Continuation methods

1. Metodos de continuacion: analisis de soluciones estacionarias Departamento de Matematica Aplicada y Estadstica 7 de abril de 2014 Juan Manzanero Torrico j.manzanero@alumnos.upm.es Abstract Los metodos de continuacion evitan la resolucion de ecuaciones diferenciales que dependen de cierto parametro mediante la resolucion directa tratando cada caso como si estuviera aislado del resto. De esta forma, se le da cierta continuidad a la solucion, y no se trata como si se calculara la solucion en una serie de puntos discretos del parametro. Cada solucion que se calcula se interpreta como un paso mas en la solucion, y no una nueva solucion. A lo largo de este artculo se emplean estos metodos en la resolucion de una ecuacion diferencial en particular, extrayendo de ella conclusiones muy intere- santes. Indice 1. Planteamiento del problema 1 2. Discretizacion espacial 2 2.1. Discretizacion de un punto interior 2 2.2. Discretizacion de un contorno con condicion en la derivada . . . . . . 2 2.3. Discretizacion de un contorno con condicion en el valor de la funcion 3 3. Continuacion por pseudolongitud de arco 3 3.1. El metodo de continuacion . . . . . 4 3.2. Calculo del vector tangente . . . . 4 3.3. Paso del predictor . . . . . . . . . 5 3.4. Paso del corrector . . . . . . . . . 5 3.5. Resultados . . . . . . . . . . . . . . 6 4. Puntos singulares 7 5. Cambio de rama 9 1. Planteamiento del problema El objetivo del siguiente artculo es resumir los metodos empleados para continuar la solucion de una ecuacion diferencial ordinaria a medida que se vara un parametro de la misma. Esta ecuacion proviene de una ecuacion en deriva-das parciales, de la cual se pretende calcular sus soluciones estacionarias. As, el objetivo sera rea-lizar un analisis de la estabilidad de la solucion estacionaria obtenida y localizar cambios en el caracter de dicha estabilidad. La ecuacion en derivadas parciales objeto de estu-dio es la siguiente: EDP: ut = uxx + u3 + CC: ux(0) = u(1) = 0 (1) para cierta funcion u(x; t; ) de

2. nida entre x 2 [0; 1] y t 2 [0;1). De esta forma, se buscan soluciones estacionarias de la misma, transformandose en una ecuacion di-ferencial ordinaria EDO: d2u dx2 + u3 + = 0 CC: du(0) dx = u(1) = 0 9= ; (2) Como se intuye de la expresion del problema, el primer paso consistira en llevar a cabo la discre-tizaci on espacial de (2) para aplicarle los metodos conocidos como metodos de continuacion. Estas tecnicas consisten en, a partir de una solu-ci on conocida para cierto valor del parametro , avanzar en el valor de la misma en lugar de resol-ver de nuevo la ecuacion con los metodos usuales para el nuevo valor de . Las grandes ventajas que se desprenden de el em-pleo de estos metodos, consiste en que el resultado

3. nal se asemeja a recorrer un camino continuo, haciendo posible acceder a soluciones que por el contrario mediante la resolucion directa son difci-les de alcanzar, ya que el metodo nos lleva a ellas. 1

4. La estructura del siguiente artculo es la siguiente: en primer lugar se procedera a la discretizacion espacial de la ecuacion, llegando a un sistema del tipo ~g(~U ) = ~0. En segundo lugar se presentaran los metodos de continuacion, aplicados a este caso en particular. Despues se presentaran las soluciones obtenidas al implementar los metodos en esta ecuacion. Por ultimo se realizara una discusion de la estabi-lidad y los cambios de ramas en puntos singulares. 2. Discretizacion espacial El primer paso en todo problema de analisis numerico es la discretizacion del dominio in

5. nito y lo que ello conlleva: La discretizacion de los ope-radores que dependen de el. En lo que se re

6. ere a la discretizacion del domi-nio, se han escogido un conjunto de nodos equies-paciados en el dominio en el cual esta de

7. nida la ecuacion. Si se toman N+1 nodos, la ecuacion que determina la posicion del nodo jesimo es: xj = j 1 N = j h; j = 0; 1; :::;N (3) x0 x1 xi xN x u(x) Figura 1: Discretizacion espacial As, se de

8. ne el valor de la variable en el nodo xj como Uj = u(xj) (4) consiguiendo al

9. nal componer un vector de incognitas con todos los valores que toma u(x) en los nodos de la discretizacion. ~U = 8 : U0 U1 ... UN1 UN 9= ; ; 2 RN+1 (5) Una vez discretizada la variable y de

10. nidos los valores que la funcion incognita puede tomar en ella se procede a discretizar la ecuacion. As, el procedimiento consistira en la colocacion de la ecuacion en los (N + 1) nodos, con especial tratamiento en los contornos. d2u(x) dx2

14. x=xj + u(xj)3 + = 0 (6) Se comenzara por los puntos interiores j = 1; :::;N 1 y despues se analizara que alternati-vas se disponen para los contornos. 2.1. Discretizacion de un punto interior Para los puntos interiores se escoge para los operadores diferenciales un esquema en diferen-cias

15. nitas centradas de orden 2, que es el maximo orden que se presenta en la ecuacion. Para el operador derivada segunda se tiene: d2u dx2

19. xj = uj+1 + uj1 2uj h2 + o(h2) (7) De esta forma, la ecuacion diferencial se transfor-ma en una ecuacion algebraica por medio de (7): gj = uj+1 + uj1 2uj h2 + u3j + = 0 (8) Esta sera la ecuacion algebraica que debe resol-verse para los nodos interiores al dominio j = 1; 2; :::;N 1. 2.2. Discretizacion de un contorno con condicion en la derivada Es el caso del contorno situado en el nodo x0 = 0. Para ello se proponen tres alternativas, cada una con sus puntos positivos y puntos en con-tra: 1. Usar como funcion la discretiacion de la de-rivada primera mediante un operador de se-gundo orden descentrado: Tiene la ventaja de mantener el orden, a costa de que des-truye la estructura tridiagonal de la matriz jacobiana de las ecuaciones. g0 = 3u0 + 4u1 u2 2h = 0 (9) 2. Usar como funcion la discretizacion de la de-rivada primera mediante un operador de pri-mer orden: Tiene la ventaja de que mantiene la estructura diagonal en detrimento de estar utilizando una discretizacion de orden infe-rior. 2

20. g0 = u1 u0 h = 0 (10) 3. Usar como funcion la discretizacion de la ecuacion utilizando para la derivada segun-da un operador centrado de segundo orden. Para ello hay que de

21. nir una celda fantasma. A esta ecuacion se le debe a~nadir el opera-dor derivada primera igualado a cero para volver a obtener el mismo numero de ecua-ciones que incognitas g0 = u1 + u1 2u0 h2 + u30 + = 0 g1 = u1 u1 2h = 0 9= ; La mejor opcion es la tercera de las propuestas, ya que es posible despejar u1 en la segunda ecua-ci on y recuperar un sistema de N + 1 ecuaciones con N + 1 incognitas manteniendo una estructura tridiagonal en el jacobiano. La estructura tridiagonal del jacobiano esta asegu-rada con tal de que se veri

22. que: gj = gj(uj1; uj ; uj+1; ) (11) Entonces, despejando u1 queda la expresion

23. nal para g0 u1 = u1 ! g0 = 2 u1 u0 h2 + u30 + (12) 2.3. Discretizacion de un contorno con condicion en el valor de la funcion Es el caso mas sencillo, ya que basta con impo-ner que gN = uN = 0 (13) De esta forma, se tiene de

24. nido el vector de incognitas ~g ~g(~U ; ) = 8 : g0(u0; u1; ) ... gj(uj1; uj ; uj+1; ) ... gN(uN1; uN; ) 9= ; (14) donde cada uno de los gj se toman de (8), (12), y (13): ~g(~U ; ) = 8 : g0(u0; u1; ) ... gj(uj1; uj ; uj+1; ) ... gN(uN1; uN; ) 9= ; = 8 : 2u1u0 h2 + u30 + ... uj+1+uj12uj h2 + u3j + ... uN 9= ; = 8 : 0 ... 0 ... 0 9= ; (15) 3. Continuacion por pseudolongitud de arco Los metodos de continuacion buscan lo siguien-te: dada una ecuacion diferencial con un parametro ~U libre, y una solucion de la misma para cierto valor del parametro (0; 0), hallar la solucion en: (0; ~U 0) ! (1 = 0 + ; ~U 1) (16) Una vez obtenida una nueva solucion (1; ~U 1) se vuelve a dar otro paso para obtener (2; ~U 2), y as sucesivamente. Como se observa en (16), el grado de libertad en cada paso es el salto en la variable . Cuando esto es as, se dice que el metodo es continuacion por parametro natural. En este texto no se utilizara este parametro como directriz para la siguiente iteracion, si no que se empleara un nuevo parametro: la pseudolongitud de arco. La motivacion de utilizar como variable indepen-diente otra distinta a reside en la di

25. cultad para sortear ciertas singularidades que se presentan de forma natural a medida que la solucion avanza por una rama: los puntos de plegado. En ellos ocurre que la rama se pliega y retorna por los mismos valores de los cuales acababa de recorrer. Realizando un smil con la parametrizacion de cur-vas, en el caso particular de la curva x2+y2 = R2, si se escoge la parametrizacion y(x) = p R2 x2 ocurre que cuando x = R la parametrizacion no es unica. Esto se solventa escogiendo una parametrizacion 3

26. regular de la curva, por ejemplo x(s) = Rsin(s) y(s) = Rcos(s) (17) algo similar ocurre con los metodos de continua-ci on cuando se escoge como parametro. Algunos autores utilizan como parametro hasta que detectan que la solucion se aproxima a un punto de pliegue, momento en el que se cambia la formulacion a pseudolongitud de arco, para des-pu es volver a tomar como parametro una vez sorteado el punto. Las ventajas de emplear como parametro residen en que se tiene un control total de cuanto vara el parametro en cada paso, mientras que al utilizar la pseudolongitud de arco se

27. ja el paso en s ob-teniendo valores variables para el correspondiente paso en . 3.1. El metodo de continuacion A continuacion se expone el metodo de conti-nuaci on para una ecuacion algebraica arbitraria ~g. ~U Como ya se ha introducido, el objetivo es, dada la solucion del paso anterior, (j ; j) calcular una solucion cercana (j+1; ~U j+1). Este proceso se rea-liza en dos etapas: Predictor: Mediante la linealizacion de las ecuaciones particularizada en la solucion pre-via se obtiene una semilla para el corrector. Corrector: Utilizando el algoritmo de Newton-Rhapson se asegura el cumplimien-to de la ecuacion ~g(~U j+1; j+1) = ~0 intro-duciendo como semilla la aproximacion del predictor Las variables (; ~U ), como ya se ha introducido, se controlaran por medio de una tercera variable, la pseudolongitud de arco s, es decir: ~U = ~U (s); = (s) (18) donde s es monotona, es decir, dado el valor inicial siempre crece hacia valores mas grandes y no se ve in uida por el caracter de la solucion. Entonces, el parametro s es la longitud de arco si veri

28. ca: XN j=0 dUj ds 2 + d ds 2 = 1 (19) Discretizando el operador derivada se obtiene la de

29. nicion de la pseudolongitud de arco: XN i=0 (Ui Uj i ) dUj i ds + ( j) dj ds = s sj (20) Las derivadas de las variables respecto a la pseu-dolongitud de arco estan particularizadas para el valor de de la solucion anterior, por lo que se calculan derivando la ecuacion ~g = 0: Gu(~U j ; j) d~U j ds + ~ G(~U j ; j) dj ds = 0 (21) donde Gu es el jacobiano de ~g respecto a ~U Gu = 2 6664 @g0=@U0 @g0=@U1 @g0=@UN @g1=@U0 @g1=@U1 @g1=@UN ... ... . . . ... @gN=@U0 @gN=@U1 @gN=@UN 3 7775 y ~G el jacobiano de ~g respecto al parametro ~G = 8 : @g0=@ @g1=@ ... @gN=@ 9= ; (22) Entonces, en primer lugar se indicara como se procede al calculo de los vectores tangentes a la ecuacion en el paso inicial. 3.2. Calculo del vector tangente El vector tangente a la ecuacion en el paso ini-cial se calcula utilizando las dos siguientes condi-ciones: 1. Ser efectivamente tangente a la ecuacion. 2. Poseer modulo unitario. 3. Ir en el mismo sentido que el vector tangente de la iteracion anterior (ya que de lo contra-rio puede dar lugar a oscilaciones indeseadas en el entorno de algun punto). Llamando ~_U j a d~U j=ds y _ j a dj=ds, estas con-diciones se materializan en el siguiente sistema de ecuaciones: Gu(~U j ; j)~_U j + ~G (~U j ; j)_ j = 0 jj~_U j jj + j_ j j = 0 ) (23) En la practica se resuelve de la siguiente forma: se calcula el vector ~ de

30. nido como 4

31. ~ = G1 u ~G (24) y despues se supone que la solucion es ~_U j = a~ _ j = a ) (25) de tal forma que se calcula a para que cumplir la condicion de modulo unitario a = 1 q 1 + jj~ jj2 (26) y por ultimo, es preciso elegir el signo correcto de a, de tal forma que el nuevo vector tangente posea el mismo sentido que el de la iteracion anterior ~_U j1 ~_U j + _ j1_ j = a(~_U j1 ~ + _ j1) 0 De esta forma se obtiene el vector tangente unita-rio a la ecuacion ~g = 0 en la iteracion inicial. A continuacion se presenta el codigo Matlab que se encarga de llevar a cabo estas operaciones. 1 function [ du,dlambda ] = 2 calctangent(U0,lambda0,dU0, 3 dlambda0,fun) 4 %Calculo del vector tangente ... normalizado, se trata de resolver ... el sistema 5 %lineal Ax=b siendo A=Gu(u0,lambda), ... b=Glambda(u0,lambda). 6 % 7 % *Input: 8 % U0: Solucion del paso anterior 9 % lambda0: lambda del paso ... anterior 10 % dU0: Derivada del paso anterior 11 % dlambda0: Derivada del paso ... anterior 12 % *Output: 13 % du: derivada de u respecto ... al parametro 14 % dlambda: derivada de lambda ... respecto al parametro 15 16 [g,Gu,Glambda]=fun(U0,lambda0); 17 N=length(U0)1; 18 h=1/N; 19 phi=Gun(Glambda'); 20 normphi=norm(phi); 21 a=1/sqrt(1+normphiˆ2); 22 %KA=det(Gu)*det(inv(Gu)) 23 %sign(det(Gu)) 24 25 %Orientacion del vector consistente ... con el ultimo calculado 26 product=a*(dot(dU0,phi)+dlambda0); 27 28 if sign(product)0 29 a=a; 30 end 31 32 du=phi*a; 33 dlambda=a; 34 35 end Codigo 1: Calculo de los vectores tangentes a la ecuacion 3.3. Paso del predictor Una vez establecido el calculo del vector tan-gente a la ecuacion, se procede a dar el primer paso en la obtencion de la nueva solucion: El predictor. Sea s el paso escogido en pseudolongitud de ar-co, la solucion que establece el predictor viene dada por el desarrollo de Taylor de la ecuacion ~g(~U ; ) usando s como variable independiente: ~U j+1 = ~U j + s~_U j j +1 = j + s_ j ) (27) 3.4. Paso del corrector El ultimo paso para determinar la nueva solu-ci on (~U j+1; j+1) consiste en utilizar el metodo de Newton-Rhapson a la ecuacion ~g = 0 hasta dar con una solucion de la misma. Para ello se empleara como semilla la solucion propuesta por el corrector. ~U Debido a que la ecuacion ~g = 0 solo posee N + 1 ecuaciones gj para N + 2 incognitas (y ) hay que emplear una ecuacion mas: la de

32. nicion de la variable pseudolongitud de arco dada por (20). Sea N(~U ; ;s) la funcion que de

33. ne la pseudo-longitud de arco: N = (~U ~U j) ~_U j + ( j)_ j s (28) el sistema de ecuaciones a resolver es: ~g(~U ; ) = 0 N(~U ; ;s) = 0 (29) El metodo de Newton aplicado a un sistema ~ f(~x) = 0 establece en cada iteracion que el desa-rrollo en serie de Taylor de la ecuacion centrada en la iteracion anterior es nula. De esta condicion se extrae la solucion de la iteracion siguiente ~ f(~x) = ~ f(~xi) + Jf (~xi)(~xi+1 ~xi) f (~xi) ~ f(~xi) ~xi+1 = ~xi J1 (30) en este caso ~x = f~U ; gT y ~ f = f~g;NgT , de tal for-ma que el jacobiano de f es una matriz por cajas cuyo contenido es: 5

34. Jf = Gu G~ ~N ~U N # = Gu G~ ~_U _ # (31) A diferencia de la matriz Gu 1, el jacobiano del sistema extendido nunca es singular, por lo que no debe preocupar en principio la inversion de la matriz. El algoritmo de Newton habra

35. nalizado cuando se veri

36. que el siguiente criterio de parada: ~x ~x ~ x ~ x = ~U ~U + 2 ~U ~U + 2 TOL (32) A continuacion se presenta el codigo Matlab pro-puesto para dar el paso en el esquema corrector. 1 function [Ucorr,lambdacorr,UF] = 2 correctorpseudoarc(Upred, 3 lambdapred,dU,dlambda,,TOL,fun) 4 omega=1; %Parametro de relajacion 5 6 UF=0; 7 c=1; 8 U1=Upred; 9 lambda1=lambdapred; 10 N=length(Upred); 11 A=zeros(N+1); 12 B=zeros(N+1,1); 13 while c==1 14 UF=UF+1; 15 [g,Gu,Glambda]=fun(U1,lambda1); 16 A(1:N,1:N)=Gu; 17 A(1:N,end)=Glambda'; 18 A(end,1:N)=dU'; 19 A(end,end)=dlambda; 20 B(1:N)=g; 21 B(end)=(dot(dU,U1Upred)+ 22 dlambda*(lambda1lambdapred)); 23 dX=AnB; 24 U=omega*dX(1:N); 25 lambda=omega*dX(end); 26 U1=U1+U'; 27 lambda1=lambda1+lambda; 28 ERROR=(dot(U,U) 29 +lambdaˆ2)/ 30 (dot(Upred,Upred)+lambdapredˆ2); 31 32 if abs(ERROR)TOL 33 c=0; 34 end 35 end 36 Ucorr=U1; 37 lambdacorr=lambda1; 38 end Codigo 2: Corrector por pseudolongitud de arco. Entre las lneas 16 19 del codigo se divisa el montaje de la matriz jacobiana (A) a partir del previo calculo de los dos jacobianos y el vector tangente. Para la ecuacion ejemplo que se resuelve en este artculo, la expresion del jacobiano de las ecuacio-nes respecto a la variable ~U es la siguiente: GU = 2 666664 2=h2 + 3U2 0 2=h2 0 0 0 1=h2 2=h2 + 3U2 1 1=h2 0 0 0 1=h2 2=h2 + 3U2 2 0 0 ... ... ... . . . ... ... 0 0 0 0 1 3 777775 (33) y el jacobiano respecto a : ~G = [1; 1; 1; :::; 1; 0]T (34) con esto se tienen todos los elementos que intervie-nen en el desarrollo del algoritmo de continuacion por pseudolongitud de arco en el caso particular de la ecuacion diferencial de interes. A continuacion se presentan los resultados obteni-dos al integrar la ecuacion mediante el algoritmo mostrado. 3.5. Resultados Antes de comenzar a hablar de puntos singu-lares, puntos de pliegue, y similar, se ha preferido mostrar la solucion obtenida para despues analizar que ocurre en dichas zonas. As, partiendo de la solucion trivial (0; ~U 0) = (0;~0), se avanza en la pseudolongitud de arco des-de el valor inicial (0, por convenio) hasta el valor 50 mediante un paso s = 0:005. Para evaluar la funcion ~U en funcion de en un unico plano, se ha empleado una norma de

37. nida como p jju(x)jj = sign(u0(1)) ju(0)u0(1)j (35) En primer lugar se presenta en la

38. gura 2 la norma de u(x) a lo largo de la rama encontrda, donde se observa la existencia de dos puntos de pliegue. 1Ver la parte relacionada con puntos singulares para mas detalle. 6

39. 5 0 −5 −10 −15 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 6 norm(u(x)) Figura 2: Norma de u(x) a lo largo de la rama que parte del origen Como se observa, solo crece al principio hasta valores proximos a 1:3, a partir del cual encuentra el primer punto de pliegue y retorna hasta valores proximos a 42, donde vuelve a aumentar. 10 0 −10 −20 −30 −40 −50 0 10 20 30 40 50 60 s 6 Figura 3: Valores que toma a medida que se recorre la curva Y por ultimo se presenta en la

40. gura 4 la forma que toma la funcion u(x) a lo largo de la rama en una gra

41. ca de contornos. En el eje de ordenadas la pseudolongitud de arco s y en abcisas la coor-denada x. x s 50 40 30 20 10 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 6 4 2 0 −2 −4 Figura 4: Representacion 2D de u(x) a lo largo de la rama A continuacion se presenta teora general acerca de los puntos singulares (que incluye a los puntos de pliegue) para entender que propiedades tienen y como in uyen al sistema de ecuaciones, y tambien que metodos se pueden emplear para aproximar su posicion con la exactitud que se desee. De la

42. gura 3 ya se intuye la condicion necesaria que presenta un punto de pliegue: _= 0, ya que presenta un extremo relativo en el. 4. Puntos singulares En el estudio de la rama de una ecuacion ~g(~U ; ) = 0, se dice que un punto es singular cuan-do veri

43. ca que: Rg[Gu; ~G ] = N (36) Esto implica que el nucleo de Gu tiene por lo me-nos dimension uno. Entonces, si el objetivo es buscar puntos singula-res, la funcion que se debera forzar a cero sera el determinante del gradiente de ~g respecto ~U . Esto no es adecuado, ya que en general a medida que se aumenta N, la matriz va adquiriendo mas tama~no, y esto se traduce en que el determinante por lo general toma valores altsimos. Como la matriz es diagonalizable, a partir de lo autovalores es posible identi

44. car el punto singu-lar sin mas que estudiar que autovalor cambia de signo, ya que: det(A) = NY j=0 j (37) por lo que si el determinante se anula y es diago-nalizable implica que algun autovalor se anula y 7

45. cambia de signo. El primer inconveniente asociado a seguir los va-lores que toma un autovalor residen en que los algoritmos numericos normalmente mezclan los autovalores en el orden que los muestran. Esto es, el autovalor que en la primera solucion se designo como j no estara en general tras una serie de iteraciones en la posicion jesima del vec-tor de los autovalores, si no que lo mas probable es que se hayan mezclado. La forma de evitar este indeseable fenomeno es me-diante el metodo conocido como Modal Assurance Criteria (MAC), muy utilizado en vibraciones y aeroelasticidad. Mediante este metodo, se compara la estructura de autovectores de la iteracion actual con la solu-ci on anterior, de tal forma que cada autovalor de la nueva iteracion se coloca en la posicion que mas se parece a la que debera tener segun la iteracion anterior. Al

46. nal para cada autovalor se calcula la siguiente magnitud: MAC = ~K j i ~K j+1 k j i j j~K j~K j+1 k j (38) de tal forma que si los autovalores no hubieran cambiado se tendra que i = k, pero si cambian, a traves de esta magnitud se observa como se debe estructurar. Realizar este proceso para cada una de las itera-ciones es una de las etapas que mas coste compu-tacional conlleva. Un codigo Matlab para reordenar la matriz segun el MAC se presenta a continuacion. 1 function [ munew,vecnew ] = ... modalassurance( ... mu,vec,muprev,vecprev ) 2 3 [N,N]=size(vec); 4 munew=zeros(N,1); 5 for i=1:N1 6 %Recorro cada autovalor del estado ... previo y veo cual es el que mas se 7 %parece al anterior 8 for j=1:N1 9 MAC(j)=abs(dot(vec(:,j), 10 vecprev(:,i))/(norm(vec(:,j)) 11 *norm(vecprev(:,i)))); 12 end 13 [maxim,index]=max(MAC); %El 14 % autovalor en index es 15 % el que mas se parece al previo 16 munew(i)=mu(index); 17 vecnew(:,i)=vec(:,index); 18 end 19 20 munew(N)=mu(N); 21 vecnew(:,N)=vec(:,N); 22 end Codigo 3: Codigo para cumplir el MAC. Entonces, una vez eliminadas las dudas que pue-den surgir de una posicion arbitraria por parte de los autovalores entre dos iteraciones, se procede a buscar el autovalor que causa que el determinante se anula. El proceso para determinar un punto crtico con-siste en, a partir de la solucion que ya se ha pre-sentado, buscar el intervalo en la solucion que contiene al punto crtico. Despues se realiza un al-goritmo de biseccion para hallarlo con la precision que se desee. Del analisis de la solucion previa se obtienen los siguientes puntos crticos: Punto i; d _ i; _ d 1 1:36 [0:0055; 0:0094] [+;] 2 41:68 [0:0186; 0:019] [; +] Tabla 1: Puntos crticos obtenidos en el primer analisis. Como _ cambia de signo al atravesarlos se deduce directamente que ambos son puntos de pliegue. Realizando las iteraciones del metodo de la bisec-ci on se obtiene el valor de en los dos puntos de pliegue con la precision deseada. El criterio de parada se ha escogido como 2jnew ij ji + dj TOL (39) De esta forma, como la solucion inicial se ha ob-tenido utilizando un paso muy peque~no (s = 0:005), el metodo de la biseccion apenas a~nade pre-cisi on, resultando al

47. nal los resultados mostrados en la tabla 2 Punto 1 1:36134356 0:00942 2 41:6795858 0:01878 Tabla 2: Puntos crticos obtenidos tras iterar el metodo de la biseccion Y a continuacion se presenta la solucion en los dos puntos crticos. 8

48. 8 6 4 2 0 −2 −4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x u(x) 61 62 Figura 5: Soluciones en los dos puntos singulares hallados Y para cerrar esta seccion, se ha representado en la

49. gura 6 la forma que presentan los autovectores correspondientes al autovalor que cambia de signo en ambos puntos singulares. 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 0 5 10 15 20 25 i Ki 61 62 Figura 6: Autovectores asociados al autovalor que hace singular la matriz jacobiana Decir en primer lugar, que haber obtenido la solu-ci on u(x) y el valor de en el punto singular con la mayor precision posible sera de vital importan-cia para buscar nuevas ramas en el entorno de los puntos singulares. Y en segundo lugar, que la forma que presentan los autovectores asociados al autovalor que se anula en el punto singular permite intuir como van a ser las soluciones de las nuevas ramas. El mismo resultado se poda haber obtenido me-diante integracion directa de las ecuaciones para el punto singular 1 = 1:36. Para el punto 2, al estar tan alejada la solucion el metodo ya no converge y no es preciso obtener la solucion. Un hecho curioso, es que la integracion s es capaz de captar una solucion perteneciente a la rama que deriva del punto singular 1, para ello basta con resolver la ecuacion para 1 = 1:37. 1 0 −1 −2 −3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x u(x) 6 = 1.36 6 = 1.37 Figura 7: Solucion mediante simulacion directa A continuacion se presentan las tecnicas para reali-zar e

50. cazmente los cambios de rama, y los fenome-nos de estabilidad que ocurren en estas zonas. 5. Cambio de rama El hecho de que algun autovalor se anule al atravesar un punto singular, hace que su autovec-tor asociado al mismo pertenezca al nucleo del ja-cobiano de ~g. j = 0 ! GU ~K j = ~0 ! ~K j 2 N(GU) (40) donde j = j(s) y ~K j = ~K j(s) siendo s = s la posicion del punto singular. Cuando se ha introducido la condicion que veri-

51. ca un punto singular, es decir, que el rango de la matriz [GU;G] es N, se ha indicado que la consecuencia directa de esto se mani

52. esta en un nucleo de GU de dimension uno o dos. Pues bien, esto depende de si el punto es un punto de bifurcacion o un punto de pliegue. Para demostrarlo se partira de la base de que hay dos vectores pertenecientes al nucleo de GU, lle-gando a la conclusion de que si se trata de un punto de pliegue estos dos deben ser linealmen-te dependientes y por tanto solo posee dimension uno. En primer lugar, lo que s es cierto es que en un punto de bifurcacion el nucleo de [GU;G] es de 9

53. dimension dos, ya que utilizando la formula de las dimensiones: dim(N(M)) + rg(M) | {z } N = dim(RN+2) dim(N(M)) = 2 Esto quiere decir que el subespacio vector tangente a la curva ~g = ~0 posee dimension dos y por tanto puede escribirse en la forma ~_X = ( ~_U _ ) ! [GU;G] ~_X = ~0 (41) ~_X = ~ 1 +

54. ~ 2 (42) entonces el siguiente paso es identi

55. car estos dos vectores ~ 1 y ~ 2. El primero de ellos resulta trivial, ya que se trata del vector tangente tal y como se ha calculado a lo largo de todo este trabajo: GU~ 0 = ~G ! ~ 1 = ~ 0 1 (43) y el segundo vector no es otro que el autovector del autovalor que se anula: 2 = ~K j 0 (44) por lo que

56. nalmente se puede componer el vector tangente ~_X = ( ~_U _ ) = ~ 0 1 +

57. ~K j 0 (45) pero como se trata de un punto de pliegue, debe cumplirse que _ = 0 y por tanto = 0, lo que implica directamente que ~ 0 y ~K j son linealmente dependientes y la dimension del nucleo de GU es 1. De esta forma, para calcular las nuevas ramas se emplea como predictor la siguiente semilla: ~U pred = ~U crit + ~K j (46) siendo ~U sing el vector de incognitas en el punto singular, y un numero su

58. cientemente peque~no. As, se obtiene la nueva rama, la cual coincide con la obtenida mediante simulacion directa 2 1 0 −1 −2 −3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x u(x) 61 62 Figura 8: Nueva rama obtenida perturbando la solucion singular y aplicando los metodos de continuacion se obtie-ne la rama completa, cuya norma se representa en la

59. gura 9 15 10 5 0 −5 −10 −15 −50 0 50 6 norm(u) Rama1 Rama2 Figura 9: Continuacion de la nueva rama Referencias [1] Continuation method: theory - Dolors Puig-janer [2] Lectures on Numerical Methods In Bifurca-tion Problems - H.B. Keller [3] Numerical Bifurcation Methods and their Ap-plication to Fluid Dynamics: Analysis beyond Simulation - H. A. Dijkstra et al. 10

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