O(nlogn) Analisis
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El documento describe conceptos básicos de funciones exponenciales, logarítmicas y propiedades de los logaritmos. También cubre temas como la solución de recurrencias mediante el método de sustitución, árboles de recursión y el método maestro para resolver ciertos tipos de recurrencias.
O(nlogn) Analisis
- 1. S O(n lg n) Ing. Juan Ignacio Zamora M. MS.c Facultad de Ingenierías Licenciatura en Ingeniería Informática con Énfasis en Desarrollo de Software Universidad Latinoamericana de Ciencia y Tecnología
- 2. Funciones Exponenciales S Una función exponencial es la que tiene por criterio S Tal que b > 0 y b <> 1. “b” se llama base y su exponente es la variable independiente S Características S Biyectiva y continua S Asintótica al eje x (NO corta el eje x) S Si b > 1, es estrictamente creciente S Si 0 < b < , es estrictamente decreciente f (x) = bx
- 3. Funciones Logarítmicas S La función logarítmica es la inversa de la exponencial y viceversa. S Se denota por S El logaritmo de un numero negativo no esta definido asi tampoco como el logaritmo de cero, dado que el dominio esta contenido en S Características S Asintótica al eje Y (NO Corta el eje Y) S Si b > 1, la función es estrictamente creciente S Si 0 < b < 1, entonces es decreciente f (x) = logb ⇔ bx = y R+
- 4. Propiedades de los Logaritmos logb x = y ⇔ by = x logb f (x) = logb g(x)⇔ f (x) = g(x) logb 1= 0 logb b =1 logb xy = logb x + logb y logb x y = logb x −logb y logb xn = nlogb x blogb x = x logb xn = 1 2 logb x = logb x n logb a = loga logb logb a = 1 loga b
- 5. Solución de Recurrencias Método de Substitución e Inducción Matemática Arboles de Recursión “Master Method”
- 6. Featuring à Merge Sort S Por Ejemplo Merge-Sort tiene un tiempo asintótico de S T(n) = aT(n/b) + D(n) + C(n) S aT(n/b) : representa el tamaño de cada sub problema (conquistar) S D(n) : representa el tiempo que toma dividir S C(n) : representa el tiempo que toma combinar S Dado que en Merge Sort D(n) = O(1), no se incluye y C(n) = O(n) por tanto T(n) = c n =1 2T(n / 2)+cn n >1 ! " # $# % & # '#
- 7. El Método de Substitución S Paso 1: Adivine cual puede ser la forma de la solución* S Paso 2: Utilizar inducción matemática para probar que nuestra teoría era correcta (prueba). S Dada una recurrencia T(n) = 2T(n/2) + n S Establecemos que T(n) = O(n lg n) S c > 0, c = 1 S m = n/2 T( n 2!" #$) ≤ c n 2!" #$lg n 2!" #$ T(n) ≤ 2(c n 2!" #$lg( n 2!" #$))+ n T(n) ≤ cnlg(n / 2)+ n T(n) = cnlgn −cnlg2 + n T(n) = cnlgn −cn + n T(n) ≤ cnlgn
- 8. Árbol de Recurrencias 4.4 The recursion-tree method for solving recurrences 89 … … (c)(b)(a) T .n/ cn2 cn2 cn2 T n 4 T n 4 T n 4 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 cn2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 3 16 cn2 3 16 2 cn2 log4 n T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/ ‚.nlog4 3 / 4.4 The recursion-tree method for solving recurrences 89 … … (d) (c)(b)(a) T .n/ cn2 cn2 cn2 T n 4 T n 4 T n 4 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 cn2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 3 16 cn2 3 16 2 cn2 log4 n nlog4 3 T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/ ‚.nlog4 3 / Total: O.n2 / T(n) = 3T(n / 4)+cn2
- 9. “Master Method” S Es una receta de cocina para para resolver recurrencias que concuerden con la forma T(n) = aT(n/b) + f(n) donde a y b > 1. S El “Master Method” se basa en 3 casos: f (n) = O(nlogb a−∈ ) ∈> 0 T(n) = O(nlogb a ) f (n) = Θ(nlogb a ) T(n) = O(nlogb a lgn) f (n) = Ω(nlogb a+∈ ) e > 0 af (n / b) ≤ cf (n) T(n) = Θ( f (n))
- 10. Uso de “Master Method” S Consideremos un tiempo T(n) = 9T(n/3) + n S Decimos que: S a = 9, b = 3, f(n) = n S Otro ejemplo: T(n) = T(2n/3) + 1 S a = 1, b = 3/2, f(n) = 1 nlogb a = nlog3 9 = Θ(n2 ) O(nlog3 9−ε ) ε =1 T(n) = Θ(n2 ) nlogb a = nlog3/21 = n0 =1 f (n) = Θ(nlogb a ) = Θ(1) T(n) = Θ(lgn)