Modulo Matematica 10 año

Colegio Particular a Distancia
“Continental”
Acuerdo Ministerial Número Nº 0003701
Matemática – Decimo Año de Educación Básica Página 2
OBJETIVOS
 Aplicar los procesos para la solución de problemas con productos y
cocientes notables.
 Racionalizar expresiones algebraicas y numéricas.
 Reconocer una función lineal por medio del análisis de su tabla de
valores, gráfico o ecuación y conociendo uno de los tres modelos
anteriores, determinar los otros dos para comprender y predecir
variaciones constantes.
 Aplicar el patrón de la función lineal y sus valores relevantes en la
resolución de problemas de la vida cotidiana.

“Continental”
PRODUCTOS NOTABLES
Destrezas con criterio de desempeño
- Comprender los conceptos productos notables.
- Identificar las características que deben tener los productos notables.
DEFINICIÓN
Cuando se emplean expresiones algebraicas, hay productos que presentan
algunas regularidades, a estos productos se les denomina productos notables.
Con el fin de trabajar con mayor rapidez, es conveniente aprender a
reconocerlos y utilizarlos adecuadamente.
CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS
El cuadrado de a + b es un producto notable. La expresión (a + b)2 se
resuelve así:
2
2 2
2 2
( ) ( )( )
2 min
a b a b a b
a ab ba b Se aplica la propiedad distributivo
a ab b Se reducen tér os semejantes
   
   
  
Este desarrollo se puede generalizar enunciando el producto notable de la
siguiente manera:
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primero más
el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
2 2 2
( ) 2a b a ab b   
Ejemplo:
Resuelve el siguiente producto:
a.
2 2 2
( ) (2 )m s m m s s     
2 2
2m ms s  
LECCION Nº 1

“Continental”
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS
El cuadrado de la diferencia entre a y b, es otro producto notable.
2
2 2
2 2
( ) ( )( )
2
a b a b a b
a ab ba b
a ab b
   
   
  
Este desarrollo se puede generalizar enunciando el producto notable así:
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero
menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del
segundo.
2 2 2
( ) 2a b a ab b   
Ejemplo:
Resuelve el siguiente producto:
a.
3 3 2 3 3 2 3 3 2
( ) ( ) (2)( )( ) ( )x y z x y x y z z   
6 6 3 3 2
2x y x y z z  
CUADRADO DE UN TRINOMIO
Para determinar a qué es igual la expresión (a+b+c)2, se resuelve el producto
así:
2 2 2
2 2 2
( )( )
2 2 2
a b c a b c a ab ac ba b bc ca cb c
a b c ab bc ac
            
     
Ejemplo:
Resuelve:
a.
2 2 2 2
( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc       
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS EXPRESIONES
El producto de la suma de dos cantidades, a y b, constituye otro producto
notable. La expresión:

“Continental”
2 2
2 2
( )( ) ( ) ( )a b a b a a b b a b
a ab ba b
a b
     
   
 
Este desarrollo se puede generalizar enunciando el producto notable de la
siguiente manera:
El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual a la diferencia
de sus cuadrados.
2 2
( )( )a b a b a b   
PRODUCTO DE EXPRESIONES DE LA FORMA (x+a)(x+b).
La expresión (x+a) (x+b), con a y b como números reales, constituye otro
producto notable. En forma general, el producto (x+a) (x+b) se resuelve como
sigue:
2
2
2
( )( ) ( ) ( )
( )
x a x b x x b a x b
x bx ax ab
x ax bx ab
x a b x ab
     
   
   
   
CUBO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS
La expresión (a+b)3 se resuelve de la siguiente manera:
3 2
2 2
2 2 2 2
3 2 2 2 2 3
3 2 2 3
( ) ( )( )
( )( 2 )
( 2 ) ( 2 )
2 2
3 3
a b a b a b
a b a ab b
a a ab b b a ab b
a a b ab a b ab b
a a b ab b
   
   
     
     
   
Es decir, el cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primero, mas
el triple producto del primero al cuadrado por el segundo, mas el triple producto
del primero por el segundo al cuadrado, mas el cubo del segundo.
3 3 2 2 3
( ) 3 3a b a a b ab b    

“Continental”
CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS.
La expresión se resuelve así:
3 2
2 2
2 2 2 2
3 2 2 2 2 3
3 2 2 3
( ) ( )( )
( )( 2 )
( 2 ) ( 2 )
2 2
3 3
a b a b a b
a b a ab b
a a ab b b a ab b
a a b ab a b ab b
a a b ab b
   
   
     
     
   
Es decir, el cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primero,
menos el triple producto del primero al cuadrado por el segundo, mas el triple
producto del primero por el segundo al cuadrado, menos el cubo del segundo.
3 3 2 2 3
( ) 3 3a b a a b ab b    
En el resultado los signos aparecen alternados, , , , .   
Ejemplos:
Resuelve:
a.
3 3 2 2 3
( 2) 3 (2) 3 (2) (2)m m m a    
3 2
6 12 8m a a   
b.
2 3 3 2 2 2 2 2 3
( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )x y x x y x y y    
3 2 2 4 6
3 3x x y xy y   

“Continental”
INVESTIGO:
1. ¿Por qué es necesario el estudio de los productos notables?
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
GLOSARIO:
Producto Notable:……………………………………………………………………
Generalizar:……………………………………………………………………………
Cantidades:……..………………………………………………………………………
Exponente Cuadrático:………………………………………………………………
Exponente Cúbico:………………………..…………………………………………
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo
significado.
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
LECCION Nº 1
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..

“Continental”
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección
estudiada.

“Continental”
CUESTIONARIO
1. Encuentra los siguientes cuadrados:
 
 
2
2 2 2
2 2
1 2
23 4 2
2
2
3 2
(6 )
(3 )
( )
(3 2)
2 5
3 7 2
4
3
3
a
a
n n
m
x y
x b
m
pq p q
a a
m n m n


 
 
 
 
 
 
   
 
2. Desarrolla los siguientes productos:
 2
2
2
2
( )
(5 )
(3 2 )
(5 3 2 )
a b c
a b c
m n p
p q w
  
  
  
  

“Continental”
3. Realiza las operaciones entre polinomios.
 
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
21 2
(4 5 3) (3 2 )
9( 5 ) 4( )
6( ) 5( )
1
(2 ) 3( )
4
3 4 2x b x x
a b a b
m n m n mn
a b a b ab
a b a b c
a a a  
    
    
    
    
  
4. Calcula los siguientes productos.
2 2 2 2
3 4 5 5 3 4
( )( )
(8 3 )(8 3 )
2 2
3 3
4 4
3 3
7 7
m n m n
t t
m n m n
w z a a w z
  
  
      
  
      
  

“Continental”
1 1
6 6
5 5
mn mn       
  
5. Resuelva los siguientes productos:
( 5)( 3)
( 4)( 3)
( 10)( 3)
1
( 4)( 2)
4
5 ( 9)( 2)
x x
t t
m m
x x
x x x
  
  
  
  
  
6. Escribe el término que falta en cada expresión.

“Continental”
 
 
 
 
 
 
4 3
3
32 2
32
3
32
32
33 2
( 2 )
(2 2 )
5
3 2
2 4
2 3
4 3
8 2
b a
x y
a b
p q
x y
a ab
stw st w
pq p q
 
 
 
 
 
 
 
 
Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante Fecha

“Continental”
DESCOMPOSICION FACTORIAL
Descomponer expresiones en factores diferenciando los casos de la
factorización, aplicar correctamente los métodos de resolución.
FACTORES
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones
algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.
Así multiplicando a por a+b tenemos:
2
( )a a b a ab  
Factorar un monomio.
Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección. Así los
factores de 15ab son 3, 5, a y b. Por tanto:
15 3 5ab a b   
CASO I
CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR
COMUN.
a) Factor común monomio.
1. Descomponer en factores : 10a² - 5a + 15a³
El factor común es 5ª. Tendremos:
10a² - 5a + 15a³ = 5a (2ª – 1 + 3a) R.
2. Factorar 6xy³ - 9nx²y³ + 12nx³y³ - 3n²x⁴y³
Factor común 3xy³
6xy³ - 9nx²y³ + 12nx³y³ - 3n²x⁴y³ = 3xy³ (2 – 3nx +4nx² - n²x³) R.
LECCION Nº 2

“Continental”
b) FACTOR COMÚN POLINOMIO
1. Descomponer (x - a) (y + 2) + b (y + 2)
Tenemos:
(𝑥−𝑎)(𝑦+2)
(𝑦+2)
+
𝑏 (𝑦+2)
(𝑦+2)
=
(y + 2) (x – a + b) R.
2. Factorar x(a - 1) + y (a – 1) – a + 1
Tenemos:
𝑥 (𝑎−1)
(𝑎−1)
+
𝑦 (𝑎−1)
(𝑎−1)
−
(𝑎−1)
(𝑎−1)
=
(a – 1)(x + y – 1) R.
CASO II
FACTOR COMUN POR AGRUPACION
En algunas expresiones los términos pueden ser agrupados de tal manera que factorizando
cada grupo quede un factor común complejo en la expresión; se termina entonces la
factorización sacando este factor común en la forma estudiada anteriormente.
Así por ejemplo, si la expresión dada es de la forma:
ac bc ad bd  
Y se agrupa el primer término con el segundo y el tercero con el cuarto, se tiene:
( ) ( )ac bc ad bd  
Y sacando factor común en cada grupo:
( ) ( )c a b d a b  
Como ahora la expresión contiene el factor común (a+ b), sacando este factor se obtiene
finalmente:
( )( )a b c d 
Ejemplos:
a.
3 2 3 2
3 2 6 ( 3 ) (2 6)x x x x x x      

“Continental”
2
2
( 3) 2( 3)
( 3)( 2)
x x x
x x
   
  
b.
2 2
( ) ( )x xy bx by x xy bx by      
( ) ( )
( )( )
x x y b x y
x y x b
   
  
c.
4 3 4 3
2 2 1 (2 2 ) ( 1)a a a a a a      
3
3
2 ( 1) 1( 1)
( 1)(2 1)
a a a
a a
   
  
d. ( ) ( )ax bx cx ay by cy ax bx cx ay by cy          
( ) ( )
( )( )
x a b c y a b c
a b c x y
     
   
De otro modo:
( ) ( ) ( )ax bx cx ay by cy ax ay bx by cx cy          
( ) ( ) ( )
( )( )
a x y b x y c x y
x y a b c
     
   

“Continental”
INVESTIGO
1. ¿Cuantos casos dentro de la descomposición factorial existen y escribe
un ejemplo de cada uno?
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
GLOSARIO
Factor:……………………………………………………………………………………........................
Agrupación:……………………………………………………………………………………………….
Termino:……………………………………………………………………………………………………
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 2

“Continental”
Expresión:…………………………………………………………………………………………………
Semejante:………………………………………………………………………………………………….
Con ayuda del diccionario escriba el significado de palabras no asimiladas
en la lección, para mejorar su comprensión.
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
Mediante diversos tipos de esquemas o diagramas realice un resumen de la clase
estudiada.

“Continental”
1. En cada uno de los ítems propuestos, marca con una X la respuesta correcta.
La factorización es un proceso para obtener
 Términos
 Factores
 Sumandos
2. El factor común de 2x⁵ - 6x⁴ +12x³ - 8x²
 2x²
 12x⁵
 x²
3. Factorar o descomponer en dos factores:
 8m² - 12mn
 2a²x + 2ax² -3ax
 25x⁷ - 10x⁵ +15x³ -5x²
 a²⁰ - a¹⁶ + a¹² - a⁸ +a⁴ - a²
 12m²n + 24m³n² - 36m⁴n³ +48m⁵n⁴
4. Identifica el caso y factoriza
 a(n+2) + n+2
 -m - n + x (m+n)
 (a+3)(a+1) -4(a+1)
 (x+m)(x+1) – (x+1)(x-n)
 X(a+2) – a – 2 + 3(a+2)

“Continental”
5. Factorar o descomponer en dos factores
 a²b³ - n⁴ + a²b³x² - n⁴x² - 3a²b³x + 3n⁴x
 3ax - 2by - 2bx - 6a + 3ay +4b
 20ax - 5bx -2by + 8ay
 2am – 2an +2a – m + n -1
 1 + a + 3ab + 3b

“Continental”
- Comprender los conceptos de factorización con sus distintos casos.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con
la factorización.
CASO III
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Teniendo en cuenta lo siguiente:
2 2 2
2 2 2
2 ( )
2 ( )
a ab b a b
a ab b a b
   
   
Podemos decir que:
Un trinomio es un cuadrado perfecto (igual al cuadrado de un binomio), cuando
dos de sus términos son cuadrados perfectos y el tercero es el doble producto
de las raíces cuadradas de dichos términos. El trinomio es el cuadrado de una
suma o de una diferencia según que el signo del doble producto sea positivo o
negativo
Así por ejemplo, el trinomio:
2 2
25 20 4x xz z 
Es un cuadrado perfecto, pues contiene dos términos cuadrados perfectos,
25x2 y 4z2. Las raíces cuadradas, (positivas), de estos términos son 5x y 2z, y
su doble producto es:
2(5 )(2 ) 20x z xz
REGLA PARA CONOCER SI UN TRINOMIO ES CUADRADO PERFECTO
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero
y tercero términos son cuadrados perfectos o tienen raíz cuadrada exacta y positivos,
y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.
LECCION Nº 3

“Continental”
Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se separan estas
raíces por el signo del segundo termino. El binomio así formado que es la raíz
cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado.
EJEMPLO:
4x² + 25y² - 20xy = 4x² - 20xy + 25y²
2(2x 5y)² = 20xy
(2x - 5y) R.
EJEMPLO
m² + 2m + 1
2(m 1) = 2m
(m + 1)² R.
EJEMPLO
a² + 2a(a - b) + (a - b)²
2[a (a - b)] = 2a (a - b)
(a + a – b) = (2a – b)² R.
CASO IV
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de
estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.
EJEMPLO
16x² - 25y⁴
(4x 5y²) = (4x + 5y²) (4x – 5y²) R.
EJEMPLO
a²ⁿ - 9b⁴ᵐ
(aⁿ 3b²ᵐ) = (aⁿ + 3b²ᵐ) (aⁿ - 3b²ᵐ) R.

“Continental”
EJEMPLO
4x² - (x + y)²
[2x (x + y)] = [2x + (x + y)] [2x – (x + y)]
(2x + x + y) (2x – x – y)
(3x + y) (x – y)R.
COMBINACIÓN DE CUADRADO PERFECTO Y DIFERENCIA DE
CUADRADOS.
Algunos polinomios pueden ser expresados como diferencias de cuadrados si
se agrupan convenientemente los términos que formen cuadrados perfectos.
Ejemplos:
a.
2 2 2 2 2 2
2 25 ( 2 ) 25a ab b m a ab b m      
  
  
2 2
( ) 25
( ) 5 ( ) 5
5 5
a b m
a b m a b m
a b m a b m
    
    
    
b.
2 2 2 2 2 2 2 2
4 6 9 4 (4 4 ) (9 6 )a c cd b d ab a ab b d cd c          
  
2 2
(2 ) (3 )
(2 ) (3 ) (2 ) (3 )
(2 3 )(2 3 )
a b d c
a b d c a b d c
a b c d a b c d
   
      
      

“Continental”
INVESTIGO
2. ¿Cuáles son las características para reconocer una diferencia de
cuadrados perfectos?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Sustracción:………………………………………………………………………………...
Trinomio:…………………………………………………………………………………….
Raíz cuadrada:……………………………………………………………………………...
Binomio:……………………………………………………………………………………..
Cuadrado perfecto:……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 3

“Continental”
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………..
Mediante diversos tipos de esquemas o diagramas realice un resumen de la
clase estudiada.

“Continental”
A la derecha de las potencias dadas, escribe la raíz cuadrada
correspondiente
 4x⁴y⁶…………………..
 9m⁴…………………….
 8z²…………………….
 121x⁶y²…………….
Escribe verdadero o falso
 Para realizar la comprobación de un trinomio cuadrado perfecto se debe
multiplicar por el triplo ………………..
 El binomio de la diferencia de cuadrados puede tener raíz, cuadrada y
cubica ……………….
Factorar o descomponer en dos factores:
1. 9 – 6x + x²
2. a⁶ - 2a³b³ + b⁶
3. 100x¹⁰ - 60a⁴x⁵y⁶ + 9a⁸y¹²
4. 1 +
2𝑏
3
+
𝑏²
9
5. 4 – 4(1-a) + (1 – a)²

“Continental”
1. a² - 25
2. 100 - x²y⁶
3. 1 - 9a²b⁴c⁶d⁸
4.
𝑎²
36
−
𝑥⁶
25
5. 4x²ⁿ -
1
9
6.
1
100
− 𝑥²ⁿ
Firma del
Profesor
Calificación Firma del
Estudiante
Fecha

“Continental”
- Comprender los conceptos de factorización con sus distintos casos.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con
la factorización
CASO V
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACION
Para factorar un trinomio cuadrado perfecto se tomara en cuenta los siguientes pasos:
1. Factorar 4a⁴ + 8a²b² + 9b⁴
La raíz cuadrada de 4a⁴ es 2a²; la raíz de 9b⁴ es 3b² y el doble producto de estas
raíces es 2 x 2a² x 3b²= 12a²b², luego este trinomio no es cuadrado perfecto porque
su segundo termino es 8a²b² y para que sea cuadrado perfecto debe ser 12a²b².
La regla a seguir para que se pueda convertir en cuadrado perfecto es sumar 4a²b² y
para que no varié le restamos igual 4a²b² y tendremos lo siguiente:
4a⁴ + 8a²b² + 9b⁴
+ 4a²b² - 4a²b²
4a⁴ + 12a²b² + 9b⁴ - 4a²b² = (4a⁴ + 12a²b² + 9b⁴ ) - 4a²b²
(2a² + 3b²) - 4a²b²
(2a² +3 b² + 2ab) (2a² +3 b² - 2ab)
(2a² + 2ab + 3b²) (2a² - 2ab + 3b²) R.
2. Factorar 49m⁴ - 151m²n⁴ + 81n⁸
Procedemos:
49m⁴ - 151m²n⁴ + 81n⁸
+ 25m²n⁴ - 25m²n⁴
49m⁴ - 126m²n⁴ + 81n⁸ - 25m²n⁴ = (49m⁴ - 126m²n² + 81n⁸) - 25m²n⁴
LECCION Nº 4

“Continental”
= (7m² - 9n⁴)² - 25m²n⁴
= (7m² - 9n⁴ + 5 mn²) (7m² - 9n⁴
- 5 mn²)
= (7m² + 5 mn²- 9n⁴) (7m²- 5
mn²- 9n⁴) R.
CASO ESPECIAL
FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS
Existen casos de suma de cuadrados que, sumándoles y restándoles una misma
cantidad, pueden llevarse al caso anterior y descomponer, por ejemplo:
Factorar: a⁴ + 4b⁴
Tenemos:
a⁴ + 4b⁴
+ 4a²b² -4a²b²
a⁴ + 4a²b² +4b⁴ - 4a²b² = (a⁴+ 4a²b² +4b⁴) - 4a²b²
(a² + 2b²)² - 4a²b²
(a² + 2b² +2ab) (a² + 2b² -2ab)
(a² +2ab +2b²) (a² -2ab +2b²) R.
CASO VI
TRINOMIO DE LA FORMA X² + bx + c
Trinomios de la forma x² +bx + c son los que cumplen las siguientes condiciones:
1. El coeficiente del primer término es 1.
2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3. El segundo termino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su
coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4. El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y
segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x² + bx + c
 El trinomio se descompone en dos factores. El primer término será x, o sea la
raíz cuadrada del primer termino del trinomio.
 En el primer factor, después de la x se escribe el signo del segundo termino del
trinomio, y en el segundo factor, después de la x se escribe el signo que resulta
de multiplicar el signo del segundo por el signo del tercer termino del trinomio.

“Continental”
 Si los dos factores binomios tienen en el medio signo igual se busca dos
números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y
cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos
números son los segundos términos del trinomio.
 Si los dos factores binomios tienen en el medio signo distinto se busca dos
números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio
y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor
de estos números se colocara en el primer binomio y el menor en el segundo
binomio.
1. FACTORAR x² + 5x + 6
 (x+ ) (x+ )
 (x+2 ) (x+3 )
 Porque 2+3= 5 2x3= 6
 (x+2 ) (x+3 ) R.
2. FACTORAR x² - 7x + 12
 (x+ ) (x+ )
 (x- 3 ) (x- 4 )
 Porque 3+4= 7 3x4= 12
 (x- 3 ) (x- 4 )
CASOS ESPECIALES
1. FACTORAR x⁴ - 5x² y⁴- 50 y⁸
 (x²- y⁴) (x²+ y⁴)
 (x²- 10y⁴ ) (x²+ 5y⁴ )
 porque 10-5= 5 10x5= 50
 (x²- 10y⁴ ) (x²+ 5y⁴)R.
2. FACTORAR x⁶ + 7x³y⁵ - 44y¹⁰
 (x³+ y⁵) (x³- y⁵)
 (x³+11y⁵) (x³ - 4y⁵)
 porque 11-4= 7 11x4= 44
 (x³+11y⁵) (x³ - 4y⁵)R.
EJEMPLOS
EJEMPLOS

“Continental”
INVESTIGO
1. ¿Escribe las características para reconocer un trinomio cuadrado
perfecto por adición y sustracción?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Cuadrado perfecto:………………………………………………………………………
Adición:…………………………………………………………………………………….
Convertir:……………………………………………………………………………........
Regla:……………………………………………………………………………………..
Caso especial:…………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 4

“Continental”
………………………………………………………………………………………...
..........................................................................................................................
………………………………………………………………………………………..
clase estudiada.

“Continental”
En cada uno de los ítems planteados, marca con una X la respuesta correcta.
El término que le falta a x² + y² para convertirse en trinomio cuadrado
perfecto es:

1. a⁴ + 2a² + 9
2. 4x⁴ - 29x² + 25
3. 36x⁴ - 109x²y² +49y⁴
4. 49 + 76n² + 64n⁴
5. 121x⁴ -133x²y⁴ +36y⁸
6. 225 + 5m² + m⁴

“Continental”
1. x⁴ + 64y⁴
2. 64 + a¹²
3. 81a² + 64b⁴
4. 1 + 4n⁴
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
Descomponer expresiones en factores diferenciando los casos de la factorización.
CASO VII
TRINOMIO DE LA FORMA ax² + bx + c
Los trinomios de la forma ax² + bx + c se diferencian de los trinomios estudiados en el
caso anterior en que el primer termino tiene un coeficiente distinto de 1.
REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA ax² + bx + c
 Buscamos dos números cuya suma o diferencia sea igual al segundo término
y cuyo producto sea igual al producto de multiplicar el primer término con el
tercer término.
 Descomponemos el primer y segundo termino en dos números que sean igual
al producto de cada termino; sin que afecte el resultado del punto anterior.
 Formamos dos factores con los términos de forma cruzada.
1. FACTORAR 9x² + 37x + 4
9x² + 37x + 4 (9x4= 36)
9x + 4 = 36x
x + 1 = x
37x
(9x + 1) (x +4) R.
2. FACTORAR 30x² + 13x -10
30x² + 13x -10 (30x10= 300)
6x -2 = -12x
5x 5 = 25x
13x
(6x+5) (5x-2)R.
LECCION Nº 5
EJEMPLOS

“Continental”
3. FACTORAR 12x² - 7x -12
12x² - 7x -12 = (12 x 12= 144)
4x - 4 = -16x
3x 3 = 9x
- 7x
(3x-4) (4x+3) R.
CASOS ESPECIALES
1. 12x²y² + xy – 20
4xy 4 = 16xy
3xy - 5 = 15xy
xy
(4xy-5) (3xy + 4) R.
2. 6x² - 11ax -10a²
3x -5a = -15 ax
2x 2a = 4 ax
11ax
(3x +2a)(2x – 5a) R.
CASO VIII
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
RECONOCER CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
1. Tener cuatro términos
2. Que el primer y el último término sean cubos perfectos.
3. Que el segundo termino sea mas o menos el triplo del cuadrado de la raíz
cubica de primer termino multiplicado por la raíz del cubica del ultimo
termino.
4. Que el tercer termino sea mas el triplo de la raíz cubica del primer termino
por el cuadrado de la raíz cubica del ultimo
Si todos los temimos de la expresión son positivos, la expresión dad es el cubo de la
suma de las raíces cubicas de su primero y ultimo termino, y si son los términos
alternativamente positivos y negativos la expresión dada es el cubo de la diferencia de
dichas raíces.
1. Factorar 1 + 12a + 48a² + 64a³
1 + 12a + 48a² + 64a³
1 4a
EJEMPLOS

“Continental”
Comprobación: 3 (1)²(4a) = 12a
3 (1) (4a)²= 48a²
(1+4a) ³ R.
2. Factorar: 64x⁹ - 240x⁶y⁴ +300x³y⁸ -125y¹²
64x⁹ - 240x⁶y⁴ +300x³y⁸ -125y¹²
4x³ 5y⁴
Comprobación: 3(4x³)² (5y⁴) = 240 x⁶ y⁴
3 (4x³) (5y⁴)²= 300x³y⁸
(4x³-5y⁴)³ R.

“Continental”
INVESTIGO
2. ¿Explica el procedimiento para factorar un trinomio de la forma ax² + bx +
c.?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Duplo:……………………………………………………………………………………...........
Factor trinomio:…………………………………………………………………………….......
Triplo:……………………………………………………………………………………………
Cubo perfecto:…………………………………………………………………………………
Raíz cubica:…………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………..............
………………………………………………………………………………………..............
……………………………………………………………………………………….............
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 5

“Continental”
estudiada.

“Continental”
En cada una de las opciones propuestas marca con una X la respuesta correcta.
El binomio 121x² - y², es igual a:
 (11x² + y) (11x² - y)
 (11x² + y) (11x² + y) (11x² - y)
 (11x+ y) (11x - y)
Identifica el caso de factorización y escribe el nombre frente a cada expresión
 x² - y …………………………………………………………………………..
 x² + 7x + 12 …………………………………………………………………..
 w² + 64 ………………………………………………………………………..
 x + 31x²y² + 400y …………………………………………………………..
7. 12m² -13mn -35
8. 21x² +11x -2
9. 4n² + n - 33
10. 8a² -14a-15
11. 20n² - 9n - 20
12. 44n + 20n² -15
5. 8a³ - 36a²b +54ab² -27b³

“Continental”
6. a⁶ + 3a⁴b³ +3a²b⁶ +b⁹
7. 1 + 18a²b³ +108a⁴b⁶ + 216a⁶b⁹
8. x³ - 3x² +3x + 1
9. 27m³ + 108m²n +144mn² + 64n³
10. 125x³ + 1 +75 x² + 15x
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
Comprender los conceptos de factorización con sus distintos casos.
Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la factorización
CASO IX
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
REGLA
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores
1. La suma de sus raíces cubicas.
2. El cuadrado de la primera raíz menos el producto de las os raíces, mas
el cuadrado de la segunda raíz.
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores
1. La diferencia de sus raíces cubicas
2. El cuadrado de la primera cantidad, mas el producto de las dos raíces,
mas el cuadrado de la segunda raíz.
Factorar: a³ - 8
La raíz cubica de a³ es a; la raíz cubica 8 es 2. Según la regla 2:
a³ - 8= (a - 2) [a²+2(a) + 2²]= (a-2) (a²+2ª +4) R.
Factorar: 27m⁶ + 64n⁹
27m⁶ + 64n⁹ = (3m² +4n³) [9m⁴ - (3m²) (4n³) +16n⁶]
(3m² + 4n³) (9m⁴ - 12m²n³ +16n⁶) R.
LECCION Nº 6
EJEMPLOS

“Continental”
CASOS ESPECIALES
Factorar: (a – b)³ - (a + b)³
(a-b) ³ - (a+b) ³= [(a-b) - (a+b)] [(a-b) ² + (a-b) (a+b) + (a+b) ²]
= (a-b-a-b) (a² - 2ab +b² +a² -b² + a² + 2ab + b²)
Reduciendo: (-2b) (3a² + b²) R.
CASO X
SUMA O DIFRENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
Factorar: m⁵ + n⁵
m⁵ + n⁵= (m + n) (m⁴ - m³n + m²n² -m n³ + n⁴) R.
Factorar: x⁵ + 32
x⁵ + 32= (x + 2) (x⁴- 2x³ +4x² - 8x + 16) R.
Factorar: 1 - x⁵
1 - x⁵= (1 –x) (1+ x+x²+x³ +x⁴) R.
1. aᶯ - bᶯ es divisible por a – b siendo n par o impar
2. aᶯ + bᶯ es divisible por a + b siendo n impar
3. aᶯ - bᶯ es divisible por a + b cuando n es par
4. aᶯ + bᶯ nunca es divisible por a –b

“Continental”
INVESTIGO
1. ¿Explica el procedimiento para factorar una suma o diferencia de dos
potencias iguales?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Potencia:……………………………………………………………………………………......
Impar:…………………………………………………………………………….......................
Igual:…………………………………………………………………………………………….
Cubo perfecto:…………………………………………………………………………………
Teorema del
residuo:…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 6

“Continental”
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
clase estudiada.

“Continental”
En cada uno de los ítems planteados, marca con una X la respuesta correcta.
La suma de cubos 8 + x, es igual a:
 (2 – x) (4+ 2x + x²)
 (2 – x) (2 + x)
 (2 + x) (4 - 2x + x²)
Escriba verdadero o falso según corresponda
 Cada caso de factorización se puede resolver mediante procesos
iguales………………
 En todos los casos de factorización estudiados como requisito
indispensable se debe obtener las raíces perfectas……………
 En la resta de potencias iguales impares todos los signos son
positivos…………
1. x¹² + y¹²
2. 1 – 27a³b³
3. a³ + 8b¹²
4. 8x⁶ + 729
5. 8x⁹ - 125y³z⁶
6. 27m⁶ + 343n⁹

“Continental”
7. 216 - x¹²
1. 1 +x⁷
2. x⁷ - y⁷
3. a⁷ + 2187
4. 1 – 128a⁷
5. x¹⁰ + 32y⁵
6. 1 + 128 x¹⁴
7. m⁷ - a⁷x⁷
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
 Comprender los conceptos de factorización con sus distintos casos.
 Aplicar los métodos, reglas y conocimientos para resolver ejercicios de
factorización identificando cada caso.
Después de haber estudiado los diez casos dentro de la descomposición factorial
aplicaras todos tus conocimientos adquiridos y asimilados a través de la resolución de
los siguientes ejercicios en los cuales existe una mezcla de todos los casos; analiza
cada ejercicio recuerda las características de cada caso identifícalo correctamente y
soluciónalo según los métodos aprendidos en las unidades anteriores.
Estudiaste exitosamente las unidades anteriores de seguro será muy fácil realizar la
siguiente miscelánea, este es un refuerzo que lograra hacer mas significativos tus
conocimientos para que no los olvides porque serán de mucho apoyo en las unidades
siguientes.
¿Cómo hacemos para reconocer los distintos casos de factorización?
Para reconocer los casos de factorización no existe una regla especifica, existe un
conocimiento de los conceptos, procesos, y práctica suficiente; puede guiarse
observando lo siguiente:
 Si el polinomio dado esta ordenado o no, en caso contrario se debe iniciar
ordenándolo.
 El numero de términos que tiene el polinomio
 Si los términos son cuadrados, cubos u otra potencia.
 Los signos que separan los términos
 Finalmente se clasifica a cada polinomio en: factor común, binomios, trinomios
u otros
Te ayudaremos con algunos ejercicios para que recuerdes:
LECCION Nº 7

“Continental”
1. FACTORAR 9x² + 37x + 4 trinomio de la forma ax² + bx + c
9x² + 37x + 4 (9x4= 36)
9x + 4 = 36x
x + 1 = x
37x
(9x + 1) (x +4) R.
2. Factorar 1 + 12a + 48a² + 64a³ cubo perfecto de binomios
1 + 12a + 48a² + 64a³
2 4a
Comprobación: 3 (1)²(4a) = 12a
3 ( 1) (4a)²= 48a²
(1+4a) ³ R.
3. Factorar 49m⁴ - 151m²n⁴ + 81n⁸ trinomio cuadrado por adición y
sustracción
Procedemos:
49m⁴ - 151m²n⁴ + 81n⁸
+ 25m²n⁴ - 25m²n⁴
49m⁴ - 126m²n⁴ + 81n⁸ - 25m²n⁴ = (49m⁴ - 126m²n² + 81n⁸) - 25m²n⁴
= (7m² - 9n⁴)² - 25m²n⁴
= (7m² - 9n⁴ + 5 mn²) (7m² - 9n⁴
- 5 mn²)
= (7m² + 5 mn²- 9n⁴) (7m²- 5
mn²- 9n⁴) R.
4. Factorar 4x² + 25y² - 20xy = 4x² - 20xy + 25y² trinomio cuadrado
perfecto.
2(2x 5y)² = 20xy
(2x - 5y) R.
EJEMPLOS

“Continental”
INVESTIGO
3. ¿Qué es el máximo común divisor, escribe un ejemplo?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Cociente:……………………………………………………………………………………......
Miscelánea:……………………………………………………………………………..............
Analizar:………………………………………………………………………………………….
Descomposición factorial:…………………………………………………………………
Expresión matemática.:……………………………………………………………………….
Con ayuda del diccionario escriba el significado de palabras no asimiladas en la
lección, para mejorar su comprensión.
………………………………………………………………………………………................
………………………………………………………………………………………................
……………………………………………………………………………………….................
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 7

“Continental”
estudiada.

“Continental”
Complete:
 Un trinomio cuadrado perfecto presenta raíces……………perfectas; el primer y
tercer términos tienen signos………………..
 El trinomio de la forma ax² + bx + c presenta el primer termino un……………..
distinto que uno.
Elija la respuesta correcta:
Un ejemplo de diferencia de cuadrados perfectos es:
 8x⁴ - 9y²
 81x⁴ -64y⁴
 81x⁹ - 64y⁶
1. x⁵ + m⁵
2. 16a² - 24ab +9b²
3. 25x⁴ - 81y²
4. 1 + (a -3b)³
5. n² + n -42

“Continental”
6. 7x² + 31x – 20
7. 6m⁴ + 7m² - 20
8. x⁶ - 4x³ - 480
9. 4a²ⁿ b⁴ⁿ
10. 49x² - 77x +30
11. 9x²y³ - 27x³y³ - 9x⁵y³
12. a⁶ -3a³b – 54b²
13. 9x²- 6xy +y²

“Continental”
14. x⁸ - 6x⁴y⁴ + y⁸
15. 125a⁶ + 1
16. 4 + 4(x-y) + (x-y)²
17. x² + 2xy -15y²
18. 18ax⁵y³ - 36x⁴y³ - 54x²y⁸
19. m⁴+m²n² +n⁴
20. (a+m)² - (b+n)²

“Continental”
21. 729 -125x³y¹²
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN
MULTIPLO
Buscar y reconocer el mínimo común múltiplo y máximo común divisor de un
grupo de ejercicios aplicando todos los conocimientos adquiridos como punto
de partida para el respectivo estudio.
FACTOR COMUN DIVISOR
El factor común o divisor común de dos o más expresiones algebraicas es toda
expresión algebraica que está contenida exactamente en cada una de las
primeras.
Así, x es divisor común de 2x y x²; 5a²b es divisor común de 10aᶟb² y 15a⁴b.
Una expresión algebraica es prima cuando solo es divisible por ella y por la
unidad.
Así, a,b,a + b y 2x – 1 son expresiones primas.
MAXIMO COMUN DIVISOR
REGLA
Se halla el m.c.d de los coeficientes y a continuación de este se escriben las
letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que tengan en las
expresiones dadas.
1. Hallar el m.c.d de a²x² y 3aᶟbx
Las letras comunes son a y x. Tomamos con su menor exponente. El m.c.d
será a²x.R.
LECCION Nº 8
EJEMPLOS

“Continental”
2. Hallar el m.c.d de 36a²b⁴, 48aᶟbᶟc, 60a⁴bᶟm.
Las letras comunes son a y b. tomamos su menor exponente y sus numero
común es 12, entonces el m.c.d será 12a²b³ R.
M.C.D DE POLINOMIOS POR DESCOMPOSICION
REGLA
Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El m.c.d es el
producto de los factores comunes con su menor exponente.
Hallar el m.c.d de 4a² + 4ab y 2a⁴ – 2a²b².
Factorando estas expresiones
4a² + 4ab = 4a(a + b)
2a⁴ – 2a²b² = 2a² (a² - b²) = 2a²(a+b) (a-b)
m.c.d= 2a (a+b) R.
Hallar el m.c.d de 9aᶟx² + 9x², 6aᶟx² - 12a²x² - 18ax², 6a⁴x + 21aᶟx + 15a²x
9aᶟx² + 9x² = 9x² (aᶟ + 1) = 9x²(a+1) (a²- a + 1)
6aᶟx² - 12a²x² - 18ax² = 6ax² (a² – 2a- 3) = 6ax² (a – 3) (a + 1)
6a⁴x + 21aᶟx + 15a²x = 3a²x (2a² + 7a + 5) = 3a²x (2a + 5) (a+1)
m.c.d= 3x(a+1) R.
MINIMO COMUN MULTIPLO
El mínimo común múltiplo de dos expresiones algebraicas es toda expresión
algebraica que es divisible exactamente por cada una de las expresiones
dadas.
REGLA
Se halla el m.c.m de los coeficientes y a continuación de este se escriben todas
las letras distintas, sean o no comunes, dando a cada letra el mayor exponente
que tengan en las expresiones dadas.
EJEMPLOS

“Continental”
1. Hallar el m.c.d de 10a³x, 36a²mx² y 24b²m⁴
360a³b²m⁴x² R.
2. Hallar el m.c.m de 8ab²c y 12a³b²
24a³b²c R.
M.C.M DE POLINOMIOS
REGLA
Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos. El m.c.m es
el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor
exponente.
1. Hallar el m.c.m de x³ + 2bx², x³y – 4b²xy, x²y² +4bxy² +4b²y²
x³ + 2bx² = x² (x + 2b)
x³y – 4b²xy = xy (x² - 4b²) = xy (x+2b) (x-2b)
x²y² +4bxy² +4b²y² = y² (x² + 4bx +4b²) = y² (x + 2b)²
m.c.m = x²y² (x+2b)² (x-2b) R.
2. Hallar el m.c.m de (a - b)², a² - b², ( a + b)², a² + b²
(a - b) ² = (a - b) ²
a² - b² = (a + b) (a – b)
(a + b) ² = (a + b) ²
a² + b² = (a² + b²) R. (a + b) ² (a- b) ² (a² + b²)
EJEMPLOS

“Continental”
INVESTIGO
4. ¿Mediante el conocimiento adquirido del m.c.m y m.c.d que operaciones
posteriores se puede realizar?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Divisor:……………………………………………………………………………………..........
Máximo:……………………………………………………………………………...................
Mínimo:…………………………………………………………………………………………..
Múltiplo:………………………………………………………………………………………….
Coeficiente:…………………………………………………………………………………......
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 8

“Continental”
clase estudiada.

“Continental”
En cada una de las respuestas propuestas señale la opción correcta con una X.
El divisor común máximo de 12m³n y 8m²n⁴ es:
 24m³n⁴
 4m²n
 6m³n⁴
Si se cambian dos signos de una fracción, su valor es:
 Es de diferente signo
 No se altera
 Es el doble
Una fracción esta reducida cuando el numerador y el denominador:
 Tienen el mismo signo
 No tiene factores comunes
 Tiene factores comunes
Hallar, por descomposición en factores, el m.c.d de:
13.38a²x⁶y⁴, 76mx⁴y⁷ , 95x⁵y⁶
14.12x²yz³, 18xy²z, 24x³yz²
15.2x³ - 2x², 3x² -3x , 4x³ - 4x²
16.4a² - b², 8a³ + b³, 4a² + ab + b²

“Continental”
17.3x² - x, 27x³ - 1, 9x² - 6x + 1, 3ax – a + 6x - 2
18.4x⁴ - y², (2x² - y)²
Hallar el m.c.m de:
11.4ab, 6a², 3b²
12.6a², 9x, 12ay², 18x³y
13.x³ - y³, (x – y)³
14.6a²+ 13a + 6, 3a² + 14a + 8, 4 + 12a + 9a²

“Continental”
15.12mn + 8m – 3n – 2, 48m²n – 3n +32m² - 2, 6n² - 5n – 6
16.m³ - 27n³, m² - 9n², m² - 6mn +9n², m² + 3mn + 9n²
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
Adición y sustracción de fracciónes hómógeneas
Ejecutar el algoritmo apropiado para la adición y sustracción de fracciones
homogéneas.
Antes de iniciar nuestro estudio con las fracciones homogéneas debemos dominar las
siguientes operaciones las mismas, que nos servirán de mucha ayuda al resolver
posteriores operaciones con fracciones.
SIMPPLIFICACION DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS SEAN MONOMIOS
REGLA:
Se dividen el numerador con el denominador por sus factores comunes hasta que
sean primos entre si.
Ejemplo 1: simplificar
4𝑎²𝑏⁵
6𝑎³𝑏³𝑚
Tendremos:
4𝑎²𝑏⁵
6𝑎³𝑏³𝑚
= 2𝑎2
𝑏³ =
2𝑏²
3𝑎𝑚
R.
Hemos dividido 4 y 6 entre 2 y obtuvimos 2 y 3: a² y a³ entre a² y obtuvimos los
cocientes 1 y a; b⁵ y b³ entre b³ y obtuvimos los cocientes b² y 1. Como 2b² y 3am no
tienen ningún factor común, esta fracción que resulta es irreducible.
9 𝑥³𝑦³
36𝑥⁵𝑦⁶
9 𝑥³𝑦³
36𝑥⁵𝑦⁶
= 9x³y³ =
1
4𝑥²𝑦³
R.
Obsérvese, que cuando se simplifica desaparecen todos los factores del numerador,
queda en el 1, que no puede suprimirse. Si desaparecen todos los factores del
denominador, queda en este 1, que puede suprimirse.
SIMPLIFICCION DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS SEAN POLINOMIOS.
REGLA
Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprime los factores
comunes al numerador y denominador.
LECCION Nº 9
EJEMPLOS

“Continental”
2𝑎²
4𝑎²−4𝑎𝑏
Factorando el denominador, se tiene:
2𝑎²
4𝑎²−4𝑎𝑏
=
2𝑎²
4𝑎(𝑎−𝑏)
=
𝑎
2(𝑎−𝑏)
R.
3𝑥³−12𝑥−𝑥2 𝑦+4𝑦
𝑥4−5𝑥3−14𝑥²
=
3𝑥³−12𝑥−𝑥2 𝑦+4𝑦
𝑥4−5𝑥3−14𝑥²
=
3𝑥(𝑥2−4)−𝑦(𝑥2+4)
𝑥²(𝑥²−5𝑥−14)
=
(𝑋2−4)(3𝑋−𝑌)
𝑥²(𝑥−7)(𝑋+2)
=
(𝑥+2)(𝑥−2)(3𝑥−𝑦)
𝑥²(𝑥−7)(𝑥+2)
=
(𝑥−2)(3𝑥−𝑦)
𝑥²(𝑥−7)
R.
ADICION Y SUSTRACCION DE FRACCIONES HOMOGENEAS
Regla
1. Se suman o se restan según el caso los denominadores de las fracciones que
resulten y se parte esta suma por le denominador común.
2. Se reducen términos semejantes en el numerador.
3. Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.
Ejemplo 1:
3𝑥
𝑦
+
5𝑥
𝑦
Realcemos:
3𝑥
𝑦
+
5𝑥
𝑦
=
3𝑥+5𝑥
𝑦
=
8𝑥
𝑦
Ejemplo 2:
8−5𝑥
3−𝑥
+
2+3𝑥
3−𝑥
Realicemos:
8−5𝑥
3−𝑥
+
2+3𝑥
3−𝑥
=
8−5𝑥+(2+3𝑥)
3−𝑥
=
10−2𝑥
3−𝑥
=
2(5−𝑥)
3−𝑥
R.
Ejemplo 3:
8−5𝑥
𝑥−3
−
2−3𝑥
𝑥−3
Realicemos:
8−5𝑥
𝑥−3
−
2−3𝑥
𝑥−3
=
8−5𝑥−(2−3𝑥)
𝑥−3
=
8−5𝑥−2+3𝑥
𝑥−3
=
8−5𝑥−2+3𝑥
𝑥−3
=
6−2𝑥
𝑥−3
=
2(3−𝑥)
𝑥−3
=
−2(3−𝑥)
𝑥−3
= -2 R.
Adición y sustracción de fracciones heterogéneas
Para realizar operaciones con fracciones heterogéneas se requiere transformarlas en
fracciones homogéneas. Para realizar esto debemos buscar el múltiplo común mínimo
de los denominadores y luego procedemos a amplificar las fracciones.
El procedimiento para encontrar el múltiplo común mínimo es ya conocido, lo
aprendimos en la unidad anterior los primeros temas.
EJEMPLOS
EJEMPLOS

“Continental”
OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA
REGLA GENERAL PARA SUMAR FRACCIONES
 Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
 Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador.
 Se efectúan las multiplicaciones indicadas.
 Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma
por el denominador común.
 Se reducen los términos semejantes en el numerador
 Se simplifica la fracción que resulte si es posible.
EJEMPLO 1:
𝑥−4𝑎
2𝑎𝑥
+
𝑥−2
5𝑥²
+
1
10𝑥
El m.c.m de los denominadores es 10ax². Dividiendo 10ax² entre cada denominador y
multiplicando los cocientes por el numerador respectivo, tenemos:
𝑥−4𝑎
2𝑎𝑥
+
𝑥−2
5𝑥²
+
1
10𝑥
=
5𝑥(𝑥−4𝑎)+2𝑎(𝑥−2)+𝑎𝑥
10𝑎𝑥²
=
Multiplicando =
5𝑥²−20𝑎𝑥+2𝑎𝑥−4𝑎+𝑎𝑥
10𝑎𝑥²
(Reduciendo términos semejantes) =
5𝑥²−17𝑎𝑥−4𝑎
10𝑎𝑥²
R.
EJEMPLO 2:
𝑎−1
𝑎²−4
+
𝑎−2
𝑎²−𝑎−6
+
𝑎+6
𝑎²−5𝑎+6
Hallemos el m.c.m de los denominadores
a²- 4= (a+2)(a-2)
a²- a – 6= (a-3) (a+2) m.c.m= (a+2) (a-2) (a-3).
a²- 5 + 6= (a-3) (a-2)
Dividiendo el denominador común (a+2) (a-2) (a-3) entre la descomposición de cada
denominador, y multiplicando los cocientes por los numeradores respectivos,
tendremos.
𝑎−1
𝑎²−4
+
𝑎−2
𝑎²−𝑎−6
+
𝑎+6
𝑎²−5𝑎+6
=
(𝑎−1)(𝑎−3)+(𝑎−2)2+(𝑎+6)(𝑎+2)
(𝑎+2)(𝑎−2)(𝑎−3)
=
EJEMPLOS

“Continental”
𝑎²−4𝑎+3+𝑎2−4𝑎+4+𝑎2+8𝑎+12
(𝑎+2)(𝑎−2)(𝑎−3)
=
3𝑎²+19
(𝑎2−4)(𝑎−3)
R.
RESTA
REGLA GENERAL PARA RESTAR FRACCIONES
 se simplifican las fracciones dadas si es posible.
 Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador.
 Se efectúan las multiplicaciones indicadas
 Se restan los numeradores y la diferencia se parte por el denominador común.
 Se reducen términos semejantes en el numerador.
 Se simplifica el resultado si es posible.
EJEMPLO 1:
𝑥²+3𝑥−2
2𝑥²
−
2𝑥+5
4𝑥
=
El m.c.m de los denominadores es 4x²
Tendremos:
𝑥²+3𝑥−2
2𝑥²
−
2𝑥+5
4𝑥
=
2(𝑥2+3𝑥−2)−𝑥(2𝑥+5)
4𝑥²
=
Multiplicando =
2𝑥²+6𝑥−4−2𝑥2−5𝑥
4𝑥²
=
Reduciendo =
𝑥−4
4𝑥²
R.
Ejemplo 2:
4²−1
2𝑥²−8
−
(𝑥+1)2
𝑥2+4𝑥+4
−
𝑥+3
𝑥−2
=
Hallamos el denominador común:
2x²-8= 2(x²-4) = 2(x-2) (x+2)
X²+4x+4= (x+2)² m.c.m= 2(x+2)²(x-2)
x-2= (x-2)
Dividiendo 2(x+2)²(x-2) entre la descomposición de cada denominador, tenemos:
4𝑥²−1
2𝑥²−8
−
(𝑥+1)2
𝑥2+4𝑥+4
−
𝑥+3
𝑥−2
=
(𝑥+2)(4𝑥2−1)−2(𝑥−2)(𝑥+1)2−2(𝑥+2)²(𝑥+3)
2(𝑥+2)²(𝑥−2)
=
=
(𝑥+2)(4𝑥2−1)−2(𝑥−2)(𝑥2+2𝑥+1)−2(𝑥2+4𝑥+4)(𝑥+3)
2(𝑥+2)²(𝑥−2)
EJEMPLOS

“Continental”
=
4𝑥³+8𝑥²−𝑥−2−2(𝑥3−3𝑥−2)−2(𝑥3+7𝑥2+16𝑥+12)
2(𝑥+2)²(𝑥−2)
=
4𝑥3+8𝑥3−𝑥−2−2𝑥3+6𝑥+4−2𝑥3−14𝑥2−32𝑥−24
2(𝑥+2)²(𝑥−2)
Reduciendo =
−6𝑥2−27𝑥−22
2(𝑥+2)²(𝑥−2)
=
6𝑥²+27𝑥+22
2(𝑥+2)²(𝑥−2)
R.

“Continental”
INVESTIGO
1. ¿Utilizando tus propias palabras elabora una regla práctica para adicionar
fracciones con distinto denominador?
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
GLOSARIO
Heterogéneo:……………………………………………………………………………………............
Mínimo común múltiplo:…………………………………………………………………………..
Cocientes:………………………………………………………………………………………………….
Métodos:…………………………………………………………………………………………………….
Descomponer:…………………………………………………………………………………………….
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 9

“Continental”
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
estudiada.

“Continental”
Para transformar fracciones heterogéneas a fracciones homogéneas, primero
buscamos el:
 Divisor común máximo
 Denominador común mínimo
 Numerador común máximo
Complete:
El m.c.m significa…………………………………………………………………………………………………
El m.c.d significa………………………………………………………………………………………………….
Realiza las siguientes sumas de fracciones:
1.
𝑚−𝑛
𝑚𝑛
+
𝑛−𝑎
𝑛𝑎
+
2𝑎−𝑚
𝑎𝑚
=
2.
1
𝑎𝑏
+
𝑥²−2
5𝑥²
+
2−𝑥³
9𝑥³
=
3.
1
𝑥−1
+
1
(𝑥−1)(𝑥+2)
+
𝑥+1
(𝑥−1)(𝑥+2)(𝑥+3)
=

“Continental”
4.
𝑥−2
2𝑥²−5𝑥−3
+
𝑥−3
2𝑥²−3𝑥−2
+
2𝑥−1
𝑥²−5𝑥+6
=
Realiza las siguientes restas de fracciones:
1.
𝑚+𝑛
𝑚−𝑛
−
𝑚²+𝑛²
𝑚²−𝑛²
= =
2.
𝑏
𝑎+3𝑏
−
𝑎²+4𝑎𝑏−3𝑏²
𝑎²−9𝑏²
=
3.
𝑥
𝑥𝑦−𝑦²
−
1
𝑦
=

“Continental”
4.
1
4𝑎+4
−
1
8𝑎−8
−
1
12𝑎²+12
=
5.
3
𝑥²+𝑥+1
−
𝑥+2
(𝑥−1)2
−
1−9𝑥
(𝑥2−1)(𝑥−1)

“Continental”
 Aplicar métodos y técnicas adecuadas para resolver ejercicios
fraccionarios con operaciones combinadas adicción, sustracción,
multiplicación y división.
SUMA Y RESTA COMBINADA DE FRACCIONES
Para realizar operaciones de fracciones combinadas se utiliza los mismos
métodos estudiados anteriormente, en este caso la suma y resta se
combinaran en los ejercicios.
EJEMPLO 1: simplificar
𝑥−2
𝑥²−𝑥
−
𝑥+3
𝑥²+3𝑥−4
+
𝑥²+12𝑥+16
𝑥4+3𝑥³−4𝑥²
Hallemos el denominador común:
x²-x = x(x-1)
X²+3x-4 = (x+4)(x-1)
x⁴+3x³-4x² = x²(x²+3x-4)=x²(x+4) (x-1)
m.c.m = x²(x-1)(x+4)
Tendremos:
𝑥−2
𝑥²−𝑥
−
𝑥+3
𝑥²+3𝑥−4
+
𝑥²+12𝑥+16
𝑥4+3𝑥³−4𝑥²
=
𝑥(𝑥+4)(𝑥−2)−𝑥2(𝑥+3)+𝑥2+12𝑥+16
𝑥²(𝑥−1)(𝑥+4)
Multiplicando =
𝑥³+2𝑥²−8𝑥−𝑥3−3𝑥2+𝑥2+12𝑥+16
𝑥²(𝑥−1)(𝑥+4)
Reduciendo=
4𝑥+16
𝑥²(𝑥−1)(𝑥−4)
Simplificando =
4(𝑥+4)
𝑥²(𝑥−1)(𝑥−4)
=
4
𝑥²(𝑥−1)
R.
EJEMPLO 2:
𝑥
𝑥²−5𝑥+6
−
1
2−𝑥
−
2𝑥
(3−𝑥)(1−𝑥)
Hallemos el m.c.m
𝑥² − 5𝑥 + 6= (x-3)(x-2)
2-x = x-2
(3-x)(1-x) = (x-3) (x-1)
m.c.m = (x-1) (x-2) (x-3)
Tendremos =
𝑥
𝑥²−5𝑥+6
+
1
2−𝑥
−
2𝑥
(3−𝑥)(1−𝑥)
=
𝑥(𝑥−1)+(𝑥−1)(𝑥−3)−2𝑥(𝑥−2)
(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)
LECCION Nº 10
EJEMPLOS

“Continental”
Multiplicando =
𝑥²−𝑥+𝑥2−4𝑥+3−2𝑥2+4𝑥
(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)
Reduciendo =
−𝑥+3
(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)
Simplificando =
𝑥−3
(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)
=
1
(1−𝑥)(𝑥−2)
R.
MULTIPLICACION
REGLA GENERAL PARA MULTIPLICAR FRACCIONES
 Se descomponen en factores, todo lo posible, los términos de las
fracciones que se van a multiplicar.
 Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y
denominadores.
 Se multiplican entre si las expresiones que quedan en los numeradores
después de simplificar, y este producto se parte por el producto de las
expresiones que queden en los denominadores.
EJEMPLOS

“Continental”
DIVISION
REGLA GENERAL PARA DIVIDIR FRACCIONES
 Se reducen a fracciones y se dividen como tales.
EJEMPLOS

“Continental”
INVESTIGO
1. ¿La regla para dividir fracciones algebraicas es la misma para
dividir números fraccionarios por qué?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
GLOSARIO
Dividendo:……………….………………………………………………………………………
Divisor:……………………..……………………………………………………………………
Invertir:…………………………………………………………………………………………..
Suprimir:…………………………………………………………………………………………
Simplificar:……….……………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 10

“Continental”
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………….
clase estudiada.

“Continental”
Complete:
El múltiplo común mínimo de dos o mas números, es el menor
numero……………………………………………………………………………………
Para dividir fracciones homogéneas se cambia el……………………………….y
se invierte……………………………………………………….
Cite las operaciones algebraicas que requieren calcular el mínimo común
denominador.
……………………………..
…………………………….
Cite las operaciones algebraicas que no requieren calcular el mínimo común
denominador.
…………………………….
…………………………….
Realiza las siguientes operaciones combinadas
1.
𝑎−𝑏
𝑎²+𝑎𝑏
+
𝑎+𝑏
𝑎𝑏
−
𝑎
𝑎𝑏+𝑏²
=
2.
1
𝑎𝑥
−
1
𝑎2+𝑎𝑥
+
1
𝑎+𝑥
=

“Continental”
3.
𝑎³
𝑎³+1
+
𝑎+3
𝑎²−𝑎+1
−
𝑎−1
𝑎+1
4.
3𝑥+2
𝑥²+3𝑥−10
−
5𝑥+1
𝑥2+4𝑥−5
+
4𝑥−1
𝑥²−3𝑥+2
=
5.
2+3𝑎
2−3𝑎
−
2−3𝑎
2+3𝑎
−
𝑎
(2−3𝑎)²
=

“Continental”
Realizar los siguientes ejercicios.
1 − 𝑥
𝑎 + 1
𝑥
𝑎² + 𝑎
𝑥 − 𝑥²
𝑥
𝑥²
𝑎
𝑥² + 2𝑥
𝑥² − 16
𝑥
𝑥² − 2𝑥 − 8
𝑥³ + 𝑥²
𝑥
𝑥² + 4𝑥
𝑥² + 4𝑥 + 4
𝑎² − 5𝑎 + 6
3𝑎 − 15
𝑥
6𝑎
𝑎² − 𝑎 − 30
𝑥
𝑎² − 25
2𝑎 − 4

“Continental”
2𝑎³ + 2𝑎𝑏²
2𝑎𝑥² − 2𝑎𝑥
𝑥
𝑥³ − 𝑥
𝑎²𝑥 + 𝑏²𝑥
𝑥
𝑥
𝑥 + 1
𝑥² − 3𝑥𝑦 − 10𝑦²
𝑥² − 2𝑥𝑦 − 8𝑦²
𝑥
𝑥² − 16𝑦²
𝑥² + 4𝑥𝑦
𝑥
𝑥² − 6𝑥𝑦
𝑥 + 2𝑦
Realizar las siguientes divisiones de fracciones.
1.
𝑎4−1
𝑎³+𝑎²
÷
𝑎4+4𝑎²+3
3𝑎³+9𝑎

“Continental”
2.
𝑥³+125
𝑥²−64
÷
𝑥³−5𝑥2+25𝑥
𝑥²+𝑥−56
3.
16𝑥²−24𝑥𝑦+9𝑦²
16𝑥−12𝑦
÷
64𝑥³−27𝑦³
32𝑥²+24𝑥𝑦+18𝑦²
4.
𝑎²−6𝑎
𝑎³+3𝑎²
÷
𝑎²+3𝑎−54
𝑎²+9𝑎
5.
15𝑥²+7𝑥−2
25𝑥³−𝑥
÷
6𝑥²+13+6
25𝑥²+10𝑥+1

“Continental”
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
REPRESENTACION DE LAS FUNCIONES LINEALES
OBJETIVOS
 Comprender los conceptos y aplicar los procesos para la resolución de
problemas relacionados con las funciones lineales.
 Conocer las características y la utilización del sistema rectangular de
coordenadas cartesianas.
SISTEMA RECTANGULAR DE COORDENADAS CARTESIANAS
El sistema rectangular de coordenadas cartesianas esta formado por dos líneas
rectas que se cortan en el punto O formando un ángulo recto.
La línea XOX se llama eje de las x o eje de las abscisas y la línea YOY se
llama ejes de las y o eje de las ordenadas. El punto O se llama origen de las
coordenadas.
Los ejes dividen al plano en cuatro regiones que se llaman cuadrantes, los
mismos que se encuentran nominados en sentido contrario a las manecillas del
reloj (l, ll, lll, IV).
SIGNO DE LAS COORDENADAS
Las abscisas del punto O hacia la derecha son positivas y hacia la izquierda
son negativas.
Las ordenadas del punto O hacia arriba son positivas y hacia abajo son
negativas.
DETERMINACION DE UN PUNTO POR SUS COORDENADAS
Las coordenadas de un punto determinan el punto.
1. Determinar el punto cuyas coordenadas son 2 y 3.
Siempre, el numero que se da primero es la abscisa y el segundo la ordenada.
La notación empleada para indicar que la abscisa es 2 y la ordenada es 3
LECCION Nº 11

“Continental”
Es “punto (2,3)”. Y (+)
II I
(-)X O X (+)
III IV
Y (-)
DEFINICION DE FUNCION LINEAL
Se denomina función lineal a toda función representada por una ecuación de la
forma f(x)=mx+b, en donde m y b son constantes.
Las cantidades que intervienen en una cuestión matemática son constantes
cuando tienen un valor fijo y determinado y son variables cuando toman
diversos valores.
En la práctica también se acostumbra a expresar a una función, a través de la
regla o propiedad (ecuación) que la caracteriza.
Ejemplos:
f(x)= 3x² +2x - 2 o simplemente y = 3x² +2x - 2
f(x)= x-2 o simplemente y= x-2
En una función, a la letra x se la conoce como variable independiente y a la
letra y o f(x) como variable dependiente.
Ejemplos:
f(x) = 2x – 2
Variable dependiente variable independiente
y = 2x – 2
Variable dependiente variable independiente
EJEMPLOS: grafiquemos la función f(x) = 3x -2

“Continental”
CALCULO
X f(X) (-3, -11) f(x) = 3x - 2
-3 -11 ( -2, -8 ) f(-3)= 3 (-3) -2
-2 -8 ( -1,-5 ) - 9 - 2
-1 -5 ( 0, -2 ) R= -11
0 -2 ( 1, 1 )
1 1 ( 2, 4 ) (x) se reemplaza por valores determinados.
2 4 ( 3, 7 )
3 7
TABLA DE VALORES Pares Ordenados
Y
f(x) = 3x-2
O X
Gráfica a través de la intersección con los ejes
Para obtener la grafica de una función lineal a través de la intersección con los ejes,
debemos encontrar los puntos de intersección de la recta con los ejes del sistema y
luego unir dichos puntos de intersección.
Los puntos de intersección se obtienen de la siguiente manera:
1. El punto de intersección con el eje X, se obtiene reemplazando y=0 o f(x)=0 en
la función dada y luego despejando o hallando las abscisa x.
2. El punto de la intersección con el eje Y o eje f(x), se obtiene reemplazando x=0
en la función dada y luego despejando o hallando la ordenada y.
Ejemplo: Grafiquemos la función lineal f(x)=2x – 4, a través de la intersección con los
ejes.

“Continental”
Punto de intersección con el eje x
Hacemos f(x) =0 y hallamos x.
f(x) = 2x – 4
0= 2x – 4
-2x = - 4
2x = 4
x = 2
Entonces, el punto de intersección con el eje X es P (2,0).
Punto de intersección con el eje f(x)
Hacemos x = 0 y hallamos f(x)
f(x) = 2x – 4
f(x) = 2 (0) – 4
f(x) = 0 – 4
f(x) = - 4
Para construir la grafica, representamos los dos puntos de intersección en el sistema
cartesiano y luego trazamos la recta que pasa por esos dos puntos.
P (2,0) y Q (0, -4)

“Continental”
Se puede emplear f(x) o y para denotar la variable dependiente de una función lineal.
Se utiliza con mayor frecuencia la notación “y”

“Continental”
INVESTIGO
1. ¿Explica a través de un ejemplo, sobre la variable dependiente y
la variable independiente de una función lineal?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Coordenadas:……………….…………………………………………………………………..
Eje:……………………..…………………………………………………………………………
Recta:……………………………………………………………………………………………..
Cuadrantes:……………………………………………………………………………………..
Ecuación:……….…………………………………………………………………………….....
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 11

“Continental”
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………..
clase estudiada.

“Continental”
1. Complete:
Una función
es:…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………….
El eje de las abscisas es llamado también eje de………………………………….
El eje de las ordenadas es llamado también eje de…………………………………
2. Conteste verdadero o falso según corresponda
El sistema rectangular de coordenadas tiene 2 cuadrantes ( )
En el sistema rectangular de coordenadas tiene cuatro ejes ( )
Grafica las siguientes funciones lineales
a. y= 2x
b. y= 3x + 1
c. y=2x -4
d. y=-3x + 5
Grafica las siguientes funciones lineales, mediante la intersección de ejes
a. y= 3x - 1
b. y= - 2x + 3
c. – 3y = x-2
d. 4 - x=3y
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN LINEAL
 Comprender los conceptos y aplicar los procesos para la resolución de
problemas matemáticos apropiados, tomando en cuenta los parámetros
que definen a la función.
PUNTO MEDIO
El punto medio de una recta es igual a la semisuma de cada una de las
componentes:
Pm=
𝑿𝟏+𝑿𝟐
𝟐
;
𝒀𝟏+𝒀𝟐
𝟐
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia ente dos puntos del plano se calcula algebraicamente en función
de las coordenadas de estos puntos.
d²= (X2 –X1)² + (Y2 – Y1)²
LECCION Nº 12

“Continental”
PENDIENTE DE UNA RECTA (m)
Llamamos pendiente, al grado de inclinación que tiene respecto del eje de las
abscisas (x) y eje de las ordenadas (y)
m=
𝒀𝟐−𝒀𝟏
𝑿𝟐−𝑿𝟏
=
𝒀𝟏−𝒀𝟐
𝑿𝟏−𝑿𝟐
PUNTO MEDIO
Calcule el punto medio de los siguientes pares de puntos.
C: (2,-2) y D: (0,0)
Pm =
𝑋1+𝑋2
2 ; 𝑌1+𝑌2
2
Pm =
2+0
2
;−2+0
2
Pm = (1, -1)

“Continental”
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
A: (6, 4) y B: (2, 0)
d²= (X2 –X1)² + (Y2 – Y1)²
d²= (2 – 6)² + (0 – 4)²
d²= (-4)² + (– 4)²
d²= 16 + 16 = 32
d²=
PENDIENTE DE UNA RECTA
A: (6, 4) y B: (2, 0)
m=
𝒀𝟐−𝒀𝟏
𝑿𝟐−𝑿𝟏
=
𝒀𝟏−𝒀𝟐
𝑿𝟏−𝑿𝟐
m=
𝟒−𝟎
𝟔−𝟐

“Continental”
m=
𝟒
𝟒
m= 1
SI m˃0 la recta se inclina hacia la derecha
RECUERDA
SI m˃0 la recta se inclina hacia la derecha
Si m˂0 la recta se inclina hacia la izquierda
Si m=0 la recta es paralela al eje x
Si m es indeterminada la recta es paralela al eje y

“Continental”
INVESTIGO
1. ¿Qué es el cambio o aumento vertical?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Pendiente:……………….……………………………………………………………………..
Fórmula:……………………..………………………………………………………………….
Semisuma:………………………………………………………………………………………
Plano:…………………………………………………………………………………………….
Inclinación:……….……………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………..
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 12

“Continental”
…………………………………………………………………………………………………
estudiada.

“Continental”
1. Calcula el punto medio, la distancia entre dos puntos y la pendiente de la
recta.
 (-2,-5) y (-7,-5)
 (-1,-4) y (0,-8)
 (-3,2) y (5,4)
 (3,-2) y (5,-3)
 (4,7) y (2,7)

“Continental”
Lea detenidamente el enunciado y elija la respuesta correcta:
Cuando la pendiente es mayor a cero la recta se inclina a:
 Derecha
 Izquierda
 Indeterminada
Cual de las siguientes formulas es la correcta para obtener el punto medio de
un par ordenado:

𝑌1−𝑌2
𝑋1−𝑋2
 (X2 –X1)² + (Y2 – Y1)²

𝑋1+𝑋2
2
;
𝑌1+𝑌2
2
Complete:
Para obtener la distancia entre dos puntos el resultado final se debe obtener
la………………………………………..
Para representar el punto medio debo obtener un………………………………..
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN LINEAL: ECUACION DE LA RECTA
 Determinar la ecuación de una función lineal si su tabla de valores, su gráfico o
dos puntos de esta función son conocidos.
ECUACION DE LA RECTA
Utilizando las formulas estudiadas anteriormente podemos realizar ejercicios
utilizando cualquiera de los puntos anteriores con una incógnita.
La ecuación de la recta cuya pendiente es m y que pasa por el punto P1. (X1,
Y1) esta dada por la expresión: y – y1= m (x – x1)
Si se conocen los dos puntos P1: (X1, Y1) y P2: (x2, y2), reemplazamos
m=
𝒀𝟐−𝒀𝟏
𝑿𝟐−𝑿𝟏
y la ecuación de la recta esta dada por la expresión:
y – y1 =
𝒀𝟐−𝒀𝟏
𝑿𝟐−𝑿𝟏
(x – x1)
 Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto:
A: (2,3), y cuya pendiente es m= 5
Reemplazamos los datos en la expresión:
y – y1= m (x – x1)
y – 3= 5 (x – 2)
y – 3= 5x – 10
y = 5x – 10 + 3
y= 5x -7
La ecuación de la recta es: y = 5x -7
LECCION Nº 13

“Continental”
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A:( 3, 4) y
B: (-2, -1).
Reemplazamos los datos en la expresión:
y – y1 =
𝒀𝟐−𝒀𝟏
𝑿𝟐−𝑿𝟏
(x – x1)
y – 4 =
−𝟏−𝟒
−𝟐−𝟑
(x – 3)
y – 4 =
−𝟓
−𝟓
(x – 3)
y – 4 =1 (x – 3)
y – 4 = x – 3
y = x – 3+4
y= x + 1
ECUACION CANONICA DE LA RECTA
La ecuación canónica de la recta cuya pendiente e m y la intersección es b,
esta dada por la expresión: y = mx +b.
El coeficiente de x es la pendiente y el termino constante b es la intersección
de la recta con el eje de las ordenadas (y).
Determinar la pendiente y la intersección de la recta cuya ecuación es:
2x + 3y = -6
Transformamos la ecuación dada a la forma canónica: y = mx +b.
3y = -2x – 6
y = −
2𝑥
3
-
6
3
y = −
2𝑥
3
- 2
m= −
2
3
; la intersección es: b = -2

“Continental”
Determinar la pendiente y la intersección de la recta cuya ecuación es: y = 2x
La pendiente es. m=2
La intersección es: b=0
Cuando la pendiente es mayor que cero, la recta será
inclinada a la derecha; en este caso la intersección es: 0
entonces pasara por el punto de origen.

“Continental”
INVESTIGO
1. ¿Cuál es el procedimiento para obtener los puntos de intersección
de la recta con los ejes del sistema cartesiano?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Intersección:……………….…………………………………………………………………..
Función lineal:……………………..……………………………………………………………
Abscisa:………………………………………………………………………………………….
Coordenada:…………………………………………………………………………………….
Notación:……….…………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………..
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 13

“Continental”
clase estudiada.

“Continental”
Escriba verdadero o falso según corresponda al enunciado
En cada uno de los ítems marca con una X la respuesta correcta.
La pendiente de la recta que pasa por los pintos (3, 2) y (-1, 4), es:
 m=
1
4
 m=
3
2
 m= −
1
2
La ecuación de la recta que pasa por (3, 2) y tiene una pendiente m= -1, es:
 x + y = -2
 x + y = 5
 x + 2y = -1
La ecuación de la recta que pasa por (2, -2) y (6, 4), es:
 2x - 3y = 10
 4x - 3y = 6
 3x - 2y = -10
Determina la ecuación de la recta, según las condiciones dadas.
a. P:(4, 3) y m=2
b. P: (-5, 6) y m= - 7
c. P: (-8, -6) y (-2, -3)
d. P: (-2, -4) y (7, 6)
Determina la pendiente y el punto de intersección de cada una de las siguientes
rectas:
a. 8x + 2y =8
b. 2y – 10x =3
c. -3x + 15y = 59
d. 2x + 5y = 12

“Continental”
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
 Identificar la intersección de dos rectas con la igualdad de las imágenes de dos
números respecto de dos funciones lineales.
Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales; m1=m2 si dos rectas l1 y l2
son perpendiculares, la pendiente de una de ellas es igual al reciproco de la pendiente
de la otra con signo contrario.
Esto es, llamando m1 a la pendiente de l1 y m2 a la de l2 se tiene m1=-
1
𝑚2
o
m1m2 = -1
Si tenemos la ecuación de la recta, calculamos sus pendientes.
y= mx + b
a. y= 5x -1
m = 5
b. y=
3𝑥
5
m =
3
2
LECCION Nº 14

“Continental”
EJEMPLOS
Determinar si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares
a. 3x + 2y -5=0
Igualamos a y= mx +b
2y = -3x +5
y=-
3
2
m1=-
3
2
b. 6x + 4y -9=0
Ax + Bx +C = 0
m= −
6
4
m2= −
3
2
m1 y m2 entonces son paralelas.
Determinar si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares
a. X – y -8 = 0
m1= 1
b. X + y -3 = 0
m2= -1
Son perpendiculares.
Hallar la ecuación de la recta cuando se conoce el punto (2, -3) y es paralela a la
recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2).
 Las rectas paralelas tienen la misma pendiente
 Sea (x, y) otro punto cualquiera de la recta que pasa por (2, -3)
 Pendiente de la recta que pasa por: (x, y) y (2, 3) = pendiente de la recta que
pasa por (4, 1) y (-2, 2)
Entonces aplicamos:
𝑦+3
𝑥−2
=
1−2
4+2
(y + 3) (6) = (x – 2) (-1)
6y +18 = -x +2
La ecuación de la recta es 6y +x +16 = 0

“Continental”
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, -1) y perpendicular a la
recta 2x -3y – 5 =0
La pendiente de esta ecuación es: m1=
2
3
La recta perpendicular deberá tener como pendiente: m2=-
3
2
que es el reciproco
negativo.
Valiéndose del punto dado (3, -1) hallamos la ecuación de la recta.
y – y1 = m(x – x1)
y +1 =-
3
2
(x – 3
2(y +1) = -3x + 9
2y + 2 + 3x – 9 =0
La ecuación de la recta es 3x + 2y -7= 0

“Continental”
INVESTIGO
1. ¿Por qué decimos que la pendiente es una razón constante?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Pendiente:……………….……………………………………………………………………..
Fórmula:……………………..………………………………………………………………….
Semisuma:………………………………………………………………………………………
Plano:…………………………………………………………………………………………….
Inclinación:……….……………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 14

“Continental”
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
estudiada.

“Continental”
Complete:
1. La intersección de rectas, esta determinada cuando entre ellas existe
un…………………………………….
2. Para representar que dos rectas son paralelas se utiliza la simbología
así:……………………………………
3. Para representar que dos rectas son perpendiculares se utiliza la simbología
así:…………………………………….
Elija la respuesta correcta de los siguientes enunciados:
1. Cual es a pendiente de la siguiente ecuación: y = 5x – 6
 m= -5
 m=5
 m=0
2. cuál es la pendiente de la siguiente ecuación: 4x – 3y + 7 = 0
 m=4
 m=3
 m=
4
3
Determine si las siguientes rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna
a. x + 2y +3 = 0
b. 2x – y – 6 = 0
c. x + 2y – 13 = 0
d. x + 2y – 8 = 0

“Continental”
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -2) y es perpendicular
a la recta x + 3y – 6 = 0
Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta
cuya ecuación es 4x – 2y – 4 = 0
Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 4x – 5y – 6= 0 y
pasa por el punto (-1, 4).

“Continental”
OBJETIVOS
 Aplicar el teorema de Pitágoras para deducir y entender las funciones
trigonométricas y las fórmulas usadas en el cálculo de perímetros, áreas,
volúmenes, ángulos de cuerpos y figuras geométricas.

“Continental”
ÁREA DE LOS POLÍGONOS
 Calcular el área de los polígonos aplicando correctamente las formulas,
reconocer los datos que posee cada figura.
Para calcular el área de los polígonos primero tenemos que conocer algunos
datos de cada una de las figuras como:
 Lado: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
 Apotema: segmento perpendicular a un lado hasta el centro del
polígono
 Diagonal: segmento que une dos vértices no contiguos
 Altura: dimensión de un cuerpo de la base al vértice o extremo mayor
 Base: Línea o superficie principal de una figura
 Centro: el punto central equidistante e todos los vértices
 Radio: es el segmento que une el centro del polígono con uno de sus
vértices.
FIGURA FÓRMULA
h
b b
TRIÁNGULO
b x h
2
L
CUADRADO
l²
LECCION Nº 15
h

“Continental”
L1
RECTÁNGULO
b x h
l1 x l2
ROMBO
D x d
2
b
B
TRAPECIO
(B + b) x h
2
POLÍGONOS REGULARES DE MÁS DE
CUATRO LADOS.
Per x ap
2
ROMBOIDE
d x D
2
L2
d
D
ddD
DDDD
DDh
ap
apap
D d

“Continental”
AREA DEL RECTANGULO
El área del rectángulo es el producto de la medida de su base por la medida de su
altura.
Altura
A= b x h
Ejemplo:
Calculemos el área del pizarrón cuyas medidas son: 1.20m y 3.40m
A = b x h
A = 3.40 x 1.20
A = 4.08m²
AREA DEL CUADRADO
El área del cuadrado es igual al cuadrado de la medida de su lado.
Ejemplo:
Hallemos el área de un terreno de forma cuadrada, si de frente mide 18.5m
A = l²
A= (18.5)²
A = 342.25 m²
AREA DEL ROMBO
El área del rombo es igual al semiproducto de las diagonales.
Ejemplo:
La diagonal de un rombo mide 32cm y la otra mide 56cm, determinemos el área del
rombo.
A =
𝐷 𝑥 𝑑
2
A =
56 𝑥 32
2
A = 896 cm²
Base

“Continental”
AREA DEL TRIANGULO
El área del triangulo es la mitad del producto de la base por la altura.
Ejemplo:
Calculemos el área de un terreno triangular que tiene de base 18m y 12m de altura.
A =
𝑏 𝑥 ℎ
2
A =
18 𝑥 12
2
A = 108 cm²
AREA DEL POLIGONO REGULAR
El área de un polígono regular convexo es igual a la mitad del producto del perímetro
por la apotema.
A =
𝑃 𝑥 𝑎
2
A =
𝑙 𝑥 𝑎 𝑥 𝑛
2
A =
𝑃 𝑥 𝑎
2
Ejemplo:
El lado de un eneágono regular mide 6m y su apotema 8.2m. Hallemos el área del
polígono.
Primero calculemos el perímetro
P = n x l
P = 9 x 6
P =54m
A =
𝑃 𝑥 𝑎
2
A =
54 𝑥 8.2
2
A = 221.4m²

“Continental”
AREA DEL CÍRCULO
El área de un círculo es el producto del cuadrado del radio por π
Ejemplo:
Determinemos el área del círculo cuyo diámetro es 24cm
A= r² x π
A= (12)² x 3.14
A= 452.16 cm²

“Continental”
INVESTIGO
1. ¿Qué es un polígono irregular?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Base:……………….……………………………………………………………………………..
Altura:……………………..…………………………………………………………………......
Longitud:…………………………………………………………………………………………
Superficie:………………………………………………………………………………………
Polígonos:……….……………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………..
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 15

“Continental”
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………...
clase estudiada.

“Continental”
1. En cada uno de los ítems planteados, señala con una X la respuesta
correcta.
El segmento de recta que partiendo del centro termina en la circunferencia, se
llama:
 Radio
 Diámetro
 Apotema
El ángulo interior de un pentágono regular mide:
 120º
 72º
 108º
Si los lados de un triangulo son 7cm, 12cm y 0.9dm, el área en cm² es:
 8.37cm²
 83.7cm²
 31.30cm²
2. Encuentra la superficie de un rectángulo de 3cm de base y 4cm de
altura.
3. Averigua las superficies de las siguientes figuras:
Trapecio: base menor 3cm, base mayor 5cm y altura 2cm

“Continental”
Rombo: diagonal mayor 4cm y diagonal menor 2cm
Pentágono: apotema 1cm y lado 1.5cm
Determina el área de un círculo si su diámetro es 4.2m.
Determina el área de la corana circular, si los radios miden 8 y 6cm.

“Continental”
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
GEOMETRÍA
- Comprender el concepto del Teorema de Pitágoras.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas de triángulos rectángulos
mediante el Teorema de Pitágoras.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Si un triángulo tiene lados de longitud (a, b, c), con los lados (a, b) formando un ángulo
de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos que
a2
+ b2
= c2
Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se
cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema
también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a, b, c) de
un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados a y b debe ser de
90 grados.
Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo
que sea) es rectángulo porque
c2
= a2
+ b2
= 32
+ 42
c2
= 9 + 16 = 25
Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el triángulo rectángulo y
usarlo (mediante cañas o cuerdas calibradas) para construir ángulos rectos; aún hoy
en día los albañiles usan tableros con clavos con esas longitudes que les ayudan a
alinear una esquina.
LECCION Nº 16

“Continental”
Existen muchas pruebas, y las más fáciles son probablemente las que están
basadas en el álgebra, usando las igualdades elementales presentadas en la sección
precedente, a saber
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(Recuerde que 2ab significa 2 veces a veces b). Por ejemplo
152
= (10 + 5)2
= 102
+ (2) (10) (5) + 52
= 100 + 100 + 25 = 225
y
(a - b) 2
= a2
- 2ab + b2
Por ejemplo:
52
= (10 - 5)2
= 102
- (2) (10) (5) + 52
= 100 - 100 + 25 = 25
También es necesario conocer algunas áreas simples: el área de un rectángulo es
(longitud) por (altura), de tal forma que el área del presentado arriba es ab. Una
diagonal lo divide en dos triángulos rectángulos siendo los lados cortos a y b, y el área
de ese triángulo es, por consiguiente, (1/2) ab.
Vea el cuadrado de la izquierda construido por cuatro
triángulos (a, b, c). La longitud de cada lado es (a+b) y,
por lo tanto, el cuadrado tiene un área de (a+b)2
.
No obstante, el cuadrado se puede a su vez dividir en
cuatro triángulos (a,b,c) más un cuadrado de lado c en el
centro (en rigor, también debemos de probar que es un
cuadrado, pero nos saltaremos esto). El área de cada
triángulo, como se mostró anteriormente, es (1/2)ab, y el
área del cuadrado es c2
. Como el cuadrado grande es igual a la suma de todas sus
partes
(a + b) 2
= (4) (1/2) (a) (b) + c2
Usando la igualdad para (a + b)2
y multiplicando (4) (1/2) = 2
a2
+ 2ab + b2
= 2ab + c2
Reste 2ab de ambos lados y obtendrá
a2
+ b2
= c2

“Continental”
Se puede mostrar el mismo resultado usando un cuadrado
diferente, de área c2
. Como muestra el dibujo de la
derecha, esa área puede dividirse en cuatro triángulos
como los anteriores, más un pequeño cuadrado de lado (a-
b). Obtenemos
c2
= (4) (1/2) (a) (b) + (a-b) 2
= 2ab + (a2
- 2ab + b2
)
= a2
+ b2
La importancia del trabajo de Pitágoras y de los siguientes maestros de geometría
griegos, especialmente Euclides, no fue solo lo que probaron, sino el método que
desarrollaron: comenzar desde algunas afirmaciones básicas ("axiomas") y deducir
mediante la lógica sus consecuencias más complicadas ("teoremas"). Los
matemáticos aún siguen ese modelo.
Entonces, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma
de los cuadrados de los catetos.
a2
+ b2
= c2
De esta fórmula se obtienen las siguientes:

“Continental”
Ejemplo:
1. Hallar la hipotenusa del siguiente triángulo:
2. Calcula el cateto que falta en el siguiente triángulo:

“Continental”
INVESTIGO:
1. ¿Quién fue Pitágoras?
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Teorema:…………………………………………………………………………………………
Triángulo Rectángulo:….……………………………………………………………………
Hipotenusa:....…………………………………………………………………………………
Cateto:………..………………..………………..………………………………………………
Lógica:……..…………………….………………………………………………………………
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
LECCION Nº 16
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..

“Continental”
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.

“Continental”
CUESTIONARIO
1. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 14 cm de lado.
2. Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 9cm.
3. Calcula la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 6,8cm y la base
6cm.
4. Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32mm y 24mm.
5. Una escalera de 65dm de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de
la escalera dista 25dm de la pared. ¿A qué altura de la pared se apoya la
parte superior de la pared?

“Continental”
Del problema anterior, ¿A qué distancia de la pared habrá que colocar el
pie de esta misma escalera para que l parte superior se apoye en la pared
una altura de 52 dm?
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
TEOREMA DE PITÀGORAS
OBJETIVOS
 Usar gráficos para comprender el Teorema de Pitágoras.
 Seleccionar y aplicar procesos matemáticos apropiados para resolver
triángulos con el Teorema de Pitágoras.
TEOREMA DE PITÁGORAS
El teorema de Pitágoras es de gran utilidad para el estudio matemático, ya que
nos permite relacionar los lados de un triángulo y nos prepara para para las
funciones trigonométricas.
Recordemos que un triángulo rectángulo se caracteriza por tener un ángulo
recto (90°).
Para comprender este Teorema realicemos lo siguiente:
 Trazamos un triángulos rectángulo ABC, tal que C sea el ángulo recto,
con los catetos b=3u y a=4u (la hipotenusa será igual a 5u)
 Construyamos un cuadrado a partir de cada lado del triángulo
rectángulo, señalando en todos ellos cuadrados de 1 unidad de lado.
 Si contamos el número de cuadrados, tenemos: En el cuadrado
construido a partir de la hipotenusa c, observamos que son 25; sobre el
cateto b de 3u, aparecen 9 cuadrados y sobre el cateto a de 4u
aparecen formados 16 cuadrados.
LECCION Nº 17

“Continental”
El número de cuadrados construidos sobre la hipotenusa (25) es equivalente a
la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos (9 + 16).
FÒRMULAS
Ejemplo: Calcule la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden
8cm y 6cm.
Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado que tiene
como lado la hipotenusa, es equivalente a la suma de los cuadrados que tiene
como lados los catetos del triángulo.
En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los dos catetos.
C²= a² +b²
a²=c² -b²
b²= c² - a²

“Continental”
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITAGORAS EN UN CUADRADO
En función de la longitud del lado (l) de un cuadrado, determinemos la longitud de la
diagonal (d)
REGLA:
La función que relaciona la diagonal d y el lado l de un cuadrado, esta dada por la
siguiente formula:
d= √2 l
Ejemplo: calculemos la longitud de la diagonal del cuadrado cuyo lado mide 4cm.
La diagonal del cuadrado, es la hipotenusa del triangulo cuyos catetos son los lados
del cuadrado dado.
c² = a² + b²
d² = l² + l²
D² 4² + 4²
d²= 16 + 16
d² =32
√d² = √32
d = 5.66

“Continental”
INVESTIGO
1. ¿Quién fue Pitágoras?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Teorema:……………….………………………………………………………………………
Triangulo:……………………..…………………………………………………………………
Hipotenusa:……………………………………………………………………………………...
Catetos:…………………………………………………………………………………………..
Ángulo
recto:……….……………………………………………………………………………………..
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 17

“Continental”
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………..
clase estudiada.

“Continental”
En cada uno de los ítems planteados, marca con una X la respuesta
correcta o realiza lo solicitado.
Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son:
 Complementarios
 Suplementarios
 Congruentes
Si a y b son los catetos de un triangulo rectángulo, el teorema de Pitágoras
escrito en formula es:
 a² - b² = c²
 c² = a²+ b²
 c² = a² - b²
Complete:
La hipotenusa es el lados mas………………… del triangulo
Los catetos sumados y elevados al……………… es igual a
la…………………………
El teorema de Pitágoras se aplica para los triángulos……………………….; es
decir aquellos que tiene una ángulo ………………….
1. Calcula la hipotenusa del triángulo rectángulo, cuyos lados miden 5 y
12cm.

“Continental”
2. En el triángulo MPN, determina el cateto m, si el otro cateto n mide
14cm y la hipotenusa p mide 24cm.
3. En el triángulo propuesto a continuación, verifica el Teorema de
Pitágoras, construyendo cuadrados a partir de cada uno de sus lados.
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITAGORAS EN UN TRIANGULO
Resolver problemas de aplicación del Teorema de Pitágoras y los elementos de
un triangulo.
Resolver problemas de aplicación del Teorema de Pitágoras y los elementos de
un rombo
En función de la longitud l, determinemos la altura de un triangulo equilátero.
REGLA:
La función que relaciona la altura y el lado de un triangulo equilátero, es:
h= √
3
2
. 𝑙
Ejemplo:
El lado de un triangulo equilátero mide 12cm. Calculemos su altura.
La altura h de un triángulo dado es el cateto del triangulo rectángulo.
l²= h² + (
1
2
)²
h² = l² - (
1
2
)²
h² = (12)² - (6)²
h² = 144 -36
h² = 108
h = √108 .3
h = 10.39
La altura del triangulo equilátero dado es 10.39cm
LECCION Nº 18

“Continental”
APLICACION DEL TEOREMA DE PITAGORAS EN UN ROMBO
En función de las diagonales, determinemos el lado de un rombo.
Construimos un rombo con las diagonales mayores D y menor d, las mismas
que deciden al rombo en cuatro triángulos rectángulos.
REGLA:
La función que relaciona las diagonales y el lado de un rombo, es:
l=
1
2
√ 𝑑² + 𝐷²
Ejemplo:
Las diagonales de un rombo miden 8 y 6cm. Determine la longitud de su lado.
El lado del rombo es la hipotenusa del triangulo, cuyos catetos son la mitad de
cada una de las diagonales.
l=
1
2
√ 𝑑² + 𝐷²
l=
1
2
√ 6² + 8²
l=
1
2
√ 100
l=
1
2
.10
l = 5
El lado del rombo mide 5cm

“Continental”
INVESTIGO
1. ¿Qué es el ángulo de un grado sexagesimal?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Diagonal:……………….………………………………………………………………………
Altura:….……………………..…………………………………………………………………
Formula:….……………………………………………………………………………………...
Equilátero:………………………………………………………………………………………
Ángulo
agudo:……….…………………………………………………………………………………
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 18

“Continental”
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………..
clase estudiada.

“Continental”
Complete:
La función que relaciona la altura y el lado de un triangulo equilátero
es:…………………………………………………………………………..
La función que relaciona las diagonales y el lado de un rombo
es…………………………………………………………………………..
El perímetro de un polígono es
la…………………………………………………………………………...
Responda las siguientes preguntas:
¿Cuáles son las dos características de un cuadrado?
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
¿Cómo están relacionadas las diagonales de un rombo?
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
1. Calcula la altura de un triangulo equilátero cuyo lado mide 16cm.
2. Calcula el lado de un triangulo equilátero cuya altura es 4√3

“Continental”
3. Calcule el lado de un rombo si las diagonales miden 14 y 28 decímetros
respectivamente.
4. El lado de un rombo mide √89 cm. Si la diagonal menor mide 16cm, calcula la
medida de la diagonal mayor
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
OBJETIVOS
 Recolectar, representar y analizar datos estadísticos y situaciones
probabilísticas
 Calcular media aritmética de una serie de datos reales.
 Calcular probabilidades simples con el uso de fracciones.

“Continental”
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
OBJETIVOS
 Aplicar correctamente los métodos de resolución para encontrar las
medidas de tendencia central dentro de un grupo de datos.
 Describir los conceptos de frecuencias relativas y absolutas.
 Usar tablas y gráficos para la representación de frecuencias relativas y
absolutas.
Concepto
Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.
Las medidas de tendencia central que estudiaremos son:
 Moda
 Mediana
 Media aritmética
MODA
Se denomina moda al valor que se repite con mayor frecuencia en un conjunto
de datos. (Mo)
Ejemplo: las edades de un grupo de ocho estudiantes de un colegio
determinado son las siguientes: 22, 15, 17, 19, 17, 16, 14 y 17; encontremos el
valor de la moda:
El valor que más veces se repite es 17.
La moda es 17 Mo= 17
MEDIANA
Se denomina mediana, al valor que esta ubicado justo en el medio de un
conjunto de datos. (Md)
Ejemplo: tomemos las notas parciales de Ciencias Naturales
18, 12, 15, 10, 20
LECCION Nº 19

“Continental”
ORDENADOS EN FORMA ORDENADOS EN FORMA
ASCENDENTE DESCENDENTE
10 20
12 18
15 15
18 12
20 10
Al valor que se ubica en el medio, es la mediana Md= 15
MEDIA ARITMETICA
Se denomina media aritmética a la suma de los datos dividida por el número
total de datos. (ẋ)
Ejemplo: las notas parciales de Lenguaje y Comunicación son: 18, 12, 15, 10,
20.
ẋ=
⨊𝑋
𝑁
=
18+12+15+10+20
5
=
75
5
=15
ẋ= media aritmética
⨊x= sumatoria de los valores
N= numero de datos
So existen dos valores
ubicados en el medio, la
mediana será el promedio de
los dos valores.

“Continental”
FRECUENCIAS RELATIVAS Y ABSOLUTAS
Observemos la tabla correspondiente a las edades de u grupo de 80 alumnos
INTERPRETACIÒN DE LA TABLA
 12 alumnos tienen 11 años
Se puede observar que ciertos datos se repiten algunas veces, lo que se
conoce con el nombre de frecuencia absoluta.
EDAD f
11 12
12 20
13 27
14 12
15 6
16 3
TOTAL 80
Frecuencia absoluta (f): es el
número de veces que se repite cierto
dato.
Frecuencia relativa (fr): es el
cociente entre la frecuencia
absoluta y el número total de
datos.
fr= frecuencia relativa
f=frecuencia 𝐟𝐫 = 𝐟
𝐍
N= numero total de datos.
% =
𝐟 𝐱 𝟏𝟎𝟎
𝐍
%= porcentaje.

“Continental”
REPRESENTACION GRAFICA
(DIAGRAMA DE SECTORES)
4%
36%
42%
12%
4% 2%
EDAD DE LOS ALUMNOS
16 17 18 19 20 21
EDAD f fr %
16 2 0.04 4
17 18 0.36 36
18 21 0.42 42
19 6 0.12 12
20 2 0.04 4
21 1 0.02 2
TOTAL 50 1.00 100%
RECUERDA
La suma de las frecuencias relativa es = 1
Las suma de los porcentajes es =100%

“Continental”
INVESTIGO
5. ¿Escribe tres situaciones de la vida real en donde se utilice la
estadística?
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
GLOSARIO
Tendencia:……………….……………………………………………………………...
Promedio:……………………..………………………………………………………...
Valor:……………………………………………………………………………………..
Medida:…………………………………………………………………………………..
Investigación:……….………………………………………………………………….
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 19

“Continental”
Con ayuda del diccionario escriba el significado de palabras no
asimiladas en la lección, para mejorar su comprensión.
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………...
clase estudiada.

“Continental”
1. Identifique el valor de la moda en los siguientes números: 20, 32,
43, 20, 35
…………………………………………………………………………………………
2. Determine la media, mediana y moda de los siguientes datos: 14-13-
17-18-19-14-17-15-12.
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
3. Encuentre la media aritmética, mediana, moda de los siguientes
valores: 144-135-174-158-119-135-129.
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
4. Encuentre la media aritmética, mediana, moda de las siguientes
calificaciones: 16, 16, 17, 18, 20, 15, 14, 16, 18, 19.
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………….
5. De acuerdo con el grafico propuesto, construya una tabla de
frecuencias, elaborando las columnas de: f, fr y %
ESTUDIANTES GRADUADOS
X f fr %
QUITO

“Continental”
GUAYAQUIL
CUENCA
PORTOVIEJO
LOJA
MACHALA
IBARRA
TOTAL
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
PROBABILIDADES
BLOQUE: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
OBJETIVOS
 Usar estrategias, datos y modelos matemáticos para resolver problemas
referentes al cálculo de probabilidades.
 Aplicar el cálculo de probabilidades en distintas situaciones diarias.
Concepto
Se denomina probabilidad, a la medida de la posibilidad de que un suceso
ocurra favorablemente.
P(x)=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Ejemplo 1.encontremos la probabilidad de obtener un número impar en el
lanzamiento de un dado.
Si S es el conjunto de resultados posibles y Sf el conjunto de resultados
favorables, entonces tenemos:
S = (1, 2, 3, 4, 5) resultados posibles = 6
S f= (1, 3, 5) resultados favorables = 3
Aplicamos la formula para calcular la probabilidad:
P(x)=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
P(x)=
3
6
=
1
2
= 0.5
LECCION Nº 20

“Continental”
Fracción=
1
2
Decimal=0.5
Porcentaje= 50%
Ejemplo 2. En cierta rifa imprimen 500 boletos
a. ¿Qué probabilidad de ganar tenemos, si compramos 25 boletos?
S = (1, 2, 3……500) resultados posibles = 500
Sf = (25 números) resultados favorables= 25
P(x)=
500
25
=
1
20
Fracción=
1
20
Decimal=0.05
Porcentaje= 5%
PARA RECORDAR:
LA PROBABILIDAD PUEDE EXPRESARSE COMO UNA FRACCIÓN,
NÚMERO DECIMAL O PORCENTAJE.
EL VALOR DE CUALQUIER PROBABILIDAD ESTA COMPRENDIDO
ENTRE 1 Y 0.

“Continental”
INVESTIGO
6. ¿En qué campos se puede aplicar las probabilidades? Escriba tres
ejemplos.
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
GLOSARIO
Resultado:……………….……………………………………………………………...
Posible:……………………..………………………………………………………......
Favorable:……………………………………………………………………………….
Porcentaje:……………………………………………………………………………...
Contingencia:……….………………………………………………………………….
Con ayuda del diccionario escriba el significado de palabras no
asimiladas en la lección, para mejorar su comprensión.
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCION Nº 20

“Continental”
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………...
clase estudiada.

“Continental”
1. Se tira un dado sobre la mesa. Determine la probabilidad de obtener
a. un número par
b. un número impar
c. un múltiplo de 3
d. un número primo
e. un 5
2. Elija la respuesta correcta
Se extrae un naipe de una baraja de 52 piezas. La probabilidad de obtener un
as es:
a.
1
6
( )
b.
1
13
( )
c.
1
52
( )
3. La probabilidad de obtener una suma de 8 puntos, en el lanzamiento de
dos dados es :
a.
1
9
( )
b.
5
36
( )
c.
5
6
( )
4. Resuelva los siguientes ejercicios
1. Determine la probabilidad de obtener una suma de 7 puntos en el
lanzamiento de dos dados.

“Continental”
2. Determine la probabilidad de obtener una suma de 5 puntos, en el
lanzamiento de dos dados.
Firma del
Profesor
Estudiante
Fecha

“Continental”
LECCIÓN Nº1
PRODUCTOS NOTABLES
LECCIÓN Nº2
LECCIÓN Nº3
LECCIÓN Nº4
LECCIÓN Nº5
LECCIÓN Nº6
LECCIÓN Nº7
LECCIÓN Nº8
MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO
LECCIÓN Nº9
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS
LECCIÓN Nº10
LECCIÓN Nº11
REPRESENTACION DE LAS FUNCIONES LINEALES
LECCIÓN Nº12
ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN LINEAL

“Continental”
LECCIÓN Nº13
ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN LINEAL: ECUACION DE LA RECTA
LECCIÓN Nº14
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
LECCIÓN Nº15
ÁREA DE LOS POLÍGONOS
LECCIÓN Nº16
GEOMETRÍA
LECCIÓN Nº17
TEOREMA DE PITÀGORAS
LECCIÓN Nº18
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITAGORAS EN UN TRIANGULO
LECCIÓN Nº19
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
LECCIÓN Nº20
PROBABILIDADES

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