Miercoles 12 iii

Registro escrito de observaciones astronómicas, sustancias
químicas, observaciones de enfermedades, las tablas y
cálculos matemáticos (sistema numérico), lenguaje escrito, etc.
PROBLEMAS DE CONTEO Y
REPARTO
¿Cuando comienza la “Matemática”?
7000 a.C. al siglo VI a.C.

A. Sistema Numérico y Aritmética
• Desarrollo de un sistema de numeración.
• Creación de técnicas aritméticas, tablas, ábacos y otras herramientas
de cálculo.
B. Mediciones prácticas. Geometría y Astronomía
• Las unidades de medidas servían para cuantificar distancias, áreas,
volúmenes y tiempos.
• Los razonamientos geométricos se usaban para medir distancias
indirectamente.
• Se diseñaban calendarios para predecir estaciones y eventos
astronómicos.
• Formas geométricas y patrones aparecen en el arte y la arquitectura.
Período Antiguo (3000 A.C. al 260)

Antigua Babilonia
Tablas de ayuda en los cálculos (dos tablillas encontradas
en Senkerah sobre el Eúfrates en 1854 datan del 2000
A.C. dan los cuadrados de los números hasta el 59 y los
cubos hasta el 32).
Así
82
=1,4 pues 1,4=1x60+4x1=64 y 592
=58,1 ya que
58,1=58x60+1x1=3481
Usaron la fórmula ab=[(a+b)2
-a2
-b2
]/2 para hacer más
fácil la multiplicación. Aún mejor es su fórmula
ab=[(a+b)2
-(a-b)2
]/4, lo que demuestra la necesidad de
la tabla antes mencionada.

Numerales Babilónicos
La Tablilla Plimpton 322 (alrededor 1800 A.C.)

Escuelas. Matemática. Escribas.
 Una pequeña casa en Nippur,
10m x 5m
 Excavada en 1951
 Desde el 1740 A.C.
 1400 fragmentos of tablillas con ejercicios
escolares (ahora en Chicago, Philadelphia y
Baghdad)
 Eran recicladas
 Cocina con horno
 Cuarto para algunos estudiantes
19 tablets
48 tablets
29 tablets
348
tablets 3 tablets
11 tablets
967 tablets
+ 46 tablets?
tanour

SARGÓN I
(2334-2279 a.C.)
Fue la primera persona de la historia que
creó un imperio, el Acadio. Abarcó la región
de los ríos Tigris y Eúfrates, y parte de la
actual Turquía. Su capital fue Acad (conocida
también como Agade).

Mi cambiante madre me concibió, en
secreto me dio a luz.
Ella me puso en una canasta de juncos,
con betún selló mi tapa.
Ella me echó en el río, el cual no se elevó
sobre mí.
El río me sostuvo y me condujo hasta
Akki, el depositario del agua, Akki, el
depositario del
agua, me levantó cuando él sumergió su
jarro,
Akki, el depositario del agua, [él me
tomó] como su hijo (y) me apoyó.
La leyenda de Sargón de Acad

Estela de la Victoria
Sargón de Acad
(h. 2300 A.C.)

Estela de Naram-Sin
(Museo del Louvre)

1 52 30
1 52 30 Equivalente
Base 10
1 x 3600 52 x 60 30 6750
1 x 60 52 30/60 112 1/2
1 52/60 30/3600 1 7/8

Practicando cálculos …
5 15
5 15
27 33 45
5.25
x 5.25
27.5625
o 325
x 325
= 105,625

Un libro de texto babilónico
frente anverso

¿Cómo calculaban las raíces
cuadradas?
LL
L
=
+
2
17
17)(
)('
)( 2
1 −=−=+ xxf
xf
xf
xx
n
n
nn

Neugebauer en 1930, x3
=a, y x3
+x2
=b
En unas de las tablillas se encuentra propuesto y
resuelto un problema cuya solución es equivalente a
resolver la ecuación x2
-x-870=0
"Toma la mitad de 1, (que es 0.30 en sistema
sexagesimal) y multiplícala por sí misma (es decir,
(0.30)(0.30)=0.15 en el sexagesimal, 0.25 decimal). Se
le adiciona 14.30 (que es 14.60+30=870 en el sistema
decimal y la suma es 870.25) pero este es el cuadrado
de 29,30 (870.25=29.5 en decimal). A 29.30 se le suma
0.30 y nos da la respuesta positiva para la ecuación
29.30+0.30=30".

Imperio Mesopotámico
1800-600 A.C.

Código de Hammurabi
El Código de Hammurabi, creado
en el año 1692 A.C., es uno de los
primeros conjuntos de leyes que se
han encontrado y uno de los
ejemplos mejor conservados de
este tipo de documento de la
antigua Mesopotamia y en breves
términos se refiere a la conocida
frase “ojo por ojo, diente por
diente”.

EGIPTO LA CIVILIZACIÓN DE
LOS GRANDES MISTERIOS

 Desarrolló una escritura de carácter jeroglífico.
 Un calendario muy similar al utilizado
actualmente.
 La creencia en un juicio final, creencia que
mantienen algunas religiones actuales.
 El sistema de numeración cardinal se basaba en
una numeración de base diez.

 Saber leer y escribir era esencial para una carrera
en el servicio civil egipcio.
 Sólo un porcentaje pequeño de niños y niñas
estudiaban en el antiguo Egipto (familias de clase
alta).
 Estos estudiantes asistían a las escuelas para
escribas.
 Los Escribas eran personas que llevaban los
archivos escritos para las oficinas
gubernamentales, templos, y otras instituciones,
escribían o copiaban textos de literatura como
proverbios, historias y poemas de amor. También
leían y escribían cartas para aquellos egipcios que
no sabían leer ni escribir.

La escritura se hacía con plumas hechas de
cañas se les daba forma para escribir sobre
lápidas de madera, pedazos de alfarería, o
trozos de papiro, el primer papel del mundo.
Este papel se hacía de la médula del papiro,
una planta del pantano.
Para la tinta, los egipcios la hicieron
mezclando agua y hollín.
Egipto antiguo tenía muchas bibliotecas.
Una biblioteca famosa en Alejandría tenía
más de 4000,000 papiro con una variedad e
temas sobre astronomía, geografía, y
muchos otros asuntos. Alejandría también
tenía un museo excelente.

Las pirámides
La pirámide fue pensada como
tumba inviolable del faraón,
destinada a la preservación eterna
de su cuerpo, incorrupto por
embalsamamiento, y de su ajuar
funerario. Sólo de este modo se
posibilitaba la residencia del alma
en el cuerpo y su supervivencia en
el mundo del más allá.

•El papiro de Kahun que corresponde al año 1950 A.C.
•El papiro de Rhind (en honor del egiptólogo escocés
Henry Rhind, quien lo encontró en Luxor en 1858) o
Papiro de Ahmes (escriba que lo copia de otro 200
años más antiguo) y lo transfiere a la numeración
demótica, cerca del año 1650 A.C.
•El papiro de Moscú o de Golenischev cerca del año
1890 A.C. (es otro de suma importancia matemática),
fue encontrado en Egipto en 1893.
•El papiro de Rollm procedente del año 1350 A.C.
•El papiro de Harris cuya escritura fue ordenada por
Ramses IV en el año 1167 A.C. (expone las obras
de su padre Ramses III).

"En cada una de 7 casas vivían 7 gatos
cada gato cazó 7 ratones
cada ratón tenía 7 espigas de trigo.
De cada espiga sembrada
se obtuvieron siete medidas (hekat) de cereal
¿cuántas medidas se cosecharon en total?"

Numerales egipcios
Valor 1 10 100 1,000 10,000 100,000 1 millón, o
infinito
Jeroglífico
Descripción Simple
trazo
Hueso
de
Talón
Rollo de
cuerda
Flor de
Loto
Dedo Rana Hombre
con las dos
manos
alzadas
4622 es
| ∩

Tiene 15 pies de longitud y unas 3
pulgadas de ancho y contiene 25
problemas y soluciones.

2
)1n(n
1
2
1n
1
n
2
+
+
+
= .
2
qp
.q
1
2
qp
.p
1
q.p
2
+
+
+
=
15
1
3
1
5
2
+=

La pirámide fue pensada
como tumba inviolable
del faraón, destinada a
la preservación eterna
de su cuerpo, incorrupto
por embalsamamiento, y
de su ajuar funerario.
Sólo de este modo se
posibilitaba la residencia
del alma en el cuerpo y
su supervivencia en el
mundo del más allá.

Ejemplo. 13 x 24
1 24
Utilizaban el Método de
Duplicación

Ejemplo. 13 x 24, cont.
1 24
2 48
4 96
8 192

 1 24
2 48
 4 96
 8 192

 1 24 24
2 48
 4 96 96
 8 192 192
312

Consideremos un ejemplo más
complicado
246 x 7635

246 x 7635 1 7 635
2 15 270
4 30 540
8 61 080
16 122 160
32 244 320
64 488 640
128 977 280

246 x 7635, cont.
1 7 635
 2 15 270 15 270
 4 30 540 30 540
8 61 080
 16 122 160 122 160
 32 244 320 244 320
 64 488 640 488 640
 128 977 280 977 280
1 878 210

Ejemplo. 300÷14
1 14
2 28
4 56
8 112
16 224
¿Y la División?

1 1 14 
2 28
4 4 56 
8 112
16 16 224 
21
Ejemplo. 300÷14

1 1 14  14
2 28
4 4 56  56
8 112
16 16 224  224
21 294
Ejemplo. 300÷14

Principales Civilizaciones Antiguas
4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0
Mesopotamia
India
Egipto
Perú
China
Mexico
(Antes de Cristo)

La dinastía Xia XXI A.C. al siglo XVI A.C.,
está considerada la primera dinastía en la
historia china.

La gran muralla china, una impresionante obra de ingeniería que se empezó a construir
durante la dinastía Han y fue creada para defenderse de los bárbaros del norte.

El Papel
El papel fue inventado en China hacia el año 200 a.C.
Los primeros papeles se fabrican a partir de fibras de
lino y seda, pero de pobre calidad para la escritura y
usados para envolver. El uso de las fibras de bambú se
atribuye a Ts’ai Lun hacia el 150 a. C. buscando un
material útil para la burocracia creciente en la sociedad
china de la época. Hasta que este descubrimiento no
llego a Occidente gracias a los árabes, las superficies
sobre las que se escribían era el papiro, el pergamino, o
tablillas de arcilla.

La Imprenta
El nacimiento de la imprenta se remonta a China, en el año
593, cuando se reproducen por primera vez y de forma
múltiple, dibujos y textos con la ayuda de caracteres de
imprenta tallados en tablas de madera (xilografía). El invento
se debe a los monjes budistas, que impregnaban las tallas de
color para imprimir con ellas sobre seda o papel de trapos. Si
bien el primer libro impreso (un sutra budista con
ilustraciones) data del año 868. Los caracteres móviles de
imprenta y, con ellos, la composición tipográfica, se deben al
alquimista chino Pi Cheng (1040). Éste conjugará los años de
tradición de la xilografía con la herencia obtenida durante más
de dos mil años de técnicas de estampación con sellos,
creando tipos estándar que podían fabricarse en serie
Estas técnicas llegaron a Occidente mucho después. El holandés
Laurens Coster (S. XIV) será el primero en utilizar tipos móviles de
madera, aunque universalmente se considera inventor de la
imprenta a Johannes Gutenberg (S. XV), por su creación de los
tipos móviles de plomo fundido, mucho más resistentes (tipografía).
Gutenberg conocía la dificultad de imprimir con páginas enteras
talladas en madera e ideó un modo más racional de impresión,
basado en tipos móviles. Así, en 1437 encargó a un tornero de
Maguncia, Konrad Sasbach, la construcción de su imprenta y él
mismo creó los moldes para el fundido de las letras de plomo, que
después se unían, una a una, formando las palabras en relieve en la
llamada galera de composición para poder imprimir con ellas sobre
el papel. En 1447 consiguió imprimir un pequeño calendario y en
1451 una gramática de latín, aunque su obra cumbre sería una
Biblia. A partir de su muerte, 1468, su invento se extendió
paulatinamente por toda Europa, y permaneció prácticamente
inalterable hasta principios del siglo XX.

Más de 1500 años antes de que
Europa conociera de los
trabajos en terracota de la
Florencia de los Médicis, la
cultura del entonces naciente
imperio feudal chino de la
dinastía C'hin (265-420) legaría
a la humanidad lo que hoy
comienza a considerarse por
algunos como la octava
maravilla del mundo antiguo.
Más de seis mil figuras de
guerreros de rostros
irrepetibles, carruajes y caballos
de tamaño natural fueron
construidas por artesanos en el
complejo funerario erigido al
emperador que unificara los
feudos chinos e iniciara la
construcción de esa otra
maravilla que es la Muralla.

La brújula
La primera referencia a un dispositivo magnético usado como señalador de
direcciones está en un libro de la Dinastía Song con fechas de 1040-44. Allí se
encuentra una descripción de un "pez que señala al sur" en un tazón de agua, que
se alineaba a sí mismo hacia el sur. En el escrito, el objeto se recomienda como
método de orientación en "la oscuridad de la noche". No hay, sin embargo,
ninguna mención a su uso en navegación, ni de como el pez fue magnetizado
La primera referencia indiscutible a una aguja magnetizada en escritos chinos
aparece en 1086 por Shen Kuo, de la dinastía Song, contenía una descripción
detallada de cómo los Geomantes magnetizaron una aguja frotando su punta con
magnetita, y colgando la aguja magnética con una fibra de seda con un poco de
cera pegada en el centro de la aguja. Shen Kuo señaló que una aguja preparada
de este modo algunas veces apuntaba hacia el norte y otras hacia el sur.
La primera brújula del mundo fue elaborada en China, durante la Dinastía Qin.
Estaba hecha de piedra imán –un mineral de hierro basado en óxido, que se
alínea por sí mismo en dirección norte-sur, directamente hacia el campo
magnético de la Tierra- que era usada comúnmente en la geomancia china y en la
adivinación.
El uso de la brújula fue documentado en varios textos chinos, incluido un libro
del Siglo IV titulado el “Libro del Amo del Valle del Diablo” que describe su uso en
la búsqueda de senderos.
La primera persona oficialmente documentada, en haber usado la brújula como
ayuda para la navegación, fue el almirante chino Zheng He, quien realizó ocho
viajes marítimos entre 1405 y 1433.

Existen referencias de
que la historia del
ábaco, se remonta unos
3 000 años atrás a la
China, en el período de
la dinastía esclavista de
Zhou. El ábaco es
considerado como el
primer instrumento de
cálculo realmente
importante, ya que
brinda la posibilidad de
realizar multiplicaciones
y divisiones o el trabajo
en distintas bases.
Hacia el 1500 A.C., en
China se conoció el
sistema binario o en
base dos. Este tiene la
ventaja de utilizar solo
dos símbolos: uno (1) y
cero (0).

La escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente.

Matemática China
“Chon Pei Suang Ching”
Ling Wang, los conocimientos matemáticos chinos se
remontan al S. XIV A.C.
“Ching-Chang Suang-Shu” que se asigna al
matemático Chuan Tsanon y se le supone escrito en el
año 152 A.C.
Liu Hui (220-280)

Matemática China
1. Problemas reales aplicados a específicas
situaciones y que se usan directamente.
2. Problemas pseudo-reales, dirigidos a situaciones
de la vida real, pero no usables directamente.
3. Problemas recreativos que usan datos ficticios de
la vida real, a veces grotescos, pero siempre de
una forma entretenida.
4. Problemas especulativos o de matemática pura.
Declaración del problema+Respuesta numérica+Regla resolutoria

Chu Shih-chieh
(Zhu Shijie)
Zhu Shijie fue uno de los
más grandes
matemáticos chinos, vivió
durante la Dinastía Yuan.
Trabajó sobre cuadrados
mágicos y el Teorema
Binomial, aunque es
mejor conocido por sus
contribuciones al
Triángulo “Yang Hui”.

Los primeros poblados confirmados
datan 9.000 años atrás y se
encuentran en Bhimbetka, en el
actual territorio del estado de
Madhya Pradesh.
Las civilizaciones más antiguas del
subcontinente indio emergieron en el valle del
río Indo, alrededor del 2500 A.C. Estas
ciudades en conjunto dominaban el área más
extensa de todas las civilizaciones antiguas:
más de un millón de kilómetros cuadrados.

Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia
los siglos VIII-VII A.C.
Entre los siglos V-XII cuando la contribución a la
evolución de las matemáticas se hizo especialmente
interesante, destacando cuatro nombres propios:
Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s.
IX) y Bhaskara Akaria (s.XII).
Predominio de las reglas aritméticas de cálculo
(números negativos, el cero, números irracionales.
Ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las
raíces negativas eran interpretadas como deudas.
Métodos de resolución de ecuaciones diofánticas,
llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la
ecuación x2
=1+ay2
, denominada ecuación de Pelt.
Sistema de numeración decimal y las reglas de
cálculo.

Matemática Clásica en Sánscrito
“Siddantas” y “Arijabhatiya”
Su segundo capítulo es dedicado a la Matemática
(ganita), e incluye una definición de la notación
decimal.
“Sulvasutras” que se supone datan de los siglos VIII y
VII A.C.

Multiplicando 9 por 7
Escriba 9 y 7 en una columna
9
7
Escriba la diferencia con 10 en otra columna
9 -1
7 -3
Tenemos cuatro opciones:
(9+7)-10=6
(9-3)=6 ó (7-1)=6
10-(3+1)=6

El resultado previo se anota a la izquierda
9 -1
7 -3
6
Se multiplican las diferencias con 10 (1 y 3), y el
resultado se anota debajo
9 -1
7 -3
6 3
Que es el resultado buscado.

El método es el mismo, solo cambia la base, 1000 en
lugar de 10.
Los números se escriben en una columna
998
997
Y anotamos la diferencia de ellos con 1000
998 -2
997 -3
Usando las columnas
1000-(2+3)
997+998-1000
O el producto cruzado 998-3 ó 997-2, se obtiene el
mismo resultado 995.

Los resultados previos se anotan a la izquierda y el
producto de la columna derecha, a la derecha:
998-002
997-003
995 006
Que es el resultado correcto.
Veremos algunos casos interesantes.

Caso I :
Cuando ambos números son menores que
la base.
Método Convencional
97 X 94
9 7
X 9 4
3 8 8
8 7 3 X
9 1 1 8
Método Védico
97 3
X 94 6
9 1 1 8

103 X 105
103
X 105
5 1 5
0 0 0 X
1 0 3 X X
1 0, 8 1 5
Método Védico
103 X 105
103 3
X 1055
1 0, 8 1 5
Caso II :
Cuando ambos números son mayores que
la base.

103 X 98
103
X 98
8 2 4
9 2 7 X
1 0, 0 9 4
Método Védico
103 3
X 98 -2
1 0, 0 9 4
Caso III :
Cuando uno de los números es mayor que
la base y el otro es menor.

Multiplicación de dos dígitos usando
URDHVA TIRYAGBHYAM
Método Védico
4 6
X 4 3
6 6 8
1 3 1
1 9 7 8

Multiplicación de tres dígitos usando
URDHVA TIRYAGBHYAM
Método Védico
103
X 105
10805
00001
10815

“Escuela de Kerala” identificó las “series infinitas”, uno de los
componentes básicos del cálculo, hacia el año 1350.
1835 por Charles Whish

“Hay muchas razones por que las la contribución de la
Escuela de Kerala no ha sido reconocida -una primera
razón es el rechazo a las ideas científicas que
provienen del mundo no europeo- un legado del
colonialismo europeo y más allá”

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