Metodo de area_momento
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Este documento presenta dos teoremas relacionados con el método de área-momento para vigas. El primer teorema establece que el área bajo la curva de curvatura entre dos puntos es igual al cambio en la pendiente entre esos puntos. El segundo teorema indica que la desviación de la tangente en un punto es igual al momento del área bajo la curva de momento con respecto a ese punto. Se provee un ejemplo numérico para ilustrar los pasos de aplicación del método.
Metodo de area_momento
- 1. MÉTODO DE ÁREA MOMENTO De la ecuación general de flexión tenemos: EI M dx d = θ Integrando: ∫ ∫= dx EI M dθ ∫=− B A AB dx EI M )( θθ tengamos presente que ρ 1 = EI M curvatura de un elemento viga. Teorema 1: El área bajo el diagrama de curvatura ( )EI M entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica. Se puede usar para vigas con EI variable. BA θθ − : ángulo tangente en B medido desde la tangente en A. Se mide en radianes. Áreas positivas indican que la pendiente crece. W M/EI Diagrama de momentos sobre EI= curvatura θA θB θB θA θB ( ) ∫=−− B A AB dx EI M θθ
- 2. Teorema 2: Por teoría de los ángulos pequeños tenemos: CAACAC Xd /// * ∆=θ , si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B. ∫=∆ B A A BBA dx EI M X/ momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de EI M entre A Y B. El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la curva EI M entre los puntos Ay B con respecto a un eje A. Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por articulaciones. Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha. Ejemplo: θ (-) θ (+) A ∆ A/C C D XC/A ∆ A/D XD/A B
- 3. Determinar las flechas en los puntos B y C y la pendiente elástica en el punto B. E, I constantes. Pasos a realizar: 1. Encontrar el diagrama de momentos. 2. Dividir M por EI y trazar la curva elástica tentativa. 3. Para encontrar θ fijar un punto inicial al cual se le conozca la pendiente e integrar el diagrama de curvatura entre el punto inicial de referencia y el punto pedido. Cambio en θ = área bajo M/EI 4. Para encontrar flechas, tomar un punto inicial al que se le conozca su flecha, preferiblemente un apoyo. El cambio de la flecha se calcula como el primer momento del área bajo el diagrama de M/EI con respecto al punto sobre el que se va a encontrar la deflexión. ( X *Área bajo la curva de M/EI midiendo X desde el punto al que se le va a hallar la deflexión). 5. Signos, un cambio de pendiente positivo osea áreas positivas de M/EI indican qque la pendiente crece. Ejercicio Para la siguiente viga determinar la deflexión y rotación en el punto C en función de EI. ∑ =−= 03*20AA MM mtfM A −= 60 ∑ =−+= 02060 xMM XX 306020 <<−= xxM X 630 <<= xM X 20t 3m 3m M=60t-m 20t 3m 3m A CB 20t 0.30 0.20 x B CA 3m -60
- 4. 4 2 2 **2 *1803*60 m m t EI mt EI área == adimensional (radianes) 0=Aθ condición de apoyo ?=Bθ EIEI BAB 90 2 180 −=⇒−=− θθθ θC - θB = 0 por no existir momento en ese tramo. BC θθ = Rpta. Flecha = momento de primer orden con respecto a B EI m EI AB 180 )3(* 3 2 * 90 / =−−=∆ si 0=∆ A positivo EI B 180 =∆ EI m EI AC 450 3 3 3*2 * 90 / = +−=∆ Rpta. Ejercicio 0≠Aθ Determinar Dθ y max∆ ∆B B θB ∆C C X θA =0 Curva elástica tentativa 5 10 15 4m 2m 3m D A C ∆B/A =∆B - ∆A ∆C/A =∆C - ∆A ∆C=450m / EI θB = -90/EI θC = -90/EI
- 5. dx EI M D A AD ∫=/θ EIEIEI AD 5.22 2 45 2 3*15 ===−θθ EI AD 5.22 3 3 * 2 3*15 / ==∆ 3 2 *2* 2 2*20 2 3 4 * 2 4*20 / + +=∆ AC EI AC 160 3 480 3 80 3 2*200 / ==+=∆ DESVIACIÓN POSITIVA EI EI L AC A 67.26 6 160 / −== ∆ =θ NEGATIVA EIEI D 01.80 3* 67.26 ==∆ EIEIEI YD 51.575.2201.80 =−= Remplazando en 1: EI D 17.4 −=θ EIEI AC 40 2* 4*20 / ==θ EI AB 40 =−θθ EI B 67.66 =θ EI X EI X Am 22 * 2 5 *4*2 20* ==−θθ EI X EI 2 * 2 567.26 = − − 27.3=X Busquemos el punto de tangencia cero, 0=θ , punto de max∆ EIEI Am 14.29 3 27.3 * 4 20 * 2 27.3 / ==∆ 21.8727.3* 67.26 * −===∆ EI xm Aθ M/EI 20/EI θD/A ∆D/A ∆C/A YD
- 6. EI Ym 1.58 =
- 7. EI Ym 1.58 =