Operaciones con monomios y polinomios, valor númerico, etc
- 1. Universidad Técnica Nacional Matemática General para ingeniería Profesor: Maicol Chaves Madrigal Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas son aquellas que contienen números y letras ligados por las operaciones matemáticas. A los números se les llama constantes y a las letras variables. Dependiendo de lo que se quiera representar con una expresión algebraica, ésta puede tener uno o varios términos. Para distinguirlos, diremos que las expresiones separadas por los signos +¿ó −¿, se denominan términos algebraicos. Ejemplo: x 2 +5x−9 x 3 − a 5 +9m4 −n x−1 13 x 5 y Todos los términos están formados por las siguientes partes: 2m 7 b 2 coeficiente numérico m 7 b factor literal Valor numérico de una expresión El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtienen al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo 1: Calcular el valor numérico de la siguiente expresión: 8 x 2 −2 x y 4 si x=5, y=−2 8(5)2 −2(5)(−2)4 =¿ sustituyo las variables por los valores dados 8∙25−2∙(5)∙16=¿ calcular las potencias 200−160=¿ 40 Ejemplo 2 Calcular el valor numérico de la siguiente expresión:
- 2. Universidad Técnica Nacional Matemática General para ingeniería Profesor: Maicol Chaves Madrigal Monomios Son las expresiones algebraicas de un solo término, cuyo factor literal contiene solamente exponentes enteros positivos. Esto implica que en un monomio NO deben aparecer variables en el denominador y NO deben aparecer exponentes negativos ni fraccionarios en las variables. Ejemplos Son monomios 4 a 2 b 3 c 3ab 7 5 x 4 y 8 −11a 2 bc 3 −2 No son monomios 6b 2 c − 4 9 xy a 5a x 3 4 4 x 2 5 y6 m2 n −1 4 Notación: Si x es una variable o una constante entonces: Tomando en cuenta esta notación tenemos que: Si el coeficiente de un monomio o de una expresión algebraica es 1 o -1, no escribimos el 1. Ejemplo a) En x 2 y el coeficiente es 1. b) En −a 3 b 5 c 2 el coeficiente es −1. Definición Si dos o más monomios tienen igual factor literal, entonces se dice que son semejantes entre sí. Ejemplo a) Los monomios 6 x 5 y 2 , 1 3 x 5 y 2 , , −2 9 y 2 x 5 b) Los monomios 7a 2 x 3 , 4 a 5 x 3 , , −2 3 a 5 x2
- 3. Universidad Técnica Nacional Matemática General para ingeniería Profesor: Maicol Chaves Madrigal Suma de monomios semejantes La suma de monomios semejantes entre sí, es igual a un monomio cuyo coeficiente es igual a la suma de los coeficientes numéricos de los monomios dados y cuyo factor literal es el factor literal de los monomios dados. Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones: a) −2ax+ 3 5 ax+ax=¿ b) 12a 2 y 2 +10ax+3a 2 y 2 −5ax=¿ Multiplicación y división de monomios El producto de dos o más monomios es igual a un monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los monomios dados y cuyo factor literal es el producto de los factores literales de los monomios dados. Ejemplo a) (4 x2 y3 )( 2 3 x3 y3 z) b) 72 x 4 y 3 48 x2 y5 POLINOMIOS Son las expresiones algebraicas formadas por la suma o resta de dos o más monomios con diferentes factores literales. Si el polinomio está formado por dos monomios no semejantes se llama binomio, y si está formado por tres monomios no semejantes se llama trinomios. Ejemplo: 3a2 b−5a2 b=−2a2 b monomio 3a 2 b−5a 3 b=¿ binomio 3 x 2 −2x+11 trinomio 3a 2 −5b 2 +8ab−1 polinomio de 4 términos Definición a.) Si un polinomio no involucra variables recibe el nombre de polinomio constante.
- 4. Universidad Técnica Nacional Matemática General para ingeniería Profesor: Maicol Chaves Madrigal b.) Si un polinomio involucra n variables recibe el nombre de polinomio en n variables Raíces o ceros de un polinomio Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que hacen cero el polinomio. Calculo los ceros (raíces) del polinomio: Q(x) = x2 − x – 6 Los divisores del término independiente son ±1, ±2 ±3. (divisores del término independiente (6)) Q(x) = x2 − x – 6 Q(1) = (1)2 – (1) − 6 =-6≠ 0 Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 = - 4 ≠ 0 Q(2) = (2)2 – (2) – 6 = -4 ≠ 0 Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 0 Q(3) = (3)2 – (3) − 6 = 0 Q(−3) = (−3)2 − (−3) − 6 = 6 ≠ 0 x = −2 y x = 3 son las raíces o ceros del polinomio : P(x) = x2 − x − 6, porque P(−2) = 0 y P(3) = 0. P(x) = (x + 2) · (x − 3) Teorema del factor Si el número real c es un cero o raíz de un polinomio de variable " x" entonces dicho polinomio es divisible exactamente por el binomio x – c . De acuerdo al ejemplo anterior, el polinomio Q(x) = x2 − x – 6 es divisible por los polinomios(x + 2) y (x − 3), y el residuo de la división será cero. Operaciones con polinomios Suma y resta de polinomios Para sumar o restar polinomios debemos suprimir(quitar) los paréntesis y reducir los términos semejantes. Es decir, se suman o se restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal. Para restar polinomios (donde aparezca un menos delante de un paréntesis), debemos cambiar el signo a cada uno de los términos dentro de éste. Ejemplo:
- 5. Universidad Técnica Nacional Matemática General para ingeniería Profesor: Maicol Chaves Madrigal 1) (3 x 4 y+5 xy−4 x 2 y)+(−7 x 4 y+ 1 2 x 2 y−2xy+12) = 3 x4 y+5xy−4 x2 y±7 x4 y+ 1 2 x2 y−2 xy+12=¿ (3 x 4 y−7 x 4 y)+(5 xy−2 xy)+(−4 x 2 y+ 1 2 x 2 y)+12=¿ −4 x4 y+3xy− 7 2 x2 y+12 2) (−2ab+3a2 b+4 a3 b2 +1)−(4ab−2a2 b+7a3 b2 −5) = −2ab+3a 2 b+4 a 3 b 2 +1−4 ab+2a 2 b−7a 3 b 2 +5=¿ (−2ab−4 ab)+(3a 2 b+2a 2 b)+(4 a 3 b 2 −7 a 3 b 2 )+(1+5)=¿ −6ab+5a 2 b−3a 3 b 2 +6 2) Multiplicación de polinomios Monomios ∙ polinomio: Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: 7 x 2 y (x y 2 −4 x 3 y 5 −3)=¿ 7 x 2 y 1 ∙1 x y 2 −7 x 2 y 1 ∙4 x 3 y 5 −7 x 2 y ∙3=¿ 7 x 3 y 3 −28x 5 y 6 −21 x 2 y Polinomio∙ polinomio: Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término del primer polinomio por el segundo polinomio. Luego se reducen los términos que resulten semejantes. Ejemplo (2 xy+3 y 2 )(5 x−2 xy+ y)=¿ 2 xy(5 x−2 xy+ y)+3 y 2 (5 x−2 xy+ y)=¿ 2 xy.5 x−2 xy.2 xy+2xy . y+3 y 2 .5 x−3 y 2 .2 xy+3 y 2 . y=¿ 10 x2 y−4 x2 y2 +2 xy2 +15xy2 −6xy3 +3 y3 =¿ 10 x 2 y−4 x 2 y 2 +(2 xy 2 +15xy 2 )−6 xy 3 +3 y 3 =¿ 10 x 2 y−4 x 2 y 2 +17 xy 2 −6 xy 3 +3 y 3 División de polinomios Polinomio entre monomio 20x5 −16 x4 +12x2 −6 x 2x2 = 20 x5 2x2 − 16 x4 2 x2 + 12x2 2x2 − 6 x 2 x2 =10x3 −8x2 +6− 3 x
- 6. Universidad Técnica Nacional Matemática General para ingeniería Profesor: Maicol Chaves Madrigal Polinomio entre polinomio Observemos los siguientes ejemplos 2) Realice la división 9 x +2 x 4 +8−6 x 3 ÷x−2
- 7. Universidad Técnica Nacional Matemática General para ingeniería Profesor: Maicol Chaves Madrigal División sintética Para dividir un polinomio por otro que tenga la forma x−a , con a∈ℜexiste un método más rápido y sencillo (en comparación con la división de polinomios habitual) en el que se utilizan los coeficientes numéricos del dividendo y los ceros (o raíces) del divisor. C(x)=2 x 3 +2x 2 +5 x+11 R(x)=4 Ejemplo Realice la siguiente división de polinomios mediante división sintética. 2 x3 −3 x2 +7 x−5÷x+ 1 2 2 - 3 7 -5 −1 2 -1 2 −9 2 2 -4 9 −19 2 C(x)=2 x 2 −4 x+9 R(x)= −19 2
- 8. Universidad Técnica Nacional Matemática General para ingeniería Profesor: Maicol Chaves Madrigal _______________ 6 x 4 ∙3 x 2 −4 x 5 ∙2x _____________________ −1 2 x2 y3 (2xy−6) _____________________ 7 x 5 y 3 ∙−2 x y 4 ∙−6 x 3 y 6 _____________________ (5 x2 −6−x+2x3 ) ÷(2 x+3) ____________________ Valor numérico 4 √x y −3 z si x¿16, y=2, z=64 ____________________ (3 x+2)(3 x−2) −75 x 14 y 10 ÷ −15 x 8 y 10 (−7 x 2 +8 x+5x 3 +1) ÷(x−3)
- 9. Universidad Técnica Nacional Matemática General para ingeniería Profesor: Maicol Chaves Madrigal ____________________ ____________________ _____________________ _____________________ ____________________ Valor númerico _____________________ conseguirlo 32 Algunas 5 x 2 +3 x+1 para x 2 +2x−3 con 84 x 9 y 13 duro x 2 −5 x+3 éxito 16 sueñan −x 3 y 4 +3 x 2 y 3 mientras 9 x 2 −4 otros 5 x 6 trabajan 5 x 2 +8x+32 personas 10 x 6 el x 2 + x−2 EJERCICIO 1) Determine el valor numérico correspondiente, en cada una de las siguientes expresiones: a) −2 x2 +ax−b si x=−3,a=−2,b=−7 b) 3 x3 + ax c +3 si x=−1,a=49,c=7 c) 3 5 x 3 y 2 z si x¿ −1 2 , y= −3 4 ,z= 5 3 g) 2a3 x2 y 3 −ax si a=−1,x= 3 5 , y=8 h) m −2 +m 3 −n −y si m=8 ,n= −1 16 , , y=2 i) x 3 + x−ab si x=0,a=0,5,b=4 claves
- 10. Universidad Técnica Nacional Matemática General para ingeniería Profesor: Maicol Chaves Madrigal d) 3 √x y −2 z si x¿−8, y=2,z= 1 4 e) 2 x2 +3 x y3 −x3 y−1 si x=−3, y=6 f) −3a 4 b 2ab3 si a= 2 5 ,b= −1 3 j) −x 2 +ac−3 si x=2,a= 1 7, ,c=7 3 k) −x 2 y 3 z 4 si x¿ −1 2 , y=−1, z=0 2. Reduzca las siguientes expresiones algebraicas. a) 16kop−30kop e) 2,75a− 2 3 a−a i) 5a−8a 2 +2 3 a 2 +a−8a b) 2m10 p3 q+210m10 p3 q f) 2 3 x 2 −5 x 2 +4 x 2 − 2 5 x 2 j) 6 3 w x 3 p− 5 3 wx 3 − 4 3 x 3 w+ 3 3 w x 3 p c) 11a 3 b−18a 3 b±7a 3 b g) 5 y−17 y+2 y 2 −10 y−2 y 2 k) −8a 4 b 4 +8b 4 a 4 −8 a 3 b 4 −a 3 b 4 d) 4 abc+9abc+acb h) 5 9 ab 3 −2a 3 b−b 3 a+8 a 3 b l)8h 3 p 4 +10−p 4 h 3 −3h 3 4 4 −10 3. Realice las siguientes divisiones de monomio entre monomio. a) 4a 2 b 2 c 5 ∙−9a 3 bc 2 =¿ c) −2 5 ab 2 ∙ 1 9 a 6 bcd=¿ e) −3mn 2 ∙−2nm 3 ∙m 5 =¿ b) −7aby 3 ∙−4ab 5 y=¿ d) −1 2 a 5 b∙2 −2 ab 16 =¿ 4. Realice las siguientes divisiones de monomio entre monomio. a) 18a 4 b 6 ÷−9ab=¿ c) −2 6 u 8 v 2 ÷−2 5 u 5 v=¿ e) −76a 9 b 5 ÷2 −2 ab 16 =¿ b) −45e 14 d 6 f ÷15 e 10 d 4 =¿ d) 48 x 3 yz÷18 x c =¿ 6. Resuelva las siguientes multiplicaciones con polinomios. a) 3m2 (3m3 +6) c) xy( y−x+5) e) (x+1)(x−1) g) −z2 (−z3 w+12+w) b) −2a(a6 −14−8b a4 ) d) 5a2 b(−b3 +a2 ) f ¿(−d2 g3 +d)(2d2 −dg) h) (3m3 +6)(3m3 +6) 7. Resuelva las siguientes divisiones de polinomio con monomios. a) 4 x 3 +x 2 −5 x x b) −6 y 2 −12 y+3 −3 c) 10m 5 −15m 2 5m 2 d) 16w 4 −12w 3 +8 w 8w 2 e) 15m4 n3 +25m3 n 10m2 n f) 9a5 c3 −9c3 −18a5 −3a 2 c 2 g) 14n4 +8n2 +10n 2n h) −11 x7 −33 x4 +55x2 −11 x3
- 11. Universidad Técnica Nacional Matemática General para ingeniería Profesor: Maicol Chaves Madrigal i) −4 x2 y5 +10 x3 y6 20x2 y3 j) 20u y6 +10uy+5u3 −5uy k) (12c4 +10c2 )÷(4 5 c3 ) l)( 1 5 x3 + 3 2 x+ 5 4 ¿÷( 3 10 x) 8. Realice las siguientes divisiones de polinomios usando la división habitual y la división sintética. a) (w−3 w3 +4 w2 )÷(w−2) f) 4 x3 −8x2 −x+2÷x−2 b)(−3 x 3 +2x 2 −3 x+1)÷(1+x 2 ) g) (x2 −x−12):(x−4) c)(−4 x 2 +3x 3 +2 x−1)÷(1+2x) h) (−8 x2 −6 x+9):(x+4) d)(5 x 4 +10 x 3 +4 x 2 +7 x−2)÷(2+x) i) −8 x3 +x4 −16+2x÷ x−8 e)(−31 y+8+ y 3 )÷( y+6) j) (−48+4 n−5n3 +n4 ):(n+2)