![Memorias XI Encuentro Nacional de Óptica
II Conferencia Andina y del Caribe en Óptica y sus Aplicaciones
Escuela Regional de Óptica
Universidad de Pamplona, Noviembre 10 – 14 de 2008
Pamplona-Colombia
http://enocancoa2008.unipamplona.edu.co
Análisis de las Imágenes de la Espada de Luz
Rodrigo Henaoa, Alberto Cirob, Andrzej Kolodziejczykc, Zbigniew Jaroszewiczd
a
Grupo de Óptica y Fotónica, Instituto de Física, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia;
b
Instituto Tecnológico Metropolitano, Medellín, Colombia.
c
Facultad de Física, Universidad Politécnica de Varsovia, Varsovia, Polonia
d
Instituto de Óptica Aplicada, Varsovia, Polonia
RESUMEN
Dentro de los elementos ópticos difractivos con profundidad de foco extendido, el conocido con el nombre de Espada de
Luz presenta características que lo convierte en fuerte candidato para usarse en la corrección del problema de
acomodación del ojo humano o presbicia. Por lo tanto es de interés un estudio de la calidad de las imágenes producidas
por este elemento bajo diferentes situaciones. En este trabajo se realiza una amplia descripción analítica de la Espada de
Luz, se presentan y se discuten resultados de simulaciones de la formación de imágenes para diferentes objetos y
distancias
Palabras Clave: espada de luz, acomodación del ojo, elemento difractivo.
ABSTRACT
Within the diffractive optical elements with extended depth of focus, the most well-known with the name of the Sword of
Light presents features that makes it a strong candidate for use in correcting the problem of accommodation in the human
eye or presbyopia. Therefore, it is of interest to study the quality of images produced by this element under different
situations. In this work an extensive analytical description of the Sword of Light is carried out; the results of simulations
of the formation of images for different objects and input planes are presented and discussed.
Keywords: Light sword, Accommodation of the eye, Diffractive element, Presbyopia.
1. TEORÍA DEL ELEMENTO DIFRACTIVO ESPADA DE LUZ
El elemento óptico Espada de Luz es un elemento difractivo delgado cuya transmitancia de fase está dada por [1,2]:
T ( r ) = exp( ik ϕ ) (1)
donde
kr 2
ϕ (r) = − (2)
2 ( z 1 + θ ∆ / 2π )
Figura 1. Transmitancia de la espada de luz](https://image.slidesharecdn.com/opd15-120802213216-phpapp02/85/Opd-15-1-320.jpg)
![Rodrigo Henao, et al. / Mem. XI Enc. Nal. Ópt. & II CANCOA, (2008)
Como se puede ver en la figura 1, la Espada de Luz es un elemento que no presenta simetría radial. La fórmula (1)
presenta una transmitancia en coordenadas polares, donde son respectivamente las coordenadas radial y
transversal ; donde λ es la longitud de onda de la luz utilizada. Podemos interpretar esta transmitancia de la
siguiente manera: Para un valor fijo de la transmitancia equivale a la transmitancia de una lente de distancia focal igual
a z = z1 + θ∆ / 2π que enfoca la luz de una onda plana que incide en el sector angular 〈θ ,θ + d θ 〉 en el
foco dado por z ;lo que indica que todo el elemento enfoca la onda en un segmento focal ∆ delimitado por y z 2 como
lo sugiere la figura 3.
Se puede decir entonces, que el elemento difractivo Espada de Luz es una lente no convencional que presenta una
modulación angular que no presentan otros elementos difractivos citados en la literatura científica[3,4].Este hecho, hace
que la luz transmitida se enfoque de manera diferente como lo hacen otros elementos cuya transmitancia de fase no
depende de coordenada angular[1,3,4].
En la figura 2 se esquematiza la forma como la onda se enfoca según el método del trazado de rayos[ 3].Este método en
forma paraxial se puede expresar por la fórmula:
r0 = r + z ∇ϕ ( r , θ ) (3)
donde representa un punto del plano del elemento espada de luz con coordenadas ( r ,θ ) , r 0 representa un punto del
plano de salida con coordenadas (r0 ,θ + π / 2) , z es la distancia entre el plano del elemento y el plano de salida (Fig.3)
y es el gradiente de la transmitancia del elemento en coordenadas ryθ .
Figura 2. Geometría para mostrar el método del trazado de rayos
Es interesante notar en la figura 3, que el enfoque en realidad se da sobre un segmento fuera del eje a diferencia de lo que
ocurre con elementos como Axilentes, Axicones, Ojo de Pavo Real y Lentes que enfocan una onda plana sobre puntos del
eje.
A medida que θ aumenta entre 0 y2π, dicho segmento gira alrededor del eje óptico avanzando hacia la derecha desde
hasta z2 = z1 + ∆ como se indica en la figura3. E n la medida en que el tamaño de la abertura disminuye,
el tamaño de este segmento también disminuye, lográndose en primera aproximación enfocar la luz en un punto, lo cual
trae como consecuencia que la luz transmitida por el elemento también disminuye.
Pág. 2 de 2](https://image.slidesharecdn.com/opd15-120802213216-phpapp02/85/Opd-15-2-320.jpg)
![Rodrigo Henao, et al. / Mem. XI Enc. Nal. Ópt. & II CANCOA, (2008)
Figura 3. Diagrama que ilustra el enfoque de un sector angular
infinitesimal de la espada de luz.
3. PROCEDIMIENTO
El procedimiento a seguir para la realización de las simulaciones es el siguiente: haciendo uso de la teoría de Fourier para
formación de imágenes en sistemas incoherentes [6 ], se lleva a cabo una serie de simulaciones con objetos en diferentes
planos de entrada. Las imágenes se localizan 20mm más allá del plano del elemento Espada de Luz. Se toma como longitud
de onda la de un láser de Helio-Neón de 6328 angstroms. El montaje usado, utiliza parámetros de la visión humana como se
ilustra en la figura 4.
Figura 4. Gráfica de la geometría utilizada en las simulaciones.
Los objetos fueron las palabras ITM Y GOF como objetos transparentes (letras blancas) y la palabra GOF nuevamente
como objeto opaco (letras negras). Esto con el fin de analizar la calidad de las imágenes producidas por la Espada de Luz
para diferente clase de objetos.
El análisis de un conjunto de imágenes se basa en dos funciones importantes: la función de punto extendido incoherente
y el módulo de la función de transferencia óptica. La primera tiene que ver con la sensibilidad o no de las imágenes en el
plano de salida, con respecto a la ubicación del plano de entrada la cual varía desde 25cm hasta infinito. La otra función
tiene que ver más con el contraste y la resolución de las imágenes.
A la distribución de fase dada por la ecuación 2 se le entran los siguientes parámetros: z 1 =18.5mm, r varía
entre 0 y 3mm y θ varía entre 0 y 2 π . Con esta información se construye la transmitancia de la figura1.
Las imágenes en el plano de salida corresponden a objetos ubicados en planos de entrada distantes 30,70, 100 y
150 cm con relación al plano central del elemento difractivo, como se ilustra en la figura 4.
4. RESULTADOS
Se presentan la función de punto extendido incoherente, el módulo de la función de transferencia óptica con sus respectivas
imágenes (figura 5) para el primer caso de la serie de imágenes que se presenta al final.
Pág. 3 de 3](https://image.slidesharecdn.com/opd15-120802213216-phpapp02/85/Opd-15-3-320.jpg)
Opd 15
- 1. Memorias XI Encuentro Nacional de Óptica II Conferencia Andina y del Caribe en Óptica y sus Aplicaciones Escuela Regional de Óptica Universidad de Pamplona, Noviembre 10 – 14 de 2008 Pamplona-Colombia http://enocancoa2008.unipamplona.edu.co Análisis de las Imágenes de la Espada de Luz Rodrigo Henaoa, Alberto Cirob, Andrzej Kolodziejczykc, Zbigniew Jaroszewiczd a Grupo de Óptica y Fotónica, Instituto de Física, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia; b Instituto Tecnológico Metropolitano, Medellín, Colombia. c Facultad de Física, Universidad Politécnica de Varsovia, Varsovia, Polonia d Instituto de Óptica Aplicada, Varsovia, Polonia RESUMEN Dentro de los elementos ópticos difractivos con profundidad de foco extendido, el conocido con el nombre de Espada de Luz presenta características que lo convierte en fuerte candidato para usarse en la corrección del problema de acomodación del ojo humano o presbicia. Por lo tanto es de interés un estudio de la calidad de las imágenes producidas por este elemento bajo diferentes situaciones. En este trabajo se realiza una amplia descripción analítica de la Espada de Luz, se presentan y se discuten resultados de simulaciones de la formación de imágenes para diferentes objetos y distancias Palabras Clave: espada de luz, acomodación del ojo, elemento difractivo. ABSTRACT Within the diffractive optical elements with extended depth of focus, the most well-known with the name of the Sword of Light presents features that makes it a strong candidate for use in correcting the problem of accommodation in the human eye or presbyopia. Therefore, it is of interest to study the quality of images produced by this element under different situations. In this work an extensive analytical description of the Sword of Light is carried out; the results of simulations of the formation of images for different objects and input planes are presented and discussed. Keywords: Light sword, Accommodation of the eye, Diffractive element, Presbyopia. 1. TEORÍA DEL ELEMENTO DIFRACTIVO ESPADA DE LUZ El elemento óptico Espada de Luz es un elemento difractivo delgado cuya transmitancia de fase está dada por [1,2]: T ( r ) = exp( ik ϕ ) (1) donde kr 2 ϕ (r) = − (2) 2 ( z 1 + θ ∆ / 2π ) Figura 1. Transmitancia de la espada de luz
- 2. Rodrigo Henao, et al. / Mem. XI Enc. Nal. Ópt. & II CANCOA, (2008) Como se puede ver en la figura 1, la Espada de Luz es un elemento que no presenta simetría radial. La fórmula (1) presenta una transmitancia en coordenadas polares, donde son respectivamente las coordenadas radial y transversal ; donde λ es la longitud de onda de la luz utilizada. Podemos interpretar esta transmitancia de la siguiente manera: Para un valor fijo de la transmitancia equivale a la transmitancia de una lente de distancia focal igual a z = z1 + θ∆ / 2π que enfoca la luz de una onda plana que incide en el sector angular 〈θ ,θ + d θ 〉 en el foco dado por z ;lo que indica que todo el elemento enfoca la onda en un segmento focal ∆ delimitado por y z 2 como lo sugiere la figura 3. Se puede decir entonces, que el elemento difractivo Espada de Luz es una lente no convencional que presenta una modulación angular que no presentan otros elementos difractivos citados en la literatura científica[3,4].Este hecho, hace que la luz transmitida se enfoque de manera diferente como lo hacen otros elementos cuya transmitancia de fase no depende de coordenada angular[1,3,4]. En la figura 2 se esquematiza la forma como la onda se enfoca según el método del trazado de rayos[ 3].Este método en forma paraxial se puede expresar por la fórmula: r0 = r + z ∇ϕ ( r , θ ) (3) donde representa un punto del plano del elemento espada de luz con coordenadas ( r ,θ ) , r 0 representa un punto del plano de salida con coordenadas (r0 ,θ + π / 2) , z es la distancia entre el plano del elemento y el plano de salida (Fig.3) y es el gradiente de la transmitancia del elemento en coordenadas ryθ . Figura 2. Geometría para mostrar el método del trazado de rayos Es interesante notar en la figura 3, que el enfoque en realidad se da sobre un segmento fuera del eje a diferencia de lo que ocurre con elementos como Axilentes, Axicones, Ojo de Pavo Real y Lentes que enfocan una onda plana sobre puntos del eje. A medida que θ aumenta entre 0 y2π, dicho segmento gira alrededor del eje óptico avanzando hacia la derecha desde hasta z2 = z1 + ∆ como se indica en la figura3. E n la medida en que el tamaño de la abertura disminuye, el tamaño de este segmento también disminuye, lográndose en primera aproximación enfocar la luz en un punto, lo cual trae como consecuencia que la luz transmitida por el elemento también disminuye. Pág. 2 de 2
- 3. Rodrigo Henao, et al. / Mem. XI Enc. Nal. Ópt. & II CANCOA, (2008) Figura 3. Diagrama que ilustra el enfoque de un sector angular infinitesimal de la espada de luz. 3. PROCEDIMIENTO El procedimiento a seguir para la realización de las simulaciones es el siguiente: haciendo uso de la teoría de Fourier para formación de imágenes en sistemas incoherentes [6 ], se lleva a cabo una serie de simulaciones con objetos en diferentes planos de entrada. Las imágenes se localizan 20mm más allá del plano del elemento Espada de Luz. Se toma como longitud de onda la de un láser de Helio-Neón de 6328 angstroms. El montaje usado, utiliza parámetros de la visión humana como se ilustra en la figura 4. Figura 4. Gráfica de la geometría utilizada en las simulaciones. Los objetos fueron las palabras ITM Y GOF como objetos transparentes (letras blancas) y la palabra GOF nuevamente como objeto opaco (letras negras). Esto con el fin de analizar la calidad de las imágenes producidas por la Espada de Luz para diferente clase de objetos. El análisis de un conjunto de imágenes se basa en dos funciones importantes: la función de punto extendido incoherente y el módulo de la función de transferencia óptica. La primera tiene que ver con la sensibilidad o no de las imágenes en el plano de salida, con respecto a la ubicación del plano de entrada la cual varía desde 25cm hasta infinito. La otra función tiene que ver más con el contraste y la resolución de las imágenes. A la distribución de fase dada por la ecuación 2 se le entran los siguientes parámetros: z 1 =18.5mm, r varía entre 0 y 3mm y θ varía entre 0 y 2 π . Con esta información se construye la transmitancia de la figura1. Las imágenes en el plano de salida corresponden a objetos ubicados en planos de entrada distantes 30,70, 100 y 150 cm con relación al plano central del elemento difractivo, como se ilustra en la figura 4. 4. RESULTADOS Se presentan la función de punto extendido incoherente, el módulo de la función de transferencia óptica con sus respectivas imágenes (figura 5) para el primer caso de la serie de imágenes que se presenta al final. Pág. 3 de 3
- 4. Rodrigo Henao, et al. / Mem. XI Enc. Nal. Ópt. & II CANCOA, (2008) IPSF 3-D para objeto puntual a 30 cm, cuya imagen aparece a la Imagen de la IPSF del objeto puntual derecha. MTF 3-D cuya imagen aparece a la derecha Imagen de la MTF del objeto puntual Figura 5. Gráfica e imagen de la función de punto extendido incoherente (IPSF) y gráfica e imagen del módulo de la función de transferencia óptica (MTF). La figura 6 ilustra las imágenes simuladas de objetos planos (palabras) ubicados a las distancias que se indican con la letra p, con respecto al elemento Espada de Luz p=30cm p=30cm p=30cm Pág. 4 de 4
- 5. Rodrigo Henao, et al. / Mem. XI Enc. Nal. Ópt. & II CANCOA, (2008) p=70cm p=70cm p=70cm p=100cm p=100cm p=100cm p=150cm p=150cm p=150cm Figura 6. Imágenes obtenidas por simulaciones y producidas por el elemento difractivo Espada de Luz, con parámetros que se ajustan a la visión humana. La función de punto extendido incoherente (IPSF) revela la falta de simetría de revolución de la transmitancia; no obstante una gran parte de la energía incidente se localiza en el máximo central. Probablemente la forma no simétrica de la función de punto extendido incoherente sea la causa del aspecto ligeramente borroso que presentan las imágenes. En las imágenes centrales principalmente, la borrosidad o ruido varía ligeramente en su intensidad. Se puede interpretar este hecho diciendo que la función de punto extendido incoherente es sensible a la profundidad de campo. El módulo de la función de transferencia óptica (MTF) revela la transferencia de un gran rango de frecuencias espaciales alrededor de la frecuencia correspondiente al máximo central con valores (MTF) altos que definen un buen contraste; pero las altas frecuencias no se transfieren, lo que permite explicar la poca definición de las imágenes de salida de ciertas letras de la figura 6. Se puede notar que todas las imágenes en general presentan una resolución aceptable, manteniéndose esa característica constante a lo largo de todo el muestreo. Como era de esperarse no se observa una diferencia entre un objeto opaco y uno transparente, aparentemente hay más ruido en el fondo de los elementos opacos, pero esto es solo un efecto visual por la forma de presentación de las imágenes. Es decir, este ruido también aparece en los objetos transparentes. Se observa una distribución no uniforme de la intensidad en algunas partes de las imágenes. Se hace más manifiesto en las formas rectas pero también aparece en las formas curvas. Es de destacar, que en los objetos opacos este fenómeno no es tan evidente. 5. CONCLUSIONES Aunque el elemento óptico Espada de Luz produce imágenes más definidas en los planos cercano, medio y lejano que otros elementos con alta profundidad de foco, las imágenes no son perfectas y presentan nivel de ruido, como también una distribución no uniforme de la intensidad. Para reducir estos efectos se debería modificar la función de transmitancia de la Espada de Luz y en este sentido se están iniciando investigaciones. AGRADECIMIENTOS R. Henao agradece el apoyo de CODI Universidad de Antioquia y A.Ciro agradece todo el apoyo brindado por el Instituto tecnológico Metropolitano de Medellín para la presentación de este trabajo. REFERENCIAS 1. G.Mikula, A.Kolodziejczyk,M.Makowski,C.Prokopowicz, M.Sypek, “Diffractive elements for imaging with extended depth of focus”,Opt.Eng.44,058001-058007, 2005. 2. A.Kolodziejczyk, S.Bará, Z.Jaroszewicz, M. Sypek, “the light sword optical element-a new diffraction structure with extended depth of focus”J.Mod.Opt.,37,1283-1286, 1990. Pág. 5 de 5
- 6. Rodrigo Henao, et al. / Mem. XI Enc. Nal. Ópt. & II CANCOA, (2008) 3. G.Mikula,Z.Jaroszewicz,A.Kolodziejczyk,K.Petelczye,and M.Sypek, “Imaging with extended focal depth by means of lenses with radial and angular modulation”,Opt.Express,15,9184-9193, 2007 4. J.Sochacki, A.Kolodziejczyk,K.Jaroszewicz,and S.Bará, “Nonparaxial design of generalized axicones”,Appl.Opt.31,5326-5330, 1992. 5. J.H. McLeod, “Axicones y sus usos”, J.Opt.Soc.Am.50, 166-169(1960). 6. J.W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, 1968, Chap. 6. 7. M. Sypek, “Light propagation in the Fresnel region. New numerical approach,” Opt. Commun. 116, 43-48, 1995. Pág. 6 de 6