Metodo de imagenes
- 1. FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 27 MÉTODO DE LAS IMÁGENES Ideado por Lord Kelvin en 1848. El método de imágenes, es de uso frecuente para deter- minar , E , D y debidos a cargas en presencia de conductores. Este método prescinde de la ecuación de Poisson o Laplace, pues se fundamenta en el supuesto de una superficie conductora equipotencial. Aunque no es aplicable a cualquier problema electrostático, puede simplificar problemas muy complejos. La teoría de las imágenes establece que una configuración de carga dada sobre un plano conductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse por la propia configuración de carga, su imagen y una superficie equipotencial en sustitución del plano conductor. En la figura (a), se muestran ejemplos comunes de distribuciones de carga puntual, lineal y volumétrica, mientras que en la figura (b), aparecen sus correspondientes configuraciones de imagen. Q Q Q a b La aplicación del método de imágenes, exige invariablemente el cumplimiento de dos condiciones: 1. La carga o cargas de imágenes deben situarse en la región conductora. 2. La carga o cargas de imágenes deben situarse de tal forma que en la superficie o superficies conductoras el potencial sea de cero o constante. La primera condición es necesaria para satisfacer la ecuación de Poisson, en tanto que la segunda garantiza la satisfacción de las condiciones en la frontera. Apliquemos la teoría de las imágenes al caso de una carga puntual sobre un plano conductor a tierra. En la siguiente figura se esquematizan las líneas de campo para la carga original y para el conjunto de carga original + carga imagen. Las líneas de campo son perpendiculares a la superficie límite donde se induce una carga.
- 2. FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 28 Carga Puntual sobre un plano conductor a tierra Consideremos la existencia de una carga puntual Q colocada a una distancia h de un plano conductor perfecto de extensión infinita, tal como se observa en la figura a . La configuración de imágenes es mostrada en la figura b . Líneas de campo eléctrico h h h a b Se requiere determinar el campo E y el potencial eléctrico producido por dicha carga puntual en un punto de estudio M x, y, z . Adicionalmente, se determinará la densidad de carga superficial inducida por sobre el plano conductor. E M E M E M 1 Q r1 1 Q r2 E M 4 | r1 | 4 | r2 |3 3 M x, y , z r1 Q 0, 0, h r2 Q 0, 0, h
- 3. FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 29 Donde los vectores r1 y r2 están dados por: r1 x, y, z 0, 0, h x, y, z h x x y y z h z r2 x, y, z 0, 0, h x, y, z h x x y y z h z Q x x y y z h z x x y y z h z E M 4 x 2 y 2 z h 2 3/ 2 x 2 y 2 z h 2 3/ 2 Nótese el hecho de que cuando z 0 , E M solo cuenta con la componente z , lo que confirma que el campo eléctrico es normal a la superficie conductora, tal como se aprecia en la siguiente figura. A continuación pasaremos a determinar el potencial aplicando nuevamente el principio de superposición, es decir: Q Q M M M 4 | r1 | 4 | r2 | Q 1 1 , donde x, y, z 0 si z 0 M 4 x2 y 2 z h 2 x2 y 2 z h 2 Para obtener la densidad de carga inducida en el plano conductor infinito, dicha densidad puede ser determinada por aplicación del Teorema de Gauss a un cilindro recto de altura muy pequeña y bases paralelas a la frontera, una a cada lado, tal como se muestra en la siguiente figura. Alternativamente, también puede ser determinada mediante la segunda condición de frontera.
- 4. FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 30 | Dsale | | Dhinca | Libre Q 2h Libre | Dhinca |z 0 | E |z 0 4 x 2 y 2 h 2 3/ 2 Qh Libre C /m 2 2 x y h 2 2 2 3/ 2 Nótese que la densidad de carga inducida es negativa, porque el campo y la normal a la superficie gaussiana tienen sentidos opuestos. La siguiente figura esquematiza la ecuación de la densidad superficial de carga inducida sobre el plano conductor infinito, A continuación, vamos a comprobar que la carga inducida en el plano conductor infinito es idéntica a la carga inductora pero con signo opuesto. y x Qh dx dy Qind Libre dS 2 x 2 y 2 h 2 3/ 2 A y x Haremos el siguiente cambio de variable para facilitar la obtención de la integral: r 2 x 2 y 2 , z 0, dx dy r dr d , resultando
- 5. FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 31 y 2 r r r Qh r dr d Qh r dr r dr Qind 2 Qh 2 r 2 3/ 2 2 r 2 3/ 2 r h2 3/ 2 0 r 0 2 h r 0 2 h r 0 2 Qh r Qind | r 0 Q l.q.q.d . r 2 h2 2.4 Una carga puntual Q se localiza en el punto a, 0, b entre dos planos conductores semiinfinitos que intersecan en ángulo recto, tal como se muestra en la figura. Determine el potencial eléctrico producido en el punto M x, y, z y la fuerza que actúa sobre Q . z a Q b x Los diagramas correspondientes para la determinación del potencial eléctrico y la fuerza eléctrica, se aprecian en los esquemas a y b siguientes.
- 6. FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 32 z z M x, y , z F3 r2 r1 F2 Q Q Q Q F1 b r3 b r4 x x a a Q Q Q Q a b La configuración de imágenes se muestra en el esquema a , donde se aprecian que tres cargas imagen son necesarias para satisfacer las condiciones enunciadas en el presente capítulo. El potencial eléctrico en el punto de observación M x, y, z es la superposición de los potenciales producidos por las cuatro cargas puntuales, es decir: Q 1 1 1 1 M , donde: 4 o | r1 | | r2 | | r3 | | r4 | 1/ 2 | r1 | x a y 2 z b 2 2 1/ 2 | r2 | x a y 2 z b 2 2 1/ 2 | r3 | x a y 2 z b 2 2 1/ 2 | r4 | x a y 2 z b 2 2 Para la determinación de la fuerza que actúa sobre Q , se tomará como referencia la figura mostrada en el esquema b , de donde: FR F1 F2 F3
- 7. FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 33 Q2 Q2 Q2 FR z x 2ax 2bz 4 o 2b 4 o 2a 2 2 3/ 2 4 o 2a 2b 2 2 Q2 Q2 Q2 FR z x 2ax 2bz 16 ob 2 16 o a 2 32 o a 2 b 2 3/ 2 Q2 1 1 a b FR 2 z 2 x x z 16 o b a 2 b2 a 2 b2 3/ 2 3/ 2 a Q2 a 1 b 1 FR 2 x 2 z 16 o a 2 b 2 3/ 2 a a 2 b2 3/ 2 b Se deja como ejercicio para el lector, la obtención de la intensidad de campo eléctrico producido en el punto de observación M x, y, z , así como también la determinación de la carga inducida en los planos conductores. En general, cuando la metodología de las imágenes se aplica a un sistema consistente en una carga puntual entre dos planos conductores semiinfinitos inclinados en un ángulo , medido en grados, el número de imágenes N está dado por: Q 360o N 1 Q Q 60o En la gráfica anexa, se muestra una carga puntual Q contenida entre dos paredes conductoras semiinfinitas e inclinadas entre sí en un ángulo 60o . Se aprecia que el Q Q número de cargas imagen son cinco. Q