MODULO 1.pptx

UNIVERSIDAD DE FORMACIÓN INTEGRAL
UFI
UNIDAD DE APRENDIZAJE:
ESTADÍSTICA APLICADA A LA PEDAGOGÍA Y
GESTIÓN
MAESTRÍA
JUNIO 2018

GUÍA DE USO DE LAS DIAPOSITIVAS
ESTAS DIAPOSITIVAS SON UN AUXILIAR PARA EL TRABAJO
EN CLASE DE LA ASIGNATURA DE ESTADÍSTICA APLICADA
I, QUE SE IMPARTE EN LA MAESTRÍA EN ESTUDIOS
SUSTENTABLES REGIONALES Y METROPOLITANOS .
CONTRIBUIRÁN A DESTACAR LOS ELEMENTOS ESENCIALES
DEL CONTENIDO DEL TERCER MÓDULO.

MODULO III:
MÉTODOS Y TÉCNICAS DE LA
ESTADÍSTICA BÁSICA

INDICE
1. OBJETIVO DEL MÓDULO
2. INTRODUCCIÓN
3. VARIABLES
4. ANÁLISIS DE DATOS
5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS
AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
7. MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y
NO AGRUPADOS
8. MEDIDAS DE POSICIÓN
9. COEFICIENTE DE PEARSON
10. MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN

Objetivo del Módu
REVISAR LOS MÉTODOS
GRÁFICOS Y NUMÉRICOS PARA
RESUMIR Y PROCESAR LOS
DATOS Y CONVERTIRLOS EN
INFORMACIÓN.

Introducción
Entorno
incierto
Toma de
decisiones
Recolección y
Análisis de la
Información

Variables
• VARIABLE: ES LA
REPRESENTACIÓN GENERAL
DE UN CONJUNTO DE DATOS
QUE TIENEN UNA MISMA
CARACTERÍSTICA.
• CUALITATIVAS: SON
AQUELLAS QUE DESCRIBEN
CUALIDADES O ATRIBUTOS
DEL OBJETO DE ESTUDIO.
• CUANTITATIVAS: SON LAS
QUE SE REPRESENTAN A
TRAVÉS DE UN VALOR
NUMÉRICO, EN UNA
RECOPILACIÓN DE DATOS SE
OBTIENE MEDIANTE CONTEO
O MEDICIÓN DE LA
CARACTERÍSTICA EN ESTUDIO.
ESTAS SE CLASIFICAN EN
DISCRETAS Y CONTINUAS:

 Discretas: Son las que están asociadas a
un proceso de conteo.
 Continuas: Están asociadas a un proceso
de medición y pueden adquirir cualquier
valor en una escala de medición.
 ALEATORIA: Es una descripción numérica
del resultado de un experimento.

ANÁLISIS DE DATOS
 TABLA DE FRECUENCIA: sirve para agrupar u organizar
un conjunto de datos.
 Cuando los datos corresponde a valores cualitativos,
se clasifican en varias clases o categorías, que
corresponden a las cualidades, valores o atributos
obtenidos de cada elemento, después se efectúa una
tabulación.

FRECUENCIA: Es el número de elementos que contiene
cada clase o categoría en un conjunto de datos.
Color Tabulación Frecuencia
Verde ///// ///// 10
Azul ///// /// 8
Rojo // 2
Gris ///// 5
Café ///// ///// // 12

Limites de clase: A los extremos de un intervalo se les llama
límites de clase.
Para construir una tabla o distribución de frecuencias se
emplea el siguiente procedimiento.
1) Se determina el rango del conjunto de datos mediante la
fórmula:
Rango = Dato mayor - Dato menor.
2) Se determina la variación que se presenta en los datos, esto
es, la mínima diferencia entre los datos diferentes mas
cercanos, por ejemplo: Si se tienen los datos 3, 8, 6, 5, 7,
7, 4 su variación es igual a uno.

3) Se debe decidir entre el número de intervalos con los
cuales desea trabajar o el tamaño que debe tener los
intervalos que se van a formar.
 Asignando el número de intervalos:
Tamaño del intervalo = Rango + Variación
No. De intervalos
 Asignando el tamaño de los intervalos:
No. De intervalos = Rango + Variación
Tamaño del intervalo
4) Se construyen los intervalos con su respectivo tamaño.
5) Una vez establecidos los intervalos, se efectúa la
tabulación y,
6) Se obtiene la frecuencia de cada intervalo de clase.

Tamaño del intervalo = 69 + 1 Tamaño = 7
10
No. Intervalo Tabulación Frecuencia
1 23 –29 ////// / 6
2 30 – 36 ///// /// 8
3 37 – 43 ///// ///// /// 13
4 44 – 50 ///// ///// ///// / 16
5 51 – 57 ///// ///// ///// ///// // 22
6 58 – 64 ///// ///// //// 15
7 65 – 71 ///// ///// //// 15
8 72 – 78 ///// //// 10
9 79 – 85 ///// / 6
10 86 - 92 //// //// 9

Limites reales de clase: Son valores que evitan
huecos entre un intervalo y el siguiente. Ya
que sus valores se obtienen como el punto
medio del limite superior y el límite inferior
del siguiente intervalo, resultando que el
límite real superior de un intervalo es igual al
límite real inferior del intervalo siguiente.
A) Para el limite real inferior se determina
restando la mitad de la variación al límite
inferior.
23 - 0.5 = 22.5
B) Para el límite real superior se le suma la mitad
de la variación.
29 +0.5 = 29.5

Ejemplo:
Limite de clase Limite real de clase
23 –29 22.5 - 29.5
30 – 36 29.5 - 36.5
37 – 43 36.5 – 43.5
44 – 50 43.5 – 50.5
51 – 57 50.5 – 57.5
58 – 64 57.5 – 64.5
65 – 71 64.5 – 71.5
72 – 78 71.5 – 78.5
79 – 85 78.5 – 85.5
86 - 92 85.5 – 92.5

Marca de Clase: Es el punto medio de un intervalo, se representa
por Mi y se obtiene con la expresión:
Limite inferior + límite superior
Marca de clase =
2
ó
limite real inferior + límite real superior
Marca de clase =
2

Marca de clase
Intervalo Marca de clase (Mi)
23 –29 26
30 – 36 33
37 – 43 40
44 – 50 47
51 – 57 54
58 – 64 61
65 – 71 68
72 – 78 75
79 – 85 82
86 - 92 89

FRECUENCIA ACUMULADA: Esta se obtiene sumando la
frecuencia de ese intervalo con la frecuencia de los intervalos
anteriores. La frecuencia acumulada del último intervalo
corresponde al número total de datos.
Intervalo Frecuencia Frec. Acumulada
23 –29 6 6
30 – 36 8 14
37 – 43 13 27
44 – 50 16 43
51 – 57 22 65
58 – 64 15 80
65 – 71 15 95
72 – 78 10 105
79 – 85 6 111
86 - 92 9 120

FRECUENCIA RELATIVA: La frecuencia relativa es la proporción
de datos de cada intervalo, se obtiene dividiendo la
frecuencia del intervalo entre el total de datos. La suma de
todas las frecuencias relativas de un conjunto de datos es
igual a uno.
Intervalo Frecuencia Frecuencia relativa
23 –29 6 .05
30 – 36 8 .06
37 – 43 13 .10
44 – 50 16 .13
51 – 57 22 .18
58 – 64 15 .12
65 – 71 15 .12
72 – 78 10 .08
79 – 85 6 .05
86 - 92 9 .07

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA: La frecuencia relativa
acumulada de un conjunto de datos agrupados, se obtiene
dividiendo la frecuencia acumulada de cada intervalo entre el
número total de datos.
Intervalo Frecuencia Frec. Acumulada Frec. Relativa Acumulada
23 –29 6 6 .05
30 – 36 8 14 .11
37 – 43 13 27 .22
44 – 50 16 43 .35
51 – 57 22 65 .54
58 – 64 15 80 .66
65 – 71 15 95 .79
72 – 78 10 105 .87
79 – 85 6 111 .92
86 - 92 9 120 1.0

REPRESENTACIÓN GRAFICA
Existen varias formas de representar las distribuciones
de frecuencias:
La gráfica de barras: consiste en una serie de
rectángulos cuyas bases se encuentran sobre un eje
horizontal, correspondiendo a cada uno de los intervalos
o categorías de la distribución de frecuencias y su altura
marcada en un eje vertical es proporcional a la
frecuencia de cada intervalo o categoría.

Intervalo Frecuencia
1 – 5 15
6 – 10 12
11 – 15 13
16 – 20 8
21 – 25 11
26 – 30 7
31 – 35 6
36 – 40 10

0 – 10 9
10 – 20 11
20 – 30 7
30 - 40 14
40 – 50 16
50 – 60 12
60 - 70 8
70 – 80 8
80 – 90 6
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

20 – 29 3
29 – 38 8
38 – 47 7
47 – 56 11
56 – 65 18
65 – 74 16
74 – 83 13
83 – 92 10
POLÍGONO DE FRECUENCIAS:

Medidas de tendencia central para
datos agrupados y no agrupados :
Las medidas de tendencia
central, indican
mediante un valor o
atributo la localización
central de la
distribución de
frecuencias.
Se distinguen tres medidas
de tendencia central
que son: la media, la
mediana y la moda.

MEDIA ARITMETICA
Para un conjunto de n datos no agrupados X1, X2, X3,......,Xn
la media aritmética, se define como la suma de todos
los datos dividida entre el número total de datos.
X = X1+ X2 + X3 + ....... + X n
n

Considerando
Mi=
Donde:
Li: límite inferior del intervalo
Ls: límite superior del intervalo
Cuando se tiene un conjunto de n datos, que se encuentran
agrupados en una distribución de frecuencias una aproximación
de la media es:
(DATOS AGRUPADOS)
X = valor de la media
K = Es el número de intervalos
Fi = Es la frecuencia del i-ésimo intervalo.
Mi = Es la marca de clase del i-ésimo intervalo
N = Es el número de datos.
2
s
i L
L 




N
M
F
X
K
i
i
i
1

= 8650 / 180 = 48.05
5 95 475
Intervalo Frecuencia Mi FiMi
0 –10 5 5 25
a 10-20 12 15 180
20 –30 21 25 525
30 – 40 27 35 945
40 – 50 31 45 1395
50 – 60 35 55 1925
60 – 70 21 65 1365
70 – 80 14 75 1050
80 – 90 9 85 765
90 - 100
Sumas 180 8650




N
M
F
X
K
i
i
i
1

MEDIA PONDERADA
 La media ponderada es un caso especial de la media
aritmética. Se presenta cuando se tienen varias
observaciones con un mismo valor, lo que puede
ocurrir si se han agrupado los datos en una
distribución de frecuencias.
 La media ponderada la calculamos :
 












w
wx
w
w
w
x
w
x
w
x
w
X
n
n
n
w
...
...
2
1
2
2
1
1

 Ejemplo: Suponga que en el restaurante Burger King más
cercano se vende un refresco en tamaño mediano, grande y
Biggie a $.50, $ .75 y $.90 respectivamente. De los últimos 10
refrescos vendidos, 3 fueron medianos, 4 fueron grandes y 3
fueron Biggie. Para encontrar el precio medio de venta es
empleada la media ponderada. Multiplicamos cada
observación por el número de veces que se presentó.
 
72
$.
10
20
.
7
10
)
90
(.
3
)
75
(.
4
)
50
(.
3
...
...
2
1
2
2
1
1

















w
wx
w
w
w
x
w
x
w
x
w
X
n
n
n
w

MEDIA GEOMETRICA
 La media geométrica es útil para encontrar el promedio de
porcentajes, proporciones, índices o tasas de crecimiento.
Tiene mucha aplicación en el comercio y la economía
porque nos interesa encontrar el porcentaje de cambio en
ventas, salarios o datos económicos, tales como el
producto nacional bruto. La media geométrica de un
conjunto de números enteros positivos se define como la
n-ésima raíz del producto de los n valores.
    
n
n
x
x
x
GM ....
1
1


 Ejemplo: Las ganancias obtenidas por la empresa
CEMEX en cuatro proyectos recientes fueron 3% , 2%,
4% y 6% ¿Cuál es la media geométrica de las
ganancias?
     %
46
.
3
144
)
6
)(
4
)(
2
)(
3
(
.... 4
4
1
1 


 n
n
x
x
x
GM

MEDIANA
Es el valor intermedio cuando los valores de los
datos se ordenan en forma ascendente.
“ Si hay una cantidad impar de elementos, la
mediana es el valor del elemento intermedio,
cuando todos los elementos están ordenados
de manera ascendente.”
“Si hay una cantidad impar de elementos, la
mediana es el valor promedio de los dos
elementos intermedios, cuando todos se
ordenan en forma ascendente”.

Impar:
Ejemplo: Se tiene el conjunto de los siguientes datos
mismos que al disponerlos en orden
ascendente, se obtiene la siguiente lista
ordenada.
32 42 46 46 54
Como n= 5 es impar, la mediana es el elemento
intermedio de la lista ordenada. Así la medina
del tamaño de clase es de 46. Aun cuando hay
dos valores 46 cada uno se maneja como
artículo separado al ordenar los datos de
manera ascendente y determinar la mediana.

Supongamos que también calculamos la mediana del salario
inicial de los egresados de la escuela de economía.
Ordenamos los 12 elementos de la tabla
Egresado Sueldo mensual Egresado Sueldo mensual
1 2350 7 2390
2 2450 8 2630
3 2550 9 2440
4 2380 10 2825
5 2255 11 2420
6 2210 12 2380

2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450
2550 2630 2825
como n = 12 es par, identificamos los dos elementos
intermedios. La mediana es la media de esos dos
valores.
2390 + 2420
Mediana = = 2405
2

MODA
Una medida de localización es la moda y se define
como sigue:
“La moda es el valor de los datos que se presentan con
más frecuencia”
Se dan casos en los que la máxima frecuencia se
presenta en dos o más valores distintos, por lo que
en ellos existe más de una moda. Si los datos
tienen exactamente dos modas, se dice que son
datos bimodales; si tiene más de dos modas son
multimodales.

Ejemplo: Se tiene como resultado de la compra de refrescos la
siguiente distribución de frecuencias:
Marca Frecuencia
Coke- Classic 19
Diet Coke 8
Dr. Pepper 5
Pepsi-Cola 13
Sprite 5
Total 50
La moda o el refresco que se compra con mayor frecuencias es Coke
Classic. Para este tipo de datos es claro que no tiene sentido hablar
de la media o de la mediana. La moda suministra la información de
interés, que es la marca de refresco preferida.

Ejemplo: La siguiente tabla
muestra el índice nacional de
precios de México del año 2002.
Encontrar para estos datos la
media y la mediana.
 1. Media
 2. Mediana: Como n = 12 (par)
se suman los dos valores centrales
y se dividen entre dos:
 Mediana = (99.91 + 100.20) / 2 =
100.05
Fecha INPC
Ene / 2002 98.253
Feb / 2002 98.190
Mar / 2002 98.692
Abr / 2002 99.231
May / 2002 99.432
Jun / 2002 99.917
Jul / 2002 100.204
Ago / 2002 100.585
Sep / 2002 101.190
Oct / 2002 101.636
Nov / 2002 102.458
Dic / 2002 102.904
224
.
100
12
693
.
1202
1





n
Xi
x
n
i

Medidas de dispersión para datos
agrupados y no agrupados
 Las medidas de dispersión o
también llamadas medidas de
variación, son aquellas que
indican que tan alejados o
dispersos se encuentran los
datos, con respecto a sí mismos
o con respecto a la media del
conjunto de datos.

DESVIACIÓN MEDIA
 La desviación media es el promedio de los valores absolutos de las
desviaciones de los datos con respecto a la media. Indica en
promedio el número de unidades en que cada dato se encuentra
alejado de la media.
 Desviación media para datos no agrupados:
 Donde:
 DM es la desviación media.
n
i
DM
 



datos
de
total
número
el
Es
n
datos
de
conjunto
del
media
la
Es
dato
ésimo
-
i
del
valor
el
Es




i


Desviación media para datos agrupados
n
Mi
fi
DM
 









fi
n
datos
de
todal
número
el
es
n
datos
de
conjunto
del
media
la
Es
intervalo
ésimo
-
í
del
calse
de
marca
la
de
valor
el
Es
Mi
intervalo
ésimo
-
i
del
frecuencia
la
de
valor
el
Es
fi

Ejemplo: Determinar la
desviación media para el
siguiente conjunto de datos:
90 - 100 13 95 1235
Inter. Freq. Mi FiMi
10 - 20 5 15 75
20 - 30 12 25 300
30 - 40 22 35 770
40 - 50 27 45 1215
50 - 60 36 55 1980
60 - 70 30 65 1950
70 - 80 33 75 2475
80 - 90 22 85 1870
200 11870
Obtenemos el valor de la
media:
Obtenemos las columnas Mi-X
y /Mi – X/
35
.
59
200
11870
1






n
fiMi
k
i

Obtenemos las columnas Mi-X y /Mi – X/
90 - 100 13 95 1235 35.65 35.65
Inter. Freq. Mi FiMi Mi-X /Mi - X/
fi /Mi -
X/
10 - 20 5 15 75 -44.35 44.35 221.75
20 - 30 12 25 300 -34.35 34.35 412.2
30 - 40 22 35 770 -24.35 24.35 535.7
40 - 50 27 45 1215 -14.35 14.35 387.45
50 - 60 36 55 1980 -4.35 4.35 156.6
60 - 70 30 65 1950 5.65 5.65 169.5
70 - 80 33 75 2475 15.65 15.65 516.45
80 - 90 22 85 1870 25.65 25.65 564.3
463.45
200 11870 204.35
3427.4
137
.
17
200
4
.
3427






n
Mi
fi
DM

VARIANZA
 En un conjunto de datos la varianza se define como el
promedio de los cuadrados de las desviaciones de los datos
con respecto a la media. Su valor indica la forma en que están
distribuidos los datos con respecto a la media.
 Varianza para datos no agrupados:
 Varianza para datos agrupados:
datos.
de
total
número
el
Es
n
datos.
de
conjunto
del
media
la
Es
x
dato.
ésimo
-
i
del
valor
el
Es
Varianza
2





i
x








)
n
(
datos
de
total
número
el
Es
n
datos
de
conjunto
del
media
la
Es
x
intervalo
ésimo
-
i
del
clase
de
marca
la
de
valor
el
Es
Mi
intervalo
ésimo
-
i
del
frecuencia
la
de
valor
el
Es
Varianza
-
2
fi
fi

n
x
xi
 







 2
2

n
x
Mi
fi
 







 2
2


Ejemplo: de la tabla
anterior encontrar la
varianza:
Sacando la media:
90 - 100 13 95 1235
Intervalo Freq. Mi FiMi
10 - 20 5 15 75
20 - 30 12 25 300
30 - 40 22 35 770
40 - 50 27 45 1215
50 - 60 36 55 1980
60 - 70 30 65 1950
70 - 80 33 75 2475
80 - 90 22 85 1870
sumas 200 11870
35
.
59
200
11870
1






n
fiMi
k
i

1966.9225 9834.6125
1179.9225 14159.07
592.9225 13044.295
205.9225 5559.9075
18.9225 681.21
31.9225 957.675
244.9225 8082.4425
657.9225 14474.295
90 - 100 13 95 1235 35.65 1270.9225 16521.9925
Intervalo Frecuencia Mi FiMi
10 - 20 5 15 75 -44.35
20 - 30 12 25 300 -34.35
30 - 40 22 35 770 -24.35
40 - 50 27 45 1215 -14.35
50 - 60 36 55 1980 -4.35
60 - 70 30 65 1950 5.65
70 - 80 33 75 2475 15.65
80 - 90 22 85 1870 25.65
sumas 200 11870 83315.5
2








x
Mi
2








x
Mi
fi
57
.
416
200
5
.
83315
2
2












n
x
Mi
fi


DESVIACIÓN ESTANDAR O TIPICA
 La desviación estándar de un conjunto de datos se define
como la raíz cuadrada de la varianza.
 Desviación estándar para datos no agrupados:
 Desviación estándar para datos agrupados:
 Ejemplo: Del ejercicio anterior la desviación estándar sería:
n
x
xi
 







 2

n
x
Mi
fi
 







 2

4100
.
20
57
.
426
2












n
x
Mi
fi


COEFICIENTE DE VARIACIÓN
 El coeficiente de variación también llamado coeficiente de
dispersión, es una medida de variación relativa, se presenta en
forma de porcentaje y su valor se obtiene mediante:



 Su valor es útil y se emplea para comparar la variación que existe
entre diferentes distribuciones de frecuencia.
 Ejemplo, con los datos de la tabla de varianza y la desviación
estándar obtenidas, calcular el coeficiente de variación.
datos.
de
conjunto
del
media
la
Es
x
datos
de
conjunto
del
estándar
desviación
la
Es
variación
de
e
coeficient
el
Es
-




V


x
V

10.20%
ó
1020
.
200
41
.
20


 
x
V


MEDIDAS DE POSICIÓN
DESVIACIÓN CUARTIL
 Está definida por la diferencia entre la tercera y la
primera cuartila. Llamándola DC tenemos:
DC = P3/4 – P1/4
 Entre estas dos cuartilas se encuentra el 50%
restante.
 Si la desviación cuartílica es pequeña, significa que
el 50% de las desviaciones se concentra en una
zona pequeña y por lo tanto la dispersión es baja.

 Ejemplo: Se tiene la necesidad de saber que conclusión nos permite
consignar la información de una muestra de 20 trabajadores, acerca
de los tiempos que consumen en llegar a la empresa a trabajar:
 Tiempo mínimo = 13 minutos
 Q1= 15 minutos
 Mediana = 18 minutos
 Q3 = 22 minutos
 Tiempo máximo = 30 minutos
Valor Mediana Valor
mínimo Q1 Q3 máximo
/---/ /------------------/
/ / / / / / / / / / /
12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 minutos

MEDIDAS DE ASIMETRÍA: Graficando las siguientes curvas
G 1 0
X f1 f2
A 1 1
B 2 3
C 4 4
D 6 1
E 4 9
F 2 2
sumatorias 20 20

 Ambas distribuciones tiene como media aritmética 4 y desviación
estándar 4.6. Cuando una curva está equilibrada con relación a su eje
vertical, se dice que es simétrica; cuando no observa esta situación, se
dice que es asimétrica.
 En una distribución simétrica tienen igual valor la media y la mediana,
cuando es unimodal también coinciden con la moda.
 La asimetría se califica por la dirección de la cola de la curva; cuando
ésta se encuentra a la derecha la asimetría es positiva, cuando está a
la izquierda la asimetría es negativa.
Gráfica A (simétrica)
0
1
2
3
4
5
6
7
a b c d e f g
Gráfica B (asimétrica)
0
2
4
6
8
10
a b c d e f g

EL TERCER MOMENTO
 Los momentos de una distribución de frecuencias son indicadores
numéricos que ayudan a resumir las características de dicha
distribución.
 Sean X1, X2,...,Xk, las observaciones diferentes de que se dispone para la
variable X, cada una de ellas observada con frecuencia n1,
 n2,..., nk, . El momento de orden r respecto al origen de una distribución
de frecuencias ar , se define:



k
i
i n
n
1

 



k
i i
r
i
i
k
i
r
i
r n
x
n
n
n
x
a 1
1
1

 El momento respecto a la media de orden r de una
distribución de frecuencias, denotado por m, se define:
 e indica, como muestra su definición, la magnitud de
las distancias entre los posibles valores de la variable
en estudio y su media aritmética.
 Con observaciones sin repetir, la expresión de los
momentos es:



k
i i
r
i
r n
x
x
n
m 1
)
(
1
 

n r
i
r x
x
n
m 1
)
(
1

 Con los momentos dos y tres se obtiene una medida
de asimetría:
3
2
3
1
asimetría
de
e
Coeficient
m
m


negativa
asimetría
tiene
Cuando
0
positiva
asimetría
tiene
Cuando
0
simétrica
es
curva
la
Cuando
0
1
1
1







Ejemplo
X f FX
1 2 2 -2 4 8 -16 32
2 5 10 -1 1 5 -5 5
3 11 33 0 0 0 0 0
4 5 20 1 1 5 5 5
5 2 10 2 4 8 16 32
Sumas 25 75 26 0 74








x
x
2








x
x
2








x
x
f
3








x
x
f
4








x
x
f

 Obteniendo el momento dos:

 Calculando el momento tres:

 Obteniendo el coeficiente de asimetría:

 Por lo tanto concluimos que la curva es simétrica.
 

 3
25
1
)
75
(
1
N
FX
x
04
.
1
25
26
)
(
1
1
2
2 


 
n
i
i x
x
f
n
m
0
25
0
)
(
1
1
3
3 


 
n
i
i x
x
f
n
m
0
04
.
1
0
asimetría
de
e
Coeficient
3
3
2
3
1 


m
m


CURTOSIS
La curtosis mide la picudez de la curva.
 Los siguiente valores indican la magnitud de
la picudez de la curva:
 2 > 3 Cuando la curva es leptocúrtica o
alargada.
 2 < 3 Cuando la curva es platicúrtica o
aplanada
2
2
4
2
curtosis
de
e
Coeficient
m
m


2 = 3 Cuando la curva es normal

Ejemplo: Con los datos de la siguiente tabla
obtener el coeficiente de asimetría:
X f FX
1 2 2 -2 4 8 -16 32
2 5 10 -1 1 5 -5 5
3 11 33 0 0 0 0 0
4 5 20 1 1 5 5 5
5 2 10 2 4 8 16 32
Sumas 25 75 26 0 74








x
x
2








x
x
2








x
x
f
3








x
x
f
4








x
x
f

 Obteniendo el momento dos:
 Obteniendo el momento cuatro:

 Obteniendo el coeficiente de Curtosis:
 Como B2 < 3 la curva tiende a ser aplanada, como lo observamos
en la figura anterior.
04
.
1
25
26
)
(
1
1
2
2 


 
n
i x
x
n
m
96
.
2
25
74
)
(
1
1
4
4 


 
n
i x
x
n
m
736
.
2
04
.
1
96
.
2
curtosis
de
e
Coeficient 2
2
2
4
2 


m
m


COEFICIENTE DE PEARSON
 Medida numérica de la asociación lineal entre dos variables que
asume valores entre –1 y +1. Los valores cercanos a +1 indican
una fuerte relación lineal positiva y los cercanos a –1 una fuerte
relación lineal negativa. Los valores cercanos a cero indican falta
de relación lineal.
 rxy = Coeficiente de correlación
 sxy = covarianza de la muestra
 sx = desviación estándar muestral de x.
 Sy = desviación estándar muestral de y.
y
x
xy
xy
s
s
s
r 

 La ecuación indica que el coeficiente de correlación del
momento del producto de Pearson para datos de la
muestra que regularmente se le llama coeficiente de
correlación de la muestra se calcula dividiendo la
covarianza de la muestra entre el producto de la
desviación estándar de x por la desviación estándar de y.
 Donde la covarianza entre dos variables X e Y, que
pueden tomar valores: X1, X2,...,Xk, e Y1, Y2,...,Yh, es:
 Con datos agrupados en clases, la covarianza es:
n
y
y
x
x
S
k
i
i
i
xy




 1
)
)(
(
)
,
(
)
)(
(
1
i
i
k
i
i
i
xy y
x
fr
n
y
y
x
x
S






MEDIDAS DE CONCENTRACION: CURVA DE
LORENZ
 La curva de Lorenz se aplicó originalmente para analizar la
desigualdad en la distribución del ingreso, y es un gráfico
que permite obtener información sobre la manera
desigual o igual en que se distribuye una característica en
una población dada, la característica puede ser la
magnitud del ingreso, de la tierra , de la propiedad,
escolaridad, etc. Se realiza una encuesta con objeto de
conocer la distribución del ingreso familiar. Los datos de la
muestra expandida a la población se presentan a
continuación:

Distribución mensual familiar en México
crecientes decrecientes
3001 y
mas 134998 4918.28
663957963.
44 2.3 16.6 100 100 2.3 16.6
Ingreso
(1)
no. De
fam.
(2)
ingreso
medio
(3)
ingreso del
grupo
(Col. 2 * 3 =
4)
% de
familias
(5)
% de
ingresos
(6)
porcentajes acumulados
Familias
(7)
Ingresos
(8) Familia (9)
Ingresos
(10)
menos de
100 223411 72.2
16130274.2
0 3.9 0.4 3.9 0.4 100 100
101 a 200 869602 157.79
137214499.
58 15 3.4 18.9 3.8 96.1 99.6
201 a 300 916060 263.35
241244401.
00 15.9 6 34.8 9.8 81.1 96.2
301 a 400 655904 361.78
237292949.
12 11.3 5.9 46.1 15.7 65.2 90.2
401 a 500 588552 459.47
270421987.
44 10.2 6.8 56.3 22.5 53.9 84.3
501 a 750 1049112 629.47
660384530.
64 18.2 16.5 74.5 39 43.7 77.5
751 a 1000 543131 871.16
473154001.
96 9.4 11.8 83.9 50.8 25.5 61
1001 a
2000 646968 1426.8
923093942.
40 11.2 23.1 95.1 73.9 16.1 49.2
2001 a
3000 151688 2512.49
381114583.
12 2.6 9.5 97.7 83.4 4.9 26.1
suma 5779426 11672.79
4004009132
.90 100 100

 La curva de Lorenz permite determinar con cierta
aproximación cuál es el porcentaje del ingreso
que le corresponde a un determinado porcentaje
de la población. Para construir la Curva se traza
un cuadrado donde los ejes de las ordenadas y de
las abscisas se gradúan a una escala de 0 a100. El
eje horizontal abscisas corresponde a los
porcentajes acumulativos de la población; el eje
vertical ordenas corresponde al porcentaje
acumulativo de los ingresos.

Curva de Lorenz
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120
% acumulados del menor a los mas altos ingresos
%
acumulados
d
e
familias
del
menor
a
los
mas
altos
ingresos

 La diagonal (Línea Azul) en el cuadro indica cómo sería la
representación gráfica de la distribución del ingreso en la
población si ésta fuera completamente equitativa, es decir un 10%
de las familias percibiría el 10% de los ingresos, un 20% de las
familias el 20% de los ingresos y así sucesivamente.
 Como la distribución es desigual, no es posibles que el gráfico
pueda representarse como una diagonal, sin embargo, nos sirve
como marco de referencia para determinar en qué magnitud la
distribución real se aparte de la distribución ideal.
 En tanto que la curva se aproxime a la diagonal, mas equitativa
será la distribución del ingreso ; cuanto mas se aleje la curva de la
diagonal, mas desigual será la distribución.

INDICE DE GINI
 Este índice se obtiene con la fórmula:
 Las literales X e Y representan los porcentajes acumulados de
población y de ingreso.
 La fórmula indica el área contenida entre la curva y la diagonal.
Una distribución equitativa dará un índice igual a cero; a medida
que la distribución es cada vez mas desigual, el índice se
acercará a más 1. Dado que X e Y son porcentajes, cada
producto resulta multiplicado dos veces por 100, por eso el
numerador se divide entre 10000.
 Con la tabla que usamos para calcular la curva de Lorenz,
encontraremos el índice de Gini. Calculamos el índice con los
porcentajes acumulados crecientes Columnas 7 y 8
   
10000
1
1
1
  
 

i
i
i Y
X
Y
X
IG

100 100
xi Yi+1 Xi(yi+1) Xi+1 yi Yi(xi+1)
0.4 3.9
3.9 3.8 14.82 18.9 0.4 7.56
18.9 9.8 185.22 34.8 3.8 132.24
34.8 15.7 546.36 46.1 9.8 451.78
46.1 22.5 1037.25 56.3 15.7 883.91
56.3 39 2195.7 74.5 22.5 1676.25
74.5 50.8 3784.6 83.9 39 3272.1
83.9 73.9 6200.21 95.1 50.8 4831.08
95.1 83.4 7931.34 97.7 73.9 7220.03
97.7 100 9770 100 83.4 8340
 Xi(yi+1) 31665.5  Yi(xi+1)
26814.9
5
   
48
.
10000
5
.
4850
10000
95
.
26814
50
.
31665
10000
1
1
1






  
 i
i
i Y
X
Y
X
IG

Bibliografía:
1. ANDERSON, D., SWEENEY, D. Y WILLIAMS, T. (1999)
ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA.
SÉPTIMA EDICIÓN. INTERNATIONAL THOMPSON
EDITORES. MÉXICO
2. KOHLER, H. (1999). ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS Y
ECONOMÍA. SEGUNDA REIMPRESIÓN. COMPAÑÍA
EDITORIAL CONTINENTAL, S. A. DE C. V. MÉXICO.
3. MENDENHALL, W., WACKERLY D. Y SCHEAFFER, R.
(1994). ESTADÍSTICA MATEMÁTICA CON APLICACIONES.
SEGUNDA EDICIÓN. GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA.
MÉXICO.
4. NEWBOLD, P., CARLSON, W. Y THORNE, B. (2008).
ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA.
SEXTA EDICIÓN. PEARSON/PRENTICE HALL MÉXICO.

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