Practicas2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matem´tica
a

´
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCION DEL
PROBLEMA DE BRINKMAN.
´
SEMINARIO DE MATEMATICA PURA Y APLICADA II

Alumno: Soto Rivera, Joel Richard
C´digo: 20071155A
o Nota:
Asesor: Dra. Irla Mantilla N.

´
LIMA-PERU
2012

Resumen

La presente informe simula num´ricamente mediante el M´todo del Elemento Finito, las
e e
cargas radiales a las que puede someterse un cojinete deslizante sin que ocurra un contacto
entre sus componentes s´lidos. Asimismo, se considera el fen´meno de la cavitaciń, el
o o o
cual se modela mediante la inecuaciń variacional de Reynolds. Se considera un r´gimen
o e
estacionario, un lubricante incompresible e isoviscoso y dos grados de libertad en el des-
plazamiento del eje. Este ultimo resulta desconocido una vez que al sistema se le imponen
´
cargas, cuestiń que manifiesta junto a la determinaciń de las presiones en el lubricante.
o o
Su resoluciń num´rica constituye el principal aporte. Se concluye, que para el problema
o e
tratado, la excentricidad es el principal factor que influye en el modelo f´ısico.
Palabras claves:
2010 Mathematics Subject Classification:35A15-37A01-35A02

´
Indice general

1. Conceptos Preliminares. 4
1.1. Nociones de Lubricaciń en cilindros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 4
1.1.1. Excentricidad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Ecuaciones de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Definiciń del Modelo Matem´tico.
o a 6
2.1. Problema F´ısico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Condiciones del Problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1. Sobre su dominio y frontera: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2. Sobre el fluido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Resoluciń Num´rica.
o e 8
3.1. Formulaciń Variacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 8
3.2. Resoluciń Num´rica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e 9

Referencias 16

1

´
Indice de figuras

1. Componentes de un cojinete deslizante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Posicionamiento relativo entre piezas mecńicas con distintas excentricidades.
a 5

2.1. Geometr´ (muõn cil´
ıa n´ ındrico) que muestra la direcciń de la velocidad con
o
flechas negras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1. Mallado por elementos triangules sobre el cilindro. . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2. Comportamiento de la presiń sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
o
R=0.02, H=0.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
o
R=0.04, H=0.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.13. Espesor de la pelicula del lubricante para R=0.03, H=0.05 y ε = 0,6 . . . . 15

2

Introducciń
o

Desde la antigëdad, el hombre se ha preocupado por la p´rdida de potencia en las
u e
m´quinas y el desgaste de las piezas en movimiento relativo. Tal es el caso que ań, en
a u
nuestros d´ la investigaciń de estos fen´menos tiene gran vigencia dada su complejidad
ıas, o o
multifactorial. La maquinaria moderna se proyecta para trabajar a velocidades y tensiones
cada vez mayores, lo cual obliga a una cuidadosa consideraciń de los fen´menos que
o o
se presentan en las superficies con movimiento relativo,espec´ ıficamente en los nudos de
fricciń. Un caso especial lo constituyen los cojinetes, como elementos de m´quinas cuya
o a
finalidad es servir de apoyo a los ´rboles(d´
a ıcese de una barra sujeta a torsiń.) y ejes que
o
giran en el espacio, de manera que estos puedan rotar libremente y soportar as´ las cargas
ı
que actán sobre ellos. El t´rmino cojinete deslizante hace referencia al conjunto formado
u e
por el eje, el casquillo y el lubricante, tal y como muestra la figura en un corte transversal
practicado a este tipo de elemento. De manera general, permiten el movimiento relativo
de los componentes s´lidos en una o dos direcciones con un m´
o ınimo de fricciń. Adem´s,
o a
prevń el movimiento en el sentido de la carga aplicada.
e

Figura 1: Componentes de un cojinete deslizante.

Journal Bearing: Es un dispositivo de antifricciń en el que un eje cil´
o ındrico, al que se
llama muõn, se apoya en una pieza estacionaria, a la que se llama cojinete. se utilizan
n´
para llevar cargas radiales, por ejemplo, para soportar un eje giratorio. Un cojinete
simple consta de dos cilindros r´ ıgidos. El cilindro exterior (cojinete) envuelve el mu˜ń
no
interno giratoria (eje). Normalmente, la posiciń del centro del muõn es excńtrico con
o n´ e
el centro del rodamiento. Un lubricante llena el pequeõ espacio anular u holgura entre
n
el mu˜ń y el rodamiento. La cantidad de excentricidad de la revista est´ relacionada
no a
con la presiń que se genera en el cojinete para equilibrar la carga radial.
o

3

Cap´
ıtulo 1

Conceptos Preliminares.

A continuaciń presentamos las definiciones y conceptos f´
o ısicos usados a lo largo del
presente trabajo.

1.1. Nociones de Lubricaciń en cilindros.
o
El desgaste es la mayor causa de p´rdida de materiales, por lo que cualquier reducciń
e o
del mismo puede aportar grandes beneficios.
La fricciń o rozamiento es una de las principales causas de disipaciń de energ´ por lo
o o ıa,
que su control puede traducirse en un importante ahorro energ´tico.
e
La lubricaciń es el modo m´s efectivo de reducir la fricciń y controlar el desgaste.
o a o
El proposito de la lubricaciń o engrase es el interponer una pel´
o ıcula de un material
fćilmente cizallable, de modo que el deslizamiento se realice en su seno, entre movimiento
a
de m´quinas con movimiento relativo y cargados.
a

1.1.1. Excentricidad:
La excentricidad se define como la no coincidencia entre el eje de rotaciń y el eje de
o
simetr´ La excentricidad puede tener lugar en diferentes tipos de elementos mecńicos,
ıa. a
como son las poleas, las ruedas dentadas y en el posicionamiento relativo entre dos piezas
concńtricas, caso del rotor y el est´tor de un motor.
e a

4

Figura 1.1: Posicionamiento relativo entre piezas mecńicas con distintas excentricidades.
a

1.1.2. Ecuaciones de Reynolds.
Las variaciones de la velocidad pueden concebirse como las desviaciones de la velocidad
con respecto a su valor medio temporal; de tal manera que las variaciones de la veloci-
dad se vean como una variable aleatoria de media nula. En tanto la presiń, tambiń,
o e
puede descomponerse en una forma similar, ecuaciń (1.1). Esta variable aleatoria es es-
o
tacionaria, en amplio sentido, porque su media o esperanza matem´tica es constante,
a
independiente de su par´metro ´
a ındice, el tiempo; y la función de correlaciń depende
o o
s´lo de las variaciones de este par´metro,
o a

∂vi = vi − vi , ∂pi = pi − pi . (1.1)

Por tanto, cuando la velocidad y la presiń se descomponen en la media m´s las desvia-
o a
ciones, para luego expandir la ecuaciń de Navier-Stokes, y tamizarla con el promedio
o
temporal sobre la base de la hip´tesis erg´dica, entonces se obtienen las ecuaciones de
o o
Reynolds, ( )
∂ ∂ ∂ ∂2 ∂
ρ vi + ⟨vi vj ⟩ = − p + ρν 2 vi − ρ ⟨∂vi ∂vj ⟩. (1.2)
∂t ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj
En la construcciń del modelo se supone que la velocidad angular es constante, se des-
o
precian los efectos de la tensiń supercial y se asume que el aire se comporta como un
o
gas perfecto, en el sentido de que la densidad es proporcional a la presiń. Se considera
o
que la anchura de la capa del fluido es muy pequeã comparada con las otras dimensio-
n
nes. Adem´s, se desprecian las fuerzas inerciales comparadas con las fuerzas debidas a la
a
viscosidad.

5

Cap´
ıtulo 2

Definiciń del Modelo Matem´tico.
o a

2.1. Problema F´
ısico.
La presiń en el lubricante (SAE 10 a 70◦ C.) se rige por la ecuaciń de Reynolds.
o o
Para un fluido incompresible con condiciń de ausencia de deslizamiento, la ecuaciń de
o o
Reynolds estacionaria en el rango continuo est´ dada por:
a

∇T · −ρ (∇T b · vb − ∇T a · va ) = 0. (2.1)

En esta ecuaciń, ρ es la densidad en Kg , h es el espesor de lubricante (m), η es la
o m3
viscosidad (P a · s), p es la presiń (P a), a es la ubicaciń (m) de la base del canal, va es la
o o
velocidad tangencial ( m ) de la base del canal, b es la ubicaciń (m) de la pared s´lida, y
s
o o
m
vb es la velocidad tangencial ( s ) de la pared s´lida. Aqu´ el muõn giratorio se considera
o ı n
que es la pared s´lida. La figura siguiente muestra la pared y el muõn giratorio en el
o n
que se resuelve la ecuaciń de Reynolds. Debido a que la presiń es constante a trav´s del
o o e
espesor de la pel´ ıcula lubricante, COMSOL utiliza la proyecciń tangencial del operador
o
gradiente. Notar que en este caso el t´rmino ρ (∇T b · vb − ∇T a · va ) es igual a cero de aqui
e
se simplifica la ecuaciń (1.1) de la siguiente forma:
o
( )
−ρh3 ρh
∇T · ∇T p + (va + vb ) = 0. (2.2)
12η 2

El espesor de lubricante, h, se define como:

h = c(1 + ε cos θ)

Donde c ≡ RB − RJ es la diferencia entre el radio y el radio de rodamiento del mu˜ń, ε
no
es la excentricidad, y θ es la coordenada polar angular de un punto sobre el lubricante.

6

Figura 2.1: Geometr´ (muõn cil´
ıa n´ ındrico) que muestra la direcciń de la velocidad con
o
flechas negras.

2.2. Condiciones del Problema.
Ahora enunciaremos que propiedades f´
ısicas y que condiciones sobre su contorno posee el
problema.

2.2.1. Sobre su dominio y frontera:
Consideremos un cilindro de altura H y radio R con su base centrada en el punto (0,0,0),
con una excentricidad de 0.03mm (la cual variaremos despu´s para observar como influye
e
la excentricidad en el problema). La presiń en los extremos del muõn cil´
o n´ ındrico se supone
que es similar a la presiń del ambiente. Por lo tanto, las condiciones de frontera son:
o

p=0 para z=0,L. (2.3)

Donde L es la longitud del mu˜ń cilindrico. Adem´s de ello gira a una velocidad angular
no a
de 50π rad/s,

2.2.2. Sobre el fluido:
Consideremos un fluido incompresible con una viscosidad din´mica de 0.01 P a · s y una
a
3
densidad de 860 Kg/m .

7

Cap´
ıtulo 3

Resoluciń Num´rica.
o e

Para abordar la resoluciń num´rica del problema, primeramente realizamos un algo-
o e
ritmo para su resoluciń num´rica, que incluye una discretizaciń mediante el m´todo de
o e o e
caracter´
ısticas combinado con elementos f´ ınitos, para la cual se debe hallar su formulaciń
o
variacional para luego a partir de ella se aproxime su soluciń mediante M.E.F.
o

3.1. Formulaciń Variacional.
o
La formulaciń variacional del denominado problema de lubricaciń consiste en encon-
o o
trar p ∈ Va tal que:
∫ ∫ ∫
∂ ∂
(γh ∇p + h p∇p)∇φ + 6η
2 3
(ph)φ + 6η (ph)φ = 0, ∀φ ∈ V0 (3.1)
Ω Ω ∂x Ω ∂y

Donde Ω = (0, H) × (0, H), representa el dominio rectangular bidimensional de nuestro
problema() y los espacios y conjuntos funcionales son:

Va = {φ ∈ H 1 (Ω)/φ = pa en ∂Ω}.

V = {φ ∈ H 1 (Ω)/φ = 0 en ∂Ω}.
Bajo ciertas hip´tesis, se puede probar la existencia y unicidad de soluciń de nuestro
o o
problema hidrodin´mico, as´ como la existencia de cotas de la misma[1].
a ı
El presente trabajo persigue como objetivo general desarrollar una aplicaciń, basada en
o
el M´todo del Elemento Finito, para la simulaciń num´rica de las cargas radiales a las
e o e
que puede someterse un cojinete deslizante sin que ocurra un contacto entre sus com-
ponentes s´lidos y considerando la posible ocurrenciade la cavitaciń. El alcance de esta
o o
investigaciń se limita a un r´gimen estacionario y se contemplan unicamente dos grados
o e ´
de libertad en la funciń de holgura h. Como la variaciń de la densidad con la presiń en
o o o
los aceites m´s usuales es muy pequeã, se supondr´ un lubricante incompresible (ρ=cte).
a n a
En adiciń, se asume un lubricante isoviscoso. Debido a lo fina que resulta la pel´
o ıcula de
aceite en estos dispositivos, dicha suposiciń puede hacerse sin una p´rdida considerable
o e
en la precisiń de los resultados [2, p´g. 25]. Se consideran sin rugosidades las superficies
o a
s´lidas del cojinete deslizante as´ como un r´gimen de lubricaciń hidrodin´mica.
o ı e o a

8

3.2. Resoluciń Num´rica.
o e
Veamos los resultados para los siguientes parametros R=0.03m y H=0.05m, utilazando
esos parametros y considerando el siguiente mallado:

Figura 3.1: Mallado por elementos triangules sobre el cilindro.

A partir de aquel mallado mediante una aproximaciń con elemtos finitos se obtiene:
o

Figura 3.2: Comportamiento de la presiń sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05
.

9

Ahora si consideramos variar la altura(H) y el radio(R) del cilindro observaremos que su
comportamiento es similar que el caso previo.
Veamos para R=0.02, H=0.07.

o
R=0.02, H=0.07
.

Veamos para R=0.04, H=0.04.

o
R=0.04, H=0.04
.

Claramente el comportamiento de la soluciń es el mismo en los tres cilindros solo que
o
estos se expande o contrae segń la dimensiń del cilindro.
u o

10

Pero veremos que ese comportamiento difiere un poco si variamos el parametro de
excentricidad(ε) considerando como el caso original R=0.03, H=0.05 y para este caso
ε variando desde 0 hasta 0.99 veremos como cambia el comportamiento de la presiń a o
lo largo se la superficie del cilindro: Empecemos con una excentricidad de 0.99 y luego la
iremos disminuyendo gradualmente hasta llegar a 0.

o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,99
.

o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,9
.

11

o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,8
.

o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,6
.

Observamos que mientras disminuye la los puntos donde se concentra la presi´n tienden
o
alejarse entre si proporcional a la excentricidad.

12

o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,5
.

o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,3
.

13

o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,1
.

o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0
.

Hay que tener en cuenta que para el caso ε = 0 se tiene un espesor de lubricante h
constante la cual origina soluciones periodicas a lo largo de la superﬁcie.

14

Figura 3.13: Espesor de la pelicula del lubricante para R=0.03, H=0.05 y ε = 0,6
.

De manera similar se comportan los otros casos a partir de aqui podemos que la excen-
tricidad es el principal factor que inﬂuye en el comportamiento de la presi´n.
o

15

Bibliograf´
ıa

[1] Hassń Lombera Rodr´
a ıguez Simulaciń Num´rica de un Cojinete Deslizante
o e
Radial con Desplazamiento Desconocido. Inc.(2011)

[2] Hannukainen, Petri Non-linear journal bearing model for analysis of
superhar-monic vibrations of rotor systems. Tesis doctoral, University of
Technology, Lappeen-ranta, Finland, 2008.

[3] Dowson, D., Higginson, G. R Elasto-Hydrodynamic Lubrication. 1983. pp.
409-430 Printed in Great Britain

[4] Pinkus, O., Sternlicht, B., Theory of Hydrodynamic Lubrication . McGraw
Hill Book Company, 1961. pp. 41 -46-New York

[5] Irla Mantilla, Salom´ Gonz´les Simulaciń num´rica de la cavitaciń en co-
e a o e o
jinetes mediante elementos finitos y el algoritmo de Uzawa. UPGC- Espaã.
n
(2010)

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