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- 1. PRÁCTICA: MODELOS DE CRECIMIENTO POBLACIONAL Objetivo:Calcular el crecimiento poblacional con diferentes modelos y analizar su comportamiento. GENERALIDADES: CRECIMIENTO POBLACIONAL El crecimiento poblacional o crecimiento demográfico es el cambio en la población en un cierto plazo, y puede ser cuantificado como el cambio en el número de individuos en una población usando "tiempo por unidad" para su medición. El término crecimiento demográfico puede referirse técnicamente a cualquier especie, pero refiere casi siempre a seres humanos, y es de uso frecuentemente informal para el término demográfico más específico tarifa del crecimiento poblacional, y es de uso frecuente referirse específicamente al crecimiento de la población del mundo. Los modelos simples del crecimiento demográfico incluyen el modelo del crecimiento de exponencial y el modelo logístico. MODELOS DE CRECIMIENTO POBLACIONAL 1-. Modelos de crecimiento Dos grupos de procesos afectan a la densidad de una población: nacimientos e inmigración que tienden a incrementar la población y las muertes y la emigración que la disminuyen. Para esta simulación asumiremos que la inmigración y emigración se contrarrestan una a la otra, siendo por tanto los nacimientos y las muertes los factores que determinan el crecimiento y la densidad de la población. También asumiremos que todos los individuos tienen la misma probabilidad de reproducirse y que los recursos ambientales son infinitos. Primero vamos a considerar una planta anual o un insecto que presente generaciones no solapadas. Ya que la mayoría de los individuos de la población presentan un estado de crecimiento similar, este crecimiento DISCRETO puede ser descrito mediante una ecuación diferencial finita, es decir: Si Nt = Tamaño de la población en el momento t b = Nacimientos por hembra y por intervalo de tiempo p = probabilidad de supervivencia en el intervalo de tiempo Entonces N1 = N0 p + p b N0 Nt+1 = Nt p + p b Nt = Nt (p + b p) = Nt
- 2. Nt= Nt-1 = ( Nt-2) = t N0 Nt = t N0 donde es una constante llamada ‘coeficiente de incremento geométrico’. Ahora consideraremos organismos con generaciones solapadas. El crecimiento CONTINUO de este tipo de poblaciones puede ser descrito mediante la ecuación: dN/dt = (b - d) N donde: b = Tasa instantánea de nacimiento por hembra d = Tasa instantánea de mortalidad por hembra N = Tamaño de la población b – d = r = Tasa instantánea de crecimiento por hembra Integrando la expresión anterior obtenemos que N=N0ert 1.1. Crecimiento Exponencial. El primer modelo se muestra en la Figura 1. Él representa el crecimiento de la población en una fuente de presión constante. La fuente de presión constante puede abastecer tanta energía como se necesita. Por ejemplo, piense en una población de conejos en crecimiento, con abastecimiento de alimento que no considera la rapidez con que ellos comen. Siga el flujo del diagrama para ver como la población de conejos aumenta, esta retroalimenta para traer mas energía (a través de más alimentación) para procrear mas conejos. Si el sistema comienza con un conejo macho y una hembra, y ellos producen cuatro conejitos que a su vez producen ocho; y así, en la misma tasa de aumento, la próxima generación producirá 16, la próxima 32, la próxima 64 y así sucesivamente. Como el número de conejos aumenta, ellos usan más de la fuente de energía y el número aumenta rápidamente.
- 3. Figura 1 Crecimiento exponencial de un sistema con fuente de energía que mantiene una presión constante. Modelo 2: Crecimiento Logístico. Las poblaciones creciendo inicialmente rápido en una fuente de presión constante, se vuelven tan numerosas que pierden su capacidad de crecer debido a interacciones entre los miembros de la población, resultando entonces un estado de equilibrio. Este tipo de crecimiento se llama crecimiento logístico. Crecimiento logístico es el balance entre producción en proporción a la población, y a las pérdidas en proporción a la oportunidad de interacciones individuales. El proceso de crecimiento puede ser entendido con el auxilio del diagrama de símbolos del modelo en la Figura 2. Un ejemplo es el crecimiento de levadura en el fermento del pan. Primeramente, el crecimiento de la población es casi exponencial. La disponibilidad de alimento es constante y como la población crece esto implica comer más y más. Sin embargo, las células de levaduras se vuelven tan numerosas que sus productos comienzan a interferir con el propio crecimiento. Resultando un estado de equilibrio entre producción y pérdida de células.
- 4. Figura 2 Crecimiento logístico: Crecimiento de un sistema con una fuente de energía a presión constante y una auto-interacción en un drenaje de salida. MATERIALES Y MÉTODOS Separatas Calculadora (o pc) Papel milimetrado o use una hoja de cálculo PROCEDIMIENTOS Primera actividad a realizar por el alumno Con la ecuación obtenida anteriormente y partiendo de los rangos que se suministran en la tabla 1, construye la curva de crecimiento de tu población para un total de 10 generaciones (t=1, 2,....,10) Nt = t N0 Tabla 1. Valores máximos y mínimos de los parámetros de crecimiento y N0 N0 Máximo 2 100 Mínimo 0.5 10
- 5. Segunda actividad a realizar por el alumno Con la ecuación obtenida anteriormente y partiendo de los rangos que se suministran en la tabla 2, construye la curva de crecimiento de tu población para un total de 10 generaciones (t=1, 2,....,10) N=N0ert Tabla 2. Valores máximos y mínimos de los parámetros de crecimiento r y N0 r N0 Máximo 0.9 100 Mínimo 0.1 10 MODELOS POBLACIONALES GEOMÉTRICOS Y EXPONENCIALES Tercera actividad a realizar por el alumno Se presentan los datos de población desde el año 500 a 1900 y luego desde 1950 al 2000, debe de calcular el valor de r (recuerde que r = LN ( (Nn+1) / (N n) ) 1/100 y realizar la gráfica de la población estimada vs. r, para cada periodo de año (de 500 a 1900 luego de 1950al 2000), para ello puede usar MS Excel eligiendo la opción de gráfico. Y analice sus resultados obtenidos gráficamente. Estimaciones del tamaño de la población humana mundial A. De 500 a 1900 Tiempo (siglos desde 500) Año Población estimada r 0 500 190,000,000 1 600 200,000,000 2 700 207,000,000 3 800 220,000,000 4 900 226,000,000 5 1000 254,000,000 6 1100 301,000,000 7 1200 360,000,000 8 1300 360,000,000 9 1400 350,000,000 10 1500 425,000,000 11 1600 545,000,000 12 1700 600,000,000 13 1800 813,000,000 14 1900 1,550,000,000
- 6. B. De 1950 a 2000 Tiempo (años desde 1950) Año Población estimada r 0 1950 2,555,078,074 1 1951 2,592,861,684 2 1952 2,634,919,408 3 1953 2,680,253,696 4 1954 2,728,222,066 5 1955 2,779,669,781 6 1956 2,832,623,670 7 1957 2,888,444,047 8 1958 2,944,942,787 9 1959 2,997,268,998 10 1960 3,039,332,401 11 1961 3,080,114,361 12 1962 3,136,197,751 13 1963 3,205,706,699 14 1964 3,276,816,764 15 1965 3,345,837,853 16 1966 3,416,065,246 17 1967 3,485,807,350 18 1968 3,557,675,690 19 1969 3,632,341,351 20 1970 3,707,610,112 21 1971 3,785,190,759 22 1972 3,862,197,286 23 1973 3,938,708,588 24 1974 4,014,598,416 25 1975 4,088,224,047 26 1976 4,160,391,803 27 1977 4,232,928,595 28 1978 4,305,403,287 29 1979 4,380,776,827 30 1980 4,456,705,217 31 1981 4,532,964,932 32 1982 4,613,401,886 33 1983 4,693,932,150 34 1984 4,773,566,805 35 1985 4,854,602,890 36 1986 4,937,607,708 37 1987 5,023,570,176
- 7. 38 1988 5,110,153,261 39 1989 5,196,333,209 40 1990 5,283,755,345 41 1991 5,366,938,089 42 1992 5,449,663,819 43 1993 5,531,001,812 44 1994 5,610,978,348 45 1995 5,690,865,776 46 1996 5,768,612,284 47 1997 5,846,804,802 48 1998 5,924,574,901 49 1999 6,002,509,427 50 2000 6,080,141,683 Cuarta actividad a realizar por el alumno Modelo geométrico de crecimiento poblacional Asume tasas per cápita de natalidad y mortalidad constantes Recuerde que Nacimientos totales = Nt * b Muertes totales = Nt * d R = b -d Calcule los valores y rellene la tabla para graficarlo y analizar sus resultados. t Nt Nacimientos totales Muertes totales b d R 0 100 1.25 0.5 0.75 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
- 8. 17 18 19 20 Quinta actividad a realizar por el alumno Comparación de los modelos exponencial y geométrico En la siguiente parte de la práctica debe de comparar el modelo exponencial y el geométrico, para ellos complete la siguiente tabla, para luego elaborar sus gráficos (tiempo vs. Nt tanto exponencial como geométrico) y analizar sus resultados. Recuerde: Nt exponencial = Nt(n-1) r * tn Nt geométrico = (1 + R) tn * Nt (n-1) r exponencial = LN (( Nt(n+1) / (Nt(n)) R geométrico = ((Nt(n+1) / (Nt(n)) - 1 Constantes r= 0.25 R= 0.25 Valores calculados Nt Nt r R t Exponencial Geométrico Exponencial Geométrico 0 1 1 0.25 0.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20