Mis56

CENTRO
INTERNACIONAL
DE
MÉTODOS NUMÉRICOS
EN INGENIERÍA
Edificio C-1 Campus Norte - UPC, Gran Capitán, s/n. 08034 Barcelona - España - Teléfono 34-93 205 70 16 - Fax 34-93 401 65 17
CENTRO INTERNACIONAL DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
Monografías de Ingeniería Sísmica
Editor A. H. Barbat
Cálculo y diseño
sismorresistente de edificios.
Aplicación de la norma
NCSE-02
H. Barbat
S. Oller
J. C. Vielma
Monografia CIMNE IS-56, 200556
Cálculoydiseñosismorresistentedeedificios.AplicacióndelanormaNCSE-02H.BarbatS.OllerJ.C.Vielma

Monografías de Ingeniería Sísmica
Editor A. H. Barbat
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NNCCSSEE--0022
H. Barbat
S. Oller
J. C. Vielma
Monografía CIMNE IS-56, 2005

CENTRO INTERNACIONAL DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
Edificio C1, Campus Norte UPC
Gran Capitán s/n
08034 Barcelona, España
MONOGRAFÍAS DE INGENIERÍA SÍSMICA
Editor A. H. Barbat
ISSN: 1134-3249
CÁLCULO Y DISEÑO SISMORRESISTENTE DE EDIFICIOS. APLICACIÓN DE LA NORMA NCSE-02
Monografía CIMNE IS56
„ Los autores
ISBN: 84-95999-89-7
Depósito legal: B-46488-2005

Índice
Índice
Pólogo
1 Las normativas de diseño como mecanismo de
reducción del riesgo sísmico
1.1 Introducción
1.2 La vulnerabilidad, el riesgo sísmico y su reducción
1.2.1 Concepto de riesgo sísmico
1.2.2 Concepto de amenaza sísmica
1.2.3 Evaluación de la vulnerabilidad y del riesgo sísmico
Físico
1.2.4 Métodos de evaluación de la vulnerabilidad sísmica
1.2.5 Ejemplo de aplicación: Barcelona
1.2.6 Mitigación del riesgo sísmico
2 Espectros de respuesta y espectros de diseño
2.1 Introducción
2.2 Espectros de respuesta elásticos
2.2.1 Conceptos teóricos
2.2.2 Modificación de espectros y espectro medio
2.2.3 Espectro normalizado
2.2.4 Representación espectral logarítmica tripartita
2.2.5 Influencia de las condiciones locales del terreno
2.2.6 Observaciones finales sobre los espectros de respuesta
3 Cálculo de la respuesta estructural
3.1 Modelos estructurales típicos utilizados en el cálculo de
edificios: edificio de cortante
3.2 Ecuaciones del movimiento para edificios de cortante
3.3 Pórticos de cortante con grados de libertad rotacional: caso
general
3.3.1 Cálculo del centro de masa y del centro de torsión del
nivel j
3.3.2 Obtención de la fuerza por traslación y su
correspondiente desplazamiento en el nivel j
3.3.3 Obtención de la fuerza por rotación y su
correspondiente desplazamiento en el nivel j
3.3.4 Obtención de la matriz de rigidez para el piso j
3.3.5 Cálculo de la rigidez de cada pilar i del piso j.
3.4 Fuerza de inercia traslacional y rotacional
3.5 Desacoplamiento modal de las ecuaciones del movimiento
iii
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1
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3.6 Respuestas máximas modales utilizando espectros sísmicos de
respuesta
3.6.1 Planteamiento del problema
3.6.2 Características modales máximas
3.6.3 Esfuerzos seccionales modales
3.7 Cálculo de la respuesta máxima total
4 Aplicación práctica de la teoría del análisis modal en las normativas
de cálculo sismorresistente
4.1 Aspectos generales
4.2 Espectros sísmicos de respuesta
4.3 Aspectos de cálculo de las fuerzas sísmicas
4.4 Espectros de respuesta inelásticos
4.4.1 No linealidad en el comportamiento estructural
4.4.2 Fenómeno de ductilidad – conceptos básicos
4.5 El efecto P-∆
4.6 El efecto de la torsión global de la estructura
5 La normativa española NCSE-02
5.1 Métodos de cálculo según la normativa
5.2 Cálculo de las fuerzas sísmicas
5.3 Determinación de la aceleración espectral
5.3.1 Cálculo de la aceleración espectral
5.3.2 Cálculo de la fuerza sísmica equivalente
5.4 Ejemplo de aplicación
6 Recomendaciones de diseño en las normativas sismorresistentes
6.1 Generalidades
6.2 Tipologías de edificios utilizadas en zonas sísmicas
6.3 Criterios heurísticos de diseño
7. Defectos de configuración y detallado sismorresistente
7.1 Detalles de diseño sismorresistente de edificios
7.2 Influencia del adecuado diseño sismorresistente en la respuesta
global y local de la estructura
8. Comparación entre las normativas NCSE-02, EUROCÓDIGO-8 y
Covenin 1756-98
8.1 Introducción
8.2 Factores de reducción de respuesta
8.2.1 Componentes del factor de reducción de respuesta R
8.2.2 Nueva propuesta (ATC 1995)
8.3 Comparación de factores de reducción aplicados en diferentes
normativas
8.3.1 Factores de reducción de respuesta en el
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iv

EUROCODIGO-8
8.3.2 Factores de reducción de respuesta en la Normativa
NCSE-02
8.3.3 Factores de reducción de respuesta en la Normativa
Covenin 1756-98
8.3.4 Comparación entre los valores de los factores de
reducción
8.3.5 Cálculo simplificado de las fuerzas sísmicas equivalentes
8.3.6 Otras formas de definición de la acción y de cálculo de la
respuesta sísmica
8.3.7 Desviación de piso
8.3.8 Estabilidad
8.3.9 Torsión e irregularidades
Anexo: Programa para ordenador MODAL
Referencias
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166
170
170
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177
v

PPrróóllooggoo
El ámbito de aplicación de la mayoría de las normativas de diseño
sismorresistente, vigentes en los distintos países del mundo, es el campo de las
estructuras de edificación. La apariencia de generalidad que a veces se les da a dichas
normativas se refiere solamente a la definición de la intensidad o aceleración máxima
del terreno en las diferentes zonas sísmicas del país. La incorporación de requisitos de
diseño sismorresistente en las normativas de diseño de edificios data de los años 20 y 30
del siglo XX, cuando se observó claramente la necesidad de incluir en los cálculos los
efectos de la acción sísmica. Al no disponerse de mediciones fiables de las
características cinemáticas del movimiento sísmico del terreno y de conocimientos
suficientes acerca de la respuesta dinámica de las estructuras, las fuerzas sísmicas de
diseño se evaluaban de una manera muy simplificada. Habitualmente, se adoptaban para
la acción sísmica fuerzas estáticas horizontales del orden del 10% del peso total del
edificio. Puesto que se utilizaba un cálculo elástico con base en criterios de tensión
admisible, las estructuras reales diseñadas tenían una resistencia a fuerzas laterales
mayor que la calculada.
En el período transcurrido desde 1940 hasta 1960, se registraron numerosos
acelerogramas de terremotos fuertes, lo que creó las condiciones para ampliar el estado
del conocimiento acerca de los movimientos sísmicos del terreno. Asimismo, al
desarrollarse procedimientos de cálculo dinámico cada vez más sofisticados, orientados
hacia su aplicación en ordenadores, se pudieron realizar estudios mucho más rigurosos
de la respuesta sísmica de las estructuras. El criterio de diseño que se utilizaba en las
normativas de aquel tiempo requería que no se supere la capacidad de resistencia de la
estructura. Sin embargo, años más tarde se pudo comprobar que al diseñar las
estructuras utilizando dichas normativas, no se aseguraba que su límite de resistencia en
el campo lineal elástico no se supere durante algunos terremotos fuertes. A pesar de
ello, se pudo observar que esta falta de resistencia no siempre llevaba al fallo de la
estructura y, muchas veces ni siquiera a daños sísmicos severos. La conclusión fue que

Prólogo
las estructuras lograban sobrevivir a los terremotos si se conseguía mantener la
degradación de su resistencia por encima de ciertos límites durante la fase de
deformación inelástica y en tal caso hasta era posible su reparación con unos costes
razonables.
Una vez hecha la observación de que la resistencia excesiva no es esencial y ni
siquiera deseable, el objetivo del diseño sismorresistente sufrió un cambio: en vez de
asegurar la resistencia de la estructuras a grandes fuerzas laterales, se trataba ahora de
evitar el efecto destructivo de dichas fuerzas sobre las estructuras (Paulay y Priestley
1992). Como consecuencia, empezó a utilizarse el cálculo no lineal de las estructuras
como una herramienta esencial en la evaluación del diseño sismorresistente. Más
recientemente, se llegó a la conclusión que el diseño sismorresistente debe orientarse al
uso de edificios con alta capacidad para deformarse en el campo inelástico, permitiendo
que esta no linealidad se concentre en ciertas zonas preestablecidas de la estructuras.
A pesar de la cada vez mejor comprensión y conocimiento de los factores que
influyen en el comportamiento sísmico de los edificios, existe actualmente un gran
desnivel entre los desarrollos teóricos que se realizan continuamente en la ingeniería
sísmica y los conceptos que se aplican en las normativas de diseño de muchos países y,
obviamente, en el diseño. Este hecho se refleja claramente en el comportamiento
sísmico muy irregular de los edificios durante los grandes terremotos ocurridos en el
mundo en los últimos diez años.
Es importante destacar la manera en que la aplicación de las normativas de
diseño puede llevar a una reducción del riesgo sísmico en las zonas urbanas. En una
zona sísmica existen edificios construidos en diferentes épocas históricas y con
tipologías estructurales muy variadas. Obviamente, mediante la aplicación de
normativas se consigue reducir solamente el riesgo de los edificios de nuevo diseño, que
son muy pocos en comparación con la totalidad de los edificios existentes en la zona.
En consecuencia, dicha aplicación puede dar resultados solamente a largo plazo. Y es
importante aclarar que es muy difícil tomar medidas que tengan un resultado inmediato.
Por ejemplo, aplicar un plan de evaluación del estado de los edificios, junto con uno de
reparación o rehabilitación de los edificios que lo requieran, también puede dar
resultados sólo a largo plazo.
Las normativas hacen recomendaciones referentes a las cargas sísmicas que se
deben utilizar, a los métodos simplificados de cálculo de estructuras, a los criterios que
deben aplicarse para asegurar un buen comportamiento global de las mismas así como a
los detalles de diseño sismorresistente que se deben incorporar. Los procedimientos de
análisis estructural previsto en todas las normativas del mundo están fundamentados en
conceptos generalmente utilizados en el cálculo estático y dinámico de estructuras. Sin
embargo, al considerarse en las normativas la posibilidad de utilizar procedimientos
simplificados de cálculo dinámico y fórmulas aproximadas para la determinación de las
características dinámicas de los edificios, los mencionados conceptos no aparecen
explicados de una manera clara. Por ejemplo, en los cálculos dinámicos, en la mayoría
de las normativas se desarrollan relaciones aplicables únicamente al cálculo de
estructuras modeladas como edificios de cortante, las cuales, aunque introducen
importantes simplificaciones, proporcionan resultados satisfactorios en ciertas
tipologías estructurales. Este hecho puede tener como consecuencia que algunos
viii

Prólogo
usuarios de las normativas, que no tenga suficiente base teórica en la dinámica de
estructuras, puedan no entender el origen de los procedimientos o de las fórmulas de
cálculo que deben aplicar. Por este motivo, en la monografía se analiza el contenido de
las normativas de diseño sismorresistente en lo referente a los métodos de cálculo que
proponen, explicando los conceptos de cálculo de estructuras que se aplican en cada
caso, con especial referencia a la normativa española en vigor, NCSE-02.
Además, la monografía trata aspectos concretos del así llamado diseño
conceptual, el cual proporciona descripciones cualitativas de las soluciones de diseño a
partir de la experiencia del proyectista; dicho diseño tiene como finalidad asegurar un
buen comportamiento sísmico global de los edificios. La necesidad de este objetivo se
debe al hecho de que en muchas normativas el diseño conceptual se concreta en reglas
que no se justifican en el texto de la normativa. Hay que mencionar que la fase de
diseño conceptual de un edificio es muy importante, puesto que durante ella se eligen,
por ejemplo, la tipología estructural, las formas en planta de la estructura, la distribución
en altura de las masas y de la rigideces, se especifica la organización del sistema
resistente, etc. Todo esto implica tomar decisiones determinantes en fases iniciales del
diseño de estructuras, que condicionan el comportamiento sísmico de las mismas hasta
tal punto que todos los cálculos posteriores así como los detalles de diseño que se
apliquen, pueden no tener el efecto esperado.
Para facilitar la aplicación del análisis dinámico de edificios, se ha incorporado
un programa elaborado en Matlab ®, el cual se puede obtener de la página web:
www.cimne.com/is-56/modal, junto con los archivos de datos y resultados que están
descritos en el Anexo de la presente monografía. Cabe indicar que el uso del programa
está restringido a fines académicos.
ix

Capítulo 1
LLaass nnoorrmmaattiivvaass ddee ddiisseeññoo
ccoommoo mmeeccaanniissmmoo ddee
rreedduucccciióónn ddeell rriieessggoo ssííssmmiiccoo
1.1 INTRODUCCIÓN
Las pérdidas económicas y de vidas humanas que se producen como
consecuencia de los terremotos están relacionadas, en la mayoría de los casos, con un
comportamiento deficiente de las estructuras (Bertero 1992b; Comartin et al. 1995).
Numerosas estructuras realizadas de acuerdo con normativas de diseño y construcción
actualmente en vigor sufrieron daños importantes durante terremotos ocurridos en los
últimos 20 años. Así es el caso de los terremotos de Chile y México (1985), de Armenia
(1988), de California (1989 y 1994), de Japón (1995), de Turquía e India (1999), de Irán
(2003), Japón (2004), etc.
Es indudable el gran avance de la investigación en los métodos de cálculo y diseño
sismorresistente en los últimos años, pero quizá no es tan evidente el avance de la
práctica, con particular referencia a las normativas de diseño. Prueba de ello son los
efectos de los de Northridge (1994) y de Kobe (1995). El terremoto de Northridge, que
es considerado como el terremoto más destructivo en la historia de Estados Unidos,
ocasionó un número de 57 víctimas y unas pérdidas económicas entre 20000 y 30000
millones de dólares (Bonacina et al. 1994). El terremoto de Kobe provocó 5470
víctimas y pérdidas económicas de 110.000 millones de dólares (Comartin et al. 1995).
Para poder comparar adecuadamente estos datos, debe aclararse primero que en la zona

2 Las normativas de diseño como mecanismo de reducción del riesgo sísmico
sísmica de California las normativas, que se actualizan continuamente, a medida que
ocurren nuevos terremotos en la zona, tienen en cuenta todos los datos disponibles
referentes a la peligrosidad. Al contrario, en la región de Kobe hubo un fallo en la
predicción de la acción: dicha región estaba incluida entre las 18 zonas de Japón con
una peligrosidad sísmica moderada, debido a la simple casualidad de que en los 30 años
anteriores no se habían producido terremotos importantes en la zona. No es, pues, una
paradoja, sino la pura realidad, que las zonas de mayor riesgo son las de Sismicidad
aparentemente moderada, en las cuales el período de retorno de un terremoto fuerte es
largo (Barbat et al. 1995; Bozzo y Barbat 1995b).
Es obvio que los avances que se realizan en el campo del diseño de estructuras
pueden aplicarse solamente a las estructuras nuevas. Sin embargo, el número de éstas es
muy pequeño en comparación con el número total de estructuras existentes en una zona.
Consecuentemente, para reducir las pérdidas debidas a los sismos es necesario mejorar
también el comportamiento de las estructuras antiguas. Esta necesidad ha sentado las
bases de los estudios de vulnerabilidad sísmica de las estructuras. El objetivo de tales
estudios es el de predecir los daños esperados en una estructura, en un grupo de
estructuras o en una zona urbana completa, en el supuesto de un terremoto de una cierta
magnitud. Partiendo de la mencionada predicción de daños, pueden definirse las
soluciones de reducción de la vulnerabilidad estructural y, en consecuencia, de las
pérdidas esperadas (Yépez, Barbat y Canas 1995; Yépez, Barbat y Canas 1996a).
Desde un punto de vista del cálculo de estructuras, el ingeniero calculista espera
que la sismología le proporcione los datos necesarios para la definición de la acción
sísmica. La totalidad de los procedimientos analíticos, experimentales y numéricos que
pueden conducir dicha definición de la acción para su utilización en el cálculo de las
estructuras son objeto de una materia relativamente nueva, denominada Ingeniería
Sismológica. Obviamente, la operación de definición de la acción tiene un carácter de
predicción de los parámetros de los terremotos, con todas las implicaciones
probabilistas que dicha operación requiere (Barbat y Canet 1994).
Por otra parte, la definición de la acción está directamente relacionada con el
tipo de análisis estructural que se pretende realizar. En el caso de estructuras con
comportamiento lineal, se suele partir del desacoplamiento modal de las ecuaciones del
movimiento y definir la acción mediante espectros sísmicos de respuesta, lo que permite
sólo el cálculo de la respuesta máxima de la estructura; sin embargo, dicha respuesta
máxima es el dato más importante en el que se fundamenta el diseño estructural. Esta
forma de definición de la acción es la que se utiliza también en las normativas de diseño
sismorresistente. En el caso de estructuras con comportamiento no lineal, se suelen
utilizar procedimientos de integración numérica de las ecuaciones diferenciales del
movimiento siendo necesaria, en consecuencia, una definición de la acción sísmica
mediante acelerogramas. Los procedimientos de integración mencionados permiten el
cálculo de la historia completa de la respuesta estructural, pero ésta tiene escaso valor
práctico en el diseño de estructuras por la complicación que luego introduce el post-
proceso de la información obtenida del cálculo. Además de esto, dicho cálculo consume
más tiempo de ordenador y al mismo tiempo requiere un conocimiento previo detallado

La vulnerabilidad, el riesgo sísmico y su reducción 3
de ciertas características de la estructura que en un cálculo preliminar no suelen
definirse (Lin y Mahin, 1985; Barbat et al. 1994).
En las normativas existentes en los distintos países del mundo, la teoría de los
espectros sísmicos de respuesta ha sido aplicada también al análisis no lineal de
estructuras. Aunque la aplicabilidad de dichos espectros al análisis no lineal de
estructuras no está completamente fundamentada desde un punto de vista teórico (Lin y
Mahin, 1985), han sido desarrollados para tal caso espectros para sistemas con
comportamiento no lineal. Éstos se representan gráficamente en función de los períodos
propios correspondientes al sistema lineal elástico y de coeficientes de reducción que
tienen en cuenta la capacidad de ductilidad de la estructura, la cual se define y analiza
en los capítulos 4 y 6.
Cualquier normativa de diseño sismorresistente debe dar recomendaciones
referentes a tres temas principales:
1. las cargas sísmicas y la probabilidad de que éstas sean superadas,
2. los criterios que deben aplicarse para un buen comportamiento global de la
estructura durante los terremotos,
3. los detalles de diseño sismorresistente.
Además, las normativas suelen dar algunas indicaciones acerca de los
procedimientos de cálculo de estructuras sometidas a fuerzas estáticas horizontales,
representando las fuerzas sísmicas equivalentes (véase el capítulo 4). Estas indicaciones
pueden considerarse como innecesarias dentro del más amplio nivel de conocimiento de
los calculistas de estructuras.
Los aspectos concretos que suelen ser tratados detalladamente en una normativa
de cálculo sísmico, dentro del marco de los temas antes mencionados, son los siguientes
(Barbat y Hurtado 1996):
1. Tipos de estructuras a los que es aplicable la normativa.
2. Mapa de peligrosidad sísmica de la zona.
3. Definición de la acción en forma de espectro sísmico de respuesta, para la zona
sísmica.
4. Método de cálculo de las fuerzas sísmicas equivalentes, con base en la
superposición modal. Las normativas incluyen siempre procedimientos de
cálculo simplificados de dichas fuerzas, cuya presencia es hoy en día obsoleta
debido al uso generalizado de ordenadores.
5. Indicaciones acerca de los procedimientos de cálculo de los esfuerzos
seccionales modales y los métodos de superposición modal de dichos esfuerzos.
Es conveniente notar que esta metodología es rigurosamente justificada sólo
bajo el cumplimiento de las hipótesis de la linealidad de la respuesta estructural
(véase el apartado 4.4.1). Es por esta condición de linealidad que aún se continua
escalando las acciones elásticas mediante factores de reducción, para obtener
acciones inelásticas equivalentes.
6. Indicaciones referentes a las formas en planta de las estructuras más adecuadas a
una zona sísmica y la distribución con la altura de las masas y rigideces de las
mismas. Asimismo, para cada tipo de estructura contemplado en la normativa,

deben especificarse los sistemas más adecuados de organización del sistema
resistente.
7. Recomendaciones para los detalles de diseño que se deben utilizar para cada una
de las tipologías estructurales contempladas por la normativa.
En la presente monografía se hará un análisis de todos los aspectos mencionados
en los puntos anteriores, dentro del marco de los conceptos de cálculo de estructuras que
se deben aplicar en cada caso. Para centrar el tema en un marco más amplio, en este
capítulo se examina la posibilidad de reducir el riesgo sísmico en una zona mejorando
las normativas de diseño sismorresistente existentes. Se parte del problema de la
relación entre la peligrosidad sísmica y el potencial destructivo de los terremotos. Luego
se analiza la modalidad en que el estudio de la vulnerabilidad sísmica de las estructuras
de una zona puede proporcionar datos para la mitigación de los efectos destructivos de
los terremotos y el papel de las normativas de diseño en este contexto.
1.2 LA VULNERABILIDAD, EL RIESGO SÍSMICO Y SU REDUCCIÓN
Se ha observado durante los terremotos ocurridos en el pasado que ciertas
estructuras, dentro de la misma tipología, experimentan un daño más severo que otros, a
pesar de estar ubicadas en la misma zona. Al grado de daño que sufre una estructura,
ocasionado por un sismo de determinadas características, se le denomina vulnerabilidad.
Por ello, a los edificios se les puede clasificar en más vulnerables o menos vulnerables
frente a un mismo evento sísmico. Si se observa la figura 1.1, la respuesta de la
estructura es consecuencia de la convolución del movimiento en la cimentación por
la función de transferencia D . La vulnerabilidad frente a un sismo de determinadas
características es una propiedad intrínseca de cada estructura y, por tanto, independiente
de la peligrosidad del emplazamiento. Esto quiere decir que una estructura puede ser
vulnerable pero no estar en riesgo si no se encuentra en un sitio con una cierta
peligrosidad sísmica.
4X
En los últimos años se ha intentado definir el riesgo sísmico para poder realizar
su gestión con el objetivo de evitar o mitigar los desastres económicos, sociales y
ambientales que puedan producirse. La reducción del riesgo es el mecanismo preventivo
que mejor permite cumplir con este objetivo y cualquier acción orientada hacia su
reducción debe partir de su correcta evaluación. En dicha evaluación es necesario tener
en cuenta, desde un punto de vista multidisciplinar, no solamente el daño físico
esperado, el número de víctimas o las pérdidas económicas, sino también factores
sociales, organizacionales e institucionales, relacionados con el desarrollo de las
comunidades. A escala urbana, por ejemplo, la vulnerabilidad como factor interno de
riesgo debe relacionarse no solamente con la exposición del contexto material o su
susceptibilidad física de ser afectado, sino también con las fragilidades sociales y la
falta de resiliencia de la comunidad propensa. La falta de organización institucional y
comunitaria, las debilidades en los preparativos para la atención de emergencias, la
inestabilidad política y la falta de salud económica de un área geográfica contribuyen a
tener un mayor riesgo. Por lo tanto, las consecuencias potenciales no sólo están

relacionadas con el impacto del suceso, sino también con la capacidad para soportar el
impacto y las implicaciones del impacto en el área geográfica afectada.
1.2.1 Concepto de riesgo sísmico
El marco conceptual de la vulnerabilidad surgió de la experiencia humana en
situaciones en que la propia vida diaria normal era difícil de distinguir de un desastre.
La gran mayoría de las veces existían condiciones extremas que hacían realmente frágil
el desempeño de ciertos grupos sociales, las cuales dependían del nivel de desarrollo
alcanzado, así como también de la planificación de ese desarrollo. Se empezó a
identificar entonces en los grupos sociales la vulnerabilidad, entendida como la
reducción de la capacidad a “acomodarse” a determinadas circunstancias. Dicha
vulnerabilidad ha sido definida de diferentes maneras, entre las que se puede citar la
siguiente: Grado de pérdida de un elemento o grupo de elementos en riesgo como
resultado de la probable ocurrencia de un suceso desastroso, expresada en una escala
desde 0 (sin daño) a 1 (pérdida total). La UNDRO y la UNESCO promovieron una
definición que se sintetiza a continuación a partir de los siguientes conceptos (Sandi
1983):
• Amenaza, peligro o peligrosidad, H. Es la probabilidad de ocurrencia
de un suceso potencial-mente desastroso durante cierto período de
tiempo en un sitio dado.
• Vulnerabilidad, V. Es el grado de pérdida de un elemento o grupo de
elementos bajo riesgo como resultado de la probable ocurrencia de un
suceso desastroso, expresada en una escala desde 0 o sin daño a 1 o
pérdida total.
• Elementos en riesgo, E. Son la población, los edificios y obras civiles,
las actividades económicas, los servicios públicos, las utilidades y la
infraestructura expuesta a una amenaza en un área determinada.
• Riesgo total, tR . Se define como el número de pérdidas humanas,
heridos, daños a las propiedades y efectos sobre la actividad económica
debido a la ocurrencia de un desastre, es decir el producto del riesgo
específico, y los elementos en riesgo, E.
Con estas definiciones, la evaluación del riesgo total puede llevarse a cabo
mediante la siguiente fórmula general:
tR H V E= ⊗ ⊗ (1.1)
El concepto de amenaza se refiere a un peligro latente o factor de riesgo externo
de un sistema expuesto que se puede expresar matemáticamente como la probabilidad
de exceder un nivel de ocurrencia de un suceso con una cierta intensidad, en un sitio
específico y en un período de tiempo determinado. La vulnerabilidad puede entenderse
como un factor de riesgo interno, correspondiente a su predisposición intrínseca de ser

susceptible a sufrir un daño, expresado como la factibilidad de que el sistema expuesto
sea afectado por el fenómeno que caracteriza la amenaza.
Así como en tiempos anteriores se utilizó el término riesgo para referirse a lo
que hoy se denomina amenaza, actualmente se utiliza a veces la palabra vulnerabilidad
con el significado de riesgo. Pero los conceptos son diferentes y su definición es
esencial para disponer de un enfoque que permita identificar las posibilidades de
reducción del riesgo: en general no es posible actuar sobre la amenaza pero es posible
reducir el riesgo disminuyendo la vulnerabilidad de los elementos expuestos.
El concepto de vulnerabilidad global (Wilches-Chaux 1989) caracteriza la
vulnerabilidad y el riesgo no sólo desde una perspectiva física, sino que también integra
varias otras dimensiones que caracterizan el contexto del problema teniendo en cuenta
varias otras perspectivas tales como la económica, social, educativa, política,
institucional, ambiental, cultural e ideológica. El planteamiento de una vulnerabilidad
global permite su visualización desde diversas perspectivas del conocimiento y facilita
su evaluación como un proceso dinámico acumulativo de fragilidades, deficiencias o
limitaciones (Cardona y Barbat 2000).
1.2.2 Concepto de amenaza sísmica
Se entiende por amenaza o peligrosidad sísmica de una zona cualquier
descripción de los efectos provocados por terremotos en el suelo de dicha zona (Udías y
Mézcua 1986; Bertero 1992). Estos efectos pueden representarse como aceleración,
velocidad o desplazamiento sísmico del terreno o por la intensidad macrosísmica de la
zona. Por ejemplo, la peligrosidad sísmica podría definirse de manera probabilista,
como la probabilidad de ocurrencia, dentro de un período específico de tiempo y dentro
de un área dada, de un movimiento sísmico del terreno de una intensidad determinada.
Para su evaluación es necesario analizar los fenómenos que ocurren desde la emisión de
ondas sísmicas en el foco hasta que dichas ondas alcancen la zona estudiada. En la
Figura 1.1 puede observarse el mecanismo de propagación de la energía de un sismo
desde el epicentro hasta un punto de una estructura. Puede observarse que, al ocurrir un
terremoto con unas ciertas características focales (profundidad, mecanismo focal,
magnitud, etc.), parte de la energía disipada se convierte en ondas sísmicas.

Figura 1.1. Propagación de la energía sísmica desde el epicentro hasta la estructura
(Bertero 1992).
Al propagarse por la tierra, las ondas sísmicas se reflejan, se refractan, se
atenúan o se amplifican, hasta llegar al basamento rocoso que se encuentra debajo del
emplazamiento de una estructura como una excitación . Las ondas sufren un nuevo
filtrado a través de las capas de suelo que se encuentran entre el basamento y la
superficie, que tienen una función de transferencia, obteniéndose la señal . Debido al
fenómeno de interacción suelo-estructura descrito por una función de transferencia
1X
2X
A ,
la señal sufrirá nuevos cambios hasta obtenerse la señal , que será la excitación en la
base del edificio. La respuesta de la estructura es el resultado de la convolución de
la señal a través de la función de transferencia de la estructura.
3X
4X
3X
La evaluación de las funciones de transferencia I y D es un problema de
ingeniería estructural, mientras que el cálculo de la función de transferencia A y la
evaluación de la excitación deben solucionarse mediante estudios de peligrosidad
sísmica. En otras palabras, un estudio de peligrosidad tiene como objetivo estimar el
movimiento del terreno en un lugar determinado como consecuencia de los terremotos
o, como mínimo, de proporcionar una evaluación del tamaño del terremoto en el lugar
en cuestión (Barbat, Canas y Canet 1988; Canas 1994 et al.; Canas y Barbat 1995).
1X
Los estudios de peligrosidad sísmica a nivel regional, también conocidos como
estudios de macrozonificación, se dirigen a estimar el parámetro , mientras que los
estudios de peligrosidad a nivel local -microzonificación- tienen como objetivo el de
evaluar la función de transferencia
1X
A y por ende la señal . Para realizar estos
estudios se requiere investigaciones detalladas en varios campos tales como la
Geofísica, la Geología y la Geotécnica.
2X

La evaluación de la peligrosidad sísmica en una región completa puede
realizarse mediante varias metodologías. Algoritmos conocidos, como los de Cornell y
McGuire (1977), son generalmente los utilizados para realizar la mencionada
evaluación. Varios otros métodos, como el propuesto por Egozcue et al. (1991), utilizan
técnicas bayesianas para solucionar el problema de la falta de datos en regiones de
sismicidad moderada o baja.
En las normativas de diseño sísmico de estructuras se adopta una severidad de la
acción de acuerdo con el período de vida de la estructura, llamado también tiempo de
exposición; durante este tiempo se espera que la acción de diseño no sea excedida para
un determinado nivel de probabilidad de ocurrencia (Yépez, Barbat y Canas 1994;
Barbat, Yépez y Canas 1995). El mencionado tiempo de exposición puede variar según
la importancia de la estructura y, por ello, es de gran interés relacionarlo con el período
de retorno de los terremotos, que es el tiempo medio transcurrido entre la ocurrencia de
sismos con la misma característica específica. Cuando la mencionada característica es,
por ejemplo, la aceleración máxima, al período de retorno se le puede denominar
. Si t es el tiempo de exposición, la probabilidad de excedencia en t años de un
sismo de tamaño asociado al período de retorno dado, puede expresarse de la siguiente
manera (Barbat y Miquel Canet 1994):
max(rT a )
( )
( )max
max
1
1 1
t
t
r
P a
T a
⎡ ⎤
= − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
(1.2)
De esta manera pueden obtenerse mapas de peligrosidad sísmica de toda una
región o de un país para terremotos con distintas intensidades esperadas (o distintas
aceleraciones máximas), asociadas a un período de retorno determinado.
Aunque, tradicionalmente, la fuerza destructiva de un terremoto ha sido
expresada en función de la aceleración máxima del terreno, existen otras características
de los sismos, tales como la intensidad, el contenido de frecuencias, la duración, el
número, la secuencia de los choques, etc., que tienen una influencia importante en el
daño sufrido por las estructuras. Obviamente, a efectos de cálculo de estructuras, el
factor más importante a tener en cuenta al elegir un procedimiento de descripción de la
fuerza de los terremotos sería justamente la capacidad de cuantificar el daño estructural.
Sin embargo, siempre ha existido una cierta dualidad en la caracterización de la
violencia de los terremotos: por una parte, la tendencia de los sismólogos ha sido de
utilizar los registros de los movimientos del terreno y, por otra parte, los ingenieros han
considerado más útil la información relacionada con la respuesta de las estructuras (Lin
y Mahin, 1985). Por ejemplo, se han utilizado, además de los valores máximos de la
aceleración, velocidad y desplazamiento del terreno, el espectro de amplitudes de
Fourier, el espectro de seudo-velocidades, la intensidad espectral propuesta por Housner
(1947) (ver sección 2.2), el valor medio cuadrático de las aceleraciones
correspondientes a la fase fuerte de un acelerograma, la intensidad en diferentes escalas
macrosísmicas, etc.

La utilización de dicha intensidad implica la siguiente contradicción: Por una
parte las escalas macrosísmicas -que son escalas de efectos- son utilizadas en las
normativas para definir la propia acción. A partir de dicha acción puede calcularse el
daño sufrido por una estructura mediante métodos de la mecánica aplicada. Por otra
parte, estas mismas escalas describen, por su propia definición, los efectos de los
terremotos; uno de estos efectos es justamente el daño sufrido por la estructura. Sería
interesante comprobar si este daño coincide con el obtenido a partir de la acción.
Se ha puesto de manifiesto en los últimos años que, a pesar de los avances en la
Ingeniería Sísmica y en la Ingeniería Estructural, el riesgo debido a los terremotos ha
incrementado. Un ejemplo puede proporcionarlo la comparación de las pérdidas
producidas por el terremoto de San Francisco del año 1906, que tuvo una magnitud de
8.3, con las del terremoto de Loma Prieta, del año 1989, de magnitud 7.1. Las pérdidas
económicas directas, debidas únicamente al daño o colapso de las estructuras, fueron
parecidas: 8000 millones de dólares (Astaneh 1989; Benuska 1990). Sin embargo, si se
compara la energía liberada durante los dos terremotos, se observa que en el caso del
terremoto del año 1906 ésta fue 63 veces mayor. Surge una paradoja: con el paso del
tiempo, el potencial de destrucción de los sismos va aumentando, a pesar de que la
sismicidad de una zona permanece constante. La explicación de este hecho la da Bertero
(1992), mostrando que la posibilidad que se produzca un desastre por terremoto se
incrementa cuanto mayor y más cercano a un centro urbano sea el sismo, cuanto mayor
sea la población y el desarrollo económico y cuanto menor sea el grado de preparación
antisísmica de la población. Sin embargo, debe añadirse otra causa a las anteriores: la
existencia de estructuras antiguas muy vulnerables en las zonas sísmicas. Muchas de
éstas fueron construidas sin diseño sismorresistente alguno, o utilizando normativas de
los tiempos cuando la Ingeniería Sísmica aún estaba en sus comienzos; otras sufrieron
ya el efecto de algún terremoto con el consiguiente daño, que, a veces, no se aprecia a
simple vista. Además de todo esto, es importante dejar claro que, a pesar de que las
normativas de diseño se están mejorando continuamente y son cada vez más exigentes,
aún no son infalibles (Bertero 1992).
1.2.3 Evaluación de la vulnerabilidad y del riesgo sísmico físico
El concepto de riesgo sísmico está siempre relacionado con la predicción de
pérdidas futuras y está íntimamente ligado a la psicología personal o colectiva, razón
por la que, obviamente, es difícil darle objetividad. Por este motivo es tan compleja la
evaluación del riesgo, aun cuando se trate solamente de su dimensión física. Cuando,
además, a esta dimensión se le añaden las relacionadas con el contexto, aspectos
absolutamente necesarios para facilitar la gestión, el problema se vuelve mucho más
complejo aun. Además, es absolutamente necesario que el riesgo esté siempre asociado
con la decisión, con la ejecución de una acción que se debe llevar a cabo. Puesto que los
resultados de cada acción factible son inciertos, es esencial considerar incertidumbres en
el análisis de sistemas físicos para poder decidir si un modelo es apropiado para el
problema que se debe resolver (Cardona 1999).

Un análisis de vulnerabilidad es un estudio de la capacidad de un sistema de
resistir o absorber el impacto de un suceso que caracteriza una amenaza y, por lo tanto,
se diferencia del análisis de riesgo, que es la estimación de pérdidas de acuerdo con el
grado de amenaza considerado y con el nivel de vulnerabilidad existente en el sistema
expuesto. La evaluación de la vulnerabilidad física ha sido la que más se ha desarrollado
hasta ahora. El correspondiente riesgo físico puede calcularse como la pérdida esperada
en un período de tiempo y puede expresarse como una proporción del valor o coste de
reemplazo de los elementos en riesgo.
Al igual que la amenaza, el riesgo puede plasmarse en mapas, que pueden ser
probabilistas o deterministas. En este último caso, los mapas de riesgo representan un
escenario, o sea la distribución espacial de los efectos potenciales que puede causar un
suceso de una intensidad dada sobre un área geográfica, de acuerdo con el grado de
vulnerabilidad de los elementos que componen el sistema expuesto. Estos mapas, no
sólo son de fundamental importancia para la planificación de la intervención de la
amenaza y/o la vulnerabilidad, sino también para la elaboración de los planes de
contingencia que los organismos operativos deben realizar durante la etapa de
preparativos para emergencias. La evaluación de pérdidas futuras requiere técnicas
probabilistas, con lo que los riesgos se expresan en pérdidas medias de dinero o de vidas
por año.
El riesgo físico está directamente relacionado con la calidad del diseño
sismorresistente de la estructura. Cuando se lleva a cabo un diseño estructural, en
realidad se está realizando la evaluación de la vulnerabilidad de un modelo, que tiene
ciertas características geométricas y de los materiales, de acuerdo con los requisitos
mínimos establecidos por una normativa y considerando como aceptable el modelo
cuando cumple dichos requisitos. Sin embargo, este tipo de análisis de vulnerabilidad se
realiza con el fin de proyectar dicho modelo, es decir, de proponerlo como solución
constructiva que debe llevarse a cabo teniendo en cuenta factores de seguridad. Hoy se
conocen las bases que permiten realizar dicho diseño con razonable seguridad para la
vida. Más aun, en el diseño se admiten sistemas estructurales que sufran daños
controlados y que disipen una parte importante de la energía absorbida. Obviamente,
durante la vibración de estas estructuras en el rango plástico durante sismos fuertes se
producen daños estructurales y no estructurales. Es decir, los propios criterios de diseño
utilizados en las normativas admiten la vulnerabilidad de la estructura y un cierto nivel
de riesgo aceptable que está implícitamente incluido en las normas. Tal como se ha
visto durante los últimos terremotos del año 2003 de California e India, en las regiones
donde se diseña de acuerdo con una normativa sismorresistente adecuada, donde la
construcción es sometida a una supervisión estricta y donde el sismo de diseño es
representativo de la amenaza sísmica real de la zona, el daño es marginal en
comparación con el observado en sitios donde no se dan estas circunstancias.
En el caso de las estructuras de hormigón armado, es común que se produzcan
daños estructurales en pilares durante los sismos muy fuertes, tales como grietas
diagonales, causadas por cortante y/o torsión, o grietas verticales, desprendimiento del
recubrimiento, aplastamiento del hormigón y pandeo de las barras longitudinales por
exceso de esfuerzos de flexión y compresión. En vigas se producen grietas diagonales y
rotura de estribos por causa del cortante y/o de la torsión y grietas verticales, rotura del

refuerzo longitudinal y aplastamiento del hormigón por la flexión debida a cargas
alternativas. Las conexiones entre elementos estructurales son, por lo general, los
puntos más críticos. En las uniones viga-pilar (nudos), el cortante produce grietas
diagonales y es habitual ver fallos por adherencia y anclaje del refuerzo longitudinal de
las vigas como consecuencia de esfuerzos excesivos de flexión. En las losas se pueden
producir grietas por punzonamiento alrededor de los pilares y grietas longitudinales a lo
largo de la losa de piso debido a la excesiva demanda de flexión que puede imponer el
sismo. Las irregularidades en altura, tales como cambios bruscos de rigidez entre pisos
adyacentes, hacen que la absorción y disipación de energía durante el sismo se
concentren en los pisos flexibles, donde los elementos estructurales se ven sometidos a
solicitaciones excesivas. Las irregularidades en planta de la masa, rigidez y resistencia
pueden originar vibraciones torsionales que generan concentraciones de esfuerzos
difíciles de evaluar.
Generalmente, los daños no estructurales se deben a la unión inadecuada entre
los muros divisorios, las instalaciones y la estructura, o a la falta de rigidez de la misma,
lo que conduce a excesivas deformaciones que no pueden ser absorbidas. Los elementos
no estructurales de las construcciones rígidas se comportan, en general, mejor que en las
flexibles, al sufrir menor daño al limitarse el desplazamiento relativo entre pisos. La
vulnerabilidad física de un edificio condiciona su vulnerabilidad funcional, que está
relacionada no solamente con la seguridad de la estructura, sino también con el
comportamiento de los elementos no estructurales, tales como tabiques, instalaciones,
equipos, etc., que son fundamentales para que el edificio se mantenga en servicio. Este
aspecto es de máxima importancia en el caso de aquellos edificios cuya función es vital,
como es, por ejemplo, el caso de los hospitales.
Se han propuesto muchos métodos para evaluar las pérdidas esperadas durante
futuros terremotos en centros urbanos. Aunque no es posible predecir con precisión
cuándo y dónde va a ocurrir un sismo, sí es posible realizar estimaciones de cuántas
víctimas y qué daños causará. Este tipo de evaluaciones permite dimensionar la
magnitud del problema que tendrá que afrontar una ciudad o una región, razón por la
cual este tipo de estudios se han convertido en ineludibles para la prevención de
desastres. Se han propuesto diferentes metodologías para la evaluación del riesgo
sísmico de centros urbanos mediante escenarios de daños. Partiendo de una estimación
de la amenaza sísmica mediante un estudio de micro zonificación, se utilizan luego
matrices o funciones de vulnerabilidad para diversas tipologías estructurales, que
relacionan el daño potencial con la severidad del movimiento sísmico esperado (ATC
1985; Barbat 1998). En general, los diferentes métodos utilizados pueden clasificarse en
probabilistas y deterministas, y su utilización depende del objetivo del estudio. En los
métodos probabilistas, la amenaza sísmica se calcula mediante técnicas de la teoría de la
probabilidad, luego se evalúa la vulnerabilidad por tipos de edificios y se estima el
riesgo en términos de pérdidas probables. La vulnerabilidad de las estructuras también
puede estimarse en términos probabilistas, dada la dispersión de los resultados que
puede ofrecer un análisis de vulnerabilidad para un amplio número de edificios.
Comúnmente, estos métodos son utilizados para la estimación de pérdidas económicas
acumuladas y de las primas de seguros. En los métodos deterministas se postulan uno o
más terremotos sin considerar explícitamente su probabilidad de ocurrencia.

Habitualmente, se utiliza el terremoto más fuerte conocido que haya ocurrido en la
región, también llamado máximo terremoto histórico. Las etapas son similares a las de
los métodos probabilistas y se utilizan para evaluar las pérdidas debidas a un terremoto
específico, a fin de estudiar anticipadamente la reducción de daños y determinar un
escenario para la planificación de emergencias.
1.2.4 Métodos de evaluación de la vulnerabilidad sísmica
El análisis de vulnerabilidad de un edificio existente puede entenderse como el
cálculo de la capacidad que dicha estructura tiene para soportar las solicitaciones
sísmicas reales. Esta evaluación difiere sustancialmente del proceso de análisis que se
realiza en la fase de diseño, pues en este caso las cargas deben ser las reales, al igual que
la resistencia y la ductilidad de la estructura y de los elementos, sin considerar los
tradicionales factores de seguridad. En la evaluación del daño estructural se pueden
utilizar:
Matrices de probabilidad de daño, que expresan en forma discreta la
probabilidad condicional de que una estructura sufra un nivel de daño ND igual a j,
dado un sismo con un nivel de severidad i (Whitman et al. 1973).
Funciones de vulnerabilidad, que son relaciones gráficas o matemáticas que
expresan en forma continua la vulnerabilidad en función de algún parámetro que
describa el nivel de severidad del sismo.
La vulnerabilidad sísmica puede evaluarse mediante observación y
levantamiento de planos del estado de fisuración real producido por terremotos y su
posterior estudio estadístico, denominándose en este caso vulnerabilidad observada. La
vulnerabilidad también puede cuantificarse mediante el cálculo de la respuesta sísmica
no lineal de las estructuras, caso en que se denomina vulnerabilidad calculada o
simulada. El resultado más importante de un cálculo de este tipo es un índice de daño
que caracteriza globalmente la degradación de una estructura sometida a terremotos.
El método del índice de vulnerabilidad (Benedetti y Petrini 1984) utiliza los
datos obtenidos mediante inspección para realizar una calificación de la calidad del
diseño y construcción sismorresistente de los edificios mediante un coeficiente
denominado índice de vulnerabilidad, IV. El método hace una calificación numérica de
once parámetros estructurales preestablecidos por expertos y calcula, a partir de estos
valores, el índice de vulnerabilidad. En el caso de los edificios de mampostería no
reforzada, estos parámetros son: 1) organización del sistema resistente; 2) calidad del
sistema resistente; 3) resistencia convencional; 4) influencia de la cimentación; 5)
elementos horizontales; 6) configuración en planta; 7) configuración en elevación; 8)
separación máxima entre muros; 9) tipo de cubierta; 10) elementos no estructurales; y
11) estado de conservación. En el caso de edificios de hormigón armado, los parámetros
8) y 9) cambian por los siguientes: 8) conexión entre elementos; 9) elementos de baja
ductilidad. El método relaciona luego el índice de vulnerabilidad obtenido, IV, con el
grado de daño global, D, que sufre la estructura, a través de funciones de vulnerabilidad
para cada grado de intensidad macrosísmica del terremoto o para diferentes niveles de
aceleración máxima. Una de las ventajas del método es que es aplicable no sólo a
diferentes subtipologías de edificios sino también a diferentes calidades de construcción

dentro de la misma subtipología, diferenciadas por rangos de índices de vulnerabilidad,
Barbat et al. (1996).
El análisis y diseño basado en las prestaciones o en el desempeño sísmico de las
estructuras, conocido en la literatura inglesa como performance based engineering, se
ha convertido en un área científica y técnica relevante de la ingeniería estructural. Su
ámbito de aplicación ha trascendido al diseño de edificios nuevos para emplearse en la
predicción del comportamiento de edificios existentes, es decir, en la evaluación de la
vulnerabilidad y del riesgo sísmico. De particular interés es la aplicación de esta técnica
en zonas urbanas de sismicidad moderada, donde el crecimiento económico ha tenido
como consecuencia el aumento del riesgo sísmico.
1.2.5 Ejemplo de aplicación: Barcelona
Como ejemplo, se muestran los escenarios de riesgo obtenidos para la ciudad de
Barcelona, donde la gran mayoría de los edificios son de mampostería no reforzada o de
hormigón armado con forjados reticulares. En el período comprendido entre 1875 y
1900 se construyeron en Barcelona casi 10.000 edificios de mampostería no reforzada,
desarrollándose de esta manera el distrito del Eixample, zona emblemática del centro de
la ciudad, con un importante valor histórico, arquitectónico y cultural. Los edificios de
esta zona se encuentran incorporados en conjuntos denominados manzanas que miden
aproximadamente 113m por 113m, son prácticamente simétricos, perfectamente
alineadas y achaflanadas en sus vértices mediante aristas de unos 20 metros, cubriendo
aproximadamente 750 hectáreas de la superficie de la ciudad (ver la Figura 1.2). Debe
indicarse que en el distrito del Eixample hay 7.000 edificios mientras que en toda la
ciudad de Barcelona el número de edificios es de 80.000.
Figura 1.2. Manzanas típicas del Eixample.

Desde un punto de vista sísmico, Barcelona está clasificada en cuatro tipos
correspondientes a 4 grandes zonas que pueden verse en la Figura 1.3 (Cid 1998).
La amenaza sísmica en Barcelona se reevaluó recientemente, tanto desde una
óptica determinista como desde una probabilista, considerando la severidad de la acción
en términos de la intensidad y en términos de las aceleraciones espectrales para los
períodos de 0, 0.3, 0.6, 1.0 y 2.0 s (Irizarry et al. 2003). La Figura 1.4 muestra los
espectros correspondientes a los escenarios determinista y probabilista en formato
aceleración-desplazamiento (AD) para la zona II en la cual se encuentra localizado el
distrito del Eixample.
Figura 1.3. Zonificación sísmica de Barcelona (Cid 1998)
En la Figura 1.5 se muestran las curvas de fragilidad obtenidas para el tipo de
edificios de mampostería no reforzada existente en el distrito del Eixample de
Barcelona. En la Figura 1.6 puede verse un ejemplo de curvas de fragilidad obtenidas
para edificios típicos de hormigón armado con forjados reticulares existentes en España,
para alturas de 2, 5 y 8 plantas.

Figura 1.4. Espectros de respuesta propuestos por el ICC para los escenarios de
amenaza sísmica determinista y probabilista (Irizarry et al. 2003)
Figura 1.5. Curvas de fragilidad para un edificio típico de 6 niveles de mampostería
no reforzada del distrito del Eixample de Barcelona.

Figura 1.6. Curvas de fragilidad para un edificio con forjados reticulares y cinco
plantas.
Figura 1.7. Escenario de riesgo sísmico para un escenario de amenaza probabilista.
Sin
Daño leve
Daño
Daño severo
Colapso
En la Figura 1.7 se muestra un escenario de riesgo sísmico para el escenario de
amenaza probabilista. Dicho escenario se representó utilizando las zonas censales de
Barcelona. Al utilizarse las curvas de fragilidad para evaluar el riesgo sísmico, es
posible obtener mapas que muestren la probabilidad de que ocurra en los diferentes
edificios de una zona un cierto estado de daño. En la Figura 1.8 puede verse un mapa de
este tipo para un estado de daño leve y para el escenario de amenaza probabilista.

Figura 1.8. Mapa de probabilidad de daño leve para un escenario de amenaza
probabilista.
Sin
Daño leve
Daño
Daño severo
Colapso
1.2.6 Mitigación del riesgo sísmico
Para mitigar el riesgo sísmico R en un lugar determinado, debe disminuirse la
peligrosidad H, la vulnerabilidad V o el coste E. Seguidamente se analizan estas tres
posibilidades:
• La peligrosidad sísmica puede reducirse influyendo en las condiciones
locales del suelo. Por ejemplo, pueden escogerse emplazamientos lo
suficientemente alejados de las fallas, evitando los lugares de posibles
deslizamientos o de alto potencial de licuefacción y utilizando técnicas
de mejora de las condiciones del suelo.
• Referente a la reducción de la vulnerabilidad sísmica de una cierta zona,
deben considerarse dos casos. El primero es el de una estructura de
nuevo diseño; la reducción de su vulnerabilidad puede lograrse por
medio del cumplimiento de todos los requisitos de las normativas de
diseño y construcción sismo-resistente. Por ello, es también muy
importante que se mejoren dichas normativas conforme avancen los
conocimientos acerca del comportamiento sísmico de las estructuras.
Adicionalmente, es esencial mejorar la tecnología y calidad de la
construcción. El segundo caso es el de las estructuras ya existentes. La
única alternativa para mitigar el riesgo sísmico de la zona es la reducción
de la vulnerabilidad de estas estructuras a través de su refuerzo, su
rehabilitación o, sencillamente, su demolición.
Sobre el coste E no puede actuarse de manera eficaz. Sin embargo, cuando se
están estudiando las pérdidas humanas, se deben emprender campañas de preparación y
educación de la población, explicando las formas de protegerse durante terremotos. Las

pérdidas pueden también reducirse si se elaboran planes de emergencia adecuados
(Winslow y Ross 1993).

Capítulo 2
EEssppeeccttrrooss ddee rreessppuueessttaa yy
eessppeeccttrrooss ddee ddiisseeññoo
2.1 INTRODUCCIÓN
La determinación de la respuesta en desplazamientos, velocidades o
aceleraciones, en el dominio del tiempo, para un oscilador elástico a un grado de
libertad, requiere el siguiente cálculo:
• Para forzantes armónicas: la resolución de la ecuación diferencial del
movimiento en forma exacta,
• Para cualquier forzante armónica o no (caso de la acción de una
fuerza sísmica): la resolución de una integral de convolución de impulsos
elementales integral de Duhamel (Barbat y Canet 1994) o, como
alternativa, la resolución de la ecuación diferencial del movimiento
mediante una aproximación en diferencias finitas en el tiempo.
Como breve recordatorio, se presentan a continuación los conceptos
fundamentales de la integral de Duhamel. Esta integral considera un oscilador libre a un
sólo grado de libertad sometido a una fuerza F(t), aplicada como una sucesión de
impulsos en el tiempo (ver Figura 2.1). Para ello se aplica un impulso al
oscilador y se deja oscilar libremente, resultando
( )dI f t dt=
( ) ( ) ( ) dttttkutuctum I +=≥∀=++ τ………0
Condiciones iniciales:
( ) ( )
( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
===
==⇒==
00
00
0
00
utu
m
dI
udtudutu
(2.1)

Figura 2.1 Oscilador a un grado de libertad, sometido a un impulso: (a) inicial.

Introducción 21
Figura 2.2 Oscilador a un grado de libertad, sometido a un impulso: (b) de duración

ulttt ≤≤0 .
Considerando la solución homogénea de la ecuación diferencial a derivadas parciales
con coeficientes constantes (2.1) y diferenciando dicha solución en u, se obtiene la
siguiente expresión luego de sustituir en ella la definición del impulso
m
I
ud =0 :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dttfthIthte
m
dItdu t
=≡−
−
= − 2
2
1sin
1
1
νω
νω
νω
Donde m, νω2=c y k son, respectivamente, la masa, el coeficiente de
amortiguamiento y la rigidez del oscilador;
m
k=ω es la pulsación angular del
oscilador y ν la fracción de amortiguamiento del crítico. A h (t) se le denomina impulso
elemental unitario y es el tiempo a partir del cual se inicia una oscilación libre debida
a la imposición del impulso. Inmediatamente que concluye la aplicación del primer
impulso elemental, se aplica otro impulso y nuevamente se deja oscilar libremente y así
sucesivamente hasta alcanzar el tiempo último de duración de la fuerza aplicada
F(t). Puesto que se tratan de osciladores armónicos con comportamiento elástico, se
puede considerar la superposición de impulsos elementales , de donde resulta la
respuesta global del oscilador sometido a una carga no armónica, como la integración de
cada respuesta armónica correspondiente a cada impulso elemental.
It
ultt
∫=
t
dII
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ττνω
νω
τ τνω
dte
m
f
tdutu t
t
t
−−
−
== −−
∫ ∫
2
2
0
1sin
1
(2.2)
Esta integral implica una convolución de impulsos, esto significa que por cada
impulso nuevo que se añade, se vuelven a superponer nuevamente todos los anteriores.
Para el caso en que la fuerza F(t)= - m a(t) provenga de una aceleración del terreno a(t)
provocada por un sismo, la respuesta de la ecuación (2.2) queda expresada de la
siguiente forma:
( ) ( ) ( )
( )( ) ττνωτ
νω
τνω
dteatu t
t
−−
−
= −−
∫
2
0
2
1sin
1
1
(2.3)
Que equivale a resolver por diferencias finitas la ecuación diferencial de un oscilador
simple sometido a una aceleración en la base,
( ) ( ) ( ) ( ) ttmatkutuctum ∀−=++ ……… (2.4.a)
O escrita en aceleraciones

Espectros de respuesta elásticos 23
( ) ( ) ( ) ( ) ttatututu ∀−=++ ………2
2 ωνω (2.4.b)
Las expresiones (2.2) y (2.3) son dos formas de presentar la denominada integral
de Duhamel (Clough, Penzien 1975), (Gavarini 1979), (Paz 1992), (Barbat, Miquel
1994) Chopra (1996). Esta integral da la respuesta exacta de un oscilador elástico lineal
sometido a una acción no armónica y representa la convolución en el tiempo de las
respuestas a los sucesivos impulsos unitarios. Obsérvese que para cada esta integral
superpone, para el dominio
it
ulti ttt ≤≤ , una nueva oscilación libre a la ya existente
(concepto de convolución). Hay distintas formas numéricas de resolver de esta integral,
ver referencias (Barbat, Miquel 1994), (Clough, Penzien 1975), (Paz 1992), (Gavarini
1979). Actualmente gracias a que los ordenadores la integral de convolución se resuelve
rápidamente sin costes computacionales elevados.
2.2 ESPECTROS DE RESPUESTA ELÁSTICOS
Es correcto y deseable, que la respuesta de una estructura elástica sea obtenida a
través de un método que permita conocer su estado en cada instante de tiempo (por
ejemplo, mediante el método numérico de resolución directa, paso a paso, de la
ecuación diferencial del movimiento). Sin embargo, se puede abreviar el cálculo si sólo
se quiere obtener la respuesta máxima que tendrá la estructura, sin importar el instante
en que ésta se produce. Para obtener este estado más desfavorable, es necesario utilizar
los denominados espectros de respuesta.
2.2.1. Conceptos teóricos
Se denomina espectro de respuesta a la representación gráfica de una familia
de curvas, tal que cada una de ellas representa la máxima respuesta (en
desplazamientos, velocidad o aceleración), que pueden alcanzar distintos osciladores
con distintas frecuencias y amortiguamiento constante (ver Figura 2.3), cuándo son
sometidos a una acción dinámica. Por lo tanto, estos espectros reciben el nombre de
espectros sísmicos de respuesta, si dicha acción dinámica se refiere a un sismo.
Dado un conjunto de osciladores, cuyas frecuencias propias van desde
nωωω ≥≥1 si se someten estos osciladores a una fuerza ( ) ( )ωω FFf 0= (o aceleración
en la base) de amplitud constante ,pero cuya frecuencia varia entre
(barrido de frecuencias), se puede observar la máxima excitación para cada oscilador, en
el instante que el barrido de frecuencias de la forzante pase por una magnitud próxima a
la frecuencia propia del oscilador (resonancia).
0F minmax
ωωω ≥≥

Figura 2.3 Representación esquemática de un espectro de respuesta de
desplazamientos.
Una forma de calcular los máximos desplazamientos, velocidades y aceleraciones, de un
oscilador simple sometido a una aceleración aplicada en la base a(t), es mediante la
integral de Duhamel para unas condiciones iniciales 0,0 00 == uu (ecuaciones 2.2 y
2.3). Para simplificar las expresiones, se denominará pulsación natural amortiguada a la
expresión: 2
1 νωων −= . Esto es:
( ) ( ) ( )
( )( )
( )maxmax
0
sin
1
tuu
dteatu
t
t
=
−−= ∫
−−
ττωτ
ω
ν
τνω
ν (2.5.a)
Expresiones similares se obtienen para la velocidad y la aceleración, utilizando
la siguiente regla de derivación: ( ) ( ) ( )[ ] t
tt
tfd
t
tfdtf
t =+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∫∫ ττττττ ,,, :

( )
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
2
0 0
0
maxmax
cos sin
1
cos
t t
t t
t
t
du t
u t
dt
a
a e t d e t d
u t a e t d u t
u u t
νω τ νω τ
ν ν
νω τ
ν
τ ν
τ ω τ τ ω τ
ν
τ ω τ τ νω
− − − −
− −
= =
− − +
−
= − − −
=
∫ ∫
∫
τ−
(2.5.b)
Y, siguiendo este procedimiento analítico, la aceleración absoluta resulta a partir
de sumar a la aceleración del terreno la propia del oscilador,
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )∫∫ −+−
−
−
=
=
+=
−−−−
t
t
t
t
abs
dteadtea
dt
tud
tatutu
00
2
2
2
2
cos2sin
1
21
ττωτνωττω
ν
νω
τ ν
τνω
ν
τνω
De donde se obtiene la siguiente expresión:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )maxmax
22
2
0
2
2
1
022
22sin
1
21
2
tuu
tutututu
tutudteatu
absabs
abs
u
tutu
t
t
abs
t
efi
=
=+++
−−−
−
−
=
−
−=−
−−
∫
ν
ω
ν
τνων
ωνωνω
νωνωττωτ
ν
ν
ω
ν
ν (2.5.c)
Donde ( )tuabs es la aceleración absoluta, medida desde el origen del sistema
referencial (ver figura 2.1); ( )tuefi es la aceleración eficaz, relativa a la base del
oscilador, que actúa sobre las propiedades elásticas del oscilador (rigidez); y es la
aceleración de amortiguamiento, relativa a la base del oscilador, que actúa sobre las
propiedades viscosas del oscilador. Las dos primeras de las ecuaciones 2.5 representan
el desplazamiento y la velocidad máxima, relativa a la posición de la base del oscilador,
en tanto la última expresa la aceleración absoluta, respecto del origen (ver Figura 2.1).
Esta última se puede también expresar como la contribución de la desaceleración debida
a la rigidez estructural más otra debida al amortiguamiento
( )tuν
( ) ( ) ( )
maxmax
tututu efiabs ν−−= (Gavarini 1979), (Oller, Caro 1984). Por otro lado, se
puede obtener también la aceleración absoluta a partir de la ecuación del movimiento de
un oscilador simple, sometido a una aceleración sísmica en la base a (t). Esto es:

( ) ( )[ ] ( ) ( )
( )( )[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
02
0
2
1 =+++
=+++
tututu efiabs
tututatu
tkutuctatum
ωνω
ν
(2.6)
De la comparación de esta última ecuación con la (2.5c), se deduce que
coinciden siempre que υ sea pequeño (por ejemplo, inferior al 20%) y en tal caso el
término se puede despreciar.( )2
νω
Conocidos los valores máximos de los desplazamientos, velocidades y
aceleraciones, sólo queda establecer, a partir de las ecuaciones (2.5) y (2.6), los
espectros reales:
Espectro de Desplazamiento Relativo: ( ) ( )max
, tuSS r
d
r
d == νω
Espectro de Velocidad Relativa: ( ) ( )max
, tuSS r
v
r
v == νω
Espectro de Aceleración Absoluta: ( ) ( ) ( ) ( )maxmax
, tutatuSS abs
r
a
r
a =+== νω
(2.7)
Por conveniencia y con la finalidad de establecer una formulación simple que
interrelacione las expresiones de los espectros de respuesta, Housner 1947 (Paz 1992),
(Barbat y Canet 1994), (Gavarini 1979), definió unos espectros aproximados de
velocidad y aceleración, a los que llamó pseudo-espectros. Estos admiten las siguientes
simplificaciones:
Se aproxima 2
1 νωων −= por .ω≈ Esto es bastante cierto debido a que en las
obras civiles, el factor de amortiguamiento es muy bajo, se admite que la aceleración
producida por el amortiguamiento es despreciable 0≈νu por el mismo motivo antes
citado, se sustituye en el espectro de velocidades la función (( ))των −tcos por la
función (( ))των −tsin .Esto, tiene sentido por que sólo se busca el máximo de la
respuesta y tanto la función seno como la coseno tienen máximo unidad.
Considerando estas hipótesis simplificativas, se obtienen los denominados
seudo-espectros, realizando las siguientes transformaciones en las ecuaciones (2.5), sin
que los resultados se alteren significativamente. De esta manera se consigue relacionar
los tres seudo-espectros en función de la frecuencia angular del oscilador,
( ) ( ) ( )
( )( )
max
0
1
, sin
t
t
d dS S a e t dων τ
ω ν τ ω τ
ω
− −
= = − −∫ τ
(2.8.a)
( ) ( ) ( )
( )( )
max
0
, sin
t
t
v dS S a e t d Sνω τ
ν ω ν τ ω τ τ− −
= = − − =∫ ω (2.8.b)

( ) ( ) ( )
( )( )
max
2
0
, sin
t
t
a a dS S a e t d Sνω τ
ω ν ω τ ω τ τ ω− −
= = − = −∫ (2.8.c)
El seudo-espectro de aceleración es una buena aproximación del correspondiente
espectro real, en tanto el seudo-espectro de velocidad se acerca al real sólo para
amortiguamiento bajo y frecuencia media-alta (Paz 1992). Un examen de la función
espectral para frecuencias extremas, revela las siguientes conclusiones (ver Figura 2.4):
Figura 2.4 Estados límites en la respuesta espectral. a) Tipo de estructura, b)
espectro de desplazamiento, c) Espectro y seudo espectro de velocidad, d) Espectro
de aceleración. Seudo espectro en línea de puntos, espectro real en línea continua.

Para bajas frecuencias 0→ω (altos períodos ∞→T ), el sistema es muy
flexible y la masa permanece en estado estacionario, mientras su base se mueve (figura
2.3a). Esto permite deducir que el máximo desplazamiento relativo o desplazamiento
espectral coincide con el del terreno ds Su =
max
.La máxima velocidad relativa o
velocidad espectral coincide con la del terreno vs Su =
max
, pero la seudo-velocidad
espectral es nula y por lo tanto se comete un error al utilizar los seudo-espectros de
respuesta. La máxima aceleración absoluta o aceleración espectral es nula
0
max
→= aabs Su , situación que en este caso coincide con el seudo-espectro de
aceleraciones. Por lo tanto para estructuras muy flexibles, los seudo-espectros de
desplazamientos y aceleraciones se aproximan muy bien a los respectivos espectros
reales.
Cuándo se tiene altas frecuencias ∞→ω (bajos períodos el sistema es
muy rígido y la masa tiende a moverse con el terreno (figura 2.3a). Esto permite deducir
que el máximo desplazamiento relativo o desplazamiento espectral tiende a cero
0→T
0
max
→= ds Su . La máxima velocidad relativa o velocidad espectral también tiende a
cero 0
max
→= vs Su al igual que la seudo-velocidad espectral. La máxima aceleración
absoluta o aceleración espectral es igual a la del terreno aabs Su =
max
, situación que en
este caso coincide con el seudo-espectro de aceleraciones. Por lo tanto para estructuras
muy rígidas, los seudo-espectros de desplazamientos y aceleraciones se aproximan muy
bien a los respectivos espectros reales.
A partir de esta explicación, y por simplicidad en la presentación de los
conceptos, se llamará en adelante espectros de respuesta a los seudo-espectros, que son
los que habitualmente se utilizan en las normativas.
2.2.2. Modificación de espectros y espectro medio
Las curvas de los espectros, obtenidas mediante las expresiones 2.8, tienen
fuertes discontinuidades en sus derivadas, debido a que en muchos puntos se está
cercano a la resonancia. Esto produce máximos y mínimos para osciladores cuyos
períodos se encuentran bastantes cercanos (ver Figura 2.5 y Figura 2.6) y conduce a que
un espectro de este tipo no puede ser adoptado como espectro de diseño. Por esta razón
y a los fines de proyecto, se deben utilizar los espectros medios, que se obtienen a partir
del estudio de varios terremotos ocurridos en una zona determinada, durante un tiempo
también pre- establecido.
El espectro medio, resulta de la superposición de n espectros de respuesta. Su
construcción se obtiene como envolvente de los espectros ocurridos y se los suaviza
para evitar los picos y valles. Este nuevo espectro garantiza, con cierta probabilidad, que
su utilización para el diseño cubre un porcentaje bien definido de sismos ocurridos en el
lugar durante un determinado tiempo.

Figura 2.5 Pseudo-espectro de respuesta en velocidades: Resultado de la utilización
directa de la teoría.
T(seg)
Sv
Pseuo-espectro de velocidaes
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3
0
20
40
60
80
100
Amortiguamiento
ν=0
ν=5%
ν=10%
ν=20%
Figura 2.6 Pseudo-espectro de respuesta en velocidades: Espectro medio
suavizado.
T(seg)
Sv
Pseuo-espectro de velocidaes
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3
0
20
40
60
80
100
Amortiguamiento
ν=0
ν=5%
ν=10%
ν=20%
Las normativas utilizan para los fines de proyecto el denominado espectro
simplificado, que surge de aplicar a los espectros medios unos coeficientes de riesgo
(apartado 1.3), que funciona como coeficiente de seguridad. Además de lo dicho,
también se practica sobre estos espectros una rectificación de funciones, que simplifica
aun más su posterior utilización.

2.2.3. Espectro normalizado
Debido a la necesidad de confrontar diversos espectros de respuesta
simplificados y establecer el espectro de proyecto, es necesaria su normalización.
Normalizar un espectro, significa referirlo a un valor común de aceleración, velocidad o
desplazamiento. Debido a que el espectro más significativo es el de aceleraciones, es a
este el que se normaliza a partir de la aceleración gravitatoria. Es por esto que
normalmente las ordenadas de los espectros de aceleraciones absolutas Sa, están
expresadas como una fracción de la aceleración gravitatoria g. A este número
adimensional, se lo suelo denominar coeficiente sísmico (Barbat, Miquel 1994), (Oller,
Caro 1994). Esto es:
( ) ( )
g
TS
Tc a ν
ν
,
, = (2.9)
Para ampliar este concepto, se recomienda ver el apartado 4.3.
La hipótesis que se utiliza normalmente cuando se trabaja en diseño estructural
con los seudo-espectros, es que la aceleración absoluta máxima coincide con la eficaz
máxima para situaciones donde 0→ν y por lo tanto la aceleración por al
amortiguamiento resulta despreciable (ver ecuación 2.5c), es decir
( ) ( ) ( )
maxmax
0 tututu efiabs −≈⇔→ν . Esto conduce a pensar que toda la fuerza aplicada
debe ser resistida por la rigidez elástica de la estructura,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) defiabsa
efiefiabsa
kSkuumtatumtumTmSF
ututatutuTS
=≈≈+===
=−≈+==
maxmaxmaxmaxmax
maxmaxmaxmax
,
,
ν
ν
(2.10)
Esto último permite rescribir el coeficiente sísmico, como:
( ) ( ) ( ) ( )
P
F
mg
TkS
mg
TmS
Tc
efida
max
,,
, =≈=
νν
ν (2.11)
Donde P es el peso de la masa del oscilador y es la fuerza que actúa sobre la
rigidez del oscilador propiamente dicha. Esta fuerza recibe el nombre de fuerza estática
equivalente y es capaz de producir sobre el oscilador una respuesta equivalente a la que
desarrolla un sismo en su base.
efiF
De las ecuaciones 2.7, 2.8 y 2.9 surge también, como información adicional, la
valoración del desplazamiento y la velocidad máxima:

ωω
ωω
cgS
Su
cgS
Su
a
v
a
d
===
−=−==
max
22
max
(2.12)
2.2.4. Representación espectral logarítmica tripartita
En algunos ámbitos se conoce también a esta representación como la
representación espectral de Newmark. Es un gráfico que contiene la información de los
tres espectros a la vez (ver la Figura 2.7) (Newmark 1971) (Barbat, Canet 1994),
(Clough, Penzien 1975), (Paz 1992). Representa en abscisas y ordenas, en escalas
logarítmicas, los valores del período T(s) y la velocidad espectral
[ ] ( ) ( ) ( )dvd SfSSscmS πων 2logloglog/ +=⇒= , respectivamente. Luego, sobre un eje a
45º el desplazamiento vertical [ ]cmSd y sobre otro ortogonal a este último, el
coeficiente sísmico ( ) ( ) ( ) ( )gSfcgSgSc dda log4logloglog 222
−+=⇒== πω . Para
el trazado de los ejes y se elige un origen de coordenadasaS dS ( )νST, arbitrario.
Figura 2.7 Representación espectral de Newmark: esquema de interpretación.
T(seg)
Sv
Pseudo-espectro de velocidaes
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.7 1 2 3 4 5 6 7 8 910
1
2
3
4
5
6
7
10
20
30
40
50
60
70
100
10
in.
1
in.
0.1
in.
1
g
0.1
g
0.01
g
Amortiguamiento
ν=0
ν=5%
ν=10%
ν=20%
A partir de esta nueva representación, surge una idealización de las curvas
espectrales, mediante trazos casi-rectos en cada uno de los tres sectores del gráfico de
Newmark: 1) zona de espectro de aceleración constante, 2) zona de espectro de

velocidad constante y 3) zona de espectro de desplazamiento constante. Del gráfico de
Newmark, se puede concluir lo siguiente:
• Para valores de T bajos, se tiene aceleración espectral casi constante.
• Para valores de T medios, se tiene velocidad espectral casi constante.
• Para valores de T altos, se tiene desplazamiento espectral casi constante.
2.2.5. Influencia de las condiciones locales del terreno
El terreno de cimentación de una estructura actúa normalmente como un filtro de
frecuencias y por lo tanto cambia en gran medida la excitación que transmite a la
estructura. Este efecto, conocido como efecto de sitio, puede comprenderse si se
interpreta al terreno como un sistema dinámico, cuya frecuencia propia hace que ciertas
señales se amplifiquen y otras no. Los terrenos duros o muy rígidos, amplifican las
señales cuyas frecuencias dominantes son muy altas (bajos períodos) y en tanto su
transmisibilidad se reduce por debajo de la unidad para excitaciones con frecuencia
dominante baja (períodos altos). El efecto contrario ocurre con los suelos blandos.
Además de este aspecto, aparecen otros fenómenos que alteran la respuesta dinámica
del suelo, como es el agua intersticial dentro de los terrenos friccionales, como las
arenas. En estos casos, se produce un fenómeno denominado licuefacción y que
conduce a la pérdida total de la capacidad portante del terreno. Todo esto hace necesario
que los espectros de diseño reflejen de alguna manera y aunque simplificada, el tipo de
terreno de cimentación.
2.2.6. Observaciones finales sobre los espectros de respuesta
Los espectros de proyecto se basan normalmente a un estudio como el que se ha
mencionado en los sub-apartados anteriores, pero practicado a partir de información a
nivel de la superficie del terreno. Por otro lado, éste se realiza sobre un terreno libre de
construcción alguna y por lo tanto no considera la influencia de la masa estructural en la
perturbación de la acción. Estas razones, entre otras, hacen que los espectros no deban
admitirse como único elemento informante para el proyectista, sino que además debe
conocer también el terremoto de diseño. Esto último incluye también información sobre
la actividad sísmica de la región, el mecanismo de falla, el contenido de agua del terreno
y licuefacción, efectos de sitio, efectos de topografía local, etc. (Barbat, Canet 1994),
(Clough, Penzien 1975).
En lo que respecta el concepto de ductilidad en estructuras con comportamiento
inelástico, su tratamiento será presentado en el apartado 4.4.

Capítulo 3
CCáállccuulloo ddee llaa rreessppuueessttaa
eessttrruuccttuurraall
3.1 MODELOS ESTRUCTURALES TÍPICOS UTILIZADOS EN EL
CÁLCULO DE EDIFICIOS –EDIFICIO DE CORTANTE
La determinación de la respuesta sísmica de una estructura requiere disponer de
una adecuada definición tanto del movimiento del terreno como de las características
estructurales. Obviamente, el sujeto de un análisis sísmico no es la propia estructura,
sino un modelo mecánico de la misma que, en este caso, es uno dinámico. La definición
de tal modelo depende del tipo de estructura analizado y del grado de información que
se quiere tener sobre la respuesta de la estructura. Además, el análisis pretende, por un
lado, proporcionar una descripción realista de su comportamiento y por el otro, obtener
relaciones entre la acción y la respuesta, las cuales en conjunto constituyen el modelo
matemático del problema (Barbat y Canet 1994).
En el caso particular de los edificios, la modelización debe tener en cuenta que
su masa está generalmente concentrada en unas zonas de la estructura fácilmente
identificables. Por este motivo, los modelos dinámicos que suelen considerarse en este
caso son de masas concentradas, de fácil aplicación y que proporcionan resultados
suficientemente precisos. La masa total del edificio se concentra en puntos predefinidos
del mismo, los cuales se encuentran concretamente a nivel de los forjados, simulándose
de esta manera el efecto de las fuerzas de inercia reales que aparecen en la estructura
durante su vibración. Se hace también la suposición de que el resto de la estructura tiene
solamente rigidez (pilares), pero no masa si bien ésta es considerada como concentrada
tanto en el nivel superior como en el inferior, y su comportamiento se describe mediante
barras elásticas sin masa. Como consecuencia de estas simplificaciones, el número de
grados de libertad del modelo se reduce, tal como puede verse en el caso del pórtico
plano de la Figura 3.1(a) (Barbat y Canet 1994). Si además se hacen las

simplificaciones de despreciar la deformación por esfuerzo axil de los pilares y de
considerar que los forjados son perfectamente rígidos tanto a flexión como a axil, el
pórtico puede modelizarse mediante el sistema con masas concentradas de la Figura
3.1(b), denominado modelo de edificio de cortante.
(b)(a)
Figura 3.1 Modelos dinámicos de masas concentradas para edificios. (a) edificio de
plantas rígidas y (b) su modelo dinámico de edificio de cortante
En la Figura 3.2(a) se esquematiza un pórtico tridimensional sometido a la
acción de un terremoto que actúa según su plano de simetría. En la hipótesis de planta
flexible, la estructura tendría diez grados de libertad ( )1021 ,...,, xxx mientras que si se
supone que las plantas son rígidas, el número de grados de libertad queda reducido a
dos, siendo éstos los desplazamientos y de los pisos, tal como se observa en la
Figura 3.2(b). En el caso en que la dirección del terremoto no está contenida en dicho
plano, es posible considerar en el modelo grados de libertad adicionales, a fin de incluir
en el análisis la posibilidad de giro de los pisos en su propio plano, es decir, el
fenómeno de torsión global de la estructura. Éste es el caso que se describe en la Figura
3.3, donde el modelo tridimensional de la Figura 3.3(a) puede sustituirse por el de la
1X 2X

Pórticos de cortante con grados de libertad rotacional 35
Figura 3.3(b), que considera la torsión de una forma simplificada, utilizando la hipótesis
de plantas rígidas y de deformación por axil nula en los pilares (Barbat y Canet 1994).
u8
m8
(b)
u2
m2
u1
m1
u5
u6
u3
u4
u9
u10
u2
u7
u1
m6
m5
m3
m9
m4
m10
m7
m2
m1
(a)
Figura 3.2 Modelos dinámicos de masas concentradas para edificios. (a) pórtico
espacial modelizado como un sistema de 10 grados de libertad y (d) su modelo con
dos grados de libertad
Las simplificaciones que se realizan al modelizar una estructura tridimensional
como edificio de cortante pueden resumirse en lo siguiente:
El edificio se considera sometido, por separado, a dos componentes horizontales
ortogonales de la aceleración sísmica. En consecuencia, se realizan dos cálculos
diferentes, uno para cada componente de aceleración, utilizando en cada uno de
ellos el modelo de edificio de cortante de la estructura correspondiente a la
dirección de la acción. Al final del proceso de cálculo, los resultados obtenidos
para las dos direcciones se combinan, considerando para la aceleración sísmica
la dirección más desfavorable. En todas las normativas se prevén reglas para la
mencionada combinación de resultados, generalmente aplicando la regla la regla
del 30% que para los edificios regulares ha demostrado ser conservadora.
En la modelización de los pórticos que componen cada dirección se consideran
diafragmas rígidos en los pisos y se supone que la traslación horizontal es el
único grado de libertad por planta.
La totalidad de la masa del edificio se concentra a nivel de las plantas las cuales
son infinitamente rígidas en su plano y se considera que el resto de la estructura
no tiene masa.

Las masas concentradas se conectan entre sí mediante barras elásticas sin masa,
cuya rigidez es equivalente a la rigidez total de cada planta.
La torsión se tendrá en cuenta en el análisis de una manera desacoplada, después
de efectuar el análisis dinámico para los grados de libertad de traslación.
(b)(a)
Figura 3.3 (a) Modelo dinámico completo de un pórtico tridimensional con torsión.
) modelo simplificado del mismo pórtico(b .
Todas estas son simplificaciones que implícitamente se hacen al realizar un
cálculo dinámico de un edificio mediante el modelo de cortante, sin embargo, los
errores de cálculo que suponen son razonables, hecho por el cual el modelo de edificio
de cortante es generalmente considerado por los calculistas de estructuras como
adecuado.
3.2 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARA EDIFICIOS DE CORTANTE
Las expresiones matemáticas que gobiernan la respuesta dinámica de las
estructuras se conocen con el nombre de ecuaciones del movimiento. En el caso de los
edificios de cortante con comportamiento lineal, las ecuaciones del movimiento se
suelen expresar utilizando el principio de d'Alembert. En la figura 3.3 se ha
representado un esquema para la determinación de las ecuaciones del movimiento
(Barbat 1982; Barbat 1984).
El modelo de la Figura 3.4(a) está sometido a una aceleración horizontal a(t) de origen
sísmico. Aislando las masas e introduciendo todas las fuerzas correspondientes,rm

incluidas las de inercia, resulta el esquema de la Figura 3.4(b). Expresando el equilibrio
dinámico de la masa , de acuerdo con el principio de D’Alembert, en un sistema de
referencia no inercial con el origen en la posición inicial del edificio, se obtiene
rm
( ) ( ) ( ) 0=−− tFtFtF arerir ( )nr ,...,2,1= (3.1)
Figura 3.4 Modelo de edificio de cortante. (a) Modelo sísmico; (b) equilibrio de
fuerzas.
(b)(a)
Donde ( )tFir , , son las fuerzas de inercia, elásticas y de
amortiguamiento, respectivamente, correspondientes al grado de libertad r. Obviamente,
el modelo dinámico completo está en equilibrio si lo están todas y cada una de sus
masas. Escribiendo una ecuación de equilibrio del tipo (3.1) para cada una de las masas
y, expresando el conjunto de todas ellas en forma matricial, se tiene
( )tFer ( )tFar
( ) ( ) ( ) 0i e at t t− − =F F F (3.2)

Los vectores de las fuerzas elásticas, ( )e tF de inercia, y de
amortiguamiento, , se definen mediante las siguientes expresiones matriciales:
( )i tF
( )a tF
( ) ( )
( ) ( ) { } ( )
( ) ( )
1
e
i
t t
t t
t t
=
a t⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
=a
F KU
F M U
F CU
(3.3)
En estas ecuaciones, ( ) ( ) ( )1 r nu t u t u t= ⎡ ⎤⎣ ⎦U … … es el vector de
desplazamientos respecto a la base del edificio de cortante y {1} es el vector de
colocación de la aceleración compuesto por elementos unidad. K es la matriz de rigidez
cuya componente genérica es la fuerza elástica que se desarrolla en el grado de
libertad bloqueado r+1, cuando se impone un desplazamiento unitario u , en el
grado de libertad r (para mayor explicación ver la Figura 3.5)
1+rK
1=r
Figura 3.5 Esquema representativo de la rigidez de un grado de libertad.
De esta manera se construye la columna r de dicha matriz. En el caso particular
del pórtico de cortante, la influencia del grado de libertad r sólo afecta a los dos grados
adyacentes, es decir que la fuerza en los restantes grados de libertad 022 == −+ rr FF
(véase Barbat y Canet 1994). En este caso particular, se llega a la siguiente forma
explícita tri-diagonal:

1 2 2
2 2 3 3
3 3 4 4
1 1
0 0
0
0
0r r r
n
K K K
K K K K
K K K K
K K K
K
+ +
+ −⎡ ⎤
⎢ ⎥− + −⎢ ⎥
⎢ ⎥− + −
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥+ −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
0
K
0
… … … …
… …
… …
…
(3.4)
En donde
3
1,12 −= rrrr hEIk es la rigidez cortante del grupo de pilares r, siendo
la suma de los momentos de inercia de los pilares situados entre las plantas r y r-1 y
donde es la altura de dichos pilares. En el apartado 3.3.4 se muestra la construcción
de esta matriz con más detalle. La matriz de masa M es diagonal para modelos de
edificio de cortante, es decir que no existe interacción entre las masas asociadas a dos
grados de libertad distintos del sistema.
rI
1, −rrh
Referente a la matriz de amortiguamiento C es oportuno hacer algunos
comentarios. La fuerza de amortiguamiento se produce principalmente por efecto de la
propia viscosidad del material. Existen otros fenómenos que también producen
disipación -fricción en zonas de contacto, fricción interna, etc.-, pero sólo se puede
denominar fuerza de amortiguamiento a aquella que depende de la velocidad y en este
caso sólo participan las fuerzas viscosas (ver apartado 4.4.1).
Habitualmente, en el cálculo dinámico de estructuras se utiliza solamente un
amortiguamiento viscoso, proporcional a la velocidad, que está basado en el modelo de
Kelvin-Voigt. Este es el caso contemplado en la última de las ecuaciones (3.3). Su
utilización se debe a la capacidad de describir, de una manera sencilla, el
amortiguamiento global de toda la estructura y poder tener solución cerrada en la
ecuación diferencial del movimiento. La definición parte de la hipótesis simplificativa
de que existe un mecanismo de pérdida de energía homogéneo, que es externo a la
estructura (Wilson y Penzien 1972). En estas condiciones se obtiene una matriz de
amortiguamiento proporcional a la matriz de masa, a la matriz de rigidez o una
combinación lineal de ambas, es decir:
1 2α α= +C M K (3.5)
Siendo 1α y 2α unos coeficientes a determinar. En este último caso al
amortiguamiento se le denomina de tipo Rayleigh. Este tipo de amortiguamiento puede
estar muy alejado de representar la realidad de una estructura, pero a cambio permite
dar una solución cerrada de la ecuación diferencial del movimiento.
Sustituyendo ahora las ecuaciones (3.3) en (3.2), se obtienen las siguientes
ecuaciones de movimiento para el modelo de edificio de cortante sometido a una
aceleración en la base,

( ) ( ) ( ) { } ( )1t t t a+ + = −MU CU KU M t (3.6)
Las vibraciones libres amortiguadas en el modelo dinámico se expresan como
+ + =MU CU KU 0 (3.7)
Y, cuando se prescinde del amortiguamiento, resulta
+ =MU KU 0 (3.8)
Que es el sistema de ecuaciones que describe las vibraciones libres no
amortiguadas del modelo.
3.3 PÓRTICOS DE CORTANTE CON GRADOS DE LIBERTAD
ROTACIONAL: CASO GENERAL
El pórtico de cortante admite una generalización al considerar la rotación de
cada piso condensada en la fuerza que actúa en la dirección del pórtico. En este apartado
se desarrollará las expresiones que permite calcular los edificios teniendo en cuenta su
rotación y traslación, considerando pórticos de cortante.
Se admite por hipótesis que los forjados son diafragmas infinitamente rígidos,
tanto en su propio plano asi como también a flexión. Esto permite reducir la estructura a
tres grados de libertad por piso, ver Figura 3.6(a).
3.3.1 Cálculo del centro de masa y del centro de torsión del nivel j
Se supone un nivel j de la estructura de edificio, ver Figura 3.6(b). A
continuación se calcula la posición del centro de masa y el centro de rigidez o torsión,
Centro de masa:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
∑
∑
∑
∑
kj
kjkjCM
j
kj
kjKJCM
j
mk
ymk
y
mk
xMk
x
.
.
(3.9)

Figura 3.6 Estructura aporticada genérica, representativa de un edificio en tres
dimensiones y su simplificación.
(c)
(b)
(a)
siendo ( )kjm la masa de un elemento estructural pilar, viga, forjado, muro, etc.-
perteneciente al nivel j de la estructura, y ( ) ( )[ ]kjkj yx , las coordenadas del centro de
masa del elemento estructural k.

Centro de rigidez:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
∑
∑
∑
∑
i
i
x
j
i
iji
x
j
CT
j
i
i
y
j
i
iji
y
j
CT
j
K
yK
y
K
xK
x
.
.
(3.10)
donde ( )i
x
jK y ( )i
y
jK representan las rigideces del pilar i, nivel j, en las direcciones x e y
respectivamente.
3.3.2 Obtención de la fuerza por traslación y su correspondiente desplazamiento
en el nivel j
Se establece el equilibrio traslacional de fuerzas en la dirección y para todo el
nivel j a través de la siguiente ecuación,
( ) ( ) ( )∑∑ ==
i
i
y
ji
y
j
i
i
y
j
y
j u.KFF (3.11)
Estableciendo una compatibilidad de desplazamientos en la traslación del piso j,
( ) y
ji
y
j uu ≡ , resulta el desplazamiento de todo el piso en función de la fuerza,
( ) ( )∑
∑ =⇒=
i
i
y
j
y
jy
j
i
i
y
j
y
j
y
j
K
F
uKuF ... (3.12)
Con este desplazamiento traslacional del piso j, de magnitud se obtiene la
fuerza
y
ju
( )i
y
jF que se desarrolla en el pilar , nivel , dirección y,esimo
i esimo
j
( ) ( ) ( )∑
==
i
i
y
j
y
jy
j
y
ji
y
ji
y
j
K
F
FuKF . (3.13)
Siguiendo el mismo procedimiento, resulta la fuerza ( )i
x
jF en la dirección x,
( ) ( ) ( )∑
==
i
i
x
j
x
jx
j
x
ji
x
ji
x
j
K
F
FuKF . (3.14)

Figura 3.7 Desplazamientos producidos en un pilar como consecuencia de la
.3.3 Obtención de la fuerza por rotación y su correspondiente desplazamiento
En este apartado se supone un nivel j de la estructura de edificio (ver Figura
3.6(c) y
⎤
⎥
⎦
(Xj)i
(Yj)i
(Fj )i
(Fj )i
y
x
CTj
Mj
X
Y
(Øj)i
( ) ( )ijji
y
j Yθu −=
( ) ( )ijji
x
j Xθu −=
rotación de piso
3
en el nivel j
Figura 3.7), y se establece el equilibrio rotacional de fuerzas para todo el nivel j
a través de la siguiente ecuación,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. .
. . . .
CT CM
j j j
y x
j j j ji ii i
i i
y y x x
j j j j j ji ii i i i
i i
M F d
F x F y
K u x K u y
−
= ×
= −
⎡ ⎤ ⎡
= −⎢ ⎥ ⎢
⎣ ⎦ ⎣
∑ ∑
∑ ∑
(3.15)
Sustituyendo en esta ecuación los movimientos de los pilares en función de la
rotación del piso (ver Figura 3.7), resulta
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑
∑∑
+
=θ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+θ=
i i
2
iji
x
j
2
iji
y
j
j
j
i
2
iji
x
j
i
2
i
y
ji
y
jjj
y.Kx.K
M
y.Ku.K.M
(3.16)

Obteniendose de aquí las fuerzas en los pilares en función del momento , que en
adelante denominaremos momento del piso j.
jM
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )∑∑ +
i
ijij
i
ijij yKxK ..
( ) ( ) ( )
== xy
iji
y
j
jijji
y
ji
y
j
xK
MxKF 22
2
2
.
...θ
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )∑∑ +
== xx
MyKF
2
...θ
(3.17)
i
iji
x
j
i
iji
y
j
iji
x
j
jijjijij
yKxK
yK
22
2
..
.
3.3.4 Obtención de la matriz de rigidez para el piso j
La matriz de rigidez del pórtico de cortantes correspondiente a la estructura que
muestra la Figura 3.5 y particularmente la sub matriz del piso j, resulta a partir de las
xpresiones de las fuerzas obtenidas en los sub apartados previos (ver Figura 3.8).
Figura 3.8 Relación de rigideces y grados de libertad para el piso j del pórtico de
cortantes que resulta de la estructura que muestra la figura 3.5
e
MJ
J+1
J
J-1

• Ecuación de equilibrio traslacional del piso j.
El equilibrio en el piso j, luego de imponer una traslación del mismo en las
direcciones y se escribe en función de la contribución de las rigideces de los
pilares que vinculan el piso j con el j-1 y el j+1 (ver Figura 3.8). Es decir:
Se denomina rigidez
x
ju y
ju
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ −+−+ +==+=≡
i i
i
x
jji
x
jji
x
j
x
jj
x
jj
x
j
x
jj kkKkkKK 1,1,1,1,,
a la fuerza elástica que se desarrolla en la dirección x en el piso j cuando se
impone un desplazamiento unitario en el propio piso j, mientras se impide
el movimiento de los restantes grados de libertad,
Se denomina rigidez
1=x
ju
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ −+−+ +==+=≡
i i
i
y
1j,ji
y
1j,ji
y
j
y
1j,j
y
1j,j
y
j
y
j,j kkKkkKK
a la fuerza elástica que se desarrolla en la dirección y en el piso j cuando se
impone un desplazamiento unitario en el propio piso j, mientras se impide
el movimiento de los restantes grados de libertad,
1=y
ju
Se denomina rigidez
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ −−−−− ===≡
i i
i
x
jji
x
j
x
jj
x
j
x
jj kKkKK 1,11,11,
impone un desplazamiento unitario 1 1x
ju − = en el piso j-1, mientras se impide el
movi iento de los restantes grados de libertad,
Se denomina rigidez
m
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ +++++ ===≡
i i
i
x
jji
x
j
x
jj
x
j
x
jjK 1, kKkK 1,11,1
impone un desplazamiento unitario 11 =+ju en el piso j+1, mientras se impide el
movimiento de los restantes grados de libertad,
Se denomina rigidez
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ +++++ ===≡
i i
i
y
jji
y
j
y
jj
y
j
y
jjK 1, kKkK 1,11,1

a la fuerza elástica que se desarrolla en la dirección y en el piso j cuando se
escribe la siguiente ecuación
de e
impone un desplazamiento unitario 11 =+
y
ju en el piso j+1, mientras se impide el
movimiento de los restantes grados de libertad.
Componiendo las rigideces previamente citadas, se
quilibrio para el piso j,
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
, 1 , 1 , 1 1 , 1 1
, 1 , 1 , 1. .
j j j j j j j j j j ji i i i
i i i i
y y y
j j j j j j ji i i
i i i
k k u k
+ − − − − +
+ − −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡
+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑ ∑ ∑ ( )1 .y y y
ju k u
( ),
x
j jK
, , 1 , 1
, 1
. . .
x x x
j j j j j j
j j
K K K
x x x x x x x x
j
y y
j
K
F k k u k u k u
F
− +
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + − −
⎤
=
∑ ∑ ∑ ∑
( ) ( ), 1
, 1 1
y y
j j
j j ji
i
K +
− − +
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦
⎪
⎪⎩
reescribiendo esta ecuación a partir de asignar la siguiente notación a lo de
gidez, resulta
⎪
⎪
⎡ ⎤
− ∑
(3.18)
s coeficientes
ri
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, , 1 , 1 1
, 1 1 , 1
. . .
. .
x x x x x x x
j j j j j j j j j j
y y y y y y
j j j j j j
F K u K u u
F K u K u K
1
1. y
j
K
u,j j j
− − + +
− − +
⎧ = −⎪
⎨
= − − +
−
(3.19)
• Ecuación de equilibrio rotacional del piso j.
El equilibrio en el piso j, luego de imponer una rotación
⎪⎩
, se escribe enjθ
nción de la contribución de las rigideces de los pilares que vinculan el piso j con el j-1
y el j+1
fu
(ver Figura 3.8). Es decir:
( ),j jKθ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
, 1
, 1
2 2
, 1 , 1 1
2 2
, 1 , 1 1
. . .
. . .
. . .
j j
j j
j j j j ji ii i
i i
K
y x
j j j j j j ji ii i
i i
K
y x
j j j j j j ji ii i
i i
x K y
k x k y
k x k y
θ
θ
2 2y x
jM K θ
θ
θ
−
+
− − −
+ + +
⎡ ⎤
= + −⎥
⎡ ⎤
+ −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
+⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
∑ ∑
∑ ∑
(3.20)
⎢
⎣ ⎦
∑
reescribiendo esta ecuación a partir de asignar la siguiente notación a los coeficientes de
rigidez, resulta

( ) ( ) ( ), , 1 1 , 1. .j j j j j j j j jM K K Kθ θ θ
1. jθ θ θ− − += − − + (3.21)
Ordenando las ecuaciones (3.21) y (3.19) y describiéndolas en forma matricial,
tiene,se
e =F K.U (3.22)
siendo,
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
x x x
j j j j j j
j j j j j j
K K K
K K Kθ θ θ
− +
− +
⎡
⎢ ⎥
⎢
⎢
⎥
− − − ⎥
⎢ ⎥− − −
⎢
⎢
⎥
⎦
… … … …
… … … … …
…
… … … … …
… … … …
endo F y U los vectores de fuerza , correspondiente a toda
estructura y K la correspondiente matriz de rigidez global.
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
x x
j j
y y
j j
j j
x x
j j
y y
j j
j j
x x
j j
y y
j j
F u
F u
M
, 1 , , 10 0 0 0 0 0x x x
j j j j j jK K K− +
⎥
⎥− − −
⎢
= ⎢K , 1 , , 1
, 1 , , 1
⎤…
⎥
⎥
⎢
⎣…
…
si y desplazamiento globales
la
1 1j j
F u
F u
M
F u
F u
M
θ
θ
θ
− −
− −
− −
+ +
+ +
+ +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
F U
… …
… …
… …
⎥
⎥
… …
⎥
⎥
⎥
⎥

3.3.5 Cálculo de la rigidez de cada pilar i del piso j.
La rigidez de cada pilar (elementos contenidos en la matriz de rigidez de la
ecuación 3.22, resulta de la fuerza desarrollada para provocar un desplazamiento
unitario relativo entre el piso j y j-1 (ver Figura 3.9),
edificios. (a) edificio de
( )x
j y
u
( )
( ), 1
2
6
.
y
j j xi
j j
E I
M u
−
=
Figura 3.9 Modelos dinámicos de masas concentradas para
( )
( ) ( )
( )
( )
, 1
y
j j i
i
E I
h
−
=
(3
) ( ) ( ) ( ) ( )
, 1
, 13 3
, 1
, 1 3
12122
12
y
j j x x
i j j ji
i i i
y
j jx i
j j
i i
E IM
Q u k
h h
E I
k
h
−
−
−
−
= = ⇒
⎡ ⎤
⎢ ⎥=
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
.23)
Conocida esta simple rigidez, y sustituida en las ecuaciones del apartado 3.3.4,
se obtienen las rigideces al desplazamiento traslacional de cada piso en la direcciones x
e y,
(
( ) ( ), 1 , 1
, , 1 , 1 3 3
12 12j j j jx x x i i
j j j j j j j j i
E I E I
K K K K
h h
+ −
+ −
, 1 , 1
y y
x x
i i j j j j
K
+ −
⎡ ⎤
⎢ ⎥≡ = + = = +
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ), 1 , 1
, , 1 , 1 3 3
, 1 , 1
j j j jy y y y y i i
j j j j j j j j i
i i j j j j
K K K K K
h h
+ −
+ −
+ −
12 12x x
E I E I⎡ ⎤
⎢ ⎥≡ = + = = +
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑
(3.24)
( )
( ), 1
3
122
.
y
j jj xi
j j
E IM
Q u
−
= =
( )
( ), 11
1 3
12 y
j jj xi
2
.j j
E IM
Q u
−−
= =
( )
( ), 1
1 2
6 y
.
j j xi
j j
E I
M u=
−
J
J-1
1

Desacoplamiento modal de las ecuaciones del movimiento 49
Siguiendo un procedimiento análogo, se obtiene la rigidez rotacional de cada
piso,
( )
( )
( )
( )
( ), 1 , 12 2
, 1 3 3
, 1 , 1
12 12
. .
x y
j j j ji i
j j j i i
i ij j j j
E I E I
jK x y
h h
θ − −
−
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑ ∑
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
, 1 , 1
, 1 , 1 2
3 3
, 1 , 1
12 12
.
i
i j j j j
y y
j j j ji i
j i
i j j j j
h h
E I E I
y
h h
+ −
+ −
+ −
, 1 , 1 2
, 3 3
12 12
.
x x
j j j ji i
j j j
E I E I
K xθ + −
⎡ ⎤
⎢ ⎥= +
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥+ +
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
3.4 FUERZA DE INERCIA TRASLACIONAL Y ROTACIONAL
En este apartado se obtendrá la expresión detallada de la fuerza de inercia F que
se desarrolla en el pórtico de cortantes (ver ecuación 3.3) y principalmente la matriz de
masa M
(3.26)
La fuerza de inercia producida por las aceleraciones traslacionales en el piso j,
resultan,
x
j
y
j
u
u
∑ (3.25)
i =F M.U
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
.
.
j
j
M
y x
j j j ii
i i
y y
j j j ii
i i
M
F F m
F F m
⎧
⎪
⎡ ⎤⎪ = = ⎢ ⎥⎪⎪ ⎣
⎨
⎦
⎡ ⎤⎪ = = ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦
⎪
⎪⎩
∑ ∑
∑ ∑
(3.27)
El momento torsor de piso T
M debido a la fuerza de inercia producida por las
aceleraciones rotacionales en el piso j es
( ) ( ) ( ) ( )T y x
j j j ji ii i
i i
M F x F y= −∑ ∑ (3.28)
Sustituyendo en ésta última ecuación las fuerzas de inercia por su magnitud,
queda,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y x
j j j j j j ji i ii i
i i
i
M m u x m u y= −∑ ∑
Teniendo en cuenta la cinemática de la rotación de los pisos (ver la figura 3.7)
(3.29)
( ) ( )
( ) ( )
x
j j j ii
y
j j j ii
u y
u x
θ
θ
⎧ =⎪
⎨
=⎪⎩
(3.30)
y sustituyéndola en la ecuación de momento del piso (3.29), resulta
i
y
(3.31)
ne la siguiente
xpresi
. 0 0 .
0 0
j j j j
y y
j j j j j j j
j j j j
F u
M θ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j
y x
j j j j j j j ji i ii i
i i
M
M m u x m u
θ
θ
⎡ ⎤
= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑ ∑
Escribiendo ahora las fuerzas de inercia en forma matricial se tie
e ón desacoplada para el piso j.
0 0x x
F u,
,
,
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤M
θ
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
F M u M
M
(3.32)
siendo ( ),j j j jm≡ =
i
i
∑M M y ,j j j
θ θ
≡M M . La matriz de masa para el resto de los pisos
resulta también diagonal y por lo tanto la matriz de masa global -para toda la estructura-
también es diagonal.
3.5 DESACOPLAMIENTO MODAL DE LAS ECUACIONES DEL
MOVIMIENTO
Las características dinámicas de los modelos con varios grados de libertad se
definen analizando sus vibraciones libres no amortiguadas, que están gobernadas por la
ecuación (3.8). Dicha ecuación debe cumplirse para soluciones particulares del tipo
( ) i t
t e ω
ϕU (3.33)=
El vector φ contiene las amplitudes del desplazamiento y ω es la pulsación.
Sustituyendo (3.33) en (3.8), se obtiene la siguiente ecuación:
( )2
ω ϕ− =K M 0 (3.34)

Este sistema de ecuaciones algebraicas lineales y homogéneas constituye un
problema de autovalores. Dicho sistema tiene soluciones φ distintas de la triv
ecir, el modelo vibra, solamente si el determinante de la matriz de coeficientes es igual
a cero
ial, es
d
2
0ω− =K M (3.35)
Si este determinante se desarrolla en su forma polinómica se obteniene la
orrespondiente ecuación característicac
2 2 2 2 4 2
1 2 1 0n n n
n nω α ω α ω α ω α− −
−+ + + + +… = (3.36)
En el caso de las estructuras, la matriz de rigidez K y la de masa M son re
simétricas. Además, K es definida positiva y M es semi-definida positiva como mínimo.
n el caso en que M sea definida positiva, de la ecuación característica se obtienen n
solucio
ales y
E
nes positivas 2
iω y, en consecuencia, n valores de iω reales. Si la matriz M es
solamente semi-definida positiva, el número de solucion nitases fi 2
iω es menor. Los n
autovalores iω son las frecuencias propias o pulsaciones del modelo estructural, que
matriz espectral Ω.La frecuencia más
baja
pueden ordenarse en la diagonal principal de la
1ω se denomina frecuencia fundamental. Los períodos propios del modelo se
definen por
2
,
i
n1,2iT i
π
ω
íodo fundamental. La forma de vibración o autovector
= = … (3.37)
en donde 1T es el per iϕ puede
obtenerse a partir de la ecuación (3.34), expresando todos los términos de iϕ en función
de uno cualquiera de ellos, por ejemplo, 1iϕ . En este caso, se definen los autovectores
ormaliz sn ado 1i i i , 1,2,3,i nϕ ϕ= = …φ , cuyo primer elemento es igual a la unidad. Otra
forma es normalizar los autovectores en función de la masa, a partir del uso de la
relación
*T M
i i i
ϕ ϕ =M
lo que
(3.38)
permite aplicar la siguiente fórmula de normalización respecto de la masa:
( )
1
2*
. , 1,2,i i iM i nϕ
−
= = …φ (3.39)

Esta ecuación asegura el cumplimiento de la condición ( ) 1
T
i =Mφ φ . Los
autovectores iφ , que pueden ordenarse en la matriz modal Φ, representan las formas del
sistema dur e la vibración en cada una de sus au
utovectores reciben en el análisis estructural el nombre de formas naturales de
vibración o formas modales. Un autovalor
ant tofrecuencias. Por ello, los
a
iω con su autovector correspondiente iφ
constituye el modo natural de vibración i.
i j i j
La condición de ortogonalidad de dos vectores se define por
T
0= ≠Μ (3.40)
Pueden introducirse condiciones de ortogonalidad semejantes respecto a la
atriz
φ φ
m de masa M y respecto a la de rigidez K por medio de las expresiones (Bathe
1982, Bathe, K.-J. Newmark y Rosenblueth 1971)
0T
i j i j= ≠Mφ φ (3.41)
0T
i j i j= ≠Kφ φ (3.42)
éstas formas propias cumplen también la siguiente condición de normalidad respecto a
la matriz de masa:
*
0T
i j iM= ≠Mφ φ (3.43)
( )* *
1
T
i i =Mφ φ (3.43b)
que permite escribir en forma compacta una condición de ortonormalidad respecto a
d
lo
la matriz e masa: ( )* *T
=Φ MΦ I , donde I es la matriz identidad. Sin embargo,
aunque los vectores propios no fuese ortonormales, la condición de o togonalidad
respecto a la matriz de masa se cumple si pre. Dicha condición puede expresar de la
siguiente mane
( ) *T
=
r
em
ra:
(3.44)
donde M* es diagonal. De igual forma, la
matriz de rigidez se puede escribir como
(3.45)
donde es una matriz diagonal cuyos términos no nulos valen
Φ MΦ M
condición de ortogonalidad respecto a la
( ) *T
=Φ KΦ K
*
K * T
ii i iK Kφ φ= . En el
caso de un amortiguamiento C de tipo proporcional, la matriz de amortiguamiento
también cumple la condición de ortogonalidad respecto a la matriz modal

( ) *T
=Φ CΦ C (3.46)
siendo *
C una matriz diagonal. Considerando la definición del amortiguamiento
proporcional de la ecuación (3.5), la condición de ortogonalidad (3.46) proporciona
* * *
1 2C M Kα α= + .
El problema de autovalores anteriormente mencionado se soluciona mediante
técnica 82; Barbat y Canet
994). En muchos casos no es necesario calcular todos los autovalores y autovectores
del problema. De hecho, tal como se verá a continuación, es posible obtener una buena
proximación a la solución del problema dinámico utilizando solamente los autovalores
ás ba
rsos métodos que calculan solamente
los prim ores que se deseen (Bathe 1982).
Adoptado ya el método de autovalores y autovectores para la obtención
modos propios de vibración de la estructu a, se introduce ahora el concep
paración de variables. Este concepto permite tratar por separado la resolución de las
(
onde el autovector
s numéricas, como la técnica estándar de Jacobi (Bathe 19
1
a
m jos de la estructura. Los autovalores superiores no solo tienen una influencia
pequeña en la solución, sino que están distorsionados debido al proceso de
modelización de la estructura y a los errores propios al proceso numérico utilizado en su
cálculo. Por este motivo, han sido propuestos dive
eros autovalores y autovect
de los
r to de
se
ecuaciones en el campo temporal y espacial, expresando el campo de desplazamientos
como
( )
1
n
j j
j
tχ
=
= ∑U φ 3.47)
d jφ describe la forma de vibrar de la estructura en el modo j y la
nada normal d e
n n
j j j j j j
j j j
t t t a tχ
= = =
+ + = −∑K Mφ (3.48)
cuación que, premultiplicada por la transpuesta de un autovector cualquiera,
1
n n n
T T T T
i j j i j j i j j i
j j j
t t t a tχ χ χ
= = =
+ + = −∑ ∑ ∑M C K Mφ φ φ φ φ φ φ
Uti ctores (ecu
función del tiempo ( )χ su amplitud. A esta última variable se le denomina respuesta
generalizada o coorde el grado d libertad j. Sustituyendo (3.47) en (3.6),
se obtiene
n
χ χ∑ ∑M Cφ φ
j t
( ) ( ) ( ) { } ( )
1 1 1
1
e
proporciona
( ) ( ) ( ) { } ( )
1 1 1
(3.49)
lizando las condiciones de ortogonalidad de los autove aciones
3.36, 3.37 y 3.38), resulta

*
1
n
T T
i j i i
j
iM
=
= =∑M Mφ φ φ φ (3.50)
*
1
n
T T
i j i i i
j
K
=
= =∑K Kφ φ φ φ (3.50b)
y, si la matriz de amortiguamiento es ortogonal, se tiene también
*
1
n
T T
i j i i i
j
C
=
= =∑C Cφ φ φ φ (3.50c)
Las ecuaciones (3.50) permiten formular la ecuación (3.49) como un sistema de
ecuaciones diferenciales desacopladas para cada modo de vibración i y que tienen la
misma forma que la ecuación del movimiento de un sistema con un solo grado de
libertad (ecuación 2.4)
( ) ( ) ( ) { } ( )* * *
1T
i i i i i i iM t C t K t a tχ χ χ+ + = − Mφ (3.51)
De esta manera, el sistema de ecuaciones (3.6) queda reducido a n ecuaciones
diferenciales independientes. La ecuación (3.51) puede transformarse dividiendo todos
s términossu *
iM , obteniéndose un sistema de ecuaciones diferenciales en aceleraciones
desacopladas (ver la similitud con la ecuación 2.4b de un sistema con un grado de
libertad).
( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( ) ( )2 1
2
T
i
î i i i i i i iT
i i
t t t a t Q a t a tχ ν ω χ ω χ+ + = − = − = −
M
M
φ
φ φ
(3.52)
donde se ha introducido el coeficiente , denominado coeficiente de participacióniQ
modal correspondiente al modo i de vibración, definido por
{ } 1
2
i nT
i i
r riM
1
1
n
T r ri
i r
r
M
Q
φ
φ
=
=
= − =
∑Mφ
y que aporta la aceleración , correspondiente a un sistema equivalente de un grado de
libertad. La ecuación (3.52) puede resolverse utilizando cualquiera de los mé
plicables a sistemas con un solo grado de libertad dinámica (por ejemplo, la integral de
Duham
s propias de vibración son ortonormales (ortogonales y
normalizadas respecto a la masa tal como se muestra en la ecuación 3.39), es decir,
∑
Mφ φ
(3.53)
ia
todos
a
el, ecuaciones 2.2, 2.3).
Cuando las forma

( ) 1
T
ii
=Mφ φ , el coeficiente de participación mo l queda de la forma
r
Q M
1
n
i rda riφ
=
= ∑
.Obsérvese que si se sustituye la masa rM por el peso en la ecuación (3.53), dicha
ecuación proporcionará el mismo valor para el coeficiente de participación m
A medida que aumenta el orden de las frecuencias, los errores que éstas
l mismo tiempo, los
odos inferiores contienen menor energía elástica de deformación, motivo por el cual
influyen en mayor medida en la respuesta de la estructura. Por todo ello, en el análisis se
incluye un número menor que n de modos propios de vibración y, consecuentem
cuación (3.47) y sus derivadas se suelen escribir de la siguiente forma:
Como consecuencia, el número
rG
iQ odal.
contienen son mayores, hecho ya puntualizado anteriormente. A
m
ente, la
e
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
q q q
i i i i i i
i i i
t t t t t tχ χ χ
= = =
= = =∑ ∑ ∑U U Uφ φ φ (3.54)
q n≤ de ecuaciones del tipo (3.52) que es
necesario resolver es habitualmente mucho menor que el número n de mod
ibración del modelo.
os de
v
Una de las formas de estudiar el comportamiento dinámico de una estructura
consiste en obtener la evolución en el tiempo de su respuesta. Para ello, una vez
obtenidas las respuestas generalizadas ( )iu t solucionando ecuaciones del tipo (3.52),
éstas se sustituyen en (3.54) para obtener la historia de los desplazamientos ( )tU .
Después de haber determinado dichos desplazamientos, se efectúa el cálculo de los
esfuerzos, que se realiza por procedimientos propios de un análisis estático para cada
instante t del proceso dinámico. Realizar un análisis de este tipo tiene dos
inconvenientes principales. En primer lugar, se necesita disponer de un acelero
el movimiento sísmico a considerar en el cálculo, y las normativas de diseño
os
ente, suficiente utilizar la
spuesta máxima. Por todos estos motivos, el procedimiento que habitualmente se
utiliza en el cálculo dinámico de edificios, utiliza la definición de la acción mediante
espectros sísmicos de respuesta y proporciona como resultado del cálculo únicamente la
respuesta máxima de la estructura. A continuación se desarrollan las bases teór
este procedimiento.
U
ción sísmica está definida mediante el espectro de
respues
grama
d
especifican solamente espectros sísmic de respuesta. En segundo lugar, este
procedimiento de análisis proporciona un exceso de información acerca de la respuesta
de la estructura, y en el diseño de estructuras es, generalm
re
icas de
3.6 RESPUESTAS MÁXIMAS MODALES UTILIZANDO ESPECTROS
SÍSMICOS DE RESP ESTA
3.6.1 Planteamiento del problema
Se considera que la ac
ta en aceleraciones aS , correspondiente a un movimiento del terreno de

aceleración l modo i de
vibración, se rescribe a continuación:
( )a t . La ecuación desacoplada (3.52), correspondiente a
( ) ( ) ( ) ( )2i i i i i it t t Q a tχ ν ω χ ω χ+ + = − (3.55
2
i )
Esta ecuación es similar a la que describe el movimiento de un modelo con un
solo grado de libertad (ecuación 2.4). Por este motivo, la respuesta generalizada máxima
en aceleraciones ( )maxi tχ , que se podría obtener solucionando numéricamente la
ecuación (3.55), es igual a la ordenada espectral iaS correspondiente al modo i (véase la
cuación 2.8) multiplicada por el coeficiente de participación modale iQ
( ) ( ) ( )maxi i a i i
t Q S Sχ = − = a (3.56)
En la ecuación (3.56) se introdujo la notación ( ) ( )a i a ii
S Q S= para definir la
aceleración espectral correspondiente al modo i. El desplazamiento generalizado
máximo en el modo i de vibración se expresa teniendo en cuenta que ( ) ( )a i a ii
S Q S= ,
siendo ( )d i
S el espectro de respuesta en desplazamientos (ecuación 2.8). En
consecuencia (ver ecuación 2.12)
( )
( ) ( )
2 2max
aa i i
i i
i i
SS
t Qχ
ω ω
= − = − (3.57)
Se estudiarán a continuación una serie de parámetros que caracterizan las respuestas
modales máximas de un edificio de cortante del tipo representado en la figura 3.4.
Dicho edificio tiene n grados de libertad (r es un grado de libertad corriente) y en su
análisis se incluirán, de acuerdo con las ecuaciones (3.54), q modos de vibración. Las
más importantes características de respuesta que se analizarán son: las fuerzas sísmicas
equivalentes modales en las riF , los desplazamientos modales de dichas plantas riu y el
cortante modal en la base iV . A éstas hay que añadir otras características que, en ciertos
casos, también pueden tener una influencia significativa en el diseño de los edificios:
os cortantes modalesl de y el momento modal de vuelcopiso riV v
riM . Un concepto muy
a
importante, que permite determinar de una manera rigurosa el número de modos de
vibr ción que se deben incluir en el análisis, es el de peso efectivo modal.

Figura 3.10Modelos dinámicos de masas concentradas para edificios. (a) edificio de
Una vez determinadas las características modales mencionadas, se calculan los
esfuerzos seccionales máximos modales mediante procedimientos de cálculo estático.
La evaluación de los valores totales de la respuesta, necesarios para comprobar el
comportamiento sísmico de la estructura, se debe hacer mediante procedimientos
estadísticos, aplicados directamente a los esfuerzos seccionales máximos modales.
3.6.2 Características modales máximas
• Desplazamientos modales máximos. Los desplazamientos modales máximos
según todos los grados de libertad del modelo se pueden escribir en la forma
(ver apartado 3.6.2.2 de la NCSE-02)
( ) ( )
( ) ( )
2 2max maxi i i i i i
i i
a ai i
S S
t Qχ η
ω ω
(3.58)
En esta ecuación, i
= = =U φ φ
i iQη = φ es el vector de los coeficientes de participación
modal correspondientes al modo i de vibración y

( )
1
2
max
max
i
i
i
ri
ni
u
u
u
u
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
U
es el vector de desplazamientos del grado de libertad r correspondiente al modo
i.
• Desplazamientos modales relativos entre pisos. Una característica de la
respuesta estructural muy importante en el diseño es el desplazamiento relativo
entre dos pisos sucesivos, llamado también desviación de piso. El valor modal
de dicha característica viene dado por la ecuación
( )1ri ri r i
u u −
∆ = − (3.59)
siendo su valor máximo .
• Cortantes modales de piso. La fuerza sísmica equivalente , correspondiente
a un modo de vibración i y a un piso r del modelo de la figura 3.5, se calcula
aplicando la segunda ley de Newton
( )maxri∆
riF
( )F u M= (3.60)maxri ri r
donde ( )maxriu es el valor máximo de la aceleración de respuesta al nivel r, en el
modo i de vibración, y rM es la masa concentrada al nivel r. La aceleración
máxima ( )maxriu se escribe a partir de las ecuaciones (3.54) en la siguiente
forma:
( ) ( )maxri riu φ= maxiu t (3.61)
siendo riφ la ordenada modal correspondiente al modo i de vibración y al grado
de libertad r. La aceleración generalizada máxima ( )tχ viene dada por lamaxi
ecuación 56), con lo cual la fuerza sísmica equivalente puede rescribirse
en la forma (ver ecuación 2.11 para un grado de libertad)
(3. riF
( )
( )a i
ri ri i r a ri ri
F Q M S P
g
(3.62)
S
φ η= =

Respuestas máximas modales utilizando espectros sísmicos de respuesta 59
donde ri ri iQη φ= , es el peso correspondiente a la masarP rM y g es la
aceleración de la gravedad. Los coeficientes riη se conocen como coeficientes
de forma, ya que dependen de las formas propias de vibración de la estructura.
El cortante en el modo i y en el piso r del edificio se calcula mediante
la ecuación
V F=
riV
n
ri ji
j r=
∑ (3.63)
De la misma manera, el cortante modal en la base del edificio, iT , será
1
n
i ri
r
V F
=
= ∑ (3.64)
Esta misma ecuación puede rescribirse como
( )
1
i ri i r
r g=
donde ha sido utilizada la ecuación (3.62).
n
a i
S
Pφ= ∑ (3.65)
• Peso efectivo modal. El peso efectivo modal se define a partir de la
siguiente ecuación (Paz 1994; Barbat y Hurtado 1996):
V Q
iW
( )a i
i i
S
V W
g
= (3.66)
que relaciona el cortante modal en la base con la aceleración máxima de
respuesta reducida por la aceleración de la gravedad. Comparando la ecuación
(3.66) con la ecuación (3.65) se deduce la expresión del peso efectivo modal
cuación (3.53) en la
siguiente forma:
1
n
i i ri r
r
W Q Pφ
=
= ∑ (3.67)
Expresando el coeficiente iQ proporcionado por la e

1
2
n
r ri
r
i n
P
Q
P
1
r ri
r
φ
φ
=
=
∑
∑
(3.68)
=
se obtiene la siguiente ecuación para los pesos efectivos modales iW
2
1
2
r
i n
W =
1
n
r ri
r ri
r
P
P
φ
φ
=
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
∑
(3.69)
Se puede demostrar analíticamente (Clough y Penzien 1993) que la suma
todos los modos de vibración de los pesos efectivos modales es igual al peso
=
sobre
iW
total de la estructura, es decir
1 1
n n
i r
i r
W P
= =
=∑ ∑ (3.70)
• ctivo modal.
e parte de la ecuación
Demostración de la expresión del peso efe
S
{ }1 = Φχ (3.71)
que expresa el vector {1} en coordenadas modales. El vector χ que cum
condición (3.71) contiene como elem plitudes modales y puede
calcularse invirtiendo la matriz Φ que no es singular. Dicho vector puede
ple la
entos am
obtenerse también premultiplicando los dos miembros de la ecuación (3.71) por
T
i Mφ , lo que permite escribir
{ }1T T
i i=M MΦχφ φ (3.72)
El miembro derecho de esta ecuación puede desarrollarse de la siguiente forma:
1 1 1 1 1 1 1 1
T T T T T
i i i i iχ χ χ χ= + + + + +MΦχ MΦ M MΦ MΦ… …φ φ φ φ φ (3.73)Φ
odos los términos del miembro derecho de la ecuación (3.73), excepto el
correspondiente a
T
iφ son iguales a cero debido a la propiedad de ortogonalidad
(3.45), con lo cual se obtiene

*T
i iM iχ=MΦχφ (3.74)
donde ha sido utilizanda de nuevo la m ma condición de orotogonalidad. En
consecuencia, la ecuación (3.72) puede reescribirse como
is
{ } *
1T
i i iM χ=Mφ (3.75)
de donde se expresan las amplitudes modales de la siguiente manera
{ } { }
*
1 1T T
i T
i i
M M
M M
φ φ
χ
φ φ
= = (3.76)
Utilizando ahora la ecuación (3.53) en la forma (3.68), la ecuación anterior se
reescribe como
1
2
1
n
r ri
r
i n
r ri
r
P
P
φ
χ
φ
=
=
=
∑
∑
(3.77)
presión:y el vector {1} en la ecuación (3.71) tendrá la siguiente ex
{ } 1
2
1
r ri
r
P
1
n
i
r
n
Pr rφ
φ
=
=
⎧ ⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪
= ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎩ ⎭
∑
El peso total de la estructura puede calcularse como
n
∑
Φ (3.78)
r
r
P g M
=
=∑ (3.79)[ ] { }
1
1 1
donde g es la aceleración de la gravedad. Sustituyendo ahora el vector {1}
proporcionado por la ecuación (3.78) en (3.79), se obtiene:
1
1 2
21 1 1 1
r
r r r r r r rn n
r r r r
r ri
P P P P
P
1
n
r rin n n n
r
Pφ
φ φ φ
φ
=
= = = =
=
⎧ ⎫
⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎪ ⎪
= ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
∑ ∑ ∑ ∑
∑
… (3.80)
⎩ ⎭
∑

Esta ecuación puede reescribirse en la siguiente forma
2
1
n
r rin n n
r
P
P W
φ
=
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦= =
∑
∑ ∑ ∑21 1 1
1
r in
r i i
r ri
r
Pφ= = =
=
∑
(3.81)
trarse.
Esta ecuación es muy útil en el momento de determinar el número de
modos de vibración que tienen una influencia significativa en la respuesta
estructural. Una condición satisfactoria que se utiliza habitualmente es
i r= =
con lo cual se ha obtenido la misma ecuación (3.70) que debía demos
1 1
0.9
q n
i rW P≥∑ ∑ (3.82)
Dicha condición permite incluir en el análisis el número q de modos de
vibración necesario para que la suma de su correspondiente peso efectivo sea al
menos un 90% del peso real total de la estructura.
Fuerzas sísmicas modales. Las fuerzas sísmicas equivalentes modales
pueden definirse, para cada piso r, como el producto del cortante modal en la
riF
base, iV por un coeficiente sísmico riξ
ri ri iF Vξ= (3.83)
Dicho coeficiente corresponde al modo i e vibración y al piso r y puede
expresarse mediante la ecuación
d
1
r ri
ri n
r ri
i
P
P
φ
ξ
φ
=
∑
(3.84)
obtenida a partir de la definición de las fuerzas sísmicas equivalentes modales –
=
ecuación (3.62)- y de los cortantes modales en la base -ecuación (3.64)-.

Figura 3.11Fuerzas sísmicas modales y momento modal de vuelco.
Momento de vuelco modal. El momento de vuelco modal v
riM correspondiente
al nivel r de un edificio de cortante se calcula como la suma de los momentos de
las fuerzas sísmicas riF aplicadas en los pisos r, r+1,...,n
n
v
ri ji j( )
1
r
j r
M F h= ∑ h
= +
− (3.85)
En esta ecuación, es la altura a la cual se encuentra un piso cualquiera
ase del edificio.
3.6.3 Esfuerzos seccionales modales
Una vez obtenidas todas las características modales necesarias, se procede al
álculo de los esfuerzos
incluir
uce en
l mismo instante de tiempo, tal como sería necesario para poder aplicar las ecuaciones
(3.54). En consecuencia, cualquiera de las respuestas máximas totales de la estructura
que cumplan con los requisitos preestablecidos de acuerdo con el criterio del peso
efectivo, o bien de acuerdo con lo prescrito en el código de diseño aplicado.
jh j, tal
como puede verse en la figura 3.5. Para r=0, la ecuación (3.85) proporciona el
momento de vuelco modal en la b
c seccionales, para los q modos de vibración que se quieran
en el análisis, mediante procedimientos estándar de la estática de estructuras.
El máximo de los esfuerzos modales en cada grado de libertad no se prod
e

3.7 CÁLCULO DE LA RESPUESTA MÁXIMA TOTAL
Una primera forma de aproximar la respuesta máxima total de una estructura es
considerando la suma de los valores absolutos de las contribuciones modales máximas.
Sin embargo, el valor que se obtiene de esta manera es un ímite superior de la respuesta
máxima total, que superará en mucho la respuesta máxima real.
Otro procedimiento, que habitualmente conduce a resultados correctos si las
frecuencias propias de la estructura analizada están bien separadas, evalúa la respuesta
máxima total como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las respuestas
modales -Square Root of Sum of Squares: SRSS- (Newmark y Rosenblueth 1971). Si se
incluyen en el cálculo q modos de vibración, una respuesta máxima cualquiera S de la
estructura (esfuerzo seccional, desplazamiento, etc.), se calcula de acuerdo al
procedimiento SRSS mediante la siguiente ecuación:
( )
2
max j= ∑S S max
1
q
j=
(3.86)
s cercanos -es decir, la
diferencia entre dos frecuencias consecutivas es m ás bajas de
las dos-, el método SRSS puede subestimar o sobreestimar en mucho la respuesta total.
Errores importantes se producen, asimismo, si el análisis que se lleva a cabo es
tridimensional y el efecto de la torsión es significativo. Por este motivo, ha sido
ropuesto por Der Kiureghian (1980) y Wilson et al. (1981) otro procedimiento,
denomi
teoría d
El méto
ecuació
Cuando la estructura tiene frecuencias propias con valore
enor que el 10% de la m
p
nado Complete Quadratic Combination (CQC), que tiene sus fundamentos en la
e las vibraciones aleatorias y que proporciona mejores resultados que el SRSS.
do CQC calcula la respuesta máxima total de la estructura mediante la siguiente
:n
max
1 1
q q
= ∑∑S i ij jρS S (3.87)
i j= =
El término modal ijρ se aproxima por (ver normativa NCSE-02)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 3
2 2
22 2 2 2 2
8
1 4 1 4
i j i j
ij
i j i j
ν ν ν γν γ
ρ
γ ν ν γ γ ν ν γ
+
=
− + − + +
(3.88)
donde i jγ ω ω= es la relación entre las frecuencias propias de los modos i, j; iν y jν
son las fracciones del amortiguamiento crítico correspondientes a los modos de
ibración i, j.v

En el caso particular en el cual la fracción del amortiguamiento crítico es constante y
1γ = , la ecuación (3.87) proporciona 1iiρ = . Puede observarse que si las frecuencias
están separadas, los terminos cruzados son despreciables y el método CQC proporciona
resultados muy parecidos al método SRSS.

Capítulo 4
AApplliiccaacciióónn pprrááccttiiccaa ddee llaa tteeoorrííaa
ddeell aannáálliissiiss mmooddaall eenn llaass
nnoorrmmaattiivvaass ddee ccáállccuulloo
ssiissmmoorrrreessiisstteennttee
En el presente capítulo se presenta un desarrollo general sobre la relación
existente entre la teoría del análisis modal y la manera en que esta teoría está
incorporada en las normativas de diseño sismorresistente. Además de éste tratamiento
general del tema, se hace también una particularización al caso de la normativa española
NCSE-02. Dicha particularización incluye referencias puntuales a cada aspecto de
cálculo contenido en la normativa.
4.1 ASPECTOS GENERALES
Todas las normativas de diseño sismorresistente vigentes en los distintos países
del mundo tienen su ámbito de aplicación claramente definido y éste se extiende
concretamente al campo de las estructuras de edificación. Sin embargo, a algunas de las
normativas se les da una cierta apariencia de “generalidad”, lo que a veces produce
cierta confusión entre los ingenieros y arquitectos que las deben aplicar en el diseño. La
mencionada apariencia, que se debe solamente a la falta de claridad, puede producir la
impresión de que las normativas son de obligatoria aplicación en el país para cualquier
tipo de estructura. En realidad, dichas normativas son generales solamente en lo
referente a la definición de la peligrosidad sísmica en el país, es decir, al cálculo de la
intensidad o aceleración máxima del terreno en cualquier sitio. Sin embargo, en cada
país existen normas específicas para el cálculo y diseño de estructuras no edilicias.

68 Aplicación práctica de la teoría del análisis modal en las normativas de cálculo sismorresistente
En los cálculos dinámicos previstos en todas las normativas de diseño
sismorresistente de edificios se utiliza el modelo simplificado de edificio de cortante,
similar al descrito en el apartado 3.1. Dicho modelo es aplicable a la mayoría de los
edificios más utilizados en la práctica y, a pesar de las simplificaciones que contienen,
proporcionan resultados con una precisión satisfactoria. Estas simplificaciones están
detalladamente indicadas en el apartado 3.1, y todas las normativas las admiten
implícitamente al fundamentar los cálculos en un modelo de edificio de cortante. Sin
embargo, las diferentes normativas añaden requisitos específicos de aplicación, que
vienen impuestos por los métodos simplificados de cálculo que proponen.
El procedimiento habitual de cálculo dinámico de estructuras prescrito en todas
las normativas de diseño sismorresistente del mundo, utiliza la definición de la acción
mediante espectros sísmicos de respuesta y proporciona como resultado del cálculo
únicamente la respuesta máxima de la estructura (ver apartado 2.2.3). Sin embargo, es
interesante recordar que en algunas normativas se deja abierta la posibilidad de definir
la acción mediante acelerogramas reales o artificiales representativos de una zona, que
se deben escalar en amplitudes y frecuencias de forma que sean compatibles con los
espectros sísmicos de respuesta estipulados en la misma normativa (NCSE 2002; E8).
Una definición de este tipo sería útil en un cálculo no lineal de las estructuras. Pero
dichas normativas no proporcionan ningún procedimiento numérico de definición de los
mencionados acelerogramas, dejando al usuario la libre elección de algún acelerograma
o grupo de acelerogramas.
4.2 ESPECTROS SÍSMICOS DE RESPUESTA
En la mayoría de las normativas de cálculo sísmico del mundo se formula una
única función genérica para la curva de amplificación de las aceleraciones (denominada
en la ecuación 5.10; ver también la normativa NCSE 02), válida para una región
sísmica entera en la que la norma define la acción (véase la figura 5.1). Esta función de
amplificación genérica, una vez multiplicada por la máxima aceleración sísmica del
terreno (denominada en la ecuación 5.9; ver también normativa NCSE 02),
proporciona la máxima aceleración de respuesta de un modelo con un solo grado de
libertad como función del período propio de dicho modelo, es decir, un espectro de
respuesta en aceleraciones. Los espectros de respuesta genéricos que se obtienen de esta
forma se ajustan luego a las diferentes sub-zonas de la región mediante su
multiplicación por diferentes coeficientes, generalmente empíricos y en algunos casos
de forma probabilística, tal como ocurre con el factor de importancia de la edificación,
que caracterizan dicha sub-zona a partir de criterios tales como sismicidad, peligrosidad
sísmica, importancia socio-económica, geología, etc. (Barbat et al. 1996). Todos estos
aspectos están incorporados en la normativa española dentro del coeficiente de
importancia ρ (véase Tabla 5.1). En la Figura 4.1 puede verse el aspecto que suelen
tener los espectros sísmicos de respuesta en las normativas de diseño (una escala de éste
espectro puede verse en la figura 5.2).
( )iTα
ba

Aspectos de cálculo de las fuerzas sísmicas 69
Figura 4.1 Forma típica de los espectros sísmicos de respuesta en las normativas
sismorresistentes.
Utilizando otros coeficientes, los espectros se ajustan también a las
características de la estructura que se diseña, considerando como criterios: tipología,
rigidez, ductilidad, características de los materiales, tipo de cimentación, condiciones
locales de suelo, características de amortiguamiento, importancia en los instantes
posteriores a los terremotos, etc. (véase las ecuaciones 5.9 a 5.11). Una vez definido un
espectro de diseño de esta manera, las normativas estipulan el cálculo de las fuerzas
sísmicas modales equivalentes a utilizar para determinar la respuesta estructural total
(véase apartado 5.1).
4.3 ASPECTOS DE CÁLCULO DE LAS FUERZAS SÍSMICAS
El proceso de cálculo previsto en las normativas de diseño sismorresistente se
desarrolla en las siguientes etapas:
1) Cálculo de los períodos propios de la estructura y de las formas modales
correspondientes. En muchas normas, para los edificios de cortante se incluyen
fórmulas empíricas que proporcionan, de manera simplificada, dichas
características dinámicas. En general se correlaciona el período fundamental con
la altura de al edificación y la forma modal con el aspecto de la forma
correspondiente al primer modo.
2) Se utiliza el espectro de respuesta proporcionado por la norma para determinar
las ordenadas espectrales correspondientes a cada modo de vibración incluido en
el análisis.
3) Se calculan las fuerzas sísmicas equivalentes de cada modo de vibración,
multiplicando las ordenadas espectrales por la masa y por el coeficiente de
participación modal.
4) Se efectúa un cálculo estático de la estructura sometida a la acción de estas
fuerzas sísmicas modales equivalentes. Se obtienen, de esta manera, valores
máximos de los esfuerzos en la estructura en cada modo de vibración.

5) Los esfuerzos totales se calculan efectuando la superposición modal mediante
cualquiera de los procedimientos estadísticos expuestos en el capítulo 3.
Los primeros tres pasos de este procedimiento tienen carácter dinámico,
mientras que el cuarto es estático. Por este motivo, a este tipo de análisis se le llama
seudo-dinámico.
Considérese una estructura con n grados de libertad, en cuyo análisis se incluye
un número de {modos de vibración}. Una de las posibilidades es definir las
fuerzas sísmicas equivalentes correspondientes al modo i de vibración y al grado de
libertad r (en los pórticos de cortante r se identifica con el número de pisos en estudio)
mediante la ecuación (3.38), en la cual están expresadas en función del peso de la
masa concentrada al nivel r de la estructura. Otra posibilidad de expresar dichas fuerzas
sísmicas es la contemplada por la ecuación (3.59), en la cual las fuerzas se formulan
como función del cortante modal en la base .
q n≤
riF
rP
riF
iV
La primera de las dos formulaciones es la que más se utiliza en prácticamente
todas las normativas de cálculo sísmico. En éstas, las fuerzas sísmicas equivalentes se
expresan como (véase la ecuación 5.13)
ri ri rF s P= (4.1)
donde es el coeficiente sísmico correspondiente al grado de libertad r y al modo i de
vibración. Comparando la ecuación (4.1) con la (3.38), se puede deducir la expresión
teórica del coeficiente sísmico
ris
( )a i
ri ri
S
s
g
η= (4.2)
Una manera alternativa de expresar las fuerzas sísmicas equivalentes, y que está
prevista en algunas normativas (ver también la ecuación 5.13), es
ri i r riF c Pη= (4.3)
donde es el coeficiente sísmico para un oscilador de un grado de libertad,
identificado en este caso con el modo de vibrar (ver ecuaciones 2.9 y 5.15). De
esta forma, se introduce la siguiente relación entre el coeficiente sísmico del modo i
y su particular magnitud asignado al piso "r" del mismo modo i,
ris
esimo
i
ic
ris
( )a i
i
S
c
g
= (4.4)

El efecto P-∆ 71
Si el coeficiente sísmico fuese formulado en las normativas de acuerdo con la
teoría desarrollada en el Apartado 2.2.3, tendría una expresión del tipo
ic
c
i i
a
c
g
α= (4.5)
Siendo iα el coeficiente de amplificación dinámica (Barbat et al. 1994), o
también denominado en la normativa NCSE-02 ordenada espectral afectada del riesgo
zonal y es el coeficiente de intensidad sísmica de la zona, definido como la relación
entre la aceleración máxima del terreno
ca
( )
max
a t (ver apartado 5.2).
( )
max
ca a t= (4.6)
Comparando (4.5) con (4.4) se observa que
( )a ii
S acα= (4.7)
lo que significa que el producto i caα describe el espectro sísmico de diseño definido
por la normativa (ver ecuación 5.15).
Sin embargo, en el cálculo de las fuerzas sísmicas equivalentes estipuladas en las
distintas normativas de diseño del mundo, los coeficientes sísmicos se formulan
mediante ecuaciones que incluyen, además de éstos, otros parámetros, que describen, de
una manera simplificada, ciertas características de la sub-zona sísmica y de la estructura
que no han sido incluidos en la teoría. Dichas características son de gran importancia en
describir el comportamiento sísmico real de los edificios, pues tienen como objetivo el
de eliminar las limitaciones en los cálculo dinámicos teóricos, tanto en lo referente a la
definición de la acción mediante espectros sísmicos de respuesta, como en lo que
respecta al modelo simplificado de edificio de cortante. Entre los coeficientes que no
aparecen en la mencionada teoría, pero que están incorporados en las normativas de
cálculo sísmico de diferentes países del mundo, pueden citarse los siguientes:
Coeficiente de ductilidad µ de la estructura (véase la Tabla 5.4).
Coeficiente C que considera el efecto del tipo de cimentación y de suelo, es
decir, de la interacción suelo-estructura (véase la tabla 5.3).
Coeficiente ρ que considera la importancia que puede tener una estructura en los
instantes posteriores a un terremoto fuerte, en la mitigación de los efectos del
terremoto. A este coeficiente se hace referencia de manera implícita en los
apartados 1.2.2 y 1.2.3 de la normativa NCSE-02, y directamente a partir del
coeficiente ρ que se presenta en el apartado 2.2.

En el caso particular de la NCSE-02 todos estos aspectos están incluidos en el
cálculo de ( . Teniendo en cuenta estas observaciones, la ecuación (4.4) se puede
completar, obteniéndose la siguiente fórmula genérica de cálculo del coeficiente
sísmico:
)a i
S
[ ]c
i i i
a
c C
g
α β ρ= (4.8)
donde iβ es el cociente ν µ que engloba la reducción de la respuesta elástica debida al
amortiguamiento y la ductilidad.
Este mismo coeficiente puede verse en la normativa NCSE-02 en la forma
correspondiente a la ecuación (5.15), sólo que ρ y C están incorporados dentro de .
Cada normativa sísmica incorpora de forma distinta todos o algunos de los anteriores
coeficientes, dando lugar sus propias expresiones de cálculo del coeficiente sísmico. De
entre todos los coeficientes mencionados debe destacarse al que incluye en el cálculo el
efecto de la ductilidad, por el hecho de que, al describir fenómenos de no linealidad del
material, está directamente relacionado con el daño que sufren las estructuras durante la
acción sísmica. Sobre este efecto se profundiza en el apartado 4.4.2.
ca
n
P1
P2
P3
P4
Pn
4
3
2
1
Figura 4.2 Efecto P-∆.
Sin embargo, existen otros problemas del cálculo dinámico de los edificios, que
no pueden solucionarse modificando el coeficiente sísmico de la fórmula (4.8) mediante
incorporación de nuevos parámetros. Un primer problema es el de las grande
deformaciones que puede sufrir una estructura bajo las acciones sísmicas, es decir el de
la no linealidad geométrica. Un planteamiento simplificado de este problema, que
admite la hipótesis de que las tensiones y deformaciones coinciden en la configuración

El efecto P-∆ 73
inicial y deformada de la estructura, se conoce como análisis de segundo orden. En el
análisis sísmico de edificios, dicho problema recibe, habitualmente, el nombre de efecto
P-∆ (véase para detalles sobre este tema el apartado ¡Error! No se encuentra el origen
de la referencia., el capítulo 7 y también el apartado 3.8 de la normativa NCSE-02).
El segundo problema es el de la torsión global que sufren los edificios durante la
acción de los terremotos. Un cálculo dinámico que contemple el fenómeno de torsión
requiere utilizar grados de libertad de giro en el plano de los pisos, y dichos grados de
libertad no se consideran en un modelo estructural de edificio de cortante. Por este
motivo, en el caso de este tipo de modelos, es posible incluir en el análisis el efecto de
la torsión solamente de una manera desacoplada. Esto quiere decir que deben calcularse
primeramente los esfuerzos seccionales debidos a las fuerzas sísmicas equivalentes
correspondientes a los grados de libertad de traslación, y sumarlas luego con los
esfuerzos seccionales debidos a la torsión. Este procedimiento desacoplado se conoce en
algunas normas como método de la torsión estática equivalente y es prescrito para
aquellos edificios que satisfacen ciertos criterios de regularidad en planta.
Para aquellos casos en los que la irregularidad induce grandes excentricidades, el
efecto de la torsión queda considerado al exigirse la aplicación del análisis modal con
tres grados de libertad por planta (dos traslaciones y una rotación)
A continuación se harán unos breves comentarios referentes a estos tres
importantes aspectos: ductilidad, efecto P-∆ y torsión estructural.
4.4 ESPECTROS DE RESPUESTA INELÁSTICOS
La energía inducida por los terremotos en estructuras se disipa en parte por el efecto del
amortiguamiento y en parte por el efecto de las deformaciones no elásticas en los
elementos estructurales (incursión en comportamiento plástico). Las estructuras bien
diseñadas y construidas deben ser capaces de absorber y disipar la energía, sufriendo un
daño mínimo durante terremotos moderados y daños limitados durante terremotos
fuertes. La simulación numérica del proceso de deterioro de las estructuras durante la
acción sísmica es complicada y costosa requiriendo procedimientos sofisticados de
cálculo no lineal. A pesar de sus numerosas ventajas, los espectros de respuesta, en la
forma en la cual han sido definidos, tienen la gran limitación de que pueden aplicarse
sólo al análisis de estructuras lineales elásticas. Es de gran utilidad extender el concepto
de espectro de respuesta a sistemas no lineales, especialmente para su uso en el análisis
de estructuras menos complejas como, por ejemplo, los edificios de cortante.
4.4.1 No linealidad en el comportamiento estructural
El desarrollo que se ha realizado en el apartado 2.2, sólo se refiere a un oscilador
con un grado de libertad y con comportamiento elástico lineal. Existen muchos casos
estructurales donde no se cumple esta hipótesis básica. En estos casos la forma de
obtener la respuesta para un oscilador no lineal es bastante distinta y más complicada
que, en el caso de los osciladores lineales. No es posible utilizar la integral de Duhamel
por que esta implica superposición de respuestas que, para osciladores con
comportamiento no-lineal, no se puede realizar. Sólo es posible obtener la respuesta

mediante la resolución numérica de la ecuación diferencial del movimiento (métodos de
integración paso a paso, explícitos o implícitos) y, a partir de allí, obtener los máximos.
No obstante, en este apartado se consideran las posibles no linealidades que se presentan
en una estructura y se estudia la manera en la cual pueden reflejarse en los espectros de
respuesta de una forma simplificada.
En la ecuación del movimiento (2.1), se pueden tener no linealidades en los tres
términos de fuerza. Pero es conveniente obviar la no linealidad en el término de masa,
puesto que esta se mantiene constante en la vida de una estructura . En
cambio sí se debe considerar la no linealidad por amortiguamiento que, por tratarse de
un fenómeno viscoso, el coeficiente de amortiguamiento depende de la velocidad y no
es constante (Barbat et al. 1993) (Luccioni et al. 1995). Este tipo de no
linealidad no es posible contemplarla dentro de los espectros de respuesta dado que
como ya se indicó, estos poseen únicamente las respuestas máximas de osciladores con
diferentes frecuencias naturales. La no linealidad en la rigidez
( )m t cte=
( )s x cte≠
( )k x cte≠ , se puede
producir por dos motivos: uno por que se presentan grandes deformaciones, es decir una
relación no lineal entre el campo de desplazamientos y el de deformaciones ( )f xε = ; y
otro por la no linealidad constitutiva o del material propiamente dicho ( ):Eσ ε ε= ,
que se debe a fenómenos de plasticidad, degradación (daño), fractura, etc. Esta no
linealidad en la rigidez es la que se puede representar dentro de un espectro de
respuesta de manera simplificada, y luego obtener una respuesta estructural corregida,
como si se tratase de una estructura elástica equivalente (Hanganu et al. 1994) (Oller et
al. 1992).
4.4.2 Fenómeno de ductilidad – conceptos básicos
Todos los fenómenos de no linealidad en la rigidez, podrían incluirse de una
manera simplificada, dentro de un concepto que en la ingeniería sísmica se conoce
como ductilidad estructural. Es decir, se puede admitir que el comportamiento no-lineal
que se manifiesta en un oscilador (ver la Figura 4.3), se produce por la acción conjunta
de fenómenos plásticos, de degradación de rigidez, de microfisuras, etc. (Hanganu et al.
1994, Oller et al.} 1992). Por otro lado se puede observar que estos fenómenos
producen grandes incrementos en los desplazamientos x∆ , con incrementos pequeños,
nulos o negativos en las fuerzas y una disipación energética no recuperable. Por el
momento se dirá que la ductilidad estructural está relacionada con la capacidad de
disipación energética que tiene una estructura sometida a carga cuasi-estática, y que no
tiene ninguna relación con la disipación producida por el amortiguamiento que sólo
depende de la velocidad. La disipación de energía independiente del tiempo (cuasi-
estática), conduce a que la fuerza real que actúa sobre la estructura sea inferior a la
que corresponde al caso elástico, tal como puede verse en la Figura 4.3. De aquí surge
el coeficiente de reducción por ductilidad Rµ (Newmark y Rosenblueth 1971) y cuya
expresión es:
F∆

El efecto P-∆ 75
in
F
R
F
µ = (4.9)
donde representa la fuerza actuante en una estructura cuyo comportamiento es
idealmente elástico y la correspondiente a la estructura real, cuyo comportamiento
es inelástico.
F
in
F
Figura 4.3 Respuesta no lineal de un oscilador para determinar el coeficiente Rµ.
uin
F
Desplazamiento en el tope (u)
Fin=Kuin
F=Ku
uult
u
Comporamiento
elástico
Comporamiento
inelástico ideal
Comporamiento
inelástico real
a
b
c d
eo
Newmark establece tres tipos distintos de coeficientes de reducción según la
parte del espectro en que se encuentre el período fundamental del oscilador (ver la
Figura 4.4), cuya justificación es la siguiente:
Para períodos bajos T en la zona de aceleración constante (frecuencia alta -
Figura 4.4 -), propone que tanto en la estructura ideal elástica como en la real
inelástica, deba mantenerse constante la fuerza aplicada, por lo tanto no hay
reducción de las mismas:
1in a
a a in in
a
mSF
S S R
F mS
µ= ⇒ = = = (4.10.a)
Para períodos intermedios T en la zona de velocidad constante, propone
mantener constante la energía tanto en la estructura ideal elástica como en la real
inelástica:

( ) ( )
( )
( ) ( )
22
1 1
2 2
1 1
2 2
2 1
2 1
2 1
in in in ult in
in in
in in
in
in a
ain
Area oab Area ocde
Fu F u F u u
F F F
F F F
k k k
F F
SF
R S
F
µ
µ
µ µ
µ
=
= + −
⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
= = − ⇒ =
F
k
−
(4.10.b)
donde µ representa la relación que hay entre el desplazamiento último y aquel
correspondiente al umbral inelástico inicial, y frecuentemente se le conoce como
ductilidad de desplazamiento ult in
u uµ = .
Figura 4.4 Diagrama espectral de diseño para una aceleración máxima del terreno
de 1.0 g sin amortiguamiento.
Para períodos altos T en la zona de desplazamiento constante (frecuencia baja -
Figura 4.4-), propone mantener constante la proporcionalidad entre
desplazamientos y fuerzas tanto en la estructura ideal elástica como en la real
inelástica:

El efecto P-∆ 77
ult
ina a
ain in in
a
mS SF u
R R
F u mS
µ µ µ µ S
µ
= = = ⇒ = = ⇒ = (4.10.c)
Esta última forma de definir la ductilidad es la adoptada por las normativas
NCSE-02 (ver la Tabla 5.4, la ecuación 5.10b y la ecuación 5.15). La reducción del
espectro elástico mediante factores que son función de la ductilidad de desplazamiento y
del período estructural simplifica un problema que de acuerdo con lo expuesto
anteriormente es mas complejo, sin embargo la adopción de estos valores en la mayoría
de las normas vigentes ha redundado en el diseño de edificios que han tenido un
comportamiento satisfactorio ante sismos fuertes (Witthaker, 2003).
Aunque no existe una completa justificación de la aplicación de los espectros de
respuesta no lineales al cálculo de la respuesta máxima de sistemas con varios grados de
libertad (Lin y Mahin 1985), prácticamente todas las normativas sísmicas del mundo
admiten su utilización en el diseño de edificios.
4.5 EL EFECTO P-∆.
El efecto P-∆ se refiere al momento adicional producido por las acciones
verticales con los desplazamientos laterales de las columnas, en edificios sometidos a
fuerzas laterales. En la Figura 4.5 puede verse una columna sometida a una fuerza axil
P, a un cortante V y a momentos flectores AM y BM en sus extremos.
Figura 4.5 Columna deformada con efecto P-∆ (Paz,1994).
L
A
B
P
P
V
VMA
MB
Bajo las mencionadas acciones, la columna sufre un desplazamiento lateral
relativo ∆entre sus extremos A y B. El momento adicional, de segundo orden, que se
produce en estas condiciones es so
M P= ∆, al que le corresponde un esfuerzo cortante
adicional so
V P= ∆ L B, siendo AL h h= − , donde y son las alturas de los
extremos A y B de la columna, respectivamente. Evidentemente, la consideración del
efecto P-∆ de esta manera simplificada no tiene en cuenta el hecho de que el
desplazamiento lateral ∆ de la columna sufre un nuevo incremento debido al efecto del
Ah Bh

momento de segundo orden y que, en consecuencia, dicho incremento de ∆ también
produce un incremento so
M adicional del momento. Si se considera un edificio de
cortante con n niveles, el desplazamiento lateral total en un piso cualquiera r de dicho
edificio, denominado , que incluye de manera completa el efecto P-∆, puede
evaluarse mediante la siguiente ecuación (Paz 1994):
( )r total
∆
( ) ( )
1
1
r rtotal
rζ
⎛ ⎞
∆ = ∆ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
(4.11)
donde rζ es la relación entre el momento total de segundo orden so
rM y el momento de
vuelco v
rM .
so
r
r v
r
M
M
ζ = (4.12)
El momento de vuelco total al nivel r, v
rM , puede calcularse a partir de los
valores modales v
riM dados por la ecuación (3.61), aplicando el procedimiento SRSS o
CQC. El momento total de segundo orden al nivel r se calcula como
( )so
r r r total
M P= ∆ (4.13)
donde , siendo el peso correspondiente a la masa concentrada en el piso r.
De esta manera, la ecuación (4.11) puede rescribirse en la forma
n
r
j r
P
=
= ∑ jP rP
( )r r total
r v
r
P
M
ζ
∆
= (4.14)
El efecto P-∆ puede despreciarse en el caso en que el coeficiente rζ no excede
el valor de 0.1 para cualquier piso del edificio.

El efecto P-∆ 79
4.6 EL EFECTO DE LA TORSIÓN GLOBAL DE LA ESTRUCTURA
Existen principalmente dos casos en los cuales debe considerarse en el análisis
dinámico la torsión. El primero se debe a la presencia de una componente torsional
significativa en el movimiento sísmico del terreno. Obviamente, inclusive las
estructuras perfectamente simétricas experimentarían vibraciones de torsión en este
caso. El procedimiento habitual de solucionar este problema consiste en utilizar un
modelo estructural del tipo que se presenta en las figuras 3.2, que considera grados de
libertad de giro alrededor de ejes verticales que pasan por el centro de rigidez de cada
planta. Sin embargo, debe mencionarse que la componente torsional del movimiento del
terreno suele ser despreciable y que, en consecuencia, dicho efecto no se contempla en
las normativas de diseño.
En el segundo caso, la torsión se debe a la no coincidencia del centro de masa de
cada planta de la estructura con el centro de rigidez de la misma. Dicha no coincidencia
se debe principalmente a la falta de simetría de las estructuras. Sin embargo, debe
añadirse el caso de estructuras con una aparente simetría de forma, pero en las cuales los
dos centros no coinciden debido a inexactitudes en la realización de la construcción o a
la no homogeneidad accidental de los materiales. En este caso, la torsión se tendrá en
cuenta en el análisis de una manera desacoplada, calculándose por separado los
esfuerzos debidos a la torsión en los pilares de la estructura -éstos son los elementos que
absorben el momento de torsión- y sumándolos después a los esfuerzos producidas por
las fuerzas sísmicas equivalentes.
El análisis parte de la definición de la excentricidad como la distancia entre el
centro de masa del piso r y su centro de rigidez. Al momento de torsión modal
correspondiente al piso r y al modo de vibración i se le denominará
re
t
riM . Es el momento
de las fuerzas cortantes de piso, aplicadas en el centro de masa de los pisos, con el brazo
y produce giros alrededor de ejes verticales que pasan por el centro de rigidez del
piso. Dichos cortantes de piso
re
s
riV , se calculan mediante la ecuación (3.39). En
consecuencia, el momento de torsión se calcula mediante la ecuación
t
ri r riM e V= (4.15)
Puesto que este cálculo se realiza para cada modo de vibración, es necesaria la
superposición de los esfuerzos modales que se obtienen. Si el efecto de la torsión es
significativo, es recomendable la utilización del procedimiento CQC (Der Kiureghian
1980; Wilson et al. 1981), descrito en el Apartado 3.5.

CAPÍTULO 5
LLaa nnoorrmmaattiivvaa eessppaaññoollaa
NNCCSSEE--0022
5.1 MÉTODOS DE CÁLCULO SEGÚN LA NORMATIVA
La normativa NCSE-02 establece como método de referencia para el cálculo
sísmico el análisis de la estructura mediante espectros de respuesta, fundamentado en el
análisis modal. También permite el cálculo de la respuesta dinámica mediante
integración numérica de las ecuaciones del movimiento. Además de estos dos
procedimientos, la normativa desarrolla un método simplificado de cálculo de la
respuesta sísmica máxima para los casos más usuales de edificios, cuya aplicación es
adecuada para estructuras que cumplen los siguientes requisitos:
El número de plantas sobre rasante es inferior a veinte.
La altura del edificio sobre rasante es inferior a sesenta metros.
Existe regularidad geométrica en planta y en alzado, sin entrantes ni salientes
importantes.
Dispone de soportes continuos hasta cimentación, uniformemente distribuidos en
planta y sin cambios bruscos en su rigidez.
Dispone de regularidad mecánica en la distribución de rigideces, resistencias y
masas, de modo que los centros de gravedad y de torsión de todas las plantas estén
situados, aproximadamente, en la misma vertical.
La excentricidad del centro de las masas que intervienen en el cálculo sísmico
respecto al de torsión es inferior al 10% de la dimensión en planta del edificio en cada
una de las direcciones principales.
Asimismo, se podría aplicar el método simplificado de cálculo a los edificios de
residenciales de importancia normal de hasta cuatro plantas en total. En todos los casos
debe utilizarse un modelo suficientemente preciso de la distribución real de las rigideces
y masas de la estructura.

5.2 CÁLCULO DE LAS FUERZAS SÍSMICAS
A continuación se establece el vínculo entre los apartados 2.2.3, 3.4 y 4.3 y las
prescripciones de cálculo contenidos en la normativa española NCSE-02. Siguiendo la
presentación teórica realizada, ahora se propone abordar un problema estructural típico,
consistente en obtener la respuesta de una estructura con “n” grados de libertad,
idealizada por una ménsula empotrada en la base, con masas concentradas en cada
grado de libertad (véase apartado 3.2). Éste sistema ideal, recibe el nombre de modelo
de edificio de cortante.
Normalmente se necesita obtener los desplazamientos máximos en cada grado
de libertad y la fuerza estática equivalente que sobre ellos actúa (para más detalle ver el
apartado 4.3).
El desplazamiento máximo en el modo de vibración i resulta de la resolución de
la ecuación del movimiento para dicho modo (ecuación 3.28), dentro de la teoría
espectral mencionada en los capítulos 2 y 4 (ver las ecuaciones del movimiento 2.4,3.28
y 2.6).
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
efi
i i
efiABS
i ii
i i i i i i i
u t u t
i i i i i i i
u t u tu t
u t u t u t Q a t
u t Q a t u t u t
ν
ν
ν ω ω
ν ω ω
+ + = −
+ = − −⎡ ⎤⎣ ⎦
(5.1 )
La máxima aceleración para amortiguamiento muy bajo, 0ν resulta de la
siguiente simplificación (ver también la ecuación 2.6):
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
max max
max2
ABS efi
i i
i i i i i
u t u t
u t Q a t u t Sω+ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ a
(5.2 )
donde ( )a i
S es la aceleración espectral máxima afectada por el coeficiente de
participación modal ( ) ( )a i a ii
S Q S= (ver la ecuación 3.32); ( )a i
S es la aceleración
espectral definida en la ecuación 2.8c, para un oscilador a un grado de libertad, cuyo
período es . Esto corresponde a la definición dada en el apartado 2.2.2, puesto que
premultiplicando la ecuación (5.2) por la masa
iT
*
iM correspondiente al grado de libertad
i, obtenida según la ecuación (3.19a), se tiene
( ) ( ) ( )
max max* * *efi
i a i i i ii
M S M u t K u t= − (5.3 )
De aquí resulta la expresión de la respuesta máxima en términos de
desplazamientos (ver también las ecuaciones 2.12 y 3.33):

Determinación de la aceleración espectral 83
( ) ( )
( ) ( )
*
max 2 max
*
max 1
2 2
2
1
i
a i i i i ii
i
n
r ri
a ai i r
i i n
i i
r ri
r
K
S u u Q
M
M
S S
u Q
M
ω
φ
ω ω
φ
=
=
= = =
= =
∑
∑
aS
(5.4 )
En consecuencia, los desplazamientos máximos correspondientes al modo i
pueden expresarse como (ver la ecuación 3.34)
( ) ( )
max max
i i iU u tφ= (5.5 )
y, para el modo i y el piso r, se expresa la ecuación (5.4) en la forma siguiente (ver
también el apartado 3.6.2.2 de la NCSE-02):
( ) ( )
( ) ( ) ( )
max
max 1
2 2max
2
1
n
r ri
a a rii ir
ri ri i ri rin
i i
r ri
r
M
S S a
u u t
M
φ
φ φ η
ω ω
φ
=
=
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥= = = =
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
∑
2
iω
(5.6 )
donde riη es el factor de distribución sísmica o coeficiente de participación modal
correspondiente al piso r y al modo de vibración i.
La fuerza estática equivalente en el grado de libertad correspondiente al piso r y
modo de vibración i, resulta de multiplicar el máximo desplazamiento del grado de
libertad r por la rigidez correspondiente (para modelos con un grado de libertad,
comparar la ecuación 2.10 con la 5.7)
( ) ( ) ( )
*
max*
2
r
ri r ri a rii
i
K
F K Sφ η
ω
= = (5.7 )
También se puede escribir la ecuación anterior en función del peso del piso r
*
*
2
r
r
i
K
M
gω
= = rP
, esto es (ver la ecuación 3.38):
( )
( )a i
ri r ri r i ri
S
F P Pc
g
η η= = (5.8 )
siendo ( )i a i
c S= g la ordenada normalizada del espectro de respuesta (ver ecuaciones
2.9 y 4.4).

84 Determinación de la aceleración espectral
5.3 DETERMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN ESPECTRAL
5.3.1 Cálculo de la aceleración espectral
La aceleración espectral que debe utilizarse en la expresión 5.8, debe ya
contener el coeficiente de reducción R mencionado en las ecuaciones 4.9 y 4.10 y que
está relacionado con la ductilidad estructural. También debe contener la influencia del
amortiguamiento υ, que es un factor de modificación de la respuesta espectral (véase
también el apartado 4.3), es decir
( ) ( ) ( )(a i i ci
S T a
υ
)α α β
µ
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5.9 )
donde es la aceleración sísmica de cálculo,ca iα es la ordenada del espectro de
respuesta afectada por un coeficiente de riesgo zonal (ver el apartado 2.2.2), β υ µ= es
el coeficiente de respuesta que tiene en cuenta la amortiguación dentro del coeficiente
( )fυ ν= y la ductilidad estructural µ, es la aceleración sísmica básica en la
superficie del terreno para un período de retorno de 500 años y que se obtiene del mapa
de zonificación de la figura 5.1 (ver el apartado 2.1 de la normativa), es la
aceleración máxima del terreno definida en el apartado 2.2.1, ρ es el coeficiente
adimensional de riesgo, que tiene en cuenta la probabilidad aceptable de que a sea
excedida durante el período de vida que se proyecta la construcción (ver Tabla 5.1), s es
el coeficiente de amplificación del terreno y se lo obtiene de la siguiente expresión
ba
max
ba a=
c
1.25
0.1
3.33 0.1 1.0 0.1 0.4
1.25 1.25
0.4
1
b
b
b
b
C
a g
aC C
s g
g
g a
ρ
ρ ρ
ρ
⎧
⎪
⎪ ∀ ≤
⎛ ⎞⎪ ⎛ ⎞
= + − − ∀ ≤ <⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ∀ <
⎪
⎪
⎩
a g (5.10 )
Tabla 5.1 Coeficiente de importancia ρ
Importancia ρ
Normal 1.0
Especial 1.3
La normativa española asigna las siguientes expresiones para cada una de las
magnitudes contenidas en la ecuación 5.9:

Figura 5.1 Aceleración sísmica básica en la superficie del terreno.
Ordenada del coeficiente de respuesta. Esta ordenada se compone de los
siguientes términos (ver apartado 3.6.2.2 de la normativa):
( )
( )1.0 2.5 1.0
i i
i i
i A
A
T T
T
T T
T
α β
α
β
⎧ ∀
⎪
= ⎛ ⎞⎨
+ − ∀ <⎜ ⎟⎪
⎝ ⎠⎩
AT≥
(5.11 )
Para el caso del cálculo simplificado de la fuerza sísmica equivalente, se puede
considera la siguiente expresión simplificada para iα (ver apartado 3.7.3 de la
normativa),
2.5
2.5
i B
i B
i A
i
T T
T
T T
T
α
∀ ≤⎧
⎪
= ⎛ ⎞⎨
∀ >⎜ ⎟⎪
⎝ ⎠⎩
(5.12 )
Por último, es la aceleración espectral de respuesta para un oscilador
elástico ideal de un grado de libertad y con un factor de amortiguamiento ν= 5 % del
crítico (véase la figura 5.2). Esta magnitud esta definida en la normativa
sismorresistente española NCSE-02 en tres tramos (ver el apartado 2.5 de la normativa)
( )iTα

Períodos bajos i AT T<
( ) 1.0 1.5 i
i
A
T
T
T
α = +
Períodos intermedios A iT T TB≤ ≤ ( ) 2.5iTα =
Periodos altos i BT T>
( )i
i
C
T K
T
α =
Figura 5.2 Aceleración sísmica básica en la superficie del terreno.
T(seg)
α(T)
NCSE-02
Espectro elástico de diseño
0 0.5 1 1.5 2
0
0.8
1.6
2.4
3.2
α(T)=1+1,5(T/Ta)
α(T)=2,5
α(T)=K.C/T
Ta=K.C/10 Tb=K.C/2,5
En estas ecuaciones K es el coeficiente de contribución que tiene en cuenta la
influencia de los distintos tipos de terremotos esperados en la peligrosidad sísmica de
cada punto, . 10AT K yC= . 2,5BT K son períodos característicos del espectro de
respuesta. Además, C es el coeficiente de tipo suelo (ver tabla 5.2), que vale C=1 para
suelos duros (tipo I), como roca compacta, suelo cementado o granular muy denso
(velocidad de propagación de las ondas elásticas transversales
C=
s750 /Sv m= ); C=1.3
para suelos intermedios (tipo II), como roca muy fracturada, suelos granulares densos o
cohesivos duros (velocidad de propagación de las ondas elásticas transversales
), C=1.6 para suelos granulares de compacidad media o suelos
cohesivos de consistencia firme a muy firme (tipo III) (velocidad de propagación de las
ondas elásticas transversales ) y C=2.0 para suelo granular
suelto o suelo cohesivo blando (tipo IV) (velocidad de propagación de las ondas
elásticas transversales v (para mayores detalles, ver el apartado 2.4 de la
normativa).
750 / 400 /Sm s v m s≥ >
400 / 200 /Sm s v m s≥ >
200 /S m s≤

La normativa añade que se puede determinar los valores de los coeficientes
30
i iC e
C
⎛ ⎞
= ⎜⎜
⎝ ⎠
∑ ⎟⎟ en función del espesor de los estratos existentes en los primeros 30.00
m a contar desde la superficie del terreno. Este coeficiente no contempla el posible
colapso del terreno bajo carga dinámica y para ello habrá que estudiar en forma
detallada la posible licuefacción del terreno.
ie
Para determinar el tipo de terreno se puede utilizar el ensayo SPT (Standard
Penetration Test) para terrenos granulares, la resistencia a compresión simple para
terrenos cohesivos y la técnica de estudio de la velocidad de propagación de ondas en
todos los casos.
Por último, el coeficiente de contribución K, que tiene en cuenta la peligrosidad
sísmica de la zona, puede obtenerse del anejo 1 de la normativa NCSE-02, depende de
las fuentes tectónicas que pueden afectar un sitio dado. Como ejemplo, para la ciudad de
Sevilla, dicha tabla proporciona: 0.07ba g = y 1.1K = .
Tipo de Terreno Coeficiente C
Tipo I 1
Tipo II 1.3
Tipo III 1.6
Tipo IV 2
Tabla 5.2 Coeficiente de suelo C
Coeficiente de reducción por ductilidad (ver la tabla 5.3). Permite considerar la
no linealidad estructural de una manera simplificada (ver apartado 4.4). La normativa
adopta la forma simple expresada en la ecuación 4.10c, donde la reducción de ductilidad
es independiente del período (ver 3.7.3.1 de la normativa). Es decir
iR Tµ µ= ∀ (5.13 )
Los valores de del coeficiente de ductilidad oscilan entre 1 4µ≤ ≤ para
estructuras que van de no tener ductilidad a aquellas muy dúctiles.
µ=4 µ=3 µ=2
Diáfana 4 0.27 0.36 0.55 1.09
Compartimentada 5 0.25 0.33 0.50 1.00
Muros y
similares Compartimentada 6 - - 0.46 0.93
Hormigón
armado o acero
laminado
sin
ductilidad(µ=1)
Coeficiente de comportamiento por ductilidad
Ω (%)Compartimentación
de las plantas
Tipo de
estructura
Tabla 5.3 Valores del coeficiente de respuesta
µ
υ
=β

Factor de modificación de respuesta por amortiguamiento. Permite introducir
modificaciones por amortiguamiento en la respuesta estructural, puesto que el espectro
de la normativa esta construido para un amortiguamiento tipo de ν=5% del crítico. Esta
modificación resulta de la siguiente expresión (ver apartados 3.7.3.1 y 2.5 de la
normativa):
[ ]
0.4
5
%
i AT Tυ
ν
⎛ ⎞
= ∀⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
≥
A
(5.14 )
Para períodos , las ordenadas espectrales se interpolarán linealmente entre
los valores correspondientes a
iT T<
( 0)iTα = y ( )i AT Tα = .
Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la 5.9, se obtiene la aceleración
espectral dada por la normativa para el grado de libertad i
( ) ( )
( )
( )
. . .
c
i
a
Obteniendose
a i
a i b ii
T
S
S s a c
g
α
β
υ
α ρ
µ
= ⇒ = (5.15 )
Sustituyendo esta última en la ecuación 5.6 se expresa el desplazamiento
máximo del piso r para el modo de vibración i (ver apartado 3.6.2.2 de la normativa y la
ecuación 3.34).
Esto es:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
maxmax
max max
2 2
ri ri a ri i b rii
i b
a i
ri ri ri ri
i i
a S s a
s a
S
u
υ
φ η α ρ η
µ
υ
α ρ
µ
φ η η
ω ω
⎛ ⎞
= = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠= = =
(5.16 )
5.3.2 Cálculo de la fuerza sísmica equivalente
Sustituyendo la ecuación 5.9 en la 5.8, se obtiene la expresión de la fuerza
sísmica equivalente en el piso r y el modo i, en la forma existente en la normativa (ver
el apartado 3.7.3 de la normativa y también las ecuaciones 3.38 y 4.1 a 4.3). Esto es:
( )
( )
( )
max
max
ri
i
s
b
ri r i ri
c
ri r ri
s a
F P
g
F P s
ρ υ
α η
µ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
(5.17 )

donde es el coeficiente sísmico para un oscilador con un grado de libertad,ic β υ µ=
es el denominado coeficiente de respuesta} (ver la tabla 3.1 de la normativa NCSE-02)
y el coeficiente sísmico correspondiente a la planta r y al modo de vibración i (ver
ecuación 4.4). Este valor coincide exactamente con el coeficiente sísmico definido para
un sistema con un grado de libertad en la ecuación 2.11
ris
( )ri i i i ris c Tν η= (5.18 )
tal que la expresión del coeficiente sísmico para un factor de amortiguamiento del
5% del crítico, según lo expresan las normativas, vale (ver la ecuación 2.8c):
ic
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
max
0.05
0
. sini
a bi
i i
t
tb
i i
S s a
c
g g
s a
a e t d
g
ω τ
ρ υ
α
µ
ρ υ
ω τ ω τ
µ
− −
⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ τ
(5.19 )
5.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN
Considérese una estructura como la que se muestra en la figura 5.3, sometida a una
aceleración sísmica , cuyo espectro sísmico de respuesta corresponde al de la
Normativa Española NCSE-02. Se requiere calcular la fuerza máxima en cada grado de
libertad y el desplazamiento correspondiente. La estructura está construida de hormigón
armado con cerramientos en muros de mampostería. La construcción se sitúa en la
ciudad de Sevilla sobre un terreno del tipo II (ver el apartado 5.3.1 y la tabla 2.1 de la
normativa). Para el desarrollo de este ejemplo se ha preparado un programa en
MATLAB, que permite realizar el cálculo de las matrices de masa M y de rigidez K,
propias de las características geométricas del pórtico y a las cargas actuantes. Una vez
calculadas las características geométricas y ensambladas las matrices, se calculan los
autovalores y autovectores, con los autovalores se tiene la frecuencia natural de cada
modo y se puede calcular el período. A continuación se pasa a introducir las
características del emplazamiento, consistentes en el factor de influencia de la fuente
sismotetónica, el tipo de suelo y la aceleración básica obtenida del mapa de riesgo
sísmico. Finalmente, se introducen los datos de las características disipativas de la
estructura, representados por la fracción de amortiguamiento y la ductilidad.
( )ta

60x60 60x60 60x60 60x60 60x60
60x6060x6060x6060x60 60x60
60x6060x6060x6060x6060x60
50x50 50x50 50x50 50x50 50x50
50x5050x5050x5050x5050x50
50x50 50x50 50x50 50x50 50x50
40x40 40x40 40x40 40x40 40x40
40x40 40x40
30x30
40x40 40x40 40x40
30x30 30x30 30x30 30x30
30x30 30x30 30x30 30x30 30x30
30x60 30x60 30x60 30x60
30x60 30x60 30x60 30x60
25x55 25x55 25x55 25x55
25x55 25x55 25x55 25x55
25x50 25x50 25x50 25x50
25x50 25x50 25x50 25x50
25x50 25x50 25x50 25x50
25x45 25x45 25x45 25x45
25x45 25x45 25x45 25x45
25x45 25x45 25x45 25x45
Figura 5.3 Pórtico de edificio a analizar.
Con los datos del problema se recurre la normativa y se obtiene:
I) Datos básicos:
Tipo de terreno. Se considera un terreno intermedio tipo II para el cual se
obtiene de tabla 5.2 (ver también en la tabla 2.1 de la normativa), el coeficiente
de suelo C=1.3.

Peligrosidad y aceleración sísmica básica. Del anejo 1 de la normativa, se
obtiene para la ciudad de Sevilla una aceleración sísmica básica 07.0gab = y
un coeficiente de contribución K=1.1.
Tipo de estructura. Se tiene una estructura de hormigón armado con
cerramientos de muros de ladrillos. Se adopta un amortiguamiento de
( ) ( ) 874.0755%7
4.04.0
==ν=υ⇒=ν y una ductilidad estructural baja, de
. Con estos valores, se obtiene un coeficiente de respuesta de2=µ
437.02874.0 ==µυ=β .
II) Valores característicos del espectro de aceleraciones:
Se considerará en este cálculo las recomendaciones de la normativa para el
cálculo simplificado (ver apartado 3.7 de la NCSE-02). Para poder aplicar este cálculo,
los edificios deben cumplir los siguientes requisitos: 1) El número de plantas sobre
rasante es inferior a veinte. 2) La altura del edificio sobre rasante es inferior a sesenta
metros. 3) Existe regularidad geométrica en planta y en alzado, sin entrantes ni salientes
importantes. 4) Dispone de soportes continuos hasta cimentación, uniformemente
distribuidos en planta y sin cambios bruscos en su rigidez. 5) Dispone de regularidad
mecánica en la distribución de rigideces, resistencias y masas, de modo que los centros
de gravedad y de torsión de todas las plantas estén situados, aproximadamente, en la
misma vertical. 6) La excentricidad del centro de las masas que intervienen en el cálculo
sísmico respecto al de torsión es inferior al 10% de la dimensión en planta del edificio
en cada una de las direcciones principales. También se podría aplicar el método
simplificado de cálculo a los edificios de pisos de importancia normal1
de hasta cuatro
plantas en total.
También la normativa se refiere al número de modos a considerar en el cálculo,
en función del período fundamental de la estructura ; esto es:FT
Modos a considerar Período Fundamental
1er modo
1er y 2do modo
1er, 2do y 3er modo
0.75sTF ≤
1.25sT0.75 F ≤<
1.25sTF >
Tabla 5.4 Criterio de selección del número de modos a aplicar
El período fundamental puede obtenerse a partir de las formulaciones
simplificadas que da la normativa (ver apartado 3.7.2.2), pero en general es
recomendable hacer un cálculo de valores propios a partir de la rigidez y masa
estructural, tal como se mostrará en este ejemplo que a continuación se presenta.
1
Construcciones de importancia normal: Son aquellas cuya destrucción por el terremoto pueda ocasionar
víctimas, interrumpir un servicio para la colectividad, o producir importantes pérdidas económicas, sin
que en ningún caso se trate de un servicio imprescindible ni pueda dar lugar a efectos catastróficos.

92 Ejemplo de aplicación
Utilizando las expresiones explícitas, del apartado 5.3.1 (o también del apartado
2.3 de la normativa), se obtienen los valores de los períodos característicos
143.0103.1.1.110C.KTA === y 572.05.25.2C.KTB === . En el caso que sólo se
utilice el espectro simplificado que ofrece la normativa en el apartado 3.7.3, sólo bastará
con tener en cuenta .572.0TB =
Suponiendo un coeficiente de riesgo correspondiente a estructuras de
importancia normal, se obtiene el coeficiente de amplificación del terreno a partir
de las ecuaciones (5.10a), que proporciona
1=ρ
04.125.13.125.1Cs === , para
( ) 1.007.007.0x0.1ga. b <==ρ . A partir de la información disponible, y de la
ecuación (5.11), se obtiene la aceleración sísmica de cálculo,
( ) 728.010.07.0.1.04.1a..sa bc ==ρ= .
Coeficiente Magnitud Observaciones
de suelo C=1,3 Terreno tipo II
de contribución K=1,1 Estructura en Granada
aceleración sísmica básica Estructura en Granada
Amortiguamiento Hormigón y mampostería
Ductilidad estructural Hormigón y mampostería
Teríodo TA Espectro simplificado
Período TB Espectro simplificado
de riesgo Importancia normal
de amplificación
Aceleración de cálculo
( ) 23.0ga b =
( ) ( ) 874.0755%7
4.04.0
==ν=υ⇒=ν
437.02874.02 ==µυ=β⇒=µ
143.0103.1.1.110C.KTA ===
572.05.25.2C.KTB ===
1=ρ
04.125.13.125.1Cs ===
( ) 728.010.07.0.1.04.1a..sa bc ==ρ=
( ) 1.007.007.0x0.1ga. b <==ρ
Tabla 5.5 Datos para el análisis modal de la estructura.
III) Determinación de las frecuencias y modos de vibración, a partir de la
obtención los valores y vectores propios:
Para simplificar la presentación, se considera la estructura como un oscilador de
masas concentradas en cada nivel (piso). Esta hipótesis permite resolver la estructura
del edificio como modelo de pórtico de cortante con tres grados de libertad, uno por
cada nivel (ver la figura 5.3 y el apartado 3.3). De esta manera se obtienen las siguientes
las matrices de masa y rigidez (ver el apartado 3.2 y 3.3):
=
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
M
105750 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 99750 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 95138 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 93075 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 92325 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 90638 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 88950 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 86888 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 85575 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 63638

Ejemplo de aplicación 93
K
0.848 -0.5964 0 0 0 0 0 0 0 0
-0.5964 1.1928 -0.5964 0 0 0 0 0 0 0
0 -0.5964 0.884 -0.2876 0 0 0 0 0 0
0 0 -0.2876 0.5752 -0.2876 0 0 0 0 0
0 0 0 -0.2876 0.5752 -0.2876 0 0 0 0
= 1E9
0 0 0 0 -0.2876 0.4054 -0.1178 0 0 0
0 0 0 0 0 -0.1178 0.2356 -0.1178 0 0
0 0 0 0 0 0 -0.1178 0
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
.1551 -0.0373 0
0 0 0 0 0 0 0 -0.0373 0.0746 -0.0373
0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0373 0.0373
y, siguiendo cualquier método para el cálculo de valores y vectores propios, se obtienen
las frecuencias fundamentales y las formas de vibración2
ω φ correspondiente a cada
modo i:
2
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
ω
8.185352772
16.79285562
27.85677655
36.01388621
43.61192497
59.78294071
72.73926038
93.1611507
105.1094667
138.3003977
=
0.000207 -0.000486 -0.000768 0.000536 -0.001108 0.00067 -0.00117 0.001614 0.001086 -0.001212
0.000292 -0.000666 -0.000986 0.000639 -0.001202 0.000528 -0.000566 -0.000189 -0.000583 0.002387
0.000374 -0.000815 -0.001076 0.0
φ
00603 -0.000913 0.000071 0.000539 -0.001718 -0.001175 -0.00165
0.000535 -0.001049 -0.000987 0.00027 0.00026 -0.000961 0.001887 0.000044 0.001892 0.000419
0.000684 -0.001186 -0.000649 -0.000176 0.001273 -0.000881 0.000004 0.001683 -0.001806 -0.000107
0.000819 -0.001217 0.00015 -0.000549 0.001509 0.00021 -0.001886 -0.001366 0.0009 0.000023
0.001107 -0.001027 0.001158 -0.000911 -0.000123 0.002296 0.001176 0.000314 -0.000145 -0.000002
0.001339 -0.000619 0.001787 -0.000381 -0.001579 -0.001813 -0.000461 -0.000062 0.000021 0
0.001863 0.001078 0.000543 0.002448 0.000821 0.000302 0.000046 0.000003 -0.000001 0
0.002102 0.002077 -0.001669 -0.002014 -0.000366 -0.000059 -0.0000
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦06 0 0 0
Los valores modales se han graficado para permitir ilustrar la forma que adopta cada
modo, ver Figura 5.4.

Modo 1
0 50 100 150 200
0
4
8
12
16
20
24
28
32
Modo 2
-160 -80 0 80 160 240
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
Modo 3
-200 -120 -40 40 120 200
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
Modo 4
-250 -150 -50 50 150 250
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
Modo 5
-160 -80 0 80 160
0
4
8
12
16
20
24
28
32
Modo 6
-200 -100 0 100 200
0
4
8
12
16
20
24
28
32
Modo 7
-200 -120 -40 40 120 200
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
Modo 8
-200 -120 -40 40 120 200
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
Modo 9
-200 -120 -40 40 120 200
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
Modo 10
-200 -100 0 100 200
0
4
8
12
16
20
24
28
32
Figura 5.4 Formas modales.

Se considera para esta estructura el amortiguamiento 0.05ν = y una ductilidad
4µ = que para la normativa aplicada es un valor que corresponde a estructuras con alta
capacidad de disipar energía sin perder su integridad global.
IV) Fuerzas y desplazamientos máximos en el primer modo de vibración
(modo fundamental):
Determinación del período fundamental:
1
1
2
0.7696FT T s
π
ω
= = =
Obsérvese que el período del modo fundamental aquí obtenido a partir de un
método de valores y vectores propios, difiere considerablemente del que resulta de la
normativa para ésta estructura a partir de la siguiente forma simplificada (ver normativa,
apartado 3.7.2.2):
1 0.09. 0.9FT T n s= = =
Debido al error que se comete en este cálculo simplificado, se mantiene la
magnitud calculada por el método de valores y vectores propios.
De esta manera se calculan los períodos de cada uno de los modos:
=
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
T
0.7696
0.3743
0.2255
0.1744
0.1441
0.1051
0.0864
0.0674
0.0598
0.0454
A partir de las expresiones del apartado 5.3.1 (apartado 2.7.3 de la normativa
para espectros simplificados), se obtiene la ordenada espectral elástica correspondiente
a cada uno de los modos:

⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
A
1.6893
2.5
2.5
2.5
2.5
2.2128
1.9967
1.7782
1.6897
1.5242
En la figura se pueden apreciar las aceleraciones de diseño correspondientes a
cada modo, obtenidas del espectro elástico de diseño de suelo tipo 2:
T(seg)
AEN
NCSE-02
Suelo tipo II
0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3
0
.6
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura 5.5 Aceleraciones normalizadas para todos los modos.
Además, la influencia del amortiguamiento se obtiene de la fórmula 5.10d
(apartado 2.5 de la normativa)
0.4
5
1.0
5
υ
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
y, para la ductilidad (ver el significado de esta hipótesis en la tabla 5.3), se
obtiene
µ = 4

1
0.25
4
υ
β
µ
= = =
valor que también puede obtenerse de la tabla 5.3, luego de hacer una interpolación.
Como consecuencia, puede decirse que el coeficiente sísmico para un oscilador a
un grado de libertad vale (expresiones 5.9 y 5.15)
( ) ( )1
1 1
a b
S s a
c
g g
ρ υ
α
µ
⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Para obtener el coeficiente sísmico en cada uno de los grados de libertad del
primer modo de vibración, es necesario multiplicar el coeficiente sísmico de un
oscilador a un grado de libertad antes obtenido, por el factor de distribución sísmica
1c
1rη
correspondiente al primer modo y planta r, tal como se ha presentado en las expresiones
5.6 y 5.8 (ver en la normativa el apartado 3.7.3.2)
( )
{ }
1
10
1
11
1 1 110
2
1 1
1
1
1
Q
Tr r
r
T
r r
r
M
M
φ
η
φ
=
=
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎡ ⎤
⎢ ⎥= = ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
∑
M
M
φ
φ φ
φ φ
Para todos los modos el factor de distribución sísmica es:
=FDS
0.1618 -0.2107 0.1910 0.055
0.2283 -0.2887 0.2453
0.2924 -0.3533 0.2677
0.4183 -0.4547 0.2455
0.5348 -0.5141 0.1614
0.6403 -0.5276 0.0373
0.8655 -0.4452 -0.2881
1.0469 -0.2683 -0.4445
1.4565 0.4673 -0.1351
1.6434 0.9004 0.4152
7 0.1624 0.0316 0.0651
0.0664 0.1762 0.0249 0.0315
0.0627 0.1339 0.0033
0.0281 -0.0381 -0.0453
-0.0183 -0.1866 -0.0415
-0.0571 -0.2212 0.0099
-0.0947 0.0180 0.1082
-0.0396 0.2315 -0.0855
0.2544 -0.1204 0.0142
-0.2093 0.0537 -0.0028
0.0755 0.0269 0.0193
-0.0088 -0.0144 -0.0380
-0.0300 -0.0804 -0.0291 0.0263
-0.1050 0.0021 0.0468
-0.0002 0.0788 -0.0447
0.1050 -0.0639 0.0223
-0.0654 0.0147 -0.0036
0.0257 -0.0029 0.0005
-0.0026 0.0001 0.0000
0.0003 0.0000 0.0000
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
-0.0067
0.0017
-0.0004
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
El coeficiente sísmico por cada grado de libertad r correspondiente al modo de
vibración i se puede expresar (ver la ecuación 5.14):
1 1c 1= ηs
para cada grado de libertad valdrá

=AMP
0.1578 0.3036 0.2753 0.0803
0.2225 0.4165 0.3536 0.0957
0.2848 0.5097 0.3859 0
0.4075 0.6556 0.3539
0.5215 0.7417 0.233
0.6243 0.7607 0.054
0.8433 0.6421 -0.4153
1.0199 0.3869 -0.6411
1.4194 -0.6738 -0.1948
1.6017 -1.2986 0.5987
0.2343 0.0403 0.075
0.2542 0.0318 0.0363
.0904 0.1931 0.0042 -0.0346
0.0405 -0.0549 -0.0578 -0.
-0.0264 -0.2692 -0.053
-0.0823 -0.3191 0.0126
-0.1366 0.0261 0.1382
-0.0571 0.3338 -0.1091
0.3669 -0.1737 0.0182
-0.3019 0.0773 -0.0036
⎡
⎢
⎢
⎣
0.0775 0.0262 0.017
-0.0091 -0.0141 -0.0334
-0.0825 -0.0283 0.0231
121 0.0021 0.0456 -0.0059
-0.0003 0.0808 -0.0436 0.0015
0.1209 -0.0656 0.0217 -0.0003
-0.0754 0.0151 -0.0035 0
0.0295 -0.003 0.0005 0
-0.0029 0.0002 0 0
0.0004 0 0 0
⎤
⎥
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎦
El desplazamiento máximo} para todos los grados de libertad (piso) del primer
modo se obtiene de la expresión (5.5) o (5.6) (o del apartado 3.6.2.2 de la normativa,
para ductilidades iguales a 4µ = ). A continuación se muestra la matriz de
desplazamientos inelásticos, expresados en mm, donde en cada columna se agrupan los
desplazamientos de cada modo y en cada fila se tienen los distintos niveles del edificio.
cosinelásti
⎡ ⎤ =⎣ ⎦U
9.4697 4.3087 1.4187
13.3529 5.9111 1.822
17.0871 7.2349 1.9887
24.4536 9.3055 1.8236
31.2926 10.5274 1.2005
37.462 10.797 0.2782
50.6027 9.1142 -2.1397
61.1963 5.492 -3.3034
85.1683 -9.5637 -1.
96.1061 -18.4318
0.2476 0.4928 0.0451 0
0.2951 0.5345 0.0356
0.2786 0.4062 0.0048
0.1247 -0.1155 -0.0647
-0.0815 -0.5661 -0.0594
-0.2538 -0.671 0.0141
-0.4211 0.0549 0.1547
-0.1759 0.702 -0.1221
0036 1.131 -0.3652 0.0203
3.0848 -0.9309 0.1625 -0.004
.0567 0.0357 0.0095 0.0036
0.0274 -0.0042 -0.0051 -0.007
-0.0261 -0.038 -0.0103 0.0048
-0.0915 0.001 0.0165 -0.0012
-0.0002 0.0372 -0.0158 0
0.0914 -0.0302 0.0079
-0.057 0.0069 -0.0013
0.0223 -0.0014 0.0002
-0.0022 0.0001 0
0.0003 0 0
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
.0003
-0.0001
0
0
0
0
La fuerza estática equivalente máxima para todos los grados de libertad de cada
modo resulta de la expresión 5.7 o 5.8 (o del apartado 3.7.3 de la normativa)
=FMP
16690 32100 29120 8490
22200 41540 35270 9550
27090 48490 36720 8600
37930 61020 32940 3770
48150 68480 21510 -2440
56590 68950 4890 -7460
75010 57120 -36940 -12150
88610 33620 -55700 -4960
121460 -57660 -16670 313
101930 -82640 38100
24780 4260 7930 8200 2770
25350 3170 3620 -910 -1400
18370 400 -3290 -7850 -2700
-5110 -5380 -11260 200 4250
-24850 -4900 -30 7460 -4
-28920 1140 10960 -5950
2320 12290 -6710 1340
29000 -9480 2570 -260
90 -14860 1550 -250 10
-19210 4920 -230 20 0
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1800
-3340
2200
-550
020 140
1970 -30
-310 0
40 0
0 0
0 0

Y los cortantes modales de piso, expresados en Newton:
=VMP
595660 271020 89240 15580
578970 238920 60120 7080
556770 197380 24850 -2470
529680 148880 -11870 -11060
491750 87860 -44810 -
443600 19390 -66320
387020 -49560 -71210
312000 -106680 -34270
223390 -140300 21430
101930 -82640 38100
31000 2840 3570 2250
6220 -1420 -4370 -5950
-19140 -4590 -7990 -5040
-37510 -5000 -4700 2800
14830 -32400 390 6560 2610
-12390 -7540 5280 6590 -4850
-4930 21380 4140 -4370 1090
7220 19060 -8150 2340 -2
12180 -9950 1330 -230
-19210 4920 -230 20
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
600 220
-2170 -1570
-770 1760
1930 -440
-2320 110
1700 -30
-270 0
40 40 0
10 0 0
0 0 0
El número de modos a considerar en el cálculo de las fuerzas de diseño está
condicionado al grado en que cada modo afecta el resultado. Buena medida de ello está
dada por la fracción de la masa participativa, que indica que porcentaje de la masa
sísmica del edificio participa en cada modo de vibración y que se determina de acuerdo
con la expresión:
2
10
1
10
2
1
1
i ij
j
i ij
i
M
MParticipativa
M
M
φ
φ
=
=
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦=
∑
∑
En el caso del edificio que se analiza en este ejemplo las masas participativas
modales son:
MParticipativa
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
0.6779
0.2084
0.0686
0.012
0.0238
0.0025
0.0034
0.0024
0.0007
0.0003
De las masas participativas se puede extraer como conclusión que si se
considerase un número de modos reducido, por ejemplo hasta el tercer modo, se
alcanzaría el valor del 95% de la masa, lo cual para muchas normativas es un valor

satisfactorio, reduciendo el problema a la superposición de tres modos. Cabe indicar que
si bien la normativa NCSE-02 no fija un valor de número mínimo de modos a
considerar en el análisis en base al criterio de las masas participativas, en normativas
como la Covenin 1756-98 se fija para edificios menores de 20 niveles un número
mínimo de 3 modos, siempre y cuando el edificio posea regularidad tanto en planta
como en alzado.
De acuerdo con la normativa, la fuerza sísmica estática de diseño por piso se
puede calcular mediante el procedimiento de la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados, de esta forma se obtiene:
( )SRSS
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
F
32070
37670
39880
48910
53570
52020
65030
67120
127060
138070
Y si se considera una excentricidad accidental, aplicando el procedimiento de la
torsión estática equivalente se tienen las fuerzas sísmicas de diseño amplificadas:
( , )SRSS torsión
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
F
41700
48980
51840
63590
69640
67630
84540
87250
165180
179490
En el ejemplo presente se ha obtenido dos períodos muy próximos, lo que
Chopra (2000) considera que puede llegar a producir resultados que sobreestiman la
respuesta sísmica al aplicar el procedimiento de SRSS, por tanto se ha considerado
aplicar el procedimiento de la combinación cuadrática completa, CQC, así se han
calculado las fuerzas sísmicas equivalentes de diseño para cada nivel:

( )CQC
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
F
33870
39250
41030
49930
54680
53120
65720
67850
127080
135680
Y para esta combinación, al aplicar la torsión accidental del 5%, se obtienen las
fuerzas sísmicas estáticas de diseño:
8 , )CQC torsión
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
F
44030
51030
53330
64910
71080
69050
85440
88210
165200
176380
Puede concluirse sin embargo que a pesar de la proximidad de los valores de los
períodos de los modos, los valores de las fuerzas sísmicas obtenidos mediante la
aplicación del método SRSS resultan ser muy próximos a los obtenidos mediante el
procedimiento de CQC, tal como se ilustra en la Figura 5.6:

F (N)
Altura(m)
Fuerzas sísmicas de diseño
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000
0
4
8
12
16
20
24
28
32
Método
SRSS
CQC
Figura 5.6 Valores de las fuerzas sísmicas de diseño.

Capítulo 6
RReeccoommeennddaacciioonneess ddee ddiisseeññoo
ccoonncceeppttuuaall eenn llaass nnoorrmmaattiivvaass
ssiissmmoorrrreessiisstteenntteess
6.1. GENERALIDADES
El diseño es un proceso que, partiendo de requisitos en la función, construcción,
costo y estética de una estructura, proporciona una descripción completa de un modelo.
En la ingeniería estructural, dicha descripción se refiere a las características de las
componentes estructurales, tales como pórticos, pantallas a cortante, conexiones,
apoyos, etc. Durante el proceso de diseño deben hacerse razonamientos y tomarse
decisiones referentes a aspectos tan importantes como la definición de las fuerzas de
diseño, decidir las técnicas de cálculo, la elección de una cierta tipología estructural y de
un cierto material, así como al objetivo de realizar un diseño económico y, en lo posible,
optimo. Existen, generalmente, varias soluciones para el mismo problema de diseño y,
en consecuencia, los requisitos de diseño dependen de la solución adoptada. Por
ejemplo, en un diseño a acciones dinámicas de un edificio, en el propio modelo
estructural se incorporan masas que no son conocidas con exactitud a priori y que
modifican la función resistente de la misma estructura; por esta razón, el proceso de
diseño es iterativo (Bozzo y Barbat 1995a). Es justamente en el caso sísmico cuando es
esencial aplicar unos principios muy rigurosos de diseño. Esto se debe al hecho de que
en este caso el riesgo de daño estructural que se acepta es mucho mayor que en el caso
de otras acciones.
La primera etapa en un proceso de diseño sismorresistente de una estructura es el diseño
conceptual, que proporciona descripciones cualitativas de las soluciones de diseño a
partir de un conocimiento profundo de las leyes del equilibrio, de la compatibilidad, de
las características de los materiales y a partir de la experiencia. Esta etapa es
fundamental para el diseño, pues condiciona el comportamiento estructural global

104 Recomendaciones de diseño conceptual en las normas sismorresistentes
durante la acción de los terremotos. Como el espacio de soluciones suele ser muy
grande y no es práctico evaluar en detalle cada una de las posibles alternativas, dicha
evaluación se realiza generalmente mediante criterios heurísticos. Éstos están
fundamentados en razonamientos inductivos, en los cuales el proyectista utiliza su
experiencia y el estudio de diseños anteriores de estructuras similares y de su
comportamiento sísmico. La aplicación de criterios de este tipo ha permitido que
muchas estructuras diseñadas en el pasado, sin la aplicación de unos métodos de cálculo
adecuados, hayan tenido un buen diseño conceptual y, consecuentemente, un adecuado
comportamiento durante las acciones sísmicas (Billington 1990).
La utilización de criterios heurísticos se hace aun más necesaria si se piensa en
que los cálculos de evaluación de las diferentes soluciones de diseño contempladas,
aunque parezca paradójico, pueden oscurecer, en ciertas circunstancias, el
comportamiento inadecuado de las mismas. Para explicar este hecho, debe tenerse en
cuenta que en la práctica, las estructuras sismorresistentes se diseñan empleando
criterios tales como mecanismos alternativos de transmisión de cargas, modos de fallo
dúctiles o capacidad de disipar energía (Aktan y Bertero 1984). Para obtener la
información necesaria sobre un posible incumplimiento de alguno de estos criterios de
mayor interés, se requieren modelos dinámicos, matemáticos y numéricos sofisticados,
y en la práctica del diseño de edificios no suelen utilizarse modelos de este tipo. Por
ejemplo, un análisis sísmico de una estructura, empleando el método de los elementos
finitos, pero sin considerar la fisuración del hormigón, puede convencer al proyectista
de que la solución adoptada es adecuada sin que en la realidad lo sea. Además de esto,
durante la fase de diseño conceptual no se suele disponer de toda la información
necesaria para realizar un análisis numérico realista. Factores importantes como el tipo
de suelo, acelerogramas, influencia de los elementos no-estructurales, características de
los materiales, etc., se definen en etapas posteriores del proceso de diseño (Bozzo y
Barbat 1995a). Por todos estos motivos, un buen diseño conceptual es particularmente
importante en el caso de los edificios sismorresistentes, en los cuales las cargas sísmicas
pueden ser severas y, en general, muy superiores a las cargas consideradas en las
normativas actuales de diseño.
Es habitual en el diseño sismorresistente de edificios considerar varios niveles de
protección de las estructuras, dependiendo de los criterios de diseño considerados por el
proyectista. Dichos niveles o estados límite de diseño están relacionados con mantener
en funcionamiento normal todas las instalaciones de una estructura, con minimizar los
daños y prevenir la pérdida de vidas. Además de esto, el grado de protección antisísmica
de las estructuras depende de la voluntad de la sociedad de hacer sacrificios y de las
restricciones económicas propias de la sociedad. Este último aspecto está claramente
contemplado en las normativas sismorresistentes de cada país, a través de las
recomendaciones de diseño que realizan. Según Paulay y Priestley (1992) pueden
definirse los siguientes estados límite de diseño:
Estado límite de servicio. Requiere el normal funcionamiento del edificio
y de todas las instalaciones que pueda contener durante los terremotos
frecuentes, de pequeña intensidad. Implica que no se produzca ningún
daño en la estructura, en las componentes no estructurales o en su

Criterios heurísticos de diseño 105
contenido. El criterio de diseño es la limitación de los desplazamientos,
que se consigue asegurando la suficiente rigidez para que no se produzca
un comportamiento no lineal de la estructura. En los edificios de
mampostería o de hormigón armado pueden producirse fisuras pero no la
fluencia de la armadura, un agrietamiento importante o el aplastamiento
del hormigón o de la mampostería.
Estado límite de control del daño. Para terremotos mayores que los
correspondientes al estado límite de servicio, se admite que se produzcan
ciertos daños estructurales. La fluencia de la armadura producirá grietas
grandes y la estructura requerirá reparación después del terremoto. Este
estado límite constituye una demarcación entre los daños estructurales
económicamente reparables y los que no pueden repararse con un coste
razonable. La probabilidad de que ocurra durante la vida de una
estructura un terremoto capaz de producir daños de este tipo debe de ser
baja. Obviamente, el criterio de diseño es que la estructura sometida a
una acción de este tipo sea totalmente reparable.
Estado límite de supervivencia. Requiere que no se produzcan pérdidas
de vida durante el más fuerte terremoto que puede ocurrir en la zona del
emplazamiento del edificio. Por esto, el único requisito de diseño es
asegurar la supervivencia. Evidentemente, se admiten daños importantes,
en la mayoría de los casos irreparables, tanto en la estructura como en su
contenido, pero se debe evitar el colapso.
Es importante resaltar que las fronteras entre las características de los terremotos
correspondientes a estros tres niveles de protección son algo difusas. Por este motivo,
las normativas de diseño sismorresistente simplifican el problema, considerando
generalmente dos niveles de protección y, a veces solamente uno. Este hecho añade
incertidumbres a la definición de la acción realizada en las diferentes normativas. Como
consecuencia, para alcanzar un diseño fiable de los edificios es esencial utilizar
tipologías estructurales que no sean excesivamente sensibles a la falta de exactitud de la
predicción de la acción sísmica.
6.2 TIPOLOGÍAS DE EDIFICIOS UTILIZADAS EN ZONAS SÍSMICAS
Muchos de los errores conceptuales, de diseño y de construcción que se cometen
y que son la causa de fuertes daños, se deben al uso de tipologías estructurales
tradicionales, que por ciertas razones no han sido abandonadas. Por este motivo, la
primera tarea de un proyectista es la de elegir un sistema estructural que pueda conducir
a un comportamiento sísmico satisfactorio, teniendo en cuenta también los otros
requisitos de diseño (función, arquitectónicos, coste, etc.). En este sentido, todos los
especialistas están de acuerdo hoy en día en que deben emplearse en el diseño
sismorresistente de edificios tipologías estructurales, tanto para las estructuras de
hormigón armado como para las de mampostería, que tengan más ductilidad. Esto

requiere que se seleccionen las configuraciones estructurales que cumplan los siguientes
requisitos (Paulay y Priestley 1992):
Sean adecuadas para un comportamiento inelástico global de la
estructura.
Permitan predefinir zonas donde se concentren las deformaciones
inelásticas.
Permitan incrementar la resistencia estructural en ciertos modos de
deformación que deben permanecer elásticos y reducirla en los modos
inelásticos. Esto permite evitar que se produzcan deformaciones
inelásticas en zonas donde no se deseen.
Estos conceptos constituyen la base del criterio de diseño por capacidad. Los
sistemas estructurales más utilizados en los nuevos diseños de edificios
sismorresistentes son los siguientes:
Edificios porticados, también llamados edificios de estructura
esquelética. Su sistema resistente está formado por columnas y vigas
conectadas en nudos. Un ejemplo de estructura de este tipo puede verse
en la Figura 6.1.
Figura 6.1 Edificio porticado típico.

Figura 6.2 Edificio con pantallas a cortante.
Edificios apantallados. La resistencia e estos edificios a cargas laterales
viene proporcionada por pantallas a cortante de mampostería o de
hormigón armado. Habitualmente existen otros elementos estructurales
como, por ejemplo, pórticos, que absorben las cargas verticales. En la
Figura 6.2 puede verse una estructura mixta de pantallas de cortante y
pórticos.
Edificios con sistema dual. En este caso, pórticos de hormigón armado
colaboran con muros de mampostería o de hormigón armado, para
proporcionar la resistencia de la estructura a cargas laterales, ver Figura
6.2.
A estas tipologías pueden añadirse otras, cuya utilización es menos frecuente.
Una de ellas es la de los edificios de paredes de carga, que pueden ser de mampostería
o de hormigón armado, pero que prácticamente ya no se utiliza en los nuevos diseños de
edificios. Sin embargo, es una tipología importante, cuyo comportamiento se sigue
estudiando, debido al hecho de que la mayoría de las estructuras antiguas que se
encuentran en las zonas sísmicas son de este tipo. Otra es la de los edificios con núcleo
(véase la Figura 6.3). Finalmente, en algunos países se utilizan sistemas prefabricados
de hormigón armado, como el de la Figura 6.4.

Figura 6.3 Edificio con núcleo.
Figura 6.4 Edificio prefabricado.

Además de las tipologí nas sísmicas se utiliza
Figura 6.5 Edificio con columnas y losas.
.3 CRITERIOS HEURÍSTICOS DE DISEÑO
Simetría estructural. Es una recomendación comúnmente aceptada por todos los
as enumeradas, en algunas zo
frecuentemente la tipología estructural que se puede denominar sistema con columnas y
placas planas. Este sistema estructural no tiene una eficacia requerida por el diseño
sismorresistente, puesto que sufre desplazamientos horizontales excesivos y tiene
dificultades en transferir las tensiones tangenciales entre columnas y placas, lo que la
puede llevar a un fallo frágil. Un sistema de este tipo está representado en la Figura 6.5.
Existe una subclase de edificios dentro de esta tipología en la cual las placas de
hormigón armado se sustituyen por forjados reticulares (véase la ¡Error! No se
encuentra el origen de la referencia.). Esto hace que aumente aun más la
vulnerabilidad sísmica de la estructura, debido al incremento de su fragilidad, dada la
inexistencia de un sistema ortogonal de elementos capaces de suministrar la rigidez
necesaria para lograr controlar los desplazamientos laterales que inducen las fuerzas
sísmicas.
diseñadores de estructuras sismorresistentes. Es bien conocido que las estructuras
simétricas tienden a distribuir uniformemente los esfuerzos evitando
6

concentraciones de tensiones y, consecuentemente, de daño. En el caso en que esta
recomendación se incumple, se produce una torsión global de la estructura. El
efecto negativo de este fenómeno, originado por excentricidades en planta, ha sido
observado en casi todos los terremotos severos de este siglo. La mencionada
torsión puede originarse por una distribución asimétrica de las pantallas a cortante
y de los pórticos o involuntariamente, por la distribución asimétrica de los
tabiques. Por ejemplo, en edificios porticados cuya simetría está interrumpida por
un núcleo estructural exterior (véase la Figura 6.6), que en muchos casos contiene
los ascensores, se produce una torsión global de la estructura con grandes daños en
la conexión entre el núcleo y el sistema porticado. Esta situación puede evitarse
desconectando ambos sistemas estructurales o incrementando la rigidez de los
pilares opuestos al núcleo de los ascensores, proporcionando simetría al sistema
resistente en la dirección X.
cia de un
Redundancia estructural. En el diseño sísmico es muy recomendable
La estructura es
simét
Figura 6.6 Edificio porticado con falta de simetría en planta por la presen
núcleo exterior que contiene los ascensores.
proporcionar mecanismos alternativos de transmisión de cargas laterales, es decir,
proporcionar redundancia estructural. No es conveniente emplear estructuras
isostáticas ya que se convierten en un mecanismo al formarse la primera rótula
plástica. Si por alguna restricción fuese imprescindible utilizar una estructura
isostática, se deberían incrementar las cargas de las normativas.
Considérese como ejemplo el edificio de la Figura 6.7.
rica, formada por pórticos y dos pantallas a cortante ubicadas en los
extremos de la planta. Un análisis tendría como resultado el que ambos muros
resisten de manera igual el cortante en la base. Sin embargo, si se considerase una

excentricidad accidental, para la cual en las normativas se recomiendan valores del
5% de la mayor dimensión de la planta, el centro de masas CM no coincidiría con
el centro de rigidez CR, y la situación cambiaría. Además, en el caso de un
comportamiento no lineal la torsión accidental se amplifica, lo que puede causar la
degradación progresiva de la estructura (De la Llera y Chopra 1994). Este efecto
será particularmente adverso si las pantallas a corte son frágiles. Una posibilidad
para reducir este efecto es proporcionar la redundancia estructural, es decir,
mecanismos alternativos de transmisión de cargas. En el caso del ejemplo de la
Figura 6.7, esto consistiría en añadir pantallas a cortante intermedios o diseñar los
pórticos como dúctiles, con capacidad suficiente de absorber un porcentaje de la
carga lateral.
Figura 6.7 ierda falle
Detalles que proporcionan ductilidad. Con el objetivo de obtener estructuras
por buena construcción los coeficientes sísmicos reales de los
edific
mínimas de anclaje para los redondos, entre muchas otras (Bozzo y Barbat 1995a).
La excentricidad accidental hace que el muro de la izqu
primero, lo que modificará sustancialmente el centro de rigidez aumentando la
torsión.
más económicas, las normativas modernas de diseño sismorresistente reducen
considerablemente las cargas sísmicas en función de su ductilidad. De esta forma
un objetivo fundamental del diseño sismorresistente es evitar un fallo frágil que
ocasione la pérdida brusca de capacidad portante. Dentro de ciertos límites de
flexibilidad y en función de la acción sísmica, mientras más dúctil sea el sistema
estructural, más se podrán reducir las cargas sísmicas y, por ello, su costo será
menor, a pesar de que los detalles para lograr una estructura de hormigón armado
dúctil también incrementan el costo. Esta idea viene reflejada en la Figura 6.8, en
la cual puede verse que la demanda impuesta por una acción sísmica real puede
llegar a ser muy alta en comparación con los coeficientes sísmicos previstos en las
normativas.
Aunque
ios tienen la tendencia de alcanzar valores más altos, existe una gran
diferencia entre éstos y la demanda real. Esta diferencia está admitida en las
normativas al suponerse que a los edificios se les incorporan los detalles de diseño
necesarios para que tengan el nivel de ductilidad adecuado. Por ejemplo, a partir
del terremoto de San Fernando, 1971, en California, se han propuesto
recomendaciones para lograr el confinamiento de nudos, así como de longitudes

unción
ecto interesante Figura 6.8 es que la utilización
de técnicas avanzadas de diseño, como por ejemplo, de los sistemas de aislamiento
de ba
zo cortante. Un ejemplo del mismo es el que se produce en
colum
les bien concebidos en las conexiones entre elementos. Por
ejemp
Figura 6.8 El coeficiente sísmico de un edificio expresado como f
del período propio.
Otro asp que se observa en la
se, permite una gran reducción del cortante en la base y, obviamente, del
coeficiente sísmico.
Un fallo frágil sumamente común en estructuras de hormigón armado es el
producido por esfuer
nas y vigas cartas, por el incremento del cortante debido a la mayor rigidez
del elemento en comparación con otros similares de mayor longitud, situación que
debe evitarse en lo posible. Este tipo de fallo es muy común, ya que puede ocurrir
incluso debido a elementos no estructurales o, mejor dicho, a elementos “no
intencionalmente estructurales”. Por ejemplo, es una solución típica en aulas
rellenar la parte inferior de los pórticos con mampostería y dejar la parte superior
de las columnas libre para iluminación y ventilación, lo que origina el efecto de
columnas cortas.
Otro tipo de fallo frágil muy común es el debido a una falta de detalles de
diseño estructura
lo, considérese la estructura del viaducto Cypress, el cual colapsó durante el
terremoto de Loma Prieta en 1989 en Estados Unidos (Bollo et al.1994). Una
sección del viaducto se ilustra en la Figura 6.9. Esta estructura se diseñó sin las
herramientas actuales de cálculo y diseño. Siendo el viaducto pretensado, los
efectos diferidos de la retracción y fluencia del hormigón son importantes y,
aparentemente por ello, se decidió “isostatizar” la estructura mediante rótulas en la
base de las columnas del segundo nivel, a fin de permitir el movimiento libre del

viaducto frente a las deformaciones del hormigón en el tiempo y de no inducir
esfuerzos secundarios. Durante el terremoto de Loma Prieta varios kilómetros del
segundo nivel de este viaducto colapsaron de forma frágil, en gran parte debido a
la conexión mencionada, que no tenía refuerzo transversal. Además, los redondos
eran muy gruesos por lo que tenían poca adherencia, y no disponían de una
suficiente longitud de anclaje.
Figura 6.9 rágil del
viaducto 89 (Bollo et al 1994).
Figura 6.10 Variación del coeficiente sísmico con el desplazamiento del piso superior
(push-over) para edificios con columnas y losas.
La falta de detalles de diseño adecuados contribuyó al fallo f
Cypress durante el terremoto de Loma Prieta, 19

Se harán ahora algunos comentarios acerca de la capacidad de ductilidad de
las estructuras con columnas y forjados reticulares.
Han sido considerados dos estructuras teniendo esta tipología, una de
vulnerabilidad alta, correspondiente a un coeficiente 60Iv = en una escala entre 0
y 100 y otra de vulnerabilidad baja: 20Iv = .En la Figura 6.10 se compara la
ductilidad de estas estructuras con la de un edificio cuyo sistema resistente está
constituido por pórticos dúctiles sismorresistentes. Todos los edificios tienen la
misma altura (siete niveles) y parecidas superficies en planta. Las curvas que se
presentan constituyen el resultado de un análisis estático no lineal de los edificios
mencionados, sometidos a una fuerza horizontal aplicada en el piso superior, cuyo
valor se incrementa hasta que la estructura se rompe (push-over). En la figura
mencionada ha sido representada la variación coeficiente sísmico, definido
n del de r la altura total
de la estructura, que en la figura se denomina deformación del piso superior.
eales son más altos para las
estruc
ormas
mediante la relación entre el cortante en la base y el peso de la estructura, en
funció splazamiento horizontal del piso superior dividido po
En todos los casos, el coeficiente sísmico de diseño ha sido de 0.05, pero
puede observarse que los coeficientes sísmicos r
turas menos vulnerables, es decir, para las que tienen mejor calidad sísmica.
Sin embargo, es necesario mencionar que todas las n de diseño especifican
un coeficiente sísmico asumiendo que las estructuras que se diseñan tienen un
comportamiento dúctil. Y, en el caso de las dos estructuras con columnas y
forjados reticulares de la Figura 6.10, esto no es así, puesto que su rotura se
produce de manera frágil, antes de que se llegue a una deformación del piso
superior del 1% en el instante de máxima resistencia. Al contrario, en el pórtico
dúctil, que también ha sido diseñado para un coeficiente sísmico de 0.5, éste
coeficiente alcanza valores de 0.8% y, lo más importante, con una adecuada
deformabilidad y sin presentar una caída significativa de su resistencia.
Otro caso de interés es el de una tipología estructural adecuada de diseño
sismorresistente, como es el edificio porticado, pero en la cual no han sido
incorporados los detalles necesarios de diseño sismorresistente. Como
consecuencia, las estructuras no tienen la ductilidad adecuada. Han sido
considerados, de nuevo, dos edificios porticados de este tipo uno más vulnerable
( )65Iv = el otro de vulnerabilidad baja ( )15Iv = . Se realizo el mismo tipo de
análisis no lineal que el descrito anteriormente (push-over), llevando los dos
edificios a la rotura. Las curvas coeficiente sísmico-deformación obtenidas
mediante este análisis pueden verse en laFigura 6.11, junto con la curva
correspondiente al mismo edificio porticado dúctil de laFigura 6.10. La rotura de
los dos edificios se produce de manera frágil, puesto que se produce antes de que
se llegue a una deformación del piso superior del 2% en el instante de máxima
resistencia.

Figura 6.11 del piso superiorVariación del coeficiente sísmico con el desplazamiento
(push-over) para edificios porticados no dúctiles.
Figura 6.12 Cambios bruscos de rigidez en altura.
Uniformidad de rigidez y masa. Ha sido analizado anteriormente el efecto de la
distribución asimétrica de los elementos componentes de las estructuras, que
conduce a la torsión de las mismas. Sin embargo, además de esto, es de gran
importancia evitar o reducir los cambios bruscos en la rigidez estructural y en las
masas, tanto en planta como en altura, ya que estos pueden originar

concentraciones de esfuerzos. Y las normativas no contemplan la posibilidad de
calculo y diseño sismorresistente de estructuras de este tipo. Las recomendaciones
de diseño que se hacen en las mencionadas normativas son recomendaciones de
“mínimas”, que deben cumplirse partiendo de una adecuada estructuración
sísmica. Por ejemplo, en la Figura 6.12a se muestra un tipo de estructura en cuyo
diseño no es posible aplicar directamente las normativas, puesto que son de
esperar concentraciones de daño sísmico en la zona de cambios de rigidez. Otro
ejemplo de estructura que no cumple la recomendación de rigidez uniforme se
muestra en la Figura 6.12b. Es un edificio de hormigón armado de ocho pisos,
formado por columnas en el primer nivel y pantallas a cortante que empiezan
desde el segundo nivel, por lo que en la estructura se produce un cambio brusco de
rigidez en altura.
A pesar de que la aplicación de la mencionada recomendación asegura un
buen comportamiento estructural, no se debe considerar como una limitación de
las tipologías estructurales a utilizar en un diseño sismorresistente. Obviamente, se
garantiza que el comportamiento global de la estructura sea el adecuado y de que
no se produzcan degradaciones locales importantes. Sin embargo, es
perfectamente posible diseñar estructuras que no cumplan esta recomendación. Es,
por ejemplo, el caso de edificios cuyos muros no empiezan en la planta baja. En
tales casos es con los otros
criterios de diseño conceptual, seguido de un análisis sísmico detallado de la
sobre
distintas normativas.
necesario un diseño sismorresistente que cumpla
estructura. Por otro lado el coste de la estructura será, seguramente, mayor al de
una estructura regular que cumpla los requisitos antes indicados.
Una recomendación relacionada con los cambios bruscos de rigidez en
planta es la de evitar diseñar pórticos de mayor resistencia en una dirección y
débiles en la otra. Antiguamente se empleaban conceptos como “pórticos
principales” y “pórticos secundarios”. Los denominados principales eran los
encargados de trasmitir la carga, y los secundarios sólo seguían una función de
arriostre. Por ello en muchas estructuras se ha observado daño en la dirección de
los pórticos débiles, en especial si esta dirección coincidía con la dirección
principal del terremoto.
Interacción suelo-estructura. Es bien conocido el efecto de las condiciones de
suelo en la respuesta de una estructura, tanto a nivel regional, como a nivel local,
del emplazamiento. El fenómeno inicialmente fue comprendido de manera
intuitiva, al tener registros sobre suelos aluvionales que en algunos casos
amplificaban la aceleración máxima obtenida en roca. La ocurrencia del sismo de
Caracas durante el año 1967, el cual afectó algunos edificios altos cimentados
depósitos aluvionales de espesor considerable resultaron dañados, mientras
que edificios bajos cimentados sobre el mismo depósito no sufrieron daños
considerables. Por el contrario, en zonas de suelos duros, los edificios bajos fueron
los más dañados, en la Figura 6.13 se puede observar los daños conforme al tipo
de suelo y a la altura del edificio. Desde entonces, el efecto de sitio ha sido
estudiado y se ha ido incorporando progresivamente en el articulado de las

Las condiciones de suelo a nivel regional determinan el contenido de
frecuencias de los terremotos. Por ejemplo, en el caso de suelos duros el contenido
de frecuencias altas de la señal sísmica es muy significativo y, en consecuencia es
recomendable el empleo de estructuras porticadas, las cuales son más flexibles y
más dúctiles que las estructuras cuyo sistema resistente a fuerzas laterales sea
constituido por pantallas a cortante.
Daños severos o colapso
Te T1
Daños leves o moderados
Te= T2
Suelo aluvional
Ts=T1
Afloramiento
rocoso Ts=T2
Daños leves o moderados
Te = T1
Daños severos o colapso
Te T2
Figura 6.13 Influencia del efecto de sitio.
El efecto del suelo a nivel local se evalúa mediante estudios de la interacción
suelo-estructura. Sin embargo, pueden hacerse recomendaciones muy generales,
como, por ejemplo, las de emplear estructuras flexibles en un suelo firme y
estructuras rígidas en suelo blando, a pesar de las dificultades que esto puede
ocasionar (Seed y Idriss 1982).
El daño estructural está relacionado en muchos casos con la presencia de
suelos blandos. Este aspecto ha sido observado durante los terremotos de México
en 1985, Loma Prieta, Estados Unidos, en 1989 y Kobe, Japón, en 1995. Una

primera causa de este incremento es que los suelos blandos filtran el contenido de
frecuencias de un terremoto y producen la aparición de ondas superficiales
teniendo justamente el período propio del suelo. En consecuencia, las estructuras
con un período fundamental similar al del suelo serán muy vulnerables a este tipo
de acción. Una segunda causa es el incremento del daño con la duración del
terremoto, la cual tiende a ser mayor en suelos blandos.
La incorporación de las características geotécnicas de los suelos en la
determinación de espectros de respuesta ha permitido comprender mejor el
fenómeno de amplificación dinámica y los rangos de valores en los cuales esta
amplificación ocurre. En la Figura 6.14 se observa un ejemplo de espectros de
respuesta obtenidos para distintos tipos de suelos, Vielma 2003.
Figura 6.1
ionamiento de vehículos formada por pantallas a
corta
, se produce una falta de
apoyo vertical de las vigas de techo.
4 Espectros de respuesta para distintos tipos de suelos, Vielma 2003.
Compatibilidad de deformaciones entre subsistemas estructurales. Una
estructura puede estar constituida por distintos sistemas estructurales como, por
ejemplo, pórticos, pantallas a cortante, muros de albañilería, etc. La Figura 6.15
ilustra una estructura para estac
T(seg)
A.E.N.
0 0.4 1.2 1.6 2 2.4 2.8 30.8 .2 3.6 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
S2
S3
S1
S4
nte perimetrales y pórticos interiores (Moehle 1994). Los pórticos interiores y
los muros están conectados entre sí por medio de una diafragma rígida formada
por la losa de techo, lo que hace que las deformaciones de ambos sistemas
estructurales sean compatibles. Al diseñar una estructura de este tipo a los dos
sistemas estructurales se les asignan papeles distintos: los pórticos deben absorber
las cargas verticales y los muros las cargas laterales. Obviamente, en el cálculo se
debe considerar la interacción de los dos sistemas. Ahora bien, el comportamiento
sísmico de este tipo de estructuras es particularmente inadecuado si la componente
vertical del terremoto es importante y, por este motivo

Figura 6.15 Edificio con incompatibilidad de deformaciones a cargas verticales
(Moehle 1994).
Masas innecesarias. Puesto que las fuerzas inducidas por un terremoto son
proporcionales a la masa de la estructura, al reducir todas aquellas masas que
son innecesarias se puede disminuir la fuerza sísmica. En este sentido es
conveniente, por ejemplo, el empleo de forjados con un menor peso propio.
Separación entre edificios. Un aspecto que genera daños importantes es el
impacto de edificios colindantes durante terremotos, debido a la insuficiente
e forma aproximada, estimando el cambio de
período que ocasionan.
A los criterios de diseño anteriores pueden añadirse otros, que se
fundamentan en la reducción de la respuesta sísmica de los edificios mediante
utilización de sistemas de aislamiento de base o de disipadores de energía
incorporados en las estructuras (Skinner et al. 1993; Kelly 1994). Estos nuevos
separación entre ellos. Dicho impacto puede originar una respuesta estructural
muy difícil de predecir. Las soluciones más usuales a este problema son: 1)
diseñar estructuras más rígidas; 2) separar más los edificios o 3) emplear
mecanismos de disipación de energía entre ambos edificios.
Cambios en el período estructural antes y durante el sismo. La influencia de
los denominados elementos “no intencionalmente estructurales” es, en muchos
casos, determinante en la respuesta de la estructura (Brokken y Bertero 1981).
Estos elementos, generalmente, rigidizan la estructura real en comparación con
los modelos dinámicos que se utilizan el análisis, los cuales, habitualmente, no
incluyen, por ejemplo el efecto de los tabiques de mampostería. Por
consiguiente, los mencionados modelos dinámicos proporcionan períodos
propios de vibración más altos que los reales y su aplicación conduce a fuerzas
sísmicas más bajas que las reales. Por este motivo, es necesario incluir en los
cálculos este efecto por lo menos d

criterios, que introducen en la práctica del diseño los nuevos desarrollos
po de la investigación, llevan a
estructuras m icas y se utilizan ya
extensam Estados Unidos o Nueva Zelanda. Al
mism orresistente
que consideran la po ilizando aislamiento de
base (SEAOC 1990).
Adem un estado avanzado de investigación y
experime pacto en el diseño de
edificios, como son el a a
activos (Barbat 1995).
mas estructurales. Una
estructura puede esta as estructurales como, por
a
cortante perimetrales y pórticos interiores (Moehle 1994). Los pórticos interiores y
es
si
las cargas lo se
v
ap
Figura 6.1
realizados en los últimos años en el cam
ás fiables frente a las acciones sísm
ente en países como Japón,
o tiempo, han aparecido las primeras normativas de diseño sism
sibilidad de diseñar estructuras ut
ás de esto, se encuentran en
ntación temas que pueden tener un gran im
islamiento de base activo o los disipadores de energí
et al. 1993; Barbat et al. 1994; Barbat et al.
Compatibilidad de deformaciones entre subsiste
r constituida por distintos sistem
ejemplo, pórticos, pantallas a cortante, muros de albañilería, etc. La Figura 6.15
ilustra una estructura para estacionamiento de vehículos formada por pantallas
los muros están conectados entre sí por medio de una diafragma rígida formada
por la losa de techo, lo que hace que las deformaciones de ambos sistemas
tructurales sean compatibles. Al diseñar una estructura de este tipo a los dos
stemas estructurales se les asignan papeles distintos: los pórticos deben absorber
verticales y los muros las cargas laterales. Obviamente, en el cálcu
debe considerar la interacción de los dos sistemas. Ahora bien, el comportamiento
sísmico de este tipo de estructuras es particularmente inadecuado si la componente
ertical del terremoto es importante y, por este motivo, se produce una falta de
oyo vertical de las vigas de techo.
6 Edificio con incompatibilidad de deformaciones a cargas verticales
(Moehle 1994).
Masas innecesarias. Puesto que las fuerzas inducidas por un terremoto son
proporcionales a la masa de la estructura, al reducir todas aquellas masas que

son innecesarias se puede disminuir la fuerza sísmica. En este sentido es
conveniente, por ejemplo, el empleo de forjados con un menor peso propio.
Separación entre edificios. Un aspecto que genera daños importantes es el
impacto de edificios colindantes durante terremotos, debido a la insuficiente
separación entre ellos. Dicho impacto puede originar una respuesta estructural
mu
iento de base o de disipadores de energía
incorporados en las estructuras (Skinner et al. 1993; Kelly 1994). Estos nuevos
criterios, que introducen en la práctica del diseño los nuevos desarrollos
realizados en los últimos años en el campo de la investigación, llevan a
estructuras más fiables frente a las acciones sísmicas y se utilizan ya
extensamente en países como Japón, Estados Unidos o Nueva Zelanda. Al
mismo tiempo, han aparecido las primeras normativas de diseño sismorresistente
que consideran la posibilidad de diseñar estructuras utilizando aislamiento de
base (SEAOC 1990).
Además de esto, se encuentran en un estado avanzado de investigación y
experimentación temas que pueden tener un gran impacto en el diseño de
edificios, como son el aislamiento de base activo o los disipadores de energía
activos (Barbat et al. 1993; Barbat et al. 1994; Barbat et al. 1995).
y difícil de predecir. Las soluciones más usuales a este problema son: 1)
diseñar estructuras más rígidas; 2) separar más los edificios o 3) emplear
mecanismos de disipación de energía entre ambos edificios.
Cambios en el período estructural antes y durante el sismo. La influencia de
los denominados elementos “no intencionalmente estructurales” es, en muchos
casos, determinante en la respuesta de la estructura (Brokken y Bertero 1981).
Estos elementos, generalmente, rigidizan la estructura real en comparación con
los modelos dinámicos que se utilizan el análisis, los cuales, habitualmente, no
incluyen, por ejemplo el efecto de los tabiques de mampostería. Por
consiguiente, los mencionados modelos dinámicos proporcionan períodos
propios de vibración más altos que los reales y su aplicación conduce a fuerzas
sísmicas más bajas que las reales. Por este motivo, es necesario incluir en los
cálculos este efecto por lo menos de forma aproximada, estimando el cambio de
período que ocasionan.
A los criterios de diseño anteriores pueden añadirse otros, que se
fundamentan en la reducción de la respuesta sísmica de los edificios mediante
utilización de sistemas de aislam

Capítulo 7
DDeeffeeccttooss ddee ccoonnffiigguurraacciióónn yy
ddeettaallllaaddoo ssiissmmoorrrreessiisstteennttee
67.1 DETALLES DE DISEÑO SISMORRESISTENTE DE EDIFICIOS
Tal como se ha visto anteriormente, los sistemas estructurales más utilizados en
el diseño sismorresistente de edificios son los constituidos por pórticos dúctiles
especiales y por pantallas a cortante. La descripción de los detalles de diseño utilizados
en tales sistemas está fuera del alcance de este trabajo; un estudio exhaustivo del tema
puede verse en el libro de Paulay y Priestley (1992) o en Bozzo y Barbat (1995a). Sin
embargo, a continuación se describen brevemente los principales conceptos que se
aplican en la realización de los detalles de diseño de estos sistemas.
La aceleración espectral máxima de un terremoto fuerte es varias veces superior
a la de la acción definida por las normativas de diseño sísmico. Por este motivo, y con el
objeto de obtener edificios sismorresistentes económicos, al aplicar en el diseño
normativas modernas se acepta, generalmente, que para un sismo severo las estructuras
entren en el rango no lineal y sufran ciertos daños. Y justamente en esto se fundamenta
la filosofía del diseño sismorresistente actual, que es la siguiente: las estructuras deben
soportar el sismo severo con daños locales, que pueden llegar a ser importantes, pero
que no se llegue a producir el colapso de las mismas. Para ello, las estructuras se
diseñan y construyen proporcionándoles detalles que permitan las deformaciones
inelásticas esperadas durante un sismo severo, sin que ocurra una pérdida significativa
de su resistencia (Bozzo y Barbat 1995b).
Referente a los edificios regulares, existen varias normativas que permiten su diseño
eficiente. Normativas tales como el UBC (1991) o el ATC (1978), determinan acciones
laterales estáticas equivalentes que varían en altura. Las estructuras se calculan,
generalmente, empleando el modo fundamental de vibración y, en algunos casos, como
en el UBC (1991), se consideran fuerzas adicionales que simulan de manera

124 Defectos en configuración y detallado sismorresistente
simplificada el efecto de los modos superiores. Las recomendaciones de diseño basadas
en criterios heurísticos, presentadas anteriormente, tienen como objetivo garantizar que
una estructura calculada de acuerdo con los procedimientos simplificados de las
normativas sísmicas, se comporte adecuadamente durante un sismo severo, sin que se
produzcan degradaciones locales importantes que pudiesen ocasionar su colapso. En el
caso de estructuras especiales, como aquellas con irregularidades en planta o en altura,
el cálculo no puede efectuarse mediante los métodos simplificados que recomiendan las
normativas, sino debe emplearse un análisis dinámico completo.
Los objetivos del diseño sismorresistente de edificios se alcanzan utilizando sistemas
estructurales que proporcionen una adecuada disipación de energía, evitando de esta
manera los fallos frágiles. Un sistema estructural sismorresistente muy utilizado y muy
muy bien definido en la normativa ACI-318 (1991) son los llamados pórticos dúctiles
especiales. Dicha normativa deja claro que una estructura se subdivide en sistemas
estructurales para cargas laterales y sistemas estructurales para cargas gravitatorias.
Sistemas como los pórticos arriostrados o los pórticos con muros de cortante, los cuales
debido a su mayor rigidez en comparación con la de los otros pórticos del edificio, se
espera que absorban mayoritariamente la carga lateral.
A un pórtico perteneciente al sistema estructural para cargas laterales se le
denomina pórtico dúctil especial si todos los elementos del pórtico cumplen
determinadas condiciones de cuantías mínimas de acero de refuerzo, tanto longitudinal
como transversal y ciertas relaciones mínimas ancho-espesor, entre otras muchas
condiciones.
Los sistemas estructurales para cargas gravitatorias también deben cumplir
ciertas recomendaciones, especialmente para asegurar la compatibilidad de
desplazamientos con los sistemas estructurales para cargas laterales. Estas
recomendaciones, sin embargo, son mucho menos exigentes que las que se deban
respetar en el diseño de los pórticos dúctiles especiales.
7.2 INFLUENCIA DEL ADECUADO DISEÑO SISMORRESISTENTE EN LA
RESPUESTA GLOBAL Y LOCAL DE LA ESTRUCTURA
Algunos de los edificios proyectados actualmente no observan las
recomendaciones normativas para alcanzar una adecuada respuesta sismorresistente. Es
importante reconocer que el diseño sismorresistente se fundamenta en la escogencia de
un sistema estructural capaz de limitar los desplazamientos laterales, de distribuir las
fuerzas originadas por el movimiento sísmico, sin que su configuración introduzca
efectos contrarios que induzcan la concentración de esfuerzos en elementos
estructurales como lo son las grandes excentricidades, la diferencia de rigidez, la
discontinuidad de los elementos estructurales verticales o la interacción con elementos
secundarios o no estructurales tales como cerramientos o concentraciones de masas que
alteran la respuesta dinámica del edificio.
El nivel de detallado de los elementos estructurales complementa a la selección
y configuración de la estructura. La concepción de edificaciones sismorresistentes
implica diseñar para que la respuesta global incursione dentro del rango plástico, con la

Influencia del adecuado diseño sismorresistente en la respuesta de la estructura 125
finalidad de hacer viable el proyecto desde el punto de vista económico. Esto implica
que el nivel de detallado de los elementos estructurales encargados de soportar las
cargas sísmicas debe ser tal que permita la aparición de daños tales como el
agrietamiento del hormigón e incluso la cedencia del acero de refuerzo, de tal forma que
el comportamiento global se ciña a los estados límite de diseño, en otras palabras, que
los elementos y los nudos sean capaces de desarrollar una respuesta dúctil.
A continuación se analizan algunos casos de los que se extraen ejemplos de
inadecuado diseño sismorresistente, con la finalidad de ilustrar de que manera los
sismos llegan a afectar edificios en los que la falta de provisión de detallado e incluso la
involuntaria interacción con elementos no estructurales, llegan a producir resultados
indeseables.
Foto 7.1 Daños en edificio de viviendas en el pueblo de Balerma.
En la Foto 7.1 se observa un edificio de baja altura ubicado en el pueblo de
Balerma, dañado por el sismo ocurrido en Enero de 1994. La concentración de los daños
que se ubican en el nivel de planta baja y planta primera se debe a la diferencia de
rigidez entre los niveles de la estructura, originando un comportamiento conocido como
de “planta débil”. La diferencia de rigidez se puede atribuir a la necesidad de que esta
planta presente espacios diáfanos y de mayor altura que el resto de los niveles, en los
que los pilares son reducidos en sección o simplemente se apoyan sobre las vigas del
forjado inferior, generando un nivel cuya rigidez es menor, por lo que su capacidad de
deformarse es mayor.

Foto 7.2 Edificio vecino del anterior, sin daños excesivos.
En la Foto 7.2, puede observarse un edificio vecino del anterior y que no reporta
daños durante el mismo evento sísmico debido a que no presenta la irregular
distribución de rigidez de la planta baja.
La respuesta dinámica de los edificios también se puede alterar mediante el
incremento de la masa con la altura, Foto 7.3, lo cual hace que en los niveles de mayor
masa se incrementen las fuerzas de piso concentradas en este nivel, además de producir
desplazamientos del lugar geométrico de los centros de gravedad de las plantas lo cual
trae como consecuencia el incremento en los efectos torsionales sobre los pilares
ubicados entre los forjados, otro caso de crecimiento de la planta con la altura se aprecia
en la Foto 7.4. Es de hacer notar que la excentricidad en planta no solo se incrementa
con el crecimiento asimétrico de las dimensiones de esta, hasta cierto punto controlable
en las etapas de diseño de la edificación, sino también mediante la concentración de
cargas, tales como almacenamiento de materiales o depósitos de agua elevados, que
causa el mismo efecto de alteración del centro de masa.
En otros casos el diseño inadecuado se evidencia con el uso de los pilares cortos,
el mecanismo de falla por cortante es debido a que los momentos de piso del pilar se
equilibran en una distancia reducida, o distancia efectiva del pilar, lo que hace que las
fuerzas cortantes de los extremos del pilar superen las fuerzas cortantes de diseño del
resto de los pilares del mismo nivel. En la Foto 7.5 se observa un pilar construido entre
una pantalla, que es un elemento muy rígido y un forjado, es evidente que los pilares
que comparten esta condición, al estar diseñados únicamente para soportar cargas
gravitatorias, quedan expuestos a la falla por cortante anteriormente descrita.

Foto 7.3 Irregularidad en planta: crecimiento de las plantas con la altura.
Foto 7.4 Crecimiento de plantas y discontinuidad en líneas resistentes verticales.

Foto 7.5 Pilares cortos en edificio.
En las misiones de reconocimiento post sísmicos es muy frecuente encontrar
casos en los que se ha producido el efecto de columna corta en edificios que han sido
diseñados de forma adecuada, no sólo en lo que respecta a su configuración global, sino
en su detallado, sin embargo al ausencia de consideraciones sobre la distribución de
cerramientos, así como también las posibles modificaciones realizadas a éstos durante la
vida útil de la edificación, son capaces de inducir el comportamiento de pilar corto, ver
Foto 7.6. Se puede observar que en el pilar los estribos existentes fallaron bajo la acción
del cortante, perdiendo la sección el confinamiento horizontal, produciéndose de forma
consecuente el pandeo de las barras de refuerzo longitudinal.
En el caso particular de los edificios con sistema estructural consistente en
pilares y forjados reticulares el efecto de pilar corto puede ser inducido por los cambios
de nivel de los forjados contiguos, agravándose el problema dado el bajo grado de
redundancia que poseen estos sistemas o que imposibilita redireccionar las cargas bajo
el hipotético fallo de alguno de estos pilares, Foto 7.7.
La construcción de estructuras singulares, llamadas así por su particular
concepción para solucionar casos poco usuales o para implementar técnicas
constructivas novedosas, no debe realizarse de espalda con los principios mínimos de
diseño sismorresistente, por ejemplo en la Foto 7.8 se observa un edificio de losa
postensada que se sustenta sobre apoyos de neopreno colocados en el tope de los pilares
de la planta baja. Este sistema ha sido concebido para soportar cargas gravitatorias
exclusivamente, ya que sus apoyos no le suministran restricciones frente a acciones
horizontales.

Foto 7.6 Efecto de falla por cortante de pilar.
Foto 7.7 Juntas pilar- forjado que induce al comportamiento de pilar corto.

En la foto anterior también se puede apreciar otro aspecto que suele ser poco
cuidado en el diseño, como lo son los núcleos de circulación, los núcleos de escaleras o
incluso los núcleos de ascensores, de vital importancia a la hora de realizar cualquier
labor de evacuación de una edificación durante una catástrofe. La mayor parte de los
problemas se producen en estas subestructuras se deben a la concentración de esfuerzos
en los elementos verticales (pilares o muros de cortante) ya que la subestructura de
circulación y el resto del edificio suelen poseer períodos de vibración muy diferentes, lo
que hace que se produzcan desplazamientos desacoplados que inducen fallas localizadas
en los elementos portantes. Otro de los efectos indeseados producido por los núcleos de
circulación en general es su inadecuada ubicación en la planta de la edificación,
especialmente en el caso de núcleos de ascensor, los cuales son resueltos generalmente
mediante muros de cortante, que al poseer mayor rigidez que los pilares de la planta,
alteran la ubicación de los centros de rigidez, provocando el incremento de la
excentricidad de la planta.
Foto 7.8 Estructura singular, forjado postensado sobre juntas de neopreno.
La otra estructura singular que aparece en la Foto 7.9 muestra una solución en
base a gran ménsula de acero de varios niveles de altura, cuya redundancia ya apoyos la
pueden hacer eficiente frente a cargas horizontales, sin embrago es precaria su
estabilidad frente a componentes en la dirección transversal.

Foto 7.9 Estructura singular, pórticos de acero en voladizo.
Una vez revisados los aspectos de la configuración general del edificio que
pueden afectar su desempeño sismorresistente, se analizará brevemente algunos casos
observados en lo que el nivel de detallado de las secciones de los elementos resistentes
no ha sido el adecuado o su mala ejecución ha propiciado fallas localizadas durante la
ocurrencia de sismos.
En primer lugar se observa el efecto del inadecuado armado de un nudo de unión
pilar- viga, en el cual las barras longitudinales han sido extraídas del hormigón por un
inadecuado confinamiento por parte del acero transversal, además de un recubrimiento
deficiente, Foto 7.10.
El especial cuidado que es necesario prestarle a los nudo no se remite
exclusivamente al dimensionamiento de las secciones y al refuerzo de estas, es muy
importante cuidar la ejecución de los mismo ya que de la ejecución depende que el
comportamiento de los elementos sismorresistentes se aproxime al comportamiento para
el cual han sido modelados. Por ejemplo en la Foto 7.11 se observa la formación de una
rótula plástica, con la evidente cedencia del acero longitudinal y la pérdida de sección
de hormigón debida a la junta débil causada por el hormigonado del pilar y de la viga en
dos fases diferentes, lo cual evitó que los elementos de hormigón se comportasen de
forma monolítica.

Foto 7.10 Falla de una junta de elemento de hormigón reforzado.
Foto 7.11 Cedencia del acero de refuerzo y pérdida de sección en junta.

Foto 7.12 Formación de rótula plástica en viga.
El caso siguiente, Foto 7.12, sirve para ilustrar el comportamiento que se
persigue al aplicar el diseño de pilar fuerte- viga débil, que privilegia el diseño de
secciones de pilares con una resistencia mayor que la contraparte de las vigas, con la
finalidad de conseguir que las rótulas plásticas que inevitablemente se han de formar
por la disipación de la energía de un sismo fuerte, aparezcan en los puntos de las vigas,
a una determinada distancia de los pilares que evite la aparición de un mecanismo
inestable bajo la acción de las cargas gravitatorias.
En la Foto 7.13 se muestra el caso en el cual las rótulas plásticas se han
desarrollado en los extremos de los pilares de planta baja, al tener dichos pilares menor
rigidez que los de la planta superior debido a su mayor altura y a la falta de contribución
de los cerramientos.
Otro caso de pilar débil se observa en la Foto 7.14, el cual muestra el excesivo
daño del elemento en comparación con el daño que muestra la viga en el extremo
superior. Se nota además que el pilar ha sido sometido al cortante de piso, sino que
también ha sido sometido a torsión alrededor de su eje longitudinal.

Foto 7.13 Formación de rótula plástica en extremos de pilar.
ahbMálaga, 18 de enero de 2006
Foto 7.14 Fallo de pilar, efecto viga fuerte - pilar débil.

Foto 7.15 Fallo local de pilar por inadecuado refuerzo de confinamiento.
Finalmente se tiene el caso de un pilar con falla debida a la inadecuación del
refuerzo transversal, se observa claramente que el núcleo ha sido confinado pobremente
el tramo más solicitado, razón por la que se produjo la rotura del estribo y el posterior
pandeo de las barras de refuerzo longitudinal y la pérdida parcial de la sección de
hormigón, Foto 7.15.

Capítulo 8
CCoommppaarraacciióónn eennttrree llaass
nnoorrmmaattiivvaass NNCCSSEE--0022,,
EEUURROOCCÓÓDDIIGGOO--88 yy CCoovveenniinn
11775566--9988
8.1 INTRODUCCIÓN
Para demostrar mejor la aplicación práctica de los conceptos de diseño
sismorresistente analizados en los apartados anteriores, en lo que sigue se hace una
comparación entre la normativa de diseño española (NCSE-02), la normativa
venezolana (Covenin 1756-98) y la normativa europea pr EN-1998-1:2003(E) (E8). En
la comparación se abordan aspectos relativos a los criterios aplicados en las normativas,
comenzando con una revisión de un aspecto común en las normativas de diseño: los
factores de reducción de respuesta, describiendo los elementos que lo integran. Para
facilitar la comparación, se describen los procedimientos aplicados para la
determinación de las acciones sísmicas a partir de unas condiciones de riesgo generales
(E8) o nacionales (NCSE02, Covenin 1756-98), haciendo especial énfasis en la
incorporación de las condiciones de sitio y su efecto en la amplificación dinámica de los
suelos. Se revisan además como abordan las normativas la simplificación del calculo
inelástico a partir del análisis elástico, mediante la incorporación del amortiguamiento y
de la ductilidad. Finalmente se valora la consideración de factores inherentes al
desempeño de las estructuras que se ha comprobado mantener su integridad aun bajo la
acción de sismos fuertes, como son la sobrerresistencia y la redundancia estructural y
como la regularidad estructural interviene en el análisis, modificando los factores de
reducción de respuesta.

138 Comparación de Normativas
8.2 FACTORES DE REDUCCIÓN DE RESPUESTA
La adopción de los factores de reducción para determinar fuerzas sísmicas de
diseño a partir de las correspondientes a la respuesta elástica se realiza partiendo de los
valores sugeridos inicialmente por Newmark y Hall (1973), que vincularon los factores
de reducción de respuesta con los valores esperados de ductilidad global de
desplazamiento, conforme a los rangos de períodos dentro del espectro de aceleraciones.
1R =
µR =
12µR −=
µR =
Para 0T =
Para el rango de los períodos
cortos.
moderados.
intermedios y largos.
(8.1)
Siendo R el factor de reducción, µ y T los valores de la ductilidad global y el período
de la estructura, respectivamente.
Estos valores de R se corresponden con los criterios de igual energía para los
períodos cortos y de igual desplazamiento para los períodos largos, habiendo
demostrado ser unas buenas aproximaciones iniciales. Los factores de reducción se han
determinado desde entonces sobre la base de análisis estadísticos y de juicio ingenieril o
la opinión de expertos, para espectros de respuesta que comparten similares
características sismológicas y tectónicas (Chakraborti y Gupta 2004).
El procedimiento se ha mantenido a lo largo de los años en los códigos de diseño
sismorresistente debido al relativo buen desempeño exhibido por las estructuras
diseñadas con este método, que han mantenido su integridad y preservado vidas al haber
sido sometidas a sismos fuertes. La dependencia del factor de reducción respecto a la
ductilidad global y del período estructural ha prevalecido en los códigos de diseño, a
pesar de que recientes investigaciones han demostrado que aplicar dichos factores
redunda en diseño poco seguro para el rango de los períodos bajos y excesivamente
conservador para los períodos intermedios y largos, tal como se muestra en la Figura 8.1
(Ordaz y Pérez- Rocha 1998).

Factores de Reducción de Respuesta 139
Figura 8.1 Factor de reducción por ductilidad, Ordaz y Pérez-Rocha (1998).
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Real
Newmark-Hall
Station SCT (Soft-soil) =4
T (sec)
Strength-reductionfactor
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
Entre 1990 y 2000 gran parte de la investigación se concentró en la
determinación de la influencia del efecto de sitio sobre los factores de reducción (Figura
8.2) formulándose expresiones comúnmente obtenidas por regresión para representar los
valores de los factores de reducción en función del período estructural y de la ductilidad
estructural de desplazamiento esperada. Esta ductilidad de desplazamiento se define
como la relación entre el valor del desplazamiento último entre el desplazamiento para
el cual ocurre la aparición de la primera rótula plástica en los elementos de la estructura.
0 1 2 3 4
1
3
5
7
T (in sec)
R
Actual
Estimated
Figura 8.2 Consideración del efecto de sitio.

Los factores de reducción son considerados por primera vez en el articulado del
ATC-3-06 (ATC 1978) que permite la aplicación del método de las fuerzas sísmicas
equivalentes mediante la reducción del cortante basal calculado a partir del espectro de
diseño elástico con un amortiguamiento igual al 5% del amortiguamiento crítico y para
el correspondiente peso sísmico de la edificación:
R
WS
R
V
V 5,ae
b
×
==
(8.2)
El cortante basal de diseño se calcula escalando el cortante basal elástico
por el factor de reducción
bV eV
R correspondiente al diseño. En el cálculo del cortante basal
elástico se considera la aceleración del espectro elástico de diseño calculado por los
métodos dinámicos conocidos, para un amortiguamiento del 5% del amortiguamiento
crítico, lo que permite obtener la aceleración de diseño . Esta aceleración afecta al
peso sísmico , que generalmente corresponde al 100% de las cargas permanentes
más un porcentaje de las sobrecargas de uso.
eV
5,aS
W
En la Figura 8.3se pueden observar las relaciones existentes entre los valores de
los cortantes calculados en las distintas fases de diseño, haciendo uso de la
representación de la curva de capacidad típica de una estructura porticada.
Figura 8.3 Curva de demanda y de capacidad típica.
Sd
Sa
Curva de capacidad
0 0.06 0.12 0.18 0.24 0.3
0
1
2
3
4
Espectro elástico
Curva de capacidad
1ª rótula
Comportamiento idealizado

Es importante notar la diferencia que existe entre la ductilidad de
desplazamiento que es la diferencia entre el desplazamiento último menos el
máximo desplazamiento elástico
dD u∆
y∆ ,
yudD ∆−∆= (8.3)
y la razón de ductilidad que se define como el cociente de dividir las dos cantidades
anteriores:
µ
y
u
∆
∆
=µ
(8.4)
8.2.1 Componentes del factor de reducción de respuesta R
Investigadores de Berkeley (1987) estimaron que el factor de reducción de
respuesta es el producto de tres factores interrelacionados entre sí:
ξµ RRRR S ..= (8.5)
Los factores son: el factor de reducción por resistencia que contiene la
reducción debida a las consideraciones conservadoras asumidas en el diseño en general,
el factor de reducción por ductilidad que presenta la influencia de la ductilidad y el
factor de reducción por amortiguamiento , que incluye el efecto del amortiguamiento
propio de los materiales que constituyen la estructura. De estos tres factores, los dos
primeros pueden determinarse directamente de la curva de capacidad, en base a la
relación de las fuerzas cortantes basales, así el factor de resistencia es:
SR
µR
ξR
SR
b
u
S
V
V
R =
(8.6)
Siendo el cortante basal último y el cortante basal de diseño.uV bV
Es frecuente encontrar que en los códigos de diseño no se distingue entre el
valor del factor de reducción R y el factor de reducción por ductilidad . Éste último
viene dado por la relación entre los cortantes basales elástico y último de la
curva de capacidad de la estructura.
µR
eV uV

u
e
V
V
R =µ
(8.7)
Donde los valores del factor de reducción de respuesta R están acotados, para
todas las ductilidades y amortiguamientos:
µ=→∞=
=→=
µ
µ
RT
1R0T (8.8)
Witthaker et al. (1997) considera para el factor de amortiguamiento el valor de
la unidad, presumiblemente por que los casos estudiados correspondían a edificios
analizados considerando el valor del coeficiente de amortiguamiento como el 5% del
amortiguamiento crítico. El FEMA (1996) recomienda los valores de la Tabla 8.1 para
coeficientes de amortiguamiento diferentes al 5%.
Coeficiente de
amortiguamiento Períodos cortos Períodos largos
<2% 0,8 0,8
5% 1,0 1,0
10% 1,3 1,2
20% 1,8 1,5
30% 2,3 1,7
40% 2,7 1,9
>50% 3,0 2,0
Tabla 8.1 Factor de Reducción por amortiguamiento (FEMA, 1996).
Estos valores aparecen graficados en la Figura 8.4, determinándose por regresión
una curva de ajuste que permite la interpolación para coeficientes de amortiguamiento
no tabulados. Sin embargo, es necesario señalar que es poco probable que las
estructuras lleguen a tener amortiguamientos mayores que el 20% del amortiguamiento
crítico.
La evaluación de la influencia del amortiguamiento ha demostrado que los
factores de reducción son ligeramente superiores en aquellos casos en los que el
amortiguamiento es nulo, en comparación con los casos en los cuales el
amortiguamiento es el que suele atribuirse a las estructuras. Similar conclusión es
obtenida al comparar los factores de reducción calculados con el modelo bilineal,
comparados con los calculados con modelos que incorporan las propiedades no lineales
(Chakraborti y Gupta 2004).

Figura 8.4 Funciones del factor de reducción por amortiguamiento, FEMA (1996).
ξ
Rξ
Factor de reducción por amortiguamiento
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
y=0.6785+0.0646ξ-0.0003603ξ
2
y=0.7598+0.04444ξ-0.000397ξ
2
8.2.2 Nueva propuesta (ATC 1995)
En la nueva propuesta del ATC 1995, no figura el factor de amortiguamiento,
siendo el factor R el producto de los factores de reducción por resistencia y el de
reducción por ductilidad , asignándole importancia a un factor adicional denominado
factor de redundancia .
SR
µR
RR
RS R).R.R(R µ= (8.9)
Se parte de la comprobada influencia de el amortiguamiento en la reducción de
los desplazamientos pero desigual en la reducción de las fuerzas una vez que se ha
alcanzado el estado de cedencia. Adicionalmente, debe comentarse que si bien el ATC
1995 no incluye expresamente afectar el factor de reducción tomando en consideración
la irregularidad en planta o en alzado de la edificación, sugiere la aplicación de criterios
de forma semejante a los empleados en la Japanese Building Standard Law (Earthquake
1992) y que han sido incorporados en la última propuesta del EUROCÓDIGO-8 (2003).
Factor de resistencia SR
El factor de resistencia se origina por la diferencia que existe entre el corte
basal de diseño y el cortante basal último , esta diferencia es el resultado de
proyectar para grupos de fuerzas mayoradas de forma estadística con base en la
dispersión que las estas presentan (mayores a las resistidas por la estructura durante su
vida útil) conjuntamente con propiedades minoradas de los materiales. Adicionalmente,
SR
bV uV

el diseño de los elementos sismorresistentes implica satisfacer condiciones de
desplazamientos máximos (derivas de piso) y de detallado de partes de la estructura
para mejorar su capacidad de disipación dúctil. Todo esto conduce finalmente a
secciones con resistencia superior a la considerada por simple resistencia.
Investigaciones recientes han permitido determinar factores de resistencia (Bertero
1986) que demuestran la clara dispersión de los valores de para edificios porticados
de hormigón armado, por lo que es necesario profundizar en este campo, Tabla 8.2.
SR
Tabla 8.2 Factores de reducción por resistencia, según investigaciones recientes.
Investigación Casos estudiados Rs
Pórticos resistentes a momento 2,1-6,5
Pórticos perimetrales 1,8-3,5
Pórticos con diagonales concéntricas 2,2-2,8
Edificio de acero de 13 pisos 4,0
Edificio de hormigón de 6 pisos 1,9
Hwang y Shinozuka
(1994) Edificio de hormigón de 4 pisos 2,2
Osteraas y
Krawlinker (1990)
Uang y Maarouf
(1993)
Al establecer la relación entre el diseño actual de edificios de hormigón armado,
se llega a alcanzar valores de los factores de resistencia que en todo caso presentan
la misma dispersión de valores, ver Tabla 8.3.
SR
La estimación de los factores de reducción por resistencia se complica por
efectos como la resistencia actualizada de los materiales (una vez que se ha
incursionado en comportamiento plástico o ha ocurrido daño), los efectos del
confinamiento, presencia de elementos estructurales tales como losas de hormigón y
elementos no estructurales no considerados de forma explícita en el análisis, haciendo
necesario reconocer que no todos estos efectos contribuyen favorablemente al
incremento del factor de sobrerresistencia. Entre los efectos que pueden tener
contribución desfavorable se incluyen el incremento de la sobrerresistencia en vigas
puede dar origen al fallo frágil por cizallamiento, elementos de cerramiento pueden
causar efectos de columna corta y las irregulares distribuciones de las alturas de las
columnas y la discontinuidad en las líneas resistentes verticales pueden producir el
efecto de piso blando (Park 1996).
SR

Casos estudiados Rs
Fischinger, Fajfar
y Vidic (1994)
Edificios de hormigón
armado de mediana y
baja altura
1.6-4.6
Panagiotakos y
Fardis (1998)
armado
2.0-2.5
Elnashai y Mwafi
(2002)
armado mediana altura e
irregularidad vertical
2.0-3.0
Tabla 8.3 Factores de sobre resistencia, según estudios recientes.
En la Tabla 8.4 se presenta una lista que contiene los factores anteriormente
citados y la etapa del proyecto de la edificación en la cual son incorporados.
Modelado Análisis Diseño
Diferencia de la resistencia actual y nominal de los materiales
Tabla 8.4 Factores que influyen en la sobrerresistencia.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Diseño conservador y requerimientos por dutilidad
Factores de carga y múltiples casos de carga combinados
Consideración de torsión accidental
Provisiones para cumplir estado límite de servicio (flechas)
Participación de elementos no estructurales (losas)
Cumplimiento de cuantías mínimas de acero
Diseño de secciones múltiplos de 5
Redundancia estructural
Endurecimiento resistente
Efectos del confinamiento
Análisis en base al período elástico
Diseño controlado por rigidez (derivas)
Etapa del proyecto en la cual se
incluyeCausa de la sobrerresistencia
Factor de ductilidad µR
El factor de ductilidad proporciona una medida del comportamiento no lineal
global de una estructura y en ningún caso describe el comportamiento de elementos
aislados.
La forma de determinar el valor de los factores de ductilidad se realiza mediante
la razón de dividir las ordenadas de la respuesta elástica entre los valores de las
ordenadas inelásticas de los espectros de respuesta de sistemas de un grado de libertad,
según la expresión siguiente:

( )
( )1F
1F
R
y
y
>µ
=µ
=µ
(8.10)
Siendo el factor de reducción por ductilidad,µR ( )1FY =µ el valor de la
ordenada correspondiente al espectro de respuesta elástico y ( )1FY >µ el valore de la
ordenada del espectro de respuesta inelástico, para ductilidades µ mayores que la
unidad.
Los trabajos que inicialmente abordaron el tema, tenían como objetivo plantear
expresiones de factores de ductilidad dependientes de la ductilidad de desplazamiento y
del período estructural, se realizaron análisis de la respuesta inelástica mediante
modelos sencillos, tales como el elasto-plástico perfecto o el modelo bi-lineal. Los
resultados obtenidos muestran la evidente dependencia de respecto al período de la
estructura, sin embargo sus valores se volvían aproximadamente constantes a partir de
un determinado período, presentando valores de ordenada mayores que los valores de la
ductilidad de desplazamiento (Vidic et al. 1994 y Lee et al. 1999). Valores típicos
pueden observarse en la Figura 8.5, en la que se muestra la comparación entre factores
de reducción por ductilidad obtenidos porNassar y Krawinkler (1991), Miranda (1993)
y Riddell (1995).
µR
Figura 8.5 Espectros de factores de reducción, Miranda (1993).
Nassar y Krawinkler (1991)
Miranda (1993)
Riddell (1995)
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
T (in sec)
R
=5
=3
=2
Los espectros anteriores poseen dos ramas bien diferenciadas, dependientes del
período y de la ductilidad de la estructura, permiten producir expresiones idealizadas,
del tipo mostrado en la siguiente expresión:

( )[ ]
( )
42,0b29,0
10,00....1a
Con
T
b
T1
T
,Tc
11cR
a
a
c
1
<<
<α<=
+
+
=α
+−µ=µ
(8.11)
Donde el factor de reducción por ductilidad depende del valor de la ductilidad y
de unos parámetros de ajuste del modelo a , y que incorporan el período T , la
fracción de la rigidez post-cedente
µR µ
c b
α . Ejemplo de estas curvas idealizadas puede
observarse en la Figura 8.6.
=6
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
Ductilityfactor
Period (seconds)
Nassar & Krawinkler
Miranda (Rock)
Miranda (Alluvium)
=4
=2
Figura 8.6 Factores de reducción por ductilidad, función idealizada.
Investigaciones recientes, (Vielma et al. 2004, Dolšek y Fajfar 2004) en las que
se incorpora al análisis de la respuesta de sistemas de un grado de libertad aspectos
como la plasticidad y el daño, los valores de muestran que si bien su dependencia
respecto a la ductilidad es similar a la obtenida en los trabajos antes citados, los valores
de muestran valores medios menores que la ductilidad. Esta última afirmación se
observa en la Figura 8.7.
µR
µR

Figura 8.7 Espectros de factores de reducción considerando comportamiento no-
lineal, Vielma et al. (2004).
T (seg.)
Rµ
S1
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3
0
1
2
3
4
5
6
µ= 2,5
µ= 4,5
µ= 6
A manera de resumen, se tiene que los valores de los factores de reducción por
ductilidad se pueden sintetizar mediante funciones que dependen de la ductilidadµR µ,
del período o una función de ajuste del períodoT ( )TΨ que depende de los parámetros
de las curvas obtenidos del análisis de regresión:
( ) ( ) 1T.1R +Ψ−µ=µ
(8.12)
El actual avance en la formulación de modelos constitutivos que incorporan la
no linealidad geométrica y constitutiva de los materiales, ha permitido determinar
valores de factores de reducción por ductilidad, tanto por la vía de aplicación del
análisis no lineal estático, como mediante el análisis no lineal dinámico. Al utilizar
directamente el análisis no lineal, los factores de reducción por ductilidad engloban
tanto el efecto de la ductilidad como del amortiguamiento que en propuestas anteriores
aparecían por separado (Chakraborti y Gupta 2004).
En general, la determinación de los valores de con el objeto de proponer
valores para el diseño sismorresistente, debe incorporar al análisis aspectos
determinantes como:
µR
• Organización de registros. Los registros deben estar clasificados según
su magnitud y distancias epicentrales, con variedad en las condiciones de la
fuente y en el patrón de transmisión del sismo. Como en contadas ocasiones las

características están disponibles, se agrupa a los registros obtenidos en varios
sitios con similares condiciones tectónicas y de suelos.
• Normalización. Ya que las diferencias de las magnitudes de los registros
impiden la comparación absoluta entre éstos, es necesario escalarlos con
respecto a un parámetro predeterminado como, por ejemplo la aceleración
máxima del terreno.
• Sismo de diseño. Es necesario evaluar la magnitud, distancia a la fuente
y condiciones sub-superficiales, para obtener una apropiada caracterización del
sismo de diseño.
• Efecto del amortiguamiento. La mayoría de las normativas presentan
implícito el valor del 5% del amortiguamiento crítico sin considerarlo como un
parámetro variable. Recientes investigaciones han demostrado que la relación
existente entre las ordenadas de los espectros elásticos y los inelásticos, no es
siempre la misma para todos los factores de amortiguamiento: el factor R
depende del amortiguamiento y decrece con el incremento del factor de
ductilidad µ.
• Efecto del modelo histerético. El efecto del modelo histerético adoptado
revela una variación entre 30% y 50% entre las ordenadas espectrales, por lo que
no es conveniente extrapolar los espectros de diseño obtenidos para un modelo
histerético específico, para sistemas que obedecen a modelos histeréticos
diferentes.
• Efecto de las condiciones de sitio. La utilización de un factor constante
para suelos por parte de varios códigos no es apropiada, debido a la marcada
influencia de las condiciones del sitio para suelos blandos, períodos intermedios
y bajas ductilidades de desplazamiento. Las condiciones del sitio afectan las
amplitudes, el contenido frecuencial y la duración de los sismos, dependiendo su
influencia de la geometría y las propiedades de los materiales de la sub-
superficie, topografía del sitio y presencia del nivel freático.
Adicionalmente, es importante reconocer la influencia de la existencia de
múltiples grados de libertad; Miranda (2001) demostró que estructuras de múltiples
grados de libertad diseñadas con resistencia lateral igual a la correspondiente a una
estructura de un grado de libertad con similar período, llega a experimentar demandas
de ductilidad superiores. Se ha planteado la siguiente relación entre los factores de
reducción para sistemas de múltiples grados de libertad.
SDOF
MDOF
M
R
R
R =
(8.13)

Los valores representa la relación entre el factor de reducción de un sistema
de múltiples grados de libertad y el factor de reducción de un sistema de un
grado de libertad con un período del primer modo de vibración similar al del
primero. Como ejemplo se tiene el trabajo de Nassar y Krawlinker (1991) que
determinaron valores de calculados para edificios con diferente número de pisos,
planteándose una expresión preliminar en función de la ductilidad y del período de la
estructura, dependiente del período y de la ductilidad
MR
MDOFR
SDOFR
MR
T µ:
( )[ ]12
M lnT15,01R
−
µ××+= (8.14)
Factor de redundancia RR
De todos los factores, sobre este es el que menos investigación se ha llevado a
cabo, la mayoría de las referencias se fundamentan en la investigación de Moses (1974)
que realizó un estudio estadístico de la respuesta de edificios porticados frente a las
acciones de viento, variando el número de líneas resistentes verticales. Posteriormente,
Bertero (1999) retoma el tema adicionando al planteamiento estadístico la influencia del
tipo de sismo, pulsativo o armónico, en la posible respuesta de edificios de múltiples
grados de libertad. Como ejemplo ilustrativo, se propenso el análisis de la respuesta de
una estructura de un solo pórtico con otra de dos pórticos, para este último se establece
la relación entre la calidad constructiva de cada línea resistente vertical independiente,
mediante un coeficiente de correlación:
v1
2
1
411,1
ρ+
=
β
β (8.15)
En la relación anterior es el índice de seguridad para una línea resistente,1β 2β
es el índice de seguridad para dos líneas resistentes y vρ es el coeficiente de correlación
de calidad constructiva, que resume la relación cualitativa entre dos líneas resistentes
verticales de la misma estructura.
Queda claro que para estructuras con un número de líneas resistentes mayor, el
coeficiente de correlación de la calidad constructiva se reduce, incrementando la
relación de índice de seguridad de un edificio con varias líneas resistentes, respecto al
edifico con una sol línea resistente. Valores considerados por Bertero (1999), indican
que para que una estructura disponga de un factor de reducción por redundancia, deberá
disponer de al menos 4 líneas resistentes verticales, ver Tabla 8.5.

Tabla 8.5 Factores de reducción por redundancia, Bertero (1996).
Lineas resistentes
verticales
Factor de
redundancia
2 0,7
3 0,8
4 1,0
1
6
0
Las causas de esta última consideración son las siguientes:
• Capacidad de rotación en secciones en las cuales ya ha ocurrido la
cedencia
• Se evita el conocido efecto de tamaño por concentración de solicitaciones
de grandes magnitudes en un número limitado de secciones o elementos
resistentes.
La redundancia de edificios duales (aporticados y con muros de corte) de
hormigón armado, analizado siguiendo las directrices del trabajo anterior, concluye que
el incremento de líneas resistentes verticales combinando las bondades del sistema dual,
permite esperar incrementos del factor de resistencia del orden del 24%.
En recientes trabajos, Bertero (1986), y Witthaker et al. (1999) han incluido a la
redundancia estructural como un factor independiente en la determinación de los
factores de reducción de respuesta, sin embargo es necesario señalar que hasta la facha
se carece de investigaciones que confirmen su grado de participación o rango de valores
aplicables a las distintas tipologías estructurales. Esta propuesta se muestra en la
expresión (16).
RVGS R.R.R.RR µ= (8.16)
De acuerdo con la expresión anterior, el factor de reducción R queda definido
como el producto de cuatro factores: el factor de reducción por resistencia , el factor
de reducción por ductilidad , el factor de reducción por múltiples grados de libertad
y el factor de reducción por redundancia
SR
µR
VGR SRR
8.3 COMPARACIÓN DE FACTORES DE REDUCCIÓN APLICADOS EN
DIFERENTES NORMATIVAS
8.3.1 Factores de reducción de respuesta en el EUROCODIGO-8
Al igual que en la mayoría de los códigos de diseño sismorresistente, en el
EUROCODIGO-8 se admite el análisis elástico de las estructuras, con base en la
reducción de las ordenadas del espectro de diseño elástico mediante la aplicación de

factores de reducción, en la Figura 8.8 se muestran los espectros elásticos de diseño
correspondientes a la versión 2003 del EUROCÓDIGO-8, para riesgo sísmico tipo 1.
T(seg)
Se/ag
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Suelo A
Suelo B
Suelo C
Suelo D
Suelo E
Figura 8.8 Espectros elásticos de diseño, riesgo sísmico 1.
Los factores de reducción de respuesta son identificados en el EUROCÓDIGO-8
mediante la letra q , son aplicados a los espectros elásticos de diseño, para obtener las
aceleraciones de diseño, se encuentran expresados en función de dos términos:
5,1kqq w0 ≥= (8.17)
El factor básico de reducción de respuesta depende del tipo de estructura
predominante y de la regularidad en elevación, así como del nivel de ductilidad que se
espera que la estructura sea capaz de desarrollar, para la cual existen dos niveles: DCM:
(clase de ductilidad media) y DCH (clase de ductilidad alta) y sus valores se muestran
por separado en la Tabla 8.6. El otro término es el factor de predominancia del modo de
falla en estructuras con muros de carga
0q
wk .
Tabla 8.6 Valores sugeridos para el factor básico de reducción de respuesta .0q
Tipo estructural DCM DCH
Sistema porticado, dual o
acoplado a muros de corte
Sistema con muros de corte 3,00
Sistema torsionalmente flexible 2,00 3,00
Sistema de péndulo invertido 1,50 2,00
1u /0,3 αα 1u /5,4 αα
1u /0,4 αα

A estos valores básicos de la Tabla 8.6 se les puede multiplicar por factores
obtenidos directamente del análisis inelástico estático (pushover analysis) que
relacio
Tabla 8.7 ón de respuesta .
Si el sistema estructural es predominantemente de muros de corte, los factores de
reducción por resistencia se obtienen de la Tabla 8.8.
Tabla 8.8 ón de respuesta
actores multiplicadores en sus posibles variantes, contienen los incrementos
de los factores de reducción de respuesta basados en la redundancia estructural, que los
autores
nan los valores de ordenadas para el cortante basal de diseño y el cortante basal
inelástico, lo que equivale a considerar la participación del factor de reducción por
resistencia SR . Sin embargo, para los casos en que no se efectúa el análisis inelástico
estático, se recomienda aplicar los valores de la Tabla 8.7 en el caso para el cual la
estructura sea predominantemente de pórticos o de pórticos acoplados a muros de corte.
Cabe señalar, que se incluye en este factor multiplicador el efecto de la redundancia
estructural, al considerar valores más altos a medida que el número de vanos y de
niveles son mayores que la unidad.
Sistema po
acoplado a mu
Valores sugeridos para el factor básico de reducci 0q
SR
rticado, dual o
ros de corte
Edificación de un solo nivel 1,10
Edificación de múltiples niveles
pero de un solo vano
1,20
Edificación de múltiples niveles
y múltiples vanos
1,30
1/ααu
Si ema con muros de corte
Valores sugeridos para el factor básico de reducci 0q .
Los f
st
Edificación con sólo dos muros
desacoplados por dirección
horizontal
1,00
Edificación con otros sistemas
desacoplados de muros
1,10
Edificación con sistemas duales
o acoplados a muros
estructurales
1,20
1/ααu
han ubicado entre 1,1 y 1,25, pero que como ya se ha señalado, presentan una
gran dispersión, por lo que se recomienda la aplicación del análisis inelástico estático.
Los factores multiplicadores obtenidos mediante el análisis inelástico estático, no
superarán el valor de 1,5.

El otro término del factor de reducción de respuesta tiene que ver con la
respuesta de estructuras con predominio de muros de corte. En este caso se aplica un
factor d
La ctores multiplicadores iguales a 1,
esto equivale a no aplicar ningún incremento del factor básico de reducción por
resisten
e multiplicación al factor básico 0q que es menor que la unidad y que por tanto
lo reduce, penalizando en mayor medida el predominio de la falla por cortante que
posee una menor capacidad de desarrollar respuesta dúctil en comparación con las
edificaciones porticadas.. De esta manera, en la medida en que los muros son más
esbeltos el valor de wk se aproxima a su cota inferior que es 1/3, sin llegar a alcanzarla
ya que el EUROCÓDIGO-8 lo limita expresamente a 0,5.
Efecto de la regularidad estructural
irregularidad en planta es penalizada con fa
cia y redundancia. Sin embargo, en el articulado del EUROCODIGO-8 no se
distingue entre los diferentes tipos de irregularidad en planta, irregularidad que
determina de modo diferente las acciones torsionales. Además, Los valores de 0q ,
pueden reducirse hasta un 20% si la estructura analizada presenta irregularidades en
elevación, el porcentaje de reducción queda a juicio del proyectista, dependiendo del
grado de irregularidad. De igual forma se establece un incremento de los valores de 0q
cuando se disponga de un plan especial de calidad, que nunca superará el 20%.
Factores de reducción q . Edificaciones porticadas
A c a es de reducción de
acuerdo con las diversas condiciones prescritas en el EUROCODIGO-8. En la Tabla 8.9
y la Ta
ontinuación se resumen los v lores que alcanzan los factor
bla 8.10, se muestran los factores de respuesta para edificios porticados, teniendo
en cuenta los factores básicos de cálculo asignados de acuerdo con el nivel de ductilidad
esperado (alto o medio), la regularidad de la estructura, la existencia de irregularidades
en planta, en elevación y como una combinación de ambas. Se aplican los valores
extremos sugeridos en el EUROCODIGO-8, entendiéndose que entre los máximos y los
mínimos se encuentra un rango de valores que, tal como se ha indicado, quedan a juicio
del proyectista. Finalmente, se aplican incrementos a los factores de reducción en virtud
de la existencia de planes especiales de control de calidad en la elaboración del
proyecto, en las tablas las siglas CPC y SPC significan que el proyecto cuenta o no con
plan de control de calidad.

Factor de Reducción
Irregulares
en planta en elevación planta elevación
SPC CPC SPC CPC SPC CPC SPC CPC
Un solo nivel 4,50 1,10 1,00 4,95 5,94 4,50 5,40 4,13 4,95 3,75 4,50
Múltiples niveles,
un solo vano
4,50 1,20 1,00 5,40 6,48 4,50 5,40 4,50 5,40 3,75 4,50
Múltiples niveles,
múltiples vanos
4,50 1,30 1,00 5,85 7,02 4,50 5,40 4,88 5,85 3,75 4,50
Regulares
0q 1u αα uk
q
Tabla 8.9 Factores de reducción para estructuras porticadas, con nivel de ductilidad
alto.
Irregulares
Un solo nivel 3,00 1,10 1,00 3,30 3,96 3,00 3,60 2,75 3,30 2,50 3,00
Múltiples niveles,
un solo vano
3,00 1,20 1,00 3,60 4,32 3,00 3,60 3,00 3,60 2,50 3,00
Múltiples niveles,
múltiples vanos
3,00 1,30 1,00 3,90 4,68 3,00 3,60 3,25 3,90 2,50 3,00
Regulares
0q 1u αα uk
q
Tabla 8.10 Factores de reducción para estructuras porticadas, con nivel de
ductilidad bajo.
Factores de reducción q . Edificaciones con muros de cortante
Para este tipo estructural, que comprende una amplia gama de configuraciones
conjuntamente con estructuras porticadas, se presenta una variante que consiste, además
de la aplicación de los factores aplicados a pórticos, en la aplicación de un factor
corrector que varía en función del modo de falla predominante. Por razones prácticas se
presentan sólo los valores extremos para el caso de ductilidad alta, (ver de la Tabla 8.11
a la Tabla 8.13), adoptándose el valor de 1kw = para casos con predominio de falla por
flexión y de que es la cota mínima normativa para edificios con fallas por
cortante.
5,0kw =

Irregulares
Sólo dos muros
desacoplados
4,00 1,00 1,00 4,00 4,80 4,00 4,80 3,33 4,00 3,33 4,00
Otros sistemas
desacoplados de
muros
4,00 1,10 1,00 4,40 5,28 4,00 4,80 3,67 4,40 3,33 4,00
Sistemas duales o
acoplados a muros
4,00 1,20 1,00 4,80 5,76 4,00 4,80 4,00 4,80 3,33 4,00
Regulares
0q 1u αα uk
q
Tabla 8.11 Factores de reducción para estructuras con muros de cortante, con nivel
de ductilidad bajo.
Irregulares
Sólo dos muros
desacoplados
4,00 1,00 0,50 2,00 2,40 2,00 2,40 1,67 2,00 1,67 2,00
Otros sistemas
desacoplados de
muros
4,00 1,10 0,50 2,20 2,64 2,00 2,40 1,83 2,20 1,67 2,00
Sistemas duales o
acoplados a muros
4,00 1,20 0,50 2,40 2,88 2,00 2,40 2,00 2,40 1,67 2,00
Regulares
0q 1u αα uk
q
de ductilidad alto, modo de falla predominante por cortante.
Irregulares
Sólo dos muros
desacoplados
3,00 1,00 1,00 3,00 3,60 3,00 3,60 2,50 3,00 2,50 3,00
Otros sistemas
desacoplados de
muros
3,00 1,10 1,00 3,30 3,96 3,00 3,60 2,75 3,30 2,50 3,00
Sistemas duales o
acoplados a muros
3,00 1,20 1,00 3,60 4,32 3,00 3,60 3,00 3,60 2,50 3,00
Regulares
0q 1u αα uk
q
de ductilidad alto, modo de falla predominante por flexión.
La aplicación de los factores de reducción del EUROCODIGO-8 no conduce a
la obtención de valores únicos para una ductilidad esperada, más bien se produce un
rango de valores que dependen, por un lado, de la capacidad para disipar energía que se
atribuye a las estructuras, a su sobrerresistencia y por el otro de los controles de diseño

por parte del proyectista que a la larga aseguran el cumplimiento de las prescripciones
sismorresistentes, lo cual redunda en el incremento de la capacidad disipativa de la
estructura. Como ejemplo de lo anteriormente expuesto, se presenta en la Figura 8.9 y la
Figura 8.10 los espectros elásticos e inelásticos de diseño para ductilidad alta y para
suelos clasificados como tipo A y B, respectivamente.
Figura 8.9 Espectros de diseño, elástico e inelásticos, para sistemas porticados con
ductilidad alta, suelo tipo A.
Figura 8.10 Espectros de diseño, elástico e inelásticos, para sistemas aporticados
con ductilidad alta, suelo tipo B.
T(seg)
Se/ag
EUROCODIGO-8
Espectros inelásticos de diseño. Suelo A
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Suelo A
T(seg)
Se/ag
EUROCODIGO-8
Espectros inelásticos de diseño. Suelo B.
Edificaciones aporticadas
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Suelo B
Los factores típicos de reducción contemplados en el EUROCODIGO-8 se
muestran en la Figura 8.11, para un suelo tipo A, estructuras porticadas y para diferentes

valores de redundancia. Se observa que los espectros de factores de reducción presentan
dos ramas: la rama creciente y constante, pero esta última se reduce una vez que se
alcanza el período máximo de aceleración constante del espectro elástico de diseño.
Además, el EUROCODIGO-8 define un valor mínimo de aceleración de diseño para los
períodos altos, razón por la que se observa la modificación de la rama descendente del
espectro de factores de reducción.
Figura 8.11 Espectros de factores de reducción.
T(seg)
R
EUROCODIGO-8
Factores de reducción. Suelo A
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.3.2 Factores de reducción de respuesta en la Normativa NCSE-02
La normativa sismorresistente española vigente permite el análisis elástico de
estructuras mediante la reducción de los valores espectrales al aplicar coeficientes de
respuesta . El coeficiente de respuesta es función de la ductilidad esperada y del
porcentaje de amortiguamiento crítico que la misma normativa prescribe para los
diferentes materiales que constituyen el sistema estructural,
β
µ
ν
=β
(8.18)
Donde es el factor de modificación en función del amortiguamiento y es el
Coeficiente de comportamiento por ductilidad.
ν µ
El factor de modificación por amortiguamiento considera la reducción directa
del espectro elástico en función de la capacidad disipativa que posee la estructura, según
la relación entre el amortiguamiento 5% que usualmente se encuentra prescrito en otros
códigos de diseño, y el amortiguamiento real de la estructura Ω :

4,0
5
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Ω
=ν
(8.19)
La normativa establece los valores del amortiguamiento típicos para estructuras
usuales, los cuales no sólo son aplicados a la reducción de espectros elásticos, sino
también al incremento de sus ordenadas. También se presentan los valores del
coeficiente de comportamiento por ductilidad, Tabla 8.14.
Ductilidad
Tipo de
estructura
Compartimentación
Amortiguamiento (%
del crítico)
Alta Intermedia Baja
Diáfana 4,00 4,00 3,00 2,00
Compartimentada 5,00 4,00 3,00 2,00
Estructura con
muros de corte
Compartimentada 6,00 No No 2,00
Estructura de
hormigón
armado o acero
laminado
Tabla 8.14 Parámetros del factor de reducción previstos en la normativa NCSE-02.
Si bien la normativa NCSE-02 no define directamente el uso de factores de
reducción, se ha expresado a estos como el inverso de los coeficientes de respuesta β ,
para uniformizar términos y permitir la comparación con otras normativas. De esta
forma se obtienen los valores de R para cada uno de los niveles de ductilidad, que
dependen fundamentalmente de la capacidad de las estructuras de disipar energía frente
a la acción de cargas cíclicas, con elementos estructurales expresamente diseñados para
tal fin y acoplados en las dos direcciones principales de la estructura. Los valores de
factores de reducción de respuesta se muestran en la Tabla 8.15, a la Tabla 8.17.
Ductilidad Amortiguamiento Multiplicador Factor reductor
µ ν β R
Diáfana 4,00 1,09 0,27 3,66
Compartimentación
Estructura de
hormigón armado o
acero laminado
Tipo de estructura
Tabla 8.15 Factores de reducción normativa NCSE-02, ductilidad alta.

µ ν β R
Diáfana 3,00 1,09 0,36 2,74
Tipo de estructura Compartimentación
Estructura de
hormigón armado o
acero laminado
Tabla 8.16 Factor de reducción normativa NCSE-02, ductilidad intermedia.
µ ν β R
Diáfana 2,00 1,09 0,55 1,83
Estructura con
muros de corte
compartimentada 2,00 0,93 0,46 2,15
Tipo de estructura Compartimentación
Estructura de
hormigón armado o
acero laminado
Tabla 8.17 Factor de reducción normativa NCSE-02, ductilidad baja.
Espectros inelásticos de diseño
En la Normativa NCSE-02, se presentan espectros elásticos de diseño que
dependen del tipo de suelo, caracterizados por las velocidades de ondas de cizalla, sin
embargo no se hace referencia directa a espectros inelásticos de diseño. La construcción
de estos es posible si se toma en cuenta los coeficientes sísmicos que permiten calcular
las fuerzas de planta prescritas para el diseño simplificado (sección 3.7.3) o bien los
desplazamientos modales básicos (sección 3.6.2.2). El coeficiente sísmico, indicado
para cada planta i, identificado como α , es función del valor de la ordenada del
espectro elástico de diseño correspondiente al período de la estructura, afectado por el
coeficiente de respuesta del cual ya se ha comentado. Es necesario señalar que los
procedimientos normativos difieren, debido a que en el cálculo de los desplazamientos
modales, los coeficientes de respuesta se aplican de forma lineal para los valores de
ordenadas de aceleración constante, mientras que para los períodos bajos, el coeficiente
se aplica de forma variable, dependiente del rango del período de la estructura, así para
, se tiene:
β
Ai TT <
A
i
i
T
T
).15,2(1 −β+=α
(8.20)
Donde es el coeficiente sísmico,iα β el coeficiente de respuesta, el período
de la estructura, período de inicio de aceleración constante del espectro elástico de
iT
AT

diseño y α la ordenada del espectro elástico de diseño. Para el resto de los períodos del
espectro, los coeficientes sísmicos están dados por:AiT T>
βα=α .i
(8.21)
En la Figura 8.12 se muestran los espectros correspondientes a suelo clasificado
como tipo III reducidos por el factor de estructura porticada compartimentada, para
nivel de ductilidad alto.
Figura 8.12 Espectros de diseño, elástico e inelásticos, para sistemas porticados
con alta ductilidad, sobre suelo tipo III.
T(seg)
AEN
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Finalmente, en la Figura 8.13 se ha representado el factor de reducción de
respuesta típico aplicado en la normativa NCSE-02, en la que se distinguen las dos
ramas, la primera variable según el período y la segunda, con valores constantes e
iguales al valor de la ductilidad µ.
T

T(seg)
R
NCSE-02
Suelo tipo III
Espectro típico de factor de reducción
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
1
2
3
4
5
Figura 8.13 Espectro típico de factor de reducción normativa NCSE-02.
8.3.3 Factores de reducción de respuesta en la Normativa Covenin 1756-98
Los factores de reducción son prescritos de forma directa en la normativa
venezolana Covenin 1756-98 y sus valores dependen de dos características, la primera
vincula los niveles de reducción de ordenadas espectrales con el nivel de diseño
aplicado, obligando esto al cumplimiento de ciertas condiciones que garanticen la
ductilidad de el las estructuras. La segunda característica tiene que ver con la tipología
estructural utilizada, correspondiendo los niveles más altos de reducción de la respuesta
a las estructuras porticadas (Tipo I), hasta las estructuras incapaces de tener un
comportamiento asimilable al de las que responden como diafragma rígido.
Los valores máximos de los factores de reducción son los que en anteriores
versiones de la normativa correspondían a la ductilidad, sin que intervengan en su
determinación factores adicionales, tales como la sobrerresistencia o el
amortiguamiento, considerado en la determinación de los espectros elásticos de diseño.
La presentación de los valores máximos se realiza para tres familias de
estructuras que dependen del material: estructuras de hormigón armado, de acero y
estructuras mixtas de hormigón armado y acero. En cuanto a la influencia de las
posibles irregularidades tanto en planta como en elevación, la normativa aconseja la
aplicación global de factores de reducción iguales al 75% de los señalados para
estructuras regulares, sin hacer ninguna valoración sobre el tipo de irregularidad y sus
posibles consecuencias sobre la respuesta dúctil de la estructura. En las Tabla 8.18 a la
Tabla 8.20 se incluyen los valores para estas tres familias de estructuras.

Tabla 8.18 Factor de reducción normativa Covenin 1756-98, estructuras de
hormigón armado.
Estructuras de Hormigón armado
Tipo de estructura
I II III IIIa IV
ND3 6,00 5,00 4,50 5,00 2,00
ND2 4,00 3,50 3,00 3,50 1,50
ND1 2,00 1,75 1,50 2,00 1,25
Nivel de
diseño
Tabla 8.19 Factor de reducción normativa Covenin 1756-98, estructuras de acero.
Estructuras de acero
Tipo de estructura
I II III IIIa IV
ND3 6,00 5,00 4,00 6,00 2,00
ND2 4,50 4,00 - - 1,50
ND1 2,50 2,25 2,00 - 1,25
Nivel de
diseño
Tabla 8.20 Factor de reducción normativa Covenin 1756-98, estructuras mixtas
hormigón armado- acero.
Estructuras mixtas de Hormigón armado y acero
Tipo de estructura
I II III IIIa IV
ND3 6,00 5,00 4,00 6,00 2,00
ND2 4,00 4,00 - - 1,50
ND1 2,25 2,50 2,25 - 1,00
Nivel de
diseño
En estas tablas aparecen los valores de los factores de reducción R por tipo de
estructura, variando de las más dúctiles (tipo I) para las que la estructura predominante
porticada, a las menos dúctiles (tipo IV) dentro de las que se encuentran las estructuras
sustentadas por una sola columna, sin diafragma rígido o con forjados con vigas planas.
También dependen del nivel de diseño, asignando valores de R superiores para el nivel
de diseño ND3 que impone un detallado más exigente de secciones y uniones, y valores
inferiores para el nivel de diseño sin consideraciones sismorresistentes (ND1).
Espectros de diseño
Los espectros de diseño dependen del tipo de suelo sobre el cual se proyecta la
estructura, tipificado de acuerdo a la velocidad de ondas de corte y a la profundidad del
estrato, de esta manera existen 4 tipos de espectros de diseño para cada tipo de suelo, los
cuales se muestran en la Figura 8.14.

Figura 8.14 Espectros de diseño, elástico Normativa Covenin 1756-98.
T(seg)
AEN
Espectros elásticos de diseño
Norma Covenin 1756-98
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
S2
S1
S3
S4
Las tres ramas del espectro corresponden a rangos de valores de los períodos, así
para los períodos cortos , la rama es creciente:+
< TT
( )[ ]1β.
T
T1AA 0d −+= + (8.22)
Con la aceleración de diseño variando desde que es el valor de la
aceleración correspondiente a la zona sísmica , hasta alcanzar el valor de la rama de
aceleración constante, definido por el factor de amplificación de la respuesta dinámica
del suelo β y que se inicia para el período que depende del tipo de suelo y de la
ductilidad de diseño.
dA 0A
0A
+
T
La rama de los períodos intermedios *
TTT ≤≤+
, es la rama de aceleración
constante:
β.AA 0d = (8.23)
La rama de los períodos altos , es una curva hiperbólica, que se desarrolla
desde el período máximo para aceleración constante que depende del tipo de suelo.
El exponente p depende del ajuste de esta rama, para suelos blandos (tipo III y IV).
*
TT >
*
T

( )p*
0d T
T.β.AA = (8.24)
Sin embargo, para determinar los espectros de diseño inelástico, no se aplica una
reducción directa de las ordenadas de los espectros elásticos mostrados no se utilizan
directamente para el, ya que para cada nivel de ductilidad se tiene un valor de período
inicial para la rama de iguales aceleraciones conservando el valor del espectro de diseño
elástico para el período máximo en el cual se conserva aceleración constante. A modo
de ejemplo se tiene que para los niveles considerados en el diseño de estructuras
porticadas de hormigón armado, los espectros de diseño elásticos e inelásticos se
muestran en la Figura 8.15.
Figura 8.15 Espectros de diseño elástico Normativa Covenin 1756-98.
T(seg)
AEN
Espectros elásticos e inelásticos de diseño
Suelo S4.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
R=2
R=4
R=6
Un espectro típico de valores de factores de reducción se muestra en la Figura
8.16. Es notable su semejanza con los factores aplicados en otros códigos de diseño, con
una rama creciente para valores de períodos bajos, seguida de una rama horizontal para
la cual se alcanza el valor máximo del factor de reducción, igualando los valores de
ductilidad de desplazamiento esperada para el tipo estructural y el nivel de diseño
aplicado.

Figura 8.16 Espectros de factores de reducción, Normativa Covenin 1756-98.
T(seg)
AEN
Espectros de factores de reducción R.
Suelo S4.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
1
2
3
4
5
6
7
8.3.4 Comparación entre los valores de los factores de reducción
El primer aspecto a resaltar es que sólo en el EUROCÓDIGO-8 existe una
referencia explícita a un factor básico de ductilidad, que depende de la ductilidad de
global que puedan desarrollar las estructuras adecuadamente diseñadas. En las
normativas NCSE-02 y Covenin 1756-98 los factores de reducción tienen un
componente de reducción que depende exclusivamente de la ductilidad , para la cual
se fijan niveles de diseño que no son más que un marco de especificaciones mínimas
que se deben cumplir en la etapa de diseño. Los dos factores que completan los factores
de reducción
µR
R , que son dependientes de la sobrerresistencia y del amortiguamiento,
se incorporan en el EUROCÓDIGO-8 al considerar multiplicadores que varían de
acuerdo con la redundancia estructural y de los materiales que integran la
estructura , esto último al diferenciar entre los multiplicadores asignados a
estructuras de acero, hormigón armado y muros de corte, aunque es necesario aclarar
que no se realiza una referencia directa al factor en la normativa.
SRR
ζR
ζR
La NCSE-02 es la única de las normativas revisadas que sí presenta una
referencia directa a la influencia del amortiguamiento en el cálculo de los factores de
reducción. Sin embargo recomienda el valor promedio para el desempeño de las
diferentes estructuras, clasificadas de acuerdo con sus materiales, sin hacer referencia a
la consideración de valores que dependan de la influencia de elementos no estructurales
tales como la densidad y distribución de la mampostería que se ha demostrado altera los
valores esperados del amortiguamiento de las estructuras. En la Normativa Covenin
1756-98 no se señala la participación del amortiguamiento estructural en la

determinación de los factores de reducción R ; sólo es posible seleccionar valores de R
que son ligeramente superiores para el caso de las estructuras porticadas de acero.
La consideración de la amplificación que experimenta el movimiento sísmico
cuando atraviesa distintos tipos de suelos se encuentra de forma explícita en el
EUROCÓDIGO-8 y en la Normativa Covenin 1756-98, al adoptar ambas valores de
factores de amplificación dinámica β que dependen de las características geotécnicas,
generalmente representadas por la velocidad de ondas de cizallamiento y por los
espesores de los estratos, (contrastar la Figura 1.8 y la 1.14). La NCSE-2002 presenta
valores máximos como consecuencia de la amplificación, similares para los suelos
contemplados en dicha normativa, ajustando por esta causa el rango de valores de los
períodos para los que se tiene aceleración constante, que se ensancha a medida que el
suelo es menos rígido, ver Figura 1.12.
En cuanto a los valores de los factores R , es interesante notar que sólo el
EUROCODIGO-8 presenta limitaciones a las aceleraciones para las estructuras con
períodos largos (superiores a los 2 s) limitando explícitamente la aceleración de diseño
inelástico a un valor mínimo de 0,2 veces la aceleración espectral normalizada. Esto
último origina que el espectro de factores de reducción presente cuatro ramas bien
diferenciadas, la de los períodos cortos, conforme a la regla de igual energía, la de los
períodos intermedios con aceleraciones constantes, una tercera rama decreciente,
proporcional a la rama decreciente del espectro elástico y una última rama que no
decrece de la misma forma que la tercera, consecuencia de la cota inferior de las
aceleraciones de diseño.
El período característico para el cual se produce la transición entre la rama
creciente dependiente del período a la rama horizontal dependiente de la ductilidad,
presenta cierta uniformidad en los tres códigos analizados. Estos valores se encuentran
entre 0,2 y 0,4 s, que corresponden a períodos típicos obtenidos de los espectros de
respuesta obtenidos con registros sobre suelos rocosos o muy duros. Sin embargo,
recientes trabajos han demostrado la dependencia del período característico respecto al
período del suelo (Vielma 2003).
Finalmente, se reconoce la importancia que se la presta en los tres códigos
analizados a la relación que existe entre el valor de la ductilidad de desplazamiento y el
nivel de diseño que se aplica a la estructura. Así para el caso de la NCSE-2002, por
permitir ciertas irregularidades de la estructura y un detallado menos riguroso de
secciones y nudos, establece niveles máximos de ductilidad que se encuentran por
debajo de los especificados en el EUROCODIGO-8.
8.3.5 Cálculo simplificado de las fuerzas sísmicas equivalentes
Tanto el eurocódigo E8 como la normativa española NCSE-02 y la normativa
venezolana Covenin 1756-98, aceptan el uso de métodos simplificados (métodos
estático equivalente) para la determinación de las fuerzas sísmicas, que eviten la
realización de un análisis dinámico completo para el caso de edificios que cumplan
ciertos requisitos de regularidad en planta y en altura. Básicamente, dichos requisitos
definen un tipo de edificio que se ajuste a un modelo de cortante y, en el caso de que no
se cumplan, ambas normas exigen la realización de un análisis dinámico completo de la

estructura (tres grados de libertad por nivel). Antes de exponer los fundamentos de los
métodos simplificados mencionados, es importante observar que el desarrollo de este
tipo de algoritmos simplificados para la determinación de fuerzas sísmicas equivalentes
tuvo lugar entre los años cuarenta y setenta, cuando la carencia de ordenadores
eficientes hacía impracticable el análisis dinámico detallado de una estructura. La
situación actualmente es enteramente distinta, ya que dicho análisis puede efectuarse en
pocos minutos para el caso de estructuras de gran tamaño.
La normativa NCSE-02 propone para el análisis un método modal simplificado,
en el cual tanto el período como la forma de cada modo están dados por fórmulas
empíricas. El período del modo i se calcula como
1
2 1
i
T
T
i
=
−
(8.25)
donde es el período fundamental, para cuya estimación la normativa NCSE-02
proporciona diferentes ecuaciones, en dependencia del sistema estructural. Para el caso
de edificios porticados de hormigón se propone
1T
1 0.09T n= (8.26)
siendo n el número de pisos. En lo que se refiere a las formas modales, se propone
estimar la ordenada correspondiente al modo i en la planta r como
( )2 1
sin
2
r
ir
i h
H
π
φ
−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
(8.27)
donde es la altura de la planta r medida desde la base del edificio y H la altura total.rh
El método propuesto por el E8 es mucho más simple, ya que se basa en la
asignación de toda las fuerzas sísmicas al primer modo de vibración, lo que equivale a
suponer que la masa efectiva del modo fundamental es igual a la masa total del edificio.
Las ordenadas del modo fundamental, por su parte, pueden ser calculadas mediante un
análisis dinámico limitado solamente a este primer modo, o bien estimarse por la
siguiente forma lineal
r
r
h
H
φ =
(8.28)

En lo referente al período, la ecuación recomendada en el E8 para el caso de
edificios porticados de hormigón es
3
4
1 0.075T H= (8.29)
Que es similar al período fundamental prescrito para las estructuras de hormigón en
la normativa Covenin 1756-98:
aT
75.0
na h07.0T = (8.30)
donde es la altura total de la edificación medida desde el último nivel hasta el primer
nivel. Según esta normativa, el método simplificado corresponde con el perfil de
distribución de fuerzas correspondiente al primer modo (triángulo invertido),
calculándose las fuerzas mediante:
nh
∑=
= N
1j
jj
ii
i
hW
hW
WQ
(8.31)
siendo la fuerza lateral aplicada en el centro de masas del nivel i. y son
respectivamente el peso sísmico y la altura del piso considerado y y son los
pesos y alturas de los niveles por encima del nivel analizado.
iQ iW ih
jW jh
Figura 8.17 Distribución vertical de fuerzas por el método simplificado.
Qi

En la Figura 8.17 se observa la distribución de fuerzas correspondiente a la
aplicación del método estático o método simplificado.
8.3.6 Otras formas de definición de la acción y de cálculo de la respuesta
sísmica
Además del análisis dinámico lineal y simplificado, el E8 permite la realización
del análisis en el campo de la frecuencia, del análisis no lineal de la respuesta en el
tiempo y del análisis estocástico. El primer tipo de cálculo equivale a una formulación
alternativa al análisis dinámico, con la diferencia de que las respuestas no se evalúan
por superposición modal en el tiempo sino por superposición en frecuencias. Por otra
parte, para la realización del análisis no lineal de la historia en el tiempo, el E8 requiere
la utilización de acelerogramas artificiales, generados de tal manera que sean
compatibles con el espectro de diseño correspondiente al sitio en cuestión, así como con
otros requisitos de orden sismológico. Por último, el análisis estocástico se apoya en la
teoría de las vibraciones aleatorias y tiene por objeto la determinación de valores
estadísticos que describan la respuesta (media y desviación estándar) así como de las
respuestas máximas de la estructura, a partir de ciertas hipótesis. Para ello utiliza como
dato básico el llamado espectro de potencia, el cual es una función probabilista de la
energía asociada a cada frecuencia de la excitación sísmica. El E8 exige que este
espectro de potencia sea compatible con el de respuesta, lo cual implica que la respuesta
máxima probable estimada por ambos métodos, para un sistema de un grado de libertad
de un período cualquiera, sean aproximadamente iguales.
Finalmente, Es importante aclarar que, aun cuando en una zona se dispone de
una definición de la acción sísmica mediante una normativa sísmica, existen situaciones
en las cuales las mismas normas estipulan un estudio más preciso de las características
de la acción. Por ejemplo, para estructuras importantes, singulares, tales como centrales
nucleares, presas, depósitos para gas natural licuado, etc., las normas sísmicas
específicas de cálculo dinámico de éstas requieren estudios sismológicos en la zona a
fin de establecer, de la manera más correcta, las características del movimiento sísmico
esperado en la zona. Se imponen, al mismo tiempo, estudios de ingeniería sismológica,
cuyo objetivo es el de realizar una definición concreta de la acción sísmica a utilizar en
el análisis estructural. Estos estudios tienen que complementarse con otros, geológicos y
geotécnicos, a fin de adecuar la acción definida a las condiciones locales de terreno.
8.3.7 Desviación de piso
Una de las variables de diseño de mayor importancia es la relativa al
desplazamiento horizontal relativo entre pisos sucesivos, conocido con el nombre de
desviación. La desviación da una medida relativa de los desplazamientos entre niveles
adyacentes:
( )1ii
i
hh
Deriva
−−
δ
=
(8.32)

Donde es la diferencia entre los desplazamientos máximos probables entre
dos niveles adyacentes y y son las alturas de los niveles. La razón de su
importancia reside en que a ella se encuentran asociados los siguientes aspectos:
iδ
ih 1ih −
a) la protección de elementos no estructurales frágiles, tales como tabiques,
ventanas, puertas etc., que se deforman conjuntamente con la estructura.
b) el choque con estructuras colindantes.
c) los efectos de segundo orden sobre la estabilidad global del edificio, de lo que se
hablará más adelante.
En varios códigos del mundo se incluyen normas sobre el cálculo de las
desviaciones de piso así como los límites máximos que no pueden ser superados sin
poner en riesgo los elementos no estructurales y por ende la vida de las personas. En
términos generales, puede decirse que estos desplazamientos se calculan multiplicando
los obtenidos en el análisis de la estructura sometida a las fuerzas sísmicas de diseño,
por un factor que tiene en cuenta la deformación inelástica que sufre la estructura, el
cual en algunos códigos coincide con el factor de ductilidad µ.
En la NCSE-02 se propone el uso de la ecuación:
( )r r e
u u µ= (8.33)
donde es el desplazamiento total de diseño de un piso,ru ( )r e
u es el desplazamiento del
mismo calculado según un análisis elástico y µ el factor de ductilidad. La normativa
mencionada exige este cálculo para la comprobación de la posibilidad de choque con
estructuras colindantes. Sin embargo, no proporciona unos valores máximos admisibles
para el control del desplazamiento relativo, lo que permitiría lograr el primero de los
objetivos mencionados, cual es el de la protección de los elementos no estructuras. Por
su parte, el E8 sí exige el cumplimiento de un requisito al respecto, pero solamente para
el caso de estado de servicio, el cual corresponde un sismo con menor período de
retorno que el de diseño. En este punto el Eurocódigo 8 se aparta de una tendencia
general de los códigos del mundo que exigen dicho control de desplazamientos también
para el sismo máximo probable, que establece el control de los daños al estar estor
íntimamente vinculados con el nivel de daños que sufren las estructuras. En cambio la
normativa Covenin 1756-98 si considera valores máximos de desviaciones de piso o
derivas, correspondiendo los valores más bajos (0.012) a las edificaciones que requieren
un control más exigente por desplazamiento (edificaciones esenciales) y los más altos a
las edificaciones no esenciales (0.024). El cumplimiento de los requisitos de
desplazamientos permite entre otras cosas la verificación del predimensionado sísmico y
de no satisfacerse, se procede a incrementar las secciones de los elementos estructurales.

8.3.8Estabilidad
En lo referente al problema de la estabilidad o efectos de segundo orden, la
normativa NCSE-02 requiere que dichos efectos sean despreciados cuando el desplome
de la cabeza del edificio no supere el dos por mil de la altura total, o cuando se cumpla
la siguiente desigualdad:
0.10r r r rPu F h< (8.34)
donde es el peso total por encima de la planta r, la desviación del piso calculada
según un análisis lineal, el corte acumulado hasta la planta en cuestión y la altura
entre el piso analizado y el inmediatamente inferior. Esta formulación equivale a decir
que los efectos P-∆ se desprecian cuando el momento adicional por deformación de la
estructura sea menor que el 10 % que el momento de vuelco en el piso. El mismo
requisito se encuentra en el E8, con la diferencia esencial de que en este último, así
como en varios códigos importantes del mundo, se requiere usar en esta fórmula la
desviación no lineal estimada, la cual es varias veces mayor que la desviación lineal. La
utilización de la desviación lineal en este cálculo puede considerarse un error, ya que
ella no refleja el estado real de desplazamientos de la estructura y no permite, en
consecuencia, juzgar la importancia de los efectos de segundo orden. Además, la
normativa NCSE-02 no indica ningún procedimiento para incluir dichos efectos en el
diseño en caso de que la desigualdad anterior no se cumpla. En el E8, en consonancia
con la tendencia universal al respecto, se exige amplificar todos los efectos sísmicos en
el piso r en
rP ru
rF rh
1
1 rζ−
(8.35)
Donde
r r
r
r r
Pu
F h
ζ =
(8.36)
para el caso en que el valor de rζ se encuentre comprendido entre 0.1 y 0.2. No se
contempla el caso en que rζ sea mayor que este último valor ya que eso supone una
inestabilidad muy alta. El E8 se limita a exigir que el valor de rζ no sea superior en
ningún caso a 0.3. Otros códigos exigen un análisis de inestabilidad no lineal completo
para valores de rζ superiores a 0.2.

8.3.9 Torsión e irregularidades
Tanto el E8 como la NCSE-02 y la Covenin 1756-98, requieren que la
excentricidad del centro de rigidez con respecto al de masa sea incrementada para cubrir
los efectos de una torsión accidental, que puede ser causada por las componentes
rotacionales del sismo y, además, por posibles efectos de daño excesivo en algún
soporte, errores en el cálculo, la componente rotacional del movimiento sísmico y la
dificultad de la ubicación de los centros de masa y rigidez, etc. El valor del incremento
es del 5% de la dimensión en planta perpendicular a la dirección bajo análisis en los dos
primeros códigos, mientras que la normativa Covenin1756-98 exige la aplicación de un
momento torsor calculado con una excentricidad accidental del 6%. El momento torsor
de cada nivel se sustituye por una fuerza equivalente que finalmente se adiciona a la
fuerza sísmica de diseño del piso considerado.

Anexo
Programa para ordenador
MODAL
En este anexo se explica la forma como está organizado el programa de análisis
modal de edificios, modelado como edificio de cortante. Las unidades que se utilizan
corresponden al las del Sistema internacional (SI).
El programa consiste en un módulo de generación de matrices con los datos
geométricos del edificio (lectura.m), este módulo genera un archivo de datos a ser leído
por el módulo principal (modal.m), el cual a su vez dispone de funciones que realizan
los diversos cálculos y presentan los resultados, tanto por pantalla, como por archivos
de datos o de Excel.
El cálculo de los pesos sísmicos requiere que se procese previamente la
información proveniente del peso propio de los elementos estructurales, así como el
sistema de forjado y las sobrecargas de uso asignadas a cada nivel. Con estos datos
calculados por cada piso se calculan las masas sísmicas a introducir en el módulo
lectura.m.
La determinación de auto vectores y auto valores se efectúa dentro de la función
modal.m. Los datos obtenidos se normalizan en la función normal.m y luego se
trasforman en períodos en la función aceleración.m que contiene además las rutinas que
incorporan los datos sísmicos de cada zona, así como la aceleración máxima probable,
expresada como un porcentaje de la aceleración de la gravedad, el factor de importancia
de la estructura y la ductilidad.
Se calculan las fuerzas de diseño como la respuesta máxima obtenida por dos
métodos, el de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados y el método de la
combinación cuadrática completa, los cuales se encuentran el las funciones srss.m y
qcq.m, respectivamente.
A modo de ilustración se grafican los resultados de los desplazamientos modales
de piso, para apreciar las formas que adoptan cada uno de los modos.
La relación de ejecución de los módulos del programa así como de las funciones
externas se muestra en la Figura 1. Acompañan al programa archivos de datos que
corresponden al edificio del ejemplo del capítulo 5.

176 Anexo: Programa para ordenador MODAL
Finalmente se aclara que el uso para el cual ha sido concebido el programa de
análisis modal de edificio de cortante, es el de aplicar la teoría contenida en el texto del
presente libro, por tanto se restringe este al ámbito académico.
lectura.m
modal.m
lecdat.m
modos.m
normal.m
aceleracion.m
srss.m
qcq.m
graficos.m
Módulo de entrada de datos de la estructura. Genera los archivos de
datos que contienen las matrices ensambladas de Rigidez ( K) y Masa (M)
Módulo que lee el archivo generado por el módulo de lectura (lectura.m).
Gestiona las funciones que realizan el análisis modal y la creación de
archivos de resultados.
Función que lee el archivo de datos geométricos y de resistencia del
edificio.
Función que calcula los auto valores y auto vectores y genera los
resultados del vector de frecuencias naturales en fortmato Excel.
Función que permite normalizar la matriz modal. Además calcula la
fracción de la masa participativa por cada modo.
Función que calcula el período de cada modo, el factor de participación
modal. Calcula lasaceleraciones modales a partir de los datos de los
espectros elásticos de diseño de la Norma NCSE-02. Hay que especificar
datos de diseño: tipo de fuente, aceleración máxima, ductilidad e
importancia estructural. Con estos datos calcula las fuerzas y cortantes
modales de piso.
Función que calcula las fuerzas máximas probables (fuerzas de diseño)
con y sin considerar efectos torsionales por excentricidad accidental,
aplicando el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados.
Función que grafica los desplazamientos modales de piso.
Función que calcula las fuerzas máximas probables (fuerzas de diseño)
con y sin considerar efectos torsionales por excentricidad accidental,
aplicando el método de la combinación cuadrática completa.
Figura 1. Esquema del programa de análisis dinámico

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CENTRO INTERNACIONAL DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
Lista de monografías publicadas en la Serie de Ingeniería Sísmica
Las monograf’as pueden adquirirse dirigi?ndose al Departamento de Publicaciones del Centro Internacional de M?todos Num?ricos en
Ingenier’a, Edificio C1, Campus Norte UPC, c/ Gran Capit?nn s/n, 08034 Barcelona, tel?fono: 93-401.60.37, Fax: 93-401-65-17.
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ISBN: 84-87867-41-3, 1994.
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R. Aguiar, 100 pp., ISBN 84-87867-43-X, 1994.
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A.M. F. Cunha, 199 pp., ISBN: 84-87867-47-2, 1994
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13 pp., 1995
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IS-24 Conceptos de cálculo de estructuras en las normativas de diseño sismorresistente,
A.H. Barbat y S. Oller, ISBN: 84-89925-10-0, 107pp., 1997
IS-25 Stochastic dynamics of histeretic structures, J.E. Hurtado, ISBN: 84-89925-09-7,
205pp., 1998
IS-26 Análisis de los acelerogramas de la serie de Adra (Almería).
Diciembre 1993 a Enero 1994, R. Blázquez, A. Suárez, E. Carreño y
A.J. Martín, ISBN: 84-89925-11-9, 91pp., 1998
IS-27 Respuesta de puentes frente a acciones sísmicas, E. Maldonado, J.A. Canas,
J.R. Casas, L.G. Pujades, ISBN: 84-89925-23-2, 107pp., 1998
IS-28 Estudio de parámetros en la vulnerabilidad sísmica de puentes, E. Maldonado,
J.A. Canas y J.R. Casas, ISBN: 84-89925-16-X, 97pp., 1998
IS-29 Metodologias para o cálculo sísmico não-linear de barragens de betão, R. Faria
ISBN: 84-89925-25-9, 113pp., 1998
IS-30 Acciones para el diseño sísmico de estructuras, R. Aguiar, ISBN: 84-89925-27-5,
122pp., 1998
IS-31 Avaliação do comportamento sísmico de barragens de betão, R. Faria,
ISBN: 84-89925-28-3, 88pp., 1998
IS-32 Vulnerabilidad sísmica de hospitales. Fundamentos para ingenieros y arquitectos,
O.D. Cardona, ISBN:84-89925-33-X, 165pp., 1999
IS-33 Modelación estocástica de la acción sísmica, J. E. Hurtado, ISBN:84-8925-34-8,
93pp., 1999
IS-34 Earthquake simulator testing of a steel model seismically protected with friction
energy dissipators, D. Foti and J. Canas, ISBN: 84-89925-40-2, 110pp., 1999
IS-35 Plasticidad y fractura en estructuras aporticadas, J. Flórez López,
ISBN: 84-89925-46-1, 90pp., 1999
IS-36 Estimación de efectos locales con movimientos sísmicos y microtemblores,
V. Giraldo, A. Alfaro, L. G. Pujades, J. A. Canas, ISBN: 84-89925-54-2, 83pp.,
1999

IS-37 Modelo numérico de elastómeros multi-fase y su aplicación al análisis de
estructuras con aislamiento sísmico, O. Salomón, S. Oller y A. H. Barbat,
ISBN: 84-89925-54-2, 239pp.,1999
IS-38 Dinámica de estructuras. Aplicaciones a la Ingeniería Sísmica, J.E. Hurtado,
ISBN:84-89925-59-3,177pp., 2000
IS-39 Utilización de los conjuntos difusos en modelos de vulnerabilidad sísmica,
E. Maldonado Rondón, J.R. Casas Rius y J.A. Canas, ISBN:84-89925-61-5,
89pp, 2000
IS-40 Modelo de vulnerabilidad sísmica de puentes basado en “ Conjuntos Difusos “,
E. Maldonado Rondón, J.R. Casas Rius, J. A.Canas, ISBN: 84-89925-64-X,
110pp, 2000
IS-41 Vulnarabilidad de puentes de autopista. Un estado del arte, C. Gómez Soberón,
A. Barbat, S. Oller, ISBN: 84-89925-64-X, 168pp, 2000
IS-42 Fuerzas sísmicas en los Países Bolivarianos, R. Aguiar Falconí,
ISBN: 84-89925-74-7, 101pp., 2000
IS-43 Espectros de input de energía de aplicación en el proyecto sismorresistente
estructuras en regiones de sismicidad moderada, A. Benavent-Climent, L.G.
Pujades, F. López-Almansa, ISBN: 84-89925-86-0, 85 pp., 2001
IS-44 Capacidad límite última de disipación de energía de estructuras de hormigón
Armado sometidas a acciones sísmicas, A. Benavent- Climent, F. López-Almansa,
L. G. Pujades, ISBN: 84-89925-88-7, 2001
IS-45 Evaluación del daño en edificios y desempeño sísmico. Programa de ordenador
CEINCI3, R. Aguiar Falconí, ISBN: 84-89925-87-9, 107pp., 2001
IS-46 Estudio analítico sobre el comportamiento sísmico de muros de mampostería
confinada con aberturas, J. J. Alvarez, S.M. Alcocer, ISBN: 84-89925-90-9,
119pp., 2002
IS-47 Seismic vulnerability of bridges using simplified models, C. Gómez Soberón,
S. Oller, A. H. Barbat, ISBN: 84-89925-96-8, 135pp., 2002
IS-48 Control de vibraciones en puentes. Un estado del arte y de la práctica,
M. Jara, J. R. Casas, ISBN: 84-95999-01-3, 120pp., 2002

IS-49 Criterio de diseño de puentes con aisladores y disipadores de energía,
M. Jara, J. R. Casas, ISBN: 84-955999-02-1, 115pp., 2002
IS-50 Ferrocemento: Un acercamiento al diseño sísmico,
D. A. Bedoya, J. Farbiarz, J. E. Hurtado, Ll. G. Pujades, ISBN: 84-95999-23-4,
76pp., 2002
IS-51 Metodología para la evaluación del desempeño de la gestión del riego,
M. L. Carreño, O. D. Cardona, A. H. Barbat, ISBN: 84-95999-66-8, 2004
IS-52 Sistema de indicadores para la evaluación de riesgos,
IS-53 Evaluación “ex-post” del estado de daño en los edificios afectados por un terremoto,
IS-54 Identificação modal estocástica de estruturas de engenharia civil,
F. Magalhães, A. Cunha, E. Caetano, ISBN: 84-95999-89-7, 2005
IS-55 Comportamiento sísmico de puentes articulados y disipación de energia adicional:
Un estado del crecimiento, G. E. Valdebenito, A. C. Aparicio,
ISBN: 84-95999-87-0, 2005
Los autores interesados en publicar monografías en esta serie deben contactar
con el editor para concretar las normas de preparación del texto.

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