NUMEROS COMPLEJOS
- 1. UNIDAD: NÚMEROS NÚMEROS COMPLEJOS () Matemáticas – Programa Tercero Material : MT-04 MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO Si z = a + bi, entonces el módulo de z es z, tal que z = 2 2 a + b . El módulo o valor absoluto de un complejo equivale a la longitud o magnitud del vector que representa al número complejo en el plano de Argand. OBSERVACIÓN: El módulo de todo complejo es un número real no negativo. EJEMPLOS 1. Si z = 5 + 12i, entonces z es A) 169 B) 13 C) 13 D) -13 E) 17 2. Si z1 = -3 + 3i y z2 = 3 – 3i, entonces z1 + z2 es igual a A) 9 B) 81 C) 3 2 D) 6 2 E) 0 3. Si z = 2 – 5i, entonces z 2 es A) 21 B) 21 C) 29 D) 29 E) 9
- 2. 2 CONJUGADO DE UN COMPLEJO Dos números complejos se dicen conjugados, sí solo tienen distinto el signo de la parte imaginaria. Si z = a + bi, entonces el conjugado de z es z , tal que z = a – bi. OBSERVACIÓN: El conjugado del conjugado de un complejo, es el mismo complejo ( z = z). Los módulos o valores absolutos de z, z , -z y - z son iguales. EJEMPLOS 1. El conjugado del complejo 7 + 3i es A) -7 + 3i B) 7 – 3i C) -7 – 3i D) 7 + 3i E) 3 – 7i 2. El conjugado del conjugado del complejo, z = -4 – 9i es A) -4 – 9i B) 4 + 9i C) -4 + 9i D) 4 – 9i E) 6 + 9i 3. El conjugado del complejo z representado en la figura adjunta es A) -2 + i B) -2 – i C) 2 + i D) 2 – i E) 1 + 2i Gráficamente, todo número complejo z y su conjugado z son simétricos respecto del eje real. z x y 1 2 x y z1 = (a, b) EJE IMAGINARIO EJE REAL b -d z2 = (c, -d) 1 z = (a, -b) -b c d z2 = (c, d)
- 3. 3 MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS Si z1= a + bi y z2= c + di, entonces z1 · z2 = (a + bi)(c + di) multiplicando los binomios. z1 · z2 = ac + adi + bci + bdi2 reordenando y reemplazando i2 por (-1). z1 · z2 = ac + bd(-1) + adi + bci factorizando por i. z1 · z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i Notación binomial para la multiplicación de dos números complejos. z1 · z2 = (ac – bd, ad + bc) Notación cartesiana para la multiplicación de dos números complejos. OBSERVACIÓN El neutro multiplicativo es el complejo (1, 0) ó 1 + 0i = 1 EJEMPLOS 1. Si u = 3 – 2i y v = 2 + i, entonces u · v = A) 8 + i B) 6 + i C) 8 – i D) 4 + i E) 6 – 2i 2. z y w son números complejos con z = (7, 4) y w = (1, -2), entonces z · w = A) (1, -10) B) (-1, -10) C) (15, -18) D) (15, -10) E) (7, -8) 3. Si a = 2 – 3i y b = 5 – i, entonces el valor de a · b es A) 14 + 5i B) 13 – 13i C) 7 – 17i D) 13 – 17i E) 10 – 3i 4. Si p = 1 – i, q = 5 + i y r = 3 – i, entonces p(q – r) = A) 2 + i B) 2 – 2i C) -6 – 2i D) 4 E) 0
- 4. 4 RECÍPROCO DE UN COMPLEJO Sea z = a + bi, entonces el recíproco de z es z-1 = 1 z o z-1 = 1 a + bi . Para determinar el recíproco del número complejo z, se amplifica por el conjugado de z, es decir: -1 -1 1 1 z z = z = z z z OBSERVACIÓN: El elemento (0, 0) no tiene inverso multiplicativo. EJEMPLOS 1. Si z = 1 + i, entonces -1 z = A) -1 – i B) 1 – i C) 1 1 + 2 2 i D) 1 1 2 2 i E) Ninguna de las anteriores. 2. El recíproco o inverso multiplicativo de z = 3 + 4i es A) 3 4 , 5 5 B) 3 4 , - 25 25 C) 3 4 , - 25 5 D) 3 4 , 25 25 E) (-3, -4) 3. Si a-1 = -i, entonces a = A) -1 B) –i C) 1 D) i E) Ninguna de las anteriores.
- 5. 5 DIVISIÓN DE COMPLEJOS Si z1 = a + bi y z2 = c + di, con z2 distinto de cero, entonces el resultado de la división 1 2 z z se obtiene amplificando por el conjugado de z2: 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 z z z z z = = z z z z EJEMPLOS 1. El valor de 4 + 5i i es A) 5 + 4i B) -5 + 4i C) 5 – 4i D) 4 + 5i E) -4 – 5i 2. Sean u = 3 + i y v = 1 – i, entonces u v = A) 2 + 2i B) 1 – i C) 4 + 4i D) 2 – 2i E) 1 + 2i 3. Sean a = 4 + 3i y b = 3 + i, entonces a b A) 4 3 + 3i B) 9 5 + 10 10 i C) 15 13 10 10 i D) 9 7 + 10 10 i E) 3 1 + 2 2 i
- 6. 6 EJERCICIOS 1. Si w = -3 + 5i, entonces w es igual a A) 2 B) 4 C) 34 D) 8 E) 34 2. El conjugado del complejo representado en la figura adjunta es A) 5 – 4i B) -4 + 5i C) -4 – 5i D) 5 + 4i E) -5 – 4i 3. Si z = 8 – 15i, entonces z – z es igual a A) 25 + 15i B) 3(3 – 5i) C) -3(1 + 3i) D) -5(3 – 5i) E) 25 – 15i 4. ¿Cuál(es) de los siguientes números complejos tienen módulo igual a 17? I) 17 – 8i II) 8 + 15i III) 15 – 17i A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III x y 3 5 4 -4
- 7. 7 5. Si z pertenece a los números complejos, con z = (-5, 12), entonces z – z es igual A) (0, 7) B) (-10, 0) C) (-10, 24) D) (0, 24) E) (0, -7) 6. La expresión (2i – 3 ) (2i + 3 ) es igual a A) 1 B) 4i C) 4i – 3 D) 9 – 4i E) -7 7. 2 i 3 + i = A) 5 2i 6 B) 2 7 9 i C) 2 6 + i 6 D) 5 5i 9 E) 1 i 2 8. El número z = 3 3 + i 2 i es igual a A) 6 12i 5 B) 6 9i 4 C) 6 -15i D) 6 + 18i 5 E) 6 + 15i 4
- 8. 8 9. La suma de un número complejo y su conjugado es -8 y la diferencia entre su conjugado y él, es igual a 6i. Luego, el conjugado es A) 4 + 8i B) -4 + 8i C) 4 – 12i D) 3i + 4 E) 3i – 4 10. Si z = a + bi es un número complejo tal que (3 – i)z – 3 = 0, entonces a + b = A) 6 B) 12 C) 6 10 D) 6 5 E) otro valor. 11. Para que el número complejo (3k + 2i)(3 – i) sea imaginario puro k, debe ser A) 0 B) 9 2 C) 2 9 D) - 9 2 E) - 2 9 12. Si z = (m – 5, 1) y v = m + 6i, con m un número real, se puede afirmar correctamente que I) si m = 6, entonces z · v es un número imaginario puro. II) si m = 30 7 , entonces z · v es un número real. III) si m = -1, entonces z · v es un número imaginario puro. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III
- 9. 9 13. Si z un número complejo y z su conjugado, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas(s)? I) z – z = 2i · Im(z) II) z : z = z2 : z2 III) z : z = 1 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III 14. Si z = 1 + i y w = 1 – i, entonces z208 · w-207 es igual a A) w B) z C) -w D) -z E) z · w 15. Una raíz cuadrada del complejo -8 + 6i es A) 64 + 36i B) -64 + 36i C) 1 + 3i D) 1 – 3i E) - 8 + i 6 16. Si z1 = 2 – 3i y z2 = 3 – 2i, entonces 1 2 2 1 z + z z z = A) 0 B) 5 C) -5 D) 5i E) -5i
- 10. 10 17. Se define en los números complejos, la operación u v w z = uz – wv, con u, v, w y z números complejos. Si 5 2 t + i 1 i i i = i20 – ki, con t y k números reales, entonces se puede afirmar que A) t > k B) t = k C) t + k = 0 D) t – k = -1 E) t · k = 1 18. (-1 + i)20 = A) 1 + i 20 B) 20i C) -20i D) 1024 E) -1024 19. Siendo z un número complejo. Se puede determinar el valor de z + z , si: (1) Se conoce la parte imaginaria de z. (2) Se conoce la parte real de z. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 20. Sea v = a + bi un número complejo. Se puede determinar el módulo de v, si: (1) Se conoce v + v . (2) Se conoce v · v . A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
- 11. 11 MT-04 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web www.pedrodevaldivia.cl/ Ejemplos Págs. 1 2 3 4 1 C D D 2 B A D 3 C D B D 4 D B D 5 C E E RESPUESTAS EJERCICIOS PÁG. 6 1. C 6. E 11. E 16. E 2. C 7. E 12. E 17. C 3. B 8. A 13. E 18. E 4. B 9. E 14. A 19. B 5. D 10. D 15. C 20. B RESPUESTAS EJEMPLOS