , 13) e fJ , C(25 , -3) y el punto B e 7 D 7'2. Hallar la ecuación vectorial de la recta 7 que contiene a la bisectriz del ángulo A B C n p u c n c i o n » D E ( f l R E C T A 2 A ) D IST A N C IA DE UN PUNTO A U N A RECT A DADA D ada la recta cuyo vector de direc ción es a , y dadas las coordenadas de P y de algún punto P, sobre S£, entonces la distancia de P a la recta J2?, denotada por d[P , 3 !), e s la norma de la proyección del vector P - P, en la dirección de la normal n. (Figura 3.1) Esto e s : d{P ,£ ) = II Proyn(P - P.) 11 = I C om pn(P - P,) I d{P , SB) = I(P - P,) • n I (1) yj — ^ kn _X) / oc FIGURA 3.1 La distancia que separa a P de 7' no depende de la elección de un punto particular P, de 5?. En efecto , tom em os dos puntos P, y P, sobre SB. En la Figura 3.2 se observa que P - P 1= (PI - P I) + ( P .P 2) Multiplicando escalarmente am bos m iem bros por n se tiene : (P - P,) • n = (P, - P,) • n + (P - P2) • n = 0 + (P - Pj) • n . (P -P .)-n (P - P2) * n llnll FIGURA 3.2
- 89. 164 Capítulo 3: Rectas en el plano Ejemplo 1 ) Hallar la distancia que separa al punto P(4 , -2) de la recta $ que pasa por T(5 , -3) y cuya pendiente e s 1/2. Solución. Si m = 1/2 ■=> a = <2 , 1) es el vector direccional de 2?, y n = a1 = <-I , 2) es su normal. El vector que va de P a T es : PT = <5 , -3) - (4 , -2) = <1 , - 1) Luego , por la fórmula (1): |(1,-1>«(-1,2>| _ I -1 - 2 1 _ 3 - V5 d (P , £) = 11<-1 , 2) 11 V5 i Nota. Para hallar una fórmula que permita calcular la d(P , 7) cuando la ecuación de 2 está dada en la forma general Ax + Bx + C = 0 , se procede de la siguiente manera. Sup ongam os que P(x0, y0) y P ,(x,, y,) => P - P, = <x0- x, , y0- y,>, y n = <A , B). Si sustituimos las com ponentes de estos vectores en la fórmula (1) se tiene : ,kp o> = U xq -x, ,y 0- y , ) - { A , B)| = l A x 0- Ax, + B y 0- By, l A : + B 2 VA 2+ B 2 I A x 0 + B y0 - (Ax, + By,) I VA2+ B 2 Com o P,(x, ,y ,)€ 5? ■=> Ax, + By, + C = 0 <=> C = - (Ax, + By,) d(P,SB) = A x 0+ B y n + C V A 2+ B : (2) Ejemplo 2 ) Hallar la distancia del punto P(-2 , 5) a la recta r£ :5x - 12y - 8 = 0 Solución. Dado que A = 5 , B = -12 y x0= - 2 , y n= 5 , haciendo uso de la fórmula (2) tendremos : //(p _ l 5(-2) - 12(5) - 8 1 _ 1 -1 0 -6 0 -8 1 u V(5)2+ (-12)2 13 Ejemplo 3 J Hallar el valor de k tal que el puntoP(2 , k) se a equidistan te de las rectas cu y a s e cu a cio n e s so n á?, : x + y - 2 = 0 y 3% : x - 7y + 2 = 0 Solución. S e debe verificar que d (P , #',) = d[P , .5?,) Entonces , por la fórmula (2) se sigue que : Sección 3.1: Distancia de un punto a una recta dada 165 12 + k - 2| _ |2 - 7k + 2 I I k | _ 14 - 7k <=> V l T l V T + 4 9 V2 5Í2 => 5 1k I = 14 - 7k I <=> k = 1/3 ó k = 2 Ejemplo 4 ] Obtener las ecuaciones de las rectas que sonparalelas a la recta r£ : 3x - 4y + 10 = 0 y que están a 5 unidades de .2?. Solución. El problema se puede resolver por dos m étodos Método 1. Por familia de rectas paralelas, que en este caso tienen la forma ¿ : 3 x - 4 y + k = 0 (1) Como todos los puntos de Sí' equidistan de t , podem os elegir un punto cualquiera de 2?, dando una solución para 3x - 4y + 10 = 0. Por ejemplo , para x = 2 i=> 3(2) - 4 y + 1 0 = 0<=> y = 4; luego P(2 , 4) e í£ Entonces , si d(P , 2?) = 5 <=> ■ t ^ ^ = 5 de donde obtenem os : I k - i o l = 2 5 <=> k = 35 ó k = -15 que sustituidas en (1 ) obtenem os las ecuaciones buscadas , esto es f : 3x - 4y + 35 = 0 ó ( : 3x - 4y - 15 = 0 Método 2. E s el método directo , que consiste en lo siguiente : D adas dos rectas paralelas : A x + By + C, = 0 y SC : A x + By + C, = 0 d ( 7 , = 1 C ,_ C :i V A 2+ B1 (3) L u e g o , si S£: 3x - 4y + 10 = 0 y t. : 3x - 4y + k = 0 son d os rectas paralelas , entonces por la fórmula (3) : ^k ~ 10* = 5 c=> | k - 1 0 1 = 2 5 <=* k = 35 ó k = -15 V32+ 42 f : 3 x - 4 y + 35 = 0 ó / : 3 x - 4 y - 15 = 0 ■ Ejemplo 5 ) Los puntos A ( x , , y,) y B (x2 , y 2) sobre la recta r£ : 5x - 12y + 15 = 0 , distan 3 unidades de la recta : (3 ,4 ) • [ (x , y) - < 0 ,3 ) ] = 0 . Hallar el valor de x, + x2 Solución. En r£ xse tiene : n = <3 ,4) y P ,(0, 3). Si P(x , y) e S£ <=> d(P, c£ ) = 3 0 s e a : l i P l P . ) : ni . 3 ^ l ( x . y - 3 ) - < 3 . 4 ) | . 3 11 n I V á Ñ T 2
- 90. 166 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta de donde obtenem os : 13x + 4y - 1 2 1 = 15 <=> 3x + 4y - 12 = 15 ó 3x + 4y - 12 = -15 o 3 x |+ 4 y , = 27 ó3 x ,+ 4y, = -3 (1) Com o A , B e '21 ■=*5x, - 12y, = -15 ó 5 x ,-1 2 y 2= -15 (2) Eliminando y, ey, del sistem a de ecuaciones (1) y (2) obtenem os x, = 33/7 y x, = - 12/7 => x, + x 2= 3 M E je m plo 6 ] Hallar el perímetro del triángulo equilátero A B C , si A(-1 , 3) sabiendo que el lado B C está contenido en la recta 2 ?= {(-2 ,-4 > + t ( 4 , 3 ) | t e R } Solución. En un triángulo equilátero Perímetro del A A B C : 2 p = 3 P. <=> 2 p = 2V3h (1) h - w . j ) - l< A ' P il ; n l IIn II S í A = (-1 , 3>, P, = <-2, -4) y n = <4,3>± = <-3,4> ^ h . K l . 7 ) - ( - 3 . 4 > j =5 V(-3)2 + 4* Por tanto , en (1), el perímetro es : 2 p = 10 V3 ■ Eje m p lo 7 J Las rectas y 2'2son paralelas , siendo a el ángulo de incli nación. S i p asa por P,(a , b) y p asa por P2(h , k ) , hallar la distancia entre las rectas en términos de a y los puntos dados , si Solución. La pendiente de am bas rectas es m = Tg a = | ® í i a a C o s a L u e g o ,si a = ( C o s a . S e n a ) e s el ve c to r direccional , e ntonces el vector norm al e s n = (-Sen a , C o s a). El vector que va de P, a P, e s V = P J- P 1 = ( h - a , k - ¿ ) Por lo que : d(HP , =I Com p V I = -,7- - d( CI , á?,) = I (h - a , k - b) •(-Sen a , C o s a) I 'S e n :a + Cos-'a d( 5?, , 2>,) = I (a - h) Se n a + (k - b) C o s a I FIGURA 3.4 Sección 3.1: Distancia de un punto a una recta dada 167 Ejem plo 8 J Hallar el punto simétrico al punto Q(-2 , -9) respecto de la recta f£ : P = (4 , 6) + 1(5 ,.-2), t e R Solución. De la ecuación de la recta T se tiene : P ,(4 , 6) y a = (5 , -2). Un vector unitario en la dirección de la normal n = a 1 = (2 , 5) es : n (2 ,5 ) u = Il n II V29 Si V = QP, ==> V = (4 , 6) - (-2 , -9) = 3 (2 , 5> «=> d(Q , &) = = |3(2 ’ "--Z i =^-— = 3V29 11n 11 V29 QP = P - Q c=* P = Q + Q P = Q + 2d{Q , 2') u P = <-2,-9> + 6 V 2 9 ( - ^ = ¿ ) = (10,21> Por lo tanto , el punto buscado e s P(10 , 21) ■ FIGURA 3.5 Ejem plo 9 ^ D a d a la recta X : P = (-4 , -10) + t (5 , 12), t 6 R , y el punto A ( 7 + 12 n3 , 1 6 ' ) , hallar dos puntos B y C sobre í ? , que que unidos con A formen un triángulo equilátero. Calcular el área de dicho triángulo. Solución. Si a = (5 , 12) es el vector direccional de X , entonces n = (-I2 , 5) es el vector normal y si P, (-4 , -10) es el punto de p aso , su ecuación general lo obtenem os de P •n = P, • n <=> (x ,y> . (-12, 5) = (-4 ,-10). (-12,5) <=> 5?: 1 2 x - 5 y - 2 = 0 La altura del triángulo es : h = d(A , 2') 16(7 + 12V3)- y (16 - 5 V 3 )- 2| _ o V 3 h _ V(12)~+(-5y ~ ~ 2 ~ y com o: h = => / = 1 3 Un vector unitario en la dirección de 2' e s : u = — (5, 12) 13 Luego: A H = ||A H II ir1 c=> H = A + h u x = A + ( 1 ^ 5 ) = ( j , 8> H C = 11 H C llu <=> C = H + (-y) “ = < T . 8> + ( y ) ^ - j T ^ = <6 • l4>
- 91. 168 Capítulo 3: Aplicaciones Je la recta BH = llBHl|U « B = H - ( | ) U = < ^ . 8 > - 0 < ^ > = O,2> El área del triángulo equilátero e s : S = •—~ = -- 1 u: ■ 4 4 Ejemplo 10 ^ Se a P un punto que divide al segm ento A B en la razón (-3 ): 1, donde A(3 , 2) y B(9 , 6). Si por P pasa una recta 7 , con pendiente 3/2 , otra recta 7 pasa por A , tal que d{C , 7 ) = 1 0 i3 ; donde 7 es la recta que contiene al segm ento Á B y { C } = ( 7 n 7). Hallar a) El punto C ; b) Las ecuaciones vectoriales de 7‘ v 7'1 J 2 Solución. Dado que |i-l |> j , el punto P está m ás cerca de B , luego s i : P = (ñ T T T í)A + ( l í r í T ¡ ) B =* p = - 5 a + 4 b = < '2 .8 > | Entonces la ecuación vectorial de 7 es ^ , = {< 1 2 ,8 )+ 1(1 ,3/2>| te R } de donde obtenem os la ecuación general 7. : 3x - 2y - 20 = 0 S i { C } = 7't n 7 ^ C(x, , y,) e 5?, 3x, - 2y, - 20 = 0 (1 ) Com o 7 contiene al segm ento A B , su ecua ción cartesiana es : y - 2 = ( | ^ ) ( x - 3 ) «=> y ' : 2x - 3y = 0 Si d (C , SP) = 10 V Í3 «=> -2X|l j yi = 10VT3 V I3 c=> 2x, + 3 y ,= 130 (2) a)Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas obte nem os : C(-40 , -70) b) C A = A - C = (3 , 2) - (-40 , -70) = (43 , 72) 2?, = {(3 , 2) + s (43 , 72) Is e R } ■ Ejem plo 1 1 J Se a el cuadrado A B C D ; si los vértices A y D pertenecen a la recta 7' : P = (5 . -4) + t <3 , 1) . t € R y B (-1 , 4) , hallar las coordenadas de los otros vértices. S e sabe adem ás que : xA < xD y xc < xD. Solución. La Figura 3.8 muestra la gráfica de la recta 7 y del cuadrado según las FIGURA 3.7 Sección 3.1: Distancia de un punto a una recta dada 169 FIGURA 3.8 condiciones dadas. Si a = (3 , 1) es el vector direccional de 7', entonces el vector normal es n= (-1 ,3) Sea V = P p = (-1 , 4) - (5 , -4) = (-6 , 8) La magnitud del lado del cuadrado es la distan cia del punto B a la recta 7'. í = d (B . * o = - ^ t t = l<' c’. ; 8>" = 3 ^ II n lt II (-1 ,3) 11 (3 1) Un vector unitario en la dirección de a es u = V 10 Luego : Á B = 11Á B 11u 1 A = B - 3 VTo ( ^ U ^ ) = (-1 ,4) - (-3 , 9) ■=> A (2 ,-5) 'V I O 7 Á D = 11Á D 11u =* D = A + 3 T Ó ( ^ = U ) = ( 2 , - 5 ) + (9, 3) => D (ll ,-2) ' 10 ’ B C = 11 B C 11u co C = B + 3 VTÓ ( % = ^ ) = (-1 ,4) + (9 , 3) «=* C (8 , 7) vlO Eje m p lo 1 2 ^ U na persona tiene que ir desd e un punto A(1 , 5) hasta un punto B (11 ,5 ) pero pasandopor un río para sacaragua. Si la orilla delrío se encuentra en la recta 2?: P = (-2 ,4 ) + 1(2, -1), t e R ; ubicar unpunto T en la orilla del río de modo que dicha persona recorra la mínima distancia. Solución. C om o los puntos A y B están situados a un m ism o lado de la recta 7 . se halla el punto B ’ , simétrico de B respecto de la recta 7'. E s evidente que la sum a ÁT + Í B = AT + f B ’ es mínima . donde T e (7 fi A B ’) La ecuación cartesiana de la recta dada es 5?: x + 2y - 6 = 0 => n = (1 , 2) Un vector unitario en la dirección de n es n (1 , 2) 11 n 11 V5 a | . ( l l ) + 2 ( 5 ) - 6 j = J 5 = 3 ^ l + 4 V5 Si eT b = B - B ’ c=> B ' = B - ETB = B - 11 Bl3 11u
- 92. 170 Capitulo 3: Aplicaciones de la recta «=» B ’= <11 , 5) - 2 (3V5) = <5 , -7) 5 Ecuación cartesiana de A B ’ : y - 5 = - 1) <=> Á B ’ : 3x + y - 8 = 0 (x + 2y - 6 = 0) D (3x + y - 8 = 0 ) = T (2 , 2) ■ EJER C IC IO S: Grupo 19 1. D esde el punto P (1 ,2 ) se trazan dos lados de un triángulo equilátero cuya base se halla en la recta V - {<0 , 1> + 1<-3 , 1>| te R }. Hallar el perímetro de dicho triángulo. 2. Si 2?, : 2 x - 5 y + 7 = 0 , 0 2 : P = <1 ,3> + t<-1 ,4 ), te R , Z'3= {P I<x - 2 , y + 1>* <-3 , 1) = 0} y si d, =d{O , 7) ,d 2=d(O . 7 2) y d3=d (0 , 7' 3) , hallar el valor de 3. Hallar el valor de k tal que el punto P(k , 4) se a equidistante de las rectas : 13x - 9y - 10 = 0 y : x + 3y - 6 = 0 4. La distancia del punto P(7 , 1) a la recta <B= {<2 , 1> + 1 a I te R } e s 2. Hallar la pendiente de .5?, sabiendo que es positiva. 5. S e a k un número real diferente de cero , P,(2 , 1) un punto y 5?,: k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 , x - 2ky + 7 = 0 , rectas ortogonales. Hallar </(P,. ^ M í p , , * , ) . 6. Se a n las rectas rJ : 2x + 3y + 4 = 0 y 7 Z : 3x + 4y - 6 = 0. Hallar los puntos de 7‘ que distan 2 unidades de c£ 2. 7. Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a <J.’ : <3 , 4) • [P - <3 , -1>] = 0 , distantes 2 unidades de ésta. 8. Hallar el simétrico del punto Q(4 , 8) con respecto de la recta 7 ' : x - y +2 = 0 9. S e a A B C un triángulo isósceles de lados iguales A C y BC. Si A(5 , 2 ), B(13 , 8), 2’ = {P, + t a 11 e R } contiene a los puntos m edios de los lados A C y B C , 11 A C I i = 5 5 ; hallar la distancia de P,(-12 , -9/2) a la recta que contiene al lado B C del triángulo. 10. D e sd e el punto A(2 , -3) se traza una perpendicular a la recta 7 ' : 3x - 4y = 0. A qué distancia se halla dicha perpendicular del punto P (6 , 5). 11. Dem ostrar que la distancia entre las rectas paralelas 7 : A x + B y + C, = 0 y Sección 3.2: Intersección de rectas 171 7 2 : A x + B y + C = 0 e s ; 12. Hallar los valores de k de modo tal que la distancia del punto P(-3 , 2) a la recta 7' 5x - 12y + 3 + k = 0 sea igual a 4 unidades. 13. Hallar la ecuación vectorial de la recta 7 cuyos puntos se encuentran a un tercio de la distancia entre las rectas : 2 x - y + 9 = 0 y 72 2x - y + 3 = 0 , si la distancia es medida desde la recta 7', . 14. Hallar dos puntos A y B de la recta 7 x + y -8 = 0, tales que si C (6 + 3'3,2 + 33), el triángulo A B C resulta equilátero , y encontrar su área. 15. S e a el cuadrado A B C D , donde B y C pertenecen a la recta 7 : <-3 , 4) • [P - <3 , 9>1 = 0 y A(2 . 2). Hallar las coordenadas de los otros vértices si se sabe adem ás que xc < xB y xB < xA. 16. Jaimito tiene que ir desde un punto A(1 , 6) hasta el punto B(5 , 10) pero pasando por el río que se halla en la recta 7': P = <1 ,2) + 1(3 ,1 >, t e R ; ubicar un punto T en la orilla del río de m anera que Jaimito recorra la mínima distan cia. 17. Las rectas : P = (1 0 ,2 0 ) + 1<1 , a ) , t e R ; # 2 : P <10 , 20) + r (1 , -a ), r € R intersecan al eje X en los puntos A y B respectivamente. Si la distancia entre A y B es 30 , hallar la distancia del punto A a la recta 7 r { 3 . 2 j IN T E R SE C C IO N DE RECTAS Sa b e m o s que si 7 y 7 son dos rectas no paralelas en R : , entonces se intersectan en uno y solamente un punto. En efecto , sean las rectas no paralelas 5?, = {P, + l a !t e R } y 7- {Q, + sbIs e R } Si 7. y 7 no son paralelas implican que a y b no son paralelos. Entonces existen nú meros t y s tales que Q P = Q P + PPi i i O sea P, -Q, = s b+ t a t=> P - 1 a = Q, +s b D * . . » n o ^ U FIGURA 3.10 Por tanto , el punto P = P - i a = Q 1 + sb pertenece tanto a 7 como a 7 , y es el punto de intersección de 7 y 7
- 93. 172 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta E je m plo 1 } Hallar la intersección de las rectas ^ = { { 2 , 1) + t(1 ,-1> It e R f y 5?2= {(-5 ,3 > + s ( 3 , 2 ) | s € R } Solución. Primero verifiquemos que 2>l y r/ no son paralelos Com o(1 , -1 )■*■•(3 , 2) = (1 , l) » ( 3 , 2 ) = 3 + 2 = 5 * 0 => 7 7 < y Luego , 3 l , s e R I P = <2 , 1) + t (1 , 1> = <-5 , 3) + s <3 , 2) (1) O s e a : l<l ,-l> - s < 3 . 2 > = <-7.2> (2) Para elim inar s , tom em os el producto e scalar delaecuación (2) con el vector (3 , 2)1 = (-2 , 3), para obtener 1(1 , - 1) •(-2 , 3) * s (0) = (-7 , 2) •<-2, 3> => t = -4 Sustituyendo en (1): P = (2, 1) - 4 <1 , -1) = (-2 , 5) Para com probar este resultado , elim inem os t , multiplicando escalarm ente la ecuación (2 ) por <1 , - l)1 = <1 , 1) t (0) - s (3 , 2) •(1 , 1) = (-7 , 2) •(1 , 1) s=> s = 1 Luego en (1) : P = (-5 , 3) + <3 , 2) = (-2 , 5) <=> P(-2 , 5 ) e f , n ■ Ejem plo 2 J Hallar la intersección de la recta 7 que p asa por los puntos (3 , 7) y (9 , 10), y la recta 7'2que pasa por (2 , -1 ) y (11 , 8). Solución. Los vectores direccionales de i?, y 7-, son respectivamente a = (9 , 10) - (3 , 7) = (6 , 3)= 3 (2 , I > b = <11 , 8 > -< 2 , -1) = <9 , 9) = 9(1 , 1> Com o (3 , 7) € cl => 5?, = {(3 , 7) + t (2 , 1) 11 6 R (2 , -1) e 5?, {(2 , -I) + s ( l , 1)1 s e R } Dado que 7 y 7 no son paralelos , entonces 3 i , s e R , tales que P = (3 ,7 ) + t(2, I) = (2 , -1) + s (1 , 1) (1) de donde : t (2 , l ) - s (1 , 1) = (-1 , -8) <=> (2 t - s , i - s) = (-1 , -8) Por laigualdad de vectores : 2 1 - s = -1 y t - s = -8 Resolviendo el sistem a obtenem os : t = 7 y s = 15 Finalmente , sustituyendo am bos valores en (1 ) se tiene : P = (3 , 7) + 7(2 , l> = (17, 14) P = (2 , - 1) + 15(1 , 1) = (17 , 14) En consecuencia , P(17 , 14) e 7 C fJ ■ Sección 3.2: Intersección de rectas 173 f Ejem plo 3 ^ Hallar vectorialmente el punto de intersección de las rectas de ecuaciones : x + 3y = 7 y SB2 : 2x + y = -1 Solución. La ecuación vectorial equivalente al sistem a dado es (x + 3y , 2x + y) = (7 , -1) «=> x (1 , 2) + y (3 , 1) = (7 ,-1) (1) Esta ecuación se puede resolver em pleando el método descrito en el Ejemplo 1. Es decir , se elim ina y m ultiplicando a m b o s m iem bros de la ecuación (1) por <3, l)1 = (-l ,3) <=> x (1 , 2) •(-1 , 3) = (7 , -1) •(-1 ,3) x (-1 + 6) = (-7 - 3) <=> x = -2 Ahora , para eliminar x multiplicamos escalarmente (1) por (I , 2)-1 = (-2 , 1) => y (3 , 1) •(-2 , 1) = (7 , - 1) *(-2 , 1) y (-6 + 1) = (-14 - I) <=> y = 3 Por lo tanto , el punto de intersección es P(-2 , 3) ■ i Nota. Los ejemplos anteriores ilustran tres de los muchos métodos que existen para hallar la intersección de dos rectas en el plano. De*aquí en adelante . usaremos el método directo mostrada en el Ejemplo 1. Ejem plo 4 JSi T y es la recta que p asa por A(4 , 2 ) yes perpendicular al vector V = (5 , 3) y 7 2es la recta quepasa por B(-1 , -1) y es paralela a la recta 7 3 : 10x - 6y + 3 = 0 , hallar 7 f) 7'2. Solución. S i í ' , l V = ( 5 t 3) <=> 7 = {(4 , 2> + t(-3 , 5 )11 e R } 7 11 7 <=> m, = m,.= , luego b = (3 , 5) e s el vector direccional de 7., entonces :¡2?, = {(-1 , -1) + r (3 ,5) I r e R } Dado que 7 y7 no son paralelos «=> 3 t , r e R tales que : P = (4, 2> + t (-3 , 5) = (-1 , -1) + r (3 , 5) (1) =* t(-3 , 5) - r(3 , 5) = (-5 - 3) Para eliminar r , multipliquemos escalarmente am bos m iem bros por (3 , 5)x t(-3, 5) .(-5 ,3 ) = (-5, -3) *(-5, 3) <=> t(15 + 15) = (25 -9 ) <=> t = 8/15 Sustituyendoen (1) obtenem os : P = (4 . 2) + (-3 , 5) = /. 7 n 7 : = { P { 12/5, 14/3)} ■
- 94. 174 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta Eje m p lo 5 ) Se a A B = {P e R J|P = <3, -5) + 1<-6, 4 > , t [0 ,1 ]}. Determinar el punto de la recta = {(1 ,-3> + t<-7,2>|te R } que equidiste de los puntos A y B. Solución. Los puntos que equidistan de A y B se encuentran en larecta 7 , , me- diatriz del segm ento AB. Luego , el punto pedido I se halla enla inter sección de 7 con la recta dada SP. El punto medio del segm ento A B es : M = (3 , -5) + (-6 , 4) «=>M (0 , -3) El vector normal al segm ento A B es n = (-6 , 4)1 = (-4 , -6) = -2(2 , 3) Com o el vector direccional de la mediatriz a , es paralelo a n <=>a= <2 , 3) Por lo que , la ecuación vectorial de la mediatriz es 2?l = {<0 ,-3) + s <2 , 3) I s e R} Si I e .7- D <5?, <=> 3 l , s e R , tales que I = <l ,-3 > + « -7 ,2 > = <0,-3> + s<2,3> (1) =* t(-7 , 2) - s (2 , 3) = (-1,0) => t(*7 , 2>- (-3 , 2) = <-1 , 0>- (-3 ,2) t = 3/25 Sustituyendo en (1): i = <i , -3) + J L <-7 t 2) =* I (4/25 , -69/25) ■ C jem plo 6 ) Sean las rectas 7 : P = (1 , 2) + 1(1 . -2), t e R ; T 2 : P = (a ,2a) + s b . s e R . S i ^ 2± 5?,y(5?2n 7) f| (Eje Y) * 0 , hallar tí. Solución. S i =2?, _L 2? => se2: P = (a , 2a) + s<2 , 1>, s e R En 2?,: (x , y) = (l , 2) + t(l , -2) <=> { y l '» - ^ t Si x = 0 <=> l + t = 0 «=> t = -l ; luego , y = 2 - 2(-l) = 4 Por tanto , 7't intercepta al eje Y en el punto P(0 , 4) Dado que , (J2?, f| 2 ) f| (Eje Y ) * 0 <=> P ((), 4) e 7 =0 (0 ,4) = (a , 2a) + s(2 , 1) Multiplicando escalarmente am bos m iem bros de esta ecuación por <2 , I)-1 obten drem os lo deseado , esto es (0 , 4) •(-1 , 2) = (a , 2a) • (-1 , 2), de donde : a = 8/3 ■ E je m plo 7 J En la Figura 3.11 se tiene la recta : x + 2y - 16 = 0 y la recta 7 2 que es perpendicular a 7 y que corta al eje X en el punto A(1 , 0). Hallar el área del triángulo AB C . Sección 3.2: Intersección de rectas 175 Solución. La familia de rectas que son perpen diculares a Z tiene la forma <1,: 2x - y + k = 0 Como A( 1 , 0) 6 <=> 2 (1) - (0) + k = 0 <=> k = -2 7 : 2x - y - 2 = 0 En .7 , si y = 0 <=> x = 16 => C (1 6 ,0) 7, D rS, = (x + 2y = 16) D (2x - y = 2) = B(4 , 6) k t A . r kJ f FIGURA 3.11 Entonces . A B = B - A = (3 , 6) y B C = C - B = (12 , -6) a (A A B C ) = lÁ B - B C M = 1 1(3 , 6>*(6 , I2> = 45 u: Ejem plo 8 J D a d a s las rectas 7 , = {(3 , 6) + 1<1 , 2)! te R y 7 = {(0 ,3) + I s <1 , -1) I s e R }. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por<7 f| 7 y que forma con los ejes coordenados positivos un triángulo de área 4 u2. Solución. S i P, e (2?, D 2 ) «=> 3 1 , s e R , tales que P, = <3 , 6) + t(l , 2) = (0 , 3) + s<l , -1> (1) «=> t(l ,2 > -s< l ,-l> = <-3,-3> c=> t(l , 2) •<1 , 1) = (-3 , -3) •(1 , 1> <=> l = -2 Sustituyendo en (1) se tiene P,(l , 2) Sea la recta buscada , SP: — + — = (2) a b Si P (4 ,2) 6 !?'■=> — + — = 1 <=> 2a + b =ab (3) a b i ’V kY A b Y “ Tí >----------- » xti V J uaao que a ^ A U b ) = 4 ■=> ao = ?> <=> « » = « o uu=-r> FIGURA3.12 Com o a y b son positivos => a b = 8 (4) Resolviendo (3) y (4) obtenem os , a = 2 y b = 4 Luego , en (2): = 1 <=> 7 : 2x + y - 4 = 0 <=> m = -2 Por tanto , haciendo uso de la ecuación (9), 7 : P = (I , 2) + t (1,-2), t e R E je m plo 9 ) Hallar el área del triángulo determinado por las rectas J ? , , 7'2 y 7 , sabiendo que 7 pasa por el punto (1 , 4) y es ortogonal al vector ( 3 , 5 ) ; 72p asa por el punto (6 , 1) y es paralela a la recta 7 ': 5x - 2y = 3 ; 2 3 p asa por el punto (8 , 6) y es perpendicular a una recta de pendiente -7/2.
- 95. 176 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta Solución. Las ecuaciones paramétricas vectoriales de las tres rectas son :p = <1 , 4> + 1<-5 , 3),: P = (6, 1> + r ( 2 , 5), á?,: P = <8 ,6) + s< 7 ,2) Si A g ( cí f| r/) <=> 3 r , t g R , tales que A = (1 ,4) + t (-5 , 3) = (6 , I >+ r <2 , 5) (1) <=> t (-5 , 3) - r(2 , 5) = (5 , -3) ■=* l (-5 , 3> •<3 , 5) = <5 , -3) * ( 3 , 5 ) <=* l = - l Sustituyendo en (1) obtenem os , A(6 , I) Si B € ( í?, D 3 l , s g R , tales que B = <1 . 4) + t (-5 , 3) = (8 , 6) + s (7 , 2) (2) => t <-5 , 3) - s <7 , 2) = (7 , 2) t (-5 , 3) •<-2 , 7) = <7 , 2>•<-2 , 7) c=> t = 0 Sustituyendo en (2) se tiene : B( 1 , 4) S i C g => 3 r , s g R I C = (6 , 1> + r <2 , 5> = <8 , 6> + s(7 , 2> (3) <=> r<2 , 5> - s(7 , 2> = (2 , 5> => r(2 . 5) •<-2 , 7> = (2 , 5>- (-2 , 7> <=> r = 1 Reem plazando en (3) obtenem os : C (8 , 6) Luego,Á B = <1 ,4> - <6 , 1) = (-5 , 3) y Á C = (8 , 6> - (6 , 1> = <2 ,5) a (A A B C ) = 1| Á B •Á C X | = i| <-5 , 3) •<-5 , 2> | = 15.5 u: ■ Ejem plo 1 0 J En el plano , dados los vectores A y B .noparalelos ; sean 7 y d os rectas tales que P Qe 7 , Q 0 g5?2 , A11 <By, B |f , y sea M g (5?, fl 2%). a) Mostrar que : M = Q n + ( ^°P ° * A ) B 0 V B • A - / b) U sando lo anterior, para Ty: 3 x - 2y + 1 = 0 y rí '7que pasa por los puntos (-3 , 2) y ( 2 ,5 ) , hallar 7 n Solución, a) En la Figura 3.14 : Q M | | B c=» Q M = i B <=> M = Q i( + t B (1) En el A M P1(Q (i: Q M = Q_ P ,+ P M Multiplicando escalarm ente am bos extre m os de esta igualdad por A1 se tiene : QjA • A 1 = Q P • A 1 + 0 t B . A 1 = Q P . A 1 «=> l = -Q,,P,> * B • A 1 Luego , en (1) : M = Q + B Sección 3.2: Intersección de rectas 177 b) En á?,, el vector normal es n = <3 , -2) <=* A = n1 = <2 , 3) Si elegim os x0 = I => 3(1) - 2y + 1 = 0 <=> y 0 = 2 <=> P o(l , 2) g 2 En 7': , el vector direccional es B = (2 , 5) - (-3 , 2) = <5 , 3) y Q l((-3 , 2) g S Por lo tanto , en la fórmula obtenida en la parte a ) , tendremos : M = (-3 , 2) + ( 1 ' ;| ) <5 . 3) = (-3 . 2 )4 (^ | ) (5 . 3> = <11/3 , 6> M (1 1/3 ,6) fcjemplo ) Se a n las rectas 7 = {(4 , 5) + 1(-3 , 2) 11 e R y = { ( 5 , 4 ) + s (-2 , 1) I s g R }. Hallar la ecuación general de la recta 7 que pasa por 7 f) ‘J e interseca al eje X en un punto cuya abscisa es igual a dos veces su pendiente. Solución.Si P(x , y) g fl v , => 3 r , s g R , tales que P = (4 , 5) + t (-3 , 2) = (5 , 4) + s (-2 , 1> (1) => l (-3 , 2) - s(-2 , 1> = (1 , -1) =* t (-3 , 2) •(-1 , -2) = <1 , -1) •(-1 , -2) <=> I =-1 Sustituyendo en (1) obtenem os : P = <4 , 5) - (-3 , 2} ■=> P(7 , 3) g 7-, fl fJ La recta ít’ buscada tiene la forma , i ’ : y = m x + f) Com o P(7 , 3 ) g 2' <=> 3 = m (7) + 6 «=>¿> = 3 - 7 m ; luego , ? ': y = m x +3 - 7m Si 2 interseca al eje X en el punto (x0 , 0) <=> 0 = m xn + 3 - 7 m <=> x() = 7 ™ ~ Por la condición del problema ; x(i = 2 m <=> x0 = 7 = 2 m t=> 2 m : - 7 m + 3 = 0 <=> m = 1/2 ó m = 3 Hay soluciones : m = l/ 2 «=> y = y X + 3 - y <=> & : x - 2y -1 = 0 m = 3 => y = 3x + 3 -2 1 <=> ? ? : 3 x - y - 18 = 0 ■ E je m p lo 1 2 J U na de las d ia go n a le s de un rom bo está contenida en la recta ?', = {<k -1 , 5k - 6) + t(k - 3 , 1)11g R } y uno de los lados del m ism o está contenido en la recta 7 = {(-4 k , k - 2) + s(3 k , k + 1)1 s g R }. Si k > 0 y M (3k + 1 , 6k) es el punto de intersección de las diagonales del rombo , hallar los vértices y el área del rombo.
- 96. 17S Capítulo 3: Aplicaciones de ¡a recta Solución. Si P,(k - 1 , 5k - 6) es el punto de p aso y a = (k - 3 , 1) es el vector direccional de 7 , entonces P~M 11 a <=> P (M • a1 = 0 (2k + 2 , k + 6) •(-1 , k - 3) = 0 de donde obtenem os : k-’ + k - 20 = 0 <=> k = 4 ó k = -5 D ado que k > 0 , se elige k = 4 Para este valor de k se tiene : M (13 , 24) f i^ i i r a h í * > { < 3 , 14)+ 1(1 , 1)|te R } , SU, = {(-16 , 2) + s(12 , 5)1 s e R } Si {A } e ^ f l ^ j ^ B t . s e R , tales que A = (3, 14) + t(l , 1) = (-16 , 2) + s (12 , 5) <=> t(l , I ) - s (12 , 5) = (-19 , -12) => t(l . I) •(-5 , 12) = (-1 9,-12 ). (-5 , 12), de donde :t = -7 Sustituyendo en (1): A = (3, 14)-7(1 , 1) => A(-4 , 7) M es punto medio de A C => M = i ( A + C) c = 2 M - A <=> C = (26 , 48) - (-4 , 7) <=> C(30 ,41) Com o r=> ^ , = {(13 , 24) + r(-l , l)| r e R > Si {D } e => 3 s , re R , tales que D = (-1 6 ,2 ) + s (12,5) = (13, 24) + r(-l , 1) «=> s(12 , 5) - r(-l , 1) = (29 , 22) s (12 , 5) •(-1 , -1) = (29 , 22) •(-1 ,-1) s = 3 Reem plazando en (2): D = (-16 , 2) + 3 (12 , 5) ^ D(20 , 17) También : M = -^(B + D) => B = 2 M - D = (26 , 48) - (20 , 17) => B (6 ,3 !) Area del rombo : S = I Á B - B C X | = 1(10 , 24)»(-10 , 24)1 =* S = 4 7 6 u : (1) (2) EJER C IC IO S: Grupo 20 1. Se an 7 y U dos rectas ortogonales tales que 7 p asa por (3 , 2) y (2 , 5) y 72 pasa por (2 , 1). Hallar la intersección de am bas rectas. 2. Se an las rectas 5? : P = <1 ,0 ) + s(2 . 1>, s e R ; &2: P = (a , 2a) + tb , t e R. Si 7 J_ %‘2 y <Byn 7'2H (Eje Y) * 0 , hallar el valor de a. 3. Hallar la ecuación de la recta 7 que p asa por la intersección de las rectas ,J, = i( 3 ,2) •(P - (0,2)) = 0 } , 7‘2 : P = (1 , 0) + 1(6 ,2 ), t e R ,sabiendo que 7 I !i. EJERCICIOS : Grupo 20 4. D adas las rectas SP. : S ^ , 7'2 : (-12 , 3) • (P - (0 , 3)) - 0 y 7'3:^a ,b) + L y = 2 r t i ,t e R. Hallar la ecuación de la recta que pasa por rJ fl &2y sea perpendicular a * , - 5. D ados los vértices consecutivos de un cuadrilátero A(-3 , 1), B(3 , 9) , C(7 , 6) y D(-2 , -6) , hallar el punto de intersección de su s diagonales. 6. Hallar la ecuación vectorial de la recta que p asa por el punto P,(2/5 , 4/5) y por el punto de intersección de las rectas : P = (4 , -3) + t (1 , 2 ), t e R y j5?2 : P = (2 , 1) + r (-3 , 4), r e R. 7. Si SL : (5 , 3 ) * [ P - (0 ,1)] = 0 , hallar la ecuación de la recta 2?, tal que (7 ,0) e 7 y { ( 4 , k ) } 6 ^ n « r 8. Hallar el perímetro del triángulo determinado por las rectas : P = (5 , 4) + 1(-3 , -4), t € R ; 72: Q = (5 , 0) + s(0 , 4), s e R y el eje X. 9. Hallar el punto de la recta 7 : P = (-2 ,0 ) + 1(4 , 3) que está m ás cercano al punto Q ( 3 ,5). 10. Hallar la ecuación normal de la recta 7'2de pendiente entera negativa , que no pase por el tercer cuadrante : sabiendo adem ás que 7 1 2', en A , B e ( D 7), C e (# ', fl 2%) , la a b sc isa de A e s 3 , 7 , : 3x - y - 5 = 0 , !! B C 11 = 5 1 0 y a (A A B C ) = 60 u2. 11. S e a T una recta que p asa por la intersección de : x + 2 y -1 = 0 y 7'2 : 5x - 3y - 18 = 0 , y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 6 u2. Halle la ecuación de 7' en su forma simétrica. 12. S e a A B C D un rombo tal que A(-2 , 1) y la diagonal B D mide 2 l 3 unidades y está contenida en la recta r/ ‘ : 2x - 3y + 6 = 0. H a lla r: a) El área del rombo. b) Las pendientes de las rectas que contienen a los lados del rombo. 13. La recta <£: P = (0 , 3) + 1(2 , 3), t € R contiene a un lado de un paralelogramo, y la recta 7 : P = (0 , 4) + r(1 ,5) contiene a una de su s diagonales. Si el punto A(3 , -3) e s un vértice del paralelogramo , halle la ecuación vectorial de la recta que contiene a la otra diagonal. 14. La distancia que separa a una recta 7 , que p asa por la intersección de 7 1: x - 2y + 3 = 0 y 7j2: x - y - 5 = 0 , del punto Q(1 , 4) es de 4 unidades. Hallar la ecuación de esta recta. (D os soluciones)
- 97. 3 3 J AN G U LO EN T R E DO S R EC T A S ________________________ __________________Capítulo 3: Aplicaciones Je la recia Designem os por 7, la recta con m ayor inclinación a , , y por 7 larecta de menor inclinación a,. Si estas d os rectas se cortan , entonces elángulo 0 entre am bas se define por 0 = a , - a, A sí , la Figura 3.16 , muestra un ca so en que el ángulo 0 de 7 y 7 es agudo , y la Figura 3.17 , un caso en que el ángulo 0 es obtuso. I Nota 1. A la recta de menor inclinación , se le denomina recta inicial porque a partir de ella se mide , en sentido antihorario , el ángulo 0. A la recta de mayor inclinación y , se le llama rectafin a l. por que allí termina la medida del ángulo 9. Si m, y m : son las pendientes de 7 y 7 , entonces por definición m, = Tga, y m, = Tga, En la Figura 3.16 se observa claramente que 0 = a, - a. Aplicando tangentes se tiene Tge = Tg(a, - a,) = T 9a .- ~ T9a , I + Tga, • Tga., T g0 = m. - m 1 + m. • m. (4) Si Tg0 > 0 , entonces 0 es agudo , o se a , 0o < 0 < 90c Tg0 = 0 , entonces 0 = 0o , implica que : 7 11 7 , (m, = m ) Tg0 < 0 , entonces 0 es obtuso , o sea : 9 0 ' < 0 < I80c T g 0 = co , entonces 0 = 90°, implica que 7 1 7 ,, (m • m, = -l) Sección 3.3: Angulo entre Jos rectas 181 I Nota 2.Para aplicar la fórmula (4) y evitar confusiones . es necesariotrazar las gráficas de ¿ÍP, y !?,. Sin embargo , en la Figura 3.17 , se observa que p = ti - 0 Tgp = T g [n - 0) = - T g0 Es d ecir, las tangentes de los ángulos suplementarios que formandosrectas y <j,, son iguales pero difieren en signo. Esta propiedad se puede emplear para hallar el ángulo 0 entre 7 y 7 sin necesidad de trazar su s gráficas , haciendo uso de la fórmula T g 0 = m. - m, m, - m. 1 + m, • m. 1 + m, • m. Ejem plo j Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(2 , -1) y forman cada una un ángulo de 45° con la recta 7‘ : 2x - 3y + 7 = 0. Solución. Se a n m j m , las pendientes de las rectas buscadas. Si 5?: 2x - 3y + 7 = 0 «=> m, = 2/3 Por la fórmula (5): T g 4 5 ° = ' ' a 1 + m • m, Donde m es el valor de m, o el de m, m - 2/3 <=> 12m+31=I3m- 21 FIGURA 3.18 l + (l/3)m <=> m, = -1/2 ó m, = 5 En consecuencia , las ecuaciones requeridas son y + 1 = - j (x - 2) ó y + 1 = 5(x - 2) <=> 7 : x + 5v + 3 = 0 ó 7 : 5x - y - 11 = 0 ■ | O B S E R V A C IO N 3.1 La fórmula (4) nos permite hallar el ángulo agudo o el obtuso entre 7 y y , en términos de su s respectivas pendientes. Análogam ente , si 7 - { P, + i a} y rJ - {P , + s b } , son las ecuaciones vectoriales de dos rectas no verticales , entonces el ángulo formado por 7', y 7', es el ángulo formado por su s vectores de dirección a y b respectivam ente , y se determina mediante la fórmula C o s 0 = lia M N b II (6) Si a • b > 0 <=* C o s 0 > 0 , implica que 0 es agudo a • b < 0 <=> C o s 0 < 0 , implica que 0 es obtuso.
- 98. 182 Capitulo 3: Aplicaciones de la recta I O B S E R V A C IO N 3.2 Si a y b son vectores de igual magnitud, es decir 11a 11 = 11b 11 y a * -b , entonces el vector su m a a + b divide al ángulo 0 form ad' por a y b en dos partes iguales , esto es , a + b sigue la dirección de la bisectriz de a y b. En efecto , por la fórmula (6) a • (a + b) C o s a. = a ¡i lla l !a + b ií + a • b a + b + a • b b 11 I!a + b b • (b + a) = C o sa , II b II lia + b Luego , si C o sa , = C o s a 2 => a, = a, | O B S E R V A C IO N 3.3 Si a y b son vectores no necesariam ente de igual magnitud y no paralelas , entonces el vector sum a u + v sigue la dirección de la bisectriz del ángulo formado por a y b , donde _ _ J L .. _ b a u = y v = son vectores unitarios en las direcciones de a y b respectivamente. EJEM PLOS ILUSTRATIVOS ejemplo 1 J Los vértices de un triángulo son A(9 , 1 2), B(4 , 2) y C(1 , 6). Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo A C B del triángulo. Solución. En el A A C B de la Figura 3.21 se tiene : C B = B - C = (4 ,2 )-(1 ,6) = (3 , -4) C A = A - C = <9 , 12) - <1 ,6) = 2 (4 ,3 ) Sección 3.3: Angulo entre dos rectas 183 Los vectores unitarios en las direcciones de C B y CA son respectivamente : (3 , -4) (4 , 3) u= — y v= Un vector en la dirección de la bisectriz buscada e s a = ti + v = j ( 7 , -1) Por lo que su ecuación vectorial es i2 ?:P = <I ,6> + t < 7 , - l) , t e R ■ E jem plo 2 ^ ) Lo s puntos B(6 , 3) , Q (10 , 6) y R(-6 , 8) son vértices de un triángulo. Determinar la ecuación de la recta 7'que es perpen dicular a la bisectriz del ángulo Q B R y que contiene al punto Q [ • —) —^ Solución. S i B Q = Q - B ■=> B Q = <4, 3) B R = R - B <=> B R = (-12,5) Los vectores unitarios en las direcciones de BQ y B R son , respectivamente u = (4 ,3 ) y v = (-12,5) 5 7 ' 13 Luego ,el vector direccional de la bisectriz 7't (-8 ,6 4) 8 „ o e s: a, = u + v = - ^ ---------( j d . - D Por lo tanto , la ecuación vectorial de la recta 7' 1 íl', es <I’ P = Q + tal1 , t e R o V : P = <10 , 6> + 1 (8, 1), t e R E je m p lo ^ 5 } Dem ostrar que si las rectas paralelas S. y 7'2son intercepta das por una secante 7', entonces los ángulos alternos inter nos son congruentes. Demostración. Probarem os que u = {5 En efecto, supongam os que los vectores de dirección de 7', 7 y 7 son respecti vamente . a , a ( y a. || Sí => a, = ra, (r > 0) Dado que a e s el ángulo formado por a y a ,
- 99. 184 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta ■=> C o s a = a •a a • (ra,) a ll r ila , a •a. lia II lia, II Se a p el ángulo formado por los vectores -a y -a, ^ C o s p . ± a> - <'a=> - a ' a-’ a I Ma. Il Ila li lla . . p = a = C o s a E je m p lo 4 ^ Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos for m ados por las rectas7. : x+ y - 3 = 0 yrí ' 2 :2x - y + 6 = 0 , y dem ostrar que son perpendiculares. Solución. S e a rl D 7 = IQ (-I ,4)} Si n, = <1, l> <=> a, = <-1 , l> n, = (2 , -1) <=> a, = <1 , 2) Entonces , los vectores unitarios en las direcciones de 7 y !/', son respectivamente -------- -ñ v v ' <5 Luego , los vectores que siguen las direcciones de las bisectrices son a, = u + v = -J=r(V2 - yÍ5 , 5 + 2Í2> , a = u - v = - 4 = <-V2 - V5 , V5 - 2¡2) V io . nT ó Por lo tanto , si 2!y : P = Q + ta, <=> 7 : P = (-! , 4) + t(V2 - 5 , 5 + 2^2), t e R 7>i : P = Q + sa 4 <=> 5?4 : P = (-1 ,4) + s(*V2 - V5 , V5 - 2'fr) , s e R son las ecuaciones vectoriales de las dos bisectrices. Para dem ostrar que son perpendiculares , bastará probar que a, • a4 = 0 En efecto : a, ■ a 4= <V2 - V5 , V5 + 2 6) •<-V2 - V5 , VB - 2 V2) = -(2 - 5) + (5 - 8) = 3 - 3 = 0 «=> (1 ,2 ) Eje m p lo 5 j Hallar la ecuación de la recta de pendiente negativa que pasa por el punto Q(2 , 1) y forma con el eje Y un ángulo que sea el doble del ángulo formado por la recta 7 3x - 4y - 12 = 0 y el eje X. Solución. Si m. = T g a = 3/4 <=s- C o s a = 4/5 y com o C o s 2a = 2 C o s’a - 1 Sección 3.3: Angulo entre dos rectas 185 ~ C o s 2 a = 2 ( i f ) . ! = ¿ Sea u = (x , y) un vector unitario en la dirección de la recta 2?. S i 11u 11 = 1 «=* x2 + y 1= 1 (1) Un vector unitario en la dirección del eje Y es (0 , I) ° C os2oc= l u T l 'l U o 0 .)!! de donde obtenem os y = 7/25 Sustituyendo en (1): x: + (7/25)- = I <=> x = ± 24/25 Com o la pendiente de la recta 7 es negativa , entonces x = - 24/25 Si a es el vector direccional de 7 paralelo a u = - ^ (-24 , 7), la ecuación vectorial de la recta pedida e s , SP : P = <2 , 1) + 1<-24 , 7), t e R. ■ Eje m plo 6 ) S e a 7 : P = Q + 1<7 , 1), t e R , Q(1 ,-1) e {.7 D 7'2H 7 ) , A(8 , 0) e 7 , í/(A , .7 ) = To ; 7J es bisectriz delángulo formado por 7'y y 7’2, siendo su pendiente menor que la de 7. Hallar las ecuaciones vectoriales de Solución. Si Q A = A - Q <=> Q A = (8 , 0) - (1 , -l> = (7 , 1) Luego , 11Q A 11 = 50 y i1BA11 = VlÓ En el triángulo rectángulo Q B A : 11QA I I 2 = II Q B I I 2 + 1| B Á ||2 => (50): = |i Q B 11-’ + (7Ó)2 ■=> 11Q B 11 = 2To Sea u = (u : , u,) un vector unitario en la dirección de la bisectriz 7'. Si Q A = Q B + B A ^ <7 ,1) = 11Q B 11u + 11B A 11u 1 <=> <7 , 1) = 2VTÓ (u, , u2) + VTÓ <-u,, u,> FIGURA 3.26 7 = 2 10 U * V 10 U, <=> 1 = 2V10 u, + 1 0 u } ( 3 ^ 1 ) ‘10 Por lo que la pendiente de la bisectriz es m = - 1/3 VÍÓ ^ (-1/3)- m : _ j_ 1 + (-1/3) m, 2 , _ B C m - m, En el A Q B C : T g a = — ^ <=> ----------- — a Q B 1 + m • m , 2 10 de donde obtenem os : m, = -I Dado que Q(1 , -1) e s el punto de paso de 7 y 7 '2 , su s ecuaciones son 7 ': P = <1 , -1 > + t<3, -1 > , t e R ; 7 : P = (l ,-1> + s<1 , - l > , s e R.
- 100. Capítulo 3: Aplicaciones de la recta Ejemplo 7 ] El ángulo 0 entre las rectas á?1: P = A + t a , t € R y J 2 ? 2 : P = C + s b , s e R , mide 45°. Si {B } = f| 2 2, estando B en el segundo cuadrante , C ( 0 , 5), A B + B C = (1 , 7), y la pendiente de 2, e s -3 ; hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo 0. Solución. -Si A e 2', c=* A B .! m, , esto es : A B = r(l , -3) Á B + B C = (1 , 7) => Á B + (C - B) = <1 , 7> => Á B - B = (1 , 7 ) - ( 0 , 5 ) t=» Á B - B = <1 ,2) (1) Si B = (x , y ) , al multiplicar escalarmente (1) por <1 , -3)1 se tiene : Á B - <3 , 1> - <x . y > -<3 , 1> = <1 . 2>-<3 , 1> 0 - (3x + y) = 3 + 2 <=> 3x + y = -5 (2) m ,-m . , m, + 3 T g 45° = m, = rn + m. • m I + 3 m, c * m, = - 1/2 y - 5 >=> x + 2v = 10 (3) FIGURA 3.27 2 X - 0 Resolviendo (2) y (3) obtenem os x = -4 , y = 7 => B(-4 , 7) Luego. Á B = (1 , 2) + <-4 , 7) = 3<-l , 3 )y B C = (4. -2) * 2(2 ,-1) Entonces los vectores unitarios en las direcciones de 7 y 7 sonrespectivamente: u = , v = c=> v - u = 4 = (1 + 2^2 , -3 - V2> vlO 5 vTo es el vector que sigue la dirección de la bisectriz 7', por tanto ,su ecuación es 2' : P = (-4 , 7) + t(I + 2V2 , -3 - V 2 ), t e R. ~ ■ Ejemplo 8 ^ Hallar la ecuación de la recta que p asa por Q (5 , 3) y forma un triángulo isó sce le s con las rectas 2', : x - y • 1 = 0 y 7‘2: x - 7y -1 = 0 Solución. S e a n m , m, = I y m, = 1/7 las p en dientes de las rectas 2; , 7 y 2 respectivamente. El problema presenta tres ca so s de solución , dependiendo cada caso de la ubicación de los lados iguales. Caso 1. Los lados iguales se encuentran en 7 y 2' <=> T gA = T g B <=> m - m, m. - m I + m • m l + m • m. FIGURA 3.28 Sección 3.3: Angulo entre dos rectas .. m - 1 1/7 - m <=> 1 + m “ I + (l/7)m de donde : 2 m : + 3 m - 2 = 0 <=> m = -2 ó m = 1/2 Hay dos soluciones. 2 : P = (5 , 3) + 1(1 ,-2), t € R o P = (5 ,3 ) + s(2,1 ),S € R Caso 2. Los lados iguales se encuentran en 2'* y 2', -r a> t r* m - mi m, - m- T g A = T g C <t=> ------------ = -— 1------- 1 + m m : 1 + m ( m m- 1 1-1/7 - l + m l + l / 7 « m = 7 Existe una solución. 2 ’ : P = (5 , 3) + r (1 , 7), r e R Caso 3. Los lados iguales se encuentran en las rectas 2 ” y 7 m: - m m, - m : ■=> T g B ” = T g C <=> 1 + m m, 1 + m. m. 0 ...l_/7_-.m_ = 1- 1/7 J7 1 + (l/7)m 1+ 1/7 31 Hay una solución. 2'” : P = (5 ,3) + p (31 ,-17), p e R. Ejemplo 9 j D esde el punto C(6 , -4) se trazan las rectas 2', y ,2'2 con pen- pendientes negativas. El ángulo de inclinación de 7 es m a yor que el ángulo de inclinación de rJ . La recta 7 determina sobre la parte positiva del eje Y un segm ento de 2 unidades. La recta 2^ determina sobre el eje X un segmento de 38/7 unidades. Hallar la ecuación de la recta 2", que no cruza el cuarto cuadrante , tal que forma con 7 y 7’2 un triángulo isósceles , con base en 2 de área 15 u2. Solución. El vector direccional de 7 es paralelo a : a, = (6 , -4) - (0 , 2) = 6 (1 , -1) y el de 2',, a : a, = (6 , -4) - (38/7, 0) = i . (1 , -7) por lo que : = {(6 , -4) + t(l , -1)11e R } y 2 = { ( 6 , - 4 ) + s(l , -7)1 s e R} En el triángulo isósceles AB C , la bisectriz 7 del vértice C, tiene su vector direccional paralelo a : , . . < > ^ ♦ £ ¿ > . 6 0 . - 2 ) x l 5'2 5Y2 Luego , el vector de dirección de la recta 2 es FIGURA 3.29
- 101. ISS Capitulo 3: Aplicaciones de la recta paralelo al vector <1 , -2)1 = (2 , 1) Para hallar su ecuación bastará determinar el punto de paso A(x, , y t) o B(x, Com o Á C ||(1 ,-1) o Á C -< 1 , 1> = 0 (6 - x , , -4 - y,) •(I , 1> = 0 => y, = 2 - x, B C || (1 , -7> «=> B C • (7 , 1) = 0 => (6 - x , , -4 - y,> •(7 , 1) = 0 <=> y, = 38 - 7x, A B 11 (2 , 1) <=> (x,- x . , y 2- y,> - (-1 , 2> = 0 =* -x, + x, + 2y, - 2y, = 0 Com binando las ecuaciones (1) y (2) con (3) se tiene : -x i- x, + 2(38 - 7x:) - 2(2 - x,) = 0 = * x, = 5x, - 24 Sustituyendo en (1) obtenem os : y ( = 2 6 -5 x, a (A A B C ) = 15 u: <=> I |C A . C B X | = 15 I (x, - 6 , y, + 4) •(x, - 6 , y, + 4)1 1 = 30 !(x, * 6 , y, + 4) •(y, + 4 , 6 - x,) I = 30 I(5x, - 24 - 6) (38 -7x, + 4) + (26 - 5x, + 4) (6 - x,) | = 30 Efectuando, resulta : 130(x, - 6): | = 30 c=> (x, - 6)- = 1 <=> x, - 6 = -1 ó x, - 6 = 1 <=> x, = 5 ó x, = 7 Lu e go, en (2): y, = 3 8-7 (5 ) = 3 ó y, = 38 - 7(7) = -11 => B(5 , 3) ó B(7 , S e descarta la segunda alternativa por las condiciones del problema .5?: P = (5 , 3) + r (2 , I), r e R. . y ;). (1) (2) (3) (4) (5) 1) Ejemplo 10 ) L a s rectas , 2P? y S?3so n tales que : i?, 11 , m, < 1, C(-10, -14) e 7 , D(2 , 7) e ¿Z?2 , fl = {A } , n 7'2= {B}, M(2 , 1) es el punto medio de A B y Tg0 = - 24/7; donde 0 es la medida del ángulo entre las rectas 7 y 7 , 0 e (0 , n). H allar: a) Las ecuaciones vectoriales de 2 *, 7'2y 7 ’, b) d( 7 , 72) ; c) Los puntos A y B. Solución. Se a E el punto medio de C D , entonces E = I ( C + D) = i( - 8 , - 7 ) <=* E(-4 , -7/2) É M = M - E = (2 , 1) - (-4 , -7/2) = | (4 , 3) Com oE M I ! y , , el vector direccional de rj y 7 e s a= (4 , 3) ; luego : fJ :P = (-10, -14) + r(4 , 3), r € R 7 :P = (2 , 7) + s(4 , 3), s e R r / V m / FIGURA 3.30 Sección 3.3: Angulo entre dos rectas Si Tg0 = - y 1 m ,- m, _ _ 24 1 + m. m m, - 3/4 1 + (3/4)m, = - — , de donde : m. = - 3/4 Por lo que , 7 tiene por ecuación vectorial, 7'.: P = (2 , 1) + t (4 , -3), t e R b) Se a V = C D <=> V = (2 , 7) - (-10 ,-14) = 3 (4 , 7) Si n es la normal a 7 y 7 <=> n = a1 = (-3 , 4) • M # r p - l V - n l - 1 3 (4 .7 ).(-3 ,4 )1 _ 48 ” ' * ’ ‘ " II n II “ 11(-3 , 4) 11 ~ 5 c) Si {A } = 7 fl 7 => 3 r , t e R , tales que A = (-10 , -14) + r(4 , 3) = (2 , 1) + 1(4, -3) <=* r(5 , 3) - 1(4, -3) = (12 , 15) = * r(4 , 3) •(3 , 4) - 0 = (12 , 15) • (3 ,4) <=> r = 4 Sustituyendo en (1) obtenem os : A = (-10 , -14) + 4(4 , 3) = (6 , -2) <=* A(6 , -2) Si {:B } = fl <=> 3 s , t e R , tales que B = (2 ,.7) + s (4 , 3) = (2 , 1) + t(4 , -3) <=> s (4, 3) - 1(4, -3) = (0 , -6) s(4 , 3)• (3 , 4) - 0 = (0 , -6)• (3 , 4) <=>s = -I Luego , en (2), se tiene : B = (2 ,7) - (4 ,3) = (-2 , 4) B(-2 , 4) (1) (2) E je m plo 1 1 } Se an . la recta 7". P = (7 ,1 2 ) + 1a , t e R y Q ( 4 , 3) un punto que dista 3 5 unidades de 7 . Por Q pasan d os rectas que inter- sectan a 7? en los puntos A y B(7 . 12) formando un triángulo isósceles B Q A con base en 7’. Si B divide al segm ento A D de 7‘, en la razón 4/3 , hallar: a) Los puntos A y D. b) La ecuación vectorial de 7‘. Solución. La Figura 3.31 muestra una interpre tación geométrica del problema . don de se observa que hay dos soluciones : los trián gulos isósceles B Q A y B Q A '. En el A B Q A : Q B = (7 , 12)- (4 , 3) = 3 (1 , 3) Luego , la pendiente de la recta 7 es m. = 3 Adem ás , 11Q B 11 = 3 10 y !|Q H 11 = 35 <=> SenO = = - L <=> 0 = 45c 3 10 V2 Por lo que el A B Q A es rectángulo isósceles
- 102. 190 Capítulo.?: Aplicaciones de la recta Tge = =» 1 = -í j ü - . I + m: m 1 + 3m de donde , la pendiente de ? ' es m = 1/2 y su vector de dirección e s a = <2 , I) Un vector unitario en la dirección de 2' es u = _ a _ . ^ i > H a ll V5 En el A B Q A : 11Á B 11 = 2 11Q H 11 =6>5 ^ Á B = 11Á B || u = 6V5 ( ^ = ^ ) = <12 , 6> Si B - A = (12 , 6) => A = <7, 12)-<12 ,6) = <-5,6) AQ 1 — ___ — = -± => 3 A B = 4 B D <=> 3 (B - A) = 4 ( D - B) => D = 1 B - | A = | < 7 , 1 2 ) - | < - 5 , 6 > = <l6,33/2> En el A B Q A ’ : T g a = — ’ ‘ m- => i = _m’ ~ 3 « m - = .o 1 + m, m ’ i + 3m ( Luego , el vector de dirección de 7-’ es a ’ = (I , -2) => u ’ = ^ y¡5 Por lo que si B A ’ = 11B A ' 11 u ’ => BA' = 65 ( - ’-'2^ = <6 -12> v V5 ' => A ' - B = (6 , -12) <=* A ’ = <7, 12) + <6 , -12) = <13 , 0) Análogam ente , si = 1 ^ D ’ = 1 B - 1 A ' c=> D ’ = <5/2 , 21) b) Ecuaciones vectoriales de 7 y 2? ’ 2 = {<7 , 12) + t<2 , l)| t e R } y 7 ' - {<7, 1 2 )+ s< l , -2 ) | s e R } EJER C IC IO S: Grupo 21 1. Se a n las rectas 7 : 3x - 4y + 6 = 0 y $ 2 : P = <4. 1> + 1<-2 , 4), t eR ; hallar a) La distancia del punto A(4 , 1) a la recta 7 b) La tangente del ángulo agudo formado por las rectas 2. D adas las rectas ; 7 X: P = < 3,4 ) + t< 3 ,4 )y 7 ;: P = (0, 14/3) + r<4 , 3),hallar: a) El punto de intersección de (1 y 7 2 b) La ecuación normal a la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas. 3. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a la bisectriz del ángulo que forman los vectores a = <3 , 4) y b = <4 -3) EJERCICIOS ; Grupo 21 191 4. Las rectas 7 : P = P, + 1a , t e R , 7'2: b • (P - P2) = 0 , se cortan en P 0. Hallar el ángulo entre <2?, y &2sabiendo que (p , - p¿ - ( p, - p„)-<p , - p!> = l i p0ll2, y pt, * p , * p* 5. Los puntos P(2 ,4), Q (8 , 6) y R ( 4 , 8) son vértices de un triángulo. Hallar la recta que e s perpendicular a la bisectriz del ángulo P Q R y que pasa por R. 6. Los vértices de un triángulo son los puntos A , B y C , tales que I A - B ! = a , A - C 11 = 2a. Hallar la ecuación de la recta que contiene a la bisectriz interior del triángulo correspondiente al ángulo A. 7. Los puntos A(4 , 6) , B(8 , 4) y C (6 , 7) son los vértices de un triángulo ABC. Hallar en el lado B C el punto Q por donde p asa la bisectriz del ángulo A. 8. La b ase A D de un trapecio A B C D está contenida en la recta T : 3x - y + 6 = 0 y una de su s diagonales A C está contenida en la recta y , : x - y - 4 = 0. Si el vértice B es el punto (3 , -5), h allar: a ) Los vértices A, C y D ; b) P ro y ^ A C 9. El ángulo 0 entre i ? , = { B + t a 11 € R } y ü-2= { A + s b s e Ri- e s tal que Tg0 = 5/7. S i { C } = 7 fl 3 2 , siendo C un punto en el IV cuadrante , B(0 , 4), A C + B C = <5 , -25) y la pendiente de 7' es -1. hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo 0. 10. Sean las rectas : P = <1 ,-1> + t< 7 ,1 > ,te R y # 2:<1 , - 1 > * [ P - < 2 , 1)] = 0. Hallar la recta 7 que tiene pendiente positiva , p a sa por Q (0 , -2) y forma con 7'yy T 2 un triángulo isósceles cuyos lados congruentes están sobre 7 y V2. 11. Hallar la ecuación de la recta que p asa por el origen y e s paralela a la recta bisectriz , de menor , pendiente del ángulo que forman las rectas !7: P = <1 , 1) + 1<3 , 4). t e R y : P = <2, -1) + s<4 , 3 ), s € R 12. Los vértices de un triángulo A B C son A(-6 .-2), B(6 , 1) y C (2 , 4). S e traza la bisectriz del ángulo exterior correspondiente al ángulo interno A C B ; la bisec triz interior corta a la prolongación del lado A B en el punto Q. Hallar las coorde nadas del punto Q. 13. D adas las rectas 7 : P = P, + t a , t e R , y # 2 : P = Q, + s b , s e R , no paralelas, demostrar que las rectas bisectrices de los ángulos que forman 7 y 7 ? son ortogonales. 14. Un rayo parte del punto A ( -5 , -2) en dirección del vector a = <2 ,3) y se refleja en un espejo plano sobre el eje X en B y luego sobre el eje Y en C. Cuál es la abscisa del punto S s i S = B + C + D , donde D está sobre el último rayo reflejado y tiene ordenada -10. 15. Las rectas y 7' se interceptan en el punto C form ando un ángulo 0 , tal que
- 103. 192 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta Tg0 = 1/2. Si C es un punto en el cuarto cuadrante, B(0 , 4 ), A C + B C = <2, -10) y la pendiente de 7 es -1 ; hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo 0. 16. D adas las rectas CJ : 7x - y - 6 = 0 y 7‘2: x - y + 2 = 0, hallar la ecuación de la recta .7, de pendiente positiva , que pasa por el punto A(5 , -2) y forma con 7 y 7'2m triángulo isósceles cuyos lados iguales se encuentran en T yy rJ‘2, respectiva mente. 17. En el plano R 1 , fijados el punto P. y los vectores A y B no nulos y no paralelos, se define el conjunto C = { P e R- P = P 0 + tA + s B , con te [0 , 2] a s e [-1 ,0 ]} a) Representar gráficamente el conjunto C en el plano R :. b) Para P 0 = (1 , 1), A = (-2 , 3) y B = (3 , 1), analizar si el punto P(-4 , 29/6) pertenece al conjunto C . y hallar la ecuación de la recta que contiene a la bisectriz del ángulo que forman A y B con vértice en P 3 , dados. 18. El ángulo 0 entre las rectas 7 : P = B + 1a , t e R , y ^ : P = A + s b , s e R ,e s tal que T g0 = 5/7. Si {C } = 7 fl 7'2 , siendo C un punto del cuarto cuadrante, B(0 , 4) , A C + B C = <5 , -25) y la pendiente de 7 2 e s -1 ; hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo 0. 19. En el plano R : , sean los puntos A(-6 , -6), B(-1 , 4), C(c , -1), D(2 , 1) y E , tales que D e B C , E e A B , los segm entos dirigidos D E y A C son paralelos y los segm entos orientados E B y E C forman un ángulo a . U sando vectores , hallar C o s a. 4 VECTORES Efl | J? El ESPACIO l 4.1 ) EL ESPACIO T R ID IM E N SIO N A L _________________________ En la Sección 1.1 definimos el producto cartesiano A x B de los conjuntos A y B de la siguiente manera A x B = { ( x , y ) | x e A , y e B } Si aplicam os una definición similar al producto cartesiano A x B x C de los conjun tos A , B y C , entonces A x B x C = {(x , y , z)l x e A , y e B , z g C } donde el sím bolo (x , y , z) representa una terna ordenada. C om o las ternas orde nadas de núm eros reales son el elemento del producto cartesiano R x R x R , a este conjunto se le denota por R ' , e s decir R ' = {(x , y , z) I x e R .y e R , z e R } que determina lo que llam arem os espacio tridimensional. Esto es , queda establecido un sistem a cartesia no de tres dim ensiones, cuyos ejes son las rec tas orientadas : X (eje de a b scisa s) , Y (eje de ordenadas) y Z (cota) , que se cortan perpendicu larmente en el punto O (origen de coordenadas). Todo punto en el espacio queda determinado por la terna (x , y , z ) , donde x : es la distancia dirigida del punto P al plano Y O Z y : es la distancia dirigida del punto P al plano X O Z z : es la distancia dirigida del punto P al plano X O Y
- 104. 194 Capítulo 4: Vectores en el espacio El conjunto R ' de ternas ordenadas de núm eros reales , junto con las operaciones de sum a y productos definidas en el Teorema 1.2 , recibe el nombre de espacio vectorial tridimensional sobre el conjunto de núm eros reales R y se denota por V ;. A los elementos de V, , se les llama vectores , por lo que , la terna denotada por (x , y , z) es un vector. 4.2 j VECTORES EN EL ESPACIO_____________________________________ En el espacio , denotam os los vectores mediante la terna ordenada V = <x , y , z> denotándose el vector cero por O = (0 , 0 , 0). Tal com o en el ca so de R : , un vector en R ' se puede expresar com o la sum a de com ponentes vectoriales paralelos a los ejes coordenados. En R s , i , j y k representan vectores unitarios en las direcciones de las partes positivas de los ejes X , Y , Z respectivamente. Entonces ¡ = (1 , 0 , 0 ) , j = (0 . 1 ,0). k = ( 0 , 0 , 1) U sando estos vectores , la notación con vectores unitarios canónicos para un vector V = (x , y , z) es V = x i + yj + z k com o se muestra en la Figura 4.2 Si se representa al vector V mediante el segm ento orientado desde A(x, , y, , z,) a B(x, , y, , z,) , com o se indica en la Figura 4.3 , e n to n c e s la s c o m p o n e n te s de V se obtienen restando las coordenadas del punto inicial A de las del punto final B , esto es V = Á B = <x; - x , , y, - y , , z, - z,) Las definiciones que se aplican a los vectores de dos dim ensiones se puede extender directamen te a los vectores de tres dim ensiones. En el cua dro siguiente se resum e las definiciones y opera ciones básicas con vectores en el espacio. FIGURA 4.3 Sección 4.2 : Vectores en el espacio 195 r VECTORES EN EL ESPACIO Se a n A = (x, , y , , z,) , B = < x., y , , z,) y V = (x , y , z) vectores en el espacio y se a r € R un escalar , entonces 1. Igualdad de vectores: A = B <=> x , = x , , y, = y , , z, = z, 2. Componentes: Si se representa a V por el segm ento orientado A B , entonces V = <x , y , z) = <Xj - x , ,y, - y , , z, - z,) 3. Longitud o norma : I V ;| = d{A , B) = ‘(x, - x,): + (y, - y,): + (z, - z,)- 4. Vector unitario en la dirección de V : u = ,, ^ - I I v I! 5. Suma de vectores : A + B = (x, + x 2 , y, + y , , z, + z,) 6. Opuesto de un vector: V A s R ' , 3 (-A) e R ' I A + (-A) = (0 , 0 , 0) = O 7. Producto por un escalar: r A = {r x , , t y, , r z,) r EJEM PLOS ILUSTRATIVOS ) Ejem plo 1 J Usando vectores para hallar el extremo de un segmento Un vector que va de S a T(5 , -4 , 2) es dos veces el vector que va de R(2 , -1 , 5) a S. Calcular las coordenadas de S. Solución. Se a n A = S T , B = R S y S (x , y , z) Luego , A = T - S = <5 , -4,2) - <x , y , z) = <5 - x ,-4 - y , 2 - z) B = S - R = (x , y ,z) - (2, -1 , 5) = (x - 2 ,y + I , z - 5) r- 5 - x = 2 (x - 2) «=>x = 3 -x Si A = 2 B <=> -i -4 - y = 2 (y + 1) •=> y = -2 V /. S (3 , -2 , 4) ■ ^ 2 - z = 2 ( z - 5 ) < = > z = 4 J Eje m plo 2 J Usando vectores para hallar un punto perteneciente a un segmento Se a n A(2 , 3 , -2) y B(6 , -3 , 2). Hallar el punto P que está en el segmento de recta que une A con B y a 3/4 de distancia de A a B. Solución. Si P(x , y , z) e A B ■=> A P = ^ A B <=> 4 A P = 3 A B { 4x-8=12t=>. =5 4y - 12=-18 => y=-3/2 >■ P(5 ,-3/2 , 1) 4z +8= 12 => z= 1 J ■
- 105. 196 Capítulo 4: Vectores en el espacio Usando vectores para determinar pinitos alineados Dem ostrar que los puntos A(-2 ,-7 , 7 ) , B(2 , -1 , 3) y C (4 ,2 ,1 ) son colineales. Demostración. Bastará probar que 11AC i ! = I !A B 11 + 11 B C 11 En efecto Á C = < 4 ,2 , I> -< -2 ,:7,7> = 3 < 2 ,3 ;-2 ) 9---------------------------------- g------------- g A B = <2 , -I , 3) - (-2 , -7 , 7) = 2 (2 , 3 , -2> B C = ( 4 , 2 , 1) - (2 , -1 ,3) = (2 ,3 , -2 ) Luego : 11ÁC 11 = 34 + 9 + 4 = 3;77 , 11Á B 11= 2T7 y 11B C 11 = VT7 Dado que : 3V77 = 2^77 + 'T7 t=> 11Á C 11 =11Á B 11+ 11 B C 11 Por lo tanto , los puntos A , B y C son colineales ■ Cjemplo 4 ] Usando vectores para determinar ¡a naturaleza de un triángulo Dem ostrar que los puntos A(3 , 5 , 2), B(2 , 3 , -1) y C (6 ,1 ,-1 ) son vértices de un triángulo rectángulo. Demostración. En efecto , hallem os las co m -' "■ ponentes de los vectores AB. B C y Á C Á B = (2 , 3 , -1) - (3 , 5 , 2> = (-1 ,-2 ,-3 ) B C = (6, 1 ,-1 )-(2 , 3 ,-1 ) = (4 ,-2 ,0 ) Á C = (6 , 1 , -1) - (3 , 5 , 2) = (3 , -4 , -3) Lu e go: ||A B 11 = vi + 4 + 9 = V 14 11B C 11 = 16 + 4 + 0 = V2Ó FIGURA 4.4 11 Á C 11 = '9 + 16 + 9 = V34 Com o (34): = (l4 )2 + (V20)2 => 11Á C 11 ’ = 11Á B 112 + I ! B C 112 S e cumple el Teorema de Pitágoras , por lo que , el A A B C es recto en B. ■ Cjemplo 5 ^ ) Se an los vectores A =(1 , 5 , 3). B = (6 , -4 , -2). C = (0 , -5 , 7) y D = (-20 , 27 , -35). S e requiere elegir los núm eros r , s y t de tal m odo que los vectores r A . s B , tC y D formen una línea quebrada cerrada , si el origen de cada vector sucesivo se hace coincidir con el extremo del anterior. Solución. Si los vectores r A , > B , tC y D constituyen una línea quebrada cerrada , su sum a vectorial debe ser nula , esto es r A + s B + tC + D = 0 <=> r(l , 5 , 3) + s (6 , -4, -2) + t(0 , -5 , 7) = -(-20, 27 , -35) Ejemplo 3 Sección 4.2: Vectores en el espacio 197 c * (r + 6 s , 5 r - 4 s - 5 t , 3r - 2 s + 7t) = (20, -27 , 35) de donde , por igualdad de vectores , obtenem os el sistem a r + 6 s = 20 5 r - 4 s - 5 t = -27 3 r - 2 s + 7 t= 3 5 Resolviendo por sim ultáneas se tiene lo requerido : r = 2 , s = 3 , i = 5 ■ E je m plo 6 ^ ) Se a el triángulo de vértices A(-1 ,2 ,2), B(4 ,2 ,-3) y C ( 9 ,-3,7). Por el punto D(2 , 2 , -1) del lado A B se traza una paralela al lado A C y que corta al lado B C en E. Hallar la longitud del segm ento DE. Solución. Resolverem os el problema hallando la razón en que el punto D divide al lado AB. Esto es , si r = <=> r D B = A D 1 DB «=> r ( B - D ) = D - A =* 2r(l , 0 , -1) = 3 (1 ,0 ,-1 ) <=> r = 3/2 Siendo D E I !A C , por el Teorema de Thales : § | = | ® 2(E - C) = 3 (B - E) FIGURA 4.5 de donde : 5 E = 3(4 , 2 , -3) + 2(9 , -3 , 7) => E = (6, 0 , 1) Por lo que , D E = (6 , 0 , I) - (2 , 2 , -1) = 2(2 , -1 , 1) «=> I! D E 11 = 2>Í6 ■ Eje m p lo 7 J En el trapecio A B C D la razón entre la longitud de la base A D y de la base B C equivale a r. Suponiendo que A C = a y B D = b . exprésense los vectores A B , B C , C D y D A por medio de a y b. Solución. Si = r Á D = r B C (1) B C __ __ _ t=> A B + B D = r B C En el A A B C : Á B = Á C - B C (2) Á B = Á C - 1 (ÁB + BD ) <=> Á B = r 1+ r De (2): B C = Á C - Á B = a - <=* B C = 1+ r 1+ r En el A A C D : C D = A D - A C = r B C - a «=> C D = r ( a ± b _ a <=> C D = -LiiLJ*. ' I + r ' 1 + r Finalmente , de (1): D A = - r B C ■=> D A = - — ^— (a + b) ■ I + r
- 106. 198 Capítulo 4: Vectores en el espacio Eje m plo 8 J M es el punto de intersección de las m edianas del triángulo A B C , O e s un punto arbitrario del espacio. Dem ostrar que Ó M = j (Ó A + Ó B + Ó C ) Demostración. La Figura 4.7 muestra al punto M y una m ediana BD. Entonces D = y (A + C) Por la propiedad de las m edianas DM = j D B <=> M - D = y ( B - D) Esto e s : M - i-(A+ C) = | B - 1 ( A + C) de donde obtenem os : M = (A + B + C) Restando el vector O a cada extremo se tiene : v----------------------------------------- / FIGURA 4.7 M - O = y [ (A - O) + (B - O) + (C - O)] <=* O M = -i(Ó A + Ó B + Ó C ) ■ EJER C IC IO S: Grupo 22 1. A y B son los vectores de posición de los segm entos P Q y R S. Si 2 A = 3 B y P(3 , - 1 , 2 ) , Q(x , y , z ) , R(-2 , 3 , -3) y S(2 , 5 , - 5 ) ; hállese el vector A. 2. El vector V = (-2 , 2 , 6) es el vector de posición del segm ento Á B , cuyo punto medio de M (-4 , 3 , 1). Hallar las coordenadas de los extremos del segmento ÁB. 3. Se a V = (3 , -6 , 1) el vector de posición del segm ento A B y sea C(6 , - 1 , 2 ) el punto de trisección , m ás cercano de A , de dicho segm ento , hallar las coor denadas de A y B. 4. Sean A(2 , -1 , 3), B(-4 , 5 , 0 ) , C(4 , -1 , 3) y D(4 , 4, -7). El punto P está a 2/3 de distancia de A a B y el punto Q está a 3/5 de distancia de C a D . Calcular las com ponentes del vector V que va de P a Q. 5. Demostrar que los puntos A(6 , 3 , 4), B(2 , 1 ,-2 )y C (4 ,-1 ,10) son vértices de un triángulo isósceles. 6. Dem ostrar que los puntos A(2 , 0 , -1), B(3 , 2 , -2) y C(5 , 6 , -4) son colineales. Sección 4.3 : Dirección de un vector en el espacio 199 7. Si A = (3 , 5 , -1), B = (6 , -2 , 3) y C = (-3 , 2 , 0), hallar el vector X que satisfaga la ecuación 3 X + 6 A - 5 C = 8 B 8. Demostrar que los puntos A(2 , 0 , -1), B(1 , 2 , 1) y C(6 , - 1 , 2 ) son vértices de un triángulo rectángulo. 9. Sean A = (2 ,-1 , 5), B = (-1 , -2 , 3) y C = (1 ,-1 , 1) tres vectores en R hallar un vector unitario en la dirección del vector V = A - B + C. 10. Se a n d ados los vértices del triángulo A(3 , - 1 , 5 ) , B(4 , 2, -5) y C (-4 , 0 , 3 ) . Hállese la longitud de la m ediana trazada desde el vértice A. 11. Determ ínense las coordenadas de los extrem os de un segm ento que está dividido en partes iguales mediante los puntos C (2 , 0 , 2) y D(5 , -2 , 0). 12. En un espacio están dados los triángulos A B C y A ’B ’C ’. M y M ’ son los puntos de intersección de las m edianas. Expresar el vector M M ’ mediante los vecto res A A ’ , B B ’ y C C 13. En un paralelogramo A B C D se d e sig n a n : A B = a , A D = b. Expresar en términos de a y b los vectores M A , M B , M C y M D , donde M es el punto de intersección de las diagonales del paralelogramo. 14. Si A , B y C son puntos colineales , hallar el vector A C sabiendo que B se encuentra entre A y C ; donde A(3 , - 1 , 0 ) , B(4 , 1 , 3) y 11A C !I = 3 1 4 15. El segm ento de una recta limitado por los puntos A(-1 , 8 , 3) y B(9 , -7 , -2), está dividido en cinco partes ¡guales por los puntos C , D , E y F. Hallar las coorde nadas de estos puntos. 4.3 j D IR E C C IO N DE UN V EC T O R EN EL ESP A C IO _____________ A cada vector no nulo V = (x , y , z) e R J , le corresponde una dirección dada por tres ángulos de dirección a. , (i. y , cada uno de los cuales es el ángulo determinado por los ejes positivos del sis tema tridimensional con el vector V en posición or dinaria (Figura 4.8). Lo s ángulos de dirección se elige de m anera que su s m edidas estén com pren didas en el intervalo [0 , tc] A los cosenos de los ángulos de dirección de un vector en R ' se les llama cosenos directores y vienen dados por
- 107. 200 Capítulo 4: Vectores en el espacio C o s a = í - , C o s(i= II Vil IIvil ' CoSY= llvll en donde : 11V11 = 'x ? + y: + z: Elevando al cuadrado y sum ando las ecuaciones (1) , obtenem os C o s :ot + C o s :p + Cos^y = 1 La ecuación (2) nos permite afirmar que los cose n o s directores de un vector están íntimamente relacionados , por lo que , si se conocen d o s de ellos se puede calcular el valor absoluto del tercero. Si C o s a , C o sp y C o sy so n los cosenos directores de un vector no nulo V = (x , y , z ) , por las ecuaciones (1) resulta que u = (C o sa , C o sp . Cosy) = ( ,,-*-7-. , -,. - tt , ,, z- n x ll vil llvll l l v l l ' e s el vector unitario que tiene la m ism a dirección que V Eje m p lo 1 ) Obtener los c o se n o s directores del vector V que va de A(2 , -2 , -1) a B(-4 , -5 , 1). Dem ostrar que la sum a de los cuadrados de los cosenos directores del vector es igual a 1 y obtener también un vector unitario en la dirección de V. Solución. Si V = Á B <=> V = (-4 , -5 , 1) - (2 , -2 , -1) = (-6 , -3 , 2) Módulo del vector: 11 V11 = V(-6)- + (-3)2+ (2)2= 7 Por las ecuaciones (1) , los cosenos directores del vector V son C o s a = - y C o sp = C o sy =_ 2 Luego : C o s :a + Cos-’P + C o s 'y = ^ ^ = 1 Finalmente , el vector unitario es la dirección de V , según (3) , e s u = (-6/1, -3/7 , 2/7) Ejemplo 2 } Averiguar si el vector V e R 3 puede tener com o ángulos de dirección a a = 60°, p = 45° y y = 150°. Solución. Veam os si la ecuación (2) se satisface para estos ángulos. C o s :60° + Cos-’45° + C o s :y = (-|) + (~ y ) + ( ' * r j Sección 4.3 : Dirección de un vector en el espacio 201 = ± + 1 + 2 = 2 * | 4 2 4 2 Por tanto , no existe el vector V con tales ángulos de dirección. Ejemplo 3 J Obtener un vector V si su norma es 14 y tiene sentido contra rio al vector cuya representación geométrica va de S(3 ,-5 ,2 ) a T(5 , -8 , -4). Solución. Se a A = S T <=> A = <5 , -8 , -4) - <3 , -5 , 2> = (2, -3 , -6) Entonces : 11V 11 = V(2): + (-3)2 + (-6)-’ = 7 Un vector unitario con sentido opuesto al de A es A u = = (2 , -3 , -6) 7 Dado que , V = i V u = * V = I 4 ( ~~~ ' y ' ^ ) = (-4 , 6 , 12) Ejemplo 4 j Hállese el vector A que forma con todos los tres versores básicos ángulos agudos iguales , si A || = 2 3 (Nota. A los vectores unitarios i , j y k se les denomina también versores básicos) Solución. Com o a = p = y , entonces por la fórmula (2) obtenem os : 3 C o s ’a = I <=> C o s a = ± V3/3 y dado que a , p y y son agudos , entonces C o sa = 3/3 Si x = 11A 11 C o s a =* x = 23 (V3/3) = 2 A = (2 , 2 , 2) EJER C IC IO S : Grupo 23 1. En los ejercicios siguientes obtener un vector unitario en la dirección del vector cuya representación geométrica va de S a T. a) S(2 ,- 2 , - 1 ) , T(-4 , - 5 , 1 ) b) S(9 , 2 , -1), T(-3 ,5 , - 5 ) 2. Si para un vector A e R C osp = 3/10 y C o sy = 2/5; calcular el valor del ángulo a. 3. Si para un vector A e R ' , C o s a = 2/11 y C o sp = - 5/11 ; calcular Cosy. 4. Hallar un vector V cuya norm a es 1/2 y tiene el m ism o sentido que el vector A = (6, 1 2 ,4 )
- 108. 202 Capítulo 4: Vectores en el espacio 5. Hallar el vector V cuya norma es 7 2 y que tiene el sentido opuesto al vector A = (-2 , 5 , -4) 6. Hállese el vector X que forma con el versor j un ángulo de 60° y con el versor k , un ángulo de 120° , si 11X 11 = 5!2 7. Hállese el vector X , colineal al vector A = <1 , -2 , -2 > , que forma con el versor j un ángulo agudo y cuya magnitud es 15. 8. Hállese el vector X , colineal con el vector A = - 3 i - 6 j + 2 k , que forma con el versor k un ángulo obtuso , y cuya norma es 21. 9. Un vector V forma con los ejes X e Y los ángulos de 60° y 120° respectivamen te. Hallar su s coordenadas sabiendo que su magnitud e s 2 unidades. 10. Hallar las coordenadas del punto P , si su radio vector forma con los ejes coordenados ángulos iguales y su módulo es igual a 3. 11. Puede form ar un vector con los ejes co ord e n a d o s los á n g u lo s siguientes a) a = 4 5 ° ,p = 60o , Y = 1 2 0 * ) b) a = 45°, p = 135° , y = 60° , c) a = 90°, p = 150°, y = 6 0 ° ? 12. Puede formar un vector , con dos ejes coordenados los ángulos siguientes a) a ^ 30°, p = 45°, b) p = 60°, y = 60°, c) a = 150°, y = 30° ? 4.4 j PRODUCTO E SC A L A R DE DO S V E C T O R E S EN EL ESPACIO Si los vectores A y B e R ' se dan mediante su s coordenadas A = ( x ,, y , . z,) y B = (x ,, y , , z,) su producto e sc a la r, denotado por A • B , se define com o sigue : A •B = x, x ,+ y, y, + z, z. (4) Por ejemplo , si A = (-2 , 3 , -5) y B = (1 ,-4 ,-2 ), entonces A * B = (-2 , 3 , -5)*(1 ,-4 ,-2 )- = (_2)( 1) + 3(-4) + (-5)(-2) = -2- 12+ 10 = -4 El teorema siguiente ilustra las propiedades del producto escalar que se puede dem ostrar de forma inmediata a partir de la definición (4) Sección 4.4 : Producto escalar de dos vectores en el espacio 203 TEOREMA 4.1 Propiedades algebraicas del producto escalar Si A . B y C son vectores enel espacio y r es un escalar , entonces se verifican las siguientes propiedades PE, : A • B = B •A Conmutatividad P E 2 : r (A • B) = (rA) •B = A •(rB) Asociatividad escalar P E 3 : C - ( A + B) = C - A + C * B } Distributividad ( A + B ) - C = A - C + B - C P E 4 : A • A = 11 A I : > 0 Magnitud respecto al producto escalar P E S : A • A = 0 <=> A = 0 Las dem ostraciones se dejan com o ejercicio. 1Nota. Como A • B es un número . la expresión (A • B) • C carece de significado . por ie que no se considera la asociatividad del producto escalar. Cjcmplo 1 J D ados los vectores A = <3, -1 , -2) , B = <2 , 1 , 4) y C = (7 , -2 , -1), hallar la sum a de las com ponentes del vector X tal que : A •X = 4 , B * X = 2 y C * X = 4 Solución. S e a el vector X = (x , y , z) Si A • X = 4 ■=> (3 , -1 , -2) •(x , y , z) = 4 «=> 3x - y - 2z = 4 B • X = 2 ■=> <2 , 1 , 4) •(x , y , z) = 2 <=> 2x + y + 4z = 2 C •X = 4 <=> <7 , -2 , -1) •< x , y , z> = 4 ■=> 7 x - 2 y - z = 4 Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : x = 2 , y = 6 , z = -2 .*. x + y + z = 6 ■ Ejemplo 2 } Si A =(2 , 1 ,-1) y B =(1 , -1 , 2), hallar un vector no nulo C e R. tal que : A • C = B • C = 0 Solución. S e a el vector C = (x , y , z) S i A • C = 0 «=> (2 , 1 , - l) * ( x , y , z) = 0 <=> 2x + y - z = 0 (1) B * C = 0 <=> (1 ,-l , 2 ) * { x , y ,z) = 0 => x - y + 2z = 0 (2) Sum ando (1) y (2) se tiene : /. = -3x Multiplicando (1) por 2 y sum ándole (2) obtenem os : y = - 5x <=* C = (x , y , z) = (x , -5x , -3x) = x ( l ,-5 , -3> Hay infinitas soluciones. Un ejemplo , para x = I se tiene C = (I , -5 , -3) ■ Ahora verem os el significado de ángulo entre dos vectores , el cual condu ce a otra expresión para el producto escalar de vectores.
- 109. 204 Capítulo 4: Vectores en el espacio 4.4.1J A N G U LO EN T R E DO S V E C T O R E S EN R* El ángulo entre dos vectores A y B no nulos es el ángulo 0 e [0, ti] , entre su s respectivos vecto res de posición norm ales com o se muestra en la Figura 4.9 , esto es , 0 es el ángulo de m edida positiva entre O P y O Q e interior al triángulo deter- minador por O . P y Q. C om o A y B no son paralelos entonces los tres vectores A , B y A - B tienen representaciones geom étricas que forman un triángulo. Em pleando la ley de los cosenos se puede demostrar que : C os0 = A - B Il A l l || B || (5) E je m plo 3 J D ados los vectores A = (1 , 2 , 1 ) y B = <2,1 ,-1>, determinar el ángulo entre A y B. Solución. A • B = (1 ,2 ,1 )*< 2 , 1,-1) = 2 + 2 - 1 = 3 I A I = Vi + 4 + 1 = V6 y || B || = V4 + 1 + 1 = Vó Luego , en la fórmula (5) : C o s0 = _ •' _ = - => 0 = 60° (Vó) (V6) 2 I Nota. Si se conoce el ángulo entre dos vectores , entonces de la fórmula (5) (6)A • B = ||A || ||B|| C os0 obtenemos una forma alternativa para calcular el producto escalar. I O B S E R V A C IO N 4.1 Vectores paralelos La fórmula (5) es también válida si los vectores A y B son paralelos , puesto que con A = r B se tiene r B - B r 11 B 112 r C os0 = r B B I r I ¡' B !12 r! Si r > 0 <=> C o s0 = I y si r < 0 <=> C os0 = -1. Entonces los vectores A y B son paralelos si y sólo si 0 = 0o o 0 = 180°, es d e c ir, si y sólo si C o s0 = ± I. Luego , la fórmula (5) se puede aplicar para decidir si dos vectores no nulos son paralelos o no. Sección 4.4.1 : Angulo entre dos vectores en R' 205 Ejemplo 4 j Determinar si los vectores A = (6 , -3 , -9) y B = (-2 , 1 , 3) son paralelos. Solución. Resolverem os el problema aplicando dos m étodos Método 1. Haciendo uso de la fórmula (5) C o s 0 = (6 , -3 , -9) « ( - 2 , 1 , 3 ) = - 1 2 - 3 - 2 7 = _, (V36 + 9 + 81) (V4 + 1 + 9 ) ( 3 Ü ) (Ó 4 ) C om o 0 = 180° <=> A |B Método 2. Escribiendo el vector A en la forma : A = r B En efecto , A = - 3 ( -2 , 1 , 3) = * A = -3 B .*. A = r B £=> A11 B ■ 1 Ejemplo 5 j Para qué valores de a y b los vectores A = (-2 , 3 , a) y B = (b , -6 , 2) son colineales? Solución. U sarem os el método 2 del Ejemplo 4 , esto e s , si r -2 = rb A 11B c=> (-2,3, a),= r<6,-6 ,2) <=> J 3= -6r =* r = - 1/2 L „ _ a = 2r de donde obtenem os : a = -1 y b =4 I O B S E R V A C IO N 4 .2 Vectores ortogonales D o s vectores A y B son ortogonales , si y sólo si la medida del ángulo comprendido entre ellos es 90° , esto es , si y sólo si C o s0 = 0. De la fórmula (5) se obtiene inmediatamente que los vectores A y B en R ' son perpendi culares si y sólo si A • B = 0 Ejemplo 6 j Dem ostrar que el vector V = (2 , -1 , 3) es ortogonal a los vectores A = <3 , 0 , -2), B = (1 , 8 , 2) y C = (1 , -4 , -2). Demostración. En efecto , hallem os el producto escalar de V con cada uno de los vectores dados A • V = (3 , 0 , -2) •(2 , - 1 , 3) = 6 + 0 - 6 = 0 B - V = (l ,8 , 2) *(2 ,-1 ,3) = 2 - 8 + 6 = 0 C • V = (I , -4 , -2) •(2 , -1 , 3) = 2 + 4 - 6 = 0 Por tanto , V es ortogonal a los tres vectores dados. ■
- 110. 206 Capitulo 4: Vectores en el espacio En este ejemplo se puede ob ser var que ningún par de los tres vectores A . B y C son paralelos. En realidad , en R ' , es posible obtener un número infinito de vecto res no paralelos , cada uno de los cuales es perpendicular a V. (Figura 4.10). Esto sugiere que el conjunto de representa- FIG U R A4.10 ciones geométricas de todos los vectores ortogonales a V cübre el plano comple tamente. 1 Nota. Los términos perpendicular, ortogonal y normal significan , esencialmente la misma cosa : encuentro en ángulos rectos. Sin embrago , se da preferencia a decir que dos vectores son ortogonales , dos rectas o planos son perpendiculares y un vector es normal a una recta o plano dado. r EJEM PLO S ILUSTRATIVOS i-------------- ^ I e jem p lo 1 J Hallar todos los vectores que son perpendiculares al plano formado por los vectores A = (5 , -1 , -2) y B = (2 , 3 , 4). Solución. D esignem os por C = (x , y , z) uno de los vectores buscados. S i C ± A o (x , y , z ) * (5, -1, -2) = 0 «=> 5x - y - 2 z = 0 (1) C 1 B => <x , y , z) •<2 , 3 , 4) = 0 *=> 2x + 3y + 4z = 0 . (2) Multiplicando (1) por 2 y sum ándole (2) obtenem os : y = -12x Multiplicando (1) por 3 y sum ándole (2) resulta : z = (17/2)x => C = < x ,-I2 x , H x> = -*-(2,-24, 17) Por lo tanto , V = n(2 , -24 , 17), n e R - {0 }, representa al conjunto de vectores que son perpendiculares a A y B. ■ , E je m plo 2 ^ Si A = (2 , -1 ,2 ), B = (1 ,2 ,-2 ), hallar dos vectores C y D en R que satisfacen las condiciones siguientes : A = C + D , B • D = 0 , C llB . Solución. S e a n : C = (x l , y , , z l) y D = ( x .,y ,,z ,) Si A = C + D <=> (2,-1 , 2) = (x, + x , , y, + y , , z, + z,) Sección 4.4 : Producto escalar de dos vectores en el espacio 207 <=> 2 = x, + x ; , -1 = y , + y 2 , 2 = z, + z, (1) B •D = 0 => (1 , 2 , -2) •(x: , y , , z,) = 0 <=> x, + 2y, - 2z, = 0 (2) C llB => C = r B c * (X|, y, ,z,) = r(l ,2 ,-2 ) <=> x, = r , y, = 2 r , z, = -2r (3) Sustituyendo (3) en (1) se tiene : x, = 2 - r , y 2= -1 - 2 r , z, = 2 + 2r Finalmente , sustituyendo en (2) , obtenem os r = - 4/9 c = | (-1 ,-2 ,2 ) y D = £ ( 2 2 , - 1 , 10) ■ ( Ejem plo 3 J Hallar un vector unitario perpendicular al plano formado por | los vectores A = (2 , -6 , -3) y B = (4 , 3 , -1) Solución. S e a C = (x , y , z) el vector normal al plano formado por A y B S i A ± C ■=> A •C = 0 <=> (2 , -6 , -3) •(x , y , z) = 0 <=> 2x - 6y - 3z = 0 B JL C o B •C = 0 => (4 ,3 , -1) •(x , y , z) = 0 <=>4x + 3y - z = 0 Resolviendo el sistem a para x e y , obtenem os : x = — z y = - - z ^ C = |-(3 , -2 , 6) = n (3 , -2 , 6), n € R - {0} 6 Por consiguiente : u = n (3 , -2 , 6)— = ± i (3 t _2 , 6) I n |'y + 4 + 36 e jem p lo 4 J El vector V es perpendicular a los vectores A = (1 ,1 , 1), B = (2 , 1 , -1) y forma con el eje O Z un ángulo obtuso , hallar el vector V sabiendo que 11V i I = '56. Solución. S e a el vector V = ( x , y , z) Si A 1 V «=> (i , i , l) * ( x , y , z) = 0 <=> x + y + z = 0 B X V <=* (2 , 1 , -1) •(x , y , z) = 0 <=> 2x + y - z = 0 Del sistem a de ecuaciones obtenem os : y = (-3/2)x , z = (l/2)x (1) c=> V = ( x , - | x , | x ) = y (2 , -3 ,1) S i| | V | | = V 5 6 = > |-^-| 4 + 9 + 1 = V56 <=>I x I= 4 <=> x = 4 ó x = -4 Dado que el ángulo y es obtuso . entonces C o sy < 0 , esto es /. < 0 Luego , en (1), para que z < 0 , debem os elegir x = -4 V = ( -4 ,6 ,-2 ) . ■
- 111. 208 Capítulo 4: Vectores en el e.ipaci ejemplo 5 ^ D o s vectores A = (2 , -3 , 6) y B = (-1 , 2 , - 2 ) están aplicados a un m ism o punto. Hallar las coordenadas del vector C , que tiene Ir m ism a dirección de la bisectriz del ángulo formado por los vectores A y B, si l|C = 3 4 2. Solución. S e a n : a = -- y - - y b = dos vectores unitarios en las direcciones de A y B respectivamente. Entonces el vector C tiene la m is ma orientación del vector unitario u = a + b . esto e s , C = r(a + b) = -1 < -I ,5 ,4 > = t(-l , 5 , 4 ) , t > 0 = * IIC || = t l + 25 + 16 <=> 342 = l'42 => t = 3 C = (-3 , 15 , 12) ■ r A/ Z jf / / / / ' B ^ b ----------------_> FIGURAh.11 Ejemplo 6 ^ Los vectores A y B forman un ángulo 9 = 30°, sabiendo que A | = 3 y 11 B 11 = 1 , hallar el ángulo a formado por los vectores V = A + B y W = A - B . . V3Solución. Si CosG = A - B A - B <=> A • B = 3/2 IA || II B If 2 ('3 ) ( I ) V = A + B = > | | V | | J = ||A||J+ 2 A - B + | | B l | J= 3 + 2(3/2) + 1 = 7 <=> l l v l l = V T Análogam ente , para W = A - B , obtenem os : 11W 11 = 1 V - W = (A + B) - (A - B) = 11A 112- 11 B 112= 3 - 1 = 2 Luego , si C o sa = - — W c* C o s a = -== o a = are C o s (2A/7) ■ IIVll || W || V7 ■ Ejemplo 7 Dado el segm ento A B , donde A(-1 , 2 , 4) y B(8 , -4., -2); hallar el ángulo C O D , si O es el ori gen de coordenadas y C y D son los puntos de tri sección del segm ento ÁB. Solución. Se a 0 la medida del ángulo C O D . Com o C y D son puntos de trisección del sgem ento A B , entonces : -^9- = '-L C B 2 r s r J D •y ( i J FIGURA 4.12 Sección 4.4 : Producto escalar de dos vectores en el espacio 209 Esto es ; C B = 2 A C <=> B - C = 2 (C - A) d e d on d e :C = y ( 2 A + B ) o C D es punto medio de C B , luego B) = ; C • D <2 , 0 , 2) •(5 , -2 , 0) dedonde :C = 1 ( 2 A + B ) => C = ± « - 2 , 4 ; 8) + (8 , -4 , -2)) = <2 , 0 , 2) D = y (C + B) = y «2 , 0 , 2) + <8 , -4 , -2)) = (5 , -2 , 0) Si CosG = (2%/2 )(r29) V58 0 = are Cos(5/ 58 ) f ejemplo 8 ^ En la Figura 4.13 se tiene el paralelepípedo de dimensiones: O A = 4 , O B = 5 y O C = 3. Hallar el coseno del ángulo formado por el vector V = 5 a + b - c y el vector W = (-1 , 2 , 0 ), si11 a I = V2 , 11 b 11 = 5 y IIC || =10. Solución. Haciendo coincidir las aristas O A , O B y O C con los ejes X , Y , Z , respectiva mente , de un sistem a cartesiano tridimensional , se tiene : A(4,0 ,0 ), B (0 , 5 , 0), C (0 , 0, 3), D (4 ,5 ,0 ), E (0 , 5 ,3) «=> C A = <4, 0 , 0) - (0 , 0 , 3) = (4 , 0, -3) C D = (4, 5,0) - (0 ,0 , 3) = <4, 5 , -3) D E = ( 0 , 5 , 3 ) - < 4 , 5 , 0 ) = < - 4 , 0 , 3 ) _ Un vector unitario en la dirección y sentido de C D es r< 4 ,5 ,-3 ) r r > F. yfVa s / 1 r / 1 / ¡ / 1 cJ i f OJ.-- / bJ B ' / / !/ V n , FIGURA 4.13 « = - S & - II C D a = 1 ( 4 , 5 ,-3 )- a = ||al| o = V 2 Í v 50 Análogam ente : b = 11 b 11 ) = 5 ^ 4 ’^ <=> b = (-4, 0, 3) IICÁIK " v 5 Luego : V = 5 a + b - c = <4 , 5 , -3) + (-4 , 0 , 3) - <8 ,0 , -6) = (-8 , 5 , 6) C os0 = V - w < -8 , 5 , 6) • <-1 , 2 , 0 ) 18 IIVll II W || (64 + 25 + 36 ) ( 1 + 4 )
- 112. 210 Capítulo 4: Vectores en el espacio EJERCICIOS : Grupo 24 1. D a d o s los vectores A = (5 , -2 , 1>, B = <6 , 1 , -4) y C = <1 , 2 , 1>, calcular el producto de las com ponentes de un vector X . tal que : A * X = 3 , B * X = 62y C - X = 15. 2. S i A = (3 , 3, -1) y B = (-1 , -2 , 4), hallar un vector no nulo C e R ’ , tal q u e : A • C = B • C = 0 . (Hay infinitas soluciones) 3. S i A + B + C = 0 ,| lA | | = 3 , 11 B !| = 4,||C|| = 6 , hallar A • (2 B - A). 4. Sabiendo q u e : 11A 1= 3, Í B l = 1 , | I C l | = 4 y A + B + C = 0, calcular la suma A•B-f B•C+A•C. 5. D a d o : II A II = 11 , 11 B 11 = 23 y II A - B ||= 30 , h a lla rIIA + B II 6. D a d a s tres fuerza : F, = <3 , -4 , 2). F2= <2 , 3 , -5> y F3= (-3 , - 2 , 4 ) , aplicadas a un punto , calcular el trabajo realizado por la resultante de estas fuerzas si el punto de aplicación se desplaza en su movimiento rectilíneo de la posición A(5 , 3 , -7) a la posición B ( 4 , -1 , -4). (Sugerencia : Trabajo , W = F •e , e = AB). 7. H allar to d o s lo s ve c to re s que so n o rto g o n a le sa c a d a unodevectores A = (1 , 3 , -2) y B = (2 , -4 ,1). 8. Hallar los vectores unitarios que son normales al plano determinado por los puntos A(3 , - 6 , 4 ) , B(2 ,1 ,1) y C(5 , 0 , -2). 9. Si A = <3 , -1 , 2) y B = (1 , 1 , -4), hallar dos vectores C yDeR ’ quesatisfacen las condiciones siguientes : A = C + D , B * D = 0 , C B. 10. El vector A es ortogonal a los vectores B = <3, 2 , -1) y C = <-1 .2 ,2) y forma con el eje O Y un ángulo obtuso. Halle el vector A sabiendo que su magnitud es 10 V5: 11. Para qué valores de m , los vectores A = (m , -2 , 1 ) y B = 2 m i + m j - 4 k son ortogonales. 12. El vector X es ortogonal a los vectores A = <2 , 3 , -1) y B = (1 , -2 , 3) y satisface la condición : X • <2 i - j + k) = -6. Hállese su s coordenadas. 13. Hallar el ángulo que forman el vector A que va de P(4 , -9 , 3) a Q (3 , - 5 , 2 ) con el vector B que va de R(2 , 4 , -7) a S(4 , -1 , -2). 14. Hallar el coseno del ángulo 0 entre las diagonales A C y B D de un paralelogra mo si están dados tres de su s vértices : A(2 , 1 , 3 ), B(5 , 2 , -1) y C(-3 , 3 , -3). 15. Hallar un vector unitario paralelo al plano X Y y ortogonal al vector A = (4 , *3 , 1). 16. El vector B es ortogonal al vector j = (0 ,1 ,0) y al vector A = (-3 ,8 ,4 ). Si adem ás Ejercicios de la Sección 4.4 211 B forma un ángulo obtuso con el vector k = (0 , 0 , 1 ) ; hallar el vector B sabiendo que su norma es 10 unidades. 17. Los vectores A y B forman entre si un ángulo de 45° y 11A | = 3. Hallar I B |de manera que A + B forme con A un ángulo de 30°. A B 18. Si A y B son vectores no nulos y no paralelos , dem ostrar que IIA || || B || forma ángulos iguales con A y B. 19. Los vértices de un triángulo son A(-2 , 3 , -1), B(1 , 1, 5) y C(-1 , 5 , -3). Hallar el vector en la dirección de la bisectriz del ángulo B A C , si la norma del vector es 22Í. 20. El vector X e s ortogonal a los vectores A = (3 , 2 , 2) y B = (18 , -22 , -5) y forma con el eje O Y un ángulo obtuso. H allar s u s com ponentes sabiendo que 11 X 1 = 1 4 . 21. D ados los vectores A = <3 , 5 , 2) y B = (-4 , 0 , 3 ) , tales que A = C + D , siendo C paralelo a B y ortogonal a D , hallar C y D. 22. Si u y v son vectores unitarios de R ' tales que u • v = 1/4 , hallar I u + v I . 23. D ados los vectores a = <2 , -1 , 1), b = <1 , 2 , -1) y c = (1 , 1 , -2) de R ' ; hallarlos vectores d e R ' tales que :d = x b + y c ; x , y e R , d e s unitario y adem ás d es ortogonal al vector a. 24. El segm ento de una recta , limitado por los puntos A(-1 , 8 , 3) y B(9 , -7 , -2), está dividido en cinco partes iguales por los puntos C , D , E y F . Hallar el coseno del ángulo D O E , donde O es el origen de coordenadas. 25. En la Figura 4.14 se tiene un paralelepípedo de dim ensiones : O A = 3 , O B = 4 y O C = 5. Hallar el ángulo que forman los vectores V = a - 2 b + 2 c + d + e y W = 2j + k. 26. En la Figura 4.15 , A B C D E F es un cubo. Hallar el co se n o del ángulo formado por los vectores S = a, + a2 + a 3+ a4 + a5 y V = (-1 , 2 , 2). FIGURA 4.14 FIGURA 4.15
- 113. 212 Capítulo 4: Vectores en el 27. El vector A es ortogonal a los vectores B = (2 , -1 ,3) y C = <1 , 0 , -2), y forma un ángulo agu d o'co n el vector j = (0 , 1 ,0). Hallar el vector A sabiendo que su norma es 3V6. 28. Se a n los vectores A = <1 , m , 5) y B = <-6m , m , 1>. Hallar m de modo que el ángulo que forman A y B sea, respectivamente , recto , agudo y obtuso , y las com ponentes de A y B cuando su producto escalar es mínimo. 29. Sean A y B vectores en R ' con V * O y r una constante no nula. Demostrar que el vector W = A - B , es ortogonal a r B. llB | | - a J 30. Los vectores A , B y C tienen longitudes iguales y forman dos a d os ángulos iguales. Hallar las coordenadas del vector C , s i A = i + j , B = j + k 4.5 j PR O Y EC C IO N O RTO G O NA L Y C O M P O N E N T E S La definición de proyección ortogonal de un vector sobre otro ve c to r, es análoga a aquella que se hace para dos vectores en R-. Esto es , si A y B e R ', entonces: ________________________ P ro y “A = ( ^ B (7) En efecto , por la Figura 4.16 , hacem os V = ProyBA y com o V es múltiplo escalar de B podem os escribir A = V + C = rB + C Efectuando el producto escalar en am bos extre m os con B , tenem os A - B = (rB + C ) * B = r||B||: + C - B Dado que C y B son ortogonales , C • B = 0 , por lo que A * B r z I . B V A • B = r I B >=> r = B FIGURA 4.16 - , y si V = i B => V = f A * B ) B - Vil n II2/ FIGURA 4.17 FIGURA 4.18 Sección4.5: Proyección ortogonal y componentes 213 En particular considerem os las Figuras 4.17 y 4.18 , en las que aparecen las representaciones geom étricas de los vectores no nulos A y B y la ProyBA. Podemos observar lo siguiente. 1. El vector B y la ProyBA son paralelos (colineales) 2. Cuando el ángulo 0 es agudo , B y ProyBA tienen el m ism o sentido. 3. Cuando el ángulo 0 es obtuso , B y ProyaA tienen sentidos opuestos 4. Si B y Proy8A son ortogonales , entonces ProyBA = 0, o se a . A 1 B PRO PIED AD ES. 1. Proyc(A + B) = ProycA + ProycB 2. ProyB(rA) = r ProyBA 3. ProytBA = ProyBA La componente o proyección escalar de un vector A sobre otro vector B , denotado por C om p BA , se expresa mediante su módulo y el ángulo 0 que forma con el vector B . por la fórmula C om pBA = 11A 11C os0 Si aplicamos la ecuación (5) a esta fórmula obtenem os el número real C o m p A = A - B ¡IB |[ (8) Ahora bien , la proyección de A sobre B puede escribirse com o un múltiplo escalar de un vector unitario en la dirección de B. Esto es , de la fórmula (7) ProysA= ñfn entonces la proyección ortogonal y la componente están relacionados por P ro y BA = (C o m p BA) B II B || (9) En donde podem os observar lo siguiente 1. Si C om p BA > 0 , entonces los vectores B y ProyBA tienen el m ism o sentido 2. SiC om pBA < 0 , entonces B y ProyBA tienen sentidos opuestos. 3. Si C om p BA = 0 , entonces B _L Proy0A ,o bien , A 1 B 4. Si en la ecuación (9) tom am os m ódulos a am bos extremos obtenem os 11 ProyeA 11 = I C om p BA <=* C om pBA = ± 11 ProyBA 11 De aquí que a la com ponente se le define también com o la magnitud dirigida de la proyección.
- 114. 214 Capitulo 4: Vectores en el espacio Sección 4.5 : Proyección ortogonal)' componentes 215 J EJEM PLO S ILUSTRATIVOS )- e je m p lo 1 ] S e d a n los vectores A = (-2 ,1 ,1 ), B - ( 1 , 5 , 0 ) y C = 4¡ + 4j-2k. Calcular C om p c(3 A - 2 B). Solución. 3 A - 2 B = <-6, 3, 3> - (2 , 10,0) = <-8 . -7. 3) Luego , haciendo uso de la fórmula (8) obtenem os (-8 , -7 , 3) •<4 , 4 , -2) - 3 2 - 2 8 - 6 C om pc(3 A - 2 B) = 16 + 16 + 4 C jcm plo 2 ) Se an los vectores A = ( 5 , 4 , 1 ) y B = (-2 ,6 ,3 ). Hallar un vector C que e s ortogonal al vector V = (2 , 1 ,0 ) que satisface las condiciones : A • C = 1 y C om pBC = -2/7 Solución. Se a C = (x , y , z) el vector buscado Si C J_ V o (x , y , z)*<2 , 1 , 0) = 0 <=> 2 x + y = 0 (1) A •C = 1 => <5 , 4 , 1) •(x , y , z) = 1 < = > 5 x + 4 y + z = l (2) Com p C = - 1 => -X -’ y ’ = - -| «=> -2x + 6y + 3z = -2 (3) V4 + 36 + 9 7 ' ' Resolviendo el sistem a de ecuaciones (1), (2) y (3), obtenem os : x = l , y = -2 , z = 4 C = <1 ,-2 ,4 > ■ Ejemplo 3 ) Calcular la distancia del punto P(3 , 2 , 1)a la recta que pasa por los puntos A(-3 , -6 , -3) y B(1 , 2 , 9) Solución. La Figura 4.19 muestra al punto P y la recta 2' que pasa por A y B. El punto H es el pie de la perpendicular a la recta % bajada desde P Si d es la distancia 11 PH 11 , entonces por el teorema de Pitágoras d = yíÁP112- 1A H 12 (1) Á P = P - A = <3 . 2, 1> - (-3 , -6 , -3) = <6 , 8 , 4> FÍGURA4.19 => 11Á P 11 = 2 9 + 16+ 4 = 2V29 (2) Á B = B - A = (1 , 2, 9) - (-3 , -6, -3> = 4(1 , 2 , 3) f " ' p d f >< I B _34 V Í4 = (3)IÁ H I = C om p-gÁP = « IÁ H | = 2 <3 - 4 ' 2> - 4 < l ' 2 ' 3-) AB llA B lI 4Vl + 4 + 9 Si se sustituye los valores de (2) y (3) en (1) resulta d= a/(2V29y - = y 1 8 2 (^ e je m p lo 4 J S e dan los vértices de un triángulo : A(-1 ,-2 , 4) , B(-4 ,-1 , 2) y C(-5 , 6 , -4). B D es la altura del triángulo trazado por el vértice B. Hállese las coordenadas del punto D. Solución. En el A A D B : D B = A B - A D c=> D B = A B - P ro y ^ A B ÁB = B - A = (-4 , -1 , 2) - <-1 , -2 ,4) = <-3 , l , -2) ÁC = C - A =<-5 , 6 , -4>-<-l , -2 , 4 > -4 < -l , 2. -2> (1) ProyB-cA B = <-3 , 1 , -2) •<-1 , 2 , -2> (-1 ,2 ,-2 ) (Vi + 4 + 4 )2 de donde obtenem os : P ro y ^ A B = <-1 , 2 , -2) Luego , en (1): D B = (-3 . 1 , -2 )- <-1 ,2 , -2) = (-2 ,-1 ,0 ) r M ka” ' ñ V -------------- J FIGURA 4.20 D = B - D B = <-4 , -1 , 2) - (-2 , -I , 0) = <-2 , 0 , 2) ejemplo 5 J L o s vértices de un triángulo son A(2 , -1 , -3) , B(1 , 2 , -4) y C (3 , -1 , -2). Hallar el vector V que e s colineal a la altura bajada del vértice A al lado opuesto si se sabe que I V 11 = 2 17 Solución. En el A B H A : A H = BH - B A c=> AH = ProyB- B A - B A BA = A - B = <2,-1 , -3) - <1 , 2 , -4) = (1 ,-3 ,1 ) B C = C - B = <3 , -1 , -2) - <1 , 2, -4) = <2, -3 , 2) D- A <1 ,-3 , !)• <2 , -3 , 2) (1) ProyB-cB A = (4 + 9 + 4 ): < 2,-3 , 2) = < 2 ,-3 ,2 ) M KB H V > FIGURA 4.21 Entonces , en (1) se tiene : A H = jy (2 , -3 , 2) - <1 , -3 , I) = y y <3 , 4 , 3) Un vector unitario en la dirección de A H es : u = <3 ,4 , 3) Í34 3
- 115. 216 Capítulo 4: Vectores en el espacio C om o V es colineal con AH , entonces : V = 11V 11 u ... V = (2 V ¡7 ) = V 2 ( 3 , 4 , 3 ) E je m plo 6 j Dado el triángulo A ( 6 , 8 , 0 ) , B (-5 ,7, -10) y C (7 ,-5 ,1 4 ); hallar, a) El pie de la altura que cae sobre el lado BC. b) Las coordenadas de un punto D, de manera que A B C D se a un trapecio isósceles. c) El área del trapecio. Solución. E n e lA B H A : H A = B A - BH <=> H A = B A - P ro y ^ B A (1) B A = A - B = (6, 8 ,0 )- (-5 . 7, -10> = <11 , 1 , 10) B C = C - B = (7 , -5 , 14)-<-5, 7,-10 )= 12(1 , -1 ,2) P,°yB B A = < » '■ ; ■ “ » • < ' 2> . (V1 + 1 + 4)- = 5(1 , - 1 ,2) a) En (1) se tiene : H A = ( II , 1 , 10) - (5 ,-5 , 10) = (6 , 6 , 0) /. H = A - (6 , 6 , 0) = (6 , 8 , 0) - (6 , 6 , 0) = (0 , 2 , 0) b) ll B C l l = 12 VI + 1 + 4 = 12 Vó ; 11 BH 11 = 11 P ro y ^ B A 11 = 5 ^ 6 C om o el cuadrilátero A B C D e s un trapecio isó sce le s , II B H II = II E C || , entonces 11A D 11 = 11 B C 11 - 2 11BH 11 = 126 - 106 = 2V6 Un vector unitario en la dirección de B C es : t '(1 ,-l ,2) Si A D 11 B C <=> A D = 11A D 11 u = 2 ó ( - Vó ( = (1 ,-1 ,2) Vó ) = ( 2 , - 2 . 4 ) D = A + <2 , -2 , 4) = (6 , 8 ,0) + (2, -2 ,4) = (8 ,6 , 4) c) Area del trapecio : S = -¿*(11 B C 11 + 11ÁD 11)11 HÁ11 S = ^- (12 Vó + 2 Vó) 6 V2 = 84 V3 u- Sección 4.5: Proyección ortogonal y componentes ______217 EJER C IC IO S: Grupo 25 1. Se an los puntos A(2 , 3 , 1), B(5 , -9 , 4) y C (6 , -7 , 2). Si P divide al segm ento Á B en la razón A P : P B = 1 : 2 , hallar la norma de la proyección Á P sobre el vector BC. 2. Si A = (4, -2 ,1 ) y B = <2, -1 ,4), hallar la componente del vector V = 3 A - 2 B sobre el vector W = 2 A + 3 B. 3. Si A = (2 ,3 ,1 ) y B = (2 ,1 , -3), calcular la proyección del vector V = 3 A - 2 B sobre el vector W = B - 3 A. 4. Hallar la com ponente del vector V = (4 , -3 , 2) sobre el eje que forma con los ejes coordenados d os ángulos a gu d o s iguales. 5. Hallar la com ponente del vector V = (2 , -3 , -5) sobre el eje que forma con los ejes coordenados O X y O Z los ángulos a = 45° , y = 60° y con el O Y un ángulo agudo (3. 6. S e dan los puntos A(3 , -4 . -2), B(2 , 5, -2). Hallar la componente del vector A B sobre el eje que forma con los ejes coordenados O X y O Y los ángulos a = 60°, (3 = 120° y con el eje O Z un ángulo obtuso y. 7. Calcular la distancia del punto P(2 , -1 , -4) a la recta que pasa por los puntos A(3 , -2 , 2) y B(-9 , -6 , 6). 8. D ado los vectores A = (1 , 2, 3 ). B = (2 , 1 , -3) y C = (3 , -4 , 2); hallar todos los vectores de norma 1 3 9 paralelos al vector ProyAC + Proy8C. 9. Hallar C o m p B A , s i A + B + C = 0 y |Ia | | = 3 , | | B | | = 6 , | | c ! | = 7 10. Los vértices de un triángulo son los puntos A(2 , 3, -1), B(5 , 1 , 1) y C(6 , 4 , -2). Hallar un vector V que es colineal a la altura bajada del vértice B al lado opuesto si se sabe , adem ás que 11V 11 = 6 . 11. S e dan los vértices del triángulo : A(-1 , 3 , 4 ) , B(-5 , 6 . -4) y C(1 , 2 , 6) ;B D es la altura del triángulo trazada por el vértice B. Hallar las coordenadas del punto D. 12. Los puntos A(2 , 7 , 0 ) , B(0 , 4 , 4) y C(1 ,1 ,2) son los vértices de un trapecio isósceles A B C D tal que Á B es una de su s bases. H a lla r: a) El pie de la altura C H que cae sobre AB. b) El vértice D. c) El área del trapecio.
- 116. 218 Capítulo 4: Vectores en el espacio 4.6 j C O M B IN A C IO N LIN EA L DE V E C T O R E S EN R* Se a n los vectores no paralelos y no nu los , A , B y C dados en un sistem a tridimensio nal. Si gráficamente un vector V del espacio po dem os expresarlo com o una sum a de com po nentes vectoriales r A , s B y t C , que son múlti plos escalares de A , B y C , entonces se dice que el vector V se ha expresado com o una com binación lineal de los vectores A , B y C (Figura 4.23). E s decir V = r A + s B + tC Ahora bien, todo vector V e R ’ se puede expresar com o una sum a de múltiplos escalares de versores básicos : i = <1 , 0 , 0), j = (0 , 1 ,0) y k = <0, 0 , l>. ' En efecto sean <x , y , z) las com ponentes del vector V , entonces podemos escribir : V = < x , y , z) = (x , 0 ,0 ) + (0, y , 0) + ( 0 , 0 , z) = x(l ,0 ,0 ) + y<0, 1 ,0) + z< 0 ,0 , 1) <=* V = xi + yj + z k DEFINICION 4.1 Dependencia e independencia lineal de vectores en R ’ Un sistem a de vectores {A , B , C se llama linca/mente dependiente , cuando , y sólo cuando , los vectores A , B y C son coplanares, es decir , son paralelos o coincidentes a cierto plano (Figura 4.24). S e dice que tres vectores A , B y C s R- , son lineahnente independientes , si y sólo s i , A . B y C no son coplanares (Figura 4.25) FIGURA 4.24 FIGURA4.25 Sección 4.6 : Combinación lineal de vectores en R ' 219 Criterio de Independencia Lineal Tres vectores A . B y C e R ' , son linealmente independientes si se verifican las condiciones siguientes r A + s B + tC = 0 <=> r = 0 , s = 0 , t = 0 (8) DEFINICION 4.2 liase y coordenadas de un vector en R ' Una terna ordenada de vectores no coplanares A , B y C lleva el nombre de base en el conjunto de todos los vectores geométricos. Sab em os que todo vector geom étrico V puede ser representado unívocam ente en la forma V = r A + s B + iC (9) los núm eros r , s y t se denom inan coordenadas del vector V en la b ase p = { A , B , C }. Motivo por el cual a la notación (9) se le denom ina también . descom posición del vector V según la base p. r EJEM PLO S ILUSTRATIVOS } 1 Ejemplo 1 ~} S e a dado la terna de vectores no coplanares A, = (1 , - 2 , 0 ) , A 2= <1 , 2 , -2) y A 3= (3 , 7 , -5). Calcúlese las coordenadas del vector A = 2 i - 3 j + k en la base P = {A, , A 2 . A 3i y escribir la descom posición correspondiente se gú n la base. Solución. Si A, , A, y A, son vectores no coplanares , entonces existen r , s , y t e R, tales que : A = r A, + s A, + t A, { 2 = r + s + 3 1 -3 = -2 r+ 2 s + 7t 1 = -2 s - 5 1Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : r = 2 , s = - 3 y t = I Luego , el vector A en la nueva base se escribe com o (2 ,-3 , I) o equivalentemente: A = 2 A, - 3 A, + A , ■ Ejem plo 2 j En el tetraedro O A B C la m ediana A M de la arista A B C se
- 117. 220 Capitulo 4: Vectores en el espacien divide por el punto P en la razón A P : P M = 3 :7 . Hallar las coordenadas del vector OP en la base de las aristas O A . O B y OC. Solución. S i A E = A ^ AP. _ J_ P M 7 A M 10 En el triángulo O A P , se tiene : è O P = O A + A P t=* O P = O A + — A M Pero, A M = O M - O A y com o M es punto medio de B C , entonces Á M = 4- (Ó B + Ó C ) - Ó Á Al sustituir en (1) obtenem os O P = Ó A + ] ^ ( y Ó B + y Ó C - Ó A) “ i7o ° A + To°~B + é °~ c_ Por consiguiente , las coordenadas de O P en la base (3 = 'O A , Ó B , Ó C ’- son (7/10,3/20,3/20) ( • ~ E je m plo 3 J Sean dados los vértices de un triángulo, A(1 , -1 , -3), B(2 ,1,-2) y C(-5 , 2 , -6). Calcular la longitud de la bisectriz de su ángulo interior en el vértice A. Solución. Se a n u y v los vectores unitarios de A B y A C respectivamente Com o A E 11(u + v ) , entonces 3 t > 0 , tal que 4 1 — + 4 P ) (1) .. A B II l l A C l l ' Por otro lado : A E = A C + C E = Á C + r C B = Á C + r(Á B - ÁC ) = rÁ B + (1 - r)Á C , r > 0 (2) Las ecuaciones (1) y (2) representan en si dos descom posiciones del vector AE según la base formada por los vectores A B y AC. Siendo única la descom posición de un vector según la base, tenem os A E = t(u + v) = t ( - 4 1 AP r = I A B í = IIÁCll Sección 4.6 : Combinación lineal de vectores en R' 221 Resolviendo el sistem a obtenem os : t = Luego, en (1): Á E = ( _ l,1A C l, L - - ) Á B + = 3 a c j. U r / ' a p llA B lI llA C ll I I Á Í I I + I I Á C I I Á B Il A B II + | | Á C | | ' ' I I Á B II + 11A C 11 S iÁ B = B - A «=> Á B = (2 , I , -2) -<1 , -l , -3> = (I , 2 , 1) => ||ÁB || = 6 ÁC = C - A ■=> Á C = (-5 ,2 , -6) - (1 , -1 , -3) = ( -6 ,3 , -3) => 11 Á C 11 = 36 (3) A E = j ( l , 2 , I > + ^- (-6 , 3 , -3) = -j (-1 , 3 , 0 ) «=> I IA E I I = ^ 1 0 Ejemplo 4 J Se a n dados los puntos A(2 , 5, 2) y B(14 , 5 , 4 ) ; C es elpunto [ de intersección del plano coordenado O X Y conuna recta tra zada por el punto B paralelamente a la recta OA. Hallar las coordenadas de C. Solución. S e a el punto C (x , y , 0) En el triángulo O C B se tiene : OB = O C + C B = (x i + y j) + rO A => (14, 5 , 4> = x (l ,0 , 0 ) + y ( 0 , I , 0) + r (2 , 5 , 2) 14 = x + 2r{ 1 — A T 5 = y + 4 = 2r <=>-< 5 = v + 5 r ■=> r = 2 de donde obtenem os : x = 10 , y = -5 <=> C( 10, -5 ,0) FIGURA 4.28 Ejemplo 5 J S e d a n los vectores A =(-2 , 0 , 1), B = (1 .-2 , 0 )y C = (1 ,1 ,1). Hallar la proyección ortogonal del vector A en el plano de los vectores B y C. Solución. Trasladam os los vectores A . B y C a un origen com ún , tal com o se indica en la Figura 4.29. Sea V = ProyB CA (Proy. de A en el plano de B y C) Como los vectores B y C son linealmente indepen dientes , constituyen una base del vector V , esto es 3 r , t tales que V = r B + t C = r ( l , -2 ,0 ) + t (1 , I , I) (1) Adem ás , si V está en el plano de B y C , entonces r ■ a / i n - A ' cV ^ v > > FIGURA 4.29 n = A - V será ortogonal a B y C , e s d e c ir: (A - V) • B = 0 y (A - V) • C = 0
- 118. 222 Capítulo 4: Vectores en el espacio A - V = (-2 , 1 ,0) * r(l , -2 , 0) - t(l , 1 , 1) = (-2 - r - 1, 2 r - 1 , I - 1) => < - 2 - r - t , 2 r - t , 1 - t ) - ( l ,- 2 , 0 ) = 0 <=> t - 5 r - 2 = 0 (-2 - r - 1 , 2 r - 1 , 1 - 1) •<1 , 1 , 1) = 0 <=> 3 t - r + 1 = 0 Resolviendo el sistem a (2) y (3) obtenem os : r = t = -1/2 Por lo tanto , en (1): V = <-l , l/2,-l/2) (2) (3) EJER C IC IO S: Grupo 26 1.- D em uéstrese que para cualesquiera vectores d ad os A . B y C , los vectores A + C . B + C y C - A son coplanares. 2. Se a n dados tres vectores no coplanares A , B y C. D em uéstrese que los > vectores A + 2 B - C . 3 A - B + C . - A + 5 B - 3 C son coplanares. 3. Se an dados tres vectores no coplanares A . B y C. Hallar los valores de X , para 3 los cuales los vectores XA + B + C , A + XB + C , A + B + XC . son coplanares. 4. S e dan tres vectores : A = <3 , -2 , 1), B = <-1 , 1 , -2) y C = <2 , 1t -3). Hallar la descom posición del vector D = <11 , -6 , 5) en la base p = { A , B , C }. 5. Se a n cuatro vectores: A = <2 ,1, 0), B = (1 , -1 ,2 ), C = <2 ,2, -1) y D s (3, 7, -7). 1 Hallar la descom posición de cada uno de estos vectores tomando por base i los otros tres. 6. Fuera del plano del paralelogramo A B C D se ha elegido un punto O. En la base . de los vectores O A , O B y O C hállese las coordenadas a) del vector O M , donde M es el punto de intersección de las diagonales del paralelogram o. b) del vector O K , donde K es el punto medio del lado AD. 7. Si B(6 , -3 , -2) y C(-2 , 3 , 6 ) son puntos de R ' , hallar un vector V que biseca el ángulo formado por los vectores O B y Ó C , donde O es el origen de coordena das. (Guía: Ejemplo 3). 8. Se an dados los puntos A(1 , 2, 3), B(2 , -2 , 1), C (3 , 0 . 3) y D(16 , 10 . 18). E e s un punto de intersección del plano O A B (O es el origen de coordenadas) con una recta trazada por el punto D paralelamente a la recta Ó C. Hallar las coor denadas del punto E. (Sugerencia : D esarróllese el vector O D se gú n una base formada de los vectores O A , O B y OC). 9. S e a dada la terna de vectores no coplanares A, = (1 , 0 , 0 ), A 2 = (1 , 1 , 0) | y A 3 = <1 , 1 , 1). Calcular las c o o rd e n a d a s del vector A = -2 i - k en la base P = •A, , A 2 , A J y escribir la descom posición correspondiente según la base. 10. Se dan los vectores A = (1 , -3 , 0 ), B = (1 , -1 , 2) y C = (0 , 1 , -2).Hallarla proyección ortogonal del vector A en el plano de los vectores B y C. 11. Si A = <1 , 3 , 1 )y B = < 2 ,0 , -1), determinar un vector C tal que {A + B , A - B , C } sea una base de R 12. Se dan los vectores A = <1 , -2 , 0 ), B = (0 , 1 , 2) y C = <1 , 0 , 1 ) . Hállesela proyección ortogonal del vector A en el plano de los vectores B y C ¡Sección 4.7: El producto vectorial___________________________________________ 223 4.7 j EL PRO D U CT O V E C T O R IA L___________________________ ¿ En las aplicaciones de los vectores en el espacio es frecuentemente ne- ,cesario construir un vector no nulo que se a ortogonal a d os vectores dados A y B. En esta sección se estudia un producto que nos conduce a dicho vector. S e le llama producto vectorial o producto cruz , se le denota por A x B y su definición que se da a continuación e s puramente algebraica. DEFINICION 4.2 El producto vectorial Se a n A y B vectores en R- tales que A = ü,¡ +a j + a ,k y B =6,1 + fc,j +bM entonces el producto vectorial de A y B es el vector que se define por A x B = (a ,b3- a yb2)¡ - {a ,by- a i b,)j + ( a ,b2-a ,b,) k (10) Por ejemplo, si A = <2,-1 ,3) ■=> a t = 2 , a, = -l , «, = 3 y B = <3 , 1 .-1) => ¿, = 3 , bz= 1 ,b y= - 1 Luego , por la fórmula (10) se tiene A x B = [(-1)(-1) - (3)( 1)] ¡- [(2)(-1) - (3)(3)] j + [(2)( 1) * (-1 )(3)] k = (1 - 3 ) ¡ - ( - 2 - 9 ) j + (2 + 3)k = - 2 i+ 11 j + 5 k | O B S E R V A C IO N 4.3 C om o resulta com plicado m em orizar la fórmula (10) , se recomienda el uso de determinantes de segundo orden y matrices de 2 x 3 ; tem as que serán estudiadas en capítulos posteriores. Pero dada la utilidad de su em pleo para el cálculo del producto vectorial , e s conveniente introducir las siguientes ideas
- 119. 224 Capítulo 4: Vectores en el espacio 1. Ll s ay b f ' b . = « A * a h ' = -(a fa -a fr) = a p 2-a p x 2. Formar la matriz de 2 x 3 : M = _ r a a 2 a y i " U 6, -I donde los elementos de la primera fila son las com ponentes del vector A y los elementos de la segunda fila son las com ponentes del vector B. Entonces , el producto vectorial A x B queda definido por A x B -< a2 lly b, b. a [ a. (11) en la que cada componente es el valor de un determinante de segundo orden, que resulta de eliminar en la matriz M la primera , segunda y tercera columna respectivamente. Ejemplo 1. D ado s A = (2 ,-1 , 3) y B = (3 , 1 , -1>, hallar a) A x B , b) B x A , c ) A x A [ i . i 3 1 3 1 -1 J Luego , por la fórmula (11) se tiene : II GQ X < M 3 2 3 2 -11 I 1 ’I 3 -1 3 11!> = <1 - 3 , -(-2 - 9), 2 - (-3)> = (-2 ,1 1 ,5 ) b) Form am os la matriz : M = 3 1 1 L 2 -I 3 J -< l => B x A 1 "'I I3 ''I I3 I 31 I2 3 1 I2 = ((3-1 ),-(9 + 2),(-3 -2) = (2,-11 ,-5) : i > Sección 4.7 : Elproducto vectorial 225 Nótese que se obtuvo el mism o resultado de la parte a) pero con signo cam biado , esto es . A x B = -(B x A) c) Form am os la matriz : M = I" “ 1 '1 ■ L2 -I 3 J => A x A - / I *1 3 |,-|2 3 |,|2 - 'l > l-l 3 L 12 3l l2 -ll / = (0 , 0 , 0) = O Los resultados de este ejemplo sugieren algu n as propiedades algebraicas del producto vectorial , que entre otras , se anuncian en el teorema siguiente. ■OREMA 4.2 Propiedades algebraicas del producto vectorial Si A , B y C son tres vectores del espacio y r e R e s un escalar, entonces se verifican las propiedades siguientes. PV.1 : A x (B + C) = (A x B) + (A x C) PV .2 : (A + B) x C = (A x C) + (B x C) P V .3 : r(A x B) = (r A) x B = A x (i B) PV .4 : A x B = - (B x A) P V .5 : A x 0 = 0 x A = 0 PV .6 : A x A = O PV .7 : A x (B x C) * (A x B) x C PV .8 : A x (B x C) = (A • C) B - (A •B) C PV .9 : 11 A x B 11- = 11A 11- |¡ B 11- - (A • B)- Distributividad por la izquierda Distributividad por la derecha Asociatividad escalar No conmutatividad No asociatividad vectorial (Identidad de Lagrange) Demostración. S e dem ostrará la novena propiedad. S e dejan com o ejercicio el resto de las dem ostraciones. En efecto , elevando al cuadrado la norma del vector de la Definición 4.2 se tiene : A x B |- = {a:bx- a.b2)2+ {apy- a,¿?,): + {ajb, - aj?i)2 (1) y del producto interno A • B = atbt + a i , + a,6, se sigue que 11A11 2 11 B 11- - A - B = (a,- + a21+ a 3’) ( V + b22+ ¿y ) - + aj>: + a A )1 (2) Efectuando las operaciones que aparecen en los se gu n d o s m iem bros de (1) y (2) comprobaremos que son idénticas , por tanto 11A x B 11- = 11A 112 11 B 112- (A • B)=
- 120. 226 Capítulo 4: Vectores en el espacio TEOREMA 4.3 Propiedades geométricas del producto vectorial Si A y B son vectores no nulos de R ' y 0 es el ángulo entre A y B , entonces se verifican las propiedades siguientes 1. A x B e s ortogonal simultáneamente a los vectores A y B 2. II A x B l I = 11A !I 11 B 11 Se n 0 3. A x B = 0 < = > A | | B 4. A x B = Area del paralelogramo que tiene a A y a B com o lados adyacen tes. --------------------------------------—----------------------------------------------------------------------------- — .------------------------------------------------------------------------------3 Demostración. Dem ostrarem os la primera , segunda y cuarta propiedades y se deja la tercera com o ejercicio. 1. Si A = (a ,, a: , a j y B = ( ¿ , , b: , bx) , entonces A - (A x B) = a, El segundo miembro es el desarrollo de un determinante de tercer orden a, a, => A . ( A x B ) = a, a , ' ay b> K *, Com o el determinante tiene dos filas iguales se sigue que : A •(A x B) = 0 <=> ( A x B ) l A fl. a.. a . a> a . a: ~a: +ax b: by b2 2. Por la identidad de Lagrange (PV.9) sa b e m os que IIA x B ||: = || A ||J || B ||: - (A • B ); (1 ) Si 0 e s el ángulo entre A y B , entonces A • B =| I A 11 I|b|| C os0 Luego . en (1 ) se tiene : I I A x B 11•’ = ||A I M |B ||2 • ||A ||21| B 112 Cos-0 = 11 A 11- 11 B 11: ( I - C o s :0) = 11A 11 11 B 112 S e n -0 0 >=> (A x B) J B r f i S A A FIGURA 4.30 l l A x B l I = 11A 11 11 B 11 S e n 0 4. Para demostrar esta propiedad , em pleam os la Figura 4.30 que nos muestra un paralelogram o que tiene com o lados adyacentes a los vectores A y B. Com o h = I B Sen0 y el área del paralelogramo es Sección 4.7 : /:’/producto vectorial 227 S = (base)(altura) = I A B ! Sen0 S = I! A x B (13) |O B S E R V A C IO N E S 4.4 1. La orientación del vector A x B e n relación a las direcciones de los vectores A y B se b asa en su com paración con los vectores unitarios i , j y k = i x j de un sistem a cartesiano tridim ensional com o se m uestra en la Figura 4.31. (Se debe destacar que A y B no son necesariam ente perpendiculares). Los tres vectores A . B y A x B forman un sistema positivo o derecho (dextrógiro). mien tras que los tres vectores A , B y B x A forman un sistema negativo o izquierdo (levógiro) 4. > - , 4 k = i x j AxB B ^ Jn ----------- U Plano determinado por A y B Bx A Plano XY A * * r V J FIGURA 4.31 Sab em os que todo vector V e R ' se puede expresar com o una sum a de múlti plos escalares de vectores unitarios ortogonales , esto es V = (x ,y ,z) = xi + yj + z k Entonces para dos vectores A = (a, ,a, ,a,)y B = (6, ,b2,by) , el vector A x B definido en la fórmula (1 1 ) se puede escribir de la forma A x B = a2 ay fe, b, i - J + (14) 3. U sando el sistem a positivo (o el de la matriz del producto vectorial) , podem os com probar cada uno de los resultados siguientes í- i x j = k j x ¡ = -k i x i = 0 j x k = ¡ k x j = -i j x j = 0 k x i = j i x k = -j k x k = 0 k V — X«* Com o una ayuda para recordar los productos vectoriales anteriores hacem os uso de la permutación cíclica . que consiste en colocar los vectores unitarios i, I
- 121. 228 Capítulo 4: Vectores en el espacio j y k en una circunferencia en sentido antihorario. En este sentido , el producto vectorial de dos vectores consecutivos , e s el siguiente vector , y el producto vectorial de dos vectores consecutivos , en el sentido horario es el negativo del siguiente vector. Los productos vectoriales de cualquiera de los vectores unita rios i , j o k consigo m ism o tiene com o resultado el vector cero. 1 Ejemplo 1 El vector C e s ortogonal a los vectores A a <2 , -3 , 1) y B = < 3 , 1 , -1). Hallar s u s com ponentes si su norm a e s 106 unidades. Solución. Un vector normal al plano formado por A y B e s : n = A x B -3 1 j . 2 1 J+ 2 -3 1 -1 3 -1 3 1 <=> n = = (3 - I)i - (-2 - 3)j + (2 + 9)k = <2 , 5, II) Luego , s iC = rn => l l c l l = |rl l i n i <=> 10 Vó = I r I 4 + 25 + 121 , de donde Irl = 2 C = ± 2 (2 , 5 , 11) Ejemplo 2 J Hallar el área del triángulo c u yo s vértices son los P(2 , 0 , - 3 ) , Q(1 , 4 , 5) y R(7 , 2 , 9 ) Solución. Se a n A = P Q = <1 , 4 , 5 ) - < 2 ,0 ,-3 ) = (-1 , 4 , 8 ) B = P R = <7 , 2 ,9) - <2 , 0 ,-3) = < 5 ,2 ,1 2 ) Entonces, haciendo uso de la fórmula (14) se tiene A x B = 4 8 i - -1 8 j + -1 4 2 12 5 12 5 2 = (48- 16)1 - (-12 ~40)j + (-2 - 20)k = 2 (1 6 ,2 6 ,-1 1 ) => 11 A x B 11 = 2 V256 + 6 7 6 + 121 = 18 V Í3 D ado que el área del triángulo = 4 (área del paralelogramo) S = 9 V Í 3 u 2 FIGURA 4.32 Sección 4.7 : El producto vectorial 229 Ejemplo 3 J Hallar el área del paralelogramo que tiene com o diagonales ? los vectores u = (5 , -7 , 4) y v = (-3 , 3 , 0) Solución. Se a n A = P Q y B = PT ,.dos lados adya centes del paralelogram o En el A P T O : A = B + v (1) y en el A P Q R :u - A + Q R <=> u = A + B (2) Del sistem a (1) y (2) obtenem os A = l ( u + v) y B = -^-(u - v) Luego, A = (l ,-2 ,2 ) y B = < 4 ,-5 ,2 ) <=> A x B = -2 2 1 2 1 -2 i - j + -5 2 4 2 4 -5 Area del paralelogramo : S = I A x B r T "N R b/ ><^ ' «y / 1» A V > FIGURA 4.33 ,2 , 1) Ejemplo 4 J Los vectores A y B forman Un ángulo cuyo coseno es 2/5 , si I 11A 11 = 2 .5 y 11B 11 = 4 , hallar la norma del vector (2 A - B) x (A + 2B). Solución. (2A -B) x (A + 2B) = 2 A x (A + 2 B) - B x (A + 2B) (PV.1) = 2 A x A + 4 A x B - B x A - 2 B x B (PV.1) = 2(0) + 4 A x B + A x B - 2 ( 0 ) (PV.4yPV.6) = 5 A x B c=> 11 (2 A - B) X (A + 2 B) 11 = 5 11 A X B 11 = 5 11 A 11 11 B 11Sena = 5(2V5)(4)(l/^) = 40 ■ Ejemplo 5 J Simplificar la expresión x = i x (j + k) - j x (i + k) + k x (i + j + k) Solución. Aplicando la propiedad PV.1 a cada término se tiene x = (i x j) + (i x k) - (j x i) - (j x k) + (k x i) + (k x j) + (k x k) = (k) + ( - j ) - ( - k ) - ( i) + ( j ) + ( - i) + (0)
- 122. 230 Capítulo 4: Vectores en el espacio C jcm pto 6 j El vector A e s ortogonal al eje Y y al vector B = (-3 , 8 , 4), y forma un ángulo obtuso con el eje Z. Hallar las componentes de A sabiendo que su norma es 15 unidades. Solución. Si j = (0, l , 0) e s el vector unitario en la dirección del eje Y , entonces un vector ortogonal a j y al vector B es k = ( 4 , 0 , 3) 3 II X Ü0 II 1 0 8 4 i - 0 0 -3 4 j + 0 1 -3 8 Luego , s i A = r n i = > l l A = Irl II n II c=> 15 = Irl V l6 + 9 , de donde C om o el ángulo Y es obtuso , entonces C osY = — - — < 0 , implica que z < 0 I I A II Por lo que se elige , r = -3 A = -3(4, 0 ,3 ) = {-12, 0 ,-9 ) E je m plo 7 j Dem ostrar que dos vectores no nulos A y B en R ' son parale los o colineales , si y sólo si , A x B = O Demostración. ( x=>) Probarem os que : A B => A x B = 0 En efecto , s iA |B ■=> A = rB ■=>A x B = (r B) x B = r (B x B) <=> A x B = O ( <=>) Probarem os ahora que si A x B = O «=> A B En efecto , s i A x B = 0 = > l ' A x B 1 = 0 => 11 A 11|! B 11 Se n e = 0 C om o A ^ O y B / O o Sene = 0 « 6 = 0 o e = n S e sabe que si A 11 B ■=> m (<£ A . B) = 0 o n A x B = O <=> A 11 B (PV.3) (PV.6) (Fórmula 12) E je m plo 8 J Dem ostrar que : (A x B) x C = A x (B x C) « B x (C x A) = O Demostración. ( t=>) Probarem os que s i : (A x B) x C = A x (B x C) => B x (C x A) = O En efecto , haciendo uso de la propiedad P V .8 , se tiene : (A x B) x C = (A •C )B - (B •C )A Sección 4.7: El producto vectorial 231 A x (B x C) = (A • C) B - (A • B ) C Al igualar los se gu n d o s m iem bros obtenem os (A • B ) C - (B • C) A = O => (B • A ) C - (B • C) A = O c=> B x (C x A) = O (PV.8) ( í = ) Probarem os ahora que s i : B x (C x A) = O ■=> (A x B) x C= A x (B x C) En efecto , si B x (C x A) = O <=> (A • B ) C - (B • C ) A = O (PV.8) => - (B • C) A = - (A • B) C => (A • C ) B - (B • C) A = (A •C) B - (A • B ) C =» ( A x B ) x C = A x ( B x C ) (PV.8) (A x B) x C = A x (B x C) <=> B x (C x A) = O ■ Ejem plo 9 j Los vectores A . B y C satisfacen la condición : A + B + C = O. D e m o stra r que A x B = B x C = C x A , e interpretar ( geométricamente el resultado. Demostración. En efecto , multiplicando vectorialmente la condición dada por A y luego por B , se tiene A x ( A + B + C) = A x A + A x B + A x C = A x O <=> 0 + A x B - C x A = 0 => A x B = C x A (1) (A + B + C ) x B = A x B + B x B + C x B = O x B t=> A x B + 0 - B x C = 0 i=> A x B = B x C (2) Luego , de (1) y (2) se deduce que A x B = B x C = C x A = k Las últimas igualdades indican que el vector k es ortogonal a los vectores A . B y C, por lo tanto ,éstos son coplanares. ■ Ejem plo 1 Q J Q ué podem os establecer para los vectores V. , si . A x V, = A x V2= A x V 3= .......... = A x Vn Solución. S e a : A x V, = A x V, = A x V, = ____ = k donde k es un vector constante que , por definición de producto vectorial, es ortogonal a los vectores V, , V, , V , .......... V¡. Esto es , los vectores Vi son coplanares. Por otro lado , se debe verificar la igualdad de los módulos , es decir A !Vi 11 Sena. = 11A 11 I V,|| Sena, = .......=
- 123. 232 Capítulo 4: Vectores en el espacio de donde obtenem os : 11V, 11 Sena, = I V, 11 Se n a , = . . . . . = d Por tanto , concluim os diciendo que los extremos finales de los vectores V¡ están sobre una recta c£ paralela al vector A. ■ Ejemplo 11 J Los vectores A , B , C y D están sujetos a las relaciones A x B = C x D , A x C = B x D Dem ostrar que los vectores A - D y B - C son coplanares. Demostración. D ebem os probar que : (A - D) x (B - C) = O En efecto (A - D) x (B - C) = A x (B - C) - D x (B - C) = A x B - A x C - D x B + D x C = ( A x B + D x C ) - ( A x C + D x B ) = ( A x B - C x D ) - ( A x C - B x D ) Por las dos relaciones dadas , el resultado de am bos paréntesis es el vector nulo, esto e s : (A - D) x (B - C) = O - O = O En consecuencia , los vectores A - D y B - C son coplanares. I j Ejemplo 1 2 ^ Se a n los vectores A . B y C , tales que (A x B) x (A x C) = A ; hallar ( A x B ) x ( B x C ) . Solución. Haciendo A x B = D y por la propiedad P V .8 , se tiene D x (A x C) = A => (D •C )A (D •A )C = A Por el Teorema 4.3 , ( A x B ) l A o D • A = 0 , luego , (D •C) A = A =s> D •C = l Análogam ente : (A x B) x (B x C) = D x (B x C) = (D •C )B - (D •B )C = U ) B - ( 0 ) C (A x B) x (B x C) = B ■ Ejemplo 13 } La Figura 4.35 es un cubo. S i A(3 , - 1 , 2 ) , C (4 , -1 , -5) , F(-3 , 2 , 1) y H(4 , 2 , 2 ) ; hallar las coordenadas de los dem ás vértices. Solución. Á C = <4,-1 , -5> - <3 , - 1 . 2> = <1 ,0 ,-7 ) FH = < 4 ,2 ,2 > - < - 3 , 2 , 1> = <7 ,0 , 1) => 11 Á C 11 = 11 FH II = Vi + 49 = 5 y¡2 Luego , cada arista del cubo mide : t = 52 f2 = 5 (PV.1) (PV.1) (PV.4) Sección 4.7 : Elproducto vectorial 233 La dirección de las aristas laterales está dada por el vector V = FH x A C = 0 I 7 I 7 0 i - i + 0 -7 I -7 l 0 k = 50 < 0 ,1 ,0 ) Un vector unitario , normal a las b ase s del cubo es , u = <0 , I ,0) Por lo que : FB = 5 u => B = F + 5 u = (-3 , 2 , 1) + 5<0, 1 , 0) = <-3 , 7 , 1) H D = 5 u =* D = H + 5 u =<4 , 2 , 2) + 5(0 , I , 0) = <4 , 7 , 2) E A = 5u c=> E = A 5 o = <3 , -1 , 2) - 5<0 , I , 0) = <3 , -6 , 2) G C = 5u => G = C - 5u = <4 , -1 , -5) - 5<0 , 1 , 0) = <4 , -6 , -5) Ejemplo 14 J Una aplicación del producto vectorial Hallar la distancia del punto P(4 , 6 , -4) a la recta que pasa por los puntos Q(2 , 2 , 1) y R(4 , 3 , - 1 ) Solución. La Figura 4.36 muestra la recta 7 que tiene a A = Q R como vector direccional, a Q P com o representación del vector B y la distan cia d del punto P a dicha recta. Ahora , por el Teorema 4.3 (propiedad 2) : IIA x B|| = 11A 11 11 B 11Sen© Pero , en la figura se observa que : d = 11 B 11Sene FIGURA 4.36 Entonces : A x B i = 11A 11 {d) «=> d = 11A x B 11 Luego , si A = Q R = <4 , 3 , -1> - <2 , 2 , l> = <2 , I , -2> B = Q P = <4 , 6 , -4) - <2 , 2 , I) = <2 , 4 , -5) k = <3 , 6 , 6) = 3<1 , 2 , 2 ) II GQ X < l -2 4 -5 i - 2 -2 2 -5 j + 2 I 2 4 IIA x B I II -i + 4 + 4 = 9 Si reemplazam os estos valores en (15) , obtenem os d = 3 I Nota. La Figura 4 37 muestra a un vector fuerza F , que —) tiene la representación QP . Si el punto de aplica ción de la fuerza es P . Entonces F ocasiona que un objeto situado a lo largo de OP rote alrededor de una recta per- —^ —* pendicular al plano determinado por OP y QP. El vector —) torque , cuya representación de posición es OT , e s el (15)
- 124. 234 Capítulo 4: Vectores en el espacio momento Mde la fuerza F alrededor del punto O y está definido por M=ÓPxF —^ -f La magnitud o módulo del momento M mide la tendencia del vector OP a girar en sentido antihorario alrededor de un eje dirigido a lo largo del vector torque M. | E je m plo 1 5 ^ Una aplicación del producto vectorial En la Figura 4.38 , un torni llo en el punto Q se gira al aplicar en el punto P una fuerza F de 25 Ib. en un ángulo de 70° con respecto a la llave , la cual mide 8 pulg. de longi tud. Calcular la intensidad (módulo) del vector torque generado por la fuerza en el tornillo. Solución. El vector torque está dado por M = Q P x F y la intensidad o módulo p o r : I !M 11 = 11QP Ahora , por la propiedad 2 del Teorema 4.3 : I i M 11 = 11Q P 11 11 F 11 Se n 70° = (8) (25) (0.939) = 187.8 Por lo tanto , la intensidad del vector torque es de 187.8 pulg.-Ib. Ejem plo 16 j Una aplicación del producto vectorial -4). S e da el siguiente sistem a de fuerzas : F, de 30 kg. que actúa de A(5 , -1 , -6) a B ( 4 ,1 , -4) y F 2de 56 kg. que actúa de C (6 ,3,2) a D (8 ,0 , -4). Hallar a) La resultante R del sistem a de fuerzas b) El momento resultante respecto al punto E (6 , -1 Solución. La dirección de la fuerza F l es : Á B = (4 , 1 , -4) - <5 , -1 , -6) = (-1 , 2 , 2) y la de F, e s : C D = (8 ,0 , -4) - (6 , 3 , 2) = <2 , -3 , -6) F, Luego , si F = rA B II A B F, y si F, = t CD <=> t = — = e - IICDll = — = 8 Entonces : F, = I0(-1 ,2 ,2 ) y F, = 8(2 , -3 , -6) Sección 4.7 : El producto vectorial 235 a) R = F, + F, = 2 (3 , -2 , -14) b) Desde que F, y F, no son concurrentes , M será la sum a de los dos momentos, esto es , M = E B x F]+ E D x F. t=> É B x F, = (-2 , 2 , 0) x 10<-1 , 2 , 2) = 10(4 ,4 ,-2 ) É D x F, = (2 , 1 , 0) x 8(2 , -3 , -6) = 8(-6 , 12, -8) M = 4(-2 , 34 , -21) ■ Ejem plo 1 7 J S i A , B y C son vectores de posición de los vértices de un triángulo A B C , demostrar que A x B + B x C + C x A = 2 S u donde S es el área del triángulo y u un vector unitario normal al plano del triángulo | ABC. Demostración. En efecto , un vector unitario normal al plano del triángulo A B C es u = Á g * A C ==> A B x A C = 11Á B x Á C 11u (1) II A B x A C || Por la Propiedad 4 del Teorema 4.3 sabem os que el área del triángulo es : S = i 11Á B x Á C 11 => 11Á B x Á C 11 = 2S Luego , en (1) se tiene : A B x A C = 2S u Como A . B y C son los vectores de posición de los vértices del triángulo , entonces: (B - A) x (C - A) = 2S u <=> B x (C - A) - A x (C - A) = 2 S u <=> B x C - B x A - A x C + A x A = 2 S u c=> B x C + A x B + C x A + 0 = 2 S u A x B + B x C + C x A = 2S u (PV.1) (PV.1) (PV.6) [ Ejem plo 1 8 j El módulo de la sum a de dos vectores es 3 4 , su producto escalar es 4 y su producto vectorial tiene módulo 3. Hallar : a) El ángulo que forman dichos vectores b) El módulo de cada uno de los vectores. Solución. Se a n A y B los vectores de los cuales se conocen 11A + B 11 = 34 , A • B = 4 , 11 A x B 11 = 3 a) Dado que A x B I = 11A I I I I B I Sene y A * B = | | a I|||B|| C ose dividiendo miembro a miembro cada una de estas igualdades obtenem os
- 125. 236 Capítulo 4: Vectores en el espacio T g « = ~~ q 11 T g e = l « 9 = arcTg(3/4) b) Si 11A + B !| = V34 => 11A 11- + 2 A • B + 11 B 112= 34 «=> IIA 1 1 2+ 2(4) + 11B 112= 34 <=> 11 A ||' + 11B ||2= 26 (1 ) Por la identidad de Lagrange (PV.9) : 11A x B 112= 11 A 112 11 B 112- (A • B) <=> (3)-’ = 11 A 1121 B 112- (4)2 , de donde : 11 A 11 I B 11 = 5 (2) Sum ando ( I) + 2(2) se tiene : ( 11A 11 + 11 B 11)2= 36 => | A 11 + 11 B 11 =6 (3) Conociendo la sum a (3) y el producto (2 ) , form am os la ecuación x 2- 6x + 5 = 0 <=s> x = 1 ó x = 5 En consecuencia : !I A 11 = 1 y I !B 11 = 5 ó |¡A 11 = 5 y 11 B 11 = 1 ■ EJER C IC IO S: Grupo 27 1 . Simplificar las expresiones a) (A + B + C) x C + (A + B + C) x B + (B - C) x A b) (2A + B) x (C - A) + (B + C) x (A + B) c) 2 i • (j x k) + 3 j •(¡ x k) + 4 k • (¡ x j) 2. Hallar el área del triángulo que tiene por vértices a) A (1 . 2 , 3 ) , B (2 ,-1 , 1 )y C ( -2 , 1 , - 1 ) b) A(2 , -1 , 1), B(3 ,2 , -1) y C(-1 , 3 , 2 ) 3. Hallar el área del paralelogram o cuyas diagonales están contenidas en los vectores u y v dados. a) o = (2 , -1 , 3), v = <4 , -3 , -1) b) u = <3 , 4, 2 ), v = <1 , -2 , -6) 4. Hallar un vector V que sea ortogonal al vector A y paralelo al plano determinado por los vectores B y C a) A = ( - 3 , 2 , 5 ) , B = (4. 2 , - 1 ) , C = (5 ,-1 , 1) b) A = (1 , -2 , 5), B = (3 , 0 , -2), C = (0 , 2 , 1) 5. Hallar el área del paralelogram o cu yas diagonales son los vectores 2 u - v y 4 u - 5 v . donde u y v son vectores unitarios y la m (<£ u , v) = rt/4. 6. Si A ' = ! B ! = 5 y la m (<£ A , B) = rt/4 ; calcular el área de un triángulo construido sobre los vectores A - 2 B y 3 A + 2 B . 7. En un triángulo con los vértices en A(1 , -1 , 2) . B(5 , - 6 , 2 ) y C(1 , 3 , -1); hállese la altura h = 11 B D 11. 8. H állense las coordenadas del vector X , si e s ortogonal a los vectores Ejercicios de la sección 4.7 237 A = (4 , -2 , -3) y B = (0 , 1 , 3 ), forma con el versor j un ángulo obtuso y que II X II = 2 6 . 9. Hallar las co o rd e n a d a s del vector X , si éste e s ortogonal a los vectores A = (2 , -3 , 1) y B = (1 , -2 , 3) y satisface , ade m ás , la condición X •(i + 2 j - 7 k) = 10 10. Hallar un vector unitario paralelo al plano X Y y ortogonal al vector V = (4 , -3 , 1) 11. Si A = (2 , 1 , -3) y B = (1 , -2 , 1). hallar un vector de módulo 5 ortogonal alos vectores A y B. 12. Si A = (3 , m , -3) y B = (5 , -4 , 1 ) , hallar el valor de m de modo que B sea ortogonal al vector V = A x B + 2 A 13. Obtener los valores de m y n tales que : (1 . 2 , m) x (1 , n , 2) = (3 , -3 , -1) 14. Determ inar el valor de m de m odo que los puntos A(2 , 1 , 1 ) , B(4 , 2 , 3) y C(-2 , m/2 , 3m/2) sean colineales. 15. Se a A = (2 , -1 , 2) y C = (3 , 4 , -1). Hallar un vector B tal que A x B = C y A - B = 1 16. Los vectores A y B son ortogonales , si ¡ A = 3 y ¡ B = 12 , hállese el valor de (2 A - 3 B) x (3 A + B) 17. Se a n A y B vectores tales que I A i I = 3 , 1! B 11 = 26 y A x B i = 7 2 . Hallar A ♦ B. (Sugerencia: U sar la identidad de Lagrange). 18. Se a n los vectores A y B tales que A ¡ = 3/4 ,! B ' = 2 y m (<í A . B) = 2rc/3. Hallar 11 (2 A + 3 B) x (2 A - 5 B) 11 19. El vector V es ortogonal a los vectores A = (1 , -2 ,-3) y B = (-2 .2 , 5) y forma con el eje Y un ángulo obtuso. Si V I = 84 , hallar las com ponentes del vector V. 20. D ado s los vectores A = (2 , -3 . 4 ) , B = (1 ,1 , -1) y C = (2 . 3 , -2); hallar el vector V sabiendo que es ortogonal a los vectores A y B y que V • C = 12 21. El vector V es perpendicular el eje X y al vector A = (5 , -2 . 3) y forma un ángulo agudo con el eje Z. Hallar las com ponentes del vector V sabiendo que V != TÍ7. 22. Dado tres puntos A . B y C , hallar el vector normal al plano determinado por dichos puntos. 23. Dem ostrar que el área del triángulo cuyos vértices son los extremos de los vectores posición A . B y C es S = l|| (B - A) x (C - A) || 24. Dem ostrar que si A . B y C son vectores en R ' que tienen el m ism o punto inicial, entonces : (B - A) x (C - A) = (A > B) + (B x C) + (C x A)
- 126. 238 Capítulo 4: Vectores en el espacio 25. Si A , B y C son vectores en R ' , demuestre la identidad de Jacobi A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) = O (.Sugerencia : aplique la propiedad P V .8 a cada término). 26. Si A , B y C son vectores en R ’ , dem ostrar que ( A x B ) x C = A x ( B x C ) « B x ( C x A) = O (Sugerencia : aplique la identidad de Jacobi del ejercicio 25) 27. D ados los vectores A , B , C y D dem uestre que (A x B) •(C x D) = (A •C )( B •D) - (A • D)(B •C) (Identidad de Lagrange) 28. Demuestre las identidades a) (A x B) x (C x D) + (A x C) x (D x B) + (A x D) x (B x C) = O b) (A x B ) 2x (A x C)2 - [ (A x B) x (A x C )] 2 = A 2(A • B • C ) 2 29. Hallar la distancia del punto P a la recta que p asa por los puntos A y B dados a) P(4 , 6 . - 4 ) , A(2 ,1 ,2 ), B(3 , - 1 ,4 ) b) P(3 , -1 , 5), A(3 , -2 , 4), B(0 , 4 , 6) . 1 30. Los puntos A(1 ,1 ,1 ) , B(4 , 1 , 1 ) , C (4 , 1 + 3 V 3 , 1) , D(1 , 1 + 3 V 3 , 1 ) y E(5/2 , 1 + 3 3/2 , 5) forman una pirámide de base rectangular A B C D y vértice E. Determinar la distancia del centro de la base a una arista lateral. —) —) —) 31. Se an P , Q y R tres puntos no colineales de R ' y sean O P , O Q , O R las representaciones de posición de los vectores A , B y C , respectivamente. Demostrar que la distancia del origen al plano determinado por los tres pun tos está dado por d _ l A - B x C l 11 (B - A) x (C - A) 11 32. Se a n dadas tres fu e rza s: F, = <2, -1 , -3). F2= <3,2, -1) y F3= (-4 ,1 ,3) aplicadas al punto A(-1 , 4 , 2 ) . Determinar la magnitud y los co se n o s directores del momento de la resultante de tales fuerzas respecto al punto B(2 , 3 , - 1 ) . 33. Los vectores A . B . C y D verifican las relaciones A x B = C x D y A x C = B x D Demostrar que : (A - D) x (B - C) = O 4 .8 J E L P R O D U C T O M IXTO D E V E C T O R E S S e denomina producto mixto de una terma ordenada de vectores A , B y C al número real A • (B x C). Sección 4.8: El producto mixto de vectores 239 En vista de que se verifica la identidad A • ( B x C ) = ( A x B ) •C ; para el producto mixto A • (B x C) se emplea la notación abreviada (A B C ). De este modo (A B C ) = A • (B x C) = (A x B) • C Si los vectores A , B y C se dan mediante su s coordenadas A = <a, ,a, ,a x) , B =(bt ,b2,b j , C = (c,,c,,c,) el producto mixto ( A B C ) se determina por la fórmula (A B C ) = A • (B x C) = a, <2, «3 b2 K C2 (15) 4.8.1) P R O P IE D A D E S DEL PRODUCTO M IXTO DE V E C T O R E S PM.1 La permutación cíclica (sentido horario) de los vec tores A , B y C no cam bia la magnitud del producto mixto , es decir (A B C ) = (B C A ) = (C A B ) Demostración. En efecto , por las propiedades de los determinantes sabem os que el valor del determinante cam bia de signo si se intercambian dos filas. Tras dos de tales intercam bios , el valor del determinante no se altera , esto es = (C A B ) a, a, a x c, c2 c3 (A B C ) = *. b.' b = W a, a, a, C. C? K b] b> c, (C A B ) = a , a, a, = (-l)J c , <V 6, b] 6, a. flj = (B C A ) .-. (A B C ) = ( C A B ) = (B C A ) PM.2 (A B C ) = A • (B x C) = ( A x B) • C = (C x A ) • B PM.3 Si V es el volumen de un paralelepípedo construido sobre los vectores A , B y C , entonces ( A B C ) - ^ V , si la terna (A , B , C) e s derecha l -V , si la terna (A , B , C) es izquierda PM.4 Criterio para los vectores coplanares. Si los vectores A , B y C tienen el m ism o punto inicial , entonces pertenecen al m ism o plano si y sólo si
- 127. 240 Capítulo 4: Vectores en el espacio (A B C ) = ^1 ^3 ^3 *. bi K c. c, c. = 0 4.8.2) INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO MIXTO Una interpretación geométrica del pro ducto mixto se obtiene al considerar un parale lepípedo cuyas aristas lo construyen los vecto res A . B y C. V éase Figura 4.41. El área de la base del paralelepípedo es 11 B x C 11 unidades cuadradas , 11 h 11 e s la longitud de su altura y si V unidades cúbicas es el volumen de este pa ralelepípedo , entonces Volumen = (área de la base) (altura) =* V = ( llB x C | | ) ( | | h | ) (1 ) Pero , h = ProyNA <=> 11h 11 = |C om pNA | 11 h 11 = Luego , en (1) se tiene : V = ( 11B x C11) - A ■ x I IB x C 11 V = |A • B x C | = |(A B C ) | (16) 1 Ejemplo 1 ) S e dan los vectores A = (1 ,-1,3), B =<-2, 2 , 1)y C = <3, -2, 5>. C alcular (A B C) y determ inar la orientación de las ternas { A . B . C } , { B , A , C } y { A , C , B } . Solución. Por la fórmula (15) tenem os (A B C) = 1 -1 3 2 l -2 1 -2 2 -2 2 1 = 1 -(-1) + 3 3 - 2 5 -2 5 3 5 3 -2 Sección 4.8: El producto mixto de vectores 241 = ( 10 + 2) + (-1 0-3)+ 3 ( 4 - 6) = -7 Como (A B C) < 0 , la orientación de la terna {A , B , C} es izquierda (sentido antihorario) _ A De la figura adjunta deducim os que las orientaciones de las ternas { B , A , C } y { A , C , B } son derechas. Se deja com o ejercicio comprobar , mediante la fórmula (15) , q u e : (B A C) = (A C B) = 7 Ejemplo 2 J Establecer si los vectores A , B y C forman una base en el conjunto de todos los vectores , si : a) A = (2 , 3 , -1>, B = (1 , -1 , 3 ), C = (1 ,9 ,-1 1 ) b) A = <3 , -2 , 1>, B =<2 ,1 .2 ), C = <3, -1 , -2) Solución. Bastará seguir el criterio para los vectores coplanares, esto es 2 3 -1 , ' = 2(11 - 27) - 3(-11 - 3) + (-1 )(9 + 1)a) (A B C) = 1 -1 3 1 9 - 1 1 = -32 + 4 2 - 10 = 0 C om o (A B C) = 0 , los vectores A . B y C son coplanares , por lo tanto no pueden formar una base. b) (A B C) = 3 -2 1 2 1 2 3 -1 -2 = 3 (-2 + 2) - (-2)(-4 - 6) + 1(-2 - 3) = 3 (0) + 2 (-10) - 5 = -25 C om o (A B C * 0 , los vectores A , B y C son linealmentes independientes y , por lo tanto , susceptibles de formar una base. ■ Ejemplo 3 ) D ados los vectores no nulos , A , B y C y N e R '; si A • N = 0 , B * N = 0 y C * N = 0 , demostrar que A .B y C son linealmente dependientes. Demostración. Bastará probar que (A B C) = 0 En efecto , (A B C) = A • (B x C) (1) Com o B l N y C 1 N o (B x C ) II N , esto e s : B x C = rN Luego , en (1) se tiene : ( A B C ) = A •(rN) = r (A -N ) = r (0) (Hipótesis)
- 128. 242 Capitulo 4: Vectores en el espacio => (A B C) = O En consecuencia , los vectores A , B y C son linealmente dependientes. ■ ^ C jcm plo 4 ] S i en los vectores A , B y C se verifica la ley asociativa para el producto ve ctorial, dem ostrar que los vectores A x B . A y B x C son linealmente dependientes. Demostración. Dado que en los vectores A , B y C se verifica la ley asociativa «=* A x (B x C) = (A x B) x C (1 ) Ahora , el producto mixto : [(A x B) A (B x C)] = (A x B) • [A x (B x C)] En el segundo miembro , por (1) se tiene : [(A x B) A (B x C)] = (A x B) • [(A x B) xC] Com o el vector ( A x B ) x C e s ortogonal a (A x B) y a C , entonces [(A x B ) A ( B x C ) ] =0 En consecuencia los vectores A x B , A y B x C son linealmente dependientes. ■ Ejemplo 5 J Simplificar la expresión x = (A + B) •(B + C) x (C + A) Solución. Haciendo uso de la propiedades 1 y 2 del Teorema 4.2 , se tiene : x = (A + B) • [(B + C) x C + (B + C) x A] = (A + B) • [(B x C) + (C x C) + (B x A) + (C x A)] . = (A + B) • [(B x C) + O + (B x A) + (C x A)] (PV.6) = A •(B x C) + A • (B x A) + A •(C x A) + B •(B x C) + B •(B x A) + B •(C xA) Por el Teorema 4.3 : A • (B x A) = A • (C x A) = B • (B x C) = B • (B x A) = 0 • => x = A •(B x C) + B • (C x A ) , pero (A B C) = (B C A) En consecuencia : x = 2 (A B C ) Ejemplo 6 J Dem ostrar que (A x B) •(B x C) x (C x A) = (A B C )2 Demostración. En efecto , supóngase que A x B = M , B x C = N , C x A = R En ton ce s: M • (N x R ) = M • ( N x ( C x A)] = M •[(N • A) C - (N •C) A] = M • {[(B x C) • A] C - [(B x C) • Cj A } = (A x B) • { [A •(B x C)] C - [0] A } = ( A x B ) * [(A B C )] C (PV.8) (Teor. 4.3) Sección 4.8: El producto mixto de vectores 243 = (A B C) [(A x B) • C] = (A B C)(A B C) (A x B) • (B x C) x (C x A) = (A B C): ■ Ejem plo 7 } Dem uéstrece que : ! (A B C) I < 11 A B C En qué caso se verificará el signo de igualdad? Demostración. En efecto , por definición : (A B C) = A • (B x C) Por la desigualdad de Schw arz : A • B < I A B se sigue que : ! (A B C) I < I A B x C : (1) Por la Propiedad 2 del Teorema 4.3 : B x C 11 = 11B C i I Se n (<£ B . C) I y dado que |Se n (<$ B , C) I < 1 ' = » | l B x C | | ¿ | l B l l | | C | | Por lo tanto , en (1) se tiene : I (A B C) I < ! A B I C 11 La igualdad ocurre cuando Se n (<$ B , C) = I , es d e c ir, cuando la medida del ángulo entre B y C es de 90°, esto es , cuando B ± C ■ Ejem plo 8 j Dem ostrar que : C • (A x [A x (A x B)]) = - 1 A | 2 ( A B C ) Demostración. En efecto , A x (A x B) = (A • B) A - (A • A) B (PV.8) <=> A x [A x (A x B); = A x [(A • B) A - (A • A) B] = (A* B) (A x A) - 11A 11- (A x B) (PV.1) = (A • B) (0) - 11A 11: (A x B) (PV.6) Por lo tanto: C • (A x [A x (A x B)]) = - 11A | : C * ( A x B ) = - II A I I 2A - ( B x C ) (PM.1) = - 11A 11- (A B C) ■ Ejemplo 9 J El vector C e s perpendicular a los vectores A yB . el ángulo form ado por A y B es igual a 30°. Sabiendo que A I = 6 , I l B l l = 11 C 11 = 3 , calcular (A B C ). Solución. Por la propiedad P M .1 : (A B C) = (C A B) o ( A B C ) = C - ( A x B ) (PM.2) y por la desigualdad de Schw arz : I ( A B C) I < ! C A x B Dado que C 1 B y C 1 A , entonces se tiene la igualdad I (A B C) | =||C|| 11A || II B II Se n 30° = (3) (6) (3) (1/2) = 27 (A B C) = ± 27 ■
- 129. 244 Capítulo 4: Vectores en el espacio E je m plo 1 0 J D ados los vectores A , B , C y D e R 3 , dem ostrar que (A x B) •(C x D) = (A • C) (B •D) - (A •D) (B •C) Demostración. Su p ón ga se que A x B = N - N => (A x B) • (C x D) = N • (C x D) Se gú n la permutación cíclica : N • (C x D) = D • (N x C) «=> (A x B) • (C x D) = D • (N x C) = - D • (C x N) = - D • [ C x ( A x B ) ] = - D • [ (C *B ) A - (C * A) B ] = - (C • B )(D •A) + (C •A )(D •B) y por la propiedad conmutativa del producto escalar (A x B) •(C x D) = (A •C )(B •D) - (A • D )(B •C) E je m plo 1 1 J L o s vectores de posición , con respecto al origen , de los puntos P, Q y R son A = <3 ,-2, -1 >, B = (1 ,3 ,4) y C = (2 ,1, -2), respectivamente. Hallar la distancia del punto P al plano O Q R . Solución. Refiriéndonos a la Figura 4.42 , vem os que d = 11 ProyNA 11 = I C om pNA I i—*v ¿y 1A . N| J A •(B xC)| (1 ) IN II l l B x c l l 3 4 1 -2 i - 1 4 2 -2 i + 1 3 2 1 k = 5<-2 , 2 - 1>B x C = A . (B x C ) = 5 < 3 ,-2 ,-1 >.(-2 ,2 ,-1 ) = -45 Por lo que , en (1 ) tenem os : I - 45 I d = 5 4 + 4 + 1 = 3 Eje m p lo 1 2 J Hallar el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores A = <3 , -1 , 1), B = <2 , 3, -2) y C = <1 , 4 , 3). Solución. La medida del volumen del paralelepípedo está dada por 3 -1 1 V = | A • B x C | = <=> V = 3 3 -2 4 3 ( - 1) 2 1 + 1 Sección 4.8: El producto mixto de vectores 245 = 3(9 + 8) + (6 + 2) + (8 - 3) = 51 + 8 + 5 = * V = 64 iT Ejem plo 1 3 J Hallar el volumen del tetraedro cuyas aristas son los vectores A = <2 ,1 , 3), B = <-3 , 0 , 6) y C = <4 , 5, -1) Solución. Voi. del tetraedro = 4- (base)(altura) =* V = I ( i | | B x C h I) Dado que 11 h 11 = Il ProyNA I = i C om pNA = > v = l ( l l B x C l l ) l , v ‘ B x n l = - M a - B x C 6 l l B x C l l 6 2 l 3 -3 0 6 4 5 I = J -| -84 I = 14 u’ 6 Ejem plo 1 4 } El volumen de un tetraedro es 5 u3 ; tres de su s vértices están en los puntos A(2 , 1 , - 1 ) , B(3 , O , 1) y C (2 , -1 , 3).Hallar las coordenadas del cuarto vértice D si se sabe que está en el eje OY. Solución. S i el vértice D está sobre el eje Y , entonces : D (O , y , 0) Tom ando el vértice A com o origen , la representación de posición de las aristas están dadas por los vectores a = AB = (3 ,0 , 1) - <2 , 1 , -1>= <1 ,-1 ,2) b = Á C = <2,-1 , 3) - <2 , 1 , - 1) = <0 , - 2 , 4) c = A D = <0 , y , 0) - <2 , 1 , -1) = <-2 , y - 1 , 1> 1 -1 2 0 - 2 4 -2 y -1 1 c=> 30 = I 1(-2 - 4y + 4) - (-1)(0 + 8) + 2(0 - 4) | de donde obtenem os : I I - 2y 1 = 1 5 <=> 1 - 2y = 15 ó 1 - 2y = -15 <=> y = -7 ó y = 8 En consecuencia , hay dos soluciones : D(0 , -7 , 0) y D(0 , 8 , 0) Ahora , si V = -j- I (a b c) I ■=> 5 = 4-6 6 Ejem plo 1 5 ) C on los vectores a . b y c de R ' es posible formar un paralele-
- 130. 246 Capítulo 4: Vectores en el espacio pípedo de volumen V. Hallar el volumen del paralelepípedo que se puede formar con los vectores 2 a - b , 2 a + b , a + 3 c Solución. Si V = I (a b c ) | = | a - ( b x c ) l = lb - ( c x a ) | = | c -(a x b )| => V ’ = I (2 a - b) • [(2 a + b) x (a + 3c)] I = I (2 a - b) • [(2 a + b) x a + 3(2 a + b) x c)] | (PV.1) = I (2a - b) • [2a x a + b x a + 6 ax c + 3 b x c )] | (PV.2) = I (2a - b) • [2(0) + b x a + 6 a x c + 3 b x c ] (PV.6) = l 2 a * ( b x a + 6 a x c + 3 b x c ) - b * ( b x a + 6 a x c + 3 b x c ) l Por definición : a • (b x a) = a • (a x c) = 0 y b • (b x a) = b • (b x c) = 0 «=> V ’ = |[2(0) + 6(0) + 6 a • (b x c)] - [(0 + 6 b • (a x c) + 3(0)] | = 16 a •(b x c ) + 6 b - (c x a) | (PV.4) = 121(a b c) I = 12 V ■ Ejem plo 1 6 J Los puntos A y H , B y E ; C y F , D y G , son respectivam ente, vértices opuestos de las caras A B C D y H E F G (opuestos) de un paralelepípedo. Hallar su volum en , sa b ie n d o que : A (4 , 0 , -1 ), F(x , y , 0), C P = (-1 , 3 , 7 > , B D = <13 , -1 , -21), P F = ProyA-FC F = < 3 ,-6 , 3). Solución. La Figura 4.44 muestra el paralelepípe do de acuerdo a los datos dados. Si P F = ProyA-FC F = <3 , -6 , 3) => ÁF11 3<1 . -2 , 1) { x - 4 = t y - 0 = -21 1 = t Luego , x - 4 = 1 -> x = 5 , y = -2 => F(5 , - 2 , 0) P F = <3 , -6 , 3> <=> P = F - <3 , -6 , 3} FIG U R A4.44 ' => P = <5 , -2 , 0) - <3 , -6 , 3) = <2 , 4 , -3) C P = <-1 , 3 . 7 ) C = P -< -l . 3 , 7> = <2 . 4 , -3> - <-1, 3 , 7 ) ==> C = <3 , 1 ,-10) Si las intersección de las diagonales A C y B D e s M , entonces M = | ( A + C) = -|<7 , 1 , -1 1 ) c=> M D = 4 B D <=> D = M + i B D <=* D = i < 7 , 1 , - H ) + I < 1 3 , - l ,-2 I) = <10, 0 ,-16 ) Adem ás , si B D = <13 , -1 , -21) <=> B = D - <13 , -1 , -21) = < 1 0 ,0 ,-1 6 )- <13,-1 , -21) = <-3 , 1 ,5) C onocidos los vértices B , C , D y F , podem os hallar la representación de posición de las aristas mediante los vectores Sudón 4.8: El producto mixto de vectores 247 a = C D = D - C = <7 , -1 , -6) ,b = C D = B - C = <-6, 0 , 15) ; c = C F = <2 ,-3 , 10) 7 -I -6 V = (a b c) = - -6 0 15 = 1 17 u ' 2 -3 10 EJER C IC IO S : Grupo 28 1. Establecer si los vectores A , B y C forman una base en el conjunto de todos los vectores , s i : a) A = <2, 3 , - 1 ) , B = <1 , -1 ,3) , C = <1 ,9 ,-1 1 ) b) A = <3 , -2 , 1) , B = <2 , 1 , 2) , C = <3 , -1 , -2) 2. Dem ostrar que para cualesquiera A , B y C en R ' , los vectores A - B . B - C y C - A son coplanares. Cuál e s el sentido geométrico de este hecho? 3. Determinar el valor de k de modo que los cuatro puntos dados . A(1 , 2 , -1) , B(0 , 1 , 5 ) , C(-1 , 2 , 1) y D(k , 1 , 3 ) estén situados en un plano. 4. Dem ostrar las identidades a) (A + B + C ) * ( A - 2 B + 2 C ) x ( 4 A + B + 5 C ) = 0 b) (A + B) • B x (A + B) = - (A B C) c) (A - B) • (A - B - C) x (A + 2 B - C) = 3( A B C ) d) V a . f i e R . A * B x ( C + a A + p B ) = ( A B C ) 5. D em ostrar que los vectores A = <1 , r , r2) , B = <1 , s , s 2) , y C = <1 , t , t2) , donde r , s y t son núm eros reales distintos , son linealmente independientes. 6. Se a n los vectores A = <r -1 ,1 , r ) , B = <1 , r -1 , r - 2) y C = <1 , r , r). Hallar los valores de r para que A , B y C sean linealmente independientes. 7. D ado s los vectores A = <2 - k , -2 , 3 ), B = <1 , 1 - k , 1) y C = <1 , 3 , -1 - k ) ; qué valores debe tener k para vectores A . B y C sean linealmente independientes, y que valores debe tener k para que sean linealmente dependientes? 8. Los vectores de posición , con respecto al origen , de los puntos P , Q y R son los vectores A . B y C , respectivamente. Hallar la distancia del punto P al plano O Q R . a) A = <3 , 4, -4), B = <-5 , 4 , -2), C = <-6 , - 7 , 2 ) b) A = <3 , -1 , -3). B = <1 , 0 , 3). C = <2 , -2 , 3) 9. S i los vectores A , B y C son las aristas de un paralelepípedo , hallar su volum en , s i A = 6 j - 4 k . B = <4 , -2 , 1 ) y C = 4i + 3 j - 4 k
- 131. 248 Capítulo 4: Vectores en el espacio 10. Hallar el volum en del tetraedro c u y o s vértices so n los puntos A(1 , 0 , 1 ) , B (3 , 1 ,0 ),C (-1 , 0 , -5) y D(-1 ,-1 ,-10) 11. En un tetraedro de vértices en A(1 , 1 , 1), B(2 , 0 , 2 ) , C(2 , 2 , 2) y D(3 , 4 , -3), hallar la altura h = || D E II 12. D a d o s los vértices de un tetraedro : A(2 , 3 , 1 ) , B(4 , 1 , - 2 ) , C (6 , 3 , 7 ) y D(-5 , - 4 , 8 ) , hallar la longitud de su altura bajada desde el vértice D. 13. D ado s los vértices de un tetraedro : A(2 , - 1 , 1 ) , B(5 , 5 , 4 ) , C(m , 2 , - 1 ) y D(4 , 1 , m) ; hallar el valor de m sabiendo que su volum en es de 3 u3. 14. S i A = (1 , 3 , -1), B = (-2 , 4 , 3) y C = (m + 2 , m , m - 2) son tres vectores en R determinar los valores de m para que el volum en del paralelepípedo que se forma con A , B y C se a 40 u3. 15. L a s aristas de un paralelepípedo son paralelos a los vectores <1 , 0 , 0 ) , (2 , 3 ,0) y (-4 , -5, -6). Si una de las diagonales e s el vector (0, -4, -12), hallar el volumen del paralelepípedo. 16. D ados los puntos P(2 ,1 , 3 ), Q(1 , 2 , 1 ) , R(-1 , -2 , -2) y S (1 , - 4 , 0 ) ; hallar la mínima distancia entre los segm entos P Q y R S. 17. Dado m * 0 y los vectores no coplanares A . B y C , determinar el vector V , tal que V x A = V x B y ( V A C ) = m. r ectas en CfPflCIO 5.1 j EC U A C IO N V E C T O R IA L DE UNA RECTA EN EL ESPA CIO S e a r£ una recta en R ' tal que contienen a un punto dado P ^ x , , y , , z,) y que es paralela a las representaciones de un vector dado a =(a ,b ,c) Entonces la recta H' e s el conjunto de puntos P(x , y , z) tales que P,P es paralelo al vector a. Esto es P € SB <=> P,P = ta <=> P - P, = ta ■ ^ ZiL S^P f y P , 7 ▼■sa / / p. Y------------------------- ► Y o X V <=> P = P + ta , i e R es una ecuación paraniétrica vectorial de 7'. Entonces 7' se puede escribir com o f = { P e R '| P = P, + t a , t e R} FIGURA 5.1 (1) Eje m plo 1 j Hallar la ecuación paramétrica vectorial de la recta 7 que pasa por los puntos S(2 , 3 , -1) y T(5 , -3 , 1). Solución. Un vector coincidente con S T es a = S T = <5, -3 , 1) - <2 ,3 , - 1) = <3, -6 , 2)
- 132. 250 Capitulo 5: Rectas en el espacio C om o S está sobre la recta 7', entonces según (1) , su ecuación paramétrica vectoriales <5?: P = <2 , 3 ,-1) + t <3 , -6 , 2) ■ | O B S E R V A C IO N 5.1 Segmento de recta_______________________________________ 1 Tal com o en el c a so de los vectores en R - , si se restrige el dom inio de t , en la ecuación (1 ) , a un intervalo cerrado , entonces la gráfica de la ecuación es un segmento de recta. • En particular, si 0 < t < 1 , entonces la gráfica es el segm ento ST. S e puede identificar a los puntos que están a una distancia dada de S sobre T eligiendo aproxim a damente ekparámetrc FIGURA 5.2 E je m p lo 2 ) Obtener las coordenadas de los puntos que trisecan al seg- mentó de extremos S (-6 , 1 , 5) y T(3 , 13,-1 ). Solución. El vector direccional de la recta que pasa por S y T es a = T - S = (3 , 13 , -1 >- <-6 , 1 , 5) = <9 , 12, -6) Luego , la ecuación paramétrica vectorial del segm ento S T es S T : P = (-6 , 1 ,3) + t (9 , 12 , -6), t e [0 , 1] Para obtener los puntos de trisección B y C , hacem os : t = 1/3 y t = 2/3 Para t = 1/3 «=>B = <-6 , 1 , 3) + 1 < 9 , 12 , -6) = <-3 , 5 , 3> Para t = 2/3 c=>C = (-6 , 1 , 3) + | < 9 , 12 ,-6) = (0 , 9 , 1) Conclusión. B(-3 , 5 , 3) y C (0 ,9 ,1 ) son los puntos de trisección del segm ento ST I O B S E R V A C I O N 5.2 Ecuaciones paramétricas cartesianas de una recta________ Si en la ecuación (1 ) escribim os los vectores P . P, y a en función de su s com ponentes , entonces (x , y , z) = ( x ,, y , , z,) + t(fl,b,c) o bien <x , y , z) = <x, + tü , y, + t¿>, z, + te) que equivale a las tres ecuaciones cartesianas x = x + ta , y = y. + tb , z = z + tc (2) E stas tres ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta S£. Sección 5. /. licuación vectorial de una recta en el espacio 251 I O B S E R V A C IO N 5.3 Ecuaciones simétricas de una recta______ __________________ Si despejam os t de cada una de las ecuaciones (2) obtene m os Las ecuaciones (3) reciben el nombre de ecuaciones simétricas de la recta 7 . Los términos a ,b , y c son los núm eros directores de 7 , ya que son las com ponentes de un vector de dirección de dicha recta. Si una recta es paralela a un plano , entonces uno de su s núm eros direc tores es 0. Por lo tanto , no tiene ecuaciones simétricas de la forma (3), puesto que uno de los denom inadores sería cero. Por ejemplo , si una recta 7 es paralela al plano X Y , pero no a los ejes X e Y (Figura 5.3), entonces tiene un vector direccional de la forma (a , b ,0), donde a * 0 y b * 0. Aunque 7 no tiene ecuaciones de la forma (3), si contienen al punto P^x, , y, , z,) se puede determinar mediante las ecuacio nes x - x i _ y-yi a b ’ 1 Si una recta es paralela a uno de los ejes coordenados , entonces dos de sus números directores son 0 , y en lugar de las ecuaciones simétricas se tiene sim plemente las e cu a cion e s que e xp re sa n las d o s co o rd e n a d a s constantes de cada punto sobre la recta. A s í si la recta 7, que e s paralela al eje Z , p asa por P,(x, , y, , z,) queda especificada por las ecuaciones x = x, , y = y, La recta rf interseca al plano X Y en el punto S(x, , y, ,0 ) com o se indica en la Figura 5.4
- 133. 252 Capítulo 5: Rectas en el espado Ejemplo 3 ^ Hallar la ecuación simétrica de la recta .2? que pasa por los puntos S (2 , 1 , -4) y T (5 , 3 , - 1 ). Solución. El vector direccional de la recta SL’ e s a = S T = <5 ,3 ,-1 ) -( 2 ,1 ,-4) = (3, 2,3) C om o S e entonces la ecuación simétrica de la recta es c/>• x - 2 _ y - 1 _ z + 4 3 " 2 " 3 . Ejemplo 4 ) Hallar la ecuación simétrica de la recta c£ que pasa por S(1 ,-3,4) y es paralela a la recta = {<-3 , 7 , 5) + 1 (2 , -1 , 0) 11 e R>- ! Solución. Los núm eros directores de 2?, son , a = 2 , b = -1 y c = 0 Entonces , por (3), la ecuación de la recta buscada es ' 5.2 ) P O SIC IO N E S RELATIVAS DE R EC T A S EN EL ESPA CIO DEFINICION 5.1 Paralelismo de rectas D o s rectas .5? = - P = P, + ta 11 s R } y = <P = Q, + rb l r € R}, se dice que son paralelas si los vectores de dirección a y b son paralelos. Esto es 11 ** a 11 b O B S E R V A C IO N 5.4 Si dos rectas y en el espacio son paralelas , entonces, o son coincidentes (SPX= &2) o no se interceptan (.!?', fl 2 = 0 ) Ejemplo 5 ) Dadas las rectas = {(2, -1 ,2) + 1( 2 , 1 , -3» , = {( 0 , 2 , 3 ) + s ( - 4 , -2 , 6)} y 2?3= {(6 , 1 , -4) + r(6 , 3 , -9 » . Establecer si son paralelas o coincidentes. Solución. Los vectores de dirección de las rectas dadas son a, = (2 , I , -3> , a, = -2(2 , I , -3) , a, = 3(2 , 1 , -3> Por simple inspección : a, 11a2 11a, => <B 1111 <l Sección 5.2 : Posiciones relativas de rectas en el espacio 253 Veamos si P,(0 , 2 , 3) e , pertenece también a Para ello trazam os el vector v = P, - P, = (0 , 2 , 3) - (2 , -1 , 2> = (-2 , 3 , 1>* (2 , I , -3) Luego, v K a , , o se a P, e , por tanto , 7 , y 5?, no son coincidentes {2 fl 2?,= 0) Veamos ahora si P, e .2?, pertenece también a Trazamos el vector v = P, - P, = (6 , 1 , -4) - (2 , -1 , 2) = 2(2 , 1 , -3) Como v 11a, «=> ,5?, y 2?, son rectas coincidentes , e s d e c ir, 5?, = .2?, y 2?, fl - {P,} ! O B S E R V A C IO N 5.5 Si dos rectas ÍL y 2', en el espacio no son paralelas entonces, o son concurrentes fl 5?, *■0 ) o se cruzan en el espacio j t * , n * 2= 0 ). D adas las rectas no paralelas , = {P, + t a 11 e R } y = {P , + s b I s e R } y trazado el vector c = P, - P, , entonces para reconocer si estas rectas son concu rrentes o se cruzan en el espacio , se sigue el siguiente criterio. 1 . 2', y 2?, son concurrentes o (a b c ) = 0 2. .2", y 2', se cruzan en el espacio <=> (a b c) * 0 Ejemplo 6 J D a d a s las rectas 7 = x + 4 1 z - 3 -1 , J2?2= { ( - 3 , - 2 , 6 > + t (2 , 3 , -4)} y ^ 3 : x = s + 5 , y = -4 s -1 , z = s - 4 ; establecer cuales son concurrentes o cuales se cruzan en el espacio. En el caso de que sean concurrentes , hallar el punto de intersección. Solución. Si = {(-4 , 0 , 3) + r (1 , 3 , -1)} y « 5 , -1 , -4 )+ s (1 , -4 , 1)} , entonces para cada par e rectas tendremos : 1. Con 2? y 2', a, = (1 ,3 ,-1 ), a, = (2, 3 ,-4 ) c, = P, - p , = (-3 , -2 , 6) - (-4 , 0 , 3) = (1 , -2 , 3) 1 3 -1 => (a, a, c,) = = -22 * 02 3 -4 1 -2 3 Luego , <2?, y 2?, se cruzan en el espacio 2. Para 5?, y a, = (1 , 3 , -1>, a, = ( 1 , -4, 1> Cj = P, - P, = (5 , -1 , -4) - (-4 , 0 , 3) = (9 , - 1 , -7) I 3 -I 1 -4 1 9 -1 -7 = 42 * 0 Por tanto 2?. y 7 se cruzan en el espacio
- 134. 254 Capítulo 5: Rectas en el espacio 3. Para S? y S£ y: a, = <2 , 3 , -4), a, = (1 , -4, 1> C3= P, - P, = (5 , -1 , 4> - (-3 , -2 , 6>= <8 , 1 , - 10) 2 3 - 4 (3, a, c,) = = 01 - 4 1 8 1 -10 Por lo que , y S£. son rectas concurrentes. Si P e (.5?, f| SU) >=> 3 t , s e R tales que (x ,‘y , z> = (-3 , -2 , 6) + t(2 , 3 , -4> = <5,-1 ,-4> + s<l , -4 , 1> o bien { 2 1 - s = 8 3 1+ 4 s = 1 4t + s = 10 Resolviendo las dos primeras ecuaciones obtenem os : t = 3 y s =-2 Luego , en (1): <x , y , z> = <-3 , -2 , 6) + 3 <2,3 , -4)«=* P(3 , 7 , -6) e 5?,D (1) DEFINICION 5.2 Perpendicularidad de rectas D o s rectas 2 = { P ( + t a} y SB2= { P, + s b} se dice que son perpendiculares si lo son su s vectores de dirección , esto es 2 XLSB2 » a l b Ejemplo 7 J H allar la e cu a ción de la recta S£ que p a sa por el punto P ^ , 1 , 2 ) y e s perpendicular a las rectas 2't = {<1 , 0 , 2) + r(1 . -2 ,2 » y 5?2= {(2 , 6 , -3) + s (3 , 0 , -1)} Solución. Si a, = <1 , -2 , 2) y a, = <3 ,0 , -1), y dado que SULS( => a l a , , y también S£ 1 S&2 => a _L a. Por la definición de producto vectorial, el vector a e s perpendicular al plano forman do a, y a , , entonces i j k a = a , x a , = 1 -22= 2 i + 7 j - 6 k 3 0 - 1 Por lo tanto , la ecuación buscada e s , Sf : P = <3 , 1 , 2) + t (2 , 7 , -6), t e R ■ Ejemplo 8 J Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto S(2 ,-1 ,1) y es perpendicular en el punto de intersección con la recta Sección 5.2 : Posiciones relativas de rectas en el espacio 255 * , = {<11 , - 3 , 2 ) + r < 2 , 0 , - 1 ) | r e R } Solución. S e a T e ( * , f| Si,",) y a, = <2 ,0 , -1> S i á?,: P = (1 , -3 , 2) + r<2 ,0 , -1), r e R y si T € SL «=> T = <1 + 2 r , -3 , 2 - r) ST=T-S=<1+2r,-3,2 -r)-<2, -1,1) =<2r-1, -2,1 -r) ST l a, t=> S T •a ] = 0 «=> <2 r- 1 ,-2 , 1 - r) •(2 , 0 , -1 >= 0 de donde obtenem os , r = 3/5 Luego : S T = <|--1 , -2 , 1 - } > = | <1 ,-1 0, 2) Como a 11S T *=> a = t <1 , - 10 , 2>. * = {<2,-1 , l> + t<l , - 1 0 , 2 > | t e R } ■ Ejemplo 9 j Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto S(1 , - 4 , 6 ) y es perpendicular, en el espacio, a la recta = {(3 ,2 , -1) + r(1 , -1 , 2)l r e R } Solución. Se a n : P,(3 , 2 , -1), a, = <1 , -1 , 2) y v = SP, Entonces , v = P, - S = <3 , 2, -1) - <1 , -4 , 6) = <2 , 6 , -7) Un vector normal al plano formado por los vectores v y a, e s : i j k 2 6 - 7 = < 5 ,-1 1 , -8 ) 1 -1 2 y un vector normal al plano formado por los vecto res a ] y n i e s : i j k 1 -12 = 6 <5 , 3 , -1) 5 -11 -8 Com o n, es paralelo a la recta SP ■=> a = (5 , 3 , -1) FIGURA 5.6 * = { < 1 ,-4 ,6 ) + t < 5 , 3 , - l) | t € R } n, = v x a, = a,V r ---- v / ' _ S " ^ a r v J Ejemplo 1 0 ^ H allar la e cu a ció n de la recta 7' que p a sa por la in te rse c ción de la s rectas S¿ = {<5 , -3 , 1) + t <3 , -4 , 7) 11 e R } y ■2*2— •(4 , 2 , -9) + r (2 ,1, -3) I r e R y es perpendicular al plano formado por * , y %
- 135. 256 Capítulo 5: Rectos en el espacio Solución. Si P, e (J2?, (1 %2) => 3 t , r e R , tales que <x,, y , , z,) = <5 , -3 , 1)+ t<3 , -4 , 7> = (4, 2 , -9) + r (2, 1, -3> r 31- 2r= -1 Entonces : (3t - 2 r , -4t- r , 7t + 3r> = (-1 , 5 , -10) <=> •< -4t - r = 5 L 7t + 3 r = -10 Resolviendo las dos primeras ecuaciones obtenem os ,t = r = -1 Luego , en (1): P, = <5 , -3 , 1) - <3 , -4 ,7 ) = <2, 1, -6> Si a es el vector de dirección de entonces : a = a ] x a, ¡ j k 3 - 4 7 2 1 -3 .2?= « 2 , 1, -6) + s (5 , 23 , 11>I s e R> <=> a = = <5 ,23 , 11) ( 1) E je m plo1 1 ~ } S e a n la s re ctas SB, = {(3 ,4 , 0) + r (1 , 2 , -1) I r e R y 3? = {<1 ,1 , 1) + s (1 , 0 , 2) I s eR}. Hallar laecuación de una recta que corta a í ^ e n A . a ^ e n B y a l eje X en C , de m odo que A B = B C Solución. Si A € rl <=> A = (3 + r , 4 + 2 r , -r) B e se2 =» B = <1 + s , 1 , 1 + 2s) C e (Eje X) C = <x , 0 , 0) Dado que A B = B C => B es punto medio de A C 3 + r + x = 2 ( l + s ) <=> r - 2 s + x = -l { j + i + x = 4 + 2r + 0 = 2 -r + 0 = 2(1 + 2(1) o r = -1 2(1 + 2s) c=> s == -1/4 Lu e go, A = (2 , 2 , 1 ) y B = <3/4, 1 , 1/2) El vector de dirección de la recta r£ es a = B A = A - B = i <5 , 4 , 2) - {<2 , 2 , 1) + t<5 , 4 , 2) 11 e R } Ejemplo 1 2 j D ado s los vértices de un triángulo A(1 , -2 , -4), B(3 , 1 , -3) y C(5 , 1 , - 7 ) , hallar las ecuaciones paramétricas de la altura bajada desde el vértice B al lado opuesto. Solución. Considérese el A A B C de la Figura 5.8 , en donde : H B = Á B - Á H = Á B - ProyA-cÁ B (1) Sección 5.2 : Posiciones relativas de rectas en el espacio 257 A B = B - A = <3, l , -3) - <1 ,-2 ,-4 ) = <2 , 3, 1) Á C = C - A = <5 , 1 , -7) - <1 , -2 , -4) = <4, 3-, -3) á q /(2 , 3 , 1>•<4 , 3 , -3)' (2) ProyA-cA B = (- 11<4 , 3 , -3) 112 ) <4 , 3 , -3) = ?.+ 9 ~3 ( 4, 3, -3) = -1 ( 4 - , 3 , -3>(3) (V16 + 9 + 9 )1 ,7M 1 Sustituyendo (2) y (3) en (1 ), obtenem os : H B = ^ ( 3 , 1 5 , 1 9 > Si a es el vector direccional de la altura H B y com o a 11H B ■=> a = (3 , 15 , 19) Dado que B(3 , 1 , -3) pertenece a la altura H B , su s ecuaciones paramétricas son x = 3 + 3t , y = 1 + 151 , z = -3 + 191 ■ (^Ejem plo 1 3 ^ D a d o s los vértices de un triángulo A(3 , -1, -1), B(1 , 2, -7) y C (-5 , 14 , -3). Hallar las ecuaciones simétricasde labisectriz del ángulo interno del vértice B. Solución. La Figura 5.9 muestra al A A B C y la repre sentación de posición de la bisectriz BD. Entonces B Á = (3 , -1 , 1)-(1 . 2 , -7) = (2 ,-3 , 6) B C = (-5 , 14 , -3) - (1 , 2 , 7) = (-6 , 12 , 4) Los vectores unitarios en las direcciones de B A y B C son , respectivamente t ( 2, - 3 , 6) _ (2 , -3 , 6) w _ (-6 ,1 2 , 4) _ <• j V4 + 9 + 36 7 ’ V 3 6+ 144 + ?6 Luego , un vector en la dirección de la bisectriz B D es b = u + v = - y (1 ,-3 ,-8 ) Por lo que , los núm eros directores de la bisectriz B D son : 1 , -3 y -8. Si B(l , 2 , -7) pertenece a la bisectriz , entonces su s ecuaciones simétricas son 3 , 6 , 2 )
- 136. 258 Capítulo 5: Rectas en el espacio L o s á n g u lo s q u e fo rm a n el ve c to r a co n lo s vectores ortonormales (1 , 0 , 0), (0 , 1, 0) y <0 , 0 . 1>son 45°, 60° y 60° respectivamente. Los ángulos que forman el vector b con dichos vectores son 45°, 45c y 90°, respectivamente. H allar: a) El ángulo entre a y b. b) La recta que pasa por A(1 . 1 , 1) y es paralelo al vector a + b , siendo a y b unitarios. Solución. La ecuación que permite expresar un vector en términos de su módulo y de su s cosenos directores es a = 11a 11 (C o sa , C o sp , C osY ) Entonces : a = I ;a 11 (Cos45° , Cos60° , Cos60°) = Ü A Ü (V2 , 1 , 1) Del m ism o modo : b = I b 1! (C o s 45° , C o s 45c , C o s 90°) = (2 , 2 , 0> „ Luego; a •b = l | | a II I I b I I (2 + *2) ~ ,, = 1 ± £ 4 a b 4 a) Si C o s 0 = - - a-* ^ Cos e = - + <=> e = are C o s ?.) H a l l l l bi l 4 4 I es el ángulo entre los vectores a y b. b) Dado que a y b son unitarios , entonces : a + b = (v2 , , 1 ) 7 : P = (l , I , l) + t(22, I + 2 , 1), l e R ■ Ej em plo 1 4 ^ Ejem plo 1 5 j U n a recta 7 , p a s a por los puntos A(2 , 1 . 1) y B (6 , 4 , 1 ) y otra recta 7'2 pasa por C(1 , 3 , -1) y D(3 , 0 , 5 ) . Si 7 es una recta que pasa por P(1 , 3 . - 1 ) formando un m ism o ángulo con 7y 7 tal que los vectores de dirección de las rectas 7, 7 y y 7’2son linealmente dependientes, hallar la ecuación de 7'. x Solución. Los vectores de dirección de las rectas 7 y 7 son b = Á B = (6 , 4 , I) - (2 , I , f> = (4 ,3 ,0) c = C D = (3 ,0 ,5) - (1 ,3 , - 1) = <2 , -3 , 6) Entonces su s ecuaciones vectoriales son V, = {(2, I , 1) + r(4 , 3 ,0)1 r e R> y '/,=»{( I , 3 , - 1) + s (2, -3 , 6) I s e R Com o 7 ,/K 7 . veam os si son concurrentes o se cruzan en el espacio. Sea d = Á C = (I , 3 . -I> - (2 , I , 1) = <-! , 2 , -2) Sección 5.2: Posiciones relativas de rectas en el espacio 259 ■=> (b e d ) = 4 3 2 -3 -i 7 = - 3 0 * 0 luego , y se cruzan en el espacio. Dado que los vectores de dirección de X , <2?, y (J son coplanares (linealm ente dependientes) , trazam os éstos sobre un plano de m odo que su s puntos inicia les coinciden con P (Figura 5.10). A d e m á s com o í? forma ángulos iguales con J?", y , su vector de direc ción es bisectriz del ángulo entre b y c o entre b y -c. b c <=> a = o a = ( 4 ^ 0 ) + < 2 . - 3 . 6 ) = ^ i 5 7 35 ( 4 , 3 , 0 ) (2 , -3 , 6> 2 (7, 18 , 15) l l b l l l l c l l 5 7 35 Z' = {(1 ,3 ,-1 ) + 1<19 , 3 , -15)1 l e R } o & = {{1 , 3 , - l ) + t ( 7 , 18, 15) 11 e R> Ejem plo 1 S e a la recta ,7' - {(1 , -2 , 4) + 1 (2 , 1, -2) t e R } y los puntos P(-2 , 3 , 5) y C (a , b , 2), estando C sobre la recta !£. a) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por P e intersecan a 7 de tal m anera que los puntos de intersección disten 9 unidades de C. b) hallar la ecuación de la recta que pasa por P y se a ortogonal a f y a las rectas obtenidas en a). Solución. D ado que C (a , b , 2) e 7 , entonces (a ,b , 2) = (1 + 2 t ,-2 + t , 4 - 2 t ) . a= 1 + 2 t = -2 + 1c=> { U = I + Z l 'v *=-2 +, | 2 = 4 - 2t <=> 1=12 = 4 - 2t c=> Un vector unitario en la dirección de X es u = _ a — = <2 , l . - 2) H a l l 3 a) A C = 11A C 11 u <=> A = C - 3 (2 , 1 , -2) = (3,-1 , 2 ) - ( 6 , 3 , -6) = ( - 3 , - 4 , 8) C B = ||CB|| u <=* B = C + 3 ( 2 , 1 ,- 2 ) = < 3 , - 1 , 2 ) + ( 6 , 3 , -6) = (9 , 2 , -4) Por consiguiente : 7 = {P + tA P } = {(-2 , 3 , 5) + t(1 , 7 , -3)11 e R } 5c',= {P + tB P } = { ( - 2 , 3 , 5 ) + t(-ll , 1 ,9)1 t e R }
- 137. 260 Capítulo 5: Rectas en el espacio b) La recta 7 requerida que no aparece en la Figura 5.11 , p a sa por P y es perpendicular al plano generado por 7 y 7 , entonces su vector de dirección será paralelo a la normal de dicho plano , esto es _ ' j k n = Á P x B P = I 7 -3 = 6 <11 , -7 , 13) «=> a, = <1 1 , -7 , 13) - I I 1 9 7', = {P + ta,} = {<-2 , 3 , 5) + t<l I , -7 , 13) 11 e R} ■ EJER C IC IO S: Grupo 29 1. Hallar la ecuación param étrica vectorial de la recta que p asa por los puntos S (1 , -2 , -3) y T(2 , -3, 2). 2. Por los puntos A (-6 , 6 , -5) y B(12 , -6 , 1) se ha trazado una recta. Hallar los puntos de intersección de esta recta con los planos coordenados. 3. Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del segm ento cuyos extre m os son S (6 , 0 , -3) y T (-6 , 9 , -12). 4. Hallar las coordenadas de los puntos que dividen en 4 partes iguales al segm ento de extremos A (-1 , 2 , 1) y B(7 , 6 ,-11 ). 5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3 , 0 , -1) y es perpendi cular, en su punto de intersección con la recta 7 = { < 2 , 3 , 2) + t<2, -1 , 0)| t e R . 6. Una recta j que pasa por el punto A(-2 , 1 , 3) es perpendicular e interseca a la recta : P = <2 , 2 . 1) + t ( 1 , 0 f - 1 ) , t e R . Hallar la ecuación vectorial de 7. 7. Hallar la ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto A(2 . 1 , -1 ) y corta a las rectas 7: P = <1 , 1 , 1) + r<2 , 4 , 5 ), re R . y 7 : eje X. 8. Una recta V , pasa por los puntos A(2 , -1 , 1) y B(3 , 2 , -1 ) y otra recta ff pasa por el punto C(2 , -3 , -1) y corta perpendicularmente a '/,. Hallar la ecuación vectorial de 7 . 9. Dem ostrar que las rectas , d ad as m ediante s u s ecuaciones param étricas 7 : x = 2t - 3 , y = 3 t- 2 , z = -4 t+ 6 y 7'2 : x = t + 5 , y = -4t - 1 , z = t - 4 son concurrentes. 10. S e dan las rectas 7 ■ * + 2 _ X = ü l l w rj . _X_i3 _ y jJ ^ _ ' ’ 2 " -3 4 y 2 ' m 4 ~ 2 cuál debe ser el valor de m para que estas rectasseanconcurrentes? EJERCICIOS : Grupo 29 261 11. Sean 7 y 7 2rectas en R ’ , tales que 7. e s paralela a 0 2 : x = V2 y = 2 z ,y 7’2 pasa por el punto Q(-2 ,7 , 13) y por el punto medio del segm ento A B , donde A(-2 , 3 , 4) y B(3 , -2 , -3). Hallar el ángulo que forman y 7’2. 12. Una recta 7' p asa por el punto A(2 , 1 , 3) y forma con los vectores < 1 , 0 , 0 ) , <0,1 , 0) y < 0 , 0 , 1 ) , ángulos de 45°, 60° y 7 respectivamente. Hallar un vector dirección para y , de norma 1 y dar las ecuaciones paramétricas de ésta. 13. Hallar la ecu ación de la recta que p a sa por la intersección de las rectas = {<-1 , 4 , -3) + r <5 , -2 , 2)} y = {<-2 , 4 , 13) + s <3 , -1 , -10)} y es perpendicular al plano formado por 7 y SP2. 14. Hallar la ecuación de la recta que p asa por P(0 ,1 , 1) y corta a la rectas .7'.: S x = > y ¿2L = {<1 , - 2 , 0 ) + s<1 ,2, 1 )| s e R > l 2 x = z 15. D adas las rectas que se cruzan f/, . x_i ± - y + 2 _ 5j_z „ fJ¡ . x = _2 Y j J _ z + 2 ' ' 2 3 4 7 2 ’ 1 2 . hallar la ecuaciónde la recta que pasa por S(-1 , -2 , 1 )y es perpendicular a 7 (en el espacio) y corta a 71Y 16. D a d a s las rectas 2?, = {<2 ,-1 , 3 ) + r<1 , 0 , - 2 )|re R } , i^2 = {<3 , 0 , -2) + s (0 , 2 , 1) I s e R } y 7 = {<3 , 2 , 0) + t <0 , 3 , 1.) 11 e R}. Hallar la ecuación de la recta que corta a 7 , (J'2 y 7 en los puntos A , B y C respectivamente, de modo que B sea el punto de trisección , m ás cercano de C , del segm ento AB. 17. D ados los vértices de un triángulo A(2 , -1 , -3), B(5 , 2 , -7) y C (-7 , 1 1 ,6 ), hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo externo del vértice A. 18. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto A(-1 , 2 , -3), es perpendicular al vector v = <6 , -2 , -3) y se corta con la recta 7> ■ x _ li = y + 1 = L l l ’ ' 3 2 -5 19. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto A(-4 , - 5 , 3 ) y se corta con las dos rectas y- . X + l J • “ _ /. - c . . a , . 3 -2 -1 ’ 2* 23-5 20. Hallar las ecuaciones param étricas de la perpendicular com ún a las dos rectas , dadas por las ecuaciones 3?1:x = 3 t - 7 , y = - 2 t + 4 , z = 3 t + 4 y f l ? 2 : x = t + 1 , y = 2 t - 9 , z = -t-1 2 1 _ y + 3 _ Z - 2 . a, . x - 2 _ y + 1 _ z -1
- 138. 262 Capítulo 5: Rectas en el espado 2 1 . Hallar el punto simétrico de P(3 , 2 , 1 ) , respecto de la recta '/' = {(1 . 2 , 1) + t (2 , 3 , 2V3)| t e R } 22. Se a la recta 7 '= { ( 1 , 2 ,3 ) + t (1 , -2, 2>l t e R } y los puntos P(3 , 3 , 1 ) y Q (2 , r, s), estando Q en la recta 7'. a) Hallar las rectas que pasan por P e intersecan a 7' , de tal m anera que los puntos de intersección disten 6 unidades de Q. b) Hallar la recta que pasa por P y sea ortogonal a 7 y a las rectas obtenidas en la parte a). 5.3 1A P L IC A C IO N E S DE LA RECTA EN EL ESPA CIO TEOREMA 5.1 Distancia entre tttt punto y tina recta en el espacio dada por La distancia entre un punto S y una recta 7 en el espacio viene lia x f S l l d(S , W) = l i a II donde a es el vector de dirección de la recta 7 y T e s un punto cualquiera de la recta. Demostración. S e a la recta / de ecuación 7 - •P = T + i a i e R : En la Figura 5.12 se observa que la d(S , 2 ) = Il f S II Sentì donde 0 es el ángulo entre a y TS. Por la propiedad 2 del Teorema 4.3 , tenem os Max T S 11 = Ila || N f S l l SenO Por tanto , 11axT S 11 = 11a!| d(S , 7 ) d (S , 9 ) = a xv TíaTT (17) e jem p lo 1 j Hallar la distancia del punto S(1 , -1 , 2) a la recta 9' • * _ 2 -1 . x_-_3 _ > - 2 _ 7. +3 Sección 5.3 : Aplicaciones de la recta en el espacio 263 Solución. Por simple inspección , un punto de la recta <Be s T(3 , 2 , -3) y su vector de dirección es a = (2 , - l ,3). Entonces , un vector que va de T a S es: v = T S = (1 , -1 , 2) - (3 , 2 , -3) = (-2 , -3 ,5) i j k <=* a x v = 2 -1 3 = 4 ( 1 , - 4 , -2> -2 -3 5 Luego, 11a x v 11 = 4 I + 16 + 4 = 4V2Í y a 11 = !4 + 1 + 9 = 14 Finalmente , por la fórmula (17) : d{S , 5?) = = 2^6 ■ ■vl4 Ejemplo 2 J Hallar la distancia del punto S(5 , -3 , -4) a la recta <£: y + 4 = 0 , x + z = 3 v 7 " 3 Solución. Las ecuaciones simétricas de la recta 7' son : — = — j— , y = -4 Por inspección , un punto sobre 7' es T (0 , -4 , 3) y su vector de dirección es a = (1 , 0 , - 1). Ahora , si v = f S <=> v = (5 , -3 , -4) - (0, -4 , 3) = (5 , 1 , -7> <=> a x v = i j k 1 0 -I 5 1 -7 = ( 1 , 2 , 1) Luego , 11a x v 11 = 1 + 4 + I = '6 y a iI = v I + 0 + 1 = V2 Por tanto , aplicando la fórmula (17) obtenem os : d{S , 7') = V3 ^ "e je m p lo 3 J D e sd e el punto S (4 , 5 ,-1 ) se traza una perpendicular a la recta á? = {(2 , -1 ,1 ) + r(1 , 2 , -2) I r e R}. A qué distancia del punto A(5 , 2 , - 2 ) se halla dicha perpendicular? Solución. S i .2?,: P = (2 , -1 , 1>+ r (1 , 2 , -3), r e R , por inspección , P 1(2,-l , 1) y a = (1 ,2 ,-2 ) S i T € ®x c=>T = (2 + r , - l + 2 r , l -2r) Luego , T S = S - T = (2 - r , 6 - 2 r , 2 r-2 ) S i S T l a , => (2 - r , 6 - 2r. 2 r - 2)*(1 ,2 ,-2 ) = 0 => 2 - r + 1 2 - 4 r - 4 r + 4 = 0 r = 2 Por lo que : T = (4 , 3 , -3) y Í S = 2(0 ,J , 1) Refiriéndonos a la Figura 5.13 , vem os que a I T S
- 139. 264 Capítulo 5: Rectos en el espacio •=> a = <0 , 1 , I) e s el vector de dirección de la recta &' 1 Si b = Í A <=» b = (5 , 2, -2) - (4, 3 , -3) = (1 ,-1 , 1) ¡ j k Luego : a x b = 0 I 1 = < 2 > l , - l ) r = > a x b l = V 6 y ! ! a l = V 2 1 -1 I Ahora , haciendo uso de la fórmula (17) , obtenem os d(A , y ) = 4 1 = V3 V2 f I Ejemplo 4 J Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1 ,-3,-4) y corta al eje X , sabiendo que la distancia del origen de coor denadas a dicha recta es 5 unidades. —> Solución. Se an : A(x , 0 , 0 ) ,v = P O = <-1 , 3 , 4) y a = PA = (x-1 , 3 , 4) ¡ j k c=> a x v = x - I 3 4 = x (0, -4 ,3) - 1 3 4 I a x v !| =|x| V0 + 16 + 9 = 5 I x| Si d(0 , 7‘) = ^ 1 5 I x I <=> x = 13 a 11 Vx: - 2x + 26 /. y = { < l , -3 , -4) + 1 <12, 3 , 4 ) 11 e R } TEOREMA 5.2 Distancia entre dos rectas en el espacio La distancia entre dos rectas 7 y en el espacio , viene dada por I (P, - P.) •(a, x a,) | d { 3 , Z) = } ' I a, x a j I donde los puntos P ( e y , y P, e 7 , y a ( , a, son los vectores de dirección de 7: y CB respectivamente. Demostración. Se a n las rectas no paralelas f¿ = { P ( + (a, |t e R } y 7 = {P, + ra, I r e R } Sección 5.3: Aplicaciones de la recta en el espacio 265 Construimos dos planos paralelos p , y p , que con tengan a las rectas y .2?, respectivamente. Com o la normal n a am bos planos , es perpendicular a los vectores de dirección de fJ y r£ ,, entonces d{2 , = I C om pnv | en donde: v = P ,P ,= P , - P , y n = a, x a. d ( t , = lv.nl = 1(p:- P,)•(a,xa:)I IlnIÌ lia, x a,|| FIGURA 5.15 [ Ejem plo 5 ^ Calcular la distancia entre las rectas a, . x -1 y_ z - 5 — y + 1 = z - 4 v 3 4 -1 y 2 ‘ 2 -1 1 Solución. De 7 obtenem os : P ((l , 0 , 5) , a, = <3 ,4 , -1) y de <B2. P,(0,-1 ,4) , a, = <2 ,-1 , 1) P, - P, = <-l , -l , -l) i i k a, x a, = 3 4 - 1 2 -1 1 Luego , por la fórmula (18) : d(2 , 2) = = < 3 , - 5 , - I I ) K -l ,-1 , - 1)-<3 , -5 , - 11)| 13 9 + 25 + 121 VT55 ejem plo 6 ^ Hallar la distancia entre las rectas ST'l :x = 3 t , y = - 4 - t , z = -18 + 4t y 2?2 : ^ _ ± Z = ^ Com o a, = a, <=* 2?, || ; luego , no e s posible calcular la d( 7 , 7) por la fórmula (18) .puesto que a, x a, = 0 Consultando con la Figura 5.16 , vem os que Si V = P, - P, = <-7 , 5 , 9 )- <0, -4, -18) = (-7, 9 , 27) a, = <3 . -I ,4) , = <3,-1 ,4) f N '/?, P. V / d fJ cf/ P, v a, y FIGURA 5.16
- 140. 266 Capitulo 5: Rectas en el espacio <=> v x a. = i j k -7 9 27 3 -1 4 = <63 , 109 , -20) d( 7 7') = V x a ü = ^ 16,250 11 a. 11 '26 = 25 Eje m plo 7 ^ D a d a s las rectas . x + 6 y - 1 Z + 1 1 ‘ 2 1 -1 x - 3 _ y - t • z = 2 > que se cruzan en el espacio : determinar un punto A e 7 y otro punto B e 7 2 , tales que la distancia de A a B sea mínima , así como, la recta que los contiene. Solución. Si 2?, = {<-6 , 1 . -1) + r ( 2 , 1 , - 1) I re R } y 5?, = {< 3 ,0 , 2) + s<l , 2 , 0) |s e R } Entonces a, = <2 , I , - 1) y a, = < 1 , 2 , 0 ) Para que la distancia entre los puntos A y B se a mínima , la recta 7 que los debe ser perpendicular a 7 y 7 , cuyo vector de dirección es a = a, x a, i j k ' = (2,-1 ,3)<=> a = 0 Refiriéndonos a la Figura 5.17: A B = t a<=> B = A + t<2 , -1 , 3) B e 7 <=> B = ( 3 , 0 , 2 ) + s ( l , 2 , 0 ) A e 7 => A = <-6 , I , -1) + r<2 , I , - 1) Sustituyendo (2) y (3) en (1 )se tiene : <3 , 0 , 2) + s<l , 2 , 0 ) = <-6 , l , -1) + r<2 , I ,-l) + t<2,-l ,3) { s - 2 r- 2l = - 9 2 s - r + t = I r - 3 1= -3 Resolviendo el sistem a de ecuaciones , obtenem os : r = 3 , s = I Por lo tanto: A = <-6 , I , -I) + 3 <2 , I , - 1) = <0 , 4 , -4) => A ( 0 ,4 ,-4 ) B = <3 , 0 , 2) + (1 , 2 , 0) = <4, 2 ,2) «=> B ( 4 , 2 , 2 ) 3? = { A + t a | l e R } «=> 7'= {<0 , 4 , -4) + t<2 . -I ,3 )| t e R } t = 2 (1) (2) (3) CICIOS : Grupo 30 267 EJER CICIO S: Grupo 30 1. Hallar la distancia del punto S (3 , -1 , 5) a la recta que p asa por los puntos A(3 , -2 , 4) y B(0 , 4 , 6). 2. Hallar la distancia del punto S(-1 , 2 , 3) a la recta 5? = {<7 , -3 , 0) + 1<6 , -2 , 3) 11 e R } 3. Hallar la distancia entre las rectas 5?, = {(1 , 2 , -2) + 1<0 , 4 , 2) 11 e R } y = x + 4 = 0 , y + z = 6. 4. Hallar la distancia entre las rectas , y = 4 , y 2 ? 2 : x + 1 = y - 2 = z 5. Hallar la distancia entre las rectas y ^ 2= { < 4 , - 1 , 5 ) + t<1 ,-3 ,-1 )| t e R}. 6. D esde el punto P(3 , 6 , 7) se traza una perpendicular a la recta r£ - {(1 ,1,2) + t <2 , -1 ,3)}. A qué distancia del punto A(4 , 4, 7) se halla dicha perpendicular. 7. Se a n dadas las rectas que se cruzan , rp . X _ Z + 2 v - 1 v • x + 1 - y + 1 - z ~^ v - 2 " 1 ’ y " Y 2 ' 1 ” 2 -1 Hállese la distancia d(5?, , 5?2) entre las rectas y escríbase la ecuación de la perpendicular W com ún para am bas rectas. 8. Se a n d ad as dos rectas .5?,: P = (-7 , -4 ,-3) + r(3 , 4 , -2),r e R y Í&,: Q = (21 , -5 , 2) + s (6,-4 , -1), s e R. S e necesita : a) Dem ostrar que las rectas no se disponen en un m ism o plano , es d e c ir, se cruzan. b) Determinar un punto A e f , y otro punto B e (I , tales que la distancia de A a B se a mínima. Halle dicha distancia. c) Escribir la ecuación de la perpendicular com ún a las rectas 2?, y 3?2 9. Dem uéstrese que las rectas , que pasa por A(9 , -7 , -6) y B(27/2 , -17/2 , 0), y ^ ; x + 7 = _ zjJ? son para|e|a s y hállese la distancia d(.2?, , %2) 3 -1, 4 10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-2 , 1 , -3) y corta al eje Y , sabiendo que la distancia del origen de coordenadas a dicha recta es V13 unidades. 11. Hallar la distancia m ás corta entre las dos rectas , en cada uno de los ca sos sig u ien te s
- 141. 268 Capitulo 5: Rectas en el espacio x + 7 _ y + 4 _ z + 3 3 4 - 2 7. x - 21 = y + s _ -4 z - 2 -1 a) ^~ir~ = y b) y , : x = 2 t - 4 , y = -t + 4 , z = -2 t - 1 ; # 2 : x = 4 t - 5, y = - 3 t + 5 , z = - 5 t + 5 c) 7 : *-+ 1 = ^ 5 = zj_1 . ry. ;x = 6 t + 9 > y = .2 t z = .t + 2 1 2 . Hallar un punto cuyas distancias a las rectas 7 =.{(3 , 2 , 2) + s (1 , 5 , 3)} y ^2 = {(1 . 0 , 1 ) + t (1 , 2 , 1 )} sea la mitad de la distancia (mínima) de 7 a 7r 13. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(3 . 4 , 0) y corta al eje Z . sabiendo que la distancia del origen de coordenadas a dicha recta e s 4 unidades. 14. D adas las rectas 7 : x -1 = y/2= z y 7’z : x = y = z ; hallar un punto P 0e 7 %y otro Q 0e 7‘2, tales que la distancia de P ( a Q sea mínima , así com o la recta 7 que los contiene. p i n n o s e n «P A C IOv 6.1 j EC U A C IO N V E C T O R IA L DE UN PLANO A sí com o en R 2 , la gráfica de una ecuación de d os variables x e y es una cuna , en R ' la gráfica de una ecuación en tres variables x . y . z e s una superficie. ' La m ás simple es el plano , pues su ecuación es de primer grado en tres variables. E s bien conocido que tres puntos no coli neales en el espacio determinan un plano. B a sá n donos de este hecho trataremos de obtener su ecua ción vectorial de la siguiente manera. Considérese el plano P que pasa por puntos A , B y P, , y que contiene a los vectores no paralelos a y b , com o se muestra en la Figura 6.1. Un vector v = P,P cual quiera del plano se puede escribir com o una com binación lineal de un vector en la dirección de a y otro en la dirección de b. Esto e s , si P(x , y , x) 6 P <=> 3 s , t , e R , tales que P,P = sa + tb <=> P - P , = s a + tb e=> P = P ( + s a + tb Queda entonces definido la ecuación vectorial del plano P , com o el conjunto de puntos : FIGURA 6.1 p = {P |P = P ( + sa + 1 b , s , t e R } (1 )
- 142. 270 Capitulo 6: Planos en el espacio Ejemplo 1 j Hallar la ecuación paramétrica vectorial del plano que contie ne a los vectores a = <-1 , 2 , 3 ), b = <4 , -3 , 5) y pasa por el punto P,(1 , 0 , 2 ) . Solución. Se gú n la fórmula (1) , la ecuación vectorial del plano es P = { P | P =<1 , 0 , 2 > + s<-l , 2 , 3 > + t ( 4 ' , - 3 , 5 ) , s , t € R } ■ I O B S E R V A C IO N 6.1 Ecuaciones paramétricas del plano Si en la ecuación (1) se sustituye P = ( x , y , z ) , P, = (x ,, y , , z), a = (a( ,a1 , a,) y b = (/>,, , ¿>?) , obtenem os ' X = X, + S£2| + tib, y = y, + sa, + tb2 z = z, + sa. + 1b. V 1 - V (2) Las ecuaciones (2) son definidas com o las ecuaciones paramétricas del plano, cuyo punto de paso es P, y es paralelo a los vectores a y b. Ejemplo 2 j Hallar las ecuaciones param étricas del plano que pasa por los puntos R(2 , 1 , 3 ) , S(-1 , -2 , 4) y T(4 , 2 , 1 ) . Solución. Se a n : a = R S = (-I , -2 ,4) - (2 , 1 , 3) = (-3 , -3 , 1) y b = R T = ( 4 , 2 , 1) - <2 , 1 , 3) = (2 , 1 , -2) Si R(2, l , 3 ) e P < = > 3 s , t e R , tales que : P = (2 , 1 , 3) + s(-3 ,-3 , 1 + t(2 , 1 , -2). Entonces , por simple inspección , las ecuaciones param étricas del plano son x = 2 - 3 s + 2t , y = 1 - 3 s + 1 , z = 3 + s - 2 t ■ I O B S E R V A C IO N 6.2 Ecuación normal del plano S i el plano P e s paralelo alos ve cto re s a y b , entonces existen infinidad de vectores ortgonales a dicho pía- .----------------------------------------^ no y por consiguiente ortogonales a los vectores a y b. Por lo que , un vector normal al plano P será el vector n = a x b. Ahora , si P, es un punto dado y P es un punto cualquiera del plano , entonces el vector P,P es ortogonal al vector n y del hecho que el pro ducto escalar de dos vectores ortogonales es cero, se tiene : FIGURA 6.2 Sección 6.1: Ecuación vectorial de un plano 271 P(x , y , z) e P <=> P,P • n = 0 « [ (P - P,) • n = 0 (3) La expresión (3) se conoce com o la ecuación normal del plano P , cuyo punto de paso es P r O B S E R V A C IO N 6.3 Ecuación general del plano Dado que el producto escalar de dos vectorese s un núm e ro real , se puede emplear la ecuación (3) para obtener una ecuación escalaro cartesiana del plano que pasa por P, y con vector normal n. En efecto , supón gase que P = (x , y , z ) , P, = (x ,, y , , z () y n = (A , B , C ) , entonces , s i : (P - P,) • n = 0 « P • n = P, • n <=> (x , y , z) •( A , B , C ) = (x ,, y , , z,) •( A , B , C) <=> A x + B y + C z = A x, + B y, + C z, Si hacem os D = - (A x, + B y, + C z ,), obtenem os Is : A x + B y + C z + D = 0 (4) que es la denom inada ecuación general del plano. Ejemplo 3 J Obtener la ecuación general del plano que pasa por los pun- tos R(3 , 2 , 1), S(1 , 3 , 2) y T(1 , - 2 , 3 ) Solución. Se an : a = R S = (l , 3 , 2) - (3 ,2 , 1) = (-2, 1 ,1) y b = R Í = (1 , -2 , 3) - (3 , 2 , 1) = (-2 , - 4, 2) Luego , n = a x b es el vector normal al plano deter minado por los tres puntos d ados , esto es i j k => n = -2 I 1 = 2 ( 3 , 1 ,5) -2 -4 2 Sin perder generalidad , tom am os n = (3 , 1 , 5) Si P(x , y , z) e P <=> (P - R) • n = 0 <=> P * n = R * n <=> (x , y , z )*(3 , 1 , 5) = (3 , 2 , 1) *(3 , 1 ,5) de donde obtenem os la ecuación P : 3 x + y + 5 z - 16 = 0
- 143. 272 Capitulo 6: Planos en el espacio Ejemplo 4 j Hallar la ecuación normal y la ecuación generalde un plano P que p asa por el punto S (3 , -3 , 1) ycontiene a la recta ? ' = { < 2 , 3 , - 1 ) + t<1 , 0 , -1) 11 e R } Solución. El punto de paso del plano e s S(3 , -3 , 1) y com o contiene a la recta 7 ', el punto P, e 7', también pertenece al plano. Luego , el vector a = P S = <3 , -3 es paralelo al plano cional de 7' . b = (I i j n = a x b = , l> - <2 , 3 , - 1) = <1 , -6 , 2> , también lo es el vector direc- 0 , - 1 ) . Entonces k ' = < - 6 , 3 , 6 ) = -3 <2 , - 1 , -2)‘-6 2 0 -1 Sin perder generalidad podem os elegir a n = <2 , -I , -2) com o el vector normal al plano. Luego , si P(x , y , z) e P <=> P : (P - S) • n = 0 «=> P : [ P - <3, -3 , 1) 1•<2 , -1 , -2) = 0 es laecuación normal del plano. S u ecuación general lo obtenem os de P - n = s - n <=> < x , y , z>»<2,-1 ,-2) = <3,-3, I>- <2. - 1, -2) e=> P : 2 x - y - 2 z - 7 = 0 ■ Ejemplo 5 j Hallar la ecuación cartesiana del plano que contiene a las rectas 7 : P = <2 . 5, -1) + t<-4, -3 , 2 ); te R y 7 : x = 4+ 4 s, y = -3 + 3 s , z = - 2 s : s e R Solución. Por inspección , la ecuación vectorial de la recta <¡(>2 es : Q = <4, -3 ,0) + s <4, 3 , - 2 ); s e R Siendo 7 7 ,no podem os construir el producto vectorial a, xa , ,pues el vector n = O , pero com o los puntos P, y P, pertenecen al plano , entonces , sea v = pjp, = <4 , -3 , 0) - <2 , 5 , -1) = <2 , -8 , I) i j k ' =<13 , 8 ,38)Lu e go: n = v x a = -X 3 Por lo que , si P(x , y , z) e 1* « P •n = P, FIGURA 6.5 <=> <x , y , z) - <13 , 8 , 38) = <2 ,5 , - 1) •<13 , 8 , 38) P : 13x + 8y + 3 8 z - 28 = 0 Sección 6.1 : Ecuación vectorial de un plano 273 Ejemplo 6 J S e a P un plano que pasa por P ^ , 4 , 3) y tiene com o vector normal a n = <1 , 2 , 3 ) . Hallar una ecuación vectorial para P. Solución. S i P(x , y , z) e P <=> (P - P,) • n = 0 <=> P •n = P, •n => < x , y , z )-(l , 2 ,3) = <5 ,4 , 3) •(1*, 2, 3) de donde obtenem os la ecuación g e n e ra l, P : x + 2 y + 3 z = 22 Entonces , para x = 1 , z = 3 => l + 2 y + 9 = 22 <=> y = 6 => A( 1 , 6 , 3). € P x = 1 , y = 0 <=> 1 + 0 + 3 z = 22 z = 7 ■=> B( 1 ,0 , 7) e P Teniendo tres puntos no colineales del plano , podem os hallar dos vectores que están contenidas en dicho plano. Esto es , si a = f^A = <l , 6 , 3 ) - < 5 , 4 , 3) => a = <-4 , 2 , 0) = -2 <2 ,-1 ,0) b = P ^ = <l , 0 , 7 ) - < 5 , 4 , 3 ) => b = <-4 , -4 , 4) = -4<1 ,1, - 1) Por lo que , una ecuación vectorial del plano pedido es P = <5 , 4 , 3) + s<2 ,-1 ,0) + t<l , 1 , - l ) ; s , t e R ■ I O B S E R V A C IO N 6.4 Ecuaciones de los planos coordenados Partiendo de las ecuaciones (3) , (4) y (1) podem os obtener las ecuaciones n o rm a l, general y vectorial , respectivamente , de los planos coor denados. a) P la n o X Y . En la Figura 6.6a :n = k = <0, 0, l ) , a = l , b = j La ecuación normal es : (P - P,) • n = 0 <=> <x , y , z )-(0 ,0 , 1) = 0 La ecuación general es : z = 0- Ecuación vectorial, P = { P I P = s <1 , 0 , 0 ) + t <0, 1 ,0)} b) P lan o XZ . En la Figura 6.6b :n = j = < 0 , 0 , 0 ) , a = i , b = k y P,(0 , 0 , 0) Ecuación n orm al: (P - P,) • n = 0 <=> <x , y , z) •<0 , 1 , 0) = 0 Ecuación ge n e ra l: y = 0 Ecuación vectorial: P = { P I P = s <1 ,0 , 0) + t <0, 0 ,1)}
- 144. 274 Capítulo 6: Planos en el espacio c) P lan o YZ. En la Figura 6.6c : n = i = < l , 0 , 0 > , a = j , b = k y P ,(0 ,0 ,0 ) Ecuación n orm al: (P - P,) •n = 0 <=> <x , y , z ) •<! , 0 , 0) = 0 Ecuación ge n e ra l: x = 0 Ecuación vectorial: P = {P IP = s (0, 1 , 0) + 1 <0, 0 , 1 } DEFINICION 6.1 Paralelismo y Perpendicularidad de una recia y un plano Una recta ST es paralela a un plano P si y sólo si un vector de dirección de 9' es perpendicular a un vector normal a P. (La recta rJ! puedo o no estar contenido en P). Una recta ir e s perpendicular a un plano P , si y sólo si un vector de dirección de í? es paralelo a un vector normal a P. Por tanto , si a es el vector de dirección de 7-' y n es el vector normal al plano P , entonces a) 7' 11 P <=> a •n = 0 b) Í " 1 P <=> a x n = O Ejemplo 7 } Cuál es el valor de m para que la recta X sea paralela al plano P : x - 3 y + 6 z + 7 = 0 Solución. Por simple inspección obtenem os : a = (3 , m , -2) y n = <1 , -3 , 6) Luego , por la Definición 6.1a , si ?£ 11 P <=> a •n = 0 c * < 3 , m , - 2 ) ' < l , - 3 , 6 ) = 0 <=> m = -3 ■ Ejemplo 8 ) Para que valores de a y b , la recta rJ! : J 7 a 4 - 3 e s perpendicular al plano P : 3 x - 2 y + ¿ >z+1 = 0 Solución. Por inspección : a = (a , 4, -3) y n = <3 , -2 , b) Por la Definición 6.1b , si SU1 P <=> a x n = O i j k a 4 -3■=> a x n = = i (46 - 6) - j (a¿ + 9) + k (-2a - 12) 3 - 2 b Luego , si : (4¿> - 6 ,- ab - 9 , 2 a - 12) = (0 ,0 ,0 ) « 4b - 6 = 0 <=> b = 3/2 a b - 9 = 0 2a - 12 = 0 «=> a =-6 Sección 6 .1 : Ecuación vectorial de un plano 275 DEFINICION 6.2 Paralelismo y perpendicularidad de dos planos____________ D os planos son paralelos o perpendiculares si y sólo si su s respectivas norm ales son paralelas o perpendiculares. E s decir , si P, es un plano con normal n, y P , e s un plano con normal n ; , entonces a) P . l l P j o n ,x n , = 0 b) P , ± P 2 p> n ,*n : = 0 Ejem plo 9 } Determ inar para qué valores’de a y b las ecuaciones P, : a x - 6 y - 6 z + 2 = 0 y P 2 : 2 x + ¿ y + 3 z - 5 = 0 , determinan planos paralelos. Solución. Del plano P, se tiene n, = (a , -6 , -6), y de P , , n, = (2, b , 3) Si P , II P , <=> n, x n, = O (Definición 6.2a) i j k = i(-18 + 6b) - j(3ü + 12) + k(ab+ 12)a -6 -6 2 b 3 Luego , si <6 è - 18 , - 3 a - 12 ,ab + { 6b - 18 = 0 f=> b = 3 -3a- 12 = 0 => a = - ab+ 12 = 0 [ Ejemplo 10 ^ Dem ostrar que la ecuación del plano que p asa por el punto ~ P , ( x , , y, , z,) y e s perpendicular a los d os planos P, : A,x + B,y + C,z + D t = 0 . P 2 : A 2x + B 2y + C 2z + D 2= 0 , se puede representar en la forma X - X, y-y, z - z, A, b , c, = 0 a 2 b 2 c 2 Demostración. Refiriéndonos a la Figura 6.7 , po dem os observar que las norm a les a los planos P, y P, son paralelos al plano P , por lo que n = n, x n, y com o cualquier vector conte nido en el plano P que va del punto de paso P, a un punto genérico P , es ortogonal a su normal , esto es , si v = P,P , su ecuación estará definido por el producto escalar v •n = 0 <=} (P - P,) • (n, x n,) = 0 Escribiendo el producto mixto de vectores en térm inos de s u s com ponentes , tendremos : FIGURA 6.7
- 145. 276 Capítulo 6: Planos en el espacio x - x , y - y , A, B, A, B, z - z c, = 0 EJER CICIO S: Grupo 31 1. D ados los puntos M (3 , -1 , 2) y R(4 , - 2 , - 1 ) , hallar la ecuación del plano que pasa por M y es perpendicular al vector M R. 2. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto S (3 , 4 , -5) y es paralelo a los vectores a = (3 , 1 , -1 )y b = (1 , -2 ,1). 3. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos N(3 , -1 , 2 ), R(4 , -1 , -1) y S (2 , 0 ,2) 4. Hallar la ecuación del planoque contiene a lasrectas concurrentes <y . X - 1 _ y + 3 _ Z .X - 1 _ y + 3 _ Z 1 ’ 2 4 7 ’ 2 ' -1 5 -2 5. Determ inar el valor de m para que los planos P t : m x - 2 y + 2 z - 7 = 0 y P 2 : 4 x + m y - 6 z + 9 = 0 sean perpendiculares. 6. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto S(2 , -1 , 1) y es perpendi cular a los planos P 1 : 2 x + z + 1 = 0 y P : y = 0 7. P es un plano de ecuación vectorial P = P + ra + s b , r , s e R , y una normal es el vector n. Si P,.y P 2e P , demostrara que n 1 P ,P 2 8. Hallar la ecuación del plano que p asa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los planos P, : 2 x - y + 3 z = 1 y P 2 : x + 2 y + z = 0 9. Para qué valores de a y b la recta S? : x = 3 + 4t , y = 1 - 4t , z = - 3 + t,está contenida en el plano P : a x + 2 y - 4 z + ¿> = 0 10. Para qué valores de A y B el plano P : A x + B y + 3 z - 5 = 0 e s perpendicular a la recta r£ : x = 3 + 2 t , y = 5 - 3 t , z = -2 - 2t. 11. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P,(1 , -1 , -2) y P 2(3 , 1 , 1 ) y es perpendicular al plano x - 2 y + 3 z - 5 = 0 12. Encuentre la ecuación del plano que contiene a las rectas paralelas 5?,: x = -2 + 2t , y = 1 + 4t , z = 2 - 1 y r£ 2 : x = 2 - 2t , y = 3 - 4t , z = 1 + 1 13. Encuentre la ecuación del plano que pasa por A (6 , 2 , -1) y perpendicular a la recta que es intersección de los planos P, : 4 x - 3 y + 2 z + 5 = 0 y P 2: 3 x + 2 y - z + 1 1 = 0 Sección 6.2: Distancia de un punto a un plano 277 14. Encuentre la ecuación del plano que contiene a la recta ,í? : x = 1 + 2 t , y = -1 + 3 1 , z = 4 + 1 y al punto A(1 ,-1 , 5) 15. Para qué valores de a y b , la recta c£ : P = (2 , -1 , 5) + t (a , 4 , -3), t e R es perpendicular al plano P : 3 x - 2 y + ¿ z + 1 = 0 16. Dem ostrar que la ecuación del plano que pasa por los puntos P t(x, , y, , z,) y P,(x2 , y 2 , Zj¡) y e s perpendicular al plano P : A x + B y + C z + D-= 0 , se puede representar en la forma siguiente : x - x , y - y , z - z , x2-x, y2 -y, z2-z, = o A B C 17. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano P , : 4 x - 3 y + 2 z - 9 = 0 y que pasa por los puntos P,(2 , -6 , 4) y P 2(3 , - 7 , 5 ) 18. Un p lano p a sa por lo s p u ntos extrem os de los ve cto re s a = <1 , 3 , 1) , b = <4 . 2 , -1) y c = <3 , 0 , -4), si é stos tienen el origen com ún en el punto 'M(1 , - 1 , 2 ) 6.2 ) D IST A N C IA DE UN PUNTO A UN PLANO S e a S un punto del espacio y P un plano ,. Si T es cualquier punto sobre P , y n e s un vector normal a P , entonces la distancia que separa a S de P e s igual a la com ponente del vector V = S - T sobre n. Esto es d(S , P ) = | C o m p nV| = I (S - T) » n l Un II (5) En la Figura 6.8 se ilustra el hecho de que la í/(S , P ) no depende de la elección del punto específico T sobre P. La componente de V paralela a n es la misma para todos los puntos sobre P. E s decir, para cualquier otro punto T, se tiene I C om pn(S - T) | = |Com pn(S -T ,)| P ara obtener una e xp re sió n cartesiana de la distancia de S al plano P : A x + B y + C z + D = 0 , c o n sid e re m o s los puntos S(x , , y , , z , ) , T ( x , , y 2 , z :) y n = <A , B , C) una normal al plano P. Entonces , por la fórmula (5):
- 146. 278 Capítulo 6: Planos en el espacio ,1/c i> _ I S • n - T * n | _ l ( xl , y l , z l) - ( A , B , C ) - < x , , y , , z ^ - ( A , B , C > l ( ) = — M i ~ = + I A x ,, B y,, C z, - (A x2, B y2, C z:) I A : + B : + C 3 ~~ C om o T (x ,, y , , z,) e P «=> Ax, + By, + Cz, +D = O => D = -(Ax, + By, + Cz,) ,/(.Q P) - lAx, , By, ,Cz, + D| A : + B + C : (6) ;i en la fórmula (6) sustituimos las coordenadas de S por las del origen , obtene- (7) Si m o s D i d(0 , P) = . lu> L ..■■■■ A : + B- + C : que es la fórmula para calcular la distancia del origen a un plano. Valiéndose de esta fórmula podem os calcular la distancia cartesiana entre dos planos paralelos, efecto , sean P : A x + B y + C z + D, = 0 y P , : A x + B y + C z + D , = 0 dos planos ]En paralelos Por la fórmula (7) : d{O . P ) = . I P ‘I ------ ^ o , P,) = - ___ V ' 1 n A 3+ B -' + C-2 V A 2+ B- + C- Luego , d(P, , P,) = d(O , P :) - d(O , P,) o d(P , , P,) = d{O , P,) - d(O , P 2) D> I d(P P .= l D | ~ D r l - ; A- + B- + C-’ (8) E je m plo 1 J Hallar la distancia del punto S(5 , - 2 , 3 ) al plano P = {(2 , -1 , 6) + t (1 . 0 , 3) + s (2 , -2 , 3) It ;s e R> Solución. Por simple inspección . un punto sobre el plano P e s T(2 ,-1, 6) y dos vectores sobre P son , a = <1 , 0 , 3) y b = (2 , -2 , 3) i j k o n = a x b = 1 0 3 = ( 6 , 3, - 2) 2 - 2 3 Un vector que va de T a S es : v = (5 , -2 , 3) - (2 , -1 , 6) = (3 , -1 , -3) Luego , usando la fórmula (5) obtenem os d{S - P ) = ^ ' , ~l ■° ) , <6 ■3 ■~2)1 _ 21 _ 3 ■ V36 + 9 + 4 7 Sección 6.2: Distancia de un punto a un plano 279 (S~--------------------- Ejemplo 2 J D a d o s los planos paralelos P , : 2 x - 3 y + 6 z - 14 = 0 y P 2 : 4 x - 6 y + 1 2 z + 2 1 = 0 ; determinar si el punto S(3 , - 2 , 5 ) está entre dichos planos. Solución. Un punto estará entre dos planos paralelos si su distancia a cada plano e s menor que la distancia entre am bos planos. Luego , haciendo uso de las fórmulas (6) y (8) tendremos 12(3) - 3(-2) + 6(5) - 141 7 ¿ ( S . P , ) = d(S , P :) = '4 + 9 + 36 14(3) - 6(-2) + 12(5)+ 21 105 14 = 7.5 V I6 + 3 6 + 1 4 4 Obsérvese que los coeficientes de las ecuaciones de am bos planos son propor cionales , entonces para que sean iguales debem os multiplicar la ecuación de P, por 2 , y a sí a p lic ar, la fórmula (8), esto es , si I D 2- D,| . J/n ,, x |21-(-28)1 P, , P,) = ^(P, ,P 2) = A : + B : + C : ' ^ fl6 + 3 6 + 1 4 4 Como d(S , P,) > d(S , P,) > d(P, , P,) , el punto S no está entre am bos planos ■ Ejemplo 3 j Si la base de un tetraedro es un triángulo cuyos vectores son R(1 , 3 , -3), S(2 , 2, -1) y T(3 , 4 , - 2 ) ; hallar la longitud de la altura del tetraedro desde el vértice D(2 , 9 , -2) a la base. Solución. S i a = R T = T - R = (2 , 1 , 1) y b = R S = R - S = (1 ,-1 ,2) un vector normal al plano de la base es i j k ' =3(1,-1,-1)n = a x b = 2 1 1 -1 2 Sin perder generalidad podem os elegir, n = (1 Si v = R D = D - R v = ( 1 , 6 , 1) Luego , usando la fórmula (5) obtenem os 1 , - 1) ( 1 w 1 v / * b , ) S V- T FIGURA 6.9 h = I V • n I = 1( 1 , 6 , ! ) » ( ! , - 1 , - 1)1 = 2V3 11 n 11 vi + 1 + 1 Ejemplo 4 j Obtener la ecuación del plano que es paralelo al plano P , : 3 x - 2 y + 6 z - 9 = 0 , y que está a 7 unidades del origen.
- 147. 280 Capitulo 6: Planos en el espacio Solución. La familia de planos paralelos a P, es P : 3 x - 2 y + 6z + k = 0 (1) Si d{O , P ) = 7 , usando la fórmula (7) tendremos ^ = 7 <=> |k | = 4 9 <=> k = 49 ó k = -49 9 + 4 + 36 Por lo tanto , en (1 ): P : 3 x - 2y + 6 z ± 4 9 = 0 ■ Ejem plo 5 j Hallar la ecuación vectorial de la recta que se encuentra entre los planos P , : x - 2 y - 2 z = 12 y P ? : x - 2 y - 2 z = 6 Solución. Un plano P paralelo a los planos P, y P , , y entre am bos , tiene la forma P : x - 2 y - 2 z = k , V k e < 6 , 1 2 > Evidentemente una recta SB que se encuentra entre los planos P y P. debe estar sobre el plano P. Entonces ubiquem os dos puntos A y B e P por donde pasará la recta 3 . Esto es , six = k , y = -k , z = k <=> A ( k , - k , k) x = 3 k , y = k , z = 0 B(3 k ,k , 0) El vector de dirección de la recta # es . a = A B = B - A = (2 k ,2k ,-k) Por lo tanto , la ecuación vectorial de la recta es •á?:P = < k , - k , k ) + t ( 2 k , 2 k , - k ) , t e R , k e < 6 , 1 2 > ■ EJER C IC IO S: Grupo 32 1 . 2. Hallar la distancia del punto S al plano P dados. a) S(4 , -1 ,5) ,P = {<1 , -3, 1) + t(2 , 1 , -2> + s(1 , 3, 4) } b) S( 4 , 2 , - 3 ) ,P = {(1 - 5 s - 6 t , - 2 + 4 s + 7 t , 1 -2 s + 2 t ) , s , t e R } c) S(9 , 3 , - 5 ) ,P = 2 x + 3 y - 6 z - 15 = 0 Hallar la distancia entre los planes paralelos dados a) P , : 2 x - y + 2 z + 9 = 0 b) P , : 6 x - 1 8 y - 9 z - 2 8 = 0 c) P, : 3 0 x - 3 2 y + 2 4 z - 7 5 = 0 P ,: 4 x - 2 y + 4 /?- 21 = 0 P 2 : 4 x - 12 y - 6 z - 7 = 0 P 2 : 15x - 17 y + 1 2 z - 2 5 = 0 3. D o s caras de un cubo están en los planos P, : 2 x - 2 y + z - 1 = 0 y P 2 : 2 x - 2 y + z + 5 = 0, calcular el volumen de este cubo. 4. Si la base de un tetraedro es un triángulo de vértices R(1 , -2 , 1), S(-4 , 2, - 1 ) y T (-5 , 5 , 3 ) ; hallar la longitud de la altura del tetraedro trazada desde el vértice D(4 , 2 , -3) a la base. Sección 6.3: Intersecciones de planos 281 5. Hallar la ecuación del plano que es paralelo al plano P , : x - 3 y + 5 z - 8 = 0 y que está a 3 unidades del origen. 6. Hallar las ecuaciones de los planos paralelos al plano P : 2 x - z - 3 = 0 , que están a la distancia 5 unidades de él. 7. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos equidistantes de los dos planos paralelos P. : 5 x - 3 y + z + 3 = 0 y P 2 : 1 0 x - 6 y + 2 z + 7 = 0 8. Hallar las ecuaciones de los planos que dividen por la mitad los ángulos diedros form ados por los planos concurrentes P , : 2 x - y + 5 z + 3 = 0 y P 2 : 2 x - 1 0 y + 4 z - 2 = 0 9. H allar la distancia del punto ( - 1 , 1 , -2) al plano que p a sa por los puntos R(1 ,-1 , 1), S ( - 2 , 1 ,3) y T(4 , - 5 , 2 ) 10. Hallar un punto simétrico de P(36 , 20 , -17) respecto del plano formado por las rectas SBy= {<1 ,2 , 3) + 1<0 ,4 , 3)| t e R } y SZ2 : {<1 , -2 , 0) + s < 3 , 0 , 4)|s e R } f6.3 j IN T E R SE C C IO N E S DE PLA N O S_________________________ D o s planos P , :A,x + B j + C ,z + D, = 0 y P , :A,x + B,y + C ;z + D, = 0, cuyos vectores norm ales no son paralelos se intersecan en una recta SB. Esta recta recibe el nombre de recta de intersección de dos planos. Com o todo punto de la recta SBpertenece también a am bos , su ecuación cartesiana o biplanar suele escribirse de la forma g . f A,x + B,y + C,z + D, = 0 L A,x + B,y + C,z + D. = 0 Si n, es una normal al plano P, y n, es una normal al plano P , , entonces un vector de dirección de SB está dado por a = n, x n. Para determinar SB vectorialmente , bastará ob tener al m enos las coordenadas de un punto S sobre c£ , sabiendo que pertenece también a los planos P, y P . , y si P(x , y , z) representa un punto cualquiera de £ en el espacio , entonces SB : P = S + t(n,x es una ecuación paramétrica vectorial de SB. n :)
- 148. 282 Capítulo 6: Planos en el espado ejemplo 1 ^ Hallar la ecuación paramétrica vectorial de la recta de inter sección de los planos P , : x - 2 y + z = 0 y P 2: 3 x + y + 2 z -7 = 0 Solución. Los vectores normales de am bos planos son n, = (I , -2 , l) y n, = (3 ,l , 2) Entonces un vector de dirección de la recta de intersección es i j k a = n ] x n , = l -2 l = (-5 , I , 7) 3 1 2 Com o la coordenada z de a no es cero , la recta r£ no es paralela al plano X Y , y se puede sustituir a z por cero en las ecuaciones de los planos para obtener el punto S de intersección de 7 y el plano XY. Esto es , si z = 0 .=> (x - 2 y = 0) fl (3 x + y = 7) = (2 , 1) => S ( 2 , 1 , 0) Por tanto , la ecuación paramétrica vectorial de % es Z ' : P = <2, 1 , 0 ) + t<-5, 1 , 7 ) , l e R ■ O B S E R V A C IO N 6.5 Trazas de un plano La intersección de un plano P en el espacio con uno de los planos coordenados recibe el nombre de traza de P en eseplanocoordenado. Frecuentemente se puede emplear las trazas de un plano parafacilitarel trazado de su gráfica. En la Figura 6.11 se muestra la parte de un plano , con ecuación P : 2 x + 4 y + 3 z - 12 = 0 (1) que está en el primer octante. La traza del plano P en el plano X Y se obtiene haciendo z = 0 en (1). Esto es 2 x + 4 y = 12 =* x + 2y = 6 Haciendo x = 0 en (1) obtenem os la ecuación de la traza en Y Z , o sea : 4 y + 3 z = 1 2 Finalmente , haciendo y = 0 en (1 ) obtenem os la ecuación de la traza en X Z : 2 x + 3 z = 12 f > Zi l 4( >v / o * x v -------------------y FIGURA 6.11 O B S E R V A C IO N 6.6 Ecuación simétrica del plano Si en la ecuación del plano P : A x + B y + C z + D = 0, ninguno de los coeficientes A . B, C y D es igual a cero , esta ecuación se puede transformar a la forma (9) Sección 6.3: Intersecciones de planos 283 en donde ,a = - D/A , b = - D/B y c = - D/C son las m agnitudes de los segm entos que el plano P intercepta en los ejes X , Y y Z respectivamente. La ecuación (9) se llama ecuación segmentaria o simétrica del plano. Ejemplo 2 J Las ecuaciones de las intersecciones de un plano P con el plano X Y y el plano Y Z son las rectas S 1 : 2 x - y - 7 = 0 , z = 0 , y S '2 :y + 3 z + 7 = 0 , x = 0 , respectivamente. Hallar la ecuación de dicho plano P. Solución. Escribiendo las ecuaciones de rl y .2?, en su forma simétrica , tenem os x Entonces los vectores de dirección son : a, = <1 , 2 , 0) y a, = (0, -3 , 1) ¡ j k El vector normal al plano es , n = a x a, <=> n = = <2,-1 ,-3)1 2 0 0 -3 1 Un punto de es P,(0 , -7 , 0) y com o P, e P , entonces si P(x , y , z) es un punto cualquiera de P , implica que (P - P,) •n = 0 ■=> (x , y + 7 , z> •<2 , -1 , -3) = 0 <=> P : 2 x - y - 3 z - 7 = 0 ■ [ ejemplo 3 ^ Hallar la ecuación del plano P que es paralelo al plano cuyas intersecciones con los ejes X , Y y Z son 3 , -1 y 2 respectiva mente , y que pasa por el punto S(5 , -8 , 3). Solución. Por la fórmula (9), la ecuación del plano con a = 3 , ¿ = -1 y c = 2 es P . : f + + 4 = 1 <=> p , : 2 x - 6y + 3 z - 6 = 0 Si P I P , , entonces la ecuación de P tendrá la forma , P : 2 x - 6 y + 3 z + k = 0 Dado que S(5 , -8 , 3) e P <=> 2(5) - 6(-8) + 3(3) + k = 0 , de donde obtenemos , k = -67 /. P : 2 x - 6 y + 3 z - 6 7 = 0 ■ ejemplo 4 J Hallar la ecuación del plano que p a sa por lospuntos S(-1 , 4 , -1) y T(-13 , 2, -10)y que intercepta a los ejes X y Z segmentos de igual longitud y diferente de cero. Solución. Si Ia I = Ic I <=>a =c ó a = -c X V 7 Para a = c , la ecuación del plano es P : — + v + — = l (a) a b a
- 149. 284 Capítulo 6: Planos en el espacio Si S(-l ,4 ,-1)€ P <=$> -1 +4 - - =1 <=* T - - =I (1)a b a b a T(-13 , 2 , - 10) e P - > - — + | - — = 1 ^ 1 . 2 3 = i (2) a b a b a Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas obtenem os : a = -44 y b = 88/21 Luego , en (a.) se tiene , P : 2 x - 2 1 y + 2 z + 8 8 = 0 Para a - -c, la ecuación del plano es P : — + -7- - — = 1 (P) a b a Si S (-l t4 ,- 1) eP «=>-1 + 1 +1 = 1 <=> ¿, = 4 v / a b a T (-13 ,2 ,-10) e P <=* - —+ -1+ — = 1 ,d e donde obtenem os , a =- 6 a b a Por lo tanto , en ((3) se tiene , P : 2 x - 3 y - 2 z + 12 = 0 EJER CICIO S: Grupo 33 1. Obtener una ecuación paramétrica vectorial de la recta de intersección de los pares de planos cuyas ecuaciones se dan a) P , : 2 x + 3 y - z = 0 , P 2 : y - 3 z + 4 = 0 b) P , : 3 x + y - z -6 = 0 , P, : 4 x - 2 y - 3 z + 2 = 0 c) P , : x + y + 3 z - 1 = 0 , P 2 : 2 x - 3 y + z - 7 = 0 2. Las ecuaciones de las intersecciones del plano P con el plano X Y y el plano YZ son Sí : x - 4 y = 12 , z = 0 ; cl ’2:2 y + 5 z = -6 , x = 0 , respectivamente. Hallar la ecuación del plano P. 3. Para qué valor de m la recta X : f 3 x - 2 > + z + 3 - 0 g s paraje |a a|p|ano ^ 4 x - 3 y + 4 z + 1 = 0 P : 2 x - y + m z -2 = 0 4. Hallar la ecuación del plano que es paralelo al plano cuyas intersecciones con los ejes X , Y y Z son -1 , 3 y 5 respectivamente , y que pasa por S(0 ,1 , -1) 5. Hallar el volumen de la pirámide limitada por el plano P : 2 x - 3 y + 6 z = 1 2 y p o r los planos coordenados. 6. Hallar la ecuación del plano que intercepta al eje O Z el segm ento c = -5 y es perpendicular al vector v = (-2 , 1 , 3) 7. Hallar la ecuación del plano que es perpendicular al plano P , : 2 x - 2 y + 4 z = 5 y que intercepta en los ejes coordenados O X y O Y los segm entos a = -2 y b = 2/3. Sección 6.4 : Familia Heplanos que pasan por la intersección de dos planos 285 8. Averiguar para que valor de D la recta g ? ; / 2 x + 3 y z + D 0 ^cQrta L 3 x - 2 y + 2 z - 6 = 0 a) el eje X , b) el eje Y , c) el eje Z. 9. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto S(2 , -3 , -4) y que intercepta en los ejes coordenados segm entos de igual magnitud y diferentes de cero (se supone que cada segm ento parte del origen de coordenadas). 10. Hallar las ecuaciones de los planos que pasan por S (4 , 3 , 2) y que interceptan en los ejes coordenados segm entos de igual longitud y diferentes de cero. 11. Dem uéstrese que las rectas r 2 x + 2 y - z - 1 0 = 0 x + 7 _ y-5 = z -9 ’ ■ L x - y - z - 2 2 = 0 , y 3 -1 4 son paralelas y hállese la distancia díS?, , SP2) 12. Calcular el área del triángulo intersectado en el ángulo O X Y por el plano P : 5 x - 6 y + 3 z + 120 = 0 [ 6.4 J FAM ILIA DE PLA N O S QUE PASAN PO R LA IN T E R SE C C IO N DE DO S PLA N O S_______________________ ______________ D a d o s dos planos no paralelos P, : A,x + B,y + C,z + D, = Q y P . : A,x + B,y + C,z + D, = 0 la ecuación de la familia o haz de planos que pasan por la intersección de P. y P está dada por la ecuación A (x + B,)' + C (z + D, + k (A.x + B ,y + C,z + D.) = 0 (10) donde k se denom ina , parámetro de la familia. Ejemplo 1 J Hallar la ecuación del plano que p asa por la recta de intersec ción de los planos P , : 5 x - 2 y - z - 3 = 0 , P 2:x + 3 y - 2 z + 5 = 0 y es paralelo al vector v = (5 , -1 , 3). Solución. Por la fórmula (10) , el haz de planos está dado por 5 x - 2 y - z - 3 + k(x + 3 y - 2z + 5) = 0 (1) de donde obtenem os : (5 + k)x + (3 k - 2)y - ( l + 2 k)z - 3 + 5 k = 0 ■=> n = (5 + k , 3 k - 2 , -1 - 2 k) Dado que un miembro de la familia e s paralelo al vector v = (5 , -1 , 3), entonces
- 150. 286 Capítulo 6: Planos en el espacio n • v = O => 5(5 + k) - 1(3 k - 2) + 3 (-1 - 2 k) = O c=> k = 6 Sustituyendo en (1) obtenem os la ecuación del plano buscado , esto es P : l l x + 16 y - 13z + 27 = 0 Ejemplo 2 JHallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos P : x - 3 y + 7 z + 36 + k (2 x + y - z - 1 5 ) = 0 cuya distancia al origen de coordenadas es igual a 3 Solución. De laecuación de la familia de planos dada se tiene P : (1 + 2 k)x + (k - 3)y + (7 - k)z + (36 - 15 k) = 0 136 - 15 k| Por la fórmula (7), si d{O , P) = 3 (1 + 2 k): + (k - 3)2+ (7 - k)2 = 3 c=> |12 - 5 k| = '6 k 2- 16 k + 59 de donde obtenem os : 19 k 2 - 104 k + 85 = 0 «=> k = 1 ó k = 85/19 Sustituyendo en la ecuación del haz de planos se tiene dos soluciones P, : 3 x - 2 y + 6 z + 2 1 = 0 ó P , : 189x + 2 8 y + 4 8 z - 591 = 0 Ejemplo 3 } Averiguar si el plano P : 4 x - 8 y + 1 7 z - 8 = 0 pertenece a la familia de planos : 5 x - y + 4 z + k ( 2 x - 2 y - 3 z + 2) = 0 Solución. Su p ó n ga se la familia de planos P, + k (P,) = 0 Entonces los vectores norm ales de cada plano son : n = (4 , -8 , 17) n, = <5 , -1 , 4) y n, = (2 , 2 , -3). El vector de dirección de la recta de intersección de P, y P, e s : i j k 5 - 1 4 = ( - 5 , 2 3 , 1 2 ) 2 2 - 3 El vector de dirección de la recta de intersecciónde P y P, e s : i j k a, = n x n, = 4 -8 17 5 - 1 4 El vector de dirección de la recta de intersecciónde P y P, es : i j k a, = n x n , = 4 -8 17 2 2 - 3 Com o a 11a, 11a , , el plano P pertenece al haz de planos P, + k P , = 0 = (-15, 69, 36) = 3 (-5, 23, 12) = (-10, 46, 24) = 2 (-5, 23, 12) Sección 6.4 : Familia de planos que pasan por la intersección de dos planos 287 DEFINICION 6.3 Angulo diedro entre dos planos El ángulo diedro 0o < 0 < 180° , que forman d os planos orientados P, A ;x + B,y + C (z + D ( = 0 y P , : A,x + B,y + C,z + D. = 0 se define como el ángulo que forman las norm ales a am bos planos com o se indica en la Figura 6.12. Entonces, si n, = (A , , B , , C,) y n, = ( A j , B , , C 2) , se tiene Cos 0 = n. • n, l l n . l l II n, || FIGURA 6.12 En la Figura 6.12 ob sé rve se también que la recta de intersección .2? sigue la dirección del vector n = n. x n,. [ Ejemplo 4 ^ Hallar el coseno del ángulo diedro que forma los planos P , : 4 x + 2 y - 6 z + 3 = 0 y P , : 2 x - y + 3 z + 5 = 0 Solución. Por simple inspección : n, = (4 , 2 , -6) y n, = (2 , - 1 ,3) ( 4 , 2 , - 6) . ( 2 , - 1 ,3) 8 - 2 - 1 8 t=> C os0 = (V l6 + 4 + 3 6 )('4 + 1 + 9 ) (V 56)(V Í5) C o s0 = - y DEFINICION 6.4 Angulo entre una recta y un plano D ado s una recta c£ : P = P I + ta y un plano P con normal n , se define el ángulo entre f y P al com plem ento del ángulo que forma el vector de dirección de con la normal al plano P. En efecto , en la Figura 6.13 se observa claramente que . a = 90° - 0 S e n a = C o s 0 = a • n (12) FIGURA 6.13 Ejemplo 5 J Hallar el ángulo que forma la recta S ? : / 2 x + y * z 3 r ' l x + y + z = 1 con el plano coordenado X O Y
- 151. 288 Capítulo 6: Planos en el espacio Solución. Un vector de dirección de la recta c£ es a = a, xa, = (2 , 1 , -1> x (1 , 1 , l> = <2, - 3, 1) Para el plano X O Y , n = k = (0, 0 , 1) S e n a = (2 ’ ,~3 ’ °_— = - L <=> a = are S e n (1/VÍ4) (V4 + 1 + 9 ) (VT) VÍ4 DEFINICION 6.5 Proyección ortogonal de una recta sobre un plano S e denom ina proyección orto gonal de una recta 9P: P = P, + 1 a , sobre un plano P , de normal n , a la intersección del plano P con el plano P ] , de ecuación P |= {P | P = P l + ra + sn}, el cual es perpendicular al plano P. FIGURA 6.14 Ejemplo 6 Hallar las ecuaciones de la proyección de la recta se r 5 x X + 5 x - 4 y - 2 z - 5 = 0 , sobre el plano P : 2 x - y - z - 1 = 0 a = n. x n, = a. = a x n = 2 z- 2 = 0 Solución. D e la recta SP se tiene , n, = (5 , -4 , -2) y n, = <1 , 0 , 2) y del plano P , n = (2 , -1 , 1). Un vector de dirección de la recta SP es i j k 5 -4-2 • = - 4 ( 2 , 3, - 1) 1 0 2 La normal del plano P, formado por a y n es i i k 2 3 -1 = ( 2 , - 4 , - 8) 2 - 1 1 Luego , la ecuación del plano que contiene a la recta á ? e s P , : 2 x - 4 y - 8 z + D = 0 Elegim os un punto cualquiera de 5?, tal com o P^O , -7/4 , 1) Com o P, e P , , entonces : 2(0) - 4(-7/4) - 8(1) + D = 0 , de donde obtenem os D = 1 P , : 2 x - 4 y - 8z + 1 = 0 D ado que 2?, e (P fl P , ) , entonces las ecuaciones de la proyección de c£ sobre el plano P son 2 x - 4 y - 8z + 1 =0 2 x - y - z - 1 = 0 EJERCICIOS • Grupo 34 289 EJERCICIO S: Grupo 34 1. Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos 3 x - 4 y + z + 6 + k ( 2 x - 3 y + z + 2) = 0 y es equidistante de los puntos S(3 , -4 , -6) y T(1 , 2 , 2 ) 2. Hallar la ecuación del plano que pertenece a la familia de planos 1 0 x - 8 y - 1 5 z + 5 6 + k( 4x + y + 3 z - 1 ) = 0 cuya distancia al punto S(3 , -2 , -3) es igual a 7. 3. Determ inar los valores de m y n para que el plano 5 x + m y + 4 z + n = 0 pertenezca al haz de planos : 3 x - 7 y + z - 3 + k ( x - 9 y - 2 z + 5 ) = 0 4. Averiguar si el plano P : 5 x - 9 y - 2 z + 1 2 = 0 pertenece al haz de planos 2 x - 3 y + z - 5 + k ( x - 2 y - z - 7 ) = 0 5. H allar la ecuación del plano que p a sa por la recta de intersección de los pla n os P , : 5 x - 2 y - z - 3 = 0 y P z :x + 3 y - 2 z + 5 = 0 y e s paralelo al vector v = < 7 , 9 , 1 7 > . 6. Hallar la ecuación del plano que p asa por la recta de intersección de los planos 3 x - 2 y + z - 3 = 0 , x - 2 z = 0 y e s perpendicular al plano x - 2 y + z + 5 = 0 7. Hallar la ecuación del plano que p asa por la recta de intersección de los planos P , : 2 x + y - z + 1 = 0 , P 2 : x + y + 2 z + 1 = 0 y e s paralelo al segm ento limitado por los puntos S(2 , 5 , -3) y T(3 , -2 , 2) 8. Hallar la ecuación del plano que pertenece a la familia de planos 3 x - 4 y + z + 6 + k (2 x - 3 y + z + 2) = 0 y es equidistante de los puntos M,(3 , -4 , -6), M 2(1 , 2 , 2 ) . 9. Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos 4 x + 1 3 y - 2 z - 6 0 + k (4 x + 3 y + 3 z - 30) = 0 y recorta del ángulo O X Y un triángulo de área igual a 6u2 10. Averiguar si el punto M (3 , 2 , - 1 ) está situado en el ángulo agudo u obtuso formado por los planos P 1 : x - 2 y + 3 z - 5 = 0 y P a : 4 x - 3 y + 2 z + 5 = 0 11. Hallar la ecuación del plano que divide por la mitad el ángulo diedro formado por los planos P, : 2 x - y + 2 z - 3 = 0 y P . : 3 x + 2 y - 6 z - 1 = 0 e n que está situado el punto M(1 , 2 , -3). 12. Hallar en el haz : 2 x - 3 y + z - 3 + k(x + 3 y + 2 z + 1 ) = 0 u n plano que : a) sea paralelo al eje O X ; b) se a paralelo al eje OZ. 13. Hallar las ecuaciones de las proyecciones de la recta
- 152. 290 Capítulo 6: Planos en el espacio g y . f 3 x + 2 > / 1 0 s o pre e |p|a no P : x + 2 y + 3 z - 5 = 0 l 2 x - 3 y + 2 z - 2 = 0 7 14. Hallar las ecuaciones de las proyecciones de la recta ^ ; / x + 2> 3 / 5 - 0 ^ S0bre |o s pianos coordenados L 2 x - y + z + 2 = 0 15. S e dan el plano P : x + y - z + 1 = 0 y l a recta 5?: x = 1 , = -■* 1 , con la particularidad de que 3' e P (compruébese). S e pide : a) Calcular el sen a y las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano, (a es el ángulo entre la recta y el plano). b) Escribir la ecuación de un plano que pase por la recta c£ y es perpendicular al plano P. c) Escribir las ecuaciones de la proyección de la recta c£ sobre el plano P. 6.5 j IN T E R SE C C IO N E S DE R E C T A S Y P LA N O S_______________ D ados una recta c£ y un plano P en el espacio hay tres posibles configura ciones (Figura 6.13), o bien la recta es paralela al plano pero no interseca , o bien es paralela pero está completamente contenida en el plano , o bien interseca al plano en un sólo punto. Los dos ejemplos siguientes ilustran com o obtener la intersección de una recta 5? con un plano P. E jem plo 1 J Hallar las coordenadas del punto S de intersección de la recta = í ± 2 = i^ 3 y e| p(ano p ;x + 4 y . z + 5 = o. S o lu ció n . Las ecuaciones paramétricas de la recta 9- son : Sección 6.5: Intersecciones de rectas y planos 291 x = 1 + t , y = -2 + 2 t , z = 3 + 4 t . S i S e S(1 + t , - 2 + 2 t , 3 + 4t) (1) y como también S e P <=> (i + t) + 4 (-2 + 2t) - (3 + 4t) + 5 = 0 <=> t = I Por lo ta n to , en (1) se tie n e : 5r- f i P = S ( 2 , 0 , 7 ) ■ Ejemplo 2 J Hallar la intersección de la recta 3 P = (-5 , 1 , 3) + r (2 , -2 , 3 ), r eR , con el planoP : P = ( 1 , 3 , -2) + a (1 , -2 , 3) + P (2 , 1 , -2), a , (3e R. Solución. El vector normal al plano e s : n= (1 , -2 , 3) x <2, 1, -2)= (1, 8 , 5 ) Si P(x , y , z) e P <=> (P - P,) • n= 0 <=>P •n= P, •n => < x , y , z ) - < I , 8 , 5) = (1 , 3 , -2) •<1 , 8 , 5 ) de donde obtenem os la ecuación general del plano , P : x + 8 y + 5 z - 1 5 = 0 Si S g 31- c=> 3 r e R , tal que , S = (-5 + 2 r , 1 - 2 r , 3 + 3r) (1) Pero también S e P (-5 + 2 r) + 8 (1 - 2 r) + 5 (3 + 3 r) - 15 = 0 <=> r = -3 Por lo tanto en (1) se tiene : .5? d P = S (-11 , 7, -6) 1 ■ Veam os ahora , algunos ejemplos mixtos relativos a la ecuación del plano y a las ecuaciones de la recta. M IS C E L A N E A DE E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S ^ n E je m p lo 1 J Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto S (1 , -2 , 1 ) !y + z - 3 = 0 y - z + 2 = 0 f x - 2 y + z - 3 = 0 y es perpendicular a la recta £ : ^ ^ + Solución. El vector de dirección de la recta 9?es la normal al plano buscado , esto es ¡ j k a = n = n(x n, = 1 -2 1 = ( 1 , 2 , 3 ) 1 1 -1 Si P(x , y , z) € P t=> ( P - S ) * n = 0 <=> P * n = S * n t=> (x , y , z ) * ( l , 2 , 3 > = s (l, -2 , 1)-(1 , 2 , 3) de donde obtenem os la ecuación del plano P : x + 2 y + 3 z = 0 ■
- 153. 292 Capítulo 6: Planos en el espacio Ejemplo 2 ) Hallar la proyección del punto S(2 , - 1 , 3 ) sobre la recta <5? : x = 3t , y = -7 + 5t , z = 2 + 2 t Solución. La proyección de S sobre la recta c£ e s el pie de la perpendicular bajada de S sobre dicha recta , y se encuentra en la intersección de la recta con el plano que contiene al punto S y es perpen dicular a X . Esto es , si P ( x , y , z ) e P =* ( P - S ) * n = 0 <=> P * n = S * n donde n = <3 , 5 , 2) es el vector de dirección de & = * (x , y , z) •(3 , 5 , 2) = (2 , -1 , 3) •<3 , 5 , 2) P : 3 x + 5 y + 2 z - 7 = 0 Si Q 6 & <=> 3 1 € R IQs= ( 3 t , -7 + 5 t , z + 2t) (1) FIGURA6.17 También Q e P => 3 (31) + 5 (-7 + 5t) + 2(2 + 2t) - 7 = 0 <=> t = 1 Sustituyendo en (1 ) obtenem os la proyección buscada : Q(3 , - 2 , 4 ) r p () 'v n se v. Q y Ejemplo 3 J Hallar el punto Q simétrico al punto S (4 , 1 , 6 ) respecto de la 4 -|2 = 0 ¡2?: | Jrecta 2 x + y - 2 z + 3 = 0 Solución. El vector de dirección de la recta c£ es 1 j k a = 1 -1 -4 = 3 < 2, - 2 , 1 ) 2 1 -2 Para hallar un punto P, e .2?, hacem os z = 0 en la ecuación biplanar de c£ y obtenem os (x - y + 12 = 0) D (2 x + y + 3 = 0) = (-5 , 7) ■=> P,(-5 , 7 , 0 ) & : x = -5 + 2 1 , y = 7 - 2 1 , Z = t Si M e í£ => 3 t e R I M = (-5 + 2 1 , 7 - 2 1 , t) (1) La ecuación del plano P que contiene al punto S y es perpendicular a c£ es : (P - S) • a = 0 <=> P •a = S •a <=> (x , y , z) •(2 , -2 , 1) = <4 , 1 , 6) •( 2 , - 2 , 1> <=> P : 2 x - 2 y + z - 12 = 0 También M e P =* 2 (-5 + 2t) - 2( 7- 2t) + i - 12 = 0 o 1 = 4 Sustituyendo en (1 ) obtenem os M(3 , - l ,4) Dado que M equidista de S(4 , I , 6) y Q(x , y , z ) , implica que : M = (Q + S) <=> 2 (3 , -1 ,4) = (x + 4 , y + 1 , z + 6) <=> x = 2 , y = - 3 , z = 2 Q (2 ,- 3, 2) Miscelánea de ejemplos ilustrativos 293 Ejemplo 4 j Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos S(3 . 0 , 2 ) y T(4 . 1 , -1) y que es paralelo a la recta x - 2 y + z - 2 = 0 3 v - 2 z - 3 = 0 v . l x ' : l 2 + Solución. El vector de dirección de la recta 7 es = ( 2 , 4 , 7 ) Sea v = S T = (4 , 1 , 1) - (3 , 0 . 2) = (I , 1 , -3) Entonces la normal al plano P es n = v x a = ( l , 1 , -3) x (2, 4 , 7) = ( 19,- 10, 3) Si S e P c=> ( P - S ) - n = 0 P - n = S - n <=> ( x , y ,z)« (1 9 ,-1 0 , 3) = (3, 0 , 2 ) * (19- 10,3) P : I 9 x - lOy + 3 z - 63 = 0 E jem plo 5 ^ Hallar en el plano P : 2 x - 3 y + 3 z - 1 7 = 0 un punto P de modo que la su m a de s u s d istancias a los puntos A(3 , -4 , 7) y B(-5 , - 1 4 , 1 7 ) se a mínima. Solución. El punto P b u sc a d o se halla en la intersección del plano P con la recta que pasa por B y A’ , simétrico de A respecto al plano P. La recta que pasa por A , perpendicular al plano P, tiene por ecuación CÍ : P - (3 , -4, 7) + r ( 2 , -3, 3), r e R Si Q € <=* 3 r e R | Q = f ( 3 + 2 r , - 4 - 3 r , 7 + 3r) (1 ) También Q e P c=> 2 (3 + 2 r) - 3 (-4 - 3 r) + 3 (7 + 3 r) - 17 = 0 de donde obtenem os , r = -I ; luego en (1): Q = (I , -l , 4) Como Q equidista de A y A’ ^ Q = -^-(A + A ’) <=* A ’ = 2 Q - A => A =2(1 ,-1 , 4) - (3 , -4 , 7) = (-1 , 2, 1) Un vector de dirección de la recta que pasa por B y A es v = B Á ’ = (-l ,2 , I ) -(-5 ,-1 4 , 17) = 4(1 ,4,-4) y su ecuación vectorial es (J ,: P (-1 , 2 , I ) + t(I , 4 , -4), t eR Si P e <=* 3 t e R . tal que : P = (-1 + i , 2 + 4 1 , I - 4 1) (2) También P e P => 2(-l + 1) - 3(2 + 4t) + 3(1 - 4 i ) - 17 = 0 <=>i = -l Finalmente , sustituyendo en (2 ) obtenem os : P(-2 , -2 , 5) ■
- 154. 294 Capítulo 6: Planos en el espacio Ejemplo 6 ] La posición inicial del punto M (x , y , z) , en un movimiento uniforme rectilíneo en dirección del vector a = (-2 , 2 , 1 ) es M 0(15 , -24, *16); la velocidad es v = 12. Tras verificar que la trayectoria del punto M corta al plano P : 3 x + 4 y + 7 z = 1 7 , h allar: a) el punto P de su intersección , b) la longitud del segm ento M i 3 , c) el tiempo que se necesita para que el punto M haga el recorrido desde M 0 hasta P. Solución, a) La ecuación vectorial de la trayectoria es <B= {<15 , -24, -16) + 1<-2 , 2 , 1>, t e R } Si P e X «=> P = (15 - 2 t , -24 + 2 t ,-16 + t) (1) P e P <=> 3 (15 - 2t) + 4(-24 + 2 t) + 7 (-16 + t) = 17 de donde obtenem os , t = 20 Sustituyendo en (1) se tiene 5 ° n P = P(-25, 16,4) b) M ¡P = <-25, 16 ,4 )-< 1 5 ,-2 4 ,-1 6 ) = 20 <-2, 2, 1) El espacio recorrido es , e = 11 M 0P c) Tiem po empleado : i = 1 = pj- = 5 unidades de tiempo. = 20 4 + 4 + 1 = 60 Ejemplo 7 J Un rayo lum inoso parte del punto A(-3 , 8 ,5) ysigue la direc ción de la recta ^ = {<1 , 0 ,1 )+ 1 <-1 , 2 ,1), t e R } , llega al espejo dado por el plano P : x + y + z = 4. Hallar lá ecuación vectorial del rayo reflejado. Solución. La ecuación del rayo lum inoso es = {<-3 , 8 , 5> + r<-l ,2 , l > , r e R } Si S e i?, c=> S = <-3 - r , 8 + 2 r , 5 + r) (1) Tam bién S e P <=> (-3 - r) + (8 + 2 r) + (5 + r) = 4 <=> r = -3 Luego , en (1 ): .5?, flP = S (0 , 2 , 2) La ecuación de la recta que pasa por A , perpendi cular al plano P , es : J2?,= {< -3 ,8 ,5 > + s< l , 1 , 1), s e R } FIGURA 6.22 Si B e <=> B = <-3 + s , 8 + s , 5 + s) (2) B e P <=> (-3 + s) + (8 + s) + (5 + s) = 4 « s = -2 Sustituyendo en (2) obtenem os : B = <-5 , 6 , 3) Miscelánea de ejemplos ilustrativos 295 Como B equidista d e A y C ■=> B = 1 ( A + C) » C = 2 B - A => C = 2 < - 5 , 6 , 3 > - < - 3 , 8 , 5 ) = <-7,4, 1) Dirección del rayo reflejado : v = C S = <0 , 2 , 2) - <-7 ,4 , 1) = <7 , -2 , 1) Por lo tanto , su ecuación vectorial e s SB= {<0, 2 , 2) + t ( 7 , -2 , 1), t e R } ■ Ejemplo 8 j Hallar la ecuación cartesianadelplano que pasa por el punto S(1 , 4 ,-2) y dista una unidadde la recta 5? = {<2 , 6, 5) + t(2 , -4 , 0 ), t e R}. Solución. S e a la ecuación general del plano * P : x + B y + C z + D = 0 (1) Si d{f£ , P ) = 1 <=> = 1 <=> I n •v I = 11n 11 I I n 11 donde : v = S T = (2 , 6, 5) - <1 , 4 , -2) = <1 ,2 , 7> n = <1 , B , C) Luego : I <1 , B , C ) •<1 , 2 , 7) I = VI + B ; + C* => I 1 + 2 B + 7 C I = 1 + B - + C 3 (2) Dado que X ± n <=> <2 , -4 , 0) •<1 , B , C) = 0 o 2 - 4 B = 0 «=> B = 1/2 Sustituyendo en (2) se tiene : 192C : + 1 1 2 C + 11 = 0 « C, = - 1/8 ó C, = -11/24 Si S e P => 1 + 4 B - 2 C + D = 0 Luego , para B = 1/2 y C, = -1/8 <=> D, = -13/4 y para B = 1/2 y C : = -11/24 => D, = -47/12 Por lotanto , sustituyendo cada uno de estos valores en (1) obtenem os P , : 8x + 4 y - z - 26 = 0 ó P 2: 2 4 x + 12 y - l l z - 9 4 = 0 ■ (* ) Nota. En ocasiones en que se hace uso de la ecuación general del plano P :A x +B y + Cz +D =0, es aconsejable considerar como la unidad a cualquiera de los coeficien tes A , B , C o D , de preferencia A ; con esto se logra eliminar una incógnita y facilitar todas las operaciones realizables. Ejemplo 9 j Hallar la ecuación del plano que p a sa a través de la recta £' ={(1 , 8 ,1 >+ 1<1 , -3 ,1 ), te R } y forma un ángulo de 60° con el plano P, : 2 x - y + z = 7
- 155. 296 Capitulo 6: Planos en el espacio Solución. S e a el plano buscado P : x + B y + C z + D = O (1) cuya normal es n = (1 , B , C) C om o J2? c P «=> (l,.8 , l ) e P = > 1 + 8 B + C + D = 0 (2) 3 ? c P => a * n = 0 =* <1 ,-3, !)•<! , B , C ) = 0 <=> l - 3 B + C = O t = > C = 3 B - l (3) Sustituyendo (3) en (2) se tiene : D = -1 1 B (4) Un vector normal al plano P, e s n t = <2 , -1 , 1) Si P y P forman un ángulo de 60° <=» C o s 60° = n * n ‘ n n. esto e s - => 2(2 - B + C) = Vó (V I + B 2+ C 2) 2 (VI + B 2+ C : ) (4 + 1 + 1) Sustituyendo el valor de (3) se tiene 2 (2 * B + 3 B - 1) = 6 (' 1 + B 2+ (3 B - 1)2) , de donde obtenem os 11 B 2- 13 B + 2 = 0 B, = 1 ó B : = 2/11 Luego , en (3) y (4) tenem os : C, = 2 ó C, = -5/11 D, = -11 ó D, = -2 Sustituyendo en (1) cada uno de estos valores , resultan dos soluciones P , : x + y + 2 .Z -11 = 0 ó P , : 11 x + 2 y - 5 z - 22 = 0 Eje m p lo 1 0 J Hallar la ecuación del plano que pasa por A(1 ,3, 0) y B(4 ,0,0) y hace un ángulo de 30° con el plano P, : x + y + z - 1 = 0 Solución. S e a el plano buscado , P : x + B y + C z + D = 0 (1) Si A (1 , 3 , 0 ) 6 P => 1 + 3 B + D = 0 (2) B ( 4 , 0 , 0 ) e P ■=> 4 + D = 0 <=> D = -4 , luego en (2), B = 1 Por lo que , en (1) se tiene , P : x + y + C z - 4 = 0 = > n = ( l , l , C ) (3) La normal al plano P, es n ( = (1 , 1 , 1) ^ C o s 30° = ■ ü = < U , C ) . < I , 1 , 1 ) II n || 11n, 11 2 ('l + 1 + C J)(Vl + 1 + 1) de donde obtenem os : 5 C 2- 16 C + 2 = 0 C = j (8 ± 36) Por lo tanto , en (3) , las ecuaciones de los planos son P : 5 x + 5 y + (8 ± 3 V6)z - 20 = 0 ■ Miscelánea ele ejemplos ilustrativos 297 Ejemplo 11 J Hallar la ecuación cartesiana de un plano que contiene a la recta 7' = {(1 , 2 , -3) + 1(1 , -4 , 2)l t e R } y se encuentra a una distancia de 8/41 unidades del punto T(2 , -4 , -5). Solución. S e a el plano buscado P : x + B y + C /. + D = 0 => n = (l , B , C > Si y c P c=> (1 , 2 , - 3 ) e P «=> 1 + 2 B - 3 C + D = 0 También si í c P t=> <1 , -4 , 2) •<1 , B , C ) = 0 , de donde : B = -j (1 + 2C) Sustituyendo (3) en (2) se tiene : D = — (4 C - 3) d(T , P ) = J L => Í 1 l ¿ B o £ + D ] _ 41 Vi + B : + C 2 41 Sustituyendo en esta expresión los valores de (3) y (4) resulta la ecuación 180 C 2+ 36 C - 1 1 = 0 C, = 1/6 ó-C. = -11/30 Si C, = 1/6 c=> B, = 1/3 y D, = -7/6 , y si C : = -11/30 => B = 1/15 , D, = -67/30 Luego , en (1) , las ecuaciones de los planos buscados son P , : 6 x + 2 y + z - 7 = 0 ó P , : 30x + 2 y - 11 z - 67 = 0 (1) (2) (3) (4) Ejemplo 12 j Dado el plano P : x - 2 y + 3 z = 0 y l a recta 7 : x + 4 5 - z , y = - 1 ; ha- 4 3 llar la ecuación de la recta que pasa por A(0 , 2 , -1) , es paralelo al plano P y corta a la recta 7. Solución. La normal al plano P es n = <l , -2 , 3> y !?, = {<-4,-1 ,5) + r<4,0 , - 3) , r e R } . Si P, e 7 «=* P, = <-4 + 4 r , -1 , 5 - 3 r ) El vector de dirección de la recta 7 es a = AP, <=> a = (-4 + 4 r ,-1 ,5 - 3 r)-<0, 2 , -l) = (-4 + 4 r ,-3 ,6 - 3r) Com o V 11 P «=> a •n = 0 «=> (-4 + 4 r , -3 , 6 - 3r) •<1 , -2 , 3) = 0 de donde obtenem os , r = 4 => a = <12 , -3 , -6) = 3 (4, -I , -2) ' 7' = {<0, 2 , - 1 ) + l <4,-1 ,-2), te R } FIGURA 6.24 Ejemplo 13 J Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que es parale la a los planos P , :3 x + 1 2 y - 3 z - 5 = 0 y P 2: 3 x - 4 y + 9 z + 7 = 0, y que corta a las rectas
- 156. 298 Capítulo 6: Planos en el espacio . x + 5 _ y - 3 _ z + 1 v ™ . X_i3 _ y ± l = Z lA ~ 2 -4 ” 3 Y 2' -2 3 4 Solución. Las norm ales a los planos dados son : n, = (1 ,4 , - l) y n;= (3 , -4 ,9) y las ecuaciones vectoriales de las rectas son .5?, = {<-5 , 3 , - 1) + r (2 , -4 , 3), r e R } , .#,= {<3,-1 , 2) + s<-2,3,4), s e R} Se a V : P = P, + 1 a , t e R . la ecuación vectorial de la recta b u sc a d a , cuyovector de dirección es a = (a , b , c) Dado que : 9/ 11P, <=> a * n l = 0 < = > a + 4 f e - c = 0 <&P2 t=> a*n, = 0 o 3a-4¿> + 9c = 0 Resolviendo el sistem a para a y b obtenem os , a = 2c y b = 3c/4 c=> a = <-2c,3c/4,c) = - j < 8 , - 3 , - 4 ) Sin perder generalidad podem os e le gir: a = (8 , -3 , -4) Si P ( 6 (X n «=* p ,e => P, = (-5 + 2 r , 3 - 4 r , -1 + 3 r ) P. e (J2? fl # 2) => P ; e ^ => P : = <3 - 2s , -1 + 3 s , 2 + 4s> Com o P.P. 11 a «=> P j - P j s k a ■ = > ( 8 - 2 s - 2 r , - 4 + 3 s + 4 r , 3 + 4 s - 3 r ) = k ( 8 , - 3 , - 4 ) { 8 - 2 s - 2 r = 8 k <=> s + r + 4 k = 4 -4 + 3s + 4 r = - 3 k «=> 3s + 4 r + 3 k = 4 3 + 4 s - 3 r = - 4 k <=> 4 s - 3 r + 4 k = -3 Resolviendo el sistem a obtenem os : r = 1 , s = -1 , k = 1 <=> P, = (-3 , -1 , 2> % : P = <-3 , -1 , 2>+ t (8 , -3 , -4) <=> x = -3 + 8 1 , y = -l -3 1 , z = 2 - 4 t ■ Ejemplo 14 J Se a n los conjuntos A = {(x , y , z) e R JI 63(7 - x) = 18(13 + y) = -14(z + 1)} B = {(1 + 2 t , -1 + 3 t , 5 + 5 t > e R 3I t e R } C = {(x , y , z) e R-' I 8 x + y = 7 , -7 y + 8 z = 47} a) D ar la ecuación cartesiana de un plano P que contenga a dos de los conjuntos dados. b) Hallar una ecuación vectorial de una recta % paralela a P y cuya intersección con A , B y C se a no vacía. Solución, a) Los conjuntos A , B y C son rectas cuyas representaciones vectoria les son las siguientes A = <2?,: * 1 2 = = ^ ± 1 <=> <¡Pt = {<7 , -13 , - 1) + t <2 , -7 . 9>| t e R } B = %^,= {<1 ,-1 ,5>+r<2, 3,5)1 re R} EJERCICIOS : Gruyo 35 299 C es la recta determ inada por la intersección de d o s p la n os P , : 8 x + y = 7 y P . : -7 y + 8z = 47 , cuyo vector de dirección es a, = n f x n, c=> a, = <8 , 1 ,0) X <0, -7 , 8) = 8 (1 , -8 , -7) El punto de paso de 7 lo obtenem os de las ecuaciones de P, y P,. Por ejemplo , para v = -1 , en P ( , x = 1 , y en P , , z = 5 , por lo que , ( l , - l , 5 ) e Luego, C = # , = {<1 , -I , 5) + s (I , -8 , 7)1 s e R } Obsérvese que A fl B = 0 (compruébese) y A f| C = P (1 , - 1 , 5), am bos conjuntos tienen el m ism o punto de paso. Entonces el plano P formado por los conjuntos B y C tienen por ecuación vectorial y por Q 0e (A D P) FIGURA 6.25 Luego . si Q ()e f£ x ■=> Q u = (7 + 2 t ,-13 - 7 t ,-1 + 9t) (1) Q 0 e P o (7 + 2 1) + (-13 - 7t) - (-1 +9t ) + 5 = 0 <=> t = 0 Por lo que , en (1), obtenem os Q i(= (7, -13 , -1) El vector de dirección de ? ' e s a = P, Q = Q n - P 0 => a = <7,-13 ,-1) - <1 ,-1 . 5) = 6 <1,-2, I) <0= {( , -I ,5) + t<l ,-2, 1)1 te R} ■ EJER CICIO S: Grupo 35 1 . Hallar la ecuación del plano que pasa por S(1 , 1, 1) y es perpendicular a la 2 x - y + z = 5 5 • recta ^ . r 2 x - y + z = í ’ *- x + 2 y + 2 = 2. Hallar el punto Q que es simétrico al punto S(2 , - 5 , 7 ) respecto de la recta que pase por los puntos A(5 . 4 , 6) y B(-2 , -17 , -8). 3. Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos S(1 , 2 , 3) y T(3 , - 1 , 0 ) y que e s paralelo a la recta de intersección de los planos x + y + z - 3 = 0 y x + 2 y - 3 z + 5 = 0.
- 157. 300 Capítulo 6: Planos en el espacio 4. U na recta 3? que contiene al punto S (2 , - 5 , 8 ) e s perpendicular al plano P : x - 2 y + 3 z - 8 = 0. Hallar las coordenadas del punto de intersección de X y P. 5. Obtener una ecuación cartesiana del plano que contiene al punto S (-6 ,1, - 3) y que es perpendicular a la recta cuyos co se n o s directores son todos iguales. 6. Hallar las coordenadas del punto de intersección del plano P : 2 x + y + z - 6 = 0 y la recta que pasa por el origen y que es perpendicular a P. 7. Hallar la proyección del punto S(5 , 2 , - 1 ) sobre el plano P : 2 x - y + 3 z + 23 = 0. 8. Hallar el punto Q que e s sim étrico al punto S(1 , 3 , - 4 ) respecto del plano P : 3 x + y - 2 z = 0 9. Hallar en el plano X O Y un punto P de modo que la sum a de su s distancias a los puntos A(-1 , 2 , 5) y B(11 , -16 , 10) se a mínima. 10. Hallar en el plano P : 2 x + 3 y - 4 z -1 5 = 0 un punto P de m odo que la diferencia de su s distancias a los puntos A(5 , 2 , -7) y B(7 , -25 , 10) se a máxima. 11. Para que valores de A y B el plano P : A x + B y + 3 z - 5 = 0 e s perpendicular a la recta 0 : x = 3 + 2 t , y = 5 - 3 t , z = - 2 - 2 t x - 2 _ y + 1 _ z - 5 C4 «M/ ------- ------- — ------- al plano P : 3 x - 2 y + C z + 1 = 0 12. Para que valores de a y C la recta e s perpendicular a 4 -3 13. Hallar la ecuación del plano que p asa por & : y y es per pendicular al plano P : 3 x + 2 y - z - 5 = 0 14. Dem ostrar que la ecuación del plano que p asa por la recta <£ : x = x0+ a t , y = y o = bt , z = z0+ ct y es perpendicular al plano P 1 : A x + B y + C z + D = 0 s e puede representar en la forma x - x 0 y -y 0 z - z 0 a • b c = 0 A B C 1 5. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P,(1 , 2 , -3) y paralelo a las rec, a s ^ : V = ^ = ¥ Y = ¥ = 16. Demostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto P 0(x0 , y 0 , z0) y es paralelo a las rectas a>. x - xi y - yi _ z - zi Cp . x - xz _ y ~ y2 _ z - z? . 1' a, 6, c, 2 a2 b2 c2 se puede representar en la forma EJERCICIOS : Grupo 35 301 * - x 0 y - y 0 z * zo b^ . c, ü 2 K C2 = 0 17. La posición inicial del punto M (x , y , z) en un movimiento uniforme rectilíneo , es M 0(28 , -30 , -27); la velocidad es v = 12.5 y la dirección e s la de la perpen dicular bajada del punto M 0 al plano P : 15 x - 16 y - 12 z + 26 = 0. Hallar las ecuaciones del movimiento del punto M y determinar : a) el punto P de intersección de su trayectoria con este plano , b) el tiempo que se necesita para que el punto M haga el recorrido desde M 0 hasta P, c) la longitud del segm ento M 0P. 18. S e a n las rectas i? , = {<-1 , 3 , 3) + s (0 , -1 , 1), s € R } , S02= {(-1 , 3 , 1 ) + r<1 , -1 , 1), r e R } y 3! una tercera recta que corta a ortogonalmente. Si P 1 es el plano que determinan cJ!yy r£ 2 , y P 2 es el plano que determinan y % ; hallar el coseno del ángulo que forman P, y P 2. 19. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano z = 2 , que contenga al punto P,(1 ,-3, 4) y haga un ángulo de 60° con el plano P : 2 x - 3 y + 3 z - 5 = 0 20. Hallar la ecuación del plano que pasa por T(2 , -1 , 0) y forma un ángulo de 30° con el eje X. 21. Hallar la ecuación del plano que p a sa por A(1 , 3 , 0) y B(4 , 0 , 0) y hace un ángulo de 30° con el plano P, : x + y + z - 1 = 0 22. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto M 0(3 , -2 , -4) paralelamente al plano P : 3 x - 2 y - 3 z - 7 = 0 y que corta a la recta . x_^2 _ y + 4 _ ZjJ 1' 3 -2 2 23. Hallar la proyección del punto C(3 , -4 , -2) sobre el plano que pasa por las dos rectas paralelas se,: ^ ^ = z ± 3 y X _ ^ = y ^ 3 = / + 3 lO I " 4 lO 1 -^t 24. Hallar el punto Q que es simétrico al punto P(3 , -4 , -6) con respecto al plano que pasa por los puntos P ,(-6 , 1 , - 5 ) , P2(7 , -2 , -1) y P 3(10 , -7 , 1). 25. Hallar el punto Q que e s simétrico al punto P(-3 , 2 , 5 ) con respecto al plano que pasa por las rectas y . r x - 2 y + 3 z - 5 = 0 r 3 x + y + 3 z + 7 = 0 l x - 2 y - 4 z + 3 = 0 ’ 2 ' l 5 x - 3 y + 2 z + 5 = 0 26. Dem ostrar que la ecuación del plano que pasa por la recta =5?,: x - Xl = t y es paralelo a la recta c£'2: x = x0+ a t , y = y 0+ bt , a, o, c,
- 158. 302 Capitulo 6: Planos en el espacio z = z0+ c t , se puede representa en la forma x - x, y - y, a b a, b, 27. Dem ostrar que si dos rectas z - z e Cy = 0 ^ . x + xi _ y - yi _ z - z. y st9 : X - X; _ y ~ y 2 _ z - Z? ¿2^2 ^2 se cortan , la ecuación del plano en el que están situadas se puede represen tar en la forma siguiente x - x , y - y , z - z , a, 6, c. = o 28. Dem ostrar que la ecuación del plano que p asa por los puntos P t(x, , y , , z,) y P 2(x2 , y , , z ) y el paralelo a la recta 7': x - x3 _ y - y3 _ z - z3 a b e se puede re presentar en la forma x - x , y - y , z - z , x2 - xi y2-y, z2-z, =o a b e 29. Dem ostrar que la ecuación del plano que p asa por las rectas paralelas 5?, : x = x , + d t , y = y, +¿ ? t , z = z , + c t y 5r'2; x = x2 + íZt , y = y 2 + M , z = z2+ct, se puede representar en la forma siguiente : x - x , y - y , z - z , v x, y2-y, v z, =° a b e 30. Dem ostrar que la ecuación del plano que pasa por la recta 7': x = x0+ at , y =y0+b , z = zQ+ ct y por el punto P,(x, , y, , z,) se puede representar en la forma : x - x , y - y , z - z , xt-xo y,-y0 z, - zo =° a b e [ 7.1 ) EL C O N JU N T O DE LO S N U M E R O S C O M P LE JO S_________ Dentro del cam po de los núm eros reales podem os hallar núm eros x tales que x: = a , si a >0. Pero que sucede cuando a <0. No existe ningún número real que satisfaga esta ecuación pues , el cuadrado de todo número real e s siem pre posi tivo o cero. Por tanto , para resolver la ecuación d ebem os ampliar el sistem a numérico o incluir expresiones sem ejantes a i = -l , tal que i: = - I. Esta expresión es llamada número imaginario o unidad imaginaria. Podem os entonces investi gar el conjunto de núm eros de la forma a + bi (llamados números complejos), donde a y b se eligen del conjunto de núm eros reales. E stos núm eros son parejas de números reales (a , b ) , donde el sím bolo i sirve solam ente para conservar separa dos dos números. Esto e s , si representam os por C a dicho conjunto , entonces tenem os la siguiente definición formal DEFINICION 7.1 Conjunto de los números complejos El conjunto de todos los núm eros de la forma a + bi , donde a . b € R e i: = -1 se denom ina el conjunto de los números complejos y se denota por (' . esto es C = {(a , b) = a + ¿>i| a , b e R : , i- = -1 )■ V__________________________!_______________ __________________________________________ Los elementos del conjunto C se denotan por las letras v , w , z , etc. de m odo que si
- 159. 304 Capítulo 7: Números complejos z e C <=* z = (a ,b) ,a ,b e R w e C <=> w = (c ,d) ,c ,d e R La com binación de los núm eros com plejos con los núm eros reales se llama sistema de números complejos. Entonces a sem ejanza con el estudio desa rrollado en forma axiom ática de los núm eros reales com enzarem os por definir este sistem a en función de los núm eros reales. f — -— — — a DEFINICION 7.2 El sistema de números complejos El sistem a de núm eros complejos e s el conjunto C de todos los pares ordenados de núm eros reales (a , b) , provistos de una relación de equivalencia y dos operaciones llam adas de adición y multiplicación . tales que , para dos elementoscualesquiera (a ,b) e C y {c , d) e C se tiene 1. Igualdad: (a . b) = (c , d) <=>a = c A-b = d 2 . Adición : {a , b) + (c ,d) = (a + c , b +d) 3. Multiplicación : (a , b) (c , d) = (ac - bd , ad + be) /--------------------------------------------- — ------------- TEOREMA 7.1 Propiedades de la Adición Para los núm eros complejos z, , z, , z3 e C , se cumple las siguientes propiedades A.1 : V z , , z : e C <=> (z, + z,) e (! (C lausura) A.2 : V z , , z ,e C <=* z, + z, = z, + z, (Conm utatividad) A.3 : V z , , z , , z, e C r=> (z, + z:) + z, = z, + (z. + z.) (Asociatividad) A.4 : Existencia y unidad del elemento neutroaditivo z0= (0 , 0) 3 ! z ,e C |V z e C ; z + z(J= z A.5 : Existencia y unicidad del inverso aditivo Para cada z e C , existe un único (-z) e C I z + (-z) = z. Demostración de A .2 : z + z, = z, + z, En efecto , sean z, = (a , b) y z, = (c , d) dos núm eros complejos *=$ z, + z, = (a , b) +(c , d) = (a +c , b + a) (Def. de suma) =(c +a ,d +b) (Conmutatividad en R) =(c,d) +(a ,b) =z: + z, (Def. de suma) /. Lasum a de núm eros complejos es conmutativa. Sección 7. /: El conjunto de los números complejos Demostración de A .3 : (z, + z ) + z, = z, + (z, + z,) En efecto, sean : z, = (a ,b) , z, = ( c , d) y z^ = (e , f ) Ia ,b ,c ,d ,e , f e R *=> (z,+ z:) + z ; = [(íí ,b) +(c ,d)] +(e ,i) =(a +c ,b +d) +(e ,1) (Definición de suma) = [ (a +c) +e , [b+d) +f ] (Definición de sum a) = [ a + (c + e ) , b + (d + f )] (Asociatividad en R) = (a , b) + [(c + e ) , {d +f)] (Definición de sum a) = (a ,b) + [(a ,d) + {e ,i)] (Definición de sum a) = z, + (z, + z,) La sum a de complejos es asociativa. Demostración de A.4 : 3 ! z € C I V z € C : z + zu = z En efecto , sean , z(1= (x , y) y z = (a ,b) Averiguarem os que valores deben tomar x e y de modo que : z + z,(= z «=> (a , b) +(x , y) = (a ,b) (a + x , b + y) = (a ,b) (Definición de sum a) (a + x = a) a (b +y = b) (Definición de igualdad) t=> (x = 0) a (y = 0) Entonces el elemento neutro aditivo es z = (0 , 0). La unicidad de z resulta de la unicidad de los valores de x e y. z0 = (0 , 0) es el elemento neutro aditivo de C Demostración de A.5 : V z e C , 3 ! (-z) e C I z + (-z) = z0 En efecto , sean : z ={a,b)' y -z = ( x , y ) Averiguarem os que valores deben tomar xe y , tales que : z + (-z) = z o (a ,b) + (x , y) = (0 , 0) r a + x = 0 = > x = -a => (a + x ,¿>+ y) = (0, 0) « { b + y =0 <=> y —-b Luego , si z = (a ,b) o -z = (-a , -fc) -z = [-a , -b) es el inverso aditivo u opuesto de z = {u , 6) Según esta propiedad , se puede definir la resta , z, - z, por la siguiente relación. z, - z, = z, + (>z;) ) (1)
- 160. 306 Capítulo 7: Números complejos TEOREMA 7.2 Propiedades de la Multiplicación Para z, , z ; . z, e C se cumplen Igs siguientes propiedades M.1 : V z , , z, e C ==> z, z, e C (Clausura) M.2 : V z , , z , e C => z z, = z, z, (Conm utatividad) M.3 : V z , , z 2, z, e C «=> (z. z.)z, = z l(z ,z <) (Asociatividad) M.4 : Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo 3 ! a) € C , a * z01V z e C : z to = z , donde o> = (1 ,0) M.5 : Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo V z e C , z * z , B ! z 1 e C l z z •' = w , M .6 : V z , , z , , z, e C : z,(z, + z.) = z, z, + z, z, (Propiedad Distributiva) Demostración de M .2: V z, , z, e C ■=> z, z, = z : z, En efecto , sean : z, = (a ,¿) y z : = {c ,d) (1) = > z , z , = (a ,b) (c ,d) = {ac-bd,ad +bc) (Def. de Mult.) (2) z; z, = (c ,íi) (a ,¿>) = (ca-db,cb +da) (Def. de Mult.) (3) = [ac-bd ,ad +bc) (Conmutatividad en R) (4) Luego , de (1) y (3): z, z : = z, z, El producto de núm eros complejos es conmutativo Demostración de M .3: (z, z,)z, = z,(z, z,) En efecto , s e a n : z l =(a ,b) , z, = (c ,d) y z, = (x , y) (1 ) t=> (z, z :)z? = {ac -bd ,ad +be) (x , y) (2) = [(ac-bd)- (ad +bc)y , (ac-bd)y +{ad +bc)x] (3) = (ac x- bd x -a dy- be y , ac y - bdy +adx +bcx) (4) = ( a c x - a d y - b d x - b e y , a c y +adx -bdy + bcx) (5) = [f l ( c x - ¿ y ) - 6(cy + Jx) , a(cy + dx) +b{cx-dy)] (6) = (a ,b) {cx-dy , cy +dx) (7) = (a , b) [(c ,d)[x , y)] = z,(z, z.) El producto de núm eros complejos es asociativo Demostración de M.4: 3 ! ( o e C l V z e C : z a > =z , (o = (1 ,0) Probarem os que w = (1 , 0), suponiendo que z = (a ,b) y (o = (x , y) (1) S i z to = z ■=> (a ,b) (x , y) =(a ,b) (2) f a x - b y =a (a)r ax - o y = ¡=> (ax-by , a y +bx) = (a ,b) <=> ■{ l ay +b =y +by =b (P) Sección 7.1 : El conjunto de los números complejos 307 (3) Multiplicando(a) p ora : a:x- aby =a (4) Multiplicando(P) por b : b:x +aby=.b: (5) Sum ando (3)+ (4) se tiene : (a'- + b2)x =a'- +b:<=> x = 1 (6) Sustituyendoen (p ) : b + a y =b => y = 0 ,luego : to = (I , 0) . cü = (1 , 0) es el elemento neutro multiplicativo de C I Nota. El elemento neutro multiplicativo definido en M.4 se llama también unidad compleja o uno complejo y se denota por I. Esto es to= I = (I ,0) Demostración de M .5: V z e C , z * z( , 3 ! z 1 e C I z z 1 = co En efecto . sean z = (a , b) y z 1 = (x , y) (1) Si z z ' = m <=> (a ,b) (x , y) = (I , 0) a x - b y = I ¡y- -(3) Resolviendo el sistem a para x e y obtenem os a .. -b (2) (ax - by ,a y +b x) = ( 1 , 0) <=> | a x ^ * 1 L a +bx =0 x = a: + b: y = a2+b2 (4) Luego .si z = (a ,b) y si z 1 = (x , y) => z ' = (— 2— , — >— ) ' a - + 6 ; a : + b : ' (2) es el inverso multiplicativo de z = (a , b) y e s único, i Nota. El elemento inverso multiplicativo de z = (a , b) definido en M.5 se denomina también recíproco de z. Es costumbre representar a z-i como y Según esta propiedad , se puede definir la división de z entre w por la siguiente relación z w = z (w) = z <w> (3) De esta división se obtiene la regla para dividir dos núm eros complejos : z =(a ,b) y w = (c ,d) z_ _ (a , b) w (c - 4 = ( a , b) i c, d y = ( ú , 4) ( _ £ _ , _ ^ L . ) = m ± M , ,d) c +d c-+d-l ' c- +d- C- +(l‘ I -b) _ / a c +bd be - a d (C , d) ' C- + d : ’ C: + d 2 > (4) Por ejemplo , si z = (5 , 3) y w = (3 , - 1), entonces según la regla (4) para la división z _ (5 , 3) _ (15 - 3 w (3,-1) = [ * ' 3 9 + 5 _ /6_ _7 V9 + 1 ’ y + i / 5 ’ 5 /
- 161. 308 Capitulo 7: Números complejos 7 . 2 ) R C O M O S U B C O N J U N T O DE C Verem os ahora la relación que existe entre los núm eros complejos y los núm eros reales. S e a A = {(a , 0) I a e R c f;} , el conjunto de los complejos de parte imaginaria nula. S e puede establecer una correspondencia biunívoca entre A y los núm eros reales de la siguiente manera. La función / : A •=> R , definida por /[ (a , 0)] = a , asigna a cada complejo real su primera componente. / es invectiva , puesto que si z, = ( a , , 0) y z, = (a ,, 0) y z , * z , <=> (a , 0) * (a,, 0) <=> a, * a , A d em ás com o, /(z,) = / [(a ,, 0)] =a, y / (z ,)= / [(a ,f 0) ] = a , se tiene que : a, * a: /(z,) * /(z,) / e s sobreyectiva , pues V a e R , existe [a , ü) e A I f[(a , 0)] = a Por tanto ,/ es una función biyectiva. Esto e s , V (a , 0) e A le corresponde el elemento a en los reales , lo cual se indica escribiendo {a , 0) <=> a , V a e R Veam os el comportamiento de las operaciones (2) y (3) de la Definición 7.2 en los conjuntos A y R. Si z, = (a ,. 0) y z , = (a: , 0), entonces z, + z: = (a ,, 0) + (a ,, 0) = (a, + a , , 0) <=>a, + a, z, z, = (a ,, 0) (a ,. 0) = (a, a2, 0) <=>a¡ a. Aplicando / a cada una de estas operaciones se tiene / (z, + z,) = / [(a ,, 0) + (a ,, 0)] = /[(a, + a 2. 0)] = a , + a, = /[(a, , 0)]+ / [ (a 2, 0) ]= / ( z ,)+ / (z J) / ( z 1z :) = / [ ( a 1 . 0) ( a , I 0)]= / [ (a |a ,,0)] = a 1a 2= /[(aI , 0)]/ [(a2,0) ] = / ( z l)/(z,) C z, = (a, .0) z; = (a,,0) z, + z, = (a, + a , , 0) zl zj.= (a,tfj ,0) Esta analogía permite identificar cada complejo real con el real correspondiente es d e c ir, e s válida la igualdad Sección 7.3 : Forma cartesiana de un número complejo 309 (a ,0) = a , V a e R o sea , podem os afirmar que A = R y com o A c C <=> R c C De aquí se considera que el sistem a de los núm eros com plejos e s una amplia ción del sistem a de los núm eros reales. Í7 .3 ) FO R M A C A R T E SIA N A DE UN N U M ER O C O M PLEJO DEFINICION 7.3 Im unidad imaginaria El número complejo imaginario cuya segunda componente es la unidad se denom ina unidad imaginaria y se denota por i = (0 , 1) Tiene la propiedad de que si P = (0 , I) (0 , 1) = (0 - 1 ,0 + 0) = (-l , 0) y por la analogía de los complejos reales con los reales ¡- = -1 <=> i = Si p es un número positivo , podem os usar la notación i = , para denotar la raíz cuadrada principal de -p , representada por V-p , esto e s , si -p = Vp V^p = i Vp Ejem plos : a) V^3 = i 3 , b) V^25 = i V25 = 5 i También podem os usar la rotación i2 = -I para obtener diversas potencias de i. i ° = i Análogam ente 5= i ft = -l 7= -i !*= 1 = I 2= -l ¡> = j‘i = (-l)i = -¡ i4= i 2i 2= (-1)(-D = i O bsérvese que para cada 4 potencias sucesivas de i se repiten los m ism os resul tados. Luego , si el exponente de i es n e N , al efectuar la división entre cuatro se obtiene 4 k + r , donde 0 < r < 4 , entonces ¡n _ ¡4k+ r _ /¡4k¡ i _I" = I = (i4k)i' = (i4)ir = ( 1 ) ir = i r En consecuencia , in se reduce a uno de los cuatro considerados en primer lugar, según el valor que tenga r Ejemplos: 1. ilíS = i = i° = l 3. ¡M= i 4(,,, +2 = i2= -1 2. i25 = i 4(61* 1= i1= i 4. i87 = i 4(2,) +1= P = -1
- 162. 310 Capítulo 7: Números complejos U sando la convención de identificar los núm eros complejos de la forma (a , 0) con el número real a , podem os escribir el número complejo z = (a , b) en la forma z = (a ,b) = (a , 0) + (0 , b) = (a , 0) + (6, 0) (0, 1) = (a , 0) + ¿(0 , 1) /----------------- "N z = a +b ¡ v____________ / Notación que se conoce con el nombre de forma cartesiana , rectangular, canóni ca o binómica de un número complejo , de donde a es su parte real y b su parte imaginaria , y se denotan , respectivamente a = Re (z) , b = Im (z) de m odo que podem os escribir r -y z = Re (z) + Im (z) i v__________ ____________ y Una ventaja de escribir los núm eros complejos en la forma cartesiana e s que la sum a y la multiplicación se pueden efectuar sin referirse a las definiciones en términos de pares ordenados. Si usam os la notación z, = (a , b) = a + b i , z, = (c , d) = c + d i para efectuar la multiplicación z, z, donde consideram os los términos a , b , c , d , i , com o si todos ellos obedecieran a las leyes de los núm eros reales y reem plazando i2 por -1 tendríam os z, z, = (ü + bi) (c + d i) = a c + ad i + be i + bd i 2 = (ac-bd) + (ad + be) i = ( ac-bd, ad +bc) Por ejemplo , si z, = (-2 , 3) y z, = (1 , -2), entonces z, z, = (-2 + 3 i) (1 - 2 i) = (-2) (1) + (-2)(-2 i) + (30(1) + (3 i)(-2 i) = -2 + 4 i + 3 Í - 6 i 2= 4 + 7i = ( 4, 7) ' - I O B S E R V A C I O N E S 1 . S e dice que un número complejo es puramenter e a l , sisu parte imaginaria es cero. Esto es , si z = (a , 0) =a + Oi <=> Im (z) = 0 2. S e dice que un número complejo es imaginariopuro , si su parte real e scero. Esto e s , si z = (0 , a) = 0 + a i ■=> R e (z) = 0 Sección 7.4 : Representación geométrica de los números complejos 311 (7 .4 ) REPR ESEN T A C IO N G EO M ET R IC A DE LOS N U M ER O S CO M P LEJO S La idea de representar geom étricam ente un núm ero complejo e s real mente m uy simple. S e puede establecer una correspondencia uno a uno entre los números complejos y los puntos del plano cartesiano de acuerdo con el esquema: Núm ero complejo Punto del plano (a,b) =a+b i <=> P (a ,¿) A s í , cada número complejo a + b i corresponde a un puntoúnico del plano cuyas coordenadas son x = a , y = b. Recíprocam ente , cadapunto P(a , b) del plano corresponde a un número único a + b i. El punto P(a , b) recibe el nombre de punto , afijo o gráfica del número complejo a + b i. El plano donde su po n e m o s representados los afijos de todos los núm eros complejos se llama plano com plejo. El eje O X de este plano contiene todos los afijos de los complejos de la forma (a , 0) = a + O i, e s d e c ir, los núm eros reales. Por esta razón recibe el nombre de eje real. El eje O Y contiene los afijos de los núm eros imaginarios puros (0 , b) y se llama eje imaginario. La línea O P que representa la magnitud del complejo a + b i se llama radio vector. i 7.4.1) R EP R ESEN T A C IO N G R A F IC A DE LA S U M A Y D IF ER EN C IA S i en un plano com plejo re p re sen tam o s los com plejos z, = (a,, b ,) y z, = (a, , ¿,) por su s respectivos radios vectores r, y r, , entonces el vector sum a z, + z, e s la diagonal del paralelogramo construido sobre los radios vectores repre sentativos de los sum andos. En efecto , en la Figura 7.2 A O D M s A N E P , por tener : O D = N E y M D = P E Entonces : a =O B = O A + A B = O A + N E = O A + O D = a, + a , 6 = P B = P É + É B = M D + Ñ A =b: +bt z = a + bi = (a, + a:) + (6, + b2) i = z, + z, Para la diferencia : z = z, - z, (Figura 7.3), construim os el inverso aditiva de z , ,
- 163. 312 Capitulo 7. Números complejos O N ’ , de m odo que : O M - O N = O M + O N ’ = O P => z = z. + (-z,) La siguiente definición del conjugado de un número complejo e s útil en las opera ciones que involucran núm eros complejos DEFINICION 7.4 Conjugado de un número complejo_________________________ Si z = a + b i es un número complejo , entonces z = a - b i se denom ina conjugado complejo o simplemente , conjugado de z. Geométricamente dos complejos conjugados están re presentados por dos puntos simétricos respecto del eje real , com o se ilustra en la Figura 7.4 Por ejemplo , el conjugado d e z = 3 - 2 i e s z = 3 + 2 i y obsérvese que : z z = (3 - 2 i ) (3 + 20 = 9 - 4 i : entonces con i : = -1 , se obtiene z z = 9 + 4 = 13 > 0 El producto de un número complejo por su conjugado es un número real positivo. i J m (z ) 7.—a t Ai Ke(z) Z-a ¿i FIGURA 7.4 TEOREMA 7.3 Propiedades del conjugado de un número complejo S i z , w e C , entonces se cumplen las propiedades siguientes CC.1 : a) z + z = 2 R e (z ) , b) z z e R a (z z ) > 0 . CC.2 : S iz = a + oi <=> z = z CC.3-: z + w = z + w CC.4 : z w = z w C C.5 : Si z e C «=> ( T ) = z ____ Sección 7.4 : Representación geometrica de los números complejos 313 C C .6 : Si z = a + bi <=> a = R e (z) = (z + z) a b = Im (z) = ^ (z - z) Demostración de CC. 1: a) La sum a de dos complejos conjugados e s igual al doble de la parte real. En efecto , z + z = (a + bi) + (a - bi) = 2a <=> z + z ¡= 2 R e (z) b) El producto de dos complejos conjugados es un número real no negativo. En efecto , z z = (a + bi)(a - bi) = a2- (b i); = a2+ b2 Com o a , b e R , se tiene que (z z) e R a (z z) > 0 Demostración de CC.2 : Un número complejo es real si y sólo si es igual a su conjugado. z e R <=> z = a + 0i<=> (z =a) a (z =a) ■=> z = z ¿i) Si z = z <=*a + bi = a - bi <=> 2b i = 0. Luego , z = a , esto e s z e R. Demostración de CC.3 : El conjugado de una sum a es igual a la sum a de los conjugados. En efecto, (1) Se a n z = (a,b) y w =(c,d) (2) Si z + w = (a + c , b +d) <=> z + w = {a + c ,-b -d) (3) Igualmente , s i z = (a ,-b) y w =(c ,-d) <=>z + w = (a + c , -b - d) (4) Luego , de (2) y (3) se sigue que : z + w = z+ w Demostración de CC.4 : El conjugado de un producto e s igual al producto de los conjugados. En efecto , (1) Se a n z = (a , b) y w =(c ,d) (2) Si z w = (ac-bd ,ad + be) >=> z w = (a c -bd , -ad-be) (3) Si z = (a - b) y w = (c , -d) <=> z w = (ac-bd ,-ad-bc) (4) Luego , de (2) y (3), se tiene : z w = z w I Nota. Una aplicación importante de la conjugación en C es el de la simplificación de la división de dos números complejos. En efecto ,según la propiedad CC.1b ,el produc to de cualquier complejo y su conjugado es un número real positivo. Entonces consideremos el problema de encontrar el cociente dez = a + ¿>¡ y w = c + d i d e l a siguiente manera z_ _ z w _ (a +b)(c -d i) _ (ac +bd) + (bc-ad)i w w w (c +d)(c -d) c2+d2 Por ejemplo , s i z = 2 + 5 i y w = 3 - ¡ z (2 + 5i)(3 + i) (6 - 5) + (2+ 15)i 1+ 17-
- 164. 314 Capítulo 7: Números complejos — M IS C E L A N E A DE E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S ) Ejemplo 1~~) S e sabe que (3 . 5) (x - 1 , 4) = (y - 2 , 5) + (3 , -1) para ciertos núm eros complejos. Hallar t y u , tales que : (5 x - 4 , u + t) = (3 1+ 1-, *5 y -1 9 ) Solución. Si (3. 5) ( x- 1 , 4) = ( y -2 , 5 ) + (3,-1) o ( 3 x - 3 - 20 , 12 + 5 x - 5) = (y - 2 + 3 , 5 - 1) r 3 x - 23 = y + 1 >=> 3 x - y = 24 => (3 x - 23 ,5 x + 7) = (y + 1 ,4) c=> { 5 x + 7 x = .3/5 , y = , l29/5 y si (5x - 4 , u + 1) = (31+ 1 , -5 y - 19) <=> (-3 - 4, U + 1) = (3 t+ 1 , 129-19) r -7 = 3 1+ 1 <=> t = -8/3 => (*7 , u + 1) = (3 t + 1 , 110) <=> u + t = l l 0 » u = 338/3 . ■ Ejemplo 2 j Determinar el complejo o ) = 5 z + 2 w 2 + u , sabiendo que z= (1+i)2++(i1-— • W=TTÍT • u=i75+K1-')'2iJ3i Solución.Para calcular potencias de 1 + i y 1 - i , tener presente lo siguiente : (1 + i)2= 1 + 2 i + i2 = 1 + 2 i - 1 = 2 i (1 -i)2= 1 - 2 í + i2= 1 - 2 i- 1= -2 i Entonces : (1 + i)4 = [(1 + i)2]2= (2 i): = 4 i2= -4 (1 -i)4= [ ( l - i )2]2= (-2i)2= 4 i2 = -4 -4 - 4 -8Í2 - i) 8Í2 - i) 8 ¡ L u e g o , z . — - . ( 2 t | ) ( 2 ^ . - — ............. . « „ = 1 1 1 1 ] = = -5(|--2^ > = - (2 + i) 1 - 1 - 1 w j + 2 ¡ (l + 2 i) (1 - 2 i) 1 + 4 <=> w 2= (2 + i)2= 4 + 4 i + i2= 3 + 4 i ¡73s ¡4‘ ia * 3 . p = .¡ u = -i + (1 - i)*i: = -i+ ['(1 - i)2]3 <=> U = -i + (-2 i )' = -i - 8 i 5= -i + 8 i = 7 i a) = 5 z + 2 w 2+ u = -8(2 + i) + 2(3 + 4 i) + 7i = -1 0+ 7 i i Ejem plo 3 j Hallar la forma cartesiana de z = (2 + i)2+ (2 - i)2 (1 + i)3 EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 315 Solución. Haciendo uso de la identidad (a +b)2+(a -b): = 2(a2+ b2) , se tiene _ r 2(4 + i2) i 4= / 3 4 _ 81 _ . 81 L2 i (1 +i)-l ' i - K (-2 i)2 ’ 4-2 i (1 + i)-J v i - r (-2 i) z = - + Oi 4 E je m plo 4 J Dem ostrar la identidad x4+ 4 = (x -1 - i) (x -1 + i) (x + 1- i) (x + 1+ i) Demostración. S e sabe que : (1 + i)2= 2i y (I - i)2= - 2i«=> (1 + i)2= -(1 - i)2 Teniendo en cuenta estos resultados podem os escribir x4+ 4 = x4- (-4) = x4- (2 i)2= x4- [(1 + i)2]2 Factorizando : x 4+ 4 = [x: + (1 + i)2] [x2- (1 + i)2] = [x2- (1 - i)2] [x2- (1 + i)2] = (x + 1 - i)(x - 1 + i) (x + 1 + i)(x -1 - i) Ahora , por lapropiedad conmutativa del producto en C , obtenem os x4+ 4 = (x - 1 - i)(x - 1 + i)(x + 1 - i) (x + 1 + i) Eje m p lo 5 J Expresar en la forma binómica : z = 1 + 1 + 1 + ' 1 + i Solución. En estos c a so s conviene expresar los complejos en la forma de par ordenado y aplicar la regla (4) para la división , esto e s : Z — 1+ --------'---- = 1+ ---------- í—:-------- = I + 1 (1 , 2) n + 2 2 - 1 ( 3 , 0 (1 , 1) l 2 ’ 2 I = 1 + - ^ = 1 + _____ i_____ = 1 + _L0j_ = 2(3^4) ( 3, 3) / 9j+3 ^ 3 6(2,1) 3(2,1) ( 3, 1) 10 ’ 10 / _ 2 /6 + 4 8 - 3 - 4 2 3 V 5 ’ 5 / 33 I Nota. Otras identidades importantes para simplificar operaciones con números complejos son las siguientes a) (1 + i V 3)' = (l - i V3)- =-8 b) (V3 + i)3= 8¡ y (V3 - Y = -8 i
- 165. 316 Capítulo 7: Números complejos Cjomplo 6 Si z = -^1=f , hallar Im (z2) ' -------------------------' (V3 - i)3 Solución. z = + = ( 2 0 M L Ü ) = 4 i - ( l + i ) s i (1 ;¡) - 8 ¡ - 8i - 8 ¡ 2 ' L u e g o : zJ= 1 (1 - y = i (-2 i) = - 1 ¡ => Im (z2) = - 1 ■ ^ Ejemplo 7 ^ S e a z = ( - j p - j ) 5 . hallar la forma cartesiana de z Solución. (^ L d -Y = Ü L i V ( 4 i i ) = ( i M ) = . l (3 -2>/3i + i2) 'V3 + i' 'V3 + i' 'V3+i' V8i / 3+1 4 = -i(l -¡V3) (Lt!V =r 1*=(-2LV = ¡5=¡ Vi - i ) L(I • i ) (1 + i)J Vl + U .-. z = - i ( 1 - l ^ ) ¡ = - ^ - i i ■ Ejemplo 8 J Expresar en la forma rectangular el complejo z = (1 + i)n + (1 - i)n Solución. Veam os los ca so s en que n es un número par o impar 1. S i n es un número par => n = 4 k o n = 4 k + 2 , k € Z* a) (1 + ¡)" = (1 + i)4k = (2 i)2“= (4 i 2)k = (-4)k (1 - i)n = (1 - i)4k = (-2 i):k = (4 i -y = (-4)k => z = 2(-4)k + 0 i , k e Z * b) (1 + i)" = (l + i)4k‘ 2= (l + i)- (1 + i)Jk= 2i(-4)k (1 -i)n = (l - i )4k*2= (l -i)-(l - i)4k = - 2 i(-4)k <=> z = 0 + Oi 2. Si n es un número im p ar, entonces :n = 4 k + l o n = 4 k + 3 , k e Z* a) (1 + i)n = (1 + i)n = (1 + i)4k* ' = (1 + i ) ( l + i)4k = (l+ i)(-4 )k (1 -i)" = (l -i)4k* ‘ = (l - i ) ( I - i)4k= (1 - i)(-4)k ■=> z = 2(-4)k + Oi , k e Z * b) (1 + i)n = (1 + i)41“ ’ = (1 + i)2 (1 + i) (1 + i)4k = (2 i) (1 + i) (-4)k= (-2 + 2 i) (-4)k EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 317 (1 -i)" = (l -¡)4I,° = (1 -i)2(l - i) (1 + i)4k = (-2 0 ( 1 -i) (-4)k = ( -2 -2 0 H ) k <=> z = (-4)k+l + 0i , k e Z* E je m plo 9 ] En C definimos la operación binaria * de la siguiente manera: z * w = z + w + zw , V z . w e C , hallar el valor de z tal que z * (1 + i) = O Solución. Aplicando la operación binaria a z * (1 + i) = O , se tiene : z + (1 + i) + z (1 + i) = 0. Si z =(x , y) ■=> (x + 1 ,y + 1) + (x , y) (1,1) = (0 ,0) v , , v r x + 1 + x - y = 0 o 2 x - y + l =0 (1 ) =* ( x + 1 , y + l)+ ( x - y , x + y) = (0 , 0) <=> { ' y + l + x + y = 0 =*x + 2 y + l = 0 (2) Resolviendo (1) y (2) obtenem os : x = -3/5 , y = -1/5 => z = (-3/5 ,-1/5) ■ e jem p lo 1 0 J . Si w = 2 u + v , v = -u + (1 - i) y u + (1 - i) = 2(1 + i) ; efectuar: z = v--t 2 w - u + 2 i - 1 + u3 , expresando el resultado en for- u2 - w ma de par ordenado. Solución. S i ü = - (1 - i) + 2(1 -1) = 1 - i ■=> u = 1 + i v = - u + (1 - i) = - (1 + i) + (1 - i) t=> v = - 2 i w = 2u + v = 2(l - i ) - 2 i = 2 - 4i <=> w = 2 + 4i Lüe9° : Z = 2 ' 0 2i V -4(2 + 4 ¡T 0 - 2 ¡) + (1 + ¡);(1 + i) 2i + 4 + 8 i - 1 - i 2 i - 2 - 4 i - | - 2 l + 2 i ( l + i ) = - | ( l ± l l ) = • I — r T (i— 1} (8 + 20 «=> z = (-6 , -3/2) eje m p lo 1 1 ^ Se a n w , z e C tales que , w + z y w z son reales. Dem ostrar que w = z. Demostración. En efecto (1) S e a n : w = a + ¿ i y z =c +d i (2)Entonces ,w +z =(a +c) +(b +d) y w z = (ac-bd) + (ad + bc) (3) Dado que w + z e s real =* b +d = 0 <=> d = -b
- 166. 31S Capítulo 7: Números complejos w z es real <=> ad +be =O >=> a(-b)+be-0 «=> c = a (4) Luego , de (3) se deduce que z =a- b => z = a + b i w = z B m E je m plo 1 2 ^ ] Dem ostrar que V w , z , v e C . s e cumple : “ w l m ( z v ) + z l m ( v w ) + v l m ( w z ) = (0 , 0) Demostración. Se a n : w = (a ,b) , z = (c ,d) y v = (e , f ) ■=> w = (a , -b) , z = (e , -d) y v = (e , -i) Efectuando los productos indicados entre paréntesis , tenem os : z v = (c , -d) {e , f ) = (ce + di ,ei-de) vw = (e , -f )(a ,b) =(ae +b i , be-a) w z = (a , -b) (c ,d) = (ac +bd ,ad-bc) Luego : w lm(z v) = (a + b i) (cf- de)i = (aei - ade) + (6cf - bdé)Y- = {bde-¿>cf) + {ac-ade) (1 ) z lm (vw) = (c +d) {be - a i )i = (bce - a c )i + (bde - a d )i: = (adi-bde) + {bce-ac) (2) v lm (w z) = {e + fi) (ad-bc) i = (ade -bce)i + (adi - be i )i: = (bei-adi) +(ade-bee) (3) Sum ando (1) + (2) + (3), se tiene finalmente que : w lm (z v) + z lm (v w) + v lm (w z) = 0 + Oi = (0 , 0) I Eje m p lo 1 3 j Dem ostrar que V w , z e V. , se cumple : lm (w z) = Re (w) lm (z) + lm (w) R e (z) Demostración. Por la propiedad C C .6 del Teorem a 7.3 : lm (z) = z -.— w z - w z 2 w z - 2 w z <=> lm (wz) = — — = -------p ------ v ' 2i 4i En el num erador, por el artificio de sum ar y restar 2(w z + w z) se tiene : . / 2 w z + ( 2w z + 2w z ) - ( 2 w z + w z ) - 2 w z lm (w z) = -------------------------------------------------------- _ W Z + w z - w z - W Z + W Z - W Z + w z - w z 4 i 4¡ z (w + w) - z (w + w) . z (w - w) + z (w - w) = ------- Ti------- + Ti EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 319 _ (w + w) (z - z) (w - w) (z + z) 4 i 4 i /. Im (w z)= Re (w) lm (z) + lm (w) Re (z) Eje m plo 1 4 ^ Resolver el sistem a : - 2 z, + z 2 = 2 + 3 i ¡ Z , + 2 Z2= 2 +¡ Solución. En la primera ecuación el conjugado de am bos extremos es - 2 z ) + z: = 2 + 3¡ <=> -2 z, + z 2= 2 - 3 i Multiplicando por - l se tiene : . 2 z t -z, = -2 + 3i (1 ) Multiplicando por 2 la segunda ecuación : 2 i z ( + z, = 5 + 2 i (2) De la sum a (1) + (2) , resulta : 2 (1 + i)z, = 3 + 5i z, = 2 + y i Sustituyendo en la primera ecuación dada obtenem os z, , esto es: - 2( 2- i- i) + z : = 2 + 3i » z ; = 6 + 2 i «=> C .S = {(2,1/2),(6 , 2)}■ Ejemplo 15 J Resolver en C el sistem a de ecuaciones (1 - i) z + 5 iw = 2 i - 7 2 z + (3- 4 i)w = 8 - i y dar las soluciones en forma cartesiana o binómica. Solución. Multiplicando las primera ecuación por (1 + i) se tiene : (1 + i)(l - i)z + 5(1 +i ) i w =(1 + i)(2i - 7) <=* 2 z + (-5 + 5i)w = - 9 - 5 i (1) El conjugado de am bos miem bros de la se gunda ecuación es 2 z + (3 + 4 i)w = 8 + i (2) Restando (2) - (1 ) resulta : (8 - i)w = 17 + 6 i <=> w = 2 + i Sustituyendo w = 2 - i en la segunda ecuación dada obtenem os 2 z + (3 - 4 i)(2 - i) = 8 - i <=> z = 3 + 5i ■
- 167. 320 Capítulo 7: Números complejos EJER CICIO S: Grupo 36 1 . Hállense las soluciones reales de las siguientes ecuaciones a) (1 + i)x + (-2 + 5 i)y = - 4 + 17 i 1 x + y i = 1 + i e) x(1 -2 i)z + y(2 + 3i)2 _ 2 M ¡ 3 - 2 i b) (2 - 5¡)x + (1 + 3 i)y - 8 + 9 i = 0 c) (1+ 2i)x + (3 - 5i)y = 1 - 3 i f) 12 [(2x + i) (1 + i) + (x+ y) (3 - 2 i)] = 17 + 6 i g) x(3 + 4 i) - y (8 - 3 i)= (2 x i - 10y + 4) + (4 y i - 2x + 7 i) 2. En los ejercicios siguientes , obtener z , dando el resultado en forma de par ordenado. a) z = 24(i24 + i19+ i62)3 - 4(1 - i)4+ 3 ( 2 - 3 i)2 b) z = c) z = i + i + i 2 - i 4+ i 10+ i 15 ai + 3 a b +b +2a « ■ - ( « * ) « ■ ■ u w na +bi ai-b 3. En los ejercicios siguientes, ejecútense las operaciones m encionadas, repre sentado los resultados en forma cartesiana (— )3'1 + V c) z = (1 - i)6- 1 (1 + i)6+ 1 ( # * ! ') ■ (3 - i<3? (V3 + i 3 )12 4. Dem ostrar que : a) V z , t z2 ,z 3e C : z,(z2+ z3) = z, z2+ z, z 3 b) V a , b e R , V z e C : (a +b)z = a z +bz 5. Dem ostrar que si z y w son dos núm eros complejos diferentes , entonces Re ( _ L _ ) - Re 1-ÜL-) = 1 v z - w / z - w / 6. Demostrar que si z , w e C , entonces a> ( r h ¡ ) * (57«) = ’ b) Re (zw) = Re (z) Re (w) - Im (z) Im(w) 7. Siz, = (2,-1) , z2= (1 ,3) y z, z3= 2 z 2 , hallar z3 y z^’ EJERCICIOS . Grupo 36 321 8. Sean z = 2(1 + i) + 3(i - 2) y w= ^ J . .H allar: a) Re (w2) , b) Im ( ^ 7) 9. Se a n los núm eros com plejos, z, = 2 - i , z 2 = 2 + i3 ,2 3 = 5 - 4 i r3. Si z = 3 z, - z22+ z3 , hallar Im (z) 10. S i z = 1 ( 1 - i v3 ) , hallar: — ---- 1 2 z + 1 z 11. Si z, = (-1 ,3) , z2= (-5/3,1) y z, z3 = 3 z2 , hallar z3 1 12 . Si 3 * 2 l- = 4 i + 8 , hallar z en la forma de par ordenado. z(2 + i) 13. Si z = 1 (1 - 3¡) , hallar (1 + z )7 en la forma cartesiana. 14. En los ejercicios siguientes , ejecútense las operaciones indicadas , repre sentando z en la forma binómica. a) z = --------------------------------- c) z = 5 + 3 i 1 + i ------------ 1^1— ----- 1 + i + 1 - i --------1 ~ ' 1 + i + - ^ 7 1 - ¡ + - # L 1 - 1 3 -1 b) z = (6 + 2 iV3) (7 + 7 i) ( 4V3 + 1 2 i) d) z = (2 + i 3 )2 - iV6 + (- 1 + ¡:f ) 15. Q ué relación debe existir entre x e y para que siendo z = x + y i , x e R , y e R , se tenga que el cociente tenga parte real nula. 16. La sum a de dos núm eros complejos es 3 + 2 i. La parte real de uno de ellos es 2. Hallar dichos núm eros , sabiendo que su cociente es imaginario puro. 17. D ados los núm eros : w, = 3 + 2 i , w2 = 1 + 4 i y su s afijos M, y M 2 ; se pide a) La expresión binómica del complejo z = a + b i tal que su s afijos están alineados con M, y M 2 , y la sum a w2 + z sea imaginario puro. b) La expresión binómica del número complejo z 1=a, + b1i tal que la resultan te de la sum a w, + z, , pase por el afijo (-3 , 12) 18. S i z, = (x , -y) * 0 e C , z2 = Y z , z 2= (a,b) ; calcular a 2+ b2. 7n* ^ - 1 19. Dem ostrar que V z e C - { 1 } , V n e Z * : 1 + z + z2 + ............ + zn = = —— y-1 (Sug. S e a S = 1 + z + z2+ .......+ z n , multiplicar z S , luego restar z S - S) 20. Hallar todos los valores posibles de S = 1 + i + i2 + ........... + in , n € 7/ , n par.
- 168. 322 Capitulo 7: Números complejos (Sug. S = I i h = 1 - ¡' h = 0 ¡ 21. Obtener los siguientes complejos , luego analizar S para n = 2 k) 100 a) z = X k = 0 100 b) z = i! ik k= 1 En los ejercicios 22 al 33 , resolver el sistem a de ecuaciones 22. (3 - i)z + (4 + 2i)w = 2 +6 i (4 + 2 i)z - (2 + 3 i)w = 5 + 4 i 23. (3 + i)z + 2 w = 3 + 4 i 4 i z + (3 + i)w = -4 24. (3 - i)z - (1 + 3 i)w = 5 + 5 i (4 + i)z + (5 - 3i)w = 7 + 6 i 25. 3 z 2+ iw 3 = 7i z2i + 2 w3= 0 (v + 1)2= - 1 26. (1 - i ) z - w + (2 + i)v = 3 - 4 i z + (1 - i)w + (1 + i)v = 3 i (1 - i)z + (2 + i)w - v = -i 27. z w = 10 + 11 i z + w = 7 - 3i Re (z) = 3 28. (2 - 3i)z - (1 + i)w = 4 - 3 i (3 * i)z + (1 + 2 i)w = 11 + i 29. (3 - i)z + (4 + 2 i)w = 1 + 3 i (4 + 2 i)z - (2 + 3 i)w = 7 30. (2 + i)z + (2 - i)w = 6 (3 + 2i)z + (3 - 2i)w = 8 31. 3 iz + 2 w - iv = 1 - 2i -z - 2 v - iw = -6 2 z - w + v = 6 - i 32. (1 + i)z + iw + v = 1 2 z + w + (2 - i ) v = 1 + 2 i 2 z + (1 - i)w + (1 + 2 i)v = 0 33. z + w + v = 2 iz + 2 w + ( 2 + 3 i ) v = 1 2 + 4i z - iw + v = 2 i : 7.5 ) M O DU LO DE UN N U M ER O C O M P LEJO Dado z = a + b i , el módulo o valor absoluto de z es la raíz cuadrada no negativa de la sum a de las partes real e imagir S e denota por [ I z | = Va3 + b: ) (5) Geométricamente , el módulo de un número com plejo representa la magnitud del radio vector r del afijo correspondiente , al origen. Por ejemplo , si z- = 4 - 3 i , se sigue de la fórmula (5) que I z I = V(4y + (-3)-’ <=* r = V 16 + 9 = 5 f Yi k z-- | i ¡i i i S l 0 V. T > FIGURA 7.5 Sección 7.5 : Módulo de un número complejo 323 7.5.1 J PR O PIED A D ES DEL MODULO DE UN N U M ERO CO M PLEJO Para todo z , w e C se cumple las siguientes propiedades VA.1 : El módulo de todo número complejo e s m ayor o igual que cero Iz I > 0 , I z I = 0 <=> z = z0= (0 , 0) VA.2 : El módulo de todo número complejo e s m ayor o igual que su parte real y su parte im aginaria |z| > Re (z) y z > Im (z) Demostración. En efecto (1) S e a z = a + b i => | z l2= a 2+ ¿>2 (2) Pero, | a l2 = a2<=> | a l2 < a 2+ í>2 (3) Por el paso (2): Ia |2 < I z 12 *=> |a| < |z| (4) Dado que a s R o a < I a I , y por (3):a < I z I (5) De donde se tiene : |z I > R e (z) Análogam ente se dem uestra que : I z | > Im (z) V A .3: El m ódulo de un complejo e s igual al m ódulo de su conjugado y de su inverso aditivo I z I = I z I = I -z I V A .4: El producto de cualquier complejo por su conjugado es igual al cuadrado del m ódulo z z = I z 12 VA.5 : El módulo de un producto de complejos es igual al producto de los m ódulos |zw| = |zI I wI V A .6 : El módulo de la sum a de dos complejos es menor o igual que la sum a de los m ódulos Iz + w I < Iz l + I w i (Desigualdad triangular). Demostración. En efecto (1) I z + w |2= (z + w)( z + w ) (VA.4) (2) = ( z + w )(z + w ) (CC.3) (3) = z z + z w + w z + w w (Prop. Distributiva) (4) = | z |2+ z w + z w + | w |2 (VA.4y M.2) (5) = | z l 2+ z w + z w + |w |2 ( z w = z w = zw) (6) C om o los términos centrales son complejos conjugados , entonces |z + w |2= |z|: + 2 R e ( z w ) + | w |2 (CC.6) (7) < I z 12+ 2 1z w I+|w 12 (VA.2)
- 169. 324 Capítulo 7: Números complejos (8) < | z |2+ 2 |z||w| + | w |2 (VA.5) (9) < | z | 2+ 2 |z||w| + | w |2 (VA.3) (10) Luego : I z + w 12 < ( I z I + Iw I )-' (Propiedad en R) (1 1 ) |z + w l < Iz I + Iw I VA.7 : El módulo de un cociente es igual al cociente de los m ódulos i z i lz ‘ w w , siempre que w # w 0= (0 , 0) Demostración. En efecto : ( 1 ) | ) w |= I z I (2) Aplicando VA.5 se tiene : |^-|lw l = lz! (3) Por lo tanto: — = — L V ’ |w| ;wl | O B S E R V A C IO N . Geométricamente, el módulo o valor absoluto de un núm ero complejo significa la distancia entre el origen y el afijo correspondiente al complejo. Aplicarem os esta propiedad para hallar la distancia entre d os pun tos. Se a n P t( x , , y,) y P,(x: , y :) los afijos de los com ple jos z. y z, respectivamente (Figura 7.6) Por definición de módulo , d(P, , P,) = I z I D ado que z = z, - z, ■=> I z I = I z, - z. FIGURA 7.6 d (P 1 , P 2) = | z ,-z ,l = I (x, - x,) + (y, - y,) I d{P , , P 2) = V(x, - x,)-+ (y, - y ,)2 P or ejem plo , si z, = 2 + 3 i y z ; = 5 - i , la d istancia entre s u s afijos P,(2 , 3) y P,(5 , - 1) e s : Iz, - z,l = d(P ,. P¡) = V(2 - 5)! + (3 + 1)! = 5 EJEM PLO S ILUSTRATIVOS ) 1 Eje m plo 1 j Simplificar la expresión : E = ( I z + 2 iI + | 2 - i z l ) ( | z - 2 i Sección 7.5 : Módulo de un número complejo 325 Solución. E = ( |z + 2 i I + |i (-2 i - z) I ) ( I z - 2 i |) ( I z I = I z I ) = (|z + 2 i| + IiI | - z - 2 i | ) ( l z + 2 i|) (CC.5yVA.5) = (|z + 2i| + |z + 2 ¡ |)( |z + 2 i |) ( I i I = 1 y VA.3) = (21z + 2 i I )( I z + 2 i I ) = 2 l z + 2 i 12 ■ (1) (2) Ejem plo 2 j Si z , w e C , dem ostrar q u e : I z + w |2+ 1z - w| 2= 2( I zl 2+ |w|2) Q ué significado geométrico tiene esta identidad? Demostración. Apoyándonos en la propiedad VA.4 : I z 12= z z , se tiene í z + w |2= (z + w) (z + w ) = (z + w) ( z + w ) = z z + z w + w z + w w l z - w l 2= ( z - w) ( z - w ) = ( z - w ) ( z - w ) = z z - z w - w z + w w Luego, sum ando (1) + (2) , obtenem os |z + w |2+ | z - w |2= 2( z z + w w ) = 2 ( | z |2+ |w-|:) El significado geométrico de la identidad e s el del teorema siguiente : “ La sum a de los cuadrados de las diagonales del paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de su s lados”. En efecto , si P y Q son los afijos de z y w respecti vamente , entonces O P = Iz | y Ó Q = |w | Adem ás , R e s el afijo de z + w c=> O R = |z + w | FIGURA 7.7 Q también e s el afijo de z - w <=> P Q = |z - w | Luego : O R : + P Q : = O Q : + P R 2+ O P 2+ Q R 2 Com o O Q = P R y O P = Q R (Lados opuestos de un paralelogramo) ■=> O R 2+ P Q : = 2 (O P 2+ O Q :) <=> lz + w |2+ | z - w |2= 2 ( l z |2+ |w|2) r - 0 R 'l > ' 7 0 | z | P v J E jem plo 3 j Si z = ^ l , r e R , dem ostrar que !z - ^ i| = ^ Demostración. Efectivam ente: | z - ^ i | = - J - | 4 z - 3 i | (1)
- 170. 326 Capítulo 6: Planos en el espacio i(l ' 2 í r ) | = lil I 1 - 2i r 1 (VA.7,VA.5yVA.3) 1 + 2 ¡ r I |i + 2ir| 14 z - 3 i I = 1 +2i = 1 . Por tanto , en (1): |z - 1 ¡1 = 1 |1 + 2¡ r| | 4 I 4 Ejemplo 4 J Si w y z son dos núm eros complejos y u = w z , dem ostrar que z + w - u i + I 2 1 w +u I = Iw I + Iz I Demostración. Se a E = I z - u I + I + u «=> E = z + w - 2 V w z I I z + w + 2 V w z = l | ^ - V w i : + i l ^ + V w l 2 = l ( z - w) (Vz - w ) + l ( z + w) (z + w ) (VA.4) = | [ (z - n w ) (z - n w ) + (z + w ) (z + w )] (CC.3) Efectuando las operaciones indicadas obtenem os , E = 1 1 2 w Vw + 2 Vz Vz ] = |w I + |z |' t=> E = |w | + |z | ■ Ejemplo 5 ^ Dem ostrar que V z e C: a) I z 12> 2 I R e (z) I I Im (z) I b) 2 Iz l > I Re (z) |+ |Im (z) I Demostración. En efecto: a) (1) S e a z = ( x , y ) , donde x = R e (z) , y = Im (z ) (2) Com o ( I x I - 1y I )- > 0 , V x , y e R ■=> I x I : + I y I - > 2 I x II y I (3) - e=> |z l 3¿ 2 1x l' ty | (4) c=> |2 r > 2| Re (z) I I Im (z) I b) Si !z ! = x ? + y-’ =* I z !' = x : + y : = I x I ' + Iy I * (5) De (3): ■=> | z I ' > 2 I x I I y I <=> 2! z I* > I z I+ 2 1x I Iy I (6) Luego : 2 I z l 2 > ( I x I + I y I): ■=> V2 I z I > I x I + I y I (7) Por lo tanto : 2 I z I > I Re (z) I + I Im (z) I Ej em plo 6 j Dados z , w e C , demostrar que : I z - w l > I Izl - I w l l Sección 7.5 : Módulo de un número complejo 327 En qué condiciones se cumple la igualdad? Demostración. En efecto: (1) I z - w l ' = (z - w) ( z - w ) = (z - w) ( z - w ) (2) = z z - z w - w z + w w = | z | - z w - w z + l w r (VA.4 y CC.3) (VA.4) (3) = i z r + i w r - ( z w + w z ) (4) = l z | : + |w|*, - 2 R e ( z w ) (CC.6) (5) Pero por V A.2: R e ( z ) < | z | ■=> Re ( z w ) < |z wI >=> -2 Re ( z w ) > -2 1z w (6) Luego , en (4): |z - w |¿ > I z T + I w I ' - 2 1z I I w | (7) Com o Iw I = Iw I <=> | z - w l ‘ > ( Iz| - 1 wI ) 2 <=> | z - w | > ||zl - 1w11 Veam os ahora en que condiciones se cumple la igualdad. S e a n : z = {a , b) y w = (c ,d) <=* I z - w l = V(a -c): + (b - d)2, 1z I= Va - + b1, 1w | = Ve2+ d: Entonces si : V(a - c): + (b - d) = Va: + b2 + VcJ+ d2 Elevando al cuadrado y luego simplificando términos se llega a la expresión {ad-bc)2=0 ■=> ad =bc <=> = 4 = k b d Por lo tanto , la igualdad se cum ple , si y sólo si, las partes reales y las partes imaginarias de los com plejos son proporcionales. ■ Ejemplo 7 } Un triángulo rectángulo tiene por vértices los afijos de los complejos z, = 1 + i y z 2 = 5 - i. S i la hipotenusa mide 5 unidades , hallar el complejo z3 cuyo afijo representa al tercer vértice ubicado en el primer cuadrante. Solución. Se an A( l , l ), B (5 , - 1) y C (x , y) los afijos de los complejos z] , z, y z3 respectiva mente. Entonces A B = B - A = z - z, = <4 , -2) = 2(2 , - 1) Luego , z, - z | = 2 4 + l = 25 Por el teorema de Pitágoras : ■;CA11 = i z, - z | = V(5): + (2 5 ) : = 5 Un vector unitario en la dirección de A B e s : u = Á B = C ,_ -l) z - z . — /| entonces un vector unitario en la dirección de C A e s : v = - u =- ' ■-L~ 5
- 171. 328 Capítulo 7: Números complejos Ahora , C A = 11C A 11 v = V5 (- ^ j = ^ ) = - <1 , 2> y si A - C = - (1 , 2) <=> C = <1 , !> + <! ,2) = (2, 3) « z, = 2 + 3i gjomplo 8 ^ Resolver la e cu a ción : | z | - z = 1 + 2 i , z e C Solución. S e a z = (x , y) => x 2+ y 2- (x , y) = ( I , 2) <=> -[ ^x + ' x ~ ' L - y = 2 <=> y = -2 Sustituyendo en la primera ecuación se tiene x = 3/2 z = (3/2 , -2) { X * - y * : 2x Y = Sum ando y luego restando (2) y (3) obtenem os : 2 x: = I z I + « <=> x = ± V |Z!/ ^ 2 y- = I z I -a <=> y = ± ^ Z [-— 7.6 ) LA R A IZ C U A D R A D A DE UN N U M ER O C O M P LEJO _______ S e a el complejo : z = a + b cuya raíz cuadrada es el complejo : w = z , tal que , w = x + y i Entonces , si w : = z<=> (x + yi): =a +b (1) Aplicando m ódulos : I (x + y i)-’ I =Ia + b i I<=> |x + y i I ' = 'la2+b: t=> x* + y- = Va2+ b2 = I z | (2) x2- y-’ = a (3) y = 6 (4) S e obtiene cuatro pares de valores reales , de los cuales se seleccionan dos de acuerdo con la condición (4) ¿ ) Si b > 0 , entonces x e y se eligen con el m ism o signo ¿i) Si b < 0 . entonces x e y se eligen con distinto signo. Ejemplo 1 J Hallar las raíces cuadradas de los siguientes complejos z = 5 -1 2 i , z = 8 i , z = -9 S o lu ció n . 1. S i z = 5 - I 2 i « = > a = 5 , 6 =-12 y I z I = (5): + (-12)-' = 13 Sección 7.6 : La raíz cuadrada de un número complejo 329 x = ± V ^ = ± 3 , y = ± = ± 2 • Dado que 6 = - l 2 < 0 , x e y s e eligen con distinto signo , esto es x = 3 , y = -2 ó x = -3 , y = 2 Luego si w = 5 - 12 i ■=> wo = 3 - 2 i , w ( = -3 + 2 i (Note que w, = -w(() 2. z = 8i c=> (i=0 , 6 = 8 y Iz I = 8 Com o a = 0 r = > x = y = ± = ± ' / ^ = ± 2 b = 2 > 0 , x e y se eligen con el m ism o signo.Entonces las soluciones son (2 , 2) y (-2 , -2). Por lo que si w = 8 i = > w ii = 2 +2i ó w, = -2 - 2 i 3. z = -9 ■=>a = -9 , 6 = 0 y Iz I = 9 Entonces : x = ± = 0 , y = ± -j - * - = ± 3 C om o b =0 , en este caso , los cuatro pares se reducen a dos : (0 , 3) y (0 , -3) Luego , si w = ^9 ■=> w(|= 3 i ó w, = - 3 i ■ Ejemplo 2 j Determinar algebraicamente las raíces cuadras de z = 8 + 4 5 i Solución. Si z= a + 6 i <=> a = 8 , b = 4 5 y I zI = V(8): + (45)*’ = 12 Si w = V2 = x + y i ■=> x = ± -yj12 * ** = ± 'To , y = ± r = - ^2 Com o b >0 , x e y deben tener el m ism o signo. Luego , si w = x + y i , entonces w0 = VTo + i 2 , w, = -VTo - i V2 son las raíces del complejo dado. ■ Ejemplo 3 j Resolver la ecuación en C : x2 + (-2 - 2 i)x = 3 - 6 i Solución, x 2- 2( 1 + i)x - (3 - 61) = 0 <=> x = (1 + i) ± V(l + i): + (3 - 6 i) = (l + i ) ± V 3 - 4 i (1) Se a : =c +d c = ± V , d = ± V i i ^ l í L Si a = 3 , b = -4 y z = (3): + (-4)-’ = 5<=> c = ± 2 y t/= ± l Com o b < 0 , entonces c y d se eligen de distinto signo , esto es ,
- 172. 330 Capítulo 7: Números complejas V lT T T = ± (2 - i) Sustituyendo en (1) se tiene : x = (1 + i) ± (2- i) <=> x, = 3 ó x, = - l + 2 i .-. C. S = {(3 , 0), (-1 , 2)} EJER CICIO S: Grupo 37 1. Si w = | ± i y z = , hallar I w + z I 2 Siz= (i + í)(V3-í)(-3+_3í) |z| (1 -i)(3i)(1 -W3) 3. Calcular z2 , sabiendo que z = - 1-1 + i I + i 2 4. Se a n z = 2(1 - i) + 3(i - 2) y w = — -— , hallar I w + z I 1 + 2 1 5. Se a n z = -2 + 4i y w = 1 - i , hállese el valor de I w + 2 + 1 I I w - z + i I 6. Hallar w y z tales que ,w + z = 4 + i , w z = 5 + 5 i , — = (1 - i) , I z 12= 10. 7. Resolver la ecuación : ¡z I + z = 2 + i , z e C 8. D ados z, = 4 + 6 i y z2 = (1 - i)z, , sabiendo que z , , z2y z3son vértices de un triángulo equilátero , hallar Z3. 9. D ados z, = 8 + 5 i y z2= (5 , 0), calcular el complejo z = (3 , y) que forma con los anteriores un triángulo isósceles , de vértice de lados iguales , el z,. 10. Determ inar el com plejo cuyo afijo equidista de los afijos de z, = (-2 , 0) , z 2= (3 ,3) y Zg = (0, -2) 11. Si z e C , resolver la ecuación : iz + i I z - z + 1 = 4 - 2 i , R e (z) > 0 12. Un triángulo rectángulo tiene por vértices los afijos de los complejos z, = 1+ 3i y Zj = 5 - 7 i . Si la hipotenusa mide /T45 unidades , hallar el complejo z3 cuyo afijo representa al tercer vértice y que unido al afijo de z2 forma la hipotenusa de dicho triángulo. 13. D ados w t y w2tales que I w r| = I w2l = 1 , w2= i w , , dem ostrar que V e C , se cumple : z = R e (| -) w, + Re U - ) w2 1 2 14. Si w y z e C , dem ostrar que : I z - w 12 < (1 + Iz |2) (1 + 1w |2) EJERCICIOS ite las Secciones 7.5 y 7.6 331 15. Si w y z g C , dem ostrar que I z - w I 4 + lz + w l 4 + 2 lz 2- w2|2 = 4í(z z)2 + (ww )2 + 2 z w z w ] 16. D ados z, , z2 , w, , w2 e C , demostrar que I z,w2 - z2w, |2 = ( I z, |2 + I z2l 2) ( I w, 12 + |w2 12) - 1z,w, + z2w2l 2 17. Si w,z e C , dem ostrar que : I 1 - w z 12 - I w - z 12 = (1 - 1w 12) (1 - 1z 12) 18. Sean z , , z2 .........zne C, tales que, |z,| = |z2l = ____ = l z j =1. Dem ostrar que z t + z2 + .......+ ZJ = ± + ± + .......+ 1 Z , Z2 Zn 19. Se a z e C , si se cumple , (z + y ) e R , dem ostrar que : lm(z) = 0 ó I z I = 1 20. Se a n w , z , e C y sean v2 = w z . Dem ostrar que |w| + Iz l =| v| + | w ± z + v| 21. Demostrar que si para i = 1 , 2 ......n ,ca d a z e s un número complejo, entonces lz, + z2 + .......+ z j < |z,| + l z 2l + ........+ !znl 22. Sabiendo que z y w son núm eros complejos tales que I z I = I w I = 1 , demostrar que y T w ’ * *w ) ’ es un ima9 inario Puro- 23. Se a n z, , z 2 e C : a) Si w = . dem ostrar que : w w = ' Z’ + 1 ‘ Z1 Z2 1 + l z , | 2 |z2|2 - (z,z2 + z2z,) b) En el caso a ) : si I z 11 < 1 , demostrar que Iw I < 1 24. Hallar z | tz2e C tales que i z, I = I z 21 = I z, + z21 = 1 , z,z2e s un imaginario puro. 25. Sean z, y z2 dos núm eros complejos tales que I z, I = 2 , I z2 1 = 3 y z,z2 = 2 i . Hallar el valor de I z, + i z2 1. 26. Determinar algebraicamente las raíces cuadradas de los siguientes complejos a ) z = - 1 5 - 8 ¡ d ) z = -8 + 6¡ g ) z = -2/3 + 2 i b ) z = 3 - 4 i e ) z = 5 - 1 2 i h ) z = 7 + 24i c ) z = - 1 1 + 6 0 i f) z = - 8 - 6 i i ) z = - 1 + 4 3 i 27. Resolver las siguientes ecuacionesen C a) z2 - (2 + i)z + (3 + i) = 0 c) z 2- (3 - 2i)z + (5 - 5 i) = 0 b) z2 - (2 + i)z + (-1 + 7 i) = 0 d) (2+ i)z2- (5 - i)z + (2 - 2 i) = 0 28. Resolver en C : I z + 2 i I - I iz - 2 I = 0
- 173. 332 Capítulo 7: Números complejos 7 .7 ) L U G A R E S G E O M E T R IC O S EN C El término lugar geométrico se aplica normalmente al conjunto de todos los puntos que tienen una característica geométrica común. A sí por ejemplo, son lugares geom étricos : la recta , la circunferencia , la parábola , la elipse , etc. Haciendo uso de la notación de módulo , a continuación describim os analítica y geométricamente algunos de estos lugares geométricos. 7.7.l) LA LIN EA RECTA E je m plo 1 j Representar en el plano complejo las siguientes relaciones a) Re (z) = 3 c) R e (z) + lm (z) = 1 b) lm (z) = 2 d) Re (z) - lm (z) = z0 Solución. a) Re (z) = 3 , es el conjunto de todos los pares ordenados para los cuales x = 3 , es d e c ir, e s el lugar geométrico de los afijos de la forma z = (3 , y). La ecuación x = 3 corresponde a la recta paralela al eje imaginario que pasa por el punto de abscisa 3 (Figura 7.9) lm (z) = 2 , es el lugar geométrico de todos los afijos para los cuales y = 2 , es d e c ir, LG = {z I z = (x , 2)}. Su gráfica corresponde a la recta paralela al eje real que pasa por el punto de ordenada 2 (Figura 7.10) b) c) .... Imi Z. Z; k z. z. r • J ? ^ Re J FIGURA 7.10 Re (z) + lm (z) = I , es el lugar geométrico de todos los puntos tales que (x , 0) + (0 , y) = l <=> x( 1 ,0) + y ( 0 , l ) = ( l , 0) «=> S ':x + y = I E s una recta que pasa por los puntos (1 , 0) y (0 , 1). (Figura 7.11) d) Re (z) - lm (z) = z0 , está representado en el plano complejo por todos los puntos tales que Sección 7.7 : Lugares geométricos en C 333 ( x , 0 ) - ( 0 . y ) = (0 ,0) <=> x(l , 0 ) - y ( 0 , 1) = (0 ,0 ) «=> i 2 ? : x - y = 0 E s una recta que pasa por el origen de coordenadas y biseca al primer y tercer cuadrantes (Figura 7.12) ejem plo 2 JDeterminar la ecuación de la recta cuyos puntos equidistan de dos puntos dados. Solución. Se a n P ,(x ,, y,) y P ,(x ,, y,) los afijos de los complejos z, y z, respectiva mente , y se a z = P(x , y) un punto del lugar geométrico. En cualquier posición de P se debe cumplir que rf(P,,P) = </(P: ,P) => |z - z, I = Iz - z J 12 - ( x , , y,) I = I z - (x ,, y,) Esta ecuación nos describe el lugar geométrico de todos los afijos de z que equidistan de los afijos de z, y z : , y que es la mediatriz del segm en to que une P, y P,. Por ejemplo, si z, =(-1, 3) yz, = (3 ,5 ) => lz - (-1 , 3) I = lz - (3 , 5) I => I (x + 1 , y - 3) I = I (x - 3 , y - 5) I <=>'(x + l)2+ (y - 3)2 = V(x -3): + (y - 5)2 de donde obtenem osla ecuación dela mediatriz 2? : 2x + y - 6 = 0 ■ FIGURA 7.13 7.7.2) LA C IR C U N F E R E N C IA La circunferencia e s el lugar geométrico de todos los puntos que equidis tan de un punto fijo llamado centro.
- 174. Se a n Q (x0 , y0) el afijo del complejo w y P(x , y) el afijo generatriz del complejo z. Por definición d(Q ,P ) = r t=> |z - w| = r Entonces el conjunto A = { z l l z - w | = r , r > 0 , wfijo} nos describe el lugar geom étrico de todos los afijos de z a una distancia r del punto fijo w. E s d e c ir. A es una circunferencia de centro w y radio r. Si w = z0 = ( 0, 0) , entonces la ecuación com ple ja I z - w I = r representa una circunferencia con centro en el origen y radio r. En efecto I (x , y) - (0 , 0) I = r <=> V(x - O)2+ (y - O)2 = r => x 2+ y 2= r: 334______________________________________________Capítulo 7: Números complejos Ejemplo 3 J S e a A = L.G. de los afijos de z ,tales que :| z-5 +7i|= |iz - 1 +3il y sea B = L.G. de los afijos de z,tales que : I z + 1 + 2 iI = 5 . a) G ra fic a rA U B , b) Hallar A f| B. Solución. Por la propiedad V A .3 : => I z - (5 - 7 i) | = |i (z + 3 + i) I => I z - (5 + 7 i) | = I i | |z - (-3 - i) I <=> Iz - (5 , 7) | = 12 - (-3 , -1) I La ecuación compleja representa la mediatriz del segm ento que une los puntos (5 , 7) y (-3 , -1) <=> V(x - 5)2+ (y - 7)2 = V(x + 3)- + (y + l)2 de donde obtenem os la mediatriz S- : x + y = 4 En B : | z -(-l ,-2)| = 5 Circunferencia de centro Q(-l , -2) y radio r = 5 => V(x + 1): + (y + 2)2 = 5 <=> re : (x + l)2+ (y + 2)-’= 25 La gráfica de A U B se muestra en la Figura 7.15 b) De A : y = 4 - x , sustituyendo en B : (x + 1)2+ (4 - x + 2)2= 25 de d o n d e : x 2- 5 x + 6 = 0 o x , = 3 ó x = 2 -) « * * - . ó y = 2 } - - - A n B M ( 3 . l , . ( 2 . 2 ) } ■ 7.7.3) LA PA RA BO LA La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un Sección 7.7: Lugares geométricos en C 335 punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. Caso 1. El eje de la parábola coincide o es paralelo con el eje real. Se a n : P(x , y) el afijo genérico del complejo z ; el foco F(p , 0), afijo del complejo z, y ff : x + p = 0, la directriz; donde p es la distancia del vértice al foco de la parábola. Por definición :d{P , F) =í/(P, D) <=> |z - z, I = I P E + É D | = I Re (z) + p I => I z - (p , 0) I = I x + p I Es la ecuación compleja de la parábola con vértice en el origen y eje de simetría coincidente con el eje real. En efecto , v(x - p): + y 2 = I x + p I Elevando al cuadrado : (x - p): + y 2= (x + p): de donde obtenem os : y 2= 4 p x Si el vértice coincide con el punto V(h , k) la ecuación toma la forma (y - k)2= 4p(x - h). Cuando p > 0 , la curva se abre hacia la derecha y cuando p < 0 , hacia la izquierda. Caso 2. El eje de la parábola es coincidente o paralelo al eje imaginario. C om o en el caso 1 tenem os : z = P(x , y) , z, = F ( 0 , p) , &: y + p = 0 Luego ,si t/(P , F) = </(P , D) «=> |z - z, I = I P E + E D í «=> |z - (0 , p) I = I Im (z) + p I <=> Iz - (0 , p) I = I y + p I E s la ecuación compleja de la parábola con vértice en el origen y eje coincidente con el eje imaginario. En efecto : Vx2+ (y - p): = I y + p 1 «=> x 2+ (y - p)2= (y + p)2 x2= 4 p y Si el vértice coincide con el punto V(h ,k ) , la ecuación toma la forma (x - h)2= 4p(y - k) cuando p > 0 , la curva se abre hacia arriba y cuando p < 0 , hacia abajo. E je m p lo 4 J Graficar el siguiente lugar geométrico |iz + 3 - 2 i l = I Re (z) - 4 1 Solución. I i (z - 2 - 3 i ) I = I x - 4 1 <=> I i I I z - (2 , 3) I = I x - 4 I => |z - (2 , 3) I = I x - 4 1
- 175. 336 Capítulo 7: Números complejos Foco de la parábola , F(2 , 3); directriz, 7 ': x - 4 = 0 Forma analítica : V(x - 2): + (y - 3)2 = I x - 4 1 <=> (x - 2)2+ (y - 3)2= (x - 4 )2 => (y - 3): = - 4(x - 3) El lugar geométrico es una parábola con vértice en V(3 , 3) Com o 4 p = -4 <=> p = - 1 < 0 La curva se abre hacia la izquierda , tal com o se muestra en la Figura 7.18 7.7.4) LA E L IP SE La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya sum a de las distan cias a dos puntos fijos e s una constante 2 a En una elipse se tiene los siguientes elementos Eje m a y o r: A, A, = 2a Eje m e n o r: 6 ,6 , = 2b Distancia fo c a l: F,F2= 2c , donde F, y F, son los focos de la elipse ; de m odo que se cumple la relación a2=b1+c2 Q es el centro de la elipse ■=> Q = 1 (F, + F,) Determinación de la ecuación compleja : FIGURA 7.19 Se an F^x, , y,) y F ,(x ,, yO los afijos de los com plejos z, y z, respectivamente. Por definición : </(P , F,) + d(P , F,) = 2a <=> |z - z, I + 1z - z,| = 2 a => 12 - (x ,, y,) I + 1z - ( x , , y,) I = 2a es la ecuación compleja de la elipse. E je m plo 5 ) Graficar el lugar geométrico : !z - 1 - 3 i I + z + 2 - 2 i I = 4 Solución, z - ( l + 3 i) i + I z - (-2 + 2 i) I = 4 c=> |z - (I ,3)| + | z - (-2,2)1 =4 Luego , 2a = 4 => a = 2 ; F (I , 3) y F,(-2 , 2) Sección 7.7 : Lugares geométricos en C 337 ¿ ( F , , F ¡) = l F , - F , l = 1(3,1)1 =5 2 c = '9 + I = T 0 =» c = T0/2 • Como c <a , el lugar geométrico es una elipse con cen tro en Q = 1 (F, + F,) = (-1/2,5/2), cuya gráfica se muestra en la Figura 7.20 FIGURA 7.20 7.7.5) LA H IPE R B O LA ______________________________________ La hipérbola e s el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de las distancias a d os puntos fijos, llam ados focos , es constante e igual a 2 a. Una hipérbola tiene los siguientes elementos Focos : F,(x,, y,) y F,(x2 , y,) Eje transverso : A,A, = 2a Eje conjugado : 6 ,8 , = 2b Distancia focal : F,F. = 2 c Dado que c> a ■=> c2=a2+b2 Centro de la hipérbola : Q = -5-(F, + F,) Determinación de su ecuación compleja. Sea P(x , y) el afijo genérico del complejo z , y sean F, y F, los afijos de los complejos z, y z, respectiva mente. Por definición : Id(P , F,) - d{P , F,) I = 2a «=> |l z-z,l - l z - z 2ll = 2a « 11z - (x, ,y,)l - l z - ( x , , y 2)ll = 2a es la ecuación compleja de una hipérbola. Ejem plo 6 J Graficar el lugar geométrico de los afijos z e € , tales que (l l i z - 3 + 4i| - | z - 2 + 3 i l l - 3 ) ( | z - 1 + 3 i | - lz + 2- 2l|) = 0 Solución. S e a A el L.G. de los afijos de z tales que ||iz-3 + 4 i l - l z - 2 + 3i||-3 = 0 6 el L.G. de los afijos de z tales que |z - l + 3 i ! - I z + 2 - E n A : ||i(z + 3i + 4)l - Iz - (2 - 3 i ) 11 = 3
- 176. 338 Capítulo 7: Números complejos =* N i 11z - (-4 - 3 i) I - lz - (2 + 3 0 II = 3 => l l z - (-4, -3)1 - lz - (2 , 3)11 = 3 de donde : a = 3/2 , F ,(2 , 3) y F ,(-4, -3) ¿(F..F,) = I F, - F, | = |(6,6)1 2c = v'62+ 6: = 62 <=$ c = 32 C om o c > a , el lugar geométrico es una hipérbola con centro en Q = (F, + F,) = (-1 , 0) En B : l z - ( l ,-3) I = l z - ( - 2, 2) | E s la ecuación compleja de la mediatriz del s e g mento que une a P,(l , -3) y P .(-2 , 2) => V(x - l): + (y + 3): = (x + 2); + (y - 2)2 <=> c£ : 3x - 5y - 1 = 0 ■ ! O B S E R V A C IO N . Tener m ucho cuidado al identificar y graficar lugares geométri cos cuyas ecuaciones tienen la forma I z - z, I - I z - z, I = 2 a , pues éstas representan solam ente una de las dos ram as de la hipérbola. Ejemplo 7 j Identificar y construir la gráfica del L .G .: Iz + 3 I - Iz - 3 1 = 4 Solución. Podem os escribir: Iz - (-3 ,0) I - I z - (3 , 0) I = 4 Aparéntemente se trata de una hipérbola con focos en F,(3 ,0) y F,(-3,0), y con centro Q (0 , 0). Adem ás :2a =4 <=> a = 2 ; 2c = 6 <=> c = 3 => b2 = c2- a 2 = 5 Ecuación de la hipérbola : - t t = I => — a- b~ 4 Este m ism o resultado lo obtenem os partiendo de la ecuación compleja dada. |z + 3| = 4 - | z - 3 l t=> V(x + 3): + y 2 = 4 + (x - 3): + y : Elevando al cuadrado obtenem os : 2 V(x - 3): + y-’ = 3x - 4 Dado que , a >0 , V a >0 , entonces (2 V(x - 3): + y : )2 = (3x - 4)-' a 3x - 4 > 0 de donde se tiene : 5 x: - 4 y2= 20 , para x > 4/3 Por lo que la ecuación del lugar geométrico repre senta solam ente la ram a derecha de la hipérbola (Figura 7.23) r x lm i | J ( N ! ° i / / / / / V ' i F, "R e J FIGURA 7.23 Sección 7.7 : Lugares geométricos en C 339 | Nota. Asociadas a las gráficas de los lugares geométricos de ecuaciones complejas estu diadas . están las gráficas de relaciones que involucran desigualdades. Sus repre sentaciones en el plano complejo se hacen en idéntica forma tal como se hizo para las gráficas de relaciones en R 2. Ejemplo 8 J Representar en el plano complejo los conjuntos de puntos que satisfacen a las siguientes relaciones (1) R, = { z I -2 < lm (z) < 3} (3) R 3 = { z I 2 < I z - 1 I < 4 } (2) R 2= { z 12 Re (z) - 3 lm (z) < 6} (4) R 4= { z 11z + 1 |< 4 - 1z - 1 I} Solución. (1) La gráfica de R, es la intersección de las gráficas de : lm (z) > - 2 y lm (z) < 3 ; es d e c ir, R, es el conjunto de puntos para los cuales (y > -2) a (y < 3) , que corresponde al sem iplano que contiene al origen cuyos bordes inferior y supe rior son las rectas y = -2 , y = 3. No se incluye la frontera y = 3 (Figura 7.24). (2) La gráfica de R, es el conjunto de puntos z = (x , y ) , tales que 2x - 3y < 6 <=> y > x - 2 E s decir , e s el conjunto de puntos situados en el sem iplano superior de la recta % : 2x - 3y = 6 , incluida la frontera SU. (Figura 7.25) f lirij " k lm (z) = 3 R, ücJ ^ R c v lm(z) ~ -2 j (3) Las gráficas de I z - l l = 2 y l z - l | = 4 son dos circunferencias concéntricas de radios 2 y 4 y centro com ún en Q (1 , 0). En efecto , si lz - l| = 2 «=> | ( x - l ,y)l = 2 <=>: (x -1 )2 + y- = 4 |z - 1 1 = 4 <=> I (x - I , y) I = 4 <=>(x - 1)2+ y 2= 16 , Por lo tanto , la gráfica de R. es el anillo circular comprendido entre las circun ferencias rf y ,, incluyendo losbordes (Figura 7.26) (4) S iI z - (-1 ,0)1 + |z - (1 ,0)1 < 4 c=> 2 a = 4 => a = 2; F,(-l , 0) y F,(l, 0) d{F, , F,) | = |F, - F, I = |(2 , 0) I => 2 c = 2 => c = 1
- 177. 340 Capítulo 7: Números complejos C om o a >c , la gráfica de I z + I I + I z - 1 1 = 4 e s una elipse cuyo centro está en Q = 7 (F, + F,) = (0 , 0). Adem ás ,a 2=b: +c2 <=> b: = 4 - 1 = 3 Ecuación de la elipse : — + = l <=> é : — + — = 1 a* b- 4 3 Por lo que la gráfica de R ( es el conjunto de puntos que están en el interior de la elipse f , incluyendo la frontera (Figura 7.27) M IS C E L A N E A DE E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S ^ Ejemplo 1 ^ Determinar los conjuntos de puntos del plano complejo que verifican (z + z') e R Solución. S e a z = (x , y ) , tal q u e : z * z()= (0 ,0 ) yI z I * 0 <=> x2+ y 2* 0 Luego ,z + z'' = z + - = x + y i + -X- 'N - z x* + y- x- + y-/ x + y -/ Si (z + z 1) e R <=> Im (z + z 1) = 0, esto es : y - — T = 0 x- + y* de donde obtenem os : y(x: + y- - 1) = 0 a x: + y 2* 0 <=> (y = 0 ó x 2+ y : = 1) a (x2+ y 2* 0) <=> (y = 0 a x2+ y : * 0) v (x2+ y 2= 1 a x2+ y 2* 0) La gráfica de (z + z 1) e R es la unión de la gráfica de la circunferencia de radio r = I y centro z0= (0, 0), con la gráfica del eje real y = 0 , exceptuando el origen. ■ FIGURA 7.28 Sección 7.7: Lugares geométricos en C 341 Ejem plo 2 j Dem ostrar que si c es una constante real positiva , entonces los afijos de z e C , tales que | |= c representa una cir cunferencia si c * 1 , y una recta si c = 1. Demostración. En efecto , sea z = (x , y) Si | 2 ± I| = c «=> | z + l | 2= c2| z - l l : I z - 1 I => (x + l)2+ y 2= c2 [(x - l)2+ y 2] <=> (c2- l)x 2+ (c2- l)y 2- 2(c2+ l)x + c2- 1 = 0 (1) Haciendo a =c2- 1 , se tiene : a x 2+ a y 2-2(a + 2 )x + a = 0 2 2 Completando el cuadrado para x resulta : (x - a~* ~ j + y 2= * 1 Tenemos una circunferencia de centro ~ , 0j y radio r = V ( ~ q ~) ~ * s' a * 0 Luego , c2* 1 c * 1 En (1), si c = 1 => -2( 1 + 1)x = 0 ■=> x = 0 , es una recta. ■ Eje m p lo 3 ) Analizar que lugar geom étrico representa los afijos de los z e d a z z +c z +c z +b = 0 , donde a ,b e R y c e C Solución. S e a z = x + y i <=> I z 12= z z = x2+ y 2; x = Re (z) = ^ (z + z) Luego , si a I z I * + c(z + z) +b = 0 <=> a(x: + y 2) + 2c x +b = 0 «x’+2(|)x+y>=.| « (*+£):+r-=£i^ El lugar geométrico es una circunferencia de centro (- ^ , o) y radio r = ^c‘ e je m p lo 4 ) Hallar el lugar geométrico que describe el afijo z cuando z = 1 + i + — -— , re R 1 + n Solución, z = l + i + -— 1 ~ ‘— - ■=> z = fl + — 1 — , I - - r --) (1 + ri) (1 - ri) V 1 + r- 1 + r 2/ 1 7 - x Luego , si x = 1 + -— 7 <=> r- =- — - a I + r2 x - 1 y = | - T T P = | - r( i T 7 ) y = i - r ( x - i )
- 178. 342 Capítulo 7: Números complejos y -1 = - r(x -1) => (y - 1)2= r-’(x - 1)1= ( I l í .) ( x - I ) > de donde obtenem os : (y - 1)2= -(x2- 3x + 2) *=> (y - l)2= - (x - 3/2)-’ + 1/4 (x - 3/2)2+ (y - 1)2= 1/4 El lugar geométrico es una circunferencia de centro (3/2 , 1) y radio r = 1/2 ■ Ejemplo 5 J Esbozar la gráfica de la relación R = {z I llz + 4 + 3i| - I i z - 2 i + 5l| < 8 } Solución. ||z + 4 + 3i| - | iz - 2 i + 511 =1 z + 4 + 3il - 1i ( z - 2 - 5 i11 = || z - (-4, -3 )I -I z - (2, 5 )11 = 8 de donde : 2a = 8 <=> a = 4 , F,(2 , 5), F.(-4 , -3) rf(F , , F2) = | F I - F j = 1(6,8)1 c=> 2c = V36 + 64 = 10 =* c = 5 C om o c >a , el lugar geométrico es una hipérbola con centro en Q = i ( F , + F,) = (-1 , 1) Gráfica del conjunto R Si l l z -(-4 , -3)1 - I z - (2 , 5) 11 < 8 <=> V(x + 4)2+ (y + 3)2 - V(x - 2)2+ (y - 5)2 < 8 Veam os si (0 , 0) e R V42+ 32 - V(-2)2+ (-5)2 < 8 t=> V25 - V29 < 8 , se cumple. Luego , la gráfica de R es el conjunto de puntos ubicados entre dos ram asde la hipérbola , incluidos los bordes (Figura 7.29) ■ Ejemplo 6 ) D ados : R, = { z II z + 1 - 2 i I + Ii z + 2 - 3 i I < 6} y R 2 = { z l l z + 2 - i l < l i z + 5 - 4 i| } ; construirla gráfica de R, H R 2 Solución. (1) Construcción de las gráficas de los lugares geométricos A : | z + 1 - 2 i I + |iz + 2 -3 i| = 6 y B : I z + 2 - i I =Iiz + 5 * 4 iI (2) En A : | z + 1 -2i| + | i(z -3 -2 i)| = 6 => |z - (-1 , 2) I + |z - (3 , 2)I = 6 de donde se tiene : 2a = 6 *=> a = 3 , F,(3 , 2), F,(-l ,2) =* 2 c = á (F ,, F,) = I F, - F J = |(4 , 0) | = 4 ■=> c = 2 Como c < a , A es una elipse con centro en Q = (F( + F,) = (1 ,2) Sección 7.7 : Lugares geométricos en C 343 Adem ás : c2= a2- b2 <=> 4 = 9 -b2 <=> b = 5 (3) En B : Iz + 2 - i I = Ii(z - 4 - 5 i) I => Iz - (-2 ..-1)1 = Iz - (4 . 5) I Luego , B es la mediatriz del segm ento que une los puntos (-2 , -1) y (4 , 5). En efecto, si I(x + 2), (y + 1) I = I(x - 4), (y - 5) I => V(x + 2)2+ (y + I )2 = V(x - 4)2+ (y - 5)2 <=> & : x+ y = 3 (4) Gráfica de R, V(x + I): + (y - 2)2 + (x - 3)2+ (y - 2)2 < 6 Veam os si (0 , 0) e R, <=}• 'l + 4 + V9 + 4 < 6 2.24+ 3.6 < 6 S e cumple , luego R, e s la totalidad de pun tos en el interior de la elipse , incluyendo el borde. (5) Gráfica d e R . : x + y < 3 >=> y < 3 - x R, e s el conjunto de puntos ubicados en el sem iplano inferior de la recta f£ , incluyendo el borde. (6) La gráfica de R, fl R, se muestra en la Figura 7.30. FIGURA 7.30 Ejemplo 7 ^ Sean , R, = {z I li z + 3 i + 2 1+ Iz - 5 - 6i I < 12 y R2= {z 11i z - i + 4 I > 3} Hallar el área de R, fl R 3. Solución. (1) Construcción de las gráficas de los conjuntos A : I iz+ 3i+ 2 1 + I z - 5 - 6 i| = 12 y B:|iz-i + 4 | = 3 (2) En A :|i(z + 3 - 2 i) | + |z - 5 - 6 i| = 12 «=> I z - (-3 , 2) | + I z - (5 , 6) | =12 de donde se tiene : 2 a = 12 t=>a =6 , F,(5 ,6), F,(-3 , 2) 2c = d{F ,, F,) = I F, - F, I = I (8 ,4) | = V64 + 16 = 4 ^ => z = 2^5 Como c < a , A es una elipse con centro en Q = 4- (F, + F,) = (1 , 4) c2~ a 2-b2 <=> 20 = 36 - b: => ¿>= 4 (3) En B : I i(z - 1- 4 i) I =3 ■=> Iz - (1 ,4) | =3 Luego B es una circunferencia de centro Q(1 ,4) y radio r = 3 (4) Gráfica de R,:I z - (-3 . 2) I + I z - (5 ,6) I <12 => (x + 3)2+ (y - 2)2 + (x - 5)2 + (y - 6)2 < 12 E s (0 , 0) e R,? «=»W + 4 +V25 +36 <12 => V I3 + 6 I < 12 , se cum pleL. FIGURA7.31
- 179. 344 Capitulo 7: Números compleja Luego , R, es el conjunto de puntos en el interior de la elipse , incluyendo el borde. (5) Gráfica de R : I z - ( I , 4) | > 3 (x - 1)3+ (y - 4)2> 9 E s (0 , 0) e R, c=> ( |)- + (4): > 9 , se cumple Entonces , la gráfica de R e s la totalidad de puntos ubicados en la parte exterior a la circunferencia , incluyendo el borde. Por lo tanto : a(R, fl R,) = a(elipse) - a(círculo) = tüíz¿>- 7Cr - = 15 7t u2 ■ EJER C IC IO S: Grupo 38 En los ejercicios 1 al 12 , identificar el lugar geométrico de los puntos que representan los núm eros complejos z = x + y i , tales que 1. I z l + I m ( z ) = 0 5. | z - 2 + ¡| = 2 9. I z | = l m ( z ) + 1 2. I z I - Re (z) = 2 6. !z - z, I = I z -z 2 1 10. I z + 1 - 2 i I + ¡z - 1 - 2 i I = 8 3. z + z = I z 12 7. I z - i I = l z + 2 I 11. 2 z z + (2 + i)z + (2 - i)z = 2 4. !z - 2 | = 2 1z + 1 | 8. Im (z2) = 4 12. I z + i I + |z - i I = 4 13. a) S i w = 1 + z 1 -z y z = x + y i , hallar Re (w) e lm (w) b) Graficar el siguiente conjunto : A=-|z e CIRe ( = ij- 14. Dem ostrar que la ecuación de la mediatriz del segm ento de recta que determi nan z, y z2 está dada por (z2 -z,)z + (z2-z,)z = I z 2I M z , I2 Aplicación : Verificar la fórmula para z, = (-3 . 4) y z2 = (1 , -2) En los ejercicios 15 al 26 , hallar el lugar geométrico de los afijos que repre sentan a los núm eros complejos z = x + y i , que satisfacen a las desigualda d es dadas. 15. lz -i| < 1 19. Iz - 2 | -|z + 2| > 3 23. 11z - 4i| - 1z + 2 i11 > 4 16. |z -i - 1 I < 1 20. 12 z| > 11 + z 2 1 24. i ¡z - 5 - i | - |iz + 3 i + 5 11 > 8 17. |z -2 1 + lz + 4| < 10 21. 1 < |z + 2 |< 2 25. |z + 1 - 5 i | > | iz + 3 - i | 18. 0 < Re (iz) < 1 22. I z I > 1 - Re (z) 26. 1 < R e (1 ) + lm ( 1 ) < i En los ejercicios 27 al 30 se dan los conjuntos R, y R 2 , construir las gráficas Sección 7.8: Forma polar de un número complejo 345 de R, fl R 2- 27. R, = { z| I lm (z) - 5 1> I z + 1 - 3 iI } ; R 2 = {z 11z - 3 + 2i| < I iz + 3 i - 4 1} 28. R, = {z 11 |z + 4i - 3 1 - lz + 5 + 2 i11 < 8 } ; R y = {z 11i z - 1+ i I < 5 } 29. R, = { z | | z - 1 - 2 i| + |iz + 6 - 3 i| > 6 } ; R 2 = { z | | z - 2 + 4 i| < 3 } 30. R, = {z 11 iz - 2 - i | >I R e (z) - 3 I } ; R 2 = {z 11z - 2 - 2 i I< 3 } 31. Donde se halla el afijo de z s i : Log - I z I + 1 < 2 r i z i + 2 1 3 2. Si el afijo del complejo z describe I z I = 1 , qué lugar describe el afijo del complejo w = x + y i , sabiendo adem ás que w(z + 1)2 = 4 7.8 ) FO R M A PO LAR DE UN N U M E R O C O M P LEJO ____________ S e a el número complejo no nulo z = x + y i. C om o ya se ha visto , este número se puede representar en un plano complejo por la pareja (x , y). Si traza mos la recta desde el origen al punto (x , y ) , habrem os determinado una distancia r y un ángulo 0 en posición normal (medido en sentido antihorario). Esto es , el punto (x , y) ha sido representado en términos de las coordenadas polares r y 0 mediante las relaciones x = r C o s 0 , y = r S e n 0 de modo que s i , z = x + y i , entonces z = r (C os 0 + i Se n 0) (6) Esta representación del complejo z se llama forma polar o trigonométrica de z , donde r es el módulo, radio vector o norma , y 0 el argumento o amplitud. |O B S E R V A C IO N E S 1. El número complejo z = r (C os0 + i Sen0) puede ser representada en su forma simplificada p o r : z = r Cis0 2. Los valores de r y 0 se pueden hallar por las relaciones r = |z I = 'x: + y2 , Tg0 = y <=> 0 = a r c T g ( y ) 3. El argum ento de un núm ero complejo no e s único , pero se tomará com o argum ento principal: 0 < 0 < 2 k
- 180. 346 Capítulo 7: Números complejos 4. La relación Tg0 = y da dos valores para 0 y el ángulo que se eligirá será el que se determine por los signos de x e y 5. D ados dos complejo en su forma p o la r: z = r C is0 y z, = rt C is 0, , entonces s i : z = z <=> r = r) A 0 |= 0 + 2 k 7 r , k e Z E je m p lo 1 j Determinar la forma polar de los siguientes com plejos a) z = -2 + 2 3 i c) z = 1 + 3 i e) z = 3 - 3 3 i b ) z = -V 3 -i d) z = -5 + 0 i f) z = 0 - 2 i Solución. a) z = -2 + 2V3 i <=* r = I z I = V(-2)a+ (2V3): = 4 Para el argumento principal tenem os ; x = -2 (negativo) , y = 2V3 (positivo) , entonces 0 termina en el II cuadrante. Luego , si Tg 0 = ^ = ^ 5 = - V3 <=* 0 = arcTg (-V3) = 180° - 60° = 120° = 2 n/3 z = 4 Cis(2rc/3) b) z = - V3 - i => r = |z I = V(-V3):+ (-1): = 2 C o m o x e y so n a m b os negativos , el argum ento principal term ina en el 111 cuadrante. Entonces s i T g 0 = — = = ^ <=> 0 = 180° + 30° = 210° = ln/6 X .>/3 3 z = 2 C is (771/6) c) z = 1 + VJi => r = |z| = V ( l) : + (V3): = 2 ; Tg0 = = V3 Com o x e y son am bos positivos , el argum entofigura en el I cuadrante. Luego , si 0 = 60° = n/3 <=> z = C is {n/3) d) z = -5 + Oi «=> r = I z| = (-5): + (0): = 5 Com o x = -5 (semieje real negativo) e y = 0 ^ T g 0 = 1 = o <=> 0 = 7t z = 5 C is 71 e) z = 3 - 3>/3i => r = |z| = '(3): + (-3V3)1 = 6 Dado que x = 3 (positivo) e y = -3V I ( negativo), el argum ento 0 termina en el IV cuadrante. Luego , Tg0 = y = - VT «=> 0 = 360 - 60 = 300° = 5 71/3 z = 6 C is (57t/3) f) z = 0 - 3 i <=> z = I z I = 0 : + (-3)J = 3 ------ Sección 7.8: Forma polar de un número complejo 347 C om o x = 0 e y = -3 (semieje imaginario negativo) ■=> T g 0 = = <*> => 0 = 270° z = 3 C is (371/2) ■ E je m p lo 2 J Si A = {z e el 1 < Iz l < 4 , -j < a r g ( z ) < 7 i} ; graficare identificar el conjunto A. ------------------------------------------- Solución. 1<| z I < 4 es un anillo circular forma- A do por las circunferencias !z 1 = 1 y I zl = 4 . Entonces , A es un segm ento de dicho / / anillo que parte de 0 = kJAy termina en 0 = 71. S u gráfica se ilustra en la Figura 7.33 ■ El siguiente teorema muestra com o determinar el producto y el cociente de dos núm eros complejos cuando éstos se expresan en forma polar. _ x TEOREMA 7.4 Multiplicación y división de números complejos en laforma polar S i z, = r,(Cos 0, + i S e n 0,) y z, = r^ C o s 0, + i Se n 0 ;) , donde r, = I z, i y r; = |z, I , entonces 1. z (z, = r,r, lC os(0, + 0,) + i Sen(0, + 0,)] 2. = i [c<B(e,-e,) + ¡senté,-e,)] V____________________ :____________ _________________________________________ Demostración de 1. z, z, = r, r, (CosO, + i Sen0,) (CosO, + i Sen0,) = r, r, [(Cos0, CosO, - Sen0, Sen0,) + i (Sen0, CosO + CosO, Sen0,)] = r, r, [Cos(0, + 0,) + i Sen(0, + 0,)] A sí tenem os que : z, z, = r, r, Cis(0, + 0,) La dem ostración de la parte (2) es similar y se deja com o ejercicio. | O B S E R V A C IO N E S 1. El argum ento del producto de d os núm eros complejos es igual a la suma de los argum entos de cada complejo. Arg (z,z;) = 0, + 0, = Arg(z,) + Arg(z:) 2. El argum ento del cociente de dos núm eros com plejos e s igual a la diferencia de los argum entos de cada complejo. Im ¡ ñ i ? " " tC O'! V. _ V ) , w Re J FIGURA 7.33
- 181. Capítulo 7: Números complejos A r g ( | ; ) = 6 , - 9 : = Arg(z,) - Arg(z:) Se an : z, = - | i y z2 = - 2 + 2 3 i ; efectuar en la forma polar las siguientes operaciones : a) z,z2 , b) — *2 Solución. En z , : r, = I z, I = 3 y Tq 0 = X = ■'3/2 = - — 1 x 3V3/2 V3 Com o x es positivo e y negativo , el argum ento principal termina en el IV cuadrante. Entonces : 0, = are Tg (-1/V3) = 360° - 30° = 330° = 11rc/6 Por lo que :z, = 3 Cis( 11n/6) En z,: r2= I z J = 4 y T g 0, = ^ = -^ 3 Com o x es negativo e y positivo , el argumento principal termina en el II cuadrante. Entonces : 0, = are Tg(-Í3) = 180° - 60° = 120° = (271/3 ) Por lo tanto: z, = 4 C is (271/3). a) z |z, = (3)(4) C is ( ü 71 + -jTc) = 12 C is (^-71) = 12 C is (271+ = 12 C is (7C/2) z,z; = 12(Cos90° + i Sen90°) = 12 i b > z7 = Í C ís (l“ 71' n) = I C is ( l n )= C is( |80° + 30°) = | (*C o s30 ° - i Sen30°) Eje m p lo 4 ) Efectuar: z = ^ 3 ) (CosO + i SenO) — ---- r i y J 2Í1 - iH C o se - i Senfn2(1 - i) (C os0 - i Sen6) Solución. Se a n : z, = 1 - i '3 y z, = I - i. Expresando am bos complejos en la forma polar y teniendo en cuenta que su s argum entos principales terminan en el IV cuadrante , se tiene. Para z , : r, = 2 y Tge, = - V3 o 0, = 360° - 60° = 300° => z, = 2 C is 300° z , : r: = V2 y T g0 ; = -1 <=> 0, = 360a - 45° = 315° => z, = y¡2 C is 315° Luego , z = 2_C ls -'()() (C|s6) _ V2 c¡S(300o . 3 ,50) c¡s(0 + 0) 22 C is 315° C is(-0) 2 z = [C os (20- 15°) + i Sen(20 - 15°)] = Cis (20- ■ Sección 7.8: Forma polar de un número complejo 349 Ejem plo 5 j Representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos de los complejos que cumplen con la relación Arg | 2 ' 2l j = 0, donde z, = 1 + i y z 2 = -1 + 2 i. Solución. S e a n : z = (x , y) y w = z - z - Z| ■ « w = ( x - 1) + ( y - 1)i 2 - i = 1 [(2x - y - 1) + (x + 2y - 3)i] Si Arg(w ) = are T g = ° => (x + 2y - 3 = 0) a (2x - y - I > 0) <=> (x + 2y • 3 = 0) a (y < 2x - 1) Si C1‘ : x + 2 y - 3 = 0 y 7 : y = 2 x - 1 , entonces los afijos del lugar geom étrico que cum plen con la relación dada se encuentran sob re la recta .2?, en la región del sem iplano inferior de la recta r£ , , p u es y < 2x - I. E s de su p o n e r que el punto P (l , 1)6 á ?,n 2' no pertenece al lugar geométrico (Figura 7.34). ■ Eje m p lo 6 } S i z e C | | z - 1 l = 1 , 0 < Arg(z -1 ) < n ; determinar Arg(z2- z) en función de Arg(z). Solución. El lugar geométrico i z - 11 = I es una circun ferencia concentro en Q (l , 0) y radio r = l. Entonces , sean : 0 = Arg(z) y a = Arg(z - l ). El A O Q P es isósceles , pues O Q = Q P = r ; luego m (<*Q O P) = m (<*O P Q ) = 0 Adem ás , com o a = m (<£ Q O P ) + m ( O P Q ) <=> a = 20 Si Arg(z: - z) = Arg(z) (z - l) = Arg(z) + Arg(z - l ) ■=> Arg(z: -z ) = 0 + a = 0 + 20 = 30 A rg (z--z ) = 3 Arg(z) ■ Ejemplo 7 J S il zi| = 8 y Arg[ z(1 + i)] = tc/6 , hallar el número complejo z en su forma polar. Solución. S i I z i I = 8 <=> Iz l |i| = Iz l = 8, esto es , I z I = 8 y si Arg[z(l + i)] = ^ Arg(z) + Arg(l + i) =
- 182. 350 Capitulo 7: Números complejos c=> Arg(z) + 5 = 7 « Ar9(z ) = - t t 4 6 12 Por consiguiente : z = 8 C is (-71/12) o z = 8 C is(l lrc/12) ■ Ejem plo 8 JHallar la forma polar de cada número complejo z tal que z 2 - 2 + i = (1 - i)3 Solución. Si (z):= 2 - i + (1 + i):(l - i) = 2- i + (-2i)( 1 - i) <=> (z)- = - 3 i ■=> z= ± VÔT (1) Se a n w = -3¡ y 1P3Î =c +d¡« c = ± V lw l^ a y d = ± V l w !,- a D ado que a = 0 , b = -3 y I w I = 3 «=> c = d - ± í3/2 y com o b < 0 , entonces c y d se eligen de distinto signo , esto es nTJT = ±(V372 -iV3/2) Luego , en (1) : z = ± (V3/2 - i V3/2) <=> z, = V3/2 - i V3/2 ó z, = - V3/2+ i /372 <=> Z, = V3/2 + i V3/2 ó z, = - V3/2 - i V3/2 La formapolar de cada complejo es z ,= V 3 C is (71/4) ó z, = V3 C is (57t/4) ■ EJER C IC IO S: Grupo 39 En los ejercicios 1 al 6 , expresar los núm eros complejos dados en su forma polar 1 . z = 6 3 + 6 i 3. z = -i-(-V3 + i) 5. z = - 4 + 4 f3i 2. z = 3 - 3 V 3 i 4. z = - 5 3 - 5i 6. z = - 2/2 - 2'2 i En los ejercicios 7 al 10 , realizar la operación indicada y expresar el resultado en su forma rectangular. 7 (V2 C is 22°) ( 3 C is 84°) (2 C is 27°) (6 C is 35°) (Cis 183°) 8 (C os 133° + i Se n 767°) (C os 317° + i Se n 223°) C o s 30° - i Se n 30° g (C o s 171° + i Se n 729°) (C os 284° + i Se n 1336°) C o s 330° - i S e n 330° Sección 7.9 : Potenciación de números complejos 351 in (C os 295° + i Se n 655°) (C o s (-20) + i Se n 700o] C o s 415° - i S e n 125° 11. Siz, = 6 C is 30° , z 2 = 2 C is 10° y z3 = 3(C o s 20° - i Se n 20°), hallar z,z2/ z 3. 12. Hallar la forma polar de : a) z = i C is (71/3) + 1 b) z = 1 + i Cotg 0 , k < 0 < 371/2 13. Escribir en la forma polar el resultado de : (6 + 2 i '3 ) (7 + 7 i) (4v3 + 12 i) 14. Si z = r C is 0 , representar en forma p o la r: ^ z 2 15. Si I z i I = 4 y Arg [ z (1 + i 3 )] = 7t/4 , hallar el número complejo z en su forma polar. 16. Si z, = 1 - 2 i y z2 = 2 + i , graficar el lugar geométrico de los afijos de núm eros complejos que satisfacen la relación : Arg ( z - z ' ) = 0 z, - Z2/ 17. Localizar en un plano complejo los afijos que representan a los núm eros complejos z = x + y i , tales que : a) 71/6 < Arg(z) < 2rc/3 c) n/8 < Arg(z) < n/2 a |z| < 3 b) n/3 < Arg(z + i) < k d) n/4 < Arg(z) < 371/4 a | z | > 2 a | z | < 4 18. Graficar los conjuntos a) A = {z e C I z = iw 2 , donde I w I = 1 y Arg(w ) € [71/6 ,71/4]} b) A = {z e C lz = (i/w2) , |w I > 1 y Arg(w ) e [jc/6,7t/3]} 7.9 J P O T EN C IA C IO N DE N U M E R O S C O M P LEJO S TEOREMA 7.5 El Teorema de De Moivre La potencia n-ésim a de un número complejo en su forma po lar tiene por módulo la potencia n-ésim a de su módulo , y por argumento el producto de su argumento por n. Esto es , si z = r C is 0 => zn = r" (C o s n 0 + i S e n n 0) (7) Demostración. Por inducción completa , se a la proposición P(n) = {n I zn = r C is n 0 } (1) Para n = 1 => P ( l ): z '= r'C is0 <=> z = r C i s 0 , es verdadera (2) Su p on ga m os que para n = h , la proposición
- 183. 352 Capítulo 7: Números complejos P (h ): z h = r h C is h 0, es verdadera (Hip. inductiva) Dem ostrarem os que para n = h + 1 , la proposición P(h + 1): z h* 1= r h+1C is (h + 1) 9 , es verdadera En efecto z h♦1= zh . z = (r Cis 0)h (r Cis 0) = (rh C is h 0) (r Q s 0) (Hip. ind.) = rhr [Cis (h0 + 0)] = rh* ' [C is (h + 1)0] (3) Conclusión : S e ha probado que , P(1) e s V a P(h) es V <=> P ( h + l ) e s V . Ejemplo 1 ) Si z = - ^ + 1 i , hallar R e(z20). Solución. Expresam os z en su forma polar y 1/2 iIz l = r = V(W3/2)> + (l/2)= = 1 ,Tge= ¿ = ^ ^ Com o x < 0 , y > 0 , el argumento principal termina en el II cuadrante o 0 = are Tg (-1/V3) =180° - 30° = 150° = 571/6 Luego , si z = C is0 «=> z = 1 Cis(57i/6) <=> z :o = 1:0 C is 20(571/6) (De Moivre) <=> z™ = Cis(8 x 271 + -=-7t) = Cos(27i/3) + i Sen(27i/3) .-. R e(z20) = Cos(2ti/3) = C o s = - Cos ( * ) = - ■ f Ejemplo 2 J U sando el Teorema de De Moivre , demostrar las siguientes identidades: Se n 3 0 = 3 S e n 0 - 4 S e n 30 C o s 3 0 = 4 C o s30 - 3 C o s 0 Demostración. S e a el complejo unitario : z = C o s 0 + i Se n 0 ( I z ! = 1) Elevando al cubo obtenem os : z} = C o s'0 + C o s ’0 Se n 0 + 3 i : C o s 0 S e n :0 + i S e n ’0 = (C o s?0 - 3 C o s 0 Sen-’O) + (3 C o s :0 Se n 0 - Sen'OJi Por el Teorema de De Moivre : z ’ = (C o s 0 + i Se n 0)'' = C o s 3 0 + i Se n 3 0 Luego : C o s 3 0 + i Se n 3 0 = (C o s’0 - 3 C o s 0 S e n :0) + (3 C o s'0 Se n 0 - S e n '0 ) i Igualando las partes reales y las partes im aginarias se tiene : C o s 3 0 = C os'O - 3 C o s 0( 1 - C o s :0) <=> C o s 30 = 4 C o s;0 • 3 C o s 0 Se n 3 0 = 3( 1 - Sen-0) S e n 0 - Se n ’0 =* Se n 3 0 = 3 Sen 0 - 4 Sen'O ■ | O B S E R V A C IO N . Dado un complejo z = r C is 0 y un entero positivo n , se cumple z " = r nC is(-n0) (8) Sección 7.9: Potenciación Je números complejos 353 es d e c ir, el Teorema de De Moivre es válido para potencias enteras negativas. Ejemplo 3 ^ Dado z = 1 - i , hallar z - Solución. El complejo z en su forma polar es z = V2 Cis(7rc/4) <=> z 3= (V2)-’ Cis(- 2 17i/4) = - 1 = j^Cos ^ rc) - i Se n ^ njJ = ñ [ e o s (471 + t n ) - i S e n (471 + | * ) ] = £ [ c o s ( ¿ it ) - i S e n ( | ^ ) ] = & [e o s (n + i ) - ¡ Se n ( * + £ ) ] = | [■ C o s ( Í- ) + ¡ Se n ( í )] | O B S E R V A C IO N . Si para un complejo unitario z = C is 0 aplicam os el Teorema de De Moivre , se cumplen las siguientes relaciones : z" = C o sn O + i S e n n O y z n = C o sn O - iS e n n O , n e Z de donde se obtienen C o s n O = ^ (zn + z " ) S e n n 0 = — (zn - z ") (9) E sta s d os fórm ulas se utilizan para expresar potencias de S e n o y C o se n o en función de ángulos múltiples. Ejemplo 4 ^ Hallar S e n 50 y C o s50 en términos de Se n k 0 y C o s k 0, respec tivamente. Solución. En las fórmulas (9), para n = 1 se tiene : 2 C o s 0 = (z + ¿ ) <=> (2 CosO)5= (z + | )5 32 C o s 50 = z5+ 5 z ‘ + l O z ^ l J + 10z: ( l ) + 5 z ( ^ ) + = (z í+ f ) + 5(2' + ? ) + i0(z + ?) = (2 C o s 5 0) + 5(2 C o s 3 0) + 10(2 C o s 0) .-. C o s 50 = ~ (C os 5 0 + 5 C o s 3 0 + 1 0 C o s 0) 16
- 184. 354 Capítulo 7: Números complejos Análogam ente: 2 ¡S e n 0 = z - i ■=* (2 i Se n 9)5= (z - <=> 32 ¡5S e n '0 = z- - 5 z ; + 10 z - — + Ar - z z ? z ' = (Z ' z>) ' 5(z’' ? ) + l0(z ' í ) = * 32 i S e n ?0 = (2 i Se n 5 0) - 5(2 ¡ Se n 3 0 )+ 10(2 i S e n 0) S e n ’0 = -1 (S e n 50 - 5 S e n 3 0 + IO Se n 0) ■ 16 EJERCICIO S : Grupo 40 En los ejercicios 1 al 12 , utilice el Teorema de De Moivre para hallar la poten cia indicada. Expresar el resultado en forma cartesiana. 5. (2 - 2 i)10- (2 + 2 i)1 ( i ♦i r 3. (1 ± 1 M ) ” 6. ( i - i ' ) ' 9. 10. ( ! * H ' 4. 13. 14. 7. (V2 + V3 + i y¡2 - V3 Y g ("i + Í V 3)15 ( - 1 - i ^ ) 15 O. ----—---7TTT--- + ( 1 - i) 2 ( 1 + i) 2 11. (-3V3 + 3 i)3 12. (4V2 - 4/2 i )40 En los ejercicios 13 a 16 , efectuar y expresar el resultado en la forma a + b i (2 C is 225°)2 (3 C is 140°)3 (V3 C is 2 5 o)4 (V2 C is 6 0 o)2 12 Cis(-30°) (6 C is 135o)2 15. (v2 C is 4 45 o)2 (V6 C is 140°)4 [2 C is (-130o)]2 (3 C is 3 45o)2 (1 - V3Í)27 /1 V3 :V316 n -'3ir _ n V3¡y 24 Cis(-150°) (V§ C is 105o)2 ‘ (2 + 2 i)18 2 2 / 17. Si z = 2 + V3 + i V2 - V3 , hallar Re (z20) 18. Simplificar (1 + w)n , donde w = Cis(27r/3) .... /1 + Se n x + i C o s x 6 19. Simplificar: - — -------- — ------- V 1 + Se n x -1 C o s x I 20. Representar mediante un polinomio de primer grado en términos de ángulos Sección 7.10: Radicación de números complejos 355 múltiplos de x , lo siguiente a) S e n 4x b) C o s6x c) S e n 7x d) C o s 7x 21. Expresar mediante las potenciasde Se n x y C o s x las siguientes funciones de ángulos múltiplos de x a) C o s 5x b) C o s 8 x c ) S e n 5 x d) S e n 7 x 22. Dado n e Z+ , dem ostrar que ( 9 + 1 _q 0s 2 n 0 + i S e n 2 n 0 ' Cotg 0 -1 / 23. Si z = C is0 , hallar todos los valores de 0 para los cuales (z + 1)2 es imaginario puro. 24. R esolver: [(1 + i -'.3)4z ] 2 = (1 - i 3 )3z 25. Calcular z4 en los siguientes ca so s a) z = (-V3 + i)'1 b) z = 4 = ^ c) z = ---------------------- , a e R a O <o.<2tc ’ ' V 3 - i S e n a + i S e n a ( 7.10 j R A D IC A C IO N DE N U M E R O S C O M PLEJO S______________ Por definición , dado un número complejo z y un entero positivo n , se dice que el complejo w es raíz n-ésim a de z si y sólo si , w° = z , se escribe w = z , o bien , w = z l/n El problem a de calcular w se resuelve fácilmente escribiendo z y w en forma p o la r, esto e s , si z = r(C o s0 + i Se n 0 ) y w = R(Cosvj; + i S e n i) (1) entonces por definición de raíz : w n = z Por la fórmula de D e Moivre : R n(C os n vj/+ i Se n n y ) = r(Cos 0 + i Se n 0) y por la igualdad de núm eros complejos R n = rA n ij/ = 0 + 2krc ■=> R = r a y = ~ k 71 Luego , en (1): donde , para k = 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1 , obtenem os los n valores de w , que lo designarem os por w k , k = 0 , 1 , 2 ......... . n - 1 , respectivamente. En resum en , se ha dem ostrado el siguiente teorema.
- 185. 356 Capítulo 7: Números complejos TEOREMA 7.6 Radicación de números complejos___________________________ Todo com plejo no nulo admite n raíces n -é sim as distintas d ad as por Wi = V [ c o s ( 8 ± l M ) + ¡ S e n ( e ± í M ) J donde k es 0 , 1 , 2 , .......... n - 1, r = I z | y 0 = Arg(z) v____________________________________ _______ ____________________________________ Dado que todas las raíces tienen el m ism o módulo , éstas se encuen tran sobre una circunferencia de centro el origen y radio V 7 , y difieren en el argum ento en múltiplos de 2rc/n. Por esta razón , las distintas n raíces de un complejo no nulo , se identifican geométricamente con los vértices de un polígono regular inscrito en la circunferencia mencionada. E je m plo 1 J Determ inar y representar en un plano complejo las raíces quintas de z = -16 - 16v3 i Solución, r = i z ! = 1 6 Vi + 3 = 32 , TgB = V3 «=> 0 = 1 8 0 ° + 60° = 240f; De m odo que s i : - 16 - 16V3Í = 32(C os 240° + i Se n 240°) del Teorema 7.6 , las cinco raíces quintas están dadas por r240° + 2k; w, = "V32 Jc is ( 240° * 2 -k - )] , para k = 0 , 1 , 2 , 3 ,4 Para k = 0 ■=> w(i = 2 C is (48°) k = 1 ■=> w, = 2 C is (120°) k = 2 <=> w, = 2 C is (192°) k = 3 o w, = 2 C is (264°) k = 4 o w4= 2 C is (336°) En la Figura 7.36 se muestra los afijos de las raí ces quintas de z , que son vértices del pentágono regular inscrito en la circunferencia de radio r = 2 Nótese que la diferencia entre los argum entos de cada raíz es (y — - ^ — 360 _ ~i~)o ^ n ~ 5 lm, W . - — c' 1 w V l - S L I I " Rt; y T V I , J FIGURA 7.36 tjem plo 2 j Determinar las raíces cúbicas de la unidad. Sección 7.10: Radicación de números complejos 357 Solución. S i z = l <=> |z | = 1 y 9 = Arg(z) =0 <=> wk= T J^Cis j «=> wk= C o s + i Se n (— . para k = 0 , 1 , 2 Reem plazando a k sucesivam ente por 0 , 1 y 2 se obtiene w, = C o s 0o + i Se n 0o = 1 w, = C o s + i Se n = - i + ^ ! w.- = C o s ( ^ ) + ¡ S e n ( f ) = . I . f I O B S E R V A C IO N E S (1) Los afijos de las raíces cúbicas de la unidad son los vértices de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio I z I = l (2) Las raíces cúbicas de la unidad se encuentran igualmente espaciadas con una de ellas un ángulo igual a a = 2rc/3 (3) w, = w. t=> wa + w, + w, = 0 ■ { l A Q A ) EC U A C IO N ES CU ADRA TICA S CON C O EFICIEN TES CO M PLEJO S S a b e m o s que una ecuación cuadrática con coeficientes reales a x :+bx +c =0 , tiene por raíces x _ -b i '¿r - 4ac 2 a En esta sección y , en idéntica forma , trataremos de hallar un proceso que nos permita resolver una ecuación de la forma A z : + B z + C = 0 , A , B , C € C y A * 0 (1) Com pletando el cuadrado se tiene (2. R R: 4AP Sup ongam os que : w = z + ^ y u = 4^ de modo que en (2) tendremos : w : = u (3) Puede ocurrir entonces que
- 186. 358 Capítulo 7: Números complejos I. Si B : - 4 A C = O , entonces u = 0 y la ecuación (3) tendrá por solución el conjunto {- B / 2 A }, esto es , si w : = 0 <=> z = -B/2A En consecuencia , la ecuación (1) tendrá por C.S. = {-B /2A } II. Si B-' - 4 A C * 0 , la ecuación w : = u tiene dos soluciones denotados por wü y w (. D C o m o w = z + , entonces las soluciones de la ecuación (1) serán : 2A B By — w - —— V z = w - — — 1 0 2A y 2 ' 2A Pero en la Se cción 7.6 vim os que w, = - w0 , por tanto ,el conjuntosolución es S = -jw0 - ^ - w(i - ^ j - ,donde w0e s cualquiera de las d ossoluciones de w- — B: - 4 A C 4 A : En resum en , hem os dem ostrado el siguiente teorema. TEOREMA 7.7 El conjunto solución de la ecuación A z + B z + C = 0 , A 1B , C e < . 1 y A * 0 e s I. j - ^ j , si B : - 4 A C > 0 II. í - — + w , , - — -w, , si B 2- 4 A C * 0 1 2A 0 2A °J p2 _ j A p donde w es una de las soluciones de la ecuación : w : = ~ , 0 * 4A- C jcm plo 3 j Resolver la ecuación : z2 - (3 + 2 i)z + (5 + 5 i) = 0 Solución. Si A = l , B = -(3 + 2 i) y C = 5 + 5i , entonces (1) B*’ - 4 A C = (3 + 2i)2-4 (l)(5 + 5i) = - 1 5 - 8 ¡ * 0 (2) R esolvem os la ecuación : w2= ^ — = - — - 2 i 4A- 4 4 <=>w0 = | - 2 i ó w, = - l + 2i (3) Elegim os una de su s raíces cuadradas : w„ = - 2 i (4) Lu e go: - ^ + wu = + ( i - 2i) = 2 - i Sección 7.10: Radicación de números complejos 359 (5) Por lo tanto , el conjunto solución e s : {2 - i , ■ (7.IO.2) R A IC E S P R IM IT IV A S DE LA U N ID AD__________________ Si z = T = l y l = C o s 0 + i S e n 0 , entonces las n-ésinasraíces de la unidad , según el Teorema de De Moivre , están dadas por w k = C o s ( ^ ) + i S e n (^ p p ) , k = 0 , l , 2 .......... n - l (1) Si k = 1 => w, = C o s + i Se n <=> (w,)“ = C o s + i Sen Se observa que : (w,)“= wk , k = 0, 1 , 2 ........ . n - 1 Esto significa que todas las raíces de la unidad son expresadascom o potencias de w, , e s d e c ir, w ( genera todas las n-ésim as raíces de la unidad , de aquí que w recibe el nombre de raíz primitiva de la unidad de orden n. En general , si w e s la raíz n-ésim a de la unidad tal que su s potencias wk para k = 0 , 1 , 2 ............, n - l , son diferentes entonces se dice que w es una raíz primitiva de la unidad de orden n. En el Ejemplo 2 determinamos las raíces cúbicas de la unidad w = 1 w = - — + j w = - 1 i wo 1 » wi 2 2 2 2 2 de las cuales w, y w, son raíces primitivas de la unidad de orden'3 , por que para k = n - 1 ■=* k = 2 , se tiene («,)-■ = ( - i + - i - = w, , e s diferente a w. (w2)2 = (- 1 * -^r i) = - y +i = w, , e s diferente a w, (w0)J = (1): = I , es igual entonces w0 no es raíz primitiva de la unidad de orden 3 Nótese que n = 3 y k = 2 son primos entre s i , e s d e c ir, m c d (2 , 3) = 1 Enconsecuencia , el núm ero de raíces primitivas de la unidad de orden n se deducen del siguiente teorema.
- 187. 360 Capítulo 7: Números complejos TEOREMA 7.8 Raíces primitivas de la unidad S e a 0 < k < n . Entonces wke s una raíz primitiva de la unidad de orden n , si y sólo s i , n y k son coprim os (primos entre si). Ejemplo 4 j Determinar todas las raíces de la unidad de orden 6 Solución. Las raíces sextas de la unidad están dadas por (I) para n = 6, estas son: wk = C o s + i Se n ,k = 0 f l , 3 , 4 , 5 Por el Teorema 7.8 , elegim os k de m odo quem c d (k , 6) = 1 , esto ocurre para k = I y k = 5 , entonces w, = C o s + i S e n ) = C o s 60° + i S e n 60° = ^ i W} = C o s ( ^ ) + i Se n = C o s 300° + i S e n 300° = i - ^ i ■ Ejemplo 5 J Demostrar que si w e s raíz cúbica primitiva de 1 , entonces (1 -w )(1 - a)2) = 3 Demostración. En efecto , si (tí es raíz cúbica primitiva de l , entonces oo2también lo es , pues el mcd(2 , 3) = I Luego , (1 - ío) (I - co2) = 1 - cd2- co+ (tí* = I - (íd2+ w) + (ú- (1) Pero , I + w + tú2= 0 (Ver Ejemplo 2) «=> co2+ (O = - 1 Por lo que , en (1) obtenem os : (1 - w) (1 - w2) = 1 - (-1) + I = 3 ■ EJERCICIO S : Grupo 10 En los ejercicios 1 al 6 , halle todas las raíces que se indican 1. Las raíces de z = -8 + 8 3 i 4. La s raíces cúbicas de z = 4 - 4 3 i 2. Las raíces cúbicas de z = - 8 i 5. Las raíces cuartas de z = — + — i 2 2 3. Las raíces quintas de z = 16 - 16 3 i 6. Las raíces quintas de z = -16V3 - 16 i En los ejercicios 7 a 10 , hállese las raíces indicadas . Sección 7.11: La exponencial compleja 361 7 6 / 1 - i g 8 / 1 + j 6 / 1 - i 4 / 1 + ¡ VV3+¡ V V3 -i V 1+ iV3 VV3+Í 11. S i co0 , co, y co2 son todas las raíces de la ecuación x3 = 1 , hallar el valor de a) co02 + co,2 + co32 b) co0 co, + co0co2+ (0,0)2 12. Dem ostrar que si z, es una raíz cúbica de z y si 1 , co y co2 son las raíces cúbicas de la unidad , entonces z, , z,co , z,co2 son las tres raíces cúbicas de z. En los ejercicios 13 al 16 , halle el conjunto solución de la ecuación dada 13. z2 + ( 1 - 5 i) z - ( 1 2 + 5i) = 0 15. (z3- iz2) - (2 + 2 i)(z 2- iz) + 2 (iz - 1) = 0 14. z2 - (3 + 2 i)z + (1 + 3 i) = 0 16. z2 + (4 + 3i)z + (7 + i) = 0 En los ejercicios 17 al 28 . resuelva la ecuación para todas las raíces comple ja s 17. z4 + 8 + 8 iV 3 = 0 21. z4 - 2 z 2 + 4 = 0 25. z8 -3 5 z 4 -3 6 = 0 18. z3 + 4 = - 4 iV 3 22. z4 + 4 z 2 + 16 = 0 26. (z + 3)4 = 1 6 ¡ 19. z6 + 7z3 - 8 = 0 23. z4 + (2 i - 3)z2 + 5 - i = 0 27. z3 + 2 z 2 - z + 6 = 0 20. z3 + 6 + 6 iV 3 = 0 24. 16z4 = (z + 1)4 28. 2 iz 2 -5 z + 7 i = 0 29. S i co e s una raíz cúbica de la unidad , dem ostrar que : a) (1 + co2)4 = co c) ( 1 -c o + c o 2) ( 1 + cú - co2) = 4 b) (1 -co)(1 -co2)(1 - co4) (1 - co5) = 9 30. Si co es una raíz n-ésim a de la unidad , hallar el valor de a) S = 1 + 2 c o + 3co2 + ............... + n c o n' 1 b) S = 1 + 4 c o + 9 c o 2 + ...............+ n2con' 1 7.11) LA E X P O N E N C IA L C O M P LEJA ________________________ Si z = x + y i , se define exponencial de z com o exp(z) = e* = e*(C os y + i Se n y) donde ex es la función exponencial real y e es la base de los logaritmos neperianos (e = 2 .7 1 8 2 8 ......... ) Si z e s un imaginario puro , esto e s , s i x = 0 =* z = y i , luego en la exponencial compleja se tiene : exp(y i) = ey' = C o s y + i S e n y /e* S e n y Com o el = (e 'C o s y + ie xS e n y ) <=* e = are T g — j = are Tg(T gy) <=> 0 = y
- 188. 362 Capítulo 7: Números complejos luego , la relación : exp(i0) = e18= C o s 0 + i S e n e (11) es la llamada fórm ula de Euler o exponencial compleja Siendo la representación de un número complejo z = r (C o s 0 + i Se n 0 ) la fórmula de Euler da lugar a una representación alternativa de los núm eros complejos en la forma exponencial z = r e i9 (12) donde, r = |z| y 0 = Arg(z) Ejem plos : z = i = C o s (rc/2) + i Se n (71/2) =» z =<?,(w2) z = - 1 = C o s 7i + i S e n n <=> z= e'K z = l = C o s 0 + i Se n 0 <=> z= e i0=e'ZK z = - i = Cos(37i/2) + i Sen(37t/2) o z = e'<3,K) = e'i{,c/2) z = - 4 + 4 í3 i = 8 Cis(27t/3) <=> z = 8 e'2™ O B S E R V A C IO N . Si en la fórmula de E u le r: e'° = C o s 0 + i S e n 0 se sustituye 0 por (:0) se obtiene : e~m= C o s 0 - i Se n 0 De estas dos ecuaciones resultan las identidades C o s 0 = i (cie + <r,e) ; S e n 0 = I (c'e - e '6) (13) que son de m ucha utilidad en dem ostraciones de identidades trigonométricas. E J E M P L O . Hallar C o s 30 en función de C o sk 0 Solución. Si C o s © = 4- (eM+ e '*) «=> C o s'0 = 1 (£1,e +3£ziWe',tí +3<?'8e'zi9 + c'*) 2 o A grupando términos convenientem ente obtenem os C o s'0 = -j [ 4 (e*® + e ',ie) + 4 (£'" + e’"*)] = -j (C os30 + 3 Cos0) ■ P R O P IE D A D E S D E L A E X P O N E N C IA L C O M P L E J A EC. 1 : eze"= ez"N EC. 5 : Si y e s real => e» I = l E C .2 : -^ -= < ?zw EC. 6 : ez = <=> z = 2nrci , V n e Z ew EC. 3 : í>z * 0 , V z e C EC. 7 : ez =e” <=> z = w + 2k7ii , V k e Z EC. 4 : ez I ex , y =Arg(z) , z = x + yi EC. 8 : (ez)n=enz , V n eZ Demostración de E C . 1 : ez ew = e1* w (1) Se an : z = x + y i , w = a + ¿>i <=> ez = t?x(C o sy + i S e n y) , = e‘*(Cos b + iSe n b) (2) <=> ez e* = [e *(C o sy + i Se n y)] [^ (C o s b + i Sen¿>)] Sección 7.11: La exponencial compleja 363 = ex*a [(C o s y C o s b - Se n y S e n b) + i (C o s y S e n b + Se n y Cos¿>)] = e'*a [C o s(y +b) + i Se n (y +b)] =ex*aei{y*b) (5) ez e'M = Demostración de EC. 4 : ez I = ex , y = Arg(z) , donde z = x + y i En efecto , por definición : ez =ex(Cos y + i Sen y) ^ / e ' t>eny Si ez =ex C o s y + i ey S e n y <=> 0 = Arg(z) = ArgTg — ------J = are Tg (Tg y) ez I = ex v(Cosy)-1+ (Sen y)-’ =e' e x Se n y ^ ex C o sy 0 = Arg(z) = y . Demostración de EC. 6: ez = I <=> z = 2n7ii , V n e Z (1) S e a z = x + y i <=> ez = ex+>‘= ex eiy =ex(C o s y + i S e n y ) = exC o s y + i e 'S e n y (2) S i e z = l => exC o s y + ie 'S e n y = 1 (3) Por igualdad de complejos : ex C o s y = 1 a e' Se n y = 0 (4) C om o ex * 0 , entonces , Se n y = 0 <=> y = kft , k e Z (5) Ahora , si y = krc c=> C o s y = C o sk rc = ( - l) k (6) Luego , en la primera igualdad de (3): e*(-I)k = 1 = ( - i p <=> ex = (-l)k ex = 1 <=* x = 0 y ; (8) Por lo tanto, z = x + y i = 2n7ti , V n e Z (9) Recíprocam ente , si z = 2 n 71i => ez =e2n*' = C o s2 n 7 i + i Se n 2 n rc = 1 + Oi = (7) Pero e * > 0 < = > k = 2 n - = > - í í L v = 2n7t O P E R A C IO N E S EN L A F O R M A E X P O N E N C IA L Las fórmulas relativas al producto , cociente , potenciación y radicación de núm eros complejos en la forma polar son sim ilares para dichas operaciones en la forma exponencial. Esto es : 1. z,z, = (r,e1*') (r,el8;) = r:r, c i<e,* e’J 2 £ l = í l ^ = Í I l U ^ - « z2 r, ei9: V r, / 3. z n= {re*)n= r"e íne 4. z ,'" = ( r e T = r ,/n^ ík *y n , n e Z y k = 0 , l , 2 ..........n - l
- 189. 364 Capitulo 7: Números complejos p —{ MISCELANEA DE EJEMPLOS ILUSTRATIVOS^---- e jem p lo 1 j S i z = - 7- + ^ r - i y w = - ^ - ~ ¡ , hallar z n + w " , donde — __ J 2 2 2 2 n es un número entero. Solución. Expresando z y w en su forma polar obtenem os z = Cis(2rc/3) y w = Cis(4rc/3) Entonces : z" + w " = C o s ^ ^ ^ j + i Se n + C o s + ¡ Se n (1) Dado que : C o s 120° = -C o s 60° y C o s 240c = - C o s 60° c=> C o s = C o s Se n 120° = S e n 60° y S e n 240° = - Se n 60° <=> Se n = - Se n Por lo tanto , en (1): z" + w" = 2 C o s ■ Ejem plo 2 j Aplicar la potenciación de núm eros complejos para expresar Tg60 en términos de T g6. Solución. Por el Teorema de De Moivre : C os60 + i Sen60 = (C os0 + i S e n ©)'1 Desarrollando la potencia y luego ordenando las partes reales y las partes im aginarias , obtenem os C o s 60 + i Se n 6 0 = (C o s”0 - 15 C o s 40 S e n :0 + 15 C o s :0 S e n J0 - S e n '0) + + i (6 C o s ‘0 S e n 0 - 20 S e n '0 C o s '0 + 6 C o s 0 Se n -0) De la igualdad de núm eros complejos se sigue que : C os6 0 = C o s 0 - 15 C o s J0 S e n :0 + 15 C o s:0 S e n J0 - Se n ' 0 _ Sen60 Sen60 = 6 C o s '0 S e n 0 - 20 S e n '0 C o s ’0 + 6 C o s 0 Sen<0 J ^ 91 C o s6 0 Ahora , dividiendo cada término del num erador y denom inador de T g60 entre C o s ft0 , se tiene 0 = 6 T g0 - 20 T g ’Q + 6 T g 5Q m y I - 15 T g :0 + l 5 T g J0 - T g '0 Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 365 Ejemplo 3 J S e a z e C , z * z0 , dem ostrar que : ( z n) = { z f Demostración. Si z = re ,e ■=> z = r<ri8 Luego : z n = rneine <=> ( z n) = rn r in8 z = re-ie <=> (z )n = rne-'n9 Por lo tanto , de (1) y (2) se tiene : ( z n) = (z )n (1) (2) I Ejemplo 4 ) Se an z. , z. eC . demostrar que Cosv|/= Z? , ' J 2 7 donde y e s el ángulo com prendido entre los radios vectores que representan a z, y z2 Demostración. Se a n los complejos : z t =rleia y z, = r,e* Luego : z, z, = r( r, = r^, C is(a - P) Entonces : R e (z1z ) = r, r, C o s(a - p) = I z, I Iz, I Cos(oc - p) de donde se obtiene : C o s i = ^ e ^Z| z^ z. hallar:Ejemplo 5 j S e a z = x + y i tal que z39 = 1 y z = 1 ; Re(z + z2 + z3+ . . . . + z37) Solución. S e a S = z + z : + z-1+ . . . . + z” = z( 1 + z + z- + . . . . + z %) Entonces : S = z ^ 1 ~z ) . Pero z ,v = z-7z: => 1 = z ,7z 2 <=> z,7= 1/z2 Luego : g _ J • 1/z2 _ {z + _ r ( x + l , y ) 1 _ I7 (x + Q x + y- x y -y (x -)- 1)-| 1 - z / V z / L ( x , y) J |_ x2+ y 2 ’ x2+ y 2 IJ _ / x2+ y 2+ x - y „ x2+ y 2+ x _ " l x 2+ y 2 ; x Ü T -i ^ R e (S ) " x 2+ y 2 " Ejemplo 6 ) U no de los vértices de un octógono regular coincide con el afijo del complejo z = 2 C o s 15° - 2 i Se n 15°. Hallar los vérti ces restantes (o una fórmula que permita calcularlos).
- 190. 366 Capítulo 7: Números complejos Solución. Un octógono regular es descrito por los afijos de la raíz octava de un determinado complejo. Ahora bien , sabe m o s que los argum entos de cada raíz están igualmente espaciadas un ángulo a = - ^ = = 45° Entonces , si z = [Cos(-15°) + i Sen(-15°)] , una fórmula que permite calcular los afijos de cada uno de los vértices del octógono es z = 2[Cos(-15° + 45°k) + i Sen(-15° + 45°k)] , k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 Si k = 0 ■=>w„ = 2 Cis(-15°) , k = 4 <=> w, = 2 Cis(165°) k = 1 w, = 2 Cis(30°) , k = 5 <=> w s = 2 Cis(210°) k = 2 =* w, Cis(75°) , k = 6 => wh = 2 Cis(255°) k = 3 i=>w. = 2 Cis(120°) , k = 7 => w 7 = 2 Cis(300°)■ Ejem plo 7 j Determ inar el total de núm eros enteros positivos n de tres cifras que verifican la igualdad : ( 1 + ^ i) = 1 + i ' i ^ Solución. El complejo z = i + i , en su forma polar es z = Cis(7i/3) = e'm Luego , si (e"t/,)n = eim <=> ^ ^ + 2krc (Igualdad de complejos) de donde se obtiene : n = 6k + 1 ; com o n es de tres cifras <=> 100 < n < 999 esto es : 100 < 6 k + 1 <99 9 => 16.5 < k < 166.3 => 17 < k < 166 , k € Z* D ado que , por cada k existe un n ■=> n = ( 166 - 17) + 1 = 150 ■ Ejem plo 8 J Demostrar que para 0 e [0 , 2k ) y n número natural ( 1 + S e n 0 + i C o s e r e o s ; n( « - e)] + i Sen r n ( £ - e)l ' 1 + Se n e - i C o s e ' 2 n L v2 n Demostración. Se an : z = 1 + Sene + i C ose y w = I + Se n e - C ose <=> z = Se n y + Se n e + i Se n - 0) = = 2 S e n ( 5 + e ) c o s ( í . e ) + 2 i S e n ( i . e ) c o s ( i . e ) Por ser complementarios : C o s ( j + t ) s Se n (j ' t ) Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 367 « z = 2 S e n ( | + | ) C o s ( £ - | ) + 2 i Se n ( 5 - | ) Se n ( f + « ) = 2 S e n ( £ + § ) [ C o s ( J - 1 ) + ¡S e n ( i - 1 ) ] = 2 S e n ( j ♦ | ) [ » * » • « ] Por un razonamiento similar se dem uestra que w = 2 Se n ( | + | ) [ e o s - | ) - i S e n ( | - | ) J = 2 Se n [««*"•«»] Por lo que : = e,n(lt/2’e) = C o s n - ej + i Se n n ^ - e) ■ Eje m plo 9 ) D ado e e R , demostrar que si z + y = 2 C ose , entonces a) z m+ y ^ = 2 C o s me , m € Z* b) z m' = 2 i Se n me , m e Z * Demostración. S e a z = r(Cos6 + i Sene) <=> z l = -j- (C ose - i Sene) Luego : z + j = (r+ -j-)C ose + i (r - 1 )Sene1 1 e s real *=> Im (z + i 1 ^ 1 Dado que z + ^ e s real ■=> Im (z + 1 ) = o Esto es , s i : (r- j )Se n e = 0 <=> (r - j- = 0) v (Se n e = 0) <=> r = 1 v e = 2k7t Para r = 1 se tiene : z = C o se + i Se n e y z x= C o se - i Se n e => z m = C o s me + i Se n me y z m = C o s me- i Se n me Por lo tanto , sum ando y luego restando los extremos de am bas ecuaciones obte n e m o s a) zm + y r = 2C o s me b) z m- —¡ = 2i Se n me ■ Eje m p lo 1 0 J Si Se n a + S e n ¿ + Sene = 0 y C o sa + C o sb + C o s c = 0 , demostrar que Sen3a + Sen36 + Sen3e = 3 Sen(a +b +c) Solución. Se a n : A = C o sa + i Se n a , B = C o s b + i Sen¿> , C = Cose + i Sene <=* A + B + C = C o sa + C o sb + C osc + i (Sena + S e n ¿ + Sene) Luego, si A + B + C = 0 ^ [(A + B ) + C ]? = 0 => (A + B)3+ 3(A + B)2C + 3(A + B )C 2+ C 3= 0
- 191. 368 Capitulo 7: Números complejos de donde : (A + B)’ + C ’ + 3C(A + B) (A + B + C) = 0 r=> (A + B )' + C ' + 3C(A + B) (0) = 0 De m odo que : (A + B)* + C- = 0 => A ? + B ; + C- + 3 A B (A + B) = 0 (A + B = - C) ==> A , + B ' + C , = 3 A B C Del Teorema de De Moivre y del producto de complejos si sigue que (Cos3a + Cos36 + Cos3c) + i (Sen3a + Sen3¿ + Sen3c) = 3[Cos(a +b+c) +i Sen(a +b+c)] Por igualdad de complejos , lom ando la parte imaginaria obtenem os Se n 3a + Se n 3 ¿ + Sen3c = 3 Sen(a + b + c) ■ C jem plo 1 1 ^Para z = Cis(7t/4), hallar: a) El módulo y el argumento de (1 + i z)6 b) lm(1 + iz)6 en sum as, usando el Teorema delbinomio de Newton. Solución, a) S e a 9 = 71/4 <=> iz = i (C os0 + i SenG) = - Se n e + i C o se <=> I + i z = (1 - SenG) + i C osG = (Senrc/2 - SenG ) + i Sen(rc/2 - Q) =2Cos(3 + Í ) S e n ( i - f ) +2 ¡ S e n ( | . | ) c o s ( | . f ) Por ser complementarios : C o s ( y - ®) = Se n ^ « 1+¡z = 2Sen ( f - f ) [cos(f + | ) +iSen(f ♦§)] Para G = k/4 se tiene : l + iz = 2 Sen(7ü/8) [ Cos(3rc/8 + i Se n (3rc/8)j <=> (l + iz)6= T S e n h(7t/8) [Cis(97i/4)] Por lo que : M od( I + iz)ft= 26 ['j 2 ) = (2 - V2)- = 20 - I4 2 Arg(l + iz)6= 971/4 = 225° b) ( l + i z ) A= X ( k ) (l)k (iz)hk = ¿ (k ) (et*a ei*Y,’k k =0 k =0 = X (k ) (gi(w:t0))ft' k = X k s O k =0 lm (r+ iz )A= X (k ) S e n (6 -k ) (ti/2 + G) = ¿ ( k ) c o s ( 6 - k)G E je m plo 1 2 j Demostrar que si (o19 = 1 y oj * 1 , entonces 1 + 2co + 3o)2+ .......... + 19(o18= 19 CD- 1 Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 369 Demostración. Si (0IV = 1 => (O19- 1 = 0 t=> (co -1 )(ü)ls + (O17+ ........... + (0 + 1) = 0 Por hipótesis w * 1 =* co - 1 * 0 , luego :o)'* + co'7+ ....+ (o + 1 = 0(1) Representem os p o r : S = 1 + 2(0 + 30^ + ..........f9<olli t=> (OS = (o + 2Í02+ ......... 18(018+ 19(019 Restando se tiene : S - coS = (1 + <o + co: + . . . .+ co17+ co,s) - 19(0W Por (1) , la expresión entre paréntesis e s igual a cero , por lo que : 19 (O19 19 m S(1 -0)) = - 19(0,g <=> S = c o - 1 ( 0 - 1 Ejemplo 13 ^ Sim plificar : 2 + 3(2)C o sG + (4 )(3 )C o s2G + . . . . + (20)(19)Cos186 sabiendo que<?19i0 = 1 y e'" / 1 Solución. Se an : A= 2 + (3)(2)CosQ + (4)(3)Cos2G + .......... + (20)(19)CosI 80 B = (3)(2)Sen0 + (4)(3)Sen2G + ...........+ (20)(I9)Senl8G => A + Bi = 2 + (3)(2) (C os0 + i Sen0) + (4)(3) (Cos20 + i Sen20) + .......... + (20)( 19)(C os 180 + i Se n 180) Tomando el complejo unitario (0 = C o s0 + i Se n 0 , podem os escribir A + B i = 2 + (3)(3)(0 + (4)(3) (O2+ .......... + (20)( 19) (Ol 8 Llam ando z = A + B i , debem os simplificar la parte Re(z) = A Esto e s , si z = 2 + (3)(2)<o + (co + (4)(3)co2 + . . . . + (20)(19)(o,s c=>ü )z= 2(0 + (3)(2)(02+ . . . . + (19)(18)(0IS + (20)(19)(O|y <=> z - (O Z = 2 + 2 (2) (O + 3 (2) (O’ + ............+ 19(2)(OIK - (20)( 19)Cü,,í = 2 (1 + 2(0+ 3(0-’ + ...........+ 19(0,s) - (20)( 19)0)19 1Q Por el Ejemplo 12 , la sum a entre paréntesis e s S = , y (o|y= e19,0= 1 => (1 -(ú)z = 2 Í - ^ - ) - (20)(19) = - 38 ( ^ 2 = J 8 0 , 38 (1) (O - 1/ (0-1 I (0-1 ((O -1)- ' (O - 1 = C o s0 - I + iSe n 0 = - 2 Se n 2^ + 2 iSen C o s^ - = 2 i Se n ® (C o s^ - + iSen (0-1 2 Se n (0/2) 380e-Kwi+«w) 38 g'«**») = 2e'm Se n | (eM2) = 2 (se n e W '0™ Luego , en (1): z = 2 Sen(0/2) 4 S e n 2(0/2) Por lo que : A _ Re (z) _ 380 Cos(7t/2 + 0/2) _ 38C o s (ti + 0) = _ 380 S e n (6/2) + 38Cos0 2 Sen(0/2) 4 S e n :(0/2) 2 Sen(0/2) 2(1 - C os0) de donde obtenem os A = 19 ( 1 ■- -Q-s9 - 1) ■ v i - CosB /
- 192. 370 Capítulo 7: Números complejos C jcm plo 1 4 ] D ado n e Z’ , convertir a producto las su m as a) (q) C osn G + ( ^ C o s (n - 1)6 + ( 2 )c o s(n - 2)0 + ____+ ( p ) b) (o ) Se n n 0 + ( i ) Se n (n -1 )0 + (£ ) S e n (n - 2)0 + ... + ( " ) Solución. Se a n :A = (q) C osn 0 + Cos(n - 2)0 + ( " ) C os(n - 2)0 + . . . + ( " ) iB = i(| ])se n n 0 + i ('i')c o s(n - 1)0 + i(^!)Sen(n - 2)0 + . . . i(^ ) => A +iB = ( (nJ (C osn 0 + iSe n n 0 ) + ( " ) [Cos(n - 1)0 + i Sen(n - 1)0] + ( " ) [Cos(n - 2)0 + i Sen(n - 2)0] + . . . . + (J¡) (1 + i) = X (k) [Cos(n - k)0+ iSen(n - k)0] k = 0 Tom ando el complejo unitario z = C o s0 + i Se n 0 <=> z " ' k = C os(n - k) + i Sen(n - k) Entonces: A + i B = £ (£ ) z " 'k Ka0 Por el binomio de Newton : ( z + l ) n = X ( k ) z n' k (l)k= X (£ ) z n-k k= ü k= 0 Esto e s :A + iB = (z + 1)" = ((1 + C os0) + i S e n 0 ]n = |^2 C o s : ® + 2 i Se n C o s ® J n = j^2 C o s ® ^Cos ^ + i Se n J 0 = 2nC o sn(0/2) [Cos(n0/2) + i Sen(n0/2)] Por lo tanto: a) A = R e ( z + l) " = 2" C o s" ( ® j C o s (A p j b) B = Im (z + 1)" = 2n C o s " ( ^ ) S e n ( A p ) , ■ E je m plo 15 j Convertir a producto la sum a C o sx + ( ^ C o s 2 x + ( 2 ) C o s 3 x + . . . . + C os(n + 1)x Solución. S e a n : A = X ( £ ) c o s ( k - l ) x y B = X ( k ) s e n ( k + l ) x k = 0 k = o o A + Bi = £ (k) [C o s (k + l)x + iS e n ( k + l)x] (1) Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 371 Considerem os el complejo z = C o sx + i S e n x <=> z* * 1= C os(k + 1)x + i Sen(k + 1)x Luego, en (1): A + B i = I (J ) z k-' = z Z ( k) (l)n' kz k k = 0 k = 0 Por el binomio de Newton : A + B i = z (1 + z)" En el Ejemplo 14 obtuvimos : (1 + z)" = 2" C o s" ( 4 ) [ e o s p 2 L ) + i Se n ( ^ - ) ] = 2” C o s" (e'nxp-) <=> Z(1 + z)n = (e")2nC o sn ( y ) (<,’•"v-) = 2nC o s" (4 ) ie,{n*')%n) A = R e [z( 1 + z)"] = 2" C o s 11 C o s x ■ E je m plo 1 6 J Dado n e Z* , convertir a producto la sum a C o s2x + C o s23x + C o s 25x + . . . . + C o s 2(2n - 1)x - ^ Solución. B asándonos en la identidad : C o s x = -^ (1 + C o s 2 x) , la sum a dada se puede escribir n • n I C o s :(2k - l)x- H = i ¿ [1 + C os(2k - l)2x]- J1 = *1 + 1 X C o s(2 k - l)2 x - ^ k = 1 / 2 2 k = i ¿ => X C o s-(2 k - l)x - = A X C os(2 k - l)2x (1) k = I ¿ L k = I C onsiderem os el complejo unitario z = C o s 2 x + i Sen 2 x = n n y se a n : A = X C o s ( 2 k - l) 2 x y B = X S e n ( 2 k - I) 2 x k = l k =1 n n n ■=> A + iB = X [C os(2k - l)2x + i Sen(2k - l)2x] = X z :k, = z X z 2(k,> k = I k = I k = I Tenem os una serie geométrica de razón z- , luego : A o / l - z - " r I * C o s2 n (2 x ) - i Sen2n(2 x)"| A + [ j T ^ l ~ ZL I - Cos2(2 x) - i Sen2(2 x) J T 2 Se n (2 n x) - 2 i Sen(2 n x) C os(2 n x) "I “Z L 2 S e n : 2 x - 2 i S e n 2 x C o s 2 x J T - 2i S e n 2 n x (C o s2 n x + i Se n 2 n x ) ~| = (S e n 2 n x )(C D s2nx + iS e n 2 n x ) L - 2i Se n 2x (C os2x + i Sen2x) J Se n 2 x / Entonces: A = Re(A + i B) = ( f S g a ) Cos2nx =
- 193. 372 Capítulo 7: Números complejos L u e go , en (1): X C o s :(2k - 1) - H = S ®n4x a ' k . i ' ’ 2 4 Se n 2 x Ejemplo 17 j Convertir a productos 1 - ( '11)C o s2 x + ( 2 ) C o s 4 x - ( 3 ) C o s 6 x + . . + (-1)" ( " ) C os2nx Solución. Sean: A = X (-l)k (£ ) Cos2kx, la sum a dada, y B = X (-l)k ( k ) Sen2kx k = <> k = o d e m o d o q u e A + iB = X (-l)k ( k ) (C os 2kx + i Sen 2kx) (1) k = 0 C onsiderando el complejo z = C o s 2x + i Sen 2x , se tiene que : z k = C o s 2kx+ i S e n 2kx Luego, en (1): A + i B = X (-l)k(k) zk= X (¡J) (-z)k(1)nk k = o k =«o y por el binomiode Newton : A + iB = ( - z + l ) n (2) Ahora , 1 - z = 1 - C o s2 x - iSe n 2x = 2 S e n 2x - 2 ¡Senx C o sx = - 2 iS e n x (C osx + i S e n x ) => I - z = 2(e M1) Se n x (<?»*) = 2 Se n x (<?'<x■w:>) Por lo que , en (2): A + i B = 2n S e n nx (e A = Re(l - z)n= 2nSe n "x C o s n(x - n/2) ■ E je m plo 1 8 ^ Demostrar que si (n + 1)x = n , con n entero m ayor que uno , entonces S e n 2x + S e n 22x + S e n 23x + . . . + S e n 2nx = n * 1 2 Demostración. Según la identidad , Sen-’x =( I - C o s 2 x ), la sum a dada se puede escribir n n n X Sen-’kx = X 1 (I - C o s 2kx) = -£ - Jr X C o s 2kx (1) k=i k=i 2 2 2 k= i x 7 n n Se an : A = X C o s2 k x , B = X Se n 2 kx y el complejo unitario z = C o s2 x + i Se n 2 x k = l k= l n n n => A + ¡B =X (C os2ki + i Se n 2 k x ) = X (z)k = z X z “’1 = z ( * , * zn) k = I k = ! k= I 1 -Z / _ 2 / 1 - C o s 2nx - i Se n 2nx _ z / 2 Se n nx - 2 i Se n nx C o s nx I - C o s 2x * i Se n 2x / V 2 Sen-'x - 2 i S e n x C o s x / Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 373 f - 2 i Se n nx (C os nx + i Se n nx) ~1 _ M>r Se n nx (en‘x) "l ~ZL - 2i S e n x (C os x + i Se n x) J L L Se n x (e1*) J = ( e n x ~ ) gKn<l>> ^ A = R e (A + i B ) = ( ^ e n x * ) C o s (n + O x (2) Por hipótesis : (n + l)x = n <=> nx = 7i - x ■=> Se n nx = Sen(7i - x) = Se n x Luego , en (2): A = ( ^ f-n-n— ) C o s n = -1 *oGn x • n i i Por lo tanto ,en (1): X Sen-’ kx = -y - — (-1)= ■ k = I ¿ - Ejemplo 19 Calcular: Cos ( l ? ) +2 Cos (t ) +............ * (n' 1) Cos Solución. S e a el complejo unitario z = C o s x + i Se n x , donde x = 27t/n Form em os el complejo A + i B en función del complejo z , de modo tal que s i : A = C o s x + 2 C o s 2x + 3 C o s 3x + ........+ (n - l )Cos(n - l )x B = Se n x + 2 Se n 2x + 3 Se n 3x + ...........+ (n - I) Sen(n - l )x <=> A + i B = z + 2 z ! + 3 z -’+ ........ + (n - I )z" ‘1 z(A + i B) = z2+2 z- + ..........+ (n -2) z n’1+ (n - 1)zn Restando am bos extremos de las dos igualdades obtenem os (1 - z) (A + i B) = z + z2+ z- + ....+ z n' 1 - (n - 1)zn = z(l + z + z 2+ . . . .+ z n 2) - ( n - l)zn = z ' Zz~ ) • (n - l)zn de donde : A + iB = -r.:- Zy - .~ ^ Z 0 ) (1 - z ) 2 1- z Para x = 2n/n se tiene que , z n = 1 . Luego , en (1): A + i B = (2) z - 1 = C o sx - I + i Se n x = - 2 S e n :(x/2) + z i Sen(x/2) Cos(x/2) = 2 i S e n C o s + i Sen J = 2 (e,K/2) Se n | [í?ix/2] = 2 (S e n A ) <?'<"2•x/2> Luego , en (2): A + i B = ( — n / ) e'm l* v2) a w 2 Sen(x/2) I ■■■ A ■ Re(A + 'B>= ( 2 l f e ) Cos ( f + ! ) = ( i s i f e ) (•Sen f ) “ - f ■
- 194. 374 Capitulo 7: Números complejos Ejem plo 2 0 J Hallar las su m as : a) 1 - (^ ) + (^ ) - (g ) + .......... b> ( í ) - ( n3) - ( n5) - ( n7) - - - - Solución. Se a el número complejo : z = I + i = V2 C is (7t/4) Por el teorema del binomio : ( l + i ) n = X (k) ( l ) " ‘k (i)n k = 0 « o ♦ ir- (S)i-♦ (?) ¡♦ (n2) ¡!♦ (",) i’ ♦ (") * (?) i*♦ (n6) i-♦ (?) ¡’ ♦ . . . ■ .......... => Re(, + ¡)» - 0 - {» ) ♦ (1) - ( "J ♦ . . .; Im (1 + ¡)"- ( ? ) - (",) ♦ (",) - (<]) + Pero: Re( 1 + i) = V2 Cos(rc/4) ^ Re( I + i)n = 2 nQ C o s (nn /4) Im(l + i) = V2 Sen(n/4) => lm(l + i)n = 2n/: Sen(n7t/4) Por lo tanto : a) 1 * ) + ( " ) - ( " ) + ............= 2n/: C o s (n7ü/4) b> ( 7 ) ' ( 3) + ( 5) ~ ( 7) + • • • • = í 1"1* Sen (nn/4) EJER C IC IO S : Grupo 42 1. Escribir en forma exponencial: z = ^ + (-1 + i3 ) (4 - 4i) 2. Calcular y expresar el resultado en la forma a + bi de z 3. Expresar C o s4x en términos de C o s4 x y C o s2 x 4. Expresar -^ -n-5 - en términos sólo de potencias de C o sx Sen x 5. Resolver las ecuaciones : a) z 3 - —J -' 1 = 0 i 3 - 1 b) (z + 1 - i)3= 1 c) (- 4V 3 - 4) + i (4^3 - 4) = ^ _ ¡ d) (i z - 1)2- z2= 0 EJERCICIOS : Gmpo-42 375 6. Si z = re'*’ , dem ostrar que la parte real de z + z es 2 a/r C o s ^ . k = 0 ,1 , 2 ...........n -1 . Adem ás , hallar la parte real de 1 + h 3 + >/1 - i 3 7. Dem ostrar que cualquiera que se a el complejo unitario z , entonces l z * 22 l = 2 |Se n ( — )| 8. Dem ostrar que : e‘8(1 -e'u) = ¿""(1 -e ,a) 9. S i |/ e s el ángulo com prendido entre d os vectores que representan a los complejos z y w , dem ostrar que : z w + z w = 2 | z w | C o s i 10. S e a z = x + y i un número complejo a) Si z = -1 , dem ostrar que no existe un número real t tal que z = * *! 1 - 11 b) S i z * -1 y I z I = 1 , hallar el número real t tal que z = 1 - 11 11. Si z = 3 + 4i y w = 2 + 6i, hallar el coseno del ángulo comprendido entre (z - w) y z 12. Se a n n e V y a e R ; demostrar que (1 + C o s a + i S e n a )" = 2 n C o s" |Cos + i Se n ( ^ ) J 13. Analizar la verdad o falsedad de a) Si (o3 = 1 , ü) * 1 , n e Z <=> o)3n + w 3n* 1+ co3n♦2 = 0 b) Si a) * 1 , co5 = -1 ■=> o)4 - ü)3 + o)2 - ü) + 1 = 0 14. Si z = 1 + i 3 , hallar R e (z20) 15. Si A = {z e C I I z + 2 - 2 3 i I < 2 } ; hallar z, e A de módulo máximo , z2 e A de argum ento máximo. 16. S e a A = { z e C 11/5< Iz I < 1 ,71/8 < Arg(z) < tc/3} , B = { z € C I z e A}. Graficar D = { i z e C I z e B} , y determinar la forma polar de z e D de módulo máximo y argum ento mínimo. 17. Hallar Re(z) , lm(z) , tal que : (z + i)n = i z n , n eZ* 18. Simplificar: (1 + i T gx)n + (1 - i Tgx)n 19. Dem ostrar que todas las raíces de la ecuación ( ^ Z )' = , n e Z* son reales y distintas. 20. Si z + 1 = 2 C o s , calcular: z 9 +
- 195. 376 Capitulo 7: Números complejos 21. En base a las expresiones de (1 + ¡)n a) Dem ostrar que (S)'+1(?) •(2)-¡(S) ■♦ O*■■• • ' - 2“’ [Cos ( x ) +¡ Sen ( t ) ] b) U sando lo anterior, calcular: - (1y ) + ( 1g ) 22. Dem ostrar que : • •> (?:K " ) + 1 (S) + . . . . = 1 |^2n' 1+ 2 n'2 S e n ( ™ ) ] cr rod ( ♦ ( i ) 1+ ("o ) ♦ . . . . = 1 ^2 " . 2n'2 C o s (— ■)] <=> ( 3n : 1+ ( i 1, ) + . . . . = 1 |^2n-1- 2 n/2Se n ( M ) ] 23. Hallar la sum a : (r!) • K 3) + ^ ( 5 ) * 27 + ( 7 ) + • • • • • 24. Dem ostrar que a) 1 + (!!)♦ (S) *[:n9 ) - - . . = 1 [2- + 2 C o s ( M ) j *> ( " ! l+ G)l+ l[? ) + (io) + . . . . - ; [ 2 » + 2 C o s ( n 3 2 ) * ] «> ( S K ) 1+ (S) --------= 1 [2 " + 2 C o s (ü ^ ) j i ] 25. Dem ostrar que : Se n ( S ± ! ) x S e n (— ) S e n x + S e n 2 x + S e n 3 x + ..........+ S e n n x = ------------------------------- — Sen(x/2) 26. Dem ostrar q u e : 1 Se n ( ) x + C o sx + C o s2 x + C o s3 x + .......... + C o sn x = — - — -= --------- 2 Sen(x/2) 27. Hallar la sum a Se n a - Sen(a + x) + Sen(u + 2x) - ..........+(-1)n' ’ Sen[a + (n - 1)x] 28. Hallar la sum a S e n x + ('j’) S e n 2 x + ( 2 ) S e n 3 x + .......... + (n ) ^en(n + 1)x 29. Hallar las su m as : EJERCICIOS . Grupo 42 377 a) C o sx - ( y ) c o s 2 x + (£ ) C o s3 x - ............. +(*1)n (p ) C os(n + 1)x b) S e n x - ( " ) S e n 2 x + ( 5 ) S e n 3 x - .......... +(-1)n (¡})se n (n + 1)x 3 0 . Hallar la sum a : S e n 2x + S e n 23x + S e n 25x + . + S e n 2(2n-1)x 3 1 . Dem ostrarque : . ~ ~ . o n . C o s ( n + l ) x S e n n x a) C o s 2x + C o s 22x + .......... + C o s2nx = — + ------------— «--------------- c. bGn X 0 , o o __2r*v n C o s (n + l)x S e n n x b) S e n 2x + S e n 22x + .........+ S e n 2nx = — ------------ — ---------------- ¿L c o 6 l*l X 3 2 . Dem ostrar que : a) C o s 3x + C o s 32 x + ........... + C o s 3nx = 3 C o s ( ü f - ! ) x S e n ( ^ ) C o s ( [ * ¡ ± 1 ) x S e n ( * 2 ) 4 Se n (x/2) + 4 Se n (3x/2) b) S e n 3x + S e n 32 x + ..........+ S e n 3nx = 3 C o s ( ^ ) x Se n ( ^ - ) C o s x Se n ( ¿ M ) 4 Se n (x/2) * 4 S e n (3 x / 2 ) 3 3 . Dem ostrar que : a) C o sx + 2 C o s2 x + 3 C o s3 x + .......... + n C o sn x = (n + 1) C o s n x - n C o s (n + 1) x -1 4 S e n 2(x/2) b) S e n x + 2 S e n 2 x + 3 S e n 3 x + ..........+ n S e n n x = (n + 1) C o s n x - n Se n (n + 1) 4 S e n 2(x/2) 3 4 . Hallar la sum a : Se n x - Se n 2x + . . . . + (-1 )"* 1 S e n n x 3 5 . Dem ostrar que : S e n (í^ - ^ h b , a) C o s a + Cos(d +& ) + . . . . + C os(a + ní>) = — - — -f=— — C o s (a + Sen(o/2) ' ¿ ' S e n í ^ - ^ ) b , b) S e n a + Sen(a +b) + . . . . + Sen(a + n¿) = — sen(fe/2)— ^ e n (a + 3 6 . D ado n e Z , demostrar que : 1 + Z (k) (^ os-^ x ) = X (k )2 "-,tC o s f ^ W x k= l ' C o s kx / k=0 ' 2 '
- 196. 378 Capítulo 7; Números complejos I e‘° n [ Sugerencia : Desarrollar 11 + — — - 1 ] ' u o s 0 • 37. Hallar el valor de la sum a : S = X p (~1)* (k ) ( C os^x*) [ Sugerencia : eis = Cosx(1 + i Tgx)] n 38. U sando núm eros complejos , convertir a producto : X k = 1 n 39. Calcular: X C o s ( 2k7t ] x . (su g e re n c ia : Hacer u = k= i 2 n + 1 / ' 40. Resolver la ecuación en C : ( “ 7 j) + ( * = 2 C o s a , y m ostrar que todas las raíces son imaginarias puras. ( Sugerencia : Hacer u= ( ^ 7^) ) 41. Resolver la ecuación : (1 + z)5 = (1 - z)5 42. Desarrollar en sum as y productos : Rt’(6,ie - i)n 43. Hallar el valor de la sum a : X (-1 ) * C o s 3( ^ ^ - ) k=1 ' 51 / 44. Hallar el valor exacto de <^f3)” (1° ° ) - (^3)” (1° ° ) + (V3)“ (1° ° ) - ^Í3)” (1° 0 ) + ______ 1 [Sugerencia : Desarrollar (v3 + i)100] 45. Dem ostrar que : 2 " C o s ( ¡ 3 ) = ( g ) . ( " ) (3) + ( J ) (3)= - ( g ) (3)’ + --------+ ( " ) (3r I siendo n un número entero positivo múltiplo de 4. [Sug. Desarrollar (1 + i3 )n] 46. S e a P(z) = z n - z n 1+ z n' 2 - z n 3 + . . . . -1 , n im p ar, z = CisG , z * -1 Hallar la forma polar de P(z). (Sugerencia : U sar cocientes notables) 47. Transform ar a producto : a) X ( k ) (_1) C o s k 0 b) X ( k ) H )k Se n k 0 k=0 k=0 0 í 48. Dem ostrar que : X Tg(kx) S e c (2 kx) = Se n 2n ~J M k=i C o s 2 n x C o sx 49. Sin usar inducción matemática , demostrar que : ^X k C o s ( ^ - ^ ) = ^ Sen O r T T )x 2tí 2n + 1 I 1 É ^ 7 379 r MOTRICES A 8.1 J IN T R O D U C C IO N La resolución de sistem as de ecuaciones lineales mediante las técnicas usuales de sustitución y de multiplicación y sum a, se dificulta en la medida en que aumenta el número de variables y se complica aún más, si e s el caso que el número de variables difiere del número de ecuaciones que conforman el sistema. Dado que el conjunto solución de un sistem a se obtiene operando los coeficientes y las cons tantes numéricas, sin necesidad de reiterar la escritura de las variables, podem os señalar que el establecimiento de ciertas relaciones aplicables a conjuntos numéri cos facilitará considerablemente el proceso. En tal sentido el estudio de las matri ces, com o un concepto del álgebra lineal, nos ofrece la alternativa de resolver los sistem as lineales aplicando las técnicas que se describen en este capitulo. 8.2 ) D E F IN IC IO N Una matriz es un arreglo rectangular de núm eros reales ordenados en filas o columnas. Son ejemplos de matrices los siguientes arreglos " 2 -3 V T " s 2a 0 I -4 , | S e n a C os(i T g a ] , -b I 10 5 3c
- 197. 380 Capítulo 8: Matrices Las matrices se denotan, con letras m ayúsculas, tal com o A , B , C , etc. El conjunto de elementos o com ponentes de una matriz se encierra entre paréntesis o corche tes y en los ca so s en que no se use núm eros reales específicos, se denotan con letras m inúsculas subindicadas : a ,b ,c , es decirij 5 11* 11’ f. a =(<g a., a «2 a,, a u Los subíndices de un elemento indican . el primero la fila en la que está la componente y el segundo la columna correspondiente ; a s í , el elemento a32 ocupa la tercera fija y la segunda columna. En general , el elemento a,( ocupa la intersec ción de la i-ésima fila y la j-ésima columna. I Nota. S e debe destacar que una matriz es un arreglo y com o tal no tiene un valor numérico. 8 .3 ) O R D E N DE U NA M A T R IZ El orden o dimensión de una matriz está dado por el producto indicado m x n, donde m indica el número de filas y n el número de colum nas. Por ejemplo: r A = B = 1 2 5 1 2 -I 3 ) f 1 *8 4 10 e s una matriz de orden 2 x 3 es una matriz de orden 2 x 2 El conjunto de matrices de orden m x n, con coeficientes en K (K puede ser R o C), se denotará K :nitn, es decir K " - " = ( A | A Así, en los ejemplos anteriores : A e K '1-’ y B e K !,: Sección 8.4: Igualdad de matrices 381 Ejemplo 1 j Escribir explícitamente la matriz a) A=[<ge b) B = [b.j] e K 3*3 |¿t|= m in (i, j) c) C = [ c j € K 2«4 |c„-=i8 + j Solución. Escribirem os las com ponentes de cada matriz según el orden que tie nen y su correspondiente definición dada. a) a u = 2(1) -1 = 1 an = 2(2) - 1 = 3 b) bu = min(] , I) = I = min(2 , 1) = 1 6?|= min(3 , 1) = 1 fl,, = 2 (1 )-2 = 0 a,, = 2(2 )- 2 = 2 A = I 0 -I 3 21 br = min(l , 2) = I b:: = min(2 , 2) = 2 bn = min(3 , 2) = 2 1 1 1 fl„ = 2(1) - 3 = -1 fl„ = 2 ( 2 ) - 3 = 1 = min(l ,3) = 1 = min(2 ,3) = 2 b}} = min(3 ,3) = 3 .-. B = c) c M = 12 + I = 2 , c¡2= I 2 + 2 = 3 c:, = 2- + 1 = 5 , c22= 2: + 2 = 6 .-. C = 1 2 2 1 2 3 Cn = l 2+ 3 = 4 , cr = l 2 + 4 = 5 C,, = 2‘ + 3 = 7 , c,4= 2~ + 4 = 8 2 3 4 5 4 6 7 8 8.4 ) IG U A LD A D DE M A T R IC E S S e dice que dos matrices A y B son iguales si son del m ism o orden y su s com ponentes correspondientes son ¡guales, es decir, si las matrices son idénticas. Formalmente (1) Si A no e s igual a B se nota : A * B
- 198. 382 Capitulo 8: Matrices Ejemplo 2 J Se a n las matrices A = (atJ e K J x í I ü i| = 2 ’-( - 1 ) 1 y ; hallar los valores de x e.y de modo que A = BB = x - y 1 3x - y 3V. J y Solución. Determ inem os los elementos de la matriz A a I1 = 2 '- ( - l ) l = 2 + 1 = 3 ; ar = 2' - (-1): = 2 - 1 = I a,, = 22- ( - l) l = 4 + I = 5 ; a:: - 22 - (-I)1= 4 - I = 3 Luego , s i : A = '3 1 ’ f t "vx - y 1 5 3 3x - v 3 <=> (x - y = 3) a (3x - y = 5) Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : x = 1 , y = -2 ■ 8 .5 ^ ) T I P O S D E M A T R I C E S 1. Matriz Rectangular. La matriz de orden m x n, con m ^ n , recibe el nombre de matriz rectangular. Por ejemplo, A = 1 1 5 2 0 4 , es una matriz rectangular de orden 2 x 3 2. M atriz Fila. La matriz de orden I x n se denom ina matriz fila o vectorfila. Por ejem plo: A = (2 -3 I 4) es una matriz o vector fila de orden 1 x 4 3. Matriz C olum na. La matriz de m filas y una colum na recibe el nombre de matriz columna de orden m x 1. Por ejemplo , A = es una matriz colum na de orden 3 x 1 4. Matriz Cero. Una matriz cuyos elementos son todos nulos , e s d e c ir, a ¡f =0 , V i , j , recibe el nombre de matriz cero o nula. Por ejemplo A = í o 0 o l 0 0 0 es una cero de orden 2 x 3 5. Matriz Cuadrada. La matriz que tiene el m ism o número de filas y colum nas se llama matriz cuadrada. Esto es , Sección 8.6: Suma de matrices 383 A , es cuadrada <=> m = nm x n En este ca so se dice que A e s una matriz de orden n x n y se le representa por A n> y al conjunto de matrices cuadradas se le denota por K n. Por ejemplo , A = O B S E R V A C IO N 8.1 En una matriz cuadrada, la diagonal principal e s una línea formada por los elementos a w * a n > a n .................... a nn a u «.2 an a23 e s una matriz de orden 3 (A e K ’) an «33 , O B S E R V A C IO N 8.2 Traza de una matriz La sum a de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se llama traza. y se denota por Tr(A). Esto es, si A = [ a J n => T r(A ) = ¿ a t u i 8.6 ) S U M A DE M A T R IC E S D a d a s dos matrices A = [a ij]mxn y B = [b jmxn, se llama sum a de A y B a otra matriz C = Kn tal que cij=aU+V Vi •j e {1*2«3...........n> Esto e s ________________________________________ (2)A + B = [ f l j + [ bti] = [ + &„] Eje m plo 3 J Se a n las matrices A = 2x -1 y , B = ^ 5 - y 2 - x < O II -2 5 ' co ■ co x + 1 2 4 -1 , Hallar A + C , sabiendo que A = B Solución. Si A = B <=> { 2x - 1 = 5 - y => 2x + y = 3 - y = x + I =* x + y = = 6 2
- 199. 384 Capítulo 8: Matrices Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : x = 4 , y = -2 A + C = 7 -2 -i 2 -2 5 4 -I ' 7 + (-2) -2 + 5 ’ 5 3 ' -1 + 4 2 + ( - l) , 3 1 I Nota. La adición de matrices es la ley de com posición interna que hace corres ponder a d os matrices, del m ism o orden, su suma. S e denota ( A . B ) A + B P R O P IE D A D E S D E L A A D IC IO N D E M A T R IC E S Si A , B y C son matrices del m ism o orden, entonces se cumplen las si guientes propiedades. A, : A , B e K r’«n , (A + B) e kmxn Clausura A 2 : A + B = B + A ' Conm utatividad A 3 : A + (B + C) = (A + B) + C Asociatividad A 4 : A e K ,n<n, 3 0mxn |A + 0 = 0 + A = A Elem ento neutro aditivo A 5 : A e K m,n, 3 (-A)e K mxn |A + (-A) = (-A) + A = 0 Elem ento inverso aditivo I O B S E R V A C IO N 8.3 D o s matrices del m ism o orden se llaman conformables res pecto a la sum a algebraica. I O B S E R V A C IÓ N 8.4 Las matrices del m ism o orden o conform ables respecto de la sum a algebraica, siguen las m ism as leyes de la adición que sujetan a los elementos que las componen. (Esta característica permite dem os trar las propiedades de la adición de matrices). I O B S E R V A C IO N 8.5 Diferencia de Matrices D adas las matrices A y B del m ism o orden m x n , la dife rencia entre A y B e s otra matriz C, del m ism o orden, tal que c = ^ nxn-[bti]mtn = [ai r b,fmxn Por ejemplo, si A = 7 - 2 5 3 0 1 y b = -1 4 -2 1 3 3 , entonces Sección 8.7: Producto de un escalar por una matriz 385 A - B = 7 - ( - l ) - 2 - 4 5 -(-2 )' r 8 - 6 7 3 - 1 0 - 3 1 - 3 ii 2 -3 -2 8.7 ) PRO D U C T O DE UN E S C A L A R PO R U N A M A T R IZ D ado s una matriz A y un número k e K , el producto de k por A se define por (3)k A = k [a u] = [k a (J] C ada com ponente de A se multiplica por el escalar k Por ejemplo , si k = -2 y A = -2 2 -I -5 entonces k A = ' -2 (-2) -2(2) ' A -A , -2 (-1) -2(-5), , 2 10, E je m p lo 4 j Calcular la com binación lineal de las matrices , si X = (1 + i) A + (1 - i) B 1 i i 1 A = 1 -i y b = -i 1 Solución. O bsérvese que los coeficientes de A y B son núm eros complejos, en tonces, por (3), se tiene : X = (1 + i) 1 i + (1 - i) i 1 'i + i ¡(1 + i f + i (1 - i) 1 - ¡ ' 1 -i -i 1 1 + i -i(1 + ¡), k -i(1 - i) 1 - i , X = 1+i i-1 + i + 1 1-i ' ' 2 + 2i 0 , 1+i -i+1 , . - i - 1 1-i j „ 0 2 - 2i > Eje m p lo 5 J Se an las matrices : A = 8 -1 3 4 , B = 2 3 -1 -2 y c = -1 2 4 -3 resolver la ecuación 3/2 (X + A) = 2 [X + (2B - C)] + A S o lu ció n . Multiplicando por 2 ambos extremos de la ecuación dada se tiene:
- 200. 3X6 Capítulo 8: Motrices 3 (X + A) = 4[X + (2B - C)] + 2A => X = A - 8B + 4C Luego , por (3) y (2) se tiene: X = 8 -1 -16 -24 -4 8 -12 -17 + + => X = , 3 4 8 16 . 16 -12 r-- CJ 8, Eje m p lo 1T| Resolver el sistem a de ecuaciones : X - 2 Y = A, 2 X + 3 Y = B, X , Y e K 2x2t donde. A = 6 -3 y B = 12 8 7 4 -7 8 Solución. Multiplicando por 3 la primera ecuación y por 2 la segunda, se tiene: 3 X - 6Y = 3A 4 X + 6 Y = 2B de donde obtenem os : X = 1/7 (3A + 2B) y Y = 1/7 (B - 2A) 3A + 2B = B - 2A = 18 -9 24 16 42 7 ' __K Y — 6 1 2 1 1 2 4* -14 16 7 28 w A. — 1 4 1 2 8 - 1 2 6 0 14 Y - 0 2 -7 8 + -14 -8 -2 1 0 —/ i — -3 0 P R O P IE D A D E S D E L P R O D U C T O D E UN E S C A L A R P O R U N A M A T R IZ S i A y B € K mxn, y />y q son núm eros reales, entonces E, : p(q A) = (p q)A E 2 : (p + q)A = pA + qA E 3 : p(A + B) = pA + pB Asociatividad escalar Distributividad respecto a la sum a de escalares Distributividad respecto a la sum a de matrices EJERCICIO S. Grupo 43 1. Escribir explícitamente las siguientes matrices a) A = [«,,]€ K 3x21a¡j = i + 2 j b) B = [&M] 6 K 3*3 16,, = 2 1- j c) C = [ci|] e K 3*4 1c (j = m ax (i, j) d) D = [</„] e K « U ,i = 2‘-(-1> Sección 8.8: Multiplicación de matrices 387 2. Se a n las matrices: A = í ~ > x-2y x , B = ' 2 y+4 y c = ' -2/3 -2 ' 3 x-y 3 4 -1 0 “s. y Si A = B, hallar A + 3C. " 2x+1 2 z-1 3-2y 2 x+y 3. Se a n las matrices A = x+2 -1 2y y b = z+3 -1 z-2x . y*1 8 x-2z z-5 6 -1 J hallar el valor .v y z. 4. Si A = ’ 3 5 , B = -2 7 n 1 ' y c = -2 1 4 -1 10 5 , resolver la ecuación 2(X - 2B) = 3 [A + 2(X - 2B)J + C 5. Si A = ecuaciones: -3 5 2 2 B = 2 3 4 5 y c = -7 3 2 -1 , resolver las siguientes a) 3 (X - 2A) = 5 (B - C) + 2(X - A - B) b) 3(X - A + B) = 2[X - 2 (B + C)] - (X + C) ' 3 1 -2 ' ' 6 7 -5 ' / 6 3 -7 ' 6. Si A = -7 1 4 , B = 8 4 -2 y c = 12 5 -6 _ 8 3 6 . -1 9 1 . k -1 14 10 . resolver la ecuación: 2(X - 2C) = 3 X - C - 2(A + 2 B - X) 7. Resolver el sistema: 2 X + 3 Y = A, 5 X - 2 Y = B , X , Y s K 2*2 donde, A = -5 3 y B = 16 -4 0 ' 16 -6 21 23 8.8 ) M U L T IP L IC A C IO N DE M A T R IC E S C on el objeto de comprender mejor el proceso de la multiplicación de dos matrices, veam os el siguiente ejemplo. Un fabricante de m uebles produce tres m odelos de escritorios que llevan tiradores de metal y chapas especificadas por la siguiente tabla:
- 201. 3X8 Capítulo 8: Matrices p ite s— M a S íí A B C Nu de tiradores 8 6 4 Nrj de chapas 3 2 1 Llam arem os a este arreglo, matriz de partes x modelos. Si el fabricante recibe pedidos en el m es de Agosto, 15 del modelo A, 24 del modelo B y 17 del modelo C; y en el m es de Setiembre, 25 del m odelo A, 32 del modelo B y 27 del modelo C. Llam arem os a este arreglo, matriz de modelo x mes. Si el fabricante desea saber de cuántos tiradores y chap as debe disponer cada m es para poder atender los pedidos, debe encarar el problema del siguiente modo: Para determinar el número de tiradores requeridos en el m es de Agosto se sum aría el producto de cada elemento de la primera fila de la matriz partes x modelos por el correspondiente elemento de la primera colum na de la matriz modelo x mes, esto es 8 (1 5 )+ 6 (2 4 )+ 4(17) = 332 Para establecer el núm ero de chap as requeridas en el m es de Agosto se sum arían el producto de cada elemento de la se gu n da fila de la matriz partes x modelo por el correspondiente elemento de la primera colum na de la matriz mode lo x mes, esto es 3 (1 5 )+ 2 (2 4 )+ 1(17) = 110 En el m es de Setiembre el número de tiradores se obtendría sum ando el producto de cada elemento de la primera fila de la matriz partes x modelos por el corres pondiente elemento de la segunda columna de la matriz modelo x mes, esto es 8(25) + 6(32) + 4(27) = 500 Y para el número de chapas se sum arían el producto de cada elemento de la segunda fila de ¡a matriz partes x modelos por el correspondiente elemento de la segunda columna de la matriz modelo x mes, esto es 3 (2 5 )+ 2(32) + 1 (2 7 )= 166 Con los resultados obtenidos podem os hacer el siguiente arreglo: Parles'----- Mcs,__. Agosto Setiembre N- de tiradores 332 500 N? de chapas 110 166 Sección 8.8: Multiplicación de matrices 389 Haciendo uso de la notación matricial, los datos y resultado obtenido nos expresará la multiplicación de matrices del siguiente modo: 15 LO CJ ✓ 8 5 6 332 500 1 X 24 32 = 1 1 0 1663 2 / 17 27 > O bservam os de inmediato que el número de colum nas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda, y cuando esto ocurre se dice que las matrices son conformables para la multiplicación. Mediante rectángulos que satisfagan la condición de que el largo del prime ro sea igual al ancho del segundo podem os representar el producto efectuado en la forma siguiente: <— /. Para facilitar la comprensión del producto realizado delinearemos el siguiente diagrama 0 j-ésima 1 columna de ¡i i i o ----------------------------- i-ésimafila de A -ó c.. elementoh de A x li En consecuencia, una forma práctica para efectuar la multiplicación de matrices se presenta en el esquem a siguiente: 25 32 27 J --------- 500' 3 2 i 11° 166/
- 202. Capitulo 8: Matrices DEFINICION 8.1 Multiplicación de matrices Si A = Kjlmxp y B = [¿ ¡j]pxn* el producto de A X B, en este orden, es la matriz C = [ct|]mxn cuyos elementos se obtienen de los elem en tos A y B siguiendo el desarrollo: cn = «n*i, + a¿2i + - + üiP brt (4 ) Por esta definición cada elemento de ij de C e s la sum a de los productos form ados al multiplicar cada elemento de la i-ésim a fila de A por los elementos correspondientes de B, esto es j-ésima columna de B i K i-ésima fila de A - * ( a...... a» ) o bien n ^ij ■*— u’ip ^pj p= 1 v 1 = 1 , 2 , 3,. .. m ; y = 1 , 2 , 3 , ... , n y (5) I O B S E R V A C IO N 8.6 Si A e K mxp y B e K ,,n, las colum nas de A y las filas de B son vectores de R p; entonces el elemento ci(de la matriz C es el producto escalar de la i-ésima fila de A por la j-ésima colum na de B. I O B S E R V A C IO N 8.7 E! producto de A B está definido si el número de colum nas de A es igual al número de filas de B. Si el producto A B está definido se dice que A es conformable con B para la multiplicación. No significa esto que B sea necesariam ente conformable con A respecto de la multiplicación, toda vez que B A puede o no estar definido. E je m plo 1 J S i A = i 2 Y 8 = 4 1 2 ’ hallaF: ^ A B ’ b) B A Sección 8.8: Multiplicación de matrices 391 Solución. Dado que A tiene dos colum nas y B dos filas, entonces A es conformable con B y el producto A B está definido. Em pleando el método del producto escalar se tiene: a) A B = ( 2 . 3 ) ( 1 . 2 ) 2(1)+3(4) 1(1)+2(4) 2(-2)+3(1) 1(-2)+2(1) i ( 2 . 3 ) * -2 > 4 . 1 - i ( 1 , 2 ) . -2 4 1 ( 2 . 3 ) ( 1 . 2 ) 2 (3) + 3(2) 1 (3)+ 2(2) -1 12 ' y 9 0 7 s b) En este caso, B tiene tres colum nas y A dos filas, luego B no es conformable con A respecto de la multiplicación y por tanto B A no está definido. ■ Recordando el desarrollo inicial para establecer la multiplicación de matrices, es evidente que el último esquem a constituye un procedimiento muy eficaz para calcu lar el producto de dos o m ás matrices. if -1 > 3 r 3 ’N -9 s Ejem plo 2 J Si A = 4 3 B = 6 12 y c = 4 - 1 5 2 1 1 1 Si. 0 J 0 15 hallar la matriz D = Solución. S e a E = 2A - — - B = 3 2A - — B 3 r -2 6 f CO V en co V 8 4 + -2 -4 = 6 0 I5 O 0 -5 2 -5 ^ J
- 203. 392 Capítulo 8: Matrices i 8.9 ) P R O P IE D A D E S DE LA M U LT IP LIC A C IO N DE M A T R IC E S Si A, B y C son matrices de dim ensiones conform ables respecto de la sum a y producto, entonces se tiene: M.1: A (BC) = (AB) C Asociatividad M.2: f A (B+ C) = A B + A C (A + B) C = A C + B C Distributividad M.3: A B * B A M.4: A B = 0 ^ A = 0 ó B = 0 M.5: A B = A C ¿ B = C M.6: 3 I € K n con la propiedad de que para cualquier A e K n se cum ple que: < II H-« < (I es la matriz identidad) Demostración. M .1: A(BC ) = (AB) C En efecto, sean A e K pxm, B e K mxn y C e K nxf, definidas por A = [« J. B = (¿g y C = [ c j n S i B C = [ ¿ J => d„ = I (¡y ) (c„) m y A B = [eik] => elit = £ (a„) (¿>,k) ¡= i En consecuencia, si A (B C ) = (/.,] y (A B)C = [f.,]. entonces para cada par de índices i, t se tiene: m m n /« = XK) («y = X (a.¡)X (6(0 (O i = 1 J= 1k=I =X X («,) (*,k)(cj j a l k s I n m = 1 1 H«,) (*,«)] (C„) k = 1 jc | m n n = 1 1 K",) M K ) = I (««) (<••»,) j a l k = I k = I . • • / , = * „ » A (BC) = ( A B ) C - Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices 393 Ejemplo _ 3 ^ S i A, B y C son m atrices conform ables para la adición y multiplicación, dem ostrar que A B + A C = A (B+C) Demostración. La d em ostración requiere que las m atrices B y C se an conformables respecto de la adición y las matrices A, B y A, C respecto a la multiplicación. Entonces, sean: A = [ a j , B = [6k(] y C = [ckj] De la hipótesis se sigue que: v n A B + A C = 2. (i, ) + S (aj (ckl) k - 1 ^ k = I n = X (alk) (b^ +ck|) k= 1 = ( K J ) (í K + ]) A B + A C = A (B + C) ■ Ejemplo 4 J S e a la matriz B = ' C o s x - S e n x S e n x C o s x Si A = B 2, hallar el valor de a n a22, para x = 2 k/3 Solución. A = B 2 = C o s x - Se n x S e n x C o s x N C o s x -Sen x / S e n x C o s x C o s 2x - S e n 2x 2 Se n x C o s x C o s 2x -Sen 2x 1 Se n 2x C o s 2x -2 S e n x C o s x C o s 2 x - S e n 2 x Luego: a u ü22 = (C os 2x) (C o s 2x) = C o s2 (4n/3) = (-1/2)2 = 1/4 Ejemplo 5 J D adas las matrices: A de orden mxn, B de orden nxp y C de orden rxq. Q ué condiciones satisfacen p, q y r para que las matrices sean conformables respecto de los productos que se indican y cuál es el orden de cada una de las matrices siguientes: a) A B C b) A C B c) A(B+C )
- 204. 394 Capítulo 8: Matrices Solución. a) S e a A B C = D => A b) c) t i nxp _ít_ El producto A B está definido puesto que el número de colum nas de A es igual al número de filas de B. Luego, para que D esté definida se debe cumplir que, p = r, entonces: Núm ero de filas de D = número de filas de A Núm ero de colum nas de D = número de colum nas de C Por tanto, D es una matriz de orden mxq. S e a A C B = E, entonces: A mxn V z >*q J t B nxp = E El producto de A C B es conformable <=>n = r y q = n y el orden de la matriz A C B es E mxp. S e a A (B + C) = F, entonces: A mxn ( B ^ + C raq) = F „ Para que sea posible la sum a B + C se debe cumplir que: n = r y p = q Luego, si B + C = G => A ^ (G nxq) = F„ Por tanto, el orden de la matriz F es: mxq Ejemplo 6 ^ D adas las matrices ’ 2 1 ' f 1 3 o -1 -4 ' 3 6 1 ' A = -1 3 , B = 2 y c = -1 4 5 5 -2 2 1 2 / 2 1 ' 3 6 1 ' 1 2 -1 -1 3 = - 1 4 5 3 2 - 4 . 5 -2 , 2 1 2^ y S i E = AB C , hallar la sum a S = eu + e23+ e3 Solución. S e a D = A B => D = Si E= DC, entonces cada elemento e de la matriz E es el producto interno de la fila i de la matriz D por la columna j de la matriz C, esto es = d l( c„ = (5, 6, -6) «(3, - 1 , 2 ) = 1 5 - 6 - 12 =-3 en = d 2(c ,3= (8, 4 , - 1 1 ) «(1, 5 , 2 ) = 8 + 2 0 - 22 = 6 ¿32 = cH = (-1, 6, 3) •(6, 4. 1) = -6 + 24 + 3 = 21 S = - 3 + 6 + 21 = 2 4 Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices 395 Ejemplo 7 j Hallar la matriz A e K2*2 tal que, = 5 y A 2 = 7 7 21 28 Solución. S e a la matriz A = a b c 5 a b c 5 => A 2 = Por igualdad de matrices : a2 + be = 7 a b a2 + be ab + 5b - í 7 7 ’ c 5 ac + 5c be + 25 Si J l 21 28 ab + 5b = 7 =* b = ac + 5c = 21 => c = 7 a + 5 21 a + 5 (1) (2) (3) (4)be + 25 = 28 => be = 3 Sustituyendo (4) en (1) obtenemos: a2 + 3 = 7 => a! = 4 « a = 2 ó a = -2 En (2) y (3): Para a = 2 = > b = 1 , c = 3 ; si a = -2 => b = 7/3 , c = 7 La segunda alternativa no satisface be = 3, por lo que A = | 2 1 3 5 Ejemplo 8^ Hallar la matriz P = A B C D , donde 1 0 ' / A = 1 -1 , B = 2 -1 1 0- 1 2 0 . C = 2 1 0 ' 1 -1 3 r i 0 1 -1 'l 1 4 -1 ,D = 2 1 -2 2 0 0 2 1 0 1 0 3 1 0 y Solución. S e tiene A 3x2 • B 2x5 • C 5x3 • D 3x4 = P 3x4 t_ ‘ Sie n d o el producto conform able, efectuam os prim ero el producto C D = E, luego B E = F y finalm ente A F = P.
- 205. Capítulo 8: Matrices ' 1 0 1 -1 ' D = 2 1 -2 2 l 1 0 1 0 , í 2 1 0 r 4 1 0 0 ' 1 -1 3 2 -1 6 -3 C = 1 4 -1 8 4 -8 7 0 0 2 2 0 2 0 k 3 1 0 , , 5 1 1 -1 J 1 0 1 0 1 í 4 -1 8 -3 } 0 -1 2 o , . 0 -3 12 -7 i f 1 0 ' f 4 -1 8 -3 ' A = 1 -1 4 2 -4 4 2 -1 8 1 4 1 = E = F = P i¡ Se a n las matrices A = 2 -1 , B = / 3 -2 10 1 ' J 3 4 k 8 6 -4 2 ✓ C = f 3 0 -1 2 0 1 4 y D = r 2 -1 ■N 0 1 6 -2 2 3 3 4 1 1 1 4 -2 Si P = A B C D , hallar S = 2p12 + p )3 - 2p23 Solución. Se a n los productos A B = E y C D = F A = B = -1 4 -2 10 1 6 - 4 2 -1 -10 24 0 26 18 14 11 = E C = Luego, si P = EF, entonces: 2 - 1 0 D = 2 3 3 1 4 -2 3 -1 0 4 -6 -3 1 2 4 10 21 -2 0 6 -2 10 10 22 4 1 1 11 3 1 21, 10, 3) _ 36 -2 22, 1) = 551 -2, 22, 1) = 2 0 5 = F S = 2(36) + (551) - 2(205) = 213 Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices 397 Ejem plo 1 0 J Hallar todas las matrices, conmutativas con la matriz ' 3 1 0 A = 0 3 1 0 0 3 Solución. Se a n las matrices B € K 3*3 tales que B = A B = a d 9 3 i 0 0 3 1 0 0 3 a b c / d e f k g h i V a b c 3a + d 3b + e 3c •+ f d e f = 3d + g 3e + h 3f + i g h i y 3g 3h 3i 3 1 N 0 3a a + 3b b + 3c 0 3 1 = 3d d + 3e e + 3f 0 0 3 3g g +. 3h h + 3i B A = Com o A y B son conmutativas, entonces AB = BA, luego: 3a + d = 3 a = * d = 0 , 3b + e = a + 3 b = > e = a , 3c + f = b + 3 c = > f = b 3e + h = d + 3 e = > h = d = 0 , 3f + i = e + 3 f = > i = e = a 3h = g + 3 h = > g = 0 , 3 ¡ = h + 3 i = > h = 0 3d + g = 3 d = * g = 0 3g = 3g B = a b c 0 a b , donde a, b, c e R 0 0 a Eje m p lo 1 Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz nula 0. Solución. Se a n las matrices A e K 2*2 tales que. A = Si A 2 = 0 a c a2 + be ac + de ab + bd ' be + d2 a b c d 0 0 0 0 0 0 0 0
- 206. 398 Capítulo 8: Matrices de donde: a2 + be = 0 ab + bd = 0 ac + de = 0 be + d2 = 0 b (a + d) = 0 « b = 0 ó d = -a c ( a + d) = 0 » c = 0 ó d = -a Si en la segunda y tercera ecuación, b = 0 y c = 0 tendríam os nuevam ente la matriz nula, por lo que d = -a. A=a b c -a donde a, b y c son núm eros arbitrarios que'satisfacen la relación a2+ b c = 0 [ ejemplo 12 ^ Dem ostrar la propiedad: £ f n n ' m ' X “ , = 1 U - » i = l k Í= I Demostración. En efecto, desarrollando la primera sum atoria desde i = 1 hasta i = m, se tiene: I ¡= i ’ m ' ” n ’ ' n ' n ’ n ' (í, ‘J = . 3 a " . + . i a + I a 3¡ j = * + ... + i «mi . i =1 = K , + «12 + fl13 + - + a J + K + a 2 2 + <*23 + - + a J + («3, + a 3 2 + C l 3 3 + - + a J + ~ + (flm, + «m2 + «m3 + - + O m m m m = + Í X + + 5 X ia| i = | i = 1 i a | = I i= I I a. ia 1 Ejemplo 13 j Dem ostrar la propiedad: Tr (AB) = Tr (BA) Demostración. En efecto, sean las m atrices conform ables respecto de la multiplicación A nxm= [ a, ] y Bmxn = [ b j, de modo que si: An*n,Bm*n = C n*n = > ^ = I ( « * ) ( & « ) = > C M = I <*ik & k, k = I k = I n n Bmxn x m = ^mxm ^ ^¡j = ^ ^ ¡k) ^k j) ^ ^kk = ^ ^k¡flik 1=1 Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices 399 i (O = I n = I i = 1 ' n £ <*,k ¿ ,k k = 1 n = I i« i ¿ hA k a 1 Haciendo uso de la propiedad del Ejemplo 12 se tiene: T r ( A B ) = I ( I bu au k = I j a l = I (</») = Tr (D) k= I Tr (AB) = Tr (BA) ejemplo 14 J Se a n las matrices A = -1 i y B = 1 2i 2 4 i 1+i ; hallar: a) Tr (A + B ) , b) Tr ( A B ) , c) Tr (BA) Solución, a) A + B = ’ -1 i + 1 2i _ 0 3i (M i 1+i 2+i 5+i =>Tr ( A +B ) = 5+i b) A B = '-1 i ' ' 1 2i ' r -2 -1-i ' 2 4 v. > i 1+i 2+4i 4+8i v y Tr (A +B) = -2 + 4 + 8¡ = 2+8i c) B A = '1 2i ' '-1 i ' "-1+4i 9i ' i 1+i 2 4 2+i 3+4i k. y Tr(BA) =(-1+4i) + (3+4i) = 2+8i O bsérvese que: Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B) y Tr(AB) = Tr(BA) ejemplo 1 5 ) S i A = [ a. ]4x4 y B = [ b%]4x4, d o n d e a = 1, si i = j -1, si i > j , b. = i 0, si i < j -1, si i = j 1, si i < j 0, si i > j . Hallar Tr (AB) Solución. Escribiendo explícitamente cada matriz se tiene
- 207. 400 Capítulo 8: Matrices ' 1 0 0 0 ' ' -1 1 1 1 > -1 1 0 0 . B = 0 -1 1 1 -1 -1 1 0 0 0 -1 1 -1 V -1 -1 1 > 0 N. 0 0 -1 A = Si A B = C => Tr(AB) = T r(C ) = c n + c22 + C33 + c44 clt = « , / „ = ( i , o , o, O ) - (-1 . 0 , 0, 0) = - 1 c» = « w ** = (-1. 1,0, 0 ) . (1,-1. O, 0) = -1 -1 = - 2 c33= a3 A = (-1’*1. 1.0) *(1. 1.-1.0) = -1 - 1 -1 =-3 c44= a4J 6(4= (-1,-1,-1, 1) • (1. 1, 1,-1) = -1 -1 - 1 -1 = - 4 Tr (AB) = -10 e jem p lo 16 J S i A = ^ 1 j , a € R. hállese una formula para A n y luego dem ostrar su validez por inducción. Solución. A 2 = 'a 1 ' C0 /— o w 0 a y A 3 = A A 2 = a 1 0 a a2 2a " 0 a2 > a 2 2a ' ' a3 3a2 0 a2 0 a3 An = an n an‘ 0 a" Para probar que la fórmula es verdadera, supongam os que: P(n) = A n. Luego a 1 si n = 1 =* P(1) = A , en efecto: A 1 = Para n = h, supongam os que P(h) = A h = 0 e s verdadera ah h ah'’ 0 ah Entonces debemos probar que para n = h + 1, también es verdadera EJERCICIOS : Gn<p<>44 401 P(h+1) = A*-’ = ah*’ (h + 1 ) a h h+1 e s verdadera. k 0 -a ' En efecto, valiéndonos de la hipótesis inductiva A h A = A h*’= En consecuencia, hem os dem ostrado que: P(1) es V a P(h) es V => P ( h + 1 ) e s V ah h aM a 1 ah*’ (h +1 )ah 0 ah 0 a 0 a h*’ EJERCICIO S. Grupo 44 1. Calcular los productos: a) 4 3 7 5 0 0 0 1 1 2 2 2 3 3 3 4 -28 93 38 -126 7 3 2 1 -1 -1 r 4 2 2 1 , 1 1 b) 2. Hallar a, b, c y d para que satisfagan la ecuación c d 9 2 1 0 2 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 6 6 9 8 4 0 2 -1 f *N X ' 1 ' 3. Si 2 0 1 y = 5 , calcular x + y + z -3 jk -1 0 z -3 4. Si 2 b 1 d 3 0 1 2 11 5 a 0 a -2 c 1. > 0 3 0 0 -5 7 1 -b / 0 0 1 1 Hallar el valor de la sum a S = a + b + c + d 5. Hallar una matriz X de orden 2x1 tal que A X = 3X, donde A = 1 -2i
- 208. 402 Capítulo 8: Matrices 6. Dada la matriz A = 2 3 3 2 , hallar el valor de A 2 - 4 A 7. C om prob ar que las identidades a lge b raicas (A + B )2 = A 2 + 2 A B + B 2 y (A + B) (A - B) = A 2 - B 2 no son ciertas para las matrices: A = f 1 -1 II CO > 1 r O CM O 1 2 8. Si A 2 = B 2 = 1 0 , A B = * 0 > -1 y B A = 2 1 0 1 1 2 ^ -1 0 's. y ; hallar: 9. Se a n A = a) (A + B)2 • -3 2 ■15 8 i B = -4 2 -15 7 b) (A +B) (A - B) y /(x,y) = x2 - xy + y2 • a) Verificar que A y B comutan b) Evaluar/ (A,B) 10.S i/ (x ) = 3x2 - 2x + 5, hállese el valor del polinom io/(A) para la matriz A = 1 -2 3 2 -4 1 3 - 5 2 1 1 1 11. Si A = 0 1 1 , hallar la sum a de los elem entos de A 5 0 0 1 s 1 1 * 1 12. Si A = 1 2 1 , hallar A 2 -1 -1 0 0 1 0 r 0 0 1 13. Se an A = 0 0 1 n CQ >* 1 0 0 1 0 0 0 1 0 hallar A B 2 1 4 . Si A = 0 2 -2 -2 0 0 0 -2 2 , hallar A'° EJLRCICIOS Grupo 44 403 15. Para la matriz de A = 1 1 3 5 2 6- , hallar (-A)3 -2 -1 -3 r 2 1 3 16. Si A = 1 -1 2 , hallar la matriz M = A 3 - 2 A 2 1 2 1 1 -2 1 r 2 5 1 -7 S’ 3 6 0 *N -6 17. Si A = 2 1 -3 i B = -2 1 3 4 , c = -1 2 4 5 -5 2 3 3 2 . 1 2 J 4 3 2 3 dem ostrar que A B = A C (aunque B ^ C ) ' 2 1 , B = 'O 3 7 ' 3V. 4 1 8 9^ / 18. Se a n las matrices A = Si P = A B C , hallar la suma: S - p u + p,2 + p23 19. Hallar todas las matrices conm utables con la dada y c = 3 7 1 2 6 1 1 4 0 a) A = 2 0 . S e a A = 1 2 3 4 3 2 -1 0 0 -1 b) A = -3 -2 B = -1 2 -1 0 “N 1 0 . c = 2 1 0 3 0 1 y P = A B C , hallar el valor de la sum a S =/>,,+ />22 + p ^ 2 1 . Hállese todas las matrices de segundo orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz identidad I2. 2 2 . Determinar una fórmula para cada una de las siguientes potencias, y luego demostrarlo por inducción. a) b) C o s a -Sen a Se n a C o s a , n e Z- ' 1 1 1 ' n c) 0 1 1 , n € Z* k 0 0 1 ' 1 -1 -1 ' n d.) 0 1 -1 , n g Z- L o o 1 J
- 209. 404 Capítulo 8: Matrices e) Si A = f 1 0 1 0 ' 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 , hallar A n 23. U na com pañía tiene 4 fábricas, cada una emplea administradores, supervisores trabajadores calificados en la forma siguiente: Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Adm inistradores 1 2 1 1 Supervisores 4 6 3 4 T rabajadores . 80 96 67 75 Si los adm inistradores ganan $ 350 a la sem ana, los supervisores $275 y los trabajadores $ 200, cuál es la nómina de cada fábrica. 8.10 ) M A T R IC E S C U A D R A D A S E S P E C IA L E S C onsiderarem os en las secciones siguientes las matrices cuadradas que presentan ciertas características que las tipifican, entre otras, destacarem os las siguientes: 8.10.1 ) M A T R IC E S S IM E T R IC A S D ada una matriz A = [ a j e K n, si ocurre que [a,t] = [ a M], V i, j direm os que A es una matriz simétrica. S i designam os con A ’ a la matriz [a(l] y si es el ca so que A = A ’, la matriz A es simétrica y también, para una constante Á cual quiera, XA es simétrica: ' 2 2 4 ' f 2 2 4 ' Por ejemplo, si A = 2 -6 0 , se tiene : A ’ = 2 -6 0 . 4 0 8 - v 4 0 8 - Com o A = A ’, entonces A e s una matriz simétrica y también XA = (1/2) A = 1 -3 0 e s simétrica Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 405 -------- -- - - -------- T E O R E M A 8.1 Si A es una matriz cuadrada de orden n la matriz A + A 1 es simétrica. Demostrador!. S e a la matriz A = [ai; ], entonces A ’ = [a ]. Si llam am os B = [¿>i(] a la matriz A + A ’ probarem os que B e s simétrica. En efecto, el elemento de la fila i y la colum na j de A e s a y el correspondiente de A ’ es a , por lo tanto: h - a*+a* * 1> El elemento de la fila j y colum na i de A es a y el correspondiente de A ' es at¡, de modo que: (2) De (1) y (2) se sigue que : ¿>,, = 6, En consecuencia, B = A + A ’ es una matriz simétrica 8.10.2 ) M A T R IZ A N T IS IM E T R IC A Una matriz cuadrada A = [ a. ] para la cual A ’= [ av] = -A recibe el nombre de matriz antisimétrica o hemisimétrica. En una matriz cuadrada A antisimétrica se verifica que K j ] = [-« „ ). V i j ( 0 2 Por ejemplo, si A = Com o A ’ = -A , entonces A es una matriz antisimétrica I O B S E R V A C IO N 8.8 En una matriz antisimétrica los elementos de la diagonal principal deben ser cero. r 0 2 -3 ' í 0 -2 3 "I-2 0 -1 ocurre que : A' = 2 0 1 3 X 1 0 > -3 -1 0 ^ T E O R E M A 8.2 Si A e s una matriz cuadrada de orden n, la matriz A -A ’ es antisimétrica. __________________________________________________________________________________ Demostración. En efecto, considerando que ( A + B )’= A ’ + B ’ se sigue que ( A - A ’ )’ = A ’- ( A ')’ = A ’- A = - ( A - A ' ) Por lo tanto. A - A ’ es antisimétrica ' 0 1 -2 ' f 0 -1 2 1 Por ejemplo, si A = -1 0 -3 => A ’ = 1 0 3 2 3 0 -2 -3 0
- 210. 406 Capítulo 8: Matrices CM O 0 - 2 4 0 2 - 4 -2 0 -6 y ( A - A ’ )* = 2 0 6 = - -2 0 -6 4 6 0 o co 4 6 0 de donde, ( A - A’ )’ = - ( A - A’ ) , por lo que, A - A’ e s antisimétrica T E O R E M A 8.3 Toda matriz cuadrada A se puede descom poner en la sum a de una matriz simétrica A. = 1/2 ( A + A ’ ) y otra antisimétrica A = 1/2 ( A - A ’ ). Demostración . Una matriz A se puede escribir com o A=A+ —A’-~ A’- (A+A’)+'^“(A-A’) (1) Dado que : 1/2 ( A + A ’ )’ = 1/2 ( A+ A’) y 1/2 ( A- A’ - 1/2( A - A ’ ) escribiendo, A,= 1/2 ( A + A’) y Aa= 1/2 ( A-A’),entonces A s e s una matriz simétrica y A a es antisimétrica. En consecuencia, hem os expresado así la matriz cuadrada Acom o la sum a de matriz simétrica y una antisimétrica, esto es, en (1) A = A s + A a 1 -2 3 1 1 2 0 -3 1 Por ejemplo : 4 -3 -2 = 1 -3 0 + 3 0 -2 . 1 2 4 k 2 0 4 ( -1 2 0 . 1 i i A = A s + A a 8.10.3 ) M A T R IZ ID EN T ID A D _____________________________ _ Una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son todos uno y los otros elementos son todos ceros, recibe el nombre de matriz identidad o matriz unidad. S e denota generalmente con I n, esto es I„ = l 5„ ] (6) A d e m á s : Tr ( I n) = n , ( I n)’ = I„ , A I = IA = A Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 407 Ejemplo 1 ^ S i A, B, C y D so n m atrices del m ism o orden tales que B C = C B = I , A D = D A = I ; hallar usando propiedades a) (AB) (CD) b) (A +B)2 Solución, a) (AB) (CD ) = A [ B (CD) ] = A [ (BC) D ] = A [ ID ] = A D .-. (A B)(CD ) = I c) (A+D) (A-D) (M.1) (M.1) (Dato) (M.6) b) (A + B)2 = ( A + B ) ( A + B ) = (A+B) A + ( A +B ) B = A 2 + B A +A B + B 2 c) (A+D) (A-D) = ( A + D ) A - ( A + D ) D = A 2 + D A -A D - D 2 = A 2 + I - 1 - D 2 = A 2 - D 2 Ejemplo 2 J (M.2) (M.2) (M.2) (M.2) (Dato) S i A y B = a A + p i son matrices del m ism o orden, donde a y p son escalares, demostrar que A y B conmutan. Demostración. D ebem os probar que A B = B A En efecto, A B = A (a A + p I ) = a A A + p A I = ( a A + p I ) A = B A ejemplo 3 ^ Hallar el valor del polinom io/(A) de la matriz A = si / (x) = 3x2 - 4 Solución. Si / (x) = 3x2- 4 => / (A) = 3 A 2 - 41
- 211. 408 Capítulo 8: Matrices Ejemplo 4 I D ada la fòrmula e* = X * k= 1 Zn k! , V z e C, se define eA= X k = il A" k! , V A ' 0 1 1 a) Demostrar que el =e I = e b) H a lla rá , si A = 0 0 1 0 0 0 Solución, a) En la definición dada, para A = I se tiene e‘ = X / I n ii M* ' I = I ¿ ✓ V 1 k = (i k! ^ k = o l k! J k = 0 i k! Ahora, en la fórmula dada, para z = 1 obtenem os : e' = X k = 0 Por lo tanto, en (1): e1= I e = e b) Desarrollando el segundo miembro de la definición se tiene : k! e A = _A° 0! 1! A 2= A 3= A A 2 = 2! 0 0 0 A 3 + ---- 3! 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 A " A 2 A 3 +...+----- = I + A + ----- + ---- + oo ! 5 6 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Luego, en (2) : eA = I + A + — A 2 (1) (2) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = e 1 0 0 0 1 1 s 0 0 1/2 1 1 3/2 (?A = 0 1 0 + 0 0 1 + 0 0 0 = 0 0 1 , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 / Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 409 J . 8.10.4 | M A T R IZ D IA G O N A L Una matriz cuadrada de la forma D = [ k d.] en la que k puede variar según /', se llama matriz diagonal. S e representa usualmente por D = diag {du,d22,d33........d j y tiene la propiedad de que D n = diag (dau,dn22,dnyi........dnJ Por ejemplo, si D = ' 3 0 0 ' 0 - 2 0 . 0 0 4 , D = diag (3, -2, 4) => D 2 = diag (9, 4, 16) , D 5 = diag (27, -8, 64) 8.10.5 ] M A T R IZ E S C A L A R _________________ Una matriz cuadrada E = [ k 8 ] = k I n, para cualquier constante k, recibe el nombre de matriz escalar. Asi, la matriz E = en la que E = 4 I, es una matriz escalar Ejemplo 5 ^ S e a D = [di(] tal que : dt|= i, si i = j y dl() = 0, si i * j y A = [ aJ tal que : = i, si i = k y a k= a, si i * k donde A, D e K n. Hallar A D n, n e Z Solución . D e s una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal princi pal varían según i, esto es: D = diag ( 1. 2, 3, n ) => D" = diag (1, 2", 3n, n n ) A es una matriz cu yo s elem entos de la diagonal principal varian se gú n i y los dem ás elementos son todos a , esto es í 1 a a • • • • • a a 2 a • • • • • a a a 3 ••• •• a A =
- 212. 410 Capítulo 8: Matrices A D " = 1 a2n a3n a 2"*' a3n a a2n 3nn’’ a a2n a3n ann an" an" n" 8.10.6 ) M A T R IZ T R IA N G U L A R S U P E R IO R La matriz cuadrada A cuyos elementos situados debajo de la diagonal principal son todos ceros, se llama matriz triangular superior. Esto es, íí =0, si i > j f 1 3 3 2 1 0 2 2 1 0 0 6 2 l 0 0 0 3 ) Por ejemplo : A = es una matriz triangular superior 8.10 / O M A T R IZ T R IA N G U L A R IN F E R IO R Una matriz cuadrada A cuyos elementos situados por encima de la diagonal principal son todos cero, se llama matriz triangular inferior. Esto es, at¡= 0 , si i < j Por ejemplo : A = ' 1 0 0 0 ' 3 2 0 0 2 5 1 0 . 1 3 2 1 , es una matriz triangular inferior 8.10.8 ) M A T R IZ P E R IO D IC A D ada la matriz cuadrada A, si para un número entero y positivo p, ocu rre que: A p+1 = A (7) se dice que A es una matriz periódica, de período p. Ejemplo 6 J Si A es una matriz cuadrada y periódica tal que A5= A, hallar el período y calcular A". Solución. De la relación (7), si Ap*' = A5 => p + 1 = 5 o p = 4 es el período de la matriz. Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 411 Multiplicando sucesivamente, por si mismo, la matriz A obtenem os A 5 = A . A 9 = A A x A x A x A x A x A x A x A x A . . . Se observa que : A 9 = a 4*2*’ = A A i3 _ A 4*3*1 = A Ahora bien : Ap<1 = A4m*' = A A99 = A2A97 = A2( A4*24*1) = A2(A) Ejemplo 7 j S i A = •. A 99 = A 3 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 1 , hallar A 25 ' -1 -1 -1 -1 -1 -1 ' 1 0 0 Solución. A 2 = A x A = 0 0 0 0 0 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 = I Luego, A 3 = A 2 A = I A = A = > p + 1 = 3 < = > p = 2 e s el período de la matriz A. A 25 = A 2*12*1 = A Solución . A 2 = A x A = A 2 = A 2 A = ' 0 -1 0 ' A = 1 1 1 , calcular A ’00 0 0 -1 ; ' 0 -1 0 ' 0 -1 0 ' -1 -1 -1 ' 1 1 1 1 1 1 = 0 0 0 k 0 0 -1 0 0 -1 0 0 1 , -1 -1 -1 ' 0 -1 0 ’-1 0 0 ' 0 0 0 1 1 1 = 0 -1 0 k 0 0 1 . 0 0 -1 k 0 0 - 1 , Entonces : A 4 = A 3A = (-1 ) A = -A A 5 = A 4A = (-A) A = -A2 A 6 = A 5A = (-A2)A = -A3 = - (-1) = I => A 7 = A 6A = IA = A = -I
- 213. 412 Capítulo 8: Matrices Luego, /> + 1 = 7 <=>p = 6 es el período de la matriz A A 100 = A 3 ( A 97 ) = A3( A6*’6”1) = A3(A) = A4 = - A I O B S E R V A C IO N 8.9 Matriz ídempotente Si en la fórmula (7)p = 1, esto es, A U1 = A 2= A, entonces la matriz A se llama ídempotente. -1 2 4 1 ejemplo 9 | Establecer si la matriz A = 1 -2 -4 es idempote -1 2 4 ' -1 2 4 ' -1 2 4 ’ ' -1 2 4 ' Solición. A 2 = A x A = 1 -2 -4 1 -2 -4 = 1 -2 -4 k -1 2 4 . -1 2 4 k -1 2 4 , = A Por lo tanto, la matriz A es Ídempotente. Ejemplo 10 J 2 -3 -5 ’ -1 3 5 ' S i A = -1 4 5 y b = 1 -3 -5 1 -3 -4 -1 3 5 hallar A 5B 7 2 -3 -5 2 -3 -5 ’ 2 -3 -5 Solución. A 2 = ^1 4 5 -1 4 5 = -1 4 5 = A t 1 -3 -4 1 -3 -4 1 -3 -4 Entonces : A 5 = (A2>*A = (A)2A = (A) A = A 2 = A -1 3 5 -1 3 5 -1 3 5 B 2 = 1 -3 -5 ‘ 1 -3 -5 = 1 -3 -5 = B .-1 3 5 .-1 3 5 .-1 3 5 Luego : B 7 = B (B2) 3 = B (B)3 = B 2B 2 = B x B = B 2 =: B 2 -3 -5 ' -1 3 5 0 0 0 ' A 5 B 7= -1 4 5 1 -3 -5 = 0 0 0 = 0 1 -3 -4 , -1 3 5 , 0 0 0 , = A (A es Idempotente) = B (B es Idempotente) I O B S E R V A C IO N 8.10 Matriz Nilpotente U na matriz A, para el cual Ar = 0, siendo p un número entero y positivo, se llama nilpotente de indice p. Sección'8.10: Matrices cuadradas especiales 413 Ejemplo 11 J Determinar si la matriz A = 1 1 5 2 -2 -1 es nilpotente 1 1 3 A 2 = A x A = 5 2 6 . -2 -1 -3 , 0 0 0 ' A 3 = A 2 x A = 3 3 9 . -1 -1 -3 , 1 1 3 5 2 6 -2 -1 -3 1 1 3 5 2 6 -2 -1 -3 Por lo tanto, A e s una mattriz nilpotente de indice p = 3 I O B S E R V A C IO N 8.11 Matriz Involutiva 0 0 0 3 3 9 . -1 -1 -3 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 = 0 Una matriz A tal que A 2 = I, se llama involutiva. ejemplo 12 Determinar si la matriz A = -3 -6 2 2 4 - 1 2 3 0 - 3 - 6 2 - 3 - 6 2 1 0 0 2 4 - 1 2 4 - 1 = 0 1 0 o co co > 2 3 0 . . 0 0 1 , es involutiva. = ISolución. A 2 = A x A = Por lo tanto, la matriz A e s involutiva. ejemplo 13 J Si A es una matriz involutiva a) Demostrar que 1/2 (I + A) y 1/2( I - A) son idempotentes b) Calcular la matriz P = 1/2 ( I + A) ( I - A) Solución. a) S e a B= 1/2 (I+A) => B2= 1/4 (I+A) (I + A) = 1/4 (I* + IA + A I+ A 2) = 1/4(1 + A + A + I ) = 1/2 (I+A) Com o B2= Bentonces 1/2 (I+A) es idempotente S e a C = 1/2 (I -A ) => C 2 = 1/4 (I - A) (I - A) = 1/4 (I2- IA - A I + A 2) = 1/4 (I - A - A + I) = 1/2 (I - A) Luego, C 2 = C => 1/2(1-A ) es idempotente b) P = 1/2 (I - A) (I + A) = 1/2 (I2+ IA - A I - A 2) = 1/2 (I + A - A- 1) = 0|
- 214. 414 Capitulo 8: Matrices | Eje m plo 1 4 ^ Si A y B son matrices involutivas y A B = B A = hallar la traza de la matriz X = ( A + B )2 . Solución . X = (A + B) (A + B) = A 2 + A B + B A + B 2 = A 2+ 2 A B + B 2 Com o A y B son matrices involutivas => A 2 = B 2 = I ' 2 0 0 6 12 0. ' 8 12 0 ’ Luego : X = 2 I + 2 A B = 0 2 0 + -4 2 4 = -4 4 4 . 0 0 2 8 6 -10 , , 8 6 -8 , T r(X ) = 8 + 4 - 8 = 4 8 . 1 0 . 9 ) M A T R I Z T R A N S P U E S T A D ada una matriz A de orden m x n, se llama matriz transpuesta de A, se denota A', a la matriz de orden n x m cuyos elementos se obtienen intercambiando las filas por las columnas. 2 3 , la transpuesta es A ’ =Por ejemplo, A = 2 1 -4 3 2 5 1 2 -4 5 P rop ie d a d e s . S i A ' y B ! son, respectivam ente, las tra n sp u e sta s de las m atrice s A y B, c o n fo rm a b le s re sp e c to de la ad ició n y multiplicación, y X un escalar cualquiera, entonces se cum plen las siguientes pro piedades. T.1: (A ')' = A T.2: (X A ) 1 = X A 1 T.3: ( A + B ) ' = A ’ + B' T.4: (A B ) 1= B ' A 1 T-5: (In)' = In Eje m p lo 1 5 J Demostrar la propiedad T.4 : (AB)'= B'A' Demostración. Se a n A=[a ]una matriz de orden m x n B= [b¡t ] una matriz de orden n x p Si hacem os AB= C, entonces C = [cje s una matriz de orden m x p. El elemento de la fila i y la columna j de ABes Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 415 V I (o *)« '’,) k= 1 que también pertenece a la fila j y columna i de (AB)' Luego, si (AB)' = C ' => cv= £ {a¿ (bk) k= I Sup ongam os que B' = [x j tal que [x j = [bJ y A ' = [ y j tal que [y j = [aJ Entonces: B ' A ! = ¿ (x jíy ^ ) = I ( U (**) = I (<**) (K) k= 1 k=1 • k= I com parando (2) con (1) se concluye que (AB)' = B' A ' (1) (2) 1 2 1 1/2 0 0 S e sn las matrices A = 4 0 5 y b = 3 1/5 0 ,-3 1 -3 , 0 0 1 , Si (A B )' + X = 2 (B ' + A), hallar la traza de la matriz X Solución. D e la ecuación dada se tiene: X = 2A + 2 B 1- B 1A' Un elemento cualquiera de la matriz X es x.,= 2 a H+ 2 b , - ( b |k) ( a^ ) => x„ = 2a„ + 2b„ - (b1k) ( a J = 2 (1) + 2 (1/2) - (1/2, 0, 0) (1, 4, -3) = 2.5 X?2 = 2 3^ + 2b22 - (b2k) ( a J = 2 (0) + 2 (1/5) - (3, 1/5, 0) (2, 0, 1) = -5.6 X33 = 2333+ 2b22 - (b3k) (ak3) = 2 (-2) + 2 (1) - (0, 0, 1) (1. 5. -2) = 0 .*. Tr (X) = 2.5 - 5 . 6 + 0 =-3.1 E je m plo 17 Se an las matrices A = ' 5 1 5 1 3 1 -3 6 3 y b = -6 -2 0 2 -4 2 . 5 6 -8 Si (A' + B)' = 2 ( X - A 1) + 3B, hallar la sum a de las com po nentes de la tercera fila de la matriz X. Solución . Haciendo uso e las propiedades T.3 y T.1 , se tiene : (A')' + B ' = 2x - 2A ' + 3 B =* X = 1/2 (A + B ' + 2 A ' - 3B) Luego: x31 = 1/2 (a31 + b 13 + 2 a 13 - 3b3I) = 1/2 [ 2 + 1 + 2 (5) - 3 (5) ] = -1 X32 — 1/2 (a32 + b23 + 2a23 - 3b32) = 1/2 [ -4 + 0 + 2 (3) - 3 (6) ] = -8 X3, = 1/2 ( a * + bM + 2 3 ^ - 3b„) = 1/2 [ 2 - 8 + 2 (2) - 3 (-8) ] = 11 " X3, + X32+ X 33= 2 ■
- 215. 416 Capítulo 8: Matrices ’ 0 -1 3 ' i 3 0 ' Ejemplo 18 J S i A = 2 1 0 y b = -2 1 -2 3 2 1 0 -1 4 y C = (A B)' - B, hallar el valor de la sum a S = c21 + c31 + c23 Solución. Si C = (A B ) '- B => C . = (b J (aik) - b c2, = ( b j • (alk) - b2, = (3, 1, -1) • (0, - 1 , 3 ) - (-2) = -2 c31 = (bk3)• (alk) - b31 = (0,-2, 4 ) . (0,-1, 3) -(0 ) = 14 c23 = ( b j * ( a j - b * = (3, 1. -1) • (3, 2 , 1 ) - (-2) = 12 S = -2 + 1 4 + 12 = 24 4 2 4 Ejemplo 19 | Dada la matriz A = 2 10 5 , hallar la matriz . 4 5 21 triangular inferior B, tal que : B B 1= A. a 0 0 a b d Solución. S e a B = b c 0 => B' = 0 c e k d e f • > 0 0 f , a 0 0 a b d a* ab ad > 4 2 4 Si b c 0 0 c e = ab b2+c2 bd + ce = 2 10 5 , d e f , 0 0 f . V ad bd + ce d2 + e2 + f2 , . 4 5 21 . entonces, por la igualdad de matrices se tiene a2 = 4 , ab = 2 , ad = 4 ab = 2 , b2 + c2 = 10 , bd + ce = 5 ad = 4 , bd + ce = 5 , d2 + e2 + / 2 = 21 de donde obtenem os : a = 2, b =1, c = 3, d = 2, e = 1, / = 4 2 0 0 B = 1 3 0 2 1 4 8.10.10) M A T R IZ H E R M IT IA N IA Una matriz cuadrada y compleja A se denom ina hemiitiana si es igual a la transpuesta de su conjugada. Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 417 Una matriz compleja es aquella que tiene com o elementos a los números complejos por ejemplo, una matriz compleja es A = 1 3 -i 3 + i 3 1 + i i 1 - i 2 y su conjugada, denotada por A , es : 1 3-i -i 1 3+i i A = 3+i 3 1+i => ( A )' = 3-i 3 1-i . i 1-i 2 - • -i 1+i 2 - = A vem os que A = ( A )', luego, A e s una matriz hermitiana. I O B S E R V A C IO N 8.12 En una matriz hermitiana los elementos de la diagonal prin cipal son núm eros reales. 8.10.11 ) M A T R IZ IN V E R S A Si A e K n, se dice que A es inversible si existe una matriz B tal que A B = I ó B A = I, para los que B recibe el nombre de matriz inversa de A y se denota, B = A D e l m ism o modo, la matriz A es la inversa de B y se escribe, A = B ’. P R O P IE D A D E S . Si A y B son matrices cuadradas de orden n, inversibles, entonces se cumplen las siguientes propiedades PI.1 : A A ' = A 'A = I PI.2 : (A ’)•’ = A PI.3 : Si A B = B A = I => B = A 1 P I.4 : (AB)*1= B ’A-1 P I.5 : (A*)'1 = ( A ’)' Ejemplo 2 0 J Dem ostrar la propiedad PI.4 : (A B )'1 = B -’A -1 Demostración. Por la definición de matriz inversa debem os probar que a) (AB) ( B ’A 1) = I y b) (B 'A 1)(A B ) = I En efecto : a) (AB) (B ’A ') = A (B B 1) A 1 = A ( I ) A ’1 = A A ' = I _________________________________________________________________________________ (M.1) (Pii) (M.6) (PM)
- 216. 418 Capítulo 8: Matrices b) (B-'A-') (AB) = B-’ (A-’A) B (M.1)' = B 1 ( I ) B (PI.1) = B-’B (M.6) = 1 (PI.1) En consecuencia, de a) y b) se concluye que : (A B)-’ = B-’A '1 ■ Ejem plo 2 1 J Dem ostrar la propiedad PI.5 : (A ’)* = (A*)’1 Demostración . En efecto, por la propiedad PI.1 : A A ’ = I y por T.5 : 11= I => (AA ’)• = I' = I => (A ’)' A ' = I Multiplicando am bos extremos por (A ')'1 se tiene (A ’)' A ' (A1)’1 = I (A1)’1 Ejemplo 22 ^ Dem ostrar que la inversa de una matriz, si existe, e s única. Demostración . En efecto, su p o n g a m o s que existe d o s m atrices B y C, tales que: A ’ = B y A -’= C, siendo B * C Entonces por definición : A B = I = B A A C = I = C A D e estas dos igualdades se deduceque : A B = A C esto es, A B - A C = 0 =* A (B • C) = 0 D ado que existe A ’, entonces A * 0 , por lo que : B - C = 0 = > B = C Lo que contradice la hipótesis. En consecuencia : La inversa de una matriz es única. ■ Ejemplo 23 ^ Si M = I - X ( X 'X )-’X ' con X = [ x j nx1 , simplificar al máximo la sum a : S = I + M + M 2 + M 3 + .........+ M p, donde p e Z * Solución. M 2 = [ I - X ( X ' X )'1X 1] [ I - X ( X* X)-’ X 1] = I - X ( X ’X )•’ X ' - X ( X 1X) 'X ' + [ X (X' X)-’X'] [X (X' X ) 1X'] M -X (X 'X )-1X' + X [(X'XV'X'] [ X(X* X) ’X ’] Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 419 = M - X (X'XJ-’X 1+ X [(X'XJ M X’XJKX'XJ-’X 1 = M - X(X' X )'1X 1+ X [ 1 1 (X1X )'1X* = m - X(X' xj-’x '+ x ( x 'x y ’ x' Luego : M 2 = M => M 3 = M M 2 = M (M ) = M 2 = M W = M ?M 2 = (M) (M) = M 2 = M M p = M .*. S = I + M + M + M + ..+ M = I + pM ■ f8 . 1 0 . 1 IN V E R S A DE U N A M A T R IZ T R IA N G U L A R Si A e s una matriz triangular inferior y X su inversa, com o por definición A X = I, entonces 0 0 a _ 021 22 a,. a,„ a. • • • 0 • • • 0 0• • • • • a • • • • • • • • • 1 0 0 • • • o 0 1 0 • • • o 0 0 1 • • • 0 0 0 1 Por la multiplicación e igualdad de matrices, el producto de la primera fila de A por la primera columna de X es 1, esto es (a„. 0. 0, 0 .............0) • (x„, x21, X3,..................xnl) = 1 =* xn = a „ ’ Ahora efectuando el producto interno de la primera fila A con las colum nas restantes de X y aplicando la igualdad, resulta que x ,2 = x ,3 = x h = .................= X ,n = 0 Al multiplicar la segunda fila de A con la segunda columna de X, esto es (a21,322’^23’.......... 0 )*(0' X22' X32’........... •Xn2^—1 ^22—3^ De igual manera, del producto interno de la segunda fila de A por las otras colum nas de X se concluye que X21 = ><23 = ................. = X2n = 0 Reiterando el proceso hasta la n-ésim a fila de A podem os concluir que si una matriz triangular inferior A es inversible, entonces : 1. T odos los elementos de la diagonal principal deben ser diferente de cero.
- 217. 420 Capítulo 8: Matrices 2. La inversa A-1 es también una matriz triangular inferior. 3. Los elementos de la diagonal principal de A ' son los núm eros (a„) (a*)-’, (a*)-’, ..............( a J -1 Por lo tanto, la ecuación matricial anterior se convierte en 0 • • • • • • (a,,)-1 0 ••• 0 x21 (a22r ••• 0 •• 0 •• 0 0 o • 1 (8) Por analogía establecemos que si A es una motriz triangular superior, entonces A tiene una inversa si y sólo si no existe ceros en la diagonal principal; A ’ es una matriz triangular superior y para calcular A '1 se debe resolver la ecuación matricial. 0 0 (a,,)'1 x,2 0 0 ( a J ’J 0 0 • • • • 1 (9) Las ecuaciones (8) y (9) nos permite deducir la inversa de una matriz diagonal (Trian- gular superior e inferior), esto es : Si D = diag ( a n , a^, a ^ ............. ann), entonces D 1 = diag ( a„ a22 a 33 ......... . a nn’) (10) Ejemplo 24 J Determinar, si existe, la inversa de la matriz 1 0 0 A = -1 2 0 1 2 3 Solución . La matriz A es inversible, puesto que no hay ceros en la diagonal prin cipal. Por la ecuación matricial (8) resolvem os la ecuación : Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 421 A A 1 = I 0 0 1/2 0 ' 1 0 0 ' = 0 1 0 0 0 1 Para calcular x2! se efetúa el producto escalar de la segunda fila de A por la primera columna de A esto es (-1, 2, 0 ) • (1, x21, x31) = 0 => x21 = 1/2 A continuación se efectúa el producto escalar de la tercera fila de A por la primera columna de A e s d e c ir: ( 1, 2, 3 ) • ( 1, 1/2 ,x 31) = 0 = > x3) = -2/3 Finalmente se calcula el producto escalar de la tercera fila de A por la segunda columna de A esto es ( 1, 2, 3 ) • ( 0, 1/2, x ,,) = 0 => x^ = -1/3 1 0 0 1/2 1/2 0 -2/3 -1/3 1/3 3 0 0 0 -4 -1 Si A = 1 2 0 y b = 0 5 5 , 5 -3 5 0 0 -2 hallar la sum a de los elementos de la diagonal principal de la matriz M = 3 A '1- 2 B '1 Solución . C om o las matrices A y B son triangulares se tiene : m „ = 3(a„) ’ - 2(b„) ’ = 3(1/3) - 2(1/2) = 0 m22= 3(a22)-1-2 (b 22r = 3(1/2) -2(1/5) = 11/10 m33 = 3(a33) ’ -2 (b 33r = 3(1/5) - 2 (-1/2) = 8/5 T r ( M ) = 11/10 + 8/5 = 2.7 ejemplo 2 6 ^ Si B es la inversa de la matriz A = 2 0 0 '0 4 •-1 0 0 3 4 5 0 2 3 4 -6 ’ b33
- 218. 422 ■ Capítulo 8: Matrices Solución A es una matriz triangular inferior, luego, por la ecuación matricial (8) se tiene 2 0 4 -1 3 4 2 3 1/2 0 0 S 0 f 1 0 0 0 b ?1 -1 0 0 0 1 0 021 b 3, b 32 1/2 0 = 0 0 1 0 b „ b « b «3 -1 / 6 , > 0 0 0 1 .4 -6 Efectuando el producto escalar de la segunda fila de A por la primera colum na de B se tiene: (4,-1, 0 , 0 ) •( 1/2, b2),b 31l b41) = 0 => b21 = 2 Del producto escalar de la tercera fila A por la segunda colum na de B se tiene : (3, 4, 5, 0 ) • (0, -1, b32, b42) = 0 *32 = 4/5 De la matriz B obtenem os : b33 = 1/5 S = 2 + 4/5 + 1/5 = 3 ^ Ejemplo 2 7 J Se a A = [ai(] una matriz triangular superior de orden n, tal que a = 1 si i < j . De la matriz B = A 3, hallar la sum a de los elementos b para los cuales: n a) i = 2, j = n b) i = 3, j = n-3 c) i = j Solución . Se gú n la definición construimos la matriz triangular superior 1 1 1 • • • 0 1 1 • • • 1 0 0 1 • • • 1 A = • • • • • • • • • 0 k. • 0 • • • • • • 1 > Al efectuar el producto A A = A 2, obtenem os : r 1 2 3 4 • • n-1 1 0 1 2 3 • • n-2 n-1 0 0 1 2 • • n-3 n-2 A 2 = • • • • • • • • • • • • • . 0 • 0 • 0 • 0 • • • 0 • 1 EJERCICIOS : Grupo 45 423 A 3 = A A 2 = 1 3 6 10 0 1 3 6 0 0 1 3 • • • 1/2 (n-1)n 1/2n(n+1) 1/2 (n-2)(n-1) 1/2(n-1)n 1/2 (n-3)(n-2) 1/2(n-2)(n-1) Luego, para : b = 1 / 2 ( n - 1 ) n * 3(0-3) = 1/2 (n - 4) ( n - 3 ) 2, j = n 3, j = n-3 ) =* b,, = 1 S = 1/2 (n - 1) n + 1/2 (n - 4) (n - 3) + 1 = n2 - 4n + 7 EJERCICIOS : Grupo 45 1. Para la matriz A = 1 3 2 1 , verificar que A 2 - 2A - 5 I =6 2. Com probar que la matriz A = e s una solución de la ecuación 3 1 v '1 2 A* - 5A + 71 = 0 3. S e dice que una matriz A es ortogonal, si su inversa es igual a su transpuesta, es decir, A-' = A '. Com probar que la matriz C o s x -Sen x A = Se n x C o s x 4. S e a A = 1 0 ■1 1 es ortogonal. (Sugerencia : Probar que A A ‘ = A 'A = I ) , demostrar que A 2 = 2A - 1 y hallar A n , hallar X en:5. D a d a s las matrices A = /• * 1 -3 y B = f N 4 -1 2 5 2 6 (AB)' + X = 2(B' + A). 6. Hallar el valor del polinomio/ (A) de la matriz A f 1 2 a) /(x) = x2 - 3x + 1, A = - 1 3
- 219. 424 Capítulo 8: Matrices b) /(x) = 8x3 + 2x2 + x - 3, A = c) /(x) = x3- 3x2 - 2x + 4, A = 7. Se an :/(x) = x2- x + 3, A = Í-1 1 1 2 4 2 3 3 -1 ' 3 1 ' < CO II 1 -2 o Cl co 4 y . Evalu ar/(A +B ) 8. D adas las matrices A = despejar X de la ecuación (A + B + X)' =2 (A1- B) " 1 5 -3 'l r i -4 2 1 3 0 6 n m > -3 1 -5 -2 1 2 5 2 1 r -2 1 0 ] 5 0 2 1 9. D adas las matrices A = 1 2 3 < œ ii 3 4 2 4 -3 1 1 -1 0 J hallar la matriz X, si (A + 4 B - 2 X )' = 3 (A '- 2B) f 1 2 -3 " r 0 -1 1 'I 10. Se an las matrices A = 2 0 4 y B = 3 2 2 -1 3 -2 > 1 5 -4 -/ hallar la matriz X de la ecuación matricial : (A B + 2X)' = 3 A - 2 B ' 11. D adas las matrices A = 4 1 2 0 r i -1 3 N -2 0 -3 1 2 ii CO > 4 2 1 2 1 0 3 -1 5 6 2 0 2 -2 -1 4 y 0 2 1 3 hallar la matriz X, si ( 2A - 3B )' - 2X = B - A " 2 3 n f 8 3 *2 1 12. D adas las matrices A = -1 6 3 "< CD II 6 1 3 4 -2 5 -2 9 2 y la ecuación 1/2(X - 3A) = (A1- 2B )' + A '; hallar la sum a de las com ponentes de la segunda fila y la sum a de las componentes de la tercera columna de la matriz X. y C = (1, -2, 3) f 3 2 -1 i r X 13. Se a n las matrices A = 2 5 -3 , B = y -1 0 1 > z Si B' A = C, hallar el valor de la suma S = x + y + z. EJERCICIOS : Grupo 45 425 14. Dem ostrar que las matrices A = son idempotentes y permutables. /* 2 -2 -4 /** -1 2 4 -1 3 4 CD II 1 -2 -4 , 1 -2 -3 . .-1 2 4 ^ -1 -2 N ‘2 I -3 -6 2 " f * 5 -8 0 ' Se an A = 1 2 1 , B = 2 4 -1 y c = 3 5 0 -1 -1 0^ v 2 3 0 ^ 1V. 2 -1 ✓ Dem ostrar que las matrices dadas son idempotentes y adem ás permutables dos a dos, dando en cada caso la tercera. 16. Mostrar que A = 1 -3 - r -1 3 4 es una matriz nilpotente de índice 2. 1 3 4 y 0 -1 - r ' 4 3 3 ' 4 -3 4 y B = -1 0 -1 son matrices involutivas. 3 -3 4 . -4 -4 - 3 . 17. Mostrar que A = 18. Si A y B son matrices involutivas y AB = BA = hallar la traza de la matriz M = (A + B)2. 19. Si A = hallar la matriz M = (AB)' - 2C. -5 -8 0 3 5 0 1 2 -1 2 3 -2 6 2 Si 4 2 1.5 1.5 " -1 4 3 . B = 0 2 -2 y c = 5 2 2 0 2 1 ^ 3 0 -1 2 7.5 -3.5 3 0 1' 6 3 2 1 Si A = -1 4 1 , B = -2 4 0 2 2 1^ 1 -5 -2 , y C = ( B A )' + 2A; hallar la sum a de los elementos de la segunda fila de la matriz C. 21. S e dice que una matriz A e s ortogonal si A-’ = A'. C om probar si la matriz ' 1 -2 2', e s ortogonal (Sugerencia : A A 1 = A* A = I).A = 1 -2 1 -2 -2 22. En una página deteriorada de un antiguo texto se encuentra que la matriz y del producto A 2A ' solo se puede leer la última columna ’ 1 X 0 A = 0 0 y 0 0 z
- 220. 426 Capítulo 8: Matrices • -6 • 2 . Hallar x + y + z • -1 23. Dem ostrar que la matriz A = ^ ^ b j satisface la ecuación: x2 - ( a + d ) x + ad - be = 0 24. Dem ostrar que si/ (X , A) = X ’A X, X, p e C , entonces : / (X X + pY , A) = X / ( X , A) + P / (Y , A) 25. Si A y B son matrices cuadradas de orden n y A posee inversa, dem ostrar que : (A + B)A-i (A - B) = (A - B)A '(A + B). 26. Si A = B C y A + B = I. hallar A C - C. -2 -6 27. Dem ostrar que la matriz A = -3 2 9 es periódica y hallar su período 28. Si B es la inversa de A = 29. Se a n las matrices A = 1 -2 -6 -3 2 9 2 0 -3 1 3 5 4 0 2 4 2 0 0 3 3 0 0 0 2 1 2 -1 1 0 1 1 2 -1 3 1 0 0 -1 1 2 , hallar (b13) (b23) ( b j y B= 1 1 1 0 -1 0 1 0 2 1 1 -1 -1 0 1 0 Si C = (AB)1+ A. hallar la sum a S = c21 + c ^ + c^. 30. S e a A = 4 3 - 2 6 0 3 - 2 6 0 0 - 2 6 0 0 0 6 diagonal principal de la matriz A '. Hallar la sum a de los com ponentes de la 3 1 .S i A = 1 a-b -1 2 3 b b-x a-x 4 es una matriz simétrica, hallar A 2 32. Dada la matriz A = a 1 0 0 a 1 hallar A n. 0 0 a , Com probar la fórmula obtenida por inducción. Sección 8.11: Transformaciones elementales 427 En los ejercicios 33 a 36 determinar, si existen, las inversas de las matrices dadas /■ 1 0 0 N 0 f 1 -1 1 -1 2 1 0 0 0 1 -1 1 4 2 1 0 35. B = 0 0 -1 1 .-2 3 1 1 0 0 0 -1 / 3 N 2 0 0 0 2 4 -2 6 0 -1 0 0 0 1 3 2 0 0 1 0 36. B = 0 0 2 1 , 1 0 0 2> 0 0 0 3 . 8-lT) t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s _______________ Dada una matriz de cualquier orden, se pueden desarrollar algunas ope raciones sim ples con las filas y colum nas sin cam biar el orden de la matriz. El propó sito fundamental es el desarrollo de matrices para simplificar algunos cálculos y también alcanzar resultados teóricos significativos para un mejor estudio de las matrices. Destacarem os las transform aciones siguientes. F A i 8.11.1 ) TRANSFORMACIONES ELEMENTALES FILA O COLUMNA S e a A e K m*n una matriz cuyas filas son F„ F 2, F3,........Fn y cuyas colum nas son C „ C 2, C 3; ...... C n. S e llama transformación elemental fila a tres tipos de operaciones que denotarem os p o r : F 1|t Ft( j ) y F>(X) para significar Intercambio de dos filas de A ^ Multiplicación de la fila i de A por un escalar X * 0 Multiplicación de la fila j de A por un escalar X * 0, y sum ando la fila F. Esta operación se representa por el vector de la fila : XF|+ Ft Las transform aciones elementales colum na son análogas a las transformaciones elementales fila y los tres tipos de operaciones se denota por Intercambio de dos colum nas de A Multiplicación de una colum na i de A por un escalar X * 0 Multiplicación de la columna j de A por un escalar X * 0 y sum ando luego la colum na C . Esta operación se representa por el vector 2. F(X)A 3. F;(X)A 1. C A 2. C (X) A 3. C '(X ) A colum na XC + C,. Por ejemplo, para la matriz A = 0 -4 1 2 'i -1 3 se tiene :
- 221. 428 Capítulo 8: Matrices 1. Intercambio de la primera y segunda filas 3 0 -4 -1 II fí u_~ 1 1 0 2 , 2 5 1 3 , 2. Multiplicación por -2 la segunda fila 3. 1 1 0 2 1 1 0 2 F2 ( -2 ) = -2(3) -2(0) -2(-4) -2(-1) = -6 0 8 2 l 2 5 1 3 , 2 5 1 3 . Multiplicando por 2 la segunda fila y luego sum ando la primera fila 2(3)+1 2(0)+1 2(-4)+0 2(-1)+2 7 1 -8 0 F 2’( 2 ) = 3 0 -4 1 = 3 0 -4 -1 . 2 5 1 3 , 2 5 1 3 , 8.11.2) M A T R IZ E SC A L O N A D A Una A e K mxn, cuya estructura es de la forma A = 1 a b c d • • • X 1 0 0 1 e f • • • y 0 0 0 0 1 • • • z J 0 0 0 0 0 • • • 0 ’ • • • • • • • • • • • • > • • • • • • 0 V* 0 0 0 0 • • • 0 é - r filas no nulas > s filas nulas se dice que e s escalonada reducida si las condiciones siguientes se satisfacen. 1. El primer elemento no nulo de cada una de las r filas no nulas es la unidad 2. Si existen s filas cuyos elementos son ceros, estas se encuentran en la parte inferior de la matriz 3. En cada una de las r filas no nulas, el número de ceros que preceden a la unidad crece aritméticamente de fila a fila . 4. T odas las colum nas que tiene el primer elemento diferente de cero, de alguna fila, tienen ceros en todas las posiciones restantes. Si una matriz cum ple las propiedades 1, 2, y 3, se dice que está en forma escalonada. Sección 8.11: Transformaciones elementales 429 Ejem plos de matrices escalonadas reducidas 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 3 0 1 0 0 0 1 -2 J 0 0 1 Ejemplo de matrices escalonadas 1 5 1 0 1 3 0 0 , 1 2 4 5 J 0 0 0 J 0 1 4 1 2 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 8.11.3 ) M A T R IC E S E Q U IV A L E N T E S D o s matrices A y B se denom inan equivalentes si una de ellas se deduce de la otra mediante una sucesión finita de transform aciones elementales de línea (fila o columna). El siguiente ejemplo nos muestra que toda matriz de orden m x n puede ser reducida mediante operaciones elementales fila a una matriz en forma escalonada por filas. ^ j e m p l o ^ j T j Reducir a la forma escalonada por filas la matriz Solución A = A : F,<(-2) F3(-1/7) 1 2 2 2 5 3 3 4 1 2 3 2 1 2 2 0 1 -1 0 -2 -5 0 -1 -2 1 2 2 0 1 -2 0 0 1 0 0 -3 1 2 2 0 1 -1 3 4 1 2 3 2 1 2 2 0 1 -1 0 -2 -5 0 0 -3 1 2 2 0 1 -1 0 0 1 0 0 0 1 2 2 0 1 -1 0 -2 -5 2 3 2 1 2 2 0 1 -2 0 0 -7 0 0 -3 = B
- 222. 430 Capítulo 8: Matrices Explicación. En la primera iteración F 12 se intercambió la segunda fila por la primera con el objeto de que aparezca el 1 en la nueva primera fila y que servirá de pivot, para que en las sucesivas iteraciones aparezcan ceros deba jo del 1. A sí en la segunda iteración F,2(-2) se multiplicacó la primera fila por -2 y luego se sum o la segunda fila. En la cuarta iteración F 14(-2) ya tenem os tres ceros debajo del 1 de la primera fila y aparece en la segunda fila (0, 1, *1) el elemento 1 que servirá de nuevo pivot para transformar en ceros los elementos que están deba jo de él. La quinta y sexta iteración m uestran este proceso. En la sétima iteración se multiplicó por -1R la tercera fila para obtener (0, 0,1). Finalmente, mediante esta fila pivot y la octava iteración se logra ceros en la última fila. En este ejemplo se a logrado una forma escalonada, sin embargo, la matriz equivalente B obtenida, de este modo, no e s única, toda vez que es posible efectuar operaciones elementales columna y obtener otra forma escalonada. I Nota. Una matriz cuadrada A e Kn escalonada es una matriz triangular superior, pero no todas las matrices triangulares superiores son matrices escalonadas. Anteriormente hem os visto que una matriz triangular era inversible si sólo si no existen ceros en la diagonal principal; esta característica es también válida para las matrices escalonadas cuadradas. Verem os a continuación las ventajas que ofrece la reducción de una matriz en otra que tenga forma escalonada. 8.11.4 ) R A N G O DE U N A M A T R IZ El rango de una matriz es igual al número de filas no nulas que quedan en la última iteración de las sucesivas transform aciones elementales que se hacen con la matriz. S e deduce que para hallar el rango de una matriz e s suficiente transform arla a su form a escalonada. C o m o d os m atrices equivalentes tienen el m ism o rango, el rango de dicha matriz se rá igual rango de la matriz escalonada. S i d e sign a m os por r el núm ero de filas no nulas de la matriz escalonada, entonces el rango de la matriz se denota p (A) = r | Ejem plo 2 J Hallar el rango de la matriz A = 0 2 -4 1 4 -5 3 1 7 0 1 -2 2 3 0 Sección 8.11: Transformaciones elementales 431 Solución. R e a liz a n d o su c e siv a m e n te la s tra n sfo rm a c io n e s ele m e n tales tendremos: A : F, FJ1/2) 1 4 -5 ' 1 4 -5 1 4 -3 0 2 -4 0 2 -4 0 2 -4 3 1 7 F,3(-3) 0 -11 22 F,5(-2) 0 -11 22 0 1 -2 0 1 -2 0 1 -2 2 3 0 2 3 0 0 -5 10 ' 1 4 -3 1 4 -3 1 4 -3] 0 1 -2 F23(11) 0 1 -2 0 1 -2 0 -11 22 0 0 0 f24(-D 0 0 0 0 1 -2 F2s(5) 0 1 -2 0 0 0 0 -5 10 0 0 0 0 0 0 =B La última matriz escalonada B tiene dos filas no nulas, por lo que: P ( B ) = p ( A ) = 2 Ejemplo 3 J Hallar el rango de la matriz A = Solución . Por el método de las transformaciones elementales se tiene: 25 31 17 43 75 94 53 132 75 94 54 134 25 32 20 48 A : F4,(-1) F,3(-1) ^ ( - 6 ) F?3(-1) La última matriz escalonada tiene tres filas no nulas, por tanto p (B) = p (A) = 3 25 75 31 94 17 53 43 ' 132 F,2(-3) 25 0 31 1_ 17 2 43 3 0 0 1 2 0 1 3 5 l o 1 3 5J *34 l o 0 1 2J í 25 25 5 25 F,(1/25) í 1 1 1/5 1 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 1 2 f34(-i) 0 0 1 ? w 0 0 1 2, l 0 0 0 0, = B 8.11.5) M A T R IC E S E L E M E N T A L E S La matriz que resulta de aplicar una transform ación elemental de línea (fila o colum na) a la matriz identidad I (i recibe el nom bre de matriz ele mental ele línea. L o s sím b o lo s que se em plean para una transform ación ele-
- 223. 432 Capítulo 8: Motrices mental de línea que origina una matriz identidad se m uestra en el siguiente ejemplo. 1 0 0 ' Ejemplo 4 j D ada la matriz I3 = 0 1 0 0 0 1 , , las matrices elementales que podem os obtener, entre otras, son: E,(«) = 0 1 0 ’ = 1 0 0 Intercambio de la primera y segunda filas. 0 0 1 ’ 1 0 0 = 0 1 0 Multiplición de la tercera fila de la matriz diagonal por a. 0 0 a ' 1 0 o ' = 0 1 a Multiplicación de la tercera fila p ora y sum ando a la 0 0 1 segunda fila. S e establece la posibilidad de ejecutar, de m anera indirecta, una operación elemen tal en las filas de una matriz de m x n si, primero, se ejecuta la m ism a operación en las filas de la matriz identidad In y, después, se premultiplica la matriz A (se multipli ca a la izquierda de A) por la matriz elemental resultante. Una ilustración del enun ciado anterior es el siguiente ejemplo. r 'v 1 -1 2 Ejemplo 5 I S e a la matriz A = 3 1 3 . 2 0 -1 , Si la primera fila de A se sum a dos vecés a la tercera fila se obtiene la matriz F,3 (2) A = B = 1 -1 3 1 4 -2 Al efectuar la m ism a operación en las correspondientes filas de la matriz identidad I3, la matriz elemental resultante es: 1 0 0 E,3(2) = 0 1 0 2 0 1 , 1 0 0 1 -1 2 1 -1 2 Por lo que: E,3(2) A = 0 1 0 3 1 3 = 3 1 3=B 1 -1 2 1 -1 2 3 1 3 = 3 1 3 , 2 0 -1 , . 4 -2 3 . Sección 8.11: Transformaciones elementales 433 El resultando anterior nos sugiere la siguiente definición D E F I N I C I O N 8 . 2 Si existe una secuencia de matrices elementales E ?> E 3................. E m, tales que E Em m• i E...E..A = B se dice entonces que A es equivalente porfilas a B, y se escribe A s B Ejemplo 6J Hallar una matriz escalonada equivalente por filas a la matriz 0 1 2 A = 1 -1 1 k 1 1 1 Solución . Las operaciones elementales con filas que deben efectuarse son: 1. Intercambiar la primera y segunda fila 2. Restar la primera fila de la tercera F,3(-1): 3. Multiplicar la segunda fila por -2 y sum ar la tercera fila F,3 (-2): 1 -1 1 0 1 2 1 1 1 1 -1 1 0 1 2 0 2 0 , 1 -1 1 0 1 2 1 0 0 - 4 = B S e tiene una matriz escalonada equivalente por filas a A. Las matrices elementales, obtenidas de I 3, para las operaciones con filas son, res pectivamente: 0 1 0 1 0 0 1 0 0 e 12 = 1 0 0 , E,3(-1) = 0 1 0 . E 23(-2) = 0 1 0 0 0 1 -1 0 1 0 -2 1 Ahora bien, las operaciones para encontrar B por medio de estas matrices elemen tales son : e ,2 - a = f ,2 = ’ 0 1 0 ’ ’ 0 1 2 ' 1 -1 1 ' 1 0 0 1 -1 1 — 0 1 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1
- 224. 434 Capítulo 8: Matrices ' 1 0 0 ' 1 -1 1 ' 1 -1 1 ’ E,3( - 1 ) - F l2 = F,3(-1) = 0 1 0 0 1 2 = 0 1 2 -1 0 1 1 1 1 0 2 0 : 1 0 o : ■ 1 -1 1 ' : 1 -1 1 : E 23(-2) . F ,3(-1) = F23(-2) = 0 1 0 0 1 2 = 0 1 2 0 -2 1 0 2 0 0 0 -4 Com o resulta laborioso escribir el producto de matrices correspondientes a cada operación fila, es conveniente utilizar una notación abreviada em pleando una fle cha, sobre el cual se indica la matriz elemental adecuada, en base a la cual, las operaciones se representan com o sigue í 0 1 2 ] r i -i 1 r i -1 1 r i -1 1 A = 1 -1 1 F „ 0 1 2 F ,3(-1) 0 1 2 F23(-2) 0 1 2 1 1 1 1 iV. 1 / 0V. 2 0 0V 0 -4 8.11.6 ) INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL METODO DE LAS MATRICES ELEM EN TA LES (Método de G a u ss - Jordán) El método de G a u ss - Jordan consiste en lo siguiente: Para la matriz dada A de orden n, se construye una matriz rectangular r A = (A 11) de orden n x 2n, añadiendo a la derecha de A una matriz unidad. Luego, haciendo uso de las transform aciones elementales sobre las filas, se reduce la matriz r A a la forma (l I B), lo que es siempre posible, si A es inversible. En este caso B = A No es preciso conocer de antem ano si A es inversible. S e puede deducir fácilmente si A es inversible durante las sucesivas transform aciones elementales para hallar la m a triz ( II B). Si uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz escalonada E en (E I B) e s cero, entonces A no e s inversible. ' 1 -1 1 ’ % Ejemplo 7 Determinar si A = 0 0 1 e s inversible. 1 1 -1 Si así lo fuera, calcular su inversa. Solución. Primero efectuamos las operaciones con filas para reducir A a una matriz escalonada E. Em pezam os form ando la matriz r A = (A 11) '1 -1 1 1 0 o' " 1 -1 1 1 0 o ' (A 11) = 0 0 1 0 1 0 F ,3(-1) 0 0 1 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 2 -2 -1 0 1 % V. y ^ Sección 8.11: Transformaciones elementales 435 f1 -1 1 1 0 0] 0 2 -2 -1 0 1 0 0 1 0 1 0 Com o A ha sido reducida a la matriz escalonada E = -1 2 0 1 -2 1 que no tiene cero en la diagonal principal, la matriz A es inversible. Continuando con las operaciones elementales con filas, necesarias para reducir la matriz A a la identidad, se tiene : f23= F?(1/2) A ’ = r i 0 1 -1 2 1 . 0 2 0 r 1 -1 1 1 0 X 0 1 0 0 1 / 2 0 1 / 2 ' 0 2 - 2 -1 0 1 TI to 0 2 - 2 -1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 V y 1 0 0 1 /2 0 1 / 2 ' s. f 1 0 0 1 /2 0 y 1/ 2 ' 0 1 -1 - 1 / 2 0 1 / 2 f32(1) 0 1 0 - 1 / 2 1 1 /2 0 0 1 0 1 0 ^ 0 0 1 0 1 0 y = (HB) Ejemplo 8 j Hallar A ’ para la matriz A = f 3 4 2 Solución. (A 11) = F,2H ) F3,(-2) F ’(-2/3) Form am os la matriz r A = (A I I) y empleando el método de G a u ss Jordán tendrem os : t 3 2 1 1 0 0 '1 2/3 1/3 1/3 0 0 ' 4 5 2 0 1 0 F ,(1/3) 4 5 2 0 1 0 2 1 4 0 0 1 2 1 4 0 0 1 X r 1 2/3 1/3 1/3 0 O ' / 1 2/3 1/3 1/3 0 y X 0 0 7/3 2/3 -4/3 1 0 Fj(3/7) 0 1 2/7 -4/7 3/7 0 X 0 -1/3 10/3 -2/3 0 1 0 -1/3 10/3 -2/3 0 1 y f. 1 0 1/7 5/7 -2/7 0 ' '1 0 1/7 5/7 -2/7 0 ' 0 1 2/7 -4/7 3/7 0 F3(7/24) 0 1 2/7 -4/7 3/7 0 0 0 24/7 6/7 1/7 1 0 0 1 -1/4 1/24 7/24 X 4
- 225. 436 Capítulo 8: Matrices F3’(-1/7) F 3j(-2/7) r 1 0 0 3/4 -7/24 -1/24 ' 0 1 0 -1/2 5/12 -1/12 1 0 1 -1/4 1/24 7/24 A ’ = = (I I B) 1 24 18 -12 -6 -7 10 1 -1 -2 7 1 6 4 Ejemplo 9 I Determinar, si existe, la inversa de A = 2 4 -1 1 2 5 r 1 6 4 1 0 0 Solución . S e a la matriz : F A = (A 11) => (A 11) = 2 4 -1 0 1 0 -1 2 5 0 0 1 4 F,2(-2) F,3(1) U sando el método de G a u ss - Jordan se tiene : 1 6 4 1 0 0 ” 1 6 4 1 0 N 0 0 -8 -9 -2 1 0 F23(1) 0 -8 -9 -2 1 0 . 0 8 9 1 0 1 . 0 0 0 -1 1 1 , Com o la matriz escalonada E tiene un cero en su diagonal principal, la matriz A no es inversible. ■ 22 -6 -26 17 -17 5 20 -13 -1 0 2 -1 4 -1 -5 3 ! Eje m p lo 10 ^ S e sabe que la matriz X = [xi(] satisface la ecuación A X = B, en donde: A = 2 B - 1 = Mostrando en primer lugar que A es inversible, determinar los elementos x24 y x43 de la matriz X. Solución. Para determinar si A es inversible form amos la matriz F A = (A I I) y mediante las operaciones elementales tendremos que : (All) = CJ CM -6 -26 17 1 0 0 0 ' ' 1 0 -2 1 0 0 -1 o ' -17 5 20 -13 0 1 0 0 F3(-1) -17 5 20 -13 0 1 0 0 -1 0 2 -1 0 0 1 0 F,, 22 -6 -26 17 1 0 0 0 k 4 -1 -5 3 0 0 0 1 , 13 , 4 -1 -5 3 0 0 0 1 , Sección 8.11: Transformaciones elementales 437 F42(4) F43(-5) F 3(1) F/(1) r i 0 -2 1 0 0 -1 0 * 7 0 ! 1 0 -2 1 0 0 -1 0 -1 1 0 -1 0 1 0 4 0 1 -2 0 0 1 -1 4 2 -1 -1 2 1 0 0 -5 F,3(-3) 0 -1 3 0 1 0 2 -5 4 -1 -5 3 0 0 0 1 F ,4(*4) 0 -1 3 -1 0 0 4 1 t 1 0 -2 1 0 0 -1 0 F 3’(2) f 1 0 0 1 2 2 1 *2 1 0 1 -2 0 0 1 -1 4 0 1 0 0 2 3 1 2 0 0 1 0 1 1 1 -1 F32(2) 0 0 1 0 1 1 1 -1 0 0 1 -1 0 1 3 5 F34(-1) 0 0 0 -1 —y -1 0 2 6 La matriz escalonada E no tiene cero en la diagonal principal, luego, la matriz A es inversible. Por lo que : F/(1) F4(-1) ' 1 0 0 0 1 2 3 4 ' 0 1 0 0 2 3 1 2 0 0 1 0 1 1 1 -1 , o 0 0 1 1 0 -2 -6 . = A ’1 Multiplicando por A •’ am bos m iem bros de la ecuación dada se tiene : A 1A X = A 1B <=> X = A 1B Si A = 2B - 1 => B = 1/^(A + I) = 1/2 23 -17 -1 4 -6 -26 6 20 0 3 -1 -5 1 7 1 •13 -1 4 Por tanto: X ?t = (a2i) ’ bi4 = 1/2 (2, 3, 1, 2) • (17, -13, -1, 4 ) = 1 x 43 = K ) ' ’b,3 = 1/2 0 - °- *2 - ' 6 ) • (*2 6 - 2 0 - 3 - *5 ) = -1 Resolver la ecuación matricial A X B = C, sabiendo queEjemplo 11j '3 -1' ' 5 6 ' '1 4 16' A = 5 -2 t J , B = 7 8 h O >s 9 10 Solución . Multiplicando por A '1 (izquierda de X) am bos miembros de la ecuación matricial se tiene : A '1A X B = A ’ C => X B = A ’C (1) Multiplicando por B ' (derecha de X ) am bos extremos de (1) obtenemos:
- 226. 438 Capítulo 8: Matrices X B B ’ = A ' C B ' 1 => X = A ’C B ’ (2) Para hallar las inversas de A y B por el método de G a u ss - Jordán, construim os las matrices rectangulares r A = ( A 1 1 ) y r B = ( B 11 ) F,(1/3)( A 11 ) = F , 2(-1) , F;(1/3)[ ( B 11 ) = F,(-1) [ F.H-S/S) Por lo que, en (2): 3 -1 1 0 5 -2 0 1 1 -1/3 1/3 0 0 -1/15 -1/3 1/5 1 0 2 -1 0 1 5 -3 5 6 1 0 7 8 0 1 1 6/5 1/5 0 0 -2/35 -1/5 1/7 1 0 -4 3 0 1 7/2 -5/2 F „(1/5) F,(-15) => A '1 = F,(1/5) F2(1/7) F (-35/2) -1/3 -2/5 1/3 0 0 1/5 ) 1 -1/3 1/3 5 -1 -3 6/5 8/7 6/5 1 => B 1 = — -8 6 J 2 7 -5 , de donde obtenem os X = 2 4 0 -3 J 1/5 0 0 1/7 ) 1/5 0 7/2 -5/2 ) X = J - 2 - i ' 14 16 t CD 00 1 19 22 -8 6 ' 2 . 5 -3 , 9 10, 7 -3 J 2 .4 3 50, . 7 -3 , EJERCICIOS. Grupo 46 En los ejercicios 1 a 4, reducir cada una de las matrices a una matriz escalonada mediante una sucesión finita de operaciones elementales con filas. (Las soluciones que se dan no son únicas ). r i i -i " 1 -1 2 0 ' 1. A = 0 1 0 CJ > II 5 -5 10 0 -1 1 0 6 -6 12 3 l 2 1 1 J .-1 1 *2 1 , EJERCICIOS :Grupo 46 439 f 2 3 -1 °1 f 2 1 11 2 1 1 2 4 3 II < 1 0 4 -1 -2 1 3 2 11 4 56 5 -1 -2 -3 0 4 2 -1 5 -6 y 2. A = 5. Mediante una sucesión finita de operaciones elementales con filas, demostrar que: s a a2 a3 a4 ' r 1 0 0 abe b b2 b3 b4 = 0 1 0 -(ab + be + ca) c c2 c3 c4 0 0 1 a + b + c > ✓ r 1 2 -1 2 1 3 trices A = 3 -1 2 y B = 1 3 2 4 -2 5 3 2 1 probar que A s B En los ejercicios 7 a 12, hallar el rango de la matriz dada empleando el método de las transform aciones elementales. 7. f 2 -1 3 -2 4 10. 47 -67 35 201 155 4 -2 5 1 7 26 98 23 -294 86 2 -1 1 8 2 16 V. -428 1 1284 52 y 8. ' 3 -1 3 2 51 11. ' 24 19 36 72 -38 " 5 -3 2 3 4 49 40 * 73 147 -80 1 -3 -5 0 -7 73 59 98 219 -118 7 -5 1 4 1 47 36 71 141 -72 9. ' 1 3 5 -1 ' 12. í 17 -28 45 11 39 " 2 -1 -3 4 24 -37 61 13 50 5 1 -1 7 25 -7 32 -18 -11 ^ 7 7 9 1 31 12 19 -43 -55 42 13 29 -55 -68 En los ejercicios 13 a 16, resolver las ecuaciones matriciales 13. A X = B, si A = 14. X A = B, si A = f 1 , 3 2 4 ^ y B = ' 3 5 9 -/ 3 ^ 5 > -2 -4 y B = -1 -5V. 2 6 y
- 227. 440 Capitulo 8: Matrices 1 2 -3 1 -3 0 15. A X = B, si A = 3 2 -4 y b = 10 2 7 . 2 -1 0 . . 10 7 8 5 3 1 -8 3 0 16. X B = B. si A = 1 -3 -2 y b = -5 9 0 >-5 2 1 , . -2 15 0. 17. Hallar la matriz X que cumple la ecuación: ( X - 2 I ) B + 3 C = D 2 1 5 1 2 1 4 8 3 donde, B = -3 3 0 , c = 3 -1 -4 , D = -1 2 10 . 4 -2 4. . 5 3 1 . , 12 7 5 , 1 3 ' -1 -2 0 0 Si A = 0 4 1 , B = 3 1 0 , hallar (si existe)X tal que A X B . 0 0 2 , . 2 1 -1 , En los ejercicios 19 a 34, hallar las inversas de las siguientes matrices, empleando el método de las transformaciones elementales. 19. 22. 25. La matriz X = [x(¡ ] satisface la ecuación X A = B, en donde : . Mostrar que A es inversible y hallar x23 + x31. 1 a x -z 20. ' 3 3 -4 -3^ 21. / 0 0 1 -1 ' 0 1 b y 0 6 1 1 0 3 1 4 0 0 -1 c 5 4 2 1 2 7 6 -1 0 0 0 1 2 3 3 2 1 2 2 -1 é . ; '0 1 2 2 ' 23. '2 4 3 2 24. '1 1 1 1 ' 1 1 2 3 3 6 5 2 1 1 -1 -1 2 2 2 3 2 5 2 -3 1 -1 1 -1 2 V. 3 3 3 4 4 5 14 14 1 í -1 -1 1 A = 7B + I = 2 5 7 6 3 4 5 -2 -3 8.12^ S IS T E M A S DE E C U A C IO N E S L IN E A L E S Recordando que la resolución de una ecuación implica la búsqueda de ecuaciones equivalentes m ás sim ples en los que resulta fácil determinar la raíz o raíces, la aplicación de este criterio a la resolución de sistem as de ecuaciones linea les sugiere que, el método para hallar el conjunto solución de un sistem a lineal Sección 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales 441 consiste básicamente en reemplazar el sistem a dado por otro equivalente en el que se pueda calcular fácilmente las raíces. En tal sentido las transform aciones elemen tales aplicadas a las matrices simplifican el desarrollo de estas y com o tal, nos ofrecen la posibilidad de una ventajosa aplicación para resolver un sistem a de ecuaciones lineales. En un sistem a de la forma : a „ x , + a„x„ + + a,„x„ = b, + a„_ x„ = b„ (1) am,X,+ am2 X2 + + a x = bmn n n con las constantes reales de estas ecuaciones se puede establecer el siguiente arreglo de m x n. A = (2) al que llam aremos matriz de coeficientes del sistem a (1). A los vectores í X> l í b ’ b2 X = • < 03 II • • Xn . . bn ^ llamaremos, respectivamente, vector columna de las incógnitas o vector solución y vector columna de los términos independientes. Por lo que el sistem a (1) se puede representar del siguiente modo: A X = B Al adjuntar el vector columna B a la matriz A. se determina una matriz de m x (n+1), que designarem os por A', a la cual llam aremos matriz aumentada o ampliada del sistem a (1) y se escribirá del siguiente modo:
- 228. 442 Capitulo 8: Matrices " a „ a i2 • • • a m b ’ 1 a21 a22 • • • 32n b2 A ' = • • • • • • • • • • • • • • • a ,mi a „m2 • • • amn bm J smplo, la matriz aumentada del sistem a de ecuaciones: x, - x2 + *3 = 4 1 -1 1 4 2x, + x2 - 3x3 = 0 es: A * = 2 1 3 0 x, + x2 + x3 = 2 1 £ 1 1 2 ✓ Teniendo en consideración que las filas de una matriz aum entada corres ponde a las ecuaciones del sistem a asociado, el método para resolver el sistema, empleando matrices, se sustenta en la idea básica de reducir la matriz aum entada a la forma que se a suficiéntemente sencilla (forma escalonada reducida) com o para poder alcanzar la solución del sistem a por simple inspección o, en su defecto, luego de posteriores etapas que simplifiquen el problema. Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento a seguir en la solución de sistem as de ecuaciones lineales. e jem p lo 1 J Suponiendo en cada uno de los ca so s siguientes que la matriz aum entada de un sistem a de ecuaciones lineales de la forma (1 ) se ha llevado, mediante operaciones en las filas, a la forma escalonada reducida que se muestra a continuación, hallar la solución de los sistem as: 1 0 1 7 / 1 0 0 2 3 a ) 0 1 0 3 b) 0 1 0 -1 -4 0 0 1 -2 0 0 1 5 2 Solución. a) El sistem a de ecuaciones correspondiente es x, + x3 = 7 x2 = 3 X3 = -2 Por simple inspección : X3 = -2, x2 = 3 y en x, + x3 = 7, resulta x, = 9 .-. C . S = { x,, x2, x3 } = { 9, 3, -2 }, o bien : X = (9, 3, -2)’ Sección 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales 443 b) El sistem a de ecuaciones correspondiente es x, + . 2x4 = 3 x2 - x4 = - 4 x3 + 5x4 = 2 Cuando es el caso que cada una de las incógnitas x,, x2 y x3 inician una ecua ción, se les llama variables principales. Dejando estas variables principales, en términos de x4, se obtiene x, = 3 - 2x4 , x2 = -4 + x4 , x3 = 2 - 5x4 Asignando a x4un valor arbitrario t, se tiene un número infinito de soluciones. El conjunto solución queda definido por las fórmulas: x, = 3 - 2 t , x2 = -4 + t , x3 = 2 + 5 t <=> X = (3 - 2 t , -4 + t ,2 - 5 t , t)' ■ ¡ e je m p lo 2 ^ Resolver por transform aciones elementales el sistem a 2x, en + 2x, = -2 4x, + 6 x 2 X3 = 23 2x, + 7 x 2 + 4x3 = 24 r 2 -5 2 -2 Matriz aumentada del sistema: A ' = 4 6 -1 23 .2 7 4 24, P a so 1. Para transformar esta matriz a la forma escalonada reducida se proce de del modo siguiente: Localizar en el extremo izquierdo la columna que no consta exclusiva mente de ceros (señalando con asterisco). P a so 2. P a s o 3. ' 2 -5 2 -2' 4 6 -1 23 > 2 7 4 24, Intercambiar, si es necesario, la primera fila con otra fila, de tal manera que el elemento que está al com ienzo de la colum na señala con aste risco sea diferente de cero. (En este caso com o 2 * 0 no e s necesario intercambiar filas). Si el primer elemento de la columa señala con asterisco es a, enton ces, multiplicar la primera fila por Ma, de m odo que el primer elemento sea 1 , esto es:
- 229. 444 Capitulo 8: Matrices '1 -5/2 1 -1 ’ 4 6 -1 23 k 2 7* 4 24, P a so 4. Sum ar múltiplos adecuados de la primera fila a las filas que le requie ren, de tal forma que la columna señala con asterisco, todos los ele m entos a excepción del primero sean cero. 1 -5/2 1 s -1 1 -5/2 1 -1 0 16 -5 27 F23 (-1), 0 4 -7 1 0V. 12 2 26 s . 0 12 2 26 / P a so 5. Destacar la primera fila de la matriz con una línea de puntos y reiterar el proceso a la submatriz resultante, desde el paso 1. Proseguir del m ism o m odo hasta conseguir que la matriz completa se presente en forma escalonada. Esto es: Ft(1/4) f 1 -5/2 1 -1 1 -5/2 1 -1 0 1 -7/4 1/4 F23(-6) 0 1 -7/4 1/4 F3(1/2) l o 6 1 13 J l o 0 23/2 23/2, f 1 -5/2 1 N -1 1 -5/2 1 -1 F3(2/23) 0 1 -7/4 1/4 F32(7/4) 0 1 0 2 l o 0 1 1 / l 0 0 1 1 O bsérvese que la matriz completa a tomado la forma escalonada P a so 6. Em pezam os por la primera fila, y ava n za m os hacia arriba, sum ar múltiplos adecuados de esta fila a las filas que están encima de ella, hasta conseguir que la matriz completa se transforme a la forma esca lonada adecuada. _1_ _-5/2 0 -2 1 0 0 3 f3’(-D 0 1 0 2 F2’(5/2) 0 1 0 2 l o 0 1 ij l 0 0 - 1 1J Com o la última matriz tiene la forma escalonada reducida, la solución del sistem a es: x, = 3 , x2 = 2 . x3 = 1 => X = (3,2, 1)* Sección 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales 445 I Nota. El procedimiento esquemático empleado para resolver un sistema de ecuaciones lineales, se conoce con el nombre de eliminación de Gauss-Jordan. Ejemplo J j Resolver mediante la eliminación de G auss, el sistema: x, + 2 x 2 - 3 x 3 x. + 3x„ 2x, + 5 x 2 - 2 x 3 4 x ; = 6 x3 - 2 x 4 = 4 5x, = 10 1 2 -3 -4 6 ' 1 3 1 -2 4 2V 5 -2 -5 1 0 . Solución. La matriz aumentada del sistem a es, A ' = Siguiendo los p aso s descritos en el Ejemplo 2 para transformar la m a triz aum entada a la forma escalonada, se tiene: F,z(-2) ( f 1 2 -3 -4 6 f 1 2 -3 -4 6 0 1 4 2 -2 f 23(-D 0 1 4 2 -2 F,3(-2) r 0 1 4 3 -2 0 0 0 1 0 'y. / f y s F3’(4) 1 2 -3 0 6 1 0 -11 0 10 0 1 4 0 -2 f 2,(*2) _ 0 1 4 0 -2 F32(-2) ( 0V 0 0 1 0 0 0 0 1 0 y El sistem a de ecuaciones correspondiente a esta última matriz escalonada es: x, - 11 X , = 1 0 X2 + 4 x 3 = *2 x4 = 0 Resolviendo estas ecuaciones para las variables principales se tiene: x, = 10 + 11 x3 , x2 = -2 - 4x3 , x4 = 0 Finalmente asignando un valor arbitrario t para la variable no principal x3, esto es, x3 = t, obtenemos: x, = 10 + 11t , x2 = - 2 - 4 t , x3 = t , x4 = 0 Decim os entonces que el sistem a tiene un número infinito de soluciones. Por lo tanto, la notación vertical de la solución del sistem a es: X = (1 0 + 1 1 t , -2 - 4t , t , 0)'
- 230. 446 Capítulo 8: Matrices : Ejemplo 4 Ì Resolver el sistema: * 2 x 2 + X 3 * 4X4 = 1 + 3x2 + 7X3 + 2x4 = 2 - 12 x2 - I I X 3 n X CD = 5 ' 1 -2 1 -4 N 1 Solución . La matriz aum enm tada del sistem a A ' = 1 3 7 2 2 -12 -11 -16 5 y Reduciendo Á ' a su forma escalonada se tiene: F V H ). r 1 -2 1 -4 1 1 -2 1 -4 0 0 5 6 6 1 fV (2 )r 0 5 6 6 1 .0 -10 -12 -12 4 „ „ 0 0 0 0 6, La última fila corresponde a la ecuación Ox, + 0x2 + 0X3 + 0x4= 6 <=> 0 = 6 Lo que es absurdo, por lo que, el sistem a es incompatible y carece de solución. ■ I O B S E R V A C IO N 8.13 Si un sistem a de ecuaciones lineales no tiene soluciones se dice que el sistem a es inconsistente. Si por lo m enos hay una solución, entonces se dice que es consistente. Ejemplo Suponer que la dieta mínima vital es 72 unidades de proteínas, 104 unidades de carbohidratos y 88 unidades de minerales. Un nutricionista dispone em paquetados tres tipos de alimentos A. B, y C, que por paquete contienen: Proteínas Carbohidratos M inerales A 1 2 4 B 4 4 2 C 2 4 3 E s decir, un paquete del alimento A contiene 1 unidad de proteínas, 2 de carbohidratos y 4 de minerales. S e debe entregar a cada comenzal una dieta mínima en un número entero de paquetes. ¿Cuántos paquetes de alimentos constituye la dieta m ínim a? Solución . Se a n x, y, z el número de paquetes de los tres tipos de alimentos A. B, y C respectivamente. Entonces, x paquetes del alimento A, 4y paque Sección 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales 447 tes del alimento B y 2z paquetes del alimento C constituyen 72 unidades de proteínas, que se rige por la ecuación: x + 4y + 2z = 72 Análogam ente, se g ú n la tabla, p lan te am os el siste m a de e cu a cio n e s para carbohidratos y minerales: 2x + 4y + 4z = 104 4x + 2y + 3z = 88 r 1 4 2 72 ' La matriz aumentada del sistem a es A 1= 2 4 4 104 ,4 2 3 co 00 Efectuando las transformaciones elementales por filas se tiene : F 12(-2)> 1 4 2 72 ' F2’( D r 1 0 2 32 0 -4 0 -40 0 -4 0 -40 F,3(-4)( , 0 -14 -5 -200 , F,3(-7/2) k 0 0 -5 -60 ; 1 0 2 82 ' 1 0 0 8 0 1 0 10 F,'(-2), 0 1 0 10 > 0 0 1 1 2 , , 0 0 1 12 . Por lo tanto, la dieta mínima está constituida por 8 paquetes del tipo A, 10 paquetes del tipo B y 12 paquetes del tipo C. ■ Ejemplo 6 J Una fábrica posee 5 m áquinas que se utilizan en la producción de cuatro artículos diferentes A, B, C y D. El número de horas de cada máquina es usada en la producción de una unidad de cada uno de los cuatro productos es dada por la siguiente tabla: ^ ‘""■'■-^ P ro d u cto M á q u in a '" ^ - - ^ A B C D 1ra 7 2 4 3 2da 4 4 4 5 3 ra 10 0 4 7 4ta 9 4 2 11 5ta 10 5 . 1 13 Hallar el número de unidades que se deben producir de cada uno de los productos en una sem ana de 5 días, sabiendo que cada m áquina se usa 8 horas diarias.
- 231. 448 Capítulo 8: Matrices Solución . D esignem os por x , , x2 , x3 y x4 el número de unidades de cada artículo A, B, C y D respectivamente, que se producen durante una sem ana de 5 días. Se gú n la tabla, la 1ra m áquina dedica 7 horas en la producción de una unidad del producto A, 2 horas en la producción de una unidad del artículo B, etc. C om o en una sem ana cada m áquina trabaja 5 x 8 = 40 horas, entonces la producción sem anal de la primera m áquina se rige por la ecuación: 7x, + 2x2 + 4x3 + 3x4 = 40 D ado que las m áquinas deben trabajar simultáneamente, entonces la producción sem anal estará dada por la solución de las 5 ecuaciones lineales 7 x t + 2 x2 + 4 X 3 + 3x4 = 40 4 x 1 + 4 X 2 + 4 X 3 + Sx4 = 40 10x, + X o + 4 X 3 + 7X4 = 40 9x, + 4 X 2 + 2 x3 + 11x4 = 40 10x, + 5 X 2 + X 3 + 1 3 x4 = 40 ' 7 2 4 3 4 0 ' 4 4 4 5 40 La matriz aumentada del sistem a es A ' = 10 0 4 7 40 9 4 2 11 40 J O 5 1 13 40, D e spu é s de aplicar las transform aciones sucesivas f 35(-i ) , F43(-1) > F,4(-1) F 3(-2 ), la matriz aumentada se reduce a: F4s(3/4) ^ F43(-1/4)' F4(1/4) 1 -4 2 -4 0 1 -4 2 -4 0 4 4 4 5 40 F,2H ) ( 0 20 -4 21 40 -1 -6 -4 -7 -40 F,3(D , 0 -10 -2 -11 -40 2 2 -2 8 0 F 4(-2) 0 10 -6 16 0 l o 5 -3 6 0 J 1> ' *r l o 5 -3 6 0 J 1 -4 2 -4 0 F,3(2) ( 1 1 -1 2 0 0 5 -3 6 0 Fo4(-2) , 0 5 -3 6 0 0 -10 -2 -11 -40 F?5H ) r 0 0 -8 1 -40 0 10 -6 16 0 F?’(1) r 0 0 0 4 0 l 0 20 -4 21 40 J l 0 0 8 -3 40 J r 1 1 -1 2 0 ] F?4(*6) , r 1 1 -1 0 0 ] 0 5 -3 6 0 F ,4(*2) 0 5 -3 0 0 0 0 -8 0 -40 F3(-1/8) 0 0 1 0 5 0 0 0 1 0 ■ - » 0 0 0 1 0 Fs(1/8) i l ü 0 tí 0 40 J 1 0 0 1 0 *> J Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales 449 f 35 (-1) F,1 (1) 1 1 0 0 5 1 0 0 0 2 1 0 5 0 0 15 F ¡,(1/5) ( 0 1 0 0 3 0 0 1 0 5 0 0 1 0 5 0 0 0 1 0 F21(-1) ( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ✓ De la última matriz obtenem os : x, = 2, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 0 En consecuencia, la producción óptima sem anal de la fábrica necesita que se fabri que 2 unidades del producto A, 3 del producto B, 5 del producto C y ninguno del producto D. ■ 8.13 j R A N G O DE UN S IS T E M A DE E C U A C IO N E S L IN E A L E S S e a dado un sistem a de m ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo general : a t1 x, + a 12 x2 + .................. + a,n = b, a 21X, + a22 X2 + .................. + a2n = b2 W x , + am2x2 + ............... + 3 ^ xn = bn o bien, en la forma matricial A X = B (2) donde A = [ a J de orden m x n, X = [ x ] de orden n x 1 y B = [ b ] de orden m x 1. S e denomina solución del sistem a (1) todo vector colum na de n com ponentes de X que convierte la ecuación matricial (2) e s una igualdad. Anteriormente hem os visto que un sistem a se denomina consistente o compatible, si tiene por lo m enos una solu ción, de lo contrario se denomina inconsistente o incompatible. Para que el sistem a (1) sea consistente es necesario y suficiente que se verifique : P (A) = p (A1) donde A ' = (AIB) e s la matriz aumnetada o ampliada del sistem a (1). Suponiendo que p (A) = p (A‘) = r , es decir, el sistem a e s consistente, entonces puede ocurrir. 1. Q ue el sistem a (1) tenga una solución única. Esto sucede cuando el número de incógnitas n del sistem a es igual al rango de la matriz aumentada. Esto es, si el sistem a tiene n incógnitas, tendrá solución única si y sólo si p (A) = p (A ) = r = n
- 232. 450 Capitulo 8: Matrices 2. Q ue el sistem a (1) tenga m ás de una solución. En este caso el número de incógnitas del sistem a es m ayor que el rango de la matriz aumentada. E s decir, el sistem a (1) tendrá m ás de una solución, si y sólo si p (A) = p (A') = r < n C om o r < n, entonces las n - r incógnitas toman valores arbitrarios, y a los que se las denom ina valores libres o parámetros. Si ocurre que p(A) * p(A'), entonces el sistem a (1) e s inconsistente. Ejemplo 7 Investigar la consistencia y hallar la solución del sistem a 2x„x , 2x, 3x. 3x„ 3 x 3 = 2 = 1 x2 + 2x3 = 9 Solución . Reduciendo la matriz aumentada (AIB) a su forma escalonada se tiene: (A I B ) = F,'(2) F,3(-5) 1 -2 3 > 2 F,2(-2) 'i -2 3 2 2 -3 1 1 0 1 -5 -3 .3 -1 2 9 . F,3(-3) ^o 5 -7 3 . 1 0 -7 -4 f 1 0 -7 -4 0 1 -5 -3 F»(1/18)i 0 1 -5 -3 ,0 0 18 18 , .0 0 1 1 , = E O bsérvese que las matrices escalonadas E y E' tienen 3 filas no nulas (r = 3), enton ces p (E) = p (E ‘) = 3, y com o A = E, A s E', se tiene que p (A) = p (A’) = 3, adem ás el número de incógnitas del sistem a es n = 3, por tanto, el sistem a dado tiene solu ción única. Para determinar esta solución transform amos la última matriz a su forma escalona da reducida F3,(7) Fa2(5) 1 0 0 3 0 1 0 2 . 0 0 1 1 , x, = 3 , x2 = 2 , x3 = 1 Luego, el vector columna solución es : X = ( 3, 2, 1 )' Ejemplo 8 J Resolver el sistem a x +2y + 3z = -1 x -3y - 2z = 3 2x - y + z = -2 Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales 451 Solución . Investiguem os la consistencia del sistem a reduciendo la matriz aum en tada ( A I B ) a su forma escalonada, esto es : ( A I B ) = F ?(-1/5) F„(-1/5) r 1 2 3 N -1 F,2(-1) r f 1 2 3 -1 ' 1 -3 -2 3 0 -5 -5 4 , 2 -1 1 % F ,3(*2) , 0 -5 -5 0 . ' 1 2 3 - r ' 1 2 3 -1 ' 0 1 1 -4/5 F23(*1) 0 1 1 -4/5 0 1 1 0 'u 0 V. 0 0 4/5 ✓ = E 1 Dado que p (E) = 2 y p (E ‘) = 3, entonces p (E) * p (E 1). Por lo tanto, el sistem a es inconsistente. 1 Ejemplo 9 J Resolver el sistema: 2 x, - x2 + x3 + 2 x4 + 3Xj = 2 6x, - 3x2 + 2x3 + 4x4 + 5xs = 3 6x, - 3x2 + 4Xg + 8 x 4 + 3x5 = 9 4x, - 2x2 + x3 + x4 + 2x. = 1 Solución. Reduciendo la matriz aumentada (AIB) a su forma escalonada se tiene: ( AIB ) = F?(-1) F4(-1) í 2 -1 1 2 3 2 F,2(*3) 2 -1 1 2 3 2 6 6 -3 -3 2 4 4 8 5 3 3 9 F,3(-3) 0 0 0 0 -1 1 -2 2 -4 -6 -3 3 1 4 -2 1 1 2 1 F/(-2) < 0 0 -1 -3 -4 -3 ) 2 -1 1 2 3 2 F,’(*1) / 2 -1 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 4 -6 3 3 F?3(-1) 0 n 0 n 1 0 2 n 4 -m 3 n 3 4 3 f24(*i), l 0 0 0 1 0 0 J = E 1 ■ v E Com o p (E) = p (A I B ) => p ( A ) = p ( A I B ) = 4. por tanto el sistem a e s consistente. Adem ás p (A) < n, entonces hay m ás de una solución y el número de variables libres o parámetros es p = n - r => p = 5 - 4 = 1. Transform ando la última matriz a su forma escalonada reducida se tiene : FJ-1/10) F42(-2) 2 -1 0 0 -1 -1 ] í 2 -1 0 0 0 -1) 0 0 1 0 4 3 F32(-4) 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 1 0 F3’(Dr 0 0 0 0 1 0 l 0 0 0 1 0 o j l 0 0 0 1 0 0 J
- 233. 452 Capítulo 8: Motrices x5 = 0 Si designam os a x. = s com o la variable libre, entonces 2 s - x2 = -1 , x3 = 3 , x4 = 0 Luego, el vector columna solución es X = (s, 2 s + 1 , 3, 0, 0)' ■ Ejem plo 10 j Si el sistem a dado : 2x + 3y - z + w = b, “ . x + 5y - z - 2w = b? -x + 2y + 2z - 3w = b3 3x + y - 3z + 4w = b4 es consistente, hallar b = ( b,, b2,b3, b4 )’=rU + sV. donde r y s son parámetros libres y U y V sonmatricescolum nas fijas.Si elegim os b = (1, -1, -2, 3)' sigue siendo el sistem a consistente? Solución. Transform ando la matriz aum entada (AIB) a su forma escalonada se ( A I B ) * F,2(-1) F ,3(-2) F,4(-3) tiene: 2 3 -1 1 1 5 -1 -2 -1 2 2 -3 3 1 -3 4 1 -2 -2 3 0 7 1 -5 0 7 3 .-5 0 7 3 -5 -b 3 b2 + b3 b, +2b3 b. +3b. Fg3(-1) F,4(-1) 1 - 2 - 2 3 1 5 - 1 - 2 2 3 - 1 1 3 1 - 3 4 1 - 2 - 2 3 0 7 1 - 5 0 0 2 0 0 0 2 0 -b3 b2 b, b. *b 3 b2+ b3 b r b2+b3 2 b 3*b 2+ b 4 J F 34(-1) ' 1 -2 -2 3 -b3 1 0 7 1 -5 b2 + b3 0 0 2 0 b ,' b2 + b3 0 0 0 0 -b , + b3 + bJ = E ‘ Vem os que p (A) = p (E) = 3 y p(E') = 4. luego, para que el sistem a se a consistente se debe tener que p (A) = p (AIB), esto es: -b, + b3 + b4 = 0 => b, = b3 + b4 Por lo que: b = (b3 + b4, b2, b3, b4)' = b2 ( 0, 1 ,0 ,0 )' + b3 ( 1,0, 1,0 )' + b 4 ( 1,0,0, 1 )' (1 ) donde b2, b3y b4 son los parámetros libres y los vectores colum na (0, 1, 0, 0)' ,(1,0, 1.0)' y (1, 0, 0, 1)' forman una base de b. Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales 453 Dado que b se debe expresar com o una combinación de U y V, verem os las posibi lidades correctas que existe en (1) haciendo b2= 0, b3= 0 y b4 = 0. Si hacem os b2= 0, entonces : r = b3 y s = b4 ó r = b4 y s = b3. Por lo que : b = rU + sV = r (1, 0, 1, 0)' + s (1, 0, 0, 1)1 ó =s (1, 0, 1, 0)' + r (1, 0, 0, 1)* Si b3 = 0 = > r = b 2 y s = b 4 ó r = b4 y s = b2 => b = rU + sV = r(0, 1 ,0,0 )' + s (1,0,0, 1)' ó = s (0, 1,0,0 )' + r (1,0,0, 1)' Si b. = 0 => r = b2 y s = b3 ó r = b3 y s = b2 =* b = r (0, 1, 0, 0 ) '+ s (1, 0, 1,0)' = s (0, 1,0,0)' + r (1,0,0, 1)' Cualquiera de las se is posibilidades es correcta, pues en cada una de ellas se cumple la relación b, = b3 + b4. Si elegim os b = (1, -1, -2, 3)', en donde b,=1, b3= -2y b4 = 3, vem os que también satisface dicha relación. Por lo tanto, elsistem a sigue siendo consistente. ® ¡ Ejemplo 1 1 J Investigar la consistencia y hallar la solución general del sistema 2x, - x 2 + x3 + 2x4 + 3 x 5 = 2 6x, - 3 x 2 + 2 X3 + 4x4 + 5xs = 3 6x, - 3 x 2 + 4x3 + 8 x 4 + 13 X5 = 9 4x, - 2x2+ x 3 + x4 + 2 x s = 1 Solución. Reduciendo la matriz aumentada (AIB) a su forma escalonada se tiene: (AIB) = F 32('l)[ F4(-1) F 3(-1) 2 -1 1 2 3 2 F,2(-3) r 2 -1 1 2 3 N 2 6 -3 2 4 5 3 F,3(-3) 0 0 -1 -2 -4 -3 6 -3 4 8 13 9 0 0 1 2 4 3 , 4 -2 1 1 2 > F,4(-2) . 0 f 0 -1 -3 -4 -3J 2 -1 1 2 3 2 p 2 -1 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 *24 0 0 1 3 4 3 0 0 1 2 4 3 F3H-I) 0 0 1 2 4 3 l 0 0 1* 3 4 3> l o 0 0 0 0 o j f 2 -1 0 0 -1 - r F32(3) "2 -1 0 0 -1 -1' 0 0 1 3 4 3 0 0 1 0 4 3 0 0 0 -1 0 0 f3(-D 0 0 0 1 0 0 , 0 0 0 0 0 0 . ,0 0 0 0 0 0, = E ‘ O bsérvese que p (E) = p (E 1) = 3 =» p (AIB) = 3, luego el sistem a e s consistente, Adem ás com o n > r, hay m ás de una solución y el número de variables libres o parámetros e s p = n - r = 5 - 3 = 2.
- 234. 454 Capítulo 8: Matrices De la última matriz obtenem os : 2x, - x2 - x5 = -1 , x3 + 4x5 = 3 , x4 = 0 Si designam os por x, = r , x2 = s a las variables libres, entonces 2r - s - x5 = -1 =* x5 = 1 + 2r - s ; x3 = 3 - 4 ( 1 + 2r - s ) = -1-8r + 4 s Por lo tanto, la solución general del sistem a está dada por le vector columna X = ( r, s, -1 - 8r + 4s, 0 , 1 + 2r - s )' g E jem plo 1 2 ^ Dado el siste m a : x, + + 2x3 = 1 ~ ” x, + x2 + (4a + 2) x3 = 1 2x, + ax2 + 5x3 = 2 3x, + ax2 + 7x3= b Hallar los valores de a y b, para que el sistem a tenga solución única. Solución . Reduciendo la matriz aumentada (AIB) a su forma escalonada se tiene: f 1 0 2 1 'i F *(*1) f 1 0 2 1 'j 1 1 4a+2 1 0 1 4a 0 (AIB) = 2 a 5 2 F ,3(-2) 0 a 1 0 3 V a 7 b F ,4(*3) 0 V. a 1 b-3 F 23(-a) f 1 0 2 1 'i f 1 0 2 1 ^ 0 1 4a 0 0 1 4a 0 F 24(-a) 0 0 1-4a2 0 f 34(-i ) 0 0 1-4a2 0 0 0 1-4a2 b-3 0 0 0 b-3 ^ ✓ E El sistem a tendrá solución única si y sólo si p (E) = p (E ‘) = n = 3. Luego, para que p (E) = 3 se debe cumplir que 1 - 4a2 * 0 <=> a * ± 1/2 y para que p (E ‘) = 3 es necesario que b - 3 = 0 = ^ b = 3. En consecuencia, el sistem a tiene solución única <=> b = 3 y a e R - {-1/2, 1/2} - Ejem plo 13 J Determinar para quevalores d e a y b, el sistem a de ecuaciones 2x + 3y - z = 1 x - y + 2z = -b x - 6y + az = -10 según sea el caso, tiene solución única, tiene infinitas soluciones o no tiene soluciones. Solución . Escribam os la matriz ampliada ( A I B ) y transformémosla a la forma escalonada. Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales 455 2 3 -1 1 1 -1 2 -b ' (AIB) = 1 -1 2 -b 2 3 -1 1 [ 1 -6 a -10 J 1 -6 a -10 J F 2(-2) 1 -1 2 -b 1 -1 2 -b 0 5 -5 1+2b F23(1) 0 5 -5 1+2b F,3(-1) 0 -5 a-2 b-10 0 0 a-7 3b-9 J F„(1/5) 1 -1 2 0 1 -1 0 0 a-7 v -------' E (1+2b) / 5 3b-9 = E ’ a) Si a * 7 y b * 3, entonces : p (E) = p (E ‘) = n = 3, el sistem a tiene solución única. b) Si a * 7 y b = 3, entonces p (E) = 3 y p (E 1) = 2. com o p (E) * p (E 1), el sistem a no tiene solución (inconsistente). c) Si a = 7 y b = 3. entonces p (E) = p (E ’) = 2 < n, luego, el sistem a tiene infinitas soluciones. ■ Ejemplo 14J Una Agencia de Turism o está organizando una excursión y ha cursado una invitación a los alum nos del curso de M B 2 (Mate mática Básica 2), mediante las especificaciones siguientes 1. S e tienen cupos para alumnos matriculados en M B 2 por primera vez (grupo A), segunda vez (grupo B). tercera vez (grupo C) y cachim bos invitados (grupo D). 2. Si participan de la excursión los cuatro podrían asistir 70 personas. 3. Si dejan de asistir losalumnos del grupo A, se podría duplicar el cupoparalos del grupo B mantenimiento elresto de los cupos y podrían participar 90 personas. 4. Si dejan de asistir los alum nos del grupo C, se podría duplicar el cupo para los del grupo A, triplicar el cupo para los del grupo B, manteniendo el cupo del grupo D y en este caso podrían participar 90 personas. S e pide : a) Analizar la compatibilidad del sistem a b) Calcular el m ayor número de cachim bos que se pueden invitar. Solución. Se gú n las especificaciones de la invitación, planteamos el siguiente sistema: A + B + C + D = 70 0 + 2 B + C + D = 90 2 A + 3 B + 0 + D = 90
- 235. 456 Capítulo 8: Matrices a) Para analizar la compatibilidad del sistema debemos reducir la matriz amplia da (AIB) a su forma escalonada, esto es: (AIB) = F32(-2)| FV(-1) F-(1/5) S’ 1 1 1 1 70 ' r 1 1 1 1 70 " 0 2 1 1 90 F ,3(-2) 0 2 1 1 90 w 2 3 0 1 9 0 , l 0 1 -2 -1 -50 „ f 1 0 3 2 1 2 0 ' r 1 0 3 2 120" 0 0 5 3 190 0 1 -2 -1 -50 k 0 1 -2 -1 -50 j w 0 0 5 3 1 9 0 , r 1 0 3 2 120' F 2(2) r 1 0 0 1/5 6 ' 0 -1 -2 -1 -50 3 ' 9 0 1 0 1/5 26 . 0 0 1 3/5 3 8 , f 3’(-3) 1 0 0 1 3/5 3 8 , = E' b) Vemos que p (E) = p(E') = 3 =* p (A) = p (AIB) = 3; por lo que, el sitema es compatible o consistente, además como el número de incógnitas (n = 4) es mayor que el rango, entonces existe más de una solución y el número de variables libres e sp = n- r = 4 - 3 = 1 . De la última matriz: A + 1/5 D = 6 => D = 5 (6 - A) B + 1/5 D = 26 => D = 5 (26 - B) C +3/5 D = 38 =* D = 5/3(38-C) La designación de D como la variable libre permite ver claramente que A < 6 , B < 26 , C < 38 El mayor número de cachimbos que se puede invitar ocurre cuando el grupo B deja de asistir, esto es, si B = O, entonces : D = 5 ( 26 - O ) = 130 ■ 8.14 ) S IS T E M A S H O M O G EN EO S DE E C U A C IO N E S L IN E A L E S Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos constantes son cero, es decir, si el sistema tiene la forma Sección 8.14: Sistemas liomogeneos de ecuaciones lineales 457 Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales es consistente, dado que x, = O, x2 = O, ........ xn = O es siempre una solución. Esta solución se conoce como solución trivial, si existe otras soluciones, a estas se llaman soluciones no triviales. A simple vista es posible asegurar que un sistema homogéneo tiene soluciones no triviales, si es el caso que el sistema tiene más incógnitas que ecuaciones. Ejemplo 15j Resolver el sistema homogéneo Solución (AIO) x, - 2xz + 3x3+ x4= O 3x, - 5x2+ 4x3+ 2x4= O 4x, - 9x2+ 17x3 + 5x4= O Transformando la matriz ampliada (AIO) a la forma escalonada se tiene: 1 -2 3 1 ° 1 F ,2(-3) f l -2 3 1 ° 1 3 -5 4 ? 0 0 1 -5 -1 0 4 -9 17 5 0^ F ,3(-4) p 1 ° -1 5 1 0 y 1 -2 3 1 O'] r 1 0 -7 -1 ° 1 0 1 -5 -1 0 F 2’(2) 0 1 -5 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = E' Como p(E) =p (E1) =2 y el número de incógnitas (n = 4) es mayor que el rango, enton ces existe infinitas soluciones. El número de variables libres esp = n- r = 4- 2 = 2. El sistema de ecuaciones correspondientes a la matriz E‘es x, -7x3- x4= O Xj, -5x3- x4= O Si desiganmos a las variables libres por x3 = t, y x4 = t2 , el conjunto solución del sistema es x, = 7t, + t2 , x2= 5t, + t2 , x3= t, , x4= t2 y la notación vectorial, solución general del sistema, está representado por el vector columna X = (7t, + 12 , 5t, + t2 , t1( y * = t,(7,5,1,0)« + t2(1,1,0, 1)‘B I O B S E R V A C IO N 8.14 Sea S c K" un conjunto de todas las soluciones de un sistema homogéneo. Cualquier base en el conjunto S con siste de n - r vectores e , , e ; . e n. f . Un sistema de vectores columna E 1. E 2,
- 236. 458 Capitulo 8: Motrices ........, E n r , correspondiente al conjunto citado en la base canónica, se denimina sistemafundamnetal de soluciones. La solución general del sistema homogéneo tiene por expresión ^ = *1 + *2 ^2 + ........ + V r ^n-r donde t,, t2, .......... t n tson constantes arbitrarios o parámetros. Así, de la solución general del ejemplo anterior podemos hallar el sistema funda mental de las soluciones básicas : E.= Con la utilización del sistema fundamental, la solución general del ejemplo puede ser escrita en la forma 7 1 5 1 , E = 1 • 2 0 , 0 . . 1 - X = t, E , + t2 E2 ! Ejemplo 16^ Resolver la ecuación matricial AX = X, donde X es una matriz columna y Solución . Si AX = X ' 2 2 4 -3 A 3 6 6 -4 M 4 5 -1 3 3 8 24 -18 ( A - I ) x = 0 ’ 1 2 4 -3 ' r 3 5 6 -4 4 5 - 2 3 3 8 24 -19 Se trata de resolver un sistema homogéneo. En este caso bastará hallar el rango de la matriz (A - 1) reduciéndola a su forma escalonada, esto es F,(-1) , F3(-1/3) F4(1/2) f f 1 2 4 -3 F,2(-3) r 1 2 4 -3 3 5 6 -4 F,3(-4) 0 -1 -6 5 4 5 -2 3 F,4(-3) 0 -3 -18 15 3 8 24 -19 l 0 2 12 -10 1 2 4 -3 F23(-1) 1 0 -8 7 0 1 6 -5 F24(-1) 0 1 6 -5 U 1 6 -5 F ’,(-1) o o ü 0 ( 0 1 6 -5 J l 0 0 0 0 J = E‘ Sección 8.14: Sistemas Iwmogeneos de ecuaciones lineales 459 Vemos que p (E1) = p (A - 1) = 2 < 4 (número de incógnitas), por lo que el sítema tiene infinitas soluciones y existe p = n - r = 4 - 2 = 2 variables libres. De la última matriz formamos el sistema x, - 8X3 + 7x4 = 0 x2+ 6X3 - 5x4 = 0 Designando por x3 = t, y x4 = t2 a las variables libres, entonces x, = 8t, - 7t2 , x2= 6t, + 5t2 Por lo tanto, la solución general de la ecuación matricial está dada por el vector columna : X = ( 8t„ -7t2, -6t, + 5t2, t,, g * = t, (8, -6, 1,0)' + t2(-7, 5, 0, 1)> =', E, + *aE,. " Determinar el valor del parámetro«, para los cuales el sistema dado tiene soluciones no triviales y hállese estas soluciones + a x2 + 2x3 = 0 4x, - x, + 7x3 = 0 2x, + Xj ■+* 3x 3 = 0 Solución. Reduciendo la matriz de los coeficientes a su forma escalonada, se tiene: A = F„(-1/3) a -1 1 F,2(*4) F,3(-2) 1 a 2 1 a 2 ' 0 -1 -4<i -1 F32(*2) 0 -3 1 0 -1 -2a -1 0 1 -2a -1 1 a 2 * 1 a ■N . 2 0 1 -1/3 F23(2a-1) 0 1 -1/3 _ 0 <[-2« 1 0V 0 -2/3(«+1) y = E' Para que el sistema tenga soluciones no triviales es necesario que p (E1) = 2, ya que el número de incógnitas del sistema es n = 3. Luego, si p (A) = 2 -> - 2/3 (a + 1) = 0 c* a = -1 1 -1 2 1 0 5/3 11 UJ 1í 0 1 -1/3 F/(1) 0 1 -1/3 .0 0 0 , k 0 0 0 . De la última matriz obtenemos : x, + 5/3 X3= 0 , x2-1/3 x3= 0 Si designamos x3 = t, como la variable libre, entonces: x, = (-5/3)1, , x2 = (1/3)t, X = t, (-5/3, 1/3, 1)' = t,E,
- 237. 460 Capítulo 8: Matrices Ejemplo 18 J Resolver el sistema : X 'A = X ', donde A = 2 2 1 3 " 2 5 2 6 -1 -3 -1 -5 3 8 5 14 , y X es una matriz columna. Solución . Tomando la transpuesta a cada miembro del sistema dado, se tiene (X’ A)' = (X-)« « ( A1 1 ) x = 0 r 1 2 -1 3 ' x, ' 0 ) 2 4 -3 8 x2 0—> 1 2 -2 5 X3 0 v 3 6 -5 13 J x4J . 0 J Como se trata de un sistema homogéneo calculamos el rango de la matriz ' 1 2 -1 3 l F12(-2)> ' 1 2 -1 3 ' 2 4 -3 8 F,3(-1)( 0 0 -1 2 A '- I = 1 2 - 2 5 0 0 -1 2 < 3 6 -5 13 . F/(-3)f , 0 0 -2 4 , f 23(-D ' 1 2 -1 3 ' ' 1 2 0 1 ' 0 0 -1 2 0 0 -1 2 F24(-2) 0 0 0 0 F2’(*1) 0 0 0 0 l 0 0 0 0 , k 0 0 0 0 J = E' Vemos que p (E‘) = 2 < 4 ( número de incógnitas), entonces hay infinitas soluciones y el número de variables libres e sp = n - r = 4 - 2 = 2. De la matriz E‘formamos el sistema : x, + 2x, + x = 0: -x, +2x = 0i 2 4 ' j 4 Haciendo x2= t, y x4= t2 => x, = -2t, - 12 y x3= 2t2 Por lo que : X = ( -2t,-1,, t, , 2t2 , t2 )' = t,(-2, 1 ,0 ,0 )' + |2 ( -1,0, 2 ,1 )' = t,E, + t2E2 ■ EJERCICIOS . Grupo 47 En los ejercicios 1 al 3, suponiendo que la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales se ha llevado, mediante transformaciones por filas, a la forma escalonada que se indica; resolver el sistema. ✓ 1 2 -4 2 2. f 1 0 4 7 10 ' 3. f . 1 1 3 5 -2 ' 0 1 -2 -1 0 1 -3 -4 -2 0 1 2 -1 3 ,0 0 1 2 . . 0 0 1 1 2 . , 0 0 1 2 -1 > EJERCICIOS: Grupo 47 461 En los ejercicios 4 al 9, resolver los sistemas de ecuaciones dados mediante trans formaciones elementales 4. x, - x2 + X3= 4 2x, + x 2 - 3 x3= 0 x,+ x2 5. 2x. + 3x. + x3= 2 *3 = 9 3x, + 4 x2+ 2 x 3= 0 x, - 6 x2 - 5 x 3= -9 7. 8. 2x. + x 8x 4x 5x 6x x x3 = 8 - x2 - 3 x3= 26 + x2+ 4 x3= 8 - 2x2+ x3 = 3 + x2- 4 x 3 = 62 + 2x2+ x3 = 1 5 6. 2x, + x2- x., = 5 x? + 2 x3 = -10 x, - 2Xj - 4 x 3= -3 9. x, - 3 x 2+ 12x3 = 6 2x, + 10x2- 4 0 x 3 = -4 -4x, - 7 x2+ 4 ^ = -31 En los ejercicios 10 al 16, investigar la compatibilidad y hallar, si es posible, la solu ción general de los sistemas dados: 10. 3x, - 2 x2- 5 x 3+ x4= 3 2x, - 3x 2 + x. + x„ x3+ 5 x4= -3 - 4x,= -3 x, - x2- 4 x 3+ 9x4= 22 14. x, - 2xz + 2x3 3x, + 2 x 2 - x3 2x. + 3 x 2 - - x =-144 + 2 x4= 17 - x. = 18 2 x t - 5 x 2+ 3x3+ 3 x4= -26 11. 9 x 1- 3 x 2+ 5x3 + 6x4 = 4 6x, - 2 x 2+ 3X3+ 4 x 4= 5 3x, - x2+ 3 x3+ 14x4 = -8 15. x, + Xj + x3+ x4= 2 2x, + x - x 3 - 3x4= 14 x, - 3x2 - 2x3 3x. x4- 3 5x. + 2x_ + 2x, = -15 12. 13. x, - 2x2 + x3 - 4x4 = 1 x, + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2 x, - 12x2 - 11x2 - 16x4= 5 3x, - 5 x 2+ 2x3 + 4x4 = 2 7x, 4x2 + x3 + 3x4 = 5 5x, + 7x2 - 4x3 - 6x4= 3 16. -x, + X2 + 2x3 + x. = 4 2x, - 2x2 + x3 + 3x4 = 2 3x, - 3x„ + x, + 3x = 3 x, - x, + x, - x, = 5 En los ejercicios 17 al 20, investigar la compatibilidad y hallar la solución general de los sistemas dados. 17. 3x, 2x2 - 5 xa + x4= 3 2x, - 3 x 2+ x3+ 5 x4= -3 x, + x. - 4x = - 3 x, - x2 - 4 x3 + 0 x 4 = 2 2 19. x. + x„ - x, + x„ - xs = 5 2x, + 2 x r - 2 x 3 + x4+ 3 x5= 2 -x. + x3 + 2x4+ x5= 4 3x, + 3 x 2 - 3x3 + x. + 3x. = 3
- 238. 462 Capítulo 8: Matrices 18. 4x, + 2x2- 3x3 = 4 20. x, + x2- 2x3 + x4+ 3x5= 1 x, - x3 - 2 x 4 =1 2x, - x2 + 2x3 + 2x4+ 6X5 = 2 3x, + 4x2 - 4x, + x4= 0 3x, + 2x2 - 4X3- 3x4- 9x5= 3 2x, - 3x2+ x3 + 3x4= 1 4x, + x2- 2x3 + 4x4+ 12x5 = 4 En los ejercicios 21 al 24, investigar la consistencia y hallar la solución general en función del valor del parámetro X. 21. Xx,+ Xj+ x3+ x4 = 1 23, (1+X)x,+ x2 + x3 =1 x, + Xx2 + x3+ x4= 1 x, + (1 + X )x 2+ x3=1 x, + x2+ Xx3+ x4= 1 x, +x2+ (1+X)Xg = 1 x, + x, + x_ + X x,= 1 22. 2x, - x2+ 3x3+ 4x4= 5 24. 5x, - 3x2+ 2x3+ 4x4 = 3 4x, - 2Xj + 5x3+ 6x4= 7 4x, - 2x2+ 3x3+ 7x4= 1 6x, - 3x2+ 7x3+ 8x4= 9 8x, - 6x2* x3-5x4 = 9 Xx, - 4x2+ 9x3+ 10x4= 11 7x, - 3x2+ 7x3+ 17x4 = X En los ejercicios 25 al 28, hállese el sistema fundamental de soluciones y la solución general de los sistemas dados 25. 2x, - 4x2+ 5x3+ 3x4= 0 27. 3x, + 4x2+ x3+ 2x4+ 3xs = 0 3x, - 6x2+ 4x3+ 2x4= 0 5x, + 7x2 + x3+ 3x4+ 4xs = 0 4x, - 8x2+ 17X3 + 11x4 = 0 4x, + 5x2 + 2x3+ x4+ 5xs = 0 7x, + 10x2 + x3+ 6x4+ 5xr = 0 26. 3x, + 2x2+ x3+3x4+ 5x. = 0 6x, + 4x2+ 3x3+5x4+ 7x5= 0 9x, + 6x2+ 5x3+7x4+ 9 x 5= 0 3x, + 2 x ? + 4x3 + 8x5= 0 28. x, + x 2 - 3x4 - 2x5= 0 x, - x2 + 2x3- x4+ 2x5= 0 4x, - 2x? + 6x3+ 3x4+ xs = 0 2xl + 4x2 - 2x3+ 4x4+ x5= 0 29. Determinar los valores del parámetro a, para los cuales los sistemas dados tiene soluciones no triviales y hállese estas soluciones a) a2x, + 3x. + 2x3= 0 ax, - x2+ x3= 0 8x, + x2+ 4x3= 0 b) 2x, + x2 + 3x3= 0 4x, - x2+ 7x3= 0 x, + ax2 + 2x3= 0 EJERCICIOS : Grupo 47 463 30. Aclárese si las filas de cada una de las matrices: 30 -2 4 4 3 50 N -5 ' 4 2 9 -20 -3 A = 9 -1 5 8 5 2 , B = 1 -11 2 13 4 k 4 2 9 -20 -3 0 . , 9 -15 8 5 2, forman un sistema fundamental de soluciones para el sistema de ecuaciones 3x, + 4x, + 2X3 + x4+ 6xs = 0 5x, + 9 x r + 7x3+ 4x4+ 7x5 = 0 4x. + 3x, x4+ 11 x5 =0 x, + 6x2+ 8x3+ 5 x4 4x5 = 0 I Nota . Dado un sistema no homogéneo AX = B, la solución general de este sistema puede obtenerse como una suma de la solución general del correpondiente sistema homogéneo AX = 0 y una solución particular arbitraria del sistema no homogéneo. Esto es X = X0+ t,E, + tjEj + t3Ej + ........... En los ejercicios 31 al 34, hállense las soluciones generales de los sistemas no homogéneos, haciendo uso del sistema fundamental de soluciones de los sistemas homogéneos correspondientes. x3 - x4 + x5=131. . 2x, + x. x, - Xj + x 3+ x4- 2xs = 0 3x, + 3x2- 3X3- 3 x4+ 4 x5= 2 4x2+ 5 x2- 5 x 3- 5 x 4+ 7 x5= 3 33. 2x, - 2x2+ x3- x4+ x, + 2x2- x, + x - Xs=1 2xs = 1 4x, - 10x2+ 5x3 - 5 x4 + 7x5= 1 2x, - 14x2 + 7 x3 - 7x4 + 1 1x5= 1 32. X 4 + X 5 - X 6 = 1 2x, - 2x2+ 2X3+ x4- xs + x6= 1 34. x, + 2x2+ 3 x3+ 4x4+ 5x5= 0 x, - 2x2- 3x3- 4x4- 5xs = 2 2x2+ 3x3+ 4x4+ 5xs = -1 35. Una fábrica posee tres máquinas A, B y C, las cuales trabajan en un día, duran te 15, 22 y 23 horas, respectivamente. Se producen tres artículos X, Y y Z en estas maquinas, en un día, como sigue : una unidad de X está en A durante 1 hora, en B durante 2 horas, en C durante 1 hora; una unidad de Y está en A durante 2 horas, en B durante 2 horas, en C durante 3 horas; una unidad Z está en A durante 1 hora, en B durante 2 horas; en C durante 2 horas. Si las máqui nas se usan a máxima capacidad, durante un día, hallar el número de unidades de cada artículo que es posible producir.
- 239. 465 D€T€ftMINftNT€S 9.1 ) DEFINICION Determinante es un número real o escalar asociado a una matriz cuadrada A, que se denota por: I A I , det ( A ) , D ( A ) El determinante de una matriz es un sólo número real y su cálculo depende del orden de la matriz cuadrada en particular. Así, para una matriz cuadrada A de orden 2, este número se define como D ( A ) = Por ejemplo, el determinante de la matriz A= a I K - a l2 a , X a ¡: — a,, a,, - a,, a,, 4 -3 l 2 (!) es D(A) =4 -3 l 2 = 4(2)- l (3) = 8 + 3 = ll El cálculo del determinante de una matriz de orden 3 es un tanto más complicada, pues su valor se define como D(A) = »u a». 3|2 a22 a,< 3:? = au a:. a}} + ai2 a2J a„ + a« a?.’ aU * 3ji ao ai) aM a a„ - a«2 a,, a,, - a.i au a»
- 240. 466 Capitulo 9: Determinantes FIGURA 9.1 FIGURA 9.2 Por ejemplo, si A = su determinante es D (A) = (2) (4) (-2) +(1) (-4) (3) +(-1) (-3) (5) -(3) (4) (5) - (-3) (-4) (2) -(-1) (1) (-2) = - 16 -12 + 15 - 60 - 24 - 2 = -91 Hemos visto que el cálculo del determinante de una matriz de orden 3se hace un tanto laborioso y podemos pensar que la obtención del determinante de una matriz de orden n ofrece ciertas dificultades; por lo que es conveniente estudiar previa mente algunas propiedades del determinante considerado como una función sobre el conjunto de matrices de orden 2. Se calcula a s í: Uno de los tres sumandos que figuran en el segundo miembro con el signo más es un producto de elementos de la diagonal principal de la matriz A, cada uno de los otros sumandos es un producto de elementos situados en la paralela a dicha diagonal y un elemento opuesto del rincón de la matriz ( Figura 9.1 ) y los sumandos que figuran en el segundo miembro con el signo menos se construye de modo igual, pero esta vez respecto a la segunda diagonal ( Figura 9.2 ) (9.2 ) P R O P IE D A D E S DE LO S D E T E R M IN A N T E S PROPIEDAD 1 j Si A es una matriz cuadrada que tiene una linea ( fila o columna ) compuesto exclusivamente de ceros, entonces el determinante de la matriz es cero. En efecto, si A = D ( A ) = (a,, ) ( 0 ) * ( 0 ) ( a I2 ) = 0 Sección 9.2: Propiedades de los determinantes 467 | P R O P IE D A D 2 j Paridad de las filas y columnas de un determinante. El valor de un determinante no varía si este se transpone, es decir, si se cambia cada una de sus filas por la columna del mismo número. En efecto, sea A una matriz cuadrada y A’su transpuesta: Si A = a,2 => D(A) — a,, a22- a21 a12 "1 a2, a22 ✓ y A' = r a„ a2,' => D(A’) = a,, a22- a,2â21 ! CM aj" a22 J .*. D(A) = D(A') PRO PIED AD 3 ] Si dos líneas (filas o columnas) de una matriz A son idénticas, entonces el determinante de la matriz es cero. En efecto, si A = a a b b D(A) = (a)(b) - (b)(a) = 0 PRO PIED AD 4 J Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, entonces se cumple : a) Si B es la matriz que resulta de multiplicar una línea de A por un escalar k, entonces : D(B) = kD(A) En efecto, si A = a,, a,2 a2i a22 y b = rka„ a12 ka22 a22 II ' a„ a21 , entonces : D(B) = kan a22- ka21a12 = k (a,, a22- a21 a12) = k Según esta propiedad, un factor común de todos los elementos de una línea de un determinante puede ser separado como factor del determinante. b) Si B es la matriz que resulta de intercambiar dos líneas de A, entonces D(B) = -D(A) En efecto, si A = ' a„ a,2 y B = a,2 a,,' , entonces a21 a22 a 22 V. a21 = a,2a2, - a22a M — -(a,, a^ - a21 a,2) .-. D(B) = -D(A)
- 241. 468 Capítulo 9: Determinantes c) Si B es la matriz que se obtiene de A al trasladar una de sus líneas p lugares, entonces : D(B) = (-1 )p D(A) d) Si B es la matriz que resulta cuando un múltiplo de una línea de A se le suma a otra línea, entonces : D(B) = D(A) En efecto, si A = r > an a!2 II CQ >< v a2t a22 „ a,, + ka12 a12 a21 + kajj a22 , entonces: D(B) — a,, a22+ k3,2a ^ - 32, 3,2■ ks,2322 — 3,, ^22 ~^21 ^12 a„ + ka12 3,2 3,1 312 a¿, + ka22 322 32, a22 Esta propiedad es útil para calcular determinantes de matrices de cualquier orden. e) •Si los elementos de una línea de un determinante son iguales a la suma de p términos, el determinante se puede expresar como la suma de p determinan tes. En efecto a,, + c, a2, + c21 12 a22 — (a,, + c,,) a22- (a2,+ c21) a12 = a,, a22+ c,, a22- a21 a12- c21 a,2 = (a,, 822*a2i ai2)+ (c,, a22*^21 a,2) ai1+ c„ 3,2 ait 3,2 + c„ a,2 32, + C21 a22 321 322 c21 322 r EJEM PLO S ILUSTRATIVOS ejemplo 1 ^ Resolver la ecuación Cos 8x Sen 5x Sen 5x -Cos 8x = 0 i Solución. Por el desarrollo de un determinsnte de segundo orden se tiene : Cos 8x Sen 5x Sen 8x -Cos 5x = -Cos 8x Cos5x - Sen 8x Sen 5x = 0 Sección 9.2: Propiedades de los determinantes 469 de donde obtenemos : Cos ( 8x - 5x ) = 0 <=> 3x = k 71 + 71/2 « X CO ii + 7t/3k, 3 -2 1 1 X -2 < 0 -1 2 -1 : Ejemplo 2 j Resolver Is desigusldsd : Solución . Por dessrrollo del determinsnte de tercer orden se tiene : (-3x + 2 - 4 ) - ( -x + 2 - 12 ) < 0 <=> -3x-2 + x + 1 0 < 0 <=> -2x + 8 < 0 <=> x > 4 = > x e < 4 , + <»> ' 1 1 £ ' Ejemplo 3 j Cslcular el determinsnte de 13 mstriz A = 1 1 £2 , £2 £ 1 , donde e = Cos ( 2td 3 ) + i Sen ( 2:d 3 ) S olución. D(A) = 1 1 e 1 1 e2 e2 e 1 = (1 + £2+ £4) - (e3+ 1 + £3) = e4- 2 e3+ e2 = (e2 - e)2 e2= (Cos 2/3ti + i Sen 2/3 n )2 = Cos 4/3 n + i Sen 4/3 n = -1/2 - i V3 /2 e = Cos 2/3 k+ i Sen 2/3 rc= -1/2 + i ( 3 /2 )=* e2 - e = -V~3 i D(A) = (->/! i )2 = 3 i2= -3 f 1 2 3 ejemplo 4 j Hsllsr el determinsnte de l3 mstriz A = 4 5 6 , 7 8 9> Solución . Hsciendo uso de Iss propiedades 4e y 3 se tiene 1 2 2+1 1 2 2 1 2 1 D(A) = 4 5 5+1 = 4 5 5 + 4 5 1 7 8 8+1 7 8 8 7 8 1 = 0 + 1 1+1 1 4 4+1 1 7 7+1 1 1 1 4 4 7 7 1 1 1 1 1 1 D (A) = 0
- 242. 470 Capitulo 9: Determinantes Ejemplo 5 Demostrar la identidad a, + b,x a, - b,x c, a, b, c, a2 + b2x a2- b2x c2 = -2x a2 b2 c2 a3+ b3x a3- b3x c3 a3 b3 c3 Demostración . Sumando la segunda columna a la primera se tiene : 2a, a, - b,x c, 2a, a, c, 2a, - b,x c, 2a2 a2- b2x c2 = 2a2 a2 c2 + 2a2 - b2x c2 2a3 a3- b3x c3 2a3 a3 c3 2a3 - b3x c3 Por la propiedad 3, el primer determinante es cero. Del segundo determinante ex traemos los factores 2 y -x de la primera y segunda columnas respectivamente, y obtenemos : a, + b,x a, - b,x c, a, b, Ci a2 + b2x a2- b2x c2 = -2x a. b2 c2 aa + b3x a3- b3x c3 a. b3 c3 Ejemplo 6 j Demostrar que el determinante de la matriz A = se divide por x - y , x - z , z - y. 1 1 1 x y z ^ x2 y2 z2 Demostración. Bastará probar que el D(A) tiene como factores a x-y, x-z y z-y. En efecto, efectuando las operaciones C, - C2y C2- C3,obtenemos: D ( A ) = 0 x-y x2- y2 0 y-z y2- z2 = (x - y) (y2- z2) - (x2- y2) (y - z) = (x - y) (y - Z) (y + z) - (x + y) (x - y) (y - z) = (x-y) (y-z) [(y + z) - (x + y) ] = (x - y) (y - z) (z - x) Ejemplo 7 ] Hallar el determinante de la matriz A = 28 25 38 42 38 65 56 47 83 Solución . La primera columna ( C, ) admite el factor 14, luego, por la propiedad 4a, se tiene : EJERCICIOS: G rupo48 471 2 25 38 D(A) = 14 3 38 65 4 47 83 Haciendo uso de la propiedad 4d realizamos las siguientes operaciones con las columnas: -1 2 C ,+ C2 y -14C, + C3 2 1 0 0 1 0 D (A )= 14 3 2 8 -2C2+ C, D(A) = 14 -1 2 8 4 -1 7 6 -1 7 Finalmente, por el desarrollo del determinante de tercer orden obtenemos : D(A) = 1 4 (0 + 0 + 4 8 - 0 - 0 + 7 ) = 770 EJERCICIO S . Grupo 48 En los ejercicios 1 al 6, calcular el determinante de tercer orden 1. 3 4 -5 8 7 -2 2 -1 8 2. 1 i 1 + i -i 1 0 1 -i 0 1 3. 4. Sen a Cos a Sen p Cos P Sen y Cos y 5. a2+1 a P a 8 a p p2+1 p 5 a 8 p 8 82+1 a + x X X 6. Sen2a 1 Cos2a X b + x X Sen2P 1 Cos2p X X C + X Sen28 1 Cos28 7. Calcular el determinante de la matriz A = si e = Cos ( 4 n / 3 ) + i Sen (4;t/3). 8. Resolver las ecuaciones: a) 1 1 1 1 e e2 1 e2 e 3 X -X b) X x + 1 x + 2 2 -1 3 = 0 x + 3 x + 4 x + 5 x + 10 • 1 1 x + 6 x + 7 x + 8 = 0 9. Resolver la desigualdad : 2 x + 2 -1 1 1 -2 5 - 3 x
- 243. 472 Capítulo 9: Determinantes a, + b,x a,x + b, c, a, b, c, 10.Demostrar que : a2+ b2x a2x + b2 c2 = (1 * x2) a2 b2 c2 a3 + b3x a3x + b3 c3 a3 b3 c3 1 a a3 1 a a2 11. Demostrar que : 1 b b3 = ( a + b + c ) 1 b b2 1 c c3 1 c c2 (Sugerencia : Muéstrese que la última columna del determinante de partida puede ser representada en la forma / > a3 f N a2 / > a ✓ 1 b3 = ( a + b + c ) b2 - ( ab + ac + be ) b + abe 1 , c3 > > c2. . c > . 1 , y hágase uso de esta representación) 12. Demostrar que el determinante x + y y x2- xy + y2 13. Constrúyase la gráfica de la función : y = X y x + y y x +y X se divide por x + y X y b - a X X2 1 a a2 1 , a * b b b2 1 En los ejercicios 14 al 19. usando propiedades, calcular el valor de cada deter minante. 14. 15. 24 8 32 16. 67 19 21 18. 108 142 42 47 15 59 39 13 14 128 153 53 53 17 65 81 24 26 138 164 64 3 6 12 17. 66 18 21 19. 245 427 327 35 37 34 42 14 16 1014 543 443 23 26 25 75 23 25 -342 721 621 En los ejercicios 20 al 25, utilizando propiedades, demuéstrece las identidades dadas. 20. X a 1 21. 1 a a2 a X 1 = (x - a) (x - b) 1 b b2 a b 1 1 c c2 = (a - b)(b - c)(c-a) Sección 9.3: Existencia de los determinantes 473 22. 1 1 1 a b c = a3 b3 c3 23. 1 1 1 a2 b2 c2 = a3 b3 c3 24. 1 a2 a3 1 b2 b3 = 1 c2 c3 25. an + b np + q bn + c nq + r en + a nr + p = (a + b + c ) ( a - b ) ( b - c ) ( c - a ) = (ab + ac + b c ) ( a - b ) ( b - c ) ( c - a ) = ( ab + be + ca ) 1 a a2 1 b b2 1 c c2 nx + y ny + z nz + x = ( 1 + n3 ) a p x b q y c r z E X IS T E N C IA DE LO S D E T E R M IN A N T E S Para demostrar la existencia de los determinantes definidos sobre el con junto de matrices cuadradas de orden n, K " , introduciremos la idea de sub matriz, que anotaremos del siguiente modo : Si A = [ aJ es una matriz de orden n x m, sea A,, la sub matriz de orden (n -1) x (n -1) que se obtiené de A al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna. Veremos inicialmente el caso de los determinantes de las matrices de tercer orden. Sea la matriz : A = [ a,, ] = au a2j ^31 a22 a32 a,3 a23 a33 Las sub matrices correspondientes a la primera columna vienen dadas por A,, = Ao, — A.., — a22 a¡ a32 a: a )2 a a32 a- a12 a a22 a¡ (Matriz obtenida al eliminar la primera fila y la primera columna) (Matriz obtenida al eliminar la segunda fila y la primera columna) (Matriz obtenida al eliminar la tercera fila y la primera columna) Ahora bien, definimos el determinante de la matriz A mediante la fórmula:
- 244. 474 Capitulo 9: Determinantes D (A )= a„ - a, at2 a32 + 3-i a,2 a« a,3 (2) Donde cada término de la suma es el producto de un elemento de la primera co lumna de la matriz por el determinante de la matriz de segundo orden que se obtiene al eliminar la fila i y la primera columna, anotando el signo correspondiente a este término. La suma que define una función determinante sobre el conjunto de las matrices cuadradas de tercer orden se puede escribir como : D(A) — a1t D (A,,) - a21 D(A21) + a31 D(A31) (3) Ejemplo 1 Calcular el determinante de la matriz A = Solución. Haciendo uso de la fórmula (3) se tiene : D(A) = 2 D (A„) - 1 D (A21) + 5 D (A31) 1 2 1 -3 1 -3 = 2 4 5 4 5 + 5 1 2 = 2 ( 5 - 8 ) 2 1 -3 1 1 2 5 4 5 (5 + 12) + 5 (2 + 3 ) = 2 La fórmula (3) tiene múltiples generalizaciones, por lo que su discusión requiere el establecimiento de nuevos conceptos y la introducción de una terminología apropiada. í 9.3.1 ) M E N O R DE U N A C O M P O N E N T E Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces el menor del ele mento atl se denota por M,, y se define como el determinante de la sub matriz (n-1) x (n-1) de A que se forma supriminedo todos los elementos de la fila i y todos los elementos de la columna j. I O BSERVA CIO N 9.1 De una matriz de orden m x n se puede formar Ckm• Ck„ menores de orden k, y de las matrices cuadradas de orden n se puede formar Ckn• Cknmenores que k. Cknes el número de combinaciones de n objetos tomados de k en k, y se calcula por la fórmula : Sección 9.3: Existencia de los determinantes 475 k! ( n-k )! Asi, para la matriz del ejemplo 1, se puede formar C23• C23= 3 x 3 = 9 menores de segundo orden 2 1 2 -3 1 -3 1 1 1 2 1 2 2 1 - 2 -3 1 -3 5 4 5 5 4 5 1 1 1 2 1 2 5 4 5 5 4 5 9.3.2 ) CO FACTO R DE U N A C O M P O N E N T E El cofactor de una componente a ,,, denota por A jjf está definido por A IJ = (-1)'*i(M „) Es decir, el cofactor de la componente a,, es el menor M,, con el signo prefijado (-1)**' Por ejemplo, para la matriz de tercer orden, A = 2 - 1 5 1 3 1 1 3 4 7 ) , los menores y cofactores correspondientes a las componentes de la primera fila son, respectiva mente: M„ = M 12= M., = 3 1 4 7 1 1 3 7 1 3 3 4 A,,= (-1 )'+' a ,2= ( -i r 2 a í3 = (-1 r 3 3 1 = + 3 1 4 7 4 7 1 1 1 1 3 7 3 7 1 3 = + 1 3 3 4 3 4 Como se puede observar, los signos de cada cofactor está configurado de la si guiente manera : + - + — + — + - +
- 245. 476 Capítulo 9: Determinantes Ahora bien, la fórmula ( 3 ): D(A) = a n D(A,,) - a2, D (A^) + a31 D(A31) establece que el determinante de la matriz A es el producto interno de los vectores ( a „ , a , , ) • [ ( - 1 )'*’ D (A „ ), ( - 1 )**' D(AS1) , ( - 1 )’ •' D(A„) ] donde los elementos del primer vector, son los elementos de la primera columna de A y los elementos del segundo vector son los cofactores de los elementos corres pondientes a la primera columna de A. Es evidente que este resultando es cierto para cualquier fila o columna de A. Podemos afirmar entonces que, el determinante de una matriz 3 x 3 se puede obtener de 6 maneras diferentes, al tomar las compo nentes de cualquier fila o columna de la matriz y multiplicar cada una de estas componentes por su cofactor y sumando los resultados. Enseguida una generalización para determinantes de matrices de n x n en términos de determinantes de matrices (n - 1) x (n - 1). Para cada 1< i < n y cada 1< j < n , se define: D(A) = (-1)1*1a„ D(A„) + (-1)2*1a2|D(A2|) + .... + (-1)"** an|D(An|) (Desarrollo por cofactores a lo largo de la j-ésima columna ) Haciendo uso de la anotación correspondiente a las sumatorias para los que i varía de 1 a n, se tiene D(A)= 2 (-1 )‘*'aHD(A„) i=I (4) Del mismo modo, se tiene que : D(A) = (-1y a * D(Aj,) + (-1)U2 al2D(A¡2) + .... + (-1)■♦" a,n D(Aln) ---------------------------------------------------- ---------------- ■ ■- -s ( Desarrollo por cofactores a lo largo de la i-ésima fila ) Expresando en forma de sumatoria, en las que j varía de 1 a n, se tiene : D ( A ) = ¿ (-1)M afl D(Aq) ¡=i ( 5 ) Cada una de las sumas (4) es el producto escalar de una columna de A con el vector cuyos elementos son los cofactores asociados. Cada una de las sumas (5) es el producto escalar de una fila de A con el correspon diente vector cofactor. Sección 9.3: Existencia de los determinantes 477 Las fórmulas ( 4 ) y ( 5 ) reciben el nombre de expansión o desarrollo de un determi nante por menores. /■ / 2 -1 5 Ejemplo 2 Hallar el determinante de la matriz A = 1 3 1 3V. 4 7 / 3 1 -1 5 -1 5 4 7 - 1 4 7 + 3 3 1 de dos formas distintas. Solución . Aplicando la expansión por la primera columna, para j = 1,en la fórmu la (4), se tiene : D ( A ) = ¿ (-1)'” a„ D(A„) i= I => D(A) = (-1 )U1 a,, D(A„) + ( -1 )2*1a2, D(A21) + (-1)3*1a3, D(A31) = 2 = 2 ( 21 - 4 ) - ( -7-20 ) + 3 ( -1 -15 ) = 13 Aplicando la expansión por la primera fila, para i = 1 en la fórmula (5), se tiene: D ( A ) = ¿ (-1)'*'a,D(A„) i= • =>D(A) = ( - i r an D(An) + (-1)1*2 a12D(AI2) + (-1)1*3a,3 D(A,3) = 2 = 2 (21 -4) + (7-3) + 5 (4 -9 ) = 13 3 1 1 1 1 3 4 7 -(-1) 3 7 + 5 3 4 Ejemplo 3 j Calcular el determinante de A = 1 -1 1 3 -1 0 2 0 1 1 1 2 2 0 0 2 S olución. Para aprovechar los ceros en la cuarta fila, debemos usar el desarrollo por filas (5), para i = 4, esto es : D(A)= £ (-1)*’’a4, D(A«j) i=i Como a42 = a43 = 0 => D(A) = ( -1 )4-’ a4, D( A 41) + (-1)4-4 a44 D(A44)
- 246. r 478 Capitulo 9: Determinantes -1 1 3 1 -1 1 = -2 0 2 0 + 2 -1 0 2 1 1 2 1 1 1 Desarrollando el D(A41) por los cofactores de su segunda fila y el D(A44), por los cofactores de su segunda columna, obtenemos D(A41) = 2 (-1)** D(Am) = = 2 (-2-3) = -10 -1 2 1 1 + 1 (-1)3 Por lo que, en (1) se tiene : D(A) = -2 (-10 ) + 2 ( -6 ) = 8 = -6 EJER C IC IO S. Grupo 49 En los ejercicios 1 al 12, empleando desarrollos adecuados por filas o columnas, calcular el determinante de cada una de las matrices dadas. '1 2 1] r 1 2) 2 1 -11 1. A = 2 1 -1 2. A = 1 1 3. A = 1 0 2 -1< 1 0 < 0 1 0 -1 4/ ' 1 -1 1 ' 1 -1 S 0 f 2 1 N 2 ii < 2 0 1 5. A = 1 2 6. A = 0 3 -1 U -1 2, V -1 2> . 4 1 1J f- 1 -2 1 0 f 1 2 0 0 r -1 1 2 0 7. A = 2 0 0 2 -3 1 0 1 8. A = 0 0 0 0 -4 -1 2 9. A = 0 0 3 4 2 1 1 2 1V 0 0 1^ 0V -2 1 0 l 3 1 5 7 z' 2 3 -3 4^ /• 3 -1 4 2 1 0 0 0 10. A = 2 6 •1 2 -1 1 2 0 11 A = 5 0 2 2 0 1 1 -3 12 A = 0 0 2 0 -1 3 0 -2 2 V. 3 0 -5 l 6 2 9 8 > 1 0 0 1 0 0 2 0 En los ejercicios 13 al 15, para las matrices A, formar la matriz A - xl, luego, determinar los valores de x que satisfacen la condición D(A - x I ) = 0 f1 0 0' ' 2 2 1’ r 1 2 1' n < co 1 1 0 ii < "3- Y— 2 2 1 15. A = -i 1 1 0N 0 2 0X 0 1 0V 3 2 _ Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 479 En los ejerciciosn16 y 17, calcular las determinantes, desarrollándolos por la tercera fila y segunda columna, respectivamente. 16. 2 -3 4 1 17. 5 a 2 -1 4 -2 3 2 4 b 4 -3 a b c d 2 c 3 -2 3 -1 4 3 4 d 5 -4 En los ejercicios 18 al 20, evalúese los determinantes 18. a 3 0 5 19. 1 0 2 a 20. X a b 0 c 0 b 0 2 2 0 b 0 0 y 0 0 d 1 2 c 3 3 c 4 5 0 e z 0 f 0 0 0 d d 0 0 0 g h k u I 0 0 0 0 V 9.4 ) C A LCU LO DE D E T E R M IN A N T E S DE C U A LQ U IER O RDEN El cálculo del determinante de una matriz de orden n se basa en el método de reducción del orden del determinante mediante el uso de la propiedad 4d. Los pasos a seguir son los siguientes: Paso 1 . Elegir como línea pivot una fila o columna y destacar con un asterisco. Paso 2 . Haciendo uso de la propiedad 4d, se multiplica cada elemento de la línea pivot por un número tal que al sumar el resultado con el elemento correspondiente de otra línea, se obtenga por lo menos un elemento igual a cero. Las anotaciones que se destacan en este paso son, por ejemplo : a F, + F2 o a C, + C2 que indican lo siguiente :Los elementos de la fila o columna 1 se multiplicó por el factor a y el resultado se sumó a los elementos de la fila o columna 2. Paso 3 . Se repite el paso 2 tantas veces como sea necesario hasta tener un de terminante equivalente en que todos los elementos de una misma línea, excepto uno, sean cero. Paso 4 . Se desarrolla el determinante obtenido en el paso 3 con respecto de la línea que tiene sus elementos igual a cero, con excepción de uno de ellos, obteniendo asi un solo determinante de orden n -1. Paso 5 . Se repite el procedimiento hasta obtener un determinante de orden 2
- 247. T480 Capítulo 9: Determinantes Ejemplo 1 J Calcular el determinante de la matriz A = Solución . Factorizando 2 de la primera y tercera filas se tiene -4 6 1 7 -2 4 1 2 - 3 8 2 3 6 4 ) D(A) = (2)(2) 1 -2 3 1 2C, + C2 1 0 0 0 3 1 7 3 c O + 6 co D(A) = 4 3 7 -2 0 2 -1 2 3 -1C,+ C< 2 3 -4 1 2 -3 8 4 2 1 2 2 Desarrollando por los cofactores de la primera fila se tiene 7 - 2 0 7 - 2 0 D( A ) = 4 3 -4 1 -2F2+ F3 ( 4 3 -4 1 1 2 2 -5 10 3 Desarrollando por los cofactores de la tercera columna obtenemos : 7 -2 4 ( - 1 ) 2 . 3 -5 ' 10 = -4 (70-10) => D(A) = -240 ' k-1 3 -3 Si A = -3 k+5 -3 , hallar los valores de k de co co k -4 j modo que D(A) = 0. S olución. D(A)= k-1 3 -3 C2+ C, k+2 3 0 -3 k+5 -3 C2+ C3 k+2 k+5 k+2 -6 6 k-4 0 6 k+2 Factorizamos k + 2 de la primera y tercera columnas y obtenemos 1 3 0 1 0 0 D(A) = (k+2)2 1 k+5 1 -3 C, + C2 = (k + 2)2 1 k+2 1 0 6 1 0 6 1 Desarrollando por los cofactores de la primera fila se tiene k+2 1 D (A) = (k + 2)2 (-1)U1 1 = (k + 2)2 (k - 4) Luego, si D(A) = 0 => (k + 2)2 (k - 4) = 0 « k = -2 ó k = 4 Sección 9.4: Calculo Je determinantes de cualquier orden 481 Ejemplo 3 J Resolver la ecuación Solución . De la propiedad 4e, se sigue que: 15 - 2x 11 10 11 - 3x 17 16 7 - x 14 13 = 0 15 11 10 2 11 10 11 17 16 - X 3 17 16 7 14 13 1 14 13 = 0 Efectuando las operaciones, en el primer determinante : -C3 + C„ -C3 +C2 y en el segundo determinante :-C3 + C2; resulta que 5 1 10 2 1 10 -5C2 + C, 0 1 0 0 1 0 -5 1 16 - X 3 1 16 = 0 -10 1 6 - X 1 1 6 -6 1 13 1 1 13 -10C2 +c^ -11 1 3 -1 1 3 = 0 Desarrollando ambos determinantes por los cofactores de la primera fila se tiene -10 6 1 6 -11 3 -x ( - 1)u2 -1 3 1(-1)U2 => -( -30 + 6 6 ) + x(3 + 6 ) = 0 o x = 4 ( ejemplo 4 ^ Hallar el determinante de la matriz x - 4a 2a - 18x 4x - 4a A = x - 4b 2b - 18y 4y - 4b x - 4c 2c - 18z 4z - 4c = 0 Solución . Factorizando 2 y 4 de la segunda y tercera columnas respectivamente, se tiene: x - 4a a -9x * x - a - C3+ c, ^ -3a -8x x - a00 II < Q x - 4b b - 9y < i cr - c 3+ c 2 = 8 -3b -8y *< cr X -U o c - 9z z - c -3c -8z z - c Factorizamos -3 y -8 de la primera y tercera columnas respectivamente, y obtene mos:
- 248. 482 Capítulo 9: Determinantes a x x -a a X X D(A) = 8 (-3) (-8) b y y -b c, + c 3r = 192 b y y c z z - c c z z Luego, por la Propiedad 3: D(A) = 192 (0) = 0 Ejemplo 5 j Descomponer en factores el determinante deA = a b c 'I a2 b2 c2 a3 b3 c3 Solución . Factorizando a, b y c de la primera, segunda y tercera columnas res pectivamente, obtenemos: D(A) = abe 1 1 1 -C3+ C, = abe 0 0 1 a b c -c3+ c2( a - c b -c c a2 b2 c2 a2- c2 b2- c2 c2 Desarrollando por los cofactores de la primera fila resulta : a - c b - c (a+c) (a-c) (b+c) (b-c) D(A)= abe (-1)’ D(A) = abe (a - c) (b - c) 1 1 a + c b + c = abe (a - c) (b - c) (b - a) a b c b+c c+a a+b Ejemplo 6 ] Si b q r = 5 y A = q+r r+p p+q X y z .y+z z+x x+y , hallar D(A) Solución . En el determinante de A efectuamos la operación: -C2+ C, D (A) = b-a c+a a+b C, + C 2 b-a b+c 2b = q-p r+p p+q 0 , + Co q-p q-r 2q y-x z+x x+y wi 1 y-x y+z 2y b-a b+c b -c3+ c, -a c b = 2 q-p q+r q ----------* = 2 -P r q y-x y+z y -C3+ C2( -X z y Factorizando -1 de la primera columna y por la propiedad 4b, se tiene: Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 483 D(A) = 2 (-1) (-1) a b e P q r x y z = 2(5) = 10 Ejemplo 7 j " x-y-z 2x 2x ' Si A = ’2y y-x-z 2y 2z 2z z-x-y > , calcular D(A). Solución . En el determinante de A efectuamos las operaciones:-C, + C2,-C, +C3 => D (A) = Factorizando x + y + z de la segunda y tercera columna se tiene : x-y-z x+y+z x+y+z 2y -x-y-z 0 2z 0 -x-y-z x-y-z 1 1 • x-y-z 1 1 D(A) = (x + y + z)2 2y -1 0 F, + F3 = (x + y + z)2 > CJ 0 2z 0 -1 x-y+z 1 0 Desarrollando por los cofactores de la tercera columna obtenemos D(A) = (x+y+z)2 (-1)u3 2y -1 x-y+z 1 = (x+y+z)3 Ejemplo 8 J Calcular el determinante de la matriz A = b+c b a a+c a b . c c a+b . Solución . Sumando la segunda y tercera filas a la primera fila se tiene : D(A) = 2(b+c) 2(a+c) 2(a+b) b a+c b c c a+b Factorizando 2 de la primera fila y luego efectuando las operaciones elementales fila: -F2+ F, y -F2+ F3 , obtenemos c 0 a * c 0 a D(A) = 2 b a+c b - F, + F2 = 2 b a+c b » c-b -a a ► -b -a 0 Desarrollando por los cofactores de la primera fila se tiene :
- 249. 4S4 Capítulo 9: Determinantes a+c b + 2 a b a+c 0-a -b -a D(A) = 2c = 2c (O + ab) + 2a (-ab + ab + be) = 4abc Ejemplo 9 ^ Factorizar el determinante de la matriz A = Solución . Efectuando las operaciones C, - C2 y C2- C 3, se tiene D(A) = X y z X2 y2 z2 yz xz xy x - y y- z z x2- y2 y2- z2 z2 yz - xz xz-xy xy Factorizando x - y e y - z de la primera y segunda columnas respectivamente, resulta D( A ) = (x-y) (y-z) 1 x+y -z 1 y+z 1 0 x + y z - x -z =(x-y)(y-z) = (x-y) (y-z) (z-x) xy 0 -yz -C, + C2 -z Cj + C, z - x xy+xz z - x -yz z - x xy+xz -yz xy+xz = (x - y) (y z) = (x-y) (y-z) (z-x) (xy+xz+yz) l Ejemplo 10^ Sea la matriz A = Sen x Cos y Cos x Cos y Sen y -Cos x Cos y Sen x Cos y Sen y -Cos y -Cos y 1 calcular el determinante de A para x = y = k /6 Solución . Factorizando Cosy de la primera y segunda columnas se tiene D(A) = Cos2y = C o s2y Sen x -Cos x -1 Cos x Sen x -1 Sen y Sen y 1 C 3+ C, Co+ Co Sen x+Sen y Cos x+Sen y Sen y -Cos x+Sen y Sen x+Sen y Seny 0 0 1 Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden V 485 = Cos2y Sen x+Sen y Cos x+Sen y -Cos x+Sen y Sen x+Sen y = Cos2y (1+2 Sen x Sen y) Luego, parax = y = 7t/6 => D(A) = (V3 /2)2 [1+2 (1/2) (1/2)] = 9/8 EjemploT T j Si A = (b+c)2 a2 b2 (c+a) c2 c2 (a+b)2 , factorizar el D(A). Solución . Efectuando las operaciones C2- C, y C3- C, , se tiene: D(A) = (b+c)2 a2- (b+c)2 a2- (b+c)2 b2 (c+a)2- b2 0 s2C* 0 (a+b)2- c2 Factorizando a + b + c de la segunda y tercera columnas resulta : F, - (F2+ F3) (b+c)2 a-b-c a-b-c D(A) = (a + b + c)2 b2 c+a-b 0 c2 0 a+b-c 2bc -2c -2b = (a + b + c)2 b2 c+a-b 0 • c2 0 a+b-c 1 -c -b = 2bc(a+b+c)2 b/c c+a-b 0 c/b 0 a+b-c 1 0 0 = 2bc(a+b+c)2 b/c a+c b2/c c/b c2/b a+b (Factorizamos 2 de la primera fila y be de la de la primera columna) c C, + C2 bC, + C3 = 2bc (a+b+c) D(A) = 2bc (a + b + c)2 [(a + c) (a + b) - be] = 2abc (a + b + c)3 a+c b2/c c2/b a+b ! Ejem plo 12 Calcular el determinante de la matriz A = 0 1-i 2+i 1+i 0 3+2i 2+i 3-2i 0
- 250. 486 Capítulo 9: Determinantes Solución . Multiplicando la segunda fila por 1-i y la tercera fila por 2-i, se tiene: 0 1 -i 2 + i 0 1 -i 2 + i (1-i) (2-i) D(A) = 2 0 5 - i -2 F2+ F 3| 2 0 5 - i 5 4 - 7i 0 1 4 - 7i -10 +2i Efectuando la operación -2F3 + F2f obtenemos. 0 1 -i 2 + i (1 - i) (2 - i) D(A) = 0 -8 + 14i 25 - 5i 1 4 - 7i -10 + 2Í Fiinalmente, desarrollando por los cofactores de la primera columna resulta : (1-i) (2-i) D(A) = 1 -i 2 + i -8 +14Í 25 - 5i = (1-i) (25-5Í) - (-8+14i) (2+i) = 50 (1-i) D(A) = 50 2 -i 50(2+i) 4 - i2 = 10(2+i) f Ejemplo 13 ^ Si A = 0 x y 0 x 1 0 y y 0 1 x 0 x y 1 J , calcular D(A) Solución . Tomando la cuarta columna como línea pivot, efectuamos las opera ciones elementales : -x C4+ C2 y -y C4 + C 3 D(A) = Desarrollando por los cofactores de la primera fila obtenemos 0 X y 0 0 X y X 1-xy -y2 X = ( - i r 4 X 1-xy -y2 y -X2 1-xy X y -X2 1-xy 0 0 0 1 D(A) = -x x -y2 x 1-xy y 1-xy + y y -x2 = -x (x - x2y + y3) + y (-x3- y + xy2) D(A) = -(x2 + y2) Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 4^7 Ejemplo 14 Evaluar el determinante de A = 0 1 1 1 1 b+c a a 1 b c+a b 1 c c a+b Solución . Tomando la cuarta columna como línea pivot, realizamos las operacio nes : -C4+ C2 y -C4 + C3 D(A) = 0 0 0 1 1 b+c-a 0 a 1 0 a+c-b b 1 c-a-b c-a-b a+b Desarrollando por los cofactores de la primera fila obtenemos D(A) = (-1)’-« b+c-a 0 0 a+c-b c-a-b 0 = - (-1)2*3(a+c-b) b+c-a c-a-b D(A) = (a -b + c ) [(c -a -b )-(b + c-a)] = -2b (a - b + c) Ejemploj D S iA = 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a ,descomponer en factores el D(A). Solución. Tomando la cuarta columna como línea pivot, efectuamos las opera ciones : -a C4+ C , , -C4 + C2 , -C4 + C3 D(A) = Factorizando (1-a) de la primera, segunda y tercera columnas, se tiene : 0 0 0 1 1-a a-1 0 1 1-a a-1 0 = 1-a 0 a-1 1 = (-1)U4 1-a 0 a-1 1-a2 1-a 1-a a 1-a2 1-a 1-a 1 -1 0 1 -1 0 D(A) = -(1-a)3 1 0 -1 F3+ F 2 D(A) = (a-1)3 2+a 1 0 1+a 1 1 1+a 1 1 D(A) = (-1)3*3 (a-1)3 1 -1 2 +a 1 = (a - 1)3 (1+2+a) = (a+3) (a-1):
- 251. 488 Capítulo 9: Determinantes Ejemplo _ n r ) s i A = a3 3a2 3a 1^ a2 a2+2a 2a+1 1 a 2a+1 a+2 1 1 3 3 1 , calcular el determinante de A. Solución . Tomando la cuarta fila como línea pivot efectuamos las operaciones elementales : - F4 + F„ -F4+ F2, -F4+ F3 D(A) = a3-1 3a2-3 3a-3 0 a2-1 a2+2a-3 2a-2 0 a-1 2a-2 a-1 0 1 3 3 1 a3-1 3(a2-1) 3(a-1) a2-1 (a-1)(a+3) 2(a-1) a-1 2(a-1) a-1 Factorzando (a-1) de la primera, segunda y tercera columnas obtenemos -3 F3+F,_ D(A) = (a - 1)3 a2+a+1 3(a+1) 3 a+1 a+3 2 1 2 1 ~2 p3+ F2, = (a - 1)3 = (a-1)3 (a-1) a2+a-2 3(a-1) 0 a-1 a-1 0 1 2 1 a+2 3 1 1 = (a -1 )3 = (a-1)s (a-1) = (a-1)6 (a-1)(a+2) 3(a-1) a-1 a-1 [ Cjemplo 17 ^ Si A = 1 1 1 1 1 1 C2, C3, C4, C 5, 1 C32 c 42 c s2 c 62 1 C43 CS3 C63 C 73 1 c s4 c 64 c 74 c 84 , calcular el D(A) Solución . Calculamos las combinaciones mediante la fórmula n ! C"f = r ! (n - r) ! D (A) = 1 1 1 1 1 - F, + p 2 . 1 1 1 1 1 ' 1 2 3 4 5 - f 2 + f 3 , 0 1 2 3 4 1 3 6 10 15 r r- 0 1 3 6 10 1 4 10 20 35 * f 3 + f 4 , 0 1 4 10 20 1 5 15 35 70 - F4 + Fs , 0 1 5 15 35 Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 489 Desarrollando por los cofactores de la primera columna se tiene: D (A) = ( -1 )'+' = ( -i y 2 3 4 3 6 10 4 10 20 5 15 35 3 6 4 10 5 15 -f, + f 2 -p2+ F3| -f3+ f 4' 3 4 3 6 4 10 5 15 -F, + F2 1 3 6 0 1 4 -f2+ f 3 0 1 5 ••• D(A) = 1 4 1 5 = 5 - 4 = 1 a+x x x x b+x x x x c+x x x x , resolver D(A) = 0í ejemplo 18 ^ Si A = Solución . Tomando la cuarta columna como línea pivot, realizamos las operacio- x x x d+x nes : -C4 + C, , -C4+ C2»*C4 + C3 a 0 0 X 0 b 0 X => D(A) = 0 0 c X -d -d -d d+x Desarrollando por los cofactores de la primera fi b 0 x 0 D(A) = a 0 c X - X 0 -d •d d+x -d b 0 -d Luego, si D (A) = 0 + d x = ab (cd + ex + dx) + ax (0 + cd) + bedx = abed + (abe + abd + acd + bed ) x abed = ab c X 0 c d+x + a x -d -d -d x = - ab(c+d)+ cd(a+b)
- 252. 490 Capítulo 9: Determinantes Ejemplo 1 9 ] Si A = r a b c d i -b a -d c -c d a -b -d -c b a , probar que D(A)= (a2+b2+c2+d2)2 Demostración . Multiplicando por -a, -b, -c y -d, la primera, segunda, tercera y cuarta filas respectivamente, se tiene : a2 ab ac ad D(A) = - - i abcd b2 -ab bd -be c2 -cd -ac be d2 cd -bd -ad Fi + (F 2+ F3+ F4) a2+b2+c2+d2 0 0 0 1 b2 -ab bd -be abcd c2 -cd -ac be d2 cd -bd -ad Desarrollando por los cofactores de la primera fila y factorizando b, c y d del determi nante resultante obtenemos : n .A. a2+ b 2+ c 2+ d 2 -a d -c * 1 -d/a c/a D ( A ) - -d -a b = (a2+ b2+ c2 + d2) -d -a b c -b -a c -b -a Tomando la primera columna como línea pivot, efectuamos las operaciones ele mentales : (d/a) C, + C2 y (-c/a) C, + C3 D(A) = (a2+ b2+ c2+ d2) = (a2 + b2+ c2+ d2) 1 -d 0 a2+d2 a cd-ab 0 cd+ab a a2+b2 a (a2+ d2)(a2+ b2) (cd - ab)(cd + ab) D(A) = (a2+ b2+ c2 + d2)2 Ejemplo 20 ^ Calcular el determinante D5= ' 1 1 1 1 1 ' 1 a a2 a3 a4 1 a2 a4 a6 a8 1 a3 a6 a9 a12 l 1 a4 a8 a'2 a16 > Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 491 Solución. Efectuando las operaciones F, - F2, F2 - F3, F3 - F4, F4- Fs, se tiene: De = 0 1-a 1-a2 1-a3 1-a4 0 a-a2 a2-a4 a3-a6 a4-a8 0 a2-a3 a4-a6 a6-a9 a8-a12 0 a3-a4 a6-a8 a9-a’2 a12-a’6 1 a4 a8 a12 a16 1-a 1-a2 1-a3 = (-1)5 a(1-a) a2(1-a2) 1-a4 a3(1-a3) a4(1-a4) a2(1-a) a4(1-a2) a6(1-a3) a8(1-a4) a3(1-a) a6(1-a2) a9(1-a3) a12(1-a4) = a.a2.a3(1-a) (1-a2) (1-a3) (1-a4) Ds = a6(1-a) (1-a2) (1-a3) (1-a4) 1 1 1 1 f , - f 2 1 a a2 a3 f 2- f 3 1 a2 a4 a6 1 a3 a6 a9 LL O LL 0 1-a 1-a2 1-a3 0 a-a2 a2-a4 a3-a6 0 a2-a3 a4-cl6 a6-a9 1 a3 a6 a9 Desarrollando por los cofactores de la primera columna se tiene : D5 = a6(1-a) (1-a2) (1-a3) (1-a4) (-1)4*' 1-a 1-a2 1-a3 a(1-a) a2(1-a2) a3(1-a3) a2(1-a) a4(1-a2) a6(1-a3) = - a • a2• a6(1-a)2(1-a2)2 (1-a3)2 (1-a4) = -a9(1-a)2 (1-a2)2 (1-a3)2 (1-a4) 1 1 1 1 a a2 1 a4 F, • F2 f ? - f ' 0 1-a 1-a2 0a-a2 a2-a4 a2 a"1 =>2 = -a9(1-a)2 (1-a2)2 (1-a3)2(1-a4) (-1)*♦'' 1-a 1-a2 a(1-a) a2(1-a2) = -a10(1-a)3 (1-a2)2 (1-a3)2 (1-a4) •*• D5 = a10(1-a)4 (1-a2)3 (1-a3)2(1-a4) 1 1 1 a
- 253. 492 Capítulo 9: Determinantes P Cjcmplo 21 ^ Calcular el determinante de Vandermonde 1 1 1 1 a, a2 a3 ...... ..... a a,2 a22 a23 ..... a2 • • • • • • • • • • • • a,"*1 a2" 2 a3n‘3 o n*1 Solución . Mostraremos que el determinante de Vandermonde es igual al producto de toda clase de diferencias a,- a,, para 1 < j < i < n, cualquiera que sea n (n > 2). Realicemos la demostración por inducción. En efecto, para n=2 tenemos D, = 1 a2 = a2-a, Supongamos que nuestra afirmación se ha demostrado para los determinantes de Vandermonde de orden (n-1), es decir Dn, = (a,-a,) 1< j < i < n ■1 Ahora bien, mediante las operaciones elementales transformamos el determinate Dn del modo siguiente : De la última n-ésima fila sustraemos la (n - 1) -ésima fila, multiplicada por a, y, en general, sustraemos sucesivamente de la k-ésima fila la ( k - 1) -ésima multiplicada, por a,. Obtenemos : D„ = 1 aj- a, a*2- a,a2 ' - a,a2n2 1 1 aa- a, ......... an-a, a23-a,a3 ......... a2n-a,an i n*1 . o o n-2 o n-1 _ o o n* l3 «1^3 .................................... «1tín Desarrollemos el determinante por los cofactores de la primera columna y sa quemos de todas las columnas los factores comunes. El determinante adquiere la forma : Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 493 — (a2- a,) (a3- a,)... (an- a,) 1 1 1 .................. 1 ■ a2 a 3 a4 ............. a„ ai a32 a42 ............. a„2 • • • • • • • • • • • • a2n'2 a3n2 a4n2 .......... a„n2 = (a2- a,) (a3- a,).... (an- a,) Dn., Utilizando la hipótesis inductiva, obtenemos en definitiva Dn= (a2- a,) (a3- a,).....(a*-a,) | | (a, - a,) 2 S j < ¡ S n Dn= I I (a,-a}) 1 £ j £ i S n (6) Nota . El proceso que permite expresar un determinante dado, transformándolo mediante operaciones elementales por filas o columnas a un determi nante del mismo tipo, pero de orden más inferior, se conoce con el nombre de correlación recurrente. Ejemplo 22 ) Descomponer en factores el determinante 1 1 1 1 1 a b c d e a2 b2 c2 d2 e2 a3 b3 c3 d3 e3 a4 b4 c4 d4 e4 Solución . Según la fórmula del determinante de Vandermonde Ds = I I (a,-a,) 1 S j < i S 5 Para determinar el desarrollo de los factores (a, - a,) observemos que cuando j = 1 => i = 2, 3, 4, 5 ; j = 2 => i = 3, 4, 5; j = 3 => i = 4, 5; j = 4 => i = 5 Luego: D5= (a2-a,)(a3-a,)(a4-al)(a5-a,)(a5-a,)(a3-a2)(a4-a2)(a5-a2)(a4-a3)(a5-a3)(a5 - a4) Si en este desarrollo hacemos : a, = a , a2= b, a3 = c, a4 = d y a5= e, obtenemos: Ds = (b-a) (c-a) (d-a) (e-a) (c-b) (d-b) (e-b) (d-c) (e-c) (e-d) ■
- 254. 494 Capítulo 9: Determinantes tjcmpïo 23 j Sea la matriz A e k", a * b, calcular el D(A), si A = a+b ab 0 0 0 1 1 a+b ab 0 0 0 1 a+b ab ... 0 • • • • • • • • • • • • • • • 0 0 0 0 ab 0 0 0 0 1 a+b^ Solución . Por el método de las correlaciones recurrentes se tiene : Para n = 2 => D? = a+b ab 1 a+b = (a+b)2- ab = a2+ ab + b2 = a3- b3 a - b Supongamos que para los determinantes del orden (n-1), esta afirmación es verda dera, esto es: an- bn a - b (Hipótesis inductiva) Entonces, desarrollando el determinante de la matriz A por los cofactores de la primera columna se tiene : D(A) =(a+b) a+b ab 0 0 ab 0 0 0 1 a+b ab 0 1 a+b ab 0 • • • • • • - • • • • • • 0 0 0 ab 0 0 ab 0 0 0 ....1 a+b n-1 0 0 0 a+b n-1 Teniendo en cuenta la hipótesis inductiva para el primer determinante y desarrollan do el segundo determinante por los cofactores de la primera fila resulta: _. A. , ( a" - bn) D(A) = (a + b) a - b ~- - ab a+b ab 0 0 1 a+b ab 0 0 1 a+b . 0 • • • • • • 0 0 0 ab 0 0 0 1 a+b n-2 Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 495 Nuevamente, haciendo uso de la hipótesis inductiva obtenemos : D(A) = (a+b) an- bn , a - b , - ab a"'1- bn l a - b J gn»1_ a - b Ejemplo 24 j Calcular el determinante de la matriz A = Dosx 1 0 ....... 0 1 2Cosx 1 0 0 1 2Cosx 0 • • • • • • • • • 0 0 0 .... 1 2Cosx Solución . Por el método de las correlaciones recurrentes, para n = 2 : 2 Cos x 1 1 2 Cos xd 2= = 4 Cos2x - 1 De la identidad, Sen 3x = Sen x (4 Cos2x-1), se tiene : 4 Cos2x - 1 = Sen 3x Sen x ••• d 2= Sen 3x Sen x Supongamos que para un determinante de orden n -1, esta afirmación es verdade ra, esto es : ^ en nx (Hipótesis inductiva) D»-i Sen x Desarollando el D(A) por los cofactores de la primera columna obtenemos : D(A) = 2 Cos x 2 Cos x 1 0 1 2Cos x 1 .1 2 Cos x n-1 1 0 0 1 2Cosx 1 0 1 2Cosx • • • • • • 0 0 0 .1 2Cosx n-1
- 255. 496 Capitulo 9: Determinantes Haciendo uso de la hipótesis inductiva en el primer determinante y desarrollando el segundo determinante por los cofactores de la primera fila, resulta : D(A) = 2 Cos x Sen n x . Sen x , = 2 Cos x ' Sen n x ' Sen x 2Cosx 1 0 1 2Cosx 1 0 1 2Cosx 0 • .1 2Cos x n-2 Sen (n-1)x _ 2 Sen nx Cos x - Sen(n-1)x Sen x Sen x De la identidad Sen (a+b) + Sen (a-b) = 2Sen a Cos b, se sigue que: D(A) = Sen (n+1)x + Sen (n-1)x - Sen (n-1)x _ Sen(n-1)x Sen x Sen x EJERCICIOS . Grupo 50 En los ejercicios 1 al 6, resolver la ecuación dada. 1. 1 -2 7 2. -2 x-3 -X 3. X 3 4 x x+2 x-2 = 0 1 1 2 = 0 4 6 2x+3 4 x 8 x-1 1 x+2 x-3 2 5 4. 17-3x 26 25 5. 1 2 3 x 6. 2 1 5 1 11-4x 34 33 = 24 2 3 4 5 1 1 -1 -4 8-2x 22 21 3 x 5 6 = 0 -X 6 8 1 -2 3 x -5 2 2 2 x En los ejercicios 7 al 16, calcúlese los determinantes 7. 10. = 7 = 0 7 13 10 6 8. 3 2 1 4 9. 4 3 1 5 5 9 7 4 15 29 2 14 12 27 3 16 8 12 11 7 16 19 3 17 24 23 2 12 4 10 6 3 33 39 8 38 48 36 4 21 5 6 0 0 0 11. 2 1 1 1 1 12. 3 6 5 6 4 1 5 6 0 0 1 3 1 1 1 5 9 7 8 6 0 1 5 6 0 1 1 4 1 1 6 12 13 9 7 0 0 1 5 6 1 1 1 5 1 4 6 6 5 4 0 0 0 1 5 1 1 1 1 6 2 5 4 5 3 EJERCICIOS : Grupo 50 497 13. 15. 3/2 -9/2 -3/2 -3 14. 3/4 2 -1/2 -6 5/3 -8/3 -2/3 -7/3 1 -2 3/2 8 4/3 -5/3 -1 -2/3 5/6 -4/3 4/3 14/3 7 -8 -4 -5 2/5 -4/5 1/2 12/5 1/3 -5/2 2/5 3/2 16. 24 11 13 17 19 3 -12 21/5 15 51 13 32 40 46 2/3 -9/2 4/5 5/2 61 11 14 50 56 -1/7 2/7 -1/7 3/7 62 20 7 13 52 80 24 45 57 70 En los ejercicios 17 al 19, cálcular los determinantes. ( i = -1 ) 17. 1 1-i 1 -1-i 0 -1-i -1 1+i -1 18. 0 1-i 1-2i 1+i 1+2¡ 0 2-3i 1 6i En los ejercicios 20 al 25, calcúlese los determinantes : 20. 22. 24. Cosx Senx Cosy -Senx Cosx Cosy 0 -Senx Cos(a-b) Cos(b-c) Cos(a+b) Cos(b+c) Sen(a+b) Sen(b+c) bc-a2 ca-b2 -bc+ca+ab bc-ca+ab (a+b)(a+c) (b+c)(b+a) Senx Seny Cosx Seny Cosy Cos(c-a) Cos(c+a) Sen(c+a) ab-c2 bc+ca-ab (c+a)(c+b) 21. 23. 25. <¡ = V -1 ) 19. i -1 -1+i 1 0 1+2i C * 1+i -1+2i 2i a • Sen2a Cos 2a Cos2 a Sen2b Cos 2b Cos2 b Sen2c Cos 2c Cos2 c Sen a Cos a Sen(a+d) Sen b Cos b Sen(b+d) Sen c Cos c Sen(c+d) a + x X X X b + x X X X c + X En los ejercicios 26 al 37, calcular los determinantes : 26. 1 1 1 27. X y x+y 28. a2+1 ab ac a b c y x+y x ab b2+1 be a3 b3 c3 x+y X y ac be c2+1 29. -2a a+b a+c 30. y2+z2 xy xz 31. a2 a2-(b-c)2 be b+a -2b b+c xy x2+z2 yz b2 b2-(c-a)2 ca c+a c+b -2c xz yz x2+y2 c2 c2-(a-b)2 ab 32. 1+x 1 1 1 33. 1 1 1 1 34. 0 a b c 1 1-x 1 1 1 1+a 1 1 -a 0 d e 1 1 1+Z 1 1 1 1+b 1 -b -d 0 f 1 1 1 1-z 1 1 1 1+c -c -e -f 0
- 256. 498 Capítulo 9: Determinantes 35. 1 1 2 3 36. a b b b 37. 1 0 2 a 1 2-x2 2 3 a b a a 2 0 b 0 2 3 1 5 a b b a 3 c 4 5 2 3 1 9-x2 b a a a d 0 0 0 38. Sea la matriz A = Sen x Cos y -a Sen x Sen y Sen x Sen y a Sen x Cos y Cos y 0 a Cos x Cos y a Cos x Sen y -a Sen x Si D(A) = k Sen x, hallar el valor de k. 39. Sea f(x) = X 1 0 X 0 X X 1 1 X X 0 X 0 1 X , hallar a e R tal que f(a) = 0 En los ejercicios 40 al 52, usando propiedades de los determinantes, incluyendo desarrollos por líneas, demostrar las identidades : 40. Cos((a-b)/2) Sen((a+b)/2) Cos((a+b)/2) Cos((b-c)/2) Sen((b+c)/2) Cos((b+c)/2) Cos((c-a)/2) Sen((c+a)/2) Cos((c+a)/2) (Sugerencia : Expandir con respecto a la primera columna) = 1/2 [Sen(b-a)+Sen(c-b)+Sen(a-c)] 41. 42. Sen2a Sena Cosa Cos2a Sen2b Senb Cosb Cos2b Sen2c Sene Cose Cos2c = Sen(a-b) Cosa Cosb + Sen(b-c) Cosb Cose + Sen(c-a) Cose Cosa a2+(1-a2Cos <p) ab(1-Cos<p) ac(1-Cos<p) ab(1-Cos<p) b2+(1-b2)Cos <p bc(1-Cos(p) ac(1-Cos<p) bc(1-Cos<p) c2+(1-c2)Cos <p donde a2+ b2+ c2= 1 = Cos2<p 43. CosaCosp - SenaSenpCos0 -SenaCosp - CosaSenpCos© SenpSenÓ CosaSenp+SenaCospCosG -Sena.SenP + CosaCospCosG -CospSenB Sena Sen6 Cosa Cos0 Cos0 = 1 (Sugerencia: Expandir en términos de la primera fila) 44. a b c d a a+b a+b+c a+b+c+d - a4 a 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+d — ex a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 499 En los ejercicios 45 al 52, calcúlense los determinantes de orden n por el método de correlaciones recurrentes. 45. 47. 49. 51. 0 1 1 1 46. 2 1 0 0 1 a 0 0 1 2 1 0 1 i 0 a n 0 1 ? 0 • • 2 • • • • • • • • • • • • • • 1 0 0 3n 0 0 0 2 Cosx 1 0 0 48. 1+a, 1 1 1 1 . 2Cosx 1 0 1 1+a2 1 1 0 1 2Cosx ... 0 0 1 2 0 • • • • • • • • • • • • • • • • 1 0 0 . .. 2Cosx 1 1 1 ... 1+an 3 2 0 0 50. 7 5 0 0 1 3 2 0 2 7 5 0 0 1 3 n 0 2 7 0 • • • • • • • • • • • • • • • • 0 0 0 3 1 1 1 7 5 6 0 0 0 ..... 0 0 52. 1 2 0 0 0 .... 0 0 4 5 2 0 0 ..... 0 0 3 4 3 0 0 ... 0 0 0 1 3 2 0 ..... 0 0 0 2 5 3 0 ... 0 0 0 0 1 3 2 ..... 0 0 0 0 2 5 3 ... 0 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0 0 0 0 0 ..... 3 2 0 0 0 0 0 ... 5 3 0 0 0 0 0 ..... 1 3 0 0 0 0 0 ... 2 5 9.5 ) O T R A S A P L IC A C IO N E S Y P R O P IE D A D E S DE LO S D E T E R M IN A N T E S 9.5.1 REG LA DE SARRU S. Un método práctico para calcular determinantes de tercer orden, es la Regla de Sarrus, que consiste en repetir las dos primeras columnas y escribirlas en el mis mo orden a continuación de la tercera columna. El determinante se calcula suman do todos los productos de las componentes que están en las flechas que apuntan
- 257. 50» Capítulo 9: Determinantes hacia la derecha y restándolos todos los productos de los componentes que están en las flechas que apuntan hacia la izquierda. i a.. _a.„ D(A) '•i **21 ■®31 > ' * a22 3 V ,a„r ?a *23 32 '3^ A ' * * (-) i*) i*) ^ a21 a22 ' a3V. ^ a32^ ^ *(+ ) (+) '* ( + > (7) D(A) = a„ a22a33+ a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 - a„ a23a32 a i2 3 21 a 33 ' 1 2 10' ejemplo 1 Hallar el determinante de la matriz A = 2 3 ,4 5 9 11, Solución . Disponemos el D(A) como indica el esquema (7): .2 2 2. „10. V ✓ X 3 .9 5; S i ; D(A) = (1)(3)(11) + (2)(9)(4) + (10)(2)(5) - (10)(3)(4) - (1)(9)(5) - (2)(2)(11) = 33 + 7 2 + 100- 1 2 0 -4 5 -4 4 = -4 ejemplo 2 J Calcular el determinante de la matriz A = X y x+y y x+y X x+y X y S olución. D(A) = x „ vl ^ X y " x+y " ^xc " * V v " " x+y "• s N x+y x * ' ^ y * ' "*x+y X => D(A) = xy(x+y) + xy(x+y) + xy(x+y) - (x+y)3- x3- y3 = 3xy(x+y) - [x3+3xy(x+y)+y3] - x3- y3 Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 501 f 9.5.2 ) C A LC U LO DE D E T E R M IN A N T E S M E D IA N T E LA R E D U C C IO N A LA FO R M A E SC A L O N A D A El cálculo de determinantes de ciertas matrices se puede efectuar haciendo uso de la matriz escalonada, para lo cual se tiene en consideración la siguiente propiedad. PRO PIED AD 5^J Si A es matriz triangular (superior o inferior) de orden n, entonces el D(A) es igual al producto de las componentes que pertenecen a la diagonal principal, esto es, si r a A = 12 13 0 ^ a23 o 0 a„„ a,n a2n a3* D(A) = an a^ a33... ann= (8) La idea básica de este método consiste en aplicar operaciones elementa les en las filas de la matriz original A y transformarla a una matriz B que tenga la forma escalonada. Puesto que la forma escalonada de una matriz cuadrada es triangular superior o inferior, el D(A) = D(B) se puede calcular aplicando la propiedad establecida ante riormente. ! Ejemplo 3 ^ Calcular el determinante de A = f 1/2 1/2 1 1/2 -1/2 1/2 0 1/2 2/3 1/3 1/3 0 1/3 1 1/3 0 S olución. Factorizando 1/2 de la primera y segunda filas y 1/3 de la tercera y cuarta filas, obtenemos:
- 258. 502 Capítulo 9: Determinantes D(A) = (1/2) (1/2) (1/3) (1/3) Aplicando la Propiedad 4c intercambiamos la primera y cuarta columnas: 1 1 2 1 -1 1 0 1 2 1 1 0 1 3 1 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 -1 Fj-F, = -(1/36) 0 0 -2 -2 D(A) = (1/36) (-1)3 0 1 1 2 0 1 1 2 0 3 1 1 0 3 1 1 Intercambiando la segunda y tercera filas se tiene .1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 0 1 1 2 D (A) = -1/36 (-1) 0 0 -2 -2 -3F2+F4= (1/36) 0 0 -2 -2 0 3 1 1 0 0 -2 -5 ente, aplicando la operación f 3+ f 4 resulta : 1 1 2 1 0 1 1 2 D(A) = 1/36 0 0 -2 -2 0 0 0 -3 Como el determinante de la matriz A tiene la forma escalonada, aplicamos la Propiedad 5 : D(A) = (1/36) (1) (1) (-2) (-3) = 1/6 ■ Ejemplo 4 j Hallar el determinante de A = 1 2 3 n -1 0 3 n -1 -2 0 n • • • • • • • • -1 -2 -3 0 Solución . Tomando la primera fila como línea pivot, sumamos ésta a todas las demás filas, y obtenemos D(A) = 1 2 3 n 0 2 6 2n 0 0 3 2n • • • • • • • • 0 0 0 n Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 503 que resulta ser el determinante de una matriz triangular, por lo que : D(A) = 1 . 2 . 3 n = n! ! Ejemplo 5 ] Sea A = [a ] una matriz tal que a = { 0 si ' * L 1 si i Demostrar que D(A) = (n-1) (-1) "-1 Demostración . En efecto, construyamos la matriz según la definición dada A = /” 0 1 1 N 1 1 0 1 1 1 1 0 1 • • • • • • • • • • • • ^ 1 1 1 0 Si tomamos la última fila como línea pivot y le restamos las otras n-1 filas, resulta D(A) = ••• D(A) = (-1) (-1) (-1)... (-1) (n-1) = (n-1) (-1 y -1 0 0 ... .... 1 -1 0 0 .... 1 0 -1 0 ... .... 1 F’+F" , 0 -1 0 .... 1 0 0 -1 .... 1 F2+Fn 0 0 -1 .... 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 1 1 0 F„,+F, 0 0 0 .... n-1 ¡ Ejemplo 6 ^ Calcular el determinante D, 1 2 3 1 3 3 1 '2 5 • • • • • • 2 3 2 3 n-1 n-1 n-1 2n-3 n n-1 2n-1 Solución . Tomando como línea pivot la primera columna efectuamos: - 2C, + C2, - 3C,+ C3..........-(n -1 )C ,+ CM ,-nC„
- 259. 504 Capítulo 9: Determinantes 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 2 0 0 D = • • • • • • • • • • • • • • • 1 0 0 n-2 0 1 0 0 0 n-1 .-. D =n 1 . 1 . 2 . 3 (n-3) (n-1) = (n-1)! X a a a a X a a a a X a Calcular: Dn= • • • • Solución . Sumando a la primera columna las otras n-1 columnas, se tiene: x+(n-1)a a a .... a 1 a a a x+(n-1)a X a .... a 1 X a a x+(n-1)a a x .... a 1 a X a • • • • = [x + (n - 1) a] • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • x+(n-1)a a a X 1 a a X D = Restando la primera fila a todas las demás filas, resulta: Dn= [x + (n-1) a] i ejemplo 8 j Calcular : D8= 1 a a a 0 x-a 0 0 0 0 x-a 0 • • • • • • • • • • • • 0 0 0 x-a = [x + (n-1) a] (x - a)n° a a+h a+2h a+7h -a a 0 0 0 -a a 0 8= • • • • • • • • • • • • 0 0 0 -a a Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 505 Solución . Sumando a la primera columna las otras 7 columnas se tiene D = +28h a+h a+2h a+7h 0 a 0 0 0 -a a 0 • • • • • • • • • • • • 0 0 0 -a a Desarrollando por los cofactores de la primera columna obtenemos: D8= 4(2a + 7h) a 0 0 -a a 0 0 -a a 0 0 -a 0 0 0 0 ....-a a Efectuando las operaciones : F, + F2, F2+ F3, ...... . F6+ F7, resulta: a 0 0 0 • 0 0 a 0 0 0 0 0 a 0 0 Dh= 4(2a + 7h) • • • • • — • 0 • 0 • • 0 0 - 2 • a 7 h 1 0 0 ... hx h -1 0 hx2 hx h 1 Ejemplo 9 ^ Calcular: Dn<1= • • • • • • • • hx" hxn-1 hx" 2 hxn3 Solución . Efectuando las operaciones con las columnnas ■xCj+C,, -xC3+C2, ..... * ÍWl n, se tiene : h+x -1 0 0 0 0 h+x -1 0 0 0 0 h+x 0 0 Dn.,= • • • • • • • • h+x • 0 0 0 0 h Luego, por la Propiedad 5, se sigue : Dn<1 = h (h+x)n = 4 (2a + 7h) a7
- 260. 506 Capítulo 9: Determinantes ( Cjemplo 10) Calcular Dn= Solución . Efectuando las operaciones con las filas 1 a a2 a3 an x„ 1 a a2 an-i x2, 22 1 a a"-2 • • • • • • • • • • XM Xn2 Xo3 X .r>4 1 -aF2+ F 1t -aF3+ F 2......... -aFn+ Fn,, obtenemos : 1-ax,, 0 0 0 x,rax2, 1*ax22 0 0 D =n X2l"aX3i X22"aX33 1-ax„ .. 0 • • • • • • • • Xnl Xn2 Xn3 ” 1 •••D n= (1 - axn) (1 - ax22) (1 - a x j ... +=5 ii (1- a x „) 0 1 1 1 1 1 0 X X X 1 X 0 X X Ejemplo 11 Ì Calcular : Dn= • • • • • • • • • • 1 X X 0 X 1 X X X 0 Solución . Multiplicando por x la primera fila y la primera columna se tiene : 0 X X X X 0 1 1 1 1 X 0 X X X 1 0 1 1 1 X X 0 X X X" 1 1 0 • • • • • X2 • • • • • • • • • • • • *• • • • • • • • • • • • • X X X 0 X 1 1 1 0 1 X X X X 0 1 1 1 1 0 sumando las n-1 filas a la primera fila resulta : Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 507 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 1 1 1 ... 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 .... 1 1 1 1 . 0 1 1 1 1 0 .... 1 1 Dn= xn'2 • • • • • • • • • • = (n-1)x " 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 1 1 0 1 1 1 1 .... 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Efectuando las operaciones : F2 'FV F3- c LL uf F,, obtenemos finalmente: 1 1 1 ...... 1 1 0 -1 0 ...... 0 0 0 0 1 ...... 0 0 Dn = (n-1) xn2 • • • • • • • • • • = (n-1) xn'2(-1)'v1 ■ • • 0 0 • • 0 ...... -1 • 0 0 0 0 0 -1 Ejemplo 1 2 ) Sean z = Cos a + i Sen a, 10 = Cos(2ji/n) + i Sen(27t/n). Hallar Re(l A I), donde A e Kn, n = 4k+ 1 y 1 of a/"1 .... (O2 0) z 1 00" .... co3 co2 z2 x 1 .... (O4 (ú3 A = • • • • • • • • • • • z" • • z n-1 z n-2 • • .... z 1 Solución . Efectuando las operaciones con las filas F, + F?, -z F2+ F3>......, -z F^, + Fn, se tiene: D(A) = 1 tíf co"-1 O)3 O)2 ÍO 0 1-Zíün of-zof' (03-Z(02 (ü2-Z(ü • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0 0 0 1-Z(0n otf-zof' ay1'1za)n 0 0 0 0 1-zoy (ún-Z(On 0 0 0 0 0 1-zcon
- 261. 508 Capítulo 9: Determinantes Por la propiedad (5): D(A) = (1 - zco")"*1 (1) Dado que, ton= [Cos(2rc/n) + i Sen(2n/n)]n= Cos 2n + i Sen 2n = 1 y 4k = n-1, entonces en (1): D(A) = (1-z)4k = (1 - Cos a - i Sen a)4k = [2 Sen2(a/2) - 2i Sen (a/2) Cos (a/2)]4k = [-2¡ Sen a/2 (Cos a/2 + i Sen a/2)]4k = (-2)4k i4kSen4ka/2 (Cos 2k a + i Sen 2k a) Siendo i4k= 1 => Re( IA I) = 16KSen4k (a/2) Cos 2k a . EJERCICIOS . Grupo 51 En los ejercicos 1 al 6, calcular los determinantes aplicando la Regla de Sarrus 1. 8 2 -1 2. 4 2 -1 3. 1 1 1 -3 4 -6 5 3 -2 4 5 9 1 7 2 3 2 -1 16 25 81 4. 4 -3 5 5. 1 5 25 6. 3 4 -5 3 -2 8 1 7 49 8 7 -2 1 -7 -5 1 8 64 2 -1 8 En los ejercicios 7 al 12, calcúlese los determinantes de las matrices, reduciendo primero cada matriz a una matriz triangular superior. 7. f 2 0 -1 3l 1 8. f -1 2 1 s 2 9. t 4 6 8 "N -6 0 1 0 1 1 2 4 1 0 -3 0 -1 0 1 1 0 2 0 -1 3 3 3 -4 -2 k1 0 1 - 0 [ 3 2 -1 0 -2 3 4 -2 J 10. /* 1 4 -3 1 11. s 1 1 1 1 12. f 2 3 -3 N 4 2 0 6 3 1 -1 2 2 2 1 -1 2 4 -1 2 5 1 1 -1 3 6 2 1 0 1 0 2 4 1 1 1 -1 J 2 3 0 -5 J En los ejercicios 13 al 36; calcular los determinantes de n-ésimo orden por reduc ción a la forma triangular. EJERCICIOS: Grupo 51 509 3 2 2 ..... 2 14. 1 2 2 .... ... 2 2 3 2 ..... 2 2 2 2 ........ 2 2 2 3 ..... 2 - ' 2 2 3 ........ 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2 2 2 3 2 2 2 .... n X a a ..... a a 16. 0 1 1 ... ... 1 -a X a .... a a 1 a, 0 ... ... 0 -a -a z .... a a 1 0 a2 ... .. . 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • -a -a -a -a X 1 0 0 an 1 a, a2 .. an 18. 1 x, x2 ... -• Xn-1 Xn 1 a,+b, a2 .. an 1 X x2 ...» ” Xn-1 Xn 1 a , a 2+ b 2 " an 1 x , X x ,n-1 Xn • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 x . x2 ... X Xn 1 a , a 2 • a +bn n 1 x, X, .. xn-1 X a a+h a+2h a+(n-1)h 20. 1 2 3 4 n -a a 0 0 2 1 2 3 n-1 0 -a a 0 3 2 1 2 n-2 • • • • 4 3 2 1 n-3 • • • • • • • • • • • • • • • • 0 0 0 a n n-1 n-2 n-3 1 n n-1 n -2 3 2 1 22. 0 1 1 1 1 -1 X 0 0 0 0 1 0 X X X 0 -1 X .... 0 0 0 1 X 0 .. X X • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0 0 0 -1 0 0 1 X X 0 X 0 0 0 0 -1 X 1 X X X 0
- 262. 510 Capítulo 9: Determinantes a, •a, 0 0 0 24. 1 2 3 4 . n-1 n 0 a7 0 0 -1 X 0 0 . 0 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0 0 0 3n-, -a„ 0 0 0 0 . x 0 1 1 1 1 1+an 0 0 0 ü -1 X 1 2 3 4 5 n 26. 1 2 3 4 ... n 1 1 2 3 4 n-1 X 1 2 3 ... n-1 1 X 1 2 3 n-2 X X 1 2 ... n-2 1 X X 1 2 n-3 X X X 1 ... n-3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 X X X X 1 X X X X ... 1 0 1 1 1 28. 1 2 3 ....... n 1 0 a,+a2 ...... a,+an 2 3 4 .. .... 1 1 3,+a, 0 ... a,+an 3 4 5 .. . . . . 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 an+a, an+a2 ... 0 n 1 2 .. n-1 1 X X2 xn-1 30. 1 0 0 0 1 xn-1 1 X X"-2 1 <V 0 0 X xn-2 Xn-1 1 Xn3 1 <V C 22 ... 0 X2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • X2 X X3 X2 X4 X3 X 1 1 < V C ,2 ... c "-1fl xn X a a a ... a 32. 1 2 3 ... n-2 n-1 n b a P P - ... p 2 3 4 .. ... n-1 n n b P a P - - P 3 4 5 ... n n n b P P a ... p • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • b P P P - .... a n n n .. n n n Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 511 a a+h a+2h a+(n-1)h a+h a+2h a+3h a a+2h a+3h a+4h a+h • • • • • • • • • • • • a+(n-1)h a a+h a+(n-2)h 1 b, 0 0 0 0 -1 1-b, b2 0 0 0 0 -1 1-b2 b3 .. 0 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0 0 0 0 •- 1A , bn 0 0 0 0 -1 1-b 9.5.3 ) P R O P IE D A D E S MUL1 | P R O P IE D A D 6 ) D E T E R M IN A N T E DI Si A y B son matrice D (A B ) = D (A ) . D (B ) Esto es, el determinante de un producto e En efecto, la Definición 8.2 establece que i se por A = E, E2 E3. donde Et, i = 1, 2, 3...... m, son matrices superior. También sabemos que si A es matrices elementales E, E2 E3.....Etn Por lo que : AB= E, E2 E 3....... => D(AB)= D(E, E2 E3 ... = D (E,).D (E2 E = D (E,).D (E2) a 0 a, a2 .. a -X x . 0 0 0 -X X . . . 0 • • • • • • • • • • • • 0 0 0 X 1 X X2 X3 X4 1 2x 3x2 4x3 5x4 1 4x 9x2 16x3 25x4 1 y f y3 y4 1 2y co 4y3 •5y* E UN P R O D U C T O s de orden n, y A es inversible, entonces: s igual al producto de los determinantes, jna matriz arbitraria A puede representar- .........EmB elementales y B es una matriz triangular inversible entonces A es el producto de E,nB) V E . B ) •D(E3 ....EmB)
- 263. 512 Capítulo 9: Déterminâmes Por inducción se sigue que : D(AB) = D(E,) • D(E2) • D(E3) ....D (E J • D(B) Dado que: D(E,) • D(E2) • D(E3) ....D (E J = D(E, E2 E3 ..... E J = D(A) combinando estas dos afirmaciones se tiene D(AB) = D(A) • D(B) siempre que A sea inversible. í Ejemplo 1 ) Verificar D(AB) = D(A) . D(B), cuando 2 1 0 r 1 -1 3 A = 3 4 0 *< CD II 7 1 2 lo 0 2j w5 0 1, '2 1 0 ' ' 1 - 1 3' 9 - 1 8 Solución . Si AB = 3 4 0 7 1 2 = 31 1 17 0 0 2 5 0 1 10 0 2v y D (AB) = Ahora : D(A) = y D (B) = 9 -1 8 40 0 25 40 25 = -17031 1 17 F-+F. 31 1 17 = 10 0 2 2 10 0 2 10 2 (1) 2 1 0 2 1 3 4 0 = 2 0 0 2 3 4 = 2(8-3) = 10 1 -1 3 8 0 5 = 7 1 2 F,+F, 7 1 2 — O O = 8 -2 5 =-17 5 0 1 - i — V 5 0 1 5 1 Luego: D(A) • D(B) = (10)(-17) = -170 Por lo tanto, de(1) y (2) se concluye que : D(AB) = D(A) • D(B) (2) ( PROPIEDAD 7 ) Si A e K", tal que A = submatrices cudradas de A, entonces: D(A) = D(X) • D(Z) y donde X, Y, Z son Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 513 Ejemplo 2 j Calcular el determinante de A = r 1 1 1 2 3 4 3 6 10 4 9 14 5 15 24 9 24 38 0 0 0 0 Ï 0 0 0 0 0 1 1 1 1 5 9 1 25 81 Solución . Por simple inspección, dos submatrices de A que satisfacen la Propie dad 7 son : ' 1 1 1 Í1 1 1 X = 2 3 4 y Z = 1 5 9 13 6 10, >1 25 81 J D(X) = D (Z) = 1 c ,-c 1 0 0 4 9 v 2 1 2 10 C -Ca v 3 3 7 1 c„-c, 1 0 0 9 2 v 1 4 8 81 C:fC l 1 24 80 1 2 = 3 7 4 8 24 80 = 1 = 128 En consecuencia, por la Propiedad 7 : D(A) = (1) (128) = 128 Ejemplo 3 J Calcular el determinante de A = 1 1 0 0 0 1 x , X 2 0 0 0 X3 a , b, 1 1 1 C, a 2 b 3 x , x 2 X 3 ° 2 a 3 b 3 x,2 X 22 x 23 C3 x,2 x22 0 0 0 X 23 ^ S olución. Haciendo uso de la Propiedad 4c, intercambiamos la tercera y sexta columnas y luego la tercera y sexta filas, y obtenemos: A = 1 1 1 0 0 0 x , x2 X3 0 0 0 x,2 x22 X 23 0 0 0 a 2 b2 °2 x2 X3 x, a 3 b 3 C 3 x 2a2 X32 a, b < c, 1 1 1
- 264. r- 514 Capítulo 9: Determinantes Por simple inspección, dos submatrices cuadradas de A son 1 1 N 1 ^ X2 X3 X , X = x, X2 X3 , Z = x 22 X 2 X 2* 3 * , x 2 L i V X 23 > 1 s 1 1 D(X) = 0 0 x2-x, x3-x, Xa2-*,2 x 32- x , 2 = ( V xi) ( v x,) = (x2-x1)(x3-x1)(x3-x2) Si intercambiamos filas en el determinante de Z, obtenemos el determinante de X, por lo que: D(A) = D(X) • D(Z) = (Xg - x,)2(x3- x,)2(x3- x2)2 ■ '1 + a 1 1 1 ' C M 1 1-a 1 1 Ejemplo 4 J Calcular el determinante de A = 1 1 1+b 1 1 1 1 1-b y Solución . Efectuando las operaciones F, - F2 y F3- F4, se tiene: a a 0 0 1 1 0 0 1 1-a 1 1 1 1-a 1 1 D(A) = 0 0 b b = a b 0 0 1 1 1 1 1 1-b 1 1 1 1-b F4-F, D(A) = ab 1 1 0 0 1 1-a 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1-b Por la Propiedad 7, se sigue que : D(A) = ab 1 1 1 1-a 1 1 1 1-b = ab(1 - a - 1) (1 - b -1 ) = a2b2 P R O P I E D A D 8 ] D E T E R M IN A N TE DE UNA T R A N S P U E S T A entonces: Si A es una matriz cuadrada de orden n y A' es su transpuesta, D(A) = D(A') EJERCICIOS: Grupo 52 515 En efecto, escribiendo la matriz A como producto de matrices elementales E(, se tiene: Por la Propoiedad 6 : E' E' E'3 *—2 *—1 A = E ,E 2 E3 A' = E’m....... D(A) = D (E,).D(E2) ....... D (E J y D(A') = D(E>J....... D(E2‘) . D(E,<) = D (E,).D (E2) ............D (E J D(A') = D(A) Ejemplo 5 ] Si A = a b c d -b a d -c -c -d a b -d c -b a , calcular el determinante de A. Solución . Efectuando el producto A1 A se tiene: A’A = a -b -c -d b a -d c c d a -b I, d -c b a , a b c d -b a d -c -c -d a b , -d c -b a ) donde X = a2+ b 2+ c 2+ d 2 => D (A1A) = D(A') • D(A) = X 4 Pero, por la Propiedad 8 : D(A') = D(A) => [D(A)]2 = X* D(A) = ( a2+ b2+ c2+ d2) 2 EJERCICIOS. Grupo 52 X 0 0 0 0 X 0 0 0 0 X 0 0 0 0 X En los ejercicios 1 al 3, para las matrices A y B, compruébese Propiedad 6 : D(AB) = D(A) . D(B) 1. A = 1 2 3 4 -1 -9 -2 3 a b c d -1 0 -3 -8 -5 5 3 -2 b a d c 2. A = 3. A = -1 1 0 -13 -12 -6 1 1 c d a b 2 3 5 15 9 0 -2 1 d c b a
- 265. 516 Capítulo 9: Determinantes ' 1 -2 -3 -1 1' ' 1 0 0 0 ' ' 1 1 1 r 0 1 0 2 B = -2 1. 0 0 B = 1 1 -1 -i 0 0 1 1 3 2 1 0 1 -1 1 -i 0V 0 0 1 4 2 1 > 1V. -1 -1 1 ✓ En los ejercicios 4 al 6, calcúlese el cuadrado del determinante 4. 1 1 1 1 5. 1 - 1 1 - 1 6. 1 1 1 1 1 1 - 1 - 1 2 2 1 1 1 - 1 2 2 1 - 1 1 - 1 2 0 - 3 - 1 1 1 - 1 3 1 - 1 - 1 1 3 - 7 - 1 9 1 1 1 - 1 En los ejerciccios 7 al 10, cálculese el determinante de la matriz A. r 3 2 5 0 0 ' f 6 1 12 16 -2 ' -1 3 6 0 0 3 1 17 18 -5 1 -1 2 0 0 8. A = 3 2 -4 0 0 10 6 7 8 9 4 1 -2 0 0 l 8 5 9 3 4 s. 5 2 -3 0 0 s , . /■ > 0 -a -b -d a, 0 b, 0 a 0 -c -e 0 c, 0 d, 10. A = b c 0 0 b2 0 a2 0 , d e 0 0. V* 0 d2 0 C2 - 9.5.4 ) R A N G O DE UN M A T R IZ___________________________ Supongamos que en la matriz A de orden m x n se han elegido arbi trariamente k filas y k columnas, esto es, k min {m,n}. Sabemos que los elementos que se hallan en la intersección de las filas y columnas elegidas forman una sub matriz cuadrada de orden k, cuyo determinante se denomina menor de orden k de la matriz A. El orden máximo r de los menores distintos de cero de la matriz A se llama rango de ésta, y cualquier menor de orden r, distinto de cero, menor básico. Para determinar el rango de una matriz A de orden m x n, supongamos que en esta matriz fué hallado un menor M v* 0. Vamos a considerar sólo aquellos menores , que contienen en si (orlan) el menor M k; si todos los menores citados son nulos, el rango de la matriz es igual a k. De lo contrario entre los Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 517 menores que orlan a se encontrará un menor no nulo de orden k+1 y todo el procedimiento se repite. Ejemplo 1 j Determinar el rango de la matriz A = 2 i -4 3 ' 1 * 0 1 1 -2 i____ 1 1 . -4 2 0 1 -1 ' j 3 1 4 -7 4 -4 5 Solución . Dado que el orden de matriz es de 4 x 5, entonces: p (A) < min {4, 5}, es decir, p(A) < 4 Fijemos un menor de segundo orden M2= -4 -2 = - 4 + 6 = 2 * 0 y el menor de tercer orden M3= -4 -2 1 3 1 -1 -2 1 -4 3 = 2 1 -1 1 -1 = 2 - 1 = 1 * 0 Vemos que M3, que orla a M2, es también diferente de cero, sin embargo, los meno res de cuarto orden que orlan a M son nulos, esto es = 0 2 -4 3 i 1 2 -4 3 i 0 1 -2 1 1 -4 = 0, y 1 -2 1 ' 2 0 1 - i j 3 0 1 - I j 1 4 -7 4 -4 4 -7 4 5 En consecuencia, el rango de la matriz es 3, y M, es el menor básico. O B SER V A C IO N ES 1. Si A es una matriz, no nula, de orden m x n, entonces 0 < p (A) < min {m, n} 2. Si A es una matriz cuadrada, no nula, de orden n, entonces 0 < p (A) < n 3. Si A y B son matrices conformables respecto de la suma A+B, entonces p (A+B) < p (A) + p (B) 4. Si A y B son matrices conformables respecto del producto AB, entonces p (AB) < min (p(A), p(B)}
- 266. 518 Capítulo 9: Determinantes Ejemplo 2 ] Hallar x de modo que el rango de la matriz A = sea menor que 4. r 1 2 3 x"i 2 3 4 5 3 x 5 6 -2 3 x -5 Solución. Por definición, si p(A) < 4 => D(A) = 0, luego, calculamos el determi nante de A efectuando las operaciones: -2C, + C 2, -3C, + C3. D(A) = 1 0 0 x 2 - 1 - 2 5 3 x-6 -4 6 -2 7x+6 -5 * -1 -2 5 2 -1 -2 = x -6 -4 6 - X 3 x -6 -4 7 x + 6 -5 -2 7 x + 6 -1 0 0 0 -1 0 = x-6 8-2x 5x-24 - X 2x-9 x-6 8-2x 7 x-8 30 12 7 x-8 8-2x 5x-24 2x-9 8-2x x-8 30 - X 12 x-8 de donde obtenemos: D(A) = -2x3+ 6x2 + 20x - 48 Si D(A) = 0 => x3 - 3x2- 10x + 24 = 0 *=> (x+3) (x-2) (x-4) = 0 « x = -3, x = 2, x = 4 í Ejemplo 3 ) Hallar para qué valores de t el rango de la matriz 3t 1 2 t+1 a) Es igual a 3 A = 5t 5 5 2t b) No es igual a 3 . 7t 2 3 3t , S olución. Como la matriz A es de orden 3 x 4 , existe C 34 C33 = 4 menores de orden 3 que se pueden obtener de dicha matriz. Estos son: 3t 1 2 3t 2 t+1 5t 5 5 = -15t 5t 5 2t 7t 2 3 7t 3 3t 3t 1 t+1 1 2 t+1 5t 5 2t = t (7t-25) 5 5 2t 7t 2 3t 2 3 3t Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 519 Podemos observar que para t= 0, los tres primeros determinantes son nulos, pero el cuarto determinante tiene un valor M3= 5 * 0. Por lo que: a) p (A) = 3, V t e R , b) f¡ t e R, tal que p (A) < 3 Sea la matriz A =[a 1de orden n, donde a = { "■ 11 1 x si i = j Hallar los valores de x de modo que 1 < p(A) < n Solución . Según definición dada, construimos la matriz r X 1 1 1 1 ' 1 X 1 1 1 1 1 X 1 1 • • • • • • • • • • • • • • • 1 1 1 .... X 1 1 V 1 1 1 X Calculemos el determinante de A sumando las n-1 filas a la primera para obtener x+(n-1) x+(n-1) x+(n-1) .... x+(n-1) 1 X 1 1 1 1 1 X 1 1 • • • • 1 1 1 X 1 1 1 1 1 X 1 1 1 .... 1 1 1 0 0 . . . . 0 0 1 X 1 .... 1 1 1 x-1 0 . . . . 0 0 1 1 X .... 1 1 1 0 x-1 . . . . 0 0 1) • • • • • • • • = (x+n-1) • • • • • • • • • • • • 1 1 • 1 • .... X • 1 • 1 • 0 • 0 • .... x-1 • 0 1 1 1 .... 1 X 1 0 0 . . . . 0 x-1 Ejemplo 4 j => D(A) = (x + n - 1) (x - I ) " - 1
- 267. 520 Capítulo 9: Determinantes Por consiguiente, si p (A) < n => D(A) = 0 <=> x = 1 ó x = 1 - n si x = 1 => 1 = p (A) < n si x = 1 - n => 1 < p (A) < n ( Ejemplo 5 ^ Sea la matriz A = 2 1 5 1 1 1 -1 -4 -X 6 8 1 2 2 2 X Para qué valores de x el rango de la matriz toma un valor máxi mo, y para qué valores de x el rango de la matriz toma un valor mínimo. Hallar los valores de dichos rangos. Solución . La matriz cuadrada A es orden 4, por lo que 1 < p (A) < 4. El rango de A tendrá un valor máximo, p(A) = 4, si el D(A) * 0. Hallemos el determinante de A efectuando las operaciones: -2F2 + F, xF, + F,2 3 0 -1 7 9 1 1 -1 -4 0 x+6 8-x 1-4x 0 0 4 x+8 D(A) = Desarrollando por los cofactores de la primera columna obtenemos -2F2+ f 4 -1 7 9 x+6 8-x 1-4x 0 4 x+8 D(A) = 8-x 1-4x 7 9 4 x+8 + (x+6) 4 x+8 = 6(x+3) (x+10) Si D(A) * 0 => (x+3) (x+10) * 0 <=> x * - 3 ó x # -1 0 Esto es, el rango de A tendrá un valor máximo si x € R -{-3, -10}. Cuando el D(A) = 0, entonces p(A) < 4, es decir, si x = -3 y x = -10 el rango de A es menor que 4. Hallemos el rango de A por transformaciones elementales para x = -3 -2F.+F, A = r 2 1 5 1 ' 1 1 -1 -4 3 6 8 1 l 2 2 2 -3 . 1 2 3 l 2 -1 5 8 2 -4 Ï 1 1 -3 -3F,+F, -2F,+F4 1 -1 3 0 -1 7 11 4 3 F 2 + F 3 '1 1 -1 -4 ' r 1 1 -1 -4 ' 0 -1 7 9 F3(1/8) 0 -1 7 4 0 0 32 40 -F, + F. 0 0 4 5 l o 0 4 5 , 3 4 l o 0 0 0 , -41 9 13 5) = E EJERCICIOS: Grupo 53 521 Luego, si x = -3 , entonces, p (E) = p (A) = 3 De igual manera, para x = -10, p(A) = 3. Por lo tanto, el rango mínimo es 3 cuando x = -3 y x = -10. _ EJERCICIOS . Grupo 53 En los ejercicios 1 al 6, hallar el rango de la matriz A 1. 3. 5. A= A = A = 2 -1 3 -2 4 4 -2 5 1 7 2 -1 1 8 2 J 1 3 5 -1 ' 2 -1 -3 4 5 1 -1 7 7 7 9 1 v 3 -3 3 2 5 ) 5 -3 2 3 4 1 -3 -5 0 -7 7 -5 1 4 1 , 2. 4. 6. A = A = A = 2 1 4 5 2 0 -1 2 3 -1 0 1 J 2 0 2 2 ' 0 1 0 0 2 1 0 1 0 1 * 0 0 , 1 0 2 0 2 ' 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 1 0 . En los ejercicios 7 y 8, decir a qué es igual el rango de la matriz A para diferentes valores de K. 3 1 1 4 f 1 k -1 2 7. A = k 4 10 1 8. A = 2 -1 k 5 1 7 17 3 1 10 -6 k 2 2 4 3 's. 9. Dada la matriz A = [al de orden n, tal que a = J n' 1’ sii J '' l 1, si ¡^ j Qué valor debe tener n para que el rango de A sea igual a su orden. En los ejercicios 10 y 11, hallar x para que el rango de la matriz A sea menor que 4. 10. A = r 1 X X X f X 1 0 X X 1 X X 0 X X 1 11. A = X X 1 X 1 X X 0 S. X X X 1 . >. X 0 1 x ,
- 268. 522 Capítulo 9: Determinantes 12. Sea la matriz A = ( 2 x x x x 3 x x x x 4 x x x x x Hallar x de modo que el rango de la matriz sea : a) máximo , b) mínimo 3 0 6 3x 13. Hallar el rango de la matriz A, V x e R, si A = X 2 2(x+1) 0 k -2 4 0 2x-2x2, f 1 X 0 -1 2 3 ' 14. Determine el rango de la matriz A = 2 *1 0 X 5 7 para l 1 0 0 -6 1 2 „ diferentes valores de x. 15. Para qué valores de x el rango de la matriz a toma un valor a)máximo, b) mínimo, s i : A = 1 X -1 2 2 -1 X 5 1 1 0 -6 1 1 0 0 0 TEO REM A 9.1 Una matriz cuadrada es inversible si y sólo si su deter minante es diferente de cero Demostración. (=>) Primero demostraremos que si una matriz A es inversible => D(A) * 0 En efecto, supongamos que A es inversible, esto es : A A ' = I => D(AA ’) = D (I) => D (A ). D(A ') = 1 (Propiedad 6) Por lo tanto, D(A) * 0 (<=) Demostraremos que si D(A) *o, entonces A es inversible. En efecto, supongamos que D(A) * 0 Probaremos que A es equivalente por filas a I (es inversible). Recordemos que si B = A, existe una sucesión finita E,, E2, E3, ....... Emde Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 523 matrices elementales tales que: A = E, E2 E3 ......... E m B Por lo que : D(A) = D (E,). D(E2) . D (E J...........D (E J . D(B) De la hipótesis, D(A) * 0, se sigue que D(B) * 0 y si D(B) * 0 si y sólo si B es inversible. Puesto que A es inversible si y sólo si B lo es, por tanto, se ha demostrado el teorema. Corolario Si A es inversible, entonces : D(A'1) = — -— D(A) 9.5.5 ) DA JU N T A DE U N A M A T R IZ Si A= [ai(] es una matriz de orden n, sea c,= W D(A) el cofactor i, j de A, entonces la matriz C = [c] se llama matriz de cofactores de A. Es decir c = [<g = c C „ c r r A A , A I11 12 in 11 12 1n c n c A A , A21 22 2n 21 22 2n • • • • • • • • • • • • • • • • • • c c „ c A A Av. ni n2 nn ^ ni n2 nn J La transpuesta C’de la matriz de cofactores de A se llama Adjunta de A. Esta matriz se denota por adj(A), y si A = [cj, entonces adj(A) = (-1 )u| D(A„) (9) Propiedades . Si A, B, I son matrices no nulas, de orden n, y r es un escalar, entonces AD.1 : adj (In) = !n AD.2 : adj(A') = (adj(A)]’ AD.3 : adj(A") = (adj(A)]" AD.4 : adj(AB) = [adj(B)] [adj(A)] A D .5 : adj (rA) = r"’1adj (A) A D .6 : 1adj (A) I = I A I - 1 A D .7 : adj(A ') = [adj(A)]1= _A _ IAI
- 269. 524 Capítulo 9: Determinantes rEjem plo~1 ^ Demostrar que si A e 1son matrices de orden n, entonces A • adj (A) = I A 11 Demostración . En efecto, consideremos el producto A.adj(A) = í a" ^12 .... 31n I r a,, A., ... .. 1A. 1...i i1i C < a21 a22 .... 320 a,2 . . . , A2, ...- An, • • • • • 1 • 1 • • • • • • 1 • • • • • • • • • • a,i a,2 .... ain A,k A,, ...... 1A|k1... C < “ •“ --------^ --- • • • 1 • 1 • • • • • • •1 1 • • • • • • 1 * 1 • a a a A A ... ' A 1.. ... AV. ni n2 nn .> V. In 2n i p1i El elemento que se encuentra en la i-ésima fila y la j-ésima columna de A.adj(A) es: (1)a„ A,i + a,2a ,2+ + amA)n Si i = j, entonces (1) es el desarrollo por cofactores del D(A) a lo largo de la i-ésima fila de A (ver ecuación 5). Por tanto, si i * j, entonces los elementos y los cofactores provienen de diferentes filas de A, de donde, el valor de (1) es cero. En consecuencia: A. adj(A) = A 1 0 0 0 0 1A l 0 0 • • • • • • • • • • • • 0 0 0 1A l = I A I I Si en esta igualdad efectuamos el producto indicado en el segundo miembro, obte nemos A. adj(A) = I A I" Tomando determinantes en ambos extremos resulta I A.adj (A) I = I A I" => I A I • I adj(A) I = I A I" I adj (A) I = I A I"-' (AD.6) Sección 9.5: Otras aplicaciones vpropiedades de los determinantes 525 --------------- f 2 3 4 ' 1Ejemplo 2 J Dada la matriz A = 2 1 1 . 1 1 2> , calcular la adj(A). Solución . Primero calculemos la matriz de cofactores C = 1 1 2 1 2 1 N 1 2 1 2 + 1 1 3 4 2 4 2 3 ' 1 -3 1 1 2 + 1 2 1 1 = -2 0 1 3 4 2 4 2 3 .-1 6 -4 1 1 2 1 + 2 1 Por lo tanto, la matriz adjunta de A es : adj(A) = C ' = Examinemos el producto A • adj(A) de este ejemplo 1 -2 -1 -3 0 6 1 1 - 4 J 2 3 4 1 -2 -1 -3 0 0 A • adj(A) = 2 1 1 -3 0 6 = 0 - 3 0 . 1 1 2, . 1 1 - 4 , . o 0 - 3 , = -3 I Hallemos ahora el determinante de A D(A) = 2 3 4 2 1 1 1 1 2 = 2(2-1)-3(4-1)+ 4(2-1) = -3 De estos dos resultados podemos escribir A • adj (A) = I A I I Por lo que, es posible establecer una fórmula para calcular la inversa de una matriz inversible. I 9.5.6) IN V E R S A DE U N A M A T R IZ Consideremos primero el caso siguiente. Sea una matriz de segundo orden A = 321 322 , cuyo D(A) * 0 Se desea hallar una inversa para A, esto es, una matriz tal como:
- 270. 526 Capítulo 9: Determinantes de manera que: A '1= X 2 A •A° = A 1• A = I (1) o sea: an O X y i 0 ' >. a2i a j z w _ 0 1 Los productos escalares de los vectores fila por los vectores columna nos permite establecer las ecuaciones siguientes: a„ x + a12z = 1 (2) a2, x + a^ z = 0 (3) Resolviendo (2) y (3) obtenemos: a,, y + a,2w = 0 (4) a2, y + a22w = 1 (5) x = D(A) La resolución de (4) y (5) da por resultado: a.„ y = - D(A) z = - w = D(A) D(A) Sustituyendo en (1) se tiene que : A '1 = D(A) -a. lo que nos permite enunciar el siguiente teorema TEO REM A 9.2 La matriz A = a-' { a2i a 12 tiene una inversa A '1si y sólo az2, si el D(A) * o. Además, si D(A) * 0, entonces 1 (1 0 )A 1= D(A) ,_a21 3114 __ A Obsérvese que para calcular la inversa de una matriz de segundo orden, basta hallar el D(A), luego intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar de signo a los elementos de la otra diagonal. Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 527 [ Ejemplo 3 ^ Determinar la inversa de la matriz A = Solución . Primero calculemos: D(A) = 2 3 6 10 2 3 6 10 = 20 - 18 = 2 Como el D(A) * 0, por la fórmula (10), se tiene: A '1= — 10 -3 x = f 5 -2,12 2 . -6 2 . . *3 1 , ) Resolver la ecuación: 3 -1 x = ' 1 2 ' J [ 5 -2 3 4 Solución . Sea A = 3 -1 5 -2 D(A) = 3(-2) - 5(-1) = -1 Por la fórmula (10): Multiplicando cada miembro de la ecuación por A -1 se tiene: X = A 1= - ’ -2 T ’ 2 -1 ' co" LO 5 -3 2 -1 5 -3 3 -1 5 -2 2 -1 5 -3 1 2 3 4 ( A ’A = I ) I X = ' -1 0 ' ' -1 0' -4 -2 « X = -4 -2 ) Si A = 2 -1 ' ’ 7 6 ' y B =J , -2 3, . 9 8 , hallar las matrices C y D tales que AC = B y DA = B. S olución. Si AC = B => 2 -1 C = 7 6 ' k-2 3 , , 9 8 , (1) 2 -1 = 6 - 2 = 4 => A ’ = 4 - ’ 3 1 ' -2 3 4 2 2 D(A) = Multiplicando (2) por A-' (izquierda de B), la ecuación (1) se tiene: 3 1 2 - 1 C - — 3 1 7 6 =, C - 1 15 13 4 . 2 2. . -2 3, 4 CJ CVJ co CD => c - 2 16 14.
- 271. 528 Capitulo 9: Determinantes 1 CJ 7 6~ co <l O) oo D(A) = B => D Multiplicando (2) por A° (derecha de B), obtenemos: D 2 - 1 1 3 1 7 6 1_ 3 1 co CVJ1 4 ci CVJ co 00 4 OJ CVJ , de donde : D = — 4 ! Ejemplo 6 ^ Resolver el sistema: X + Solución X + Restando (1) - (2) obtenemos : 2 -1 Y = 3 2 3 4 5 -1 1 -4 Y = 2 -1 ' , 2 3 4 4 ' 1 3 ' Y = ’ 1 3 ’ 1 1 1 -5 Sea A = (2) 11 19 43 25. (1) (2) (3) Multiplicando la ecuación (3) por A 1(izquierda de A), se tiene: IY = — — 2 í 1 ' 1 ' 1 3 => Y = 1 -9 ' .-1 1 J , 1 -5, .0 4 , , en (1): X = 1 24 2 10 J ejemplo 7 ^ Dada la matriz A = a) Determinar X tal que D(A - XI) = 0 b) Hallar la matriz X de orden 2 x 1 tal que AX = XX c) Hallar B siendo B = [X, X2] y X es la matriz de la parte (b). S olución. 1 ? í > n 1.1 9 D(A - X I) = X2- 3X > II ’ 1 2 X 0 ii ' 1-X 2 ' CVJ . 0 X, . 1 2-X, Si D(A) = 0 b) A X = X, X X (X - 3) = 0 ^ X, = 0 ó X2= 3 = 0 de donde: x = -2y => X, = x y , *2y y x + 2y x + 2y = y -2 1 Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 529 AX = X2X ' 1 2 ' X X x + 2 y ' í 3 x l= > 1 2 y = 3 y => x + 2 y l 3 * ) de donde obtenemos : x + 2y = 3 x = *x = y = > X : = = y c) B = [X, X2] = y -2 1 1 1 B 1 = D(B) = y(-2 -1) = *3y y 3y 1 -1' 1 ’ -1 1 ' -1 -2t 3 1 2 Ejemplo Sea P = Sen ° C°S 9 ] .Considerar que P = NAN donde 1 J Cos20 Sen20 J í 0, si i i) A = [aj, de segundo orden, tal que: ait= j . g. ._ . con Xt, X2 raíces de la ecuación D (X I - P) = 0 ¡i) N es una matriz de segundo orden, cuyas columnas llamadas Cj * cumplen la ecuaión matricial: PC ,= X (C j = 1, 2 a) Hallar Pk, K e Z * b) Demostrar que Tr (P2k) = 1 + Cos2k20 c) Hallar P6(n/8) Solución . i) Por la definición dada: A = X I - P = X, 0 0 X, r X 0 ' ’Sen20 Cos20 r X-Sen20 -Cos20 ' 0 X Cos20 Sen20 -Cos20 X-Sen20 y Si D (X I * P) = 0 => (X - Sen20)2- Cos40 = 0 de donde: X2-2 X Sen20 + Sen40 - Cos40 = 0=>X = Sen20 ±V Sen40 + Cos40 - Sen40 1 0 => X = Sen20 ± Cos20 <=> X. = 1 ó X = -Cos20 => A = 2 0 -Cos20
- 272. 530 Capítulo 9: Determinantes ii) Sea N = a c b d Si PC, = X, C, => cuyas columnas C * Sen20 Cos20 1 a Cos20 Sen20 b = 1 a = a 1 ' , a k 1 , de donde : a Sen20 + b Cos20 = a => bCos2 0 = a (1 - Sen2 0) <=> b = a a Cos2 0 + b Sen20 = b => aCos2 0 = b (1 - Sen20) «=> a = b Luego, C, = Si PC2= C2 c Sen2 0 + d Cos20 = -c Cos2 0 = c Sen2 0 - c Cos20 => d = -c <=> c = -d c Cos20 + d Sen20 = -d Cos2 0 = d Sen2 0 - d Cos2 0 =* c = -d Sen20 Cos2 0 c = -Cos2 0 c kCos20 Sen2 0 y . b , . d, -d' -1 f 1 -1 K,1 1 ✓ 1 1 Luego, C2= , d = d 1 . Por lo que: N = 1 1 => N'1= —- 2 -1 1, a) Si P = N A N'1 P2 = (N A N ’) (N A N°) = (N A) (N'1N) (A N 1) = N A(I) AN -’ = N A2 N-1 P3 = P P2 = (N A N-’)(N A 2N ’) = N A ÍN '1N) A2 N’1 = NA (I) A2 N’1= N A 3 N '1 Por simple inspección : Pk= N Ak N° Ahora: A2= A A = A3= A A2= (1) 1 0 f > 1 0 1 0 0 -Cos20 _ 0 -Cos20, k 0 Cos220 y ' 1 0 ' 1 0 ' 1 0 ' 0 -Cos20 0 Cos220 k 4 0 -Cos320 Por simple inspección: Ak= 1 0 0 (-1)kCosk20 Luego, en (1): P k = — 1 1 ' 1 0 ' 1 r 0 (-1)k Cosk20 -1 1 (-1)k*' Cosk20 (-I)“*1 Cosk20 1 1 -1 1 EJERCICIOS: Grupo 54 531 de donde obtenemos : Pk = — 2 1+(-1)k Cosk20 1-(-1)kCosk20 1-(-1)kCosk20 1+(-1)k Cosk20 b) P2k= 1+(-1 )2k Cos2k20 1-(-1 p C o s2^ Cos2k20 l+ í- lp Cos2k20 Tr (P2k) = 1/2 [1+(-1 )* Cos2k20 + 1+(-1 )a Cos2k 20] = 1+(-1 )2k Cos2k20 Tr (P2k) = 1 + Cos2k20 c) P6 (rt/8) = 1 1+Cos6(n/4) 1-Cos6(ti/4) ' 9/8 7/8 ' 2 1-Cos6(ti/4) 1+Cos6(n/4) 2 7/8 9/8 P6(rc/8) = — 16 9 7 7 9 EJERCICIO S. Grupo 54 1. Si B es el adjunto clásico de la matriz A = hallar el valor de la suma S = B^ + B23+ B 2. Si B es el adjunto clásico de la matriz A = B„ + B„, 2 2 3 0 -2 0 -1 1 -2 -3 0 2 1 3 2 0 1 -2 -1 4 3 2 -1 1 hallar el valor de E = * B31 3. Sea A =[a1(] una matriz de orden n, tal que D(A) = 0. Demostrar que A •adj(A) = 0. 4. Dada la matriz A = 1 -2 -2 -2 5. Sea la matriz A = 1 1 2 3 , hallar A , si AX = A', hallar 2/3 X* 6. Hallar la suma de los menores valores que pueda tomar x, si se sabe que la ~ 2Cotg x -Cosx ~ Cosec x Senx matriz A = no es inversible. 7. Si ABXC = D, donde A, B, C, D, y X son matrices cuadradas del mismo orden, despejar la matriz X.
- 273. 532 Capitulo 9: Determinantes 8. Dadas las matrices A = resolver las ecuaciones : 3 Ì R - l j ’ B - a) A X B = C 01 2 ' < G II 1 CJ b) B X C = A 1 2 -1 3 3 5 ' 9. Resolver el sistema : , 3 4 X + -2 1 . Y = 5 9 1 0 3 - 4 Y = 0 - 2 0 1 X + 2 9 6 4 2 1 6 3 10. Resolver el sistema : 2 X + 3 -1 Y = k 2 7, 5 1 1 -3 X + 3 Y = En los ejercicios del 11 al 18 11. X = 3 15 resolver las ecuaciones matriciales 12. 3 -2 -1 2 5 -4. . *5 6, 3 4 ' 2 4 -1 4 3 -1 1 5 6 14 16 13. X ,-2 -4 > — -1 0 k 2 -1 , 14. 5 -2, y X t 7 8 9 1 0 , 4 -7 4 2 -12 10 2 1 v -3 2 -2 4 15. . 3 -6. X , 2 -1 = -18 9, 16. 3 2 X . 5 -3 , 3 -1, 2 5 9 2 -3 -1 3 3 1 v -5 4 17. 1 3 X — , 4 -3 2 -3 18. . 2 1. 2 3 A , 3 -22. 2 5 3 1 0 2 4 5 1 3 1 2 . B = 2 - 1 3 y c = -3 -6 3 , 1 2 1 J , 0 2 3 , . 5 4-14 , 19. Si A = E = adj (A) - adj (B) -C‘. 20. Sea la matriz A = ;hallar la matriz a) Hallar el polinomio P(x) = IA - x II, x e R ,I: matriz identidad b) Resolver la ecuación P(x) = 0 c) Con las raices x,, x^, hallados en b), determinar las matrices B y C de orden 2x1, tales que: AB = x, B , AC = x2C 21. Determinar la matriz A, triangular superior que satisface: Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 533 A' BA = 1/4 3/2 3/2 13 B' siendo B una matriz simétrica, inversible, tal que AB = BA f 1 2 l 22. Si A = ^ ^J , determinar la matriz X en la ecuación (AX!+ A ’)’= 3 A - 1 r ‘ 1 ‘ ------------------------- — --------- TEOREM A 9.3 Inversa de una matriz cuadrada de orden n Si A ese uan matriz inversible. entonces A ’ = — —-• adj(A) Demostración . En efecto, en el Ejemplo 1 de la Sección 9.5.5 , habíamos demos trado que A • adj(A) = IAI • I Dado que A es inversible, IAI * 0, entonces esta ecuación se puede escribir IAI adj (A) = I Si multiplicamos ambos mienbros de esta igualdad por A -1 obtenemos / A ’A IAI adj(A) = A 1I => I adj (A) = A-1 I A 1= ' 1 ' IAI / adj(A) (11) TEOREM A 9.4 Propiedades de la inversa de una matriz cuadrada Sean A, B e K n, matrices inversibles, esto es, D(A) * 0, D (B )*0 y re R. un escalar, entonces se cumple: 1.1: AA-’ = A ’A = I 1.5: (rA)-’ = r 1 A 1 1.2: > 11 > 1.6: (In)’1= In 1.3: (A B)1= B ' A’1 1.7: (A")-1= (A ’)" 1.4: (A-)> = (A*’)' 1.8: adj(A ’) = [adj(A)] •
- 274. 534 Capítulo 9: Determinantes La demostración del teorema queda a cargo del lector IN ota. Si B = [tg = A’’ => b = _^i_ .siendo A, = (-1)^' M,, r 3 4 5 Ejemplo 1 Calcular la inversa de la matriz A = 2 3 1 l 3 5 -1 . Solución . En primer lugar calculamos el determinante de A, desarrollando por los cofactores de la primera fila: D(A) = 3 (-3 -5) - 4 (-2-3) + 5 (10 -9) = 1 * 0 => BA'1 Enseguida, calculamos la adjunta de A adj(A) = 1 -1 5 -1 5 1 -8 5 1 29 -18 -3 -11 7 1 Luego, haciendo uso de la fórmula (11): A-’ = -8 5 V. 1 29 -11 -18 7 -3 1J f _ ' 1 2 X 3 Ejemplo 2 Sea la matriz A = 1 3 4 . Si AX = A', hallar 2X' ' 1 4 3 Solución. El determinante de A, por los cofactores de la primera fila, es: D(A) = 1 (9 - 16) - 2 (3 - 4) + 3 (4 - 3) = -2 adj(A) = 3 4 1 4 1 3 I + 4 3 1 3 + 1 4 -7 1 1 ' 2 3 + 1 3 1 2 = 6 0 -2 4 3 1 3 1 4 -1 -1 1 / 2 3 1 3 1 2 + 3 4 1 4 + 1 3 Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 535 Ahora, por la fórmula (11), se tiene que : A;1 = - — Si AX = A' => X = A 1A’ => X = - 6 -11 0 -1 -2 1 -7 6 - r 1 1 r o ' 2 7 14' 1 0 -1 2 3 4 -2 -3 -2 , 1 -2 1 , ,3 4 3. , 0 -1 -4. 2 X’= -2 2 -7 3 ■14 2 r 1 a+b 0 Ejemplo 3 ] Si A = 2 5 a wb X 3 , es una matriz simétrica, hallar A'1. Solución. Dado que A = A' 1 a+b 0 2 5 a b x 3 1 2 b a+b 5 x 0 a 3 f b = 0 <=>< a+b = 2 = *a = 2 I x = a=>x = 2 D(A) = 1 2 2 5 0 2 = 1 (15 - 4) - 2 (6 - 0) = -1 adj(A) = 11 -6 4 -6 3 -2 4 -2 1 ' 11 -6 > 4 -11 6 -4 A-’ = -1 -6 3 -2 = 6 -3 2 l 4 -2 1 l -4 2 -1J [ Ejemplo 4 j Hallar, si existe, la inversa de A = 2 1 0 0 3 2 0 0 1 1 3 4 2 -1 2 3 Solución . La matriz tiene la forma : A = X 0 Y Z
- 275. 536 Capítulo 9: Determinantes => D(A) = D(X) • D(Z) = Los elementos de la matriz de cofactores son: 2 1 3 4 3 2 2 3 = (1) (1) =1 A„ = 2 A * = -1 a 31 = o a 41 = o A ’ = A ,2= -3 A22= 2 a 32= o A,3= 31 A23= -19 A 33= 3 A. =-23 A24= 1 4 A34 = '2 A« s= 0 1 ■'í II 5 < - A . _ . A I 3dj(A) = r 2 -3 31 -23 ' i /■ 2 -1 0 ''v 0 -1 0 2 0 -19 3 14 -2 = -3 31 2 -19 0 3 0 -4 l o 0 -4 3 . l -23 14 -2 3 > i Ejemplo 5 ) Dadas las matrices A. B € K", tales que IAI * 0 y IBI * 0, demostrar que : a) adj (AB) = adj (B) •adj(A) b) adj (A 1) = [adj (A)]-' c) ladj [adj(A)] I = IAI<"-’>2 Dem ostración. a) En efecto, por definición de matriz inversa : adj (A) = IAI A'1 => adj(AB) = IABI (AB)-1 = IAI IBI (B 1A-’) (Teor.9.4: 1.3) Como IAI y IBI son escalares, podemos escribir adj (AB) = (IBI B 1) (IAI A 1) = adj (B) • adj (A) b) En efecto, por definición : adj (A 1) = IA M (A 1) 1 = IAI'1(A 1)“1 = [ IAI(A 1) ]•’ (Teor. 9.4: 1.5) = [ adj (A) ] ’ c) Efectivamente, si adj(A) = IAI A -1 => adj [adj (A)] =ladj (A)l [adj (A)]1 y por las propiedades AD .6 y AD.7 de la matrizadjunta setiene : adj [adj (A)] = IAI"0 adj (A 1) = IAI"-1 IAI = IAI"* A Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 537 Luego, tomando determinantes en ambos mienbros se tiene: I adj [adj (A)] I = I IAI" 2A I = (IAIn'2)nIAI = IAIn(n2)IAI = IAI(f"1)2 Ejemplo 6 ) Si A es una matriz de orden n tal que IAI * 0, A3 = -A, X g { 0 }, demostrar que: X"-1adj (X A4) = I Demostración . Si A3= -A => A3A = -A A => A4= -A2 Como IAI * 0, la matriz A es inversible, por lo que: A 3A '1= -A A-’ => A2 A A’1 = -I =* A2 = -I De (1) y (2), se sigue que: A4 = I => adj (X A4) = adj(X I) = IX II (X I) 1 = Xn(X-’ I*1) = X"-’I /. X1"1adj(X A 4) = X1-" (X"-1!) = I (1) (2) Ejemplo J J Si A - 2 3 11 1 5 1 5 1 1 , hallar la suma de los elementos de la tercera fila de su inversa. Solución . El determinante de A por los cofactores de la primera fila es D(A) = 2(5 - 1) - 3(1 - 5) + 1(1 - 25) = -4 Si B es la inversa de A, entonces S - b 31 + b 32 + b 33 = A,3— 13 + IAI A« IAI + A33 IAI -24 -13 7 -4 1 4 r 1 3 3 1 k 1 4 3 3 4 -24+ 13 + 7 -4 = 1 a) La traza de A 1 , hallar : b) La matriz A. E s A única? Solución . a) Por definición : adj (A) = IAI A 1
- 276. 538 Capítulo 9: Determinantes Tomando determinantes a ambos extremos se tiene ladj (A)l = IIAl A 'l = lAPIAM = IAI2 (i) 4 3 3 4 = ( 4 t ) i1 (i6 -g) - 3 <4-3) + 3 <3-4)i =64 Luego, en (1): IAI2= 1/64 => IAI = ± 1/8 => A 1 = ± 2 1 3 3 1 4 3 1 3 4 .-. Tr(A’) = ± 2 (1 + 4 +4) = ±18 b) Para determinar la matriz A, aplicamos la propiedad 1 N (A 1)-1= A A = lA ’lJ adj(A ') = I A I adj (A 1) Calculando la adj(A ') obtenemos finalmente A - * F <4) Existe dos soluciones, por tanto A no es única f 9.5.7 ) M A T R IC E S NO S IN G U L A R E S ' 7 -3 *N -3 1 = ± o 7 -3 -3 " -1 1 0 -1 1 0 1-1 0 1 d. I 1 0 1 ✓ Se dice que una matriz A es no singular si y sólo si el D(A) * 0, es decir, si admite una inversa. Se dice que una matriz cuadrada A es singular si y sólo si el D(A) = 0, o en su defecto, si no admite una inversa. Ejemplo 9 ^ Si A = , hallar los valores de x de2 Sen 2x 3 Cos 2x Sen 2x ------------------- V modo que A sea singular. Solución . Para que A sea una matriz singular se debe cumplir que D(A) = 0 =* D (A) = 2 Sen 2x 3 = 2 Sen22x - 3 Cos 2x = 0 y ' Cos 2x Sen 2x de donde obtenemos: 2 Cos22x - Cos 2x - 2 = 0 <=> Cos 2x = 1/2 ó Cos 2x = -2 Para la segunda alternativa no existe solución, luego, si Cos 2x = 1/2 » 2x = 2 k n ± n/3 <=> x = k n ± n/6. k e N Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 539 ' 7 23 25 ' 1 3 3 ' Ejemplo 10 j Sesn las matrices AB = 5 16 16 y b = i 4 3 V J a-1 4a-3 3a-6 . i 3 4, Si A es una matriz singular, hallar el valor de a Solución . Sea A =[a ] una matriz singular de tercer orden, tal que D(A) = 0 a,, a2 ^ 331 33 3 3 7 23 25 4 3 = 5 16 16 3 4j * fl-1 4a-3 3a-6, Del producto escalar de la primera fila de A por las columnas de B, obtenemos: a, 33, 33, Efectuando transformaciones elementales en la matriz aumentada del sistema, se tiene : + ai2 + ai3 = 7 + 4a,2 + 3ai3 = 23 + 3a,2 + 4ai3 = 25 1 1 1 N 7 *3F +F r 1 1 1 N 7 " 1 0 1 5 3 4 3 23 i ¿ -3F.+F, 0 1 0 2 *F 2+ F , 0 1 0 2 .3 3 4 25. , 3 . 0 0 1 4, o o 4, ✓ 1 0 0 > 1 an = 1 -f 3+f . 0 1 0 2 = > a i2 = 2 , 0 0 1 4 > • a,3= 4 Del producto escalar de la segunda fila de A por las columnas de B, resulta: 3a„ + 4a, 3a„. + 3a, + *>3 = 5 + 33,3 = 16 - 43,3 = 16 Efectuando opersciones elementsles en Is mstriz sumentsds del sistems, se tiene s 1 1 1 5 -3F,+F2 f 1 1 1 N 5 ' 1 1 0 4 3 4 3 16 1 ¿ -3F,+F, 0 1 0 1 -F3+F, 0 1 0 1 <3 3 4 16. 1 3 .0 0 1 1, o o 1 > s 1 0 0 > 3 a2 ,= 3 -F2+F1, 0 1 0 1 a22=1 ,0 0 1 1> L a23=1 Finslmente, del producto escslsr de Is tercers fils A por Iss columnss de B, obte nemos:
- 277. 540 Capitulo 9: Determinantes ®31 + ^32 3a„ + 4a,, 3a, 3a, + a3 + 3a3 + 4a, a - 1 Aa - 3 3a - 6 La matriz aumentada del sistema es ' 1 1 1 a-1 -3 F,+ F, 1 1 1 a-1 /* 1 0 1 -1 3 4 3 4a-3 ---- !— i -3F +F_ 0 1 0 a -■ VF ,. 0 1 0 a . 3 3 4 3a-6 , 1 3 ,0 0 1 -3 . , 0 0 1 -3 , 1 0 0 2 ' [ 0 1 0 a => .0 0 1 ■3 , ! a3, = 2 = -3 r 1 2 4 Luego, A = 3 1 1 => D(A) = 1(-3-a) -2 (-9-2) + 4(3a-2) = 11a + 11 1 2 a -3 , = 0 = > 1 1 a + 1 1 = 0 <=> a = -1 X b 1 1 Ì b X 1 1 Dada la matriz A = 1 1 X b , 1 1 b x - , determinar los valores de x tales que la matriz A sea no singular. Solución . Para que A sea una matriz no singular es necesario que el D(A) * 0. Calculamos el D(A) sumando las últimas filas a la primera x+b+2 x+b+2 x+b+2 x+b+2 D(A) = b X 1 1 1 1 X b 1 1 b X 1 0 0 0 (x+b+2) b x-b 1-b 1-b = 1 0 x-1 1-b 1 0 b-1 x-1 = (x+b+2) (x-b) CTX xcr 11 (x + 1 1 1 1 b x 1 1 = (x+b+2) 1 1 X b 1 1 b X x-b 1-b 1-b = (x+b+2) 0 x-1 b-1 0 b-1 x-1 -c,+c2 -c,+c3 -c,+c. 1) [(X -1 )2 - (b - 1)2] = (x + b + 2) (x - b) (x - b) (x + b - 2) En consecuencia, si D(A) * 0 => x * - ( b + 2), x * b , x * 2 - b EJERCICIOS: Grupo 55 541 EJERCICIOS . Grupo 55 En los ejercicios del 1 al 12, por el método de la adjunta, hallar la inversa, si existe, para la matriz A. Comprobar en cada caso que A A 1= I 1. A = 4. A = 7. A = 10. A = 1 -2 1 -2 5 -4 1 -4 6 6 -6 2 -6 8 -3 1 -2 1 -2 3 4 1 1 -2 2 -1 1 1 3 -5 0 1 2 0 0 1 0 0 0 7 -3 2 1 2. A = 5. A = 8. A = 11. A = -1 2 -3 2 1 0 4 -2 5 1 2 2 2 -1 1 1 3 2 1 2 -3 0 1 2 0 0 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 3. A = 6. A = 1 -1 2 1 2 -3 2 1 1-1 -1 -1 0 2 -1 A = 12. A = 2 2 1 -1 k-1 2 0 0 0 o 3 4 2 3 ) En los ejercicios del 13 al 16, resolver las ecuaciones matriciales f 5 3 1 ' f -8 3 0 ' ' 1 2 -3 ' f 1 -3 0 ' 13. X 1 -3 -2 = -5 9 0 14. 3 2 -4 X = 10 2 7 k-5 2 1 , k -2 15 0 . k 2 -1 0. J O 7 8 „ 1 1 -1 1 -1 3' ' 2 -3 1 9 7 6 ' 2 0 -2 15. X 2 1 0 = 4 3 2 16. 4 -5 2 X 1 1 2 = 18 12 9 1 -1 f 2 1, 3 4 1 -2 5, f 2 1 . 5 > 1 -7 3, . 1 1 1 , .23 15 11, 17. Si A -1 1 -4 y b = 2 1 2 son dos matrices. w 0 -1 2 . 3 2 -1 , Hallar la matriz X tal que: A B X + B' = A. 18. Halle la matriz X que satisface la ecuación matricial 3A + AX = B + C, en donde: f 1 3 N -2 f 1 -2 1 f 3 12 -5 A = 2 5 -3 , B = 0 1 1 , c = 6 15 -9 1-3 2 -4 -2 0 o j -7 6 -11 y 19. Si A 3 = l, hallar adj(a A 5), a * 0.
- 278. 542 Capítulo 9: Determinantes 20. Si B es la inversa de la matriz A = la suma S = b,2- 6 b23+ b3). 21. Si B es la inversa de la matriz A = suma S = 2b23+ 3b,, + b31 f 1 2 101 A = 2 3 9 , calcular el valor de 4 5 11 f 2 1 -1 > 2 A = 1 -1 3 2 2 1 -3 -1 , hallar el valor de . 2 -3 -1 4 . 22. Si A = 1 1 1 1 2 4 5 6 3 9 2 3 14 6 5 6 y B su inversa, hallar S = 2b33+ b31 + b3 2 1 3 i 0 2 3 5 1 y b = 0 4 -3 1 -2 4 z 2 2 j 23. Dadas las matrices A = Si M = A + A' + B calcular el valor de la suma S = m12+ m,3+ ma 24. Si A = x+1 -2 -2 -2 x-2 -2 3 6 x+6 25. Si la matriz A = 1 x 1 x-3 0 x-1 1 x+2 3 , hallar los valores de x para los cuales 3 A*1, es singular, hallar x. 26. Si A = Cotg x Cos(90+x) Cosec x Sen(90+x)/Senx 0 0 , hallar los valores de x para los cuales la matriz A no es inversible. 27. Si A = 1 1 1 1 X 1 1 1 X 1 1 1 X 1 1 1 X 1 1 1 X 1 1 1 1 , hallar los valores de x para los cuales /i A 28. Para qué valores de x, 3 A si A = x 3 -x 1 0 5 Iv 2 -x 3 ) . Además hallar A*1. f 1 1 1 29. Para la matriz A = a b c cr o ac a b . , a) Hallar D(A), b) Calcular A 1. Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 543 ' a 2 3 ' ' i i r ' 1 1 2 ' 5 0 6 , B = 4 -b 4 . c = 1 2 e 6 7 d y 6 7 -dy 0 0 - 2v / 30. Dadas las matrices : A = hallar a, b, d, e y la matriz X sabiendo que AX = BX -1 y XC = I 9.5.8 J R E S O L U C IO N DE S IS T E M A S DE E C U A C IO N E S EN D O S V A R IA B L E S Sea el sistema : a,x + b,y = c, a2x + b2y = c2 La ecuación matricial equivalente al sistema es 2 b2 x i yj que representamos por: A X = C donde : A = Matriz de los coeficientes X = Matriz de las incógnitas C = Matriz de los términos independientes Para despejar la matriz X operamos de la siguiente manera : AX = C => A-’A X = A ’C => (A ,A )X = A-1C => ( I ) X = A 1C X = A 1 C (Propiedad asociativa) (Definición de A ’) (12) I Nota . Para hacer uso de la ecuación (12) y obtener la matriz X, se debe multiplicar A 1 por la izquierda de C. Ejemplo 1 J Resolver el sistema : 3x + 4y = 6 5x + 3y = -1 Solución . Sea la matriz A = 4 3 ) D(A) = 9 - 20 = -11
- 279. 544 Capítulo 9: Determinantes Por la fórmula (10), la inversa ded A es : A 1= - ---- 11 3 -5 X r s 3 -4 6 2 2 -2 k y . 11 5 3 -1 11 -33 3 y por la fórmula (12): Por lo que, el conjunto solución del sistema es S = {(-2,3)} R E SO L U C IO N DE S IS T E M A S DE E C U A C IO N E S EN T R E S V A R IA B L E S Sea el sistema a,x + b,y + c,z = dt a2x + b2y + c2z = d2 83x + b3y + c3z = d3 La ecuación matricial equivalente al sistema es : que representaremos por: b, c, b2 C2 b 3 C 3. A X = D donde A, X y D tienen el mismo significado que el dado en la Sección 9.5.8. Enton ces, si existe A 1y si AX = D, si y sólo si X = A-’ D (13) x + 2y - z = 2 Cjcmplo 2 ] Resolver el sistema : 2x - y + 3z = 9 2x - y + z = 3 ' 1 2 - r Solución. Sea la matriz A = 2 - 1 3 => D(A) =1 (-1+3) - 2(2-6) - 1(2+2) = 10 . 2 - 1 1, 545 adj(A) = ' -1 3 2 3 2 -1 X + -1 1 2 1 + 2 -1 2 -1 1 -1 1 2 -1 1 + 2 1 2 -1 2 -1 1 -1 1 2+ -1 3 2 3 + 2 -1 y ' 2 4 0 1 2 -1 5 -1 3 5 = 4 3 -5 , 5 -5 - 5 , .0 5 -5 , Luego, la inversa de la matriz A es : A '1 = — 1— 10 / X X 1 " 10 2 -1 5 / Según la ecuación (13) : y 4 3 -5 k z . . 0 5 -5, 5 -5 ■5J 2 9 3 10 10 20 30 Por tanto, el conjunto solución del sistema es : S = {(1,2, 3)} El siguiente teorema establece una fórmula para resolver un sistema de n ecuaciones en n cógnitas. La fórmula en cuestión se conoce con el nombre de Regla de Cramer. T EO R EM A 9.4 REG LA DE C R A M ER Si AX = B es un sistema de n ecuaciones en n incógnitas tal que D(A) * 0, entonces el sistema tiene solución única y esta dada por x, = B ! D(A) . x = D(AJ D(A) x - " D(A) donde Aj es la matriz que se obtiene al reemplazar los elementos de la j-ésima columna de A por los elementos de la matriz. b, b.. B = D em o stra ció n . Sea el sistema :
- 280. 546 Capítulo 9: Determinantes a,, X, + a^ Xg + amXn = bt + a2nXn = b2 a_, x. + annxn = bnn n n Si D(A) * O, entonces A es inversible y, por la ecuación (12), X = A*1B es la solución única de AX = B. Luego : X = A 1B =| — I adj (A) . B = 1 UAI Í A „ a 21 ....- A„i ] b’ 1 K A * ...- An2 b2 • • • • • • • • • • • • a 2„ Ann multiplicando las matrices obtenemos X = IAI bi An + b2Aj, + bi A 12 + b2A^ + + bn A n, + bnA„2 U , A,n + b2A2n + .... + bnA nn Por tanto, el elemento de la fila j-ésima de X es bi A „ + b2A2i + ........ + bnAn, X , = D(A) donde el numerador es el desarrollo del determinante de la matriz A obtenida a partir de A, sutituyendo la j-ésima columna. ' a >, ’ / bi • • • por el vector • • • . 3n, . , bn > En consecuencia, para j = 1, 2, 3 ,...... . n _____QIA1_ (14) 547 ejemplo 3 ^ Aplicando la regla de Cramer, resolver el sistema : x, - 2 x 2+ 3x3 = 2 2x, - 3x2+ x3 = 1 x2+ 2 x 3 = 93x, Solución . La matriz de los coeficientes es A = 1 -2 3 2 -3 1 3 - 1 2 D(A) = 1(-6 + 1) + 2 (4 - 3) + 3 (-2 + 9) = 1 8 2 - 2 3 1 2 3 1 -2 2 D(A.) = 1 -3 1 = 54 ; D(A2) = 2 1 1 = 36 ; D(A3) = 2 -3 1 9 - 1 2 3 9 2 3 - 1 9 Por lo tanto, haciendo uso de la fórmula (14) obtenemos : - B > = 3 D(A) = m > = 2 . D(A) x3= m ! =1 3 D(A) = 18 Obsérvese que la columna ••• S = {(3, 2, 1)} se desplaza de la primera a la segunda y después a la tercera columna al resolver para x,, x2 y x3, respectivamente. I Nota . La resolución de un sistema de n ecuaciones en n incógnitas mediante la regla de Cramer, implica calcular n+1 determinantes de matrices de or den n. Debido al gran número de operaciones aritméticas que deben efectuarse, la regla de Cramer sólo es prática para el cálculo de x,, x2............ xn, cuando n es pequeño. Cuando n > 4 se prefiere usar la ténica de la eliminación de Gauss. Ejemplo 4 J Dado elsistema : Xx + y + z = 1 x + Xy + z = X x + y + Xz = X2 Determinar los valoresde X demodo que el sistema tenga solución única . S o lu c ió n . El determinante de la matriz de coeficientes es :
- 281. 548 Capítulo 9: Determinantes • X 1 1 X+2 X+2 X+2 1 1 1 D(A) = 1 X 1 = 1 X 1 II + 1 X 1 1 1 X 1 1 X 1 1 X 1 0 0 = (X+2) 1 X-1 0 = (X+2) X-1 0 (X + 2) (X - 1 0 X-1 0 X-1 Según la regla de Carmer, e! sistema tendrá solución única si el D(A) * 0, esto es, si X * -2 ó X * 1, o bien si X e R -{-2,1} Veamos que sucede cuando X = -2 y X = 1 Para X = -2, la matriz aumentada del sistema es -2 1 1 1 1 -2 1 -2 2F, + F2 1 -2 1 -2 1 -2 1 -2 F„ -2 1 1 1 0 -3 3 -3 , 1 1 -2 4. 12 > 1 1 -2 4, -F, + F3* 0 3 -3 6, [^ -2 1 -2 ' f 2+ f 3 0 -3 3 -3 , 0 0 0 3, = E Como p(A) = 2 < p(E) = 3, el sistema es inconsistente, es decir, no existe solución. Para X = 1, la matriz aumentada del sistema es = E En este caso, p(A) = p(E) = 1 < 3 (número de incógnitas), el sistema tiene infinitas soluciones. El número de variables libres es 3 - 1 = 2, es decir, la solución del sistema depende de dos parámetros. Si designamos a y=r, z=s =* x = 1-r-s, y el conjunto solución para X = 1 es : ' 1 1 1 1 ' ^ 1 1 1 N 1 1 1 1 1 = 0 0 0 0 > 1 1 1 1 - 0 0 0 0' S = {(1-r-s, r, s)} [ Ejemplo 5 j Dado el sistema : (2m+1)x my + (m+1)z = m-1 (m-2)x + (m-1)y + (m-2)z = m (2m-1)x + (m-1)y + (2m-1)z = m Determinar para qué valores de m. Stciión 9.5. Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 549 a) El sistema tiene solución única. b) La solución del sistema depende de un parámetro. c) El sistema es inconsistente. Solución . El determinante de la matriz de coeficiente es 2m+1 -m m+1 m -m m+1 D(A) = m-2 m-1 m-2 = 0 m-1 m-2 2m-1 m-1 2m-1 0 m-1 2m-1 = m m-1 m-2 m-1 2m-1 = m (m-1) 1 m-2 1 2m-1 = m(m-1)(m+1) a) Por la Regla de Cramer, el sistema tiene solución única si D(A) * 0, esto es, si m * 0, m *-1, o bien si m € R - {0, -1,1} Para m = 0, la matriz aumentada del sistema es 1 0 1 -2 -1 -2 1-1 -1 -1 -1 0 0 J 2F,+F. F.+F„ '1 0 1 -1 ' 1 0 1 -1 0 -1 0 -2 -F +F, 0 -1 0 -2 = E ,0 -1 0 -1> . 0 0 0 1> Como p(A) = 2 < p(E) = 3, el sistema es inconsistente Para m=1, la matriz aumentada del sistema es F.+F„ 3 -1 2 0 f 1 0 1 1 -1 0 -1 1 -1 0 -1 1 > 1 0 1 1> . 3 -1 2 0, 3F.+F. Como p(A) = 2 < p(E) = 3, el sistema es inconsistente Para m=-1, la matriz aumentada del sistema es ' 1 0 1 1' 0 0 0 2 k 0 -1 -1 -3, ' 1 0 1 1 ' 0 -1 -1 -3 .0 0 0 2j = E -1 1 -3 -2 1-3 -2 -2 -1 -1J -3F,+F '3F,+F3 f -1 1 0 -2 ' -1 1 0 -2 0 -5 -3 5 f2-f3 0 -5 -3 5 0 -5 -3 5j l 0 0 0 0J = E Como p(A) = p (E) = 2 < 3 (número de incógnitas), el sistema tiene infinitas soluciones. Numero de variables libres: 3 - 2 = 1
- 282. 550 Capítulo 9: Determinantes En consecuencia b) El sistema depende de un parámetro si m = -1 c) El sistema es inconsistente para m = 0 y m = 1 EJER C IC IO S. Grupo 56 En los ejercicos del 1 al 15, resolver el sistema dado por dos métodos : a) Estableciendo la ecuación matricial AX = B. b) Utilizando la regla de Cramer. 1. 5x - 9y = 17 3x - 8y = 5 4. 3x - 5y = 13 2x - 7y = 81 7. 2x + y - 3z = -2 x - 2y - 4z = 4 3x + 4y - 5z = -1 10. 3x - 4y - 6z = -16 4x - y - z = 5 x - 3y - 2z = -2 2. 3x + 7y = 25 4x + 5 y= 13 5. 2ax - 3by = 0 3ax - 6by = ab 8. 3x - y - 2z = 4 2x + y + 4z = 2 7x - 2y - z = 4 11. 3x + 4y- z = 1 4x + 6y + 2z = -3 2x - 2y - 5z = -2 13. 7x + 2y + 3z = 15 14. x + y - 2z = 6 5x - 3y + 2z = 15 2x + 3y - 7z = 16 10x - 11y + 5z = 36 5x + 2 y + z = 16 3. xCosb - ySenb = Cose xSenb + yCosb = Sene 6. xTgb + y = Sen(b+c) x - yTgb = Cos(b+c) 9. 2x - 5y + 2z = -2 4x + 6y - z = 23 2x + 7y + 4z = 24 12. 2x + 3y - z = 9 3x + 4y + 2z = 5 x - 6y - 5z = -9 15. 2ax - 3by + cz = 0 3ax - 6by + 5cz = 2abc 5ax - 4by + 2cz = 3abc En los ejercicios del 16 al 24, investigúese la consistencia y hállese la solución general de los siguientes sistemas : 16. x + ay + a2z = a3 x + by + b2z = b3 x + cy + c2z = c3 18. ax + by + z = 1 x + aby + z = b x + by + az = 1 17. ax+ y + z = 4 x + by + z = 3 x + 2by + z = 4 19. x + ay + a2z = 1 x + ay + abz = a bx + a2y + a2bz = a2b EJERCICIOS: Grupo 56 551 20. (a+3)x + y + 2z = a ax + (a-1)y + z = 2a 3(a+1 )x + ay + (a+3)z = 3 22. 3ax + (2a+1)y + (a+1)z = a (2a-1)x + (2a-1)y + (a-2)z = a+1 (4a-1)x+ 3ay + 2az = 1 24. (5a+1)x+ 2ay + (4a+1)z = 1+a (4a-1)x + (a-1)y + (4a-1)z = -1 2(3a+1)x + 2ay + (5a+2)z = 2-a 26. 2(a+1)x + 3y+ az = a+4 (4a-1)x + (a+1)y + (2a-1)z = 2a+2 (5a-4)x + (a+1)y + (3a-4)z = a-1 28. (3a-1)x + 2ay + (3a+1)z = 1 2ax+ 2ay + (3a+1)z = 1 (a+1)x + (a+1)y + 2(a+1)z = a2 21. ax + ay + (a+1)z = a ax + ay + (a-1)z = a (a+1)x + ay + (2a+3)z = 1 23. 3mx + (3m-7)y+ (m-5)z = m-1 (2m-1 )x + (4m-1 )y + 2mz = m+1 4mx + (5m-7)y + (2m-5)z = 0 25. (2a+1)x - ay - (a+1)z = 2a 3ax - (2a-1)y - (3a-1)z = a + 1 (a+2)x - y - 2az = 2 27. mx + (2m-1)y + (m+2)z = 1 (m-1)y + (m-3)z = 1+m mx + (3m-2)y + (3m-1)z = 2-m
- 283. 552 Re/puesta/ o Ejercicio/ Propue/to/ Grupo 1 J Coordenadas Rectangulares 1. x = 1 , y = 1 6. x = ± 4 ,y = i 9. S = 7 , 10. , 2. x = 3, y = -1 , 3. x = 3 , 4. x = -1 , 5. x = ± 4 , y = ±2 : 1 , 7 . S = {(2 , 3), (-2 ,-3)} , 8. S = {(-2 ,-3), (3 , 2)} l(-5/2, 9/2) , 11. x = -2 ó x = 6 R- como espacio vectorialGrupo 2 j 1. a) <-9,-5) 2. a) (1 , -8} , s = 3/2 , c) 6. m = 1 , n = 8. V = {<-2 ,-5) b) (17,-19) , c) (-16,9) , d) <6,-5/3) b) <1/2,-2) , c) (-2/3,3); 3. a) r = 4 , s = -3 , b) r = 1/2, flr.s , d) r = -2 , s = -10 ; 4. r = -2 , t = 3/2 ; 5. -2 1/2 ó m = -1 , n = 1/4 ; 7. X = (11/5,3) ,<-2, 4), (3,-5) , <3,4» ; 9. x = 5 ,y =-9/2 ; 10. m = -1,n = -4 Representación geométrica de un vector en el planoGrupo 3 l 1. (3,9); 2. (-6,-2); 3. (-8,3); 4. (3,3); 5. (-4,3); 6. (2,-9) 7. (12,-5); 8. (3,-2); 9. A(3/2 ,0), B(9/2 ,2); 10. -21; 11. A(-3,7), B(4; 1) 12. (8,4) ó (64,2); 13. 8. r v Grupo 4 J Magnitud y dirección de un vector en R : 1. V = 2Í2<Cos 135°, Sen 135°); 2. V = 2(Cos 330°, Sen 330°) 3. V = 2(Cos 150°, Sen 150°); 4. V = 2V5<Cos 240°, Sen 240°) 5. V = <5/2, 5% 3/2); 6. V = < 8,±6); 7. V = <-12,9); 8. V = V2<-1 f 2) 9. V = < 9 , ± 3 V 3 ) ; 10. V = < ± 3 , ± 3 3 ) ; 11. Respuestas a ejercicios propuestos 553 v Grupo 5 I Operaciones vectoriales 8. <-3, 9); 9 13. <-8/17,15/ 18. 1 nT85; . -2; 10. <-1/3,5/3); 11. P(-2,17/2); 12. P(-9,9) '17); 14. <-4,3); 15. 5/3; 16. <7 al3; 17. -7 19. 2<2 20. <14,0> | Vectores paralelosGrupo 6 1. a) A II B y sentido op 8. 2V 7; 9. 13. R(-3 , 2) ó 17. <1/2,-3/2); 20. A(14 , 22) de sentido opuesto , b) A B y del mismo sentido , c) A11 B y de jesto , d) A > fB ; 5. m = -1 ó m = 7/2 ; 6. m = 2 ; 7. a + b = 5 A = <±1 , ±2) ; 10. <-4,3); 11. VTÓ/5; 12. 1 R(7,-8); 14. 5/3; 15. -1 (4 8 ,3 1 ); 16. D(5 , 3), 2nT7 18. A(1 ,-4) , B(8,-2) , C(-4,16), D(-3 ,2); 19. B P = (a/3,- aJ3) B(-12 , -4) , C(24 ,8); 21. 24 Producto escalar de vectoresGrupo 7 ] 11. u = <24/25, 17. 5Ó2VTÓ; 23. 5; 24. <5 28. B(7 , 3) , D 7/25); 12. m = 1 ó m = -9 ; 13. 2; 14. 3 ; 15. 2/3 18. 5; 19. 42; 20. 4 1 y 3 8 ; 21. <19,22); 22. x = <5,4) ,1); 25. m = 5±2>/6; 26. | | < -3 ,4 > ; 27. C(8 , 7), D(4 , 11) (6,5); 29. -7.5; 30. a) 7 5 , b) 27/2; 32. AM=<9/2,1> Angulo entre dos vectoresGrupo 8 ] 1. 135°; 2. 9. Vl29 y 7; 13. A = (2'3-1 20. 3; 21. 0 = v5/5; 3. 45°; 4. 120°; 5. 90°; 6. 135°; 7. -48; 8. 2V3 10. t = - 11A 11 ; 11. VÍ9 y 7; 12. ||A|| =||B|| ,2 + '3); 15. m = 1 ; 16. InJQ ; 17. V8 + 2V3; 18. 13/2133 are Cos(2/7); 22. B(14,22) , C(1/2 , 85/4) , D(-7/2 , 53/4). Descomposición de vectoresGrupo 9 ) 4. 1/2 ; 5 l ( 3 + /3 ); 6. 8 V 3 ; 7. V 3 /3 ; 8. 1 (3 - V3) O 2 9. s = l ( 3 - V 3 ) , t = - 4 - (3 + V3) , I I A - B II = 3 + V 3 ; 10. -1/3 6 o 11. m = 3/7 , n = 4/21 ; 12. 4/5; 13. 1; 14. 2/3; 15. Á E = 2 v + u . B E = 2 v - 2 u
- 284. 554 Respuestas a ejercicios propuestos Grupo 1 0 J Proyección ortogonal________________________________ ' 2. V V F F ; 3. 5; 4. <3 + V 3 , 1 - V3>; 5. -2V29; 6. -40; 7. 5/2; 8. 14 9. 90/2-1); 10. V69 ; 11. p + q + r; 12. J r (c2- a2 - fe2) ; 13. 5V2; 14. 12/5 2b f 15. F F V V ; 16. VTO; 17. 45°; 18. 12 Cosa + 3 C o sp ; 19. 10; 20. (-2,-2) 21. r =-21/5, s = 14/5; 22. b) ProyBA = <-12/5 , 9/5) , CompAÍB = -2V5 23. A(-3 , 5) , B(5 , 13) , C(7 , -9); 24. (-8/5 ,4/5); 25. | ÁC y - ^ ÁCX 26. 0 0 = ^ u - | v ; 27. 25; 28. 10a; 29. <312 30. 9a/2; 31. 2Sa/2 32.(265 + 53)a ; 33. 85 ; 34. 32 ; 35. A = (-6 ,-3); 36. 4'3/3 37. a) <3,W3) , b) 6<1 ,<3) ; 39. a) B(6 ,2) , b) M(-3 , 1), N(-1 ,-5), R(5 ,3) ! Grupo 11 J Area del paralelogramo y del triángulo 1. 9 u2;2. 24.5 u2 ; 3. 18.5 u2 ; 4. 11 u2; 5. D(5 , -3), 20 u2 6. D(-4 ,-1) , 10 uz ; 7. D(-2 ,-1) ,18 u2; 8. D(4 ,8) , 20 u2; 9. 8 u2 10. 22 u2; 11. 21 u2; 12. 26 u2; 13. 39.5 u2 ; 14. 40 u2 ; 15. 66 u2 16. k = -1ó k = 10 ; 17. 12 u2 ;18. 10u2 ; 19. C(4 , -8) ó C(9/4 , -9/2) 20. A(10 ,3) ó A (4,0) ; 21. 14 u2; 22. 0; 23. -36; 24. P(23/3 ,31/3), B(5, 15) 25. D(-5 ,0) ; 26. <3/2 ,3/2) , 20 u2 Grupo 1 2 J Dependencia e Independencia lineal de vectores 1. m = 0 , m = 1 ; 2. m = -6 ; 3. m = 1 , m = -3 ; 4. m = 7/2 6. a) m e R -{5/9} , b) m e R -{-1 ,7/2}; 7. F F F V ;8. 7; 9. <3,5) 10. <1/5,7/5); 11. F V F ; 12. r = 5/11 , s = 30/11; 14. F V F ; 15. (1,9) 16. 1; 17. 1; 18. 3/2; 19. -4; 20. 5/4; 21. 9/8; 22. 1; 23. a) 10/11 y 4/11 , b) a(AAPD) = 40 u2; 24. m =-2 , n = 1/3 ; 25. b) r = -2 , s = 2 26. (n + 1); 27. m = -1/4 , n = 1 ; 28. M = ^ ÁD + -| ÁB 29. m = -2 , n = 2/3. Grupo 1 4 J Los vectores y la física 1. 304.1 km , Oeste 25°17’ Norte ; 2. 20.9 m , Oeste 21°30’ Sur 3. 18 km/h , Oeste 56°10’ Norte ; 4. Debe seguir una trayectoria rectilínea Respuestas a ejerciciospropuestos 555 formando un ángulo de 34°28’ con la dirección de la corriente , t = 1h 25m. 5. (2000/3)m , 36°52'; 6. 20.6m , Este 60°15 S u r; 7. 10°51’ , 16.6 kg 8. R = 7(-18 ,37) , w = 14 unidades ; 9. F, = 50<2/V21 ,1) , F2= 50<-2A21 , 1) 10. F2= 148(0,1), F, = 63(-1 , 0); 11. 150 kg. , 150V3kg. 12. 360 3 kg , 1803kg. ; 13. 245(1 +V3)kg , 200(1 + V3)kg. Grupo 1 5 J Recta que pasa por dos puntos. Segmentos de recta. División de un segmento en una razón dada. 1. a) i? : P = <4 ,-2) + 1<0 ,5) ; x = 4 , y = - 2 + 5t b) <£ : P = <-7, 2) + 1<4 ,-3) ; x = -7 + 4t , y = 2 - 3t 2. a) S(2 ,-1) y T(7 , -8) ; b) S(-2/3 , 5) y T(5/3 , 3) 3. P = <2 , 5) + r<4 , -6) , r e [0 , 1]; 4.P = <-2,4) + r<1 ,3) ,r e [0, 1] 5. P = <4,4) + r<-1 ,3) , re [0, 1); 7.(0 ,0) , (3 , -8), (6 ,-16) y 8. P(-3 , 4); 9. P(9 ,4); 10. P(-7 , 9); 11. 25; 12. D(3/2 , 2); 13. 3/5 14. P(13 , -30); 15. A(-2 ,3) ,B(5 ,8) , C(6,-1); 16.C(2 , 8) Grupo 1 6 J Puntos que están sobre una recta 1. S e i?"; 2. S í S"; 3. S e ü?; 4. Recta que pasa por P,(1 ,4), paralela al vector a = <2 ,-3); 5. Segmento de recta de extremos A(1 ,2) y B(2 , 3) 6. Recta que pasa por P,(-3 , 4), paralela al vector a = <-1 , -2) 7. Recta que pasa por P,(2 , 0), paralela al vector a = <5 , -1) 8. a) J2?: (-5, 3) •<x,y -1) = 0 , b) J2?: <3 ,2) •<x + 1 , y) = 0 9. Si; 10. No; 11. Si; 12. k = 1 , k = -8; 13. k = ±4V3/3 14. P,(7, 1) , P2(1,-5); 15. P,(5 ,-2) , P2(-3 ,2) Grupo 1 7 J Pendiente de una recta 1. Coincidentes ; 2. Paralelas ; 3. Oblicuas ; 4. Perpendiculares ; 5. m = 3 6. -4; 7. ¿2?: <2 ,1 ) •(P- (2 ,-2» = 0 ; 8. Tres; 9. 3) : P = <1 ,1) + 1<2 ,3), te R 10. 2?:P = <8, 1) + t<-1 ,3), te R; 11. 3.8; 12. m =-1/5; 13. a =2 14. <2?:P = <-3,1) + t<1 ,1 )te R ; 15. a) 3 = {<3 , 10) + 1<2 , 1)|te R} , b) <6,3) 16. a) ÁB = {<2 , -2) + 1<4 ,3 )11e R} , b) CD = {<-2 , 0) + s<-3 , 4)| s e R} , h = 4 c) Cos0 = 1/VTÔ , d) J2?, = {<2,-2) + t<4-2V 5,3 + V5)> , 3 = {<2 , -2) + s<4 + 2V5 , 3 - <5)}
- 285. 556 Respuestas a ejercicios propuestos Grupo 1 8 Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 1. k = -3 ó k = 5. 2x - 3y -18 7. C(-1 ,4) ó ir* 9. a) AC : x 11. 3?: P = (-1 5; 2. A(-5 ,-1) , B(5 , 11) , C(-1 , -5); 3. S = 8/3 u2; 4. 7 u2 = 0 ,5x + y - 28 = 0 ,7x - 2y -12 = 0 ; 6. A(-5, 1), B(2 ,2), C(4 ,-2) C(27/5 ,-12/5); 8. 3>: P = <1 , -1) + 1<-1 , 4), t e R -2y + 6 = 0 , b) C(6 , -6); 10. X : <-1 , 7)* [P - <5 ,0)] = 0 4) +t<2 , 1), te R ; 12. j?*:P = <4,1) + t(1 ,2 ),te R Distancia de un punto a una recta dadaGrupo 1 9 J 1. 43Ó/5; 2 6. Pi(64,-44) 8. P(6 , 6); S 13. T P =<-2 15. B(-1 , 6), C . 8/7; 3. k = 19/2 ó k = 8/9 ; 4. m = 1/2 ; 5. 12.8 , P2(4 , -4); 7. :3x + 4y + 5 = 0 , 2'2:3x + 4v -15 = 0 . 10^5; 10. 8; 12. k = -16 ó k = 88 3) + t<1 ,2), te R ; 14. A(3 , 5) , B(9 , -1) , S = 18/3 u2 (-5,1) , D(-2 , -1); 16. T(4 ,3); 17. 24 Intersección de rectasGrupo 2 0 j 1. P(16/5 , 7/5) ; 2. a = -1/8 ; 3. .2? = {<0 , 1>* (P - <14/11 ,1/11)) = 0} 4. .5? ; i •[P - <-3 , 2)] = 0 ; 5. 1(1,3); 6. $ : P = <2/5 , 4/5) + s<4 , -3), s e R 7. <2?, : P = <7 , 0) + 1<9, -10) , t e R ; 8. 12; 9. (18/5,21/5) 10. #2 : <3 , 1). [P - <12 , 1)] = 0 ; 11. x + — - L =1 ; 12. a) 2 u 2 , 2 -6 ± 6V2 2 ± 22 b) 23/41 y 29/37; 13. r/ '2: P = <3 , -3) + s<5 , -3) ; 14. .^ = {<13,8) + t<4 , 3 )11e R} ó r£' = {<13 , 8) + s<1 ,0 )ls e R} Grupo 21 J Angulo entre dos rectas 1. a) 14/5, b) 11/2; 2. a) (8 ,32/3) , b) T : (-1 , 1) •[P - <8 , 32/3)] = 0 3. 2? = {<-1/5 , 7/5) •P = 0} ; 4. 90°; 5. <B: P = <4 ,8) + t<1 - <2, -3 - 2<2) 6. áf?:P = A + t(C + 2 B -3 A ) ; 7. Q(20/3 ,6) ; 8. a) A(-5 ,-9), C(5 , 1), D(1 ,9) b) <12,6); 9. í 5= {<4 , 20) + r<1/2 + 1/V37 , -1/V2 - 637)} 10. SP: P = <0,-2) + t<2,1),te R ; 11. 2': P = t<-1 , 1), t e R ; 12. Q(18,4) 14. -35/3; 15. V : P = <4 , -8> + t<1 + <2 , W2 - 5 ) ,t e R ; 16. ¿ ? : P = <5,-2) + t<1 ,2). te R ; 17. b) Si P e C , W P = <1 ,1) + t< -2 V ÏQ + 3 'Ï3 ,3V Ï3 + VÏ3) t€ R ; 18. 5? : P = (4 , -20) + t<V2 + 37 , -6^2 - 37) ,t e R ; 19. 2/VÏ3 Respuestas a ejercicios propuestos 557 Grupo 2 2 J Vectores en el espacio 1. A = (6, 3 ,-3 ); 2. A(-3 ,2 ,-2 ) . B(-5 ,4 ,4 ); 3. A(5 , 1 . 1) , B(8 ,-5 ,2) 4. V = (6 ,-1 , -4); 7. X = <5 ,-12 , 10); 9. u = <4/5 ,0 , 3/5); 10. 7 11. (-1 .2 ,4 ) , (8 ,-4 ,-2 ); 12. ^ (AA + BB’+ C C ’) ; 13. MA = -MC = - ± (a + 6) MB = - MD = ^ (a - 6); 14. ÁC = < 3,6,9); 15. C(1 , 5 ,2) , D(3 ,2 , 1), E(5,-1 ,0), F(7,-4,-1) Grupo 2 3 J Dirección de un vector en el espacio 1. a) u = 1 (6 , 3 ,2 ), b) u = ^ < -1 2 , 3 ,-4); 2. a = 30° ó a = 150° ; 3. ±9/11 4. V = <3/14 , 3/7 , 1/7); 5. V = <21/5 , -7 , 28/5); 6. X = <± 5 , 5/V2 ,-5h¡2) 7. X = <-5 , 10, 10); 8. X = < 9 ,18,-6); 9. V = <1 , -1 . V2) ó V = <1 ,-1 , -V2) 10. P(± V3 ,± 3 ,± 3 ) ; 11. a) puede , b) no puede , c) puede 12. a) no puede , b) puede , c) no puede. Grupo 2 4 i E l producto escalar de dos vectores en el espacio 1. -240; 2. Un ejemplo : C = <10, -11 , -3); 3. 2; 4. -13; 5. 20; 6. 13 7. V = n<1 ,1 ,2), n e R- {0 } ; 8. u = ±<6 , 3 , 5)/V7Ó; 9. C = 1<-1 , -1 ,4), O D = § <5 ,-1 , 1); 10. A = <12 ,-10, 15); 11. m = - 1 ó m = 2 12. X = <-3 ,3 , 3); 13. 150°; 14. 15/7V85; 15. u = ± i <3 ,4 . 0) 16. B = <-6 , 0 ,-8); 17. 3(2 + 6) ; 19. V =<8 ,4 ,2); 20. X = <-4 , -6 ,-12) 21 • C = ¿ < 2 4 . 0,-18) , D = ^L<51 ,5 ,6 8 ); 22. 5/2; 23. </= ± <o , 1 ,1) 24. V91/14; 25. 135°; 26. V6/6; 27. A = < 2 ,7 ,1 ); 28. m = 1 ó m = 5, m < f^ó m > 5 , 1 < m < 5 , A = <1 ,3 ,5 ) , B =<-18, 3 ,1 ) 30. C=<1 ,0, 1) ó C = <-1/3, 4/3,-1/3) Grupo 2 5 ^ Proyección ortogonal y componentes 1. 3; 2. 10/3; 3. <16/5,32/5,0); 4. V3; 5. -3; 6. -5; 7. 4422/11 8- ± ^ <-7,-2, 15); 9. 1/9; 10. V = <-2 , 4 , -4); 11.D(-7 , 6 ,-2)
- 286. 558 Respuestas a ejercicios propuestos 12. a) H(2/29 , 119/29 , 112/29), b) D(83/29 , 110/29 . -50/29) , c) S = u2 Grupo 2 6 J Combinación lineal de vectores en R' 2. X = 0 ,1 ,2 ; 4. D = 2A - 3B + C ; 5. D = 2 A - 3 B + C , C = -2 A + 3 B + D. B = | a + 1 c - 1 d . A = | b - 1 c + 1 d ; 6. a) <1/2.0, 1/2), b) <1 ,-1/2 , 1/2) ; 7. < 2,0,2); 8. E(-19 , 10 ,-17) ; 9. A = -2 A 1+ A 2- A 3 10. <-2 ,-3/5 , 6/5) ; 12. <3/2 , -1 ,-1/2) Grupo 2 7 j E l producto vectorial 1. a) 2 A x B , b) A x C , c) 3; 2. a) 5 3 u 2 , b) | V 3 5 u 2; 3. a) 5^3 u2 b) 15 u2; 4. a) <17, -37 ,25) , b) <3,14,5 ); 5. 32/2 ; 6. 502 7. 5; 8. <-6 , -24 , 8} ; 9. < 7 ,5 ,1>; 10. ± 1 (3 ,4 ,0 ); 11. <1,1,1) 12. m = 3 ; 13. m = 5 / 3 ,n = 1/3; 14. m = -2; 15. <1 , -1 ,-1); 16. 66 17. ± 3 0 ; 18. 12; 19. <8. -2,4) ; 20. <-2,12,10); 21. <0,9,6) 22. n = A x B + B x C + C x A ; 29. a) 3 , b) V34/7 ; 30. 12/5 32. 66 , 1/V66 , -4/V66 , -7/66 Grupo 2 8 ) E l producto mixto de vectores J ----- ----------------------------------- 1. a) N o , b) Si; 3. k = 2 ; 6. r = R - {-V2,V2} ; 7. L. I. <=> ke R - {-2 ,1 ,3} L. D. <=> k e {-2 , 1 ,3} ; 8. a) 6 , b) 3; 9. 80u 3;10. 4 u3; 11. h = 3'2 12. h = 11 ; 13. m = 3 ó m = 5/2 ; 14. m = 17/11 ó m = -23/11; 15. 288 u3 16 3V2 ' 17 V = m(A-~-gl16. dS¿, l f. v (ABC) Grupo 2 9 j Rectas en el espacio 1. i? = {<1 , -2 , -3) + 1<1 ,-1 , 5) 11€ R} ; 2. (9 ,-4 ,0) , (3 ,0 ,-2) , (0 , 2 ,-3) 3. A(2 ,3 , -6) , B(-2 ,6 ,-9 ); 4. (1 ,3 ,-2) , (3 , 4 , -5) , (5 , 5, -8) 5. 2? = {<3,0,-1) + r<1 ,2,3)1 re R} ; 6. W : P =<-1 , 2, 4) + r<1 ,1 , 1>, re R 7. : P = <2 ,1 ,-1) + 1<13,8, -8), t e R ; 8. : P = <2 ,-1 ,1) + 1<-1 , 11 ,16), t e R 10. m = 3 ; 11. 6 = are Cos í 3 8 ' ^ 2 ) =57°18’ ; 12. a = <V2/2 , 1/2 ,1/2), ' 6 V9Ì 1 Respuestas a ejerciciospropuestos 559 x = 2 + V 2 t , y = 1 + t , z = 1 + t ; 13. $ = {<4 ,2 ,-7) + 1<22 , 56 , 1)} 14. ^ = {<0, 1 , 1) + t<1 ,0, 1)1 te R} o # = {<0,1, 1) + t(3 , -4 , -1)11e R} 15. X - {<-1 ,-2,0) + t<-1 . 6 ,4)|te R} ; 16. 31 = {<3 ,-1 , 1) + 1<0 , 13 ,3) 11e R) 17. S? = {<2 ,-1 , -3) + t<6 ,-1 ,-7)I te R} ; 18. X : * ± 1 - 'L 2 l = 1 ± 3 2 - 3 6 19. 31 * ± 1 = y + 5 _ z_^3 . 20 y :x = 2 t-5 , y = -3t-t-1 , z = 4t U ¿. - I 21. Q = (-9 , 74 , 25 + 16 V§) ; 22. a) = {<3, 3 ,1 )+ r<1 , -7, 8)> . 5f'2= {< 3 ,3 , 1)+r<-3, 1 ,0)} , b) 2?3= {<3 ,3 , 1) + 1<2 ,6 , 5)| t e R} Aplicaciones de la recta en el espacio 7; 3. 5; 4. 4V2; 5. Vl3 ; 6. V i l ; 7. d{% ., X ,) = -á = V21 c£ = {<-3/7 ,1 ,-2/7) + 1<2 ,1 ,4)} ; 8. b) A(-1 ,4, -7), B(3,7,5) ,d(SBy, 2Q= 13 c) SB- {<-1 , 4 , -7) + 1<4 , 3 , 12)11e R } ; 9. 25; 10. X = {<-2 , 1 , -3) + t<2, 6,3)1 te R} ; 11. a) 13 , b) 3 , c) 7; 12. P(43/12 , 31/6 , 15/4) 13. SBy= {<3 , 4 ,0) + t<9 , 12 . 20)} , = {<3 , 4 ,0) + s<9 , 12 , -20)} 14. Q0(1 ,1 ,1 ) , P0(3/2, 1 , 1/2) , Sf = {<3/2 , 1 , 1/2) + t<1 ,0 ,-1)} Grupo 31 J Planos en el espacio 1. x - y - 3z + 2 = 0; 2. x + 4y + 7 z + 1 6 = 0; 3. 3x + 3y + z - 8 = 0 4. 43x + 3y - 14z - 34 = 0 ; 5. m = 6; 6. x + 2 z -4 = 0; 8. 7 x - y -5 z = 0 9. a = 3 ,¿>= -23; 10. A = -3,B = 9/2; 11. 4 x -y -2 z -9 = 0; 12. x + y - z + 3 = 0 13. x -1 0 y - 17z-43 = 0; 14. 3 x - 2 y - 5 = 0; 15. a = -6 , ¿»= 3/2 17. x + 2 y + z - 1 8 = 0; 18. x-11y + 7 z - 1 = 0 / Grupo 3 2 J Distancia de un punto a un plano 1. a) 2 , b) 6 , c) 6; 2. a) 6.5 , b) 5/6 , c) 1/2; 3. 8 u2 ; 4. 6 5. x - 3y + 5z ± 3 '35 = 0 ; 6. 2x - 2y - z ± 18 = 0 ; 7. 20x - 12y + 4z + 13 = 0 8. 3x - 6y + 7z + 2 = 0 , x + 4y + 3z + 4 = 0 ; 9. 4; 10. Q(-28 ,-16 ,31) Grupo 3 0 j 1. V34/7 ; 2.
- 287. 560 Respuestas a ejercicios propuestos Grupo 33 J Intersecciones de planos 1. a) P = <1 ,0.4/3) + t<-9, 6,2), b) P = (1 ,3,0) + 1(-1 , 1 ,-2), c) P = <2,-1,0)+ t<2 .1 ,-1 ); 2. x -4 y - 1 3 z -12 = 0; 3. m = -2; 4. 15x - 5y - 3z +2 = 0 5. V = 1/6 la = 8 u 3 ; 6. 2x - y - 3z - 15 = 0 ; 7. x - 3 y -2 z + 2 = 0 8. a) - 4 , b ) 9 , c ) 3; 9. x + y + z + 5 = 0; 10. x + y + z + 1 = 0 , x - y + z - 3 = 0 x + y - z - 5 = 0 ; 11. 25; 12. 240 u2 Grupo 3 4 J Familia de planos que pasan por la intersección de dos planos 1. x -2y + z - 2 = 0 ,x - 5y + 4z - 20 = 0; 2. 2 x - 3 y - 6 z + 19 = 0; 3. m = -5,n = -11 4. No pertenece ; 5. La recta de intersección de los planos I*, y I»2 es paralela al vector V = (7 , 9 , 17); por lo tanto , a la condición del problema satisfacen todos los planos del haz de planos que pasan por esta recta. 6. 11x - 2y -1 5z - 3 = 0; 7. 9x + 7y + 8z + 7 = 0; 8. x - 2y + z - 2 = 0, x - 5y + 4z = 20 9. 4x-3y+ 6 z -12 = 0 , 12x-49y + 6z + 21 = 0 ; 10. M está situado dentro del ángulo obtuso; 11. 23x - y - 4z - 24 = 0 ; 12. a) 9y + 3z + 5 = 0,b) 3 x - 9 y - 7 = 0 J x-8y + 5z-3 = 0 . 1 4 / 7x*y + 1 = 0 . r 5x - z -1 = 0 01v: N t x + 2y + 3z-5 = 0 ’ ' L z = 0 ' t y = 0 ’ 15. a) Sena = 1/VT5, M(1 ,-6 ,-4), b) 3x - y + 2z - 1 = 0 ,c) { x + > ' z + 1 ° L 3x - y + 2z -1 = 0 Grupo 3 5 J Miscelánea de ejemplos ilustrativos 1. 4x + 3y - 5z - 2 = 0 ; 2. Q(4 . 1 ,-3); 3. 9x + 13y - 7z -14 = 0 4. (0,-1.2); 5. x + y + z + 8 = 0 ; 6. (2 ,1 ,1 ); 7. Q(-5,1,0); 8. Q(-5,1 ,0) 9. P(3 ,-4,0 ); 10. P(-1 ,3 ,-2 ); 11. A =-3 , B = 9/2 ; 12. a = -6 ,C = 3/2 13. x - 8y - 13z + 9 = 0; 15. 9x + 11y + 5z -16 = 0 ; 17. x = 28 - 7.5t , y =-30 + 8t , z = -27 + 6t , a) P(-2 ,2,-3) , b) desde t, = 0 hasta t2= 4 ,c) M0P = 50 19. V6/3; 20. x - 1 = 0 , x - 4>/3 y - (1 + 12 3) = 0 ; 21. x ± 3 y - (2 ± 3) = 0 22. 5x + 5y + (8±3V6)z-20 = 0; 23. # : ^ ; 24. (2 ,-3 ,-5) b -o y 25. Q(1 , 2 , - 2 ) ; 26. Q(1 ,-6,3) Respuestas a ejercicios propuestos 561 Grupo 3 6 J E l conjunto de los números complejos 1. a) CO II >> CJ II X b) x = 3, y 11 ro x = -4/11 ,y = 5/11 ; d) x = 2/5,y = -1/5 e) x = -13/7 , y = 5/7 ; t) x = 1/3 , y = 1/4 ; g) x = 2 , y = -3 2. a) z = (1 ,-12), CT N II O , c) z = (1 , 1). d) z = (1/2, 3/2), e) z = (-1/2, 3/2) 3. a) z = 2 + i , b) z = 5 - 4i , c) z = -1 + 0i , d) z = - f f +0i 7. V =(2 ,-2) , Z31= (1/4, 1/4); 8. a) -3/25 , b) -9/17; 9. Im(z) = -3; 10. 1 11. V = (-2/17,-9/17); 12. z ==(17/100 ,-6/100); 13. z = - — + — ¡ 16 16 14. a) CJ + co II N b) z = 672(-1 + i),c) z = 8 - 2i.d) ;z= 0 + ín6 ; 15. x2+ y2= 1 16. W :=2 + (1 + V3)i , z = 1 + (1 - >/3)i; 17. a) z = (-1 , 6) , b) z, = (-4 , 8) 18. 1 ; ÍO 0 cn ii S = i ; 21. a) 1 , b) -1 ; 22. z = 1 + i , w = i 23. z = 3 5 (3 7’73) . w = £ < 8 .-15); 24. z ==2 + 3i ,w = 1 - i ; 25. z = ± y¡2 , W := i(-1 ± ii/ 3 ) ,v = -1 ± i ; 26. z = 1 , w = i ,v = 2i ; 27. z = 3 + 2 i,w = 4 - i 28. Z = 2 + i , w = 1 - 2 i; 29. z = 1 ,w = i ; 30. z = 2 + i ,w = 2 - i ; 31. z = 1 - i , W==-1 -i, v = 3; 32. z = 2- i ,w = -2 + i ,v = -1 + i ; 33. z = i,w = 2i,v = 2-3i Grupo 3 7 J Módulo y raíz cuadrada de un número complejo 1. V2/2 ; 2. V2; 3. 4¡; 4. V370/5 ; 5. 3/5; 6. w = (1 ,2) , z = (3 ,-1) 7. z = (3/4,1); 8. z3= (7 + 23 , 4 + 3^3) ó z3= (7 - 2V3 ,4 - 3V3) 9. (3,2) ó (3.8); 10. (7/8 , 7/8); 11. z = (2,-2); 12. z3= (6 ,5) ó z3= (-4, 1) 26. a) w= ± (1- 4i) , b) w = ± (2 - i) , c) w = ± (5 + 6i) , d) w = ± (1 +3 i), e) w= ± (4 + 3i) , f) w = ± (1 - 3i) , g) w = ± ( 2 - 3 + i 2 + 3) h) w= ± (4+ 3i) , i) w = ± (3 + 2i) ; 27. a) z, = 1 + 2i , z2= 1 - i ; b) z,= 3 - i, z2= -1 + 2 i; c) z, = 2 + i ,z2= 1 - 3 i; d) z, = 1 - i ,z2= | (2 - i) Grupo 3 8 J Lugares geométricos en C 1. Eje imaginario para y < 0 ; 2. Parábola y2= 4(x + 1); 3. Circunferencia de centro Q(-1 ,0) y r =1 ; 4. Circunferencia de centro Q(-2 ,0) y r = 2 5. Circunferencia de centro Q(2 ,-1) y r = 2 ; 6. Mediatriz del segmento z,z2 7. Una recta :4x + 2y + 3 = 0 ; 8. Hipérbola equilátera : xy = 2 ; 9. Parábola: x2= 2y + 1; 10. Elipse con focos en F,(1 ,2) y F2(-1 ,2), semiejes,a = 4, b = 23
- 288. 562 Respuestas a ejercicios propuestos 11. Circunferencia de centro Q(-1 , 1/2) y r = 3/2 ; 12. Elipse: 4x2 + 3y2 = 12 ■j . x2* y2 2y 13. a) Re(w)= —— ^ 2 , Im(w)= —— ; b) Circunferenciadecentro Q(1/2,0) 14. Mediatriz :2 x -3 y + 5 = 0 ;1 5 . El interior y el borde de la circunferencia de radio 1 y centro Q (0 ,1); 16. El interior de la circunferencia de radio 1 y centro Q(1 ,1) 17. El interior y el borde de la elipse con focos en F,(2 , 0) y F2(-4 , 0), semiejes : a = 5 y b = 4; 18. La franja-1 < y < 0 ; 19. Interior de la rama izquierda de la hipérbola de focos F,(2 , 0) y F2(-2 , 0), semieje real a = 3/2 20. Interior de Iz - i I = 2 y Iz + i I = 2 , excepto la región común 21. Anillo encerrado entre las circunferencias : (x + 2)2+ y2= 1 y /í?2: (x + 2)2+ y 2 = 4 , f t no pertenece al anillo ; 22. La parábola D = {(x ,y) I y2> 1 - 2x} 23. El interior y el borde de las dos ramas de la hipérbola de centro Q(0 , 0) y semiejes : a = 2 y b = '5 , focos : F,(0 , 4) y F2(0 , -2) ; 24. El interior de las dos ramas de la hipérbola con centro en Q(1 , 2) y focos en F,(-3 , 5) y F2(5 , -1), semiejes : a = 4 , b = 3 ; 25. El semiplano superior y el borde de la recta x + 4y = -4 ; 26. Región comprendida en el interior y borde de la circunferencia V ,: (x - 2)2+ (y + 2)2 = 8 y la parte exterior a la circunferencia, : (x - 1)2+ (y + 1)2= 2 , excepto el origen y el borde de 31. En el interior de la circunferencia de centro (0 , 0) y radio r = 5 32. Parábola : y2 = 4(1 - x) Grupo 3 9 j Forma polar de un número complejo 1. z = 12 Cis 30°; 2. z = 6 Cis 300°; 3. z = Cis 150°; 4. z = 10 Cis 210° 5. z = 8 Cis 120° ; 6. z = 4 Cis 315°; 7. -1 - i ; 8. 1(1 + ¡V3); 9. 1 {-<2 + i <2) 10. l( V 3 - i) ; 11. 2(1 + i V3); 12. a) z = 2 - 3 Cis 75° , b) z = IC osec0l Cis (270°-6); 13. .672 V2 Cis(37t/4); 14. i Cosec 0 ; 15. z = 4 Cis(1l7i/12) Grupo 4 0 j Potenciación de números complejos 1. 1(-1 - i V3); 2. 1 (-1 + H 3 ); 3.29(1-¡V3); 4. (2 - V3)12+ Oi; 5. 0 - 2,6i 6. 1 + 0 i ; 7. 0 + 64¡ ; 8. -64 + Oi ; 9. - 1 + 0 i ; 10. 1+ Oi ; 11. -e^ + Oi 12. 840+ 0i; 13. -V3 + i ; 14. - 1+0i; 15. 1 - ¡V 3; 16. 1 + i ; 17. 2’9 18. Cis(n tc/3) ; 19. -Cos 6x + i Sen 6x ; 20. a) 1 (Cos 4x - 4 Cos 2x + 3), O Respuestas a ejercicios propuestos 563 b) ^ (Cos 6x + 6 Cos 4x + 15 Cos 2x +10) ,c) (- Sen 7x + 7 Sen 5x - 21 Sen 3x + 35 Sen x) , d) — (Cos 7x + 7 Cos 5x+ 21 Cos 3x + 35 Cos x) 64 21. a) Cos5x - 10 Cos3x Sen2x + 5 Cos x Sen4x b) Cos8x - 28 Cos6x Sen2x + 70 Cos4x Sen4x - 28 Cos2x Sen6x + Sen8x c) 5 Senx Cos4x -10 Sen3x C os2x + Sen5x d) 7 C os6x Senx - 35 Cos4x Sen3x + 21 C os2x Sensx - Sen7x 23. 0 = krc ó 0 = k7t - 7t/2 ; 24. {(o , 0) , - L (1 , V3)} ; 25. a) —j- (-1 +- V3) , 64 32 b> b - * - * Grupo 41 J Radicación de números complejos 1. ± (V3 + i),± (-1 + i 3); 2. 2i,W3-i, V3-i; 3. 2 C ís^ -^ 71) , k = 0, 1,2,3,4 4. 2 Cís(5jc/9), 2 Cis(11ti/9), 2 Cis(17nJ9) ;5. ^ + l ¡ . - ^ + l ¡ . - ^ - l i , ^ - l i 6. 2 Cis(77i/30) , 2 C ís(19tc/30) , 2 Cis(3l7t/30) , 2 Cis(43n/30) , ^"3 - i 7. (1/'2) Cis|— i 5^ k71) , k = 0 , 1 , 2 ,3 , 4 , 5 ; 8. (1 / ^ ) Cis (1- ^ L ^ 24k7t) k = 0, 1 ,2 , 3 , 4 . 5 , 6 , 7 ; 9. (1/^2) Cis ( 1 ^ L ± J ^ M ) k = 0 i i i 2 t3 , 4 , 5 10. "‘2 Cis (7I-t 4284kK ) , k = 0 , 1 ,2 , 3 ; 11. a) 0 , b) 0; 13. {2 + 3i,-3 + 2i} 14. { 1 + i , 2 + i}; 15. {0, 1 + i , 1 + i } ; 16. {-1 + i , -3 - 4i> 17. { ± (1 + V3) ,±(-V3 + i)} ; 18. wk = 2 Cis|240_±_2k7i j k = 0 , 1 ,2 19. {1 ,-2, 1(-1 ± 3i ) , 1 ± i 3} ; 20. wk= ~12 Cis -Q + , k = 0 , 1 ,2 21• { * O í r ) ■ ; 22- « 1 ± w 5 » • (-i ±>^3)> 23. ± ( V ^ 24. {1 ,-1 / 3 ,-1 (1 ± 2 i)}; 25. wk= V6 Cis(kn/2) ó wk= Cis ( - ±- ^ 7í), k = 0 , 1,2,3; 26. wk= 2 Cis 2 + 2k7t) - 3 , k = 0 , 1 ,2 ,3
- 289. 564 Respuestas a ejercicios propuestos 27. {3, I (-1 ± 7¡)>; 28. {¡,-7¡/2}; 30. a) S ic o = 1 => S = | ( n + 1), si co5* 1 <=> S = , b) Si co = 1 c=> S = ^ (n + 1) (2n + 1), si co * 1 s n2co2 - 2 n(n + 1)co + n(n + 2) " (co - 1)3 Grupo 42 j Miscelánea de Ejemplos Ilustraíh 1. ^ (e“*'3) ; 2. z = 2'21(-1 + i V 3 ); 3. ~ (Cos 4x + 4 Cos 2x + 3); 4. 16Cos4x -12 Cos2x + 1 ; 5. a) w0= Cis 70° , w, = Cis 190° , w? = Cis 310C b) w0= i,w, = | + (1 + ^ ) i , w2= - | +(1 - ^ ) i ; c) w0= 2 Cis 100° w, = 2 Cis 220° , w2= 2 Cis 340°, d) ^ (1 ± i);6. 2 , -2 >Í2 , V2 10. b) t = Tg(|) = a /-1 ‘ Cose . t1 >/5/5 ; 13. a) v , b) v; 14. -2’9 v 1 + Cos 0 17. Re (z) = 1 Cotg ( J L + , im(Z) = - 1 ; 18. 2/p osnx ; 20. -2 w 2 a V4n n / v ' 2 Cos"x fnn), • 27 C0SI [a + | IX ] Sen | ( ■ ? ) 1 6 J Cos (x/2) 21. b)32 ; 23. 2n s ( nn ; 27. __ t 2 / J_V 2 / s ¡n es par 3 <n- 1V2 * “ “ ‘ Sen [a + x l Cosf-^-) ------------- — ----------------- , sin es impar; 28. 2nCosnfM Sen ) x Cos (x/2) 2l 2 I 29. a) 2 "Sen"(|) Cos [ nTt' * 2) * ] . b) 2"Sen"(|) Sen [ ( n 2 ) gX ~n,t] S e n (ü ± ^ )x C o s ( ! f ) 30 H . Sen 4x_ . 34 ------ 2 ----------- _2_/ n ¡mpa r. 2 4 Sen 2 x Cos (x/2) Cos ( 0 | J ) x S e n ( M ) , npar; 37. S = Tg"xCos(3rcn/2); 38. S e n | ^ - j Cos (x/2) 39. 1/2; 41. 0, ^ , 4 ^ 4 ,co = ei2n/5; 42. X (¡J)Sen(n- k)ü= (0+1 (O2+ 1 ID-+1 (0+1 k=0 - ) Cos n f — - i ) W 2 / 4 2 / Sen 46. P(z) = — c (e/2) ~ Cis(^~2~^) ’ 47* a) 2nSenn(0/2) Cos (n8/2), n par, Respuestas a ejerciciospropuestos 565 2nSenn(0/2) Sen(n0/2) , n impar; b) -2nSenn(0/2) Cos(n0/2) , n par, 2nSenn(0/2) Cos(n0/2) , n impar.- Grupo 4 3 J Matrices 3 5] ri 0 -1] ri 2 3 4] / 1. a) A = 4 6 , b) B = 3 2 1 , c) C = 2 2 3 4 , d) D = 15 7J [7 6 5J [3 3 3 4, f-9 101 ’29 -4'l [7 -4 J 5. a) X = >-6 28 J , b) X = 3 1 3) 5 3 5 9 7 9 U 7 15 17J 6 10.5' ' 3 6. X = 4 7 - 1 ' 6 1 6 1 5 0 4, : i ) ■ v ' ( i . : ) Grupo 4 4 J Propiedades de ¡a multiplicación de matrices ' 5 ' 1. a) ^ ° j , b) ^5 í 2- fl = 1 , ¿ = -6 , c = 0 , á = -2; 3. 6; 4. 0 ,35. y.*i¿;m ,i¡ a >» 21 -23 15' -13 34 10 -9 22 25 11. 28; 12. I3; 13. B: 14. 512A; 15. 0; 16. 9 A ; 18. 282 a 2b 19. a) B = -3b a + 3by e R, b) B = í a ^ l . a . k R ; 20. -3 J 1-5b a + 9b) { a b1 , „ , . , l h 00 x f1 n<0 m fCosna -Senna-] 21. ,a ,b e R . donde a 2+ be = 1 ; 22. a) , b) Le -a) lo 1 J LSenna CosnaJ 1 n | (n + 1)' ’1 -n a (n -3 )l c) 0 1 •-n . d) 0 1 -n .0 0 1 . .0 0 1 , , e) 2 A " ' 1 23. [ $ 17,450 $21,5 5 0 $ 14,575 $ 16,450]
- 290. 566 Respuestas a ejercicios propuestos Grupo 45^1 Matrices cuadras especiales 4 . Í 1 °j ; 5 . Í12 ' 2° Ì ; 6. a) í’3 2 1. b) f 26 127l,c ) f*4 8 ]; 7 .f1° *7] l-n 1J 121 -6 J 1-1 -lJ 1254 661J ll2 -16J L35 1oJ 8. -2 15 -131 14 -3 7 .-8 9 -1 9. 21 8 7' 0 10 1 ' ' 4 -5 -7 3 ' 5 18 -2 ; 10. -2 -11 9.5 ; 11. 0.5 -8.5 -9 -5 .4 7 -1 .-9 2.5 -5.5- -4.5 . 4 -3.5 -3 0.5 -2 -3 0, 12. 2 y 23; 13. S = 2; 18. 4; 19. 21,; 20. 16; 22. 4; 26. -A; 27. 2 6 7 -3 ' a" na n-' f(n -1 )t f"-2' 11; 30. 1/4 ; 31. 7 14 5 ; 32. 0 an na"*1 .-3 5 10, .0 0 a n . '1 -2 0 0 0 0 ' ' 1/2 0 0 0 ' 1 0 0' 'l/2 -2 7/2 -5/6 33. 1 -2 0 1 0 0 ; 34. 0 0 -1 0 0 1 0 0 ; 35. 0 0 1 0 -1 -1 0 0 ; 36. 0 0 1 0 -3/2 1/2 -1/6 -1/6 ^6 -1 -1 v-1/4 0 0 1/2, s0 0 0 -1y ^ 0 0 ■0 1/3 Cfupo 4 6 ) Transformaciones elementales 1. <1 1 -1Ì 2. '1 2 4 3 l 3. '1 -1 2 0 Ì 4. '1 0 4 -V 0 1 0 0 1 9 6 0 0 0 1 0 1 3 4 0 0 -1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 .0 0 0 , .0 0 0 1 lo 0 0 0, lo 0 0 0 J v ^ , 7. 2; 8. 3; 9. 3; 10. 2; 11. 3; 12. 2; 13. f -1 -1 Ì; 14. Í3 -2 12 3J 15 -4, '6 4 5 ' '1 2 3 ' ; 17. 115. 2 1 2 ; 16. 4 5 6 .3 3 3 j 8 9 19. 22. -1 x-ab a&c + a y -ex + 2Ì 0 1 b 0 0 - 1 Lo 0 0 -3 3 - 3 2 3 - 4 4 - 2 -3 4 - 5 3 12 -2 3 - 2 -be - y c 1 20. 48 -38 75 Ì 72 108 423 -72 82 -75 J r -7 5 12 191 3 - 2 - 5 8 41 -30 -69 111 1-59 43 99 -159 ) 18- 16 21. 23. '-115 110 -64 -18' 24. '1 1 1 1 ' 1 50 -60 26 7 1 1 1 -1 -1 5 5 -10 6 2 4 1 -1 1 -1 ■ . 10 -10 3 1 J ■1 -1 1. 9 2 -14 1 2 2 20 8 -8 r-1 3 -7 20' -7 -3 5-10 9 3 - 3 3 13 3 - 3 6 25. 1 Respuestas a ejerciciospropuestos 567 Grupo 4 7 J Sistemas de ecuaciones lineales 1. X = (4 ,3 ,2 )'; 2. X = (2 - 3 r,4 + r ,2 - r , r)‘; 3. X = (-4 - 4 r,5 + 5 r,-1 - 2 r, r)' 4. X = (2 , -1 , 1)*; 5. X = (-1 ,3 ,-2 )'; 6. X = (-1 , 5 ,-2)'; 7. X = (3 ,4 ,-2)' 8. X = (-1 ,2 ,3 )'; 9. X = (-12 ,-18 ,-5)'; 10. X = (-1 , 3 ,-2 ,2)‘ 11. X = (r, -13 + 3 r, -7 , 0)'; 12. Inconsistente; 13. Inconsistente 14. X = (2 - s ,3 + 2 s ,-5 + 2s ,s)'; 15. X = (2 ,3,-1 ,-2)’; 16. X = (1 + s,s,3 ,-1 )' 17. X = (-1 ,3,-2, 2)'; 18. X = (3 ,2 , 4 ,-1)'; 19. X = (r,s , r + s -1, 3 ,-1)' 20. X = (1 , 2 r , r,-3 s ,s ) '; 21. Si ( X - 1) (X + 3 ) * 0 => X = (1 ,1 , 1 ,1)' A + o f Si X = 3 , inconsistente. Si X = 1 <=> X = (1 - 1, - 12, - 13 ,t,, t2,t3)' 22. Si X = 8 «=> X = (t,,4 + 2 t, - 2 t2 , 3 - 2 12 ,t2) '. Si X * 8 ^ X = (0 ,4 - 2 1,, 3 - 2 t2,t2) '; 23. Si X = -3 , inconsistente , si X = 0 => X = (1 - 1, - 12,t,,t2)' 24. Si X * 0 , el sistema es inconsistente. Si X = 0 <=* X = (-3/2 , -5/2)' 25. X=t,(1 ,0,-5/2, 7/2)' + 12(0, 1 ,5,-7)'; 26. X = t,(1 , 0 ,0 ,-9/4 ,3/4)1+ t^O, 1, 0, -3/2 ,1/2)' + 13(0,0.1,-2,1)'; 27. X = t,(-3,2,1, 0, 0)'+ t2(-5, 3, 0, 0,1)' 28. X = t,(-1 , 1 , 0 ,0 ,0)' + t2(6 , 0 ,-5/2 ,1,3)»; 29.a) a = 2 , X= t,(1 , 0 ,-2)‘ a = -4, X = t2(1 ,-24/5 ,4/5)* , b) a = -1 , X = t,(-5 ,3 , 1/3 , 1)1 30. Las filas de la matriz A no lo forman , mientras que las filas de la matriz B sí. Si el rango de la matriz de coeficientes de las incógnitas es igual a r , se debe averiguar que : a) el rango de A (de B ,respetivamente) es igual a 5 - r , b) las filas de la matriz A (de B respectivamente) constituyen las soluciones del sistema de partida. 31. X = (1/3,1/3,0,0,0)' + 1,(0, 1 ,1 ,0, 0)' + 12(0,1 ,0,1 ,0)' + yi/3,-5/3,0,0,1)' 32. X = (1/3 ,-1/3 , 0 ,0 ,0 , 0)' + t,(1 , 1 , 0 , 0 , 0 ,0)' + t2(-1 , 0 , 1 ,0 ,0 ,0)' + y o , 0 ,0 . 1,1 ,o)' + t4(o, o, 0 ,-1 ,0 , 1)' 33. X = (2/3 , 1/6 , 0 , 0 , 0)' + t,(0 , 1/2 , 1 , 0 , 0)' + t2(0 , -1/2 , 0 , 1 , 0 ) ' + t3(1/3 ,5/6 , 0 , 0 , 1)' 34. X = (1, -1/2, 0, 0, 0)' + t,(0. -3/2, 1, 0, 0)' + t2(0, -2, 0, 1,0)' + 13(0, -5/2, 0, 0, 1)' 35. x = 3 , y = 4 , z = 4 Grupo 4 8 j Propiedades de los determinantes 1. 0; 2. -2; 3. Sen(a - p) + Sen(P - y) + Sen(y- a ) ; 4. abe + (ab + be + ea) 5. a2+ P2+ / + 1 ; 6 . 0 ; 7. 3V3i; 8. a) x = -4±V22,b) x eR ; 9. x 6 (-6 ,-4) 13. Una parábola y = (x - a) (x- b) 14. 32; 15. 273; 16. -43; 17. -252 18. -11,000; 19. -29 x1o5
- 291. 56« Respuestas a ejercicios propuestos i Grupo 4 9 j Existencia de los determinantes 1. 6; 2. 2; 3. 1; 4. 2; 5. -5; 6. -20; 7. 8; 8. 4; 9. 45; 10. 48 11. 223; 12. -38; 13. {1,2}; 14. { 1 , 0 , 4 } ; 15. {0,2} ; 16. 8a + 156 + 12c - 19c/ 17. 2a- 8b+c + 5d] 18. a b e d ; 19. a b c d 20. x y z u v ! Grupo 5 0 ] Cálculo de determinantes de cualquier orden 1. {-4/3,3}; 2. {3/2,4}; 3. {2,5/2}; 4. {18}; 5. {-3,2,4}; 6. {-10,-3} 7. 0; 8. 6; 9.704; 10. 665; 11. 394; 12. 5; 13. 1; 14. 1; 15. 1/3 16. 100; 17. 2- 2 i; 18. 6; 19. i; 20. 1; 21. 0; 22. Sen(c - a) Sen (c - b) Sen (a-b)] 23. 0; 24. 3(a - b) (b - c) (c-a) (a + b+c) (ab + ac+bc) 25. (ab + bc +ca) +abc ; 26. (a -b) (b -c) (c -a) (a +b +c) ; 27. -2(x3+ y 3) 28. 1 + a2+ b2+c2; 29. 4(a+b) (a + c) (b + c) 30. 4x2y2z2 31. (a2+ b2+ c2) (b - a) (c - a) (c-b) (a + b + c ) 32. x2 z2; 33. abed 34. (af - be+cd) 2 35. -3(x2-1) (x2- 4); 36. (a+b) (a-b)3; 37. abed 38. k = -a2 ; 39.a = 1/2 ; 45. -a, a2 -----an (^- + + . . . . + J-J ; 46. n + 1 47. Cosn x ; 48. a, a , - an(-1 + + . . . . + 1 - ) ; 49. 2 " +1-1 i 2 " at a2 anj 50. 1 ( 5 " * 1- 2 n+1) ; 51. 9 - 2 n+1; 52. 5(2n' ’) - 4(3n 1 ) O Grupo 51 ] Cálculo de determinantes mediante la reducción a la form a escalonada 1. 425; 2. 1; 3. 20; 4. 100; 5. 6; 6. 0; 7. 2; 8. -128; 9. -72 10. 275; 11. -8; 12. 48; 13. 2n + 1 ; 14. -2(n-2)!;15. 1 [(x +a)n+ (x-a)"] 16. .a i V . . . a n( ; l + 3 U -------- - i ) ; 17. b X K - - K 18. (x - x,) ( x -x 2) --- (x - xn) ; 19. £ [ 2a + (n - 1)h] a " ' 1; 20. (-1)n 1 (n + 1)2n 2 21- i r r ( T i ? 1 22- ( n - i ) ( - i r v - * ; 23. .a, ( J . + A + . . . . + ± ) (x-1)2 24. ÍL±1 + 4 ^ 1 ; 25. (-1)n-’x "-2 ; 26. (-1)n [ (x - 1)n- xn] 1 - x (1 - x)2 27. (i, 2 8 . ¡ 29. o - x ^ - 30. (x - 1)n ; 31. (a - (3)n‘2 [Xa + (n -2) X(3- (n - 1)ab] ; 32. n(-1)«<n-’V2 Respuestas a ejerciciospropuestos 569 33. (-1)ní"*1»«(nh)"-,I a + i(n - 1 )]; 34. (a0+ a, + a 2+ .... + a n)xn ; 35. 1 36. 2x3y (x - y)6 Grupo 5 2 J Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 1. 24; 2. 18; 3. (a + b + c + d) (a + b - c - d ) ( a- b+ c - d) ( a - b - c + d) 4. 256 5. 78,400; 6. 64; 7. 210; 8. 220; 9. (be-cd)2 10. (a,a2-b,b2)(c,c2- d yd2) Grupo 5 3 ) Rango de una matriz 1. 2; 2. 3; 3. 3; 4. 3; 5. 3; 6. 3; 7. P(A) = 2 si k = 0 y P(A) = 3 si k * 0 8. P(A) = 3 , V ke R ; 9. D(A) = 2 ( n- 1)( n-2)n' 1* 0 <=> n > 3 10. D(A) = (3x + 1) (1 - x)3 «=> D(A) = 0 <=> x = -1/3 ,x = 1 ; 11. D(A) = (4x2-1) «=> D(A) = 0 <=> x = ± 1/2; 12. a) x e R - {0 ,2 ,3} , b) x = 0 ,x = 2 ,x = 3 13. Si x * 0 , P(A) = 3 ;si x = 0 , P(A) = 2 ; 14. Si x = 3 , P(A) = 2 ; si x * 3 , P(A) = 3 15. P(A) = 4 ,Vx e R - {-13 ,3} ;P(A) = 3 ,para x = -13 , x = 3 v Grupo 5 4 J Inversa de una matriz de segundo orden J; 6. 5ti/3; 7. B ’A*1D C11. S = 4 ; 2. rt in II LU ± ’ 36 [ 8. a) X = i ( 3 4 ] 37 -51J ’ b) X 10. x = ( s e ) • - t í 3 = 14. X = ( s 4 ]; 15. X " ( í 18. X II 1_A. r>o¿ ] ; 19. E = 2 's o) B = i [ '2 ) ' M i v ); 21. 4/3 -2/3' >2 -2/3. ; b) x, = 1, x 2 = 4 ; a— « a
- 292. 570 Respuestas a ejercicios propuestos í Grupo 5 5 Inversa de una matriz (Método de la adjunta) 1. 14 8 3' 8 5 2 3 2 1. -5 2 1 -1 0 1 7 - 1 - 5 1 -4 -3] 1 -5 -3 ■1 6 2. 4 10. '-5 4 -3' 10 -7 6 .8 -6 5. r 3 2 1 - 1 4 2 U 3 5J f 1 -3 11 -381 0 1 - 2 7 0 0 1 - 2 0 0 0 1 J 6- 7 8 -1 -3 -5 1 2 110 -1 -4 J 1 7 10 5 10 0 3 - 4 5 n 1 1 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 11 -1 -1 8. 12. 1 2 3' ’6 4 3' -3 2 0 ' W X II 4 5 6 n X 2 1 2 15. X = -4 5 -2 16. X = .7 8 9. .3 3 3, .-5 3 0. > 2 2 1 l 4 8 ! 6 18 J ri -2 7 0 1 -2 10 0 1 2 -1 0 01 -3 2 0 0 31 -19 3 -4 1-23 14 -2 3 J 1 1 1' 1 2 3 2 3 1 X - . 1 6 -225 -274 -76 ’ 14 -8 -1' 17. 366 446 122 —L OO X II -17 10 1 19. an' 1(l4|) 20. S = 10 48 56 20. .-19 11 1. IA / 21. S = 2 ; 22. S = 5; 23. S = 5.1 ; 24. x X 9 n = -2, x = 0 ; 25. CJ II X II X 26. x = k7T+ 5 ; 27. x = 1 ,x = 4; 28. 3 A 1V x e R ,A 1= — 1 6x? + 21 5x x2- 9 15' 7 5x -6x -x x2+ 6 -3, 29. D(A) = (a -b)(a -c)(c -b) ,A ■’ = ' a(b +c) -a -1 ' b(a + c) -b -1 c(a +6) -c -1. 30. fl = 1 I 6 = 2 I d = 1 , í = 2 Grupo 56 J Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 1* {(7,2)}; 2. {(-3,5)}; 3. {(Cos (c - b ) , Sen (c -6)} ; 4. {(16,7)} 5. {(-6 ,-2¿í/3)} ; 6. {(Cosò Cose , Cos¿ Sene')} ; 7. {(2,-3, 1)}; 8. {(2, 6,-2)} 9. {(3,2,1) }; 10. {(2,-2 ,5)}; 11. {(-2 , 3/2 .-1)} ; 12. {(-1 , 3 ,-2)} 13. {(2,-1,1)}; 14. {(3. 1,-1)}; 15. {(be ,ac ,ab)} 16. D(A) = (a - b ) (a - c) (c - b). Si a ,b y c son todos distintos , x = a b c , z = a +b +c y = -(ab + be + ac). Si entre a , b y c hay dos iguales las soluciones dependen de un parámetro. Si a = b = c las soluciones dependen de dos parámetros. 17. S(A)=¿>(1 -a). Siè(1 - a ) * 0 , x = ^ ± y = 1 z = 2abjiA t±A b(a -1) b ' b(a -1) Respuestas a ejercicios propuestos 571 Si a = 1 ,b = 1/2 , las soluciones dependen de un parámetro. Si b = 0 el sistema es inconsistente. 18. D(A) = f>(a-1)(a + 2 ) . S i D ( A ) * 0 , x = z = , , y = , , ah + * ' * (a-1)(a + 2) o(a - 1)(a + 2) Si a = 1 , b = 1/2 , las soluciones dependen de un parámetro. Si b = 0 y a = -2 , el sistema es inconsistente. 19. D(A) = a(a - í>). Si D(A) * 0, x = 5 ^ - U , y = , 2 = b - a a(a-b) a(b-a) Si a = b = 1 J a s soluciones dependen de dos parámetros. Si a = 0 , el sistema es inconsistente 20. D(A) = a2(a - 1). Para a = 0 y a = 1 el sistema es inconsistente 21. D(A) = -2a. S i a * 0 , x = 1 - a , y = a , z = 0. S i a = 0 , x = 1 ,z = 0 , y = arbitrario. 22. D(A) = (a - 1)2(a + 1). Si a = 1 , la solución dependen de un parámetro. Si a = -1 el sistema es inconsistente. 23. D(A) = -m(m + 2). Para m = -2 y m = 0 el sistema es inconsistente. 24. D(A) = a(a - 1)(a + 1). Si a = -1 y a = 1 , el sistema es inconsistente. Si a = 0, la solución depende de un parámetro. 25. D(A) =3(a + 1)(a - 1)2 . Si a = -1 el sistema es inconsistente. Si a = 1 la solución depende de dos parámetros. 26. D(A) = (a -1 )(a - 2)(a - 3). Si a = 2 y a = 3 el sistema es inconsistente. Si a = 1, la solución depende de un parámetro. 27. D(A) =m(m - 1) (m + 2). Si m = 1 , m = -2 , el sistema es inconsistente. Si m = 0 , la solución depende de un parámetro. 28. D(A) =(a - 1)2(a + 1). Si a = -1 , el sistema es inconsistente. Si a = 1 , la solución depende de dos parámetros.
- 293. BIBLIOGRAFÍA 1. GEOMETRIA ANALÍTICA MODERNA (Wotton - Beckenbach - Fleming. Publicaciones Cultural 2. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA D. Klétenik. Editorial Latinoamericana 3. ANÁLISIS MATEMÁTICO Haaser - La Salle - Sullivan. Editorial Trillas 4. CÁLCULO Y ÁLGEBRA LINEAL Kaplan - Lewis. Editorial Limusa 5. CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Edward - Penney. Editorial Prentice - Hall - Hispanoamericana 6. EL CÁLCULO Louis Leithold. Editorial Oxford 7. CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Larson - Hosteteler. Editorial Me. Graw - Hill 8. CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES CON ÁLGEBRA LINEAL Philip C. Curtis. Editorial Limusa 9. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA SUPERIOR D. Fadcliéer y I. Sominski. Editorial Mir - Moscú 10. PROBLEMAS DE LAS MATEMÁTICAS SUPERIORES V. Bolgov - B. Deminovich. Editorial Mir - Moscú Ediciones