Metodos de conteo estadistica.
- 1. ESTADISTICA: TEMA: Eventos aleatorios. PROFESOR : Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz. ALUMNA :Claudia Azucena Ávila Hernández.
- 2. • Un evento aleatorio es aquel acontecimiento de un hecho en proceso o que está por venir. Se dice que es aleatorio, si no es posible determinarlo con exactitud. En todo caso, será posible predecirlo con un nivel dado de confianza. Al evento también se le denomina un suceso o un fenómeno. Generalmente, se simula el evento por un conjunto de variables relacionadas entre sí. Por lo tanto, un evento está representado con una o más variables vinculadas entre ellas. Si las variables (una o varias de éstas) no son predecibles con exactitud se dice que el evento es aleatorio. Generalmente las variables representan atributos y propiedades de los entes que intervienen en el evento, y que pueden ser medidos. De esta manera se dice que las variables tienen una magnitud. Evento Aleatorio ≻ Evento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto de Condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes – es decir, no se puede predecir el resultado de cada experiencia particular. • Ejemplo: • Lanzamiento de un dado ≻ Un experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones: – Es posible conocer previamente todos los posibles resultados asociados al experimento.
- 3. EJEMPLO. Aceptamos que sólo hay dos resultados posibles: que al caer la moneda la parte visible sea” cara” o sea” número”. Desechamos que pueda caer de canto o sea que quede parada en el borde. Hay un 50% de probabilidad de que elija el capitán de un equipo y 50% de probabilidad de que al arco lo elija el otro capitán Probabilidad de que salga cara ½ = 50/100 = 0, 5 = 50% Probabilidad de que salga número ½ = 50/100 = 0, 5 = 50% El espacio muestral es el conjunto de los resultados posibles
- 4. • Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). • Sea S el experimento de la tirada de dos dados. Escriba el evento que sea el resultado de que los dos dados tengan el mismo valor. Entonces S= {(x, y) |x∈Dado#1∧y∈l Dado#2} en la tabla que esta abajo se pueden ver todos los puntos muéstrales de este experimento.
- 5. Dado #2 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) Dado #1 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) El evento de que sean iguales seria el conjunto A= {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} Dado #2 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) Dado #1 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
- 6. • TÉCNICAS DE CONTEO. • • El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2. • • ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio? • Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer • premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y • posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras • distintas de repartir los tres premios. • • n • 10 x 9 x 8 = 720 •
- 9. Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol. Ejemplo Corbatas Juan tiene 2 corbatas de colores azul y rojo, respectivamente, y 3 camisas de colores azul, rosa y blanco. Si escoge al azar una corbata y una camisa, ¿cuál será el espacio muestral? Para calcular el espacio muestral vamos a construir un diagrama de árbol.
- 10. PERMUTACIONES. El número de permutaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden. Permutaciones En n Objetos Permutaciones de n elementos tomando n a la vez es igual a: nPn = n! = (n) x (n-1) x… x (2) x (1) Ejemplo Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa manufacturera serán sentados juntos en un banquete. Determinar el número de diferentes posiciones posibles de los asientos para los cinco individuos. Solución n P n = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120
- 11. Denominamos combinaciones ordinarias o sin repetición de n elementos tomados de m en m, (m<=n) a las distintas agrupaciones de m elementos de manera que: - En cada grupo entren m elementos distintos - Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento. El número de combinaciones ordinarias de m elementos tomados de m en m lo notaremos Cn,my se calcula: EJEMPLO: En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
- 12. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Ejemplos: 1) Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa? Solución: Considerando que r = 4 pasos N1= maneras de hacer cimientos = 2 N2= maneras de construir paredes = 3 N3= maneras de hacer techos = 2 N4= maneras de hacer acabados = 1 N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
- 13. Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación puede realizarse de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de m + n maneras. EJEMPLO. Tenemos tres diferentes lugares para comer pizza; dos para hamburguesa y cuatro para pollo. ¿A cuántos diferentes lugares podemos ir a almorzar? Solución: 3 + 2 + 4 = 9 diferentes lugares. + + =9