Newton Raphson-ejercicios resueltos.
- 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II pág. 1 elionzar@gmail.com EJERCICIOS RESUELTOS – NEWTON RAPHSON Búsqueda de raíces: 1. Usa el método de Newton para estimar las soluciones de la ecuación 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0. Empieza con 𝑥0 = -1 para la solución de la izquierda, con 𝑥0 = 1 para la solución de la derecha. Después halla 𝑥2 para cada caso. SOLUCIÓN: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑥0 2 + 𝑥0 − 1 2𝑥0 + 1 𝑥1 = 𝑥0 2 + 1 2𝑥0 + 1 POR LA IZQUIERDA POR LA DERECHA 𝑥1 = (−1)2+1 2(−1)+1 = −2 → 𝑥2 = (−2)2+1 2(−2)+1 = −1,67 𝑥3 = −1,62 𝑥1 = (1)2+1 2(1)+1 = 0,67 → 𝑥2 = (0.67)2 + 1 2(0.67) + 1 = 0,619 𝑥3 = 0,618 -2 0 2 4 6 8 10 12 -4 -2 0 2 4 Y Y
- 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II pág. 2 elionzar@gmail.com 2. Use el método de newton para estimar una solución real de la ecuación x3 +3x+1 empieza x0 = 0 y después hallar x2. SOLUCIÓN: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑥0 3 + 3𝑥0 + 1 3𝑥0 2 + 3 𝑥1 = 2𝑥0 3 − 1 3𝑥0 2 + 3 𝑥1 = 2(0)3 − 1 3(0)2 + 3 = −0.33 𝑥2 = 2(−0,33)3 − 1 3(−0,33)2 + 3 = −0.32 3. Emplee el método de Newton para estimar los dos ceros de la función 𝑓( 𝑥) = 𝑥4 + 𝑥 − 3. Empiece con x0 = -1 para la solución de la izquierda, y con x0 = 1 para la solución de la derecha. Después, halle x2 para cada caso. SOLUCION: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑥0 4+𝑥0−3 4𝑥0 3+1 𝑥1 = 3𝑥0 4 + 3 4𝑥0 3 + 1 -10 -5 0 5 10 15 20 -3 -2 -1 0 1 2 3 y y -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -4 -2 0 2 4 Y Y
- 3. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II pág. 3 elionzar@gmail.com POR LA IZQUIERDA POR LA DERECHA 𝑥1 = 3(−1)4+3 4(−1)3+1 = −2 → 𝑥2 = 3(−2)4 + 3 4(−2)3 + 1 𝑥2 = −1,645 𝑥3 = −1,485 𝑥1 = 3(1)4+3 4(1)3+1 = 1,2 → 𝑥2 = 3(1,2)4 + 3 4(1,2)3 + 1 𝑥2 = 1,165 𝑥3 = 1,164 4. Usa el método de newton para estimar los dos ceros de la función 𝑓( 𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 1. Empieza con 𝑥0 = 0 para la solución de la izquierda, y con 𝑥0 = 2 para la solución de la derecha. Después halla 𝑥2 para cada caso. SOLUCION: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − −𝑥0 2+2𝑥0+1 −2𝑥0+2 𝑥1 = 𝑥0 2 + 1 2𝑥0 − 2 POR LA IZQUIERDA POR LA DERECHA 𝑥1 = (0)2 + 1 2(0) − 2 = −0,5 𝑥2 = (−0,5)2 + 1 2(−0,5) − 2 𝑥2 = −0416 𝑥1 = (2)2 + 1 2(2) − 2 = 2,5 𝑥2 = (2,5)2 + 1 2(2,5) − 2 𝑥2 = 2,416 -8 -6 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 Y Y
- 4. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II pág. 4 elionzar@gmail.com 5. Use el método de Newton para encontrar las cuatro raíces positivas de 2 resolviendo la ecuación 𝑥4 − 2 = 0 Empiece con 𝑥0 = 1 y encuentre 𝑥2. SOLUCIÓN: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑥0 4 − 2 4𝑥0 3 𝑥1 = 3𝑥0 4 − 2 4𝑥0 3 𝑥 𝑛+1 = 3(−1)4+2 4(−1)3 → 𝑥1 = 5 −4 = −1,25 𝑥2 = −1,19 6. Emplee el método de Newton para encontrar la raíz negativa de 2 resolviendo la ecuación 𝑥4 − 2 = 0. Empiece con 𝑥0 = −1 y después halla 𝑥2. SOLUCION: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑥0 4 − 2 4𝑥0 3 𝑥1 = 3𝑥0 4 + 2 4𝑥0 3 -5 0 5 10 15 -3 -2 -1 0 1 2 3 Y Y -5 0 5 10 15 -3 -2 -1 0 1 2 3 Y Y
- 5. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II pág. 5 elionzar@gmail.com 𝑥 𝑛+1 = 3(−1)4+2 4(−1)3 → 𝑥1 = 5 −4 = −1,25 𝑥2 = −1,19 13. Oscilación. Muestre que si ℎ > 0 al aplicar el método de Newton a lleva a 𝑥1 = −ℎ, si 𝑥0 = ℎ y a 𝑥1 = ℎ si 𝑥0 = −ℎ. Dibuja lo que ocurre. SOLUCION: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓( 𝑥0) 𝑓′( 𝑥0) 𝑥0 = ℎ > 0 𝑥0 = −ℎ < 0 𝑥1 = ℎ − 𝑓(ℎ) 𝑓′(ℎ) 𝑥1 = ℎ − √ℎ ( 1 2√ℎ ) 𝑥1 = ℎ − (2√ℎ)(√ℎ) →𝑥1 = −ℎ 𝑥1 = −ℎ − 𝑓(−ℎ) 𝑓′(−ℎ) 𝑥1 = −ℎ − √ℎ ( −1 2√ℎ ) 𝑥1 = −ℎ + (2√ℎ)(√ℎ) →𝑥1 = ℎ -10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10
- 6. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II pág. 6 elionzar@gmail.com 16. Localización de un planeta. Para calcular las coordenadas de un planeta en el espacio, tenemos que resolver ecuaciones como f (x) = x - 1 - 0.5senx se sugiere que la función tiene una raíz cerca de 𝑥 = 1,5 Use una aplicación del método de Newton para mejorar esta estimación. Esto es, empiece con 𝑥0 = 1,5 y 𝑥1. halla (El valor de la raíz con cinco decimales es 1.49870.) Recuerde utilizar radianes. SOLUCION: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓( 𝑥0) 𝑓′( 𝑥0) 𝑥1 = 𝑥 − 𝑥 − 1 − 0.5senx 1 − 0.5cosx 𝑥1 = 1,5 − 1,5 − 1 − 0.5sen(1.5) 1 − 0.5cos(1,5) → 𝑥1 = 1,49870 BIBLIOGRAFIA: THOMAS, CALCULO, UNA VARIABLE Ejercicios 3,8(Novena edicion) Ejercicios 4,7(Undecima edicion) -6 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 y y