Parte 1 metodos-numericos
- 1. Abstract— En los últimos años, el uso de métodos numéricos ha adquirido una importancia considerable en la mecánica de fluidos. Tanto en diseño como investigación, se emplean con mayor frecuencia estas técnicas en la optimización de máquinas de una formas rápida y efectiva, la causa es que los métodos experimentales requieren un trabajo muy minucioso e intensivo, siendo demasiados caros por otro lado el desarrollo tecnológico requiere calcula diferentes parámetros aún más intensos y son cada vez más baratos y los softwares disponibles son bastantes competentes. I. INTRODUCCIÓN Los fluidos desempeñan un papel crucial en muchos aspectos de la vida diaria. Lo bebemos, respiramos y nadamos sobre ellos; Los aviones vuelan a través de ellos y los barcos flotan en ellos. Un fluido es cualquier sustancia que puede fluir o tiene capacidad de moverse, la dinámica de los fluidos es la ciencia que estudia estos fenómenos y es una de las ramas más complejas de la mecánica. El flujo de fluidos suele ser extremadamente complejo, como se aprecia en las corrientes de los rápidos de ríos, un fluido ideal es incomprensible (su densidad no puede cambiar) y no tiene fricción interna (llamada viscosidad). Los líquidos son incomprensibles en casi todas las situaciones la fricción interna, un fluido causa esfuerzos de corte cuando fluye en un tubo o alrededor de un obstáculo. Por la complejidad de los cálculo numéricos del flujo fluidos en diferentes campos de trabajos se requieren ciertas exigencias, un ejemplo las grades turbinas alcanzan hoy en día rendimientos claramente superiores al 95% en sus instalaciones, los fabricantes deben aportar garantías fiables, por lo que la aplicación de los métodos numéricos debe ser lo más exacta posible, se calcula errores o fallas de las turbinas mediante potentes simulaciones que deben sobrepasar el 100% de trabajo de las turbinas en diferentes condiciones naturales, los programas de cálculo numérico de corrientes permiten saber los diferentes parámetros . II. METODOLOGIA Este trabajo de investigación se lo llevo a cabo de forma analítica, investigando los distintos métodos numéricos que existen para la aplicación del flujo de fluidos, cada integrante del grupo de investigación tomo un tema de mecánica de fluidos e indago sobre ello para complementar el trabajo en la parte del marco teórico. Este trabajo se lo llevo a cabo a través de la herramienta Word y Latex a través del método exploratorio siendo una investigación científica con una extensa bibliografía. III. MARCO TEORICO A. FLUJO ELECTRO-HIDRODINÁMICO El electro-hidrodinámica es el estudio de los fluidos que se encuentran sometidos a la acción de campos eléctricos, la fuerza sobre la carga inyectada en el volumen pone el fluido en movimiento. Es una materia interdisciplinar la misma que abarca la hidrodinámica: y la electricidad. Las distribuciones del campo eléctrico y de velocidad se encuentran acopladas en general. ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES La Variación temporal de la velocidad más Términos conectivos: no lineales, difíciles es igual a menos la Gradiente de presión más Viscosidad del fluido más la Fuerza por unidad de volumen: Acoplamiento El modelo es fácilmente generalizable a cualquier número de especies iónicas, lo cual ocurre en la mayoría de las aplicaciones. Capas límite en celdas de combustible. Electro–cinética (flujo estacionario): u = 0 =⇒ p = −ρq φ Métodos Numéricos aplicados al flujo de fluidos Aguirre Yeliber, Cisneros Henry, De la cruz Carolina, Guatemal Jose, Mangui Anthony, Paredes Richard, Pineda Luis, Tamay Bryan y Vega Andres Estudiantes de la Escuela de Ingeniería Industrial, Facultad Mecánica, Escuela Superior Politécnica del Chimborazo, Riobamba, Ecuador
- 2. Condiciones de frontera en electrodos: (∇C± + w± z± C± ∇φ) · n = 0 φ + λS∇φ · n = +v en el ánodo −v en el cátodo Condiciones iniciales C±(x, 0) = c 0 ±(x), φ(x, y, 0) = vy o En el electro-hidrodinámica en gases los iones empujan al gas f = qE, el mismo que se pone en movimiento, la distribución de carga no depende de la distribución de las velocidades del gas. Ejm cilindro, punta, plano, streamer, rayo. Una de las aplicaciones con respecto a los gases es: PRECIPITADORES ELECTROSTÁTICOS El gas lleno de partículas penetra en el precipitador las mismas que son cargadas con los iones y electrones producidos por la corona. El campo eléctrico arrastra las partículas hacia las placas las mismas que se acumulan como polvo en las placas aduriéndose a la superficie. Tamaño de las partículas en un gran rango 0.1µm < r p < 1000 µm Una de las aplicaciones con respecto a los fluidos son los MEMS el cual realiza Bombeo de líquidos en microsistemas (microfluídica) a su vez los Lab-on-a-chip: que es la integración de varias funciones de análisis en dispositivos de algunos mm2 o cm2 . B. FLUJO TÉRMICO Sea Ω ⊂ RN (N = 2, 3) la región de flujo de un fluido térmico viscoso y dependiente del tiempo y sea Γ la frontera de esta región. Las hipótesis de la aproximación de Bousinesq suponen que las variaciones de temperatura son suficientemente pequeñas para poder considerar la densidad como constante a través del fluido, excepto en el término de flotación ρg, donde g es la fuerza gravitacional y ρ, de la ecuación de estado ρ = ρ (P, T), está dada linealmente por ρ = ρ0[1 − β(T − T0), donde T es la temperatura, ρ0 y T0 denotan densidad y temperatura de referencia. Los cambios de densidad ocasionados por cambios de presión se desprecian; propiedades del fluido, como viscosidad dinámica µ, coeficiente de expansión térmica β = −( 1 ρ0 )( ∂ρ ∂T )P, conductividad térmica k, difusividad térmica ƞ, y el calor especıfico Cp se consideran constantes; y la disipación de energía mecánica se desprecia. Matemáticamente la aproximación de Boussinesq, con estructura incompresible, se describe por las ecuaciones adimensionales t > 0 ut − 1 Re ∆u + (u ∗ ∆)u = Ra Pr ∗ Re2 θe ∇ ∗ u = 0 θt − 1 Re ∗ Pr ∆θ + u ∗ ∇θ = 0 Donde: 𝐮 Velocidad 𝐩 Presión 𝛉 Temperatura Los parámetros adimensionales: 𝐑𝐞 Números de Reynolds. 𝐑𝐚 Números de Rayleigh. 𝐏𝐫 Números Prandtl. 𝐞 Es el vector unitario en la dirección de la gravedad. Ra = βl3 kgρ0 2 μ3cp (T1 − T0) Pr = k μcp , donde las temperaturas de referencia T0 y T1, con T0 < T1, pueden ser las temperaturas de las paredes laterales de la región de flujo, cuando esta es una cavidad rectangular, l y U son la longitud y velocidad de referencia o característica, v = μ ρ0 es la viscosidad cinematica y g la constante gravitacional.
- 3. Método numérico Las derivadas temporales ωt y θt se aproximan mediante: ft(x(n + 1)∆t) ≈ 3fn+1 − 4fn + fn−1 2∆t , x ϵ Ω Donde n ≥ 1, ∆t denota el tamaño de paso en el tiempo y fr ≈ f(x, r∆t). Se sabe que es una aproximación de segundo orden para una función f suficientemente suave. C. FLUJOS MULTIFASICOS En la Coordinación de Ingeniería de Procesos Industriales y Ambientales se realizan estudios sobre los flujos multifásicos. Conocer el comportamiento de estos flujos es muy importante, puesto que son predominantes en la naturaleza y en los sistemas industriales. Podemos encontrar flujos de mezclas multifásicas en todas partes: en la red de agua potable, en los volcanes, en el sistema cardiovascular, en el tracto gastrointestinal e incluso dentro de las células, comenta el doctor Enrique Guzmán Vázquez, investigador del IIUNAM. “En términos generales el estudio de los flujos de mezclas multifásicas es bastante complejo. Normalmente es preciso conocer todas las propiedades fisicoquímicas de cada uno de los componentes de la mezcla. Además se debe considerar que dichas propiedades pueden cambiar con el tiempo y que tienen lugar ciertos procesos químicos. Por ejemplo, algo que es muy usual en la práctica es que aparezcan cambios de temperatura que modifican las viscosidades o que producen evaporación o condensación, o que producen crecimiento de cristales, etcétera. Por otra parte -continúa el doctor Guzmán- está el problema de la configuración geométrica de los conductos por los que transcurre el flujo. Todo esto se combina para hacer que la descripción matemática del problema sea compleja. Las ecuaciones no son triviales y, por si fuera poco, cada caso de estudio es único y debe considerarse por separado. No podemos asumir ni descartar nada a priori porque se corre el riesgo de omitir los detalles importantes que verdaderamente caracterizan al sistema estudiado”. Grafico. Tipos de flujos Fórmula que rigen los flujos multifasicos D. MAGNETOHIDRODINÁMICA Según (Navarra, 2007) “La magnetohidrodinámica (MHD) estudia la dinámica de los fluidos que son buenos conductores de la electricidad, y específicamente los efectos que aparecen por la interacción entre el movimiento del fluido y un campo magnético cualquiera que pueda estar presente” “La magnetohidrodinámica (MHD) es la disciplina académica que estudia la dinámica de fluidos conductores de electricidad en presencia de campos eléctricos y magnéticos. Ejemplos de tales fluidos son los plasmas, los metales líquidos y el agua salada. El término magnetohidrodinámica deriva de magneto-, que significa campo magnético, hidro-, que significa líquido, y dinámica, que significa movimiento” (P.H & T.H, 2007) Ecuaciones “La magnetohidrodinámica (MHD) es una teoría para estudiar la dinámica de un plasma (gas ionizado) en presencia de un campo magnético”. (Escamilla, 2016) Una forma sencilla de derivar esta teoría consiste en juntar las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones para la dinámica de un fluido, junto con la ley de Ohm y la suposición de que los movimientos son no relativistas. (Escamilla, 2016) “La MHD ideal es una versión simplificada de la MHD en la que se añaden las suposiciones adicionales de que el plasma es un conductor perfecto y con viscosidad nula” (Escamilla, 2016) Ecuaciones de Maxwell: Donde E y B son los campos eléctrico y magnético, respectivamente, 1* es la densidad de carga, j la densidad de corriente, c la velocidad de la luz y 34 y > la permitividad y la permeabilidad magnética, respectivamente. Ecuaciones básicas de la magnetohidrodinámica (MHD):
- 4. Un fluido neutro con una conductividad σ que se mueve con un campo de velocidades v, puede interactuar con un campo magnético presente en su entorno (ya sea externo o generado por la propia dinámica). (Navarra, 2007) Las ecuaciones que gobiernan el problema se derivan de las ecuaciones de Maxwell (para el campo magnético B) y de la ecuación de Navier-Stokes incluyendo la fuerza de Lorentz. (Navarra, 2007) ∂t B = ∇ × ( v × B ) + 1/(μ0 σ)∇2B (∂t + v ⋅ ∇ ) v = - 1/ρ∇ p + ν∇2 v + Fext + 1/(ρ μ0)(∇ × B ) × B (∂t + v ⋅ ∇ ) B = ( B ⋅ ∇ ) v + ∇2 B = Eij(v) B + ∇2 B Si el fluido conductor está rodeado de un aislante perfecto, las condiciones son relativamente "amigables". El problema se complica cuando el material está rodeado de un conductor con conductividad diferente: son necesarias corrientes de superficie que difícilmente pueden ser incluidas en la evolución. (Navarra, 2007) Aplicaciones Geofísicos - Se piensa que el núcleo fluido de la Tierra y otros planetas es una dinamo MHD enorme que genera el campo magnético de la Tierra por el movimiento de la roca fundida. (Fundación Wikimedia, 2018) Astrofísicos - La MHD se aplica muy bien a la astrofísica pues cerca del 99 % del contenido de la materia bariónica está hecha de plasma, como las estrellas, el medio interplanetario (espacio entre los planetas), el medio interestelar (espacio entre las estrellas), nébulas y los chorros relativistas. (Fundación Wikimedia, 2018) Ingeniería “La MHD se relaciona con problemas de ingeniería tales como confinamiento de plasma, enfriamiento por metales líquidos de los reactores nucleares y el moldeado electromagnético, entre otros” (Fundación Wikimedia, 2018) E. APLICACIÓN DE MN PARA FLUJOS PARTICULADOS. El proposito es la obtención de propiedades de convergencia y estabilidad para dos esquemas numéricos que permiten resolver las ecuaciones incompresibles de Navier- Stokes. Dichos esquemas han sido obtenidos modificando ligeramente otros debidos a R. Glowinski, cuya convergencia no había sido estudiada hasta la fecha. En una primera etapa, se usan métodos de direcciones alternadas del tipo de Peaceman-Rachford y de Strang. Esto reduce el problema a la resolución de problemas elípticos lineales del tipo de Stokes y problemas elípticos quasi-lineales. En la segunda etapa, estos problemas se resuelven numéricamente usando varios métodos de aproximación en espacio (elementos finitos), (para los problemas no lineales es conveniente introducir una formulación de tipo minimos cuadrados). La convergencia de las soluciones aproximadas hacia la solución del problema inicial se verifica bajo ciertas condiciones especificas de estabilidad. Las propiedades obtenidas vienen a justificar los buenos resultados numéricos conseguidos utilizando los métodos de Glowinski Una característica importante de las ecuaciones Navier-Stokes es la capa límite, lo cual hace necesario emplear mallas muy finas. Ya que los métodos explícitos de integración temporales tienen una restricción inherente de estabilidad, requieren escoger sus periodos de tiempo sobre estas mallas con base únicamente en la estabilidad y no mediante el control de error. Esto hace que sea deseable el uso de métodos implícitos de integración temporal; sin embargo, el empleo de estos esquemas exige la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. Considerando métodos numéricos para ecuaciones de Navier-Stokes de flujo compresible y dependientes del tiempo. Se discute la discretización espacial mediante los métodos de Galerkin discontinuos y de volúmenes finitos, la integración temporal a través de los métodos implícitos de Rosenbrock y Runge-Kutta, así como la solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales por medio de Newton- Krylov libre del jacobiano y métodos multimalla. Se consideran diversos problemas de flujo inestable para mostrar sus aplicaciones. El texto está dirigido a matemáticos e ingenieros. IV. CONCLUSIONES Las aplicaciones de los métodos numéricos del flujo de fluidos ayudan al desarrollo de nueva tecnología a través del entendimiento de problemas complejos de los flujos. I. Bibliografía Escamilla, A. (2016). Universitat de les Illes Balears. Obtenido de http://dspace.uib.es/xmlui/bitstream/handle/11201/145962/L iesegang_Alex.pdf?sequence=1&isAllowed=y Fundación Wikimedia, I. (7 de Julio de 2018). Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/Magnetohidrodin%C3%A1mic a
- 5. M.G, W., G. K, B., & H. K, M. (2000). Perspectives in Fluid Dynamics : A Collective Introduction to Current Research. CAMBRIDGE : CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS. Navarra, U. d. (Julio de 2007). Grupo MHD. Obtenido de http://fisica.unav.es/mhd/ecuaciones.html P.H, R., & T.H, J. (Julio de 2007). Grupo MHD. Obtenido de http://fisica.unav.es/mhd/default.html II. Bermúdez, N. (30 de AGOSTO de 2009). Obtenido de https://scielo.conicyt.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S 0718-07642010000300005 Swarztrauber, A. (22 de JUNIO de 2009). Obtenido de https://www.researchgate.net/publication/271198349_Analis is_de_las_formulaciones_de_velocidad- vorticidad_y_vector_potencial- vorticidad_en_conveccion_natural_3D soluble surfactant using moving mesh _en_medio_poroso Taylor, P. (2002). Numer. Methods Fluids. Obtenido de http://www.scielo.org.mx/pdf/rmf/v54n3/v54n3a10.pdf III. Ingenieria, R. A. (18 de febrero de 2004). raing. Obtenido de raing: http://www.raing.es/es/publicaciones/lecciones- inaugurales/la-atomizaci-n-electrohidrodin-mica-de-l- quidos-y-sus mundo, e. (03 de Marzo de 2014). el mundo. Obtenido de el mundo: https://www.elmundo.es/economia/2014/03/06/53177ca522 601d8c388b457b.html Pedro, V. (12 de Enero de 2011). ARFA. Obtenido de ARFA: http://www.esi2.us.es/DFA/ARFAI/ficheros_2011/ARFAI_ pedro.pdf sgpwe. (15 de Junio de 2012). sgpwe. Obtenido de sgpwe: http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/hect/archivos_para _pagina/cfd-2012.pdf