Modulo física general 100413_v2010

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100413 –Física General
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS
100413 – FISICA GENERAL
DIEGO ALEJANDRO TORRES GALINDO
AUTOR
GUSTAVO ANTONIO MEJIA
DIRECTOR DE CURSO
FREDDY REYNALDO TELLEZ ACUÑA
(Acreditador)
BOGOTÁ, JUNIO DE 2010

ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO
El presente módulo fue diseñado por Diego Alejandro Torres, Físico egresado de
la Universidad Nacional. Ha tenido dos actualizaciones y se han realizado en el año
2005 por Freddy Téllez, docente de la UNAD y en el 2010 por Gustavo Antonio Mejía,
también docente de la UNAD desde el año 2008.

PRESENTACIÓN
Este texto se utiliza para las carreras de ingeniería de la Universidad Nacional Abierta y a
Distancia (UNAD). Por ser la educación a distancia un reto para la enseñanza, se ha
realizado un esfuerzo por crear un material que facilite y estimule el autoaprendizaje. Se
espera que además el material sea una referencia a lo largo de su carrera y su vida
profesional.
Encontrará en cada capítulo una serie de componentes, dentro de los que se destacan:
una introducción, el texto principal y finalmente una evaluación de lo visto en el capítulo.
Como objetivos del presente texto se tienen:
Objetivos Generales:
 Incorporar conceptos fundamentales de la física para poder ser aplicados a la vida
profesional.
 Motivar el aprendizaje y uso de la física como herramienta vital en el desarrollo de
soluciones en la vida práctica.
 Comprobar experimentalmente algunas deducciones de las leyes físicas.
Objetivos Específicos:
 El estudiante adquiera herramientas lógicas, tanto físicas como matemáticas, para el
desarrollo de problemas reales, relacionados con la física general.
 Motivar al estudiante a presentar de manera clara, rigurosa y concisa informes de
laboratorio, y reportes de trabajo en los cuales utilice la física como herramienta.

Explicación metodológica.
A lo largo de cada uno de los capítulos encontrará el siguiente esquema:
Introducción: en ella se da una justificación de la existencia del capítulo, además de los
conceptos que se aprenderán en el mismo. A pesar de ser corta se ha buscado que sea lo
suficientemente concisa para que tenga una idea clara de lo que se está buscando.
Desarrollo del tema: en esta parte se desarrollará el tema correspondiente al capítulo y
se presentarán diversos ejemplos cotidianos, los cuales aclararán los conceptos
estudiados. Se hará especial énfasis en el desarrollo de técnicas matemáticas. Es
fundamental que usted se de cuenta de la importancia de las matemáticas para la física.
Con el desarrollo del curso podrá ver que es una herramienta muy poderosa.
Taller experimental: su principal propósito es aplicar los conceptos, en una experiencia
de laboratorio. Los talleres van aumentando de dificultad a medida que avanza el texto, se
espera que al final del trabajo usted este en capacidad de crear un taller experimental
ideal. Es por eso que el capítulo dedicado a los fluidos, se tiene como taller experimental,
un taller que usted debe crear siguiendo unas pautas dadas. Lo más importante es que
usted utilice su imaginación para realizar este taller, “ la imaginación es más importante
que el conocimiento”1.
Evaluación final: en esta sección se evalúan los conocimientos teóricos aprendidos, y su
capacidad de emplearlos en la solución de problemas. Los problemas presentados
requieren que usted haya leído cuidadosamente el material inicial, se espera que usted
pueda solucionarlos todos. Puede darse el caso de que usted no logre solucionar un
problema, en ese caso es muy importante que tenga en claro el porqué no ha podido
solucionarlo y busque ayuda. Cuando no se tiene solución a un problema se debe tener
en claro que es lo que dificulta su solución, y luego buscar ayuda en los recursos con que
se cuenta, personas, libros, internet. En ocasiones se piensa que por encontrarse en un
sitio aislado del mundo no es posible solucionar los problemas, nuevamente la
imaginación es la solución.
Para el aprendizaje de los conceptos se utilizan como herramientas fundamentales la
matemática y la experimentación. La matemática involucrada en el texto se ha
desarrollado de tal forma que a la par con el curso de física se esté tomando un curso de
1 Albert Einstein

cá lculo fundamental. Conceptos como derivación e integración, fundamentales para el
desarrollo de la física, serán muy importantes a lo largo del texto, por lo cual se
recomienda dar una mirada a los textos de matemáticas que ha visto en cursos anteriores
o actuales. En la bibliografía la referencia [1] encontrará un manual muy completo de
fórmulas y tablas matemáticas.
Es muy importante que como estudiante se de cuenta desde el principio de la herramienta
que es la matemática, en especial el cálculo y la estadística. Los ejemplos desarrollados
han tratado de ser explicados en detalle, especialmente los pasos matemáticos, sin
embargo es importante que se desarrollen de manera independiente los cálculos y los
análisis desarrollados a lo largo del texto.
Al final de cada capítulo encontrará una pequeña sección de palabras claves para
búsqueda en Internet. Estas palabras claves se pueden digitar en un buen buscador de
Internet, por ejemplo http://www.google.com, el cual es el buscador que yo recomiendo.
La lista de páginas y textos será extensa, sin embargo es un buen ejercicio que busque
algunas páginas, las abra y revise los principales conceptos que pueden ayudar a su
formación.
Actualmente internet proporciona una buena guía acerca de un tópico, sin embargo es
solo una guía, y es por ello que usted deberá discriminar y tomar la información. Es un
buen ejercicio.
Además de las palabras claves de Internet, al final del capítulo usted encontrará también
una bibliografía de textos escritos, cuya referencia completa podrá consultar al final del
texto. Una parte de la bibliografía se encuentra en ingles, otra parte es en español. Es
importante que empiece a consultar algunos textos en inglés, ya que esto formará una
parte muy importante en su ejercicio profesional. Una parte de los textos en español,
como el [9] y el [20] son textos producidos en la Universidad Nacional de Colombia.
Cualquier observación acerca del libro se puede realizar al correo electrónico
datorresg@universia.net.co. El proceso de escritura y reunión de conceptos es una tarea
ardua, y el lograr un texto final perfecto tiene como base una interacción constante entre
las personas que utilizan el texto y el autor. Es por eso que espero que esta interacción se
dé, y a partir de ella se obtengan beneficios para las futuras ediciones. El beneficio será
triple, yo aprenderé usted aprenderá y los que utilicen el texto en el futuro aprenderán.
Diego Alejandro Torres. Bogotá, Colombia

INTRODUCCIÓN
Por Física se entiende el estudio de la naturaleza. Este concepto es bastante amplio, ya
que se ha descubierto que no se pueden trazar fronteras claras entre ciencias como la
física y la química, por ejemplo. Sin embargo empezaremos afirmando que en realidad la
física es el estudio de la naturaleza.
Históricamente la física empieza de manera formal con Galileo, el cual halló relaciones
matemáticas en los comportamientos físicos, descubre por ejemplo que la caída de un
cuerpo es proporcional al tiempo elevado al cuadrado.
Años más tarde Isaac Newton con ayuda de una muy poderosa herramienta, el cálculo,
plantearía las tres leyes de Newton, la inercia, fuerza igual a la variación temporal del
momentum y la ley de acción y reacción. Sin embargo ya en la antigüedad se habían
realizado intentos por sistematizar los conocimientos. Los filósofos de la antigua Grecia
iniciaron sus estudios tratando de comprender el funcionamiento de la naturaleza, y
Arquímedes planteó una serie de principios, el más conocido el de la palanca, para crear
herramientas.
Sin lugar a dudas la historia de las ciencias es muy apasionante, y es además una guía
de la historia y evolución de la sociedad. Cuando Sir. Isaac Newton escribió su libro
"Principios matemáticos de la filosofía natural", se inicia una revolución técnica sin
precedentes en la historia. El hombre empezó a adquirir conocimiento a un ritmo muy
acelerado, y desde esa época no se ha detenido la producción de conocimientos. Se
crean los ingenios, máquinas con principios físicos altamente optimizadas, y se desarrolla
una rama de conocimientos denominada Ingeniería, (creación de ingenios).
Es por lo tanto muy importante el plantear una distinción fundamental pero no rigurosa
entre la ciencia y la ingeniería. La ciencia busca conocimientos novedosos y básicos,
tratando de comprender el funcionamiento de la naturaleza. La ingeniería busca utilizar
estos conocimientos para mejorar la calidad de vida y el bienestar de la sociedad.
A principios del siglo pasado se inicia una nueva revolución científica denominada
" mecánica cuántica ", que de la mano con la teoría de la relatividad le dan un nuevo aire
a nuestro conocimiento de la naturaleza. También se inicia una gran revolución técnica.

La gran mayoría de los equipos que usamos a diario utilizan principios cuánticos:
teléfonos celulares, televisores, relojes y hasta los nuevos materiales con los cuales se
construyen las gafas y lentes de contacto, o el láser con el cual ahora se realizan
operaciones quirúrgicas, las radioterapias para el cáncer que utilizan materiales
radiactivos, o la resonancia magnética nuclear en la exploración del cuerpo. La revolución
tecnológica apenas empieza, nos encontramos en un mundo en continua construcción.
Esta es sin lugar a dudas una época interesante.
En la actualidad la física se ha diversificado en áreas altamente especializadas, entre las
cuales tenemos: Óptica, Óptica cuántica, Materia condensada, Estado sólido, Física
nuclear, Física de partículas elementales, Teoría del caos y muchas más de las cuales
trataremos de hablar a lo largo del presente texto.
A pesar de los avances técnicos y del conocimiento adquirido, los principios básicos de la
física continúan intactos. Conceptos como conservación de la energía, momentum
angular y lineal, se siguen usando tanto en la denominada física clásica como en la física
moderna.
El objeto del presente texto es dar una introducción a estos conceptos, los cuales al ser
aprendidos de manera firme y correcta servirán como herramientas fundamentales en el
desarrollo de ingenios y soluciones a la sociedad.

INDICE DE CONTENIDO
UNIDAD 1. MECÁNICA
Capítulo 1. Introducción a la Física
1 Qué estudia la Física ?
2. Magnitudes y Unidades
3. Errores en las mediciones
4 Cifras significativas
Capítulo 2. Cinemática
5. Vectores
6. Operaciones entre vectores
7. El concepto Razón de Cambio
8. Desplazamiento, Velocidad y Aceleración
9. Movimiento en una Dimensión
10. Movimiento en dos o más Direcciones
11. Algunas Aplicaciones de la Cinemática
Capítulo 3. Dinámica y Estática
12. Leyes de Newton
13. Cómo analizar problemas con ayuda de las Leyes de Newton
14. Fuerza de Fricción
15. Algunas Aplicaciones de las Leyes de Newton
UNIDAD 2. ONDAS Y ENERGÍA
Capítulo 4. Energía y Potencia

dv = F(r ) en una dimensión
16. Solución de la ecuación m dt
17. El trabajo
18 Energía
19. Potencia: Definición y Unidades
20. Energía Cinética
21. Energía Potencial
22. Conservación de la Energía
23. La Energía y sus Transformaciones
Capítulo 5. Movimiento Armónico simple
24. Cinemática del Movimiento Armónico Simple
25. Dinámica del Movimiento Armónico Simple
26. Oscilaciones en un Péndulo Simple
27. Oscilaciones Amortiguadas
Capítulo 6. Movimiento Forzado y Ondas
28. Oscilaciones Forzadas
29. Clasificación de las Ondas
30. Fenómeno ondulatorio
UNIDAD 3. FLUIDOS Y CALOR
Capítulo 7. Hidrostática e Hidrodinámica
31. Propiedades básicas de los Fluidos
32. Presión en un Fluido
33. Estática de Fluidos

34 . Principio de Arquímedes
35 Aplicaciones
36. Dinámica de Fluidos
37 Ecuación de continuidad
38 Ecuación de Bernouille
Capítulo 8. Temperatura
39. Temperatura
40. Cómo medimos la Temperatura?
41. Escalas de Temperatura
Capítulo 9. Calor
42. Calor Específico y Capacidad Calorífica
43. Fusión y Vaporización
44. Transferencia de Calor
45. Combustibles y Alimentos
APÉNDICE A. Factores de Conversión de Unidades
APÉNDICE B. Notación Científica
APÉNDICE C. Álgebra de Vectores
BIBLIOGRAFÍA

UNIDAD 1
Nombre de la Unidad MECÁNICA
Introducción Se estudiaran los conceptos más básicos acerca del
movimiento.
Justificación La mecánica es aquella parte de la física que relaciona todos
los conceptos propios de la Ingeniería
Intencionalidades
Formativas
Que el estudiante pueda comprender como se trabajan las
magnitudes en Física, que pueda describir el Movimiento y lo
pueda aplicar.
Denominación de
capítulos
CONTENIDOS
1 Qué estudia la Física?
2. Magnitudes y Unidades
3. Errores en las mediciones
4 Cifras significativas
5. Vectores
7. El concepto Razón de Cambio
8. Desplazamiento, Velocidad y Aceleración
9. Movimiento en una Dimensión
10. Movimiento en dos o más Direcciones
11. Algunas Aplicaciones de la Cinemática
12. Leyes de Newton
13. Cómo analizar problemas con ayuda de las Leyes de Newton
14. Fuerza de Fricción
15. Algunas Aplicaciones de las Leyes de Newton

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
En este primer capítulo del Módulo, se van a presentar tres temas de interés para
cualquier estudioso de la física y las ciencias en general.
En primera instancia se definirán algunos conceptos generales y campos de acción de la
física como ciencia. Luego se presentarán las principales magnitudes físicas a utilizar a lo
largo del curso, con sus correspondientes unidades. El sistema de unidades que se
trabajará en el presente Módulo será el Sistema Internacional de Medidas. Por último, se
analizarán algunos tipos de errores en las mediciones y su influencia en los resultados de
una práctica de laboratorio.
1. QUÉ ESTUDIA LA FÍSICA ?1
La palabra física se deriva del vocablo griego physos, que significa naturaleza.
En general, la física es la ciencia que se ocupa de los componentes fundamentales del
Universo, de las fuerzas que éstos ejercen entre sí y de los efectos de dichas fuerzas.
Estudia sistemáticamente los fenómenos naturales, tratando de encontrar las leyes
básicas que los rigen. Utiliza las matemáticas como su lenguaje y combina estudios
teóricos con experimentales para obtener las leyes correctas.
Las ramas de la física estudian el movimiento de los cuerpos, el comportamiento de la luz
y de la radiación, el sonido, la electricidad y el magnetismo, la estructura interna de los
átomos y núcleos atómicos, el comportamiento de los fluidos ( líquidos y gases ), y
las propiedades de los materiales, entre otras cosas.
La física es una ciencia básica consagrada al estudio de las leyes fundamentales de la
naturaleza. Sus dominios son el movimiento, el calor, el sonido, la luz, la electricidad, el
magnetismo, la electrónica y la energía atómica. Es una ciencia en cambio permanente
hacia una búsqueda de leyes con rangos de validez cada vez más amplios. Una ley física
es correcta cuando su comprobación da resultados positivos.
La física cuenta con tres pilares básicos: la mecánica clásica, cuyo propósito es estudiar
las leyes que gobiernan el movimiento de los cuerpos; la electrodinámica clásica,
1 Tomado de: http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/fisica/

de dicada al estudio de los fenómenos que involucran cargas electromagnéticas y la física
cuántica, utilizada para describir el mundo macroscópico bajo la hipótesis de que están
formados por cuerpos microscópicos cuyas leyes conocemos.
2. MAGNITUDES Y UNIDADES
Antes de tratar cualquier tema de física, es importante aclarar algunos conceptos
relacionados con las magnitudes y unidades de medida que se utilizan en el curso.
Lo primero que diremos es que medir es comparar con un patrón que se ha definido
previamente. Para Galileo Galilei el objetivo de la física era " medir lo que se pueda medir,
y lo que no se pueda, se debe hacerse medible ".
Las principales unidades de medida son la longitud, la masa y el tiempo.
Estas unidades han sido definidas a partir de estándares que ha fijado la comunidad
científica. Uno de los objetivos principales que se busca con la fijación de estos
estándares, es lograr una mayor precisión a la hora de realizar experimentos y
reproducirlos, y a la vez, proporcionar una definición acerca de qué es una cantidad física
determinada.
Las cantidades físicas están definidas en términos de mediciones, y se trata de construir
medidas que sean reproducibles casi que en cualquier parte del Universo. En la
antigüedad se definía la medida de longitud llamada pie, como la longitud del pie del rey
de turno, de tal forma que cuando se moría el rey, su sucesor daba una nueva unidad, y
esto dificultaba el comercio con otros países.
Ahora se ha tratado de adoptar el Sistema Internacional de Medidas ( S. I. ), el cual se
usa en la gran mayoría de países y sus unidades fundamentales son: el metro, el
kilogramo y el segundo. Se le conoce también como Sistema MKS por las siglas de sus
unidades.
Sin embargo algunos países aún usan unidades de medida como la yarda, el pie (
convenientemente definido ahora ) o la milla. Se usan más por costumbre que por efectos
prácticos, y seguramente en el futuro cuando aumente el intercambio comercial estas
unidades desaparezcan.

En los laboratorios es ampliamente usado el sistema MKS, y en este Módulo lo usaremos,
ya que va a ser el sistema con el cual en su vida profesional va a trabajar ampliamente.
Sin embargo vamos a mencionar otros dos sistemas de unidades, los cuáles puede
encontrar, aunque no muy a menudo.
 Sistema CGS: es un derivado del MKS, sus unidades son el centímetro, el gramo y el
segundo.
 Sistema Inglés: no se utiliza en mediciones científicas, pero es utilizado ampliamente
en Inglaterra y Estados Unidos. Sus unidades son el pie, la libra y el segundo.
A continuación se presentan algunas definiciones de las principales unidades de medida
del Sistema Internacional.
La longitud
El metro, fue definido primero como la distancia desde la línea del Ecuador al polo, a lo
largo de una línea imaginaria que pasaba por las ciudades de Dunkirk-Barcelona y dividir
esta distancia por 10 millones. Obviamente la distancia no ha sido medida de manera
exacta.
Después, en 1889, se definió el metro por medio de un patrón, el cual consistía en la
distancia entre dos muescas en una barra de platino-iridio. Esta barra aún es preservada
en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en la ciudad de Sevrés en Francia.
En 1960 el metro fue redefinido, con ayuda de la mecánica cuántica, como 1.650.763.73
longitudes de onda de la emisión naranja-roja del Kriptón 86. La precisión de esta medida
es de una pocas partes en 108 = 100.000.000.
Actualmente el metro se define como la longitud de espacio atravesada por un rayo de luz
en el vacío, durante un intervalo de tiempo de 1/299792458 segundos [18]. Su símbolo es
m.

El tiempo
Para Isaac Newton el tiempo era " absoluto, verdadero y matemático en si mismo, y por
su naturaleza, fluye uniformemente sin relación a nada externo ". Como se ve esta es una
definición muy metafísica.
Tradicionalmente fue medido por medio de la rotación de la tierra; aunque sabemos que
esta rotación sufre cambios a lo largo del año. Hasta 1956 el segundo, la unidad básica,
fue definida como 1/86.400 el año solar medio.
Actualmente el segundo es definido como el tiempo empleado en realizar 9.192.631.770
ciclos de una transición hiperfina en Cesio 133. El grado de precisión es de unas partes
en 1012.
El tiempo y el espacio son las medidas más exactamente definidas. El segundo se nota
como s; es un error colocarlo como " sg ".
La masa
De las tres unidades fundamentales, la masa es la única que aún se mide por medio de
un patrón. Antiguamente un kilogramo equivalía a la masa de 1.000 centímetros cúbicos
de agua pura a una temperatura de 4°C.
Debido a la dificultad en la obtención de agua pura, se definió el kilogramo en términos de
un patrón, y en 1889 el kilogramo fue definido como la masa de un cilindro de iridio-platino
que se encuentra actualmente en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Francia.
Sin embargo este peso no se usa. A partir de él se han sacado otros patrones que tienen
una exactitud de una parte en 109. Su símbolo es Kg.
Sería más conveniente utilizar una medida más natural como el número de átomos en una
región del espacio; sin embargo existen problemas a la hora de contar efectivamente los
átomos.
CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS.
Las normas internacionales de metrología suelen clasificar las magnitudes físicas como:
básicas, suplementarias y derivadas [20].
 Magnitudes básicas: Son la longitud, la masa y el tiempo.

 Magnitudes suplementarias: Son aquellas que poseen un carácter geométrico,
como por ejemplo: el ángulo plano y el ángulo sólido.
 Magnitudes derivadas: Son aquellas que se pueden expresar como función de otras
magnitudes. Por ejemplo la rapidez, la cual es definida como: distancia / tiempo.
A manera de resumen, se presentan en la siguiente tabla las principales unidades físicas
del Sistema Internacional ( S. I. ), con su correspondiente símbolo.
Tabla 1. Magnitudes y unidades del Sistema Internacional
UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL
Magnitud Física Unidad Símbolo
Longitud metro m
Masa kilogramo Kg
Tiempo segundo s
Corriente eléctrica Amperio A
Temperatura Kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia mol Mol
Ángulo plano radián Rad
Ángulo sólido sterradián Sr
De las unidades básicas se obtienen otras unidades muy usadas e importantes
para el desarrollo del curso, las cuales se presentan a continuación.
Tabla 2. Principales magnitudes y unidades derivadas
Magnitud Física Unidad Símbolo
Rapidez metro / segundo m/s

Fuerza Newton N
Trabajo, Energía Joule J
Potencia Vatio W
Frecuencia Hertz Hz
En el estudio de la física, algunas unidades resultan demasiado grandes o demasiado
pequeñas para que su uso sea conveniente. Es por eso que se emplean algunos prefijos
para referirnos a ellas con mayor propiedad. Los más empleados se presentan en la
siguiente tabla.
Tabla 3. Prefijos de mayor uso en física
FACTOR PREFIJO SÍMBOLO
106 Mega M
103 Kilo K
10-3 Mili m
10-6 Micro 
10-9 Nano n
10-12 Pico p
Se recomienda revisar los siguientes Apéndices para complementar el tema tratado en
esta sección: Apéndice A. Factores de Conversión de Unidades y el Apéndice B.
Notación Científica.

3. ERRORES EN LAS MEDICIONES
En todo experimento de laboratorio, por muy cuidadosas que hayan sido las mediciones
durante su desarrollo, vamos a tener que considerar la posibilidad de la existencia del
error.
Al realizar un proceso de medida, se tienen dos tipos principales de errores: el error
sistemático y el error aleatorio o estadístico.
 Error sistemático: son errores producidos por influencias permanentes en la medida.
Estas generalmente ocasionadas por una mala calibración en los equipos. Por ejemplo,
un termómetro que no tenga el punto de fusión del agua a cero grados centígrados sino a
tres grados centígrados, va a tomar medidas corridas en tres grados cada vez que se
utilice. Otro ejemplo es un metro mal calibrado.
No existe un método matemático para tratar este tipo de errores, ya que dependen de las
características del instrumento de medida y su adecuado uso a lo largo del proceso de
medición. Su identificación se logra con base en la experiencia, ya que al realizar una
medida se debe tratar de tener en claro cual es el resultado que se espera, para poder
detectar este tipo de errores.
Los errores sistemáticos son incontrolables, por lo general, sólo al final de un experimento
se puede llegar a saber o detectar la existencia de un error sistemático. Si nos damos
cuenta del error, este debe ser corregido a lo largo del experimento, o realizando otro
ensayo. Si el error no es detectado, no sabemos que existió y por lo tanto no lo incluimos
en el experimento.
 Error aleatorio o estadístico: este tipo de error se produce porque al realizar cada
nueva medida el valor resultante fluctúa, o cambia, sin importar el resultado anterior.
El origen de este tipo de errores se debe a imprecisiones instrumentales, ya que cada
instrumento de medida posee un tipo de resolución. Por ejemplo en los equipos
electrónicos al realizar dos mediciones seguidas de una cantidad, las últimas cifras
cambiarán un poco debido a la naturaleza misma del equipo.
Porcentaje de error.
El porcentaje de error es un concepto muy útil, ya que me indica la diferencia porcentual
existente entre el valor teórico esperado y el valor real obtenido en una experiencia. Se
define generalmente como:

4. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
En cualquier caso, donde los errores no estén presentes, se puede utilizar el mecanismo
de las cifras significativas, este mecanismo consiste en que si se da un valor, este valor
solamente tiene algunas cifras que son verídicas o confiables, se considerará que la
última cifra no es confiable y puede cambiar en una unidad.
Por ejemplo, si se da la cifra 3,45 esto quiere decir que el 5 puede cambiar en una unidad,
es decir puede ser 4 o 6. Sin embargo, cuando este número es cero, no se tendrá en
cuenta dicha regla, solamente se tendrán en cuenta los números diferentes de cero, por
ejemplo el número 340, la última cifra que se tendrá en cuenta es el 4 y este número
puede ser desde 330 hasta 350.
Cuando el número tiene el cero como última cifra, esta solamente se tendrá en cuenta si
esta después de una coma, por ejemplo: 3,40 tiene el cero como cifra significativa, es
decir este número tendrá 3 cifras significativas y se debe interpretar este número como
3,39 hasta 3,41.
La aplicación de las cifras significativas, se utiliza en las operaciones multiplicación y
división, la regla nos dice que en estas operaciones se debe dejar el número de cifras
significativas igual al menor número de cifras significativas de las que se están
multiplicando.

CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA
La cinemática se encarga de estudiar el movimiento, sin preocuparse por sus causas. Fue
desarrollada desde la antigüedad. Sin embargo los aportes más importantes a la
cinemática, fueron dados por Galileo Galilei e Isaac Newton.
El primero empezó a matematizar los resultados de sus observaciones, llegando a
conclusiones como que la distancia de caída de un cuerpo es proporcional al cuadrado
del tiempo de caída. Newton creó el cálculo, junto con Leibnitz, y también encuentra las
fórmulas matemáticas que rigen los movimientos.
En el presente capítulo, comenzaremos con un breve repaso sobre el tema Vectores,
definiremos el significado físico del desplazamiento, la velocidad y la aceleración y
describiremos el movimiento en una y dos dimensiones, principalmente.
5. VECTORES
Utilizando los vectores, las leyes de la física pueden ser escritas en una forma más
compacta. Para ilustrar el anterior enunciado, vamos a utilizar la famosa “Segunda
Ley de Newton “.
En la notación corriente se puede escribir como,
En notación de vectores simplemente escribimos,
en donde las letras en negrilla simbolizan los vectores. La principal razón por la cual se
introducen los vectores, es porque simplifican la notación y además poseen propiedades
muy útiles para el manejo de magnitudes físicas.
Recordemos que un vector es un ente matemático que posee magnitud y dirección.
Además posee propiedades como la suma, la resta, la multiplicación por un escalar y dos
tipos de producto: el escalar o producto punto y el vectorial o producto cruz.
Un vector puede ser representado por un segmento de recta, o una flecha, en un espacio.
Por ejemplo, las flechas mostradas a continuación representan vectores.

Algo para destacar en la figura anterior, es que los vectores se han ubicado dentro de un
sistema de coordenadas, esto nos permite identificar su magnitud y su dirección.
Es usual notar los vectores o por letras en negrilla ( A ), o por la letra y encima un símbolo
de flecha en este texto utilizaremos las negrillas para identificar vectores.
Los vectores tienen en común ciertas propiedades con los números naturales, por
ejemplo, en la suma. Sin embargo poseen más información, la cual permite describir
ciertas características físicas.
Cuando hablamos de los vectores como entes matemáticos nos referimos a que con ellos
podemos efectuar operaciones. Por ejemplo la suma y la resta de vectores nos da otro
vector, el producto escalar nos da por el contrario un número real, y el producto cruz nos
da otro vector.
Las dos características más importantes de un vector son su magnitud y su dirección.
 Magnitud: es la longitud del vector, o la flecha. La magnitud de un vector A se indica
por | A |. Si la magnitud de A es 3 unidades, entonces se dice que | A | = 3. La magnitud
de un vector es un número real.
 Dirección: se refiere hacia donde apunta la flecha del vector, norte-sur, oriente-occidente,
45°, etc.
Es usual agregar otra característica denominada sentido, la cual se refiere a la línea recta
sobre la cual se encuentra el vector. Sin embargo, desde el punto de vista físico sólo nos
interesa la magnitud y la dirección.

Si deseamos describir claramente una cantidad vectorial, debemos enunciar su magnitud
y su dirección. Por ejemplo: La velocidad es una magnitud vectorial, y para describirla
debemos mencionar su magnitud ( 700 Km/h, por ejemplo ), y su dirección ( norte-sur, por
ejemplo ); es por ello que los aviones tiene un velocímetro, que indica la velocidad del
avión con respecto a la tierra y su dirección. Por el contrario lo carros no poseen
velocímetro, sólo poseen rapidómetro que es el que mide la rapidez, es decir, la
magnitud de la velocidad.
Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y dirección. Esto se representa por,
A = C
Si la longitud de un vector es igual a la unidad (1), entonces se dice que este vector es
unitario. Un vector unitario se nota como Además se dice que para un vector A existe
un vector unitario paralelo , tal que,
es decir que se puede encontrar un vector unitario a partir de cualquier vector.
Simplemente tenemos que dividirlo por su magnitud.
De manera inversa todo vector A puede ser expresado como la multiplicación de su
magnitud | A | por un vector unitario en la misma dirección
El tema de los vectores ha sido tratado con cierta profundidad en otros cursos del
programa. Sin embargo, en el Apéndice C. Álgebra de Vectores, se resume gran parte
de las principales operaciones con vectores.
7. EL CONCEPTO RAZÓN DE CAMBIO
En nuestra vida cotidiana, vemos como los eventos transcurren en el tiempo: la caída de
las hojas, el movimiento de los carros, el movimiento de las manecillas del reloj. Todos
estos fenómenos implican movimiento, y para que este movimiento se realice es
importante que transcurra un tiempo determinado. El concepto de cambio, ya sea en la
posición, o en el estado de algo, está íntimamente ligado a que el tiempo transcurra.

Se define entonces la razón de cambio de una cantidad cualquiera, como la división del
cambio en la cantidad sobre el tiempo transcurrido en realizar dicho cambio,
Razón de cambio = Cambio en la cantidad / Tiempo transcurrido
Supongamos, por ejemplo, que una persona se mueve en una plaza desde el punto (0,0)
hasta el punto (4,3) en 10 segundos. Vamos a suponer que estas medidas están en
metros y que el movimiento lo realiza en línea recta. De esta forma la distancia total
recorrida puede ser representada por un vector desplazamiento de la siguiente forma.
La magnitud del desplazamiento es:
| A | = √ ( 42 + 32 ) = √ ( 25 ) = 5 metros
Este desplazamiento se realizó en 10 segundos. Se quiere ahora conocer la razón de
cambio de la distancia, es decir la velocidad:
Velocidad = Cambio en la posición / Tiempo transcurrido
Velocidad = 5 metros / 10 segundos = 0,5 m/s
El concepto razón de cambio es uno de los más importantes en física.
Ya se pudo apreciar que la razón de cambio del desplazamiento es la velocidad; de la
misma forma la razón de cambio de la velocidad es la denominada aceleración. A lo largo
del módulo se hará mención a otras importantes razones de cambio. Lo importante es
tener claro que toda magnitud que cambia en el tiempo tiene asociada una razón de
cambio.

La razón de cambio de una magnitud nos está dando una medida de cómo esa magnitud
está cambiando en el tiempo. Para el ejemplo de la velocidad, vemos cómo si el tiempo
empleado hubiese sido menor, por ejemplo 5 segundos, la velocidad hubiese sido mayor,
Velocidad = 5 metros / 5 segundos = 1 m/s
O si por ejemplo, hubiésemos recorrido el doble de distancia en el mismo tiempo, también
hubiésemos necesitado una velocidad mayor para lograr esto.
De esta forma la razón de cambio, da una medida de cómo está evolucionando una
magnitud en el tiempo, y permite compararla con cantidades similares.
Por ejemplo, cuando se están realizando mediciones del peso de dos niños que nacieron
el mismo día, es conveniente mirar la manera como aumenta el peso a lo largo del
tiempo. En este caso se puede definir:
Evolución del peso = Cambio en el peso / Tiempo empleado en cambiar de peso
Se puede observar que el niño que tenga una mayor medida en la evolución del peso,
pesará más a medida que transcurra el tiempo.
Se suelen definir los cambios en magnitudes por medio de la letra griega delta ( Δ )
Por ejemplo, la razón de cambio de la posición, es decir la velocidad, se suele notar
como:
Velocidad = Cambio en la posición / Tiempo transcurrido en el cambio
Velocidad = [ x(t2) − x(t1) ] / ( t2 − t1 )
Velocidad = Δx / Δt
En donde x(t1) se refiere a la ubicación del vector posición en el tiempo t1, x(t2) se refiere
a la ubicación del vector posición en el tiempo t2. Se ha realizado la resta de los dos
vectores, lo cual da como resultado otro vector, y se ha dividido este nuevo vector por un
escalar, es decir, por el intervalo de tiempo transcurrido. De esta forma se puede concluir
que la velocidad es también un vector.

8. DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Como se ha visto anteriormente, el desplazamiento de un objeto puede ser descrito por
un vector, y para ello nos valemos de un sistema de coordenadas. Este sistema de
coordenadas lo vamos a elegir en principio en tres dimensiones, es decir, que cuenta con
los ejes ortogonales X, Y y Z.
Generalmente se coloca este sistema de coordenadas de tal manera que describa
un sistema de referencia. Por ejemplo, podemos colocar nuestro sistema de
coordenadas dentro de la habitación en donde realizamos nuestros experimentos.
Ubicando sistemas de coordenadas adecuadamente dentro de los sistemas de
referencia que deseamos estudiar, podemos describir el mundo físico.
Vamos por ejemplo a estudiar el movimiento de una pelota dentro de un cuarto,
como se muestra en el siguiente dibujo.
La ubicación de la pelota dentro del cuarto puede describirse por medio de tres
coordenadas (x1, y1, z1), y si esta se desplaza se necesitan otras tres coordenadas para
describir el movimiento (x2, y2, z2). De esta manera el vector desplazamiento comienza en
(x1, y1, z1) y termina en (x2, y2, z2).
Para hallar la distancia total recorrida tenemos que restar la posición final menos la
posición inicial,
( x2, y2, z2 ) − ( x1, y1, z1 ) = ( x2 −x1 , y2−y1 , z2− z1 )

S = A final – A Inicial
De manera que se puede definir el desplazamiento ( S ) como: la diferencia entre la posición
final y la posición inicial
La magnitud del desplazamiento, es la magnitud del anterior vector,
| S | = √ [ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 ]
En la siguiente figura se notan los vectores implicados en el desplazamiento estudiado. El
vector con líneas punteadas es el vector desplazamiento resultante.
La magnitud del vector desplazamiento resultante dividido por el tiempo que dura el
desplazamiento se denomina rapidez. La rapidez, es entonces, la magnitud del vector
velocidad.
De esta forma, se ha visto la importancia de definir un sistema de referencia para realizar
un estudio sobre un sistema físico. En el caso de la tierra, esta se mueve con respecto al
sol, sin embargo para efectos prácticos, los experimentos en la tierra toman como sistema
de referencia la tierra misma, y suponen que esta se encuentra en reposo.
Cuando estudiamos sistemas en movimiento es importante definir un sistema de
referencia, tal que se vea claramente el movimiento que el objeto bajo estudio describe.
En física se ubican los sistemas de referencia convenientemente. Pueden estar dentro de
un átomo, dentro de un automóvil, en una galaxia, etc. de manera que se pueda estudiar
más fácilmente el comportamiento de la naturaleza. ¿ Puede imaginar cómo describir el
movimiento de un cuerpo sin un sistema de referencia ?

Definición de Velocidad y Aceleración
Se puede definir la velocidad como:
La velocidad es la razón de cambio del desplazamiento
Es decir, que la velocidad nos está dando información acerca de que tan rápido está
cambiando la posición de un objeto en el espacio.
La velocidad es una cantidad vectorial, por lo tanto tiene magnitud y sentido. A la
magnitud de la velocidad, como se había mencionado anteriormente, se le denomina
rapidez.
La velocidad promedio v de un punto que se mueve entre los tiempos t1 y t2 está
definida por,
La velocidad instantánea v es el límite de la velocidad promedio, cuando el intervalo de
tiempo se aproxima a cero, es decir,
En los cursos de cálculo a esta cantidad se le denomina la derivada del desplazamiento
con respecto al tiempo, y se le nota como dx/dt ó ds/dt. Por ello se dice que la velocidad
es la derivada del desplazamiento con respecto del tiempo.
Existe una gran diferencia entre la velocidad promedio y la velocidad instantánea.
La velocidad promedio es la velocidad que en " promedio " tiene un cuerpo después de
realizar un recorrido cualquiera. Por ejemplo, si dos pueblos están separados 2 kilómetros
y una persona invierte 20 minutos en ir de un pueblo al otro decimos que la velocidad
promedio de la persona fue,
Velocidad promedio = 2 Km / 20 min = 0,1 Km/min = 100 m /min

Si n embargo durante el trayecto es posible que la persona se haya detenido unos minutos
a descansar, o haya corrido un poco.
La velocidad instantánea se refiere a la velocidad que lleva esa persona en un instante
determinado. Una buena aproximación a la velocidad instantánea es el rapidómetro del
carro, el cual nos indica la rapidez en un instante determinado del trayecto.
Las unidades de la velocidad son distancia / tiempo, y se suele medir en
metros/segundo ( m/s ), kilómetros/hora ( km/h ), etc. de acuerdo a las medidas mas
convenientes.
Es muy importante realizar un análisis de unidades en las ecuaciones, para verificar que
se están realizando correctamente los cálculos. Por ejemplo si se encuentra que la
velocidad se está midiendo en m/s2, entonces las unidades están mal, por lo que hay que
revisar los cálculos.
De manera similar, se puede definir la aceleración como:
La aceleración es la razón de cambio de la velocidad
La aceleración nos está dando información de cómo cambia la velocidad con respecto al
tiempo. Una gran aceleración significa que se obtiene una mayor velocidad en menor
cantidad de tiempo.
Se define la aceleración instantánea como el límite cuando el intervalo de tiempo tiende
a cero, es decir,
De nuevo, en cálculo se dice que la aceleración es la derivada de la velocidad con
respecto al tiempo, y se denota por dv/dt.
Las unidades de la aceleración son velocidad / tiempo ó distancia / tiempo2 y se suelen
utilizar las unidades m/s2 ó km/h2.
Si el movimiento se realiza en una sola dirección, podemos ubicar nuestro sistema de
coordenadas con el eje X a lo largo de esta dirección, y tratar el movimiento de una forma
unidimensional. Este será el tema de la siguiente sección.
Ejemplo. Una gota de agua se desprende de una nube y dos segundos después lleva
una velocidad de 28 m/s. ¿Cuál es la aceleración promedio durante ese periodo?

D efinimos entonces aceleración promedio como, aceleración promedio = Δv / Δt
El signo negativo indica que la dirección de la aceleración es dirigida hacia abajo.
9. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN
Hasta el momento se ha visto el movimiento de una forma general y ubicándolo en un
sistema tridimensional. Ahora estudiaremos la forma más sencilla de movimiento, el
movimiento a lo largo de una línea recta.
Una línea recta posee una sola dimensión, es por esto que es usual denominar al
movimiento en una dimensión como movimiento lineal.
Existen dos tipos principales de movimiento: con velocidad constante y con aceleración
constante.
Lo anterior no significa que no existan más tipos de movimiento, sin embargo el estudio
de estos dos nos permitirá entender una diversidad de fenómenos físicos.
Movimiento a velocidad constante
Este movimiento se realiza a lo largo de una línea recta como la siguiente,
Cuando decimos que un movimiento se efectúa con velocidad constante, estamos
afirmando que la magnitud y la dirección de la velocidad no cambian con el tiempo. Es
muy importante notar el hecho que la velocidad cambia cuando cambia su rapidez ó
cuando cambia su dirección.
Vamos a calcular la razón de cambio de la velocidad, es decir la aceleración, de un
movimiento a velocidad constante.

Por lo tanto se puede afirmar que:
Un movimiento se realiza a velocidad constante si su aceleración es igual a cero.
¿Cómo se puede predecir la posición de un cuerpo que se mueve a velocidad constante?,
para ello utilizamos la definición de velocidad:
Generalmente el tiempo inicial t0 se toma como cero, el tiempo final t1 se toma como t y la
posición inicial se nota como x0. De esta forma llegamos a una de las ecuaciones de la
cinemática, la ecuación de desplazamiento a velocidad constante:
x(t) = x0 + v t
En esta ecuación apreciamos el desplazamiento como función del tiempo. La velocidad v
nos indica la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo.
El signo de la velocidad nos indica la dirección del movimiento, por convención, el signo
es positivo si la dirección del movimiento es de izquierda a derecha, y es negativo si el
movimiento es de derecha a izquierda.
De la misma forma, por convención, si el movimiento se realiza verticalmente, la velocidad
es positiva si la dirección del movimiento es de abajo para arriba, y negativa si la dirección
del movimiento es de arriba para abajo.

En este caso es usual notar a los movimientos verticales con la letra “ y ”. Estas
convenciones también son aplicables a la aceleración.
Analicemos un poco más la ecuación de desplazamiento a velocidad constante:
x(t) = x0 + v t
Si la velocidad v = 0, entonces se tiene que la posición inicial es igual a la posición final,
x(t) = x0. Esto es lógico, un objeto que no posee velocidad no se mueve y permanecerá en
su posición inicial durante todo el tiempo.
El término x0 hace referencia a la posición inicial del cuerpo en un tiempo t = 0, este
término es constante y se suele tomar como cero, es decir, que se ubica el origen de
coordenadas en el sitio exacto donde se inicia el movimiento.
De esta forma la ecuación de movimiento quedaría como:
x(t) = v t
Esta ecuación es muy usada a diario. Por ejemplo, cuando vamos en un carro y vemos el
rapidómetro del carro marcar 60 Km/h, generalmente pensamos que en una hora
habremos recorrido 60 kilómetros.
Gráficamente un movimiento a velocidad constante puede ser representado en un
diagrama de Desplazamiento (x) contra tiempo (t) de la siguiente forma:
Algunas observaciones con respecto a la gráfica son:

 En el plano Desplazamiento contra Tiempo, si el movimiento es a velocidad constante,
la gráfica es una línea recta.
 En el gráfico se ha colocado en el tiempo inicial t0 la ubicación inicial x0, es decir el
punto ( t0 , x0 ). Es usual colocar estos puntos como (t0 , x0) = (0 , 0).
 En una gráfica de distancia contra tiempo, la pendiente de la recta es la velocidad.
Cuando la gráfica es una línea recta, el valor de la pendiente es independiente de la forma
como la medimos, esto se debe a que el movimiento se realiza a velocidad constante.
Ya vimos que la aceleración en un movimiento a velocidad constante es igual a cero,
ahora veamos la gráfica de velocidad contra tiempo.
En la gráfica anterior se tiene:
 La pendiente de la curva de velocidad contra tiempo es la aceleración.
 La velocidad permanece constate en la gráfica, v0, por esto la pendiente es cero, es
decir que la aceleración es cero.
 El área bajo la curva, desde t0 hasta t3, es igual a:
área = v0 ( t3 - t0 )
De manera general esta área es igual a v0 t = v0 t, es decir que salvo la posición inicial,
que podemos hacer igual a cero, el área bajo la curva de la gráfica de velocidad contra
tiempo es igual al desplazamiento.

M ovimiento a aceleración constante
Para comenzar esta sección es importante notar lo siguiente:
Siempre que hay un cambio en la velocidad, hay una aceleración diferente de cero
Todo cambio en la velocidad, implica un cambio en la aceleración. El movimiento
uniformemente acelerado es el más sencillo de estudiar en cuanto a aceleración. Sin
embargo, la aceleración también puede variar, y es importante saberlo. A la razón de
cambio de la aceleración se le denomina hertz, aunque es una cantidad poco usada.
¿ Cómo se puede predecir la velocidad de un cuerpo a partir de su aceleración ? Para ello
nuevamente utilizamos la definición de aceleración:
Como el tiempo es un parámetro podemos hacer la cantidad t0 = 0, t1 = t y v(t1) =
v(t). También la velocidad inicial se puede tomar como v(t0) = v0. De esta forma llegamos
a otra importante ecuación de la cinemática,
v(t) = v0 + a t
Esta ecuación de la velocidad, está en función del tiempo. La aceleración nos indica la
razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir, que tan rápido está
cambiando la velocidad y en que dirección. Recordemos que la aceleración también es un
vector.
Al igual que la velocidad, el signo de la aceleración nos indica en que dirección está
cambiando la velocidad. La convención es la misma que se vio en la sección anterior.
Si la aceleración a = 0, entonces se tiene que la velocidad inicial es igual a la velocidad
final, v(t) = v0, un objeto con aceleración igual a cero mantiene su velocidad constante.
El término v0 hace referencia a la velocidad inicial del cuerpo en un tiempo t = 0, ésta es
constante y se puede tomar generalmente como cero. Sin embargo este término es muy
importante, ya que determina si el sistema de referencia usado se mueve a velocidad
constante o se encuentra en un reposo tal, que se observa una velocidad inicial del objeto
bajo estudio.

C uando se hace v0 = 0 la ecuación de movimiento toma la forma,
v(t) = a t
Sin embargo la ecuación más usada y general es,
v(t) = v0 + a t
Gráficamente un movimiento a aceleración constante puede ser representado en un
diagrama de Velocidad contra Tiempo de la siguiente forma.
Algunas observaciones con respecto a la anterior gráfica son:
 En el plano Velocidad contra Tiempo, si el movimiento es a aceleración constante, la
gráfica es una línea recta.
 En el gráfico se ha colocado en el tiempo inicial t0 la velocidad inicial v0, es decir el
punto (t0; v0). No necesariamente la velocidad inicial es cero.
 La pendiente de la recta en una gráfica de velocidad contra tiempo es la aceleración.
Si esta gráfica es una línea recta, su pendiente es independiente de la forma como la
medimos, esto se debe a que el movimiento se realiza a aceleración constante.
 El área bajo la curva de velocidad contra tiempo es igual a la distancia recorrida.
Vamos a calcular esta área desde el tiempo t0 hasta t4.
El área esta compuesta por dos figuras, un triángulo y un rectángulo. El área del triángulo
es ( base x altura ) / 2 y el del rectángulo es lado × lado.
Las figuras las mostramos a continuación:

El área de la región oscura es igual a: (t4 - t0) x (v4_v0) / 2
El área de la región clara es: v0 x (t4 - t0)
De esta forma la distancia total recorrida desde t0 hasta t4 es,
Si se supone t0 = 0 y t4 = t, obtenemos la ecuación del desplazamiento para el
movimiento uniformemente acelerado,
si se incluye una posición inicial de x0, la ecuación más general es de la forma,
Una gráfica muy interesante es la de posición (x) contra tiempo (t). En un movimiento
uniformemente acelerado, esta es de la forma:

En el plano de Desplazamiento contra tiempo, un movimiento uniformemente acelerado
se ve como una parábola.
El punto x0 nos indica el origen del movimiento, si x0 = 0 la gráfica y las ecuaciones toman
la forma,
Se observa como el origen de coordenadas es el origen del movimiento, la posición inicial
no afecta la velocidad.
Cuando la velocidad inicial es igual a cero v0 = 0, la forma de la gráfica y las ecuaciones
de movimiento ahora son:

La curva punteada corresponde a la curva con una velocidad v0  0, y la curva continua
corresponde a una curva con v0 = 0 y positiva. De esta forma se ve como la velocidad
inicial afecta la manera como se mueve un objeto.
Una velocidad inicial diferente de cero y en la misma dirección del movimiento indica que
el objeto se moverá mas rápido. En una carrera de carros tiene más ventaja el que
acelera con una velocidad inicial que aquel que parte del reposo.
Ahora veremos un caso muy sencillo de aplicación del movimiento uniformemente
acelerado, la caída libre.
Caída Libre. Movimiento bajo la acción de la fuerza de gravedad.
La fuerza gravedad en la tierra, tiene el efecto de atraer hacia ella los cuerpos que
poseen masa, además tiene una característica interesante, la aceleración producida por la
fuerza de la gravedad se mantiene casi constante sobre la superficie. A nivel del mar la
fuerza de la gravedad tiene un valor de 9,80665 m/s2 [18], para efectos prácticos se suele
tomar este valor como 9,8 m/s2, e inclusive para cálculos sencillos se toma hasta de 10
m/s2. La fuerza de gravedad se representa por la letra g.
La fuerza de la gravedad en un sistema de referencia como la tierra, actúa de
arriba hacia abajo, es decir que la dirección de la aceleración en las caídas libres,
es de la forma,
a = −g ; sobre el eje Z
Esta ecuación tiene bastante información:
 El movimiento se realiza a lo largo de la dirección “ k ” , es decir sobre el eje Z.
A lo largo de los otros ejes no actúa la aceleración de la gravedad.
 El signo negativo nos indica que la dirección del vector aceleración es de arriba
hacia abajo, ó mejor aún, del lado positivo del eje Z al lado negativo.

 La magnitud del vector aceleración de la gravedad es: g = 9,8 m/s2.
De esta forma las ecuaciones más generales que gobiernan el movimiento bajo la acción
de la gravedad son,
De nuevo, estas ecuaciones contienen mucha información y las vamos a describir
cuidadosamente:
 Para expresar estas ecuaciones se ha usado, de forma explícita, la posición en
función del tiempo, y(t), y la velocidad en función del tiempo vy(t). Esta es una notación
muy común cuando se está hablando de movimientos a lo largo de un eje determinado.
 En la primera ecuación, el término y0 es la posición inicial, es decir la ubicación que
tenía el objeto que estamos estudiando en un tiempo t = 0. Esta posición puede ser cero,
por ejemplo cuando tomamos como origen del sistema de coordenadas el suelo para
estudiar el movimiento de un cohete. O puede ser diferente de cero cuando estudiamos la
caída de un paracaidista desde un avión.
 El termino v0y es la velocidad inicial del movimiento. Dependiendo de la situación
estudiada este término puede ser cero o no ser cero. Por ejemplo cuando estudiamos el
lanzamiento de un cohete espacial la velocidad inicial es cero, ya que el cohete parte del
reposo. Pero si estudiamos el movimiento del mismo cohete pero tomamos el tiempo
inicial t = 0 en un momento cuando el cohete ya ha iniciado su movimiento, entonces su
velocidad inicial será diferente de cero.
 El signo negativo, en el término que afecta la aceleración, nos está diciendo que la
dirección de la aceleración se hace de arriba para abajo, en un marco de referencia en el
cual el eje aumenta hacia arriba y disminuye hacia abajo. El inicio del sistema de
coordenadas se suele colocar en el piso.
 La magnitud de la aceleración es g = 9,8 m/s2, sin embargo se ha utilizado el símbolo
g, esto hace que nuestras ecuaciones de movimiento y velocidad sean muy generales. Si
deseamos describir el movimiento en otro planeta, basta con conocer la aceleración de la
gravedad y colocar su valor adecuado en g.
 El signo de la gravedad −g, depende de la elección del sistema de coordenadas. En
este caso elegimos un sistema en el cual la gravedad apunta hacia abajo y el sistema de
coordenadas aumenta hacia arriba.

Ejemplo: Caída libre.
Vamos a suponer que dejamos caer una piedra desde una altura inicial de 10 metros,
¿cuál es la ecuación que describe el movimiento?, ¿cuál es la ecuación que describe la
velocidad?, ¿cuánto tiempo demora en caer la piedra? y al llegar al suelo ¿cuál es la
velocidad de caída?. Se recomienda también hacer una gráfica de velocidad contra
tiempo y desplazamiento contra tiempo.
Generalmente cuando se trabaja con la gravedad, se elige un sistema de coordenadas en
el que la gravedad es negativa.
Para elaborar correctamente las ecuaciones realizamos el siguiente análisis:
 La gravedad respecto a nuestro sistema de referencia tiene signo negativo, es decir
−g = −9,8m/s2.
 La posición inicial se encuentra a 10 metros sobre el suelo, es decir que y0 = 10.
Vamos a utilizar unidades de metros.
 La velocidad inicial es cero, es decir v0y =0.
Con lo anterior nuestras ecuaciones de movimiento y velocidad toman la forma,

Pa ra hallar el tiempo de caída utilizamos primera ecuación, ya que sabemos que cuando
caiga la piedra se encontrará en el suelo, es decir y(t) = 0. Despejamos entonces el
tiempo,
de esta forma el tiempo de caída es de 1,42 segundos. Con este tiempo podemos hallar la
velocidad con la que el objeto llega al suelo, utilizando la segunda ecuación.
v(t=1,42s) = −9,8(m/s2) × 1,42(s) = −14(m/s)
El signo negativo nos indica que la velocidad se dirige hacia abajo. En esta última
parte se ha incluido entre paréntesis las dimensiones de las cantidades
involucradas, para ver que al final las unidades de la velocidad son las correctas,
es decir metros sobre segundo.
Las gráficas que se obtiene para el desplazamiento y la velocidad se muestran a
continuación:
A la izquierda tenemos la gráfica de desplazamiento contra tiempo. Como se espera de
un movimiento uniformemente acelerado, la gráfica es una parábola. El movimiento
comienza en 10 metros, y es cero en t = 1,4 segundos, a partir de allí los valores en la
posición son negativos, ya que se encuentra en la región negativa del eje de
coordenadas.

En principio esto no tiene sentido ya que en y = 0 es el piso y la piedra es allí donde se
detiene, por lo tanto la parte negativa de la curva no existe.
A la derecha se observa la gráfica de velocidad contra tiempo, esta corresponde a una
línea recta, debido a que el movimiento es uniformemente acelerado. Solo se ha graficado
la velocidad hasta el tiempo t = 1,42 segundos, ya que allí la piedra choca contra el suelo
y se detiene.
10. MOVIMIENTO EN DOS O MÁS DIRECCIONES
En la vida real, el movimiento de un objeto se realiza en un plano, y de manera más
general en el espacio. Para una partícula moviéndose en el plano debemos especificar su
posición mediante dos coordenadas,
En tres coordenadas lo que tenemos es un vector de tres componentes,
Esta notación es lo que se denomina parametrización, en la cual un conjunto de variables,
( x, y ) en este caso, es puesto en términos de otra variable, ( t ). Para un sistema
bidimensional, un plano, tenemos una representación de la siguiente forma:
Esta vez estamos graficando de manera simultánea los ejes X y Y. Se debe tener mucho
cuidado en no confundir esta representación con la de distancia contra tiempo. En este
caso lo que tenemos es ya una representación del movimiento que puede efectuar un
cuerpo sobre el plano X contra Y. Nuestro vector indica que la posición en la que se
encuentra nuestro objeto bajo estudio está a 3 unidades en el eje X y 2 unidades en el eje
Y.

Ah ora vamos a suponer que el objeto se mueve a la posición (1,4). Gráficamente esto se
puede representar como,
El vector punteado representa la posición inicial, el vector continuo representa la posición
final, la distancia recorrida se representa por el vector con líneas. Este vector es la resta
del vector posición final menos el vector posición inicial,
La distancia total recorrida es,
Lo anterior es equivalente a tomar dos ecuaciones independientes, una para el eje X y la
otra para el eje Y,
Ya empezamos a ver por que es importante el estudio del movimiento en una dimensión,
ya que los movimientos en múltiples dimensiones se pueden descomponer en
movimientos unidimensionales.
Si el movimiento se realiza en un tiempo Δt, la velocidad en un movimiento bidimensional
es de la forma,

Nuevamente fijémonos que el vector velocidad está compuesto por las dos ecuaciones
escalares,
De la misma manera podemos generalizar para un vector en tres coordenadas. De
manera general obtenemos para la velocidad,
Utilizando los vectores unitarios, el vector velocidad tridimensional es de la forma,
Se observa entonces, que es más cómodo escribir que cualquiera de las
ecuaciones para un espacio particular. Cuando se está trabajando en espacios
multidimensionales, los vectores proporcionan una muy cómoda forma de efectuar
cálculos y notaciones.
De la misma forma la aceleración simplemente es,

ó en una notación más reducida,
El movimiento en tres dimensiones es una generalización
del movimiento en una dimensión.
Para un sistema uniformemente acelerado tenemos tres ecuaciones para el
desplazamiento en función del tiempo,
Las cuales pueden ubicarse en un vector desplazamiento de la forma ( x(t), y(t), z(t) ). Y
tenemos tres ecuaciones para la velocidad en función del tiempo,
Las cuales pueden ubicarse en un vector velocidad de la forma ( vx(t), vy(t), vz(t) ).
El movimiento unidimensional es una clase particular del movimiento tridimensional, en el
cual, el vector desplazamiento puede ser de la forma,
( x(t), 0, 0 ),
y el vector velocidad puede ser de la forma,
( vx, 0, 0 ).
En este caso es más cómodo solo tratar las componentes diferentes de cero, como se vio
en la sección anterior.
A continuación desarrollaremos un ejemplo más general de movimiento, el cual se
realizará bajo un campo gravitatorio.
Ejemplo: Movimiento en un campo gravitatorio.

D e manera general, el movimiento gravitatorio se efectúa en tres dimensiones.
Vamos a colocar nuestro sistema de coordenadas con los siguientes requisitos:
 El eje Z estará dirigido hacia arriba, de manera que el vector aceleración sea de la
forma,
 El origen de nuestro sistema de coordenadas está en el suelo.
 El objeto posee una posición inicial dada por el vector,
r0 = ( x0, y0, z0 )
 El objeto es lanzado en un tiempo t = 0, con una velocidad inicial,
v = ( vox ,voy, voz ),
es decir que posee componentes de velocidad en los tres ejes.
Bajo las anteriores condiciones las ecuaciones de movimiento en los tres ejes son,
Uno de los hechos más notables, es ver que el movimiento se puede descomponer por
ejes o dimensiones, las cuales son fácilmente tratables.
Sin perder generalidad podemos hacer r0 = (0, 0, 0), y suponer que la velocidad VOY = 0,
de esta forma las ecuaciones de movimiento son ahora,
Es decir que el movimiento se realiza en el plano XZ.
Respecto a las ecuaciones de movimiento podemos decir que:

 En el eje X el movimiento es a velocidad constante. La gráfica de distancia contra
tiempo es de la forma:
 En el eje Z el movimiento es uniformemente acelerado, y la gráfica de desplazamiento
contra tiempo es de la forma,
z
En el eje Z el objeto parte con una velocidad diferente de cero y sube, pero la fuerza de la
gravedad lo va frenando, hasta que llega un punto en el cual comienza a bajar, y su
velocidad cambia de dirección, retornando de nuevo al suelo. Esto no ocurre en el
movimiento en el eje X, en el cual el objeto siempre se aleja del origen.
A continuación vamos a graficar la velocidad del objeto v(t)

Se observa que en todo momento la velocidad está disminuyendo, hasta que llega un
punto en el cual la velocidad es cero, este punto es precisamente el punto en el cual el
objeto alcanza la altura máxima y a partir de allí la velocidad se vuelve negativa, es decir
que hay un cambio en la dirección de la velocidad.
Desde cuando el objeto es lanzado, hasta que alcanza su altura máxima, la velocidad es
positiva, es decir que el objeto se dirige hacia arriba.
Cuando alcanza su altura máxima la velocidad es cero, y el objeto empieza a caer
haciendo que ahora la dirección de movimiento sea hacia el lado negativo, por lo cual la
velocidad es negativa.
¿Como es el movimiento del objeto?, el movimiento resultante, es decir el que nosotros
vemos, es una combinación del movimiento en el eje X y el movimiento e el eje Z.
Para ello utilizamos las ecuaciones de cada eje,
Despejamos el tiempo de la primera ecuación y obtenemos,
Ahora lo reemplazamos en la segunda ecuación y obtenemos el desplazamiento en el eje
Z como función del desplazamiento en el eje X,
Esta es la ecuación de una parábola, y su gráfica es de la forma,
Sobre esta ecuación es importante realizar las siguientes observaciones:

 Debido a su comportamiento, hace que el lanzamiento en un campo gravitatorio sea
también llamado movimiento parabólico.
 Se denomina también ecuación de trayectoria, ya que nos está indicando
como es el movimiento en el espacio real. Es ampliamente utilizada como primera
aproximación en balística y en la descripción de movimiento de proyectiles libres
de fricción del aire.
 No se deben confundir las gráficas de trayectoria con las de desplazamiento contra
tiempo. A pesar de que las dos dan parábolas la información física es distinta. En una
gráfica de desplazamiento contra tiempo estamos representando la evolución del
movimiento en un eje con respecto al tiempo. En una gráfica de trayectoria estamos
representando las posiciones que seguiría un objeto en el espacio físico real. La
información es muy diferente.
Para finalizar este tema, se van a presentar una serie de relaciones muy útiles a la hora
de estudiar la cinemática de movimientos acelerados. Estas relaciones se resumen en la
siguiente tabla.
Tabla 4. Ecuaciones para movimientos acelerados
11. ALGUNAS APLICACIONES DE LA CINEMÁTICA
Ejemplo: Disparo de una bala.
Una bala se dispara verticalmente hacia arriba alcanzando una altura de 1900 metros.
a) ¿ Cuál es la velocidad inicial de la bala ?
b) ¿ Cuánto tiempo permanece la bala en el aire ?
c) ¿ A qué altura se encuentra la bala 30 segundos después del lanzamiento?

S olución:
a) La bala está sometida a la acción de la gravedad. Cuando llega a la máxima altura
posible su velocidad es cero. Utilizando una de las relaciones de la tabla anterior,
obtenemos con a = −g,
En la vida real, la velocidad inicial de un proyectil está por encima de los 600 m/s, para
que pueda alcanzar esa altura, ¿ cuál es la razón ? Lo anterior se debe a que se ha
despreciado el efecto de la fricción sobre la bala. Más adelante se verá que la fuerza de
fricción ejerce una muy importante acción sobre los cuerpos. Sin embargo en algunos de
los cálculos la despreciamos.
b) Para encontrar el tiempo de vuelo del proyectil se puede considerar un movimiento en
caída libre, y se intentará averiguar el tiempo que tarda el proyectil en caer 1900 metros,
luego este tiempo se multiplicará por dos, ya que el tiempo de subida es igual al tiempo de
bajada.
Por lo tanto el tiempo de vuelo del proyectil es dos veces el tiempo de caída libre.
En la ecuación anterior se ha considerado la velocidad inicial V0 = 0. Recordemos que
esta es una característica del movimiento en caída libre. También hemos utilizado valores
negativos para la distancia, −1900m, y para la aceleración −9,8m/s2. Esto se debe al
sistema de referencia que hemos escogido para analizar nuestro movimiento.

El movimiento de caída libre se inicia en cero para el eje Y y luego cae hacia valores
negativos hasta −1900 metros; de la misma forma el valor negativo en la aceleración se
debe a que la aceleración tiene como efecto hacer que los objetos caigan, es decir, que
se vayan hacia valores negativos del eje Y.
c) Para hallar la altura alcanzada a los 30 segundos después del disparo, utilizamos la
velocidad inicial, v0 = 193 m/s, la cual corresponde a un vector dirigido en sentido positivo
del eje Y.
A los treinta segundos el cuerpo esta cayendo, después de alcanzar su altura
máxima.
Ejemplo. Una partícula en el plano X-Y, describe un movimiento tal, que su posición r en
función del tiempo, está dada por,
r está en metros.
Encuentre:
a) Su velocidad en un tiempo t.
b) Su aceleración en un tiempo t.
c) La posición, velocidad y aceleración iniciales.
d) La posición, velocidad y aceleración, 5s después de iniciado el movimiento.
Para el desarrollo de las anteriores preguntas tenemos:
a) La velocidad de la partícula es,

Nótese que en el eje X la velocidad es constante, mientras que en el eje Y la velocidad
varía con el tiempo.
b) La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.
En este caso la aceleración es una constante en el eje Y, y es aproximadamente igual a la
aceleración de la gravedad. Además va dirigida hacia el eje negativo.
c) La posición, velocidad y aceleración iniciales se determinan para t = 0,
d) La posición, velocidad y aceleración para t = 5 s,
Ejemplo. Describa el movimiento de un cuerpo que inicialmente está en reposo y luego
se deja caer libremente.
En la siguiente figura se muestra el gráfico que podemos asignar para este ejemplo.

La velocidad inicial del cuerpo es nula, y se van a despreciar los efectos de resistencia del
aire. También se va a suponer que el cuerpo se encuentra inicialmente en el origen del
sistema de coordenadas, y de esta forma al caer lo hace hacia la dirección negativa del
eje Z.
Tenemos entonces que:
 La velocidad inicial es cero, v0z = 0.
 En los otros ejes, X y Y, no hay movimiento, ya que esta es una caída libre simple. Por
lo tanto no nos interesará el movimiento a lo largo de otros ejes.
 La posición inicial Z0 = 0.
 Las ecuaciones de movimiento que podemos utilizar son,
Estas ecuaciones permiten evaluar la posición z y la velocidad vz, para cada tiempo.
 Utilizando g = 9,8 m/s2 obtenemos la siguiente tabla:

Ta bla 5. Datos del Ejercicio.
Tiempo (s) Distancia (m) Velocidad (m/s)
0 0 0
1 -4.9 -9.8
2 -19.6 -19.6
3 -44.1 -29.4
4 -78.4 -39.2
5 -122.5 -49.
6 -176.4 -58.8
1 -240.1 -68.6
8 -313.6 -78.4
9 -396.9 -88.2
10 -490. -98.
 Los signos negativos en los valores de desplazamiento y velocidad en la anterior tabla
se deben a que el vector velocidad posee una dirección negativa, como ya se ha indicado.
Ejemplo. Un lanzador de béisbol puede impartir una velocidad máxima a una bola de 120
Km/h. Determinar la máxima altura a la que puede lanzar verticalmente la bola.
Para la solución de este problema el primer paso es convertir la velocidad a unidades que
podamos manejar fácilmente, para ello hacemos un cambio a metros/segundo.
Ahora podemos utilizar las ecuaciones de movimiento.
Cuando la bola alcance su altura máxima la velocidad de la misma será cero. Utilizando
una de las ecuaciones de cinemática de movimientos acelerados, tenemos,

Entonces la altura máxima que alcanzará una bola al ser lanzada verticalmente
hacia arriba es igual a 56,5 metros.
TALLER EXPERIMENTAL: Cinemática del movimiento unidimensional.
El movimiento más sencillo de analizar es el unidimensional, y fue el primer movimiento
estudiado. Las cantidades de velocidad y aceleración son las primeras que podemos
medir de forma inmediata. Durante el desarrollo del capítulo se introdujo el concepto de
razón de cambio, y en esta experiencia lo vamos a utilizar.
En esta práctica se persiguen los siguientes objetivos:
 Familiarizar al estudiante con unidades de manejo de tiempo diferente al segundo.
 Registrar con la ayuda de cintas para la obtención de datos, cantidades como el
desplazamiento y la velocidad como función del tiempo.
 Determinar el tipo de movimiento del objeto bajo estudio.
Cuestionario
¿Cómo se suele medir el tiempo en las carreras de fórmula 1?.
¿Cómo es usual medir la distancia en un carro?.
¿Cuáles son las unidades de medida para la distancia, la velocidad y la aceleración más
utilizadas en Colombia?.
¿Por qué es importante unificar las unidades de medida a nivel mundial?.
Cuando dejamos rodar un carro por una pendiente ¿Cómo es el movimiento: a velocidad
constante ó acelerado?.

La experiencia
Los materiales a utilizar serán:
 Timbre registrador.
 Cinta de papel o de tela de 2cm de grosor y de aproximadamente 2m de largo.
 Papel carbón.
 Plano inclinado.
 Carrito de juguete.
La disposición de los materiales se muestra en la siguiente figura.
El timbre registrador es una rueda giratoria con un determinado tiempo de giro, que posee
un piñón que deja una muestra cada vez que presiona la cinta contra el papel carbón. El
carrito se desliza libremente por el plano inclinado halando la cinta. No hay presión alguna
entre el timbre y la cinta, exceptuando cuando se deja la marca por la presión del carbón.
 Deje caer el carro por el plano inclinado a la vez que enciende el motor del timbre, el
cual le dará la medida de tiempo. Observe el registro que obtiene en la cinta y conteste:
¿Se encuentran todos los puntos igualmente espaciados?, ¿por qué?.
¿Qué significa que todos los puntos se encuentren igualmente espaciados?.
¿Qué significa que todos los puntos no se encuentren igualmente espaciados?.
¿Permite el registro que se obtuvo en la cinta hacer una gráfica de posición contra
tiempo?. Utilice como tiempo, el dado en unidades de las marcas del timbre.
Haga la gráfica del punto anterior y describa el movimiento en cada parte de la gráfica.
¿Cómo fue el movimiento en su parte inicial?.

¿C ómo fue el movimiento en su parte final?.
Para hacer más precisión acerca del método de medición vamos a hacer lo siguiente:
 Escoja como intervalo de tiempo, Δt, de 8 a 10 marcas consecutivas del timbre sobre
la cinta. Esto ya lo ha hecho anteriormente pero sólo con dos marcas consecutivas. Lo
que va a obtener es algo como lo que mostramos a continuación:
 Con lo anterior haga una tabla de distancia contra tiempo.
 Utilizando la anterior tabla realice una gráfica de distancia contra tiempo.
 Haga una tabla de velocidad contra tiempo partiendo de las mediciones directas sobre
la cinta.
 Observe las dos gráficas obtenidas y concluya acerca del tipo de movimiento
presentado, distancia recorrida, velocidades y aceleraciones posibles.
Haga un análisis del movimiento utilizando lo estudiado en este capítulo.

EVALUACIÓN FINAL
1. ¿Cuál es la diferencia entre velocidad y rapidez?.
2. ¿Puede un cuerpo mantener su velocidad constante si cambia de dirección?.
3. ¿Puede un cuerpo mantener su rapidez constante si cambia de dirección?.
4. ¿Puede un cuerpo tener el vector velocidad en una dirección y el de aceleración
en otra?
5. ¿Cuando camino desde mi casa hasta la tienda de la esquina tengo que
moverme con aceleración?.
6. ¿Sobre la tierra la velocidad de caída de un objeto depende de su peso?.
7. ¿Desde que altura tiene que ser soltado un objeto para que demore 1 segundo
cayendo?.
8. Un automóvil viaja en línea recta a una velocidad de 72 Km/h, se le aplican los
frenos para reducir su velocidad de manera que la aceleración sea constante
hasta 18 Km/h en 5 segundos. Hallar:
a) La aceleración del automóvil.
b) La distancia recorrida en los 5 segundos que dura frenando.
c) La distancia recorrida en los dos primeros segundos que dura frenando.
d) ¿En cuánto tiempo recorre 30 metros a partir del instante en el cual se le
aplican los frenos?.
9. La lectura del velocímetro indica:
a) El módulo de la velocidad.
b) El módulo de la velocidad instantánea.
c) El vector velocidad.
d) El desplazamiento.
10. Con la lectura del cuentakilómetros de un automóvil se puede determinar:
a) Su desplazamiento.
b) La distancia total recorrida.
Además, si se conoce el tiempo transcurrido entre la lectura inicial y la final del
cuentakilómetros se puede determinar:
b) Su rapidez.

11. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?:
a) Dos cuerpos que recorren la misma distancia, efectúan el mismo
desplazamiento.
b) La distancia recorrida por un cuerpo es igual a la longitud de su trayectoria.
c) La velocidad instantánea y la velocidad media tienen la misma dirección.
d) La velocidad se define como espacio recorrido sobre tiempo.
e) La aceleración se define como la velocidad sobre el tiempo.
12. Una hormiga se mueve sobre una superficie plana con una aceleración
constante En t = 0 la hormiga se encuentra
en el punto (−2, 1)cm con respecto al punto considerado como origen y lleva una
velocidad
a) ¿Cuáles son las ecuaciones vectoriales de posición, velocidad y aceleración en
función del tiempo?.
b) Halle la posición, velocidad y aceleración de la hormiga 5 segundos después de
iniciado el movimiento.
13. El movimiento de un cuerpo que se desplaza en línea recta está dado por la
ecuación,
x está dado en metros y t en segundos.
a) Halle las ecuaciones para la velocidad y la aceleración en función del tiempo.
b) Halle la posición, velocidad y aceleración del cuerpo en t=0.
c) ¿Se puede afirmar que se trata de un movimiento uniformemente acelerado?.
d) Haga una gráfica de distancia contra tiempo, velocidad contra tiempo y
aceleración contra tiempo. ¿Qué puede concluir al respecto?.

PALABRAS CLAVES PARA BÚSQUEDA EN INTERNET
A continuación se presenta una serie de palabras útiles para la búsqueda en
Internet. Las palabras se han probado en el buscador
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No tienen ortografía dado que el buscador es universal, y porque en ocasiones va
a tener que utilizar teclados que no tienen tildes o eñes.
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BIBLIOGRAFÍA Y CIBERGRAFÍA RECOMENDADA.
Se puede consultar al final del módulo, en BIBLIOGRAFÍA, la referencia completa
del texto correspondiente a cada número, según el tema de interés.
 Fórmulas y tablas matemáticas en general [ 1 ].
 Mediciones y experimentos en cinemática [ 2, 26 ].
 Conversión de unidades [ 18 ].
 Cinemática general [ 7, 8, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ].
Sitios de interés en la web:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4070002/index.html
http://www.fisicanet.com.ar/
http://www.fis.usb.ve/cursos/fisica1/
http://www.geocities.com/apuntesyejercicios/fisica.htm
http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/fisica/
http://es.encarta.msn.com

CAPÍTULO 3. DINÁMICA Y ESTÁTICA
En este capítulo nos ocuparemos del estudio de la dinámica y de la estática, las cuales
son las partes de la física que se encargan del estudio del movimiento buscando las
causas que lo generan, ó que lo impiden.
Para ello necesitamos conocer y comprender las leyes de movimiento de Newton. Estas
leyes son:
1. Ley de la Inercia.
2. Ley de la Fuerza ( Fuerza = masa x aceleración )
3. Ley de la Acción y Reacción.
Una de las grandes ventajas que trajeron las leyes de Newton, fue el desarrollo de
aplicaciones, lo que ha derivado en el desarrollo de tecnología que ha permitido elevar el
nivel de vida de las naciones. En la actualidad las leyes de Newton se siguen utilizando
ampliamente en diversos campos, y gran parte del avance social conseguido por países
industrializados se debe a un uso intensivo de la ciencia y la tecnología.
En este capítulo, entonces, definiremos conceptos de importancia como el de fuerza,
campo gravitatorio, fuerza gravitatoria y peso. Se presentarán también diversos ejemplos
en los cuales se emplean a fondo las leyes de Newton, haciendo énfasis en fuerzas muy
particulares y de gran importancia, como son: la gravedad y las fuerzas de fricción.
EVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS PREVIOS
 ¿Porqué cuando vamos dentro de un autobús y este frena bruscamente,
somos empujados hacia adelante?.
 ¿Qué es la inercia?.
 ¿Qué hace cambiar la velocidad de un cuerpo?.
 ¿Cuál es la diferencia entre masa y peso?.
 ¿Qué es fuerza?.
 ¿Porqué es más difícil mover un objeto que pese una tonelada que uno que
pese una libra?.
 ¿Porqué se mueven los planetas sin que nada los detenga?.
 Describa las fuerzas que actúan sobre una carreta que es tirada por un caballo.

 ¿Por qué al frotarnos las manos estas se calientan?.
 ¿Cuál es la fuerza gravitatoria que ejerce una esfera perfecta de masa M sobre
un punto de masa m?.
 ¿Qué es un diagrama de fuerzas?.
12. LEYES DE NEWTON
PRIMERA LEY: LA INERCIA.
Una parte de las leyes de Newton proviene de la observación y otra parte de definiciones.
Nosotros haremos una aproximación por medio de experimentos mentales, es decir,
experimentos que haremos con nuestra imaginación.
Cuando vamos en un autobús y este frena, nosotros somos empujados hacia adelante, o
por lo menos esa es nuestra percepción.
Revisemos que es lo que entendemos por movimiento. En general, siempre que decimos
que algo se mueve implícitamente estamos diciendo: este objeto se mueve con respecto a
este otro objeto.
Por ejemplo, cuando observamos una carrera de autos el movimiento se realiza con
respecto a la pista, la cual, según nuestra impresión permanece inmóvil. Sin embargo la
pista también se mueve, ¿como es posible que la pista de autos se mueva si yo la veo
quieta?, bueno en realidad la pista y nosotros nos movemos con respecto al sol, hemos
elegido la pista como sistema de referencia por que nosotros estamos quietos con
respecto a ella. Y con este sistema de referencia es que estudiamos el movimiento y
definimos velocidad, aceleración y todas estas cosas.
Cuando estamos observando una carrera de autos elegimos un sistema de referencia
conveniente, de tal forma que sea fácil para nosotros medir los desplazamientos y
velocidades involucradas en el sistema de estudio. Cuando decimos que un auto va a 150
Km/h, estamos afirmando que esta velocidad es con respecto a la pista, no con respecto
al sol.

El sistema de referencia es un sistema de coordenadas que hemos elegido
apropiadamente. Si por el contrario nosotros fuéramos dentro de carro de carreras,
estaríamos interesados en sobrepasar a nuestros rivales. Entonces nuestro interés sería
saber cual es la diferencia de velocidades entre el carro de adelante y el mío. Si la
velocidad de el es mayor que la nuestra, es obvio que no lo vamos a poder rebasar, pero
por el contrario si nuestra velocidad es mayor lo lograremos sobrepasar.
¿Qué pasa cuando el conductor frena bruscamente?. El espectador lo que ve es que la
cabeza del conductor del carro de carreras sigue hacia adelante, y si pudiera medir la
velocidad con la que sigue se daría cuenta de que va a la misma velocidad a la que iba el
carro antes de frenar. Por supuesto, el piloto tiene que hacer un esfuerzo grande para
mantener la cabeza en su sitio y no perder la concentración. Pero si nosotros fuéramos
los pilotos de lo que sentiríamos es un fuerte empujón hacia adelante.
Lo que sucede es que cuando se va a velocidad constante hay una tendencia del cuerpo
a seguir manteniendo esta velocidad, por lo tanto cuando tratamos de detener el cuerpo
vamos a encontrar dificultad en pararlo. Por esta razón cuando vamos en un autobús y
este frena, nuestro cuerpo tiene la tendencia a seguir en estado de movimiento en el cual
se encontraba, como nuestro sistema de referencia es el autobús, cuando este frena
nosotros sentimos que somos empujados hacia adelante, sin embargo en realidad lo que
sucede es que continuamos en nuestro estado de movimiento, y somos nosotros mismos
con ayuda de las sillas de adelante y nuestros brazos y piernas los que nos detenemos.
¿Cuando se detiene un cuerpo?, nuestra experiencia diaria nos muestra que todo cuerpo
se detiene después de estar en movimiento. Cuando un carro se deja rodar sin acelerarlo
este se detiene, cuando dejamos rodar por el suelo bolas de cristal estas terminan
deteniéndose. Entonces ¿si todos los cuerpos se detienen es cierta la ley de la inercia?,
es decir, que un cuerpo tiene la tendencia a mantenerse en movimiento.
En realidad, si nos fijamos más detalladamente, un cuerpo es detenido por influencias
externas, el carro sufre una fricción con el pavimento y su maquinaria interna. Las bolas
de cristal son detenidas por múltiples choques con las deformaciones del suelo.
Ahora realizaremos el siguiente experimento: suponga que se tiene una bola de cristal, y
un plano inclinado como el de la siguiente figura:

El plano inclinado lo pulimos muy bien, de tal forma que aminoremos los choques de la
bola con las imperfecciones de la superficie. Le damos una pequeña velocidad en la
dirección x, de manera que la bola rodará hasta llegar al final, y entre mas largo sea el
plano, el ángulo de inclinación será menor y la bola rodará más. ¿Qué pasará si el plano
inclinado se hace infinitamente largo?, ¿se detendrá la bola de cristal si la superficie es
perfectamente lisa y libre de fricción?. En los siguientes dibujos mostramos la situación.
En (a) el ángulo es menor que en (b), y en (c) suponemos un plano casi horizontal, de tal
forma que θ ≈ π/2. Y a todas las bolas les damos una velocidad inicial solamente en el eje
X.
La respuesta a nuestras dos preguntas es sorprendente, si el plano inclinado se pone
horizontal y se le da una pequeña velocidad inicial ¡ la bola nunca se detendrá !, y seguirá
con la misma velocidad inicial. Lo anterior sucederá si logramos eliminar completamente
la fricción entre la bola y el plano.
¿Qué pasará si no le damos una velocidad inicial a la bola?, pues que la bola nunca se
moverá, a menos que el plano deje de estar inclinado o algo lo empuje. Este experimento
fue realizado por Galileo Galilei, y fue el la primera persona que expresó esa sorprendente
propiedad de los cuerpos denominada inercia.
Ley de la inercia: Todo cuerpo tiene la tendencia a permanecer en reposo, o a
continuar en su movimiento a velocidad constante.
SEGUNDA LEY: LA FUERZA.
Para fundamentar esta segunda ley vamos a emplear un sistema aislado. Pero surge
entonces la pregunta ¿qué es un sistema aislado? En principio un sistema aislado es un
sistema libre de cualquier tipo de influencia externa, es decir, es un sistema en el cual un

cu erpo nunca cambia su velocidad, o sea, es un sistema en el cual la aceleración es
siempre cero para un objeto.
Existen realmente sistemas aislados?
El espacio exterior es un buen ejemplo de un sistema casi aislado. Los astronautas flotan
el en espacio libre de fricción de casi cualquier tipo, y logran trabajar en sistemas, en muy
buena aproximación, aislados. Cuando un astronauta arroja un objeto con una
determinada velocidad, este continua casi sin variar su velocidad salvo por influencias
externas como la gravedad de otros planetas y cuerpos con masa.
Sin embargo realizar experimentos en el espacio es un poco costoso. Sin embargo
tenemos métodos muy ingeniosos para lograr aproximaciones a sistemas aislados. Uno
de ellos es mediante un colchón de aire para mover objetos en una o dos dimensiones o
en una dimensión. En la siguiente figura se aprecian dos ejemplos de colchones de aire:
(a) bidimensional y ( b ) unidimensional, conocido también como riel de aire.
Ahora la pregunta es ¿qué hace cambiar la velocidad? Ya sabemos que para cambiar la
velocidad necesitamos variar o su dirección, o su magnitud o ambas características al
tiempo También sabemos que la razón de cambio de la velocidad es la aceleración. Pero
exactamente ¿que debemos hacer para que un objeto cambie su velocidad?. Para
responder a esta pregunta debemos primero definir que es la masa.
La masa
Suponga que en el riel de aire, colocamos el móvil para que flote libremente, y luego le
atamos una banda de caucho, de tal forma que al tirar del bloque por medio de la banda
de caucho, esta banda mantenga una longitud constante. Si pudiéramos medir la
velocidad durante el recorrido nos daríamos cuenta que esta velocidad aumenta
uniformemente con el tiempo, es decir que el movimiento se realiza a aceleración
constante.
En la siguiente figura mostramos el experimento que planteamos en el anterior párrafo.

Es muy importante mantener la distancia de la banda de caucho siempre constante, es
decir L.
Ahora colocamos mayor masa en el objeto que se mueve sobre el riel de aire. Y
nuevamente movemos el objeto con la ayuda de la banda de caucho, procurando
mantener la misma distancia de alargamiento en la banda de caucho. Lo primero que
notamos es que es más difícil de mover el objeto, porque tiene más materia y por la ley de
la inercia ahora podemos afirmar que entre más materia tenga un cuerpo más difícil será
cambiar su velocidad, es decir, será más difícil acelerarlo.
La aceleración depende de una propiedad del objeto que llamaremos masa, y que está
relacionada con la cantidad de materia que tiene un cuerpo. Nuestro objetivo es obtener
una definición y una medida de lo que denominamos masa. Vamos a decir que el primer
objeto sobre el riel posee una masa que llamaremos m1, y va a ser nuestro patrón de
medida, y a esa masa le vamos a asignar la aceleración producida cuando se tira con
nuestra banda de caucho manteniendo estirada la banda una distancia determinada L.
Ahora tomaremos el segundo objeto sobre el riel que posee una cantidad diferente de
materia, diremos que tiene una masa m2, y la compararemos con el primer objeto, para
ello tomamos de nuevo nuestra banda y movemos el objeto de manera que la distancia en
la banda sea la misma distancia que utilizamos en el primer objeto. Medimos la
aceleración producida sobre el objeto, a2, y de esta forma definimos la masa del objeto
como,
De la anterior definición de masa podemos decir:
Para obtener esta definición necesitamos una masa patrón m1.
Lo que distingue a una masa de otra es la razón a1/a2, ya que el experimento podría
realizarse utilizando diferentes medidas en el caucho, y sin embargo la razón de estas dos

ac eleraciones permanece igual. Es decir que la masa es independiente de la interacción
externa, esta es una característica de los objetos.
La función del caucho es realizar una interacción cuyo objetivo es cambiar la velocidad del
objeto bajo estudio. Por lo tanto una interacción puede cambiar la velocidad de un objeto.
La definición de masa es una definición operacional, es decir que se debe a
experimentos, y no a abstracciones. Sin embargo tácitamente estamos asumiendo que
sabemos que es distancia y que es tiempo.
La fuerza
Ahora podemos definir que es una fuerza, y para ello diremos que la razón por la cual la
banda de caucho acelera un objeto es por que está realizando una fuerza sobre el, es
decir que:
La función de una fuerza es cambiar la velocidad de un objeto.
Por lo tanto, siempre que un objeto cambia de velocidad es porque sobre el actúa una
fuerza.
Por los razonamientos de la anterior sección podemos también decir que:
La masa de un objeto es independiente de la fuerza que sobre el se ejerza.
De esta manera la fuerza tiene dos componentes importantes:
- La masa del cuerpo al cual se le está cambiando la velocidad.
- La aceleración, ya que la función de la fuerza es cambiar la velocidad del objeto.
Sabemos también que la fuerza que necesito para mover un objeto muy masivo es mayor
que para uno con baja masa, por lo tanto la fuerza es proporcional a la masa.
Fuerza ~ masa
Y entre mas masa tenga un objeto, al utilizar la misma fuerza, la aceleración es menor. Es
decir que la masa es inversamente proporcional a la aceleración producida por una misma
fuerza.
( Fuerza / Aceleración ) ~ masa
De esta forma llegamos a nuestra definición de fuerza: para una masa m a la cual se le
está cambiando su velocidad con una aceleración a, se le está ejerciendo una fuerza de,
F = m a
De esta ecuación podemos decir, La fuerza es un vector, ya que es el producto de una
cantidad escalar, la masa, y una cantidad vectorial, la aceleración.

La fuerza es directamente proporcional a la aceleración, un objeto acelerado a 2a
necesita una fuerza 2 veces mayor que la del mismo objeto acelerado por a.
La unidad estándar de la fuerza es el newton ( N ). La masa se debe medir en kilogramos
(Kg) y la aceleración en m/s2, por lo cual
1N = Kg m / s2 .
Un newton es la fuerza requerida para mover un kilogramo de materia a una aceleración
de 1 metro sobre segundo al cuadrado (1 m/s2).
Al ser la fuerza una cantidad vectorial obedece al denominado principio de superposición.
Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo, la fuerza total es la suma vectorial de estas
fuerzas. Nuevamente se ve el poder de los vectores. Cuando tengamos un problema en el
cual se vean involucradas muchas fuerzas podemos estudiar cada una de las fuerzas por
separado sin que esto cambie el resultado real del problema.
La fuerza es mas que una definición o un concepto abstracto, la fuerza proviene de
interacciones entre los sistemas, y nunca se ha encontrado la existencia de una
aceleración sin una interacción. Cuando hablamos anteriormente de sistema aislado, nos
referíamos realmente a un sistema libre de cualquier tipo de interacción y fuerza.
Existen varios tipos de fuerzas que son muy importantes: la fuerza de la gravedad, la de
fuerza de Coulomb ( fuerza eléctrica ), la fuerza de fricción, entre otras.
Ejemplo. Un vehículo de transporte tiene 6000 kilogramos de masa, y se mueve con una
aceleración de 4 m/s2. La magnitud de la fuerza necesaria para lograr dicha aceleración
es,
F = m × a
F = (6000 kg) × (4 m/s2) = 24000 N
Ejemplo. Se deja caer un coco de 1 Kg desde una altura de 12 metros, y la masa se
detiene después de penetrar en la tierra una distancia de 0.12 metros.
¿ Qué fuerza actúa sobre el coco durante la caída?.
¿ Cuál es el valor de la aceleración necesaria para detener el coco ?, se le denomina
desaceleración cuando el resultado neto de la aceleración es dejar el cuerpo en reposo.
¿ Cual es el valor de la fuerza de frenado ?
Vamos a tomar a = −g = 9,8m/s2, de esta forma:

a) La caída es libre, y no tomaremos en cuenta el efecto de la fricción.
El signo menos indica que la dirección de la fuerza es dirigida hacia abajo.
b) La velocidad de caída de la masa es de,
La desaceleración que experimenta la masa es
c) La fuerza retardante ó de frenado es:
La fuerza de frenado es 100 veces mas grande que la fuerza ejercida por la tierra durante
su caída. Esto se debe a que la masa tiene una velocidad inicial diferente de cero, lo que
hace que se necesite mas fuerza para detener la masa.
LA TERCERA LEY: ACCION Y REACCION
La gran mayoría de nosotros hemos jugado a tirar por equipos una cuerda en sentidos
contrarios hasta que alguno de los dos equipos suelta la cuerda y el equipo ganador cae
estrepitosamente en la dirección en la que estaban ejerciendo una fuerza. Hay momentos
antes de la caída del equipo ganador en los cuales a pesar de que los equipos están

ha ciendo fuerzas contrarias simplemente no hay movimiento, pero hay fuerza, la razón de
lo anterior nos la dan los vectores, dos fuerzas de igual magnitud pero de sentido
contrario dan como resultado una fuerza total igual a cero.
Ahora supongamos que en lugar de dos equipos, solo tenemos un equipo y la cuerda está
atada a un poste, el cual se encuentra firmemente clavado al suelo. Nuevamente la
cuerda está quieta, pero el equipo está realizando una fuerza. Concluimos que el poste
ejerce también una fuerza contraria que impide que la cuerda se mueva.
Todo cambio en la velocidad es producido por una fuerza, y a su vez esta fuerza es
producida por la interacción entre dos sistemas. La tercera ley de Newton establece que
las fuerzas siempre aparecen en pares, si un sistema a ejerce una fuerza Fa sobre un
sistema b, el sistema b reacciona con una fuerza Fb sobre el sistema a de tal forma que
las fuerzas cumplen
Fa = −Fb
De esta ecuación podemos apreciar:
 Las fuerzas son iguales en magnitud,  Fa  =  −Fb 
 Poseen direcciones contrarias, como se observa por el signo menos.
 No tienen ninguna dependencia con el tiempo, por lo cual podemos asegurar que la
reacción del sistema b es instantánea.
Esta última apreciación no se cumple en la teoría de la relatividad, en donde toda
interacción tiene una velocidad finita de propagación. Según la tercera ley de Newton, una
interacción se propaga de manera instantánea.
Las fuerzas siempre aparecen en pares, es decir que al tener una acción realizada por
una fuerza, de manera inmediata se produce una reacción, que es una fuerza en sentido
contrario a la que se está ejerciendo.
La tercera ley de Newton es muy importante, ya que nos permite definir claramente
cuando tenemos una interacción sobre un sistema. Suponga que tenemos una partícula
aislada, es decir libre de interacciones e influencias externas, de pronto esta partícula
empieza a acelerarse. Podemos concluir por medio de la tercera ley, que existe otro
sistema que está ejerciendo una fuerza sobre nuestra partícula.

La tercera ley permite definir y encontrar nuevos tipos de interacciones.
Podemos enunciar la tercera ley como sigue:
Cuando sobre un objeto se está realizando la acción de acelerarlo por medio de una
fuerza Fa, el objeto reacciona de manera inmediata ejerciendo una fuerza de igual
magnitud y opuesta
Se empezará a pensar que lo que asegura la tercera ley es que no existe movimiento, ya
que cuando la sumatoria de fuerzas es igual, entonces el objeto se encuentra inmóvil. Sin
embargo vale la pena resaltar algunas observaciones al respecto,
El movimiento depende del sistema de referencia desde el cual se estudie.
La segunda ley de Newton, F = ma, es válida para sistemas inerciales, es decir, sistemas
que se mueven a velocidad constante con respecto a un observador.
La tierra es un buen sistema inercial para las observaciones que hacemos a diario.
Sin embargo vamos a aclarar que la tercera ley depende del sistema inercial que elijamos,
y en ocasiones es algo difícil seleccionar un buen sistema inercial, inclusive en ocasiones
se trabaja bajo sistemas que no son necesariamente inerciales. Para ampliar los
conceptos al respecto de las tres leyes de Newton, vamos a mostrar algunas aplicaciones
importantes en la próxima sección.
Las leyes de Newton están expresadas de manera muy simple, pero su significado es
profundo. Es importante que se empiece a pensar de manera diaria en las observaciones
realizadas en este capítulo.
Para concluir, mostraremos un ejemplo clásico entre la comunidad de físicos, acerca de
las tres leyes de Newton.
Ejemplo: ¿Cómo hacer para que un caballo tire de una carreta?
Esta es la historia de un campesino y un caballo con enormes conocimientos de física. Un
día el campesino ató una carreta al caballo, y le pidió al caballo que fuera al pueblo. El
caballo se negó a avanzar diciendo:
- Si yo ejerzo hacia adelante una fuerza Fcaballo, la carreta reaccionará de inmediato y
ejercerá sobre mí una fuerza − Fcarreta, de tal manera,
Fcaballo = − Fcarreta
y por lo tanto yo no avanzaré nada.

El campesino sorprendido se puso a reflexionar deprisa y llegó a la conclusión que el
caballo tenía razón, sin embargo todos los días veía a otros campesinos con sus caballos
tirando de sus respectivas carretas, lo cual lo intrigaba, ya que si el caballo tenía razón
entonces los demás caballos violaban las leyes de Newton.
Sin embargo después de un poco de reflexión le llevó el siguiente dibujo al caballo.
Y le dijo:
- Efectivamente tu haces una fuerza sobre la carreta y esta te responde con una fuerza
opuesta, pero la fuerza que tu haces la hacen tus piernas sobre el suelo, esta fuerza Fpies
es dirigida hacia atrás, y de manera instantánea el suelo ejerce una fuerza hacia adelante
de la misma magnitud pero en dirección contraria, Fsuelo, como el suelo está firmemente
atado a la tierra tu tratas de empujar a la tierra hacia atrás, y a su vez la tierra te empuja
hacia adelante.
Como la tierra tiene una gran masa, posee también una gran inercia y va a ser muy difícil
que la muevas, pero como tu masa es tan pequeña, comparada con la de la tierra, tu si te
moverás, debido a que la tierra te empuja hacia adelante.
Por lo tanto te vas a mover tu y la carreta por efecto de que la tierra te empuja, te vas a
mover con respecto a la tierra, que es lo que me interesa. Y tu movimiento será por que la
tierra te empuja hacia adelante, por lo tanto no te preocupes que la que te esta
empujando es la tierra.
El granjero llegó a la conclusión que las leyes de Newton si se cumplen, pero que debe
tener especial cuidado de seleccionar un sistema inercial.
El ejemplo anterior es interesante, porque muestra como a diario cuando caminamos
estamos empujando la tierra hacia atrás, pero dada la magnitud de la masa de la tierra es
ella la que termina empujándonos a nosotros hacia adelante.
¿Te imaginas que pasaría si la naturaleza no respetara la tercera ley?.

13. Cómo analizar problemas con ayuda de las leyes de Newton
En su vida profesional, se va a ver abocado a realizar análisis del comportamiento de un
sistema, el flujo del agua, el movimiento de una máquina, la manera como debe simular el
movimiento de un objeto.
En general deberá siempre apelar al uso de las leyes de Newton. En esta sección
trataremos de dar una serie de indicaciones de cómo puede atacar problemas por medio
de estas leyes. Sin embargo esta no es una manera estricta de resolver los problemas,
existen muchas formas y entre más conozca mejor será la solución a los problemas.
Las leyes de Newton están expresadas por medio de ecuaciones matemáticas sencillas, ó
por medio de expresiones también sencillas, sin embargo sus significados son profundos.
Vamos a enunciarlas de nuevo a continuación:
1. Todo objeto que posea masa tiene una tendencia natural a permanecer en reposo o
mantener su velocidad constante.
2. Un objeto cambia su velocidad por efecto de una fuerza, que es proporcional a su
masa. ( F = m a )
3. Toda acción que cambie la velocidad de un cuerpo, la cual es causada por otro
sistema, tiene como efecto inmediato producir una reacción en sentido opuesto sobre el
sistema que produce la acción.
Recordemos que las leyes de Newton son válidas en sistemas inerciales, es decir,
sistemas que se encuentran en reposo o a velocidad constante con respecto a un
observador.
Ahora vamos a enunciar algunos pasos básicos en la solución de un problema.
1. Tome el sistema y mentalmente divídalo en pequeños subsistemas que pueda tratar
como puntos con masa. Las leyes de Newton son válidas para estos puntos con masa, y
el dividir el sistema le ayudará a entender mejor el problema.
2. Dibuje el diagrama de fuerzas para cada punto de masa. El diagrama de fuerzas le
ayudará a entender el problema. Siempre haga un diagrama.
a) Represente al cuerpo por un simple punto o un símbolo.
b) Dibuje un vector de fuerzas en la masa por cada fuerza actuando en él. Solamente
dibuje las fuerzas actuando sobre el cuerpo, no las fuerzas que el cuerpo ejerce sobre
otros cuerpos. De acuerdo a las leyes de Newton únicamente las fuerzas actuando sobre
el cuerpo son las que realizan el movimiento.

3. Introducir un sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas en el cual se
coloquen los puntos y vectores debe ser inercial, en el caso del caballo podemos elegir
como sistema inercial el suelo, y atamos un sistema de coordenadas a este. Se realiza la
suma de fuerzas sobre el cuerpo y se iguala a,
En donde:
FTotal es la fuerza total sobre el cuerpo.
Cada Fi es cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
m es la masa del cuerpo.
a es la aceleración total producida sobre el cuerpo.
Como el resultado es un vector podemos estudiar componente por componente, y
observar el movimiento en cada uno de los ejes.
4. Si dos cuerpos se encuentran en un mismo sistema, y ellos interactúan entre si,
siempre se debe tener presente la tercera ley de Newton. Es decir que si dos cuerpos
interactúan en un mismo sistema, la fuerza entre ellos es de igual magnitud, pero de
dirección opuesta. Esta relación debe ser puesta de manera explícita.
5. En ocasiones los cuerpos están restringidos a moverse en direcciones particulares, por
ejemplo en un movimiento circular, o en una dimensión. Esto da lugar a la aparición de
ecuaciones de ligadura, las cuales aparecen desde el mismo planteamiento del problema.
Por ejemplo en el caso de movimiento unidimensional sabemos que las aceleraciones de
los otros dos ejes son iguales a cero, ya que el cuerpo no se mueve en las otras dos
direcciones, en este caso,
ax = 0 ay = 0
6. Por último, cuando tenemos todas las ecuaciones, tenemos que verificar que el número
de ecuaciones sea igual al número de incógnitas. Este es un teorema del álgebra que se
aprende en la secundaria y que no debemos olvidar.
La física tiene mucho que ver con resolver enigmas. Cada experimento que se realiza es
una pregunta que se le hace a la naturaleza, debemos formular las preguntas precisas,
para obtener respuestas que nos den una buena idea de como se comporta la naturaleza.

La mejor forma de aprender a utilizar los conceptos anteriores es mediante ejemplos, los
cuales vamos a desarrollar a continuación.
Ejemplo. Diagrama de fuerzas sobre dos bloques.
Se tienen dos bloque de madera, uno de masa m1 y el otro de masa m2, tales que m1 <
m2. Los bloques están uno sobre el otro tal y como se muestran a continuación.
A la derecha del dibujo de los bloques se han colocado los diagramas de fuerzas de cada
uno de los objetos.
Vamos a realizar una serie de observaciones respecto a la figura.
 El movimiento real es en tres dimensiones, pero solamente estamos graficando en
una dimensión. Ya que solo nos interesa el movimiento vertical. También podríamos
haber dibujado las fuerzas en los otros dos ejes, pero de lo que nos daríamos cuenta es
que las fuerzas son cero, ya que las aceleraciones en los respectivos ejes X y Y son ax =
0 y ay = 0, estas son las ecuaciones de ligadura del problema.
 El sistema inercial de referencia es el suelo, ya que con respecto a este es que se
están analizando los movimientos realizados por los bloques.
 Para el diagrama de fuerzas de m2, tenemos que sobre el bloque actúa la fuerza de la
gravedad, m2g, la cual va en dirección negativa.
 La otra fuerza que actúa sobre el bloque m2 es el peso del bloque de masa m1, este
hace una fuerza dada por F2 = m1g, y es también en dirección negativa. De esta forma
hacia abajo el bloque m2 está haciendo una fuerza total sobre el suelo de,

Hemos notado el vector gravedad de la forma es decir de una
magnitud de 9.8 m/s2 y en dirección negativa del eje z, hacia abajo.
 Como el bloque m2 se encuentra en reposo, por la tercera ley de Newton, el suelo
ejerce una fuerza de igual magnitud y en sentido contrario al de esta fuerza. Esta es la
llamada fuerza normal, que es una reacción del suelo sobre los objetos. La fuerza normal
suele ser denotada por la letra N, de manera que la fuerza normal es,
Es decir que la fuerza normal tiene un valor de ( m1 + m2 ) × 9,8m/s2, y una dirección
positiva en el eje z, apunta hacia arriba, por lo cual se opone al peso de los dos bloques.
Al realizar la suma de fuerzas sobre el bloque de masa m2 tenemos,
La aceleración para el bloque de masa m2 es igual a cero, como ya lo sabíamos ya que se
encuentra en reposo.
 Analicemos ahora el diagrama de fuerzas para el bloque de masa m1. Sobre él actúa
su peso m1g hacia abajo, y la fuerza F1 que hace el bloque de masa m2 sobre m1 como
reacción por esta fuerza, es decir,
F1 tiene la misma magnitud del peso de la masa m1, m1g, pero dirección contraria, es
decir va hacia arriba.
 Como el cuerpo se encuentra en reposo tenemos que la suma total de fuerzas es,
Esta ecuación se denomina: ecuación de movimiento del cuerpo. Nos indica que
respecto a un sistema inercial de referencia los bloques de madera tienen una velocidad
constante, o nula en nuestro caso.

Por último, recuerde que estamos trabajando con vectores ( fuerza y aceleración ), es
decir, cantidades que nos indican una magnitud y una dirección. En algunos textos es
usual encontrar que al trabajar en una dimensión no usan la notación explícita de los
vectores, sin embargo utilizan los signos. Debemos asociar entonces que los signos nos
indican la dirección de los vectores.
En ejemplos posteriores utilizaremos una notación libre de vectores, sin embargo no se
debe olvidar que las cantidades estudiadas son vectores.
Fuerza gravitacional y peso
La más conocida y usual de las fuerzas es la gravitatoria. La fuerza de la gravedad actúa
sobre cuerpos que poseen masa, y es atractiva.
Newton formuló la ley de la gravedad en el año 1684, el mismo año que publicó
sus leyes de movimiento. La gravedad fue el primer gran triunfo de las leyes de
movimiento de Newton. Además, por medio de las leyes de Newton se pudo
derivar las leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas en el espacio.
De acuerdo con la ley de gravedad de Newton,
dos partículas se atraen mutuamente con una fuerza
dirigida a lo largo de una línea que pasa por sus centros.
La magnitud de la fuerza es directamente proporcional al producto de las masas de
las partículas, e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias que
separan las partículas.
El anterior párrafo tiene una expresión matemática sencilla. Para una partícula b, de masa
mb, la magnitud de la fuerza |Fb| que siente por la atracción de una partícula a, con masa
ma, es
Los términos involucrados en la anterior ecuación son:
| Fb | : Magnitud de la fuerza de atracción sobre la partícula b.
G : Constante universal de proporcionalidad y es llamada constante gravitacional, posee
un valor reportada en la bibliografía [18], el numero
entre paréntesis hace referencia al error. La primera medición experimental la hizo
Cavendish en 1771 usando una balanza de torsión. Se ha encontrado experimentalmente

qu e esta constante es igual para todos los materiales conocidos, por esta razón se le
denomina universal.
ma : Masa de la partícula a, la cual ejerce la atracción.
mb : Masa de la partícula b, la cual es atraída.
r : Es la distancia que hay entre los centros de las partículas.
Hasta ahora solo hemos hablado de la magnitud de la fuerza, ahora hablaremos de su
dirección. La fuerza gravitacional entre dos partículas es de carácter central (a lo largo de
la línea recta que une los centros) y atractiva, como se muestra en el dibujo anterior. Por
convención se introduce el vector rab, que representa un vector que va desde la partícula
que ejerce la fuerza, la partícula a, hasta la partícula que experimenta la fuerza, la
partícula b.
De manera que se cumple que,
Usando el vector unitario,
tenemos,
Esta es la expresión más general que describe la fuerza de la gravedad.
El peso
Se define el peso como la fuerza que siente una masa cerca de la superficie de la tierra.
De esta forma el peso de una masa m cerca de la superficie tiene la forma funcional,

La unidad del peso en el sistema internacional (MKS) es el newton. Un newton es la
fuerza que siente una masa de un kilogramo acelerada un metro sobre segundo al
cuadrado,
14. FUERZA DE FRICCIÓN
La fuerza de fricción es una fuerza que se opone al movimiento de los cuerpos que se
encuentran en contacto con una superficie, y es denominada también fuerza de contacto.
Por ejemplo, al lanzar un bloque de madera sobre una mesa, el bloque se detiene
después de cierta distancia recorrida. Esto se debe a que el movimiento del bloque sobre
la mesa origina una fuerza en dirección contraria al movimiento, como resultado final
tenemos la detención del cuerpo.
Las fuerzas de rozamiento entre el objeto y la superficie provienen de interacciones
intermoleculares entre las dos superficies, y su descripción exacta es complicada.
En la realidad todos los objetos están formados por moléculas, que son agregados de
átomos, y la frontera de las superficies nunca es perfecta, sino que por el contrario
presenta a nivel molecular pequeñas rugosidades. De manera que cuando dos superficies
se unen lo que tenemos es que su real superficie de contacto corresponde a pequeñas
rugosidades provenientes de las deformaciones moleculares. Cuando dos superficies se
tocan están intercambiando continuamente moléculas y átomos, de forma que cuando
ocurre un deslizamiento entre las superficies, lo que esta pasando es que moléculas y
átomos se están intercambiando continuamente entre las superficies.
Debido a que el área efectiva de contacto es tan pequeña, la presión es muy grande. Se
define presión como,
De la anterior ecuación podemos decir que la presión es grande debido a que la fuerza
ejercida es el peso del objeto que se desliza, mientras que el área corresponde a las
pequeñas regiones intermoleculares que se encuentran en contacto físico real. Estas
regiones forman un área relativamente pequeña.

Como se ve, la descripción real de la fuerza de fricción es compleja, sin embargo es
sencillo mostrar como actúan las fuerzas de fricción sin necesidad de recurrir a
mecanismos complejos.
Experimentalmente se ha comprobado que la fuerza de fricción depende de la manera
como se encuentra el cuerpo, y tenemos dos estados posibles,
a) Fuerza de fricción estática: esta se presenta cuando el cuerpo se halla en reposo, y
explica la dificultad de que un cuerpo ruede por un plano inclinado. Como ejemplo se
muestra a continuación la siguiente figura.
Experimentalmente se ha demostrado que la fuerza de fricción estática es directamente
proporcional a la fuerza normal, N, que es la fuerza que ejerce la superficie sobre el
cuerpo, y es perpendicular a la superficie de contacto. Matemáticamente se expresa
como,
s es llamado el coeficiente de fricción estática, su valor depende de los materiales que
se encuentren en contacto, y es adimensional, es decir que no tiene unidades.
Pero ¿ cómo se puede medir el coeficiente de fricción estática ? Siempre que actué la
fuerza de fricción estática máxima, el cuerpo se mantendrá en reposo. Al aplicarle
gradualmente una fuerza que aumente, en el momento justo en el cual el bloque se
empiece a mover, tenemos que ya no actúa la fuerza de fricción estática.
Este será el valor límite para la fuerza, y podemos sustituir esta fuerza en la ecuación, y
despejar de allí el valor, conociendo previamente el valor de la fuerza normal N.
Un montaje experimental frecuentemente usado para ello es el siguiente,

En él se convierte la fuerza de gravedad vertical sobre un objeto de masa M2, en una
fuerza horizontal que actúa sobre el objeto de masa M1. La masa M2 se va variando
paulatinamente, por ejemplo colocando más pesos, hasta que el objeto se mueva.
Cuando esto último ocurre, podemos igualar la fuerza Fs, que es la fuerza de fricción, con
la fuerza M2g, de tal forma que,
Este valor es una característica de las superficies que entran en contacto.
El valor real de la fuerza de fricción es menor o igual al valor Fs. Este es el valor límite al
cual la fuerza de fricción estática es superada y el cuerpo empieza a moverse, si le
aplicamos una fuerza inferior el objeto no se moverá.
b) Fuerza de fricción dinámica: esta fuerza se presenta durante el movimiento de los
cuerpos que se deslizan sobre una superficie. También se le suele llamar fuerza de
fricción cinética. La fuerza de fricción actúa en el plano de la superficie de contacto en la
cual se mueve el objeto. De nuevo la forma funcional de la fuerza es proporcional a la
fuerza normal, de forma que,

Se ha observado experimentalmente que la fuerza de fricción dinámica, que actúa sobre
un cuerpo que se desliza, es menor que la máxima fuerza de fricción estática que puede
soportar un cuerpo, Fs. Es decir,
El coeficiente de fricción dinámica es también independiente de la velocidad de
deslizamiento. Aunque en realidad esto no es tan cierto si se utiliza un rango muy amplio
de velocidades. Sin embargo la aproximación de que es independiente de la velocidad es
muy buena en caso de que se tenga un rango moderado de velocidades.
Ejemplo: Equilibrio en un plano inclinado.
Un objeto de peso W1 se sostiene en equilibrio en un plano inclinado que forma un ángulo
de θ con la horizontal, con ayuda de un cuerpo suspendido de peso W2, una cuerda y una
polea, como se muestra en la siguiente figura.
Encontrar la reacción normal N del plano inclinado contra el cuerpo de peso W1, y el peso
del cuerpo W2 necesario para mantener el sistema en equilibrio.
En el lado derecho de la figura se muestran los sistemas en los cuales se ha subdividido
el sistema principal. Tenemos (a) el sistema con el bloque de peso W1, este sistema se
encuentra inclinado un ángulo θ con respecto a la horizontal. En (b) tenemos el bloque de
peso W2. Tanto en (a) como en (b) se ha dibujado el sistema de referencia a utilizar. El
sistema de (a) se ha puesto inclinado de tal forma que el bloque quede horizontal, se hace
solo para efectos prácticos, y los resultados son iguales en cualquier sistema de
coordenadas, ya que son sistemas inerciales.

Va mos a describir cada una de las fuerzas que actúan en cada diagrama.
En el diagrama (a) tenemos:
 El peso del objeto el cual es en magnitud W1 y tiene componentes en los ejes X y Y,
dadas por,
Los signos menos provienen de la dirección de las componentes. En el diagrama solo
hemos colocado la magnitud de las componentes.
 La fuerza normal, N, producto de la respuesta del plano inclinado sobre el objeto. Esta
fuerza es perpendicular al plano, y solamente la componente del peso perpendicular al
plano será la que defina la normal. Como en este eje el objeto se encuentra en reposo la
suma de las fuerzas es igual a cero,
Esta es la magnitud de la fuerza normal.
 La tensión, T, es decir la fuerza que ejerce la cuerda sobre el objeto, y que depende
del peso del objeto que se encuentra colgado. Como el cuerpo está en reposo en el eje Y,
la suma de fuerzas debe ser igual a cero y se encuentra que la magnitud de la tensión
debe ser igual a la componente X del peso del objeto.
Esta es la magnitud de la tensión.
En el diagrama (b) tenemos:
 La tensión T' , ejercida por la cuerda sobre el objeto. La cuerda se supone
inextensible, es decir, que no es un caucho y no se deforma con el peso del objeto.
Además no ejerce fricción de ningún tipo ni con el plano ni con la polea, de manera que la
magnitud de la fuerza de tensión sobre los dos cuerpos es la misma, es decir,
Y esta es la magnitud de la fuerza de tensión sobre el objeto.
 El peso del objeto W2. Como el objeto se encuentra en reposo tenemos que la suma
de fuerzas debe ser igual a cero, por lo tanto,

En donde mW2 es la masa del objeto de peso W2. Esta es la masa necesaria para
mantener el objeto en reposo.
15. ALGUNAS APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON
La Máquina de Atwood
Dos masas M y m están unidas mediante una cuerda que pasa sobre una polea, como se
muestra en la figura.
Supóngase que M es mayor que m, que la cuerda no tiene masa y es inextensible, y que
se puede despreciar la fricción y la inercia de la polea.
Nuestro objetivo es describir el movimiento del sistema y la tensión T de la cuerda.
Se considerará la dirección vertical hacia arriba como la dirección positiva del
desplazamiento para m, y la dirección opuesta a la anterior como la dirección positiva de
desplazamiento de M, es decir, para la masa pequeña m hacia arriba es el signo positivo,
mientras que para la masa mayor M el valor positivo es hacia abajo.

Lo anterior parece una complicación, pero se hace con el objetivo de que exista
concordancia entre el movimiento de la masa pequeña y la grande, de tal forma que
cuando las masas se muevan tengan el mismo signo.
Como la cuerda es inextensible, la rapidez con la cual se mueve la masa m es igual a la
rapidez de movimiento de la masa M, en caso contrario la cuerda se alargaría o acortaría.
Si la rapidez de las dos masas es igual, el valor de sus aceleraciones también lo será.
Aplicando la segunda ley de Newton al diagrama mostrado en la figura tenemos,
y también
En donde a es la aceleración común de movimiento de las dos masas. Podemos sumar
estas dos ecuaciones para eliminar la tensión T.
Y al sustituir este valor en la ecuación de la masa m, se obtiene,
El aparato descrito se le conoce por máquina de Atwood y se utiliza para determinar con
exactitud la aceleración de la gravedad. Objetos en caída libre recorren distancias
fácilmente medibles en laboratorios, en intervalos de tiempo muy cortos que son muy
difíciles de medir con precisión. Por lo tanto para realizar medidas precisas de g se debe
diseñar una máquina que permita realizar las medidas de manera fácil.
Este equipo es la máquina de Atwood, si M y m son casi iguales, en la ecuación de
aceleración, se puede ver que a puede hacerse tan pequeña como se desee.
Si M = m entonces a = 0. En la práctica los valores de M y m se eligen de tal forma que el
valor final de la aceleración a sea fácilmente medible.

La razón se puede determinar pesando cuidadosamente los objetos. La aceleración
se determina cuidadosamente observando el tiempo que emplea una de las masas en
salir del reposo y caer una distancia h, de manera que la aceleración se determina con
ayuda de la ecuación,
La suma de fuerzas
En la naturaleza es una constante que sobre un cuerpo actué más de una fuerza, al
mismo tiempo. Por ejemplo en una hoja de papel que cae, la gravedad la atrae hacia el
suelo y el viento la puede arrastrar de un lado para otro. La resistencia del aire ejerce una
fuerza contraria al movimiento, por lo general hacia arriba.
En las siguientes figuras mostramos como utilizamos la descomposición vectorial de
fuerzas para estudiar el efecto neto sobre la caída de una hoja.
En (a) observamos las fuerzas totales que actúan sobre el sistema: el peso, la fuerza del
viento y la resistencia del aire.
En (b) sumamos únicamente 2 de las fuerzas, el peso y la fuerza generada por el viento, y
en (c) la resultante de las sumas del peso y el viento es sumada a la resistencia a la
caída.

El resultado neto final es una fuerza con componentes tanto horizontales como verticales.
Es importante anotar que el modelo estudiado es bastante simple, ya que supone que la
resistencia del aire tiene un valor constate, lo cual en general no es cierto.
En este sencillo ejemplo se pudo apreciar la importancia de los diagramas de fuerzas y su
aplicación para la solución de problemas de física.
TALLER EXPERIMENTAL 1. Segunda Ley de Newton.
Toda aceleración es producida por una fuerza. Es decir, que si observamos un
movimiento acelerado podemos afirmar que allí tenemos una fuerza que actúa sobre el
objeto que estamos estudiando. Los objetivos que busca este taller experimental son:
 Verificar el cumplimiento de la segunda ley de Newton mediante el montaje
experimental mostrado.
 2. Efectuar mediciones de aceleración mediante el montaje experimental.
Cuestionario
¿Qué es aceleración?.
¿Qué dice la ley de Newton con respecto a un movimiento acelerado?.
¿Qué es una fuerza?.
¿Cómo se mide la rapidez el rapidómetro de un carro?.
¿Qué diferencias existen entre un rapidómetro y un velocímetro?
La experiencia
El montaje experimental es mostrado en la siguiente figura.

Se tienen entonces 2 masas diferentes, en la cual M1 se encuentra sobre una mesa y está
unida a la masa M2 por medio de una cuerda inextensible y de masa despreciable. La
masa M2 se encuentra bajo la acción de la gravedad y le transmite la fuerza a la masa M1
por medio de la cuerda.
 Para comenzar a realizar la experiencia tome la figura y dibuje sobre ella las fuerzas
que actúan. Utilice flechas para representar los vectores.
 Utilizando la segunda ley de Newton demuestre que la aceleración que experimentan
las dos masas, a, es igual a,
en donde g es la aceleración de la gravedad.
 En la siguiente figura se presenta un montaje más completo, recomendado para la
realización de la experiencia.
En este montaje, las masas están unidas por una cinta y hay un timbre marcador, tal
como en el experimento del capítulo anterior. De esta manera el objetivo es calibrar el
timbre para que efectué las marcas cada segundo y usted pueda utilizar la experiencia del
capítulo anterior en la medición experimental de la aceleración.
 Mida las masas M1 y M2. M2 es una masa que usted debe poder cambiar.
 Llene la siguiente tabla:
Masa M2 (gm) AceleraciónExp AceleraciónTeo Diferencia %
Para llenar la tabla anterior debe dejar constante la masa M1 y variar la masa M2. A cada
valor de M2 le va a corresponder un valor de aceleración experimental, AceleraciónExp , el

cu al se mide por medio de la cinta y el timbre marcador. Para calcular el valor de la
aceleración teórica, AceleraciónTeo , se debe utilizar la fórmula,
La Diferencia % se define como,
 ¿Qué puede concluir al respecto de la dependencia de la aceleración con la masa?.
 ¿Porqué cree que los resultados teórico y experimental no son exactamente iguales?.
TALLER EXPERIMENTAL 2. Carácter vectorial de las fuerzas.
Como se vio en el presente capítulo, las fuerzas se componen como vectores, es decir,
como cantidades que poseen dirección, magnitud y sentido. Durante este taller
experimental tendremos como objetivo:
 Verificar el comportamiento vectorial de las fuerzas.
Cuestionario
¿Qué es un vector?.
¿Porqué decimos que la fuerza es una cantidad vectorial?.
¿Qué entiende por carácter vectorial de una fuerza?.
La experiencia
En la siguiente figura se describe el montaje experimental.

La figura presenta una Mesa de Fuerzas. Esta mesa consta de un tornillo en el centro, el
cual es concéntrico, con marcas sobre la mesa que permiten medir el ángulo de las
masas que penden de ella. Cuando el anillo central está en equilibrio, es decir, sin tocar el
tornillo, podemos afirmar que el sistema se encuentra en equilibrio. El número de masas
mínimo a utilizar es de dos.
 Utilizando la mesa de fuerzas, aplique al anillo central, por medio de las poleas y
pesas, dos fuerzas que se hallen en equilibrio. Juegue con las magnitudes de las masas y
las direcciones de las fuerzas hasta que el centro del anillo coincida con el tornillo central
de la mesa, sin que estos se toquen. Cuide que las prolongaciones de las líneas de
acción de las fuerzas se corten en el mismo centro.
 Realice el procedimiento primero para dos masas, recuerde que la fuerza que cada
masa está ejerciendo es mg, en donde g es la gravedad. Un diagrama de fuerzas posible
para este primer experimento se muestra a continuación:
 Una vez logrado el equilibrio, mida el ángulo y las magnitudes de las fuerzas. Llene la
siguiente tabla utilizando las unidades que crea convenientes, puede por ejemplo utilizar
Newtons para la fuerza, ó convertirlo a dinas como se muestra en uno de los Apéndices
finales.
 Repita el procedimiento anterior, pero ahora utilizando tres fuerzas, es decir tres
masas. Y complete la tabla correspondiente.

 Repita el procedimiento utilizando 4 y más masas. Realice los diagramas de fuerza y
haga la suma de fuerzas vectorial de tal forma que pueda comparar los resultados
teóricos obtenidos sobre el papel, con los resultados obtenidos en la mesa de fuerzas.
Concluya acerca de si se cumple el carácter vectorial de las fuerzas.
EVALUACIÓN FINAL
1. ¿Porqué cuando nos encontramos en un ascensor y subimos en el a un nivel superior,
sentimos que subimos de peso?. Haga un diagrama de fuerzas sobre el sistema y trate de
explicar el caso anterior.
2. Conteste falso (F) o verdadero (V):
a) Cuando un cuerpo está en reposo no hay fuerzas actuando sobre el.
b) Cuando un cuerpo sube con velocidad constante por la acción de una cuerda que lo
hala, la tensión de la cuerda es mayor que el peso del cuerpo.
c) Una persona se encuentra de pie sobre una báscula en un ascensor. El ascensor baja
a velocidad constante, ignore el momento en el cual el ascensor comienza a descender o
comienza a detenerse. El valor que se lee en la báscula es:
 un peso menor que el peso real.
 un peso mayor que el peso real.
 un peso igual al peso real.
d) La aceleración de la gravedad ejercida por la tierra sobre un cuerpo de 10 kilogramos
es mayor que sobre un cuerpo de 100 kilogramos.
e) La fuerza de la gravedad es mayor en un cuerpo que pesa 100 kilogramos que en uno
que pesa 10 kilogramos.

f) En un cuerpo que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal, la fuerza de
reacción a la tercera ley de Newton a la fuerza normal ejercida por la superficie es igual a
su peso.
g) Si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, entonces el
cuerpo se encontrará en equilibrio estático.
3. Escoja la afirmación correcta: Cuando se acelera un cuerpo:
 Nunca cambia su dirección.
 Su rapidez siempre aumenta.
 Siempre actúa una fuerza externa.
4. Determine la tensión de una cuerda que hala un objeto de 10 Kg en los siguientes
casos:
 Hacia arriba con una aceleración de 3 m/s2.
 Hacia abajo con una aceleración de 2 m/s2.
 Sube a velocidad constante.
Para simplificar sus cálculos utilice g = 10m/s2
5. Para arrastrar una carreta de 60 Kg sobre el piso horizontal con rapidez constante se
necesita una fuerza horizontal de 100 N. Halle el coeficiente de fricción entre el piso y la
carreta. Si ahora se aumenta la fuerza de 100 N a 120 N, ¿cuál es la aceleración de la
carreta?.
6. Halle la aceleración de cada uno de los bloques de la siguiente figura.
Cuál es la tensión de la cuerda que los une? (suponga inicialmente que la fricción entre
los bloques y el piso es cero). Repita el problema suponiendo que el coeficiente de
fricción entre los bloques y el piso es μc = 0,2.
7. Un cuerpo de 40 kilogramos está suspendido por dos cuerdas con las inclinaciones que
se indican en la siguiente figura.

¿Cuál es el valor de las tensiones de las cuerdas?. Si se aumentan las inclinaciones de
las cuerdas ¿es posible que las tensiones sean mayores que el peso del cuerpo?.
8. Un ciclista pedalea a lo largo de una carretera recta y llana a 36 Km/h de manera
constante. Cuando deja de pedalear alcanza a recorrer 150 m antes de detenerse. Si la
masa del ciclista con la bicicleta es de 80 Kg, hallar:
a) Su aceleración mientras se desplaza pedaleando.
b) Su aceleración mientras se desplaza sin pedalear.
c) La fuerza de fricción.
d) El coeficiente de rozamiento de la rodadura.
A continuación se presenta una serie de palabras útiles para la búsqueda en Internet. Las
palabras se han probado en el buscador
No tienen ortografía dado que el buscador es universal, y porque en ocasiones va a tener
que utilizar teclados que no tienen tildes o eñes.
leyes de newton, inercia, fuerza, masa, peso, rozamiento, unidades de medicion,
gravitacion, experimento fisica, aplicacion leyes de newton
Se puede consultar al final del módulo, en BIBLIOGRAFÍA, la referencia completa del
texto correspondiente a cada número, según el tema de interés.
 Mediciones y experimentos en dinámica y estática [ 2, 13, 26 ].
 Dinámica y Estática general [ 7, 8, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ].

UNIDAD 2
Nombre de la Unidad ONDAS Y ENERGÍA
Introducción La naturaleza está conformada por ondas y energía, se
discutirán estos términos y todo lo relacionado.
Justificación En cualquier problema de Ingeniería, siempre estarán los
conceptos de la Energía y del fenómeno ondulatorio.
Intencionalidades
Formativas
Que el estudiante maneje con propiedad lo relacionado
con los movimientos periódicos y con la energía.
Denominación de
capítulos
16. Solución de la ecuación m dt
dv = F(r ) en una dimensión
17. El trabajo
18. La Energía
19. Potencia: Definición y Unidades
20. Energía Cinética
21. Energía Potencial
22. Conservación de la Energía.
23. La Energía y sus Transformaciones
24. Cinemática del Movimiento Armónico Simple
25. Dinámica del Movimiento Armónico simple
26. Oscilaciones en un Péndulo Simple
27. Oscilaciones Amortiguadas
28. Oscilaciones Forzadas
29. Clasificación de las Ondas
30. Fenómeno Ondulatorio

CAPÍTULO 4. ENERGÍA Y POTENCIA
En este capítulo, vamos a centrar nuestro interés, en tres conceptos muy importantes e
íntimamente relacionados: el trabajo, la energía y la potencia.
Para un sistema cuya masa es constante, la segunda ley de Newton ( F = ma ), lleva a
una ecuación de movimiento de la forma,
De la anterior ecuación podemos decir que:
 F(r) es una función conocida de la posición.
 El problema puede ser solucionado si conocemos la evolución temporal del vector
velocidad ( v ).
La solución de la ecuación anterior es fácil en una dimensión, y nos va a permitir estudiar
la relación de trabajo-energía en física.
La energía y la potencia también se mencionan mucho en nuestro entorno. Su verdadero
valor e importancia se verá con ayuda de la física, en donde estos conceptos se aplican
muy a menudo en la solución de múltiples problemas de diversos sistemas.
 Qué conoce usted como trabajo?
 Cuando corremos y llegamos agotados decimos que hemos gastado mucha energía,
¿porqué?.
 Que tipos o formas de energía conoce.
 Donde ha escuchado el termino potencia?.
 Cuándo dicen los mecánicos que un auto tiene una gran potencia?
dv = F(r ) EN UNA DIMENSIÓN
16. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN m dt

U na gran cantidad de problemas pueden ser reducidos a un movimiento en una sola
dimensión, en donde sólo se necesita una variable para describir dicho movimiento. El
oscilador armónico unidimensional es un buen ejemplo de esto. Al tener este tipo de
problemas la ecuación de movimiento se reduce a,
que equivale a,
Esta última ecuación puede ser resuelta fácilmente por medio de un tratamiento
matemático.
Primero integraremos formalmente esta ecuación con respecto a “x”, desde el punto xa
hasta el punto xb,
La integral de la derecha puede ser evaluada, ya que conocemos la forma funcional de la
fuerza con respecto a la distancia, por ejemplo en el caso del resorte tenemos F(x) = −kx.
Sin embargo la ecuación de la izquierda parece intratable, pero podemos cambiar de
variable de x a t, mediante un “truco” conocido en cálculo como regla de la cadena y
cambio de variable,
De esta forma la ecuación puede expresarse como,

En donde xa ≡ x(ta), xb ≡ x(tb), va ≡ v(ta), vb ≡ v(tb). Es decir, las posiciones en los tiempos
ta y tb, y sus respectivas velocidades en los mismos tiempos.
El resultado final es de la forma,
Y colocando el límite xb = x, es decir, como indefinido o que puede tomar cualquier valor,
obtenemos en general
Esta ecuación nos da información de cómo la velocidad v varía con la distancia x.
dx
Si hacemos v = dt
podemos resolver la ecuación anterior y encontrar x(t). Vamos a
estudiar lo anterior por medio de un ejemplo.
Ejemplo: Lanzamiento de una masa hacia arriba en un campo gravitatorio.
Vamos a suponer que lanzamos una masa m verticalmente hacia arriba, y vamos a
despreciar los demás ejes en los cuales el movimiento es a velocidad constante.
¿Cual es la altura máxima a la cual puede llegar la masa despreciando la fricción del
aire ?.
Para comenzar vamos a tomar el eje vertical como el eje Z, la aceleración de la
gravedad será negativa, por lo cual la fuerza se puede expresar de la forma,

F = −mg
La ecuación en estudio toma la forma,
La altura máxima se alcanza cuando la velocidad final sea igual a cero, es decir, v2 = 0,
de esta forma podemos despejar z2 de la ecuación y obtendremos,
Esta ecuación nos da información de la altura máxima que alcanza un cuerpo, libre de la
fricción del aire, que es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v1 y
una posición inicial z1. Es interesante que la solución no hace referencia al tiempo, es
decir que para averiguar la altura máxima alcanzada no necesitamos saber el tiempo de
vuelo.
17. EL TRABAJO
James Clerk Maxwell definía el trabajo como el acto de producir un cambio en la
configuración de un sistema, venciendo las fuerzas que se oponen a dicho cambio. La
persona, animal o máquina que ejerza un trabajo sobre un cuerpo debe aplicar una fuerza
y mover el objeto. La fuerza no necesariamente es constante, lo importante es que la
fuerza debe aplicarse en la dirección de desplazamiento.
Del teorema de trabajo y energía vemos que el trabajo produce un cambio en la energía
cinética, además que un trabajo es producido por una fuerza que mueve un objeto a lo
largo de un camino. Por lo tanto cuando un objeto se mueve de forma acelerada, sobre él
actúa una fuerza, y por el movimiento se puede afirmar que se está realizando un trabajo
y se está realizando un cambio en la energía cinética.
Es realmente impresionante cómo se puede extraer tanta información con solo determinar
si un cuerpo se mueve con aceleración. Algo también importante para anotar es que lo
que nos importa es el cambio en la energía, no el valor mismo de la energía en un punto.
Cuando medimos el trabajo realizado por una fuerza estamos midiendo el cambio en la
energía y no la energía misma.

Tr abajo debido a una fuerza constante
El trabajo que es realizado sobre un cuerpo por una fuerza constante F al ser desplazado
una distancia r se puede definir como,
En donde cos(θ) es el coseno del ángulo que forman los vectores fuerza y
desplazamiento. Como se muestra en el siguiente dibujo.
En una dimensión el vector r se puede reemplazar por la distancia d, y de esta forma en
una dimensión el trabajo realizado es de la forma,
El trabajo es una cantidad escalar, es decir que solo posee magnitud, pero no hace
referencia a ninguna dirección o sentido.
Ejemplo: Trabajo sobre un bloque que es arrastrado.
El trabajo que se realiza por una fuerza constante F a lo largo de una línea recta una
distancia d, se define como
Como ya se ha visto F∙d es el producto punto entre dos vectores, la fuerza F y el
desplazamiento d. De las propiedades del producto punto tenemos que el trabajo es igual
a la multiplicación de la magnitud de los vectores por el coseno del ángulo que forman los
dos vectores. Como se observa en la siguiente figura,

De esta forma el trabajo puede ser expresado como:
La única parte que efectúa un trabajo, de la fuerza aplicada, es la que se proyecta sobre
la dirección del movimiento. De la ecuación también se puede ver que cuando el ángulo
entre la fuerza y la dirección de movimiento es de 90° entonces no se efectúa trabajo, y
por lo tanto no hay cambio en la energía cinética.
Ejemplo: Movimiento de un bloque.
Un hombre tira de un bloque de madera de masa m a velocidad constante. El hombre tira
por medio de una cuerda que forma un ángulo de 35° con el plano horizontal y desplaza el
bloque una distancia D. Realice el análisis del movimiento.
El trabajo que hace el hombre sobre la masa es de
Whombre = F d cos 35°
Y es positivo, porque todas las cantidades involucradas son positivas.
Como el bloque se mueve a velocidad constante, entonces la aceleración sobre el bloque
será cero. Esto significa que la fuerza total sobre el bloque es cero, por lo tanto deberá
existir una fuerza que contrarreste la fuerza realizada por el hombre, esta es la fuerza de
fricción producida por el contacto entre el suelo y el bloque.

La magnitud de la fuerza de fricción es de
Wfricción= −F d cos 35°
De forma que el trabajo neto será igual a cero, ya que
Es muy importante anotar lo siguiente: cuando un cuerpo se mueve a velocidad
constante, por ejemplo en el espacio exterior, sobre él no se efectúa trabajo, ya que no
hay una aceleración ni una fuerza de fricción que mueva el bloque.
Trabajo debido a una fuerza variable
No necesariamente una fuerza es constante a lo largo de una trayectoria, esta puede
variar con el tiempo o con la distancia. Vamos a estudiar que le sucede a una fuerza que
varía con la distancia, como la que se muestra en la siguiente figura.
Podemos subdividir el intervalo recorrido en pequeños tramos de longitud x, de esta
forma en valor del trabajo en ese pequeño tramo es
ΔW = F(x) Δx
Cuando los tramos son tan pequeños que podemos hacer tratamiento de diferenciales, el
trabajo se convierte en una integral, y el trabajo total será de la forma,
El trabajo es el área bajo la curva de la gráfica de Fuerza contra desplazamiento.

Ejemplo: Trabajo realizado por un resorte.
Un resorte es un objeto que ejerce una fuerza sobre una masa la cual es proporcional a la
distancia. A mayor longitud de elongación del resorte mayor será la fuerza del resorte en
dirección contraria a la del movimiento.
La ley de Hooke determina que la ecuación que describe la fuerza ejercida por un resorte
es de la forma,
en donde:
 k es la constante de proporcionalidad del resorte, la cual determina cómo cambia la
fuerza con relación a la distancia.
 x es la distancia recorrida a partir de su posición de equilibrio, en x = 0 la fuerza
ejercida por el resorte es cero.
 El signo menos en la ecuación se refiere a que la fuerza se opone a la dirección del
movimiento.
El trabajo que realiza esta fuerza en desplazarse del punto x1 al punto x2 se puede
calcular utilizando la ecuación,

18 . LA ENERGÍA
En la anterior sección trabajamos con la ecuación,
Vamos a analizarla con más detalle:
 La cantidad ½ mv2 define la llamada energía cinética, y se suele notar con la letra
K. De manera que,
 A la cantidad se le denomina trabajo realizado por la fuerza F(a) al
desplazar un objeto desde el punto a hasta el punto b, y se denota como Wba.
De manera que,
Wba = Kb − Ka
El trabajo realizado por una fuerza al desplazar un sistema es igual al cambio en la
energía cinética del sistema.
La anterior ecuación es conocida como el teorema de trabajo y energía en una
dimensión. Este puede ser ampliado a más de una dimensión al generalizar la ecuación
de la forma,
En donde la multiplicación de escalares F(x) dx se ha sustituido por una multiplicación
más general por medio del producto punto F(r) dr entre dos funciones vectoriales. Esta es
llamada la integral de línea. Es una generalización del caso en una dimensión, en donde
la velocidad al cuadrado es de la forma,
La energía es una cantidad escalar, es decir que es un número real. Las unidades de la
energía en el sistema internacional son los joule ( julios ) y se denotan con la letra j.
Un joule equivale a: 1J = 1kg∙m2/s2

En el sistema cgs la unidad de energía es el ergio. Un ergio equivale a:
1erg = 1gm cm2/s2
De la misma forma, cuando se calcula el trabajo de un resorte se llega al término ½ k x2
que se le denomina energía potencial de un resorte.
El termino ½ k ( x1
2 – x2
2 ) corresponde a la diferencia de energía potencial al desplazar
un resorte desde x1 hasta x2. Es muy importante recordar que el interés en toda medición
de energía es la diferencia de energía, nunca podemos medir el valor absoluto de la
energía, sino sus diferencias con respecto a un punto de referencia.
19. POTENCIA: Definición y Unidades
El término potencia se utiliza para expresar la rapidez con la cual se efectuó un trabajo.
En consecuencia a una cantidad de trabajo dado el cual se efectúa en un intervalo de
tiempo muy largo le correspondería una potencia baja. La potencia la podemos definir
como,
La razón de cambio del trabajo con respecto al tiempo
se denomina potencia.
La potencia nos indica con qué rapidez se está realizando un trabajo. En el caso de un
carro de carreras esta cantidad es la más importante, porque indica que tan rápido puede
el motor desplazar la masa del mismo carro.
Matemáticamente la potencia se define como,
Si la rapidez con la cual cambia el trabajo realizado es uniforme en el tiempo, entonces
podemos escribir la potencia como,

¿Q ue significa una gran potencia?, significa que puede efectuarse una mayor cantidad de
trabajo en una menor cantidad de tiempo. En un auto de carreras lo importante es que la
fuerza del motor mueva el auto una distancia mayor, en una cantidad de tiempo menor, de
esta forma el auto puede ganar una carrera.
Un gran trabajo significa ó un mayor desplazamiento ó una mayor fuerza, pero el efecto
neto total final será mover el auto de forma acelerada una distancia mayor.
La unidad de potencia en el sistema internacional se denomina watt ( vatio ), y se denota
con la letra W.
Un watt es equivalente a mover una masa de 1 kilogramo una distancia de un metro a una
aceleración de 1m/s2 durante un segundo.
Ejemplo. Un hombre de 60 Kg salta 50 cm para alcanzar una manzana de un árbol. El
consumo de energía que el hombre realizó se puede determinar calculando el trabajo
realizado al alcanzar la manzana.
La fuerza media empleada es igual a su propio peso, de esta forma el trabajo neto es,
W= F d = (mg) d = 60(Kg) × 9,8(m/s2) × 0,5m = 294J.
Si el salto dura aproximadamente 0.6 segundos, la altura máxima la alcanza en la mitad
de ese tiempo, es decir 0.3 segundos. La potencia media desarrollada es,
Ejemplo. Se utiliza un motor para subir carga desde el suelo hasta la cima de un edificio a
30 metros del suelo, la potencia del motor es de 1 KW = 1000 W.
a) ¿En cuánto tiempo sube una carga de 50 Kg?.
b) ¿ Qué carga puede subir en 5 segundos?.

En este ejemplo se puede ver, que el tiempo empleado en subir una masa es
inversamente proporcional a la potencia, es decir, a mayor potencia menor será el tiempo
utilizado en subir un objeto. También se aprecia que la masa que puede subir en una
cantidad determinada de tiempo es directamente proporcional a la potencia, por lo tanto
para subir una masa mayor durante el mismo tiempo necesitamos más potencia.
Si la fuerza que se realiza sobre una carga determinada es constante, la potencia que se
desarrolla para subir la carga es,
Generalmente la potencia en un motor es constante, por lo cual la velocidad con la cual se
desplaza una carga es inversamente proporcional a su peso.
20. ENERGÍA CINÉTICA
La energía cinética es la energía que tiene un cuerpo cuando se encuentra en
movimiento, tiene como expresión general,
De esta ecuación podemos decir:
 La energía cinética es proporcional a la velocidad al cuadrado, esto implica que
aumentar la velocidad el doble tiene como efecto aumentar cuatro veces la energía
cinética de un cuerpo. A velocidad cero la energía cinética es igual a cero.
 La energía cinética es proporcional a la masa, lo que implica que un cuerpo que tenga
mayor masa tendrá mayor energía cinética a la misma velocidad. Para la mecánica un
objeto que no posea masa no puede tener energía mecánica.
Ya se había visto que el trabajo es igual al cambio en la energía cinética de un cuerpo,
este es el teorema de trabajo y energía.

Ejemplo: Energía cinética de una atleta.
Un atleta de 70 Kg recorre los 100 metros planos en un tiempo de 10 segundos, al final
tiene una velocidad promedio de,
De esta manera su energía cinética es,
Si suponemos que el atleta tarda 4 segundos en adquirir desde la arrancada la velocidad
de 10m/s, entonces la potencia desarrollada a lo largo de este tiempo es de,
Ahora vamos a comparar la anterior situación con la siguiente:
una bala de 5 gramos es disparada con una velocidad de 500 m/s, y demora en alcanzar
esta velocidad 0.1 segundo. Su energía cinética es
Y su potencia será:
Nótese que a pesar de que la energía cinética es mayor para el caso del atleta, la
potencia de la bala es mucho mayor, esto debido a que la bala alcanza su velocidad muy
rápido debido al efecto de la pólvora.
21. ENERGÍA POTENCIAL
La energía potencial es aquella que guardan los sistemas, y es muy importante porque
esta energía permite caracterizar un sistema físico de manera muy precisa. La energía
potencial se transforma en energía cinética, y por medio del teorema de conservación de
la energía obtenemos,

Esta ecuación es muy útil en la solución de problemas de la vida diaria, y es conocida
como el teorema de conservación de la energía, el cual puede enunciarse de la
siguiente forma:
La energía total de un sistema aislado se mantiene constante.
Note la palabra aislado, la cual ha sido utilizada a lo largo del módulo para describir
sistemas que no tienen contacto con el mundo exterior.
Las ecuaciones del teorema de trabajo y energía, y de conservación de la energía, son
dos herramientas muy poderosas en la solución de problemas técnicos. Y serán usadas
ampliamente a lo largo de su vida profesional.
Como ya hemos dicho, la energía potencial caracteriza un sistema de manera única, y
determina el comportamiento dinámico de los mismos. La energía potencial gravitatoria,
por ejemplo, describe la fuerza de gravedad para objetos que posean masa. El potencial
eléctrico y el potencial nuclear hacen lo mismo en partículas cargadas y en núcleos
atómicos.
En el ejemplo del resorte estudiamos la energía potencial del resorte, la cual estaba dada
por,
Por otra parte, es corriente utilizar la letra U cuando se hace referencia a la energía
potencial.
En general, la energía potencial cumple una relación con la fuerza muy importante. Para
una fuerza ejercida entre los puntos x1 y x2, el cambio en la energía potencial es:
Y por medio de un teorema de cálculo integral también se cumple que,

C onocer la forma funcional de una fuerza implica conocer su energía potencial, de la
misma forma, conocer la forma funcional de la energía potencial con la distancia implica
conocer la forma funcional de la fuerza.
Ejemplo: Energía potencial gravitatoria.
Vamos a tratar el ejemplo del campo gravitatorio cerca de la superficie de la tierra, en donde la
fuerza de la gravedad posee una aceleración constante. Para una partícula de masa m, la fuerza
debida a un campo gravitatorio uniforme es de la forma
En donde m es la masa de la partícula, g es la aceleración debida a la gravedad que
puede tomarse como 9,8m/s2 en la tierra, el signo kê indica que la fuerza es un vector con
una dirección a lo largo del eje Z, y el signo negativo nos indica que la fuerza va dirigida
hacia abajo, la partícula es atraída por la tierra.
Podemos trabajar en una sola dimensión, ya que el trabajo solo es realizado por el
movimiento a lo largo del eje Z. De esta manera la fuerza es de la forma F = mg, el
cambio en la energía potencial por mover la partícula desde un punto za hasta un punto zb
es de la forma,
A la cantidad ( zb − za ) se le denomina generalmente h, haciendo referencia a la palabra
en ingles height que significa altura. Por lo tanto la energía potencial en el campo
gravitatorio es,
en donde C es una constante que depende del sistema de referencia elegido, y puede ser
igual a cero. Por ejemplo, si lo que deseamos es estudiar la caída libre de un objeto hasta
el suelo, podemos tomar como referencia el suelo, y tomar como energía potencial inicial
la de la altura inicial del objeto.

Ej emplo: Energía potencial para fuerzas proporcionales a 1/r2.
Un ejemplo de una fuerza proporcional a 1/r2 es la gravedad, la cual tiene la forma de,
En donde
 m1 y m2 son las masas de las partículas que se atraen mutuamente.
 G es la constante gravitatoria
 El signo menos indica que la fuerza es de carácter atractivo entre las partículas.
 El vector r indica que la dirección de la fuerza es a lo largo de la línea que une las dos
partículas.
1
, que es una
 La fuerza es proporcional al inverso de la distancia al cuadrado, r 2
característica de esta fuerza.
La fuerza electromagnética entre partículas cargadas posee la misma forma funcional de
la gravedad, lo que cambia es que esta fuerza actúa sobre partículas con carga eléctrica
en vez de masa, y la constante de proporcionalidad también cambia.
Para una fuerza que en general tiene la forma funcional , en donde A es una
constante. La diferencia de energía potencial es:
Para obtener el resultado general podemos reemplazar rb por la variable radial r, entonces
La constante C no posee un significado físico, simplemente cambia el nivel de referencia
desde el cual medimos la energía. Como lo que realmente nos interesa son las
diferencias de energía podemos hacer C = 0, que corresponde al caso U(1 ) = 0. Con
esta convención tenemos para la energía potencial

En el caso de la energía potencial gravitatoria tenemos,
Ejemplo: Energía potencial de un resorte.
Los resortes son casos de especial interés, ya que producen fuerzas restauradoras que
permiten la descripción de una enorme cantidad de fenómenos físicos. En un resorte la
fuerza está determinada por la ecuación,
Esta es la denominada ley de Hooke, y es más general que la mostrada con anterioridad.
En esta ecuación el movimiento es a lo largo de un eje cualquiera, demarcado por la
dirección radial r, y la posición de equilibrio es el punto r0.
La energía potencial del sistema es,
Por convención se suele elegir la constante C = 0, de manera que la energía potencial de
un resorte toma la forma
22. CONSERVACION DE LA ENERGÍA:
Como se ha definido anteriormente la energía cinética y potencial, ahora se puede definir
la energía total, esta energía es la suma de las dos energías:
ET =Ec +U
Si solamente actúan sobre el sistema fuerzas conservativas, es decir aquellas fuerzas que
el trabajo que realizan no depende de la trayectoria, entonces la energía total se
conserva.

Ejemplo: Velocidad de un objeto lanzado verticalmente.
Supongamos que lanzamos un objeto de masa m verticalmente hacia arriba, con una
velocidad inicial de v = v0k, es decir que solo hay componente en la dirección Z. ¿Cuál es
la velocidad del objeto al alcanzar una altura h?.
Para ello utilizaremos la conservación de la energía. La energía cinética inicial la
notaremos como K0 y es
Vamos a tomar como el origen de coordenadas el suelo, de esta forma la energía
potencial inicial U0 es para y = 0,
De esta forma la energía total inicial E0 es,
Esta energía debe ser igual en toda la trayectoria de objeto, y al subir el objeto va
adquiriendo energía potencial. La energía total para cada punto en z es,
Hemos notado vz como la velocidad del cuerpo a una altura z.
En un punto de altura z = h la energía inicial es igual a la energía en este punto, de manera que,
De la anterior ecuación podemos despejar vh que es la velocidad que nos interesa,

23. LA ENERGÍA Y SUS TRANSFORMACIONES
¿Qué es lo que se consume cuando se realiza un trabajo?
Ya hemos visto que lo que se gasta al realizar un trabajo es la energía.
La energía sufre transformaciones que hacen posible la realización de un trabajo. Al
comer diariamente estamos transformando la energía de los alimentos en diversas formas
de energía como calor y movimiento.
En general se afirma que la energía no se crea ni se destruye, solamente se transforma.
Este concepto tiene hondas repercusiones en los sistemas, no podemos extraer energía
eléctrica de una pila por un tiempo infinito, de la misma forma en que no podemos hacer
ejercicio durante horas sin reponer por medio de líquidos y alimento la energía que hemos
transformado en trabajo y calor.
La existencia de la vida depende fuertemente de la existencia de un gran depósito de
energía como el sol. Este mediante radiación electromagnética, luz y calor entre otras,
mantiene a la vida en un ciclo de continuas transformaciones de energía.
La energía contenida en un determinado combustible (energía química) se transforma en
movimiento ( energía cinética ), en calor (energía térmica) y en electricidad ( energía
eléctrica ). En palabras del genial J. C. Maxwell el trabajo es la transferencia de energía
de un sistema a otro.
La energía del universo es una constante, y lo que a diario se limita es la capacidad de
transformación de una forma específica de energía en trabajo. Al agotar recursos hídricos
ya no podemos transformar la energía cinética del agua en movimiento, en energía
eléctrica.
Algunas de las formas más importantes de energía son: electromagnética, presente en
las ondas de luz y las ondas de radio; química, presente en combustibles fósiles como el
petróleo; térmica, presente en procesos de combustión como la quema de carbón y
petróleo; mecánica, presente en el movimiento en general de algún sistema; eléctrica, de
uso muy común actualmente; nuclear, utiliza la energía que mantiene unido al núcleo
atómico para la realización de un trabajo, países como Brasil poseen plantas
termonucleares, es decir que convierten la energía nuclear en energía térmica y esta a su
vez en energía mecánica por medio de vapor, para la generación de electricidad.

TALLER EXPERIMENTAL. Conservación de la energía cinética.
En un choque completamente elástico tenemos que la energía cinética total del sistema
se conserva. Si las masas son del mismo tamaño, el momentum lineal total también se
conservará. Este taller tiene como objetivo:
 Comprobar la conservación de la energía cinética en un choque completamente
elástico.
Cuestionario
¿Qué es un choque completamente inelástico?.
¿Qué es un choque completamente elástico?.
¿Puede dar ejemplos de la vida real de un choque completamente elástico y uno
completamente inelástico?.
La experiencia
En este experimento la interacción es el choque entre dos esferas, en un caso de masas
iguales y en el otro de masas diferentes.
En los dos casos tendremos un esfera incidente que desciende por el canal y golpea a la
otra, esfera blanco, que se encuentra en reposo al final del canal sobre el tornillo. El
gráfico del montaje se muestra en la siguiente figura.

Pa ra determinar las velocidades antes y después del choque, utilizaremos el movimiento
de un proyectil. La velocidad a lo largo del eje X deberá ser constante, ya que no hay
influencia de la gravedad sobre este eje.
Determinación de la velocidad de la esfera incidente
Siempre soltaremos la esfera incidente desde la parte superior de la rampa, de tal forma
que obtengamos siempre la máxima velocidad horizontal. Para obtener el valor de la
velocidad de salida utilizamos la fórmula,
En donde h es la altura a la cual la esfera incidente comienza el movimiento horizontal
completamente. Y xo se obtiene como la distancia horizontal recorrida por la esfera
incidente cuando cae libremente sin golpear nada. Es decir que primero usted debe
obtener esta velocidad, V0, dejando caer la esfera libremente y midiendo xo. Tenga en
cuenta que debe asegurarse que la bola siempre inicie su recorrido en el mismo punto de
la rampa.
Llene la siguiente tabla:
Choque de dos esferas de masas iguales
Disponga el tornillo base de la esfera de modo que se cumplan cuatro condiciones:
1. La altura a la que está la esfera blanca sea igual a la altura en que la esfera incidente
abandona el canal, tal y como se muestra a continuación:

2. Disponga de tal manera las esferas para que se produzca un choque lateral, una vista
superior del choque se muestra a continuación.
3. Haga que la distancia entre el eje del tornillo y el canal sea al menos 2.5 veces el radio
de la esfera blanco con el fin de evitar perturbaciones por el rebote de la esfera incidente
sobre el canal. Tal y como se muestra en la gráfica anterior.
4. Verifique que el tornillo quede lo suficientemente firme como para que el experimento
se pueda repetir varias veces.
Para la colisión que estamos estudiando esperamos que se cumpla la conservación de la
energía cinética, por lo tanto se deberá cumplir que,
lo cual significa que,
En donde:
V1 se determinó en la primera parte, y hace referencia a la velocidad de la esfera incidente
antes de la colisión.
V’1 es la velocidad de la esfera incidente inmediatamente después del choque.
V’2 es la velocidad de la esfera blanco inmediatamente después de la colisión.
m es la masa de las esferas.
Las velocidades V’1 y V’2 se determinan sobre el papel por la distancia del punto donde
está la plomada hasta el punto de caída de las esferas.
Es muy importante que usted note que lo que se conserva es la energía cinética total del
sistema, y que la velocidad es una cantidad vectorial, por lo que usted deberá realizar la
suma vectorial de las velocidades.

R epita 5 veces el experimento, y haga a una escala reducida un diagrama en donde
muestre las tres velocidades como vectores, indicando la magnitud y la dirección
claramente.
Verifique el cumplimiento de la ecuación de velocidades y diga si este choque puede
considerarse completamente elástico.
¿Podemos en la vida real tener choques completamente elásticos?.
Choque de dos esferas de masas diferentes
En este caso la esfera incidente es la misma esfera de la experiencia anterior, soltada
desde el mismo punto, pero la esfera blanco posee una masa inferior m’.
Tome nuevamente las cuatro condiciones del experimento anterior y asegúrese que se
cumplan rigurosamente.
Como ahora las masas son diferentes esperamos que la conservación de la energía
cinética sea de la forma,
lo cual significa que,
La anterior relación es la que vamos a verificar. Ya sabemos como determinar las
velocidades.
Para determinar la razón (m’/m) es necesario pesar las esferas.
Indique por lo tanto los valores de las dos masas m y m’.

U na vez realizadas las mediciones necesarias haga un dibujo a escala y examine la
validez de la relación en estudio. Naturalmente no debe olvidarse que V’2 debe
multiplicarse por el factor (m’/m).
Repita los diagramas de la sección anterior.
¿El choque es completamente elástico?.
Concluya acerca de la utilidad de la ley de conservación de la energía cinética estudiada.
EVALUACIÓN FINAL
1. En un juego de tirar la cuerda, dos equipos halan hacia lados contrarios una cuerda,
hasta que alguno de los dos se deja arrastrar por el otro. Diga si el equipo que pierde
ejerce una cantidad positiva o negativa de trabajo.
2. Si se ha realizado un trabajo negativo en el anterior caso, ¿cómo se conciliaría este
resultado con el esfuerzo que se ha realizado?.
3. Una fuerza constante que actúa sobre un objeto no produce potencia, ¿porqué?.
4. La masa de un cuerpo es una propiedad intrínseca del mismo cuerpo, es decir que es
una característica inherente a él e independiente de cualquier evento externo. ¿Podría
decirse que la energía cinética es también una propiedad intrínseca?.
5. Cuando un objeto se desliza sobre una superficie áspera la fricción efectúa una
cantidad negativa de trabajo. Explique lo anterior en términos del teorema de trabajo y
energía.
6. Una carreta de 500 Kg de masa es arrastrada por un caballo a una velocidad constante
sobre un terreno horizontal a lo largo de una distancia de 1000 metros. Para ello el caballo
ejerce una fuerza de 2000 N y emplea un tiempo de 50 minutos.
a) ¿Qué trabajo ha realizado el caballo?.
b) ¿En qué se ha convertido ese trabajo?.
c) ¿Cuál es el trabajo resultante ejercido sobre la carreta?.
d) Con qué potencia el caballo desplazó a la carreta?.
e) ¿Qué fuerza debería ejercer el caballo sobre la carreta si esta se moviera con una
aceleración de 0.1 m/s2?.
f) ¿Qué trabajo neto hace el caballo sobre la carreta en este último caso?.
g) ¿En cuánto varía la energía cinética de la carreta?.
h) ¿Qué trabajo neto se hace sobre la carreta cuando esta se mueve con una
i) ¿Qué trabajo hizo la fuerza de fricción?.
7. Si en el problema anterior:

 W = Trabajo hecho por la fuerza de tracción.
  Ec = Incremento de la energía cinética.
 Wf = trabajo para vencer las fuerzas disipativas.
¿Es correcta la expresión: W = ΔEc + Wf?, explique su respuesta.
8. Utilizando la ecuación,
y la ecuación del desplazamiento para un movimiento uniformemente acelerado, halle el
tiempo empleado por un objeto de masa m en llegar a la altura máxima.
9. Si el módulo de la rapidez de un cuerpo se duplica, ¿en qué factor se multiplica su
energía cinética?.
10. Demuestre que la unidad MKS de la energía es el Joule.
11. Demuestre que 1KW-h = 3.6 MJ.
12. Si un resorte tiene una ecuación para la fuerza F = −kx, en donde k es la constante
del resorte y x es el desplazamiento a partir del punto de equilibrio, demuestre que la
cantidad 1/2kx2 tiene unidades de energía.
13. Mediante un cable de una grúa se arrastra un tronco sobre el suelo horizontal de un
bosque a una velocidad constante de 2 m/s. Si la potencia desarrollada por el cable es de
940 W.
a) ¿Cuál es la tensión del cable?.
b) ¿Cual es el trabajo resultante sobre el tronco en un minuto?.
c) ¿Cuál es el trabajo hecho por el cable sobre el tronco en un minuto?.
d) ¿Qué energía es disipada por efecto de la fricción en cada segundo?.
energia, energia cinetica, energia potencial, curso de fisica, trabajo y
energia, conversion de unidades.

 Mediciones y experimentos en conservación de la energía [ 2, 13, 26 ].
 Trabajo y Energía [ 7, 8, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ].
 Sobre la Teoría de la Relatividad [12].

CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Uno de los movimientos más importantes que se presentan en la naturaleza, es el
movimiento periódico, y en general, aquel ligado a las oscilaciones.
En nuestra vida cotidiana existen eventos que suceden de forma rutinaria: la salida del sol
cada día, las estaciones, el movimiento de una lámpara que cuelga del techo de una
iglesia, etc.
El movimiento periódico constituye una parte muy interesante e importante para la física.
En este capítulo vamos a estudiar las propiedades del movimiento periódico, las
definiciones de periodo y frecuencia y presentaremos en detalle algunas herramientas
utilizadas en su estudio.
 ¿Qué se entiende por la palabra armónico?.
 De un ejemplo de un movimiento oscilatorio.
 ¿Porqué puede utilizarse un péndulo para medir el tiempo?
 ¿Cuál es la ecuación que gobierna el movimiento de un péndulo?.
 ¿Cuál es la ecuación que gobierna el movimiento de un resorte?.
 ¿En qué se parecen los movimientos de un péndulo y de un resorte?.

24. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Un movimiento armónico siempre ocurre cuando tenemos una fuerza que es opuesta y
proporcional a la distancia de desplazamiento. Un ejemplo de ello es un resorte, el cual
ejerce una fuerza opuesta al movimiento del resorte, denominada fuerza restauradora. En
una dimensión esta fuerza tiene una expresión simple,
Esta ecuación es conocida como Ley de Hooke, o ecuación del resorte.
Como Fx = max, la ecuación toma la forma,
Sobre esta ecuación podemos realizar las siguientes observaciones,
 La aceleración es proporcional al desplazamiento. El valor de la constante de
proporcionalidad es −ω2
= −k/m.
 Siempre que una ecuación de movimiento sea de esta forma, el movimiento será de
tipo oscilatorio.
La solución a la ecuación es de la forma,
en donde A y  son constantes que expresan el desplazamiento máximo para A, y el
punto del ciclo en el cual comienza el movimiento para .
Vamos a demostrar que esta ecuación es solución de la ecuación del movimiento
oscilatorio. Para ello basta derivar dos veces con respecto al tiempo la posición x(t).
La primera derivada es igual a la velocidad,

La segunda derivada es igual a la aceleración,
Ahora simplemente reemplazamos el valor de x(t), en la ecuación del movimiento
oscilatorio. Los resultados serán,
El movimiento es de tipo senoidal, es decir que es descrito por una función seno, la cual
es una ecuación armónica. El movimiento descrito por la ecuación, es denominado
movimiento armónico simple.
Descripción del movimiento armónico por medio de la función seno
Vamos a realizar una descripción del movimiento armónico simple. Para comenzar, la
ecuación solución, , tiene tres parámetros importantes,
 A, describe la máxima amplitud alcanzada en el movimiento, ya que la función seno
oscila entre los valores 1 y -1. Este término es denominado amplitud del movimiento.
 ω, especifica la rapidez con la cual se realiza un ciclo completo, o de una mejor
manera, el número de ciclos de movimiento que se realiza por unidad de tiempo, medida
por lo general en segundos.
 Cuando t = 0s el ángulo (ωt + ) = . Entonces  indica el momento en el cual se inicia
el movimiento, como se indicará en una próxima figura, ya que en este punto la posición
es de A sin(ω).
Al transcurrir un segundo, t = 1s, el ángulo ha evolucionado a ( 1ω+ ) = ( ω + ). Es decir
que el ángulo aumenta en ω radianes. Y en este punto la posición es igual a A sin(ω + ).
 El número de oscilaciones, o ciclos de movimiento, que tiene lugar en un segundo
recibe el nombre de frecuencia. Es fácil definirla a partir de la frecuencia f,

La frecuencia está relacionada con ω mediante la relación,
A ω se le denomina frecuencia angular, y su unidad es radianes/segundo.
La unidad de la frecuencia, f, es ciclos/segundo = c/s, es también denominada hertz (Hz ).
Un hertz es equivalente a la realización de un ciclo completo en un segundo. A ω también
se le denomina velocidad angular, ya que es la velocidad en la cual se recorre un ángulo
de 2π.
 El ángulo (ωt + δ) se denomina ángulo de fase.
 Se denomina periodo de movimiento ( T ) al tiempo en el cual se efectúa un ciclo
completo, o de manera mas general,
La relación entre el periodo y la frecuencia está dad por,
El periodo es el inverso de la frecuencia.
 A la cantidad δ se le denomina constante de fase. Este ángulo determina en que punto
del ciclo empieza el movimiento, como ya se había mencionado. Cuando δ = π/2,
podemos hacer A sin(ωt + π/2) = Acos(ωt), por las propiedades de las funciones seno y
coseno.
En la siguiente figura, distancia contra tiempo en un movimiento periódico de la forma x(t)
= A sin(ωt + δ), se especifican gráficamente las cantidades anteriormente descritas.

Velocidad y aceleración en un movimiento periódico
En un movimiento periódico la ecuación de movimiento es de la forma,
x(t) = A sin( ωt + δ ),
la cual fue graficada en una figura anterior. Para obtener la aceleración debemos derivar
la ecuación de movimiento con respecto al tiempo.
Esta ecuación tiene como representación gráfica la siguiente:

En esta figura hemos representado la velocidad. En t = 0, la velocidad inicial es Aω cos(δ
), el periodo de la velocidad es exactamente el mismo que el del desplazamiento. La
velocidad máxima alcanzada es igual a Aω. Nótese que la velocidad máxima es igual a la
amplitud máxima multiplicada por ω, la frecuencia angular o velocidad angular.
Para calcular la aceleración del movimiento periódico debemos derivar ahora la velocidad
con respecto al tiempo.
Esta ecuación tiene como gráfica, la mostrada a continuación,
La gráfica de la aceleración es igual a la del desplazamiento, solo que la amplitud máxima
es ahora de la forma Aω2, y la función seno se encuentra multiplicada por un menos.
25. DINAMICA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (Energía)
La ecuación de la fuerza para un movimiento periódico unidimensional es de la forma,

En el caso del sistema masa y resorte, la ecuación es de la forma Fx = − kx, de donde se
obtiene que ω2
= k/m.
La energía potencial de este sistema es igual a menos el trabajo realizado cuando el
sistema se mueve desde una posición inicial x0 = 0 hasta una posición final x, de esta
forma la energía potencial es de la forma,
La energía potencial para un movimiento armónico simple es de la forma,
Para el caso del sistema masa resorte, la anterior ecuación es de la forma,
La energía total del sistema es igual a la suma de la energía cinética mas la energía
potencial, la cual es una constante en un sistema aislado.
Esta ecuación expresa el principio de conservación de la energía para un movimiento
armónico simple.
La máxima amplitud de oscilación en un movimiento armónico es igual a A, y cuando en
un resorte o en un péndulo se alcanza esta máxima oscilación la energía cinética del
movimiento es igual a cero, y su energía potencial es máxima.
De esta forma la energía potencial en ese punto será igual a Up = ½mω2A2, y esta será a
su vez igual a la energía total de oscilación. Al igualar con la ecuación de la energía total,
obtenemos,

D e esta ecuación podemos despejar la velocidad en cualquier punto,
Se puede observar entonces, que cuando x = A, la velocidad es cero, lo cual es cierto
dado que esta distancia corresponde al máximo desplazamiento permitido.
26. OSCILACIONES EN UN PÉNDULO SIMPLE
Un ejemplo muy interesante de movimiento armónico simple, es el de un péndulo. El
péndulo es una masa m que cuelga de una cuerda tan ligera que se considera sin masa.
La cuerda se encuentra atada de un extremo. Además, no existe fricción entre las partes
móviles del péndulo, de manera que no pierde energía por disipación de calor. Un objeto
como el anteriormente descrito se denomina péndulo ideal.
Veamos ahora el diagrama de fuerzas sobre el péndulo simple.
El péndulo es sostenido por una cuerda de longitud l. Esta longitud es medida hasta el
centro de masa del péndulo, la masa del péndulo es m.
Las fuerzas ejercidas sobre el sistema son:
 La fuerza de gravedad sobre la masa, que posee una magnitud de mg y una dirección
hacia abajo. Esta fuerza se puede descomponer para todo ángulo en dos componentes,
Fy = mg cos(θ) Fuerza sobre el eje Y

Fx = mg sin(θ) Fuerza sobre el eje X
 La tensión T que la cuerda ejerce sobre la masa. Esta fuerza se encuentra dirigida
hacia el punto de apoyo del péndulo, como lo muestra la figura. Esta fuerza es igual a la
fuerza en la misma dirección ejercida por la gravedad, es decir
T = mg cos(θ)
La tensión de la cuerda T y la componente del peso mg cos(θ) son iguales, de lo contrario
el péndulo tendría una cuerda que se estiraría, lo cual no es la suposición inicial.
Para pequeñas oscilaciones, es decir para un ángulo θ muy pequeño, el ángulo varía
según la ecuación,
Esta ecuación tiene la misma forma de una ecuación de movimiento armónico simple, y la
frecuencia es de la forma
El periodo de movimiento es
De esta forma vemos como el péndulo simple es un ejemplo de movimiento armónico en
su movimiento angular. La aproximación a pequeños ángulos es valida para θ << 1
radián.
Cuando el ángulo de oscilación, θ, es muy grande, la aproximación no puede ser usada. Y
el movimiento se convierte en inarmónico. En este tipo de movimiento el periodo depende
del ángulo que barre el péndulo.
Nótese que el periodo encontrado para el oscilador armónico, no depende del ángulo,
solo depende del valor de la gravedad y de la longitud del péndulo.
Las leyes de movimiento no pudieron ser enunciadas correctamente hasta que los
conceptos de tiempo y distancia fueron puestos en claridad. El descubrimiento del
movimiento pendular permitió la creación de relojes para medir tiempos de manera mas
precisa. Los relojes sencillos de pared y cuerda aun funcionan mediante estos

m ecanismos, ya que la ecuación de comportamiento permite medir el tiempo mediante un
péndulo en un sitio de gravedad g con un péndulo de longitud l.
Ejemplo: El reloj del abuelo.
En general todos hemos visto los relojes que utilizan un péndulo para obtener tanto
energía como una medida del tiempo. Suponga que usted desea reparar el reloj del
abuelo, el cual tiene un sistema como estos, el problema es que se ha perdido la masa
del péndulo, y se desea reemplazar por otra masa tal que suspendida dure en cada
oscilación un tiempo de 5 segundos.
Para comenzar se debe notar que en la ecuación del péndulo, el tiempo de oscilación
idealmente no depende de la masa involucrada. Sin embargo en la práctica se tiene la
fricción del aire, que hace detener fácilmente masas pequeñas, debido a la baja inercia de
las mismas. Por lo tanto es aconsejable utilizar una masa grande, claro esta que se debe
utilizar una masa acorde con las capacidades de resistencia del reloj.
Después de haber seleccionado una masa acorde, nuestro problema por lo tanto, será
calibrar el tiempo del reloj, por medio de la longitud del péndulo.
Vamos a tomar como medida de gravedad g = 9,8 m/s2 y despejamos la longitud, l, de la
ecuación de periodo del péndulo,
Ejemplo: Energía en un péndulo simple.
Vamos a estudiar el movimiento del péndulo simple desde el punto de vista de la
conservación de la energía.
Haciendo referencia al diagrama de fuerzas del péndulo simple, se puede calcular la
energía potencial gravitatoria, en donde el cero de energía potencial es el punto mas bajo
de oscilación. Es decir mgl. Cuando el péndulo se eleva un ángulo θ ha cambiado su
altura por mgl cos(θ). La diferencia de energía potencial es de la forma,

La fuerza de tensión T es siempre perpendicular a la dirección de movimiento, por lo tanto
no efectúa trabajo sobre la masa, y no aporta ningún cambio a la energía potencial.
La energía cinética es de la forma,
Ya que recordemos que la velocidad tangencial v es el producto de la velocidad angular
por el radio,
Cuando el péndulo se halla en el extremo de la oscilación, a un ángulo θ0, la velocidad es
cero, y la energía potencial será igual a la energía total del sistema. Es decir,
Por conservación de la energía la suma de las energías cinética y potencial debe ser igual
a la energía total, por lo tanto
De la anterior ecuación podemos despejar la velocidad angular en función del
desplazamiento, obteniendo.
Recordemos que θ0 es un ángulo fijo que corresponde a la máxima oscilación posible.
27. OSCILACIONES AMORTIGUADAS
En la vida diaria observamos fuerzas de carácter disipativo, también llamadas resistivas,
cuyo efecto es oponerse al movimiento. La fuerza de fricción es una de ellas. Este tipo de

fu erzas actúan continuamente en un sistema hasta que hace que este se detenga. Por
ejemplo cuando dejamos que un carro ruede libremente sin acelerarlo, este termina por
detenerse debido a una enorme cantidad de fuerzas de fricción que actúan sobre el, en
las llantas, los engranajes internos, etc.
Nuestro interés es mostrar el efecto de una fuerza de fricción sobre un sistema que oscila
libremente. Por ejemplo un resorte que sujeta una masa y es sumergido en aceite, o un
péndulo dentro del agua.
Para el caso del resorte la ecuación de la fuerza es de la forma,
Una fuerza resistiva se opone al movimiento del sistema, por lo cual actúa en dirección
opuesta a el movimiento. Es usual representar esta fuerza como proporcional a la
velocidad. Si suponemos un movimiento sobre el eje X, la ecuación será de la forma.
En la cual b es una constante de proporcionalidad que nos indica la magnitud de la fuerza.
El signo menos nos indica que esta fuerza se opone a la dirección del movimiento. La
ecuación de movimiento para el caso del resorte que se mueve sobre el eje X ahora toma
la forma,
Esta ecuación la pedemos rescribir como,
La solución de este tipo de ecuaciones se logra mediante técnicas matemáticas de
ecuaciones diferenciales, nosotros no nos preocuparemos por desarrollar estas técnicas,
nos limitaremos a dar solución a la ecuación.

La anterior solución es válida si b < 2mω, ya que si lo anterior no se cumple el valor
dentro de la raíz cuadrada es imaginario. Una solución imaginaria en principio no es
posible en física, ya que las cantidades que medimos son reales.
De la ecuación solución podemos decir:
 A es la amplitud del movimiento de oscilaciones libres, sin fuerza de amortiguamiento.
Además es la máxima amplitud de oscilación del movimiento.
  es el ángulo de fase inicial, es decir que nos indica la posición inicial del movimiento
cuando t = 0.
 El movimiento amortiguado tiene un aspecto como el que mostramos a continuación.
 La frecuencia del movimiento amortiguado no es ω, es ω’
Esta frecuencia es menor que la frecuencia del resorte libre ω. Cuando el término es
pequeño, indica que el amortiguamiento es bajo, puede ser porque el material en el cual
se encuentra inmerso el resorte presenta una baja fricción contra la masa.

Es te tipo de movimiento recibe el nombre de movimiento armónico amortiguado. Se
presenta también en circuitos eléctricos, debido a la oposición de un material al paso de
una corriente, resistencia.

CAPÍTULO 6. MOVIMIENTO FORZADO Y ONDAS
28. OSCILACIONES FORZADAS
Todo sistema que experimenta una fuerza proporcional a su desplazamiento oscila, y
cada oscilación está caracterizada por una frecuencia ω. Hasta el momento hemos
estudiado dos sistemas con sus frecuencias características,
¿Qué sucede cuando se le aplica una fuerza externa a un oscilador armónico?, por
ejemplo un sistema masa resorte al cual se le coloca un motor que hace oscilar la masa a
una frecuencia ω diferente a la frecuencia natural de oscilación.
En este caso la fuerza se puede expresar en función del tiempo como,
La fuerza expresada por modifica la ecuación de la segunda ley de Newton para un
resorte, de manera que ahora tenemos,
La solución a esta ecuación es,
Sobre esto, podemos afirmar que,
 El sistema oscilará a una frecuencia ω que es la frecuencia dada por la fuerza
externa, no por la frecuencia natural del resorte.

 La amplitud del movimiento es de la forma,
que indica que la oscilación es proporcional a la fuerza externa F0. La parte interesante es
que cuando la frecuencia natural de oscilación ω es igual a la frecuencia externa del
sistema ω, se presenta el fenómeno conocido como resonancia, el resorte tiene una
amplitud infinita y termina rompiéndose el sistema.
Asociados a la resonancia hay fenómenos físicos que se pueden explicar. Cuando nos
encontramos en un columpio lo podemos hacer oscilar si estando sobre él movemos
nuestro cuerpo a la frecuencia natural de oscilación. Cuando un contingente de soldados
va a pasar sobre un puente, se les ordena detener la marcha que llevan, ya que pueden
hacer que el puente entre en resonancia y quebrarlo. Cuando se fabrican motores y otras
máquinas que vibran, se diseñan de tal forma que sus oscilaciones internas no destruyan
la maquinaria por efectos de resonancia.
En el año de 1940, un enorme puente colgante, ubicado en Tacoma Narrows, cerca a
Washington, fue destruido debido al efecto de la fuerza del viento que hacia que el puente
entrara en resonancia con sus frecuencias internas.
29. CLASIFICACION DE LAS ONDAS
Tipos de ondas
Las ondas más conocidas son las sonoras, estas necesitan de un medio, el aire, para
propagarse. Las ondas sísmicas necesitan de la tierra para propagarse. Existen otro tipo
muy especial de ondas, las electromagnéticas, que tienen la muy interesante propiedad
de propagarse en el vacío. Esta cualidad de propagarse en el vacío es la que ha permitido
que la radiación en el universo sea el medio mas utilizado para el transporte de energía.
Un tipo de onda muy común es el de una cuerda que esta fija a un extremo de un poste, y
sujeta por una mano nuestra en el otro extremo. Cuando movemos nuestra mano de
arriba para abajo, la cuerda sufre un tipo de movimiento ondulatorio. Este tipo de
movimiento ondulatorio se denomina transversal, y da origen a las denominadas ondas
transversales, tal y como se muestra en la siguiente figura.

Otro tipo de onda son las longitudinales. Existen cuando el desplazamiento de las
partículas que sufren la perturbación son paralelos a la dirección de propagación de la
onda. En la siguiente figura se observa este tipo de ondas para el movimiento de un
resorte.
El desplazamiento de una onda puede ser descrito por medio de dos variables, el espacio
( x en el caso unidimensional y un vector x en el caso tridimensional ), y el tiempo t.
Cuando no hay fricción en el medio de propagación, la onda se desplaza con una
velocidad constante y nada la detiene hasta que finaliza el medio en el cual se transporta.
La dirección y rapidez del movimiento define un vector denominado velocidad de la onda.
Un ejemplo de ondas bidimensionales es cuando se arroja una piedra a un estanque, se
forman ondas que viajan alejándose del sitio de impacto de la piedra, el movimiento se
hace sobre el plano de la superficie del agua.

Pa ra el caso de las ondas tridimensionales tenemos el sonido, el cual viaja formando una
onda esférica, cuando el objeto que produce la onda se encuentra quieto en un sistema
de referencia.
30. FENOMENO ONDULATORIO
Las olas del mar, las cuales van y vienen con un periodo casi constante, es uno de los
mejores ejemplos de lo que es un movimiento ondulatorio. Las olas del mar se originan a
miles de kilómetros de la playa, y en su recorrido mantienen una velocidad casi constante
sin transportar agua ni desechos.
Cuando se mete un corcho dentro de una vasija de agua y se tira una piedra a la vasija, el
agua comienza a formar ondas, las cuales hacen que el corcho suba y baje sin que este
se desplace. Existen otros ejemplos, el sonido se propaga por el aire gracias a un
movimiento ondulatorio del mismo. Cuando tensamos una sabana y la golpeamos en el
centro podemos ver ondas que se alejan del sitio del impacto.
Podemos definir una onda como:
una perturbación de un medio que se propaga de un lugar a otro, pero que no
produce el transporte del medio durante su viaje.
Una onda puede transportar energía a grandes distancias, pero no puede transportar la
materia misma del medio.
El mundo esta lleno de ondas. Sin las ondas electromagnéticas provenientes del sol, que
transportan miles de miles de millones de energía, no existiría la vida en la tierra. Es más,
la existencia misma de la vida se debe a que tenemos una reserva casi ilimitada de
energía que permite que organismos vivos la conviertan en trabajo de manera coherente.
Los fenómenos ondulatorios son una de las esencias mismas de la realidad física y son
esenciales para la descripción de fenómenos a escala atómica y subatómica. Los físicos
han estudiado las ondas a niveles macroscópico y microscópico, y sus estudios han
demostrado ser de considerable importancia para el desarrollo de la civilización.
MOVIMIENTO DE UNA CUERDA TENSA
Un ejemplo muy común para revisar el fenómeno ondulatorio es el movimiento de una
cuerda tensa. Se considera que la cuerda tiene una tensión T y una densidad lineal de
masa (masa en la unidad de longitud) . Estos valores son las propiedades que
determinan la velocidad de propagación de la onda en dicha cuerda, de tal forma que la

ve locidad de propagación de la onda es igual a la raíz cuadrada de la relación entre la
tensión y la masa:
La presente sección no pretende ser una extensa disertación sobre el tema de ondas, el
cual ocupa volúmenes enteros en los cursos de física. Solo se tratará de dar los
conceptos básicos y su utilidad.
Aplicaciones en Colombia
Para la fecha en la cual se escribió el texto original, 2004, ya se había iniciado por parte
del gobierno Colombiano un ambicioso plan de estudio y monitoreo de las oscilaciones de
los puentes. El proyecto se ha comenzado en Bogotá y es posible que se extienda mas
regiones de Colombia.
Mediante la ayuda de equipos de telemetría, que efectúan mediciones de aceleración,
velocidad y desplazamiento de los puentes, se han empezado a caracterizar estos, en
cantidades como la frecuencia natural de oscilación. El conocimiento de esta cantidad
puede evitar que en el futuro, incidentes como el de Tacoma en los Estado Unidos se
repitan en Colombia.
El proyecto fue iniciado por el Instituto Nacional de Vías, y aplicado a gran escala por el
Instituto de Desarrollo Urbano de Bogotá (IDU), el desarrollo y montaje del sistema fue
realizado por el Grupo de Física Aplicada del Centro Internacional de Física.
TALLER EXPERIMENTAL. El péndulo físico.
La ecuación más general para un movimiento oscilatorio de un péndulo en la dirección
angular θ es:
Cuando tomamos pequeñas oscilaciones tenemos que sin(θ) ≈ θ. Y en este caso la
ecuación toma la forma,
Nuestro interés es estudiar el movimiento del péndulo en términos de su momento de
inercia, el cual es I = ml2, en donde m es la masa del péndulo y l su longitud. Para ello
multiplicamos la anterior ecuación por l,

Para el movimiento de un péndulo, es la aceleración angular.
Obtenemos entonces la ecuación,
Esta es una ecuación de movimiento armónico con una frecuencia,
En la anterior ecuación al reemplazar por el momento de inercia se tiene que,
Esta expresión ya la habíamos encontrado anteriormente en el módulo, pero aquí se
presenta otra alternativa para su obtención.
Recordemos también que el periodo del movimiento es,
En los laboratorios de física se emplea generalmente el sistema conocido como péndulo
físico, para la realización de las experiencias.
En este sistema, la masa no se encuentra concentrada en un punto, que era una
característica esencial en un péndulo simple, sino que se encuentra distribuida. Esto
hace que este sea un péndulo más real que el péndulo simple, pero su comportamiento,
en especial su periodo de oscilación, va a diferir un poco del que conocemos.
Para encontrar el periodo de oscilación del péndulo físico, nos apoyaremos en el concepto
de radio de giro, kO, el cual se define como una distancia tal que si toda la masa m del
cuerpo estuviese concentrada a una distancia kO del eje de giro, su momento de inercia
seria,

R elacionando la expresión de momento de inercia, con la de frecuencia angular,
obtendremos la siguiente ecuación,
la cual la podemos escribir como,
La frecuencia de oscilación al cuadrado será
y el periodo de oscilación será consecuentemente,
En la cual h es la distancia desde el eje de giro hasta el centro de masa.
Según el teorema de ejes paralelos ( teorema de Steiner ) el momento de inercia respecto
a un eje que pase por el punto O es igual al momento de inercia respecto a un eje que
pase por el centro de masa G más mh2.
También, para el momento de inercia respecto al eje que pasa por G debe existir un radio
de giro kG tal que,
Por lo tanto tenemos,
Reemplazando kO obtenemos para el periodo la expresión,

La experiencia
En nuestro caso, el péndulo físico se muestra en la siguiente figura. Es una varilla
homogénea de masa m con orificios iguales a distancias regulares. La masa M se puede
desplazar a lo largo de la varilla, lo cual hace que el centro de masa del sistema entero
cambie. La distancia entre cada orificio determina un h diferente.
 Para cada h tome 5 valores del periodo de oscilación. Utilice un valor de θ < 10°. Para
ángulos muy grandes la oscilación no es armónica y la teoría descrita no es aplicable.
Haga una gráfica de periodo contra h.
 Observe que se tiene un valor mínimo del periodo Tmin para cierto h, que
denominaremos hmin . Demuestre analíticamente que,
Calcule la aceleración de la gravedad, g, a partir de sus datos.
 Evalúe sus errores.
 Observe que también se cumple,
Lo cual implica que una gráfica de T2h contra h2 es una línea recta. ¿Cuál es la pendiente
de esa gráfica?. ¿Cuál es el valor de la intersección de la recta con el eje y?. Haga esta
gráfica y obtenga un valor para g.
 Compare los errores obtenidos en el valor de g por los dos métodos. Dé una razón de
porqué los errores son mayores en un método que en otro.

 Qué condiciones se le debe exigir a un péndulo físico para que oscile igual que un
péndulo ideal, si:
• La masa "puntual" tiene la masa de la varilla.
• La longitud del péndulo simple es igual a h.
EVALUACIÓN FINAL
1. Con base en razonamientos dimensionales, demuestre que la frecuencia de oscilación
de una masa unida a un resorte debe ser proporcional a
2. Si se lleva un reloj de péndulo de la tierra a la luna ¿cambia la frecuencia de
oscilación?.
3. Si se cambia la masa que pende de un péndulo, ¿cambia su frecuencia de oscilación?.
4. Un objeto experimenta un movimiento armónico simple, si se cambia la amplitud del
movimiento ¿qué sucede con la frecuencia y la energía total?.
5. Es muy poco probable que un sistema realice un movimiento armónico simple perfecto
¿porqué?.
6. De algunos ejemplos de movimientos que son aproximadamente armónicos simples.
7. Como puede determinarse el valor de una masa con un reloj y un resorte cuya
constante es conocida.
8. Nombre dos ejemplos de ondas longitudinales.
9. Nombre dos ejemplos de ondas transversales.
10. ¿Porqué las ondas de luz no necesitan un medio para propagarse?.

movimiento periodico, movimiento armonico, oscilaciones, ondas, péndulo
simple, conversion de unidades.
 Mediciones y experimentos [ 2, 13, 26 ].
 Movimiento periódico y ondas [ 7, 8, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ].

UNIDAD 3
Nombre de la Unidad FLUIDOS Y CALOR
Introducción La termodinámica y la hidráulica tienen una aplicación
directa en la Ingeniería, como es el caso de las maquinas
térmicas y de los dispositivos hidráulicos
Justificación Todas las Ingenierías trabajan con procesos de
transferencia de energía, de masa o de calor.
Intencionalidades
Formativas
Que el estudiante comprenda las propiedades de los
fluidos, las ecuaciones de la hidrodinámica y pueda
diferenciar entre Temperatura y Calor
Denominación de
capítulos
Capítulo 9. Calor
CONTENIDOS
31. Propiedades básicas de los Fluidos
32. Presión en un Fluido
33. Estática de Fluidos
34. Principio de Arquímedes
35. Aplicaciones
36. Dinámica de Fluidos
37. Ecuación de continuidad
38. Ecuación de Bernouille
39. Temperatura
40. ¿Cómo medimos la Temperatura ?
41. Escalas de Temperatura
Capítulo 9. Calor
42. Calor Específico y Capacidad Calorífica
43. Fusión y Vaporización
44. Transferencia de Calor
45. Combustibles y Alimentos

CAPÍTULO 7. HIDROSTÁTICA E HIDRODINÁMICA
Los fluidos son sustancias que se pueden escurrir o fluir, mediante una aplicación
apropiada de fuerzas. En términos generales podemos clasificar los fluidos en dos
grandes grupos: líquidos y gases.
Los líquidos son prácticamente incompresibles, por lo que se puede considerar que su
volumen es constante aunque su forma puede cambiar. Los gases son altamente
compresibles, por lo cual no poseen un volumen característico. Sencillamente se
expanden o se dilatan ocupando cualquier recipiente que los contenga.
¿Porqué un fluido fluye?. Porque experimenta fuerzas normales ó tangenciales, y la
reacción a estas fuerzas es escurrirse, o fluir.
Una condición para que un fluido se encuentre en equilibrio es que en todas sus fronteras
se experimenten simultáneamente fuerzas normales.
A nivel microscópico la diferencia entre un sólido, un líquido y un gas se puede atribuir por
completo a la interacción entre las fuerzas de atracción que existen entre los átomos,
iones y moléculas individuales.
En este capítulo se estudiarán las principales propiedades de los fluidos, así como las
leyes más importantes relacionadas con la hidrostática e hidroneumática.
 ¿El vidrio es un sólido o un fluido?.
 ¿Cómo hace una puntilla para penetrar en una pared?.
 ¿Cuál es la diferencia entre un líquido y un gas?.
 ¿Un gel para el cabello es un líquido o un sólido?.
 ¿Qué propiedades de los fluidos conoce?
 ¿Qué entiende por capilaridad? ¿Por tensión superficial?
31. PROPIEDADES BÁSICAS DE LOS FLUIDOS

A continuación vamos a presentar un listado de las propiedades y características básicas
de los fluidos. Para comenzar diremos que los líquidos son prácticamente incompresibles,
es decir que por grande que sea la presión que se ejerza sobre ellos, su cambio de
volumen es prácticamente imperceptible.
Algunos conceptos importantes dentro del estudio de los fluidos son la presión, la
densidad y la gravedad específica.
Presión
La presión se define como la fuerza que se ejerce por unidad de área.
Formalmente es una derivada de la fuerza con respecto al área.
De las anteriores ecuaciones vemos que para obtener una gran presión podemos hacer
varias cosas:
 Producir una gran fuerza F.
 Ejercer la fuerza en una área muy pequeña a.
 Por último podemos hacer los dos procedimientos anteriores simultáneamente, es
decir, ejercer una gran fuerza en un área muy pequeña. Un ejemplo de ello es el
funcionamiento de una puntilla.
Para que esta trabaje eficientemente se tiene que la punta de la puntilla debe ser muy
aguda, y la fuerza ejercida por el martillo sobre la puntilla es muy fuerte. Por esto funciona
una puntilla.
Para el caso de un líquido, este ejerce una presión sobre las paredes del recipiente que lo
contiene, al igual que un gas, cuando el recipiente es tan débil que no puede soportar la
presión, este simplemente deja escapar el líquido.
La atmósfera ejerce una presión sobre nosotros, y el agua de una piscina también lo
hace. Cuando nadamos bajo el agua, al sumergirnos demasiado, el agua entra al interior
de nuestros oídos. Esto ocurre por que la presión interior del aire que se encuentra dentro
de los oídos es menor que la del agua que trata de entrar, y el agua entra finalmente.

En el diseño de submarinos, la presión juega un papel muy importante, ya que si el
submarino se sumerge demasiado la presión del agua ejerce una gran fuerza sobre las
paredes del submarino, lo que hace que la presión sea muy grande. A demasiada
profundidad un submarino ya no resiste y simplemente es aplastado debido a la enorme
presión del agua.
La presión en el sistema internacional se mide en N/m2 y es denominada pascal. Otra
unidad utilizada en los países anglosajones es la baria, la cual es din/cm2. El bar que
equivale a 106 din /cm2 y la atmósfera normal ó estándar, la cual equivale a 1,033
kilogramos-fuerza/cm2. La atmósfera ejerce una gran presión sobre nosotros.
Las propiedades de un fluido en equilibrio pueden expresarse por medio del principio de
Pascal, enunciado por primera vez por Blaise Pascal (1623 - 1662) matemático y filosofo
francés.
La presión aplicada a un fluido se transmite sin disminución alguna a todas las partes del
fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.
En la siguiente figura se observa el principio de Pascal, aplicado a la presión de un
émbolo sobre un fluido.
Las fuerzas que actúan sobre una parte del fluido, se transmiten al interior del mismo y al
recipiente que lo contiene. En este caso el embolo ejerce una fuerza F sobre el área
determinada por el contacto entre el embolo y el fluido, esto define una presión. Esta
presión es transmitida a todas las partes del fluido y a las paredes del recipiente.

D ensidad
Los líquidos son prácticamente incompresibles, es decir que por grande que sea la
presión ejercida sobre ellos, su cambio de volumen es mínimo.
La densidad (ρ) de una masa homogénea se define como la relación entre su masa (m) y
el volumen (V) ocupado por esta:
sus unidades son el kg/m3 o el g/cm3.
Para una masa no homogénea, la densidad de unas partes es diferente a la de otras y en
general no es uniforme. Piense por ejemplo en una esponja llena de agua, la cual posee
partes que contienen mayor cantidad de agua que otras.
Para este tipo de casos la densidad se define como,
en donde dm se refiere a la masa infinitesimal que ocupa un volumen dV.
Gravedad específica ó densidad relativa
La gravedad específica, la cual se denota como ρg, es la relación entre la masa de un
cuerpo sólido o líquido y la masa de un volumen igual de agua a 4°C, o a otra temperatura
especificada.
A la gravedad especifica se le suele llamar "densidad relativa", porque hace referencia a
la densidad de un cuerpo con respecto a la densidad del agua. Esta cantidad es
adimensional, cuando es mayor que la unidad significa que el cuerpo posee una densidad
mayor que la del agua, cuando es menor que la unidad significa que el cuerpo posee una
densidad menor que la del agua.
Es importante al reportar esta cantidad especificar la temperatura a la cual se está
realizando la medición, ya que la densidad de los cuerpos se ve afectada por la
temperatura.

El peso específico
El peso específico de una sustancia se define como la relación entre el peso (mg) y el
volumen (V) ocupada por esta. Se denota como 
El peso específico es la misma densidad multiplicada por la gravedad, por lo tanto este
valor va a depender del valor de g, el cual cambia con la altitud, o con el planeta sobre el
cual se esta midiendo. El peso específico se expresa en N/m3.
La Viscosidad
La viscosidad es una medida de la resistencia a fluir de los líquidos. Se presenta
básicamente por la fuerza de fricción entre las moléculas que componen un líquido. Este
fenómeno es evidente cuando se trata de desocupar simultáneamente dos botellas del
mismo volumen, pero una está llena de miel y la otra de agua. El agua sale con mucha
más facilidad y más rápido que la miel, la miel es mas viscosa que el agua. Podemos
hacer que la miel salga mas rápido si aumentamos la temperatura de esta. El efecto de la
temperatura es reducir la viscosidad, aumentando la fluidez.
La viscosidad se mide con un viscosímetro. Un método general para la medida de la
viscosidad se basa en determinar el volumen que se puede recoger dividido por el tiempo
empleado en recogerlo, cuando el líquido fluye a lo largo de un tubo de longitud L y radio r
bajo una diferencia de presión Δp entre los dos extremos, como se muestra en la
siguiente figura.
Las flechas representan la velocidad de las moléculas del líquido dentro del tubo, Note
que en los extremos la velocidad es menor que en el centro del tubo.

Bajo las anteriores condiciones, la viscosidad absoluta (η) se determina por medio de la
ecuación de Poiseuille:
De esta ecuación podemos decir
 Q es el volumen del líquido recogido por unidad de tiempo, se mide en cm3/s. Nos
indica el volumen que pasa por el tubo en una unidad de tiempo determinada.
 A mayor diferencia de presiones Δp, mayor será el volumen del líquido recogido por
unidad de tiempo.
 Entre mayor sea el radio del tubo, mayor será el volumen recogido, esto es claro ya
que pasa una mayor cantidad de líquido por un tubo de mayor diámetro que por uno de
menor diámetro.
 La cantidad η es la viscosidad, y se mide en países (P), un P equivale a una pascal
por segundo. Entre mayor sea la viscosidad del líquido menor será el volumen de este
que pase por la abertura, y por lo tanto pueda ser recogido.
Otra forma de medir la viscosidad absoluta se basa en la fricción. Imagínese una bolita de
vidrio que es arrojada dentro de un recipiente lleno de agua, esta cae mas lentamente que
dentro del aire. Ahora imagínese la misma bolita arrojada dentro de un recipiente lleno de
miel, la bolita caerá más lentamente que en el recipiente de agua, y mucho más
lentamente que el aire. Del anterior experimento mental podemos concluir que la
viscosidad de la miel es mayor que la del agua, y a su vez la viscosidad del agua es
mayor que la del aire, por lo tanto la viscosidad del aire es menor que la viscosidad de la
miel, en ecuaciones:
Se considera que la viscosidad absoluta es proporcional a la fricción, para una esfera de
radio r que se mueve dentro de un fluido, la esfera experimenta una amortiguación ζ dada
por la ecuación

En donde ζ es el coeficiente de amortiguación del fluido. Esta ecuación se conoce como
ley de Stokes.
Tensión Superficial y Capilaridad
La tensión superficial se puede definir como la tendencia que tiene un líquido a disminuir
su superficie. Las moléculas dentro de un líquido actúan de tal forma que todas se unen
entre si, de manera que en el interior de un líquido, si pudiéramos ver una molécula,
observaríamos que todas las demás moléculas la atraen con igual fuerza, el resultado es
que la fuerza total sobre la molécula es igual a cero.
Pero para una molécula que se encuentre en la superficie de un líquido tenemos que
encima de ella no existe fuerza alguna, por lo cual hay una diferencia de fuerzas que
hacen que en general la cantidad total del líquido tienda a ocupar la menor cantidad de
volumen posible.
Cuando se deja caer una gota de agua, se puede observar que esta forma una esfera casi
perfecta, esto es debido a que la tendencia a ocupar el mínimo volumen posible hace que
la fuerza en la superficie del agua forma una esfera casi perfecta. En el espacio exterior la
esfera formaría una bola perfecta. En la siguiente figura se explica este fenómeno.
La gota puede ser vista como un agregado de moléculas de agua que se atraen unas a
otras. Al lado derecho hemos tomado 3 moléculas representativas, las dos que se
encuentran en el interior soportan iguales fuerzas por todos los costados, de tal manera
que la suma total de estas fuerzas es cero, pero la molécula 3 que se encuentra en la
superficie no siente estas fuerzas, la diferencia de fuerzas hace que se genere una
tensión en la superficie, de tal forma que para que la sumatoria de fuerzas sea igual a
cero. La única opción que tiene el sistema es ocupar el mínimo posible de volumen.
Cualquier cambio en la forma de la superficie implica la realización de una fuerza y un
desplazamiento, lo que genera un trabajo. Para realizar este trabajo se debe invertir
energía, por lo cual hay un cambio en la energía del sistema, en este caso un cambio en
la energía de la gota.

La tensión superficial se define como la razón entre el cambio de la energía ΔE y el
área elemental ΔA
La tensión superficial tiene unidades de J/m2.
Cuando un líquido entra en contacto con un sólido, aparece en las superficies de contacto
una interacción, la cual se manifiesta como una adherencia entre las superficies. Cuando
nos lavamos las manos con agua es difícil secarnos solamente con sacudirnos las manos,
esto se debe a esa fuerza de adherencia. Esta fuerza depende de las sustancias que se
encuentran en contacto, por ejemplo el teflón y el aceite tienen menos adherencia que el
aluminio y el aceite, es por ello que algunos utensilios de cocina tienen un recubrimiento
de teflón para facilitar su limpieza.
Se debe tener especial cuidado en notar que la tensión superficial de una sustancia es
constante, lo que cambia es la fuerza de adherencia cuando se coloca en contacto con
otros materiales.
Capilaridad
La capilaridad es un fenómeno relacionado con la tensión superficial. Este fenómeno se
manifiesta por el desplazamiento de un líquido dentro de un tubo muy delgado llamado
capilar, o dentro de un medio poroso. Por ejemplo, si se toma un cubo de azúcar y se
moja levemente la parte inferior del cubo en un café oscuro, se puede observar como el
café asciende rápidamente por el cubo.
En la siguiente figura se muestra el efecto de la capilaridad con diferentes fluidos.
El comportamiento capilar del agua y del mercurio es diferente, esto es debido a la
diferencia en la tensión superficial de los dos fluidos y las fuerzas de adhesión entre el
fluido y el material. En los dos casos la superficie del líquido se curva, en el agua la fuerza
de cohesión entre sus moléculas es menor que la fuerza de adhesión en la superficie de
contacto entre el agua y el vidrio, lo que da lugar a una forma cóncava. En el caso
contrario, el mercurio tiene una fuerza de cohesión entre sus moléculas mayor que la

fu erza de cohesión entre la superficie mercurio y vidrio, lo cual da lugar a una forma
convexa.
Ahora, si colocamos un tubo capilar de radio r, el cual permanece parcialmente sumergido
en un líquido, este asciende hasta una altura h, la cual depende de las características del
líquido y del diámetro del capilar. La tensión superficial será de ; la magnitud de la
tensión superficial se debe igualar con el peso de la columna, tal y como se muestra en la
figura.
La componente vertical es de magnitud esta componente se deberá
equilibrar con el peso de la columna para que el sistema se encuentre en equilibrio. De
esta forma obtenemos la ecuación,
El ángulo β es el ángulo que ofrece la curvatura del agua dentro del tubo. Debido al efecto
de capilaridad, este ángulo puede ser muy pequeño, como ocurre en el caso del agua, de
manera que podemos hacer cosβ ≈ 1, de manera que la ecuación toma la forma
Sobre estas ecuaciones podemos decir que:
 La altura ( h ) a la cual asciende el fluido, es directamente proporcional a la tensión
superficial, . Una alta tensión superficial proporciona un mayor nivel en la columna de
líquido.
 El nivel en la columna es inversamente proporcional al radio r del tubo, es por ello que
el fenómeno de capilaridad se presenta especialmente en tubos con un radio muy
pequeño.

 La altura a la cual asciende la columna es también inversamente proporcional a la
densidad ρ del fluido.
32. PRESIÓN EN UN FLUIDO
Al nadar nos hemos dado cuenta que el agua ejerce una presión sobre nosotros, y esta
presión es mayor a medida que nos sumergimos más.
Llega un punto en el cual la presión del agua hace que penetre líquido dentro de nuestros
oídos, ocasionándonos una sensación molesta.
Un fluido ejerce una presión, tanto sobre el recipiente que lo contiene, como sobre los
objetos que se hallan dentro de él. Esta presión es proporcional a la altura a la cual se
mida, a mayor profundidad mayor presión, a menor profundidad menor presión.
En un tubo de sección transversal, o área A = 2πr, la presión que ejerce el líquido sobre el
fondo del tubo se puede obtener por medio de la siguiente ecuación,
P = ρgh
en donde P es la presión, ρ es la densidad del fluido, g es la gravedad y h la profundidad
a la cual se encuentra el fluido, como se observa en la siguiente figura.
Es muy importante notar que la presión no depende del área sobre la cual actúa. En el
caso de un submarino que se encuentra a gran profundidad en el mar, tiene que soportar
una enorme fuerza, ya que la presión del agua salada es muy grande, y el área de
interacción también es muy grande, lo que hace que la fuerza resultante sea enorme
finalmente.

Ej emplo. Una columna de mercurio que se encuentra en un tubo, posee una altura de 76
cm, la presión que ejerce sobre el fondo del tubo es igual a:
33. ESTÁTICA DE FLUIDOS
Se dice que un fluido es estático si no fluye, es decir si no hay desplazamiento de sus
moléculas de manera constante a través del tiempo. La hidrostática es la parte de la física
encargada del estudio de los fluidos en reposo.
Un líquido es considerado en general incompresible, de tal forma que cuando se aplica
una presión, ésta se transmite con igual intensidad a todas las partes del fluido, y a las
paredes del recipiente que lo contiene. Una utilidad de este principio se muestra en la
siguiente figura.
A la derecha una persona se para sobre el sistema en la zona en la cual el área del
elevador es muy pequeña, el peso de la persona y la pequeña área producen una presión
muy grande, la cual es transmitida a la zona en la cual se encuentra la casa, en esta zona
el área es muy grande, y como la presión es la misma, la fuerza resultante será la
suficiente para levantar la casa. El único inconveniente es que el desplazamiento es
pequeño. Este principio se utiliza en los denominados gatos hidráulicos.
En la siguiente figura vemos como sobre un elemento de líquido de masa m, y volumen
hA, en donde h es su altura y A el área de la sección transversal; se efectúan las fuerzas
debidas a las presiones superior e inferior, y la del peso mismo del elemento de volumen.
Como el sistema está en equilibrio la sumatoria total de fuerzas es igual a cero.

Tenemos entonces que,
La masa del elemento estudiado es igual a la densidad por el volumen, m = ρV = ρAh, de
manera que la ecuación toma la forma,
En donde p es la presión inferior, p0 es la presión superior, la diferencia (p − p0) es la
denominada presión manométrica, y es la que se mide con un manómetro en dicho punto.
Como h = H − y, podemos escribir la ecuación como,
Estas ecuaciones lo que nos indican es que la diferencia de presiones es una función
simplemente de la profundidad a la cual se mide y la densidad del fluido estudiado.
34. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Todos hemos visto como una masa de acero se hunde fácilmente en el agua, mientras
que un globo lleno de aire permanece flotando, ¿cómo se puede explicar esto?. Para ello
recordemos el concepto de densidad relativa o gravedad especifica, que es la relación
entre la masa de una sustancia y la masa de un volumen igual de agua a una temperatura
determinada.

Podemos también definir una densidad relativa con respecto a cualquier fluido, sin
embargo vamos a suponer que nos referimos al agua, en este caso
Tenemos básicamente tres casos:
 ρg > 1, la densidad del objeto es mayor que la del agua y el objeto tendrá la tendencia
a hundirse.
 ρ = 1, la densidad del objeto es igual a la densidad del agua y de esta forma el objeto
tendrá una tendencia a mantenerse en una posición de equilibrio en el punto en el cual se
encuentre.
 ρ < 1, la densidad del objeto es menor que la del agua, de manera que el objeto flota.
El principio de Arquímedes expresa lo anterior de la siguiente forma:
"Si un cuerpo está parcial o totalmente inmerso en un fluido, el fluido ejercerá una
fuerza vertical hacia arriba sobre el cuerpo, igual al peso del fluido desalojado o
desplazado".
La fuerza que ejerce el fluido se denomina empuje, y es la razón por la cual los barcos no
se hunden.
Siendo Vc el volumen del cuerpo, y ρ1 la densidad del líquido.
35. APLICACIONES
Las aplicaciones de la Hidrostática son muy variadas, como se explico
anteriormente van desde la explicación de la compresión de los materiales, hasta
la forma en que se diseñan los barcos o las prensas hidráulicas.
El principio de Pascal se aplica para la explicación de la prensa hidráulica y del
gato hidráulico.
El principio de Arquímedes, se utiliza para el cálculo de la densidad de cuerpos
sólidos como de líquidos,

36. DINÁMICA DE FLUIDOS
En el caso de la dinámica de fluidos lo que nos interesa es un fluido que se mueve a
través de una tubería, o un cauce. Para ello es importante el concepto de flujo, el cual
hace referencia al desplazamiento de un líquido en un punto del espacio.
Si la velocidad de un fluido es constante en el tiempo en cualquier punto, se dice que el
flujo es estacionario. Este tipo de flujo es muy común en movimiento de fluidos a bajas
velocidades. Cuando no hay un desplazamiento relativo de los elementos de masa del
fluido, es decir cuando todos se mueven a la misma velocidad, se dice que el flujo es
laminar.
En un flujo no estacionario la velocidad de las partículas, o de los elementos del fluido,
varían en función del tiempo. Cuando un flujo cambia en forma muy brusca se dice que es
turbulento.
Los conceptos básicos de la dinámica de fluidos se han planteado para flujos
estacionarios, incompresibles y no viscosos.
¿Cómo se mide el flujo?
Los fluidos se pueden mover en sistemas cerrados como tuberías o en sistemas abiertos
como ríos y canales, en los cuales existe una superficie libre.
37 ECUACION DE CONTINUIDAD
A partir del principio de conservación de la masa, se puede determinar la cantidad de
masa por unidad de tiempo que pasa por un punto, de manera que no hayan sumideros,
zonas que se lleven materias, ni fuentes, zonas que agreguen materia.
En la siguiente figura se ha considerado un ducto por donde circula un fluido de densidad
ρ, la cual es constante, este fluido va desde una sección transversal A1 a una velocidad
V1, hasta una sección transversal A2 con velocidad V2.

P1, V1, ΔX1 son la presión, la velocidad y la distancia inicial tomadas como parámetros
de entrada. P2, V2 y ΔX2 son las mismas cantidades pero en la salida.
En un tiempo Δt, la masa que entra por la sección transversal de área A1 es igual a la
cantidad de masa que sale por el área A2, de manera que
Δx1 y Δx2, son respectivamente: Δx1 = V1Δt y Δx2 = V2Δt, de manera que,
A1V1 = A2V2
Esta ecuación se conoce como ecuación de continuidad. De ella se deduce que cuando
el ducto es mas estrecho el fluido deberá ir más rápido para compensar la cantidad de
líquido que sale a una velocidad determinada. Esta ecuación es correcta para los líquidos
ideales, en los cuales no hay viscosidad ni fricción con las paredes del ducto.
38. ECUACION DE BERNOUILLE
Utilizando el principio de conservación de la energía para la figura anterior, tenemos que,
Y utilizando la ecuación de continuidad llegamos a la ecuación de Bernoulli,

Es ta ecuación es la más importante para la mecánica de fluidos. Para su explicación
detallada debemos volver a la figura anterior. Esta ecuación me relaciona la diferencia de
presiones entre los extremos de un tubo por el cual circula un fluido con una densidad ρ.
Detrás de esta ecuación se encuentra la conservación de la energía, pero nosotros
trataremos de dar una explicación un poco simple a su significado:
las cantidades que se encuentran a la izquierda de la ecuación de Bernoulli hacen
referencia a las cantidades que se encuentran en el extremo inferior del tubo, es decir la
presión inferior P1, la velocidad del fluido en el punto inferior V1 y la altura a la cual se
encuentra el fluido y desde la cual empezamos a medir Y1. g es la gravedad.
Las cantidades que se encuentran al lado derecho de la ecuación hacen referencia al
extremo superior del tubo, su presión superior P2, la velocidad del fluido en la parte
superior V2 y la altura a la que se encuentra el fluido en ese punto Y2.
Todo diseño de tuberías y sistemas de drenaje debe tener en cuenta la ecuación de
Bernoulli.
Ejemplo: El tanque de agua del pueblo.
Un tanque cilíndrico de 4 metros de alto y 2.4 metros de diámetro, está sobre una torres
de 10 metros. Inicialmente el tanque está completamente lleno de agua hasta el tope. En
la base hay un orificio de 10 cm2 de área el cual se encuentra tapado. Cuál será la rapidez
de salida del agua una vez que se retire el tapón?.
Solución:
En la figura se puede observar la representación del problema, p1 es la presión en la parte
superior del tanque, y es igual a la presión atmosférica. p2 es la presión en la parte inferior
del tanque, esta presión es aproximadamente igual a la atmosférica, por lo tanto dejamos
este valor, es decir que hasta el momento tenemos p1 = p2.

La rapidez con la cual desciende inicialmente el nivel del agua dentro del tanque está
relacionada con la rapidez de salida del agua del orificio, para ello utilizamos la ecuación
de continuidad, de esta forma la velocidad v2 con la cual sale el agua en la parte inferior
está relacionada con la velocidad a la cual desciende el líquido v1 por,
En donde A1 es el área en la parte superior del tanque, y A2 es el área del orificio. El
resultado muestra que la velocidad a la cual comienza a disminuir el nivel del agua es
4523 veces mas lenta que la velocidad con la cual sale el agua por el agujero. Debido a la
enorme diferencia en la velocidad podemos decir que la cantidad es despreciable
en la ecuación de Bernoulli.
Tenemos hasta el momento como resultados,
De esta forma en la ecuación de Bernoulli podemos despejar la velocidad v2 para obtener:
En este ejemplo hemos encontrado la cantidad esto corresponde a la
velocidad a la cual sale un fluido ideal por un orificio y es similar a la velocidad de caída
libre de un cuerpo sometido a la misma a la misma diferencia de altura. Esto se conoce
como principio de Torricelli.

TALLER EXPERIMENTAL
En este taller experimental, lo que se pretende es que con lo aprendido a lo largo del
módulo, usted sea capaz de crear un taller experimental cuyo tema central sean los
fluidos.
A continuación daremos unas pautas para que usted lo haga:
 Tome un tópico específico del tema fluidos, por ejemplo densidad ó presión, y busque
como objetivo principal el afianzar el concepto utilizando como herramienta el taller.
 No trate de abarcar todo el capítulo, haga énfasis en un solo tema y apréndalo bien,
defina que cantidad desea medir. De esta forma defina un objetivo claramente.
 El experimento debe tener como resultado el valor numérico de una cantidad. Este
valor debe usted poderlo comparar con un valor experimental. Es fundamental que al final
del experimento usted pueda comparar la cantidad que se midió con la cantidad teórica
que se obtuvo.
 Haga un dibujo del montaje experimental inicial para verificar que cuenta con todos los
materiales, después realice el montaje y compruebe que funciona.
 Haga un bosquejo de la metodología a emplear, es decir, diga claramente como hacer
el experimento, que cantidades medir y como comparar los resultados con ayudas de
gráficos o tablas.
 Escriba una pequeña descripción del experimento de no más de tres páginas, en las
que deberá incluir el bosquejo del experimento.
 Cite bibliografía en donde se pueda buscar información del tema estudiado.
 Por último asegúrese que los demás entienden lo que usted desea hacer, para ello
reparta el material escrito y haga que otras personas realicen el experimento.
A lo largo del texto se ha intentado progresivamente seguir el esquema presentado
anteriormente. Sin embargo, es deseable que usted lo haga como le parezca mejor. Lo
importante es que al final otras personas hagan el experimento y aprendan de él.

EVALUACIÓN FINAL
1. A nivel del mar la densidad del aire seco a 0°C es 1.29 Kg/m3 y a 30°C es 1.16 Kg/m3.
Cuántos kilogramos de aire hay en un aula de clase cuyas dimensiones son 5m × 6m ×
3m.
a) ¿Cuándo la temperatura ambiente es de 0°C?.
b) ¿Cuándo la temperatura ambiente es de 30°C?.
c) ¿En qué porcentaje varía la masa de aire cuando la temperatura pasa de 0°C a
30°C?.
2. ¿A qué altura, sobre el nivel del agua en donde está sumergido, subiría por capilaridad
el agua en un pitillo de 4 mm de diámetro?.
3. Un trozo de metal pesa 50 N en el aire y 30 N cuando se sumerge completamente en el
agua. Calcule la gravedad específica del metal suponiendo que el metal tiene una
gravedad específica uniforme.
4. Un objeto que pesa en el aire 50 N, 30 N al sumergirlo en el agua y 40 N cuando se
sumerge en un líquido de una densidad desconocida. ¿Podría usted calcular la densidad
del líquido desconocido?, si la respuesta es si calcule la densidad.
5. Un recipiente que contiene agua se coloca en el plato de una balanza; la lectura de la
balanza es w0. Otro cuerpo de peso wc sostenido por una cuerda de masa despreciable se
sumerge completamente en el recipiente con agua pero sin que toque el fondo del
recipiente, ¿cuál será la nueva lectura de la balanza?. Si el cuerpo descansa
completamente en el fondo de la balanza ¿cuál será la lectura de la balanza?.
6. El 30% del volumen de un objeto flota sobre el agua. ¿Cuál es la densidad media del
objeto?.
7. ¿Cuál será la presión estática en el extremo inferior de una tubería de conducción de
agua que se halla 1000 metros más arriba?. ¿Qué papel desempeña la presión
atmosférica si el extremo inferior del tubo se rompe?.
8. ¿Cuál es la diferencia de presión atmosférica entre los pies y la cabeza de una persona
de 1.8 metros de altura?.
9. ¿Cuánto pesan 2m3 de cobre, cuya gravedad específica es de 8.82?.

P ALABRAS CLAVES PARA BÚSQUEDA EN INTERNET
A continuación se presenta una serie de palabras útiles para la búsqueda en
Internet. Las palabras se han probado en el buscador
No tienen ortografía dado que el buscador es universal, y porque en ocasiones va
a tener que utilizar teclados que no tienen tildes o eñes.
fluidos, curso de fisica, ley de los gases, gas ideal, pascal, bernoulli, arquimedes principio,
conversion de unidades.
Se puede consultar al final del módulo, en BIBLIOGRAFÍA, la referencia completa
del texto correspondiente a cada número, según el tema de interés.
 Mediciones y experimentos en fluidos y gases [ 2, 9, 13, 26 ].
 Fluidos y gases [ 7, 8, 11, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ].

CAPÍTULO 8. TEMPERATURA
Desde la antigüedad es conocido el concepto intuitivo de calor, y se suele
confundir muy a menudo con el de temperatura. En una noche fría es normal que
frotemos nuestras manos y de esta manera las calentemos. Sin embargo ¿cuál es
la diferencia entre calor y temperatura?. Esta es una de las preguntas que
aclararemos a lo largo de este capítulo.
El calor es considerado uno de los elementos más importantes en las actividades
del hombre, y su estudio y comprensión han permitido la creación de máquinas
como la de vapor y las neveras. Los avances técnicos, por otra parte, crearon la
necesidad de cuantificar el calor y la temperatura.
La historia de la evolución de los conceptos de calor y temperatura son muy
interesantes, la diferencia entre calor y temperatura fue algo que tardo siglos,
desde Galileo, en entenderse.
Los resultados de la termodinámica son esencialmente empíricos, es decir que
han sido obtenidos por medio de la observación y la realización de experimentos.
Nuestro interés se centrará en el estudio de la termodinámica principalmente, sin
preocuparnos por justificaciones teóricas del nivel de la mecánica estadística.
 ¿Qué es calor?.
 ¿Qué es temperatura?.
 ¿Porqué decimos que en un día cálido nos da más calor?
 ¿Porqué al tocar una barra de metal y una de madera sentimos que la de metal
está mas fría?.
 ¿Porqué se calienta tan rápido el metal?.
 ¿Cómo medimos la temperatura en el sol?.
 ¿De dónde sacan energía los seres vivos?.

39 . TEMPERATURA
Como ya vimos con el ejemplo de las manos que frotamos, podemos mostrar
intuitivamente que el trabajo y el calor están relacionados, ya que al mover las manos
estamos realizando una fuerza y efectuando a la vez un desplazamiento de nuestras
manos debido a esta fuerza, por lo tanto transformamos energía en movimiento, pero
además elevamos la temperatura. ¿Por qué se genera ese cambio en la temperatura?. En
este punto es bueno introducir nuestro primer concepto importante,
En la mayoría de los casos en donde cambia la temperatura este cambio es producido
por el calor.
A nivel microscópico lo que está pasando es que los átomos y moléculas que conforman
las palmas de nuestra manos se empiezan a mover más rápidamente, y de esta forma
empiezan a chocar unas con otras aumentando su energía cinética. Nuestro organismo
siente este aumento en la energía cinética promedio con la sensación que denominamos
calor. Pero en realidad lo que sentimos es un aumento de la temperatura.
En todos los cuerpos un aumento de la temperatura implica un aumento en la energía
cinética promedio de las partículas que componen un cuerpo, sean átomos o moléculas.
Si tuviésemos un microscopio lo suficientemente bueno como para poder ver las
moléculas individuales que componen el agua, a temperatura ambiente veríamos a las
moléculas de agua saltar alegremente de un lado a otro y al medirles su velocidad
promedio encontraríamos una velocidad que podríamos asociar a su temperatura externa.
Al calentar el agua notaríamos que las moléculas empiezan a moverse un poco más
rápido y que su velocidad promedio también aumenta, aumentando con ella su energía
cinética y su temperatura. Además al moverse más rápido las moléculas también
empiezan a necesitar más espacio para poder moverse, por lo que el volumen total del
objeto aumenta de forma paulatina. A una temperatura suficientemente alta, 100°C a nivel
del mar, las moléculas empiezan a necesitar tanto espacio que salen disparadas en todas
direcciones, y a nivel macroscópico lo que observamos es que el agua se evapora.
Si pudiéramos enfriar el agua casi hasta una temperatura de 273°C bajo cero, nos
daríamos cuenta que las moléculas casi no se mueven. Si lográramos llegar a una
temperatura de 273.16°C bajo cero las moléculas se quedarían quietas, sin embargo este
punto es imposible de alcanzar debido a que lo prohíben las leyes de la termodinámica.
De esta forma podemos decir que:
La temperatura es una medida de la energía cinética promedio de las moléculas que
componen un cuerpo.
En la práctica la temperatura es una medida de que tan caliente o frío esta un cuerpo.

Si calentamos agua y aceite en las mismas cantidades y por espacio del mismo tiempo y
luego medimos su temperatura, nos percatamos que al final del proceso la temperatura
del aceite es mayor que la del agua, por esta razón es más rápido fritar un huevo en
aceite que ponerlo en agua a cocinar. En general otra observación importante es que,
Si se le suministra la misma cantidad de calor a dos sustancias diferentes bajo las mismas
condiciones, en general la temperatura alcanzada por las dos substancias será diferente.
Ley cero de la termodinámica
Cuando calentamos agua hasta cierta temperatura y luego sumergimos un cubo de
madera dentro del agua, después de cierto tiempo la temperatura del cubo y del agua se
habrán equilibrado, y en este momento se dice que los cuerpos se encuentran en
equilibrio térmico. Es decir cuando dos cuerpos se ponen en contacto se establecerá el
equilibrio térmico entre ellos, este equilibrio se nota cuando los parámetros o propiedades
que caracterizan a los cuerpos no cambien más. Si dos cuerpos A y B están cada uno en
equilibrio térmico con otro cuerpo C, entonces los cuerpos A y B están en equilibrio
térmico entre sí. A esto se le denomina ley cero de la termodinámica.
40. ¿CÓMO MEDIMOS LA TEMPERATURA?
Cuando un metal se calienta lo suficiente, este se comienza poco a poco a poner rojo, si
se calienta lo suficiente se puede poner blanco y con un poco más de calor puede llegar a
fundirse.
En general las propiedades físicas de los cuerpos cambian cuando cambian su
temperatura. El agua pasa de sólido a líquido, y con suficiente temperatura se convierte
en gas. Los metales cambian propiedades como la conductividad eléctrica, y los gases
cambian su presión ante cambios de temperatura.
Este cambio en las propiedades es usado para medir la temperatura de los cuerpos, y se
denominan propiedades termométricas. El aparato con el cual medimos la temperatura se
denomina termómetro, y es un aparato que utiliza las propiedades termométricas de
ciertos materiales para efectuar mediciones sobre la temperatura.
Los termómetros más usados son:
 Termómetros de líquido: Se utilizan las variaciones de volumen de un líquido para
evaluar los cambios en la temperatura. Antiguamente se utilizaba agua coloreada o
alcohol, este último sigue siendo utilizado en la industria. Actualmente es muy común el
termómetro de mercurio, sobre todo por los médicos, el mercurio es un metal que a
temperatura ambiente es líquido. Los metales tienen la propiedad de ser excelentes
conductores de calor, y además de variar su volumen muy rápido ante cambios de
temperatura.

 Termómetros de resistencia eléctrica: Estos utilizan el cambio en la resistencia
eléctrica para medir cambios en la temperatura. Pueden ser desde dispositivos de estado
sólido semiconductores conocidos como termistores hasta resistencias metálicas simples
hechas de platino. Los termistores son muy buenos para efectuar este tipo de mediciones.
 Termómetros de pares termoeléctricos o termocuplas: Existe un fenómeno
interesante cuando se juntan dos metales diferentes en una punta y se cambia la
temperatura, se produce una diferencia de potencial eléctrico que cambia con la
temperatura, esta diferencia de potencial puede ser medida y de esta manera se le puede
asociar una temperatura. Son de gran uso industria y tienen una enorme precisión al
medir ligeros cambios de temperatura.
 Termómetros de cintas bimetálicas: Se conocen como de bimetal termostático,
utilizan el efecto de dilatación diferencial, en el cual dos metales diferentes se dilatan de
manera diferente ante un mismo cambio en la temperatura. Los metales son dos cintas
que se encuentran unidas entre si de manera que con la dilatación forman un arco.
 Termómetros ópticos: Utilizan el principio del cambio de color cuando cambia la
temperatura en los objetos. Como en el caso del metal se sabe que cuando se encuentra
a una temperatura determinada este adquiere determinadas tonalidades de acuerdo a su
temperatura, se utiliza para medir temperaturas mayores a 500° centígrados.
 Termómetros de espectro de emisión: Para temperaturas muy altas, superiores a
3000°, se utiliza la radiación electromagnética emitida por los objetos, esta radiación tiene
una relación directa con la temperatura de los objetos. Mediante esta técnica se puede
medir una amplia gama de temperaturas, desde temperaturas por debajo de los cero
grados centígrados hasta temperaturas como la de la superficie solar.
En general todos los termómetros mencionados solamente dan variaciones de
temperatura, ya que es necesario una variación en esta para que alguna propiedad física
cambie.
¿Cómo hacemos para medir la temperatura?, para ello efectuamos un proceso de
calibración mediante algún fenómeno físico que permanezca invariante. Este proceso de
calibración es muy importante, ya que la única forma de asegurar que un proceso de
medición es realizado correctamente es asegurando que el equipo usado es el adecuado
y se encuentra midiendo de manera correcta.
En Colombia el ente encargado de la calibración de pesos y medidas es la
Superintendencia de Industria y Comercio, la cual cuenta con laboratorios altamente
especializados en la medición de parámetros importantes para la industria y la ciencia en
Colombia, entre ellos la temperatura.

Para determinar la escala de un termómetro se sumerge en agua destilada, hasta
alcanzar el punto triple, en el cual coexisten de manera simultánea la fase líquida, sólida y
gaseosa del agua, y que se da a unas condiciones de temperatura y presión específicas.
El otro punto se halla a partir de la temperatura de ebullición a una presión atmosférica
igual a la del nivel del mar.
41. ESCALAS DE TEMPERATURA
En la actualidad es muy común el uso de los grados centígrados, y en el ámbito científico
se utiliza la escala de grados Kelvin. En los países anglosajones es común el uso de la
escala Fahrenheit. Estas son las tres más importantes escalas utilizadas en la actualidad,
en el futuro se espera la unificación a una sola escala de temperatura. La descripción de
cada una de las escalas la haremos a continuación.
 Escala Kelvin: Es denominada así en honor a William Thompson "Lord Kelvin" (1824-
1907). Utiliza como unidad de medida el Kelvin, que se denota como K. Siendo esta
unidad la fundamental en el S.I.
Para esta escala se utiliza como cuerpo termométrico el gas ideal, el cual es un gas
enrarecido es decir con bajas concentraciones y presiones, que cumple con la ecuación:
Donde:
P es la presión del gas.
V es el volumen.
N es el numero de moles del gas.
R es una constante llamada constante universal de los gases.
T es la temperatura en la escala absoluta o Kelvin.
Además se utilizan como puntos de referencia o fijos el punto triple del agua y el cero
absoluto.
El cero absoluto se considera el inicio de la temperatura, 0 K, el cual corresponde al punto
de menor energía interna de un sistema. 273.16 K corresponden a el punto de fusión del
agua y 373.16 K corresponden al punto de ebullición del agua a una presión atmosférica
igual a la presión sobre el nivel del mar. Es la unidad usada en los laboratorios a nivel
mundial.

 Escala Celsius: Llamada de esta forma en honor a Anders Celsius, (1701-1744).
Tiene como unidad de medida el grado centígrado, el cual se denota por °C. Al punto de
fusión del agua le asigna una temperatura de 0 °C, y al punto de ebullición se le asigna un
valor de 100 °C. En esta escala un grado centígrado es equivalente a un grado Kelvin. Es
la unidad mas corrientemente usada. En esta escala el cero absoluto corresponde a -
273.16 °C.
 Escala Fahrenheit: Se denomina de esta forma en honor a Gabriel Fahrenheit (1686-
1736), tiene como unidad de medida el grado Fahrenheit, el cual se denota como °F. Al
punto de fusión del hielo se le asigna un valor de 32 °F y al punto de ebullición del agua
un valor de 212 °F de tal forma que entre los dos puntos de referencia hay en total 180 °F.
Un grado centígrado o kelvin equivale a 9/5 °F. El cero absoluto equivale a -460 °F. Es
una unidad muy usada en países anglosajones.
Las relaciones entre las escalas de temperatura se pueden determinar fácilmente con
ayuda de las anteriores descripciones, así:
Ejemplo. ¿ A cuántos grados centígrados equivale una variación de temperatura de 18
°F?.
Ejemplo. Convertir 50 °C a Fahrenheit.

CAPÍTULO 9. CALOR
42. CALOR ESPECÍFICO Y CAPACIDAD CALORÍFICA
Cuando un cuerpo varía su temperatura en general lo hace por que o se le ha
suministrado calor o el cuerpo ha dado calor. Cuando tomamos un jugo y lo enfriamos
por medio de hielo lo que en realidad estamos haciendo es calentando el hielo, el calor
necesario para calentar el hielo lo da el jugo. El jugo calienta el hielo no el hielo enfría el
jugo como se piensa. Esta es la dirección en la cual se propaga el calor, de los objetos
más calientes a los más fríos, y no en dirección contraria.
Si a dos cuerpos de igual masa, pero diferente material se les suministra la misma
cantidad de calor, la temperatura final será en general diferente para los dos cuerpos,
esto se debe a que los cuerpos compuestos de materiales diferentes reciben diferente
calor para aumentar el mismo valor de temperatura. La propiedad que caracteriza este
comportamiento se denomina calor específico.
La cantidad de calor Q que se le suministra a un cuerpo de masa m y de calor específico
c para elevar su temperatura una cantidad ΔT será,
Q = m c ΔT
De la ecuación anterior podemos decir,
 El calor Q tiene unidades de energía (Joule), sin embargo para el caso específico del
calor se utilizan unidades especiales como la caloría o la unidad térmica inglesa, las
cuales serán explicadas más adelante.
 mc recibe el nombre de capacidad calorífica del cuerpo, se suele denotar por la letra
C, mayúscula, y es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura del cuerpo
de masa m en un grado kelvin.
En el siguiente cuadro se resume el calor específico de algunas sustancias a 25° y a
presión atmosférica normal.
Nótese el gran valor de calor específico para el agua líquida.

PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA
La primera Ley de la termodinámica es la generalización del principio de conservación de
Energía, dicha ley dice que si a un sistema se le suministra calor, este calor se utiliza para
cambiar la energía interna del sistema y para realizar trabajo, es decir:
Q es el calor, U es la energía interna y W es el trabajo.
A partir de dicha ley se puede deducir por ejemplo, que pueden existir procesos donde el
sistema no recibe calor pero si se puede realizar trabajo o si se puede cambiar la energía
interna del sistema, a estos procesos se les da el nombre de procesos adiabáticos.
43. FUSIÓN Y VAPORIZACIÓN
Existen tres estados principales para la materia: el sólido, el líquido y el gaseoso. Durante
el proceso conocido como cambio de fase o transición de fase, los elementos cambian de
sólido a líquido, de líquido a gaseoso, de gaseoso a sólido y viceversa.

C uando un elemento cambia de sólido a líquido se denomina fusión, cuando cambia de
líquido a sólido se denomina solidificación, al cambiar de sólido a gaseoso se denomina
sublimación. Al cambiar de líquido a gaseoso se denomina vaporización.
El calor absorbido durante la transición de una fase a la otra se denomina calor de
transformación ó calor latente L. Durante el proceso de cambio de fase el calor absorbido
no da lugar a un cambio en la temperatura, lo cual se utiliza para calibrar termómetros,
porque se sabe que a cero grados centígrados el agua y el hielo coexisten
simultáneamente y no hay cambio de temperatura, a presión atmosférica.
Si un pedazo de materia tiene masa m y calor latente L en una transformación de fase, el
calor absorbido por la sustancia en una transición de fase es,
Q = mL
Podemos definir los calores latentes como:
 El calor latente de fusión Lf es la cantidad de calor necesaria para que la unidad de
masa de una sustancia pase de fase sólida a la fase líquida a temperatura y presión
constantes.
 El calor latente de vaporización Lv es la cantidad de calor que requiere la unidad de
masa de una sustancia para pasar de la fase líquida a la fase gaseosa.
 El calor latente de sublimación Ls es la cantidad de calor por unidad de masa que
requiere una sustancia para pasar de la fase sólida a la fase de vapor.
44. TRANSFERENCIA DE CALOR
El calor es una forma de transferencia de energía entre un cuerpo y el medio que lo
rodea. Pero esta energía no puede ser convertida en trabajo, se expresa por medio de un
cambio en la temperatura de los cuerpos, o una transición de fase. El flujo de calor se
establece de la zona de mayor temperatura a la de menor temperatura.
La transferencia de calor puede ocurrir por medio de tres procesos físicos diferentes.
 Conducción: Se da cuando existe un medio que transporte calor, por ejemplo el aire
o un metal pueden conducir calor. Cuando calentamos una varilla de metal en un extremo,
en corto tiempo la varilla se calienta, sin que el aire se caliente igual de rápido. Esto
sucede por que los metales son buenos conductores de calor, y facilitan el intercambio de
calor.

Ex isten materiales que son mejores conductores térmicos que otros. Los metales son
mejores conductores térmicos que los gases y los líquidos.
En la construcción de maquinaria, la conductividad térmica es un parámetro fundamental
a tener en cuenta en su diseño. El aire es un muy buen aislante térmico, es por ello que
las neveras de plástico tienen un espacio vacío, en el cual hay aire que suple la existencia
de un aislante.
La conductividad térmica se presenta por que las partículas que componen un medio,
vibran con facilidad o dificultad cuando se les agrega calor. De esta forma el aislante
térmico perfecto es el vacío, ya que en el no hay partículas que mover.
 Convección: En la convección el calor se transporta por que el material que está
caliente se mueve a zonas de material más frío. Por ejemplo al calentar agua, el líquido
que se encuentra depositado en el fondo de la olla se calienta y su densidad disminuye,
de forma que este líquido caliente sube y lleva calor al líquido que se encuentra arriba, el
cual se encuentra más frío, además el líquido frío baja a la parte más calientes y continua
el proceso. Para que pueda darse este fenómeno es importante la existencia de la
gravedad. En general para darse transporte de calor por convección es necesario que
exista un flujo de material.
 Radiación: Entre la tierra y el sol hay una enorme zona vacía. entonces ¿como hace
el sol para calentar a la tierra?. Es por la radiación solar. Las ondas electromagnéticas
transportan energía, y esta energía es repartida a la tierra. Esta es la principal fuente de
energía en la tierra, y es la responsable de la existencia de la vida sobre la tierra.
Las ondas electromagnéticas viajan a 3 × 108m/s y se caracterizan por tener una longitud
de onda (λ) y una frecuencia (f). Las ondas electromagnéticas comprendidas entre 0.38
μm (luz violeta) y 0.72 μm (luz roja), constituye la región visible del espectro; por encima
de la luz roja existe una porción denominada infrarroja, este es el lado del espectro de luz
solar que produce en nosotros la sensación de calor, aunque en realidad lo que hace es
aumentar la energía cinética de nuestra piel, y elevar su temperatura.
Cuando un cuerpo empieza a transferir calor a otro, este proceso se hace hasta que los
dos cuerpos alcanzan el equilibrio térmico. Es decir hasta que alcanzan la misma
temperatura. Un ejemplo de ello es el enfriar una gaseosa con hielo, el proceso real es
que el hielo y la bebida inicialmente se encuentran a diferentes temperaturas. Por la
diferencia de temperatura empieza a existir una transferencia de calor, del cuerpo más
caliente, la bebida, al cuerpo más frío, el hielo. Durante este proceso el cuerpo más
caliente se enfría, y el cuerpo más frío se calienta, hasta que llegan a un punto en el cual
pueden coexistir. Estrictamente hablando la gaseosa calienta al hielo, y por ello se enfría.

45. COMBUSTIBLES Y ALIMENTOS
La cantidad de calor producido al quemarse una unidad de masa o de combustible, se
denomina poder calorífico. Este poder calorífico se mide en unidades de calor por unidad
de masa ( Kcal/Kg ) para materiales sólidos, o en unidades de calor por unidad de
volumen ( Kcal/l ; Btu/gl ) para elementos gaseosos o líquidos.
La manera como obtenemos energía los seres vivos es mediante la combustión
controlada de alimentos, que contienen carbono e hidrógeno. Esta quema controlada se
realiza por mecanismos extraordinariamente complejos, y generan trabajo, movimiento
tanto interno como externo, y calor, que se manifiesta en la diferencia de temperatura
entre nuestro cuerpo y el medio que nos rodea. Es extraordinaria la forma en que los
seres vivos aprovechan los minerales y los ciclos del carbono y el agua, entre otros, para
realizar diferentes actividades.
En el siguiente cuadro se muestran algunos valores del poder calorífico ( PCB ) de
algunos combustibles y alimentos.
Aplicaciones
Sin lugar a dudas la comprensión de los fenómenos relacionados con el calor y la
temperatura, le dieron origen a la revolución industrial. La máquina de vapor es una
consecuencia directa del conocimiento que se tenía del comportamiento físico de los
sistemas.

Ex isten innumerables ejemplos en los cuales el calor y la temperatura son la base de las
máquinas, los motores de combustión interna, el diseño de pavimentos, la investigación
en nuevos materiales para el diseño de maquinaria más resistente a golpes térmicos.
La medición de la temperatura también se ha convertido en pilar fundamental de los
procesos de producción. En Colombia el Grupo de Física Aplicada y Desarrollo
Tecnológico del Centro Internacional de Física, ha desarrollado un equipo que permite la
medición de baldosas de piso dentro del horno de cocción, el cual se encuentra a
aproximadamente 600°. El equipo desarrollado ha permitido tener un control mayor sobre
el proceso de producción de las baldosas, ya que cerca a los 570° estas sufren un cambio
interno en la estructura y se rompen si el cambio en la temperatura es muy brusco.
Actualmente los problemas de control de temperatura en los procesos industriales es
objeto de estudio, ya que incide directamente sobre variables como la humedad y la
velocidad de un proceso entre otros. El grupo de física aplicada ha desarrollado
soluciones a problemas industriales en los cuales la medición de temperatura ha sido la
clave para la optimización de procesos.
TALLER EXPERIMENTAL. Dilatación lineal.
Existe una cantidad denominada coeficiente de dilatación lineal, el cual mide la
dilatación de un cuerpo como función de los cambios de temperatura. Cuando calentamos
un cuerpo este empieza a dilatarse, y al enfriarse este se contrae. Este comportamiento
es normal en casi todas las sustancias, con la notable excepción del agua, la cual se
expande cuando se encuentra bajando de cuatro a cero grados centígrados.
El objetivo de este taller es medir el coeficiente de dilatación lineal de una varilla de algún
material con buena conductividad térmica, preferiblemente un metal como el cobre.
Para el desarrollo del siguiente taller se recomienda una mirada a la referencia [21].
Cuestionario
¿Cuáles son las unidades del coeficiente de dilatación lineal ?, ¿cuáles son sus
unidades en el sistema CGS?.
¿Qué significa un coeficiente de dilatación grande?.
Busque en la literatura valores de  para el cobre, oro, plata y vidrio. ¿Cuál de ellos es el
más grande?, ¿Cuál es el más pequeño?. Compárelos con el del mercurio líquido.
¿En cuánto cambia la longitud de una barra de cobre al ser calentada dos grados
centígrados, de 20°C a 22°C, si su longitud inicial a 20°C es de un metro?

H aga los cálculos del punto anterior, pero esta vez para el aluminio, acero y el plomo.
Introducción
La relación entre la longitud L de una varilla metálica y la temperatura T a la cual se
encuentra está dada por,
En donde:
L0 es la longitud de la varilla a la temperatura T0.
α es el coeficiente de dilatación lineal del material que compone la varilla.
De la ecuación anterior debemos hacer dos anotaciones importantes:
 α no es simplemente la relación entre T y L, es una relación entre los cambios ΔL = L
− L0 y ΔT = T − T0.
 El coeficiente de dilatación lineal α no es la relación entre el cambio de longitud y el
cambio de temperatura, es decir,
en realidad es igual a esta última cantidad dividida por la longitud inicial,
Esto hace que las verdaderas unidades de α sean el inverso de la temperatura. Es decir
que las unidades de α son (°C)−1.
La experiencia
Determine el coeficiente de dilatación lineal, α, de una barra de cobre.
El montaje a utilizar se muestra en la siguiente figura:

Caliente el agua y haga que el vapor circule por toda la extensión de la varilla. El vapor va
a elevar la temperatura de la varilla. Tome la temperatura por medio de un termómetro.
Debido a que los cambio de longitud son muy pequeños para ser observados a simple
vista, el cambio en la longitud ΔL se determina por medio de un tornillo micrométrico.
La varilla misma se usa como parte de un circuito eléctrico. Cada vez que la varilla se
dilata y hace contacto con el tornillo micrométrico, se cierra el circuito y se enciende el
bombillo.
Antes de empezar a tomar las mediciones determine L0 y T0, y calibre el disco del tornillo
micrométrico, es decir, determine la distancia que recorre cuando da una vuelta el tornillo.
Respecto al tratamiento de los datos ¿cuál de las siguientes gráficas es más útil?
 L contra T.
 ΔL contra T.
Determine el coeficiente de dilatación lineal, haga tratamiento de errores y compárelo con
el que encuentra en la literatura.
EVALUACIÓN FINAL
1. ¿Tiene sentido hablar de una temperatura en una región del espacio donde existe un
vacío perfecto, como el espacio interestelar?.
2. Cuando es muy difícil destapar una botella de salsa de tomate, en ocasiones para
abrirla con facilidad lo que se hace es calentar la región de la tapa ¿porqué se hace esto?.
3. En función de la temperatura, ¿qué implica que un cuerpo se encuentre en equilibrio
térmico con el medio que lo rodea?.

4. Una botella denominada "termo" consiste en un recipiente de vidrio con doble pared, y
en el cual existe un vacío entre las paredes. Las dos superficies internas del vidrio son
plateadas. Explique la manera en que este dispositivo reduce la pérdida de calor por
conducción, convección y radiación.
5. Los pies desnudos sienten más frió cuando se encuentran sobre un piso de mármol,
que sobre una alfombra ¿porqué?.
6. ¿Podríamos preparar chocolate en el espacio exterior?.
7. En determinado día se llega a una temperatura de 40°, sin embargo el cuerpo humano
se mantiene a 37°, ¿cómo se logra esto?.
8. Mediante una agitación se puede lograr que se eleve la temperatura de un líquido, ¿se
ha realizado trabajo sobre el líquido cuando se ha agitado?, ¿se ha agregado calor al
sistema?, ¿por qué se eleva la temperatura del líquido?.
9. ¿Qué opina de la siguiente afirmación?, "todo instrumento graduado o calibrado que
responda a cambios de temperatura es un buen termómetro".
10. ¿Podría usted construir un termómetro?. ¿Cómo?.
calor, temperatura, curso de fisica, calorimetria, termodinamica, escalas de temperatura,
conversion de unidades.
 Mediciones y experimentos en termodinámica [ 9, 26 ].

 Termodinámica y calor [ 7, 8, 9, 11, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ].
http://es.encarta.msn.com

APÉNDICE A. FACTORES DE CONVERSIÓN DE UNIDADES
LONGITUD
 1 m = 100 cm = 1000 mm = 106 μm = 109nm
 1 Km = 1000 m = 0.6214 millas
 1m = 3.281 pies = 39.37 pulgadas
 1cm = 0.3937 pulgadas
 1 pulgada = 2.54 cm
 1 milla = 5280 pies = 1609 metros
 1 Ángstrom = 10−10 m = 10−8 cm = 10−1 nm
 1 yarda = 0.9144 m = 3 pies = 36 pulgadas
 1 vara = 0.80 m
 1 pie = 0.3048 m = 12 pulgadas
 1 año luz = 9.43 ×1015 m
 1 braza = 6 pies
 1 milla náutica = 1852 m
ÁREA
 1cm2 = 0.155 pulgadas2
 1 m2 = 10−4 cm2 = 10.76 pies2
 1 pulgada2 = 6.452 cm2
 1 pie2 = 144 pulgadas2 = 0.0929 m2
 1 hectárea = 10000 m2
 1 fanegada = 6400 m2
 1 acre = 4046.71 m2 = 4840 yardas2
 1 milla2 = 640 acres
VOLUMEN
 1 litro = 1000 cm3 = 10−3 m3 = 0.0351 pie3 = 61.02 pulgadas3

 1 pie3 = 0.02832 m3 = 28.31 litros = 7.477 galones
 1 galón = 4.543 litros
TIEMPO
 1 minuto = 60 segundos
 1 hora = 3600 segundos
 1 día = 86400 segundos
 1 año = 3.156 × 107 segundos
VELOCIDAD
 1 cm s−1 = 0.03281 pie∙s−1
 1 pie∙s−1 = 30.48 cm∙s−1
 1 mi∙min−1 = 60 mi∙h−1 = 88 pies∙s−1
 1 Km∙h−1 = 0.2778 m∙s−1 = 88 pies∙s−1
 1 mi∙h−1 = 0.4470 m∙s−1
 1 nudo = 1852 m/h = 1 milla náutica/h
MASA
 1 kg = 103 g
 1 g = 6.85 × 10−5 slug
 1 slug = 14.59 kg
 1 libra inglesa = 453.598 g = 16 onzas
 1 onza = 28.35 g
 1 arroba = 25 libras inglesas
 1 quintal = 4 arrobas
 1 tonelada inglesa = 20 quintales
 1 tonelada métrica = 1000 kg
 1 tonelada americana = 907 kg
 1 tonelada inglesa = 1016 kg
 1 uma (Unidad de masa atómica) = 1.660 × 10−27 kg

FU ERZA
 1 N = 105 dinas
 1 kg-f = 9.8 N
 1 lb = 4.45 N = 4.45 × 105 dinas
PRESIÓN
 1 Pa (Pascal) = 1 N∙m−2 = 1.451 × 104 lb∙pulg−1 = 0.209 lb∙pie−2
 1 dina∙cm−2=0.1 Pa
 1 lb∙pulg−2 (psi) = 6891 Pa
 1 lb∙pie−2 = 47.85 Pa
 1 atmósfera (atm) = 1.013 × 105 Pa = 14.7 lb∙pulg−2 = 2117 lb∙pie−2
 1 mm de Hg (Milímetro de mercurio) = 133.3 Pa = 1.316×10−3 atm
 1 pulg de agua = 249.1 Pa = 2.458 × 10−3 atm
 1 bar = 0.98 atm
ENERGÍA
 1J = 107 ergios = 0.239 cal
 1 cal = 4.186 J
 1 pie∙libra = 1.356 J
 1 Btu = 1055 J = 252 cal
 1 ev = 1.602 × 10−19 J
 1 kWh = 3.6 × 106 J
 1 caballo a vapor - hora = 2.685× 106 J = 0.7457 kWh
 1 BEP (Barril equivalente de petróleo) = 5.712 ×109 J
 1 TEP (Tonelada equivalente de petróleo) = 7.33 BEP
POTENCIA
 1 W = 1 j∙s−1
 1 hp = 746 W = 550 pies∙s−1
 1 cal∙s−1 = 4.186 W = 14.29 Btu∙s−1

TEMPERATURA
 K = 273.16 + °C
 °C = 5/9 (°F-32)
 °F = 9/5°C + 32
ÁNGULO
 1 radián = 57.3°
 2 radianes = 180°

APÉNDICE B. NOTACIÓN CIENTÍFICA
En física e ingeniería es normal el tratar con números que son bastante grandes o
pequeños para ser escritos en un papel. Es por ello que se ha ideado una manera de
escribir este tipo de cifras de una manera cómoda y accesible, esta notación se denomina
notación científica.
Esta notación científica consiste en escribir el número como una cifra comprendida entre 1
y 10, y luego multiplicarla por la potencia de 10 más adecuada.
Para comprender un poco mejor esto veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo. Utilice la notación científica para calcular:
a)
b) 6000 × 0,000012
Solución:
a) 0,0015 / 3000000 = 1,5 x 10-3 / 3 x 106 = 0,5 x 10-9 = 5 x 10-10
b) 6000 × 0,000012 = 6 x 103 × 1,2 x 10-5 = 7,2 × 10−2 = 0,072
A partir del anterior ejemplo ¿ podría usted deducir una regla general para la
multiplicación y la división utilizando la notación científica ?

APÉNDICE C. ÁLGEBRA DE VECTORES
Multiplicación por un escalar
Un vector puede ser multiplicado por una cantidad escalar, es decir, una cantidad real en
este caso. Sea un vector cualquiera A y una cantidad escalar d, podemos crear otro
vector C, tal que,
C = d | A |
Un caso interesante es multiplicar el vector por –1. En este caso el resultado es otro
vector con la misma magnitud pero en dirección opuesta ( antiparalela ) al vector original.
En el siguiente diagrama expresamos lo anterior.
Si el escalar por el cual se multiplica es negativo y diferente de -1, entonces lo que se está
cambiando es tanto la magnitud como la dirección. Solamente los escalares negativos
pueden cambiar la dirección de un vector.
Suma de vectores
La suma de vectores posee una interpretación geométrica simple. Si se tienen dos
vectores A y B, la suma A + B es equivalente a colocar en la punta del vector A la cola del
vector B, o colocar en la punta del vector B la cola del vector A, y unir la cola del primer
vector con la punta del segundo. Esto se muestra en el siguiente diagrama.

C omo ya sabemos, a la propiedad según la cual A + B = B + A se le denomina
conmutatividad.
Resta de vectores
Para la resta de vectores podemos utilizar las dos operaciones antes vistas, la multiplicación por
-1 y la suma.
A − B = A + (−1B)
En este caso lo que se hace es colocar la cabeza del vector B con la cabeza del vector A, y
finalmente unir las dos colas. Lo anterior se muestra a continuación.
Las siguientes leyes, muy conocidas en aritmética y álgebra, también se cumplen para el trabajo
con vectores.
A + B = B + A
Ley conmutativa
( A + B ) + C = A + ( B + C ) Ley asociativa
c ( d A ) = ( c d ) A Ley asociativa
( c + d ) A = cA + dA Ley distributiva
c ( A + B ) = cA + cB Ley distributiva
Producto escalar o punto
El producto escalar se denota como: A ∙ B, y está definido por,

donde es el coseno del ángulo que forman los vectores A y B.
La cantidad se puede interpretar como la proyección del vector B a lo
largo de la dirección del vector A. Es entonces una medida que nos indica “ qué parte del
vector B se encuentra en la misma dirección del vector A ”, como se muestra en los
siguientes diagramas.
Si A ∙ B = 0, significa que ó A = 0, ó B = 0, ó que los dos vectores son perpendiculares,
es decir que el ángulo que forman es de 90°, ya que cos(90°) = 0.
Es importante resaltar que el resultado del producto punto de dos vectores es siempre un
escalar.
El producto Cruz
Este es el segundo tipo de producto entre vectores. A diferencia del producto punto, el
resultado de este producto es otro vector. Se denota como: C = A × B
La magnitud de este nuevo vector es definida como
En donde es el ángulo entre los vectores A y B. Para eliminar problemas en la
definición de este ángulo, θ siempre se toma como el ángulo mas pequeño que 180° ó 
radianes.

G eométricamente los vectores A y B forman un plano, y al colocarlos cola con cola el
vector resultante C = A × B es perpendicular al plano formado por los vectores A y B.
Como se observa en el siguiente diagrama.
De la definición de producto cruz tenemos que,
A × B = - B × A
Es decir que el producto cruz no es conmutativo. Cuando se tiene que el producto tiene signo
contrario al invertir los factores, se dice que es anticonmutativo.
Si los dos vectores forman un ángulo de 0°, entonces el producto es un vector nulo, por
ejemplo el producto cruz de un vector consigo mismo es nulo, ya que los dos vectores
forman un ángulo de cero.
A × A = 0.
Magnitud de un vector
La magnitud de un vector, para el caso de un sistema de coordenadas bidimensional (un
plano) o tridimensional (el espacio), tiene una expresión particular.
Para un vector bidimensional de la forma,
su magnitud se halla con la expresión:
Para un vector tridimensional de la forma,

su magnitud se halla con la expresión:

INFORMACIÓN DE RETORNO
A continuación encontrará las respuestas a las preguntas y ejercicios planteados en la
Evaluación Final de cada capítulo. Las respuestas pueden ser ampliadas por usted y la
solución a los ejercicios no es única. Se espera que complemente las respuestas y
encuentre otros métodos de solución para los ejercicios.
UNIDAD 1. MECÁNICA
Evaluación Final (Cinemática )
1. ¿Cuál es la diferencia entre velocidad y rapidez?
La velocidad es un vector que indica la razón de cambio de la distancia con respecto al
tiempo. La rapidez es la magnitud del vector velocidad.
2. ¿Puede un cuerpo mantener su velocidad constante si cambia de dirección?
No, ya que si la dirección de un cuerpo cambia, el vector velocidad también
cambia.
3. ¿Puede un cuerpo mantener su rapidez constante si cambia de dirección?
Si, por ejemplo, en el movimiento circular uniforme, la rapidez de un cuerpo es la misma
pero su dirección cambia de manera continua.
4. ¿Puede un cuerpo tener el vector velocidad en una dirección y el de aceleración en
otra?
Si, por ejemplo, en el movimiento circular, la aceleración va dirigida hacia el centro
del movimiento, pero la velocidad es tangencial al círculo descrito por el
movimiento.
5. ¿Cuando camino desde mi casa hasta la tienda de la esquina tengo que moverme con
aceleración?

S i, ya que siempre que haya un cambio en la velocidad va a existir una
aceleración.
6. ¿Sobre la tierra la velocidad de caída de un objeto depende de su peso?
No, la velocidad de caída de un objeto depende solo de la aceleración de la gravedad, la
cual es una constante.
7. ¿Desde que altura tiene que ser soltado un objeto para que demore 1 segundo
cayendo?.
Utilizando la ecuación de un movimiento bajo la acción de la gravedad:
y(t) = y0 + v0yt + ½gt2
Y tomando como punto de inicio del movimiento y0 = 0, como velocidad inicial del
movimiento v0y = 0 ya que el objeto se suelta desde reposo, la aceleración g = -10
m/s2 y t = 1 s, tenemos:
y(t) = ½gt2 = ½ [-10(m/s2)] 12(s2) = -5m
El objeto tiene que ser lanzado desde una distancia de 5 metros. El signo negativo hace
referencia a que nuestro objeto fue lanzado desde el punto y0 = 0 y la gravedad va
orientada a la dirección negativa del eje Y.
8. Un automóvil viaja en línea recta a una velocidad de 72 Km/h, se le aplican los frenos
para reducir su velocidad de manera que la aceleración sea constante hasta que alcanza
una velocidad de 18 Km/h en 5 segundos. Hallar:
a) La aceleración del automóvil.
Utilizamos entonces la definición de aceleración instantánea,
El signo negativo se refiere a que el automóvil está desacelerando. Note que la
aceleración final se ha dado en metros sobre segundo al cuadrado, esto se hace por
comodidad.

b) La distancia recorrida en los 5 segundos que dura frenando.
Utilizamos la ecuación de distancia y la aceleración encontrada en el punto anterior.
Tenemos que t = 5s, v0 = 72 Km/h = 20 m/s y x0 = 0,
El automóvil recorre 62.5 metros en los 5 segundos que dura la frenada hasta alcanzar los
18 Km/h. Nótese la gran distancia que recorre un carro frenando.
c) La distancia recorrida en los dos primeros segundos que dura frenando.
Utilizando el mismo procedimiento del punto anterior se puede encontrar que la distancia
recorrida en los primeros 2 segundos de frenado es igual a 34 metros.
d) ¿En cuánto tiempo recorre 30 metros a partir del instante en el cual se le aplican los
frenos?.
Utilizando la ecuación de distancia para despejar el tiempo t, obtenemos la siguiente
ecuación cuadrática:
½ (-3 t2) +20 t – 30 = 0
Solucionando la anterior ecuación, se puede encontrar que t = 1,7 s.
9. La lectura del velocímetro indica:
a) El módulo de la velocidad.
b) El módulo de la velocidad instantánea.
c) El vector velocidad.
d) El desplazamiento.
La lectura del velocímetro nos indica el módulo o magnitud de la velocidad instantánea.
10. Con la lectura del cuentakilómetros de un automóvil se puede determinar:
b) La distancia total recorrida.
Además, si se conoce el tiempo transcurrido entre la lectura inicial y la final del
cuentakilómetros se puede determinar:

b) Su rapidez.
Se puede determinar tanto la distancia total recorrida como la rapidez media del recorrido.
11. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?:
a) Dos cuerpos que recorren la misma distancia, efectúan el mismo desplazamiento.
b) La distancia recorrida por un cuerpo es igual a la longitud de su trayectoria.
c) La velocidad instantánea y la velocidad media tienen la misma dirección.
d) La velocidad se define como espacio recorrido sobre tiempo.
e) La aceleración se define como la velocidad sobre el tiempo.
Solamente la afirmación b) es verdadera.
12. Una hormiga se mueve sobre una superficie plana con una aceleración constante
En t = 0 la hormiga se encuentra en el punto
(−2, 1)cm con respecto al punto considerado como origen y lleva una velocidad
a) ¿Cuáles son las ecuaciones vectoriales de posición, velocidad y aceleración en función
del tiempo?.
Las ecuaciones son:
v
b) Halle la posición, velocidad y aceleración de la hormiga 5 segundos después de
iniciado el movimiento.
Solo se debe reemplazar el tiempo, t = 5 segundos, en las anteriores ecuaciones.
13. El movimiento de un cuerpo que se desplaza en línea recta está dado por la ecuación,
(x está dado en metros y t en segundos )
a) Halle las ecuaciones para la velocidad y la aceleración en función del tiempo.

Pa ra la velocidad debemos derivar la ecuación de movimiento con respecto al tiempo, lo
que nos da:
v = t − 5 (m/s)
y para hallar la aceleración debemos derivar la velocidad con respecto al tiempo:
a = 1 (m/s2)
b) Halle la posición, velocidad y aceleración del cuerpo en t = 0.
Solo se debe reemplazar el tiempo, t = 0, en las anteriores ecuaciones.
c) ¿Se puede afirmar que se trata de un movimiento uniformemente acelerado?.
Si, ya que la derivada de la aceleración con respecto al tiempo es igual a cero.
d) Haga una gráfica de distancia contra tiempo, velocidad contra tiempo y aceleración
contra tiempo. ¿Qué puede concluir al respecto?.
Este ejercicio se le deja al estudiante. Lo importante es que pueda utilizar las gráficas de
movimiento estudiadas en este capítulo para poder ver que el movimiento tiene una
aceleración constante.
Evaluación Final del capítulo : Dinámica y Estática
1. ¿Porqué cuando nos encontramos en un ascensor y subimos en él a un nivel superior,
sentimos que subimos de peso?. Haga un diagrama de fuerzas sobre el sistema y trate de
explicar el caso anterior.
La aceleración normal de 1g está dirigida hacia abajo y nuestro cuerpo está adaptado a
esta aceleración. Por la tercera ley de Newton, el suelo crea una fuerza de reacción en
dirección opuesta a la fuerza de gravedad, esta fuerza se denomina normal, y es la razón
por la cual nos mantenemos sobre la tierra con los pies pegados al suelo de manera
estable. La fuerza normal es la que sienten nuestros pies, y cuando nos pesamos en una
báscula pegada al suelo, en realidad medimos la fuerza normal.

En el caso del ascensor en reposo, como se muestra en el siguiente dibujo en el lado
izquierdo, la fuerza neta es igual a cero, ya que la normal compensa la fuerza de
gravedad. Cuando nos encontramos dentro del ascensor y este se mueve hacia arriba, el
ascensor se debe acelerar para poder vencer la fuerza de la gravedad, la fuerza neta
ahora será diferente de cero, como se muestra en el lado derecho de la figura. El
resultado es que la fuerza normal también aumenta, por acción y reacción, y tenemos la
sensación de aumentar de peso. Existen estándares en la fabricación de ascensores para
que esta sensación sea leve.
2. Conteste falso (F) o verdadero (V):
a) Cuando un cuerpo está en reposo no hay fuerzas actuando sobre él.
Falso, en realidad podemos decir que la suma total de fuerzas es cero, pero no
necesariamente que sobre él no existen fuerzas actuando. En la vida real siempre hay
una fuerza actuando sobre un objeto, la gravedad por ejemplo siempre está presente en
el universo.
b) Cuando un cuerpo sube con velocidad constante por la acción de una cuerda que lo
hala: la tensión de la cuerda es mayor que el peso del cuerpo.
Falso, la aceleración es igual, ya que si la velocidad es constante significa que no existe
una aceleración neta sobre el cuerpo, y eso indicaría que la sumatoria de fuerzas en
todos los ejes es igual a cero, llevando a una igualdad entre la tensión y el peso del
cuerpo.
c) Una persona se encuentra de pie sobre una báscula en un ascensor, el ascensor baja a
velocidad constante, ignore el momento en el cual el ascensor comienza a descender o
comienza a detenerse. El valor que se lee en la báscula es:
un peso menor que el peso real

un peso mayor que el peso real
un peso igual al peso real
El valor que se lee es igual al peso real, ya que no hay ningún tipo de aceleración que
modifique el valor real del peso.
d) La aceleración de la gravedad ejercida por la tierra sobre un cuerpo de 10 kilogramos
es mayor que sobre un cuerpo de 100 kilogramos.
Falso, la aceleración sobre la faz de la tierra es independiente de la masa del objeto que
se está midiendo. Recordemos que la fuerza gravitatoria es igual a mg, en donde g = 9,8
m/s2 es una constante.
e) La fuerza de la gravedad es mayor en un cuerpo que pesa 100 kilogramos que en uno
que pesa 10 kilogramos.
Verdadero, nuevamente recordemos que Fgravitatoria = mg.
f) En un cuerpo que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal, la
fuerza de reacción a la tercera ley de Newton a la fuerza normal ejercida por la
superficie es igual a su peso.
Verdadero. En lo correspondiente a fuerza de fricción estática se estudió un diagrama de
fuerzas en donde se observa que la fuerza normal ejercida por el plano sobre el objeto, es
igual al peso del objeto. Esto hace que el objeto se encuentre en equilibrio.
g) Si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, entonces el
cuerpo se encontrará en equilibrio estático.
Verdadero. Si la suma de las fuerzas sobre un cuerpo es cero, esto implica que la
aceleración es también cero, lo que implica que el cuerpo se encuentra a velocidad igual a
cero o a velocidad constante.
3. Escoja la afirmación correcta: Cuando se acelera un cuerpo:
 Nunca cambia su dirección.
 Su rapidez siempre aumenta.
 Siempre actúa una fuerza externa.
Una aceleración es un cambio en la velocidad, la velocidad es un vector, por lo tanto
cambia al variar su magnitud, su dirección y su sentido. Al acelerar un cuerpo lo que
podemos asegurar con toda certeza es que sobre el actúa una fuerza, sin embargo no
podemos asegurar totalmente que nunca halla un cambio en la dirección ó que su rapidez
aumente.

4. Determine la tensión de una cuerda que hala un objeto de 10 Kg en los siguientes
casos:
a) Hacia arriba con una aceleración de 3 m/s2.
b) Hacia abajo con una aceleración de 2 m/s2.
c) Sube a velocidad constante.
Respuestas: a) 130 N, b) 80 N, c) 100 N). Para hacer este ejercicio comience por realizar
el diagrama de fuerzas del sistema.
5. Para arrastrar una carreta de 60 Kg sobre el piso horizontal con rapidez constante se
necesita una fuerza horizontal de 100 N. Halle el coeficiente de fricción entre el piso y la
carreta. Si ahora se aumenta la fuerza de 100 N a 120 N, ¿cuál es la aceleración de la
carreta?.
Respuesta μc = 0,17 y a = 0.33m/s2.
6. Halle la aceleración de cada uno de los bloques de la siguiente figura.
Cuál es la tensión de la cuerda que los une? (suponga inicialmente que la fricción entre
los bloques y el piso es cero). Repita el problema suponiendo que el coeficiente de
fricción entre los bloques y el piso es μc = 0,2.
Respuesta 5m/s2; 20 N ; 3m/s2 y 12 N.
7. Un cuerpo de 40 kilogramos está suspendido por dos cuerdas con las inclinaciones que
se indican en la siguiente figura.
¿Cuál es el valor de las tensiones de las cuerdas?. Si se aumentan las inclinaciones de
las cuerdas ¿es posible que las tensiones sean mayores que el peso del cuerpo?.

R espuesta T1= 345.63 Newton, T2 = 198.61 Newton, Sí es posible que las tensiones
puedan ser mayores que el peso, como se observa en las respuestas.
8. Un ciclista pedalea a lo largo de una carretera recta y llana a 36 Km/h de manera
constante. Cuando deja de pedalear alcanza a recorrer 150 metros antes de detenerse. Si
la masa del ciclista con la bicicleta es de 80 Kg, hallar:
a) Su aceleración mientras se desplaza pedaleando.
Respuesta: Es cero ya que la velocidad es constante.
b) Su aceleración mientras se desplaza sin pedalear.
Respuesta: 0.33 m/s2
c) La fuerza de fricción.
Respuesta -24.4 Newton.
d) El coeficiente de rozamiento de la rodadura.
Respuesta 0.033
UNIDAD 2. ONDAS Y ENERGÍA
Evaluación Final del Capítulo Energía y Potencia
1. En un juego de tirar la cuerda, dos equipos halan hacia lados contrarios una cuerda,
hasta que alguno de los dos se deja arrastrar por el otro. Diga si el equipo que pierde
ejerce una cantidad positiva o negativa de trabajo.
El equipo que pierde ha perdido también energía, pero en general se ha dejado arrastrar
por una fuerza externa, es decir que ellos han recibido energía, lo que implica que han
realizado un trabajo negativo.

2. Si se ha realizado un trabajo negativo en el anterior caso, ¿cómo se conciliaría este
resultado con el esfuerzo que se ha realizado?.
De manera general el sistema que nos interesa es el de los dos equipos, los dos han
realizado un esfuerzo, pero el resultado neto es que un equipo ha tenido más energía que
ha gastado en convertirla en trabajo para ganarle al otro equipo, los dos han gastado
energía, pero uno de los equipos ha gastado más que el otro. Finalmente todos los
equipos gastan energía.
3. Una fuerza constante que actúa sobre un objeto no produce potencia, ¿porqué?.
La potencia para una fuerza constante entre los puntos xi hasta xf, en el intervalo de
tiempo Δt se define como,
La única forma en que lo anterior es cero es por que xf − xi = 0, es decir, que la fuerza no
logre realizar un desplazamiento.
4. La masa de un cuerpo es una propiedad intrínseca del mismo cuerpo, es decir que es
una característica inherente a él e independiente de cualquier evento externo. ¿Podría
decirse que la energía cinética es también una propiedad intrínseca?.
No se puede afirmar que la energía cinética es una propiedad intrínseca del cuerpo. Para
que un objeto tenga una energía cinética debe tener una velocidad, la velocidad va a
depender del sistema de referencia en el cual se mueva el objeto. Por el contrario la masa
no depende del sistema de referencia, salvo que estemos hablando de velocidades
cercanas a las de la luz como en la teoría de la relatividad, sin embargo este no es
nuestro caso.
5. Cuando un objeto se desliza sobre una superficie áspera la fricción efectúa una
cantidad negativa de trabajo. Explique lo anterior en términos del teorema de trabajo y
energía.
Cuando efectuamos un trabajo sobre el bloque, aparece una fuerza que se opone al
movimiento, la fuerza de fricción. Esta fuerza tiene un signo contrario a la fuerza que
mueve el bloque. Como se efectúa un desplazamiento se realiza un trabajo, y como el
signo de la fuerza de fricción es contrario al signo de la fuerza que mueve el objeto,
entonces el trabajo efectuado por la fuerza de fricción es de signo negativo.
6. Una carreta de 500 Kg de masa es arrastrada por un caballo a una velocidad constante
sobre un terreno horizontal a lo largo de una distancia de 1000 metros. Para ello el caballo
ejerce una fuerza de 2000 N y emplea un tiempo de 50 minutos.

a) ¿Qué trabajo ha realizado el caballo?.
Utilizando la definición de trabajo:
W = 2000 (N) × 1000 (m) = 3 × 106 (J)
b) ¿En qué se ha convertido ese trabajo?.
El desplazamiento se ha realizado a velocidad constante, eso se debe a que ha tenido
que vencer las fuerzas de fricción del suelo, finalmente el trabajo se ha convertido en
calor por fricción.
c) Cuál es el trabajo resultante ejercido sobre la carreta?.
La fuerza ejercida sobre el sistema es cero, ya que todo el movimiento se realizó a
velocidad constante, por lo tanto no hubo aceleración, al no existir aceleración la fuerza
total es cero y el trabajo realizado también es cero.
d) Con qué potencia el caballo desplazó a la carreta?.
Utilizando la definición de potencia:
e) ¿Qué fuerza debería ejercer el caballo sobre la carreta si esta se moviera con una
Ya sabemos que para moverse a velocidad constante la fuerza que debe ejercer el
caballo sobre la carreta es de 2000 N, si desea que el movimiento sea acelerado deberá
imprimirle mayor fuerza, la fuerza adicional será
Fadicional = 500 (Kg) × 0,1 (m/s2) = 50N
Por lo cual la fuerza final será F = 2050 N.
f) ¿Qué trabajo neto hace el caballo sobre la carreta en este último caso?.
Este cálculo es equivalente a repetir el primer cálculo del problema, el resultado es
2050000 Joules.
g) ¿En cuánto varia la energía cinética de la carreta?.
El cambió en la energía cinética es igual a la diferencia de trabajo, por lo cual el cambio
es de 50000 joules.

h) ¿Qué trabajo neto se hace sobre la carreta cuando esta se mueve con una aceleración
de 0.1 m/s2?.
El trabajo neto es de los mismos 50000 joules, ya que esto se hace con una aceleración,
y ya no a velocidad constante.
i) ¿Qué trabajo hizo la fuerza de fricción?.
El trabajo realizado por la fuerza de fricción es de −2 × 106 joules.
7. Si en el problema anterior:
 W = Trabajo hecho por la fuerza de tracción.
  Ec = Incremento de la energía cinética.
 Wf = trabajo para vencer las fuerzas disipativas.
¿Es correcta la expresión: W = ΔEc + Wf?, explique su respuesta.
La expresión es correcta, ya que el trabajo realizado no solamente debe tener en cuenta
la diferencia en la energía cinética, sino también el trabajo realizado por las fuerzas
disipativas, como las fuerzas de fricción.
8. Utilizando la ecuación,
y la ecuación del desplazamiento para un movimiento uniformemente acelerado, halle el
tiempo empleado por un objeto de masa m en llegar a la altura máxima.
Las ecuaciones a utilizar son:
las anteriores ecuaciones podemos restarlas y obtener:
la anterior ecuación es cuadrática, la solución se encuentra en cualquier texto de álgebra.
9. Si el módulo de la rapidez de un cuerpo se duplica, ¿en qué factor se multiplica su
energía cinética?.

Si la velocidad se duplica la energía cinética aumenta cuatro veces.
10. Demuestre que la unidad MKS de la energía es el Joule.
Se le deja al estudiante.
11. Demuestre que 1KW-h = 3.6 MJ.
Se le deja al estudiante.
12. Si un resorte tiene una ecuación para la fuerza F = −kx, en donde k es la constante
del resorte y x es el desplazamiento a partir del punto de equilibrio, demuestre que la
cantidad 1/2kx2 tiene unidades de energía.
13. Mediante un cable de una grúa se arrastra un tronco sobre el suelo horizontal de un
bosque a una velocidad constante de 2 m/s. Si la potencia desarrollada por el cable es de
940 W.
a) ¿Cuál es la tensión del cable?.
La tensión del cable es de 470 Newton.
b) ¿Cual es el trabajo resultante sobre el tronco en un minuto?.
La velocidad es constante, por lo cual es trabajo es cero.
c) ¿Cuál es el trabajo hecho por el cable sobre el tronco en un minuto?.
El trabajo realizado por el cable en un minuto es de 56400 Joules.
d) ¿Qué energía es disipada por efecto de la fricción en cada segundo?.
La energía disipada es de 940 Joules.
Evaluación Final de los Capítulos Movimiento Armónico y Forzado y Periódico y
Ondas
1. Con base en razonamientos dimensionales, demuestre que la frecuencia de oscilación
de una masa unida a un resorte debe ser proporcional a
La solución a la ecuación del resorte F = −kx es de la forma x(t) = Asin(ωt + ). Si
reemplazamos en la ecuación de movimiento tenemos,

2. Si se lleva un reloj de péndulo de la tierra a la luna ¿cambia la frecuencia de
oscilación?.
En un péndulo simple la frecuencia es igual a en donde g es la gravedad del
sitio en el cual está el péndulo. La gravedad de la tierra es diferente a la gravedad de la
luna, por lo tanto la frecuencia de oscilación también es diferente.
3. Si se cambia la masa que pende de un péndulo, ¿cambia su frecuencia de oscilación?.
No, la frecuencia de oscilación en un péndulo simple ideal solo depende de la longitud de
la cuerda y de la gravedad.
4. Un objeto experimenta un movimiento armónico simple, si se cambia la amplitud del
movimiento ¿qué sucede con la frecuencia y la energía total?.
La frecuencia de un resorte, por ejemplo, está dada por , por lo tanto la amplitud no
cambia la frecuencia. La energía es de la forma,
por lo tanto al cambiar la amplitud cambia el valor de x(t) y también cambiará la energía.
5. Es muy poco probable que un sistema realice un movimiento armónico simple perfecto
¿porqué?.
Porque existe la fricción, esta fuerza disipativa hace que la amplitud disminuya a medida
que pasa el tiempo.
6. De algunos ejemplos de movimientos que son aproximadamente armónicos simples.

Se deja al estudiante.
7. Cómo puede determinarse el valor de una masa con un reloj y un resorte cuya
constante es conocida.
Podemos poner a oscilar la masa en el resorte, y con ayuda del reloj medir la frecuencia
de oscilación ω, como conocemos el valor de la constante k podemos despejar
8. Nombre dos ejemplos de ondas longitudinales.
9. Nombre dos ejemplos de ondas transversales.
10. ¿Porqué las ondas de luz no necesitan un medio para propagarse?.
La radiación electromagnética se propaga en el vacío, y la luz es radiación
electromagnética.
UNIDAD 3. FLUIDOS Y CALOR
Evaluación Final del Capítulo Hidrostática e Hidrodinámica
1. A nivel del mar la densidad del aire seco a 0°C es 1.29 Kg/m3 y a 30°C es 1.16 Kg/m3.
Cuántos kilogramos de aire hay en un aula de clase cuyas dimensiones son 5m × 6m ×
3m.
a) ¿Cuándo la temperatura ambiente es de 0°C?.
Respuesta: 116.1 Kg.
b) ¿Cuándo la temperatura ambiente es de 30°C?.
Respuesta: 104.4 Kg.
c) ¿En qué porcentaje varía la masa de aire cuando la temperatura pasa de 0°C a
30°C?.
Respuesta: 9.82%.

2. ¿A qué altura, sobre el nivel del agua en donde está sumergido, subiría por capilaridad
el agua en un pitillo de 4 mm de diámetro?.
Respuesta: 7.4 mm
3. Un trozo de metal pesa 50 N en el aire y 30 N cuando se sumerge completamente en el
agua. Calcule la gravedad específica del metal suponiendo que el metal tiene una
gravedad específica uniforme.
Respuesta: 2.5
4. Un objeto que pesa en el aire 50 N, 30 N al sumergirlo en el agua y 40 N cuando se
sumerge en un líquido de una densidad desconocida. ¿Podría usted calcular la densidad
del líquido desconocido?, si la respuesta es si calcule la densidad.
Respuesta: Si. 500 Kg/m3
5. Un recipiente que contiene agua se coloca en el plato de una balanza; la lectura de la
balanza es w0. Otro cuerpo de peso wc sostenido por una cuerda de masa despreciable se
sumerge completamente en el recipiente con agua pero sin que toque el fondo del
recipiente, ¿cuál será la nueva lectura de la balanza?. Si el cuerpo descansa
completamente en el fondo de la balanza ¿cuál será la lectura de la balanza?.
Respuesta: L = w0 + wc + T, donde T es la tensión de la cuerda. L = w0 + wc, si el cuerpo
descansa en el fondo de la balanza.
6. El 30% del volumen de un objeto flota sobre el agua. ¿Cuál es la densidad media del
objeto?.
Respuesta: 666.6 Kg/m3.
7. ¿Cuál será la presión estática en el extremo inferior de una tubería de conducción de
agua que se halla 1000 metros más arriba?. ¿Qué papel desempeña la presión
atmosférica si el extremo inferior del tubo se rompe?.
Respuesta: 9800000 Pa.
8. ¿Cuál es la diferencia de presión atmosférica entre los pies y la cabeza de una persona
de 1.8 metros de altura?.
Respuesta: 18900 Pa.
9. ¿Cuánto pesan 2m3 de cobre, cuya gravedad específica es de 8.82?.
Respuesta: 17640 Kg.

Ev aluación Final de los Capítulos: Temperatura y Calor
1. ¿Tiene sentido hablar de una temperatura en una región del espacio donde existe un
vacío perfecto, como el espacio interestelar?.
No, para hablar de temperatura necesitamos un medio, y en un vacío perfecto no hay
materia para elevar su energía cinética interna.
2. Cuando es muy difícil destapar una botella de salsa de tomate, en ocasiones para
abrirla con facilidad lo que se hace es calentar la región de la tapa ¿porqué se hace esto?.
Para que la tapa se expanda y se pueda abrir más fácilmente.
3. En función de la temperatura, ¿qué implica que un cuerpo se encuentre en equilibrio
térmico con el medio que lo rodea?.
Que la temperatura es la misma en el cuerpo y en el ambiente que lo rodea.
4. Una botella denominada "termo" consiste en un recipiente de vidrio con doble pared, y
en el cual existe un vacío entre las paredes. Las dos superficies internas del vidrio son
plateadas. Explique la manera en que este dispositivo reduce la pérdida de calor por
conducción, convección y radiación.
El vidrio y el vacío son malos conductores de calor, el líquido dentro del termo está en
reposo, por lo cual no hay movimiento para que halla flujo de calor por convección. En lo
que se refiere a la radiación no existe un aislante perfecto contra la radiación
electromagnética.
5. Los pies desnudos sienten más frió cuando se encuentran sobre un piso de mármol,
que sobre una alfombra ¿porqué?.
6. ¿Podríamos preparar chocolate en el espacio exterior?.
Si, pero no se calentaría por convección. Tendríamos que agitar constantemente el
chocolate.
7. En determinado día se llega a una temperatura de 40°, sin embargo el cuerpo humano
se mantiene a 37°, ¿cómo se logra esto?.

El cuerpo debe invertir una enorme cantidad de energía para mantener la diferencia
térmica, para ello utiliza recursos como sudar.
8. Mediante una agitación se puede lograr que se eleve la temperatura de un líquido, ¿se
ha realizado trabajo sobre el liquido cuando se ha agitado?, ¿se ha agregado calor al
sistema?, ¿por qué se eleva la temperatura del líquido?.
Al agitar tenemos que realizar un trabajo sobre el elemento agitador, este trabajo se
convierte parte en trabajo sobre el sistema y otra parte en calor por la agitación de las
moléculas que componen el líquido.
9. ¿Qué opina de la siguiente afirmación?, "todo instrumento graduado o calibrado que
responda a cambios de temperatura es un buen termómetro".
10. ¿Podría usted construir un termómetro?. ¿Cómo?.
Se deja al estudiante. Trate de buscar un material que responda a cambios de calor y
que esta respuesta sea constante y repetitiva.

BIBLIOGRAFÍA
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Hill, 1968.
[2] D. C. Baird. Experimentación. Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño
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[15] Hecht-Zajac. Óptica. Addison-Wesley, 1998.
[16] Murray R. Spiegel. Manual de fórmulas y tablas matemáticas. Serie Schaum.
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Thomson-Paraninfo. Madrid, 2003.
[22] SEARS, F.W.; ZEMANSKY, M.W. y YOUNG, H.D. “Física Universitaria” 6ª Ed.
Editorial Addison-Wesley. 1988.
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volúmenes). Editorial CECSA. México, 2003.
[24] WILSON, J.D.: Física (2ª edición). Editorial Prentice-Hall. México, 1996.
[25] MÓDULO DE ESTUDIO: “Física General” – UNAD.
[26] MÓDULO DE ESTUDIO: “Laboratorio de Física General” – UNAD.

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