metodos numericos
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Este documento presenta varios problemas de ingeniería de petróleos y métodos numéricos para resolverlos. El primer problema involucra modelar numéricamente el almacenamiento y flujo de un líquido en un tanque. El segundo problema implica resolver analíticamente y numéricamente una ecuación diferencial del movimiento amortiguado. El documento también cubre temas como series de Taylor, esquemas numéricos, ecuaciones diferenciales parciales y flujo en medios porosos.
![como punto base. Calcule el EV para cada es incondicionalmente estable para una ecuación
aproximación. Analice los resultados. parabólica unidimensional de la forma:
∂ 2 P ∂P
=
5. En las siguientes dos series, calcule: ∂x 2 ∂t
a. La suma de la serie.
b. La suma parcial S n indicada y completar la 9. Una formación saturada de aceite se encuentra
tabla. inclinada 10º respecto a la horizontal. Su
c. Representar en un gráfico las diez primeras permeabilidad es de 100 mD y su espesor es de 40
sumas parciales y una recta horizontal que ft. La densidad y viscosidad de este aceite es de
represente la suma total. 40 lbm/ft3 y 0.6 cp respectivamente. Dos pozos
d. Explicar la relación entre la magnitud de los fueron perforados como se observa en la Figura 2.
términos de la serie y el ritmo al que la El pozo de observación en el fondo se encuentra a
sucesión de sumas parciales tiende a la suma 8152,6 ft de profundidad respecto al nivel del
de la serie. mar, y el pozo del tope se encuentra a 7800 ft
respecto al nivel del mar. La presión de fondo del
∞ ∞ primer pozo es de 3600 psia y la del segundo es
∑ 2(0,9) ∑10(0,25)
n −1 n −1
de 3570 psia. Determine la velocidad del fluido
n =1 n =1 los dos puntos de observación.
n 5 10 20 50 100
Sn 10. Considere el problema de determinar la
distribución estacionaria de temperatura en una
lámina delgada en forma cuadrada con
6. Un polinomio de Taylor centrado en 0 se va a dimensiones de 0.5 m por 0.5 m, la cual se
usar para aproximar la función coseno. mantiene a 0ºC en dos fronteras adyacentes
Determinar el grado del polinomio requerido para mientras que la temperatura en las otras fronteras
lograr la precisión que se especifica sobre el se va incrementando linealmente de 0 ºC en una
intervalo indicado. esquina a 100 ºC donde estos lados se encuentran.
Si ponemos los lados con condición de frontera
Error máximo Intervalo cero a lo largo de los ejes x e y , el problema se
a) 0,001 [-0.5 , 0.5] puede expresar matemáticamente como:
b) 0,001 [-1 , 1]
c) 0,0001 [-0.5 , 0.5] ∂ 2 T ( x, y ) ∂ 2 T ( x, y )
d) 0,0001 [-2 , 2] + =0
∂x 2 ∂y 2
Represente en un gráfico la función coseno y los
polinomios de Taylor de cada aproximación.
para (x, y ) en el conjunto
R = {( x, y ) 0 < x < 0.5,0 < y < 0.5}, con las
7. Use el criterio de estabilidad de Von Neumann
condiciones de frontera:
para demostrar que un esquema implícito simple
es incondicionalmente estable para una ecuación
parabólica unidimensional de la forma: T (0, y ) = 0 , T ( x,0) = 0 , T ( x,0.5) = 200 x y
T (0.5, y ) = 200 y
∂ 2 P ∂P
=
∂x 2 ∂t
8. Use el criterio de estabilidad de Karplus para
demostrar que el esquema de Crank – Nicholson](https://image.slidesharecdn.com/tallerno1metodos-101214223517-phpapp01/85/metodos-numericos-2-320.jpg)
![11. Considere la ecuación de Poisson ∂ 2u ∂ 2u
− =0
∂t 2 ∂x 2
∂ 2 u ( x, y ) ∂ 2 u ( x, y )
2
+ 2
= xe y 0 < x <1
∂x ∂y
0<t
0<x<2
0 < y <1 u (0, t ) = u (1, t ) = 0, 0 < t
u ( x,0) = sen(2πx ) , 0 ≤ x ≤ 1
con condiciones de frontera:
∂u
(x,0) = 2πsen(2πx ) , 0 ≤ x ≤ 1
u (0, y ) = 0 , u (2, y ) = 2e y , 0 ≤ y ≤ 1 ∂t
u ( x,0) = 0 , u ( x,1) = ex , 0 ≤ x ≤ 2 con ∆t = 0.1 y ∆x = 0.1 . Compare sus
resultados con la solución exacta:
12. La ecuación que describe el flujo unidimensional u ( x, t ) = sen(2πx )[cos(2πt ) + sen(2πt )]
de una fase ligeramente compresible viene dada,
para 0 < x < 1000 y 0 < t , por
para un t = 0.3
φµC ∂P ∂ 2 P 0, x ≠ 500
= 2 −
K ∂t ∂t 1000, x = 500 14. Desde el punto de vista algebráico es conocido
que
donde se ha supuesto que el medio poroso y el
P6 ( x ) = ( x − 1)
6
pozo son homogéneos, que el líquido es ideal y
que los efectos gravitacionales son despreciables.
Los parámetros de definen de la siguiente manera: P6 ( x ) = x 6 − 6 x 5 + 15 x 4 − 20 x 3 + 15 x 2 − 6 x + 1
φ es la porosidad de la roca Dibuje en una única gráfica las curvas
correspondientes a las dos expresiones del polinomio
µ es la viscosidad del fluido
anterior. En esta gráfica el eje de las abscisas será el
K es la permeabilidad del medio
intervalo I = [1 − δ ,1 + δ ] , siendo δ un valor
C la compresibilidad
conocido. Presentar las gráficas que se obtienen
Suponiendo que α = φµC K = 0.00004 días/ft2
para δ = 0.1,0.01,0.008 ,0.007 ,0.005 ,0.003
y que se satisfacen las siguientes condiciones: en un único dibujo y justificar los resultados
obtenidos.
P( x,0 ) = 2.5 × 10 7 , 0 ≤ x ≤ 1000
∂P (0, t ) ∂P (1000, t ) 15. Una viga de longitud L está empotrada en ambos
= =0, 0<t
∂x ∂x extremos. Determine la desviación de esa viga si
sostiene una carga constante, Wo, uniformemente
Encuentre la presión en t = 5 , usando el método distribuida en su longitud; esto es, w(x) = wo, 0 < x <
de Crank-Nicolson con ∆t = 0.5 y ∆x = 100 . L.
13. Aproxime la solución de la ecuación de onda: 16. Calcule el tiempo necesario para que el nivel
del líquido dentro del tanque esférico con radio r
= 5m mostrado en la figura, pase de 4 m a 3 m.
La velocidad de salida por el orificio del fondo
viene dada por v = 4.895 a m/s, siendo el
diámetro de dicho orificio 10 cm.](https://image.slidesharecdn.com/tallerno1metodos-101214223517-phpapp01/85/metodos-numericos-3-320.jpg)
metodos numericos
- 1. UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER ESCUELA DE INGENIERIA DE PETRÓLEOS METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA DE PETRÓLEOS TALLER Primera Entrega 1. Un tanque de almacenamiento contiene un líquido donde β es una constante de amortiguación na de altura y , donde y = 0 cuando el tanque está positiva, k es la constante del resorte y m es la medio lleno. El líquido es desalojado con una masa del cuerpo colgante. velocidad de flujo constante Q para satisfacer la demanda. El contenido es reabastecido a una Para el problema dado por: velocidad senosoidal de 3Q ⋅ sen 2 t d 2x dx 2 + 5 + 4x = 0 Para este sistema la ecuación característica es: dt dt x(0 ) = 1 d ( Ay ) = 3Q ⋅ sen 2 t − Q x , (0) = 1 dt Halle el modelo analítico que describe el sistema. flujo flujo cambio Proponga un modelo numérico y modele hasta un = de volumen − de t = 3 . Grafique los resultados y compare. entrada salida 3. La serie infinita, O dado que el área de la superficie A es constante, x2 x3 xn ex = 1+ x + + + ... + dy Q Q 2 3! n! = 3 ⋅ sen 2 t − dt A A se utiliza para aproximar e x . Use un modelo numérico para encontrar la altura y de t = 0 a 5 d con un tamaño de paso de 0.5 a. Muestre que la expansión en serie de Maclaurin es un caso especial de la expansión d. Los valores de los parámetros son A = 1200 en la serie de Taylor con x i = 0 y h = x . m2 y Q = 400 m3/d (Ver Figura 1). b. Use la serie de Taylor para estimar 2. La ecuación diferencial del movimiento libre f (x ) = e − x en xi +1 = 1 para xi = 0.25 . amortiguado se describe mediante la siguiente Emplee versiones de cero, primero, segundo y expresión: tercer orden calculando el EV para cada caso. d 2 x β dx k 4. Use la serie de Taylor de cero a cuarto orden para + + x=0 dt 2 m dt m estimar f (3) si f ( x ) = Ln( x ) utilizando x = 1
- 2. como punto base. Calcule el EV para cada es incondicionalmente estable para una ecuación aproximación. Analice los resultados. parabólica unidimensional de la forma: ∂ 2 P ∂P = 5. En las siguientes dos series, calcule: ∂x 2 ∂t a. La suma de la serie. b. La suma parcial S n indicada y completar la 9. Una formación saturada de aceite se encuentra tabla. inclinada 10º respecto a la horizontal. Su c. Representar en un gráfico las diez primeras permeabilidad es de 100 mD y su espesor es de 40 sumas parciales y una recta horizontal que ft. La densidad y viscosidad de este aceite es de represente la suma total. 40 lbm/ft3 y 0.6 cp respectivamente. Dos pozos d. Explicar la relación entre la magnitud de los fueron perforados como se observa en la Figura 2. términos de la serie y el ritmo al que la El pozo de observación en el fondo se encuentra a sucesión de sumas parciales tiende a la suma 8152,6 ft de profundidad respecto al nivel del de la serie. mar, y el pozo del tope se encuentra a 7800 ft respecto al nivel del mar. La presión de fondo del ∞ ∞ primer pozo es de 3600 psia y la del segundo es ∑ 2(0,9) ∑10(0,25) n −1 n −1 de 3570 psia. Determine la velocidad del fluido n =1 n =1 los dos puntos de observación. n 5 10 20 50 100 Sn 10. Considere el problema de determinar la distribución estacionaria de temperatura en una lámina delgada en forma cuadrada con 6. Un polinomio de Taylor centrado en 0 se va a dimensiones de 0.5 m por 0.5 m, la cual se usar para aproximar la función coseno. mantiene a 0ºC en dos fronteras adyacentes Determinar el grado del polinomio requerido para mientras que la temperatura en las otras fronteras lograr la precisión que se especifica sobre el se va incrementando linealmente de 0 ºC en una intervalo indicado. esquina a 100 ºC donde estos lados se encuentran. Si ponemos los lados con condición de frontera Error máximo Intervalo cero a lo largo de los ejes x e y , el problema se a) 0,001 [-0.5 , 0.5] puede expresar matemáticamente como: b) 0,001 [-1 , 1] c) 0,0001 [-0.5 , 0.5] ∂ 2 T ( x, y ) ∂ 2 T ( x, y ) d) 0,0001 [-2 , 2] + =0 ∂x 2 ∂y 2 Represente en un gráfico la función coseno y los polinomios de Taylor de cada aproximación. para (x, y ) en el conjunto R = {( x, y ) 0 < x < 0.5,0 < y < 0.5}, con las 7. Use el criterio de estabilidad de Von Neumann condiciones de frontera: para demostrar que un esquema implícito simple es incondicionalmente estable para una ecuación parabólica unidimensional de la forma: T (0, y ) = 0 , T ( x,0) = 0 , T ( x,0.5) = 200 x y T (0.5, y ) = 200 y ∂ 2 P ∂P = ∂x 2 ∂t 8. Use el criterio de estabilidad de Karplus para demostrar que el esquema de Crank – Nicholson
- 3. 11. Considere la ecuación de Poisson ∂ 2u ∂ 2u − =0 ∂t 2 ∂x 2 ∂ 2 u ( x, y ) ∂ 2 u ( x, y ) 2 + 2 = xe y 0 < x <1 ∂x ∂y 0<t 0<x<2 0 < y <1 u (0, t ) = u (1, t ) = 0, 0 < t u ( x,0) = sen(2πx ) , 0 ≤ x ≤ 1 con condiciones de frontera: ∂u (x,0) = 2πsen(2πx ) , 0 ≤ x ≤ 1 u (0, y ) = 0 , u (2, y ) = 2e y , 0 ≤ y ≤ 1 ∂t u ( x,0) = 0 , u ( x,1) = ex , 0 ≤ x ≤ 2 con ∆t = 0.1 y ∆x = 0.1 . Compare sus resultados con la solución exacta: 12. La ecuación que describe el flujo unidimensional u ( x, t ) = sen(2πx )[cos(2πt ) + sen(2πt )] de una fase ligeramente compresible viene dada, para 0 < x < 1000 y 0 < t , por para un t = 0.3 φµC ∂P ∂ 2 P 0, x ≠ 500 = 2 − K ∂t ∂t 1000, x = 500 14. Desde el punto de vista algebráico es conocido que donde se ha supuesto que el medio poroso y el P6 ( x ) = ( x − 1) 6 pozo son homogéneos, que el líquido es ideal y que los efectos gravitacionales son despreciables. Los parámetros de definen de la siguiente manera: P6 ( x ) = x 6 − 6 x 5 + 15 x 4 − 20 x 3 + 15 x 2 − 6 x + 1 φ es la porosidad de la roca Dibuje en una única gráfica las curvas correspondientes a las dos expresiones del polinomio µ es la viscosidad del fluido anterior. En esta gráfica el eje de las abscisas será el K es la permeabilidad del medio intervalo I = [1 − δ ,1 + δ ] , siendo δ un valor C la compresibilidad conocido. Presentar las gráficas que se obtienen Suponiendo que α = φµC K = 0.00004 días/ft2 para δ = 0.1,0.01,0.008 ,0.007 ,0.005 ,0.003 y que se satisfacen las siguientes condiciones: en un único dibujo y justificar los resultados obtenidos. P( x,0 ) = 2.5 × 10 7 , 0 ≤ x ≤ 1000 ∂P (0, t ) ∂P (1000, t ) 15. Una viga de longitud L está empotrada en ambos = =0, 0<t ∂x ∂x extremos. Determine la desviación de esa viga si sostiene una carga constante, Wo, uniformemente Encuentre la presión en t = 5 , usando el método distribuida en su longitud; esto es, w(x) = wo, 0 < x < de Crank-Nicolson con ∆t = 0.5 y ∆x = 100 . L. 13. Aproxime la solución de la ecuación de onda: 16. Calcule el tiempo necesario para que el nivel del líquido dentro del tanque esférico con radio r = 5m mostrado en la figura, pase de 4 m a 3 m. La velocidad de salida por el orificio del fondo viene dada por v = 4.895 a m/s, siendo el diámetro de dicho orificio 10 cm.
- 4. 19. Demuestre que para un fluido levemente compresible el modelo de ecuación de estado tiene la forma: ρ ( p ) = ρ o (1 + cp ) CONSIDERACIONES ADICIONALES: a. Plantee un modelo numérico para resolver este problema. b. Explique y sustente todas las suposiciones necesarias para construir el modelo que plantea. 17. Usando como base la forma general de la ecuación fundamental de flujo de fluidos, establezca el modelo matemático asociado a la descripción del flujo bidimensional de un fluido incompresible dentro de un medio poroso sabiendo que el plano de flujo predominante es el XY. 18. Formule la ecuación fundamental de flujo para una geometría cilíndrica en 3D.