Modelos probabilidades

Estadística Inferencial. Unidad 4 Modelos probabilísticos. Ejemplos. Bioestadística. U. Málaga. Tema 5: Modelos probabilísticos

Variable aleatoria El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica . En estos casos aparece la noción de variable aleatoria Función que asigna a cada suceso un número. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. En las siguientes transparencias vamos a recordar conceptos de temas anteriores, junto con su nueva designación. Los nombres son nuevos. Los conceptos no. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Función de probabilidad (Variables Discretas) Asigna a cada posible valor de una variable discreta su probabilidad. Recuerda los conceptos de frecuencia relativa y diagrama de barras. Ejemplo Número de caras al lanzar 3 monedas. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Función de densidad (Variables Continuas) Definición Es una función no negativa de integral 1. Piénsalo como la generalización del histograma con frecuencias relativas para variables continuas. ¿Para qué lo voy a usar? Nunca lo vas a usar directamente. Sus valores no representan probabilidades. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

¿Para qué sirve la función de densidad? Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son conocidas las probabilidades en intervalos. La integral definida de la función de densidad en dichos intervalos coincide con la probabilidad de los mismos. Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el área bajo la función de densidad. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Función de distribución Es la función que asocia a cada valor de una variable, la probabilidad acumulada de los valores inferiores o iguales. Piénsalo como la generalización de las frecuencias acumuladas. Diagrama integral . A los valores extremadamente bajos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a cero. A los valores extremadamente altos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a uno. Lo encontraremos en los artículos y aplicaciones en forma de “ p-valor”, significación ,… No le deis más importancia a este comentario ahora. Ya os irá sonando conforme avancemos. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

¿Para qué sirve la función de distribución? Contrastar lo anómalo de una observación concreta. Sé que una persona de altura 210cm es “ anómala ” porque la función de distribución en 210 es muy alta . Sé que una persona adulta que mida menos de 140cm es “ anómala ” porque la función de distribución es muy baja para 140cm. Sé que una persona que mida 170cm no posee una altura nada extraña pues su función de distribución es aproximadamente 0,5. Relaciónalo con la idea de cuantil . En otro contexto (contrastes de hipótesis) podremos observar unos resultados experimentales y contrastar lo “anómalos” que son en conjunto con respecto a una hipótesis de terminada. Intenta comprender la explicación de clase si puedes. Si no, ignora esto de momento. Revisita este punto cuando hayamos visto el tema de contrastes de hipótesis. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Algunos modelos de variable aleatoria Hay variables aleatorias que aparecen con frecuencia en las Ciencias Sociales y de la Salud. Experimentos dicotómicos. Bernoulli Contar éxitos en experimentos dicotómicos repetidos: Binomial Poisson (sucesos raros) Y en otras muchas ocasiones… Distribución normal (gaussiana, campana,…) El resto del tema está dedicado a estudiar estas distribuciones especiales. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Distribución de Bernoulli Tenemos un experimento de Bernoulli si al realizar un experimentos sólo son posibles dos resultados: X=1 ( éxito , con probabilidad p ) X=0 ( fracaso , con probabilidad q=1-p ) Lanzar una moneda y que salga cara. p=1/2 Elegir una persona de la población y que esté enfermo. p=1/1000 = prevalencia de la enfermedad Aplicar un tratamiento a un enfermo y que éste se cure. p=95%, probabilidad de que el individuo se cure Como se aprecia, en experimentos donde el resultado es dicotómico, la variable queda perfectamente determinada conociendo el parámetro p . Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Observación En los dos ejemplos anteriores hemos visto cómo enunciar los resultados de un experimento en forma de estimación de parámetros en distribuciones de Bernoulli. Sin cinturón: p ≈ 15% Con cinturón: p ≈ 0,5% En realidad no sabemos en este punto si ambas cantidades son muy diferentes o aproximadamente iguales, pues en otros estudios sobre accidentes, las cantidades de individuos con secuelas hubieran sido con seguridad diferentes. Para decidir si entre ambas cantidades existen diferencias estadísticamente significativas necesitamos introducir conceptos de estadística inferencial (extrapolar resultados de una muestra a toda la población). Es muy pronto para resolver esta cuestión ahora. Esperemos a las pruebas de X 2 . Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Distribución binomial Función de probabilidad Problemas de cálculo si n es grande y/o p cercano a 0 o 1. Media: μ =n p Varianza: σ 2 = n p q Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Distribución Binomial Si se repite un número fijo de veces, n , un experimento de Bernoulli con parámetro p , el número de éxitos sigue una distribución binomial de parámetros (n,p). Lanzar una moneda 10 veces y contar las caras. Bin(n=10,p=1/2) Lanzar una moneda 100 veces y contar las caras. Bin(n=100,p=1/2) Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo normal será más adecuado. El número de personas que enfermará (en una población de 500.000 personas) de una enfermedad que desarrolla una de cada 2000 personas. Bin(n=500.000, p=1/2000) Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo de Poisson será más adecuado. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Distribución normal o de Gauss Aparece de manera natural: Errores de medida. Distancia de frenado. Altura, peso, propensión al crimen… Distribuciones binomiales con n grande (n>30) y ‘p ni pequeño’ (np>5) ‘ni grande’ (nq>5). Está caracterizada por dos parámetros : La media , μ, y la desviación típica , σ. Su función de densidad es: Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

N(μ, σ): Interpretación geométrica Podéis interpretar la media como un factor de traslación . Y la desviación típica como un factor de escala , grado de dispersión,… Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

N(μ, σ): Interpretación probabilista Entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad : aprox. 68% Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 95% Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Algunas características La función de densidad es simétrica, mesocúrtica y unimodal . Media, mediana y moda coinciden. Los puntos de inflexión de la fun. de densidad están a distancia σ de μ. Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están… a distancia σ ,  tenemos probabilidad 68% a distancia 2 σ ,  tenemos probabilidad 95% a distancia 2’5 σ  tenemos probabilidad 99% No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la primitiva de la función de densidad, ya que no tiene primitiva expresable en términos de funciones ‘comunes’. Todas las distribuciones normales N(μ, σ), pueden ponerse mediante una traslación μ, y un cambio de escala σ, como N(0,1) . Esta distribución especial se llama normal tipificada . Justifica la técnica de tipificación, cuando intentamos comparar individuos diferentes obtenidos de sendas poblaciones normales. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Tipificación Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina valor tipificado ,z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas , es decir En el caso de variable X normal , la interpretación es clara: Asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la misma probabilidad por debajo. Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Ejemplo Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes. Se asignará al que tenga mejor expediente académico. El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(6,1). El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(70,10). Solución No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1) Como Z A >Z B , podemos decir que el porcentaje de compañeros del mismo sistema de estudios que ha superado en calificación el estudiante A es mayor que el que ha superado B. Podríamos pensar en principio que A es mejor candidato para la beca. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

¿Por qué es importante la distribución normal? Las propiedades que tiene la distribución normal son interesantes, pero todavía no hemos hablado de por qué es una distribución especialmente importante . La razón es que aunque una v.a. no posea distribución normal , ciertos estadísticos/estimadores calculados sobre muestras elegidas al azar sí que poseen una distribución normal . Es decir, tengan las distribución que tengan nuestros datos, los ‘objetos’ que resumen la información de una muestra, posiblemente tengan distribución normal (o asociada). Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Veamos aparecer la distribución normal Como ilustración mostramos una variable que presenta valores distribuidos más o menos uniformemente sobre el intervalo 150-190. Como es de esperar la media es cercana a 170. El histograma no se parece en nada a una distribución normal con la misma media y desviación típica. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

A continuación elegimos aleatoriamente grupos de 10 observaciones de las anteriores y calculamos el promedio. Para cada grupo de 10 obtenemos entonces una nueva medición, que vamos a llamar promedio muestral . Observa que las nuevas cantidades están más o menos cerca de la media de la variable original. Repitamos el proceso un número elevado de veces . En la siguiente transparencia estudiamos la distribución de la nueva variable. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga. 173 169 168 … Muestra 1ª 2ª 3ª 185 190 179 174 169 163 167 170 167 160 159 152 172 179 178 183 175 183 188 159 155 178 152 165 152 185 185 175 152 152

La distribución de los promedios muestrales sí que tiene distribución aproximadamente normal . La media de esta nueva variable (promedio muestral) es muy parecida a la de la variable original. Las observaciones de la nueva variable están menos dispersas . Observa el rango. Pero no sólo eso. La desviación típica es aproximadamente ‘raiz de 10’ veces más pequeña. Llamamos error estándar a la desviación típica de esta nueva variable. Nada de lo anterior es casualidad . Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Teorema central del límite Dada una v.a. cualquiera , si extraemos muestras de tamaño n, y calculamos los promedios muestrales , entonces: dichos promedios tienen distribución aproximadamente normal ; La media de los promedios muestrales es la misma que la de la variable original. La desviación típica de los promedios disminuye en un factor “ raíz de n ” ( error estándar ). Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n tiende a infinito . Este teorema justifica la importancia de la distribución normal. Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande ( n>30 ) nos va a aparecer de manera natural la distribución normal. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Distribuciones asociadas a la normal Cuando queramos hacer inferencia estadística hemos visto que la distribución normal aparece de forma casi inevitable. Dependiendo del problema, podemos encontrar otras (asociadas): X 2 (chi cuadrado) t- student F-Snedecor Estas distribuciones resultan directamente de operar con distribuciones normales. Típicamente aparecen como distribuciones de ciertos estadísticos. Veamos algunas propiedades que tienen (superficialmente). Para más detalles consultad el manual. Sobre todo nos interesa saber qué valores de dichas distribuciones son “atípicos”. Significación, p-valores,… Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Chi cuadrada X 2 Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad . La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo tienen densidad los valores positivos. La función de densidad se hace más simétrica incluso casi gausiana cuando aumenta el número de grados de libertad. Normalmente consideraremos anómalos aquellos valores de la variable de la “cola de la derecha”. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

Chi cuadrado Los valores de X 2 son mayores o iguales que 0. Cuando n>2, la media de una distribución X 2 es n-1 y la varianza es 2(n-1). El valor modal de una distribución X 2 se da en el valor (n-3). El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1. Tema 5: Modelos probabilísticos León Darío Bello Parias. U de A.

Chi cuadrado Tema 5: Modelos probabilísticos León Darío Bello Parias. U de A. Es la distribución muestral de s 2 , es decir, si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas. Cuando se requiere estimar la varianza o la desviación estándar poblacional, así como calcular probabilidades en función de la  se calcula el estadístico  2 , de la siguiente manera

Ejemplo Tema 5: Modelos probabilísticos León Darío Bello Parias. U de A. La prueba HG de laboratorio, requiere de mucha precisión, por lo tanto, es importante determinar la probabilidad de que la varianza se pase de un valor predeterminado. El tiempo de la prueba tiene un comportamiento normal con una  x =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 pruebas, calcule la probabilidad de que la  2 x del tiempo sea mayor de 2. P(  2 x >(16*2)/1)= P(  2 x >32) = 0.01 =DISTR.CHI(32;16)=0.0099

EJERCICIO Tema 5: Modelos probabilísticos León Darío Bello Parias. U de A. En un proceso de producción que esta funcionando correctamente, la resistencia en ohmios de los componentes que produce, sigue una distribución normal con desviación típica de 3.6. Si se toma una muestra de tamaño 4. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea superior a 30? ¿entre 28 y 32?. .

T de Student Tiene un parámetro denominado grados de libertad. Cuando aumentan los grados de libertad, más se acerca a N(0,1). Es simétrica con respecto al cero. Se consideran valores anómalos los que se alejan de cero (positivos o negativos). Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

F de Snedecor Tiene dos parámetros denominados grados de libertad. Sólo toma valores positivos. Es asimétrica. Normalmente se consideran valores anómalos los de la cola de la derecha. Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

F de Snedecor Tema 5: Modelos probabilísticos Se utiliza para determinar si existe diferencia en el grado de variablidad de dos poblaciones con distribuciones normales. Sintaxis en Excel. DISTR.F(x;grados_de_libertad1;grados_de_libertad2) X es el valor al que desea evaluar. Grados_de_libertad1 es el número de grados de libertad del numerador. Grados_de_libertad2 es el número de grados de libertad del denominador. DISTR.F se calcula como DISTR.F=P( F<x ), donde F es una variable aleatoria con una distribución F. Ejemplo DISTR.F(15,20704;6;4) es igual a 0,01 León Darío Bello Parias. U de A.

F de Snedecor Tema 5: Modelos probabilísticos Tiene dos parámetros denominados grados de libertad, los cuales dependen de los tamaños de muestra, esto implica, que se utiliza cuando se trabaja con dos poblaciones que se distribuyen aproximadamente normal y donde interesa analizar el cociente de sus varianzas. F ( n 1-1, n 2-1) = (S 1 2 / S 2 2 ) Cuando las varianzas poblacionales son iguales. F (0.05;8,10) = =DISTR.F.INV(0.05,8,10)=3.071666 F (0.05,5,7) = =DISTR.F.INV(0.05,5,7)=3.9715 F (0.01;7,15) = =DISTR.F.INV(0.01,7,15)=4.142 F (0.01;8,8) = =DISTR.F.INV(0.05,8,8)=6.0288 F (0.95,6,10) = =DISTR.F.INV(0.95,6,10)= 0.2463 León Darío Bello Parias. U de A.

¿Qué hemos visto? En v.a. hay conceptos equivalentes a los de temas anteriores Función de probabilidad  Frec. Relativa. Función de densidad  histograma Función de distribución  diagr. Integral. Valor esperado  media, … Hay modelos de v.a. de especial importancia: Bernoulli Binomial Poisson Normal Propiedades geométricas Tipificación Aparece tanto en problemas con variables cualitativas (dicotómicas, Bernoulli) como numéricas Distribuciones asociadas T-student X2 F de Snedecor Tema 5: Modelos probabilísticos Bioestadística. U. Málaga.

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